ECUACIONES DIFERENCIALES - aliat org mx

ecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya que ahora dada la función hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay a lgún método para obtener la función desconocida . Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.


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CUACIONES DIFERENCIA
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CUACIONES DIFERENCIA
LES

ENRIQUE

RAFAEL

ESPINOSA

SANCHEZ
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ERCER
M
ILENIO AVISO LEGAL

Derechos Reservados


2012, por RED TERCER MILENIO S.C.

Viveros de Asís 96, Col. Viveros de l
a Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México.

Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de
los derechos.

Datos para catalogación bibliográfica

Enrique Rafael Espinosa Sánchez

Ecuaciones

diferenciales

ISBN 978
-
607
-
733
-
115
-
5

Primera edición: 2012

DIRECTORIOBárbara Jean Mair Rowberry

Directora GeneralRafael Campos Hernández

Director Académico Corporativo Jesús Andrés Carranza Castellanos

Director Corporativo de AdministraciónHéctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira

Director Corporativo de FinanzasXimena Montes Edgar

Directora Corporativo de Expansión y Proyectos2I
NDICEIntroducción

Mapa conceptual
UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales

OBJETIVO

9

TEMARIO

9

MAPA CONCEPTUAL 10

INTRODUCCIÓN
11

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

12

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

14

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
14

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

16

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

15

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

19

AUTOEVALUACION 20

RESPUESTAS AUTOEVALUACION
22UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

OBJETIVO

27

TEMARIO

27

3MAPA CONCEPTUAL 28

INTRODUCCION
29

2.1 ECUACIONES DI
FERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

30

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

32

2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
33

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

35

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

35

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

38

2
.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE
38

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

42

2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI

42

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

43

2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN

43

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

46

AUTOEVA
LUACION 47

RESPUESTAS AUTOEVALUACION
48UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVO

54

TEMARIO

54

4MAPA CONCEPTUAL 55

INTRODUCCION
56

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS
57

ACTIVIDAD DE

APRENDIZAJE

58

3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA
SOLUCIÓN CONOCIDA 58

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

60

3.3 EL WRONSKIANO 60

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

61

3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS
61

ACTIVIDAD DE APRE
NDIZAJE

62

3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER
63

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

64

3.6 SERIES DE POTENCIA

65

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

67

AUTOEVALUACION 68

RESPUESTAS AUTOEVALUACION
69UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

OBJETIV
O

72

TEMARIO

72

MAPA CONCEPTUAL 73

5INTRODUCCION
74

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
75

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

76

4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE77

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

80

4.3
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
80

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

82

AUTOEVALUACION 83

RESPUESTAS AUTOEVALUACION
84
Bibliografía

86

Glosario

87
6INTRODUCCIONLa presente, es una
guía teórico
-
didáctica de la materia de Ecuaciones
Diferenciales que pretende orientar al estudiante en bases y conceptos
generales.

Sin embargo, el estudiante habrá de realizar diversas investigaciones
bibliográficas, ejercicios y prácticas extra clase p
ara poder complementar el
aprendizaje de la materia.

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelar
situaciones de la vida cotidiana de forma matemática.Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que
dominar la
s áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran el
desarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.El presente libro didáctico
está

compuesto de cuatro unidades que
abarcan los conceptos necesarios para que
el estudiante maneje las
Ecuaciones Diferenciales y dar un sentido conceptual que sea aplicable a su
carrera profesional. El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales,
en la primera unidad se aborda la definición de ecuación di
ferencial para no
crear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, se
retoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferenciales
desde Arquímedes hasta Newton. Las siguientes dos unidades de forma general realizan

un estudio de las
ecuaciones diferenciales desde la solución de ecuaciones de primer orden
hasta la solución de ecuaciones de orden superior, tomando en cuenta diversos
métodos de solución.La cuarta unidad trata de las Transformadas de Laplace, requiere

que los
conocimientos adquiridos en las tres unidades anteriores hayan logrado
construir un cimiento cognitivo que brinde las herramientas indispensables para
estudiar y comprender este tema, por complicado que parezca nos llevara a la
esencia de la repre
sentación de una función en su forma algebraica.

7
Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el curso
el estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesional
que estudia.

8
MAPA CONCEPTUAL
9UNIDAD 1EC
UACIONES DIFERENCIALESO
BJETIVO

Explicar la definición, el origen y solución de las ecuaciones diferencialesTEMARIO

1.1

DEFINICIÓN

DE

ECUACIÓN

DIFERENCIAL

1.2

ORIGEN

DE

LAS

ECUACIONES

DIFERENCIALES

1.3

SOLUCIÓN

DE

UNA

ECUACIÓN

DIFERENCIAL

10MAPA CONCEPTU
AL
11INTRODUCCIÓNEn esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen y
la solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se ven
implicadas las ecuaciones diferenciales.Las ecuaciones diferenciales tie
nen una relación con fenómenos físicos,
químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación de
forma matemática.

El alumno aprenderá que l
as ecuacio
nes diferenciales se clasifican
según su tipo, orden y linealidad
, conceptos esencial
es que le ayudarán a
plantear problemas con diferente grado de dificultad.121.1

D
EFINICIÓN DE ECUACIÓ
N DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una
función desconocida de una o más variables. En cálculo se aprende
que la derivada

(se lee derivada de

con
respecto a
) de la función

es otra función de
, por ejemplo: la derivada de est
a función es en ecuaciones diferenciales
,

al remplazar
por

se obtiene la ecuación
diferencial
La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integ
ración
de una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, las
ecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya que
ahora dada la función hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay a
lgún método para obtener
la función desconocida
.Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y
linealidad.
Clasificación según su tipo
: s
i la función desconocida depende sólo de
una variable, es decir, que las
derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuación
se llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:o

13
Normalmente escribimos
y llamamos a

la variable
independiente, y a

la variable dependientes de
. Para sintetizar la
denotación de

en

en una función
, simplemente podemos escrib
ir

y sus derivadas sucesivas por, o también
únicamente
.En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable,
es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la
ecuación se llama
ecuación diferencial parcial. Por ejemplo:
es la función desconocida de las dos variables independientes

y

es una
ecuación diferencial parcial. Se

escribe

para hacer más claro que

y

son las variables independientes y

es la variable dependiente, de
manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación d
iferencial
parcial, denotamos el valor de

en

y

por
. Clasificación según su orden
: e
l orden de una educación diferencial ya
sea ordinaria o parcial, es el orden de
la derivada más alta que aparece en la
ecuación. Por ejemplo:
El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que s
ó
lo
tiene una derivada de y con respecto a x.
El orden de esta ecuación diferenci
al es de segundo orden, de

con
respecto a
.
Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son de
segundo orden, por tanto, la e
c
uación diferencial es una ecuación diferen
cial de
segundo orden.

14
Clasificación según su linealidad
: u
na ecuación diferencial es lineal
cuando puede ser escrita de la forma


donde

y los coeficientesson funciones dadas de


y


no es idéntica a cero.
Por ejemplo:
Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la forma
anterior
,

se dice que es una ecuación no
-
lineal. Por ejemplo:
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEIndicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales

1. 2. (1
-
x)y´´
-
4xy´+5y=cosx3. 4. 5.
1.2

O
RIGEN DE LAS ECUACIO
NES DIFERENCIALES

La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más
vetustos

a

cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287
-
212 a.C.)
,

referentes al
15principio de la palanca
y del empuje. Galileo estudi
ó

problemas dinámicos sobre
la caída de los cuerpos. Copérnico formul
ó

el sistema heliocéntrico para dar
paso a la Mecánica
c
eleste.La integración antecedió a la diferenciación por dos mil años,
Arquímedes represent
ó

procesos
de sumas integrales, pero hasta el siglo XVII
Fermat pudo encontrar las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentes
a la evaluación de cocientes incrementales. Fermat descubrió la inversa de
estos procesos y dio la explicación de la antiderivación

en la determinación
límite de sumas.El calculus apareció impreso, por primera vez
,

en una memoria de seis
páginas de Leibniz, que contenía una definición de la diferencial con simples
reglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y ra
íces.El problema de la integración de las ecuaciones diferenciales se
presentaba como del problema inverso del análisis infinitesimal.Leibniz fue el primero en usar el término
aequatio differentialis

en 1676
para denotar una relación entre las diferenc
iales


y


y dos variables

y
.

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la
aparición del Calculus, en una polémica entre Newton y Leibniz, cua
ndo Newton
u u  u uó   u,  
u  vv”. N    ó   Eu
Diferenciales Ordinarias de primer orden.Tanto Newton como Leibniz estudiaron problemas con un
a visión
geométrica
-
euclidiana, debido a la época el concepto de función era muy vago y
estaba ligada únicamente a la curva geométrica. Pero ambos sentaron las
bases del cálculo moderno.En el siglo XVII James y JohanBernoulli introducen los términos de
i
ntegrar una educación diferencial y el proceso de separación de variables de
una ecuación diferencial
.Euler se encargó de establecer la primera teoría de las ecuaciones
diferenciales ordinarias, la expresiónsignifica para Euler un

cociente
entre diferenciales y no lo que actualmente expresa.

16
Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales de
las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento del

péndulo.Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas de
físicos, químicos, electrónicos, etc
.
, han contribuido al desarrollo histórico de las
ecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios y
tratados para cono
cer el origen de las ecuaciones diferenciales se discrimina
las aportaciones de algunos matemáticos.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJERealizar una investigación documental sobre el origen de las Ecuaciones
Diferenciales con la bibliografía señalada, para que e
l alumno tenga mayores
referencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haber
omitido en este trabajo.
1.3

S
OLUCIÓN DE UNA ECUAC
IÓN DIFERENCIAL

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la
ecuación,

esto es, la reduce a una identidad.Cuando una función
, definida en algún intervalo
, se sustituye en una
ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es
una solución de la ecua
ción en el intervalo. Una solución de una ecuación
diferencial ordinaria como la ecuación es una función

con al menos
derivadas y para todo
e
n
.

17
Se dice que
satisface la ecuación diferencial. El intervalo
puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito
, etcétera.Ejemplo 1. Sea la función

una solución de la ecuación lineal en el intervalo
.Solución: sustituyendoyobtenemos
Ejemplo 2. La ecuación
Sean las funciones

y

soluciones de la ecuación ya que al
sustituir dan por resultado:

Ejemplo 3. La función definida por: es una solución de la ecuación
debido a que sustituyendo encontramos la identidad:
La solución de ecuaciones diferenciales se divide en soluciones
explícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son a
quellas en la variable
dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y
constantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación
18diferencial depende de dos variables y al menos una función satisface la
educación d
entro de un intervalo.Solución implícita: Sea la ecuación diferencial su solución implícita es la función dentro del intervalo
, derivado la función obtenemos d
espejando se obtiene la ecuación diferencial.El nombre de solución general de ecuaciones diferenciales se aplica
únicamente para ecuaciones diferenciales lineales ya que existen ecuaciones
no lineales que son difíciles de resolver

bajo los parámetros en los que se
encuentra la familia de soluciones que contienen todas las soluciones posibles
de la ecuación.Un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de dos o más
ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funci
ones
desconocidas de una variable independiente.El problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución a
una ecuación diferencial que est
á

sujeta a condiciones de la función
desconocida y sus derivadas específicas en un valor de la varia
ble
independiente, estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.El problema de valor de frontera busca determinar la solución de la
ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida
especificadas en dos o más valores de la

variable independiente. A estas
condiciones se les denomina condiciones de frontera.19ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEVerificar si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.

1.2.

3.

4.

5.

20AUTOEVALUACIÓNIndique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.

1.

2.
3.
4.
5.
Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.6.
7.
218.
9.
10. 22RESPUESTAS A
UTOEVALUACIÓN
Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.

1.Respuesta:
la ecuación es una ecuación diferencial line
al ordinaria de primer orden.2.

Respuesta:la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.3.

Respuesta:la ecuación es una ecuació
n diferencial lineal ordinaria de segundo orden.4.

Respuesta:la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.5.

23Respuesta:
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.6.

Respuesta: Tomando la función que evaluará a la ecuaci
ón diferencial
para realizar la primera y segunda derivada dicha función teniendo quecalculando la primera derivadaes igual acalculando la segunda derivadaes ig
ual asustituyendo la función inicial, la primera y segunda derivada en la ecuación
diferencial que se desea comprobar, se obtiene

24

7.

Respu
esta: La función a evaluar hay que pasarla a la forma que
represente que es una ecuación diferencial, realizado el procedimiento se
obtiene:dóndees ahora nuestra ecuación diferencial inicial y la función que evalúa la ecuación diferencial inicial, al realizar la primera y
segunda derivada se obtiene
sustituyendo la función que evalúa la ecuación diferencial y la segunda derivada
en la ecuac
ión diferencial inicial se concluye que
8.

Respuesta: siendo la ecuación diferencial que se desea comprobar con la función se requiere la primera y segunda deriv
ada de dicha función, primera derivada
igual a 25segunda derivadasustituyendo ambas derivas en la ecuación diferencial se tiene:por lo tanto
9.

Respuesta: siendo la ecuación diferencial que se desea comprobar con la función se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada
igual a segunda deriva
dasustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación
diferencial, se obtiene:concluyendo 2610.

Respuesta: siendo la ecuación diferencial que se desea comprobar con la función se requiere la segunda derivada de dicha función como primera derivada y como segunda derivadasustituyendo ambas derivadas de l
a función que evalúa en la ecuación
diferencial, se obtiene:

27UNIDAD
2ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENOBJETIVO

Resolver ecuaciones diferenciales
de
primer orden
mediante
diversos métodos.TEMARIO

2.1

ECUACIONES

DIFEREN
CIALES

DE

VARIABLES

SEPARABLES

2.2

ECUACIONES

DIFERENCIALES

CON

COEFICIENTES

HOMOGÉNEOS

2.3

ECUACIONES

DIFERENCIALES

EXACTAS

2.4

USO

DEL

FACTOR

INTEGRANTE

2.5

ECUACIÓN

DE

BERNOULLI

2.6

APLICACIÓN

DE

LAS

ECUACIONES

DIFERENCIALES

DE

PRIMER

ORDEN28MAPA CONCE
PTUAL 29INTRODUCCIÓNEn esta unidad se abordan las ecuaciones diferenciales de primer orden,
pasando por los conceptos básicos de éstas para llegar a la aplicación de las
ecuaciones diferenciales en problemas reales.

La solución general de una ecuació
n diferen
cial de variables separables
debe tener la forma de una función igualada a cero, concepto que el alumno
debe aprender, ya que existen diversos casos en las ecuaciones diferenciales
que no se pueden resolver directamente por no ser de variables sep
arables y
para resolver
;

el alumno tendrá que aprender métodos
para
separar las
variables de la ecuación.

302.1

E
CUACIONES DIFERENCIA
LES DE VARIABLES SEP
ARABLES

El matemático y físico Leonhard Paul Euler
1

en el siglo XVIII se encargo de
sistematizar estudio
s anteriores de ecuaciones diferenciales, dando origen a la
primera teoría de ecuaciones ordinarias donde aparecen las ecuaciones de
primer orden
,

y respectiva

clasificación de ecuaciones de variables separables
,
homogéneas, lineales y exactas, así como ta
mbién las de orden superior.Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, en
fenómenos naturales, químicos, físicos y electrónicos la mayoría de estos
fenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender su
comportamiento, expres
ados en una ecuación diferencial; la informática no
queda exenta de tratar de modelar procesos computacionales como la
transmisión de datos a través de un cable de red o la impresión de documentos,
todo ello con el fin de mejorar los componentes del hardwa
re actual.

La ecuación diferencial de primer ordenc
onsidere a como cociente de diferenciales, puede expresarse también como para dar paso a la siguiente expresiónEjemplo: puede ser escrita como donde


1

http://www.eulersociety.org/

31
La solución general de una ecuación diferencial de variables separables
se puede representar de la forma

siguiente:dond
e un término de la ecuación involucra sólo a la variable
x

y el otro a la
variable
y
, la solución de la ecuación puede ser por integración, dando la
solución generaldonde
c

es el equivalente a la constante de integración. Para regre
sar a la
ecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y así
eliminar a la constante
c
, siendo de la siguiente manera
:i
gual a
El método de variables separables consiste en separar en

dos términos
la ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dicha
ecuación.Sea la ecuación diferencial

de variables separables t
enemos
i
ntegrando
32 s
i la constante
c
se puede escribir como
tenemos queLa so
lución general depasando la ecuación a funcióndonde se requiere integrar ambas partes obtenemos
ahora bien, requerimos determinar una solución particular cua
ndo
y=4

y
x=
-
3
,
sustituyendo en la solución general obtenemos que

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEResuelva la ecuación diferencial por variables separables.

1. 2.

333. 4. 5. 6. 7.
2.2

E
CUACIONES DIFERENCIA
LES CON COEFICIENTES

HOMOGÉNEOS

Existen ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, para poder
resolver
esas

ecuaciones tienen que trasformarse en una con variables
separables. Una ecuación que casi siempre puede transformarse a variables
separables esl
lamada ecuación diferencial
homogénea por la forma en que se escribe y
aquellas que

se puedan escribir de igual manera se les denominar
á

así. Para
cambiar
tal

ecuación a una ecuación separable, usamos las transformación de
o también lo que se realiza es un cambio de la variable dependiente

de y por
v

conservando la variable independiente
x
, teniendo entonces 34para que
se transforme en de tal manera queobtenemos la ecuación donde las variables se
encuentran separadas.Ejemplo
:

Sea la ecuación e
l lado derecho es una función
, por tanto es una ecuación homogénea,
haciendo
, se tiene

aplicando las reglas de lo logaritmos

o
de tal manera quereemplazando
por

se obtiene35ACTIVIDAD D
E APRENDIZAJERealizar una investigación documental
respecto al tema de ecuaciones
diferenciales con coeficientes homogéneos con la bibliografía señalada para
tener mayores bases de conocimiento y solucionar problemas en que las
ecuaciones diferenciales n
o sean separables las variables.
2.3

E
CUACIONES DIFERENCIA
LES EXACTAS

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es aquella denominada
ecuación diferencial ordinaria de primer orden la cual contiene dos funciones
denominadas

y

las cuales trabajan respecto a dos variable

y

, que al
aplicar las derivadas parciales de las funciones

y

son iguales, se puede
seguir aplicando la segunda, tercer y

derivada
,

la
s funciones mantendrán el
concepto de linealidad, es decir, sin cambios. En informática la aplicación de las
ecuaciones diferenciales exactas tiene gran importancia, por ejemplo, suponga
que se desea saber la fuerza de propagación y distorsión de una señal

inalámbrica en la transmisión de datos con una microonda del rango de los
2Ghz a los 40Ghz, al representarlo como una ecuación diferencial la
transmisión y distorsión es igual dentro de este rango.Una ecuación diferenciales una d
iferencial exacta en una región

del plano

si corresponde a la
diferencial de alguna función Una ecuación diferencial de primer orden de la formaes una ecuación di
ferencial exacta, si es una diferencial exacta.

36
Si

son continuas

y

,

con derivadas parciales continúas en una región rectangular
, definida por los
intervalos

,para las variables

y

, la condición única y necesaria para que sea una diferencial exacta es que

.Ejemplo

1
:

La ecua
ción es exacta, por queaplicando la regla de que el lado izquierdo tiene que ser una diferencia exactatenemos que

y aplicando la difere
ncial se tiene que
que es igual a 37
Ejemplo 2
:

La ecuación se resuelve igualando primero y realizando las diferenciales respecto a
y
tenemos
y
por lo tantocon esto se comprueba que la ecuación es exacta y por el criterio para
determinar si la ecuación diferencial es exacta ent
onces existe una funció
n

tal queya
l integrar
la primer ecuación de las dos anteriores se obtiene quedeterminando la derivada parcial con respecto a yigualando con

se tienedespejando

obtenemos

38

yla solución es entonces

ACTIVIDAD D
E APRENDIZAJEDeterminar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas.

1. 2. 3. 4. 5.
2.4

U
SO DEL FACTOR INTEGR
ANTE

El facto
r integrante es aquel que al multiplicar las derivadas parciales de una
ecuación diferencial no exacta la convierten en una ecuación diferencial exacta,
para que con esto
esa

ecuación diferencial no exacta se pueda resolver por el
método de ecuaciones dife
renciales exactas.

Si la ecuación no cumple con la condición de que

39
entonces no es una ecuación exacta, para poder hacerla exacta se requiere
multiplicarla por un factor integrante apropiad
o
, de tal manera que la
ecuación que se obtenga sea de la formaserá exacta, debido a que
Hay diferentes métodos para obtener factores integrantes
pero el más
común es el de separación de variables.Ejem
plo
. Sea

, si
.Solución:se obtiene

y

quedando de la siguiente manera
y
aplicando la diferen
cial obtenemos que
y
la ecuación no es exacta. Tanto

y

pueden ser factorizadas como
producto de una fundón con respecto a

y
, esto esun factor integrante esque al multiplicarlo por lo que se obtuvo por factorizar a

y

resulta la
función

40
que es separable y

exacta
. Integrando dicha función obtenida tenemosópuesto que
cuando
, encontramos
.Por lo tanto, la solución es o

El método de inspección considera que

no es separable o
exacta y es necesario multiplicar la ecuación por el factor integrante

para
volver la ecuación exacta, que dando de la forma:
Considerando dos casos en particular, cuando

es una función sólo de
x que dando la ecuación como
entonces es un factor integrante y cuando

es

una función sólo de y tomando la función
como entonces es un factor integrante.

41
Ejemplo: resolver primero hay que comprobar si es una ecuación diferencial exacta obteniendo

y

de lo que resulta queyaplicando la diferencialyla ecuación no es exacta
.Ahora no es una función

sólo de
x
. Pero es una función sólo de y. por lo tanto
es un factor integrante. Así, multiplicando la ecuación dada por la solución que se obtiene es42ACTIVIDAD

DE APRENDIZAJERealizar una investigación documental

para reforzar la aplicación del factor
integrante en ecuaciones diferenciales
con la bibliografía señalada
,
como

resultado de
esa

investigación
,

el alumno tendrá que entregar un diagrama de
flujo dond
e represente el algoritmo para poder resolver ecuaciones diferenciales
no exactas a través del uso del factor integrante.
2.5

E
CUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación
de Bernoulli

representa el principio de la conservación de la
energía mecánica, el nombre de
tal

ecuación es en honor a Daniel Bernoulli
,

quien plasm
ó

sus
estudios en el libro
Hidro
dynamica
,

donde trata de la
mecánica de fluidos
; así, la
ecuación
de Bernoulli
es

aquella en
la cual
la
ecuación
diferencial en que

es cualquier

número real
. Cuando

y

la
ecuaciónes lineal. Cuando
y

, la sustitución
reduce cualquier ecuación
de la forma de la ecuac
ión de Bernoulli a una ecuación lineal.Ejemplo: Resolver
.Solución: Ordenar la ecuación a la forma de Bernoulli quedando:dividiéndola

entre x. A continuación sustituimos, con
,yen la ecuación a resolver sustituyendo tenemos

43
el factor integrante para esta ecuación en el intervalo
, esintegrandodond
e se obtiene despejando como
, sustituyendo
, la soluci
ón de la ecuación es

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJERealizar una in
vestigación documental sobre
la ecuación de Bernoulli y
c
ó
mo se
aplica en fenómenos como la sustentación de un avión, la determinación de la
altura en la instalación de una bomba de agua, la extracción del calor por el
disipador del procesador interno de u
na computadora
.
2.6

A
PLICACIÓN DE LAS ECU
ACIONES DIFERENCIALE
S DE PRIMER ORDEN

El problema de valor inicial con la
ecuación diferencial
,

en
donde

es una constante de proporcionalidad, s
e emplea en modelos de
distintos fenómenos como físicos, químicos,
electrónicos, etcétera donde
interviene el crecimiento o decrecimiento.

44Ejemplo

1
:

Un cultivo tiene una cantidad inicial

de bacterias. Cuando
,
la cantidad medida de bacterias es
. Si la razón de reproducción es
proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario
para triplicar la cantidad inicial de bacterias.Solución: Utilizando la ecuación dif
erencial del valor inicial, sustituyendo
las variables iniciales del problema se obtienesujeta de acuerdo a

será igual a
. Donde la condición queda para hallar la
constante de proporcionalidad
.Al escribir la ecuación de manera lineal para que sea separable obtenemosque al aplicar el método de inspección se observa que el factor integrante es
, se debe multiplicar la ecuación por este factor, quedando de la formaal integrar, se llega a la solución generaldespejando

por los requerimientos que se plantearon

al inicio del problema,
la ecuación
se puede escribir como
Cuando
,
, por consiguiente

45
E
l caso c
uando
,
, o bien

para obtener
, Así
.Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias,
hay que despejar

de
; por consiguiente
, así Ejemplo 2
:

Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie
LR
, con
una inductancia de
y una resistencia de 10 ohms. Determine la corriente
i, si la corriente inicial es cero. Usando la ec
uación diferencial que describe la
corrientese tiene que s
ujeta a
. Debemos multiplicar la ecuación diferencia por 2, para que el
factor integrante sea
, que sustit
uyéndolo en la ecuación quedaría comoal integrar cada lado y despejar
se obtienes
i
, entonces
, o bien
, la respuesta esa partir de la ecuación se puede formular una solución general de

46
Cuando
es una constante, la ecuación anterior queda como

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJERealizar una investigación documental sobre
planteamientos de problemas
cotidianos, los cuales requieran su representación en modelos de ecuaciones
diferenciales de primer orden.

Los problemas cotidianos pueden ir desde
los

relacionados con la salud, por ejemplo
,

la forma en que se propago el virus de
la influenza H1N1 en nuestro país
;

también
,

el alumno puede considerar
problemas ecológicos como el derrame de petróleo en el Golfo de México

del
año
2010
, problemas en los cua
les ya se tienen cifras oficiales pero no un
modelo matemático que ayud
e

a determinar
tales
cifras.47AUTOEVALUACIÓNResuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

1. 2. 3. 4. Determine si las siguientes ecuaciones son exactas

5. 6. 7.

48RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓNResuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por

variables separables.

1.

Respuesta:
Es necesario separar las variables, tomando la ecuación
inicialdespejandoa
hora hay que aplicar la integra
l

en ambos miembros de la ecuaciónintegrando se obtiene2.

Respuesta: Al separar las variables, tomando la ecuación inicialse obtieneaplicando la integral en ambos miembrosintegrando es igual a49obteniendo por lo tanto3.

Respuesta: Se requiere despejar la ecuación diferencial para que tenga
la f
orma en la cual permite separar las variables, se obtiene:

aplicando la integral en ambos miembros de la función
integrando la ecuaciónpor lo tanto
4.

Respuesta: De la ecuaciónrealizando los despejes50
separando las variablesaplicando

la integral en ambos miembrosintegrandopor lo tanto
Determine si las siguientes ecuaciones son exactas5.

Respuesta: Sea la ecuación inicialque se compone deyconyesto es igual a tener
51debido a esto, la ecuación inicial es exacta. Por lo que existe una función para la queycon esto se puede Integrar la primera educación respecto a x, se obtieneentoncesal igualar conse obtienedonde que al sustituir ense tienepor lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial inicial es:
6.

Respuesta:
De la ecuación diferencial inicial

52
se tieneyquedando comoconyesto es igual a tenerc
on est
o se concluye que la ecuación no es exacta.7.

Respuesta: De la ecuación diferencial inicialal despejar el segundo termino para reorganizarlo se tienepara esta ecuación
se tieney53conyesto es igual a tenercon esto se concluye que la ecuación no es exacta.

54UNIDAD 3ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOROBJETIVO

Re
solver ecuaciones diferenciales
de
orden superior
mediante
de diversos
métodos.TEMARIO3.1

ECUACIONES

HOMOGÉNEAS

Y

NO

HOMOGÉNEAS

3.2

SOLUCIÓN

DE

UNA

ECUACIÓN

DIFERENCIAL

A

PARTIR

DE

UNA

SOLUCIÓN

CONOCIDA

3.3

EL

WRONSKIANO

3.4

VARIACIÓN

DE

PARÁMETROS

3.5

ECUACIÓN

DE

CAUCHY

EULER

3.6

SERIES

DE

POTENCIA55MAPA CONCEPTUAL
56INTRODUCCIÓNEn esta unidad el alumno conocerá ecuaciones diferenciales denominadas de
orden superior, distinguiendo de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas
para aplicarlas en

problemas de modelamiento.Las ecuaciones homogéneas son aquellas ecuaciones que se
categorizan de forma lineal y las no homogéneas aquellas que no cumplen ese
requisito de ser lineal en un intervalo determinado, ambos planteamientos llevan
a que en esta

unidad se demuestren diversos métodos para poder llegar a una
solución de esas ecuaciones diferenciales, mismos que los alumnos tendrán
que aprender.573.1

E
CUACIONES HOMOGÉNEAS

Y NO HOMOGÉNEAS

Una ecuación lineal de orden
de la form
aSe llama homogénea, mientras que una ecuacióndonde

no es idénticamente cero, se llama no homogénea.Toda función
libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuaciónse llama solución particular de la ecuación no homogénea.
Por ejemplo: es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras
que es una ecuación diferencial de tercer orden
lineal y no homogénea.Sean soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden
, ecuación

donde

esta en un intervalo
. La combinación linealen donde las

,

son constantes arbitrarias, también es una solución cuando

está en el
intervalo.58ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEDeterminar si la función dada es homogénea o no homogéne
a.1. 2. 3. 4. 5.
3.2

S
OLUCIÓN DE UNA ECUAC
IÓN DIFERENCIAL A PA
RTIR DE UNA SOLUCIÓN

CONOCIDA

Sea el caso
, dondesea el operador diferencial,

y

soluciones de la ecuación homogénea
, definiendo aplicando la linealidad de
, resulta
Las funciones

y
son soluciones de la ecuación lineal
homogénea

59
para
en el

intervalo
, la combinación lineal eses una solución de la ecuación en el intervalo.Sea

el operador diferencial,

y

soluciones particulares

de
la ecuación no homogénea
. Definiendo
, por la
linealidad de

se debe cumplir se demuestra que
es una solución de la ecuación homogénea Utilizando la sustitución para la función es una solución particular de la ecuación no homogénea
Para llegar a la solución general de la ecuación anterior
,

hay que resolver
la ecuación hom
ogénea asociadala cual tiene como solución en el intervalo
; por lo tanto la solución general de la ecuación inicial en
el intervalo es
60A
CTIVIDAD DE APRENDIZAJERealizar una investigación documental en la que, como ejemplos, tengan
soluciones de ecuaciones diferenciales a partir de una solución conocida para
que el alumno reafirme los conocimientos obtenidos en clases.3.3

E
L WRONSKIANO

E
l
wronskiano

en matemáticas denomina así a una función en honor a el
matemático y filósofo Józef Maria Hoene
-
Wronski, aplicable al estudio de las
ecuaciones diferenciales ordinarias. Wronski en 1812 dice que cada ecuación
tiene una solución algebraica.

S
uponga que cada una de las funcionesposee derivadas al menos.El determinanteen donde las primas representan las derivadas, es el
wronskiano

de las
funciones.Sean

soluciones
de la ecuación lineal, homogénea y de orden
, en un intervalo
, si y solo sipara toda

en el intervalo.61ACTIVIDAD DE APRENDI
ZAJERealizar una investigación documental del uso del método del Wronskiano en la
solución de ecuaciones diferenciales y poder calcular el determínate
correspondiente.3.4

V
ARIACIÓN DE PARÁMETR
OS

La solución particular de una ecuación de diferencial lin
eal de primer ordenen un intervalo
,

se aplica a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar
el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo
ordenes necesario manejar la ecua
ción diferencial de la forma reducida
Para hallar una solución particular de la ecuación
para
la ecuación
, se debe buscar una solución de la
forma:para que
y

formen un conjunto de soluciones en
.Aplicando dos veces la regla del producto para diferenciar

obtenemos
sustituyendo las
ecuaciones obtenidas en
y
agrupando los términos:



62 Es necesario determinar dos funciones desconocidas
y
, estas
funciones satisfacen a
, reduciendo la ecuación ase Obtienen las dos ecuaciones que se necesitaban. Aplicando la regla de
Cramer y la solución del sistema
se puede expresar en términos de los determinantesyen donde
Las funciones
y

se determinan integran
do los resultados ydonde el determinante
es el wronskiano de
y
, que por la independencia
linean entre
y

en
, que
para toda
en el intervalo.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEResolver las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.

63
1. 2. 3. 4. 5.
3.5

E
CUACIÓN DE
C
AUCHY
E
ULER

Augustin Louis Cauchy y Leonhard Paul Euler trataron de buscar un factor
de
integración que transforma ecuaciones diferenciales q
ue no son lineales a
ecuaciones diferenciales exactas para poder llegar a su solución.

Toda ecuación diferencial lineal de la formadonde los coeficientes
son constantes, tienen los nombres de
ecuación de Cauch
y
-
Euler ó Euler
-
Cauchy.La característica observable de este tipo de ecuación es que el gradode los coeficientes nominales
coincide con el orden

de la diferenciación
.Solución de la forma donde
esta por determinar. La primera y segunda derivadas son,
respectivamente

64 y

en consecuencia




así, es una solución de la ecuación diferencial siempre

que sea una solución de
la ecuación auxiliaró

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEReal
izar una investigación documental del empleo de la ecuación de Cauchy
Euler en la solución de ecuaciones diferenciales, para reforzar los
conocimientos obtenidos en clase; el alumno debe proponer un análisis del
algoritmo para solucionar ecuaciones diferen
ciales a través de la ecuación de
Cauchy
-
Euler.

653.6

S
ERIES DE POTENCIA

Determinar la solución de como una serie de potencias en
. Suponiendo que la solución de la ecuación
existe y tiene la formaaplicando una derivación a la educación da como resultadotomando de referencia la ecuación a determinar y la que se derivo obtenemos
Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de la
s
sumatorias comiencen con el mismo número y la
s

potencias comiencen igual.

Entonces es necesario identificar que en la primera serie

y en la
segunda serie
, la anterior ecuación el lado derecho se transforma e
n
Después de sumar término a término las series, se sigue quepara que esta ecuación sea idéntica a 0

, los coeficientes de la potencias iguales
de
deben ser cero; es decir
,

y
siendo esta última ecuación una relación de recurrencia o relación recursiva que
determina las
. Dado que 66para todos los valores indicados de se pue
de expresar la siguiente ecuaciónpor interacción, esta fórmula genera los siguientes resultados: y así sucesivamente para que de la ecuación se obtenga que


67esta es la solución general ya que la
interacción ha dejado a
totalmente
indeterminado.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJERealizar una investigación documental para reforzar los conocimientos
obtenidos en clase donde aplique el uso de las series de potencia en la solución
de ec
uaciones diferenciales, como resultado de dicha investigación el alumno
será capaz de analizar ecuaciones diferenciales y aplicar la interacción que
requiere la solución de educaciones a través de este método sobre todo para
comprender si la ecuación difer
encial en estudio será convergente o divergente
para el intervalo en que se estudie.

68AUTOEVALUACIÓNDeterminar si la función dada es homogénea o no homogénea.

1. 2. 3. 4.

5. 69R
ESPUESTAS AUTOEVALUACIONDeterminar si la función dada es homogénea o no homogénea.

1. Respuesta: Sea
por lo tantoresultando ser una función homogénea de tercer grado.2. Respuesta:

por lo tantofunción homogénea de grado 3. Respuesta:

70

por lo tantoes una función homogénea de grado
-
14. Respuesta:

71
entoncespor lo tantofunción no homogénea.5.

Respuesta:entonces
por lo tant
ofunción homogénea de grado 0.

72UNIDAD
4TRANSFORMADAS DE LAPLACEOBJETIVO

Aplicar la transformada de L
aplace a ecuaciones diferenciales
TEMARIO

4.1

DEFINICIÓN

DE

LA

TRANSFORMADA

DE

LAPLACE

4.2

TRANSFORMADA

DIRECTA

E

INVERSA

DE

LAPLACE

4.3

SOLUCIÓN

DE

UN

SISTEMA

DE

ECUACIONES

CON

LAS

TRANSFORMADAS

DE

LAPLACE73MAPA CONCEPTUAL 74INTRODUCCIÓNEn esta unidad se aborda la transformada de Laplace, el cual es un método que
tiene la finalidad de convertir una ecuación diferencia
l para su solución a forma
algebraica.La transformada de Laplace sirve para verificar la validez de una
ecuación diferencial en un intervalo dado, hay el caso en que las ecuaciones
diferenciales dadas en problemas no existen y mediante este método, ya se
a en
su forma directa o inversa, se comprueba si la ecuación existe.
754.1

D
EFINICIÓN DE LA TRAN
SFORMADA DE LAPLACE

Sea dada. La transformada de Laplace de se define comodonde
es un parámetro real. El símbolo

se llama operador de la
transformada de Laplace.La integral impropia de la ecuación anterior se define comoy la transformada de Laplace se dice que existe o no

de acuerdo a si el límite
existe o no. Si existe decimos que la integral converge.

Ejemplo 1. Encontrar
, solución:
si

ya que el exponente
es negativo,
cuando
. Cuando
se dice que integral es divergente.

Ejemplo2. Encontrar
, solución:
76

La transformada de Laplace existe sipero no existe si
. En general para las funciones donde
, existirá también para
,
aunque hay funciones cuyas transformadas de Laplace no existen para ningún
valor de
, por ejemplo la integral deno converge para ningún valor de
, la transformada de Laplace

de
no
existe.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEAplique la transformada de Laplace para determinar

para los casos
cuando
este condicionada por los valores.1.
2.
3.
4.

77

5.
4.2

T
RANSFORMADA DIRECTA
E INVERSA DE LAPLACE

La transformada directa de Laplace es aquella cuando una función se transforma en o
tra función
a través de la integralrepresentada de forma general por
Algunas transformadas de Laplace de funciones básicas son:

a)b)c)d)e)f)

g)
78
La transformada inversa de Laplace, se ocupa en invertir el proceso, es
decir, dadahallar la funciónque corresponde a esa transformación.Se considera que es la transformada inversa de Laplace de expresada como
Algunas transformadas inversas de Laplace de funci
ones básicas son

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

es una transformación lineal. La tr
ansformada de Laplace es una
transformación lineal si

y

son constantes, esto es79donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.La transformada inversa de Laplace de una funció
n F(s) puede no ser
única. Es posible que y

,

pero si

y

son continuas en el intervalo
, entonces

en dicho
intervalo

Ej
emplo 1: Evalúe

,

para dar solución hay que coincidir la ecuación a la forma

,

donde se determina que
, para después multiplicar y dividir la ecuación por
, resolvien
do la ecuación de la siguiente manera.
Ejemplo 2
:

Evalúe
Solución: como
, utilizando se divide la expresión y se multiplica por 8, quedando

resulta de la siguiente
forma:80 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJERealizar una investigación documental respecto a la transformada directa e
inversa de Laplace para reforzar los conocimientos obtenidos de clase y pod
er
solucionar ecuaciones diferenciales a través de este método. _Debido a que la
Transformada de Laplace se define en términos de una
integral impropia
que
puede ser divergente, el estudiante tiene que conocer a través de esta
investigación las condiciones

necesarias para la existencia de la transformada
de Laplace, las condiciones que puede investigar son la de la transformada de
La place en funciones continuas a trozos, en funciones de orden exponencial,
funciones acotadas, además, debe investigar el teor
ema de la existencia de la
transformada de Laplace y su linealidad.
4.3

S
OLUCIÓN DE UN SISTEM
A DE ECUACIONES CON
LAS TRANSFORMADAS DE

LAPLACE

Con condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de
ecuaciones diferenciales a un conjunt
o de ecuaciones algebraicas simultáneas
para las funciones transformadas.

Ejemplo: Resolversujetas a
.Solución: Si

y
, entonces después de
transformar cada ecuació
n se obtiene:81
es decir
Al multiplicar por 2 la segunda ecuación y restar se obtienees decirque al desarrollarlo en f
racciones parciales daaplicando transformadas inversas la ecuación se transforma en

De acuerdo a la ecuación
en consecuencia
se concluye que la solución del sistema

82
es ACTIVIDAD DE APRENDIZAJERealizar una investigación documental donde se utilicen soluciones de
ecuaciones di
ferenciales utilizando la transformada de Laplace, con dicha
investigación el alumno deberá presentar el algoritmo en forma de diagrama de
flujo donde se especifica los pasos ordenados para hallar la solución de los
sistemas de ecuaciones.83AUTOEVALUACIÓNResolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de
Laplace para determinar
.1.
2.
3.
4.
5. 84RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓNResolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la Transformada de
Laplace para determinar
.1. Respuesta:

2.

Respuesta
:

3. Respuesta
4.

Respuesta:
85
5. Respuesta:

86BIBLIOGRAFIA
Blanchard, Paul,
Ecuaciones Diferenciales
, México, Thomson, 1999.Braun, Martín,
Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones
, México,
Iberoaméricana, 2000.Rainville, Earl D.,
Ecuaciones diferenciales elementales
, México, Pearson,
2000.Richard, Bronson,
Ecuaciones diferenciales
, México, McGraw
-
Hill, 2008Simmons, George,
Ecuaciones diferenciales teoría y práctica
, México,
McGrawHill, 2007.Spiegel, Murra
y R.,
Ecuaciones diferenciales
, México, Prentice Hall, 2000.Zill, Dennis G.,
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones
, México,
Iberoamérica, 2001.

87GLOSARIO
ÁLGEBRA
: Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos más
elementales a resolver ec
uaciones y sistemas de ecuaciones.ARITMÉTICA
: Parte de la matemática que se ocupa del estudio elemental de
los números, de las relaciones entre ellos y de las técnicas de realización de
operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división, p
otenciación,
radicación y logaritm
os
.BASE
: Se llama base de una potencia al factor que se repite tantas veces como
lo indica el exponente.COEFICIENTE
: Es el número que va situado a la izquierda de una letra o literal.
Si el coeficiente es la unidad, se

omite.CONSTANTE
: Valor de tipo permanenteDERIVADA
: La derivada de una función es la representación de un valor sobre
la pendiente de la recta tangente que cambia su valor.ECUACIÓN
: Igualdad entre dos expresiones algebraicas.EXPONENTE
: Un exponente

es un número que indica cuántas veces debe
usarse la base como factor.FACTORIZACIÓN
: Es la transformación de una expresión algebraica racional
entera en el producto de sus factores racionales y enteros primos entre sí.88FUNCIÓN
: Usada en matemáticas par
a modelar situaciones de la dependencia
de una variable sobre otra.IGUALDAD
: Expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen el
mismo valor.INTEGRACIÓN
: Es la suma de infinitos sumados, infinitamente pequeños.INTERVALO
: Conjunto de núme
ros reales comprendidos entre otros dos
números reales.LIMITE
: Tendencia de una sucesión o función al acercase a un valor.LOGARITMO
: Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que
hay que elevar la base para obtener dicho número.NÚME
RO DECIMAL
:

Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal
que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.NÚMERO NATURAL
:

D
enota una cantidad entera y positiva de una especie. El
conjunto de los naturales se denomina N, excluye a
l cero y se expresa: N= {1,
2, 3, 4, ...}NÚMERO RACIONAL
:

Comprende las cantidades numéricas expresables en
forma de fracción. El conjunto de los números racionales se denota por Q e
incluye a los números enteros y naturales.NÚMEROS PRIMOS
:

Son aquello
s números que solo son divisibles por sí
mismos y por la unidad, es decir estos números solamente presentan dos
divisores. También son llamados "números primos absolutos" (1, 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.).

89POTENCIA
: Representación de un pro
ducto de factores iguales entre sí.RELACION
: Conjunto de pares ordenados.SISTEMA DE ECUACIONES
: Conjunto de ecuaciones que presentan
soluciones comunes.TRANSFORMACIONES
: Cambios de escala con el propósito de conseguir
linealidad, normalidad en los da
tosVALOR ABSOLUTO:

Siendo x un número real cualquiera, se llama valor
absoluto de x y se representa por | x | al número real que verifica las siguientes
condiciones: | x |=x; sí y solo sí x�0 ó x=0; | x |=
-
x; sí y solo sí x0. El valor
absoluto de un núm
ero distinto de cero siempre es un número positivo.VARIABLE
: Objeto matemático que puede tomar diferentes valores.
Generalmente asociado a propiedades o características de las unidades de la
muestra. Lo contrario de variable es constante.
ALFABETO GRIE
GOAlfa

Beta

Gamma
Delta

Épsilon
Eta

Zeta

Iota

Kappa

90Lambda
Mi

Ni

Xi

Ómicron
Pi

Ro

Sigma

T
au

Ípsilon

Fi

Ji

Psi

Omega

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