Investigacion de operaciones, modelos matem´aticos y

¿Qu´e es la Investigacion de Operaciones? I Una definici´on que se acerca mucho a la realidad ser´ıa “la ciencia de la toma de decisiones”. Conviven en esta disciplina profesionales de las m´as diversas ramas: ingenieros, matem´aticos, computadores, economistas. Todos ellos deben aprender una t´ecnica fundamental: el modelamiento ...


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Unproblemadeproduccion
I
Uncarpinterodeseadeterminarlacantidaddesillasymesasquedebeproducirelproximodaparamaximizarsuganancia.
I
Cuentacon38m2demaderaydisponede7;5hs/hombre.
I
Serequierede4m2y1hora/hombreparaconfeccionarcadasilla;yde9;5m2demaderay1hora/hombreparaconfeccionarcadamesa.
I
Seasumequesevendetodoloqueseproduceyqueelbene cioporsillaesde$4,mientrasqueelbene ciopormesaesde$8;5.
I
�Cuantassillasymesasdebeproducir?
Elmodelodelassillasylasmesas
I
�Comodecimosenformulasmatematicasqueelmaximonumerodemetroscuadradosquepodemosusares38?4x1+9;5x238
I
�Comodecimosenformulasmatematicasqueelmaximonumerodehoras/hombrequepodemosusares7;5?x1+x27;5
Elmodelodelassillasylasmesas
I
�Cualeslafunciondeutilidadquetenemosquemaximizar?max4x1+8;5x2
I
Porultimo,elnumerodesillasydemesasdebeserpositivo:x10;x20
Resumiendo:tenemosunmodelodeprogramacionlineal
max4x1+8;5x2Sujetoa:4x1+9;5x238x1+x27;5x10;x20
Algoandamal...
I
Nopodemosproducir6;05sillasy1;45mesas!!
I
�Quelefaltaalmodelo?
I
Lasvariablestienenquetomarvaloresenteros:0;1;2;3;:::
Algoandamal...
I
Nopodemosproducir6;05sillasy1;45mesas!!
I
�Quelefaltaalmodelo?
I
Lasvariablestienenquetomarvaloresenteros:0;1;2;3;:::
Veamosentonceslanuevasolucion...
Elproblemadelos4colores
I
Pintarunmapaesasignarlescoloresasusregionesdemodoque2regioneslimtrofes(conalmenosunbordeencomun)tengandiferentecolor.
I
Dibujenunmapademododequenosepuedapintarcon3colores.
I
Dibujenunmapademododequenosepuedapintarcon4colores.
Elproblemadelos4colores
I
Pintarunmapaesasignarlescoloresasusregionesdemodoque2regioneslimtrofes(conalmenosunbordeencomun)tengandiferentecolor.
I
Dibujenunmapademododequenosepuedapintarcon3colores.
I
Dibujenunmapademododequenosepuedapintarcon4colores.
Ejemplosdeproblemascombinatoriales
I
Elproblemadeprogramacionenterayelproblemadelos4coloressonejemplosdeproblemascombinatorios.
I
Otroejemplo:�Decuantasformasdiferentespuedensentarseustedesenestasala?�Seradifcilhaceresacuenta?Hagamoslajuntos...
�Queesunproblemadeoptimizacion?
I
Esunproblemaenelcual,deunconjuntodeobjetoscadaunoconun\valor",sebuscaelobjetocon\mejor"valor.
I
Loscriteriosde\mejor"puedensermuydiversos.
I
10paresdezapatosconpreciosycalidadesdiferentes.�Cualcompro?
�Queesunproblemadeoptimizacioncombinatorial?
I
Esunproblemadondesebuscalamejoropcionentreunconjuntodeunnumero nitodeelementos.
I
Loselementospuedensergeneradosmediantereglasquede nenelproblema.
Problemadelvendedorviajero(PVV)
Unviajerodeberecorrerciertacantidaddeciudadesyvolver nalmentealaciudaddondevive.�Cualeselmejorrecorrido?
I
Elmascorto(tambienpodramospreferirelmasrapido).
Recorridosconcincociudades
Recorridosconmasdecincociudades
I
�Cuantosrecorridostengoenuncasocon10ciudades?
181440
I
�Cuantosrecorridostengoenuncasocon50ciudades?
304140932017133780436126081660647688443776415689605120000000000
I
�Cuantosrecorridostengoenuncasocon100ciudades?
466631077219720763408496194281333502453579841321908107342964819476087999966149578044707319880782591431268489604136118791255926054584320000000000000000000000
I
�Cuantosrecorridostengoenuncasoconnciudades?
(n�1)!
2
Recorridosconmasdecincociudades
I
�Cuantosrecorridostengoenuncasocon10ciudades?
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�Cuantosrecorridostengoenuncasocon50ciudades?
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�Cuantosrecorridostengoenuncasocon100ciudades?
466631077219720763408496194281333502453579841321908107342964819476087999966149578044707319880782591431268489604136118791255926054584320000000000000000000000
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�Cuantosrecorridostengoenuncasoconnciudades?
(n�1)!
2
Recorridosconmasdecincociudades
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�Cuantosrecorridostengoenuncasocon10ciudades?
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I
�Cuantosrecorridostengoenuncasocon50ciudades?
304140932017133780436126081660647688443776415689605120000000000
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�Cuantosrecorridostengoenuncasocon100ciudades?
466631077219720763408496194281333502453579841321908107342964819476087999966149578044707319880782591431268489604136118791255926054584320000000000000000000000
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�Cuantosrecorridostengoenuncasoconnciudades?
(n�1)!
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Recorridosconmasdecincociudades
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�Cuantosrecorridostengoenuncasocon10ciudades?
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I
�Cuantosrecorridostengoenuncasocon50ciudades?
304140932017133780436126081660647688443776415689605120000000000
I
�Cuantosrecorridostengoenuncasocon100ciudades?
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I
�Cuantosrecorridostengoenuncasoconnciudades?
(n�1)!
2
�Comoseresuelveunproblemadeoptimizacioncombinatorial?
Diferentesopciones:
I
Contandotodosloscasosyeligiendoelmejor:fuerzabruta.
I
Encontrandounasolucion\relativamentebuena"perosintenergarantadequeeslamejor.
I
Encarandoproblemasmaschicosperoconlacertezadequeencuentrolasolucionoptima.
I
Buscandomediantemetodos\inteligentes"encontrarlasolucionoptima,aunenproblemasgrandes.
�Comoseresuelveunproblemadeoptimizacioncombinatorial?
Diferentesopciones:
I
Contandotodosloscasosyeligiendoelmejor:fuerzabruta.
I
Encontrandounasolucion\relativamentebuena"perosintenergarantadequeeslamejor.
I
Encarandoproblemasmaschicosperoconlacertezadequeencuentrolasolucionoptima.
I
Buscandomediantemetodos\inteligentes"encontrarlasolucionoptima,aunenproblemasgrandes.
Fuerzabruta
I
Esteenfoqueconsisteenlistartodosloscasosyparacadaunocalcularsucosto,identi candodeestemodoelcasodecostomasconveniente.
I
Podramospensarquecomotenemoscomputadoresmuye cientesyrapidosnotendremosinconvenienteenresolverproblematangrandescomosenospresenten.
I
rror!Estamosantegigantesenormementemasfuertesquenuestrospoderososcomputadores.
Fuerzabruta
I
Esteenfoqueconsisteenlistartodosloscasosyparacadaunocalcularsucosto,identi candodeestemodoelcasodecostomasconveniente.
I
Podramospensarquecomotenemoscomputadoresmuye cientesyrapidosnotendremosinconvenienteenresolverproblematangrandescomosenospresenten.
I
rror!Estamosantegigantesenormementemasfuertesquenuestrospoderososcomputadores.
Resultados
I
31557600000cantidaddesegundosenunsiglo.
I
6000000000personasenelmundo(unacomputadoraporpersona).
I
1000000000000(unbillon)deevaluacionesporsegundo.
I
1.606274.093599.924056.519539.306224cantidaddesiglosenevaluartodosloscasospara50ciudades.
I
200000000edaddeluniversoensiglossegunalgunasteorascosmologicas.
Metodosaproximados:Heursticos.
I
Tratandeorientarseeneluniversodetodaslasposiblessolucionesenbuscadelamejor.
I
Uninconvenientequetienenesqueenlamayoradelosproblemascombinatorialesengeneralnopuedoestarsegurodequeencontrelamejorsolucion.
Metodosexactos.
I
Intentandescartarfamiliasenterasdeposiblessolucionesparaacelerarlabusquedayllegaralaconclusiondequelamejorsolucionqueencontraronenrealidadeslaoptima.
I
Uninconvenientequetienenesquesonmuylentos,pudiendoresolversoloproblemaspeque~nosoproblemasgrandesconciertascaractersticasparticulares.
I
�Comotrabajanlosmetodosexactos\inteligentes"?
Asignemosunoperariodistintoacadaunodelossiguientes3trabajos
Asignemosunoperariodistintoacadaunodelossiguientes3trabajos
SolucionesoptimasparaelPVV
I
En1954Dantzig,FulkersonyJohnsonresolvieronuncasode49ciudadesdelPVV.
I
\Resolvieron"signi caqueD,F&Jestabansegurosdequelasolucionquepresentabaneralamejordeunconjuntode60decillonesdesolucionesposibles.
Solucionrecord(en2001)de15112ciudadesdeAlemania
I
Resueltaenunaredde110maquinasenlasuniversidadesdeRiceyPrinceton,porApplegate,Bixby,ChvatalyCook.
I
Tiempototaldecomputode22.6a~nosdeunaPCde500MHz.
I
Longitudtotaldeaproximadamente66.000Km(Unpocomasdeunavueltaymediaalatierraporelecuador).
Solucionrecord(en2004)de24978ciudadesdeSuecia
I
ResueltaporApplegate,Bixby,Chvatal,CookyHelsgaun.
I
Longitudtotaldeaproximadamente72.500Km.
Solucionrecordactual(2005)
I
Cook,EspinozayGoycoolea:33810ciudades!

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