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ISBN 978-607-32-0796-6
AMDY A. T
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Novena ediciónAMDY A. TNovena edición
AMP, SolExcel, e implemetaTOTAHA€ La nueva sección 3.7 ofrece un marco de trabajo (sin necesidad de utilizar matemáticas) sobre cómo € El nuevo capÃtulo 10 cubre la heurÃstica y la metaheurÃstica diseñadas para obtener buenas soluciones € El nuevo capÃtulo 11, dedicado al importante problema del agente viajero, incluye varias aplicaciones € Todos los algoritmos de los capÃtulos 10 y 11 se codicaron en Excel para una agradable experimen-€ En todos los capÃtulos se agregaron numerosos problemas nuevos.€ También se actualizó el soware TORA. ANIVERSARIO
Investigaci—nde operaciones
HamdyA.Taha
Rodolfo Navarro SalasEVISIîNTƒCNICAAlicia Nandeli Mercado ZepedaFrancisco Garc’a MoraMario çlvarez Garc’aInstituto Tecnol—gico Superior del Occidente del Estado de HidalgoUlises Mercado ValenzuelaInstituto Tecnol—gico de Estudios Superiores de CoacalcoUniversidad Tecnol—gica Nacional
Authorized translation from the English language edition,entitled Operations Research:An Introduction,Edition,byHamdy A.Taha,published by Pearson Education,Inc.,publishing as Prentice Hall,Copyright © 2011.All rights reserved.Traducci—n autorizada de la edici—n en idioma inglŽs,titulada Operations Research:An Introduction,9a.edici—n,porHamdy A.Taha,publicada por Pearson Education,Inc.,publicada como Prentice Hall,Copyright © 2011.Todos los derechos reservados.e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo:Bernardino GutiŽrrez Hern‡ndez Supervisor de producci—n:Rodrigo Romero Villalobos NOVENA EDICIîN,2012D.R.© 2012 por Pearson Educaci—n de MŽxico,S.A.de C.V.Atlacomulco 500-5o.pisoCol.Industrial Atoto53519,Naucalpan de Ju‡rez,Estado de MŽxicoC‡mara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg.nœm.1031.Reservados todos los derechos.Ni la totalidad ni parte de esta publicaci—n pueden reproducirse,registrarseo transmitirse,por un sistema de recuperaci—n de informaci—n,en ninguna forma ni por ningœn medio,seaelectr—nico,mec‡nico,fotoqu’mico,magnŽtico o electro—ptico,por fotocopia,grabaci—n o cualquier otro,sin permiso previo por escrito del editor.El prŽstamo,alquiler o cualquier otra forma de cesi—n de uso de este ejemplar requerir‡ tambiŽn laautorizaci—n del editor o de sus representantes.ISBN VERSIîN IMPRESA:978-607-32-0796-6ISBN VERSIîN E-BOOK:978-607-32-0797-3ISBN E-CHAPTER:978-607-32-0798-0Printed in Mexico.
MDY InveIîN, MŽico, 2012BN: 978-607-32-0796-6çrea: Matem‡ticaFormato: 18.5 : 824
ÃYo sŽ donde hay una fuenteV.Ruiz Aguilera (1862)
Lo nuevo en esta edici—nxxvAgradecimientosxxviReconocimientosxxxAcerca del autorxxxiMarcas registradasxxxiiiCap’tulo 1QuŽ es la investigaci—n de operaciones11.1Introducci—n1.2Modelos de investigaci—n de operaciones1.3Soluci—n del modelo de IO1.4Modelos de colas y simulaci—n1.5El arte del modelado1.6M‡s que s—lo matem‡ticas1.7Fases de un estudio de IO1.8Acerca de este libroCap’tulo 2Modelado con programaci—n lineal132.1Modelo de PL con dos variables2.2Soluci—n gr‡fica de la PL2.2.1Soluci—n de un modelo de maximizaci—n2.2.2Soluci—n de un modelo de minimizaci—n2.3Soluci—n con computadora, aplicando Solver y AMPL2.3.1Soluci—n de PL con Excel Solver2.3.2Soluci—n de PL con AMPL2.4Aplicaciones de programaci—n lineal2.4.1Inversi—n2.4.3Planificaci—n de la mano de obra2.4.4Planificaci—n de desarrollo urbano2.4.5Mezcla y refinaci—n2.4.6Aplicaciones de PL adicionalesCap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad693.1Modelo de PLen forma de ecuaci—n3.2Transici—n de la soluci—n gr‡fica a la algebraica
3.3MŽtodo simplex3.3.1Naturaleza iterativa del mŽtodo simplex3.3.2Detalles de c‡lculo del algoritmo simplex3.3.3Resumen del mŽtodo simplex3.4Soluci—n artificial inicial3.4.1MŽtodo 3.4.2MŽtodo de dos fases3.5Casos especiales en el mŽtodo simplex3.5.1Degeneraci—n3.5.2îptimos alternativos3.5.3Soluci—n no acotada3.5.4Soluci—n no factible3.6An‡lisis de sensibilidad3.6.1An‡lisis de sensibilidad gr‡fica3.6.2An‡lisis de sensibilidad algebraica. Cambios 3.6.3An‡lisis de sensibilidad algebraica. 3.6.4An‡lisis de sensibilidad con Tora, Solver, 3.7Temas de c‡lculo en la programaci—n linealCap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimo1374.1Definici—n del problema dual4.2Relaciones primal-dual4.2.1Repaso de operaciones con matrices simples4.2.2Dise–o de la tabla simplex4.2.3Soluci—n dual —ptima4.2.4C‡lculos con la tabla simplex4.3Interpretaci—n econ—mica de la dualidad4.3.1Interpretaci—n econ—mica de las variables duales4.3.2Interpretaci—n econ—mica de las restricciones 4.4Algoritmos simplex adicionales4.4.1Algoritmo simplex dual4.4.2Algoritmo simplex generalizado4.5An‡lisis post—ptimo4.5.1Cambios que afectan la factibilidad4.5.2Cambios que afectan la optimalidad
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes1755.1Definici—n del modelo de transporte5.2Modelos de transporte no tradicionales5.3Algoritmo de transporte5.3.1Determinaci—n de la soluci—n de inicio5.3.2C‡lculos iterativos del algoritmo de transporte5.3.3Explicaci—n del mŽtodo de los multiplicadores 5.4Modelo de asignaci—n5.4.1MŽtodo hœngaro5.4.2Explicaci—n del mŽtodo hœngaro con simplexCap’tulo 6Modelo de redes2096.1Alcance y definici—n de modelos de redes6.2Algoritmo del ‡rbol de m’nima expansi—n6.3Problema de la ruta m‡s corta6.3.1Ejemplos de aplicaciones de la ruta m‡s corta6.3.2Algoritmos de la ruta m‡s corta6.3.3Formulaci—n de programaci—n lineal del problema 6.4Modelo de flujo m‡ximo6.4.1Enumeraci—n de cortes6.4.2Algoritmo de flujo m‡ximo6.4.3Formulaci—n de programaci—n lineal en el modo 6.5CPM y PERT6.5.1Representaci—n en forma de red6.5.2C‡lculos del mŽtodo de la ruta cr’tica (CPM)6.5.3Construcci—n del cronograma6.5.4Formulaci—n de programaci—n lineal de CPM6.5.5Redes PERTCap’tulo 7Programaci—n lineal avanzada2677.1Fundamentos del mŽtodo simplex7.1.1Desde los puntos extremos hasta las soluciones 7.1.2Tabla simplex generalizada en forma
7.2MŽtodo simplex revisado7.2.1Desarrollo de las condiciones de optimalidad 7.2.2Algoritmo simplex revisado7.3Algoritmo de variables acotadas7.4Dualidad7.4.1Definici—n matricial del problema dual7.4.2Soluci—n dual —ptima7.5Programaci—n lineal paramŽtrica7.5.1Cambios paramŽtricos en C7.5.2Cambios paramŽtricos en b7.6M‡s temas de programaci—n linealCap’tulo 8Programaci—n de metas3018.1Formulaci—n de una programaci—n de metas8.2Algoritmos de programaci—n de metas8.2.1MŽtodo de los pesos8.2.2MŽtodo preventivoCap’tulo 9Programaci—n lineal entera3159.1Aplicaciones ilustrativas9.1.1Presupuesto de capital9.1.2Problema de cobertura de conjunto9.1.3Problema de cargo fijo9.1.4Restricciones Uno - u - otro y Si - entonces9.2Algoritmos de programaci—n entera9.2.1Algoritmo de ramificaci—n y acotamiento9.2.2Algoritmo de plano de corteCap’tulo 10Programaci—n heur’stica35110.1Introducci—n10.2Heur’stica codiciosa (bœsqueda local)10.2.1Heur’stica de variable discreta10.2.2Heur’stica de variable continua10.3Metaheur’stica10.3.1Algoritmo de bœsqueda tabœ10.3.2Algoritmo de recocido simulado10.3.3Algoritmo genŽtico
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enteros10.4.1Algoritmo tabœ aplicado a una PLE10.4.3Algoritmo genŽtico aplicado a la PLE10.5Introducci—n a la programaci—n de restricci—n (PR)Cap’tulo 11Problema del agente viajero (TSP*)39511.1Aplicaciones de ejemplo de TSP11.2Modelo TSPmatem‡tico11.3Algoritmos TSPexactos11.3.1Algoritmo de ramificaci—n y acotamiento11.3.2Algoritmo del plano de corte11.4Heur’sticas de bœsqueda local11.4.1Heur’stica del vecino m‡s cercano11.4.2Heur’stica de inversi—n11.5Metaheur’sticas11.5.1Algoritmo tabœ aplicado al modelo TSP11.5.2Algoritmo de recocido simulado aplicado 11.5.3TSP Algoritmo genŽtico aplicado al modelo TSPCap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’stica42912.1Naturaleza recursiva de los c‡lculos de programaci—n12.2Recursividad hacia adelante (avance) y hacia atr‡s(retroceso)12.3Aplicaciones de PDseleccionadas12.3.1Modelo de la mochila/equipo de vuelo/carga 12.3.2Modelo de tama–o de la fuerza de trabajo12.3.3Modelo de reemplazo de equipo12.3.4Modelo de inversi—n12.3.5Modelos de inventario12.4Problema de dimensionalidadCap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos45713.1Modelo general de inventario
13.2El papel (rol) de la demanda en el desarrollo de modelos 13.3Modelos est‡ticos de cantidad de pedido econ—mico (EOQ)13.3.1Modelo EOQ cl‡sico13.3.2EOQ con reducciones de precios13.3.3Cantidad de pedido econ—mica (EOQ) de varios13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica13.4.1Modelo de EOQ sin costo de preparaci—n13.4.2Modelo de EOQ con costo de preparaci—nCap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sica48914.1Leyes de probabilidad14.1.1Ley de la adici—n de probabilidad14.1.2Ley de probabilidad condicional14.2Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad14.3Expectativa de una variable aleatoria14.3.1Media y varianza (desviaci—n est‡ndar) 14.3.2Variables aleatorias conjuntas14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comunes14.4.1Distribuci—n binomial14.4.2Distribuci—n de Poisson14.4.3Distribuci—n exponencial negativa14.4.4Distribuci—n normal14.5Distribuciones emp’ricasCap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegos51315.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqu’a15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgo15.2.1çrbol de decisiones. Basado en el criterio 15.2.2Variantes del criterio del valor esperado15.3Decisi—n bajo incertidumbre15.4Teor’a de juegos15.4.1Soluci—n —ptima de juegos de suma cero entre 15.4.2Soluci—n de juegos con estrategias combinadas
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticos55316.1Modelos de revisi—n continua16.1.1Modelo EOQ ÃprobabilizadoÃ16.1.2Modelo EOQ probabil’stico16.2Modelos de un solo periodo16.2.1Modelo sin preparaci—n 16.2.2Modelo con preparaci—n (Pol’tica 16.3Modelo de varios periodosCap’tulo 17Cadenas de Markov57117.1Definci—n de una cadena de Markov17.2Probabilidades de transici—n absolutas y de 17.3Clasificaci—n de los estados en una cadena 17.4Probabilidades de estado estable y tiempos de retorno17.5Tiempo del primer paso17.6An‡lisis de los estados absorbentesCap’tulo 18Sistemas de colas59318.1ÃPor quŽ estudiar las colas?18.2Elementos de un modelo de colas18.3Papel de la distribuci—n exponencial18.4Modelos de nacimiento y muerte puros (relaci—n entre 18.4.1Modelo de nacimiento puro18.4.2Modelo de muerte pura18.6Colas de Poisson especializadas18.6.1Medidas de desempe–o de estado 18.6.2Modelos de un solo servidor18.6.3Modelos de varios servidores18.6.4Modelo de servicio de m‡quinas 18.7(18.8Otros modelos de colas
18.9Modelos de decisi—n en colas18.9.1Modelos de costos18.9.2Modelo de nivel de aspiraci—nCap’tulo 19Modelado de simulaci—n64719.1Simulaci—n Montecarlo19.2Tipos de simulaci—n19.3Elementos de la simulaci—n de evento discreto19.3.1Definici—n genŽrica de eventos19.3.2Muestreo de distribuciones de probabilidad19.4Generaci—n de nœmeros aleatorios19.5Mec‡nica de la simulaci—n discreta19.5.1Simulaci—n manual de un modelo de un solo 19.5.2Simulaci—n basada en una hoja de c‡lculo del modelo19.6MŽtodos para reunir observaciones estad’sticas19.6.1MŽtodo de subintervalos19.6.2MŽtodo de rŽplica19.7Lenguajes de simulaci—nCap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica67720.1Problemas no restringidos20.1.1Condiciones necesarias y suficientes20.1.2MŽtodo de Newton-Raphson20.2Problemas restringidos20.2.1Restricciones de igualdad20.2.2Restricciones de desigualdad. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no lineal69921.1Algoritmos no restringidos21.1.1MŽtodo de bœsqueda directa21.1.2MŽtodo del gradiente21.2Algoritmos restringidos21.2.1Programaci—n separable21.2.2Programaci—n cuadr‡tica21.2.3Programaci—n estoc‡stica
21.2.4MŽtodo de combinaciones lineales21.2.5Algoritmo SUMTApŽndice ATablas estad’sticas729ApŽndice BRespuestas parciales a problemas seleccionados733êndice779
web de este libro (www.pearsoneducacion.net/taha)Chapter 22Additional Network and LP Algorithms22.122.1Minimum-Cost Capacitated Flow Problem22.1.1Network Representation22.1.2Linear Programming Formulation22.1.3Capacitated Network Simplex Algorithm22.2Decomposition Algorithm22.3Karmarkar Interior-Point Method22.3.1Basic Idea of the Interior-Point Algorithm22.3.2Interior-Point AlgorithmChapter 23Forecasting Models23.123.1Moving Average Technique23.2Exponential Smoothing23.3RegressionReferencesChapter 24Probabilistic Dynamic Programming24.124.1A Game of Chance24.2Investment Problem24.3Maximization of the Event of Achieving a GoalReferencesChapter 25Markovian Decision Process25.125.1Scope of the Markovian Decision Problem25.2Finite-Stage Dynamic Programming Model25.3Infinite-Stage Model25.3.1Exhaustive Enumeration Method25.3.2Policy Iteration Method without Discounting25.3.3Policy Iteration Method with Discounting25.4Linear Programming SolutionReferences
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Chapter 26Case Analysis26.1Case 1: Airline Fuel Allocation Using Optimum TankeringCase 2: Optimization of Heart Valves ProductionCase 3: Scheduling Appointments at Australian Tourist Commission Trade EventsCase 4: Saving Federal Travel DollarsCase 7: Optimizing Trailer Payloads at PFG Building GlassCase 8: Optimization of Crosscutting and Log Allocation atWeyerhaeuserCase 10: Booking Limits in Hotel ReservationsCase 11: CaseyÃs Problem: Interpreting and Evaluating a New TestCase 12: Ordering Golfers on the Final Day of Ryder CupCase 13: Inventory Decisions in DellÃs Supply ChainCase 14: Analysis of an Internal Transport System in Case 15: Telephone Sales Manpower Planning at QantasAppendix CAMPL Modeling LanguageC.1C.1Rudimentary AMPL ModelC.2Components of AMPL ModelC.3Mathematical Expressions and Computed C.4Subsets and Indexed SetsC.5Accessing External FilesC.6Interactive CommandsC.7Iterative and Conditional Execution of AMPLC.8Sensitivity Analysis using AMPLC.9Selected AMPL Models
Appendix DReview of Vectors and MatricesD.1D.1VectorsD.2MatricesD.3Quadratic FormsD.4Convex and Concave FunctionsProblemsSelected ReferencesAppendix ECase StudiesE.1
herramienta de los archivosProgramaci—n de citas,ch26FilesSecuenciaci—n de trabajos,Planificaci—n de personal de ventas por telŽfono en Qantas,ch26Filesch26FilesOptimizaci—n de PGF Glass,ch26FilesCobertura de conjuntos,Organizaci—n de rutas mar’timas,ch26FilesProgramaci—n de autobuses,ch2FilesAlmacenamiento de combustible,ch26FilesProducci—n de v‡lvulas cardiacas,ch26FilesModelo de Reddy Mikks,Flujo m‡ximo,Red capacitada de costo m’nimo,Modelo de transporte,,AppenCFilesPlano de corte,Proceso de jerarqu’a anal’tica (PJA),ch15FilesProbabilidades de Bayes,ch15FilesDecisiones bajo incertidumbre,ch15Files
*Todo el material incluido en el sitio web se encuentra en idioma inglŽs.
Dic—tomo,ch21Filesch21Filesch20FilesVecino m‡s cercano en el problema del agente viajero (TSP),ch11/Filesch11Filesch11/FilesElaboraci—n de histogramas,ch23Filesch16Filesch11Filesch11/FilesPD de Wagner-Whitin,ch11/FilesHeur’stica de Silver-Meal,ch11/FilesProblema de la mochila,PD,ch10FilesManipulaci—n de matrices,Probabilidades absolutas,ch17Files ch17Files Tiempo de primer paso,ch117Filespasos,ch17FilesProbabilidades de estado estable,ch17Files PLE,tabœ,ch11/FilesPLE,genŽtica,ch11FilesPLE de recocido simulado,ch11Filesch23Files Poisson,ch18Filesch18Filesch23Filesch19Files Cola de un solo servidor,ch9FilesCola de varios servidores,ch19FilesGenerador de nœmeros aleatorios,ch19Files ch19FilesTablas estad’sticas,Ãelectr—nicasÃ,ch14FilesVeaVeach11/Files Programaci—n entera de ramificaci—n y acotamiento,ch9Files
TOYCO,ch3Filesch3FilesReddy Mikks,ch3Filesch3Filesch2FilesFlujo m‡ximo,ch6FilesRed capacitada de costo m’nimo,ch22Filesch6Filesch21Filesch21FilesReemplazo de equipo,ch5FilesRamificaci—n y acotamiento,ch9Filesch9FilesCobertura de conjuntos,ch9FilesCargo fijo,ch9FilesUno - u - otro,Si - entonces,ch9FilesCortes en TSP,ch9FilesVariables acotadas,ch7Files ch2Filesch2Filesch3Files Reddy Mikks,ch2Files ch3FilesTOYCO,ch3Filesch6FilesFlujo m‡ximo,ch6Files PERT (TŽcnica de evaluaci—n y revisi—n de programas),ch6Filesch6Files Modelos de colas (Poisson),ch18FilesModelo de transporte,ch5FilesJuegos de suma cero,ch15Files
Esta novena edici—n contiene,de manera m‡s concisa que las anteriores,tanto el textocomo el software de apoyo,con el fin de que el lector se enfoque de lleno en la puestaen ejecuci—n algor’tmica y pr‡ctica de las tŽcnicas de investigaci—n de operaciones.Â¥La nueva secci—n 3.7 constituye un amplio encuadre (sin necesidad de utilizar ma-tem‡ticas) de c—mo los diferentes algoritmos de PL,programaci—n lineal (simplex,simplex dual,simplex revisado y de punto interior) se ponen en ejecuci—n en c—di-de c—mputo y precisi—n necesarias para resolver problemas muy grandes.Â¥El nuevo cap’tulo 10 se ocupa de la heur’stica y la metaheur’stica dise–adas paracombinatoria.La necesidad de la heur’stica y la metaheur’stica es un reconoci-Â¥El nuevo cap’tulo 11 est‡ dedicado al importante problema del agente viajero.exactos.Â¥Todos los algoritmos de los nuevos cap’tulos 10 y 11 se codificaron en Excel parapermitir una conveniente experimentaci—n interactiva con los modelos.Â¥Todos los modelos AMPL se movieron al apŽndice C* para complementar lasreglas sint‡cticas de AMPL presentadas en el apŽndice.Los modelos aparecenoportunamente en el libro con sus respectivas referencias.Â¥A lo largo del libro se agregaron numerosos problemas nuevos.Â¥Se actualiz— el software TORA.Â¥Con el fin de mantener una cantidad razonable de p‡ginas impresas,hemospasado al sitio web* parte del material,entre el que se incluye el apŽndice AMPL.
* Todo el material incluido en el sitio web se encuentra en idioma inglŽs.
Pearsonsu apoyo y retroalimentaci—n,elemento fundamental para esta nueva edici—n de ARGENTINAMar’a Teresa GuardarucciCIUDAD DE Guillermo M‡rquez ArreInstituto PolitŽcnico NacionalJore Herrera AyalaInstituto PolitŽcnico NacionalAlejandra Alc‡ntara PachecoAraceli Guerrero HuertaErasto V’ctor Verara NavaJosŽ Luis Arvizuo RiveraLuis Ch‡vez Garc’aMar’a Mayra V‡zquez JimŽnezPedro Azuara Rodr’Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenier’a y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA)Instituto PolitŽcnico NacionalClaudia G—mez Wulschnerar Possani EspinosaInstituto Tecnol—gico y de Estudios Superiores de Monterrey
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Luis MoncayoInstituto Tecnol—gico Aut—nomo de MŽxicoEric Porras MusalemLino A.Notarantonio Instituto Tecnol—gico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Santa FeRaœl Ch‡vezUniversidad An‡huac del SurGema Esther Gonz‡lez FloresJosŽ Luis Ruz D.Facultad de Contadur’a y Administraci—nUniversidad Nacional Aut—noma de MŽxicoArmando Popoca Floresuirre PitolFacultad de Econom’aUniversidad Nacional Aut—noma de MŽxicoBonifacio Rom‡n TapiaEduardo Alejandro Hern‡ndez Gonz‡lezEfra’n Ramos TrejoFacultad de Ingenier’aUniversidad Nacional Aut—noma de MŽxicoCuauhtŽmoc Tenopala GranadosESTADO DE MƒXICOJeanette L—pez Alan’sFrancisco Quiroz AMar’a de la Luz D‡vila FloresMario Luis Chew Hern‡ndez Instituto Tecnol—gico de Estudios Superiores de CoacalcoRodolfo Flores PinedaInstituto Tecnol—gico de Estudios Superiores de Cuautitl‡n Izcalli
JorMartha Chapa PlataInstituto Tecnol—gico de Estudios Superiores de EcatepecFrancisco Franco UrzœaJesœs Avenda–o Mart’nezInstituto Tecnol—gico de TlalnepantlaMartha Beatriz Mart’nez Ponce Instituto Tecnol—gico de TolucaLuis E.HerreraManuel çlvarez MadriInstituto Tecnol—gico y de Estudios Superiores de MonterreyKarla ValenzuelaInstituto Tecnol—gico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus TolucaFernando L—pez Sol’sGast—n VŽrtiz Camar—nFacultad de Ingenier’aUniversidad Aut—noma del Estado de MŽxicoCampus TolucaRaœl ArreUniversidad del Valle de MŽxicoCampus TolucaJore Luis Su‡rez MadariaFlorentino Almida Mart’nez Facultad de Estudios Superiores Acatl‡nUniversidad Nacional Aut—noma de MŽxicoAndrŽs GutiŽrrez B‡rcenasJosŽ Isaac S‡nchez GuerraMarco Antonio Hern‡ndez Facultad de Estudios Superiores Cuautitl‡nUniversidad Nacional Aut—noma de MŽxicoGUANAJUATOJosŽ Luis LaEscuela Profesional de Comercio y Administraci—n
Antonio Murillo MontoyaFrancisco Rodr’uez S.JosŽ Alfredo JimŽnez Garc’aJosŽ Francisco Rodr’uez SilvaJosŽ Luis Mart’nez PichardoJuan Antonio Sillero PŽrezInstituto Tecnol—gico de CelayaJosŽ Enrique Gonz‡lez Mart’nezInstituto Tecnol—gico y de Estudios Superiores de MonterreyUniversidad de CelayaMario Cruz AlcarazFernando G—mez GuerraJore Vel‡zquez CentenoUniversidad Iberoamericana,Le—nJuan Carlos Ruiz ArenasUniversidad de Las AmŽricasGuillermo Francisco L—pez TorresMar’a del Pilar Le—n FrancoUniversidad Popular Aut—noma del Estado de Puebla SAN LUIS POTOSêJulio CŽsar Gonz‡lez Mart’nezUniversidad del Valle de MŽxicoCampus San Luis Potos’SINALOA
profesores Yahya Fathi (NCSU),Marc E.Posner (Ohio State University),Charu Chan-dra (University of Michigan,Dearbon),Yasser Hosni (University of Central Florida),M.Jeya Chandra (Penn State University) y Manbir Sodhi (Rhode Island University).Como siempre,sigo en deuda con mis amigos y colegas por su continuo apoyodurante tantos a–os:John Ballard (University of Nebraska,Lincoln),David Elizandro(Tennessee Tech University),Rafael GutiŽrrez (University of Texas,El Paso),JosŽPablo Nu–o de la Parra (Universidad Popular Aut—noma del Estado de Puebla),yJung-Fu Tsai (National Taipei University of Technology).AMDYA.T
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Acerca del autorHamdyA.Tahaindustrial en la University of Arkansas,donde en-se–a,investiga y simula operaciones.Es autor delos cuales se han traducido a varios idiomas.Tam-biŽn es autor de varios cap’tulos de libros,y susEuropean Journal of Operations ResearchTransactions on ReliabilityIIE TransactionsNaval Research Logis-Operations Research El profesor Taha recibi— el premio Alumni por ex-Baum por excelencia en la ense–anza,ambos porparte de la University of Arkansas,as’ como otrosversidad.TambiŽn recibi— el nombramiento de becario Fulbright Senior de la Univer-sidad Carlos III de Madrid,Espa–a.Domina tres idiomas y se ha desempe–ado comoprofesor y consultor en Europa,MŽxico y Medio Oriente.
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Marcas registradasAMPL es una marca registrada de AMPL Optimization,LLC,900 Sierra Place SE,Albuquerque,NM 87108-3379,EUA.CPLEX es una marca registrada de ILOG,Inc.,IBM Corporation,1 New OrchardRoad,Armonk,Nueva York,10504 10504-1722.KNITRO es una marca registrada de Ziena Optimization Inc.,1801 Maple Ave.Suite6320,Evanston IL,60201.LOQO es una marca registrada de Princeton University,Princeton University,Princeton,NJ,08544.Microsoft es una marca registrada y Windows y Excel son marcas registradas deMicrosoft Corporation,One Microsoft Way Redmond,WA,98052-7329.MINOS es una marca registrada de Stanford University,450 Serra Mall,Stanford,CASolver es una marca registrada de Frontline Systems,Inc.,P.O.Box 4288,InclineVillage,NV 89450.TORA es una marca registrada de Hamdy A.Taha.
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CAPêTULO 1QuŽ es la investigaci—n de operaciones1.1INTRODUCCIîNInglaterra durante la Segunda Guerra Mundial,cuando un equipo de cient’ficos empez—a tomar decisiones con respecto a la mejor utilizaci—n del material bŽlico.Al tŽrminode la guerra,las ideas formuladas en operaciones militares se adaptaron para mejorarEste cap’tulo presenta la terminolog’a b‡sica de la IO,que comprende el mode-lado matem‡tico,soluciones factibles,optimizaci—n y c‡lculos iterativos.Hace hincapiŽen que la definici—n correcta del problema es la fase m‡s importante (y m‡s dif’cil) depracticar laIO.Tgular de la IO,en la decisi—n final se deben tomar en cuenta factores incuantificables,como el comportamiento humano,por ejemplo.El libro presenta varias aplicacionesque utilizan ejemplos resueltos y problemas espec’ficos.*1.2MODELOS DE INVESTIGACIîN DE OPERACIONEScontinuo entre Fayetteville (FYV) y Denver (DEN).Sale de Fayetteville los lunes y re-gresa los miŽrcoles.Un boleto regular de viaje redondo cuesta $400,pero se ofrece20% de descuento si el viaje redondo comprende un fin de semana.Un boleto sencilloen cualquier direcci—n cuesta 75% del precio regular.ÃC—mo debe comprar los boletos
En el sitio web de este libro encontrar‡ el cap’tulo 26 (en inglŽs),el cual est‡ dedicado por completo a lapresentaci—n del an‡lisis de casos totalmente desarrollados.
Cap’tulo 1QuŽ es la investigaci—n de operacionesPodemos considerar la situaci—n como un problema de toma de decisiones,cuyaalternativascriterio objetivoalternativasComprar cinco boletos normales FYV-DEN-FYV para salir el lunes y regresar elComprar un boleto FYV-DEN,cuatro DEN-FYV-DEN que abarquen fines desemana,y uno DEN-FYV.Comprar un boleto FYV-DEN-FYV para el lunes de la primera semana y elmiŽrcoles de la œltima semana,y cuatro DEN-FYV-DEN para los viajes restan-tes.Todos los boletos en esta alternativa cubren por lo menos un fin de semana.restricci—ncriterio objetivoboletos.La alternativa que dŽ el costo m’nimo ser‡ la mejor.Espec’ficamente,tenemos:Aunque el ejemplo anterior ilustra los tres componentes principales de un mode-lo de IO,los cuales son:alternativas,criterio objetivo restricciones,las situaciones di-resultante.Para ilustrar este punto,considere la formaci—n de un rect‡ngulo de ‡reapulgadas de longitud.ÃCu‡l ser‡ el mejor anchoEn contraste con el ejemplo de los boletos,el nœmero de alternativas en esteejemplo no es finito;es decir,el ancho y la altura del rect‡ngulo pueden asumir unacantidad infinita de valores porque son variables continuas.Para formalizar esta obser-vaci—n,las alternativas del problema se identifican definiendo el ancho y la alturaancho del rect‡ngulo en pulgadas,altura del rect‡ngulo en pulgadas.Con base en estas definiciones,las restricciones de la situaci—n pueden expresarse ver-la mitad de la longitud del alambre.El ancho y la altura no pueden ser negativos.
1.2Modelos de investigaci—n de operacionesAhora el œnico componente restante es el objetivo del problema;es decir,maxi-mizar el ‡rea del rect‡ngulo.Si se define como el ‡rea del rect‡ngulo,el modelo com-Utilizando c‡lculo diferencial,la mejor soluci—n de este modelo es Con los datos de los dos ejemplos anteriores,el modelo general de IO se organi-
Funci—n objetivo
si satisface todas las restricciones;es si,adem‡s de ser factible,produce el mejor valor (m‡ximo o m’nimo) de la funci—n ob-jetivo.En el ejemplo de los boletos,el problema considera tres alternativas factibles,yla tercera es la que produce la soluci—n —ptima.En el problema del rect‡ngulo,una al-no negativas.Esta definici—n conduce a una infinidad de soluciones factibles y,a dife-rencia del problema de los boletos,el cual utiliza una sencilla comparaci—n de precios,Aunque los modelos de IO est‡n dise–ados para ÃoptimizarÃun criterio objetivoespec’fico sujeto a un conjunto de restricciones,la calidad de la soluci—n resultante de-pende de la exactitud con que el modelo representa el sistema real.Considere,porejemplo,el modelo de los boletos.Si no se identifican para comprar los boletos,entonces la soluci—n resultante es —ptima s—lo en relaci—ncon las opciones representadas en el modelo.Espec’ficamente,si se omite la alternati-va 3 en el modelo,entonces la soluci—n ÃoptimaÃrequerir’a que se compraran los bole-tos en $1880,la cual es una soluci—n .La conclusi—n es que ÃlaÃsoluci—n —p-tima de un modelo es mejor s—lo para ese modelo.Si el modelo es una representaci—nrazonablemente buena del sistema real,entonces su soluci—n tambiŽn es —ptima para
2 ,
Cap’tulo 1QuŽ es la investigaci—n de operacionesEn el ejemplo de los boletos,identifique una cuarta alternativa factible.En el problema del rect‡ngulo,identifique dos soluciones factibles,e indique cu‡l es la mejor.restricci—n para expresar la funci—n objetivo respecto de una variable,luego utiliceAmy,Jim,John y Kelly est‡n en la ribera de un r’o y desean cruzar a la ribera opuesta enuna canoa,la cual s—lo puede llevar dos personas a la vez.Como Amy es la m‡s atlŽtica,puede cruzar el r’o remando en 1 minuto.Jim,John y Kelly lo har’an en 2,5 y 10 minutos,respectivamente.Si dos personas est‡n en la canoa,la persona m‡s lenta determina eltiempo de cruce.El objetivo es que las cuatro personas estŽn en la ribera opuesta en el menor tiempo posible.Defina el criterio para evaluar las alternativas.En un juego de bŽisbol,Jim es el lanzador y Joe es el bateador.Suponga que Jim puedelanzar una bola r‡pida o una curva al azar.Si Joe predice correctamente una curva,puede mantener un promedio de bateo de .500;de otra manera,si Jim lanza una curva yJoe est‡ preparado para una bola r‡pida,su promedio de bateo se mantiene por debajode .200.Por otra parte,si Joe predice correctamente una bola r‡pida,mantiene unpromedio de bateo de .300,de lo contrario su promedio es de s—lo .100.Defina las alternativas para este caso.Determine la funci—n objetivo para el problema,y describa en quŽ difiere de la optimizaci—n comœn (maximizaci—n o minimizaci—n) de un criterio.Durante la construcci—n de una casa,se deben recortar seis viguetas de 24 pies cada una a la longitud correcta de 23 pies.La operaci—n de recortar una vigueta implica la
Un asterisco antes del nœmero se–ala problemas cuya soluci—n aparece en el ApŽndice B.
Operaci—n
Tiempo (segundos)
5.Apilar las viguetas recortadas en un ‡rea designada
Intervienen tres personas:Dos deben realizar al mismo tiempo las operaciones 1,2 y 5,yun cortador se ocupa de las operaciones 3 y 4.Hay dos pares de caballetes de aserrardonde se colocan las viguetas sin recortar,y cada par puede manejar tres viguetas.Sugiera un buen plan para recortar las seis viguetas.Se construye una pir‡mide (bidimensional) en cuatro capas.La capa inferior se compone de los puntos (equidistantes) 1,2,3 y 4;la siguiente incluye los puntos 5,6 y 7;la terceracomprende los puntos 8 y 9,y la superior el punto 10.Lo que se quiere es invertir la
1.3Soluci—n del modelo de IOlos puntos.Identifique dos soluciones factibles.Determine el nœmero m’nimo de movimientos necesarios para invertir la pir‡mide.Cuenta con cuatro cadenas y cada una consta de tres eslabones s—lidos.Tiene que hacerun brazalete conectando las cuatro cadenas;romper un eslab—n cuesta 2 centavos,yvolverlo a soldar 3 centavos.Identifique dos soluciones factibles y evalœelas.Determine el costo m’nimo para hacer el brazalete.de entre 0 y 20 d—lares,asignada a cada cuadro.El juego consiste en que un jugador elige un cuadradola suma de sus dos d’gitos.El jugador recibe entonces la recompensa asignada al cuadroseleccionado.Sin importar cu‡ntas veces se repita el juego,ÃquŽ valores monetarioshacer el juego interesante,asignar $0 a 1.3SOLUCIîN DEL MODELO DE IOsolver todos los modelos que puedan surgir en la pr‡ctica.En su lugar,el tipo y comple-jidad del modelo matem‡tico determina la naturaleza del mŽtodo de soluci—n.Por ejem-plo,en la secci—n 1.2 la soluci—n del problema de los boletos requiere una clasificaci—nsimple de las alternativas,basada en el precio de la compra total,mientras que la soluci—n.Est‡ dise–ada paramodelos con funciones objetivo y restricciones lineales.Otras tŽcnicas incluyen la (en la cual las variables asumen valores enteros),la que–os y manejables),la programaci—n de redcomo una red),y la lineales).ƒstas son s—lo algunas de las muchas herramientas de IO con que se cuenta.luciones no se obtienen en formas cerradas (como si fueran f—rmulas),sino que m‡s.Un algoritmo proporciona reglas fijas dec‡lculo que se aplican en forma repetitiva al problema,y cada repetici—n (llamada ) acerca la soluci—n a lo —ptimo.Como los c‡lculos asociados con cada iteraci—nsuelen ser tediosos y voluminosos,es recomendable que estos algoritmos se ejecutenverlos con cualquiera de los algoritmos de optimizaci—n disponibles.En esos casos quiz‡,y la ,o bien
Cognitive PsychologyResearch,and Everyday Experience,Wadsworth Publishing,2005.
Cap’tulo 1QuŽ es la investigaci—n de operaciones1.4MODELOS DE COLAS Y SIMULACIîNLas colas y la simulaci—n estudian las l’neas de espera.No son tŽcnicas de optimiza-ci—n;m‡s bien determinan medidas de desempe–o de las l’neas de espera,como tiem-po de espera promedio en la cola,tiempo de espera promedio para el servicio,y el usode las instalaciones de servicio.l’neas de espera,y la simulaci—n estima las medidas de desempe–o al imitar el compor-tamiento del sistema real.De cierto modo,la simulaci—n tiene ventajas para observar unsistema real,ya que la diferencia principal entre las colas y la simulaci—n es que los mo-delos de colas son puramente matem‡ticos y,en consecuencia,est‡n sujetos a hip—tesisespec’ficas que limitan el alcance de su aplicaci—n.La simulaci—n,por otra parte,es fle-xible y puede utilizarse para analizar pr‡cticamente cualquier situaci—n de colas.El uso de la simulaci—n no est‡ exento de inconvenientes.El proceso de desarrollarmodelos de simulaci—n es costoso,tanto en tiempo como en recursos;adem‡s la ejecu-ci—n de los modelos de simulaci—n suele ser lenta,aun con la computadora m‡s r‡pida.1.5EL ARTE DEL MODELADOreales.Esto es raro en la IO,ya que la mayor’a de las aplicaciones suelen implicardiversos grados de aproximaci—n.La figura 1.1 ilustra los niveles de abstracci—n quecaracterizan el desarrollo de un modelo de IO.Abstraemos de la situaci—n real el mundotamiento del sistema real.El modelo expresa de una manera razonable las funcionesmatem‡ticas que representan el comportamiento del mundo real supuesto.Para ilustrar los niveles de abstracci—n en el modelado,considere la TykoManufacturing Company,donde se producen varios recipientes de pl‡stico.Cuando seemite una orden de producci—n al departamento de producci—n,las materias primas
Modelo
Mundo realMundo real supuesto
1.6M‡s que s—lo matem‡ticasexternos.Una vez que se completa un lote de producci—n,el departamento de ventasse encarga de distribuir el producto a los clientes.Una pregunta l—gica al analizar la situaci—n de Tyko es la determinaci—n del ta-ma–o de un lote de producci—n.ÃC—mo puede un modelo representar esta situaci—n? mente en el nivel de producci—n,incluida la siguiente lista (parcial) clasificada por de-partamentos.las horas de mano de obra y m‡quina disponibles,inventario en proceso y normasExistencias disponibles de materias primas,progra-mas de entrega de proveedores externos y limitaciones de almacenamiento.Pron—stico de ventas,capacidad de las instalaciones dedistribuci—n,eficacia de las campa–as publicitarias y el efecto de la competencia.Cada una de estas variables afecta el nivel de producci—n en Tyko.Sin embargo,es real-puesto.Reflexionando un poco,podemos aproximar el sistema real por medio de dosTasa de producci—n.Tasa de consumo.ducci—n,las normas de control de calidad y la disponibilidad de las materias primas.Los datos de ventas determinan la tasa de consumo.En esencia,la simplificaci—n a par-tir del mundo real al mundo real supuesto se logra ÃconcentrandoÃvarios par‡metrosdel mundo real en un œnico par‡metro del mundo real supuesto.Ahora es m‡s f‡cil abstraer un modelo desde el mundo real supuesto.Con las tasasrio.Entonces el modelo abstra’do puede construirse para equilibrar los costos conflictivosde exceso y escasez de inventario;es decir,para minimizar el costo total del inventario.1.6MçS QUE SîLO MATEMçTICAS Debido a la naturaleza matem‡tica de los modelos de IO,tendemos a pensar que untico.Aunque el modelado matem‡tico es fundamental en la IO,primero se deben ex-plorar mŽtodos m‡s sencillos.En algunos casos se puede obtener una soluci—n de Ãsen-tido comœnÃmediante observaciones sencillas.En realidad,como invariablemente elelemento humano afecta la mayor’a de los problemas de decisi—n,un estudio de la psi-colog’a de las personas puede ser clave para resolver el problema.A continuaci—n sepresentan tres ejemplos que respaldan este argumento.
Cap’tulo 1QuŽ es la investigaci—n de operacionescinas,el equipo de IO percibi— la situaci—n en principio como un problema de l’nea deespera que podr’a requerir el uso del an‡lisis matem‡tico o la simulaci—n de colas.Des-puŽs de estudiar el comportamiento de las personas que se quejaron,el psic—logo deldores.Como por milagro,las quejas desaparecieron,ya que las personas se manten’anocupadas observ‡ndose a s’ mismas y a las dem‡s mientras esperaban el elevador.inglŽs,un equipo de consultores estadounidenses y canadienses utiliz— la teor’a decolas para investigar y analizar la situaci—n.Una parte de la soluci—n recomendaba uti-a que avanzaran al inicio de la cola y solicitaran el servicio de inmediato.La soluci—nno tuvo Žxito porque los pasajeros,en su mayor’a brit‡nicos,estaban Ãcondicionados aun comportamiento muy estricto en las colasÃy,por consiguiente,se rehusaban a ade-En una fundidora de acero en India,primero se producen lingotes a partir delmineral de hierro,los cuales se utilizan despuŽs en la fabricaci—n de varillas y vigas deacero.El gerente not— una gran demora entre la producci—n de los lingotes y su trans-Idealmente,para reducir el costo de recalentamiento la fabricaci—n deb’a comenzar encuanto los lingotes salieran del horno.Al principio el problema se percibi— como unasituaci—n de equilibrio de la l’nea de producci—n,el cual podr’a resolverse reduciendola producci—n de lingotes o incrementando la capacidad del proceso de fabricaci—n.Ellos tres turnos del d’a.Se descubri— que aun cuando el tercer turno comenzaba a las.,la mayor’a de los lingotes se produc’an entre las 2:00 y las 7:00 .Una in-El problema se resolvi— ÃnivelandoÃla producci—n de los lingotes a lo largo del turno.Antes de aventurarse en un complicado modelado matem‡tico,el equipo deIO debe explorar la posibilidad de utilizar ideas ÃagresivasÃpara resolver la situaci—n.psicolog’a humana m‡s que en el modelado matem‡tico.TambiŽn es m‡s sencilla yhaber producido.Quiz‡s esta sea la raz—n de que los equipos de investigaci—n de ope-raciones suelan recurrir a los conocimientos de personas ÃexternasÃque se desem-dores).Este punto fue aceptado y ejecutado por el primer equipo de IO en InglaterraLas soluciones se originan en las personas y no en la tecnolog’a.Cualquier so-luci—n que no tome en cuenta el comportamiento humano probablemente falle.Aun
1.7Fases de un estudio de IOrazonable,el hecho de que el equipo consultor no se percatara de las diferencias cultu-matem‡tica espec’fica antes de que se justifique su uso.Por ejemplo,como la progra-maci—n lineal es una tŽcnica exitosa,existe la tendencia de utilizarla para modelarÃcualquierÃsituaci—n.Esa forma de proceder suele conducir a un modelo matem‡ticodel todo alejado de la situaci—n real.Por lo tanto,es imperativo que se analicen prime-(por ejemplo,promedios,gr‡ficas e histogramas),para determinar el origen del proble-ma.Una vez que se define el problema,puede decidirse cu‡l ser‡ la herramienta m‡sEn el problema de la fundidora de acero,todo lo que setablas sencillas.1.7FASES DE UN ESTUDIO DE IO,donde losanalistas de IO y el cliente trabajan codo con codo.Los conocimientos de modelado dete para quien realizan el estudio.Como herramienta de toma de decisiones,la IO es tanto una ciencia como unarte.Es una ciencia por las tŽcnicas matem‡ticas que incorpora,y un arte porque elmedida de la creatividad y experiencia del equipo de IO.Willemain (1994) manifiestaque Ãuna pr‡ctica [de IO] eficaz requiere m‡s que competencia anal’tica.TambiŽn re-quiere,entre otros atributos,juicio tŽcnico (es decir,cu‡ndo y c—mo utilizar una tŽcni-ca dada),as’ como habilidades de comunicaci—n y supervivencia organizacionalÃ.bles.Sin embargo,podemos ofrecer lineamientos generales para la implementaci—n dePara implementar la IO en la pr‡ctica,las fases principales son:Construcci—n del modelo.Soluci—n del modelo.Validaci—n del modelo.
ecidir sobre un modelo matem‡tico espec’fico antes de justificar su uso es como Ãponer la carreta ade-lante del caballoÃ,y me recuerda la historia de un viajero aŽreo frecuente,paranoico en cuanto a la po-sibilidad de una bomba terrorista a bordo del avi—n.Calcul— la probabilidad de que semejante desgraciapudiera ocurrir,y aunque result— muy peque–a no bast— para calmar su angustia.Desde entonces,siemprellevaba una bomba en su portafolio porque,segœn sus c‡lculos,Ãla probabilidad de que hubiera
Cap’tulo 1QuŽ es la investigaci—n de operacionesLa fase 3,que se ocupa de la ,es la mejor definida y por lo general lam‡s f‡cil de implementar en un estudio de IO,porque maneja principalmente modelos ma-tem‡ticos precisos.La implementaci—n de las fases restantes es m‡s un arte que una teor’a.implica definir el alcance del problema investigado.Esta funci—n debe ser realizada por todo el equipo de IO.El objetivo es identificar treselementos principales del problema de decisi—n:(1) descripci—n de las alternativas dedecisi—n;(2) determinaci—n del objetivo del estudio,y (3) especificaci—n de las limita-ciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.blema en relaciones matem‡ticas.Si el modelo resultante se ajusta a uno de los modelosmatem‡ticos est‡ndar,como la programaci—n lineal,se suele obtener una soluci—n utili-zando los algoritmos disponibles.Por otra parte,si las relaciones matem‡ticas son dema-siado complejas como para permitir la determinaci—n de una soluci—n anal’tica,el equipode IO puede optar por simplificar el modelo y utilizar un mŽtodo heur’stico,o bien consi-derar la simulaci—n,si es lo apropiado.En algunos casos,una simulaci—n matem‡ticapuede combinarse con modelos heur’sticos para resolver el problema de decisi—n,comolo demuestran los an‡lisis de casos del cap’tulo 26,que se encuentra en el sitio web.que implica el uso de algoritmos de optimizaci—n bien definidos.Un aspecto importan-.Tiene que ver con lacuando el modelo experimenta algunos cambios de par‡metros.El an‡lisis de sensibi-par‡metros del modelo.En estos casos es importante estudiar el comportamiento de lasoluci—n —ptima en el entorno de los par‡metros estimados.validez del modelodice que hace,es decir,Ãpredice adecuadamente el comportamiento del sistema que seestudia? Al principio,el equipo de IO debe estar convencido de que el resultado del mo-delo no contenga ÃsorpresasÃ.En otras palabras,Ãtiene sentido la soluci—n? ÃLos resul-tados sin intuitivamente aceptables? Del lado formal,un mŽtodo comœn de comprobarla validez de un modelo es comparar su resultado con resultados hist—ricos.El modelo esv‡lido si,en condiciones de datos de entrada iguales,reproduce de forma razonable eldesempe–o pasado.Sin embargo,no suele haber seguridad de que el desempe–o futurocontinuar‡ copiando el comportamiento pasado.Adem‡s,como el modelo se basa en elexamen cuidadoso de datos pasados,la comparaci—n propuesta casi siempre es favora-ble.Si el modelo propuesto representara un sistema nuevo (inexistente),no habr’a datoshist—ricos disponibles.En esos casos podemos utilizar la simulaci—n como una herra-mienta independiente para comprobar el resultado del modelo matem‡tico.las personas que administrar‡n el sistema recomendado.La responsabilidad de estatarea recae principalmente en el equipo de IO.1.8ACERCA DE ESTE LIBROMorris (1967) afirma que Ãla ense–anza de los modelos no es lo mismo que la en-se–anza del modeladoÃ.Tuve en cuenta esta importante aseveraci—n durante la prepa-
raci—n de la novena edici—n,e hice todo el esfuerzo posible por presentar el arte delmodelado en la IO con la inclusi—n de modelos realistas en el libro.Dada la importan-cia de los c‡lculos en la IO,el libro analiza la forma en que los algoritmos te—ricos seacomodan en los c—digos de computadoras comerciales (vea la secci—n 3.7).TambiŽnpresenta herramientas extensivas para realizar los c‡lculos,que van desde TORAorientado al aspecto tutorial,hasta los paquetes comerciales Excel,Excel Solver yLa investigaci—n de operaciones es tanto un arte como una ciencia;el arte dedescribir y modelar el problema,y la ciencia de resolver el modelo utilizando algorit-mos matem‡ticos precisos.Un primer curso en la materia debe permitir al estudianteapreciar la importancia de ambas ‡reas.Esto proporcionar‡ a los usuarios de IO laen el aspecto art’stico de la IO,con el pretexto que las computadoras pueden liberar alcasos pr‡cticos editados.Para ayudarle en este sentido,el cap’tulo 26 en el sitio webparte de los modelos de IO que se presentan en este libro.TambiŽn se incluyen 50casos basados en aplicaciones de la vida real en el apŽndice E en el sitio web.Se dispo-ne de m‡s estudios de casos en peri—dicos y publicaciones.En particular,(publicado por INFORMS) es una rica fuente de diversas aplicaciones de IO.Altier,W.,The Thinking ManagerÃs Toolbox:Effective Processes for Problem Solving and,Oxford University Press,Nueva York,1999.Checkland,P.,Systems Thinking,SystemPractice,Wiley,Nueva York,1999.Evans,J.,Creative Thinking in the Decision and Management Sciences,South-WesternPublishing,Cincinnati,1991.Gass,S.,ÃModel World:Danger,Beware the User as a Modeler,Ã,vol.20,nœm.3,p‡gs.60-64,1990.Morris,W.,ÃOn the Art of ModelingÃ,,vol.13,p‡gs.B707-B717,1967.Paulos,J.,Innumeracy:Mathematical Illiteracy and Its Consequences,Hill and Wang,NuevaYork,1988.Singh,S.,FermatÃs Enigma,Walker,Nueva York,1997.Willemain,T.,ÃInsights on Modeling from a Dozen ExpertsÃ,Operations Research,vol.42,nœm.2,p‡gs.213-222,1994.
2.1MODELO DE PL CON DOS VARIABLESdos variables.Aun cuando en la pr‡ctica dif’cilmente ocurren problemas de dos varia-bles,el tratamiento proporciona fundamentos concretos para el desarrollo del algorit-
Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores con dos materias primas,1y
Toneladas de materia prima por tonelada de
Disponibilidad diaria m‡xima
(toneladas)
Pintura para exteriores
6422126
Aplicaci—n de la vida real. Frontier Airlines adquiere combustible de unalargo de una ruta de vuelo.El precio del combustible var’a entre escalas y se pueden ob-usarlo en tramos de vuelo subsecuentes.La desventaja es que el peso adicional del com-bustible cargado har‡ que se consuma m‡s gasolina.La programaci—n lineal (PL) y laequilibre el costo del consumo excesivo frente a los ahorros en el costo del combustible.El estudio,realizado en 1981,arroj— ahorros netos de aproximadamente $350,000 ala–o.El caso 1 en el cap’tulo 26 en el sitio web,proporciona los detalles del estudio.Esinteresante que ahora,con el reciente aumento del costo del combustible,muchas ae-
CAPêTULO 2
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealexceder la de pintura para exteriores en m‡s de una tonelada.Asimismo,que la demanda diariam‡xima de pintura para interiores es de dos toneladas.Todos los modelos de IO,incluido el de PL,constan de tres componentes b‡sicos.variables de decisi—n que pretendemos determinar.objetivo restriccionesque la soluci—n debe satisfacer.modelo.Una vez hecha,la tarea de construir la funci—n objetivo y las restricciones es m‡s directa.deben producir de pinturas para exteriores e interiores.As’,las variables del modelo se definenToneladas producidas diariamente de pintura para exterioresToneladas producidas diariamente de pintura para interiores(es decir,incrementar lo m‡s posible) la utilidaddiaria de ambas pinturas.Los dos componentes de la utilidad diaria total se expresan en funci—nrepresenta la utilidad diaria total (en miles de d—lares),el objetivo (o meta) de Reddy Mikksla demanda del producto.Las restricciones en las materias primas se expresan verbalmente como1es de 6 toneladas por tonelada de pintura para exte-riores,y de 4 toneladas por tonelada de pintura para interiores.Por lo tantoAsimismo,2son de 24 y 6 toneladas,respectiva-mente.As’ pues,las restricciones en las materias primas son
2.1Modelo de PL con dos variablestura para interiores no debe exceder a la de pintura para exteriores en m‡s de 1 tonelada,lo cual1(L’mite del mercado)La segunda restricci—n limita la demanda diaria de pintura para interiores a 2 toneladas,es decir,2(L’mite de la demanda) Una restricci—n impl’cita (o ÃsobreentendidaÃ) requiere que todas las variables,,asu-man s—lo valores positivos o cero.Las restricciones,expresadas como restricciones de no negatividadTodos los valores de .De lo contrario la soluci—n es .Por ejemplo,la soluci—n de las cinco restricciones.22,la cual es menor que el lado derecho24).Las restricciones 2 a 5 se comprueban de la misma manera (Ãh‡galo!).Porotra parte,la soluci—n 1,es no factible porque no satisface por lo menos una restric-ci—n,por ejemplo la restricci—n (1):6 28,la cual es mayor que el lado derecho (,es decir la mejor soluci—n .Primero utilizamos el mŽtodo gr‡fico (secci—n 2.2) para demos-de soluciones factibles,una pro-piedad compartida por todas las PL no triviales.Esto significa que el problema no puede ser re-suelto por enumeraci—n.En vez de eso,necesitamos un algoritmo que determine la soluci—n—ptima en una cantidad finita de pasos.El mŽtodo gr‡fico en la secci—n 2.2,y su generalizaci—n al-
gebraicaen el cap’tulo 3,explican los detalles del algoritmo deseado.Comentarios.El objetivo y la funci—n de restricci—n en todas las PL deben ser lineales.Adicionalmente,todos los par‡metros (coeficientes de las funciones objetivo y de restricci—n)Para el modelo de Reddy Mikks,defina las siguientes restricciones y exprŽselas con uncuando mucho
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealtura para exteriores.para exteriores es de 3 toneladas.2 del modelo de Reddy Mikks,determine las canti-descuento.La utilidad por tonelada es de $5000 si el contratista compra no m‡s de 2 to-neladas diarias,y de $4500 en los dem‡s casos.Exprese matem‡ticamente la funci—n objetivo.ÃEs lineal la funci—n resultante?2.2SOLUCIîN GRçFICA DE LA PLDeterminar el espacio de soluciones factibles.cio de soluciones.2.2.1Soluci—n de un modelo de maximizaci—n
Paso1.Antes que nada,considere las restricciones de no negatividad 0.En la fi-gura 2.1,el eje horizontal para exteriores e interiores,respectivamente.As’ pues,las restricciones de no negativi-
La soluci—n gr‡fica de una PL con dos variables,aunque dif’cilmente es œtil en la pr‡ctica,proporcionaEl m—dulo gr‡fico interactivo TORA es en especial œtil para experimentar con el mŽtodo gr‡fico.La secci—n2.3 presenta los paquetes comerciales Excel Solver y AMPL.Su uso se demuestra mediante diversas aplica-
2.2Soluci—n gr‡fica de la PLPara tener en cuenta las otras cuatro restricciones,primero sustituya cada desi-gualdad con una ecuaci—n,y luego trace la l’nea recta resultante localizando dos puntosdiferentes.Por ejemplo,despuŽs de sustituir 624,se determinan dos puntos distintos haciendo 0 para obtenerDe este modo,la l’nea 6) en dos semiplanos,uno a cada lado de la l’nea trazada.S—lo una de estas dosmitades satisface la desigualdad.Para determinar el lado correcto seleccionamos.Si (0,0) satisface la desigualdad,entonces el lado enque est‡ es el semiplano factible;de lo contrario,es el otro lado.El uso del punto de24.Como 6 es menor que 24,el semiplano que representa la desigualdad (1) incluye el origen (losiempre da un valor de cero al lado izquierdo de la restricci—n.Sin embargo,si lal’nea pasa por el origen,en ese caso debe usarse como punto de referencia cualquierlo!).El todas las restricciones al mismo tiempo.En la figura 2.1 todos los puntos en o sobredefinen el espacio de soluciones factibles.Todos los pun-tos fuera de esta ‡rea son no factibles.
6 =4.x2= 24
4 =6FIGURA 2.1Espacio factible del modelo de Reddy Mikks
5
1
16x1 4x2 24Restricciones:
2x1 2x2 6
3x1 x2 1
4x2 2
5x1 0
6x2 0
3
2
4
0123
x1x2
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n lineal
El m—dulo de PL gr‡fico TORA controlado por menœ es œtil para reforzar su com-prensi—n de c—mo se grafican las restricciones de PL.Seleccione en el .DespuŽs de ingresar el modelo,en el menœ seleccione .En la pantalla de resultados podr‡ interactuar con eltrazo de las restricciones,una a la vez,para ver c—mo afecta cada restricci—n el espa-
cio de soluciones.
GraphicalQ
Solve
SOLVE/MODIFY
MAIN menu
Paso2..En consecuencia,se requiere un procedimiento sistem‡tico para determinarEn primer lugar,la direcci—n en la cual se incrementa la funci—n de utilidad maximizandoz.Por ejemplo,la utilizaci—n de 15,que identifican la,como se muestra en la figura 2.2.La soluci—n,el punto en el espacio de soluciones m‡s all‡ del cual cualquierincremento adicional producir‡ la soluci—n no factible.
1
01234
x1x2
DEF(Maximizar z 5x1 4x2)z incremen-t‡ndosez 10z 15z 21x1 2x2 6x1 3 toneladasîptima:x2 1.5 toneladasz $21,000ABC
6x1 4x2 24
2.2Soluci—n gr‡fica de la PL21,que demanda unacombinaci—n de producto diaria de 3 toneladas de pintura para exteriores,y 1.5 tone-ladas de pintura para interiores.La utilidad diaria asociada es de $21,000.del espacio de soluciones (donde,en dos dimensio-nes,se intersecan dos l’neas).Esto es cierto incluso si la funci—n objetivo es paralela auna restricci—n.Por ejemplo,si la funci—n objetivo es ,la cual es parale-la a la restricci—n 1,siempre podemos decir que la soluci—n —ptima ocurre en el.En realidad,cualquier punto sobre el segmento de l’nea (vea tambiŽn el ejemplo 3.5-2);sin embargo,la
MomentoTORA.Puede interactuar con TORA para ver que la soluci—n —ptima siempre est‡ asociadacon un punto de esquina.En la pantalla de resultados puede hacer clic enresolver de nuevo gr‡ficamente el problema.Puede utilizar las siguientes funciones
nita).De hecho,en este peque–o ejemplo la soluci—n —ptima se determina tan s—lo con enume-rar todos los puntos de esquina,como se muestra en la tabla siguiente:
View/Modify Input Data
Punto de esquina
(,)
(0,0)(4,0)(3,1.5)21 (îPTIMA)(2,2)(1,2)(0,1)
A medida que aumenta la cantidad de restricciones y variables,los puntos de esquina tam-biŽn lo hacen,y el procedimiento de enumeraci—n propuesto se hace computacionalmenteimpr‡ctico.No obstante,la observaci—n con respecto al rol de los puntos de esquina al identificarla soluci—n —ptima es clave para el desarrollo del algoritmo algebraico general,llamado ,que se estudiar‡ en el cap’tulo 3.
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealtes,dado que La demanda diaria m‡xima de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas.La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas.la de pintura para exteriores.1 es por lo menos de 24 toneladas.1 es por lo menos de 24 toneladas,ycuenciales.La siguiente tabla resume los datos del problema:
Minutos por unidad
Utilidad
Producto
Proceso 1
Proceso 2
Proceso 3
unitaria 11068$2252010$3
Determine la combinaci—n —ptima de los dos productos.Una compa–’a fabrica dos productos,.El volumen de ventas de .Sin embargo,la compa–’a no puede vender m‡s depor d’a.Ambos productos utilizan una materia prima,cuya disponibi-lidad diaria m‡xima es de 240 lb.Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb.Las utilidades de son de $20 y $50,res-pectivamente.Determine la combinaci—n —ptima de productos para la compa–’a.Alumco fabrica l‡minas y varillas de aluminio.La capacidad de producci—n m‡xima seestima en 800 l‡minas o 600 varillas por d’a.La demanda diaria es de 550 l‡minas y 580varillas.La utilidad por tonelada es de $40 por l‡mina y de $35 por varilla.Determine laUna persona desea invertir $5000 durante el pr—ximo a–o en dos tipos de inversi—n.La8%.La investigaci—n de mercado recomienda.Adem‡s,la inver-
2.2Soluci—n gr‡fica de la PL.ÃC—mo deben asignarse lossos cada semestre.Los cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos:pr‡cticos y de humanidades.Para satisfacer las demandas de la comunidad,se deben ofrecer por lo menos 10 cursos decada tipo cada semestre.La divisi—n estima que los ingresos por el ofrecimiento de cursospr‡cticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por curso,respectivamente.Idee una oferta de cursos —ptima para el colegio.Demuestre que el costo por curso adicional es de $1500,el cual es igual al ingresopor curso pr‡ctico.ÃQuŽ significa este resultado en funci—n de la oferta de cursos.Las disponibilidades diarias de las materias primas 145 unidades,respectivamente.Una unidad de soluci—n ,y 0.6 unidades de la materia prima ,en tanto que una unidad de la solu-,y .4 unidades de la materia prima son de $8 y $10,respectivamente.Laes de entre 30 y 150 unidades,y la de la soluci—n 40 a 200 unidades.Determine las cantidades de producci—n —ptimas de lo con eficacia para incrementar las utilidades.Dos marcas de cereal,en anaqueles.Una caja de ,y una caja de .Las demandas diarias m‡ximas de son de 200 y 120 cajas,respectivamente.Una caja de es de $1.35.Ma-and-Pa considera que como la,a ,lo que equivale a asignar aproximadamente 57% a.ÃUsted quŽ piensa?Jack es un estudiante novato en la Universidad de Ulern.Se da cuenta de que Ãs—lo traba-jo y nada de diversi—n me hacen ser un chico aburridoÃ.Jack desea distribuir su tiempodisponible de aproximadamente 10 horas al d’a entre las tareas y la diversi—n.Estima quedivertirse es dos veces m‡s entretenido que hacer tareas.Pero tambiŽn desea estudiar porlo menos el mismo tiempo que le quiere dedicar a la diversi—n.Sin embargo,Jack com-prende que para cumplir con sus tareas no puede divertirse m‡s de 4 horas al d’a.ÃC—moWild West produce dos tipos de sombreros tejanos.El sombrero tipo 1 requiere el doblede mano de obra que el tipo 2.Si toda la mano de obra disponible se dedica s—lo al tipo2,la compa–’a puede producir un total de 400 sombreros tipo 2 al d’a.Los l’mites demercado respectivos para el tipo 1 y el tipo 2 son de 150 y 200 sombreros por d’a,respec-tivamente.La utilidad es de $8 por sombrero tipo 1,y de $5 por sombrero tipo 2.Show & Sell puede publicitar sus productos en la radio y la televisi—n locales.El presu-puesto para publicidad se limita a $10,000 al mes.Cada minuto de publicidad en radiocuesta $15 y cada minuto de comerciales en televisi—n $300.Show & Sell quiere anunciar-se en radio por lo menos dos veces m‡s que en televisi—n.Por el momento,no es pr‡cticoutilizar m‡s de 400 minutos de publicidad por radio al mes.Por experiencias pasadas,seestima que la publicidad por televisi—n es 25 veces m‡s efectiva que la de la radio.Wyoming Electric Coop posee una planta generadora de energ’a de turbina de vapor.Como en Wyoming abundan los dep—sitos de carb—n,la planta genera su vapor concarb—n.Esto,sin embargo,puede conducir a emisiones que no satisfagan las normas de la Agencia de Protecci—n Ambiental (EPA,por sus siglas en inglŽs).Las normas de la
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealAgencia de Protecci—n Ambiental limitan la descarga de bi—xido de azufre a 2000 partespor mill—n por tonelada de carb—n quemado,y la descarga de humo por las chimeneas dela planta a 20 lb por hora.La Coop recibe dos tipos de carb—n pulverizado,2,parausarlos en la planta de vapor.Los dos tipos se suelen mezclar antes de la combusti—n.Porsimplicidad,se supone que la cantidad de azufre contaminante descargado (en partespor mill—n) es un promedio ponderado de la proporci—n de cada tipo utilizado en lamezcla.Los siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada uno
Tipo de carb—n
Descarga de azufre
en partes por mill—n
Descarga de humo
en lb por hora
Vapor generado
en lb por horaC118002.112,000C22100.99000
Top Toys planea una nueva campa–a de publicidad por radio y TV.Un comercial deradio cuesta $300 y uno de TV $2000.Se asigna un presupuesto total de $20,000 a la cam-pa–a.Sin embargo,para asegurarse de que cada medio tendr‡ por lo menos un comercialde radio y uno de TV,lo m‡ximo que puede asignarse a uno u otro medio no puede sermayor que el 80% del presupuesto total.Se estima que el primer comercial de radio lle-gar‡ a 5000 personas,y que cada comercial adicional llegar‡ s—lo a 2000 personas nuevas.En el caso de la televisi—n,el primer anuncio llegar‡ a 4500 personas y cada anuncio adi-cional a 3000.ÃC—mo debe distribuirse la suma presupuestada entre la radio y la TV? tiendas de descuento Wallmart,corporaci—n que aceptar‡ toda la producci—n surtida porBurroughs.El proceso de producci—n incluye el corte,la costura y el empaque.Burroughsemplea 25 trabajadores en el departamento de corte,35 en el de costura,y 5 en empaque.La f‡brica trabaja un turno de 8 horas,5 d’as a la semana.La siguiente tabla muestra los
Minutos por unidad
Utilidad
Prenda
Corte
Costura
Empaque
2070Blusas 6060
Determine el programa de producci—n semanal —ptimo para Burroughs.Una compa–’a mueblera fabrica escritorios y sillas.El departamento de aserrado corta lamadera para ambos productos,la que luego se env’a a los distintos departamentos de en-samble.Los muebles ensamblados se env’an para su acabado al departamento de pintu-ra.La capacidad diaria del departamento de aserrado es de 200 sillas o de 80 escritorios.El departamento de ensamble de sillas puede producir 120 sillas diarias,y el de ensamblede escritorios produce 60 escritorios.La capacidad del departamento de pintura es de 150sillas,o 110 escritorios.Dado que la utilidad por sillas es de $50 y la de un escritorio es de$100,determine la combinaci—n de producci—n —ptima para la compa–’a.
2.2Soluci—n gr‡fica de la PLde radio:HiFi-1 y HiFi-2.La siguiente tabla muestra los tiempos de ensamble de las tresestaciones de trabajo.El mantenimiento diario de las estaciones 1,2 y 3 consume 10,14 y 12%,respectivamen-te,de los 480 minutos m‡ximos disponibles por cada estaci—n por d’a.Determine la com-tres estaciones de trabajo.Experimento con TORA.Ingrese la siguiente PL en TORA,y seleccione el modo de solu-A continuaci—n,en una hoja de papel trace a escala los ejes (tambiŽn puede hacer clic en la opci—n Print Graph,en la parte superior derecha de laventana para obtener una hoja a escala lista para usarse).Ahora,trace a mano una res-verificar su respuesta.Repita la misma operaci—n para cada restricci—n,y termine el pro-cedimiento con una gr‡fica de la funci—n objetivo.El proceso sugerido se dise–— para quediante una retroalimentaci—n inmediata de TORA.Experimento con TORA.el espacio de soluciones factibles.Use el medio gr‡fico de TORA para identificar las res-
Minutos por unidad
Estaci—n de trabajo
HiFi-1
164255346
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealtricciones redundantes,luego demuestre que su eliminaci—n (basta con no graficarlas) noExperimento con TORA.En el modelo de Reddy Mikks,utilice TORA para demostrarespacio de soluciones ilimitado.Experimento con TORA.En el modelo de Reddy Mikks,suponga que se agrega la si-Utilice TORA para demostrar que el modelo resultante tiene restricciones conflictivasque no se pueden satisfacer al mismo tiempo,y que por consiguiente no tiene una 2.2.2Soluci—n de un modelo de minimizaci—n
Ejemplo 2.2-2(Problema de la dieta)Ozark Farms consume diariamente un m’nimo de 800 lb de un alimento especial,el cual es unaximo de 5% de fibra.El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo m’nimo.El objetivo es minimizar el costo diario total (en d—lares) de la mezcla de alimento,es decir,Las restricciones representan la cantidad diaria de la mezcla y las necesidades dietŽticas.OzarkFarms requiere un m’nimo de 800 lb de alimento al d’a,es decir,) lb.) lb,es decir,Asimismo,la necesidad de fibra de 5% m‡ximo se representa como sigue
lb por lb de forraje
Forraje
Prote’na
Fibra
.0902.30Soya .6006.90
2.2Soluci—n gr‡fica de la PLdesigualdad,con s—lo una constante del lado derecho.El modelo completo esLa figura 2.3 muestra la soluci—n gr‡fica del modelo.La segunda y tercera restriccionespasan por el origen.De este modo,a diferencia del modelo de Reddy Mikks del ejemplo 2.2-1,lapunto de referencia diferente de (0,0),por ejemplo,(100,0) o (0,100).la figura 2.3.La soluci—n —ptima es la intersecci—n de las dos l’neas 0,y por consiguiente 329.4 lb.El costo m’nimo de la mezcla de alimentos
50010001500
x1x2
îptima:
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealComentarios.Aunque la soluci—n del presente modelo satisfizo la ecuaci—n,un modelo m‡s complejo puedeimponer restricciones adicionales que requerir’an mezclar m‡s que la cantidad m’nima.Aœn m‡simportante,la desigualdad,por definici—n,es inclusiva del caso de igualdad,de modo que puedeelegirse la ecuaci—n si la optimalidad lo requiere.La conclusi—n es que no debemos ÃprejuzgarÃ
Para el modelo de la dieta,suponga que la disponibilidad diaria de ma’z se limita a 450 lb.Identifique el nuevo espacio de soluciones,y determine la nueva soluci—n —ptima.Para el modelo de la dieta,ÃquŽ tipo de soluci—n —ptima dar’a el modelo si la mezcla dealimentos no debiera exceder las 800 lb por d’a? ÃTiene sentido la soluci—n?John debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos almismo tiempo que asiste a la escuela.Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas de me-nudeo.En la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana,y en la tienda 2 le permi-ten trabajar entre 6 y 10 horas.Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora.Para decidircu‡ntas horas trabajar en cada tienda,John desea basar su decisi—n en la tensi—n del trabajo.Basado en entrevistas con otros empleados,John estima que,en una escala del 1 al 10,los fac-tores de tensi—n son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2,respectivamente.Como la tensi—n aumentacada hora,supone que la tensi—n total en cada tienda al final de la semana es proporcional alas horas que trabaja en las tiendas.ÃCu‡ntas horas debe trabajar John en cada tienda?OilCo est‡ construyendo una refiner’a para producir cuatro productos:diesel,gasolina,lu-bricantes y combustible para avi—n.La demanda m’nima (en barriles por d’a) de cada unode esos productos es de 14,000,30,000,10,000 y 8000,respectivamente.Iraq y Dubai firma-ron un contrato para enviar crudo a OilCo.Debido a las cuotas de producci—n especifica-das por la OPEP (Organizaci—n de Pa’ses Exportadores de Petr—leo),la nueva refiner’apuede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai.OilCo pronosticaque la demanda y las cuotas de petr—leo crudo no cambiar‡n durante los pr—ximos 10 a–os.Un barril de crudo de Iraq rinde .2 barriles de diesel,.25 barriles de gasolina,1 barril delubricante y .15 barriles de combustible para avi—n.Los rendimientos correspondientesdel crudo de Dubai son:.1,.6,1.5 y .1,respectivamente.OilCo necesita determinar la ca-Day Trader desea invertir una suma de dinero que genere un rendimiento anual m’nimode $10,000.Est‡n disponibles dos grupos de acciones:acciones de primera clase y accio-nesde alta tecnolog’a,con rendimientos anuales promedio de 10 y 25%,respectivamente.Aunque las acciones de alta tecnolog’a producen un mayor rendimiento,son m‡s riesgo-sas,y Trader quiere limitar la suma invertida en estas acciones a no m‡s de 60% de la inversi—n total.ÃCu‡l es la suma m’nima que Trader debe invertir en cada grupo de *Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio,una aleaci—n especial.La chatarra contiene 6% de aluminio,3% de silicio,y 4% de car-b—n.La chatarra contiene 3% de aluminio,6% de silicio,y 3% de carb—n.Los costosson de $100 y $80,respectivamente.Las especificacio-
2.3Soluci—n con computadora, aplicando Solver y AMPLde 3% y m‡ximo de 6%;(2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%,y (3) el con-tenido de carb—n debe ser de entre 3 y 7%.Determine la mezcla —ptima de las Experimento con TORA.Considere el modelo de la dieta,y que la funci—n objetivo seaUse TORA para demostrar que la soluci—n —ptima est‡ asociada con na distintos,y que ambos puntos dan por resultado el mismo valor objetivo.En este caso se.Explique las condiciones que conducen aesta situaci—n,y demuestre que,en realidad,el problema tiene una cantidad infinita de —p-timos alternativos;proporcione luego una f—rmula para determinar todas esas soluciones.2.3SOLUCIîN CON COMPUTADORA, APLICANDO SOLVER Y AMPLEn la pr‡ctica,los modelos de PL suelen implicar miles de variables y restricciones,y lacomputadora es el œnico medio viable para resolver problemas de PL.Esta secci—npresenta dos sistemas de software comœnmente utilizados:Excel Solver y AMPL.Solver es en particular atractivo para los usuarios de hojas de c‡lculo.AMPL es un len-guaje de modelado algebraico que,como todos los lenguajes de programaci—n de altogrado,requiere m‡s conocimientos.No obstante,AMPL,y lenguajes similares,ofreceuna gran flexibilidad de modelado.Aunque la presentaci—n en esta secci—n se concen-tra en programaciones lineales,tanto AMPL como Solver pueden manejar problemasenteros y no lineales,como se demostrar‡ en cap’tulos posteriores.2.3.1Soluci—n de PL con Excel SolverEn Excel Solver,la hoja de c‡lculo es el medio de entrada y salida para la PL.La figura 2.4).La parte superior de la figura incluye cuatro tipos de informaci—n:(1) celdaspara ingresar datos (B5:C9 y F6:F9);(2) celdas que representan las variables y la funci—n ob-jetivo (B13:D13);(3) definiciones algebraicas de la funci—n objetivo y el lado izquierdo delas restricciones (celdas D5:D9),y (4) celdas que proporcionan nombres y s’mbolos explica-tivos.Solver solamente requiere los primeros tres tipos.El cuarto tipo mejora la legibilidadaunque no sirve para ningœn otro prop—sito.El posicionamiento relativo de los cuatros tiposla referencia cruzada apropiada de las celdas en Solver,y se recomienda su uso.ÃC—mo se vincula Solver con los datos de la hoja de c‡lculo? En primer lugar,pro-porcionamos definiciones ÃalgebraicasÃde la funci—n objetivo y el lado izquierdo de lasrestricciones mediante los datos de entrada (celdas B5:C9 y F6:F9),as’ como la funci—nobjetivo y variables (celdas B13:D13).A continuaci—n colocamos las f—rmulas resultan-tes de forma apropiada en las celdas D5:D9,como se muestra en la siguiente tabla:
Entre otros paquetes comerciales conocidos est‡n AIMMS,GAMS,LINGO,MPL,OPL Studio,y Xpress
Expresi—n algebraica
F—rmula en la hoja de c‡lculo
B5*$B$13C5*$C$13Restricci—n1B6*$B$13C6*$C$13Restricci—n2B7*$B$13C7*$C$13Restricci—n3B8*$B$13C8*$C$13Restricci—n4B9*$B$13C9*$C$13
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n lineal
En realidad,s—lo tiene que ingresar la f—rmula en la celda D5 y luego copiarla en lasceldas D6:D9.Para hacerlo de manera correcta,es necesario utilizar la (es decir,$B$13 y $C$13,respectivamente).Las f—rmulas expl’citas que se acaban de describir no son pr‡cticas para PL grandes.En su lugar,la f—rmula en la celda D5 puede escribirse en forma compacta como sigue SUMPRODUCT(B5:C5,$B$13:$C$13)
2.3Soluci—n con computadora, aplicando Solver y AMPLAhora,todos los elementos del modelo de PL ya est‡n listos para ejecutar el mo-delo.Haga clic en el menœ Solver de la barra de menœs de la hoja de c‡lculoSolver Parameters2.4).A continuaci—n,actualice el cuadro de di‡logo como sigue:Set Target Cell:Equal To:MaxPara establecer las restricciones haga clic en el bot—nen el cuadro de di‡lo-luego ingrese el tipo desigualdad en el lado izquierdo,y el lado derecho de las restric-Para las restricciones de no negatividad haga clic en el bot—nuna vez m‡s e ingrese$B$13:$C$13
$D$6:$D$9$F$6:$F$9
Add
$B$13:$C$13
Otra forma de ingresar las restricciones no negativas es hacer clic en ladelSolver Parameters Solver OptionsPor lo general no es necesario cambiar los valores predeterminados restantes enSolver Options.Sin embargo,la precisi—n predeterminada de .000001 puede ser dema-siado ÃaltaÃpara algunos problemas,y Solver puede devolver de forma incorrecta el
Assume Linear Model
Assume Non-Negative
Options
FIGURA 2.5Cuadro de di‡logo Solver Options(Opciones de Solver)
de la figura 2.4,las dos opciones adicionales ,las cualesary,se utilizan en programas enteros para limitar las variables a valores enteros y bi-
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealmensaje ÃSolver could not find a feasible solutionÃ(Solver no pudo determinar una so-luci—n factible).En esos casos se tiene que especificar una precisi—n menor (es decir,un valor mayor).Si el mensaje persiste,es posible que el problema sea no factible.bilidad.Se crea un rango resaltando las celdas deseadas y escribiendo el nombre en elcuadro superior izquierdo de la hoja,pulsando luego la tecla Return.La figura 2.6utilizados en el modelo.Hay que cotejar el modelo contra el archivo para ver c—mo se utilizan los rangos en las f—rmulas.Para resolver el problema haga clic en el bot—n del cuadro de di‡logo SolverParameters.De este modo el estado de la soluci—n aparece en el nuevo cuadro de di‡logoSolver Results.Si la elaboraci—n del modelo es correcta,el valor —ptimo de aparecer‡n en las celdas B13 y C13,respectivamente.Por conveniencia,la celda D13 exhibe el valor —ptimo de la celda D13,y en celdas contiguas aparece la soluci—n —ptima completa.Si un problema no tiene una soluci—n factible,Solver mostrar‡ el mensaje expl’-cito ÃSolver could not find a feasible solutionÃ(Solver no pudo determinar una solu-ci—n factible).Si el valor objetivo —ptimo es ilimitado (no finito),Solver emitir‡ unmensaje un tanto ambiguo ÃThe Set Cell values do not convergeÃ(Los valores de lacelda no convergen).En cualquier caso,el mensaje indica que hay algo err—neo enla formulaci—n del modelo,como se ver‡ en la secci—n 3.5.
SolveFIGURA 2.6Uso de nombres de rango en Excel Solver (archivo solverRM2.xls
2.3Soluci—n con computadora, aplicando Solver y AMPLSolver Resultslles sobre la soluci—n,por ejemplo,los reportes de an‡lisis de sensibilidad.En la secci—n3.6.4 analizaremos estos resultados adicionales.La soluci—n del modelo de Reddy Mikks con Solver es directa.Otros modelospueden requerir un Ãpoco de inventivaÃantes de poder establecerlos.Una clase de mo-delos de PL que caen en esta categor’a tiene que ver con la optimizaci—n de redes,de pintura denominado ÃmarinaÃ.Los requerimientos por tonelada de las materias pri-mas 1 y 2 son .5 y .75 toneladas,respectivamente.La demanda diaria de la nueva pinturaoscila entre .5 toneladas y 1.5 toneladas.La utilidad por tonelada es de $3.5 (miles).Problema 16,conjunto 2.2aProblema 5,conjunto 2.2b2.3.2Soluci—n de PL con AMPLEsta secci—n proporciona una breve introducci—n a AMPL.El material en el apŽndiceC en el sitio web detalla la sintaxis de AMPL.Se har‡ referencia a la presentaci—n enesta secci—n y con otras presentaciones de AMPL en el libro.Los dos ejemplos queaqu’ se presentan se refieren a los fundamentos de AMPL.Problema de Reddy Mikks.Modelo rudimentario.para modelar una PL en un formato manuscrito rudimentario.La figura 2.7 muestra un).Todaslas palabras clave reservadas aparecen en negritas.Los dem‡s nombres los genera elusuario.La funci—n objetivo y cada una de las restricciones pueden tener nombresdistintos (generados por el usuario) seguidos de punto y coma.Cada instrucci—n seEl formato manuscrito es adecuado para los problemas,en el sentido de que serequiere un nuevo c—digo siempre que se cambian los datos de entrada.Para proble-mas pr‡cticos (con estructura compleja y muchas variables y restricciones),el formatomanuscrito,en el mejor de los casos,es tedioso.AMPL elimina esta dificultad aplican-do un c—digo que divide el problema en dos componentes:(1) Un modelo algebraicobles y restricciones,y (2) datos para controlar el modelo algebraico.La implementa-Reddy Mikks.
Por conveniencia,la versi—n de AMPL para el estudiante se encuentra en el sitio web.Las actualizacionesposteriores se pueden descargar de www.ampl.com.AMPL utiliza comandos en l’nea y no opera en el am-biente de Windows.
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealProblema de Reddy Mikks.Modelo algebraico.).El archivo debe ser estrictamente texto (ASCII).El s’mbolo # designa el inicio de los comentarios explicativos.Los comentarios puedenEl lenguaje es sensible a las mayœsculas o minœsculas,y todas sus palabras clave,conalgunas excepciones,se escriben en minœsculas.(La secci—n C.2 en el sitio webModelo AMPL rudimentario paraAMPL rudimentario parasubject to restr{i in 1..m}:sum{j in 1..n}a[i,j]*x[j]#--------------------------------especificar datos del modelodata;param n:=2;param m:=4;param c:=1 5 2 4;param b:=1 24 2 6 3 1 4 2;param a: 12 :=164 2123-11401;Modelo AMPL del problema de Reddy Mikks mediante datos de entrada puestos en el c—digo fuente
2.3Soluci—n con computadora, aplicando Solver y AMPLEl modelo algebraico en AMPL visualiza el problema de PL general con de entrada del modelo.Traduce 1,2,Ã,1,2,Ã,,y 1,2,Ã,1,2,Ã,.A continuaci—n,las va-1,2,Ã,),junto con la restricci—n de no negatividad,las define la instruc-de su definici—n.La notaci—n enEl modelo se desarrolla de la siguiente manera,en funci—n de los par‡metros ylas variables.La funci—n objetivo y las restricciones tienen nombres distintos seguidospor dos puntos (:).La instrucci—n objetivo es una traducci—n directa de maximizarLa instrucci—n objetivo es una traducci—n directa de maximizarA la restricci—n ise le da el nombre ra’z restrcon un ’ndice dentro del conjunto{1..m}:restr{i in1..m}:sum{j in1..n}a[i,j]*x[j]La instrucci—n es una traducci—n directa derestrianj=1aijxjƒbi.z=anj=1cjxjxjÃ0, j=1, 2, . . ., nsujeto a restri: anj=1aijxjƒbi, i=1, 2, . . ., mMaximizar z: anj=1cj xjAhora el modelo algebraico puede utilizarse con cualquier conjunto de datosaplicables que se puedan ingresar despuŽs de la instrucci—n data;.Para el modelo deReddy Mikks,los datos indican a AMPL que el problema tiene 2 variables (;).Se debe utilizar el operador compuesto :.Para los par‡metros de un solosub’ndice,c y b,cada elemento est‡ representado por su ’ndice seguido de su valor y se-parados al menos por un espacio en blanco.As’,se ingresan del mismo modo.
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n lineal,el conjunto de datos se lee como una ma-.El,y el sub’ndice a:12 401;El conjunto de datos debe terminar con punto y coma.Observe la ubicaci—n del separador :y el operador compuesto :Ahora el modelo y sus datos ya est‡n listos.El comando ;invoca el algorit-displayz;proporciona la soluci—n.Para ejecutar el modelo,primero invoque AMPL (haga clic en el comandoampl.exe del directorio de AMPL).En el indicador :ingrese el siguiente coman-,luego pulse la tecla Return:luego pulse la tecla Return:1 = 32 = 1.5Los cuatro renglones inferiores son el resultado de ejecutar displayz;.En realidad,dos de salida (vea la secci—n C.5.2 en el sitio web).pendientes.Este arreglo es m‡s conveniente porque s—lo el archivo de datos se tieneque cambiar una vez que se ha desarrollado el modelo.Para los detalles,vea el final dela secci—n C.2.AMPL ofrece una amplia variedad de capacidades de programaci—n.Por ejem-plo,los datos de entrada y salida pueden asegurarse para que no sean enviados a archi-vos,hojas de c‡lculo y bases de datos externos,y el modelo puede ejecutarse de formaactiva para una amplia variedad de opciones.Los detalles se dan en el apŽndice C,enel sitio web.En el modelo de Reddy Mikks,suponga que se produce un tercer tipo de pintura,llama-da ÃmarinaÃ.Los requerimientos por tonelada de las materias primas .75 toneladas,respectivamente.La demanda diaria de la nueva pintura oscila entre .5 to-neladas y 1.5 toneladas,y la utilidad por tonelada es de $3.5 (mil).Modifique el modeloy el modelo AMPL
2.4Aplicaciones de programaci—n linealcuenta la nueva situaci—n y determinar la soluci—n —ptima.Compare el esfuerzo adicionalDesarrolle modelos AMPL para los siguientes problemas:Problema 16,conjunto 2.2a Problema 5,conjunto 2.2b 2.4APLICACIONES DE PROGRAMACIîN LINEALbles y la construcci—n de la funci—n objetivo,as’ como las restricciones,no son tan directascomo en el caso del modelo de dos variables.Las ‡reas cubiertas por estas aplicacionesPlanificaci—n de la producci—n y control de inventarios.Planificaci—n de desarrollo urbano.Refinaci—n y mezcla de petr—leo.Cada modelo se detalla,y se interpreta su soluci—n —ptima.2.4.1Inversi—n hoy.Ejemplos de problemas de inversi—n son la asignaci—n de presupuestos de capitalpara proyectos,estrategia de inversi—n en bonos,selecci—n de cartera de acciones,yestablecimiento de una pol’tica de prŽstamos bancarios.En muchas de estas situacio-nes,la PL puede usarse para seleccionar la combinaci—n —ptima de oportunidades quemaximizar‡n el rendimiento,al mismo tiempo que se satisfacen los requerimientos es-tablecidos por el inversionista y el mercado.
Bank One est‡ desarrollando una pol’tica de prŽstamos que implica un m‡ximo de $12 millones.La tabla siguiente muestra los datos pertinentes en relaci—n con los prŽstamos disponibles.
Tipo de prŽstamo
Tasa de interŽs
Autom—vil .130
Las deudas impagables son irrecuperables y no producen ingresos por intereses.los fondos para prŽstamos agr’colas y comerciales.Para ayudar a la industria de la construcci—nde viviendas en la regi—n,los prŽstamos para casa deben ser por lo menos 50% de los prŽstamospersonales,para autom—vil,y para casa.El banco limita la proporci—n total de las deudas impa-
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealModelo matem‡tico:gor’a,lo que conduce a las siguientes definiciones de las variables:El objetivo del Bank One es maximizar el rendimiento neto,la diferencia entre el ingreso porintereses y la pŽrdida por deudas impagables.El ingreso por intereses se acumula sobre los prŽs-tamos al corriente.Por ejemplo,cuando se pierde 10% de prŽstamos personales por deuda im-pagable,el banco recibir‡ intereses sobre 90% del prŽstamo;es decir,recibir‡ un interŽs de 14%.El razonamiento es v‡lido para los cuatro tipos restantes deprŽstamos.Por lo tanto,TambiŽn tenemosobien les,para autom—vil y para casa:obien
2.4Aplicaciones de programaci—n linealobienaproximadamente al mismo tiempo.Nos permite pasar por alto las diferencias en el valor deltiempo de los fondos asignados a los diferentes prŽstamos.La soluci—n —ptima se calcula utilizando AMPL (archivo Comentarios.).A fin de cuentas,parece razonable que elbanco quiera prestar los $12 (millones).La respuesta es que el uso dado en la formulaci—nno desaprueba esta posibilidad,pero hay dos razones m‡s por las que no deber’a utilizar12:(1) Si otras restricciones en el modelo son tales que (millones) (por ejemplo,el banco puede limitar los diferentes prŽstamos),entonces la opci—n12 podr’a conducir a una soluci—n incorrecta o no factible.(2) Si desea experimentarcon el efecto de cambiar los fondos disponibles (por ejemplo,de $12 a $13 millones) en lasoluci—n —ptima,es posible que olvide cambiar .4 13,en cuyo caso la soluci—n noser‡ correcta.Un razonamiento parecido aplica al lado izquierdo de la cuarta restricci—n.La soluci—n —ptima requiere que se asignen los $12 millones:$7.2 millones a prŽstamospara casa,y $4.8 millones a prŽstamos comerciales.Las categor’as restantes no recibennada.El rendimiento de la inversi—n es Esto muestra que la tasa de rendimiento anual combinada es de 8.034%,la cual es menor(de 8.64% para prŽstamos para casa),y nos pregunta-mos por quŽ el modelo no aprovecha esta oportunidad.La respuesta es que la estipula-m‡s baja de 7.8%,de ah’ la reducci—n de la tasa de interŽsDe hecho,si eliminamos la restricci—n 2,la so-
8.64% (ÃintŽntelo utilizando el modelo AMPL!).Fox Enterprises est‡ considerando seis posibles proyectos de construcci—n durante lospr—ximos 4 a–os.Fox puede emprender cualquiera de los proyectos en parte o en su tota-lidad.La ejecuci—n parcial de un proyecto prorratear‡ proporcionalmente tanto el rendi-
12 B=8.034%.Tasa de rendimiento = z
12 = .99648
12 =.08034
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealmiento como los desembolsos de efectivo.Los rendimientos (valor presente) y los de-Formule el problema como un programa lineal,y determine la combinaci—n —ptimade proyectos que maximice el rendimiento total utilizando AMPL,Solver o TORA.Pase por alto el valor en el tiempo del dinero.Suponga que si se emprende una parte del proyecto 2,entonces debe emprendersepor lo menos una parte igual del proyecto 6.Modifique la formulaci—n del modelo yEn el modelo original,suponga que los fondos no utilizados al final de un a–o se utilizanen el a–o siguiente.Halle la nueva soluci—n —ptima,y determine quŽ tanto cada a–o Ãlepide prestadoÃal a–o anterior.Por sencillez,pase por alto el valor del dinero en el tiempo.a–o se pueden exceder,si fuera necesario,pidiendo prestado a otras actividades fi-nancieras dentro de la compa–’a.Ignorando el valor del dinero en el tiempo,refor-mule el modelo de PL y determine la soluci—n —ptima.ÃRequerir’a la nueva soluci—nque se pida prestado en cualquier a–o? De ser as’,Ãcu‡l es la tasa de rendimientoEl inversionista Doe dispone de $10,000 para invertirlos en cuatro proyectos.La tabla si-guiente presenta el flujo de efectivo para las cuatro inversiones.
Desembolso de efectivo ($1000)
Rendimiento
Proyecto
A–o1
A–o2
A–o3
A–o4
10.514.42.22.48.312.69.53.110.214.25.64.27.210.57.55.012.310.18.36.39.27.86.95.1Fondos disponibles ($1000)60.070.035.020.0
Flujo de efectivo ($1000) al inicio del
Proyecto
A–o1
A–o2
A–o3
A–o4
A–o50.500.301.801.200.600.201.501.300.801.900.800.400.601.800.95
La informaci—n que aparece en la tabla puede interpretarse como sigue:Para el proyecto1,$1.00 invertido al inicio del a–o 1 redituar‡ $.50 al inicio del a–o 2;$.30 al inicio del a–o3;$1.80 al inicio del a–o 4,y $1.20 al inicio de a–o 5.Las entradas restantes pueden inter-pretarse de la misma manera.La entrada 0.00 indica que no se est‡n realizando transac-ciones.Doe tiene opci—n adicional de invertir en una cuenta bancaria que gana 6.5%anual.Todos los fondos acumulados al final del a–o 1 pueden volverse a invertir en el a–osiguiente.Formule el problema como un programa lineal para determinar la asignaci—n—ptima de fondos a oportunidades de inversi—n.Resuelva el modelo con Solver de AMPL.
2.4Aplicaciones de programaci—n linealHiRise Construction puede licitar por la adjudicaci—n de dos proyectos de 1 a–o.La siguien-te tabla da el flujo de efectivo trimestral (en millones de d—lares) para los dos proyectos.
Flujo de efectivo (en millones de d—lares) el
Proyecto
1 de enero
1 de abril
1 de julio
1 de octubre
Ã1.51.81.51.8
HiRise dispone de fondos en efectivo que ascienden a $1 mill—n a principios de cada tri-mestre,y puede pedir prestado un m‡ximo de $1 mill—n a una tasa de interŽs anual nomi-nal de 10%.Cualquier dinero pedido a prŽstamo debe ser devuelto al final de cada tri-mestre.El efecto excedente puede ganar un interŽs trimestral a una tasa anual nominalde 8%.La acumulaci—n neta al final de cada trimestre se invierte en el siguiente.proyectos.Determine el nivel de participaci—n que maximizar‡ el efectivo neto acu-mulado el 31 de diciembre.Resuelva el modelo con Solver de AMPL.nar con fondos excedentes? Explique.En anticipaci—n a los fuertes gastos acadŽmicos,Joe y Jill iniciaron un programa de inver-si—n anual en el octavo cumplea–os de su hijo,el cual terminar‡ hasta que cumpla die-ciocho a–os.Planean invertir las siguientes cantidades al principio de cada a–o:
A–o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2000200025002500300035003500400040005000
Para evitar sorpresas desagradables,quieren invertir el dinero sin riesgo en las siguientesopciones:Ahorros asegurados con rendimiento anual de 7.5%,bonos del gobierno a seises de 1.02 de su valor nominal.ÃC—mo deber‡ invertirse el dinero? Un ejecutivo empresarial tiene la opci—n de invertir en dos planes.El plan A garantizaque cada d—lar invertido ganar‡ $.70 al a–o,y el plan B garantiza que cada d—lar inverti-do ganar‡ $2 despuŽs de 2 a–os.En el plan A,las inversiones pueden hacerse anualmen-te,y en el plan B s—lo se permiten durante periodos que sean mœltiplos de 2 a–os.ÃC—moResuelva el modelo utilizando Solver de AMPL.apostado.El juego tiene tres resultados.La tabla siguiente presenta la ganancia o pŽrdidacorrespondiente por d—lar para las diferentes opciones del juego.
Rendimiento por d—lar depositado en la opci—n
Resultado
1
2
3
41-34-71525-39433-910-8
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealEl apostador tiene un total de $500,los cuales puede apostar s—lo una vez.El resultado.Debido a esta incertidumbre,la estrategia del apos-m’nima producida por los tres resultados.ÃC—mo deber‡AMPL.(:La ganancia neta del apostador puede ser positiva,cero o negativa).Lewis(1996).Las facturas en una casa se reciben mensualmente (por ejemplo,servicios ehipoteca de la casa),trimestralmente (pagos de impuestos estimados),semestralmente(como los seguros),o anualmente (renovaciones y pagos vencidos de suscripciones).Lasiguiente tabla da las facturas mensuales durante el pr—ximo a–o.Para solventar estos gastos,la familia aparta $1000 cada mes,cantidad que es el promediodel total dividido entre 12 meses.Si el dinero se deposita en una cuenta de ahorros con-vencional,puede ganar un interŽs anual de 4%,siempre que permanezca en la cuentapor lo menos 1 mes.El banco tambiŽn ofrece certificados de dep—sito a 3 y 6 meses quepueden ganar el 5.5% y 7% de interŽs anual,respectivamente.Desarrolle un programade inversi—n de 12 meses que maximizar‡ la ganancia total de la familia durante el a–o.ci—n factible.Resuelva el modelo con Solver de AMPL.2.4.2Planificaci—n de la producci—n y control de inventariotarios.Esta secci—n presenta tres ejemplos.El primero tiene que ver con la programa-ci—n de la producci—n para satisfacer una demanda de un periodo œnico.El segundo sesatisfacer la demanda futura,y el tercero tiene que ver con el uso del inventario,y lacontrataci—n y despido de personal para ÃnivelarÃla producci—n durante un horizontede planificaci—n de mœltiples periodos.
Ejemplo 2.4-2 (Modelo de producci—n de un periodo œnico)En preparaci—n para la temporada invernal,una compa–’a fabricante de ropa est‡ manufactu-rando abrigos de piel con capucha y chamarras con relleno de plumas de ganso,pantalones conaislamiento y guantes.Todos los productos se elaboran en cuatro departamentos diferentes:corte,aislamiento,costura y empaque.La compa–’a recibi— pedidos en firme de sus productos.El contrato estipula una penalizaci—n por los art’culos no surtidos.Elabore un plan de produc-ci—n —ptimo para la compa–’a,con base en los siguientes datos:
Mes
Ene.
Feb.
Mar.
Abr.
May.
Jun.
Jul.
Ago.
Sep.
Oct.
Nov.
Dic.
Total80012004007006009001500100090011001300160012000
Tiempo por unidades (h)
Departamento
Chamarras
Relleno de plumas
Pantalones
Guantes
.25.151000.30.101000.40.221000.1.051000600500$20$10Penalizaci—n por unidad$15$10$8
2.4Aplicaciones de programaci—n linealSe penaliza a la compa–’a si no cumple la demanda.El objetivo es entonces maximizar la utili-dad neta,definida como.Para calcular la penalizaci—n total,las restriccio-,y la penalizaci—n total se.El modelo completo se escribe entonces como sigue 212.5.La soluci—n satisface toda la demanda deambos tipos de chamarra y los guantes.Una merma de 213 (redondeada desde 212.5) pantalones
representar‡ un costo de penalizaci—n de 213 3$10 5$2130.
Ejemplo 2.4-3(Modelo de producci—n en inventario durante periodos mœltiples)Acme Manufacturing Company firm— un contrato para entregar 100,250,190,140,220 y 110ventanas para casa durante los siguientes seis meses.El costo de producci—n (mano de obra,ma-terial y servicios) por ventana var’a por periodo y se estima que ser‡ de $50,$45,$55,$52 y $50durante los pr—ximos seis meses.Para aprovechar las fluctuaciones del costo de fabricaci—n,adicionales para entregarlas en meses posteriores.Esto supondr‡ un costo de almacenamiento a
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealraz—n de $8 por ventana por mes,estimado en el inventario de fin de mes.Desarrolle un progra-ma lineal para determinar el programa de producci—n —ptimo.el inventario de fin de mes.Para que 1,2,Ã,6,seanrecen representadas esquem‡ticamente en la figura 2.9.El sistema se inicia vac’o (El objetivo es minimizar el costo total de producci—n y del inventario de fin de mes.Por consiguiente,la funci—n objetivo es que aparece en la figura 2.9.Para cada periodo tenemos la siguiente ecuaci—n de balance:,es cero.Adem‡s,en cualquier soluci—n —ptima,el inventariocesarios.
x2250
I2
x3190
I3
x4140I4
x5220
I5
x6110
I6
x1100
I1
I
0
2.4Aplicaciones de programaci—n lineal440 unidades) cubre la demanda de los meses 2 y 3.El
costo total asociado es $49,980.
Ejemplo 2.4-4(Modelo de nivelaci—n de la producci—n para mœltiples periodos)Una compa–’a est‡ planeando fabricar un producto para marzo,abril,mayo y junio del pr—ximoa–o.Las cantidades demandadas son 520,720,520 y 620 unidades,respectivamente.La compa–’ade producci—n fluctuantes contratando y despidiendo trabajadores temporales.Los costos adi-respectivamente.Un trabajador de planta produce 12 unidades por mes;y uno temporal,que notiene la misma experiencia,produce 10.La compa–’a puede producir m‡s de lo necesario enpor unidad por mes.Desarrolle una pol’tica —ptima de contrataci—n y despido durante el hori-zonte de planificaci—n de 4 meses.mes tiene su producci—n,demanda e inventario final.La œnica excepci—n es el manejo de unadades que producen de la demanda mensual respectiva.La demanda restante se satisface enton-ces contratando y despidiendo trabajadores temporales.Por lo tantoidespuŽs
440250
0190
140140
220220
110110
100100
001900000
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealPor definici—n,son no negativas,en tanto que .ƒste es el primer casoen este cap’tulo del uso de una variable irrestricta.Como se ver‡ en breve,se requiere una susti-tuci—n especial para permitir la contrataci—n y despido en el modelo.En este modelo,el desarrollo de la funci—n objetivo requiere construir primero las restric-ciones.La cantidad de unidades producidas en el mes As’ pues,tenemos las siguientes restricciones del inventario:Para contrataci—n y despido,la fuerza de trabajo temporal se inicia con pios de marzo.A principios de abril .La misma idea se aplica a ,lo que conduce a las siguientesA continuaci—n desarrollamos la funci—n objetivo.La meta es minimizar el costo del inven-tario m‡s el costo de contrataci—n y despido.Como en el ejemplo 2.4-3.El modelado del costo de contrataci—n y despido es un poco complicado.Dado que los costos decontratar y despedir a un trabajador temporal son de $200 y $400,respectivamente,tenemos es positiva,la contrataci—n ocurre en el mes .Si es negativa,entonces ocurre eldespido.Esta valoraci—n ÃcualitativaÃse traduce matem‡ticamente aplicando la sustituci—nPodemos pensar en como la cantidad de trabajadores temporales contratados,y en dos.Por ejemplo,si 5y 0,entonces 5,lo que representacontrataci—n.Si 7,entonces 7,lo que representa despido.En el pri-mer caso,el costo de contrataci—n correspondiente es $2800$1000,
2.4Aplicaciones de programaci—n linealdo.Primero tenemos que responder una posible pregunta:ÃQuŽ pasa si tanto y como sondespido en el mismo mes.De manera interesante,la teor’a de la PL (cap’tulo 7) nos dice que yno pueden ser positivos al mismo tiempo,un resultado matem‡tico confirmado por intuici—n.,,$19,500.Todas las dem‡s variables soncero.La soluci—n requiere contratar 50 trabajadores temporales en marzo,y conser-var la fuerza de trabajo permanente hasta mayo,cuando se despida a 5 trabajadores temporales.No se recomienda ninguna otra contrataci—n o despido hasta finales de junio cuando,presuntamente,todos los trabajadores temporales ser‡n despedidos.Esta soluci—n requiere que
se conserven 100 unidades de inventario hasta mayo,y 50 unidades hasta junio.AutoMate contrat— a ToolCo para que abastezca sus tiendas de descuento automotricescon llaves inglesas y cinceles.La demanda semanal de AutoMate consiste en por lomenos 1500 llaves inglesas y 1200 cinceles.ToolCo no puede fabricar todas las unidadesmente subcontratar a otras f‡bricas de herramientas.El resultado es un incremento del
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealcosto de producci—n por unidad,como se muestra en la siguiente tabla.La demanda del
Herramienta
Tipo de producci—n
Intervalo de producci—n
semanal (unidades)
Costo
unitario($)Tiempo extra Tiempo extra
Formule el problema como un programa lineal,y determine el programa de produc-Resuelva el modelo aplicando AMPL,Solver o TORA.En tres m‡quinas se procesan cuatro productos en secuencia.La siguiente tabla propor-
Tiempo de fabricaci—n por unidad (h)
M‡quina
Costo por h ($)
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 4
10234250025321238034732145075705545
Formule el problema como un modelo de PL,y determine la soluci—n —ptima con AMPL,Solver o TORA.Un fabricante produce tres modelos,I,II y III,de un producto determinado con las mate-.La siguiente tabla proporciona los datos del problema:
Requerimientos por unidad
Materia prima
I
II
III
23540004276000Demanda m’nima200200150Precio por unidad ($)302050
III.Toda la fuerza de trabajo de la f‡brica puede producir el equivalente a 1500 unidadesdel modelo 1.Los requerimientos del mercado especifican las proporciones 3:2:5 para la
2.4Aplicaciones de programaci—n linealproducci—n de los tres modelos respectivos.Formule el problema como un programa li-neal,y halle la soluci—n —ptima con AMPL,Solver o TORA.La demanda de helado durante los tres meses de verano (junio,julio y agosto) en All-Flavor Parlor se estima en 500,600 y 400 cartones de 20 galones,respectivamente.Dosmayoristas,1 y 2,le surten helado a All-Flavors.Aunque los sabores de los dos proveedo-res son diferentes,son intercambiables.El m‡ximo de cartones que cada proveedorpuede surtir es de 400 por mes.Adem‡s,el precio de los dos proveedores cambia de unmes al siguiente,segœn la tabla:Para aprovechar la fluctuaci—n del precio,All-Flavor puede comprar m‡s de lo que nece-sita en un mes y guardar el excedente para satisfacer la demanda en un mes posterior.Elcosto de refrigerar un cart—n de helado es de $5 por mes.En la presente situaci—n es rea-medio disponibles durante el mes.Desarrolle un modelo para determinar el programa—ptimo de compra de helado a los dos proveedores,y determine la soluci—n —ptima conTORA,Solver o AMPL.La demanda de un art’culo durante los siguientes cuatro trimestres es de 300,400 y 250unidades,respectivamente.El precio por unidad es de $20 en el primer trimestre y se incrementa $2 cada trimestre en lo sucesivo.El proveedor no puede surtir m‡s de 400unidades en cualquier trimestre.Aunque podemos aprovechar los bajos precios en losprimeros trimestres,se incurre en un costo de almacenamiento de $3.50 por unidad detrimestre.Adem‡s,el m‡ximo de unidades que puede conservar de un trimestre al si-guiente no puede exceder de 100.Desarrolle un modelo de PL para determinar el pro-—ptima con AMPL,Solver o TORA.Se contrat— a una compa–’a para que manufacturara dos productos,meses de junio,julio y agosto.La capacidad de producci—n total (expresada en horas)var’a mensualmente.La siguiente tabla proporciona los datos b‡sicos de la situaci—n:
Junio
Julio
5005000750(unidades)100012001200300035003000
,respectivamente.Sedebe satisfacer toda la demanda;sin embargo,la de un mes posterior se puede satisfacercon la producci—n de uno anterior.Para cualquiera de los productos mes al siguiente,los costos de retenci—n son de $.90 y $.75 por unidad,respectivamente.Loscostos de producci—n unitarios de los dos productos,son de $30 y $28,respectiva-mente.Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de producci—n —ptimopara los dos productos y determine la soluci—n —ptima con AMPL,Solver o TORA.
Precio por cart—n en el mes de
Junio
Julio
$100$110$120Proveedor 2$115$108$125
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealEl proceso de fabricaci—n de un producto consta de dos operaciones sucesivas,I y II.La si-guiente tabla proporciona los datos pertinentes durante los meses de junio,julio y agosto.comendado de tiempo extra,si lo hay.Resuelva el problema con AMPL,Solver o TORA.2.4.3Planificaci—n de la mano de obraden lograrse mediante el proceso de contrataci—n y despido,como se demostr— en el ejemplo2.4-4.Hay situaciones en las que el efecto de las fluctuaciones de la demanda puede ser Ãabsor-bidoÃajustando las horas de inicio y terminaci—n de un turno de trabajo.Por ejemplo,en lugar de.,3:00 .,podemos utilizar turnos de 8 horas con traslapes en los que la hora de inicio de cadabiŽn puede extenderse a otros ambientes de operaci—n.El ejemplo 2.4-5 hace referencia a la de-de transporte durante las horas pico y normales.
Junio
Julio
Demanda del producto terminado (unidades)5004506008007005501000850700
Producir una unidad del producto implica .6 horas en la operaci—n I,m‡s .8 horas en laoperaci—n II.Se permite la sobreproducci—n o el producto terminado en parte (en la ope-raci—n I),o el producto terminado (en la operaci—n II) en cualquier mes para su uso enun mes posterior.Los siguientes costos de retenci—n correspondientes son de $.20 y $.40por unidad por mes.El costo de producci—n var’a por operaci—n y por mes.Para la opera-ci—n 1,el costo de producci—n unitario es de $10,$12 y $11 en junio,julio y agosto,respec-tivamente.Para la operaci—n 2,el costo correspondiente de producci—n unitario es de$15,$18 y $16.Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de producci—n—ptimo para las dos operaciones en el horizonte de 3 meses,y determine la soluci—n —pti-ma con AMPL,Solver o TORA.En dos m‡quinas se fabrican dos productos en secuencia.El tiempo disponible en cadam‡quina es de 8 horas por d’a y puede incrementarse hasta 4 horas de tiempo extra,si esnecesario,a un costo adicional de $100 por hora.La siguiente tabla proporciona la tasade producci—n en las dos m‡quinas,as’ como el precio por unidad de los dos productos.
Tasa de producci—n (unidades/h)
Producto 1
M‡quina1M‡quina284Precio por unidad ($)110118
2.4Aplicaciones de programaci—n lineal
Ejemplo 2.4-5(Modelo de horarios de autobuses)ci—n masiva para reducir el tr‡fico urbano.El estudio busca la cantidad m’nima de autobuses quesatisfaga las necesidades de transporte.DespuŽs de reunir la informaci—n necesaria,el ingenierodel d’a,y dicha cantidad se pod’a representar de forma aproximada por valores constantes du-rante intervalos de 4 horas sucesivos.La figura 2.11 resume los hallazgos del ingeniero.Para rea-lizar el mantenimiento diario requerido,cada autobœs puede operar s—lo 8 horas continuas al d’a.
Aplicaci—n de la vida real. Planificaci—n del personal de ventas por telŽfono 7:00 a 22:00,con turnos de 6 horas que comienzan a diferentes horas del d’a.Qantasun servicio conveniente a sus clientes.El estudio,realizado a finales de la dŽcada de1970,permiti— ahorros anuales de m‡s de 200,000 d—lares australianos por a–o.El es-
tudio se detalla en el caso 15,cap’tulo 26,en el sitio Web.
4:008:004:008:00
x1x2x3x4x5x6
turno,y las restricciones tienen que ver con la satisfacci—n de la demanda.El objetivo es minimi-
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n lineal
Espacios de tiempo
.a 4:00 .a 8:00 .a 12:00 del d’a.a 4:00 .a 8:00 .a 12:00
La definici—n expresada de las variables es un tanto ÃimprecisaÃ.Sabemos que cada autobœscircular‡ durante 8 horas consecutivas,pero no sabemos cu‡ndo debe iniciar un turno.Si segui-.a 4:00 ,4:01 .a 12:00 medianoche,y 12:01.a 8:00 primero,segundo y tercer turnos,en la figura 2.11 podemos ver que 8.Lanormal.Sin embargo,una ventaja podr’a ser que el proceso de optimizaci—n eligiera la ÃmejorÃhora de inicio de un turno.Una forma razonable de hacerlo es permitir que se inicie un turnocada 4 horas.La parte inferior de la figura ilustra esta idea con turnos de 8 horas traslapados que.,4:00 ,8:01 .,12:01 .y 8:01 .As’ pues,las variables se defi-En la figura 2.11 podemos ver que debido al traslape de los turnos,la cantidad de autobuses du-.-12:00-8:00-4:00-8:00.-4:00
2.4Aplicaciones de programaci—n linealturnos tradicionales).El horario requiere .y
6,y 2,con o de 12 horas.Si un autobœs opera durante 12 horas,al conductor se le pagan horas extraa 150% del salario por hora regular.ÃRecomienda utilizar turnos de 12 horas? Resuelvael nuevo modelo utilizando AMPL,Solver o TORA..y las 10:00.Cada voluntario trabaja tres horas consecutivas,excepto los que entran a las 8:00.,que s—lo trabajan 2 horas.Una aproximaci—n a la necesidad m’nima de voluntarioses por medio de una funci—n escalonada en intervalos de dos horas,los cuales se inician a.como 4,6,8,6,4,6 y 8.Como la mayor’a de los voluntarios son pensionados,.a 10:00 Sin embargo,como la mayor’a de las instituciones caritativas compiten por sus servicios,la cantidad requerida debe mantenerse lo m‡s baja posible.Determine un programa —pti-mo (utilice AMPL,Solver o TORA) de la hora de inicio de los voluntarios.En el problema 2,suponga que ningœn voluntario iniciar‡ al mediod’a o a una hora enque se impliquen el almuerzo y la comida.Desarrolle la PL,y determine el horario —pti-mo utilizando AMPL,Solver o TORA.En una compa–’a camionera de cargas peque–as,los andenes de la terminal incluyen tra-pico.En el andŽn de Omaha,Nebraska,la demanda m’nima de trabajadores eventualesdurante los 7 d’as de la semana (a partir del lunes) es de 20,14,10,15,18,10 y 12 trabaja-dores.Cada trabajador es contratado para que labore 5 d’as consecutivos.Desarrolle eleventuales para la compa–’a utilizando AMPL,Solver o TORA.para que realicen encargos de oficina.La necesidad de ese servicio fluctœa durante las.a 5:00 .).En un departamento,la cantidad m’nima de estu-.y las 10:00 .;3 entre las 10:01 .y las.;4 entre las 11:01 .y la 1:00 .,y 3 entre la 1:01 .y las 5:00 .A cada.quetrabajan 2 horas,y a los que inician a las 4:01 que trabajan 1 hora).Debido al horario fle-xible de los estudiantes,por lo comœn pueden iniciar a cualquier hora durante el d’a detrabajo,excepto a la hora del almuerzo (12:00 del d’a).Desarrolle el modelo de PL y de-portan al trabajo.Use AMPL,Solver o TORA para determinar la soluci—n.Una gran tienda de departamentos opera 7 d’as a la semana.El gerente estima que lalunes,18 el martes,20 el miŽrcoles,28 el jueves,32 el viernes,y 40 para el s‡bado y el do-mingo.Cada vendedor trabaja 5 d’as a la semana,con los dos d’as de descanso escalona-dos a lo largo de la semana.Por ejemplo,si 10 personas inician el lunes,2 pueden tomarsu d’a de descanso el martes o el miŽrcoles;5 el miŽrcoles y jueves,y 3 el s‡bado y domin-go.ÃCu‡ntos vendedores se deben contratar,y c—mo se distribuir‡n sus d’as de descanso?Use AMPL,Solver o TORA para determinar la soluci—n.
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n lineal2.4.4Planificaci—n de desarrollo urbanoLa planificaci—n urbana implica atender tres ‡reas generales:(1) construcci—n de nue-vos desarrollos de vivienda;(2) remodelaci—n de viviendas deterioradas y ‡reas recrea-tivas,y (3) planificaci—n de edificios pœblicos (escuelas y aeropuertos).Las restriccio-nes asociadas con estos proyectos son tanto econ—micas (terreno,construcci—n yfinanciamiento) como sociales (escuelas,parques y nivel de ingreso).Los objetivos enla planificaci—n urbana var’an.En los nuevos desarrollos de vivienda,la utilidad sueleser el motivo para emprender el proyecto.En las dos categor’as restantes los objetivosimplican consideraciones sociales,pol’ticas,econ—micas y culturales.De hecho,enun caso divulgado en 2004,el alcalde de una ciudad en Ohio deseaba demoler unvieja de la ciudad para construir departamentos de lujo.El motivo era incremen-tar la recaudaci—n de impuestos para aliviar la escasez de presupuesto.El ejemplo deesta secci—n se dise–— con base en el caso de Ohio.
Ejemplo 2.4-6(Modelo de renovaci—n urbana)La ciudad de Erstville enfrenta un grave recorte de presupuesto.Buscando una soluci—n a largoplazo para mejorar la base tributaria,el consejo de la ciudad propone la demolici—n de un ‡reade viviendas dentro de la ciudad,y su reemplazo con un moderno desarrollo.El proyecto implica dos fases:(1) demolici—n de casas populares para obtener el terrenopara el nuevo desarrollo,y (2) construcci—n del nuevo desarrollo.A continuaci—n,un resumen deSe pueden demoler 300 casas populares.Cada casa ocupa un lote de .25 acres.El costo deLos tama–os de los lotes para construir casas unifamiliares,dobles,triples y cu‡druples,son de .18,.28,.4 y .5 acres,respectivamente.Las calles,los espacios abiertos y el ‡reapara la instalaci—n de servicios,ocupan 15% del ‡rea disponible.En el nuevo desarrollo,las unidades triples y cu‡druples ocupan por lo menos 25% deltotal.Las unidades sencillas deben ser al menos 20% de todas las unidades,y las unida-El impuesto por unidad aplicado a las unidades sencillas,dobles,triples y cu‡druples esde $1000,$1900,$2700 y $3400,respectivamente.El costo de construcci—n por unidad de las casas sencillas,dobles,triples y cu‡druples es de$50,000,$70,000,$130,000 y $160,000,respectivamente.El financiamiento a travŽs de unbanco local est‡ limitado a $15 millones.Modelo matem‡tico:vivienda,tambiŽn necesitamos decidir cu‡ntas casas se deben demoler para crear el espacio parael nuevo desarrollo.Por lo tanto,las variables del problema se definen como sigue:
6Esta secci—n est‡ basada en Laidlaw (1972)
2.4Aplicaciones de programaci—n linealEl objetivo es maximizar la recaudaci—n total de impuestos de los cuatro tipos de casas,es decir,La primera restricci—n del problema es la disponibilidad del terreno.A partir de los datos del problema,tenemosPara determinar la cantidad de acres disponibles,cada casa demolida ocupa un lote de .25 acres,acres.Considerando 15% para espacios abiertos,calles y ‡reas para servicios,la.La restricci—n resultante esLa cantidad de casas demolidas no puede ser superior a 300,lo cual se expresa comodentro del presupuesto permisible,es decir,Expresando todos los costos en miles de d—lares,tenemos
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealComentarios.y Žsta es la raz—n de redondear los valores continuos al entero m‡s pr—ximo.La soluci—n redon-jas,lo cual representa $345,600 en impuestos.Tenga en cuenta,sin embargo,que quiz‡ la soluci—nredondeada no sea factible.De hecho,la soluci—n redondeada actual viola la restricci—n del pre-supuesto por $70,000 (ÃcompruŽbelo!).No obstante,la soluci—n entera —ptima verdadera (con0,y $343.700.Observe con cuidado que la soluci—n redondeada produce un mejor valor ob-jetivo,lo que parece contradictorio.La raz—n es que la soluci—n redondeada requiere que se pro-
duzca una casa doble adicional,lo cual es factible s—lo si al presupuesto se le aumentan $70,000.les.El ‡rea de viviendas se compone de departamentos-estudio,casas dœplex y unifami-liares.Se estima que la demanda m‡xima por parte de los arrendatarios potenciales es de500 departamentos-estudio,300 casas dœplex y 250 casas unifamiliares,pero la cantidadtudio y casas unifamiliares.El espacio para locales comerciales es proporcional a la canti-,15 piesmentos-estudio,casas dœplex y casas unifamiliares,respectivamente.Sin embargo,la.La renta mensual se estima en $600,$750 y $1200 para departamentos-estudio,casas dœplex y casas unifamiliares,en ese orden.La renta de los locales comerciales es de.Desarrolle un modelo de PL para determinar el ‡rea —ptima para locales co-merciales y la cantidad de casas,y determine la soluci—n con AMPL,Solver o TORA.El concejo de la ciudad de Fayetteville est‡ en el proceso de aprobar la construcci—n de.Se han propuesto dos sitios,y ambos
2.4Aplicaciones de programaci—n linealrequieren ejercer la ley de Ãdominio inminenteÃ,o de expropiaci—n,para adquirir la pro-piedad.La siguiente tabla presenta los datos de las propiedades propuestas (contiguas)en ambos sitios,junto con el costo de adquisici—n.
Sitio 1
Sitio 2
Propiedad
çrea 2)
Costo($1000)
çrea 2)
201000802800
Se permite la adquisici—n parcial de la propiedad.Se debe adquirir 75% como m’nimo dela propiedad 4 si se selecciona el sitio 1,y por lo menos 50% de la propiedad 3 si se selec-ciona el sitio 2.Aunque la propiedad del sitio 1 es m‡s cara (por pie),el costo de cons-trucci—n es menor que en el sitio 2 porque la infraestructura est‡ en mejores condiciones.El costo de construcci—n es de $25 millones en el sitio 1,y de $27 millones en el sitio 2.lizando AMPL,Solver o TORA.pr—ximos 5 a–os.Cada proyecto tiene distinto a–o de inicio y duraci—n diferente.La si-
A–o1
A–o2
A–o3
A–o4
A–o5
Costo
(millones de $)
Ingreso anual
Proyecto1InicioTerminaci—n5.0.05Proyecto2InicioTerminaci—n8.0.07Proyecto3InicioTerminaci—n15.0.15Proyecto4InicioTerminaci—n(millones $)3.06.07.07.0
Los proyectos 1 y 4 deben terminarse del todo dentro de su tiempo estipulado.Los otrosdos proyectos pueden terminarse parcialmente de ser necesario,siempre y cuando no excedan su presupuesto.Sin embargo,cada proyecto debe quedar por lo menos con unavance de 25%.Al final de cada a–o,los inquilinos ocupan de inmediato la secci—n termi-nada de un proyecto,y as’ se obtiene una cantidad proporcional de ingreso.Por ejemplo,sien el a–o 1 se completa 40% del proyecto y 60% en el a–o 3,el ingreso asociado para el$50,000.Desarrolle un modelo de PL para determinar el desarrollo de los pro-yectos que maximice el ingreso total durante la planeaci—n a 5 a–os,y determine la solu-ci—n con AMPL,Solver o TORA.Por sencillez,omita el valor del dinero en el tiempo.La ciudad de Fayetteville va a iniciar un proyecto de renovaci—n urbano que incluir‡casas para personas de bajos y medianos ingresos,departamentos de lujo y viviendas po-pulares.El proyecto tambiŽn incluye una escuela primaria pœblica y locales comerciales.tidad de alumnos,y el espacio para locales comerciales es proporcional a la cantidad deviviendas.La tabla siguiente proporciona los datos pertinentes de la situaci—n:
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealmo de 25 alumnos por sal—n.El costo anual de operaci—n por sal—n de clase es de$10,000.El proyecto se ubicar‡ en un lote bald’o de 50 acres propiedad de la ciudad.Adicionalmente,el proyecto puede utilizar una propiedad adyacente ocupada por 200casas en ruinas que se demoler‡n,cada una de las cuales ocupa .25 acres.El costo decomprar y demoler una de estas casas es de $7000.El espacio abierto,las calles y lotes deestacionamiento consumen 15% del terreno total disponible.Desarrolle un programa lineal para determinar el plan —ptimo para el proyecto,yencuentre la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.Monta–as Ozark.Anteriormente,a los desarrollos nuevos alrededor del lago se les im-pon’an pocas regulaciones,o ninguna.Ahora en las orillas del lago hay muchas casas dedescanso,y fosas sŽpticas de las que la mayor’a est‡n instaladas de manera inadecuada.Alpaso de los a–os,el escurrimiento de las fosas sŽpticas contamin— gravemente el agua.Para detener la degradaci—n del lago,las autoridades del condado aprobaron reglamentosestrictos aplicables a todos los futuros desarrollos.(1) S—lo se pueden construir casas uni-familiares,dobles y triples,donde un m’nimo de 50% del total de casas deben ser casasunifamiliares.(2) Para limitar la cantidad de fosas sŽpticas,se requieren tama–os de lotesm’nimos de 2,3 y 4 acres para las casas unifamiliares,dobles y triples,respectivamente.(3)Deben establecerse ‡reas recreativas de 1 acre a raz—n de una por cada 200 familias.(4)Para preservar la ecolog’a del lago,no se puede extraer agua subterr‡nea para las casas ojardines.El presidente de Realco est‡ estudiando la posibilidad de desarrollar una propie-dad de 800 acres.El nuevo desarrollo incluir‡ casas unifamiliares,dobles y triples.Se esti-ma que 15% del ‡rea en acres se asignar‡ a calles y ‡reas para servicios.Realco estima lastruidas.Sin embargo,el condado cobra un m’nimo de $100,000 para el proyecto.Adicionalmente,la expansi—n del sistema de agua por encima de su capacidad actual est‡limitada a 200,000 galones por d’a durante los periodos pico.Los siguientes datos resu-men el costo de conexi—n del agua y el consumo,considerando una familia de tama–o
Bajos
ingresos
Medianos
ingresos
Altos
ingresos
Viviendas
populares
Salones
de clase
Locales
10012575300200190260600Tama–o de lote por unidad (acres).05.07.03.025.045.1Cantidad promedio de alumnos por unidad1.31.2.51.4.023.034.046.023.034700012,00020,0005000Ã15,000
Unidad de viviendas
Unifamiliares
Dobles
Triples10,00012,00015,000
Unidad de viviendas
Unifamiliares
Dobles
Triples
100012001400800400600840
2.4Aplicaciones de programaci—n linealpromedio:Desarrolle un modelo de PL para determinar el plan —ptimo para Realco ydetermine la soluci—n con AMPL,Solver o TORA.Considere el modelo de Realco del problema 5.Suponga que se pueden adquirir 100acres m‡s por $450,000,los cuales incrementar‡n el ‡rea total a 900 acres.ÃEs rentable2.4.5Mezcla y refinaci—nVarias aplicaciones de PL tienen que ver con la mezcla de diferentes materiales parafabricar productos que satisfagan ciertas especificaciones,al mismo tiempo que se mi-nimiza el costo y se maximiza la utilidad.Los materiales pueden ser minerales met‡li-cos,chatarras,productos qu’micos o petr—leos crudos,y los productos pueden ser lin-gotes de metal,pinturas o gasolina de varios grados.Esta secci—n presenta un modelo(simplificado) de refinaci—n de petr—leo.El proceso se inicia con la refinaci—n de petr—-leo crudo para crear reservas y luego mezclarlas para producir gasolina.La gasolinadebe satisfacer ciertas especificaciones de calidad (como el octanaje).Adem‡s,los l’-producci—n de los diferentes grados de gasolina.Un objetivo del modelo es determinarcuada.En algunos casos la meta es minimizar una funci—n de costo.
Ejemplo 2.4-7(Refinaci—n de petr—leo crudo y mezcla de gasolinas)La compa–’a Shale Oil,localizada en la isla de Aruba,produce diariamente 1,500,000 barriles depetr—leo crudo.Los productos finales de la refiner’a incluyen tres tipos de gasolina sin plomocon diferentes octanajes (ON,por sus siglas en inglŽs):gasolina regular con ON 87;premium con89,y sœper con ON 92.El proceso de refinaci—n comprende tres etapas:(1) una torre dede petr—leo crudo;(2) una unidad de desintegraci—n que produce gasolina cruda (ON barriles por barril por carga de alimentaci—n,y (3) una unidad mezcladora que mezcla la gasoli-torre de destilaci—n.La compa–’a estima que la utilidad neta por barril de los tres tipos de gaso-lina deber‡ ser de $6.70,$7.20 y $8.10,respectivamente.La capacidad de la unidad de desinte-graci—n es de 200,000 barriles de carga al d’a.La demanda de gasolinas regular,premium y sœperes de 50,000,30,000 y 40,000 barriles,respectivamente,por d’a.Desarrolle un modelo para deter-La figura 2.12 resume los elementos del modelo.Las variables puedenmentaci—n y gasolina desintegrada) y los tres productos finales.Sea1,2;1,2,3 Aplicando esta definici—n,tenemos
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealdos de gasolina.De acuerdo con las definiciones dadas antes,obtenemos
Destilaci—n5:1
Crudo
ON 82Carga de Unidaddedesinte-graci—n
Mezcla-dora
x21 x22 x23x11 x12 x13
x11 x21, ON 87x12 x22, ON 89x13 x23, ON 92ON 82ON 98
2:1
1:1
2.4Aplicaciones de programaci—n linealde las corrientes de entrada utilizadas en el proceso de mezcla,y se calcula como sigue:Por lo tanto,la restricci—n del octanaje para la gasolina regular esobienDe este modo,el modelo completo se resume como 2( 5(
x13+x23 Ã9282x12+98x22Ã89(x12+x22)82x12+98x22
x12+x22 Ã8982x11+98x21Ã87(x11+x21)82x11+98x21
x11+x21 Ã87 =82x11+98x21
Carga deOctanaje en laUnidad dede alimentaci—nbarriles/d’adesintegraci—nbarriles/d’a
Total de barriles por d’a de gasolina regularOctanajepromediode la±gasolina regularx13+x23ƒ40,000x12+x22ƒ30,000
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealLas tres œltimas restricciones pueden simplificarse para producir un lado derecho constante.25,000.Esto se traduce a
satisfacer la demanda m‡xima.La demanda de los productos restantes s’ se satisface.Hi-V produce tres tipos de jugos enlatados,A,B utilizando fresas,uvas y manzanasfrescas.El abasto diario se limita a 200 toneladas de fresas,100 toneladas de uvas y 150 to-neladas de manzanas.El costo por tonelada de fresas,uvas y manzanas es de $200,$100 y$90,respectivamente.Cada tonelada rinde 1500 lb de jugo de fresa,1200 lb de jugo de uva,y 1000 lb de jugo de manzana.La bebida manzana.La bebida es una mezcla de 1:1:2 de jugo de fresa,jugo de uva y jugo de man-zana.La bebida es una mezcla de 2:3 de jugo de uva y jugo de manzana.Todas las bebi-das se envasan en latas de 16 oz.(1 lb).El precio por lata es de $1.15,$1.25 y $1.20 de las.Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de producci—n—ptima de las tres bebidas,y halle la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.Una ferreter’a vende bolsas de tornillos,pernos,tuercas y rondanas.Los tornillos vienenen cajas de 100 lb y cuestan $110 cada caja;los pernos vienen en cajas de 100 lb y cuestan$150 cada una;las tuercas vienen en cajas de 80 lb y cada una cuesta $70,y las rondanasvienen en cajas de 30 lb y su costo es de $20 cada caja.La bolsa debe pesar por lo menos1 lb e incluir,en peso,por lo menos 10% de tornillos y 25% de pernos;no m‡s de 15% detuercas y cuando mucho 10% de rondanas.Para balancear la bolsa,la cantidad de pernosno puede exceder a la de tuercas o la de rondanas.El peso de un perno es 10 veces el deuna tuerca,y 50 veces el de una rondana.Desarrolle un modelo de PL para determinar lacombinaci—n —ptima de la bolsa,y halle la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.All-Natural Coop fabrica tres cereales,a partir de cuatro ingredientes:copos deavena,pasas,coco rayado y almendras fileteadas.Las disponibilidades diarias de los in-gredientes son 5 toneladas,2 toneladas,1 tonelada y 1 tonelada,respectivamente.Loscostos correspondientes por tonelada son $100,$120,$110 y $200.El cereal mezcla de 50:5:2 de avena,pasas y almendras.El cereal avena,coco y almendras.El cereal C es una mezcla de 60:3:4:2 de avena,pasas,coco y al-mendras.Los cereales se producen en tama–os jumbo de 5 lb.All-Natural vende los ce-
2.4Aplicaciones de programaci—n lineala $2,$2.50 y $3.00 por caja,respectivamente.La demanda diaria m’nimaes de 500,600 y 500 cajas,respectivamente.Desarrolle un modelode PL para determinar la mezcla de producci—n —ptima de los cereales,as’ como las can-tidades asociadas de ingredientes,y halle la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.2,mezclando cuatro tipos de.El combustible 1:1:2:4,y el combustible 2 incluye la proporci—n 2:2:1:3.Los l’mites de abasto de son 1000,1200,900 y 1500 barriles/d’a,respectivamente.Los costos por barril de las gasolinasson $120,$90,$100 y $150,respectivamente.Las combustibles a $200 y $250 por barril,respectivamente.La demanda m’nima de rriles/d’a,respectivamente.Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de pro-,y halle la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.Una compa–’a petrolera destila dos tipos de petr—leo crudo,na regular y premium,y combustible para gasavi—n.La disponibilidad diaria de petr—leocrudo y la demanda m’nima de los productos finales est‡n limitadas.Si la producci—n noes suficiente para satisfacer la demanda,proveedores externos surten la cantidad faltantecon una penalizaci—n.La producci—n excedente no se vende de inmediato y se incurre enun costo de almacenamiento.La siguiente tabla proporciona los datos de la situaci—n:
Fracci—n de rendimiento por barril
Crudo
Regular
Premium
Gasavi—n
Precio/barril ($))
.20.1.25.25.3.105007004005070120234101520
ner’a,y halle la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.En la situaci—n de la refiner’a del problema 5,suponga que de la unidad de destilaci—nresultan los productos intermedios nafta y aceite ligero.Un barril de crudo barriles de nafta y .6 barriles de aceite ligero,y un barril de crudo de nafta y .5 barriles de aceite ligero.La nafta y el aceite ligero se mezclan para producirlos tres productos de gasolina finales:Un barril de gasolina regular tiene una proporci—nde mezcla de 2:1 (nafta a aceite ligero);un barril de gasolina premium tiene una rela-ci—n de mezcla de 1:1,y un barril de combustible para avi—n tiene una proporci—n demezcla de 1:2.Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de producci—n —ptima y halle la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.Hawaii Sugar Company produce azœcar morena,azœcar procesada (blanca),azœcar glas,y melazas a partir del jarabe de ca–a de azœcar.La compa–’a compra 4000 toneladas detoneladas de cada tipo de azœcar.El proceso de producci—n se inicia con la fabricaci—n deazœcar morena y melaza a partir del jarabe.Una tonelada de jarabe produce .3 toneladasde azœcar morena y .1 tonelada de melaza.El azœcar blanca resulta de procesar el azœcarmorena.Se requiere una tonelada de azœcar morena para producir .8 toneladas de azœcarblanca.El azœcar glas se produce a partir del azœcar blanca mediante un proceso de mo-produce .95 toneladas de azœcar glas).Las utilidades por tonelada de azœcar morena,
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealazœcar blanca y melaza son $150,$200,$230 y $35,respectivamente.Formule el problemacomo un programa lineal,y determine el programa de producci—n semanal utilizandoAMPL,Solver o TORA.La refiner’a Shale Oil mezcla dos tipos de petr—leo,alto octanaje,I y II.Los petr—leos barriles/hora,respectivamente.Los octanajes correspondientes son 98 y 89,y las presio-.La gasolina I y la gasolina II deben tener octanajes depor lo menos 91 y 93,respectivamente.La presi—n de vapor asociada con ambos produc-.Las utilidades por barril de las gasolinas I y II sonde $7 y $10,respectivamente.Desarrolle un modelo de PL para determinar la tasa de.Determine la soluci—n con AMPL,Solver o TORA (La presi—n de vapor,al igual que el octanaje,es el promedio ponderado de las presiones de vapor de los petr—-leos mezclados.)Una fundidora de acero,aluminio y hierro colado produce dos tipos de lingotes de metal,I y II,con l’mites espec’ficos en el contenido de aluminio,grafito y silicio.En el procesociones deseadas.Las siguientes tablas establecen las especificaciones del problema:fundir,y determine la soluci—n con AMPL,Solver o TORA.Se fabrican dos aleaciones,,con cuatro metales I,II,III y IV de acuerdo con las si-
Contenido (%)
Elemento de entrada
Aluminio
Grafito
Silicio
Costo/tonelada ($)
10541009512150Chatarra de hierro colado01581000090000100380
Lingote I
Lingote II
Ingrediente
M’nimo(%)
M‡ximo (%)
M’nimo(%)
M‡ximo (%)Aluminio 8.110.86.28.9Grafito1.53.04.1qSilicio2.5q2.84.1Demanda (toneladas/d’a)130250
Aleaci—n
Especificaciones
M‡ximo 80% de I200
2.4Aplicaciones de programaci—n linealDesarrolle un modelo de PL para determinar cu‡nto debe producirse de cada tipo,y determi-ne la soluci—n utilizando AMPL,Solver o TORA.(,y defina 2.4.6Aplicaciones de PL adicionales ‡reas.El conjunto de problemas 2.4F en esta secci—n proporciona ‡reas de aplicaci—nadicionales,que van desde agr’colas hasta militares.anaquel que se asignar‡ a cada uno de los cinco tipos de cereales para el desayuno.Lademanda diaria m‡xima es de 100,85,140,80 y 90 cajas,respectivamente.El espacio deanaquel en pulgadas cuadradas para las cajas es de 16,24,18,22 y 20.El espacio de ana-.La utilidad por unidad es de $1.10,$1.30,$1.08,$1.25 y $1.20.Determine la asignaci—n de espacio —ptimo para los cinco cereales.Votaci—n.En cierto condado del estado de Arkansas,en la boleta se presentan cuatro op-ciones a elegir:Construir nuevas carreteras,incrementar el control de armas,aumentarsubsidios a granjas y elevar el impuesto a la gasolina.El condado comprende 100,000 vo-tantes urbanos,250,000 votantes suburbanos,y 50,000 votantes rurales,todos con varia-bles de apoyo y oposici—n a los temas de elecci—n.Por ejemplo,los votantes rurales seoponen al control de armas y al impuesto a la gasolina,sin embargo est‡n a favor de laconstrucci—n de carreteras y de los subsidios a granjas.El condado est‡ planeando unacampa–a publicitaria de TV con un presupuesto de $100,000 a un costo de $1500 poranuncio.La siguiente tabla resume el impacto de un solo anuncio en funci—n de la canti-
Constituyentes (%)
MineralCantidad m‡xima
(toneladas)
I
II
III
IV
OtrosPrecio/
110002010303010302200010203030104033000557020
Cantidad esperada de votos a favor (1)
y votos en contra (2
Tema
Urbanos
Suburbanos
Nuevas carreteras30,000Control de armas 80,000Control de smog40,000Impuesto a la gasolina90,000025,000
Una opci—n ser‡ ganadora si acumula el 51% de los votos.ÃQuŽ opci—n ser‡ aprobadapor los votantes,y cu‡ntos anuncios deben asignarse?
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n lineal.Un producto se ensambla a partir de tres piezas dife-rentes.Dos departamentos fabrican las piezas a diferentes ritmos de producci—n,como sela semana.(:Unidades m’nimas de ensamble {unidades de la pieza 1,unidadesde la pieza 2,y unidades de la pieza 3}.Maximizar .Se pulverizan y mezclan tres tipos de carb—n,C1,C2 y C3 paratricidad.La combusti—n del carb—n emite —xido de azufre (en partes por mill—n) la cualdebe satisfacer las especificaciones de EPA (por sus siglas en inglŽs) de un m‡ximo de2000 partes por mill—n.La siguiente tabla resume los datos de la situaci—n.
Capacidad
Ritmo de producci—n (unidades/h)
Departamento
(h/sem)
Pieza 1
Pieza2
Pieza31008
Determine la mezcla —ptima de los carbones.Stark y Nichols (1972).El tr‡nsito automotriz de tres carreteras,H1,H2 y H3,debe detenerse y esperar una luz verde antes de salir de una carretera decuota.Las cuotas son de $3,$4 y $5 para los autos que salen de H1,H2 y H3,respectiva-mente.Las proporciones de flujo de H1,H2 y H3 son de 500,600 y 400 autos por hora.Elciclo de los sem‡foros no debe exceder de 2.2 minutos,y la luz verde en cualquier carre-tera debe permanecer encendida por lo menos durante 25 segundos.La luz amarilla per-manece encendida durante 10 segundos.La caseta de cobro puede atender un m‡ximo de510 autom—viles por hora.Suponiendo que los autom—viles no se mueven con la luz ama-rilla,determine el intervalo —ptimo para la luz verde en las tres carreteras que maximi-zar‡ el ingreso de la caseta de cobro por ciclo de tr‡nsito.10 semanas para principiantes,la velocidad promedio por estudiante (en palabras por mi-,que mejor se ajuste a los datos proporcionados.(de las desviaciones entre late—rica y la emp’rica.Min0.Por otra parte,min Stark y Nichols (1972).de Carreteras de Arkansas est‡ planeando una nueva carretera de 10 millas por un terre-no accidentado como se muestra en el perfil que se muestra en la figura 2.13.El ancho
C1
C2
250015001600Capacidad del pulverizador (ton/h)303030$30$35$33
12345678910Palabras por minuto,591519212426303135
2.4Aplicaciones de programaci—n linealdel terreno de construcci—n es aproximadamente de 50 yardas.Para simplificar la situa-ci—n,el perfil del terreno se puede reemplazar por una funci—n escalonada,como semuestra en la figura.Utilizando maquinaria pesada,la tierra removida del terreno alto setransporta para rellenar ‡reas bajas.TambiŽn hay dos fosos de mina,I y II,ubicados enlos extremos del tramo de 10 millas,de donde se puede extraer m‡s tierra si es necesario.El foso I tiene una capacidad de 20,000 yardas cœbicas,y la del foso II es de 15,000 yardascœbicas.Los costos de extracci—n de tierra de los fosos I y II,respectivamente,son de$1.50 y $1.90 por yarda cœbica.El costo de transportaci—n por yarda cœbica por milla esde $.15,y el costo de utilizar la maquinaria pesada para cargar los camiones es de $.20por yarda cœbica.Esto significa que transportar una yarda cœbica 1 milla desde el foso I$.35.Desarrolle un plande costo m’nimo para nivelar el tramo de 10 millas.Planificaci—n militar,Shepard and Associates (1988).invadir el territorio defendido por el ejŽrcito azul (B),el cual tiene tres l’neas de defensay 200 unidades de combate regulares,y adem‡s puede echar mano de una reserva de 200unidades.El ejŽrcito rojo planea atacar en dos frentes,el norte y el sur,y el ejŽrcito azulestableci— tres l’neas de defensa este-oeste,I,II y III.El prop—sito de las l’neas de defen-ximizar la duraci—n total de la batalla.El tiempo de avance del ejŽrcito rojo se calculason una funci—n de la l’nea de defensa y el frente norte/sur,
Unidades rojasb
135789
Milla
FIGURA 2.13Perfil del terreno para el problema 7
a
b
I
II
III
I
II
Frente norte.5.75.558.87.910.2Frente sur 1.11.31.510.58.1
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealIII.La asignaci—n de unidades por parte del ejŽrcito rojo a las tres l’neas de defensa se daGesti—n de calidad del agua,Stark and Nicholes (1972).residuales en la misma corriente de agua.La ciudad 1 est‡ corriente arriba,la ciudad 2 co-rriente abajo;luego la ciudad 3,y finalmente la ciudad 4.Medidas a lo largo de la corrientede agua,las ciudades est‡n aproximadamente a 15 millas una de otra.Una medida de la(BOD,por sus siglas en inglŽs),lo cual es el peso del ox’geno requerido para estabilizarlos constituyentes de desecho en el agua.Una BOD m‡s alta indica una peor calidad delagua.La Agencia de Protecci—n Ambiental (EPA,por sus siglas en inglŽs) establece unacarga de BOD permisible m‡xima,expresada en lb de BOD por gal—n.La eliminaci—n decontaminantes del agua residual se realiza en dos formas:(1) actividad de descomposici—nnatural estimulada por el ox’geno en el aire,y (2) plantas de tratamiento en los puntos dedescarga antes de que los desechos lleguen a la corriente de agua.El objetivo es determi-niveles aceptables.La eficiencia m‡xima posible de la planta es de 99%.Para demostrar los c‡lculos implicados en el proceso,considere las siguientes defi-Velocidad de flujo de la corriente (gal/h) en el tramo de 15 millas que con-Tasa de descarga de BOD (en lb/h)Para satisfacer el requerimiento de carga de BOD en el tramo 1-2,debemos tenerDel mismo modo,la restricci—n de carga de BOD en el tramo 2-3 se escribe como descomposici—n.Para el tramo 2-3,la restricci—n esla restricci—n es(-r12)p1(1-x1)+p2(1-x2)]+p3(1-x3)ƒb3Q3(1-r12)p1(1-x1)+p2(1-x2)ƒb2Q211-r122aTasa de descarga de BODen el tramo 1-2en el tramo 2-3
Cantidad de unidades de ataque del ejŽrcito rojo
L’nea de defensa1
L’nea de defensa2
L’nea de defensa3Frente norteFrente sur
2.4Aplicaciones de programaci—n lineal
Tramo1Ã2
(i=1)
Tramo2Ã3
(i=2)
Tramo2Ã3
(i=3)
Tramo3Ã4
215,000220,000200,000($/lb de BOD eliminada) .20
Estructura de carga,Stark and Nicholes (1972).ra 2.14 con dos yugos elevadores,se utiliza para transportar concreto mezclado a un te-rreno para colar barreras de concreto.La cubeta de concreto cuelga a la mitad del yugo.cada uno,y cada cable del yugo tienen una capacidad de 20 kips.Determine la capacidadEn equilibrio,la suma de los momentos con res-pecto a cualquier punto de la viga o el yugo es cero.).Considere el problema de asignar aviones a cuatro rutas,
Viga de la grœa
W1
W2
2 pies
6 pies
12 pies
2 pies
8 pies
Yugo 1 Yugo 2
Capacidad
Capacidad
Cantidad de viajes diarios en la ruta
Tipo de avi—n
(pasajeros)
de aviones
1
2
3
32210843320105542100020009001200
Cap’tulo 2Modelado con programaci—n linealLos costos asociados,incluidas las penalizaciones por la pŽrdida de clientes debidoa la no disponibilidad de espacio,sonDetermine la asignaci—n —ptima de aviones a las rutas,as’ como la cantidad asocia-da de viajes.Dantzig,G.,y M.Thapa,Linear Programming 1:Introduction,Springer,Nueva York,1997.Fourer,R.,D.Gay,y B.Kernighan,AMPL,A Modeling Language for MathematicalProgramming,2a.ed.,Brooks/Cole-Thomson,Pacific Grove,CA,2003.Laidlaw,C.Praegers,Londres,Lewis,T.,ÃPersonal Operations Research:Practicing OR on OurselvesÃ,Interfaces,vol.26,Nœm.5,p‡gs.34-41,1996.Shepard,R.,D.Hartley,E Hasman,L.Thorpe,y M.Bathe,Applied Operations Research,Press,Nueva York,1988.Stark,R.,y R.Nicholes,Mathematical Programming Foundations for Design:Civil Engineering,McGraw-Hill,Nueva York,1972.
Costo de operaci—n ($) por viaje en la ruta
Tipo de avi—n
1
2
3
100011001200150080090010001000600800800900pasajero perdido40504570
69
Aplicaci—n de la vida real-Optimizaci—n de la producci—n de v‡lvulas cardiacaspartir de corazones porcinos para implantaci—n en humanos.Por el lado del suministro,los corazones porcinos no pueden ÃproducirseÃen tama–os espec’ficos.Por otra parte,sa el componente biol—gico del coraz—n del cerdo.En consecuencia,puede haber m‡sexistencias de algunos tama–os y menos de otros.Se desarroll— un modelo de PL paratidad de los tama–os cuyas existencias son menores.(Los detalles de este estudio se
presentan en el caso 2 del cap’tulo 26,en inglŽs,del sitio web).3.1MODELO DE PL EN FORMA DE ECUACIîNTodas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo.Todas las variabzzles son no negativasConversi—n de las desigualdades en ecuaciones con lado derecho no negativo.modelo de PL econ—mico,el lado derecho representa la disponibilidad de un recurso,yel izquierdo el uso del recurso por todas las actividades del modelo (variables).Ladel recurso.CAPêTULO 3MŽtodo simplex y an‡lisis
Todos los paquetes comerciales (y TORA) aceptan directamente las restricciones de desigualdad,el ladoderecho no negativo y las variables irrestrictas.Cualquier condici—n previa de las restricciones y las variables
70Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadvariable de holguraal lado izquierdo de la restricci—n.Por ejemplo,la restricci—n A continuaci—n,una restricci—n (econ—micas de la programaci—n lineal,as’ que la cantidad en la cual el lado izquierdo.As’ pues,la conversi—n de (variable de super‡vit gualdad.Por ejemplo,en el modelo de la dieta (ejemplo 2.2-2),la variable de exceso te sea no negativo.Si el lado derecho resulta negativo,el requerimiento se satisfaceEn el modelo de Reddy Mikks (ejemplo 2.2-1),considere la soluci—n factible 1 tonelada.Determine el valor de las holguras asociadas para las materiasEn el modelo de la dieta (ejemplo 2.2-2),determine el super‡vit de alimento compuestoDos productos diferentes,tes,2.El tiempo de procesamiento de cualquier producto en cualquier m‡quinaes el mismo.La capacidad diaria de la m‡quina 2,ouna combinaci—n de ambos),y la capacidad diaria de la m‡quina 2es de 250 unidades.dades de la cantidad producida en la otra.La utilidad por unidad de 2 es de $15.Plantee el problema como una PL en forma de ecuaci—n.
3.1Modelo de PL en forma de ecuaci—nManejo de variables irrestrictas.El uso de una variable irrestricta en un modelo de PLejemplo 2.4-4,donde la variable irrestricta .En el mismo ejemplo,explicamos que la variableEn este caso,representa la cantidad de trabajadores contratados yla de trabaja-dores despedidos.Como se explic— en el ejemplo 2.4-4,es imposible (tanto intuitivacomo matem‡ticamente) queasuman valores positivos al mismo tiempo.burguesas con queso.Una hamburguesa cuatro de libra se prepara con un cuatro de librade carne y una hamburguesa con queso se prepara con s—lo .2 lb de carne.El restaurantepor libra para cubrir el costo de entrega.Toda la carne que sobra al final del d’a se dona ainstituciones de caridad.Las utilidades de McBurger son de 20 centavos por hamburgue-sa cuarto de libra y de 15 centavos por hamburguesa con queso.McBurger no espera ven-der m‡s de 900 hamburguesa en cualquier d’a.ÃCu‡ntas hamburguesas de cada tipo debeplanear McBurger para el d’a? Resuelva el problema utilizando TORA,Solver o AMPL.En un centro de maquinado se fabrican dos productos.Los tiempos de producci—n porunidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos,respectivamente,El tiempo de m‡-quina regular total es de 2500 minutos por d’a.En cualquier d’a,el fabricante puede pro-ducir entre 150 y 200 unidades del producto 1,pero no m‡s de 45 unidades del producto2.Se puede utilizar tiempo extra para satisfacer la demanda a un costo adicional de $.50por minuto.Suponiendo que las utilidades unitarias de los productos 1 y 2 son de $6.00 y$7.50,respectivamente,formule el problema como un modelo de PL,luego resuŽlvalocon TORA,Solver o AMPLS para determinar el nivel de producci—n —ptimo de cadaproducto as’ como tambiŽn cualquier tiempo extra necesario en el centro.JoShop fabrica tres productos cuyas utilidades unitarias son de $2,$5 y $3,respectiva-mente.La compa–’a presupuest— 80 horas de mano de obra y 65 horas de tiempo de m‡-quina para la producci—n de los tres productos.Los requerimientos de mano de obra porunidad de los productos 1,2 y 3 son de 2,1 y 2 horas,respectivamente.Los requerimien-tos de tiempo de m‡quina por unidad son 1,1 y 2 horas.JoShop considera las horas demano de obra y m‡quina presupuestadas como metas que pueden ser sobrepasadas,si esnecesario,pero a un costo adicional de $15 por hora de mano de obra y $10 por hora dem‡quina.Formule el problema como una PL y determine su soluci—n —ptima aplicandoTORA,Solver o AMPL.En una PL en la cual hay algunas variables irrestrictas,una transformaci—n del tipoduplicar‡ la cantidad correspondiente de variables no negativas.
72Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadEn su lugar,podemos reemplazar .Use TORA,Solver o3.2TRANSICIîN DE LA SOLUCIîN GRçFICA A LA ALGEBRAICAsoluci—n gr‡fica que se muestra en la secci—n 2.2.La figura 3.1 compara los dos mŽto-dos.En el mŽtodo gr‡fico el espacio de soluciones es la intersecci—n de los semiplanosque representan las restricciones,y en el mŽtodo simplex,el espacio de soluciones est‡variables no negativas.Podemos visualizar que el espacio de soluciones gr‡ficas tiene una infinidad de puntosde soluci—n,pero Ãc—mo sacar una conclusi—n parecida a partir de la representaci—nalgebraica del espacio de soluciones? La respuesta es que,en todas las PL no triviales,,por lo que se ob-Transici—n de la soluci—n gr‡fica a la soluci—n algebraica
3.2Transici—n de la soluci—n gr‡fica a la algebraicaPor ejemplo,la ecuaci—n ecuaciones,gr‡ficas.Se determinan igualando variables restantes,Como con los puntos de esquina,las soluciones factibles b‡sicas definen por completoa las candidatas para la soluci—n —ptima en el espacio de soluciones algebraicas.
Algebraicamente,el espacio de soluciones de la PL est‡ representado por las siguientes 2 variables restantes.Por ejemplo,si establecemos 0,las).Puede determinarse otro punto con 2),o el punto
m-m
(y las ecuaciones son consistentes),el sistematiene exactamente una soluci—n.Si ,entonces al menos las ecuaciones dundantes.
74Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadpunto de esquina espec’fico.Sin el beneficio del espacio de soluciones gr‡ficas (el cual est‡ dis-ponible a lo sumo s—lo con tres variables),no podemos especificar las (asociadas con un punto de esquina dado.Pero eso no nos impide enumerar esquina del espacio de soluciones.Simplemente considere variables son iguales a cero y resuelva las ecuaciones resultantes.Una vez hecho,la solu-(punto de esquina) con el mejor valor objetivo.puntos de esquina.Si examinamos la figura3.2,podemos ver los cuatro puntos de esquina .As’ que,Ãd—nde est‡n los dos restan-tes? De hecho,los puntos tambiŽn son puntos de esquina;pero son ,y,por con-siguiente,no son candidatos para la soluci—n —ptima.Para completar la transici—n de la soluci—n gr‡fica a la algebraica,las variables no b‡sicas.Las variables b‡sicas,y su.La siguientetabla muestra todas las soluciones b‡sicas y no b‡sicas de este ejemplo.
2!2! =6
Variables no
b‡sicas (cero)
Variables b‡sicas
Soluci—n b‡sica
Punto de esquina
asociado
ÃFactible?
Valor
objetivo,(4,5))()NoÃ(2.5,1.5)S’7.5(2,3)S’4)()NoÃ(1,2)S’8
FIGURA 3.2Espacio de soluciones de PL del ejemplo 3.2-1
3.2Transici—n de la soluci—n gr‡fica a la algebraicaComentarios.blema se incrementa,enumerar todos los puntos de esquina se vuelve una tarea prohibitiva.Porejemplo,para que 20,es necesario resolverecuaciones,una tarea abrumadora,sobre todo cuando nos damos cuenta de que una PL de20) es muy peque–a (las PL reales pueden incluir miles de variables y restricciones).Elconjunto de todas las posibles soluciones factibles b‡sicas (puntos de esquina).Esto es lo que
Determine todas las funciones b‡sicas del problema,y clasif’quelas como factibles yno factibles.ma,y de ese modo se concluye que la soluci—n —ptima puede determinarse algebrai-camente considerando s—lo las soluciones factibles b‡sicas.soluciones gr‡ficas.luciones b‡sicas.
76Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadfactibles.al mismo tiempo.Resuelva el problema gr‡ficamente,y verifique si la soluci—n obtenida en (c) es la3.3MƒTODO SIMPLEXde PL (como se hizo en la secci—n 3.2),el mŽtodo simplex investiga s—lo ÃalgunasÃdeestas soluciones.La secci—n 3.3.1 describe la naturaleza del mŽtodo,y la sec-
3.3MŽtodo simplex3.3.1Naturaleza iterativa del mŽtodo simplexPor lo comœn,el mŽtodo simplex se inicia en el origen (punto ),donde y el valor objetivo,es cero.La pregunta l—gica es si un incremento en (o ambas) no b‡sicas por encima de sus valores actuales de cero puede mejorar (incre-.Podemos responder esta pregunta investigando la funci—n objetivo:.El dise–o del mŽtodo simplex no permite el incremento simult‡neo devariables.En cambio,incrementa .La variable que va a aumentar es la.En el ejemplo presente,el .Por lo tanto elegimos porque un candidato para el —ptimo debe ser un punto de esquina).En el punto ,el,el cual es el —ptimo.
78Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad.Es importante hacerdel espacio de soluciones,lo cual significa que el mŽtodo no puede cruzarlo,es decir,irse directamente de En la figura 3.3,suponga que la funci—n objetivo se cambia a,Ã,y A,B),(B,D),(E,Hsimplex,y explique la raz—n.son no negativas.Suponga que CEIJF,BEIHG,,respectivamente.Identifique las variables b‡sicas y no b‡sicas asociadascon cada punto de esquina factible del espacio de soluciones.
FJBCAA: (0, 0, 0)B: (1, 0, 0): (0, 1, 0): (0, 0, 1)IEHGDx1
x
2x3
3.3MŽtodo simplexseleccione la variable no b‡sica que conduce al siguiente punto de esquina simplex,y de-3.3.2Detalles de c‡lculo del algoritmo simplexde un ejemplo numŽrico.
son las holguras asociadas con las restricciones respectivas.De esta manera,la tabla inicial simplex se representa como sigue:
B‡sica
z
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Soluci—n
z
1
-5
-4
0
0
0
0
0
Fila 064100024Fila s01201006Fila s100101Fila s00100012Fila s
El dise–o de la tabla simplex provee autom‡ticamente la soluci—n en la iteraci—n inicial.La(0,0),por lo que () como las variables b‡sicas.La variable objetivo
80Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadaparecen en la columna de la extrema izquierda (B‡sica).Los lados derechos de las ecuacionesdel modelo dan sus valores,como se muestra en la columna de la extrema derecha (Soluci—n) dela tabla;es decir,2.El resultado puede verse igualando las va-las diagonales son 1,y todos los elementos fuera de las diagonales son 0).no b‡sica por encima de cero..De forma equivalente,en la tabla simplex donde la funci—n objetivo0,la variable seleccionada es la variable no b‡sica con el coefi-en la ecuaci—n objetivo.Esta regla define la llamada dad simplex.En la terminolog’a del algoritmo simplex,variable de es la variable de entrada,una de las variables b‡sicas actuales debe salir;es decir,se).La mec‡nica para determinar la variable de salidarelacio-,como se muestra
B‡sica
x1
entrante
Soluci—n
Relaci—n (o intersecci—n)s1624x1= 24
6 =4 ;m’nimos216x1= 6
(denominador negativo,ignorar)
(denominador cero,ignorar)
0 =qConclusi—n:x1entra (en el nivel 4) y x2sale (en el nivel cero)
(variable de entrada).Podemos ver que el valor de .Cualquier incremento m‡s all‡ de no es factible.En el punto ,la varia-.La regla asociada con las relaciones calculadas se conoce como tibilidad simplex se determina ÃintercambiandoÃla variable de entrada Variables no b‡sicas (cero) en Variables b‡sicas en operaciones de filas de Gauss-Jordan.Identifica la co-columna pivote
3.3MŽtodo simplex
EntraT
B‡sica
z
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Soluci—n
00004100024Fila pivote0120100100100010001
auss-Jordan necesarios para obtener la nueva soluci—n b‡sica son de dostipos.Fila pivote actual vote.La intersecci—n de la columna pivote y la fila pivote se conoce como elemento pivote.La si-guiente tabla es un replanteamiento de la tabla inicial con sus filas y columnas pivote resaltadas.
82Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadTodas las dem‡s filas,incluyendo z (Fila actual) Fila Fila Fila Fila Fila ),y la nueva tabla es
3 1
6 0 0 0 4) =(0 0 5
3 1
6 0 1 0 5) =(0 -1 1 0 0 1 0 1)-(-1)*(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) =(0 0 4
3 -1
6 1 0 0 2) =(0 1 2 0 1 0 0 6)-(1)*(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) =(1 0 -2
3 5
6 0 0 0 20) =(1 -5 -4 0 0 0 0 0)-(-5)*(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) =(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) = 1
6 (0 6 4 1 0 0 0 24)TB‡sicazx1x2s1s2s3s4Soluci—nz10-2
35
00020
31
0004
3-1
1002
31
010500100012
Observe que la estructura de la nueva tabla es similar a la de la tabla inicial,en el sentido deque los coeficientes de las restricciones de la variable b‡sica forman una matriz de identidad.Porconsiguiente,cuando igualamos las nuevas variables no b‡sicas a cero,la columna
3.3MŽtodo simplexdicionamientoÃde la tabla es el resultado de la aplicaci—n de las operaciones de filas de Jordan.El nuevo valor objetivo es 20,el cual es consistente con Por otra parte,En la œltima tabla,la es la variable de entrada.La
B‡sica
Entrante
x2
Soluci—n
Relaci—nx12
34x2=4, 2
3 =6s24
32x2=2, 4
3 =1.5 (m’nima)s35
35x2=5, 5
3 =3s412x2=2,1=2
Por lo tanto,sale de la soluci—n b‡sica,y el nuevo valor de es 1.5.El incremento correspon-de entrada,se aplican las siguientes ope-auss-Jordan:Fila Fila Fila () Fila () Fila
32
3(-2
3)4
32
3 x2= 2
3 *1.5=1,
A lo largo de mi experiencia acadŽmica,he notado que si bien los estudiantes son capaces de realizar los te-diosos c‡lculos del mŽtodo simplex,al final algunos no pueden decir cu‡l es la soluci—n.Para ayudar a ven-cer esta dificultad potencial,se hace un esfuerzo por ÃleerÃla soluci—n de la PL por la tabla.
B‡sica
z
x1
x2
s1
s2
s3
s4
100
41
0021010
4-1
001
83
4003
000
8-5
4105
000
8-3
4011
2
84Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadson negativos.De ah’La soluci—n —ptima puede leerse en la tabla simplex de la siguiente manera.Los valores —p-La soluci—n tambiŽn da el estado de los recursos.Un recurso se designa como variable de holgura asociada es cero,es decir,las actividades (variables) del modelo consumie-ron el recurso por completo.De lo contrario,si la holgura es positiva,entonces el recurso esabundante.La siguiente tabla clasifica las restricciones del modelo:
Variable de decisi—n
Valor —ptimo
Recomendaci—n x13Producir 3 toneladas diarias de pintura para exteriores x23
2Producir 1.5 toneladas diarias de pintura para interioresz21La utilidad diaria es de $21,000
Recurso
Valor de holgura
EstadoMateria prima,M1s1=0EscasoMateria prima,M2s2=0EscasoL’mite del mercados3=5
2AbundanteL’mite de la demandas4=1
2Abundante
Comentarios.,el cual determina las condiciones que mantendr‡n la soluci—n ac-tual sin cambios.,el cual determina la nueva soluci—n —ptima cuando cambian los datosdel modelo.
La secci—n 3.6 se ocupa del an‡lisis de sensibilidad.El an‡lisis post—ptimo se trata en el cap’tulo 4.
auss-Jordan son tediosos,voluminosos y,sobre todo,aburridos.No obstante,esto no tiene importancia porque en la pr‡ctica la computadora realiza estos c‡lculos.Lo impor-funciona el mŽtodo simplex.La opci—n interactiva de TORA (con retroalimentaci—n instant‡nea),puede ser de ayuda porque le permiteespecificar el curso de los c‡lculos simplex (es decir,determinar las variables de entrada y de sa-auss-Jordan.Para utilizar TORA con el problema deReddy Mikks,ingrese el modelo y luego,en el menœ .(La selecci—n All-Slack indica que la so-luci—n b‡sica inicial se compone de s—lo variables de holgura.Las opciones restantes se pre-sentar‡n en las secciones 3.4,4.3,y 7.4-2).A continuaci—n,haga clic en el bot—n.Puede generar una o todas las iteraciones haciendo clic en las opciones.Si opta por generar las iteraciones de una en una,puede es-
All Iterations
Next Iteration
Go To Output Screen
All-SlackQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve
SOLVE/MODIFY
3.3MŽtodo simplexzados de sus columnas y filas respectivas.Si sus selecciones son correctas,la columna se torna de
color verde y la fila de color rojo.De lo contrario,aparece un mensaje de error.3.3.3Resumen del mŽtodo simplex Hasta ahora nos hemos ocupado del caso de maximizaci—n.En problemas de minimi-zaci—n,la en la ecuaci—n objetivo,la regla exacta opuesta del caso de maximizaci—n.Esto obedece a que m‡x ).En cuanto a la lida,la regla no cambia..Los v’nculos se rompen arbitrariamente.El —ptimo se alcanza en la iteraci—n enTanto en problemas de maximizaci—n como de minimiza-ci—n,la variable de salida es la variable estrictamente positivo.Los v’nculos se rompen arbitrariamente.Operaciones de filas de Gauss-JordanFila pivote actual Todas las dem‡s filas,incluida la z(Fila actual) Paso 0.Paso 1.DetŽngase si no hay variable de entrada;la œltima condici—n es —ptima.Deotro modo,prosiga con el paso 2.Paso 2.Paso 3.auss-Jordan para determinar la nueva soluci—n b‡sica.Vaya al paso 1.dad simplex.En la primera tabla del ejemplo 3.3-1 utilizamos la prueba de relaci—n m’ni-ma (no negativa) para determinar la variable de salida.La condici—n garantiza la factibi-
86Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadestipulado por la definici—n de la PL).Para demostrar este punto,haga que ,en lugar de,salga de la soluci—n b‡sica,y realice los c‡lculos de auss-Jordan.En la tabla simplexresultante,Resuelva el problema para cada una de las siguientes funciones objetivo.,Ã,y una soluci—n factible b‡sica inicial dada.Suponga que sica.ÃCu‡les de las variables b‡sicas dadas deben volverse no b‡sicas al nivel cero paragarantizar que todas las variables permanezcan no negativas,y cu‡l es el valor de Jordan),y justifique la respuesta en funci—n de las soluciones b‡sicas del mŽtodo,y justifique el mŽtodo de soluci—n en fun- 2
3.3MŽtodo simplexUna soluci—n b‡sica se compone de s—lo una variable.)La siguiente tabla representa una iteraci—n simplex espec’fica.Todas las variables son nonegativas.La tabla no es —ptima en cuanto a maximizaci—n o minimizaci—n.Por lo tanto,cuando una variable no b‡sica entra en la soluci—n,puede o incrementar o reducir bien dejarla como estaba,segœn los par‡metros de la variable no b‡sica de entrada.
B‡sica
X1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
00620310
Clasifique las variables como b‡sicas y no b‡sicas,y proporcione los valores actualesde todas las variables.Suponiendo que el problema fuera del tipo de maximizaci—n,identifique las varia-.Si cada una de esasvariables entra en la soluci—n b‡sica,determine la variable de salida asociada,si lahay,y el cambio asociado de .No utilice operaciones de filas de auss-Jordan.,identifique la trayectoria que con-—ptimo.problema 7,conjunto 3.3b
88Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadDetermine la variable de entrada,las relaciones correspondientes de la condici—n defactibilidad,y el cambio del valor de ,suponiendo que la iteraci—n inicial ocurre enRepita (b),suponiendo que la funci—n objetivo fuera Resuelva el problema mediante el mŽtodo simplex,donde la variable de entrada esResuelva el problema mediante el algoritmo simplex,seleccionando siempre la variableCompare la cantidad de iteraciones en (a) y (b).ÃConduce la selecci—n de la variable1.ÃC—mo afecta este cambio a las iteraciones de simplex?En el ejemplo 3.3-1,muestre c—mo puede determinarse el segundo mejor valor —ptimoutchi Company fabrica bolsos de mano,bolsos para rasuradora y mochilas.La elabora-ci—n incluye piel y materiales sintŽticos,y la piel es la materia prima escasa.El proceso deproducci—n requiere dos tipos de mano de obra calificada:costura y acabado.La siguien-te tabla da la disponibilidad de los recursos,su consumo por los tres productos y las utili-
Requerimientos de recursos por unidad
Recurso
Bolsos
de mano
Bolsos para
rasuradora
Mochilas
213Precio de venta ($)24
3.4Soluci—n artificial inicialFormule el problema como un programa lineal,y halle la soluci—n —ptima (utiliceTORA,Excel,Solver oAMPL).A partir de la soluci—n —ptima,determine el estado de cada recurso.Experimento con TORA.Aplique la opci—n de iteraciones de TORA para determinar la tabla —ptima.Seleccione cualquier variable no b‡sica para que ÃentreÃen la soluci—n b‡sica,y hagaclic en la opci—npara producir la iteraci—n asociada.ÃC—mo se comparaes —ptima porque ninguna de las variables no b‡sicas puede mejorar el valor objetivo.Experimento con TORA.En el problema 12,utilice TORA para determinar la siguiente3.4SOLUCIîN ARTIFICIAL INICIALComo se demostr— en el ejemplo 3.3-1,las PL en las que todas las restricciones son (cial con todas las holguras.Los modelos que implican restricciones (El procedimiento para iniciar PLs de Ãmal comportamientoÃcon restriccionesvariables artificialesprimera iteraci—n,y que luego se desechan en una iteraci—n posterior.Aqu’ se presen-tan dos mŽtodos estrechamente relacionados:el mŽtodo ,y el mŽtodo de dos fases.3.4.1MŽtodo se inicia con la PL en forma de ecuaci—n (secci—n 3.1).Si la ecuaci—n tiene una holgura (o una variable que pueda desempe–ar el papel de una),se agrega,para formar una soluci—n inicial parecida a la soluci—n b‡sicade total holgura.Sin embargo,las variables artificiales no forman parte del problemaoriginal,y se requiere un ÃartificioÃde modelado para igualarlas a cero en el momentofactible).La meta deseada se logra
Next Iterationx1, x2, x3, x4Ã0 -x1 +x3+2x4ƒ0 2x1+3x2-2x3+3x4ƒ3 5x1-2x2+6x4ƒ8 x1+2x2-3x3+5x4ƒ4Maximizar =x1+x2+3x3+2x4
,una de las tŽcnicas de PL m‡s antiguas,nunca se utiliza en c—digos comerciales debido a suinherente error de redondeo.En su lugar se prefiere el mŽtodo de dos fases (secci—n 3.4.2).Sin embargo,eluso de penalizaciones,como lo anticipa el mŽtodo ,es un importante concepto en muchas instancias de
90Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad
holgura en la tercera restricci—n,el problema en forma de ecuaci—n es,pero la primera y segunda ecuacionesno.Por lo tanto,agregamos las variables artificiales (porque estamos minimizando).La PL re-(3,6,4)Desde un punto de vista de c‡lculo,la soluci—n del problema con la computadora requierecon un valor numŽrico (suficientemente grande).No obstante,en todos los li-bros de texto,incluidas las siete ediciones de este libro,simplex.El resultado es una dificultad agregada innecesaria la cual puede evitarse sustituyendo
,un valor positivo suficientemente grande (matem‡ticamente(),el
Coeficiente objetivo de la variable artificial=e-M, en problemas de maximizaci—n M, en problemas de minimizaci—n
3.4Soluci—n artificial inicialdo usamos la computadora).Nos apartamos de la larga tradici—n de manejar te y utilizar una sustituci—n numŽrica en su lugar.La intenci—n es,desde luego,simplificar la pre-original.Recordemos que la penalizaci—n Al mismo tiempo,como las computadoras son la herramienta principal para resolver PLs,no eserror de redondeo.En este ejemplo,los coeficientes objetivo de son 4 y 1,respectivamen-te,y parece razonable establecer 100,la tabla simplex de inicio se da como sigue (por comodidad,la colum-
B‡sica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Soluci—n
z
-4
-1
0
-100
-100
0
10100301061200014
TŽcnicamente,el mŽtodo numŽricamente.En su lugar,el coeficiente en la fila ob-.La comparaci—n de las dos expresiones algebraicas se basar‡ entonces en condiciones que implican s—lo.La raz—n por la que no se utiliza en la pr‡ctica es la potencialmente tremenda carga deAntes de proseguir con los c‡lculos del mŽtodo simplex,la fila con el resto de la tabla.El lado derecho de la fila Sin embargo,dada la soluci—n no b‡sica 0,la soluci—n b‡sica actual es 4,la cual da 900.Esta inconsistencia se deriva delsoluci—n de inicio de total holgura en el ejemplo 3.3-1,donde los coeficientes en la fila Para eliminar la inconsistencia,tenemos que sustituir Por tanto,la tabla modificada (ÃcompruŽbelo!) es:
B‡sica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
696399000900310100010120001
92Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad900,como se deseaba.de simplex,tal como se explic— en la secci—n 3.3.2.Dado que la funci—n objetivo se minimiza,la696) entra en la soluci—n.La rela-Una vez que se han determinado las variables de entrada y de salida,la nueva tabla secalcula utilizando las conocidas operaciones de Gauss-Jordan.
B‡sica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Soluci—n
z
0
167
-100
-232
0
0
204x111
301
3001R205
3-1-4
3102x405
30-1
3013
son las variables de entrada y de salida,respectivamen-te.Continuando con los c‡lculos simplex,se requieren dos iteraciones m‡s para alcanzar el —pti-(ÃcompruŽbelo con TORA!).se salen de la soluci—n b‡sica (es decir,sehacen iguales a cero) en la primera y segunda iteraciones,un resultado que es consistente con elconcepto de penalizarlas en la funci—n objetivo.Comentarios.ci—n simplex final si la PL no tiene una soluci—n factible (es decir,las restricciones no puedensatisfacerse al mismo tiempo).En este caso,la iteraci—n simplex final incluir‡ al menos una varia-
bleartificial con un valor positivo.En la secci—n 3.5.4 se explica esta situaci—n.Experimento con TORA.m—dulo(archivo).Compare el efectoen la soluci—n.ÃQuŽ conclusi—n se puede sacarEn el ejemplo 3.4-1,identifique la tabla de inicio en cada uno de los siguientes casos (in-
MŽtodo de TORAQ
Iterationsx1= 2
5 , x2= 9
5 , z= 17
5
3.4Soluci—n artificial inicialEn cada uno de los siguientes problemas,desarrolle la fila sujeto a (1),(3) y (4).sujeto a (1),(2) (4) y (5).sujeto a (3),(4) y (5).sujeto a (1),(2) y (5).bles artificiales.Sugerencia:xdesempe–an el papel de variables holgura.La diferen-cia principal es que tienen coeficientes objetivo no cero.)como variables factibles b‡sicas de inicio.utilice variables artificiales. (1)
94Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidaddesempe–a el papel de una holgura.Por lo tanto,no se requiere ningunavariable artificial en la primera restricci—n.En la segunda restricci—n,se requiere una va-.Resuelva el problema con como variables de inicio.tiene una soluci—n factible.3.4.2MŽtodo de dos fases,el uso de la penalizaci—n,,puede conducir a un error de redondeo..Como su nombre lo indica,elmŽtodo resuelve la PL en dos fases;en la fase I se trata de encontrar la soluci—n factibleb‡sica inicial y,si se halla una,se invoca la fase II para resolver el problema original.
FaseI.Ponga el problema en forma de ecuaci—n y agregue las variables artificia-para tener la certeza de una soluci—n b‡sica.A continuaci—n,determinesuma de las variables artificiales,independientemente de si la PL es demaximizaci—n o minimizaci—n.Si el valor m’nimo de la suma es positivo,elproblema de PL no tiene una soluci—n factible.De lo contrario,si el valorm’nimo es cero,prosiga con la fase II.FaseII.
cial para el problema original
3.4Soluci—n artificial inicial
Fase I
B‡sica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Soluci—nr000-1-100R13101003R243-10106x41200014
se utiliza para resolver la fase I del problema,la cual da por resultado la si-):de TORA:
Two fase MethodQ
Iterations
B‡sica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Soluci—nr000-1-100x1101
53
5-1
503
5x201-3
5-4
53
506
5x40011-111
0,la fase I produce la soluci—n factible b‡sica,y .En este punto,las variables artificiales ya completaron su misi—n,y podemos eliminar sus co-Fase IIDespuŽs de eliminar las columnas artificiales,escribimos el problema
5x1=3
5
96Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadEn esencia,la fase I ha transformado las ecuaciones de restricciones originales de tal forma queproporciona una soluci—n factible b‡sica inicial para el problema,si es que existe una.La tabla
5 x3 = 6
5 x1 + 1
5 x3 = 3
5
B‡sica
x1
x2
x3
x4
Soluci—nz-4-1000x1101
503
5x201-3
506
00111
Una vez m‡s,como las variables b‡sicas ,deben ser sustituidas,mediante las siguientes operaciones.
B‡sica
x1
x2
x3
x4
Soluci—nz001
5018
5x1101
503
5x201-3
506
5x400111
Como estamos minimizando,debe entrar en la soluci—n.La aplicaci—n del mŽtodo simplex
producir‡ el —ptimo en una iteraci—n (compruŽbelo con TORA).Comentarios.(como lo ilustra el ejemplo 3.4-2).Si una o m‡s) al final de la fase I,entonces su eliminaci—n requiere losPaso 1..La variable de entrada puede ser
3.4Soluci—n artificial inicial(positivo o negativo) en la fila pivote.Paso 2.Elimine la columna de la variable artificial (que acaba de salir) de la tabla.Si ya se eli-minaron todas las variables artificiales,continœe con la fase II.De lo contrario,regreseelemento pivote es positivo o negativo.Los problemas 5 y 6,conjunto 3.4b ilustran esta situa-ci—n.El problema 7 da un detalle adicional sobre los c‡lculos de la fase I.En la fase I,si la PL es del tipo de maximizaci—n,explique por quŽ no maximiza la sumaPara cada uno de los casos del problema 4,conjunto 3.4a,escriba la funci—n objetivo co-Resuelva el problema 5,conjunto 3.4a,por el mŽtodo de dos fases.Escriba la fase I para el siguiente problema,y luego resuŽlvalo (con TORA por comodi-dad) para demostrar que el problema no tiene una soluci—n factible.(puede utilizar TORA por comodidad).Elimine la variable artificial cero antes de iniciar la fase II;luego realice las iteraciones.
98Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadsica (use TORA por comodidad).fase I,s—lo una de las dos variables artificiales cero puede hacerse no b‡sica.puede hacerse b‡sica en (b) debe ser redundante;por consiguiente,su fila y colum-positivos al final de la fase II.Por consiguiente,concluimos que sus columnas pueden eli-minarse antes de que iniciemos la fase II.En esencia,la eliminaci—n de estas variables re-2,lo que indica que es necesario
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
R
101
3.5Casos especiales en el mŽtodo simplex3.5CASOS ESPECIALES EN EL MƒTODO SIMPLEXde tales situaciones,3.5.1Degeneraci—nAl aplicar la condici—n de factibilidad del mŽtodo simplex,se puede presentar un em-pate por la relaci—n m’nima,el cual puede romperse arbitrariamente.Cuando esto su-cede,al menos una variable ser‡ cero en la siguiente iteraci—n,y se dice que la,y que el algoritmo nunca se termine.La condici—n tambiŽn revela que
Ejemplo 3.5-1(Soluci—n —ptima degenerada),las tablas de soluci—n son empatan como la variable de salida,lo que provoca degeneraci—n enasume un valor cero.El —ptimo se alcanza en una iteraci—n m‡s..
Iteraci—n
B‡sica
x1
x2
x3
x4
14101201
409
4018x1entrax21
411
402x4salex41
20-1
2102(—ptimo)z003
23
218x2011
2-1
22x110-120
100Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad
Comentarios.ÃCu‡l es la implicaci—n pr‡ctica de la degeneraci—n? Al examinar la soluci—n gr‡fica en la2).Como Žste es unproblema bidimensional,el punto est‡ ,y una de las restricciones es re-dundante.En la pr‡ctica,el simple conocimiento de que algunos recursos son superfluospuede ser valioso durante la fase de implementaci—n de la soluci—n.La informaci—n tam-biŽn permite descubrir irregularidades en la construcci—n del modelo.Por desgracia,noDesde el punto de vista te—rico,la degeneraci—n puede provocar .En las iteracio-nes simplex 1 y 2,el valor objetivo no mejora (180),y por lo tanto es posible que el mŽ-objetivo ni satisfacen la condici—n de optimalidad (vea el problema 4,conjunto 3.5a).Aun-que haya mŽtodos para eliminar el ciclado,Žstos reducen dr‡sticamente los c‡lculos.Aun cuando quiz‡ un modelo de PL no se inicie con restricciones redundantes (en el sen-tido directo que se muestra en la figura 3.7),el error de redondeo provocado por la compu-del proceso de soluci—n de una PL de la vida real.En esos casos las iteraciones se Ãde-tendr‡nÃen un punto de soluci—n,como si imitaran un ciclado.Los c—digos comerciales tra-
Considere el espacio de soluciones gr‡ficas que se muestra en la figura 3.8.Suponga que.Adem‡s,su-do simplex hacia el punto —ptimo.zar la soluci—n —ptima,suponiendo que no hay ciclado.
Por lo general la redundancia implica que las restricciones pueden eliminarse sin afectar el espacio de solu-ciones factible.Un ejemplo a veces citado es 0,donde la eliminaci—n de cualquier res-tricci—n cambiar‡ el espacio factible desde un punto œnico a una regi—n.Basta decir que esta condici—n escierta s—lo si el espacio de soluciones se compone de un solo punto factible,una ocurrencia sumamente im-Vea Bland R.,ÃNew Finite Pivoting for the Simplex MethodÃ,Mathematics of Operations Research,vol.2,nœm.,2,p‡gs.103-107,1977.
3.5Casos especiales en el mŽtodo simplexEspacio de soluciones del problema 1,conjunto 3.5a
(puede utilizar TORA por comodidad).Verifique el resultado resolviendo el problema con el m—dulo gr‡fico de TORA.Experimento con TORA.Considere la PL en el problema 2.Use TORA para generar las iteraciones simplex.ÃCu‡ntas iteraciones se requierenIntercambie las restricciones (1) y (3) y vuelva a resolver el problema con TORA.Explique por quŽ los nœmeros de iteraciones en (a) y (b) son diferentes.Experimento con TORA.Considere la siguiente PL (escrita por E.M.Beale para demos-
2x1-12x2-1
2x3+3x4ƒ01
4x1-8x2-x3+9x4ƒ0Maximizar = 3
4x1-20x2+ 1
2 x3-6x4x1, x2Ã04x1+x2ƒ84x1+3x2ƒ124x1-x2ƒ8Maximizar =3x1+2x2
102Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadde TORA,seleccione las opciones.A continuaci—n,ÃrecorraÃlas iteraciones simplex sucesivas,porque entonces el mŽ-todo simplex entrar‡ en un proceso de ciclado durante un tiempo indefinido).Notar‡de forma idŽntica en la iteraci—n 6.Este ejemplo ilustra la ocurrencia de ciclado en las—ptima.(Lo interesante en este ejemplo es que si todos los coeficientes en esta PL seconvierten en enteros,el ciclado no ocurre.ÃHaga la prueba!).3.5.2îptimos alternativosno redundante (es decir,una restricci—n que se satisface como una ecuaci—n en la soluci—n —ptima).El siguienteejemplo demuestra la importancia pr‡ctica de tales soluciones.
Ejemplo 3.5-2(Cantidad infinita de soluciones)do la funci—n objetivo es paralela a una restricci—n obligatoria.Cualquier punto sobre el
All iterations
Next iteration
All-slackQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve
SOLVE/MODIFYFIGURA 3.9îptimos alternativos de PL en el ejemplo 3.5-2
3.5Casos especiales en el mŽtodo simplex
Iteraci—n
B‡sica
x1
x2
x3
x4
1210511014002010
211
205
2salex4x41
20-1
213
002010011
ra 3.9).La existencia de un —ptimo alternativo puede detectarse en la tabla —ptima examinandob‡sicasde la ecuaci—n .El coeficiente cero de la puede hacerse b‡sica,modificando los valores de las variables b‡sicas sin cambiar.La iteraci—n 2 hace justo eso,aplicando salida,respectivamente.El nuevo punto de soluci—n ocurre en ci—n ÃIterationsÃde TORA permite determinar un —ptimo alternativo.) El mŽtodo simplex determina s—lo puntos de esquina —ptimos;es decir,los puntos en el presente ejemplo.Podemos determinar de manera matem‡tica todos los puntos (1),de lo que se concluye Comentarios.En la pr‡ctica,los —ptimos alternativos son œtiles porque podemos elegir deentre muchas soluciones sin que se deteriore del valor objetivo.Digamos que en este ejemplo lamuestra que la actividad 2 s—lo est‡ en un nivel positivo;en cambio,en actividades est‡n en un nivel positivo.Si el ejemplo representa una situaci—n de combinaci—n de
productos,puede ser ventajoso comercializar dos productos en lugar de uno.Para la siguiente PL,identifique tres soluciones b‡sicas —ptimas alternativas que com-
2B+11-a2=1+3
2 ar, 0ƒaƒ1B (x1=0, x2=5
2)x1=0, x2= 5
2 Las iteraciones del modelo se dan en la siguiente tabla.
104Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad:Aun cuando el problema tiene m‡s de tres soluciones —ptimas b‡sicas alternativas,s—lo necesita identificar tres de ellas.Puede utilizar TORA por comodidad.A partir de la tabla —ptima,demuestre que no todos los —ptimos alternativos son puntosde esquina (es decir,no b‡sicos).Provea una demostraci—n gr‡fica bidimensional del tipo de espacio de soluciones y de funci—n objetivo que producir‡ este resultado.(Puedeutilizar TORA por comodidad.) nes alternativas no son puntos de esquina (puede utilizar TORA por comodidad).3.5.3Soluci—n no acotadaEn algunos modelos de programaci—n lineal,el espacio de soluciones es por lo menos una variable,es decir que las variables pueden incrementarse de formaindefinida sin violar ninguna de las restricciones.En este caso el valor objetivo asocia-do tambiŽn puede ser no acotado.construido.La irregularidad m‡s probable en tales modelos es que no se han tomadoen cuenta algunas restricciones clave.Otra posibilidad es que las estimaciones de loscoeficientes de las restricciones quiz‡ no sean precisas.
3.5Casos especiales en el mŽtodo simplex
Ejemplo 3.5-3(Valor objetivo no acotado)En la tabla de inicio,tanto ,lo quesignifica que al incrementarse sus valores tambiŽn lo har‡ el valor objetivo.Aunque m‡s negativo),observamos que 0;lo que significa que ma en la figura 3.5).El resultado es que puede incrementarse indefinidamente.La figura 3.10nidamente.
B‡sica
x1
x2
x3
x4
10100140
FIGURA 3.10Soluci—n no acotada de PL en el ejemplo 3.5-3
106Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadComentarios.inicio (conforme a la condici—n de optimalidad),a fin de cuentas,una iteraci—n posterior habr’a.Vea el problema 1,
conjunto 3.5c.Experimento con TORA.Resuelva el ejemplo 3.5-3 aplicando la opci—nde TORAa la condici—n de optimalidad),el algoritmo simplex finalmente apuntar‡ hacia una solu-Inspeccionando las restricciones,determine la direcci—n (cio de soluciones sea no acotado.Sin m‡s c‡lculos,ÃquŽ puede concluir con respecto al valor objetivo —ptimo?En algunos modelos de PL mal construidos,el espacio de soluciones puede ser no acota-do aun cuando el problema pueda tener un valor objetivo acotado.Semejante ocurrenciaapunta hacia posibles irregularidades en la construcci—n del modelo.En problemas gran-des,puede ser dif’cil detectar la situaci—n de Ãacotaci—nÃpor inspecci—n.Idee un procedi-miento anal’tico para determinar si el espacio de soluciones es no acotado.3.5.4Soluci—n no factibleLos modelos PL con restricciones inconsistentes no tienen una soluci—n factible.Estagativos porque las holguras proporcionan una soluci—n factible obvia.Para otros tiposde restricciones,se utilizan variables artificiales penalizadas para iniciar la soluci—n.Sien la iteraci—n —ptima,entonces la PL notiene una soluci—n factible.Desde el punto de vista pr‡ctico,un espacio no factible
Ejemplo 3.5-4(Espacio de soluciones no factibles)
Iterations
3.5Casos especiales en el mŽtodo simplex,la siguiente tabla proporciona laiteraci—n simplex del modelo.4),es decir que laPL es no factible.La figura 3.11 ilustra el espacio de soluciones no factibles.Al permitir quela variable artificial sea positiva,el mŽtodo simplex de hecho ha invertido la direcci—n de la de-12 (Ãpuede explicar c—mo?).El resultado es lo que po-
*Toolco produce tres tipos de herramientas,3.Las herramientas utilizan dosmaterias primas,2,segœn los datos que aparecen en la siguiente tabla:
x1x2
Soluci—nseudo —ptima0
z 3x1 2x23x1 4x2 122x1 x2 2
Iteraci—n
B‡sica
x1
x2
x4
x3
R
10000210105010100402021010
3562534
108Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad2 son 1000 unidades y 1200 unidades,res-pectivamente.La investigaci—n del mercado muestra que la demanda diaria de las tres he-rramientas debe ser por lo menos de 500 unidades.ÃPuede satisfacer la demanda el depar-tamento de fabricaci—n? Si no,Ãcu‡l es la m‡xima cantidad que Toolco puede producir?Experimento con TORA.una variable b‡sica artificial,pero en el nivel cero.ÃTiene el problema una soluci—n —pti-3.6ANçLISIS DE SENSIBILIDADEn PL,los par‡metros (datos de entrada) del modelo pueden cambiar dentro de ciertosl’mites sin que cambie la soluci—n —ptima.Esto se conoce como y ser‡ el tema de esta secci—n.M‡s adelante,en el cap’tulo 4 estudiaremos el an‡lisis,el cual tiene que ver con la determinaci—n de la nueva soluci—n —ptimala soluci—n gr‡fica,y despuŽs se extienden al problema general de PL con base en los3.6.1An‡lisis de sensibilidad gr‡ficaEsta secci—n demuestra la idea general del an‡lisis de sensibilidad.Se considerar‡n dosUtilizaremos ejemplos individuales para explicar los dos casos.
Ejemplo 3.6-1(Cambios en el lado derecho)JOBCO fabrica dos productos en dos m‡quinas.Una unidad del producto 1 requiere 2 horas enla m‡quina 1,y 1 hora en la m‡quina 2.Una unidad del producto 2 requiere 1 hora en la m‡qui-na 1,y 3 horas en la m‡quina 2.Los ingresos por unidad de los productos 1 y 2 son de $30 y $20,respectivamente.El tiempo de procesamiento diario total disponible en cada m‡quina es de8 horas.
MQ
Iterationsx1, x2, x3Ã03x1+4x2+2x3Ã82x1+ x2+x3ƒ2Maximizar z=3x1+2x2+3x3
3.6An‡lisis de sensibilidadson las cantidades diarias de unidades de los productos 1 y 2,respectivamente,elquina 1.Si la capacidad diaria se incrementa de 8 a 9 horas,el nuevo —ptimo se mover‡ al punto.La tasa de cambio en la
1Cambio de la capacidad2=142-128
$14/h
FIGURA 3.12Sensibilidad gr‡fica de la soluci—n —ptima a cambios en la disponibilidad de recursos (lado derecho de las restricciones)
110Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidady sus resultados (ingreso total).Se dice que un incremento unitario (reducci—n) en la capacidadvalor unitario de un recurso de la funci—n objetivo por cambio unitario de un recurso.No obstante,los primeros desarrollos deprecio dual (,y ahora este nombre es un est‡n-dar en toda la literatura de PL y en paquetes de ÃsoftwareÃ.La presentaci—n en este libro se ajus-ta a este est‡ndar..Calculamos las capacidades de laCalculamos las capacidades de laB5(0.267)] 52 30 11 32.67 52.67 hCapacidad m‡xima de la m‡quina 1 [en F5(8,0)] 52 38 11 30 516 hLa conclusi—n es que el precio dual de $14/h permanece v‡lido en el intervalo2.67 h #Capacidad de la m‡quina 1 #16 hLos cambios fuera de este intervalo producen un precio dual diferente (valor por unidad).Elaborando c‡lculos similares podemos verificar que el precio dual para la capacidad de lam‡quina 2 es de $2.00/h,y que no cambia cuando su capacidad se mantiene dentro del segmen-.Ahora,Ahora,D5(4,0)] 51 34 13 30 54 hCapacidad m‡xima de la m‡quina 2 [en E5(8,0)] 51 30 13 38 524 hPor lo tanto,el precio dual de $200/h para la m‡quina 2 no cambia dentro del intervalo intervalos de factibilidad.Todoslos paquetes de ÃsoftwareÃproporcionan informaci—n sobre los precios duales y sus intervalos defactibilidad.La secci—n 3.6.4 muestra c—mo generan esta informaci—n AMPL,Solver y TORA.Los precios duales permiten tomar decisiones econ—micas sobre el problema de PL,comoPregunta 1.Si JOBCO puede incrementar la capacidad de ambas m‡quinas,Ãcu‡l m‡quinaSegœn los precios duales para las m‡quinas 1 y 2,cada hora adicional de la m‡quina 1 in-Por lo tanto,la m‡-Pregunta 2.$10/h para cada m‡quina.ÃEs esto aconsejable?Para la m‡quina 1,el ingreso neto adicional por hora es 14 $4,y para la m‡quina 2,$8.Por consiguiente,s—lo la m‡quina 1 debe considerarse para el incremento dePregunta 3.Si la capacidad de la m‡quina 1 se incrementa de 8 a 13 horas,Ãc—mo impactar‡El precio dual para la m‡quina 1 es $14 y es v‡lido en el intervalo (2.67,16)h.El incrementopropuesto de 13 horas queda comprendido dentro del intervalo de factibilidad.Por consiguien-te,el incremento del ingreso es $14(13 $70,lo que significa que el ingreso total se incre-
3.6An‡lisis de sensibilidadPregunta 4.Suponga que la capacidad de la m‡quina 1 se incrementa a 20 horas,Ãc—mo afec-El cambio propuesto queda fuera del intervalo de factibilidad (2.67,16)h.Por lo tanto,s—lopodemos hacer una conclusi—n inmediata con respecto a un incremento hasta de 16 horas.M‡sall‡ de eso,se requieren m‡s c‡lculos para hallar la respuesta (vea el cap’tulo 4).Recuerde quePregunta 5.Los valores —ptimos de las variables cambiar‡n.Sin embargo,el procedimiento para deter-
minar estos valores requiere m‡s c‡lculos,como se demostrar‡ en la secci—n 3.6.2.Una compa–’a fabrica dos productos,.Los ingresos unitarios son $2 y $3,respecti-vamente.Las disponibilidades diarias de dos materias primas,2,utilizadas en lafabricaci—n de los dos productos son de 8 y 18 unidades,respectivamente.Una unidad de2,y una unidad de unidad.ÃRecomendar’a la compra adicional? 2 se incrementa en 5 unidades,determine el ingreso —ptimoasociado.Wild West produce dos tipos de sombreros texanos.Un sombrero tipo A requiere dosveces la mano de obra que el tipo 2.Si toda la mano de obra disponible se dedica s—lo altipo 2,la compa–’a puede producir un total de 400 sombreros tipo 2 al d’a.Los l’mites demercado respectivos para los dos tipos son 150 y 200 sombreros por d’a.El ingreso es maximice el ingreso.tipo 2) y el intervalo dentro del cual es aplicable.Si el l’mite de la demanda diaria del sombrero tipo 1 se reduce a 120,use el preciodual para determinar el efecto correspondiente en el ingreso —ptimo.
Ejemplo 3.6-2(Cambios en los coeficientes objetivo) el ejemplo 3.6-1.El —ptimo ocurre en el punto 128).Los cambiosen unidades de ingresos (es decir,los coeficientes de la funci—n objetivo) modificar‡n la pen-.Sin embargo,como puede verse en la figura,la soluci—n —ptima en el punto
112Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad
La condici—n de Ãrelaci—nÃfunciona correctamente en esta situaci—n porque las pendientes para las dos l’-tienen el mismo signo.Otras situaciones son m‡s complejas.? Primero,escribimos la funci—n objetivo en eldel reloj,as’ como en el sentido contrario.La soluci—n —ptima permanecer‡ en el punto 8,y 28.Esto significa quela relaci—npuede variar entrey lo que resulta en el siguiente intervalo de optimalidad
3 ƒc1
c2 ƒ2
o .333
c2 ƒ22
1,1
3c1
c2Maximizar = c1x1 + c2x2
3.6An‡lisis de sensibilidadPregunta 1.$35 y $25,respectivamente.ÃPermanecer‡ igual el —ptimo actual?optimalidad (.333,2).Cuando la relaci—n queda afuera de este intervalo,se requieren m‡s c‡lcu-los para determinar el nuevo —ptimo (vea el cap’tulo 4).Observe que aunque los valores de lasno cambian,el valor —ptimo de Pregunta 2.,que20 en la condici—nobtenemos en $30.Por lo tanto,Como en el caso del lado derecho,todos los paquetes de software proporcionan los intervalos deoptimalidad para cada uno de los coeficientes de la funci—n objetivo.La secci—n 3.6.4 muestrac—mo AMPL,Solver y TORA generan estos resultados.Comentarios.Aunque el material en esta secci—n se ocup— de dos variables,los resultados
Considere el problema 1,conjunto 3.6a.Determine la condici—n de optimalidad paraque mantendr‡ el —ptimo sin cambio.,suponiendo que el otro coefi-cambian al mismo tiempo a $5 y $4,respectivamente,Si los cambios en (c) se hacen uno a la vez,ÃquŽ se puede decir sobre la soluci—n—ptima?riores con el ingreso unitario de la pintura para interiores.
cB (c2ƒ30*3 y c2Ã 30
2 ) o 15ƒc2ƒ901
20 o 6.67
3ƒc1
c2ƒ2,c1
c2=35
25=1.4Maximizar = 35x1 + 25x2
114Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadpor tonelada,determine el ingreso unitario m‡ximo de la pintura para interiores quemantendr‡ la soluci—n —ptima presente sin cambios.debe reducirse a $3000,Ãcambiar‡ la combinaci—n de producci—n —ptima actual?En el problema 2,conjunto 3.6a:los dos tipos de sombreros que mantendr‡ el —ptimo actual sin cambiar.Con la informaci—n en (b),Ãcambiar‡ la soluci—n —ptima si el ingreso por unidad es3.6.2An‡lisis de sensibilidad algebraica. Cambios en el lado derechoEn la secci—n 3.6.1,utilizamos la soluci—n gr‡fica para determinar el unitario de un recurso) y sus intervalos de factibilidad.Esta secci—n ampl’a el an‡lisisal modelo de PL general.Se utilizar‡ un ejemplo numŽrico (el modelo de TOYCO)
Ejemplo 3.6-3(Modelo de TOYCO)TOYCO utiliza tres operaciones para armar tres tipos de juguetes:trenes,camiones y carros.Lostiempos diarios disponibles para las tres operaciones son 430,460 y 420 minutos,respectivamen-te,y los ingresos por unidad de tren,cami—n y auto de juguete son de $3,$2 y $5,respectiva-mente.Los tiempos de ensamble por tren en las tres operaciones son de 1,3 y 1 minutos,res-pectivamente.Los tiempos correspondientes por tren y por auto son (2,0,4) y (1,2,0) minutos (unlas cantidades diarias de unidades ensambladas de trenes,camiones y autos,respectivamente,el modelo de PL asociado se da como:como las variables de holgura para las restricciones de las operaciones 1,2y 3,respectivamente,la tabla —ptima es
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
001201350
4101
2-1
40100x33
010
200
3.6An‡lisis de sensibilidadLa soluci—n recomienda fabricar 100 camiones y 230 autos pero no trenes.El ingreso aso-
Determinaci—n de precios duales e intervalos de factibilidad.de TOYCO para demostrar c—mo se obtiene esta informaci—n con la tabla simplex—ptima.Reconociendo que los precios duales y sus intervalos de factibilidad tienen quever con los cambios del lado derecho de las restricciones,suponga que asignado de las operaciones 1,2 y 3,respectivamente.El modelo de TOYCO original,primero volvemos a escribir la tabla de inicio con los nuevos lados de-rechos,430 ,460 Las dos ‡reas sombreadas son idŽnticas.Por consiguiente,si repetimos las las columnas en las dos ‡reas resaltadas tambiŽn ser‡n idŽnticas en la tabla —ptima,es
000000121100430100302010460010140001420001
4001201350120
4101
2-1
0100
2-1
40x33
010
0230
200
116Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadEsto significa que,por definici—n,los precios duales correspondientes son de 1,2 y 0($/min) para las operaciones 1,2 y 3,respectivamente..Esto significa que los precios duales son iguales a los coefi-—ptima.No existe ambigŸedad en cuantosicas permaneces no negativas,es decir tendr‡n la soluci—n factible.La nueva soluci—n —ptima se determina sustituyendo losPara ilustrar el uso de estas condiciones,suponga que el tiempo de fabricaci—ndisponible para las operaciones 1,2 y 3 son de 480,440 y 400 minutos,respectivamente.Entonces,Sustituyendo en las condiciones de factibilidad,obtenemos
21-202=22070 1 2=100+1
21502-1
41-202=13070 1 6=20-2D1+D2+D3Ã0 3=230+1
2 D2Ã0 2=100+1
2 D1-1
4 D2Ã0z=1350+1D1+2D2+0D3 x6=20-2D1+D2+D3x3=230+ 1
2 D2 x2=100+ 1
2 D1- 1
4 D2z=1350+D1+2D2
3.6An‡lisis de sensibilidad0,de ah’ que la soluci—n actual no permanezca facti-ble.Se requerir‡n m‡s c‡lculos para encontrar la nueva soluci—n (vea el cap’tulo 4).Como alternativa,si los cambios de los recursos son tales que 10,entonces 224,y $1296.Observe que el valor objetivo —ptimo tambiŽn puede calcularse uti-Por ejemplo,un cambio del tiempo de la operaci—n 1 s—lo implica que 0.Portanto,las condiciones simult‡neas se reducen a Podemos demostrar del mismo modo que los intervalos de factibilidad para las ope-,respectivamente (ÃcompruŽbelo!).modelo de TOYCO como sigue:
2 D1Ã0QD1Ã-200x3=23070x6=20-2D1Ã0QD1ƒ10sQ-200ƒD1ƒ10 x6=20-21-302+1-122+1102=7870 1 3=230+1
21-122=22470 1 2=100+1
21-302-1
41-122=8870 1
RecursoPrecio dual ($)Intervalo de factibilidadM’nimaActual M‡ximaOperaci—n1230430440Operaci—n2440440860Operaci—n3400420
dar.Pr‡cticamente ninguno proporciona el caso de condiciones simult‡neas,quiz‡ porque su visualizaci—n esmuy pesada en el caso de PL grandes.que mantenga la soluci—n factible,aun cuando los cambiosviolen los intervalos individuales.Por ejemplo,los cambios 10,como los siguientes c‡lculos lo demuestran:
21-122=22470 1 2=100+1
21302-1
41-122=11870 1
118Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadEsto significa que los precios duales permanecer‡n aplicables,y que podemos calcularEn el modelo de TOYCO,suponga que los cambios en las tres operaciones.Si la disponibilidad de las operaciones 1,2 y 3 se cambia a 438,500 y 410 minutos,respectivamente,aproveche las condiciones simult‡neas para demostrar que la solu-ci—n b‡sica actual permanece factible,y determine el cambio del ingreso —ptimo me-diante los precios duales —ptimos.Si la disponibilidad de las tres operaciones se cambia a 460,440 y 380 minutos,res-pectivamente,aproveche las condiciones simult‡neas para demostrar que la soluci—nb‡sica actual es no factible.Considere el modelo de TOYCO:hora.El costo por hora incluye tanto la mano de obra como la operaci—n de la m‡-quina.ÃEs econ—micamente ventajoso utilizar tiempo extra con la operaci—n 1?extra diarias a $45 por hora.Adicionalmente,el costo de la operaci—n propiamentedicha es de $10 por hora.ÃCu‡l es el efecto neto de esta actividad en el ingreso diario? Suponga que la disponibilidad diaria de la operaci—n 1 se incrementa a 440 minutos.hora.Determine la nueva soluci—n —ptima,incluido el ingreso neto asociado.que el costo por hora de la operaci—n durante el tiempo regular es de $30.ÃEs venta-Una compa–’a fabrica tres productos,.El volumen de ventas de mo 50% de las ventas totales de los tres productos.Sin embargo,la compa–’a no puedevender m‡s de 75 unidades por d’a.Los tres productos utilizan una materia prima de lacual la m‡xima disponibilidad diaria es de 240 lb.Las tasas de consumo de la materia,4 lb por unidad de .Los pre-son $20,$50 y $35,respectivamente.Determine el precio dual de la materia prima y su intervalo permisible.Si la materiaprima disponible se incrementa en 120 lb,determine la soluci—n —ptima y el cambio10 unidades.
En este conjunto de problemas,quiz‡ le convenga generar la tabla simplex —ptima con TORA.
3.6An‡lisis de sensibilidadUna compa–’a que opera 10 horas al d’a fabrica tres productos con tres procesos.La si-guiente tabla resume los datos del producto.Si pueden asignarse m‡s horas de producci—n,Ãcu‡l ser’a un costo justo por hora30 cursos cada semestre.Por lo comœn,los cursos ofrecidos son de dos tipos:pr‡cticos,como carpinter’a,procesamiento de palabras y mantenimiento automotriz;y humanis-tas como historia,mœsica y bellas artes.Para satisfacer las demandas de la comunidad,cada semestre deben ofrecerse como m’nimo 10 cursos de cada tipo.La divisi—n estimaaproximadamente de $1500 y $1000 por curso,respectivamente.Idee un ofrecimiento de cursos —ptimo para el colegio.Demuestre que el precio dual de un curso adicional es de $1500,el cual es el mismoque el ingreso por curso pr‡ctico.ÃQuŽ significa este resultado en funci—n de ofrecernimo de cursos humanistas en un curso.Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio y la televisi—n (TV) locales,o enperi—dicos.El presupuesto de publicidad est‡ limitado a $10,000 mensuales.Cada minutode publicidad en radio cuesta $15 y cada minuto en TV cuesta $300.Un anuncio en el pe-ri—dico cuesta $50.A Show & Sell le gusta anunciarse en radio al menos el doble de vecesque en TV.Mientras tanto,se recomienda el uso de al menos 5 anuncios en el peri—dico yno m‡s de 30 minutos de publicidad por radio al mes.La experiencia pasada muestra quela publicidad en TV es 50 veces m‡s efectiva que la publicidad en radio,y 10 veces m‡sefectiva que en peri—dicos.Determine la asignaci—n —ptima del presupuesto a los tres medios.Si el presupuesto mensual se incrementa en 50%,Ãproducir’a esto un incrementoarment Companyfabrica camisas para caballeros y blusas para damas paraWalmark Discount Stores,que aceptar‡ toda la producci—n surtida por Burroughs.Elproceso de producci—n incluye corte,costura y empacado.Burroughs emplea 25 trabaja-dores en el departamento de corte,35 en el de costura y 5 en el empacado.La f‡brica la-
Minutos por unidad
Proceso1Proceso2Proceso3
120Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadbora un turno de 8 horas,5 d’as a la semana.La siguiente tabla da los requerimientos deDetermine el programa de producci—n semanal —ptimo para Burroughs.Determine el valor de 1 hora de corte,costura y empacado,en funci—n del ingreso total.Si puede utilizarse tiempo extra en los departamentos de corte y costura,Ãcu‡l es la.Las disponibilidades diarias de las materias primas 145 unidades,respectivamente.Una unidad de la soluci—n ,y una unidad de la soluci—n .Los precios por uni-son de $8 y $10,respectivamente.La demanda diaria de la so-es de entre 30 y 150 unidades,y la de la soluci—n de entre 40 y 200 unidades.que ChemLabs debe producir.Si pueden adquirirse m‡s unidades de materia prima a $20 por unidad,Ães estoaconsejable? Explique.en la producci—n.ÃEs esto aconsejable? Explique.modelos de radio:Dii-2.La siguiente tabla da los tiempos de ensamble paralas tres estaciones de trabajo.
Minutos por unidad
CorteCosturaEmpacado2070Blusas 6060
El mantenimiento diario de las estaciones de trabajo 1,2 y 3 consume 10,14 y 12%,res-pectivamente,de los 480 minutos m‡ximos disponibles por estaci—n cada d’a.los tiempos ociosos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo.Determine la uti-lizaci—n —ptima de las estaciones de trabajo.pos ociosos (holguras) para las tres operaciones en funci—n de las variables originales.
Estaci—n de trabajo
DiGi-1DiGi-2254346
3.6An‡lisis de sensibilidadminutos por d’a a un costo adicional de $1.50 por minuto.ÃPuede mejorarse estaGutchi Company fabrica bolsos de mano,bolsas para rasuradora y mochilas.La construc-ci—n de los tres productos requiere piel y materiales sintŽticos,dado que la piel es la ma-teria prima limitante.El proceso de producci—n utiliza dos tipos de mano de obra califica-da:costura y terminado.La siguiente tabla da la disponibilidad de los recursos,su uso porlos tres productos,y los precios por unidad.
Requerimientos de recursos por unidad
rasuradoraMochila2134Terminado (h)1
Formule el problema como una programaci—n lineal,y determine la soluci—n —ptima.Acontinuaci—n,indique si los siguientes cambios en los recursos mantendr‡n factible la so-luci—n actual.En los casos donde la factibilidad se mantiene,determine la nueva soluci—nHiDec produce dos modelos de artefactos electr—nicos que utilizan resistores,capacitoresy ÃchipsÃ.La siguiente tabla resume los datos de la situaci—n:
Recurso
Requerimiento de recursos unitarios
Modelo 1 (unidades)Modelo 2 (unidades)
las cantidades producidas de los modelos 1 y 2,respectivamente.A continua-
122Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadDetermine el estado de cada recurso.En funci—n del ingreso —ptimo,determine los precios duales para resistores,capaci-tores y chips.Si la cantidad de resistores disponibles se incrementa a 1300 unidades,encuentre laSi la cantidad de chips disponibles se reduce a 350 unidades,Ãpodr‡ determinar lanueva soluci—n —ptima directamente con la informaci—n dada? Explique.Si el intervalo de factibilidad calculado en (c) limita la disponibilidad de capacitores,Un nuevo contratista ofrece a HiDec m‡s resistores a 40 centavos cada uno,peros—lo si HiDec compra al menos 500 unidades.ÃDebe HiDec aceptar la oferta? ,Ã,y mantendr‡n la factibilidad de la soluci—n actual.Suponga que el,y que secci—n 3.6.2.Por definici—n tenemos .Luego definimos como igual a si tivo,y si es positivo.Por definici—n,tenemos que 0 1.La regla del 100% dicepor tanto que,dados los cambios,,Ã,y ,una condici—n 1.Si lacondici—n no se satisface,entonces la soluci—n actual puede o no permanecer factible.LaEn realidad,la regla del 100% es demasiado dŽbil como para que sea consistente-mente œtil.Aun en los casos en que la factibilidad puede confirmarse,seguimos teniendoplex comunes.Adem‡s,los c‡lculos directos asociados con los cambios simult‡neos dadosen la secci—n 3.6.2,son simples y manejables.Para demostrar la debilidad de la regla,apl’quela a las partes (a) y (b) del problema1 de este conjunto.La regla no confirma la factibilidad de la soluci—n en (a) y no es v‡lidaquedan fuera del intervalo admisible.El problema 13demuestra aœn m‡s este punto.
qiDi
pi
B‡sica
x1
x2
s1
s2
s3
Soluci—nz005
41
01750
43
045021400
2-1
0100
3.6An‡lisis de sensibilidadtervalos de factibilidad considerados uno a la vez,son 0.Primero,Luego,demuestre que la regla del 100% confirmar‡ la factibilidad s—lo si el incre-3 unidades.De lo contrario,la regla falla en el3.6.3An‡lisis de sensibilidad algebraica. Funci—n objetivocondiciones que mantendr‡n la optimalidad de la soluci—n de una PL de dos variables.Definici—n de costo reducido.dad de la funci—n objetivo,primero tenemos que definir los .En elmodelo de TOYCO (ejemplo 3.6-2),la ecuaci—n 0).La raz—n se pone de mani-,donde un incremento unitario en en $4,es decir,Podemos considerar el coeficiente de .Pero Ãde d—nde proviene este ÃcostoÃ? Sabemos que eles de $3 (segœn el modelo original).TambiŽn sabemos que lade operaciones).Por consiguiente,desde el punto de vista de la optimizaci—n,el Ãatrac-tivoÃde depende del costo de los recursos consumidos con respecto al ingreso.Estacosto reducido Para apreciar la importancia de esta definici—n,en el modelo original de TOYCO el in-$3).No obstante la soluci—n —ptima recomienda producir camiones de juguete (0).La raz—n es que el costo de los recursos con-sumidos por un cami—n de juguete (es decir,tiempo de operaciones) es menor que suprecio unitario;al contrario de lo que sucede en el caso de los trenes de juguete.
124Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad,podemos ver que una variable no ren-Incrementando el ingreso unitario.Reduciendo el costo unitario de los recursos consumidos.En la mayor’a de las situaciones,las condiciones del mercado dictan el precio por uni-dad y puede ser dif’cil incrementarlo a voluntad.Por otra parte,una opci—n m‡s viableque el proceso de producci—n sea m‡s eficiente.Determinaci—n de los intervalos de optimalidad.determinaci—n de las condiciones que mantendr‡n una —ptima soluci—n.El desarrolloEn el modelo de TOYCO,sean camiones,trenes y autos,respectivamente.La funci—n objetivo se escribe entonces como Con los cambios simult‡neos,la fila
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0000
),la iteraci—n —ptima aparecer‡ como sigue (convŽnzase de que Žste si es el caso,excepto por los ).Esto significa que los secci—n 3.6.2,donde los cambios del lado derecho s—lo afectan a la factibilidad.)
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Soluci—nz4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1001+ 1
2 d2 2- 1
4 d2+ 1
2 d301350 + 100d2 + 230d3x2-1
4101
2-1
40100x33
010
20230x6-1
1120
3.6An‡lisis de sensibilidadnuevos costos reducidos.Un examen de la nueva fila superior y una nueva columna m‡s a la izquierda de la tabla —ptima,como lo muestran.En la co-lumna a la extrema izquierda,el elemento superior es 1 en la fila .Tenga en cuenta que recen en la columna a la extrema izquierda,sœmelos y reste el elemento en la fila supe-rior de la suma.Por ejemplo,para ,tenemos) permanezcan no negativos (caso de maximizaci—n).Por lo tanto te-Recuerde que el costo reducido de una variable b‡sica siempre es cero,como lo mues-Para ilustrar el uso de estas condiciones,suponga que la funci—n objetivo deTOYCO cambia de .Entonces,$1.La sustituci—n en las condiciones dadas pre-
4 d2+ 1
2 d3=2- 1
4 (-1)+ 1
2 (1)=2.7570 (satisfecha)1+ 1
2 d2=1+ 1
2 (-1)=.570 4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1=4- 1
4 (-1)+ 3
2 (1)-(-1)=6.7570 (satisfecha) 2- 1
4 d2+ 1
2 d3Ã0 1+ 1
2 d2Ã0 4-1
4 d2+ 3
2 d3-d1Ã0 =4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1 Costo reducido de x1= [4*1 +(-1
4 )*d2+ 3
2 *d3+2*0]-d1
d1
d2
d3
0
0
0
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4001201350
4101
2-1
0100
20101
02302001120
126Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad$1480.Si cualquier condici—n no se satisface,debe de-El tema anterior abord— el caso de maximizaci—n.La œnica diferencia en el casopueden desarrollarse a partir de las condiciones de optimalidad simult‡neas.Porejemplo,suponga que el coeficiente objetivo de ;es decir que 0.Las condiciones de optimalidad simult‡neas se reducen por lo tanto aDel mismo modo,puede verificar que los cambios individuales (3 ,respectivamente.unitarios totales.Por ejemplo,para los camiones de juguete (variable ),el ingreso,y su intervalo de optimalidad en $3 y $5,respectivamente.Por ejemplo,considere .En este caso $2,los cuales quedan dentro de los intervalos individuales per-
34-1
4 d2Ã0Qd2ƒ161+1
2 d2Ã0Qd2Ã-22-1
4 d2Ã0Qd2ƒ8sQ-2ƒd2ƒ8
Los intervalos individuales son resultados est‡ndar en todo software de PL.Por lo comœn,las condicionessimult‡neas no forman parte de los resultados,quiz‡ porque son voluminosas para problemas grandes.).Sin embargo,las condiciones si-
4 d2+ 1
2 d3=2- 1
4 (6)+ 1
2 (-2)=-.560 (satisfecha)1+ 1
2 d2=1+ 1
2 (6)=470 (no satisfecha)4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1=4- 1
4 (6)+ 3
2 (-2)-3=-3.560 8
3
3.6An‡lisis de sensibilidadEn el modelo de TOYCO,determine si la soluci—n actual cambiar‡ en cada uno de los si-La tienda de abarrotes B&K vende tres tipos de refrescos:las marcas Cola A1,Cola A2 yla marca m‡s barata genŽrica de Cola A3.El precio por lata de A1,A2 y A3 es 80,70 y 60centavos,respectivamente.En promedio,la tienda no vende m‡s de 500 latas de todos losrefrescos de cola al d’a.Aunque A1 es una marca reconocida,los clientes tienden a com-prar m‡s A2 y A3 porque son m‡s baratos.Se estima que como m’nimo se venden 100latas de A1 al d’a y que las ventas de A2 y A3 sobrepasan las de A1 por un margen de alDemuestre que la soluci—n —ptima no requiere vender la marca A3.ÃQuŽ tanto se debe incrementar el precio por lata de A3 para que B&K la venda?Para competir con otras tiendas,B&K decidi— reducir el precio de los tres tipos derefresco de cola en 5 centavos por lata.Calcule de nuevo los costos reducidos paramesas y sillas.Se requieren dos horas-hombre para ensamblar una mesa y 5 horas-hom-bre para ensamblar una silla.Los clientes suelen comprar una mesa y de cuatro a seis si-llas.Los precios son $135 por mesa y $50 por silla.La compa–’a opera un turno de ochoDetermine la combinaci—n de producci—n —ptima para los 10 d’as.Si los precios unitarios presentes por mesa y silla se reducen en un 10%,aplique el an‡-Si los precios unitarios presentes por mesa y silla cambian a $120 y $25,Ãcambiar‡ lapara autom—vil durante el siguiente mes.El banco cobra 14% por los prŽstamos persona-les,y 12% por los prŽstamos para autom—vil.Ambos tipos de prŽstamos se reembolsan alfinal del periodo de 1 a–o.La experiencia muestra que aproximadamente 3% de los prŽs-tamos personales y 2% de los prŽstamos para autom—vil no se reembolsan.El bancopersonales.Determine la asignaci—n —ptima de fondos entre los dos prŽstamos,y la tasa neta derendimiento en todos los prŽstamos.3%,respectivamente,aplique el an‡lisis de sensibilidad para determinar si la solu-Electra produce cuatro tipos de motores elŽctricos,cada uno en una l’nea de ensambledistinta.Las capacidades respectivas de las l’neas son 500,500,800 y 750 motores por d’a.El motor tipo 1 utiliza 8 unidades de un determinado componente electr—nico;el motor tipo2 utiliza 5 unidades;el motor tipo 3 utiliza 4 unidades,y el motor tipo 4 utiliza 6 unidades.
En este conjunto de problemas,le convendr’a generar la tabla simplex —ptima con TORA.
128Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadEl proveedor del componente puede surtir 8000 piezas por d’a.Los precios de los tiposde motor respectivos son $60,$40,$25 y $30.El programa de producci—n actual satisface las necesidades de Electra.Sin embargo,debido a la competencia,es posible que Electra tenga que reducir el precio delmotor tipo 2.ÃCu‡l es la reducci—n m‡xima que puede efectuarse sin que cambie elElectra decidi— reducir25% el precio de todos los tipos de motores.Aplique el an‡li-Actualmente el motor tipo 4 ya no se produce.ÃQuŽ tanto debe incrementarse suPopeye Canning firm— un contrato para recibir 60,000 lb diarias de tomates maduros a 7centavos por libra,con los cual produce jugo de tomate enlatado,salsa de tomate y purŽde tomate.Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas.Una lata de jugo uti-liza 1 lb de tomates frescos,una lata de salsa utiliza lb,y una lata de purŽ utiliza lb.Laparticipaci—n diaria del mercado de la compa–’a est‡ limitada a 2000 cajas de jugo,5000cajas de salsa y 6000 cajas de purŽ.Los precios de mayoreo por caja de jugo,salsa y purŽson $21,$9 y $12,respectivamente..Desarrolle un programa de producci—n diaria —ptimo para Popeye.Si el precio por caja de jugo y purŽ permanece fijo al valor dado en el problema,aplique elan‡lisis de sensibilidad para determinar el intervalo de precio unitario que Popeye debeDeanÃs Furniture Company ensambla gabinetes de cocina regulares y de lujo utilizandomadera precortada.Los gabinetes regulares se pintan de blanco,y los de lujo se barnizan.Un departamento realiza tanto el pintado como el barnizado.La capacidad diaria del de-partamento de ensamble es de 200 gabinetes regulares y de 150 de lujo.El barnizado deuna unidad de lujo requiere el doble de tiempo que pintar uno regular.Si el departamen-to de pintura/barnizado se dedica s—lo a las unidades de lujo,puede completar 180 unida-des diarias.La compa–’a estima que los ingresos por unidad de los gabinetes regulares yde lujo son de $100 y $140,respectivamente.Formule el problema como un programa lineal y halle el programa de producci—ny de lujo se reduzca a $80.Aplique el an‡lisis de sensibilidad para determinar si lasoluci—n —ptima en (a) permanece sin cambios..TambiŽn puede desarrollarse una regla similar a la descrita en el problema 12,conjunto 3.6c,para probar el efecto1,2,Ã,,en la optimalidad de la solu-ci—n actual.Suponga que ,uno a la vez,siguiendo el procedimiento descrito enla secci—n 3.6.3.En este caso 0),porque representa la reducci—n (incremento)que mantendr‡ —ptima la soluci—n actual.Para los casos en que,defina igual a si es positivo y si es negativo.Por definici—n,0 1.La regla de 100% dice que una condici—n suficiente (pero no necesaria) para que la1.Si la condici—n no se sa-tisface,la soluci—n actual puede o no permanecer —ptima.La regla no aplica si fuera de los intervalos especificados.guientes casos.
ujdj
vj3
41
2
3.6An‡lisis de sensibilidad3.6.4An‡lisis de sensibilidad con Tora, Solver, y AMPL por el software de PL,en particular con respecto al an‡lisis de sensibilidad.Utilizaremosel ejemplo de TOYCO para demostrar lo obtenido con TORA,Solver y AMPL.El reporte de los resultados de PL obtenidos con TORA proporciona los datostoraTOYCO.txt).Los resultados incluyen los costos reducidos y los preciosduales as’ como los intervalos de optimalidad y factibilidad permisibles.La figura 3.15 muestra el modelo de TOYCO analizado con Solver (archivosolverTOYCO.xls) y su reporte del an‡lisis de sensibilidad.DespuŽs de hacer clic en laSolver Parameters,puede solicitar el reporte delSolver Results.Luego haga clicpara ver los resultados.El reporte es parecido al deTORA,con tres excepciones:(1) El costo reducido tiene un signo opuesto.(2) Utilizashadow price (precio sombra) tivos totales y los lados derechos de las restricciones.Las diferencias son m’nimas,y laEn AMPL,el reporte del an‡lisis de sensibilidad se obtiene de inmediato.ElamplTOYCO.txtdos obtenidos con el an‡lisis de sensibilidad.Requiere las instrucciones adicionales (el
***Sensitivity Analysis***
VariableCurrObjCoeffMinObjCoeffMaxObjCoeffReduced Costx1:3.00-infinity7.004.00x2:2.000.0010.000.00x3:5.002.33infinity0.00
ConstraintCurr RHSMin RHSMax RHSDual Price1()430.00230.00440.001.002()460.00440.00860.002.00
400.00infinityAn‡lisis de sensibilidad,realizado con TORA para el modelo de TOYCO
130Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadan‡lisis de sensibilidad est‡ndar.En el modelo de TOYCO,las variables y restricciones.,respectivamente.Utilizandodown,.currentla figura 3.16.Los sufijos .proporcionan el precio dual y el costo reducido.Reporte del an‡lisis de sensibilidad realizado con Excel Solver para el modelo de TOYCO
Antes de resolver los problemas en este conjunto,se espera que usted genere el reporte del an‡lisis de sen-sibilidad utilizando AMPL,Solver o TORA.obtenido con AMPL para el modelo de TOYCO:oper.downoper.currentoper.upoper.dual:=123043044012440460860234004201e+20p0:x.downx.currentx.upx.rc:=1-1e+207-42021002.3333351e+200Considere el problema 1,conjunto 2.4a (cap’tulo 2).Use el precio dual para decidir si
3.7Temas de c‡lculo en la programaci—n linealConsidere el problema 2,conjunto 2.4a (cap’tulo 2).Si quisiera gastar $1000 en cosas placenteras al final del a–o 1,Ãc—mo afectar’a estoConsidere el problema 3,conjunto 2.4a (cap’tulo 2).DŽ una interpretaci—n econ—mica de los precios duales del modelo.de salida en las cinco fechas designadas del a–o.Considere el problema 4,conjunto 2.4a (cap’tulo 2).Use los precios duales para determi-nar la tasa de rendimiento asociada con cada a–o.Considere el problema 5,conjunto 2.4a (cap’tulo 2).Use el precio dual para determinarsi vale la pena que el ejecutivo invierta m‡s dinero en los planes.Considere el problema 6,conjunto 2.4a (cap’tulo 2).Use el precio dual para decidir si esaconsejable que el jugador apueste m‡s dinero.Considere el problema 1,conjunto 2.4b (cap’tulo 2).Relacione los precios duales con loscostos de producci—n unitarios del modelo.Considere el problema 2,conjunto 2.4b (cap’tulo 2).Suponga que cualquier capacidad adi-cional de las m‡quinas 1 y 2 puede obtenerse s—lo si se utiliza tiempo extra.ÃCu‡l es el costoConsidere el problema 3,conjunto 2.4b (cap’tulo 2).por unidad.ÃSer’a aconsejable hacer esto? Considere el problema 10,conjunto 2.4e (cap’tulo 2).3.7TEMAS DE CçLCULO EN LA PROGRAMACIîN LINEALEn este cap’tulo se han presentado los detalles del algoritmo simplex.Los cap’tulos si-guientes presentan otros algoritmos:El simplex dual (cap’tulo 4);el simplex revisado(cap’tulo 7),y el punto interior (cap’tulo 22 en el sitio web).ÃPor quŽ la variedad? Laen el desarrollo de c—digos de computadora robustos.Velocidad Ambos requerimientos presentan retos incluso para las computadoras m‡s avanzadas.de la computadora.Para estar seguros,el formato de tabla simplex presentado en
Para esta secci—n se han tomado elementos de R.Bixby,ÃSolving Real-World Linear Programs:A Deca-Operations Research,vol.50,nœm.1,p‡gs.3-15,2002.
132Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidad,es decir que el error de redondeo cometido por lacomputadora y la pŽrdida de d’gitos presentan serios problemas de c‡lculo,en particularcuando los coeficientes del modelo de PL difieren con mucho en magnitud.A pesar de estosretos,de hecho los diferentes algoritmos de PL se han integrado de manera ingeniosa paraproducir c—digos altamente eficientes a fin de resolver PLs extremadamente grandes.texto hasta los robustos c—digos de PL actuales de œltima generaci—n.Aborda los temasque afectan la velocidad y la precisi—n y presenta remedios para aliviar los problemas.TambiŽn presenta un amplio marco de referencia de los roles de los diferentes algorit-mos de programaci—n lineal (simplex,simplex dual,simplex revisado y punto interior)en el desarrollo de c—digos de computadora numŽricamente estables.La presentaci—nse mantiene,expresamente,libre de matem‡ticas y se concentra en los conceptos claveque constituyen el fundamento de los c—digos de programaci—n lineal exitosos.1.Regla (pivote) de la variable de entrada simplex..Una vez determinadas las dos variables,se utilizan operaciones de fila pivoteEn realidad,el de los muchos que se han utilizado en el desarrollo de c—digos de PL.La siguientetabla resume los tres criterios prominentes.
Regla de la variable de
entrada
variables no b‡sicas.objetivo entre todas las variables no b‡sicas.todas las variables no b‡sicas.El algoritmo se mueve a lo largo del borde m‡sque va del punto actual a un punto extremo vecino.
,la fila objetivo de la tabla simplex proporciona de in-mediato los costos reducidos de todas las variables no b‡sicas sin c‡lculos adicionales.Por otra parte,la losadicionales para determinar primero el valor con el cual una variable no b‡sicaentra en la soluci—n y luego la mejora total resultante del valor objetivo.La idea de laregla del borde m‡s inclinado,aunque en el Ãesp’rituÃde la da),requiere mucho menos c‡lculos.
Vea D.oldfarb y J.Reid,ÃA Practicable Steepest Edge Simplex AlgorithmÃ,,vol.12,nœm.1,p‡gs.361-377,1977.
3.7Temas de c‡lculo en la programaci—n linealdesde el punto de vista computacional pero,sin duda,requiere la m‡xima cantidad deiteraciones para llegar al —ptimo.Por otra parte,la costosa desde el punto de vista computacional pero,sin duda,implica la cantidad m’ni-ma de iteraciones simplex.La regla del borde m‡s inclinadosimplex.Es interesante observar que los resultados de prueba muestran que los bene-regla del borde m‡s inclinado.Esto es lo que haceAunque la regla del borde m‡s inclinadopara la selecci—n de la variable de entrada,los c—digos de PL exitosos tienden a utilizar.Inicialmente,las iteraciones simplex utilizan (una varia-.Conforme se incrementa la cantidad de iteraciones,se hace unregla del borde m‡s inclinado.La extensa experiencia de2.Algoritmo primal vs.simplex dual..En el algoritmo primal,la soluci—n b‡sica inicial es factible,pero no —ptima.Lasiteraciones sucesivas permanecen factibles a medida que avanzan hacia el —ptimo.Sedesarroll— un algoritmo subsiguiente para PLs,llamado como no factible pero —ptimo y que se dirige hacia la factibilidad,al tiempo que man-tiene la optimalidad.La iteraci—n final ocurre cuando se restaura la factibilidad.Losdetalles del algoritmo dual se dan en el cap’tulo 4,secci—n 4.4.1.En un inicio,el algoritmo dual se utiliz— sobre todo en el an‡lisis post —ptimo de PL(secci—n 4.5) y en la programaci—n lineal entera,(cap’tulo 9),pero no como un algoritmoindependiente para resolver PLs.La raz—n principal es que su regla para seleccionar lavariable de salida era dŽbil.Sin embargo,todo esto cambi— cuando se adopt— la idea deEn la actualidad,el simplex dual con la adaptaci—n del borde m‡sinclinado ha demostrado que es dos veces m‡s r‡pido que el simplex dual,y por el mo-mento es el algoritmo simplex dominante en los c—digos comerciales m‡s importantes.3.Simplex revisado vs.tabla simplex.guiente tabla simplex a partir de la inmediata anterior.El resultado es que las tablas noLa mayor’a de los modelos de PL son sumamente dispersos (es decir,con-tienen un alto porcentaje de coeficientes cero en la iteraci—n de inicio).Los
Vea J.Forrest y D.oldfarb,ÃSteepest-Edge Simplex Algorith for Linear ProgrammingÃ,,vol.57,nœm.3,p‡gs.341-374,1992.
134Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadtes cero,lo que a su vez acelera sustancialmente los c‡lculos.ƒsta es unafuerte oportunidad perdida en c‡lculos con tablas,porque las tablas sucesivaspronto se saturan de elementos no cero.El error de redondeo y la pŽrdida de d’gitos,inherentes en todas las compu-tadoras,pueden propagarse con rapidez a medida que crece la cantidad de itera-ciones,que llevar’a a una grave pŽrdida de precisi—n,sobre todo en PL grandes.iteraci—n son las variables de entrada y de salida).Estos c‡lculos extra re-presentan tiempo de computadora desperdiciado.estas desventajas.Aunque el mŽtodo utiliza las reglas de pivoteo exactas como en el mŽ-,la diferencia principal es que realiza los c‡lculos aplicando ‡l-gebra matricial.En un modelo de restricciones,cada soluci—n de punto (de esquina).La matriz b‡sica ,y de las restricciones.En esencia,s—locambia entre iteraciones.Esta propiedad œnica que permite controlar el error de re-dondeo/pŽrdida de d’gitos,aprovecha la dispersi—n del modelo original y acelera losc‡lculos.En realidad,el an‡lisis numŽrico en el ‡lgebra matricial proporciona mŽtodossuperior,de modo que .El mŽtodo,con toda propiedad llamadodescomposici—n L-U,es particularmente adecuado para matrices dispersas.Por estas razones el formato de tabla nunca se utiliza en los c—digos de PL m‡s4.Algoritmo de barrera (punto interior) vs.algoritmo simplex.el —ptimo.Computacionalmente,el algoritmo es ma.Por otra parte,el algoritmo simplex es El algoritmo de punto interior se introdujo en 1984 y,sorpresivamente,fue pa-tentado por AT&T y vendido en una computadora especializada (aparentemente poruna exuberante cantidad) sin revelar sus detalles computacionales.Al fin,la comuni-dad cient’fica Ãse ocup—Ãy descubri— que el mŽtodo de punto interior ten’a ra’ces enplo el algoritmo SUMT en la secci—n 21.2.5).El resultado es el llamado con algunas variaciones algor’tmicas.Para problemas en extremo grandes,el mŽtodo de barrera ha demostrado sermucho m‡s r‡pido que el algoritmo simplex dual.La desventaja es que el algoritmo debarrera no produce soluciones de punto de esquina,una restricci—n que limita su apli-
Vea J.Bunch y J.Jopcroft,ÃTriangular Factorization and Inversion by Fast Matrix MultiplicationÃ,vol.28,p‡gs.231-236,1974.Vea tambiŽn E.Hellerman y D.Rarick,,vol.1,p‡gs.195-216,1971.
3.7Temas de c‡lculo en la programaci—n lineal(cap’tulo 9).Aunque se han desarrollado mŽtodos para convertir una soluci—nde punto interior —ptimo de barrera en una soluci—n de punto de esquina,la carga decomputo asociada es enorme,lo que limita su uso en aplicaciones como programaci—nentera,donde la frecuente necesidad de localizar soluciones de punto de esquina esfundamental para el algoritmo.No obstante,todos los c—digos comerciales incluyen elalgoritmo de barrera como herramienta para resolver PL grandes.5.Degeneraci—n.Como se explic— en la secci—n 3.5.1,las soluciones b‡sicas de-generadas pueden generar ciclado,lo que har’a que las iteraciones simplex se queda-mino.En las primeras versiones del algoritmo simplex,la degeneraci—n y el ciclado nopr‡ctica era rara.A medida que se probaron instancias de problemas m‡s dif’ciles ym‡s grandes (sobre todo en el ‡rea de la programaci—n entera),el error de redondeogeneraci—n que provoc— que los c‡lculos Ãse quedaran atascadosÃen el mismo valorobjetivo.El problema se evadi— interponiendo una perturbaci—n aleatoria condicionaly cambiando los valores de las variables b‡sicas.6.Acondicionamiento del modelo de entrada (soluci—n previa).Todos los len-los.El objetivo es ÃsimplificarÃel modelo de dos maneras clave:caci—n y eliminaci—n de las restricciones redundantes,y posiblemente fijan-do y sustituyendo las variables.Ponderando los coeficientes del modelo que sean de magnitud ampliamen-se manipulan nœmeros reales de magnitudes ampliamente diferentes.La figura 3.17 resume las etapas de soluci—n de un problema de PL.El modelo deentrada puede ser alimentado por medio de un pre-solucionador a un solucionador,talcomo CPLEX o XPRESS.Como alternativa puede usarse un lenguaje c—modo de mo-delado como AMPL,AMS,MOSEL o MPL,para modelar algebraicamente la PL ytarlos al formato del solucionador,el cual entonces produce los resultados de salida en7.Avance de las computadoras.siglo XX la velocidad de las computadoras se hubiera incrementado m‡s de mil veces.
Vea P.Harris,ÃPivot Selection Methods of the debex LP CodeÃ,,vol.5,p‡gs.1-28,1974.Vea L.Bearley,L.Mitra,y H.Williams,ÃAnalysis of Mathematical Programming Problems Prior toApplying Simplex AlgorithÃ,Mathematical Programming,vol.8,pp.54Ã83,1975.
FIGURA 3.17Componentes de una PL numŽrica
136Cap’tulo 3MŽtodo simplex y an‡lisis de sensibilidadEn la actualidad,una computadora de escritorio es m‡s potente y veloz que las anti-guas supercomputadoras.Estos avances (junto con los avances algor’tmicos antes cita-con d’as (Ãs’,d’as!) en el pasado.Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Chv‡ta1,V.,Linear Programming,Freeman,Nueva York,1983.Dantzig,Linear Programming and Extensions,Princeton University Press,Princeton,NJ,Dantzig,.,y M.Thapa,Linear Programming 1:Introduction,Springer,Nueva York,1997.Nering,E.,y A.Tucker,Linear Programming and Related Problems,Academic Press,Boston,Taha,H.,ÃLinear ProgrammingÃ,cap’tulo II-1 en Research,J.Moder yS.Elmaghraby (eds.),Van Nostrand Reinhold,Nueva York,1987.
CAPêTULO 4
4.1DEFINICIîN DEL PROBLEMA DUALginal).Los dos problemas est‡n estrechamente relacionados en el sentido de que la so-luci—n —ptima de uno proporciona autom‡ticamente la soluci—n —ptima al otro.En la mayor’a de los tratamientos de PL,el dual se define para varias formas del pri-mal segœn el sentido de la optimizaci—n (maximizaci—n o minimizaci—n),los tipos de res-o =),y el signo de las variables (no negativas o irrestrictas).Este cap’tulociones con lado derecho no negativo,y todas las variables son no negativas).Este reque-rimientoes consistente con el formato de la tabla inicial simplex.De ah’ que cualesquierproblema dual asociado.nes de restricci—n primales.Las reglas que aparecen en la tabla 4.1 rigen el sentido de optimizaci—n,la direc-ci—n de las desigualdades y los signos de las variables en el dual.Una forma f‡cilde recordar el tipo de restricci—n en el dual (es decir,(es decir,apunta),entonces todas las restric-(es decir,).Lo opuesto aplica cuando
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimo
TABLA 4.1
Problema dual
problema primala
Objetivo
Tipo de restricci—n
Todas las restricciones primales son ecuaciones con lado derecho no negativo,y todas las variablesson no negativas.
Los siguientes ejemplos demuestran en la tabla 4.1 el uso de las reglas;incluso,
Ejemplo 4.1-1Problema dual sujeto a
Ejemplo 4.1-2 y1+0y2Ã0y1, y2 irrestrictafQ1y1Ã0, y2 irrestricta2y1+3y2Ã 42y1- y2Ã12y1+2y2Ã 5Minimizar =10y1+8y2
Primal
Primal en forma de ecuaci—n
Variables duales
Primal
Primal en forma de ecuaci—n
Variables duales
4.1Definici—n del problema dual
La primera y segunda restricciones son reemplazadas por una ecuaci—n.La regla general es queuna variable primal irrestricta siempre corresponde a una restricci—n dual de igualdad.A la in-versa,una ecuaci—n primal de igualdad produce una variable dual irrestricta,como lo demuestra
Resumen de las reglas para construir el dual.primal-dual como suelen presentarse en la literatura.Un buen ejercicio es verificar quelas dos reglas que aparecen en la tabla 4.1 abarcan estas reglas expl’citas.
Primal
Primal en forma de ecuaci—n
Variables duales
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoel nombre primal y dual.Lo que importa en este caso es el sentido de optimizaci—n.Si elprimal es de maximizaci—n,entonces el dual es de minimizaci—n,y viceversa.Observeproblema 5,conjunto 4.1a).CONJUNTO DE PROBLEMAS4.1AEn el ejemplo 4.1-1,derive el problema dual asociado si el sentido de optimizaci—n en elEn el ejemplo 4.1-2,derive el problema dual asociado dado que el problema primal seEn el ejemplo 4.1-3,demuestre que aunque el sentido de optimizaci—n en el primal secambie a minimizaci—n,una variable primal irrestricta siempre corresponde a una restric-
TABLA 4.2
Problema de maximizaci—n
RestriccionesVariablesÃ3ƒƒ3ÃVariables
4.2Relaciones primalÃdualConsidere el ejemplo 4.1-1.La aplicaci—n del mŽtodo simplex al primal requiere utilizarluci—n b‡sica inicial.Demuestre que la presencia de una primal artificial en forma dedante.ÃVerdadero o falso?Si la restricci—n primal est‡ originalmente en forma de ecuaci—n,la variable dual co-4.2RELACIONES PRIMAL-DUALy/o factibilidad de la soluci—n —ptima actual.Esta secci—n presenta varias relacionesplex —ptima.Estas relaciones constituyen la base de la interpretaci—n econ—mica delmodelo de PL y del an‡lisis post—ptimo.La secci—n se inicia con un breve repaso de las matrices,una herramienta muyœtil para realizar los c‡lculos de tabla simplex.Un repaso m‡s detallado de las matricesse da en el apŽndice D en el sitio web.4.2.1Repaso de operaciones con matrices simplestales:(fila vector) (matriz),(matriz) (matriz).Porcomodidad,estas operaciones se resumen.En primer lugar,presentamos algunas defi-,de tama–o (columnas.,de tama–o ,de tama–o ÃÃÃÃ
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimo1.(Vector fila matriz,VA).son iguales.Por ejemplo,2.(Matriz vector columna,AP).son iguales.Por ejemplo,3.(Escalar Dada la cantidad escalar a (o constante),la operaci—n de.Por ejemplo,CONJUNTO DE PROBLEMAS4.2AEn cada uno de los siguientes casos,indique si la operaci—n matricial dada es leg’tima;silo es,calcule el resultado.(a)AV(b)AP(c)AP(d)V(e)V(f)P(g)V4.2.2Dise–o de la tabla simplex La tabla simplex del cap’tulo 3 es la base para la presentaci—n en este cap’tulo.La figu-.En la tablainicial,los coeficientes de restricci—n bajo las variables iniciales forman una (todos los elementos en la diagonal principal son 1,y todos los elementos102030405060
4.2Relaciones primalÃdualfuera de la diagonal son cero).Con esta disposici—n,las iteraciones siguientes de latabla simplex generadas por las operaciones de filas de Gauss-Jordan (vea el cap’tulo 3)matriz inversa.Como veremos en el resto de este cap’tulo,la matriz inversa es la claveCONJUNTO DE PROBLEMAS4.2B*Identifique la matriz inversa —ptima.lado derecho original de las restricciones originales.4.2.3Soluci—n dual —ptimasoluci—n —ptima de uno u otro problema da la soluci—n —ptima al otro.As’ pues,en unde restricciones,pueden ahorrarse c‡lculos resolviendo el dual porque la cantidad de
Fila z objetivoColumnas de restricci—nFila z objetivoColumnas de stricci—n(Tabla inicial)Matriz identidad1 0 ... 00 1 ... 00....0 0 ... 1Variables inicialesVariables inicialesMatriz inversa(Iteraci—n general)
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoc‡lculos simplex depende en gran medida (aunque no totalmente) de la cantidad derestricciones (vea el problema 2,conjunto 4.2c).Esta secci—n proporciona dos mŽtodos para determinar los valores duales.
Para preparar el problema para su soluci—n mediante el mŽtodo simplex,agregamos una varia-en la segunda.Por consi-guiente,el primal resultante y los problemas duales asociados se definen como sigue:
Primal
DualMaximizar sujeto az=5x1+12x2+4x3-MRMinimizar w=10y1+8y2x1, x2, x3, x4, RÃ02x1-x2+3x3++R= 8x1+2x2+x3+x4=10y2Ã-M 1Qy2 irrestricta2y1Ã0y1+3y2Ã 42y1-y2Ã12y1+2y2Ã 5
4.2Relaciones primalÃdual
TABLA 4.3Tabla —ptima del primal del ejemplo 4.2-1
529
5-2
5+M544
5x201-1
52
5-1
512
5x1107
51
52
526
5
En la tabla 4.3,las variables primales iniciales ,respectivamente.Por lo tanto,determinamos la soluci—n dual —ptima como sigue:La matriz inversa —ptima,resaltada en la tabla 4.3,bajo las variables iniciales ,es .Losmismo orden,es decir,,coeficiente de
=a29
5, -2
5b=112, 52P2
5-1
51
52
5Q 1y1, y22=aCoeficientes objetivooriginales de x2, x1b*1Inversa —ptima2Inversa —ptima=£2
5-1
51
52
5
Variables b‡sicas primales iniciales
x4
RCoeficientes de la ecuaci—n z29
5-2
Coeficiente objetivo original0Variables duales Valores duales —ptimos
5+0=29
5-2
5+M+1-M2=-2
5
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoValores objetivo primales-dualesEn el —ptimo,la relaci—n se mantiene como una ecuaci—n estricta,lo que significa que los dos va-lores objetivo son iguales.Observe que la relaci—n no especifica cu‡l problema es primal y cu‡les dual.En este caso s—lo el sentido de optimizaci—n (maximizaci—n o minimizaci—n) es impor-tante.(es decir,) porque,no,siempre hay la oportunidad de una mejora,lo que contradice
tibles (arbitrarias).Los valores asociados de las funciones objetivo son
3)=102
38
3aValor objetivo en elproblema de maximizacinbƒaValor objetivo en elproblema de minimizacinbFIGURA 4.2Relaci—n entre m‡xima y m’nima
îptimoMinimizar wMaximizar z
Por lo tanto,10 ) en el problema de maximizaci—n (primal) es menor que
problema de minimizaci—n (dual).El valor —ptimo de 54 ) queda en el intervalo (10 ,60).CONJUNTO DE PROBLEMAS4.2Cnar s—lo el dual.(No resuelva el dual con el mŽtodo simplex).
34
52
3
4.2Relaciones primalÃdualResuelva el dual del siguiente problema,y en seguida halle su soluci—n —ptima a partir dela soluci—n del dual.ÃOfrece ventajas computacionales la soluci—n del dual sobre la solu-se estableci— igual a cero al solucionar el problema,la
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
0237105015015210300Ã10Ã8Ã1110
Escriba el problema dual asociado y encuentre su soluci—n —ptima de las dos maneras.
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimopara la tercera restricci—n.Utilizando para las variables artificiales,la tabla —ptima se da como sigue:Escriba el problema dual asociado y determine su soluci—n —ptima de las dos maneras.como variables iniciales,la tabla —ptima se da comoEscriba el problema dual asociado,y determine su soluci—n —ptima en dos maneras.100.La tabla —ptima se da como
B‡sica
x1
x2
x3
x4
200316.7501Ã.252.2510.252
B‡sica
x1
x2
x3
x4
02099512.51Ã.510Ã.50.52
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
000100.40Ã.2.4010.20.61.80011Ã111.0
4.2Relaciones primalÃdualEscriba el problema dual asociado,y determine su soluci—n —ptima de las dos maneras.Se puede determinar una soluci—n factible incrementando la funci—n objetivo trivial,ma-y luego resolviendo el problema.Otra forma es resolver el dual,conel cual puede determinarse una soluci—n para el conjunto de desigualdades.Apliqueambos mŽtodos.En el problema 7(a),sean las variables duales.Determine si los siguientes pares desoluciones primales-duales son —ptimos.
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimo4.2.4C‡lculos con la tabla simplexdel problema,la asociada con la iteraci—n,y el pro-blema dual.Con el dise–o de la tabla simplex que se muestra en la figura 4.1,podemosFila objetivo.F—rmula 1:C‡lculos con la columna de restricci—n.F—rmula 2:C‡lculos con la fila objetivo.En cualquier iteraci—n simplex,el
y 2.A partir de la tabla —ptima que aparece en la tabla 4.3,tenemos ,y el lado,se calcularon en el ejemplo 4.2-1.,como se ilustra
5-(-M) =-2
5+M Coeficiente z de x1=y1+2y2-5 =29
5+2*-2
5-5 = 01y1, y22=A29
5, -2
5B=£2
5-1
51
52
5*a12b=a0b aColumna 1 en laiteraci—n —ptimab=aInversa en laiteraci—n —ptimab*aColumna 1en originalbInversa —ptima=£2
5-1
51
52
5aCoeficiente de la variable x1en la ecuaci—n z primalb=aLado izquierdo de larestricci—n dualj-b-aLado derecho de larestricci—n dualj-baColumna de restricci—nen iteraci—n ib=aInversa enla iteraci—n ib*aColumna derestricci—n originalb
4.2Relaciones primalÃdualCONJUNTO DE PROBLEMAS4.2D100),luego utilice las f—rmulas 1 y 2 para ve-rificar todos los elementos de la tabla resultante.Compruebe la optimalidad y factibilidad de cada una de las siguientes soluciones b‡sicas.Compruebe la optimalidad y factibilidad de las siguientes soluciones b‡sicas.
4-1
81
83
2-1
4-3
4-11
21
2Variables b‡sicas=1x4, x3, x62, Inversa=£1-1
2001
001
20-7
21bVariables b‡sicas = (x2, x1), Inversa = a7
45-2
45-2
457
45bVariables b‡sicas =1x2, x32, Inversa=a01
21 -7
2bVariables b‡sicas = (x2, x4), Inversa =a 1
7 0-2
71bx1, x2, x3, x4Ã0 7x1+2x2 +x4 =21 2x1+7x2+x3 =21Maximizar =4x1+14x2
MQ
Iterations
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoCalcule la tabla simplex completa asociada con la siguiente soluci—n b‡sica,y compruebe
7-1
71
72
7QVariables b‡sicas=1x2, x12, Inversa=P2
5-1
51
52
5QVariables b‡sicas=1x4, x32, Inversa=P1-1
301
3Qx1, x2, x3, x4Ã02x1-x2+3x3 = 2x1+2x2+ x3+x4=10Maximizar =5x1+12x2+4x3Variables b‡sicas=1x1, x2, 52, Inversa=£3
5-1
50-4
53
501-11x1, x2, x3, x4, x5Ã0x1+2x2 +x5 =34x1+3x2 -x4=63x1+ x2-x3 =3Minimizar =2x1+x2Variables b‡sicas=1x2, x3, x62, Inversa=£1
2-1
4001
211
4.3Interpretaci—n econ—mica de la dualidad
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
21030Ã8Ã1110
Los valores del lado derecho,) y todas las variables no negativas.Las variables asociadas con las tres restricciones.Determine el valor objetivo —ptimo asociado de dos
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
00032?0011Ã12010106100Ã112
4.3INTERPRETACIîN ECONîMICA DE LA DUALIDAD busca maximizar los ingresos con recursos limitados.Considerando el problema desdeeste punto de vista,el problema dual asociado ofrece interesantes interpretacionesecon—micas del modelo de asignaci—n de recursos.
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoPara formalizar el planteamiento,considere la siguiente representaci—n de losConsiderado como un modelo de asignaci—n de recursos,el problema primal consta derecursos.El coeficiente .El recurso 4.3.1Interpretaci—n econ—mica de las variables dualesdual,los valores de las funciones objetivo,cuando son finitos,deben satisfacer la si-En el —ptimo,los dos valores objetivo son iguales,es decir,En funci—n del modelo de asignaci—n de recursos,representa $ ingresos,y .Por lo tanto,dimensionalmente,,representa el valor por unidadComo se expone en la secci—n 3.6,el nombre est‡ndar precio dual ra de programaci—n lineal y en los paquetes de software,de ah’ que tambiŽn se adopt—el nombre est‡ndar en este libro.Utilizando el mismo an‡lisis dimensional,podemos interpretar la desigualdad que el valor de los recursos,las soluciones primal y dual correspondientes no ser‡n —p-timas.La optimalidad se alcanza s—lo cuando los recursos se han explotado por com-pleto.Esto puede suceder s—lo cuando la entrada (valor de los recursos) se iguala a la$ ingresos
Primal
DualMaximizar z=anj=1cjxjMinimizar w=ami=1bi yisujeto asujeto axjÃ0, j=1, 2,Ã, nanj=1aijxjƒbi, i=1, 2,Ã, myiÃ0, i=1, 2,Ã, mami=1aijyiÃcj, j=1, 2,Ã, n
4.3Interpretaci—n econ—mica de la dualidad
y a la demanda por la tercera y cuarta restricciones.El modelo determina las cantidades (en to-(o $500 por tonelada).Estos resultados se mantienen ciertos en ficos como se mostr— en la secci—n 3.6.Para los recursos 3 y 4,que representan los l’mites delmercado y de la demanda,ambos precios duales son cero,lo que indica que sus recursos asocia-dos son abundantes (es decir,no son cr’ticos al determinar el —ptimo y,por consiguiente,su valor
por unidad,o precio dual,es cero).CONJUNTO DE PROBLEMAS4.3AEn el ejemplo 4.3-1,calcule el cambio del ingreso —ptimo en cada uno de los siguientescasos (utilice el resultado de TORA para obtener los intervalos de factibilidad):*NWAC Electronics fabrica cuatro tipos de cable sencillo para un contratista gubernamen-tal.Cada cable debe pasar a travŽs de cuatro operaciones consecutivas:corte,esta–ado,encamisado e inspecci—n.La siguiente tabla presenta los datos pertinentes de la situaci—n.
Primal de Reddy Mikks
(recurso1,(recurso2,(recurso3,mercado)(recurso4,demanda)
Minutos por unidad
Cable
Corte
Esta–ado
Encamisado
Inspecci—n
10.520.43.25.09.409.324.62.55.010.8011.617.73.65.08.758.226.55.55.07.80Capacidad diaria (minutos)4800.09600.04700.04500.0
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimolos cuatro cables.Formule el problema como un modelo de programaci—n lineal,y determine el pro-Basado en los precios duales,Ãrecomienda incrementar las capacidades diarias decualquiera de las cuatro operaciones? Explique.ventaja o una desventaja para NWAC Electronics? DŽ una explicaci—n con base enlos precios duales.BagCo produce chamarras y bolsos de mano de piel.Una chamarra requiere 8 mpiel,y un bolso de mano s—lo 2 m.Las necesidades de mano de obra para los dos pro-ductos son de 12 y 15 horas,respectivamente.Los actuales suministros semanales de piely 1850 horas.La compa–’a vende las chama-rras a $350 y los bolsos de mano a $120.El objetivo es determinar el programa de pro-ducci—n que maximice el ingreso neto.BagCo planea aumentar la producci—n.ÃCu‡l es el precio de compra m‡ximo que la4.3.2Interpretaci—n econ—mica de las restricciones dualesf—rmula 2 de la secci—n 4.2.4,la cual establece que en cualquier iteraci—n primal,Una vez m‡s utilizamos el an‡lisis dimensional para interpretar esta ecuaci—n.El in-,de la actividad est‡ en d—lares por unidad.De ah’ que,porconsistencia,la cantidadtambiŽn debe estar en d—lares por unidad.A conti-nuaci—n,como representa ingreso,la cantidadcon signo opuesto,debe re-presentar costo.Por lo tanto tenemos,y podemos considerar que laComo se indica en la secci—n 3.6,la cantidadcosto reducido$ costo El coeficiente objetivo de
4.3Interpretaci—n econ—mica de la dualidades negativo.En funci—n de la interpretaci—nprecedente,esta condici—n establece queDe este modo,la condici—n de optimalidad de maximizaci—n dice que es econ—mica-costo unitario imputado.
TOYCO ensambla tres tipos de juguetes:trenes,camiones y autos,realizando tres operaciones.Los tiempos de ensamble disponibles para las tres operaciones son 430,460 y 420 minutos pord’a,y los ingresos por tren,cami—n y auto de juguete son $3,$2 y $5,respectivamente.Los tiem-pos de ensamble por tren para las tres operaciones son 1,3 y 1 minuto,respectivamente.Lostiempos correspondientes por cami—n y por auto son (2,0,4) y (1,2,0) minutos (un tiempo cerolas cantidades diarias de unidades ensambladas de trenes,camiones y carros,La soluci—n —ptima pide que se produzcan 100 camiones y 230 autos,pero ningœn tren.Suponga que a TOYCO tambiŽn le interesa producir trenes ().ÃC—mo se puede lograr,un tren de juguete se vuelve econ—micamente atracti-vo s—lo si su costo unitario imputado es estrictamente menor que su ingreso unitario.TOYCOpuede lograr esto si incrementa el precio unitario.TambiŽn puede reducir el costo imputado deutilizados por un tren en las tres operaciones.Sean las operaciones 1,2 y 3,respectivamente.La meta es determinar los valores de que el nuevo costo imputado por tren sea menor que su ingreso unitario,es decir,
Primal de TOYCO
Dual de TOYCO(Operaci—n1)(Operaci—n2)(Operaci—n3)$1350$1350
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoPara los valores duales —ptimos,0,esta desigualdad se reduce aTodos los valores de bles.Observe,sin embargo,que quiz‡s esta meta no sea alcanzable porque requiere grandesreducciones en los tiempos de las operaciones 1 y 2 que no parecen ser pr‡cticas.Por ejemplo,incluso una reducci—n de 50% (es decir,.5) no satisface la condici—n dada.Entonces laconclusi—n l—gica es que TOYCO no debe producir trenes a menos que las reducciones del tiem-
po vayan acompa–adas de un incremento en el ingreso unitario.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.3BEn el ejemplo 4.3-2,suponga que para los trenes el tiempo por unidad de la operaci—n 2puede reducirse de 3 a cuando mucho 1.25 minutos.ÃQuŽ tanto debe reducirse el tiempoEn el ejemplo 4.3-2,suponga que TOYCO est‡ estudiando la posibilidad de introducir uncuarto juguete:camiones de bombero.El ensamble no utiliza la operaci—n 1.Sus tiemposde ensamble unitarios en las operaciones 2 y 3 son 1 y 3 minutos,respectivamente.El in-greso por unidad es de $4.ÃAconsejar’a a TOYCO introducir el nuevo producto?JoShop utiliza tornos y taladros de banco para producir cuatro tipos de piezas para ma-4.La siguiente tabla resume los datos pertinentes.
Tiempo de maquinado en minutos por unidad de
M‡quina
PP1
PP2
PP3
PP4
Tornos253Taladros de banco346Ingreso unitario ($)365
Para las piezas que no se producen por la soluci—n —ptima actual,determine la tasa dedeterioro del ingreso —ptimo por incremento unitario de cada uno de estos productos.Considere la soluci—n —ptima de JoShop en el problema 3.La compa–’a estima que porcada pieza que no se produce (conforme a la soluci—n —ptima),el tiempo de maquinadopuede reducirse 20% mediante mejoras del proceso.ÃHar’an estas mejoras que las piezasfueran rentables? De no ser as’,Ãcu‡l es el porcentaje de reducci—n m’nimo necesario4.4ALGORITMOS SIMPLEX ADICIONALEStinœa siŽndolo hasta que se alcanza el —ptimo.Esta secci—n presenta dos algoritmos,elsimplex dualhasta que se restaura la factiblidad,y el simplex generalizado,que combina los mŽto-dos simplex primal y dual,los cuales se inician sin ser ni —ptimos ni factibles.En los tres
4.4Algoritmos simplex adicionales4.4.1Algoritmo simplex dualsica no factible.Las condiciones de optimalidad y factibilidad est‡n dise–adas para,es la variable b‡sica quetiene el valor m‡s negativo (los empates se rompen de forma arbitraria).Si todas lasvariables b‡sicas son no negativas,el algoritmo se termina.es la variable de salida,seael costo,y de la tabla.La variable de entrada es la variable no b‡sica con (Los empates se rompen arbitrariamente).Si no b‡sicas,el pro-blema no tiene una soluci—n factible.Para iniciar la programaci—n lineal —ptima y no factible,se debe cumplir con dosTodas las restricciones deben ser del tipo (1.Si la PL incluye restricciones (),la ecuaci—n se puede reem-plazar por dos desigualdades.Por ejemplo,1,equivale a 1,o 1.La soluci—n inicial es no factible si al menos uno delos lados derechos de las desigualdades es negativo.
3
j
arj†, arj60Fcqj
Como se explic— en la secci—n 3.7,una condici—n de factibilidad diferente,conocida como el borde m‡sinclinado,ha mejorado tanto la eficiencia de c‡lculo del algoritmo simplex dual que ahora es el algoritmodominante (basado en simplex) para resolver PL en todos los c—digos comerciales.
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoEn este ejemplo,las primeras dos desigualdades se multiplican por Ã1 para convertirlas en res-).Por tanto,la tabla inicial se da como sigue:TambiŽn es no factible porque al menos una de las va-6) es la variable de salida.La siguien-
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã3Ã2Ã10000Ã3Ã1Ã1100Ã33Ã3Ã1010Ã61110013
j=1
j=2
Variable no b‡sicaFila Ã3Ã2Fila 3Ã3Ã1
j
a5j†, a5j60Ã2
31
La siguiente tabla se obtiene al utilizar las conocidas operaciones de filas,las cuales dan
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã50
30-2
Ã40
31-1
Ã11
30-1
302x6202
301
311Relaci—n5
4Ã1
Ã2Ã
entra,lo que da por resultado la siguiente tabla,lacual es tanto —ptima como factible.
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã300
2-1
209
601
21
203
Ã310
2-1
203
Ã200101
4.4Algoritmos simplex adicionalesObserve c—mo funciona el simplex dual.En todas las iteraciones la optimalidad se mantienetibilidad.En la iteraci—n 3,la factibilidad se restaura por primera vez,y el proceso finaliza con la
TORA incluye un m—dulo tutorial para el mŽtodo simplex dual.A partir del menœseleccione las opciones.) en desigualdades.No tiene que convertir
) porque TORA lo har‡ internamente.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.4AConsidere el espacio de soluciones de la figura 4.3,donde se desea determinar el punto.La solu-(0.5,1.5) en la gr‡fica.ÃPuede el simplex dual iniciarse en el punto A?da el —ptimo,Ãser’a posible que las iteraciones del mŽtodo simplex dualsigan la trayectoriaExplique.,identifique una posi-
Dual SimplexQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve
SOLVE/MODIFY9
23
23
2
Se le recomienda utilizar el modo tutorial de TORA cuando sea posible,para evitar los tediosos c‡lculosEspacio de soluciones para el problema 1,conjunto 4.4a
FCKDx1x2EL1112123AB4567JIGH
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoGenere las iteraciones simplex dual para los siguientes problemas (utilizando TORA porcomodidad),y trace la trayectoria del algoritmo en el espacio de soluciones gr‡ficas..Considere el siguiente problema:,y la variable deholgura 3.Sin embargo,el simplex dual no esaplicable de forma directa,porque maximizaci—n.Demuestre que agregando la restricci—n artificial de soluciones original),y luego utilizando la nueva restricci—n como fila pivote,la selec-vo),producir‡ una fila totalmente —ptima.A continuaci—n,realice el mŽtodo simplex dualregular en el problema modificado.
4.4Algoritmos simplex adicionalesUtilizando el procedimiento de restricci—n artificial presentado en el problema 3,resuel-va los siguientes problemas mediante el mŽtodo simplex dual.En cada caso,indique si lasoluci—n resultante es factible,no factible,o no acotada.Resuelva la siguiente PL de tres maneras diferentes (use TORA por comodidad). 3
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimo4.4.2Algoritmo simplex generalizadoEl algoritmo simplex (primal) en el cap’tulo 3 se inicia factible pero no —ptimo.El sim-plex dual (secci—n 4.4-1) se inicia mejor que —ptimo y no factible.ÃY quŽ pasa si un mo-luego,podemos utilizar variables y restricciones artificiales para asegurar una soluci—ninicial.Sin embargo,esto no es obligatorio porque la idea clave de los mŽtodos simplexprimal y dual es que la soluci—n factible —ptima,cuando es finita,siempre ocurre en unpunto de esquina (o una soluci—n b‡sica).Esto indica que puede desarrollarse un nuevoplex primal.Primero utilice el algoritmo dual para deshacerse de la no factibilidad (sinpreocuparse de la optimalidad).Una vez restaurada la factibilidad,puede usarse elsimplex primal para hallar el —ptimo.Como alternativa podemos aplicar primeroel simplex primal para asegurar la optimalidad (sin preocuparnos de la factibilidad) y
Considere el modelo de PL de maximizaci—n del problema 4(a),conjunto 4.4a.El modelo puede po-
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
00Ã200001Ã22100Ã8Ã1110102Ã1400110
Podemos resolver el problema sin el uso de variables o restricciones artificiales,teniendo asegu-mos el simplex primal.El simplex dual selecciona a como la variable de salida.La variable de.En este ejemplo,riable de entrada.Por tanto,la siguiente tabla se calcula como
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
00Ã20000
1Ã1
004
2021
100
203-1
0114
para determinar la soluci—n —ptima.Por lo comœn,si no hubiŽramos restaurado la factibilidad enla tabla anterior,repetir’amos el procedimiento como fuera necesario hasta que se satisficiera la
4.5An‡lisis post—ptimoComentarios.La esencia del ejemplo 4.4-2 es que el mŽtodo simplex no es r’gido.La literaturaabunda con variaciones del mŽtodo simplex (por ejemplo,el mŽtodo primal-dual,el mŽtodosimŽtrico,el mŽtodo entrecruzado y el mŽtodo multiplex) que dan la impresi—n de que cada pro-cedimiento es diferente,cuando,en realidad,todos buscan una soluci—n de punto de esquina,con
una tendencia hacia los c‡lculos autom‡ticos y,quiz‡s,eficiencia computacional.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.4BEl modelo de PL del problema 4(c),conjunto 4.4a,no tiene soluci—n factible.DemuestreEl modelo de programaci—n lineal del problema 4(d),conjunto 4.4a,no tiene soluci—nacotada.Demuestre c—mo detecta esta condici—n el 4.5ANçLISIS POSTîPTIMO —ptimas sin cambiar.En esta secci—n nos ocuparemos de los cambios de los par‡metrosdel modelo y de la determinaci—n de la nueva soluci—n —ptima.Considere,por ejemplo,un caso en la industria av’cola,donde comœnmente se utiliza un modelo de programaci—nna de edad hasta 2.1 lb (950 gramos) para un pollo de ocho semanas de edad.Adem‡s,el costo de los ingredientes en la mezcla puede cambiar peri—dicamente.Estos cambiosrequieren un nuevo c‡lculo peri—dico de la soluci—n —ptima.El termina la nueva soluci—n de una manera eficiente.Los nuevos c‡lculos tienen su ra’z
Condiciones despuŽs de que cambian los par‡metros
La soluci—n actual permanece —ptima y factible.La soluci—n actual se vuelve no factible.factible al mismo tiempo.
En esta secci—n se investigan los primeros tres casos.El cuarto caso,por ser una combi-naci—n de los casos 2 y 3,se trata en el problema 6,conjunto 4.5a.
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimo
Primal de TOYCO
Dual de TOYCO(Operaci—n1)(Operaci—n2)(Operaci—n3)$1350$1350
Se utilizar‡ el modelo de TOYCO del ejemplo 4.3-2 para explicar los diferentesprocedimientos.Recuerde que el problema tiene que ver con el ensamble de tres tiposde juguetes:trenes,camiones y autos.En el ensamble intervienen tres operaciones.El
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4001201350
4101
2-1
0100
20101
0230200Ã21120
4.5.1Cambios que afectan la factibilidadrecho de las restricciones,o se agrega una nueva restricci—n al modelo.En ambos casos,negativas.Cambios en el lado derecho.Recuerde que el lado derecho de la tabla muestra los valores de las variables b‡sicas.
Suponga que TOYCO incrementa la capacidad diaria de las operaciones 1,2 y 3 a600,640 y 590 minutos,respectivamente.ÃC—mo afectar’a este cambio al ingreso total?
4.5An‡lisis post—ptimoCon estos incrementos,el œnico cambio que tendr‡ lugar en la tabla —ptima es el ladoderecho de las restricciones (y el valor objetivo —ptimo).Por tanto,la nueva soluci—n b‡sica seAs’,las variables b‡sicas actuales,,permanecen factibles con los nuevos valores 140,320 y 30 unidades,respectivamente.El ingreso —ptimo asociado es $1880.Aunque la nueva soluci—n es atractiva desde el punto de vista del ingreso incre-mentado,TOYCO reconoce que su nueva implementaci—n puede llevarse tiempo.Otra propues-Las capacidades de las tres operaciones cambian a 450,460,y 400 minutos respectivamente.40,la cual requiere aplicar el mŽtodosimplex dual para recuperar la factibilidad.Primero,modificamos el lado derecho de la tablacomo se muestra por medio de la columna sombreada.Observe que el valor asociado es
2-1
4001
20-211£450460=£110-40£x2x3x6=£1
2-1
4001
211entra,lo que da la siguiente tabla factible —ptima (por locomœn,el simplex dual puede requerir m‡s de una iteraci—n para recuperar la factibilidad).
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4001201370
4101
2-1
0110
010
0230200Ã211Ã40
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
5000
21
21350x21
1000
4100x33
010
0230Ã1001
2-1
220
Esto quiere decir que el cambio propuesto de la asignaci—n de la capacidad no es ventajoso,por-en la operaci—n 1.La conclusi—n entonces es que la operaci—n 2 es el cuello de botella,y quepuede ser ventajoso cambiar el super‡vit a la operaci—n 2 (vea el problema 1,conjunto 4.5a).
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoCONJUNTO DE PROBLEMAS4.5AEn el modelo de TOYCO que aparece al inicio de la secci—n 4.5,Ãser’a m‡s ventajosoSuponga que TOYCO desea cambiar las capacidades de las tres operaciones a los si-Utilice el an‡lisis post—ptimo para determinar la soluci—n —ptima en cada caso.Considere el modelo de Reddy Mikks del ejemplo 2-1.1.Su tabla —ptima se da en elejemplo 3.3-1.Si las disponibilidades diarias de las materias primas mentan a 28 y 8 toneladas,respectivamente,utilice el an‡lisis post—ptimo para determi-Ozark Farm tiene 20,000 pollos que alimenta durante ocho semanas antes de enviarlos almercado.La alimentaci—n semanal por pollo var’a segœn el programa siguiente:Para que el pollo alcance el peso deseado en ocho semanas,los alimentos deben satisfa-cer necesidades nutricionales espec’ficas.Aunque una lista de alimentos es grande,porsimplicidad limitaremos el modelo a s—lo tres ingredientes:piedra caliza (carbonato decalcio),ma’z y soya.Las necesidades nutricionales tambiŽn se limitar‡n a tres tipos:cal-cio,prote’na y fibra.La siguiente tabla resume el contenido nutritivo de los ingredientesseleccionados junto con sus costos.La mezcla alimenticia debe contener al menos .8% pero no m‡s de 1.2% de calcio,un m’-nimo de 22% de prote’na,y cuando mucho 5% de fibra cruda.llar un programa —ptimo para las 7 semanas restantes.Demuestre que la regla de factibilidad de 100% del problema 12,conjunto 3.6c Suponga que se dan los siguientes cambios simult‡neos en el modelo de Reddy Mikks.Elingreso por tonelada de pinturas para exteriores e interiores es de $1000 y $4000,respec-Semana12345678lb/pollo.26.48.751.001.301.601.902.10
Contenido (lb) por libra de
Ingrediente
Calcio
Prote’na
Fibra
Piedra caliza.380.00.00Ma’z.001.09.02Soya.002.50.081.60
4.5An‡lisis post—ptimotivamente,y las disponibilidades diarias m‡ximas de las materias primas 28 y 8 toneladas,respectivamente.—ptima como no factible.Adici—n de una nueva restricci—n.mejorar el valor objetivo —ptimo actual.Si la nueva restricci—n es ,noafectar‡ la soluci—n actual.Adem‡s,la soluci—n actual no satisface la nueva restricci—n,
Suponga que TOYCO cambia el dise–o de sus juguetes y que el cambio requerir‡agregar una cuarta operaci—n de ensamble.La capacidad diaria de la nueva operaci—n es de 500minutos y los tiempos por unidad de los tres productos en esta operaci—n son 3,1 y 1 minutos,respectivamente.100,y 230.Por consiguiente,la soluci—n —ptima actual no cambia.Suponga,en cambio,que los tiempos de TOYCO por unidad en la cuarta opera-ci—n se cambian a 3,3 y 1 minutos,respectivamente.Los datos restantes del modelo no cambian.La soluci—n —ptima actual no satisface esta restricci—n,y se agrega a la tabla —ptima actual como
x7Soluci—nz400120
01350
4101
2-1
40
0100
20101
20
0230200Ã211
020
x7
3
3
1
0
0
0
1
500
500,lo cual es consistente con los valores de tabla.La raz—n es que las variables b‡sicas
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimo
2 x1+ 1
2 x5) x2 = 100-(- 1
4 x1+ 1
2 x4- 1
230,y $1370 (ÃcompruŽbelo!).La soluci—n muestra que agregar la operaci—n 4 reduce los
CONJUNTO DE PROBLEMAS4.5BEn el modelo de TOYCO,suponga que las especificaciones de la cuarta operaci—n son lassiguientes:La tasa de producci—n m‡xima basada en 480 minutos al d’a es de 120 unida-des del producto 1,480 unidades del producto 2,o 240 unidades del producto 3.Determine la soluci—n —ptima,suponiendo que la capacidad diaria est‡ limitada a.En lugar de resolver un problema utilizando todas sus restric-ciones,podemos empezar identificando las llamadas .ƒstas sonma.El modelo se resuelve utilizando las restricciones (primarias) restantes.Entonces podemos agregar las restricciones secundarias de una en una.Una restricci—n secundariase desecha si satisface la soluci—n —ptima disponible.El proceso se repite hasta que se tie-nen en cuenta todas las restricciones secundarias.
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
40012001350
4101
2-1
00
010
0020011020
400-3
21
01
4.5An‡lisis post—ptimo4.5.2Cambios que afectan la optimalidadCambios en los coeficientes de la funci—n objetivo.la fila Calcule los valores duales aplicando el mŽtodo 2,secci—n 4.2.3.Sustituya los nuevos valores duales en la f—rmula 2,secci—n 4.2.4,para determi-Si la nueva fila z satisface la condici—n de optimalidad,la soluci—n no cambia (sin em-bargo,el valor objetivo —ptimo puede cambiar).Si no la satisface,se utiliza el simplex
En el modelo de TOYCO,suponga que la compa–’a tiene una nueva pol’tica de fi-jaci—n de precios para enfrentar la competencia.Los ingresos unitarios son $2,$3 y $4 por lostrenes,camiones y autos de juguete,en ese orden.(3,4,0)Aplicando el mŽtodo 2,secci—n 4.2.3,las nuevas variables duales se calculan como de las restricciones duales (f—rmula 2,secci—n 4.2.4).No es necesario calcular de nuevo los coefi-) porque siempre son cero,indepen-Observe que el lado derecho de la primera restricci—n dual es 2,el 0 trenes,autos,permanece —ptima.El nuevo ingreso correspondiente se calcula como 2 $1220.No se recomienda la nueva pol’tica de fijaci—n de precios porque disminuye elingreso. Costo reducido de
Costo reducido de
Costo reducido de
2+3A5
4B+0-2=13
41y1, y2, y32=13, 4, 02£1
2-1
4001
211
2, 5
4, 0BMaximizar =2x1+3x2+4x3
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoSuponga ahora que la funci—n objetivo de TOYCO se cambia aTenemos Para determinar la nueva soluci—n,la fila
4 Costo reducido de x4 = y1-0=3
2 Costo reducido de x1 = y1+3y2+y3-6= 3
2 +3(5
4)+0-6=-3
41y1, y2, y32=13, 4, 02£1
2-1
4001
211
2, 5
4, 0BMaximizar =6x1+3x2+4x3
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Soluci—nz-3
4003
25
01220
4101
2-1
0100
010
0230200Ã21120
Los elementos resaltados son los nuevos costos reducidos y el nuevo valor objetivo.Todos losdem‡s elementos son los mismos que aparecen en la tabla —ptima original.La nueva soluci—nsale,lo que da la soluci—n $12270.50 (ÃcompruŽbelo!).Aunque la nueva soluci—n recomienda la producci—n de
los tres juguetes,el ingreso —ptimo es menor que cuando se fabricaban s—lo dos juguetes.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.5CInvestigue la optimalidad de la soluci—n de TOYCO para cada una de las siguientes fun-ciones objetivo.Donde sea necesario,aplique el an‡lisis post—ptimo para determinar elnuevo —ptimo (La tabla —ptima de TOYCO aparece al inicio de la secci—n 4.5).las siguientes funciones objetivo.Si es necesario,aplique el an‡lisis post—ptimo para de-terminar el nuevo —ptimo.(La tabla —ptima del modelo se da en el ejemplo 3.3-1).
4.5An‡lisis post—ptimoDemuestre que la regla de optimalidad de 100% (problema 8,conjunto 3.6d,cap’tulo 3)Adici—n de una nueva actividad.variable al modelo.Por intuici—n,agregar una nueva actividad es deseable s—lo si esrentable.Esta condici—n puede verificarse aplicando la f—rmula 2,secci—n 4.2.4,paracalcular el costo reducido de la nueva variable.La nueva actividad no es rentable sisatisface la condici—n de optimalidad.De lo contrario,la nueva actividad incrementar‡el ingreso.
TOYCO reconoce que en la actualidad los trenes de juguete no se est‡n produciendo porque noson rentables.La compa–’a desea reemplazarlos con un nuevo producto,un cami—n de bombe-ros de juguete,que se ensamblar‡ en las instalaciones existentes.TOYCO estima que el ingresode 1 minuto en cada una de las operaciones 1 y 2,y de 2 minutos en la operaci—n 3.el nuevo producto de cami—n de bomberos.Dado que ((1,2,0) son los va-lores duales —ptimos,tenemos en la soluci—n b‡sica —ptima.Para obtener elnuevo —ptimo,primero calculamos su columna de restricci—n aplicando la f—rmula 1,secci—nDe este modo,la tabla simplex actual debe modificarse como sigue:
2-1
4001
211
41
21Costo reducido de x7 = 1y1+1y2+2y3-4=1*1+1*2+2*0-4=-1z=2x1+5x2z=8x1+10x2
B‡sica
x1
x2
x3
x7
x4
x5
x6
400Ã11201350
4 101
41
2-1
0100
2011
201
02302001Ã211
entra en la soluci—n b‡sica,en cuyodebe salir.La nueva soluci—n es 210,y
belo!),lo cual mejora los ingresos en $115.
Cap’tulo 4Dualidad y an‡lisis post—ptimoCONJUNTO DE PROBLEMAS4.5DEn el modelo original de TOYCO,los trenes de juguete no forman parte de la combina-ci—n —ptima de productos.La compa–’a reconoce que la competencia del mercado nopermitir‡ elevar el precio unitario del juguete.En su lugar,la compa–’a desea concen-trarse en mejorar la operaci—n de ensamble.Esto implica reducir el tiempo de ensamblepor unidad en cada una de las tres operaciones en un porcentaje especificado,que har‡ que los trenes apenas sean rentables.(La tabla —ptimadel modelo de TOYCO aparece al principio de la secci—n 4.5).En el modelo de TOYCO,suponga que la compa–’a reduce los tiempos por unidad en lasoperaciones 1,2 y 3 para los trenes de juguete a partir de los niveles actuales de 1,3 y 1minutos a .5,1 y .5 minutos,respectivamente.El ingreso por unidad permanece en $3.En el modelo de TOYCO,suponga que un juguete (el cami—n de bomberos) requiere 3,2y 4 minutos,en ese orden,en las operaciones 1,2 y 3.Determine la soluci—n —ptima cuan-En el modelo de Reddy Mikks,la compa–’a est‡ considerando producir una marca m‡s2.Las condiciones deltipos de pintura para exteriores se limite a una tonelada diaria.El ingreso por toneladade la nueva pintura para exteriores es de $3500.Determine la nueva soluci—n —ptima.(Elmodelo se explica en el ejemplo 4.5-1,y su tabla —ptima aparece en el ejemplo 3.3-1).Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Bradley,S.,A.Hax,y T.Magnanti,Applied Mathematical Programming,Addison-Wesley,Rea-ding,MA,1977.Diwckar,U.,Introduction to Applied Optimization,Kluwer Academic Publishers,Boston,2003.Nering,E.,y A.Tucker,Linear Programming and Related Problems,Academic Press,Boston,Vanderbei,R.,Linear Programming:Foundation and Extensions,3a.ed.,Springer,Nueva York,
CAPêTULO 5Modelo de transporte y sus variantes
5.1DEFINICIîN DEL MODELO DE TRANSPORTELa red que aparece en la figura 5.1 representa el problema.Hay nos,cada uno representado por un .Los or’genes con los destinos.El arco (dos piezas de informaci—n:el costo de transporte por unidad,.La cantidad de la oferta en el origen .El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte total al
MG Auto cuenta con tres plantas en Los çngeles,Detroit y Nueva Orle‡ns,y dos importantescentros de distribuci—n en Denver y Miami.Las capacidades trimestrales de las tres plantas son1000,1500 y 1200 autom—viles,y las demandas de los dos centros de distribuci—n durante elmismo periodo son de 2300 y 1400 autom—viles.La distancia en millas entre las plantas y los cen-
Aplicaci—n de la vida real. Programaci—n de citas en eventos comercialesLa Comisi—n de Turismo Australiana (ATC,por sus siglas en inglŽs) organiza eventosvendedores australianos con los compradores internacionales de productos tur’sticos.sitan de acuerdo con citas programadas.Debido a la limitaci—n de tiempo disponiblemuy grande,la ATC procura programar las citas entre vendedor y comprador con an-ticipaci—n para maximizar las preferencias.El modelo ha resultado muy satisfactoriotanto para los compradores como para los vendedores.(El caso 3 del cap’tulo 26,en
inglŽs,del sitio web contiene los detalles del estudio).
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes
a1a2bnb2b1c11 : x11cmn : xmnam11DestinosUnidadesdemandadasUnidadesofertadasOr’genes22mn···
TABLA 5.1DenverMiamiLos çngeles10002690Detroit12501350
Nueva Orle‡ns1275850
TABLA 5.2Denver(1)Miami(2)Los çngeles (1)$80$215Detroit (2)$100$108Nueva Orle‡ns (3)$102$68La compa–’a transportista cobra 8 centavos por milla por autom—vil.En la tabla 5.2 se danlos costos de transporte por autom—vil en las diferentes rutas,redondeados al d—lar m‡s cercano.Todas estas restricciones son ecuaciones porque la oferta total desde los tres or’genes (
5.1Definici—n del modelo de transporte
TABLA 5.3DenverMiamiOfertaLos çngeles80215Detroit100108Nueva Orle‡ns10268
23001400Soluci—n —ptima del modelo de MG Auto
1300 1000 200 1200
10001500140023001200Los çngelesDetroitNueva Orle‡ns123DenverMiami12
tabla de transporteque aparece en la tabla 5.3.Este formatopermite modelar muchas situaciones que no tienen que ver con bienes de transporte,como seLa soluci—n —ptima en la figura 5.2 (obtenida por TORA1000),1300 de Detroit a Denver (1300),200 de Detroit a Miami1000).El costo de transporte m’nimo aso-
Balanceo del modelo de transporte.asume que el modelo est‡ balanceado,es decir,que la demanda total es igual a la ofertatotal.Si el modelo est‡ desbalanceado,podemos agregar un origen o un destinoficticios para restaurar el balance.
En el modelo de MG,suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1300 autom—viles(en lugar de 1500).La oferta total (3700),lo que sig-Como la demanda excede la oferta,se agrega un origen (planta) ficticio con una capacidad3500) para balancear el modelo de transporte.El costo de trans-porte por unidad de la planta ficticia a los destinos es cero porque la planta no existe.
Para utilizar TORA,en el comando.En el menœpara obtener unresumen de la soluci—nla secci—n 5.3.3 se da una descripci—n detallada de la soluci—n iterativa del modelo de transporte.
Final solutionQ
Solve
SOLVE/MODIFY
Transportation Model
Main Menu
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantesLa tabla 5.4 da el modelo balanceado junto con su soluci—n —ptima.La soluci—n muestraque la planta ficticia env’a 200 autom—viles a Miami,es decir que a Miami le faltar‡n 200 au-tom—viles para satisfacer su demanda de 1400 autom—viles.Podemos estar seguros de que un destino espec’fico no experimente escasez al asignar uncosto de transporte por unidad muy alto desde el origen ficticio a dicho destino.Por ejemplo,unapenalizaci—n de $1000 en la celda ficticia de Miami evitar‡ que haya escasez en Miami.Desdeluego,no podemos utilizar este ÃartificioÃcon todos los destinos,porque debe haber escasez enalguna parte.en Denver es de s—lo 1900 autom—viles.Entonces,tenemos que agregar un centro de distribuci—nficticio para que ÃrecibaÃla oferta excedente.De nuevo,el costo de transporte por unidad al cen-tro de distribuci—n ficticio es cero,a menos que una f‡brica Ãenv’e todas sus existenciasÃ.En estecaso,se asigna un costo alto de transporte por unidad de la f‡brica designada al destino ficticio.La tabla 5.5 da el nuevo modelo y su soluci—n —ptima (obtenida por TORA).La soluci—n
muestra que la planta de Detroit tendr‡ un excedente de 400 autom—viles.
TABLA 5.4DenverMiamiOferta8021510001000100108130013001026812001200200200
23001400
TABLA 5.5DenverMiamiFicticio802150100010001001080900200400150010268012001200
19001400400
5.1Definici—n del modelo de transporteCONJUNTO DE PROBLEMAS5.1APara balancear un modelo de transporte,puede ser necesario agregar tanto un ori-gen como un destino ficticios.que hace el env’o.que reciben el env’o.En cada uno de los siguientes casos,determine si debe agregarse un origen ficticio o undestino ficticio para balancear el modelo.En la tabla 5.4 del ejemplo 5.1-2,donde se agrega una planta ficticia,ÃquŽ significa la so-luci—n cuando la planta ficticia Ãenv’aÃ150 autom—viles a Denver y 50 a Miami? En la tabla 5.5 del ejemplo 5.1-2,donde se agrega un destino ficticio,suponga que lasu producci—n.ÃC—mo se puede implementar esta res-En el ejemplo 5.1-2,suponga que en el caso en que la demanda excede la oferta (tabla5.4),se aplica una penalizaci—n a raz—n de $200 y $300 por cada autom—vil no entregadoen Denver y Miami,respectivamente.Adem‡s,no se hacen env’os de Los çngeles al cen-tro de distribuci—n de Miami.Elabore el modelo,y determine el programa de env’os —pti-Tres plantas de energ’a elŽctrica de 25,40 y 30 millones de kWh abastecen electricidad atres ciudades.Las demandas m‡ximas en las tres ciudades se estiman en 30,35 y 25 millo-nes de kWh.El precio por mill—n de kWh en las tres ciudades se da en la tabla 5.6.des,la cual puede satisfacerse adquiriendo electricidad de otra red a un precio m‡s elevadode $1000 por mill—n de kWh.La red no est‡ enlazada a la ciudad 3.La compa–’a elŽctricaFormule el problema como un modelo de transporte.Determine el costo de la energ’a adicional adquirida por cada una de las tres ciudades.Resuelva el problema 6,suponiendo que se pierde 10% de la energ’a que se transmite aTres refiner’as con capacidades diarias de 6,5 y 8 millones de galones,respectivamente,abastecen a su vez a tres ‡reas de distribuci—n con demandas diarias de 4,8 y 7 millones
En este conjunto puede utilizar TORA para determinar la soluci—n —ptima.Los modelos del problema detransporte obtenidos con AMPL y Solver se presentar‡n al final de la secci—n 5.3.2.
TABLA 5.6Precio/mill—n de kWh para el problema 61$600$700$400Planta 2$320$300$350
3$500$480$450
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes
TABLA 5.71231120180ÃRefiner’a230010080
3200250120de galones,respectivamente.La gasolina se transporta a las tres ‡reas de distribuci—n atravŽs de una red de oleoductos.El costo de transporte es de 10 centavos por 1000 galo-nes por milla de oleoducto.La tabla 5.7 presenta la distancia en millas entre las refiner’asy las ‡reas de distribuci—n.La refiner’a 1 no est‡ conectada al ‡rea de distribuci—n 3.Construya el modelo de transporte asociado.En el problema 8,suponga que la capacidad de la refiner’a 3 es de s—lo 6 millones de galo-nes y que el ‡rea de distribuci—n debe recibir toda su demanda.Adicionalmente,las canti-Formule el problema como un modelo de transporte.Determine el programa de env’os —ptimo.En el problema 8,suponga que la demanda diaria en el ‡rea 3 disminuye a 4 millones degalones.La producci—n excedente en las refiner’as 1 y 2 se env’a a otras ‡reas de distribu-ci—n por medio de camiones cisterna.El costo de transporte por 100 galones es de $1.50desde la refiner’a 1 y de $2.20 desde la refiner’a 2.La refiner’a 3 puede enviar su produc-Formule el problema como un modelo de transporte.Determine el programa de env’os —ptimo.Tres huertas abastecen a cuatro detallistas con cajas de naranjas.La demanda diaria de loscuatro detallistas es de 150,150,400 y 100 cajas,respectivamente.Las ofertas en las treshuertas dependen de la mano de obra regular disponible y se estiman en 150,200 y 250cajas diarias.Sin embargo,las huertas 1 y 2 indicaron que podr’an abastecer m‡s cajas,sies necesario,recurriendo a mano de obra extra.La huerta 3 no ofrece esta opci—n.LosFormule el problema como un modelo de transporte.Tres centros de distribuci—n env’an autom—viles a cinco concesionarios.El costo de env’odepende de la distancia en millas entre los or’genes y los destinos,y es independiente desi el cami—n hace el viaje con cargas parciales o completas.La tabla 5.9 resume la distan-
TABLA 5.812341$1$2$3$2Huerta2$2$4$1$2
3$1$3$5$3
5.1Definici—n del modelo de transporte
TABLA 5.9Distancia en millas,y oferta y demanda para el problema 1212345Oferta110015020014035Centro2507060658034090100150130
100200150160140de autom—viles.Una carga completa com-prende 18 autom—viles.El costo de transporte por milla de cami—n es de $25.Formule el modelo de transporte asociado.Determine el programa de env’os —ptimo.MG Auto,del ejemplo 5.1-1,produce cuatro modelos de autom—viles:4.Los modelos se producen en Nueva Orle‡ns.La planta de Los çngeles fabrica los modelos La distancia en millas es la misma que la de la gr‡fica del ejemplo 5.1-1,y la tarifa detransporte se mantiene en 8 centavos por milla de cami—n para todos los modelos.Adem‡s,es posible satisfacer un porcentaje de la demanda de algunos modelos con laFormule el modelo de transporte correspondiente.Determine el programa de env’os —ptimo..M1,M2],[4],[[M2,M4].Las demandas en los destinos nue-
TABLA 5.10
ModeloO
Totales
ÃÃ7003001000500600Ã4001500Nueva Orle‡ns800400ÃÃ1200
7005005006002300
6005002001001400
TABLA 5.11
Centro de distribuci—nPorcentaje de la demandaModelos intercambiablesDenver10,Miami10,
5,M4M2M2M1M4M3M2M1
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes5.2MODELOS DE TRANSPORTE NO TRADICIONALESde art’culos.Esta sec-inventarios y el servicio de afilado de herramientas.
Ejemplo 5.2-1(Control de producci—n e inventarios) Boralis fabrica mochilas para ciclistas.La demanda de su producto durante el periodo pico demarzo a junio de cada a–o es de 100,200,180 y 300 unidades,respectivamente.La compa–’a uti-liza mano de obra de tiempo parcial para acomodarse a las fluctuaciones de la demanda.Se estimaque Boralis puede producir 50,180,280 y 270 unidades de marzo a junio.La demanda del mes encurso se puede satisfacer de tres maneras.ci—n adicional de $2.00 por mochila por mes.Boralis desea determinar el programa de producci—n —ptimo durante los cuatro meses.
TABLA 5.121$40.00$40.50$41.00$41.502$42.00$40.00$40.50$41.003$44.00$42.00$40.00$40.504$46.00$44.00$42.00$40.00
100200180300
Transporte
1.Origen 1.Periodo de producci—n 2.Destino 2.Periodo de demanda 3.Cantidad de abasto en el origen 3.Capacidad de producci—n en el periodo 4.Demanda en el destino 4.Demanda en el periodo 5.Costo de transporte por unidad5.Costo unitario (producci—n
5.2Modelos de transporte no tradicionales
2
3
4
5050
2
3
41Periodo de ofertaOfertaDemandaPeriodo de demanda
13070
18030270
El costo de ÃtransporteÃpor unidad del periodo Por ejemplo,La soluci—n —ptima se resume en la figura 5.3.Las l’neas de rayas indican pedidos en espe-ra,las l’neas punteadas indican producci—n para un periodo futuro,y las l’neas continuas mues-
tran la producci—n en un periodo en curso.El costo total es de $31,455.
Ejemplo 5.2-2(Afilado de herramientas)Arkansas Pacific opera un aserradero que produce tablas de diferentes tipos de madera.Segœnel tipo de madera que se estŽ aserrando,la demanda de hojas de sierra afiladas var’a de un d’a a$40.00($2.00$2.00$2.00)$46.00$40.00($.50$.50)$41.00$40.00destinos.Los destinos representan los 7 d’as de la semana.Los or’genes del modelo se definen
D’a
Lun.
Mar.
MiŽ.
Jue.
Vie.
S‡b.
24121420181422
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes
TABLA 5.13Problema de afilado de herramientas,expresado como un modelo de transporte.12345678Lun.Mar.MiŽ.Jue.Vie.S‡b.Dom.Desecho $12$12$12$12$12$12$12$02412$6$5$3$3$3$31410$6$5$3$3$33-Mar.$6$5$3$3104$6$5$35-Jue.82$6$56-Vie.1447-S‡b.41
24121420181422124como sigue:El origen 1 corresponde a la compra de hojas nuevas que,en el caso extremo,pue-124).Los or’-genes 2 a 8 corresponden a los 7 d’as de la semana.La cantidad de oferta de cada uno de estosor’genes es igual a la de hojas utilizadas al final del d’a asociado.Por ejemplo,el origen 2 (lunes)tendr‡ una oferta de hojas utilizadas igual a la demanda del lunes.El Ãcosto de transporteÃporunidad para el modelo es de $12,$6 o $3,segœn si la hoja es nueva o se afil—.La columna Ãde-sechoÃes un destino ficticio para balancear el modelo.El modelo completo y su soluci—n se dan
Cantidad de hojas afiladas (por d’a)
NuevasNocturno1-dÃa2-dÃasLun.24 (Lun.)014 (MiŽ.)10 (Jue.)0Mar.12 (Jue.)0012 (Vie.)0MiŽ.010 (Jue.)4 (Vie.)00Jue.02 (Vie.)018 (Dom.)0Vie.014 (S‡b.)4 (Dom.)00S‡b.00014
Dom.00022
5.2Modelos de transporte no tradicionalesComentarios.El modelo que aparece en la tabla 5.13 supone s—lo una semana de operaciones.mana.Una forma de manejar esta situaci—n es asumir que la primera semana de operaci—n seinicia con todas las hojas de sierra nuevas para cada d’a.De ah’ en adelante utilizamos un mo-na.El nuevo modelo ser‡ como el de la tabla 5.13,menos el origen ÃNuevasÃy el destinoÃDeshechoÃ.Inclusive,s—lo se bloquear‡n las celdas en las diagonales (costo unitario ).Lasceldas restantes tendr‡n un costo unitario de $3.00,$5.00 o $6.00.Intuitivamente,y sin resolver el nuevo modelo de transporte en absoluto,es obvio que ella semana 2.Esta conclusi—n intuitiva puede confirmarse resolviendo el nuevo modelo (archivo
CONJUNTO DE PROBLEMAS5.2AEn el ejemplo 5.2-1,suponga que el costo de retenci—n por unidad depende del periodo yque es de 40,30 y 70 centavos en los periodos 1,2 y 3,respectivamente.La penalizaci—ny los costos de producci—n son los que se dieron en el ejemplo.Determine la soluci—n —p-tima e interprete los resultados.En el ejemplo 5.2-2,suponga que el servicio de afilado es de 3 d’as a $1 por hoja el lunesy el martes (d’as 1 y 2).Reformule el problema e interprete la soluci—n —ptima.En el ejemplo 5.2-2,si no se utiliza una hoja el d’a que se afil—,se incurre en un costo deretenci—n de 50 centavos por d’a.Reformule el modelo e interprete la soluci—n —ptima.JoShop desea asignar cuatro categor’as diferentes de m‡quinas a cinco tipos de tareas.Lacantidad de m‡quinas disponibles en las cuatro categor’as son 25,30,20 y 30.La cantidadde operaciones en las cinco tareas son 20,20,30,10 y 25.A la categor’a de la m‡quina 4no se le puede asignar la tarea de tipo 4.La tabla 5.14 proporciona el costo unitario (end—lares) de asignar una categor’a de m‡quina a un tipo de tarea.El objetivo del proble-a cada tipo de tarea.Resuelva el problema e interprete la soluci—n.La demanda de un art’culo perecedero durante los pr—ximos cuatro meses es de 400,300,420 y 380 toneladas,en ese orden.La capacidad de abasto para los mismos meses es de 500,600,200 y 300 toneladas.El precio de compra por tonelada var’a cada mes y se
En este conjunto puede utilizar TORA para determinar la soluci—n —ptima.Los modelos resueltos con
TABLA 5.14Tipo de tarea1102315925101524315514715
4201513Ã8
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes
TABLA 5.151231$520$210$5702Ã$510$4953$650Ã$240
4$180$430$710estima en $100,$140,$120 y $150,respectivamente.Como el art’culo es perecedero,elmes en curso).El costo de almacenamiento por tonelada es de $3 por mes.La naturalezadel art’culo no permite aceptar pedidos en espera.Resuelva el problema como un mode-pr—ximos 4 meses.200,150,300,250 y 400 unidades,respectivamente.El fabricante que surte el motor tienecapacidades de producci—n diferentes estimadas en 180,230,430,300 y 300 para los cincotrimestres.No se aceptan pedidos en espera,pero si es necesario,el fabricante puede uti-lizar tiempo extra para satisfacer la demanda inmediata.La capacidad de tiempo extra encada periodo es la mitad de la capacidad regular.Los costos de producci—n por unidad enlos cincos periodos son de $100,$96,$116,$102 y $106,respectivamente.El costo de pro-ducci—n con tiempo extra por motor es 50% m‡s alto que el costo de producci—n regular.de almacenamiento adicional de $4 por motor por periodo.Formule el problema comoun modelo de transporte.Determine la cantidad —ptima de motores que se deben produ-cir durante el tiempo regular y el tiempo extra de cada periodo.Se realiza mantenimiento preventivo peri—dico en motores de avi—n,donde se debereemplazar un componente importante.La cantidad de aviones programados para talmantenimiento durante los siguientes seis meses se estima en 200,180,300,198,230 y290,respectivamente.Todo el trabajo de mantenimiento se realiza durante el primer d’adel mes,donde un componente usado se puede reemplazar por uno nuevo o uno repara-do.La reparaci—n de los componentes usados puede hacerse en un taller de reparaci—nlocal,donde estar‡n listos para usarse al principio del siguiente mes,o bien se env’an a untaller central de reparaci—n,donde se espera una demora de 3 meses (incluido el mes enque ocurre el mantenimiento).El costo de reparaci—n en el taller local es de $120 porcomponente,y en el taller central es de s—lo $35 por componente.Un componente repa-$1.50 por unidad por mes.Pueden adquirirse componentes nuevos a $200 cada uno en elmes 1,con un incremento de 5% en el precio cada 2 meses.Formule el problema comoun modelo de transporte,y determine el programa —ptimo para satisfacer la demanda delcomponente durante los siguientes seis meses.en Arkansas.Los tres bosques incluyen 10,000,20,000 y 30,000 acres.Un solo licitadorpuede ofrecer ofertas para a lo sumo 50% del total de acres disponible.Las ofertas poracre en los tres bosques se dan en la tabla 5.15.El licitador 2 no desea hacer ofertas en elbosque 1,y el licitador 3 no puede ofertar en el bosque 2.En la presente situaci—n,tenemos que para el Servicio de Parques.Muestre c—mo puede formularse el problema como unmodelo de transporte.Determine la superficie en acres que se asignar‡ a cada uno de los cuatro licitadores.
5.3Algoritmo de transporte
taban garantizados.En la actualidad,los poderosos c—digos de computadora pueden resolver modelos detransporte de cualquier tama–o como una PL regular.De hecho,TORA maneja todos los c‡lculos necesa-como ÃfiltroÃ.No obstante,el algoritmo de transporte,aparte de su importancia hist—rica,da una idea de pri-canzar un resultado final pr‡ctico,el de mejorar los c‡lculos manuales.El ejercicio es te—ricamente intrigan-te.Adem‡s,el formato de tabla de transporte especial facilita el modelado de varias situaciones que notienen que ver directamente con art’culos que se transportan,como lo demuestra la secci—n 5.2.5.3ALGORITMO DE TRANSPORTEdo simplex (cap’tulo 3).Sin embargo,en lugar de utilizar la tabla simplex regular,apro-en una forma m‡s conveniente.Paso 1.Paso 2.de entre todas las variables no b‡sicas.Si se satisfacen lascondiciones de optimalidad,detŽngase.De lo contrario,avance al paso 3.Paso 3.de entre todas las variables b‡sicas actuales,y halle la nueva so-luci—n b‡sica.Regrese al paso 2.guiente ejemplo.
Ejemplo 5.3-1(SunRay Transport)SunRay Transport Company transporta granos de tres silos a cuatro molinos.La oferta (encamiones cargados) y la demanda (tambiŽn en camiones cargados) junto con los costos de trans-porte por unidad por cami—n cargado en las diferentes rutas,se resumen en la Tabla 5.16.Los costos
d—lares.El modelo busca el programa de env’os a un costo m’nimo entre los silos y los molinos.
TABLA 5.16102201112792034141618
5151515
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes5.3.1Determinaci—n de la soluci—n de iniciorestricci—n,una por cada origen y cada destino.Sin embargo,como el modelo de trans-ecuaciones es redundante,por lo que el modelo se reduce a 1 variables b‡sicas.En el ejemplo 5.3-1,la soluci—n inicial6 variables b‡sicas.MŽtodo de aproximaci—n de VogelEl primer mŽtodo es de naturaleza Ãmec‡nicaÃ,y los dos restantes son heur’sticos quebuscan una soluci—n inicial de mejor calidad que dŽ un valor objetivo m‡s peque–o.Por lo general,el mŽtodo heur’stico Vogel es mejor que el heur’stico de costo m’nimo.Porotra parte,el mŽtodo de esquina noroeste implica la cantidad m’nima de c‡lculos..El mŽtodo se inicia en la celda de la Paso1.Asigne lo m‡s posible a la celda seleccionada,y ajuste las cantidades asocia-Paso2.Tache la columna o fila con oferta o demanda cero para indicar que no sehagan m‡s asignaciones en esa fila o columna.Si una fila y una columna dancero al mismo tiempo,tache sólo una,y deje una oferta (demanda) cero en laPaso3.fila o columna,detŽngase.De lo contra-rio,muŽvase a la celda a la derecha si acaba de tachar una columna,o abajo siacaba de tachar una fila.Vaya al paso 1.
tabla 5.17.Las flechas muestran el orden en que se generan las cantidades asignadas.
$520
Los tres mŽtodos se realizan en TORA.Vea el final de la secci—n 5.3.3.
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.171234Oferta10220115101512792051552541416181010
5151515MŽtodo del costo m’nimo.soluci—n inicial al concentrarse en las rutas m‡s econ—micas.Asigna lo m‡s posible a lacelda con el costo unitario m’nimo (los empates se rompen arbitrariamente).Luego secorresponda.Si una fila o una columna se satisfacen al mismo tiempo,sólo se tacha,igual que en el mŽtodo de la esquina noroeste.A continuaci—n,seleccione la celdano tachada con elcosto unitario m’nimo y repita el proceso hasta que se deje sin tachar
$2).Lo m‡ximo que puede en-15 camiones cargados,con lo que se satisfacen tanto la fila1 como la columna 2.Tachamos arbitrariamente la columna 2 y ajustamos a cero la oferta$4).Asigne 5,y tache la co-lumna 1 porque se satisface,y ajuste la demanda de la fila 3 a 10 5 camiones cargados.Continuando de la misma manera,asignamos sucesivamente 15 camiones cargados a lacelda (2,3),0 a la celda (1,4),5 a la celda (3,4),y 10 a la celda (2,4) (ÃcompruŽbelo!).La soluci—n inicial resultante se resume en la tabla 5.18.Las flechas indican el orden en elcual se hacen las asignaciones.La soluci—n inicial (compuesta de 6 variables b‡sicas) es
TABLA 5.181234Oferta10(inicio)22011150151279(final) 201510254141618
5151515
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes.El valor objetivo asociado es$475,el cual es mejor que la soluci—n obteni-da con el mŽtodo de la esquina noroeste.MŽtodo de aproximaci—n de Vogel(MAV).mŽtodo del costo m’nimo que por lo general,pero no siempre,produce mejoressoluciones iniciales.Paso1.Paso2.Identifique la fila o columna con la penalizaci—n m‡xima,que rompa los em-pates arbitrariamente.Asigne lo m‡s posible a la variable con el costo unita-rio m’nimo en la fila o columna seleccionada.Ajuste la oferta y la demanda,columna satisfecha.Si una fila y una columna se satisfacen almismo tiempo,s—lo se tacha una de las dos,y a la fila restante (columna) sele asigna una oferta (demanda) cero.Paso3.(a)nece sin tachar,detŽngase.tachar,determine las variables b‡sicas en la fila (columna) mediante elmŽtodo del costo m’nimo.DetŽngase.(restantes),determine las variables b‡sicas m’nimo.DetŽngase.De lo contrario,vaya al paso 1.
El mŽtodo de aproximaci—n de Vogel se aplica al ejemplo 5.3-1.La tabla 5.19 calcula el primerconjunto de penalizaciones.nimo en esa fila,se asigna la cantidad 5 a .Ahora la columna est‡ satisfecha y se debe tachar.
TABLA 5.19Penalizaciones en filas y columnas con el MAV1234Penalizaci—n en las filas102201112792041416185151515Penalizaci—n10 47
en las columnas=7=7=5=618-1116-9 14 - 4 =10 9 - 7 = 2 10 - 2 = 8
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.20Primera asignaci—n en el MAV (1234Penalizaci—n en las filas1022011127920414161825151515
en las columnasÃ5779).Por consiguiente,asignamos la cantidad m‡xima posible a la celda (1,2),la cual da tisface tanto a la fila 1 como a la columna 2.Tachamos arbitrariamente la columna 2 y ajustamosContinuando de la misma manera,la fila 2 producir‡ la penalizaci—n m‡xima (11),y asig-15,la cual tacha la columna 3 y deja 10 unidades en la fila 2.S—lo queda la columna4,y tiene una oferta positiva de 15 unidades.Aplicando el mŽtodo del costo m’nimo a esa co-lumna,asignamos sucesivamente 10 (ÃcompruŽbelo!).El valor objetivo
m’nimo.$475
021126518215042240243315367
551010101091011
CONJUNTO DE PROBLEMAS5.3ACompare las soluciones iniciales obtenidas con los mŽtodos de esquina noroeste,de costom’nimo y de Vogel para cada uno de los siguientes modelos.5.3.2C‡lculos iterativos del algoritmo de transporteci—n 5.3.1),utilizamos el siguiente algoritmo para determinar la soluci—n —ptima:Paso 1..Si la condici—n de optimalidad se satisface,detŽngase.De lo contrario,Paso 2.condición defactibilidad Cambie la base,y regrese al paso 1.ciones de filas utilizadas en el mŽtodo simplex.En su lugar,la estructura especial delmodelo de transporte permite c‡lculos (manuales) m‡s simples.
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes
Resuelva el modelo de transporte del ejemplo 5.3-1,comenzando con la soluci—n de la esquinanoroeste.5.17,ejemplo 5.3-2.La determinaci—n de la variable de entrada de entre las variables no b‡sicas,por medio del mŽtodo de multiplicadores(el cual,como se mues-tra en la secci—n 5.3.3,tiene su ra’z en la teor’a de dualidad de la PL).En el mŽtodo de multiplicadores,asociamos los multiplicadores de la tabla de transporte.Para cada variable ,los multiplicadores seComo se muestra en la tabla 5.21,la soluci—n inicial tiene 6 variables b‡sicas,lo cual conduce a 6ecuaciones con 7 inc—gnitas.Para resolver estas ecuaciones,el mŽtodo de multiplicadores re-quiere que cualquiera de ellos se iguale a cero.Arbitrariamente estableceremos 0,y luegoResumiendo,tenemos A continuaci—n,utilizamos
Variable b‡sica
Ecuaci—n (,v)
10Conjunto
TABLA 5.211234Oferta10220115101512792051552541416181010
5151515
5.3Algoritmo de transporte
El m—dulo tutorial de TORA est‡ dise–ado para demostrar que si se asigna un valor inicial cero a cualquierpara todas las variables no b‡sicas.Vea el Momento de TORAeste ejemplo.
Variable no b‡sica
ui+vj-cijx13u1+v3-c13=0+4-20=-16x14u1+v4-c14=0+15-11=4x21u2+v1-c21=5+10-12=3x31u3+v1-c31=3+10-4=9x32u3+v2-c32=3+2-14=-9x33u3+v3-c33=3+4-16=-9
B‡sicax11x12x13x14x21x22x23x24Tx31x32x33x34z00-16430009-9-90
TABLA 5.22102201155241611010
5151
La informaci—n precedente,junto con el hecho de que no b‡sica,equi-de la tabla simplex,como lo muestra el siguiente resumen:el costo,la variable de entrada es la que tiene el,es decir muestra en la tabla 5.22,lo que implica que no es necesario escribir las ecuaciones (forma expl’cita.En su lugar,comenzamos con en la fila 1,es decir,.Luego calculamosb‡sica.Ahora,dada ,calculamos .Por œltimo,.El paso siguiente es para evaluar las varia-no b‡sica,como se muestra en la tabla 5.22,identificada como la variable de entrada,tenemos que determinar la variable de sa-lida.Recuerde que si entra en la soluci—n para volverse b‡sica,una de las variables b‡sicas
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantesce el costo de transporte total.ÃCu‡nto es lo m‡ximo que podemos transportar a travŽs de launidades (es decir,Los l’mites de la oferta y los requerimientos de la demanda permanecen satisfechos.Los transportes a travŽs de todas las rutas permanecen no negativos.lazo cerrado (también conocido como circuito de ),que se inicia ytermina en la celda de la variable de entrada (3,1).El lazo se compone s—lo de segmentos hori-.Existe exactamente un lazo paraa la celda de la variable de entrada (3,1).Para que los l’mitesde la oferta y la demanda permanezcan satisfechos,debemos alternar entre restar y sumar lalazo se traza en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario).Para 0,loses 5,el cual ocurre cuando tanto nivel cero.Ya sea que salgan de la soluci—n,y seleccionamos arbitrariamente 5,como se muestra en la tabla 5.24.Como cada unidad transportada por la ruta (3,1) redu-),el costo total asociado con el nuevo itinerario$45 menos que el itinerario anterior.As’,el nuevo costo es $520 Dada la nueva soluci—n b‡sica,repetimos el c‡lculo de los multiplicadores ,como semuestra en la tabla 5.24.La variable de entrada es .El lazo cerrado muestra que
TABLA 5.23= 15Oferta1554161+99
5151515
El m—dulo tutorial de TORA permite determinar,de forma interactiva,las celdas de esquina del lazo cerra-,con confirmaci—n inmediata de la validez de sus selecciones.Vea el Momento de TORA en la p‡g.196.
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.251022011510154161
5151515
Del silo
Al molino
141221231315345
La nueva soluci—n,que se muestra en la tabla 5.25,cuesta $4 rior,y as’ el nuevo costo es $475 $435.Los nuevos valores de negativos para todas las no b‡sicas.Por lo tanto,la soluci—n dada en la tabla 5.25 es —ptima.
Modelo de transbordo.los or’genes y los destinos.Quiz‡ Žste no sea el caso en muchas situaciones dondetransbordardestino final.Puede usarse un artificio de modelado basado en el uso de zonas
TABLA 5.24127920152541416185510
5151515+-+---
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantespara convertir el modelo de transbordo en uno de transporte regular.Laidea de la conversi—n es te—ricamente interesante,pero rara vez se pone en pr‡cticaporque el modelo de transbordo (y,de hecho,el modelo de transporte mismo) es unse presenta en la secci—n 22.1 en el sitio web.No obstante,para que quede completo,el
,seleccione las opciones,y luego unode los tres mŽtodos (esquina noroeste,costo m’nimo,Vogel) para iniciar las iteraciones del mo-delo de transporte.El m—dulo de iteraciones ofrece dos œtiles funciones interactivas:0.Aunque los valores de cambian,la evaluaci—n de las celdaslazo cerrado,que comprenden la ruta.Si su selecci—nes correcta,la celda cambiar‡ de color (verde para la variable de entrada,roja para la va-
riable de salida,y gris si no corresponde).
Momento de Solver.),junto con todas las f—rmulas y la definici—n de los nombres de intervalos.En la secci—n de entrada,los datos incluyen la matriz de costo unitario (celdas B4:E6),losnombres de los or’genes (celdas A4:A6),nombres de los destinos (celdas B3:E3),oferta (celdasF4:F6),y demanda (celdas B7:E7).En la secci—n de salida,las celdas B11:E13 proporcionan la
soluci—n —ptima en forma de matriz.La f—rmula del costo total se encuentra en la celda A10.
amplEx5.3-1b.txtproporcionan el modelo de AMPL para el
ejemplo 5.3-1.Los detalles del modelo se explican en la secci—n C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS5.3BExperimento con TORA.Utilice el m—dulo de iteraciones de TORA para compararel efecto de utilizar la regla de la esquina noroeste,el mŽtodo del costo m’nimo y elmŽtodo de Vogel en la cantidad de iteraciones que conducen a la soluci—n —ptima.Experimento con Solver.Experimento con AMPL.amplEx5.3-1b.txt.
IterationsQ
Solve
Solve/Modify Menu
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.26$0$2$1$10$4$2Ã$3$5$2$1$5$2$3$4$7$4$9$2$4$3$1$2$0$1$8$6
55107665619
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantesEn el problema de transporte que se muestra en la tabla 5.27,la demanda total excede laoferta total.Suponga que los costos de penalizaci—n por unidad de la demanda no satis-fecha son $5,$3 y $2 para los destinos 1,2 y 3,respectivamente.Aplique la soluci—n ini-cial de costo m’nimo,y calcule las iteraciones que conducen a la soluci—n —ptima.En el problema 2,suponga que no hay costos de penalizaci—n,pero que la demanda en eldestino 3 debe ser satisfecha por completo..Resuelva el problema modificando el archivosolverEx5.3-1.xls.Experimento con AMPL.amplEx5.3-1.xls.En el problema de transporte desbalanceado de la tabla 5.28,si no se transporta una uni-a raz—n de $5,$4 y $3 por unidad para los or’genes 1,2 y 3,respectivamente.Adem‡s,un nuevo producto.Aplique la soluci—n inicial de Vogel,y determine todas las iteracionesque conducen al programa de transporte —ptimo.3,sea ,y el costo de transporte por unidad correspondiente.Las cantidades de laoferta en los or’genes 1,2 y 3,son 15,30 y 85 unidades,respectivamente,y las demandasen los destinos 1,2 y 3 son 20,30 y 80 unidades,respectivamente.Suponga que la soluci—n5,y Encuentre el costo —ptimo asociado.timalidad de la soluci—n de la esquina noroeste.indicada (es decir,al menos una de las variables b‡sicas es cero).Suponga que los
TABLA 5.28$1$2$1$3$4$5$2$3$3
302020
TABLA 5.29202040
102020
TABLA 5.27$5$1$7$6$4$6$3$2$5
752050
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.30$1$1$2$6$5$1
271Si la soluci—n dada es —ptima,determine el valor —ptimo asociado de la funci—n obje-tivo.Localice la variable b‡sica cero.).4,y 2,con $27,la cual es peor que la soluci—n factible 6,con 5.3.3Explicaci—n del mŽtodo de los multiplicadores con el mŽtodosimplexcarse con base en las relaciones primal-dual (secci—n 4.2).Por la estructura especial depara una ilustraci—n),el problema dual asociado se escribe como
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantesVariable dual de la restricci—n asociada con el origen Variable dual de la restricci—n asociada con el destino De acuerdo con la f—rmula 2,secci—n 4.2.4,los coeficientes de la funci—n objetivoy derecho de la restricci—n dual correspondiente;es decir,.Sin embargo,sa-,lo que produ-.Una vez calculados estosmultiplicadores,la variable de entrada se determina a partir de todas las variables La asignaci—n de un valor arbitrario a una de las variables duales (es decir,guiendo el mŽtodo 2 de la secci—n 4.2.3.En otras palabras,para una soluci—n b‡sicadada (y,por consiguiente,la inversa),los valores duales deben ser œnicos.El problema2,conjunto 5.3c,aborda este punto.CONJUNTO DE PROBLEMAS5.3Cejemplo 5.3-5 (tabla 5.21).Calcule el valor objetivo valores duales —ptimos dados en la tabla 5.25,y demuestre que es igual al costo —ptimodado en el ejemplo.En el modelo de transporte,una de las variables duales asume un valor arbitrario.Estoquiere decir que para la misma soluci—n b‡sica,los valores de las variables duales asocia-das no son œnicos.El resultado parece contradecir la teor’a de programaci—n lineal,objetivo de las variables b‡sicas y la matriz b‡sica inversa asociada (vea el mŽtodo 2,sec-ci—n 4.2.3).Demuestre que para el modelo de transporte,aunque la base inversa es œnica,no tiene que ser as’.Espec’ficamente,de-,donde sea una constante,entoncesno cambiar‡n.Por consiguiente,el uso de un valor arbitrario5.4MODELO DE ASIGNACIîNsas habilidades) con los trabajos.Presumiblemente,la variaci—n de la habilidad afectael costo de completar un trabajo.La meta es determinar la asignaci—n de costo m’nimode los trabajadores a los trabajos.El modelo de asignaci—n general con trabajos est‡ representado en la tabla 5.31.El elemento 1,2,Ã,).No se pierde la generalidad al supo-ner que la cantidad de trabajadores y la de los trabajos son iguales,porque siemprepodemos agregar trabajadores o trabajos ficticios para satisfacer esta suposici—n.
5.4Modelo de asignaci—n
TABLA 5.31Trabajos12...Trabajador
oooooo
TABLA 5.32PodarPintarLavarJohn $15$10$9Karen $9$15$10
Terri $10$12$8El modelo de asignaci—n es un caso especial del modelo de transporte,donde lostrabajadores representan los or’genes y los trabajos representan los destinos.La oferta(demanda) en cada origen (destino) es igual a 1.El costo de ÃtransportarÃal trabajador.De hecho,el modelo de asignaci—n puede resolverse de forma direc-ta como un modelo de transporte (o como una PL regular).Sin embargo,el hechode que la oferta y la demanda sean iguales a 1 conduce al desarrollo de un algoritmo de.Aunque el nuevo mŽtodo de soluci—n pare-ce totalmente ajeno al modelo de transporte,en realidad el algoritmo tiene su origenen el mŽtodo simplex,al igual que el modelo de transporte.5.4.1MŽtodo hœngaroUtilizaremos dos ejemplos para presentar la mec‡nica del nuevo algoritmo.La si-
Los tres hijos de Joe Klyne,John,Karen y Terri,desean ganar algœn dinero para sus gastos per-sonales.El se–or Klyne eligi— tres tareas para sus hijos:podar el cŽsped,pintar la puerta de lacochera y lavar los autom—viles de la familia.Para evitar la competencia anticipada entre los her-manos,les pide que presenten licitaciones individuales (secretas) por lo que consideren un pago
Como con el mŽtodo de transporte,el mŽtodo hœngaro cl‡sico (dise–ado principalmente para c‡lculos ) es algo del pasado,y se presenta aqu’ por razones hist—ricas.En la actualidad no se requiere ese tipode c‡lculos,ya que el problema puede resolverse mediante c—digos de computadora de PL altamente efi-cientes.Tal vez el beneficio de estudiar estas tŽcnicas cl‡sicas es que est‡n basadas en una teor’a complejaque reduce los pasos de soluci—n a reglas simples adecuadas para c‡lculos manuales.
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantesjusto por cada una de las tres tareas.La tabla 5.32 resume las licitaciones recibidas.Los ni–os res-petar‡n la decisi—n de su padre con respecto a la asignaci—n de las tareas.El problema de asignaci—n se resolver‡ por el mŽtodo hœngaro.Paso 1.,el elemento de costo m’nimo en la fila de la matriz de costos original,y1,2,3.Paso 2.Para la matriz creada en el paso 1,determine ,el elemento de costo m’nimo de la,y rŽstelo de todos los elementos de la columna 1,2,3.Paso 3.A partir de la matriz del paso 2,intente determinar una asignaci—n todas las entradas cero resultantes..Si puede hallarse esa asignaci—n,es —ptima..De lo contrario,se requieren m‡s c‡lculos (como se explicar‡ en el ejemplo 5.4-2).Las celdas con entradas cero subrayadas en el paso 3 dan la soluci—n —ptima (factible):Johnobtiene el trabajo de pintar,Karen el de podar el cŽsped,y Terri obtiene el de lavar los autom—-viles de la familia.El costo total para el se–or Klyne es 9 $27.Esta cantidad siempre$27.(Una justificaci—n
Como se indica en el paso 3 del mŽtodo hœngaro,los ceros creados por los pasos1 y 2 pueden no dar una soluci—n factible de forma directa.En este caso,se necesitanm‡s pasos para determinar la asignaci—n —ptima (factible).El siguiente ejemplo de-
Suponga que la situaci—n analizada en el ejemplo 5.4-1 se ampl’a a cuatro ni–os y cuatro tareas.Paso 3:Podar PintarLavarJohn6
0Karen0
Terri23
Paso 2:Podar PintarLavarJohn610Karen061Terri240Paso 1:Podar PintarLavarFila m’n.John 15109Karen91510Terri10128
TABLA 5.33
QQ
5.4Modelo de asignaci—n
TABLA 5.35Tarea1234322143
432Las ubicaciones de las entradas cero no permiten asignar tareas œnicas a todos los ni–os.Porejemplo,si asignamos al ni–o 1 la tarea 1,entonces se eliminar‡ la columna 1,y el ni–o tres notendr‡ una entrada cero en las tres columnas restantes.Este obst‡culo puede superarse agregan-Paso 3b.Si no pueden encontrarse asignaciones de elemento cero factibles,(i)Trace el las entradas cero.(ii)Seleccione la entrada y luego sœmela a cada entrada en la intersecci—n de dos l’neas.(iii)Si no puede determinar una asignaci—n factible entre las entradas cero resultan-tes,repita el paso 3a.La entrada m’nima no sombreada (que se muestra subrayada) es igual a 1.Esta entrada se sumala tabla 5.37,y la soluci—n —ptima indicada por los ceros subrayados.
TABLA 5.34Tarea12341$1$4$6$32$9$7$10$93$4$5$11$7
4$8$7$8$5
TABLA 5.36Tarea123410322002301
43
200
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantes
proporciona el modelo AMPL para el modelo de asignaci—n.El mo-
delo es parecido al del modelo de transporte.CONJUNTO DE PROBLEMAS5.4AResuŽlvalos por el mŽtodo hœngaro.Experimento con TORA.Exprese el problema como una PL y resuŽlvalo con TORA.Experimento con TORA.Utilice TORA para resolver el problema como un modelode transporte..Modifique el archivo Experimento con AMPL.Modifique el archivo JoShop necesita asignar 4 trabajos a 4 trabajadores.El costo de realizar un trabajo es unafunci—n de las habilidades de los trabajadores.La tabla 5.39 resume el costo de las asigna-ciones.El trabajador 1 no puede realizar el trabajo 3,y el trabajador 3 no puede realizarel trabajo 4.Determine la asignaci—n —ptima siguiendo el mŽtodo hœngaro.
TABLA 5.37Tarea
211230
2Ni–o 30
32
4420
TABLA 5.38$3$8$2$10$3$3$9$2$2$7$6$5$2$7$5$6$1$5$6$6$6$4$2$7$5$9$4$7$10$3$8$4$2$3$5$2$5$4$2$1
$7$8$6$7$7$9$6$2$4$6
TABLA 5.39Trabajo1$50$50Ã$202$70$40$20$30Trabajador3$90$30$50Ã
4$70$20$60$70
5.4Modelo de asignaci—nEn el modelo de JoShop del problema 2,suponga que se dispone de un (quinto) trabaja-dor m‡s para realizar las cuatro tareas a los costos respectivos de $60,$45,$30 y $80.ÃEsEn el modelo del problema 2,suponga que JoShop acaba de recibir un quinto trabajo yque los costos respectivos de realizarlo por los cuatro trabajadores actuales son $20,$10,$20 y $80.ÃDebe tener la prioridad el nuevo trabajo sobre cualquiera de los cuatro traba-jos que ya tiene JoShop? tabla 5.40 entre la oficina principal en Dallas y una sucursal en Atlanta.El precio del boleto de viaje redondo saliendo de Dallas es de $400.Se ofrece unbado y domingo).Si la estancia en Atlanta dura m‡s de 21 d’as,el descuento se incremen-ta a 30%.Un boleto de viaje sencillo entre Dallas y Atlanta (en cualquier direcci—n)cuesta $250.ÃC—mo debe comprar los boletos el ejecutivo?existentes designados por los cuadrados 1,2,3 y 4.Se tienen que agregar cuatro nuevos
TABLA 5.40
Fecha de partida de Dallas Fecha de regreso a DallasLunes,3 de junioViernes,7 de junioLunes,10 de junioMiŽrcoles,12 de junioLunes,17 de junioViernes,21 de junio
Martes,25 de junioViernes,28 de junio Distribuci—n del taller para el problema 6,conjunto 5.4a
1020304050607080
234bcda1
01020
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantescentros de trabajo,I,II,III y IV,al taller en los lugares designados por los c’rculos .El objetivo es asignar los nuevos centros a los lugares propuestos para minimizar eltr‡fico total de manejo de materiales entre los centros existentes y los propuestos.Latabla 5.41 resume la frecuencia de los viajes entre los centros nuevos y los anteriores.Eltan en las ubicaciones de los centros.Por ejemplo,la distancia del viaje en un sentido (enEn el Departamento de Ingenier’a Industrial en la Universidad de Arkansas,INEG 4904problema pr‡ctico.Los miembros de cada equipo seleccionan un director de proyecto,identifican el alcance apropiado de su proyecto,redactan y presentan una propuesta,reali-zan las tareas necesarias para satisfacer los objetivos del proyecto,y redactan y presentanun informe final.El profesor del curso identifica proyectos potenciales y proporcionahojas de informaci—n apropiadas a cada uno,incluyendo el contacto en la organizaci—n pa-trocinadora,el resumen del proyecto y las habilidades potenciales necesarias para comple-tar el proyecto.Se requiere que cada equipo de dise–o presente un informe que justifiquela selecci—n de los miembros y del director del equipo.El informe tambiŽn proporcionauna clasificaci—n de cada proyecto en orden de preferencia,incluida una justificaci—n conproyecto.En un semestre espec’fico se identificaron los siguientes proyectos:Boeing F-15,Boeing F-18,Boeing Simulation,Cargil,Cobb-Vantress,ConAgra,Cooper,DaySpring (di-se–o),DaySpring (manejo de materiales),J.B.Hunt,Raytheon,Tyson South,Tyson East,Wallmart y Yellow Transportation.Los proyectos de Boeing y Raytheon requieren quetodos los miembros del equipo sean ciudadanos estadounidenses.De los once equipos dedise–o disponibles en este semestre,cuatro no cumplen con este requisito.Idee un procedimiento para asignar proyectos a equipos,y justifique los argumentos5.4.2Explicaci—n del mŽtodo hœngaro con simplexrepresentarse como un modelo de PL como sigue:Sea ,y defina
TABLA 5.41IIIIIIIV110243Centro27195existente30862
411407
5.4Modelo de asignaci—n).Para probar estepunto,sean .Por lo tanto,el ele-Como la nueva funci—n objetivo difiere de la original por una constante,los valores —p-son los mismos en ambos casos.El desarrollo muestra que los pasos 1 y 2del mŽtodo hœngaro,el cual pide restar produce un modelo de asignaci—n equivalente.A este respecto,si puede hallarse una2,entonces debe ser —ptima (porque el costo en la matriz modificada no puede serplo 5.4-2 lo demuestra),entonces debe aplicarse el paso 2a (que tiene que ver con lacobertura de las entradas cero).La validez de este procedimiento tiene de nuevo sudualidad (cap’tulo 4) y el teorema de holgura complementaria (cap’tulo 7).No presen-taremos aqu’ los detalles de la comprobaci—n porque son un tanto complicados.
Cap’tulo 5Modelo de transporte y sus variantesci—n.Este resultado puede verse mediante una comparaci—n con la funci—n objetivodual del modelo de transporte dado en la secci—n 5.3.3.[Para los detalles,vea Bazaraaand Associates (2009)].Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Dantzig,G.,,Princeton University Press,Princeton,N.J.,Hansen,P.,y R.Wendell,ÃA Note on Airline CommutingÃ,,vol.12,nœm.1,p‡gs.85-87,Murty,K.,,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1992.
6.1ALCANCE Y DEFINICIîN DE MODELOS DE REDEScomo redes (nodos conectados por ramas);a continuaci—n tenemos algunos ejemplosci—n de los oleoductos.carreteras.oleoductos para lodos de carb—n que unen minas de carb—n en Wyoming conhasta refiner’as a travŽs de una red de oleoductos.CAPêTULO 6Modelo de redes
Aplicaci—n de la vida real. Ahorro de recursos federales para vi‡ticoslas ciudades en los Estados Unidos,y se requiere que los empleados federales asistan aconferencias de desarrollo y cursos de capacitaci—n que se ofrecen por todo el pa’s.Lapuede impactar los vi‡ticos.El objetivo del estudio es determinar la ubicaci—n —ptimade la ciudad anfitriona de una conferencia o evento de entrenamiento programado.Seestima que para el a–o fiscal de 1997,el modelo desarrollado ahorr— al menos
$400,000.El caso 4 del cap’tulo 26 en el sitio web proporciona los detalles.
Cap’tulo 6Modelo de redes
1
3
5
2
4
mizaci—n de redes.Este cap’tulo presenta cuatro de estos algoritmos.Para la quinta situaci—n,el algoritmo de red capacitada de costo m’nimo se presenta enla secci—n 22.1 en el sitio web.Definiciones de red.).La notaci—n para describir una red es (),donde es el conjunto de nodos,yes el conjunto de arcos.Aguisa de ilustraci—n,la red de la figura 6.1,se describe como(por ejemplo,los productos de petr—leo flu-yen por un oleoducto y el tr‡fico de autom—viles fluye por las carreteras).El flujo m‡-ximo en una red puede ser finito o infinito,segœn la capacidad de sus arcos.una direcci—n.Una red dirigidatiene todos los arcos dirigidos.es un conjunto de arcos que unen dos nodos distintos,y que pasan atravŽs de otros nodos en la red.Por ejemplo,en la figura 6.1 los arcos (1,2),(2,3),(3,4)y (4,5) forman una ruta entre los nodos 1 y 5.Una ruta forma un necta un nodo de vuelta a s’ mismo a travŽs de otros nodos.En la figura 6.1,los arcos(2,3),(3,4) y (4,2) forman un ciclo.en al menos una ruta.La red en la figura 6.1 muestra este tipo de red.Un de todos los nodos,y un‡rbol de expansi—nlos nodos de la red.La figura 6.2 propor-
1
3
5
2
4
1
3
2çrbol de expansi—nçrbol
6.1Alcance y definici—n de modelos de redes
BADC
FIGURA 6.3Puentes de Kšnigsberg
Ejemplo 6.1-1(Puentes de Kšnigsberg)en las riberas del r’o Pregel con siete puentes que conectan sus cuatro secciones (designadas ) como se muestra en la figura 6.3.Surgi— una pregunta sobre si podr’a construirse un para visitar las cuatro secciones de la ciudad,cruzando cada puente exactamente unavez.Una secci—n podr’a ser visitada varias veces,si fuese necesario.A mediados del siglo XVIII,el afamado matem‡tico Leonhard Euler desarroll— un argu-mento de Ãconstrucci—n de rutasÃpara demostrar que s’ era posible construir semejante viaje.M‡s tarde,a principios del siglo XIX,el mismo problema se resolvi— presentando de nuevo lasituaci—n como una red con nodos que representan las secciones y arcos (distintos) que repre-sentan los puentes,como se muestra en la figura 6.4..Esto hace posible entrar y salir de todas las sec-ciones utilizando puentes distintos.Por consiguiente,el viaje redondo deseado no puede construirse.
Soluci—n general:Existe un recorrido que se inicia y termina en un nodo si el nœmero de arcos incidentes en.Hay un viaje que se inicia en un nodo y termina en en estos dos nodos es .De lo contrario,no hay soluci—n.Vea B.Hopkins y R.Wilson,ÃThe Truth aboutCollege Math Journal,Vol.35,nœm.3,p‡gs.198-207,2004.
A
B
D
C
Cap’tulo 6Modelo de redesRedes para el problema 1,conjunto 6.1a
1
3
5
2
4
1
3(i)(ii)
2
4
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.1APara cada red de la figura 6.5,determine (a) una ruta,(b) un ciclo,(c) un ‡rbol,y (d) unTrace la red definida por En el ejemplo 6.1-1,especifique la cantidad m’nima y las ubicaciones de los puentes adi-cionales que se requieren para construir un viaje redondo.Construya la red resultante,ydetermine los tramos del viaje.Considere ocho cuadrados iguales dispuestos en tres filas,con dos cuadrados en la prime-ra fila,cuatro en la segunda,y dos en la tercera.Los cuadrados de cada fila est‡n acomo-dados simŽtricamente alrededor del eje vertical.Marque los cuadros con nœmeros distin-tos del 1 al 8,de modo que dos cuadrados verticales,horizontales o diagonalesno tengan nœmeros consecutivos.Use una representaci—n de red para hallar una soluci—nTres reclusos escoltados por dos guardias deben ser transportados por un bote desde tie-rra firme hasta una isla penitenciaria para que cumplan sus sentencias.El bote no puedetransferir m‡s de dos personas en ambas direcciones.Es seguro que los reclusos doble-guen a los guardias si los superan en nœmero en cualquier parte y en cualquier momento.traslado seguro de los reclusos.6.2ALGORITMO DEL çRBOL DE MêNIMA EXPANSIîNramas de conexi—n.Una aplicaci—n comœn se presenta en la pavimentaci—n de carrete-ras que unen poblaciones,o de forma directa,o que pasan por otras poblaciones.La so-luci—n del ‡rbol de m’nima expansi—n proporciona el dise–o del sistema de carreteras.= {1,2,Ã,
k A={(1, 2), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 6), (5, 2), (5, 6)} N={1, 2, 3, 4, 5, 6}
6.2Algoritmo del ‡rbol de m’nima expansi—nPaso 0.Establezcay Paso 1.en el conjunto no conectadoy establezca,lo que produce.Establezca.Paso generalSeleccione un nodo,*,en el conjunto no conectado,que pro-conectado.Vincule y elim’nelo depara obtenerrespectivamente.DetŽngase siest‡ vac’o;de lo contrario,establezca + 1 y repita el paso.
Midwest TV Cable Company va a proporcionar servicio de cable a cinco desarrollos habitacio-nales.La figura 6.6 ilustra las posibles conexiones de TV a las cinco ‡reas,con las millas de cableanexadas a cada arco.El objetivo es determinar la red de cables m‡s econ—mica.El algoritmo se inicia en el nodo 1 (en realidad,cualquier otro nodo puede ser un punto deinicio),el cual da por resultadoLas iteraciones del algoritmo se resumen en la figura 6.7.Los arcos delgados proporcionan todosy.Los arcos gruesos son los v’nculos permanentes del conjunto conec-,y el arco de rayas es el nuevo v’nculo (permanente) agregado en cada iteraci—n.Porejemplo,en la iteraci—n 1,la rama (1,2) es el v’nculo m‡s corto (candidatas del nodo 1 a los nodos 2,3,4,5 y 6 en el conjunto no conectado.De ah’ que elv’nculo (1,2) se hace permanente y 2,de lo cual resulta El ‡rbol de m’nima expansi—n que se muestra en la iteraci—n 6 de la figura 6.7 da la soluci—n.Las16 millas.Comentarios.En teor’a,un ‡rbol de m’nima expansi—n puede formularse y resolverse como unprograma lineal.Sin embargo,la PL no es una opci—n pr‡ctica porque deben agregarse numerosasrestricciones para excluir todos los ciclos y el resultado es una PL enorme,aun para redes peque–as.
2={3, 4, 5, 6}C
1C
C1={1} y C
1={2, 3, 4, 5, 6}C
kCk y C
k,C
k-1C
k-1k=2C
1=N-{i}C1={i}C
0C
Conexiones de cable para Midwest TV Company
41
4
6
5
21
Cap’tulo 6Modelo de redes
Puede utilizar TORA para generar las iteraciones del ‡rbol de m’nima expansi—n.En la barra de,seleccione las opciones.Luego,en elmenœseleccione las opciones.Enla pantalla de resultados seleccione,luego utilice las opcionesobienpara generar las iteraciones sucesivas.Puede reiniciar las iteraciones selec-cionando un nuevo nodo de inicio.El archivo
ejemplo 6.2-1.
Starting Node
All iterations
Next iteration
Starting node
Go to output screenQ
Solve problem
SOLVE/MODIFY
Minimal spanning treeQ
Network models
Iteraciones para determinar la soluci—n para Midwest TV Company
Iteraci—n 11975146975C1
Iteraci—n 2
Iteraci—n 4
Iteraci—n 3Iteraci—n 5
Iteraci—n 6(çrbol de m’nima expansi—n)
C1
C2314655331467583146553103145533C2
256314256314256314256314256314256314C3
C4C3
C4
C5C5
V’nculosalternos
6.2Algoritmo del ‡rbol de m’nima expansi—nCONJUNTO DE PROBLEMAS6.2AResuelva el ejemplo 6.2-1 iniciando en el nodo 5 (en lugar de en el nodo 1),y demuestreLos nodos 5 y 6 est‡n unidos por un cable de 2 millas.Los nodos 2 y 5 no pueden unirse.Los nodos 2 y 6 est‡n unidos por un cable de 4 millas.El cable entre los nodos 1 y 2 es de 8 millas de largo.Los nodos 3 y 5 est‡n unidos por un cable de 2 millas.En el transporte intermodal,los camiones de remolque cargados se transportan entre ter-minales ferroviarias sobre plataformas especiales.La figura 6.8 muestra la ubicaci—n detentes.El objetivo es decidir quŽ v’as deben ser ÃrevitalizadasÃpara manejar el tr‡fico in-termodal.En particular,la terminal de Los çngeles (LA) debe vincularse directamente aChicago (CH) para acomodar el tr‡fico pesado esperado.Aparte de esa,todas las termi-nales restantes pueden vincularse directa o indirectamente,de modo que la longitud total(en millas) de las v’as seleccionadas se minimice.Determine los segmentos de las v’as fe-de distribuci—n costero.Como el cabezal del pozo 1 es el m‡s cercano a la costa,dispo-ci—n de los ocho pozos restantes al punto de distribuci—n.Determine la red de oleoductosEn la figura 6.9 del problema 4,suponga que los cabezales de los pozos pueden dividirseen dos grupos segœn la presi—n del gas:un grupo de alta presi—n que incluye los pozos 2,3,4 y 6,y un grupo de baja presi—n que incluye los pozos,5,7,8 y 9.Debido a la diferen-cia de presi—n,no es posible vincular los pozos de los dos grupos.Al mismo tiempo,Red para el problema 3,conjunto 6.2a
SE
LA
DE20001300130011009002008001400780260020001000
DA
CH
NY
DC
Cap’tulo 6Modelo de redesRed para el problema 4,conjunto 6.2a
1
515151091441355577123202066Punto de distribuci—n
9
8
7
2
3
4
6
ambos grupos deben conectarse al punto de distribuci—n a travŽs del pozo 1.DetermineElectro produce 15 piezas electr—nicas en 10 m‡quinas.La compa–’a desea agrupar lasm‡quinas en celdas para minimizar las ÃdisparidadesÃentre las piezas procesadas encada celda.Una medida de ÃdisparidadÃ,,entre las piezas procesadas con las m‡quinasœnicamente.
nij+mij
M‡quina
1,622,3,7,8,9,12,13,1533,5,10,142,7,8,11,12,133,5,10,11,141,4,5,9,102,5,7,8,9,103,4,153,8,10,14,15
Para los datos dados en la tabla anterior,construya las soluciones de dos y tres celdas.
6.3Problema de la ruta m‡s corta6.3PROBLEMA DE LA RUTA MçS CORTAtransporte.El mismo modelo puede representar otras situaciones,como se ilustra conlos siguientes ejemplos.6.3.1Ejemplos de aplicaciones de la ruta m‡s corta
Ejemplo 6.3-1(Reemplazo de equipo)rizonte de planeaci—n de 4 a–os.Al inicio de cada a–o,un autom—vil se reemplaza o se conservaen operaci—n durante un a–o m‡s.Un autom—vil debe estar en servio de 1 a 3 a–os.La siguiente
Equipo adquirido
al inicio del a–o
Costo de reemplazo ($) para a–os dados en operaci—n
1
2
314000540098002430062008700348007100Ã44900ÃÃ
de los a–os 1 a 5.Los arcos a partir del nodo 1 (a–o 1) pueden llegar a los nodos 2,3 y 4 porqueun autom—vil puede estar en operaci—n de 1 a 3 a–os.Los arcos a partir de los dem‡s nodos pue-den interpretarse del mismo modo.La longitud de cada arco es igual al costo de reemplazo.LaLa figura 6.10 muestra la red resultante.Utilizando TORA,despuŽs de 2 a–os al inicio del a–o 3 (nodo 3).El autom—vil de reemplazo se mantendr‡ enton-
En la barra de menœs,seleccione las opciones.En el menœ
Shortest routesQ
Solve problem
SOLVE/MODIFY
Shortest routeQ
Network models
MainFIGURA 6.10Problema de reemplazo de equipo como un modelo de la ruta m‡s corta
400043004800490098005400710062008700
1
2
3
4
5
Cap’tulo 6Modelo de redesces en servicio hasta finales del a–o 4.El costo total de esta pol’tica de reemplazo es de $12,500
(5$5400 1$7100).
Ejemplo 6.3-2(Ruta m‡s confiable)I.Q.Smart va en auto diariamente al trabajo.Habiendo completado un curso de an‡lisis deredes,Smart es capaz de determinar la ruta m‡s corta al trabajo.Por desgracia,la ruta seleccio-nada est‡ fuertemente patrullada por la polic’a,y con todas las multas pagadas por exceso de ve-locidad,la ruta m‡s corta puede no ser la mejor opci—n.Smart ha decidido por lo tanto elegir unaciada de no ser detenido en cada segmento.La probabilidad de no ser detenido en la ruta es elproducto de las probabilidades de sus segmentos.Por ejemplo,la probabilidad de no ser multa-.0675.El objetivo de Smart es seleccionar la rutala probabilidad de no ser multado.garitmos de las probabilidades,esto es,,as’ pues,maximizar ,lo que a su vez equivale a .Por lo tanto,alen la red,el problema se convierte en la red de la ruta
1
2.2.9.6.1.4.5.25.3.8.35
4
3
6
7
5
FIGURA 6.12Representaci—n de la ruta m‡s confiable como un modelo de la ruta m‡s corta
1
.09691.45593
4
3
6
7
5
6.3Problema de la ruta m‡s cortaUtilizando TORA,la ruta m‡s corta en la figura 6.12 pasa por los nodos 1,3,5 y 7 con unaÃlongitudÃcorrespondiente de 1.1707,o log 1.1707.As’,la probabilidad m‡xima de no
.0675,Ãuna noticia no muy alentadora para Smart!
Ejemplo 6.3-3(Acertijo de las tres jarras)Una jarra de 8 galones est‡ llena de l’quido.Dado que hay dos jarras vac’as de 5 y 3 galones,di-vida los 8 galones de l’quido en dos partes iguales utilizando s—lo las tres jarras.ÃCu‡l es el m’ni-Probablemente pueda resolver este acertijo mediante inspecci—n.No obstante,el proceso delas jarras de 8,5 y 3 galones,respectivamente.Esto quiere decir que la red se inicia con el nodo(8,0,0) y termina con la soluci—n deseada (4,4,0).Se genera un nuevo nodo a partir del nodo ac-(4,4,0).El arco entre dos nodos sucesivos representa una sola transferencia,y de ah’ que pode-mos suponer que tenemos una longitud de una unidad.El problema se reduce por lo tanto a deter-minarla
La soluci—n —ptima dada por la ruta de la figura 6.13 requiere 7 decantaciones.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3Am‡xima de 4.El horizonte de planificaci—n abarca desde el principio del a–o 1 hasta fina-les del a–o 5.La siguiente tabla proporciona los datos necesarios.
5,0,3
3,5,0
1,4,3
8,0,0
5,3,0Declinaci—nInicio
3,2,3
1,5,2
6,2,0
6,0,2
2,3,3
2,5,1
7,0,1
7,1,0
4,1,3
4,4,0
Cap’tulo 6Modelo de redesLa figura 6.14 muestra la red de comunicaci—n entre dos estaciones,1 y 7.La probabili-dad de que un enlace en la red opere sin fallas se muestra en cada arco.Se env’an mensa-jes de la estaci—n 1 a la estaci—n 7,y el objetivo es determinar la ruta que maximice laprobabilidad de una transmisi—n exitosa.Formule la situaci—n como un modelo de la rutam‡s corta,y determine la soluci—n —ptima..DirectCo vende mercanc’a cuyas demandas a lo largo delos pr—ximos 4 meses son 100,140,210 y 180 unidades,respectivamente.La compa–’apuede mantener existencias suficientes para satisfacer la demanda de cada mes,o bientener existencias de m‡s para satisfacer la demanda de dos o m‡s meses consecutivos.Enel œltimo caso,se carga un costo de retenci—n de $1.20 por cada unidad de m‡s por mes.deben ser de $15,$12,$10 y $14,respectivamente.Se incurre en un costo de preparaci—nde $200 cada vez que se coloca un pedido de compra.La compa–’a desea desarrollar unplan de compra que minimice los costos totales de colocar un pedido,comprar y retenerla mercanc’a en existencia.Formule el problema como un modelo de la ruta m‡s corta,yuse TORA para determinar la soluci—n —ptima.Problema de Knapsack.Un ciclista utiliza una mochila de 5 piessobre los art’culos m‡s valiosos que hay que llevar en un viaje.Hay tres art’culos a esco-ger.Sus volœmenes son de 2,3 y 4 pies;el ciclista estima que sus valores asociados enuna escala del 0 al 100 son 30,50 y 70,respectivamente.Exprese el problema como unared de la ruta m‡s larga,y determine la soluci—n —ptima.((i,v],donde .Para resolverlo conRed para el problema 2,conjunto 6.3a
.5.95.65.5.6.3.9.9.8.8.7.85
2
4
5
3
6
1
7
234380041006800
6.3Problema de la ruta m‡s cortaTORA,convierta el problema de ruta m‡s larga en uno de ruta m‡s corta,utilizando unaUn tostador elŽctrico antiguo tiene dos puertas de gozne accionadas por resorte.Las dospuertas se abren hacia afuera en direcciones opuestas lejos del elemento calefactor.Unarebanada de pan se tuesta por un lado a la vez,al empujar una de las puertas para que seabra y colocar la rebanada con la otra mano.DespuŽs de que se tuesta un lado,se le davuelta a la rebanada para tostar el otro lado.El objetivo es determinar la secuencia deoperaciones (colocar,tostar,dar vuelta y sacar) necesarias para tostar las tres rebanadasde pan en el menor tiempo posible.Formule el problema como un modelo de ruta m‡scorta,aplicando los siguientes tiempos elementales de las diferentes operaciones:
Operaci—n
Tiempo (segundos)Tostar un lado
6.3.2Algoritmos de la ruta m‡s cortaEsta secci—n presenta dos algoritmos para resolver tanto redes c’clicas (es decir,queEn esencia,el algoritmo de Floyd incluye a Dijkstra.).El algoritmo define la etiqueta para unLa etiqueta para el nodo de inicio es [0,2],que indica que el nodo no tiene predecesor..Una etiqueta temporal en un nodo se modifica si puede hallarse una rutam‡s corta al nodo.De lo contrario,el estado temporal cambia a permanente.Paso 0.aso 0.2].Establezca i51.Paso general aso general ui1dij,i] para cada nodo jcon dij.0,siempre que j no estŽ etiquetado permanentemente.Si el nodo Si el nodo uj,k] hasta otro nodo ky si ui+dij,uj,reemplace [
Cap’tulo 6Modelo de redesdetŽngase.De lo con-trario,seleccione la etiqueta [riamente).Establezca
1) y las otras cuatro ciudades (nodos 2 a 5).Determine las rutas m‡s cortas entre la ciudad 1 ycada una de las cuatro ciudades restantes.Iteraci—n0.0.2] al nodo 1.Iteraci—n1.nentemente).As’,la lista de nodos etiquetados (temporales y permanentes) es
Nodo
Etiqueta
0, Ã]Permanenteermanente+100, 1]=[100, 1]Temporal emporal +30, 1]=[30, 1]Temporal
Nodo
Etiqueta
[0,Ã]Ã]TemporalemporalPermanenteermanente+10, 3]=[40, 3]Temporalemporal+60, 3]=[90, 3]Temporal
FIGURA 6.15Ejemplo de red para el algoritmo de la ruta m‡s corta de Dijkstra
1
3060
3
4
5
Para las dos etiquetas temporales [100,1] y [30,1],el nodo 3 da la distancia m’ni-30).De este modo,el estado del nodo 3 cambia a permanente.Se puede llegar a los nodos 4 y 5 desde el nodo 3,y la lista de los nodos etique-
6.3Problema de la ruta m‡s cortaDesde el nodo 4 se puede llegar a los nodos 2 y 5 As’,la lista de los nodos eti-En el nodo 2,la nueva etiqueta [55,4] reemplaza a la etiqueta temporal [100,1]de la iteraci—n 1 porque proporciona una ruta m‡s corta.Adem‡s,en la itera-90).La etiqueta temporal [55,4] en el nodo 2 ahora es permanente (2.Por consiguiente el nodo 3 no puede ser reetiquetado.La nueva lista de eti-nodo 2 ahora es permanente.Esto deja al nodo 5 como la œnica etiqueta tempo-ral.Como el nodo 5 no conduce a otros nodos,su etiqueta se hace permanente,yLos c‡lculos del algoritmo pueden realizarse directamente en la red,como lo demuestra laetiquetas permanentes.Por ejemplo,la siguiente secuencia determina la ruta m‡s corta del nodo
Por lo tanto,la ruta deseada es 1 2 con una distancia total de 55 millas.
Nodo
Etiqueta
[0,Ã]Ã]+15, 4]=[55, 4]TemporalemporalPermanente4[40, 3]Permanenteo[90, 3][90, 3]+50, 4]=[90, 4]Temporal
1
2[100,1](1)[55,4](3)[90,3](2)[90,4](3)[0,](1)[30,1](1)[40,3](2)3060100( ) iteraci—n10502015
3
4
5
FIGURA 6.16Procedimiento de etiquetado en el algoritmo de Dijkstra
Cap’tulo 6Modelo de redes
Puede usarse TORA para generar las iteraciones de Dijkstra.En el menœ.El archivo
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3BProblema 1,conjunto 6.3a.Problema 2,conjunto 6.3a.Problema 4,conjunto 6.3a.
DijkstraÃs algorithmQ
IterationsQ
Solve problem
Red para el problema 1,conjunto 6.3b
4
2
7
8
1
54851117522226363
6
3
Red para el problema 2,conjunto 6.3b
3
5
2
1
477766635529721714
6
6.3Problema de la ruta m‡s cortaAlgoritmo de Floyd.en la red.El algoritmo representa una red decolumnas.La entrada (,la cual es finita si ,e infinita en caso contrario.La idea del algoritmo de Floyd es simple.Dados tres nodos,6.19 con las distancias de conexi—n que se muestran en los tres arcos,es m‡s corto lle-Paso 0.(todos los elementos en las diagonales est‡n bloqueados).Establezca
i
k
j
dkjdikdij
oooooooooooooo1Ã221Ãoooooooooooo
Paso general k.,para todas las .Si
Cap’tulo 6Modelo de redesse satisface,realice los siguientes cambios:.Establezca 1.Si detŽngase:de lo contrario repita el paso en la figura 6.20.Aqu’,la fila definen la fila y columna pivote actuales.Larepresenta cualquiera de las filas 1,2,Ã,y 1,y la fila 2,Ã,y .Asimismo,la columna lumnas 1,2,Ã,y 1,y la columna 2,Ã,y .La puede aplicarse como sigue:Si la suma de los en la fila pivote y la columna (mostrados por cuadrados) es menor que el eleintersecci—n asociado (mostrado por un c’rculo),entonces es —ptimo reemplazar la dis-tancia de intersecci—n por la suma de las distancias pivote.pasos,podemos determinar la ruta m‡s corta entre los nodos ,a partir de ,da la ruta m‡s corta entre los nodos ,determine el nodo intermedio .Si ,detŽngase;todos los nodos intermedios de la ruta hansido encontrados.De lo contrario,repita el procedimiento entre los nodos y entre los nodos
Para la red de la figura 6.21,halle las rutas m‡s cortas entre cada dos nodos.Las distancias (enmillas) se dan en los arcos.El arco (3,5) es direccional,es decir,no se permite el tr‡fico del nodo5 al nodo 3.Todos los dem‡s arcos permiten el tr‡fico en dos direcciones.
dijdiqdikColumnajColumnaqColumnapivotek
dpjdpqdpk
dkjFila iFila pFila pivote k
dkq
6.3Problema de la ruta m‡s cortaes simŽtrica,ex-12345123451Ã3101Ã234523Ã21Ã345310Ã615312Ã4556Ã44123Ã5qqq4Ã51234Ã
12345123451Ã3101Ã234523Ã21Ã310Ã61531Ã4556Ã44123Ã5qqq4Ã51234Ã1.La fila y columna pivotes se muestran por la primera fila y la.Las celdas m‡s oscu-ras,,son las œnicas que la puede mejorar.Por lo tanto,
25
44101563
5
1
3
12345123451Ã3101Ã2323Ã13521Ã14531013Ã615311Ã4556Ã4423Ã5qqq4Ã51234Ã2,como se muestra mediante la fila y columna ligeramente som-.La
Cap’tulo 6Modelo de redes4,como se muestra por la fila y columna sombreadas en .Las5,como se muestra mediante la fila y columna sombreadas en ruta m‡s corta entre dos nodos cualesquiera en la red.Por ejemplo,desde ,la distancia m‡s12 millas.Para determinar la ruta asociada,recordemos que.De lo contrario,
12345123451Ã31081Ã23223Ã21Ã3104856Ã4223Ã5129104Ã5444
12345123451Ã31081Ã23223Ã13521Ã1431013Ã615311Ã454856Ã44223Ã5qqq4Ã51234Ã3,como se muestra por la fila y columna sombreadas en .Lasdos por al menos otro nodo intermedio.Como 5,la ruta inicialmente se da como 1 5.Ahora,como 4,el segmento (1,4) no es un v’nculo ,y 1 4,y la ruta 1 5.Luego,como 4,y
5,no se requieren m‡s ÃdiseccionesÃ,y 1
Como en el algoritmo de Dijkstra,TORA puede usarse para generar las iteraciones de Floyd.En el menœseleccione las opciones
.El archivo CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3CEn el ejemplo 6.3-5,use el algoritmo de Floyd para determinar las rutas m‡s cortas entre
FloydÃs algorithmQ
IterationsQ
Solve problem
SOLVE/MODIFY
6.3Problema de la ruta m‡s cortaAplique el algoritmo de Floyd a la red de la figura 6.22.Los arcos (7,6) y (6,4) son unidi-reccionales,y todas las distancias est‡n en millas.Determine la ruta m‡s corta entre losLa compa–’a de telefon’a celular Tell-All da servicio a seis ‡reas geogr‡ficas.Las distan-cias de satŽlite (en millas) entre las seis ‡reas se dan en la figura 6.23.Tell-All necesitaSeis ni–os,Joe,Kay,Jim,Bob,Rae y Kim juegan una variante del juego infantil de lases-.S—lo algunos de los ni–os conocen el escondite de un ni–o.Luego un ni–o hacepareja con otro con el objetivo de encontrar el escondite del compa–ero.Esto puede lo-dite del ni–o designado.Por ejemplo,suponga que Joe tiene que encontrar a Kim y queJoe sabe d—nde est‡ escondido Jim,quien a su vez sabe d—nde est‡ escondido Kim.Por lotanto,Joe puede encontrar a Kim si halla primero a Jim,quien a su vez conducir‡ a Joe alescondite de Kim.La siguiente lista proporciona los paraderos de los ni–os:Joe conoce los escondites de Bob y Kim.Kay conoce los escondites de Bob,Jim y Rae.Jim y Bob conocen s—lo el escondite de Kay.Kim conoce los escondites de Joe y Bob.m’nimode contactos.ÃCu‡l es el nœmero m‡ximo de contactos?Red para el problema 2,conjunto 6.3c
2
42
5113341512753
6
7
1
3
Red para el problema 3,conjunto 6.3c
2
4
6300300400600200200100700700500
5
1
3
Cap’tulo 6Modelo de redes6.3.3Formulaci—n de programaci—n lineal del problema de la ruta m‡s cortaEsta secci—n proporciona un modelo de PL para el problema de la ruta m‡s corta.Elcorta entre dos nodos cualesquiera en la red.Al respecto,es equivalente al algoritmonodos.La PL asume que una unidad de flujo entra a la red por el nodo Por lo tanto,la funci—n objetivo del programa lineal esecuaci—n de la conservaci—n del flujoMatem‡ticamente,esto se traduce as’ para el nodo
En la red del ejemplo 6.3-4,supongamos que deseamos determinar la ruta m‡s corta del nodo 1al nodo 2;es decir,2.La figura 6.24 muestra c—mo entra la unidad de flujo en el nodoNodo 1:1 =
6.3Problema de la ruta m‡s corta
2
4
111
3306020101550100
5
x12
x13
x23
x34
x35
x42
x45
100302010601550
tiene exactamente un Ã1Ãen la fila y un Ã1Ãen la fila ,una pro-La soluci—n —ptima (obtenida por TORA,archivo 2,y la distanciaComentarios.En la PL dada,la restricci—n del nodo 5 indica que 0.El tama–o de
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3DEn el ejemplo 6.3-6,use programaci—n lineal para determinar la ruta m‡s corta entre los
Cap’tulo 6Modelo de redes
).Los datosde entrada del modelo son la matriz de distancias en las celdas B3:E6.El nodo N1 no tiene ningunacolumna porque no tiene arcos de entrada,y el nodo 5 no tiene ninguna fila porque no tiene arcosde salida.Una celda en blanco representa un segmento de ruta no existente (es decir,un arco de lon-gitud infinita).(En breve veremos c—mo se reconoce la presencia de celdas en blanco en las f—rmu-las de la hoja de c‡lculo.) Los nodos N1 y N2 se designan como nodos de sando un 1 en F3 y B7,respectivamente.Estas designaciones pueden cambiarse como se desee.Porejemplo,para determinar la ruta m‡s corta del nodo N2 al nodo N4,ingrese 1 en F4 y D7.Como se explica en la PL del ejemplo 6.3-6,las restricciones del problema tienen la formade la ecuaci—n,es decir,En la hoja de c‡lculo,B3:E6 designa la matriz de ,B9:E12 designa las,F3:F6 designa el flujo unitario de (externo),y B7:E7 designa el flujo(externo).Por lo tanto,
6.3Problema de la ruta m‡s cortaB3:E6 representan rutas bloqueadas.Podemos utilizar SUMIF en lugar de SUM,para tener eningresan las f—rmulas modificadas en la hoja de c‡lculo.Ingrese= ΩSUMIF(B3:E3,Ã0Ã,B9:E9)-F3Ingrese= ΩSUMIF(B3:B6,Ã0Ã,B9:B12)-B7Ingrese= para transponer el flujo de entrada a la columna G.unitario externo.Ingrese= en la celda H9 y c—piela en las celdas H10:H13 para calcular el flujo neto.Para la funci—n objetivo,ingrese en la celda G14=de forma equivalente,La hoja de c‡lculo ya est‡ lista para la aplicaci—n de Solver en la figura 6.25.Las celdas B9:E12representan la soluci—n del modelo.Si la celda (Ni,Nj) 1,entonces el segmento (Ni,Nj) est‡ en laruta m‡s corta.La pantalla de resultados en la figura 6.25 da la soluci—n (N1 1,N3 1).La ruta —ptima es 1 2,con una distancia total de 55 millas.Comentarios.En la mayor’a de los libros de texto,los arcos expl’citos (nodo ,nodo ,distancia)definen la red como un modelo inc—modo de manejar,sobre todo cuando la cantidad de arcos esgrande.Nuestro modelo est‡ controlado por la matriz de distancias compacta (B3:E6) y sus flu-jos externos (E3:E6) y B7:E7).Se puede argumentar,sin embargo,que nuestro modelo podr’amanejar una cantidad mucho m‡s grande de variables.Digamos que el ejemplo 6.3-6 tiene 7arcos y por consiguiente 7 variables,en contraste con 4 laci—n.Tenga en cuenta que si se utiliza SUMIF,las restricciones del flujo son queen otras presentaciones.Esto quiere decir que las 9 variables adicionales aparecens—lo en la funci—n objetivo y con coeficientes cero (entradas en blanco en B3:B6).En conse-cuencia,los en paquetes de software comerciales detectar‡n esta Ãpeculiari-dadÃy de forma autom‡tica excluir‡n las variables adicionales de la funci—n objetivo antes de
resolver el problema,con lo que producir‡n el como en otras presentaciones. Ecuaci—n del nodo N5: [0Ecuaci—n del nodo N5: [0()-E7]=0 Ecuaci—n del nodo N4: [SUM(B12:E12)Ecuaci—n del nodo N4: [SUM(B12:E12)()-D7]=0 Ecuaci—n del nodo N3: [SUM(B11:E11)Ecuaci—n del nodo N3: [SUM(B11:E11)()-C7]=0 Ecuaci—n del nodo N2: [SUM(B10:E10)Ecuaci—n del nodo N2: [SUM(B10:E10)()-B7]=0 Ecuaci—n del nodo N1: [SUM(B9:E9)
La idea es que la hoja de c‡lculo trata una celda en blanco como un valor cero.Si sucede que un problematiene una distancia cero entre nodos,la distancia cero puede reemplazarse con un valor positivo muy peque–o.La soluci—n del modelo presenta una curiosa ocurrencia.Si la restricci—n netFlow outFlow = inFlowSolver Parameters,Solver no determina una soluci—n factible,incluso si se ajusta la Solver Option.(Para reproducir esta experiencia,lasB9:E12 deben ser cero o estar vac’as.) Aœn m‡s curioso,si las restricciones se reemplazaninFlowoutFlow,se encuentra la soluci—n —ptima.No est‡ claro por quŽ ocurre esta peculiaridad,peroel problema puede estar relacionado con error de redondeo.
Cap’tulo 6Modelo de redes
proporciona el modelo para resolver el ejemplo 6.3-6.El modelo escualesquiera en un problema de cualquier tama–o.El modelo se explica en la secci—n C.9 en el
sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3EamplEx6.3-6b.txt para el problema 2,conjunto 6.3a,para hallar la rutam‡s corta entre el nodo 1 y el nodo 7.Los datos de entrada deben ser las probabilidadespuras.Use las funciones de programaci—n para imprimir y visualizar en pantalla la rutade transmisi—n —ptima y su probabilidad de Žxito.6.4MODELO DE FLUJO MçXIMOfiner’as.Se instalan estaciones intermedias de reforzamiento y bombeo a distanciasapropiadas para mover el crudo en la red.Cada segmento de tuber’a tiene una veloci-dad de descarga finita (o capacidad) de flujo de crudo.Un segmento de tuber’a puedeser unidireccional o bidireccional,segœn su dise–o.La figura 6.26 muestra una red de oleo-ductos t’pica.El objetivo es determinar la capacidad de flujo m‡xima de la red.sumidero o vertedero,utilizando arcos de capacidad infinita unidireccionales,como se),la notaci—nproporciona las capacidades de flujo en las.Para eliminar la ambigŸedad,colocamos ajunto aly ajunto al nodo ,como se muestra en la figura 6.27.
jiC
ij(C
ij, C
ji)FIGURA 6.26Red capacitada que conecta los pozos y las refiner’as por medio de estaciones reforzadoras
2
5PozosReforzadoresFuenteSumideroRefiner’as
1
4
9
7
3
6
8
6.4Modelo de flujo m‡ximo
i
jCijCji
FIGURA 6.28Ejemplos de cortes en redes de flujo
2
5
1101053030040000Corte 1Corte 3Corte 2000202020
4
3
6.4.1Enumeraci—n de cortesentre los nodos fuente y sumidero.La capacidad de cortepacidades de su conjunto de arcos.Entre los cortes posibles en la red,el corte con
Considere la red de la figura 6.28.Las capacidades bidireccionales se muestran en los arcos res-pectivos por medio de la convenci—n utilizada en la figura 6.27.Por ejemplo,el l’mite de flujopara el arco (3,4) es de 10 unidades de 3 a 4,y de 5 unidades de 4 a 3.60 unidades.Para determinar el flujo m‡ximo es necesario enumerar los cortes,una tarea
dif’cil para la red general.Por lo tanto,la necesidad de un algoritmo eficiente es imperativa.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.4APara la red de la figura 6.28,determine dos cortes m‡s y encuentre sus capacidades.
Corte
Arcos asociados
(1,2),(1,3),(1,4)2(1,3),(1,4),(2,3),(2,5)3(2,5),(3,5),(4,5)
Cap’tulo 6Modelo de redes6.4.2Algoritmo de flujo m‡ximorutas de avance nodos fuente y sumidero.Cada ruta destina una parte de o todas las capacidades de susConsidere el arco (i,j) con las capacidades bidireccionales (de dise–o).Como algunas partes de estas capacidades se destinan al flujo en el arco,losresiduos(capacidades no utilizadas,o flujo remanente) del arco se actualizan.) para representar los residuos.
ij, C
,anexamos la etiqueta [Paso 1.Para todos los arcos,iguale la capacidad residual a la capacidad de dise–o,.Sea ,y etiquete el nodo fuente con [1,y continœe con el paso 2.Paso 2.,el conjunto de nodos no etiquetados (es decir,).Si Si ,continœe con el paso 3.De lo contrario,.Continœe con el paso 4.Paso 3.aso 3.ak,i].Si ,el nodo sumideroha sido etiquetado,y se ha encontrado una ,continœe con elpaso 5.De lo contrario,designe ,y vaya al paso 2.Paso 4.(Retroceso).Si 1,no es posible avanzar;continœe con el paso 6.De locontrario,sea ,y elimine .De-,y regrese al paso 2.Paso 5.(Determinaci—n de los residuos).Defina los nodos de la ruta de avance ).Entonces el flujoen la direcci—n del flujo,y se en la direcci—n inversa;esdecir,para los nodos en la ruta,el flujo residual cambia del actual (Restaure los nodos que se eliminaron en el paso 4.Designe 1,y regresePaso 6.(Soluci—n).rutas de avance,el flujo m‡ximo en la red es
ij, C
ji)
6.4Modelo de flujo m‡ximo
(a)
4
255[5, 1][5, 2][5, 3][, ]55000005
1
3
4
250[5, 3][5, 1][5, 2][, ]05550500
1
3No hay avance(c)
4
20050505550
1
3Ruta: 1 2 3 4, f1 5
(b)Ruta: 1 3 2 4, f2 5
),,y ,respectivamente,el flujo —ptimo en el .Si .Por otra parte,si 0,el flujo —ptimo de .(Es imposible que sean positivos al mismo tiempo.)nodo intermedio.El ajuste del flujo en el paso 5 puede explicarse mediante la red deflujo simple de la figura 6.29.La red (a) proporciona la primera ruta de avance [1,2,3,4] con su flujo m‡ximo 5.Por lo tanto,los residuos de cada uno de los arcos (1,2),(2,3) y (3,4) cambian de (5,0) a (0,5),de acuerdo con el paso 5.La red (b) da ahora la[1,2,3,4] con 5.DespuŽs de hacer los ajustes delflujo necesarios,obtenemos la red (c),donde ya no son posibles m‡s rutas de avance.Lo que sucedi— en la transici—n de (b) a (c) no fue sino una cancelaci—n del flujo pre-3,y en esencia ello permite el flujos—lo en10.).El algoritmo ÃrecuerdaÃ
Determine el flujo m‡ximo en la red del ejemplo 6.4-1 (figura 6.28).La figura 6.30 proporcionaun resumen gr‡fico de las iteraciones del algoritmo.Ver‡ que es œtil comparar la descripci—n delas iteraciones con el resumen gr‡fico.) a las capacidades iniciales.Paso 1.aso 1.q,2].Establezca Paso 2.Paso 3.3,porque porque c12,c13,c14] 5m‡x [20,30,10].Establezca etiquete el nodo 3 con [30,1].Establezca Paso 2.(4,5).{2, 3, 4} (
ij, C
ji)(a, b)=(C
ij-cij, C
ji-cji)(cij, cji)(C
ij, C
ji)
Cap’tulo 6Modelo de redes
4
1
5
2
3001030020
[20, 3][30, 1]
4
1
5
2
30010301010
[30, 2][30, 2][10, 1]
4
1
5
2
30201010200
[10, 4][15, 4]
4
1
5
2
3001030020
[10, 3][20, 4][40, 2][20, 1]
4
1
5
2
30101020200
[20, 2][10, 1][10, 3]
4
1
5
2
31020010200004000200302015
(Iteraci—n 1) f1 5 20(Iteraci—n 2) f2 5 10(Iteraci—n 3) f3 5 10(Iteraci—n 4) f4 5 10(Iteraci—n 5) f5 5 10(Iteraci—n 6) No hay ruta de avance
Paso 3.[10,20] 20.Etiquete el nodo 5 con [20,3].Se logra el avan-ce.Continœe con el paso 5.Paso 5.do al nodo 1;es decir (es decir (3] S(3) S[30,1] S(1).De este modo,[1,3,5] y ,30,20} 20.Las capacidades residuales a lo largo de la ruta
6.4Modelo de flujo m‡ximoPaso 1.,y etiquete el nodo 1 con [].Establezca Paso 2.{2,3,4}.Paso 3.{20,10,10}.Establezca 2,y repita el paso 2.Paso 2.Paso 3.40.Etiquete el nodo 3 con [40,2].Designe Paso 2.0,de ah’ que el nodo 5 no pueda incluirse en Paso 3.10.Etiquete el nodo 4 con [10,3].Establezca 4,y repita el paso 2.Paso 2.{5} (observe que los nodos 1 y 3 ya est‡n etiquetados,por lo tanto,no puedenPaso 3.20.Etiquete el nodo 5 con [20,4].Se logr— una ruta de avance.VayaPaso 5.{1,2,3,4,5} y ,20,40,10,20} 10.Los residuos a lo largo de la rutaPaso 1.,y etiquete el nodo 1 con [].Establezca Paso 2.{2,3,4}.Paso 3.{10,10,10}.(Aunque los empates se rompen arbitrariamente,TORA siempre selecciona el nodo empatado con el ’ndice menor.Utilizaremos estaconvenci—n a lo largo del ejemplo.) Etiquete el nodo 2 con [10,1].Haga 2,y repitaPaso 2.Paso 3.30.Etiquete el nodo 3 con [30,2].Establezca 3,y repita el paso 2.Paso 2.aso 2.(porque c345c3550).Vaya al paso 4 para retroceder Paso 4.Retroceso..r52.Elimine el nodo 3 tach‡ndolo para ya no considerarlo en esta iteraci—n.Establezca 2,y repita el paso 2.Paso 2.Paso 3.30.Etiquete el nodo 5 con [30,2].Se logr— una ruta de avance.VayaPaso 5.{1,2,5} y 10.Los residuos a lo largo de la ruta de
Cap’tulo 6Modelo de redesTodos los arcos que parten del nodo 1 tienen residuos cero.Por lo tanto,no son posibles m‡srutas de avance.Procedemos al paso 6 para determinar la soluci—n.Paso 6.dades.El flujo en los arcos individuales se calcula restando los œltimos residuos (en la iteraci—n 6 de las capacidades de dise–o ,como lo muestra la siguiente
ij, C
ji)
Podemos utilizar TORA para resolver el modelo de flujo m‡ximo en un modo autom‡tico unaiteraci—n a la vez.Seleccione el menœy la opci—n.DespuŽsde especificar el formato de salida,vaya a la pantalla de resultados y seleccione la opci—n
o .El archivo CONJUNTO DE PROBLEMAS6.4BDetermine las capacidades excedentes para todos los arcos.Determine la cantidad de flujo a travŽs de los nodos 2,3,y 4.Tres refiner’as env’an un producto de gasolina a dos terminales de distribuci—n a travŽsde una red de oleoductos.Cualquier demanda que no puede ser satisfecha por medio de
Iterations
Maximum Flows
Solve Problem
SOLVE/MODIFY
Arco
(C
ij, C
ji)-(cij, cji)6
Cantidad de flujo
(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,5)(3,4)(3,5)(4,3)(4,5)
6.4Modelo de flujo m‡ximoRed para el problema 2,conjunto 6.4b
2
1814775000001010966504
3
4
5
Red para el problema 3,conjunto 6.4b
2
10 20
115 50 20 3
4
7
8
5
20
10
30
62010 30 50
Terminale
la red se adquiere de otras fuentes.Tres estaciones de bombeo le dan servicio a la red,como se muestra en la figura 6.32.El producto fluye en la red en la direcci—n indicadapor las flechas.La capacidad de cada segmento de ducto (mostrada directamente en losarcos) est‡ en millones de barriles por d’a.Determine lo siguiente:limitada a 50 millones de barriles por d’a.Remodele la red para incluir esta restricci—n.granjas.Algunos de los silos no pueden mandar los env’os directamente a algunas de lasgranjas.Las capacidades de las dem‡s rutas est‡n limitadas por la cantidad de camiones
Cap’tulo 6Modelo de redes
disponibles y el nœmero de viajes realizados diariamente.La siguiente tabla muestra lasciadas.En el problema 5,suponga que se permite el transbordo entre los silos 1 y 2 y los silos 2 y 3.Suponga adem‡s que se permite el transbordo entre las granjas 1 y 2,2 y 3,y 3 y 4.La capaci-dad diaria en dos direcciones m‡xima en las rutas de transbordo propuestas es de 50 (mil) lb.Un padre tiene cinco hijos (adolescentes) y cinco tareas domŽsticas que encomendarles.contraproducente.Con esto en mente,el padre les pide a sus hijos que enumeren sus pre-ferencias entre las cinco tareas,como lo muestra la siguiente tabla:1305040Silo2005903100403040200106020
6.4Modelo de flujo m‡ximo
Hijo
Tarea preferida3,4 o 5Mai1Ben1 o 2Kim1,2 o 5Ken2
El objetivo del padre ahora es terminar la mayor parte posible de tareas,al tiempoque respeta las preferencias de sus hijos.Cuatro f‡bricas producen cuatro tipos de juguetes.La siguiente tabla da una lista de losjuguetes que cada f‡brica puede producir.Todos los juguetes requieren de alguna manera la misma mano de obra y materialpor unidad.Las capacidades diarias de las cuatro f‡bricas son de 250,180,300 y 100 ju-guetes,respectivamente.Las demandas diarias de los cuatro juguetes son 200,150,350 y100 unidades,respectivamente.Determine los programas de producci—n de las f‡bricasque m‡s satisfar‡n las demandas de los cuatro juguetes.Elconsejo acadŽmico en la Universidad de Arkansas est‡ buscando representantes entreseis estudiantes que estŽn afiliados a sociedades honor’ficas.La representaci—n ante elconsejo acadŽmico incluye tres ‡reas:matem‡ticas,arte e ingenier’a.Cuando mucho dosestudiantes de cada ‡rea pueden estar en el consejo.La siguiente tabla muestra la mem-Los estudiantes calificados en las ‡reas de matem‡ticas,arte e ingenier’a se mues-
F‡brica
1,2,3
Sociedad
1,2,31,3,53,4,51,2,4,6
çrea
1,2,43,44,5,6
Cap’tulo 6Modelo de redess—lo un ‡rea.ÃPueden estar representadas las cuatro sociedades honor’ficas en el consejo?Flujo m‡ximo/m’nimo en redes con l’mites inferiores.esta secci—n asume que todos los arcos tienen l’mites inferiores de cero.En algunos modeloslos l’mites inferiores pueden ser estrictamente positivos,y podemos estar interesados en de-terminar el flujo m‡ximo o m’nimo en la red (vea el caso 6-3 en el apŽndice E).La presenciaen absoluto.El objetivo de este ejercicio es demostrar que cualquier modelo de flujo m‡xi-mo o m’nimo con l’mites inferiores positivos puede ser resuelto siguiendo dos pasos.Paso 1.Determine una soluci—n factible para la red con l’mites inferiores positivos.Paso 2.Con la soluci—n factible del paso 1,determine el flujo m‡ximo o m’nimo en laDemuestre que hallar una soluci—n factible para la red original equivale a deter-minar el flujo m‡ximo en la red despuŽs de (1) modificar los l’mites en (2)ÃconcentrarÃtodas las fuentes resultantes en una sœper fuente;(3) ÃconcentrarÃtodos los sumideros resultantes,y (4) conectar el nodode retorno.Existe una soluci—n factible si el flujo m‡ximo en la nueva red es igual ala suma de los l’mites inferiores en la red original.Aplique el procedimiento a laen la red original.(residuo dada la soluci—n factible inicial.Luego determine el flujo m‡ximo del nodo inicial al nodo final.Ahora,combinando las soluciones factible y de flujodeterminar el flujo m‡ximo en la red original.(Como en (c),inicie con lared residuo.Luego aplique el algoritmo de avance a la red residuo resultante,exacta-mente como en el modelo de flujo m‡ximo regular.)6.4.3Formulaci—n de programaci—n lineal en el modo de flujo m‡ximo .El objetivo es de-excepto en los nodos
Arco ()
(1,2)(5,20)(1,3)(0,15)(2,3)(4,10)(2,4)(3,15)(3,4)(0,20)
6.4Modelo de flujo m‡ximo
5.La siguiente tablaresume la PL asociada con dos funciones objetivo diferentes,pero equivalentes,segœn si maxi-
x12
x13
x14
x23
x25
x34
x35
x43
x45
Maximizar 1=
Maximizar 2=
1
1
1
1
1
1
20301040301020520
La soluci—n —ptima utilizando una u otra funci—n objetiva es
El flujo m‡ximo asociado es 15z2560.
).La idea general es parecida a la del modelo de la ruta m‡s corta,que se detalla siguiendoel ejemplo 6.3-6.Las diferencias principales incluyen las siguientes:(1) no hay ecuaciones deflujo para el nodo inicial 1 y el nodo final 5,y (2) el objetivo es maximizar el flujo de salida totalen el nodo inicial 1 (F9) o,de forma equivalente,el flujo de entrada total en el nodo terminal 5(G13).El archivo 13 como celda objetivo.Trate de ejecutar el modelo con
G13 reemplazando a F9.
quiera de los dos nodos en la red del ejemplo 6.4-2.El modelo se aplica a cualquier cantidad de
nodos.La explicaci—n del modelo se detalla en la secci—n C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.4CModele cada uno de los siguientes problemas como un programa lineal,luego resuŽlvaloutilizando Solver o AMPL.Problema 2,conjunto 6.4b.Problema 5,conjunto 6.4b.Problema 9,conjunto 6.4b.
Cap’tulo 6Modelo de redesRed para el problema 2,conjunto 6.4c
1
4
9
12
Y
14
13
10
11
8
7
3
6
5
2
D
Red para el problema 3,conjunto 6.4c
2
7
9
8
5
4
3
1
6
Jim vive en Denver,Colorado,y le gustar pasar sus vacaciones anuales en el ParqueNacional de Yellowstone en Wyoming.Por ser un amante de la naturaleza,Jim toma unaruta escŽnica diferente cada a–o.DespuŽs de consultar los mapas apropiados,Jim repre-sent— sus rutas preferidas entre Denver (D) y Yellowstone (Y) por medio de la red de lafigura 6.34.Los nodos 1 a 14 representan ciudades intermedias.Aunque la distancia demanejo no es un factor,la estipulaci—n de Jim es que las rutas seleccionadas entre D y Yno incluyan ciudades comunes.Determine (por medio de AMPL o Solver) todas las rutasdistintas disponibles para Jim.((GuŽret and Associates,2002,secci—n 12.1) En la figura 6.35 se aparece un sistema de tele-comunicaci—n militar que conecta 9 sitios .Los sitios 4 y 7 deben continuar comunic‡ndo-
6.5CPM y PERTFases para la planificaci—n de un proyecto con CMP-PERT
RedCronogramaTiempoActividadesdel proyecto
C‡lculode red
se incluso si otros tres sitios son destruidos por acciones enemigas.ÃSatisface este requisi-to la red de comunicaciones actual? Utilice AMPL y Solver para resolver el problema.6.5CPM Y PERTEl mŽtodo de la ruta cr’tica (CPM,por sus siglas en inglŽs) y la tŽcnica de evaluaci—n yrevisi—n de programas (PERT,por sus siglas en inglŽs) son mŽtodos basados en redesdise–ados para ayudar a planificar,programar y controlar proyectos.Un proyecto seme tiempo y recursos.El objetivo de CPM y PERT es idear herramientas anal’ticaspara programar las actividades.La figura 6.36 resume los pasos de las tŽcnicas.Primerodefinimos las actividades del proyecto,sus relaciones de precedencia y sus requeri-mientos de tiempo.Luego se modelan las relaciones de precedencia entre las activida-des como una red.El tercer paso implica c‡lculos espec’ficos para desarrollar el crono-grama.Durante la fase de ejecuci—n real,es posible que la ejecuci—n de las actividadesno discurra como se plane—,en el sentido de que algunas de las actividades pueden serdespachadas o demoradas.Cuando esto sucede,el programa se actualiza para reflejarlas realidades en el terreno.ƒsta es la raz—n por la que se incluye un bucle de retroali-Las dos tŽcnicas,CPM y PERT,se desarrollaron de forma independiente.Difieren en que CPM asume duraciones de actividad determin’sticas y PERT suponeduraciones probabil’sticas.6.5.1Representaci—n en forma de reddel proyecto.Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las di-ferentes actividades.Se dispone de tres reglas para construir la red.Cada actividad est‡ representada por uno,y s—lo un arco.de forma œnica dos actividades concurrentes,.Por definici—n,una actividad ficti-cia (representada por l’neas de rayas) no consume tiempo ni recursos.La inserci—n de
Cap’tulo 6Modelo de redesPara mantener las relaciones de precedencia correctas,hay que contestar las si-para garantizar la precedencia correcta entre las actividades.Por ejemplo,considere elhan completado.pueda iniciarse.En la parte (b),el uso de una actividad ficticia rectifica la situaci—n.
ADCBEBEAC
(
a
)(
b
)
FIGURA 6.37Uso de una actividad ficticia para representar de forma œnica actividades concurrentes
AB213
AB213
BA213
B
ABA213
6.5CPM y PERT
3
2
918
4
57
E 2
A 3
B 2D 3
6
G 2
I 2F 2
J 4
H 1
C 4
Un editor firm— un contrato con un autor para publicar un libro de texto.El autor somete a con-sideraci—n una copia impresa de un archivo de computadora del manuscrito.Las actividades
Actividad
Predecesora(s)
:Correcci—n del manuscrito,por parte del editor:Preparaci—n de p‡ginas muestra :Dise–o de la portada del libro:Preparaci—n de las ilustraciones :Aprobaci—n del manuscrito editado y dep‡ginas muestra,por parte del autorA,B:Formaci—n del libro:Revisi—n de las p‡ginas formadas,por parte del autor:Revisi—n de las ilustraciones por el autor:Producci—n de las placas de impresi—nG,H:Producci—n y encuadernaci—n del libro
La figura 6.39 proporciona la red del proyecto.Una actividad ficticia (2,3) produce nodos.Conviene numerar los nodos en
orden ascendente en la direcci—n de avance del proyecto.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5A,con las siguientes rela-,las primeras actividades del proyecto,pueden ejecutarse de forma concu-rrente.son las actividades terminales del proyecto.
Cap’tulo 6Modelo de redes,las primeras actividades del proyecto,pueden ejecutarse de forma concurrente.,pero no pueden iniciarse hasta que son las actividades terminales del proyecto.Los cimientos de un edificio pueden completarse en cuatro secciones consecutivas.Lasactividades de cada secci—n incluyen (1) cavar;(2) colocar el acero,y (3) verter el concre-to.El cavado de una secci—n no puede iniciarse hasta que se haya completado el de lasecci—n precedente.La misma restricci—n se aplica al vertido del concreto.Desarrolle lared del proyecto.En el problema 3,suponga que 10% del trabajo de plomer’a puede iniciarse al mismotiempo del cavado de la primera secci—n,pero antes de verter el concreto.DespuŽs deque se completa cada una de las secciones de los cimientos,puede iniciarse un 5% adicio-nal de la plomer’a,siempre que se termine el 5% precedente.La plomer’a restante puedecompletarse al final del proyecto.Construya la red del proyecto.Una encuesta de opini—n implica dise–ar e imprimir cuestionarios,contratar y capacitarpersonal,seleccionar a los participantes,enviar por correo los cuestionarios,y analizar losdatos.Construya la red del proyecto,mencionando todos los supuestos.
Actividad
Predecesora(s)
:Llevar los servicios al terreno:Excavar:Colar los cimientos:Plomer’a externa:Armar la estructura de la casa:Instalar el cableado elŽctrico:Colocar el piso:Colocar el techo:Plomer’a interior:Colocar tejas:Recubrimiento aislante exterior:Instalar ventanas y puertas externas:Enladrillar:Aislar muros y cielo raso:Cubrir muros y cielo raso:Aislar techo:Terminar interiores :Terminar exteriores :Jardiner’a
6.5CPM y PERTUna compa–’a est‡ preparando un presupuesto para lanzar un nuevo producto.La siguiente tabla muestra las actividades asociadas y su duraci—n.Construya la red del proyecto.
Actividad
Predecesora(s)
Pronosticar volumen de ventasÃ10:Estudiar el mercado competitivo:Dise–ar art’culo e instalaciones:Preparar el programa de producci—n:Estimar el costo de la producci—n:Fijar precio de venta:Preparar presupuesto
tabla.Construya la red del proyecto.
Actividad
Predecesora(s)
:Aprenderse la mœsica:Sacar copias y comprar libros:Audiciones :Ensayos:Rentar candelabros:Decorar los candelabros:Instalar las decoraciones:Pedir atuendos para el coro:Verificar el sistema de sonido:Seleccionar las pistas de mœsica:Instalar el sistema de sonido:Ensayo final E,G,L:Reuni—n del coroH,L,M:Programa final
pies de una l’nea de transmisi—n primaria elevada de 13.8 kV.La siguiente tabla resumelas actividades del proyecto.Construya la red del proyecto asociada.
Actividad
Predecesora(s)
:Revisi—n del trabajo:Avisar a los clientes del corte temporal de corriente
:Tiendas de requisici—n :Explorar el trabajo
:Asegurar los postes y materiales :Distribuir los postes
:Coordinar la ubicaci—n de postes
2H:Clavar estacasG1
:Cavar agujeros
Cap’tulo 6Modelo de redesLa siguiente tabla presenta las actividades para adquirir un autom—vil nuevo.Construyala red del proyecto.6.5.2C‡lculos del mŽtodo de la ruta cr’tica (CPM)Duraci—n total necesaria para completar el proyecto.nados (fijos).Una actividad es tiempo mayor que su duraci—n,lo que permite tiempos de inicio y terminaci—n flexi-bles (dentro de los l’mites).Una demora en el tiempo de inicio de una actividad cr’ticadefinitivamente retrasa la terminaci—n del proyecto,en tanto que una demora en unaactividad no cr’tica quiz‡ no afecte la fecha de terminaci—n del proyecto.
Actividad
Predecesora(s)
:Realizar estudio de factibilidad:Encontrar un comprador potencial para el autom—vil actual :Poner en lista los posibles modelos:Entrevistarse con el mec‡nico :Reunir publicidad del concesionario:Compilar los datos pertinentes:Completar los datos pertinentesD,E,F:Escoger tres modelos:Realizar prueba de manejo de las tres opciones:Conseguir garant’a y datos de financiamiento :Escoger un autom—vil :Elegir el concesionario :Buscar el color y opciones deseadas:Realizar prueba de manejo del modelo una vez m‡s:Comprar el autom—vil nuevoB,M,N
Actividad
Predecesora(s)
:Colocar los postes:Cubrir los conductores viejos:Halar los conductores nuevos :Instalar el material restante :Deflexi—n de cable:Podar ‡rboles :Reconectar la energ’a y conmutar l’neasB,M,N,O
:Energizar y conmutar la nueva l’nea
:Limpiar
6.5CPM y PERTPara realizar los c‡lculos necesarios,definimos un eventotiempo en el cual se completan las actividades y se inician las subsiguientes.En funci—nde la red,un evento corresponde a un nodo.SeanTiempo de ocurrencia m‡s temprano del evento Tiempo de ocurrencia m‡s tard’o del evento Todos los tiempos de ocurrencia se miden a partir del inicio del proyecto.El lapso () es cr’tica,entonces .De lo contrario,Los c‡lculos de la ruta cr’tica implican dos pasos:El paso retrasado mas tard’osPaso adelantado (tiempos de ocurrencia m‡s tempranos,Paso inicial.Paso general ),(),Ã,y (,Ã,y ya se calcularon,en-.PorPaso retrasado (tiempos de ocurrencia m‡s tard’os,Paso inicial.œltimo nodo son iguales a la duraci—n del proyecto.Paso general ,Ã,y ),(),Ã,y (,Ã,y ya se calcularon,el tiempo
Cap’tulo 6Modelo de redesCon base en los c‡lculos anteriores,una actividad (condiciones.teÃen el espacio de tiempo especificado.Una condici—n que no satisface las tres condi-Por definici—n,las actividades cr’ticas de una red constituyen la ruta m‡s larga
Determine la ruta cr’tica para la red del proyecto que se muestra en la figura 6.40.Todas las du-raciones est‡n en d’as.Paso adelantadoLos c‡lculos muestran que el proyecto puede completarse en 25 d’as.
563118
42
1
00
2525
1313
55
13
Terminaci—n Terminaci—n
Leyenda:
6.5CPM y PERTPaso retrasado0.Los c‡lculos pueden hacerse direc-Aplicando las reglas para determinar las actividades cr’ticas,la ruta cr’tica es 1 6,la cual,como se esperaba,abarca la res desde el inicio (nodo 1) hasta la terminaci—n(nodo 6).La suma de las duraciones de las actividades cr’ticas [(1,2),(2,4),(4,5) y (5.6)] es igual25 d’as).Observe que la actividad (4,6) satisface las dos primeras
).De ah’ que la actividad es no cr’tica.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5BDetermine la ruta cr’tica para el proyecto del problema 6,conjunto 6.5a.Determine la ruta cr’tica para el proyecto del problema 8,conjunto 6.5a.Determine la ruta cr’tica para el proyecto del problema 9,conjunto 6.5a.Determine la ruta cr’tica para el proyecto del problema 10,conjunto 6.5a.6.5.3Construcci—n del cronogramalos en la secci—n 6.5.2 para el desarrollo del cronograma.Reconocemos que para unaRed del proyecto para el problema 1,conjunto 6.5b
723
1
5
6
4
3332225267
Cap’tulo 6Modelo de redesactividad (,y inicio m‡s tard’o.Por lo tanto,el intervalo () puede programarse sin demorar todo el proyecto.Construcci—n de un programa preliminar.preliminar se ilustra con un ejemplo.
Podemos obtener un cronograma preliminar para las diferentes actividades del proyectoficada de 25 d’as.misibles mayores que sus respectivas duraciones,lo que permite una holgura (o ÃmargenÃ)al programarlas dentro de sus intervalos de tiempo asignados.po? Normalmente,es preferible iniciar cada actividad no cr’tica lo m‡s pronto posible.De estadas en la actividad.Puede ser necesario,sin embargo,retrasar el inicio de una actividad no cr’ti-ca m‡s all‡ de su tiempo de inicio m‡s temprano.Por ejemplo,en la figura 6.43,suponga queest‡ disponible.Programar tanto tan pronto como sea posible,requiere dos excavado-ras entre los tiempos 8 y 10.Podemos eliminar el traslape iniciando Si todas las actividades no cr’ticas pueden programarse lo m‡s pronto posible,el programaresultante siempre es factible.De lo contrario,pueden violarse algunas relaciones de preceden-cia si las actividades no cr’ticas se demoran m‡s all‡ de su tiempo de inicio m‡s temprano.Redes del proyecto para el problema 2,conjunto 6.5
74
72
1
5
6
3
4
3
1
2
6
5
5885443710391107510108731011512322Proyecto (a)Proyecto (b)
6.5CPM y PERTConsidere,por ejemplo,las actividades en la figura 6.43.En la red de proyecto (figura6.40),aunque ,los espacios de tiempo de entre los tiempos 6 y 9,y entre los tiempos 8 y 10,lo cual viola el requi-.Por lo tanto,es evidente la necesidad de una Ãse–al rojaÃque revelede forma autom‡tica el conflicto en el programa.Tal informaci—n se obtiene calculando los
(tambiŽn conocidos como holguras) para las actividades no cr’ticas.Determinaci—n de los flotantes.del espacio asignado de la actividad no cr’tica.Los tipos m‡s comunes son el flotante libre.Por definici—nPara una actividad no cr’tica entonces su inicio puede demorarse en cuando mucho FFsin provocar un conflicto en el programa.Cualquier demoramayor que FF(pero no mayor que TF
01
Cap’tulo 6Modelo de redesLa implicaci—n de la regla es que,si ,puede programarse una actividadgrama.De lo contrario,si ,la actividad (
Calcule los flotantes para las actividades no cr’ticas de la red del ejemplo 6.5-2,y exponga su usoal finalizar un programa para el proyecto.La siguiente tabla resume los c‡lculos de los flotantes total y libre.Para c‡lculos manuales,
i
jij
j
DijTFij j i DijFFij j i Dij
Actividad no cr’tica
Duraci—n
Flotante total (ij)
(1,3)(2,3)(3,5)313(3,6)625(4,6)1125
.Las activi-parte entre sus tiempos de terminaci—n m‡s tempranos y m‡s tard’os.Para investigar la importancia de las actividades marcadas con una se–al roja,considere la2 d’as.Esta actividad puede iniciarse en cualquier tiempoentre 0 y 2 (su FF).Por otra parte,si
6.5CPM y PERTmarcada con una se–al roja,su
menos una demora igual del tiempo de inicio de las actividades de su sucesor.
TORA incluye herramientas tutoriales œtiles para c‡lculos de CPM y para construir el cronogra-ma.Para utilizarlas seleccione las opcionesen el menœde la barra de menœs.En la pantalla de resultados tiene la opci—n de seleccionarpara producir c‡lculos paso a paso del paso adelantado,el paso retrasado,ylos flotantes o la opci—npara construir y experimentar con el cronograma.proporciona los datos para el ejemplo 6.5-2.Si elige generar los re-sultados con la opci—nTORA lo guiar‡ a travŽs de los detalles de los c‡lculos de pasoadelantado y paso retrasado.La figura 6.45 proporciona el programa producido por la opci—n CPM Bar Chart de TORApara el proyecto del ejemplo 6.5-2.La gr‡fica de barras predeterminada programa de formaautom‡tica todas las actividades no cr’ticas tan pronto como es posible.As’ puede estudiar el
Next Step
CPMBarChart
CPM Calculations
Main
CPM-Critical Path MethodQ
Resultados obtenidos con la opci—n Ãbar chartÃde TORA para el ejemplo 6.5-2 (archivo
Cap’tulo 6Modelo de redesimpacto de demorar el tiempo de inicio de una actividad no cr’tica por medio de listas desplega-bles auto explicativas en el lado izquierdo de la pantalla.El impacto de demorar una actividadno cr’tica se mostrar‡ directamente en la gr‡fica de barras junto con una explicaci—n.Por ejem-plo,si demora el inicio de la actividad en m‡s de 2 unidades de tiempo,las actividades subsi-.Espec’ficamente,dado que el flotante libre de po,si se demora en 3 unidades de tiempo,entonces el inicio de
1 unidad de tiempo.Esta situaci—n se demuestra en la figura 6.45.
proporciona el modelo para la CPM.Los datos del ejemplo 6.5-2 con-trolan el modelo.Este modelo de AMPL es una aplicaci—n œnica porque no es un problema de
optimizaci—n.Los detalles del modelo se dan en el apŽndice C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5C,as’,determine los tiempos de terminaci—n m‡sÃCu‡les son los flotantes total y libre de una actividad cr’tica? Explique.Para cada una de las siguientes actividades,determine la demora m‡xima del tiempo dese inicia en el tiempo 5,de-se inicia en el tiempo 3,y la actividad se inicia en el tiempo 7,de-En el proyecto del ejemplo 6.5-2 (figura 6.42),suponga que la duraci—n de las actividadescambia de 11 d’as a 20 y 25 d’as,respectivamente.Determine los flotantes total y libre para la red,e identifique las actividades marca-se inicia en el tiempo 5,determine los tiempos de inicio m‡s tem-requieren el mismo equipo,determine el m’nimo de uni-dades necesarias de este equipo.proyectos (a) y (b) de la figura 6.44;luego desarrolle los cronogramas en las siguientes
6.5CPM y PERTLas actividades (5,6) y (5,7) utilizan el mismo equipo,del cual s—lo una unidad est‡disponible.Todas las dem‡s actividades se inician lo m‡s pronto posible.tiempo que se observa el requisito de que (1,2),(1,3) y (1,6) utilizan una pieza deequipo especial,de la cual s—lo hay una (1) unidad disponible.Todas las dem‡s actividades se inician lo m‡s pronto posible.).Tres tareas,J1,J2 y J3 se procesan en 3 m‡quinas,M1,M2 y M3,de acuerdo con las siguientes secuencias (los tiempos de procesamiento seJ1:M3(3) Ã M1(4) Ã M2(6)J2:M2(1) Ã M3(5) Ã M2(9)J3:M3(8) Ã M2(8) Ã M1(7)M1:J1 Ã J2 Ã J3M2:J2 Ã J3 Ã J1M3:J3 Ã J1 Ã J2el espacio de trabajo de las tres tareas.do que cada operaci—n se programa a su tiempo de inicio m‡s temprano.6.5.4Formulaci—n de programaci—n lineal de CPMla red del proyecto.Por tanto,su formulaci—n como una PL es semejante a la PL delmodelo de la ruta m‡s corta (secci—n 6.3.3).La œnica diferencia es que la funci—n obje-tivo se maximiza en lugar de minimizarse.Por lo tanto,la funci—n objetivo del programa lineal es Todas las variables,,son no negativas.
Cap’tulo 6Modelo de redes
A continuaci—n se da la formulaci—n de PL del proyecto del ejemplo 6.5-2 (figura 6,40).Observeque los nodos 1 y 6 son los nodos de inicio y de terminaci—n,respectivamente.Ficticia ,y la duraci—n del proyecto es de25 d’as,pero no proporciona los datos necesarios para construir la gr‡fica de CPM.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5D6.5.5Redes PERTPERT difiere de CPM en que asume tiempos de duraci—n probabil’sticos basados en1.Tiempo optimista,el cual ocurre cuando la ejecuci—n transcurre extremada-2.Tiempo m‡s probable,el cual ocurre cuando la ejecuci—n se realiza en condi-ciones normales.3.Tiempo pesimista,el cual ocurre cuando la ejecuci—n transcurre extremada-mente deficiente.El tiempo m‡s probable,,queda en el intervalo (Basado en las estimaciones,el tiempo de duraci—n promedio,y varianza,,sete,conreemplazando a la estimaci—n œnica
, v=a b-a
6 b2
=a+4m+b
6D
,y todas las dem‡s = 0x56(H)=1,z=25, x12 (A)=1, 24 (D)=1, x45 (ficticia)=1,
A
B
C
D
E
F
Ficticia
G
H
x12
x13
x23
x24
x35
x36
x45
x46
x56
Maximizar 5
6
6
3
8
2
11
0
1
12
1111
6.5CPM y PERTprano del nodo,la probabilidad de que ocurrir‡ en un tiempo programado,,puede es-timarse como sigue:Suponga que todas las actividades en la red son estad’sticamenteindependientes,y calcule primero la media } y la varianza,var{}.Si s—lo hay una ruta
Actividad
i-j
(a, m, b)
Actividad
i-j
1Ã2(3,5,7)3Ã5(1,2,3)1Ã3(4,6,8)3Ã6(9,11,13)2Ã3(1,3,5)4Ã6(1,1,1)2Ã4(5,8,11)5Ã6(10,12,14)
La mediay la varianza ) tiene media y varianza cero.
Actividad
i-j
D
ij
vij
Actividad
i-j
D
ij
1Ã25.4443Ã52.1111Ã36.4443Ã611.4442Ã33.4444Ã61.0002Ã481.0005Ã612.444
,entonces la media es la suma de las duraciones esperadas,,de todas las actividades a lo largo de esta ruta y la varianza es la suma de las varian-zas,,de las mismas actividades.Si m‡s de una ruta conduce al nodo ,entonces es nece-sario determinar la distribuci—n estad’stica de la duraci—n de la ruta m‡s larga,un pro-dos variables aleatorias.Una suposici—n simplificadora requiere seleccionar la ruta alm‡s larga.Si dos o m‡s rutas tienen la mismamedia,se selecciona la de la mayor varianza porque refleja la incertidumbre m‡xima y,por consiguiente,conduce a una estimaci—n m‡s conservadora de las probabilidades.},la probabilidad detribuci—n normal est‡ndar,(vea la secci—n 14.4.4),es decir,aleatorias independientes.De acuerdo con el
Considere el proyecto del ejemplo 6.5-2.Para no repetir los c‡lculos de ruta cr’tica,los valoresque aparecen en la tabla se seleccionan para obtenerpara toda
=DijP{ejƒSj}=Pcej-E{ej}
2var{ej}
ƒ Sj-E{ej}
2var{ej}
s=P{zƒKj}D
Cap’tulo 6Modelo de redesLa siguiente tabla presenta la ruta m‡s larga del nodo 1 a los diferentes nodos,junto con sumedia y desviaci—n est‡ndar asociadas.
Nodo
Ruta m‡s larga
Media de la ruta
Desviaci—n est‡ndar de la ruta
Sj
Kj
5.000.500031Ã2Ã311.003.19.999341Ã2Ã451Ã2Ã4Ã514.00.83.796761Ã2Ã4Ã5Ã626.00.73.7673
Proyecto (a)
Proyecto (b)
Actividad
(a, m, b)
Actividad
(a, m, b)
Actividad
(a, m, b)
Actividad
1-2(5,6,8)3-6(3,4,5)1-2(1,3,4)3-7(12,13,14)1-4(1,3,4)4-6(4,8,10)1-3(5,7,8)4-5(10,12,15)1-5(2,4,5)4-7(5,6,8)1-4(6,7,9)4-7(8,10,12)2-3(4,5,6)5-6(9,10,15)1-6(1,2,3)5-6(7,8,11)2-5(7,8,10)5-7(4,6,8)2-3(3,4,5)5-7(2,4,8)2-6(8,9,13)6-7(3,4,5)2-5(7,8,9)6-7(5,6,7)3-4(5,9,19)3-4(10,15,20)
La siguiente tabla calcula la probabilidad de que cada nodo se realice en el tiempo Sj(espe-cificado por el analista).
Nodo
Ruta m‡s larga basada en las duraciones medias
Media de la ruta
Desviaci—n est‡ndar de la ruta21Ã25.000.6731Ã2Ã38.000.9441Ã2Ã413.001.2051Ã2Ã4Ã513.001.2061Ã2Ã4Ã5Ã625.001.37
TORA incluye un m—dulo para realizar c‡lculos PERT.Para utilizar este m—dulo,seleccione lasmenœde la barra de menœs.En la pantalla de resultados tiene la opci—n de seleccionarpara calcular la media y varianza de cada actividad,o la opci—npara calcular la media y varianza de la ruta m‡s larga a cada nodo en la red.El
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5EConsidere el problema 2,conjunto 6.5b.Las estimaciones (ci—n.Determine las probabilidades de que los diferentes nodos del proyecto se realicen
Calculations
PERT
Activity Mean/Var
Main
PERT-Program Evaluation and Review TechniqueQ
Project Planning
Ahuja,R.,T.Magnati,y J.Orlin,Network Flows:Theory,Algorithms,and Applications,Hall,Upper Saddle River,NJ,1993.Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flow,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Chames,A.,y W.Cooper,ÃSome Network Characterization for Mathematical Programming andAccounting Applications to Planning and ControlÃ,The Accounting Review,vol.42,nœm.3,p‡gs.24-52,1967.Evans,J.,y E.Minieka,Optimization Algorithms for Networks and Graphs,2a.ed.,MarcelDekker,Nueva York,1992.GuŽret,C.,C.Prins,y M.Sevaux,Applications of Optimization with Xpress-MP,sado por Susanne Heipke,Dash Optimization Ltd.,Londres,2002.Glover,F.,D.Klingman,y N.Phillips,Network Models and Their Applications in Practice,WileyNueva York,1992.Robinson,E.,L.Gao,y S.Muggenborg,ÃDesigning an Integrated Distribution System atDowBrands,Inc.Ã,Interfaces,vol.23,nœm.3,p‡gs.107-117,1993.
7.1FUNDAMENTOS DEL MƒTODO SIMPLEXEn la programaci—n lineal,el espacio de soluciones factibles forma un conjunto conve-conjunto.Un punto extremoto.En realidad,los puntos extremos son los mismos que los puntos de esquina,como seutilizaron en los cap’tulos 2,3 y 4.La figura 7.1 ilustra dos conjuntos.El conjunto (a) es convexo (con seis puntosextremos) y el conjunto (b) no lo es.soluciones.Este resultado tiene sentido intuitivamente,porque todo punto factible enextremos factibles.Por ejemplo,en el conjunto convexo (a) de la figura 7.1,una CAPêTULO 7Programaci—n lineal avanzada
Aplicaci—n de la vida real. Asignaci—n de rutas mar’timas —ptimas y de personalpara reclutamiento naval en TailandiaLa armada tailandesa lleva a cabo reclutamientos cuatro veces al a–o.Un recluta se re-bases navales filiales.Desde all’,los reclutas son transportados a la base naval principalpor barco.Las instalaciones portuarias en las bases filiales pueden restringir el tipo debuque que puede atracar en cada base.Las bases filiales tienen capacidades limitadaspero,en conjunto,las cuatro tienen suficiente capacidad para acomodar a todos los re-clutas.Durante el verano de 1983,un total de 2929 reclutas fueron transportados desdecipal.El problema tiene que ver con la determinaci—n del programa —ptimo de trans-porte de los reclutas,primero de los centros de reclutamiento a las bases filiales,yluego de Žstas a la base principal.El estudio utiliza una combinaci—n de programaci—n
lineal y entera.(Los detalles se dan en el caso 5,cap’tulo 26 en el sitio web).
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadanaci—n convexa ,identifica cualquierpleto el nœmero infinito de puntos en el espacio de soluciones.Este resultado es el
Sean y dos puntos distintos en .Si es convexo,entonces 0,tambiŽn deben estar en esto es cierto,tenemos que demostrar que el segmento de l’nea ;es decir,
Adem‡s,las condiciones de no negatividad se satisfacen porque son no negativos.CONJUNTO DE PROBLEMAS7.1A0 es convexo.ÃEs esen-2} no es convexo.una combinaci—n convexa de sus puntos extremos.Por consiguiente concluimos que cual-conocen sus puntos extremos.En el espacio de soluciones de la figura 7.2 (trazada a escala),exprese el punto interiorlos pesos asociados con cada punto extremo.
X'X"
7.1Fundamentos del mŽtodo simplex7.1.1Desde los puntos extremos hasta las soluciones b‡sicasvariables,como un vector columna que representa el lado derecho,y presenta los coeficientes de la funci—n objetivo.La PL se escribe entonces comoUtilizando el formato del cap’tulo 3,los tan las variables b‡sicas iniciales.De ah’ que las variables a cero,inc—gnitas restantes,.Dada esta definici—n,la teor’a de programaci—n li-{X | AX del espacio de soluciones de la PL,y viceversa.Por lo tanto,las soluciones b‡sicas dema del problema de la PL.Adem‡s,la restricci—n de no negatividad,,limita laproblema 4,conjunto 7.1a
154062ADCBx1x23(3, 1)456
En el apŽndice D,en el sitio web,se repasa el ‡lgebra matricial.
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaPara formalizar la definici—n de una soluci—n b‡sica,el sistema Žsimade .Un subconjunto de ,si,y s—lo si,los .Eneste caso,la matriz .Definiendo b‡sicas,entonces ,la soluci—n b‡sica asociada es,entonces es factible.Las nivel cero.inc—gnitas,
Determine todas las soluciones factibles y no factibles del siguiente sistema de ecuaciones.La siguiente tabla resume los resultados.(La inversa de todos de la secci—n D.2.7 en el sitio web).
m-m)!XB=B -1bBXB=banj=1Pjxj=b
B
BXB=b
Soluci—n
Tipo
4-3
81
4-1
8ba4b=a7
4
Factible
4-1
8-1
4-3
8ba4b=a-3
4-7
4bNo factible
TambiŽn podemos investigar el problema expres‡ndolo en forma vectorial como sigue:).Por ejemplo,para
7.1Fundamentos del mŽtodo simplex2),una base incluye exactamente dos vectores,selec-.Las matrices ()y ()forman bases porque sus vectoresasociados son independientes.Por otra parte,los vectores de la matriz ()son dependientes,y por consiguiente la matriz no es una base.Algebraicamente,una matriz (cuadrada) forma una base si su determinante no es cero (veala secci—n D.2.5 en el sitio web).Los siguientes c‡lculos muestran que las combinaciones ()son bases,y que la combinaci—n ()no lo es.
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.1BEn los siguientes conjuntos de ecuaciones,(a) y (b) tienen soluciones œnicas (b‡sicas),(c)tiene una cantidad infinita de soluciones,y (d) no tiene soluci—n.Demuestre que estos resul-tados pueden verificarse por medio de una representaci—n vectorial gr‡fica.Con este ejerci-cio,establezca las condiciones generales para la dependencia o independencia vectorial queconduzcan a una soluci—n œnica,a una infinidad de soluciones,o a ninguna soluci—n.juntos de ecuaciones siguientes:soluci—n œnica,una infinidad de soluciones,o ninguna so-
11234
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaluci—n.Para los casos de soluciones œnicas,indique a partir de la representaci—n vectorialsitivos,cero o negativos.Determine si cualquiera de las siguientes combinaciones forma una base.es no singular.diente.7.1.2Tabla simplex generalizada en forma matricialEsta secci—n desarrolla la tabla simplex general en forma matricial.Esta representa-ci—n es la base para desarrollos subsiguientes en el cap’tulo.,sujeto a b,X De forma equivalente,el problema puede escribirse como ,y sea su vector objetivo asociado.Dado que todaslas variables no b‡sicas son cero,la soluci—n se calcula entonces como (La inversi—n de matrices particionadas se da en la secci—n D.2.7 en el sitio web).
7.1Fundamentos del mŽtodo simplex,la columna de la tabla simplex asociada con la variable
B‡sica
xj
Soluci—nzCBB -1Pj -cjCBB -1bXBB-1PjB-1b
De hecho,la tabla anterior es la misma que se utiliz— en el cap’tulo 3 (vea el problema5 del conjunto 7.1c).TambiŽn incluye todas las relaciones primales-duales,desarrolla-das en la secci—n 4.2.4.Una propiedad importante de esta tabla es que la inversa es el œnico elemento que cambia con una nueva iteraci—n,lo que indica que .A este respecto,el error de redondeo computacional en cualquier tabla puede.Este resultado es una de las razones prin-
),entonces (1,4).Por tanto,
51
53
5-2
5a105b=a34bB-1=a21-1b-1=¢1
51
53
5-2
5x1, x2, x3, x4Ã03x1-x2-2x3+6x4= 52x1+x2+2x3+4x4=10Maximizar z=x1+4x2+7x3+5x4
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaPara calcular las columnas de restricci—n en el cuerpo de la tabla,tenemos Por œltimo,calculamos el valor de la funci—n objetivo comoPor lo tanto,la tabla completa puede resumirse como sigue.
51
53
5-2
2124
B‡sica
x1
x2
x3
x4
001Ã3191002301204
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.1CEn el ejemplo 7.1-3,considere ).Demuestre que la soluci—n b‡sica correspon-diente es factible,y luego genere la tabla simplex correspondiente.Verifique si cada una de las siguientes matrices forma una base (factible o no factible):),(),(En la siguiente PL,calcule la tabla simplex completa asociada con
7.2MŽtodo simplex revisado
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
00032?0011Ã1010106100Ã112
son holguras en el problema original.Use manipulaciones de ma-triz para reconstruir la PL original,y luego calcule el valor objetivo —ptimo.En la tabla simplex matriz,suponga que ,donde ,respectiva-mente.Demuestre que la tabla simplex matriz se reduce a la misma forma utilizada en elcap’tulo 3;es decir,
B‡sica
XI
XII
Soluci—nzCBB -1D -CICBB -1D - CIICBB -1bXBB -1DB -1B -1b
7.2MƒTODO SIMPLEX REVISADOda con una soluci—n b‡sica (factible).El mŽtodo simplex busca pasar de una base factible,a una base mejor (en realidad,no a una peor),simplex presentado en el cap’tulo 3.La diferencia princi-no en operaciones de filas.Como la tabla simplex completa puede calcularse a partiry la inversa actual (vea la secci—n 7.1.2),controlando la precisi—npuede mitigarse el error de redondeo de m‡quina.En el mŽtodo dela tabla simplex del cap’tulo 3,cuando se genera una nueva tabla a partir de la inme-7.2.1Desarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad,su base ,y su vector objetivo ,la tabla simplex general
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadacosto reducido de tal como se defini— en la secci—n 4.3.2,se calcula como muestra que,en el caso de maximizaci—n,un0.Paraminimizaci—n,la condici—n es 0.Por lo tanto,el vector de entradade optimalidad,las ecuaciones de restricci—n se reducen a à 1 variables no b‡sicas restantes son cero.) La idea espor encima del nivel cero,reemplazando una de lasvariables b‡sicas actuales.El requisito de que todas las ()permanezcan no;es decir,,la condici—n de no negatividad (;a saber,nima.Se desprende entonces que vector de salida,y su variableCONJUNTO DE PROBLEMAS7.2Ase muestran en la figura 7.4.Suponga que la base
(B-1Pj)i `(B-1Pj)i 7 0f(XB)i=(B-1 b)i-(B-1 Pj)ixjÃ0(XB)i=(B-1 b)i-(B-1 Pj)ixjzj-cj=CBB-1Pj-cj
7.2MŽtodo simplex revisadoentra a la base,Ãcu‡l de los dos vectores b‡sicos actuales debe salirCompruebe que,en cualquier iteraci—n simplex,asociadas.de PL de maximizaci—n (minimizaci—n),entonces la soluci—n —ptima es œnica.De lo con-trario,si no b‡sica,entonces el problema tiene una solu-En una soluci—n b‡sica inicial con holguras en la base (totales),demuestre que al utilizarla forma matricial de la tabla,en vez del procedimiento mec‡nico utilizado en la secci—n3.3,en el cual la ecuaci—n objetivo se establece comopara todas las variables en la tabla de inicio.Utilizando la forma matricial de la tabla simplex,demuestre que en una soluci—n b‡sicainicial totalmente artificial,el procedimiento de la secci—n 3.4.1 que sustituye a las varia-bles artificiales en la funci—n objetivo (por medio de ecuaciones de restricci—n),en reali-para todas las variables en la tabla de inicio.no est‡ restringida en cuanto a signo.Compruebeson no negativas,es imposible que las dosinc—gnitas,deter-0) del espacio de soluciones.Al aplicar la condici—n de factibilidad del mŽtodo simplex,suponga que .Demuestre que la solu-En la implementaci—n de la condici—n de factibilidad del mŽtodo simplex,Ãespecifica lasConsidere la PL,maximizar ,donde .Suponga quees positivo.
P2P1P4P3b
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzada,donde es un escalar positivo,y siempre que nezca como la variable de entrada,halle la relaci—n entre los valores de Responda el inciso (a) si,adem‡s,es un escalar positivo.DespuŽs de obtener la soluci—n —ptima,se sugiere que una variable no b‡sica sus valores originales,1.Como los requerimientos por unidad se reducen,se espera quetambiŽn se reducir‡ a de su valor original.ÃHar‡n estos cam-se transforme en una variable rentable? Expl’quelo matem‡ticamente.comosuvector de coeficientes objetivos.Demuestre que si ,los valores de cero.ÃCu‡l es la importancia de este resultado?7.2.2Algoritmo simplex revisadoPaso 0.Construya una soluci—n factible b‡sica de inicio,y sean da y el vector de coeficientes objetivo,respectivamente.Paso 1.apropiado.Paso 2.res no b‡sicos,detŽngase;la soluci—n —ptima es En caso contrario,determine el vector de entradaPentre todos los vectores no b‡sicos.
a1
a
En la mayor’a de las presentaciones de PL,incluidas las primeras seis ediciones de este libro,el mŽtodo depara invertir una base (vea la secci—n D.2.7 en el sitio web) se integra en el algoritmo sim-se presta f‡cilmente para los c‡lculos simplex revisados;es decir,las bases sucesivas difieren en exactamente una columna.Este detalle se elimin— en esta presentaci—n por-que hace que el algoritmo parezca m‡s complejo de lo que realmente es.Por otra parte,rara vez se utiliza laen el desarrollo de c—digos de PL comerciales,porque no est‡ dise–ado para c‡lculos au-tom‡ticos en los que los errores mec‡nicos de redondeo son un problema serio.En su lugar,se utiliza algœnmŽtodo de an‡lisis numŽrico avanzado,como el mŽtodo de (Dicho sea de paso,la inversi—n de matrices con TORA se basa en la descomposici—n de LU.)Paso 3..Si todos los elementos de son negativos o cero,detŽn-gase;la soluci—n es no acotada.En caso contrario,use la prueba de relaci—nPaso 4.Forme la siguiente base reemplazando el vector de .Dir’jase al paso 1 para iniciar una nueva iteraci—n.
7.2MŽtodo simplex revisado
El modelo de Reddy Mikks (secci—n 2.1) se resolvi— con el algoritmo simplex revisado.El mismomodelo se resolvi— por el mŽtodo de la tabla simplex en la secci—n 3.3.2.Una comparaci—n mues-tra que los dos mŽtodos son iguales.) representa los coeficientes de la funci—n objetivo,y (representan los vectores columna de las ecuaciones de restricci—n.El lado derecho de las restric-En los c‡lculos siguientes,daremos la f—rmula algebraica para cada paso y su respuestanumŽrica final,sin detallar los c‡lculos.Ver‡ que es instructivo llenar los espacios vac’os en cadapaso.Por lo tanto,Por lo tanto,C‡lculos de factibilidad:Por consiguiente,
6, 6
1, -, -f=m’n4, 6, -, -6=4B0-1P1=(6, 1, -1, 0)TXB0=(x3, x4, x5, x6)T=(24, 6, 1, 2)T5zj-cj6j=1, 2=CB0B0-1(P1, P2)-(c1, c2)=(-5,-4)CB0B0-1=(0, 0, 0, 0)XB0=B0-1b=(24, 6, 1, 2)T, z=CB0XB0=0B0=(P3, P4, P5, P6)=I, B0-1=IXB0=(x3, x4, x5, x6), CB0=(0, 0, 0, 0)x1, x2, . . ., x6Ã0
§641000120100-110010¥¶x1x2x3x4x5x6=§246¥maximizar =(5, 4, 0, 0, 0, 0) (x1, x2, x3, x4, x5, x6)T
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaLos resultados anteriores se resumen en el conocido formato de tabla simplex,y en esenciademuestran que los dos mŽtodos son lo mismo.
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã5Ã400000
Utilizando un mŽtodo de inversi—n apropiado (vea la secci—n D.2.7 en el sitio web),entonces Por lo tanto,As’ que,C‡lculos de factibilidad:Por consiguiente,sale de la base.(Ver‡ que es œtil resumir estos resultados en el formato de tabla sim-
2
3 , 2
4
3 , 5
5
3 , 2
1 s= m’n E6, 3
2 , 3, 2F= 3
2B1-1P2=( 2
3 , 4
3 , 5
3 ,1)TXB1=(x1, x4, x5, x6)T=(4, 2, 5, 2)T{zj-cj}j=2, 3=CB1B1-1(P2, P3)-(c2, c3)=(- 2
3 , 5
6 )CB1B1-1=( 5
6 , 0, 0, 0)XB1=B1-1b=(4, 2, 5, 2)T, z=CB1XB1=20B1-1=§1
6000-1
61001
60100001¥ =§60001100-1010¥ B1=(P1, P4, P5, P6) XB1=(x1, x4, x5, x6), CB1=(5, 0, 0, 0)
7.2MŽtodo simplex revisadoDe modo que,Por tanto,En consecuencia,es —ptimo,y los c‡lculos terminan.
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.2BEn el ejemplo 7.2-1,resuma los datos de la iteraci—n 1 en el formato de tabla de la sec-Resuelva las siguientes programaciones lineales por medio del mŽtodo simplex revisado.
4 , 1
2 )CB2B2-1=( 3
4 , 1
2 , 0, 0)XB2=B2-1b=(3, 3
2 , 5
2 , 1
2 )T, z=CB2XB2=21B2-1=€1
4-1
200-1
83
4003
8-5
4101
8-3
401µ =§64001200-1110¥B2=(P1, P2, P5, P6)XB2=(x1, x2, x5, x6)T, CB2=(5, 4, 0, 0)
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaProblema 3 (ignore ladada de inicio)..Los pasos de este mŽtodo (utilizando manipulaciones dePaso 0.Paso 1.,los valores actuales de las variables b‡sicas.Seleccione la va-como la que tiene el valor m‡s negativo.Si todos los elementosson no negativos,detŽngase;la soluci—n actual es factible (y —ptima).Paso 2.,calcule los coeficientes de restricci—n0,hay una soluci—n no factible.
(B-1Pj)r `, (B-1Pj)r 6 0fXB0XB0x1, x2, x3, x4, x5, x6Ã0 x1+x2- 3x3+x4 +x5 =12 x2- x3+x4 +3x6 =8 x2- x3 +x5+ x6 =6Minimizar =7x2+11x3-10x4+26x6XB0=(x2, x4, x5)Tx1, x2, x3, x4Ã02x1+3x2 - x3+ x4 Ã183x1- x2+ x3+2x4 ƒ20 x1+7x2+3x3+7x4 ƒ46Minimizar =5x1-4x2+6x3+8x4x1, x2Ã0x1+2x2ƒ3 4x1+3x2Ã6 3x1+x2=3Minimizar =2x1 + x2
7.3Algoritmo de variables acotadasPaso 3.).Calcule la nueva inversa y vaya al paso 1.7.3ALGORITMO DE VARIABLES ACOTADASEn modelos de PL,las variables pueden tener cotas superiores e inferiores expl’citas.Por ejemplo,en instalaciones de producci—n,las cotas inferior y superior pueden re-presentar las demandas m’nimas y m‡ximas de determinados productos.Las variablesa las cotas.Primero consideramos las cotas inferiores por-que su tratamiento es sencillo.Dada ,sustituya (cuya cota inferior ahora es igual a cero).La Luego considere las restricciones de acotamiento superior,.La idea desustituci—n directa (es decir,,no garantiza que permanecer‡ no negativa.Por lo tanto,se re-quiere un procedimiento diferente.Tiene en cuenta las cotas superiores ,impl’citamente al modificar la condici—n,y su-dad).Entonces,,la ecuaci—n de restric-es negativa o positiva,respectivamente.Por lotanto,al determinar el valor del vector de entrada ,deben satisfacerse tres condiciones.La variable b‡sica permanece no negativa,es decir (no excede su cota superior,es decir (
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadano puede asumir un valor mayor que su cota superior,es decir,,donde 0 es la misma que en el mŽtodo simplex regular.Combinando las tres restricciones,condiciones,es decir,,o las dos),introduce la soluci—n en el nivel .Suponiendo que (salida,entonces tenemos las siguientes reglas:sale de la soluci—n b‡sica (se vuelve no b‡sica) en el nivel cero.Lavariables de entrada y salida,respectivamente..La nueva iteraci—n se gene-,con una modificaci—n que tiene en cuenta el hecho.Como los valores de todaslas variables no b‡sicas estŽn en el nivel cerode que Žste es el caso!),la nueva (no b‡sica,en la cota superior se convierteen una variable no b‡sica en el nivel cero.Eso se logra con la sustituci—n de (99,donde (990.Es intrascendente si la sustituci—n se haceantes o despuŽs de que se calcule la nueva base.:El vector b‡sico Xcota superior.Esto significa que rior.El œnico cambio requerido en la tabla es utilizar la sustituci—n (xpara garantizar que todas las variables no b‡sicas est‡n en el nivel cero.puede romperse arbitrariamente.Sin embargo,es preferible,siempre que sea posible,implementar la regla de porque implica menos c‡lculos.
AB-1PjBi `B-1Pji60sAB-1bBi-AB-1PjBi xjƒAUBBixjƒu1= m’nic(B-1b)i
(B-1Pj)i `AB-1PjBi70s
7.3Algoritmo de variables acotadas
de TORA para producir las iteraciones simplex asociadas (archivo
simplex
BoundedQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve problemQ
.Esto significa que si se utiliza el mŽtodo simplex revisado,todos losc‡lculos (p.eje.,en cada iteraci—n (vea el problema 5,conjunto 7.3a,para m‡s detalles).
Resuelva el siguiente modelo de PL con el algoritmo de acotamiento superior.7,donde 0 Para que los detalles computacionales no lo ÃdespistenÃ,no utilizaremos el mŽtodo simplexrevisado para realizar los c‡lculos.En su lugar,utilizaremos la forma de tabla compacta.Los pro-blemas 5,6 y 7,conjunto 7.3a,abordan la versi—n revisada del algoritmo.
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
Ã3Ã5Ã200351121072430115
Tenemos .Dado que 5),tenemos Luego,dada la cota superior en la variable de entrada,3,por consiguiente
1 , 15
4 f=3.75, correspondiente a x5B-1P2=(1, 4)T
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadano cambia,y .La sustituci—n de
B‡sica
x1
x2œ
x3
x4
x5
Ã35Ã200501Ã121042Ã43013
.Por lotanto,en iteraciones futuras..El vector b‡sico Luego,dado Por lo tanto,,la variable de entrada sica en el nivel cero,lo cual da por resultado
1 , 3
2 f=1.5, correspondiiente a la x5 b‡sica
B‡sica
x1
x2œ
x3
x4
x5
0Ã1
203
2109
2x4011
21- 1
25
1Ã2
201
23
2
raci—n 0.Seleccionamos a como la variable de entrada,y,observando que ,obtenemos Por lo tanto,
2 -4
-2 f=1.25, correspondiente a la x1 b‡sica 1= m’n e 5
2
1 , -f=2.5, correspondiente a la x4 b‡sicaB-1P2œ=(1, -2)Tbœ=(4, 3)TXB=Ax4, x1BT=B-1bœ=A 5
2 , 3
2B T,B-1=a1-1
201
2b
7.3Algoritmo de variables acotadas.La nueva tabla es
B‡sica
x1œ
x2œ
x3
x4
x5
0Ã1
203
2109
2x4011
21- 1
25
Ã1Ã2
201
2- 5
2
Luego,la variable de entrada se vuelve no b‡sica,de
B‡sica
x1œ
x2œ
x3
x4
x5
Soluci—nz1
207
405
4223
4x4-1
205
41-1
45
4xœ21
21- 3
40-1
45
4
La œltima tabla es factible y —ptima.Observe que los œltimos dos pasos pod’an haber sidoinvertidos;es decir,primero podr’amos hacer b‡sica a ,(ÃpruŽbelo!).Sin embargo,la secuencia aqu’ presentada implica menos c‡lculos.Finalmente,obtenemos .El valor —ptimo asociado de la funci—n objetivo esCONJUNTO DE PROBLEMAS7.3AResuelva el problema gr‡ficamente,y trace la secuencia de puntos extremos queconduce a la soluci—n —ptima.(Puede utilizar TORA).Resuelva el problema por el algoritmo de acotamiento superior,y demuestre que elgr‡fica (puede utilizar TORA para generar las iteraciones).
4 .7+ 7
4 = 35
43- 5
4 = 7
4 , y x3=0.
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaEn los siguientes problemas,algunas de las variables tienen cotas inferiores positivas.Useel algoritmo de acotamiento para resolver estos problemas.Considere la definici—n de matriz del problema de variables acotadas.Suponga que el),donde
7.3Algoritmo de variables acotadasque ser‡n sustituidas en la cota superior durante el curso del algoritmo.El problema,sea .Demuestre que la tabla simplex general asociada se da como En el ejemplo 7.3-1,haga lo siguiente:En la iteraci—n 1,compruebe queaplicando manipulacio-nes matriciales.En la iteraci—n 2,demuestre como puede calcularse les del problema.Luego verifique los valores dados de b‡sica yaplicando ma-nipulaciones matriciales.para variables con cotas superiores.Algoritmo simplex dual de acotamiento.puede modificar para que acepte las variables acotadas como sigue.Dada la restricci—nes infinita,reempl‡cela con una cota superior su-),el problema de PL se transforma en una factible dual (es decir,primal —ptima) al utilizar la sustituci—n,donde sea necesario.Paso 1.excede su cota superior,use.Vaya al paso 2.Paso 2.Si todas las variables son factibles,detŽngase.En caso contrario,seleccione lacomo la variable b‡sica que tiene el valor m‡s negativo.Avance al paso 3.Paso 3.mŽtodo simplex dual regular (secci—n 4.4.1).Vaya al paso 4.Paso 4.Cambie la base.Vuelva al paso 1.
2, 3
2 BT
B‡sica
XzT
Xu¿T
Soluci—nzCBB-1Dz-Cz-CBB-1Du+CuCuB-1B-1(b-DuUu)+CuUuXBB-1Dz-B-1DuB-1(b-DuUu)
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzada7.4DUALIDADEsta secci—n presenta un riguroso tratamiento de la dualidad.La presentaci—n tambiŽn7.4.1Definici—n matricial del problema dual).Las reglas dadas en la tabla 4.1YA CONJUNTO DE PROBLEMAS7.4A7.4.2Soluci—n dual —ptimama.Sea actual,y defina a Teorema 7.4-1 Teor’a de la dualidad dŽbilPara cualquier par de soluciones primal yPara el par —ptimo(blemas.Multiplicando con anterioridad ambos lados de las restricciones del problema
7.4DualidadTambiŽn,para el problema de minimizaci—n,multiplicando posteriormente ambos lados0),obtenemos Por lo tanto,de acuerdo con (1) y (2),en (1),yYA en (2).Asimismo,la designaci—n de los problemas como primales oduales es irrelevante.Lo importante es el sentido de optimizaci—n en cada problema;esdecir que,para cualquier par de soluciones factibles,el valor objetivo en el problema deLa implicaci—n del teorema es que,dada factibles,el m‡ximo de son iguales.Una consecuencia de este resultado es que la ÃbondadÃde cualesquier so-) con.Cuanto m‡s peque–a sea la relaci—n,m‡s cercanasest‡n las dos soluciones de ser —ptimas.La objetivo —ptimo sea.est‡ acotado,entonces el otro problema debe ser no factible.Si no lo est‡,entoncesambos problemas tienen soluciones factibles,y la relaci—n debe mantenerse;loSi un problema es no factible,entonces el otro tambiŽn puede ser no factible,Teorema 7.4-2.ci—n dual factible y que,de acuerdo con el teorema 7.4-1,;es decir,(Vea la secci—n 7.2.1).Por lo tanto,YA ,lo que demuestra que tisface las restricciones duales,YA
22(w-z)
z+wz+w
2YAXÃCX=z
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaAsimismo,dada la soluci—n primal ,tenemosprecios sombra Motivaci—n para el algoritmo simplex dual.representa la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de las restricciones duales.,loque significa que la restricci—n dual correspondiente,,no se satisface.Cuandose alcanza la primal —ptima,tenemos ,y se obtiene la soluci—nfactible.Por lo tanto,as’ como el problema primal busca laoptimalidad,el problema dual busca la factibilidad.Este punto es la base para elfactibilidad en la œltima iteraci—n.Esto contrasta con el mŽtodo simplex (primal)(cap’tulo 3),el cual permanece peor que —ptimo pero factible hasta que se alcanza la
).Escriba el dual,y encuentre la soluci—n —p-Tenemos (3,0).La base —ptima y su inversa son
7.4DualidadAmbas soluciones son factibles,y 15(ÃcompruŽbelo!).Por lo tanto,las dos soluciones
son —ptimas.CONJUNTO DE PROBLEMAS7.4BVerifique que el problema dual del ejemplo numŽrico dado al final del teorema 7.4-1 escorrecto.Luego verifique gr‡ficamente que tanto el problema primal como el dual no tie-nen una soluci—n factible.Demuestre por inspecci—n que la primal es no factible.A partir de los problemas 1 y 2,desarrolle una conclusi—n general con respecto a larelaci—n entre no factiblidad y no acotamiento en los problemas primales y duales.En cada uno de los siguientes casos,primero compruebe que la base dada ble para la primal.Luego,utilizando ,calcule los valores duales,y verifi-que si la soluci—n primal es —ptima o no lo es.
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadaVerifique que no b‡sicas.,y tres restricciones del tipo .Las holguras.Suponga que la base —ptima es ),y su inversa es luci—n factible.7.5PROGRAMACIîN LINEAL PARAMƒTRICAdo en la secci—n 4.5.Investiga el efecto de las variaciones continuas En el an‡lisis paramŽtrico,la funci—n objetivo y los vectores del lado derecho,)y ),donde variaci—n.Matem‡ticamente,puede asumir cualquier valor positivo o negativo.EnLuego,utilizando las condiciones de optimalidad y factibilidad del mŽtodo simplex,de-tible.En este caso,valor cr’tico.El proceso continœa determinandovalores cr’ticos sucesivos y sus soluciones factibles —ptimas correspondientes.El an‡li-sis post—ptimo termina cuando,independiente de ,la œltima soluci—n no cambia y nohay ninguna otra indicaci—n de que exista una soluci—n factible.
7.5Programaci—n lineal paramŽtrica7.5.1Cambios paramŽtricos en CSeanlos elementos que definen la soluci—n —ptima asociada con como su base —ptima).Luego se determinan ely su base —ptima,si existe una.Como los cambios en tar s—lo la optimalidad del problema,la soluci—n actualen tanto el costo reducido,),satisfaga la siguiente con-)sea lineal en ),lineal o no lineal,es aceptable.Sin embargo,con no linealidad,problema 5,conjunto 7.5a,para una ilustraci—n del caso no lineal).
Tenemosse utilizar‡n como variables de holgura asociadas con las tres restricciones.
B‡sica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
400120160
4101
2-1
405x33
010
200Ã21110
B0-1=£1
2-1
4001
211
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzada,sonPor lo tanto,permanece —ptima con ,donde El costo reducido es igual a cero en Por lo tanto,1.En este caso,—ptima en 0).La nueva soluci—n b‡sices la soluci—n alternativa obtenida en 1 al per-entre a la base;es decir,Base —ptima alternativa en Por lo tanto,,y tenemosDe acuerdo con estas condiciones,la soluci—n b‡sicapermanece —ptima para todas las 0,Ãnos recuerdaÃde forma autom‡tica que1.ƒste
2, -2+2t, 5+5t
2 BÃ0 CB1(t)=(0, 5+5t, 0) XB1=(x4, x3, x6)T=B1-1b=(10, 30, 30)TB1=£110020, B1-1=£1-1
2001
001
t
x1
x2
x3
05300030
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.5AEn el ejemplo 7.5-1,suponga que no est‡ restringida en cuanto al signo.Determine eldentro del cual permanece —ptima.
7.5Programaci—n lineal paramŽtricaResuelva el ejemplo 7.5-1,suponiendo que la funci—n objetiva se da comoEstudiar la variaci—n de la soluci—n —ptima de la siguiente PL parametrizada,dado que el mŽtodo simplex (primal).En algunos problemas puede ser m‡s conveniente obtener lasoluci—n —ptima mediante el mŽtodo simplex (secci—n 4.4.1).Demuestre c—mo puede rea-lizarse el an‡lisis paramŽtrico en este caso,luego analice la programaci—n lineal del ejem-plo 4.4-1,suponiendo que la funci—n objetivo se da como En el ejemplo 7.5-1,suponga que la funci—n objetivo es no lineal en 7.5.2Cambios paramŽtricos en b
Ejemplo 7.5-2sujeto ax1, x2, x3Ã0 x1+4x2ƒ30-7t 3x1+2x3ƒ60+2t x1+2x2+ x3ƒ40-tMaximizar =3x1+2x2+5x3XB(t)=B-1b(t)Ã0Maximizar =(3+2t2)x1+(2-2t2)x2+(5-t)x3Minimizar =(3+t)x1+(2+4t)x2+x3, tÃ0x1, x2, x3Ã0 x1+2x2+5x3ƒ4 4x1+3x2+2x3Ã6 3x1+x2+2x3=3Minimizar =(4-t)x1+(1-3t)x2+(2-2t)x3z=(3+t)x1+(2+2t)x2+(5-t)x3z=(3-2t)x1+(2+t)x2+(5+2t)x3z=(3+3t)x1+2x2+(5-6t)x3
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzada0,el problema es idŽntico al del ejemplo 7.5-1.Por lo tanto tenemos ,aplicamos las condiciones de factibilidad.Sin embargo,los valores de las varia-bles b‡sicas,,y se volver‡ ne-gativa paraPor lo tanto,enpodemos determinar la base alternativa do el mŽtodo simplex dual revisado (vea el problema 5,conjunto 7.2b para los detalles).La va-Base alternativa enes la variable de salida,determinamos la variable de entrada como sigue:Por lo tanto,Luego,para 1.4,5,calculamos Por tanto,la variable de entrada est‡ asociada cones el vector de entrada.La soluci—n b‡sica alternativa y su yson
401
201-1
2-1
2XB1=(x2, x3, x4)TB1-1u=m’ne-, `1
-2`, -f=1
2=(2, -2, 1)= (-2, 1, 1 ) (P1, P4, P5)(Fila de B0-1 asociada con x6) P1, P4, P5 =(Tercera fila de B0-1 ) (P1, P4, P5){zj-cj}j=1, 4, 5=ECB0B0-1Pj-cjFj=1, 4, 5=(4, 1, 2)XB0=(x2, x3, x6)T, CB0=(2, 5, 0)t=t1= 10
3t= 10
3 ,t7 10
3 .t=t1= 10
30ƒtƒ 10
3£x2x3x6=£5-t30+t10-3tã0Q0ƒtƒ10
3Qt1=10
3XB0(t)=B0-1b(t)Ã0,B0-1=£1
2-1
400 1
2 11
7.5Programaci—n lineal paramŽtrica,las cuales dan por resultadodo.La variable de salida es Base alternativa enes la variable de salida,determinamos la variable de entrada como sigue:Por lo tanto,Luego,para 1,5 y 6,calculamosComo todos los elementos del denominador,son 0,el problema no tieneuna soluci—n factible para,y el an‡lisis paramŽtrico termina en
7 .t7 30
7( 1
4, 0, 1
4 ),=A1
4, 0, 1
4B=A0, 0, 1
4B1P1, P5, P62 1Fila de B1-1 asociada con x2211, P5, P62=1Primera fila de B1-1211, P5, P62{zj-cj}j=1, 5, 6=ECB1B1-1Pj-cjFj=1, 5, 6=(5, 5
2, 1
2)XB1=(x2, x3, x4)T, CB1=(2, 5, 0) t=t2= 30
7t=t2= 30
7 ,£x2x3x4=£30-7t
430+t-10+3t
2£00Q10
3ƒtƒ30
7Qt2=30
7XB1(t)=B1-1bÃ0
t
x1
x2
x3
z0ƒtƒ 10
305-t30+tt160+310
3 ƒtƒ 30
7030-7t
430+t165+ 3
2 tt7 30
7(No existe soluci—n factible)
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.5BEn el ejemplo 7.5-2,encuentre el primer valor cr’tico,,y defina los vectores de Estudie las variaciones en la soluci—n —ptima de la siguiente PL parametrizada,dada
Cap’tulo 7Programaci—n lineal avanzadadiante el mŽtodo simplex (primal).En algunos problemas puede ser m‡s conveniente ob-tener la soluci—n —ptima mediante el mŽtodo simplex dual (secci—n 4.4.1).Demuestrec—mo puede realizarse el an‡lisis paramŽtrico en este caso,y luego analice la PL delejemplo 4.4-1,asumiendo que puede ser positiva,cero o negativa.7.6MçS TEMAS DE PROGRAMACIîN LINEALde IO especializados) que se abordan en el cap’tulo 22,en el sitio web.Problema de flujo de capacitado de costo m’nimo,incluida la formulaci—n de PLAlgoritmo de descomposici—n de Danzig-Wolfe.Algoritmo de punto interior de Karmarkar.Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Chvˆtal,V.,Linear Programming,Freeman,San Francisco,1983.Nering,E.,y A.Tucker,Linear Programming and Related Problems,Academic Press,Boston,R.,Linear Programming:A Modern Integrated Analysis,Kluwer Academic Publishers,Boston,1995.Vanderbei,R.,Linear Programming:Foundation and Extensions,3a.ed.,Springer,Nueva York,
8.1FORMULACIîN DE UNA PROGRAMACIîN DE METASLa idea de la programaci—n de metas se ilustra con un ejemplo.
Ejemplo 8.1-1(Planificaci—n tributaria)Fairville es una peque–a ciudad con una poblaci—n de aproximadamente 20,000 habitantes.Labase tributaria anual por el impuesto predial asciende a $550 millones.Las recaudaciones anua-les por alimentos y medicinas as’ como por ventas generales es de $35 y $55 millones,respecti-vamente.El consumo anual de gasolina local se estima en 7.5 millones de galones.El concejopuestos recaudados.CAPêTULO 8
Aplicaci—n de la vida real. Asignaci—n de tiempo de quir—fano en el hospitalLa situaci—n ocurre en Canad‡,donde el seguro de asistencia mŽdica es obligatorio yuniversal.El financiamiento,basado en una combinaci—n de primas e impuestos,locontrolan las provincias.Segœn este sistema,a los hospitales se les asigna un presu-puesto anual fijo,y cada provincia les paga posteriormente a los mŽdicos por medio deun mecanismo de financiamiento de pago por servicio.Este arreglo de financiamientolimita la disponibilidad de las instalaciones hospitalarias (por ejemplo quir—fanos),loatenci—n de m‡s a sus pacientes.El objetivo del estudio es determinar un programadiario equitativo para el uso de los quir—fanos disponibles.El problema se modela apli-cando una combinaci—n de programaci—n de metas y entera.(El caso 6 en el cap’tulo
26,en inglŽs,del sitio web proporciona los detalles del estudio).
Este ejemplo est‡ basado en Chissman and Associates,1989
Cap’tulo 8Programaci—n de metastos recaudados.tributarias) sobre la propiedad,alimentos,medicinas y ventas generales,y defina la variable como el impuesto sobre la gasolina en centavos por gal—n.Las metas del concejo municipal seaspira satisfacer.Es muy probable,sin embargo,que lo mejor que se puede hacer sea una solu-ci—n compromiso que implique estas metas conflictivas.si es necesario.En funci—n del modelo de Fairville,las metas flexibles se expresan como sigue:Las variables no negativasy ,1,2,3,4 son variables de desviaci—n Las variables de desviaci—n y son dependientes por definici—n,y de ah’ que no puedenser las variables b‡sicas al mismo tiempo (de acuerdo con la teor’a del mŽtodo simplex).Esto sig-nifica que en cualquier iteraci—n simplex,no m‡s de asumir un valor positivo.Si la desigualdad 0,entonces se-Žsima;en caso contrario,no se satisface la meta .En esencia,la definici—n de y permite satisfacer o violar la meta Žsima a voluntad.ƒste es el tipo de flexibilidad que ca-racteriza a la programaci—n de metas cuando se busca una soluci—n compromiso.L—gicamente,
8.1Formulaci—n de una programaci—n de metasEn el modelo de Fairville,dado que las tres primeras restricciones son del tipo ,las variables de desviaci—n,,y (que en el modelo aparecen en negritas)representan las cantidades por las cuales se violan las metas respectivas.Por lo tanto,la soluci—nEstas funciones se minimizan sujetas a las ecuaciones de restricci—n del modelo.este fin se desarrollaron dos mŽtodos:(1) el mŽtodo de los pesos,y (2) el mŽtodo preventivo.Ambos mŽtodos se basan en la conversi—n de los mœltiples objetivos en una sola funci—n.La sec-
ci—n 8.2 proporciona los detalles.CONJUNTO DE PROBLEMAS8.1AFormule el problema fiscal de Fairville,suponiendo que el concejo municipal especifiqueuna meta m‡s,,que requiera que el impuesto sobre la gasolina sea igual por lo menosEl Centro Comercial NW gestiona eventos especiales para atraer clientes potenciales.Entre los eventos que parecen atraer a los adolescentes,al grupo de j—venes de medianaedad y a los adultos mayores,los dos m‡s populares son los conciertos de bandas y las ex-posiciones de arte.Sus costos por presentaci—n son de $1500 y $3000,respectivamente.Elpresupuesto anual (estricto) total asignado a los dos eventos es de $15,000.El gerente delEl gerente ha fijado metas m’nimas de 1000,1200 y 800 para la asistencia de adolescen-tes,personas de mediana edad y adultos mayores,en ese orden.Formule el problemacomo un modelo de programaci—n de metas.diantes de primer a–o para el a–o acadŽmico venidero.Las solicitudes caen dentro detres categor’as:estudiantes del estado,de fuera del estado,e internacionales.Las relacio-para estudiantes internacionales,la relaci—n correspondiente es de 8:1.La calificaci—n enel Examen de Universidades Americanas (ACT,por sus siglas en inglŽs) es un importan-te factor en la aceptaci—n de nuevos estudiantes.Las estad’sticas recopiladas por la uni-versidad indican que las calificaciones promedio de estudiantes del estado,fuera del esta-do e internacionales,son de 27,26 y 23,respectivamente.El comitŽ de admisiones haQue la clase que empieza sea por lo menos de 1200 estudiantes.
Cantidad de personas que asisten por presentaci—n
Evento
Adolescentes
Mediana edad
Adultos mayoresConcierto de bandas 200
Cap’tulo 8Programaci—n de metasQue los estudiantes internacionales constituyan por lo menos 10% de la clase.Que los estudiantes de fuera del estado comprendan por lo menos 20% de la clase.Formule el problema como un modelo de programaci—n de metas.Las granjas Circle K consumen 3 toneladas diarias de un alimento especial,el cual est‡constituido por una mezcla de piedra caliza (carbonato de calcio),ma’z y soya,y queCalcio.Al menos 0.8%,pero no m‡s de 1.2%.Por lo menos 22%.La siguiente tabla muestra el contenido nutricional de los ingredientes alimenticios.Formule el problema como un modelo de programaci—n de metas,y establezca su opi-Mantel produce un carruaje de juguete,cuyo ensamble final debe incluir cuatro ruedas ydos asientos.La f‡brica que produce las piezas trabaja tres turnos al d’a.La siguientetabla proporciona las cantidades producidas de cada pieza en los tres turnos.Idealmente,la cantidad de ruedas producidas es el doble de la de asientos.Sin embargo,como las tasas de producci—n var’an de turno a turno,el balance exacto en la producci—npuede no ser posible.A Mantel le interesa determinar la cantidad de corridas de produc-ci—n en cada turno que minimice el desbalance en la producci—n de las piezas.Las limita-ciones de la capacidad restringen las corridas a entre 4 y 5 para el turno 1;10 y 20 para elturno 2,y 3 y 5 para el turno 3.Formule el problema como un modelo de programaci—nde metas.dro vertical.Las dos m‡quinas operan 10 horas al d’a.La siguiente tabla proporciona el
lb por lb de ingrediente
Ingrediente
Calcio
Prote’na
Piedra caliza.380.00.00.001.09.02.002.50.08
Unidades producidas por carrera de producci—n
Turno
Ruedas
Asientos150030026002803640360
8.1Formulaci—n de una programaci—n de metasci—n totales a lo sumo a 30 minutos.La demanda del mercado de cada pieza es de almenos 10 unidades.Adem‡s,la cantidad de unidades de la pieza 1 no puede exceder la dela pieza 2.Formule el problema como un modelo de programaci—n de metas.Se fabrican dos productos en dos m‡quinas secuenciales.La siguiente tabla da los tiem-pos de maquinado en minutos por unidad para los dos productos.Las cuotas de producci—n diarias para los dos productos son de 80 y 60 unidades.Cadam‡quina opera 8 horas al d’a,y si es necesario,aunque no deseable,puede utilizarsetiempo extra para satisfacer las cuotas de producci—n.Formule el problema como un mo-delo de programaci—n de metas.El hospital de Vista City planea la asignaci—n de camas sobrantes (las que no estŽn yaocupadas) para estancias cortas,con 4 d’as de anticipaci—n.Durante el periodo de planifi-caci—n de 4 d’as,alrededor de 30,25 y 20 pacientes requerir‡n estancias de 1,2 o 3 d’as,respectivamente.Las camas sobrantes durante el mismo periodo se estiman en 20,30,30y 30,respectivamente.Aplique la programaci—n de metas para resolver el problema deLa familia Von Trapp planea irse a vivir a una nueva ciudad donde los dos padres hanaceptado nuevos trabajos.Al tratar de encontrar una ubicaci—n ideal para su nuevohogar,los Von Trapp enumeran las siguientes metas:Debe estar lo m‡s cerca posible al lugar de trabajo de la se–ora Von Trapp (alrede-dor dede milla).El se–or y la se–ora Von Trapp utilizan un sitio destacado en la ciudad como punto) del lugar de trabajo,el aeropuerto y elcentro comercial en (1,1),(20,15) y (4,7),respectivamente (todas las distancias est‡n enmillas).Formule el problema como un modelo de programaci—n de metas.(tricciones resultantes son no lineales.)En un experimento de laboratorio,suponga que 1,2,Ã,1,2,...,.Se desea determinar una regresi—n lineal que enca-je en estos datos.Sea 0,1,Ã,,los coeficientes de la regresi—n.Se desea determi-
4
Tiempo de producci—n en min
Pieza
Torno
Taladro vertical153262346474
Tiempo de maquinado en min
M‡quina
Producto 1
153262
Cap’tulo 8Programaci—n de metasobservados y los estimados sea m’nima.Formule el problema como un modelo de pro-gramaci—n de metas.Problema de Chebyshev.Una meta alterna para el modelo de regresi—n del problema 10el m‡ximo de las desviaciones absolutas.Formule el problemacomo un modelo de programaci—n de metas.8.2ALGORITMOS DE PROGRAMACIîN DE METASEsta secci—n presenta dos algoritmos para resolver la programaci—n de metas.Ambosvo.En el ,la funci—n objetivo œnica es la suma ponderada de las fun-ciones que representan las metas del problema.El mŽtodo preventivometas por orden de importancia.Luego,el modelo optimiza las metas de una en una enelPor lo comœn,los dos mŽtodos propuestos no presentan la misma soluci—n.Ninguno de los mŽtodos,sin embargo,es superior al otro porque las dos tŽcnicas pre-suponen preferencias distintas en la toma de decisiones.8.2.1MŽtodo de los pesos1,2,...,toma de decisiones con respecto a la importancia relativa de cada meta.Por ejemplo,1,para todas las ,significa que todas las metas tienen una misma importancia.Ladeterminaci—n de los valores espec’ficos de estos pesos es subjetiva.En realidad,losprocedimientos anal’ticos aparentemente complejos,desarrollados en la literatura(vea,por ejemplo,Cohon,1978) aœn est‡n arraigadas en evaluaciones subjetivas.
TopAd,una nueva agencia de publicidad con 10 empleados,firm— un contrato para promover unnuevo producto.La agencia puede hacer publicidad por radio y televisi—n.La siguiente tablario,as’ como los requerimientos de costos y mano de obra.El contrato proh’be a TopAd utilizar
Radio
Televisi—nExposici—n (en millones de personas)/min4
8.2Algoritmos de programaci—n de metasm‡s de 6 minutos de publicidad por radio.Adem‡s,los anuncios de radio y televisi—n tienen que llegaral menos a 45 millones de personas.TopAd tiene una meta presupuestaria de $100,000 para el pro-yecto.ÃCu‡ntos minutos de anuncios de radio y televisi—n debe utilizar TopAd?los minutos asignados a los anuncio de radio y televisi—n.La formulaci—n de la pro-La gerencia de TopAd estima que la meta de exposici—n es dos veces m‡s importante que la metade presupuesto.Por lo tanto,la funci—n objetivo combinada se convierte en 5 minutos,2.5 minutos,millones de personas,ple.Espec’ficamente,significa que la meta de exposici—n (de al menos 45 millones de perso-nas) falla por 5 millones de personas.Por otra parte,la meta de presupuesto (de no exceder $100,000)no se viola porque.Comentarios.,m‡s que —ptima,al pro-blema.Por ejemplo,la soluci—n $96,000).En esencia,lo que la programa-optimizaci—n.La falla de no hallar la soluci—n —ptima levanta dudas sobre la viabilidad de la progra-
CONJUNTO DE PROBLEMAS8.2AConsidere el problema 1,conjunto 8.1a que se refiere a la situaci—n tributaria de Fairville.Resuelva el problema,suponiendo que las cinco metas tienen el mismo peso.ÃSatisface la so-En el problema 2,conjunto 8.1a,suponga que la meta de atraer personas de mediana edad esEncuentre la soluci—n asociada,y verifique si todas las metas se han cumplido.
Cap’tulo 8Programaci—n de metasEn la situaci—n de la admisi—n a la Universidad de Ozarkdescrita en el problema 3,con-diantes de primer a–o,pero los requisitos restantes pueden tratarse como metas flexi-bles.Suponga,adem‡s,que la calificaci—n del examen ACT es dos veces m‡s importanteque cualquiera de las metas restantes.Resuelva el problema y especifique si se cumplen o no todas las metas.Si,adem‡s,el tama–o de la clase de estudiantes de primer a–o puede tratarse comouna meta flexible que es dos veces m‡s importante que la meta del examen ACT,En el modelo de Circle K del problema 4,conjunto 8.1a,Ães posible satisfacer todos losEn el problema 5,conjunto 8.1a,determine la soluci—n,y especifique si puede balancear-se o no la producci—n diaria de ruedas y asientos.En el problema 6,conjunto 8.1a,suponga que la meta de la demanda del mercado es dosveces m‡s importante que la de balancear las dos m‡quinas,y que no se permite tiempoextra.Resuelva el problema,y determine si se cumplen las metas.En el problema 7,conjunto 8.1a,suponga que la producci—n se esfuerza por satisfacer lascuotas de los dos productos,utilizando tiempo extra si es necesario.Encuentre una solu-ci—n al problema,y especifique la cantidad de tiempo extra,si se requiere,para cumplirEn el hospital de Vista City del problema 8,conjunto 8.1a,suponga que solamente los l’-mites de camas representan metas flexibles y que todas las metas tienes pesos iguales.pleados,para estudiar el impacto en el ingreso de tres factores:edad,educaci—n (expresa-da en a–os de universidad terminados),y experiencia (expresada en a–os en los negocios).Aplique la formulaci—n de programaci—n de metas del problema 10,conjunto 8.1a,8.2.2MŽtodo preventivoEn este tipo de mŽtodo,el tomador de decisiones clasifica las metas del problema enorden de importancia.Dada una situaci—n de metas,los objetivos del problema se
Edad
Educaci—n
Experiencia
Ingreso anual
(a–os)
(a–os)
(a–os)
($)304540,0003951048,0004421438,0004801836,000373941,000
8.2Algoritmos de programaci—n de metases el componente de las variables de desviaci—n,o que representan.Por ejemplo,en el modelo de TopAd (ejemplo 8.2-1),y ,y termina con la optimizaci—n de la prioridad m’nima,.El mŽtodo preventi-La literatura sobre programaci—n de metas presenta un mŽtodo simplex ÃespecialÃque garantiza la no degradaci—n de soluciones de alta prioridad.El mŽtodo utiliza la regla.La regla reconoce que tales variables no b‡sicas,si se elevanpor encima del nivel cero en las optimizaci—n de metas subsiguientes,pueden degradar(pero nunca mejorar) la calidad de una meta de mayor prioridad.El procedimiento re-quiere incluir las funciones objetivo de todas las metas en la tabla simplex del modelo.programaci—n de metas.En esta presentaci—n demostramos que se pueden alcanzar losPaso 0.Paso general,y quedefina el valor —ptimo.Si ,detŽngase;la PLmetas.En caso contrario,agregue la restricci—nno se degrade en problemas futuros.Establezca 1,y repita el paso La adici—n sucesiva de las restricciones especialespuede no ser tan Ãelegan-teÃte—ricamente como la ;no obstante,se logra el mismoresultado.Pero lo m‡s importante es que es m‡s f‡cil de implementar y de entender.Comentarios.m‡s peque–o al eliminar variables,en tanto que nuestro procedimiento lo hace m‡sgrande al agregar nuevas restricciones.Considerando la naturaleza de las restriccionesadicionalespodemos modificar el algoritmo simplex para implementar larestricci—n adicional impl’citamente sustituyendo.La sustituci—n (que afectael algoritmo se mueve de una meta a la siguiente.De otra manera,podemos utilizar elmŽtodo simplex acotado de la secci—n 7.4.2,reemplazandocon encuyo caso las restricciones adicionales se toman en cuenta de manera t‡cita.Alrespecto,la ,aparte de su atractivo te—rico no pareceofrecer una ventaja computacional particular.Para completar el planteamiento,el ejemplo 8.2-3 ilustrar‡ c—mo funciona la
Cap’tulo 8Programaci—n de metas
El problema del ejemplo 8-2.1 se resuelve por el mŽtodo preventivo.Suponga que la meta de ex-Paso 0.:Minimizar :Minimizar Paso 1.TORA)es 5 minutos,2.5 minutos,millones de personas,con las variables restantes iguales a cero.La soluci—n.La restricci—n5 (o,lo que es lo mismo,Paso 2.(Puede aplicarse la opci—nde TORA para representar la nueva restricci—nPor lo general,la restricci—n adicional tuir en la primera restricci—n.El resultado es que el lado derecho de la restricci—n dela meta de exposici—n cambiar‡ de 45 a 40,lo que reduce la LP
8.2Algoritmos de programaci—n de metas,la cual es la idea ge-En realidad,la optimizaci—n de la PL0;es decir,ya es —ptima.Tales oportunidades de ahorro de c‡lculos deben aprovecharse siempre
que se presenten durante el curso de implementaci—n del mŽtodo preventivo.
Ejemplo 8.2-3(Regla de eliminaci—n de columnas) las metas.M‡s adelante,el mismo ejemplo se resuelve aplicando la Prioridad 1:Maximizar la exposici—n (Prioridad 2:Minimizar el costo (Matem‡ticamente,los dos objetivos se dan como8.2-1 y 8.2-2 se eliminan,porque dejaremos que el mŽtodo simplex determine estos l’mites —pti-mamente.Por lo tanto el nuevo problema se formula comoPaso 1.La soluci—n —ptima (obtenida por TORA) es 40,lo que demuestra que laexposici—n m‡xima que podemos obtener es de 40 millones de personas.
Cap’tulo 8Programaci—n de metasPaso 2.grade.Por lo tanto,resolvemos la PL6 minutos,y 2 minutos.Esto da porejemplo 8.2-2,donde buscamos satisfacer en lugar de optimizar las metas..La regla in-dica que incluyamos las filas objetivo asociadas con todas las metas en la tabla simplex,como se
(Maximizaci—n de la exposici—n).La tabla simplex de la PL.La condici—n de optimalidad aplica s—lo a la fila objetivo .La fila,pero debe ser actualizada (mediante las
Iteraci—n
B‡sica
x1
x2
s1
s2
Ã4Ã8000
P2
Ã8
Ã24
0
0
12101010016004040
P2
4
0
12
0
120x21
211
10016
b‡sicaxLa raz—n es que si estas variables no se verifican,podr’an volverse positivas en proble-mas de optimizaci—n de baja prioridad,las cuales pueden degradar la calidad de solu-).En la fila 0,la cual degradar‡ el valor objetivo —ptimo del problema
8.2Algoritmos de programaci—n de metases del tipo de minimizaci—n.DespuŽs de la eliminaci—n de ,la.La siguiente tabla mues-.Se elimin— la fila 96 es la misma que se obtuvo antes.
AMPL se presta much’simo para la aplicaci—n de la idea presentada en el ejemplo 8.2-2,dondeden.El archivo proporciona un c—digo AMPL genŽrico que permite aplicar elmŽtodo preventivo.El modelo debe implementarse de manera interactiva como se explica en la
secci—n C9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS8.2BEn el ejemplo 8.2-2,suponga que la meta de presupuesto se incrementa a $110,000.Lameta de exposici—n permanece en 45 millones de personas.Demuestre c—mo determi-nar‡ una soluci—n el mŽtodo preventivo.Resuelva el problema 1,conjunto 8.1a,utilizando el siguiente orden de las prioridadesConsidere el problema 2,conjunto 8.1a,que se refiere a la presentaci—n de conciertos yexposiciones de arte en el centro comercial NW.Suponga que las metas establecidas paraadolescentes,el grupo de mediana edad y el de adultos mayores se designan como ,respectivamente.Resuelva el problema para cada uno de los siguientes —rdenes de
Iteraci—n
B‡sica
x1
x2
s1
s2
Soluci—n1P140
P2
4
0
0
120x21
1051016
P2
0
0
Ã4
96x201-1
1016
Puede ver que es computacionalmente conveniente utilizar AMPL de manera interactiva para resolver losproblemas de este conjunto.
Cap’tulo 8Programaci—n de metasorden de las prioridades.Resuelva el modelo de la Universidad de Ozark (problema 3,conjunto 8.1a) siguiendo elmŽtodo preventivo,a reserva de que las metas se hayan priorizado en el mismo ordenChissman,J.,T.Fey,G.Reeves,H.Lewis,y R.Weinstein,ÃA Multiobjective Linear ProgrammingMethodology for Public Sector Tax PlanningÃ,Interfaces,vol.19,nœm.5,p‡gs.13-22,1989.Cohon,T.L.,Multiobjective Programming and Planning,Academic Press,Nueva York,1978.Ignizio,J.P.,y T.M.Cavalier,Linear Programming,Prentice-Hall,Upper Saddle River,NJ,1994.Steuer,R.E.,Multiple Criteria Optimization:Theory,Computations,and Application,Wiley,Nueva York,1986.
9.1APLICACIONES ILUSTRATIVASPor lo general,las aplicaciones de programaci—n lineal entera (PLE) caen dentro de.En la categor’a ,la naturaleza de la situa-ci—n impide la asignaci—n de valores fraccionarios a las variables del modelo.Por ejem-plo,el problema puede implicar la determinaci—n de si se emprende o no un proyecto(variable binaria),o la determinaci—n del nœmero —ptimo de m‡quinas necesarias pararealizar una tarea (variable general entera).En la categor’a modelos que pueden resolverse por medio de algoritmos de optimizaci—n disponibles.Por ejemplo,en la secuencia de dos trabajos,,en una sola m‡quina,el trabajo o viceversa.La naturaleza ÃoÃde las restricciones es loque hace al problema anal’ticamente insoluble,porque todos los algoritmos de progra-maci—n matem‡ticos tratan con s—lo restricciones ÃyÃ.La secci—n 9.1.4 muestra c—mose utilizan las variables binarias auxiliares para transformar las restricciones ÃoÃenÃyÃ,sin modificar la naturaleza del modelo.CAPêTULO 9
Aplicaci—n de la vida real. Optimizaci—n de las cargas de camiones de remolqueentregar paquetes de hojas de vidrio plano a clientes.Los paquetes var’an tanto en ta-ma–o como en peso,una carga puede incluir diferentes paquetes,segœn los pedidos re-cibidos.Los reglamentos gubernamentales limitan los pesos sobre los ejes y la coloca-ci—n de los paquetes en el remolque es crucial para determinar estos pesos.Ella cama del cami—n para satisfacer los l’mites de peso sobre los ejes.El problema se re-suelve como un programa entero.El caso 7 del cap’tulo 26 en el sitio web proporciona
los detalles del estudio.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraPor comodidad,un problema se define como programa entero las variables son enteras.En caso contrario,es un programa entero que implica una combinaci—n de variables enteras y continuas.9.1.1Presupuesto de capitalsideraciones y prioridades preestablecidas de presupuesto limitado.El siguiente ejem-plo presenta una de estas situaciones.
Ejemplo 9.1-1(Selecci—n de un proyecto)Se est‡n evaluando cinco proyectos a lo largo de un horizonte de planeaci—n de 3 a–os.La si-El problema se reduce a una decisi—n Ãs’-noÃpara cada proyecto.Defina la variable binariaLa soluci—n —ptima entera (obtenida con AMPL,Solver,o TORA)0,con 95 ($ millones).La soluci—n excluye el proyecto 5 de la combinaci—n de proyectos.
Proyecto
Gastos ($ millones)/a–o
Rendimientos ($ millones)
1
2
8204221103Fondos disponibles ($ millones)252525
Para utilizar TORA,seleccione el menœ de la barra de menœs .DespuŽs de in-gresar los datos del problema,dir’jase a la pantalla de resultados,y seleccione ner la soluci—n —ptima.Solver se utiliza igual que en la PL,s—lo que las variables deben declararse enteras.Solver Parametersnueva restricci—n.La implementaci—n de AMPL para programaci—n entera es la misma que en la PL,ex-en la instrucci—n de definici—n de las variables.Por ejemplo,la instrucci—n var xΩ{J}= 0;decla-ra a .Si es binaria,la instrucci—n se cambia a ;.Para su ejecuci—n,la instrucci—n ;debe preceder a
Automated B&B
Main
Integer Programming
9.1Aplicaciones ilustrativasComentarios.Es interesante comparar la soluci—n de PL continua con la soluci—n del PLE.Lasoluci—n —ptima de PL,obtenida reemplazando ,da por.7368,y 108.68 ($ millones).La soluci—n no tienebinarias asumen valores fraccionarios.Podemos al entero m‡s cercano,lo que da 1.Sin embargo,la soluci—n resultante infringe las res-tricciones.Adem‡s,el concepto de
una decisi—n Ãs’-noÃ.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1ALos proyectos 2 y 3 son mutuamente excluyentes.Se van a cargar cinco art’culos en un buque.A continuaci—n se tabulan el peso ,el vo-,respectivamente.Formule el modelo de programaci—n lineal entera,y determine laSuponga que tiene 7 botellas de vino llenas,7 a la mitad y 7 vac’as.Le gustar’a dividir las21 botellas entre tres individuos de modo que cada uno reciba exactamente 7.Adem‡s,cada individuo debe recibir la misma cantidad de vino.Exprese el problema como res-tricciones del PLE,y halle una soluci—n.(la que todos los coeficientes objetivo sean ceros.).hijos:Tarek recibe la mitad del reba–o,Sharif obtiene una tercera parte y Maisa recibeun noveno.El resto se destina a la caridad.El testamento no espec’fica el tama–o del re-ba–o,s—lo dice que es un nœmero impar de camellos y que la instituci—n de caridad nom-brada recibe exactamente un camello.Use la PLE para determinar cu‡ntos camellos dej—el jeque en el testamento y cu‡ntos obtiene cada hijo.Karen,la mayor,lleva 50 manzanas;Bill el de en medio,lleva 30;y John,el m‡s joven,lleva s—lo 10.Los padres han estipulado cinco reglas:(a) el precio de venta es de $1 por7 manzanas o $3 por 1 manzana;o una combinaci—n de los dos precios.(b) Cada hijopuede ejercer una o ambas opciones del precio de venta.(c) Cada uno debe regresar conexactamente la misma cantidad de dinero.(d) El ingreso de cada hijo debe ser de d—laresenteros (no se permiten centavos).(e) La cantidad recibida por cada hijo debe ser la m‡-xima posible segœn las condiciones estipuladas.Dado que los tres hijos son capaces de
Art’culo
Peso unitario,
Volumen unitario,
Valor unitario,15142887336642555744
Los problemas 3 a 6 son una adaptaci—n de Malba Tahan,,Editorial Limusa,MŽxico,DF,p‡gs.39-182,1994.Los problemas 13 a 16 son una adaptaci—n de acertijos compilados en http:www.chlond.demon.co.uk/puzzles/puzzles1.html.Desde luego sin tomar en cuenta las letras compuestas CDy LL.(N.del T).
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteravender todo lo que llevan,use la PLE para mostrar c—mo se pueden satisfacer las condi-ciones de sus padres.alta mar.El capit‡n apart— una suma de dinero en la oficina del sobrecargo e instruy— alde que el barco atracara.Una noche,uno de los marineros,sin que los otros supieran,seforma anticipada.DespuŽs de que dividi— el dinero en tres partes iguales sobr— una mo-neda,la que el marinero decidi— conservar (adem‡s de un tercio del dinero).La noche si-guiente,el segundo marinero tuvo la misma idea y repiti— la misma divisi—n en tres partescon lo que qued—,y termin— qued‡ndose con una moneda extra.La tercera noche el ter-cer marinero tambiŽn tom— un tercera parte de lo que quedaba,m‡s una moneda extraque no pod’a dividirse.Cuando el barco arrib—,el primer oficial dividi— lo que restaba deldinero en partes iguales entre los tres marineros,quedando de nuevo una moneda extra.Para simplificar las cosas,el primer oficial apart— la moneda extra y les dio a los marine-ros sus partes iguales asignadas.ÃCu‡nto dinero hab’a en la caja fuerte al inicio? Formuleel problema como una PLE,y halle la soluci—n.(tud de soluciones enteras.Por comodidad,supongamos que nos interesa determinar lasuma m’nima de dinero que satisfaga las condiciones del problema.Luego,aumente unoa la suma resultante,y agrŽguelo como cota inferior para obtener la siguiente suma m’ni-ma.Continuando de esta manera,emerger‡ un patr—n de soluci—n general.)Weber (1990).Supongamos que tenemos las siguientes palabras de tres letras:AFT,FAR,TVA,ADV,JOE,FIN,OSF y KEN.Supongamos que le asignamos valores numŽricos al27.A cada palabra se le asignauna calificaci—n sumando los c—digos numŽricos de sus tres letras.Por ejemplo,AFT 27.Debe seleccionar cinco de las ocho palabrasdadas que den la calificaci—n m‡xima total.Al mismo tiempo,las cinco palabras debenFormule el problema como una PLE y halle la soluci—n —ptima.Resuelva el problema 7 dado que,adem‡s de que la suma total es la m‡xima,la suma de lacolumna 1 y la suma de la columna 2 tambiŽn ser‡n las m‡ximas.Halle la soluci—n —ptima.Weber (1990).
Grupo 1
FORTFOOTHEATSPARPASTTHATPROFSTOP
Todas las palabras en los grupos 1 y 2 pueden formarse con las nueve letras A,E.F,H,O,P,R,S y T.Desarrolle un modelo para asignar un valor numŽrico œnico del 1 al 9 a estasletras,de modo que la diferencia entre las calificaciones totales de los dos grupos ser‡ lom‡s peque–a posible.numŽricos asignados a sus letras individuales.
9.1Aplicaciones ilustrativasciones.Los tama–os en MB de las diferentes canciones son de 8,3,5,5,9,6 y 12,respecti-vamente.Record-a-Song utiliza dos CD para la grabaci—n.La capacidad de cada CD esde 30 MB.A la compa–’a le gustar’a distribuir las canciones en los dos CD de modo queel espacio utilizado en cada uno sea aproximadamente el mismo.Formule el problemaEn el problema 10,suponga que la naturaleza de las melod’as dicta que las canciones 3 y4 no pueden grabarse en el mismo CD.Formule el problema como una PLE.ÃSer’a posi-ble utilizar un CD de 25 MB para grabar las ocho canciones? Si no,utilice la PLE paraes and Asoociates (1993).sal—n de clases y el profesorado.Para demostrar la aplicaci—n del modelo,considere elentre seis ofrecidos.La tabla siguiente muestra las calificaciones que representan la pre-ferencia de cada estudiante por los cursos individuales,con 100 como la calificaci—n m‡salta.Para simplificar,se supone que la calificaci—n de la preferencia de una selecci—n dedos cursos es la suma de las calificaciones individuales.La capacidad del curso es el nœ-mero m‡ximo de estudiantes que pueden tomar la clase.Formule el problema como una PLE y halle la soluci—n —ptima.Tiene tres denominaciones de moneda con 11 monedas de cada una.El valor11 monedas) es de 15 bits para la denominaci—n 1,16 para la denominaci—n 2,y 17 bitspara la 3.Usted necesita comprar un art’culo de 11 bits.Use la PLE para determinar laTiene un tablero de 4 4 casillas y un total de 10 fichas.Use la PLE para colocar las fichasen el tablero de modo que cada fila y cada columna tengan un nœmero par de fichas.Cuando denunci— el hecho a la polic’a,el vendedor no supo decir cu‡ntos aparatos queten’a pero declar— que cuando divid’a el total en lotes de 2,3,4,5 o 6,siempre sobraba unaparato.Por otra parte,no sobraba ninguno cuando el total se divid’a en lotes de 7.Use1,2,Ã,,formule un modelo de PLE (para cualquier que,cuando se divide entre la cantidad entera 2 ,siempre producir‡;es decir,
Estudiante
Calificaci—n de preferencia por curso
1
2
3
4
5
2040503090100901008070104054030809590506080304756090100504004090108085407060556301004070905580601007065804060801009010Capacidad del curso685565
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraMONEY.Formule el problema como un progra-ma entero y halle la soluci—n.(nes colaterales.)El acertijo l—gico japonŽs mundialmente conocido,Sudoku,se compone de una cuadr’cu-3 que no se traslapan.El acertijo con-cada fila,cada columna y cada subcuadr’cula,contenga d’gitos distintos.Algunas de lasFormule el problema como un programa entero,y halle la soluci—n para el casoy halle la soluci—n para el casoSugerencia:sea xijk51 si se coloca el d’gito ken la celda (i,j),i,j,k51,2,Ã,9.Si uti-liza AMPL,tenga en cuenta que con 9,la cantidad de variables que resulte exceder‡ lacapacidad de la versi—n estudiantil de AMPL.Si no tiene acceso a la versi—n completa deAMPL,puede desarrollar un modelo general para 4 o 9,y luego resolverlos para el9.1.2Problema de cobertura de conjuntoEn esta clase de problemas,varias plantas ofrecen servicios que se traslapan a varias insta-laciones.El objetivo es determinar la cantidad m’nima de plantas que (es decir,quesatisfacen las necesidades de servicio de) cada instalaci—n.Por ejemplo,se pueden construirplantas de tratamiento de agua en varios lugares,y cada planta sirve a un grupo de ciuda-des.El traslape ocurre cuando a una ciudad dada le da servicio m‡s de una planta.
Ejemplo 9.1-2(Instalaci—n de telŽfonos de seguridad)de Arkansas se encuentra en proceso de instalaci—n de telŽfonos de emergencia en lugares seleccio-nados.El departamento desea instalar una cantidad m’nima de estos aparatos que presten servicioa cada una las calles principales del campus.La figura 9.1 es un mapa de dichas calles.Es l—gico maximizar la utilidad de los telŽfonos si se les coloca en intersecciones de calles.De este modo,una sola unidad puede prestar servicio al menos a dos calles.614583568476791472694587
9.1Aplicaciones ilustrativasMapa de las calles del campus de la Universidad de Arkansas
1
6
3
8
7
2Calle ACalle BCalle CCalle DCalle ECalle KCalle GCalle JCalle ICalle HCalle F
4
5
).Por lo tanto,el modelo es 1,2,5 y 7.Comentarios.En el sentido estricto,los problemas de cobertura se caracterizan por los si-guientes criterios:(1) Las variables 1,2,Ã,son binarias;(2) los coeficientes del lado iz-
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraquierdo de las restricciones son 0 o 1;(3) el lado derecho de cada restricci—n es de la forma (,donde 1,2,...,En este ejemplo,.Si ,entonces estos coeficientes pueden asumir valores diferentes de 1.Las variaciones del proble-ma de cobertura incluyen condiciones colaterales adicionales,como se describe por medio de al-
gunas de las situaciones descritas en los problemas del conjunto 9.1b.
Momento de AMPLEl archivo amplEx9.1-2.txt proporciona un modelo general para cualquier problema de cobertu-
ra.La formulaci—n se detalla en la secci—n C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1Ba diario a cinco clientes.La siguiente lista proporciona los clientes asociados con cada ruta:
Ruta
1,2,3,44,3,51,2,52,3,51,4,21,3,5
diarias a los cinco clientes.Aun cuando la soluci—n puede dar por resultado que un clien-te sea atendido por m‡s de una ruta,la fase de implementaci—n utilizar‡ s—lo una de esasrutas.Formule el problema como un PLE,y halle la soluci—n —ptima.La Universidad de Arkansas va a formar un comitŽ para atender las quejas de los estu-diantes.La administraci—n desea que el comitŽ incluya al menos una mujer,un hombre,un estudiante,un administrador y un profesor.Diez personas (identificadas,por simplici-
12345010121698100328171012320142120168140151891721150118102018110
cargas.Por ejemplo,en la ruta 1,la capacidad del cami—n es suficiente para entregar lascargas a los clientes,1,2,3 y 4 œnicamente.La siguiente tabla enlista las distancias (en mi-llas) entre la terminal de los camiones (ABC) y los clientes.
9.1Aplicaciones ilustrativasdad,con las letras de la ) han sido nominadas,y se les ha combinado en las distin-La Universidad de Arkansas desea formar el menor comitŽ con la representaci—nde cada una de las cinco categor’as.Formule el problema como un PLE,y halle la solu-El condado de Washington incluye seis poblaciones que necesitan el servicio de ambulan-cias de emergencia.Debido a la proximidad de algunas poblaciones,una sola estaci—npuede atender a m‡s de una comunidad.La estipulaci—n es que la estaci—n debe estarcomo m‡ximo a 15 minutos de tiempo de manejo de la poblaci—n que atiende.La si-guiente tabla muestra los tiempos de manejo en minutos entre las seis poblaciones.
Categor’a
PersonasMujeresa, b, c, d, eHombresf, h, i, jEstudiantesa, b, c, jAdministradorese, fProfesoresd, g, h, i
Tiempos en minutos de 123456023141810322302413221114240601920418136005517510221955012632112017120
Formule un PLE cuya soluci—n produzca el nœmero m’nimo de estaciones y susubicaciones.Determine la soluci—n —ptima.Los inmensos tesoros del Rey Tut est‡n en exhibici—n en el Museo de Giza en El Cairo.das por puertas abiertas.Un guardia de pie en una puerta puede vigilar dos salas adya-centes.La pol’tica de seguridad del museo requiere la presencia de un guardia en cadasala.Formule el problema como un PLE para determinar el m’nimo de guardias.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enterapel’culas que se est‡n exhibiendo en cines de su ciudad y otras ciudades vecinas.Si viaja aotra ciudad,se quedar‡ all’ hasta que vea todas las pel’culas que desea.La siguiente tabla in-forma sobre las ofertas de pel’culas y las distancias de viaje redondo a las ciudades vecinas.
Localizaci—n
del cine
Ofertas de
pel’culas
Millas de
viaje redondo
Costo por
En su ciudad1,31,6,82,5,71,8,92,4,71,3,5,104,5,6,9
El costo de conducir es de 75 centavos por milla.Bill desea determinar las ciudadesque necesita visitar para ver todas las pel’culas,al mismo tiempo que minimiza su costo total.Las tiendas Walmark est‡n en proceso de expansi—n en el oeste de Estados Unidos.Walmark planea construir durante el pr—ximo a–o nuevas tiendas que prestar‡n servicioa 10 comunidades geogr‡ficamente dispersas.La experiencia pasada indica que una co-tes.Adem‡s,la poblaci—n de una comunidad desempe–a un rol importante en la ubica-ci—n de una tienda,en el sentido que las comunidades grandes generan m‡s clientesparticipantes.La siguiente tabla proporciona las poblaciones y tambiŽn las distancias (enmillas) entre las comunidades.La idea es construir el menor nœmero de tiendas,teniendo en cuenta la restricci—nde la distancia y la concentraci—n de las poblaciones.Especifique las comunidades donde deben ubicarse las tiendas.GuŽret and Associates (2002).Secci—n 12.6.El presupuesto deMobileCo para construir 7
Millas de la comunidad a la comunidad
12345678910Poblaci—n20403517245058331210,000220236840302019704015,000340233670224530218028,000435683670802420401030,000517407070237040134040,000624302280231214505030,000750204524701226403020,000858193020401426205015,000933702140135040202260,00010124080104050305022
9.1Aplicaciones ilustrativas
Transmisor
Comunidades cubiertas
11,23.602,3,51,7,9,104,6,8,96,7,9,115,7,10,12,1412,13,14,15
tiguas,es de 15 millones de d—lares.A continuaci—n se presentan las comunidades cubier-tas por cada transmisor y los costos de construcci—n presupuestados.
Comunidad
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Poblaci—n (en miles)10152830403020156012
ermini and Associates (2004).tricos autom‡ticos en lugar de los m‡s costosos medidores manuales.En el sistema au-tom‡tico,los medidores de varios clientes se enlazan inal‡mbricamente a un solo recep-tor.El medidor env’a se–ales cada mes a un receptor designado para reportar elconsumo de electricidad del cliente.Luego los datos se canalizan a una computadora cen-tral para generar los recibos.El objetivo es determinar el m’nimo de receptores necesa-rios para atender a un nœmero dado de medidores.En la vida real,el problema compren-de miles de medidores y receptores.Este problema emplea 10 medidores y 8 posibleslocalizaciones para los receptores,con las siguientes configuraciones:
Receptor
1
2
3
4
5
6
7
Medidores1,2,32,3,95,6,77,9,103,6,81,4,7,94,5,91,4,8
Resuelva el problema 8 si,adem‡s,cada receptor puede manejar cuando mucho 3 medi-dores.9.1.3Problema de cargo fijoincurre en dos tipos de costos:un costo fijo necesario para iniciar la actividad y uncosto variable proporcional al nivel de la actividad.Por ejemplo,el herramental inicialindependientemente de cu‡ntas unidades se fabriquen.Una vez completa la prepara-ci—n de la m‡quina,el costo de la mano de obra y del material es proporcional a la can-tidad producida.Dado que es el cargo fijo,es el costo unitario variable,y nivel de producci—n,la funci—n de costo se expresa como
Cap’tulo 9Programaci—n lineal entera0.El siguiente ejemplo demuestra c—mo se utilizan las variables binarias paravolver el modelo anal’ticamente soluble.
Ejemplo 9.1-3(Selecci—n de una compa–’a telef—nica)Tres compa–’as telef—nicas me ofrecen suscribirme a su servicio de larga distancia en EstadosUnidos.MaBell cobra una cuota fija de $16 por mes m‡s $.25 por minuto.PaBell cobra $25 pormes pero reduce el costo por minuto a $.21.En cuanto a BabyBell,la cuota fija mensual es de$18,y el costo por minuto es de $.22.Usualmente ocupo un promedio de 200 minutos de llama-das de larga distancia al mes.Suponiendo que no tenga que pagar la cuota fija mensual a menosque realice llamadas y que pueda repartirlas entre las tres compa–’as como me plazca,Ãc—moEste problema es f‡cil de resolver sin PLE.No obstante,es instructivo formularlo como unprograma entero.Podemos asegurar que .Como ocupo aproximadamente 200 minutos de llamadas al mes,entonces ,es seguro seleccionar 1,lo cual puede suceder s—lo si
9.1Aplicaciones ilustrativas
Por generalizaci—n,la condici—n
Mƒyiƒxi
Pantalones
Chalecos
538Tiempo de mano de obra por unidad (h)Costo de preparaci—n del equipo por lote ($)100Cantidad m’nima de unidades necesarias100150
producto.Jobco planea producir al menos 2000 artefactos con tres m‡quinas.El tama–o m’nimodel lote es de 500 artefactos.La siguiente tabla ofrece los datos pertinentes de la situa-
M‡quina
Costo de preparaci—n ($)
Costo de producci—n/unidad ($)
1300260021003200
Formule el problema como un PLE y halle la soluci—n —ptima.del modelo).Si 0 en el —ptimo,entonces la minimizaci—n de ,junto con el hecho de que elsea positivo,hace que 1,y todas las variables restantes iguales a cero,lo que demuestra que debo seleccionar a BabyBell como mi proveedor de larga distancia.mismo resultado.En realidad,la raz—n principal para utilizar mensual fija.De hecho,las tres variables binarias transforman un modelo (no lineal) de mal com-portamiento en una formulaci—n anal’ticamente soluble.Esta conversi—n ha dado por resultado la
introducci—n de las variables (binarias) enteras en un problema que de lo contrario ser’a continuo.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1CLeatherco firm— un contrato para fabricar lotes de pantalones,chalecos y chamarras.cesos de fabricaci—n.La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes con respecto alcostos e ingresos.Se estima que el abasto actual de piel es de 3000 pies,y el tiempo demano de obra disponible est‡ limitado a 2500 horas.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal entera(posibles pozos petroleros).La siguiente tabla presenta los costos de preparaci—n en cadauno de los dos sitios,y el costo de perforaci—n del sitio 1,2;1,2,3,4).Formule el problema como un PLE y halle la soluci—n —ptima.Se consideran tres sitios industriales para situar plantas de manufactura.Las plantasenv’an sus abastos a tres clientes.El abasto en las plantas,la demanda de los clientes y elAparte de los costos de transporte,las plantas 1,2 y 3 incurren en costos fijos araz—n de $12,000,$11,000 y $12,000,respectivamente.Formule el problema como un pro-por cada uno.para producir tres productos durante los pr—ximos 6 meses.No se permiten demandasatrasadas.Sin embargo,se pueden tener existencias de m‡s de un producto para satisfa-cer la demanda en meses posteriores.La siguiente tabla presenta los datos asociados conla demanda,producci—n y almacenaje de los tres productos.
12341218524631
Costo de transporte unitario ($)
3Abasto101512180017142014001510111300120017001600
Producto
Demanda en el periodoCosto de retenci—n
unitario ($/mes)Inventario
inicial
1
2
3
4
5
1503040602045.502406050303055.353304020704030.45
Costo de cambio de la l’nea ($)
Producto 1
Producto 2
L’nea 1200L’nea 2250
Hay un costo fijo por el cambio de una l’nea de un producto a otro.Las siguientes tablasdan el costo de cambio,las tasas de producci—n y el costo de producci—n unitario por
9.1Aplicaciones ilustrativasDesarrolle un modelo para determinar el programa de producci—n —ptimo.Jaris and Associates (1978).para la construcci—n de un m‡ximo de cuatro plantas de tratamiento de aguas residuales.La tabla siguiente presenta los datos de la situaci—n.Los enlaces faltantes indican que nose puede construir un oleoducto.dad de aguas residuales generada,la cual es una funci—n de las poblaciones.Se descarganLa capacidad m‡xima de la planta es de 100,000 gal/h.Determine la ubicaci—n y capaci-dad —ptimas de las plantas.n and Associates(1987).para entregar a clientes cuatro productos de gasolina diferentes.Cada cami—n tiene cincocompartimientos de diferentes capacidades:500,750,1200,1500 y 1750 galones.Las de-mandas diarias de los cuatro productos se estiman en 10,15,12 y 8 mil galones.Cualquiercontratarse a los costos adicionales de 5,12,8 y 10 centavos por gal—n de los productos 1,2,3 y 4,respectivamente.Desarrolle el programa de carga diaria —ptimo para los cuatroy puede elegir el uso de los servicios de cualquiera de las compa–’as A,B y .La com-pa–’a A cobra una cuota mensual fija de $10 y 5 centavos por minuto por los primeros1000 minutos,y 4 centavos por minuto por todos los minutos adicionales.La cuota men-sual de la compa–’a B es de $20 con un cobro fijo de 4 centavos por minuto.El cobronutos,y 3.5 centavos despuŽs de ese l’mite.ÃCu‡l compa–’a debe seleccionarse para mi-El profesor Yataha necesita programar seis viajes redondos entre Bostony Washington,D.C.Tres aerol’neas cubren la ruta:Eastern,US Air,y Continental y nohay penalizaci—n por la compra de un boleto de viaje sencillo.Cada aerol’nea ofrece mi-
Tasa de producci—n (unidades/mes)
Costo de producci—n unitario ($)
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 1
Producto 2
L’nea 140L’nea 290
Costo ($) de construcci—n del oleoducto entre
1234567110020050100200110180Costo millones de $deconstrucci—n de la planta1.001.202.001.601.80.901.40Poblaci—n (miles)501004590756030
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enterallas de gratificaci—n para viajeros frecuentes.Eastern otorga 1000 millas por boleto (deviaje sencillo) y 5000 millas m‡s si la cantidad de boletos en un mes es de 2,y otras 5000millas si excede de 5 boletos.US Air ofrece 1500 millas por viaje m‡s 10,000 extra porcada 6 boletos.Continental ofrece 1800 millas,m‡s 7000 extra por cada 5 boletos.El pro-fesor Yataha desea repartir los 12 boletos de viaje sencillo entre las tres aerol’neas paramaximizar el total de millas ganadas.9.1.4Restricciones Uno - u - otro y Si - entoncesEn el problema de cargo fijo (secci—n 9.1.3),se utilizan variables binarias auxiliarespara manejar la discontinuidad en la funci—n de costo objetivo.Esta secci—n se ocupaotro) o son dependientes (Si - entonces),utilizando de nueva cuenta variables binariasauxiliares.La transformaci—n utiliza un artificio matem‡tico para presentar la restric-ci—n especial como restricciones ÃandÃ(ÃyÃ).
Ejemplo 9.1-4(Modelo de secuenciaci—n de trabajos) Jobco utiliza una sola m‡quina para procesar tres trabajos.Tanto el tiempo de procesamientocomo la fecha l’mite (en d’as) de cada trabajo aparecen en la siguiente tabla.Las fechas l’mite semiden a partir de cero,el tiempo de inicio supuesto del primer trabajo.por retraso en el procesamiento de los tres trabajos.Fecha de inicio en d’as del trabajo El problema tiene dos tipos de restricciones:las restricciones de no interferencia (que garantizanque no se procesen dos trabajos al mismo tiempo) y las restricciones de fecha l’mite.Considerelo bastante grande,las restricciones ÃoÃse transforman en restricciones ÃyÃpor medio demomento.Si 0,la primera restricci—n est‡ activa,y la segunda es redundante (porque su,la cual es mucho mayor que ).Si 1,la primera restricci—n esredundante,y la segunda est‡ activa.
Trabajo
Tiempo de procesamiento (d’as)
Fecha l’mite (d’as)
2153
9.1Aplicaciones ilustrativasA continuaci—n,dado que ,el trabajo se retrasa si .Podemos utilizar dos variables no negativas,y para determinar el estado de un tra-completado con respecto a su fecha l’mite,es decir,la restricci—n de fecha l’mite puedeescribirse comose adelanta siy se retarda siEl costo de penalizaci—n por retraso esPara resolverlo,seleccionamos 100,un valor que es mayor que la suma de los tiemposde procesamiento de las tres actividades.La soluci—n —ptima es 0,y 25.ƒsta in-dica que el trabajo 2 se inicia en el tiempo 0,que el trabajo 1 se inicia en el tiempo 20,y que eltrabajo 3 se inicia en el tiempo 25,y por lo tanto se obtiene la secuencia de procesamiento —pti-ma 2:1:3.La soluci—n requiere que el trabajo 2 se complete en 0 20 d’as,el trabajo 1 en40 d’as.El trabajo 3 se retrasa 40
55 d’as despuŽs de la fecha l’mite a un costo de 5 3$34 5$170.
proporciona el modelo para el problema del ejemplo 9.1-4.El mode-
lo se explica en la secci—n C.9 en el sitio web.
Ejemplo 9.1-5(Modelo de secuenciaci—n de trabajos revisitado)En el ejemplo 9.1-4,supongamos que tenemos la siguiente condici—n adicional:Si el trabajo antecede al trabajo ,entonces el trabajo .Matem‡ticamente,la)se escribe como
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraes suficientemente grande,esta condici—n,entonces 0,la que requiere 0,y la segunda restricci—n se vuel-,como se deseaba.Si no,puede asumir el valor de 0 o 1,en cuyo caso la se-
gunda restricci—n puede o no ser satisfecha,dependiendo de las dem‡s condiciones del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1D3 casillas.Se requiere que coloque un nœmeroentre 1 y 9 en cada casilla de modo que la suma de los nœmeros en cada fila,cada colum-na y cada diagonal sea igual a 15.Adem‡s,los nœmeros en todas las casillas deben ser dis-tintos.Use un PLE para determinar la asignaci—n de nœmeros a las casillas.Se utiliza una m‡quina para producir dos productos intercambiables.La capacidad diariadel producto 2.Como alternativa,se puede ajustar la m‡quina para que produzca diaria-mente a lo sumo 12 unidades del producto 1 y 25 unidades del producto 2.El an‡lisis del35 unidades.Dado que las utilidades unitarias de los productos respectivos son de $10 y$12,Ãcu‡l de los dos ajustes de la m‡quina debe seleccionarse? Formule el problemapuede resolverse inspeccionando el espacio de soluciones gr‡ficas.ƒste no es el caso paradimensiones.)
Producto
Mano de obra diaria
requerida (h/unidad)
Materia prima diaria
134243356
Las utilidades por unidad de los tres productos son de $25,$30 y $22,respectivamen-te.Gapco tiene dos opciones para situar su planta.Los dos sitios difieren sobre todo en ladisponibilidad de mano de obra y materia prima,como se muestra en la siguiente tabla:
Sitio
Mano de obra diaria disponible (h)
1100100
Formule el problema como un PLE,y determine la ubicaci—n —ptima de la planta.
9.1Aplicaciones ilustrativasSi el trabajo 4 precede al trabajo 3,entonces el trabajo 9 debe preceder al trabajo 7.Elobjetivo es procesar los 10 trabajos en el tiempo m‡s corto posible.Formule el modelocomo un PLE,y determine la soluci—n —ptima modificando el archivo En el problema 4,suponga que el trabajo 4 no puede ser procesado antes que el trabajo 3se haya completado.Adem‡s,los ajustes de la m‡quina para los trabajos 7 y 8 requierenque se procesen de inmediato uno despuŽs del otro (es decir,el trabajo 7 sucede o prece-de inmediatamente al 8).El objetivo de Jobco es procesar los diez trabajos con la sumam’nima de violaciones del tiempo l’mite.Formule el modelo matem‡ticamente,y deter-Jobco posee una planta donde se fabrican tres productos.Los requerimientos de mano deLa utilidad por unidad de los tres productos es de $25,$30 y $45,respectivamente.Si se va a fabricar el total de las unidades requeridas diarias del producto 3,entonces sunivel de producci—n debe ser de al menos 5 unidades diarias.Formule el problema comoun PLE combinado,y halle la combinaci—n —ptima.UPak es una subsidiaria de la compa–’a de transporte LTL.Los clientes llevan sus env’osespacio hasta de 36 pies.El cliente paga por el espacio lineal exacto (en incrementos de 1pie) que ocupa el env’o.No se permiten env’os parciales,en el sentido de que un env’oque no requiere m‡s de 36 pies deba ser cargado en un cami—n de remolque.Para separarlos env’os se instala una barrera m—vil,llamada mampara.La tarifa por pie que UPakcobra depende del destino del env’o.La siguiente tabla proporciona las —rdenes pendien-tes que UPak necesita procesar.
Trabajo
Tiempo de procesamiento (d’as)
Tiempo l’mite (d’as)11020
Jobco Shop tiene 10 trabajos pendientes para ser procesados con una sola m‡quina.Lasiguiente tabla proporciona los tiempos de procesamiento y las fechas l’mite.Todos lostiempos est‡n en d’as,y el tiempo l’mite se mide a partir del tiempo 0:
Producto
Mano de obra diaria
requerida (h/unidad))
Materia prima diaria
134243356
12345678910Tama–o (pies)51122157918141012Tarifa ($) 1209370851251049813014065
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraActualmente la terminal tiene dos camiones de remolque listos para ser cargados.nes de remolque.(es sencilla.Sin embargo,se le reta a que defina .Luego utilice la restricci—n si - entonces (pedir el env’o de cargas parciales..En el juego de ajedrez,las reinas atacan moviŽndose horizontal,vertical y diagonalmente.Se desea colocar ninguna reina pueda ÃtomarÃa cualquier otra reina.Formule el problema como un pro-grama entero,y resuŽlvalo con AMPL (o cualquier otro software) con 4,5,6 y 8Formulaci—n 1:Sea ),y cero sino es as’.Las restricciones del problema son del tipo Ãsi 0,entonces ninguna otra,columna Formulaci—n 2:Sea tablero.Las restricciones impiden que se coloquen reinas en las diagonales.)Un proceso de manufactura utiliza cuatro materias primas intercambiables.Las propie-dades de las materias primas difieren,lo que conduce a diferentes unidades producidaspor unidad de materia prima.TambiŽn difieren en costo y tama–os de lote.La siguienteUna materia prima,si se utiliza,debe estar s—lo en los lotes indicados (por ejemplo,lamateria prima 1 puede adquirirse o en lotes de 100 unidades o nada).Las unidades pro-ducidas deben ser por lo menos 950.Formule un modelo para determinar las materiasprimas que deben usarse a un costo m’nimo.que se muestran en la figura 9.3 por un conjunto de restricciones simult‡neas.Encuentre la,si 0,entonces 1.Formule la condici—n como restricciones simult‡neas.
Materia
prima 1
Materia
prima 2
Materia
prima 3
Materia
prima 4
Materia
Tama–o de lote (unidades)1001608031050Unidades de productopor14308020010120
Espacios de soluciones para el problema 10,conjunto 9.1d
x1x1x1x2x2x202
(
a
)
1332102
(
b
)
1332102
(
c
)
13321
9.2Algoritmos de programaci—n enteraaparece en una restricci—n,donde rias.Demuestre c—mo puede linealizarse este tŽrmino.1,2,Ã,.Exprese la siguiente condici—n como unconjunto de restricciones de PLE simult‡neas:Si ,entonces 1,y todas las varia-bles restantes son iguales a cero.cualquierkEn la siguiente restricci—n,el lado derecho puede asumir uno de los valores ,Ã,y Considere la siguiente funci—n objetivo.,de modo que si 1,entonces 1,2,Ã,9.2ALGORITMOS DE PROGRAMACIîN ENTERAde la PL.La estrategia de estos algoritmos implica tres pasos.Paso 1.1.El resultado del desahogo es una programaci—n lineal.Paso 2.Resuelva la PL,e identifique su —ptimo continuo.Paso 3.Comenzando desde el punto —ptimo continuo,agregue restricciones especialesnalmente dŽ un punto extremo —ptimo que satisfaga los requerimientos enteros.Ninguno de los dos mŽtodos es computacionalmente efectivo de forma consistente.Sinembargo,la experiencia muestra que el mŽtodo B&B (de ramificaci—n y acotamiento)es mucho m‡s exitoso que el mŽtodo del plano de corte.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal entera9.2.1Algoritmo de ramificaci—n y acotamientoEl primer algoritmo de ramificaci—n y acotamiento fue desarrollado en 1960 por A.Land y G.Doig para el problema general de PLE combinada o pura.M‡s adelante,en1965,E.Balas desarroll— el algoritmo aditivo.Los c‡lculos del algoritmo aditivo eran tan simples (principalmenteci—n de la PLE.Por desgracia,no produjo las ventajas computacionales deseadas.Adem‡s,se demostr— que el algoritmo,que inicialmente no parec’a estar relacionadocon la tŽcnica de ramificaci—n y acotamiento,era simplemente un caso especial del al-goritmo general de Land y Doig.Doig.Se utiliza un ejemplo numŽrico para proporcionar los detalles.
Los puntos de cuadr’cula en la figura 9.4 definen el espacio de soluciones de PLE.El pro-nando las restricciones enteras.La soluci—n —ptima de PL1 es Como la soluci—n —ptima de PL1 no satisface las restricciones enteras,el espacio de solucionesse subdivide de una manera sistem‡tica que finalmente localiza el —ptimo de la PLE.En primerlugar,el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento selecciona una variable entera cuyo valor —p-timo en PL1 no es entero.En este ejemplo,tanto califican.Seleccionando arbitrariamente,la regi—n 3 ,y por lo tanto puede ser eliminada.Esto equivale a reemplazar el PL1 original con dosproblemas de PL nuevos.La figura 9.5 ilustra los espacios de PL2 y PL3.Los dos espacios combinados contienen losmismos puntos enteros factibles que la PLE original,es decir,que no se pierde informaci—n
El m—dulo de programaci—n entera TORA est‡ equipado con una funci—n que genera interactivamente el‡rbol de ramificaci—n y acotamiento.Para utilizarla,seleccionedel m—dulo de programaci—n entera.La pantalla resultante proporciona toda la informaci—n necesaria paracrear un ‡rbol de ramificaci—n y acortamiento.1) como sigue.Dada una varia-),entonces,...,y son binarias,y el ’ndice
User-guided B&B
9.2Algoritmos de programaci—n entera4 en PL1),estaremos reduciendo el espacio de solucionessatisfacen las restricciones enteras.El mejor de estos subproblemas es la soluci—n —ptima de PLE.Las nuevas restricciones,4,son mutuamente excluyentes,de modo que el PL2y el PL3 en los nodos 2 y 3 deben tratarse como programaciones lineales distintas,como se mues-tra en la figura 9.6.Esta dicotomizaci—n da lugar al concepto de ramificaci—n y acotamiento.Es este caso,variable de ramificaci—n
135
FIGURA 9.5Espacios de soluciones de PL2 y PL3 para el pro-blema 9.2-1
x1x202135434PL3PL221
x1 3x1 4
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraen PL3.Por consiguiente,ambos subproblemas deben serexaminados.Arbitrariamente examinamos primero PL2 (asociada con 23.La soluci—n de PL2 satisface los re-.De ah’ que se dice que PL2 debe ser ,lo quepara el problema original,porque PL3 puede producir una mejor soluci—n entera.Todo lo queoriginal.Esto significa que cualquier subproblema no examinado que no puede producir unmejor valor objetivo que la cota inferior,debe ser desechado como no promisorio.Si un subpro-blema no examinado produce una mejor soluci—n entera,entonces el l’mite inferior debe ser ac-tualizado como corresponde.23,examinamos PL3 (el œnico subproblema restante no examinadoen este momento).Debido al —ptimo ,es imposible que PL3 pueda producir una mejor soluci—n ente-23).En consecuencia,desechamos PL3 y concluimos que naron y sondearon a fondo,el primero para producir una soluci—n entera y el segundo porque nosoluci—n entera.Por lo tanto concluimos que la soluci—n de programaci—n li-neal —ptima es la asociada con la cota inferior,o sea,En PL1,Ãpodr’amos haber seleccionado Cuando seleccionamos el siguiente subproblema a ser examinado,Ãpodr’amos haber solu-La respuesta a ambas preguntas es Ãs’Ãpero los c‡lculos subsiguientes pueden diferir dram‡tica-mente.La figura 9.7 demuestra este punto.Supongamos que examinamos primero PL3 (en lugarde PL2 como lo hicimos en la figura 9.6).La soluci—n es belo!).Como .83) no es entera,PL3 se examina m‡s a fondo creando los subproblemas PL41,respectivamente.Esto significa queAhora tenemos tres subproblemas ÃdesconectadosÃque se deben examinar:PL2,PL4 yPL5.Supongamos que arbitrariamente examinamos primero PL5.No tiene ninguna soluci—n
9.2Algoritmos de programaci—n entera
PL2x1 3, x2 2, z 23Cota inferior (—ptima)
2PL3x1 4, x2 .83, z 23.33
3
PL1x1 3.75, x2 1.25, z 23.75
1
x1 4x1 3
factible,y por consiguiente se sonde— a fondo.A continuaci—n,examinamos PL4.La soluci—n —p-22.5.El valor no entero de Ahora,los subproblemas PL2,PL6 y PL7 permanecen sin ser examinados.Si seleccionamosPL7 para examinarlo,el problema est‡ sondeado a fondo porque no tiene ninguna soluci—n fac-tible.A continuaci—n,seleccionamos PL6.El problema da por resultado la primera soluci—n en-20),y,por lo tanto,proporciona la primera cota inferior (objetivo —ptimo de la PLE.S—lo falta examinar el subproblema PL2,y da una mejor soluci—n en-23).De este modo,la cota inferior se actualiza de 23.A estasalturas,los subproblemas han sido sondeados (examinados) a fondo,y la soluci—n —ptimaes la asociada con la cota inferior m‡s actualizada,es decir,PL2) es un escenario del peor caso que,sin embargo,muy bien puede ocu-rrir en la pr‡ctica.En la figura 9.6,tuvimos suerte de ÃtropezarnosÃcon una buena cota inferioren el primer subproblema (PL2),y que a su vez nos permitiera examinar a fondo PL3 sin necesi-dad de ningœn examen adicional.En esencia,completamos el procedimiento resolviendo untotal de dos subproblemas PL.En la figura 9.7 la historia es diferente,resolvimos siete subpro-blemas PL para completar el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.Comentarios.y acotamiento.Dado que tenemos mœltiples opciones,Ãc—mo seleccionamos el siguiente subpro-blema y su variable de ramificaci—n? Aun cuando hay mŽtodos heur’sticos para mejorar la habili-dad del algoritmo de ramificaci—n y acotamiento para ÃpreverÃcual rama puede conducir a una so-luci—n de PLE mejorada (vea Taha,1975,p‡gs.154-171),no existe una teor’a s—lida con resultadosconsistentes,y aqu’ yace la dificultad que afecta los c‡lculos en la PLE.El problema 7,conjunto9.2a,demuestra este extra–o comportamiento del algoritmo de ramificaci—n y acotamiento al in-vestigar m‡s de 25,000 PLs,antes de que se verifique la optimalidad,aun cuando el problema seabastante peque–o (16 variables binarias y una restricci—n).Desafortunadamente,hasta la fecha,ydespuŽs de dŽcadas de investigaci—n junto con tremendos avances en las computadoras,los c—di-gos de PLE no son totalmente confiables.Sin embargo,los solucionadores comerciales disponibles(por ejemplo CPLEX y XPESS) son excelentes para resolver problemas muy grandes.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal entera
AMPL puede usarse interactivamente para generar el ‡rbol de bœsqueda de ramificaci—n y aco-tamiento.La siguiente tabla muestra la secuencia de comandos necesaria para generar el ‡rboldel ejemplo 9.2-1 (figura 9.7) comenzando con PL1 continuo.El modelo AMPL (archivo.Ver‡ que esœtil sincronizar los comandos AMPL con las ramas que aparecen en la figura 9.7.
PL6x1 4, x2 0, z 20Cota inferior
6
5
PL4x1 4.5, x2 0, z 22.5
4
PL3x1 4, x2 0.83, z 23.33
2
PL2x1 3, x2 2, z 23Cota inferior (—ptima)
7
3PL5Ninguna soluci—n factible
PL7Ninguna soluci—n factible
PL1x1 3.75, x2 1.25, z 23.75
1
x1 4x1 3x2 1x2 0x1 5x1 4
Comando AMPL
PL1 (,)PL3 (,)PL4 (,)PL6 (,)PL2 (,)
9.2Algoritmos de programaci—n entera
Momento de SolverLa soluci—n de los diferentes subproblemas puede obtenerse utilizando Solver por medio de las
Solver ParametersResumen del algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.maximizaci—n.Establezca una cota inferior inicial Paso 1.).Seleccione PL,el siguiente subproblema a serexaminado.Resuelva PL,y trate de examinarlo a fondo utilizando una deestas tres condiciones.no tiene ninguna soluci—n factible.Surgir‡n dos casos.se examina a fondo y se determina una soluci—n mejor,actualicela cota inferior.Si todos los subproblemas han sido examinados afondo,detŽngase;la cota inferior da la soluci—n —ptima (si no existe unacota inferior finita,el problema no tiene ninguna soluci—n factible).Deotro modo,establezca 1,y repita el paso 1.no se ha examinado a fondo,proceda al paso 2 para ramificaci—n.Paso 2.).Seleccione una de las variables enteras ,cuyo valor —ptimono es entero.Cree los dos subproblemas de PL co-1,y proceda el paso 1.nados (en los que s—lo algunas de las variables son enteras).Nunca se selecciona unavariable continua como variable de ramificaci—n.Un subproblema factible proporcio-con un valor objetivo mejorado.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.2acomo variable de ramificaci—n.Inicie el procedimiento resolviendo el subpro-blema asociado con.mas.Por comodidad,seleccione siempre
Para problemas de minimizaci—n,reemplace la cota inferior con una cota superior inicial En este conjunto,los subproblemas pueden resolverse interactivamente con AMPL o Solver o por mediode la opci—n MODIFY de TORA para las cotas superior e inferior.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraRepita el problema 2,suponiendo que Demuestre gr‡ficamente que la siguiente PLE no tiene una soluci—n factible,y luego ve-rifique el resultado utilizando el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.Resuelva el siguiente problema por medio del algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.
9.2Algoritmos de programaci—n enteraConvierta el siguiente problema en una PLE combinada,y halle la soluci—n —ptima.Experimento con TORA/Soltrar el extra–o comportamiento del algoritmo de ramificaci—n y acotamiento,incluso enproblemas peque–os.En particular,observe cu‡ntos problemas se examinan antes de queUse la opci—n autom‡tica de TORA para demostrar que aunque la soluci—n —ptimase determina despuŽs de s—lo 9 subproblemas,se examinan m‡s de 25,000 subproble-Demuestre que Solver exhibe un comportamiento similar al de TORA [pie de la hoja de c‡lculo.]Resuelva los problemas con AMPL,y demuestre que la soluci—n se obtiene al ins-tante con 0 iteraciones simplex MIP y 0 nodos de ramificaci—n y acotamiento.Larealizados por AMPL y/o el solucionador CPLEX.Experimento con TORA.Considere la siguiente PLE:Use la opci—n de ramificaci—n y acotamiento guiada por el usuario de TORA para gene-rar el ‡rbol de bœsqueda y sin activar la cota del valor objetivo.ÃCu‡l es el impacto de ac-tivar la cota del valor objetivo en el nœmero de subproblemas generados? Por consisten-cia,seleccione siempre la variable de ramificaci—n como la del ’ndice menor e investigueExperimento con TORA.Reconsidere el problema 8 anterior.ConviŽrtalo en una PLE0-1 equivalente,y luego resuŽlvalo con la opci—n autom‡tica de TORA.Compare el ta-ma–o de los ‡rboles de bœsqueda en los dos problemas.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraExperimento con AMPL.En la siguiente PLE 0-1,use AMPL interactivamente para ge-nerar el ‡rbol de bœsqueda asociado.En cada caso,demuestre c—mo se utiliza la cota para examinar a fondo subproblemas.9.2.2Algoritmo de plano de corte Como en el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento,el algoritmo de plano de cortetambiŽn se inicia en la soluci—n —ptima continua.Se agregan restricciones especialesmo entero.En el ejemplo 9.2-2,primero demostramos gr‡ficamente c—mo se utilizangebraicamente.
La figura 9.8 presenta un ejemplo de tales cortes.Inicialmente,comenzamos con la soluci—n—ptima continua de la PLLuego agregamos el corte 1,el cual pro-duce la soluci—n —ptima (continua) de la PLAgregamos posteriormen-te el corte II,el cual (junto con el corte I y las restricciones originales) produce la soluci—n —pti-
7 , x2=3.z=66 1
2 , x1=4 1
2 , x2=3 1
2.x1, x2Ã0 y entera 7x1+x2ƒ35 -x1+3x2ƒ6Maximizar =7x1+10x2x1, x2, x3, x4, x5 =(0, 1) 11x1-6x2 +3x4-3x5 Ã3 7x1 +3x3 -4x4+3x5ƒ8 x1+x2+x3+2x4+x5ƒ4Maximizar =3x1+2x2-5x3-2x4+3x5FIGURA 9.8Ilustraci—n del uso de cortes en una PLE
4301x1x2x1x2x1x22345
430
12345
îptima: (4 , 3 )12
1
îptima: (4 , 3)4
Corte ICorte II
430
12345
î
ptima: (4, 3)
9.2Algoritmos de programaci—n enteraLos puntos agregados no eliminan ninguno de los puntos enteros factibles originales,perodeben pasar al menos por un punto entero factible o no factible.ƒstos son requerimientos b‡si-cos de cualquier corte.para llegar a la soluci—n entera —ptima.En general,el nœmero de cortes,aun cuando es finito,nopuede determinarse con base en el tama–o del problema,en el sentido que un problema pe-que–o puede requerir m‡s cortes que uno grande.A continuaci—n,utilizamos el mismo ejemplo para demostrar c—mo se construyen los cortese implementan algebraicamente.Dadas las holguras para las restricciones 1 y 2,la tabla de
B‡sica
x1
x2
x3
x4
Soluci—nz0063
2231
2266 1
2x2017
221
223 1
2x110-1
223
224 1
2
las variables,,son en-teras.Observe,adem‡s,que como todos los coeficientes objetivo originales son enteros en esteejemplo,el valor de tambiŽn es entero.para generar un corte,siempreque su lado derecho sea fraccionario.Asimismo,la ecuaci—n es entera.Demostraremos c—mo se genera un corte concada una de estas filas origen,comenzando con la ecuaci—n Primero,factorizamos todos los coeficientes no enteros de la ecuaci—n en un valor entero y.Por ejemplo,narios al lado derecho,obtenemosson no negativas y todas las fracciones son positivas por construcci—n,el lado de-
22 x3- 9
22 x4+ 1
2 ƒ 1
2z+2x3+1x4-66=- 19
22 x3- 9
22 x4+ 1
2z+A2+19
22 Bx3+A1+9
22
2B - 7
3 =A-3+ 2
3B 5
2 =A2+ 1
2B x1- 1
22 x3+ 3
22 x4=4 1
2 x2+ 7
22 x3+ 1
22 x4=3 1
2 z+ 63
22 x3+ 31
22 x4=66 1
2z=66 1
2 , x1=4 1
2 , x2=3 1
2 , x3=0, x4=0.
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraAhora,como el lado izquierdo de la ecuaci—n (1),66,es un valor entero porconstrucci—n,el lado derecho,tambiŽn debe ser entero.Se deduce entoncesLa œltima desigualdad es el corte deseado,y representa una condici—n suficiente) para obtener una soluci—n entera.TambiŽn se conoce como todos sus coeficientes son fracciones.0 en la tabla de PL continua —ptima dada antes,la soluci—n continua actualviola el corte (porque dacomo resultado).Por lo tanto si agregamos este corte a la tabla—ptima,el punto extremo —ptimo resultante mueve la soluci—n hacia la satisfacci—n de las res-tricciones enteras.Antes de demostrar c—mo se implementa un corte en la tabla —ptima,demostraremos c—motambiŽn se pueden construir los cortes a partir de las ecuaciones de restricci—n.Considere la fila Factorizando la ecuaci—n obtenemos Asimismo,la ecuaci—n Por consiguiente,el corte asociado esde plano de corte.No es necesario generar los tres cortes antes de seleccionar uno.,podemos escribirlo en forma
22 x3- 1
22 x4+s1=-1
2 , s1Ã0 (Corte I)- 7
22 x3- 1
22 x4+ 1
2 ƒ0x2+A0+ 7
22 Bx3+A0+ 1
22 Bx4=3+ 1
2 x2+ 7
22 x3+ 1
22 x4=3 1
2- 21
22 x2- 3
22 x4+ 1
2 ƒ0x1+A-1+ 21
22 Bx3+A0+ 3
22 Bx4=A4+ 1
2Bx1- 1
22 x3+ 3
22 x4=4 1
2 1
2 ƒ0-19
22 x3- 9
22 x4+ 1
2 ƒ0- 19
22 x3- 19
22 x4+ 1
2,
B‡sica
x1
x2
x3
x4
s1
Soluci—nz0063
2231
22066 1
2x2017
221
2203 1
2x110- 1
223
2204 1
2s100- 7
22- 1
221-1
2
9.2Algoritmos de programaci—n enteraLa tabla es —ptima pero no factible.Aplicamos el mŽtodo simplex dual (secci—n 4.4.1) pararecuperar la factiblidad,lo cual da por resultado
B‡sica
x1
x2
x3
x4
s1
0001962010013100
7-1
74 4
001
7-22
71 4
7
,y arbitrariamente seleccionamos como la siguiente fila origen,es decir,Agregando el corte II a la tabla —ptima previa,obtenemos
7 x4- 6
7 s1+s2=-4
7 , s2Ã0 (Corte II)x1+(0+ 1
7 )x4+(-1+ 6
7 )s1=4+ 4
7
B‡sica
x1
x2
x3
x4
s1
s2
000190620100103100
7-1
704 4
001
7-22
701 4
000
7-6
71-4
7
El mŽtodo simplex dual da la siguiente tabla:
B‡sica
x1
x2
x3
x4
s1
s2
0000375801001031000Ã1140010Ã41100016Ã74
58) es totalmente entera.No es accidental que todoslos coeficientes de la œltima tabla sean tambiŽn enteros,una consecuencia de utilizar el cortefraccionario.Comentarios.las variables,son enteras.Esto significa que el corte tiene que ver s—lo conproblemas enteros puros.La importancia de esta suposici—n se ilustra con un ejemplo.
3 x2ƒ 13
2
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraDesde el punto de vista de resolver la PLE asociada,la restricci—n se trata como una ecua-,es decir,.Sin embargo,la ecuaci—n dada tendr‡ una soluci—n entera factible en .Esto significa que el algoritmo de plano de corte concluir‡,gracias a la aplica-ciones del simplex dual,que el problema no tiene una soluci—n factible (entera),aun cuando lasvariables de interŽs,pueden asumir valores enteros factibles.Multiplique la restricci—n por una constante apropiada para eliminar todas las fracciones.Por ejemplo,multiplicando la restricci—n anterior por 6,obtenemosSin embargo,en algunos casos este tipo de conversi—n puede producir coeficientes enterosexcesivamente grandes,y esto a su vez puede conducir a errores de redondeo de c‡lculo en,el cual permite que s—lo un subconjuntode variables asuma valores enteros,con todas las dem‡s variables (incluidas las de holgu-ra y super‡vit) permaneciendo continuas.Los detalles de este corte no se presentar‡n en
este cap’tulo (vea Taha,1975,p‡gs.198-202).CONJUNTO DE PROBLEMAS9.2BEn el ejemplo 9.2-2,demuestre gr‡ficamente si cada una de las restricciones siguientesEn el ejemplo 9.2-2,demuestre gr‡ficamente c—mo los dos siguientes cortes (leg’timos),y demuestre que son losEn el ejemplo 9.2-2,derive el corte II desde la fila .Use el nuevo corte para completarla soluci—n del ejemplo.
3 x2+s1= 13
2
Demuestre que,aun cuando el siguiente problema tiene una soluci—n entera factible en,el corte fraccionario no dar‡ una soluci—n factible a menos que se eliminen todasResuelva los siguientes problemas por medio del corte fraccionario,y compare la solu-Barnett,A.,ÃMisapplication Review:High Road to GloryÃ,Interfaces,vol.17,nœm.5,p‡gs.51-54,Chen,D.S.,R.Batson,y Y.Dang,Applied Integer Programming:Modeling and Solutions,Wiley,Nueva York,2010.Gavernini,S.,C.Clark,y G.Pataki,ÃSchlumberger Optimizes Receiver Location for AutomatedInterfaces,vol.34,nœm.3,p‡gs.208-214,2004.Graves,R.,L.Schrage,y J.Sankaran,ÃAn Auction Method for Course RegistrationÃ,Interfaces,vol.23,nœm.5,p‡gs.81-97,1993.GuŽret,C.,C.Prins,y M.Sevaux,Applications of Optimization with Xpress-MP,Optimization,Londres,2002.
2 x2ƒ 13
4Maximizar =x1+2x2
Cap’tulo 9Programaci—n lineal enteraJarvis,J.,R.Rardin,V.Unger,R.Moore,y C.Schimpler,ÃOptimal design of Regional WastewaterSystems:A Fixed Charge Network Flow ModelÃ,Operations Research,vol.26,nœm.4,p‡gs.538-550,1978.Lee,J.,AFirst Course in Combinatorial Optimization,Cambridge University Press,2004.Liberatore,M.,y T.Miller,ÃA Hierarchical Production Planning System,ÃInterfaces,vol.15,nœm.4,p‡gs.1-11,1985.Nemhauser,G y L.Wolsey,Wiley,Nueva York,1988.Schrijver,A.,Theory of Linear and Integer Programming,Wiley,Nueva York,1998.Taha,H.,Integer Programming:Theory,Applications,and Computations,Academic Press,Orlando,FL,1975.Weber,G.,ÃPuzzle contests in MS/OR EducationÃ,Interfaces,vol.20,nœm.2,p‡gs.72-76,1990.Wolsey,L.,Integer Programming,Wiley,Nueva York,1998.
10.1INTRODUCCIîNalgoritmos de optimizaci—n disponibles.Una heur’stica es una tŽcnica de bœsqueda di-recta que utiliza reglas favorables pr‡cticas para localizar soluciones mejoradas.Lautilizando reglas de soluci—n simples.La desventaja es que la calidad de la soluci—n(con respecto a la —ptima) suele desconocerse.queda.La bœsqueda termina en un —ptimo local donde ya no son posibles m‡s mejoras.En la dŽcada de 1980,una nueva generaci—n de metaheur’stica busc— mejorar la—ptimos locales.La ventaja obtenida se logra a expensas de los c‡lculos incrementados.CAPêTULO 10
Aplicaci—n de la vida real. FedEx genera l’neas de oferta mediante recocidoFedEx entrega millones de art’culos alrededor del mundo diariamente utilizando unaflota de m‡s de 500 aviones y m‡s de 3000 pilotos.Las l’neas de oferta (viajes redon-dos),que se inician y terminan en uno de nueve domicilios de las tripulaciones (o cen-tros de distribuci—n),deben satisfacer numerosos reglamentos de la Federal AviationAdministration y FedEx y,hasta donde es posible,las preferencias personales basadasen la antigŸedad de los pilotos.El objetivo principal es minimizar la cantidad requeri-da de l’neas de oferta (es decir,la dotaci—n necesaria de personal).La complejidad delas restricciones impide la implementaci—n de un modelo de programaci—n entera.Ensu lugar,se utiliza una heur’stica de recocido simulado para resolver el problema.Fuente:Camplell,K.,B.Durfee,y G.Hines,ÃFedEx Bid Lines Using Simulated AnnealingÃ,
,vol.27,nœm.2,1997,p‡gs.1-16.
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaLa secci—n 10.2 se ocupa de la heur’stica codiciosa.La secci—n 10.3 presenta tresmetaheur’sticas prominentes:tabœ,recocido simulado y genŽtica.La secci—n 10.4 apli-ca la metaheur’stica al problema de programaci—n entera general.El cap’tulo concluye10.2HEURêSTICA CODICIOSA (BòSQUEDA LOCAL)una sola variable.Defina el problema de optimizaci—n con espacio de soluciones vecindadpunto de soluci—n actual.Espec’ficamente,en la iteraci—n ,dado el punto de soluci—n una mejor soluci—n.La bœsqueda finaliza cuando ya no son posibles m‡s mejoras.)es importante en el dise–o de la heur’stica.Por ejemplo,paraparaxk21,xk11] define la vecindad inmediatade xk.Alternativamente,puede incluir puntos de soluci—n cercanos adicionales.La pri-dad de la soluci—n final.La segunda definici—n (vecindad expandida) requiere m‡s c‡lcu-los de bœsqueda local,pero podr’a mejorar la calidad de la soluci—n.discretas y continuas.La ampliaci—n de la heur’stica a mœltiples variables se analiza al10.2.1Heur’stica de variable discreta—ptimo de una funci—n de una sola variable discreta.El primer ejemplo utiliza la vecin-
,.El nœmero aleatorio 1,2,Ã,8.En la iteraci—n 1,tible.La bœsqueda termina en la iteraci—n 3 porque m’nimo localxfigura 10.1).Podemos mejorar la calidad de la soluci—n de dos maneras:Repitiendo la heur’stica con puntos de inicio aleatorios.Expandiendo el tama–o de la vecindad para llegar a m‡s puntos de soluci—n factible.
10.2Heur’stica codiciosa (bœsqueda local){1,2,Ã,8},con m’nimo
012345678
TABLA 10.1) en la figura 10.1.Comenzando en (Inicio)01Establecer,,y :Establecer,9050:Establecer,(Termi-36080:M’nimo local alcanzado,detenerse.50,ocurre en la iteraci—n 2
cercanos,una estrategia que incrementa la carga computacional.Alternativamente,podemos de-Espec’ficamente,en la iteraci—n ,el siguiente movimiento,1,se selecciona de ,donde es el nœmero de elementos en el conjunto de vecindades.El mues-treo de la vecindad se repite,si es necesario,hasta que se determina una soluci—n mejorada,ohasta que un nœmero especificado de iteraciones se ha alcanzado.La regla de selecci—n aleatoria
describe lo que se conoce como heur’stica de caminata aleatoria
Ejemplo 10.2-2(Heur’stica de caminata aleatoria)) en la figura 10.1.Arbitrariamente definimos el con-) como {1,2,Ã,1,Ã,8}.La bœsqueda continœa1.Indique[seleccionada de entre siguiente movimiento.Se acepta como el nuevo movimiento de bœsqueda s—lo si me-jora la soluci—n.Si no lo hace,se intenta una nueva selecci—n aleatoria de La tabla 10.2 detalla la aplicaci—n de la heur’stica de caminata aleatoria.En contraste con laheur’stica de vecindad inmediata del ejemplo 10.2-1,la heur’stica de caminata aleatoria produce40 en la iteraci—n 4,la que por accidente resulta ser mejor que la ob-
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
TABLA 10.2) en la figura 10.1.Comenzando en (Inicio)019090{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.41284802480.2039260:Establecer,3260.08611100:Volver a muestrear desde 4260.5839640:Establecer,(Termi-5640.5712480:Volver a muestrear desde 40,ocurre en la iteraci—n 4
Observe el comportamiento de la heur’stica.En la iteraci—n 3,el posible movimiento alea-toriodesde {1,3,4,5,6,7,8} no mejora la soluci—n.Por consiguiente,en laiteraci—n 4 se intenta otro movimiento aleatorio desde la misma vecindad.En esta ocasi—n el
10.2.2Heur’stica de variable continuade la vecindad.El dominio El siguiente movimiento,,se calcula como un desplazamiento aleatorio (posi-.Hay dos formas de lograr este resultado:es un nœmero aleatorio (0,1),entonces viaci—n est‡ndar(la estimaci—n de la desviaci—n est‡ndar se basa en el su-distribuci—n normal).Por lo tanto,A,o utilizando ExcelStatTables.xls.TambiŽn puede utilizarse la funci—n NORM-
6B N(0, 1)U - L
6 =xk+(R-.5)(U-L) xk+1=xk+A-A U-L
2B+R(U-L)BA-U-L
2, U-L
2BMinimizar F(xƒxƒUxkœ=1
10.2Heur’stica codiciosa (bœsqueda local)de una vez,utilizando la misma ,hasta que ).Adem‡s,si *),la selec-una mejora,lo que ocurra primero.
.5 como punto de inicio.normal.Un incremento en el nœmero de iteraciones por lo general produce soluciones de mejorcalidad (con respecto a la —ptima verdadera).Aunque el muestreo normal produce una soluci—nde mejor calidad en este ejemplo,en general el resultado puede no ser cierto.Primero,implementamos la heur’stica de muestreo uniforme.Luego se utiliza la soluci—n resul-tante para iniciar la heur’stica de muestreo normal.La idea es que la heur’stica de muestreo nor-mal pueda ÃafinarÃla soluci—n obtenida por la heur’stica de muestreo uniforme (vea m‡s ade-lante el momento de Excel),que se implementa utilizando Excel.
TABLA 10.3,0
(Inicio)0.53.281Establecer,1.53.281.4128.1512.6022.152.602.20391.033Fuera de intervalo:Volver a muestrear usando3.152.602.91241.801.75741.8.757.57122.086.339:Volver a muestrear usando(Termi-51.8.757.87183.288
TABLA 10.4,0 (Inicio)0.53.281Establecer,,1.53.281.412.2203.3533.631:Volver a muestrear usando2.53.281.203.8278Fuera de intervalo:Volver a muestrear usando3.53.281.9121.35571.4041.40141.4041.401.571.17941.5231.390:Volver a muestrear usando(Termi-51.4041.401.8711.13492.160.6219:Volver a muestrear usando1.401,ocurre en la iteraci—n 3 [m’nimo exacto global
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaExtensi—n de la bœsqueda codiciosa al caso de mœltiples variables.,el problema de optimizaci—n se define comoen cada iteraci—n,donde una variable puesta en la).Las heur’sticas continua y
excel/ContSingleVarHeuristic.xls).Utilizando la sintaxis deExcel,la funci—n El sentido de optimizaci—n (m‡x o m’n) se especifica en la celda C2.El intervalo de bœsqueda seingresa en las celdas D3 y D4.El menœ desplegable en la celda D5 permite utilizar el muestreouniforme o aleatorio.Seleccione muestreo uniforme en la celda D5,y ejecute la heur’stica oprimiendo el bot—n
excelContVarHeuristic.xls
10.3Metaheur’sticaCONJUNTO DE PROBLEMAS10.2AVuelva a resolver el problema del ejemplo 10.2-1 para calcular el valor m‡ximo de Vuelva a resolver el problema del ejemplo 10.2-2 para calcular el valor m‡ximo de Vuelva a resolver el problema del ejemplo 10.2-3 para calcular el valor m‡ximo de utilizando el muestreo uniforme.luego utilice la soluci—n obtenida con el muestreo uni-10.Use el archivoexcelContVarHeuristic.xlsmal en el cual el punto de inicio es la soluci—n obtenida a partir del muestreo uniforme.(0,20),comenzando con un rect‡ngulo de 4 pulgadas de base y aplicando excelContVarHeuristic.xlstimar las dimensiones del rect‡ngulo.Comience con una base del rect‡ngulo igual aexcelContVarHeuristic.xlsnormal para refinar la soluci—n obtenida en (a).Realice 10 iteraciones.rrillos.Suponga que,para una tasa tributaria ,el consumo diario promedio por fumador/100),10 60.Si la tasa tributaria se eleva,la de-manda se reducir‡,y la recaudaci—n fiscal tambiŽn lo har‡.El objetivo es determinar latasa tributaria que maximice la recaudaci—n fiscal.Para el prop—sito de fijaci—n de im-puestos,el precio base por cigarrillo es de 15 centavos.Formule el problema como unmodelo matem‡tico,y utilice una heur’stica para determinar la tasa tributaria.,0 5,0 base.Ni el di‡metro ni la altura pueden exceder de 10 pies.El volumen del tanque debe ser.El costo de la estructura elevada sobre la que se instala el tanque esproporcional al ‡rea de la base.El costo de la l‡mina es de $8/pie.Formule el problema como un modelo matem‡tico,y desarro-lle una heur’stica de caminata aleatoria para estimar el di‡metro y altura del tanque.10.3METAHEURêSTICA.Si no se puede hallar una ) o si se llega a una cantidad de iteraciones especificada por el usuario,
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticato en el —ptimo local al permitir movimientos inferiores,si es necesario.Se espera queA diferencia de la heur’stica codiciosa,la cual siempre termina cuando se llega aun —ptimo local,la terminaci—n de una bœsqueda metaheur’stica se basa en los siguien-La vecindad asociada con el punto de bœsqueda actual,o est‡ vac’a o no puedeconducir a un nuevo movimiento de bœsqueda viable.La calidad de la mejor soluci—n actual es aceptable.Esta secci—n presenta tres bœsquedas prominentes metaheur’sticas:Tabœ,recoci-do simulado y genŽtica.Estos algoritmos difieren principalmente en la forma en que labœsqueda escapa de un —ptimo local.Cada metaheur’stica se ilustra por medio de dosejemplos:El primero,que se ocupa de una funci—n ) de una sola variable,est‡ di-se–ado para explicar los fundamentos de la metaheur’stica.El segundo,que se ocupadel m‡s complejo problema de secuenciaci—n de tareas en un taller,revela complejida-des adicionales en la implementaci—n de la metaheur’stica.En el cap’tulo 11,las tresmetaheur’sticas se aplican al problema del agente viajero.10.3.1Algoritmo de bœsqueda tabœCuando la bœsqueda se queda atrapada en un —ptimo local,la bœsqueda tabœ (BT) se-,volver a examinar las soluciones anteriores.El instrumentolista tabœque ÃrecuerdaÃlos movimientosCuando un movimiento tabœ completa su tenencia,se elimina de la lista tabœ y se hacedisponible para futuros movimientos.
Ejemplo 10.3-1(Minimizaci—n de una funci—n de una sola variable) Vecindad de ) de la figura 10.1,los valores factibles son 1,2,Ã,8.En la ite-,el conjunto de vecindades de es una constante entera.La definici—n excluye impl’citamente los
10.3Metaheur’stica
TABLA 10.5),en la figura 10.1 con pe-
(Inicio)0.0935190{2,3,4,5}1.4128350{1}{2,4,5,6,7}2.2039480{1,3}{2,5,6,7,8}3.0861260{1,3,4}{5,6}4.58395100{3,4,2}{1,6,7,8}(Terminaci—n)5.5712720{4,2,5}{3,6,8}20,en la iteraci—n 5 (sucede que tambiŽn es —ptima).
puntos de soluci—n no factibles.Por ejemplo,en el caso en que .Los elementos tachados son no factibles.Como se explica en la secci—n 10.2,el siguiente movimiento de bœsqueda ),o como un elemento aleatorio de) (selecci—n de caminata aleatoria).Este ejemplo utiliza una selecci—n aleatoria.La tabla 10.5 proporciona 5 iteraciones del algoritmo de BT.La bœsqueda se inicia en (seleccionado al azar desde {1,2,Ã,8},utilizando .0935).Defina la vecindad con Para ilustrar los c‡lculos,{2,3,4,5}.En la iteraci—n 1,),la cual resulta {1,2,4,5,6,7} {2,4,5,6,7} y ac-{1,3}.3 iteraciones sucesivas.Por ejemplo el elemento {1}
permanece en la lista tabœ durante las iteraciones 1,2,y 3 hasta que se elimina en la iteraci—n 4.
Ejemplo 10.3-2(Secuenciaci—n de tareas)tareas en una sola m‡quina.El tiempo de procesamiento de la(medida a partir de cero).Si la tarea tiempo.Una tarea por unidad de tiempo.La tabla10.6 da los datos para un problema de 4 tareas.
En realidad,un elemento tabœ puede definir un siguiente movimiento de bœsqueda si satisface el llamadoCriterio de Nivel de Aspiraci—n,
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
TABLA 10.6Tarea,Tiempo de procesamientoen d’as,Fecha l’mite,473048
),a partir de Intercambiar las posiciones de pares sucesivos de tareas.Intercambiar las posiciones de pares impl’citos de cada dos tareas.tantes.En este ejemplo se utiliza la primera definici—n.Para demostrar su uso considere -3-4),(1--4,(1-2)},el cual corresponde a inter-) de las tareas 1,y 2,las tareas 2 y 3,y las tareas 3 y 4,respectiva-mente.La selecci—n del siguiente movimiento en el criterio de costo m’nimo.Este ejemplo emplea la selecci—n aleatoria.nes.La secuencia (3-1-2-4) en la iteraci—n 2 proporciona la mejor soluci—n con 126.Para de-
TABLA 10.7Vecindades(Inicio)0(1-2-3-4)167.5124(1(1-{3-2}.3241(
2-3
-4)
126{3-2,3-1}.2952(
1-3
-2-4)
3(3-{3-1,2-1}.4241(
1-2
-4)
{2-1,2-3}.8912(
3-2
-1-4)
(Termi-5{4-1,1-3}.0992(Mejor secuencia de bœsqueda:(3-1-2-4) con costo
10.3Metaheur’stica
Por comodidad,los c‡lculos de los costos se automatizan con la hoja de c‡lculo excelJobSequencing.xlstuaciones que implican cuatro y cinco tareas.Puede modificarla para tener en cuenta otras situaciones.Tarea:Tiempo de procesamiento:61087Fecha l’mite:10152030Fecha de terminaci—n:6162431Tiempo de retenci—n:Tiempo de retardo:20000010888mostrar los c‡lculos de los costos en la tabla,el valor de Por lo tanto,La heur’stica funciona de la siguiente manera:En la iteraci—n 1,secuencia ).La lista tabœ asociada es {3-2},lo que signifi- ca que las posiciones de las tareas 2 y 3 no pueden cambiarse durante el periodo de permanencia(es decir,durante dos iteraciones sucesivas).ƒsta es la raz—n por la que la secuencia (1-).El mismo razonamiento aplica a las secuencias tachadas en iteraciones sub-siguientes.Observe que los c‡lculos en la tabla 10.7 aplican
ÃAfinaci—n finaà de la BT.1.Criterio de aspiraci—n.recen en la lista tabœ.Sin embargo,ocurre una excepci—n cuando un movimientoimposibilitado conduce a una soluci—n mejorada.Por ejemplo,en la tabla 10.7(ejemplo 10.3-2),las secuencias tabœ tachadas en las iteraciones 1,2,3 y 4 debenqueda.Si lo hacen,deben ser aceptadas como movimientos de bœsqueda.2.Intensificaci—n y diversificaci—n.Por lo general se aplican dos estrategias adicio-nales,llamadas intensificaci—n y diversificaci—n,cuando una cadena de iteracio-nes sucesivas no produce mejoras.La intensificaci—n demanda un examen m‡scompleto de los puntos de soluci—n cercanos,y la diversificaci—n intenta despla-zar la bœsqueda a regiones de soluci—n no exploradas.Una forma de implementarestas estrategias es controlando el tama–o de la lista tabœ.Una lista tabœ m‡s—ptimo local al permitir explorar regiones ÃremotasÃ.Paso 0..Inicie la lista tabœ Inicie la lista tabœ ,y seleccio-ne un esquema para especificar el tama–o de la lista tabœ.Establezca
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
TABLA 10.8Datos para el problema 3,conjunto 10.3aTarea,Tiempo de procesamientoen d’as,Fecha l’mite,2301235951472528
Paso 1.Paso 2.,si propor-ciona una mejor soluci—n),y actualice la lista tabœ Paso 3.Si se llega a una condici—n de terminaci—n,detŽngase.Si no,establezca CONJUNTO DE PROBLEMAS10.3AResuelva el ejemplo 10.2-1 para estimar el punto de soluci—n m‡xima.Utilice 1,2,Ã,10.Aplique 10iteraciones de bœsqueda tabœ para estimar el m‡ximo y el m’nimo.Use 2 iteraciones.excelJobSequencing.xlslas funciones de costo.)Considere 10 variables Booleanas,1,2,...,10.Cada variable asume el valor (falso).Luego considere las siguientes seis expresiones (la notaci—n B
tidad de expresiones l—gicas verdaderas.Realice cinco iteraciones de BT empezando con
2 y B
7(B1 y B3 y B8) o (B4 y B10) y B6f(x)=.01172x6-.3185x5+3.2044x4-14.6906x3+29.75625x2-19.10625x
10.3Metaheur’stica
TABLA 10.9Datos para el problema 6,conjunto 10.2a12345110152094021217152010318141035164912332819
iteraciones.(Por comodidad,el archivo excelSAT.xlsde las expresiones Booleanas.)..Considere el caso de 4 almacenes y 5 tiendas.El costo fijo deabrir un almacŽn es de 20 ($ mil).El costo de transporte,,de los env’os entre almace-Formule el problema como una PLE y determine la soluci—n —ptima (con AMPL oResuelva el problema con la BT y un periodo de permanencia de dos iteraciones.Glover (1990).una red (por definici—n,un ‡rbol no contiene ciclos).En un entorno pr‡ctico,puede serpansi—n m’nima (es decir,s—lo uno de un subconjunto de arcos puede estar en el ‡rbol deexpansi—n).Puede usarse la BT para tener en cuenta todas las restricciones adicionales.S—lo uno de los dos arcos,,puede estar en el ‡rbol.est‡ en el ‡rbol,entonces el arco tambiŽn debe estarlo.realiza como sigue:El ‡rbol de expansi—n m’nima no restringida (16 se utiliza como una soluci—n de inicio.Los arcos restantes .Un ‡rbol de expansi—n de vecindad (soluci—n) puede generarselos ciclos.Por ejemplo,el arco
4 y B
7 y B
8B3 o B6 y (B7 o B9 y B10)(B1 y B5) o (B3 y B9) y (B2 o B10)
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica.El cambio produ-ce dos alternativas:agregar ,o agregar .Se pueden generar al-ternativas similares cuando se consideran las variables libres restantes,.El conjuntonalizaci—n por la violaci—n de las restricciones adicionales dadas antes.Por ejemplo,dado),la alternativa Ãagregar Ãproduce el ‡rbol (produce el ‡rbol ((13 11 16 14) 1(penalizaci—n por violar la primera restricci—n)].Asimismo,la alternativa Ãagregar el arco Ãproduce el ‡rbol (produce el ‡rbol (12 11 16 14) 1(penalizaci—n por violar la segunda restricci—n)].La penalizaci—n debe ser suficientemente grande (es decir,un mœltiplo de la suma de laslongitudes de todos los arcos en la red).En la presente situaci—n,la longitud total de la redes 37,y una penalizaci—n de 2000 es propicia.La alternativa con la menor aptitud propor-ciona la siguiente soluci—n de prueba.La variable libre correspondiente se agrega enton-.La colocaci—n ine-qu’voca de los nombres de ciudades,calles,lagos y r’os en mapas impresos siempre hasido un proceso manual que requiere mucho tiempo.Con el advenimiento de la genera-ci—n de mapas en l’nea (como en Google y MapQuest),el proceso manual no es una opci—n viable.Se puede utilizar una heur’stica tabœ para automatizar la colocaci—n de r—-tulos en mapas.Este problema abordar‡ el caso de rotulaci—n de ciudades.El objetivogeneral es evitar que se traslapen los r—tulos,al mismo tiempo que se toman en cuenta lasdades,A,B,C y D en un mapa.Cada ciudad tiene cuatro opciones de colocaci—n repre-sentadas por cuatro rect‡ngulos.La prioridad para la colocaci—n de los r—tulos entre loscuatro rect‡ngulos puede estar en cualquier orden.En la figura 10.4,asumimos un ordenpara los rect‡ngulos de cada ciudad.Por ejemplo,para la ciudad A,el orden de las prefe-rencias de rotulaci—n es A1-A2-A3-A4.Una soluci—n t’pica selecciona un rect‡ngulo es-pec’fico para cada ciudad.Por ejemplo (A1,B2,C3,D2) es una soluci—n para las cuatroEl ÃcostoÃde seleccionar un rect‡ngulo espec’fico en una soluci—n es la suma de doscomponentes:una calificaci—n de preferencia numŽrica en el intervalo (0,1) donde ceroes la mejor,y la cantidad de traslapes con otros rect‡ngulos.La figura 10.4 presenta lascalificaciones de las preferencias para la ciudad A(A1 0,A2 .02,A3 .03,y A4 .04).Las mismas calificaciones se aplican a los rect‡ngulos correspondientes en las ciuda-des B,C y D.Para determinar los traslapes considere la soluci—n (A1,B2,C3,D2).S—loRed para el problema 7,conjunto
h – 4d – 7b – 2f – 1a – 5c – 3e – 9256g – 6431
10.3Metaheur’sticaOpciones de rotulaci—n para el problema 7,conjunto 10.2a
A
B
C
D
.00 .04
.02.03
.04.00 .02 .03 .00.04.02.00.04.02
A1 A3 A2
A4
A1
B2
C3
A1.00.00.00.00B2.00.02.00.00C3.00.00.031.00
.00
.00
1.00
.02
La siguiente matriz resume las calificaciones asociadas con la soluci—n (A1,B2,C3,D2).Todas las entradas diagonales son las calificaciones de las preferencias del rect‡nguloasociado.Un elemento afuera de la diagonal es igual a 1 si los elementos correspondien-tes se traslapan.Si no,es cero.El costo asociado con la soluci—n (A1,B2,C3,D2) es laD2) es la5(.02 1.03 1.02 1(1 11) 52.7].El objetivoposibles de los r—tulos.do tabœ de permanencia de dos iteraciones.[problema trivial es obvia:(A1,B1,B2,B3 y B4) con aptitud total cero.Para demos-trar iteraciones de BT significativas,sin embargo,se requiere que inicie con la solu-ci—n A1,B2,C3,D3.Una soluci—n de vecindad se compone del reemplazo de uno delos rect‡ngulos de una ciudad con otro:por ejemplo,reemplazando C3 con C1.Eneste caso,la ciudad 10.3.2Algoritmo de recocido simuladoacepta un mejor movimiento).La idea de determinar la probabilidad de aceptaci—n delsiguiente movimiento de bœsqueda se explica como sigue:Suponga que el problema de
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaAmedida que la cantidad de iteraciones se incrementa,el RS busca una determinaci—n,llamado ,es decir,se hace progresivamente m‡s peque–o de acuerdo con un se hace progresivamente m‡s peque–o de acuerdo con un T5Ti,i50,1,Ã,I].Cada consecutivas,.En la iteraci—n ,la pro-,se calcula como
El RS se inspir— en el proceso de recocido en la metalurgia,el cual implica el calentamiento y el enfria-miento controlado de un material,de ah’ el uso del tŽrmino .El uso de la jerga metalœrgica en ladescripci—n del RS es puramente tradicional,sin ninguna relaci—n tŽcnica con el desarrollo de la heur’stica,guarda la idea general detr‡s del proceso de recocido.ser reemplazada por otras,por ejemplo basar el cambio en el total de iteraciones (de aceptaci—n o rechazo),si en caso contrario
,se acepta si).De lo contrario,,donde es un nœmero aleatorio (0,1).Si rechaza,se intenta una estrategia de soluci—n diferente con ).Observe que el pro-
Ejemplo 10.3-3(Minimizaci—n de una funci—n de una sola variable)riable que aparece en la figura 10.1.La soluci—n define arbitrariamente la vecindad en cualquier{1,2,Ã,8} },donde aceptaci—n m‡s reciente.Para ilustrar los c‡lculos,la bœsqueda selecciona arbitrariamente .5.Por lo tanto,{2,3,4,5,6,7,8},90,y 45.Para 1,el nœmero aleatorio 80.Como ),aceptamos el movimiento.En la itera-1,con 80.El siguiente movimiento {1,2,3,5,6,7,8} utilizando .2039.De nuevo se acepta el movimiento porque mejora60.Esto hace 60.En la iteraci—n 3,{1,3,4,5,6,7,8} con 90.La nueva soluci—n es60.Por lo tanto 30,y .5134.Dado .5462,se rechaza la1,lo cual requiere que se vuelva a muestrear desde la œltima vecindad aceptada).En la iteraci—n 4,se acepta la iteraci—n 2).En este momento se satisface la condici—n 3,lo que cambia la temperatura a22.5 en la siguiente iteraci—n.En la iteraci—n 5,dada
TRkƒ
10.3Metaheur’stica
Ejemplo 10.3-4(Secuenciaci—n de tareas)Este problema se resuelve en el ejemplo 10.3-2 utilizando la BT.Por comodidad,en este caso serepite el enunciado del problema.Las tareas se secuencian en una sola m‡quina.Cada tarea .Si se completa te,se incurre en costo de retenci—n por unidad de tiempo.Una tarea retrasada por unidad de tiempo.La tabla 10.11 proporciona los datos paraun problema de secuenciaci—n de 4 tareas.La tabla 10.12 proporciona cinco iteraciones de RS.La iteraci—n 3 produce la mejor secuen-cia.Observe que cuando una secuencia se rechaza en la iteraci—n ,volvemos a utilizar la ve-cindad de œltima iteraci—n de 1.Esto ocurre en la iteraci—n 2,donde la vecindad no cambia como en la iteraci—n 1.3 se satisface en la iteraci—n 4,lo que hace que cambie la temperaturaResumen del algoritmo de recocido simuladoPaso 0..Establezca 0,e Paso 1.
TABLA 10.11Tarea,Tiempo deprocesamiento en d’as,Fechal’mite,15$3202105048
TABLA 10.101,2,3,Ã
(Inicio) 0190045.0{2,3,4,5,6,7,8}10.4128480145.0{1,2,3,5,6,7,8}20.2039260245.0{1,3,4,5,6,7,8}30.0861190245.030.5134.546240.5839640445.0{1,2,3,4,5,7,8}(Termina-ci—n)50.57125100522.5|4060.0695.0197{1,2,3,4,6,7,8}
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
TABLA 10.121,2,3,Ãy
(Inicio)0(1-2-3-4)1(1-.0479.9532.5683Aceptar:2(1-3-2.083.1244.3459 44(3- 1 130 6.0479.9532.6412(Termi- 1 162.766.4647.5347Bœsqueda de la mejor soluci—n:(3-1-2-4) con costo de 126 en la iteraci—n 3.
Paso 2.).Si œltimaaceptada},luego acepte ,establezca1,y vaya al paso 3.De lo contrario,rechace ).Establezca 1,y vaya al paso 1.Paso 3.Si se llega a una condici—n de terminaci—n,detŽngase.De lo contrario,esta-1.Si ,entonces establezca 1.Vaya al paso 1.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.3BResuelva el ejemplo 10.3-3 para estimar el punto de soluci—n m‡ximo.Use Programaci—n de horarios.impartidas por 5 profesores (T).Los profesores proporcionan las siguientes preferencias
10.3Metaheur’stica(a) Mapa de seis regiones (b) representaci—n de red para el problema 5,conjunto 10.3b
123 5 4 6 (a)(b)125643
miza la insatisfacci—n entre los profesores.Una medida de insatisfacci—n est‡ representa-da por la asignaci—n tan baja a un profesor en la lista de preferencias de un curso.Porejemplo,la medida de insatisfacci—n es cero si C1 se asigna a T1 y 3 si C5 se asigna a T1.Un horario se evalœa por la suma de sus medidas individuales..El problema de colorear tiene que ver con la de-regiones adyacentes no tengan el mismo color.La figura 10.5 (a) proporciona un ejemplode un mapa de 6 regiones.El problema puede modelarse como una red en la cual losnodos representan las regiones como se muestra en la figura 10.5 (b).Un arco entre una frontera comœn).El problema de colorear el mapa puede representar otras situacio-nes pr‡cticas,como lo demuestra el problema 6.Se puede aplicar una heur’stica de RS al problema de colorear.La soluci—n de inicio,,puede determinarse de una de dos maneras:Asigne un color œnico a cada nodo de la red.Por lo tanto,(1,2,Ã,6) para la redUse un algoritmo codicioso que se inicie asignando el color 1 al nodo 1.Luego,dadoque los nodos 1,2,Ã e 1 utilizan los colores 1,2,Ã,y 1,asigne el color denœmero menor en el conjunto (1,2,Ã,cuyos dos nodos extremos utilizan el mismo color).Si no se puede hallar ninguno,1.Para la red de la figura 10.5(b),los pasos sucesivos paraque se aplican a los nodos 1 y 4,los nodos 2 y 6,el nodo 3,y el nodo 5,respectivamente.
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaa un color aleatorio en el mismo conjunto.Por ejemplo,dado (1,2,3,1,4,2) y su(1,2,3,4),las selecciones aleatorias del color 1 a partir(1,1,1),a los nodos (1,4,5),(2,6) y (3),respectivamente.Para generar ,seleccione al(1,2,3) para reemplazar el color de un nodo seleccionado al azar en.Si es necesario,repita el intercambio aleatorio hasta que Luego desarrollamos una medida de desempe–o para la soluci—n.Una medida sim-tremos tienen el mismo color).Puede desarrollarse una medida m‡s compleja comosigue:La soluci—n de clases de colores (es decir,use menos colores al aumentar el tama–o de al menos una clase de color),pero al mismo tiempo aumenta la posibilidad de crear arcos Espec’ficamente,del algoritmo codicioso no tiene arcos malos,y tiene un arco malo,4-5.Por lo tanto,una medida emp’rica del desempe–o que balancea las dos situacionesconflictivas,incrementando los tama–os (cardinalidades) de las clases de colores y redu-ciendo,al mismo tiempo,el nœmero de arcos malos,requiere [La notaci—nrepresenta el nœmero de elementos (cardinalidad) del conjunto ].Endel algoritmo codicioso,tenemostenemosf(x)].Por consiguiente,de acuerdo con la heur’stica para RS,aceptamos turaleza de los problemas asociados).En estos casos,puede aceptarse un movimiento nofactible utilizando la condici—n de probabilidad del RS,pero la mejor soluci—n se actuali-),como antes se explic—..Una versi—n simplificada de la programaci—n decursos requiere que se asignen ocho cursos (1,2,Ã,8) en el m’nimo posible de periodos.La tabla 10.13 asigna una ÃxÃa los cursos conflictivos (aquellos que no pueden ser pro-Determine una soluci—n de inicio por medio del algoritmo codicioso.Aplique tres iteraciones de RS para estimar el m’nimo de periodos.
10.3Metaheur’stica
TABLA 10.13Conflictos en la programaci—n de cursos para el problema 6,conjunto 10.3b123456781xxxxxxxxx4xxxx5xxxx6xxxxx7xxxx8xxxx
.08984,.71266) y (.08984,).Inicie10.3.3Algoritmo genŽticoEl algoritmo genŽtico (AG) imita el proceso de evoluci—n biol—gica de Ãsobrevivenciadel m‡s aptoÃ.Cada soluci—n factible de un problema se considera como un .Los binario (0,1,2,Ã,).Por ejemplo,los cromosomas de una sola va-riable cuyos valores factibles son 0,1,2,3,4,5,6,7 y 8 pueden ser representados por losc—digos binarios (0000,1000,0100,1100,0010,1010,0110,1110 y 0001).Los cromoso-{0,1,2,3} puedenrepresentarse por medio de los c—digos numŽricos (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2) y (1,3).Los c—digos numŽricos de mœltiples variables tambiŽn pueden represen-tarse como c—digos binarios.Por ejemplo,el c—digo binario de (110).Existen otro esquemas de codificaci—n,incluido el de red (vea Beasley and Associates,1993,parte 2).somas.La aptitudpiada.Un cromosoma m‡s apto da un mejor valor a la funci—n objetivo.La idea general del AG es seleccionar dos padresa partir de una poblaci—n.Los.La descendencia reemplaza a los dos cro-mosomas m‡s dŽbiles (menos aptos) en la poblaci—n,y el proceso de seleccionar nue-vos padres se repite.La implementaci—n real del AG requiere detalles adicionales del problema-es-pec’fico.Asimismo,las reglas para seleccionar padres y crear hijos pueden variar.Porejemplo,los padres pueden ser seleccionados totalmente al azar de una poblaci—n,o sepueden componer de los dos cromosomas m‡s aptos.Algunos de estos detalles se pro-porcionar‡n mas adelante.
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
TABLA 10.151.984280001702.302533.583954.571255.09261
Ejemplo 10.3-5(Minimizaci—n de una funci—n de una sola variable)El AG se aplica al problema discreto de una sola variable de la figura 10.1 con el dominio facti-{1,2,3,4,5,6,7,8}.Especificaremos arbitrariamente una poblaci—n de tama–o mediante muestreo aleatorio uniforme.4) de la poblaci—n inicial y su aptitud,como se muestra en la tabla 10.15.),de ah’ que la soluci—n4 se descarta.La poblaci—n inicial es (8,3,5,1),y la mejor soluci—n asociada es{8,3,5,1} de varias maneras:(1) Seleccione los dos miembros m‡s aptos.(2) Seleccione el miembro m‡s apto y luego uno alazar de entre los miembros restantes.(3) Seleccione dos padres al azar a partir de .En estapresentaci—n utilizamos la tercera opci—n.Espec’ficamente,los dos nœmeros aleatorios Hay varios mŽtodos para implementar el cruce.1.Cruce uniforme.En esta regla,los genes comunes se aplican a ambos hijos.Los genes res-tantes de un hijo se determinan al azar,mientras que el otro hijo obtiene el gen comple-mento.2.Cruce de un punto.y luego se intercambian;es decir,P1 (P11,P12
{P21,P12
3.Cruce de mœltiples puntos.torios.Por ejemplo,en un cruce de dos puntos,P1 (P11,P12
,P13) y P2 ,P23),P13) y C2 (P21,P12
,P23).Este ejemplo utiliza la regla de cruce uniforme.En el ejemplo 10.3-6 se utilizar‡ la regla decruce de un punto.Para los dos padres (3,8) generados en la tabla 10.15,tenemos
1) P1 = (1 1 0
0)
TABLA 10.14
x
1
2
3
4
5
6
7
.125.250.375.500.625.750.8751.
10.3Metaheur’sticaEn el cruce uniforme,el tercer gen comœn (subrayado) en P1 y P2 se transmite a ambos hijos.Los tres genes restantes se determinan al azar como sigue.Para el hijo 1,el gen es 1 si 0 1.Los genes correspondientes para el hijo 2 son los complementos de los asigna-dos al hijo 1.Por ejemplo,los tres nœmeros aleatorios .2307,.7346 y .6220 muestran que los genes1,2 y 4 para el hijo 1 son 1,0 y 0,respectivamente,lo que autom‡ticamente asigna los genes com-plemento 0,1,y 1 al hijo 2.Por lo tanto(1,2,Ã,8).Sin embargo,antes de descartar una soluci—n de hijo no factible,primero aplicamos laen cuanto factibilidad.Si persiste la no factibilidad,se debe crear en su totalidad una nueva des-cendencia (a partir de los mismos padres).El proceso puede repetirse cuantas veces sea necesa-La probabilidad de mutaci—n suele ser de aproximadamente .1:es decir,un gen muta si 0 .1.Para el hijo 1,la secuencia de nœmeros aleatorios .6901,.7698,.0871,.9535 muestra que eltercer gen muta s—lo de 0 a 1,lo que produce C1 lo que produce C1 x55 con F(5) 5100].Para el hijo2,la secuencia .5954,.2632,.6731,.0983 muta al gen 4 y produce C2 .0983 muta al gen 4 y produce C2 x52 con F(2)560].Los cromosomas de ambos hijos son factibles,pero ninguno produce una mejor soluci—n.3 de la poblaci—n inicial siga siendo la mejor.2).Esto,en realidad,dice que la siguiente poblaci—n es
3,5,2).Ahora utilizamos Tratamiento de las variables continuas.es entera.La codificaci—n puede modificarse para incluirvariables continuas como sigue.Especifique un intervalo factible finito (de preferencia,donde son constantes.Sea bits de longitud.La cadena 1,yes la proporci—n de la cantidad (),la cual).Por ejemplo,dado 5,la cadena20,y el valor asociado de ejemplo 10.3-5.Esto significa que los hijos se crean por medio del cruce y mutaci—n delos genes padre.En realidad,una situaci—n de mœltiples variables se maneja de una ma-bits.
25-1 B=1.580645Av
2n-1Bx=l+(u-l)Av
2n-1B C2=(0 1 1) (o x=10) C1=(1 0 0 0) (o x=1)
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
Ejemplo 10.3-6(Secuenciaci—n de tareas)medio de RS.Aqu’,por comodidad,repetimos el enunciado (se agrega una quinta tarea paraproducir un ejemplo m‡s viable).Las tareas se secuencian en una sola m‡quina.Cada tarea .Si la tarea fecha l’mite,se incurre en un costo de retenci—n por unidad de tiempo.Una tarea retardada por unidad de tiempo.La tabla 10.16 proporcionalos datos para un problema de programaci—n de 5 tareas.La primera tarea es desarrollar el c—digo genŽtico de los cromosomas.Aunque en el proble-ma de secuenciaci—n de tareas puede usarse la codificaci—n binaria (vea,por ejemplo,Yamada yNakano,1997),el algoritmo resultante es complejo porque las operaciones de cruce y mutaci—npueden dar por resultado programas no factibles que deben ser ÃreparadosÃ.Por lo tanto,enlugar de utilizar un c—digo binario,la naturaleza del problema permite representar un cromoso-ma como una secuencia de tareas (a saber,1-2-5-3-4).Para demostrar c—mo se crean los hijos,considere los cromosomas padres P1 5-4-2-3-1.Suponga que ocurre un cruce de un punto aleatorio en el tercer gen.Los dos pri-meros genes de C1(C2) se construyen intercambiando los dos primeros genes de P1(P2).Los œl-genes,es decir {1,3,5,2,4} {1,3,2}{5,4,2,3,1} {1,3} {5,4,2}Por lo tanto,C1 A continuaci—n,las mutaciones de C1 y C2 se transmiten de la siguiente manera.Si R un cromosoma hijo se somete a mutaci—n.La mutaci—n se implementa entonces para el hijointercambiando dos genes seleccionados al azar (tareas).Por ejemplo,los nœmeros aleatorios .1) aplicados a C1 y C2,respectivamente,indican que s—lo mutaC2.Utilizando .8299 para determinar los genes intercambiados en C2,el primer
TABLA 10.16Tarea,Tiempo de procesamientoen d’as,Fechal’mite,473048
10.3Metaheur’stica
TABLA 10.17Iteraciones del AG aplicadas al problema de secuenciaci—n de tareas del ejemplo 10.3-6P11-2-3-4-5512-Poblaci—n inicial aleatoria (P1,P2,P3,P4).P22-3-4-1-5605-Los padres seleccionados con P4 (mejor
-5-2-3695-El cruce de P3 y P4 se inicia en la posici—n 3.
-1-4-5475C13-573-C1 muta al intercambiar las posiciones 2 y 5.829-C2 muta al intercambiar las posiciones 1 y 5.mC13-5-4-1-2534mC25-1-3-2-4367
-4-53-5-4-1-2512-Los peores padres P2 y P3 en la iteraci—n 0 son reemplazados por sus mC1 y mC2.P35-1-3
-2-4367-Los padres seleccionados son P3 (mejor P43-2-1-4-5475-El cruce de P1 y P3 se inicia en la posici—n 4.C15--2-4367-C1 muta al intercambiar las posiciones 2 y 3.C21--4439-C2 muta al intercambiar las posiciones 2 y 4.mC15-3-1-2-4314mC21-5-3-2-4361
P35-1-3-2-4367-Los padres seleccionados son P1 (mejor
-1-4-5475-El cruce de P1 y P4 se inicia en la posici—n 3.-5-1-4292-C1 muta al intercambiar las posiciones 1 y 2.C25-3-2-1-4222-Ninguna mutaci—n en C2.mC12-3-5-1-4324mC25-3-2-1-42223P1
P32-3-5-1-4324-Los padres seleccionados son P4 (mejor
-2-1-4222-El cruce de P2 y P4 se inicia en la posici—n 3.C15-3-1-2-4314-Ninguna mutaci—n.C21-5-3-2-4361-Ninguna mutaci—n.
nœmero aleatorio selecciona la posici—n 1 (tarea 1),y el segundo nœmero aleatorio selecciona laposici—n 5 (tarea 2).Por lo tanto C2 muta de 1-3-5-4-2 a 2-3-5-4-1.La tabla 10.17 resume los c‡lculos de las iteraciones 0 a 3.Por comodidad,los c‡lculos de losexcelJobSequencing.xls.La
Paso 0:cromosomas factibles.en la poblaci—n seleccionada,evalœe su aptitud aso-ciada.Registre
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaPaso 1:Cruce los genes padre para crear dos hijos.Mute los genes hijo al azar.Si las soluciones resultantes son no factibles,repita el paso 1 hasta lograr lafactibilidad.Si no,reemplace los dos padres m‡s dŽbiles con los nuevos hijos*.Vaya al paso 2.Paso 2:Si se llega a una condici—n de terminaci—n,detŽngase:disponible.De lo contrario,repita el paso 1.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.3CSuponga que se utiliza el AG para determinar el m‡ximo de 0,1,Ã,300.Que Represente P1 y P2 como c—digos binarios.Cree C1 y C2 por medio de un cruce de un punto.Cree C1 y C2 utilizando un cruce de dos puntos.En la parte (b),use nœmeros aleatorios para mutar C1 y C2.Posee una baraja de diez cartas numeradas del 1 al 10.Tiene que dividir las diez cartas ende la pila 2 sea 36.Desarrolle un AG para el problema utilizando una poblaci—n inicial de4 padres,un cruce de 1 punto y una tasa de mutaci—n de 1%.Realice 5 iteraciones.Tiene un pedazo de alambre cuya longitud es forma de marco rectangular.Use el AG para determinar el ancho y la altura que dar‡ porresultado el ‡rea m‡xima del rect‡ngulo.men m‡ximo.Realice cinco iteraciones de AG para estimar la soluci—n —ptima.En el juego de ajedrez,las reinas se mueven horizontal,verticalmente a lo largo de tra-yectorias diagonales (45¼).Tenemos que colocar que ninguna reina pueda ÃtomarÃa otra reina.Dise–e un AG para el problema iniciandocon una poblaci—n aleatoria de 4 padres y utilizando un cruce de un punto.Una medidarazonable de la efectividad es el nœmero de reinas en conflicto.Realice tres iteraciones.10.4APLICACIîN DE METAHEURêSTICA A PROGRAMAS los siguientes PLE generales.1.1 sen (2
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enterossoluci—n de inicio,la definici—n de la vecindad y la determinaci—n del siguiente movi-1.Selecci—n de la soluci—n de inicio.como soluci—n de inicio.2.Definici—n de las vecindades.Por ejemplo,suponga que la soluci—n actual en un problema de 5 variables es (8,6,4,0,2),y suponga que es objetivo de cambio.Entonces la vecindad.Por ejemplo,si ,en-{(8,6,4,,2),(8,6,4,,2)} porque 1 es no factible.3.Determinaci—n del siguiente movimiento de bœsqueda.0,entonces el siguiente movimiento de bœsqueda es factible.El resto de la secci—n detalla el desarrollo de la BT,el RS y el AG para PLE.Las ideas pueden aplicarse a cualquier PLE y,de hecho,puede ampliarse a pro-gramas no lineales.
gianas para penalizar la violaci—n de la factibilidad (vea,por ejemplo,Abramson y Randall,1999).
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica10.4.1Algoritmo tabœ aplicado a una PLEriables.Utiliza las siguientes definiciones:),(Valor objetivo asociado con soluci—n redondeada de programaci—n lineal y establecer Iteraci—n for, , y , alcanza su l’mite de permanencia, luego eliminar desde la lista tabœthen nextno factibilidad para IfthenElse:ifes tabœ then nextElse:Ifes tabœ then nextElse:Ifthenset , , y nextnextestablecer y en la lista tabœ.Vaciar la lista tabœ (todas las variables son tabœ o todos los vecinos no mejoran aNext, . . . , x , x, . . . , , . . . ,
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enterosValor de Periodo de permanencia tabœ,expresado en nœmero de iteraciones.deada (instrucci—n 1).En la iteraci—n ,se permite que una variable tabœ defina (deresultado una soluci—n factible mejorada (instrucciones 11 y 12).En caso contrario,se,la bœsqueda calcula la medida de no factibilidad asociaday el valor objetivopara todas las .El algoritmo sigue la pista al candidato* (instrucci—n 14).Unanes 10,11 y 12).De lo contrario,se selecciona el movimiento no tabœ con la m’nima0) (instrucci—n 16).Si 0,todas las soluciones vecinas
82.125.Su so-luci—n entera —ptima (obtenida por medio de TORA) es 79.La soluci—n redondeada es (5,0,15,14) o (5,0,15,15).Las medidas de no(ÃcompruŽbelo!).La soluci—n de no factibilidad menor.Por consiguiente,se utiliza para iniciar la bœsqueda.4 iteraciones.Un ’ndice subrayado identifica una variable tabœ.Por ejemplo,rante las iteraciones 1,2,3 y 4.La bœsqueda encuentra la primera soluci—n factible en la iteraci—n3 (la que resulta ser la mejor soluci—n en las 5 iteraciones).En la iteraci—n 4,son tabœ,y ninguna soluci—n vecina conduce a una mejor soluci—n.Por lo tanto,la lista tabœ sevac’a en la iteraci—n 5 (y retiene la misma soluci—n de la iteraci—n 4,sin etiqueta de tabœ) parapermitir que la bœsqueda continœe.En problemas grandes t’picos,es improbable que todas lasvariables aparezcan en la lista tabœ al mismo tiempo.
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
excelTabu-IP-Heuristic.xls).Permite experimentar con problemas peque–os (hasta de10 variables).La presentaci—n de la hoja de c‡lculo es b‡sicamente una herramienta de aprendi-zaje dise–ada para reforzar su comprensi—n de los detalles de los AT.Los algoritmos de BT co-
merciales incluyen reglas adicionales para resolver problemas muy grandes.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.4AVerifique las entradas en las iteraciones 1,2 y 3 en la tabla 10.18.Realice 10 iteraciones de BT en cada uno de los siguientes problemas..Use el archivo excelTabu-IP-heuristic.xls.para hallar una solu-Compare las soluciones heur’sticas y exactas.
TABLA 10.18Inicio de la bœsqueda4.625014.62514.582.125501514283
151418421
1513
2824Ã1(mejores) 351
14
13
0793Ã1
1
14
13
1771Ã14114131771Ã1
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enterosAplicaci—n de bœsqueda tabœ a la PLE al inicio de la secci—n 10.4,realizada con Excel excelTabu-IP-Heuristic.xls
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica10.4.2Algoritmo de recocido simulado aplicado a una PLEEn la secci—n 10.4.1 que aborda la BT,cionar el siguiente movimiento de bœsqueda.La misma estrategia puede usarse con elRS.Sin embargo,como una variaci—n,adoptaremos una nueva estrategia que requiere),(Valor objetivo asociado con Temperatura inicialTemperatura en el nivel Valor objetivo de la œltima soluci—n La figura 10.8 resume los pasos del algoritmo.Al inicio del algoritmo,blece igual a la soluci—n de la PL redondeada (instrucci—n 1).En cada iteraci—n se se-* de entre el conjunto de variables {1,2,Ã,4),y la medida de factibilidad se determina para las soluciones de vecindad (ins-trucciones 5 a 8).La factibilidad incluye la verificaci—n de las cotas superior e inferiorSi la soluci—nya se encontr— antes (es decir,es redundante),rech‡cela eSies no factible,acŽptela como el siguiente movimiento (instrucci—n 10).
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enterositeraci—n al azar en el intervalo [1, ] y establecer para nextes redundante, rechazar el movimiento, nextes el siguiente movimientoElse:IfElse:Ifrechazar e iniciar una nueva iteraci—nIfthenNextSino es una soluci—n factible peor,acŽptela como el siguiente movi-Sies una soluci—n inferior factible,acŽptela como el siguiente movimiento siAntes de iniciar una nueva iteraci—n,la temperatura
62.La reducci—n de temperatura se activa cada .5.La tabla 10.19 resume 10 iteraciones.En cada itera-ci—n se subraya la variable seleccionada al azar.Por ejemplo,en la iteraci—n 2.De acuerdo con las reglas del algoritmo,una soluci—n no factible noredundante se acepta como un movimiento hacia la consecuci—n de la factibilidad.Esto ocurre enlas iteraciones 1,2 y 4.Adem‡s,siempre se genera un movimiento a partir del movimiento acep-tado o permitido m‡s reciente.Por ejemplo,el movimiento en la iteraci—n 6 se genera a partir delen la bœsqueda.Esto establece (4,0,14,14).En la iteraci—n 6,la soluci—n factible
T.Xj*t(k*)Xj* (k*)
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
TABLA 10.19
.5,y Temp
501515285
01515383Movimiento no factible:Permitir2401514
181Movimiento no factible:Permitir(Mejor)34014
14078Primer movimiento factible:Aceptar44013
141757862Movimiento no factible:Permitir54014
140787862Redundante:Rechazar6401313
0737862:Aceptar741
13130747331:Aceptar8411312
0727431:Aceptar94112
120697215.50.82:Rechazar1040
13120717215.50.94:AceptarLa mejor soluci—n ocurre en la iteraci—n3
{aceptar}.En la iteraci—n 7,el movimiento
6.Observe que la temperatura se ajusta cada 2 iteraciones de aceptaci—n en las iteraciones 7 y 9.
excelSA-IP-Heuristic.xls).Como en la BT,la aplicaci—n permite experimentar con problemas de10).El usuario puede estudiar el impacto de cambiarlos datos en los pasos 2 y 3 en la eficacia del algoritmo.Una de las observaciones inmediatasacerca del comportamiento del algoritmo es que la ÃfrecuenciaÃde rechazo de las soluciones fac-
tibles se incrementa con la cantidad de iteraciones,un comportamiento t’pico del RS.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.4BTodas las variables son binarias.Utilice el archivo excels-IP-Heuristic.xls
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enterosexcelSA-IP-Heuristic.xls
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaTodas las variables son binarias10.4.3Algoritmo genŽtico aplicado a la PLE En la secci—n 10.2.3,se utiliza codificaci—n binaria en el desarrollo del AG.La mismaidea se puede aplicar a la PLE.Por ejemplo,en un problema de 3 variables,la soluci—n(100,24,60) puede representarse mediante el c—digo binario de la tabla10.20.Por lo general,el nœmero de bits binarios se ajusta para representar el valor m‡-ximo de cualquiera de las variables.ci—n numŽrica.En este caso,la soluci—n de PLE redondeada en un problema de variables se representa comoLos cromosomas de la poblaci—ninicial pueden generarse al azar a partir del intervaloLos l’mites resultantes del intervalo se ajustan,si las cotas 1,2,3,Ã,son m‡s estrechas.Una forma c—moda de determinar los genes es muestrear desde ely luego aproximar el resultado a un valor entero.(100,1,60) con cotas 0 99,0
= (xq1, xq2,Ã, x qn). x3+x4+x5+ x6 +x7 Ã14 x2+x3+x4+x5+ x6 Ã19x1+x2+x3+x4+x5 Ã18x1+x2+x3+x4 +x7 Ã17x1+x2+x3 +x6 +x7 Ã14x1+x2 + x5 + x6 + x7 Ã12x1 +x4+x5+ x6 +x7 Ã20
TABLA 10.20001001100011000011110
TABLA 10.21
Valor inicial990(80,120)(6.4,9.6)(48,72)Intervalos de bœsqueda ajustados(80,99)(6,10)(50,72)Padre1Padre2Padre3
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enteros,50 ,y utilizando 2.Los genes de cada padre se determinan al azar.Esto significa que el gen 3 se inter-Hijo 1:(92,7,70
Hijo 2:(81,9,58
aleatorio de 89 seleccionado desde el intervalo de bœsqueda (80,99).Por lo tanto,elcromosoma mutado del hijo 1 se transforma en (89,7,70).La figura 10.10 describe los pasos algor’tmicos para la aplicaci—n del AG a unavariables.Se utilizan las siguientes definiciones:
1,Ã,x
j,Ã,x
Valor objetivo asociado con Tama–o de la poblaci—na 8).Si tal soluci—n existe,identifica al padre 1.Si no existe ninguna soluci—n factible,se(instrucci—n 9).Luego se determina el padre 2 al azar de entre los cromosomas restan-tes (despuŽs de excluir el del padre 1) (instrucci—n 11).El padre 1 y el padre 2 crean altrucci—n 12).A continuaci—n,el hijo 1 y el hijo 2 reemplazan a los cromosomas
Cap’tulo 10Programaci—n heur’stica
Para la PLE en el ejemplo 10.4-1,la tabla 10.22 proporciona una poblaci—n inicial de 10 cromo-somas generados al azar con la soluci—n de programaci—n lineal redondeada (5,0,15,15).Los intervalos de bœsqueda,basados en .2 se dan en la parte inferior de la tabla.Losdiez cromosomas resultan ser no factibles.Se elige el cromosoma 5 como padre 1 porque tiene lano factibilidad m’nima.El cromosoma 2 se selecciona al azar de entre los cromosomas restantespara representar el padre 2.Por lo tantoPadre 1:(4,0,15,16)Padre 2:(5,0,15,17)1),la partici—n (seleccionada al azar) ocurre en la variable 4.Por lotanto,los hijos se crean intercambiando el gen 4 (mostrado en negritas) como:Hijo 1:(4,0,15,Hijo 2:(5,0,15,los intervalos de bœsqueda utilizando la poblaci—n inicial de tama–o al azar utilizando los intervalos de bœsqueda 4.Iteraci—nla no factibilidad establecer Else:Ifestablecer Nextcomo Padre 1 y seleccionar al azar el Padre 2 de entre {1, 2,Ã, P} los Hijos 1 y 2 de los padres 1 y 2 utilizando cruces la no factibilidad para el cromosoma con las dos peores no factibilidadesNexttienen no factibilidad cero*** para que correspondan a los dos valores objetivo Reemplazarcon el Hijo 1 y el Hijo 2, respectivamente Next
10.4Aplicaci—n de metaheur’stica a programas lineales enterosA continuaci—n aplicamos mutaci—n a cada hijo.La probabilidad de mutaci—n de .1 exige.1.Como se muestra en latabla,s—lo el gen 14 (subrayado) del hijo 1 muta de 17 a 14.En la siguiente iteraci—n,el hijo 1 y el hijo 2 reemplazan a dos padres en la poblaci—n actual.9),de ah’ que 3.Hay un empate entre los pa-dres 9 y 10 por la siguiente no factibilidad peor.El empate se rompe a favor del cromosoma conel peor valor objetivo (87 para el padre 9 contra 76 para el padre 10),lo cual da 10.Porconsiguiente,el padre 3 y el padre 10 son reemplazados por el hijo 1 y el hijo 2,respectivamente.
La nueva poblaci—n ya esta lista para una nueva iteraci—n.
Heuristic.xls).Puede ejecutar las iteraciones una por una o ejecutarlas todas de forma autom‡ti-ca.En el primer caso,el bot—n inicia los c‡lculos.Cada clic adicional del bot—ngenera una nueva iteraci—n.Este dise–o iterativo utiliza c—digos de colores paraSi la cantidad de cruces,,en la celda H4 se establece igual a cero,las medias aritmŽtica y
geomŽtrica de los padres dan los genes de los dos hijos.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.4CRealice dos iteraciones del problema 2,conjunto 10.4b.al problema 3,conjunto 10.4b.
TABLA 10.22Poblaci—n inicial de tama–o
redondeada de PL (5,0,15,15) con 2,cruce 141161(Padre2) 2501517589361171440121(Padre1) 5401516285651121760141861151960151401216776Hijo1401514
1
Hijo2501516387Intervalos de bœsqueda(4,6)(0,1)(12,18)(12,18)
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaexcelGA-IP-Heuristic.xls
10.5Introducci—n a la programaci—n de restricci—n (PR)10.5INTRODUCCIîN A LA PROGRAMACIîN DE RESTRICCIîN (PR)Una forma de resolver el problema es enumerar las 800 combinaciones,lo cual escomputacionalmente ineficiente.La programaci—n de restricci—n resuelve el problemabœsqueda ÃinteligenteÃpara hallar las soluciones factibles.{1,2,3,4,5,6,8}{1,3,4,5,6,7,8,9,10}Luego,la restricci—n sea 4,lo cual ocurre1.El valor m‡ximo de es 5,que ocurre cuando 1.Luego,7,lo cual ocurre cuando 2.Estallamada propagaci—n de la restricci—n produce los siguientes dominios factibles,perode 800 a 32.Aun cuando el nuevo problema es m‡s computacionalmente manejable,para iniciar la bœsqueda porque tiene el dominio m‡s peque–o,lo2.La rama 3,lo cual1),(5),y el resultado son las tressoluciones que aparecen en la figura 10.12.Para 2,la condici—n resultante es imposible para satisfacer los dominios dados.Esto completa el ‡rbol de bœsqueda.posibles combinaciones.
El material en esta secci—n est‡ basado en parte en la informaci—n presentada en http://www.mozart.oz.org/
Cap’tulo 10Programaci—n heur’sticaEl ejemplo anterior proporciona la esencia de lo que hace la PR.B‡sicamente eslos dominios de las variables y un conjunto de restricciones.Para facilitar la bœsqueda,res de las variables dentro de sus dominios para satisfacer las restricciones.Como unailustraci—n,la figura 10.13 codifica el problema en ILOG OPL.El c—digo describe demanera directa el problema en funci—n de los dominios de las variables y restricciones.Todas las reducciones de los dominios las realiza de forma autom‡tica el procesador delenguaje utilizando procedimientos inteligentes.Como el ejemplo lo demuestra,la PR no es una tŽcnica de optimizaci—n en elsentido en que se utiliza en la programaci—n matem‡tica.Sin embargo,el hecho de quede algoritmos de programaci—n matem‡ticos.En particular,la programaci—n de res-para el problema MIP.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.5AAbramson,D.,y M.Randall,ÃA Simulated Annealing Code for General Integer LinearAnnals of Operations Research,vol.86,1999,p‡gs.3-21.
x{4, 5, 6, 8}, y{1, 3, 5}, z{1, 2}
Soluciones factibles:(x, y , z) = (4, 1, 1)x, y , z) = (6, 3, 1)x, y , z) = (8, 5, 1)
Ninuna soluci—n factiblezΩ = 1 = x à y = 3 zΩ = 2 = x à y = 6Restricci—n: x à y = 3z
1var int x in 1..8;2var int y in 1..10;3var int z in 1..10;4solve{5Ωx6Ωy7x–y=3*z;8};
Glover,F.,ÃTabu Search à Part IÃ,ORSA Journal on Computing,vol.1,1989,p‡gs.190-206.Glover,F.,ÃTabu Search à Part IIORSA Journal on Computing,vol.2.1990,p‡gs.4-32.Hertz,A.,y D.de Werra.ÃThe Tabu Search Metaheuristic:How We Used ItÃ,Mathemarics and Artificial Intelligence,vol.1,1991,p‡gs.111-121.Kirkpatrick,S.,C.D.Gelatt Jr.,y M.P.Vecchi,ÃOptimization by Simulated AnnealingÃ,vol.220,1983,p‡gs.671-680Michalewicz,Z.,y D.B.Fogel,How to Solve It:Modern Heuristics,Springer-Verlag,2000.Yamada,T.,y R.Nakano,Genetic algorithm for job-shop scheduling problems,Modern Heuristic for Deccision Support,UNICOM Seminar (marzo 18-19),Londres,1997,p‡gs.67-81Yamamoto,M.,C‡mara.G.,y Lorena,L.,ÃTabu Search Heuristic for Point-Feature Cartographic,vol.6,nœm.1,2002,p‡gs.77-90
11.1APLICACIONES DE EJEMPLO DE TSPCl‡sicamente,el problema de TSP tiene que ver con hallar el recorrido m‡s corto (ce-ciudades,donde cada ciudad es visitada exactamente unavez antes de regresar al punto de partida.El modelo TSP asociado se define por medioEl nœmero de ciudades,En realidad,las aplicaciones de TSP van m‡s all‡ de la definici—n cl‡sica de visi-tar ciudades.La que se presentaal inicio de este cap’tuloCAPêTULO 11
Aplicaci—n de la vida real La Organizaci—n de Ciencias y Tecnolog’a del Departamento de la Defensa deAustralia emplea un radar de apertura sintŽtica montado en un avi—n para obtenerim‡genes de alta resoluci—n de hasta 20 franjas de tierra rectangulares.En sus or’genes,po y en general era sub—ptimo.Posteriormente se desarroll— un software basado enTSP para planificar misiones hasta de 20 franjas de tierra.El nuevo software puedeplanear una misi—n en menos de 20 segundos,comparado con una hora que requer’a elproceso visual.Adem‡s,la longitud promedio de la misi—n es 15 por ciento menor quela obtenida manualmente.:D.Panton,y A.Elbers,ÃMisi—n Planning for Synthetic Aperture Radar
,vol.29,nœm.2,1999,p‡gs.73-88.*Del inglŽs:Traveling Salesperson Problem
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)sintŽtica.Esta secci—n resume otras cinco aplicaciones que muestran c—mo puedeadaptarse el modelo TSP cl‡sico (ÃciudadesÃconectadas por ÃrutasÃ) para representarotras situaciones.En el conjunto de problemas 11.2a se dan m‡s aplicaciones.duce lotes de diferentes pinturas en la misma planta de producci—n.Cuando se completauna secuencia de colores,se inicia un nuevo ciclo en el mismo orden.La secuenciaci—n delos colores afecta el tiempo de preparaci—n (arreglo) entre lotes sucesivos.La meta es se-leccionar la secuencia que minimice el tiempo de preparaci—n total por ciclo.El modelo TSP en esta situaci—n considera un color de pintura como una ciudadTarjeta de circuito integradoidŽnticas para montar los componentes electr—nicos.Las tarjetas se alimentan en se-cuencia debajo de un taladro m—vil.La meta es determinar la secuencia que completela perforaci—n de todos los agujeros en una tarjeta en el tiempo m‡s corto posible.En el modelo TSP,los agujeros representan las ciudades,y los desplazamientosentre los agujeros representan las distancias.Agrupamiento de prote’nasda numŽrica de similitud basada en la interacci—n de las prote’nas.La informaci—n delagrupamiento se utiliza para predecir las funciones de prote’nas desconocidas.Elte’nas adyacentes.En el modelo TSP cada prote’na toma el lugar de una ciudad.La medida de simi-puede convertirse en una medida de Ãdistan-ciaÃteniendo en cuenta que m‡xima,para todas las Obtenci—n de im‡genes celestesLa agencia espacial de Estados Unidos,NASA,utiliza satŽlites para obtener im‡genes de objetos celestes.La cantidad de com-toman las im‡genes de los objetos.La meta es determinar la secuencia de obtenci—n deim‡genes —ptima que minimice el consumo de combustible.En el modelo TSP,un objeto celeste se considera como una ciudad.La distanciase transforma en el consumo de combustible entre dos objetos sucesivos.Creaci—n de la Mona Lisa con TSPEsta intrigante aplicaci—n ÃcreaÃlade Leonardo da Vinci mediante el trazo de l’neas continuas.La idea gene-computadora para agrupar puntos en una gr‡fica.Los puntos se conectan luego en se-cuencia mediante segmentos de l’nea (vea Bosch y Herman,2004).En el modelo TSP,los puntos representan ciudades y sus ubicaciones relativas enla gr‡fica proporcionan la matriz de distancias.
11.2Modelo TSP matem‡ticoNota:En cada una de las siguientes instancias,describa los datos (ciudades y distancias) necesa-rios para modelar el problema como TSP.Seers Service Center programa sus visitas diarias de mantenimiento a los clientes.Lostrabajos se clasifican y agrupan,y cada grupo se asigna a un tŽcnico en mantenimiento.Alfinal de la asignaci—n el tŽcnico se reporta al centro de servicio.Seattle,(2) San Francisco,(3) Los çngeles,(4) Phoenix,(5) Denver,(6) Dallas,(7)Chicago,y (8) Tampa antes de regresar a casa en Seattle.Cada visita dura aproximada-mente una semana.El objetivo es gastar lo menos posible en pasajes aŽreos.Un turista en la ciudad de Nueva York desea visitar 8 sitios tur’sticos utilizando el trans-porte local.El recorrido se inicia y termina en un hotel ubicado en el centro.El turistadesea gastar la menor cantidad posible de dinero en el transporte.proyectos.Un empleado puede trabajaren m‡s de un proyecto,lo que traslapa las asignaciones.En la actualidad,el gerente se en-trevista con cada empleado una vez por semana.Para reducir el tiempo de entrevista contodos los empleados,el gerente desea realizar entrevistas en grupo que impliquen pro-yectos compartidos.El objetivo es reducir el tr‡fico (cantidad de empleados) que entreny salgan de la sala de juntas.Meals-on-Wheels es un servicio de caridad que prepara comidas en su cocina centralpara personas que califican para el servicio.Idealmente,todas las comidas deben ser en-tregadas en un m‡ximo de 20 minutos despuŽs de que salen de la cocina.Esto significaterminar la secuencia de las entregas.Secuenciaci—n del DNA.En ingenier’a genŽtica,un conjunto de cadenas de DNA,cada unade una longitud espec’fica,se concatena para formar una cadena universal.Los genes de ca-denas de DNA individuales pueden traslaparse.La cantidad de traslapes entre dos cadenassucesivas es medible en unidades de longitud.La longitud de la cadena universal es la sumade las longitudes de las cadenas individuales menos los traslapes.El objetivo es concatenarVeh’culo guiado autom‡tico.Un veh’culo guiado autom‡tico (VGA) realiza un viaje re-dondo que inicia y termina en el cuarto de correo,para entregar correspondencia a depar-tamentos en el piso de la f‡brica.El veh’culo guiado autom‡tico se desplaza a lo largo depasillos horizontales y verticales.El objetivo es minimizar la longitud del viaje redondo.11.2MODELO TSP MATEMçTICOComo se plante— en la secci—n 11.1,un modelo TSP se define mediante el nœmero de.La definici—n de un recorrido proh’be conec-nales de la matriz de distancias.Un modelo TSP es .De lo contrario,el modelo TSP es El modelo TSP se da como
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)Las restricciones (1),(2) y (3) definen un modelo de asignaci—n regular (secci—n 5.4),y cero en casocontrario.Si la soluci—n del modelo de asignaciones resulta ser un recorrido [es decir,satisface la restricci—n (4)],entonces autom‡ticamente es —ptimo para el TSP.Esta esuna rara ocurrencia,sin embargo,y es problema que el modelo de asignaciones se com-subrecorridos.En ese caso se requieren c‡lculos adicionales para determinarLa figura 11.1 muestra un modelo TSP de 5 ciudades.Los nodos representan ciu-dades,y los arcos representan rutas en dos sentidos que pueden ser distintas si el mo-delo es asimŽtrico.Como antes se explic—,el modelo de asignaciones puede producir
),roja (),y negra ().Las instalaciones de producci—n se deben limpiar entre uno yotro lotes.La tabla 11.1 resume en minutos los tiempos de limpieza.El objetivo es determinar la
Problema de 5 ciudadeoluci—n del recorrido(x12 x25 x54 x43 x31 1)Soluci—n de subrecorrido(x23 x32 Ã1)(x15 x54 x41 1)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Un ejemplo TSP de 5 ciudades con una soluci—n de recorrido o subrecorrido del modelo de asignaciones asociado
11.2Modelo TSP matem‡tico
TABLA 11.1Tiempos de limpieza entre lotes (en minutos)
para el problema de producci—n de pintura
Limpieza entre lotes (min)
Pintura
Blanca
Amarilla
Negra
RojaBlancaq101715Amarilla20q1918Negra5044q22Roja454020q
En el modelo TSP,cada color representa una ÃciudadÃ,y el tiempo de limpieza entre dos co-lores sucesivos representa ÃdistanciaÃ.Sea El modelo TSP se da como,y modelo.Sin embargo,la eliminaci—n de estas variables destruye la estructura del modelo de asig-naciones subyacente necesaria para resolver los modelos de TSP y de ramificaci—n y acotamiento.Soluci—n del modelo TSP.Una forma simple de resolver el modelo de TSP es una enumeraci—nexhaustiva.El m‡ximo de recorridos en un problema de 1)!.En este ejemplo6).La tabla 11.2 muestra y evalœa los seis recorridos e indica que el recorrido es —ptimo.La enumeraci—n exhaustiva no es pr‡ctica para el modelo TSP general.La secci—n 11.3 pre-senta por lo tanto dos algoritmos de programaci—n entera exactos:el de ramificaci—n y acota-miento,y el de plano de corte.Ambos algoritmos tienen su ra’z en la soluci—n del modelo deasignaciones,con restricciones agregadas para garantizar una soluci—n de recorrido.Por desgra-cia,como es t’pico con la mayor’a de los algoritmos de programaci—n entera,los mŽtodos pro-
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)
TABLA 11.2
pinturas mediante enumeraci—n exhaustiva
Bucle de producci—n
Tiempo de limpieza total
puestos no son computacionalmente confiables.Por esa raz—n se utilizan heur’sticas para obte-ner soluciones (pero no necesariamente —ptimas) del problema.Tres de estas heur’sticas se pre-Interpretaci—n de la soluci—n —ptima.en la tabla 11.2 se inicia con el color blanco seguido por el amarillo,luego el negro,y luego elrojo.Es realmente irrelevante quŽ color utilicemos para iniciar el ciclo de producci—n porquela soluci—n es un .Por ejemplo,las secuencias tambiŽn son —ptimas.TSP de recorrido abierto.ciudad de inicio.Este caso puede demostrarse en el problema de las pinturas cuando la producci—nse limita a exactamente un lote de cada color.Por ejemplo,en la secuencia de recorrido abierto,,la œltima ÃciudadÃ() no conecta de vuelta a la ÃciudadÃde inicio (1,con distancias cero hasta y desde todas las ciudades reales;es decir,i,n1,2,Ã,.Para el ejemplo de las pinturas,la nueva matriz de distancias esLa fila 5 y la columna 5 representan el color ficticio.Ficticio ,longitud Ficticio FicticioSi eliminamos el color ficticio,obtenemos la siguiente soluci—n de recorrido abierto:1017150191805044220454020
11.2Modelo TSP matem‡ticoCota inferior en la longitud de recorrido —ptima.—ptima puede ser œtil al resolver el modelo TSP o con los algoritmos exactos o con los algoritmosheur’sticos.En el caso de los algoritmos exactos,una cota inferior estrecha restringe el espaciofactible,y por consiguiente hace m‡s eficiente el algoritmo (particularmente en el caso del algo-ritmo de ramificaci—n y acotamiento).Para los heur’sticos puede usarse una cota inferior paraHay varios mŽtodos para estimar una cota inferior.Dos de ellos son los siguientes:El modelo de asignaci—n es una simplificaci—n del modelo TSP,ysu soluci—n —ptima proporciona una cota inferior en la longitud de recorrido —ptima.Enrealidad,si la soluci—n —ptima del modelo de asignaciones es factible (es decir,un recorri-do),tambiŽn es —ptima para el modelo TSP.ras produce una cota inferior de 72 minutos.Programaci—n lineal.des.Sea 1,2,Ã,de cualquier otra ciudad en la red.Las restricciones garantizan que ninguno de los c’rculosse traslape.Para el ejemplo de las pinturas,tenemos La soluci—n produce una cota inferior de 60 minutos,la cual no es tan ajustada al ob-72 minutos) En realidad,la experimentaci—n conferiores m‡s estrechas,en particular cuando el modelo TSP es asimŽtrico.Observe que la
cia limitan todos los radios a cero.
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)
rior pueden resolverse con los archivos AMPL proporcionados con este cap’tulo.File
proporciona los datos TSP del problema de las pinturas.calizados en Wald,Bon,Mena y Kiln antes de regresar a su casa en Basin.La siguientetabla muestra las distancias en millas entre las diferentes ciudades.El objetivo es minimizar la distancia total recorrida por el vendedor.lo de asignaci—n como con una programaci—n lineal.ÃEs —ptima la soluci—n del mo-delo de asignaci—n para el TSP?Seers Service Center programa sus visitas diarias de mantenimiento a sus clientes.La ma-cio (fila 1 y columna 1) y las siete —rdenes de mantenimiento.Las —rdenes se asignan auno de los tŽcnicos en mantenimiento durante un turno de 8 horas.Al final del d’a,el tŽc-Compare las cotas inferiores en la longitud de recorrido —ptima utilizando tanto elmodelo de asignaci—n como la programaci—n lineal.ÃEs —ptima la soluci—n del mo-delo de asignaci—n para el TSP?Dado que el desplazamiento entre los clientes no es productivo,y suponiendo unapausa para el almuerzo de una hora,determine la productividad m‡xima del tŽcnico0201519241421112001822232291015180112114321219221102027181524232120014252014221427140261721932182526020111012152017200
Millas entre ciudades
Basin
Wald
Bon
Mena
Basin0120220150210Wald120080110130Bon220800160185Mena1501101600190Kiln2101301851900
11.2Modelo TSP matem‡ticoUn fan‡tico del bŽisbol desea visitar ocho parques de ligas mayores en (1) Seattle,(2)San Francisco,(3) Los çngeles,(4) Phoenix,(5) Denver,(6) Dallas,(7) Chicago,y (8)Tampa antes de regresar a casa a Seattle.El fan‡tico utilizar‡ transportaci—n aŽrea entrelas diferentes ciudades.La matriz boleto de viaje sencillo entre las 8 ciudades.El fan‡tico ha presupuestado $2000 para los viajes aŽreos.ÃEs realista este presu-.Las prote’nas se agrupan utilizando una medida total de si-militud basada en la informaci—n de interacci—n entre las prote’nas.La informaci—n deagrupamiento se utiliza para predecir las funciones de prote’nas desconocidas.Por de-finici—n,el mejor agrupamiento maximiza la suma de las medidas de similitud entre pro-te’nas adyacentes.La matriz (expresadas como un porcentaje) entre las 8 prote’nas.Defina la matriz de distancias del TSP.te’nas —ptimo.Un turista en la ciudad de Nueva York utiliza el transporte local para visitar 8 sitios.Elinicio y la terminaci—n,as’ como el orden en el cual se visitan los sitios,no son importan-tes.Lo que es importante es gastar la cantidad m’nima de dinero en el transporte.La ma-siguiente proporciona los pasajes en d—lares entre los diferentes lugares.020302512334457220192020294345281901738485560252019028354055121834250213040352545302002539473950352820028603854503340250100203029242238452010010220153103010100141195304129221410020272850240112010024550221595272410026373831302855261004045041500374010002503002902403203804502500190220230300310390300190014031029539041029022014002002752853502402303102000240255400320300295275240026037038031039028525526004204503904103504003704200
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)El turista est‡ presupuestando $120 para el costo del taxi a todos los ochos sitios.ÃEs rea-ƒste es un modelo TSP de recorrido abierto.)Un gerente tiene en total 10 empleados que trabajan en seis proyectos.Los proyectos serevisan semanalmente con cada empleado.Un proyecto puede emplear m‡s de un em-pleado por lo que las asignaciones se traslapan,como se muestra en la siguiente tabla.1234561xxx2xxx3xxxx4xxxEmpleado 5xxx6xxxxx7xxxx8xxx10xxxxxEn la actualidad,el gerente se reœne con cada empleado una vez por semana.Cada10 empleados.Para reducir el tiempo total,el gerente desea realizar reuniones de grupo de-pendiendo de los proyectos compartidos.El objetivo es programar las reuniones de modoque se reduzca el tr‡fico (cantidad de empleados) que entra y sale de la sala de juntas.Defina las ciudades y la matriz de distancias del modelo TSP.de asignaci—n.ÃEs —ptima la soluci—n del modelo de asignaci—n para el TSP?Meals-on-Wheels es un servicio de caridad que prepara comidas en su cocina centralpara personas que califican para el servicio.Idealmente,todas las comidas deben ser en-tregadas en un m‡ximo de 20 minutos despuŽs de que salen de la cocina.Esto significaterminar la secuencia de las entregas.El servicio de caridad se encuentra en el proceso de determinar la ruta de entrega.El primer itinerario piloto incluye siete recipientes modelo de asignaci—n como la programaci—n lineal.ÃEs —ptima la soluci—n de mode-lo de asignaci—n para el TSP?Basado en la informaci—n en (a),Ães posible entregar las ocho comidas dentro de la010125179137100920811351290144101165201402052810178420021499111052102313312842027516109320
11.2Modelo TSP matem‡ticoTarjetas de circuito integrado.componentes electr—nicos.Las tarjetas son alimentadas de una en una bajo un taladrom—vil.La matriz y que le lleva medio segundo taladrar un agujero.Determine una cota superior en la tasaSecuenciaci—n del DNA.En ingenier’a genŽtica,un conjunto de cadenas de DNA,cadauna de 10 pies de longitud,se concatena para formar una cadena universal.Los genes decadenas de DNA individuales pueden traslaparse,lo que produce una cadena universal de longitud menor que la suma de las longitudes individuales.La matriz porciona la longitud en pies de traslapes para un caso hipotŽtico de seis cadenas de DNA.modelo de asignaci—n como la programaci—n lineal.ÃEs —ptima la soluci—n obtenida conel modelo de asignaci—n para el TSP?La Agencia Espacial de Estados Unidos,NASA,utiliza satŽlites para formar im‡genes deobjetos celestes.La cantidad de combustible necesaria para reposicionar los satŽlites esuna funci—n de la secuencia en la cual se forman las im‡genes de los objetos.La matrizlites con los objetos.Suponga que el costo por unidad de combustible es de $12.Estime una cota inferioren el costo de formar las im‡genes de los seis objetos.Veh’culo guiado autom‡tico.Un VGA realiza un viaje redondo (que empieza y terminaUtilizando el cuarto de correo como el origen (0,0),las ubicaciones (entrega son (10,30),(10,50),(30,10),(40,40) y (50,60) para los cinco departamentos.Todas1.52.63.14.43.84.75.33.92.72.94.33.55.46.23.45.13.62.21.94.43.45.92.43.12.76.51.12.91.2.52.64.13.23.44.62.95.2.53.43.54.66.22.64.63.53.8.94.12.94.63.83.25.26.2.91.9
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)las distancias est‡n en metros.El veh’culo se mueve s—lo a lo largo de pasillos horizonta-les y verticales.El objetivo es minimizar la longitud del viaje redondo.Defina las ciudades y la matriz de distancias del modelo TSP.Suponiendo que el veh’culo se mueve a una velocidad de 35 metros por minuto,Corte de papel tapiz,Garfinkel (1977).Usualmente,tapizar los muros de una habitaci—nrequiere cortar hojas de diferentes longitudes de acuerdo con las puertas y ventanas,yalgo m‡s.Las hojas se cortan de un solo rollo,y sus puntos de inicio deben alinearse paraque coincidan con el dibujo repetitivo del rollo.Por tanto,la cantidad de desperdicio de-pende de la secuencia en que se cortan las hojas.Con el objeto de determinar el desper-dicio,podemos considerar un solo dibujo como una unidad de longitud (independiente-unidad.Por ejemplo,una hoja de dibujos de 9.50 de longitud requiere diez dibujos conse-cutivos.Si la correspondencia de los dibujos en el muro requiere iniciar la hoja a uncuarto hacia abajo del primer dibujo,entonces la hoja (de 9.5 dibujos de longitud) debeterminar a tres cuartos hacia abajo del dŽcimo dibujo.Por lo tanto,el desperdicio en unahoja puede presentarse en el primero y œltimo dibujos œnicamente,y su cantidad siemprees menor que la longitud completa de un dibujo completo.y el œltimo dibujos.Luego,para la hoja ,tenemosPara el ejemplo que se acaba de citar,El desperdicio entre dos hojas secuenciales,,en la que la hoja ,puede calcularse como sigue:Si ,el desperdicio es .De locontrario,si ,entonces el corte final de se traslapan.El re-.En este caso,el desper-En realidad,las dos cantidades de desperdicio (Por ejemplo,dados .35,utilizamos la f—rmula para .55.Se obtiene el mismo resultado utilizando ),se agrega una hoja ficticia0.La longitud de un recorrido que pasa por todos los 1 nodos proporciona el desperdicio total que resulta de una secuencia espec’fica.Ahorael problema puede modelarse como modelo TSP de (excelWallPaper.xls
Hoja,i
Corte de inicio en el dibujo,
Longitud de la hoja,Li1010.472.3423.823.8255.934.5858.145.1261.916.4356.32
11.3Algoritmos TSP exactosDemuestre que la soluci—n —ptima de la asignaci—n asociada produce el recorrido —ptimo.Cuantifique el desperdicio total como un porcentaje de la longitud de todas las hojas.Recolecci—n de pedidos en un almacŽn,Ratliff y Rosenthal (1983).larse utiliza una grœa elevada para recolectar y entregar pedidos entre lugares espec’ficosen el almacŽn.Las tareas de la grœa implican lo siguiente:(1) Recolectar una carga en unlugar;(2) entregarla en un lugar,y (3) moverse descargada para llegar a un lugar de reco-lecci—n.Supongamos que hay pedidos que se tiene que recolectar y entregar.El objeti-ductivo de la grœa [elemento (3)].Los tiempos no productivos pueden calcularse contransversal de la grœa,entre otros factores.Para el prop—sito de esta situaci—n,la grœa ini-despuŽs de completar todos los pedidos.Para un grupo especifico de ocho pedidos,los tiempos (en minutos) para llegar a loslugares de los pedidos 1,2,Ã,y 8 desde un estado inactivo son .1,.4,1.1,2.3,1.4,2.1,1.9 y 1.3,respectivamente.La siguiente tabla proporciona los tiempos no productivos (en mi-nutos) asociados con la secuenciaci—n de los pedidos.Defina las ciudades y la matriz de distancias para el modelo TSP.todos los pedidos.11.3ALGORITMOS TSP EXACTOSEsta secci—n presenta dos algoritmos de PE exactos:el de ramificaci—n y acotamiento(B&B) y el plano de corte.En teor’a,ambos algoritmos garantizan la optimalidad.Eltema computacional es una historia diferente;esto quiere decir que los algoritmos pue-11.3.1Algoritmo de ramificaci—n y acotamiento—ptima del problema de asignaci—n asociado.Si la soluci—n es un recorrido,el procesotermina.De lo contrario,se imponen restricciones en la soluci—n resultante para impo-sibilitar los subrecorridos.La idea es crear ramas que asignen un valor cero a cada unade las variables de uno de los subrecorridos.Por lo comœn,el subrecorrido con lamenor nœmero de ramas.Si la soluci—n del problema de asignaci—n en cualquier nodo es un recorrido,suvalor objetivo proporciona una cota superior en la longitud —ptima del recorrido.Si no,se requiere m‡s ramificaci—n en el nodo.Un subproblema se 01.01.2.51.7.91.3.71.10.92.0.81.1.3.51.21.901.4.41.01.01.61.52.3.402.01.52.81.01.21.81.42.502.1.4.9.91.11.0.52.10.2.31.3.81.12.21.4.601.21.71.51.61.01.9.92.00
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)Soluci—n obtenida con el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento del problema TSP del ejemplo 11.3-1
4
5
z 19(1-4-2-5-3-1)
z 17(2-5-2)(1-4-3-1)
z 21(1-4-5-2-3-1)
2
1
z 15(1-3-1)(2-5-4-2)
3
z 16(1-3-4-2-5-1)
x31 0x13 0x52 0x25 0
ce una cota superior m‡s peque–a,o si hay evidencia de que no puede conducir a unamejor cota superior.El recorrido —ptimo se da en el nodo con la menor cota superior.acotamiento,y TSP.
Considere la siguiente matriz TSP de 5 ciudades:La asignaci—n asociada se resuelve utilizando AMPL,TORA o Excel.La soluci—n esSe compone de dos subrecorridos,1-3-1 y 2-5-4-2,adem‡s de constituir el nodo de inicio del‡rbol de bœsqueda de ramificaci—n y acotamiento,como se muestra en el nodo 1 en la figura 11.2.En este ejemplo utilizaremos un recorrido arbitrario,1-2-3-4-5-1,para determinar la cotasuperior inicial;es decir,10 29 unidades.Como alternativa,se pueden utilizarpeque–as).La cota superior estimada significa que la longitud del recorrido ceder de 29.Los futuros nodos de ramificaci—n y acotamiento buscan cotas superiores m‡s pe-que–as,si existe alguna.10369
11.3Algoritmos TSP exactosEn el nodo 1 del ‡rbol de ramificaci—n y acotamiento,el subrecorrido m‡s corto 1-3-1 crea0 que conduce al nodo 3.Los problemas de asig-,respectivamente.En este momento,podemos examinar el nodo 2 o el nodo 3,y elegir arbitrariamente explo-rar el nodo 2.Su soluci—n de asignaci—n es 2-5-2 y 1-4-3-1 con 17.Como la soluci—n no es unrecorrido,seleccionamos el subrecorrido m‡s corto 2-5-2 para ramificaci—n:la rama duce al nodo 4,y la rama Ahora tenemos tres subproblemas sin explorar:los nodos 3,4,y 5.Examinamos arbitraria-mente el subproblema en el nodo 4,estableciendo 2.La soluci—n resultante,el recorrido 1-4-5-2-3-1,produce la cota superior m‡s peque–a Los dos subproblemas en los nodos 3 y 5 permanecen sin explorar.Seleccionando arbitraria-mente el subproblema 5,establecemos en la matriz de distancias en el nodo 2.El resulta-19.El subproblema 3 es elœnico que permanece sin explorar.Sustituyendo obtenemos una mejor soluci—n de recorrido:1-3-4-2-5-1 con la cota superior m‡s peque–a Se han examinado todos los nodos del ‡rbol,y por consiguiente se completa la bœsqueda deramificaci—n y acotamiento.El recorrido —ptimo es el asociado con la cota superior m‡s pe-que–a:1-3-4-2-5-1 de 16 unidades de longitud.Comentario.mostrar un escenario del peor caso en el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento,en elsentido de que requiere explorar 5 nodos.Si hubiŽramos explorado el nodo 3 (0),habr’amos encontrado la cotas superior 16 unidades,yconcluido que la ramificaci—n en el nodo 2,con 17,no puede conducir a una mejor so-luci—n,y por lo tanto se eliminar’a la necesidad de explorar los nodos 4 y 5.Por lo general no hay reglas exactas para seleccionar la mejor secuencia de bœsqueda,excepto algunas reglas pr‡cticas.Por ejemplo,en un nodo dado podemos iniciar con unaentre todas las ramas creadas.La esperanza es que la eli-menor longitud.En el ejemplo 11.3-1,esta regla le habr’a dado prioridad al nodo 3 sobre3),como se desea.Otra regla demanda se-cuenciar la exploraci—n de los nodos horizontalmente (en lugar de verticalmente),esdecir,el ancho antes que la profundidad.La idea es que es m‡s probable que los nodos0) es m‡s peque–o.Esta regla tambiŽnalgoritmo de ramificaci—n y acotamiento al proporcionar una cota superior ÃestrechaÃ.Por ejemplo,la heur’stica vecina m‡s cercana en la secci—n 11.4-1 produce el recorrido1-3-4-2-5-1 con longitud 16.Esta cota superior estrecha habr’a eliminado de inmedia-to la necesidad de explorar el nodo 2 (la matriz de distancias es totalmente entera,por lo
que no se puede encontrar una mejor soluci—n en el nodo 2.)
Los comandos interactivos de AMPL son ideales para implementar el algoritmo TSP de ramifi-.El archivo resuelve y despliega la soluci—n en pantalla.La siguiente tabla resume los comandos AMPL ne-11.3-1) interactivamente.
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)
Comandos AMPL
fix x[1,3]:; commandsfix x[2,5]:; commandsunfix x[2,5];fix x[5,2]:; commandsunfix x[5,2];unfix x[1,3];fix x[3,1]
TambiŽn puede usarse TORA para generar el ‡rbol de ramificaci—n y acotamiento.Inicie con elmodelo de asignaci—n en el nodo 1.La condici—n de rama
caci—n en el nodo 1,utilizando las siguientes secuencias para explorar los nodos.lera antes de proseguir con la siguiente.Siga cada ruta verticalmente a partir del nodo 1,seleccionando siempre la rama m‡sa la izquierda,hasta que la ruta termine en un nodo sondeado a fondo.Resuelva el problema 1,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.Resuelva el problema 6,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.Resuelva el problema 8,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.Experimento con AMPL.solver el problema 5,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificaci—n y acotamiento.11.3.2Algoritmo del plano de corteexcluir las soluciones de subrecorrido.Definamos una variable continua 2,3,Ã,y .Las restricciones adicionales deseadas (planos de corte) son
11.3Algoritmos TSP exactos
TABLA 11.3241
Considere la siguiente matriz de distancias de un problema TSP de 4 ciudades.nes adicionales,como se muestra en la tabla 11.3.Todas las 1.El recorrido corres-pondiente es 1-2-3-4-1 con longitud de 59.La soluci—n satisface todas las restricciones adiciona-rrido,considere el subrecorrido (1-2-1,3-4-3),o 1.Los valores —ptimos2,y 1 no satisfacen la restricci—n 6,43,en latabla 11.3.(ConvŽnzase de que la misma conclusi—n es cierta para otras soluciones de subreco-rrido,como (3-2-3,1-4-1)).1321262920302012307
combinado resultante crece exponencialmente con la cantidad de ciudades,que lo hace ser com-putacionalmente insoluble.Cuando esto sucede,el œnico recurso es utilizar,o bien el algoritmo
de ramificaci—n y acotamiento,o una de las heur’sticas de las secciones 11.4 y 11.5.
se da un modelo general del algoritmo de plano de corte.El modeloTSP de 4 ciudades del ejemplo 11.3-2 utiliza los siguientes comandos AMPL:
Optimal tour: 1- 2- 3- 4- 1length=59.00
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)Escriba a continuaci—n los cortes asociados con el siguiente modelo TSP:Experimento con AMPL.Use AMPL para resolver el siguiente problema TSP por el al-goritmo de plano de corte.Problema 2,conjunto 11.2a.Problema 3,conjunto 11.2a.Problema 11,conjunto 11.2a.Experimento con AMPL.En el modelo de tarjeta de circuito del problema 8,conjunto11.2a,los datos de entrada se suelen dar en funci—n de las coordenadas (ros en lugar de la distancia entre los respectivos agujeros.Espec’ficamente,considere las43212010922302010513143042447910
Agujero
(1,2)(4,2)(3,7)(5,3)(8,4)(7,5)(3,4)(6,1)(5,6)
El taladro siempre recorre la distancia m‡s corta entre dos agujeros sucesivos.es de .5 s.Use los archivos 11.4HEURêSTICAS DE BòSQUEDA LOCALEsta secci—n presenta dos heur’sticas de bœsqueda local para el modelo TSP :de .Las heur’sticas de bœsqueda local terminan en un —ptimolocal.Una forma de mejorar la calidad de la soluci—n es repetir la bœsqueda medianterecorridos de inicio generados al azar.Otra opci—n es utilizar metaheur’sticas,cuyaidea b‡sica es escapar del entrampamiento en un —ptimo local.Las metaheur’sticas se
11.4Heur’stica de bœsqueda local11.4.1Heur’stica del vecino m‡s cercanoComo su nombre lo sugiere,una soluci—n TSP puede hallarse comenzando con unapates se rompen arbitrariamente).La ciudad que se acaba de agregar se conecta en-tonces con su ciudad no conectada m‡s cercana.El proceso continœa hasta que seforma un recorrido.
La matriz siguiente resume las distancias en millas en un modelo TSP de 5 ciudades.La heur’stica puede iniciarse desde cualquiera de las cinco ciudades.Cada ciudad de iniciopuede conducir a un recorrido diferente.La tabla 11.4 proporciona los pasos de la heur’stica quese inicia en la ciudad 3.(Las distancias previamente seleccionadas se reemplazan con Ã).12022015021010011013022080160185210130185
En una matriz de distancias simŽtrica,la inversi—n de subrecorrido de (rrido diferente.Por ejemplo,la inversi—n 2-4-5-3 en el recorrido 1-2-4-5-3
1-3-5-4-2
.Esto quiz‡ no sea ciertopueden no ser iguales.
TABLA 11.4Pasos de la heur’stica del vecino m‡s cercano para resolver el modelo TSP del ejemplo 11.4-1
Paso
Acci—n
1Inicio en la ciudad 3La ciudad 2 est‡ m‡s cercana a la ciudad 3(La ciudad 4 est‡ mas cercana a la ciudad 2(Ã, La ciudad 1 est‡ m‡s cercana a la ciudad 4(Ã, 190})La ciudad 5 est‡ m‡s cercana a la ciudad 1(,ÃÃ, ÃÃ, ÃÃ, 6Agregue la ciudad 3 para completar el recorrido3-2-4-1-5-3
El recorrido resultante,3-2-4-1-5-3,tiene una longitud total de 80 735 millas.Observe que la calidad de la soluci—n depende de la selecci—n de la ciudad de inicio.Por ejemplo,si partimos de la ciudad 1,el recorrido resultante es 1-2-3-4-5-1 con una longitud de780 millas (ÃcompruŽbelo!).Por tanto,una mejor soluci—n puede determinarse repitiendo la
heur’stica con inicio en diferentes ciudades.11.4.2Heur’stica de inversi—nEn un modelo TSP de ciudades,la heur’stica de inversi—n trata de mejorar un reco-does abierto si le falta exactamente un segmento).Por ejemplo,considere el recorrido,
-4-1 en la figura 11.3.La inversi—n de un subrecorrido abierto 3-5-2 produce el
mentos 1-2 y 3-4,como se muestra en la figura 11.3.El nœmero m’nimo del subrecorri-do invertido es 2 (por ejemplo,3-5 o 5-2).El nœmero m‡ximo es distancias es simŽtrica,y siones en la bœsqueda para un mejor recorrido.
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)
EliminarEliminarAgregar35241
FIGURA 11.3La inversi—n de subrecorrido 3-5-2 en el recorrido 1-3-5-2
-4-1 produce el recorrido 1-2-5-3-4
eliminar los segmentos 1-3 y 2-4,y agregar los
TABLA 11.5Aplicaci—n de la heur’stica de inversi—n al modelo TSP del ejemplo 11.4-1
Tipo
Inversi—n
Recorrido
Longitud
Inicio
Ã
(1-4-3-5-2-1)
Inversi—n de4-31-3-4
-5-2-1820dos a la vez3-5(1-4-5-3
-2-1)725
5-2
1-4-3-2-5
-1
730Inversi—n de4-3-51-5-3-4
-2-1q
tres a la vez
3-5-2
1-4-2-5-3
-1
qInversi—n decuatro a la vez4-3-5-21-2-5-3-4
-1745
nita (es decir,le podr’an faltar segmentos).De hecho,iniciar con un recorrido de longi-ci—n final (vea el problema 2,conjunto 11.4A,para una ilustraci—n).
Considere el modelo TSP del ejemplo 11.4-1.Los pasos de inversi—n (autoexplicativos) se reali-Adem‡s,ninguna de las inversiones puede incluir la ciudad de inicio del recorrido inicial (este ejemplo) ya que esto no producir‡ un recorrido factible.Por ejemplo,la inversi—n 1-4 con-duce a 4-1-3-5-2-1,lo cual no es un recorrido.La soluci—n determinada por la heur’stica de inversi—n es una funci—n del recorrido de inicio.Por ejemplo,si iniciamos con 2-3-4-1-5-2 de 750 millas de longitud,la heur’stica produce un reco-rrido diferente:2-5-1-4-3-2 de 730 millas de longitud (ÃcompruŽbelo!).Por esta raz—n,la calidad
de la soluci—n puede mejorarse si la heur’stica se repite con diferentes recorridos de inicio.
excelReversalTSP.xlsm‡s cercano,vea las opciones dadas a continuaci—n).La matriz de distancias puede ingresarse
11.4Heur’stica de bœsqueda localEjecuci—n de la heur’stica TSP por medio de una hoja de c‡lculo (archivo excelReversalTSP.xls
manualmente,o llenarse al azar (simŽtrica o asimŽtrica) con una densidad especificada.Lam‡ximo como corresponda.TambiŽn automatiza cuatro opciones para el recorrido de des como punto de inicio.Se utiliza entonces el mejor entre los recorridos resultantes parapermite utilizar un recorrido de inicio espec’fico.genera un recorrido de inicio aleatorio.
En la tabla 11.5 del ejemplo 11.4-2,especifique los segmentos eliminados y agregadosEn la tabla 11.5 del ejemplo 11.4-2,use el recorrido desconectado de longitud infinita3-2-5-4-1-3 (es decir,un recorrido al que le falta al menos un segmento) como recorridorrido conectado..La matriz siguiente proporciona las distancias entre 10 ciudades).(Por comodidad,el archivo ciona la matriz de distancias en formato AMPL.)
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)excelReversalTSP.xlsrecorrido del vecino m‡s cercano.Compare la calidad de las soluciones en los incisos (a),(b) y (c) con la soluci—n exac-ta —ptima obtenida por AMPL.11.5METAHEURêSTICAStrampamiento en un —ptimo local.Las metaheur’sticas,como se explica en el cap’tulo10,est‡n dise–adas para aliviar este problema.Esta secci—n detalla la aplicaci—n al mo-delo TSP de la bœsqueda tabœ,de recocido simulado,y genŽtica.Se recomienda que re-vise el material del cap’tulo 10 antes de proseguir con el resto de este cap’tulo.11.5.1Algoritmo tabœ aplicado al modelo TSPComo se explica en la secci—n 10.3-1,la bœsqueda tabœ se escapa del entrampamientoen —ptimos locales al permitir movimientos de bœsqueda inferiores.Una lista tabœiteraciones sucesivas,llamado .Un movimiento tabœ puede seraceptado si conduce a una soluci—n mejorada.Para el modelo TSP,los elementos de la1.Recorrido de inicio.Hay cuatro opciones disponibles:(a) un recorrido espec’fico;heur’stica del vecino m‡s cercano (secci—n 11.4.1);(c) el mejor entre todos los re-de las ciudades 1,2,Ã,y como punto de inicio,y (d) un recorrido aleatorio.2.Inversi—n de un subrecorrido.3.Vecindad en la iteraci—n Todos los recorridos (incluidos los no factibles con4.Movimiento tabœ.1234567891010021180539952174233215946792936357925568524362725404948631655111466022111354556204615937647211071745882826333049835498776556493935481003555070438243234989
11.5Metaheur’sticas5.Siguiente movimiento en la iteraci—n ,y selecci—nelo como el siguiente movimiento si no es tabœ,o si estabœ pero produce una mejor soluci—n.De lo contrario,excluya el recorrido m‡scorto (tabœ) y repita la prueba con siguiente recorrido de vecindario m‡s corto.6.Periodo de tenencia tabœ 7.Cambios en la lista tabœ en la iteraci—n 1 se agregan a la lista.Los segmentos del recorrido que1)se
4-5-1 de 780 de longitud como recorrido de inicio.La tabla 11.6 proporciona las cinco iteraciones.En las iteraciones 1,2 y 3,los recorridos m‡scortos no son tabœ.En la iteraci—n 4,el recorrido m‡s corto,1-4-3-5-2-1 de 745 de longitud,estabœ porque la inversi—n requiere eliminar los segmentos 4-5 y 3-2,y ambos est‡n en la lista tabœ.longitud en la iteraci—n 3),el siguiente recorrido m‡s corto 1-4-5-2-3-1 de 790 de longitud,el cualresulta ser no tabœ,define el siguiente movimiento.En la iteraci—n 5,los dos recorridos 1-4-5-3-2-1 (longitud 730) son tabœ (y ninguno proporciona un mejor recorrido).El siguiente mejor recorrido en la ve-cindad,1-4-2-5-3-1 (de longitud infinita),no es tabœ y por consiguiente representa el siguientemovimiento.Observe que s—lo un segmento eliminado (4-5) en el recorrido seleccionado 1-4-2-5-3-1 aparece en la lista tabœ,lo cual no es suficiente para declararlo tabœ porque mentos eliminados deben estar en la lista.Observe tambiŽn que el recorrido superior 1-5-4-2-3-1 (de longitud infinita) no se selecciona porque le faltan dos segmentos,en comparaci—n con el
no faltante en el recorrido seleccionado,1-4-2-5-3-1.
excelTabuTSP.xlsqueda tabœ al modelo TSP.Para facilitar la experimentaci—n,los modelos TSP simŽtricos yasimŽtricos de TPS pueden generarse al azar.Incluso,el recorrido de inicio puede especificarsede manera determin’stica o aleatoria.Los botones on/off (fila 6 de la hoja de c‡lculo) suprimen
o revelan los detalles de las iteraciones,incluyendo los cambios en la lista tabœ.12022015021010011013022080160185210130185
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)
TABLA 11.6
Iteraci—n
Inversi—n
Recorrido
Longitud
Eliminar
Agregar
Lista tabœ (52)
0
Ã
1-2-3-4-5-1
780
12-31-3-2-4-5-18103-41-2-4-3-5-17854-51-2-3-5-4-12-3-41-4-3-2
-5-17301-2,5-11-4,2-51-4,2-53-4-51-2-5-4-3-1
2-3-4-5
1-5-4-3-2-1
q
24-31-3-4-2-5-13-21-4-2-3-5-12-51-4-3-5-2
-17453-2,5-13-5,2-11-4,2-5,3-5,2-14-3-21-2-3-4-5-17803-2-51-4-5-2-3-1790
4-3-2-5
1-5-2-3-4-1
750
34-31-3-4-5-2-18203-51-4-5-3
-2-17254-3,5-24-5,3-23-5,2-1,4-5,3-25-21-4-3-2-5-17304-3-51-5-3-4-2-13-5-21-4-2-5-3-1
4-3-5-2
1-2-5-3-4-1
745
44-51-5-4-3-2-15-31-4-3-5-2-17454-5,3-2ÃTabœ3-21-4-5-2-3
-17905-3,2-15-2,3-14-5,3-2,5-2,3-14-5-31-3-5-4-2-15-3-21-4-2-3-5-1
4-5-3-2
1-2-3-5-4-1
q
54-5
4-5,2-34-2,5-35-2,3-1,4-2,5-31-4-5-3-2-17255-2,3-1ÃTabœ4-5-21-2-5-4-3-15-2-31-4-3-2-5-17304-5,3-1ÃTabœ4-5-2-31-3-2-5-4-1
11.5Metaheur’sticasMetaheur’stica tabœ aplicada al modelo TSP utilizando la hoja de c‡lculo Excel (archivo excelTabuTSP.xls
).(Por comodidad,el archivo presenta las distancias en formato AMPL).ExcelTabuTSP.xlsUn recorrido aleatorio.El mejor recorrido del vecino m‡s cercano.Compare la calidad de la soluci—n en los incisos (a),(b) y (c) con la soluci—n —ptima exac-ta obtenida por AMPL,utilizando el archivo
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)11.5.2Algoritmo de recocido simulado aplicado al modelo TSPLa secci—n 10.3.2 explica que en cualquier iteraci—n en el recocido simulado,ningunasiempre es aceptada como el siguiente movimiento.Si noexiste tal soluci—n,la bœsqueda puede moverse a una soluci—n de vecindad inferiorTemperaturadad de iteraciones de bœsqueda,por lo que se reduce el valor de,y se produceuna bœsqueda m‡s selectiva.Incluso,la medida de aceptaci—n favorece los movimien-tos cuyo valor objetivo,,porque1.Recorrido de inicio.Hay cuatro opciones disponibles:(a) Un recorrido espec’fi-co;(b) una ciudad de inicio espec’fica para un recorrido construido por la heur’s-tica del vecino m‡s cercano (secci—n 11.4-1);(c) el mejor entre todos losuna de las ciudades 1,2,Ã,y como punto de inicio,y (d) un recorrido aleatorio.2.Inversi—n de subrecorrido.3.Programa de temperatura.0,1,Ã},1,2,Ã,con el cambio de una temperatura a la siguiente ocurrien-4.Vecindad en la iteraci—n Todos los recorridos (incluidos los no factibles de lon-
TBALactual-Lsiguiente
TBALactual-Lsiguiente
1234567891010021180539952174233215946792935792556854362725404948631655111466022111354550461593764721171745882826333049835498776556493935481003555070438243234989
11.5Metaheur’sticas
TABLA 11.750,y cambio de
que ocurre cada dos iteraciones de aceptaci—n
Iteraci—n
Inversi—n
Recorrido
Longitud
Lactual
Lsiguiente
T
p=e
TB
R
0Ã3-2-5-4-1-350Ã12-53-5-2-4-1-37955-43-2-4-5-1-38104-13-2-5-1-4-37302-5-43-4-5-2-1-38205-4-13-2-1-4-5-372572550ÃAceptar el movimiento,2-5-4-13-1-4-5-2-379022-13-1-2-4-5-38251-43-2-4-1-5-373572573550.8187.8536Rechazar el movimiento,4-53-2-1-5-4-32-1-43-4-1-2-5-374572574550.6703.3701Aceptar el movimiento,1-4-53-2-5-4-1-32-1-4-53-5-4-1-2-334-13-1-4-2-5-31-23-4-2-1-5-32-53-4-1-5-2-37504-1-23-2-1-4-5-372574572525Aceptar el movimiento,1-2-53-4-5-2-1-38204-1-2-53-5-2-1-4-3745
5.Siguiente movimiento en la iteraci—n que el mejor recorrido actual;de lo contrario,examine los recorri-
taheur’stica de recocido simulado.50.Un cambio de lugar cada dos iteraciones de aceptaci—n.El ejemplo se inicia con el recorrido no factible (longi-La tabla 11.7 detalla los c‡lculos para tres iteraciones.El mejor movimiento de inversi—n5-4-1 en la iteraci—n 1 se acepta porque da por resultado una mejor longitud de recorrido.Esto significa que el recorrido 3-2-1-4-5-3 es la mejor solu-1202201502101001101322080160185210130185
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)
ci—n disponible hasta ahora.La iteraci—n 2 produce movimientos inferiores,lo que significa queel movimiento anterior,5-4-1 en la iteraci—n 1,es un m’nimo local.Por consiguiente,examinamosse acepta un recorrido (si todos los recorridos se rechazan,o se repite el examen con una nuevaronda de nœmeros aleatorios o la bœsqueda termina).El movimiento 1-4 con una longitud de re-.8536 es mayor que.El siguientemovimiento en el orden,2-1-4,con longitud de recorrido de 745 se acepta porque En la iteraci—n 3 se obtuvieron dos iteraciones de aceptaci—n en las iteraciones 1 y 2.Porconsiguiente,la temperatura cambia de 50 a .5(50) 25.El proceso iterativo continœa entonces
hasta que ocurre una condici—n de terminaci—n.
excelSimulatedAnnealingTSP.xls).La hoja de c‡lculo sigue el dise–o general de la
50 )=.6703p=e( 725-735
Metaheur’stica de recocido simulado aplicada al modelo TSP utilizando la hoja de c‡lculo Excel (archivoexcelSimulatedAnnelingTSP.xls
11.5Metaheur’sticas1234567891011002118053995282174233215946792936357925568524362725404948631655111466022111354556204615937647211071745882826333049835498776556493935481003554173105070438243234989del vecino m‡s cercano.).(Por comodidad,el archivo proporciona las distancias en formato AMPL.)
excelSimulatedAnnealingTSP.xlsUn recorrido aleatorio.El mejor recorrido del vecino m‡s cercano.Compare la calidad de la soluci—n en los incisos (a),(b) y (c) con la soluci—n —ptima exac-ta obtenida por AMPL.11.5.3Algoritmo genŽtico aplicado al modelo TSPEn la metaheur’stica genŽtica presentada en la secci—n 10.3.3,se seleccionan dos pa-dres de una poblaci—n para crear dos hijos.Los hijos luego se convierten en padres ypoblaci—n.El proceso de crear hijos y de retirar a los padres se repite hasta que se llegagenŽtica tal como se aplica al TSP.1.Codificaci—n de genes.La codificaci—n puede ser binaria o numŽrica.La lite-ratura presenta heur’sticas basadas en ambos tipos de codificaci—n.Esta presentaci—nadopta el c—digo de recorrido numŽrico directo (por ejemplo,1-2-5-4-3-1).2.Poblaci—n inicial..Comenzando desde un nodo (origen) espec’fico,un recorrido se cons-cionado de entre todos los nodos que salen del œltimo nodo agregado.Si se llega a un
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)
TABLA 11.80Seleccionar P1 y P2 de la poblaci—n1Seleccionar al azar dos puntos de cruce para formar parcialmente C2 y C1,respectivamente.3Crear la lista L1 (L2) reacomodando los elementos ,1,2,Ã,De L1 (L2),cree L1
, 2, 6)L1œ=L1-(2, 6, 3)=(7, 1
,1,2,Ã,
C1=5-4
punto donde no existe ningœn nodo de salida œnico,todo el proceso se repite hasta quenita).A diferencia del algoritmo tabœ y del recocido simulado donde una nueva bœs-queda puede ser no factible,es posible que los recorridos de padre no factible nuncaconduzcan a la creaci—n de recorridos hijos factibles.Este resultado es particularmente3.Creaci—n de un hijo.El proceso se inicia seleccionando dos padres,P1 y P2,cuyos genes se intercambian para crear dos hijos,C1 y C2.Supondremos que P1 repre-senta el mejor padre (en funci—n de la longitud de recorrido) y P2 el siguiente mejor..–()para una lista de 25 de estos procedimientos].En esta presentaci—n utilizaremos el pro-,cuyos pasos se explican en la tabla 11.8.no factibles (con segmentos faltantes).Si esto sucede,el procedimiento debe repetirse4.Mutaci—n.lidad de aproximaci—n de .1,al intercambiarse los nodos de dos posiciones selecciona-das al azar en el recorrido (excluidas las del nodo de inicio).La selecci—n al azar puederepetirse para asegurar dos posiciones distintas.
Utilizaremos el modelo TSP del ejemplo 11.4-1 para demostrar la aplicaci—n de la heur’stica 12022015021010011013022080160185210130185
11.5Metaheur’sticas
Nodo
1{2,3,4,5}{1,3,4,5}{1,2,4,5}{1,3,5}{1,2,3}
TABLA 11.9Algoritmo genŽtico aplicado al modelo TSP del ejemplo 11.4.3
Iteraci—n
Miembro
Recorrido
Cruces
11-4-5-2-3-1
3-2-4-5-1-38103
(Padre2) 42-5
-3-4
-
1
53-4(Padre1) 61-5-
3-2-4
Hijo15-2-
3-4-1
Hijo25-1-
3-2-4
-581021
1-4-5-2-3-17902
35-2-3-4-1-5(Padre2) 42-5-3-
4-1
53-4-5-1-2-3(Padre1) 61-5-3-
2-4
Hijo15-3-2-4-1
Hijo25-3-1-2-4
(Padre2) 11-5-
3-2
-4
25-3-2-4-1-535-3-2-4-1-5
(Padre1) 54-5-
3-2
-1
-47256
Hijo14-5-3-2-1
Hijo21-5-3-2-4
-1735
La tabla 11.9 proporciona los detalles de las iteraciones 1,2 y 11.La iteraci—n 11 proporcio-na la mejor soluci—n (la cual tambiŽn resulta ser —ptima).Las iteraciones que intervienen se omi-tieron para conservar espacio.rando el padre 1.Comenzando con el nodo de inicio 1,se selecciona el nodo 4 al azar de entre elconjunto de nodos de salida {2,3,4,5}.Luego,los nodos salientes del nodo 4 son {1,3,5}que {1} ya est‡ en el recorrido parcial.Seleccionando el nodo 5 al azar se produce el recorridoparcial 1-4-5.El proceso se repite hasta que se construye el recorrido completo 1-4-5-2-3-1.Tengamos en cuenta que si la construcci—n del recorrido se detiene (no pueden agregarse nodosnuevos),entonces todo el proceso debe repetirse de nuevo.Por ejemplo,la construcci—n del re-
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)Metaheur’stica genŽtica aplicada al modelo TSP utilizando una hoja de calculo Excel excelGeneticTSP.xls
En la iteraci—n 1,P1 serve que las definiciones de P1 y P2 no incluyen los œltimos elementos 1 y 2.respectivamente).5,obtenemos C1 parciales.Luego,L1{5,2},lo cual produce Cl.Asimismo,L2{5,1},lo cual produce C2 .Ahora los hijosC1y C2 reemplazan a los padres menos aptos 2 y 3 que corresponden a las longitudes de los peo-Para problemas peque–os,las iteraciones pueden ÃsaturarseÃen una forma un tanto r‡pida,en el sentido de que los hijos no pueden distinguirse de los padres que reemplazan,como lo de-muestra la iteraci—n 11.El œnico recurso en este caso es iniciar un nuevo ciclo de ejecuci—n que
permita utilizar una nueva condici—n de inicio (aleatoria).
forma autom‡tica hasta que se llega a una condici—n de terminaci—n.La aleatoriedad de las condi-
ciones de inicio proporciona condiciones diferentes cada vez que se pulsa el bot—n de ejecuci—n.
corrido del vecino m‡s cercano.).(Por comodidad,el archivo proporciona las distancias en formato AMPL).excelGeneticTSP.xlsUn recorrido aleatorio.El mejor recorrido del vecino m‡s cercano.Compare la calidad de las soluciones en los incisos (a);(b) y (c) con la soluci—n —ptimaexacta obtenida por AMPL.Bosch,R.,y A.Herman,ÃContinuous Line Drawings via the Traveling Salesman ProblemÃ,Operations Research Letters,vol.32,p‡gs.302-303,2004.Garfinkel,R.S.,ÃMinimizing Wallpaper Waste.Part I:A Class of Travelling Salesman Pro-Operations Research,25,p‡gs.741-751,1977.Gilmore,P.C.,y Gomory,R.E.,ÃSequencing a One State Variable Machine:A Solvable Case ofthe Travelling Salesman ProblemÃ,Operations Research,vol.12,p‡gs.655-679,1964.Laporte,G.,ÃThe Traveling Salesman Problem:An Overview of Exact and Approximate Algo-European Journal of Operational Research,vol59,nœm.2,p‡gs.231-247,1992.Larra–aga,P.,C.Kuijpers,R.Murga,I.Inza,y S.Dizdarevich,ÃGenetic Algorithms for the Tra-velling Salesman Problem:A Review of Representations and OperatorsÃ,,nœm.13,p‡gs.129-170,199.1234567891011002118053995282174233215946792936357925568524362725404948631655111466022111354556204615937647211071745882826333049835498776556493935481003554173105070438243234989
Cap’tulo11Problema del agente viajero (TSP)Lenstra,J.,y Rinnooy Kan,A.,ÃSome Simple Applications of the Traveling Salesman Pro-Operational Research Quarterly,vol.26,nœm.4,p‡gs.717733,1975Ratliff,H.,y Rosenthal,A.,ÃOrder-picking in a Rectangular Warehouse:A Solvable Case of theTraveling Salesman ProblemÃ,Operations Research,vol.31,p‡gs.507-521,1983Yamada,Y.,y R.Nakano,ÃGenetic Algorithms for Job-Shop Scheduling ProblemsÃ,SeminarioUNICOM,Londres,18-19 demarzo de 1997,p‡gs.67-81
12.1NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CçLCULOS subproblemas (m‡s manejables).Los c‡lculos se realizan entonces recursivamenteguiente problema.La soluci—n para todo el problema est‡ disponible cuando se solu-ciona el œltimo subproblema.La forma en que se realizan los c‡lculos recursivos de-pende de c—mo se descomponga el problema original.En particular,normalmente lossubproblemas est‡n vinculados por restricciones comunes.La factibilidad de estas res-tricciones comunes se mantiene en todas las iteraciones.
Ejemplo 12.1-1(Problema de la ruta m‡s corta)Supongamos que deseamos seleccionar la ruta por carretera m‡s corta entre dos ciudades.La reddestino en el nodo 7.Las rutas pasan por ciudades intermedias designadas por los nodos 2 a 6.CAPêTULO 12
Aplicaci—n de la vida real. Optimizaci—n del corte de ‡rboles y asignaci—n de troncos en Weyerhaeuserrentes productos finales (madera para construcci—n,madera contrachapada,tablas deaglomerado de madera,o papel).Las especificaciones de los troncos (por ejemplo lon-gitud y di‡metro finales) difieren segœn el aserradero donde se procesan los troncos.Con ‡rboles talados hasta de 100 pies de altura,la cantidad de combinaciones de corteque satisfacen los requerimientos del aserradero puede ser grande,y la forma de cortarel ‡rbol en troncos puede afectar los ingresos.El objetivo es determinar las combina-ciones de corte que maximicen el ingreso total.El estudio utiliza programaci—n din‡-mica para optimizar el proceso.El sistema propuesto se implement— por primera vezen 1978 con un incremento anual en la utilidad de al menos $7 millones.(El caso 8 del
cap’tulo 26,en inglŽs,en el sitio web proporciona los detalles del estudio).
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’stica
3
7Inicio
4
2
6
5
1
812897136975
Podemos resolver este problema enumerando todas las rutas entre los nodos 1 y 7 (haycinco rutas).Sin embargo,la enumeraci—n exhaustiva es computacionalmente insoluble en redesgrandes.Para resolver el problema por PD,primero lo descomponemos en etapas mediante las l’neas de rayas verticales en la figura 12.2.A continuaci—n,realizamos por separadom‡s cortas a todos los nodos terminales de una etapa,y luego utilizarlas como datos de entradaa la etapa inmediatamente subsiguiente.Partiendo del nodo 1,la etapa 1 llega a tres nodos ter-minales (2,3 y 4) y sus c‡lculos son simples.Resumen de la etapa 1.
3427651289713
8
5
34271875
0
8
5
17
12
7656917
12
21f1f1f0f2f2f3
12.1Naturaleza recursiva de los c‡lculos de programaci—n din‡mica (PD)Luego,la etapa 2 tiene dos nodos terminales,5 y 6.La figura 12.2 muestra que se puede lle-gar al nodo 5 desde los nodos 2,3 y 4 por las rutas (2,5),(3,5) y (4,5).Esta informaci—n,junto conlos resultados resumidos (distancias m‡s cortas) en la etapa 1,determina la distancia (acumula-Se puede llegar al nodo 6 s—lo desde los nodos 3 y 4.Por lo tantoResumen de la etapa 2.El œltimo paso es considerar la etapa 3.Se puede llegar al nodo de destino 7 desde el nodo5 o desde el 6.Utilizando los resultados resumidos 5 y 6 al nodo 7,obtenemos Resumen de la etapa 3.millas.Para determinar la ruta —ptima comenzamos con el resumen de la etapa 3,donde el nodo7 se conecta al nodo 5;en el resumen de la etapa 2 el nodo 4 se conecta al nodo 5,y en el resu-men de la etapa 1 el nodo 4 se conecta al nodo 1.Por lo tanto,la ruta m‡s corta es 1 El ejemplo revela las propiedades b‡sicas de los c‡lculos de PD.Los c‡lculos en cada etapa son una funci—n de las rutas factibles de dicha etapa,y
etapa inmediatamente precedente.
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaEcuaci—n recursiva.ticamente los c‡lculos recursivos en el ejemplo 12.1-1.Sea ,y defina Todas las distancias se miden desde 0 al establecer = 1) = 0.La ecuaci—n re-siguiente nodo,.En terminolog’a de PD,.Eltomado en todas las etapas precedentes.conduce al siguiente marco unificador para la PD.precedentes.ejemplo 12.1-1.En la etapa 3,los c‡lculos recursivos en el nodo 7 utilizan la distanciam‡s corta a los nodos 5 y 6 (es decir,los estados de la etapa 2) sin preocuparse sobreproblema.La raz—n es la naturaleza genŽrica del subproblema.Puede ser lineal o no li-neal,y la cantidad de alternativas puede ser finita o infinita.Todo lo que hace el princi-pio de optimalidad es ÃdescomponerÃel problema original en subproblemas m‡smanejables computacionalmente.CONJUNTO DE PROBLEMAS12.1AResuelva el problema 12.1-1,suponiendo que se utilizan las siguientes rutas:Soy un ‡vido excursionista.El verano pasado,mi amigo G.Don y yo nos fuimos de cam-pamento durante 5 d’as a las hermosas White Mountains en New Hampshire.Decidimoslimitar nuestra excursi—n a tres picos muy conocidos:Los montes Washington,Jefferson yAdams.El monte Washington tiene un sendero de 6 millas de la base a la cumbre.Lossenderos correspondientes de los montes Jefferson y Adams son de 4 y 5 millas.Los sen-Washington y Jefferson;de 2 millas entre los montes Jefferson y Adams,y de 5 millasentre los montes Adams y Washington.Comenzamos el primer d’a en la base del monte
12.2Recursividad hacia adelante (avance) y hacia atr‡s (retroceso)Washington y regresamos al mismo lugar al final de los 5 d’as.Nuestro objetivo era reco-rrer a pie tantas millas como pudiŽramos.TambiŽn decidimos escalar una monta–a exac-Adem‡s,decidimos que no se pod’a visitar la misma monta–a en dos d’as consecutivos.Utilice la PD para programar la caminata de 5 d’as.12.2RECURSIVIDAD HACIA ADELANTE (AVANCE) Y HACIA ATRçS (RETROCESO)recursividad hacia adelantede la etapa 1 a la etapa 3.El mismo ejemplo puede resolverse por medio derecursivi-,comenzando en la etapa 3 y terminando en la etapa 1.Naturalmente,la recursividad hacia adelante y hacia atr‡s da la misma soluci—n—ptima.Aun cuando el procedimiento hacia adelante parece m‡s l—gico,la mayorparte de la literatura de PD utiliza la recursividad hacia atr‡s.La raz—n de esta prefe-rencia es que,por lo general,la recursividad hacia atr‡s puede ser m‡s eficiente desde
Etapa 3.El nodo 7 (ruta cada uno.La siguiente tabla resume los c‡lculos de la etapa 3:
d(x3, x4)
Soluci—n —ptima
x3
x4=7
f3(x3)
59976667
Etapa 2.La ruta (2,6) no existe.Dada ) desde la etapa 3,podemos comparar las alternati-
d(x2, x3)+f3(x3)
Soluci—n —ptima
x2
x3=5
x3=6
f2(x2)
151791613
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaLa soluci—n —ptima de la etapa 2 se lee como sigue:Para las ciudades 2 y 4,la ruta m‡s cortapasa por las ciudad 5;y para la ciudad 3,la ruta m‡s corta pasa por la ciudad 6.Etapa 1.Partiendo del nodo 1,tenemos las rutas alternativas:(1,2),(1,3) y (1,4).Utilizando) de la etapa 2,obtenemosLa soluci—n de la etapa 1 conecta la ciudad 1 con la ciudad 4.Luego,la soluci—n de la etapa 2conecta la ciudad 4 con la ciudad 5.Por œltimo,la soluci—n de la etapa 3 conecta la ciudad 5 con
la ciudad 7.La ruta —ptima es 1 7,y la distancia asociada es de 21 millas.CONJUNTO DE PROBLEMAS12.2APara el problema 1,conjunto 12.1a,desarrolle la ecuaci—n recursiva hacia atr‡s y util’celaPara el problema 2,conjunto 12.1a,desarrolle la ecuaci—n recursiva hacia atr‡s,y util’cela7.Defina las etapas y los estados por medio de la recursividad hacia atr‡s,y luego resuel-12.3APLICACIONES DE PD SELECCIONADASEsta secci—n presenta cuatro aplicaciones,cada una con una nueva idea en la imple-mentaci—n de la PD.Todos los ejemplos utilizan la ecuaci—n recursiva
d(x1, x2)+f2(x2)
288235214
FIGURA 12.3Red para el problema 3,conjunto 12.2a
3
7
4
2
6
5
1
141221237944566
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasConforme estudie cada aplicaci—n,preste especial atenci—n a los tres elementosDe los tres elementos,la definici—n del suele ser la m‡s sutil.Las aplicacionesse ha de modelar.No obstante,a medida que investigue cada aplicaci—n se dar‡ cuentala forma en que se defini— aqu’.Pruebe otra definici—n que le parezca Ãm‡s l—gicaÃyutil’cela en los c‡lculos recursivos.Pronto descubrir‡ que las definiciones presentadasaqu’ son correctas.Entre tanto,el proceso mental asociado le permitir‡ entender mejoren el desarrollo de la ecuaci—n recursiva de PD.12.3.1Modelo de la mochila/equipo de vuelo/carga de contenedorculos m‡s valiosos que un combatiente carga en una mochila.El problema representapor varias actividades econ—micas.El objetivo es maximizar el rendimiento total..Sea en la mochila,y defina .El problema general se representa como
mochila(determinaci—n de los art’culos m‡s valiosos que se cargar‡n en un buque de la armada).ÃParece quearmadas:EjŽrcito,Fuerza AŽrea y Armada!
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’stica= 1,2,Ã,,donde es el mayor entero que es menor o igual a.Estadefinici—n permite que la soluci—n distribuya algunos,ninguno,o todos los recur-art’culos.El rendimiento para ,el peso total asignado a las etapas+ 1,Ã,y .Esta definici—n reconoce que el l’mite de peso es laetapas.1,y ,dado el estado Paso 1.Paso 2.izquierdo de la ecuaci—n recursiva.Por definici—n,.Por lo tanto,,y la ecuaci—n
Un barco de 4 toneladas puede cargarse con uno o m‡s de tres art’culos.La siguiente tabla da elpeso unitario,,en toneladas y el ingreso unitario en miles de d—lares,,para el art’culo .El ob-
wiDxiƒW5rimi+fi+11xi-wimi26i=1, 2,Ã, n fi1xi2=m’nmi=0, 1, Ã , CW
wiDxiƒW5rimi+fi+11xi+126i=1, 2,Ã, nfn+1(xn+1)K0W
wiCW
wiDmi=0, 1, . . . , CW
wiD
Art’culo
wi
123123473114
La definici—n del estado puede ser multidimensional.Digamos que el volumen de la mochila puede impo-ner otra restricci—n.Por lo general,un estado multidimensional implica c‡lculos de etapa m‡s complejos.Veason enteros,el estado enteros.Etapa 3.pero puede suponer uno de los valores 0,1,Ã,y 4 (porque .Por lo tanto se excluyen todos los valores no facti-
12.3Aplicaciones de PD seleccionadas).El ingreso para el art’culo 3 es 14.En consecuencia,la ecuaci—n recur-Etapa2.,o ,
Etapa1.
2 D=2
14m3
00ÃÃÃÃ001014ÃÃÃ141201428ÃÃ28230142842Ã4234014284256564
47m2+f3 (x2-3m2)
Ã00408042474715647611
31m1+f2 (x1-2m1)
ÃÃ00ÃÃ1402831Ã3114731Ã47061315962622
La soluci—n —ptima se determina como sigue:Dado que 4 toneladas,del estado 1,se da la alternativa —ptima;es decir que en el barco se cargar‡n dos unidades delart’culo 1.Esta asignaci—n deja,para las etapas 2 y 3.De la0 da por resultado,,lo cual deja para la etapa 3.Luego,a partir de la etapa 3,0 da.Por lo tanto,la soluci—n —ptimacompleta es,,,y .El rendimiento asociado es
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaEn la tabla para la etapa 1,en realidad tenemos que calcular la fila s—lo para 4,porqueŽsta es la œltima etapa que se considerar‡.Sin embargo,se incluyen los c‡lculos para 0,1,2y 3 para poder realizar el an‡lisis de sensibilidad.Por ejemplo,ÃquŽ sucede si la capacidad del
Por lo tanto la soluci—n —ptima es,y el ingreso —ptimo es
ral que pueda manejar todos los problemas de PD.Tal vez esto explique la persistente ausenciablemas de PD:El problema de la mochila de una sola restricci—n (archivo excelKnnapsack.xls).La figura 12.4 muestra la pantalla de inicio del modelo de PD ( hacia atr‡s) de la mochila.Lapantalla est‡ dividida en dos secciones:La secci—n de la derecha(columnas Q:V) resume la solu-ci—n de salida.En la secci—n de la izquierda (columnas A:P),los datos de entrada para la etapaactual aparecen en las filas 3,4,y 6.Los c‡lculos de las etapas se inician en la fila 7.(Las colum-nas H:N est‡n ocultas para conservar espacio).Los s’mbolos de los datos de entrada son auto-explicativos.Para ajustar la hoja de c‡lculo de manera conveniente en una pantalla,el valor fac-12.3-1.Los c‡lculos se realizan etapa por etapa,y el usuario proporciona los datos b‡sicos queComenzando con la etapa 3 y utilizando la notaci—n y datos del ejemplo 12.3-1,las celdas deexcelKnapsack.xls)
Celda(s)
L’mite de los recursos,
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasson 0,1,Ã,y,como en elejemplo 12.3-1.La hoja de c‡lculo valida de forma autom‡tica los valores que el usuario ingresay emite mensajes autoexplicativos en la fila 5:Ãs’Ã,ÃnoÃ,y ÃeliminarÃ.Amedida que se ingresan y verifican los datos de la etapa 3,la hoja de c‡lculo Ãcobra vidaÃy genera autom‡ticamente todos los c‡lculos necesarios de la etapa (columnas B a P).Se utiliza1111111 para indicar que el ingreso correspondiente no es factible.La soluci—n —pti-) para la etapa se da en las columnas O y P.La columna A proporciona los valores de,los cuales son iguales a cero para todas las (puede dejar las celdas A9:A13 en blanco o ingresar ceros).
w3 D=C 4
excelKnapsack.xls
Etapa 2: Etapa 3: Etapa 1:
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaAhora que los c‡lculos de la etapa 3 est‡n completos,realice los pasos siguientes para crearPaso 1.,C9:C13,y pŽguelos en Q5:Q9 en la secci—n de resumen de la solu-ci—n —ptima.Luego copie los valores () O9:P13,y pŽguelos en R5:S9.Recuerdeque tiene que pegar s—lo valores,lo que requiere seleccionar la opci—n Pegado especialen el cuadro de di‡logo.Paso 2.9,y pŽguelos en A9:A13 (Pegado es-en este paso.)Paso 3.Cambie la celda C4 a 2,e ingrese los nuevos valores de ) en la columna A como preparaci—n para calcular (vea la f—rmula recursiva para el problema de la mochila del ejemplo 12.3-1).Un proce-dimiento parecido se repite para la etapa 1.Cuando la etapa 1 est‡ completa,el resumen de lasoluci—n puede usarse para leer la soluci—n —ptima,como se explic— en el ejemplo 12.3-1.
rece sin formato,y que usted puede organizar su contenido como le plazca.CONJUNTO DE PROBLEMAS12.3AEn el ejemplo 12.3-1,determine la soluci—n —ptima suponiendo que la capacidad de peso m‡-xima del barco es de 2 toneladas.Repita el ejemplo para una capacidad de peso de 5 toneladas.,,,,,,,,,,,,En el modelo de carga de un contenedor del ejemplo 12.3-1,suponga que el ingreso porart’culo incluye una cantidad constante que se obtiene s—lo si se elige el art’culo,como se
excelKnapsack.xls
Art’culo
,si ,si ,si
Encuentre la soluci—n —ptima por medio de PD.(excelSetupKnapsack.xlsUn excursionista debe empacar tres art’culos:alimento,botiqu’n de primeros auxilios yropa.La mochila tiene una capacidad de 3 pies.Cada unidad de alimento ocupa 1 pie,el,y cada pieza de ropa ocupa aproximadamente.El excursionista asigna pesos de prioridad de 3,4 y 5 al alimento,el botiqu’n,y la
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasropa,respectivamente,lo que significa que la ropa es el m‡s valioso de los tres art’culos.Por experiencia,el excursionista debe llevar al menos una unidad de cada art’culo y nom‡s de dos botiquines.ÃCu‡ntas unidades de cada art’culo debe llevar el excursionista?Un estudiante debe elegir 10 cursos optativos de cuatro departamentos diferentes,conpor lo menos un curso de cada departamento.Los 10 cursos se asignan a los cuatro de-partamentos de una manera que maximice el ÃconocimientoÃ.El estudiante mide su co-Tengo un peque–o jard’n de 10 20 pies.Esta primavera pienso plantar tres tipos dehortalizas:tomates,ch’charos y ma’z.El jard’n est‡ organizado en filas de 10 pies.Lasfilas del ma’z y de los tomates son de 2 pies de ancho,y las de los ch’charos son de 3 piesde ancho.Me gustan m‡s los tomates y menos los ch’charos,y en una escala del 1 al 10asignar’a un 7 a los tomates,un 7 al ma’z y un 3 a los ch’charos.A pesar de mis preferen-cias,mi esposa insiste en que plante al menos una fila de ch’charos y no m‡s de dos filasde tomates.ÃCu‡ntas filas de cada legumbre debo plantar? riales de construcci—n.Una familia elegible puede escoger de entre tres tama–os de casa:1000,1100 y 1200 pies.Cada tama–o requiere determinada cantidad de voluntarios demano de obra.La sucursal de Fayetteville,Arkansas,ha recibido cinco solicitudes paralos 6 meses venideros.El comitŽ a cargo asigna una calificaci—n a cada solicitud basadoen varios factores.Una alta calificaci—n significa una alta necesidad.Durante los 6 mesessiguientes,la sucursal puede contar con un m‡ximo de 23 voluntarios.Los siguientesdatos resumen las calificaciones de las solicitudes y la cantidad requerida de voluntarios.
123456I25506080100100100II207090100100100100III406080100100100100IV10203040506070
Solicitud
Tama–o de la casa
Califi-caci—n
120078100064110068100062120085
El alguacil Bassam busca reelegirse en el condado de Washington.Los fondos disponiblespara la campa–a son aproximadamente de $10,000.Aunque al comitŽ de reelecci—n le gus-tar’a lanzar la campa–a en los cinco distritos del condado,los fondos limitados lo dictan deotra manera.La tabla siguiente incluye listas de la poblaci—n votante y el monto de losfondos necesarios para lanzar una campa–a efectiva en cada distrito.Un distrito puede re-cibir todos sus fondos asignados,o ninguno.ÃC—mo deber‡n asignarse los fondos?
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaUn aparato electr—nico consta de tres componentes los cuales est‡n en serie,de modoque la falla de uno hace que falle el aparato.La confiabilidad (probabilidad de que noponente.La tabla siguiente incluye la confiabilidad,,y el costo,.El capital total dispo-nible para la construcci—n del aparato es de $10,000.ÃC—mo deber‡ construirse el apara-,del aparato.EstoEste problema es parecido al problema 9,excepto que las variables,,soncontinuas.)
Distrito
Poblaci—n
Fondos requeridos ($)
Cantidad de unidades
Componente 1
Componente 2
1.61000.73000.520002.82000.85000.74000.93000.96000.95000
12.3Aplicaciones de PD seleccionadas10,y + 3,y 12.3.2Modelo de tama–o de la fuerza de trabajocontratando y despidiendo trabajadores.Ambas actividades incurren en un costo.Elobjetivo es minimizar el costo total de la mano de obra requerida para el proyecto.trabajadores.El modelo asumem’nimo o si en una semana se realiza una contrataci—n adicional.Por senci-llez,no se incurre en ningœn costo cuando ocurre un despido.).Si ,ocurre contrataci—n a unetapai1,2,Ã,,la cantidad de trabajadores en la semana ,la cantidad de trabajadores disponible en la semana
manas es de 5,7,8,4 y 6 trabajadores,respectivamente.La mano de obra excedente conservada enla fuerza de trabajo costar‡ $300 por trabajador por semana,y una nueva contrataci—n en cual-
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaest‡n en cientos de d—lares.
C1(x5-6)+C2(x5-x4)
Soluci—n —ptimax4x5=6f5(x4)x5ƒ43(0)+4+2(2)=88653(0)+4+2(1)=66663(0)+0 =006
C1(x4-4)+C2(x4-x3)+f5(x4)
83(1)93(2)
C1(x3-8)+C2(x3-x2)+f4(x3)
128
C1(x2-7)+C2(x3-x2)+f3(x2)
203(1)198183(1)178123(1)127123(1)
Etapa 4.Etapa 3.Etapa 2.Etapa 5.
12.3Aplicaciones de PD seleccionadas
CONJUNTO DE PROBLEMAS12.3BEn el ejemplo 12.3-2,si se incurre en una indemnizaci—n por cada trabajador despedido,Luxor Travel organiza viajes tur’sticos de una semana al sur de Egipto.La agencia ofrece7,4,7 y 8 autom—viles en renta durante las siguientes 4 semanas.Luxor Travel subcontratatom—viles.El concesionario cobra una cuota de renta semanal de $220 por autom—vil,m‡s una cuota fija de $500 por cualquier transacci—n de renta.Luxor,sin embargo,puederenta.ÃCu‡l es la mejor forma para que Luxor maneje la situaci—n de renta?de cuatro motores al a–o.La capacidad de producci—n disponible y los costos de produc-ci—n var’an de un a–o a otro.GECO puede producir cinco motores en el a–o 1,seis en ela–o 2,tres en el a–o 3,y cinco en el a–o 4.Los costos de producci—n correspondientes pormotor a lo largo de los siguientes 4 a–os son de $300,000,$330,000,$350,000 y $420,000,respectivamente.GECO puede elegir si produce m‡s de lo que necesita en un cierto a–o,en cuyo caso el motor se debe almacenar apropiadamente hasta la fecha de env’o.Elcosto de almacenamiento por motor tambiŽn var’a de un a–o a otro,y se estima que seade $20,000 en el a–o 1,$30,000 en el a–o 2,$40,000 en el a–o 3,y $50,000 en el a–o 4.Enla actualidad,al inicio del a–o 1 GECO tiene un motor listo para ser enviado.Desarrolleun plan de producci—n —ptimo para GECO.
C1(x1-5)+C2(x1-x0)+f2(x1)
2(5)3(1)2(6)3(2)2(7)3(2)335
Semana
Fuerza de mano deobra m’nima (i)
Fuerza de manode obra real (xi)
Decisi—n
5Contratar 5 trabajadores8Contratar 3 trabajadores8Ningœn cambio6Despedir 2 trabajadores6Ningœn cambio
Etapa 1.
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’stica12.3.3Modelo de reemplazo de equiporaci—n.La situaci—n tiene que ver con determinar la edad m‡s econ—mica de una m‡quina.a–os.Alde cada a–o,una m‡quina o se mantiene en servicio un a–o m‡s,o es reemplaza-da por una nueva.Sean ) el ingreso anual,el costo de operaci—n y el valorde desecho,respectivamente,de una m‡quina de a–os.El costo de adquisici—n de unai,i 1,2,Ã,,defina1,Ã,y
tiene tres a–os de edad,durante los siguientes 4 a–os (4).Una m‡quina de 6 a–os de edaddebe ser reemplazada.El costo de una m‡quina nueva es de $100,000.La siguiente tabla da los, si se CONSERVA, si se REEMPLAZA
Edad,t(a–os)
Ingresos,
Costo de operaci—n,c(t
Valor de desecho,
La determinaci—n de los valores factibles para la edad de la m‡quina es algo complicada.Lafigura 12.6 resume la red que representa el problema.Al de 3 a–os de edad.Podemos o reemplazarla (),o bien conservarla (K) durante otro a–o.Si elreemplazo ocurre,la nueva m‡quina tendr‡ un a–o de edad al inicio del a–o 2;de lo contrario,lam‡quina conservada tendr‡ 4 a–os de edad.La misma l—gica aplica al inicio de los a–os 2 a 4.Si
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasuna m‡quina de un a–o de edad es reemplazada al inicio de los a–os 2,3 y 4,su reemplazo tendr‡un a–o de edad al inicio del a–o siguiente.Asimismo,al inicio del a–o 4,una m‡quina de 6 a–osde edad debe ser reemplazada,y al final del a–o 4 (final del horizonte de planificaci—n),de-La red muestra que al inicio del a–o 2 las posibles edades de la m‡quina son 1 y 4 a–os.Alinicio del a–o 3 las posibles edades son 1,2 y 5 a–os,y al inicio del a–o 4 las posibles edades son1,2,3 y 6 a–os.La red tambiŽn supone que la m‡quina ser‡ desechada al inicio del a–o 5 inde-decir,el ingreso m‡ximo) a partir del inicio del a–o 1 hasta el final del a–o 4.Utilizaremos laforma tabular para resolver el problema.Todos los valores est‡n en miles de d—lares.Observemos que si una m‡quina se reemplaza en el a–o 4 (es decir,al final del horizonte de pla-nificaci—n),su ingreso incluir‡ el valor de rescate,),de la m‡quina desecho,(1),de la m‡quinadereemplazo.Adem‡s,si en el a–o 4 una m‡quina de se conserva,su valor de rescate ser‡ Etapa 4.
1
311K
22K
33K
44K
4K
55K
6InicioEdad de la m‡quina1245K
2K
3K
2RSSSSRRRRRRRRR
1
1
Final
K
R
78.42067.32045.7206(Debe reemplazarse)
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaEtapa 3.Etapa 2.
K
R
85.72067.12017.020
K
R
85.52030.820
K
R
51.220
FIGURA 12.7Soluci—n del ejemplo 12.3-3
(t 2)K
(t 3)K
(t 3)
(t 1)RR
(t 1)R
(t 2)KKVender
A–o 3
A–o 4
A–o 1
A–o 2
Etapa 1.La figura 12.7 resume la soluci—n —ptima.Al inicio del a–o 1,dada 3,la decisi—n —ptimaes reemplazar la m‡quina.Por lo tanto,la m‡quina nueva tendr‡ un a–o de edad al inicio del a–o2,y 1 al inicio del a–o 2 exige o que se conserve o que se reemplace la m‡quina.Si se reem-plaza,la m‡quina tendr‡ un a–o de edad al inicio del a–o 3;de lo contrario,la m‡quina conser-vada tendr‡ dos a–os de edad.El proceso continœa de esta manera hasta que se llegue al a–o 4.)y (
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasCONJUNTO DE PROBLEMAS12.3CEn cada uno de los siguientes casos,desarrolle la red y encuentre la soluci—n —ptima paraMi hijo de 13 a–os maneja un negocio de corte de cŽsped con 10 clientes.A cada clientele corta el cŽsped 3 veces al a–o,y cobra $50 por cada corte.Acaba de pagar $200 por unacortadora nueva.El costo de operaci—n y mantenimiento de la cortadora es de $120 parael primer a–o de servicio y de ah’ en adelante se incrementa 20% al a–o.Una cortadorade un a–o de edad tiene un valor de reventa de $150,el cual se reduce de ah’ en adelanteun 10% al a–o.Mi hijo,que planea conservar su negocio hasta que tenga 16 a–os,piensaque es m‡s econ—mico comprar una cortadora nueva cada 2 a–os.Basa su decisi—n en elhecho de que el precio de una cortadora nueva se incrementar‡ s—lo 10% al a–o.ÃSe jus-Circle Farms desea desarrollar una pol’tica de reemplazo para su tractor de dos a–os deedad durante los siguientes 5 a–os.Un tractor debe mantenerse en servicio durante almenos 3 a–os,pero debe ser desechado despuŽs de 5 a–os.El precio actual de compra deun tractor es de $40,000 y se incrementa 10% al a–o.El valor de desecho de un tractor de un a–o de edad es de $30,000 y se reduce 10% al a–o.El costo actual de operaci—nanual del tractor es de $1300 pero se espera que se incremente 10% al a–o.Formule el problema como un problema de la ruta m‡s corta.Determine la pol’tica de reemplazo —ptima del tractor durante los siguientes 5 a–os.a–os.Un equipo1 y cero en caso contrario.El ingreso anual es una funci—n de la edad y cero en caso contrario.Formule el problema como un modelo de PD.5,y el equipoResuelva el problema 4,suponiendo que el equipo tiene un a–o de edad y que $6000 y,12.3.4Modelo de inversi—n,al inicio de cada uno de los si-a–os.Tiene dos oportunidades de inversi—n en dos bancos.First Bank paga,ambos compuestos anualmente.Para fo-mentar los dep—sitos,ambos bancos pagan bonos sobre nuevas inversiones en la formade un porcentaje de la cantidad invertida.Los porcentajes de los bonos respectivospara First Bank y Second Bank son .Los bonos se pagan al finalel a–o inmediatamente subsiguiente.Esto significa que s—lo pueden invertirse bono ydinero nuevo fresco en cualquiera de los bancos.Sin embargo,una vez que se depositauna inversi—n,debe permanecer en el banco hasta el final del a–o $6000, y
1+tn=4
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticai,i 1,2Ã.,e,las cantidades invertidas en First Bank yen Second Bank,respectivamente.,en la etapa Observamos que,,por definici—n.Por lo tanto i,i 1,Ã,y ,dado que en First Bank y en Second Bank,respectivamente.1,2,el problema se establece comoPor tanto,la ecuaci—n recursiva hacia atr‡s de PD est‡ dada comoComo se hizo antes,
Suponga que desea invertir $4000 ahora y $2000 al inicio de los a–os 2 a 4.La tasa de interŽsofrecida por First Bank es 8% compuesto anualmente,y los bonos a lo largo de los 4 a–os si-guientes son 1.8%,1.7%,2.1% y 2.5%,respectivamente.La tasa de interŽs anual ofrecida porSecond Bank es .2% m‡s baja que la de First Bank,pero sus bonos son .5% m‡s altos.El objeti-vo es maximizar el capital acumulado al cabo de 4 a–os.
i=xi-IiI
i
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasUtilizando la notaci—n presentada antes,tenemosEtapa 4.,y su valor m‡ximo ocurre en .Por lo tanto,la soluci—n —ptima para la etapa 5 puede resumirse$4,000, $2000
Soluci—n —ptimaEstadof4(x4)I4ƒx41.108x40
Etapa 3.Por lo tanto,
Soluci—n —ptimaEstadof3(x3)I3ƒx32216+1.1909x30
Etapa 2.
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaPor lo tanto,Etapa 1.Por lo tanto,Trabajando hacia atr‡s y observando que,obtenemos$2035.22$2052.92$2035.22$2072
Soluci—n —ptimaEstadof2(x2)I2x24597.8+1.27996x2x2
$4000
12.4Problema de dimensionalidad
CONJUNTO DE PROBLEMAS12.3DResuelva el problema 12.3-4,suponiendo que .08.Adem‡s,suponga queinvertir en una cuenta de ahorros.Cada d—lar invertido reditœa $1.09 al final del a–o.como.Resuelva el problema por PD para un espacio de 5 a–os.ovejas.Al final de cada a–o,decide sobre cu‡ntas vender o conser-var.La utilidad de vender una oveja en el a–o .Las ovejas conservadas en el a–o 1.El granjero planea vender todas las ovejas al caboa–os.3 a–os,2 ovejas,$130,y 12.3.5Modelos de inventarioLa PD tiene importantes aplicaciones en el ‡rea de control de inventarios.Los cap’tu-los 13 y 16 presentan algunas de estas aplicaciones.Los modelos en el cap’tulo 13 sondetermin’sticos,y los del cap’tulo 16 son probabil’sticos.Otras aplicaciones de progra-maci—n din‡mica probabil’stica se dan en el cap’tulo 24 en el sitio web.12.4PROBLEMA DE DIMENSIONALIDADEn todos los modelos de PD presentados en este cap’tulo,el est‡ representado por un solo elemento.Por ejemplo,en el modelo de la mochila (sec-ci—n 12.3.1),la œnica restricci—n es el peso del art’culo.De manera m‡s realista en estecaso,el volumen de la mochila tambiŽn puede ser una restricci—n viable,en cuyo casose dice queen cualquier etapa el es bidimensional:peso y volumen.etapa.Esto es particularmente evidente en c‡lculos tabulares de PD debido a que el
A–o
Soluci—n
—ptima
Decisi—n
$4000 en First Bank$5441.80$2072 en First Bank$2610.13$2365.13$2274.64$12,691.66 (
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticavariables de estado.Esta dificultad computacional en ocasiones se conoce en la litera-TambiŽn sirve para demostrar la relaci—n entre programaci—n lineal y din‡mica.
Acme Manufacturing fabrica dos productos.La capacidad diaria del proceso de fabricaci—n esde 430 minutos.El producto 1 requiere 2 minutos por unidad,y el producto 2 requiere 1 minutopor unidad.No hay l’mite en la cantidad producida del producto 1,pero la demanda diaria delproducto 2 es de 230 unidades.La utilidad unitaria del producto 1 es de $2 y la del producto 2 esde $5.Determine la soluci—n —ptima por medio de PD.1,2.i,i1,2.)representa las cantidades de los recursos 1 y 2 (tiempo de producci—n y)representa las cantidades de los recursos 1 y 2 (tiempo de producci—n yEtapa 2.como la utilidad m‡xima en la etapa 2 (producto 2),dado el estado).EntoncesPor lo tanto,m‡x {5},y la soluci—n para la etapa 2 es
)5 m’n {} m’n {
Etapa 1.
12.4Problema de dimensionalidadcil).Para este problema establecemos 230,lo cual da 0 215.Como min (430,230) es la envoltura menor de dos l’neas que se cortan (ÃcompruŽbelo!),se desprende que(430,230) ocurre en 100.Por lo tanto,obte-nemos,1150,02150,100230,0,100,observamos que
100 unidades,230 unidades,CONJUNTO DE PROBLEMAS12.4AResuelva los siguientes problemas por medio de PD.
(430,230)1350100
Cap’tulo 12Programaci—n din‡mica determin’sticaart’culos del ejemplo 12.3-1,suponga que las limita-,respectivamente.Dado que ,y son el peso,elvalor y el ingreso por unidad,respectivamente,del art’culo ,escriba la ecuaci—n recursivaBertsekas,Deterministic and Stochastic Models,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1987.Denardo,EDynamic Programming Theory and Applications,Prentice Hall,Upper SaddleRiver,NJ,1982Dreyfus,S.,y A.Law,The Art and Theory of Dynamic Programming,Academic Press,NuevaYork,1977.Sntedovich,M.,,Marcel Dekker,Nueva York,1991.
13.1MODELO GENERAL DE INVENTARIOfacer las fluctuaciones de la demanda.El exceso de existencias de un art’culo aumentael costo del capital y de almacenamiento,y la escasez de existencias interrumpe la pro-ducci—n y/o las ventas.El resultado es buscar un nivel de inventario que balancee lasdos situaciones extremas minimizando una funci—n de costo apropiada.El problema sepol’tica de inventario es el precio por unidad de un art’culo de inventario.En ocasiones,determinada,lo cual es un factor al momento de tomar la decisi—n de tencias de algo.Incluye el interŽs sobre el capital y el costo del almacenamiento,mantenimiento y manejo.(faltante)es la penalizaci—n en que se incurre cuando se ago-tan las existencias.Incluye la pŽrdida potencial de ingresos,la interrupci—n de laproducci—n y el costo subjetivo de pŽrdida de lealtad del cliente.CAPêTULO 13Modelos de inventario determin’sticos
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticospuede provocar la reducci—n de otro (por ejemplo,pedir con m‡s frecuencia eleva el costode preparaci—n pero reduce el costo de retenci—n del inventario).El prop—sito de la mini-mizaci—n de la funci—n de costo del inventario total es balancear estos costos conflictivos.revisiones peri—dicas(por ejemplo,pedir al inicio de cada semana o cada mes).Alternativamente,el sistema puede estarrevisiones continuas,colocando un nuevo pedido cuando el nivel del inven-punto de volver a pedir espec’fico.Un ejemplo de los dos tiposocurre en tiendas al menudeo.La revisi—n es peri—dica si el art’culo se repone cada se-mana o cada mes.Es 13.2EL PAPEL (ROL) DE LA DEMANDA EN EL DESARROLLO DE MODELOS DE INVENTARIOEn general,la complejidad de los modelos de inventario depende de si la demanda esdetermin’stica o probabil’stica.Dentro de ambas categor’as,la demanda puede variar,o no,con el tiempo.Por ejemplo,el consumo de gas natural que se utiliza en la calefac-ci—n domŽstica es estacional.Aun cuando dicho patr—n se repite anualmente,el consu-mo en un mismo mes puede variar de un a–o a otro,dependiendo,por ejemplo,de laEn situaciones pr‡cticas,el patr—n de la demanda en un modelo de inventarioDetermin’stico y constante (est‡tico) con el tiempo.Determin’stico y variable (din‡mico) con el tiempo.Probabil’stico y estacionario a lo largo del tiempo.Probabil’stico y no estacionario a lo largo del tiempo.En funci—n del desarrollo de modelos de inventario,la primera categor’a es lam‡s sencilla anal’ticamente,y la cuarta es la m‡s compleja.Por otra parte,la primeracategor’a es la menos probable que ocurra en la pr‡ctica,y la cuarta es la m‡s preva-lente.En la pr‡ctica,el objetivo es balancear la sencillez y la precisi—n del modelo.aceptable? Una Ãestimaci—n aproximadaÃinicial se basa en el c‡lculo de la media y ladesviaci—n est‡ndar del consumo durante un periodo espec’fico (por ejemplo,mensual-mente).Entonces Si la demanda mensual promedio (registrada a lo largo de varios a–os) es Ãdemanera aproximadaÃconstante y 20%),enton-
Media *100
,mide la variaci—n relativa o dispersi—n de los datos alrededor de la media.Porlo general,los valores altos de ci—n del consumo mensual.Para la demanda determin’stica,= 0,dado que la desviaci—n est‡ndar asociadaes cero.
13.2El papel (rol) de la demanda en el desarrollo de modelos de inventariomeses pero V permanece razonablemente peque–o en todos los meses,entoncesla demanda puede considerarse determin’stica pero variable.20%) pero aproximadamente constante,entonces laEl caso restante es la demanda probabil’stica no estacionaria,la cual ocurrecon mes.
de gas natural en una residencia rural a lo largo de 10 a–os (1990-1999).El proveedor env’a unDesde el punto de vista del modelado de inventarios,es razonable suponer que cada mes re-presenta un periodo de decisi—n para la colocaci—n de un pedido.El prop—sito de este ejemplo esUn examen de la media y el coeficiente de variaci—n,V,en la tabla 13.1,revela dos resultados:rante los meses invernales.La conclusi—n es que la demanda mensual es (aproximadamente) determin’stica pero variable.
TABLA 13.1
Ene.Feb.Mar.Abr.May.Jun.Jul.Ago.Sep.Oct.Nov.Dic.19901001109070655040425668889519911101259880605344456377929919929010088795657383960708290199312113095907058414470809510019941091199975685543416579889419951301221008573584243647580101199611510010390765545406778989719971301151009580604948648596105199812510094867959463969901001101999878078756948394150708893Media111.71109582.569.655.342.742.262.877.290.798Desv.Est.15.5415.27.57.997.823.953.42.866.096.916.676(%)13.9113.87.99.6811.247.137.966.789.698.957.356.1
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos
Tiempo
t0 yD
y2
13.3MODELOS ESTçTICOS DE CANTIDAD DE PEDIDO ECONîMICO (EOQ)(EOQ,por sus siglas en inglŽs) con demanda est‡tica (constante).Estos modelos sonanal’ticamente simples.13.3.1Modelo EOQ cl‡sicocon reposici—n de pedidos instant‡nea y sin escasez.Defina Tasa de demanda (unidades por unidad de tiempo)El nivel de inventario sigue el patr—n ilustrado en la figura 13.1.Cuando el inventariollega al nivel cero,se recibe al instante un pedido de unidades de tama–o.Las exis-tencias se agotan uniformemente a una tasa de demanda constante,.El ciclo de pe-El modelo de costo requiere dos par‡metros de costo.Dado que el nivel de inventario promedio es,el costo total (TCU,por sus siglas en inglŽs) es
A y
D B +hA y
2B= K+hA y
2 B t0
t0= Costo de preparaci—n+Costo de retenci—n por ciclo t0
t0y
2t0= y
D unidades de tiempo
13.3Modelos est‡ticos de cantidad de pedido econ—mico (EOQ)
Puntos de volver a pedir
L
Tiempo
se determina minimizando el TCU(es continua,una condici—n necesaria para la optimalidad esLa condici—n tambiŽn es suficiente porque TCU(Por lo tanto,la pol’tica de inventario —ptima para el modelo propuesto esEn realidad,un nuevo pedido no tiene que recibirse en el instante que se pide.Ensu lugar,puede ocurrir un (tiempo de anticipaci—n)positivo ,entrela colocaci—n y el recibo de un pedido como se muestra en la figura 13.2.En este casopunto de volver a pedir (punto de reorden)ocurre cuando el nivel del inventario seunidades.ciclo,lo cual por lo general puede no ser el caso.Si as’ sucediera,definimos el po de espera efectivo.Por lo tanto,el punto de volver a pedir ocurre cuando el inventariounidades,y la pol’tica de inventario puede volverse a formular comounidades.
Las luces de ne—n en el campus de la Universidad de Arkansas se reemplazan a raz—n de 100unidades por d’a.La planta f’sica pide las luces de ne—n de forma peri—dica.Iniciar un pedido decompra cuesta $100.Se estima que el costo de una luz de ne—n almacenada es de aproximada-
t0ƒLe=L-nt0ƒt0Pedido *=42 K D
h
unidades de cada t*0= y*
D unidades de tiempoy*=C2
h
d TCU1y2
dy =- KD
y2 + h
2 =0
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticosmente $.02 por d’a.El tiempo de espera entre la colocaci—n y la recepci—n de un pedido es de12 d’as.Determine la pol’tica de inventario —ptima para pedir las luces de ne—n.Con los datos del problema,tenemos Por lo tanto,Ya que el tiempo de espera ,debe-.El nœmero de ciclos enteros incluidos en Por lo tanto,Por lo tanto,el punto de volver a pedir ocurre cuando el nivel del inventario se reduce a Pedir 1000 unidades siempre que el nivel del inventario se reduzca a 200 unidades.
excelEOQ.x1s operaci—n de producci—n y consumo simult‡neos,como se indica en el problema 10,conjunto13.3a.TambiŽn resuelve las situaciones de reducciones de precios presentada en la secci—n13.3.2.Para utilizar la plantilla con el caso especial del ejemplo 13.3-1,ingrese C3:C5,C8 y C10 para indicar que los datos correspondientes no son aplicables,como se muestra
en la figura 13.3.
$100
A 1000
$.02
$20
A y
D B +hA y
2 B LeD=2*100=200 luces de ne—n e=L-nt0*=12-1*10=2 d’as =Aentero m‡s grande ƒ L
t*0 B=Aentero m‡s grande ƒ 12
10 B=1t0ƒ (=10 d’as)t*0=y*
D = 1000
100 =10 d’asy*=C2
h
$100
.02
=1000 luces de ne—n
13.3Modelos est‡ticos de cantidad de pedido econ—mico (EOQ)excelFOQ.xls
CONJUNTO DE PROBLEMAS13.3AEn cada uno de los siguientes casos no se permite la escasez,y el tiempo de espera entrela colocaci—n y la recepci—n de un pedido es de 30 d’as.Determine la pol’tica de inventa-lb de la semana.El costo fijo por pedido es de $20.Refrigerar y guardar la carne cuestaDetermine el costo de inventario por semana de la presente pol’tica de pedido.Determine la pol’tica de inventario —ptima que McBurger debe utilizar,suponiendoun tiempo de espera cero entre la colocaci—n y la recepci—n de un pedido.
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticosd’a.Cada vez que se coloca un pedido,a la compa–’a le cuesta $20.Una unidad de inven-Determine la pol’tica de inventario —ptima,suponiendo un tiempo de espera de unaPol’tica 1.Pedir 150 unidades.El punto de volver a pedir es 50 unidades,y el tiempoentre la colocaci—n y la recepci—n de un pedido es de 10 d’as.Pol’tica 2.Pedir 200 unidades.El punto de volver a pedir es 75 unidades,y el tiempoentre la colocaci—n y la recepci—n de un pedido es de 15 d’as.El costo de preparaci—n por pedido es de $20,y el costo de retenci—n por unidad enSi estuviera a cargo de idear una pol’tica de inventarios para la compa–’a,ÃquŽ reco-La tienda Walmark Store comprime y carga en una tarima las cajas de cart—n vac’as parareciclarlas.La tienda genera cinco tarimas al d’a.El costo de almacenar una tarima en laparte trasera de la tienda es de $.10 por d’a.La compa–’a que traslada las tarimas al centrode reciclaje cobra una cuota fija de $100 por la renta de su equipo de carga,m‡s un costo detransporte variable de $3 por paleta.Grafique el cambio en la cantidad de tarimas con eltiempo,e idee una pol’tica —ptima para el traslado de las tarimas al centro de reciclaje.Un hotel utiliza un servicio de lavander’a externo para proporcionar toallas limpias.Elhotel genera 600 toallas sucias al d’a.El servicio de lavander’a recoge las toallas sucias ylas reemplaza con limpias a intervalos regulares.Hay un cargo fijo de $81 por el serviciode recolecci—n y entrega,adem‡s del costo variable de $.60 por toalla.Al hotel le cuesta$.02 al d’a guardar una toalla sucia y $.01 por d’a guardar una limpia.ÃCon quŽ frecuen-de art’culos de inventario en esta situaci—n.Conforme el nivel de las toallas sucias se incrementa,el de las toallas limpias se reduce al mismo ritmo).subsidiaria de la compa–’a en Europa en calidad de prŽstamo.Durante el a–o,las obliga-ciones financieras del empleado en los Estados Unidos (por ejemplo,pagos de hipoteca yprimas de seguros) ascienden a $12,000,distribuidas de manera uniforme a lo largo de losmeses del a–o.El empleado puede cumplir con estas obligaciones depositando toda lasuma en un banco estadounidense antes de partir a Europa.Sin embargo,en este mo-en comparaci—n con la tasa de interŽs en Europa (6.5% anual).El costo del env’o de fon-dos desde el extranjero es de $50 por transacci—n.Determine una pol’tica —ptima para latransferencia de fondos de Europa a los Estados Unidos,y analice la implementaci—npr‡ctica de la soluci—n.Mencione todas las suposiciones..El consumo ocurre a la tasa constante .Yaque el consumo tambiŽn ocurre durante el periodo de reposici—n,es necesario que por pedido,y el costo de retenci—n es por unidad,por unidad detiempo.Si es el tama–o del pedido y no se permite que haya escasez,demuestre que El nivel m‡ximo del inventario es.
y + h
2 A1-D
a ByyA1- D
a B
13.3Modelos est‡ticos de cantidad de pedido econ—mico (EOQ)Una compa–’a puede producir una mercanc’a o adquirirla de un contratista.Si la produ-ce,le costar‡ $20 cada vez que se preparen las m‡quinas.La tasa de producci—n es de 100unidades por d’a.Si se la compra al contratista le costar‡ $15 cada vez que se coloque unpedido.El costo de mantener la mercanc’a en existencia,ya sea que se compre o se pro-duzca,es de $.02 por unidad por d’a.El uso que la compa–’a hace de la mercanc’a se esti-ma en 26,000 unidades anualmente.Suponiendo que no se permite que haya escasez,ÃlaEn el problema 8,suponga que se permite que haya escasez a un costo de penalizaci—npor unidad por unidad de tiempo.es la escasez m‡xima durante el ciclo de inventario,demuestre que 13.3.2EOQ con reducciones de preciosEste modelo es el mismo de la secci—n 13.3.1,excepto que el art’culo en inventariopuede adquirirse con un descuento si el tama–o del pedido,,excede un l’mite dado,Matem‡ticamente,el precio de compra unitario,,es Por consiguiente,Aplicando la notaci—n utilizada en la secci—n 13.3.1,el costo total por unidad de
y+h
2y, yƒqTCU2(y)=Dc2+KD
y+h
Costo de compra por unidad de tiempo
t0=c1y
A y
D B=Dc1, yƒqc2y
t0=c2y
A y
D B=Dc2, y7q c=ec1, si yƒqc2, si y7qf, c17c2w=C2A1- D
a B
p(p+h)
y=C2KD(p+h)
phA1-D
a B
TCU (y, w)= KD
y + h{yA1- D
a B-w}2+pw2
2A1- D
a Byy*=C2
hA1-D
a B
, D6a
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos
II
III
ICostoTCU1TCU2yymQ
se grafican en la figura 13.4.Debido a que las dosfunciones difieren s—lo por una constante,sus m’nimos deben coincidir en el punto de reducci—n de precios,,con respecto a las zonas I,II y III,delineadas en la),(),respectivamente.El valor dePaso 1.Determine .Si est‡ en la zona I,entonces .De lo con-trario,vaya al paso 2.Paso 2.Defina las zonas II y III.Si .De lo contrario,est‡ en la zona III,y
h b Q+ 2
h =0ym=C2
h
y*=eym, si q se encuentra en las zonas I o IIIq, si q se encuentra na la zona II Q2+a 2(c2D-TCU1(ym))
h b Q+ 2
h =0c2D+ KD
Q + hQ
2 = 1(ym)TCU2(Q)=TCU1(ym)ym=C2
h
13.3Modelos est‡ticos de cantidad de pedido econ—mico (EOQ)
o 1:
o 2: Qq
o 3:
LubeCar se especializa en cambios de aceite r‡pidos.El taller compra aceite automotriz a granela $3 por gal—n descontado a $2.50 si la cantidad de pedido es de m‡s de 1000 galones.El talleratiende aproximadamente 150 autom—viles por d’a,y cada cambio de aceite requiere 1.25 galo-nes.LubeCar guarda el aceite a granel a un costo de $.02 por gal—n por d’a.Incluso,el costo decolocar un pedido es de $20.El tiempo de espera es de 2 d’as para la entrega.Determine la pol’-TambiŽn tenemosPaso 1.612.37,nos vamos al paso 2.
h
=C2*20*187.5
.02
=612.37 galones
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticosPaso 2.Por consiguiente la ecuaci—n 1000) queda en la zona II,la cual produce la cantidad de pedido —ptima 1000 galones.Dado un tiempo de espera de 2 d’as,el punto de volver a pedir es 2lones.Por lo tanto,la pol’tica de inventario —ptima es ÃPedir 1000 galones cuando el nivel de in-
Zona III Zona II Zona I
.02 b Q+ 2*20*187.5
.02 =0 =574.75 =3*187.5+ 20*187.5
612.37 + .02*612.37
2 TCU1(ym)=c1D+ KD
ym + hym
2
excelEOQ.xIs tilla en la figura 13.3.Ingrese los datos aplicables en la secci—n de datos de entrada C3:C11.La panta-
lla de resultados da la pol’tica de inventario —ptima y tambiŽn los c‡lculos intermedios del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS13.3BConsidere la situaci—n del servicio de lavander’a del hotel del problema 6,conjunto13.3a.El cobro normal por lavar una toalla sucia es de $.60,pero el servicio de lavander’acobrar‡ s—lo $.50 Si el hotel entrega las toallas en lotes de al menos 2500.ÃEl hotel debeUn art’culo se consume a raz—n de 30 art’culos por d’a.El costo de retenci—n por unidadpor d’a es de $.05 y el costo de preparaci—n es de $100.Suponga que no se permiten fal-modo no exceda las 500 unidades y los $8.El tiempo de espera es de 21 d’as.DetermineUn art’culo se vende a $25 cada uno,pero se ofrece un 10% de descuento para lotes de 150unidades o m‡s.Una compa–’a utiliza este art’culo a raz—n de 20 unidades por d’a.El costode preparaci—n para pedir un lote es de $50,y el costo de retenci—n por unidad por d’a es de$.30.El tiempo de espera es de 12 d’as.ÃDebe aprovechar la compa–’a el descuento?En el problema 3,determine el intervalo del porcentaje de descuento del precio que,cuando se ofrece para lotes de 150 unidades o m‡s,no representar‡ una ventaja financie-En el modelo de inventario analizado en esta secci—n,suponga que el costo de retenci—n,de lo con-trario,.Demuestre c—mo se determina el tama–o de lote econ—mico.
13.3Modelos est‡ticos de cantidad de pedido econ—mico (EOQ)13.3.3Cantidad de pedido econ—mica (EOQ) de varios art’culos con limitaci—n les siguen el patr—n mostrado en la figura 13.1 (no se permiten faltantes).La diferenciaes que los art’culos compiten por un espacio de almacenamiento limitado.1,2,Ã,Tasa de demandaConforme a la suposici—n de que no se permiten faltantes,el modelo matem‡tico quePara resolver el problema,primero abordamos la situaci—n no restringida:Si la soluci—n satisface la restricci—n,entonces el proceso termina.De lo contrario,latringida.Con la disponibilidad de poderosos programas de c—mputo (como AMPL ySolver),el problema se resuelve de forma directa como un programa no lineal,como sedemostrar‡ en el siguiente ejemplo.
Los datos siguientes describen tres art’culos de inventario.
hi
, i=1, 2,Ã, nyi70, i=1, 2, Ã, nani=1aiyiƒAMinimizar TCU1y1, y2, Ã, yn2=ani=1aKiDi
yi + hiyi
110.30125.101315.201
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticossolverConstrEOQ.xls
Los valores —ptimos no restringidos,son 11.55,20.00 y 24.49 uni-dades,respectivamente,los cuales violan la restricci—n de almacenamiento 25.El pro-blema restringido puede resolverse como un programa lineal utilizando Solver o AMPL,comoLa soluci—n —ptima es,,,y el
costo $13.62/d’a.
solverConstrEOQ.xls).plantilla y de los par‡metros Solver se muestran en la figura.Como con la mayor’a de los pro-gramas no lineales,deben darse los valores iniciales (en esta plantilla,9).Un valor inicial De hecho,puede ser una buena idea reemplazar ),donde positivo muy peque–o,para evitar la divisi—n entre cero durante las iteraciones.Por lo general,local).En este ejemplo,la soluci—n resultante es la —ptima global porque la funci—n objetivo y las
restricciones se comportan bien (funci—n objetivo convexa y espacio de soluciones convexo).
El modelo AMPL no lineal para la situaci—n general de cantidad de pedido econ—mica de variosamplConstrEOQ.txt)se explica en la figu-
ra C.17 en el apŽndice C en el sitio web.
hi
, i=1, 2, 3,
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)CONJUNTO DE PROBLEMAS13.3CLos datos siguientes describen cinco art’culos de inventario.Determine las cantidades de pedido —ptimas.Resuelva el modelo del ejemplo 13.3-3,suponiendo que requerimos que la suma de losinventarios promedio de todos los art’culos sea menor que 25 unidades.En el problema 2,suponga que la œnica restricci—n es un l’mite de $1000 en la cantidadde capital que puede invertirse en el inventario.Los costos de compra por unidad de losart’culos 1,2 y 3 son,$100,$55 y $100,respectivamente.Determine la soluci—n —ptima.Los siguientes datos describen cuatro art’culos de inventario.
Ver‡ que los archivos solverConstrEOQ.xlsjunto.Art’culo,1200.351.02250.150.83300.281.14280.300.55350.421.2
Art’culo,110025020.23905.242010.1
150.Formule el problema como un programa no lineal,y determine la soluci—n —ptima.13.4MODELOS DINçMICOS DE CANTIDAD DE PEDIDO ECONîMICA (EOQ)periodos iguales.La demanda por periodo,aun cuando es determin’stica,es din‡mica,en cuantovar’a de un periodo al siguiente.neaci—n de requerimiento de materiales (MRP,por sus siglas en inglŽs).La idea de laMRP se describe con un ejemplo.Suponga que las demandas trimestrales durante ela–o siguiente para dos modelos finales,2,de un producto dado son 100 y 150unidades,respectivamente.Al final de cada trimestre se entregan los lotes trimestrales.ly de un mes para 2.Cada
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos1y .El tiempo de espera paraes de un mes.ly lidas) que ocurre al final de los meses 3,6,9 y 12.Dados los tiempos de espera para 2,las flechas de rayas muestran los inicios planeados de cada lote de producci—n.Para iniciar a tiempo la producci—n de los dos modelos,la entrega del subensam-1y 2.Esta informa-,donde la demanda resultante es de 2 unidades por unidad de 2.Utilizando un tiempo de espera deun mes,las flechas de rayas en la gr‡fica .Deacuerdo con estos dos programas,la demanda combinada de es t’pica de la situaci—n,dondeEn esta secci—n se presentan dos modelos.El primero asume que no hay costo depreparaci—n (de pedido),y el segundo asume que s’ lo hay.Esta variaci—n aparente-mente Ãpeque–aÃhace la diferencia en la complejidad del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4AEn la figura 13.7,determine los requerimientos combinados para el subensamble es de s—lo un periodo.es de tres periodos.
7891011
1234567891011
100
100
100100
100
100
100
200
200200
200200
200200
200200
7891011
150150
150150
150150
300
300
200
300
200
300
200
300300
300300
300300
300300
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)13.4.1Modelo de EOQ sin costo de preparaci—nperiodos iguales.Cada periodoejemplo,el tiempo regular y el tiempo extra representan dos niveles de producci—n).necesidad de periodos posteriores,en cuyo caso ocurre un costo de retenci—n.No se incurre en costo de preparaci—n en ningœn periodo.No se permite que haya faltantes.El costo de retenci—n unitario en cualquier periodo es constante.ros no puede satisfacer la demanda en un periodo actual.Esta suposici—n requiere quela capacidad de producci—n acumulada para los periodos 1,2,Ã,e a la demanda acumulada durante los mismos periodos.crecientes.Por ejemplo,la producci—n durante el tiempo regular y el tiempo extra co-excede al del tiempo regular.destinos,donde ci—n por periodo (por ejemplo,extra).La capacidad de producci—n de cada uno de los ci—n es igual a las cantidades de oferta.Las cantidades demandadas se especifican porla demanda de cada periodo.El costo de ÃtransporteÃunitario desde un origen hastaun destino es la suma de los costos de producci—n y retenci—n aplicables por unidad.Lanica del transporte presentada en el cap’tulo 5.La validez del nuevo algoritmo de solu-
Costo0Cantidad producida
NivelIINivelI
NivelIII
NivelIV
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos
meses de diciembre a marzo.Al inicio la demanda es lenta,alcanza su m‡ximo a mediados de latemporada,y baja hacia el final.Debido a la popularidad del producto,MetalCo puede utilizartiempo extra para satisfacer la demanda.La siguiente tabla proporciona las capacidades de pro-ducci—n y las demandas durante los cuatro meses de invierno.
Para una comprobaci—n de la optimalidad de este procedimiento,vea S.M.Johnson,ÃSequential ProductionPlanning over Time at Minimum CostÃ,,vol.3,p‡gs.435-437,1957.
Tiempo regular (unidades)Tiempo extra (unidades)Demanda (unidades)
MesOferta acumuladaDemanda acumulada300100500290680500
durante el tiempo extra.El costo de retenci—n por unidad por mes es de $.10.tantes,la oferta acumulada de cada mes no puede ser menor que la demanda acumulada,comose muestra en la tabla siguiente.La tabla 13.2 resume el modelo y su soluci—n.Los s’mbolos 1,2,3,4.Debidoa que la oferta acumulada en el periodo 4 excede la demanda acumulada,se agrega un destinoficticio para balancear el modelo como se muestra en la tabla 13.2.Todas las rutas de ÃtransporteÃdesde un periodo anterior a uno actual est‡n bloqueadas porque no se permiten faltantes.El costo de ÃtransporteÃunitario es la suma de los costos de producci—n y retenci—n aplica-bles.Por ejemplo,el costo unitario del periodo $6),en tanto que el costo unitario de producci—n unitario en es decir,$9 $9.30.El costo unitario para cualquier destino es cero.Para cada columna,la demanda se satisface dando prioridad a su rutas mas econ—micas.columna 1,la ruta (,1) es la m‡s econ—mica y por lo tanto se le asigna la cantidad factible m‡-min{90,100} 90 unidades.Esta asignaci—n deja 10 unidades no satisfechas en la colum-na 1.La siguiente ruta m‡s econ—mica en la columna 1 es {,1},a la cual se le asigna 10 ({50,10}).Ahora la demanda durante el periodo 1 est‡ satisfecha.
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)Luego pasamos a la columna 2.Las asignaciones en esta columna ocurren en el orden si-guiente:100 unidades a (,2),60 unidades a (,2),y 30 unidades a (,2).Los costos unitariosde estas asignaciones son $6,$9 y $9.10,respectivamente.No utilizamos la ruta (,2),cuyocosto unitario es de $6.10,porque toda la oferta de Continuando de la misma manera,satisfacemos las demandas de la columna 3 y de la co-lumna 4.La soluci—n —ptima (mostrada en negritas en la tabla 13.2) se resume como sigue:
TABLA 13.24Excedente 66.16.26.399.19.29.310301066.16.209.19.266.199.15020
Tiempo regular 1Producir 90 unidades durante el periodo 1.Tiempo extra 1Producir 50 unidades:10 unidades durante el periodo 1,30 durante el 2,y 10 durante el 3.Tiempo regular 2Producir 100 unidades durante el periodo 2.Tiempo extra 2Producir 60 unidades durante el periodo 2.Tiempo regular 3Producir 120 unidades durante el periodo 3.Tiempo extra 3Producir 80 unidades durante el periodo 3.Tiempo regular 4Producir 110 unidades durante el periodo 4.Tiempo extra 4Producir 50 unidades durante el periodo 4,con 20 unidades de capacidad ociosa.
El costo total asociado es (90 3$6) 1(10 3$9) 1(30 3$9.10) 1(100 3$6) 1(60 3$9) 1(10
3$9.20) 1(120 3$6) 1(80 3$9) 1(110 3$6) 1(50 3$9) 5$4685.
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticosCONJUNTO DE PROBLEMAS13.4BResuelva el ejemplo 13.4-1,suponiendo que los costos de producci—n y retenci—n unita-rios son los que aparecen en la tabla siguiente.
1234224547610Costo de retenci—n unitario hasta el siguiente periodo ($).30.35.20.25417
Tiempo regularTiempo extraSubcontrataci—n
Encuentre la soluci—n —ptima e indique las unidades que se producir‡n en cada periodo.Suponga que se requieren 10 unidades adicionales en el periodo 4.ÃD—nde debenproducci—n regular,producci—n con tiempo extra,o subcontrataci—n.Puede acudirse a lasubcontrataci—n s—lo si se ha utilizado la capacidad de tiempo extra.La siguiente tablaproporciona la oferta,la demanda y los datos del costo de la situaci—n.Los costos de producci—n unitarios en los tres niveles de cada periodo son $4,$6 y$7,respectivamente.El costo de retenci—n unitario por periodo es de $.50.Determine la13.4.2Modelo de EOQ con costo de preparaci—nEn esta situaci—n no se permiten faltantes,y se incurre en un costo de preparaci—n cadavez que se inicia un nuevo lote de producci—n.Se presentar‡n dos mŽtodos de solu-ci—n:un algoritmo de programaci—n exacta din‡mica y una heur’stica.
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)La figura 13.9 resume esquem‡ticamente la situaci—n del inventario.Los s’mbo-i,i 1,2,Ã,,como) es la funci—n de costo de producci—n marginal,dada Sin faltantes,el modelo de inventarioperiodos.A fin de simplificar,supondremos que el costo de retenci—n en el periodo el inventario de final de periodo,definido como Para la ecuaci—n recursiva hacia adelante,o de avance,el ,el nivel del inventario al final del periodo.En el caso extremo,el inven-tario restante,,puede satisfacer la demanda en todos los periodos restantes;es decir,) el costo m’nimo del inventario para los periodos 1,2,Ã,e .La ecuaci—n recursiva hacia adelante es.Para precedentes.),
z1x1D1
z2x2
zixiDixn1 0
zi1xi1
znxnDn
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos
La siguiente tabla proporciona los datos de una situaci—n de inventario de 3 periodos.($)Costo de13312273346
345678Soluci—n —ptima335373931131330023232113432255433765449765511876613913981,el valor m’nimo de
La demanda ocurre en unidades discretas,y el inventario de inicio es 1 unidad.El costo deproducci—n unitario,),es de $10 para las primeras 3 unidades y de $20 para cada unidad adi-cional,es decir,Periodo 13,0 Periodo 2:
C2(z2)+h2x3+f1(x3+D2-z2)Soluci—n
z2=0
1
2
3
4
5
6—ptima1727375777975026337731004412
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)Periodo 3:0,0
Por lo tanto,la soluci—n —ptima es,y ,con un costo total de $99.
exce1DPlnv.xls hasta 10 periodos.El dise–o de la hoja de c‡lculo es parecido al de excelKnapsack.xls secci—n 12.3.1,donde los c‡lculos se realizan etapa por etapa y se requiere que el usuario ingre-se los datos para conectar las etapas sucesivas.excelDPInv.xlsal ejemplo 13.4-2.Los datos de en-trada se ingresan para cada etapa.Los c‡lculos se inician con el periodo 1.Observe c—mo se in-) en la fila 3:(G3 10,H3 20,I3 tario es de $10 para los primeros tres art’culos y de $20 para los art’culos adicionales.Observe2).Adem‡s,tiene que crear los valores factibles de la varia-.La hoja de c‡lculo verifica de forma autom‡tica si los valores ingresados son correctos,yenv’a mensajes autoexplicativos en la fila 6 (s’,no,o borrar).Una vez que se han ingresado todos los datos,los valores —ptimos de dan en las columnas S y T.Luego se crea un registro permanente de la soluci—n para el periodo 1),en la secci—n de resumen de la soluci—n —ptima de la hoja de c‡lculo,como se mues-tra en la figura 13.10.Esto requiere copiar D9:D15 y S9:T15 y luego pegarlas mediante la opci—nPegado especial excelKnapsackxls A continuaci—n,en preparaci—n para la etapa 2,copie en la columna A como se muestra en la figura 13.10.Todo lo que se requiere ahora es actualizar
los datos de entrada para el periodo 2.El proceso se repite para el periodo 3.CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4CPara cada uno de los dos casos siguientes,determine los intervalos factibles para .(Ver‡ que es œtil representar cada situaci—n como en la figura 13.10.)
1x4=02: z3=3
:1x3=0+4-3=12: z2=3
C3(z3)+h3x4+f2 (x4+D3-z3)
z3=0
1
2
3
4
16263656993
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos4 y todos los datos restantes son los mismos.2.*(a)Encuentre la soluci—n —ptima del siguiente inventario de 4 periodos.excelDPInv.
Periodo 1:Periodo 2:Periodo 3:
1551227133914371
de $2 para cada una de las unidades adicionales.Verifique los c‡lculos usandoexcelDPInv.xls.
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)rante el periodo.Desarrolle la ecuaci—n recursiva hacia adelante correspondiente.Desarrolle la ecuaci—n recursiva hacia atr‡s o de retroceso para el modelo,y luego util’-Desarrolle la ecuaci—n recursiva hacia atr‡s para el modelo,suponiendo que el costo deen el periodo.Algoritmo de programaci—n din‡mica con costos marginales constantes o decrecientes.La PD general dada antes es aplicable con cualquier funci—n de costo.Estaen incrementos de 1,lo que podr’a dar lugar a tablas grandes cuando las cantidadesdemandadas son grandes.c‡lculos.En esta situaci—n especial,tanto el costo de producci—n unitario como los cos-ducci—n y el nivel del inventario,respectivamente.Esta situaci—n suele ocurrir cuandoEn las condiciones dadas,se puede demostrar queo con una nueva producci—n con inventario entrante,peronunca con ambos;es decir,0.(En el caso de inventario inicial positivo,0,la cantidad puede amortizarse con las demandas de los periodos sucesivoshasta que se agote.),durante el periodo facer la demanda exacta de uno o m‡s periodos subsiguientes contiguos.
(unidades)Costo de preparaci—n 6977
es de 15 unidades,el costo de producci—n unitario es de $2,y el costode retenci—n unitario es de $1 durante todos los periodos.(Para simplificar,los costos de pro-ducci—n y retenci—n unitarios son los mismos durante todos los periodos.)La soluci—n se determina por el algoritmo hacia adelante ya proporcionado,excepto queahora suponen sumas ÃconcentradasÃen lugar de con incrementos de uno.15,la demanda del primer periodo se ajusta a 76 61 unidades.
Vea H.Wagner y T.Whitin,ÃDynamic Version of the Economic Lot Size ModelÃ,Management Science,5,p‡gs.89-96,1958.La comprobaci—n de optimalidad impone la suposici—n restrictiva de funciones de costoconstantes e idŽnticas durante todos los periodos.M‡s tarde,la suposici—n fue flexibilizada por A.Veinott Jr.para permitir funciones de costo c—ncavas diferentes.
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticosPeriodo 1:Periodo 2.
C1(z1)+h1x2Soluci—n
z1=61
87
177
244
2724525860022061262629887116116568177183183769769244Pedir en 1 para11,21,2,31,2,3,4
C2(z2)+h2x3+f1(x3+D2-z2)Soluci—n
z2=0
26
116
183
16634648029809090656116157157857183Pedir en 2 paraÃ2,32,3,4
C3(z3)+h3x4+f2(x4+D3-z3)Soluci—n
z3=0
90
157
36549965636565606767864157Pedir en 3 paraÃ3,4
Periodo 3.
C4(z4)+h4x5+f3(x5+D4-z4)Soluci—n
z4=0
67
86420486067
Periodo 4.
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)
,y ,a un costo total de $860.
excelWagnerWhitin.xls excelDPlnv.xls..Adem‡s,por sencillez,la nueva hoja de c‡lculo no permite el descuento por cantidad.La plantilla est‡ li-mitada a un m‡ximo de 10 periodos.Recuerde utilizar la opci—n Pegado especial + valores
CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4DResuelva el ejemplo 13.4-3,suponiendo que el inventario inicial es de 80 unidades.PuedeexcelWagnerWhitin.xlspara verificar sus c‡lculos.Resuelva el siguiente modelo de inventario determin’stico de 10 periodos.Suponga uninventario inicial de 50 unidades.
:1x2=02: z1=61
1x5=02: z4=67
:1x4=02: z3=0
Encuentre la pol’tica de inventario —ptima para el siguiente modelo de 5 periodos.Elcosto de producci—n unitario es de $10 para todos los periodos.El costo de retenci—n uni-tario es de $1 por periodo.11502100713081809140
(unidades)Costo de preparaci—n 08070806
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticosperiodos:El costo de producci—n unitario es de $2 para todos los periodos.Heur’stica Silver Meal.unitario es constante e idŽntico para todos los periodos.Por esta raz—n s—lo balanceasatisfecha a partir de la producci—n del periodo actual.El objetivo es minimizar los cos-tos de preparaci—n y retenci—n asociados por periodo.1,Ã,y t,imos periodos.Utilizando la misma anotaci—n de los modelos de PD,tenemosLuego definimos TCU() como el costo por periodo asociado;es decir,,la heur’stica determina que minimiza el TCU(La funci—n TC(Paso 0.Paso 1.1,Ã,y
02015171710101833515501
13.4Modelos din‡micos de cantidad de pedido econ—mica (EOQ)Paso 2.1.Si ,detŽngase;ya se ha cubierto todo el horizontede planeaci—n.De lo contrario,vaya al paso 1.
El costo de producci—n unitario es de $2 para todos los periodos.La funci—n TC (1,.Por ejemplo,dada TC (1,1) $20,TC(1,2) 3,lo que requiere pedir 10 riodo 1 para los periodos 1 a 3.Establezca 02015171710101833515501
TC(1,)TCU(1,)110$20
$20.00215$35
$17.50$94
$16.33420$109
$27.25
TC(4,)TCU(4,)420
$18.00513$57
$28.50
513$5
$5625$30
$15
4,el cual requiere pedir 20 unidades en el periodo 4 parael periodo 4.Establezca
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticos5,que requiere pedir 13 unidades en el periodo 5 para el periodo5.Luego establecemos 6.Sin embargo,como te de planificaci—n,debemos pedir 25 unidades en el periodo 6 para el periodo 6.Comentarios.que no est‡ incluido en los c‡lculos heur’sticos.soluci—n de PD ($122 vs.$92).El desempe–o ÃinadecuadoÃde la heur’stica puede atribuirse ala naturaleza de los datos,ya que el problema puede quedar en los valores de costo de prepara-ci—n extremos para los periodos 5 y 6.No obstante,el ejemplo muestra que la heur’stica no tienela capacidad de Ãmirar hacia delanteÃen busca de mejores oportunidades de programaci—n.Porejemplo,si pedimos en el periodo 5 para los periodos 5 y 6 (en lugar de pedir para cada periodo
por separado) podemos ahorrar $25,lo que reducir‡ el costo heur’stico total a $97.
cionar la soluci—n final.El procedimiento se inicia con el ingreso de los datos necesarios pararealizar los c‡lculos,incluyendo saltados en color turquesa en la hoja de c‡lculo).El usuario debe iniciar entonces cada iteraci—nmanualmente hasta que se hayan cubierto todos los periodos.La figura 13.11 muestra la aplicaci—n de la heur’stica Excel al ejemplo 13.4-4.La primeraiteraci—n se inicia ingresando el valor 1 en la celda J11,se–alando que la iteraci—n 1 se inicia enel periodo 1.La hoja de c‡lculo generar‡ entonces tantas filas cuantos periodos ejemplo).El nœmero del periodo aparecer‡ en orden ascendente en las K11:K16.Ahora exami-namos el TCU en la columna P (resaltado en color turquesa) y localizamos el periodo que co-3 con TCU $16.33.Esto significa que la siguiente iteraci—n seiniciar‡ en el periodo 4.Ahora,deje una fila en blanco e ingrese el valor 4 en J18.Esta acci—n,lacual produce los c‡lculos en la iteraci—n 2,muestra que su m’nimo local aparecer‡ en el periodo$18.00) y se–ala el inicio de la iteraci—n en el periodo 5.De nueva cuenta,ingresando5 en J22,el m’nimo local para la iteraci—n 3 ocurre en el nodo 5.Luego,ingresando el valor de 6en J25 se produce la iteraci—n de terminaci—n del problema.La hoja de c‡lculo actualizar‡ au-tom‡ticamente la pol’tica —ptima asociada y su costo total,como se muestra en la figura 13.11.
Heur’stica
Unidades producidasCosto ($)Unidades producidasCosto ($)2491022002223000001820155000Total
CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4Ema durante el mes de abril.Fishing Hole,Inc.estima que la demanda en diciem-bre es de 50 ca–as.Se incrementa en 10 ca–as cada mes hasta que llega a 90 enabril.De ah’ en adelante,la demanda se reduce a raz—n de 5 ca–as por mes.Elcosto de preparaci—n de un lote de producci—n es de $250,excepto durante losmeses de demanda m‡xima de febrero a abril,donde se incrementa a $300.Ello largo del a–o,y el costo de retenci—n por mes es de $1.Fishing Hole est‡ de-sarrollando el plan de producci—n del a–o siguiente (enero a diciembre).ÃC—morante los siguientes 12 meses.Las estimaciones de la demanda en meses sucesi-vos son 100,120,50,70,90,105,115,95,80,85,100 y 110.El costo de preparaci—nes de $1.20.Determine el programa de reimpresi—n —ptimo.Bishop,J.,ÃExperience with a Successful System for Forecasting and InventoryOperations Research,vol.22,nœm.6,p‡gs.1224-1231,1974.Edwards,J.,H.Wagner,y W.Wood,ÃBlue Bell Trims Its InventoryÃ,,vol.15,nœm.1,p‡gs.34-52,1985.Soluci—n del ejemplo 13.4-4 obtenida con Excel por medio de heur’stica Silver-Meal (archivo
Medal.xls
Modelo de inventario heur’stico Silver MedalDatos de entrada:Nœmero de periodos, N =Periodo t =Costo de preparaci—n, K =Costo de retenci—n, ht =Demanda, Dt =‡Soluci—n completaIniciar iteraci—n en el periodoC‡lculos del modelo (Borrar la columna J manualmente)Soluci—n —ptima (Costo total = $122.00)PeriodoPedir 32 en el periodo 1 para los periodos 1 a 3, costo = $49.00Pedir 20 en el periodo 4 para los periodos 4 a 4, costo = $18.00Pedir 13 en el periodo 5 para los periodos 5 a 5, costo = $49.00Pedir 25 en el periodo 6 para los periodos 6 a 6, costo = $50.00
Cap’tulo 13Modelos de inventario determin’sticosLewis,T.,ÃPersonal Operations Research:Practicing OR on OurselvesÃ,,vol.26,nœm.5,p‡gs.34-41,1996.Nahmias,S.,Production and Operations Analysis,5a.ed.,Irwin,Homewood,IL,2005.Silver,E.,D.Pyke,y R.Peterson,,3a.ed.,Wiley,Nueva York,1998.Tersine,R.,3a.ed.,North Holland,NuevaYork,1988.Waters,C.,Wiley,Nueva York,1992.
14.1LEYES DE PROBABILIDADexperimento.La con-espacio de muestreo,y un subconjunto de Žste esevento.A modo de ilustraci—n,el experimento de lanzar un dado (de 6 caras) pro-duce el espacio de muestreo {1,2,3,4,5,6}.El subconjunto {l,3,5} define el evento de ob-tener valores impares.Un experimento tambiŽn puede ocuparse de un espacio de muestreo continuo.Por ejemplo,el tiempo entre las fallas de un componente electr—nico puede asumircualquier valor no negativo.ensayos,entonces la pro-),la probabilidad de realizar un evento es .Por ejemplo,cuantas m‡s veces selanza una moneda equilibrada,m‡s se acercar‡ la estimaci—n de Por definici—n,0,y seguro si 1.Por ejemplo,en el experi-mento del dado de 6 caras,obtener un siete es imposible,pero obtener un nœmero en elrango de 1 a 6 es seguro.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.1AEn una encuesta dirigida en las preparatorias del estado de Arkansas para estudiar la co-
CAPêTULO 14Repaso de probabilidad b‡sica
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicacripci—n en carreras de ingenier’a,400 de 1000 estudiantes encuestados han estudiadomatem‡ticas.La inscripci—n en carreras de ingenier’a muestra que,de los 1000 estudian-tes de œltimo a–o,150 han llevado matem‡ticas y 29 no.Determine las probabilidades depersonas.Determine el nœmero que sea m‡s probable que dos personas hayan nacido el mismo d’a.(Solucione el problema 2 suponiendo que dos o m‡s personas comparten su cumplea–os.14.1.1Ley de la adici—n de probabilidad,y su .Losmutuamente excluyentes cia del otro,Basada en estas definiciones,la ley de adici—n de probabilidad
Considere el experimento de lanzar un dado.El espacio de muestreo del experimento es{1,2,3,4,5,6}.Para un dado equilibrado,tenemos.Por lo tantoIntuitivamente,el resultado tiene sentido porqueCONJUNTO DE PROBLEMAS14.1BSe lanza dos veces un dado de 6 caras.Si zamientos,calcule las siguientes probabilidades:es par.
{1, 2, 3, 4, 5}
6P{E+F}=P{E}+P{F}-P{= 2
3 + 1
2 - 1
3 = 5
6P{=P+P= 1
3P{F}=P+P+P= 1
2P{E}=P+P+P+P= 1
6 + 1
6 + 1
6 + 1
6 = 2
3 F={3, 4, o 5} ={1, 2, 3, o 4}P=P=P=P=P=P= 1
6P{E+F}=eP{E}+P{FP{E}+P{F}-P{ E y F son mutuamente excluyentesde lo contrario
14.1Leyes de probabilidades par y menor que 6,y es mayor que 2,y (f)es 4,y la suma de es impar.Se lanzan dos dados de forma independiente,y se registran los dos nœmeros que resulten.La probabilidad de que los dos nœmeros sean pares.Puede lanzar una moneda siete veces.Ganar‡ $100 si aparecen tres cruces antes de queaparezca una cara.ÃCu‡les son las probabilidades de ganar?Ann,Jim,John y Nancy se han programado para competir en un torneo de frontenis.Esdos veces m‡s probable que Ann derrote a Jim,y Jim est‡ al mismo nivel que John.Elpasado registro ganador de Nancy contra John es uno de tres.Determine lo siguiente:La probabilidad de que Jim gane el torneo.La probabilidad de que una mujer gane el torneo.La probabilidad de que ninguna mujer gane.14.1.2Ley de probabilidad condicional0,la probabilidad condicional de ,entonces dientes si,y s—lo si,En este caso,la ley de probabilidad condicional se reduce a
Usted participa en un juego en el que otra persona lanza un dado.No puede ver el dado,pero leinforman sobre los resultados.Su tarea es predecir el resultado de cada lanzamiento.Determinela probabilidad de que el resultado sea 6,dado que le dicen que el resultado fue un nœmero par.{6},y defina {2,4 o 6} por lo tanto,
Observe que {} P{Ees un subconjunto deF.P{E|F}= P{
P{F} = P{E}
P{F} =a 1/6
1/2 b= 1
3P{=P{E{F}P{E|F}=P{E}P{E|F}= P{
P{F}, P{F}70
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicaCONJUNTO DE PROBLEMAS14.1CEn el ejemplo 14.1-2,suponga que le dicen que el resultado es menor que 6.Determine la probabilidad de obtener un nœmero par.Determine la probabilidad de obtener un nœmero non mayor que uno.Las acciones de WalMark Stores,Inc.se cotizan en la Bolsa de Valores de Nueva Yorkbajo el s’mbolo WMS.Hist—ricamente,el precio de WMS sube con el ’ndice Dow 60% delas veces,y baja 25% de las veces.Hay tambiŽn 5% de probabilidades de que WMS subacuando el Dow baja,y 10% de que baje cuando el Dow sube.Determine la probabilidad de que WMS subir‡ independientemente del Dow.Encuentre la probabilidad de que WMS suba dado que el Dow suba.ÃCu‡l es la probabilidad de que WMS baje dado que el Dow baje?Los graduados de preparatoria con una calificaci—n ACT de al menos 26 pueden buscarser admitidos en dos universidades,A y B.La probabilidad de ser aceptados en A es de.4,y de .25 en B.La probabilidad de ser aceptado en ambas universidades es de s—lo 15%.Determine la probabilidad de que el estudiante sea aceptado en B,dado que tam-biŽn fue aceptado en A.ÃCu‡l es la probabilidad de que sea aceptado en A,dado que el estudiante fue acep-},entonces dientes.Teorema de Bayes..Se sabees de 1 y 2%,respectiva-mente.Un cliente acaba de comprarle una bater’a al minorista.Si la bater’a resulta defectuosa,Ãcu‡l es la probabilidad de que provenga de la f‡bri-pr—stata.El examen del ant’geno prost‡tico espec’fico (PSA,por sus siglas en inglŽs) resul-ta positivo 90% de las veces en los hombres afectados,y 10% en hombres sanos.ÃCu‡l es la14.2VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADel lanzamiento de un dado),o estar representados por un c—digo (como en el caso dellanzamiento de una moneda con el resultado cara/cruz codificado como 0/1).La repre-variable aleatoria,puede ser discreta (como en el tiempo para que falle un equipo).Cada variable aleato-
P{B}, P{B}70
La secci—n 15.2.2 proporciona m‡s detalles sobre el teorema de Bayes.
14.2Variables aleatorias y distribuciones de probabilidadbabilidad (fdp)),que satisface las siguientes condiciones:FDA y fdp para el lanzamiento
fdp,FDA,
56
4
3
2
1
Variable aleatoria,
Discreta
ContinuaIntervalo de aplicabilidadx=a, a+1, Ã, baƒxƒbCondiciones para la fdpp(x)Ã0, abx=ap(x)=1f(x)Ã0,Lbaf(x)=1
(FDA),definida como
Considere el experimento de lanzar un dado representado por la variable aleatoria {1,2,3,4,5,6}.La fdp y la FDA asociadas son La figura 14.1 grafica las dos funciones.La fdp funci—n discreta uniformetodos los valores de las variables aleatorias ocurren con iguales probabilidades.) uniforme se ilustra mediante el siguiente experimento..DespuŽs de marcar unpunto de referencia arbitrario en la circunferencia,se hace girar la aguja en el sentido de las ma-
6, X=1, 2, Ã, 6 (x)=1
6 , x=1, 2,Ã, 6pExƒXF=LP(X)=aXx=ap(x), x discretaF(X=1Xaf(x)x continua
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicaFDA y fdp para una aguja que gira
fdp,FDA,
1pl
pl
,desde el punto marcado hasta elpunto donde se detuvo la aguja.Como cualquier punto de detenci—n sobre la circunferenciatiene la misma probabilidad de ocurrir,la distribuci—n de La FDA asociada,
La figura 14.2 muestra las gr‡ficas de las dos funciones.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.2AEl nœmero de unidades,,requeridas de un art’culo es discreto de 1 a 5.La probabilidad,),es directamente proporcional al nœmero de unidades requeridas.La constante deDetermine la fdp y la FDA de ,y trace la gr‡fica de las funciones resultantes.sea un valor par.) sea una fdp.Determine la FDA y encuentre la probabilidad de que 1250 galones.El tanque de 1100 galones se rellena diariamente a medianoche.ÃCu‡l es
x2, 10ƒxƒ20F(X)=P{xƒX}=LX0f(x)=LX0 1
pl = X
pl , 0ƒXƒplf(x)= 1
pl , 0ƒxƒpl
14.3Expectativa de una variable aleatoria14.3EXPECTATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA,el valor esperadocalcula como
Durante la primera semana de cada mes paguŽ todas mis facturas y contestŽ algunas cartas.Suelo comprar 20 estampillas de primera clase cada mes para este prop—sito.En realidad,la can-tidad de estampillas que uso var’a al azar entre 10 y 24 con iguales probabilidades.Determine elpromedio de estampillas que sobran (es decir,el excedente promedio) por mes.Por lo tanto,El productorepresenta el resultado de quedarse sin estampillas lo que corresponde ala probabilidad de utilizar al menos 20 estampillas;es decir,
CONJUNTO DE PROBLEMAS14.3AEn el ejemplo 14.3-1,calcule el faltante promedio de estampillas por mes.(Puede haber un faltante si necesita m‡s de 20 estampillas.)positivostantode la falta de estampillas.ÃSon inconsistentes estos resultados?Explique.cada ma–ana.La cantidad de ejemplares vendidos,,var’a al azar de acuerdo con la Determine la probabilidad de que el propietario venda todos los ejemplares.Un ejemplar cuesta 50 centavos y se vende a $1.00.Determine el ingreso neto espe-
45, x=35, 36, . . . , 491
30, x=50, 51, . . . , 591
33, x=60, 61, . . . , 70 P{xÃ20}=p1202+p1212+p1222+p1232+p1242=511
152= 5
155
15 (0)E{h(x= 1
15 [(20-10)+(20-11)+(20-12)+Ã+(20-19)]+ 5
15 (0)=3 2
3h(x)=e20-x, x=10, 11, . . . , 190, de lo contrariop(x)= 1
15 , x=10, 11, Ã, 24.EEh(x)F=Labx=ah(x)p(x), x discreta1bah(x)f(x) x continua
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sica14.3.1Media y varianza (desviaci—n est‡ndar) de una variable aleatoriavalor medio.La varianzamedio.Su ra’z cuadrada se conoce como Desv.Est.{}.Unadesviaci—n est‡ndar grande implica una alta incertidumbre.};es decir,
1,2,Ã,6.Por lo tanto,Suponga que la longitud de la aguja es de una pulgada.Entonces,
Desv.Est.()=1.822
=.906 pulg.var(x)=L3.1401x-1.5722A1
3.14 B dx=.822 pulg.2E(x)=L3.140x11
3.142 dx=1.57 pulg.f(x)= 1
3.14, 0ƒxƒ3.14Desv.Est.()=12.917
=1.708+(5-3.5)2+(6-3.5)2F=2.917var{x}=A1
6 BE11-3.522+12-3.522+13-3.522+14-3.522E{x}=1A 1
6B+2A 1
6 B+3A 1
6 B+4A 1
6 B+5A 1
6 B+6A 1
6 B=3.5Desv.Est.{}=3var{x}
var{x}=Labx=a(x-E{x2 p(x), x discreta1ba(x-E{x2 x E(x)=Labx=axpx), x discreta1baxfx)x continua
14.3Expectativa de una variable aleatoria
excelStatTables.xls calcula la media,la desviaci—n est‡ndar,las probabilidades,y lospercentiles para 16 fdp comunes,incluidas las distribuciones uniformes continuas.El uso de la
hoja de c‡lculo es autoexplicativo.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.3BCalcule la media y la varianza de la variable aleatoria definida en el problema 1,conjun-Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria del problema 2,conjunto 14.2a.b,son es una fdp,demuestre quees una fdp,y ,donde son constantes,demuestre que14.3.2Variables aleatorias conjuntas,donde .Defina .EntoncesLas mismas f—rmulas aplican a las fdp discretas,al reemplazar la integraci—n con la suma.
12 {x}= b+a
2
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sica,donde las variables aleatorias ),podemos demostrar que independiente,}y cov {trario no es cierto,en el sentido de que dos variables dependientes puedan tener cova-rianza cero.
).Se selecciona un art’culo alazar y se examina.Luego se selecciona un segundo art’culo de entre los nueve art’culos restan-tes y se examina.Sean que representen los resultados de la primera y segunda selecciones.representa una pŽrdida de $6.Determine la media y la varianza del ingreso des-puŽs examinar los dos art’culos.)la fdp conjunta de ,y definimos a les.Primero,determinamos Luego,sabemos que el segundo resultado .Por consiguiente,),primero determinamos la fdp conjunta } en la secci—n 14.1.2),a partir de la cual podemos determinar la distribuci—n).Por lo tanto,Luego,
9 * 4
10 = 2
15p{x2=B, x1=G}= 4
9 * 6
10 = 4
15p{x2=G, x1=B}= 6
9 * 4
10 = 4
15p{x2=G, x1=G}= 5
9 * 6
10 = 5
15P{x2=B|x1=B}= 3
9P{x2=B|x1=G}= 4
9P{x2=G|x1=B}= 6
9P{x2=G|x1=G}= 5
9p11G2= 6
10 =.6, p11D2= 4
10 =.4 =E{x1x2}-E{x1}E{x2} =E1x1x2-x1E{x2}-x2E{x1}+E{x1}E{x2}2 cov {x1, x2}=E{1x1-E{x1}2-E{x2}2var {c1x1+c2x2}=c12var {x1}+c2var {x2}+2c1c2cov {x1, x2}E{c1x1+c2x2}=c1E{x1}+c2E{x2}
14.3Expectativa de una variable aleatoria$6.Por lo tanto,son independientes).Estos c‡lculos requieren determinar las distribuciones margina-),como una tabla y luego agregar las columnas y filas correspondientes),respectivamente.Por lo tanto,
15 +15-62 4
15 +1-6+52 4
15 +1-6-62 2
$1.20
154
159
15=.6x1=B4
152
156
15=.4p2(x2)9
15=.66
15=.4
Ahora,las distribuciones marginales determinan el ingreso esperado como2cov{ingreso1,ingreso2}Ya que var{ingreso2}.Para calcular la varianza,utilizamosla siguiente f—rmula (vea el problema 4,conjunto 14.3b)Por lo tanto,Por lo tanto,
15 2]-.6*.6=-3.23Convarianza=[(5*5)1 5
15 2+(5*-6)1 4
15 2+(-6*5)1 4
2*.6+(-6)2*.4]-.62=29.04var{x}=E{x2}-1E{x}22 =(5*.6-6*.4)+(5*.6-6*.4)=$1.20
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicaCONJUNTO DE PROBLEMAS14.3C=1.20.2=20.20=3.20.2
14.4CUATRO DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD COMUNESinvestigaci—n de operaciones:binomial discreta y de Poisson,y exponencial continua y14.4.1Distribuci—n binomialart’culos cada uno.La fracci—n de ar-t’culos defectuosos,,en cada lote se estima a partir de datos hist—ricos.Nos interesadeterminar la fdp de la cantidad de art’culos defectuosos en un lote.Haycombinaciones distintas de ,y la probabilidad de realizar cada combinaci—n es .Por lotanto,de acuerdo con la ley de la adici—n (secci—n 14.1.1),la probabilidad de .Su media y varianza son
Las labores diarias de John Doe requieren hacer 10 viajes redondos por autom—vil entre dos ciu-dades.Una vez que realiza los 10 viajes,el se–or Doe puede descansar el resto del d’a,una moti-vaci—n suficientemente buena para exceder el l’mite de velocidad.La experiencia muestra quehay 40% de probabilidad de ser multado por exceso de velocidad en cualquier viaje redondo.
x-xp(x1, x2)=
14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comunesSi cada multa por exceso de velocidad es de $80,Ãcu‡l es la multa diaria promedio?.4.Por lo tanto,la probabilidad deComentarios.excelStatTables.xls.Ingrese 10 en F7,.4 en G7,y 0
en J7.La respuesta es .006047,aparece en M7.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.4ASe lanza un dado 10 veces.ÃCu‡l es la probabilidad de que el dado lanzado no muestreSuponga que se lanzan cinco monedas de forma independiente.ÃCu‡l es la probabilidadciera a lo largo de su vida al examinar su escritura.Para verificar su afirmaci—n,a 10 mi-escritura,las cuales luego se emparejaron,un millonario y un profesor,y se le presenta-ron al adivino de la suerte.Decimos que la afirmaci—n es cierta si el adivino hace almenos ocho predicciones correctas.ÃCu‡l es la probabilidad de que la afirmaci—n sea unel operador lance 3 dados al mismo tiempo.El casino paga tantos d—lares cuantos nœme-ros de los dados resulten iguales a su selecci—n.Si no hay ninguna coincidencia,usteds—lo le paga $1 al casino.Determine su ganancia esperada a largo plazo.Suponga que lanza dos dados al mismo tiempo.Si coinciden recibe 50 centavos.De locontrario,paga 10 centavos.Determine la ganancia esperada del juego.14.4.2Distribuci—n de PoissonLos clientes llegan a un banco o a una tienda de abarrotes de una forma ÃtotalmentealeatoriaÃ;es decir,las horas de llegada no pueden predecirse con anticipaci—n.La fdpbuci—n de Poisson.el nœmero de eventos (por ejemplo,llegadas) que ocurren durante un lapsode tiempo espec’fico (a saber,un minuto,o una hora).Dado que l es una constante co-nocida,la funci—n de densidad de probabilidad de Poisson se define como
$80 $80 ($320
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicaLa media y la varianza de la distribuci—n de Poisson sonLa f—rmula de la media revela que l debe representar la tasa a que ocurren los eventos.La distribuci—n de Poisson destaca en el estudio de colas (vea el cap’tulo 18).
ÃCu‡l es la probabilidad de que no lleguen trabajos durante cualquier hora,su-10 trabajos por d’a.Para,tenemos que calcular la tasa de llega-das por hora;es decir,trabajos de reparaci—n por hora.Por lo tanto.Comentario.excelStatTables.xls.
en F16 y 0 en J16.La respuesta .286505 aparece en M16.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.4BDe acuerdo con la distribuci—n de Poisson,los clientes llegan a una instalaci—n de servicioa raz—n de 4 por minuto.ÃCu‡l es la probabilidad de que al menos un cliente llegue enLa distribuci—n de Poisson con el par‡metro l se aproxima a la distribuci—n binomial con(n,p.Demuestre este resultado para la si-tuaci—n en la que sabe que un lote fabricado contiene 1% de art’culos defectuosos.Si setoma una muestra de 10 art’culos del lote,calcule la probabilidad de que en la muestrahaya cuando mucho un art’culo defectuoso,primero por medio de la distribuci—n bino-mial (exacta) y luego por medio de la distribuci—n de Poisson (aproximada).Demuestrese incrementa a,digamos,0.5.Compruebe las f—rmulas de la media y la varianza de la distribuci—n de Poisson.
0! =.2865 P{no hay llegadas por hora}= (lhora)0 e-lhora
0!lhora= 10
8 =1.25 var{x}=l {x}=l
14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comunes
x f(x)f(x) e xl
ll
14.4.3Distribuci—n exponencial negativapec’fico sigue la distribuci—n de Poisson (secci—n 14.4.2),entonces,autom‡ticamente,la(es decir,entre llegadas sucesivas) es la distribu-ci—n exponencial negativa (o,simplemente exponencial).Espec’ficamente,si tasa de ocurrencia de las llegadas de Poisson,entonces la distribuci—n del tiempo entrellegadas,,es
lE{x}= 1
}es consistente con la definici—n de .Si eventos,entonceses el intervalo de tiempo promedio entre eventos sucesivos.
Los autom—viles llegan al azar a una gasolinera.El tiempo promedio entre llegadas es de 2 mi-nutos.Determine la probabilidad de que el tiempo entre llegadas no exceda de 1 minuto.La determinaci—n de la probabilidad deseada es igual a la de calcular la FDA de ;es decir,La tasa de llegadas para el ejemplo esllegadas por minuto.Si sustituimos 1,la pro-
2 )(1)=.3934l= 1
2 =1-e-lA =-e-lx|oA P{xƒA=LA0le-lxdx1
l
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sica
x f(x)f(x) e
12 2
x
12
2
psmsm
Comentarios.excelStatTables.xls
rior.Ingrese .5 en F9,1 en J9.La respuesta (CONJUNTO DE PROBLEMAS14.4CLos clientes que compran en Walmark Store son tanto urbanos como suburbanos.Losminuto.Las llegadas son totalmente aleatorias.Determine la probabilidad de que eltiempo entre llegadas de todos los clientes sea menor que 5 segundos.14.4.4Distribuci—n normalLa distribuci—n normal describe muchos fen—menos aleatorios de la vida diaria,comolas calificaciones de ex‡menes y el peso y la estatura de las personas.La fdp de la dis-La figura 14.4 muestra las gr‡ficas de la fdp normal.La funci—n siempre es simŽ-distribuci—n.Este notable resultado se basa en el teorema siguiente:Teorema del l’mite central.e idŽnticamente distribuidas,cada una con media m y desviaci—n est‡ndar s,y se definan
22ps2
e- 1
2 1x-m
s22, -q66q
14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comuneses asint—ticamente normal con media nµy varianza n,indepen-,Ã,ydistribuci—n).El pro-y varianza.Este resultado tiene im-portantes aplicaciones en el control de calidad estad’stico.La FDA de la variable aleatoria normal no puede determinarse en una forma ce-rrada.La tabla A.1 en el apŽndice A da las probabilidades de (0,1),la con media cero y desviaci—n est‡ndar 1.En general,una variable alea-,tambiŽn conocido como
.03 cm.El resultado del proceso deest‡ndar de .1 cm.Determine el porcentaje de la producci—n que satisfar‡ las especificaciones.Definiendo x como el par‡metro interno del cilindro,la probabilidad de que satisfaga las es-Esta probabilidad se calcula por medio de la normal est‡ndar (tabla A.1 en el apŽndice A).Dado.1,tenemos.3} debido a la simetr’a de la fdp,como se muestra en la fi-gura 14.5.La probabilidad acumulada (tabla A.1 en el apŽndice A) como la entrada designada con la fila Comentario.excelStatTablesxls.1 en F15,.1 en G15,.97 en J15 y 1.03 en K15.La respuesta (
.1 ƒzƒ 1.03-1
.1 }P-.03ƒxƒ1+.03}=Pƒxƒ1.03}z= x-m
ss2
n
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicaCONJUNTO DE PROBLEMAS14.4DLa facultad de ingenier’a de la Universidad de Arkansas requiere una calificaci—n ACTm’nima de 26.Las calificaciones de examen entre estudiantes del œltimo a–o de prepara-toria en un distrito escolar dado,por lo comœn se distribuyen con media de 22 y desvia-Si la Universidad de Arkansas no acepta a cualquier estudiante con una calificaci—nACT menor que 17,ÃquŽ porcentaje de estudiantes no ser‡ elegible para admisi—nen la Universidad de Arkansas?siones tienen una media de 180 lb y una desviaci—n est‡ndar de 15 lb.El helic—pteropuede llevar a 5 personas,pero su capacidad de peso m‡xima es de 1000 lb.ÃCu‡l es la:Aplique el teorema del l’mite central.)Por lo comœn,el di‡metro interno de un cilindro est‡ distribuido con una media de 1 cmy una desviaci—n est‡ndar de .01 cm.En el interior de cada cilindro se ensambla unabarra s—lida.El di‡metro de la barra tambiŽn suele distribuirse con una media de .99 cmy una desviaci—n est‡ndar de .01 cm.Determine el porcentaje de pares de cilindro-barraque no podr‡n ser ensamblados.(14.5DISTRIBUCIONES EMPêRICASLas secciones precedentes abordaron las fdp y las FDA de cinco distribuciones comu-nes:uniforme,binomial,de Poisson,exponencial y normal.ÃC—mo se reconocen estassobre la situaci—n que estamos estudiando.Esta secci—n muestra c—mo los datos mues-treados pueden convertirse en una fdp.Paso 1.Paso 2.Histograma de frecuencias.traslapan.La frecuencia en cada clase es la cuenta de los valores de los datos sinprocesar que quedan comprendidos dentro de los l’mites designados de la clase.
0.3
f(z)
14.5Distribuciones emp’ricas.43.44.82.01.05.56.21.24.41.52.43.46.43.74.82.55.5.38.72.7.42.22.4.51.79.38.04.75.9.71.65.2.6.93.93.3.2.24.99.61.99.11.310.63.0.32.92.94.88.72.47.21.57.911.76.33.86.95.3
cio de una muestra de 60 clientes.Los valores m’nimo y m‡ximo de los datos son 2 y 11.7,respectivamente.Esto significa quela muestra est‡ cubierta por el rango (0,12).Dividimos arbitrariamente el rango (0,12) en 12 cla-ses,cada una de 1 minuto de ancho.La selecci—n apropiada del ancho de la clase es crucial pararevelar la forma de la distribuci—n emp’rica.Aun cuando no haya reglas exactas para determinarel ancho de clase —ptimo,una regla pr‡ctica es utilizar de 10 a 20 clases.En la pr‡ctica puede sernecesario probar diferentes anchos de clase antes de decidir sobre un histograma aceptable.La siguiente tabla resume la informaci—n en forma de histograma de la muestra dada.La co-,se calcula dividiendo las entradas de la columna de frecuencias60).Por ejemplo,.La columna,se genera al sumar los valores de de manera recursiva.Por ejem-plo,
60 =.1833
i
Intervalode clase
Cuenta deobservaciones
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia relativa(0,1)
||||
11.1833.18332(1,2)
8.1333.31663(2,3)
9.1500.46664(3,4)
7.1167.58335(4,5)
6.1000.68336(5,6)
7(6,7)8(7,8)9(8,9)10(9,10)11(10,11)12(11,12)Totales
proporcionan una versi—n ÃdiscretizadaÃde la fdp y la FDA en el tiem-po de servicio.Podemos convertir la FDA resultante en una funci—n continua si unimos los pun-tos resultantes con segmentos de l’nea.La figura 14.6 proporciona la fdp emp’rica y la FDA parael ejemplo.La FDA,como la presenta el histograma,aparece definida en los puntos medios delas clases.
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicaAhora podemos estimar la media,,y la varianza,,de la distribuci—n emp’rica.Sea nœmero de clases en el histograma y se definacomo el punto medio de la clase ,entoncesAplicando estas f—rmulas al ejemplo presente,obtenemos
Los histogramas se pueden construir de manera muy c—moda si utilizamos Excel.Seleccione,luego ingrese los datos pertinentes en el cuadro de di‡logo.mente como parte de los resultados.excelMeanVar.xls calcular la media,la varianza,el m‡ximo y el m’nimo de la muestra.Incluso,Excel permite utili-
HistogramQ
Data Analysis+.0167*111.5-3.93422=8.646 minutos2 st2=.1883*1.5-3.93422+.1333*1-3.93422+Ã tq=.1833*.5+.133*1.5+Ã+11.5*.0167=3.934 minutos st2=aNi=1fi1tqi-tq22 tq=aNi=1fitqitqisttq
,la cual puedeFDA lineal de una distribuci—n
89101112
FDA
14.5Distribuciones emp’ricasComparaci—n de la FDA emp’rica y la FDA exponencial te—rica
0.50
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
10.5
11.5
Prueba de bondad de ajuste.Puede realizarse una evaluaci—n inicial de los datos comparando la FDA emp’rica conla FDA de la distribuci—n te—rica propuesta.Si las dos FDA no se desv’an Ãen excesoÃ,entonces es probable que la muestra se tom— de la distribuci—n te—rica propuesta.EstaÃcorazonadaÃinicial puede respaldarse aœn m‡s con la prueba de bondad de ajuste.Elsiguiente ejemplo proporciona los detalles del procedimiento propuesto.
ponencial.La primera tarea es especificar la funci—n que define la distribuci—n te—rica.Segœn elejemplo 14.5-1,minutos.Por consiguiente,servicios por minutosegœn la distribuci—n exponencial hipotŽtica (vea la secci—n 14.4.3),y la fdp y la FDA asociadasPodemos utilizar la FDA,),para calcular la FDA te—rica para .5,1.5,Ã,y 11.5,y1,2,Ã,12,calculado en el ejemplo14.5-1 como se muestra en la figura 14.7.Un examen superficial de las dos gr‡ficas sugiere que ladistribuci—n exponencial puede proporcionar un ajuste razonable por los datos observados.El siguiente paso es implementar la prueba de bondad de ajuste.Existen dos pruebas comoesa:(1) la prueba de Kolmogrov-Smirnov,y (2) la prueba .Limitaremos la presenta-
3.934 =.2542tq=3.934
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicaricas y te—ricas.Espec’ficamente,para la clase ,la frecuencia te—rica Luego,suponiendo clases,se calcula una medida de la desviaci—n entre las frecuencias emp’ri-1 grados de libertad,donde se obtiene a partir de tablas ji cuadrada (vea la tabla A.3,apŽndice
FrecuenciaFrecuencia
(0,1)2(1,2)3(2,3)4(3,4)5(4,5)6(5,6)7(6,7)8(7,8)9(8,9)10(9,10)11(10,11)Totales
Como regla pr‡ctica,el conteo de frecuencia debe ser al menos de 5.Este requeri-miento se suele resolver combinando clases sucesivas hasta que se satisface la regla,como semuestra en la tabla.El nœmero resultante de clases llega a ser 7.Como estamos estimandoun par‡metro a partir de los datos observados (es decir,l),el grado de libertad de la ji cuadrada
14.5Distribuciones emp’ricas3.4.9.75.83.42.77.84.4.84.41.93.43.15.11.4.14.14.94.815.96.72.12.32.53.33.86.12.85.92.12.83.43.1.42.7.92.94.53.86.13.41.14.22.94.67.25.12.6.94.92.44.15.111.52.6.110.34.35.14.31.14.16.72.22.95.28.21.13.32.17.33.53.17.9.95.16.25.81.4.54.56.41.22.110.73.22.33.33.37.16.93.11.62.11.9
5.Si consideramos un nivel de significancia .05,obtenemos el valor cr’tico(utilice la tabla A.3 en el apŽndice A,o,en excelStatTables.xls,ingrese 5 en F8 y .05en L8,y obtenga la respuesta en R8).Ya que el valor de co,aceptamos la hip—tesis de que la muestra de toma de una fdp exponencial.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.5A
clase de .5,1 y 1.5 minutos,respectivamente.Compare gr‡ficamente la distribuci—n acumulada de la FDA emp’rica y la de unadistribuci—n exponencial correspondiente.ÃCu‡l de los tres histogramas es el ÃmejorÃpara comprobar la hip—tesis nula?un mensaje.67.335.236.458.747.994.861.359.393.417.834.756.422.148.148.235.865.330.172.55.870.988.976.417.377.466.123.923.836.85.636.493.536.476.789.339.278.751.963.689.558.612.828.682.738.771.321.135.929.2
Utilice Excel para construir un histograma apropiado.Compruebe la hip—tesis de queEl rango de la distribuci—n se estima a partir de los datos muestreados.El l’mite m‡ximo en el rango de la distribuci—n es 100,pero el l’mite m’nimo debeestimarse a partir de los datos muestreados.
Cap’tulo 14Repaso de probabilidad b‡sicadispositivo autom‡tico.Se registra el tiempo de llegada y se transforma en un tiempo ab-soluto que inicia de cero.La siguiente tabla proporciona los tiempos de llegada (en minu-tos) de los primeros 60 automotores.Use Excel para construir un histograma apropiado.
Llegada
Tiempo de
Llegada
Tiempo de
Llegada
Tiempo de
Llegada
Tiempo de5.21667.631132.746227.86.71769.332142.347233.59.11878.633145.248239.8412.51986.634154.349243.6518.92091.335155.650250.5622.62197.236166.251255.8727.42297.937169.252256.5829.923111.538169.553256.9935.424116.739172.454270.31035.725117.340175.355275.11144.426118.241180.156277.11247.127124.142188.857278.11347.5281127.443201.258283.61449.729127.644218.459299.81567.130127.845219.960300.0
Feller,W.,An Introduction to Probability Theory and Its Applications,2a.ed.,vols.1 y 2,Wiley,Nueva York,1967.Paulos,J.A.,Innumeracy:Mathematical Illiteracy and Its Consequences,Hill y Wang,NuevaYork,1988.Papoulis,A.,Probability and Statistics,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1990.Ross,S.,Introduction to Probability Models,5a.ed.,Academic Press,Nueva York,1993.
15.1TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE. PROCESO siones bajo certidumbre (todos los datos se conocen con certeza).El PJA est‡ dise–a-do para situaciones en que las ideas,sentimientos y emociones que afectan el procesolas alternativas.
Ejemplo 15.1-1(Idea general del PJA)Martin Hans,un brillante estudiante del œltimo a–o de la preparatoria,recibi— ofertas de becasacadŽmicas completas de tres instituciones:U de A,U de B y U de C.Martin fundamenta suelecci—n en dos criterios:la ubicaci—n y la reputaci—n acadŽmica.Para Žl,la reputaci—n acadŽmi-ca es cinco veces m‡s importante que la ubicaci—n,y asigna un peso de aproximadamente 83% ala reputaci—n y un 17% a la ubicaci—n.Luego utiliza un proceso sistem‡tico (el cual se detallar‡CAPêTULO 15
Aplicaci—n de la vida real. Planeaci—n de la distribuci—n de planta de fabricaci—n integrada por computadora (FIC) ) en un edificio desocupado.El nue-tro industrial de excelencia tŽcnica.Se recopilan las recomendaciones solicitadas porlos profesores sobre el plan de dise–o del nuevo laboratorio,incluida el ‡rea ideal y ab-soluta para cada unidad.El estudio utiliza tanto un proceso de jerarqu’a anal’tica(PJA) como la programaci—n de metas para llegar a una soluci—n comprometida quecumpla con las necesidades de ense–anza,investigaci—n y servicio a la industria.(El
caso 9 del cap’tulo 26,en el sitio web de este libro,detalla este estudio).
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosreputaci—n,como se muestra en la tabla siguiente:La estructura del problema de decisi—n se resume en la figura 15.1.El problema implica una(U de A,U de B y U de C).
Basado en estos c‡lculos,Martin elige la U de A porque tiene el peso compuesto m‡s alto.Comentarios.La estructura general del PJA puede incluir varios niveles de criterios.Suponga en el ejemplo 15.1-1 que la hermana gemela de Martin,Jane,tambiŽn fueaceptada con beca completa a las tres universidades.Los padres insisten en que los doshermanos asistan a la misma universidad.La figura 15.2 resume el problema dedecisi—n,el cual ahora implica dos jerarqu’as.Los valores de jerarqu’a son los pesos relativos que representan las opiniones de Martin y Jane(presumiblemente iguales).Los pesos ( U de C U de B U de A
U de AU de BU de C27.759.427.318.2
Resumen de c‡lculos de PJA para el ejemplo 15.1-1
Seleccionar unauniversidad
Ubicaci—n(.17)Criterios de jerarqu’a 1Decisi—n:Alternativas:
U de B(.277)
U de C(.594)
U de AU de AU de BU de
Reputaci—n(.83)
U de B(.273)
U de C(.182)
U de A
.4743.17 .2737.17
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqu’a anal’tica (PJA)respectivamente,representan las preferencias de Martin y Jane con respecto a laubicaci—n y reputaci—n de cada universidad.El resto de la gr‡fica de toma dedecisiones puede interpretarse del mismo modo.Observe que 1,y 1.La parte inferior de la figura 15.2 demuestra c—mo se calcula el pesocompuesto de la U de A.CONJUNTO DE PROBLEMAS15.1ASuponga que se especifican los siguientes pesos para la situaci—n de Martin y Jane (figuraBasado en esta informaci—n,califique las tres universidades.
Seleccionaruna universidad
Criterios de jerarqu’a 2Criterios de jerarqu’a 1Decisi—n:Alternativas:U de A(p11)
U de B(p12)U de A p(p1 p11 p2 p21) q(q1 q11 q2 q21)
U de C(p13)
Ubicaci—n (p1)
U de A(p21)
U de B(p22)
U de C(p23)
Reputaci—n (p2)
Martin (p)
U de A(q11)
U de B(q12)
U de C(q13)
Ubicaci—n (q1)
U de A(q21)
U de B(q22)
U de C(q23)
Reputaci—n (q2)
Jane (q)
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosDeterminaci—n de los pesos.(asunto) del PJA es la determinaci—n de lospesos relativos (como los utilizados en el ejemplo 15.1-1) para calificar las alternativas.criterios en una jerarqu’a dada,el PJA establece,que cuantifica el juicio del tomadorde decisiones de la importancia relativa de los criterios.La comparaci—n por pares se1,2,Ã,criterio alterno.Si ,el PJA utiliza una escala numŽricamucho m‡s importante,y ,entoncesAdem‡s,todos los elementos diagonales son iguales a 1,porque estoselementos califican cada criterio contra s’ mismo.
Para demostrar c—mo se determina la matriz de comparaci—n A para el problema de decisi—n deMartin del ejemplo 15.1-1,comenzamos con la jerarqu’a superior que tiene que ver con los cri-).En el juicio de Martin,mucho m‡s importante ,y por consiguiente 5 y,de forma autom‡tica,por lo que se produce la siguien-na.Por lo tanto,dividimos los elementos de la columna 1 entre 6 (1 1.2Los pesos relativos deseados,,se calculan entonces como promedios de fila:.83,los pesos que utilizamos en la figura 15.1.Las co-son iguales,una indicaci—n de que el tomador de decisiones est‡ ejerciendo un jui-.La consistencia siempreA continuaci—n,tenemos{8,3,5,1,7}{1.83,3.67,5.5}
21
5211
2521, AR=ABC±1231
213
21
32
31wL=.17+.17
2=.17wR=.83+.83
.17.17.83.83
5+12.A=LRa11
551bRLa12= 1
5 , aji= 1
k .
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqu’a anal’tica (PJA)de la columna respectiva;es decir,,y .129,.277,y .594) dan los pesos de las ubicaciones respec-tivas de U de A,U de B y U de C,respectivamente.Asimismo,los valores de ,y .545,.273,.182) dan los pesos relativos con respecto a la reputaci—n acadŽmica de las tres univer-
sidades.ƒstos son los valores utilizados en la figura 15.1..En el ejemplo 15.1-2,todas las columnasson idŽnticas,y las de no lo son.Esto significano lo es.Consistencia implica juicio racional por parte del tomador de decisiones.,para todas las Por ejemplo,en la matriz dientes.En particular,las columnas de cualquier matriz de comparaci—n de 2 ,son dependientes por definici—n,y por consiguiente una matriz de 2 pre es consistente.tentes,y se espera un grado de inconsistencia.Para decidir quŽ nivel de inconsistenciaes ÃtolerableÃtenemos que desarrollar una medida cuantificable de consistencia para.En el ejemplo 15.1-2 vimos que una matriz consistente en la cual todas las columnas son idŽnticas;es decir,;es decir,oooo
.545.545.545.273.273.273.182.182.182
3=.545wRB=.273+.273+.273
3=.273wRC=.182+.182+.182
.125.143.118.250.286.294.625.571.588
3=.129wLB=.250+.286+.294
3=.277wLC=.625+.571+.588
3=.594
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegos,...,Por consiguiente,A es consistente si,no sea consistente,el peso relativo,,est‡ dado aproxima-el ejemplo 15.1-2).Sies el vector de los promedios calculados,se puede demostrar que En este caso,cuanto m‡s se acerca ,m‡s consistente es la matriz de compara-.Basado en esta observaci—n,el PJA calcula la ,se determina emp’ricamente como el promediogeneradas al azar..1,el nivel de inconsistencia es aceptable.De lo contrario,la inconsisten-cia es alta,y quiz‡s el tomador de decisiones tenga que revisar las estimaciones de los
j=nm‡xw
i, i=1, 2, Ã, nAw
= nm‡xw
= 1.98(n-2)
nRI=Consistencia aleatoria de A= nm‡x-n
n-1CI =êndice de consistencia ACR= CI
RIAw
= nm‡xw
, nm‡xÃnw
Aw = nw±w1w2own=±nw1nw2onwn=n±w1w2own±1w1
w2Ãw1
wnw2
w11Ãw2
oooo
w1wn
w2Ã1A=±1w1
w2Ãw1
wnw2
w11Ãw2
oooo
w1wn
w2Ã1
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqu’a anal’tica (PJA)
En el ejemplo 15.1-2,la matriz no son idŽnticas.,comenzamos calculando .Por el ejemplo 15.1.2,tenemos Por lo tanto,Ahora,con
Ya que .1,el nivel de inconsistencia en es aceptable.
excelAHP.xls 8 o menor.La figura 15.3 demuestra la aplicaci—n del mo-datos de entrada de la hoja de c‡lculo.El orden en el cual se ingresan las matrices de compara-ci—n no es importante,aunque tiene m‡s sentido considerarlas en su orden jer‡rquico natural.Los pesos,,se copian de la columna J y se pegan enel ‡rea de resumen de la soluci—n (la secci—n derecha de la hoja de c‡lculo).Recuerde utilizarcuando realice este paso para garantizar un registro permanente.
ValoresQ
Pegado especialCR =CI
RI=.00565
.66=.00856RI =1.98(n-2)
n= 1.98*1
3=.66CI =nm‡x-n
n-1=3.0113-3
3-1=.00565nm‡x=.3863+.8320+1.7930=3.0113ALw
=±11
21
5211
2521±.129.277=±0.3863w
1=.129, w
2=.277, w
3=.594Aw
.ani=1aanj=1aijw
jb=nm‡xani=1w
i=nm‡xani=1w
i=1,
Los resultados m‡s precisos de la hoja de c‡lculo difieren de los ejemplos 15.1.2 y 15.1.3,debido a la apro-
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosEn la figura 15.3,la calificaci—n final se da en las celdas (K18:K20).La f—rmula en la celda K18 esEsta f—rmula proporciona el peso compuesto de la alternativa U de A y se copia en las celdasK19 y K20 para evaluar las alternativas U de B y U de C.Observe por la f—rmula en K18 que lareferencia a la alternativa U de A debe estar fija en la (es decir,$L7 y $N7),mientras(o bien $L$4 y $L$5).Lacolumna (sin celdas vac’as que intervengan).En la figura 15.3,losest‡n en la columna N.No hay restricciones en lacolocaci—n de los pesos A porque son columna y fila fijas en la f—rmula.de jerarqu’a.Una vez que desarrolla la f—rmula correctamente para la primera alternativa,lamisma f—rmula se copia en las celdas restantes.Recuerde que la f—rmula deben estar fijas en columna y fila,excepto las referencias a las alternativas,las cualesdeben estar fijas s—lo en la columna.El problema 1,conjunto 15.1b,le pide que desarrolle la
f—rmula para un problema de 3 niveles.CONJUNTO DE PROBLEMAS15.1BConsidere las dos jerarqu’as del problema 1,conjunto 15.1a.Copie los pesos en un ordenexcelAHP.xls,luego de-$K7&""&TEXT($L$4*$L7$L$5*$ N7,"#### 0.00000")$L$4*$L7$L$5*$N7excelAHP.xls
excelAHP.xlsdebe resultar œtil para verificar sus c‡lculos.
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqu’a anal’tica (PJA)sarrolle la f—rmula para evaluar la primera alternativa,U de A,y c—piela para evaluar lasdos alternativas restantes.ci—n a tres candidatos:Steve (S),Jane (J),y Maisa (M).La selecci—n final se basa en trescriterios:entrevista personal (),experiencia (),y referencias ().El departamento uti-rios.DespuŽs de entrevistar a los tres candidatos y compilar los datos con respecto a susexperiencias y referencias,se construyen las matrices .ÃCu‡l de los tres can-didatos debe ser contratado? Evalœe la consistencia de los datos.IERSJMSJMSJMKevin y June Park () est‡n en el proceso de comprar una nueva casa.Tres casas.Los Park acordaron dos criterios para seleccionar la casa,),y cercan’a al lugar de trabajo (),para locual desarrollaron las siguientes matrices de comparaci—n.Califique las tres casas enorden de prioridad,y calcule la relaci—n de consistencia para cada matriz.de Investigaci—n de Operaciones:porcentaje de regal’as (R),comercializaci—n (M),ypago anticipado (A).Dos editores,y P,expresaron su interŽs en el libro.Utilizando las
241
2131
41
31Q AAJY=B CABCP1421
4131
21
31Q AAKW=B CABCP121
21
211
3231Q AAKY=B CABCP1231
2121
31
21QAJ=YWa141
41bAK =YWa11
331bA=KJa121
21bAE =SJM±11
32311
21
221 AR=SJM±11
21211
2121 A=IER±121
41
211
5451 AI=SJM±1341
311
51
451
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosHPHP HPrectiva de la escuela.Tres candidatos,Ivy (),Bahrn (),se postularon para el puesto.Existen tres categor’as de votantes:izquierda (),centro ().Sejuzga a los candidatos con base en tres factores:experiencia acadŽmica (),postura antelos problemas (S) y car‡cter personal (P).Las siguientes son las matrices de comparaci—npara la primera jerarqu’a de izquierda,centro y derecha.LCR ESPESP ESP),postura ante los problemas (),y car‡cter personal (Luego se utiliz— el PJA para reducir las matrices a los siguientes pesos relativos.
2111
211 AR=ESP±1191181
91
81A=L±121
21
211
5251 AL=ESP±131
21
311
3231AR=HPa121
21b AM=HPa11
221b AA=HPa11bA=RMA±111
4111
5451
Izquierda
Centro
ESPESPESP.1.2.3.3.5.2.7.1.3Bahrn.5.4.2.4.2.4.1.4.2Smith.4.4.5.3.3.4.2.5.5
nuevas restricciones de presupuesto en sus escuelas primarias.Hay dos opciones disponi-bles:Eliminar el programa de educaci—n f’sica (),o el de mœsica ().El superintenden-ci—n.El comitŽ ha decidido estudiar el problema desde el punto de vista de restricci—n al).El an‡lisis produjo las siguien-BN BN
221bAs=BNa1111b
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgoEM EMEM EMAnalice el problema de decisi—n y haga recomendaciones.3.Los factores para decidir incluyen el precio de compra (PP),el costo de manteni-miento (MC),el costo de manejo en la ciudad (RD).La siguiente tabla proporciona los
21bAPB=EMa11
331bASN=EMa11
331bASB=EMa11
221b
Modelo del autom—vil
PP($)
MC($)
CD($)
6,0001800450015008,000120022507506001125600
Utilice los datos de costos para desarrollar las matrices de comparaci—n.Evalœe laconsistencia de las matrices,y determine la selecci—n del modelo.15.2TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE RIESGOEn condiciones de riesgo,los beneficios asociados con cada alternativa de decisi—nest‡n representados por distribuciones de probabilidad,y la decisi—n puede basarse encriterio de valor esperado,costo esperado.En ocasiones,el criterio del valor esperado se modifica para tener encuenta otras situaciones,como se describir‡ m‡s adelante en esta secci—n.
Aplicaci—n de la vida real. L’mites en las reservaciones de un hotel El hotel La Posada cuenta con 300 habitaciones.Su clientela incluye tanto a viajeros porcios como por placer.Las tarifas de las habitaciones tienen descuentos,sobrejeros por placer.Los viajeros por negocios,que suelen tardarse en re-servar sus habitaciones,pagan la tarifa completa.La Posada establece un que pagan los clientes por negocios.El caso 10 en el cap’tulo 26 en el sitio web utiliza el
an‡lisis del ‡rbol de decisiones para determinar el l’mite de las reservaciones.15.2.1çrbol de decisiones. Basado en el criterio del valor esperadominimizaci—n del costo esperado.Los datos del problema asumen que la retribuci—n (oAn‡lisis con ‡rbol de decisiones.
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegos
.Las acciones de la compa–’a ,aun cuando son riesgosas,podr’an redi-tuar 50% durante el siguiente a–o.Si las condiciones del mercado de valores no son favorables(es decir,un mercado ÃbajistaÃ) las acciones pueden perder 20% de su valor.La compa–’a proporciona inversiones seguras con 15% de rendimiento en un mercado ÃalcistaÃy de s—lo 5%en un mercado ÃbajistaÃ.Todas las publicaciones que ha consultado (Ãy siempre hay una abun-dancia de ellas al final del a–o!) pronostican una probabilidad de 60% de un mercado ÃalcistaÃy40% de un mercado ÃbajistaÃ.ÃC—mo debe invertir su dinero?la figura 15.4.Se utilizan dos tipos de nodos en el ‡rbol:Un cuadrado (,y un c’rculo (O) representa un evento aleatorio.Por lo tanto,las dos ramas que emanan.A continuaci—n,las dos ramas que emanan de los eventos aleatorios 2 y 3 representan los mer-cados ÃalcistaÃy ÃbajistaÃcon sus respectivas probabilidades y retribuciones.Segœn la figura 15.4,las retribuciones esperadas a 1 a–o son
porque produce un rendimiento esperado m‡s alto.Comentarios.En la terminolog’a de teor’a de la decisi—n,los mercados probabil’sticos Ãalcis-taÃy ÃbajistaÃse llaman .Por lo general,un problema de decisi—n puedealternativas.Si ,dado el estado 1,2,Ã,1,2,Ã,),en-
Rendimiento a 1 a–o de la inversi—n de 10,000
Alternativa de decisi—n
Mercado ÃalcistaÃ($)
Mercado ÃbajistaÃ($)
FIGURA 15.4Representaci—n en forma de‡rbol de decisiones del problema
Mercado “alcista” (.6)Mercado bajista” (.4)Inversi—n A
2
Mercado alcista” (.6)Mercado bajista” (.4)$5000$2000$1500$500
Inversi—nen la acci—n B
3
1
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgo
CONJUNTO DE PROBLEMAS15.2ALo invitaron a participar en el juego de la Rueda de la Fortuna en la televisi—n.La rueda).La rueda est‡ dividida en dos regiones semicirculares,una blanca ().Le dijeron que la rueda est‡ dise–ada para que se detenga 30% de las veces enla regi—n blanca.La retribuci—n del juego es $800$200Desarrolle un ‡rbol de decisiones asociado,y determine un curso de acci—n basadoen el criterio del valor esperado.Farmer McCoy puede sembrar ma’z o soya (soja).Las probabilidades de que los preciosde la siguiente cosecha suban,no cambien,o bajen son .25,.30 y .45,respectivamente.Silos precios suben,la cosecha de ma’z redituar‡ un ingreso neto de $30,000 y la de soya re-dituar‡ un ingreso neto de $10,000.Si los precios no cambian,McCoy (apenas) saldr‡ amano.Pero si los precios bajan,las cosechas de ma’z y soya sufrir‡n pŽrdidas de $35,000 y $5000,respectivamente.Represente el problema de McCoy como un ‡rbol de decisiones.Se le presenta la oportunidad de invertir en tres fondos mutuos:de servicios,de cre-cimiento agresivo,y global.El valor de su inversi—n cambiar‡ segœn las condiciones del mercado.Hay 10% de probabilidades de que el mercado baje;50% de que perma-nezca moderado,y 40% de que funcione bien.La siguiente tabla proporciona el cambio
Porcentaje de rendimiento sobre la inversi—n
Alternativa
Mercado bajista (%)
Mercado moderado (%)
Mercado alcista (%)Servicios+5+7+8Crecimiento agresivo-10+5+30Global+2+7+20
Represente el problema como un ‡rbol de decisiones.precio nominal,o en una acci—n de crecimiento agresivo que paga s—lo 1% de dividendo.Si ocurre inflaci—n,la tasa de interŽs subir‡ a 8%,en cuyo caso el valor principal del bonobajar‡ 10% y el valor de la acci—n bajar‡ 20%.Si la recesi—n se materializa,la tasa de in-terŽs bajar‡ a 6%.En este caso,se espera que el valor principal del bono baje 5%,y queel valor de la acci—n suba 20%.Si la econom’a no cambia,el valor de la acci—n subir‡ 8%y el valor principal del bono no cambiar‡.Los economistas estiman 20% de probabilidad
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosde inflaci—n y 15% de recesi—n.Usted est‡ basando su decisi—n de inversi—n en las condi-ciones econ—micas del siguiente a–o.Represente el problema como un ‡rbol de decisiones.AFC est‡ a punto de lanzar su nueva comida r‡pida Wings ÃN Things a nivel nacional.Eldepartamento de investigaci—n est‡ convencido de que Wings ÃN Things ser‡ un granŽxito y desea presentarlo de inmediato en todas las tiendas de distribuci—n de AFC sinpublicidad.El departamento de mercadotecnia ve las ÃcosasÃde forma diferente y desealanzar una intensa campa–a publicitaria.La campa–a publicitaria costar‡ $100,000,y hay70% de probabilidades de que tenga Žxito con ingresos de $950,000.Si la campa–a notiene Žxito,el ingreso estimado bajar‡ a $200,000.Si no se utiliza publicidad,el ingreso seducto,y de $200,000 con probabilidades de .2 si no lo son.Desarrolle el ‡rbol de decisiones asociado.ÃQuŽ curso de acci—n debe seguir AFC al lanzar el nuevo producto?Se lanza al aire una moneda tres veces sucesivas.Recibe $1.00 por cada cara (Sin embargo,regresa $1.10 por cada cruz que salga.Tiene las op-ciones de jugar o no jugar el juego.Desarrolle el ‡rbol de decisiones para el juego.Se le presenta la oportunidad de participar en el siguiente juego en un casino.Se lanza undado dos veces,con cuatro resultados:(1) ambos lanzamientos muestran el mismo nœme-ro par;(2) ambos lanzamientos muestran el mismo nœmero impar;(3) los dos lanzamien-par,y 4) todos los dem‡s resultados.Le permiten apostar su dinero en exactamente dosresultados con cantidades en d—lares iguales.Por ejemplo,puede apostar cantidades deEl premio por cada d—lar que apueste es de $2.00 por el primer resultado,$1.95 por el se-gundo y tercer resultados,y $1.50 por el cuarto resultado.Desarrolle el ‡rbol de decisiones para el juego.Acme Manufacturing produce lotes de aparatos con 0.8%,1%,1.2% y 1.4% de aparatosdefectuosos de acuerdo con las probabilidades respectivas,0.4,0.3,0.25 y 0.05.Tres clien-tes,est‡n contratados para recibir lotes con no m‡s de 0.8%,1.2% y 1.4% deaparatos defectuosos,respectivamente.Si los aparatos defectuosos resultan ser m‡s quelos contratados,se penaliza a Acme con $100 por cada 0.1% de incremento.Si Acmelas especificaciones.Suponga que no se inspeccionan los lotes antes de su env’o.Desarrolle el ‡rbol de decisiones asociado.TriStar planea abrir una nueva planta en Arkansas.La compa–’a puede abrir una plantase garantiza una demanda alta.El horizonte de tiempo para el problema de decisi—n esde 10 a–os.TriStar estima que las probabilidades de demandas altas y bajas durante lossiguientes 10 a–os son .75 y .25,respectivamente.El costo de construcci—n dentro de
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgo2 a–os es de $4.2 millones.El ingreso por la operaci—n durante los siguientes 10 a–os se
Estimaciones del ingreso anual (en $1000)
Alternativa
Demandaalta
Demandabaja
Desarrolle el ‡rbol de decisiones asociado,si despuŽs de 2 a–os TriStar tiene la Desarrolle una estrategia de construcci—n para TriStar durante los siguientes 10 a–os.(Por sencillez,ignore el valor del dinero con el tiempo.)Resuelva de nuevo el problema 9,suponiendo que las decisiones se toman considerandoel valor del dinero con el tiempo a una tasa de interŽs anual de 10%.[:Necesita ta-blas de interŽs compuesto para resolver este problema.Puede utilizar la funci—n NPV,dada.NPV asume que cada flujo de efectivo ocurre al final del a–o.]Resuelva una vez m‡s el problema 9,suponiendo que la demanda puede ser alta,media ybaja con probabilidades de 0.7,0.2 y 0.1,respectivamente.La ampliaci—n de una plantapeque–a ocurrir‡ s—lo si la demanda en los primeros 2 a–os es alta.La siguiente tablaproporciona estimaciones del ingreso anual.Ignore el valor del dinero con el tiempo.
Estimaciones del ingreso anual (en $1000)
Alternativa
Demanda alta
Demanda mediana
Planta peque–a ahora 400280150Planta ampliada dentro de 2 a–os900600200
ca.La compa–’a desea desarrollar un programa de mantenimiento preventivo para la flo-tilla.La probabilidad de una aver’a en el a–o 1 es cero.Durante el a–o 2,la probabilidadde una aver’a es de 0.03 y se incrementa 0.01 en los a–os del 3 al 10.DespuŽs del a–o 10,laprobabilidad de una aver’a se mantiene constante en 0.13.El costo de mantenimiento porcami—n es de $200 por una aver’a aleatoria y de $75 por un mantenimiento programado.Desarrolle el ‡rbol de decisiones asociado.sucesivos.100150200250300.20.25.30.15.10
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosLa tienda compra una hogaza a 55 centavos y la vende a $1.20 cada una.Las hogazasque no se venden al final del d’a se liquidan a 25 centavos cada una.Suponga que el nivelDesarrolle el ‡rbol de decisi—n asociado.En el problema 13,suponga que la tienda desea ampliar el problema de decisi—n a un ho-rizonte de 2 d’as.Las alternativas para el segundo d’a dependen de la demanda en el pri-mer d’a.Si la demanda en el d’a 1 es igual a la cantidad en existencia,la tienda continuar‡pidiendo la misma cantidad para el d’a 2;si excede la cantidad en existencia,la tiendapuede pedir cualquiera de las existencias de alto nivel;y si es menor que la cantidad enexistencia,la tienda puede pedir cualquiera de la existencia de bajo nivel.Desarrolle el(miles de) unidades de un producto por d’a.A medi-se incrementa,la proporci—n de unidades defectuosas,,se eleva de acuerdoCada unidad defectuosa incurre en una pŽrdida de $50.Una unidad en buen estado pro-El di‡metro externo,,de un cilindro se procesa con una m‡quina autom‡tica con l’mites.El proceso de producci—n sigue.Los cilindros de dimensio-d—lares cada uno.Los cilindros de di-d—lares cada uno.Desarrolle el ‡rbol dedecisiones,y determine el ajuste Cohan and Associates (1984).lados para reducir los riesgos de incendio y estimular el crecimiento de nuevos ‡rboles.La direcci—n tiene la opci—n de posponer o planear una quema.En una extensi—n de bos-que espec’fica,si se pospone una quema,se incurre en un costo administrativo general de$300.Si se planea una quema controlada,hay 50% de probabilidades de que el buentiempo prevalecer‡ y que la quema costar‡ $3200.Los resultados de la quema pueden serexitosos con probabilidad de .6,o marginales con probabilidad de .4.La ejecuci—n exitosaproducir‡ un beneficio estimado de $6000,y la ejecuci—n marginal proporcionar‡ s—lo$3000 en beneficios.Si el tiempo es malo,la quema se cancelar‡ y se incurrir‡ en un costode $1200 sin beneficios.ponerse.Estudie la sensibilidad de la soluci—n a los cambios de la probabilidad de buen tiempo.(1967).Un fabricante ha utilizado programaci—n lineal para determinar lacio en $35.Por tanto,el fabricante puede seguir utilizando la combinaci—n de productos(—ptima) original (A1),o utilizar una nueva combinaci—n (—ptima) con base en el compo-nente de mayor precio (A2).Desde luego,la acci—n A1 es ideal si el precio no se eleva,yla acci—n A2 tambiŽn ser‡ ideal si el precio se eleva.La siguiente tabla proporciona la uti-0,de otro modo
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgocon respecto al precio del componente.Incremento de precio (01)Sin incremento de precio (02)$400,000$295,500$372,000$350,000Desarrolle el ‡rbol de decisiones asociado,y determine la acci—n que debe adoptarse.se incrementar‡ o no.Esta informaci—n dice que hay 58% de probabilidades de queel incremento del precio sea de .9 y 42% de que sea de .3.ÃRecomendar’a la inver-de sus procesos.La vida de anaquel es de un mes,y cualquier cantidad sobrante se des-truye.La cantidad,,en galones del producto qu’mico utilizada por Acme est‡ represen-El consumo real del producto qu’mico ocurre instant‡neamente al inicio del mes.tivos (o niveles de aspiraci—n):La cantidad excedente mensual no debe superar los 20 ga-lones,y la cantidad faltante promedio mensual no debe exceder de 40 galones.15.2.2Variantes del criterio del valor esperadoEsta secci—n aborda dos temas relacionados con el criterio del valor esperado:la de-probabilidadesa posterioribasada en experimentaci—n,y el uso de lacontra el valor real del dinero.Probabilidades a posteriori (de Bayes).valor esperado se suelen estimar a partir de datos hist—ricos (vea la secci—n 14.5).Enexperimentaci—n adicional.Las probabilidades resultantes se conoce como babilidades a posteriori (o de Bayes),en contraste con las probabilidades a priorideterminadas a partir de datos duros sin procesar.
,1000,de otro modo
Aplicaci—n de la vida real. Problema de Casey: Interpretaci—n y evaluaci—n Un examen de detecci—n de un reciŽn nacido,de nombre Casey,revela una deficienciade la enzima C14:1.La enzima se requiere para digerir una forma particular de grasas decadena larga,y su ausencia podr’a conducir a una enfermedad grave o a una muertemisteriosa (catalogada comœnmente bajo el s’ndrome de muerte repentina infantil,oSIDS por sus siglas en inglŽs).El examen se hab’a administrado antes a aproximada-mente 13,000 reciŽn nacidos,y Casey fue el primero en dar positivo.Aun cuando elexamen de detecci—n por s’ mismo no constituye un diagn—stico definitivo,la extrema
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegos
babilidades a posteriori.En el ejemplo 15.2-1,las probabilidades (anteriores) de .6 y .4 de unmercado ÃalcistaÃy un mercado ÃbajistaÃse determinan a partir de publicaciones financieras dis-ponibles.Suponga que en lugar de depender œnicamente de estas publicaciones,usted decidi—conducir una investigaci—n m‡s ÃpersonalÃal consultar a un amigo que se desempe–a bien en elmercado de valores.El amigo cuantifica una recomendaci—n de invertir Ãa favor/o en contraÃ,dela siguiente manera:En un mercado ÃalcistaÃ,hay 90% de probabilidades de que la recomenda-ci—n sea Ãa favorÃ.Se reduce a 50% en un mercado ÃbajistaÃ.ÃC—mo afecta la informaci—n adicio-nala la decisi—n?La afirmaci—n del amigo proporciona probabilidades condicionales de las recomendaciones ÃafavorÃy Ãen contraÃdado que los estados de la naturaleza son mercados ÃalcistaÃy ÃbajistaÃ.DefinaVoto Ãa favorÃVoto Ãen contraÃPor lo tanto,la afirmaci—n del amigo se escribe en la forma de enunciados de probabilidad comoSi la recomendaci—n del amigo es Ãa favorÃ,Ãinvertir’a en la acci—n Si la recomendaci—n del amigo es Ãen contraÃ,Ãinvertir’a en la acci—n El ‡rbol de decisiones que aparece en la figura 15.5 representa el problema.El nodo 1 es unevento aleatorio que representa las posibilidades Ãa favorÃy Ãen contraÃ.Los nodos 2 y 3 sony B,dadas las recomendaciones ÃafavorÃy Ãen contraÃ,respectivamente.Por œltimo,los nodos 4 a 7 son eventos aleatorios que re-presentan los mercados ÃalcistaÃy ÃbajistaÃ.a posterioriPde los nodos 4,5,6 y 7.Estas probabili-dades a posteriori toman en cuenta la informaci—n adicional proporcionada por la recomendaci—nÃa favorÃo Ãen contraÃy se calculan de acuerdo con los siguientes pasos generales:Paso 1.dades de que padeciera esta deficiencia.Dado que Casey dio positivo,se utiliza la pro-
C14:1.La situaci—n se detalla en el caso 11,cap’tulo 26 en el sitio web..9.1.5.5
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgoPaso 2..4,las probabilidades conjun-.4,respectivamente;es decir,
Mercado “alcista” (m1)Mercado bajista” (m2)Mercado alcista” (m1)Mercado bajista” (m2)Acci—n A
4
$5000Ã$2000$1500$500
Acci—n B
5
2
Mercado “alcista” (m1)Mercado bajista” (m2)Mercado alcista” (m1)Mercado bajista” (m2)Acci—n A
6
$5000Ã$2000$1500$500
Acci—n B
7
1
Voto
P m2|v1 .270
P m1|v1 .730
P m2|v1 .270
P m1|v2 .231
P m2|v2 .769
P m1|v2 .231
P m2|v2 .769
.54.06.20.20Paso 3.Estas probabilidades son las sumas en las columnas de la tabla del paso 2;es decir,
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosPaso 4.la suma en la columna correspondiente en la tabla del paso 3,lo cual da
.730.231.270.769buciones esperadas para los nodos 4,5,6 y 7;es decir,Recomendaci—n ÃA favorÃRecomendaci—n ÃEn contraÃcisi—n 2 y 3 son $3110 y $731,respectivamente (vea la figura 15.5).Por lo tanto,dadas las proba-0.26 como se calcularon en el paso 3,podemos calcular la retri-
buci—n esperada para todo el ‡rbol de decisiones (vea el problema 3,conjunto 15.2b).
excelBayes.xls para conservar espacio).Los datos de entrada incluyen }.La hoja de c‡lculo verifi-
ca los errores en los datos de entrada y muestra los mensajes de error apropiados.CONJUNTO DE PROBLEMAS15.2Bron c‡lculo en la preparatoria se desempe–an bien,en comparaci—n con el 50% de losque no lo cursaron.Las admisiones para el a–o acadŽmico actual muestran que s—lo 30%
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgode los estudiantes nuevos completaron un curso de c‡lculo.ÃCu‡l es la probabilidad que.El porcentaje de componentes defectuosos provenientes de los provee-son 1 y 2%,respectivamente.Cuando se inspeccion— una muestra aleatoriade tama–o 5 de un lote recibido,s—lo se encontr— una unidad defectuosa.Determine la.Del vendedor En el ejemplo 15.2-2,suponga que tiene la opci—n de invertir los $10,000 originales en uncertificado de dep—sito seguro que produce 8% de interŽs.El consejo del amigo es inver-tir s—lo en el mercado de valores.Desarrolle el ‡rbol de decisi—n asociado.do de invertir en el mercado de valores.)Usted es el autor de la que promete ser una novela exitosa.Tiene la opci—n de o publicarla novela usted mismo,o por medio de un editor.El editor le ofrece $20,000 por firmar elcontrato.Si la novela tiene Žxito,vender‡ 200,000 copias.De lo contrario,vender‡ s—lo100,000.El editor le paga $1 de regal’as por ejemplar.Una investigaci—n del mercado in-dica que hay 70% de probabilidades de que la novela tenga Žxito.Si decide publicarlausted mismo,incurrir‡ en un costo inicial de $90,000 por la impresi—n y la comercializa-ci—n,pero obtendr‡ una utilidad neta de $2 por cada ejemplar vendido.Basado en la informaci—n dada,Ãaceptar’a la oferta del editor,o publicar’a ustedcon el Žxito potencial de la novela.Por experiencia pasada,el agente le aconseja quecuando una novela tiene Žxito,la encuesta predecir‡ el resultado equivocado 20%de las veces.Cuando la novela no tenga Žxito,la encuesta predecir‡ correctamente85% de las veces.ÃC—mo afectar’a esta informaci—n su decisi—n?Considere la situaci—n de decisi—n de Farmer McCoy en el problema 2,conjunto 15.2a.Elgranjero tiene la opci—n adicional de utilizar el terreno como ‡rea de pastizales,en cuyocaso est‡ garantizada una retribuci—n de $7500.El granjero tambiŽn recab— informaci—nros precios de art’culos de consumo.La valoraci—n del agente de ÃfavorableÃo Ãdesfavo-rableÃse describe por medio de las siguientes probabilidades condicionales:.85.15.50.50.15.85representan las valoraciones ÃfavorableÃy ÃdesfavorableÃ,y representan los cambios Ãhacia arribaÃ,ÃigualesÃ,y Ãhacia abajoÃde los futuros precios.Desarrolle el ‡rbol de decisiones asociado.En el problema 5,conjunto 15.2a,suponga que la gerencia de AFC decidi— investigar elmercado para su nuevo producto Wings ÃN Things en lugares seleccionados.El resultado
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosde la investigaci—n es o ÃbuenoÃ() o ÃmaloÃ().La investigaci—n arroja las siguientesCon campa–aP{.95.05.8.2.3.7.4.6representan ÃŽxitoÃy Ãno ŽxitoÃ,y y no ÃreceptivoÃ.Desarrolle el ‡rbol de decisiones asociado.Determine el mejor curso de acci—n para AFC.Datos hist—ricos en Acme Manufacturing estiman 5% de probabilidad de que un lote deartefactos sea inaceptable (malo).Un lote malo tiene 15% de art’culos defectuosos,y un lote bueno incluye s—lo 4% de art’culos defectuosos.Si lote bueno y un lote malo,respectivamente,las probabilidades,se utiliza una muestrade prueba de dos art’culos,y se obtienen tres posibles resultados:(1) ambos art’culos son);(2) un art’culo est‡ bueno (),y (3) ambos art’culos est‡n defectuosos (.Los contratos especificanno deben exceder de 5 y 8%,respectiva-mente.Se incurre en una penalizaci—n de $100 por punto porcentual por arriba dell’mite m‡ximo.Si entrega lotes de mejor calidad que la especificada por los costos del contrato le cuesta al fabricante $50 por punto porcentual.Desarrolle el ‡rbol dedecisiones,y determine la estrategia de prioridad para enviar los lotes.situaciones en que la retribuci—n esdinero en lugar del valor real en el an‡lisis.Para ilustrar este punto,suponga que hayde $40,000 o que se pierda.La retribuci—n esperada asociada es de ($40,000 Ã ($20,000 $10,000.Aunque hay una retribuci—n esperada neta,diferentesindividuos interpretan de forma diferente el resultado.Un inversionista que desearetribuci—n de $40,000.Por el contrario,quiz‡s un inversionista conservador no estŽdispuesto a correr el riesgo de perder $20,000.El concepto de funci—n deutilidadide— para reflejar estas diferencias.La funci—n de utilidad ocupa entonces el lugar deldinero real en el modelo de toma de decisiones.de utilidad? En la ilustraci—n anterior de inversi—n,la mejor retribuci—n es de $40,000,$20,000.Podemos establecer una escala de utilidad,,de 0 a 100 que es-100.El valor de $20,000 y $40,000 se determina como sigue:Si la actitud del toma-dor de decisiones hacia el riesgo es neutra (indiferente),entonces
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgotarse por medio de una l’nea recta que une (0,Ã $20,000) y (100,$40,000).En estecaso,tanto el dinero real como su utilidad conducen a las mismas decisiones.De mane-ra m‡s general,la funci—n des hacia el riesgo.La figura 15.6 ilustra los casos de los individuos .El indivi-,el individuo adverso al riesgo (o precavido),y el,es un .La figura demuestra que para,la reducci—n de la utilidad asociado con una ganancia de $10,000.Lo con-ef.Por lo general,un individuopuede ser tanto propenso como adverso al riesgo,en cuyo caso la curva de utilidad se-ÃcuantificandoÃla actitud del tomador de decisiones hacia el riesgo,con diferentes ni-veles de efectivo.En nuestro ejemplo,el intervalo deseado es (100.Para especificar los valores de efectivo intermedio (por ejemplo,$10,000,$0,$10,000,$20,000 y $30,000),establece-),el tomador de decisiones debe formular una preferenciagarantizadax($),neutros ante el riesgo (
1010100500XYZdabcef2020Miles de d—laresUtilidad40
0
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegos.El valor de (o indiferencia) hacia el riesgo.Por ejemplo,para $20,000,el tomador de decisio-igualmente atractivos.En este caso podemos calcular la utilidad de (en oposici—n a la aversi—n al riesgo).Por ejemplo,con CONJUNTO DE PROBLEMAS15.2CUsted es un estudiante en la Universidad de Arkansas y desea desesperadamente asistiral siguiente juego de b‡squetbol de los Razorbacks.El problema es que el boleto de ad-misi—n cuesta $10 y usted s—lo tiene $5.Puede apostar sus $5 en un juego de ,conuna probabilidad de 50-50 de duplicar su dinero o perderlo todo.Basado en el valor real del dinero,Ãintentar’a participar en el juego de Basado en su ardiente deseo de ver el juego,transforme el dinero real en una fun-Basado en la funci—n de utilidad que desarroll— en (b),Ãintentar’a participar en elLa familia Golden se acaba de mudar a una ciudad donde los terremotos no son raros.Deben decidir si construyen su casa de acuerdo con el c—digo s’smico de alto est‡ndar.Elcosto de construcci—n aplicando el c—digo s’smico es de $850,000;de lo contrario,puedeconstruirse una casa comparable por s—lo $350,000.Si ocurre un sismo (y la probabilidadde que ocurra uno es de .001),costar‡ $900,000 reparar una casa construida por debajo delas normas.Desarrolle la loter’a asociada con esta situaci—n,suponiendo una escala de que se incremente a $14,000 o de que se reduzca a $8,000 durante el siguiente a–o.Por100,determine la utilidad de rendimiento ($20,000)($20,000)
Probabilidad de indiferencia
Rendimiento neto ($)
Inversionista A
Inversionista B-20001.001.00-10000.300.9000.200.8010000.150.7020000.100.5030000.050.4040000.000.00
Trace la gr‡fica de las funciones de utilidad para los inversionistas cada inversionista ya sea como persona adversa al riesgo o como propensa al riesgo.
15.3Decisi—n bajo incertidumbrenes.Venture I puede producir un rendimiento neto de $20,000 con probabilidad de0.4 o una pŽrdida neta de $10,000 con probabilidad de 0.6.Venture II puede produ-probabilidad de 0.4.Basado en la funci—n de utilidad en (b),aplique el criterio dedebe elegir.15.3DECISIîN BAJO INCERTIDUMBRELa toma de decisiones bajo incertidumbre,as’ como bajo riesgo,implica acciones alter-Espec’ficamente,la matriz de retribuci—n de un problema de decisi—n con ooooo,representa el estado de la natura-.La retribuci—n o resultado asociado con la acci—n En la toma de decisiones bajo incertidumbre,la distribuci—n de probabilidad aso-,o se desconoce o no puede ser determinada.EstaLaplace.Ya que no se co-nocen las distribuciones de probabilidad,no hay raz—n alguna para creer que las proba-bilidades asociadas con los estados de la naturaleza sean diferentes.Por tanto,las alter-igualmente probables de que ocurran;es decir,) representa la ganancia,la mejor alternativa es la que da por resultado
n anj=1v(ai, sj)fP{s1}=P{s2}=Ã=P{sn}= 1
n .
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosmejor de las peores condiciones posibles.Si ) es una pŽrdida,entonces seleccio-) es una ganancia,utilizamos el criterio lamento de Savage ÃmoderaÃel grado de conservadurismo del cri-pŽrdidamin),considere la siguiente matriz de pŽrdidaFila m‡x,con una pŽrdida definida de$10,000,es la alternativa preferida.Sin embargo,puede ser mejor elegir ocurre.ƒste suele ser el casoFila m‡xEl œltimo criterio,,est‡ dise–ado para representar diferentes actitudesde decisi—n que van desde la m‡s optimista hasta la m‡s pesimista.Defina 0 .Si 0,entonces el criterio se reduce al cri-terio minimax conservador,que busca la .Si 1,en-.El$1,000$0$0$9,910$11,000$90$10,000$10,000,si ,si
15.3Decisi—n bajo incertidumbre0 y 1.Sin la fuerte sensaci—n con respecto a un optimismo y a un pesimismo extremos,
raz—n de Alaska para ense–ar tŽcnicas de sobrevivencia en ‡reas salvajes.NOS estima que laasistencia puede caer dentro de una de cuatro categor’as:200,250,300 y 350 personas.El costodel campamento ser‡ m’nimo cuando su tama–o satisfaga la demanda con exactitud.Las desvia-demanda no se satisface.Si representan los tama–os de los campamentos (200,250,300 yel nivel de asistencia,la siguiente tabla resume la matriz de costos (en51018258712232118122130221915El problema se analiza aplicando los cuatro criterios.Laplace.a 4,los valores esperados con las diferentes acciones se
$21,500
$18,000
23)
25) $14,500
Fila m‡x 51018252587122323211812213022191530
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosLa siguiente tabla resume los c‡lculos.
Alternativa
Fila m’n
Fila m‡x
(Fila m’n) )(Fila m‡x)
apropiadapodemos determinar la alternativa —ptima.Por ejemplo,en
es la —ptima,y en
excelUncertainty.xls Laplace,maximin,Savage y Hurwicz.La hoja de c‡lculo est‡ basada en el uso de una matrizde costos.Para utilizar una matriz de recompensas,todas las entradas deben multiplicarse por
1.El tama–o m‡ximo de la matriz es (10 CONJUNTO DE PROBLEMAS15.3AHank es un estudiante inteligente y suele obtener buenas calificaciones,siempre quepueda repasar el material del curso la noche anterior al examen.Para el examen de ma–a-na,Hank enfrenta un peque–o problema.Sus hermanos de fraternidad van a tener unafiesta que va a durar toda la noche,y a la cual le gustar’a asistir.Hank tiene tres opciones:),moderado (),o dif’cil (),dependiendodel impredecible humor del profesor.Hank anticipa las siguientes calificaciones:8560409285811008882
Savage.La matriz de arrepentimiento se determina restando 5,7,12 y 15 de las columnas 1 a 4,respectivamente.Por lo tanto,Fila m‡x036101030081611061625157025
15.4Teor’a de juegosSuponga que a Hank le interesa m‡s la calificaci—n que obtendr‡.Las calificacionesaprobatorias que van de la A a la D,son 90,80,70 y 60,respectivamente.ÃExigir’aPara la temporada de siembra venidera,Farmer McCoy puede sembrar ma’z (),trigo),o soya (),o utilizar el terreno para pastoreo ().Las retribuciones asociadas conlas diferentes acciones dependen de la cantidad de lluvia:lluvia fuerte (),lluvia mode-),lluvia ligera (),o sequ’a ().La matriz de retribuciones (en miles de d—lares)603040503501004512151510
M‡quina
($)Ki
100524012315034908
Desarrolle un curso de acci—n para Farmer McCoy basado en cada una de las cuatro de-cisiones bajo criterios de incertidumbre.c’fico.Las demandas m’nima y m‡xima del producto son **,respectivamente.,y est‡ dado comodecisi—n bajo incertidumbre.4000 y el siguiente conjunto de datos,resuelva el problema:
15.4TEORêA DE JUEGOSperar al otro.Ejemplos t’picos incluyen el lanzamiento de campa–as publicitarias deEn un conflicto,cada uno de los dos jugadores .Asociada con cada par de estrategiasretribuci—nque un jugador recibe del otro.Tal situaci—n se conoce como de suma cero entre dos personasda del otro.Esto significa que podemos representar el juego en funci—n de la retribu-ci—n que recibe un jugador.Designando los dos jugadores estrategias,
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosrespectivamente,el juego se presenta usualmente en funci—n de la matriz de retribu-15.4.1Soluci—n —ptima de juegos de suma cero entre dos personasDebido a que los juegos de suma cero o constante implican un conflicto de intereses,laintenta buscar una estrategia diferente porque el resultado ser‡ una retribuci—n peor.combinadas al azar.
Dos compa–’as,,venden dos marcas de un medicamento para la gripe.La compa–’a ),televisi—n ().La compa–’a ),la televisi—n (),tambiŽn env’a folletos por correo (Dependiendo de la efectividad de cada campa–a publicitaria,una compa–’a puede capturar unaparte del mercado de la otra.La siguiente matriz resume el porcentaje del mercado capturado o
Aplicaci—n de la vida real. Ordenaci—n de golfistas en el œltimo d’a de juegospor parejas de la copa RyderEn el d’a final de un torneo de golf,dos equipos compiten por el campeonato.El ca-termina las parejas.Para dos golfistas que ocupan el mismo orden en sus respectivaspizarras,es plausible suponer que haya una probabilidad de 50-50 de que cualquiera deellos gane el juego.La probabilidad de ganar se incrementa para un golfista de m‡salto orden cuando se enfrenta a uno de m‡s bajo orden.El objetivo es desarrollar unprocedimiento anal’tico que apoye o refute la idea de utilizar pizarras.El caso 12,cap’-
tulo 26,en el sitio web detalla el estudio basado en la teor’a de juegos.Fila m’nColumna m‡x8
B1B2ÃBnA1a11a12Ãa1mA2a21a22Ãa2moooooAmam1am1Ãamn
,la re-,y la retribuci—n para
15.4Teor’a de juegosdor.Si la compa–’a ,entonces,independientemente de lo que haga,lo peor que puede suceder es que .Esto se re-presenta por medio del valor m’nimo de las entradas en la fila 1.Asimismo,con la estrategia ,y con la estrategia ,el peor resultado es que pierda 9% ante B.Estos resultados aparecen bajo .Para lograr lo ,laLuego,para la compa–’a ,la matriz de retribuciones dada es para ,la est‡ basada en el valor minimax.El resultado es que la compa–’a ,lo que significa queambas compa–’as deben utilizar la publicidad por televisi—n.La retribuci—n favorecer‡ a la com-porque su segmento del mercado se incrementar‡ 5%.En este caso decimos que el valorquiera de las compa–’as.Si ),la compa–’a ,lo que resultar’a en una pŽrdida peor para (6 u 8%).Por la misma raz—n,,y 3% si se utiliza
Fila m’nColumna m‡x11
Dos jugadores,,juegan a tirar la moneda.Cada jugador,sin saberlo el otro,escoge cara ().Ambos jugadores revelan sus elecciones al mismo tiempo.Si coinciden (),el.De lo contrario,,respectivamente.$1 y $1,respectivamente,y el juego notiene una estrategia pura porque los dos valores no son iguales.Espec’ficamente,si el jugador ,el jugador .Si esto sucede,.La constante tentaci—nde cambiar de estrategia muestra que una soluci—n de estrategia pura no es aceptable.Lo que serequiere en este caso es que ambos jugadores combinen al azar sus estrategias puras respectivas.max del juego;es decir,En el ejemplo de tirar la moneda,el valor del juego debe quedar entre
pura.En su lugar,la soluci—n puede requerir combinar dos o m‡s estrategias al azar,como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosEn los juegos (a) y (b) dados a continuaci—n,la retribuci—n es para el jugador
B1B2B3B4A18628A28945A37535B1B2B3B4A14-4-56A2-3-4-9-2A367-8-9A473-95
510107En los juegos (a) y (b) dados a continuaci—n,la retribuci—n es para el jugador Especifique el intervalo del valor del juego en cada caso.1046
Dos compa–’as promueven dos productos competidores.En la actualidad,cada productocontrola 50% del mercado.Debido a mejoras recientes en los dos productos,cada compa–’aplanea lanzar una campa–a publicitaria.Si ninguna de las dos compa–’as se anuncia,conti-nuar‡n iguales las partes del mercado.Si alguna de las compa–’as lanza una campa–a m‡sagresiva,la otra compa–’a con toda certeza perder‡ un porcentaje proporcional de sus clien-tes.Un encuesta del mercado muestra que se puede llegar a 50% de los clientes potencialespor medio de la televisi—n,a 30% por medio de peri—dicos,y a 20% por medio de la radio.Formule el problema como un juego de suma cero entre dos personas,y determineDetermine un intervalo para el valor del juego.ÃPuede operar cada compa–’a conCONJUNTO DE PROBLEMAS15.4AEn los juegos (a) y (b) dados a continuaci—n,la retribuci—n es para el jugador .Cadajuego tiene una soluci—n de estrategia pura.En cada caso,determine las estrategias quedefinan el punto de silla y el valor del juego.
15.4Teor’a de juegos,la retribuci—n es para el jugador 15.4.2Soluci—n de juegos con estrategias combinadascos o programaci—n lineal.La soluci—n gr‡fica es adecuada para juegos con exactamen-te dos estrategias puras de uno o ambos jugadores.Por otra parte,la PL (programaci—nlineal) puede resolver cualquier juego de suma cero entre dos personas.El mŽtodo gr‡-fico es interesante porque explica la idea de un punto de silla visualmente.Soluci—n gr‡fica de juegos.tiene dos estrategias,,0 1.El jugador ,Ã,y ,Ã,y1.En este caso,la retribuci—n espe-rada de A correspondiente a la estrategia pura El jugador A busca el valor de que maximice las retribuciones m’nimas esperadas,esdecir,
4.La retribuci—n es para el jugador minimax no son iguales (ÃcompruŽbelo!).Las retribuciones esperadas de 432 6
Estrategia pura de B
Retribuci—n esperada de A1-2x1+42-x1+33x1+24-7x1+6
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegosLa figura 15.7 muestra una gr‡fica creada por TORA de las cuatro l’neas rectas asociadas,la envolvente inferior de las cuatro l’neas (delineada por franjas verticales) representa la.El m‡-ximo (mejor) de la envolvente inferior corresponde al punto de soluci—n maximinEste.La soluci—n —ptima del.El valor correspondiente del juego,,se0.5 en la funci—n o bien de la l’nea 3,o de la l’nea 4,lo cual da finen la envolvente inferior de la gr‡fica.Esto significa que .En consecuencia,las retribuciones esperadas de
2+2=5
2,-7(1
2)+6=5
Soluci—n gr‡fica del juego de suma cero entre dos personas del ejemplo 15.4-3 obtenida con TORA
Del menœ,seleccione la opci—ne ingrese los datos del problema,luego seleccione
SOLVE/MODIFY
Graphical
Zero-sum Games
Main
15.4Teor’a de juegos
Estrategia pura de A
Retribuciones esperadas de B14y3-12-4y3+6
l’neas dadas (ser‡ instructivo que trace las dos l’neas e identifique la envolvente superior).EsteLa soluci—n dala cual da el valor del juego comocon probabilidades iguales,ycon probabilidadesy (En realidad,el juego tiene solucio-dos l’neas.Cualquier combinaci—n no negativa de estas soluciones alternativas tambiŽn es unaComentarios.tiene dos,pueden tratarse del mismo modo.La diferencia principal es quePor consiguiente,buscaremos el punto minimax en lugar del punto maximin de lade las l’neas trazadas.Sin embargo,para resolver el problema conTORA,es necesario expresar la retribuci—n en funci—n del jugador que tiene dosestrategias,multiplic‡ndola por CONJUNTO DE PROBLEMAS15.4BRobin viaja entre dos ciudades y puede utilizar dos rutas.La ruta da de cuatro carriles,y la ruta es una larga carretera sinuosa.Robin maneja Ãsuperr‡-pidoÃ.La patrulla de caminos cuenta con una fuerza policial limitada.Si se asignara todala fuerza a la ruta por la que maneja Robin,con toda certeza recibir’a una multa de $100por exceso de velocidad.Si la fuerza se reparte 50-50 entre las dos rutas,hay 50% de pro-,y s—lo 30% de que reciba la.Desarrolle una estrategia tanto para Robin como para la pa-trulla de caminos.Resuelva gr‡ficamente los siguientes juegos.La retribuci—n es para el jugador
1
8.7
8v=4*( 7
8 )-1= 5
2 .y3= 7
8, 4y3-1=-4y3+6B1B2B3A11-37A224-6B1B2A158A265A357
Puede usar el m—dulo Zero-sum games de TORA para verificar su respuesta
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegos5505011.110110
Compruebe que las estrategiaspara ypara son —ptimas,ydetermine el valor del juego.cero entre dos personas puede expresarse como un programa lineal,y viceversa.Dehecho,GDantzig (1963,p‡g.24) expresa que cuando J.von Neumann,padre de lateor’a de juegos,la introdujo por primera vez al mŽtodo simplex en 1947,de inmediatoprogramaci—n lineal.Esta secci—n explica c—mo se resuelven los juegos mediante PL.,Ã,y ,pueden determinarse
54, 5
54 , 021 1
6, 0, 5
6 2
15.4Teor’a de juegosObserve que el valor del juego,,no est‡ restringido en cuanto a signo.,Ã,y ,se determinan resolviendo el,el problema de (irrestricta),el valor del juego.ci—n por medio de la definici—n de dualidad del cap’tulo 4).Esto significa que la soluci—n—ptima de un problema da autom‡ticamente la soluci—n —ptima del otro.
Resuelva el siguiente juego mediante programaci—n lineal.El valor del juego,,queda entre2 y 2.Fila m’nColumna m‡x34
Cap’tulo 15An‡lisis de decisiones y juegos0.29,y
.60,y CONJUNTO DE PROBLEMAS15.4CEn un paseo campestre,2 equipos de dos personas juegan a las escondidas.Hay cuatroescondites (A,B,C y D) y los dos miembros del equipo que se esconden pueden hacerlopor separado en dos de los cuatro escondites.El otro equipo puede entonces buscar enlos otros dos escondites restantes.El equipo que busca obtiene un punto si encuentra a los dos miembros del equipo que se esconde;si no encuentra a los dos pierde un punto.De lo contrario,el resultado es un empate.Desarrolle el problema como un juego de suma cero entre dos personas.Determine la estrategia —ptima y el valor del juego.La U de A y la U de D est‡n ideando sus estrategias para el juego de b‡squetbol colegialvaronil del campeonato de 1994.Valorando las fuerzas de sus respectivas ÃbancasÃ,cadatro.La habilidad de cada equipo de encestar canastas de 2 puntos,3 puntos y tiros libreses la clave para determinar el marcador final del juego.La siguiente tabla resume lospuntos netos que la U de A anotar‡ por posesi—n como una funci—n de las diferentes es-
de TORA para resolver cualquier juegode suma cero entre dos personas.
LP-basedQ
SolveQ
Zero-sum Games
Resuelva el juego mediante programaci—n lineal,y determine una estrategia para eljuego de campeonato.Basado en la informaci—n dada,Ãcu‡l de los dos equipos se perfila para ganar elPronostique el nœmero de puntos esperado con el cual se ganar‡ el campeonato.El ejŽrcito del coronel Blotto est‡ peleando por el control de dos posiciones estratŽgicas.Blotto dispone de dos regimientos y el enemigo de tres.Una posici—n caer‡ ante el ejŽrci-to con m‡s regimientos.De lo contrario,el resultado de la batalla es un empate.Formule el problema como un juego de suma cero entre dos personas y resuŽlvaloEn el juego Morra de dos dedos entre dos jugadores,cada jugador muestra uno o dosdedos,y al mismo tiempo adivina cu‡ntos dedos mostrar‡ el oponente.El jugador queadivina correctamente gana una cantidad igual al nœmero de dedos mostrados.De locontrario,el juego es un empate.Desarrolle el problema como un juego de suma ceroentre dos personas,y resuŽlvalo mediante programaci—n lineal.Chen,S.,y C.Hwang,Fuzzy Multiple Attribute Decision Making,Springer-Verlag,Berl’n,1992.Clemen,R.J.,y T.Reilly,Making Hard Decisions:An introduction to Decision Analysis,2a.ed.,Duxbury,Pacific Grove,CA,1996.Cohan,D.,S.Haas,D.Radloff,y R.Yancik,ÃUsing Fire in Forest Management:Decision MakingInterfaces,vol.14,nœm.5,p‡gs.8-19,1984.Dantzig,G.B.,,Princeton University Press,Princeton,NJ,Meyerson,R.,Game Theory:Analysis of Conflict,Harvard University Press,Cambridge,MA,Rapport,A.ÃSensitivity Analysis in Decision MakingÃ,The Accounting Revie,vol42,nœm.3,p‡gs.441-456,1967.Saaty,T.,RWSPublications,Pittsburgh,1994.
U de AU de AU de AU de A
16.1MODELOS DE REVISIîN CONTINUAEsta secci—n presenta dos modelos:(1) una versi—n ÃprobabilizadaÃdel modelo EOQmandas probabil’sticas,y (2) un modelo EOQ probabil’stico m‡s exacto que incluye la16.1.1Modelo EOQ ÃprobabilizadoÃmanda.El periodo cr’tico durante el ciclo de inventario ocurre entre la colocaci—n y laCAPêTULO 16Modelos de inventario probabil’sticos
Aplicaci—n de la vida real. Decisiones de inventario en la cadena de abasto de Dell Dell,Inc.implementa un modelo de negocio de ventas directas en el que las computa-doras personales se venden directamente a los clientes en los Estados Unidos.Cuandollega un pedido de un cliente,las especificaciones se env’an a una planta de manufac-tura en Austin,Texas,donde la computadora se construye,prueba y empaca en,aproxi-madamente,8 horas.Dell maneja poco inventario.A sus proveedores,que por locomœn se ubican en el sureste asi‡tico,se les pide que manejen lo que se conoce comoinventario ÃrevolventeÃdisponible en manufactura.Estos revolvedores son propiedad de Dell y los rentan a los proveedores.Dell entonces ÃsacaÃlas partes que necesita de los revolvedores,y la responsabilidadAunque Dell no posee el inventario guardado en los revolvedores,su costo se transfierede manera indirecta a los clientes mediante la fijaci—n de precios de los componentes.Por lo tanto,cualquier reducci—n del inventario beneficia directamente a los clientes deDell con la reducci—n de los precios de los productos.La soluci—n propuesta ha dadopor resultado un estimado de $2.7 millones en ahorros anuales.(El caso 13 del cap’tu-lo 26,en el sitio web de este libro,detalla este estudio).
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticos,impuestas al modelo EOQ cl‡sico
Tiempo
recepci—n de pedidos.ƒste es el lapso de tiempo en que se podr’an presentar los fal-tantes (agotamiento de las existencias).La idea entonces es mantener existencias deseguridad constantes que eviten la probabilidad de faltantes.Por intuici—n,una proba-bilidad de pocos faltantes implica mayores existencias de reserva,y viceversa.,y los par‡me-tros del modelo EOQ determin’sticoque incluyen el tiempo de espera,;la demanda,y la cantidad econ—mica de pedido (EOQ),.Observe que ;es decir,).Con arreglo a estasuposici—n,la demanda durante el tiempo de espera y desviaci—n est‡ndar.La f—rmula para es (representado de forma aproximada si es necesario por) un valor entero..Si ,entonces(0,1),(como se define en la secci—n 14.4.4),obtenemosDefiniendo el par‡metro .(El valor de narse desde la tabla normal est‡ndar que aparece en el apŽndice A,o utilizando elexcelStatTables.xls
sL fƒaz= xL-mL
sLP{xLÃB+mL}ƒasL=2Ls2
existencias,
(0, 1)
a
En el ejemplo 13.3-1,donde se determina la pol’tica de inventario de las luces de ne—n,la canti-dad econ—mica de pedido es de 1000 unidades.Suponga que la demanda (100,10);esdecir,10 unidades.Determine el tama–o deSegœn el ejemplo 13.3-1,el tiempo de espera 2 d’as.Por lo tanto,1.645,las existencias de reserva se calculan como
100) unidades.CONJUNTO DE PROBLEMAS16.1AEn el ejemplo 16.1-1,determine la pol’tica de inventario —ptima en cada uno de los si-Tiempo de espera 15 d’as.Tiempo de espera 23 d’as.Tiempo de espera 8 d’as.Tiempo de espera 10 d’as.(200,20).El costo de conservar el CD en los anaqueles es de $.04 por disco por d’a.Ala tienda le cuesta $100 colocar un nuevo pedido.El tiempo de espera para la entrega esde 7 d’as.Determine la pol’tica de inventario —ptima de la tienda dado que la tienda(300,5).El costo de retener un rollo en la tienda es de $.02 por d’a,y el costo fijo de colocar unpedido de reposici—n es de $30.La pol’tica de inventario de la tienda es pedir 150 rollossiempre que el nivel del inventario se reduzca a 80 unidades.Al mismo tiempo,mantie-ne siempre una existencia de reserva de 20 rollos.Determine la probabilidad de quedarse sin existencias.Dados los datos de la situaci—n,recomiende la pol’tica de inventario para la tienda,
=2102*2
=14.14 unidades L=DL=100*2=200 unidades
16.1Modelos de revisi—n continua
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticos16.1.2Modelo EOQ probabil’sticoLa base para el desarrollo del modelo EOQ ÃprobabilizadoÃen la secci—n 16.1.1 esÃplausibleÃ,pero no hay raz—n alguna para creer que el modelo produce una pol’ticade inventario —ptima.El hecho de que la informaci—n pertinente en relaci—n con la na-turaleza probabil’stica de la demanda se ignore en un principio,s—lo para ser Ãrevivi-daÃde una manera totalmente independiente en una etapa posterior de los c‡lculos,basta para refutar la optimalidad.Para remediar la situaci—n,esta secci—n presenta unrectamente en la informaci—n del modelo.Por supuesto,la precisi—n m‡s alta se obtie-ne a expensas de c‡lculos m‡s complejos.La figura 16.3 ilustra un cambio t’pico del nivel de inventario con el tiempo.como se ilustra por los ciclos 1 y 2,respectivamente.La pol’tica exige pedir la cantidad,siempre que la cantidad del inventario disponible se reduzca a un nivel .Como enel caso determin’stico,el nivel de volver a pedir entre la colocaci—n y la recepci—n de un pedido.Los valores —ptimos de tes por unidad de tiempo.La demanda no satisfecha durante el tiempo de espera se pone en rezago.No se permite m‡s de un pedido pendiente.naria con el tiempo.Para desarrollar la funci—n de costo total por unidad de tiempo,sean,durante el tiempo de espera
Tiempo
Ciclo 1
Ciclo 2
Tiempo
y
y
R
16.1Modelos de revisi—n continuaAhora se determinan los elementos de la funci—n de costos.es,de modo que el costo de preparaci—n por unidad de tiempo es aproximada-mente.Costo de retenci—n esperado.es el nivel de inventario promedio,el costo deLa f—rmula promedia los inventarios inicial y final esperados en un ciclo,el cual},respectivamente.Como una aproximaci—n,la expre-} pueda ser negativo.Costo por faltantes esperado..Su valor espe-es proporcional s—lo a la cantidad faltante,el costo es-perandopor ciclo es,y,bas‡ndose enciclos por unidad de tiempo,el costo porfaltante por unidad de tiempo es.Los valores —ptimo,,se determinan a partir de no pueden determinarse en formas cerradas.Seaplica un algoritmo iterativo,desarrollado por Hadley y Whitin (1963,p‡gs.169-174) a
pDyƒ=C2D1K+pS
h
0TCU
0R =h-apD
ybLqRf1x2=00TCU
0y =-aDK
y2b+h
2-pDS
y2=0TCUy, R2= DK
y+hay
2 +R-E{x}b+pD
y LqR1x-R2f1x2 dxpS
y/D = pDS
yD
yS=LqR1x-R2f1x2I= 1y+E{R-x}2+E{R-x}
2 = y
2 +R-E{x}KD
yD
y
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticoslas ecuaciones (1) y (2) para determinar la soluci—n.El algoritmo converge en un nœ-mero finito de iteraciones,siempre que haya una soluci—n factible.0,las ecuaciones (1) y (2) producenexisten cuando.El valor m’nimo de ,el cual ocurre cuando Paso0.,y sea 0.Establezca 1,yPaso i.a partir de la ecuaci—n (2).Si ,detŽngase;.De lo contrario,use .Establezca 1,y repita el paso
Electro utiliza resina en su proceso de fabricaci—n a raz—n de 1000 galones por mes.Colocar unpedido le cuesta $100 a Electro.El costo de retenci—n por gal—n por mes es de $2,y el costo porfaltante por gal—n es de $10.Los datos hist—ricos muestran que la demanda durante el tiempo deespera es uniforme en el rango (0,100) galones.Determine la pol’tica de colocaci—n de pedidos—ptima para Electro.Utilizando los s’mbolos del modelo,tenemosPrimero tenemos que verificar si el problema tiene una soluci—n œnica.Con las ecuacionesdey obtenemosDebido a que,existe una soluci—n œnica para
100 = R2
200 -R+50y'ÃyNy' = 10*1000
2 =5000 galonesyN =C2*10001100+10*502
2
=774.6 galonesy'yNf(x)= 1
100 , 0ƒxƒ100y1=yƒ=42KD
h
42
h
y'ÃyNy' = PD
hyN =C2D1K+pEx}2
h
16.1Modelos de revisi—n continuaPor consiguiente,Por lo tanto,,la soluci—n —ptima es 93.611 galones,nes.Se puede utilizar el archivo excelContRev.xls|.La pol’tica de inventario —ptima exige pedir
aproximadamente 320 galones siempre que el nivel del inventario se reduzca a 94 galones.
50 =93.611 galonesy3 =1100,000+10,000*.20399
=319.44 galonesS = R22
200 -R2+50=.20399 galonesR2=100- 319.39
50 -=93.612y2 =1100,000+10,000*.19971
=319.37 galonesS = R1
200 -R1+50=.19971 galonesR1 =100- 316.23
50 =93.68 galonesy1 =C2
h
=C2*1000*100
2
=316.23 galonesRi=100- yi
50L100R1
100 = 2yi
10*1000yi=C2*10001+10S2
2
=1100,000+10,000S
galones
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticosCONJUNTO DE PROBLEMAS16.1BPor los datos dados en el ejemplo 16.1-2,determine lo siguiente:El nœmero aproximado de pedidos por mes.El costo de preparaci—n mensual esperado.El costo de retenci—n esperado por mes.El costo por faltantes esperado por mes.Resuelva el problema 16.1-2,suponiendo que la demanda durante el tiempo de espera semantiene uniforme entre 0 y 50 galones.uniforme entre 40 y 60 galones.Compare la soluci—n con la obtenida en el ejemplo 16.1-2,e interprete los resultados.(En ambos problemas,}es la misma,Determine la soluci—n —ptima para el ejemplo 16.1-2,suponiendo que la demanda (100,2).Suponga que 10,000 galones por mes,$2 por gal—n por mes,$4 por gal—n,y 16.2MODELOS DE UN SOLO PERIODOsolo periodo de tiempo.Al final del periodo se desechan las unidades sobrantes,si lashay,como en el cado de art’culos de moda.Se desarrollar‡n dos modelos.La diferenciaentre ellos es si se incurre o no en un costo de preparaci—n para colocar un pedido.,durante el periodoretenci—n y por faltantes.Si ) es —ptima,la pol’tica de inventario exige pedir;de lo contrario,no se coloca pedido alguno.16.2.1Modelo sin preparaci—n (Modelo ).Tiene que ver con el almacenamiento y venta deperi—dicos.de que se recibe el pedido.
16.2Modelos de un solo periodo
y DD y0
yD
Tiempo
yD
.Si ,la cantidad se mantiene durante el periodo.Si El costo esperado durante el periodo,)},se expresa como,y por lo tanto tiene un m’-nimo œnico.Si tomamos la primera derivada cero,obtenemos ,es discreta,entonces la funci—n de costo asociada es
p+hhPDƒy}-p11-P{Dƒy}2=0hLy0f1D2 dD-pLq0f1D2 dD=0E{C1y2}=hLy01y-D2f1D2+pLqy1D-y2f1D2
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticosDespuŽs de algunas manipulaciones algebraicas,la aplicaci—n de estas condiciones da
p+h ƒP{Dƒyƒ}
Now que debe tener en existencia al inicio de cada d’a.El propietario paga 30 centavos por unejemplar y lo vende a 75 centavos.La venta del peri—dico suele ocurrir entre 7:00 y 8:00 .(lademanda es pr‡cticamente instant‡nea).Los peri—dicos que sobran al final del d’a se reciclan yse obtiene un ingreso de 5 centavos por ejemplar.ÃCu‡ntos ejemplares debe tener en existenciacada ma–ana?,suponiendo que la demanda del d’a puede describirse como ),definida como200220300320340.1.2.4.2.1
Los costos de retenci—n y penalizaci—n no se definen de forma directa en esta situaci—n.Lostavos,y que el costo de penalizaci—n por agotamiento de las existencias es de 75 vospor ejemplar.Por lo tanto,en funci—n de los par‡metros del problema de inventario,tene-(300,20).Podemos utilizar la plantilla excelStatTables.xlsdeterminar la cantidad de pedido —ptima ingresando 300 en F15,20 en G15,y .643 en L15,y as’se obtiene la respuesta deseada de 307.33 peri—dicos en R15.Adem‡s,podemos utilizar las tablasnormales est‡ndar del apŽndice A.Defina Por lo tanto,307.3.El pedido —ptimo es aproximadamente de 308 ejemplares.
20 =.366P{zƒ.366}L.643z= D-300
20p
p+h = 45
45+25 =.643
16.2Modelos de un solo periodo200220300320340.1.3.7.91.0
Caso (b).).Pero antes determinamos la FDA CONJUNTO DE PROBLEMAS16.2APara el modelo de un solo periodo,demuestre que para la demanda discreta la cantidadcio del periodo.La fdp asociada se mantiene uniforme entre 10 y 15 unidades.Debido ala dificultad de estimar los par‡metros de costo,la cantidad de pedido se determina demodo que la probabilidad de un excedente o de un faltante no exceda de .1.ÃEs posibleSi la cantidad de pedido es de 4 unidades,encuentre el intervalo permisible del costo depenalizaci—n unitario implicado por las condiciones —ptimas.Suponga que la demanda
012345678.05.1.1.2.25.15.05.05.05
Para la relaci—n cr’tica calculada de .643,tenemos
Por lo tanto,300 ejemplares.La librer’a de la U de A ofrece un programa de reproducci—n de apuntes de clase paraprofesores participantes.El profesor Yataha le da clases a un grupo de primer a–o deentre 200 y 250 estudiantes,distribuidos de manera uniforme.La reproducci—n de unacopia cuesta $10 y se vende a $25.Los estudiantes compran sus libros al inicio del semes-tre.Las copias de los apuntes del profesor Yataha que no se venden se trituran para re-ciclarlas.Mientras tanto,una vez que la librer’a se queda sin copias,no se imprimen m‡s.Si la librer’a desea maximizar sus ingresos,Ãcu‡ntas copias debe imprimir?.La tienda com-.DespuŽsde esa hora las donas se venden a 5 centavos cada una.La cantidad de clientes que com-pran donas entre las 6:00 y las 8:00 est‡ uniformemente distribuida entre 30 y 50.Cadacliente suele pedir 3 donas con cafŽ.ÃCu‡ntas donas debe tener aproximadamente en
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticosPol’tica de pedir —ptima (
SKyss1
No pedirPedir
E C(y)
E C(y)
E C(S)
E C(S)
Colony Shop se est‡ surtiendo de abrigos para el siguiente invierno.Colony paga $50 porun abrigo y lo vende a $110.Al final de la temporada invernal,Colony ofrece los abrigos a$55 cada uno.La demanda de abrigo durante la temporada invernal es de m‡s de 20 peromenor que o igual a 30,todos con iguales probabilidades.Debido a que la temporada inver-nal es corta,el costo de retenci—n es insignificante.Asimismo,el gerente de Colony no creeque la escasez de sacos provoque penalizaciones.Determine la cantidad de pedido —ptimaque maximizar‡ el ingreso para Colony Shop.Puede utilizar una aproximaci—n continua.Para el modelo de un solo periodo,suponga que el art’culo se consume de modo unifor-me durante el periodo (y no de forma instant‡nea al inicio del periodo).Desarrolle elmodelo de costo asociado,y determine la cantidad de pedido —ptima.el periodo,y que la fdp de la demanda es uniforme entre 0 y 100.(16.2.2Modelo con preparaci—n (Pol’tica .Utilizando la misma notaci—n,el costo esperado total por periodo esComo se muestra en la secci—n 16.2.1,el valor —ptimo Ya que es constante,el valor m’nimo detambiŽn debe ocurrir en ,y el valor de ),el cual se descarta.
1S2}=K+E{C1S2 s6SE{C
1y2}P{yƒyƒ}= p
p+h =K+hLy01y-D2f1D2+pLqy1D-y2f1D2E{C
1y2=K+E{C1y2}
es la cantidad disponible antes de que se coloque un pedido.Caso 1.ya est‡ disponible,su costo equivalente es )}.Si se),el costo correspondiente dada ,el cual incluye el costo de preparaci—n .De acuerdo con la figura 16.5,tenemosPor lo tanto,la pol’tica de inventario —ptima en este caso es pedir unidades.De acuerdo con la figura 16.5,tenemosPor lo tanto,es ventajoso pedir en este caso,y Caso 3 .De acuerdo con la figura 16.5,tenemos Esta condici—n indica que,como en el caso (2),no es ventajoso colocar un pedido;esdecir,La pol’tica de inventario —ptima,m‡s conocida como ,se resume como,no pedir
del periodo.La fdp de la demanda es uniforme entre 0 y 10 unidades.El costo de retenci—n uni-tario del art’culo durante el periodo es de $.50,y el costo de penalizaci—n unitario por agota-miento de las existencias es de $4.50.Se incurre en un costo fijo de $25 cada vez que se coloca unpedido.Determine la pol’tica de inventario —ptima para el art’culo.,considereInclusive,
10 dD = yƒ
10p
p+h = 4.5
4.5+.5 =.9E{C1x2}6E{C
1y2}(x7S)E{C1x2}ƒ m’n y7xE{C
1y2}=E1C
1S(sƒxƒS)m’n y7xE{C
1y2}=E1C
1S6E{C1x2}E{C
1y2}(x7 s)x7SsƒxƒSx6s
16.2Modelos de un solo periodo
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticosPol’tica
S 9Kys s1 19
IntervalofactibleNo pedirE C(y)
Por lo tanto,9,la ecuaci—n anterior se reduce a1,o 19.Se descarta el valor de .Debido a queno tiene un valor factible.Como se muestra en la figura16.6,la pol’tica de inventario —ptima en este caso exige que no se pida el art’culo.Este resultadose suele presentar cuando la funci—n de costo es ÃplanaÃo cuando el costo de preparaci—n es alto
con respecto a los dem‡s costos del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS16.2BDetermine la pol’tica de inventario —ptima para la situaci—n en el ejemplo 16.2-2,supo-En el modelo de un solo periodo de la secci—n 16.2.1,suponga que el modelo maximiza la.Si utilizando la informaci—n de la secci—n 16.2-1,desarrolle una expresi—n para la utilidad espe-rada,y determine la cantidad de pedido —ptima.Resuelva el problema numŽricamente para$10.La fdp de la demanda es uniforme entre 0 y 10.Resuelva el problema 5,conjunto 16.2a,suponiendo que hay un costo fijo de $10 asocia-do con la entrega de las donas.
10 1y-D2+4.5 L10y 1
10 1D-y2 dD
16.3MODELO DE VARIOS PERIODOScosto de preparaci—n.Adicionalmente,el modelo permite un retraso en el cumplimien-to de la demanda y supone un retraso cero en la entrega.Adem‡s,asume que una fdp),describe la demanda en cualquier periodo.El modelo de varios periodos considera el valor descontado del dinero.Si es el factor de descuento por periodo,entonces una cantidad $no satisfecha se deja pendiente exactamente un periodo.Defina1,Ã,y ,dado queel ingreso por unidad,respectivamente,la situaci—n del inventario puede formularse24,en el sitio web,detalla este punto):puede ser negativo porque la demanda no satisfecha se qued— pendiente.El problema puede resolverse de manera recursiva.En el caso en que la cantidadde periodos es infinita,la ecuaci—n recursiva se reduce acibir un pedido,respectivamente.
16.3Modelo de varios periodos
Cap’tulo 16Modelos de inventario probabil’sticosse determina a partir de la siguiente condici—n necesaria,la cualEl valor dese determina como sigue.Si hay m‡s unidades al inicio del siguiente periodo,la utilidad durante el siguiente periodo se incrementar‡,porque se tiene que pedir esta cantidad mucho menor.Esto significa que Por tanto,el nivel —ptimo del inventario La pol’tica de inventario —ptima durante cada periodo,si el nivel del inventario,se da por tanto como,pedir ,no pedirCONJUNTO DE PROBLEMAS16.3Amiento de la demanda se queda pendiente,y los pedidos se reciben con retraso cero enentrega.La fdp de la demanda por periodo es uniforme entre 0 y 10,y los par‡metros deFactor de descuento Encuentre la pol’tica de inventario —ptima para los dos periodos,suponiendo que el in-ventario inicial en el periodo 1 es cero.
p+h+11-a2r-c-h Ly0f(D) dD+c(1-a)r+pda1-Ly0f1D2b+ac Lq0f(D) dD=00F1y-D2
0y =c0F1y-D2
0y +aLq00F1y-D2
0y f1D2=0 0(.)
0y =-c-hLy0f(D) dD+Lqy[(1-a)r+p] f(D)
Factor de descuento que el no cumplimiento de la demanda se queda pendiente.cumplimiento de la demanda pendiente.Desarrolle la pol’tica de inventario —ptima basa-,la soluci—n —ptima es independienteCohen,R.,y R.Dunford,ÃForecasting for Inventory Control:An Example of When ÃSimpleÃInterfaces,vol.16,nœm.6,p‡gs.95-99,1986.Hadley,G.,y T.Whitin,Analysis of Inventory Systems,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,Nahmias,S.,Production and Operations Analysis,5a.ed.,Irwin,Homewood.IL,2005.Silver,E.,D.Pyke,y R.Peterson,,3a.ed.,Wiley,Nueva York,1998.Zipken,PFoundations of Inventory Management,McGraw-Hill,Boston,MA,2000.
Bibliograf’a569
17.1DEFINICIîN DE UNA CADENA DE MARKOV1,2à .La familia de variables aleatorias {con una cantidad finita o infinita de estados.
Ejemplo 17.1-1(Mantenimiento de una m‡quina)regular o buena.Para el mes ,el proceso estoc‡stico en esta situaci—n se representa como sigue:porque representa tres estados:malo (0),regular (1) y bueno (2).
Ejemplo 17.1-2(Taller)Los trabajos llegan al azar a un taller a raz—n de 5 trabajos por hora.El proceso de llegada sigueuna distribuci—n de Poisson,la cual,en teor’a,permite que llegue cualquier cantidad de trabajos).El proceso de estado infinito que describe la cantidad de
Proceso de Markov.futuro depende s—lo del estado inmediatamente anterior.Esto significa que dados los
CAPêTULO 17Cadenas de Markov
Cap’tulo 17Cadenas de Markov,la familia de variables aleatoriastes,las probabilidades en un punto espec’fico del tiempo probabilidad de transici—n en un pasoPor definici—n,tenemos cadena de Markov.Tiene la propiedad de que todas susprobabilidades de transici—n po.Aunque una cadena de Markov puede incluir un nœmero infinito de estados,la pre-sentaci—n en este cap’tulo se limita a s—lo cadenas finitas,ya que es el œnico que senecesita en el texto.
Ejemplo 17.1-3(Problema del jardinero)Cada a–o,durante la temporada de siembra de marzo a septiembre,un jardinero realiza una prue-ba qu’mica para verificar la condici—n de la tierra.Segœn el resultado de la prueba,la productividaden la nueva temporada puede ser uno de tres estados:(1) buena,(2) regular y (3) mala.A lo largode los a–os,el jardinero ha observado que la condici—n de la tierra del a–o anterior afecta la pro-se o permanecer como est‡ pero nunca mejorar.Por ejemplo,si la condici—n de la tierra es buenaen este a–o (estado 1) hay 20% de que no cambie el a–o siguiente,50% de probabilidad de que.2.5.30.5.5ooooo
17.1Definici—n de una cadena de Markovsea regular (estado 2),y 30% de probabilidad de que se deteriorar‡ a una condici—n mala (esta-do 3).El jardinero modifica las probabilidades de transici—n co.En este caso,la matriz de transici—n se vuelve:
El uso de fertilizante puede conducir a mejorar las condiciones del suelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS17.1AUn profesor de ingenier’a adquiere una computadora nueva cada dos a–os.El profesor,la siguiente2con probabilidad .2,o 3con probabilidad .15.Si el modelo2,las probabilidades de cambiar a 3son .6 y .25,respectivamente.Pero3,entonces las probabilidades de comprar los modelos ly son .5 y .1,respectivamente.Represente la situaci—n como una cadena de Markov.Una patrulla policiaca vigila un vecindario conocido por sus actividades pandilleriles.quiere la ayuda;si no sucede algo,continuar‡ el patrullaje regular.DespuŽs de recibir unallamada,hay 10% de probabilidades de cancelaci—n (en cuyo caso el patrullaje normal sereanuda),y 30% de probabilidad de que la unidad ya estŽ respondiendo a la llamada ante-rior.Cuando la patrulla llega a la escena del suceso,hay 10% de probabilidades de que losinstigadores hayan desaparecido (en cuyo caso reanuda su patrullaje),y 40% de probabili-dades de que se haga una aprehensi—n de inmediato.De otro modo,los oficiales rastrear‡nel ‡rea.Si ocurre una aprehensi—n,hay 60% de probabilidades de trasladar a los sospecho-sos a la estaci—n de polic’a,de lo contrario son liberados y la unidad regresa a patrullar.Cyert and Associates (1963).vencen o se retrasan.Si el pago sobre un prŽstamo se retrasa m‡s de cuatro trimestres (1 a–o),Banco 1 considera el prŽstamo como una deuda incobrable y la cancela.La siguien-te tabla proporciona una muestra de la experiencia anterior de Banco 1 con prŽstamos..30.60.10.10.60.30.05.40.55Exprese la situaci—n del prŽstamo de Banco 1 como una cadena de Markov.Pliskin and Tell (1981).trasplante o someterse a di‡lisis peri—dicas.Durante un a–o cualquiera,30% se somete a trasplantes cadavŽricos y 10% recibe ri–ones de donadores vivos.En el a–o despuŽs deun trasplante,30% de los trasplantes cadavŽricos y 15% de los recipiendarios de donado-
Cantidadprestada
Trimestres
0$2000 pagados,$3000 retrasados un trimestre,$3000 retrasados 2 trimestres,y el resto retrasados 3 trimestres.1$4000 pagados,$12,000 retrasados un trimestre,$6000 retrasados dostrimestres,y el resto retrasado 3 trimestres.2$7500 pagados,$15,000 retrasados un trimestre,y el resto retrasado 2 trimestres.3$42,000 pagados,y el resto retrasado un trimestre.4$50,000 pagados.
Cap’tulo 17Cadenas de Markovres vivos regresan a la di‡lisis.Los porcentajes de muertes entre los dos grupos son 20%y 10%,respectivamente.De aquellos que est‡n en el grupo de di‡lisis,10% mueren,y delos que sobreviven m‡s de un a–o despuŽs de un trasplante,5% mueren y 5% regresan ala di‡lisis.Represente la situaci—n como una cadena de Markov.17.2PROBABILIDADES DE TRANSICIîN ABSOLUTAS Y DE PASOS,las probabilidades absolutas.A partir de estosc‡lculos,podemos ver queChapman-Kolomogorov
La condici—n inicial de la tierra es buena,es decir (1,0,0).Determine las probabilidades.30.60.10.10.60.30.05.40.55.101659.52454.372881.101659.52454.372881.101659.52454.372881.30.60.10.10.60.30.05.40.55.101753.525514.372733.101702.525435.372863.101669.525384.372863.30.60.10.10.60.30.05.40.55
17.2Probabilidades de transici—n absolutas y de Por lo tanto,las probabilidades absolutas requeridas se calculan como son casi idŽnticos.El resultado es.Ello demuestra que,a medida que la cantidad de transiciones aumenta,inicial.Las probabilidades resul-
probabilidades de estado estableComentarios.Los c‡lculos asociados con las cadenas de Markov son tediosos.La plantilla celMarkovChains.xls CONJUNTO DE PROBLEMAS17.2AConsidere el problema 1,conjunto 17.1a.Determine la probabilidad de que el profesorcompre el modelo actual en 4 a–os.Considere el problema 2,conjunto 17.1a.Si la patrulla se encuentra en este momento enla escena de una llamada,determine la probabilidad de que haga una aprehensi—n en dospatrullajes.Considere el problema 3,conjunto 17.1a.Suponga que actualmente Banco 1 tiene prŽsta-mos pendientes que ascienden a $500,000.De Žstos,$100,000 son nuevos,$50,000 est‡nretrasados un trimestre,$150,000 est‡n retrasados dos trimestres,$100,000 est‡n retrasa-dos tres trimestres,y el resto est‡n retrasados m‡s de tres trimestres.ÃCu‡l ser’a la situa-Considere el problema 4,conjunto 17.1a.Para un paciente al que se est‡ tratando con di‡lisis,Ãcu‡l es la probabilidad de reci-Para un paciente que ha sobrevivido m‡s de un a–o,Ãcu‡l es la probabilidad de queUn juego de lanzamiento de dados utiliza una cuadr’cula de cuatro casillas.Las casillas,C y D con retribuciones monetarias de$6 y $9,respectivamente.Comenzando en la casilla ,lanzamos el dado parareloj.Por ejemplo,si el dado muestra 2,nos movemos a la casilla C.El juego se repite uti-Exprese el problema como una cadena de Markov.Determine la ganancia o pŽrdida esperadas despuŽs de lanzar el dado 5 veces.(100) .101659.52454.372881.101659.52454.372881.101659.52454.372881(.101659.52454.372881)(100) .101753.525514.372733.101702.525435.372863.101669.525384.372863(.101753.525514.372733)(100) .30.60.10.10.60.30.05.40.55(.30.60.1)
Cap’tulo 17Cadenas de Markov17.3CLASIFICACIîN DE LOS ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOVabsorbentees decir,otro estado.Matem‡ticamente,esto suceder‡ sies 1.Esto puede suceder si,y s—lo si,el estado no es transitorio.à pasos.Esto significa quecuando Con base en las definiciones dadas,una cadena de Markov tar de todos los estados transitorios porque,por definici—n,la propiedad transitoria re-quiere entrar a otro estado de ÃatrapamientoÃy nunca volver a visitar el estado transi-torio.El estado de ÃatrapamientoÃno necesita ser un solo estado absorbente.Porejemplo,considere la cadenael sistema se queda ÃatrapadoÃen los estados 3 y 4.Un los estados 3 y 4,que en cierta forma desempe–an el papel de un estado absorbente.Pordefinici—n,todos los estados de un ,lo cual significatransiciones;es decir,.Observe que cada uno de losestados 3y 4 aperi—dica(no peri—dica).En este caso las probabilidades absolutas despuŽs de transiciones,,siempre convergen de forma œnica a una distribuci—n limi-,como
Ejemplo 17.3-1(Estados absorbentes y transitorios)Los estados 1 y 2 son transitorios porque llegan al estado 3 pero nunca se puede regresar a ellos.1.Estas clasificaciones tambiŽn pueden verse cuandoes calculada.Por ejemplo,considere.2.5.30.5.50100001000.3.700.4.6
17.3Clasificaci—n de los estados en una cadena de MarkovEl resultado muestra que,a la larga,la probabilidad de volver a entrar al estado 1 o 2 es cero,yque la probabilidad de quedarse ÃatrapadoÃen el estado absorbente 3 es segura.
Ejemplo 17.3-2(Estados peri—dicos)Podemos probar la periodicidad de un estado calculando 2,3,4,Ã .Estos valores ser‡n positivos s—lo en el periodo correspondiente del estado.Por ejemplo,consideremos5).Esto significa que el periodo
CONJUNTO DE PROBLEMAS17.3AClasifique los estados de las siguientes cadenas de Markov.Si un estado es peri—dico,de-.10.9.7.30.2.7.10100000.5.50000.7.30000001000000.4.60000.28
21
41
4000101
301
31
.0567.942400.9424.05760.97696.02304.03456.9654400.6.4.6.40.24.7600.76.240.904.0960010.144.8560
Cap’tulo 17Cadenas de MarkovUn juego implica cuatro bolas y dos urnas.Una bola en cualquier urna tiene una proba-bilidad de 50-50 de ser transferida a la otra urna.Represente el juego como una cadenade Markov,y demuestre que sus estados son peri—dicos con periodo con tres filas y dos columnas.Cada muro interior tiene una puerta que conecta con lassalas adyacentes.Los guardias se desplazan por las salas a travŽs de las puertas interiores.Represente los movimientos de cada guardia en el museo como una cadena de Markov,y17.4PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE Y TIEMPOS DE RETORNO MEDIOS En una cadena erg—dica,las probabilidades de estado estable se definen comoEstas probabilidades,las cuales son independientes de,se pueden determinar dees redundante).Lo que permanecen sin cambiar despuŽs de una transici—n adicional,y por estaraz—n representan la distribuci—n de estado estable.por primera vez.Esto se conoce como tiempo medio del primer retorno medio de recurrencia,y se calcula en una cadena de Markov de
con fertilizante (ejemplo 17.1-3),tenemos.3.6.1.1.6.3.05.4.55
pj , j=1, 2, Ã, n ajpj=1 P=P P{aj(0)}pj= l’mn:q aj1n2, j=0, 1, 2, Ã
17.4Probabilidades de estado estable y tiempos de retorno medios de cadenas erg—dicasexcelMarkovChanins.xls
(Cualquiera de las primeras tres ecuaciones es redundante).La soluci—n es 0.3729;es decir que a la larga la condici—n de la tierra ser‡ buena 10% del tiempo,regular 52% del tiempo,y mala 37% del tiempo.Esto quiere decir que,en promedio,se requerir‡n aproximadamente 10 temporadas de siembraestado,2 temporadas para que regrese al estado ,y 3.Estos resultados apuntan hacia un panoramamenos promisorio para la condici—n de la tierra con el uso propuesto de fertilizantes.Un pro-grama m‡s agresivo debe mejorar el panorama.Por ejemplo,considere la siguiente matriz deEn este caso,0.58,y 0.11,lo cual da 8.9,un cam-
bio reversible del sombr’o panorama dado anteriormente.
excelMarkovChains.xls al ejemplo del jardinero.Ladena de Markov.Los pasos son autoexplicativos.En el paso 2a,puede invalidar los c—digos deestado preestablecidos (1,2,3,Ã) por un c—digo de su elecci—n,y luego hacer clic en el bot—n ubi-cado en la celda L2.Los nuevos c—digos se transferir‡n autom‡ticamente a travŽs de la hoja de
.35.6.05.3.6.1.25.4.35
.1017 =9.83, m22= 1
.5254 =1.9, m33= 1
.3729 =2.68
Cap’tulo 17Cadenas de Markov
Ejemplo 17.4-2(Modelo de costos)Considere el problema del jardinero con fertilizante (ejemplo 17.1-3).El jard’n necesita dossacos de fertilizante si la tierra es buena.La cantidad se incrementa en 25% si la tierra es regu-lar,y 60% si la tierra es mala.El costo del fertilizante es de $50 por saco.El jardinero estima unrendimiento anual de $250 si no se utiliza fertilizante,y de $420 si se aplica el fertilizante.ÃEs re-Aplicando las probabilidades de estado constante del ejemplo 17.4-1,obtenemos$170.Se recomienda eluso del fertilizante.CONJUNTO DE PROBLEMAS17.4AEn un d’a soleado,MiniGolf puede tener ingresos de $2000.Si el d’a est‡ nublado,los in-gresos se reducen 20%.Un d’a lluvioso reducir‡ los ingresos en 80%.Si hoy est‡ soleadohay 80% de probabilidades de que ma–ana estŽ soleado sin amenaza de lluvia.Si est‡nublado,hay 20% de probabilidades de que ma–ana llueva,y 30% de probabilidades deque estŽ soleado.Seguir‡ lloviendo hasta el d’a siguiente con una probabilidad de .8,perocon 10% de probabilidades de que estŽ soleado.Determine los ingresos diarios esperados para MiniGolf.Determine el promedio de d’as que no estar‡n soleados.A Joe le encanta salir a comer a los restaurantes del ‡rea.Sus comidas favoritas son lamexicana,la italiana,la china y la tailandesa.En promedio,Joe paga $10,00 por una co-mida mexicana,$15.00 por una comida italiana,$9.00 por una comida china,y $11.00 poruna comida tailandesa.Los h‡bitos alimenticios de Joe son predecibles:Hay 70% de pro-les de que cambie a una de las tres restantes.ÃCu‡nto paga Joe en promedio por su comida diaria?ÃCon quŽ frecuencia consume Joe comida mexicana?Algunos exconvictos pasan el resto de su vida libre en juicio,en la c‡rcel,o en libertadcondicional.Al inicio de cada a–o,las estad’sticas muestran que hay 50% de probabilida-des de que un exconvicto libre cometa un nuevo delito y de que sea procesado.El juezpuede enviar al exconvicto a la c‡rcel con una probabilidad de .6,u otorgarle la libertadcondicional con probabilidad de .4.Un vez que est‡n en la c‡rcel,10% de los exconvictosser‡n puestos en libertad por buena conducta.De los que est‡n en libertad condicional,10% cometen nuevos delitos y son arraigados para ser procesados,50% regresar‡n paracumplir su sentencia por violar las —rdenes de libertad condicional,y 10% ser‡n puestosen libertad por falta de pruebas.Los contribuyentes solventan el costo asociado con elcastigo de los exconvictos.Se estima que un juicio costar‡ aproximadamente $5000,unasentencia de c‡rcel promedio costar‡ $20,000,y un periodo de libertad condicional pro-Determine el costo esperado por exconvicto.$135.51
17.4Probabilidades de estado estable y tiempos de retorno medios de cadenas erg—dicas0123.1.3.4.2
La tienda est‡ comparando dos pol’ticas de colocar pedidos:(1) Pedir hasta 3 unidadescada 3 d’as si el nivel de las existencias es menor que 2;de lo contrario,no pedir.(2) Pedir3 unidades cada 3 d’as si el nivel del inventario es cero;de lo contrario,no pedir.El costofijo por ordenar por env’o es de $300,y el costo de retener las unidades excedentes porunidad por d’a es de $3.Se espera una entrega inmediata.Para las dos pol’ticas,compare el promedio de d’as entre agotamientos sucesivos delinventario.Hay tres categor’as de filtro del impuesto sobre la renta en los Estados Unidos:los quenunca evaden impuestos,lo que en ocasiones lo hacen,y los que siempre lo hacen.Unde los que no evadieron impuestos el a–o pasado,95% continuar‡ en la misma categor’aeste a–o;4% se mover‡ a la categor’a Ãa vecesÃ,y el resto se mover‡ a la categor’a Ãsiem-preÃ.Para los que a veces evaden impuestos,6% se mover‡ a ÃnuncaÃ,90% permanecer‡igual,y 4% se mover‡ a ÃsiempreÃ.Por lo que se refiere a los evasores de ÃsiempreÃ,losporcentajes respectivos son 0,10 y 90%.Exprese el problema como una cadena de Markov.A la larga,Ãcu‡les ser’an los porcentajes de las categor’as de evasi—n de impuestosde ÃnuncaÃ,Ãa vecesÃy ÃsiempreÃ?Las estad’sticas muestran que un contribuyente en la categor’a Ãa vecesÃevade im-puestos que suman aproximadamente $5000 por declaraci—n y en la categor’a Ãsiem-preÃsuman aproximadamente $12,000.Suponiendo que la poblaci—n de contribu-Warehouzer posee un bosque renovable para plantar pinos.Los ‡rboles caen dentro deuna de cuatro categor’as segœn su edad:bebŽs (0-5 a–os);j—venes (5-10 a–os);maduros(11-15 a–os),y viejos (m‡s de 15 a–os).Diez por ciento de los ‡rboles bebŽs y j—venes semuere antes de llegar al siguiente grupo de edad.Por lo que se refiere a los ‡rboles ma-duros y viejos,50% se talan y s—lo 5% se mueren.Debido a la naturaleza de renovaci—nde la operaci—n,todos los ‡rboles talados y muertos son reemplazados con ‡rboles nue-vos (bebŽs) al final del siguiente ciclo de cinco a–os.Exprese la din‡mica del bosque como una cadena de Markov.Si el bosque puede contener un total de 500,000 ‡rboles,determine la composici—n alargo plazo del bosque.en el mercado,determine el ingreso anual promedio derivado de la operaci—n del bosque.busca una mejor calidad de vida o un mejor empleo.La ciudad de Mobile tiene una pobla-ci—n citadina interna,una poblaci—n suburbana y una poblaci—n rural circundante.Ela los suburbios y 5% al interior de la ciudad.En cuanto a la poblaci—n suburbana,30% setraslada a las ‡reas rurales y 15% al interior de la ciudad.La poblaci—n del interior de laciudad no se cambiar’a a los suburbios,pero 20% s’ se cambiar’a a la quieta vida rural.Exprese la din‡mica de la poblaci—n como una cadena de Markov.Si el ‡rea metropolitana de Mobile en la actualidad incluye 20,000 residentes rurales,100,000 suburbanos,y 30,000 habitantes citadinos,Ãcu‡l ser‡ la distribuci—n de la po-Determine el panorama de la poblaci—n de Mobile a largo plazo.
Cap’tulo 17Cadenas de MarkovUna agencia de renta de autom—viles tiene oficinas en Phoenix,Denver,Chicago yAtlanta.La agencia permite rentas en una y en dos direcciones de modo que los autom—-viles rentados en un lugar pueden terminar en otro.Las estad’sticas muestran que al finalde cada semana 70% de todas las rentas son en dos direcciones.En cuanto a las rentas enuna direcci—n:Desde Phoenix,20% van a Denver,60% a Chicago,y el resto va aAtlanta;desde Denver,40% va a Atlanta y 60% a Chicago;de Chicago,50% va a Atlantay el resto a Denver;y desde Atlanta,80% va a Chicago,10% a Denver,y 10% a Phoenix.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.Si la agencia inicia la semana con 100 autos en cada lugar,Ãc—mo ser‡ la distribuci—nSi cada lugar est‡ dise–ado para manejar un m‡ximo de 110 autos,Ãhabr’a a la largade cada d’a.Los datos de los œltimos 30 d’as proporciona las siguientes posiciones de in-ventario al final del d’a:1,2,0,3,1,0,0,3,0,1,1,3,2,3,3,2,1,0,2,0,1,3,0,0,3,2,1,2,2.Represente el inventario diario como una cadena de Markov.Determine el inventario diario esperado.Determine el promedio de d’as entre inventarios cero sucesivos.En el problema 9,suponga que la demanda diaria puede exceder la oferta,lo cual dalugar a faltantes (inventario negativo).El nivel del inventario al final del d’a durante los 30 d’as pasados se da como:1,2,0,Ã2,2,2,Ã1,Ã1,3,0,0,1,Ã1,Ã2,3,3,Ã2,Ã1,0,2,0,Ã1,3,0,0,3,Ã1,1,2,Ã2.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.costo de penalizaci—n por libro faltante es de $4.00 por d’a,determine el costo del in-Una tienda inicia una semana con al menos 3 PC.La demanda por semana se estima en 0con probabilidad de .15,1 con probabilidad de .2,2 con probabilidad de .35,3 con proba-bilidad de .25,y 4 con probabilidad de .05.La demanda insatisfecha se deja pendiente.Lasiempre que el nivel del inventario se reduzca por debajo de 3 PC.El nuevo pedido siem-pre regresa las existencias a 5 PC.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.Suponga que la semana se inicia con 4 PC.Determine la probabilidad de que un pe-dido se coloque al final de dos semanas.Si el costo fijo de colocar un pedido es de $200,el costo de retenci—n por PC por se-mana es de $5,y el costo de penalizaci—n por computadora faltante es de $20,deter-Resuelva el problema 11,suponiendo que el tama–o del pedido,cuando se coloca,seaexactamente de 5 piezas.
17.5Tiempo del primer pasoEn el problema 12,suponga que la demanda de las PC es de 0,1,2,3,4 o 5 con iguales pro-babilidades.Suponga adem‡s que la demanda no satisfecha no se ha dejado pendiente,pero que aœn se incurre en un costo de penalizaci—n por faltante.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.Determine la probabilidad a largo plazo de que ocurra un faltante.Si el costo fijo de colocaci—n de un pedido es de $200,el costo de retenci—n porcomputadora por semana es de $5,y el costo de penalizaci—n por faltante de PC por semana es de $20,determine los costos de colocaci—n de pedido e inventario edo concesiones anuales para proyectos.Todas las licitaciones son competitivas,pero ladurante los œltimos tres a–os,y m’nima si se dieron otorgamientos en cada uno de los œl-timos tres a–os.De manera espec’fica,la probabilidad de obtener una concesi—n si no seha recibido ninguna en los œltimos tres a–os es de .9.Se reduce a .8 si se recibi— una,a .7si se recibieron dos,y de s—lo .5 si se recibieron tres.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.Determine la cantidad esperada de otorgamientos por propietario por a–o.Jim Bob ha recibido muchas multas por violaciones al reglamento de tr‡nsito.Desafortunadamente para Jim Bob,la tecnolog’a moderna puede seguir el rastro de susmultas anteriores.En cuanto acumula 4 infracciones,su licencia de manejo es revocadatorial limpio.Jim Bob es m‡s imprudente inmediatamente despuŽs de completar la clasede educaci—n vial,e invariablemente la polic’a lo detiene con 50% de probabilidades deser multado.DespuŽs de cada nueva multa,trata de ser m‡s cuidadoso,lo cual reduce laExprese el problema de Jim Bob como una cadena de Markov.Si cada multa es de $100,Ãcu‡nto,en promedio,paga Jim Bob entre suspensiones su-El clima diario en Fayettville,Arkansas,puede ser nublado (C),soleado (S),lluvioso (R),o ventoso (W).Los registros a lo largo de los œltimos 90 d’as sonCCSWRRWSSCCCRCSSWRCRRRRR CWSSWRWWRCRRRRCWSSWRWCCSWRRWSSCCCRCSSWSSWRWWRCRRRRCWSSWRWCCSWRRWSSS.Basado enestos registros,use una cadena de Markov para determinar la probabilidad de que un d’at’pico en Fayetteville pueda estar nublado,soleado,lluvioso o ventoso.17.5TIEMPO DEL PRIMER PASO,el.En esta secci—n nos interesa el ,definido como el nœmero esperado de transiciones para llegar.Los c‡lculos tienen su origen en la deter-,definido ,donde es la probabilidad del primer paso del estado transiciones.Se puede determinar una expresi—n pararecursivamente a partir de
Cap’tulo 17Cadenas de Markovestados.1,no es seguro que el sistema pase alguna vez del estado 1,la cadena de Markov es erg—dica,y el transiciones,,es utilizar la siguiente f—rmula ba-
Considere una vez m‡s la cadena de Markov del jardinero con fertilizantes.dem‡s,considere el paso de los estados 2 y 3,(regular y malo) al estado 1 (bueno).Por lo tanto,De modo que,Por lo tanto,se requerir‡n 12.5 temporadas en promedio,para pasar la tierra regular a tierrabuena,y 13.34 temporadas para ir de la tierra mala a la tierra buena.
,como se muestra a continuaci—n.
excelFirstPassTime.xls del primer paso.La figura 17.2 muestra los c‡lculos asociados con el ejemplo 17.5-1.El paso 2 de7.505.006.676.67.60.30.40.55.4.457.505.006.676.67.30.60.10.10.60.30.05.40.55
17.5Tiempo del primer pasoexcelFirstPassTime.xls
paso 1.En el paso 2a,puede anular los c—digos de estado preestablecidos en la fila 6 con un c—-digo de su elecci—n.El c—digo se transfiere entonces autom‡ticamente por toda la hoja de c‡lcu-lo.DespuŽs de que ingrese las probabilidades de transici—n,el paso 3 crea la matriz .El.Por ejemplo,para crear ,primero copie en la ubicaci—n destino seleccionada.A continuaci—n,resalte la columna 3 de la matriz copiada,c—rtela,y pŽguela en la columna 2,y as’ se elimina la columna 2.Asimismo,resalte ahora la fila 3de la matriz resultante,c—rtela,y luego pŽguela en la fila 2,y as’ se elimina la fila 2.La creada autom‡ticamente realiza su c—digo de estado correcto.,se calcula la inversa en la ubicaci—n destino.Las ope-Resalte E18:F19,el ‡rea donde residir‡ la inversa.
Cap’tulo 17Cadenas de Markov
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filas de la inversa,es decir,ingresando 2,e 3,los c‡lculos restantes se realizan de forma autom‡ti-
ca copiando E18:F19 en E22:F23 y E26:F27,y copiando H18:H19 en H22:H23 y H26:H27.CONJUNTO DE PROBLEMAS17.5AUn laberinto se compone de las rutas mostradas en la figura 17.3.La intersecci—n 1 es laentrada al laberinto,y la intersecci—n 5 es la salida.En cualquier intersecci—n,el rat—ntiene probabilidades iguales de seleccionar cualquiera de las rutas disponibles.Cuando elrat—n llega a la intersecci—n 5,el experimento se repite volviendo a entrar al laberintoExprese el laberinto como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de que,comenzando en la intersecci—n 1,el rat—n llegue ala salida despuŽs de tres intentos.En el problema 1,por intuici—n,si se agregan m‡s opciones (rutas) al laberinto,Ãse incre-Jim y Joe comienzan un juego con cinco fichas,tres para Jim y dos para Joe.Se lanza unamoneda,y si el resultado es cara,Jim le da a Joe una ficha,de lo contrario Jim obtieneuna ficha de Joe.El juego termina cuando Jim o Joe tiene todas las fichas.En este punto,hay 30% de probabilidades de que Jim y Joe continœen con el juego,comenzando denuevo con tres fichas para Jim y dos para Joe.Represente el juego como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de que Joe gane con tres lanzamientos de la moneda.Deque Jim gane haciendo lo mismo.Determine la probabilidad de que un juego termine a favor de Jim.A favor de Joe.gane.Joe gana.dar por polinizaci—n cruzada flores de lis rosas con flores de lis rojas,naranjas y blancas.las rojas pueden producir 40% rojas,50% rosas y 10% naranjas,las naranjas pueden pro-ducir 25% naranjas,50% rosas y 25% blancas,y las blancas pueden producir 50% rosas y50% blancas.Exprese la situaci—n del jardinero como una cadena de Markov.cada tipo de flores de lis,Ãc—mo ser’a la distribuci—n despuŽs de 5 a–os? ÃA largo plazo?
17.6An‡lisis de los estados absorbentesdiante publicidad y mercadotecnia inteligentes para que cambien de marcas.Considere el.Los clientes que se ÃmantienenÃleales a una marca dada seestiman en 75%,con un margen de s—lo 25% para que sus competidores hagan un cam-bio.Los competidores lanzan sus campa–as publicitarias una vez al a–o.Para los clientes,las probabilidades de que cambien a las marcas son de .1 y .15,res-pectivamente.Los clientes de la marca con las siguientes probabilidades:.2 y .05 respectivamente.Los clientes de la marca con probabilidades iguales.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.A largo plazo,ÃquŽ tanto segmento del mercado dominar‡ cada marca?17.6ANçLISIS DE LOS ESTADOS ABSORBENTESEn el problema del jardinero,sin fertilizante la matriz de transici—n se da como,y el estado 3,porque una vez que llega a ese estado el siste-ma permanecer‡ all’ por tiempo indefinido.Una cadena de Markov puede tener m‡s de unestado absorbente.Por ejemplo,un empleado puede permanecer con la misma compa–’ahasta su retiro o renunciar antes (dos estados absorbentes).En estos tipos de cadenas,nostransiciones para llegar a ella,dado que el sistema se inicia en un estado transitorio es-pec’fico.Por ejemplo,en la cadena de Markov antes dada,si actualmente la tierra esbuena,nos interesar‡ determinar el promedio de temporadas de siembra hasta que latierra se vuelva mala,e igualmente la probabilidad asociada con esta transici—n.forma conveniente con matrices.En primer lugar,la cadena de Markov se particionade la nueva matriz.Por ejemplo,considere la siguiente matriz de transici—n:.2.3.4.1.5.30.2.2.5.30.5.5
Cap’tulo 17Cadenas de MarkovEn este caso,tenemos tos 1),se puede demostrar que:Tiempo esperado en el estado Tiempo esperado para la absorci—n
Se procesa un producto en secuencia en dos m‡quinas,I y II.La inspecci—n se realiza despuŽs deque una unidad del producto se completa en cualquiera de las m‡quinas.Hay 5% de probabili-dades de que una unidad sea desechada antes de inspeccionarla.DespuŽs de la inspecci—n,hay3% de probabilidades de que la unidad sea desechada,y 7% de probabilidades de ser devuelta ala misma m‡quina para trabajarla de nuevo.De lo contrario,una unidad que pasa la inspecci—nPara una pieza que se inicia en la m‡quina 1,determine el promedio de visitas a cadaestado.Si un lote de 1000 unidades se inicia en la m‡quina I,determine el promedio de uni-dades buenas completadas.Para la cadena de Markov,el proceso tiene 6 estados:iniciar en 1(1),inspeccionar despuŽs1),iniciar en II (2),inspecci—n despuŽs de II (2),desechar despuŽs de la inspecci—n I o II),y buena despuŽs de II ().Los estados son estados absorbentes.La matriz de transi-0.9500.050.070.90.030000.95.05000.070.03.9000010000001.2.4.50.3.1.3.2.2.4.3.1.50.3.2
Adaptado de J.Shamblin y G.Stevens,Operations Research:A Fundamental Approach,McGraw-Hill,Nueva York,cap’tulo 4,1974.
17.6An‡lisis de los estados absorbentesPor lo tanto,puŽs del ejemplo 17.5-1),obtenemosmuestra que,en promedio,la m‡quina I es visitada 1.07 veces,la inspecci—n I es visitada 1.02 veces,la m‡quina II es visitada .98 veces,y la inspecci—n II es visi-tada .93 veces.La raz—n por la que el nœmero de visitas en la m‡quina I y la inspecci—n I seamayor que 1 son el retrabajo y la reinspecci—n.Por otra parte,los valores correspondientes param‡quina II.En realidad,en condiciones perfectas (ningunas piezas se desechan o retrabajan),asignando una probabilidad de transici—n de 1 a todos los estados).Por supuesto,la permaen cada estado podr’a diferir.Por ejemplo,si los tiempos de procesamiento en las m‡quinasI y IIson de 20 y 30 minutos y si los tiempos de inspecci—n en I y II son de 5 y 7 minutos,entonces unapieza que inicia en la m‡quina 1 ser‡ procesada (es decir,desechada o terminada) en (1.07 62.41 minutos.Para determinar la cantidad de piezas terminadas en un lote inicial de 1000 piezas,podemos
CONJUNTO DE PROBLEMAS17.6AEn el ejemplo 17.6-1,suponga que el costo de la mano de obra para las m‡quinas I y II esde $20 por hora y que para la inspecci—n es de s—lo $18 por hora.Suponga adem‡s que serequieren 30 minutos y 20 minutos para procesar una pieza en las m‡quinas I y II,respec-tivamente.El tiempo de inspecci—n en cada una de las dos estaciones es de 10 minutos.1.071.02.980.930.071.071.030.98001.071.02000.071.07.050.030.050.03.9.16.84.12.88.08.92.04.96.9500.071.90.0711.071.02.980.930.071.071.030.98001.071.02000.071.070.9500.070.90000.9500.070.050.030.050.03.9
Cap’tulo 17Cadenas de MarkovCuando pido prestado un libro de la biblioteca de la ciudad,trato de devolverlos despuŽsde una semana.Dependiendo del tama–o del libro y de mi tiempo libre,hay 30% de pro-babilidades de que lo conserve otra semana.Si me lo quedara dos semanas,hay 10% deprobabilidades que me lo quede una semana m‡s.En ninguna condici—n me lo quedom‡s de tres semanas.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.En el Casino del R’o,un apostador puede apostar en d—lares enteros.Cada apuesta gana$1 con probabilidad de .4 o pierde $1 con probabilidad de .6.Comenzando con tres d—la-res,el apostador se retirar‡ si pierde todo el dinero o bien lo duplica.Exprese el problema como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de terminar el juego con $6.De perder los $3.Jim debe avanzar cinco a–os para completar su doctorado en la Universidad ABC.Sinembargo le agrada la vida de estudiante y no tiene prisa para obtener su grado.En cual-quier a–o acadŽmico,hay 50% de probabilidades de que pueda tomarse un a–o sab‡ticoy 50% de probabilidad de dedicarle tiempo completo a su doctorado.DespuŽs de com-pletar tres a–os acadŽmicos,hay 30% de probabilidades de que Jim pueda dar Ãmarchaatr‡sÃy simplemente obtenga una maestr’a,20% de probabilidades de que se tome libreel siguiente a–o pero continuando con el programa de doctorado,y 50% de probabilida-des de que asista a la escuela a tiempo completo en busca de su doctorado.Exprese la situaci—n de Jim como una cadena de Markov.diante de Jim termine.ha descartado la posibilidad de hacerlo antes.Al final de cada a–o pondera sus opciones(y actitud con respecto al trabajo).La probabilidad de renunciar despuŽs de un a–o es des—lo .1,pero parece incrementarse en aproximadamente .01 con cada a–o m‡s que pasa.Exprese el problema como una cadena de Markov.A los 57 a–os,Ãcu‡l es la probabilidad de que el empleado renuncie?A los 58 a–os,Ãcu‡l es el nœmero esperado de a–os antes de que el empleado quedeEn el problema 3,conjunto 17.1a,pierda como una deuda incobrable.brable.De que se liquide en su totalidad.Si un prŽstamo tiene seis meses de antigŸedad,determine el nœmero de trimestresEn un torneo de tenis de individuales,Andre y John est‡n jugando un partido por el cam-peonato.El partido se gana cuando uno de los jugadores gana tres de cinco ÃsetsÃ.Lasestad’sticas muestran que hay 60% de probabilidades de que Andre gane cualquier set.Exprese el partido como una cadena de Markov.En promedio,Ãcu‡nto durar‡ el partido,y cu‡l el la probabilidad de que Andre gane
17.6An‡lisis de los estados absorbentesSi el marcador es 1 set a 2 a favor de John,Ãcu‡l es la probabilidad de que Andre gane?En el inciso (c),determine el nœmero promedio de sets hasta que el partido terminee interprete el resultado.Los estudiantes en U de A han expresado su disgusto por el r‡pido paso al cual el depar-tamento de matem‡ticas est‡ impartiendo el Cal I de un semestre.Para afrontar este pro-blema,el departamento de matem‡ticas ahora est‡ ofreciendo Cal I en 4 m—dulos.Losestudiantes establecer‡n su paso individual para cada m—dulo y,cuando estŽn listos,har‡n un examen que los llevar‡ al siguiente m—dulo.Los ex‡menes se aplican una vezcada 4 semanas,de modo que un estudiante diligente puede completar los 4 m—dulos enun semestre.DespuŽs de un par de a–os con este programa,20% de los estudiantes com-pleta el primer m—dulo a tiempo.Los porcentajes para los m—dulos del 2 al 4 fueron de22,25 y 30%,respectivamente.Exprese el problema como una cadena de Markov.En promedio,un estudiante que inici— el m—dulo I al principio del semestre actualÃRecomienda aplicar la idea del m—dulo a otras materias b‡sicas? Explique.En la U de A,la promoci—n de profesor asistente a profesor asociado requiere el equiva-lente de cinco puntos (a–os) de desempe–o aceptable.Se realizan revisiones de desem-pe–o una vez al a–o,y el candidato recibe una calificaci—n promedio,una buena califica-ci—n o una calificaci—n excelente.Una calificaci—n promedio equivale a estar a prueba,elcandidato no gana puntos hacia la promoci—n.Una buena calificaci—n equivale a ganarun punto,y una calificaci—n excelente suma dos puntos.Las estad’sticas muestran que enbuena calificaci—n;el resto obtiene una calificaci—n excelente.Exprese el problema como una cadena de Markov.Determine el promedio de a–os hasta que un nuevo profesor asistente sea promovido.Pfifer and Carraway (2000).enviada por correo.Durante el primer a–o,la probabilidad de que un cliente realice unacompra es de .5,la cual se reduce a .4 en el a–o 2,de .3 en el a–o 3,y de .2 en el a–o 4.Sino realiza ninguna compra en cuatro a–os consecutivos,el cliente es borrado de la listade correo.Si hace una compra la cuenta regresa a cero.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.lista de correo.Si un cliente no ha realizado una compra en dos a–os,determine el nœmero esperadode a–os que estar‡ en la lista de correo.112 volts.Si el voltaje se sale de este intervalo,la m‡quina se detiene.El regulador de vol-taje de la m‡quina puede detectar variaciones en incrementos de un volt.La experienciamuestra que el voltaje cambia cada 15 minutos.Dentro del intervalo permisible (118 a112 volts) el voltaje puede subir 1 volt,permanecer igual,o bajar un volt,todos con igua-les probabilidades.Exprese la situaci—n como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de que la m‡quina se detenga a causa de un voltaje bajo.De un voltaje alto.
Cap’tulo 17Cadenas de MarkovConsidere el problema 4,conjunto 17.1a,que tiene que ver con los pacientes que sufrende falla de ri–—n.Determine las siguientes medidas:Cu‡ntos a–os puede un paciente permanecer sometido a di‡lisis.La longevidad de un paciente que inicia un tratamiento de di‡lisis.de un trasplante.(presumiblemente,pasar pocos a–os con di‡lisis significa una mejor calidad de vida).Bini,D.,E.Harold,y J.Palacios,Numerical Methods for Structured Markov Chains,University Press,Nueva York,2005.Cyert,R.,H.Davidson,y G.Thompson,ÃEstimation of the Allowance for Doubtful Accounts byManagement Science,vol.8,nœm.4,p‡gs.287-303,1963.Pfifer,P.,y R.Cassaway,ÃModeling Customer Relations with Markov ChainsÃ,Journal of,vol.14,nœm.2,p‡gs.43-55,2000.Grimmet,G.,y D.Stirzaker,,2a.ed.,Oxford University Press,Oxford,Inglaterra,1992.Pliskin,J.,y E.Tell,ÃUsing Dialysis Need-Projection Model for Health Planning in,vol.11,nœm.6,p‡gs.84-99,1981.Stewart,W.,Introduction to the Numerical Solution of Markov Chains,Princeton UniversityPress,Princeton,NJ,1995.Tijms,H.,A First Course in Stochastic Models,Wiley,Nueva York,2003.
18.1ÃPOR QUƒ ESTUDIAR LAS COLAS?Esperar que nos atiendan es parte de la vida diaria.Esperamos en los restaurantes,ha-cemos fila para abordar un avi—n,y nos formamos en la cola para que nos atiendan endependencias oficiales.El fen—meno de esperar no se limita a los seres humanos:lostrabajos esperan para ser procesados,los aviones vuelan en c’rculos a diferentes alturashasta que se les permite aterrizar,y los autos se detienen en los sem‡foros.Eliminar laoperaci—n del centro de operaci—n puede ser prohibitivo.Nuestro œnico recurso es bus-medio de medidas de desempe–o representativas,tales como longitud promedio de la cola,tiempo de espera promedio en la cola,y el uso promedio de la instalaci—n.El siguiente ejem-plo demuestra c—mo pueden usarse estas medidas para dise–ar una instalaci—n de servicio.CAPêTULO 18
Aplicaci—n de la vida real. Estudio de un sistema de transporte interno en una planta de manufactura En una planta de manufactura se utilizan tres camiones para transportar materiales.Los camiones esperan en un lote central de estacionamiento hasta que se les solicita.Uncami—n que responde a una solicitud viajar‡ a las instalaciones del cliente,transportar‡una carga a su destino,y luego regresar‡ al lote central.Los departamentos principalesque utilizan el servicio son el de producci—n,taller de reparaciones,y el departamentode mantenimiento.Los usuarios se han quejado por el largo tiempo que esperan a quese desocupe un cami—n,en especial el departamento de producci—n,para solicitar que seagregue un cuarto cami—n a la flotilla.ƒsta es una aplicaci—n inusual,porque la teor’alog’stica,y que con un simple cambio del procedimiento de operaci—n de la flotilla decamiones no se requiere un cuarto cami—n.El caso 14 del cap’tulo 26,en el sitio web,detalla el estudio.
Cap’tulo 18Sistemas de colas
McBurger es un restaurante de comida r‡pida con tres mostradores de servicio.El gerente deseaagilizar el servicio.Un estudio revela la siguiente relaci—n entre la cantidad de mostradores y el
actual de tres mostradores.Cinco mostradores reducir’an la espera a 3 minutos aproximadamente.Modelo basado en costos.servicio y la espera por parte de los clientes.La figura 18.1 ilustra un modelo de costosAl mismo tiempo,el costo de esperar se reduce con el incremento del nivel de servicio.terminar el costo de la espera,sobre todo la que experimentan las personas.Este puntoCONJUNTO DE PROBLEMAS18.1A
Costo totalCosto de operar la instalaci—n de servicio Nivel de servicio Costo de esperar s por unidad Nivel de servicioCosto
Cantidad de cajeros
1
2
3
4
5
6
Tiempo de espera promedio (min)16.210.36.94.82.91.91.3
Cantidad de cajeros
1
2
3
4
5
6
Inactividad (%)081218293642
18.2Elementos de un modelo de colasy,al mismo tiempo,mantener la eficiencia de la instalaci—n aproximadamente a90%.ÃPueden alcanzarse las dos metas? Explique.Acme Metal Jobshop se encuentra en el proceso de comprar un taladro vertical de usosmœltiples.Dos modelos,,est‡n disponibles con costo de operaci—n por hora de $18y $25,respectivamente.El modelo .El an‡lisis de colas de,el nœmero promedio de trabajos enla cola es 4,el cual es 30% mayor que el tama–o de la cola en .Un trabajo retrasado re-presenta un ingreso perdido,el que Acme estima en $10 por trabajo en espera por hora.ÃCu‡l modelo debe comprar Acme?18.2ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS.Los clien-.Al llegar,un cliente puedesi la instalaci—n est‡ ocupada.Cuandouna instalaci—n completa un servicio,ÃjalaÃde forma autom‡tica a un cliente que est‡esperando en la cola,si lo hay.Si la cola est‡ vac’a,la instalaci—n se vuelve ociosa hastaque llega un nuevo cliente.Desde el punto de vista del an‡lisis de colas,la llegada de los clientes est‡ repre-tiempo entre llegadas(tiempo entre llegadas sucesivas),y el servicio sepor cliente.Por lo general,los tiempos entre llegadas yde servicio son probabil’sticos (por ejemplo,la operaci—n de una dependencia oficial)desempe–a un papel en el an‡lisis de colas.Puede ser finito(como en el ‡rea intermedia entre dos m‡quinas sucesivas),o,para todos los prop—si-tos pr‡cticos,infinita (como en las instalaciones de pedidos por correo).,la cual representa el orden en que se seleccionan los clien-tes en una cola,es un factor importante en el an‡lisis de modelos de colas.La discipli-primero en llegar,primero en ser atendido (FCFS,por sus siglasen inglŽs).Entre otras disciplinas esta (LCFS,(SIRO,por sus siglas eninglŽs).Los clientes tambiŽn pueden ser seleccionados de entre la cola,con base en algœn.Por ejemplo,los trabajos urgentes en un taller se procesan antesque los trabajos regulares.ra.Los clientes pueden el tiempo de espera,pueden anticipada,o de una cola porque han estado esperando demasiado.ejemplo la operaci—n de una dependencia oficial o un banco).Los servidores tambiŽnpueden estar dispuestos en serie (a saber,los trabajos procesados en m‡quinas sucesi-La fuente de la cual se generan los clientes puede ser finita o infinita.Una servicio de un tŽcnico en mantenimiento).Una es,para todo prop—sito pr‡c-tico,por siempre abundante (como las llamadas que entran a un conmutador telef—nico).
Cap’tulo 18Sistemas de colaslos de colas matem‡ticos.Este cap’tulo proporciona ejemplos de dichos modelos.LasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.2AEn cada una de las siguientes situaciones,identifique al cliente y al servidor:Aviones que llegan a un aeropuerto.Herramientas verificadas en un taller de maquinado.Casos en cortes legales.Operaci—n de pagar en un supermercado.Operaci—n de un estacionamiento.Para cada una de las situaciones en el problema 1,identifique lo siguiente:(a) la natura-leza de la fuente solicitante (finita o infinita);(b) la naturaleza de los clientes que llegan(individualmente o en masa);(c) el tipo del tiempo entre llegadas (probabil’stico o deter-min’stico);(d) la definici—n y el tipo del tiempo de servicio;(f) la capacidad de la cola (fi-nita o infinita),y (g) disciplina en las colas.Estudie el siguiente sistema e identifique las situaciones de colas asociadas.En cada si-tuaci—n,defina los clientes,el(los) servidor(es),la disciplina en colas,el tiempo de servi-cio,la longitud m‡xima de la cola y la fuente solicitante.En un taller se reciben —rdenes de trabajo para ser procesadas.Cuando las recibe,elsupervisor decide si es un trabajo urgente o regular.Algunas —rdenes requieren el uso deuna o de varias m‡quinas idŽnticas.Las —rdenes restantes se procesan en una l’nea deproducci—n de dos etapas,de la cual dos est‡n disponibles.En cada grupo,se asigna unainstalaci—n para manejar los trabajos urgentes.gan.Las —rdenes terminadas se env’an en cuanto llegan de una zona de env’o de capaci-sito central de herramientas.Cuando una m‡quina se aver’a,se solicita una tŽcnico enmantenimiento del centro de servicio para que la repare.Las m‡quinas que procesan —r-Si se anticipa un largo tiempo de espera,un cliente que llega puede desistir de hacer cola.En cada una de las situaciones descritas en el problema 1,analice la posibilidad de quelos clientes se cambien de cola,desistan de hacer cola o se salgan de una.18.3PAPEL DE LA DISTRIBUCIîN EXPONENCIALEn la mayor’a de las situaciones de colas,las llegadas ocurren .Aleatoriedad sig-del œltimo evento.
18.3Papel de la distribuci—n exponencialdistribuci—n exponencial,la cual se define como totalmente aleatorio.Porejemplo,si en este momento la hora es 8:20 .y la œltima llegada fue a las 8:02 tervalo de las 8:20 a las 8:29,y es totalmente independiente del tiempo que ha transcu-.Dado que ,entre even-tos sucesivos (llegadas),si es el intervalo desde la ocurrencia del œltimo evento,en-Para comprobar este resultado,observamos que para la exponencial con mediaPor lo tanto,
ocurre una falla.El tiempo para que falle la m‡quina (o su unidad de respaldo) es exponencialy ocurre cada 5 horas en promedio.El operador de m‡quina afirma que Žsta Ãtiene el h‡bitoÃde.Analice la afirmaci—n del operador.La tasa de fallas promedio de la m‡quina esfallas por hora.Por lo tanto,la dis-
5 =.2 =P{t7T} =e-l(T+S)
e-lS =e-lT P{t7T+S|t7S}= P{t7T+S,t7S}
P{t7S} = P{t7T+S}
P{t7S}P{t7Y}=1-P{t6Y}=e-lY1
l ,P{t7T+S| t7S}=P{t7T} {tƒT}=3 T 0le-ltdt=1-e-lTE{t}= 1
lf(t)=le-lt, t70
Cap’tulo 18Sistemas de colasCon respecto a la afirmaci—n del operador,sabemos sin pensarlo que no puede ser ciertaporque entra en conflicto con el hecho de que el tiempo entre aver’as es exponencial y por,con-siguiente,totalmente aleatorio.La probabilidad de que ocurra una falla a las 8:30 .no puedeusarse para sustentar o refutar la afirmaci—n del operador,porque el valor de tal probabilidad.) a la cual se calcule.Por ejemplo,si en este mo-.,entonces hay una baja probabilidad de que la afirmaci—n del operadorsea correcta,es decir,.,entonces la probabilidad de que ocurra una falla a las.se incrementa a aproximadamente .777 (ÃcompruŽbelo!).Estos dos valores extremosCONJUNTO DE PROBLEMAS18.3A1.(a)llegadas promedio.ÃCu‡les son las unidades que describen cada variable?En cada uno de los siguientes casos,determine la tasa de llegadas promedio por,y el tiempo entre llegadas promedio en horas.Cada 6 minutos ocurren dos llegadas.El intervalo promedio entre llegadas sucesivas es de .5 horas.En cada uno de los siguientes casos,determine la tasa de servicio promedio por,y el tiempo de servicio promedio en horas.Se completa un servicio cada 12 minutos.Cada 15 minutos ocurren dos salidas.El tiempo promedio de servicio es de .3 horas.En el ejemplo 18.3-1,determine lo siguiente:El promedio de fallas en una semana,suponiendo que el servicio se ofrece las 24horas del d’a,7 d’as a la semana.La probabilidad de al menos una falla en un periodo de 24 horas.ocurra dentro de 3 horas.Si no ha ocurrido ninguna falla 3 horas despuŽs de la œltima falla,Ãcu‡l es la proba-El tiempo entre llegadas a la Oficina Estatal de Hacienda es exponencial,con valormedio de .05 horas.La oficina abre a las 8:00Escriba la distribuci—n exponencial que describe el tiempo entre llegadas..El œltimo cliente lleg— a la oficina a la 8:26.ÃCu‡l.?,Ãde que
pEt6 10
60 F=1-e-.2A 10
60 B=.03278
18.3Papel de la distribuci—n exponencialmedia de 6 horas.Si la m‡quina ha funcionado sin fallar durante las œltimas 3 horas,Ãcu‡les la probabilidad de que siga funcionando sin fallar durante la siguiente hora?,Ãde quemedia de 10 minutos.ser‡n (a) de menos de 2 minutos;(b) entre 2 y 3 minutos,y (c) de m‡s de tres minutos.Las llegadas en restaurantes similares ocurren a raz—n de 35 clientes por hora.El tiempoentre llegadas est‡ distribuido exponencialmente.Ann y Jim,dos empleados en un restaurante de comida r‡pida,efectœan el siguientejuego mientras esperan que lleguen clientes:Jim le paga a Ann 2 centavos si el siguientecliente no llega dentro de 1 minuto;de lo contrario,Ann le paga a Jim 2 centavos.Determine la ganancia promedio de Jim en un periodo de 8 horas.El tiempo entre llega-das es exponencial con media de 1.5 minutos.Suponga que en el problema 7 las reglas del juego son tales que Jim le paga a Ann 2 cen-tavos si el siguiente cliente llega despuŽs de 1.5 minutos,y Ann le paga a Jim una canti-dad igual si la siguiente llegada ocurre dentro de 1 minuto.Para llegadas dentro del inter-valo de 1 a 1.5 minutos,el juego es un empate.Determine la ganancia esperada de Jim enun periodo de 8 horas.En el problema 7,suponga que Ann le paga a Jim 2 centavos si la siguiente llegada ocurredentro de 1 minuto,y 3 centavos si el tiempo entre llegadas es entre 1 y 1.5 minutos.Annrecibe de Jim 5 centavos si el tiempo entre llegadas es entre 1.5 y 2 minutos,y 6 centavos sies de m‡s de 2 minutos.Determine la ganancia esperada de Ann en un periodo de 8 horas.del cliente inmediatamente anterior recibir‡ 10% de descuento.Si el tiempo entre llega-das es de entre 4 y 5 minutos,el descuento es de 6%.Si el tiempo entre llegadas es dem‡s de 5 minutos,el cliente obtiene 2% de descuento.El tiempo entre llegadas es expo-nencial con una media de 6 minutos.Determine la probabilidad de que un cliente que llega reciba 10% de descuento.Se sabe que el tiempo entre fallas de un refrigerador Kencore es exponencial con valormedio de 9000 horas (aproximadamente 1 a–o de operaci—n),y la compa–’a emite unagarant’a de 1 a–o sobre el refrigerador.ÃCu‡les son las probabilidades de que la repara-La U de A opera dos l’neas de autobuses en el campus:roja y verde.La l’nea roja prestaservicio al norte del campus,y la verde al sur del campus,con una estaci—n de transferen-cia que une las dos rutas.Los autobuses verdes llegan al azar (tiempo entre llegadas ex-ponencial) a la estaci—n de transferencia cada 10 minutos.Los autobuses rojos tambiŽn lohacen al azar cada 7 minutos.Demuestre que la media y la desviaci—n est‡ndar de la distribuci—n exponencial son iguales.
Cap’tulo 18Sistemas de colas18.4MODELOS DE NACIMIENTO Y MUERTE PUROS (RELACIîN ENTRE LASEsta secci—n presenta dos situaciones de colas,el modelo de s—lo ocurren llegadas,y el modelo de en el cual s—lo ocurren salidas.UnreciŽn nacidos.El modelo de muerte pura puede demostrarse por medio del retiroentre las distribuciones exponencial y la de Poisson,en el sentido de que una distribu-18.4.1Modelo de nacimiento puroclientes por unidad de tiempo,entoncesΩ 0,tenemosΩ 0,cuandomucho puede ocurrir un evento (llegada).Por lo tanto,a medida que ,con la tasa de llegadas,,como constante de proporcionalidad.do el tiempo entre llegadas es exponencial con mediadefinaΩ 0 suficientemente peque–o,
l ,p1(h)=1-p0(h)Llhp0(h)=e-lh=1-lh+ (lh)2
2! -Ã=1-lh+0(h2) =e-lt =1-(1-e-lt) =1-P{tiempo entre llegadasƒt} 0(t)=P{tiempo entre llegadasÃt}
18.4Modelos de nacimiento y muerte puros ninguna llegada durante ,o .No sepermiten todas las dem‡s combinaciones porque,de acuerdo con la distribuci—n expo-nencial,a lo sumo puede haber una llegada durante un periodo muy peque–o.La leylas llegadas son independientes.En cuando a la segunda ecuaci—n,durante ,tenemosdistribuci—n de Poisson media,entonces la cantidad de llegadas durante un periodo espec’fico es Poisson.Lo contrario tambiŽn funciona.Poisson,dada la tasa de llegadas
lE{n|t}=ltpn(t)= (lt)ne-lt
n! , n=0, 1, 2, à pœ0(t)= l’m h:0 p0(t-h)-p0(t)
h =-lp0(t), n=0 œn(t)= l’m h:0pn(t+h)-pn(t)
h =-lpn(t)+lpn-1(t n70
En una ciudad grande nacen bebŽs a raz—n de uno cada 12 minutos.El tiempo entre nacimientossigue una distribuci—n exponencial.Determine lo siguiente:La cantidad promedio de nacimientos por a–o.40 actas durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas.
Exponencial
PoissonVariable aleatoriaTiemposucesivas,,durante
Valor medio
l unidades de tiempolTllegadas durante TProbabilidad acumuladaP{tƒA}=1-e-lApnƒN(T)=p0(T)+p1(T)+Ã+pN(T)PA}P{t7A}=e-lAp0(A)=e-lA
Cap’tulo 18Sistemas de colasPor lo tanto,la cantidad de nacimientos por a–o en el estado es es de m‡s de un d’a.PorDebido a que la distribuci—n de la cantidad de nacimientos es Poisson,la probabilidad de emitir50 actas de nacimiento en 3 horas,dado que se emitieron 40 actas durante las primeras 2 horas,2),es decir,
Los c‡lculos asociados con la distribuci—n de Poisson y,de hecho,todas las f—rmulas de colas sontediosas y requieren habilidades de programaci—n para asegurar una precisi—n razonable.Podemos utilizar las funciones POISSON,POISSONDIST y EXPONDIST de Excel para calcu-lar las probabilidades individuales y acumuladas de Poisson y exponencial.Estas funciones tam-excelTables.xls.Por ejemplo,para un nacimiento de 5 bebŽs por hora,laJ16 para obtener la respuesta .000216 en M16.La probabilidad acumulada de cuando mucho.999938).Para determinar la probabilidad de que el tiempo entrenacimientos sea menor que o igual a 18 minutos,use la distribuci—n exponencial ingresando 2.5en F9 y .3 en J9.La respuesta .527633 aparece en O9.
TambiŽn podemos utilizar TORA (archivo excelPoissonQ.xlsdeterminar de forma autom‡tica todas las probabilidades de Poisson significativas (TORA y en Excel).En ambos casos,los datos de entrada son los mismos.Para el mode-lo de nacimiento puro del ejemplo 18.4-1,los datos son los siguientes
p10(1)= A 60
12 *1B10 e-5*1
10! =.01813P{t71}=e-120=0p0(1)= (120*1)0 e-120*1
0! =e-120=0lt=120*365=43,800 nacimientos/a–ol= 24*60
12 =120 nacimientos/a–o
Lambda
Mu
c
L’mite del sistema
00
5 nacimientos por d’a.Observe tambiŽn que Mu identifica el modelo como nacimiento puro.
CONJUNTO DE PROBLEMAS18.4AEn el ejemplo 18.4-1,suponga que el oficinista que captura la informaci—n de las actas denacimiento en la computadora normalmente espera hasta que se juntan al menos 5 actas.Un coleccionista de arte viaja a subastas de arte una vez al mes en promedio.Cada viajees seguro que produzca una compra.El tiempo entre viajes est‡ exponencialmente distri-buido.Determine lo siguiente:La probabilidad de que se realice una compra en un periodo de 3 meses.La probabilidad de que se realicen no m‡s de 8 compras por a–o.La probabilidad de que el tiempo entre viajes sucesivos exceda de 1 mes.En un banco,la tasa de llegadas es de 2 clientes por minuto.Determine lo siguiente:El promedio de llegadas durante 5 minutos.La probabilidad de que no haya llegadas durante los siguientes .5 minutos.La probabilidad de que haya al menos una llegada durante los siguientes .5 minutos.La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sucesivas sea al menos de 3 minutos.El tiempo entre llegadas en el restaurante L&J es exponencial con media de 5 minutos..Determine lo siguiente:.,si elde Poisson con media de 25 libros por d’a.Cada anaquel en la estanter’a contiene 100 li-bros.Determine lo siguiente:La probabilidad de que se requieran m‡s de 10 libreros cada mes,si un librero secompone de 5 anaqueles.La U de A opera dos l’neas de autobuses en el campus:roja y verde.La l’nea roja prestataci—n de transferencia que conecta las dos l’neas.Los autobuses verdes llegan al azar (deacuerdo con una distribuci—n de Poisson) a la estaci—n de transferencia cada 10 minutos.Los autobuses rojos tambiŽn llegan al azar cada 7 minutos.Un estudiante cuyo dormitorio est‡ cerca de la estaci—n tiene clase en 10 minutos.Cualquiera de los autobuses lo lleva al edificio del sal—n de clases.El viaje requiere 5minutos,despuŽs de lo cual el estudiante camina durante aproximadamente 3 minu-tos para llegar al sal—n de clase.ÃCu‡l es la probabilidad de que el estudiante lleguePruebe que la media y la varianza de la distribuci—n de Poisson durante un intervalo ,donde es la tasa de llegadas.Derive la distribuci—n de Poisson a partir de las ecuaciones diferenciales del modelo denacimiento puro.
18.4Modelos de nacimiento y muerte puros
Cap’tulo 18Sistemas de colas18.4.2Modelo de muerte pura En el modelo de muerte pura,el sistema se inicia con N clientes en el instante 0,sin lle-gadas nuevas permitidas.Las salidas ocurren a raz—n de po.Para desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad unidades de tiempo,seguimos los argumentos utilizadoscon el modelo de nacimiento puro (secci—n 18.4-1).Por lo tanto,Amedida que 0,obtenemosPoisson truncada
Una florer’a inicia cada semana con 18 docenas de rosas.En promedio,la florer’a vende 3 doce-nas al d’a (una docena a la vez),pero la demanda real sigue una distribuci—n de Poisson.Siempreque el nivel de las existencias se reduce a 5 docenas,se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas do-cenas para entrega al principio de la siguiente semana.Debido a la naturaleza de la mercanc’a,las rosas sobrantes al final de la semana se desechan.Determine lo siguiente:3 docenas por d’a,la probabilidad de co-excelPoissonQ.xls o TORA.Los mœltiplesescenarios de TORA pueden ser m‡s convenientes en este caso.Los datos de entrada asociados1,2,Ã,y 7 son Lambda 0,Mu 1,L’mite del sistema 18,y L’mite de la fuente 18.Observe que
(18-n , t=1, 2,Ã, 7 pnƒ5(t)=p0(t)+p1(t)+Ã+p5(t) 0(t)=1-aNn-1pn(t) n(t)= (mt)N-ne-mt
(N-n , n=1, 2,Ã, N œ0(t)=mp1(t) œn(t)=-mpn(t)+mpn+1(t 06n6N œN(t)=-mpN(t) 0(t+h)=p0(t)(1)+p1(t)mh n(t+h)=pn(t-mh)+pn+1(t)mh, 06n6N N(t+h)=pN(t-mh)
18.4Modelos de nacimiento y muerte puros7}.Para calcular0,1,2,Ã,18,el cual puede determinarse con el software pro-porcionado.El resultado es CONJUNTO DE PROBLEMAS18.4BEn el ejemplo 18.4-2,use la plantilla excelPoissonQ.xls o TORA para calcular 1,2,Ã,18,y luego verifique manualmente que estas probabilidades dendocenas.Considere el ejemplo 18.4-2.En cada uno de los siguientes casos,primero escriba la res-puesta algebraicamente,y luego utilice excelPoissonQ.xls o TORA para dar las respues-tas numŽricas.La probabilidad de que las existencias se agoten despuŽs de 3 d’as.La probabilidad de que se compre al menos una docena al final del cuarto d’a,si lamucho de un medio d’a,dado que la œltima compra se realiz— el d’a anterior.nuevo auditorio de 400 asientos.Las empresas locales compran los boletos en bloques de10 y los donan a organizaciones juveniles.Los boletos se ponen a la venta para empresasdurante 4 horas s—lo un d’a antes del concierto.El proceso de colocar pedidos de boletoses Poisson con una media de 10 llamadas por hora.Los (bloques de) boletos que sobrandespuŽs de que se cierra la oficina se venden con descuento como Ãboletos baratos de œl-tima horaÃ,una hora antes de que se inicie el concierto.Determine lo siguiente:El promedio de boletos baratos de œltima hora disponibles.Cada ma–ana,el refrigerador en un peque–o taller se encuentra abastecido con dos cajas(24 latas por caja) de refrescos para los 10 empleados del taller.Los empleados pueden.a 4:00 y se sabe que cada empleado consume aproximadamente 4 latas al d’a,pero el proceso estotalmente aleatorio (distribuci—n de Poisson).ÃCu‡l es la probabilidad de que un em-pleado no encuentre un refresco al mediod’a (el inicio del periodo del almuerzo)?,Ãjustogastos imprevistos.Los retiros de $20 cada uno ocurren al azar durante el mes y est‡n es-na.Determine la probabilidad de que el estudiante se quede sin dinero para gastos im-
123456736912151821.0000.0088.1242.4240.7324.9083.9755
Cap’tulo 18Sistemas de colasSe sacan 80 art’culos del inventario de acuerdo con la distribuci—n de Poisson a raz—n de5 art’culos por d’a.Determine lo siguiente:La probabilidad de que se saquen 10 art’culos durante los 2 primeros d’as.La probabilidad de que ya no haya art’culos al final de los 4 d’as.El promedio de art’culos sacados a lo largo de un periodo de 4 d’as.m‡quina.La reposici—n de la existencia que regresa el nivel a 10 piezas ocurre cada 7d’as.El tiempo entre fallas es exponencial con media de 1 d’a.Determine la probabilidadpuesto disponibles.La demanda de un art’culo ocurre de acuerdo con una distribuci—n de Poissson conmedia de 3 por d’a.El nivel de existencia m‡ximo es de 25 art’culos,lo cual ocurre cadalunes inmediatamente despuŽs de que se recibe un pedido.El tama–o del pedido depen-de de la cantidad de unidades sobrantes al final de la semana,el s‡bado (el negocio est‡cerrado los domingos).Determine lo siguiente:*El tama–o semanal promedio del pedido.*La probabilidad de escasez al inicio del negocio el viernes.La probabilidad de que el tama–o del pedido semanal exceda de 10 unidades.Demuestre que la distribuci—n del tiempo entre salidas correspondiente a la Poissonunidades de tiempo.Derive la distribuci—n de Poisson truncada a partir de las ecuaciones diferenciales delmodelo de muerte pura mediante inducci—n.[Vea la sugerencia en el problema 8,18.5MODELO DE COLAS GENERAL DE POISSONsalidas con base en la suposici—n de Poisson,es decir,los tiempos entre llegadas y lostiempos de servicio siguen la distribuci—n exponencial.El modelo es la base para la de-rivaci—n de los modelos de Poisson especializados en la secci—n 18.6.estado estable de la situaci—n de colas,alcanzado despuŽs de que el sistema ha es-tado en operaci—n durante un tiempo suficientemente largo.Este tipo de an‡lisis con-inicio de la operaci—n del sistema.(Una raz—n de por quŽ no se analiza el comporta-miento transitorio en este cap’tulo es su complejidad anal’tica.Otra es que el estudio dela mayor’a de las situaciones de colas ocurre en condiciones de estado estable.);lo que significa que dependen de la cantidad de clientes en la instala-ci—n de servicio.Por ejemplo,en una caseta de cobro en una carretera,los encargadostienden a acelerar el cobro de las cuotas durante las horas pico.Otro ejemplo ocurre enCantidad de clientes en el sistema (haciendo cola,adem‡s de los que est‡nTasa de llegadas,si Tasa de salidas,si
m
18.5Modelo de colas general de PoissonDiagrama de transici—n en colas de Poisson
……
0
mm 0 1 2
.Estas probabilidades se utilizanentonces para determinar las medidas de desempe–o del sistema,como la longitud prome-dio de las colas,el tiempo de espera promedio,y la utilizaci—n promedio de la instalaci—n.en la figura 18.2.El sistema de colas est‡ en el estado .Como se explica en la secci—n 18.3,la probabilidad de que ocurra m‡s de0.Esto sig-0,el estado ,y .Eles indefinida porque no pueden ocurrir salidas si el sistema est‡ vac’o.En condiciones de estado estable,para 0,las tasas de flujo deben ser iguales.Con base en el hecho de que el estado 1,tenemosAsimismo,Igualando las dos tasas,obtenemos la siguiente Segœn la figura 18.2,la ecuaci—n de balanceo asociada con .Para0,tenemosLuego,para 1,tenemos
m1 bp0l0p0=m1p1ln-1pn-1+mn+1pn+1=(ln+mn)pn, n=1, 2, ÃaTasa de flujo de salidaesperada del estado nb=(ln+mn)pnaTasa de flujo de entradaesperada al estado nb=ln-1pn-1+mn+1pn+1
Cap’tulo 18Sistemas de colasy simplificando,obtenemos (ÃcompruŽbelo!)Podemos demostrar por medio de inducci—n que
B&K Groceries opera con tres cajas.El gerente utiliza el siguiente programa para determinar lacantidad de cajas en operaci—n,segœn la cantidad de clientes que haya en la l’nea:
mnmn-1Ãm1 bp0, n=1, 2, Ãp2=a l1l0
m2m1 bp0p1=A l0
Los clientes llegan al ‡rea de cajas de acuerdo con una distribuci—n de Poisson con tasamedia de 10 clientes por hora.El tiempo promedio en la caja es exponencial con media de 12 mi-nutos.Determine la probabilidad de estado estable clientes en el ‡rea de cajas.Con la informaci—n del problema,tenemos 0,1,ÃPor lo tanto,
3 B+8A 2
3 B2+8A 2
3 B3+Ãf=1 pnÃ7=A 10
5 B3A 10
10 B3A 10
15 Bn-6p0=8A 2
3 Bn-6p0 6=A 10
5 B3A 10
10 B3p0=8p0 5=A 10
5 B3A 10
10 B2p0=8p0 4=A 10
5 B3A 10
10 Bp0=8p0 3=A10
5 B3p0=8p0 2=A10
5 B2p0=4p0 1=A 10
5 Bp0=2p0 mn=c60
5 clientes por hora,
Cantidad de clientes en la tienda
Cantidad de cajas en operaci—n 1 a 314 a 62M‡s de 63
18.5Modelo de colas general de Poissono,de forma equivalentePor lo tanto,,ahora podemos determinar 0.Por ejemplo,la probabilidad de que s—lo unaPodemos utilizar para determinar medidas de desempe–o para la situaci—n de B&K.Porejemplo,CONJUNTO DE PROBLEMAS18.5AEn el ejemplo 18.5-1,determine lo siguiente:La distribuci—n de probabilidades de la cantidad de cajas abiertas.El promedio de cajas ocupadas.En el modelo de B&K del ejemplo 18.5-1,suponga que el tiempo entre llegadas en elte tambiŽn es exponencial con media de 10 minutos.Suponga adem‡s que B&K agregauna cuarta caja y que las cajas abren con base en incrementos de dos clientes.DetermineLas probabilidades de estado estable,El promedio de cajas ociosas.En el modelo de B&K del ejemplo 18.5-1,suponga que las tres cajas est‡n siempre abier-caja vac’a.Determinar lo siguiente:La probabilidad de que tres cajas estŽn en uso.La probabilidad de que cliente que llega no tenga que esperar.First Bank de Springdale opera cajeros autom‡ticos de un solo carril.Los autos llegan deacuerdo con una distribuci—n de Poissson a raz—n de 12 autos por hora.El tiempo por
=1 caja+01p7+p8+Ã2 aCantidad esperadade cajas ociosasb=3p0+21p1+p2+p32+11p4+p5+p62p1+p2+p3=(2+4+8)A 1
55 BL.255p0=1
55 .p0e31+8a 1
1- 2
3 bf=1aqi=0xi= 1
1-x , |x|61p0E31+8A1+A 2
3 B+A 2
3 B2+ÃBF=1
Cap’tulo 18Sistemas de colasminutos.El carril tiene espacio para un total de 10 autos.Una vez que el carril est‡ lleno,los dem‡s autos que llegan buscan el servicio en otra sucursal.Determine lo siguiente:rril est‡ lleno.La probabilidad de que un auto no pueda utilizar el cajero en cuanto llegue.ÃAlguna vez ha escuchado a alguien repetir el contradictorio comentario:ÃEl lugar est‡servicio.Una posible plataforma para modelar esta situaci—n es decir que la tasa de llega-das al sistema se reduce a medida que la cantidad de clientes se incrementa.De maneram‡s espec’fica,consideramos el caso simplificado del Club de Pool M&M,donde losclientes suelen llegar en parejas para Ãjugar poolÃ.La tasa de llegadas normal es de 6 pa-rejas (de personas) por hora.Sin embargo,una vez que la cantidad de parejas en el sal—nde pool excede de 8,la tasa de llegadas se reduce a 5 parejas por hora.Se supone que elproceso de llegadas sigue la distribuci—n de Poisson.Cada pareja juega pool durante untiempo exponencial con media de 30 minutos.El sal—n de pool cuenta con un total de 5mesas y puede acomodar a m‡s de 12 parejas a la vez.Determine lo siguiente:La probabilidad de que los clientes comiencen a desistir.La probabilidad de que todas las mesas estŽn ocupadas.El nœmero promedio de tablas en uso.esperan.Si el lugar est‡ lleno,los clientes se van a otra parte.Las llegadas ocurren deacuerdo a una distribuci—n de Poisson con media de 4 por hora.El tiempo para recibir uncorte de pelo es exponencial con media de 15 minutos.Determine lo siguiente:Las probabilidades de estado estable.Prepare el diagrama de transici—n,y determine la ecuaci—n de balanceo del sistema.Determine las probabilidades de estado estable.Considere el modelo de una sola cola,donde se permite s—lo un cliente en el sistema.Losclientes que llegan y encuentran la instalaci—n ocupada nunca regresan.Suponga que ladistribuci—n de las llegadas es Poisson con media por unidad de tiempo,y que el tiempode servicio es exponencial con media deunidades de tiempo.Prepare el diagrama de transici—n,y determine las ecuaciones de balanceo.Determine las probabilidades de estado estable.
mmn= n
2 +5, n=1, 2, 3, 4ln=10-n, n=0, 1, 2, 3
18.6Colas de Poisson especializadasgeneralizado se aplica como sigue.Considere,y .Verifique este procedimiento.18.6COLAS DE POISSON ESPECIALIZADASLa figura 18.3 ilustra la situaci—n de colas de Poisson especializadas con paralelos.Se selecciona un cliente de la cola para iniciar el servicio con el primer servidordisponible.La tasa de llegadas al sistema es de clientes por unidad de tiempo.Todoslos servidores paralelos son idŽnticos,es decir que la tasa de servicio de cualquier ser-clientes por unidad de tiempo.La cantidad de clientes en el sistema se de-en elservicioTama–o de la fuente solicitante (finita o infinita)
mi+1 bp0, k=0, 1, 2,ÃFIGURA 18.3Representaci—n esquem‡tica de un sistema de colas con cservidores paralelos
ÃÃ
Servidor1Tasa dellegadas lTasa de salidas mTasa de salidas mTasa de salidas m
Servidor2
Servidorc
Instalaci—nde servicio
Cola
Sistema
Cap’tulo 18Sistemas de colasDistribuci—n markoviana (o de Poisson) de llegadas y salidas (o de formaTiempo constante (determin’stico)Distribuci—n Erlang o gama del tiempo (o de forma equivalente,la sumaPrimero en llegar,primero en ser servidoòltimo en llegar,primero en ser servidoSIRODisciplina general (es decir,cualquier tipo de disciplina)Para ilustrar el uso de la notaci—n,el modelo (/10):(das Poisson (o tiempo entre llegadas exponencial),tiempo de servicio constante,y 10servidores paralelos.La disciplina en colas es ,y hay un l’mite de 20 clientes entodo el sistema.El tama–o de la fuente de donde llegan los clientes es infinito.Como nota hist—rica,los primeros tres elementos de la notaci—n (D.G.Kendall en 1953,y se conocen en la literatura como la notaci—n de Kendall.En.Lee agreg— los s’mbolos a la notaci—n.Este autor agreg— el œltimo ele-mento,el s’mbolo ,en 1968.Antes de presentar los detalles de las colas de Poisson especializadas,demostra-18.6.1Medidas de desempe–o de estado estableTiempo de espera en el Tiempo de espera anticipado en la instalaciones de servicio.
18.6Colas de Poisson especializadasEstas relaciones son v‡lidas en condiciones m‡s bien generales.El par‡metro al sistema.Es igual a la tasa de llegadas todos los clientes que llegan pueden unirse al sistema.De lo contrario,si algunos clien-.M‡s adelante demostraremos c—mo se determina TambiŽn existe una relaci—n directa entre .Por definici—nf—rmula por ,la que junto con la f—rmula de Little da,y la cantidad prome-debe ser igual al promedio de servidores ocupados.Por lo tanto,
ccq=Ls-Lq= lefec
mLs=Lq+ lefec
mWs=Wq+ 1
maTiempo de esperaanticipado en el sistemab=aTiempo de esperaanticipado en la colab+aTiempo de servicioesperadob Lq=lefecWq Ls=lefecWs Lq=aqn=c+1(n-c)pn s=aqn=1npn
Cap’tulo 18Sistemas de colas
El estacionamiento para visitantes en el Colegio Ozark se limita a s—lo 5 espacios.Los autos queutilizan estos espacios llegan de acuerdo con una distribuci—n de Poisson a raz—n de 6 por hora.El tiempo de estacionamiento est‡ distribuido exponencialmente con una media de 30 minutos.estacionamiento hasta que un auto estacionado salga.El espacio temporal tiene cabida s—lo para3 autos.Otros que no pueden estacionarse o encontrar un espacio de espera temporal deben irsea otra parte.Determine lo siguiente:,de que haya La tasa de llegadas efectiva de los autos que por lo general utilizan el estacionamiento.El promedio de autos en el estacionamiento.El tiempo promedio que un auto espera un espacio de estacionamiento.La utilizaci—n promedio del estacionamiento.Observamos primero que un espacio de estacionamiento actœa como un servidor,de modo5 servidores paralelos.Asimismo,la capacidad m‡xima8 autos.De acuerdo con la secci—n 18.5,obtenemos1,2,Ã,8,en la siguiente ecuaci—n.04812 (ÃcompruŽbelo!).Con ,ahora podemos calcular
1! + 32
2! + 33
3! + 34
4! + 35
5! + 36
5!5 + 37
5!52 + 38
5!53 b=1p0+p1+Ã+p8=1pn=d3n
n! p0,n=1, 2, 3, 4, 53n
5! 5n-5 p0,n=6, 7, 8 mn=cnA60
30B=2n autos/hora, n=1, 2, 3, 4, 55A60
ra 18.4,donde los clientes llegan de la fuente a raz—n de autos por hora.Un auto que llega.Esto12345678.14436.21654.21654.16240.09744.05847.03508.02105
18.6Colas de Poisson especializadas
SistemaFuente
efec perdidalll
Un auto no podr‡ entrar al estacionamiento si ya entraron 8.Esto significa que la propor-.Por lo tanto,,el promedio en el sistema.Podemos calcular Un auto que espera en el espacio temporal es en realidad un auto que est‡ haciendo cola.Porlo tanto,su tiempo de espera hasta que encuentra un espacio es .Para determinar Por tanto,ocupados,A partir deobtenemosCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6AEn el ejemplo 18.6-1,haga lo siguiente:periodo de 8 horas.,el promedio de espacios vac’os es igual a
Uso del lote de estacionamiento = cq
c = 2.9368
5 =.58736 cq, cq=Ls-Lq= lefec
m = 5.8737
2 =2.9368 espaciosWq=.53265- 1
2 =.03265 horasWs= Ls
lefec = 3.1286
5.8737 =.53265 horasWq=Ws- 1
mLs=0p0+1p1+Ã+8p8=3.1286 autos lefec=l-lperdida=6-.1263=5.8737 autos/hora perdida=lp8=6*.02105=.1263 autos/hora ac-1n=0(c-n)pn.
Cap’tulo 18Sistemas de colasResuelva el problema 18.6-1 con los siguientes datos:cantidad de espacios de estaciona-6,cantidad de espacios temporales 45 minutos.18.6.2Modelos de un solo servidor1).El primermodelo no limita el nœmero m‡ximo en el sistema,y el segundo supone un l’mite fini-to del sistema.Ambos modelos suponen una capacidad infinita de la fuente.Las llega-tes por unidad de tiempo.Se utilizar‡ la notaci—n ampliada de Kendall para caracterizar cada situaci—n.espec’fica,se utilizar‡ el s’mbolo GD (disciplina general) con la notaci—n.Utilizando la notaci—n del modelo general,tenemos Incluso,0,porque todos los clientes pueden unirse al sistema.Sila expresi—n para La suma de la serie geomŽtrica essiempre que 1.Por lo tantoEn consecuencia,la siguiente distribuci—n geomŽtrica da la f—rmula general para 1,o .Si ,la seriegeomŽtrica diverge,y las probabilidades de estado estable no existen.Este resulta-do tiene un sentido intuitivo,porque a menos que la tasa de servicio sea mayor que latasa de llegadas,la longitud de la cola continuar‡ creciendo y no puede alcanzarseningœn estado estable.
dr a 1
1-r b= r
1-r =(1-r)r d
dr aqn=0rn Ls=aqn=0npn=aqn=0n(1-r)rnpn=(1-r)rn, n=1, 2, Ã (r61)p0=1-r, r 6 1A1
1-r B,p0(1+r+r2+Ã)=1pn=rnp0, n=0, 1, 2, Ãr= l
m ,ln=lmn=mf, n=0, 1, 2,Ã(1):(/q)
18.6Colas de Poisson especializadasen la presente condici—n,las medidas de desempe–o restantesse calculan utilizando las relaciones dadas en la secci—n 18.6.1.Por lo tanto,
Automata es una instalaci—n de lavado de autos de una sola bah’a.Los autos llegan segœn unadistribuci—n de Poisson con una media de 4 autos por hora y pueden esperar en el estaciona-miento de la instalaci—n en la calle si la bah’a est‡ ocupada.El tiempo para lavar y limpiar unauto es exponencial,con una media de 10 minutos.Esto significa que,para todo prop—sito pr‡c-tico,no hay ningœn l’mite en el tama–o del sistema.El gerente de la instalaci—n desea determinarel tama–o del estacionamiento.
1-r q=Ws- 1
m = r
m-r) s= Ls
l = 1
m-r) = 1
Los resultados del modelo se muestran en la figura 18.5.El promedio de autos que esperan en laes 1.33 autos.Por lo general,no es aconsejable utilizar de espacios de estacionamiento,porque el dise–o debe,en cierto sentido,tener en cuenta la lon-gitud m‡xima posible de la cola.Por ejemplo,puede ser m‡s razonable dise–ar el estaciona-de las veces.Para hacer esto,sea la cantidad de espacios de estacionamiento.Tener (cola m‡s bah’a).Un auto quecuando muchoSautos en el sistema.EstaDe acuerdo con la figura 18.5,la probabilidad acumuladap5 es .91221.Esto significa5 espacios de estacionamiento.,es decir,La suma de la serie geomŽtrica truncada esla cual reduce la condici—n a
1-r ,(1-r+r+r2+Ã+rS)Ã.9p0+p1+Ã+pSÃ.9
Lambda
Mu
c
L’mite del sistema
61infinitoinfinito
4 autos por hora,yautos por hora.Comoel sistema puede operar en condiciones de estado estable.Los datos de TORA oexcelPoissonQ.xls
m6 1,m= 60
10 =6
Cap’tulo 18Sistemas de colas1,lo cual in-vierte la direcci—n de la desigualdad),tenemos.CONJUNTO DE PROBLEMAS18.6BEn el ejemplo 18.6-2,haga lo siguiente.Determine la utilizaci—n en porcentaje de la bah’a de lavado.namiento antes de entrar a la bah’a de lavado.Si hay 7 espacios de estacionamiento,determine la probabilidad de que un auto quellega encuentre un estacionamiento vac’o.
S Ã ln (.1)
ln A 4
6 B -1=4.679L5rS+1ƒ.1
Scenario 1: (M/M/1):(GD/infinity/infinity)
nProbability pnCumulative PnnProbability pnCumulative Pn00.333330.33333130.001710.9965710.222220.55556140.001140.9977220.148150.70370150.000760.9984830.098770.80247160.000510.9989940.065840.86831170.000340.9993250.043900.91221180.000230.9995560.029260.94147190.000150.9997070.019510.96098200.000100.9998080.013010.97399210.000070.9998790.008670.98266220.000040.99991100.005780.98844230.000030.99994110.003850.99229240.000020.99996
120.002570.99486250.000010.99997Resultados del ejemplo 18.6-2 obtenidos con TORA (archivo
18.6Colas de Poisson especializadasJohn Macko estudia en la U de Ozark.Realiza trabajos peculiares para complementarsus ingresos.Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 d’as,pero el tiempoentre solicitudes es exponencial.El tiempo para terminar un trabajo tambiŽn es exponen-cial con media de 4 d’as.ÃCu‡l es la probabilidad de que John se quede sin trabajos?Si John gana aproximadamente $50 por trabajo,Ãcu‡l es su ingreso mensual promedio?Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cadauno,Ãcu‡nto,en promedio,debe esperar que le paguen?Durante a–os,el detective Columbo,del Departamento de Polic’a de Fayetteville,ha te-nido un Žxito fenomenal al resolver todos los casos criminales.Es s—lo cuesti—n de tiem-po antes de que cualquier caso se resuelva.Columbo admite que el tiempo por caso esÃtotalmente aleatorioÃ,pero,en promedio,cada investigaci—n le lleva aproximadamenteuna semana y media.Los cr’menes en el tranquilo Fayetteville no son muy comunes.Ocurren al azar a raz—n de un crimen por mes (4 semanas).El detective Columbo est‡solicitando que un asistente comparta la pesada carga de trabajo.Analice la petici—n deColumbo,en particular desde la perspectiva de los siguientes puntos:El promedio de casos en espera de ser investigados.El porcentaje del tiempo que el detective permanece ocupado.El tiempo promedio necesario para resolver un caso.ci—n de probabilidades de Poisson,con una media de 90 autos por hora.El tiempo paracruzar la caseta es exponencial con media de 38 segundos.Los conductores se quejan dellargo tiempo de espera,y las autoridades desean reducir el tiempo de cruce promedio a30 segundos con la instalaci—n de dispositivos de cobro de cuota autom‡ticos,siempreque se satisfagan dos condiciones:(1) que el promedio de autos que esperan en este siste-ma exceda de 5,y (2) que el porcentaje del tiempo ocioso de la caseta con el nuevo dis-positivo instalado no exceda de 10%.ÃSe puede justificar el nuevo dispositivo?Un restaurante de comida r‡pida tiene una ventanilla para servicio en su auto.Los autosllegan segœn una distribuci—n de Poisson a raz—n de dos cada 5 minutos.El espacio enfrente de la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos,incluso el que se est‡ atendien-do.Los dem‡s autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario.El tiempo deservicio por cliente es exponencial,con una media de 1.5 minutos.Determine lo siguiente:La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos.El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido.La probabilidad de que la l’nea de espera exceda la capacidad de 10 espacios.de Poisson,con una media de 10 por hora.El tiempo de servicio por cliente es exponencialcon una media de 5 minutos.Hay tres espacios en frente de la ventanilla,incluido el autoque est‡n atendiendo.Otros autos que llegan se forman afuera de este espacio para 3 autos.),dŽ un argumento convincente de por quŽ en general1.ÃEn quŽ condici—n se mantendr‡ la igualdad?),derive la expresi—n
Cap’tulo 18Sistemas de colas),demuestre queEl nœmero esperado en la cola,si la cola no esta vac’a es igual a,/).1).Algunosde comida r‡pida.No se permiten nuevas llegadas cuando la cantidad de clientes en el.Por lo tanto,Utilizandoel modelo generalizado de la secci—n 18.5 daPor lo tanto,tiene que ser menor que 1 en este modelo,porque el l’mite trola las llegadas al sistema.Esto significa que es la tasa que importa en este caso.en el sistema,entonces,como se
mpn=d11-r2rn
1-rN+1,rZ111-r2rn
1-rN+1,r=1t, n=0, 1,Ã, Np0=d1-r
1-rN+1 ,rZ11-r
1-rN+1 ,r=1p0 (1+r+p2+Ã+rN)=1aqn=0pn=1,pn=ernp0nƒN0,n7Nr= l
0,
m-l 2.= 1
(1-r) .
18.6Colas de Poisson especializadasEn este caso,Cuando(ÃcompruŽbelo!).Podemos derivar El uso de una calculadora de mano para procesar las f—rmulas de colas es,en el mejorde los casos,inc—modo (Ãlas f—rmulas se vuelven m‡s complejas en los œltimos modelos!)Se recomienda utilizar TORA o la plantilla excelPoissonQ.xls para manejar estos c‡lculos.
Considere la instalaci—n de lavado de autos del ejemplo 18.6-2.Suponga que la instalaci—n cuen-ta con un total de 4 espacios de estacionamiento.Si el estacionamiento est‡ lleno,los autos quellegan pueden irse a otras instalaciones.El propietario desea determinar el efecto del limitadoEn tŽrminos de la notaci—n del modelo,el l’mite en el sistema es 5.Los si-
2 = r-(N+1)rN+NrN+1]
(1-r) (1-rN+1) , rZ1 =(1-r)r
1-rN+1 d
dr a 1-rN+1
1-r b =a 1-r
1-rN+1 br d
dr aNn=0rn = 1-r
5,la proporci—n de clientes perdidos es .04812,la cual,basada en un d’a de 24 horas,equivale a perder el negocio de (4.62 autos al d’a.La decisi—n en cuanto a incrementar el tama–o del lote de esta-cionamiento debe basarse en el valor del negocio perdido.Mirando el problema desde un ‡ngulo diferente,el tiempo total esperado en el sistema,es de .3736 horas,o aproximadamente 22 minutos,por debajo de los 30 minutos del ejemplo18.6-3,cuando se permite que todos los autos que lleguen se unan a la instalaci—n.Esta reduc-
Lambda
Mu
c
L’mite del sistema
61
Cap’tulo 18Sistemas de colasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6CEn el ejemplo 18.6-4,determine lo siguiente:La probabilidad de que un auto que llegue entre de inmediato a la bah’a de lavado.El tiempo de espera hasta que se inicie el servicio.La cantidad esperada de espacios de estacionamientos vac’os.La probabilidad de que todos los espacios de estacionamiento estŽn ocupados.promedio en el sistema a aproximadamente 10 minutos.(excelPoissonQ.xls o TORA.)Considere la instalaci—n de lavado de autos del ejemplo 18.6-4.Determine la cantidad deEl tiempo que el peluquero Joe Cakes emplea para realizar un corte de pelo es exponen-cial con una media de 12 minutos.Debido a su popularidad,los clientes suelen llegar (deacuerdo con una distribuci—n de Poisson) a una raz—n mayor que la que Joe puede mane-jar:6 clientes por hora.Joe en realidad se siente c—modo si la tasa de llegadas se reduceefectivamente a alrededor de 4 clientes por hora.Para alcanzar esta meta se le ocurri—proporcionar asientos limitados en el ‡rea de espera,de modo que los clientes que aca-ocupados.ÃCu‡ntos asientos debe proporcionar Joe para alcanzar su meta?El ensamble final de los generadores elŽctricos en Electro se realiza a la raz—n de Poissonde 10 generadores por hora.Luego los generadores son transportados por una banda aldepartamento de inspecci—n para su revisi—n final.La banda puede transportar un m‡xi-mo de 7 generadores.Un sensor autom‡tico detiene al instante la banda una vez que sellena,lo que evita que el departamento de ensamble final arme m‡s unidades hasta quehaya espacio disponible.El tiempo para inspeccionar los generadores es exponencial,conuna media de 15 minutos.samble pueden reducirse si se incrementa la capacidad de la banda.De hecho,el inge-ensamble opere 95% del tiempo sin interrupciones.ÃEs justificable esta reclamaci—n?
Scenario 1:(M/M/1):(GD/5/infinity)
nProbability pnCumulative PnnProbability pnCumulative Pn00.365410.3654130.108270.8797010.243610.6090240.072180.95188
20.162410.7714350.048121.00000Resultados del ejemplo 18.6-4 obtenidos con TORA (archivo
18.6Colas de Poisson especializadasUna cafeter’a puede acomodar un m‡ximo de 50 personas.Los clientes llegan en una co-rriente Poisson a raz—n de 10 por hora y son atendidos (uno a la vez) a raz—n de 12 por hora.juntos.ÃCu‡l es la probabilidad de que se cumpla su deseo? (Suponga que puedenhacerse arreglos para que se sienten juntos en cuanto haya tres sillas disponibles.)Los pacientes llegan a la cl’nica de un mŽdico de acuerdo con una distribuci—n de Poissona raz—n de 20 pacientes por hora.La sala de espera no puede acomodar m‡s de 14 pa-cientes.El tiempo de consulta por paciente es exponencial,con una media de 8 minutos.es de 5 clientes por hora.La tasa de servicio µes de 8 clientes porhora.Calcule lo siguiente:Tiempo de espera promedio en la cola.),el nœmero esperado en el siste-,es igual a18.6.3Modelos de varios servidoresEsta secci—n considera tres modelos de colas con varios servidores paralelos.Los pri-18.6-2.El tercer modelo trata el caso del autoservicio,el cual equivale a tener una can-tidad infinita de servidores paralelos.
2 . 1 1+2+Ã+i= i1i+12
2 .2
n
0
1
2
3
4
.399.249.156.097.061.038
Aplicaci—n de la vida real. Personal de ventas por telŽfono de Qantas AirwaysPara reducir los costos de operaci—n,Qantas Airways buscar dotar de personal a suoficina principal de reservaciones y ventas por telŽfono de forma eficiente,al mismotiempo que proporciona un servicio de calidad a sus clientes.Tradicionalmente,las ne-base en el incremento hist—rico del negocio.El aumento de la cantidad de empleadoslef—nicas,dividido entre el promedio de llamadas que un operador puede manejar.
Cap’tulo 18Sistemas de colasDebido a que los c‡lculos est‡n basados en promedios,la cantidad adicional de em-En particular,el largo tiempo de espera para el servicio durante horas laborales picoha ocasionado quejas de los clientes y en consecuencia pŽrdida de negocios.El proble-dos contratados y las necesidades de los clientes.La soluci—n utiliza el an‡lisis de colas) insertado en un modelo de programaci—n entera.Los ahorros a partir del mo-Busque los detalles del estudio en el caso 15,cap’tulo 26,en el sitio web.
//).servidores paralelos idŽnticos.La.En esta situaci—n nal de tasa de servicio de la instalaci—n.En tŽrminos del modelo generalizado (secci—nAs’ que,Siy suponiendo queel valor de
ckc! p0 =aqk=0kpk+c Lq=aqn=c(n-c)pn =eac-1 n=0 rn
n! + rc
c! a 1
1- r
c bf-1, r
c 6 1 0=eac-1n=0 rn
n! + rc
c! aqn=cAr
c Bn-cf-1aqn=0 pn=1,r
c 6 1,r= l
m ,pn=dln
m12mm2Ã1nm2 p0=ln
nn p0=rn
n! p0,n6cln
Aqc=1imB1cm2n-c p0=ln
cn-cmn p0=rn
qq
18.6Colas de Poisson especializadas.Las medidas
Dos compa–’as de taxis prestan servicio a una comunidad.Cada compa–’a posee dos taxis,yambas comparten el mercado por igual;las llamadas llegan a la oficina de despachos de cadacompa–’a a una tasa promedio de 8 por hora.El tiempo promedio por viaje es de 12 minutos.Lasllamadas llegan de acuerdo con una distribuci—n de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial.de despachos.Analice la propuesta del nuevo propietario.Desde el punto de vista de las colas,los taxis son los servidores,y el viaje del taxi es el servi-cio.Cada compa–’a puede representarse con el modelo (
(c-1)!(-r)2 p0 = rc+1
c!c p0 d
dA r
c B aqk=0A r
c Bk = rc+1
c!c p0aqk=0kA r
La figura 18.7 proporciona los resultados con los dos escenarios.Los resultados muestran9 minutos) en la situaci—n consolidada,una notable reducci—n de m‡s de 50% y unaComentarios.cionan un modo de operaci—n m‡s eficiente.El resultado es cierto incluso si las instalaciones dis-tintas resultan estar Ãmuy ocupadasÃ(vea los problemas 2 y 10,conjunto 18.6d).
Escenario
Lambda
Mu
c
L’mite del sistema
852infinitoinfinito21654infinitoinfinito
Comparative analysis
cLambdaMuLÃda effp0LsWsLqWq28.0005.0008.000.1104.4440.5562.8440.356
416.0005.00016.000.0275.5860.3492.3860.149viajes por taxi por hora.El modelo consolidado es (para un viaje,La siguiente tabla da los datos de entrada de an‡lisis comparativos.
10 =5
Resultados del ejemplo 18.6-5 obtenidos con TORA (archivo
Cap’tulo 18Sistemas de colasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6Dvidores permanecen ocupados.el tiempo de espera promedio de un viaje a 5 minutos o menos.En el ejemplo de la compa–’a de taxis,suponga que el tiempo promedio por viaje es enrealidad de aproximadamente 14.5 minutos,de modo que la utilizaci—npara los 2 y4 taxis se incrementa a m‡s de 90%.ÃSigue valiendo la pena consolidar las dos compa–’astuaciones (llegadas/salidas Poisson) que garantice que la operaci—n de la situaci—n decolas ser‡ estable (es decir,que la longitud de la cola no crezca de forma indefinida):El tiempo entre llegadas promedio es de 2 minutos,y el tiempo de servicio promedioes de 6 minutos.La tasa de llegadas es de 30 clientes por hora,y la tasa de servicios por servidor es deLos clientes llegan al Thrift Bank segœn una distribuci—n de Poisson,con una media de 45clientes por hora.Las transacciones por cliente tardan alrededor de 5 minutos y est‡ndistribuidas exponencialmente.El banco desea utilizar una sola l’nea y varias cajas,simi-lar a las que se utilizan en aeropuertos y algunas dependencias.El gerente es conscientede que los clientes pueden irse a otros bancos si perciben que su espera en la l’nea es Ãex-cesivaÃ.Por esta raz—n,el gerente desea limitar el tiempo de espera en la cola a no m‡sde 30 segundos.ÃCu‡ntas cajas debe poner en servicio el banco?El restaurante de comida r‡pida McBurger opera con 3 cajas.Los clientes llegan,deacuerdo con una distribuci—n de Poisson,cada 3 minutos y forman una l’nea para seratendidos por la primera caja disponible.El tiempo para completar un pedido est‡ distri-buido exponencialmente con una media de 5 minutos.La sala de espera en el interior delrestaurante est‡ limitada.Sin embargo,la comida es buena,y los clientes est‡n dispuestosa esperar afuera del restaurante,si es necesario.Determine el tama–o de la sala de espe-Una peque–a oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas.Los clientes de acuerdo conuna distribuci—n de Poisson a raz—n de 1 cada 3 minutos.Sin embargo,s—lo 80% de ellosbusca servicio en las ventanillas.El tiempo de servicio por cliente es exponencial,con unamedia de 5 minutos.Todos los clientes que llegan forman una l’nea y acceden a las venta-nillas con base en la disciplina de primero en llegar,primero en ser atendido (FCFS).ÃSer’a posible ofrecer un servicio razonable con s—lo una ventanilla? Explique.El centro de c—mputo de la U de A est‡ equipado con cuatro maxicomputadoras idŽnti-cas.La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25.Cada usuario es capaz deenviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos en promedio,pero el tiempo realentre env’os es exponencial.Los trabajos que llegan autom‡ticamente se van a la prime-ra computadora disponible.El tiempo de ejecuci—n por env’o es exponencial con unamedia de 2 minutos.Calcule lo siguiente:puŽs de enviarlo.El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario.
mcB
18.6Colas de Poisson especializadasEl promedio de trabajos en espera de ser ejecutados.El porcentaje de tiempo que todo el centro de c—mputo est‡ ocioso.El promedio de computadoras ociosas.El aeropuerto Drake presta servicios a pasajeros,rurales,suburbanos y en tr‡nsito.Ladistribuci—n de las llegadas de cada uno de los tres grupos es Poisson con tasas medias de15,10 y 20 pasajeros por hora,respectivamente.El tiempo para documentar un pasajeroes exponencial con media de 6 minutos.Determine la cantidad de mostradores que debeEl tiempo promedio total para documentar un cliente es de al menos 15 minutos.En los Estados Unidos,el uso de una sola fila y varios servidores es comœn en las oficinasde correos,en mostradores de documentaci—n de pasajeros en aeropuertos.Sin embargo,tiende a favorecer la configuraci—n de una l’nea y un servidor,a pesar del hecho de queconfiguraci—n de una l’nea y varios servidores ofrece una operaci—n m‡s eficiente.),Morse (1958,p‡g.103) muestra queCon la observaci—n de quendica que los servidores est‡n extremadamente ocupa-dos,use esta informaci—n para demostrar que la relaci—n del tiempo de espera promedioa medida quePor lo tanto,con 2,el tiempo de espera promedio puede redu-cirse en un 50%.La conclusi—n de este ejercicio es que siempre es aconsejable agrupar losservicios,independientemente de quŽ tan ÃsobrecargadosÃpuedan estar los servidores.
c : 1.1
c r
c :1Lq= r
c-rr
),indique cu‡l parte de la deri-vaci—n requiere la condici—nExponga oralmente el significado de la condici—n.donde es el nœmero promedio de servidores ocupados.Por consiguiente,demuestre que),demuestre que/),.Esto significa que el tama–o de la cola es .La tasa de llegadas efectiva
m(c-r) .c
(c-r) .r
(c-r) pc.Lq= cr
(c-r)2 pccq=lefec
m.cqLq =aqn=c+1(n-c)pn,Ls=Lq+cqr
c 6 1.
Cap’tulo 18Sistemas de colasen el caso en quecomo
cc p0 d
dA r
c B aN-cj=0Ar
c Bj = rcr
c!c p0aN-cj=0jAr
c Bj-1 =aN-cj=0jpj+c Lq=aNn=c(n-c)pnr
c Z1p0=fPac-1n=0rn
n!+rcA1-Ar
cBN-c+1B
c!A1-Ar
cB Q-1,r
cZ1aac-1n=0rn
n!+rc
c!(N-c+1)b-1,r
c=1pn=drn
n!p0, 0ƒncrn
c!cn-cp0, cƒnƒNr= l
Se puede demostrar que conse reduce a,calculamos el valor de
2c! p0, r
c =1r
c =1, Lq = rc+1
(c-1)!(-r)2 e1-ar
cbN-c+1-(N-c+1)a1- r
cbar
cbN-cfp0
18.6Colas de Poisson especializadas
En el problema de la compa–’a de taxis consolidada del ejemplo 18.6-5,suponga que no puedenasegurarse nuevos fondos para la compra de m‡s taxis.Se le aconsej— al propietario que unates sobre una demora potencial excesiva una vez que la lista de espera llega a ser de 6 clientes.Laexpectativa es que estos clientes busquen el servicio en otra parte,lo que a su ver reducir‡ eltiempo de espera de los que ya est‡n en la lista de espera.Evalœe la situaci—n.10 clientes,lo que con-5 viajes por hora.Los si-
Lambda
Mu
c
L’mite del sistema
5410Infinito
FIGURA 18.8
Scenario1: (M/M/4):(GD/10/infinity)
nProbabilityCumulativenProbabilityCumulative
00.031210.0312160.087260.7939310.099860.1310670.069810.8637420.159770.2908480.055840.9195830.170430.4612690.044680.96426
40.136340.59760100.035741.00000Resultados del ejemplo 18.6-6 obtenidos con TORA (archivo ,antes de limitar la capacidad del sistema es de .149 horas9 minutos)(vea la figura 18.7),lo cual es aproximadamente el doble del nuevo promedio .0754.5 minutos).Esta notable reducci—n se logra a expensas de perder alrededor de 3.6%.03574).Sin embargo,este resultado no refleja la pŽrdida in-CONJUNTO DE PROBLEMAS18.6EEn el ejemplo 18.6-6,determine lo siguiente:El nœmero esperado de taxis ociosos.debajo de 3 minutos.
Cap’tulo 18Sistemas de colasEn la tienda de Eat & Gas funciona una estaci—n de gasolina de dos bombas.El carril queconduce a las bombas puede alojar cuando mucho 3 autos (autom—viles),excluyendo a losque se les est‡ dando atenci—n.Los autos que llegan se van a otra parte si el carril est‡lleno.La distribuci—n de los autos que llegan es de Poisson con media de 20 por hora.Eltiempo para llenar el tanque y pagar es exponencial con media de 6 minutos.Determine loEl porcentaje de autos que buscar‡n servicio en otra parte.El porcentaje de tiempo que una bomba est‡ en uso.La utilizaci—n en porcentaje de las dos bombas.La capacidad del carril que garantice que,en promedio,no m‡s de 10% de los autosestŽn ociosas es de .05 o menos.Tres mec‡nicos atienden un peque–o taller de reparaci—n de motores.A principios demarzo de cada a–o,las personas traen sus ca–as de tim—n y podadoras de cŽsped paraservicio y reparaci—n.El taller est‡ dispuesto a aceptar todas las ca–as de tim—n y po-dadoras que traigan los clientes.Sin embargo,cuando los clientes nuevos ven el piso deltaller tapizado de trabajos en espera,se van a otra parte para un servicio m‡s r‡pido.Elpiso del taller puede alojar un m‡ximo de 15 podadoras o ca–as de tim—n,excluyendo lasque est‡n en reparaci—n.Los clientes llegan al taller cada 10 minutos en promedio,y acada mec‡nico le lleva un promedio de 30 minutos completar cada trabajo.Tanto lostiempos entre llegadas como los de servicio son exponenciales.Determine lo siguiente:El promedio de mec‡nicos ociosos.la limitada capacidad del taller.La probabilidad de que el siguiente cliente que llegue ser‡ atendido por el taller.La probabilidad de que al menos un mec‡nico estŽ ocioso.El promedio de ca–as de tim—n o podadoras en espera de servicio.Un medida de la productividad total del taller.En la U de A,los estudiantes de primer a–o reciŽn matriculados son muy notorios por-Durante el primer par de semanas del semestre,prevalece el caos vial en el campus por-estacionamiento.Con una rara dedicaci—n,los estudiantes esperan pacientemente en losautos.Consideremos un escenario espec’fico.El estacionamiento cuenta con 30 espaciospero tambiŽn puede acomodar 10 autos m‡s en los carriles.Estos 10 autos adicionales nodad de uno de los 30 espacios de estacionamiento.Los estudiantes de primer a–o lleganal estacionamiento de acuerdo con una distribuci—n de Poisson,con una media de 20autos por hora.El tiempo de estacionamiento por autos promedia 60 minutos,pero enDetermine el promedio de espacios de estacionamiento ocupados.
18.6Colas de Poisson especializadasDetermine el promedio de espacios que est‡ ocupado en los carriles.un periodo de 8 horas porque el estacionamiento est‡ lleno.Verifique la expresi—n para dondees el nœmero de servidores ocupado.Verifique la expresi—n para ,defina (secci—n 18.5),luego demuestre que la expresi—n para /):(/)ÃModelo de autoservicio.En este modelo,las tasas de,respectivamente,y la cantidad de servidores es ilimitadaporque el cliente tambiŽn es el servidor.Un ejemplo t’pico es realizar la parte escritadel examen para la licencia de conductor.Las gasolineras de autoservicio y los cajeroscajeros autom‡ticos.En tŽrminos del modelo general de la secci—n 18.5,tenemosPor lo tanto,Por resultado,la cual es Poisson con media .Como era de esperarse,es una instalaci—n de autoservicio.
n! , n=0, 1, 2, Ãp0= 1
1+r+ r2
2! +Ã = 1
er =e-raqn=0 pn=1,pn= ln
n!mn p0= rn
n! p0, n=0, 1, 2,Ãmn=nm, n=0, 1, 2,Ãln=l, n=0, 1, 2,ÃqZqqp0=a1+acn=1 rn
n! b-1pn= rn
n! p0 , n=1, 2,Ã, cr
c =1.cqlefec=mcq,(M/M/cN/q)r
c Z 1
Cap’tulo 18Sistemas de colas
Un inversionista invierte $1000 al mes,en promedio,en el mercado de valores.Debido a que elinversionista debe esperar una buena oportunidad para ÃcomprarÃ,el tiempo real de compra esaleatorio.El inversionista suele conservar los valores durante unos 3 a–os en promedio pero losvende al azar cuando se le presenta una buena oportunidad para ÃvenderÃ.Aunque al inversio-nista se le suele reconocer como un astuto corredor del mercado de valores,la experiencia pasa-da indica que alrededor de 25% de los valores declinan a 20% al a–o,aproximadamente.El 75%restante aumenta de valor a raz—n de 12% al a–o.Estime el capital accionario del inversionista(a largo plazo) promedio en el mercado de valores.) porque,para todoslos prop—sitos pr‡cticos,el inversionista no tiene que esperar en l’nea para comprar o vender susvalores.El tiempo promedio entre colocaciones de pedidos es de 1 mes,lo que da por a–o.La tasa de venta de los valores esvalor por a–o.Puede obtener los resultados del
,obtenemosCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6FEn el ejemplo 18.6-7,calcule lo siguiente:La probabilidad de que el inversionista venda todos sus valores.La probabilidad de que el inversionista posea al menos 10 valores.La posibilidad de que el inversionista posea entre 30 y 40 valores,inclusive.cian 30% al a–o y el 90% restante suben 15% al a–o.a un examen de manejo en carretera.Estos ex‡menes suelen ser administrados por el de-partamento de polic’a de la ciudad.Los registros en la ciudad de Springdale muestranque el promedio de ex‡menes escritos es de 100 por d’a de ocho horas.El tiempo prome-dio necesario para completar el examen es aproximadamente de 30 minutos.Sin embar-go,la llegada real de los conductores que van a realizar el examen y el tiempo que cadauno emplea en el examen son totalmente aleatorios.Determine lo siguiente:La cantidadpromedio de sillas que el departamento de polic’a debe proporcionar enel sal—n donde se realizan los ex‡menes.excelPoissonQ.xls o TORA) que con .1,los valores de
$1000)(1$1000)(1$63,990
m =36 valores
Lambda
Mu
c
L’mite del sistema
.3333333infinitoinfinito
18.6Colas de Poisson especializadasque–o como 4 servidores.9 grande,y demuestre que la misma conclusi—n es v‡lidadebe ser mayor (al menos 14).A partir de los resultados de losproblemas 3 y 4,Ãa quŽ conclusi—n puede llegarse con respecto al uso de (18.6.4Modelo de servicio de m‡quinas (m‡quinas.Cuando una m‡quinase descompone,se llama a uno de los tŽcnicos en mantenimiento para que la repare.La tasa de descomposturas descomposturas por unidad de tiempo,ytiempo.Todas las descomposturas y servicios siguen la distribuci—n de Poisson.pueden descomponerse,y por consiguiente puede generar llamadas de servicio.Una vezque todas las m‡quinas se descompongan,no podr‡ haber m‡s llamadas de servicio.,la tasa de descomposturas detodoel talleres proporcional a la cantidad de m‡quinas que est‡n funcionando.En fun-ci—n del modelo de colas,tener descompuestas,y que la tasa de descomposturas asociada de todo el taller esEn funci—n del modelo generalizado de la secci—n 18.5,tenemosUtilizando las f—rmulas de la secci—n 18.6.1,podemos calcular las medidas restantes de
Rn-Rb-1 pn=cCnKrnp0,0ƒnƒRCn nn
, 0,
Cap’tulo 18Sistemas de colas
Toolco opera un taller con 22 m‡quinas.En promedio,una m‡quina se descompone cada 2 horas.Se requiere un promedio de 12 minutos completar una reparaci—n.Tanto el tiempo entre des-composturas como el tiempo de reparaci—n son exponenciales.A Toolco le interesa determinarla cantidad de tŽcnicos en reparaciones para mantener el taller funcionando ÃbienÃ.de la cantidad de tŽcnicos,definida como Los resultados en esta situaci—n se obtienen utilizando los siguientes datos de entrada:lambda.5,mu 1,2,3 o 4,l’mite del sistema 22,y l’mite de la fuente 22.La figura 18.9 pro-porciona los resultados.La siguiente tabla da la productividad asociada como una funci—n delnœmero de tŽcnicos en reparaciones.
22*100 aProductividadde las m‡quinasb=M‡quinas disponibles-M‡quinas descompuestas
M‡quinas disponibles*100
TŽcnicos en reparaciones
1
2
3
45.4480.1588.7990.45Ã34.718.641.66
Resultados del an‡lisis comparativo realizado con TORA para el ejemplo 18.6-8 (archivo
cLambdaMuLÃda effp0LsLqWsWq10.5005.004.99800.000412.004011.00442.40182.201820.5005.008.81610.05644.36772.60450.49540.295430.5005.009.76700.10782.46600.51280.25250.0525
40.5005.009.95000.11992.10010.11020.21110.011145.44%).Si se au-menta la cantidad de tŽcnicos a dos,la productividad salta 34.71% a 80.15%.Cuando el taller em-plea tres tŽcnicos,la productividad se incrementa s—lo en aproximadamente de 8.64% a 88.79%,Juzgando a partir de estos resultados,se justifica el uso de dos tŽcnicos.El caso de tres no estan fuerte ya que eleva la productividad en s—lo 8.64%.Tal vez una comparaci—n monetaria
18.6Colas de Poisson especializadasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6GEn el ejemplo 18.6-8,haga lo siguiente:Verifique los valores de Calcule la cantidad esperada de tŽcnicos ociosos,si Calcule la probabilidad de que los tŽcnicos estŽn ociosos,si ociosos,si En el ejemplo 18.6-8,defina y calcule la productividad de los tŽcnicos para 1,2,3,y 4.dir el nœmero de tŽcnicos que Toolco debe contratar.En los c‡lculos de la figura 18.9,puede parecer confuso que la tasa promedio de descom-posturas de m‡quinas en el taller,,se incrementa con el incremento de .Explique porUn operador atiende 5 m‡quinas autom‡ticas.DespuŽs de que cada m‡quina completaun lote,el operador debe reiniciarla antes de que se inicie un nuevo lote.El tiempo paracompletar un lote es exponencial con media de 45 minutos.El tiempo de preparaci—ntambiŽn es exponencial con media de 8 minutos.parando.Calcule la probabilidad de que todas las m‡quinas estŽn funcionando.Kleen All es una compa–’a de servicios que realiza varios trabajos peculiares,como jardi-ner’a,poda de ‡rboles y pintura de casas.Los 4 empleados de la compa–’a salen de la ofi-cina con la primera asignaci—n del d’a.DespuŽs de completar una asignaci—n,el empleadollama a la oficina para pedir instrucciones para el siguiente trabajo que se va a realizar.Eltiempo para completar una asignaci—n es exponencial con una media de 45 minutos.Eltiempo de viaje entre los trabajos tambiŽn es exponencial con una media de 20 minutos.Determine el promedio de empleados que viajan entre los trabajos.Calcule la probabilidad de que ningœn empleado ande en camino.Luego de una larga espera,los Newborns fueron recompensados con qu’ntuples,2 ni–osy 3 ni–as,gracias a los maravillosos avances de la medicina.Durante los primeros 5meses,la vida de los ni–os consist’a en dos estados,despiertos (la mayor parte del tiempollorando) y dormidos.De acuerdo con los Newborns,las actividades de los bebŽs de Ãdes-pertar-dormirÃnunca coinciden.En su lugar,todo el asunto es totalmente aleatorio.Dehecho,la se–ora Newborn,profesional en estad’sticas,cree que el tiempo que cada bebŽllora es exponencial,con una media de 30 minutos.La cantidad de sue–o que cada bebŽobtiene tambiŽn resulta ser exponencial,con media de 2 horas.Determine lo siguiente:El promedio de bebŽs despiertos en cualquier momento.La probabilidad de que todos los bebŽs estŽn dormidos.despiertos (y llorando) que dormidos.Verifique la expresi—n de dondees el promedio de tŽcnicos ocupados.
lefec=mR
Cap’tulo 18Sistemas de colasVerifique los siguientes resultados en el caso especial de un tŽcnico (1):118.7(//)ÃFîRMULA DE POLLACZEK-KHINTCHINE (P-K)Poisson son complejos.En general,es aconsejable utilizar la simulaci—n como una he-Esta secci—n presenta una de las pocas colas no Poisson para la cual hay disponi-bles resultados anal’ticos.Se trata del caso en que el tiempo de servicio,,est‡ repre-}.Los,as’.El modelo no proporciona una expresi—n de forma cerrada para la tasa de llegadas a la instalaci—n de un solo servidor.Dadas 1,se puede demostrar por medio,las medidas de desempe–o restantes (,como se explica en la secci—n 18.6.1.excelPKFormula.xls automatiza los c‡lculos de este modelo.
En la instalaci—n de lavado de autos Automata del ejemplo 18.6-2,suponga que se instala un sis-nutos.ÃC—mo afecta el nuevo sistema al funcionamiento de la instalaci—n?4 autos por hora.El tiempo de servicio es constan-0.Por lo tanto,
6B=.667 autos s=4A1
6B+42AA1
6B2+0B
2A1-4
6B=1.33 autosE{t}= 10
60 = 1
6p0=1-lE{t}=1-rLs=lE{t}+ l2(E2{t}+var{t
qq
r 0=a1+aRn=1 Kn
1K-n2b-1 n=Kn
1K-n2! p0
18.7(//)ÃF—rmula de Pollaczek-Khintchine (P-K)qqEs interesante comparar los tiempos de espera con los del caso Poisson en el ejemplo 18.6-2,).Las tasas de llegadas y salidas son las mismas en ambos casos (autos por hora).No obstante,como se muestra en la tabla siguiente,el
E{t} =6 Wq=.667
4=.167 horas s=1.333
CONJUNTO DE PROBLEMAS18.7AEn el ejemplo 18.7-1,calcule el porcentaje de tiempo que la instalaci—n est‡ ociosa.Uniforme entre 8 y 20 minutos.3 minutos.Discreto con valores iguales a 4,8 y 15 minutos y probabilidades de .2,.6 y .2,respec-tivamente.Layson Roofing Inc.instala techos de tejas en casas nuevas y viejas en Arkansas.Losd’as y se les pone en una lista de espera para ser procesados sobre la base de FCFS.Lostama–os de las casas var’an,pero es bastante razonable suponer que las ‡reas del techoest‡n uniformemente distribuidas entre 150 y 300 metros cuadrados.Por lo comœn,lacuadrilla de trabajo puede completar 75 cuadrados al d’a.Determine lo siguiente:El tiempo promedio que un cliente espera hasta que se completa el trabajo de techado.dos al d’a,Ãc—mo afectar‡ esto al tiempo promedio hasta que se completa un trabajo?Optica elabora lentes de prescripci—n de acuerdo con los pedidos de los clientes.Cadatrabajador se especializa en ciertos tipos de lentes.La compa–’a ha estado experimentan-do demoras inusuales en el procesamiento de prescripciones bifocales y trifocales.El tra-bajador a cargo recibe 30 pedidos por d’a de 8 horas.El tiempo para completar unaprescripci—n en general est‡ normalmente distribuido,con una media de 12 minutos yuna desviaci—n est‡ndar de 3 minutos.DespuŽs de emplear entre 2 y 4 minutos,unifor-memente distribuidos,para inspeccionar los lentes,el trabajador puede empezar a proce-sar una nueva prescripci—n.Determine lo siguiente:El porcentaje de tiempo que el trabajador est‡ ocioso.Un producto llega de acuerdo con una distribuci—n de Poisson a raz—n de uno cada 45minutos.El producto requiere dos operaciones aleatorias atendidas por un trabajador.Lamente 28 minutos.La segunda operaci—n realiza ajustes y cambios menores,y su tiempo
(M/Mq/q)
(M/DGDq/q)(hr)Ws.500.333(hr)Wq.333.167
tiempo de espera anticipado es menor en el modelo actual.Los resultados tienen sentido porque
Cap’tulo 18Sistemas de colasdepende de la condici—n del producto cuando sale de la operaci—n 1.Espec’ficamente,eltiempo de la operaci—n 2 es uniforme entre 3 y 6 minutos.Debido a que cada operaci—nrequiere toda la atenci—n del trabajador,no se puede cargar un nuevo producto en la m‡-Cu‡nto tiempo se requiere,en promedio,para que un producto que llega salga de la).Demuestre que en el caso en que el tiempo es constante,la f—rmula
E{t} y r= l
m =lE{tLs=r+ r2
).Dado que el tiempo de servicio es Erlang con par‡metros (es decir,y ,demuestre que la f—rmula P-K se reduce a tiempo de servicio es exponencial con media deunidades de tiempo.servidores paralelos,suponga que los clientes segœnuna distribuci—n de Poisson,con tasa media de .Los clientes que llegan son asignados aDetermine la distribuci—n de la probabilidad del tiempo entre llegadas.,y Determine la distribuci—n de la probabilidad del tiempo entre llegadas.18.8OTROS MODELOS DE COLASLas secciones anteriores se concentraron en el modelo de colas de Poisson.La literatu-ra sobre colas abunda con otros tipos de colas.En particular,las colas con prioridad deservicio,las colas en red y las colas no Poisson forman un importante cuerpo de la lite-ratura de teor’a de colas.Estos modelos se encuentran en la mayor’a de libros especia-lizados en la teor’a de colas.18.9MODELOS DE DECISIîN EN COLASen una instalaci—n de colas es una funci—n de la tasa de servicios,y de la cantidad de servidores paralelos,.Esta secci—n presenta dos modelos de deci-si—n para determinar niveles de servicio ÃadecuadoÃen sistemas de colas:(1) un mode-lo de costos,y (2) un modelo de nivel de aspiraci—n.El objetivo es encontrar un balan-
mLs=mr+ m+m)r2
2(1-mr)var{t}=m
m2)E{t}= m
m
18.9Modelos de decisi—n en colas18.9.1Modelos de costosEl costo del ofrecimiento del servicio.Un incremento de un costo provoca autom‡ticamente una reducci—n del otro,como se,el modelo de costos se expresa como Los dos ejemplos siguientes ilustran el uso del modelo de costos.El primer ejem-
KeenCo Publishing se encuentra en el proceso de comprar una copiadora comercial de alta ve-locidad.Los vendedores propusieron cuatro modelos cuyas especificaciones se resumen a conti-
Modelo de copiadora
Costo de operaci—n ($/h)
Velocidad (hojas/min)034576
Los trabajos llegan a KeenCo en una corriente Poisson a raz—n de cuatro trabajos por d’a de 24horas.El tama–o del trabajo es aleatorio con promedios aproximadamente de 10,000 hojas portrabajo.Los contratos con los clientes especifican un costo de penalizaci—n por entrega retrasa-da de $80 por trabajos por d’a.ÃCu‡l copiadora debe comprar KeenCo?
Cap’tulo 18Sistemas de colas.Determinamos reconociendo que,paratodos los prop—sitos pr‡cticos,cada copiadora puede ser tratada como un modelo).La tasa de llegadas es 4 trabajos/d’a.La tasa de servicios Por lo tanto,calculados por TORA o excelPoissonQ.xls,se dan en la siguiente tabla:
5.56 =4.32 trabajos/d’aTiempo promedio por trabajo= 10,000
30 * 1
El modelo 3 produce el costo m’nimo.CONJUNTO DE PROBLEMAS18.9AEn el ejemplo 18.9-1,haga lo siguiente:Verifique los valores de dados en el ejemplo.Ãest‡n en procesoÃal final del d’a.ÃCu‡l copiadora produce el costo m’nimo
Modelo
Tasa de servicios
Modelo
(Trabajos/d’a)
(Trabajos/d’a)
(Trabajos)
Modelo
($)EOCi
($)EWCi
360.001000.001360.002480.00271.20751.203576.00100.00676.004648.0058.40706.40
18.9Modelos de decisi—n en colasMetalco va a contratar a un tŽcnico en mantenimiento para un taller de 10 m‡quinas.Seest‡n considerando dos candidatos.El primero puede realizar reparaciones a raz—n de 5 m‡quinas por hora y gana $15 por hora.El segundo,por estar m‡s calificado,recibe $20 por hora y puede reparar 8 m‡quinas por hora.Metalco estima que cada m‡quinaPoisson con una media de 3 por hora y que el tiempo de reparaci—n es exponencial,Ãcu‡lB&K Groceries va a abrir una tienda que presumir‡ de constar con lectores de barras deÃœltima generaci—nÃ.El se–or Bih,uno de los propietarios de B&K ha limitado las opcio-nes a dos lectores:El lector puede procesar 10 art’culos por minuto,y el lector leer 15 art’culos por minuto.El costo diario de operaci—n (10 horas) y mantenimiento derespectivamente.Los clientes que ter-minan sus compras llegan a la caja de acuerdo con una distribuci—n de Poisson a raz—n de10 clientes por hora.Cada carrito lleva entre 25 y 35 art’culos,distribuidos de manerauniforme.El se–or Bih estima que el costo promedio por cliente que espera por minutoes aproximadamente de 20 centavos.ÃCu‡l lector debe adquirir B&K? (tiempo de servicio por cliente no es exponencial,sino uniformemente distribuido.)por hora) para satisfacer las especificaciones del cliente.El propietario de un taller est‡mica (en piezas por hora).Por experiencias pasadas,el propietario estima que los pedidosde los clientes llegan al taller de acuerdo con una distribuci—n de Poisson a raz—n de trespedidos por hora.Cada pedido promedia 500 piezas.Los contratos entre el propietario ySuponiendo que el tiempo de producci—n real por pedido es exponencial,desarrolleA partir del modelo de costos en (a),determine una expresi—n para la tasa de pro-Aplicando los datos del problema,determine la tasa de producci—n —ptima que elA un taller llegan trabajos a una taza de distribuci—n de Poisson a raz—n de 80 trabajos porsemana.Una m‡quina autom‡tica representa el cuello de botella en el taller.Se estima queun incremento unitario de la producci—n de la m‡quina costar‡ $250 por semana.Los traba-jos retrasados normalmente originan un negocio perdido,el que se supone es de $500 portrabajo por semana.Determine la tasa de producci—n —ptima para la m‡quina autom‡tica.Pizza Unlimited vende dos modelos de restaurantes franquiciados.La capacidad del mo-es de 20 grupos de clientes,la del modelo es de 30 grupos.El costo mensual dees de $16,000.Un inversionistadesea montar un restaurante de pizzas estilo buffet que grupos de clientes,cada uno ocu-pando una mesa,lleguen siguiendo una distribuci—n de Poisson a raz—n de 25 grupos porhora.Si todas las mesas est‡n ocupadas,los clientes se ir‡n a otra parte.El modelo vir‡ a 26 grupos por hora,el modelo servir‡ a 29 grupos por hora.Debido a la varia-ci—n de los tama–os de los grupos y de los tipos de —rdenes,el tiempo de servicio es expo-nencial.El inversionista estima que el promedio de negocio perdido por grupo declientes por hora es de $15.Se estima que una demora en el servicio de los clientes queDesarrolle un modelo de costos apropiado.Suponiendo que el restaurante estar‡ abierto 10 horas al d’a,Ãcu‡l modelo recomen-solicitada.Derive el modelo de costos general,y defina todos sus componentes y tŽrminos.
Cap’tulo 18Sistemas de colasSecond Time Around vende a consignaci—n art’culos populares usados.Su operaci—nnen y agotan al azar,de acuerdo con una distribuci—n de Poisson con tasas de art’culos por d’a.Cada unidad de tiempo que el art’culo est‡ agotado,Second Time pier-a causa de las oportunidades perdidas,y cada unidad de tiempo que un art’culo semantiene en existencia,se incurre en un costo de retenci—n de $Desarrolle una expresi—n para el costo total esperado por unidad de tiempo.Determine el valor —ptimo deÃCu‡l condici—n debe imponerse a los valores
En una instalaci—n de almacŽn de herramientas manejado por varios empleados,las solicitudesde cambio de herramientas llegan de acuerdo con una distribuci—n de Poisson a raz—n de 17.5 so-licitudes por hora.Cada empleado puede manejar un promedio de 10 solicitudes por hora.Elcosto de contratar un empleado en la instalaci—n es de $12 por hora.El costo de la producci—nperdida por m‡quina de espera por hora es aproximadamente de $50.Determine la cantidad —p-.Por lo tanto,en el modelo de costos general presentado al inicio de esta secci—n,con ,obtenemos el siguiente modelo de costos:
hora.El estado estable se alcanza s—lo sies decir 2 en este ejemplo.La tabla siguien-—ptimo.Los valores excelPoissonQ.xls o TORA) muestran que el nœmero —ptimo de empleados es 4.
m
c
(respuestas)Ls(c)
ETC($)32.21741.84251.76961.754
CONJUNTO DE PROBLEMAS18.9BResuelva el ejemplo 18.9-2,suponiendo que Tasco Oil posee una unidad propulsora de oleoducto que opera de forma continua.Eltiempo entre descomposturas de cada propulsor es exponencial con una media de 20 horas.El tiempo de reparaci—n es exponencial con una media de 3 horas.En una estaci—n particu-lar,dos tŽcnicos de mantenimiento atienden 10 propulsores.El salario por hora de cadatŽcnico es de $18.Se estima que las pŽrdidas del oleoducto son de $30 por propulsor des-compuesto por hora.Tasco est‡ estudiando la posibilidad de contratar un tŽcnico adicional.
18.9Modelos de decisi—n en colastŽcnicos en servicio es de dos?,Ãde tres?Una compa–’a renta una l’nea telef—nica de telecomunicaciones de banda ancha (WATS,por sus siglas en inglŽs) por $2000 al mes.La oficina est‡ abierta 200 horas laborales pormes.Durante el tiempo restante,la l’nea WATS se utiliza para otros prop—sitos y no est‡disponible para la compa–’a.El acceso a la l’nea WATS durante las horas laborales seampl’a a 100 vendedores,cada uno de los cuales puede necesitar la l’nea en cualquier mo-mento dos veces en promedio por d’a de 8 horas con tiempo exponencial entre llamadas.Un vendedor siempre espera si la l’nea WATS est‡ ocupada a un costo estimado de 1 cen-tavo por minuto de espera.Se supone que mientras un vendedor espera una llamada dadano se presentar‡ la necesidad de hacer llamadas.El costo normal de las llamadas (sin utili-zar la l’nea WATS) promedia aproximadamente 50 centavos por minuto,y la duraci—n decada llamada es exponencial,con una media de 6 minutos.La compa–’a est‡ considerandorentar (al mismo precio) una segunda l’nea WATS para mejorar el servicio.ÃLa l’nea WATS œnica le est‡ ahorrando dinero a la compa–’a en comparaci—n conun sistema sin l’nea WATS? ÃQuŽ tanto est‡ ganando o perdiendo la compa–’a pormes en comparaci—n con el sistema sin l’nea WATS?ÃDebe rentar la compa–’a una segunda l’nea WATS? ÃCu‡nto ganar’a o perder’asobre el caso de una l’nea WATS œnica al rentar una l’nea m‡s?Un taller mec‡nico incluye 20 m‡quinas y 3 tŽcnicos en reparaciones.Una m‡quina enfuncionamiento se descompone de acuerdo con una distribuci—n de Poisson.El tiempode reparaci—n por m‡quina es exponencial con una media de 6 minutos.Un an‡lisis de8 horas para todo el taller.Suponga que la tasa de producci—n por m‡quina es de 25 uni-dades por hora y que cada unidad producida genera $2 en ingresos.Adem‡s,asuma queel salario de un tŽcnico es de $20 por hora.Compare el costo de contratar los tŽcnicosAplique el resultado al ejemplo 18.9-2,y demuestre que el resultado es 18.9.2Modelo de nivel de aspiraci—nmetros de costos.En general,estos par‡metros son dif’ciles de estimar,en particular elasociado con el tiempo de espera de clientes.El modelo de nivel de aspiraci—n mitigade colas.La idea es determinar un intervalo aceptable para el nivel de servicio (especificando l’mites razonables en las medidas de desempe–o conflictivas.Tales l’mi-niveles de aspiraci—nque el tomador de decisiones desea alcanzar.
C2 ƒLs(c*-1)-Ls(cETCc*-1)ÃETC(c*) y ETCc*+1)ÃETCc
Cap’tulo 18Sistemas de colasÃaceptableÃde servidores,*,teniendo en cuenta dos medidas de desempe–o (conflictivas):El porcentaje de ociosidad de los servidores,(Vea el problema 12,conjunto 18.6D para la comprobaci—n.)cisiones.Por ejemplo,,como se muestra en la figura 18.10.Localizando fica,podemos determinar un intervalo aceptable para *.Si no se pueden satisfacer lasdos condiciones al mismo tiempo,entonces una o ambas deben relajarse antes de quese pueda encontrar un intervalo factible.
En el ejemplo 18.9-2,suponga que se desea determinar la cantidad de empleados de modo queel tiempo de espera hasta que se recibe una herramienta permanezca por debajo de 5 minutos.Al mismo tiempo,el porcentaje de ociosidad debe estar por debajo de 20%.Sin pensar,y antes de realizar cualquier c‡lculo,es inalcanzable un l’mite de aspiraci—n de 5 mi-nutos en el tiempo de espera hasta que se recibe una herramienta (es decir,de acuerdo con los datos del problema,el tiempo de servicio promedio s—lo es de 6 minutos.
c *100= c-(Ls-Lq)
c *100=a1- lefec
cm b*100FIGURA 18.10Aplicaci—n de los niveles de aspiraci—n enla toma de decisiones de colas
Intervalo aceptable de c 0WSXXbaWS
c
c
2
3
4
5
6
7
25.47.66.36.16.06.06.012.541.756.365.070.875.078.0
Con base en estos resultados debemos,o reducir el tiempo de servicio o reconocer que la causalicitudes por hora).ƒsta,sin duda,es el ‡rea que hay que atacar.Por ejemplo,nos gustar’a inves-tigar la raz—n de tan alta demanda de reemplazo de herramientas.ÃPodr’a ser que el dise–o de laherramienta est‡ defectuoso en s’? O,Ãpodr’a ser que los operadores de las m‡quinas tratan aCONJUNTO DE PROBLEMAS18.9CUn taller utiliza 10 m‡quinas idŽnticas.Cada m‡quina se descompone una vez cada 8horas en promedio.Se requiere media hora en promedio para reparar una m‡quina des-compuesta.Los procesos de descompostura y reparaci—n siguen la distribuci—n dePoisson.Determine lo siguiente:mora hasta que se inicie una reparaci—n sea de menos de 10 minutos.En el modelo de costos de la secci—n 18.9-1,en general es dif’cil estimar el par‡metro de(costo de espera).En consecuencia,puede ser œtil calcular el costo por los niveles de aspiraci—n.Utilizando el modelo de nivel de aspiraci—n para determi-*,podemos entonces determinar el (Vea el problema 5,conjunto 18.9B,para la derivaci—n.) Aplique el procedimiento al pro-blema del ejemplo 18.9-2,con Bose,S.,An Introduction to Queuing Systems,Kluwer Academic Publishers,Boston,2001.Gross,D.,y M.Harris,Fundamentals of Queuing Theory,3a.ed.,Wiley,Nueva York,1998.Lee,A.,Applied Queuing Theory,St.MartinÃs Press,Nueva York,1966Lipsky,A Linear Algebraic Approach,Macmillan,Nueva York,1992.Saaty,T.,Elements of Queuing Theory with Applications,Dover,Nueva York,1983.Tanner,M.,Practical Queuing Analysis,McGraw-Hill,Nueva York,1995.
C2 ƒLs(c*-1)-Ls(c
19.1SIMULACIîN MONTECARLOUn precursor de la simulaci—n actual es el experimento Montecarlo,un esquema de mo-aleatorio.Algunos ejemplos de aplicaciones Montecarlo incluyen la evaluaci—n de inte-grales mœltiples,la estimaci—n de la constantey la inversi—n de matrices.Esta secci—n utiliza un ejemplo para demostrar la tŽcnica Montecarlo.El objetivo
5 cm,y su centro es ((1,2).drado cuyo lado sea igual al di‡metro del c’rculo,como se muestra en la figura 19.1.Los puntosde esquina se determinan a partir de la geometr’a del cuadrado.oportunidad igual de seleccionar cualquier punto en el cuadrado.Si quedan dentro del c’rculo,entoncesPara asegurarnos de que todos los puntos en el cuadrado son igualmente probables,las
10 , -3 ƒyƒ7 f1(x)= 1
10 , -4ƒxƒ6açrea aproximadadel c’rculob=m
n açrea delcuadradob=m
CAPêTULO 19
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—n
TABLA 19.1.3529.5869.3455.7900.6307.6733.3646.1281.4871.7698.2346.4799.7676.2867.8111.2871.4220.9486.8931.8216.8912.9534.6991.6139.3919.8261.4291.1394.9745.5933.7876.3866.2302.9025.3428.9341.5199.7125.5954.1605.6037.1782.6358.2108.5423.3567.2569.3473.7472.3575.4208.3070.0546.5644.8954.2926.6975.5513.0305
pendientes 0-1.La tabla 19.1 incluye una muestra de tales nœmeros,los cuales utilizaremos en losejemplos de este cap’tulo.Para el prop—sito de simulaci—n general,se utilizan operaciones aritmŽti-cas especiales para generar nœmeros (seudo) aleatorios 0-1,como se demostrar‡ en la secci—n 19.4.,para generar un punto aleatorioPara demostrar la aplicaci—n del procedimiento,consideremos
Comentarios.experimentos estad’sticos comunes.Aumente el tama–o de la muestra,Use rŽplicas,
4, 7)(6, 7)
(
4,
)(
6,
)
(1, 2)
19.1Simulaci—n Montecarlo,y dependen de lanaturaleza del experimento de simulaci—n y tambiŽn del nivel de confianza deseado.Sin embargo,como en cualquier experimento estad’stico,la regla de oro es que los va-producen resultados de simulaci—n m‡s precisos.Al final,el tama–omulaci—n.Sin embargo,un tama–o de muestra seleccionado se suele considerar Ãade-cuadoÃsi produce una desviaci—n est‡ndar Ãrelativamente peque–aÃ.en cuenta la variaci—n aleatoria del resultado del experimento.Siy rŽplicas,entonces,con un nivel de confianza ,elEl par‡metrose determina con las tablas de distribuci—n excelStatTable.xls).es igual al nœmero de rŽplicas,el cual es distinto del
Los c‡lculos asociados con cada muestra en el ejemplo 19.1-1 son voluminosos.Se utiliza la plan-excelCircle.xls (con macros VBA) para probar el efecto del tama–o de la muestra yla cantidad de rŽplicas en la precisi—n de la estimaci—n.Los datos de entrada incluyen el radiodel c’rculo;y su centro ();el tama–o de la muestra,;el nœmero de rŽplicas,,y el nivel de.La entrada ejecuci—n.Por ejemplo,si 3,la plantilla producir‡ de forma autom‡tica el30,000,60,000 y 90,000.Se realizan nuevas estimaciones cada vez que se hacenœmeros aleatorios.La figura 19.2 resume los resultados de 5 rŽplicas y los tama–os de muestra de 30,000,60,000y 90,000.El ‡rea exacta es de 78.54 cmdias estimadas con los tres tama–os de muestra son ligeramente diferentes..Por ejemplo,el intervalo90,000,con ,y 2.776.En general,para obtener una precisi—n razonable en la estimaci—n del inter-valo de confianza,el valor de En el ejemplo 19.1-1,estime el ‡rea del c’rculo utilizando las primeras dos columnas de los nœmeros aleatorios 0-1 en la tabla 19.1.(Por conveniencia,repase cada columna dearriba a abajo,y seleccione primero
Press to Execute Montecarlota
2 , N-1 A
- s
1N
ta
2 , N-1ƒAƒA
+ s
1N
ta
2 , N-1A
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nexcelCircle.xls
) de la muestra utilizando el par de aleatorios (0,1),(excelCircle.xlsza asociado,dados Base su estimaci—n en las primeras dos columnas de nœmeros aleatorios (0,1) en la tabla 19.1.Considere el juego en el cual dos participantes,Jan y Jim,se turnan para lanzar al aire una mo-neda.Si el resultado es cara,Jim obtiene $10 de Jan.De lo contrario,Jan obtiene $10 de Jim.Ejecute el experimento con 5 rŽplicas de 10 lanzamientos cada una.Use las primeras
19.1Simulaci—n Montecarlo
0123
Establezca un intervalo de 95% de confianza para las victorias de Jan.Compare el intervalo de confianza en (c) con las victorias te—ricas esperadas de Jan.plicas,cada una de tama–o 5.Calcule el intervalo de 95% de confianza,y comp‡reloSimule cinco ganancias o pŽrdidas del siguiente juego de ÃcrapsÃ.El jugador lanza dosdados.Si la suma resultante es 7 u 11,el jugador gana $10.De lo contrario,el jugadoranotado,en cuyo caso el jugador gana $10.Si se,el jugador pierde $10.iguales.La demanda por supone los valores 0,1 y 2 con las probabilidades respectivasde .2,.7 y .1.Use los nœmeros aleatorios de la tabla 19.1 (comenzando con la columna 1)para estimar la distribuci—n conjunta de la demanda y el tiempo de espera.A partir de ladistribuci—n conjunta,estime la funci—n de densidad de probabilidad de la demanda du-rante el tiempo de espera.(Considere el experimento de la aguja de Buffon.Se traza un plano horizontal con l’neascm entre ellas.Se deja caer una aguja de ) al azar sobre el plano.El objetivo del experimento es determinar la probabi-lidad de que cualquiera de los extremos toque o cruce una de las l’neas.Defina Dise–e el experimento Montecarlo,y estime la probabilidad deseada.Use Excel para obtener 4 rŽplicas,cada una de tama–o 10 de la probabilidad desea-da.Determine el intervalo de 95% de confianza para la estimaci—n.Suponga que
2 sen u, 0ƒhƒ D
2 , 0ƒuƒp
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nModelado de simulaci—nSugerencia:çrea de un c’rculo)/(çrea de un rect‡ngulo que envuelve estrechamente al c’rculo) 5p/4.] 19.2TIPOS DE SIMULACIîNMontecarlo.Difiere en que estudia el comportamiento de sistemas reales como una.Existen dos tipos distintos de modelos de simulaci—n.con el tiempo.Estos modelos suelen utilizar ecuaciones diferencialespara describir las interacciones entre los diferentes elementos del sistema.Unmodelos discretos dio y la longitud de la cola.Estas medidas cambian s—lo cuando un cliente entrao sale del sistema.Los instantes en que ocurren los cambios en puntos discretosespec’ficos del tiempo (eventos de llegada y salida),originan el nombre de evento discretoEste cap’tulo presenta los fundamentos de la simulaci—n de evento discreto,in-cluida una descripci—n de los componentes de un modelo de simulaci—n,la recolecci—n deTambiŽn pone Žnfasis en el papel de la computadora y los lenguajes de simulaci—n enCONJUNTO DE PROBLEMAS19.2Aambas).En cada caso,especifique el objetivo de desarrollar el modelo de simulaci—n.Los pedidos de un art’culo llegan al azar a un almacŽn.Un pedido que no puede sernuevos env’os.La poblaci—n mundial se ve afectada por la disponibilidad de los recursos naturales,la producci—n de alimentos y las condiciones ambientales,el nivel educativo,el cui-A una bah’a receptora de un almacŽn automatizado llegan mercanc’as en tarimas.vador a una transportadora elevada que mueve las tarimas a los corredores.Los locan en compartimientos de almacenamiento.Explique por quŽ estar’a de acuerdo o en desacuerdo con el siguiente enunciado:ÃLa ma-otra forma como sistemas de colas,compuestos de tes,donde los clientes pueden esperar,e
pD
19.3Elementos de la simulaci—n de evento discreto19.3ELEMENTOS DE LA SIMULACIîN DE EVENTO DISCRETOque describan el comportamiento del sistema simulado.Por ejemplo,en una instala-ci—n de servicio,las medidas de desempe–o asociadas pueden incluir el tiempo de es-pera promedio hasta que un cliente es atendido,la longitud promedio de la cola y lautilizaci—n promedio de la instalaci—n de servicio.Esta secci—n muestra como se reco-19.3.1Definici—n genŽrica de eventosTodas las simulaciones de eventos discretos describen,directamente o indirectamente,situaciones de colas en las que los clientes llegan (para servicio),esperan en la cola (sies necesario) y luego reciben el servicio antes de salir de la instalaci—n de servicio.Como tal,cualquier simulaci—n de evento discreto,independientemente de la comple-jidad del sistema que describe,se reduce a tratar con dos eventos b‡sicos:llegadas y salidas.El siguiente ejemplo ilustra el uso de los eventos de llegada y salida paradescribir un sistema compuesto de colas distintas.
Metalco Jobshop recibe dos tipos de trabajos:regulares y urgentes.Todos los trabajos se proce-san en dos m‡quinas consecutivas con amplias ‡reas intermedias.Los trabajos urgentes siempresuponen prioridad preventiva sobre los trabajos regulares.Esta situaci—n consta de colas en t‡ndem que representan las m‡quinas.Al principio nos po-En realidad s—lo hay dos eventos:la llegada de un (nuevo) trabajo al taller y la salida de un tra-bajo (terminado) de una m‡quina.En primer lugar observe que los eventos dad son los mismos.Lo mismo aplica a 22.Luego,en la simulaci—n discreta podemos uti-lizar un evento (llegada o salida) de ambos tipos de trabajos y simplemente ÃetiquetarÃel eventoque identifique el tipo de trabajo como regular o urgente.(En este caso pode-,y de hecho lo es).Dadoeste razonamiento,los eventos del modelo se reducen a (1) una llegada (al taller),y (2) una sa-(de una m‡quina).Las acciones asociadas con el evento de llegada dependen del tipo detrabajo que llega (urgente o regular) y de la disponibilidad de una m‡quina.Asimismo,el proce-Habiendo definido los eventos b‡sicos de un modelo de simulaci—n,demostramos c—mo seejecuta el modelo.La figura 19.4 ofrece una representaci—n esquem‡tica de ocurrencias t’picasde eventos en la escala de tiempo de la simulaci—n.Una vez que se han realizado todas las accio-nes asociadas con un evento existente,la simulaci—n ÃsaltaÃal siguiente evento cronol—gico.Enesencia,la ejecuci—n de la simulaci—n ocurre en los instantes en que ocurren los eventos.
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—neventos de salida son una funci—n del tiempo de servicio en la instalaci—n.Estos tiempos puedencos (como la llegada aleatoria de los clientes a un banco).Si el tiempo entre eventos es deter-min’stico,la determinaci—n de sus tiempos de ocurrencia es simple.Si es probabil’stico,utilizamosun procedimiento especial para muestrear de la distribuci—n de probabilidad correspondiente.CONJUNTO DE PROBLEMAS19.3AIdentifique los eventos discretos necesarios para simular la siguiente situaci—n.Llegandos tipos de trabajos de dos fuentes diferentes.Ambos tipos se procesan en una sola m‡-quina,con prioridad dada a los trabajos de la primera fuente.Llegan trabajos a una tasa constante en un sistema transportador de carrusel.Tres esta-ciones de servicio est‡n equidistantes entre s’ alrededor del carrusel.Si el servidor est‡ocioso cuando llega un trabajo a la estaci—n,el trabajo se retira del transportador paraprocesarlo.De lo contrario,el trabajo continœa girando en el carrusel hasta que el servi-dor vuelve a estar disponible.Un trabajo procesado se guarda en un ‡rea de env’o adya-cente.Identifique los eventos discretos necesarios para simular esta situaci—n.Los autos llegan a los carriles de una caja de servicio en su coche de un banco,dondecada carril puede alojar un m‡ximo de cuatro autos.Si los dos carriles est‡n llenos,losautos que llegan buscan servicio en otra parte.Si en cualquier momento un carril es almenos dos autos m‡s largo que el otro,el œltimo auto en el carril m‡s largo se pasar‡ a laœltima posici—n del carril m‡s corto.El banco opera la instalaci—n de servicio en su coche.a 3:00 .cada d’a laboral.Defina los eventos discretos de la situaci—n.sola charola a todos sus alumnos.Los ni–os llegan a la ventanilla despachadora cada 30segundos.Se requieren 18 segundos para recibir la charola del almuerzo.Trace el mapade los eventos de llegada y salida en la escala de tiempo de los primeros cinco alumnos.19.3.2Muestreo de distribuciones de probabilidadLa aleatoriedad de la simulaci—n surge cuanto el intervalo,,entre eventos sucesivos esprobabil’stico.Esta secci—n presenta tres mŽtodos para generar muestras aleatorias su-,Ã) de una distribuci—n de probabilidad MŽtodo inverso.MŽtodo de aceptaci—n y rechazo.
FIGURA 19.4Ejemplo de la ocurrencia de eventos de simulaci—n en la escala de tiempo
Evento 1
ento 2Eento 4ETiempo
19.3Elementos de la simulaci—n de evento discretobilidad anal’ticamente solubles,como la exponencial y la uniforme.Los otros dos mŽ-todos se ocupan de casos m‡s complejos,como el normal y el de Poisson.Los tresmŽtodos se derivan del uso de nœmeros aleatorios 0-1 independientes e idŽnticamentedistribuidos.Esta secci—n presentar‡ s—lo los dos primeros mŽtodos.Los detalles del mŽtodoMŽtodo inverso.) (continua o discreta).El mŽtodo inverso determina},donde 0 1,para todos los valores definidos de 1.Con base en este resultado,se determina una mues-Paso 1.Paso 2.
Ejemplo 19.3-2(Distribuci—n exponencial) a una instalaci—n con valor medio deLa funci—n de densidad acumulada es ),podemos resolver
l b ln (1-R)F(t)=Lt0le-lx dx=1-e-lt, t701
l .f(t)=le-lt, t70FIGURA 19.5Muestreo de una distribuci—n de probabilidad por medio del mŽtodo inverso
F(x)10R1xx1
F(x)(b) x discreta(a) x continua1R1xx1
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nPor ejemplo,para .9,el periodo de tiempo hasta que ocurre laCONJUNTO DE PROBLEMAS19.3BEn el ejemplo 19.3-2,suponga que el primer cliente llega en el instante 0.Use los prime-llegada de los 3 clientes siguientes,y trace la gr‡fica de los eventos resultantes en la esca-la de tiempo.Distribuci—n uniforme.,dado el nœmero aleatorio En un taller se reciben trabajos al azar.El tiempo entre llegadas es exponencial conmedia de 2 horas.El tiempo necesario para procesar un trabajo es uniforme entre 1.1 y 2 horas.Suponiendo que el primer trabajo llega en el instante 0,determine el tiempo dellegada y salida de los primeros cinco trabajos mediante los nœmeros aleatorios (0,1) des por mes con probabilidades de .2,.3,.4 y .1,respectivamente.El taller de manteni-nivel de las existencias a 5 unidades inmediatamente despuŽs que se reduzca a 2 unidades.En una situaci—n de simulaci—n,las unidades de TV se inspeccionan en busca de posiblesdefectos.Hay 80% de probabilidades de que una unidad pase la inspecci—n,en cuyo casose le env’a a empaque.De lo contrario,la unidad se repara.Podemos representar la situa-ci—n simb—licamente de dos maneras.gotoREPARACIîN/.2,EMPAQUE/.8gotoEMPAQUE/.8,REPARACIîN/.2 Estas dos representaciones parecen equivalentes.No obstante,cuando se aplica una se-cuencia dada de nœmeros aleatorios (0,1) a las dos representaciones,pueden resultar de-cisiones diferentes (REPARACIîN o EMPAQUE).Explique por quŽ.Un jugador lanza una moneda repetidamente hasta que cae una cara.La retribuci—n aso-,donde Idee el procedimiento de muestreo del juego.buci—n acumulada despuŽs de que salen dos caras.Distribuci—n triangular.En la simulaci—n,la carencia de datos puede hacer imposible de-terminar la distribuci—n de probabilidad asociada con una actividad de simulaci—n.En lavalores m’nimos,los m‡s probables y los m‡ximos.Estos tres valores bastan para definiruna distribuci—n triangular,la cual puede utilizarse entonces como una estimaci—n Ãpreli-minarÃde la distribuci—n real.
b - a , aƒtƒb
t1=-a 1
4 b ln(1-.9)=.577 horas =34.5 minutos
19.3Elementos de la simulaci—n de evento discretoDesarrolle la f—rmula para tomar muestras de la siguiente distribuci—n triangular,los lados izquierdo y derecho por tri‡ngulos rect‡ngulos simŽtricos.Los intervalos res-Los intervalos res-a,b],[[c,d],a,b,c,d.Ambos tri‡ngulos tienen la misma altura que el rect‡ngulo.Desarrolle un procedimiento de muestreo..Demuestre c—mo se puede obtener una muestra aleatoria de laes el nœmero (de Bernoulli) de fallas hasta que ocurre un Žxito,y probabilidad de un Žxito,0 1.Genere cinco muestras para .6,utilizando losDistribuci—n de Weibull.Demuestre c—mo se puede obtener una muestra aleatoria de ladistribuci—n de Weibull con la siguiente funci—n de densidad de probabilidad:MŽtodo de convoluci—n.La idea b‡sica del mŽtodo de convoluci—n es expresar lamuestra deseada como la suma estad’stica de otras variables aleatorias f‡ciles de muestrear.T’picas entre estas distribuciones est‡n las de Erland y la de Poisson,cuyas muestras
Ejemplo 19.3-3(Distribuci—n Erlang)aleatorias exponenciales independientes e idŽnticamente distribuidas.Sea Erlang;entonces1,2,Ã,
(b-a-a),aƒxƒb2(c-x)
(c-b)(c-a),bƒxƒc
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nSegœn el ejemplo 19.3-2,una muestra de la Por lo tanto la muestra Para ilustrar el uso de la f—rmula,suponga que 4 eventos por hora.Los tres prime-.0190,los cuales dan
Ejemplo 19.3-4(Distribuci—n de Poisson)eventos es exponencial,entonces la distribuci—n de la cantidad de eventos por unidad de tiempoes Poisson,y viceversa.Utilizamos la relaci—n para muestrear la distribuci—n de Poisson.Suponga que la media de la distribuci—n de Poisson es eventos por unidad de tiempo.Sedesprende que el tiempo entre eventos es exponencial con media de unidades de tiempo.Esto,de Poisson se repetir‡ durante unidades de tiempo si,y s—lo si,1,es una muestra de la distribuci—n exponencial conmedia.Con el resultado del ejemplo 19.3-3,tenemos
l b ln (R1), =0 -a 1
l b lnaqni=1Ribƒt6-a 1
l b lnaqn+1i=1Rib, n701
l 0ƒt6t1, n=0 t1+t2+Ã+tnƒt6t1+t2+Ã+tn+1, n701
l
y=-1 1
4 2 ln(.019)=.991 horas =-a 1
l b ln aqmi=1Rib =-a 1
l b{ln (R1)+ ln(R2)+. . . + ln(Rm)}yi=-a 1
l b ln (Ri), =1, 2, Ã, m
19.3Elementos de la simulaci—n de evento discretoPara ilustrar la implementaci—n del proceso de muestreo,supongamos que por hora.Para obtener una muestra durante un periodo .5 hora,primero calculamos .1353.El nœmero aleatorio .1353.Por consiguiente,la muestra
Ejemplo 19.3-5(Distribuci—n normal)se hace lo bastante grande.Utilizamos este resultado para generar muestras detiene una medida dey una varianza de,sesony ,respectivamente.Por lo tanto,una muestra,de una distribuci—n normal ,se calcula aEn la pr‡ctica,consideramos que 12 por conveniencia,lo cual reduce la f—rmula aPara ilustrar el uso de este mŽtodo,supongamos que deseamos generar una muestra de2).Sumando los primeros 12 nœmeros aleato-rios de las columnas 1 y 2 de la tabla 19.1,tenemos 6.1094.Por lo tanto F—rmula de muestreo normal de Box-Muller.La desventaja del procedimientoanterior es que requiere generar 12 nœmeros aleatorios por muestra normal,lo cual escomputacionalmente ineficiente.Un procedimiento m‡s eficiente utiliza la trans-(0,1) est‡ndar.Por lo tanto,).El nuevo procedimiento es m‡s eficiente porquerequiere s—lo dos nœmeros aleatorios (0,1).En realidad,este mŽtodo es aœn m‡s efi-ciente de lo que se formul—,porque Box y Muller demostraron que la f—rmula dada
y=m+s(x-6)y=m+sPx-n
2
4n
12
Qn
12n
21
121
2x=R1+R2+Ã+Rn
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—n(10,2),los dos primeros nœmeros aleatorios de la columna 1 de la tabla 19.1(0,1):Por lo tanto,las muestras CONJUNTO DE PROBLEMAS19.3CEn el ejemplo 19.3-3,calcule una muestra Erlang,si En el ejemplo 19.3-4,genere tres muestras Poisson durante un periodo de 2 horas,dadoque la media de la distribuci—n de Poisson es de 5 eventos por hora.En el ejemplo 19.4-5,genere dos muestras desde convoluci—n como el de Box-Muller.A Metalco Jobshop llegan trabajos de acuerdo con una distribuci—n de Poisson,con unamedia de 6 trabajos por d’a.Los trabajos se asignan a los cinco centros de maquinado deltaller en una forma estrictamente rotacional.Determine una muestra del intervalo entrellegadas de trabajos al primer centro de maquinado.Las calificaciones del examen ACT de la clase de estudiante de œltimo a–o de 1994 en laprepatoria de Springdale son normales,con una medida de 27 puntos y una desviaci—nest‡ndar de 3 puntos.Supongamos que sacamos una muestra aleatoria de seis estudiantesdel œltimo a–o de esa clase.Utilice el mŽtodo de Box-Muller para determinar la media yEl profesor de psicolog’a Yataha est‡ llevando a cabo un experimento de aprendizaje enel cual se entrenan ratones para que encuentren su camino en un laberinto.La base dellaberinto es un cuadrado.Un rat—n entra al laberinto por una de las cuatro esquinas yentr—.El dise–o del laberinto es tal que el rat—n debe pasar por cada uno de los tres pun-tos de esquina restantes exactamente una vez antes de que salga.Las mœltiples rutas delllas del reloj.El profesor Yataha estima que el tiempo que el rat—n emplea para llegar aun punto de esquina desde otro est‡ distribuido uniformemente entre 10 y 20 segundos,segœn la ruta que tome.Desarrolle un procedimiento de muestreo para el tiempo que unrat—n pasa en el laberinto.En el problema 6,suponga que una vez que el rat—n sale del laberinto,de inmediatoentra otro rat—n.Desarrolle un procedimiento de muestreo para la cantidad de ratonesque salen del laberinto en 5 minutos.
L-2.109 1=cos(2*.6733)3-2 ln(.0589)
L -1.103
Para todos los problemas de este conjunto,utilice los nœmeros aleatorios de la tabla 19.1 comenzando con
19.4Generaci—n de nœmeros aleatorios1.(muestras geomŽtricas independientes.Vea elproblema 9,conjunto 19.3B.)19.4GENERACIîN DE NòMEROS ALEATORIOSLos nœmeros aleatorios uniformes (0,1) desempe–an un papel clave en el muestreo dedistribuciones.S—lo los dispositivos electr—nicos pueden generar nœmeros aleatorios(0,1) verdaderos.Sin embargo,debido a que los modelos de simulaci—n se ejecutan enla computadora,el uso de dispositivos electr—nicos para generar nœmeros aleatorios esdemasiado lento para este prop—sito.Adem‡s,los dispositivos electr—nicos son activa-dos por leyes de probabilidades,lo que hace imposible duplicar la misma secuencia denœmeros aleatorios a voluntad.Este punto es importante porque la depuraci—n,la ve-de la secuencia de los nœmeros aleatorios.simulaci—n est‡ basada en operaciones aritmŽticas.Tales nœmeros no son verdadera-mente aleatorios debido a que toda la secuencia puede generarse con anticipaci—n.EsmŽtodo congruencial multiplicativo.Dados los par‡metros ,un nœmero seu-del generador.plicativo que mejoran la calidad del generador.
12.La semilla es
u3=(9*5+5) mod 12=2, R3= 2
12=.1667 2=(9*8+5) mod 12=5, R2= 5
12=.4167 1=(9*11+5) mod 12=8, R1= 8
12=.6667 n= un
m , n=1, 2, Ã n=(bun-1+c) mod(=1, 2, Ãf(x)=Cxr+x-1pr(1-p)x, x=0, 1, 2, Ã
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nexcelRN.xls
excelRN.xlsimplementa el mŽtodo congruencial multiplicativo.La figura 19.6 generala secuencia asociada con los par‡metros del ejemplo 19.4-1.Observe que la duraci—n del ciclo esexactamente 4,tras de lo cual la secuencia se repite.El punto aqu’ es que los valores selecciona-de su ciclo.Por lo tanto,la implementaci—n ÃcasualÃde la f—rmula congruencial no se recomienda.En su lugar debemos utilizar un generador confiable y probado.Todos los programas de compu-tadora comerciales est‡n equipados con generadores de nœmeros aleatorios confiables.CONJUNTO DE PROBLEMAS19.4Acon el siguiente conjunto de par‡metros,y compare los resul-
19.5Mec‡nica de la simulaci—n discretaEncuentre un generador de nœmeros aleatorios en su computadora,y util’celo para gene-rar 500 nœmeros aleatorios (0,1).Elabore el histograma de los valores resultantes (pormedio de la herramienta histograma de Microsoft,vea la secci—n 12.5) y convŽnzase vi-sualmente de que los nœmeros obtenidos siguen razonablemente la distribuci—n (0,1).Enrealidad,para probar adecuadamente la secuencia,necesitar’a aplicar las siguientes prue-bas:bondad de ajuste de ji cuadrada (vea la secci—n 14.6),realice la prueba en busca deindependencia y la prueba de correlaci—n;para los detalles,vea Law (2007).19.5MECçNICA DE LA SIMULACIîN DISCRETAlaci—n.El veh’culo de explicaci—n es un modelo de una sola cola.La secci—n 19.5.1 uti-de simulaci—n de colas de un solo servidor.Debido a los tediosos c‡lculos que tipificanla ejecuci—n de un modelo de simulaci—n,la secci—n 19.5.2 muestra c—mo se maneja y19.5.1Simulaci—n manual de un modelo de un solo servidormedia de 15 minutos.La peluquer’a es atendida por s—lo un peluquero,y se lleva entre10 y 15 minutos,distribuidos de manera uniforme,para realizar un corte de pelo.Losclientes son atendidos con base en la disciplina primero en llegar,primero en salir(FIFO).El objetivo de la simulaci—n es calcular las siguientes medidas de desempe–o:asociadas con los eventos de llegada y salida del modelo.Evento de llegadaInicie el servicio y declare ocupada la instalaci—n.Actualiza las estad’sticas deSi la instalaci—n est‡ ocupada,ponga al cliente en la cola,y actualice las estad’sti-Evento de salidaSi la cola est‡ vac’a,declare ociosa la instalaci—n.Actualice las estad’sticas de uti-Seleccione un cliente de la cola,p—ngalo en la instalaci—n.Actualice las es-
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nSegœn los datos del problema,el tiempo entre llegadas es exponencial con mediade 15 minutos,y el tiempo de servicio es uniforme entre 10 y 15 minutos.Si presentan muestras aleatorias de tiempos entre llegadas y de servicio,entonces,comose explica en la secci—n 19.3.2,obtenemos Para el objetivo de este ejemplo,utilizamos de la tabla 19.1,comenzando con lacolumna 1.TambiŽn utilizamos el s’mbolo mulaci—n.Suponemos adem‡s que el primer cliente llega en el instante Debido a que los c‡lculos de simulaci—n suelen ser voluminosos,la simulaci—n selimita s—lo a las primeras 5 llegadas.El ejemplo est‡ dise–ado para cubrir todas las si-tuaciones posibles que pudieran surgir en el curso de la simulaci—n.M‡s adelante,en lasecci—n 19.5.2,presentamos la plantilla excelSingleServer.xls con el modelo sin tener que realizar manualmente los c‡lculos.0,el cliente inicia el serviciode inmediato.Por lo tanto,el tiempo de salida se calcula como el tiempo de salida se calcula como -15ln(.0589)] minutos, 0
Tiempo,
42.48Llegada del cliente 2
Tiempo,
Evento42.48Llegada del cliente 2
Debido a que la cola est‡ vac’a,lainstalaci—n se declara ociosa.Al mismo tiempo,registramos que la instalaci—n ha13.37 minutos.La lista actualizada de eventosLa lista actualizada de eventos-15ln(.4799)]
19.5Mec‡nica de la simulaci—n discretaDebido a que la instalaci—n esta ociosa,el cliente 2 inicia el servicio,y la instalaci—n sedeclara ocupada.El tiempo de salida es57.22),el cliente 3 se53.49.La lista de eventos futuros actualizada es La lista de eventos futuros actualizada es - 15lniniciar el servicio.El tiempo de espera es
Tiempo,
57.22Salida del cliente 2
Tiempo,
60.81Llegada del cliente 4
Tiempo,
70.19Salida del cliente 3
70.19,el cliente 4 se coloca en lacola.La lista actualizada de eventos futuros es La lista actualizada de eventos futuros es -15ln(.9341)]
Tiempo,
70.19Salida del cliente 3
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nLa simulaci—n se limita a 5 llegadas,porconsiguiente no se genera la llegada del cliente 6.La instalaci—n sigue ocupada,porque61.83.La lista de eventos actualizada es iniciar el servicio.El tiempo de espera es El tiempo de espera es +5* .1782]=81.08 minutosW4= 70.19-60.81=9.38 minutosSalida del cliente 4 en el instante T581.08.El cliente se retira de la cola para iniciarel servicio.El tiempo de espera es porque su variaci—n es una funci—n del tiempo.En consecuencia,
Periodo simulado
Tiempo,
Evento70.19Salida del cliente 3
Tiempo,
Evento81.08Salida del cliente 4
Tiempo,
Evento92.82Salida del cliente 5
19.5Mec‡nica de la simulaci—n discreta
20304060708090
2030405060708090
W4
q1
q2
q3
q5
q4
W5
A228.63
A450.34
A313.37
Implementando esta f—rmula con los datos que aparecen en la figura 19.7,obtenemosbasada en observacionescola,es decir,CONJUNTO DE PROBLEMAS19.5Aprimero en llegar,primero en ser atendido (FCFS).Suponga adem‡s que el tiempo paraobtener un corte de pelo est‡ uniformemente distribuido entre 15 y 30 minutos.El tiempo
q= 32.36
5=6.47 minutosW1+W2+W3+W4+W5=0+0+3.73+9.38+19.25=32.36 minutosaValor promedio de una variablebasada en observacionesb=Suma de las observaciones
Cantidad de observaciones aUtilizaci—n promediode la instalaci—nb=A3+A4
92.82=63.71
92.82=.686 peluqueros aLongitud promediode la colab=A1+A2
92.82=32.36
92.82=.349 clientes
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nentre llegadas de los clientes es exponencial con una media de 10 minutos.Simule manual-mente el sistema durante 75 unidades de tiempo.Con los resultados de la simulaci—n,deter-mine el tiempo promedio que un cliente espera en la cola,el promedio de clientes que espe-ran y la utilizaci—n promedio de los peluqueros.Use los nœmeros aleatorios de la tabla 19.1.Tiempo para la falla de un componente electr—nico.Nivel del inventario de un art’culo.Cantidad de pedido de un art’culo de inventario.Cantidad de art’culos defectuosos en un lote.Tiempo necesario para calificar ex‡menes.Cantidad de autos en el lote de estacionamiento de una agencia de renta de autos.
Tiempo de simulaci—n,
Cantidad de clientes que esperan0ƒTƒ3036Tƒ4146Tƒ6266Tƒ7176Tƒ100106Tƒ122126Tƒ183186Tƒ202206Tƒ251
Tiempo de simulaci—n,
Cant.de servidores ocupados
El tiempo de espera promedio en cola de los que deben esperar.queros.Suponga,adem‡s que la utilizaci—n de los servidores (peluqueros) se resume en
19.5Mec‡nica de la simulaci—n discretaTiempo promedio que permanece ocupada la instalaci—n.Tiempo ocioso promedio de instalaci—n.19.5.2Simulaci—n basada en una hoja de c‡lculo del modelo de un solo servidorEsta secci—n desarrolla una hoja de c‡lculo basada en el modelo de un solo servidor.Elobjetivo del desarrollo es reforzar las ideas presentadas en la secci—n 19.5.1.Desde luego,hoja de c‡lculo.Otras situaciones requieren un esfuerzo de modelado m‡s complicado,Una lista cronol—gica de los eventos del modelo.ci—n basado en la hoja de c‡lculo (en realidad,basado en cualquier computadora).Lade la computadora.Como en la secci—n 19.5.1,a los clientes se les atiende en el orden dellegada (FIFO,primero en llegar,primero en salir).excelSingleServer.xls.cuatro formas:constante,exponencial,uniforme y triangular.La distribuci—n triangulardistribuci—n,simplemente con tres estimaciones excelSingle.xls
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nm’nimo,el m‡s probable y el m‡ximo del tiempo.La œnica otra informaci—n necesariapara controlar la simulaci—n es la duraci—n de la ejecuci—n de la simulaci—n,la cual en estemodelo es especificada por el nœmero de llegadas que se pueden generar en el modelo.Los c‡lculos de la hoja de c‡lculo reservan una fila para cada llegada.Los tiemposentre llegadas y de servicio de cada llegada se generan con los datos de entrada.Se su-0.Debido a que la instalaci—n co-mienza ociosa,el cliente inicia el servicio de inmediato.La hoja de c‡lculo proporcionaexcelMultiServer.xlscaso de un solo servidor.Sin embargo,la determinaci—n del tiempo de salida no es tansimple y requiere el uso de macros VBA.CONJUNTO DE PROBLEMAS19.5BCon los datos de la secci—n 19.5.1,ejecute el simulador Excel para 10 llegadas y trace ladel tiempo de simulaci—n.Compruebe que las ‡reas bajo las curvas son iguales a la sumade los tiempos de servicio y la suma de los tiempos de espera,respectivamente./1 para 500 llegadas,con la tasa de llegadas 6 salidas por hora.Ejecute 5 aplicaciones (refrescando la hojade c‡lculo,oprimiendo F9) y determine un intervalo de 95% de confianza con todas lasmedidas de desempe–o del modelo.Compare los resultados con los valores te—ricos depor un solo operador.No est‡n disponibles los datos detallados de la estaci—n de inspecci—n.Sin embargo,el operador estima emplear 10 minutos Ãen promedioÃpara inspeccionar unaunidad.En las peores condiciones,el tiempo de inspecci—n no excede de 13 minutos,y paraciertas unidades el tiempo de inspecci—n puede ser tan bajo como 9 minutos.Use el simulador de Excel para simular la inspecci—n de 200 televisores.Basado en 5 rŽplicas,estime la cantidad promedio de unidades en espera de ser ins-19.6MƒTODOS PARA REUNIR OBSERVACIONES ESTADêSTICASmedio de herramientas de inferencia estad’stica apropiadas (por ejemplo,intervalos deconfianza y pruebas de hip—tesis).Para realizar esta tarea,un experimento de simu-laci—n debe satisfacer tres condiciones:Las observaciones son independientes.En un sentido estricto,el experimento de simulaci—n no satisface ninguna de estas con-diciones.No obstante,podemos garantizar que estas condiciones permanecen estad’s-ticamente aceptables al restringir la forma de reunir las observaciones.
19.6MŽtodos para reunir observaciones estad’sticasEn primer lugar consideremos el tema de las distribuciones estacionarias.Los re-sultados de una simulaci—n son una funci—n de la duraci—n del periodo simulado.El pe-.Cuando los resultados de la simulaci—n se estabilizan,elestado estable.Desafortunadamente,no hay una forma definitiva depredecir de antemano el punto de inicio del estado estable.Por lo general,una ejecuci—nes decir que el problema se aborda con un tama–o de muestra suficientemente grande.ci—n se extraen de una poblaci—n normal.Este requisito se cumple utilizando el dio de una muestra es asint—ticamente normal,de manera independiente de la pobla-ci—n padre.Por consiguiente,el teorema del l’mite central es la herramienta principalLa tercera condici—n tiene que ver con la independencia de las observaciones.Enuna simulaci—n,una observaci—n se puede basar en una sola ejecuci—n independiente ouna observaci—n.Cada mŽtodo presenta desventajas y ventajas.El primero alivia lacada observaci—n.En el segundo mŽtodo,el efecto del periodo transitorio no es tanpronunciado,pero empeora de manera inherente el tema de la independencia.Comose explicar‡ m‡s adelante en esta secci—n,un posible remedio consiste en prolongar elMŽtodo de subintervalos.pliamente utilizados (vea la secci—n 19.7).Por otra parte,el tercer mŽtodo,aun cuandoticas para las diferentes observaciones,puede ser dif’cil de implementar en la pr‡ctica.Las secciones 19.6.1 y 19.6.2 presentan los primeros dos mŽtodos.Los detalles del19.6.1MŽtodo de subintervalosLa figura 19.9 ilustra la idea del mŽtodo de subintervalos.Supongamos que la duraci—nunidades de tiempo.El mŽtodo de subintervalos primero truncasubintervalos (o lotes) iguales.El promedio de una medida de desempe–o deseada(por ejemplo,longitud de la cola o tiempo de espera en la cola) dentro de cada subinter-valo se utiliza entonces para representar una sola observaci—n.El truncamiento del pe-riodo transitorio inicial significa que durante ese periodo no se reœnen datos estad’sticos.sitorias (no estacionarias) se mitiga,en particular para las observaciones que se reœnenal final de la ejecuci—n de la simulaci—n.La desventaja es que los lotes sucesivos concondiciones restrictivas comunes no son necesariamente independientes.El problema
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—n
Lote 1Periodo transitorio
Lote 2
Lote n
T
Tiempo de
una funci—n del tiempo de simulaci—n.La longitud de la ejecuci—n de la simulaci—n es horas,y la longitud del periodo transitorio es de 5 horas.La base de tiempo para una observaci—nes de 5 horas,lo que produce 5 observaciones.Seala longitud promedio de la cola en el lote .Debido a que la longitud de la cola es unavariable basada en el tiempo,tenemos6) es la base de tiempo por lote.
i= Ai
t , i=1, 2, Ã, 5Q
iFIGURA 19.10Cambio de longitud de la cola con el tiempo de simulaci—n en el ejemplo 19.6-1
Periodotransitorio
Tiempo de
3
2
5101520
Lote 1
Lote 2
Lote 3
Lote 4
Lote 5
30
35
12345141011615
2.331.671.831.002.501.87Desviaci—n est‡ndar muestral
19.6MŽtodos para reunir observaciones estad’sticasLa media y varianza muestrales pueden usarse para calcular un intervalo de confianza,si sedesea.El c‡lculo de varianza muestral en el ejemplo 19.6-1 se basa en la siguiente f—rmula efecto de la autocorrelaci—n entre los lotes sucesivos.La f—rmula exacta se encuentra en Law19.6.2MŽtodo de rŽplicaindependiente en la cual el periodo transitorio se trunca,como se ilustra en la figura19.11.El c‡lculo de los promedios de observaci—n para cada lote es el mismo que en elmŽtodo de subintervalos.La œnica diferencia es que la f—rmula de la varianza est‡ndares aplicable porque los lotes no son independientes.trola una corriente de nœmeros aleatorios 0-1 distinta,la cual produce observacionesestad’sticamente independientes.La desventaja es que cada observaci—n puede ser in-fluida por el efecto inicial de las condiciones transitorias.Dicho problema puede ate-CONJUNTO DE PROBLEMAS19.6AEn el ejemplo 19.6-1,use el mŽtodo de subintervalos para calcular el tiempo de esperapromedio en la cola para los que deben esperar.dios de lotes.Se estima que el periodo transitorio es de 100,y cada lote tambiŽn tiene unabase de tiempo de 100 unidades de tiempo.Aplicando los siguientes datos,los cuales pro-ci—n,estime el intervalo de 95% de confianza para el tiempo medio de espera.
s=Tani=1xi2-n xq2
n - 1
FIGURA 19.11Recolecci—n de datos de simulaci—n siguiendo el mŽtodo de rŽplica
Lote 1
TMedida de desempe–o
Lote 2
T
Lote n
T
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—n19.7LENGUAJES DE SIMULACIîNLa ejecuci—n de modelos de simulaci—n implica dos tipos distintos de c‡lculos:(1) manejolos eventos del modelo,y (2) c‡lculos aritmŽticos y de contabilidad asociados con la gene-raci—n de muestras aleatorias y recolecci—n de estad’sticas del modelo.El primer tipo dec‡lculo implica una l—gica extensa en el desarrollo del procesamiento de listas,y el segun-do tipo implica c‡lculos tediosos que requieren mucho tiempo.La naturaleza de estosc‡lculos hace que la computadora sea una herramienta esencial para ejecutar modelos desimulaci—n y,a su vez,promueve el desarrollo de lenguajes de simulaci—n especiales paracomputadora para realizar estos c‡lculos de una forma conveniente y eficiente.En los lenguajes de programaci—n del evento,el usuario detalla las acciones asociadascon la ocurrencia de cada evento,como en el ejemplo 19.5-1.El rol principal del len-guaje en este caso es (1) la automatizaci—n del muestreo a partir de las distribuciones,(2) el almacenamiento y recuperaci—n de los eventos en orden cronol—gico,y (3) la re-colecci—n de estad’sticas del modelo.(es decir,clientes) en el sistema.Por ejemplo,los tres bloques/nodos m‡s pro-cual se crean las transacciones,una donde pueden esperar si es necesario,y una,en la que se realiza el servicio.Cada uno estos bloques/nodos se define contoda la informaci—n necesaria para controlar autom‡ticamente la simulaci—n.Porejemplo,una vez que se especifica el tiempo entre llegadas,un programa orientado alproceso ÃsabeÃde manera autom‡tica cu‡ndo ocurrir‡n los eventos de llegada.Dehecho,cada bloque/nodo del modelo cuenta con instrucciones permanentes que defi-mas acciones que se utilizan en los lenguajes de programaci—n de evento.La diferenciac‡lculo y l—gicos.En cierto modo podemos considerar a los lenguajes orientados alproceso como basados en el concepto de entrada y salida del mŽtodo de la ÃcajanegraÃ.Esto en esencia significa que los lenguajes orientados al proceso intercambianla flexibilidad del modelo por la sencillez y facilidad de uso.
Intervalo de tiempo
Tiempos de espera10,20,13,14,8,15,6,8100Ã20012,30,10,14,16200Ã30015,17,20,22300Ã40010,20,30,15,25,31400Ã50015,17,20,14,13500Ã60025,30,15
19.7Lenguajes de simulaci—nLos lenguajes de programaci—n de evento (como SIMSCRIPT,SLAM y SIMAN)son anticuados y rara vez se utilizan en la pr‡ctica.Recientemente,un nuevo lenguajellamado DEEDS (Elizandro y Taha,2008) se basa en el uso de la hoja de c‡lculo deExcel para controlar la programaci—n del evento.DEEDS permite la flexibilidadde modelado de los lenguajes de simulaci—n orientados al evento al mismo tiempo quelogra la naturaleza intuitiva de un lenguaje orientado al proceso.El paquete comercial predominante orientado al proceso es Arena.Utiliza unaci—n.TambiŽn cuenta con capacidades de animaci—n donde pueden observarse visual-mente los cambios del sistema.Sin embargo,para un profesional experimentado en lasimulaci—n,estas interfaces parecen reducir el desarrollo de un modelo de simulaci—n aun paso de Ãc‡mara lentaÃ.No sorprende que algunos usuarios prefieran seguir escri-CONJUNTO DE PROBLEMAS19.7Amedia de 5 minutos.El tiempo que un empleado pasa con un cliente es exponencial con media de 10 minutos.Todos los clientes que llegan hacen cola y esperan al primerempleado libre disponible.Ejecute un modelo de simulaci—n del sistema durante 480 El uso promedio de los empleados.MultiServerSimulator.xls.constante de 5 unidades por hora.El tiempo de inspecci—n requiere entre 10 y 15 minu-tos distribuidos uniformemente.La experiencia pasada muestra que 20% de las unidadesdeben ser ajustadas y enviadas de nuevo para reinspecci—n.El tiempo de ajuste tambiŽnest‡ distribuido uniformemente entre 6 y 8 minutos.Ejecute un modelo de simulaci—nUn rat—n se encuentra atrapado en un laberinto y Ãdesea salirÃdesesperadamente.DespuŽs de tratar entre 1 y 3 minutos,distribuidos de manera uniforme,hay 30% de pro-babilidades de que encuentre la ruta correcta.De lo contario,vagar‡ sin rumbo entre 2 y3 minutos,distribuidos de manera uniforme,y a la larga terminar‡ donde comenz—,s—lopara intentarlo una vez m‡s.El rat—n puede Ãtratar de liberarseÃlas veces que le plazca,pero hay un l’mite para todo.Con tanta energ’a consumida al intentarlo una y otra vez,tribuido,con una media de 10 minutos y una desviaci—n est‡ndar de 2 minutos.Escribaun modelo de simulaci—n para estimar la probabilidad de que el rat—n se libere.Para estimar la probabilidad,suponga que el modelo procesar‡ 100 ratones.En la etapa final de fabricaci—n,un auto que se desplaza sobre un transportador se sitœa
Resuelva estos problemas con un lenguaje de simulaci—n de su predilecci—n,o un lenguaje de programaci—nde alto grado.
Cap’tulo 19Modelado de simulaci—nquierdo y derecho al mismo tiempo.Los tiempos de operaci—n en los lados izquierdo yderecho son uniformes entre 15 y 20 minutos,y entre 18 y 22 minutos,respectivamente.El transportador llega al ‡rea de las estaciones cada 20 minutos.Simule el proceso duran-ponencial,los autos llegan con una media de 10 minutos.Los autos que llegan se formanen un solo carril que tiene espacio a lo sumo para cinco autos.Si el carril est‡ lleno,losautos que llegan se van a otra parte.Se requieren entre 10 y 15 minutos distribuidos uni-formemente para lavar un auto.Simule el sistema durante 960 minutos,y estime el tiem-Banks,J.,J.Carson,B.Nelson,y D.Nicol,4a.ed.,PrenticeHall,Upper Saddle River,NJ,2005.Box,G.,y M.Muller,ÃA Note on the Generation of Random Normal DeviatesÃ,,vol29,p‡gs.610-611,1958.Elizandro,D.,y H.Taha,Simulation of Industrial Systems:Discrete Event Simulation UsingExcel/VBA,Taylor and Francis,Nueva York,2008.Law,A.,Simulation Modeling & Analysis,4a.ed.,McGraw-Hill,Nueva York,2007.Rubenstein,R.,B.Melamed,y A.Shapiro,,Wiley,NuevaYork,1998.Taha,Simulation Modeling and SIMNET,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1988.
20.1PROBLEMAS NO RESTRINGIDOSMatem‡ticamente,un puntoAsimismo,.Los puntos como m‡ximos,y como m’nimos.El valor El valor f(x1),f(x3),f(x6)]es un m‡ximo globalo absoluto,y relativosAsimismo,Aunque (en la figura 20.1) es un punto m‡ximo (local),difiere de los m‡ximos).A este respecto,,en tanto que .En general,para como se defini— antes,En la figura 20.1,la primera derivada (pendiente) de extremos.Esta propiedad tambiŽn se satisface en puntos de inflexi—n ,como es el.Si un punto con pendiente (gradiente) cero no es un extremo (m‡ximo o m’-nimo),entonces debe ser un punto de inflexi—n o silla.CAPêTULO 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica
20.1.1Condiciones necesarias y suficientes variables tenga extremos.Se supone que la primera y segunda derivadas par-Teorema 20.1-1o silla,es m‡s apropiado referirse a estos puntos obtenidos con la soluci—n de .El teorema siguiente establece las condiciones de sufi-sea un punto extremo.Teorema 20.1-2(i)Hes un punto m’nimo.(ii)Hes un punto m‡ximo.
Ejemplo 20.1-1Considere la funci—nf(x1, x2, x3)=x1 +2x3 +x2 x3 - x12- x2-x3§f(X0)=0
20.1Problemas no restringidosPara determinar el tipo de punto estacionario,considere Los determinantes menores principales detienen los valores 2,4 y 6,respectivamente.
0x1202f
0x10x202f
0x10x302f
0x20x102f
0x202f
0x20x302f
0x30x102f
0x30x202f
0x3X0=£-2000-2101-2X0=a1
2, 2
3, 4
3b 0f
0x3=2+x2-2x3=0 0f
0x2=x3-2x2=0 0f
Por lo tanto,como se muestra en la secci—n D.3,se define negativa ysenta un punto m‡ximo.Por lo comœn,sies indefinida,debe ser un punto silla.En casos no conclu-yentes,puede o no ser un extremo,y la condici—n de suficiencia se hace algo compli-cada,porque en la expansi—n de Taylor se deben considerar tŽrminos de mayor orden.una sola variable como sigue.Dado que es un punto estacionario,entonces0,deben investigarse las derivadas de mayor orden como lo requiere el si-Teorema 20.1-3Si nes impar
2 , 2
3 , 4
3 BH†X0
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica
0,la cual da el punto estacionario 0.Ahora Por consiguiente,0,la cual da 0,como un punto estacionario.Adem‡sPor consiguiente,CONJUNTO DE PROBLEMAS20.1ADetermine los puntos extremos de las siguientes funciones.Verifique que la funci—ntiene los puntos estacionarios (0,3,1),(0,1,1),(1,2,0),(2,1,1) y (2,3,1).Utilice la condi-ci—n de suficiencia para identificar los puntos extremos.objetivo no lineal sin restricciones..Sugerencia:m’n f
20.1Problemas no restringidos20.1.2MŽtodo de Newton-RaphsonPor lo general,la condici—n necesaria 0 puede ser extremadamente no lineal y,en consecuencia,dif’cil de resolver.El mŽtodo de Newton-Raphson es un algoritmoiterativo para resolver ecuaciones no lineales.un punto dado.Luego,mediante la expansi—n de Taylor,Por lo tanto,las ecuaciones originales 1,2,Ã,es no singular,entoncesci—n anterior para determinar un nuevo punto.El proceso puede o no converger de-pendiendo de la selecci—n del punto de inicio.La convergencia ocurre cuando dos pun-,son aproximadamente iguales (dentro de una toleranciauna funci—n de una sola variable.La relaci—n entre
xk-xk+1xk+1=xk - f(xk)
,donde tan La figura 20.3 demuestra que la convergencia no siempre es posible.Si el punto,el mŽtodo divergir‡.Por lo comœn,podr’a requerirse intentar varios puntos
Para demostrar el uso del mŽtodo de Newton-Raphson,considere la funci—n ),tenemos que resolver
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica
Por lo tanto,para el mŽtodo de Newton-Raphson,tenemos10,la siguiente tabla proporciona las iteraciones sucesivas:
216x2-468x+24 œ(x)=216x2-468x+241kxkf(xk)
10.0000002.9789237.03210817.0321081.9764295.05567925.0556791.3143673.74131233.7413120.8713582.86999542.8699950.5735472.29640552.2964050.3712521.92515461.9251540.2307021.69445271.6944520.1289991.56545381.5654530.0541561.51129691.511296.01086411.500432101.500432.000431311.500001
20.2Problemas restringidos1.5.En realidad,y Los dos puntos restantes se determinan intentando diferentes valoresinicial.De hecho,1,deber’an dar por resultado los puntos estacionarios
sola variable.Requiere que se ingreseen la celda C3.Para el ejemplo 20.1-3,ingresamos se reemplaza con A3.La plantilla permite establecer un l’mite de tolerancia ,elnes.Se le pide que utilice puntos iniciales diferentes,,para que tenga una idea de c—mo fun-ciona el mŽtodo.CONJUNTO DE PROBLEMAS20.1Bpara resolver el problema 1(c),conjunto 20.1a.Resuelva el problema 2(b),conjunto 20.1a,por medio del mŽtodo de Newton-Raphson.20.2PROBLEMAS RESTRINGIDOSEsta secci—n se ocupa de la optimizaci—n de funciones continuas restringidas.La sec-ci—n 20.2.1 presenta el caso de restricciones de igualdad,y la secci—n 20.2.2 se ocupa delas restricciones de desigualdad.La presentaci—n en la secci—n 20.2.1 se cubre en sumayor parte en Beightler and Associates (1979,p‡gs.45-55).20.2.1Restricciones de igualdadEsta secci—n presenta dos mŽtodos:el Jacobiano.El mŽtodoLagrangiano se puede desarrollar l—gicamente a partir del Jacobiano.Esta relaci—nproporciona una interpretaci—n interesante econ—mica del mŽtodo Lagrangiano.MŽtodo de derivadas restringidas (Jacobiano)
fœ(x)x= 3
2 .x= 2
3 , x= 13
12
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sicamŽtodo Jacobiano
1,2,Ã,,son dos veces continuamente diferenciables..Los puntos estacionarios correspondientes se identifican como los pun-tos donde estas derivadas parciales se desvanecen.De este modo,las condiciones dede los puntos estacionarios.Para aclarar el concepto propuesto,considere es una constante.En la figura 20.4,la curva designada por los tres puntos ) que satisfacen la restricci—n dada.El mŽtodo de.El punto para el problema restringido.Ahora se desarrolla el mŽtodo matem‡ticamente.De acuerdo con el teorema deTaylor,para ,tenemos
20.2Problemas restringidos0,las ecuaciones se reducen a Para factibilidad,debemos tener .Por consiguiente 1) inc—gnitas,.Observe que siEsto significa que,de hecho,tenemos inc—gnitas.,al menos () ecuaciones son redundantes.Si se elimina la redun-dancia,el sistema se reduce a .Si ,y guna vecindad factible,lo que significa que el espacio de soluciones se compone des—lo un punto.El caso restante () es m‡s elaborado.,respectiva-mente.Rescribiendo los vectores gradiente de ,obtenemos matriz Jacobiana .Se supo-ne que la Jacobiana es no singular.Esto siempre es posible debido a que las ciones dadas son independientes por definici—n.Los componentes del vector seleccionarse por lo tanto,de modo que sea no singular.
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sicaes no singular,se deduce que,esdecir,Segœn esta ecuaci—n,la derivada restringida con respecto al vector independiente gradiente restringido Por lo tanto debe ser nulo en los puntos estacionarios.,y los elemen-
(1,2,3),deseamos estudiar la variaci—n de Por lo tanto,
0x2=6x2 §Yf=a0f
0x1, 0f
) y
0cZ=§Z f-§YfJ-1C0f(Y, Z)=(§Zf - §Yf J-1C)0Z0Y=-J-1C0ZJ0Y=-C0Z0f(Y, Z)=§Yf0Y +§Zf0Z
20.2Problemas restringidos(1,2,3),dado un peque–o cambio .Tenemos independientex,los valores factibles de Por lo tanto,para .4601.La diferencia
f1X0+0X2-f1X02=-.477f(X0)=58, f(X0+0X)=57.523X0+0X=(1-.0283, 2 +.01, 3 +.025)=(.9717, 2.01, 3.025 )a0x10x3b=-J-1C 0x2=a-.0283.0250b0Y=-J-1C 0Z0c f=1§Z f-§YfJ-1C2 0Z=a6122-147, 302.83-2.50bb 0x2=-46.010x2J-1C=a31b-1a6b=¢6
12-1
12-6
123
12a6bLa2.83-2.50b C=€0g1
0x20g2
0x2µ=a2x2+22x2b =§0g1
0x10g1
0x30g2
0x10g2
0x3Â¥=ax3x12x1+2x22x3b
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sicaCONJUNTO DE PROBLEMAS20.2Apor medio de los dos mŽtodos presentados,utilizando .01.ÃSe hace el efecto de la aproximaci—n lineal m‡s insignificante con la,Ãcu‡l es el valor de
Este ejemplo ilustra el uso de derivadas restringidas.Considere el problema Determinamos los puntos extremos restringidos como sigue.SeanPor lo tanto,Por consiguiente,286113521
3 x1-28
3 x2+2x3 §c f=0cf
0cx3=2x3-12x1, 2x22¢-2
31
35
3-1
3a31b J=a1152b, J-1=¢-2
31
35
3-1
3, C=a3b §Yf=a0f
0x1, 0f
0x2b=12x1, 2x22, §Z f=0f
0x3=2x3Y=(x1, x2) y Z = x3g2(X=5x1+2x2+x3-5=0g1(X=x1+x2+3x3-2=0 Minimizar f(X)=x12+x2+x3
20.2Problemas restringidoses la variable independiente,de Por el mŽtodo Jacobiano,De ah’ que,sea el punto m’nimo.An‡lisis de sensibilidad en el mŽtodo Jacobiano.El mŽtodo Jacobiano se puede utilizar.Espec’ficamente,Ãcu‡l es el efecto de cambiar grealizado en la programaci—n lineal (vea los cap’tulos 3 y 4).Sin embargo,el an‡lisis depunto extremo.El desarrollo ser‡ œtil al estudiar el mŽtodo Lagrangiano.,entoncesY,Zcomo ya antes se defini—.La expresi—n para ,eldebe desvanecerse.Por lo tanto
0g=§Y0f J-10f(Y0, Z0)=§Y0f J-10g(Y0, Z0)§cf=§Zf - §Yf J-1C0f(Y, Z)=§Yf J-10g +§cf0Z0Y=J-10g-J-1C0Z 0g=J0Y+C0Z f1Y, Z2=§Yf0Y+§Z f0Z0c2f
0cx3=460
970.§dx1
dx3dx2
dx3¥=-J-1C=¢5
3 -14
30cf
0cx3=10
3 adx1
dx3b-28
3 adx2
dx3b+2=a10
3, -28
3b§dx1
dx3dx2
dx3Â¥+2
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica.Por lo comœn,estas razones se conocen como
(.81,.35,.28) da el punto—ptimo.Dado ),entoncesPor consiguiente aproximadamenteen .0867.Asimismo,paraaproximadamenteCONJUNTO DE PROBLEMAS20.2BSuponga que el ejemplo 20.2-2 se resuelve de la siguiente manera.Primero,utilice las res-;luego utilice las ecuaciones resultantes.Calculando la derivada de la,podemos determinar los puntos de m‡ximos ym’nimos.) de la obtenida por medio del mŽtodo Jacobiano?ÃC—mo difiere el mŽtodo sugerido del mŽtodo Jacobiano?Aplique el mŽtodo Jacobiano al ejemplo 20.2-1 seleccionando Resuelva por medio del mŽtodo Jacobiano:donde Ces una constante positiva.Suponga que el lado derecho de la restricci—n se cam-,donde es una peque–a cantidad positiva.Determine el cambio correspon-Resuelva por medio del mŽtodo Jacobiano:
a0f
0g1, 0f
0g2b=§Y0 fJ-1=11.62, .72¢-2
31
35
3-1
3=1.0876, .30672§Y0 f=a0f
0x1, 0f
0x2b=12x01, 2x022=11.62, .702
20.2Problemas restringidos) en la vecindad del punto factible (2,5),dadoAplique el mŽtodo Jacobiano para hallar )en la vecindad del punto factible (1,1,1).como variables independientes,el mŽtodoJacobiano no proporciona una soluci—n ni establece la raz—n.como variables independientes,y aplique lacondici—n de suficiencia para determinar el tipo de punto estacionario resultante.Determine los coeficientes de sensibilidad,dada la soluci—n en (b).MŽtodo Lagrangiano.En el mŽtodo Jacobiano,si el vector cientes de sensibilidad,es decirPor lo tanto,.Una forma m‡s conveniente para representar estas.Esto da porestacionarios.
0xj 1f-Lg2=0, j=1, 2,Ã, n0f
0g0f - L 0g=0L =§Y0J-1= 0f
0gg2(X)=x1+2x2+5x3+6x4-15=0g1(X)=x1+2x2+3x3+5x4-10=0Minimizar (X)=x12 +x2 +x3 +x4g2(X)=x1+5x1x2+x3-7=0g1(X)=x1+x2+3x2x3-5=0Maximizar f(X)=x1 +2x2 +10x3 +5x1x2
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica.Seamultiplicadores Lagrange.Por definici—n,estos multiplicadores tienen la misma in-terpretaci—n que los coeficientes de sensibilidad del mŽtodo Jacobiano.Existen condiciones de suficiencia para el mŽtodo Lagrangiano,pero en general son dif’ciles de calcular.
Considere el problema del ejemplo 20.2-2.La funci—n Lagrangiana es Esta soluci—n combina los resultados de los ejemplos 20.2-2 y 20.2-3.Los valores de los multipli-,dados por el vector ,son iguales a los coeficientes de sensibilidad obtenidosen el ejemplo 20.2-3.El resultado muestra que estos coeficientes son independientes de la selec-dependiente en el mŽtodo Jacobiano.
L=(l1, l2)=(.0870, .3043) 0=(x1, x2, x3)=(.8043, .3478, .2826) 0L
0l2=-(5x1+2x2+x3-5)=0 0L
0l1=-(x1+x2+3x3-2)=0 0L
0x3=2x3-3l1-l2=0 0L
0x2=2x2-l1-2l2=0 0L
0x1=2x1-l1-5l2=0L(X, L )=x12 +x2 +x3 - l1(x1 +x2 +3x3 - 2) - l2(51 +2x2 +x3 - 5)0L
0,
0X=0L(X, l )=f(X) - L g(X)
20.2Problemas restringidosCONJUNTO DE PROBLEMAS20.2CResuelva el siguiente problema de programaci—n lineal mediante los mŽtodos Jacobiano.02.Determine el cambio correspondiente del valorResuelva el problema 6,conjunto 20.2b,por medio del mŽtodo Lagrangiano,y verifiquesensibilidad obtenidos en el problema 6,conjunto 20.2b.20.2.2Restricciones de desigualdad. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)dad.La contribuci—n principal de la secci—n es el desarrollo de las condiciones de Karush-Kuhm-Tucker para determinar los puntos estacionarios.Estas condicio-.Seala cantidad de holgura agregada a la res-
W.Karush fue el primero en desarrollar las condiciones KKT en 1939 como parte de una tesis de maestr’aen la Universidad de Chicago.Las mismas condiciones fueron desarrolladas de forma independiente en 1951por W.Khun y A.Tucker.
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sicaes el total de restricciones de desigualdad.La funci—n Lagrangiana es por,una condici—n necesaria para optimalidad es que sea no negativo (no positivo) para problemas de maximizaci—n (minimizaci—n).El re-,es decir,En el caso de maximizaci—n,a medida que se incrementa el lado derecho de la restricci—n,el espacio de soluciones se hace menos restringidoy por consiguiente no puede disminuir,lo que significa que .Igualmente paraminimizaci—n,a medida que se incrementa el lado derecho de las restricciones,incrementarse,lo cual implica que .Si las restricciones son igualdades,esto es,se hace no restringido en cuanto a signo (vea el problema 2,conjunto 20.2d).rias.Ahora se desarrollar‡n las condiciones restantes.,obtenemos0,entonces.Este resultado indica que el recurso correspondienteest‡ escaso (es decir,agotado por completo).Sientonces 0.Esto indica que el recurso no est‡ escaso y,por con-siguiente,no tiene ningœn efecto en el valor deDel segundo y tercer conjuntos de ecuaciones,obtenemosEsta nueva condici—n repite en esencia el argumento anterior,porque si 0,g0 o;y siy
0gi=0).Si70, Si=0 0L
0L=-1g1X2+S22=0 0L
0Si=-2liSi=0, i=1, 2,Ã, m 0L
0X=§f1X2-L§g1X2=0L = 0f
0gL(X, S, L )=f(X)-L Cg(X)+S2D
20.2Problemas restringidos
TABLA 20.1
Funci—n objetivoEspacio de solucionesC—ncavaConjunto convexo
TABLA 20.2
Minimizaci—nConvexa
Estas condiciones tambiŽn aplican al caso de minimizaci—n,excepto que positivo (ÃcompruŽbelo!).Tanto en maximizaci—n como en minimizaci—n,los multipli-en cuanto a signo.Suficiencia de las condiciones KKT.un espacio de soluciones es convexo.Por esta raz—n,ofrecemos un condiciones de suficiencia,que,aunque no tan general como los de la Tabla 20.1,sonm‡s f‡ciles de aplicar en la pr‡ctica.Para proporcionar estas condiciones,definimos los.Las condi-
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sicaminimizaci—n.Este resultado se verifica observando que si g() es convexa,entonces0.Se pueden establecer interpretacionessimilares para todas las condiciones restantes.Observe que una funci—n lineal es tantoconvexa como c—ncava.Adem‡s,si una funci—n es c—ncava,entonces (
ƒste es un problema de minimizaci—n,de ah’ que .Las condiciones KKT se dan por lo
20.2Problemas restringidos4.Debido a que0son convexos,) debe ser convexa,y elpunto estacionario resultante da un m’nimo restringido global.Las condiciones KKT son funda-CONJUNTO DE PROBLEMAS20.2DDemuestre que las condiciones KKT son las mismas que en la secci—n 20.2.2,excepto queEscriba las condiciones KKT necesarias para los siguientes problemas.
1Ã1, 2Ã2, x3Ã0 1+x3ƒ2 2x1+x2ƒ5 5x3=0 4(2-x2)=0
Cap’tulo 20Teor’a de optimizaci—n cl‡sica1,2,Ã,condiciones KKT necesarias tambiŽn son suficientes.ÃEs cierto este resultado si ? ÃPor quŽ?Desarrolle las condiciones KKT,y proporcione las estipulaciones conforme a las cualeslas condiciones son suficientes.Bazarra,M.,H.Sherali,y C.Shetty,Nonlinear Programming Theory and Algorithms,3a.ed.,Wiley,Nueva York,2006.Beightler,C.,D.Phillips,y D.Wilde,Foundations of Optimization,2a.ed.,Prentice Hall,NJ,1979.Fletcher,R.,Practical Methods of Optimization,2a.ed.,Wiley,Nueva York,2000.
21.1ALGORITMOS NO RESTRINGIDOSEsta secci—n presenta dos tipos de algoritmos para el problema no restringido:de 21.1.1MŽtodo de bœsqueda directable estrictamente unimodales.Aunque el caso parezca trivial,la secci—n 21.1.2 demues-algoritmo general de mœltiples variables.intervalo de incerti-dumbreque se sabe incluye el punto de soluci—n —ptima.El procedimiento localiza elnados;el .Ambos buscan la maximizaci—n de una*.Los dos mŽtodos se inician con el intervalo inicial de incertidumbre Paso general ).La siguiente tabla muestra c—mo se determinan CAPêTULO 21
MŽtodo dic—tomo
MŽtodo de la secci—n doradax1= 1
2 (xR+xL-¢)x1=xR-A 15
-1
2 B(xR-xL)x2= 1
2 (xR+xL+¢)x2=xL+A 15
-1
2 B(xR-xL)
La selecci—n de x1y x2garantiza que L,x1,x2,xR.
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no linealIlustraci—n del paso general de los mŽtodos de bœsqueda,dic—tomo y de la secci—n dorada
El siguiente intervalo de incertidumbre,,se determina de la siguiente manera:),entonces .Sea Sea la figura 21.1(a)].2.Si f(x1) ,f(x2),entonces .Sea Sea la figura 21.1(b)].3.Si f(x1) 5f(x2),entonces .Sea ;establezca ,como se demostrar‡ en breve.,donde cificado por el usuario.En el mŽtodo dic—tomo,los valores punto medio del intervalo de incertidumbre actual.Esto significa que En el mŽtodo de la secci—n dorada,la idea es m‡s elaborada.Observamos que cada),pero al finalse descarta uno de ellos.Lo que el mŽtodo de la secci—n dorada propone es ahorrarc‡lculos al reutilizar el valor desechado en la iteraci—n inmediatamente subsiguiente.
21.1Algoritmos no restringidos),lo que significa que .En la iteraci—n1,seleccionamos ,lo cual conduce a la siguiente ecuaci—n:lo cual conduce a la siguiente ecuaci—n:x2(iteraci—n i) 2xL] 5xR2 a(xR2xL)ola cual se simplifica comoEsta ecuaci—n da por resultadoSe selecciona la ra’z positivatervalos de incertidumbre sucesivos,es decirque,en Žste,el estrechamiento del intervalo de incertidumbre se desacelera apreciable-.Adem‡s,el mŽtodo de la secci—n dorada requiere la mitadde los c‡lculos porque recicla un conjunto de c‡lculos de iteraci—n inmediata anterior.
2.La tabla siguiente demuestra los c‡lculos para lasiteraciones 1 y 2 siguiendo los mŽtodos dic—tomo y de la secci—n dorada,con .1.Continuando
20),2
2 L.681a= -1;15
2 .a2+a-1=0xL+a[xL+a(xR-xL)-xL]=xR-a(xR-xL)x1=xR-a(xR-xL)x2=xL+a(xR-xL)f 06a61
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no linealde la misma manera,a fin de cuentas el intervalo de incertidumbre se estrechar‡ a la tolerancia
F5 (secci—n dorada).Los datos de entrada incluyen .La funci—n La figura 21.2 compara los dos mŽtodos.El mŽtodo de la secci—n dorada requiere menos de la
mitad de las iteraciones del mŽtodo dic—tomo,adem‡s la mitad de los c‡lculos en cada iteraci—n.CONJUNTO DE PROBLEMAS21.1Adic—toma.Suponga que , 0, 2, 2
|(-3)3|, 2ƒxƒ4
MŽtodo dic—tomo
MŽtodo de la secci—n doradaIteraci—n 1Iteraci—n 1I0=(0, 3)K(xL, xR)I0=(0, 3)K(xL, xR)x1=0+.5(3-0-.1)=1.45, f(x1)=4.35x1=3-.618(3-0)=1.146, f(x1)=3.438x2=0+.5(3-0+.1)=1.55, f(x2)=4.65x2=0+.618(3-0)=1.854, f(x2)=5.562f(x2)7f(x1)QxL=1.45, I1=(1.45, 3)f(x2)7f(x1)QxL=1.146, I1=(1.146, 3)Iteraci—n 2Iteraci—n 2I1=(1.45, 3)K(xL, xR)I1=(1.146, 3)K(xL, xR)x1=1.45+.5(3-1.45-.1)=2.175, f(x1)=5.942x1=x2 en iteraci—n 0=1.854, f(x1)=5.562x2= 3 + 1.45 + .1
2=2.275, f(x2)=5.908x2=1.146+.618(3-1.146)=2.292, f(x2)=5.903f(x1)7f(x2)QxR=2.275, I2=(1.45, 2.275)f(x2)7f(x1)QxL=1.854, I2=(1.854, 3)
21.1Algoritmos no restringidos
21.1.2MŽtodo del gradiente diferenciables,llamado mŽtodo del
timo de forma directa resolviendo las ecuaciones de condiciones necesarias.
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no linealve nulo.ƒsta es la œnica condici—n necesaria para la optimalidad.) se maximiza.Sea procedimiento,y defina .La idea es de-a lo largo de la cualse maximice en un punto dado..Esto equivale a determinar ) es una funci—n de una sola variable,se puede utilizar el mŽtodo debœsqueda de la secci—n 21.1.1 para determinar el —ptimo,siempre que son aproximadamente iguales.Esto equivale a tener ,o de forma
(1,1).La figura 21.3 muestra lospuntos de soluci—n sucesivos.Por lo tanto ,para determinar el —ptimo).El valor m‡ximo de ) es,el cual da el siguiente punto de
2, 1Br1= 1
4h(r)=f(1-2r, 1)=-2(1-2r)2+2(1-2r)+4X=(1, 1)+r(-2, 0)=(1-2r, 1)§f(X0)=(-2, 0)§f(X)=(4-4x1-2x2, 6-2x1-4x2)(x*1, x*2)=A 1
3, 4
3 BMaximizar (x1, x2)=4x1+6x2-2x12-2x1x2-2x2h(r)=f[Xk+r§f(Xk)]Xk+1=Xk+rk§f(Xk)0f
0p
21.1Algoritmos no restringidosMaximizaci—n depor el mŽtodo del ascenso m‡s pronunciado
Por lo tanto,Por consiguiente,Por lo tanto,
4 y X4=A 3
8, 21
16 B. h(r)=- 1
8 (5+r)2+ 21
16 (5+r)+ 39
32 =A 3
8, 5
4 B+r A0, 1
4 B=A 3
8, 5+r
4 B §f(X3)=A0, 1
4Br3= 1
4 y X3=A 3
8, 5
4 B. (r)=- 1
2 (1-r)2+ 3
4 (1-r)+ 35
8 =A 1
2, 5
4 B+r A- 1
2, 0B=A 1-r
2, 5
4 B §f(X2)=A- 1
2, 0Br2= 1
4 y X2=A 1
2, 5
4 B. (r)=-2(1+r)2 +5(1+r)+ 3
2 =A 1
2, 1B+r(0, 1)=A 1
2, 1+rB §f(X1)=(0, 1)
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no lineal.El punto aproximado(.3438,1.3125).El —ptimo exacto es (.3333,1.3333).
CONJUNTO DE PROBLEMAS21.1BDemuestre que,por lo comœn,cuando se aplica el mŽtodo de Newton-Raphson (secci—npaso.Aplique el mŽtodo a la maximizaci—n de descenso (ascenso) m‡s pronunciado.Suponga que 0 en cada caso.21.2ALGORITMOS RESTRINGIDOS,son parte de las restricciones.Incluso,al) es no lineal,y todas las funciones son conti-nuamente diferenciables.
2-3-20-1
20-1
2 c=(1, 3, 5)f(X)=cX+XTAXf(X)=m’n f(X)=(x2-x12)2+(1-x1)f(X)=4x1+6x2-2x1-2x1x2-2x2§f(X5)=A0, 1
16Br5= 1
4 y X5=A 11
32, 21
16 B. h(r)=- 1
32 (3-r)2+ 11
64 (3-r)+ 567
128 =A 3
8, 21
16 B+r A- 1
8, 0B=A 3-r
8, 21
16 B §f(X4)=A- 1
8, 0B
21.2Algoritmos restringidosun solo algoritmo para el modelo no lineal general.Quiz‡s el resultado m‡s generalaplicable al problema sean las condiciones KKT (secci—n 20.2.2).La tabla 20.2 muestraque las condiciones s—lo son necesarias,a menos que buen comportamiento..Los mŽtodos indirectos resuelven el problema no linealderivados del programa original.Los mŽ-nes separable,cuadr‡tica y estoc‡stica.Los algoritmos directos incluyen el mŽtodo decombinaci—n lineal y un breve an‡lisis del algoritmo SUMT,la tŽcnica de maximiza-ci—n secuencial sin restricciones.En la lista de referencias al final del cap’tulo se hallanotras importantes tŽcnicas no lineales.21.2.1Programaci—n separableseparable ),es decir,Por ejemplo,cualquier funci—n lineal es separable.Por otra parte,la funci—nno es separable.mediante sustituciones apropiadas.Considere,por ejemplo,el caso de maximizar .Sea ,entonces ln ,y el problema separable es es indefinida con valores no positivos.Podemos tener en cuenta el caso en que son valores positivos muy peque–os.gramaci—n lineal.La funci—n de una sola variable puede ser representada por una fun-(cap’tulo 9).Suponga que
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no lineal1,2,Ã,.Los puntos intervalo designado.Por lo tanto,son positivos.es positivo,entonces s—lo un positivo.Para demostrar c—mo se satisfacen estas condiciones,considere el problema separable entero combinado como sigue.Sean
.Eneste instante vamos a renunciar a la precisi—n matem‡tica en favor de una notaci—n m‡s simple.
21.2Algoritmos restringidosLa formulaci—n muestra c—mo se puede resolver cualquier problema separable,en principio,mediante programaci—n entera combinada.La dificultad es que las res-tricciones se incrementan con rapidez con la cantidad de puntos de ruptura.En par-ticular,la factibilidad computacional del procedimiento es cuestionable porque no hayde programaci—n entera combinados.regular (cap’tulo 3) utilizando una base restringida.En este caso se eliminan las res-.La base restringida modifica la condici—n devos.El proceso se repite hasta que se satisfaga la condici—n de optimalidad o hasta quesea imposible satisfacer la condici—n de base restringida,lo que ocurra primero.aproximado,en tanto que el mŽtodo de base restringida s—lo puede garantizar un —pti-mo local.Adem‡s,en los dos mŽtodos,la soluci—n aproximada puede no ser factiblepara el problema original,en cuyo caso quiz‡ sea necesario refinar la aproximaci—n
La soluci—n —ptima exacta de este problema,obtenida por AMPL o Solver,es 2.1232,y 20.25.Para demostrar c—mo se utiliza el mŽtodo de aproximaci—n,considere las
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no lineal) ya son lineales.),suponemos cuatro puntos de ruptura y 4,respectivamente.Dado que 3,entonces Por lo tantoAsimismo,1,2,3,4,deben satisfacer la condici—n de base restringida.0) es una holgura.(El problema result— tener una soluci—n inicial obvia.En ge-neral se pueden utilizar variables artificiales,secci—n 3.4.)es la variable de entrada.Debido a que positivo,la condici—n de base restringida dicta que debe salir antes de que soluci—n.Sin embargo,de acuerdo con la condici—n de factibilidad,loque significa que no puede entrar a la soluci—n.La siguiente mejor variable de entrada,,requiere que salga de la soluci—n b‡sica,una condici—n que da la casualidad de sersatisfecha por la condici—n de factibilidad.La nueva tabla es por tanto
B‡sica
x1
w22
w23
w24
s1
w21
818
B‡sica
x1
w22
w23
w24
s1
w21
1500161601010111011
k
a2k
f2(a2k)=a2k4
00021123216843
21.2Algoritmos restringidosLuego,es la variable de entrada,lo cual es admisible porque es positivo.El mŽtodosaldr‡.Entonces,son candidatas para la variable de entrada.La variable ,por consiguiente no puede volverse b‡sica.Asimismo,no puede salir.En consecuencia,la œltima tabla es la soluci—n debase mejor restringida para el problema aproximado.
Programaci—n separable convexa.,lo cual garantiza un espacio de solucionesconvexo.Adem‡s,si ,entonces el problema tiene un —ptimo global (vea la tabla 20.2,secci—n20.2.2).En tales condiciones,se puede utilizar la siguiente aproximaci—n simplificada.Considere un problema de minimizaci—n y sea 0,1,Ã,.Si cambio correspondiente (pendiente del segmento de l’nea) en el mismo intervalo.Entonces
10B+3A 1
10 B=2.1 1=0FIGURA 21.4Aproximaci—n lineal por segmentos de unafunci—n convexa
B‡sica
x1
w22
w23
w24
s1
w21
Soluci—nz37
2400
2-3622 1
2w243
10-6
10011
10-8
10 1
10w23-3
1016
1010-1
1018
109
10
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no lineal.Esto significa que en el.En consecuen-pueda asumir un valor positivo.en esencia de la misma manera.Sea ).Se deduce queEl problema de maximizaci—n se trata en esencia del mismo modo.En este caso,,lo que significa que,para ,la variable asuma un valor positivo (vea el problema 7,conjunto21.2a,para la comprobaci—n).cota superior (secci—n 7.3).El concepto de base restringida no se requiere porque lables b‡sicas.
Ejemplo 21.2-2Considere el problemasujeto a x2 Ã3.5 x1 Ã2.1 x1+2x22ƒ32 3x1+x2ƒ243Maximizar =x1-x2 rijk= gij(ajk)-gij(aj, k-1)
ajk-aj, k-1 rjk= fj(ajk)-fj(aj, k-1)
ajk-aj, k-1 0ƒxjkƒajk-aj,k-1, k=1, 2,Ã, Kj, j=1, 2,Ã, n anj=1aaKjk=1rijkxjk+gij1aj02bƒbi, i=1, 2,Ã, mMinimizar =anj=1aaKjk=1rjkxjk+fj1aj02bgij(xj)LaKjk=1rijkxjk+gij(aj0)
21.2Algoritmos restringidoszaci—n.Las funciones ),g) ya son lineales.4.Sean 4.Las pendientes correspondientes a las funciones separables se de-terminan como sigue.Para j = Para j
k
a1k
g11(a1k)=3a1k4
r11k
00ÃÃ11332233
k
a2k
g22(a2k)=2a2k
r22k
00ÃÃ112222863344
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no linealnuevas.La soluci—n —ptima es
El modelado con AMPL del problema no lineal de los problemas lineales.La obtenci—n de la soluci—n es un asunto totalmente diferente debidoal comportamiento ÃimpredecibleÃde las funciones no lineales.El archivo
porciona el modelo.El modelo se explica en el apŽndice C en el sitio web (vea la figura C.17).CONJUNTO DE PROBLEMAS21.2AAproxime el siguiente problema como un programa combinado entero.Repita el problema 1 siguiendo el mŽtodo de base restringida.Luego determine la solu-
21.2Algoritmos restringidosno se encuentra en su cota superior.Resuelva como un problema de programaci—n convexa separable.21.2.2Programaci—n cuadr‡tica
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no linealdefine una forma cuadr‡tica (vea la secci—n D.3 en el sitioweb).Se supone que la matriz es simŽtrica y definida negativa,es decir que trictamente c—ncava.Las restricciones son lineales,lo que garantiza un espacio de so-luciones convexo.La soluci—n de este problema se basa en las condiciones KKT necesarias.Estascondiciones (como se muestra en la tabla 20.2,secci—n 20.2.2) tambiŽn son suficienteses c—ncava y el espacio de soluciones es un conjunto convexo.ci—n.La conversi—n a minimizaci—n es simple.El problema puede escribirse como ,respectivamente.La aplicaci—n de las condiciones KKT produce oooooo
21.2Algoritmos restringidoslas variables de holgura de las restricciones.Las condiciones se,la transpuesta del primer conjunto de ecuaciones puede escri-Por consiguiente,las condiciones necesarias pueden combinarse como ,las ecuaciones restantes son lineales en .Por lo tanto,el problema equivale a resolver un conjunto de ecuaciones li-0.Esto significa que pueden ser positivas al mismo tiempo,ni tampoco .ƒsta es la misma idea de restringida el problema tenga un espacio de soluciones factible.
A00I
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no linealy actualizando la fila objetivo.2420120001
B‡sica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
663000104210100424200106120000012
B‡sica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
Soluci—nR033
21
2-1-3
004
21
4-1
401
001
21
2-1-1
104
2-1
41
40-1
011
B‡sica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
0020
3-1
301
30-1
32
0020
61
60-1
602
32
3
21.2Algoritmos restringidos.El valor —ptimo asociado
de z54.16.
La plantilla de Solver,excelQP.xls,resuelve el ejemplo 21.2-3.Los datos se ingresan de una ma-nera similar a la programaci—n lineal (vea la secci—n 2.3.1).La diferencia principal radica en laforma de ingresar las funciones no lineales.Espec’ficamente,la funci—n objetivo no lineal se in-la funci—n objetivo no lineal se in-K (x1,x2)].Observe que las celdas B5:C5 no se utilizan paranada en el modelo.Por legibilidad,ingresamos el s’mbolo NL para indicar que la restricci—n aso-ciada es no lineal.TambiŽn podemos especificar la no negatividad de las variables o en el cuadro
CONJUNTO DE PROBLEMAS21.2Bes estrictamente c—ncava,y luego resuelva el problema utilizando el al-
3, x*2= 5
6 )
B‡sica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
00000100
31
61
3-1
601
0010
201
010
6-1
12-1
61
121
25
6
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no lineales estrictamente convexa,y luego resuŽlvala con el algoritmo de progra-21.2.3Programaci—n estoc‡sticalidad m’nima.Matem‡ticamente,el problema se define comoson variables aleatorias,y la restricci—n ,0 Tanto medias y varianzas conocidas.},varianza var{a
21.2Algoritmos restringidosSi F es la FDA de la funci—n de distribuci—n normal est‡ndar,se deduce queSeael valor normal est‡ndar de modo que se cumple,si,y s—lo si,son independientes,cov{0,y la œltima restricci—n se reduce aPor lo tanto,la restricci—n original es equivalente a
, para todas las ianj=1E{aij}xj+KaiCanj=1var{aij}xj
ƒbianj=1E{aij}xj+Kai2XTDiX
ƒbibi-E5hi6
2var5hi6
ÃKaiF(Kai)=1-aiKaiP5hiƒbi6=F£bi-E5hi6
2var5hi6
P5hiƒbi6=Pehi-E5hi6
2var5hi6
ƒbi-E5hi6
2var5hi6
fÃ1-ai =£var5ai16ocovain, ai16 Ãoà covai1, ain6ovar5ain6 Di=Matriz de covarianza i=Žsima =1x1,Ã, xn2T
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no linealPor lo tanto,la restricci—n estoc‡stica es equivalente a la restricci—n lineal determin’sticaTodas las son variables normales aleatorias.son normales,tambiŽn es normal.manera similar.
Ejemplo 21.2-4Considere el problema de estoc‡sticaMaximizar z=5x1+6x2+3x3anj=1aijxj-bianj=1aijxj-biƒ0anj=1aijxjƒbianj=1aijxjƒE{bi}+Kai3var{bi}
anj=1aijxj-E5bi6
2var{bi}
ƒKaiPcbi-E5bi6
2var{bi}
Ãanj=1aijxj-E5bi6
2var{bi}
sÃaiPebiÃanj=1aijxjfÃaianj=1var5aij6xj2-yi=0
21.2Algoritmos restringidos1,2,3,son variables aleatorias independientes y normalmen-excelStatTables.xlsPara la primera restricci—n,la restricci—n determin’stica equivalente es El problema resultante puede resolverse como un programa no lineal (utilizando AMPL oSolver),o convertirse en un programa separable como sigue:El problema puede resolverse mediante programaci—n separable.Incluso,puede utilizarse elexcelCCP.xlsCONJUNTO DE PROBLEMAS21.2C
ƒ8Ka1=K.05L1.645, Ka2=K.10L1.285 var5a116=25, var5a126=16, var5a136=4 E5a116=1, E5a126=3, E5a136=9 x1, x2, x3Ã0 55x1+x2+6x3ƒb26Ã.10 5a11x1+a12x2+a13x3ƒ86Ã.95
Cap’tulo 21Algoritmos de programaci—n no lineal16,y das con medias de 5 y 2,y varianza de 16 y 25,respectivamente.Convierta el problema en21.2.4MŽtodo de combinaciones linealesci—n 21.1.2).Sin embargo,la direcci—n especificada por el vector gradiente puede no daruna soluci—n factible para el problema restringido.Adem‡s,el vector gradiente no ne-cesariamente ser‡ nulo en el punto —ptimo (restringido).Por tanto el mŽtodo del ascen-som‡s pronunciado debe modificarse para manejar el caso restringido..La funci—n objetivo ,mediante la serie de Taylor.Esto daximice sujeta a la restricciones (lineales) del problema.Debido a que una constante,el problema
ƒ106Ã0.9Maximizar z=x1+x2+x3x1, x2, x3Ã0P57x1+5x2+x3ƒb26Ã0.1P5a1x1+3x2+a3x3ƒ106Ã0.9
21.2Algoritmos restringidos,se puede tener.De acuerdo con la expansi—n deTaylor,la condici—n no garantiza que .Sin embargo,dado que ,debe existir un punto .El objetivo es determinar.Defina.Debido que
texto como el software de apoyo, con el fin de que el lector se enfoque de lleno en la puesta en ejecución algorítmica y práctica de las técnicas de investigación de operaciones. El libro recalca que, si bien el modelado matemático es la piedra angular de la IO, en la decisión final se deben