INTEGRAL MULTIPLE´ - ehu eus

1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.´ As´ı como la integral simple resuelve el problema del c´alculo de areas de regiones planas, la integral doble es la herramienta natural para el calcu-


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1.INTEGRALESDOBLESSOBRERECTANGULOS.
Ascomolaintegralsimpleresuelveelproblemadelcalculodeareasderegionesplanas,laintegraldobleeslaherramientanaturalparaelcalcu-lodevolumenesenelespaciotridimensional.Enestasnotasseintroduceelconceptodeintegralmultiple,elcualincluyeloscasosanterioresenuncontextogeneral.Deestemodo,lasaplicacionesnoselimitanalcalculodeareasyvolumenessinoqueseextiendenaotrosproblemasfsicosyge-ometricos.5.1.Integralsobreregioneselementales.5.1.1.De nicionesprevias.TodoconjuntodelaformaI=[a1;b1][an;bn]Rnrecibeelnombredeintervalon-dimensionalon-intervalo.UnaparticiondeIsede nealdividircadaintervalo[ai;bi]mediantelospuntosfxi0;:::;ximigyformarlasceldasn-dimensionalesJk=[x1j1;x1j1+1][xnjn;xnjn+1],0jimi�1(i=1;:::;n).Deestemodo,unaparticiondeunn-intervaloIesunconjuntoP=fJ1;:::;JNg,formadoporceldasn-dimensionales,talqueTJi\TJk=;(i6=k),yJ1[[JN=I.Dadaunafuncionf:I!Racotada,side nimoslamedidan-dimensionaldeunaceldacomoelproductodelaslongitudesdesusaristas,llamaremossumainferiordefconrespectoalaparticionPaL(f;P)=XJk2Pnfff(x):x2Jkgm(Jk):Analogamente,lasumasuperiordefrespectoaPesU(f;P)=XJk2Psupff(x):x2Jkgm(Jk):5.1.2.Propiedades.i)L(f;P)U(f;P),paratodaparticionPdeI.ii)SiP0esunre namientodeP(esdecir,cadaceldadeP0estacontenidaenalgunaceldadeP),entoncesL(f;P)L(f;P0)yU(f;P0)U(f;P).iii)SiP0yP00sondosparticionesarbitrariasdeI,L(f;P0)U(f;P00).iv)supfL(f;P):PparticiondeIgnffU(f;P):PparticiondeIg.2
SupongamosahoraquesecumplelacondiciondeRiemannyveamosquefesintegrableenI.ComoL(f;P)R
If
RIfU(f;P),entonces
RIf�R
If";8"&#x-331;0,conlocual
RIf=R
If.Probemosahoralaequivalenciaentrei)yiii).SupongamosenprimerlugarquesecumplelacondiciondeDarboux.Aspues,dado"�0,elegimos�0talque NXi=1f(xi)m(Ji)�L "=2:Elegimostambienxi2Jidemodoquejf(xi)�supff(x):x2Jigj"
m(Ji)2N:EntoncesjU(f;P)�Lj U(f;P)�NXi=1f(xi)m(Ji) + NXi=1f(xi)m(Ji)�L NXi=1"m(Ji)
m(Ji)2N+"
2=":Analogamentesepruebaparalassumasinferiores.Paraprobarelrecproco,necesitamoselsiguienteresultado.Lema.DadaunaparticionPdeIycualquier"�0,existe�0talqueparacadaparticionP0enceldasdearistasconlongitudmenorque,lasumadelasmedidasdelasceldasdeP0quenoestantotalmentecontenidasenalgunaceldadePesmenorque".Demostracion.Parademostrarlo,separaremosdoscasos:n=1
:SiP=fx0;x1;:::;xNg,bastaelegir="=NporquelosintervalosdeP0quenoestencontenidosenalgunintervalo[xk�1;xk]debenincluiralgunxk,k=1;:::;N�1;portanto,lasumadesuslongitudesesmenorqueN(numerodeintervalosmultiplicadoporlalongituddecadauno).n�1
:SiP=fJ1;:::;JNg,llamamosTalalongitudtotaldelasaristassituadasentredosceldascualesquieradePyelegimos="=T.SeaJ02P0unaceldanocontenidaenningunJk.EstoindicaquecortaadosceldasadyacentesdeP.Portanto,sun-medidaesmenoroigualqueA,dondeAeslamedidadelascarascomunesadichasceldas.EntoncesPJ02P0;J06Jkm(J0)T=":
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c)f(x;y)=sen(x+y),(x;y)2[0;=2][0;=2].d)f(x;y)=x3+3x2y+y3,(x;y)2[0;1][0;1].e)f(x;y)=p
jy�x2j,(x;y)2[�1;1][0;2].5.2.Extensiondelconceptodeintegralaregionesacotadas.SeaARnunconjuntoacotadotalqueAI,dondeIesunn-intervalo,yf:A!Runafuncionacotada.DecimosquefesintegrableenAcuandog(x)=(f(x)six2A0six2InAesintegrableenI.Estosugierequeeltipoderegionesparalasqueunafuncionesintegrablenopuedetener\fronteramuycomplicada".Portanto,necesitamoslassigu-ientesde niciones.5.2.1.De nicion.UnconjuntoacotadoARntienecontenido(segunJordan)silafuncionconstantef(x)=1esintegrableenA.Enestecaso,elcontenidodeAsede necomoc(A)=RA1.Porde niciondeintegral,unconjuntoAtienecontenidocerosiysolosi8"�0;9fJ1;:::;JNgn-intervalosquecubrenaA:NXi=1m(Ji)":DiremosentoncesqueunconjuntoacotadoARnesundominiodeJor-dansisufronteratienecontenidocero.Ejemplo.Lagra cadeunafunciony=f(x)continuaen[a;b]tienecon-tenidoceroenR2.Enefecto,dado"&#x-278;0,comofesuniformementecontinuaen[a;b],existe&#x-278;0talquejf(x)�f(y)j"sijx�yj.6
5.2.4.Proposicion.SiARnesacotado,f:A!Resacotadaeintegrable,f(x)=08x2AnF,dondeFesunconjuntodecontenidocero,entoncesRAf=0.Demostracion.Comofesacotada,existeM�0talquejf(x)jM,8x2A.Porotraparte,comoFtienecontenidocero,dado"�0,FSNj=1Rj,conPNj=1m(Rj)"=M.LlamamosRaunn-rectanguloquecontieneaAyextendemosfaRdelamanerausual.SeaPunaparticiondeRtalqueRj2P,8j.Entonces,�"L(f;P)U(f;P)";conloqueRAf=0.
5.2.5.TeoremadeLebesgue.SeaARnunconjuntoacotadoyf:A!Racotada.SiAI,dondeIesunn-intervalo,entoncesfesintegrableenAsiysolosielconjuntodediscontinuidadesdefenItienemedidanula.Demostracion.De nimoslaoscilaciondeunafuncionfenunpuntox02Icomo!(f;x0)=lmh!0+supfjf(x)�f(y)j:x;y2B(x0;h)\Ig:Antesdeprocederalademostracionveamosunparderesultadosprevios.Lema1.!(f;x0)=0()fescontinuaenx0.Paraprobarlo,bastaobservarquefescontinuaenx0siysolosi8"�0ex-isteB(x0;h)talquesupfjf(x)�f(x0)j:x2B(x0;h)g"locualequivaleasuvezaque!(f;x0)=0.Lema2.ElconjuntoDr=fx2I:!(f;x)1=rgescompacto.Enprimerlugar,Dresacotadoporestarcontenidoeneln-intervaloI.Paraverqueescerrado,seayunpuntodeacumulaciondeDrysupongamosquey62Dr.Aspues,!(f;y)1=ry,porde niciondeoscilacion,existeunabolaB(y;h)talquesupfjf(u)�f(v)j:u;v2B(y;h)\Ig1=r:8
5.2.6.ConsecuenciasdelteoremadeLebesgue.
UnconjuntoacotadoAtienecontenido(segunJordan),esdecirlafuncionconstante1esintegrablesiysolosilafronteradeAtienemedidanula.
SeaARnunconjuntoacotadoquetienecontenidoyf:A!Runafuncionacotadaconunacantidad nitaonumerabledepuntosdediscontinuidad.Entoncesfesintegrable.Teorema.a)SiARnesacotadoytienemedidanulayf:A!Resintegrable,entoncesRAf=0.b)Sif:A!Resintegrable,f(x)0,8xyRAf=0,entonceselconjuntofx2A:f(x)6=0gtienemedidanula.Demostracion.a)SupongamosqueAesunconjuntodemedidanulayseaSunn-intervaloquecontieneaA.ExtendemosfaShaciendof(x)=0,six2SnA.SeanP=fS1;S2;:::;SNgunaparticiondeSyMunaconstantetalesquejf(x)jM;8x2A.EntoncesL(f;P)=NXi=1mi(f)m(Si)MNXi=1mi(A)m(Si):Simi(A)6=0paraalguni,entoncesSiAloqueesabsurdopuesm(A)=0perom(Si)6=0.Ende nitiva,L(f;P)0.Analogamente,U(f;P)=NXi=1Mi(f)m(Si)=�NXi=1mi(�f)m(Si)=�L(�f;P)0:ComofesintegrableyL(f;P)0U(f;P),entoncesRAf=0.b)SeaAr=fx2A:f(x)�1=rgyveamosquetienecontenidonulo.SeaSunrectanguloquecontieneaAyPunaparticiondeStalqueU(f;P)"=r(fseextiendeaSdelaformausual).SifS1;:::;SkgPtieneninterseccionnonulaconAr,kXi=1m(Si)kXi=1rMi(f)m(Si)rU(f;P)"loqueindicaqueArtienecontenidonulo.ComoA=[r2NAr,Atienemedidanula.
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SiRKg�0,entoncesf(u)RKfg
RKgf(v):Porelteoremadelvalorintermedioparafuncionescontinuas,existez2Ktalquef(z)=RKfg
RKg.
5.4.Integralesimpropias.Seaf:ARn!Racotadaynonegativa,conAnoacotado.ExtendemosfatodoRndelamanerausual.DecimosquefesintegrableenAcuandofesintegrableentodon-intervalo[�a;a]nyexistelma!1R[�a;a]nf.Nota.Alserfnonegativa,podemosexpandirlaregiondeintegracionsimetricamente.Porejemplo,lafuncionf(x)=xcambiadesignoyresultaqueRa�axdx=0conloqueR1�1f=0peroR0�1fyR10fnoexisten.5.4.1.Teorema.Sif0,estaacotadayesintegrableencada[�a;a]n,entoncesfesinte-grablesiysolosidadacualquiersucesionfBkgk2NdeconjuntosacotadosconcontenidotalesqueBkBk+1yexistektalqueCBk,paratodon-cuboC,entoncesexistelmk!1RBkf.5.4.2.De nicion.a)Seaf0noacotadade nidaenARnnoacotado.ParacadaM�0,sede nefM(x)=(f(x)sif(x)M0sif(x)�M:SiexistelmM!1RAfM,decimosquefesintegrableenA.b)Sif:A!Resarbitraria,seanf+(x)=(f(x)sif(x)00sif(x)0;f�(x)=(�f(x)sif(x)00sif(x)&#x]TJ/;༕ ;.9; T; 11;&#x.515;&#x 0 T; [00;0:As,f=f+�f�yfesintegrableenAsilosonf+yf�yde nimosRAf=RAf+�RAf�.12
Porserfintegrable,dado"�0,existeunaparticionP=fRij;1im;1jngdeI,conRij=[xi�1;xi][yj�1;yj],talqueU(f;P)�L(f;P)".SillamamosMij=sup(x;y)2Rijf(x;y);mij=nf(x;y)2Rijf(x;y);Ni=supx2[xi�1;xi]g(x);ni=nfx2[xi�1;xi]g(x);entonces, jadox2[xi�1;xi]:mij(yj�yj�1)Zyjyj�1f(x;y)dyMij(yj�yj�1):Sumandoparatodoslosvaloresdej,nXj=1mij(yj�yj�1)g(x)nXj=1Mij(yj�yj�1):Portanto,nXj=1mij(yj�yj�1)niNinXj=1Mij(yj�yj�1):Multiplicamosmiembroamiembropor(xi�xi�1)ysumamossobrei:mXi=1nXj=1mij(xi�xi�1)(yj�yj�1)mXi=1ni(xi�xi�1)mXi=1Mi(xi�xi�1)mXi=1nXj=1Mij(xi�xi�1)(yj�yj�1):EstoquieredecirqueL(f;P)L(g;Px)U(g;Px)U(f;P):DeducimosasqueU(g;Px)�L(g;Px)",esdecirgesintegrableen[a;b].Ademas,ZIf=supL(f;P)Zbag(x)dxnfU(f;P)=ZIf;loquedemuestraelteorema.
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5.5.2.Teorema.SeafacotadaenI=[a;b][c;d].Entoncesi)Z
IfZ
ba
Zdcfx(y)dy!dx
Zba
Zdcfx(y)dy!dx
ZIf:ii)Z
IfZ
ba Z
dcfx(y)dy!dx
Zba Z
dcfx(y)dy!dx
ZIf:iii)Z
IfZ
dc
Zbafy(x)dx!dy
Zdc
Zbafy(x)dx!dy
ZIf:iv)Z
IfZ
dc Z
bafy(x)dx!dy
Zdc Z
bafy(x)dx!dy
ZIf:v)SiexisteRIf,entonceslasdesigualdadesanterioressonigualdades.Ejercicios.(1)Seaf:[0;1][0;1]!Rde nidaporf(x;y)=(1six2Q2ysix62Q.Probar:a)ExisteRt0f(x;y)dyparatodot2[0;1]yR
10Rt0f(x;y)dydx=t2,
R10Rt0f(x;y)dydx=t.DeducirqueexisteR10R10f(x;y)dydx.b)ExisteR10
R10f(x;y)dxdy.c)Lafuncionfnoesintegrableenelcuadrado[0;1][0;1].(2)SeaA=f(i=p;j=p)2R2:pesprimo;1i;jp�1g.EsfacilprobarquecadarectahorizontaloverticalcortaaAcomomaximoenunnumero nitodepuntos.Sinembargo,AnotienecontenidoceroporqueesdensoenQ=[0;1][0;1].DehechoAesunconjuntosincontenido(sufronteranotienecontenidocero).Side nimosf:Q!Rporf(x;y)=(1si(x;y)2A0six2QnA,entoncesfnoesintegrableenQ(laintegralinferiorvaleceroylaintegralsuperiorvale1).Sinembargo,existenR10R10f(x;y)dydx=R10R10f(x;y)dxdy,puesfxyfytienenunnumero nitodediscontinuidades.(3)Seaf:Q=[0;1][0;1]!Rlafuncionde nidapor16
seconvierteenproductodeintegralessimples:ZZRf(x;y)dxdy=Z10x2dxZ101
1+y2dy=x3
3 10arctgy 10=
12:(c)Lasintegralessoninmediatassiintegramosenprimerlugarrespectoalavariablex:ZZRf(x;y)dxdy=Z10dyZ10yexydx=Z10(exy 10)dy=Z10(ey�1)dy=(ey�y) 10=e�2:(d)Parapoderintegrarlafuncionvalorabsoluto,debemosdividirlaregiondeintegracioncomoseindicaenla gura.
Si(x;y)2A[D,entoncescos(x+y)0y,si(x;y)2B[C,entoncescos(x+y)0.Resultaentonces:ZZRf=Z=20dxZ=2�x0cos(x+y)dy�Z=20dxZ=2�xcos(x+y)dy�Z=2dxZ3=2�x0cos(x+y)dy+Z=2dxZ3=2�xcos(x+y)dy=Z=20(sen(=2)�senx)dx�Z=20(sen(x+)�sen(=2))dx�Z=2(sen(3=2)�senx)dx+Z=2(sen(x+)�sen(3=2))dx=(2x+cosx+cos(x+)) =20+(2x�cosx�cos(x+)) =2=2:18
PROBLEMA5.2SifescontinuaenR=[a;b][c;d],ysede neF(x;y)=ZxaduZycf(u;v)dv;[email protected]
@[email protected][email protected]
@[email protected]=f(x;y),paraaxb,cyd.
SolucionLlamamosG(x;y)aunafunci[email protected]
@y(x;y)=f(x;y):Deestemodo,porelteoremafundamentaldelcalculointegral,@F
@x(x;y)=G(x;y)�G(x;c):Derivandorespectoalasegundavariable,@2F
@[email protected][email protected]
@y(x;y)�@G
@y(x;c)=f(x;y):Porotraparte,siintercambiamoselordendeintegracionpodemosescribirF(x;y)=ZycdvZxaf(u;v)du=Zyc(H(x;v)�H(a;v))dy;siHesunafunci[email protected]
@x(x;y)=f(x;y):Procediendoahoradeformaanalogaalcasoanterior,obtenemos:@F
@y(x;y)=H(x;y)�H(a;y);y,siderivamosrespectoalaprimeravariable,@2F
@[email protected][email protected]
@x(x;y)=f(x;y):19
SolucionDividamoselcuadrado[�1;1][0;2]endosregiones(ver gura)separadasporlaparabolay=x2.
Laintegralbuscadasedescomponeasen:I=Z1�1dxZx20p
x2�ydy+Z1�1dxZ2x2p
y�x2dy=I1+I2:Calculamosporseparadoambasintegrales:I1=Z1�1�dxZx20�p
x2�ydy=�Z1�1(x2�y)3=2
3=2 x20dx=Z1�1�2x3
3dx=0:rI2=Z1�1(y�x2)3=2
3=2 2x2dx=Z1�1(2=3)p
(2�x2)3dx=(sustitucionx=p
2cost)=2
3Z=4�=4(1�cos2t)dt=�2
3:ElvalordelaintegralesentoncesI=�2
3.
PROBLEMA5.5Calcularelvolumendelsolidolimitadoporlafuncionz=cos(x�y)yelplanoz=0,encerradaenelcuadrado[0;][0;].
Solucion21
Enla gurasemuestralagra cadelafunciondondeobservamosquetomavalorespositivosynegativos.
Enefecto,si(x;y)2[0;][0;],cos(x�y)�0()�
2x�y
2()x�
2yx+
2:Portanto,debemosdescomponemoselcuadradoSenlasregionesA,B,CyD,comoseilustraenla guraadjunta,ycalcularlaintegralcomosumadeintegralesencadaunadedichasregiones.
Aspues:22
V=ZZSjcos(x�y)jdxdy=ZZA�cos(x�y)dxdy+ZZBcos(x�y)dxdy+ZZCcos(x�y)dxdy�ZZDcos(x�y)dxdy=�Z=20dxZx+=2cos(x�y)dy+Z=20dxZx+=20cos(x�y)dy+Z=2dxZx�=2cos(x�y)dy�Z=2dxZx�=20cos(x�y)dy=Z=20�sen(x�)�sen(�=2)dx�Z=20�sen(�=2)�senxdx�Z=2�sen(x�)�sen(=2)dx+Z=2�sen(=2)�senxdx=2:23
PROBLEMA5.7Cambiarelordendeintegracionenlasintegralessiguientes:a)Z30dxZp
25�x24x=3f(x;y)dy:b)Z2�6dxZ2�xx2
4�1f(x;y)dy:c)Z21dxZp
2x�x22�xf(x;y)dy:d)Ze1dxZlnx0f(x;y)dy:e)Z2a0dxZp
2axp
2ax�x2f(x;y)dy;a�0:f)Z21dxZx3xf(x;y)dy+Z82dxZ8xf(x;y)dy:
Soluciona)Laregiondeintegracion,indicadaenla gura,eslaqueveri caelsis-tema0x3;4x=3yp
25�x2:
Comoelpunto(3;4)eslainterseccionentrelacircunferenciaylarecta,lanuevaintegralseescribiracomo25
Z30dxZp
25�x24x=3f(x;y)dy=Z40dyZ3y=40f(x;y)dx+Z54dyZp
25�y20f(x;y)dx:b)Setratadelaregioncomprendidaentrelaparabolay=x2=4�1ylarectay=2�x.
Alinvertirelordendeintegracion,laintegralsedescomponeas:I=Z0�1dyZ2p
y+1�2p
y+1f(x;y)dx+Z80dyZ2�y�2p
y+1f(x;y)dx:c)Laregiondeintegracioneselsegmentodecircunferencia(x�1)2+y2=1limitadoporlarectax+y=2.Laintegralsepuedeescribircomo:I=Z10dyZ1+p
1�y22�yf(x;y)dx:d)Parainvertirelordendeintegracion,bastadespejarxenlaecuaciony=lnx.Tenemosas:I=Z10dyZeeyf(x;y)dx:e)Siobservamoslaregiondeintegracion,alcambiarelordendeintegraciondebemosdescomponerlaintegralentressumandos:26
I=Za0dyZa�p
a2�y2y2=2afdx+Za0Z2aa+p
a2�y2fdx+Z2aadyZ2ay2=2afdx:f)Lasumadelasdosintegralesdadasoriginalaregiondadaporla gu-ra.
Alcambiarelordendeintegracion,quedasencillamente:I=Z81dyZyy1=3f(x;y)dx:27
PROBLEMA5.8Calcularlassiguientesintegrales:(a)Z21dxZ3x+12xxydy:(b)Z1�1dxZjxj�2jxjex+ydy:(c)Z10dxZp
1�x20p
1�x2�y2dy:(d)Z1�1dyZ1jyj(x+y)2dx.(e)Z80dyZ3p
yy=4ex2dx.
Solucion(a)Bastaresolverdirectamentelasintegralesiteradasparaobtener:Z21dxZ3x+12xxydy=Z21xy2
2 3x+12xdx=Z21x(3x+1)2
2�x(2x)2
2dx=Z215x3+6x2+x
2dx=5x4
8+x3+x2
4 21=137
8:(b)Calculamosprimerolaintegralrespectoalavariabley:Z1�1dxZjxj�2jxjex+ydy=Z1�1ex+y jxj�2jxjdx=Z1�1(ex+jxj�ex�2jxj)dx:Ahoradescomponemoslaintegralsimpleensumadedosintegralespara28
[�1;1]endossubintervalosparacalcularlaintegralrespectoax:I=Z1�1x3
3+x2y+xy2 1jyjdy=Z1�11
3+y+y2�jyj3
3�y3�jyjy2dy=Z0�11
3+y+y2+y3
3dy+Z101
3+y+y2�7y3
3dy=y
3+y2
2+y3
3+y4
12 0�1+y
3+y2
2+y3
3�7y4
12 10=2
3:(e)Laregiondeintegracioneslaqueseilustraenla guraadjunta.
IntercambiandoelordendeintegracionseobtieneI=Z20dxZ4xx3ex2dy=Z20(4xex2�x3ex2)dx=2ex2 20�x2
2ex2 20+Z20xex2dx=e4
2�5
2:(Aplicarelmetododeintegracionporpartesenlasegundaintegral.)30
PROBLEMA5.9CalcularZZDf(x;y)dxdyenlossiguientescasos:i)f(x;y)=xy2,Delrecintolimitadopory2=2pxyx=p=2(p�0).ii)f(x;y)=x2+y2,Delparalelogramolimitadopory=x,y=x+a,y=a,y=3a.iii)f(x;y)=x+y,Destalimitadopory2=2x,x+y=4,x+y=12.
Solucioni)Escribimoslaintegraldobleenformadeintegralesiteradasyresulta:I=Zp=20dxZp
2px�p
2pxxy2dy=Zp=20xy3
3 p
2px�p
2pxdx=1
3Zp=202x(2px)3=2dx=p5
21:ii)Siobservamoselparalelogramodela gura,observamosqueesmascon-venienterealizarprimerolaintegralrespectoax.
As,I=Z3aadyZyy�a(x2+y2)dx=Z3aax3
3+y2x yy�ady==14a4:iii)Teniendoencuentalaformadelaregiondeintegracion,siintegramosprimerorespectoay,laintegralsedescomponeendossumandos.31
Aspues,I=Z82dxZp
2x4�x(x+y)dy+Z188dxZ12�x�p
2x(x+y)dy=Z82p
2x3=2�3x+x2�(4�x)2
2dx+Z18811x�x2+(12�x)2
2+p
2x3=2dx=8156
15:Otraposibilidadserarestarlaintegralsobrelaregioncomprendidaentrelaparabolaylarectax+y=12ylaintegralsobrelaregioncomprendidaentrelaparabolaylarectax+y=4.
PROBLEMA5.10CalcularZZDf(x;y)dxdyenlossiguientescasos:i)f(x;y)=y,D=f(x;y:02x=ysenxg.ii)f(x;y)=x2+y2,Drecintolimitadopory=x2,x=2,y=1.iii)f(x;y)=x2y,Deselprimercuadrantedelcrculox2+y24.iv)f(x;y)=y,D=f(x;y):y�0;x2+y2a2;y22ax;x0g:
Solucioni)Lospuntosdeintersecciondelascurvasy=senx,y=2x=son(0;0)y(=2;1).32
Laintegralsecalculaentoncesdeformadirecta:I=Z=20dxZsenx2x=ydy=Z=20sen2x�(2x=)2
2dx=
24:ii)La guraadjuntamuestralaregiondada.
Paracalcularlaintegralpodemosseguirdosmetodos:1)Integrandocomoregiondetipo1.I=Z21dxZx21(x2+y2)dy=Z21(x2y+y3=3) x21dx=Z21(x4+x6=3�x2�1=3)dx=1006
105:2)Integrandocomoregiondetipo2.I=Z41dyZ2p
y(x2+y2)dx=Z41(x3=3+xy2) 2p
ydy=Z41(8=3+2y2�y3=2=3�y5=2)dy=1006
105:iii)Apartirdela guraadjuntaobtenemosloslmitesdeintegracion.33
Deestemodo,laintegralseexpresacomo:I=Z20x2dxZp
4�x20ydy=Z20x2y2=2 p
4�x20dx=1
2Z20(4x2�x4)dx=1
24
3x3�1
5x520=32
15:iv)Laintersecciondex2+y2=a2cony2=2axdax=a(p
2�1),yelrecintoSeselindicadoenla gura.
Teniendoencuentala gura,laintegralseescribecomoI=Za(p
2�1)0dxZp
a2�x2p
2axydy=1
2Za(p
2�1)0(a2�x2�2ax)dx=a3
6(4p
2�5):34
PROBLEMA5.11SillamamosA=Z10e�t2dteI=2Z10dxZx0e�y2dy,probarqueI=2A+e�1�1.
SolucionLaregiondeintegracioneseltriangulodela gura.
IntercambiandoelordendeintegracionenI,tenemos:I=2Z10dyZ1ye�y2dx=2Z10(e�y2x) 1ydy=2Z10(e�y2�ye�y2)dy=2Z10e�y2dy+Z10�2ye�y2dy=2A+e�y2 10=2A+e�1�e0:
PROBLEMA5.12Probarque2ZbadxZbxf(x)f(y)dy=Zbaf(x)dx2:
35
SolucionPorunaparte,I=Zbaf(x)dx2=Zbaf(x)dxZbaf(x)dx=ZbaZbaf(x)f(y)dxdy:
Descomponiendoelcuadradoendostrianguloscomoindicala gura,resul-ta:I=ZZS1f(x)f(y)dxdy+ZZS2f(x)f(y)dxdy=ZbadxZbxf(x)f(y)dy+ZbadyZbyf(x)f(y)dx=2ZbadxZbxf(x)f(y)dy;puesenelsegundosumandosepuedenintercambiarlasletrasxey.
PROBLEMA5.13Hallarelarealimitadaporellazodey2=x2(2�x).
Solucion36
Observandola guraseobtienedirectamente:A=2Z20dxZxp
2�x0dy=2Z20xp
2�xdx=(sustitucion2�x=z2)=�4Z0p
2(2z2�z4)dz=32p
2
15:
PROBLEMA5.14Hallarelvolumendelaregionlimitadaporlosplanosz=x+y,z=6,x=0,y=0,z=0.
SolucionLaregiondadaeseltetraedrodela gura.
37
Siobservamosque,cuandoxvaraentre0y6,yvaraentre0yz�x,conz=6,elvolumenbuscadoes:V=Z60dxZ6�x0[6�(x+y)]dy=Z60(6�x)y�y2
2 6�x0dx=Z60(6�x)2
2dx=36:
PROBLEMA5.15Hallarelvolumendelsolidolimitadoporelparaboloidex2+4y2=z,elplanoz=0yloscilindrosy2=x,x2=y.
SolucionLaproyecciondela gurasobreelplanoz=0eslaregionlimitadaporlasparabolasy2=x,x2=y.Aspues,cuandoxvaraentre0y1,yvaraentrex2yp
x.
ElvolumenquedaahoraV=Z10dxZp
xx2(x2+4y2)dy=Z10(x5=2+4
3x3=2�x4�4
3x6)dx=3
7:38
PROBLEMA5.16Hallarelvolumendelaporciondelcilindro4x2+y2=a2compren-didaentrelosplanosz=0yz=my.
SolucionEnprimerlugar,observamosqueelsolidoessimetricorespectoalarectay=z=0.Porotraparte,labasedelsolidoeslaelipse4x2+y2=a2,demodoque,cuandoxvaraentre�a=2ya=2,yvaraentre0yp
a2�4x2.
Teniendoencuentaloanterior,elvolumenqueda:V=2Za=2�a=2dxZp
a2�4x20mydy=mZa=2�a=2(a2�4x2)dx=2ma3
3:39
3.CAMBIODEVARIABLESENLAINTEGRALDOBLE.
EnesteapartadovamosageneralizarlaformulaZg(b)g(a)f(x)dx=Zbaf(g(t))g0(t)dtalcasodefuncionesdenvariables.Comolaregiondeintegracionyanoseraunsimpleintervalo,necesitamosestudiarcomosetransformanregionesenRnmediantecambiosdevariable.Enprimerlugar,observaremosquelasimagenesdeconjuntosconcontenidobajofuncionesdeclaseC(1)tienentama~nocomparablealosdelosconjuntosoriginales.Lema1.Sea
unabiertoenRny':
!RnunafunciondeclaseC(1)en
.SeaAunconjuntoacotado,con
A
.Entoncesexistenunabiertoacotado
1,con
A
1

1
,yunaconstanteM�0talesque,siA[pj=1Ij,dondeIjsonn-cuboscerradosde
1conpXj=1c(Ij) ,entonces'(A)[mk=1Jk,dondeJksonn-cuboscerradosymXk=1c(Jk)M :Demostracion.De nimosenprimerlugar=(1si
=Rn1
2nffka�xk:a2
A;x62
gsi
6=Rn:Como
Aescompacto,�0.Seaahora
1=fy2Rn:ky�ak;paraalguna2Ag.As,
1esabiertoyacotado.Ademas
A
1y

1
.Como'2C(1)(
)y

1escompacto,existeM0=supfkD'(x)k:x2
1g1.SiASpj=1Ij,entoncesk'(x)�'(y)kM0kx�yk;8x;y2Ij.SilasaristasdeIjmiden2rjyxeselcentrodeIj,8y2Ij,kx�ykp
nrj,dedondek'(x)�'(y)kp
nM0rj,esdecir'(Ij)estacontenidoenunn-cubodelado2M0rj.Porlotanto,'(A)SJk,conPc(Jk)M .
Comoconsecuenciainmediatatenemoselsiguienteresultado.40
Corolario.Sea
unabiertoenRny':
!RnunafuncioninyectivaydeclaseC(1)en
.SiAtienecontenido,
A
yJ'(x)6=0,8x2T(A),entoncesfr('(A))='(fr(A)).Demostracion.Bastaprobarque'(fr(A))fr('(A)).Paraello,seax2fr(A).Existendossucesiones(xn)A,(yn)
nAqueconvergenax.Como'escontinua,lassucesiones('(xn))y('(yn))convergena'(x).Como'esinyectiva,'(yn)62'(A),demodoque'(x)2fr('(A)).
Transformacioneslineales.Veremosacontinuacionqueconjuntosconcontenidosetransformanme-dianteaplicacioneslinealesenconjuntosconcontenido,ydichocontenidoesunmultiplodeloriginal.Ademasestemultiploeselvalorabsolutodeldeterminantedelaaplicacion.Teorema.SeaL:Rn!Rnunatransformacionlineal.SiARnesunconjuntoconcontenido,entoncesc(L(A))=jdetLjc(A).Demostracion.SiLessingular,detL=0ylaimagenR(L)6=Rn.EstoindicaqueR(L)eslaimagendealgunaaplicacionL0:Rk!Rn,conkn.Portanto,c(L(A))=0.SiLnoessingular,detL6=0.ComoAtienecontenido,L(A)tienecontenido.Paracadaconjuntoconcontenido,de nimoslaaplicacion(A)=c(L(A)).Dichaaplicaciontienelassiguientespropiedadeselementales:i)(A)0;8A.ii)(A[B)=(A)+(B)siA\B=;.iii)(x+A)=(A),8x2Rn.iv)SiAB,entonces(A)(B).SillamamosK0=[0;1)naln-cubounidadymL=(K0),laspropiedadesanteriorespermitenprobarque(A)=mLc(A),paratodoconjuntoaco-tadoARn.Porotraparte,siMesotraaplicacionlinealnosingular,entoncesmLMc(A)=c((LM)(A))=c(L(M(A)))=mLc(M(A))=mLmMc(A):Teniendoencuentaquetodaaplicacionlinealnosingularescomposicion(masomenositerada)dedostiposespeciales:a)L1(x1;:::xi;:::;xn)=(x1;:::; xi;:::;xn),42
Teorema.Sea
Rnabierto,':
!Rn,'2C(1)(
),'inyectiva,J'(x)6=0,8x2
.SiAtienecontenidoy
A
,dado"2(0;1),existe �0talque,siKesunn-cubocerradodecentrox2Ayladosdelongitudmenorque2 ,entoncesjJ'(x)j(1�")nc('(K))
c(K)jJ'(x)j(1+")n:Demostracion.Enprimerlugar,construimosy
1comoenellema1.ComodetD'(x)=J'(x)6=0,8x2
,entoncesexisteLx=(D'(x))�1yademasdetLx=1=J'(x),x2
.ComoloselementosdelamatrizLxsonfuncionescontinuas,porlacom-pacidadde

1,existeM�0talquekLxkM,8x2
1.Sea"2(0;1).PorlacontinuidaduniformedeD'en
1,existe 2(0;=2)talque,kx1�x2k =)kD'(x1)�D'(x2)k"
Mp
n:Dadox2A,sikzk ,esclaroquex2
1;x+z2
1.Ademas,k'(x+z)�'(x)�D'(x)(z)kkzksup0t1kD'(x+tz)�D'(x)k"
Mp
nkzk:Side nimos (z)=Lx('(x+z)�'(x)),deestadesigualdadsededuce:k (z)�zk=kLx('(x+z)�'(x)�LxD'(x)(z)kkLxk"
Mp
nkzk"kzk
p
n;sikzk .Aplicamosellemaanteriorcon ="
p
n.Entonces,siK1esuncubocerradoconcentroOycontenidoenlabolaabiertaderadio ,entonces(1�")nc( (K1))
c(K1)(1+")n:Porlade nicionde ,siK=x+K1,Kesuncubocerradodecentroxyc(K)=c(K1).Ademasc( (K1))=jdetLxjc('(x+K1)�'(x))=1
jJ'(x)jc('(K)):SilosladosdeKtienenaristamenorque2 ( = =p
n),elteoremasecumple.
44
SixieselcentrodeKi(i=1;:::;m),porelteoremadeljacobiano,jJ'(xi)j(1�")nc('(Ki))
c(Ki)jJ'(xi)j(1+")n:Como0"1,1�2n"(1�"n)y(1+"n)1+2n".Portanto,jc('(Ki))�jJ'(xi)c(Ki)jc(Ki)MJ2n":PorlacontinuidaddelasfuncionessobreelcompactoB,podemossuponerque,dadocualquieryi2Ki, ZB(f')jJ'j�mXi=1(f')(yi)jJ'(xi)jc(Ki) "c(B):Como'esinyectiva,dosconjuntosdelafamiliaf'(Ki):i=1;:::;mgseintersectanen'(Ki\Kj)quetienecontenidoceropuesc(Ki\Kj)=0.Como'(Ki)tienecontenido,fesintegrableen'(Ki).EntoncesZ'(B)f=mXi=1Z'(Ki)f:Comofesacotadaycontinuaen'(Ki),existepi2'(Ki)talqueZ'(Ki)f=f(pi)c('(Ki));i=1;:::;m:Porser'inyectiva,existeununicoyi2Kitalque'(yi)=pi.EntoncesZ'(B)f=mXi=1(f')(yi)c('(Ki)):Alser(f')(yi)0,resultamXi=1(f')(yi)c('(Ki))�mXi=1(f')(yi)jJ'(xi)jc(Ki)MJ2n"mXi=1(f')(yi)c(Ki)MJMf2n"mXi=1c(Ki)MJMf2nc(A)":Combinandolasultimasdesigualdades,obtenemos: Z'(B)f�ZB(f')jJ'j "c(A)(1+MJMf2n):46
Cadaunadelascomponentesx=�u2+4u,y=v,esfunciondeunasolavariable.ParaverqueTesinyectiva,bastacomprobarquelosoncadaunadelascomponentes.Ahorabien,lafunciony=veslaidentidad,queesevidentementeinyectiva.Ademas,si0v1,entonces0y1.Porotraparte,lafuncionx=�u2+4u=�u(u�4)correspondeaunaparaboladeverticeelpunto(2;4)yquecortaalejeuenlospuntos(0;0)y(4;0).Comoeldominioestarestringidoalintervalou2[0;1],lafuncionesinyectivaylaimagendelintervalo[0;1]eselintervalox2[0;3].Enla gurasiguienteseilustraelcomportamientodelafuncionT.T��������!
PROBLEMA5.18SeaDelparalelogramolimitadoporlasrectasy=3x�4,y=3x,y=x=2,y=x=2+2.SeaD=[0;1][0;1]:EncontrarT:R2!R2talqueT(D)=D:
SolucionEnla gurasemuestranlosparalelogramosDyD(dondeA=(4=5;12=5);B=(12=5;16=5);C=(8=5;4=5)):
T��������!
48
Comolaaplicacionbuscadatransformaunparalelogramoenotro,debeserunatransformacionlineal,deltipou=ax+by+mv=cx+dy+n:Debidoaqueambosparalelogramospasanporelorigen,podemoshacerT(0;0)=(0;0),demodoquem=n=0.Teniendoencuentaquelosverticesdeunparalelogramoseaplicanenlosverticesdelotro,podemosestablecerlasrelaciones:T(8=5;4=5)=(1;0)=)8a=5+4b=5=18c=5+4d=5=0T(12=5;16=5)=(1;1)=)12a=5+16b=5=112c=5+16d=5=1Resolviendoelsistemaresultante,seobtienenlosvaloresa=3=4,b=�1=4,c=�1=4yd=1=2.Latransformacionbuscadatieneporecuacionesu=3x�y
4;v=�x+2y
4:
PROBLEMA5.19UnaregionRdelplanoXYestalimitadaporlasrectasx+y=6,x�y=2ey=0.a)DeterminarlaregionRdelplanoUVenqueseaplicaRporlatransformacionx=u+v,y=u�v.b)Calculareljacobianodelatransformaci[email protected](x;y)
@(u;v).c)Compararelresultadodeb)conlarelacionentrelasareasdeRyR.
SolucionLagra casiguientemuestralasregionesRyR:49
PROBLEMA5.20UnaregionRdelplanoXYestalimitadaporlascurvasx2+y2=a2;x2+y2=b2;x=0;y=0;con0ab,enelprimercuadrante.a)DeterminarlaregionR0enlacualsetransformaRporlatrans-formacionx=ucosv,y=rsenv.b)Estudiarloqueocurresia=0.c)[email protected](x;y)
@(u;v).
Solucion
T��������!x=ucosvy=usenv
a)LaregionReslaindicadaenla gura.Porlatransformaciondada,lascircunferenciasx2+y2=a2,x2+y2=b2seconviertenenlasrectasu=a,u=b,respectivamente.Asimismo,elsegmentox=0comprendidoentreaybseconvierteenv==2,conaubyelsegmentoy=0,axbsetransformaenv=0,aub.Ende nitiva,laregionR0buscadaeselrectangulomostradoenla gura.Sepodahaberrazonadotambiendiciendoque,porseruladistanciadesdeelorigendelplanoXYyvelangulomedidoapartirdelejepositivodeabscisas,esclaroquelaregionquesebuscaestaradadaporaub,0v=2,comoseindicaenla gura.b)Sia=0,laregionRseconvierteenuncuadrantedeunregioncircularderadiobyR0siguesiendounrectangulo.Larazonparaestoesqueelpuntox=0,y=0seaplicaenu=0,v=indeterminadaylatransformacionnoesbiunvocaenestepunto,llamadoporestarazonpuntosingular.51
c)Sustituyendolasderivadasparcialesenlamatrizobtenemos:@(x;y)
@(u;v)= cosv�usenvsenvucosv =u(cos2v+sen2v)=u:
PROBLEMA5.21SeaT(u;v)=�u;v(1+u)yD=[0;1][1;2].EncontrarD=T(D)ycalcularZZDxydxdy.
SolucionBusquemoslasimagenesdelossegmentosqueformanlafronteradeD:v=10u1=)x=uy=1+u0x19=;=)y=1+x0x1u=11v2=)x=1y=2v1v29=;=)x=12y4v=20u1=)x=uy=2(1+u)0x19=;=)y=2+2x0x1u=01v2=)x=0y=v1v29=;=)x=01y2Conestainformacion,latransformacionTcorrespondeala gurasigu-iente:52
OtrometodoconsisteenhacerelcambiodevariablesT(u;v)=(p
u;v)quetransformaeltrianguloDenlaregionD,indicadaenla gura.
T��������!x=p
uy=v
ComoeljacobianodelatransformacionesJx;y
u;v= 1=2p
u001 =1
2p
u,porlaformuladelcambiodevariable,tenemos:I=Z10duZu0p
uv1
2p
udu=Z10v2
4 u0du=Z10u2
4du=1
12:
PROBLEMA5.23CambiaracoordenadaspolareslaintegralZZDf(x;y)dxdyenlossiguientescasos:i)Deselcrculo:x2+y2ax,a�0.ii)Deselrecintodelprimercuadrantelimitadoporlascurvas:x+y=1yx2+y2=1.iii)Deselcuadrado[0;1][0;1].iv)Deselrecintodelprimercuadrantelimitadoporlacurva(x2+y2)2=a2(x2�y2):v)D=f(x;y):0x1;x2yxg.
Solucion54
i)Siescribimoslaecuaciondelacircunferenciaencoordenadaspolares(ha-ciendoelcambiox=ucosv,y=usenv),obtenemosu2=aucosv,esdeciru=0ou=acosv.
Delagra caadjuntadeducimosque,encoordenadaspolares,laregionveri- calascondiciones�=2v=2,0uacosv.Aspues,laintegralseescribe(teniendoencuentaeljacobianodelatransformacion)como:I=Z=2�=2dvZacosv0uf(ucosv;usenv)du:ii)Lacircunferenciax2+y2=1seescribeencoordenadaspolarescomou=1,mientrasquelarectax+y=1tieneporecuacionu=1
cosv+senv.Enelprimercuadrante,elangulovestacomprendidoentre0y=2.
Conestosdatos,laintegralseescribecomo:I=Z=20dvZ11
cosv+senvuf(ucosv;usenv)du:iii)Enestecasodebemosdividirlaregionendostriangulos:elprimerodeelloslimitadoporlasrectasx=y,x=1ey=0,loqueencoordenadaspolarescorrespondea0v=4,0u1=cosv;elsegundotriangulo55
estalimitadoporlasrectasx=y,y=1yx=0,ysuexpresionencoordenadaspolaresestadadapor=4v=2,0u1=senv.
Laintegraldobleseescribeentoncescomo:I=Z=40dvZ1
cosv0uf(ucosv;usenv)du+Z=2=4dvZ1
senv0uf(ucosv;usenv)du:iv)Lacurvadadaeslalemniscatadela guraque,encoordenadaspolares,seexpresaporlaecuacionu2=a2cos2v.
Enelprimercuadrante,laregionestacomprendidaentrelosvalores0v=4,asquelaintegralseexpresacomo:I=Z=40dvZap
cos2v0uf(ucosv;usenv)du:v)Laecuaciondelaparabolay=x2seexpresaencoordenadaspolaresporusenv=u2cos2v,obienu=senv=cos2v.
56
Laregiondeintegracionestacomprendidaentrelosvaloresv=0yv==4(correspondientealarectay=x).Aspues,laintegralseexpresaas:I=Z=40dvZsenv=cos2v0uf(ucosv;usenv)du:
PROBLEMA5.24SeaDelcrculounidad.ExpresarZZD(1+x2+y2)3=2dxdycomounaintegralsobreelrectangulo[0;1][0;2]ycalcularla.
SolucionSiaplicamoselcambioacoordenadaspolares,dadoporlasecuacionesx=ucosv,y=usenv(ver gura),yteniendoencuentaqueeljacobianodelatransformacionesJx;y
u;v=u,laintegralsepuedecalculardelmodosiguiente:ZZD(1+x2+y2)3=2dxdy=ZZDu(1+u2)3=2dudv=Z20dvZ10u(1+u2)3=2du=(1+u2)5=2
5=2 10=8p
2
5:
T��������!x=ucosvy=usenv
57
PROBLEMA5.25Dibujarlaregiondeintegracionyresolverlasiguienteintegral:Z11=p
2dxZxp
1�x2xydy+Zp
21dxZx0xydy+Zp
4�x20xydy:
SolucionLaregiondeintegracioneslauniondelasregionescorrespondientesacadasumando.Deestemodolagra cacorrespondeaunsectordecoronacir-cularcomprendidoentrelascircunferenciasx2+y2=1,x2+y2=4,yelangulocomprendidoentre0y=4.Estosugierecalcularlaintegralpasandoacoordenadaspolares,demodoquesuvalores:I=Z=40d#Z212sen#cos#d=Z=40sen#d(sen#)Z213d=15
16:
PROBLEMA5.26Calcularelvolumendelsolidolimitadoporelparaboloidez=x2+y2yelplanoz=x.
Solucion58
T��������!x=p
v=uy=p
uv
EljacobianodeestatransformacionesJx;y
u;v= �1
2u�3=2v1=21
2u�1=2v�1=21
2u�1=2v1=21
2u1=2v�1=2 =�1
2u:Porlaformuladelcambiodevariable,laintegraldadasepuedeescribircomo:ZZSf(xy)dxdy=Z41duZ211
2uf(v)dv=1
2lnu 41Z21f(v)dv=ln2Z21f(v)dv:
PROBLEMA5.28CalcularZZRp
x2+y2dxdysiendoRlaregiondelplanoXYlim-itadaporx2+y2=4yx2+y2=9.
SolucionLapresenciadex2+y2sugiereelempleodecoordenadaspolares(r;#),conx=rcos#,y=rsen#.MedianteestatransformacionlacoronacircularRsetransformaenelrectanguloR0comoseindicaenla gura.60
T��������!x=ucosvy=usenv
[email protected](x;y)
@(r;#)=r,setiene:A=ZZRp
x2+y2dxdy=ZZR0rrdrd#=Z20d#Z32r2dr=Z20r3=3 32d#=38
3:TambiensepodanhaberobtenidoloslmitesdeintegracionparaR0obser-vandolaregionRpues,para# jo,rvaradesder=2hastar=3dentrodelsectordestacadoenla gura.Integrandoentoncesconrespectoa#desde#=0hasta#=2seobtienelasumadetodoslossectorescitados.
PROBLEMA5.29DadosA=(x;y)2R2:x0;y0;x�y1;x2+y24 yf(x;y)=�x2+y2�1=2,calcularI=ZZAf(x;y)dxdy:
Solucion61
Siescribimoslaintegralencoordenadascartesianas,debemosdescomponerlaregionendospartes.Portanto(vistacomoregiondetipoII),I=Z�1�2dyZp
4�y20�x2+y2�1=2dx+Z0�1dyZp
4�y21+y�x2+y2�1=2dx:Siescribimoslaintegralencoordenadaspolares,losextremosdeintegracionparalavariablersonrcos#�rsen#=1(puescorrespondealarectax�y=1)yr=2(puescorrespondealacircunferenciax2+y2=4).Porotraparte,losextremosdeintegraciondelavariable#son�=2y0(pueslaregionestacontenidaenelcuartocuadrante)obien3=2y2.Aspues,elplanteamientocorrectodelaintegralesI=Z0�=2dZ2(cos�sen)�1dr=Z23=2dZ2(cos�sen)�1dr(eljacobianosesimpli caconelvalordelafuncion).62
PROBLEMA5.30SeaI=RRRV(x2+y2+z2)dxdydz,dondeV=f(x;y;z)2R3jx0;y0;�p
4�x2�y2z1
2p
4�x2�y2g:Decirrazonadamentesicadaunadelassiguientesigualdadesescierta:(a)I=Z20dxZ20dyZ1
2p
4�x2�y2�p
4�x2�y2(x2+y2+z2)dz(b)I=Z10drZ
20dZ
204r4(4sen3'+cos2'sen')d'+Z20drZ
20dZ
2r4sen'd'.
SolucionElsolidoeslaregionlimitadasuperiormenteporelelipsoidex2+y2+4z2=4einferiormenteporlaesferax2+y2+z2=4,ycontenidaenelprimeroctante.Ambassuper ciessecortanalolargodelacircunferenciax2+y2=4contenidaenelplanoXY.
63
Larespuestadelapartado(a)noescorrectapues,siloslmitesdeintegraciondelasvariablesxeysonconstantes,laregionseraunrectanguloynolacircunferenciax2+y2=4.Paracomprobarsilarespuestadelapartado(b)escorrecta,debemosde-scomponerlaintegralendossumandos:elprimerocorrespondienteaz0yelsegundoaz0.Paralacarasuperior,hacemoselcambiodevariablesx=2rcos#sen',y=2rsen#sen',z=rcos',donde0r1,0#=2,0'=2,ycuyojacobianoesJ=4r2sen'.Alsustituirestosvaloresenlaintegralpropuesta,seobtieneZ10drZ=20dZ=204r4(4sen3'+cos2'sen')d'elprimersumandodelarespuesta.Paralacarainferior,hacemoselcambiodevariablesaesfericasx=rcos#sen',y=rsen#sen',z=rcos',donde0r2,0#=2,=2',ycuyojacobianoesJ=r2sen'.AlsustituirestosnuevosvaloresenlaintegralpropuestaseobtieneZ20drZ=20dZ=2r4sen'd'elsegundosumandodelarespuesta.
PROBLEMA5.31Calcularelvolumendels'olidoWde nidopor:W=f(x;y;z)2R3:x2+y2+z2a2;x2+y2ax;z0g;dondea�0.
SolucionElsolidoeslaregionlimitadaporelplanoz=0ylasemiesferaz=p
a2�x2�y2ylaregiondeintegracionReselcrculox2+y2ax,quetienecentroenelpunto(a;0)yradioa.64
PROBLEMA5.34Calcularlassiguientesintegrales:i)ZZ2x2+y242senp
x2+y2dxdy:ii)ZZDjxyjdxdy,dondeDesuncrculoderadioayconcentroenelorigendecoordenadas.
Solucioni)Siescribimoslaintegralencoordenadaspolares,quedadelaforma:I=Z20dvZ2usenudu=�62:[MedianteintegracionporpartesseobtienequeZusenudu=senu�ucosu.]ii)Escribimostambienlaintegralencoordenadaspolares,yresulta:I=Z20dvZa0uju2senvcosvjdu=1
2Z20jsen2vjdvZa0u3du=a4
2:
PROBLEMA5.35CalcularZZRcosx�y
x+ydxdy,dondeReseltriangulodevertices(0;0),(1;0)y(0;1).
SolucionHacemoselcambiodevariableu=x�y;v=x+y.EstoconvierteeltriangulodadoenelplanoXYeneltriangulodevertices(�1;1),(0;0),(1;1)enelplanoUV.66
SiescribimoslascurvasfronteradeRencoordenadaspolares,obtenemosloslmitesdelaregion:�=6#=4;2cos#r4cos#:ComoJx;y
r;#=r,lasintegralesquedan:Area=ZZRdxdy=Z=4�=6Z4cos#2cos#rdrd#=Z=4�=612cos2#
2d#=6+3p
3+5
4:Masa=ZZR(x;y)dxdy=Z=4�=6Z4cos#2cos#rrsen#
r2drd#=Z=4�=62sen#cos#d#=1
4:
PROBLEMA5.37
Solucion
PROBLEMA5.38
Solucion
PROBLEMA5.39Transformarlasiguienteintegraldobleacoordenadaspolaresyresolverla:Z20dxZxp
3xxdy:
68
T��������!
Aplicandolatransformacionu=x2�y2,v=2xy,laregionRdelplanoXYdeladerechadela gurasetransformaenlaregionR0delplanoUVrepresentadaenlaizquierdadela gura.Vamosacomprobarquedichatransformacionesregular.Debidoaque(x2+y2)2=(x2�y2)2+(2xy)2,esdecirx2+y2=p
u2+v2,ycomox2�y2=u,resultaquex2=u+p
u2+v2
2.Alserx�0,tenemosquex=q
u+p
u2+v2
2.Analogamente,tenemostambienquey=q
p
u2+v2�u
2,loquepruebaquelatransformacionesinyectiva.Trivialmente,latransformacionesdeclaseC1yademasJT(u;v)= uxuyvxvy = 2x�2y2y2x =4(x2+y2)6=0si(x;y)6=(0;0).HechaestacomprobacionlaintegralvaleentoncesZZR(x2+y2)dxdy=ZZR0(x(u;v)2+y(u;v)2) @(x;y)
@(u;v) dudv=ZZR0p
u2+v2dudv
4p
u2+v2=1
4Z91duZ84dv=8:Nota.Lascoordenadascurvilneas(u;v)de nidasdelaformaanteriorsonlasllamadascoordenadashiperbolicas.
PROBLEMA5.41CalcularI=ZZD1�x2
a2�y2
b2dxdyextendidaaldominioDin-terioralaelipsex2
a2+y2
b2=1.
70
SolucionHaremoselcambiodevariablex=a=cos#y=b=sen#,[email protected](x;y)
@(;#)= acos#�asen#bsen#bcos# =ab:Enlasnuevascoordenadas,laelipseseescribecomo=1.Aspues,I=ZZD(1�2)abdd#=abZ10(�3)dZ20d#=ab
2:
PROBLEMA5.42HallarN=Z10e�x2dx:
SolucionComoZ10e�x2dx=Z10e�y2dy,entoncesN2=Z10e�x2dxZ10e�y2dy=Z10Z10e�(x2+y2)dxdy:Pasandoacoordenadaspolares,x2+y2=2,dxdy=dd#,elprimercuadrante(x;y)2(0;1)(0;1)setransformaenlaregion(;#)2(0;1)(0;=2).Laintegralquedaentonces:N2=Z=20d#Z10e�2d=Z=20lma!1�1
2e�2 a0d#=1
2Z=20d#=
4:Ende nitiva,N=p
=2.71
Encoordenadaspolares,lacurvadadatieneporecuacionu=acosv(cos2v�3sen2v);demodoqueelareabuscadasecalculaporlaintegraldobleA=6Z=60dvZacosv(cos2v�3sen2v)0udu=3a2Z=60cos2v(cos2v�3sen2v)2dv=a2
4:c)Realizaremoslatransformaciondecoordenadassiguiente:u=p
y=b
p
x=a;v=p
x=a+p
y=b(dichatransformacionesbiyectivaporquelaregionestacontenidaenelprimercuadrante).Conestatransformacionlosnuevoslmitesdelaregionson1u2,1v2.Comolainversadelatransformacionesx=av2
(u+1)2;y=bu2v2
(u+1)2,entoncesJx;y
u;v=�4abuv3
(u+1)4;yelareasecalculamediantelaintegraldobleA=Z21duZ214abuv3
(u+1)4dv=65ab
108:
PROBLEMA5.44HallarelareadelaregiondelplanoXYencerradaporlalemnis-catar2=a2cos2#.
SolucionLacurvaestadadadirectamenteencoordenadaspolares(r;#).Dandodifer-entesvaloresa#yhallandoloscorrespondientesvaloresderseobtienelagra cadela gura.73
Ahorabien,delasecuacionesu=y3=x2,v=xy2,resulta:x2=y3=u;x2=v2=y4=)y3=u=v2=y4;x2=v2=y4=)y=u1=7v2=7;x=v=y2=u�2=7v3=7:Porlotanto,@(x;y)
@(u;v)= �2
7u�9=7v3=73
7u�2=7v�4=71
7u�6=7v2=72
7u1=7v�5=7 =�1
7u�8=7v�2=7:ElareapedidasecalculaentoncescomoA=Zabu�8=7duZcd1
7v�2=7dv=1
7 u�1=7
�1=7 ab! v5=7
5=7 cd!=�7
5(a�1=7�b�1=7)(c5=7�d5=7):
PROBLEMA5.46Hallarelareadelaregionexterioralacircunferencia=2aeinterioralacircunferencia=4acos#.
SolucionLospuntosdeintersecciondeambascircunferenciassonaquellosenquecos#=1=2,esdecir#==3.
Teniendoencuentalasimetradelaregion,elareavienedadaporA=2Z=30d#Z4acos#2ad=Z=30[(4acos#)2�(2a)2]d#=2+3p
3
3a2:75
PROBLEMA5.47Hallarelareaexterioralacircunferencia=2einterioralacardioide=2(1+cos#).
Solucion
Dadalasimetra,elareapedidaesigualaldobledelareabarridaalvariar#desde#=0hasta#==2.Aspues,A=2Z=20d#Z2(1+cos#)2d=2Z=202
2 2(1+cos#)2d#=4Z=20(2cos#+cos2#)d#=4(2sen#+#=2+sen(2#)=4) =20=+8:
PROBLEMA5.48Hallarelareainterioralacircunferencia=4sen#yexterioralalemniscata2=8cos2#.
Solucion76
Elareapedidaesigualaldobledelacorrespondienteenelprimercuadrantelimitadaporlasdoscurvasylarecta#==2.
Lospuntosdeintersecciondeambascurvasseencuentranenlarecta#==6,queseobtienealresolverlaecuacion16sen2#=8cos2#:ObservamosqueelarcoAOdelalemniscatasegeneraalvariar#desde#==6hasta#==4,mientrasqueelarcoABdelacircunferencialohacealvariar#desde#==6hasta#==2.Sidescomponemosla guraendospartes,unapordebajoyotraporencimadelarecta#==4,elareaquedadelaforma:A=2Z=4=6d#Z4sen#2p
2cos2#d+2Z=2=4d#Z4sen#0d=Z=4=6(16sen2#�8cos2#)d#+Z=2=416sen2#d#=8
3+4p
3�4:OtrometododeresolucionconsisteenefectuarladiferenciaA=2Z=2=6d#Z4sen#0d�Z=4=6d#Zp
8cos2#0d:
PROBLEMA5.49Hallarelvolumendelaregioncomunaloscilindrosx2+y2=a2,x2+z2=a2.
Solucion77
Enla guraadjuntasemuestranlosdoscilindrosylapartedelaregioncorrespondientealprimeroctante.
DemodoqueelvolumenseraV=8Za0dxZp
a2�x20p
a2�x2dy=8Za0(a2�x2)dx=16a3
3:
PROBLEMA5.50Hallarelvolumendelsolidolimitadoporelcilindrox2+y2=4ylosplanosy+z=4,z=0.
SolucionLaproyecciondelcilindrosobreelplanoz=0eslacircunferenciax2+y2=4,demodoqueelvolumenvienedadoporlaformulaV=Z2�2dyZp
4�y2�p
4�y2(4�y)dx:78
Nuevamenteescribimoslaintegralencoordenadaspolares.Resulta:V=Z20dvZ20u(4�usenv)du=Z20(2u2�u3
3senv) 20dv=Z20(8�8
3senv)dv=16:
PROBLEMA5.51Calcularelvolumendelaseccionsituadaenelprimeroctantedelsolidolimitadoporlosplanosz=0yz=x+y+2yelcilindrox2+y2=16.
SolucionLabasedelsolidoeslaregionRdelplanocomprendidaenelprimercuad-ranteylimitadoporlacircunferenciadeecuacionx2+y2=16.Elplanoz=x+y+2limitadichosolidoensupartesuperior.79
Aspues,elvolumenvendradadopor:V=ZZRz(x;y)dxdy=Z40dxZp
16�x20(x+y+2)dy=Z40(xp
16�x2+8�x2
2+2p
16�x2)dx:Paraevitarresolverlaintegraldelafuncionirracionalp
16�x2,podemosescribirlaintegraldobleencoordenadaspolares.As,V=Z20dvZ40u(ucosv+usenv+2)du=Z20u3
3(cosv+senv)+u2 40dv=64
3(senv�cosv)+16v 20=128
3+8:
PROBLEMA5.52Calcularelvolumendelsolidolimitadosuperiormenteporlaesferax2+y2+z2=5einferiormenteporelparaboloidex2+y2=4z.
Solucion80
Calculamosenprimerlugarlospuntosdeintersecciondelaesferaconelparaboloide.Tenemos:x2+y2+z2=5x2+y2=4z=)z2+4z�5=0x2+y2=4z=)z=1x2+y2=4Tenemospueslasituaciondela guraadjunta.
ElvolumenpedidosehallamediantelaformulaV=ZZDp
5�x2�y2�x2+y2
4dxdy;dondeDeselcrculox2+y24,queseobtienecomoproyecciondelsolidoenelplanoXY.Pararesolverlaintegral,latransformamosacoordenadaspolares;enestecaso,D=f(;#):02;0#2g.Entonces:V=Z20d#Z20p
5�2�2
4d=2Z20p
5�2�3
4d=2(5p
5�4)
3:
PROBLEMA5.53Hallarelvolumenlimitadoporelparaboloidex2+y2=4z,elcilin-drox2+y2=8yyelplanoz=0.
SolucionElvolumenpedidoseobtieneintegrandolafuncionz=(x2+y2)=4enelinteriordelcrculox2+y2=8y.81
Encoordenadascilndricas,x=cos#,y=sen#,z=z,yelvolumenseobtienealintegrarz=2=4enelcrculo=8sen#.Portanto,V=ZZRzdA=Z0d#Z8sen#0z(;#)d=1
4Z0d#Z8sen#03d=96:
PROBLEMA5.54Hallarelvolumenqueseeliminacuandoaunaesferaderadio2aselepracticaunori ciocircularderadioadeformaqueelejedelori cioseaundiametrodelaesfera.
SolucionEnlaprimera gurasemuestra,desplazadaverticalmente,laregionqueseextraedelaesferayenlasegunda guralapropiaregionsinlaesfera.82
Dela gurasededucequeelvolumenpedidoesochoveceselcorrespondientealdelprimeroctantelimitado(encoordenadascilndricas)porelcilindro2=a2,laesfera2+z2=4a2yelplanoz=0.Estoseobtieneintegrandoz=p
4a2�2enuncuadrantedelcrculo=a,esdecir:V=8Z=20d#Za0p
4a2�2d=4
3(8�3p
3)a3:
PROBLEMA5.55Calcularlosvolumenesdeloscuerposlimitadosporlassiguientessuper cies:i)az=a2�x2�y2,z=a�x�y,x=0,y=0,z=0(a�0).ii)z=x2+y2,x2+y2=x,x2+y2=2x,z=0.
Solucioni)Elsolidoconsisteenlaregiondelprimeroctantelimitadaporelparaboloideaz=a2�x2�y2yelplanoz=a�x�y.Enla guradeladerechasemuestraunavistalateraldelsolidolimitadoexclusivamentealprimeroctante.
83
Observemosquelaregiondeintegracion,elcuadrantedelcrculoconcentroelorigenyradioa,debedividirseendosregionesR1yR2,puesenR1elsolidoestalimitadoporelparaboloideyelplanoz=a�x�y,yenR2elsolidoestalimitadoporelparaboloideyelplanoz=0.
Deestemodo,elvolumenseexpresaporlaintegral:V=ZZR1ha2�x2�y2
a�(a�x�y)idxdy+ZZR2a2�x2�y2
adxdy=ZZR1[R2a2�x2�y2
adxdy�ZZR1(a�x�y)dxdy:Pararesolverlaprimeraintegralhacemoselcambioacoordenadaspolaresmientrasquelasegundaintegrallaresolvemosdirectamente(comoregiondetipoI):V=Z=20dvZa0ua2�u2
adu�Za0dxZa�x0(a�x�y)dy=a3
8�a3
6:ii)Elsolidoesla guracomprendidaentreelplanoz=0yelparaboloidez=x2+y2ycuyabaseesregionRexterioralacircunferenciax2+y2=xeinterioralacircunferenciax2+y2=2x.
Deestemodo,V=ZZR(x2+y2)dxdy;84
queescribimosencoordenadaspolaresparasimpli carlaregiondeinte-gracion,queseilustraenla gura.
Aspues,V=Z=2�=2dvZ2cosvcosvu3du=1
4Z=2�=215cos4vdv=45
32:85
4.INTEGRALESTRIPLES.
Enestecursoseestudianlasfuncionesf:Rn!Rm,esdecir,funcionesde nidassobreelespacioeucldeodedimensionnRn=f(x1;:::;xn):xi2R;1ing;yconimagenenelespacioanalogodedimensionm,Rm.
PROBLEMA5.56DadalaintegralZ10Zx0Zy0f(x;y;z)dzdydx,dibujarlaregiondeintegracionyescribirlaintegraldetodaslasformasposibles.
Solucion
Teniendoencuentalagra caadjunta,siD1,D2yD3sonlasproyeccionessobrelostresplanoscoordenados,lasdiferentesformasdeescribirlaintegralsonlassiguientes:86
ZZD1dxdyZy0fdz=Z10dxZx0dyZy0fdz=Z10dyZ1ydxZy0fdz;ZZD2dxdzZxzfdy=Z10dzZ1zdxZxzfdy=Z10dxZx0dzZxzfdy;ZZD3dydzZ1yfdx=Z10dyZy0dzZ1yfdx=Z10dzZ1zdyZ1yfdx:
PROBLEMA5.57Calcularlassiguientesintegralestriples:i)ZZZV(x2+y2)dxdydz;dondeVestalimitadoporlassuper ciesx2+y2=2z,z=2.ii)ZZZW(1+z2)dxdydz,siendoWlaregionlimitadapor2az=x2+y2,x2+y2�z2=a2,z=0.
Solucioni)Laregiondeintegracioneselinteriordelparaboloidelimitadoporelplanoz=2.
Comolaproyecciondedicharegionsobreelplanoz=0eselcrculoC:x2+y24,laintegraltriplesepuededescomponerentoncescomoI=ZZCdxdyZ2(x2+y2)=2(x2+y2)dz:Alescribirlaintegralencoordenadascilndricas,seobtiene:I=Z20dvZ20uduZ2u2=2u2dz=2Z20u3(2�u2=2)du=16
3:87
ii)Laintersecciondelparaboloide2az=x2+y2conelhiperboloidex2+y2�z2=a2dalacircunferenciax2+y2=2a2situadaenelplanoz=a.Estoindicaqueambassuper ciessontangentesalolargodedichacir-cunferencia;porellodeducimosquelaregiondeintegracionestalimitadasuperiormenteporelparaboloide,inferiormenteporelplanoz=0ylateral-menteporelhiperboloide(enla gurasemuestrandosvistasdelaregiondeintegracion).
Debemosdescomponerlaintegralendossumandospues,si(x;y)estaenelcrculodecentroelorigenyradioa,entonceszestacomprendidoentreelplanoz=0yelparaboloide2az=x2+y2y,si(x;y)estaentreelcrculoanterioryelcrculoderadioap
2,entonceszestacomprendidoentreelhiperboloidex2+y2�z2=a2yelparaboloideanterior.LaformulaqueseobtieneespuesI=ZZx2+y2a2dxdyZx2+y2
2a0(1+z2)dz+ZZa2x2+y22a2dxdyZx2+y2
2ap
x2+y2�a2(1+z2)dz:Pararesolverlasintegrales,lasescribimosencoordenadascilndricas.As,I=Z20dvZa0uduZu2=2a0(1+z2)dz+Z20dvZap
2auduZu2=2ap
u2�a2(1+z2)dz==(10+a2)a3=30:[Todaslasintegralesaresolversoncasiinmediatas.]88
PROBLEMA5.58CalcularZZZS(1+x+y+z)�3dxdydz,dondeSeseltetraedrolimitadoporlostresplanoscoordenadosyelplanodeecuacionx+y+z=1.
SolucionSillamamosDalaproyecciondelaregiondeintegracionsobreelplanoXY,podemosescribirlaintegralcomoI=ZZDZ1�x�y0(1+x+y+z)�3dzdxdy:Como,asuvez,Deseltriangulodevertices(0;0),(1;0)y(0;1),laintegralsedescomponeenlassiguientesintegralesiteradas:I=Z10dxZ1�x0dyZ1�x�y0(1+x+y+z)�3dz=Z10dxZ1�x0h�y
8+(1+x+y)�2
2idy=Z10hx�1
8�1
4+1
2(1+x)idx=1
2ln2�5
16:
PROBLEMA5.59Calcularlosvolumenesdeloscuerposlimitadosporlassiguientessuper cies:i)a2=x2+z2;x+y=a;x�y=a.ii)z=x2+y2,xy=a2,xy=2a2,y=x=2,y=2x,z=0.iii)r
x
a+r
y
b+r
z
c=1;x;y;z0.iv)x2
a2+y2
b2+z2
c2=1,x2
a2+y2
b2=z2
c2,(z�0).
89
Podemospuesescribirelvolumencomo:V=2ZZRdxdyZx2+y20dz=ZZR(x2+y2)dxdy:ParacalcularlaintegraldoblesobrelaregionR,realizamoselcambiodevariablesdadoporlasecuacionesxy=u,x=y=v.Estecambiohaceque Jx;y
u;v =1
2vyquelanuevaregiondeintegracionseaR0=f(u;v):a2u2a2;1=2v2g.ElvolumensecalculaentoncescomoV=2Z2a2a2duZ21=2�uv+u
v1
2vdv=9a4
2:iii)Elsolidoestaahoracomprendidoentrelafunciondadaylosplanoscoordenados.
SuproyeccionsobreelplanoXYeslaregionRdelprimercuadrantelimitadaporlosejescoordenadosylaastroidedeecuacionr
x
a+r
y
b=1,demodoqueelvolumenessencillamenteV=ZZRZc(1�p
x=a�p
y=b)20dz=Za0dxZb((1�p
x=a)20c(1�p
x=a�p
y=b)2dy=abc
90:91
[Todaslasintegralessoninmediatas.]iv)Ahoraelsolidoeslaregionlimitadasuperiormenteporelelipsoidex2
a2+y2
b2+z2
c2=1einferiormenteporelconox2
a2+y2
b2=z2
c2,porencimadelplanoXY.Comolaintersecciondeambassuper cieseslaelipsex2
a2+y2
b2=1=2,situadaenelplanoz=c=p
2,elvolumenseexpresamediantelaintegralV=ZZRdxdyZcp
1�x2=a2�y2=b2cp
x2=a2+y2=b2dz;dondeReslaregionlimitadaporlacitadaelipsex2
a2+y2
b2=1=2.Paracalculardichaintegralhacemoselcambiodevariablesx=(a=p
2)ucosv,y=(a=p
2)usenv,cuyojacobianovaleJ=abu=2.Conestosdatos,V=Z20dvZ10(cp
1�u2=2�c=2)abu
2du=5
12�1
3p
2ab:
PROBLEMA5.60Encontrarelvolumendelaregionacotadaporlassu-per ciesz=x2+y2,z=10�x2�2y2:
SolucionEnla guradelladoizquierdosemuestranlosdosparaboloidesquelimitanlaregion,yenelladoderechoseilustralacurvainterseccionysuproyeccionsobreelplanoXY.92
Solucion
Comolaintersecciondelasdossuper cieseslacurvax`+y2=1=4;z=p
3=2;elvolumen,encoordenadascartesianas,seescribecomo:V=Z1=2�1=2dxZp
1=4�x2�p
1=4�x2dyZp
1�x2�y2p
3(x2�y2)dz:Encoordenadascilndricas(x=cos#,y=sen#,z=z),elvolumenseescribecomoV=Z1=20dZ20d#Zp
1�2p
3dz:Encoordenadasesfericas(x=cos#sen',y=sen#sen',z=cos'),paracalcularlosextremosdelangulo'sustituimos=1,z=p
3=2enlaexpresiondez.Resultaentoncesquep
3=2=cos',dedonde'==6.ElvolumenseexpresamediantelaintegralV=Z20d#Z=60d'Z102sen'd';obien(debidoalassimetrasdela gura)V=4Z=20d#Z=60d'Z102sen'd':
PROBLEMA5.62CalcularZZZVze�(x2+y2)dxdydz;dondeVestalimitadoporelcono2(x2+y2)=z2yelhiperboloidededoshojasx2+y2=z2�1:
94
SolucionSiresolvemoselsistemaformadoporambasecuaciones,obtenemossuinter-seccion,queconsisteenlascircunferenciasx2+y2=1,conz=p
2.Escribimoslaintegralencoordenadascilndricasx=ucosvy=usenvz=z9=;0u1;0v2;up
2zp
u2+1conloqueresulta(teniendoencuentalasimetradela gura):I=2Z20dvZ10uduZp
u2+1up
2ze�u2dz=4Z10ue�u2z2
2 p
u2+1up
2du==
e:
PROBLEMA5.63Calcularelvolumendelcasqueteesfericolimitadoporx2+y2+z2=a2x2+y2+z2=b2x2+y2=z2;conz0,siendo0ab.
Solucion
Siescribimoselvolumenencoordenadasesfericas,deacuerdoala guratenemos:x=rcos#sen'y=rsen#sen'z=rcos'dondearb0'=40#2:95
RecordandoqueeljacobianodelatransformacionesJ=r2sen',elvolu-menseescribeahoradelasiguienteforma:V=ZbadrZ=40dZ20r2sen'd#=r3
3 ba�cos' =402=b3�a3
3 1�p
2
2!2=
3(2�p
2)(b3�a3):
PROBLEMA5.64(a)Describirlassuper ciesr=constante,#=con-stante,z=constante,enelsistemadecoordenadascilndricas.(b)Idemparalassuper ciesr=constante,#=con-stante,=constante,encoordenadasesfericas.
Soluciona)Delasecuacionesquede nenlascoordenadascilndricas:x=rcos#;y=rsen#;z=z;alhacerr=k,obtenemosx2+y2=k2;loquecorrespondeauncilindroconejedesimetraelejeZyradiok.Sihacemos#=k,bastadividirlasdosprimerascoordenadasparaobten-ery
x=tgk;loquecorrespondeaunplanoverticalquepasaporelorigen(losdistintosvaloresdekdanlosdiferentesangulosconrespectoalplanoy=0).Sihacemosz=k,estamismaecuacionrepresentaunplanohorizontaldealturak.b)Lascoordenadasesfericasdeunpuntoseobtienenmediantelasecua-cionesx=cos#sen;y=sen#sen;z=cos:96
Otraformaderesolverlaintegralconsisteenrealizarlatransformacionacoordenadasesfericas,x='cos#sen,y='sen#sen,z='cos.Deestemodolaecuaciondelplanoz=hseescribecomo'=h=cos,ylaintegralesahoraIz=Z20d#Zarctg(r=h)0dZh=cos0k'2sen2'2send'=2kZarctg(r=h)0sen3h5
5cos5d=2kh5
5Zarctg(r=h)0tg3sec2d=2kh5
5r4
4h4:
PROBLEMA5.66CalcularelmomentodeinerciaalrededordelejeZdels'olidodedensidadconstantelimitadoporelelipsoide36x2+9y2+4z2=36.
SolucionPorde nici'on,Mz=ZZZ
(x2+y2)dxdydz;puesx2+y2eselcuadradodeladistanciadeunpuntodels'olidoalejeZ.Siescribimoslaecuaci'ondelelipsoidecomo
:x2+y2=4+z2=9=1;elcambioacoordenadasesf'ericasvienedadopor:x=rcos#sen'y=2rsen#sen'z=3rcos'9=;;0r1;0#2;0':ComoJx;y;z
r'#=�6r2sen';98
La guraadjuntamuestraelconodescrito,elcualtieneporecuaciona2(h�z)2=h2(x2+y2).Pasandolaintegralacoordenadascilndricas,x=ucosv,y=usenv,z=z,tenemos:I=Za0duZ20dvZh(a�u)=a0u(u2sen2v+z2)dz==a4h
20+h3a2
30:100
5.EJERCICIOSPROPUESTOS.
1.-DeterminarloslmitesdeintegraciondelaintegraldobleZZSf(x;y)dxdyparalasregionessiguientes:i)Seseltriangulodevertices(0;0),(2;1),(�2;1).ii)Sestalimitadoporlasdosrectasx=�2,x=2yporlasdosramasdelahiperbolay=p
1+x2,y=�p
1+x2.iii)Seselanillo1x2+y24.Resp.:i)ZZSf(x;y)dxdy=Z10dyZ2y�2yf(x;y)dx:ii)Observandola guraseobtieneinmediatamentequeZZSf(x;y)dxdy=Z2�2dxZp
1+x2�p
1+x2f(x;y)dy:
iii)ZZSf(x;y)dxdy=Z21duZ20uf(ucosv;usenv)dv:2.-ProbarqueZx0dtZt0F(u)du=Zx0(x�u)F(u)du:Resp.:Alinvertirelordendeintegracion,resultaZx0dtZt0F(u)du=Zx0duZxuF(u)dt=Zx0(x�u)F(u)du:3.-SeaRlamayordelasdosregioneslimitadasporlacircunferenciax2+y2=25ylarectax=3.EscribirloslmitesdeintegraciondelaintegralZZRfcorrespondientesaambosordenesdeintegracion.101
Resp.:I=Z3�5dxZp
25�x2�p
25�x2f(x;y)dy=Z�4�5dyZp
25�y2�p
25�y2f(x;y)dx+Z4�4dyZ3�p
25�y2f(x;y)dx+Z54dyZp
25�y2�p
25�y2f(x;y)dx:4.-Cambiarelordendeintegracionenlassiguientesintegralesdobles.a)Z9=43=2dxZcosxsenxf(x;y)dy.b)Z10dxZx2=30f(x;y)dy+Z21dxZ1�p
4x�x2�30f(x;y)dy.Resp.:a)I=Z0�1dyZ2+arcseny3=2fdx+Zp
2=20dyZ2+arcseny2�arccosyfdx+Z1p
2=2dyZ2+arccosy2�arccosyfdx:b)I=Z10dyZ2�p
1�(y�1)2y3=2f(x;y)dx:5.-Dibujarlaregiondeintegracioneinvertirelordendeintegracionenlossiguientescasos:(a)Z10dxZ3x2xf(x;y)dy:(b)Z10dxZx2x3f(x;y)dy:(c)Z10dyZ1�y�p
1�y2f(x;y)dx:(d)Z0dxZsenx0f(x;y)dy:Resp.:(a)Z20dyZy=2y=3f(x;y)dx+Z32dyZ1y=3f(x;y)dx:(b)Z10dyZ3p
yp
yf(x;y)dx:(c)Z0�1dxZp
1�x20f(x;y)dy+Z10dxZ1�x0f(x;y)dy:102
Resp.:I=Z10dxZ2�xx(x2+y2)dy=4=3.10.-DadalasiguienteintegralZ40dyZy�4
2�p
4�ydx:a)Dibujarlaregiondeintegracion.b)Invertirelordendeintegracion.c)Resolverlaintegral.Resp.:I=Z0�2dxZ4�x22x+4dy=4=3.11.-Contestarverdaderoofalsoalossiguientesplanteamientos,jus-ti candosurespuesta:a)Seaz=f(x;y)unafuncionde nidaenelcrculoRdecentroelorigenyradioa,yqueveri caf(x;y)=�f(�x;�y),8(x;y)2R.EntoncesZZRf(x;y)dxdy=0.b)SiS=f(x;y):jxj+jyj1g,entoncesZZSf(x+y)dxdy=Z1�1f(u)du.Resp.:a)Verdadero(hacerelcambiodevariablesu=�x;v=�y).b)Verdadero(hacerelcambiodevariablesu=x+y;v=x�y).12.-CalcularZZDxdxdy,siendoDlaregionlimitadaporlasparabolasx+y2=0,x+y2=2yyx+y2=2�2y.Sugerencia:Hacerelcambiodevariablesx=u�(u+v)2
4,y=u+v
2.Resp.:1=48.13.-CalcularZZDfenlossiguientescasos:(a)f(x;y)=x3y,DlimitadaporelejeYylaparabolax=�4y2+3.(b))f(x;y)=y,D=f(x;y):02x=ysenxg.(c)f(x;y)=xy,DestalimitadoporelejeXylasemicircunferenciasuperior(x�2)2+y2=1:104
Resp.:Descomponemoslaintegralendossumandosyhacemoselcambiodevariablesu=x,v=�yenelprimero.As:ZZDf(x;y)dxdy=ZbadxZ0�(x)f(x;y)dy+ZbadxZ(x)0f(x;y)dy=ZbaduZ(u)0f(u;�v)dv+ZbadxZ(x)0f(x;y)dy=ZbaduZ(u)0�f(u;v)dv+ZbadxZ(x)0f(x;y)dy=0:16.-SiDeslasemicoronacircularsituadaporencimadelejedeab-scisasydeterminadaporx2+y2=52yx2+y2=32,hallarI=ZZDy
p
x2+y2dxdy.Resp.:I=Z53rdrZ0sen#d#=16:17.-PasarapolareslaintegralZZDf(x;y)dxdyenlossiguientesca-sos:i)Deselcrculo:x2+y2a2.ii)Deselanillocircular:a2x2+y2b2.iii)Deselrecintolimitadoporlacircunferencia:(x�a)2+y2a2.iv)Deselrecintolimitadoporlaelipse:x2
a2+y2
b2=1.v)Deseltriangulodelprimercuadrantelimitadoporlosejescoor-denadosylarectax+y=1.vi)Deselsegmentoparabolico�axa,x2=aya.vii)D=f(x;y):0x2;xyxp
3g.Resp.:i)I=Z20dvZa0uf(ucosv;usenv)du:ii)I=Z20dvZbauf(ucosv;usenv)du:iii)I=Z�dvZ2acosv0uf(ucosv;usenv)du:iv)I=Z20dvZ10abuf(aucosv;busenv)du:106
b)(Hacerelcambiodevariablesu=y=xp,v=y=xq);A=q�p
(1+q)(�1�p)b1+q
q�p�a1+q
q�pd�1�p
q�p�c�1�p
q�p.22.-CalcularZZDjcos(x+y)jdxdy;siendoD=[�=2;=2][�=2;=2].Resp.:23.-Calcularelvolumendelaregionlimitadaporelcono9(x2+y2)�4(6�z)2=0,en0z3,porlaesferax2+y2+(z�3)2=4,enz3,porelplanoz=0yporelparaboloidex2+y2=4�z.Resp.:24.-Hallarelareainteriora=sen#yexteriora=1�cos#.Resp.:A=(4�)=4.
25.-Calcularelvolumendelassiguientes guras:(a)Regioninterioralasuper ciez=x2+y2comprendidaentrez=0yz=10:(b)Piramidelimitadaporlostresplanoscoordenadosyelplanox+2y+3z=6:(c)Elipsoideconsemiejesa;b;c:Resp.:(a)50;(b)6;(c)4abc=3.26.-Calcularelvolumendelsolidolimitadoporelhiperboloide4(x2+y2)=1+4z2,elparaboloidez=x2+y2yelplanoz=0.108
Resp.:27.-SeaIelvalordelaintegraldef(x;y)=x+yenR=f(x;y)2R2:x+y4;x2;y0g.�Cual(ocuales)delassiguientesa rmacionesescierta?i)I=Z20dyZ4�y2f(x;y)dx:ii)I=Z42dxZ4�x0f(x;y)dy:iii)I=Z=20d#Z4
sen#+cos#2=cos#1
sen#+cos#dr:iv)I=Z42dvZ2v1
vdu;conu=x,v=x+y.Resp.:28.-Hallarelvolumenlimitadoporx=0,y=0,elparaboloidez=x2+y2+10,suplanotangenteenelpunto(1;1;12)yelplanox+2y=7.Resp.:V=Z70dxZ7�x
20dyZx2+y2+102x+2y+8dz=6125
96:29.-Calcularelvolumendelaregionlimitadaporlafuncionz=cos(x�y)yelplanoz=0encerradaenelcuadrado[0;][0;].Resp.:V=ZZ(x;y)2[0;][0;]jcos(x�y)jdxdy=2.30.-Calcularelvolumencomprendidoentrelasuper ciez=x2+3y2+2,losplanoscoordenadosyelplano2x+y=2.Resp.:V=Z10dxZ2�2x0dyZx2+3y2+20dz=25=6.31.-Calcularelvolumencomprendidoentrelassuper ciesz=x2+y2,x=y2ylosplanosx=4,z=0.Resp.:V=Z2�2dyZ4y2dxZx2+y20dz=8576
105:32.-Calcularlosvolumenesdeloscuerposlimitadosporlassiguientessuper cies:109
37.-CalcularRRRVxdxdydz,siendoVelsolidolimitadoporelcilindroparabolicoz=4�y2,elparaboloideelpticoz=x2+3y2yelplanox=0.Resp.:38.-Hallarelvolumendelsolidolimitadoporelhiperboloide4(x2+y2)=1+4z2,elparaboloidez=x2+y2yelplanoz=0.Resp.:39.-Hallarelvolumenencerradoporlaesferax2+y2+z2=1yelhiperboloide5x2+5y2�3z2=3.Resp.:40.-Calcularelvolumendelainterseccionentrelaesferax2+y2+z2=a2yelcilindrox2+y2=ay,cona�0.Resp.:V=2Z0dvZasenv0up
a2�u2du=2a3
9(3�4):41.-Calcularlassiguientesintegralestriples:i)ZZZVxyzdxdydz,dondeVeselrecintolimitadoporlassuper ciesx2+y2+z2=1,x=0;y=0;z=0:ii)ZZZVp
x2+y2dxdydz,dondeVeselrecintolimitadoporx2+y2=z2,z=1:iii)ZZZVx2
a2+y2
b2+z2
c2dxdydz;dondeVestalimitadoporlasu-per ciex2
a2+y2
b2+z2
c2=1:Resp.:i)I=Z=20d'Z=20d#Z10r5sen3'cos'sen#cos#dr=1
48:ii)I=Z10duZ20dvZ1uu2dz=
6:iii)I=Z0d'Z20d#Z10abcr4sen'dr=4abc
5:42.-HallarelvolumendelsolidoWlimitadoporelcilindroparabolicoz=4�y2yelparaboloideelpticoz=x2+3y2.111
Resp.:49.-Calcularelvolumendelcuerpolimitadopor2az=x2+y2;x2+y2�z2=a2;z=0.Resp.:50.-Hallarelvolumendelcuerpolimitadoporlassuper cies:z=ln(x+2),z=ln(6�x),x=0,y=0,x+y=2.Resp.:51.-Calcularelvolumendelcuerpolimitadoporx2+y2=az,x2+y2=z2yx2+y2+(z�a=2)2=a2=4.Resp.:52.-Calcularelvolumendelcuerpointersecciondelasregiones:x2+y2+z21,x2+y2z2,x2+y21=4.Resp.:53.-a)Seaf(x;y;z)=8�&#x]TJ ;� -1; .63; Td;&#x[000;:2z;siz&#x]TJ ;� -1; .63; Td;&#x[000;0;3�4z;siz0;tg2(xy2);siz=0.Comprobarqueesintegrableycalcularlaintegralsobrelaboladeradiounidadx2+y2+z21.b)Hallarelvolumendelcuerpolimitadoporz=x2+y2,z=2x2+2y2,y=x,y=2x,x=0,x=1.Resp.:54.-&#x]TJ/;༕ ;.9; T; 20;&#x.099;&#x 0 T; [00;CualdelassiguientesopcionescorrespondealaintegralZZDx2dxdysobreD=f(x;y):x2+y22xg?(a)Z20duZp
2u�u20u2dv:(b)Z=20dvZ2cosv02u3cos2vdu:113
59.-SeafunafuncioncontinuaenunaregionS=f(x;y;z)2R3:axb;'1(x)y'2(x); 1(x;y)z 2(x;y)g:ProbarqueexisteunpuntoP2StalqueZZZSf(x;y;z)dV=f(P)vol(S)(teoremadelvalormedioparaintegrales).115

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