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ISBN 978-607-32-0796-6
AMDY A. T
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Novena ediciónAMDY A. TNovena edición
AMP, SolExcel, e implemetaTOTAHA La nueva sección 3.7 ofrece un marco de trabajo (sin necesidad de utilizar matemáticas) sobre cómo El nuevo capÃtulo 10 cubre la heurÃstica y la metaheurÃstica diseñadas para obtener buenas soluciones El nuevo capÃtulo 11, dedicado al importante problema del agente viajero, incluye varias aplicaciones Todos los algoritmos de los capÃtulos 10 y 11 se codicaron en Excel para una agradable experimen- En todos los capÃtulos se agregaron numerosos problemas nuevos. También se actualizó el soware TORA. ANIVERSARIO
Investigacinde operaciones
HamdyA.Taha
Rodolfo Navarro SalasEVISIîNTCNICAAlicia Nandeli Mercado ZepedaFrancisco Garca MoraMario çlvarez GarcaInstituto Tecnolgico Superior del Occidente del Estado de HidalgoUlises Mercado ValenzuelaInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de CoacalcoUniversidad Tecnolgica Nacional
Authorized translation from the English language edition,entitled Operations Research:An Introduction,Edition,byHamdy A.Taha,published by Pearson Education,Inc.,publishing as Prentice Hall,Copyright © 2011.All rights reserved.Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls,titulada Operations Research:An Introduction,9a.edicin,porHamdy A.Taha,publicada por Pearson Education,Inc.,publicada como Prentice Hall,Copyright © 2011.Todos los derechos reservados.e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo:Bernardino Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin:Rodrigo Romero Villalobos NOVENA EDICIîN,2012D.R.© 2012 por Pearson Educacin de Mxico,S.A.de C.V.Atlacomulco 500-5o.pisoCol.Industrial Atoto53519,Naucalpan de Jurez,Estado de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg.nm.1031.Reservados todos los derechos.Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse,registrarseo transmitirse,por un sistema de recuperacin de informacin,en ninguna forma ni por ningn medio,seaelectrnico,mecnico,fotoqumico,magntico o electroptico,por fotocopia,grabacin o cualquier otro,sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo,alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin laautorizacin del editor o de sus representantes.ISBN VERSIîN IMPRESA:978-607-32-0796-6ISBN VERSIîN E-BOOK:978-607-32-0797-3ISBN E-CHAPTER:978-607-32-0798-0Printed in Mexico.
MDY InveIîN, Mico, 2012BN: 978-607-32-0796-6çrea: MatemticaFormato: 18.5 : 824
ÃYo s donde hay una fuenteV.Ruiz Aguilera (1862)
Lo nuevo en esta edicinxxvAgradecimientosxxviReconocimientosxxxAcerca del autorxxxiMarcas registradasxxxiiiCaptulo 1Qu es la investigacin de operaciones11.1Introduccin1.2Modelos de investigacin de operaciones1.3Solucin del modelo de IO1.4Modelos de colas y simulacin1.5El arte del modelado1.6Ms que slo matemticas1.7Fases de un estudio de IO1.8Acerca de este libroCaptulo 2Modelado con programacin lineal132.1Modelo de PL con dos variables2.2Solucin grfica de la PL2.2.1Solucin de un modelo de maximizacin2.2.2Solucin de un modelo de minimizacin2.3Solucin con computadora, aplicando Solver y AMPL2.3.1Solucin de PL con Excel Solver2.3.2Solucin de PL con AMPL2.4Aplicaciones de programacin lineal2.4.1Inversin2.4.3Planificacin de la mano de obra2.4.4Planificacin de desarrollo urbano2.4.5Mezcla y refinacin2.4.6Aplicaciones de PL adicionalesCaptulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad693.1Modelo de PLen forma de ecuacin3.2Transicin de la solucin grfica a la algebraica
3.3Mtodo simplex3.3.1Naturaleza iterativa del mtodo simplex3.3.2Detalles de clculo del algoritmo simplex3.3.3Resumen del mtodo simplex3.4Solucin artificial inicial3.4.1Mtodo 3.4.2Mtodo de dos fases3.5Casos especiales en el mtodo simplex3.5.1Degeneracin3.5.2îptimos alternativos3.5.3Solucin no acotada3.5.4Solucin no factible3.6Anlisis de sensibilidad3.6.1Anlisis de sensibilidad grfica3.6.2Anlisis de sensibilidad algebraica. Cambios 3.6.3Anlisis de sensibilidad algebraica. 3.6.4Anlisis de sensibilidad con Tora, Solver, 3.7Temas de clculo en la programacin linealCaptulo 4Dualidad y anlisis postptimo1374.1Definicin del problema dual4.2Relaciones primal-dual4.2.1Repaso de operaciones con matrices simples4.2.2Diseo de la tabla simplex4.2.3Solucin dual ptima4.2.4Clculos con la tabla simplex4.3Interpretacin econmica de la dualidad4.3.1Interpretacin econmica de las variables duales4.3.2Interpretacin econmica de las restricciones 4.4Algoritmos simplex adicionales4.4.1Algoritmo simplex dual4.4.2Algoritmo simplex generalizado4.5Anlisis postptimo4.5.1Cambios que afectan la factibilidad4.5.2Cambios que afectan la optimalidad
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes1755.1Definicin del modelo de transporte5.2Modelos de transporte no tradicionales5.3Algoritmo de transporte5.3.1Determinacin de la solucin de inicio5.3.2Clculos iterativos del algoritmo de transporte5.3.3Explicacin del mtodo de los multiplicadores 5.4Modelo de asignacin5.4.1Mtodo hngaro5.4.2Explicacin del mtodo hngaro con simplexCaptulo 6Modelo de redes2096.1Alcance y definicin de modelos de redes6.2Algoritmo del rbol de mnima expansin6.3Problema de la ruta ms corta6.3.1Ejemplos de aplicaciones de la ruta ms corta6.3.2Algoritmos de la ruta ms corta6.3.3Formulacin de programacin lineal del problema 6.4Modelo de flujo mximo6.4.1Enumeracin de cortes6.4.2Algoritmo de flujo mximo6.4.3Formulacin de programacin lineal en el modo 6.5CPM y PERT6.5.1Representacin en forma de red6.5.2Clculos del mtodo de la ruta crtica (CPM)6.5.3Construccin del cronograma6.5.4Formulacin de programacin lineal de CPM6.5.5Redes PERTCaptulo 7Programacin lineal avanzada2677.1Fundamentos del mtodo simplex7.1.1Desde los puntos extremos hasta las soluciones 7.1.2Tabla simplex generalizada en forma
7.2Mtodo simplex revisado7.2.1Desarrollo de las condiciones de optimalidad 7.2.2Algoritmo simplex revisado7.3Algoritmo de variables acotadas7.4Dualidad7.4.1Definicin matricial del problema dual7.4.2Solucin dual ptima7.5Programacin lineal paramtrica7.5.1Cambios paramtricos en C7.5.2Cambios paramtricos en b7.6Ms temas de programacin linealCaptulo 8Programacin de metas3018.1Formulacin de una programacin de metas8.2Algoritmos de programacin de metas8.2.1Mtodo de los pesos8.2.2Mtodo preventivoCaptulo 9Programacin lineal entera3159.1Aplicaciones ilustrativas9.1.1Presupuesto de capital9.1.2Problema de cobertura de conjunto9.1.3Problema de cargo fijo9.1.4Restricciones Uno - u - otro y Si - entonces9.2Algoritmos de programacin entera9.2.1Algoritmo de ramificacin y acotamiento9.2.2Algoritmo de plano de corteCaptulo 10Programacin heurstica35110.1Introduccin10.2Heurstica codiciosa (bsqueda local)10.2.1Heurstica de variable discreta10.2.2Heurstica de variable continua10.3Metaheurstica10.3.1Algoritmo de bsqueda tab10.3.2Algoritmo de recocido simulado10.3.3Algoritmo gentico
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enteros10.4.1Algoritmo tab aplicado a una PLE10.4.3Algoritmo gentico aplicado a la PLE10.5Introduccin a la programacin de restriccin (PR)Captulo 11Problema del agente viajero (TSP*)39511.1Aplicaciones de ejemplo de TSP11.2Modelo TSPmatemtico11.3Algoritmos TSPexactos11.3.1Algoritmo de ramificacin y acotamiento11.3.2Algoritmo del plano de corte11.4Heursticas de bsqueda local11.4.1Heurstica del vecino ms cercano11.4.2Heurstica de inversin11.5Metaheursticas11.5.1Algoritmo tab aplicado al modelo TSP11.5.2Algoritmo de recocido simulado aplicado 11.5.3TSP Algoritmo gentico aplicado al modelo TSPCaptulo 12Programacin dinmica determinstica42912.1Naturaleza recursiva de los clculos de programacin12.2Recursividad hacia adelante (avance) y hacia atrs(retroceso)12.3Aplicaciones de PDseleccionadas12.3.1Modelo de la mochila/equipo de vuelo/carga 12.3.2Modelo de tamao de la fuerza de trabajo12.3.3Modelo de reemplazo de equipo12.3.4Modelo de inversin12.3.5Modelos de inventario12.4Problema de dimensionalidadCaptulo 13Modelos de inventario determinsticos45713.1Modelo general de inventario
13.2El papel (rol) de la demanda en el desarrollo de modelos 13.3Modelos estticos de cantidad de pedido econmico (EOQ)13.3.1Modelo EOQ clsico13.3.2EOQ con reducciones de precios13.3.3Cantidad de pedido econmica (EOQ) de varios13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica13.4.1Modelo de EOQ sin costo de preparacin13.4.2Modelo de EOQ con costo de preparacinCaptulo 14Repaso de probabilidad bsica48914.1Leyes de probabilidad14.1.1Ley de la adicin de probabilidad14.1.2Ley de probabilidad condicional14.2Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad14.3Expectativa de una variable aleatoria14.3.1Media y varianza (desviacin estndar) 14.3.2Variables aleatorias conjuntas14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comunes14.4.1Distribucin binomial14.4.2Distribucin de Poisson14.4.3Distribucin exponencial negativa14.4.4Distribucin normal14.5Distribuciones empricasCaptulo 15Anlisis de decisiones y juegos51315.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqua15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgo15.2.1çrbol de decisiones. Basado en el criterio 15.2.2Variantes del criterio del valor esperado15.3Decisin bajo incertidumbre15.4Teora de juegos15.4.1Solucin ptima de juegos de suma cero entre 15.4.2Solucin de juegos con estrategias combinadas
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticos55316.1Modelos de revisin continua16.1.1Modelo EOQ ÃprobabilizadoÃ16.1.2Modelo EOQ probabilstico16.2Modelos de un solo periodo16.2.1Modelo sin preparacin 16.2.2Modelo con preparacin (Poltica 16.3Modelo de varios periodosCaptulo 17Cadenas de Markov57117.1Defincin de una cadena de Markov17.2Probabilidades de transicin absolutas y de 17.3Clasificacin de los estados en una cadena 17.4Probabilidades de estado estable y tiempos de retorno17.5Tiempo del primer paso17.6Anlisis de los estados absorbentesCaptulo 18Sistemas de colas59318.1ÃPor qu estudiar las colas?18.2Elementos de un modelo de colas18.3Papel de la distribucin exponencial18.4Modelos de nacimiento y muerte puros (relacin entre 18.4.1Modelo de nacimiento puro18.4.2Modelo de muerte pura18.6Colas de Poisson especializadas18.6.1Medidas de desempeo de estado 18.6.2Modelos de un solo servidor18.6.3Modelos de varios servidores18.6.4Modelo de servicio de mquinas 18.7(18.8Otros modelos de colas
18.9Modelos de decisin en colas18.9.1Modelos de costos18.9.2Modelo de nivel de aspiracinCaptulo 19Modelado de simulacin64719.1Simulacin Montecarlo19.2Tipos de simulacin19.3Elementos de la simulacin de evento discreto19.3.1Definicin genrica de eventos19.3.2Muestreo de distribuciones de probabilidad19.4Generacin de nmeros aleatorios19.5Mecnica de la simulacin discreta19.5.1Simulacin manual de un modelo de un solo 19.5.2Simulacin basada en una hoja de clculo del modelo19.6Mtodos para reunir observaciones estadsticas19.6.1Mtodo de subintervalos19.6.2Mtodo de rplica19.7Lenguajes de simulacinCaptulo 20Teora de optimizacin clsica67720.1Problemas no restringidos20.1.1Condiciones necesarias y suficientes20.1.2Mtodo de Newton-Raphson20.2Problemas restringidos20.2.1Restricciones de igualdad20.2.2Restricciones de desigualdad. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)Captulo 21Algoritmos de programacin no lineal69921.1Algoritmos no restringidos21.1.1Mtodo de bsqueda directa21.1.2Mtodo del gradiente21.2Algoritmos restringidos21.2.1Programacin separable21.2.2Programacin cuadrtica21.2.3Programacin estocstica
21.2.4Mtodo de combinaciones lineales21.2.5Algoritmo SUMTApndice ATablas estadsticas729Apndice BRespuestas parciales a problemas seleccionados733êndice779
web de este libro (www.pearsoneducacion.net/taha)Chapter 22Additional Network and LP Algorithms22.122.1Minimum-Cost Capacitated Flow Problem22.1.1Network Representation22.1.2Linear Programming Formulation22.1.3Capacitated Network Simplex Algorithm22.2Decomposition Algorithm22.3Karmarkar Interior-Point Method22.3.1Basic Idea of the Interior-Point Algorithm22.3.2Interior-Point AlgorithmChapter 23Forecasting Models23.123.1Moving Average Technique23.2Exponential Smoothing23.3RegressionReferencesChapter 24Probabilistic Dynamic Programming24.124.1A Game of Chance24.2Investment Problem24.3Maximization of the Event of Achieving a GoalReferencesChapter 25Markovian Decision Process25.125.1Scope of the Markovian Decision Problem25.2Finite-Stage Dynamic Programming Model25.3Infinite-Stage Model25.3.1Exhaustive Enumeration Method25.3.2Policy Iteration Method without Discounting25.3.3Policy Iteration Method with Discounting25.4Linear Programming SolutionReferences
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Chapter 26Case Analysis26.1Case 1: Airline Fuel Allocation Using Optimum TankeringCase 2: Optimization of Heart Valves ProductionCase 3: Scheduling Appointments at Australian Tourist Commission Trade EventsCase 4: Saving Federal Travel DollarsCase 7: Optimizing Trailer Payloads at PFG Building GlassCase 8: Optimization of Crosscutting and Log Allocation atWeyerhaeuserCase 10: Booking Limits in Hotel ReservationsCase 11: CaseyÃs Problem: Interpreting and Evaluating a New TestCase 12: Ordering Golfers on the Final Day of Ryder CupCase 13: Inventory Decisions in DellÃs Supply ChainCase 14: Analysis of an Internal Transport System in Case 15: Telephone Sales Manpower Planning at QantasAppendix CAMPL Modeling LanguageC.1C.1Rudimentary AMPL ModelC.2Components of AMPL ModelC.3Mathematical Expressions and Computed C.4Subsets and Indexed SetsC.5Accessing External FilesC.6Interactive CommandsC.7Iterative and Conditional Execution of AMPLC.8Sensitivity Analysis using AMPLC.9Selected AMPL Models
Appendix DReview of Vectors and MatricesD.1D.1VectorsD.2MatricesD.3Quadratic FormsD.4Convex and Concave FunctionsProblemsSelected ReferencesAppendix ECase StudiesE.1
herramienta de los archivosProgramacin de citas,ch26FilesSecuenciacin de trabajos,Planificacin de personal de ventas por telfono en Qantas,ch26Filesch26FilesOptimizacin de PGF Glass,ch26FilesCobertura de conjuntos,Organizacin de rutas martimas,ch26FilesProgramacin de autobuses,ch2FilesAlmacenamiento de combustible,ch26FilesProduccin de vlvulas cardiacas,ch26FilesModelo de Reddy Mikks,Flujo mximo,Red capacitada de costo mnimo,Modelo de transporte,,AppenCFilesPlano de corte,Proceso de jerarqua analtica (PJA),ch15FilesProbabilidades de Bayes,ch15FilesDecisiones bajo incertidumbre,ch15Files
*Todo el material incluido en el sitio web se encuentra en idioma ingls.
Dictomo,ch21Filesch21Filesch20FilesVecino ms cercano en el problema del agente viajero (TSP),ch11/Filesch11Filesch11/FilesElaboracin de histogramas,ch23Filesch16Filesch11Filesch11/FilesPD de Wagner-Whitin,ch11/FilesHeurstica de Silver-Meal,ch11/FilesProblema de la mochila,PD,ch10FilesManipulacin de matrices,Probabilidades absolutas,ch17Files ch17Files Tiempo de primer paso,ch117Filespasos,ch17FilesProbabilidades de estado estable,ch17Files PLE,tab,ch11/FilesPLE,gentica,ch11FilesPLE de recocido simulado,ch11Filesch23Files Poisson,ch18Filesch18Filesch23Filesch19Files Cola de un solo servidor,ch9FilesCola de varios servidores,ch19FilesGenerador de nmeros aleatorios,ch19Files ch19FilesTablas estadsticas,ÃelectrnicasÃ,ch14FilesVeaVeach11/Files Programacin entera de ramificacin y acotamiento,ch9Files
TOYCO,ch3Filesch3FilesReddy Mikks,ch3Filesch3Filesch2FilesFlujo mximo,ch6FilesRed capacitada de costo mnimo,ch22Filesch6Filesch21Filesch21FilesReemplazo de equipo,ch5FilesRamificacin y acotamiento,ch9Filesch9FilesCobertura de conjuntos,ch9FilesCargo fijo,ch9FilesUno - u - otro,Si - entonces,ch9FilesCortes en TSP,ch9FilesVariables acotadas,ch7Files ch2Filesch2Filesch3Files Reddy Mikks,ch2Files ch3FilesTOYCO,ch3Filesch6FilesFlujo mximo,ch6Files PERT (Tcnica de evaluacin y revisin de programas),ch6Filesch6Files Modelos de colas (Poisson),ch18FilesModelo de transporte,ch5FilesJuegos de suma cero,ch15Files
Esta novena edicin contiene,de manera ms concisa que las anteriores,tanto el textocomo el software de apoyo,con el fin de que el lector se enfoque de lleno en la puestaen ejecucin algortmica y prctica de las tcnicas de investigacin de operaciones.Â¥La nueva seccin 3.7 constituye un amplio encuadre (sin necesidad de utilizar ma-temticas) de cmo los diferentes algoritmos de PL,programacin lineal (simplex,simplex dual,simplex revisado y de punto interior) se ponen en ejecucin en cdi-de cmputo y precisin necesarias para resolver problemas muy grandes.Â¥El nuevo captulo 10 se ocupa de la heurstica y la metaheurstica diseadas paracombinatoria.La necesidad de la heurstica y la metaheurstica es un reconoci-Â¥El nuevo captulo 11 est dedicado al importante problema del agente viajero.exactos.Â¥Todos los algoritmos de los nuevos captulos 10 y 11 se codificaron en Excel parapermitir una conveniente experimentacin interactiva con los modelos.Â¥Todos los modelos AMPL se movieron al apndice C* para complementar lasreglas sintcticas de AMPL presentadas en el apndice.Los modelos aparecenoportunamente en el libro con sus respectivas referencias.Â¥A lo largo del libro se agregaron numerosos problemas nuevos.Â¥Se actualiz el software TORA.Â¥Con el fin de mantener una cantidad razonable de pginas impresas,hemospasado al sitio web* parte del material,entre el que se incluye el apndice AMPL.
* Todo el material incluido en el sitio web se encuentra en idioma ingls.
Pearsonsu apoyo y retroalimentacin,elemento fundamental para esta nueva edicin de ARGENTINAMara Teresa GuardarucciCIUDAD DE Guillermo Mrquez ArreInstituto Politcnico NacionalJore Herrera AyalaInstituto Politcnico NacionalAlejandra Alcntara PachecoAraceli Guerrero HuertaErasto Vctor Verara NavaJos Luis Arvizuo RiveraLuis Chvez GarcaMara Mayra Vzquez JimnezPedro Azuara RodrUnidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA)Instituto Politcnico NacionalClaudia Gmez Wulschnerar Possani EspinosaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey
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Luis MoncayoInstituto Tecnolgico Autnomo de MxicoEric Porras MusalemLino A.Notarantonio Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Santa FeRal ChvezUniversidad Anhuac del SurGema Esther Gonzlez FloresJos Luis Ruz D.Facultad de Contadura y AdministracinUniversidad Nacional Autnoma de MxicoArmando Popoca Floresuirre PitolFacultad de EconomaUniversidad Nacional Autnoma de MxicoBonifacio Romn TapiaEduardo Alejandro Hernndez GonzlezEfran Ramos TrejoFacultad de IngenieraUniversidad Nacional Autnoma de MxicoCuauhtmoc Tenopala GranadosESTADO DE MXICOJeanette Lpez AlansFrancisco Quiroz AMara de la Luz Dvila FloresMario Luis Chew Hernndez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de CoacalcoRodolfo Flores PinedaInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Cuautitln Izcalli
JorMartha Chapa PlataInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de EcatepecFrancisco Franco UrzaJess Avendao MartnezInstituto Tecnolgico de TlalnepantlaMartha Beatriz Martnez Ponce Instituto Tecnolgico de TolucaLuis E.HerreraManuel çlvarez MadriInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyKarla ValenzuelaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus TolucaFernando Lpez SolsGastn Vrtiz CamarnFacultad de IngenieraUniversidad Autnoma del Estado de MxicoCampus TolucaRal ArreUniversidad del Valle de MxicoCampus TolucaJore Luis Surez MadariaFlorentino Almida Martnez Facultad de Estudios Superiores AcatlnUniversidad Nacional Autnoma de MxicoAndrs Gutirrez BrcenasJos Isaac Snchez GuerraMarco Antonio Hernndez Facultad de Estudios Superiores CuautitlnUniversidad Nacional Autnoma de MxicoGUANAJUATOJos Luis LaEscuela Profesional de Comercio y Administracin
Antonio Murillo MontoyaFrancisco Rodruez S.Jos Alfredo Jimnez GarcaJos Francisco Rodruez SilvaJos Luis Martnez PichardoJuan Antonio Sillero PrezInstituto Tecnolgico de CelayaJos Enrique Gonzlez MartnezInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyUniversidad de CelayaMario Cruz AlcarazFernando Gmez GuerraJore Velzquez CentenoUniversidad Iberoamericana,LenJuan Carlos Ruiz ArenasUniversidad de Las AmricasGuillermo Francisco Lpez TorresMara del Pilar Len FrancoUniversidad Popular Autnoma del Estado de Puebla SAN LUIS POTOSêJulio Csar Gonzlez MartnezUniversidad del Valle de MxicoCampus San Luis PotosSINALOA
profesores Yahya Fathi (NCSU),Marc E.Posner (Ohio State University),Charu Chan-dra (University of Michigan,Dearbon),Yasser Hosni (University of Central Florida),M.Jeya Chandra (Penn State University) y Manbir Sodhi (Rhode Island University).Como siempre,sigo en deuda con mis amigos y colegas por su continuo apoyodurante tantos aos:John Ballard (University of Nebraska,Lincoln),David Elizandro(Tennessee Tech University),Rafael Gutirrez (University of Texas,El Paso),JosPablo Nuo de la Parra (Universidad Popular Autnoma del Estado de Puebla),yJung-Fu Tsai (National Taipei University of Technology).AMDYA.T
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Acerca del autorHamdyA.Tahaindustrial en la University of Arkansas,donde en-sea,investiga y simula operaciones.Es autor delos cuales se han traducido a varios idiomas.Tam-bin es autor de varios captulos de libros,y susEuropean Journal of Operations ResearchTransactions on ReliabilityIIE TransactionsNaval Research Logis-Operations Research El profesor Taha recibi el premio Alumni por ex-Baum por excelencia en la enseanza,ambos porparte de la University of Arkansas,as como otrosversidad.Tambin recibi el nombramiento de becario Fulbright Senior de la Univer-sidad Carlos III de Madrid,Espaa.Domina tres idiomas y se ha desempeado comoprofesor y consultor en Europa,Mxico y Medio Oriente.
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Marcas registradasAMPL es una marca registrada de AMPL Optimization,LLC,900 Sierra Place SE,Albuquerque,NM 87108-3379,EUA.CPLEX es una marca registrada de ILOG,Inc.,IBM Corporation,1 New OrchardRoad,Armonk,Nueva York,10504 10504-1722.KNITRO es una marca registrada de Ziena Optimization Inc.,1801 Maple Ave.Suite6320,Evanston IL,60201.LOQO es una marca registrada de Princeton University,Princeton University,Princeton,NJ,08544.Microsoft es una marca registrada y Windows y Excel son marcas registradas deMicrosoft Corporation,One Microsoft Way Redmond,WA,98052-7329.MINOS es una marca registrada de Stanford University,450 Serra Mall,Stanford,CASolver es una marca registrada de Frontline Systems,Inc.,P.O.Box 4288,InclineVillage,NV 89450.TORA es una marca registrada de Hamdy A.Taha.
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CAPêTULO 1Qu es la investigacin de operaciones1.1INTRODUCCIîNInglaterra durante la Segunda Guerra Mundial,cuando un equipo de cientficos empeza tomar decisiones con respecto a la mejor utilizacin del material blico.Al trminode la guerra,las ideas formuladas en operaciones militares se adaptaron para mejorarEste captulo presenta la terminologa bsica de la IO,que comprende el mode-lado matemtico,soluciones factibles,optimizacin y clculos iterativos.Hace hincapien que la definicin correcta del problema es la fase ms importante (y ms difcil) depracticar laIO.Tgular de la IO,en la decisin final se deben tomar en cuenta factores incuantificables,como el comportamiento humano,por ejemplo.El libro presenta varias aplicacionesque utilizan ejemplos resueltos y problemas especficos.*1.2MODELOS DE INVESTIGACIîN DE OPERACIONEScontinuo entre Fayetteville (FYV) y Denver (DEN).Sale de Fayetteville los lunes y re-gresa los mircoles.Un boleto regular de viaje redondo cuesta $400,pero se ofrece20% de descuento si el viaje redondo comprende un fin de semana.Un boleto sencilloen cualquier direccin cuesta 75% del precio regular.ÃCmo debe comprar los boletos
En el sitio web de este libro encontrar el captulo 26 (en ingls),el cual est dedicado por completo a lapresentacin del anlisis de casos totalmente desarrollados.
Captulo 1Qu es la investigacin de operacionesPodemos considerar la situacin como un problema de toma de decisiones,cuyaalternativascriterio objetivoalternativasComprar cinco boletos normales FYV-DEN-FYV para salir el lunes y regresar elComprar un boleto FYV-DEN,cuatro DEN-FYV-DEN que abarquen fines desemana,y uno DEN-FYV.Comprar un boleto FYV-DEN-FYV para el lunes de la primera semana y elmircoles de la ltima semana,y cuatro DEN-FYV-DEN para los viajes restan-tes.Todos los boletos en esta alternativa cubren por lo menos un fin de semana.restriccincriterio objetivoboletos.La alternativa que d el costo mnimo ser la mejor.Especficamente,tenemos:Aunque el ejemplo anterior ilustra los tres componentes principales de un mode-lo de IO,los cuales son:alternativas,criterio objetivo restricciones,las situaciones di-resultante.Para ilustrar este punto,considere la formacin de un rectngulo de reapulgadas de longitud.ÃCul ser el mejor anchoEn contraste con el ejemplo de los boletos,el nmero de alternativas en esteejemplo no es finito;es decir,el ancho y la altura del rectngulo pueden asumir unacantidad infinita de valores porque son variables continuas.Para formalizar esta obser-vacin,las alternativas del problema se identifican definiendo el ancho y la alturaancho del rectngulo en pulgadas,altura del rectngulo en pulgadas.Con base en estas definiciones,las restricciones de la situacin pueden expresarse ver-la mitad de la longitud del alambre.El ancho y la altura no pueden ser negativos.
1.2Modelos de investigacin de operacionesAhora el nico componente restante es el objetivo del problema;es decir,maxi-mizar el rea del rectngulo.Si se define como el rea del rectngulo,el modelo com-Utilizando clculo diferencial,la mejor solucin de este modelo es Con los datos de los dos ejemplos anteriores,el modelo general de IO se organi-
Funcin objetivo
si satisface todas las restricciones;es si,adems de ser factible,produce el mejor valor (mximo o mnimo) de la funcin ob-jetivo.En el ejemplo de los boletos,el problema considera tres alternativas factibles,yla tercera es la que produce la solucin ptima.En el problema del rectngulo,una al-no negativas.Esta definicin conduce a una infinidad de soluciones factibles y,a dife-rencia del problema de los boletos,el cual utiliza una sencilla comparacin de precios,Aunque los modelos de IO estn diseados para ÃoptimizarÃun criterio objetivoespecfico sujeto a un conjunto de restricciones,la calidad de la solucin resultante de-pende de la exactitud con que el modelo representa el sistema real.Considere,porejemplo,el modelo de los boletos.Si no se identifican para comprar los boletos,entonces la solucin resultante es ptima slo en relacincon las opciones representadas en el modelo.Especficamente,si se omite la alternati-va 3 en el modelo,entonces la solucin ÃoptimaÃrequerira que se compraran los bole-tos en $1880,la cual es una solucin .La conclusin es que ÃlaÃsolucin p-tima de un modelo es mejor slo para ese modelo.Si el modelo es una representacinrazonablemente buena del sistema real,entonces su solucin tambin es ptima para
2 ,
Captulo 1Qu es la investigacin de operacionesEn el ejemplo de los boletos,identifique una cuarta alternativa factible.En el problema del rectngulo,identifique dos soluciones factibles,e indique cul es la mejor.restriccin para expresar la funcin objetivo respecto de una variable,luego utiliceAmy,Jim,John y Kelly estn en la ribera de un ro y desean cruzar a la ribera opuesta enuna canoa,la cual slo puede llevar dos personas a la vez.Como Amy es la ms atltica,puede cruzar el ro remando en 1 minuto.Jim,John y Kelly lo haran en 2,5 y 10 minutos,respectivamente.Si dos personas estn en la canoa,la persona ms lenta determina eltiempo de cruce.El objetivo es que las cuatro personas estn en la ribera opuesta en el menor tiempo posible.Defina el criterio para evaluar las alternativas.En un juego de bisbol,Jim es el lanzador y Joe es el bateador.Suponga que Jim puedelanzar una bola rpida o una curva al azar.Si Joe predice correctamente una curva,puede mantener un promedio de bateo de .500;de otra manera,si Jim lanza una curva yJoe est preparado para una bola rpida,su promedio de bateo se mantiene por debajode .200.Por otra parte,si Joe predice correctamente una bola rpida,mantiene unpromedio de bateo de .300,de lo contrario su promedio es de slo .100.Defina las alternativas para este caso.Determine la funcin objetivo para el problema,y describa en qu difiere de la optimizacin comn (maximizacin o minimizacin) de un criterio.Durante la construccin de una casa,se deben recortar seis viguetas de 24 pies cada una a la longitud correcta de 23 pies.La operacin de recortar una vigueta implica la
Un asterisco antes del nmero seala problemas cuya solucin aparece en el Apndice B.
Operacin
Tiempo (segundos)
5.Apilar las viguetas recortadas en un rea designada
Intervienen tres personas:Dos deben realizar al mismo tiempo las operaciones 1,2 y 5,yun cortador se ocupa de las operaciones 3 y 4.Hay dos pares de caballetes de aserrardonde se colocan las viguetas sin recortar,y cada par puede manejar tres viguetas.Sugiera un buen plan para recortar las seis viguetas.Se construye una pirmide (bidimensional) en cuatro capas.La capa inferior se compone de los puntos (equidistantes) 1,2,3 y 4;la siguiente incluye los puntos 5,6 y 7;la terceracomprende los puntos 8 y 9,y la superior el punto 10.Lo que se quiere es invertir la
1.3Solucin del modelo de IOlos puntos.Identifique dos soluciones factibles.Determine el nmero mnimo de movimientos necesarios para invertir la pirmide.Cuenta con cuatro cadenas y cada una consta de tres eslabones slidos.Tiene que hacerun brazalete conectando las cuatro cadenas;romper un eslabn cuesta 2 centavos,yvolverlo a soldar 3 centavos.Identifique dos soluciones factibles y evalelas.Determine el costo mnimo para hacer el brazalete.de entre 0 y 20 dlares,asignada a cada cuadro.El juego consiste en que un jugador elige un cuadradola suma de sus dos dgitos.El jugador recibe entonces la recompensa asignada al cuadroseleccionado.Sin importar cuntas veces se repita el juego,Ãqu valores monetarioshacer el juego interesante,asignar $0 a 1.3SOLUCIîN DEL MODELO DE IOsolver todos los modelos que puedan surgir en la prctica.En su lugar,el tipo y comple-jidad del modelo matemtico determina la naturaleza del mtodo de solucin.Por ejem-plo,en la seccin 1.2 la solucin del problema de los boletos requiere una clasificacinsimple de las alternativas,basada en el precio de la compra total,mientras que la solucin.Est diseada paramodelos con funciones objetivo y restricciones lineales.Otras tcnicas incluyen la (en la cual las variables asumen valores enteros),la queos y manejables),la programacin de redcomo una red),y la lineales).stas son slo algunas de las muchas herramientas de IO con que se cuenta.luciones no se obtienen en formas cerradas (como si fueran frmulas),sino que ms.Un algoritmo proporciona reglas fijas declculo que se aplican en forma repetitiva al problema,y cada repeticin (llamada ) acerca la solucin a lo ptimo.Como los clculos asociados con cada iteracinsuelen ser tediosos y voluminosos,es recomendable que estos algoritmos se ejecutenverlos con cualquiera de los algoritmos de optimizacin disponibles.En esos casos quiz,y la ,o bien
Cognitive PsychologyResearch,and Everyday Experience,Wadsworth Publishing,2005.
Captulo 1Qu es la investigacin de operaciones1.4MODELOS DE COLAS Y SIMULACIîNLas colas y la simulacin estudian las lneas de espera.No son tcnicas de optimiza-cin;ms bien determinan medidas de desempeo de las lneas de espera,como tiem-po de espera promedio en la cola,tiempo de espera promedio para el servicio,y el usode las instalaciones de servicio.lneas de espera,y la simulacin estima las medidas de desempeo al imitar el compor-tamiento del sistema real.De cierto modo,la simulacin tiene ventajas para observar unsistema real,ya que la diferencia principal entre las colas y la simulacin es que los mo-delos de colas son puramente matemticos y,en consecuencia,estn sujetos a hiptesisespecficas que limitan el alcance de su aplicacin.La simulacin,por otra parte,es fle-xible y puede utilizarse para analizar prcticamente cualquier situacin de colas.El uso de la simulacin no est exento de inconvenientes.El proceso de desarrollarmodelos de simulacin es costoso,tanto en tiempo como en recursos;adems la ejecu-cin de los modelos de simulacin suele ser lenta,aun con la computadora ms rpida.1.5EL ARTE DEL MODELADOreales.Esto es raro en la IO,ya que la mayora de las aplicaciones suelen implicardiversos grados de aproximacin.La figura 1.1 ilustra los niveles de abstraccin quecaracterizan el desarrollo de un modelo de IO.Abstraemos de la situacin real el mundotamiento del sistema real.El modelo expresa de una manera razonable las funcionesmatemticas que representan el comportamiento del mundo real supuesto.Para ilustrar los niveles de abstraccin en el modelado,considere la TykoManufacturing Company,donde se producen varios recipientes de plstico.Cuando seemite una orden de produccin al departamento de produccin,las materias primas
Modelo
Mundo realMundo real supuesto
1.6Ms que slo matemticasexternos.Una vez que se completa un lote de produccin,el departamento de ventasse encarga de distribuir el producto a los clientes.Una pregunta lgica al analizar la situacin de Tyko es la determinacin del ta-mao de un lote de produccin.ÃCmo puede un modelo representar esta situacin? mente en el nivel de produccin,incluida la siguiente lista (parcial) clasificada por de-partamentos.las horas de mano de obra y mquina disponibles,inventario en proceso y normasExistencias disponibles de materias primas,progra-mas de entrega de proveedores externos y limitaciones de almacenamiento.Pronstico de ventas,capacidad de las instalaciones dedistribucin,eficacia de las campaas publicitarias y el efecto de la competencia.Cada una de estas variables afecta el nivel de produccin en Tyko.Sin embargo,es real-puesto.Reflexionando un poco,podemos aproximar el sistema real por medio de dosTasa de produccin.Tasa de consumo.duccin,las normas de control de calidad y la disponibilidad de las materias primas.Los datos de ventas determinan la tasa de consumo.En esencia,la simplificacin a par-tir del mundo real al mundo real supuesto se logra ÃconcentrandoÃvarios parmetrosdel mundo real en un nico parmetro del mundo real supuesto.Ahora es ms fcil abstraer un modelo desde el mundo real supuesto.Con las tasasrio.Entonces el modelo abstrado puede construirse para equilibrar los costos conflictivosde exceso y escasez de inventario;es decir,para minimizar el costo total del inventario.1.6MçS QUE SîLO MATEMçTICAS Debido a la naturaleza matemtica de los modelos de IO,tendemos a pensar que untico.Aunque el modelado matemtico es fundamental en la IO,primero se deben ex-plorar mtodos ms sencillos.En algunos casos se puede obtener una solucin de Ãsen-tido comnÃmediante observaciones sencillas.En realidad,como invariablemente elelemento humano afecta la mayora de los problemas de decisin,un estudio de la psi-cologa de las personas puede ser clave para resolver el problema.A continuacin sepresentan tres ejemplos que respaldan este argumento.
Captulo 1Qu es la investigacin de operacionescinas,el equipo de IO percibi la situacin en principio como un problema de lnea deespera que podra requerir el uso del anlisis matemtico o la simulacin de colas.Des-pus de estudiar el comportamiento de las personas que se quejaron,el psiclogo deldores.Como por milagro,las quejas desaparecieron,ya que las personas se mantenanocupadas observndose a s mismas y a las dems mientras esperaban el elevador.ingls,un equipo de consultores estadounidenses y canadienses utiliz la teora decolas para investigar y analizar la situacin.Una parte de la solucin recomendaba uti-a que avanzaran al inicio de la cola y solicitaran el servicio de inmediato.La solucinno tuvo xito porque los pasajeros,en su mayora britnicos,estaban Ãcondicionados aun comportamiento muy estricto en las colasÃy,por consiguiente,se rehusaban a ade-En una fundidora de acero en India,primero se producen lingotes a partir delmineral de hierro,los cuales se utilizan despus en la fabricacin de varillas y vigas deacero.El gerente not una gran demora entre la produccin de los lingotes y su trans-Idealmente,para reducir el costo de recalentamiento la fabricacin deba comenzar encuanto los lingotes salieran del horno.Al principio el problema se percibi como unasituacin de equilibrio de la lnea de produccin,el cual podra resolverse reduciendola produccin de lingotes o incrementando la capacidad del proceso de fabricacin.Ellos tres turnos del da.Se descubri que aun cuando el tercer turno comenzaba a las.,la mayora de los lingotes se producan entre las 2:00 y las 7:00 .Una in-El problema se resolvi ÃnivelandoÃla produccin de los lingotes a lo largo del turno.Antes de aventurarse en un complicado modelado matemtico,el equipo deIO debe explorar la posibilidad de utilizar ideas ÃagresivasÃpara resolver la situacin.psicologa humana ms que en el modelado matemtico.Tambin es ms sencilla yhaber producido.Quizs esta sea la razn de que los equipos de investigacin de ope-raciones suelan recurrir a los conocimientos de personas ÃexternasÃque se desem-dores).Este punto fue aceptado y ejecutado por el primer equipo de IO en InglaterraLas soluciones se originan en las personas y no en la tecnologa.Cualquier so-lucin que no tome en cuenta el comportamiento humano probablemente falle.Aun
1.7Fases de un estudio de IOrazonable,el hecho de que el equipo consultor no se percatara de las diferencias cultu-matemtica especfica antes de que se justifique su uso.Por ejemplo,como la progra-macin lineal es una tcnica exitosa,existe la tendencia de utilizarla para modelarÃcualquierÃsituacin.Esa forma de proceder suele conducir a un modelo matemticodel todo alejado de la situacin real.Por lo tanto,es imperativo que se analicen prime-(por ejemplo,promedios,grficas e histogramas),para determinar el origen del proble-ma.Una vez que se define el problema,puede decidirse cul ser la herramienta msEn el problema de la fundidora de acero,todo lo que setablas sencillas.1.7FASES DE UN ESTUDIO DE IO,donde losanalistas de IO y el cliente trabajan codo con codo.Los conocimientos de modelado dete para quien realizan el estudio.Como herramienta de toma de decisiones,la IO es tanto una ciencia como unarte.Es una ciencia por las tcnicas matemticas que incorpora,y un arte porque elmedida de la creatividad y experiencia del equipo de IO.Willemain (1994) manifiestaque Ãuna prctica [de IO] eficaz requiere ms que competencia analtica.Tambin re-quiere,entre otros atributos,juicio tcnico (es decir,cundo y cmo utilizar una tcni-ca dada),as como habilidades de comunicacin y supervivencia organizacionalÃ.bles.Sin embargo,podemos ofrecer lineamientos generales para la implementacin dePara implementar la IO en la prctica,las fases principales son:Construccin del modelo.Solucin del modelo.Validacin del modelo.
ecidir sobre un modelo matemtico especfico antes de justificar su uso es como Ãponer la carreta ade-lante del caballoÃ,y me recuerda la historia de un viajero areo frecuente,paranoico en cuanto a la po-sibilidad de una bomba terrorista a bordo del avin.Calcul la probabilidad de que semejante desgraciapudiera ocurrir,y aunque result muy pequea no bast para calmar su angustia.Desde entonces,siemprellevaba una bomba en su portafolio porque,segn sus clculos,Ãla probabilidad de que hubiera
Captulo 1Qu es la investigacin de operacionesLa fase 3,que se ocupa de la ,es la mejor definida y por lo general lams fcil de implementar en un estudio de IO,porque maneja principalmente modelos ma-temticos precisos.La implementacin de las fases restantes es ms un arte que una teora.implica definir el alcance del problema investigado.Esta funcin debe ser realizada por todo el equipo de IO.El objetivo es identificar treselementos principales del problema de decisin:(1) descripcin de las alternativas dedecisin;(2) determinacin del objetivo del estudio,y (3) especificacin de las limita-ciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.blema en relaciones matemticas.Si el modelo resultante se ajusta a uno de los modelosmatemticos estndar,como la programacin lineal,se suele obtener una solucin utili-zando los algoritmos disponibles.Por otra parte,si las relaciones matemticas son dema-siado complejas como para permitir la determinacin de una solucin analtica,el equipode IO puede optar por simplificar el modelo y utilizar un mtodo heurstico,o bien consi-derar la simulacin,si es lo apropiado.En algunos casos,una simulacin matemticapuede combinarse con modelos heursticos para resolver el problema de decisin,comolo demuestran los anlisis de casos del captulo 26,que se encuentra en el sitio web.que implica el uso de algoritmos de optimizacin bien definidos.Un aspecto importan-.Tiene que ver con lacuando el modelo experimenta algunos cambios de parmetros.El anlisis de sensibi-parmetros del modelo.En estos casos es importante estudiar el comportamiento de lasolucin ptima en el entorno de los parmetros estimados.validez del modelodice que hace,es decir,Ãpredice adecuadamente el comportamiento del sistema que seestudia? Al principio,el equipo de IO debe estar convencido de que el resultado del mo-delo no contenga ÃsorpresasÃ.En otras palabras,Ãtiene sentido la solucin? ÃLos resul-tados sin intuitivamente aceptables? Del lado formal,un mtodo comn de comprobarla validez de un modelo es comparar su resultado con resultados histricos.El modelo esvlido si,en condiciones de datos de entrada iguales,reproduce de forma razonable eldesempeo pasado.Sin embargo,no suele haber seguridad de que el desempeo futurocontinuar copiando el comportamiento pasado.Adems,como el modelo se basa en elexamen cuidadoso de datos pasados,la comparacin propuesta casi siempre es favora-ble.Si el modelo propuesto representara un sistema nuevo (inexistente),no habra datoshistricos disponibles.En esos casos podemos utilizar la simulacin como una herra-mienta independiente para comprobar el resultado del modelo matemtico.las personas que administrarn el sistema recomendado.La responsabilidad de estatarea recae principalmente en el equipo de IO.1.8ACERCA DE ESTE LIBROMorris (1967) afirma que Ãla enseanza de los modelos no es lo mismo que la en-seanza del modeladoÃ.Tuve en cuenta esta importante aseveracin durante la prepa-
racin de la novena edicin,e hice todo el esfuerzo posible por presentar el arte delmodelado en la IO con la inclusin de modelos realistas en el libro.Dada la importan-cia de los clculos en la IO,el libro analiza la forma en que los algoritmos tericos seacomodan en los cdigos de computadoras comerciales (vea la seccin 3.7).Tambinpresenta herramientas extensivas para realizar los clculos,que van desde TORAorientado al aspecto tutorial,hasta los paquetes comerciales Excel,Excel Solver yLa investigacin de operaciones es tanto un arte como una ciencia;el arte dedescribir y modelar el problema,y la ciencia de resolver el modelo utilizando algorit-mos matemticos precisos.Un primer curso en la materia debe permitir al estudianteapreciar la importancia de ambas reas.Esto proporcionar a los usuarios de IO laen el aspecto artstico de la IO,con el pretexto que las computadoras pueden liberar alcasos prcticos editados.Para ayudarle en este sentido,el captulo 26 en el sitio webparte de los modelos de IO que se presentan en este libro.Tambin se incluyen 50casos basados en aplicaciones de la vida real en el apndice E en el sitio web.Se dispo-ne de ms estudios de casos en peridicos y publicaciones.En particular,(publicado por INFORMS) es una rica fuente de diversas aplicaciones de IO.Altier,W.,The Thinking ManagerÃs Toolbox:Effective Processes for Problem Solving and,Oxford University Press,Nueva York,1999.Checkland,P.,Systems Thinking,SystemPractice,Wiley,Nueva York,1999.Evans,J.,Creative Thinking in the Decision and Management Sciences,South-WesternPublishing,Cincinnati,1991.Gass,S.,ÃModel World:Danger,Beware the User as a Modeler,Ã,vol.20,nm.3,pgs.60-64,1990.Morris,W.,ÃOn the Art of ModelingÃ,,vol.13,pgs.B707-B717,1967.Paulos,J.,Innumeracy:Mathematical Illiteracy and Its Consequences,Hill and Wang,NuevaYork,1988.Singh,S.,FermatÃs Enigma,Walker,Nueva York,1997.Willemain,T.,ÃInsights on Modeling from a Dozen ExpertsÃ,Operations Research,vol.42,nm.2,pgs.213-222,1994.
2.1MODELO DE PL CON DOS VARIABLESdos variables.Aun cuando en la prctica difcilmente ocurren problemas de dos varia-bles,el tratamiento proporciona fundamentos concretos para el desarrollo del algorit-
Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores con dos materias primas,1y
Toneladas de materia prima por tonelada de
Disponibilidad diaria mxima
(toneladas)
Pintura para exteriores
6422126
Aplicacin de la vida real. Frontier Airlines adquiere combustible de unalargo de una ruta de vuelo.El precio del combustible vara entre escalas y se pueden ob-usarlo en tramos de vuelo subsecuentes.La desventaja es que el peso adicional del com-bustible cargado har que se consuma ms gasolina.La programacin lineal (PL) y laequilibre el costo del consumo excesivo frente a los ahorros en el costo del combustible.El estudio,realizado en 1981,arroj ahorros netos de aproximadamente $350,000 alao.El caso 1 en el captulo 26 en el sitio web,proporciona los detalles del estudio.Esinteresante que ahora,con el reciente aumento del costo del combustible,muchas ae-
CAPêTULO 2
Captulo 2Modelado con programacin linealexceder la de pintura para exteriores en ms de una tonelada.Asimismo,que la demanda diariamxima de pintura para interiores es de dos toneladas.Todos los modelos de IO,incluido el de PL,constan de tres componentes bsicos.variables de decisin que pretendemos determinar.objetivo restriccionesque la solucin debe satisfacer.modelo.Una vez hecha,la tarea de construir la funcin objetivo y las restricciones es ms directa.deben producir de pinturas para exteriores e interiores.As,las variables del modelo se definenToneladas producidas diariamente de pintura para exterioresToneladas producidas diariamente de pintura para interiores(es decir,incrementar lo ms posible) la utilidaddiaria de ambas pinturas.Los dos componentes de la utilidad diaria total se expresan en funcinrepresenta la utilidad diaria total (en miles de dlares),el objetivo (o meta) de Reddy Mikksla demanda del producto.Las restricciones en las materias primas se expresan verbalmente como1es de 6 toneladas por tonelada de pintura para exte-riores,y de 4 toneladas por tonelada de pintura para interiores.Por lo tantoAsimismo,2son de 24 y 6 toneladas,respectiva-mente.As pues,las restricciones en las materias primas son
2.1Modelo de PL con dos variablestura para interiores no debe exceder a la de pintura para exteriores en ms de 1 tonelada,lo cual1(Lmite del mercado)La segunda restriccin limita la demanda diaria de pintura para interiores a 2 toneladas,es decir,2(Lmite de la demanda) Una restriccin implcita (o ÃsobreentendidaÃ) requiere que todas las variables,,asu-man slo valores positivos o cero.Las restricciones,expresadas como restricciones de no negatividadTodos los valores de .De lo contrario la solucin es .Por ejemplo,la solucin de las cinco restricciones.22,la cual es menor que el lado derecho24).Las restricciones 2 a 5 se comprueban de la misma manera (Ãhgalo!).Porotra parte,la solucin 1,es no factible porque no satisface por lo menos una restric-cin,por ejemplo la restriccin (1):6 28,la cual es mayor que el lado derecho (,es decir la mejor solucin .Primero utilizamos el mtodo grfico (seccin 2.2) para demos-de soluciones factibles,una pro-piedad compartida por todas las PL no triviales.Esto significa que el problema no puede ser re-suelto por enumeracin.En vez de eso,necesitamos un algoritmo que determine la solucinptima en una cantidad finita de pasos.El mtodo grfico en la seccin 2.2,y su generalizacin al-
gebraicaen el captulo 3,explican los detalles del algoritmo deseado.Comentarios.El objetivo y la funcin de restriccin en todas las PL deben ser lineales.Adicionalmente,todos los parmetros (coeficientes de las funciones objetivo y de restriccin)Para el modelo de Reddy Mikks,defina las siguientes restricciones y exprselas con uncuando mucho
Captulo 2Modelado con programacin linealtura para exteriores.para exteriores es de 3 toneladas.2 del modelo de Reddy Mikks,determine las canti-descuento.La utilidad por tonelada es de $5000 si el contratista compra no ms de 2 to-neladas diarias,y de $4500 en los dems casos.Exprese matemticamente la funcin objetivo.ÃEs lineal la funcin resultante?2.2SOLUCIîN GRçFICA DE LA PLDeterminar el espacio de soluciones factibles.cio de soluciones.2.2.1Solucin de un modelo de maximizacin
Paso1.Antes que nada,considere las restricciones de no negatividad 0.En la fi-gura 2.1,el eje horizontal para exteriores e interiores,respectivamente.As pues,las restricciones de no negativi-
La solucin grfica de una PL con dos variables,aunque difcilmente es til en la prctica,proporcionaEl mdulo grfico interactivo TORA es en especial til para experimentar con el mtodo grfico.La seccin2.3 presenta los paquetes comerciales Excel Solver y AMPL.Su uso se demuestra mediante diversas aplica-
2.2Solucin grfica de la PLPara tener en cuenta las otras cuatro restricciones,primero sustituya cada desi-gualdad con una ecuacin,y luego trace la lnea recta resultante localizando dos puntosdiferentes.Por ejemplo,despus de sustituir 624,se determinan dos puntos distintos haciendo 0 para obtenerDe este modo,la lnea 6) en dos semiplanos,uno a cada lado de la lnea trazada.Slo una de estas dosmitades satisface la desigualdad.Para determinar el lado correcto seleccionamos.Si (0,0) satisface la desigualdad,entonces el lado enque est es el semiplano factible;de lo contrario,es el otro lado.El uso del punto de24.Como 6 es menor que 24,el semiplano que representa la desigualdad (1) incluye el origen (losiempre da un valor de cero al lado izquierdo de la restriccin.Sin embargo,si lalnea pasa por el origen,en ese caso debe usarse como punto de referencia cualquierlo!).El todas las restricciones al mismo tiempo.En la figura 2.1 todos los puntos en o sobredefinen el espacio de soluciones factibles.Todos los pun-tos fuera de esta rea son no factibles.
6 =4.x2= 24
4 =6FIGURA 2.1Espacio factible del modelo de Reddy Mikks
5
1
16x1 4x2 24Restricciones:
2x1 2x2 6
3x1 x2 1
4x2 2
5x1 0
6x2 0
3
2
4
0123
x1x2
Captulo 2Modelado con programacin lineal
El mdulo de PL grfico TORA controlado por men es til para reforzar su com-prensin de cmo se grafican las restricciones de PL.Seleccione en el .Despus de ingresar el modelo,en el men seleccione .En la pantalla de resultados podr interactuar con eltrazo de las restricciones,una a la vez,para ver cmo afecta cada restriccin el espa-
cio de soluciones.
GraphicalQ
Solve
SOLVE/MODIFY
MAIN menu
Paso2..En consecuencia,se requiere un procedimiento sistemtico para determinarEn primer lugar,la direccin en la cual se incrementa la funcin de utilidad maximizandoz.Por ejemplo,la utilizacin de 15,que identifican la,como se muestra en la figura 2.2.La solucin,el punto en el espacio de soluciones ms all del cual cualquierincremento adicional producir la solucin no factible.
1
01234
x1x2
DEF(Maximizar z 5x1 4x2)z incremen-tndosez 10z 15z 21x1 2x2 6x1 3 toneladasîptima:x2 1.5 toneladasz $21,000ABC
6x1 4x2 24
2.2Solucin grfica de la PL21,que demanda unacombinacin de producto diaria de 3 toneladas de pintura para exteriores,y 1.5 tone-ladas de pintura para interiores.La utilidad diaria asociada es de $21,000.del espacio de soluciones (donde,en dos dimensio-nes,se intersecan dos lneas).Esto es cierto incluso si la funcin objetivo es paralela auna restriccin.Por ejemplo,si la funcin objetivo es ,la cual es parale-la a la restriccin 1,siempre podemos decir que la solucin ptima ocurre en el.En realidad,cualquier punto sobre el segmento de lnea (vea tambin el ejemplo 3.5-2);sin embargo,la
MomentoTORA.Puede interactuar con TORA para ver que la solucin ptima siempre est asociadacon un punto de esquina.En la pantalla de resultados puede hacer clic enresolver de nuevo grficamente el problema.Puede utilizar las siguientes funciones
nita).De hecho,en este pequeo ejemplo la solucin ptima se determina tan slo con enume-rar todos los puntos de esquina,como se muestra en la tabla siguiente:
View/Modify Input Data
Punto de esquina
(,)
(0,0)(4,0)(3,1.5)21 (îPTIMA)(2,2)(1,2)(0,1)
A medida que aumenta la cantidad de restricciones y variables,los puntos de esquina tam-bin lo hacen,y el procedimiento de enumeracin propuesto se hace computacionalmenteimprctico.No obstante,la observacin con respecto al rol de los puntos de esquina al identificarla solucin ptima es clave para el desarrollo del algoritmo algebraico general,llamado ,que se estudiar en el captulo 3.
Captulo 2Modelado con programacin linealtes,dado que La demanda diaria mxima de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas.La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas.la de pintura para exteriores.1 es por lo menos de 24 toneladas.1 es por lo menos de 24 toneladas,ycuenciales.La siguiente tabla resume los datos del problema:
Minutos por unidad
Utilidad
Producto
Proceso 1
Proceso 2
Proceso 3
unitaria 11068$2252010$3
Determine la combinacin ptima de los dos productos.Una compaa fabrica dos productos,.El volumen de ventas de .Sin embargo,la compaa no puede vender ms depor da.Ambos productos utilizan una materia prima,cuya disponibi-lidad diaria mxima es de 240 lb.Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb.Las utilidades de son de $20 y $50,res-pectivamente.Determine la combinacin ptima de productos para la compaa.Alumco fabrica lminas y varillas de aluminio.La capacidad de produccin mxima seestima en 800 lminas o 600 varillas por da.La demanda diaria es de 550 lminas y 580varillas.La utilidad por tonelada es de $40 por lmina y de $35 por varilla.Determine laUna persona desea invertir $5000 durante el prximo ao en dos tipos de inversin.La8%.La investigacin de mercado recomienda.Adems,la inver-
2.2Solucin grfica de la PL.ÃCmo deben asignarse lossos cada semestre.Los cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos:prcticos y de humanidades.Para satisfacer las demandas de la comunidad,se deben ofrecer por lo menos 10 cursos decada tipo cada semestre.La divisin estima que los ingresos por el ofrecimiento de cursosprcticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por curso,respectivamente.Idee una oferta de cursos ptima para el colegio.Demuestre que el costo por curso adicional es de $1500,el cual es igual al ingresopor curso prctico.ÃQu significa este resultado en funcin de la oferta de cursos.Las disponibilidades diarias de las materias primas 145 unidades,respectivamente.Una unidad de solucin ,y 0.6 unidades de la materia prima ,en tanto que una unidad de la solu-,y .4 unidades de la materia prima son de $8 y $10,respectivamente.Laes de entre 30 y 150 unidades,y la de la solucin 40 a 200 unidades.Determine las cantidades de produccin ptimas de lo con eficacia para incrementar las utilidades.Dos marcas de cereal,en anaqueles.Una caja de ,y una caja de .Las demandas diarias mximas de son de 200 y 120 cajas,respectivamente.Una caja de es de $1.35.Ma-and-Pa considera que como la,a ,lo que equivale a asignar aproximadamente 57% a.ÃUsted qu piensa?Jack es un estudiante novato en la Universidad de Ulern.Se da cuenta de que Ãslo traba-jo y nada de diversin me hacen ser un chico aburridoÃ.Jack desea distribuir su tiempodisponible de aproximadamente 10 horas al da entre las tareas y la diversin.Estima quedivertirse es dos veces ms entretenido que hacer tareas.Pero tambin desea estudiar porlo menos el mismo tiempo que le quiere dedicar a la diversin.Sin embargo,Jack com-prende que para cumplir con sus tareas no puede divertirse ms de 4 horas al da.ÃCmoWild West produce dos tipos de sombreros tejanos.El sombrero tipo 1 requiere el doblede mano de obra que el tipo 2.Si toda la mano de obra disponible se dedica slo al tipo2,la compaa puede producir un total de 400 sombreros tipo 2 al da.Los lmites demercado respectivos para el tipo 1 y el tipo 2 son de 150 y 200 sombreros por da,respec-tivamente.La utilidad es de $8 por sombrero tipo 1,y de $5 por sombrero tipo 2.Show & Sell puede publicitar sus productos en la radio y la televisin locales.El presu-puesto para publicidad se limita a $10,000 al mes.Cada minuto de publicidad en radiocuesta $15 y cada minuto de comerciales en televisin $300.Show & Sell quiere anunciar-se en radio por lo menos dos veces ms que en televisin.Por el momento,no es prcticoutilizar ms de 400 minutos de publicidad por radio al mes.Por experiencias pasadas,seestima que la publicidad por televisin es 25 veces ms efectiva que la de la radio.Wyoming Electric Coop posee una planta generadora de energa de turbina de vapor.Como en Wyoming abundan los depsitos de carbn,la planta genera su vapor concarbn.Esto,sin embargo,puede conducir a emisiones que no satisfagan las normas de la Agencia de Proteccin Ambiental (EPA,por sus siglas en ingls).Las normas de la
Captulo 2Modelado con programacin linealAgencia de Proteccin Ambiental limitan la descarga de bixido de azufre a 2000 partespor milln por tonelada de carbn quemado,y la descarga de humo por las chimeneas dela planta a 20 lb por hora.La Coop recibe dos tipos de carbn pulverizado,2,parausarlos en la planta de vapor.Los dos tipos se suelen mezclar antes de la combustin.Porsimplicidad,se supone que la cantidad de azufre contaminante descargado (en partespor milln) es un promedio ponderado de la proporcin de cada tipo utilizado en lamezcla.Los siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada uno
Tipo de carbn
Descarga de azufre
en partes por milln
Descarga de humo
en lb por hora
Vapor generado
en lb por horaC118002.112,000C22100.99000
Top Toys planea una nueva campaa de publicidad por radio y TV.Un comercial deradio cuesta $300 y uno de TV $2000.Se asigna un presupuesto total de $20,000 a la cam-paa.Sin embargo,para asegurarse de que cada medio tendr por lo menos un comercialde radio y uno de TV,lo mximo que puede asignarse a uno u otro medio no puede sermayor que el 80% del presupuesto total.Se estima que el primer comercial de radio lle-gar a 5000 personas,y que cada comercial adicional llegar slo a 2000 personas nuevas.En el caso de la televisin,el primer anuncio llegar a 4500 personas y cada anuncio adi-cional a 3000.ÃCmo debe distribuirse la suma presupuestada entre la radio y la TV? tiendas de descuento Wallmart,corporacin que aceptar toda la produccin surtida porBurroughs.El proceso de produccin incluye el corte,la costura y el empaque.Burroughsemplea 25 trabajadores en el departamento de corte,35 en el de costura,y 5 en empaque.La fbrica trabaja un turno de 8 horas,5 das a la semana.La siguiente tabla muestra los
Minutos por unidad
Utilidad
Prenda
Corte
Costura
Empaque
2070Blusas 6060
Determine el programa de produccin semanal ptimo para Burroughs.Una compaa mueblera fabrica escritorios y sillas.El departamento de aserrado corta lamadera para ambos productos,la que luego se enva a los distintos departamentos de en-samble.Los muebles ensamblados se envan para su acabado al departamento de pintu-ra.La capacidad diaria del departamento de aserrado es de 200 sillas o de 80 escritorios.El departamento de ensamble de sillas puede producir 120 sillas diarias,y el de ensamblede escritorios produce 60 escritorios.La capacidad del departamento de pintura es de 150sillas,o 110 escritorios.Dado que la utilidad por sillas es de $50 y la de un escritorio es de$100,determine la combinacin de produccin ptima para la compaa.
2.2Solucin grfica de la PLde radio:HiFi-1 y HiFi-2.La siguiente tabla muestra los tiempos de ensamble de las tresestaciones de trabajo.El mantenimiento diario de las estaciones 1,2 y 3 consume 10,14 y 12%,respectivamen-te,de los 480 minutos mximos disponibles por cada estacin por da.Determine la com-tres estaciones de trabajo.Experimento con TORA.Ingrese la siguiente PL en TORA,y seleccione el modo de solu-A continuacin,en una hoja de papel trace a escala los ejes (tambin puede hacer clic en la opcin Print Graph,en la parte superior derecha de laventana para obtener una hoja a escala lista para usarse).Ahora,trace a mano una res-verificar su respuesta.Repita la misma operacin para cada restriccin,y termine el pro-cedimiento con una grfica de la funcin objetivo.El proceso sugerido se dise para quediante una retroalimentacin inmediata de TORA.Experimento con TORA.el espacio de soluciones factibles.Use el medio grfico de TORA para identificar las res-
Minutos por unidad
Estacin de trabajo
HiFi-1
164255346
Captulo 2Modelado con programacin linealtricciones redundantes,luego demuestre que su eliminacin (basta con no graficarlas) noExperimento con TORA.En el modelo de Reddy Mikks,utilice TORA para demostrarespacio de soluciones ilimitado.Experimento con TORA.En el modelo de Reddy Mikks,suponga que se agrega la si-Utilice TORA para demostrar que el modelo resultante tiene restricciones conflictivasque no se pueden satisfacer al mismo tiempo,y que por consiguiente no tiene una 2.2.2Solucin de un modelo de minimizacin
Ejemplo 2.2-2(Problema de la dieta)Ozark Farms consume diariamente un mnimo de 800 lb de un alimento especial,el cual es unaximo de 5% de fibra.El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mnimo.El objetivo es minimizar el costo diario total (en dlares) de la mezcla de alimento,es decir,Las restricciones representan la cantidad diaria de la mezcla y las necesidades dietticas.OzarkFarms requiere un mnimo de 800 lb de alimento al da,es decir,) lb.) lb,es decir,Asimismo,la necesidad de fibra de 5% mximo se representa como sigue
lb por lb de forraje
Forraje
Protena
Fibra
.0902.30Soya .6006.90
2.2Solucin grfica de la PLdesigualdad,con slo una constante del lado derecho.El modelo completo esLa figura 2.3 muestra la solucin grfica del modelo.La segunda y tercera restriccionespasan por el origen.De este modo,a diferencia del modelo de Reddy Mikks del ejemplo 2.2-1,lapunto de referencia diferente de (0,0),por ejemplo,(100,0) o (0,100).la figura 2.3.La solucin ptima es la interseccin de las dos lneas 0,y por consiguiente 329.4 lb.El costo mnimo de la mezcla de alimentos
50010001500
x1x2
îptima:
Captulo 2Modelado con programacin linealComentarios.Aunque la solucin del presente modelo satisfizo la ecuacin,un modelo ms complejo puedeimponer restricciones adicionales que requeriran mezclar ms que la cantidad mnima.An msimportante,la desigualdad,por definicin,es inclusiva del caso de igualdad,de modo que puedeelegirse la ecuacin si la optimalidad lo requiere.La conclusin es que no debemos ÃprejuzgarÃ
Para el modelo de la dieta,suponga que la disponibilidad diaria de maz se limita a 450 lb.Identifique el nuevo espacio de soluciones,y determine la nueva solucin ptima.Para el modelo de la dieta,Ãqu tipo de solucin ptima dara el modelo si la mezcla dealimentos no debiera exceder las 800 lb por da? ÃTiene sentido la solucin?John debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos almismo tiempo que asiste a la escuela.Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas de me-nudeo.En la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana,y en la tienda 2 le permi-ten trabajar entre 6 y 10 horas.Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora.Para decidircuntas horas trabajar en cada tienda,John desea basar su decisin en la tensin del trabajo.Basado en entrevistas con otros empleados,John estima que,en una escala del 1 al 10,los fac-tores de tensin son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2,respectivamente.Como la tensin aumentacada hora,supone que la tensin total en cada tienda al final de la semana es proporcional alas horas que trabaja en las tiendas.ÃCuntas horas debe trabajar John en cada tienda?OilCo est construyendo una refinera para producir cuatro productos:diesel,gasolina,lu-bricantes y combustible para avin.La demanda mnima (en barriles por da) de cada unode esos productos es de 14,000,30,000,10,000 y 8000,respectivamente.Iraq y Dubai firma-ron un contrato para enviar crudo a OilCo.Debido a las cuotas de produccin especifica-das por la OPEP (Organizacin de Pases Exportadores de Petrleo),la nueva refinerapuede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai.OilCo pronosticaque la demanda y las cuotas de petrleo crudo no cambiarn durante los prximos 10 aos.Un barril de crudo de Iraq rinde .2 barriles de diesel,.25 barriles de gasolina,1 barril delubricante y .15 barriles de combustible para avin.Los rendimientos correspondientesdel crudo de Dubai son:.1,.6,1.5 y .1,respectivamente.OilCo necesita determinar la ca-Day Trader desea invertir una suma de dinero que genere un rendimiento anual mnimode $10,000.Estn disponibles dos grupos de acciones:acciones de primera clase y accio-nesde alta tecnologa,con rendimientos anuales promedio de 10 y 25%,respectivamente.Aunque las acciones de alta tecnologa producen un mayor rendimiento,son ms riesgo-sas,y Trader quiere limitar la suma invertida en estas acciones a no ms de 60% de la inversin total.ÃCul es la suma mnima que Trader debe invertir en cada grupo de *Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio,una aleacin especial.La chatarra contiene 6% de aluminio,3% de silicio,y 4% de car-bn.La chatarra contiene 3% de aluminio,6% de silicio,y 3% de carbn.Los costosson de $100 y $80,respectivamente.Las especificacio-
2.3Solucin con computadora, aplicando Solver y AMPLde 3% y mximo de 6%;(2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%,y (3) el con-tenido de carbn debe ser de entre 3 y 7%.Determine la mezcla ptima de las Experimento con TORA.Considere el modelo de la dieta,y que la funcin objetivo seaUse TORA para demostrar que la solucin ptima est asociada con na distintos,y que ambos puntos dan por resultado el mismo valor objetivo.En este caso se.Explique las condiciones que conducen aesta situacin,y demuestre que,en realidad,el problema tiene una cantidad infinita de p-timos alternativos;proporcione luego una frmula para determinar todas esas soluciones.2.3SOLUCIîN CON COMPUTADORA, APLICANDO SOLVER Y AMPLEn la prctica,los modelos de PL suelen implicar miles de variables y restricciones,y lacomputadora es el nico medio viable para resolver problemas de PL.Esta seccinpresenta dos sistemas de software comnmente utilizados:Excel Solver y AMPL.Solver es en particular atractivo para los usuarios de hojas de clculo.AMPL es un len-guaje de modelado algebraico que,como todos los lenguajes de programacin de altogrado,requiere ms conocimientos.No obstante,AMPL,y lenguajes similares,ofreceuna gran flexibilidad de modelado.Aunque la presentacin en esta seccin se concen-tra en programaciones lineales,tanto AMPL como Solver pueden manejar problemasenteros y no lineales,como se demostrar en captulos posteriores.2.3.1Solucin de PL con Excel SolverEn Excel Solver,la hoja de clculo es el medio de entrada y salida para la PL.La figura 2.4).La parte superior de la figura incluye cuatro tipos de informacin:(1) celdaspara ingresar datos (B5:C9 y F6:F9);(2) celdas que representan las variables y la funcin ob-jetivo (B13:D13);(3) definiciones algebraicas de la funcin objetivo y el lado izquierdo delas restricciones (celdas D5:D9),y (4) celdas que proporcionan nombres y smbolos explica-tivos.Solver solamente requiere los primeros tres tipos.El cuarto tipo mejora la legibilidadaunque no sirve para ningn otro propsito.El posicionamiento relativo de los cuatros tiposla referencia cruzada apropiada de las celdas en Solver,y se recomienda su uso.ÃCmo se vincula Solver con los datos de la hoja de clculo? En primer lugar,pro-porcionamos definiciones ÃalgebraicasÃde la funcin objetivo y el lado izquierdo de lasrestricciones mediante los datos de entrada (celdas B5:C9 y F6:F9),as como la funcinobjetivo y variables (celdas B13:D13).A continuacin colocamos las frmulas resultan-tes de forma apropiada en las celdas D5:D9,como se muestra en la siguiente tabla:
Entre otros paquetes comerciales conocidos estn AIMMS,GAMS,LINGO,MPL,OPL Studio,y Xpress
Expresin algebraica
Frmula en la hoja de clculo
B5*$B$13C5*$C$13Restriccin1B6*$B$13C6*$C$13Restriccin2B7*$B$13C7*$C$13Restriccin3B8*$B$13C8*$C$13Restriccin4B9*$B$13C9*$C$13
Captulo 2Modelado con programacin lineal
En realidad,slo tiene que ingresar la frmula en la celda D5 y luego copiarla en lasceldas D6:D9.Para hacerlo de manera correcta,es necesario utilizar la (es decir,$B$13 y $C$13,respectivamente).Las frmulas explcitas que se acaban de describir no son prcticas para PL grandes.En su lugar,la frmula en la celda D5 puede escribirse en forma compacta como sigue SUMPRODUCT(B5:C5,$B$13:$C$13)
2.3Solucin con computadora, aplicando Solver y AMPLAhora,todos los elementos del modelo de PL ya estn listos para ejecutar el mo-delo.Haga clic en el men Solver de la barra de mens de la hoja de clculoSolver Parameters2.4).A continuacin,actualice el cuadro de dilogo como sigue:Set Target Cell:Equal To:MaxPara establecer las restricciones haga clic en el botnen el cuadro de dilo-luego ingrese el tipo desigualdad en el lado izquierdo,y el lado derecho de las restric-Para las restricciones de no negatividad haga clic en el botnuna vez ms e ingrese$B$13:$C$13
$D$6:$D$9$F$6:$F$9
Add
$B$13:$C$13
Otra forma de ingresar las restricciones no negativas es hacer clic en ladelSolver Parameters Solver OptionsPor lo general no es necesario cambiar los valores predeterminados restantes enSolver Options.Sin embargo,la precisin predeterminada de .000001 puede ser dema-siado ÃaltaÃpara algunos problemas,y Solver puede devolver de forma incorrecta el
Assume Linear Model
Assume Non-Negative
Options
FIGURA 2.5Cuadro de dilogo Solver Options(Opciones de Solver)
de la figura 2.4,las dos opciones adicionales ,las cualesary,se utilizan en programas enteros para limitar las variables a valores enteros y bi-
Captulo 2Modelado con programacin linealmensaje ÃSolver could not find a feasible solutionÃ(Solver no pudo determinar una so-lucin factible).En esos casos se tiene que especificar una precisin menor (es decir,un valor mayor).Si el mensaje persiste,es posible que el problema sea no factible.bilidad.Se crea un rango resaltando las celdas deseadas y escribiendo el nombre en elcuadro superior izquierdo de la hoja,pulsando luego la tecla Return.La figura 2.6utilizados en el modelo.Hay que cotejar el modelo contra el archivo para ver cmo se utilizan los rangos en las frmulas.Para resolver el problema haga clic en el botn del cuadro de dilogo SolverParameters.De este modo el estado de la solucin aparece en el nuevo cuadro de dilogoSolver Results.Si la elaboracin del modelo es correcta,el valor ptimo de aparecern en las celdas B13 y C13,respectivamente.Por conveniencia,la celda D13 exhibe el valor ptimo de la celda D13,y en celdas contiguas aparece la solucin ptima completa.Si un problema no tiene una solucin factible,Solver mostrar el mensaje expl-cito ÃSolver could not find a feasible solutionÃ(Solver no pudo determinar una solu-cin factible).Si el valor objetivo ptimo es ilimitado (no finito),Solver emitir unmensaje un tanto ambiguo ÃThe Set Cell values do not convergeÃ(Los valores de lacelda no convergen).En cualquier caso,el mensaje indica que hay algo errneo enla formulacin del modelo,como se ver en la seccin 3.5.
SolveFIGURA 2.6Uso de nombres de rango en Excel Solver (archivo solverRM2.xls
2.3Solucin con computadora, aplicando Solver y AMPLSolver Resultslles sobre la solucin,por ejemplo,los reportes de anlisis de sensibilidad.En la seccin3.6.4 analizaremos estos resultados adicionales.La solucin del modelo de Reddy Mikks con Solver es directa.Otros modelospueden requerir un Ãpoco de inventivaÃantes de poder establecerlos.Una clase de mo-delos de PL que caen en esta categora tiene que ver con la optimizacin de redes,de pintura denominado ÃmarinaÃ.Los requerimientos por tonelada de las materias pri-mas 1 y 2 son .5 y .75 toneladas,respectivamente.La demanda diaria de la nueva pinturaoscila entre .5 toneladas y 1.5 toneladas.La utilidad por tonelada es de $3.5 (miles).Problema 16,conjunto 2.2aProblema 5,conjunto 2.2b2.3.2Solucin de PL con AMPLEsta seccin proporciona una breve introduccin a AMPL.El material en el apndiceC en el sitio web detalla la sintaxis de AMPL.Se har referencia a la presentacin enesta seccin y con otras presentaciones de AMPL en el libro.Los dos ejemplos queaqu se presentan se refieren a los fundamentos de AMPL.Problema de Reddy Mikks.Modelo rudimentario.para modelar una PL en un formato manuscrito rudimentario.La figura 2.7 muestra un).Todaslas palabras clave reservadas aparecen en negritas.Los dems nombres los genera elusuario.La funcin objetivo y cada una de las restricciones pueden tener nombresdistintos (generados por el usuario) seguidos de punto y coma.Cada instruccin seEl formato manuscrito es adecuado para los problemas,en el sentido de que serequiere un nuevo cdigo siempre que se cambian los datos de entrada.Para proble-mas prcticos (con estructura compleja y muchas variables y restricciones),el formatomanuscrito,en el mejor de los casos,es tedioso.AMPL elimina esta dificultad aplican-do un cdigo que divide el problema en dos componentes:(1) Un modelo algebraicobles y restricciones,y (2) datos para controlar el modelo algebraico.La implementa-Reddy Mikks.
Por conveniencia,la versin de AMPL para el estudiante se encuentra en el sitio web.Las actualizacionesposteriores se pueden descargar de www.ampl.com.AMPL utiliza comandos en lnea y no opera en el am-biente de Windows.
Captulo 2Modelado con programacin linealProblema de Reddy Mikks.Modelo algebraico.).El archivo debe ser estrictamente texto (ASCII).El smbolo # designa el inicio de los comentarios explicativos.Los comentarios puedenEl lenguaje es sensible a las maysculas o minsculas,y todas sus palabras clave,conalgunas excepciones,se escriben en minsculas.(La seccin C.2 en el sitio webModelo AMPL rudimentario paraAMPL rudimentario parasubject to restr{i in 1..m}:sum{j in 1..n}a[i,j]*x[j]#--------------------------------especificar datos del modelodata;param n:=2;param m:=4;param c:=1 5 2 4;param b:=1 24 2 6 3 1 4 2;param a: 12 :=164 2123-11401;Modelo AMPL del problema de Reddy Mikks mediante datos de entrada puestos en el cdigo fuente
2.3Solucin con computadora, aplicando Solver y AMPLEl modelo algebraico en AMPL visualiza el problema de PL general con de entrada del modelo.Traduce 1,2,Ã,1,2,Ã,,y 1,2,Ã,1,2,Ã,.A continuacin,las va-1,2,Ã,),junto con la restriccin de no negatividad,las define la instruc-de su definicin.La notacin enEl modelo se desarrolla de la siguiente manera,en funcin de los parmetros ylas variables.La funcin objetivo y las restricciones tienen nombres distintos seguidospor dos puntos (:).La instruccin objetivo es una traduccin directa de maximizarLa instruccin objetivo es una traduccin directa de maximizarA la restriccin ise le da el nombre raz restrcon un ndice dentro del conjunto{1..m}:restr{i in1..m}:sum{j in1..n}a[i,j]*x[j]La instruccin es una traduccin directa derestrianj=1aijxjbi.z=anj=1cjxjxjÃ0, j=1, 2, . . ., nsujeto a restri: anj=1aijxjbi, i=1, 2, . . ., mMaximizar z: anj=1cj xjAhora el modelo algebraico puede utilizarse con cualquier conjunto de datosaplicables que se puedan ingresar despus de la instruccin data;.Para el modelo deReddy Mikks,los datos indican a AMPL que el problema tiene 2 variables (;).Se debe utilizar el operador compuesto :.Para los parmetros de un solosubndice,c y b,cada elemento est representado por su ndice seguido de su valor y se-parados al menos por un espacio en blanco.As,se ingresan del mismo modo.
Captulo 2Modelado con programacin lineal,el conjunto de datos se lee como una ma-.El,y el subndice a:12 401;El conjunto de datos debe terminar con punto y coma.Observe la ubicacin del separador :y el operador compuesto :Ahora el modelo y sus datos ya estn listos.El comando ;invoca el algorit-displayz;proporciona la solucin.Para ejecutar el modelo,primero invoque AMPL (haga clic en el comandoampl.exe del directorio de AMPL).En el indicador :ingrese el siguiente coman-,luego pulse la tecla Return:luego pulse la tecla Return:1 = 32 = 1.5Los cuatro renglones inferiores son el resultado de ejecutar displayz;.En realidad,dos de salida (vea la seccin C.5.2 en el sitio web).pendientes.Este arreglo es ms conveniente porque slo el archivo de datos se tieneque cambiar una vez que se ha desarrollado el modelo.Para los detalles,vea el final dela seccin C.2.AMPL ofrece una amplia variedad de capacidades de programacin.Por ejem-plo,los datos de entrada y salida pueden asegurarse para que no sean enviados a archi-vos,hojas de clculo y bases de datos externos,y el modelo puede ejecutarse de formaactiva para una amplia variedad de opciones.Los detalles se dan en el apndice C,enel sitio web.En el modelo de Reddy Mikks,suponga que se produce un tercer tipo de pintura,llama-da ÃmarinaÃ.Los requerimientos por tonelada de las materias primas .75 toneladas,respectivamente.La demanda diaria de la nueva pintura oscila entre .5 to-neladas y 1.5 toneladas,y la utilidad por tonelada es de $3.5 (mil).Modifique el modeloy el modelo AMPL
2.4Aplicaciones de programacin linealcuenta la nueva situacin y determinar la solucin ptima.Compare el esfuerzo adicionalDesarrolle modelos AMPL para los siguientes problemas:Problema 16,conjunto 2.2a Problema 5,conjunto 2.2b 2.4APLICACIONES DE PROGRAMACIîN LINEALbles y la construccin de la funcin objetivo,as como las restricciones,no son tan directascomo en el caso del modelo de dos variables.Las reas cubiertas por estas aplicacionesPlanificacin de la produccin y control de inventarios.Planificacin de desarrollo urbano.Refinacin y mezcla de petrleo.Cada modelo se detalla,y se interpreta su solucin ptima.2.4.1Inversin hoy.Ejemplos de problemas de inversin son la asignacin de presupuestos de capitalpara proyectos,estrategia de inversin en bonos,seleccin de cartera de acciones,yestablecimiento de una poltica de prstamos bancarios.En muchas de estas situacio-nes,la PL puede usarse para seleccionar la combinacin ptima de oportunidades quemaximizarn el rendimiento,al mismo tiempo que se satisfacen los requerimientos es-tablecidos por el inversionista y el mercado.
Bank One est desarrollando una poltica de prstamos que implica un mximo de $12 millones.La tabla siguiente muestra los datos pertinentes en relacin con los prstamos disponibles.
Tipo de prstamo
Tasa de inters
Automvil .130
Las deudas impagables son irrecuperables y no producen ingresos por intereses.los fondos para prstamos agrcolas y comerciales.Para ayudar a la industria de la construccinde viviendas en la regin,los prstamos para casa deben ser por lo menos 50% de los prstamospersonales,para automvil,y para casa.El banco limita la proporcin total de las deudas impa-
Captulo 2Modelado con programacin linealModelo matemtico:gora,lo que conduce a las siguientes definiciones de las variables:El objetivo del Bank One es maximizar el rendimiento neto,la diferencia entre el ingreso porintereses y la prdida por deudas impagables.El ingreso por intereses se acumula sobre los prs-tamos al corriente.Por ejemplo,cuando se pierde 10% de prstamos personales por deuda im-pagable,el banco recibir intereses sobre 90% del prstamo;es decir,recibir un inters de 14%.El razonamiento es vlido para los cuatro tipos restantes deprstamos.Por lo tanto,Tambin tenemosobien les,para automvil y para casa:obien
2.4Aplicaciones de programacin linealobienaproximadamente al mismo tiempo.Nos permite pasar por alto las diferencias en el valor deltiempo de los fondos asignados a los diferentes prstamos.La solucin ptima se calcula utilizando AMPL (archivo Comentarios.).A fin de cuentas,parece razonable que elbanco quiera prestar los $12 (millones).La respuesta es que el uso dado en la formulacinno desaprueba esta posibilidad,pero hay dos razones ms por las que no debera utilizar12:(1) Si otras restricciones en el modelo son tales que (millones) (por ejemplo,el banco puede limitar los diferentes prstamos),entonces la opcin12 podra conducir a una solucin incorrecta o no factible.(2) Si desea experimentarcon el efecto de cambiar los fondos disponibles (por ejemplo,de $12 a $13 millones) en lasolucin ptima,es posible que olvide cambiar .4 13,en cuyo caso la solucin noser correcta.Un razonamiento parecido aplica al lado izquierdo de la cuarta restriccin.La solucin ptima requiere que se asignen los $12 millones:$7.2 millones a prstamospara casa,y $4.8 millones a prstamos comerciales.Las categoras restantes no recibennada.El rendimiento de la inversin es Esto muestra que la tasa de rendimiento anual combinada es de 8.034%,la cual es menor(de 8.64% para prstamos para casa),y nos pregunta-mos por qu el modelo no aprovecha esta oportunidad.La respuesta es que la estipula-ms baja de 7.8%,de ah la reduccin de la tasa de intersDe hecho,si eliminamos la restriccin 2,la so-
8.64% (Ãintntelo utilizando el modelo AMPL!).Fox Enterprises est considerando seis posibles proyectos de construccin durante losprximos 4 aos.Fox puede emprender cualquiera de los proyectos en parte o en su tota-lidad.La ejecucin parcial de un proyecto prorratear proporcionalmente tanto el rendi-
12 B=8.034%.Tasa de rendimiento = z
12 = .99648
12 =.08034
Captulo 2Modelado con programacin linealmiento como los desembolsos de efectivo.Los rendimientos (valor presente) y los de-Formule el problema como un programa lineal,y determine la combinacin ptimade proyectos que maximice el rendimiento total utilizando AMPL,Solver o TORA.Pase por alto el valor en el tiempo del dinero.Suponga que si se emprende una parte del proyecto 2,entonces debe emprendersepor lo menos una parte igual del proyecto 6.Modifique la formulacin del modelo yEn el modelo original,suponga que los fondos no utilizados al final de un ao se utilizanen el ao siguiente.Halle la nueva solucin ptima,y determine qu tanto cada ao Ãlepide prestadoÃal ao anterior.Por sencillez,pase por alto el valor del dinero en el tiempo.ao se pueden exceder,si fuera necesario,pidiendo prestado a otras actividades fi-nancieras dentro de la compaa.Ignorando el valor del dinero en el tiempo,refor-mule el modelo de PL y determine la solucin ptima.ÃRequerira la nueva solucinque se pida prestado en cualquier ao? De ser as,Ãcul es la tasa de rendimientoEl inversionista Doe dispone de $10,000 para invertirlos en cuatro proyectos.La tabla si-guiente presenta el flujo de efectivo para las cuatro inversiones.
Desembolso de efectivo ($1000)
Rendimiento
Proyecto
Ao1
Ao2
Ao3
Ao4
10.514.42.22.48.312.69.53.110.214.25.64.27.210.57.55.012.310.18.36.39.27.86.95.1Fondos disponibles ($1000)60.070.035.020.0
Flujo de efectivo ($1000) al inicio del
Proyecto
Ao1
Ao2
Ao3
Ao4
Ao50.500.301.801.200.600.201.501.300.801.900.800.400.601.800.95
La informacin que aparece en la tabla puede interpretarse como sigue:Para el proyecto1,$1.00 invertido al inicio del ao 1 redituar $.50 al inicio del ao 2;$.30 al inicio del ao3;$1.80 al inicio del ao 4,y $1.20 al inicio de ao 5.Las entradas restantes pueden inter-pretarse de la misma manera.La entrada 0.00 indica que no se estn realizando transac-ciones.Doe tiene opcin adicional de invertir en una cuenta bancaria que gana 6.5%anual.Todos los fondos acumulados al final del ao 1 pueden volverse a invertir en el aosiguiente.Formule el problema como un programa lineal para determinar la asignacinptima de fondos a oportunidades de inversin.Resuelva el modelo con Solver de AMPL.
2.4Aplicaciones de programacin linealHiRise Construction puede licitar por la adjudicacin de dos proyectos de 1 ao.La siguien-te tabla da el flujo de efectivo trimestral (en millones de dlares) para los dos proyectos.
Flujo de efectivo (en millones de dlares) el
Proyecto
1 de enero
1 de abril
1 de julio
1 de octubre
Ã1.51.81.51.8
HiRise dispone de fondos en efectivo que ascienden a $1 milln a principios de cada tri-mestre,y puede pedir prestado un mximo de $1 milln a una tasa de inters anual nomi-nal de 10%.Cualquier dinero pedido a prstamo debe ser devuelto al final de cada tri-mestre.El efecto excedente puede ganar un inters trimestral a una tasa anual nominalde 8%.La acumulacin neta al final de cada trimestre se invierte en el siguiente.proyectos.Determine el nivel de participacin que maximizar el efectivo neto acu-mulado el 31 de diciembre.Resuelva el modelo con Solver de AMPL.nar con fondos excedentes? Explique.En anticipacin a los fuertes gastos acadmicos,Joe y Jill iniciaron un programa de inver-sin anual en el octavo cumpleaos de su hijo,el cual terminar hasta que cumpla die-ciocho aos.Planean invertir las siguientes cantidades al principio de cada ao:
Ao
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2000200025002500300035003500400040005000
Para evitar sorpresas desagradables,quieren invertir el dinero sin riesgo en las siguientesopciones:Ahorros asegurados con rendimiento anual de 7.5%,bonos del gobierno a seises de 1.02 de su valor nominal.ÃCmo deber invertirse el dinero? Un ejecutivo empresarial tiene la opcin de invertir en dos planes.El plan A garantizaque cada dlar invertido ganar $.70 al ao,y el plan B garantiza que cada dlar inverti-do ganar $2 despus de 2 aos.En el plan A,las inversiones pueden hacerse anualmen-te,y en el plan B slo se permiten durante periodos que sean mltiplos de 2 aos.ÃCmoResuelva el modelo utilizando Solver de AMPL.apostado.El juego tiene tres resultados.La tabla siguiente presenta la ganancia o prdidacorrespondiente por dlar para las diferentes opciones del juego.
Rendimiento por dlar depositado en la opcin
Resultado
1
2
3
41-34-71525-39433-910-8
Captulo 2Modelado con programacin linealEl apostador tiene un total de $500,los cuales puede apostar slo una vez.El resultado.Debido a esta incertidumbre,la estrategia del apos-mnima producida por los tres resultados.ÃCmo deberAMPL.(:La ganancia neta del apostador puede ser positiva,cero o negativa).Lewis(1996).Las facturas en una casa se reciben mensualmente (por ejemplo,servicios ehipoteca de la casa),trimestralmente (pagos de impuestos estimados),semestralmente(como los seguros),o anualmente (renovaciones y pagos vencidos de suscripciones).Lasiguiente tabla da las facturas mensuales durante el prximo ao.Para solventar estos gastos,la familia aparta $1000 cada mes,cantidad que es el promediodel total dividido entre 12 meses.Si el dinero se deposita en una cuenta de ahorros con-vencional,puede ganar un inters anual de 4%,siempre que permanezca en la cuentapor lo menos 1 mes.El banco tambin ofrece certificados de depsito a 3 y 6 meses quepueden ganar el 5.5% y 7% de inters anual,respectivamente.Desarrolle un programade inversin de 12 meses que maximizar la ganancia total de la familia durante el ao.cin factible.Resuelva el modelo con Solver de AMPL.2.4.2Planificacin de la produccin y control de inventariotarios.Esta seccin presenta tres ejemplos.El primero tiene que ver con la programa-cin de la produccin para satisfacer una demanda de un periodo nico.El segundo sesatisfacer la demanda futura,y el tercero tiene que ver con el uso del inventario,y lacontratacin y despido de personal para ÃnivelarÃla produccin durante un horizontede planificacin de mltiples periodos.
Ejemplo 2.4-2 (Modelo de produccin de un periodo nico)En preparacin para la temporada invernal,una compaa fabricante de ropa est manufactu-rando abrigos de piel con capucha y chamarras con relleno de plumas de ganso,pantalones conaislamiento y guantes.Todos los productos se elaboran en cuatro departamentos diferentes:corte,aislamiento,costura y empaque.La compaa recibi pedidos en firme de sus productos.El contrato estipula una penalizacin por los artculos no surtidos.Elabore un plan de produc-cin ptimo para la compaa,con base en los siguientes datos:
Mes
Ene.
Feb.
Mar.
Abr.
May.
Jun.
Jul.
Ago.
Sep.
Oct.
Nov.
Dic.
Total80012004007006009001500100090011001300160012000
Tiempo por unidades (h)
Departamento
Chamarras
Relleno de plumas
Pantalones
Guantes
.25.151000.30.101000.40.221000.1.051000600500$20$10Penalizacin por unidad$15$10$8
2.4Aplicaciones de programacin linealSe penaliza a la compaa si no cumple la demanda.El objetivo es entonces maximizar la utili-dad neta,definida como.Para calcular la penalizacin total,las restriccio-,y la penalizacin total se.El modelo completo se escribe entonces como sigue 212.5.La solucin satisface toda la demanda deambos tipos de chamarra y los guantes.Una merma de 213 (redondeada desde 212.5) pantalones
representar un costo de penalizacin de 213 3$10 5$2130.
Ejemplo 2.4-3(Modelo de produccin en inventario durante periodos mltiples)Acme Manufacturing Company firm un contrato para entregar 100,250,190,140,220 y 110ventanas para casa durante los siguientes seis meses.El costo de produccin (mano de obra,ma-terial y servicios) por ventana vara por periodo y se estima que ser de $50,$45,$55,$52 y $50durante los prximos seis meses.Para aprovechar las fluctuaciones del costo de fabricacin,adicionales para entregarlas en meses posteriores.Esto supondr un costo de almacenamiento a
Captulo 2Modelado con programacin linealrazn de $8 por ventana por mes,estimado en el inventario de fin de mes.Desarrolle un progra-ma lineal para determinar el programa de produccin ptimo.el inventario de fin de mes.Para que 1,2,Ã,6,seanrecen representadas esquemticamente en la figura 2.9.El sistema se inicia vaco (El objetivo es minimizar el costo total de produccin y del inventario de fin de mes.Por consiguiente,la funcin objetivo es que aparece en la figura 2.9.Para cada periodo tenemos la siguiente ecuacin de balance:,es cero.Adems,en cualquier solucin ptima,el inventariocesarios.
x2250
I2
x3190
I3
x4140I4
x5220
I5
x6110
I6
x1100
I1
I
0
2.4Aplicaciones de programacin lineal440 unidades) cubre la demanda de los meses 2 y 3.El
costo total asociado es $49,980.
Ejemplo 2.4-4(Modelo de nivelacin de la produccin para mltiples periodos)Una compaa est planeando fabricar un producto para marzo,abril,mayo y junio del prximoao.Las cantidades demandadas son 520,720,520 y 620 unidades,respectivamente.La compaade produccin fluctuantes contratando y despidiendo trabajadores temporales.Los costos adi-respectivamente.Un trabajador de planta produce 12 unidades por mes;y uno temporal,que notiene la misma experiencia,produce 10.La compaa puede producir ms de lo necesario enpor unidad por mes.Desarrolle una poltica ptima de contratacin y despido durante el hori-zonte de planificacin de 4 meses.mes tiene su produccin,demanda e inventario final.La nica excepcin es el manejo de unadades que producen de la demanda mensual respectiva.La demanda restante se satisface enton-ces contratando y despidiendo trabajadores temporales.Por lo tantoidespus
440250
0190
140140
220220
110110
100100
001900000
Captulo 2Modelado con programacin linealPor definicin,son no negativas,en tanto que .ste es el primer casoen este captulo del uso de una variable irrestricta.Como se ver en breve,se requiere una susti-tucin especial para permitir la contratacin y despido en el modelo.En este modelo,el desarrollo de la funcin objetivo requiere construir primero las restric-ciones.La cantidad de unidades producidas en el mes As pues,tenemos las siguientes restricciones del inventario:Para contratacin y despido,la fuerza de trabajo temporal se inicia con pios de marzo.A principios de abril .La misma idea se aplica a ,lo que conduce a las siguientesA continuacin desarrollamos la funcin objetivo.La meta es minimizar el costo del inven-tario ms el costo de contratacin y despido.Como en el ejemplo 2.4-3.El modelado del costo de contratacin y despido es un poco complicado.Dado que los costos decontratar y despedir a un trabajador temporal son de $200 y $400,respectivamente,tenemos es positiva,la contratacin ocurre en el mes .Si es negativa,entonces ocurre eldespido.Esta valoracin ÃcualitativaÃse traduce matemticamente aplicando la sustitucinPodemos pensar en como la cantidad de trabajadores temporales contratados,y en dos.Por ejemplo,si 5y 0,entonces 5,lo que representacontratacin.Si 7,entonces 7,lo que representa despido.En el pri-mer caso,el costo de contratacin correspondiente es $2800$1000,
2.4Aplicaciones de programacin linealdo.Primero tenemos que responder una posible pregunta:ÃQu pasa si tanto y como sondespido en el mismo mes.De manera interesante,la teora de la PL (captulo 7) nos dice que yno pueden ser positivos al mismo tiempo,un resultado matemtico confirmado por intuicin.,,$19,500.Todas las dems variables soncero.La solucin requiere contratar 50 trabajadores temporales en marzo,y conser-var la fuerza de trabajo permanente hasta mayo,cuando se despida a 5 trabajadores temporales.No se recomienda ninguna otra contratacin o despido hasta finales de junio cuando,presuntamente,todos los trabajadores temporales sern despedidos.Esta solucin requiere que
se conserven 100 unidades de inventario hasta mayo,y 50 unidades hasta junio.AutoMate contrat a ToolCo para que abastezca sus tiendas de descuento automotricescon llaves inglesas y cinceles.La demanda semanal de AutoMate consiste en por lomenos 1500 llaves inglesas y 1200 cinceles.ToolCo no puede fabricar todas las unidadesmente subcontratar a otras fbricas de herramientas.El resultado es un incremento del
Captulo 2Modelado con programacin linealcosto de produccin por unidad,como se muestra en la siguiente tabla.La demanda del
Herramienta
Tipo de produccin
Intervalo de produccin
semanal (unidades)
Costo
unitario($)Tiempo extra Tiempo extra
Formule el problema como un programa lineal,y determine el programa de produc-Resuelva el modelo aplicando AMPL,Solver o TORA.En tres mquinas se procesan cuatro productos en secuencia.La siguiente tabla propor-
Tiempo de fabricacin por unidad (h)
Mquina
Costo por h ($)
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 4
10234250025321238034732145075705545
Formule el problema como un modelo de PL,y determine la solucin ptima con AMPL,Solver o TORA.Un fabricante produce tres modelos,I,II y III,de un producto determinado con las mate-.La siguiente tabla proporciona los datos del problema:
Requerimientos por unidad
Materia prima
I
II
III
23540004276000Demanda mnima200200150Precio por unidad ($)302050
III.Toda la fuerza de trabajo de la fbrica puede producir el equivalente a 1500 unidadesdel modelo 1.Los requerimientos del mercado especifican las proporciones 3:2:5 para la
2.4Aplicaciones de programacin linealproduccin de los tres modelos respectivos.Formule el problema como un programa li-neal,y halle la solucin ptima con AMPL,Solver o TORA.La demanda de helado durante los tres meses de verano (junio,julio y agosto) en All-Flavor Parlor se estima en 500,600 y 400 cartones de 20 galones,respectivamente.Dosmayoristas,1 y 2,le surten helado a All-Flavors.Aunque los sabores de los dos proveedo-res son diferentes,son intercambiables.El mximo de cartones que cada proveedorpuede surtir es de 400 por mes.Adems,el precio de los dos proveedores cambia de unmes al siguiente,segn la tabla:Para aprovechar la fluctuacin del precio,All-Flavor puede comprar ms de lo que nece-sita en un mes y guardar el excedente para satisfacer la demanda en un mes posterior.Elcosto de refrigerar un cartn de helado es de $5 por mes.En la presente situacin es rea-medio disponibles durante el mes.Desarrolle un modelo para determinar el programaptimo de compra de helado a los dos proveedores,y determine la solucin ptima conTORA,Solver o AMPL.La demanda de un artculo durante los siguientes cuatro trimestres es de 300,400 y 250unidades,respectivamente.El precio por unidad es de $20 en el primer trimestre y se incrementa $2 cada trimestre en lo sucesivo.El proveedor no puede surtir ms de 400unidades en cualquier trimestre.Aunque podemos aprovechar los bajos precios en losprimeros trimestres,se incurre en un costo de almacenamiento de $3.50 por unidad detrimestre.Adems,el mximo de unidades que puede conservar de un trimestre al si-guiente no puede exceder de 100.Desarrolle un modelo de PL para determinar el pro-ptima con AMPL,Solver o TORA.Se contrat a una compaa para que manufacturara dos productos,meses de junio,julio y agosto.La capacidad de produccin total (expresada en horas)vara mensualmente.La siguiente tabla proporciona los datos bsicos de la situacin:
Junio
Julio
5005000750(unidades)100012001200300035003000
,respectivamente.Sedebe satisfacer toda la demanda;sin embargo,la de un mes posterior se puede satisfacercon la produccin de uno anterior.Para cualquiera de los productos mes al siguiente,los costos de retencin son de $.90 y $.75 por unidad,respectivamente.Loscostos de produccin unitarios de los dos productos,son de $30 y $28,respectiva-mente.Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de produccin ptimopara los dos productos y determine la solucin ptima con AMPL,Solver o TORA.
Precio por cartn en el mes de
Junio
Julio
$100$110$120Proveedor 2$115$108$125
Captulo 2Modelado con programacin linealEl proceso de fabricacin de un producto consta de dos operaciones sucesivas,I y II.La si-guiente tabla proporciona los datos pertinentes durante los meses de junio,julio y agosto.comendado de tiempo extra,si lo hay.Resuelva el problema con AMPL,Solver o TORA.2.4.3Planificacin de la mano de obraden lograrse mediante el proceso de contratacin y despido,como se demostr en el ejemplo2.4-4.Hay situaciones en las que el efecto de las fluctuaciones de la demanda puede ser Ãabsor-bidoÃajustando las horas de inicio y terminacin de un turno de trabajo.Por ejemplo,en lugar de.,3:00 .,podemos utilizar turnos de 8 horas con traslapes en los que la hora de inicio de cadabin puede extenderse a otros ambientes de operacin.El ejemplo 2.4-5 hace referencia a la de-de transporte durante las horas pico y normales.
Junio
Julio
Demanda del producto terminado (unidades)5004506008007005501000850700
Producir una unidad del producto implica .6 horas en la operacin I,ms .8 horas en laoperacin II.Se permite la sobreproduccin o el producto terminado en parte (en la ope-racin I),o el producto terminado (en la operacin II) en cualquier mes para su uso enun mes posterior.Los siguientes costos de retencin correspondientes son de $.20 y $.40por unidad por mes.El costo de produccin vara por operacin y por mes.Para la opera-cin 1,el costo de produccin unitario es de $10,$12 y $11 en junio,julio y agosto,respec-tivamente.Para la operacin 2,el costo correspondiente de produccin unitario es de$15,$18 y $16.Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de produccinptimo para las dos operaciones en el horizonte de 3 meses,y determine la solucin pti-ma con AMPL,Solver o TORA.En dos mquinas se fabrican dos productos en secuencia.El tiempo disponible en cadamquina es de 8 horas por da y puede incrementarse hasta 4 horas de tiempo extra,si esnecesario,a un costo adicional de $100 por hora.La siguiente tabla proporciona la tasade produccin en las dos mquinas,as como el precio por unidad de los dos productos.
Tasa de produccin (unidades/h)
Producto 1
Mquina1Mquina284Precio por unidad ($)110118
2.4Aplicaciones de programacin lineal
Ejemplo 2.4-5(Modelo de horarios de autobuses)cin masiva para reducir el trfico urbano.El estudio busca la cantidad mnima de autobuses quesatisfaga las necesidades de transporte.Despus de reunir la informacin necesaria,el ingenierodel da,y dicha cantidad se poda representar de forma aproximada por valores constantes du-rante intervalos de 4 horas sucesivos.La figura 2.11 resume los hallazgos del ingeniero.Para rea-lizar el mantenimiento diario requerido,cada autobs puede operar slo 8 horas continuas al da.
Aplicacin de la vida real. Planificacin del personal de ventas por telfono 7:00 a 22:00,con turnos de 6 horas que comienzan a diferentes horas del da.Qantasun servicio conveniente a sus clientes.El estudio,realizado a finales de la dcada de1970,permiti ahorros anuales de ms de 200,000 dlares australianos por ao.El es-
tudio se detalla en el caso 15,captulo 26,en el sitio Web.
4:008:004:008:00
x1x2x3x4x5x6
turno,y las restricciones tienen que ver con la satisfaccin de la demanda.El objetivo es minimi-
Captulo 2Modelado con programacin lineal
Espacios de tiempo
.a 4:00 .a 8:00 .a 12:00 del da.a 4:00 .a 8:00 .a 12:00
La definicin expresada de las variables es un tanto ÃimprecisaÃ.Sabemos que cada autobscircular durante 8 horas consecutivas,pero no sabemos cundo debe iniciar un turno.Si segui-.a 4:00 ,4:01 .a 12:00 medianoche,y 12:01.a 8:00 primero,segundo y tercer turnos,en la figura 2.11 podemos ver que 8.Lanormal.Sin embargo,una ventaja podra ser que el proceso de optimizacin eligiera la ÃmejorÃhora de inicio de un turno.Una forma razonable de hacerlo es permitir que se inicie un turnocada 4 horas.La parte inferior de la figura ilustra esta idea con turnos de 8 horas traslapados que.,4:00 ,8:01 .,12:01 .y 8:01 .As pues,las variables se defi-En la figura 2.11 podemos ver que debido al traslape de los turnos,la cantidad de autobuses du-.-12:00-8:00-4:00-8:00.-4:00
2.4Aplicaciones de programacin linealturnos tradicionales).El horario requiere .y
6,y 2,con o de 12 horas.Si un autobs opera durante 12 horas,al conductor se le pagan horas extraa 150% del salario por hora regular.ÃRecomienda utilizar turnos de 12 horas? Resuelvael nuevo modelo utilizando AMPL,Solver o TORA..y las 10:00.Cada voluntario trabaja tres horas consecutivas,excepto los que entran a las 8:00.,que slo trabajan 2 horas.Una aproximacin a la necesidad mnima de voluntarioses por medio de una funcin escalonada en intervalos de dos horas,los cuales se inician a.como 4,6,8,6,4,6 y 8.Como la mayora de los voluntarios son pensionados,.a 10:00 Sin embargo,como la mayora de las instituciones caritativas compiten por sus servicios,la cantidad requerida debe mantenerse lo ms baja posible.Determine un programa pti-mo (utilice AMPL,Solver o TORA) de la hora de inicio de los voluntarios.En el problema 2,suponga que ningn voluntario iniciar al medioda o a una hora enque se impliquen el almuerzo y la comida.Desarrolle la PL,y determine el horario pti-mo utilizando AMPL,Solver o TORA.En una compaa camionera de cargas pequeas,los andenes de la terminal incluyen tra-pico.En el andn de Omaha,Nebraska,la demanda mnima de trabajadores eventualesdurante los 7 das de la semana (a partir del lunes) es de 20,14,10,15,18,10 y 12 trabaja-dores.Cada trabajador es contratado para que labore 5 das consecutivos.Desarrolle eleventuales para la compaa utilizando AMPL,Solver o TORA.para que realicen encargos de oficina.La necesidad de ese servicio flucta durante las.a 5:00 .).En un departamento,la cantidad mnima de estu-.y las 10:00 .;3 entre las 10:01 .y las.;4 entre las 11:01 .y la 1:00 .,y 3 entre la 1:01 .y las 5:00 .A cada.quetrabajan 2 horas,y a los que inician a las 4:01 que trabajan 1 hora).Debido al horario fle-xible de los estudiantes,por lo comn pueden iniciar a cualquier hora durante el da detrabajo,excepto a la hora del almuerzo (12:00 del da).Desarrolle el modelo de PL y de-portan al trabajo.Use AMPL,Solver o TORA para determinar la solucin.Una gran tienda de departamentos opera 7 das a la semana.El gerente estima que lalunes,18 el martes,20 el mircoles,28 el jueves,32 el viernes,y 40 para el sbado y el do-mingo.Cada vendedor trabaja 5 das a la semana,con los dos das de descanso escalona-dos a lo largo de la semana.Por ejemplo,si 10 personas inician el lunes,2 pueden tomarsu da de descanso el martes o el mircoles;5 el mircoles y jueves,y 3 el sbado y domin-go.ÃCuntos vendedores se deben contratar,y cmo se distribuirn sus das de descanso?Use AMPL,Solver o TORA para determinar la solucin.
Captulo 2Modelado con programacin lineal2.4.4Planificacin de desarrollo urbanoLa planificacin urbana implica atender tres reas generales:(1) construccin de nue-vos desarrollos de vivienda;(2) remodelacin de viviendas deterioradas y reas recrea-tivas,y (3) planificacin de edificios pblicos (escuelas y aeropuertos).Las restriccio-nes asociadas con estos proyectos son tanto econmicas (terreno,construccin yfinanciamiento) como sociales (escuelas,parques y nivel de ingreso).Los objetivos enla planificacin urbana varan.En los nuevos desarrollos de vivienda,la utilidad sueleser el motivo para emprender el proyecto.En las dos categoras restantes los objetivosimplican consideraciones sociales,polticas,econmicas y culturales.De hecho,enun caso divulgado en 2004,el alcalde de una ciudad en Ohio deseaba demoler unvieja de la ciudad para construir departamentos de lujo.El motivo era incremen-tar la recaudacin de impuestos para aliviar la escasez de presupuesto.El ejemplo deesta seccin se dise con base en el caso de Ohio.
Ejemplo 2.4-6(Modelo de renovacin urbana)La ciudad de Erstville enfrenta un grave recorte de presupuesto.Buscando una solucin a largoplazo para mejorar la base tributaria,el consejo de la ciudad propone la demolicin de un reade viviendas dentro de la ciudad,y su reemplazo con un moderno desarrollo.El proyecto implica dos fases:(1) demolicin de casas populares para obtener el terrenopara el nuevo desarrollo,y (2) construccin del nuevo desarrollo.A continuacin,un resumen deSe pueden demoler 300 casas populares.Cada casa ocupa un lote de .25 acres.El costo deLos tamaos de los lotes para construir casas unifamiliares,dobles,triples y cudruples,son de .18,.28,.4 y .5 acres,respectivamente.Las calles,los espacios abiertos y el reapara la instalacin de servicios,ocupan 15% del rea disponible.En el nuevo desarrollo,las unidades triples y cudruples ocupan por lo menos 25% deltotal.Las unidades sencillas deben ser al menos 20% de todas las unidades,y las unida-El impuesto por unidad aplicado a las unidades sencillas,dobles,triples y cudruples esde $1000,$1900,$2700 y $3400,respectivamente.El costo de construccin por unidad de las casas sencillas,dobles,triples y cudruples es de$50,000,$70,000,$130,000 y $160,000,respectivamente.El financiamiento a travs de unbanco local est limitado a $15 millones.Modelo matemtico:vivienda,tambin necesitamos decidir cuntas casas se deben demoler para crear el espacio parael nuevo desarrollo.Por lo tanto,las variables del problema se definen como sigue:
6Esta seccin est basada en Laidlaw (1972)
2.4Aplicaciones de programacin linealEl objetivo es maximizar la recaudacin total de impuestos de los cuatro tipos de casas,es decir,La primera restriccin del problema es la disponibilidad del terreno.A partir de los datos del problema,tenemosPara determinar la cantidad de acres disponibles,cada casa demolida ocupa un lote de .25 acres,acres.Considerando 15% para espacios abiertos,calles y reas para servicios,la.La restriccin resultante esLa cantidad de casas demolidas no puede ser superior a 300,lo cual se expresa comodentro del presupuesto permisible,es decir,Expresando todos los costos en miles de dlares,tenemos
Captulo 2Modelado con programacin linealComentarios.y sta es la razn de redondear los valores continuos al entero ms prximo.La solucin redon-jas,lo cual representa $345,600 en impuestos.Tenga en cuenta,sin embargo,que quiz la solucinredondeada no sea factible.De hecho,la solucin redondeada actual viola la restriccin del pre-supuesto por $70,000 (Ãcomprubelo!).No obstante,la solucin entera ptima verdadera (con0,y $343.700.Observe con cuidado que la solucin redondeada produce un mejor valor ob-jetivo,lo que parece contradictorio.La razn es que la solucin redondeada requiere que se pro-
duzca una casa doble adicional,lo cual es factible slo si al presupuesto se le aumentan $70,000.les.El rea de viviendas se compone de departamentos-estudio,casas dplex y unifami-liares.Se estima que la demanda mxima por parte de los arrendatarios potenciales es de500 departamentos-estudio,300 casas dplex y 250 casas unifamiliares,pero la cantidadtudio y casas unifamiliares.El espacio para locales comerciales es proporcional a la canti-,15 piesmentos-estudio,casas dplex y casas unifamiliares,respectivamente.Sin embargo,la.La renta mensual se estima en $600,$750 y $1200 para departamentos-estudio,casas dplex y casas unifamiliares,en ese orden.La renta de los locales comerciales es de.Desarrolle un modelo de PL para determinar el rea ptima para locales co-merciales y la cantidad de casas,y determine la solucin con AMPL,Solver o TORA.El concejo de la ciudad de Fayetteville est en el proceso de aprobar la construccin de.Se han propuesto dos sitios,y ambos
2.4Aplicaciones de programacin linealrequieren ejercer la ley de Ãdominio inminenteÃ,o de expropiacin,para adquirir la pro-piedad.La siguiente tabla presenta los datos de las propiedades propuestas (contiguas)en ambos sitios,junto con el costo de adquisicin.
Sitio 1
Sitio 2
Propiedad
çrea 2)
Costo($1000)
çrea 2)
201000802800
Se permite la adquisicin parcial de la propiedad.Se debe adquirir 75% como mnimo dela propiedad 4 si se selecciona el sitio 1,y por lo menos 50% de la propiedad 3 si se selec-ciona el sitio 2.Aunque la propiedad del sitio 1 es ms cara (por pie),el costo de cons-truccin es menor que en el sitio 2 porque la infraestructura est en mejores condiciones.El costo de construccin es de $25 millones en el sitio 1,y de $27 millones en el sitio 2.lizando AMPL,Solver o TORA.prximos 5 aos.Cada proyecto tiene distinto ao de inicio y duracin diferente.La si-
Ao1
Ao2
Ao3
Ao4
Ao5
Costo
(millones de $)
Ingreso anual
Proyecto1InicioTerminacin5.0.05Proyecto2InicioTerminacin8.0.07Proyecto3InicioTerminacin15.0.15Proyecto4InicioTerminacin(millones $)3.06.07.07.0
Los proyectos 1 y 4 deben terminarse del todo dentro de su tiempo estipulado.Los otrosdos proyectos pueden terminarse parcialmente de ser necesario,siempre y cuando no excedan su presupuesto.Sin embargo,cada proyecto debe quedar por lo menos con unavance de 25%.Al final de cada ao,los inquilinos ocupan de inmediato la seccin termi-nada de un proyecto,y as se obtiene una cantidad proporcional de ingreso.Por ejemplo,sien el ao 1 se completa 40% del proyecto y 60% en el ao 3,el ingreso asociado para el$50,000.Desarrolle un modelo de PL para determinar el desarrollo de los pro-yectos que maximice el ingreso total durante la planeacin a 5 aos,y determine la solu-cin con AMPL,Solver o TORA.Por sencillez,omita el valor del dinero en el tiempo.La ciudad de Fayetteville va a iniciar un proyecto de renovacin urbano que incluircasas para personas de bajos y medianos ingresos,departamentos de lujo y viviendas po-pulares.El proyecto tambin incluye una escuela primaria pblica y locales comerciales.tidad de alumnos,y el espacio para locales comerciales es proporcional a la cantidad deviviendas.La tabla siguiente proporciona los datos pertinentes de la situacin:
Captulo 2Modelado con programacin linealmo de 25 alumnos por saln.El costo anual de operacin por saln de clase es de$10,000.El proyecto se ubicar en un lote baldo de 50 acres propiedad de la ciudad.Adicionalmente,el proyecto puede utilizar una propiedad adyacente ocupada por 200casas en ruinas que se demolern,cada una de las cuales ocupa .25 acres.El costo decomprar y demoler una de estas casas es de $7000.El espacio abierto,las calles y lotes deestacionamiento consumen 15% del terreno total disponible.Desarrolle un programa lineal para determinar el plan ptimo para el proyecto,yencuentre la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.Montaas Ozark.Anteriormente,a los desarrollos nuevos alrededor del lago se les im-ponan pocas regulaciones,o ninguna.Ahora en las orillas del lago hay muchas casas dedescanso,y fosas spticas de las que la mayora estn instaladas de manera inadecuada.Alpaso de los aos,el escurrimiento de las fosas spticas contamin gravemente el agua.Para detener la degradacin del lago,las autoridades del condado aprobaron reglamentosestrictos aplicables a todos los futuros desarrollos.(1) Slo se pueden construir casas uni-familiares,dobles y triples,donde un mnimo de 50% del total de casas deben ser casasunifamiliares.(2) Para limitar la cantidad de fosas spticas,se requieren tamaos de lotesmnimos de 2,3 y 4 acres para las casas unifamiliares,dobles y triples,respectivamente.(3)Deben establecerse reas recreativas de 1 acre a razn de una por cada 200 familias.(4)Para preservar la ecologa del lago,no se puede extraer agua subterrnea para las casas ojardines.El presidente de Realco est estudiando la posibilidad de desarrollar una propie-dad de 800 acres.El nuevo desarrollo incluir casas unifamiliares,dobles y triples.Se esti-ma que 15% del rea en acres se asignar a calles y reas para servicios.Realco estima lastruidas.Sin embargo,el condado cobra un mnimo de $100,000 para el proyecto.Adicionalmente,la expansin del sistema de agua por encima de su capacidad actual estlimitada a 200,000 galones por da durante los periodos pico.Los siguientes datos resu-men el costo de conexin del agua y el consumo,considerando una familia de tamao
Bajos
ingresos
Medianos
ingresos
Altos
ingresos
Viviendas
populares
Salones
de clase
Locales
10012575300200190260600Tamao de lote por unidad (acres).05.07.03.025.045.1Cantidad promedio de alumnos por unidad1.31.2.51.4.023.034.046.023.034700012,00020,0005000Ã15,000
Unidad de viviendas
Unifamiliares
Dobles
Triples10,00012,00015,000
Unidad de viviendas
Unifamiliares
Dobles
Triples
100012001400800400600840
2.4Aplicaciones de programacin linealpromedio:Desarrolle un modelo de PL para determinar el plan ptimo para Realco ydetermine la solucin con AMPL,Solver o TORA.Considere el modelo de Realco del problema 5.Suponga que se pueden adquirir 100acres ms por $450,000,los cuales incrementarn el rea total a 900 acres.ÃEs rentable2.4.5Mezcla y refinacinVarias aplicaciones de PL tienen que ver con la mezcla de diferentes materiales parafabricar productos que satisfagan ciertas especificaciones,al mismo tiempo que se mi-nimiza el costo y se maximiza la utilidad.Los materiales pueden ser minerales metli-cos,chatarras,productos qumicos o petrleos crudos,y los productos pueden ser lin-gotes de metal,pinturas o gasolina de varios grados.Esta seccin presenta un modelo(simplificado) de refinacin de petrleo.El proceso se inicia con la refinacin de petr-leo crudo para crear reservas y luego mezclarlas para producir gasolina.La gasolinadebe satisfacer ciertas especificaciones de calidad (como el octanaje).Adems,los l-produccin de los diferentes grados de gasolina.Un objetivo del modelo es determinarcuada.En algunos casos la meta es minimizar una funcin de costo.
Ejemplo 2.4-7(Refinacin de petrleo crudo y mezcla de gasolinas)La compaa Shale Oil,localizada en la isla de Aruba,produce diariamente 1,500,000 barriles depetrleo crudo.Los productos finales de la refinera incluyen tres tipos de gasolina sin plomocon diferentes octanajes (ON,por sus siglas en ingls):gasolina regular con ON 87;premium con89,y sper con ON 92.El proceso de refinacin comprende tres etapas:(1) una torre dede petrleo crudo;(2) una unidad de desintegracin que produce gasolina cruda (ON barriles por barril por carga de alimentacin,y (3) una unidad mezcladora que mezcla la gasoli-torre de destilacin.La compaa estima que la utilidad neta por barril de los tres tipos de gaso-lina deber ser de $6.70,$7.20 y $8.10,respectivamente.La capacidad de la unidad de desinte-gracin es de 200,000 barriles de carga al da.La demanda de gasolinas regular,premium y speres de 50,000,30,000 y 40,000 barriles,respectivamente,por da.Desarrolle un modelo para deter-La figura 2.12 resume los elementos del modelo.Las variables puedenmentacin y gasolina desintegrada) y los tres productos finales.Sea1,2;1,2,3 Aplicando esta definicin,tenemos
Captulo 2Modelado con programacin linealdos de gasolina.De acuerdo con las definiciones dadas antes,obtenemos
Destilacin5:1
Crudo
ON 82Carga de Unidaddedesinte-gracin
Mezcla-dora
x21 x22 x23x11 x12 x13
x11 x21, ON 87x12 x22, ON 89x13 x23, ON 92ON 82ON 98
2:1
1:1
2.4Aplicaciones de programacin linealde las corrientes de entrada utilizadas en el proceso de mezcla,y se calcula como sigue:Por lo tanto,la restriccin del octanaje para la gasolina regular esobienDe este modo,el modelo completo se resume como 2( 5(
x13+x23 Ã9282x12+98x22Ã89(x12+x22)82x12+98x22
x12+x22 Ã8982x11+98x21Ã87(x11+x21)82x11+98x21
x11+x21 Ã87 =82x11+98x21
Carga deOctanaje en laUnidad dede alimentacinbarriles/dadesintegracinbarriles/da
Total de barriles por da de gasolina regularOctanajepromediode la±gasolina regularx13+x2340,000x12+x2230,000
Captulo 2Modelado con programacin linealLas tres ltimas restricciones pueden simplificarse para producir un lado derecho constante.25,000.Esto se traduce a
satisfacer la demanda mxima.La demanda de los productos restantes s se satisface.Hi-V produce tres tipos de jugos enlatados,A,B utilizando fresas,uvas y manzanasfrescas.El abasto diario se limita a 200 toneladas de fresas,100 toneladas de uvas y 150 to-neladas de manzanas.El costo por tonelada de fresas,uvas y manzanas es de $200,$100 y$90,respectivamente.Cada tonelada rinde 1500 lb de jugo de fresa,1200 lb de jugo de uva,y 1000 lb de jugo de manzana.La bebida manzana.La bebida es una mezcla de 1:1:2 de jugo de fresa,jugo de uva y jugo de man-zana.La bebida es una mezcla de 2:3 de jugo de uva y jugo de manzana.Todas las bebi-das se envasan en latas de 16 oz.(1 lb).El precio por lata es de $1.15,$1.25 y $1.20 de las.Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de produccinptima de las tres bebidas,y halle la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.Una ferretera vende bolsas de tornillos,pernos,tuercas y rondanas.Los tornillos vienenen cajas de 100 lb y cuestan $110 cada caja;los pernos vienen en cajas de 100 lb y cuestan$150 cada una;las tuercas vienen en cajas de 80 lb y cada una cuesta $70,y las rondanasvienen en cajas de 30 lb y su costo es de $20 cada caja.La bolsa debe pesar por lo menos1 lb e incluir,en peso,por lo menos 10% de tornillos y 25% de pernos;no ms de 15% detuercas y cuando mucho 10% de rondanas.Para balancear la bolsa,la cantidad de pernosno puede exceder a la de tuercas o la de rondanas.El peso de un perno es 10 veces el deuna tuerca,y 50 veces el de una rondana.Desarrolle un modelo de PL para determinar lacombinacin ptima de la bolsa,y halle la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.All-Natural Coop fabrica tres cereales,a partir de cuatro ingredientes:copos deavena,pasas,coco rayado y almendras fileteadas.Las disponibilidades diarias de los in-gredientes son 5 toneladas,2 toneladas,1 tonelada y 1 tonelada,respectivamente.Loscostos correspondientes por tonelada son $100,$120,$110 y $200.El cereal mezcla de 50:5:2 de avena,pasas y almendras.El cereal avena,coco y almendras.El cereal C es una mezcla de 60:3:4:2 de avena,pasas,coco y al-mendras.Los cereales se producen en tamaos jumbo de 5 lb.All-Natural vende los ce-
2.4Aplicaciones de programacin lineala $2,$2.50 y $3.00 por caja,respectivamente.La demanda diaria mnimaes de 500,600 y 500 cajas,respectivamente.Desarrolle un modelode PL para determinar la mezcla de produccin ptima de los cereales,as como las can-tidades asociadas de ingredientes,y halle la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.2,mezclando cuatro tipos de.El combustible 1:1:2:4,y el combustible 2 incluye la proporcin 2:2:1:3.Los lmites de abasto de son 1000,1200,900 y 1500 barriles/da,respectivamente.Los costos por barril de las gasolinasson $120,$90,$100 y $150,respectivamente.Las combustibles a $200 y $250 por barril,respectivamente.La demanda mnima de rriles/da,respectivamente.Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de pro-,y halle la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.Una compaa petrolera destila dos tipos de petrleo crudo,na regular y premium,y combustible para gasavin.La disponibilidad diaria de petrleocrudo y la demanda mnima de los productos finales estn limitadas.Si la produccin noes suficiente para satisfacer la demanda,proveedores externos surten la cantidad faltantecon una penalizacin.La produccin excedente no se vende de inmediato y se incurre enun costo de almacenamiento.La siguiente tabla proporciona los datos de la situacin:
Fraccin de rendimiento por barril
Crudo
Regular
Premium
Gasavin
Precio/barril ($))
.20.1.25.25.3.105007004005070120234101520
nera,y halle la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.En la situacin de la refinera del problema 5,suponga que de la unidad de destilacinresultan los productos intermedios nafta y aceite ligero.Un barril de crudo barriles de nafta y .6 barriles de aceite ligero,y un barril de crudo de nafta y .5 barriles de aceite ligero.La nafta y el aceite ligero se mezclan para producirlos tres productos de gasolina finales:Un barril de gasolina regular tiene una proporcinde mezcla de 2:1 (nafta a aceite ligero);un barril de gasolina premium tiene una rela-cin de mezcla de 1:1,y un barril de combustible para avin tiene una proporcin demezcla de 1:2.Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de produccin ptima y halle la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.Hawaii Sugar Company produce azcar morena,azcar procesada (blanca),azcar glas,y melazas a partir del jarabe de caa de azcar.La compaa compra 4000 toneladas detoneladas de cada tipo de azcar.El proceso de produccin se inicia con la fabricacin deazcar morena y melaza a partir del jarabe.Una tonelada de jarabe produce .3 toneladasde azcar morena y .1 tonelada de melaza.El azcar blanca resulta de procesar el azcarmorena.Se requiere una tonelada de azcar morena para producir .8 toneladas de azcarblanca.El azcar glas se produce a partir del azcar blanca mediante un proceso de mo-produce .95 toneladas de azcar glas).Las utilidades por tonelada de azcar morena,
Captulo 2Modelado con programacin linealazcar blanca y melaza son $150,$200,$230 y $35,respectivamente.Formule el problemacomo un programa lineal,y determine el programa de produccin semanal utilizandoAMPL,Solver o TORA.La refinera Shale Oil mezcla dos tipos de petrleo,alto octanaje,I y II.Los petrleos barriles/hora,respectivamente.Los octanajes correspondientes son 98 y 89,y las presio-.La gasolina I y la gasolina II deben tener octanajes depor lo menos 91 y 93,respectivamente.La presin de vapor asociada con ambos produc-.Las utilidades por barril de las gasolinas I y II sonde $7 y $10,respectivamente.Desarrolle un modelo de PL para determinar la tasa de.Determine la solucin con AMPL,Solver o TORA (La presin de vapor,al igual que el octanaje,es el promedio ponderado de las presiones de vapor de los petr-leos mezclados.)Una fundidora de acero,aluminio y hierro colado produce dos tipos de lingotes de metal,I y II,con lmites especficos en el contenido de aluminio,grafito y silicio.En el procesociones deseadas.Las siguientes tablas establecen las especificaciones del problema:fundir,y determine la solucin con AMPL,Solver o TORA.Se fabrican dos aleaciones,,con cuatro metales I,II,III y IV de acuerdo con las si-
Contenido (%)
Elemento de entrada
Aluminio
Grafito
Silicio
Costo/tonelada ($)
10541009512150Chatarra de hierro colado01581000090000100380
Lingote I
Lingote II
Ingrediente
Mnimo(%)
Mximo (%)
Mnimo(%)
Mximo (%)Aluminio 8.110.86.28.9Grafito1.53.04.1qSilicio2.5q2.84.1Demanda (toneladas/da)130250
Aleacin
Especificaciones
Mximo 80% de I200
2.4Aplicaciones de programacin linealDesarrolle un modelo de PL para determinar cunto debe producirse de cada tipo,y determi-ne la solucin utilizando AMPL,Solver o TORA.(,y defina 2.4.6Aplicaciones de PL adicionales reas.El conjunto de problemas 2.4F en esta seccin proporciona reas de aplicacinadicionales,que van desde agrcolas hasta militares.anaquel que se asignar a cada uno de los cinco tipos de cereales para el desayuno.Lademanda diaria mxima es de 100,85,140,80 y 90 cajas,respectivamente.El espacio deanaquel en pulgadas cuadradas para las cajas es de 16,24,18,22 y 20.El espacio de ana-.La utilidad por unidad es de $1.10,$1.30,$1.08,$1.25 y $1.20.Determine la asignacin de espacio ptimo para los cinco cereales.Votacin.En cierto condado del estado de Arkansas,en la boleta se presentan cuatro op-ciones a elegir:Construir nuevas carreteras,incrementar el control de armas,aumentarsubsidios a granjas y elevar el impuesto a la gasolina.El condado comprende 100,000 vo-tantes urbanos,250,000 votantes suburbanos,y 50,000 votantes rurales,todos con varia-bles de apoyo y oposicin a los temas de eleccin.Por ejemplo,los votantes rurales seoponen al control de armas y al impuesto a la gasolina,sin embargo estn a favor de laconstruccin de carreteras y de los subsidios a granjas.El condado est planeando unacampaa publicitaria de TV con un presupuesto de $100,000 a un costo de $1500 poranuncio.La siguiente tabla resume el impacto de un solo anuncio en funcin de la canti-
Constituyentes (%)
MineralCantidad mxima
(toneladas)
I
II
III
IV
OtrosPrecio/
110002010303010302200010203030104033000557020
Cantidad esperada de votos a favor (1)
y votos en contra (2
Tema
Urbanos
Suburbanos
Nuevas carreteras30,000Control de armas 80,000Control de smog40,000Impuesto a la gasolina90,000025,000
Una opcin ser ganadora si acumula el 51% de los votos.ÃQu opcin ser aprobadapor los votantes,y cuntos anuncios deben asignarse?
Captulo 2Modelado con programacin lineal.Un producto se ensambla a partir de tres piezas dife-rentes.Dos departamentos fabrican las piezas a diferentes ritmos de produccin,como sela semana.(:Unidades mnimas de ensamble {unidades de la pieza 1,unidadesde la pieza 2,y unidades de la pieza 3}.Maximizar .Se pulverizan y mezclan tres tipos de carbn,C1,C2 y C3 paratricidad.La combustin del carbn emite xido de azufre (en partes por milln) la cualdebe satisfacer las especificaciones de EPA (por sus siglas en ingls) de un mximo de2000 partes por milln.La siguiente tabla resume los datos de la situacin.
Capacidad
Ritmo de produccin (unidades/h)
Departamento
(h/sem)
Pieza 1
Pieza2
Pieza31008
Determine la mezcla ptima de los carbones.Stark y Nichols (1972).El trnsito automotriz de tres carreteras,H1,H2 y H3,debe detenerse y esperar una luz verde antes de salir de una carretera decuota.Las cuotas son de $3,$4 y $5 para los autos que salen de H1,H2 y H3,respectiva-mente.Las proporciones de flujo de H1,H2 y H3 son de 500,600 y 400 autos por hora.Elciclo de los semforos no debe exceder de 2.2 minutos,y la luz verde en cualquier carre-tera debe permanecer encendida por lo menos durante 25 segundos.La luz amarilla per-manece encendida durante 10 segundos.La caseta de cobro puede atender un mximo de510 automviles por hora.Suponiendo que los automviles no se mueven con la luz ama-rilla,determine el intervalo ptimo para la luz verde en las tres carreteras que maximi-zar el ingreso de la caseta de cobro por ciclo de trnsito.10 semanas para principiantes,la velocidad promedio por estudiante (en palabras por mi-,que mejor se ajuste a los datos proporcionados.(de las desviaciones entre laterica y la emprica.Min0.Por otra parte,min Stark y Nichols (1972).de Carreteras de Arkansas est planeando una nueva carretera de 10 millas por un terre-no accidentado como se muestra en el perfil que se muestra en la figura 2.13.El ancho
C1
C2
250015001600Capacidad del pulverizador (ton/h)303030$30$35$33
12345678910Palabras por minuto,591519212426303135
2.4Aplicaciones de programacin linealdel terreno de construccin es aproximadamente de 50 yardas.Para simplificar la situa-cin,el perfil del terreno se puede reemplazar por una funcin escalonada,como semuestra en la figura.Utilizando maquinaria pesada,la tierra removida del terreno alto setransporta para rellenar reas bajas.Tambin hay dos fosos de mina,I y II,ubicados enlos extremos del tramo de 10 millas,de donde se puede extraer ms tierra si es necesario.El foso I tiene una capacidad de 20,000 yardas cbicas,y la del foso II es de 15,000 yardascbicas.Los costos de extraccin de tierra de los fosos I y II,respectivamente,son de$1.50 y $1.90 por yarda cbica.El costo de transportacin por yarda cbica por milla esde $.15,y el costo de utilizar la maquinaria pesada para cargar los camiones es de $.20por yarda cbica.Esto significa que transportar una yarda cbica 1 milla desde el foso I$.35.Desarrolle un plande costo mnimo para nivelar el tramo de 10 millas.Planificacin militar,Shepard and Associates (1988).invadir el territorio defendido por el ejrcito azul (B),el cual tiene tres lneas de defensay 200 unidades de combate regulares,y adems puede echar mano de una reserva de 200unidades.El ejrcito rojo planea atacar en dos frentes,el norte y el sur,y el ejrcito azulestableci tres lneas de defensa este-oeste,I,II y III.El propsito de las lneas de defen-ximizar la duracin total de la batalla.El tiempo de avance del ejrcito rojo se calculason una funcin de la lnea de defensa y el frente norte/sur,
Unidades rojasb
135789
Milla
FIGURA 2.13Perfil del terreno para el problema 7
a
b
I
II
III
I
II
Frente norte.5.75.558.87.910.2Frente sur 1.11.31.510.58.1
Captulo 2Modelado con programacin linealIII.La asignacin de unidades por parte del ejrcito rojo a las tres lneas de defensa se daGestin de calidad del agua,Stark and Nicholes (1972).residuales en la misma corriente de agua.La ciudad 1 est corriente arriba,la ciudad 2 co-rriente abajo;luego la ciudad 3,y finalmente la ciudad 4.Medidas a lo largo de la corrientede agua,las ciudades estn aproximadamente a 15 millas una de otra.Una medida de la(BOD,por sus siglas en ingls),lo cual es el peso del oxgeno requerido para estabilizarlos constituyentes de desecho en el agua.Una BOD ms alta indica una peor calidad delagua.La Agencia de Proteccin Ambiental (EPA,por sus siglas en ingls) establece unacarga de BOD permisible mxima,expresada en lb de BOD por galn.La eliminacin decontaminantes del agua residual se realiza en dos formas:(1) actividad de descomposicinnatural estimulada por el oxgeno en el aire,y (2) plantas de tratamiento en los puntos dedescarga antes de que los desechos lleguen a la corriente de agua.El objetivo es determi-niveles aceptables.La eficiencia mxima posible de la planta es de 99%.Para demostrar los clculos implicados en el proceso,considere las siguientes defi-Velocidad de flujo de la corriente (gal/h) en el tramo de 15 millas que con-Tasa de descarga de BOD (en lb/h)Para satisfacer el requerimiento de carga de BOD en el tramo 1-2,debemos tenerDel mismo modo,la restriccin de carga de BOD en el tramo 2-3 se escribe como descomposicin.Para el tramo 2-3,la restriccin esla restriccin es(-r12)p1(1-x1)+p2(1-x2)]+p3(1-x3)b3Q3(1-r12)p1(1-x1)+p2(1-x2)b2Q211-r122aTasa de descarga de BODen el tramo 1-2en el tramo 2-3
Cantidad de unidades de ataque del ejrcito rojo
Lnea de defensa1
Lnea de defensa2
Lnea de defensa3Frente norteFrente sur
2.4Aplicaciones de programacin lineal
Tramo1Ã2
(i=1)
Tramo2Ã3
(i=2)
Tramo2Ã3
(i=3)
Tramo3Ã4
215,000220,000200,000($/lb de BOD eliminada) .20
Estructura de carga,Stark and Nicholes (1972).ra 2.14 con dos yugos elevadores,se utiliza para transportar concreto mezclado a un te-rreno para colar barreras de concreto.La cubeta de concreto cuelga a la mitad del yugo.cada uno,y cada cable del yugo tienen una capacidad de 20 kips.Determine la capacidadEn equilibrio,la suma de los momentos con res-pecto a cualquier punto de la viga o el yugo es cero.).Considere el problema de asignar aviones a cuatro rutas,
Viga de la gra
W1
W2
2 pies
6 pies
12 pies
2 pies
8 pies
Yugo 1 Yugo 2
Capacidad
Capacidad
Cantidad de viajes diarios en la ruta
Tipo de avin
(pasajeros)
de aviones
1
2
3
32210843320105542100020009001200
Captulo 2Modelado con programacin linealLos costos asociados,incluidas las penalizaciones por la prdida de clientes debidoa la no disponibilidad de espacio,sonDetermine la asignacin ptima de aviones a las rutas,as como la cantidad asocia-da de viajes.Dantzig,G.,y M.Thapa,Linear Programming 1:Introduction,Springer,Nueva York,1997.Fourer,R.,D.Gay,y B.Kernighan,AMPL,A Modeling Language for MathematicalProgramming,2a.ed.,Brooks/Cole-Thomson,Pacific Grove,CA,2003.Laidlaw,C.Praegers,Londres,Lewis,T.,ÃPersonal Operations Research:Practicing OR on OurselvesÃ,Interfaces,vol.26,Nm.5,pgs.34-41,1996.Shepard,R.,D.Hartley,E Hasman,L.Thorpe,y M.Bathe,Applied Operations Research,Press,Nueva York,1988.Stark,R.,y R.Nicholes,Mathematical Programming Foundations for Design:Civil Engineering,McGraw-Hill,Nueva York,1972.
Costo de operacin ($) por viaje en la ruta
Tipo de avin
1
2
3
100011001200150080090010001000600800800900pasajero perdido40504570
69
Aplicacin de la vida real-Optimizacin de la produccin de vlvulas cardiacaspartir de corazones porcinos para implantacin en humanos.Por el lado del suministro,los corazones porcinos no pueden ÃproducirseÃen tamaos especficos.Por otra parte,sa el componente biolgico del corazn del cerdo.En consecuencia,puede haber msexistencias de algunos tamaos y menos de otros.Se desarroll un modelo de PL paratidad de los tamaos cuyas existencias son menores.(Los detalles de este estudio se
presentan en el caso 2 del captulo 26,en ingls,del sitio web).3.1MODELO DE PL EN FORMA DE ECUACIîNTodas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo.Todas las variabzzles son no negativasConversin de las desigualdades en ecuaciones con lado derecho no negativo.modelo de PL econmico,el lado derecho representa la disponibilidad de un recurso,yel izquierdo el uso del recurso por todas las actividades del modelo (variables).Ladel recurso.CAPêTULO 3Mtodo simplex y anlisis
Todos los paquetes comerciales (y TORA) aceptan directamente las restricciones de desigualdad,el ladoderecho no negativo y las variables irrestrictas.Cualquier condicin previa de las restricciones y las variables
70Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadvariable de holguraal lado izquierdo de la restriccin.Por ejemplo,la restriccin A continuacin,una restriccin (econmicas de la programacin lineal,as que la cantidad en la cual el lado izquierdo.As pues,la conversin de (variable de supervit gualdad.Por ejemplo,en el modelo de la dieta (ejemplo 2.2-2),la variable de exceso te sea no negativo.Si el lado derecho resulta negativo,el requerimiento se satisfaceEn el modelo de Reddy Mikks (ejemplo 2.2-1),considere la solucin factible 1 tonelada.Determine el valor de las holguras asociadas para las materiasEn el modelo de la dieta (ejemplo 2.2-2),determine el supervit de alimento compuestoDos productos diferentes,tes,2.El tiempo de procesamiento de cualquier producto en cualquier mquinaes el mismo.La capacidad diaria de la mquina 2,ouna combinacin de ambos),y la capacidad diaria de la mquina 2es de 250 unidades.dades de la cantidad producida en la otra.La utilidad por unidad de 2 es de $15.Plantee el problema como una PL en forma de ecuacin.
3.1Modelo de PL en forma de ecuacinManejo de variables irrestrictas.El uso de una variable irrestricta en un modelo de PLejemplo 2.4-4,donde la variable irrestricta .En el mismo ejemplo,explicamos que la variableEn este caso,representa la cantidad de trabajadores contratados yla de trabaja-dores despedidos.Como se explic en el ejemplo 2.4-4,es imposible (tanto intuitivacomo matemticamente) queasuman valores positivos al mismo tiempo.burguesas con queso.Una hamburguesa cuatro de libra se prepara con un cuatro de librade carne y una hamburguesa con queso se prepara con slo .2 lb de carne.El restaurantepor libra para cubrir el costo de entrega.Toda la carne que sobra al final del da se dona ainstituciones de caridad.Las utilidades de McBurger son de 20 centavos por hamburgue-sa cuarto de libra y de 15 centavos por hamburguesa con queso.McBurger no espera ven-der ms de 900 hamburguesa en cualquier da.ÃCuntas hamburguesas de cada tipo debeplanear McBurger para el da? Resuelva el problema utilizando TORA,Solver o AMPL.En un centro de maquinado se fabrican dos productos.Los tiempos de produccin porunidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos,respectivamente,El tiempo de m-quina regular total es de 2500 minutos por da.En cualquier da,el fabricante puede pro-ducir entre 150 y 200 unidades del producto 1,pero no ms de 45 unidades del producto2.Se puede utilizar tiempo extra para satisfacer la demanda a un costo adicional de $.50por minuto.Suponiendo que las utilidades unitarias de los productos 1 y 2 son de $6.00 y$7.50,respectivamente,formule el problema como un modelo de PL,luego resulvalocon TORA,Solver o AMPLS para determinar el nivel de produccin ptimo de cadaproducto as como tambin cualquier tiempo extra necesario en el centro.JoShop fabrica tres productos cuyas utilidades unitarias son de $2,$5 y $3,respectiva-mente.La compaa presupuest 80 horas de mano de obra y 65 horas de tiempo de m-quina para la produccin de los tres productos.Los requerimientos de mano de obra porunidad de los productos 1,2 y 3 son de 2,1 y 2 horas,respectivamente.Los requerimien-tos de tiempo de mquina por unidad son 1,1 y 2 horas.JoShop considera las horas demano de obra y mquina presupuestadas como metas que pueden ser sobrepasadas,si esnecesario,pero a un costo adicional de $15 por hora de mano de obra y $10 por hora demquina.Formule el problema como una PL y determine su solucin ptima aplicandoTORA,Solver o AMPL.En una PL en la cual hay algunas variables irrestrictas,una transformacin del tipoduplicar la cantidad correspondiente de variables no negativas.
72Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadEn su lugar,podemos reemplazar .Use TORA,Solver o3.2TRANSICIîN DE LA SOLUCIîN GRçFICA A LA ALGEBRAICAsolucin grfica que se muestra en la seccin 2.2.La figura 3.1 compara los dos mto-dos.En el mtodo grfico el espacio de soluciones es la interseccin de los semiplanosque representan las restricciones,y en el mtodo simplex,el espacio de soluciones estvariables no negativas.Podemos visualizar que el espacio de soluciones grficas tiene una infinidad de puntosde solucin,pero Ãcmo sacar una conclusin parecida a partir de la representacinalgebraica del espacio de soluciones? La respuesta es que,en todas las PL no triviales,,por lo que se ob-Transicin de la solucin grfica a la solucin algebraica
3.2Transicin de la solucin grfica a la algebraicaPor ejemplo,la ecuacin ecuaciones,grficas.Se determinan igualando variables restantes,Como con los puntos de esquina,las soluciones factibles bsicas definen por completoa las candidatas para la solucin ptima en el espacio de soluciones algebraicas.
Algebraicamente,el espacio de soluciones de la PL est representado por las siguientes 2 variables restantes.Por ejemplo,si establecemos 0,las).Puede determinarse otro punto con 2),o el punto
m-m
(y las ecuaciones son consistentes),el sistematiene exactamente una solucin.Si ,entonces al menos las ecuaciones dundantes.
74Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadpunto de esquina especfico.Sin el beneficio del espacio de soluciones grficas (el cual est dis-ponible a lo sumo slo con tres variables),no podemos especificar las (asociadas con un punto de esquina dado.Pero eso no nos impide enumerar esquina del espacio de soluciones.Simplemente considere variables son iguales a cero y resuelva las ecuaciones resultantes.Una vez hecho,la solu-(punto de esquina) con el mejor valor objetivo.puntos de esquina.Si examinamos la figura3.2,podemos ver los cuatro puntos de esquina .As que,Ãdnde estn los dos restan-tes? De hecho,los puntos tambin son puntos de esquina;pero son ,y,por con-siguiente,no son candidatos para la solucin ptima.Para completar la transicin de la solucin grfica a la algebraica,las variables no bsicas.Las variables bsicas,y su.La siguientetabla muestra todas las soluciones bsicas y no bsicas de este ejemplo.
2!2! =6
Variables no
bsicas (cero)
Variables bsicas
Solucin bsica
Punto de esquina
asociado
ÃFactible?
Valor
objetivo,(4,5))()NoÃ(2.5,1.5)S7.5(2,3)S4)()NoÃ(1,2)S8
FIGURA 3.2Espacio de soluciones de PL del ejemplo 3.2-1
3.2Transicin de la solucin grfica a la algebraicaComentarios.blema se incrementa,enumerar todos los puntos de esquina se vuelve una tarea prohibitiva.Porejemplo,para que 20,es necesario resolverecuaciones,una tarea abrumadora,sobre todo cuando nos damos cuenta de que una PL de20) es muy pequea (las PL reales pueden incluir miles de variables y restricciones).Elconjunto de todas las posibles soluciones factibles bsicas (puntos de esquina).Esto es lo que
Determine todas las funciones bsicas del problema,y clasifquelas como factibles yno factibles.ma,y de ese modo se concluye que la solucin ptima puede determinarse algebrai-camente considerando slo las soluciones factibles bsicas.soluciones grficas.luciones bsicas.
76Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadfactibles.al mismo tiempo.Resuelva el problema grficamente,y verifique si la solucin obtenida en (c) es la3.3MTODO SIMPLEXde PL (como se hizo en la seccin 3.2),el mtodo simplex investiga slo ÃalgunasÃdeestas soluciones.La seccin 3.3.1 describe la naturaleza del mtodo,y la sec-
3.3Mtodo simplex3.3.1Naturaleza iterativa del mtodo simplexPor lo comn,el mtodo simplex se inicia en el origen (punto ),donde y el valor objetivo,es cero.La pregunta lgica es si un incremento en (o ambas) no bsicas por encima de sus valores actuales de cero puede mejorar (incre-.Podemos responder esta pregunta investigando la funcin objetivo:.El diseo del mtodo simplex no permite el incremento simultneo devariables.En cambio,incrementa .La variable que va a aumentar es la.En el ejemplo presente,el .Por lo tanto elegimos porque un candidato para el ptimo debe ser un punto de esquina).En el punto ,el,el cual es el ptimo.
78Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad.Es importante hacerdel espacio de soluciones,lo cual significa que el mtodo no puede cruzarlo,es decir,irse directamente de En la figura 3.3,suponga que la funcin objetivo se cambia a,Ã,y A,B),(B,D),(E,Hsimplex,y explique la razn.son no negativas.Suponga que CEIJF,BEIHG,,respectivamente.Identifique las variables bsicas y no bsicas asociadascon cada punto de esquina factible del espacio de soluciones.
FJBCAA: (0, 0, 0)B: (1, 0, 0): (0, 1, 0): (0, 0, 1)IEHGDx1
x
2x3
3.3Mtodo simplexseleccione la variable no bsica que conduce al siguiente punto de esquina simplex,y de-3.3.2Detalles de clculo del algoritmo simplexde un ejemplo numrico.
son las holguras asociadas con las restricciones respectivas.De esta manera,la tabla inicial simplex se representa como sigue:
Bsica
z
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Solucin
z
1
-5
-4
0
0
0
0
0
Fila 064100024Fila s01201006Fila s100101Fila s00100012Fila s
El diseo de la tabla simplex provee automticamente la solucin en la iteracin inicial.La(0,0),por lo que () como las variables bsicas.La variable objetivo
80Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadaparecen en la columna de la extrema izquierda (Bsica).Los lados derechos de las ecuacionesdel modelo dan sus valores,como se muestra en la columna de la extrema derecha (Solucin) dela tabla;es decir,2.El resultado puede verse igualando las va-las diagonales son 1,y todos los elementos fuera de las diagonales son 0).no bsica por encima de cero..De forma equivalente,en la tabla simplex donde la funcin objetivo0,la variable seleccionada es la variable no bsica con el coefi-en la ecuacin objetivo.Esta regla define la llamada dad simplex.En la terminologa del algoritmo simplex,variable de es la variable de entrada,una de las variables bsicas actuales debe salir;es decir,se).La mecnica para determinar la variable de salidarelacio-,como se muestra
Bsica
x1
entrante
Solucin
Relacin (o interseccin)s1624x1= 24
6 =4 ;mnimos216x1= 6
(denominador negativo,ignorar)
(denominador cero,ignorar)
0 =qConclusin:x1entra (en el nivel 4) y x2sale (en el nivel cero)
(variable de entrada).Podemos ver que el valor de .Cualquier incremento ms all de no es factible.En el punto ,la varia-.La regla asociada con las relaciones calculadas se conoce como tibilidad simplex se determina ÃintercambiandoÃla variable de entrada Variables no bsicas (cero) en Variables bsicas en operaciones de filas de Gauss-Jordan.Identifica la co-columna pivote
3.3Mtodo simplex
EntraT
Bsica
z
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Solucin
00004100024Fila pivote0120100100100010001
auss-Jordan necesarios para obtener la nueva solucin bsica son de dostipos.Fila pivote actual vote.La interseccin de la columna pivote y la fila pivote se conoce como elemento pivote.La si-guiente tabla es un replanteamiento de la tabla inicial con sus filas y columnas pivote resaltadas.
82Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadTodas las dems filas,incluyendo z (Fila actual) Fila Fila Fila Fila Fila ),y la nueva tabla es
3 1
6 0 0 0 4) =(0 0 5
3 1
6 0 1 0 5) =(0 -1 1 0 0 1 0 1)-(-1)*(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) =(0 0 4
3 -1
6 1 0 0 2) =(0 1 2 0 1 0 0 6)-(1)*(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) =(1 0 -2
3 5
6 0 0 0 20) =(1 -5 -4 0 0 0 0 0)-(-5)*(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) =(0 1 2
3 1
6 0 0 0 4) = 1
6 (0 6 4 1 0 0 0 24)TBsicazx1x2s1s2s3s4Solucinz10-2
35
00020
31
0004
3-1
1002
31
010500100012
Observe que la estructura de la nueva tabla es similar a la de la tabla inicial,en el sentido deque los coeficientes de las restricciones de la variable bsica forman una matriz de identidad.Porconsiguiente,cuando igualamos las nuevas variables no bsicas a cero,la columna
3.3Mtodo simplexdicionamientoÃde la tabla es el resultado de la aplicacin de las operaciones de filas de Jordan.El nuevo valor objetivo es 20,el cual es consistente con Por otra parte,En la ltima tabla,la es la variable de entrada.La
Bsica
Entrante
x2
Solucin
Relacinx12
34x2=4, 2
3 =6s24
32x2=2, 4
3 =1.5 (mnima)s35
35x2=5, 5
3 =3s412x2=2,1=2
Por lo tanto,sale de la solucin bsica,y el nuevo valor de es 1.5.El incremento correspon-de entrada,se aplican las siguientes ope-auss-Jordan:Fila Fila Fila () Fila () Fila
32
3(-2
3)4
32
3 x2= 2
3 *1.5=1,
A lo largo de mi experiencia acadmica,he notado que si bien los estudiantes son capaces de realizar los te-diosos clculos del mtodo simplex,al final algunos no pueden decir cul es la solucin.Para ayudar a ven-cer esta dificultad potencial,se hace un esfuerzo por ÃleerÃla solucin de la PL por la tabla.
Bsica
z
x1
x2
s1
s2
s3
s4
100
41
0021010
4-1
001
83
4003
000
8-5
4105
000
8-3
4011
2
84Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadson negativos.De ahLa solucin ptima puede leerse en la tabla simplex de la siguiente manera.Los valores p-La solucin tambin da el estado de los recursos.Un recurso se designa como variable de holgura asociada es cero,es decir,las actividades (variables) del modelo consumie-ron el recurso por completo.De lo contrario,si la holgura es positiva,entonces el recurso esabundante.La siguiente tabla clasifica las restricciones del modelo:
Variable de decisin
Valor ptimo
Recomendacin x13Producir 3 toneladas diarias de pintura para exteriores x23
2Producir 1.5 toneladas diarias de pintura para interioresz21La utilidad diaria es de $21,000
Recurso
Valor de holgura
EstadoMateria prima,M1s1=0EscasoMateria prima,M2s2=0EscasoLmite del mercados3=5
2AbundanteLmite de la demandas4=1
2Abundante
Comentarios.,el cual determina las condiciones que mantendrn la solucin ac-tual sin cambios.,el cual determina la nueva solucin ptima cuando cambian los datosdel modelo.
La seccin 3.6 se ocupa del anlisis de sensibilidad.El anlisis postptimo se trata en el captulo 4.
auss-Jordan son tediosos,voluminosos y,sobre todo,aburridos.No obstante,esto no tiene importancia porque en la prctica la computadora realiza estos clculos.Lo impor-funciona el mtodo simplex.La opcin interactiva de TORA (con retroalimentacin instantnea),puede ser de ayuda porque le permiteespecificar el curso de los clculos simplex (es decir,determinar las variables de entrada y de sa-auss-Jordan.Para utilizar TORA con el problema deReddy Mikks,ingrese el modelo y luego,en el men .(La seleccin All-Slack indica que la so-lucin bsica inicial se compone de slo variables de holgura.Las opciones restantes se pre-sentarn en las secciones 3.4,4.3,y 7.4-2).A continuacin,haga clic en el botn.Puede generar una o todas las iteraciones haciendo clic en las opciones.Si opta por generar las iteraciones de una en una,puede es-
All Iterations
Next Iteration
Go To Output Screen
All-SlackQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve
SOLVE/MODIFY
3.3Mtodo simplexzados de sus columnas y filas respectivas.Si sus selecciones son correctas,la columna se torna de
color verde y la fila de color rojo.De lo contrario,aparece un mensaje de error.3.3.3Resumen del mtodo simplex Hasta ahora nos hemos ocupado del caso de maximizacin.En problemas de minimi-zacin,la en la ecuacin objetivo,la regla exacta opuesta del caso de maximizacin.Esto obedece a que mx ).En cuanto a la lida,la regla no cambia..Los vnculos se rompen arbitrariamente.El ptimo se alcanza en la iteracin enTanto en problemas de maximizacin como de minimiza-cin,la variable de salida es la variable estrictamente positivo.Los vnculos se rompen arbitrariamente.Operaciones de filas de Gauss-JordanFila pivote actual Todas las dems filas,incluida la z(Fila actual) Paso 0.Paso 1.Detngase si no hay variable de entrada;la ltima condicin es ptima.Deotro modo,prosiga con el paso 2.Paso 2.Paso 3.auss-Jordan para determinar la nueva solucin bsica.Vaya al paso 1.dad simplex.En la primera tabla del ejemplo 3.3-1 utilizamos la prueba de relacin mni-ma (no negativa) para determinar la variable de salida.La condicin garantiza la factibi-
86Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadestipulado por la definicin de la PL).Para demostrar este punto,haga que ,en lugar de,salga de la solucin bsica,y realice los clculos de auss-Jordan.En la tabla simplexresultante,Resuelva el problema para cada una de las siguientes funciones objetivo.,Ã,y una solucin factible bsica inicial dada.Suponga que sica.ÃCules de las variables bsicas dadas deben volverse no bsicas al nivel cero paragarantizar que todas las variables permanezcan no negativas,y cul es el valor de Jordan),y justifique la respuesta en funcin de las soluciones bsicas del mtodo,y justifique el mtodo de solucin en fun- 2
3.3Mtodo simplexUna solucin bsica se compone de slo una variable.)La siguiente tabla representa una iteracin simplex especfica.Todas las variables son nonegativas.La tabla no es ptima en cuanto a maximizacin o minimizacin.Por lo tanto,cuando una variable no bsica entra en la solucin,puede o incrementar o reducir bien dejarla como estaba,segn los parmetros de la variable no bsica de entrada.
Bsica
X1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
00620310
Clasifique las variables como bsicas y no bsicas,y proporcione los valores actualesde todas las variables.Suponiendo que el problema fuera del tipo de maximizacin,identifique las varia-.Si cada una de esasvariables entra en la solucin bsica,determine la variable de salida asociada,si lahay,y el cambio asociado de .No utilice operaciones de filas de auss-Jordan.,identifique la trayectoria que con-ptimo.problema 7,conjunto 3.3b
88Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadDetermine la variable de entrada,las relaciones correspondientes de la condicin defactibilidad,y el cambio del valor de ,suponiendo que la iteracin inicial ocurre enRepita (b),suponiendo que la funcin objetivo fuera Resuelva el problema mediante el mtodo simplex,donde la variable de entrada esResuelva el problema mediante el algoritmo simplex,seleccionando siempre la variableCompare la cantidad de iteraciones en (a) y (b).ÃConduce la seleccin de la variable1.ÃCmo afecta este cambio a las iteraciones de simplex?En el ejemplo 3.3-1,muestre cmo puede determinarse el segundo mejor valor ptimoutchi Company fabrica bolsos de mano,bolsos para rasuradora y mochilas.La elabora-cin incluye piel y materiales sintticos,y la piel es la materia prima escasa.El proceso deproduccin requiere dos tipos de mano de obra calificada:costura y acabado.La siguien-te tabla da la disponibilidad de los recursos,su consumo por los tres productos y las utili-
Requerimientos de recursos por unidad
Recurso
Bolsos
de mano
Bolsos para
rasuradora
Mochilas
213Precio de venta ($)24
3.4Solucin artificial inicialFormule el problema como un programa lineal,y halle la solucin ptima (utiliceTORA,Excel,Solver oAMPL).A partir de la solucin ptima,determine el estado de cada recurso.Experimento con TORA.Aplique la opcin de iteraciones de TORA para determinar la tabla ptima.Seleccione cualquier variable no bsica para que ÃentreÃen la solucin bsica,y hagaclic en la opcinpara producir la iteracin asociada.ÃCmo se comparaes ptima porque ninguna de las variables no bsicas puede mejorar el valor objetivo.Experimento con TORA.En el problema 12,utilice TORA para determinar la siguiente3.4SOLUCIîN ARTIFICIAL INICIALComo se demostr en el ejemplo 3.3-1,las PL en las que todas las restricciones son (cial con todas las holguras.Los modelos que implican restricciones (El procedimiento para iniciar PLs de Ãmal comportamientoÃcon restriccionesvariables artificialesprimera iteracin,y que luego se desechan en una iteracin posterior.Aqu se presen-tan dos mtodos estrechamente relacionados:el mtodo ,y el mtodo de dos fases.3.4.1Mtodo se inicia con la PL en forma de ecuacin (seccin 3.1).Si la ecuacin tiene una holgura (o una variable que pueda desempear el papel de una),se agrega,para formar una solucin inicial parecida a la solucin bsicade total holgura.Sin embargo,las variables artificiales no forman parte del problemaoriginal,y se requiere un ÃartificioÃde modelado para igualarlas a cero en el momentofactible).La meta deseada se logra
Next Iterationx1, x2, x3, x4Ã0 -x1 +x3+2x40 2x1+3x2-2x3+3x43 5x1-2x2+6x48 x1+2x2-3x3+5x44Maximizar =x1+x2+3x3+2x4
,una de las tcnicas de PL ms antiguas,nunca se utiliza en cdigos comerciales debido a suinherente error de redondeo.En su lugar se prefiere el mtodo de dos fases (seccin 3.4.2).Sin embargo,eluso de penalizaciones,como lo anticipa el mtodo ,es un importante concepto en muchas instancias de
90Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad
holgura en la tercera restriccin,el problema en forma de ecuacin es,pero la primera y segunda ecuacionesno.Por lo tanto,agregamos las variables artificiales (porque estamos minimizando).La PL re-(3,6,4)Desde un punto de vista de clculo,la solucin del problema con la computadora requierecon un valor numrico (suficientemente grande).No obstante,en todos los li-bros de texto,incluidas las siete ediciones de este libro,simplex.El resultado es una dificultad agregada innecesaria la cual puede evitarse sustituyendo
,un valor positivo suficientemente grande (matemticamente(),el
Coeficiente objetivo de la variable artificial=e-M, en problemas de maximizacin M, en problemas de minimizacin
3.4Solucin artificial inicialdo usamos la computadora).Nos apartamos de la larga tradicin de manejar te y utilizar una sustitucin numrica en su lugar.La intencin es,desde luego,simplificar la pre-original.Recordemos que la penalizacin Al mismo tiempo,como las computadoras son la herramienta principal para resolver PLs,no eserror de redondeo.En este ejemplo,los coeficientes objetivo de son 4 y 1,respectivamen-te,y parece razonable establecer 100,la tabla simplex de inicio se da como sigue (por comodidad,la colum-
Bsica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Solucin
z
-4
-1
0
-100
-100
0
10100301061200014
Tcnicamente,el mtodo numricamente.En su lugar,el coeficiente en la fila ob-.La comparacin de las dos expresiones algebraicas se basar entonces en condiciones que implican slo.La razn por la que no se utiliza en la prctica es la potencialmente tremenda carga deAntes de proseguir con los clculos del mtodo simplex,la fila con el resto de la tabla.El lado derecho de la fila Sin embargo,dada la solucin no bsica 0,la solucin bsica actual es 4,la cual da 900.Esta inconsistencia se deriva delsolucin de inicio de total holgura en el ejemplo 3.3-1,donde los coeficientes en la fila Para eliminar la inconsistencia,tenemos que sustituir Por tanto,la tabla modificada (Ãcomprubelo!) es:
Bsica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
696399000900310100010120001
92Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad900,como se deseaba.de simplex,tal como se explic en la seccin 3.3.2.Dado que la funcin objetivo se minimiza,la696) entra en la solucin.La rela-Una vez que se han determinado las variables de entrada y de salida,la nueva tabla secalcula utilizando las conocidas operaciones de Gauss-Jordan.
Bsica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Solucin
z
0
167
-100
-232
0
0
204x111
301
3001R205
3-1-4
3102x405
30-1
3013
son las variables de entrada y de salida,respectivamen-te.Continuando con los clculos simplex,se requieren dos iteraciones ms para alcanzar el pti-(Ãcomprubelo con TORA!).se salen de la solucin bsica (es decir,sehacen iguales a cero) en la primera y segunda iteraciones,un resultado que es consistente con elconcepto de penalizarlas en la funcin objetivo.Comentarios.cin simplex final si la PL no tiene una solucin factible (es decir,las restricciones no puedensatisfacerse al mismo tiempo).En este caso,la iteracin simplex final incluir al menos una varia-
bleartificial con un valor positivo.En la seccin 3.5.4 se explica esta situacin.Experimento con TORA.mdulo(archivo).Compare el efectoen la solucin.ÃQu conclusin se puede sacarEn el ejemplo 3.4-1,identifique la tabla de inicio en cada uno de los siguientes casos (in-
Mtodo de TORAQ
Iterationsx1= 2
5 , x2= 9
5 , z= 17
5
3.4Solucin artificial inicialEn cada uno de los siguientes problemas,desarrolle la fila sujeto a (1),(3) y (4).sujeto a (1),(2) (4) y (5).sujeto a (3),(4) y (5).sujeto a (1),(2) y (5).bles artificiales.Sugerencia:xdesempean el papel de variables holgura.La diferen-cia principal es que tienen coeficientes objetivo no cero.)como variables factibles bsicas de inicio.utilice variables artificiales. (1)
94Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidaddesempea el papel de una holgura.Por lo tanto,no se requiere ningunavariable artificial en la primera restriccin.En la segunda restriccin,se requiere una va-.Resuelva el problema con como variables de inicio.tiene una solucin factible.3.4.2Mtodo de dos fases,el uso de la penalizacin,,puede conducir a un error de redondeo..Como su nombre lo indica,elmtodo resuelve la PL en dos fases;en la fase I se trata de encontrar la solucin factiblebsica inicial y,si se halla una,se invoca la fase II para resolver el problema original.
FaseI.Ponga el problema en forma de ecuacin y agregue las variables artificia-para tener la certeza de una solucin bsica.A continuacin,determinesuma de las variables artificiales,independientemente de si la PL es demaximizacin o minimizacin.Si el valor mnimo de la suma es positivo,elproblema de PL no tiene una solucin factible.De lo contrario,si el valormnimo es cero,prosiga con la fase II.FaseII.
cial para el problema original
3.4Solucin artificial inicial
Fase I
Bsica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Solucinr000-1-100R13101003R243-10106x41200014
se utiliza para resolver la fase I del problema,la cual da por resultado la si-):de TORA:
Two fase MethodQ
Iterations
Bsica
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Solucinr000-1-100x1101
53
5-1
503
5x201-3
5-4
53
506
5x40011-111
0,la fase I produce la solucin factible bsica,y .En este punto,las variables artificiales ya completaron su misin,y podemos eliminar sus co-Fase IIDespus de eliminar las columnas artificiales,escribimos el problema
5x1=3
5
96Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadEn esencia,la fase I ha transformado las ecuaciones de restricciones originales de tal forma queproporciona una solucin factible bsica inicial para el problema,si es que existe una.La tabla
5 x3 = 6
5 x1 + 1
5 x3 = 3
5
Bsica
x1
x2
x3
x4
Solucinz-4-1000x1101
503
5x201-3
506
00111
Una vez ms,como las variables bsicas ,deben ser sustituidas,mediante las siguientes operaciones.
Bsica
x1
x2
x3
x4
Solucinz001
5018
5x1101
503
5x201-3
506
5x400111
Como estamos minimizando,debe entrar en la solucin.La aplicacin del mtodo simplex
producir el ptimo en una iteracin (comprubelo con TORA).Comentarios.(como lo ilustra el ejemplo 3.4-2).Si una o ms) al final de la fase I,entonces su eliminacin requiere losPaso 1..La variable de entrada puede ser
3.4Solucin artificial inicial(positivo o negativo) en la fila pivote.Paso 2.Elimine la columna de la variable artificial (que acaba de salir) de la tabla.Si ya se eli-minaron todas las variables artificiales,contine con la fase II.De lo contrario,regreseelemento pivote es positivo o negativo.Los problemas 5 y 6,conjunto 3.4b ilustran esta situa-cin.El problema 7 da un detalle adicional sobre los clculos de la fase I.En la fase I,si la PL es del tipo de maximizacin,explique por qu no maximiza la sumaPara cada uno de los casos del problema 4,conjunto 3.4a,escriba la funcin objetivo co-Resuelva el problema 5,conjunto 3.4a,por el mtodo de dos fases.Escriba la fase I para el siguiente problema,y luego resulvalo (con TORA por comodi-dad) para demostrar que el problema no tiene una solucin factible.(puede utilizar TORA por comodidad).Elimine la variable artificial cero antes de iniciar la fase II;luego realice las iteraciones.
98Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadsica (use TORA por comodidad).fase I,slo una de las dos variables artificiales cero puede hacerse no bsica.puede hacerse bsica en (b) debe ser redundante;por consiguiente,su fila y colum-positivos al final de la fase II.Por consiguiente,concluimos que sus columnas pueden eli-minarse antes de que iniciemos la fase II.En esencia,la eliminacin de estas variables re-2,lo que indica que es necesario
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
R
101
3.5Casos especiales en el mtodo simplex3.5CASOS ESPECIALES EN EL MTODO SIMPLEXde tales situaciones,3.5.1DegeneracinAl aplicar la condicin de factibilidad del mtodo simplex,se puede presentar un em-pate por la relacin mnima,el cual puede romperse arbitrariamente.Cuando esto su-cede,al menos una variable ser cero en la siguiente iteracin,y se dice que la,y que el algoritmo nunca se termine.La condicin tambin revela que
Ejemplo 3.5-1(Solucin ptima degenerada),las tablas de solucin son empatan como la variable de salida,lo que provoca degeneracin enasume un valor cero.El ptimo se alcanza en una iteracin ms..
Iteracin
Bsica
x1
x2
x3
x4
14101201
409
4018x1entrax21
411
402x4salex41
20-1
2102(ptimo)z003
23
218x2011
2-1
22x110-120
100Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad
Comentarios.ÃCul es la implicacin prctica de la degeneracin? Al examinar la solucin grfica en la2).Como ste es unproblema bidimensional,el punto est ,y una de las restricciones es re-dundante.En la prctica,el simple conocimiento de que algunos recursos son superfluospuede ser valioso durante la fase de implementacin de la solucin.La informacin tam-bin permite descubrir irregularidades en la construccin del modelo.Por desgracia,noDesde el punto de vista terico,la degeneracin puede provocar .En las iteracio-nes simplex 1 y 2,el valor objetivo no mejora (180),y por lo tanto es posible que el m-objetivo ni satisfacen la condicin de optimalidad (vea el problema 4,conjunto 3.5a).Aun-que haya mtodos para eliminar el ciclado,stos reducen drsticamente los clculos.Aun cuando quiz un modelo de PL no se inicie con restricciones redundantes (en el sen-tido directo que se muestra en la figura 3.7),el error de redondeo provocado por la compu-del proceso de solucin de una PL de la vida real.En esos casos las iteraciones se Ãde-tendrnÃen un punto de solucin,como si imitaran un ciclado.Los cdigos comerciales tra-
Considere el espacio de soluciones grficas que se muestra en la figura 3.8.Suponga que.Adems,su-do simplex hacia el punto ptimo.zar la solucin ptima,suponiendo que no hay ciclado.
Por lo general la redundancia implica que las restricciones pueden eliminarse sin afectar el espacio de solu-ciones factible.Un ejemplo a veces citado es 0,donde la eliminacin de cualquier res-triccin cambiar el espacio factible desde un punto nico a una regin.Basta decir que esta condicin escierta slo si el espacio de soluciones se compone de un solo punto factible,una ocurrencia sumamente im-Vea Bland R.,ÃNew Finite Pivoting for the Simplex MethodÃ,Mathematics of Operations Research,vol.2,nm.,2,pgs.103-107,1977.
3.5Casos especiales en el mtodo simplexEspacio de soluciones del problema 1,conjunto 3.5a
(puede utilizar TORA por comodidad).Verifique el resultado resolviendo el problema con el mdulo grfico de TORA.Experimento con TORA.Considere la PL en el problema 2.Use TORA para generar las iteraciones simplex.ÃCuntas iteraciones se requierenIntercambie las restricciones (1) y (3) y vuelva a resolver el problema con TORA.Explique por qu los nmeros de iteraciones en (a) y (b) son diferentes.Experimento con TORA.Considere la siguiente PL (escrita por E.M.Beale para demos-
2x1-12x2-1
2x3+3x401
4x1-8x2-x3+9x40Maximizar = 3
4x1-20x2+ 1
2 x3-6x4x1, x2Ã04x1+x284x1+3x2124x1-x28Maximizar =3x1+2x2
102Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadde TORA,seleccione las opciones.A continuacin,ÃrecorraÃlas iteraciones simplex sucesivas,porque entonces el m-todo simplex entrar en un proceso de ciclado durante un tiempo indefinido).Notarde forma idntica en la iteracin 6.Este ejemplo ilustra la ocurrencia de ciclado en lasptima.(Lo interesante en este ejemplo es que si todos los coeficientes en esta PL seconvierten en enteros,el ciclado no ocurre.ÃHaga la prueba!).3.5.2îptimos alternativosno redundante (es decir,una restriccin que se satisface como una ecuacin en la solucin ptima).El siguienteejemplo demuestra la importancia prctica de tales soluciones.
Ejemplo 3.5-2(Cantidad infinita de soluciones)do la funcin objetivo es paralela a una restriccin obligatoria.Cualquier punto sobre el
All iterations
Next iteration
All-slackQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve
SOLVE/MODIFYFIGURA 3.9îptimos alternativos de PL en el ejemplo 3.5-2
3.5Casos especiales en el mtodo simplex
Iteracin
Bsica
x1
x2
x3
x4
1210511014002010
211
205
2salex4x41
20-1
213
002010011
ra 3.9).La existencia de un ptimo alternativo puede detectarse en la tabla ptima examinandobsicasde la ecuacin .El coeficiente cero de la puede hacerse bsica,modificando los valores de las variables bsicas sin cambiar.La iteracin 2 hace justo eso,aplicando salida,respectivamente.El nuevo punto de solucin ocurre en cin ÃIterationsÃde TORA permite determinar un ptimo alternativo.) El mtodo simplex determina slo puntos de esquina ptimos;es decir,los puntos en el presente ejemplo.Podemos determinar de manera matemtica todos los puntos (1),de lo que se concluye Comentarios.En la prctica,los ptimos alternativos son tiles porque podemos elegir deentre muchas soluciones sin que se deteriore del valor objetivo.Digamos que en este ejemplo lamuestra que la actividad 2 slo est en un nivel positivo;en cambio,en actividades estn en un nivel positivo.Si el ejemplo representa una situacin de combinacin de
productos,puede ser ventajoso comercializar dos productos en lugar de uno.Para la siguiente PL,identifique tres soluciones bsicas ptimas alternativas que com-
2B+11-a2=1+3
2 ar, 0a1B (x1=0, x2=5
2)x1=0, x2= 5
2 Las iteraciones del modelo se dan en la siguiente tabla.
104Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad:Aun cuando el problema tiene ms de tres soluciones ptimas bsicas alternativas,slo necesita identificar tres de ellas.Puede utilizar TORA por comodidad.A partir de la tabla ptima,demuestre que no todos los ptimos alternativos son puntosde esquina (es decir,no bsicos).Provea una demostracin grfica bidimensional del tipo de espacio de soluciones y de funcin objetivo que producir este resultado.(Puedeutilizar TORA por comodidad.) nes alternativas no son puntos de esquina (puede utilizar TORA por comodidad).3.5.3Solucin no acotadaEn algunos modelos de programacin lineal,el espacio de soluciones es por lo menos una variable,es decir que las variables pueden incrementarse de formaindefinida sin violar ninguna de las restricciones.En este caso el valor objetivo asocia-do tambin puede ser no acotado.construido.La irregularidad ms probable en tales modelos es que no se han tomadoen cuenta algunas restricciones clave.Otra posibilidad es que las estimaciones de loscoeficientes de las restricciones quiz no sean precisas.
3.5Casos especiales en el mtodo simplex
Ejemplo 3.5-3(Valor objetivo no acotado)En la tabla de inicio,tanto ,lo quesignifica que al incrementarse sus valores tambin lo har el valor objetivo.Aunque ms negativo),observamos que 0;lo que significa que ma en la figura 3.5).El resultado es que puede incrementarse indefinidamente.La figura 3.10nidamente.
Bsica
x1
x2
x3
x4
10100140
FIGURA 3.10Solucin no acotada de PL en el ejemplo 3.5-3
106Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadComentarios.inicio (conforme a la condicin de optimalidad),a fin de cuentas,una iteracin posterior habra.Vea el problema 1,
conjunto 3.5c.Experimento con TORA.Resuelva el ejemplo 3.5-3 aplicando la opcinde TORAa la condicin de optimalidad),el algoritmo simplex finalmente apuntar hacia una solu-Inspeccionando las restricciones,determine la direccin (cio de soluciones sea no acotado.Sin ms clculos,Ãqu puede concluir con respecto al valor objetivo ptimo?En algunos modelos de PL mal construidos,el espacio de soluciones puede ser no acota-do aun cuando el problema pueda tener un valor objetivo acotado.Semejante ocurrenciaapunta hacia posibles irregularidades en la construccin del modelo.En problemas gran-des,puede ser difcil detectar la situacin de ÃacotacinÃpor inspeccin.Idee un procedi-miento analtico para determinar si el espacio de soluciones es no acotado.3.5.4Solucin no factibleLos modelos PL con restricciones inconsistentes no tienen una solucin factible.Estagativos porque las holguras proporcionan una solucin factible obvia.Para otros tiposde restricciones,se utilizan variables artificiales penalizadas para iniciar la solucin.Sien la iteracin ptima,entonces la PL notiene una solucin factible.Desde el punto de vista prctico,un espacio no factible
Ejemplo 3.5-4(Espacio de soluciones no factibles)
Iterations
3.5Casos especiales en el mtodo simplex,la siguiente tabla proporciona laiteracin simplex del modelo.4),es decir que laPL es no factible.La figura 3.11 ilustra el espacio de soluciones no factibles.Al permitir quela variable artificial sea positiva,el mtodo simplex de hecho ha invertido la direccin de la de-12 (Ãpuede explicar cmo?).El resultado es lo que po-
*Toolco produce tres tipos de herramientas,3.Las herramientas utilizan dosmaterias primas,2,segn los datos que aparecen en la siguiente tabla:
x1x2
Solucinseudo ptima0
z 3x1 2x23x1 4x2 122x1 x2 2
Iteracin
Bsica
x1
x2
x4
x3
R
10000210105010100402021010
3562534
108Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad2 son 1000 unidades y 1200 unidades,res-pectivamente.La investigacin del mercado muestra que la demanda diaria de las tres he-rramientas debe ser por lo menos de 500 unidades.ÃPuede satisfacer la demanda el depar-tamento de fabricacin? Si no,Ãcul es la mxima cantidad que Toolco puede producir?Experimento con TORA.una variable bsica artificial,pero en el nivel cero.ÃTiene el problema una solucin pti-3.6ANçLISIS DE SENSIBILIDADEn PL,los parmetros (datos de entrada) del modelo pueden cambiar dentro de ciertoslmites sin que cambie la solucin ptima.Esto se conoce como y ser el tema de esta seccin.Ms adelante,en el captulo 4 estudiaremos el anlisis,el cual tiene que ver con la determinacin de la nueva solucin ptimala solucin grfica,y despus se extienden al problema general de PL con base en los3.6.1Anlisis de sensibilidad grficaEsta seccin demuestra la idea general del anlisis de sensibilidad.Se considerarn dosUtilizaremos ejemplos individuales para explicar los dos casos.
Ejemplo 3.6-1(Cambios en el lado derecho)JOBCO fabrica dos productos en dos mquinas.Una unidad del producto 1 requiere 2 horas enla mquina 1,y 1 hora en la mquina 2.Una unidad del producto 2 requiere 1 hora en la mqui-na 1,y 3 horas en la mquina 2.Los ingresos por unidad de los productos 1 y 2 son de $30 y $20,respectivamente.El tiempo de procesamiento diario total disponible en cada mquina es de8 horas.
MQ
Iterationsx1, x2, x3Ã03x1+4x2+2x3Ã82x1+ x2+x32Maximizar z=3x1+2x2+3x3
3.6Anlisis de sensibilidadson las cantidades diarias de unidades de los productos 1 y 2,respectivamente,elquina 1.Si la capacidad diaria se incrementa de 8 a 9 horas,el nuevo ptimo se mover al punto.La tasa de cambio en la
1Cambio de la capacidad2=142-128
$14/h
FIGURA 3.12Sensibilidad grfica de la solucin ptima a cambios en la disponibilidad de recursos (lado derecho de las restricciones)
110Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidady sus resultados (ingreso total).Se dice que un incremento unitario (reduccin) en la capacidadvalor unitario de un recurso de la funcin objetivo por cambio unitario de un recurso.No obstante,los primeros desarrollos deprecio dual (,y ahora este nombre es un estn-dar en toda la literatura de PL y en paquetes de ÃsoftwareÃ.La presentacin en este libro se ajus-ta a este estndar..Calculamos las capacidades de laCalculamos las capacidades de laB5(0.267)] 52 30 11 32.67 52.67 hCapacidad mxima de la mquina 1 [en F5(8,0)] 52 38 11 30 516 hLa conclusin es que el precio dual de $14/h permanece vlido en el intervalo2.67 h #Capacidad de la mquina 1 #16 hLos cambios fuera de este intervalo producen un precio dual diferente (valor por unidad).Elaborando clculos similares podemos verificar que el precio dual para la capacidad de lamquina 2 es de $2.00/h,y que no cambia cuando su capacidad se mantiene dentro del segmen-.Ahora,Ahora,D5(4,0)] 51 34 13 30 54 hCapacidad mxima de la mquina 2 [en E5(8,0)] 51 30 13 38 524 hPor lo tanto,el precio dual de $200/h para la mquina 2 no cambia dentro del intervalo intervalos de factibilidad.Todoslos paquetes de ÃsoftwareÃproporcionan informacin sobre los precios duales y sus intervalos defactibilidad.La seccin 3.6.4 muestra cmo generan esta informacin AMPL,Solver y TORA.Los precios duales permiten tomar decisiones econmicas sobre el problema de PL,comoPregunta 1.Si JOBCO puede incrementar la capacidad de ambas mquinas,Ãcul mquinaSegn los precios duales para las mquinas 1 y 2,cada hora adicional de la mquina 1 in-Por lo tanto,la m-Pregunta 2.$10/h para cada mquina.ÃEs esto aconsejable?Para la mquina 1,el ingreso neto adicional por hora es 14 $4,y para la mquina 2,$8.Por consiguiente,slo la mquina 1 debe considerarse para el incremento dePregunta 3.Si la capacidad de la mquina 1 se incrementa de 8 a 13 horas,Ãcmo impactarEl precio dual para la mquina 1 es $14 y es vlido en el intervalo (2.67,16)h.El incrementopropuesto de 13 horas queda comprendido dentro del intervalo de factibilidad.Por consiguien-te,el incremento del ingreso es $14(13 $70,lo que significa que el ingreso total se incre-
3.6Anlisis de sensibilidadPregunta 4.Suponga que la capacidad de la mquina 1 se incrementa a 20 horas,Ãcmo afec-El cambio propuesto queda fuera del intervalo de factibilidad (2.67,16)h.Por lo tanto,slopodemos hacer una conclusin inmediata con respecto a un incremento hasta de 16 horas.Msall de eso,se requieren ms clculos para hallar la respuesta (vea el captulo 4).Recuerde quePregunta 5.Los valores ptimos de las variables cambiarn.Sin embargo,el procedimiento para deter-
minar estos valores requiere ms clculos,como se demostrar en la seccin 3.6.2.Una compaa fabrica dos productos,.Los ingresos unitarios son $2 y $3,respecti-vamente.Las disponibilidades diarias de dos materias primas,2,utilizadas en lafabricacin de los dos productos son de 8 y 18 unidades,respectivamente.Una unidad de2,y una unidad de unidad.ÃRecomendara la compra adicional? 2 se incrementa en 5 unidades,determine el ingreso ptimoasociado.Wild West produce dos tipos de sombreros texanos.Un sombrero tipo A requiere dosveces la mano de obra que el tipo 2.Si toda la mano de obra disponible se dedica slo altipo 2,la compaa puede producir un total de 400 sombreros tipo 2 al da.Los lmites demercado respectivos para los dos tipos son 150 y 200 sombreros por da.El ingreso es maximice el ingreso.tipo 2) y el intervalo dentro del cual es aplicable.Si el lmite de la demanda diaria del sombrero tipo 1 se reduce a 120,use el preciodual para determinar el efecto correspondiente en el ingreso ptimo.
Ejemplo 3.6-2(Cambios en los coeficientes objetivo) el ejemplo 3.6-1.El ptimo ocurre en el punto 128).Los cambiosen unidades de ingresos (es decir,los coeficientes de la funcin objetivo) modificarn la pen-.Sin embargo,como puede verse en la figura,la solucin ptima en el punto
112Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad
La condicin de ÃrelacinÃfunciona correctamente en esta situacin porque las pendientes para las dos l-tienen el mismo signo.Otras situaciones son ms complejas.? Primero,escribimos la funcin objetivo en eldel reloj,as como en el sentido contrario.La solucin ptima permanecer en el punto 8,y 28.Esto significa quela relacinpuede variar entrey lo que resulta en el siguiente intervalo de optimalidad
3 c1
c2 2
o .333
c2 22
1,1
3c1
c2Maximizar = c1x1 + c2x2
3.6Anlisis de sensibilidadPregunta 1.$35 y $25,respectivamente.ÃPermanecer igual el ptimo actual?optimalidad (.333,2).Cuando la relacin queda afuera de este intervalo,se requieren ms clcu-los para determinar el nuevo ptimo (vea el captulo 4).Observe que aunque los valores de lasno cambian,el valor ptimo de Pregunta 2.,que20 en la condicinobtenemos en $30.Por lo tanto,Como en el caso del lado derecho,todos los paquetes de software proporcionan los intervalos deoptimalidad para cada uno de los coeficientes de la funcin objetivo.La seccin 3.6.4 muestracmo AMPL,Solver y TORA generan estos resultados.Comentarios.Aunque el material en esta seccin se ocup de dos variables,los resultados
Considere el problema 1,conjunto 3.6a.Determine la condicin de optimalidad paraque mantendr el ptimo sin cambio.,suponiendo que el otro coefi-cambian al mismo tiempo a $5 y $4,respectivamente,Si los cambios en (c) se hacen uno a la vez,Ãqu se puede decir sobre la solucinptima?riores con el ingreso unitario de la pintura para interiores.
cB (c230*3 y c2Ã 30
2 ) o 15c2901
20 o 6.67
3c1
c22,c1
c2=35
25=1.4Maximizar = 35x1 + 25x2
114Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadpor tonelada,determine el ingreso unitario mximo de la pintura para interiores quemantendr la solucin ptima presente sin cambios.debe reducirse a $3000,Ãcambiar la combinacin de produccin ptima actual?En el problema 2,conjunto 3.6a:los dos tipos de sombreros que mantendr el ptimo actual sin cambiar.Con la informacin en (b),Ãcambiar la solucin ptima si el ingreso por unidad es3.6.2Anlisis de sensibilidad algebraica. Cambios en el lado derechoEn la seccin 3.6.1,utilizamos la solucin grfica para determinar el unitario de un recurso) y sus intervalos de factibilidad.Esta seccin ampla el anlisisal modelo de PL general.Se utilizar un ejemplo numrico (el modelo de TOYCO)
Ejemplo 3.6-3(Modelo de TOYCO)TOYCO utiliza tres operaciones para armar tres tipos de juguetes:trenes,camiones y carros.Lostiempos diarios disponibles para las tres operaciones son 430,460 y 420 minutos,respectivamen-te,y los ingresos por unidad de tren,camin y auto de juguete son de $3,$2 y $5,respectiva-mente.Los tiempos de ensamble por tren en las tres operaciones son de 1,3 y 1 minutos,res-pectivamente.Los tiempos correspondientes por tren y por auto son (2,0,4) y (1,2,0) minutos (unlas cantidades diarias de unidades ensambladas de trenes,camiones y autos,respectivamente,el modelo de PL asociado se da como:como las variables de holgura para las restricciones de las operaciones 1,2y 3,respectivamente,la tabla ptima es
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
001201350
4101
2-1
40100x33
010
200
3.6Anlisis de sensibilidadLa solucin recomienda fabricar 100 camiones y 230 autos pero no trenes.El ingreso aso-
Determinacin de precios duales e intervalos de factibilidad.de TOYCO para demostrar cmo se obtiene esta informacin con la tabla simplexptima.Reconociendo que los precios duales y sus intervalos de factibilidad tienen quever con los cambios del lado derecho de las restricciones,suponga que asignado de las operaciones 1,2 y 3,respectivamente.El modelo de TOYCO original,primero volvemos a escribir la tabla de inicio con los nuevos lados de-rechos,430 ,460 Las dos reas sombreadas son idnticas.Por consiguiente,si repetimos las las columnas en las dos reas resaltadas tambin sern idnticas en la tabla ptima,es
000000121100430100302010460010140001420001
4001201350120
4101
2-1
0100
2-1
40x33
010
0230
200
116Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadEsto significa que,por definicin,los precios duales correspondientes son de 1,2 y 0($/min) para las operaciones 1,2 y 3,respectivamente..Esto significa que los precios duales son iguales a los coefi-ptima.No existe ambigedad en cuantosicas permaneces no negativas,es decir tendrn la solucin factible.La nueva solucin ptima se determina sustituyendo losPara ilustrar el uso de estas condiciones,suponga que el tiempo de fabricacindisponible para las operaciones 1,2 y 3 son de 480,440 y 400 minutos,respectivamente.Entonces,Sustituyendo en las condiciones de factibilidad,obtenemos
21-202=22070 1 2=100+1
21502-1
41-202=13070 1 6=20-2D1+D2+D3Ã0 3=230+1
2 D2Ã0 2=100+1
2 D1-1
4 D2Ã0z=1350+1D1+2D2+0D3 x6=20-2D1+D2+D3x3=230+ 1
2 D2 x2=100+ 1
2 D1- 1
4 D2z=1350+D1+2D2
3.6Anlisis de sensibilidad0,de ah que la solucin actual no permanezca facti-ble.Se requerirn ms clculos para encontrar la nueva solucin (vea el captulo 4).Como alternativa,si los cambios de los recursos son tales que 10,entonces 224,y $1296.Observe que el valor objetivo ptimo tambin puede calcularse uti-Por ejemplo,un cambio del tiempo de la operacin 1 slo implica que 0.Portanto,las condiciones simultneas se reducen a Podemos demostrar del mismo modo que los intervalos de factibilidad para las ope-,respectivamente (Ãcomprubelo!).modelo de TOYCO como sigue:
2 D1Ã0QD1Ã-200x3=23070x6=20-2D1Ã0QD110sQ-200D110 x6=20-21-302+1-122+1102=7870 1 3=230+1
21-122=22470 1 2=100+1
21-302-1
41-122=8870 1
RecursoPrecio dual ($)Intervalo de factibilidadMnimaActual MximaOperacin1230430440Operacin2440440860Operacin3400420
dar.Prcticamente ninguno proporciona el caso de condiciones simultneas,quiz porque su visualizacin esmuy pesada en el caso de PL grandes.que mantenga la solucin factible,aun cuando los cambiosviolen los intervalos individuales.Por ejemplo,los cambios 10,como los siguientes clculos lo demuestran:
21-122=22470 1 2=100+1
21302-1
41-122=11870 1
118Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadEsto significa que los precios duales permanecern aplicables,y que podemos calcularEn el modelo de TOYCO,suponga que los cambios en las tres operaciones.Si la disponibilidad de las operaciones 1,2 y 3 se cambia a 438,500 y 410 minutos,respectivamente,aproveche las condiciones simultneas para demostrar que la solu-cin bsica actual permanece factible,y determine el cambio del ingreso ptimo me-diante los precios duales ptimos.Si la disponibilidad de las tres operaciones se cambia a 460,440 y 380 minutos,res-pectivamente,aproveche las condiciones simultneas para demostrar que la solucinbsica actual es no factible.Considere el modelo de TOYCO:hora.El costo por hora incluye tanto la mano de obra como la operacin de la m-quina.ÃEs econmicamente ventajoso utilizar tiempo extra con la operacin 1?extra diarias a $45 por hora.Adicionalmente,el costo de la operacin propiamentedicha es de $10 por hora.ÃCul es el efecto neto de esta actividad en el ingreso diario? Suponga que la disponibilidad diaria de la operacin 1 se incrementa a 440 minutos.hora.Determine la nueva solucin ptima,incluido el ingreso neto asociado.que el costo por hora de la operacin durante el tiempo regular es de $30.ÃEs venta-Una compaa fabrica tres productos,.El volumen de ventas de mo 50% de las ventas totales de los tres productos.Sin embargo,la compaa no puedevender ms de 75 unidades por da.Los tres productos utilizan una materia prima de lacual la mxima disponibilidad diaria es de 240 lb.Las tasas de consumo de la materia,4 lb por unidad de .Los pre-son $20,$50 y $35,respectivamente.Determine el precio dual de la materia prima y su intervalo permisible.Si la materiaprima disponible se incrementa en 120 lb,determine la solucin ptima y el cambio10 unidades.
En este conjunto de problemas,quiz le convenga generar la tabla simplex ptima con TORA.
3.6Anlisis de sensibilidadUna compaa que opera 10 horas al da fabrica tres productos con tres procesos.La si-guiente tabla resume los datos del producto.Si pueden asignarse ms horas de produccin,Ãcul sera un costo justo por hora30 cursos cada semestre.Por lo comn,los cursos ofrecidos son de dos tipos:prcticos,como carpintera,procesamiento de palabras y mantenimiento automotriz;y humanis-tas como historia,msica y bellas artes.Para satisfacer las demandas de la comunidad,cada semestre deben ofrecerse como mnimo 10 cursos de cada tipo.La divisin estimaaproximadamente de $1500 y $1000 por curso,respectivamente.Idee un ofrecimiento de cursos ptimo para el colegio.Demuestre que el precio dual de un curso adicional es de $1500,el cual es el mismoque el ingreso por curso prctico.ÃQu significa este resultado en funcin de ofrecernimo de cursos humanistas en un curso.Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio y la televisin (TV) locales,o enperidicos.El presupuesto de publicidad est limitado a $10,000 mensuales.Cada minutode publicidad en radio cuesta $15 y cada minuto en TV cuesta $300.Un anuncio en el pe-ridico cuesta $50.A Show & Sell le gusta anunciarse en radio al menos el doble de vecesque en TV.Mientras tanto,se recomienda el uso de al menos 5 anuncios en el peridico yno ms de 30 minutos de publicidad por radio al mes.La experiencia pasada muestra quela publicidad en TV es 50 veces ms efectiva que la publicidad en radio,y 10 veces msefectiva que en peridicos.Determine la asignacin ptima del presupuesto a los tres medios.Si el presupuesto mensual se incrementa en 50%,Ãproducira esto un incrementoarment Companyfabrica camisas para caballeros y blusas para damas paraWalmark Discount Stores,que aceptar toda la produccin surtida por Burroughs.Elproceso de produccin incluye corte,costura y empacado.Burroughs emplea 25 trabaja-dores en el departamento de corte,35 en el de costura y 5 en el empacado.La fbrica la-
Minutos por unidad
Proceso1Proceso2Proceso3
120Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadbora un turno de 8 horas,5 das a la semana.La siguiente tabla da los requerimientos deDetermine el programa de produccin semanal ptimo para Burroughs.Determine el valor de 1 hora de corte,costura y empacado,en funcin del ingreso total.Si puede utilizarse tiempo extra en los departamentos de corte y costura,Ãcul es la.Las disponibilidades diarias de las materias primas 145 unidades,respectivamente.Una unidad de la solucin ,y una unidad de la solucin .Los precios por uni-son de $8 y $10,respectivamente.La demanda diaria de la so-es de entre 30 y 150 unidades,y la de la solucin de entre 40 y 200 unidades.que ChemLabs debe producir.Si pueden adquirirse ms unidades de materia prima a $20 por unidad,Ães estoaconsejable? Explique.en la produccin.ÃEs esto aconsejable? Explique.modelos de radio:Dii-2.La siguiente tabla da los tiempos de ensamble paralas tres estaciones de trabajo.
Minutos por unidad
CorteCosturaEmpacado2070Blusas 6060
El mantenimiento diario de las estaciones de trabajo 1,2 y 3 consume 10,14 y 12%,res-pectivamente,de los 480 minutos mximos disponibles por estacin cada da.los tiempos ociosos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo.Determine la uti-lizacin ptima de las estaciones de trabajo.pos ociosos (holguras) para las tres operaciones en funcin de las variables originales.
Estacin de trabajo
DiGi-1DiGi-2254346
3.6Anlisis de sensibilidadminutos por da a un costo adicional de $1.50 por minuto.ÃPuede mejorarse estaGutchi Company fabrica bolsos de mano,bolsas para rasuradora y mochilas.La construc-cin de los tres productos requiere piel y materiales sintticos,dado que la piel es la ma-teria prima limitante.El proceso de produccin utiliza dos tipos de mano de obra califica-da:costura y terminado.La siguiente tabla da la disponibilidad de los recursos,su uso porlos tres productos,y los precios por unidad.
Requerimientos de recursos por unidad
rasuradoraMochila2134Terminado (h)1
Formule el problema como una programacin lineal,y determine la solucin ptima.Acontinuacin,indique si los siguientes cambios en los recursos mantendrn factible la so-lucin actual.En los casos donde la factibilidad se mantiene,determine la nueva solucinHiDec produce dos modelos de artefactos electrnicos que utilizan resistores,capacitoresy ÃchipsÃ.La siguiente tabla resume los datos de la situacin:
Recurso
Requerimiento de recursos unitarios
Modelo 1 (unidades)Modelo 2 (unidades)
las cantidades producidas de los modelos 1 y 2,respectivamente.A continua-
122Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadDetermine el estado de cada recurso.En funcin del ingreso ptimo,determine los precios duales para resistores,capaci-tores y chips.Si la cantidad de resistores disponibles se incrementa a 1300 unidades,encuentre laSi la cantidad de chips disponibles se reduce a 350 unidades,Ãpodr determinar lanueva solucin ptima directamente con la informacin dada? Explique.Si el intervalo de factibilidad calculado en (c) limita la disponibilidad de capacitores,Un nuevo contratista ofrece a HiDec ms resistores a 40 centavos cada uno,peroslo si HiDec compra al menos 500 unidades.ÃDebe HiDec aceptar la oferta? ,Ã,y mantendrn la factibilidad de la solucin actual.Suponga que el,y que seccin 3.6.2.Por definicin tenemos .Luego definimos como igual a si tivo,y si es positivo.Por definicin,tenemos que 0 1.La regla del 100% dicepor tanto que,dados los cambios,,Ã,y ,una condicin 1.Si lacondicin no se satisface,entonces la solucin actual puede o no permanecer factible.LaEn realidad,la regla del 100% es demasiado dbil como para que sea consistente-mente til.Aun en los casos en que la factibilidad puede confirmarse,seguimos teniendoplex comunes.Adems,los clculos directos asociados con los cambios simultneos dadosen la seccin 3.6.2,son simples y manejables.Para demostrar la debilidad de la regla,aplquela a las partes (a) y (b) del problema1 de este conjunto.La regla no confirma la factibilidad de la solucin en (a) y no es vlidaquedan fuera del intervalo admisible.El problema 13demuestra an ms este punto.
qiDi
pi
Bsica
x1
x2
s1
s2
s3
Solucinz005
41
01750
43
045021400
2-1
0100
3.6Anlisis de sensibilidadtervalos de factibilidad considerados uno a la vez,son 0.Primero,Luego,demuestre que la regla del 100% confirmar la factibilidad slo si el incre-3 unidades.De lo contrario,la regla falla en el3.6.3Anlisis de sensibilidad algebraica. Funcin objetivocondiciones que mantendrn la optimalidad de la solucin de una PL de dos variables.Definicin de costo reducido.dad de la funcin objetivo,primero tenemos que definir los .En elmodelo de TOYCO (ejemplo 3.6-2),la ecuacin 0).La razn se pone de mani-,donde un incremento unitario en en $4,es decir,Podemos considerar el coeficiente de .Pero Ãde dnde proviene este ÃcostoÃ? Sabemos que eles de $3 (segn el modelo original).Tambin sabemos que lade operaciones).Por consiguiente,desde el punto de vista de la optimizacin,el Ãatrac-tivoÃde depende del costo de los recursos consumidos con respecto al ingreso.Estacosto reducido Para apreciar la importancia de esta definicin,en el modelo original de TOYCO el in-$3).No obstante la solucin ptima recomienda producir camiones de juguete (0).La razn es que el costo de los recursos con-sumidos por un camin de juguete (es decir,tiempo de operaciones) es menor que suprecio unitario;al contrario de lo que sucede en el caso de los trenes de juguete.
124Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad,podemos ver que una variable no ren-Incrementando el ingreso unitario.Reduciendo el costo unitario de los recursos consumidos.En la mayora de las situaciones,las condiciones del mercado dictan el precio por uni-dad y puede ser difcil incrementarlo a voluntad.Por otra parte,una opcin ms viableque el proceso de produccin sea ms eficiente.Determinacin de los intervalos de optimalidad.determinacin de las condiciones que mantendrn una ptima solucin.El desarrolloEn el modelo de TOYCO,sean camiones,trenes y autos,respectivamente.La funcin objetivo se escribe entonces como Con los cambios simultneos,la fila
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0000
),la iteracin ptima aparecer como sigue (convnzase de que ste si es el caso,excepto por los ).Esto significa que los seccin 3.6.2,donde los cambios del lado derecho slo afectan a la factibilidad.)
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Solucinz4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1001+ 1
2 d2 2- 1
4 d2+ 1
2 d301350 + 100d2 + 230d3x2-1
4101
2-1
40100x33
010
20230x6-1
1120
3.6Anlisis de sensibilidadnuevos costos reducidos.Un examen de la nueva fila superior y una nueva columna ms a la izquierda de la tabla ptima,como lo muestran.En la co-lumna a la extrema izquierda,el elemento superior es 1 en la fila .Tenga en cuenta que recen en la columna a la extrema izquierda,smelos y reste el elemento en la fila supe-rior de la suma.Por ejemplo,para ,tenemos) permanezcan no negativos (caso de maximizacin).Por lo tanto te-Recuerde que el costo reducido de una variable bsica siempre es cero,como lo mues-Para ilustrar el uso de estas condiciones,suponga que la funcin objetivo deTOYCO cambia de .Entonces,$1.La sustitucin en las condiciones dadas pre-
4 d2+ 1
2 d3=2- 1
4 (-1)+ 1
2 (1)=2.7570 (satisfecha)1+ 1
2 d2=1+ 1
2 (-1)=.570 4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1=4- 1
4 (-1)+ 3
2 (1)-(-1)=6.7570 (satisfecha) 2- 1
4 d2+ 1
2 d3Ã0 1+ 1
2 d2Ã0 4-1
4 d2+ 3
2 d3-d1Ã0 =4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1 Costo reducido de x1= [4*1 +(-1
4 )*d2+ 3
2 *d3+2*0]-d1
d1
d2
d3
0
0
0
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4001201350
4101
2-1
0100
20101
02302001120
126Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad$1480.Si cualquier condicin no se satisface,debe de-El tema anterior abord el caso de maximizacin.La nica diferencia en el casopueden desarrollarse a partir de las condiciones de optimalidad simultneas.Porejemplo,suponga que el coeficiente objetivo de ;es decir que 0.Las condiciones de optimalidad simultneas se reducen por lo tanto aDel mismo modo,puede verificar que los cambios individuales (3 ,respectivamente.unitarios totales.Por ejemplo,para los camiones de juguete (variable ),el ingreso,y su intervalo de optimalidad en $3 y $5,respectivamente.Por ejemplo,considere .En este caso $2,los cuales quedan dentro de los intervalos individuales per-
34-1
4 d2Ã0Qd2161+1
2 d2Ã0Qd2Ã-22-1
4 d2Ã0Qd28sQ-2d28
Los intervalos individuales son resultados estndar en todo software de PL.Por lo comn,las condicionessimultneas no forman parte de los resultados,quiz porque son voluminosas para problemas grandes.).Sin embargo,las condiciones si-
4 d2+ 1
2 d3=2- 1
4 (6)+ 1
2 (-2)=-.560 (satisfecha)1+ 1
2 d2=1+ 1
2 (6)=470 (no satisfecha)4- 1
4 d2+ 3
2 d3-d1=4- 1
4 (6)+ 3
2 (-2)-3=-3.560 8
3
3.6Anlisis de sensibilidadEn el modelo de TOYCO,determine si la solucin actual cambiar en cada uno de los si-La tienda de abarrotes B&K vende tres tipos de refrescos:las marcas Cola A1,Cola A2 yla marca ms barata genrica de Cola A3.El precio por lata de A1,A2 y A3 es 80,70 y 60centavos,respectivamente.En promedio,la tienda no vende ms de 500 latas de todos losrefrescos de cola al da.Aunque A1 es una marca reconocida,los clientes tienden a com-prar ms A2 y A3 porque son ms baratos.Se estima que como mnimo se venden 100latas de A1 al da y que las ventas de A2 y A3 sobrepasan las de A1 por un margen de alDemuestre que la solucin ptima no requiere vender la marca A3.ÃQu tanto se debe incrementar el precio por lata de A3 para que B&K la venda?Para competir con otras tiendas,B&K decidi reducir el precio de los tres tipos derefresco de cola en 5 centavos por lata.Calcule de nuevo los costos reducidos paramesas y sillas.Se requieren dos horas-hombre para ensamblar una mesa y 5 horas-hom-bre para ensamblar una silla.Los clientes suelen comprar una mesa y de cuatro a seis si-llas.Los precios son $135 por mesa y $50 por silla.La compaa opera un turno de ochoDetermine la combinacin de produccin ptima para los 10 das.Si los precios unitarios presentes por mesa y silla se reducen en un 10%,aplique el an-Si los precios unitarios presentes por mesa y silla cambian a $120 y $25,Ãcambiar lapara automvil durante el siguiente mes.El banco cobra 14% por los prstamos persona-les,y 12% por los prstamos para automvil.Ambos tipos de prstamos se reembolsan alfinal del periodo de 1 ao.La experiencia muestra que aproximadamente 3% de los prs-tamos personales y 2% de los prstamos para automvil no se reembolsan.El bancopersonales.Determine la asignacin ptima de fondos entre los dos prstamos,y la tasa neta derendimiento en todos los prstamos.3%,respectivamente,aplique el anlisis de sensibilidad para determinar si la solu-Electra produce cuatro tipos de motores elctricos,cada uno en una lnea de ensambledistinta.Las capacidades respectivas de las lneas son 500,500,800 y 750 motores por da.El motor tipo 1 utiliza 8 unidades de un determinado componente electrnico;el motor tipo2 utiliza 5 unidades;el motor tipo 3 utiliza 4 unidades,y el motor tipo 4 utiliza 6 unidades.
En este conjunto de problemas,le convendra generar la tabla simplex ptima con TORA.
128Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadEl proveedor del componente puede surtir 8000 piezas por da.Los precios de los tiposde motor respectivos son $60,$40,$25 y $30.El programa de produccin actual satisface las necesidades de Electra.Sin embargo,debido a la competencia,es posible que Electra tenga que reducir el precio delmotor tipo 2.ÃCul es la reduccin mxima que puede efectuarse sin que cambie elElectra decidi reducir25% el precio de todos los tipos de motores.Aplique el anli-Actualmente el motor tipo 4 ya no se produce.ÃQu tanto debe incrementarse suPopeye Canning firm un contrato para recibir 60,000 lb diarias de tomates maduros a 7centavos por libra,con los cual produce jugo de tomate enlatado,salsa de tomate y purde tomate.Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas.Una lata de jugo uti-liza 1 lb de tomates frescos,una lata de salsa utiliza lb,y una lata de pur utiliza lb.Laparticipacin diaria del mercado de la compaa est limitada a 2000 cajas de jugo,5000cajas de salsa y 6000 cajas de pur.Los precios de mayoreo por caja de jugo,salsa y purson $21,$9 y $12,respectivamente..Desarrolle un programa de produccin diaria ptimo para Popeye.Si el precio por caja de jugo y pur permanece fijo al valor dado en el problema,aplique elanlisis de sensibilidad para determinar el intervalo de precio unitario que Popeye debeDeanÃs Furniture Company ensambla gabinetes de cocina regulares y de lujo utilizandomadera precortada.Los gabinetes regulares se pintan de blanco,y los de lujo se barnizan.Un departamento realiza tanto el pintado como el barnizado.La capacidad diaria del de-partamento de ensamble es de 200 gabinetes regulares y de 150 de lujo.El barnizado deuna unidad de lujo requiere el doble de tiempo que pintar uno regular.Si el departamen-to de pintura/barnizado se dedica slo a las unidades de lujo,puede completar 180 unida-des diarias.La compaa estima que los ingresos por unidad de los gabinetes regulares yde lujo son de $100 y $140,respectivamente.Formule el problema como un programa lineal y halle el programa de producciny de lujo se reduzca a $80.Aplique el anlisis de sensibilidad para determinar si lasolucin ptima en (a) permanece sin cambios..Tambin puede desarrollarse una regla similar a la descrita en el problema 12,conjunto 3.6c,para probar el efecto1,2,Ã,,en la optimalidad de la solu-cin actual.Suponga que ,uno a la vez,siguiendo el procedimiento descrito enla seccin 3.6.3.En este caso 0),porque representa la reduccin (incremento)que mantendr ptima la solucin actual.Para los casos en que,defina igual a si es positivo y si es negativo.Por definicin,0 1.La regla de 100% dice que una condicin suficiente (pero no necesaria) para que la1.Si la condicin no se sa-tisface,la solucin actual puede o no permanecer ptima.La regla no aplica si fuera de los intervalos especificados.guientes casos.
ujdj
vj3
41
2
3.6Anlisis de sensibilidad3.6.4Anlisis de sensibilidad con Tora, Solver, y AMPL por el software de PL,en particular con respecto al anlisis de sensibilidad.Utilizaremosel ejemplo de TOYCO para demostrar lo obtenido con TORA,Solver y AMPL.El reporte de los resultados de PL obtenidos con TORA proporciona los datostoraTOYCO.txt).Los resultados incluyen los costos reducidos y los preciosduales as como los intervalos de optimalidad y factibilidad permisibles.La figura 3.15 muestra el modelo de TOYCO analizado con Solver (archivosolverTOYCO.xls) y su reporte del anlisis de sensibilidad.Despus de hacer clic en laSolver Parameters,puede solicitar el reporte delSolver Results.Luego haga clicpara ver los resultados.El reporte es parecido al deTORA,con tres excepciones:(1) El costo reducido tiene un signo opuesto.(2) Utilizashadow price (precio sombra) tivos totales y los lados derechos de las restricciones.Las diferencias son mnimas,y laEn AMPL,el reporte del anlisis de sensibilidad se obtiene de inmediato.ElamplTOYCO.txtdos obtenidos con el anlisis de sensibilidad.Requiere las instrucciones adicionales (el
***Sensitivity Analysis***
VariableCurrObjCoeffMinObjCoeffMaxObjCoeffReduced Costx1:3.00-infinity7.004.00x2:2.000.0010.000.00x3:5.002.33infinity0.00
ConstraintCurr RHSMin RHSMax RHSDual Price1()430.00230.00440.001.002()460.00440.00860.002.00
400.00infinityAnlisis de sensibilidad,realizado con TORA para el modelo de TOYCO
130Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadanlisis de sensibilidad estndar.En el modelo de TOYCO,las variables y restricciones.,respectivamente.Utilizandodown,.currentla figura 3.16.Los sufijos .proporcionan el precio dual y el costo reducido.Reporte del anlisis de sensibilidad realizado con Excel Solver para el modelo de TOYCO
Antes de resolver los problemas en este conjunto,se espera que usted genere el reporte del anlisis de sen-sibilidad utilizando AMPL,Solver o TORA.obtenido con AMPL para el modelo de TOYCO:oper.downoper.currentoper.upoper.dual:=123043044012440460860234004201e+20p0:x.downx.currentx.upx.rc:=1-1e+207-42021002.3333351e+200Considere el problema 1,conjunto 2.4a (captulo 2).Use el precio dual para decidir si
3.7Temas de clculo en la programacin linealConsidere el problema 2,conjunto 2.4a (captulo 2).Si quisiera gastar $1000 en cosas placenteras al final del ao 1,Ãcmo afectara estoConsidere el problema 3,conjunto 2.4a (captulo 2).D una interpretacin econmica de los precios duales del modelo.de salida en las cinco fechas designadas del ao.Considere el problema 4,conjunto 2.4a (captulo 2).Use los precios duales para determi-nar la tasa de rendimiento asociada con cada ao.Considere el problema 5,conjunto 2.4a (captulo 2).Use el precio dual para determinarsi vale la pena que el ejecutivo invierta ms dinero en los planes.Considere el problema 6,conjunto 2.4a (captulo 2).Use el precio dual para decidir si esaconsejable que el jugador apueste ms dinero.Considere el problema 1,conjunto 2.4b (captulo 2).Relacione los precios duales con loscostos de produccin unitarios del modelo.Considere el problema 2,conjunto 2.4b (captulo 2).Suponga que cualquier capacidad adi-cional de las mquinas 1 y 2 puede obtenerse slo si se utiliza tiempo extra.ÃCul es el costoConsidere el problema 3,conjunto 2.4b (captulo 2).por unidad.ÃSera aconsejable hacer esto? Considere el problema 10,conjunto 2.4e (captulo 2).3.7TEMAS DE CçLCULO EN LA PROGRAMACIîN LINEALEn este captulo se han presentado los detalles del algoritmo simplex.Los captulos si-guientes presentan otros algoritmos:El simplex dual (captulo 4);el simplex revisado(captulo 7),y el punto interior (captulo 22 en el sitio web).ÃPor qu la variedad? Laen el desarrollo de cdigos de computadora robustos.Velocidad Ambos requerimientos presentan retos incluso para las computadoras ms avanzadas.de la computadora.Para estar seguros,el formato de tabla simplex presentado en
Para esta seccin se han tomado elementos de R.Bixby,ÃSolving Real-World Linear Programs:A Deca-Operations Research,vol.50,nm.1,pgs.3-15,2002.
132Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidad,es decir que el error de redondeo cometido por lacomputadora y la prdida de dgitos presentan serios problemas de clculo,en particularcuando los coeficientes del modelo de PL difieren con mucho en magnitud.A pesar de estosretos,de hecho los diferentes algoritmos de PL se han integrado de manera ingeniosa paraproducir cdigos altamente eficientes a fin de resolver PLs extremadamente grandes.texto hasta los robustos cdigos de PL actuales de ltima generacin.Aborda los temasque afectan la velocidad y la precisin y presenta remedios para aliviar los problemas.Tambin presenta un amplio marco de referencia de los roles de los diferentes algorit-mos de programacin lineal (simplex,simplex dual,simplex revisado y punto interior)en el desarrollo de cdigos de computadora numricamente estables.La presentacinse mantiene,expresamente,libre de matemticas y se concentra en los conceptos claveque constituyen el fundamento de los cdigos de programacin lineal exitosos.1.Regla (pivote) de la variable de entrada simplex..Una vez determinadas las dos variables,se utilizan operaciones de fila pivoteEn realidad,el de los muchos que se han utilizado en el desarrollo de cdigos de PL.La siguientetabla resume los tres criterios prominentes.
Regla de la variable de
entrada
variables no bsicas.objetivo entre todas las variables no bsicas.todas las variables no bsicas.El algoritmo se mueve a lo largo del borde msque va del punto actual a un punto extremo vecino.
,la fila objetivo de la tabla simplex proporciona de in-mediato los costos reducidos de todas las variables no bsicas sin clculos adicionales.Por otra parte,la losadicionales para determinar primero el valor con el cual una variable no bsicaentra en la solucin y luego la mejora total resultante del valor objetivo.La idea de laregla del borde ms inclinado,aunque en el ÃesprituÃde la da),requiere mucho menos clculos.
Vea D.oldfarb y J.Reid,ÃA Practicable Steepest Edge Simplex AlgorithmÃ,,vol.12,nm.1,pgs.361-377,1977.
3.7Temas de clculo en la programacin linealdesde el punto de vista computacional pero,sin duda,requiere la mxima cantidad deiteraciones para llegar al ptimo.Por otra parte,la costosa desde el punto de vista computacional pero,sin duda,implica la cantidad mni-ma de iteraciones simplex.La regla del borde ms inclinadosimplex.Es interesante observar que los resultados de prueba muestran que los bene-regla del borde ms inclinado.Esto es lo que haceAunque la regla del borde ms inclinadopara la seleccin de la variable de entrada,los cdigos de PL exitosos tienden a utilizar.Inicialmente,las iteraciones simplex utilizan (una varia-.Conforme se incrementa la cantidad de iteraciones,se hace unregla del borde ms inclinado.La extensa experiencia de2.Algoritmo primal vs.simplex dual..En el algoritmo primal,la solucin bsica inicial es factible,pero no ptima.Lasiteraciones sucesivas permanecen factibles a medida que avanzan hacia el ptimo.Sedesarroll un algoritmo subsiguiente para PLs,llamado como no factible pero ptimo y que se dirige hacia la factibilidad,al tiempo que man-tiene la optimalidad.La iteracin final ocurre cuando se restaura la factibilidad.Losdetalles del algoritmo dual se dan en el captulo 4,seccin 4.4.1.En un inicio,el algoritmo dual se utiliz sobre todo en el anlisis post ptimo de PL(seccin 4.5) y en la programacin lineal entera,(captulo 9),pero no como un algoritmoindependiente para resolver PLs.La razn principal es que su regla para seleccionar lavariable de salida era dbil.Sin embargo,todo esto cambi cuando se adopt la idea deEn la actualidad,el simplex dual con la adaptacin del borde msinclinado ha demostrado que es dos veces ms rpido que el simplex dual,y por el mo-mento es el algoritmo simplex dominante en los cdigos comerciales ms importantes.3.Simplex revisado vs.tabla simplex.guiente tabla simplex a partir de la inmediata anterior.El resultado es que las tablas noLa mayora de los modelos de PL son sumamente dispersos (es decir,con-tienen un alto porcentaje de coeficientes cero en la iteracin de inicio).Los
Vea J.Forrest y D.oldfarb,ÃSteepest-Edge Simplex Algorith for Linear ProgrammingÃ,,vol.57,nm.3,pgs.341-374,1992.
134Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadtes cero,lo que a su vez acelera sustancialmente los clculos.sta es unafuerte oportunidad perdida en clculos con tablas,porque las tablas sucesivaspronto se saturan de elementos no cero.El error de redondeo y la prdida de dgitos,inherentes en todas las compu-tadoras,pueden propagarse con rapidez a medida que crece la cantidad de itera-ciones,que llevara a una grave prdida de precisin,sobre todo en PL grandes.iteracin son las variables de entrada y de salida).Estos clculos extra re-presentan tiempo de computadora desperdiciado.estas desventajas.Aunque el mtodo utiliza las reglas de pivoteo exactas como en el m-,la diferencia principal es que realiza los clculos aplicando l-gebra matricial.En un modelo de restricciones,cada solucin de punto (de esquina).La matriz bsica ,y de las restricciones.En esencia,slocambia entre iteraciones.Esta propiedad nica que permite controlar el error de re-dondeo/prdida de dgitos,aprovecha la dispersin del modelo original y acelera losclculos.En realidad,el anlisis numrico en el lgebra matricial proporciona mtodossuperior,de modo que .El mtodo,con toda propiedad llamadodescomposicin L-U,es particularmente adecuado para matrices dispersas.Por estas razones el formato de tabla nunca se utiliza en los cdigos de PL ms4.Algoritmo de barrera (punto interior) vs.algoritmo simplex.el ptimo.Computacionalmente,el algoritmo es ma.Por otra parte,el algoritmo simplex es El algoritmo de punto interior se introdujo en 1984 y,sorpresivamente,fue pa-tentado por AT&T y vendido en una computadora especializada (aparentemente poruna exuberante cantidad) sin revelar sus detalles computacionales.Al fin,la comuni-dad cientfica Ãse ocupÃy descubri que el mtodo de punto interior tena races enplo el algoritmo SUMT en la seccin 21.2.5).El resultado es el llamado con algunas variaciones algortmicas.Para problemas en extremo grandes,el mtodo de barrera ha demostrado sermucho ms rpido que el algoritmo simplex dual.La desventaja es que el algoritmo debarrera no produce soluciones de punto de esquina,una restriccin que limita su apli-
Vea J.Bunch y J.Jopcroft,ÃTriangular Factorization and Inversion by Fast Matrix MultiplicationÃ,vol.28,pgs.231-236,1974.Vea tambin E.Hellerman y D.Rarick,,vol.1,pgs.195-216,1971.
3.7Temas de clculo en la programacin lineal(captulo 9).Aunque se han desarrollado mtodos para convertir una solucinde punto interior ptimo de barrera en una solucin de punto de esquina,la carga decomputo asociada es enorme,lo que limita su uso en aplicaciones como programacinentera,donde la frecuente necesidad de localizar soluciones de punto de esquina esfundamental para el algoritmo.No obstante,todos los cdigos comerciales incluyen elalgoritmo de barrera como herramienta para resolver PL grandes.5.Degeneracin.Como se explic en la seccin 3.5.1,las soluciones bsicas de-generadas pueden generar ciclado,lo que hara que las iteraciones simplex se queda-mino.En las primeras versiones del algoritmo simplex,la degeneracin y el ciclado noprctica era rara.A medida que se probaron instancias de problemas ms difciles yms grandes (sobre todo en el rea de la programacin entera),el error de redondeogeneracin que provoc que los clculos Ãse quedaran atascadosÃen el mismo valorobjetivo.El problema se evadi interponiendo una perturbacin aleatoria condicionaly cambiando los valores de las variables bsicas.6.Acondicionamiento del modelo de entrada (solucin previa).Todos los len-los.El objetivo es ÃsimplificarÃel modelo de dos maneras clave:cacin y eliminacin de las restricciones redundantes,y posiblemente fijan-do y sustituyendo las variables.Ponderando los coeficientes del modelo que sean de magnitud ampliamen-se manipulan nmeros reales de magnitudes ampliamente diferentes.La figura 3.17 resume las etapas de solucin de un problema de PL.El modelo deentrada puede ser alimentado por medio de un pre-solucionador a un solucionador,talcomo CPLEX o XPRESS.Como alternativa puede usarse un lenguaje cmodo de mo-delado como AMPL,AMS,MOSEL o MPL,para modelar algebraicamente la PL ytarlos al formato del solucionador,el cual entonces produce los resultados de salida en7.Avance de las computadoras.siglo XX la velocidad de las computadoras se hubiera incrementado ms de mil veces.
Vea P.Harris,ÃPivot Selection Methods of the debex LP CodeÃ,,vol.5,pgs.1-28,1974.Vea L.Bearley,L.Mitra,y H.Williams,ÃAnalysis of Mathematical Programming Problems Prior toApplying Simplex AlgorithÃ,Mathematical Programming,vol.8,pp.54Ã83,1975.
FIGURA 3.17Componentes de una PL numrica
136Captulo 3Mtodo simplex y anlisis de sensibilidadEn la actualidad,una computadora de escritorio es ms potente y veloz que las anti-guas supercomputadoras.Estos avances (junto con los avances algortmicos antes cita-con das (Ãs,das!) en el pasado.Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Chvta1,V.,Linear Programming,Freeman,Nueva York,1983.Dantzig,Linear Programming and Extensions,Princeton University Press,Princeton,NJ,Dantzig,.,y M.Thapa,Linear Programming 1:Introduction,Springer,Nueva York,1997.Nering,E.,y A.Tucker,Linear Programming and Related Problems,Academic Press,Boston,Taha,H.,ÃLinear ProgrammingÃ,captulo II-1 en Research,J.Moder yS.Elmaghraby (eds.),Van Nostrand Reinhold,Nueva York,1987.
CAPêTULO 4
4.1DEFINICIîN DEL PROBLEMA DUALginal).Los dos problemas estn estrechamente relacionados en el sentido de que la so-lucin ptima de uno proporciona automticamente la solucin ptima al otro.En la mayora de los tratamientos de PL,el dual se define para varias formas del pri-mal segn el sentido de la optimizacin (maximizacin o minimizacin),los tipos de res-o =),y el signo de las variables (no negativas o irrestrictas).Este captulociones con lado derecho no negativo,y todas las variables son no negativas).Este reque-rimientoes consistente con el formato de la tabla inicial simplex.De ah que cualesquierproblema dual asociado.nes de restriccin primales.Las reglas que aparecen en la tabla 4.1 rigen el sentido de optimizacin,la direc-cin de las desigualdades y los signos de las variables en el dual.Una forma fcilde recordar el tipo de restriccin en el dual (es decir,(es decir,apunta),entonces todas las restric-(es decir,).Lo opuesto aplica cuando
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimo
TABLA 4.1
Problema dual
problema primala
Objetivo
Tipo de restriccin
Todas las restricciones primales son ecuaciones con lado derecho no negativo,y todas las variablesson no negativas.
Los siguientes ejemplos demuestran en la tabla 4.1 el uso de las reglas;incluso,
Ejemplo 4.1-1Problema dual sujeto a
Ejemplo 4.1-2 y1+0y2Ã0y1, y2 irrestrictafQ1y1Ã0, y2 irrestricta2y1+3y2Ã 42y1- y2Ã12y1+2y2Ã 5Minimizar =10y1+8y2
Primal
Primal en forma de ecuacin
Variables duales
Primal
Primal en forma de ecuacin
Variables duales
4.1Definicin del problema dual
La primera y segunda restricciones son reemplazadas por una ecuacin.La regla general es queuna variable primal irrestricta siempre corresponde a una restriccin dual de igualdad.A la in-versa,una ecuacin primal de igualdad produce una variable dual irrestricta,como lo demuestra
Resumen de las reglas para construir el dual.primal-dual como suelen presentarse en la literatura.Un buen ejercicio es verificar quelas dos reglas que aparecen en la tabla 4.1 abarcan estas reglas explcitas.
Primal
Primal en forma de ecuacin
Variables duales
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoel nombre primal y dual.Lo que importa en este caso es el sentido de optimizacin.Si elprimal es de maximizacin,entonces el dual es de minimizacin,y viceversa.Observeproblema 5,conjunto 4.1a).CONJUNTO DE PROBLEMAS4.1AEn el ejemplo 4.1-1,derive el problema dual asociado si el sentido de optimizacin en elEn el ejemplo 4.1-2,derive el problema dual asociado dado que el problema primal seEn el ejemplo 4.1-3,demuestre que aunque el sentido de optimizacin en el primal secambie a minimizacin,una variable primal irrestricta siempre corresponde a una restric-
TABLA 4.2
Problema de maximizacin
RestriccionesVariablesÃ33ÃVariables
4.2Relaciones primalÃdualConsidere el ejemplo 4.1-1.La aplicacin del mtodo simplex al primal requiere utilizarlucin bsica inicial.Demuestre que la presencia de una primal artificial en forma dedante.ÃVerdadero o falso?Si la restriccin primal est originalmente en forma de ecuacin,la variable dual co-4.2RELACIONES PRIMAL-DUALy/o factibilidad de la solucin ptima actual.Esta seccin presenta varias relacionesplex ptima.Estas relaciones constituyen la base de la interpretacin econmica delmodelo de PL y del anlisis postptimo.La seccin se inicia con un breve repaso de las matrices,una herramienta muytil para realizar los clculos de tabla simplex.Un repaso ms detallado de las matricesse da en el apndice D en el sitio web.4.2.1Repaso de operaciones con matrices simplestales:(fila vector) (matriz),(matriz) (matriz).Porcomodidad,estas operaciones se resumen.En primer lugar,presentamos algunas defi-,de tamao (columnas.,de tamao ,de tamao ÃÃÃÃ
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimo1.(Vector fila matriz,VA).son iguales.Por ejemplo,2.(Matriz vector columna,AP).son iguales.Por ejemplo,3.(Escalar Dada la cantidad escalar a (o constante),la operacin de.Por ejemplo,CONJUNTO DE PROBLEMAS4.2AEn cada uno de los siguientes casos,indique si la operacin matricial dada es legtima;silo es,calcule el resultado.(a)AV(b)AP(c)AP(d)V(e)V(f)P(g)V4.2.2Diseo de la tabla simplex La tabla simplex del captulo 3 es la base para la presentacin en este captulo.La figu-.En la tablainicial,los coeficientes de restriccin bajo las variables iniciales forman una (todos los elementos en la diagonal principal son 1,y todos los elementos102030405060
4.2Relaciones primalÃdualfuera de la diagonal son cero).Con esta disposicin,las iteraciones siguientes de latabla simplex generadas por las operaciones de filas de Gauss-Jordan (vea el captulo 3)matriz inversa.Como veremos en el resto de este captulo,la matriz inversa es la claveCONJUNTO DE PROBLEMAS4.2B*Identifique la matriz inversa ptima.lado derecho original de las restricciones originales.4.2.3Solucin dual ptimasolucin ptima de uno u otro problema da la solucin ptima al otro.As pues,en unde restricciones,pueden ahorrarse clculos resolviendo el dual porque la cantidad de
Fila z objetivoColumnas de restriccinFila z objetivoColumnas de striccin(Tabla inicial)Matriz identidad1 0 ... 00 1 ... 00....0 0 ... 1Variables inicialesVariables inicialesMatriz inversa(Iteracin general)
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoclculos simplex depende en gran medida (aunque no totalmente) de la cantidad derestricciones (vea el problema 2,conjunto 4.2c).Esta seccin proporciona dos mtodos para determinar los valores duales.
Para preparar el problema para su solucin mediante el mtodo simplex,agregamos una varia-en la segunda.Por consi-guiente,el primal resultante y los problemas duales asociados se definen como sigue:
Primal
DualMaximizar sujeto az=5x1+12x2+4x3-MRMinimizar w=10y1+8y2x1, x2, x3, x4, RÃ02x1-x2+3x3++R= 8x1+2x2+x3+x4=10y2Ã-M 1Qy2 irrestricta2y1Ã0y1+3y2Ã 42y1-y2Ã12y1+2y2Ã 5
4.2Relaciones primalÃdual
TABLA 4.3Tabla ptima del primal del ejemplo 4.2-1
529
5-2
5+M544
5x201-1
52
5-1
512
5x1107
51
52
526
5
En la tabla 4.3,las variables primales iniciales ,respectivamente.Por lo tanto,determinamos la solucin dual ptima como sigue:La matriz inversa ptima,resaltada en la tabla 4.3,bajo las variables iniciales ,es .Losmismo orden,es decir,,coeficiente de
=a29
5, -2
5b=112, 52P2
5-1
51
52
5Q 1y1, y22=aCoeficientes objetivooriginales de x2, x1b*1Inversa ptima2Inversa ptima=£2
5-1
51
52
5
Variables bsicas primales iniciales
x4
RCoeficientes de la ecuacin z29
5-2
Coeficiente objetivo original0Variables duales Valores duales ptimos
5+0=29
5-2
5+M+1-M2=-2
5
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoValores objetivo primales-dualesEn el ptimo,la relacin se mantiene como una ecuacin estricta,lo que significa que los dos va-lores objetivo son iguales.Observe que la relacin no especifica cul problema es primal y cules dual.En este caso slo el sentido de optimizacin (maximizacin o minimizacin) es impor-tante.(es decir,) porque,no,siempre hay la oportunidad de una mejora,lo que contradice
tibles (arbitrarias).Los valores asociados de las funciones objetivo son
3)=102
38
3aValor objetivo en elproblema de maximizacinbaValor objetivo en elproblema de minimizacinbFIGURA 4.2Relacin entre mxima y mnima
îptimoMinimizar wMaximizar z
Por lo tanto,10 ) en el problema de maximizacin (primal) es menor que
problema de minimizacin (dual).El valor ptimo de 54 ) queda en el intervalo (10 ,60).CONJUNTO DE PROBLEMAS4.2Cnar slo el dual.(No resuelva el dual con el mtodo simplex).
34
52
3
4.2Relaciones primalÃdualResuelva el dual del siguiente problema,y en seguida halle su solucin ptima a partir dela solucin del dual.ÃOfrece ventajas computacionales la solucin del dual sobre la solu-se estableci igual a cero al solucionar el problema,la
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
0237105015015210300Ã10Ã8Ã1110
Escriba el problema dual asociado y encuentre su solucin ptima de las dos maneras.
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimopara la tercera restriccin.Utilizando para las variables artificiales,la tabla ptima se da como sigue:Escriba el problema dual asociado y determine su solucin ptima de las dos maneras.como variables iniciales,la tabla ptima se da comoEscriba el problema dual asociado,y determine su solucin ptima en dos maneras.100.La tabla ptima se da como
Bsica
x1
x2
x3
x4
200316.7501Ã.252.2510.252
Bsica
x1
x2
x3
x4
02099512.51Ã.510Ã.50.52
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
000100.40Ã.2.4010.20.61.80011Ã111.0
4.2Relaciones primalÃdualEscriba el problema dual asociado,y determine su solucin ptima de las dos maneras.Se puede determinar una solucin factible incrementando la funcin objetivo trivial,ma-y luego resolviendo el problema.Otra forma es resolver el dual,conel cual puede determinarse una solucin para el conjunto de desigualdades.Apliqueambos mtodos.En el problema 7(a),sean las variables duales.Determine si los siguientes pares desoluciones primales-duales son ptimos.
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimo4.2.4Clculos con la tabla simplexdel problema,la asociada con la iteracin,y el pro-blema dual.Con el diseo de la tabla simplex que se muestra en la figura 4.1,podemosFila objetivo.Frmula 1:Clculos con la columna de restriccin.Frmula 2:Clculos con la fila objetivo.En cualquier iteracin simplex,el
y 2.A partir de la tabla ptima que aparece en la tabla 4.3,tenemos ,y el lado,se calcularon en el ejemplo 4.2-1.,como se ilustra
5-(-M) =-2
5+M Coeficiente z de x1=y1+2y2-5 =29
5+2*-2
5-5 = 01y1, y22=A29
5, -2
5B=£2
5-1
51
52
5*a12b=a0b aColumna 1 en laiteracin ptimab=aInversa en laiteracin ptimab*aColumna 1en originalbInversa ptima=£2
5-1
51
52
5aCoeficiente de la variable x1en la ecuacin z primalb=aLado izquierdo de larestriccin dualj-b-aLado derecho de larestriccin dualj-baColumna de restriccinen iteracin ib=aInversa enla iteracin ib*aColumna derestriccin originalb
4.2Relaciones primalÃdualCONJUNTO DE PROBLEMAS4.2D100),luego utilice las frmulas 1 y 2 para ve-rificar todos los elementos de la tabla resultante.Compruebe la optimalidad y factibilidad de cada una de las siguientes soluciones bsicas.Compruebe la optimalidad y factibilidad de las siguientes soluciones bsicas.
4-1
81
83
2-1
4-3
4-11
21
2Variables bsicas=1x4, x3, x62, Inversa=£1-1
2001
001
20-7
21bVariables bsicas = (x2, x1), Inversa = a7
45-2
45-2
457
45bVariables bsicas =1x2, x32, Inversa=a01
21 -7
2bVariables bsicas = (x2, x4), Inversa =a 1
7 0-2
71bx1, x2, x3, x4Ã0 7x1+2x2 +x4 =21 2x1+7x2+x3 =21Maximizar =4x1+14x2
MQ
Iterations
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoCalcule la tabla simplex completa asociada con la siguiente solucin bsica,y compruebe
7-1
71
72
7QVariables bsicas=1x2, x12, Inversa=P2
5-1
51
52
5QVariables bsicas=1x4, x32, Inversa=P1-1
301
3Qx1, x2, x3, x4Ã02x1-x2+3x3 = 2x1+2x2+ x3+x4=10Maximizar =5x1+12x2+4x3Variables bsicas=1x1, x2, 52, Inversa=£3
5-1
50-4
53
501-11x1, x2, x3, x4, x5Ã0x1+2x2 +x5 =34x1+3x2 -x4=63x1+ x2-x3 =3Minimizar =2x1+x2Variables bsicas=1x2, x3, x62, Inversa=£1
2-1
4001
211
4.3Interpretacin econmica de la dualidad
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
21030Ã8Ã1110
Los valores del lado derecho,) y todas las variables no negativas.Las variables asociadas con las tres restricciones.Determine el valor objetivo ptimo asociado de dos
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
00032?0011Ã12010106100Ã112
4.3INTERPRETACIîN ECONîMICA DE LA DUALIDAD busca maximizar los ingresos con recursos limitados.Considerando el problema desdeeste punto de vista,el problema dual asociado ofrece interesantes interpretacioneseconmicas del modelo de asignacin de recursos.
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoPara formalizar el planteamiento,considere la siguiente representacin de losConsiderado como un modelo de asignacin de recursos,el problema primal consta derecursos.El coeficiente .El recurso 4.3.1Interpretacin econmica de las variables dualesdual,los valores de las funciones objetivo,cuando son finitos,deben satisfacer la si-En el ptimo,los dos valores objetivo son iguales,es decir,En funcin del modelo de asignacin de recursos,representa $ ingresos,y .Por lo tanto,dimensionalmente,,representa el valor por unidadComo se expone en la seccin 3.6,el nombre estndar precio dual ra de programacin lineal y en los paquetes de software,de ah que tambin se adoptel nombre estndar en este libro.Utilizando el mismo anlisis dimensional,podemos interpretar la desigualdad que el valor de los recursos,las soluciones primal y dual correspondientes no sern p-timas.La optimalidad se alcanza slo cuando los recursos se han explotado por com-pleto.Esto puede suceder slo cuando la entrada (valor de los recursos) se iguala a la$ ingresos
Primal
DualMaximizar z=anj=1cjxjMinimizar w=ami=1bi yisujeto asujeto axjÃ0, j=1, 2,Ã, nanj=1aijxjbi, i=1, 2,Ã, myiÃ0, i=1, 2,Ã, mami=1aijyiÃcj, j=1, 2,Ã, n
4.3Interpretacin econmica de la dualidad
y a la demanda por la tercera y cuarta restricciones.El modelo determina las cantidades (en to-(o $500 por tonelada).Estos resultados se mantienen ciertos en ficos como se mostr en la seccin 3.6.Para los recursos 3 y 4,que representan los lmites delmercado y de la demanda,ambos precios duales son cero,lo que indica que sus recursos asocia-dos son abundantes (es decir,no son crticos al determinar el ptimo y,por consiguiente,su valor
por unidad,o precio dual,es cero).CONJUNTO DE PROBLEMAS4.3AEn el ejemplo 4.3-1,calcule el cambio del ingreso ptimo en cada uno de los siguientescasos (utilice el resultado de TORA para obtener los intervalos de factibilidad):*NWAC Electronics fabrica cuatro tipos de cable sencillo para un contratista gubernamen-tal.Cada cable debe pasar a travs de cuatro operaciones consecutivas:corte,estaado,encamisado e inspeccin.La siguiente tabla presenta los datos pertinentes de la situacin.
Primal de Reddy Mikks
(recurso1,(recurso2,(recurso3,mercado)(recurso4,demanda)
Minutos por unidad
Cable
Corte
Estaado
Encamisado
Inspeccin
10.520.43.25.09.409.324.62.55.010.8011.617.73.65.08.758.226.55.55.07.80Capacidad diaria (minutos)4800.09600.04700.04500.0
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimolos cuatro cables.Formule el problema como un modelo de programacin lineal,y determine el pro-Basado en los precios duales,Ãrecomienda incrementar las capacidades diarias decualquiera de las cuatro operaciones? Explique.ventaja o una desventaja para NWAC Electronics? D una explicacin con base enlos precios duales.BagCo produce chamarras y bolsos de mano de piel.Una chamarra requiere 8 mpiel,y un bolso de mano slo 2 m.Las necesidades de mano de obra para los dos pro-ductos son de 12 y 15 horas,respectivamente.Los actuales suministros semanales de piely 1850 horas.La compaa vende las chama-rras a $350 y los bolsos de mano a $120.El objetivo es determinar el programa de pro-duccin que maximice el ingreso neto.BagCo planea aumentar la produccin.ÃCul es el precio de compra mximo que la4.3.2Interpretacin econmica de las restricciones dualesfrmula 2 de la seccin 4.2.4,la cual establece que en cualquier iteracin primal,Una vez ms utilizamos el anlisis dimensional para interpretar esta ecuacin.El in-,de la actividad est en dlares por unidad.De ah que,porconsistencia,la cantidadtambin debe estar en dlares por unidad.A conti-nuacin,como representa ingreso,la cantidadcon signo opuesto,debe re-presentar costo.Por lo tanto tenemos,y podemos considerar que laComo se indica en la seccin 3.6,la cantidadcosto reducido$ costo El coeficiente objetivo de
4.3Interpretacin econmica de la dualidades negativo.En funcin de la interpretacinprecedente,esta condicin establece queDe este modo,la condicin de optimalidad de maximizacin dice que es econmica-costo unitario imputado.
TOYCO ensambla tres tipos de juguetes:trenes,camiones y autos,realizando tres operaciones.Los tiempos de ensamble disponibles para las tres operaciones son 430,460 y 420 minutos porda,y los ingresos por tren,camin y auto de juguete son $3,$2 y $5,respectivamente.Los tiem-pos de ensamble por tren para las tres operaciones son 1,3 y 1 minuto,respectivamente.Lostiempos correspondientes por camin y por auto son (2,0,4) y (1,2,0) minutos (un tiempo cerolas cantidades diarias de unidades ensambladas de trenes,camiones y carros,La solucin ptima pide que se produzcan 100 camiones y 230 autos,pero ningn tren.Suponga que a TOYCO tambin le interesa producir trenes ().ÃCmo se puede lograr,un tren de juguete se vuelve econmicamente atracti-vo slo si su costo unitario imputado es estrictamente menor que su ingreso unitario.TOYCOpuede lograr esto si incrementa el precio unitario.Tambin puede reducir el costo imputado deutilizados por un tren en las tres operaciones.Sean las operaciones 1,2 y 3,respectivamente.La meta es determinar los valores de que el nuevo costo imputado por tren sea menor que su ingreso unitario,es decir,
Primal de TOYCO
Dual de TOYCO(Operacin1)(Operacin2)(Operacin3)$1350$1350
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoPara los valores duales ptimos,0,esta desigualdad se reduce aTodos los valores de bles.Observe,sin embargo,que quizs esta meta no sea alcanzable porque requiere grandesreducciones en los tiempos de las operaciones 1 y 2 que no parecen ser prcticas.Por ejemplo,incluso una reduccin de 50% (es decir,.5) no satisface la condicin dada.Entonces laconclusin lgica es que TOYCO no debe producir trenes a menos que las reducciones del tiem-
po vayan acompaadas de un incremento en el ingreso unitario.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.3BEn el ejemplo 4.3-2,suponga que para los trenes el tiempo por unidad de la operacin 2puede reducirse de 3 a cuando mucho 1.25 minutos.ÃQu tanto debe reducirse el tiempoEn el ejemplo 4.3-2,suponga que TOYCO est estudiando la posibilidad de introducir uncuarto juguete:camiones de bombero.El ensamble no utiliza la operacin 1.Sus tiemposde ensamble unitarios en las operaciones 2 y 3 son 1 y 3 minutos,respectivamente.El in-greso por unidad es de $4.ÃAconsejara a TOYCO introducir el nuevo producto?JoShop utiliza tornos y taladros de banco para producir cuatro tipos de piezas para ma-4.La siguiente tabla resume los datos pertinentes.
Tiempo de maquinado en minutos por unidad de
Mquina
PP1
PP2
PP3
PP4
Tornos253Taladros de banco346Ingreso unitario ($)365
Para las piezas que no se producen por la solucin ptima actual,determine la tasa dedeterioro del ingreso ptimo por incremento unitario de cada uno de estos productos.Considere la solucin ptima de JoShop en el problema 3.La compaa estima que porcada pieza que no se produce (conforme a la solucin ptima),el tiempo de maquinadopuede reducirse 20% mediante mejoras del proceso.ÃHaran estas mejoras que las piezasfueran rentables? De no ser as,Ãcul es el porcentaje de reduccin mnimo necesario4.4ALGORITMOS SIMPLEX ADICIONALEStina sindolo hasta que se alcanza el ptimo.Esta seccin presenta dos algoritmos,elsimplex dualhasta que se restaura la factiblidad,y el simplex generalizado,que combina los mto-dos simplex primal y dual,los cuales se inician sin ser ni ptimos ni factibles.En los tres
4.4Algoritmos simplex adicionales4.4.1Algoritmo simplex dualsica no factible.Las condiciones de optimalidad y factibilidad estn diseadas para,es la variable bsica quetiene el valor ms negativo (los empates se rompen de forma arbitraria).Si todas lasvariables bsicas son no negativas,el algoritmo se termina.es la variable de salida,seael costo,y de la tabla.La variable de entrada es la variable no bsica con (Los empates se rompen arbitrariamente).Si no bsicas,el pro-blema no tiene una solucin factible.Para iniciar la programacin lineal ptima y no factible,se debe cumplir con dosTodas las restricciones deben ser del tipo (1.Si la PL incluye restricciones (),la ecuacin se puede reem-plazar por dos desigualdades.Por ejemplo,1,equivale a 1,o 1.La solucin inicial es no factible si al menos uno delos lados derechos de las desigualdades es negativo.
3
j
arj, arj60Fcqj
Como se explic en la seccin 3.7,una condicin de factibilidad diferente,conocida como el borde msinclinado,ha mejorado tanto la eficiencia de clculo del algoritmo simplex dual que ahora es el algoritmodominante (basado en simplex) para resolver PL en todos los cdigos comerciales.
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoEn este ejemplo,las primeras dos desigualdades se multiplican por Ã1 para convertirlas en res-).Por tanto,la tabla inicial se da como sigue:Tambin es no factible porque al menos una de las va-6) es la variable de salida.La siguien-
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã3Ã2Ã10000Ã3Ã1Ã1100Ã33Ã3Ã1010Ã61110013
j=1
j=2
Variable no bsicaFila Ã3Ã2Fila 3Ã3Ã1
j
a5j, a5j60Ã2
31
La siguiente tabla se obtiene al utilizar las conocidas operaciones de filas,las cuales dan
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã50
30-2
Ã40
31-1
Ã11
30-1
302x6202
301
311Relacin5
4Ã1
Ã2Ã
entra,lo que da por resultado la siguiente tabla,lacual es tanto ptima como factible.
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã300
2-1
209
601
21
203
Ã310
2-1
203
Ã200101
4.4Algoritmos simplex adicionalesObserve cmo funciona el simplex dual.En todas las iteraciones la optimalidad se mantienetibilidad.En la iteracin 3,la factibilidad se restaura por primera vez,y el proceso finaliza con la
TORA incluye un mdulo tutorial para el mtodo simplex dual.A partir del menseleccione las opciones.) en desigualdades.No tiene que convertir
) porque TORA lo har internamente.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.4AConsidere el espacio de soluciones de la figura 4.3,donde se desea determinar el punto.La solu-(0.5,1.5) en la grfica.ÃPuede el simplex dual iniciarse en el punto A?da el ptimo,Ãsera posible que las iteraciones del mtodo simplex dualsigan la trayectoriaExplique.,identifique una posi-
Dual SimplexQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve
SOLVE/MODIFY9
23
23
2
Se le recomienda utilizar el modo tutorial de TORA cuando sea posible,para evitar los tediosos clculosEspacio de soluciones para el problema 1,conjunto 4.4a
FCKDx1x2EL1112123AB4567JIGH
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoGenere las iteraciones simplex dual para los siguientes problemas (utilizando TORA porcomodidad),y trace la trayectoria del algoritmo en el espacio de soluciones grficas..Considere el siguiente problema:,y la variable deholgura 3.Sin embargo,el simplex dual no esaplicable de forma directa,porque maximizacin.Demuestre que agregando la restriccin artificial de soluciones original),y luego utilizando la nueva restriccin como fila pivote,la selec-vo),producir una fila totalmente ptima.A continuacin,realice el mtodo simplex dualregular en el problema modificado.
4.4Algoritmos simplex adicionalesUtilizando el procedimiento de restriccin artificial presentado en el problema 3,resuel-va los siguientes problemas mediante el mtodo simplex dual.En cada caso,indique si lasolucin resultante es factible,no factible,o no acotada.Resuelva la siguiente PL de tres maneras diferentes (use TORA por comodidad). 3
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimo4.4.2Algoritmo simplex generalizadoEl algoritmo simplex (primal) en el captulo 3 se inicia factible pero no ptimo.El sim-plex dual (seccin 4.4-1) se inicia mejor que ptimo y no factible.ÃY qu pasa si un mo-luego,podemos utilizar variables y restricciones artificiales para asegurar una solucininicial.Sin embargo,esto no es obligatorio porque la idea clave de los mtodos simplexprimal y dual es que la solucin factible ptima,cuando es finita,siempre ocurre en unpunto de esquina (o una solucin bsica).Esto indica que puede desarrollarse un nuevoplex primal.Primero utilice el algoritmo dual para deshacerse de la no factibilidad (sinpreocuparse de la optimalidad).Una vez restaurada la factibilidad,puede usarse elsimplex primal para hallar el ptimo.Como alternativa podemos aplicar primeroel simplex primal para asegurar la optimalidad (sin preocuparnos de la factibilidad) y
Considere el modelo de PL de maximizacin del problema 4(a),conjunto 4.4a.El modelo puede po-
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
00Ã200001Ã22100Ã8Ã1110102Ã1400110
Podemos resolver el problema sin el uso de variables o restricciones artificiales,teniendo asegu-mos el simplex primal.El simplex dual selecciona a como la variable de salida.La variable de.En este ejemplo,riable de entrada.Por tanto,la siguiente tabla se calcula como
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
00Ã20000
1Ã1
004
2021
100
203-1
0114
para determinar la solucin ptima.Por lo comn,si no hubiramos restaurado la factibilidad enla tabla anterior,repetiramos el procedimiento como fuera necesario hasta que se satisficiera la
4.5Anlisis postptimoComentarios.La esencia del ejemplo 4.4-2 es que el mtodo simplex no es rgido.La literaturaabunda con variaciones del mtodo simplex (por ejemplo,el mtodo primal-dual,el mtodosimtrico,el mtodo entrecruzado y el mtodo multiplex) que dan la impresin de que cada pro-cedimiento es diferente,cuando,en realidad,todos buscan una solucin de punto de esquina,con
una tendencia hacia los clculos automticos y,quizs,eficiencia computacional.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.4BEl modelo de PL del problema 4(c),conjunto 4.4a,no tiene solucin factible.DemuestreEl modelo de programacin lineal del problema 4(d),conjunto 4.4a,no tiene solucinacotada.Demuestre cmo detecta esta condicin el 4.5ANçLISIS POSTîPTIMO ptimas sin cambiar.En esta seccin nos ocuparemos de los cambios de los parmetrosdel modelo y de la determinacin de la nueva solucin ptima.Considere,por ejemplo,un caso en la industria avcola,donde comnmente se utiliza un modelo de programacinna de edad hasta 2.1 lb (950 gramos) para un pollo de ocho semanas de edad.Adems,el costo de los ingredientes en la mezcla puede cambiar peridicamente.Estos cambiosrequieren un nuevo clculo peridico de la solucin ptima.El termina la nueva solucin de una manera eficiente.Los nuevos clculos tienen su raz
Condiciones despus de que cambian los parmetros
La solucin actual permanece ptima y factible.La solucin actual se vuelve no factible.factible al mismo tiempo.
En esta seccin se investigan los primeros tres casos.El cuarto caso,por ser una combi-nacin de los casos 2 y 3,se trata en el problema 6,conjunto 4.5a.
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimo
Primal de TOYCO
Dual de TOYCO(Operacin1)(Operacin2)(Operacin3)$1350$1350
Se utilizar el modelo de TOYCO del ejemplo 4.3-2 para explicar los diferentesprocedimientos.Recuerde que el problema tiene que ver con el ensamble de tres tiposde juguetes:trenes,camiones y autos.En el ensamble intervienen tres operaciones.El
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4001201350
4101
2-1
0100
20101
0230200Ã21120
4.5.1Cambios que afectan la factibilidadrecho de las restricciones,o se agrega una nueva restriccin al modelo.En ambos casos,negativas.Cambios en el lado derecho.Recuerde que el lado derecho de la tabla muestra los valores de las variables bsicas.
Suponga que TOYCO incrementa la capacidad diaria de las operaciones 1,2 y 3 a600,640 y 590 minutos,respectivamente.ÃCmo afectara este cambio al ingreso total?
4.5Anlisis postptimoCon estos incrementos,el nico cambio que tendr lugar en la tabla ptima es el ladoderecho de las restricciones (y el valor objetivo ptimo).Por tanto,la nueva solucin bsica seAs,las variables bsicas actuales,,permanecen factibles con los nuevos valores 140,320 y 30 unidades,respectivamente.El ingreso ptimo asociado es $1880.Aunque la nueva solucin es atractiva desde el punto de vista del ingreso incre-mentado,TOYCO reconoce que su nueva implementacin puede llevarse tiempo.Otra propues-Las capacidades de las tres operaciones cambian a 450,460,y 400 minutos respectivamente.40,la cual requiere aplicar el mtodosimplex dual para recuperar la factibilidad.Primero,modificamos el lado derecho de la tablacomo se muestra por medio de la columna sombreada.Observe que el valor asociado es
2-1
4001
20-211£450460=£110-40£x2x3x6=£1
2-1
4001
211entra,lo que da la siguiente tabla factible ptima (por locomn,el simplex dual puede requerir ms de una iteracin para recuperar la factibilidad).
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4001201370
4101
2-1
0110
010
0230200Ã211Ã40
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
5000
21
21350x21
1000
4100x33
010
0230Ã1001
2-1
220
Esto quiere decir que el cambio propuesto de la asignacin de la capacidad no es ventajoso,por-en la operacin 1.La conclusin entonces es que la operacin 2 es el cuello de botella,y quepuede ser ventajoso cambiar el supervit a la operacin 2 (vea el problema 1,conjunto 4.5a).
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoCONJUNTO DE PROBLEMAS4.5AEn el modelo de TOYCO que aparece al inicio de la seccin 4.5,Ãsera ms ventajosoSuponga que TOYCO desea cambiar las capacidades de las tres operaciones a los si-Utilice el anlisis postptimo para determinar la solucin ptima en cada caso.Considere el modelo de Reddy Mikks del ejemplo 2-1.1.Su tabla ptima se da en elejemplo 3.3-1.Si las disponibilidades diarias de las materias primas mentan a 28 y 8 toneladas,respectivamente,utilice el anlisis postptimo para determi-Ozark Farm tiene 20,000 pollos que alimenta durante ocho semanas antes de enviarlos almercado.La alimentacin semanal por pollo vara segn el programa siguiente:Para que el pollo alcance el peso deseado en ocho semanas,los alimentos deben satisfa-cer necesidades nutricionales especficas.Aunque una lista de alimentos es grande,porsimplicidad limitaremos el modelo a slo tres ingredientes:piedra caliza (carbonato decalcio),maz y soya.Las necesidades nutricionales tambin se limitarn a tres tipos:cal-cio,protena y fibra.La siguiente tabla resume el contenido nutritivo de los ingredientesseleccionados junto con sus costos.La mezcla alimenticia debe contener al menos .8% pero no ms de 1.2% de calcio,un m-nimo de 22% de protena,y cuando mucho 5% de fibra cruda.llar un programa ptimo para las 7 semanas restantes.Demuestre que la regla de factibilidad de 100% del problema 12,conjunto 3.6c Suponga que se dan los siguientes cambios simultneos en el modelo de Reddy Mikks.Elingreso por tonelada de pinturas para exteriores e interiores es de $1000 y $4000,respec-Semana12345678lb/pollo.26.48.751.001.301.601.902.10
Contenido (lb) por libra de
Ingrediente
Calcio
Protena
Fibra
Piedra caliza.380.00.00Maz.001.09.02Soya.002.50.081.60
4.5Anlisis postptimotivamente,y las disponibilidades diarias mximas de las materias primas 28 y 8 toneladas,respectivamente.ptima como no factible.Adicin de una nueva restriccin.mejorar el valor objetivo ptimo actual.Si la nueva restriccin es ,noafectar la solucin actual.Adems,la solucin actual no satisface la nueva restriccin,
Suponga que TOYCO cambia el diseo de sus juguetes y que el cambio requeriragregar una cuarta operacin de ensamble.La capacidad diaria de la nueva operacin es de 500minutos y los tiempos por unidad de los tres productos en esta operacin son 3,1 y 1 minutos,respectivamente.100,y 230.Por consiguiente,la solucin ptima actual no cambia.Suponga,en cambio,que los tiempos de TOYCO por unidad en la cuarta opera-cin se cambian a 3,3 y 1 minutos,respectivamente.Los datos restantes del modelo no cambian.La solucin ptima actual no satisface esta restriccin,y se agrega a la tabla ptima actual como
x7Solucinz400120
01350
4101
2-1
40
0100
20101
20
0230200Ã211
020
x7
3
3
1
0
0
0
1
500
500,lo cual es consistente con los valores de tabla.La razn es que las variables bsicas
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimo
2 x1+ 1
2 x5) x2 = 100-(- 1
4 x1+ 1
2 x4- 1
230,y $1370 (Ãcomprubelo!).La solucin muestra que agregar la operacin 4 reduce los
CONJUNTO DE PROBLEMAS4.5BEn el modelo de TOYCO,suponga que las especificaciones de la cuarta operacin son lassiguientes:La tasa de produccin mxima basada en 480 minutos al da es de 120 unida-des del producto 1,480 unidades del producto 2,o 240 unidades del producto 3.Determine la solucin ptima,suponiendo que la capacidad diaria est limitada a.En lugar de resolver un problema utilizando todas sus restric-ciones,podemos empezar identificando las llamadas .stas sonma.El modelo se resuelve utilizando las restricciones (primarias) restantes.Entonces podemos agregar las restricciones secundarias de una en una.Una restriccin secundariase desecha si satisface la solucin ptima disponible.El proceso se repite hasta que se tie-nen en cuenta todas las restricciones secundarias.
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
40012001350
4101
2-1
00
010
0020011020
400-3
21
01
4.5Anlisis postptimo4.5.2Cambios que afectan la optimalidadCambios en los coeficientes de la funcin objetivo.la fila Calcule los valores duales aplicando el mtodo 2,seccin 4.2.3.Sustituya los nuevos valores duales en la frmula 2,seccin 4.2.4,para determi-Si la nueva fila z satisface la condicin de optimalidad,la solucin no cambia (sin em-bargo,el valor objetivo ptimo puede cambiar).Si no la satisface,se utiliza el simplex
En el modelo de TOYCO,suponga que la compaa tiene una nueva poltica de fi-jacin de precios para enfrentar la competencia.Los ingresos unitarios son $2,$3 y $4 por lostrenes,camiones y autos de juguete,en ese orden.(3,4,0)Aplicando el mtodo 2,seccin 4.2.3,las nuevas variables duales se calculan como de las restricciones duales (frmula 2,seccin 4.2.4).No es necesario calcular de nuevo los coefi-) porque siempre son cero,indepen-Observe que el lado derecho de la primera restriccin dual es 2,el 0 trenes,autos,permanece ptima.El nuevo ingreso correspondiente se calcula como 2 $1220.No se recomienda la nueva poltica de fijacin de precios porque disminuye elingreso. Costo reducido de
Costo reducido de
Costo reducido de
2+3A5
4B+0-2=13
41y1, y2, y32=13, 4, 02£1
2-1
4001
211
2, 5
4, 0BMaximizar =2x1+3x2+4x3
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoSuponga ahora que la funcin objetivo de TOYCO se cambia aTenemos Para determinar la nueva solucin,la fila
4 Costo reducido de x4 = y1-0=3
2 Costo reducido de x1 = y1+3y2+y3-6= 3
2 +3(5
4)+0-6=-3
41y1, y2, y32=13, 4, 02£1
2-1
4001
211
2, 5
4, 0BMaximizar =6x1+3x2+4x3
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Solucinz-3
4003
25
01220
4101
2-1
0100
010
0230200Ã21120
Los elementos resaltados son los nuevos costos reducidos y el nuevo valor objetivo.Todos losdems elementos son los mismos que aparecen en la tabla ptima original.La nueva solucinsale,lo que da la solucin $12270.50 (Ãcomprubelo!).Aunque la nueva solucin recomienda la produccin de
los tres juguetes,el ingreso ptimo es menor que cuando se fabricaban slo dos juguetes.CONJUNTO DE PROBLEMAS4.5CInvestigue la optimalidad de la solucin de TOYCO para cada una de las siguientes fun-ciones objetivo.Donde sea necesario,aplique el anlisis postptimo para determinar elnuevo ptimo (La tabla ptima de TOYCO aparece al inicio de la seccin 4.5).las siguientes funciones objetivo.Si es necesario,aplique el anlisis postptimo para de-terminar el nuevo ptimo.(La tabla ptima del modelo se da en el ejemplo 3.3-1).
4.5Anlisis postptimoDemuestre que la regla de optimalidad de 100% (problema 8,conjunto 3.6d,captulo 3)Adicin de una nueva actividad.variable al modelo.Por intuicin,agregar una nueva actividad es deseable slo si esrentable.Esta condicin puede verificarse aplicando la frmula 2,seccin 4.2.4,paracalcular el costo reducido de la nueva variable.La nueva actividad no es rentable sisatisface la condicin de optimalidad.De lo contrario,la nueva actividad incrementarel ingreso.
TOYCO reconoce que en la actualidad los trenes de juguete no se estn produciendo porque noson rentables.La compaa desea reemplazarlos con un nuevo producto,un camin de bombe-ros de juguete,que se ensamblar en las instalaciones existentes.TOYCO estima que el ingresode 1 minuto en cada una de las operaciones 1 y 2,y de 2 minutos en la operacin 3.el nuevo producto de camin de bomberos.Dado que ((1,2,0) son los va-lores duales ptimos,tenemos en la solucin bsica ptima.Para obtener elnuevo ptimo,primero calculamos su columna de restriccin aplicando la frmula 1,seccinDe este modo,la tabla simplex actual debe modificarse como sigue:
2-1
4001
211
41
21Costo reducido de x7 = 1y1+1y2+2y3-4=1*1+1*2+2*0-4=-1z=2x1+5x2z=8x1+10x2
Bsica
x1
x2
x3
x7
x4
x5
x6
400Ã11201350
4 101
41
2-1
0100
2011
201
02302001Ã211
entra en la solucin bsica,en cuyodebe salir.La nueva solucin es 210,y
belo!),lo cual mejora los ingresos en $115.
Captulo 4Dualidad y anlisis postptimoCONJUNTO DE PROBLEMAS4.5DEn el modelo original de TOYCO,los trenes de juguete no forman parte de la combina-cin ptima de productos.La compaa reconoce que la competencia del mercado nopermitir elevar el precio unitario del juguete.En su lugar,la compaa desea concen-trarse en mejorar la operacin de ensamble.Esto implica reducir el tiempo de ensamblepor unidad en cada una de las tres operaciones en un porcentaje especificado,que har que los trenes apenas sean rentables.(La tabla ptimadel modelo de TOYCO aparece al principio de la seccin 4.5).En el modelo de TOYCO,suponga que la compaa reduce los tiempos por unidad en lasoperaciones 1,2 y 3 para los trenes de juguete a partir de los niveles actuales de 1,3 y 1minutos a .5,1 y .5 minutos,respectivamente.El ingreso por unidad permanece en $3.En el modelo de TOYCO,suponga que un juguete (el camin de bomberos) requiere 3,2y 4 minutos,en ese orden,en las operaciones 1,2 y 3.Determine la solucin ptima cuan-En el modelo de Reddy Mikks,la compaa est considerando producir una marca ms2.Las condiciones deltipos de pintura para exteriores se limite a una tonelada diaria.El ingreso por toneladade la nueva pintura para exteriores es de $3500.Determine la nueva solucin ptima.(Elmodelo se explica en el ejemplo 4.5-1,y su tabla ptima aparece en el ejemplo 3.3-1).Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Bradley,S.,A.Hax,y T.Magnanti,Applied Mathematical Programming,Addison-Wesley,Rea-ding,MA,1977.Diwckar,U.,Introduction to Applied Optimization,Kluwer Academic Publishers,Boston,2003.Nering,E.,y A.Tucker,Linear Programming and Related Problems,Academic Press,Boston,Vanderbei,R.,Linear Programming:Foundation and Extensions,3a.ed.,Springer,Nueva York,
CAPêTULO 5Modelo de transporte y sus variantes
5.1DEFINICIîN DEL MODELO DE TRANSPORTELa red que aparece en la figura 5.1 representa el problema.Hay nos,cada uno representado por un .Los orgenes con los destinos.El arco (dos piezas de informacin:el costo de transporte por unidad,.La cantidad de la oferta en el origen .El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte total al
MG Auto cuenta con tres plantas en Los çngeles,Detroit y Nueva Orlens,y dos importantescentros de distribucin en Denver y Miami.Las capacidades trimestrales de las tres plantas son1000,1500 y 1200 automviles,y las demandas de los dos centros de distribucin durante elmismo periodo son de 2300 y 1400 automviles.La distancia en millas entre las plantas y los cen-
Aplicacin de la vida real. Programacin de citas en eventos comercialesLa Comisin de Turismo Australiana (ATC,por sus siglas en ingls) organiza eventosvendedores australianos con los compradores internacionales de productos tursticos.sitan de acuerdo con citas programadas.Debido a la limitacin de tiempo disponiblemuy grande,la ATC procura programar las citas entre vendedor y comprador con an-ticipacin para maximizar las preferencias.El modelo ha resultado muy satisfactoriotanto para los compradores como para los vendedores.(El caso 3 del captulo 26,en
ingls,del sitio web contiene los detalles del estudio).
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes
a1a2bnb2b1c11 : x11cmn : xmnam11DestinosUnidadesdemandadasUnidadesofertadasOrgenes22mn···
TABLA 5.1DenverMiamiLos çngeles10002690Detroit12501350
Nueva Orlens1275850
TABLA 5.2Denver(1)Miami(2)Los çngeles (1)$80$215Detroit (2)$100$108Nueva Orlens (3)$102$68La compaa transportista cobra 8 centavos por milla por automvil.En la tabla 5.2 se danlos costos de transporte por automvil en las diferentes rutas,redondeados al dlar ms cercano.Todas estas restricciones son ecuaciones porque la oferta total desde los tres orgenes (
5.1Definicin del modelo de transporte
TABLA 5.3DenverMiamiOfertaLos çngeles80215Detroit100108Nueva Orlens10268
23001400Solucin ptima del modelo de MG Auto
1300 1000 200 1200
10001500140023001200Los çngelesDetroitNueva Orlens123DenverMiami12
tabla de transporteque aparece en la tabla 5.3.Este formatopermite modelar muchas situaciones que no tienen que ver con bienes de transporte,como seLa solucin ptima en la figura 5.2 (obtenida por TORA1000),1300 de Detroit a Denver (1300),200 de Detroit a Miami1000).El costo de transporte mnimo aso-
Balanceo del modelo de transporte.asume que el modelo est balanceado,es decir,que la demanda total es igual a la ofertatotal.Si el modelo est desbalanceado,podemos agregar un origen o un destinoficticios para restaurar el balance.
En el modelo de MG,suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1300 automviles(en lugar de 1500).La oferta total (3700),lo que sig-Como la demanda excede la oferta,se agrega un origen (planta) ficticio con una capacidad3500) para balancear el modelo de transporte.El costo de trans-porte por unidad de la planta ficticia a los destinos es cero porque la planta no existe.
Para utilizar TORA,en el comando.En el menpara obtener unresumen de la solucinla seccin 5.3.3 se da una descripcin detallada de la solucin iterativa del modelo de transporte.
Final solutionQ
Solve
SOLVE/MODIFY
Transportation Model
Main Menu
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantesLa tabla 5.4 da el modelo balanceado junto con su solucin ptima.La solucin muestraque la planta ficticia enva 200 automviles a Miami,es decir que a Miami le faltarn 200 au-tomviles para satisfacer su demanda de 1400 automviles.Podemos estar seguros de que un destino especfico no experimente escasez al asignar uncosto de transporte por unidad muy alto desde el origen ficticio a dicho destino.Por ejemplo,unapenalizacin de $1000 en la celda ficticia de Miami evitar que haya escasez en Miami.Desdeluego,no podemos utilizar este ÃartificioÃcon todos los destinos,porque debe haber escasez enalguna parte.en Denver es de slo 1900 automviles.Entonces,tenemos que agregar un centro de distribucinficticio para que ÃrecibaÃla oferta excedente.De nuevo,el costo de transporte por unidad al cen-tro de distribucin ficticio es cero,a menos que una fbrica Ãenve todas sus existenciasÃ.En estecaso,se asigna un costo alto de transporte por unidad de la fbrica designada al destino ficticio.La tabla 5.5 da el nuevo modelo y su solucin ptima (obtenida por TORA).La solucin
muestra que la planta de Detroit tendr un excedente de 400 automviles.
TABLA 5.4DenverMiamiOferta8021510001000100108130013001026812001200200200
23001400
TABLA 5.5DenverMiamiFicticio802150100010001001080900200400150010268012001200
19001400400
5.1Definicin del modelo de transporteCONJUNTO DE PROBLEMAS5.1APara balancear un modelo de transporte,puede ser necesario agregar tanto un ori-gen como un destino ficticios.que hace el envo.que reciben el envo.En cada uno de los siguientes casos,determine si debe agregarse un origen ficticio o undestino ficticio para balancear el modelo.En la tabla 5.4 del ejemplo 5.1-2,donde se agrega una planta ficticia,Ãqu significa la so-lucin cuando la planta ficticia ÃenvaÃ150 automviles a Denver y 50 a Miami? En la tabla 5.5 del ejemplo 5.1-2,donde se agrega un destino ficticio,suponga que lasu produccin.ÃCmo se puede implementar esta res-En el ejemplo 5.1-2,suponga que en el caso en que la demanda excede la oferta (tabla5.4),se aplica una penalizacin a razn de $200 y $300 por cada automvil no entregadoen Denver y Miami,respectivamente.Adems,no se hacen envos de Los çngeles al cen-tro de distribucin de Miami.Elabore el modelo,y determine el programa de envos pti-Tres plantas de energa elctrica de 25,40 y 30 millones de kWh abastecen electricidad atres ciudades.Las demandas mximas en las tres ciudades se estiman en 30,35 y 25 millo-nes de kWh.El precio por milln de kWh en las tres ciudades se da en la tabla 5.6.des,la cual puede satisfacerse adquiriendo electricidad de otra red a un precio ms elevadode $1000 por milln de kWh.La red no est enlazada a la ciudad 3.La compaa elctricaFormule el problema como un modelo de transporte.Determine el costo de la energa adicional adquirida por cada una de las tres ciudades.Resuelva el problema 6,suponiendo que se pierde 10% de la energa que se transmite aTres refineras con capacidades diarias de 6,5 y 8 millones de galones,respectivamente,abastecen a su vez a tres reas de distribucin con demandas diarias de 4,8 y 7 millones
En este conjunto puede utilizar TORA para determinar la solucin ptima.Los modelos del problema detransporte obtenidos con AMPL y Solver se presentarn al final de la seccin 5.3.2.
TABLA 5.6Precio/milln de kWh para el problema 61$600$700$400Planta 2$320$300$350
3$500$480$450
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes
TABLA 5.71231120180ÃRefinera230010080
3200250120de galones,respectivamente.La gasolina se transporta a las tres reas de distribucin atravs de una red de oleoductos.El costo de transporte es de 10 centavos por 1000 galo-nes por milla de oleoducto.La tabla 5.7 presenta la distancia en millas entre las refinerasy las reas de distribucin.La refinera 1 no est conectada al rea de distribucin 3.Construya el modelo de transporte asociado.En el problema 8,suponga que la capacidad de la refinera 3 es de slo 6 millones de galo-nes y que el rea de distribucin debe recibir toda su demanda.Adicionalmente,las canti-Formule el problema como un modelo de transporte.Determine el programa de envos ptimo.En el problema 8,suponga que la demanda diaria en el rea 3 disminuye a 4 millones degalones.La produccin excedente en las refineras 1 y 2 se enva a otras reas de distribu-cin por medio de camiones cisterna.El costo de transporte por 100 galones es de $1.50desde la refinera 1 y de $2.20 desde la refinera 2.La refinera 3 puede enviar su produc-Formule el problema como un modelo de transporte.Determine el programa de envos ptimo.Tres huertas abastecen a cuatro detallistas con cajas de naranjas.La demanda diaria de loscuatro detallistas es de 150,150,400 y 100 cajas,respectivamente.Las ofertas en las treshuertas dependen de la mano de obra regular disponible y se estiman en 150,200 y 250cajas diarias.Sin embargo,las huertas 1 y 2 indicaron que podran abastecer ms cajas,sies necesario,recurriendo a mano de obra extra.La huerta 3 no ofrece esta opcin.LosFormule el problema como un modelo de transporte.Tres centros de distribucin envan automviles a cinco concesionarios.El costo de envodepende de la distancia en millas entre los orgenes y los destinos,y es independiente desi el camin hace el viaje con cargas parciales o completas.La tabla 5.9 resume la distan-
TABLA 5.812341$1$2$3$2Huerta2$2$4$1$2
3$1$3$5$3
5.1Definicin del modelo de transporte
TABLA 5.9Distancia en millas,y oferta y demanda para el problema 1212345Oferta110015020014035Centro2507060658034090100150130
100200150160140de automviles.Una carga completa com-prende 18 automviles.El costo de transporte por milla de camin es de $25.Formule el modelo de transporte asociado.Determine el programa de envos ptimo.MG Auto,del ejemplo 5.1-1,produce cuatro modelos de automviles:4.Los modelos se producen en Nueva Orlens.La planta de Los çngeles fabrica los modelos La distancia en millas es la misma que la de la grfica del ejemplo 5.1-1,y la tarifa detransporte se mantiene en 8 centavos por milla de camin para todos los modelos.Adems,es posible satisfacer un porcentaje de la demanda de algunos modelos con laFormule el modelo de transporte correspondiente.Determine el programa de envos ptimo..M1,M2],[4],[[M2,M4].Las demandas en los destinos nue-
TABLA 5.10
ModeloO
Totales
ÃÃ7003001000500600Ã4001500Nueva Orlens800400ÃÃ1200
7005005006002300
6005002001001400
TABLA 5.11
Centro de distribucinPorcentaje de la demandaModelos intercambiablesDenver10,Miami10,
5,M4M2M2M1M4M3M2M1
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes5.2MODELOS DE TRANSPORTE NO TRADICIONALESde artculos.Esta sec-inventarios y el servicio de afilado de herramientas.
Ejemplo 5.2-1(Control de produccin e inventarios) Boralis fabrica mochilas para ciclistas.La demanda de su producto durante el periodo pico demarzo a junio de cada ao es de 100,200,180 y 300 unidades,respectivamente.La compaa uti-liza mano de obra de tiempo parcial para acomodarse a las fluctuaciones de la demanda.Se estimaque Boralis puede producir 50,180,280 y 270 unidades de marzo a junio.La demanda del mes encurso se puede satisfacer de tres maneras.cin adicional de $2.00 por mochila por mes.Boralis desea determinar el programa de produccin ptimo durante los cuatro meses.
TABLA 5.121$40.00$40.50$41.00$41.502$42.00$40.00$40.50$41.003$44.00$42.00$40.00$40.504$46.00$44.00$42.00$40.00
100200180300
Transporte
1.Origen 1.Periodo de produccin 2.Destino 2.Periodo de demanda 3.Cantidad de abasto en el origen 3.Capacidad de produccin en el periodo 4.Demanda en el destino 4.Demanda en el periodo 5.Costo de transporte por unidad5.Costo unitario (produccin
5.2Modelos de transporte no tradicionales
2
3
4
5050
2
3
41Periodo de ofertaOfertaDemandaPeriodo de demanda
13070
18030270
El costo de ÃtransporteÃpor unidad del periodo Por ejemplo,La solucin ptima se resume en la figura 5.3.Las lneas de rayas indican pedidos en espe-ra,las lneas punteadas indican produccin para un periodo futuro,y las lneas continuas mues-
tran la produccin en un periodo en curso.El costo total es de $31,455.
Ejemplo 5.2-2(Afilado de herramientas)Arkansas Pacific opera un aserradero que produce tablas de diferentes tipos de madera.Segnel tipo de madera que se est aserrando,la demanda de hojas de sierra afiladas vara de un da a$40.00($2.00$2.00$2.00)$46.00$40.00($.50$.50)$41.00$40.00destinos.Los destinos representan los 7 das de la semana.Los orgenes del modelo se definen
Da
Lun.
Mar.
Mi.
Jue.
Vie.
Sb.
24121420181422
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes
TABLA 5.13Problema de afilado de herramientas,expresado como un modelo de transporte.12345678Lun.Mar.Mi.Jue.Vie.Sb.Dom.Desecho $12$12$12$12$12$12$12$02412$6$5$3$3$3$31410$6$5$3$3$33-Mar.$6$5$3$3104$6$5$35-Jue.82$6$56-Vie.1447-Sb.41
24121420181422124como sigue:El origen 1 corresponde a la compra de hojas nuevas que,en el caso extremo,pue-124).Los or-genes 2 a 8 corresponden a los 7 das de la semana.La cantidad de oferta de cada uno de estosorgenes es igual a la de hojas utilizadas al final del da asociado.Por ejemplo,el origen 2 (lunes)tendr una oferta de hojas utilizadas igual a la demanda del lunes.El Ãcosto de transporteÃporunidad para el modelo es de $12,$6 o $3,segn si la hoja es nueva o se afil.La columna Ãde-sechoÃes un destino ficticio para balancear el modelo.El modelo completo y su solucin se dan
Cantidad de hojas afiladas (por da)
NuevasNocturno1-dÃa2-dÃasLun.24 (Lun.)014 (Mi.)10 (Jue.)0Mar.12 (Jue.)0012 (Vie.)0Mi.010 (Jue.)4 (Vie.)00Jue.02 (Vie.)018 (Dom.)0Vie.014 (Sb.)4 (Dom.)00Sb.00014
Dom.00022
5.2Modelos de transporte no tradicionalesComentarios.El modelo que aparece en la tabla 5.13 supone slo una semana de operaciones.mana.Una forma de manejar esta situacin es asumir que la primera semana de operacin seinicia con todas las hojas de sierra nuevas para cada da.De ah en adelante utilizamos un mo-na.El nuevo modelo ser como el de la tabla 5.13,menos el origen ÃNuevasÃy el destinoÃDeshechoÃ.Inclusive,slo se bloquearn las celdas en las diagonales (costo unitario ).Lasceldas restantes tendrn un costo unitario de $3.00,$5.00 o $6.00.Intuitivamente,y sin resolver el nuevo modelo de transporte en absoluto,es obvio que ella semana 2.Esta conclusin intuitiva puede confirmarse resolviendo el nuevo modelo (archivo
CONJUNTO DE PROBLEMAS5.2AEn el ejemplo 5.2-1,suponga que el costo de retencin por unidad depende del periodo yque es de 40,30 y 70 centavos en los periodos 1,2 y 3,respectivamente.La penalizaciny los costos de produccin son los que se dieron en el ejemplo.Determine la solucin p-tima e interprete los resultados.En el ejemplo 5.2-2,suponga que el servicio de afilado es de 3 das a $1 por hoja el lunesy el martes (das 1 y 2).Reformule el problema e interprete la solucin ptima.En el ejemplo 5.2-2,si no se utiliza una hoja el da que se afil,se incurre en un costo deretencin de 50 centavos por da.Reformule el modelo e interprete la solucin ptima.JoShop desea asignar cuatro categoras diferentes de mquinas a cinco tipos de tareas.Lacantidad de mquinas disponibles en las cuatro categoras son 25,30,20 y 30.La cantidadde operaciones en las cinco tareas son 20,20,30,10 y 25.A la categora de la mquina 4no se le puede asignar la tarea de tipo 4.La tabla 5.14 proporciona el costo unitario (endlares) de asignar una categora de mquina a un tipo de tarea.El objetivo del proble-a cada tipo de tarea.Resuelva el problema e interprete la solucin.La demanda de un artculo perecedero durante los prximos cuatro meses es de 400,300,420 y 380 toneladas,en ese orden.La capacidad de abasto para los mismos meses es de 500,600,200 y 300 toneladas.El precio de compra por tonelada vara cada mes y se
En este conjunto puede utilizar TORA para determinar la solucin ptima.Los modelos resueltos con
TABLA 5.14Tipo de tarea1102315925101524315514715
4201513Ã8
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes
TABLA 5.151231$520$210$5702Ã$510$4953$650Ã$240
4$180$430$710estima en $100,$140,$120 y $150,respectivamente.Como el artculo es perecedero,elmes en curso).El costo de almacenamiento por tonelada es de $3 por mes.La naturalezadel artculo no permite aceptar pedidos en espera.Resuelva el problema como un mode-prximos 4 meses.200,150,300,250 y 400 unidades,respectivamente.El fabricante que surte el motor tienecapacidades de produccin diferentes estimadas en 180,230,430,300 y 300 para los cincotrimestres.No se aceptan pedidos en espera,pero si es necesario,el fabricante puede uti-lizar tiempo extra para satisfacer la demanda inmediata.La capacidad de tiempo extra encada periodo es la mitad de la capacidad regular.Los costos de produccin por unidad enlos cincos periodos son de $100,$96,$116,$102 y $106,respectivamente.El costo de pro-duccin con tiempo extra por motor es 50% ms alto que el costo de produccin regular.de almacenamiento adicional de $4 por motor por periodo.Formule el problema comoun modelo de transporte.Determine la cantidad ptima de motores que se deben produ-cir durante el tiempo regular y el tiempo extra de cada periodo.Se realiza mantenimiento preventivo peridico en motores de avin,donde se debereemplazar un componente importante.La cantidad de aviones programados para talmantenimiento durante los siguientes seis meses se estima en 200,180,300,198,230 y290,respectivamente.Todo el trabajo de mantenimiento se realiza durante el primer dadel mes,donde un componente usado se puede reemplazar por uno nuevo o uno repara-do.La reparacin de los componentes usados puede hacerse en un taller de reparacinlocal,donde estarn listos para usarse al principio del siguiente mes,o bien se envan a untaller central de reparacin,donde se espera una demora de 3 meses (incluido el mes enque ocurre el mantenimiento).El costo de reparacin en el taller local es de $120 porcomponente,y en el taller central es de slo $35 por componente.Un componente repa-$1.50 por unidad por mes.Pueden adquirirse componentes nuevos a $200 cada uno en elmes 1,con un incremento de 5% en el precio cada 2 meses.Formule el problema comoun modelo de transporte,y determine el programa ptimo para satisfacer la demanda delcomponente durante los siguientes seis meses.en Arkansas.Los tres bosques incluyen 10,000,20,000 y 30,000 acres.Un solo licitadorpuede ofrecer ofertas para a lo sumo 50% del total de acres disponible.Las ofertas poracre en los tres bosques se dan en la tabla 5.15.El licitador 2 no desea hacer ofertas en elbosque 1,y el licitador 3 no puede ofertar en el bosque 2.En la presente situacin,tenemos que para el Servicio de Parques.Muestre cmo puede formularse el problema como unmodelo de transporte.Determine la superficie en acres que se asignar a cada uno de los cuatro licitadores.
5.3Algoritmo de transporte
taban garantizados.En la actualidad,los poderosos cdigos de computadora pueden resolver modelos detransporte de cualquier tamao como una PL regular.De hecho,TORA maneja todos los clculos necesa-como ÃfiltroÃ.No obstante,el algoritmo de transporte,aparte de su importancia histrica,da una idea de pri-canzar un resultado final prctico,el de mejorar los clculos manuales.El ejercicio es tericamente intrigan-te.Adems,el formato de tabla de transporte especial facilita el modelado de varias situaciones que notienen que ver directamente con artculos que se transportan,como lo demuestra la seccin 5.2.5.3ALGORITMO DE TRANSPORTEdo simplex (captulo 3).Sin embargo,en lugar de utilizar la tabla simplex regular,apro-en una forma ms conveniente.Paso 1.Paso 2.de entre todas las variables no bsicas.Si se satisfacen lascondiciones de optimalidad,detngase.De lo contrario,avance al paso 3.Paso 3.de entre todas las variables bsicas actuales,y halle la nueva so-lucin bsica.Regrese al paso 2.guiente ejemplo.
Ejemplo 5.3-1(SunRay Transport)SunRay Transport Company transporta granos de tres silos a cuatro molinos.La oferta (encamiones cargados) y la demanda (tambin en camiones cargados) junto con los costos de trans-porte por unidad por camin cargado en las diferentes rutas,se resumen en la Tabla 5.16.Los costos
dlares.El modelo busca el programa de envos a un costo mnimo entre los silos y los molinos.
TABLA 5.16102201112792034141618
5151515
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes5.3.1Determinacin de la solucin de iniciorestriccin,una por cada origen y cada destino.Sin embargo,como el modelo de trans-ecuaciones es redundante,por lo que el modelo se reduce a 1 variables bsicas.En el ejemplo 5.3-1,la solucin inicial6 variables bsicas.Mtodo de aproximacin de VogelEl primer mtodo es de naturaleza ÃmecnicaÃ,y los dos restantes son heursticos quebuscan una solucin inicial de mejor calidad que d un valor objetivo ms pequeo.Por lo general,el mtodo heurstico Vogel es mejor que el heurstico de costo mnimo.Porotra parte,el mtodo de esquina noroeste implica la cantidad mnima de clculos..El mtodo se inicia en la celda de la Paso1.Asigne lo ms posible a la celda seleccionada,y ajuste las cantidades asocia-Paso2.Tache la columna o fila con oferta o demanda cero para indicar que no sehagan ms asignaciones en esa fila o columna.Si una fila y una columna dancero al mismo tiempo,tache sólo una,y deje una oferta (demanda) cero en laPaso3.fila o columna,detngase.De lo contra-rio,muvase a la celda a la derecha si acaba de tachar una columna,o abajo siacaba de tachar una fila.Vaya al paso 1.
tabla 5.17.Las flechas muestran el orden en que se generan las cantidades asignadas.
$520
Los tres mtodos se realizan en TORA.Vea el final de la seccin 5.3.3.
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.171234Oferta10220115101512792051552541416181010
5151515Mtodo del costo mnimo.solucin inicial al concentrarse en las rutas ms econmicas.Asigna lo ms posible a lacelda con el costo unitario mnimo (los empates se rompen arbitrariamente).Luego secorresponda.Si una fila o una columna se satisfacen al mismo tiempo,sólo se tacha,igual que en el mtodo de la esquina noroeste.A continuacin,seleccione la celdano tachada con elcosto unitario mnimo y repita el proceso hasta que se deje sin tachar
$2).Lo mximo que puede en-15 camiones cargados,con lo que se satisfacen tanto la fila1 como la columna 2.Tachamos arbitrariamente la columna 2 y ajustamos a cero la oferta$4).Asigne 5,y tache la co-lumna 1 porque se satisface,y ajuste la demanda de la fila 3 a 10 5 camiones cargados.Continuando de la misma manera,asignamos sucesivamente 15 camiones cargados a lacelda (2,3),0 a la celda (1,4),5 a la celda (3,4),y 10 a la celda (2,4) (Ãcomprubelo!).La solucin inicial resultante se resume en la tabla 5.18.Las flechas indican el orden en elcual se hacen las asignaciones.La solucin inicial (compuesta de 6 variables bsicas) es
TABLA 5.181234Oferta10(inicio)22011150151279(final) 201510254141618
5151515
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes.El valor objetivo asociado es$475,el cual es mejor que la solucin obteni-da con el mtodo de la esquina noroeste.Mtodo de aproximacin de Vogel(MAV).mtodo del costo mnimo que por lo general,pero no siempre,produce mejoressoluciones iniciales.Paso1.Paso2.Identifique la fila o columna con la penalizacin mxima,que rompa los em-pates arbitrariamente.Asigne lo ms posible a la variable con el costo unita-rio mnimo en la fila o columna seleccionada.Ajuste la oferta y la demanda,columna satisfecha.Si una fila y una columna se satisfacen almismo tiempo,slo se tacha una de las dos,y a la fila restante (columna) sele asigna una oferta (demanda) cero.Paso3.(a)nece sin tachar,detngase.tachar,determine las variables bsicas en la fila (columna) mediante elmtodo del costo mnimo.Detngase.(restantes),determine las variables bsicas mnimo.Detngase.De lo contrario,vaya al paso 1.
El mtodo de aproximacin de Vogel se aplica al ejemplo 5.3-1.La tabla 5.19 calcula el primerconjunto de penalizaciones.nimo en esa fila,se asigna la cantidad 5 a .Ahora la columna est satisfecha y se debe tachar.
TABLA 5.19Penalizaciones en filas y columnas con el MAV1234Penalizacin en las filas102201112792041416185151515Penalizacin10 47
en las columnas=7=7=5=618-1116-9 14 - 4 =10 9 - 7 = 2 10 - 2 = 8
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.20Primera asignacin en el MAV (1234Penalizacin en las filas1022011127920414161825151515
en las columnasÃ5779).Por consiguiente,asignamos la cantidad mxima posible a la celda (1,2),la cual da tisface tanto a la fila 1 como a la columna 2.Tachamos arbitrariamente la columna 2 y ajustamosContinuando de la misma manera,la fila 2 producir la penalizacin mxima (11),y asig-15,la cual tacha la columna 3 y deja 10 unidades en la fila 2.Slo queda la columna4,y tiene una oferta positiva de 15 unidades.Aplicando el mtodo del costo mnimo a esa co-lumna,asignamos sucesivamente 10 (Ãcomprubelo!).El valor objetivo
mnimo.$475
021126518215042240243315367
551010101091011
CONJUNTO DE PROBLEMAS5.3ACompare las soluciones iniciales obtenidas con los mtodos de esquina noroeste,de costomnimo y de Vogel para cada uno de los siguientes modelos.5.3.2Clculos iterativos del algoritmo de transportecin 5.3.1),utilizamos el siguiente algoritmo para determinar la solucin ptima:Paso 1..Si la condicin de optimalidad se satisface,detngase.De lo contrario,Paso 2.condición defactibilidad Cambie la base,y regrese al paso 1.ciones de filas utilizadas en el mtodo simplex.En su lugar,la estructura especial delmodelo de transporte permite clculos (manuales) ms simples.
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes
Resuelva el modelo de transporte del ejemplo 5.3-1,comenzando con la solucin de la esquinanoroeste.5.17,ejemplo 5.3-2.La determinacin de la variable de entrada de entre las variables no bsicas,por medio del mtodo de multiplicadores(el cual,como se mues-tra en la seccin 5.3.3,tiene su raz en la teora de dualidad de la PL).En el mtodo de multiplicadores,asociamos los multiplicadores de la tabla de transporte.Para cada variable ,los multiplicadores seComo se muestra en la tabla 5.21,la solucin inicial tiene 6 variables bsicas,lo cual conduce a 6ecuaciones con 7 incgnitas.Para resolver estas ecuaciones,el mtodo de multiplicadores re-quiere que cualquiera de ellos se iguale a cero.Arbitrariamente estableceremos 0,y luegoResumiendo,tenemos A continuacin,utilizamos
Variable bsica
Ecuacin (,v)
10Conjunto
TABLA 5.211234Oferta10220115101512792051552541416181010
5151515
5.3Algoritmo de transporte
El mdulo tutorial de TORA est diseado para demostrar que si se asigna un valor inicial cero a cualquierpara todas las variables no bsicas.Vea el Momento de TORAeste ejemplo.
Variable no bsica
ui+vj-cijx13u1+v3-c13=0+4-20=-16x14u1+v4-c14=0+15-11=4x21u2+v1-c21=5+10-12=3x31u3+v1-c31=3+10-4=9x32u3+v2-c32=3+2-14=-9x33u3+v3-c33=3+4-16=-9
Bsicax11x12x13x14x21x22x23x24Tx31x32x33x34z00-16430009-9-90
TABLA 5.22102201155241611010
5151
La informacin precedente,junto con el hecho de que no bsica,equi-de la tabla simplex,como lo muestra el siguiente resumen:el costo,la variable de entrada es la que tiene el,es decir muestra en la tabla 5.22,lo que implica que no es necesario escribir las ecuaciones (forma explcita.En su lugar,comenzamos con en la fila 1,es decir,.Luego calculamosbsica.Ahora,dada ,calculamos .Por ltimo,.El paso siguiente es para evaluar las varia-no bsica,como se muestra en la tabla 5.22,identificada como la variable de entrada,tenemos que determinar la variable de sa-lida.Recuerde que si entra en la solucin para volverse bsica,una de las variables bsicas
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantesce el costo de transporte total.ÃCunto es lo mximo que podemos transportar a travs de launidades (es decir,Los lmites de la oferta y los requerimientos de la demanda permanecen satisfechos.Los transportes a travs de todas las rutas permanecen no negativos.lazo cerrado (también conocido como circuito de ),que se inicia ytermina en la celda de la variable de entrada (3,1).El lazo se compone slo de segmentos hori-.Existe exactamente un lazo paraa la celda de la variable de entrada (3,1).Para que los lmitesde la oferta y la demanda permanezcan satisfechos,debemos alternar entre restar y sumar lalazo se traza en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario).Para 0,loses 5,el cual ocurre cuando tanto nivel cero.Ya sea que salgan de la solucin,y seleccionamos arbitrariamente 5,como se muestra en la tabla 5.24.Como cada unidad transportada por la ruta (3,1) redu-),el costo total asociado con el nuevo itinerario$45 menos que el itinerario anterior.As,el nuevo costo es $520 Dada la nueva solucin bsica,repetimos el clculo de los multiplicadores ,como semuestra en la tabla 5.24.La variable de entrada es .El lazo cerrado muestra que
TABLA 5.23= 15Oferta1554161+99
5151515
El mdulo tutorial de TORA permite determinar,de forma interactiva,las celdas de esquina del lazo cerra-,con confirmacin inmediata de la validez de sus selecciones.Vea el Momento de TORA en la pg.196.
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.251022011510154161
5151515
Del silo
Al molino
141221231315345
La nueva solucin,que se muestra en la tabla 5.25,cuesta $4 rior,y as el nuevo costo es $475 $435.Los nuevos valores de negativos para todas las no bsicas.Por lo tanto,la solucin dada en la tabla 5.25 es ptima.
Modelo de transbordo.los orgenes y los destinos.Quiz ste no sea el caso en muchas situaciones dondetransbordardestino final.Puede usarse un artificio de modelado basado en el uso de zonas
TABLA 5.24127920152541416185510
5151515+-+---
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantespara convertir el modelo de transbordo en uno de transporte regular.Laidea de la conversin es tericamente interesante,pero rara vez se pone en prcticaporque el modelo de transbordo (y,de hecho,el modelo de transporte mismo) es unse presenta en la seccin 22.1 en el sitio web.No obstante,para que quede completo,el
,seleccione las opciones,y luego unode los tres mtodos (esquina noroeste,costo mnimo,Vogel) para iniciar las iteraciones del mo-delo de transporte.El mdulo de iteraciones ofrece dos tiles funciones interactivas:0.Aunque los valores de cambian,la evaluacin de las celdaslazo cerrado,que comprenden la ruta.Si su seleccines correcta,la celda cambiar de color (verde para la variable de entrada,roja para la va-
riable de salida,y gris si no corresponde).
Momento de Solver.),junto con todas las frmulas y la definicin de los nombres de intervalos.En la seccin de entrada,los datos incluyen la matriz de costo unitario (celdas B4:E6),losnombres de los orgenes (celdas A4:A6),nombres de los destinos (celdas B3:E3),oferta (celdasF4:F6),y demanda (celdas B7:E7).En la seccin de salida,las celdas B11:E13 proporcionan la
solucin ptima en forma de matriz.La frmula del costo total se encuentra en la celda A10.
amplEx5.3-1b.txtproporcionan el modelo de AMPL para el
ejemplo 5.3-1.Los detalles del modelo se explican en la seccin C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS5.3BExperimento con TORA.Utilice el mdulo de iteraciones de TORA para compararel efecto de utilizar la regla de la esquina noroeste,el mtodo del costo mnimo y elmtodo de Vogel en la cantidad de iteraciones que conducen a la solucin ptima.Experimento con Solver.Experimento con AMPL.amplEx5.3-1b.txt.
IterationsQ
Solve
Solve/Modify Menu
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.26$0$2$1$10$4$2Ã$3$5$2$1$5$2$3$4$7$4$9$2$4$3$1$2$0$1$8$6
55107665619
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantesEn el problema de transporte que se muestra en la tabla 5.27,la demanda total excede laoferta total.Suponga que los costos de penalizacin por unidad de la demanda no satis-fecha son $5,$3 y $2 para los destinos 1,2 y 3,respectivamente.Aplique la solucin ini-cial de costo mnimo,y calcule las iteraciones que conducen a la solucin ptima.En el problema 2,suponga que no hay costos de penalizacin,pero que la demanda en eldestino 3 debe ser satisfecha por completo..Resuelva el problema modificando el archivosolverEx5.3-1.xls.Experimento con AMPL.amplEx5.3-1.xls.En el problema de transporte desbalanceado de la tabla 5.28,si no se transporta una uni-a razn de $5,$4 y $3 por unidad para los orgenes 1,2 y 3,respectivamente.Adems,un nuevo producto.Aplique la solucin inicial de Vogel,y determine todas las iteracionesque conducen al programa de transporte ptimo.3,sea ,y el costo de transporte por unidad correspondiente.Las cantidades de laoferta en los orgenes 1,2 y 3,son 15,30 y 85 unidades,respectivamente,y las demandasen los destinos 1,2 y 3 son 20,30 y 80 unidades,respectivamente.Suponga que la solucin5,y Encuentre el costo ptimo asociado.timalidad de la solucin de la esquina noroeste.indicada (es decir,al menos una de las variables bsicas es cero).Suponga que los
TABLA 5.28$1$2$1$3$4$5$2$3$3
302020
TABLA 5.29202040
102020
TABLA 5.27$5$1$7$6$4$6$3$2$5
752050
5.3Algoritmo de transporte
TABLA 5.30$1$1$2$6$5$1
271Si la solucin dada es ptima,determine el valor ptimo asociado de la funcin obje-tivo.Localice la variable bsica cero.).4,y 2,con $27,la cual es peor que la solucin factible 6,con 5.3.3Explicacin del mtodo de los multiplicadores con el mtodosimplexcarse con base en las relaciones primal-dual (seccin 4.2).Por la estructura especial depara una ilustracin),el problema dual asociado se escribe como
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantesVariable dual de la restriccin asociada con el origen Variable dual de la restriccin asociada con el destino De acuerdo con la frmula 2,seccin 4.2.4,los coeficientes de la funcin objetivoy derecho de la restriccin dual correspondiente;es decir,.Sin embargo,sa-,lo que produ-.Una vez calculados estosmultiplicadores,la variable de entrada se determina a partir de todas las variables La asignacin de un valor arbitrario a una de las variables duales (es decir,guiendo el mtodo 2 de la seccin 4.2.3.En otras palabras,para una solucin bsicadada (y,por consiguiente,la inversa),los valores duales deben ser nicos.El problema2,conjunto 5.3c,aborda este punto.CONJUNTO DE PROBLEMAS5.3Cejemplo 5.3-5 (tabla 5.21).Calcule el valor objetivo valores duales ptimos dados en la tabla 5.25,y demuestre que es igual al costo ptimodado en el ejemplo.En el modelo de transporte,una de las variables duales asume un valor arbitrario.Estoquiere decir que para la misma solucin bsica,los valores de las variables duales asocia-das no son nicos.El resultado parece contradecir la teora de programacin lineal,objetivo de las variables bsicas y la matriz bsica inversa asociada (vea el mtodo 2,sec-cin 4.2.3).Demuestre que para el modelo de transporte,aunque la base inversa es nica,no tiene que ser as.Especficamente,de-,donde sea una constante,entoncesno cambiarn.Por consiguiente,el uso de un valor arbitrario5.4MODELO DE ASIGNACIîNsas habilidades) con los trabajos.Presumiblemente,la variacin de la habilidad afectael costo de completar un trabajo.La meta es determinar la asignacin de costo mnimode los trabajadores a los trabajos.El modelo de asignacin general con trabajos est representado en la tabla 5.31.El elemento 1,2,Ã,).No se pierde la generalidad al supo-ner que la cantidad de trabajadores y la de los trabajos son iguales,porque siemprepodemos agregar trabajadores o trabajos ficticios para satisfacer esta suposicin.
5.4Modelo de asignacin
TABLA 5.31Trabajos12...Trabajador
oooooo
TABLA 5.32PodarPintarLavarJohn $15$10$9Karen $9$15$10
Terri $10$12$8El modelo de asignacin es un caso especial del modelo de transporte,donde lostrabajadores representan los orgenes y los trabajos representan los destinos.La oferta(demanda) en cada origen (destino) es igual a 1.El costo de ÃtransportarÃal trabajador.De hecho,el modelo de asignacin puede resolverse de forma direc-ta como un modelo de transporte (o como una PL regular).Sin embargo,el hechode que la oferta y la demanda sean iguales a 1 conduce al desarrollo de un algoritmo de.Aunque el nuevo mtodo de solucin pare-ce totalmente ajeno al modelo de transporte,en realidad el algoritmo tiene su origenen el mtodo simplex,al igual que el modelo de transporte.5.4.1Mtodo hngaroUtilizaremos dos ejemplos para presentar la mecnica del nuevo algoritmo.La si-
Los tres hijos de Joe Klyne,John,Karen y Terri,desean ganar algn dinero para sus gastos per-sonales.El seor Klyne eligi tres tareas para sus hijos:podar el csped,pintar la puerta de lacochera y lavar los automviles de la familia.Para evitar la competencia anticipada entre los her-manos,les pide que presenten licitaciones individuales (secretas) por lo que consideren un pago
Como con el mtodo de transporte,el mtodo hngaro clsico (diseado principalmente para clculos ) es algo del pasado,y se presenta aqu por razones histricas.En la actualidad no se requiere ese tipode clculos,ya que el problema puede resolverse mediante cdigos de computadora de PL altamente efi-cientes.Tal vez el beneficio de estudiar estas tcnicas clsicas es que estn basadas en una teora complejaque reduce los pasos de solucin a reglas simples adecuadas para clculos manuales.
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantesjusto por cada una de las tres tareas.La tabla 5.32 resume las licitaciones recibidas.Los nios res-petarn la decisin de su padre con respecto a la asignacin de las tareas.El problema de asignacin se resolver por el mtodo hngaro.Paso 1.,el elemento de costo mnimo en la fila de la matriz de costos original,y1,2,3.Paso 2.Para la matriz creada en el paso 1,determine ,el elemento de costo mnimo de la,y rstelo de todos los elementos de la columna 1,2,3.Paso 3.A partir de la matriz del paso 2,intente determinar una asignacin todas las entradas cero resultantes..Si puede hallarse esa asignacin,es ptima..De lo contrario,se requieren ms clculos (como se explicar en el ejemplo 5.4-2).Las celdas con entradas cero subrayadas en el paso 3 dan la solucin ptima (factible):Johnobtiene el trabajo de pintar,Karen el de podar el csped,y Terri obtiene el de lavar los autom-viles de la familia.El costo total para el seor Klyne es 9 $27.Esta cantidad siempre$27.(Una justificacin
Como se indica en el paso 3 del mtodo hngaro,los ceros creados por los pasos1 y 2 pueden no dar una solucin factible de forma directa.En este caso,se necesitanms pasos para determinar la asignacin ptima (factible).El siguiente ejemplo de-
Suponga que la situacin analizada en el ejemplo 5.4-1 se ampla a cuatro nios y cuatro tareas.Paso 3:Podar PintarLavarJohn6
0Karen0
Terri23
Paso 2:Podar PintarLavarJohn610Karen061Terri240Paso 1:Podar PintarLavarFila mn.John 15109Karen91510Terri10128
TABLA 5.33
QQ
5.4Modelo de asignacin
TABLA 5.35Tarea1234322143
432Las ubicaciones de las entradas cero no permiten asignar tareas nicas a todos los nios.Porejemplo,si asignamos al nio 1 la tarea 1,entonces se eliminar la columna 1,y el nio tres notendr una entrada cero en las tres columnas restantes.Este obstculo puede superarse agregan-Paso 3b.Si no pueden encontrarse asignaciones de elemento cero factibles,(i)Trace el las entradas cero.(ii)Seleccione la entrada y luego smela a cada entrada en la interseccin de dos lneas.(iii)Si no puede determinar una asignacin factible entre las entradas cero resultan-tes,repita el paso 3a.La entrada mnima no sombreada (que se muestra subrayada) es igual a 1.Esta entrada se sumala tabla 5.37,y la solucin ptima indicada por los ceros subrayados.
TABLA 5.34Tarea12341$1$4$6$32$9$7$10$93$4$5$11$7
4$8$7$8$5
TABLA 5.36Tarea123410322002301
43
200
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantes
proporciona el modelo AMPL para el modelo de asignacin.El mo-
delo es parecido al del modelo de transporte.CONJUNTO DE PROBLEMAS5.4AResulvalos por el mtodo hngaro.Experimento con TORA.Exprese el problema como una PL y resulvalo con TORA.Experimento con TORA.Utilice TORA para resolver el problema como un modelode transporte..Modifique el archivo Experimento con AMPL.Modifique el archivo JoShop necesita asignar 4 trabajos a 4 trabajadores.El costo de realizar un trabajo es unafuncin de las habilidades de los trabajadores.La tabla 5.39 resume el costo de las asigna-ciones.El trabajador 1 no puede realizar el trabajo 3,y el trabajador 3 no puede realizarel trabajo 4.Determine la asignacin ptima siguiendo el mtodo hngaro.
TABLA 5.37Tarea
211230
2Nio 30
32
4420
TABLA 5.38$3$8$2$10$3$3$9$2$2$7$6$5$2$7$5$6$1$5$6$6$6$4$2$7$5$9$4$7$10$3$8$4$2$3$5$2$5$4$2$1
$7$8$6$7$7$9$6$2$4$6
TABLA 5.39Trabajo1$50$50Ã$202$70$40$20$30Trabajador3$90$30$50Ã
4$70$20$60$70
5.4Modelo de asignacinEn el modelo de JoShop del problema 2,suponga que se dispone de un (quinto) trabaja-dor ms para realizar las cuatro tareas a los costos respectivos de $60,$45,$30 y $80.ÃEsEn el modelo del problema 2,suponga que JoShop acaba de recibir un quinto trabajo yque los costos respectivos de realizarlo por los cuatro trabajadores actuales son $20,$10,$20 y $80.ÃDebe tener la prioridad el nuevo trabajo sobre cualquiera de los cuatro traba-jos que ya tiene JoShop? tabla 5.40 entre la oficina principal en Dallas y una sucursal en Atlanta.El precio del boleto de viaje redondo saliendo de Dallas es de $400.Se ofrece unbado y domingo).Si la estancia en Atlanta dura ms de 21 das,el descuento se incremen-ta a 30%.Un boleto de viaje sencillo entre Dallas y Atlanta (en cualquier direccin)cuesta $250.ÃCmo debe comprar los boletos el ejecutivo?existentes designados por los cuadrados 1,2,3 y 4.Se tienen que agregar cuatro nuevos
TABLA 5.40
Fecha de partida de Dallas Fecha de regreso a DallasLunes,3 de junioViernes,7 de junioLunes,10 de junioMircoles,12 de junioLunes,17 de junioViernes,21 de junio
Martes,25 de junioViernes,28 de junio Distribucin del taller para el problema 6,conjunto 5.4a
1020304050607080
234bcda1
01020
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantescentros de trabajo,I,II,III y IV,al taller en los lugares designados por los crculos .El objetivo es asignar los nuevos centros a los lugares propuestos para minimizar eltrfico total de manejo de materiales entre los centros existentes y los propuestos.Latabla 5.41 resume la frecuencia de los viajes entre los centros nuevos y los anteriores.Eltan en las ubicaciones de los centros.Por ejemplo,la distancia del viaje en un sentido (enEn el Departamento de Ingeniera Industrial en la Universidad de Arkansas,INEG 4904problema prctico.Los miembros de cada equipo seleccionan un director de proyecto,identifican el alcance apropiado de su proyecto,redactan y presentan una propuesta,reali-zan las tareas necesarias para satisfacer los objetivos del proyecto,y redactan y presentanun informe final.El profesor del curso identifica proyectos potenciales y proporcionahojas de informacin apropiadas a cada uno,incluyendo el contacto en la organizacin pa-trocinadora,el resumen del proyecto y las habilidades potenciales necesarias para comple-tar el proyecto.Se requiere que cada equipo de diseo presente un informe que justifiquela seleccin de los miembros y del director del equipo.El informe tambin proporcionauna clasificacin de cada proyecto en orden de preferencia,incluida una justificacin conproyecto.En un semestre especfico se identificaron los siguientes proyectos:Boeing F-15,Boeing F-18,Boeing Simulation,Cargil,Cobb-Vantress,ConAgra,Cooper,DaySpring (di-seo),DaySpring (manejo de materiales),J.B.Hunt,Raytheon,Tyson South,Tyson East,Wallmart y Yellow Transportation.Los proyectos de Boeing y Raytheon requieren quetodos los miembros del equipo sean ciudadanos estadounidenses.De los once equipos dediseo disponibles en este semestre,cuatro no cumplen con este requisito.Idee un procedimiento para asignar proyectos a equipos,y justifique los argumentos5.4.2Explicacin del mtodo hngaro con simplexrepresentarse como un modelo de PL como sigue:Sea ,y defina
TABLA 5.41IIIIIIIV110243Centro27195existente30862
411407
5.4Modelo de asignacin).Para probar estepunto,sean .Por lo tanto,el ele-Como la nueva funcin objetivo difiere de la original por una constante,los valores p-son los mismos en ambos casos.El desarrollo muestra que los pasos 1 y 2del mtodo hngaro,el cual pide restar produce un modelo de asignacin equivalente.A este respecto,si puede hallarse una2,entonces debe ser ptima (porque el costo en la matriz modificada no puede serplo 5.4-2 lo demuestra),entonces debe aplicarse el paso 2a (que tiene que ver con lacobertura de las entradas cero).La validez de este procedimiento tiene de nuevo sudualidad (captulo 4) y el teorema de holgura complementaria (captulo 7).No presen-taremos aqu los detalles de la comprobacin porque son un tanto complicados.
Captulo 5Modelo de transporte y sus variantescin.Este resultado puede verse mediante una comparacin con la funcin objetivodual del modelo de transporte dado en la seccin 5.3.3.[Para los detalles,vea Bazaraaand Associates (2009)].Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Dantzig,G.,,Princeton University Press,Princeton,N.J.,Hansen,P.,y R.Wendell,ÃA Note on Airline CommutingÃ,,vol.12,nm.1,pgs.85-87,Murty,K.,,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1992.
6.1ALCANCE Y DEFINICIîN DE MODELOS DE REDEScomo redes (nodos conectados por ramas);a continuacin tenemos algunos ejemploscin de los oleoductos.carreteras.oleoductos para lodos de carbn que unen minas de carbn en Wyoming conhasta refineras a travs de una red de oleoductos.CAPêTULO 6Modelo de redes
Aplicacin de la vida real. Ahorro de recursos federales para viticoslas ciudades en los Estados Unidos,y se requiere que los empleados federales asistan aconferencias de desarrollo y cursos de capacitacin que se ofrecen por todo el pas.Lapuede impactar los viticos.El objetivo del estudio es determinar la ubicacin ptimade la ciudad anfitriona de una conferencia o evento de entrenamiento programado.Seestima que para el ao fiscal de 1997,el modelo desarrollado ahorr al menos
$400,000.El caso 4 del captulo 26 en el sitio web proporciona los detalles.
Captulo 6Modelo de redes
1
3
5
2
4
mizacin de redes.Este captulo presenta cuatro de estos algoritmos.Para la quinta situacin,el algoritmo de red capacitada de costo mnimo se presenta enla seccin 22.1 en el sitio web.Definiciones de red.).La notacin para describir una red es (),donde es el conjunto de nodos,yes el conjunto de arcos.Aguisa de ilustracin,la red de la figura 6.1,se describe como(por ejemplo,los productos de petrleo flu-yen por un oleoducto y el trfico de automviles fluye por las carreteras).El flujo m-ximo en una red puede ser finito o infinito,segn la capacidad de sus arcos.una direccin.Una red dirigidatiene todos los arcos dirigidos.es un conjunto de arcos que unen dos nodos distintos,y que pasan atravs de otros nodos en la red.Por ejemplo,en la figura 6.1 los arcos (1,2),(2,3),(3,4)y (4,5) forman una ruta entre los nodos 1 y 5.Una ruta forma un necta un nodo de vuelta a s mismo a travs de otros nodos.En la figura 6.1,los arcos(2,3),(3,4) y (4,2) forman un ciclo.en al menos una ruta.La red en la figura 6.1 muestra este tipo de red.Un de todos los nodos,y unrbol de expansinlos nodos de la red.La figura 6.2 propor-
1
3
5
2
4
1
3
2çrbol de expansinçrbol
6.1Alcance y definicin de modelos de redes
BADC
FIGURA 6.3Puentes de Knigsberg
Ejemplo 6.1-1(Puentes de Knigsberg)en las riberas del ro Pregel con siete puentes que conectan sus cuatro secciones (designadas ) como se muestra en la figura 6.3.Surgi una pregunta sobre si podra construirse un para visitar las cuatro secciones de la ciudad,cruzando cada puente exactamente unavez.Una seccin podra ser visitada varias veces,si fuese necesario.A mediados del siglo XVIII,el afamado matemtico Leonhard Euler desarroll un argu-mento de Ãconstruccin de rutasÃpara demostrar que s era posible construir semejante viaje.Ms tarde,a principios del siglo XIX,el mismo problema se resolvi presentando de nuevo lasituacin como una red con nodos que representan las secciones y arcos (distintos) que repre-sentan los puentes,como se muestra en la figura 6.4..Esto hace posible entrar y salir de todas las sec-ciones utilizando puentes distintos.Por consiguiente,el viaje redondo deseado no puede construirse.
Solucin general:Existe un recorrido que se inicia y termina en un nodo si el nmero de arcos incidentes en.Hay un viaje que se inicia en un nodo y termina en en estos dos nodos es .De lo contrario,no hay solucin.Vea B.Hopkins y R.Wilson,ÃThe Truth aboutCollege Math Journal,Vol.35,nm.3,pgs.198-207,2004.
A
B
D
C
Captulo 6Modelo de redesRedes para el problema 1,conjunto 6.1a
1
3
5
2
4
1
3(i)(ii)
2
4
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.1APara cada red de la figura 6.5,determine (a) una ruta,(b) un ciclo,(c) un rbol,y (d) unTrace la red definida por En el ejemplo 6.1-1,especifique la cantidad mnima y las ubicaciones de los puentes adi-cionales que se requieren para construir un viaje redondo.Construya la red resultante,ydetermine los tramos del viaje.Considere ocho cuadrados iguales dispuestos en tres filas,con dos cuadrados en la prime-ra fila,cuatro en la segunda,y dos en la tercera.Los cuadrados de cada fila estn acomo-dados simtricamente alrededor del eje vertical.Marque los cuadros con nmeros distin-tos del 1 al 8,de modo que dos cuadrados verticales,horizontales o diagonalesno tengan nmeros consecutivos.Use una representacin de red para hallar una solucinTres reclusos escoltados por dos guardias deben ser transportados por un bote desde tie-rra firme hasta una isla penitenciaria para que cumplan sus sentencias.El bote no puedetransferir ms de dos personas en ambas direcciones.Es seguro que los reclusos doble-guen a los guardias si los superan en nmero en cualquier parte y en cualquier momento.traslado seguro de los reclusos.6.2ALGORITMO DEL çRBOL DE MêNIMA EXPANSIîNramas de conexin.Una aplicacin comn se presenta en la pavimentacin de carrete-ras que unen poblaciones,o de forma directa,o que pasan por otras poblaciones.La so-lucin del rbol de mnima expansin proporciona el diseo del sistema de carreteras.= {1,2,Ã,
k A={(1, 2), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 6), (5, 2), (5, 6)} N={1, 2, 3, 4, 5, 6}
6.2Algoritmo del rbol de mnima expansinPaso 0.Establezcay Paso 1.en el conjunto no conectadoy establezca,lo que produce.Establezca.Paso generalSeleccione un nodo,*,en el conjunto no conectado,que pro-conectado.Vincule y elimnelo depara obtenerrespectivamente.Detngase siest vaco;de lo contrario,establezca + 1 y repita el paso.
Midwest TV Cable Company va a proporcionar servicio de cable a cinco desarrollos habitacio-nales.La figura 6.6 ilustra las posibles conexiones de TV a las cinco reas,con las millas de cableanexadas a cada arco.El objetivo es determinar la red de cables ms econmica.El algoritmo se inicia en el nodo 1 (en realidad,cualquier otro nodo puede ser un punto deinicio),el cual da por resultadoLas iteraciones del algoritmo se resumen en la figura 6.7.Los arcos delgados proporcionan todosy.Los arcos gruesos son los vnculos permanentes del conjunto conec-,y el arco de rayas es el nuevo vnculo (permanente) agregado en cada iteracin.Porejemplo,en la iteracin 1,la rama (1,2) es el vnculo ms corto (candidatas del nodo 1 a los nodos 2,3,4,5 y 6 en el conjunto no conectado.De ah que elvnculo (1,2) se hace permanente y 2,de lo cual resulta El rbol de mnima expansin que se muestra en la iteracin 6 de la figura 6.7 da la solucin.Las16 millas.Comentarios.En teora,un rbol de mnima expansin puede formularse y resolverse como unprograma lineal.Sin embargo,la PL no es una opcin prctica porque deben agregarse numerosasrestricciones para excluir todos los ciclos y el resultado es una PL enorme,aun para redes pequeas.
2={3, 4, 5, 6}C
1C
C1={1} y C
1={2, 3, 4, 5, 6}C
kCk y C
k,C
k-1C
k-1k=2C
1=N-{i}C1={i}C
0C
Conexiones de cable para Midwest TV Company
41
4
6
5
21
Captulo 6Modelo de redes
Puede utilizar TORA para generar las iteraciones del rbol de mnima expansin.En la barra de,seleccione las opciones.Luego,en elmenseleccione las opciones.Enla pantalla de resultados seleccione,luego utilice las opcionesobienpara generar las iteraciones sucesivas.Puede reiniciar las iteraciones selec-cionando un nuevo nodo de inicio.El archivo
ejemplo 6.2-1.
Starting Node
All iterations
Next iteration
Starting node
Go to output screenQ
Solve problem
SOLVE/MODIFY
Minimal spanning treeQ
Network models
Iteraciones para determinar la solucin para Midwest TV Company
Iteracin 11975146975C1
Iteracin 2
Iteracin 4
Iteracin 3Iteracin 5
Iteracin 6(çrbol de mnima expansin)
C1
C2314655331467583146553103145533C2
256314256314256314256314256314256314C3
C4C3
C4
C5C5
Vnculosalternos
6.2Algoritmo del rbol de mnima expansinCONJUNTO DE PROBLEMAS6.2AResuelva el ejemplo 6.2-1 iniciando en el nodo 5 (en lugar de en el nodo 1),y demuestreLos nodos 5 y 6 estn unidos por un cable de 2 millas.Los nodos 2 y 5 no pueden unirse.Los nodos 2 y 6 estn unidos por un cable de 4 millas.El cable entre los nodos 1 y 2 es de 8 millas de largo.Los nodos 3 y 5 estn unidos por un cable de 2 millas.En el transporte intermodal,los camiones de remolque cargados se transportan entre ter-minales ferroviarias sobre plataformas especiales.La figura 6.8 muestra la ubicacin detentes.El objetivo es decidir qu vas deben ser ÃrevitalizadasÃpara manejar el trfico in-termodal.En particular,la terminal de Los çngeles (LA) debe vincularse directamente aChicago (CH) para acomodar el trfico pesado esperado.Aparte de esa,todas las termi-nales restantes pueden vincularse directa o indirectamente,de modo que la longitud total(en millas) de las vas seleccionadas se minimice.Determine los segmentos de las vas fe-de distribucin costero.Como el cabezal del pozo 1 es el ms cercano a la costa,dispo-cin de los ocho pozos restantes al punto de distribucin.Determine la red de oleoductosEn la figura 6.9 del problema 4,suponga que los cabezales de los pozos pueden dividirseen dos grupos segn la presin del gas:un grupo de alta presin que incluye los pozos 2,3,4 y 6,y un grupo de baja presin que incluye los pozos,5,7,8 y 9.Debido a la diferen-cia de presin,no es posible vincular los pozos de los dos grupos.Al mismo tiempo,Red para el problema 3,conjunto 6.2a
SE
LA
DE20001300130011009002008001400780260020001000
DA
CH
NY
DC
Captulo 6Modelo de redesRed para el problema 4,conjunto 6.2a
1
515151091441355577123202066Punto de distribucin
9
8
7
2
3
4
6
ambos grupos deben conectarse al punto de distribucin a travs del pozo 1.DetermineElectro produce 15 piezas electrnicas en 10 mquinas.La compaa desea agrupar lasmquinas en celdas para minimizar las ÃdisparidadesÃentre las piezas procesadas encada celda.Una medida de ÃdisparidadÃ,,entre las piezas procesadas con las mquinasnicamente.
nij+mij
Mquina
1,622,3,7,8,9,12,13,1533,5,10,142,7,8,11,12,133,5,10,11,141,4,5,9,102,5,7,8,9,103,4,153,8,10,14,15
Para los datos dados en la tabla anterior,construya las soluciones de dos y tres celdas.
6.3Problema de la ruta ms corta6.3PROBLEMA DE LA RUTA MçS CORTAtransporte.El mismo modelo puede representar otras situaciones,como se ilustra conlos siguientes ejemplos.6.3.1Ejemplos de aplicaciones de la ruta ms corta
Ejemplo 6.3-1(Reemplazo de equipo)rizonte de planeacin de 4 aos.Al inicio de cada ao,un automvil se reemplaza o se conservaen operacin durante un ao ms.Un automvil debe estar en servio de 1 a 3 aos.La siguiente
Equipo adquirido
al inicio del ao
Costo de reemplazo ($) para aos dados en operacin
1
2
314000540098002430062008700348007100Ã44900ÃÃ
de los aos 1 a 5.Los arcos a partir del nodo 1 (ao 1) pueden llegar a los nodos 2,3 y 4 porqueun automvil puede estar en operacin de 1 a 3 aos.Los arcos a partir de los dems nodos pue-den interpretarse del mismo modo.La longitud de cada arco es igual al costo de reemplazo.LaLa figura 6.10 muestra la red resultante.Utilizando TORA,despus de 2 aos al inicio del ao 3 (nodo 3).El automvil de reemplazo se mantendr enton-
En la barra de mens,seleccione las opciones.En el men
Shortest routesQ
Solve problem
SOLVE/MODIFY
Shortest routeQ
Network models
MainFIGURA 6.10Problema de reemplazo de equipo como un modelo de la ruta ms corta
400043004800490098005400710062008700
1
2
3
4
5
Captulo 6Modelo de redesces en servicio hasta finales del ao 4.El costo total de esta poltica de reemplazo es de $12,500
(5$5400 1$7100).
Ejemplo 6.3-2(Ruta ms confiable)I.Q.Smart va en auto diariamente al trabajo.Habiendo completado un curso de anlisis deredes,Smart es capaz de determinar la ruta ms corta al trabajo.Por desgracia,la ruta seleccio-nada est fuertemente patrullada por la polica,y con todas las multas pagadas por exceso de ve-locidad,la ruta ms corta puede no ser la mejor opcin.Smart ha decidido por lo tanto elegir unaciada de no ser detenido en cada segmento.La probabilidad de no ser detenido en la ruta es elproducto de las probabilidades de sus segmentos.Por ejemplo,la probabilidad de no ser multa-.0675.El objetivo de Smart es seleccionar la rutala probabilidad de no ser multado.garitmos de las probabilidades,esto es,,as pues,maximizar ,lo que a su vez equivale a .Por lo tanto,alen la red,el problema se convierte en la red de la ruta
1
2.2.9.6.1.4.5.25.3.8.35
4
3
6
7
5
FIGURA 6.12Representacin de la ruta ms confiable como un modelo de la ruta ms corta
1
.09691.45593
4
3
6
7
5
6.3Problema de la ruta ms cortaUtilizando TORA,la ruta ms corta en la figura 6.12 pasa por los nodos 1,3,5 y 7 con unaÃlongitudÃcorrespondiente de 1.1707,o log 1.1707.As,la probabilidad mxima de no
.0675,Ãuna noticia no muy alentadora para Smart!
Ejemplo 6.3-3(Acertijo de las tres jarras)Una jarra de 8 galones est llena de lquido.Dado que hay dos jarras vacas de 5 y 3 galones,di-vida los 8 galones de lquido en dos partes iguales utilizando slo las tres jarras.ÃCul es el mni-Probablemente pueda resolver este acertijo mediante inspeccin.No obstante,el proceso delas jarras de 8,5 y 3 galones,respectivamente.Esto quiere decir que la red se inicia con el nodo(8,0,0) y termina con la solucin deseada (4,4,0).Se genera un nuevo nodo a partir del nodo ac-(4,4,0).El arco entre dos nodos sucesivos representa una sola transferencia,y de ah que pode-mos suponer que tenemos una longitud de una unidad.El problema se reduce por lo tanto a deter-minarla
La solucin ptima dada por la ruta de la figura 6.13 requiere 7 decantaciones.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3Amxima de 4.El horizonte de planificacin abarca desde el principio del ao 1 hasta fina-les del ao 5.La siguiente tabla proporciona los datos necesarios.
5,0,3
3,5,0
1,4,3
8,0,0
5,3,0DeclinacinInicio
3,2,3
1,5,2
6,2,0
6,0,2
2,3,3
2,5,1
7,0,1
7,1,0
4,1,3
4,4,0
Captulo 6Modelo de redesLa figura 6.14 muestra la red de comunicacin entre dos estaciones,1 y 7.La probabili-dad de que un enlace en la red opere sin fallas se muestra en cada arco.Se envan mensa-jes de la estacin 1 a la estacin 7,y el objetivo es determinar la ruta que maximice laprobabilidad de una transmisin exitosa.Formule la situacin como un modelo de la rutams corta,y determine la solucin ptima..DirectCo vende mercanca cuyas demandas a lo largo delos prximos 4 meses son 100,140,210 y 180 unidades,respectivamente.La compaapuede mantener existencias suficientes para satisfacer la demanda de cada mes,o bientener existencias de ms para satisfacer la demanda de dos o ms meses consecutivos.Enel ltimo caso,se carga un costo de retencin de $1.20 por cada unidad de ms por mes.deben ser de $15,$12,$10 y $14,respectivamente.Se incurre en un costo de preparacinde $200 cada vez que se coloca un pedido de compra.La compaa desea desarrollar unplan de compra que minimice los costos totales de colocar un pedido,comprar y retenerla mercanca en existencia.Formule el problema como un modelo de la ruta ms corta,yuse TORA para determinar la solucin ptima.Problema de Knapsack.Un ciclista utiliza una mochila de 5 piessobre los artculos ms valiosos que hay que llevar en un viaje.Hay tres artculos a esco-ger.Sus volmenes son de 2,3 y 4 pies;el ciclista estima que sus valores asociados enuna escala del 0 al 100 son 30,50 y 70,respectivamente.Exprese el problema como unared de la ruta ms larga,y determine la solucin ptima.((i,v],donde .Para resolverlo conRed para el problema 2,conjunto 6.3a
.5.95.65.5.6.3.9.9.8.8.7.85
2
4
5
3
6
1
7
234380041006800
6.3Problema de la ruta ms cortaTORA,convierta el problema de ruta ms larga en uno de ruta ms corta,utilizando unaUn tostador elctrico antiguo tiene dos puertas de gozne accionadas por resorte.Las dospuertas se abren hacia afuera en direcciones opuestas lejos del elemento calefactor.Unarebanada de pan se tuesta por un lado a la vez,al empujar una de las puertas para que seabra y colocar la rebanada con la otra mano.Despus de que se tuesta un lado,se le davuelta a la rebanada para tostar el otro lado.El objetivo es determinar la secuencia deoperaciones (colocar,tostar,dar vuelta y sacar) necesarias para tostar las tres rebanadasde pan en el menor tiempo posible.Formule el problema como un modelo de ruta mscorta,aplicando los siguientes tiempos elementales de las diferentes operaciones:
Operacin
Tiempo (segundos)Tostar un lado
6.3.2Algoritmos de la ruta ms cortaEsta seccin presenta dos algoritmos para resolver tanto redes cclicas (es decir,queEn esencia,el algoritmo de Floyd incluye a Dijkstra.).El algoritmo define la etiqueta para unLa etiqueta para el nodo de inicio es [0,2],que indica que el nodo no tiene predecesor..Una etiqueta temporal en un nodo se modifica si puede hallarse una rutams corta al nodo.De lo contrario,el estado temporal cambia a permanente.Paso 0.aso 0.2].Establezca i51.Paso general aso general ui1dij,i] para cada nodo jcon dij.0,siempre que j no est etiquetado permanentemente.Si el nodo Si el nodo uj,k] hasta otro nodo ky si ui+dij,uj,reemplace [
Captulo 6Modelo de redesdetngase.De lo con-trario,seleccione la etiqueta [riamente).Establezca
1) y las otras cuatro ciudades (nodos 2 a 5).Determine las rutas ms cortas entre la ciudad 1 ycada una de las cuatro ciudades restantes.Iteracin0.0.2] al nodo 1.Iteracin1.nentemente).As,la lista de nodos etiquetados (temporales y permanentes) es
Nodo
Etiqueta
0, Ã]Permanenteermanente+100, 1]=[100, 1]Temporal emporal +30, 1]=[30, 1]Temporal
Nodo
Etiqueta
[0,Ã]Ã]TemporalemporalPermanenteermanente+10, 3]=[40, 3]Temporalemporal+60, 3]=[90, 3]Temporal
FIGURA 6.15Ejemplo de red para el algoritmo de la ruta ms corta de Dijkstra
1
3060
3
4
5
Para las dos etiquetas temporales [100,1] y [30,1],el nodo 3 da la distancia mni-30).De este modo,el estado del nodo 3 cambia a permanente.Se puede llegar a los nodos 4 y 5 desde el nodo 3,y la lista de los nodos etique-
6.3Problema de la ruta ms cortaDesde el nodo 4 se puede llegar a los nodos 2 y 5 As,la lista de los nodos eti-En el nodo 2,la nueva etiqueta [55,4] reemplaza a la etiqueta temporal [100,1]de la iteracin 1 porque proporciona una ruta ms corta.Adems,en la itera-90).La etiqueta temporal [55,4] en el nodo 2 ahora es permanente (2.Por consiguiente el nodo 3 no puede ser reetiquetado.La nueva lista de eti-nodo 2 ahora es permanente.Esto deja al nodo 5 como la nica etiqueta tempo-ral.Como el nodo 5 no conduce a otros nodos,su etiqueta se hace permanente,yLos clculos del algoritmo pueden realizarse directamente en la red,como lo demuestra laetiquetas permanentes.Por ejemplo,la siguiente secuencia determina la ruta ms corta del nodo
Por lo tanto,la ruta deseada es 1 2 con una distancia total de 55 millas.
Nodo
Etiqueta
[0,Ã]Ã]+15, 4]=[55, 4]TemporalemporalPermanente4[40, 3]Permanenteo[90, 3][90, 3]+50, 4]=[90, 4]Temporal
1
2[100,1](1)[55,4](3)[90,3](2)[90,4](3)[0,](1)[30,1](1)[40,3](2)3060100( ) iteracin10502015
3
4
5
FIGURA 6.16Procedimiento de etiquetado en el algoritmo de Dijkstra
Captulo 6Modelo de redes
Puede usarse TORA para generar las iteraciones de Dijkstra.En el men.El archivo
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3BProblema 1,conjunto 6.3a.Problema 2,conjunto 6.3a.Problema 4,conjunto 6.3a.
DijkstraÃs algorithmQ
IterationsQ
Solve problem
Red para el problema 1,conjunto 6.3b
4
2
7
8
1
54851117522226363
6
3
Red para el problema 2,conjunto 6.3b
3
5
2
1
477766635529721714
6
6.3Problema de la ruta ms cortaAlgoritmo de Floyd.en la red.El algoritmo representa una red decolumnas.La entrada (,la cual es finita si ,e infinita en caso contrario.La idea del algoritmo de Floyd es simple.Dados tres nodos,6.19 con las distancias de conexin que se muestran en los tres arcos,es ms corto lle-Paso 0.(todos los elementos en las diagonales estn bloqueados).Establezca
i
k
j
dkjdikdij
oooooooooooooo1Ã221Ãoooooooooooo
Paso general k.,para todas las .Si
Captulo 6Modelo de redesse satisface,realice los siguientes cambios:.Establezca 1.Si detngase:de lo contrario repita el paso en la figura 6.20.Aqu,la fila definen la fila y columna pivote actuales.Larepresenta cualquiera de las filas 1,2,Ã,y 1,y la fila 2,Ã,y .Asimismo,la columna lumnas 1,2,Ã,y 1,y la columna 2,Ã,y .La puede aplicarse como sigue:Si la suma de los en la fila pivote y la columna (mostrados por cuadrados) es menor que el eleinterseccin asociado (mostrado por un crculo),entonces es ptimo reemplazar la dis-tancia de interseccin por la suma de las distancias pivote.pasos,podemos determinar la ruta ms corta entre los nodos ,a partir de ,da la ruta ms corta entre los nodos ,determine el nodo intermedio .Si ,detngase;todos los nodos intermedios de la ruta hansido encontrados.De lo contrario,repita el procedimiento entre los nodos y entre los nodos
Para la red de la figura 6.21,halle las rutas ms cortas entre cada dos nodos.Las distancias (enmillas) se dan en los arcos.El arco (3,5) es direccional,es decir,no se permite el trfico del nodo5 al nodo 3.Todos los dems arcos permiten el trfico en dos direcciones.
dijdiqdikColumnajColumnaqColumnapivotek
dpjdpqdpk
dkjFila iFila pFila pivote k
dkq
6.3Problema de la ruta ms cortaes simtrica,ex-12345123451Ã3101Ã234523Ã21Ã345310Ã615312Ã4556Ã44123Ã5qqq4Ã51234Ã
12345123451Ã3101Ã234523Ã21Ã310Ã61531Ã4556Ã44123Ã5qqq4Ã51234Ã1.La fila y columna pivotes se muestran por la primera fila y la.Las celdas ms oscu-ras,,son las nicas que la puede mejorar.Por lo tanto,
25
44101563
5
1
3
12345123451Ã3101Ã2323Ã13521Ã14531013Ã615311Ã4556Ã4423Ã5qqq4Ã51234Ã2,como se muestra mediante la fila y columna ligeramente som-.La
Captulo 6Modelo de redes4,como se muestra por la fila y columna sombreadas en .Las5,como se muestra mediante la fila y columna sombreadas en ruta ms corta entre dos nodos cualesquiera en la red.Por ejemplo,desde ,la distancia ms12 millas.Para determinar la ruta asociada,recordemos que.De lo contrario,
12345123451Ã31081Ã23223Ã21Ã3104856Ã4223Ã5129104Ã5444
12345123451Ã31081Ã23223Ã13521Ã1431013Ã615311Ã454856Ã44223Ã5qqq4Ã51234Ã3,como se muestra por la fila y columna sombreadas en .Lasdos por al menos otro nodo intermedio.Como 5,la ruta inicialmente se da como 1 5.Ahora,como 4,el segmento (1,4) no es un vnculo ,y 1 4,y la ruta 1 5.Luego,como 4,y
5,no se requieren ms ÃdiseccionesÃ,y 1
Como en el algoritmo de Dijkstra,TORA puede usarse para generar las iteraciones de Floyd.En el menseleccione las opciones
.El archivo CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3CEn el ejemplo 6.3-5,use el algoritmo de Floyd para determinar las rutas ms cortas entre
FloydÃs algorithmQ
IterationsQ
Solve problem
SOLVE/MODIFY
6.3Problema de la ruta ms cortaAplique el algoritmo de Floyd a la red de la figura 6.22.Los arcos (7,6) y (6,4) son unidi-reccionales,y todas las distancias estn en millas.Determine la ruta ms corta entre losLa compaa de telefona celular Tell-All da servicio a seis reas geogrficas.Las distan-cias de satlite (en millas) entre las seis reas se dan en la figura 6.23.Tell-All necesitaSeis nios,Joe,Kay,Jim,Bob,Rae y Kim juegan una variante del juego infantil de lases-.Slo algunos de los nios conocen el escondite de un nio.Luego un nio hacepareja con otro con el objetivo de encontrar el escondite del compaero.Esto puede lo-dite del nio designado.Por ejemplo,suponga que Joe tiene que encontrar a Kim y queJoe sabe dnde est escondido Jim,quien a su vez sabe dnde est escondido Kim.Por lotanto,Joe puede encontrar a Kim si halla primero a Jim,quien a su vez conducir a Joe alescondite de Kim.La siguiente lista proporciona los paraderos de los nios:Joe conoce los escondites de Bob y Kim.Kay conoce los escondites de Bob,Jim y Rae.Jim y Bob conocen slo el escondite de Kay.Kim conoce los escondites de Joe y Bob.mnimode contactos.ÃCul es el nmero mximo de contactos?Red para el problema 2,conjunto 6.3c
2
42
5113341512753
6
7
1
3
Red para el problema 3,conjunto 6.3c
2
4
6300300400600200200100700700500
5
1
3
Captulo 6Modelo de redes6.3.3Formulacin de programacin lineal del problema de la ruta ms cortaEsta seccin proporciona un modelo de PL para el problema de la ruta ms corta.Elcorta entre dos nodos cualesquiera en la red.Al respecto,es equivalente al algoritmonodos.La PL asume que una unidad de flujo entra a la red por el nodo Por lo tanto,la funcin objetivo del programa lineal esecuacin de la conservacin del flujoMatemticamente,esto se traduce as para el nodo
En la red del ejemplo 6.3-4,supongamos que deseamos determinar la ruta ms corta del nodo 1al nodo 2;es decir,2.La figura 6.24 muestra cmo entra la unidad de flujo en el nodoNodo 1:1 =
6.3Problema de la ruta ms corta
2
4
111
3306020101550100
5
x12
x13
x23
x34
x35
x42
x45
100302010601550
tiene exactamente un Ã1Ãen la fila y un Ã1Ãen la fila ,una pro-La solucin ptima (obtenida por TORA,archivo 2,y la distanciaComentarios.En la PL dada,la restriccin del nodo 5 indica que 0.El tamao de
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3DEn el ejemplo 6.3-6,use programacin lineal para determinar la ruta ms corta entre los
Captulo 6Modelo de redes
).Los datosde entrada del modelo son la matriz de distancias en las celdas B3:E6.El nodo N1 no tiene ningunacolumna porque no tiene arcos de entrada,y el nodo 5 no tiene ninguna fila porque no tiene arcosde salida.Una celda en blanco representa un segmento de ruta no existente (es decir,un arco de lon-gitud infinita).(En breve veremos cmo se reconoce la presencia de celdas en blanco en las frmu-las de la hoja de clculo.) Los nodos N1 y N2 se designan como nodos de sando un 1 en F3 y B7,respectivamente.Estas designaciones pueden cambiarse como se desee.Porejemplo,para determinar la ruta ms corta del nodo N2 al nodo N4,ingrese 1 en F4 y D7.Como se explica en la PL del ejemplo 6.3-6,las restricciones del problema tienen la formade la ecuacin,es decir,En la hoja de clculo,B3:E6 designa la matriz de ,B9:E12 designa las,F3:F6 designa el flujo unitario de (externo),y B7:E7 designa el flujo(externo).Por lo tanto,
6.3Problema de la ruta ms cortaB3:E6 representan rutas bloqueadas.Podemos utilizar SUMIF en lugar de SUM,para tener eningresan las frmulas modificadas en la hoja de clculo.Ingrese= ΩSUMIF(B3:E3,Ã0Ã,B9:E9)-F3Ingrese= ΩSUMIF(B3:B6,Ã0Ã,B9:B12)-B7Ingrese= para transponer el flujo de entrada a la columna G.unitario externo.Ingrese= en la celda H9 y cpiela en las celdas H10:H13 para calcular el flujo neto.Para la funcin objetivo,ingrese en la celda G14=de forma equivalente,La hoja de clculo ya est lista para la aplicacin de Solver en la figura 6.25.Las celdas B9:E12representan la solucin del modelo.Si la celda (Ni,Nj) 1,entonces el segmento (Ni,Nj) est en laruta ms corta.La pantalla de resultados en la figura 6.25 da la solucin (N1 1,N3 1).La ruta ptima es 1 2,con una distancia total de 55 millas.Comentarios.En la mayora de los libros de texto,los arcos explcitos (nodo ,nodo ,distancia)definen la red como un modelo incmodo de manejar,sobre todo cuando la cantidad de arcos esgrande.Nuestro modelo est controlado por la matriz de distancias compacta (B3:E6) y sus flu-jos externos (E3:E6) y B7:E7).Se puede argumentar,sin embargo,que nuestro modelo podramanejar una cantidad mucho ms grande de variables.Digamos que el ejemplo 6.3-6 tiene 7arcos y por consiguiente 7 variables,en contraste con 4 lacin.Tenga en cuenta que si se utiliza SUMIF,las restricciones del flujo son queen otras presentaciones.Esto quiere decir que las 9 variables adicionales aparecenslo en la funcin objetivo y con coeficientes cero (entradas en blanco en B3:B6).En conse-cuencia,los en paquetes de software comerciales detectarn esta Ãpeculiari-dadÃy de forma automtica excluirn las variables adicionales de la funcin objetivo antes de
resolver el problema,con lo que producirn el como en otras presentaciones. Ecuacin del nodo N5: [0Ecuacin del nodo N5: [0()-E7]=0 Ecuacin del nodo N4: [SUM(B12:E12)Ecuacin del nodo N4: [SUM(B12:E12)()-D7]=0 Ecuacin del nodo N3: [SUM(B11:E11)Ecuacin del nodo N3: [SUM(B11:E11)()-C7]=0 Ecuacin del nodo N2: [SUM(B10:E10)Ecuacin del nodo N2: [SUM(B10:E10)()-B7]=0 Ecuacin del nodo N1: [SUM(B9:E9)
La idea es que la hoja de clculo trata una celda en blanco como un valor cero.Si sucede que un problematiene una distancia cero entre nodos,la distancia cero puede reemplazarse con un valor positivo muy pequeo.La solucin del modelo presenta una curiosa ocurrencia.Si la restriccin netFlow outFlow = inFlowSolver Parameters,Solver no determina una solucin factible,incluso si se ajusta la Solver Option.(Para reproducir esta experiencia,lasB9:E12 deben ser cero o estar vacas.) An ms curioso,si las restricciones se reemplazaninFlowoutFlow,se encuentra la solucin ptima.No est claro por qu ocurre esta peculiaridad,peroel problema puede estar relacionado con error de redondeo.
Captulo 6Modelo de redes
proporciona el modelo para resolver el ejemplo 6.3-6.El modelo escualesquiera en un problema de cualquier tamao.El modelo se explica en la seccin C.9 en el
sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.3EamplEx6.3-6b.txt para el problema 2,conjunto 6.3a,para hallar la rutams corta entre el nodo 1 y el nodo 7.Los datos de entrada deben ser las probabilidadespuras.Use las funciones de programacin para imprimir y visualizar en pantalla la rutade transmisin ptima y su probabilidad de xito.6.4MODELO DE FLUJO MçXIMOfineras.Se instalan estaciones intermedias de reforzamiento y bombeo a distanciasapropiadas para mover el crudo en la red.Cada segmento de tubera tiene una veloci-dad de descarga finita (o capacidad) de flujo de crudo.Un segmento de tubera puedeser unidireccional o bidireccional,segn su diseo.La figura 6.26 muestra una red de oleo-ductos tpica.El objetivo es determinar la capacidad de flujo mxima de la red.sumidero o vertedero,utilizando arcos de capacidad infinita unidireccionales,como se),la notacinproporciona las capacidades de flujo en las.Para eliminar la ambigedad,colocamos ajunto aly ajunto al nodo ,como se muestra en la figura 6.27.
jiC
ij(C
ij, C
ji)FIGURA 6.26Red capacitada que conecta los pozos y las refineras por medio de estaciones reforzadoras
2
5PozosReforzadoresFuenteSumideroRefineras
1
4
9
7
3
6
8
6.4Modelo de flujo mximo
i
jCijCji
FIGURA 6.28Ejemplos de cortes en redes de flujo
2
5
1101053030040000Corte 1Corte 3Corte 2000202020
4
3
6.4.1Enumeracin de cortesentre los nodos fuente y sumidero.La capacidad de cortepacidades de su conjunto de arcos.Entre los cortes posibles en la red,el corte con
Considere la red de la figura 6.28.Las capacidades bidireccionales se muestran en los arcos res-pectivos por medio de la convencin utilizada en la figura 6.27.Por ejemplo,el lmite de flujopara el arco (3,4) es de 10 unidades de 3 a 4,y de 5 unidades de 4 a 3.60 unidades.Para determinar el flujo mximo es necesario enumerar los cortes,una tarea
difcil para la red general.Por lo tanto,la necesidad de un algoritmo eficiente es imperativa.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.4APara la red de la figura 6.28,determine dos cortes ms y encuentre sus capacidades.
Corte
Arcos asociados
(1,2),(1,3),(1,4)2(1,3),(1,4),(2,3),(2,5)3(2,5),(3,5),(4,5)
Captulo 6Modelo de redes6.4.2Algoritmo de flujo mximorutas de avance nodos fuente y sumidero.Cada ruta destina una parte de o todas las capacidades de susConsidere el arco (i,j) con las capacidades bidireccionales (de diseo).Como algunas partes de estas capacidades se destinan al flujo en el arco,losresiduos(capacidades no utilizadas,o flujo remanente) del arco se actualizan.) para representar los residuos.
ij, C
,anexamos la etiqueta [Paso 1.Para todos los arcos,iguale la capacidad residual a la capacidad de diseo,.Sea ,y etiquete el nodo fuente con [1,y contine con el paso 2.Paso 2.,el conjunto de nodos no etiquetados (es decir,).Si Si ,contine con el paso 3.De lo contrario,.Contine con el paso 4.Paso 3.aso 3.ak,i].Si ,el nodo sumideroha sido etiquetado,y se ha encontrado una ,contine con elpaso 5.De lo contrario,designe ,y vaya al paso 2.Paso 4.(Retroceso).Si 1,no es posible avanzar;contine con el paso 6.De locontrario,sea ,y elimine .De-,y regrese al paso 2.Paso 5.(Determinacin de los residuos).Defina los nodos de la ruta de avance ).Entonces el flujoen la direccin del flujo,y se en la direccin inversa;esdecir,para los nodos en la ruta,el flujo residual cambia del actual (Restaure los nodos que se eliminaron en el paso 4.Designe 1,y regresePaso 6.(Solucin).rutas de avance,el flujo mximo en la red es
ij, C
ji)
6.4Modelo de flujo mximo
(a)
4
255[5, 1][5, 2][5, 3][, ]55000005
1
3
4
250[5, 3][5, 1][5, 2][, ]05550500
1
3No hay avance(c)
4
20050505550
1
3Ruta: 1 2 3 4, f1 5
(b)Ruta: 1 3 2 4, f2 5
),,y ,respectivamente,el flujo ptimo en el .Si .Por otra parte,si 0,el flujo ptimo de .(Es imposible que sean positivos al mismo tiempo.)nodo intermedio.El ajuste del flujo en el paso 5 puede explicarse mediante la red deflujo simple de la figura 6.29.La red (a) proporciona la primera ruta de avance [1,2,3,4] con su flujo mximo 5.Por lo tanto,los residuos de cada uno de los arcos (1,2),(2,3) y (3,4) cambian de (5,0) a (0,5),de acuerdo con el paso 5.La red (b) da ahora la[1,2,3,4] con 5.Despus de hacer los ajustes delflujo necesarios,obtenemos la red (c),donde ya no son posibles ms rutas de avance.Lo que sucedi en la transicin de (b) a (c) no fue sino una cancelacin del flujo pre-3,y en esencia ello permite el flujoslo en10.).El algoritmo ÃrecuerdaÃ
Determine el flujo mximo en la red del ejemplo 6.4-1 (figura 6.28).La figura 6.30 proporcionaun resumen grfico de las iteraciones del algoritmo.Ver que es til comparar la descripcin delas iteraciones con el resumen grfico.) a las capacidades iniciales.Paso 1.aso 1.q,2].Establezca Paso 2.Paso 3.3,porque porque c12,c13,c14] 5mx [20,30,10].Establezca etiquete el nodo 3 con [30,1].Establezca Paso 2.(4,5).{2, 3, 4} (
ij, C
ji)(a, b)=(C
ij-cij, C
ji-cji)(cij, cji)(C
ij, C
ji)
Captulo 6Modelo de redes
4
1
5
2
3001030020
[20, 3][30, 1]
4
1
5
2
30010301010
[30, 2][30, 2][10, 1]
4
1
5
2
30201010200
[10, 4][15, 4]
4
1
5
2
3001030020
[10, 3][20, 4][40, 2][20, 1]
4
1
5
2
30101020200
[20, 2][10, 1][10, 3]
4
1
5
2
31020010200004000200302015
(Iteracin 1) f1 5 20(Iteracin 2) f2 5 10(Iteracin 3) f3 5 10(Iteracin 4) f4 5 10(Iteracin 5) f5 5 10(Iteracin 6) No hay ruta de avance
Paso 3.[10,20] 20.Etiquete el nodo 5 con [20,3].Se logra el avan-ce.Contine con el paso 5.Paso 5.do al nodo 1;es decir (es decir (3] S(3) S[30,1] S(1).De este modo,[1,3,5] y ,30,20} 20.Las capacidades residuales a lo largo de la ruta
6.4Modelo de flujo mximoPaso 1.,y etiquete el nodo 1 con [].Establezca Paso 2.{2,3,4}.Paso 3.{20,10,10}.Establezca 2,y repita el paso 2.Paso 2.Paso 3.40.Etiquete el nodo 3 con [40,2].Designe Paso 2.0,de ah que el nodo 5 no pueda incluirse en Paso 3.10.Etiquete el nodo 4 con [10,3].Establezca 4,y repita el paso 2.Paso 2.{5} (observe que los nodos 1 y 3 ya estn etiquetados,por lo tanto,no puedenPaso 3.20.Etiquete el nodo 5 con [20,4].Se logr una ruta de avance.VayaPaso 5.{1,2,3,4,5} y ,20,40,10,20} 10.Los residuos a lo largo de la rutaPaso 1.,y etiquete el nodo 1 con [].Establezca Paso 2.{2,3,4}.Paso 3.{10,10,10}.(Aunque los empates se rompen arbitrariamente,TORA siempre selecciona el nodo empatado con el ndice menor.Utilizaremos estaconvencin a lo largo del ejemplo.) Etiquete el nodo 2 con [10,1].Haga 2,y repitaPaso 2.Paso 3.30.Etiquete el nodo 3 con [30,2].Establezca 3,y repita el paso 2.Paso 2.aso 2.(porque c345c3550).Vaya al paso 4 para retroceder Paso 4.Retroceso..r52.Elimine el nodo 3 tachndolo para ya no considerarlo en esta iteracin.Establezca 2,y repita el paso 2.Paso 2.Paso 3.30.Etiquete el nodo 5 con [30,2].Se logr una ruta de avance.VayaPaso 5.{1,2,5} y 10.Los residuos a lo largo de la ruta de
Captulo 6Modelo de redesTodos los arcos que parten del nodo 1 tienen residuos cero.Por lo tanto,no son posibles msrutas de avance.Procedemos al paso 6 para determinar la solucin.Paso 6.dades.El flujo en los arcos individuales se calcula restando los ltimos residuos (en la iteracin 6 de las capacidades de diseo ,como lo muestra la siguiente
ij, C
ji)
Podemos utilizar TORA para resolver el modelo de flujo mximo en un modo automtico unaiteracin a la vez.Seleccione el meny la opcin.Despusde especificar el formato de salida,vaya a la pantalla de resultados y seleccione la opcin
o .El archivo CONJUNTO DE PROBLEMAS6.4BDetermine las capacidades excedentes para todos los arcos.Determine la cantidad de flujo a travs de los nodos 2,3,y 4.Tres refineras envan un producto de gasolina a dos terminales de distribucin a travsde una red de oleoductos.Cualquier demanda que no puede ser satisfecha por medio de
Iterations
Maximum Flows
Solve Problem
SOLVE/MODIFY
Arco
(C
ij, C
ji)-(cij, cji)6
Cantidad de flujo
(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,5)(3,4)(3,5)(4,3)(4,5)
6.4Modelo de flujo mximoRed para el problema 2,conjunto 6.4b
2
1814775000001010966504
3
4
5
Red para el problema 3,conjunto 6.4b
2
10 20
115 50 20 3
4
7
8
5
20
10
30
62010 30 50
Terminale
la red se adquiere de otras fuentes.Tres estaciones de bombeo le dan servicio a la red,como se muestra en la figura 6.32.El producto fluye en la red en la direccin indicadapor las flechas.La capacidad de cada segmento de ducto (mostrada directamente en losarcos) est en millones de barriles por da.Determine lo siguiente:limitada a 50 millones de barriles por da.Remodele la red para incluir esta restriccin.granjas.Algunos de los silos no pueden mandar los envos directamente a algunas de lasgranjas.Las capacidades de las dems rutas estn limitadas por la cantidad de camiones
Captulo 6Modelo de redes
disponibles y el nmero de viajes realizados diariamente.La siguiente tabla muestra lasciadas.En el problema 5,suponga que se permite el transbordo entre los silos 1 y 2 y los silos 2 y 3.Suponga adems que se permite el transbordo entre las granjas 1 y 2,2 y 3,y 3 y 4.La capaci-dad diaria en dos direcciones mxima en las rutas de transbordo propuestas es de 50 (mil) lb.Un padre tiene cinco hijos (adolescentes) y cinco tareas domsticas que encomendarles.contraproducente.Con esto en mente,el padre les pide a sus hijos que enumeren sus pre-ferencias entre las cinco tareas,como lo muestra la siguiente tabla:1305040Silo2005903100403040200106020
6.4Modelo de flujo mximo
Hijo
Tarea preferida3,4 o 5Mai1Ben1 o 2Kim1,2 o 5Ken2
El objetivo del padre ahora es terminar la mayor parte posible de tareas,al tiempoque respeta las preferencias de sus hijos.Cuatro fbricas producen cuatro tipos de juguetes.La siguiente tabla da una lista de losjuguetes que cada fbrica puede producir.Todos los juguetes requieren de alguna manera la misma mano de obra y materialpor unidad.Las capacidades diarias de las cuatro fbricas son de 250,180,300 y 100 ju-guetes,respectivamente.Las demandas diarias de los cuatro juguetes son 200,150,350 y100 unidades,respectivamente.Determine los programas de produccin de las fbricasque ms satisfarn las demandas de los cuatro juguetes.Elconsejo acadmico en la Universidad de Arkansas est buscando representantes entreseis estudiantes que estn afiliados a sociedades honorficas.La representacin ante elconsejo acadmico incluye tres reas:matemticas,arte e ingeniera.Cuando mucho dosestudiantes de cada rea pueden estar en el consejo.La siguiente tabla muestra la mem-Los estudiantes calificados en las reas de matemticas,arte e ingeniera se mues-
Fbrica
1,2,3
Sociedad
1,2,31,3,53,4,51,2,4,6
çrea
1,2,43,44,5,6
Captulo 6Modelo de redesslo un rea.ÃPueden estar representadas las cuatro sociedades honorficas en el consejo?Flujo mximo/mnimo en redes con lmites inferiores.esta seccin asume que todos los arcos tienen lmites inferiores de cero.En algunos modeloslos lmites inferiores pueden ser estrictamente positivos,y podemos estar interesados en de-terminar el flujo mximo o mnimo en la red (vea el caso 6-3 en el apndice E).La presenciaen absoluto.El objetivo de este ejercicio es demostrar que cualquier modelo de flujo mxi-mo o mnimo con lmites inferiores positivos puede ser resuelto siguiendo dos pasos.Paso 1.Determine una solucin factible para la red con lmites inferiores positivos.Paso 2.Con la solucin factible del paso 1,determine el flujo mximo o mnimo en laDemuestre que hallar una solucin factible para la red original equivale a deter-minar el flujo mximo en la red despus de (1) modificar los lmites en (2)ÃconcentrarÃtodas las fuentes resultantes en una sper fuente;(3) ÃconcentrarÃtodos los sumideros resultantes,y (4) conectar el nodode retorno.Existe una solucin factible si el flujo mximo en la nueva red es igual ala suma de los lmites inferiores en la red original.Aplique el procedimiento a laen la red original.(residuo dada la solucin factible inicial.Luego determine el flujo mximo del nodo inicial al nodo final.Ahora,combinando las soluciones factible y de flujodeterminar el flujo mximo en la red original.(Como en (c),inicie con lared residuo.Luego aplique el algoritmo de avance a la red residuo resultante,exacta-mente como en el modelo de flujo mximo regular.)6.4.3Formulacin de programacin lineal en el modo de flujo mximo .El objetivo es de-excepto en los nodos
Arco ()
(1,2)(5,20)(1,3)(0,15)(2,3)(4,10)(2,4)(3,15)(3,4)(0,20)
6.4Modelo de flujo mximo
5.La siguiente tablaresume la PL asociada con dos funciones objetivo diferentes,pero equivalentes,segn si maxi-
x12
x13
x14
x23
x25
x34
x35
x43
x45
Maximizar 1=
Maximizar 2=
1
1
1
1
1
1
20301040301020520
La solucin ptima utilizando una u otra funcin objetiva es
El flujo mximo asociado es 15z2560.
).La idea general es parecida a la del modelo de la ruta ms corta,que se detalla siguiendoel ejemplo 6.3-6.Las diferencias principales incluyen las siguientes:(1) no hay ecuaciones deflujo para el nodo inicial 1 y el nodo final 5,y (2) el objetivo es maximizar el flujo de salida totalen el nodo inicial 1 (F9) o,de forma equivalente,el flujo de entrada total en el nodo terminal 5(G13).El archivo 13 como celda objetivo.Trate de ejecutar el modelo con
G13 reemplazando a F9.
quiera de los dos nodos en la red del ejemplo 6.4-2.El modelo se aplica a cualquier cantidad de
nodos.La explicacin del modelo se detalla en la seccin C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.4CModele cada uno de los siguientes problemas como un programa lineal,luego resulvaloutilizando Solver o AMPL.Problema 2,conjunto 6.4b.Problema 5,conjunto 6.4b.Problema 9,conjunto 6.4b.
Captulo 6Modelo de redesRed para el problema 2,conjunto 6.4c
1
4
9
12
Y
14
13
10
11
8
7
3
6
5
2
D
Red para el problema 3,conjunto 6.4c
2
7
9
8
5
4
3
1
6
Jim vive en Denver,Colorado,y le gustar pasar sus vacaciones anuales en el ParqueNacional de Yellowstone en Wyoming.Por ser un amante de la naturaleza,Jim toma unaruta escnica diferente cada ao.Despus de consultar los mapas apropiados,Jim repre-sent sus rutas preferidas entre Denver (D) y Yellowstone (Y) por medio de la red de lafigura 6.34.Los nodos 1 a 14 representan ciudades intermedias.Aunque la distancia demanejo no es un factor,la estipulacin de Jim es que las rutas seleccionadas entre D y Yno incluyan ciudades comunes.Determine (por medio de AMPL o Solver) todas las rutasdistintas disponibles para Jim.((Guret and Associates,2002,seccin 12.1) En la figura 6.35 se aparece un sistema de tele-comunicacin militar que conecta 9 sitios .Los sitios 4 y 7 deben continuar comunicndo-
6.5CPM y PERTFases para la planificacin de un proyecto con CMP-PERT
RedCronogramaTiempoActividadesdel proyecto
Clculode red
se incluso si otros tres sitios son destruidos por acciones enemigas.ÃSatisface este requisi-to la red de comunicaciones actual? Utilice AMPL y Solver para resolver el problema.6.5CPM Y PERTEl mtodo de la ruta crtica (CPM,por sus siglas en ingls) y la tcnica de evaluacin yrevisin de programas (PERT,por sus siglas en ingls) son mtodos basados en redesdiseados para ayudar a planificar,programar y controlar proyectos.Un proyecto seme tiempo y recursos.El objetivo de CPM y PERT es idear herramientas analticaspara programar las actividades.La figura 6.36 resume los pasos de las tcnicas.Primerodefinimos las actividades del proyecto,sus relaciones de precedencia y sus requeri-mientos de tiempo.Luego se modelan las relaciones de precedencia entre las activida-des como una red.El tercer paso implica clculos especficos para desarrollar el crono-grama.Durante la fase de ejecucin real,es posible que la ejecucin de las actividadesno discurra como se plane,en el sentido de que algunas de las actividades pueden serdespachadas o demoradas.Cuando esto sucede,el programa se actualiza para reflejarlas realidades en el terreno.sta es la razn por la que se incluye un bucle de retroali-Las dos tcnicas,CPM y PERT,se desarrollaron de forma independiente.Difieren en que CPM asume duraciones de actividad determinsticas y PERT suponeduraciones probabilsticas.6.5.1Representacin en forma de reddel proyecto.Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las di-ferentes actividades.Se dispone de tres reglas para construir la red.Cada actividad est representada por uno,y slo un arco.de forma nica dos actividades concurrentes,.Por definicin,una actividad ficti-cia (representada por lneas de rayas) no consume tiempo ni recursos.La insercin de
Captulo 6Modelo de redesPara mantener las relaciones de precedencia correctas,hay que contestar las si-para garantizar la precedencia correcta entre las actividades.Por ejemplo,considere elhan completado.pueda iniciarse.En la parte (b),el uso de una actividad ficticia rectifica la situacin.
ADCBEBEAC
(
a
)(
b
)
FIGURA 6.37Uso de una actividad ficticia para representar de forma nica actividades concurrentes
AB213
AB213
BA213
B
ABA213
6.5CPM y PERT
3
2
918
4
57
E 2
A 3
B 2D 3
6
G 2
I 2F 2
J 4
H 1
C 4
Un editor firm un contrato con un autor para publicar un libro de texto.El autor somete a con-sideracin una copia impresa de un archivo de computadora del manuscrito.Las actividades
Actividad
Predecesora(s)
:Correccin del manuscrito,por parte del editor:Preparacin de pginas muestra :Diseo de la portada del libro:Preparacin de las ilustraciones :Aprobacin del manuscrito editado y depginas muestra,por parte del autorA,B:Formacin del libro:Revisin de las pginas formadas,por parte del autor:Revisin de las ilustraciones por el autor:Produccin de las placas de impresinG,H:Produccin y encuadernacin del libro
La figura 6.39 proporciona la red del proyecto.Una actividad ficticia (2,3) produce nodos.Conviene numerar los nodos en
orden ascendente en la direccin de avance del proyecto.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5A,con las siguientes rela-,las primeras actividades del proyecto,pueden ejecutarse de forma concu-rrente.son las actividades terminales del proyecto.
Captulo 6Modelo de redes,las primeras actividades del proyecto,pueden ejecutarse de forma concurrente.,pero no pueden iniciarse hasta que son las actividades terminales del proyecto.Los cimientos de un edificio pueden completarse en cuatro secciones consecutivas.Lasactividades de cada seccin incluyen (1) cavar;(2) colocar el acero,y (3) verter el concre-to.El cavado de una seccin no puede iniciarse hasta que se haya completado el de laseccin precedente.La misma restriccin se aplica al vertido del concreto.Desarrolle lared del proyecto.En el problema 3,suponga que 10% del trabajo de plomera puede iniciarse al mismotiempo del cavado de la primera seccin,pero antes de verter el concreto.Despus deque se completa cada una de las secciones de los cimientos,puede iniciarse un 5% adicio-nal de la plomera,siempre que se termine el 5% precedente.La plomera restante puedecompletarse al final del proyecto.Construya la red del proyecto.Una encuesta de opinin implica disear e imprimir cuestionarios,contratar y capacitarpersonal,seleccionar a los participantes,enviar por correo los cuestionarios,y analizar losdatos.Construya la red del proyecto,mencionando todos los supuestos.
Actividad
Predecesora(s)
:Llevar los servicios al terreno:Excavar:Colar los cimientos:Plomera externa:Armar la estructura de la casa:Instalar el cableado elctrico:Colocar el piso:Colocar el techo:Plomera interior:Colocar tejas:Recubrimiento aislante exterior:Instalar ventanas y puertas externas:Enladrillar:Aislar muros y cielo raso:Cubrir muros y cielo raso:Aislar techo:Terminar interiores :Terminar exteriores :Jardinera
6.5CPM y PERTUna compaa est preparando un presupuesto para lanzar un nuevo producto.La siguiente tabla muestra las actividades asociadas y su duracin.Construya la red del proyecto.
Actividad
Predecesora(s)
Pronosticar volumen de ventasÃ10:Estudiar el mercado competitivo:Disear artculo e instalaciones:Preparar el programa de produccin:Estimar el costo de la produccin:Fijar precio de venta:Preparar presupuesto
tabla.Construya la red del proyecto.
Actividad
Predecesora(s)
:Aprenderse la msica:Sacar copias y comprar libros:Audiciones :Ensayos:Rentar candelabros:Decorar los candelabros:Instalar las decoraciones:Pedir atuendos para el coro:Verificar el sistema de sonido:Seleccionar las pistas de msica:Instalar el sistema de sonido:Ensayo final E,G,L:Reunin del coroH,L,M:Programa final
pies de una lnea de transmisin primaria elevada de 13.8 kV.La siguiente tabla resumelas actividades del proyecto.Construya la red del proyecto asociada.
Actividad
Predecesora(s)
:Revisin del trabajo:Avisar a los clientes del corte temporal de corriente
:Tiendas de requisicin :Explorar el trabajo
:Asegurar los postes y materiales :Distribuir los postes
:Coordinar la ubicacin de postes
2H:Clavar estacasG1
:Cavar agujeros
Captulo 6Modelo de redesLa siguiente tabla presenta las actividades para adquirir un automvil nuevo.Construyala red del proyecto.6.5.2Clculos del mtodo de la ruta crtica (CPM)Duracin total necesaria para completar el proyecto.nados (fijos).Una actividad es tiempo mayor que su duracin,lo que permite tiempos de inicio y terminacin flexi-bles (dentro de los lmites).Una demora en el tiempo de inicio de una actividad crticadefinitivamente retrasa la terminacin del proyecto,en tanto que una demora en unaactividad no crtica quiz no afecte la fecha de terminacin del proyecto.
Actividad
Predecesora(s)
:Realizar estudio de factibilidad:Encontrar un comprador potencial para el automvil actual :Poner en lista los posibles modelos:Entrevistarse con el mecnico :Reunir publicidad del concesionario:Compilar los datos pertinentes:Completar los datos pertinentesD,E,F:Escoger tres modelos:Realizar prueba de manejo de las tres opciones:Conseguir garanta y datos de financiamiento :Escoger un automvil :Elegir el concesionario :Buscar el color y opciones deseadas:Realizar prueba de manejo del modelo una vez ms:Comprar el automvil nuevoB,M,N
Actividad
Predecesora(s)
:Colocar los postes:Cubrir los conductores viejos:Halar los conductores nuevos :Instalar el material restante :Deflexin de cable:Podar rboles :Reconectar la energa y conmutar lneasB,M,N,O
:Energizar y conmutar la nueva lnea
:Limpiar
6.5CPM y PERTPara realizar los clculos necesarios,definimos un eventotiempo en el cual se completan las actividades y se inician las subsiguientes.En funcinde la red,un evento corresponde a un nodo.SeanTiempo de ocurrencia ms temprano del evento Tiempo de ocurrencia ms tardo del evento Todos los tiempos de ocurrencia se miden a partir del inicio del proyecto.El lapso () es crtica,entonces .De lo contrario,Los clculos de la ruta crtica implican dos pasos:El paso retrasado mas tardosPaso adelantado (tiempos de ocurrencia ms tempranos,Paso inicial.Paso general ),(),Ã,y (,Ã,y ya se calcularon,en-.PorPaso retrasado (tiempos de ocurrencia ms tardos,Paso inicial.ltimo nodo son iguales a la duracin del proyecto.Paso general ,Ã,y ),(),Ã,y (,Ã,y ya se calcularon,el tiempo
Captulo 6Modelo de redesCon base en los clculos anteriores,una actividad (condiciones.teÃen el espacio de tiempo especificado.Una condicin que no satisface las tres condi-Por definicin,las actividades crticas de una red constituyen la ruta ms larga
Determine la ruta crtica para la red del proyecto que se muestra en la figura 6.40.Todas las du-raciones estn en das.Paso adelantadoLos clculos muestran que el proyecto puede completarse en 25 das.
563118
42
1
00
2525
1313
55
13
Terminacin Terminacin
Leyenda:
6.5CPM y PERTPaso retrasado0.Los clculos pueden hacerse direc-Aplicando las reglas para determinar las actividades crticas,la ruta crtica es 1 6,la cual,como se esperaba,abarca la res desde el inicio (nodo 1) hasta la terminacin(nodo 6).La suma de las duraciones de las actividades crticas [(1,2),(2,4),(4,5) y (5.6)] es igual25 das).Observe que la actividad (4,6) satisface las dos primeras
).De ah que la actividad es no crtica.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5BDetermine la ruta crtica para el proyecto del problema 6,conjunto 6.5a.Determine la ruta crtica para el proyecto del problema 8,conjunto 6.5a.Determine la ruta crtica para el proyecto del problema 9,conjunto 6.5a.Determine la ruta crtica para el proyecto del problema 10,conjunto 6.5a.6.5.3Construccin del cronogramalos en la seccin 6.5.2 para el desarrollo del cronograma.Reconocemos que para unaRed del proyecto para el problema 1,conjunto 6.5b
723
1
5
6
4
3332225267
Captulo 6Modelo de redesactividad (,y inicio ms tardo.Por lo tanto,el intervalo () puede programarse sin demorar todo el proyecto.Construccin de un programa preliminar.preliminar se ilustra con un ejemplo.
Podemos obtener un cronograma preliminar para las diferentes actividades del proyectoficada de 25 das.misibles mayores que sus respectivas duraciones,lo que permite una holgura (o ÃmargenÃ)al programarlas dentro de sus intervalos de tiempo asignados.po? Normalmente,es preferible iniciar cada actividad no crtica lo ms pronto posible.De estadas en la actividad.Puede ser necesario,sin embargo,retrasar el inicio de una actividad no crti-ca ms all de su tiempo de inicio ms temprano.Por ejemplo,en la figura 6.43,suponga queest disponible.Programar tanto tan pronto como sea posible,requiere dos excavado-ras entre los tiempos 8 y 10.Podemos eliminar el traslape iniciando Si todas las actividades no crticas pueden programarse lo ms pronto posible,el programaresultante siempre es factible.De lo contrario,pueden violarse algunas relaciones de preceden-cia si las actividades no crticas se demoran ms all de su tiempo de inicio ms temprano.Redes del proyecto para el problema 2,conjunto 6.5
74
72
1
5
6
3
4
3
1
2
6
5
5885443710391107510108731011512322Proyecto (a)Proyecto (b)
6.5CPM y PERTConsidere,por ejemplo,las actividades en la figura 6.43.En la red de proyecto (figura6.40),aunque ,los espacios de tiempo de entre los tiempos 6 y 9,y entre los tiempos 8 y 10,lo cual viola el requi-.Por lo tanto,es evidente la necesidad de una Ãseal rojaÃque revelede forma automtica el conflicto en el programa.Tal informacin se obtiene calculando los
(tambin conocidos como holguras) para las actividades no crticas.Determinacin de los flotantes.del espacio asignado de la actividad no crtica.Los tipos ms comunes son el flotante libre.Por definicinPara una actividad no crtica entonces su inicio puede demorarse en cuando mucho FFsin provocar un conflicto en el programa.Cualquier demoramayor que FF(pero no mayor que TF
01
Captulo 6Modelo de redesLa implicacin de la regla es que,si ,puede programarse una actividadgrama.De lo contrario,si ,la actividad (
Calcule los flotantes para las actividades no crticas de la red del ejemplo 6.5-2,y exponga su usoal finalizar un programa para el proyecto.La siguiente tabla resume los clculos de los flotantes total y libre.Para clculos manuales,
i
jij
j
DijTFij j i DijFFij j i Dij
Actividad no crtica
Duracin
Flotante total (ij)
(1,3)(2,3)(3,5)313(3,6)625(4,6)1125
.Las activi-parte entre sus tiempos de terminacin ms tempranos y ms tardos.Para investigar la importancia de las actividades marcadas con una seal roja,considere la2 das.Esta actividad puede iniciarse en cualquier tiempoentre 0 y 2 (su FF).Por otra parte,si
6.5CPM y PERTmarcada con una seal roja,su
menos una demora igual del tiempo de inicio de las actividades de su sucesor.
TORA incluye herramientas tutoriales tiles para clculos de CPM y para construir el cronogra-ma.Para utilizarlas seleccione las opcionesen el mende la barra de mens.En la pantalla de resultados tiene la opcin de seleccionarpara producir clculos paso a paso del paso adelantado,el paso retrasado,ylos flotantes o la opcinpara construir y experimentar con el cronograma.proporciona los datos para el ejemplo 6.5-2.Si elige generar los re-sultados con la opcinTORA lo guiar a travs de los detalles de los clculos de pasoadelantado y paso retrasado.La figura 6.45 proporciona el programa producido por la opcin CPM Bar Chart de TORApara el proyecto del ejemplo 6.5-2.La grfica de barras predeterminada programa de formaautomtica todas las actividades no crticas tan pronto como es posible.As puede estudiar el
Next Step
CPMBarChart
CPM Calculations
Main
CPM-Critical Path MethodQ
Resultados obtenidos con la opcin Ãbar chartÃde TORA para el ejemplo 6.5-2 (archivo
Captulo 6Modelo de redesimpacto de demorar el tiempo de inicio de una actividad no crtica por medio de listas desplega-bles auto explicativas en el lado izquierdo de la pantalla.El impacto de demorar una actividadno crtica se mostrar directamente en la grfica de barras junto con una explicacin.Por ejem-plo,si demora el inicio de la actividad en ms de 2 unidades de tiempo,las actividades subsi-.Especficamente,dado que el flotante libre de po,si se demora en 3 unidades de tiempo,entonces el inicio de
1 unidad de tiempo.Esta situacin se demuestra en la figura 6.45.
proporciona el modelo para la CPM.Los datos del ejemplo 6.5-2 con-trolan el modelo.Este modelo de AMPL es una aplicacin nica porque no es un problema de
optimizacin.Los detalles del modelo se dan en el apndice C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5C,as,determine los tiempos de terminacin msÃCules son los flotantes total y libre de una actividad crtica? Explique.Para cada una de las siguientes actividades,determine la demora mxima del tiempo dese inicia en el tiempo 5,de-se inicia en el tiempo 3,y la actividad se inicia en el tiempo 7,de-En el proyecto del ejemplo 6.5-2 (figura 6.42),suponga que la duracin de las actividadescambia de 11 das a 20 y 25 das,respectivamente.Determine los flotantes total y libre para la red,e identifique las actividades marca-se inicia en el tiempo 5,determine los tiempos de inicio ms tem-requieren el mismo equipo,determine el mnimo de uni-dades necesarias de este equipo.proyectos (a) y (b) de la figura 6.44;luego desarrolle los cronogramas en las siguientes
6.5CPM y PERTLas actividades (5,6) y (5,7) utilizan el mismo equipo,del cual slo una unidad estdisponible.Todas las dems actividades se inician lo ms pronto posible.tiempo que se observa el requisito de que (1,2),(1,3) y (1,6) utilizan una pieza deequipo especial,de la cual slo hay una (1) unidad disponible.Todas las dems actividades se inician lo ms pronto posible.).Tres tareas,J1,J2 y J3 se procesan en 3 mquinas,M1,M2 y M3,de acuerdo con las siguientes secuencias (los tiempos de procesamiento seJ1:M3(3) Ã M1(4) Ã M2(6)J2:M2(1) Ã M3(5) Ã M2(9)J3:M3(8) Ã M2(8) Ã M1(7)M1:J1 Ã J2 Ã J3M2:J2 Ã J3 Ã J1M3:J3 Ã J1 Ã J2el espacio de trabajo de las tres tareas.do que cada operacin se programa a su tiempo de inicio ms temprano.6.5.4Formulacin de programacin lineal de CPMla red del proyecto.Por tanto,su formulacin como una PL es semejante a la PL delmodelo de la ruta ms corta (seccin 6.3.3).La nica diferencia es que la funcin obje-tivo se maximiza en lugar de minimizarse.Por lo tanto,la funcin objetivo del programa lineal es Todas las variables,,son no negativas.
Captulo 6Modelo de redes
A continuacin se da la formulacin de PL del proyecto del ejemplo 6.5-2 (figura 6,40).Observeque los nodos 1 y 6 son los nodos de inicio y de terminacin,respectivamente.Ficticia ,y la duracin del proyecto es de25 das,pero no proporciona los datos necesarios para construir la grfica de CPM.CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5D6.5.5Redes PERTPERT difiere de CPM en que asume tiempos de duracin probabilsticos basados en1.Tiempo optimista,el cual ocurre cuando la ejecucin transcurre extremada-2.Tiempo ms probable,el cual ocurre cuando la ejecucin se realiza en condi-ciones normales.3.Tiempo pesimista,el cual ocurre cuando la ejecucin transcurre extremada-mente deficiente.El tiempo ms probable,,queda en el intervalo (Basado en las estimaciones,el tiempo de duracin promedio,y varianza,,sete,conreemplazando a la estimacin nica
, v=a b-a
6 b2
=a+4m+b
6D
,y todas las dems = 0x56(H)=1,z=25, x12 (A)=1, 24 (D)=1, x45 (ficticia)=1,
A
B
C
D
E
F
Ficticia
G
H
x12
x13
x23
x24
x35
x36
x45
x46
x56
Maximizar 5
6
6
3
8
2
11
0
1
12
1111
6.5CPM y PERTprano del nodo,la probabilidad de que ocurrir en un tiempo programado,,puede es-timarse como sigue:Suponga que todas las actividades en la red son estadsticamenteindependientes,y calcule primero la media } y la varianza,var{}.Si slo hay una ruta
Actividad
i-j
(a, m, b)
Actividad
i-j
1Ã2(3,5,7)3Ã5(1,2,3)1Ã3(4,6,8)3Ã6(9,11,13)2Ã3(1,3,5)4Ã6(1,1,1)2Ã4(5,8,11)5Ã6(10,12,14)
La mediay la varianza ) tiene media y varianza cero.
Actividad
i-j
D
ij
vij
Actividad
i-j
D
ij
1Ã25.4443Ã52.1111Ã36.4443Ã611.4442Ã33.4444Ã61.0002Ã481.0005Ã612.444
,entonces la media es la suma de las duraciones esperadas,,de todas las actividades a lo largo de esta ruta y la varianza es la suma de las varian-zas,,de las mismas actividades.Si ms de una ruta conduce al nodo ,entonces es nece-sario determinar la distribucin estadstica de la duracin de la ruta ms larga,un pro-dos variables aleatorias.Una suposicin simplificadora requiere seleccionar la ruta alms larga.Si dos o ms rutas tienen la mismamedia,se selecciona la de la mayor varianza porque refleja la incertidumbre mxima y,por consiguiente,conduce a una estimacin ms conservadora de las probabilidades.},la probabilidad detribucin normal estndar,(vea la seccin 14.4.4),es decir,aleatorias independientes.De acuerdo con el
Considere el proyecto del ejemplo 6.5-2.Para no repetir los clculos de ruta crtica,los valoresque aparecen en la tabla se seleccionan para obtenerpara toda
=DijP{ejSj}=Pcej-E{ej}
2var{ej}
Sj-E{ej}
2var{ej}
s=P{zKj}D
Captulo 6Modelo de redesLa siguiente tabla presenta la ruta ms larga del nodo 1 a los diferentes nodos,junto con sumedia y desviacin estndar asociadas.
Nodo
Ruta ms larga
Media de la ruta
Desviacin estndar de la ruta
Sj
Kj
5.000.500031Ã2Ã311.003.19.999341Ã2Ã451Ã2Ã4Ã514.00.83.796761Ã2Ã4Ã5Ã626.00.73.7673
Proyecto (a)
Proyecto (b)
Actividad
(a, m, b)
Actividad
(a, m, b)
Actividad
(a, m, b)
Actividad
1-2(5,6,8)3-6(3,4,5)1-2(1,3,4)3-7(12,13,14)1-4(1,3,4)4-6(4,8,10)1-3(5,7,8)4-5(10,12,15)1-5(2,4,5)4-7(5,6,8)1-4(6,7,9)4-7(8,10,12)2-3(4,5,6)5-6(9,10,15)1-6(1,2,3)5-6(7,8,11)2-5(7,8,10)5-7(4,6,8)2-3(3,4,5)5-7(2,4,8)2-6(8,9,13)6-7(3,4,5)2-5(7,8,9)6-7(5,6,7)3-4(5,9,19)3-4(10,15,20)
La siguiente tabla calcula la probabilidad de que cada nodo se realice en el tiempo Sj(espe-cificado por el analista).
Nodo
Ruta ms larga basada en las duraciones medias
Media de la ruta
Desviacin estndar de la ruta21Ã25.000.6731Ã2Ã38.000.9441Ã2Ã413.001.2051Ã2Ã4Ã513.001.2061Ã2Ã4Ã5Ã625.001.37
TORA incluye un mdulo para realizar clculos PERT.Para utilizar este mdulo,seleccione lasmende la barra de mens.En la pantalla de resultados tiene la opcin de seleccionarpara calcular la media y varianza de cada actividad,o la opcinpara calcular la media y varianza de la ruta ms larga a cada nodo en la red.El
CONJUNTO DE PROBLEMAS6.5EConsidere el problema 2,conjunto 6.5b.Las estimaciones (cin.Determine las probabilidades de que los diferentes nodos del proyecto se realicen
Calculations
PERT
Activity Mean/Var
Main
PERT-Program Evaluation and Review TechniqueQ
Project Planning
Ahuja,R.,T.Magnati,y J.Orlin,Network Flows:Theory,Algorithms,and Applications,Hall,Upper Saddle River,NJ,1993.Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flow,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Chames,A.,y W.Cooper,ÃSome Network Characterization for Mathematical Programming andAccounting Applications to Planning and ControlÃ,The Accounting Review,vol.42,nm.3,pgs.24-52,1967.Evans,J.,y E.Minieka,Optimization Algorithms for Networks and Graphs,2a.ed.,MarcelDekker,Nueva York,1992.Guret,C.,C.Prins,y M.Sevaux,Applications of Optimization with Xpress-MP,sado por Susanne Heipke,Dash Optimization Ltd.,Londres,2002.Glover,F.,D.Klingman,y N.Phillips,Network Models and Their Applications in Practice,WileyNueva York,1992.Robinson,E.,L.Gao,y S.Muggenborg,ÃDesigning an Integrated Distribution System atDowBrands,Inc.Ã,Interfaces,vol.23,nm.3,pgs.107-117,1993.
7.1FUNDAMENTOS DEL MTODO SIMPLEXEn la programacin lineal,el espacio de soluciones factibles forma un conjunto conve-conjunto.Un punto extremoto.En realidad,los puntos extremos son los mismos que los puntos de esquina,como seutilizaron en los captulos 2,3 y 4.La figura 7.1 ilustra dos conjuntos.El conjunto (a) es convexo (con seis puntosextremos) y el conjunto (b) no lo es.soluciones.Este resultado tiene sentido intuitivamente,porque todo punto factible enextremos factibles.Por ejemplo,en el conjunto convexo (a) de la figura 7.1,una CAPêTULO 7Programacin lineal avanzada
Aplicacin de la vida real. Asignacin de rutas martimas ptimas y de personalpara reclutamiento naval en TailandiaLa armada tailandesa lleva a cabo reclutamientos cuatro veces al ao.Un recluta se re-bases navales filiales.Desde all,los reclutas son transportados a la base naval principalpor barco.Las instalaciones portuarias en las bases filiales pueden restringir el tipo debuque que puede atracar en cada base.Las bases filiales tienen capacidades limitadaspero,en conjunto,las cuatro tienen suficiente capacidad para acomodar a todos los re-clutas.Durante el verano de 1983,un total de 2929 reclutas fueron transportados desdecipal.El problema tiene que ver con la determinacin del programa ptimo de trans-porte de los reclutas,primero de los centros de reclutamiento a las bases filiales,yluego de stas a la base principal.El estudio utiliza una combinacin de programacin
lineal y entera.(Los detalles se dan en el caso 5,captulo 26 en el sitio web).
Captulo 7Programacin lineal avanzadanacin convexa ,identifica cualquierpleto el nmero infinito de puntos en el espacio de soluciones.Este resultado es el
Sean y dos puntos distintos en .Si es convexo,entonces 0,tambin deben estar en esto es cierto,tenemos que demostrar que el segmento de lnea ;es decir,
Adems,las condiciones de no negatividad se satisfacen porque son no negativos.CONJUNTO DE PROBLEMAS7.1A0 es convexo.ÃEs esen-2} no es convexo.una combinacin convexa de sus puntos extremos.Por consiguiente concluimos que cual-conocen sus puntos extremos.En el espacio de soluciones de la figura 7.2 (trazada a escala),exprese el punto interiorlos pesos asociados con cada punto extremo.
X'X"
7.1Fundamentos del mtodo simplex7.1.1Desde los puntos extremos hasta las soluciones bsicasvariables,como un vector columna que representa el lado derecho,y presenta los coeficientes de la funcin objetivo.La PL se escribe entonces comoUtilizando el formato del captulo 3,los tan las variables bsicas iniciales.De ah que las variables a cero,incgnitas restantes,.Dada esta definicin,la teora de programacin li-{X | AX del espacio de soluciones de la PL,y viceversa.Por lo tanto,las soluciones bsicas dema del problema de la PL.Adems,la restriccin de no negatividad,,limita laproblema 4,conjunto 7.1a
154062ADCBx1x23(3, 1)456
En el apndice D,en el sitio web,se repasa el lgebra matricial.
Captulo 7Programacin lineal avanzadaPara formalizar la definicin de una solucin bsica,el sistema simade .Un subconjunto de ,si,y slo si,los .Eneste caso,la matriz .Definiendo bsicas,entonces ,la solucin bsica asociada es,entonces es factible.Las nivel cero.incgnitas,
Determine todas las soluciones factibles y no factibles del siguiente sistema de ecuaciones.La siguiente tabla resume los resultados.(La inversa de todos de la seccin D.2.7 en el sitio web).
m-m)!XB=B -1bBXB=banj=1Pjxj=b
B
BXB=b
Solucin
Tipo
4-3
81
4-1
8ba4b=a7
4
Factible
4-1
8-1
4-3
8ba4b=a-3
4-7
4bNo factible
Tambin podemos investigar el problema expresndolo en forma vectorial como sigue:).Por ejemplo,para
7.1Fundamentos del mtodo simplex2),una base incluye exactamente dos vectores,selec-.Las matrices ()y ()forman bases porque sus vectoresasociados son independientes.Por otra parte,los vectores de la matriz ()son dependientes,y por consiguiente la matriz no es una base.Algebraicamente,una matriz (cuadrada) forma una base si su determinante no es cero (veala seccin D.2.5 en el sitio web).Los siguientes clculos muestran que las combinaciones ()son bases,y que la combinacin ()no lo es.
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.1BEn los siguientes conjuntos de ecuaciones,(a) y (b) tienen soluciones nicas (bsicas),(c)tiene una cantidad infinita de soluciones,y (d) no tiene solucin.Demuestre que estos resul-tados pueden verificarse por medio de una representacin vectorial grfica.Con este ejerci-cio,establezca las condiciones generales para la dependencia o independencia vectorial queconduzcan a una solucin nica,a una infinidad de soluciones,o a ninguna solucin.juntos de ecuaciones siguientes:solucin nica,una infinidad de soluciones,o ninguna so-
11234
Captulo 7Programacin lineal avanzadalucin.Para los casos de soluciones nicas,indique a partir de la representacin vectorialsitivos,cero o negativos.Determine si cualquiera de las siguientes combinaciones forma una base.es no singular.diente.7.1.2Tabla simplex generalizada en forma matricialEsta seccin desarrolla la tabla simplex general en forma matricial.Esta representa-cin es la base para desarrollos subsiguientes en el captulo.,sujeto a b,X De forma equivalente,el problema puede escribirse como ,y sea su vector objetivo asociado.Dado que todaslas variables no bsicas son cero,la solucin se calcula entonces como (La inversin de matrices particionadas se da en la seccin D.2.7 en el sitio web).
7.1Fundamentos del mtodo simplex,la columna de la tabla simplex asociada con la variable
Bsica
xj
SolucinzCBB -1Pj -cjCBB -1bXBB-1PjB-1b
De hecho,la tabla anterior es la misma que se utiliz en el captulo 3 (vea el problema5 del conjunto 7.1c).Tambin incluye todas las relaciones primales-duales,desarrolla-das en la seccin 4.2.4.Una propiedad importante de esta tabla es que la inversa es el nico elemento que cambia con una nueva iteracin,lo que indica que .A este respecto,el error de redondeo computacional en cualquier tabla puede.Este resultado es una de las razones prin-
),entonces (1,4).Por tanto,
51
53
5-2
5a105b=a34bB-1=a21-1b-1=¢1
51
53
5-2
5x1, x2, x3, x4Ã03x1-x2-2x3+6x4= 52x1+x2+2x3+4x4=10Maximizar z=x1+4x2+7x3+5x4
Captulo 7Programacin lineal avanzadaPara calcular las columnas de restriccin en el cuerpo de la tabla,tenemos Por ltimo,calculamos el valor de la funcin objetivo comoPor lo tanto,la tabla completa puede resumirse como sigue.
51
53
5-2
2124
Bsica
x1
x2
x3
x4
001Ã3191002301204
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.1CEn el ejemplo 7.1-3,considere ).Demuestre que la solucin bsica correspon-diente es factible,y luego genere la tabla simplex correspondiente.Verifique si cada una de las siguientes matrices forma una base (factible o no factible):),(),(En la siguiente PL,calcule la tabla simplex completa asociada con
7.2Mtodo simplex revisado
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
00032?0011Ã1010106100Ã112
son holguras en el problema original.Use manipulaciones de ma-triz para reconstruir la PL original,y luego calcule el valor objetivo ptimo.En la tabla simplex matriz,suponga que ,donde ,respectiva-mente.Demuestre que la tabla simplex matriz se reduce a la misma forma utilizada en elcaptulo 3;es decir,
Bsica
XI
XII
SolucinzCBB -1D -CICBB -1D - CIICBB -1bXBB -1DB -1B -1b
7.2MTODO SIMPLEX REVISADOda con una solucin bsica (factible).El mtodo simplex busca pasar de una base factible,a una base mejor (en realidad,no a una peor),simplex presentado en el captulo 3.La diferencia princi-no en operaciones de filas.Como la tabla simplex completa puede calcularse a partiry la inversa actual (vea la seccin 7.1.2),controlando la precisinpuede mitigarse el error de redondeo de mquina.En el mtodo dela tabla simplex del captulo 3,cuando se genera una nueva tabla a partir de la inme-7.2.1Desarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad,su base ,y su vector objetivo ,la tabla simplex general
Captulo 7Programacin lineal avanzadacosto reducido de tal como se defini en la seccin 4.3.2,se calcula como muestra que,en el caso de maximizacin,un0.Paraminimizacin,la condicin es 0.Por lo tanto,el vector de entradade optimalidad,las ecuaciones de restriccin se reducen a à 1 variables no bsicas restantes son cero.) La idea espor encima del nivel cero,reemplazando una de lasvariables bsicas actuales.El requisito de que todas las ()permanezcan no;es decir,,la condicin de no negatividad (;a saber,nima.Se desprende entonces que vector de salida,y su variableCONJUNTO DE PROBLEMAS7.2Ase muestran en la figura 7.4.Suponga que la base
(B-1Pj)i `(B-1Pj)i 7 0f(XB)i=(B-1 b)i-(B-1 Pj)ixjÃ0(XB)i=(B-1 b)i-(B-1 Pj)ixjzj-cj=CBB-1Pj-cj
7.2Mtodo simplex revisadoentra a la base,Ãcul de los dos vectores bsicos actuales debe salirCompruebe que,en cualquier iteracin simplex,asociadas.de PL de maximizacin (minimizacin),entonces la solucin ptima es nica.De lo con-trario,si no bsica,entonces el problema tiene una solu-En una solucin bsica inicial con holguras en la base (totales),demuestre que al utilizarla forma matricial de la tabla,en vez del procedimiento mecnico utilizado en la seccin3.3,en el cual la ecuacin objetivo se establece comopara todas las variables en la tabla de inicio.Utilizando la forma matricial de la tabla simplex,demuestre que en una solucin bsicainicial totalmente artificial,el procedimiento de la seccin 3.4.1 que sustituye a las varia-bles artificiales en la funcin objetivo (por medio de ecuaciones de restriccin),en reali-para todas las variables en la tabla de inicio.no est restringida en cuanto a signo.Compruebeson no negativas,es imposible que las dosincgnitas,deter-0) del espacio de soluciones.Al aplicar la condicin de factibilidad del mtodo simplex,suponga que .Demuestre que la solu-En la implementacin de la condicin de factibilidad del mtodo simplex,Ãespecifica lasConsidere la PL,maximizar ,donde .Suponga quees positivo.
P2P1P4P3b
Captulo 7Programacin lineal avanzada,donde es un escalar positivo,y siempre que nezca como la variable de entrada,halle la relacin entre los valores de Responda el inciso (a) si,adems,es un escalar positivo.Despus de obtener la solucin ptima,se sugiere que una variable no bsica sus valores originales,1.Como los requerimientos por unidad se reducen,se espera quetambin se reducir a de su valor original.ÃHarn estos cam-se transforme en una variable rentable? Explquelo matemticamente.comosuvector de coeficientes objetivos.Demuestre que si ,los valores de cero.ÃCul es la importancia de este resultado?7.2.2Algoritmo simplex revisadoPaso 0.Construya una solucin factible bsica de inicio,y sean da y el vector de coeficientes objetivo,respectivamente.Paso 1.apropiado.Paso 2.res no bsicos,detngase;la solucin ptima es En caso contrario,determine el vector de entradaPentre todos los vectores no bsicos.
a1
a
En la mayora de las presentaciones de PL,incluidas las primeras seis ediciones de este libro,el mtodo depara invertir una base (vea la seccin D.2.7 en el sitio web) se integra en el algoritmo sim-se presta fcilmente para los clculos simplex revisados;es decir,las bases sucesivas difieren en exactamente una columna.Este detalle se elimin en esta presentacin por-que hace que el algoritmo parezca ms complejo de lo que realmente es.Por otra parte,rara vez se utiliza laen el desarrollo de cdigos de PL comerciales,porque no est diseado para clculos au-tomticos en los que los errores mecnicos de redondeo son un problema serio.En su lugar,se utiliza algnmtodo de anlisis numrico avanzado,como el mtodo de (Dicho sea de paso,la inversin de matrices con TORA se basa en la descomposicin de LU.)Paso 3..Si todos los elementos de son negativos o cero,detn-gase;la solucin es no acotada.En caso contrario,use la prueba de relacinPaso 4.Forme la siguiente base reemplazando el vector de .Dirjase al paso 1 para iniciar una nueva iteracin.
7.2Mtodo simplex revisado
El modelo de Reddy Mikks (seccin 2.1) se resolvi con el algoritmo simplex revisado.El mismomodelo se resolvi por el mtodo de la tabla simplex en la seccin 3.3.2.Una comparacin mues-tra que los dos mtodos son iguales.) representa los coeficientes de la funcin objetivo,y (representan los vectores columna de las ecuaciones de restriccin.El lado derecho de las restric-En los clculos siguientes,daremos la frmula algebraica para cada paso y su respuestanumrica final,sin detallar los clculos.Ver que es instructivo llenar los espacios vacos en cadapaso.Por lo tanto,Por lo tanto,Clculos de factibilidad:Por consiguiente,
6, 6
1, -, -f=mn4, 6, -, -6=4B0-1P1=(6, 1, -1, 0)TXB0=(x3, x4, x5, x6)T=(24, 6, 1, 2)T5zj-cj6j=1, 2=CB0B0-1(P1, P2)-(c1, c2)=(-5,-4)CB0B0-1=(0, 0, 0, 0)XB0=B0-1b=(24, 6, 1, 2)T, z=CB0XB0=0B0=(P3, P4, P5, P6)=I, B0-1=IXB0=(x3, x4, x5, x6), CB0=(0, 0, 0, 0)x1, x2, . . ., x6Ã0
§641000120100-110010¥¶x1x2x3x4x5x6=§246¥maximizar =(5, 4, 0, 0, 0, 0) (x1, x2, x3, x4, x5, x6)T
Captulo 7Programacin lineal avanzadaLos resultados anteriores se resumen en el conocido formato de tabla simplex,y en esenciademuestran que los dos mtodos son lo mismo.
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ã5Ã400000
Utilizando un mtodo de inversin apropiado (vea la seccin D.2.7 en el sitio web),entonces Por lo tanto,As que,Clculos de factibilidad:Por consiguiente,sale de la base.(Ver que es til resumir estos resultados en el formato de tabla sim-
2
3 , 2
4
3 , 5
5
3 , 2
1 s= mn E6, 3
2 , 3, 2F= 3
2B1-1P2=( 2
3 , 4
3 , 5
3 ,1)TXB1=(x1, x4, x5, x6)T=(4, 2, 5, 2)T{zj-cj}j=2, 3=CB1B1-1(P2, P3)-(c2, c3)=(- 2
3 , 5
6 )CB1B1-1=( 5
6 , 0, 0, 0)XB1=B1-1b=(4, 2, 5, 2)T, z=CB1XB1=20B1-1=§1
6000-1
61001
60100001¥ =§60001100-1010¥ B1=(P1, P4, P5, P6) XB1=(x1, x4, x5, x6), CB1=(5, 0, 0, 0)
7.2Mtodo simplex revisadoDe modo que,Por tanto,En consecuencia,es ptimo,y los clculos terminan.
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.2BEn el ejemplo 7.2-1,resuma los datos de la iteracin 1 en el formato de tabla de la sec-Resuelva las siguientes programaciones lineales por medio del mtodo simplex revisado.
4 , 1
2 )CB2B2-1=( 3
4 , 1
2 , 0, 0)XB2=B2-1b=(3, 3
2 , 5
2 , 1
2 )T, z=CB2XB2=21B2-1=1
4-1
200-1
83
4003
8-5
4101
8-3
401µ =§64001200-1110¥B2=(P1, P2, P5, P6)XB2=(x1, x2, x5, x6)T, CB2=(5, 4, 0, 0)
Captulo 7Programacin lineal avanzadaProblema 3 (ignore ladada de inicio)..Los pasos de este mtodo (utilizando manipulaciones dePaso 0.Paso 1.,los valores actuales de las variables bsicas.Seleccione la va-como la que tiene el valor ms negativo.Si todos los elementosson no negativos,detngase;la solucin actual es factible (y ptima).Paso 2.,calcule los coeficientes de restriccin0,hay una solucin no factible.
(B-1Pj)r `, (B-1Pj)r 6 0fXB0XB0x1, x2, x3, x4, x5, x6Ã0 x1+x2- 3x3+x4 +x5 =12 x2- x3+x4 +3x6 =8 x2- x3 +x5+ x6 =6Minimizar =7x2+11x3-10x4+26x6XB0=(x2, x4, x5)Tx1, x2, x3, x4Ã02x1+3x2 - x3+ x4 Ã183x1- x2+ x3+2x4 20 x1+7x2+3x3+7x4 46Minimizar =5x1-4x2+6x3+8x4x1, x2Ã0x1+2x23 4x1+3x2Ã6 3x1+x2=3Minimizar =2x1 + x2
7.3Algoritmo de variables acotadasPaso 3.).Calcule la nueva inversa y vaya al paso 1.7.3ALGORITMO DE VARIABLES ACOTADASEn modelos de PL,las variables pueden tener cotas superiores e inferiores explcitas.Por ejemplo,en instalaciones de produccin,las cotas inferior y superior pueden re-presentar las demandas mnimas y mximas de determinados productos.Las variablesa las cotas.Primero consideramos las cotas inferiores por-que su tratamiento es sencillo.Dada ,sustituya (cuya cota inferior ahora es igual a cero).La Luego considere las restricciones de acotamiento superior,.La idea desustitucin directa (es decir,,no garantiza que permanecer no negativa.Por lo tanto,se re-quiere un procedimiento diferente.Tiene en cuenta las cotas superiores ,implcitamente al modificar la condicin,y su-dad).Entonces,,la ecuacin de restric-es negativa o positiva,respectivamente.Por lotanto,al determinar el valor del vector de entrada ,deben satisfacerse tres condiciones.La variable bsica permanece no negativa,es decir (no excede su cota superior,es decir (
Captulo 7Programacin lineal avanzadano puede asumir un valor mayor que su cota superior,es decir,,donde 0 es la misma que en el mtodo simplex regular.Combinando las tres restricciones,condiciones,es decir,,o las dos),introduce la solucin en el nivel .Suponiendo que (salida,entonces tenemos las siguientes reglas:sale de la solucin bsica (se vuelve no bsica) en el nivel cero.Lavariables de entrada y salida,respectivamente..La nueva iteracin se gene-,con una modificacin que tiene en cuenta el hecho.Como los valores de todaslas variables no bsicas estn en el nivel cerode que ste es el caso!),la nueva (no bsica,en la cota superior se convierteen una variable no bsica en el nivel cero.Eso se logra con la sustitucin de (99,donde (990.Es intrascendente si la sustitucin se haceantes o despus de que se calcule la nueva base.:El vector bsico Xcota superior.Esto significa que rior.El nico cambio requerido en la tabla es utilizar la sustitucin (xpara garantizar que todas las variables no bsicas estn en el nivel cero.puede romperse arbitrariamente.Sin embargo,es preferible,siempre que sea posible,implementar la regla de porque implica menos clculos.
AB-1PjBi `B-1Pji60sAB-1bBi-AB-1PjBi xjAUBBixju1= mnic(B-1b)i
(B-1Pj)i `AB-1PjBi70s
7.3Algoritmo de variables acotadas
de TORA para producir las iteraciones simplex asociadas (archivo
simplex
BoundedQ
IterationsQ
AlgebraicQ
Solve problemQ
.Esto significa que si se utiliza el mtodo simplex revisado,todos losclculos (p.eje.,en cada iteracin (vea el problema 5,conjunto 7.3a,para ms detalles).
Resuelva el siguiente modelo de PL con el algoritmo de acotamiento superior.7,donde 0 Para que los detalles computacionales no lo ÃdespistenÃ,no utilizaremos el mtodo simplexrevisado para realizar los clculos.En su lugar,utilizaremos la forma de tabla compacta.Los pro-blemas 5,6 y 7,conjunto 7.3a,abordan la versin revisada del algoritmo.
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
Ã3Ã5Ã200351121072430115
Tenemos .Dado que 5),tenemos Luego,dada la cota superior en la variable de entrada,3,por consiguiente
1 , 15
4 f=3.75, correspondiente a x5B-1P2=(1, 4)T
Captulo 7Programacin lineal avanzadano cambia,y .La sustitucin de
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
Ã35Ã200501Ã121042Ã43013
.Por lotanto,en iteraciones futuras..El vector bsico Luego,dado Por lo tanto,,la variable de entrada sica en el nivel cero,lo cual da por resultado
1 , 3
2 f=1.5, correspondiiente a la x5 bsica
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
0Ã1
203
2109
2x4011
21- 1
25
1Ã2
201
23
2
racin 0.Seleccionamos a como la variable de entrada,y,observando que ,obtenemos Por lo tanto,
2 -4
-2 f=1.25, correspondiente a la x1 bsica 1= mn e 5
2
1 , -f=2.5, correspondiente a la x4 bsicaB-1P2=(1, -2)Tb=(4, 3)TXB=Ax4, x1BT=B-1b=A 5
2 , 3
2B T,B-1=a1-1
201
2b
7.3Algoritmo de variables acotadas.La nueva tabla es
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
0Ã1
203
2109
2x4011
21- 1
25
Ã1Ã2
201
2- 5
2
Luego,la variable de entrada se vuelve no bsica,de
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
Solucinz1
207
405
4223
4x4-1
205
41-1
45
4x21
21- 3
40-1
45
4
La ltima tabla es factible y ptima.Observe que los ltimos dos pasos podan haber sidoinvertidos;es decir,primero podramos hacer bsica a ,(Ãprubelo!).Sin embargo,la secuencia aqu presentada implica menos clculos.Finalmente,obtenemos .El valor ptimo asociado de la funcin objetivo esCONJUNTO DE PROBLEMAS7.3AResuelva el problema grficamente,y trace la secuencia de puntos extremos queconduce a la solucin ptima.(Puede utilizar TORA).Resuelva el problema por el algoritmo de acotamiento superior,y demuestre que elgrfica (puede utilizar TORA para generar las iteraciones).
4 .7+ 7
4 = 35
43- 5
4 = 7
4 , y x3=0.
Captulo 7Programacin lineal avanzadaEn los siguientes problemas,algunas de las variables tienen cotas inferiores positivas.Useel algoritmo de acotamiento para resolver estos problemas.Considere la definicin de matriz del problema de variables acotadas.Suponga que el),donde
7.3Algoritmo de variables acotadasque sern sustituidas en la cota superior durante el curso del algoritmo.El problema,sea .Demuestre que la tabla simplex general asociada se da como En el ejemplo 7.3-1,haga lo siguiente:En la iteracin 1,compruebe queaplicando manipulacio-nes matriciales.En la iteracin 2,demuestre como puede calcularse les del problema.Luego verifique los valores dados de bsica yaplicando ma-nipulaciones matriciales.para variables con cotas superiores.Algoritmo simplex dual de acotamiento.puede modificar para que acepte las variables acotadas como sigue.Dada la restriccines infinita,reemplcela con una cota superior su-),el problema de PL se transforma en una factible dual (es decir,primal ptima) al utilizar la sustitucin,donde sea necesario.Paso 1.excede su cota superior,use.Vaya al paso 2.Paso 2.Si todas las variables son factibles,detngase.En caso contrario,seleccione lacomo la variable bsica que tiene el valor ms negativo.Avance al paso 3.Paso 3.mtodo simplex dual regular (seccin 4.4.1).Vaya al paso 4.Paso 4.Cambie la base.Vuelva al paso 1.
2, 3
2 BT
Bsica
XzT
Xu¿T
SolucinzCBB-1Dz-Cz-CBB-1Du+CuCuB-1B-1(b-DuUu)+CuUuXBB-1Dz-B-1DuB-1(b-DuUu)
Captulo 7Programacin lineal avanzada7.4DUALIDADEsta seccin presenta un riguroso tratamiento de la dualidad.La presentacin tambin7.4.1Definicin matricial del problema dual).Las reglas dadas en la tabla 4.1YA CONJUNTO DE PROBLEMAS7.4A7.4.2Solucin dual ptimama.Sea actual,y defina a Teorema 7.4-1 Teora de la dualidad dbilPara cualquier par de soluciones primal yPara el par ptimo(blemas.Multiplicando con anterioridad ambos lados de las restricciones del problema
7.4DualidadTambin,para el problema de minimizacin,multiplicando posteriormente ambos lados0),obtenemos Por lo tanto,de acuerdo con (1) y (2),en (1),yYA en (2).Asimismo,la designacin de los problemas como primales oduales es irrelevante.Lo importante es el sentido de optimizacin en cada problema;esdecir que,para cualquier par de soluciones factibles,el valor objetivo en el problema deLa implicacin del teorema es que,dada factibles,el mximo de son iguales.Una consecuencia de este resultado es que la ÃbondadÃde cualesquier so-) con.Cuanto ms pequea sea la relacin,ms cercanasestn las dos soluciones de ser ptimas.La objetivo ptimo sea.est acotado,entonces el otro problema debe ser no factible.Si no lo est,entoncesambos problemas tienen soluciones factibles,y la relacin debe mantenerse;loSi un problema es no factible,entonces el otro tambin puede ser no factible,Teorema 7.4-2.cin dual factible y que,de acuerdo con el teorema 7.4-1,;es decir,(Vea la seccin 7.2.1).Por lo tanto,YA ,lo que demuestra que tisface las restricciones duales,YA
22(w-z)
z+wz+w
2YAXÃCX=z
Captulo 7Programacin lineal avanzadaAsimismo,dada la solucin primal ,tenemosprecios sombra Motivacin para el algoritmo simplex dual.representa la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de las restricciones duales.,loque significa que la restriccin dual correspondiente,,no se satisface.Cuandose alcanza la primal ptima,tenemos ,y se obtiene la solucinfactible.Por lo tanto,as como el problema primal busca laoptimalidad,el problema dual busca la factibilidad.Este punto es la base para elfactibilidad en la ltima iteracin.Esto contrasta con el mtodo simplex (primal)(captulo 3),el cual permanece peor que ptimo pero factible hasta que se alcanza la
).Escriba el dual,y encuentre la solucin p-Tenemos (3,0).La base ptima y su inversa son
7.4DualidadAmbas soluciones son factibles,y 15(Ãcomprubelo!).Por lo tanto,las dos soluciones
son ptimas.CONJUNTO DE PROBLEMAS7.4BVerifique que el problema dual del ejemplo numrico dado al final del teorema 7.4-1 escorrecto.Luego verifique grficamente que tanto el problema primal como el dual no tie-nen una solucin factible.Demuestre por inspeccin que la primal es no factible.A partir de los problemas 1 y 2,desarrolle una conclusin general con respecto a larelacin entre no factiblidad y no acotamiento en los problemas primales y duales.En cada uno de los siguientes casos,primero compruebe que la base dada ble para la primal.Luego,utilizando ,calcule los valores duales,y verifi-que si la solucin primal es ptima o no lo es.
Captulo 7Programacin lineal avanzadaVerifique que no bsicas.,y tres restricciones del tipo .Las holguras.Suponga que la base ptima es ),y su inversa es lucin factible.7.5PROGRAMACIîN LINEAL PARAMTRICAdo en la seccin 4.5.Investiga el efecto de las variaciones continuas En el anlisis paramtrico,la funcin objetivo y los vectores del lado derecho,)y ),donde variacin.Matemticamente,puede asumir cualquier valor positivo o negativo.EnLuego,utilizando las condiciones de optimalidad y factibilidad del mtodo simplex,de-tible.En este caso,valor crtico.El proceso contina determinandovalores crticos sucesivos y sus soluciones factibles ptimas correspondientes.El anli-sis postptimo termina cuando,independiente de ,la ltima solucin no cambia y nohay ninguna otra indicacin de que exista una solucin factible.
7.5Programacin lineal paramtrica7.5.1Cambios paramtricos en CSeanlos elementos que definen la solucin ptima asociada con como su base ptima).Luego se determinan ely su base ptima,si existe una.Como los cambios en tar slo la optimalidad del problema,la solucin actualen tanto el costo reducido,),satisfaga la siguiente con-)sea lineal en ),lineal o no lineal,es aceptable.Sin embargo,con no linealidad,problema 5,conjunto 7.5a,para una ilustracin del caso no lineal).
Tenemosse utilizarn como variables de holgura asociadas con las tres restricciones.
Bsica
x1
x2
x3
x4
x5
x6
400120160
4101
2-1
405x33
010
200Ã21110
B0-1=£1
2-1
4001
211
Captulo 7Programacin lineal avanzada,sonPor lo tanto,permanece ptima con ,donde El costo reducido es igual a cero en Por lo tanto,1.En este caso,ptima en 0).La nueva solucin bsices la solucin alternativa obtenida en 1 al per-entre a la base;es decir,Base ptima alternativa en Por lo tanto,,y tenemosDe acuerdo con estas condiciones,la solucin bsicapermanece ptima para todas las 0,Ãnos recuerdaÃde forma automtica que1.ste
2, -2+2t, 5+5t
2 BÃ0 CB1(t)=(0, 5+5t, 0) XB1=(x4, x3, x6)T=B1-1b=(10, 30, 30)TB1=£110020, B1-1=£1-1
2001
001
t
x1
x2
x3
05300030
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.5AEn el ejemplo 7.5-1,suponga que no est restringida en cuanto al signo.Determine eldentro del cual permanece ptima.
7.5Programacin lineal paramtricaResuelva el ejemplo 7.5-1,suponiendo que la funcin objetiva se da comoEstudiar la variacin de la solucin ptima de la siguiente PL parametrizada,dado que el mtodo simplex (primal).En algunos problemas puede ser ms conveniente obtener lasolucin ptima mediante el mtodo simplex (seccin 4.4.1).Demuestre cmo puede rea-lizarse el anlisis paramtrico en este caso,luego analice la programacin lineal del ejem-plo 4.4-1,suponiendo que la funcin objetivo se da como En el ejemplo 7.5-1,suponga que la funcin objetivo es no lineal en 7.5.2Cambios paramtricos en b
Ejemplo 7.5-2sujeto ax1, x2, x3Ã0 x1+4x230-7t 3x1+2x360+2t x1+2x2+ x340-tMaximizar =3x1+2x2+5x3XB(t)=B-1b(t)Ã0Maximizar =(3+2t2)x1+(2-2t2)x2+(5-t)x3Minimizar =(3+t)x1+(2+4t)x2+x3, tÃ0x1, x2, x3Ã0 x1+2x2+5x34 4x1+3x2+2x3Ã6 3x1+x2+2x3=3Minimizar =(4-t)x1+(1-3t)x2+(2-2t)x3z=(3+t)x1+(2+2t)x2+(5-t)x3z=(3-2t)x1+(2+t)x2+(5+2t)x3z=(3+3t)x1+2x2+(5-6t)x3
Captulo 7Programacin lineal avanzada0,el problema es idntico al del ejemplo 7.5-1.Por lo tanto tenemos ,aplicamos las condiciones de factibilidad.Sin embargo,los valores de las varia-bles bsicas,,y se volver ne-gativa paraPor lo tanto,enpodemos determinar la base alternativa do el mtodo simplex dual revisado (vea el problema 5,conjunto 7.2b para los detalles).La va-Base alternativa enes la variable de salida,determinamos la variable de entrada como sigue:Por lo tanto,Luego,para 1.4,5,calculamos Por tanto,la variable de entrada est asociada cones el vector de entrada.La solucin bsica alternativa y su yson
401
201-1
2-1
2XB1=(x2, x3, x4)TB1-1u=mne-, `1
-2`, -f=1
2=(2, -2, 1)= (-2, 1, 1 ) (P1, P4, P5)(Fila de B0-1 asociada con x6) P1, P4, P5 =(Tercera fila de B0-1 ) (P1, P4, P5){zj-cj}j=1, 4, 5=ECB0B0-1Pj-cjFj=1, 4, 5=(4, 1, 2)XB0=(x2, x3, x6)T, CB0=(2, 5, 0)t=t1= 10
3t= 10
3 ,t7 10
3 .t=t1= 10
30t 10
3£x2x3x6=£5-t30+t10-3tã0Q0t10
3Qt1=10
3XB0(t)=B0-1b(t)Ã0,B0-1=£1
2-1
400 1
2 11
7.5Programacin lineal paramtrica,las cuales dan por resultadodo.La variable de salida es Base alternativa enes la variable de salida,determinamos la variable de entrada como sigue:Por lo tanto,Luego,para 1,5 y 6,calculamosComo todos los elementos del denominador,son 0,el problema no tieneuna solucin factible para,y el anlisis paramtrico termina en
7 .t7 30
7( 1
4, 0, 1
4 ),=A1
4, 0, 1
4B=A0, 0, 1
4B1P1, P5, P62 1Fila de B1-1 asociada con x2211, P5, P62=1Primera fila de B1-1211, P5, P62{zj-cj}j=1, 5, 6=ECB1B1-1Pj-cjFj=1, 5, 6=(5, 5
2, 1
2)XB1=(x2, x3, x4)T, CB1=(2, 5, 0) t=t2= 30
7t=t2= 30
7 ,£x2x3x4=£30-7t
430+t-10+3t
2£00Q10
3t30
7Qt2=30
7XB1(t)=B1-1bÃ0
t
x1
x2
x3
z0t 10
305-t30+tt160+310
3 t 30
7030-7t
430+t165+ 3
2 tt7 30
7(No existe solucin factible)
CONJUNTO DE PROBLEMAS7.5BEn el ejemplo 7.5-2,encuentre el primer valor crtico,,y defina los vectores de Estudie las variaciones en la solucin ptima de la siguiente PL parametrizada,dada
Captulo 7Programacin lineal avanzadadiante el mtodo simplex (primal).En algunos problemas puede ser ms conveniente ob-tener la solucin ptima mediante el mtodo simplex dual (seccin 4.4.1).Demuestrecmo puede realizarse el anlisis paramtrico en este caso,y luego analice la PL delejemplo 4.4-1,asumiendo que puede ser positiva,cero o negativa.7.6MçS TEMAS DE PROGRAMACIîN LINEALde IO especializados) que se abordan en el captulo 22,en el sitio web.Problema de flujo de capacitado de costo mnimo,incluida la formulacin de PLAlgoritmo de descomposicin de Danzig-Wolfe.Algoritmo de punto interior de Karmarkar.Bazaraa,M.,J.Jarvis,y H.Sherali,Linear Programming and Network Flows,4a.ed.,Wiley,NuevaYork,2009.Chvtal,V.,Linear Programming,Freeman,San Francisco,1983.Nering,E.,y A.Tucker,Linear Programming and Related Problems,Academic Press,Boston,R.,Linear Programming:A Modern Integrated Analysis,Kluwer Academic Publishers,Boston,1995.Vanderbei,R.,Linear Programming:Foundation and Extensions,3a.ed.,Springer,Nueva York,
8.1FORMULACIîN DE UNA PROGRAMACIîN DE METASLa idea de la programacin de metas se ilustra con un ejemplo.
Ejemplo 8.1-1(Planificacin tributaria)Fairville es una pequea ciudad con una poblacin de aproximadamente 20,000 habitantes.Labase tributaria anual por el impuesto predial asciende a $550 millones.Las recaudaciones anua-les por alimentos y medicinas as como por ventas generales es de $35 y $55 millones,respecti-vamente.El consumo anual de gasolina local se estima en 7.5 millones de galones.El concejopuestos recaudados.CAPêTULO 8
Aplicacin de la vida real. Asignacin de tiempo de quirfano en el hospitalLa situacin ocurre en Canad,donde el seguro de asistencia mdica es obligatorio yuniversal.El financiamiento,basado en una combinacin de primas e impuestos,locontrolan las provincias.Segn este sistema,a los hospitales se les asigna un presu-puesto anual fijo,y cada provincia les paga posteriormente a los mdicos por medio deun mecanismo de financiamiento de pago por servicio.Este arreglo de financiamientolimita la disponibilidad de las instalaciones hospitalarias (por ejemplo quirfanos),loatencin de ms a sus pacientes.El objetivo del estudio es determinar un programadiario equitativo para el uso de los quirfanos disponibles.El problema se modela apli-cando una combinacin de programacin de metas y entera.(El caso 6 en el captulo
26,en ingls,del sitio web proporciona los detalles del estudio).
Este ejemplo est basado en Chissman and Associates,1989
Captulo 8Programacin de metastos recaudados.tributarias) sobre la propiedad,alimentos,medicinas y ventas generales,y defina la variable como el impuesto sobre la gasolina en centavos por galn.Las metas del concejo municipal seaspira satisfacer.Es muy probable,sin embargo,que lo mejor que se puede hacer sea una solu-cin compromiso que implique estas metas conflictivas.si es necesario.En funcin del modelo de Fairville,las metas flexibles se expresan como sigue:Las variables no negativasy ,1,2,3,4 son variables de desviacin Las variables de desviacin y son dependientes por definicin,y de ah que no puedenser las variables bsicas al mismo tiempo (de acuerdo con la teora del mtodo simplex).Esto sig-nifica que en cualquier iteracin simplex,no ms de asumir un valor positivo.Si la desigualdad 0,entonces se-sima;en caso contrario,no se satisface la meta .En esencia,la definicin de y permite satisfacer o violar la meta sima a voluntad.ste es el tipo de flexibilidad que ca-racteriza a la programacin de metas cuando se busca una solucin compromiso.Lgicamente,
8.1Formulacin de una programacin de metasEn el modelo de Fairville,dado que las tres primeras restricciones son del tipo ,las variables de desviacin,,y (que en el modelo aparecen en negritas)representan las cantidades por las cuales se violan las metas respectivas.Por lo tanto,la solucinEstas funciones se minimizan sujetas a las ecuaciones de restriccin del modelo.este fin se desarrollaron dos mtodos:(1) el mtodo de los pesos,y (2) el mtodo preventivo.Ambos mtodos se basan en la conversin de los mltiples objetivos en una sola funcin.La sec-
cin 8.2 proporciona los detalles.CONJUNTO DE PROBLEMAS8.1AFormule el problema fiscal de Fairville,suponiendo que el concejo municipal especifiqueuna meta ms,,que requiera que el impuesto sobre la gasolina sea igual por lo menosEl Centro Comercial NW gestiona eventos especiales para atraer clientes potenciales.Entre los eventos que parecen atraer a los adolescentes,al grupo de jvenes de medianaedad y a los adultos mayores,los dos ms populares son los conciertos de bandas y las ex-posiciones de arte.Sus costos por presentacin son de $1500 y $3000,respectivamente.Elpresupuesto anual (estricto) total asignado a los dos eventos es de $15,000.El gerente delEl gerente ha fijado metas mnimas de 1000,1200 y 800 para la asistencia de adolescen-tes,personas de mediana edad y adultos mayores,en ese orden.Formule el problemacomo un modelo de programacin de metas.diantes de primer ao para el ao acadmico venidero.Las solicitudes caen dentro detres categoras:estudiantes del estado,de fuera del estado,e internacionales.Las relacio-para estudiantes internacionales,la relacin correspondiente es de 8:1.La calificacin enel Examen de Universidades Americanas (ACT,por sus siglas en ingls) es un importan-te factor en la aceptacin de nuevos estudiantes.Las estadsticas recopiladas por la uni-versidad indican que las calificaciones promedio de estudiantes del estado,fuera del esta-do e internacionales,son de 27,26 y 23,respectivamente.El comit de admisiones haQue la clase que empieza sea por lo menos de 1200 estudiantes.
Cantidad de personas que asisten por presentacin
Evento
Adolescentes
Mediana edad
Adultos mayoresConcierto de bandas 200
Captulo 8Programacin de metasQue los estudiantes internacionales constituyan por lo menos 10% de la clase.Que los estudiantes de fuera del estado comprendan por lo menos 20% de la clase.Formule el problema como un modelo de programacin de metas.Las granjas Circle K consumen 3 toneladas diarias de un alimento especial,el cual estconstituido por una mezcla de piedra caliza (carbonato de calcio),maz y soya,y queCalcio.Al menos 0.8%,pero no ms de 1.2%.Por lo menos 22%.La siguiente tabla muestra el contenido nutricional de los ingredientes alimenticios.Formule el problema como un modelo de programacin de metas,y establezca su opi-Mantel produce un carruaje de juguete,cuyo ensamble final debe incluir cuatro ruedas ydos asientos.La fbrica que produce las piezas trabaja tres turnos al da.La siguientetabla proporciona las cantidades producidas de cada pieza en los tres turnos.Idealmente,la cantidad de ruedas producidas es el doble de la de asientos.Sin embargo,como las tasas de produccin varan de turno a turno,el balance exacto en la produccinpuede no ser posible.A Mantel le interesa determinar la cantidad de corridas de produc-cin en cada turno que minimice el desbalance en la produccin de las piezas.Las limita-ciones de la capacidad restringen las corridas a entre 4 y 5 para el turno 1;10 y 20 para elturno 2,y 3 y 5 para el turno 3.Formule el problema como un modelo de programacinde metas.dro vertical.Las dos mquinas operan 10 horas al da.La siguiente tabla proporciona el
lb por lb de ingrediente
Ingrediente
Calcio
Protena
Piedra caliza.380.00.00.001.09.02.002.50.08
Unidades producidas por carrera de produccin
Turno
Ruedas
Asientos150030026002803640360
8.1Formulacin de una programacin de metascin totales a lo sumo a 30 minutos.La demanda del mercado de cada pieza es de almenos 10 unidades.Adems,la cantidad de unidades de la pieza 1 no puede exceder la dela pieza 2.Formule el problema como un modelo de programacin de metas.Se fabrican dos productos en dos mquinas secuenciales.La siguiente tabla da los tiem-pos de maquinado en minutos por unidad para los dos productos.Las cuotas de produccin diarias para los dos productos son de 80 y 60 unidades.Cadamquina opera 8 horas al da,y si es necesario,aunque no deseable,puede utilizarsetiempo extra para satisfacer las cuotas de produccin.Formule el problema como un mo-delo de programacin de metas.El hospital de Vista City planea la asignacin de camas sobrantes (las que no estn yaocupadas) para estancias cortas,con 4 das de anticipacin.Durante el periodo de planifi-cacin de 4 das,alrededor de 30,25 y 20 pacientes requerirn estancias de 1,2 o 3 das,respectivamente.Las camas sobrantes durante el mismo periodo se estiman en 20,30,30y 30,respectivamente.Aplique la programacin de metas para resolver el problema deLa familia Von Trapp planea irse a vivir a una nueva ciudad donde los dos padres hanaceptado nuevos trabajos.Al tratar de encontrar una ubicacin ideal para su nuevohogar,los Von Trapp enumeran las siguientes metas:Debe estar lo ms cerca posible al lugar de trabajo de la seora Von Trapp (alrede-dor dede milla).El seor y la seora Von Trapp utilizan un sitio destacado en la ciudad como punto) del lugar de trabajo,el aeropuerto y elcentro comercial en (1,1),(20,15) y (4,7),respectivamente (todas las distancias estn enmillas).Formule el problema como un modelo de programacin de metas.(tricciones resultantes son no lineales.)En un experimento de laboratorio,suponga que 1,2,Ã,1,2,...,.Se desea determinar una regresin lineal que enca-je en estos datos.Sea 0,1,Ã,,los coeficientes de la regresin.Se desea determi-
4
Tiempo de produccin en min
Pieza
Torno
Taladro vertical153262346474
Tiempo de maquinado en min
Mquina
Producto 1
153262
Captulo 8Programacin de metasobservados y los estimados sea mnima.Formule el problema como un modelo de pro-gramacin de metas.Problema de Chebyshev.Una meta alterna para el modelo de regresin del problema 10el mximo de las desviaciones absolutas.Formule el problemacomo un modelo de programacin de metas.8.2ALGORITMOS DE PROGRAMACIîN DE METASEsta seccin presenta dos algoritmos para resolver la programacin de metas.Ambosvo.En el ,la funcin objetivo nica es la suma ponderada de las fun-ciones que representan las metas del problema.El mtodo preventivometas por orden de importancia.Luego,el modelo optimiza las metas de una en una enelPor lo comn,los dos mtodos propuestos no presentan la misma solucin.Ninguno de los mtodos,sin embargo,es superior al otro porque las dos tcnicas pre-suponen preferencias distintas en la toma de decisiones.8.2.1Mtodo de los pesos1,2,...,toma de decisiones con respecto a la importancia relativa de cada meta.Por ejemplo,1,para todas las ,significa que todas las metas tienen una misma importancia.Ladeterminacin de los valores especficos de estos pesos es subjetiva.En realidad,losprocedimientos analticos aparentemente complejos,desarrollados en la literatura(vea,por ejemplo,Cohon,1978) an estn arraigadas en evaluaciones subjetivas.
TopAd,una nueva agencia de publicidad con 10 empleados,firm un contrato para promover unnuevo producto.La agencia puede hacer publicidad por radio y televisin.La siguiente tablario,as como los requerimientos de costos y mano de obra.El contrato prohbe a TopAd utilizar
Radio
TelevisinExposicin (en millones de personas)/min4
8.2Algoritmos de programacin de metasms de 6 minutos de publicidad por radio.Adems,los anuncios de radio y televisin tienen que llegaral menos a 45 millones de personas.TopAd tiene una meta presupuestaria de $100,000 para el pro-yecto.ÃCuntos minutos de anuncios de radio y televisin debe utilizar TopAd?los minutos asignados a los anuncio de radio y televisin.La formulacin de la pro-La gerencia de TopAd estima que la meta de exposicin es dos veces ms importante que la metade presupuesto.Por lo tanto,la funcin objetivo combinada se convierte en 5 minutos,2.5 minutos,millones de personas,ple.Especficamente,significa que la meta de exposicin (de al menos 45 millones de perso-nas) falla por 5 millones de personas.Por otra parte,la meta de presupuesto (de no exceder $100,000)no se viola porque.Comentarios.,ms que ptima,al pro-blema.Por ejemplo,la solucin $96,000).En esencia,lo que la programa-optimizacin.La falla de no hallar la solucin ptima levanta dudas sobre la viabilidad de la progra-
CONJUNTO DE PROBLEMAS8.2AConsidere el problema 1,conjunto 8.1a que se refiere a la situacin tributaria de Fairville.Resuelva el problema,suponiendo que las cinco metas tienen el mismo peso.ÃSatisface la so-En el problema 2,conjunto 8.1a,suponga que la meta de atraer personas de mediana edad esEncuentre la solucin asociada,y verifique si todas las metas se han cumplido.
Captulo 8Programacin de metasEn la situacin de la admisin a la Universidad de Ozarkdescrita en el problema 3,con-diantes de primer ao,pero los requisitos restantes pueden tratarse como metas flexi-bles.Suponga,adems,que la calificacin del examen ACT es dos veces ms importanteque cualquiera de las metas restantes.Resuelva el problema y especifique si se cumplen o no todas las metas.Si,adems,el tamao de la clase de estudiantes de primer ao puede tratarse comouna meta flexible que es dos veces ms importante que la meta del examen ACT,En el modelo de Circle K del problema 4,conjunto 8.1a,Ães posible satisfacer todos losEn el problema 5,conjunto 8.1a,determine la solucin,y especifique si puede balancear-se o no la produccin diaria de ruedas y asientos.En el problema 6,conjunto 8.1a,suponga que la meta de la demanda del mercado es dosveces ms importante que la de balancear las dos mquinas,y que no se permite tiempoextra.Resuelva el problema,y determine si se cumplen las metas.En el problema 7,conjunto 8.1a,suponga que la produccin se esfuerza por satisfacer lascuotas de los dos productos,utilizando tiempo extra si es necesario.Encuentre una solu-cin al problema,y especifique la cantidad de tiempo extra,si se requiere,para cumplirEn el hospital de Vista City del problema 8,conjunto 8.1a,suponga que solamente los l-mites de camas representan metas flexibles y que todas las metas tienes pesos iguales.pleados,para estudiar el impacto en el ingreso de tres factores:edad,educacin (expresa-da en aos de universidad terminados),y experiencia (expresada en aos en los negocios).Aplique la formulacin de programacin de metas del problema 10,conjunto 8.1a,8.2.2Mtodo preventivoEn este tipo de mtodo,el tomador de decisiones clasifica las metas del problema enorden de importancia.Dada una situacin de metas,los objetivos del problema se
Edad
Educacin
Experiencia
Ingreso anual
(aos)
(aos)
(aos)
($)304540,0003951048,0004421438,0004801836,000373941,000
8.2Algoritmos de programacin de metases el componente de las variables de desviacin,o que representan.Por ejemplo,en el modelo de TopAd (ejemplo 8.2-1),y ,y termina con la optimizacin de la prioridad mnima,.El mtodo preventi-La literatura sobre programacin de metas presenta un mtodo simplex ÃespecialÃque garantiza la no degradacin de soluciones de alta prioridad.El mtodo utiliza la regla.La regla reconoce que tales variables no bsicas,si se elevanpor encima del nivel cero en las optimizacin de metas subsiguientes,pueden degradar(pero nunca mejorar) la calidad de una meta de mayor prioridad.El procedimiento re-quiere incluir las funciones objetivo de todas las metas en la tabla simplex del modelo.programacin de metas.En esta presentacin demostramos que se pueden alcanzar losPaso 0.Paso general,y quedefina el valor ptimo.Si ,detngase;la PLmetas.En caso contrario,agregue la restriccinno se degrade en problemas futuros.Establezca 1,y repita el paso La adicin sucesiva de las restricciones especialespuede no ser tan Ãelegan-teÃtericamente como la ;no obstante,se logra el mismoresultado.Pero lo ms importante es que es ms fcil de implementar y de entender.Comentarios.ms pequeo al eliminar variables,en tanto que nuestro procedimiento lo hace msgrande al agregar nuevas restricciones.Considerando la naturaleza de las restriccionesadicionalespodemos modificar el algoritmo simplex para implementar larestriccin adicional implcitamente sustituyendo.La sustitucin (que afectael algoritmo se mueve de una meta a la siguiente.De otra manera,podemos utilizar elmtodo simplex acotado de la seccin 7.4.2,reemplazandocon encuyo caso las restricciones adicionales se toman en cuenta de manera tcita.Alrespecto,la ,aparte de su atractivo terico no pareceofrecer una ventaja computacional particular.Para completar el planteamiento,el ejemplo 8.2-3 ilustrar cmo funciona la
Captulo 8Programacin de metas
El problema del ejemplo 8-2.1 se resuelve por el mtodo preventivo.Suponga que la meta de ex-Paso 0.:Minimizar :Minimizar Paso 1.TORA)es 5 minutos,2.5 minutos,millones de personas,con las variables restantes iguales a cero.La solucin.La restriccin5 (o,lo que es lo mismo,Paso 2.(Puede aplicarse la opcinde TORA para representar la nueva restriccinPor lo general,la restriccin adicional tuir en la primera restriccin.El resultado es que el lado derecho de la restriccin dela meta de exposicin cambiar de 45 a 40,lo que reduce la LP
8.2Algoritmos de programacin de metas,la cual es la idea ge-En realidad,la optimizacin de la PL0;es decir,ya es ptima.Tales oportunidades de ahorro de clculos deben aprovecharse siempre
que se presenten durante el curso de implementacin del mtodo preventivo.
Ejemplo 8.2-3(Regla de eliminacin de columnas) las metas.Ms adelante,el mismo ejemplo se resuelve aplicando la Prioridad 1:Maximizar la exposicin (Prioridad 2:Minimizar el costo (Matemticamente,los dos objetivos se dan como8.2-1 y 8.2-2 se eliminan,porque dejaremos que el mtodo simplex determine estos lmites pti-mamente.Por lo tanto el nuevo problema se formula comoPaso 1.La solucin ptima (obtenida por TORA) es 40,lo que demuestra que laexposicin mxima que podemos obtener es de 40 millones de personas.
Captulo 8Programacin de metasPaso 2.grade.Por lo tanto,resolvemos la PL6 minutos,y 2 minutos.Esto da porejemplo 8.2-2,donde buscamos satisfacer en lugar de optimizar las metas..La regla in-dica que incluyamos las filas objetivo asociadas con todas las metas en la tabla simplex,como se
(Maximizacin de la exposicin).La tabla simplex de la PL.La condicin de optimalidad aplica slo a la fila objetivo .La fila,pero debe ser actualizada (mediante las
Iteracin
Bsica
x1
x2
s1
s2
Ã4Ã8000
P2
Ã8
Ã24
0
0
12101010016004040
P2
4
0
12
0
120x21
211
10016
bsicaxLa razn es que si estas variables no se verifican,podran volverse positivas en proble-mas de optimizacin de baja prioridad,las cuales pueden degradar la calidad de solu-).En la fila 0,la cual degradar el valor objetivo ptimo del problema
8.2Algoritmos de programacin de metases del tipo de minimizacin.Despus de la eliminacin de ,la.La siguiente tabla mues-.Se elimin la fila 96 es la misma que se obtuvo antes.
AMPL se presta muchsimo para la aplicacin de la idea presentada en el ejemplo 8.2-2,dondeden.El archivo proporciona un cdigo AMPL genrico que permite aplicar elmtodo preventivo.El modelo debe implementarse de manera interactiva como se explica en la
seccin C9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS8.2BEn el ejemplo 8.2-2,suponga que la meta de presupuesto se incrementa a $110,000.Lameta de exposicin permanece en 45 millones de personas.Demuestre cmo determi-nar una solucin el mtodo preventivo.Resuelva el problema 1,conjunto 8.1a,utilizando el siguiente orden de las prioridadesConsidere el problema 2,conjunto 8.1a,que se refiere a la presentacin de conciertos yexposiciones de arte en el centro comercial NW.Suponga que las metas establecidas paraadolescentes,el grupo de mediana edad y el de adultos mayores se designan como ,respectivamente.Resuelva el problema para cada uno de los siguientes rdenes de
Iteracin
Bsica
x1
x2
s1
s2
Solucin1P140
P2
4
0
0
120x21
1051016
P2
0
0
Ã4
96x201-1
1016
Puede ver que es computacionalmente conveniente utilizar AMPL de manera interactiva para resolver losproblemas de este conjunto.
Captulo 8Programacin de metasorden de las prioridades.Resuelva el modelo de la Universidad de Ozark (problema 3,conjunto 8.1a) siguiendo elmtodo preventivo,a reserva de que las metas se hayan priorizado en el mismo ordenChissman,J.,T.Fey,G.Reeves,H.Lewis,y R.Weinstein,ÃA Multiobjective Linear ProgrammingMethodology for Public Sector Tax PlanningÃ,Interfaces,vol.19,nm.5,pgs.13-22,1989.Cohon,T.L.,Multiobjective Programming and Planning,Academic Press,Nueva York,1978.Ignizio,J.P.,y T.M.Cavalier,Linear Programming,Prentice-Hall,Upper Saddle River,NJ,1994.Steuer,R.E.,Multiple Criteria Optimization:Theory,Computations,and Application,Wiley,Nueva York,1986.
9.1APLICACIONES ILUSTRATIVASPor lo general,las aplicaciones de programacin lineal entera (PLE) caen dentro de.En la categora ,la naturaleza de la situa-cin impide la asignacin de valores fraccionarios a las variables del modelo.Por ejem-plo,el problema puede implicar la determinacin de si se emprende o no un proyecto(variable binaria),o la determinacin del nmero ptimo de mquinas necesarias pararealizar una tarea (variable general entera).En la categora modelos que pueden resolverse por medio de algoritmos de optimizacin disponibles.Por ejemplo,en la secuencia de dos trabajos,,en una sola mquina,el trabajo o viceversa.La naturaleza ÃoÃde las restricciones es loque hace al problema analticamente insoluble,porque todos los algoritmos de progra-macin matemticos tratan con slo restricciones ÃyÃ.La seccin 9.1.4 muestra cmose utilizan las variables binarias auxiliares para transformar las restricciones ÃoÃenÃyÃ,sin modificar la naturaleza del modelo.CAPêTULO 9
Aplicacin de la vida real. Optimizacin de las cargas de camiones de remolqueentregar paquetes de hojas de vidrio plano a clientes.Los paquetes varan tanto en ta-mao como en peso,una carga puede incluir diferentes paquetes,segn los pedidos re-cibidos.Los reglamentos gubernamentales limitan los pesos sobre los ejes y la coloca-cin de los paquetes en el remolque es crucial para determinar estos pesos.Ella cama del camin para satisfacer los lmites de peso sobre los ejes.El problema se re-suelve como un programa entero.El caso 7 del captulo 26 en el sitio web proporciona
los detalles del estudio.
Captulo 9Programacin lineal enteraPor comodidad,un problema se define como programa entero las variables son enteras.En caso contrario,es un programa entero que implica una combinacin de variables enteras y continuas.9.1.1Presupuesto de capitalsideraciones y prioridades preestablecidas de presupuesto limitado.El siguiente ejem-plo presenta una de estas situaciones.
Ejemplo 9.1-1(Seleccin de un proyecto)Se estn evaluando cinco proyectos a lo largo de un horizonte de planeacin de 3 aos.La si-El problema se reduce a una decisin Ãs-noÃpara cada proyecto.Defina la variable binariaLa solucin ptima entera (obtenida con AMPL,Solver,o TORA)0,con 95 ($ millones).La solucin excluye el proyecto 5 de la combinacin de proyectos.
Proyecto
Gastos ($ millones)/ao
Rendimientos ($ millones)
1
2
8204221103Fondos disponibles ($ millones)252525
Para utilizar TORA,seleccione el men de la barra de mens .Despus de in-gresar los datos del problema,dirjase a la pantalla de resultados,y seleccione ner la solucin ptima.Solver se utiliza igual que en la PL,slo que las variables deben declararse enteras.Solver Parametersnueva restriccin.La implementacin de AMPL para programacin entera es la misma que en la PL,ex-en la instruccin de definicin de las variables.Por ejemplo,la instruccin var xΩ{J}= 0;decla-ra a .Si es binaria,la instruccin se cambia a ;.Para su ejecucin,la instruccin ;debe preceder a
Automated B&B
Main
Integer Programming
9.1Aplicaciones ilustrativasComentarios.Es interesante comparar la solucin de PL continua con la solucin del PLE.Lasolucin ptima de PL,obtenida reemplazando ,da por.7368,y 108.68 ($ millones).La solucin no tienebinarias asumen valores fraccionarios.Podemos al entero ms cercano,lo que da 1.Sin embargo,la solucin resultante infringe las res-tricciones.Adems,el concepto de
una decisin Ãs-noÃ.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1ALos proyectos 2 y 3 son mutuamente excluyentes.Se van a cargar cinco artculos en un buque.A continuacin se tabulan el peso ,el vo-,respectivamente.Formule el modelo de programacin lineal entera,y determine laSuponga que tiene 7 botellas de vino llenas,7 a la mitad y 7 vacas.Le gustara dividir las21 botellas entre tres individuos de modo que cada uno reciba exactamente 7.Adems,cada individuo debe recibir la misma cantidad de vino.Exprese el problema como res-tricciones del PLE,y halle una solucin.(la que todos los coeficientes objetivo sean ceros.).hijos:Tarek recibe la mitad del rebao,Sharif obtiene una tercera parte y Maisa recibeun noveno.El resto se destina a la caridad.El testamento no especfica el tamao del re-bao,slo dice que es un nmero impar de camellos y que la institucin de caridad nom-brada recibe exactamente un camello.Use la PLE para determinar cuntos camellos dejel jeque en el testamento y cuntos obtiene cada hijo.Karen,la mayor,lleva 50 manzanas;Bill el de en medio,lleva 30;y John,el ms joven,lleva slo 10.Los padres han estipulado cinco reglas:(a) el precio de venta es de $1 por7 manzanas o $3 por 1 manzana;o una combinacin de los dos precios.(b) Cada hijopuede ejercer una o ambas opciones del precio de venta.(c) Cada uno debe regresar conexactamente la misma cantidad de dinero.(d) El ingreso de cada hijo debe ser de dlaresenteros (no se permiten centavos).(e) La cantidad recibida por cada hijo debe ser la m-xima posible segn las condiciones estipuladas.Dado que los tres hijos son capaces de
Artculo
Peso unitario,
Volumen unitario,
Valor unitario,15142887336642555744
Los problemas 3 a 6 son una adaptacin de Malba Tahan,,Editorial Limusa,Mxico,DF,pgs.39-182,1994.Los problemas 13 a 16 son una adaptacin de acertijos compilados en http:www.chlond.demon.co.uk/puzzles/puzzles1.html.Desde luego sin tomar en cuenta las letras compuestas CDy LL.(N.del T).
Captulo 9Programacin lineal enteravender todo lo que llevan,use la PLE para mostrar cmo se pueden satisfacer las condi-ciones de sus padres.alta mar.El capitn apart una suma de dinero en la oficina del sobrecargo e instruy alde que el barco atracara.Una noche,uno de los marineros,sin que los otros supieran,seforma anticipada.Despus de que dividi el dinero en tres partes iguales sobr una mo-neda,la que el marinero decidi conservar (adems de un tercio del dinero).La noche si-guiente,el segundo marinero tuvo la misma idea y repiti la misma divisin en tres partescon lo que qued,y termin quedndose con una moneda extra.La tercera noche el ter-cer marinero tambin tom un tercera parte de lo que quedaba,ms una moneda extraque no poda dividirse.Cuando el barco arrib,el primer oficial dividi lo que restaba deldinero en partes iguales entre los tres marineros,quedando de nuevo una moneda extra.Para simplificar las cosas,el primer oficial apart la moneda extra y les dio a los marine-ros sus partes iguales asignadas.ÃCunto dinero haba en la caja fuerte al inicio? Formuleel problema como una PLE,y halle la solucin.(tud de soluciones enteras.Por comodidad,supongamos que nos interesa determinar lasuma mnima de dinero que satisfaga las condiciones del problema.Luego,aumente unoa la suma resultante,y agrguelo como cota inferior para obtener la siguiente suma mni-ma.Continuando de esta manera,emerger un patrn de solucin general.)Weber (1990).Supongamos que tenemos las siguientes palabras de tres letras:AFT,FAR,TVA,ADV,JOE,FIN,OSF y KEN.Supongamos que le asignamos valores numricos al27.A cada palabra se le asignauna calificacin sumando los cdigos numricos de sus tres letras.Por ejemplo,AFT 27.Debe seleccionar cinco de las ocho palabrasdadas que den la calificacin mxima total.Al mismo tiempo,las cinco palabras debenFormule el problema como una PLE y halle la solucin ptima.Resuelva el problema 7 dado que,adems de que la suma total es la mxima,la suma de lacolumna 1 y la suma de la columna 2 tambin sern las mximas.Halle la solucin ptima.Weber (1990).
Grupo 1
FORTFOOTHEATSPARPASTTHATPROFSTOP
Todas las palabras en los grupos 1 y 2 pueden formarse con las nueve letras A,E.F,H,O,P,R,S y T.Desarrolle un modelo para asignar un valor numrico nico del 1 al 9 a estasletras,de modo que la diferencia entre las calificaciones totales de los dos grupos ser loms pequea posible.numricos asignados a sus letras individuales.
9.1Aplicaciones ilustrativasciones.Los tamaos en MB de las diferentes canciones son de 8,3,5,5,9,6 y 12,respecti-vamente.Record-a-Song utiliza dos CD para la grabacin.La capacidad de cada CD esde 30 MB.A la compaa le gustara distribuir las canciones en los dos CD de modo queel espacio utilizado en cada uno sea aproximadamente el mismo.Formule el problemaEn el problema 10,suponga que la naturaleza de las melodas dicta que las canciones 3 y4 no pueden grabarse en el mismo CD.Formule el problema como una PLE.ÃSera posi-ble utilizar un CD de 25 MB para grabar las ocho canciones? Si no,utilice la PLE paraes and Asoociates (1993).saln de clases y el profesorado.Para demostrar la aplicacin del modelo,considere elentre seis ofrecidos.La tabla siguiente muestra las calificaciones que representan la pre-ferencia de cada estudiante por los cursos individuales,con 100 como la calificacin msalta.Para simplificar,se supone que la calificacin de la preferencia de una seleccin dedos cursos es la suma de las calificaciones individuales.La capacidad del curso es el n-mero mximo de estudiantes que pueden tomar la clase.Formule el problema como una PLE y halle la solucin ptima.Tiene tres denominaciones de moneda con 11 monedas de cada una.El valor11 monedas) es de 15 bits para la denominacin 1,16 para la denominacin 2,y 17 bitspara la 3.Usted necesita comprar un artculo de 11 bits.Use la PLE para determinar laTiene un tablero de 4 4 casillas y un total de 10 fichas.Use la PLE para colocar las fichasen el tablero de modo que cada fila y cada columna tengan un nmero par de fichas.Cuando denunci el hecho a la polica,el vendedor no supo decir cuntos aparatos quetena pero declar que cuando divida el total en lotes de 2,3,4,5 o 6,siempre sobraba unaparato.Por otra parte,no sobraba ninguno cuando el total se divida en lotes de 7.Use1,2,Ã,,formule un modelo de PLE (para cualquier que,cuando se divide entre la cantidad entera 2 ,siempre producir;es decir,
Estudiante
Calificacin de preferencia por curso
1
2
3
4
5
2040503090100901008070104054030809590506080304756090100504004090108085407060556301004070905580601007065804060801009010Capacidad del curso685565
Captulo 9Programacin lineal enteraMONEY.Formule el problema como un progra-ma entero y halle la solucin.(nes colaterales.)El acertijo lgico japons mundialmente conocido,Sudoku,se compone de una cuadrcu-3 que no se traslapan.El acertijo con-cada fila,cada columna y cada subcuadrcula,contenga dgitos distintos.Algunas de lasFormule el problema como un programa entero,y halle la solucin para el casoy halle la solucin para el casoSugerencia:sea xijk51 si se coloca el dgito ken la celda (i,j),i,j,k51,2,Ã,9.Si uti-liza AMPL,tenga en cuenta que con 9,la cantidad de variables que resulte exceder lacapacidad de la versin estudiantil de AMPL.Si no tiene acceso a la versin completa deAMPL,puede desarrollar un modelo general para 4 o 9,y luego resolverlos para el9.1.2Problema de cobertura de conjuntoEn esta clase de problemas,varias plantas ofrecen servicios que se traslapan a varias insta-laciones.El objetivo es determinar la cantidad mnima de plantas que (es decir,quesatisfacen las necesidades de servicio de) cada instalacin.Por ejemplo,se pueden construirplantas de tratamiento de agua en varios lugares,y cada planta sirve a un grupo de ciuda-des.El traslape ocurre cuando a una ciudad dada le da servicio ms de una planta.
Ejemplo 9.1-2(Instalacin de telfonos de seguridad)de Arkansas se encuentra en proceso de instalacin de telfonos de emergencia en lugares seleccio-nados.El departamento desea instalar una cantidad mnima de estos aparatos que presten servicioa cada una las calles principales del campus.La figura 9.1 es un mapa de dichas calles.Es lgico maximizar la utilidad de los telfonos si se les coloca en intersecciones de calles.De este modo,una sola unidad puede prestar servicio al menos a dos calles.614583568476791472694587
9.1Aplicaciones ilustrativasMapa de las calles del campus de la Universidad de Arkansas
1
6
3
8
7
2Calle ACalle BCalle CCalle DCalle ECalle KCalle GCalle JCalle ICalle HCalle F
4
5
).Por lo tanto,el modelo es 1,2,5 y 7.Comentarios.En el sentido estricto,los problemas de cobertura se caracterizan por los si-guientes criterios:(1) Las variables 1,2,Ã,son binarias;(2) los coeficientes del lado iz-
Captulo 9Programacin lineal enteraquierdo de las restricciones son 0 o 1;(3) el lado derecho de cada restriccin es de la forma (,donde 1,2,...,En este ejemplo,.Si ,entonces estos coeficientes pueden asumir valores diferentes de 1.Las variaciones del proble-ma de cobertura incluyen condiciones colaterales adicionales,como se describe por medio de al-
gunas de las situaciones descritas en los problemas del conjunto 9.1b.
Momento de AMPLEl archivo amplEx9.1-2.txt proporciona un modelo general para cualquier problema de cobertu-
ra.La formulacin se detalla en la seccin C.9 en el sitio web.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1Ba diario a cinco clientes.La siguiente lista proporciona los clientes asociados con cada ruta:
Ruta
1,2,3,44,3,51,2,52,3,51,4,21,3,5
diarias a los cinco clientes.Aun cuando la solucin puede dar por resultado que un clien-te sea atendido por ms de una ruta,la fase de implementacin utilizar slo una de esasrutas.Formule el problema como un PLE,y halle la solucin ptima.La Universidad de Arkansas va a formar un comit para atender las quejas de los estu-diantes.La administracin desea que el comit incluya al menos una mujer,un hombre,un estudiante,un administrador y un profesor.Diez personas (identificadas,por simplici-
12345010121698100328171012320142120168140151891721150118102018110
cargas.Por ejemplo,en la ruta 1,la capacidad del camin es suficiente para entregar lascargas a los clientes,1,2,3 y 4 nicamente.La siguiente tabla enlista las distancias (en mi-llas) entre la terminal de los camiones (ABC) y los clientes.
9.1Aplicaciones ilustrativasdad,con las letras de la ) han sido nominadas,y se les ha combinado en las distin-La Universidad de Arkansas desea formar el menor comit con la representacinde cada una de las cinco categoras.Formule el problema como un PLE,y halle la solu-El condado de Washington incluye seis poblaciones que necesitan el servicio de ambulan-cias de emergencia.Debido a la proximidad de algunas poblaciones,una sola estacinpuede atender a ms de una comunidad.La estipulacin es que la estacin debe estarcomo mximo a 15 minutos de tiempo de manejo de la poblacin que atiende.La si-guiente tabla muestra los tiempos de manejo en minutos entre las seis poblaciones.
Categora
PersonasMujeresa, b, c, d, eHombresf, h, i, jEstudiantesa, b, c, jAdministradorese, fProfesoresd, g, h, i
Tiempos en minutos de 123456023141810322302413221114240601920418136005517510221955012632112017120
Formule un PLE cuya solucin produzca el nmero mnimo de estaciones y susubicaciones.Determine la solucin ptima.Los inmensos tesoros del Rey Tut estn en exhibicin en el Museo de Giza en El Cairo.das por puertas abiertas.Un guardia de pie en una puerta puede vigilar dos salas adya-centes.La poltica de seguridad del museo requiere la presencia de un guardia en cadasala.Formule el problema como un PLE para determinar el mnimo de guardias.
Captulo 9Programacin lineal enterapelculas que se estn exhibiendo en cines de su ciudad y otras ciudades vecinas.Si viaja aotra ciudad,se quedar all hasta que vea todas las pelculas que desea.La siguiente tabla in-forma sobre las ofertas de pelculas y las distancias de viaje redondo a las ciudades vecinas.
Localizacin
del cine
Ofertas de
pelculas
Millas de
viaje redondo
Costo por
En su ciudad1,31,6,82,5,71,8,92,4,71,3,5,104,5,6,9
El costo de conducir es de 75 centavos por milla.Bill desea determinar las ciudadesque necesita visitar para ver todas las pelculas,al mismo tiempo que minimiza su costo total.Las tiendas Walmark estn en proceso de expansin en el oeste de Estados Unidos.Walmark planea construir durante el prximo ao nuevas tiendas que prestarn servicioa 10 comunidades geogrficamente dispersas.La experiencia pasada indica que una co-tes.Adems,la poblacin de una comunidad desempea un rol importante en la ubica-cin de una tienda,en el sentido que las comunidades grandes generan ms clientesparticipantes.La siguiente tabla proporciona las poblaciones y tambin las distancias (enmillas) entre las comunidades.La idea es construir el menor nmero de tiendas,teniendo en cuenta la restriccinde la distancia y la concentracin de las poblaciones.Especifique las comunidades donde deben ubicarse las tiendas.Guret and Associates (2002).Seccin 12.6.El presupuesto deMobileCo para construir 7
Millas de la comunidad a la comunidad
12345678910Poblacin20403517245058331210,000220236840302019704015,000340233670224530218028,000435683670802420401030,000517407070237040134040,000624302280231214505030,000750204524701226403020,000858193020401426205015,000933702140135040202260,00010124080104050305022
9.1Aplicaciones ilustrativas
Transmisor
Comunidades cubiertas
11,23.602,3,51,7,9,104,6,8,96,7,9,115,7,10,12,1412,13,14,15
tiguas,es de 15 millones de dlares.A continuacin se presentan las comunidades cubier-tas por cada transmisor y los costos de construccin presupuestados.
Comunidad
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Poblacin (en miles)10152830403020156012
ermini and Associates (2004).tricos automticos en lugar de los ms costosos medidores manuales.En el sistema au-tomtico,los medidores de varios clientes se enlazan inalmbricamente a un solo recep-tor.El medidor enva seales cada mes a un receptor designado para reportar elconsumo de electricidad del cliente.Luego los datos se canalizan a una computadora cen-tral para generar los recibos.El objetivo es determinar el mnimo de receptores necesa-rios para atender a un nmero dado de medidores.En la vida real,el problema compren-de miles de medidores y receptores.Este problema emplea 10 medidores y 8 posibleslocalizaciones para los receptores,con las siguientes configuraciones:
Receptor
1
2
3
4
5
6
7
Medidores1,2,32,3,95,6,77,9,103,6,81,4,7,94,5,91,4,8
Resuelva el problema 8 si,adems,cada receptor puede manejar cuando mucho 3 medi-dores.9.1.3Problema de cargo fijoincurre en dos tipos de costos:un costo fijo necesario para iniciar la actividad y uncosto variable proporcional al nivel de la actividad.Por ejemplo,el herramental inicialindependientemente de cuntas unidades se fabriquen.Una vez completa la prepara-cin de la mquina,el costo de la mano de obra y del material es proporcional a la can-tidad producida.Dado que es el cargo fijo,es el costo unitario variable,y nivel de produccin,la funcin de costo se expresa como
Captulo 9Programacin lineal entera0.El siguiente ejemplo demuestra cmo se utilizan las variables binarias paravolver el modelo analticamente soluble.
Ejemplo 9.1-3(Seleccin de una compaa telefnica)Tres compaas telefnicas me ofrecen suscribirme a su servicio de larga distancia en EstadosUnidos.MaBell cobra una cuota fija de $16 por mes ms $.25 por minuto.PaBell cobra $25 pormes pero reduce el costo por minuto a $.21.En cuanto a BabyBell,la cuota fija mensual es de$18,y el costo por minuto es de $.22.Usualmente ocupo un promedio de 200 minutos de llama-das de larga distancia al mes.Suponiendo que no tenga que pagar la cuota fija mensual a menosque realice llamadas y que pueda repartirlas entre las tres compaas como me plazca,ÃcmoEste problema es fcil de resolver sin PLE.No obstante,es instructivo formularlo como unprograma entero.Podemos asegurar que .Como ocupo aproximadamente 200 minutos de llamadas al mes,entonces ,es seguro seleccionar 1,lo cual puede suceder slo si
9.1Aplicaciones ilustrativas
Por generalizacin,la condicin
Myixi
Pantalones
Chalecos
538Tiempo de mano de obra por unidad (h)Costo de preparacin del equipo por lote ($)100Cantidad mnima de unidades necesarias100150
producto.Jobco planea producir al menos 2000 artefactos con tres mquinas.El tamao mnimodel lote es de 500 artefactos.La siguiente tabla ofrece los datos pertinentes de la situa-
Mquina
Costo de preparacin ($)
Costo de produccin/unidad ($)
1300260021003200
Formule el problema como un PLE y halle la solucin ptima.del modelo).Si 0 en el ptimo,entonces la minimizacin de ,junto con el hecho de que elsea positivo,hace que 1,y todas las variables restantes iguales a cero,lo que demuestra que debo seleccionar a BabyBell como mi proveedor de larga distancia.mismo resultado.En realidad,la razn principal para utilizar mensual fija.De hecho,las tres variables binarias transforman un modelo (no lineal) de mal com-portamiento en una formulacin analticamente soluble.Esta conversin ha dado por resultado la
introduccin de las variables (binarias) enteras en un problema que de lo contrario sera continuo.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1CLeatherco firm un contrato para fabricar lotes de pantalones,chalecos y chamarras.cesos de fabricacin.La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes con respecto alcostos e ingresos.Se estima que el abasto actual de piel es de 3000 pies,y el tiempo demano de obra disponible est limitado a 2500 horas.
Captulo 9Programacin lineal entera(posibles pozos petroleros).La siguiente tabla presenta los costos de preparacin en cadauno de los dos sitios,y el costo de perforacin del sitio 1,2;1,2,3,4).Formule el problema como un PLE y halle la solucin ptima.Se consideran tres sitios industriales para situar plantas de manufactura.Las plantasenvan sus abastos a tres clientes.El abasto en las plantas,la demanda de los clientes y elAparte de los costos de transporte,las plantas 1,2 y 3 incurren en costos fijos arazn de $12,000,$11,000 y $12,000,respectivamente.Formule el problema como un pro-por cada uno.para producir tres productos durante los prximos 6 meses.No se permiten demandasatrasadas.Sin embargo,se pueden tener existencias de ms de un producto para satisfa-cer la demanda en meses posteriores.La siguiente tabla presenta los datos asociados conla demanda,produccin y almacenaje de los tres productos.
12341218524631
Costo de transporte unitario ($)
3Abasto101512180017142014001510111300120017001600
Producto
Demanda en el periodoCosto de retencin
unitario ($/mes)Inventario
inicial
1
2
3
4
5
1503040602045.502406050303055.353304020704030.45
Costo de cambio de la lnea ($)
Producto 1
Producto 2
Lnea 1200Lnea 2250
Hay un costo fijo por el cambio de una lnea de un producto a otro.Las siguientes tablasdan el costo de cambio,las tasas de produccin y el costo de produccin unitario por
9.1Aplicaciones ilustrativasDesarrolle un modelo para determinar el programa de produccin ptimo.Jaris and Associates (1978).para la construccin de un mximo de cuatro plantas de tratamiento de aguas residuales.La tabla siguiente presenta los datos de la situacin.Los enlaces faltantes indican que nose puede construir un oleoducto.dad de aguas residuales generada,la cual es una funcin de las poblaciones.Se descarganLa capacidad mxima de la planta es de 100,000 gal/h.Determine la ubicacin y capaci-dad ptimas de las plantas.n and Associates(1987).para entregar a clientes cuatro productos de gasolina diferentes.Cada camin tiene cincocompartimientos de diferentes capacidades:500,750,1200,1500 y 1750 galones.Las de-mandas diarias de los cuatro productos se estiman en 10,15,12 y 8 mil galones.Cualquiercontratarse a los costos adicionales de 5,12,8 y 10 centavos por galn de los productos 1,2,3 y 4,respectivamente.Desarrolle el programa de carga diaria ptimo para los cuatroy puede elegir el uso de los servicios de cualquiera de las compaas A,B y .La com-paa A cobra una cuota mensual fija de $10 y 5 centavos por minuto por los primeros1000 minutos,y 4 centavos por minuto por todos los minutos adicionales.La cuota men-sual de la compaa B es de $20 con un cobro fijo de 4 centavos por minuto.El cobronutos,y 3.5 centavos despus de ese lmite.ÃCul compaa debe seleccionarse para mi-El profesor Yataha necesita programar seis viajes redondos entre Bostony Washington,D.C.Tres aerolneas cubren la ruta:Eastern,US Air,y Continental y nohay penalizacin por la compra de un boleto de viaje sencillo.Cada aerolnea ofrece mi-
Tasa de produccin (unidades/mes)
Costo de produccin unitario ($)
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 1
Producto 2
Lnea 140Lnea 290
Costo ($) de construccin del oleoducto entre
1234567110020050100200110180Costo millones de $deconstruccin de la planta1.001.202.001.601.80.901.40Poblacin (miles)501004590756030
Captulo 9Programacin lineal enterallas de gratificacin para viajeros frecuentes.Eastern otorga 1000 millas por boleto (deviaje sencillo) y 5000 millas ms si la cantidad de boletos en un mes es de 2,y otras 5000millas si excede de 5 boletos.US Air ofrece 1500 millas por viaje ms 10,000 extra porcada 6 boletos.Continental ofrece 1800 millas,ms 7000 extra por cada 5 boletos.El pro-fesor Yataha desea repartir los 12 boletos de viaje sencillo entre las tres aerolneas paramaximizar el total de millas ganadas.9.1.4Restricciones Uno - u - otro y Si - entoncesEn el problema de cargo fijo (seccin 9.1.3),se utilizan variables binarias auxiliarespara manejar la discontinuidad en la funcin de costo objetivo.Esta seccin se ocupaotro) o son dependientes (Si - entonces),utilizando de nueva cuenta variables binariasauxiliares.La transformacin utiliza un artificio matemtico para presentar la restric-cin especial como restricciones ÃandÃ(ÃyÃ).
Ejemplo 9.1-4(Modelo de secuenciacin de trabajos) Jobco utiliza una sola mquina para procesar tres trabajos.Tanto el tiempo de procesamientocomo la fecha lmite (en das) de cada trabajo aparecen en la siguiente tabla.Las fechas lmite semiden a partir de cero,el tiempo de inicio supuesto del primer trabajo.por retraso en el procesamiento de los tres trabajos.Fecha de inicio en das del trabajo El problema tiene dos tipos de restricciones:las restricciones de no interferencia (que garantizanque no se procesen dos trabajos al mismo tiempo) y las restricciones de fecha lmite.Considerelo bastante grande,las restricciones ÃoÃse transforman en restricciones ÃyÃpor medio demomento.Si 0,la primera restriccin est activa,y la segunda es redundante (porque su,la cual es mucho mayor que ).Si 1,la primera restriccin esredundante,y la segunda est activa.
Trabajo
Tiempo de procesamiento (das)
Fecha lmite (das)
2153
9.1Aplicaciones ilustrativasA continuacin,dado que ,el trabajo se retrasa si .Podemos utilizar dos variables no negativas,y para determinar el estado de un tra-completado con respecto a su fecha lmite,es decir,la restriccin de fecha lmite puedeescribirse comose adelanta siy se retarda siEl costo de penalizacin por retraso esPara resolverlo,seleccionamos 100,un valor que es mayor que la suma de los tiemposde procesamiento de las tres actividades.La solucin ptima es 0,y 25.sta in-dica que el trabajo 2 se inicia en el tiempo 0,que el trabajo 1 se inicia en el tiempo 20,y que eltrabajo 3 se inicia en el tiempo 25,y por lo tanto se obtiene la secuencia de procesamiento pti-ma 2:1:3.La solucin requiere que el trabajo 2 se complete en 0 20 das,el trabajo 1 en40 das.El trabajo 3 se retrasa 40
55 das despus de la fecha lmite a un costo de 5 3$34 5$170.
proporciona el modelo para el problema del ejemplo 9.1-4.El mode-
lo se explica en la seccin C.9 en el sitio web.
Ejemplo 9.1-5(Modelo de secuenciacin de trabajos revisitado)En el ejemplo 9.1-4,supongamos que tenemos la siguiente condicin adicional:Si el trabajo antecede al trabajo ,entonces el trabajo .Matemticamente,la)se escribe como
Captulo 9Programacin lineal enteraes suficientemente grande,esta condicin,entonces 0,la que requiere 0,y la segunda restriccin se vuel-,como se deseaba.Si no,puede asumir el valor de 0 o 1,en cuyo caso la se-
gunda restriccin puede o no ser satisfecha,dependiendo de las dems condiciones del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.1D3 casillas.Se requiere que coloque un nmeroentre 1 y 9 en cada casilla de modo que la suma de los nmeros en cada fila,cada colum-na y cada diagonal sea igual a 15.Adems,los nmeros en todas las casillas deben ser dis-tintos.Use un PLE para determinar la asignacin de nmeros a las casillas.Se utiliza una mquina para producir dos productos intercambiables.La capacidad diariadel producto 2.Como alternativa,se puede ajustar la mquina para que produzca diaria-mente a lo sumo 12 unidades del producto 1 y 25 unidades del producto 2.El anlisis del35 unidades.Dado que las utilidades unitarias de los productos respectivos son de $10 y$12,Ãcul de los dos ajustes de la mquina debe seleccionarse? Formule el problemapuede resolverse inspeccionando el espacio de soluciones grficas.ste no es el caso paradimensiones.)
Producto
Mano de obra diaria
requerida (h/unidad)
Materia prima diaria
134243356
Las utilidades por unidad de los tres productos son de $25,$30 y $22,respectivamen-te.Gapco tiene dos opciones para situar su planta.Los dos sitios difieren sobre todo en ladisponibilidad de mano de obra y materia prima,como se muestra en la siguiente tabla:
Sitio
Mano de obra diaria disponible (h)
1100100
Formule el problema como un PLE,y determine la ubicacin ptima de la planta.
9.1Aplicaciones ilustrativasSi el trabajo 4 precede al trabajo 3,entonces el trabajo 9 debe preceder al trabajo 7.Elobjetivo es procesar los 10 trabajos en el tiempo ms corto posible.Formule el modelocomo un PLE,y determine la solucin ptima modificando el archivo En el problema 4,suponga que el trabajo 4 no puede ser procesado antes que el trabajo 3se haya completado.Adems,los ajustes de la mquina para los trabajos 7 y 8 requierenque se procesen de inmediato uno despus del otro (es decir,el trabajo 7 sucede o prece-de inmediatamente al 8).El objetivo de Jobco es procesar los diez trabajos con la sumamnima de violaciones del tiempo lmite.Formule el modelo matemticamente,y deter-Jobco posee una planta donde se fabrican tres productos.Los requerimientos de mano deLa utilidad por unidad de los tres productos es de $25,$30 y $45,respectivamente.Si se va a fabricar el total de las unidades requeridas diarias del producto 3,entonces sunivel de produccin debe ser de al menos 5 unidades diarias.Formule el problema comoun PLE combinado,y halle la combinacin ptima.UPak es una subsidiaria de la compaa de transporte LTL.Los clientes llevan sus envosespacio hasta de 36 pies.El cliente paga por el espacio lineal exacto (en incrementos de 1pie) que ocupa el envo.No se permiten envos parciales,en el sentido de que un envoque no requiere ms de 36 pies deba ser cargado en un camin de remolque.Para separarlos envos se instala una barrera mvil,llamada mampara.La tarifa por pie que UPakcobra depende del destino del envo.La siguiente tabla proporciona las rdenes pendien-tes que UPak necesita procesar.
Trabajo
Tiempo de procesamiento (das)
Tiempo lmite (das)11020
Jobco Shop tiene 10 trabajos pendientes para ser procesados con una sola mquina.Lasiguiente tabla proporciona los tiempos de procesamiento y las fechas lmite.Todos lostiempos estn en das,y el tiempo lmite se mide a partir del tiempo 0:
Producto
Mano de obra diaria
requerida (h/unidad))
Materia prima diaria
134243356
12345678910Tamao (pies)51122157918141012Tarifa ($) 1209370851251049813014065
Captulo 9Programacin lineal enteraActualmente la terminal tiene dos camiones de remolque listos para ser cargados.nes de remolque.(es sencilla.Sin embargo,se le reta a que defina .Luego utilice la restriccin si - entonces (pedir el envo de cargas parciales..En el juego de ajedrez,las reinas atacan movindose horizontal,vertical y diagonalmente.Se desea colocar ninguna reina pueda ÃtomarÃa cualquier otra reina.Formule el problema como un pro-grama entero,y resulvalo con AMPL (o cualquier otro software) con 4,5,6 y 8Formulacin 1:Sea ),y cero sino es as.Las restricciones del problema son del tipo Ãsi 0,entonces ninguna otra,columna Formulacin 2:Sea tablero.Las restricciones impiden que se coloquen reinas en las diagonales.)Un proceso de manufactura utiliza cuatro materias primas intercambiables.Las propie-dades de las materias primas difieren,lo que conduce a diferentes unidades producidaspor unidad de materia prima.Tambin difieren en costo y tamaos de lote.La siguienteUna materia prima,si se utiliza,debe estar slo en los lotes indicados (por ejemplo,lamateria prima 1 puede adquirirse o en lotes de 100 unidades o nada).Las unidades pro-ducidas deben ser por lo menos 950.Formule un modelo para determinar las materiasprimas que deben usarse a un costo mnimo.que se muestran en la figura 9.3 por un conjunto de restricciones simultneas.Encuentre la,si 0,entonces 1.Formule la condicin como restricciones simultneas.
Materia
prima 1
Materia
prima 2
Materia
prima 3
Materia
prima 4
Materia
Tamao de lote (unidades)1001608031050Unidades de productopor14308020010120
Espacios de soluciones para el problema 10,conjunto 9.1d
x1x1x1x2x2x202
(
a
)
1332102
(
b
)
1332102
(
c
)
13321
9.2Algoritmos de programacin enteraaparece en una restriccin,donde rias.Demuestre cmo puede linealizarse este trmino.1,2,Ã,.Exprese la siguiente condicin como unconjunto de restricciones de PLE simultneas:Si ,entonces 1,y todas las varia-bles restantes son iguales a cero.cualquierkEn la siguiente restriccin,el lado derecho puede asumir uno de los valores ,Ã,y Considere la siguiente funcin objetivo.,de modo que si 1,entonces 1,2,Ã,9.2ALGORITMOS DE PROGRAMACIîN ENTERAde la PL.La estrategia de estos algoritmos implica tres pasos.Paso 1.1.El resultado del desahogo es una programacin lineal.Paso 2.Resuelva la PL,e identifique su ptimo continuo.Paso 3.Comenzando desde el punto ptimo continuo,agregue restricciones especialesnalmente d un punto extremo ptimo que satisfaga los requerimientos enteros.Ninguno de los dos mtodos es computacionalmente efectivo de forma consistente.Sinembargo,la experiencia muestra que el mtodo B&B (de ramificacin y acotamiento)es mucho ms exitoso que el mtodo del plano de corte.
Captulo 9Programacin lineal entera9.2.1Algoritmo de ramificacin y acotamientoEl primer algoritmo de ramificacin y acotamiento fue desarrollado en 1960 por A.Land y G.Doig para el problema general de PLE combinada o pura.Ms adelante,en1965,E.Balas desarroll el algoritmo aditivo.Los clculos del algoritmo aditivo eran tan simples (principalmentecin de la PLE.Por desgracia,no produjo las ventajas computacionales deseadas.Adems,se demostr que el algoritmo,que inicialmente no pareca estar relacionadocon la tcnica de ramificacin y acotamiento,era simplemente un caso especial del al-goritmo general de Land y Doig.Doig.Se utiliza un ejemplo numrico para proporcionar los detalles.
Los puntos de cuadrcula en la figura 9.4 definen el espacio de soluciones de PLE.El pro-nando las restricciones enteras.La solucin ptima de PL1 es Como la solucin ptima de PL1 no satisface las restricciones enteras,el espacio de solucionesse subdivide de una manera sistemtica que finalmente localiza el ptimo de la PLE.En primerlugar,el algoritmo de ramificacin y acotamiento selecciona una variable entera cuyo valor p-timo en PL1 no es entero.En este ejemplo,tanto califican.Seleccionando arbitrariamente,la regin 3 ,y por lo tanto puede ser eliminada.Esto equivale a reemplazar el PL1 original con dosproblemas de PL nuevos.La figura 9.5 ilustra los espacios de PL2 y PL3.Los dos espacios combinados contienen losmismos puntos enteros factibles que la PLE original,es decir,que no se pierde informacin
El mdulo de programacin entera TORA est equipado con una funcin que genera interactivamente elrbol de ramificacin y acotamiento.Para utilizarla,seleccionedel mdulo de programacin entera.La pantalla resultante proporciona toda la informacin necesaria paracrear un rbol de ramificacin y acortamiento.1) como sigue.Dada una varia-),entonces,...,y son binarias,y el ndice
User-guided B&B
9.2Algoritmos de programacin entera4 en PL1),estaremos reduciendo el espacio de solucionessatisfacen las restricciones enteras.El mejor de estos subproblemas es la solucin ptima de PLE.Las nuevas restricciones,4,son mutuamente excluyentes,de modo que el PL2y el PL3 en los nodos 2 y 3 deben tratarse como programaciones lineales distintas,como se mues-tra en la figura 9.6.Esta dicotomizacin da lugar al concepto de ramificacin y acotamiento.Es este caso,variable de ramificacin
135
FIGURA 9.5Espacios de soluciones de PL2 y PL3 para el pro-blema 9.2-1
x1x202135434PL3PL221
x1 3x1 4
Captulo 9Programacin lineal enteraen PL3.Por consiguiente,ambos subproblemas deben serexaminados.Arbitrariamente examinamos primero PL2 (asociada con 23.La solucin de PL2 satisface los re-.De ah que se dice que PL2 debe ser ,lo quepara el problema original,porque PL3 puede producir una mejor solucin entera.Todo lo queoriginal.Esto significa que cualquier subproblema no examinado que no puede producir unmejor valor objetivo que la cota inferior,debe ser desechado como no promisorio.Si un subpro-blema no examinado produce una mejor solucin entera,entonces el lmite inferior debe ser ac-tualizado como corresponde.23,examinamos PL3 (el nico subproblema restante no examinadoen este momento).Debido al ptimo ,es imposible que PL3 pueda producir una mejor solucin ente-23).En consecuencia,desechamos PL3 y concluimos que naron y sondearon a fondo,el primero para producir una solucin entera y el segundo porque nosolucin entera.Por lo tanto concluimos que la solucin de programacin li-neal ptima es la asociada con la cota inferior,o sea,En PL1,Ãpodramos haber seleccionado Cuando seleccionamos el siguiente subproblema a ser examinado,Ãpodramos haber solu-La respuesta a ambas preguntas es ÃsÃpero los clculos subsiguientes pueden diferir dramtica-mente.La figura 9.7 demuestra este punto.Supongamos que examinamos primero PL3 (en lugarde PL2 como lo hicimos en la figura 9.6).La solucin es belo!).Como .83) no es entera,PL3 se examina ms a fondo creando los subproblemas PL41,respectivamente.Esto significa queAhora tenemos tres subproblemas ÃdesconectadosÃque se deben examinar:PL2,PL4 yPL5.Supongamos que arbitrariamente examinamos primero PL5.No tiene ninguna solucin
9.2Algoritmos de programacin entera
PL2x1 3, x2 2, z 23Cota inferior (ptima)
2PL3x1 4, x2 .83, z 23.33
3
PL1x1 3.75, x2 1.25, z 23.75
1
x1 4x1 3
factible,y por consiguiente se sonde a fondo.A continuacin,examinamos PL4.La solucin p-22.5.El valor no entero de Ahora,los subproblemas PL2,PL6 y PL7 permanecen sin ser examinados.Si seleccionamosPL7 para examinarlo,el problema est sondeado a fondo porque no tiene ninguna solucin fac-tible.A continuacin,seleccionamos PL6.El problema da por resultado la primera solucin en-20),y,por lo tanto,proporciona la primera cota inferior (objetivo ptimo de la PLE.Slo falta examinar el subproblema PL2,y da una mejor solucin en-23).De este modo,la cota inferior se actualiza de 23.A estasalturas,los subproblemas han sido sondeados (examinados) a fondo,y la solucin ptimaes la asociada con la cota inferior ms actualizada,es decir,PL2) es un escenario del peor caso que,sin embargo,muy bien puede ocu-rrir en la prctica.En la figura 9.6,tuvimos suerte de ÃtropezarnosÃcon una buena cota inferioren el primer subproblema (PL2),y que a su vez nos permitiera examinar a fondo PL3 sin necesi-dad de ningn examen adicional.En esencia,completamos el procedimiento resolviendo untotal de dos subproblemas PL.En la figura 9.7 la historia es diferente,resolvimos siete subpro-blemas PL para completar el algoritmo de ramificacin y acotamiento.Comentarios.y acotamiento.Dado que tenemos mltiples opciones,Ãcmo seleccionamos el siguiente subpro-blema y su variable de ramificacin? Aun cuando hay mtodos heursticos para mejorar la habili-dad del algoritmo de ramificacin y acotamiento para ÃpreverÃcual rama puede conducir a una so-lucin de PLE mejorada (vea Taha,1975,pgs.154-171),no existe una teora slida con resultadosconsistentes,y aqu yace la dificultad que afecta los clculos en la PLE.El problema 7,conjunto9.2a,demuestra este extrao comportamiento del algoritmo de ramificacin y acotamiento al in-vestigar ms de 25,000 PLs,antes de que se verifique la optimalidad,aun cuando el problema seabastante pequeo (16 variables binarias y una restriccin).Desafortunadamente,hasta la fecha,ydespus de dcadas de investigacin junto con tremendos avances en las computadoras,los cdi-gos de PLE no son totalmente confiables.Sin embargo,los solucionadores comerciales disponibles(por ejemplo CPLEX y XPESS) son excelentes para resolver problemas muy grandes.
Captulo 9Programacin lineal entera
AMPL puede usarse interactivamente para generar el rbol de bsqueda de ramificacin y aco-tamiento.La siguiente tabla muestra la secuencia de comandos necesaria para generar el rboldel ejemplo 9.2-1 (figura 9.7) comenzando con PL1 continuo.El modelo AMPL (archivo.Ver que estil sincronizar los comandos AMPL con las ramas que aparecen en la figura 9.7.
PL6x1 4, x2 0, z 20Cota inferior
6
5
PL4x1 4.5, x2 0, z 22.5
4
PL3x1 4, x2 0.83, z 23.33
2
PL2x1 3, x2 2, z 23Cota inferior (ptima)
7
3PL5Ninguna solucin factible
PL7Ninguna solucin factible
PL1x1 3.75, x2 1.25, z 23.75
1
x1 4x1 3x2 1x2 0x1 5x1 4
Comando AMPL
PL1 (,)PL3 (,)PL4 (,)PL6 (,)PL2 (,)
9.2Algoritmos de programacin entera
Momento de SolverLa solucin de los diferentes subproblemas puede obtenerse utilizando Solver por medio de las
Solver ParametersResumen del algoritmo de ramificacin y acotamiento.maximizacin.Establezca una cota inferior inicial Paso 1.).Seleccione PL,el siguiente subproblema a serexaminado.Resuelva PL,y trate de examinarlo a fondo utilizando una deestas tres condiciones.no tiene ninguna solucin factible.Surgirn dos casos.se examina a fondo y se determina una solucin mejor,actualicela cota inferior.Si todos los subproblemas han sido examinados afondo,detngase;la cota inferior da la solucin ptima (si no existe unacota inferior finita,el problema no tiene ninguna solucin factible).Deotro modo,establezca 1,y repita el paso 1.no se ha examinado a fondo,proceda al paso 2 para ramificacin.Paso 2.).Seleccione una de las variables enteras ,cuyo valor ptimono es entero.Cree los dos subproblemas de PL co-1,y proceda el paso 1.nados (en los que slo algunas de las variables son enteras).Nunca se selecciona unavariable continua como variable de ramificacin.Un subproblema factible proporcio-con un valor objetivo mejorado.CONJUNTO DE PROBLEMAS9.2acomo variable de ramificacin.Inicie el procedimiento resolviendo el subpro-blema asociado con.mas.Por comodidad,seleccione siempre
Para problemas de minimizacin,reemplace la cota inferior con una cota superior inicial En este conjunto,los subproblemas pueden resolverse interactivamente con AMPL o Solver o por mediode la opcin MODIFY de TORA para las cotas superior e inferior.
Captulo 9Programacin lineal enteraRepita el problema 2,suponiendo que Demuestre grficamente que la siguiente PLE no tiene una solucin factible,y luego ve-rifique el resultado utilizando el algoritmo de ramificacin y acotamiento.Resuelva el siguiente problema por medio del algoritmo de ramificacin y acotamiento.
9.2Algoritmos de programacin enteraConvierta el siguiente problema en una PLE combinada,y halle la solucin ptima.Experimento con TORA/Soltrar el extrao comportamiento del algoritmo de ramificacin y acotamiento,incluso enproblemas pequeos.En particular,observe cuntos problemas se examinan antes de queUse la opcin automtica de TORA para demostrar que aunque la solucin ptimase determina despus de slo 9 subproblemas,se examinan ms de 25,000 subproble-Demuestre que Solver exhibe un comportamiento similar al de TORA [pie de la hoja de clculo.]Resuelva los problemas con AMPL,y demuestre que la solucin se obtiene al ins-tante con 0 iteraciones simplex MIP y 0 nodos de ramificacin y acotamiento.Larealizados por AMPL y/o el solucionador CPLEX.Experimento con TORA.Considere la siguiente PLE:Use la opcin de ramificacin y acotamiento guiada por el usuario de TORA para gene-rar el rbol de bsqueda y sin activar la cota del valor objetivo.ÃCul es el impacto de ac-tivar la cota del valor objetivo en el nmero de subproblemas generados? Por consisten-cia,seleccione siempre la variable de ramificacin como la del ndice menor e investigueExperimento con TORA.Reconsidere el problema 8 anterior.Convirtalo en una PLE0-1 equivalente,y luego resulvalo con la opcin automtica de TORA.Compare el ta-mao de los rboles de bsqueda en los dos problemas.
Captulo 9Programacin lineal enteraExperimento con AMPL.En la siguiente PLE 0-1,use AMPL interactivamente para ge-nerar el rbol de bsqueda asociado.En cada caso,demuestre cmo se utiliza la cota para examinar a fondo subproblemas.9.2.2Algoritmo de plano de corte Como en el algoritmo de ramificacin y acotamiento,el algoritmo de plano de cortetambin se inicia en la solucin ptima continua.Se agregan restricciones especialesmo entero.En el ejemplo 9.2-2,primero demostramos grficamente cmo se utilizangebraicamente.
La figura 9.8 presenta un ejemplo de tales cortes.Inicialmente,comenzamos con la solucinptima continua de la PLLuego agregamos el corte 1,el cual pro-duce la solucin ptima (continua) de la PLAgregamos posteriormen-te el corte II,el cual (junto con el corte I y las restricciones originales) produce la solucin pti-
7 , x2=3.z=66 1
2 , x1=4 1
2 , x2=3 1
2.x1, x2Ã0 y entera 7x1+x235 -x1+3x26Maximizar =7x1+10x2x1, x2, x3, x4, x5 =(0, 1) 11x1-6x2 +3x4-3x5 Ã3 7x1 +3x3 -4x4+3x58 x1+x2+x3+2x4+x54Maximizar =3x1+2x2-5x3-2x4+3x5FIGURA 9.8Ilustracin del uso de cortes en una PLE
4301x1x2x1x2x1x22345
430
12345
îptima: (4 , 3 )12
1
îptima: (4 , 3)4
Corte ICorte II
430
12345
î
ptima: (4, 3)
9.2Algoritmos de programacin enteraLos puntos agregados no eliminan ninguno de los puntos enteros factibles originales,perodeben pasar al menos por un punto entero factible o no factible.stos son requerimientos bsi-cos de cualquier corte.para llegar a la solucin entera ptima.En general,el nmero de cortes,aun cuando es finito,nopuede determinarse con base en el tamao del problema,en el sentido que un problema pe-queo puede requerir ms cortes que uno grande.A continuacin,utilizamos el mismo ejemplo para demostrar cmo se construyen los cortese implementan algebraicamente.Dadas las holguras para las restricciones 1 y 2,la tabla de
Bsica
x1
x2
x3
x4
Solucinz0063
2231
2266 1
2x2017
221
223 1
2x110-1
223
224 1
2
las variables,,son en-teras.Observe,adems,que como todos los coeficientes objetivo originales son enteros en esteejemplo,el valor de tambin es entero.para generar un corte,siempreque su lado derecho sea fraccionario.Asimismo,la ecuacin es entera.Demostraremos cmo se genera un corte concada una de estas filas origen,comenzando con la ecuacin Primero,factorizamos todos los coeficientes no enteros de la ecuacin en un valor entero y.Por ejemplo,narios al lado derecho,obtenemosson no negativas y todas las fracciones son positivas por construccin,el lado de-
22 x3- 9
22 x4+ 1
2 1
2z+2x3+1x4-66=- 19
22 x3- 9
22 x4+ 1
2z+A2+19
22 Bx3+A1+9
22
2B - 7
3 =A-3+ 2
3B 5
2 =A2+ 1
2B x1- 1
22 x3+ 3
22 x4=4 1
2 x2+ 7
22 x3+ 1
22 x4=3 1
2 z+ 63
22 x3+ 31
22 x4=66 1
2z=66 1
2 , x1=4 1
2 , x2=3 1
2 , x3=0, x4=0.
Captulo 9Programacin lineal enteraAhora,como el lado izquierdo de la ecuacin (1),66,es un valor entero porconstruccin,el lado derecho,tambin debe ser entero.Se deduce entoncesLa ltima desigualdad es el corte deseado,y representa una condicin suficiente) para obtener una solucin entera.Tambin se conoce como todos sus coeficientes son fracciones.0 en la tabla de PL continua ptima dada antes,la solucin continua actualviola el corte (porque dacomo resultado).Por lo tanto si agregamos este corte a la tablaptima,el punto extremo ptimo resultante mueve la solucin hacia la satisfaccin de las res-tricciones enteras.Antes de demostrar cmo se implementa un corte en la tabla ptima,demostraremos cmotambin se pueden construir los cortes a partir de las ecuaciones de restriccin.Considere la fila Factorizando la ecuacin obtenemos Asimismo,la ecuacin Por consiguiente,el corte asociado esde plano de corte.No es necesario generar los tres cortes antes de seleccionar uno.,podemos escribirlo en forma
22 x3- 1
22 x4+s1=-1
2 , s1Ã0 (Corte I)- 7
22 x3- 1
22 x4+ 1
2 0x2+A0+ 7
22 Bx3+A0+ 1
22 Bx4=3+ 1
2 x2+ 7
22 x3+ 1
22 x4=3 1
2- 21
22 x2- 3
22 x4+ 1
2 0x1+A-1+ 21
22 Bx3+A0+ 3
22 Bx4=A4+ 1
2Bx1- 1
22 x3+ 3
22 x4=4 1
2 1
2 0-19
22 x3- 9
22 x4+ 1
2 0- 19
22 x3- 19
22 x4+ 1
2,
Bsica
x1
x2
x3
x4
s1
Solucinz0063
2231
22066 1
2x2017
221
2203 1
2x110- 1
223
2204 1
2s100- 7
22- 1
221-1
2
9.2Algoritmos de programacin enteraLa tabla es ptima pero no factible.Aplicamos el mtodo simplex dual (seccin 4.4.1) pararecuperar la factiblidad,lo cual da por resultado
Bsica
x1
x2
x3
x4
s1
0001962010013100
7-1
74 4
001
7-22
71 4
7
,y arbitrariamente seleccionamos como la siguiente fila origen,es decir,Agregando el corte II a la tabla ptima previa,obtenemos
7 x4- 6
7 s1+s2=-4
7 , s2Ã0 (Corte II)x1+(0+ 1
7 )x4+(-1+ 6
7 )s1=4+ 4
7
Bsica
x1
x2
x3
x4
s1
s2
000190620100103100
7-1
704 4
001
7-22
701 4
000
7-6
71-4
7
El mtodo simplex dual da la siguiente tabla:
Bsica
x1
x2
x3
x4
s1
s2
0000375801001031000Ã1140010Ã41100016Ã74
58) es totalmente entera.No es accidental que todoslos coeficientes de la ltima tabla sean tambin enteros,una consecuencia de utilizar el cortefraccionario.Comentarios.las variables,son enteras.Esto significa que el corte tiene que ver slo conproblemas enteros puros.La importancia de esta suposicin se ilustra con un ejemplo.
3 x2 13
2
Captulo 9Programacin lineal enteraDesde el punto de vista de resolver la PLE asociada,la restriccin se trata como una ecua-,es decir,.Sin embargo,la ecuacin dada tendr una solucin entera factible en .Esto significa que el algoritmo de plano de corte concluir,gracias a la aplica-ciones del simplex dual,que el problema no tiene una solucin factible (entera),aun cuando lasvariables de inters,pueden asumir valores enteros factibles.Multiplique la restriccin por una constante apropiada para eliminar todas las fracciones.Por ejemplo,multiplicando la restriccin anterior por 6,obtenemosSin embargo,en algunos casos este tipo de conversin puede producir coeficientes enterosexcesivamente grandes,y esto a su vez puede conducir a errores de redondeo de clculo en,el cual permite que slo un subconjuntode variables asuma valores enteros,con todas las dems variables (incluidas las de holgu-ra y supervit) permaneciendo continuas.Los detalles de este corte no se presentarn en
este captulo (vea Taha,1975,pgs.198-202).CONJUNTO DE PROBLEMAS9.2BEn el ejemplo 9.2-2,demuestre grficamente si cada una de las restricciones siguientesEn el ejemplo 9.2-2,demuestre grficamente cmo los dos siguientes cortes (legtimos),y demuestre que son losEn el ejemplo 9.2-2,derive el corte II desde la fila .Use el nuevo corte para completarla solucin del ejemplo.
3 x2+s1= 13
2
Demuestre que,aun cuando el siguiente problema tiene una solucin entera factible en,el corte fraccionario no dar una solucin factible a menos que se eliminen todasResuelva los siguientes problemas por medio del corte fraccionario,y compare la solu-Barnett,A.,ÃMisapplication Review:High Road to GloryÃ,Interfaces,vol.17,nm.5,pgs.51-54,Chen,D.S.,R.Batson,y Y.Dang,Applied Integer Programming:Modeling and Solutions,Wiley,Nueva York,2010.Gavernini,S.,C.Clark,y G.Pataki,ÃSchlumberger Optimizes Receiver Location for AutomatedInterfaces,vol.34,nm.3,pgs.208-214,2004.Graves,R.,L.Schrage,y J.Sankaran,ÃAn Auction Method for Course RegistrationÃ,Interfaces,vol.23,nm.5,pgs.81-97,1993.Guret,C.,C.Prins,y M.Sevaux,Applications of Optimization with Xpress-MP,Optimization,Londres,2002.
2 x2 13
4Maximizar =x1+2x2
Captulo 9Programacin lineal enteraJarvis,J.,R.Rardin,V.Unger,R.Moore,y C.Schimpler,ÃOptimal design of Regional WastewaterSystems:A Fixed Charge Network Flow ModelÃ,Operations Research,vol.26,nm.4,pgs.538-550,1978.Lee,J.,AFirst Course in Combinatorial Optimization,Cambridge University Press,2004.Liberatore,M.,y T.Miller,ÃA Hierarchical Production Planning System,ÃInterfaces,vol.15,nm.4,pgs.1-11,1985.Nemhauser,G y L.Wolsey,Wiley,Nueva York,1988.Schrijver,A.,Theory of Linear and Integer Programming,Wiley,Nueva York,1998.Taha,H.,Integer Programming:Theory,Applications,and Computations,Academic Press,Orlando,FL,1975.Weber,G.,ÃPuzzle contests in MS/OR EducationÃ,Interfaces,vol.20,nm.2,pgs.72-76,1990.Wolsey,L.,Integer Programming,Wiley,Nueva York,1998.
10.1INTRODUCCIîNalgoritmos de optimizacin disponibles.Una heurstica es una tcnica de bsqueda di-recta que utiliza reglas favorables prcticas para localizar soluciones mejoradas.Lautilizando reglas de solucin simples.La desventaja es que la calidad de la solucin(con respecto a la ptima) suele desconocerse.queda.La bsqueda termina en un ptimo local donde ya no son posibles ms mejoras.En la dcada de 1980,una nueva generacin de metaheurstica busc mejorar laptimos locales.La ventaja obtenida se logra a expensas de los clculos incrementados.CAPêTULO 10
Aplicacin de la vida real. FedEx genera lneas de oferta mediante recocidoFedEx entrega millones de artculos alrededor del mundo diariamente utilizando unaflota de ms de 500 aviones y ms de 3000 pilotos.Las lneas de oferta (viajes redon-dos),que se inician y terminan en uno de nueve domicilios de las tripulaciones (o cen-tros de distribucin),deben satisfacer numerosos reglamentos de la Federal AviationAdministration y FedEx y,hasta donde es posible,las preferencias personales basadasen la antigedad de los pilotos.El objetivo principal es minimizar la cantidad requeri-da de lneas de oferta (es decir,la dotacin necesaria de personal).La complejidad delas restricciones impide la implementacin de un modelo de programacin entera.Ensu lugar,se utiliza una heurstica de recocido simulado para resolver el problema.Fuente:Camplell,K.,B.Durfee,y G.Hines,ÃFedEx Bid Lines Using Simulated AnnealingÃ,
,vol.27,nm.2,1997,pgs.1-16.
Captulo 10Programacin heursticaLa seccin 10.2 se ocupa de la heurstica codiciosa.La seccin 10.3 presenta tresmetaheursticas prominentes:tab,recocido simulado y gentica.La seccin 10.4 apli-ca la metaheurstica al problema de programacin entera general.El captulo concluye10.2HEURêSTICA CODICIOSA (BòSQUEDA LOCAL)una sola variable.Defina el problema de optimizacin con espacio de soluciones vecindadpunto de solucin actual.Especficamente,en la iteracin ,dado el punto de solucin una mejor solucin.La bsqueda finaliza cuando ya no son posibles ms mejoras.)es importante en el diseo de la heurstica.Por ejemplo,paraparaxk21,xk11] define la vecindad inmediatade xk.Alternativamente,puede incluir puntos de solucin cercanos adicionales.La pri-dad de la solucin final.La segunda definicin (vecindad expandida) requiere ms clcu-los de bsqueda local,pero podra mejorar la calidad de la solucin.discretas y continuas.La ampliacin de la heurstica a mltiples variables se analiza al10.2.1Heurstica de variable discretaptimo de una funcin de una sola variable discreta.El primer ejemplo utiliza la vecin-
,.El nmero aleatorio 1,2,Ã,8.En la iteracin 1,tible.La bsqueda termina en la iteracin 3 porque mnimo localxfigura 10.1).Podemos mejorar la calidad de la solucin de dos maneras:Repitiendo la heurstica con puntos de inicio aleatorios.Expandiendo el tamao de la vecindad para llegar a ms puntos de solucin factible.
10.2Heurstica codiciosa (bsqueda local){1,2,Ã,8},con mnimo
012345678
TABLA 10.1) en la figura 10.1.Comenzando en (Inicio)01Establecer,,y :Establecer,9050:Establecer,(Termi-36080:Mnimo local alcanzado,detenerse.50,ocurre en la iteracin 2
cercanos,una estrategia que incrementa la carga computacional.Alternativamente,podemos de-Especficamente,en la iteracin ,el siguiente movimiento,1,se selecciona de ,donde es el nmero de elementos en el conjunto de vecindades.El mues-treo de la vecindad se repite,si es necesario,hasta que se determina una solucin mejorada,ohasta que un nmero especificado de iteraciones se ha alcanzado.La regla de seleccin aleatoria
describe lo que se conoce como heurstica de caminata aleatoria
Ejemplo 10.2-2(Heurstica de caminata aleatoria)) en la figura 10.1.Arbitrariamente definimos el con-) como {1,2,Ã,1,Ã,8}.La bsqueda contina1.Indique[seleccionada de entre siguiente movimiento.Se acepta como el nuevo movimiento de bsqueda slo si me-jora la solucin.Si no lo hace,se intenta una nueva seleccin aleatoria de La tabla 10.2 detalla la aplicacin de la heurstica de caminata aleatoria.En contraste con laheurstica de vecindad inmediata del ejemplo 10.2-1,la heurstica de caminata aleatoria produce40 en la iteracin 4,la que por accidente resulta ser mejor que la ob-
Captulo 10Programacin heurstica
TABLA 10.2) en la figura 10.1.Comenzando en (Inicio)019090{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.41284802480.2039260:Establecer,3260.08611100:Volver a muestrear desde 4260.5839640:Establecer,(Termi-5640.5712480:Volver a muestrear desde 40,ocurre en la iteracin 4
Observe el comportamiento de la heurstica.En la iteracin 3,el posible movimiento alea-toriodesde {1,3,4,5,6,7,8} no mejora la solucin.Por consiguiente,en laiteracin 4 se intenta otro movimiento aleatorio desde la misma vecindad.En esta ocasin el
10.2.2Heurstica de variable continuade la vecindad.El dominio El siguiente movimiento,,se calcula como un desplazamiento aleatorio (posi-.Hay dos formas de lograr este resultado:es un nmero aleatorio (0,1),entonces viacin estndar(la estimacin de la desviacin estndar se basa en el su-distribucin normal).Por lo tanto,A,o utilizando ExcelStatTables.xls.Tambin puede utilizarse la funcin NORM-
6B N(0, 1)U - L
6 =xk+(R-.5)(U-L) xk+1=xk+A-A U-L
2B+R(U-L)BA-U-L
2, U-L
2BMinimizar F(xxUxk=1
10.2Heurstica codiciosa (bsqueda local)de una vez,utilizando la misma ,hasta que ).Adems,si *),la selec-una mejora,lo que ocurra primero.
.5 como punto de inicio.normal.Un incremento en el nmero de iteraciones por lo general produce soluciones de mejorcalidad (con respecto a la ptima verdadera).Aunque el muestreo normal produce una solucinde mejor calidad en este ejemplo,en general el resultado puede no ser cierto.Primero,implementamos la heurstica de muestreo uniforme.Luego se utiliza la solucin resul-tante para iniciar la heurstica de muestreo normal.La idea es que la heurstica de muestreo nor-mal pueda ÃafinarÃla solucin obtenida por la heurstica de muestreo uniforme (vea ms ade-lante el momento de Excel),que se implementa utilizando Excel.
TABLA 10.3,0
(Inicio)0.53.281Establecer,1.53.281.4128.1512.6022.152.602.20391.033Fuera de intervalo:Volver a muestrear usando3.152.602.91241.801.75741.8.757.57122.086.339:Volver a muestrear usando(Termi-51.8.757.87183.288
TABLA 10.4,0 (Inicio)0.53.281Establecer,,1.53.281.412.2203.3533.631:Volver a muestrear usando2.53.281.203.8278Fuera de intervalo:Volver a muestrear usando3.53.281.9121.35571.4041.40141.4041.401.571.17941.5231.390:Volver a muestrear usando(Termi-51.4041.401.8711.13492.160.6219:Volver a muestrear usando1.401,ocurre en la iteracin 3 [mnimo exacto global
Captulo 10Programacin heursticaExtensin de la bsqueda codiciosa al caso de mltiples variables.,el problema de optimizacin se define comoen cada iteracin,donde una variable puesta en la).Las heursticas continua y
excel/ContSingleVarHeuristic.xls).Utilizando la sintaxis deExcel,la funcin El sentido de optimizacin (mx o mn) se especifica en la celda C2.El intervalo de bsqueda seingresa en las celdas D3 y D4.El men desplegable en la celda D5 permite utilizar el muestreouniforme o aleatorio.Seleccione muestreo uniforme en la celda D5,y ejecute la heurstica oprimiendo el botn
excelContVarHeuristic.xls
10.3MetaheursticaCONJUNTO DE PROBLEMAS10.2AVuelva a resolver el problema del ejemplo 10.2-1 para calcular el valor mximo de Vuelva a resolver el problema del ejemplo 10.2-2 para calcular el valor mximo de Vuelva a resolver el problema del ejemplo 10.2-3 para calcular el valor mximo de utilizando el muestreo uniforme.luego utilice la solucin obtenida con el muestreo uni-10.Use el archivoexcelContVarHeuristic.xlsmal en el cual el punto de inicio es la solucin obtenida a partir del muestreo uniforme.(0,20),comenzando con un rectngulo de 4 pulgadas de base y aplicando excelContVarHeuristic.xlstimar las dimensiones del rectngulo.Comience con una base del rectngulo igual aexcelContVarHeuristic.xlsnormal para refinar la solucin obtenida en (a).Realice 10 iteraciones.rrillos.Suponga que,para una tasa tributaria ,el consumo diario promedio por fumador/100),10 60.Si la tasa tributaria se eleva,la de-manda se reducir,y la recaudacin fiscal tambin lo har.El objetivo es determinar latasa tributaria que maximice la recaudacin fiscal.Para el propsito de fijacin de im-puestos,el precio base por cigarrillo es de 15 centavos.Formule el problema como unmodelo matemtico,y utilice una heurstica para determinar la tasa tributaria.,0 5,0 base.Ni el dimetro ni la altura pueden exceder de 10 pies.El volumen del tanque debe ser.El costo de la estructura elevada sobre la que se instala el tanque esproporcional al rea de la base.El costo de la lmina es de $8/pie.Formule el problema como un modelo matemtico,y desarro-lle una heurstica de caminata aleatoria para estimar el dimetro y altura del tanque.10.3METAHEURêSTICA.Si no se puede hallar una ) o si se llega a una cantidad de iteraciones especificada por el usuario,
Captulo 10Programacin heursticato en el ptimo local al permitir movimientos inferiores,si es necesario.Se espera queA diferencia de la heurstica codiciosa,la cual siempre termina cuando se llega aun ptimo local,la terminacin de una bsqueda metaheurstica se basa en los siguien-La vecindad asociada con el punto de bsqueda actual,o est vaca o no puedeconducir a un nuevo movimiento de bsqueda viable.La calidad de la mejor solucin actual es aceptable.Esta seccin presenta tres bsquedas prominentes metaheursticas:Tab,recoci-do simulado y gentica.Estos algoritmos difieren principalmente en la forma en que labsqueda escapa de un ptimo local.Cada metaheurstica se ilustra por medio de dosejemplos:El primero,que se ocupa de una funcin ) de una sola variable,est di-seado para explicar los fundamentos de la metaheurstica.El segundo,que se ocupadel ms complejo problema de secuenciacin de tareas en un taller,revela complejida-des adicionales en la implementacin de la metaheurstica.En el captulo 11,las tresmetaheursticas se aplican al problema del agente viajero.10.3.1Algoritmo de bsqueda tabCuando la bsqueda se queda atrapada en un ptimo local,la bsqueda tab (BT) se-,volver a examinar las soluciones anteriores.El instrumentolista tabque ÃrecuerdaÃlos movimientosCuando un movimiento tab completa su tenencia,se elimina de la lista tab y se hacedisponible para futuros movimientos.
Ejemplo 10.3-1(Minimizacin de una funcin de una sola variable) Vecindad de ) de la figura 10.1,los valores factibles son 1,2,Ã,8.En la ite-,el conjunto de vecindades de es una constante entera.La definicin excluye implcitamente los
10.3Metaheurstica
TABLA 10.5),en la figura 10.1 con pe-
(Inicio)0.0935190{2,3,4,5}1.4128350{1}{2,4,5,6,7}2.2039480{1,3}{2,5,6,7,8}3.0861260{1,3,4}{5,6}4.58395100{3,4,2}{1,6,7,8}(Terminacin)5.5712720{4,2,5}{3,6,8}20,en la iteracin 5 (sucede que tambin es ptima).
puntos de solucin no factibles.Por ejemplo,en el caso en que .Los elementos tachados son no factibles.Como se explica en la seccin 10.2,el siguiente movimiento de bsqueda ),o como un elemento aleatorio de) (seleccin de caminata aleatoria).Este ejemplo utiliza una seleccin aleatoria.La tabla 10.5 proporciona 5 iteraciones del algoritmo de BT.La bsqueda se inicia en (seleccionado al azar desde {1,2,Ã,8},utilizando .0935).Defina la vecindad con Para ilustrar los clculos,{2,3,4,5}.En la iteracin 1,),la cual resulta {1,2,4,5,6,7} {2,4,5,6,7} y ac-{1,3}.3 iteraciones sucesivas.Por ejemplo el elemento {1}
permanece en la lista tab durante las iteraciones 1,2,y 3 hasta que se elimina en la iteracin 4.
Ejemplo 10.3-2(Secuenciacin de tareas)tareas en una sola mquina.El tiempo de procesamiento de la(medida a partir de cero).Si la tarea tiempo.Una tarea por unidad de tiempo.La tabla10.6 da los datos para un problema de 4 tareas.
En realidad,un elemento tab puede definir un siguiente movimiento de bsqueda si satisface el llamadoCriterio de Nivel de Aspiracin,
Captulo 10Programacin heurstica
TABLA 10.6Tarea,Tiempo de procesamientoen das,Fecha lmite,473048
),a partir de Intercambiar las posiciones de pares sucesivos de tareas.Intercambiar las posiciones de pares implcitos de cada dos tareas.tantes.En este ejemplo se utiliza la primera definicin.Para demostrar su uso considere -3-4),(1--4,(1-2)},el cual corresponde a inter-) de las tareas 1,y 2,las tareas 2 y 3,y las tareas 3 y 4,respectiva-mente.La seleccin del siguiente movimiento en el criterio de costo mnimo.Este ejemplo emplea la seleccin aleatoria.nes.La secuencia (3-1-2-4) en la iteracin 2 proporciona la mejor solucin con 126.Para de-
TABLA 10.7Vecindades(Inicio)0(1-2-3-4)167.5124(1(1-{3-2}.3241(
2-3
-4)
126{3-2,3-1}.2952(
1-3
-2-4)
3(3-{3-1,2-1}.4241(
1-2
-4)
{2-1,2-3}.8912(
3-2
-1-4)
(Termi-5{4-1,1-3}.0992(Mejor secuencia de bsqueda:(3-1-2-4) con costo
10.3Metaheurstica
Por comodidad,los clculos de los costos se automatizan con la hoja de clculo excelJobSequencing.xlstuaciones que implican cuatro y cinco tareas.Puede modificarla para tener en cuenta otras situaciones.Tarea:Tiempo de procesamiento:61087Fecha lmite:10152030Fecha de terminacin:6162431Tiempo de retencin:Tiempo de retardo:20000010888mostrar los clculos de los costos en la tabla,el valor de Por lo tanto,La heurstica funciona de la siguiente manera:En la iteracin 1,secuencia ).La lista tab asociada es {3-2},lo que signifi- ca que las posiciones de las tareas 2 y 3 no pueden cambiarse durante el periodo de permanencia(es decir,durante dos iteraciones sucesivas).sta es la razn por la que la secuencia (1-).El mismo razonamiento aplica a las secuencias tachadas en iteraciones sub-siguientes.Observe que los clculos en la tabla 10.7 aplican
ÃAfinacin finaà de la BT.1.Criterio de aspiracin.recen en la lista tab.Sin embargo,ocurre una excepcin cuando un movimientoimposibilitado conduce a una solucin mejorada.Por ejemplo,en la tabla 10.7(ejemplo 10.3-2),las secuencias tab tachadas en las iteraciones 1,2,3 y 4 debenqueda.Si lo hacen,deben ser aceptadas como movimientos de bsqueda.2.Intensificacin y diversificacin.Por lo general se aplican dos estrategias adicio-nales,llamadas intensificacin y diversificacin,cuando una cadena de iteracio-nes sucesivas no produce mejoras.La intensificacin demanda un examen mscompleto de los puntos de solucin cercanos,y la diversificacin intenta despla-zar la bsqueda a regiones de solucin no exploradas.Una forma de implementarestas estrategias es controlando el tamao de la lista tab.Una lista tab msptimo local al permitir explorar regiones ÃremotasÃ.Paso 0..Inicie la lista tab Inicie la lista tab ,y seleccio-ne un esquema para especificar el tamao de la lista tab.Establezca
Captulo 10Programacin heurstica
TABLA 10.8Datos para el problema 3,conjunto 10.3aTarea,Tiempo de procesamientoen das,Fecha lmite,2301235951472528
Paso 1.Paso 2.,si propor-ciona una mejor solucin),y actualice la lista tab Paso 3.Si se llega a una condicin de terminacin,detngase.Si no,establezca CONJUNTO DE PROBLEMAS10.3AResuelva el ejemplo 10.2-1 para estimar el punto de solucin mxima.Utilice 1,2,Ã,10.Aplique 10iteraciones de bsqueda tab para estimar el mximo y el mnimo.Use 2 iteraciones.excelJobSequencing.xlslas funciones de costo.)Considere 10 variables Booleanas,1,2,...,10.Cada variable asume el valor (falso).Luego considere las siguientes seis expresiones (la notacin B
tidad de expresiones lgicas verdaderas.Realice cinco iteraciones de BT empezando con
2 y B
7(B1 y B3 y B8) o (B4 y B10) y B6f(x)=.01172x6-.3185x5+3.2044x4-14.6906x3+29.75625x2-19.10625x
10.3Metaheurstica
TABLA 10.9Datos para el problema 6,conjunto 10.2a12345110152094021217152010318141035164912332819
iteraciones.(Por comodidad,el archivo excelSAT.xlsde las expresiones Booleanas.)..Considere el caso de 4 almacenes y 5 tiendas.El costo fijo deabrir un almacn es de 20 ($ mil).El costo de transporte,,de los envos entre almace-Formule el problema como una PLE y determine la solucin ptima (con AMPL oResuelva el problema con la BT y un periodo de permanencia de dos iteraciones.Glover (1990).una red (por definicin,un rbol no contiene ciclos).En un entorno prctico,puede serpansin mnima (es decir,slo uno de un subconjunto de arcos puede estar en el rbol deexpansin).Puede usarse la BT para tener en cuenta todas las restricciones adicionales.Slo uno de los dos arcos,,puede estar en el rbol.est en el rbol,entonces el arco tambin debe estarlo.realiza como sigue:El rbol de expansin mnima no restringida (16 se utiliza como una solucin de inicio.Los arcos restantes .Un rbol de expansin de vecindad (solucin) puede generarselos ciclos.Por ejemplo,el arco
4 y B
7 y B
8B3 o B6 y (B7 o B9 y B10)(B1 y B5) o (B3 y B9) y (B2 o B10)
Captulo 10Programacin heurstica.El cambio produ-ce dos alternativas:agregar ,o agregar .Se pueden generar al-ternativas similares cuando se consideran las variables libres restantes,.El conjuntonalizacin por la violacin de las restricciones adicionales dadas antes.Por ejemplo,dado),la alternativa Ãagregar Ãproduce el rbol (produce el rbol ((13 11 16 14) 1(penalizacin por violar la primera restriccin)].Asimismo,la alternativa Ãagregar el arco Ãproduce el rbol (produce el rbol (12 11 16 14) 1(penalizacin por violar la segunda restriccin)].La penalizacin debe ser suficientemente grande (es decir,un mltiplo de la suma de laslongitudes de todos los arcos en la red).En la presente situacin,la longitud total de la redes 37,y una penalizacin de 2000 es propicia.La alternativa con la menor aptitud propor-ciona la siguiente solucin de prueba.La variable libre correspondiente se agrega enton-.La colocacin ine-quvoca de los nombres de ciudades,calles,lagos y ros en mapas impresos siempre hasido un proceso manual que requiere mucho tiempo.Con el advenimiento de la genera-cin de mapas en lnea (como en Google y MapQuest),el proceso manual no es una opcin viable.Se puede utilizar una heurstica tab para automatizar la colocacin de r-tulos en mapas.Este problema abordar el caso de rotulacin de ciudades.El objetivogeneral es evitar que se traslapen los rtulos,al mismo tiempo que se toman en cuenta lasdades,A,B,C y D en un mapa.Cada ciudad tiene cuatro opciones de colocacin repre-sentadas por cuatro rectngulos.La prioridad para la colocacin de los rtulos entre loscuatro rectngulos puede estar en cualquier orden.En la figura 10.4,asumimos un ordenpara los rectngulos de cada ciudad.Por ejemplo,para la ciudad A,el orden de las prefe-rencias de rotulacin es A1-A2-A3-A4.Una solucin tpica selecciona un rectngulo es-pecfico para cada ciudad.Por ejemplo (A1,B2,C3,D2) es una solucin para las cuatroEl ÃcostoÃde seleccionar un rectngulo especfico en una solucin es la suma de doscomponentes:una calificacin de preferencia numrica en el intervalo (0,1) donde ceroes la mejor,y la cantidad de traslapes con otros rectngulos.La figura 10.4 presenta lascalificaciones de las preferencias para la ciudad A(A1 0,A2 .02,A3 .03,y A4 .04).Las mismas calificaciones se aplican a los rectngulos correspondientes en las ciuda-des B,C y D.Para determinar los traslapes considere la solucin (A1,B2,C3,D2).SloRed para el problema 7,conjunto
h 4d 7b 2f 1a 5c 3e 9256g 6431
10.3MetaheursticaOpciones de rotulacin para el problema 7,conjunto 10.2a
A
B
C
D
.00 .04
.02.03
.04.00 .02 .03 .00.04.02.00.04.02
A1 A3 A2
A4
A1
B2
C3
A1.00.00.00.00B2.00.02.00.00C3.00.00.031.00
.00
.00
1.00
.02
La siguiente matriz resume las calificaciones asociadas con la solucin (A1,B2,C3,D2).Todas las entradas diagonales son las calificaciones de las preferencias del rectnguloasociado.Un elemento afuera de la diagonal es igual a 1 si los elementos correspondien-tes se traslapan.Si no,es cero.El costo asociado con la solucin (A1,B2,C3,D2) es laD2) es la5(.02 1.03 1.02 1(1 11) 52.7].El objetivoposibles de los rtulos.do tab de permanencia de dos iteraciones.[problema trivial es obvia:(A1,B1,B2,B3 y B4) con aptitud total cero.Para demos-trar iteraciones de BT significativas,sin embargo,se requiere que inicie con la solu-cin A1,B2,C3,D3.Una solucin de vecindad se compone del reemplazo de uno delos rectngulos de una ciudad con otro:por ejemplo,reemplazando C3 con C1.Eneste caso,la ciudad 10.3.2Algoritmo de recocido simuladoacepta un mejor movimiento).La idea de determinar la probabilidad de aceptacin delsiguiente movimiento de bsqueda se explica como sigue:Suponga que el problema de
Captulo 10Programacin heursticaAmedida que la cantidad de iteraciones se incrementa,el RS busca una determinacin,llamado ,es decir,se hace progresivamente ms pequeo de acuerdo con un se hace progresivamente ms pequeo de acuerdo con un T5Ti,i50,1,Ã,I].Cada consecutivas,.En la iteracin ,la pro-,se calcula como
El RS se inspir en el proceso de recocido en la metalurgia,el cual implica el calentamiento y el enfria-miento controlado de un material,de ah el uso del trmino .El uso de la jerga metalrgica en ladescripcin del RS es puramente tradicional,sin ninguna relacin tcnica con el desarrollo de la heurstica,guarda la idea general detrs del proceso de recocido.ser reemplazada por otras,por ejemplo basar el cambio en el total de iteraciones (de aceptacin o rechazo),si en caso contrario
,se acepta si).De lo contrario,,donde es un nmero aleatorio (0,1).Si rechaza,se intenta una estrategia de solucin diferente con ).Observe que el pro-
Ejemplo 10.3-3(Minimizacin de una funcin de una sola variable)riable que aparece en la figura 10.1.La solucin define arbitrariamente la vecindad en cualquier{1,2,Ã,8} },donde aceptacin ms reciente.Para ilustrar los clculos,la bsqueda selecciona arbitrariamente .5.Por lo tanto,{2,3,4,5,6,7,8},90,y 45.Para 1,el nmero aleatorio 80.Como ),aceptamos el movimiento.En la itera-1,con 80.El siguiente movimiento {1,2,3,5,6,7,8} utilizando .2039.De nuevo se acepta el movimiento porque mejora60.Esto hace 60.En la iteracin 3,{1,3,4,5,6,7,8} con 90.La nueva solucin es60.Por lo tanto 30,y .5134.Dado .5462,se rechaza la1,lo cual requiere que se vuelva a muestrear desde la ltima vecindad aceptada).En la iteracin 4,se acepta la iteracin 2).En este momento se satisface la condicin 3,lo que cambia la temperatura a22.5 en la siguiente iteracin.En la iteracin 5,dada
TRk
10.3Metaheurstica
Ejemplo 10.3-4(Secuenciacin de tareas)Este problema se resuelve en el ejemplo 10.3-2 utilizando la BT.Por comodidad,en este caso serepite el enunciado del problema.Las tareas se secuencian en una sola mquina.Cada tarea .Si se completa te,se incurre en costo de retencin por unidad de tiempo.Una tarea retrasada por unidad de tiempo.La tabla 10.11 proporciona los datos paraun problema de secuenciacin de 4 tareas.La tabla 10.12 proporciona cinco iteraciones de RS.La iteracin 3 produce la mejor secuen-cia.Observe que cuando una secuencia se rechaza en la iteracin ,volvemos a utilizar la ve-cindad de ltima iteracin de 1.Esto ocurre en la iteracin 2,donde la vecindad no cambia como en la iteracin 1.3 se satisface en la iteracin 4,lo que hace que cambie la temperaturaResumen del algoritmo de recocido simuladoPaso 0..Establezca 0,e Paso 1.
TABLA 10.11Tarea,Tiempo deprocesamiento en das,Fechalmite,15$3202105048
TABLA 10.101,2,3,Ã
(Inicio) 0190045.0{2,3,4,5,6,7,8}10.4128480145.0{1,2,3,5,6,7,8}20.2039260245.0{1,3,4,5,6,7,8}30.0861190245.030.5134.546240.5839640445.0{1,2,3,4,5,7,8}(Termina-cin)50.57125100522.5|4060.0695.0197{1,2,3,4,6,7,8}
Captulo 10Programacin heurstica
TABLA 10.121,2,3,Ãy
(Inicio)0(1-2-3-4)1(1-.0479.9532.5683Aceptar:2(1-3-2.083.1244.3459 44(3- 1 130 6.0479.9532.6412(Termi- 1 162.766.4647.5347Bsqueda de la mejor solucin:(3-1-2-4) con costo de 126 en la iteracin 3.
Paso 2.).Si ltimaaceptada},luego acepte ,establezca1,y vaya al paso 3.De lo contrario,rechace ).Establezca 1,y vaya al paso 1.Paso 3.Si se llega a una condicin de terminacin,detngase.De lo contrario,esta-1.Si ,entonces establezca 1.Vaya al paso 1.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.3BResuelva el ejemplo 10.3-3 para estimar el punto de solucin mximo.Use Programacin de horarios.impartidas por 5 profesores (T).Los profesores proporcionan las siguientes preferencias
10.3Metaheurstica(a) Mapa de seis regiones (b) representacin de red para el problema 5,conjunto 10.3b
123 5 4 6 (a)(b)125643
miza la insatisfaccin entre los profesores.Una medida de insatisfaccin est representa-da por la asignacin tan baja a un profesor en la lista de preferencias de un curso.Porejemplo,la medida de insatisfaccin es cero si C1 se asigna a T1 y 3 si C5 se asigna a T1.Un horario se evala por la suma de sus medidas individuales..El problema de colorear tiene que ver con la de-regiones adyacentes no tengan el mismo color.La figura 10.5 (a) proporciona un ejemplode un mapa de 6 regiones.El problema puede modelarse como una red en la cual losnodos representan las regiones como se muestra en la figura 10.5 (b).Un arco entre una frontera comn).El problema de colorear el mapa puede representar otras situacio-nes prcticas,como lo demuestra el problema 6.Se puede aplicar una heurstica de RS al problema de colorear.La solucin de inicio,,puede determinarse de una de dos maneras:Asigne un color nico a cada nodo de la red.Por lo tanto,(1,2,Ã,6) para la redUse un algoritmo codicioso que se inicie asignando el color 1 al nodo 1.Luego,dadoque los nodos 1,2,Ã e 1 utilizan los colores 1,2,Ã,y 1,asigne el color denmero menor en el conjunto (1,2,Ã,cuyos dos nodos extremos utilizan el mismo color).Si no se puede hallar ninguno,1.Para la red de la figura 10.5(b),los pasos sucesivos paraque se aplican a los nodos 1 y 4,los nodos 2 y 6,el nodo 3,y el nodo 5,respectivamente.
Captulo 10Programacin heursticaa un color aleatorio en el mismo conjunto.Por ejemplo,dado (1,2,3,1,4,2) y su(1,2,3,4),las selecciones aleatorias del color 1 a partir(1,1,1),a los nodos (1,4,5),(2,6) y (3),respectivamente.Para generar ,seleccione al(1,2,3) para reemplazar el color de un nodo seleccionado al azar en.Si es necesario,repita el intercambio aleatorio hasta que Luego desarrollamos una medida de desempeo para la solucin.Una medida sim-tremos tienen el mismo color).Puede desarrollarse una medida ms compleja comosigue:La solucin de clases de colores (es decir,use menos colores al aumentar el tamao de al menos una clase de color),pero al mismo tiempo aumenta la posibilidad de crear arcos Especficamente,del algoritmo codicioso no tiene arcos malos,y tiene un arco malo,4-5.Por lo tanto,una medida emprica del desempeo que balancea las dos situacionesconflictivas,incrementando los tamaos (cardinalidades) de las clases de colores y redu-ciendo,al mismo tiempo,el nmero de arcos malos,requiere [La notacinrepresenta el nmero de elementos (cardinalidad) del conjunto ].Endel algoritmo codicioso,tenemostenemosf(x)].Por consiguiente,de acuerdo con la heurstica para RS,aceptamos turaleza de los problemas asociados).En estos casos,puede aceptarse un movimiento nofactible utilizando la condicin de probabilidad del RS,pero la mejor solucin se actuali-),como antes se explic..Una versin simplificada de la programacin decursos requiere que se asignen ocho cursos (1,2,Ã,8) en el mnimo posible de periodos.La tabla 10.13 asigna una ÃxÃa los cursos conflictivos (aquellos que no pueden ser pro-Determine una solucin de inicio por medio del algoritmo codicioso.Aplique tres iteraciones de RS para estimar el mnimo de periodos.
10.3Metaheurstica
TABLA 10.13Conflictos en la programacin de cursos para el problema 6,conjunto 10.3b123456781xxxxxxxxx4xxxx5xxxx6xxxxx7xxxx8xxxx
.08984,.71266) y (.08984,).Inicie10.3.3Algoritmo genticoEl algoritmo gentico (AG) imita el proceso de evolucin biolgica de Ãsobrevivenciadel ms aptoÃ.Cada solucin factible de un problema se considera como un .Los binario (0,1,2,Ã,).Por ejemplo,los cromosomas de una sola va-riable cuyos valores factibles son 0,1,2,3,4,5,6,7 y 8 pueden ser representados por loscdigos binarios (0000,1000,0100,1100,0010,1010,0110,1110 y 0001).Los cromoso-{0,1,2,3} puedenrepresentarse por medio de los cdigos numricos (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2) y (1,3).Los cdigos numricos de mltiples variables tambin pueden represen-tarse como cdigos binarios.Por ejemplo,el cdigo binario de (110).Existen otro esquemas de codificacin,incluido el de red (vea Beasley and Associates,1993,parte 2).somas.La aptitudpiada.Un cromosoma ms apto da un mejor valor a la funcin objetivo.La idea general del AG es seleccionar dos padresa partir de una poblacin.Los.La descendencia reemplaza a los dos cro-mosomas ms dbiles (menos aptos) en la poblacin,y el proceso de seleccionar nue-vos padres se repite.La implementacin real del AG requiere detalles adicionales del problema-es-pecfico.Asimismo,las reglas para seleccionar padres y crear hijos pueden variar.Porejemplo,los padres pueden ser seleccionados totalmente al azar de una poblacin,o sepueden componer de los dos cromosomas ms aptos.Algunos de estos detalles se pro-porcionarn mas adelante.
Captulo 10Programacin heurstica
TABLA 10.151.984280001702.302533.583954.571255.09261
Ejemplo 10.3-5(Minimizacin de una funcin de una sola variable)El AG se aplica al problema discreto de una sola variable de la figura 10.1 con el dominio facti-{1,2,3,4,5,6,7,8}.Especificaremos arbitrariamente una poblacin de tamao mediante muestreo aleatorio uniforme.4) de la poblacin inicial y su aptitud,como se muestra en la tabla 10.15.),de ah que la solucin4 se descarta.La poblacin inicial es (8,3,5,1),y la mejor solucin asociada es{8,3,5,1} de varias maneras:(1) Seleccione los dos miembros ms aptos.(2) Seleccione el miembro ms apto y luego uno alazar de entre los miembros restantes.(3) Seleccione dos padres al azar a partir de .En estapresentacin utilizamos la tercera opcin.Especficamente,los dos nmeros aleatorios Hay varios mtodos para implementar el cruce.1.Cruce uniforme.En esta regla,los genes comunes se aplican a ambos hijos.Los genes res-tantes de un hijo se determinan al azar,mientras que el otro hijo obtiene el gen comple-mento.2.Cruce de un punto.y luego se intercambian;es decir,P1 (P11,P12
{P21,P12
3.Cruce de mltiples puntos.torios.Por ejemplo,en un cruce de dos puntos,P1 (P11,P12
,P13) y P2 ,P23),P13) y C2 (P21,P12
,P23).Este ejemplo utiliza la regla de cruce uniforme.En el ejemplo 10.3-6 se utilizar la regla decruce de un punto.Para los dos padres (3,8) generados en la tabla 10.15,tenemos
1) P1 = (1 1 0
0)
TABLA 10.14
x
1
2
3
4
5
6
7
.125.250.375.500.625.750.8751.
10.3MetaheursticaEn el cruce uniforme,el tercer gen comn (subrayado) en P1 y P2 se transmite a ambos hijos.Los tres genes restantes se determinan al azar como sigue.Para el hijo 1,el gen es 1 si 0 1.Los genes correspondientes para el hijo 2 son los complementos de los asigna-dos al hijo 1.Por ejemplo,los tres nmeros aleatorios .2307,.7346 y .6220 muestran que los genes1,2 y 4 para el hijo 1 son 1,0 y 0,respectivamente,lo que automticamente asigna los genes com-plemento 0,1,y 1 al hijo 2.Por lo tanto(1,2,Ã,8).Sin embargo,antes de descartar una solucin de hijo no factible,primero aplicamos laen cuanto factibilidad.Si persiste la no factibilidad,se debe crear en su totalidad una nueva des-cendencia (a partir de los mismos padres).El proceso puede repetirse cuantas veces sea necesa-La probabilidad de mutacin suele ser de aproximadamente .1:es decir,un gen muta si 0 .1.Para el hijo 1,la secuencia de nmeros aleatorios .6901,.7698,.0871,.9535 muestra que eltercer gen muta slo de 0 a 1,lo que produce C1 lo que produce C1 x55 con F(5) 5100].Para el hijo2,la secuencia .5954,.2632,.6731,.0983 muta al gen 4 y produce C2 .0983 muta al gen 4 y produce C2 x52 con F(2)560].Los cromosomas de ambos hijos son factibles,pero ninguno produce una mejor solucin.3 de la poblacin inicial siga siendo la mejor.2).Esto,en realidad,dice que la siguiente poblacin es
3,5,2).Ahora utilizamos Tratamiento de las variables continuas.es entera.La codificacin puede modificarse para incluirvariables continuas como sigue.Especifique un intervalo factible finito (de preferencia,donde son constantes.Sea bits de longitud.La cadena 1,yes la proporcin de la cantidad (),la cual).Por ejemplo,dado 5,la cadena20,y el valor asociado de ejemplo 10.3-5.Esto significa que los hijos se crean por medio del cruce y mutacin delos genes padre.En realidad,una situacin de mltiples variables se maneja de una ma-bits.
25-1 B=1.580645Av
2n-1Bx=l+(u-l)Av
2n-1B C2=(0 1 1) (o x=10) C1=(1 0 0 0) (o x=1)
Captulo 10Programacin heurstica
Ejemplo 10.3-6(Secuenciacin de tareas)medio de RS.Aqu,por comodidad,repetimos el enunciado (se agrega una quinta tarea paraproducir un ejemplo ms viable).Las tareas se secuencian en una sola mquina.Cada tarea .Si la tarea fecha lmite,se incurre en un costo de retencin por unidad de tiempo.Una tarea retardada por unidad de tiempo.La tabla 10.16 proporcionalos datos para un problema de programacin de 5 tareas.La primera tarea es desarrollar el cdigo gentico de los cromosomas.Aunque en el proble-ma de secuenciacin de tareas puede usarse la codificacin binaria (vea,por ejemplo,Yamada yNakano,1997),el algoritmo resultante es complejo porque las operaciones de cruce y mutacinpueden dar por resultado programas no factibles que deben ser ÃreparadosÃ.Por lo tanto,enlugar de utilizar un cdigo binario,la naturaleza del problema permite representar un cromoso-ma como una secuencia de tareas (a saber,1-2-5-3-4).Para demostrar cmo se crean los hijos,considere los cromosomas padres P1 5-4-2-3-1.Suponga que ocurre un cruce de un punto aleatorio en el tercer gen.Los dos pri-meros genes de C1(C2) se construyen intercambiando los dos primeros genes de P1(P2).Los l-genes,es decir {1,3,5,2,4} {1,3,2}{5,4,2,3,1} {1,3} {5,4,2}Por lo tanto,C1 A continuacin,las mutaciones de C1 y C2 se transmiten de la siguiente manera.Si R un cromosoma hijo se somete a mutacin.La mutacin se implementa entonces para el hijointercambiando dos genes seleccionados al azar (tareas).Por ejemplo,los nmeros aleatorios .1) aplicados a C1 y C2,respectivamente,indican que slo mutaC2.Utilizando .8299 para determinar los genes intercambiados en C2,el primer
TABLA 10.16Tarea,Tiempo de procesamientoen das,Fechalmite,473048
10.3Metaheurstica
TABLA 10.17Iteraciones del AG aplicadas al problema de secuenciacin de tareas del ejemplo 10.3-6P11-2-3-4-5512-Poblacin inicial aleatoria (P1,P2,P3,P4).P22-3-4-1-5605-Los padres seleccionados con P4 (mejor
-5-2-3695-El cruce de P3 y P4 se inicia en la posicin 3.
-1-4-5475C13-573-C1 muta al intercambiar las posiciones 2 y 5.829-C2 muta al intercambiar las posiciones 1 y 5.mC13-5-4-1-2534mC25-1-3-2-4367
-4-53-5-4-1-2512-Los peores padres P2 y P3 en la iteracin 0 son reemplazados por sus mC1 y mC2.P35-1-3
-2-4367-Los padres seleccionados son P3 (mejor P43-2-1-4-5475-El cruce de P1 y P3 se inicia en la posicin 4.C15--2-4367-C1 muta al intercambiar las posiciones 2 y 3.C21--4439-C2 muta al intercambiar las posiciones 2 y 4.mC15-3-1-2-4314mC21-5-3-2-4361
P35-1-3-2-4367-Los padres seleccionados son P1 (mejor
-1-4-5475-El cruce de P1 y P4 se inicia en la posicin 3.-5-1-4292-C1 muta al intercambiar las posiciones 1 y 2.C25-3-2-1-4222-Ninguna mutacin en C2.mC12-3-5-1-4324mC25-3-2-1-42223P1
P32-3-5-1-4324-Los padres seleccionados son P4 (mejor
-2-1-4222-El cruce de P2 y P4 se inicia en la posicin 3.C15-3-1-2-4314-Ninguna mutacin.C21-5-3-2-4361-Ninguna mutacin.
nmero aleatorio selecciona la posicin 1 (tarea 1),y el segundo nmero aleatorio selecciona laposicin 5 (tarea 2).Por lo tanto C2 muta de 1-3-5-4-2 a 2-3-5-4-1.La tabla 10.17 resume los clculos de las iteraciones 0 a 3.Por comodidad,los clculos de losexcelJobSequencing.xls.La
Paso 0:cromosomas factibles.en la poblacin seleccionada,evale su aptitud aso-ciada.Registre
Captulo 10Programacin heursticaPaso 1:Cruce los genes padre para crear dos hijos.Mute los genes hijo al azar.Si las soluciones resultantes son no factibles,repita el paso 1 hasta lograr lafactibilidad.Si no,reemplace los dos padres ms dbiles con los nuevos hijos*.Vaya al paso 2.Paso 2:Si se llega a una condicin de terminacin,detngase:disponible.De lo contrario,repita el paso 1.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.3CSuponga que se utiliza el AG para determinar el mximo de 0,1,Ã,300.Que Represente P1 y P2 como cdigos binarios.Cree C1 y C2 por medio de un cruce de un punto.Cree C1 y C2 utilizando un cruce de dos puntos.En la parte (b),use nmeros aleatorios para mutar C1 y C2.Posee una baraja de diez cartas numeradas del 1 al 10.Tiene que dividir las diez cartas ende la pila 2 sea 36.Desarrolle un AG para el problema utilizando una poblacin inicial de4 padres,un cruce de 1 punto y una tasa de mutacin de 1%.Realice 5 iteraciones.Tiene un pedazo de alambre cuya longitud es forma de marco rectangular.Use el AG para determinar el ancho y la altura que dar porresultado el rea mxima del rectngulo.men mximo.Realice cinco iteraciones de AG para estimar la solucin ptima.En el juego de ajedrez,las reinas se mueven horizontal,verticalmente a lo largo de tra-yectorias diagonales (45¼).Tenemos que colocar que ninguna reina pueda ÃtomarÃa otra reina.Disee un AG para el problema iniciandocon una poblacin aleatoria de 4 padres y utilizando un cruce de un punto.Una medidarazonable de la efectividad es el nmero de reinas en conflicto.Realice tres iteraciones.10.4APLICACIîN DE METAHEURêSTICA A PROGRAMAS los siguientes PLE generales.1.1 sen (2
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enterossolucin de inicio,la definicin de la vecindad y la determinacin del siguiente movi-1.Seleccin de la solucin de inicio.como solucin de inicio.2.Definicin de las vecindades.Por ejemplo,suponga que la solucin actual en un problema de 5 variables es (8,6,4,0,2),y suponga que es objetivo de cambio.Entonces la vecindad.Por ejemplo,si ,en-{(8,6,4,,2),(8,6,4,,2)} porque 1 es no factible.3.Determinacin del siguiente movimiento de bsqueda.0,entonces el siguiente movimiento de bsqueda es factible.El resto de la seccin detalla el desarrollo de la BT,el RS y el AG para PLE.Las ideas pueden aplicarse a cualquier PLE y,de hecho,puede ampliarse a pro-gramas no lineales.
gianas para penalizar la violacin de la factibilidad (vea,por ejemplo,Abramson y Randall,1999).
Captulo 10Programacin heurstica10.4.1Algoritmo tab aplicado a una PLEriables.Utiliza las siguientes definiciones:),(Valor objetivo asociado con solucin redondeada de programacin lineal y establecer Iteracin for, , y , alcanza su lmite de permanencia, luego eliminar desde la lista tabthen nextno factibilidad para IfthenElse:ifes tab then nextElse:Ifes tab then nextElse:Ifthenset , , y nextnextestablecer y en la lista tab.Vaciar la lista tab (todas las variables son tab o todos los vecinos no mejoran aNext, . . . , x , x, . . . , , . . . ,
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enterosValor de Periodo de permanencia tab,expresado en nmero de iteraciones.deada (instruccin 1).En la iteracin ,se permite que una variable tab defina (deresultado una solucin factible mejorada (instrucciones 11 y 12).En caso contrario,se,la bsqueda calcula la medida de no factibilidad asociaday el valor objetivopara todas las .El algoritmo sigue la pista al candidato* (instruccin 14).Unanes 10,11 y 12).De lo contrario,se selecciona el movimiento no tab con la mnima0) (instruccin 16).Si 0,todas las soluciones vecinas
82.125.Su so-lucin entera ptima (obtenida por medio de TORA) es 79.La solucin redondeada es (5,0,15,14) o (5,0,15,15).Las medidas de no(Ãcomprubelo!).La solucin de no factibilidad menor.Por consiguiente,se utiliza para iniciar la bsqueda.4 iteraciones.Un ndice subrayado identifica una variable tab.Por ejemplo,rante las iteraciones 1,2,3 y 4.La bsqueda encuentra la primera solucin factible en la iteracin3 (la que resulta ser la mejor solucin en las 5 iteraciones).En la iteracin 4,son tab,y ninguna solucin vecina conduce a una mejor solucin.Por lo tanto,la lista tab sevaca en la iteracin 5 (y retiene la misma solucin de la iteracin 4,sin etiqueta de tab) parapermitir que la bsqueda contine.En problemas grandes tpicos,es improbable que todas lasvariables aparezcan en la lista tab al mismo tiempo.
Captulo 10Programacin heurstica
excelTabu-IP-Heuristic.xls).Permite experimentar con problemas pequeos (hasta de10 variables).La presentacin de la hoja de clculo es bsicamente una herramienta de aprendi-zaje diseada para reforzar su comprensin de los detalles de los AT.Los algoritmos de BT co-
merciales incluyen reglas adicionales para resolver problemas muy grandes.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.4AVerifique las entradas en las iteraciones 1,2 y 3 en la tabla 10.18.Realice 10 iteraciones de BT en cada uno de los siguientes problemas..Use el archivo excelTabu-IP-heuristic.xls.para hallar una solu-Compare las soluciones heursticas y exactas.
TABLA 10.18Inicio de la bsqueda4.625014.62514.582.125501514283
151418421
1513
2824Ã1(mejores) 351
14
13
0793Ã1
1
14
13
1771Ã14114131771Ã1
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enterosAplicacin de bsqueda tab a la PLE al inicio de la seccin 10.4,realizada con Excel excelTabu-IP-Heuristic.xls
Captulo 10Programacin heurstica10.4.2Algoritmo de recocido simulado aplicado a una PLEEn la seccin 10.4.1 que aborda la BT,cionar el siguiente movimiento de bsqueda.La misma estrategia puede usarse con elRS.Sin embargo,como una variacin,adoptaremos una nueva estrategia que requiere),(Valor objetivo asociado con Temperatura inicialTemperatura en el nivel Valor objetivo de la ltima solucin La figura 10.8 resume los pasos del algoritmo.Al inicio del algoritmo,blece igual a la solucin de la PL redondeada (instruccin 1).En cada iteracin se se-* de entre el conjunto de variables {1,2,Ã,4),y la medida de factibilidad se determina para las soluciones de vecindad (ins-trucciones 5 a 8).La factibilidad incluye la verificacin de las cotas superior e inferiorSi la solucinya se encontr antes (es decir,es redundante),rechcela eSies no factible,acptela como el siguiente movimiento (instruccin 10).
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enterositeracin al azar en el intervalo [1, ] y establecer para nextes redundante, rechazar el movimiento, nextes el siguiente movimientoElse:IfElse:Ifrechazar e iniciar una nueva iteracinIfthenNextSino es una solucin factible peor,acptela como el siguiente movi-Sies una solucin inferior factible,acptela como el siguiente movimiento siAntes de iniciar una nueva iteracin,la temperatura
62.La reduccin de temperatura se activa cada .5.La tabla 10.19 resume 10 iteraciones.En cada itera-cin se subraya la variable seleccionada al azar.Por ejemplo,en la iteracin 2.De acuerdo con las reglas del algoritmo,una solucin no factible noredundante se acepta como un movimiento hacia la consecucin de la factibilidad.Esto ocurre enlas iteraciones 1,2 y 4.Adems,siempre se genera un movimiento a partir del movimiento acep-tado o permitido ms reciente.Por ejemplo,el movimiento en la iteracin 6 se genera a partir delen la bsqueda.Esto establece (4,0,14,14).En la iteracin 6,la solucin factible
T.Xj*t(k*)Xj* (k*)
Captulo 10Programacin heurstica
TABLA 10.19
.5,y Temp
501515285
01515383Movimiento no factible:Permitir2401514
181Movimiento no factible:Permitir(Mejor)34014
14078Primer movimiento factible:Aceptar44013
141757862Movimiento no factible:Permitir54014
140787862Redundante:Rechazar6401313
0737862:Aceptar741
13130747331:Aceptar8411312
0727431:Aceptar94112
120697215.50.82:Rechazar1040
13120717215.50.94:AceptarLa mejor solucin ocurre en la iteracin3
{aceptar}.En la iteracin 7,el movimiento
6.Observe que la temperatura se ajusta cada 2 iteraciones de aceptacin en las iteraciones 7 y 9.
excelSA-IP-Heuristic.xls).Como en la BT,la aplicacin permite experimentar con problemas de10).El usuario puede estudiar el impacto de cambiarlos datos en los pasos 2 y 3 en la eficacia del algoritmo.Una de las observaciones inmediatasacerca del comportamiento del algoritmo es que la ÃfrecuenciaÃde rechazo de las soluciones fac-
tibles se incrementa con la cantidad de iteraciones,un comportamiento tpico del RS.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.4BTodas las variables son binarias.Utilice el archivo excels-IP-Heuristic.xls
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enterosexcelSA-IP-Heuristic.xls
Captulo 10Programacin heursticaTodas las variables son binarias10.4.3Algoritmo gentico aplicado a la PLE En la seccin 10.2.3,se utiliza codificacin binaria en el desarrollo del AG.La mismaidea se puede aplicar a la PLE.Por ejemplo,en un problema de 3 variables,la solucin(100,24,60) puede representarse mediante el cdigo binario de la tabla10.20.Por lo general,el nmero de bits binarios se ajusta para representar el valor m-ximo de cualquiera de las variables.cin numrica.En este caso,la solucin de PLE redondeada en un problema de variables se representa comoLos cromosomas de la poblacininicial pueden generarse al azar a partir del intervaloLos lmites resultantes del intervalo se ajustan,si las cotas 1,2,3,Ã,son ms estrechas.Una forma cmoda de determinar los genes es muestrear desde ely luego aproximar el resultado a un valor entero.(100,1,60) con cotas 0 99,0
= (xq1, xq2,Ã, x qn). x3+x4+x5+ x6 +x7 Ã14 x2+x3+x4+x5+ x6 Ã19x1+x2+x3+x4+x5 Ã18x1+x2+x3+x4 +x7 Ã17x1+x2+x3 +x6 +x7 Ã14x1+x2 + x5 + x6 + x7 Ã12x1 +x4+x5+ x6 +x7 Ã20
TABLA 10.20001001100011000011110
TABLA 10.21
Valor inicial990(80,120)(6.4,9.6)(48,72)Intervalos de bsqueda ajustados(80,99)(6,10)(50,72)Padre1Padre2Padre3
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enteros,50 ,y utilizando 2.Los genes de cada padre se determinan al azar.Esto significa que el gen 3 se inter-Hijo 1:(92,7,70
Hijo 2:(81,9,58
aleatorio de 89 seleccionado desde el intervalo de bsqueda (80,99).Por lo tanto,elcromosoma mutado del hijo 1 se transforma en (89,7,70).La figura 10.10 describe los pasos algortmicos para la aplicacin del AG a unavariables.Se utilizan las siguientes definiciones:
1,Ã,x
j,Ã,x
Valor objetivo asociado con Tamao de la poblacina 8).Si tal solucin existe,identifica al padre 1.Si no existe ninguna solucin factible,se(instruccin 9).Luego se determina el padre 2 al azar de entre los cromosomas restan-tes (despus de excluir el del padre 1) (instruccin 11).El padre 1 y el padre 2 crean altruccin 12).A continuacin,el hijo 1 y el hijo 2 reemplazan a los cromosomas
Captulo 10Programacin heurstica
Para la PLE en el ejemplo 10.4-1,la tabla 10.22 proporciona una poblacin inicial de 10 cromo-somas generados al azar con la solucin de programacin lineal redondeada (5,0,15,15).Los intervalos de bsqueda,basados en .2 se dan en la parte inferior de la tabla.Losdiez cromosomas resultan ser no factibles.Se elige el cromosoma 5 como padre 1 porque tiene lano factibilidad mnima.El cromosoma 2 se selecciona al azar de entre los cromosomas restantespara representar el padre 2.Por lo tantoPadre 1:(4,0,15,16)Padre 2:(5,0,15,17)1),la particin (seleccionada al azar) ocurre en la variable 4.Por lotanto,los hijos se crean intercambiando el gen 4 (mostrado en negritas) como:Hijo 1:(4,0,15,Hijo 2:(5,0,15,los intervalos de bsqueda utilizando la poblacin inicial de tamao al azar utilizando los intervalos de bsqueda 4.Iteracinla no factibilidad establecer Else:Ifestablecer Nextcomo Padre 1 y seleccionar al azar el Padre 2 de entre {1, 2,Ã, P} los Hijos 1 y 2 de los padres 1 y 2 utilizando cruces la no factibilidad para el cromosoma con las dos peores no factibilidadesNexttienen no factibilidad cero*** para que correspondan a los dos valores objetivo Reemplazarcon el Hijo 1 y el Hijo 2, respectivamente Next
10.4Aplicacin de metaheurstica a programas lineales enterosA continuacin aplicamos mutacin a cada hijo.La probabilidad de mutacin de .1 exige.1.Como se muestra en latabla,slo el gen 14 (subrayado) del hijo 1 muta de 17 a 14.En la siguiente iteracin,el hijo 1 y el hijo 2 reemplazan a dos padres en la poblacin actual.9),de ah que 3.Hay un empate entre los pa-dres 9 y 10 por la siguiente no factibilidad peor.El empate se rompe a favor del cromosoma conel peor valor objetivo (87 para el padre 9 contra 76 para el padre 10),lo cual da 10.Porconsiguiente,el padre 3 y el padre 10 son reemplazados por el hijo 1 y el hijo 2,respectivamente.
La nueva poblacin ya esta lista para una nueva iteracin.
Heuristic.xls).Puede ejecutar las iteraciones una por una o ejecutarlas todas de forma automti-ca.En el primer caso,el botn inicia los clculos.Cada clic adicional del botngenera una nueva iteracin.Este diseo iterativo utiliza cdigos de colores paraSi la cantidad de cruces,,en la celda H4 se establece igual a cero,las medias aritmtica y
geomtrica de los padres dan los genes de los dos hijos.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.4CRealice dos iteraciones del problema 2,conjunto 10.4b.al problema 3,conjunto 10.4b.
TABLA 10.22Poblacin inicial de tamao
redondeada de PL (5,0,15,15) con 2,cruce 141161(Padre2) 2501517589361171440121(Padre1) 5401516285651121760141861151960151401216776Hijo1401514
1
Hijo2501516387Intervalos de bsqueda(4,6)(0,1)(12,18)(12,18)
Captulo 10Programacin heursticaexcelGA-IP-Heuristic.xls
10.5Introduccin a la programacin de restriccin (PR)10.5INTRODUCCIîN A LA PROGRAMACIîN DE RESTRICCIîN (PR)Una forma de resolver el problema es enumerar las 800 combinaciones,lo cual escomputacionalmente ineficiente.La programacin de restriccin resuelve el problemabsqueda ÃinteligenteÃpara hallar las soluciones factibles.{1,2,3,4,5,6,8}{1,3,4,5,6,7,8,9,10}Luego,la restriccin sea 4,lo cual ocurre1.El valor mximo de es 5,que ocurre cuando 1.Luego,7,lo cual ocurre cuando 2.Estallamada propagacin de la restriccin produce los siguientes dominios factibles,perode 800 a 32.Aun cuando el nuevo problema es ms computacionalmente manejable,para iniciar la bsqueda porque tiene el dominio ms pequeo,lo2.La rama 3,lo cual1),(5),y el resultado son las tressoluciones que aparecen en la figura 10.12.Para 2,la condicin resultante es imposible para satisfacer los dominios dados.Esto completa el rbol de bsqueda.posibles combinaciones.
El material en esta seccin est basado en parte en la informacin presentada en http://www.mozart.oz.org/
Captulo 10Programacin heursticaEl ejemplo anterior proporciona la esencia de lo que hace la PR.Bsicamente eslos dominios de las variables y un conjunto de restricciones.Para facilitar la bsqueda,res de las variables dentro de sus dominios para satisfacer las restricciones.Como unailustracin,la figura 10.13 codifica el problema en ILOG OPL.El cdigo describe demanera directa el problema en funcin de los dominios de las variables y restricciones.Todas las reducciones de los dominios las realiza de forma automtica el procesador delenguaje utilizando procedimientos inteligentes.Como el ejemplo lo demuestra,la PR no es una tcnica de optimizacin en elsentido en que se utiliza en la programacin matemtica.Sin embargo,el hecho de quede algoritmos de programacin matemticos.En particular,la programacin de res-para el problema MIP.CONJUNTO DE PROBLEMAS10.5AAbramson,D.,y M.Randall,ÃA Simulated Annealing Code for General Integer LinearAnnals of Operations Research,vol.86,1999,pgs.3-21.
x{4, 5, 6, 8}, y{1, 3, 5}, z{1, 2}
Soluciones factibles:(x, y , z) = (4, 1, 1)x, y , z) = (6, 3, 1)x, y , z) = (8, 5, 1)
Ninuna solucin factiblezΩ = 1 = x à y = 3 zΩ = 2 = x à y = 6Restriccin: x à y = 3z
1var int x in 1..8;2var int y in 1..10;3var int z in 1..10;4solve{5Ωx6Ωy7xy=3*z;8};
Glover,F.,ÃTabu Search à Part IÃ,ORSA Journal on Computing,vol.1,1989,pgs.190-206.Glover,F.,ÃTabu Search à Part IIORSA Journal on Computing,vol.2.1990,pgs.4-32.Hertz,A.,y D.de Werra.ÃThe Tabu Search Metaheuristic:How We Used ItÃ,Mathemarics and Artificial Intelligence,vol.1,1991,pgs.111-121.Kirkpatrick,S.,C.D.Gelatt Jr.,y M.P.Vecchi,ÃOptimization by Simulated AnnealingÃ,vol.220,1983,pgs.671-680Michalewicz,Z.,y D.B.Fogel,How to Solve It:Modern Heuristics,Springer-Verlag,2000.Yamada,T.,y R.Nakano,Genetic algorithm for job-shop scheduling problems,Modern Heuristic for Deccision Support,UNICOM Seminar (marzo 18-19),Londres,1997,pgs.67-81Yamamoto,M.,Cmara.G.,y Lorena,L.,ÃTabu Search Heuristic for Point-Feature Cartographic,vol.6,nm.1,2002,pgs.77-90
11.1APLICACIONES DE EJEMPLO DE TSPClsicamente,el problema de TSP tiene que ver con hallar el recorrido ms corto (ce-ciudades,donde cada ciudad es visitada exactamente unavez antes de regresar al punto de partida.El modelo TSP asociado se define por medioEl nmero de ciudades,En realidad,las aplicaciones de TSP van ms all de la definicin clsica de visi-tar ciudades.La que se presentaal inicio de este captuloCAPêTULO 11
Aplicacin de la vida real La Organizacin de Ciencias y Tecnologa del Departamento de la Defensa deAustralia emplea un radar de apertura sinttica montado en un avin para obtenerimgenes de alta resolucin de hasta 20 franjas de tierra rectangulares.En sus orgenes,po y en general era subptimo.Posteriormente se desarroll un software basado enTSP para planificar misiones hasta de 20 franjas de tierra.El nuevo software puedeplanear una misin en menos de 20 segundos,comparado con una hora que requera elproceso visual.Adems,la longitud promedio de la misin es 15 por ciento menor quela obtenida manualmente.:D.Panton,y A.Elbers,ÃMisin Planning for Synthetic Aperture Radar
,vol.29,nm.2,1999,pgs.73-88.*Del ingls:Traveling Salesperson Problem
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)sinttica.Esta seccin resume otras cinco aplicaciones que muestran cmo puedeadaptarse el modelo TSP clsico (ÃciudadesÃconectadas por ÃrutasÃ) para representarotras situaciones.En el conjunto de problemas 11.2a se dan ms aplicaciones.duce lotes de diferentes pinturas en la misma planta de produccin.Cuando se completauna secuencia de colores,se inicia un nuevo ciclo en el mismo orden.La secuenciacin delos colores afecta el tiempo de preparacin (arreglo) entre lotes sucesivos.La meta es se-leccionar la secuencia que minimice el tiempo de preparacin total por ciclo.El modelo TSP en esta situacin considera un color de pintura como una ciudadTarjeta de circuito integradoidnticas para montar los componentes electrnicos.Las tarjetas se alimentan en se-cuencia debajo de un taladro mvil.La meta es determinar la secuencia que completela perforacin de todos los agujeros en una tarjeta en el tiempo ms corto posible.En el modelo TSP,los agujeros representan las ciudades,y los desplazamientosentre los agujeros representan las distancias.Agrupamiento de protenasda numrica de similitud basada en la interaccin de las protenas.La informacin delagrupamiento se utiliza para predecir las funciones de protenas desconocidas.Eltenas adyacentes.En el modelo TSP cada protena toma el lugar de una ciudad.La medida de simi-puede convertirse en una medida de Ãdistan-ciaÃteniendo en cuenta que mxima,para todas las Obtencin de imgenes celestesLa agencia espacial de Estados Unidos,NASA,utiliza satlites para obtener imgenes de objetos celestes.La cantidad de com-toman las imgenes de los objetos.La meta es determinar la secuencia de obtencin deimgenes ptima que minimice el consumo de combustible.En el modelo TSP,un objeto celeste se considera como una ciudad.La distanciase transforma en el consumo de combustible entre dos objetos sucesivos.Creacin de la Mona Lisa con TSPEsta intrigante aplicacin ÃcreaÃlade Leonardo da Vinci mediante el trazo de lneas continuas.La idea gene-computadora para agrupar puntos en una grfica.Los puntos se conectan luego en se-cuencia mediante segmentos de lnea (vea Bosch y Herman,2004).En el modelo TSP,los puntos representan ciudades y sus ubicaciones relativas enla grfica proporcionan la matriz de distancias.
11.2Modelo TSP matemticoNota:En cada una de las siguientes instancias,describa los datos (ciudades y distancias) necesa-rios para modelar el problema como TSP.Seers Service Center programa sus visitas diarias de mantenimiento a los clientes.Lostrabajos se clasifican y agrupan,y cada grupo se asigna a un tcnico en mantenimiento.Alfinal de la asignacin el tcnico se reporta al centro de servicio.Seattle,(2) San Francisco,(3) Los çngeles,(4) Phoenix,(5) Denver,(6) Dallas,(7)Chicago,y (8) Tampa antes de regresar a casa en Seattle.Cada visita dura aproximada-mente una semana.El objetivo es gastar lo menos posible en pasajes areos.Un turista en la ciudad de Nueva York desea visitar 8 sitios tursticos utilizando el trans-porte local.El recorrido se inicia y termina en un hotel ubicado en el centro.El turistadesea gastar la menor cantidad posible de dinero en el transporte.proyectos.Un empleado puede trabajaren ms de un proyecto,lo que traslapa las asignaciones.En la actualidad,el gerente se en-trevista con cada empleado una vez por semana.Para reducir el tiempo de entrevista contodos los empleados,el gerente desea realizar entrevistas en grupo que impliquen pro-yectos compartidos.El objetivo es reducir el trfico (cantidad de empleados) que entreny salgan de la sala de juntas.Meals-on-Wheels es un servicio de caridad que prepara comidas en su cocina centralpara personas que califican para el servicio.Idealmente,todas las comidas deben ser en-tregadas en un mximo de 20 minutos despus de que salen de la cocina.Esto significaterminar la secuencia de las entregas.Secuenciacin del DNA.En ingeniera gentica,un conjunto de cadenas de DNA,cada unade una longitud especfica,se concatena para formar una cadena universal.Los genes de ca-denas de DNA individuales pueden traslaparse.La cantidad de traslapes entre dos cadenassucesivas es medible en unidades de longitud.La longitud de la cadena universal es la sumade las longitudes de las cadenas individuales menos los traslapes.El objetivo es concatenarVehculo guiado automtico.Un vehculo guiado automtico (VGA) realiza un viaje re-dondo que inicia y termina en el cuarto de correo,para entregar correspondencia a depar-tamentos en el piso de la fbrica.El vehculo guiado automtico se desplaza a lo largo depasillos horizontales y verticales.El objetivo es minimizar la longitud del viaje redondo.11.2MODELO TSP MATEMçTICOComo se plante en la seccin 11.1,un modelo TSP se define mediante el nmero de.La definicin de un recorrido prohbe conec-nales de la matriz de distancias.Un modelo TSP es .De lo contrario,el modelo TSP es El modelo TSP se da como
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)Las restricciones (1),(2) y (3) definen un modelo de asignacin regular (seccin 5.4),y cero en casocontrario.Si la solucin del modelo de asignaciones resulta ser un recorrido [es decir,satisface la restriccin (4)],entonces automticamente es ptimo para el TSP.Esta esuna rara ocurrencia,sin embargo,y es problema que el modelo de asignaciones se com-subrecorridos.En ese caso se requieren clculos adicionales para determinarLa figura 11.1 muestra un modelo TSP de 5 ciudades.Los nodos representan ciu-dades,y los arcos representan rutas en dos sentidos que pueden ser distintas si el mo-delo es asimtrico.Como antes se explic,el modelo de asignaciones puede producir
),roja (),y negra ().Las instalaciones de produccin se deben limpiar entre uno yotro lotes.La tabla 11.1 resume en minutos los tiempos de limpieza.El objetivo es determinar la
Problema de 5 ciudadeolucin del recorrido(x12 x25 x54 x43 x31 1)Solucin de subrecorrido(x23 x32 Ã1)(x15 x54 x41 1)
1
2
3
4
5
1
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1
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3
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5
Un ejemplo TSP de 5 ciudades con una solucin de recorrido o subrecorrido del modelo de asignaciones asociado
11.2Modelo TSP matemtico
TABLA 11.1Tiempos de limpieza entre lotes (en minutos)
para el problema de produccin de pintura
Limpieza entre lotes (min)
Pintura
Blanca
Amarilla
Negra
RojaBlancaq101715Amarilla20q1918Negra5044q22Roja454020q
En el modelo TSP,cada color representa una ÃciudadÃ,y el tiempo de limpieza entre dos co-lores sucesivos representa ÃdistanciaÃ.Sea El modelo TSP se da como,y modelo.Sin embargo,la eliminacin de estas variables destruye la estructura del modelo de asig-naciones subyacente necesaria para resolver los modelos de TSP y de ramificacin y acotamiento.Solucin del modelo TSP.Una forma simple de resolver el modelo de TSP es una enumeracinexhaustiva.El mximo de recorridos en un problema de 1)!.En este ejemplo6).La tabla 11.2 muestra y evala los seis recorridos e indica que el recorrido es ptimo.La enumeracin exhaustiva no es prctica para el modelo TSP general.La seccin 11.3 pre-senta por lo tanto dos algoritmos de programacin entera exactos:el de ramificacin y acota-miento,y el de plano de corte.Ambos algoritmos tienen su raz en la solucin del modelo deasignaciones,con restricciones agregadas para garantizar una solucin de recorrido.Por desgra-cia,como es tpico con la mayora de los algoritmos de programacin entera,los mtodos pro-
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)
TABLA 11.2
pinturas mediante enumeracin exhaustiva
Bucle de produccin
Tiempo de limpieza total
puestos no son computacionalmente confiables.Por esa razn se utilizan heursticas para obte-ner soluciones (pero no necesariamente ptimas) del problema.Tres de estas heursticas se pre-Interpretacin de la solucin ptima.en la tabla 11.2 se inicia con el color blanco seguido por el amarillo,luego el negro,y luego elrojo.Es realmente irrelevante qu color utilicemos para iniciar el ciclo de produccin porquela solucin es un .Por ejemplo,las secuencias tambin son ptimas.TSP de recorrido abierto.ciudad de inicio.Este caso puede demostrarse en el problema de las pinturas cuando la produccinse limita a exactamente un lote de cada color.Por ejemplo,en la secuencia de recorrido abierto,,la ltima ÃciudadÃ() no conecta de vuelta a la ÃciudadÃde inicio (1,con distancias cero hasta y desde todas las ciudades reales;es decir,i,n1,2,Ã,.Para el ejemplo de las pinturas,la nueva matriz de distancias esLa fila 5 y la columna 5 representan el color ficticio.Ficticio ,longitud Ficticio FicticioSi eliminamos el color ficticio,obtenemos la siguiente solucin de recorrido abierto:1017150191805044220454020
11.2Modelo TSP matemticoCota inferior en la longitud de recorrido ptima.ptima puede ser til al resolver el modelo TSP o con los algoritmos exactos o con los algoritmosheursticos.En el caso de los algoritmos exactos,una cota inferior estrecha restringe el espaciofactible,y por consiguiente hace ms eficiente el algoritmo (particularmente en el caso del algo-ritmo de ramificacin y acotamiento).Para los heursticos puede usarse una cota inferior paraHay varios mtodos para estimar una cota inferior.Dos de ellos son los siguientes:El modelo de asignacin es una simplificacin del modelo TSP,ysu solucin ptima proporciona una cota inferior en la longitud de recorrido ptima.Enrealidad,si la solucin ptima del modelo de asignaciones es factible (es decir,un recorri-do),tambin es ptima para el modelo TSP.ras produce una cota inferior de 72 minutos.Programacin lineal.des.Sea 1,2,Ã,de cualquier otra ciudad en la red.Las restricciones garantizan que ninguno de los crculosse traslape.Para el ejemplo de las pinturas,tenemos La solucin produce una cota inferior de 60 minutos,la cual no es tan ajustada al ob-72 minutos) En realidad,la experimentacin conferiores ms estrechas,en particular cuando el modelo TSP es asimtrico.Observe que la
cia limitan todos los radios a cero.
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)
rior pueden resolverse con los archivos AMPL proporcionados con este captulo.File
proporciona los datos TSP del problema de las pinturas.calizados en Wald,Bon,Mena y Kiln antes de regresar a su casa en Basin.La siguientetabla muestra las distancias en millas entre las diferentes ciudades.El objetivo es minimizar la distancia total recorrida por el vendedor.lo de asignacin como con una programacin lineal.ÃEs ptima la solucin del mo-delo de asignacin para el TSP?Seers Service Center programa sus visitas diarias de mantenimiento a sus clientes.La ma-cio (fila 1 y columna 1) y las siete rdenes de mantenimiento.Las rdenes se asignan auno de los tcnicos en mantenimiento durante un turno de 8 horas.Al final del da,el tc-Compare las cotas inferiores en la longitud de recorrido ptima utilizando tanto elmodelo de asignacin como la programacin lineal.ÃEs ptima la solucin del mo-delo de asignacin para el TSP?Dado que el desplazamiento entre los clientes no es productivo,y suponiendo unapausa para el almuerzo de una hora,determine la productividad mxima del tcnico0201519241421112001822232291015180112114321219221102027181524232120014252014221427140261721932182526020111012152017200
Millas entre ciudades
Basin
Wald
Bon
Mena
Basin0120220150210Wald120080110130Bon220800160185Mena1501101600190Kiln2101301851900
11.2Modelo TSP matemticoUn fantico del bisbol desea visitar ocho parques de ligas mayores en (1) Seattle,(2)San Francisco,(3) Los çngeles,(4) Phoenix,(5) Denver,(6) Dallas,(7) Chicago,y (8)Tampa antes de regresar a casa a Seattle.El fantico utilizar transportacin area entrelas diferentes ciudades.La matriz boleto de viaje sencillo entre las 8 ciudades.El fantico ha presupuestado $2000 para los viajes areos.ÃEs realista este presu-.Las protenas se agrupan utilizando una medida total de si-militud basada en la informacin de interaccin entre las protenas.La informacin deagrupamiento se utiliza para predecir las funciones de protenas desconocidas.Por de-finicin,el mejor agrupamiento maximiza la suma de las medidas de similitud entre pro-tenas adyacentes.La matriz (expresadas como un porcentaje) entre las 8 protenas.Defina la matriz de distancias del TSP.tenas ptimo.Un turista en la ciudad de Nueva York utiliza el transporte local para visitar 8 sitios.Elinicio y la terminacin,as como el orden en el cual se visitan los sitios,no son importan-tes.Lo que es importante es gastar la cantidad mnima de dinero en el transporte.La ma-siguiente proporciona los pasajes en dlares entre los diferentes lugares.020302512334457220192020294345281901738485560252019028354055121834250213040352545302002539473950352820028603854503340250100203029242238452010010220153103010100141195304129221410020272850240112010024550221595272410026373831302855261004045041500374010002503002902403203804502500190220230300310390300190014031029539041029022014002002752853502402303102000240255400320300295275240026037038031039028525526004204503904103504003704200
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)El turista est presupuestando $120 para el costo del taxi a todos los ochos sitios.ÃEs rea-ste es un modelo TSP de recorrido abierto.)Un gerente tiene en total 10 empleados que trabajan en seis proyectos.Los proyectos serevisan semanalmente con cada empleado.Un proyecto puede emplear ms de un em-pleado por lo que las asignaciones se traslapan,como se muestra en la siguiente tabla.1234561xxx2xxx3xxxx4xxxEmpleado 5xxx6xxxxx7xxxx8xxx10xxxxxEn la actualidad,el gerente se rene con cada empleado una vez por semana.Cada10 empleados.Para reducir el tiempo total,el gerente desea realizar reuniones de grupo de-pendiendo de los proyectos compartidos.El objetivo es programar las reuniones de modoque se reduzca el trfico (cantidad de empleados) que entra y sale de la sala de juntas.Defina las ciudades y la matriz de distancias del modelo TSP.de asignacin.ÃEs ptima la solucin del modelo de asignacin para el TSP?Meals-on-Wheels es un servicio de caridad que prepara comidas en su cocina centralpara personas que califican para el servicio.Idealmente,todas las comidas deben ser en-tregadas en un mximo de 20 minutos despus de que salen de la cocina.Esto significaterminar la secuencia de las entregas.El servicio de caridad se encuentra en el proceso de determinar la ruta de entrega.El primer itinerario piloto incluye siete recipientes modelo de asignacin como la programacin lineal.ÃEs ptima la solucin de mode-lo de asignacin para el TSP?Basado en la informacin en (a),Ães posible entregar las ocho comidas dentro de la010125179137100920811351290144101165201402052810178420021499111052102313312842027516109320
11.2Modelo TSP matemticoTarjetas de circuito integrado.componentes electrnicos.Las tarjetas son alimentadas de una en una bajo un taladromvil.La matriz y que le lleva medio segundo taladrar un agujero.Determine una cota superior en la tasaSecuenciacin del DNA.En ingeniera gentica,un conjunto de cadenas de DNA,cadauna de 10 pies de longitud,se concatena para formar una cadena universal.Los genes decadenas de DNA individuales pueden traslaparse,lo que produce una cadena universal de longitud menor que la suma de las longitudes individuales.La matriz porciona la longitud en pies de traslapes para un caso hipottico de seis cadenas de DNA.modelo de asignacin como la programacin lineal.ÃEs ptima la solucin obtenida conel modelo de asignacin para el TSP?La Agencia Espacial de Estados Unidos,NASA,utiliza satlites para formar imgenes deobjetos celestes.La cantidad de combustible necesaria para reposicionar los satlites esuna funcin de la secuencia en la cual se forman las imgenes de los objetos.La matrizlites con los objetos.Suponga que el costo por unidad de combustible es de $12.Estime una cota inferioren el costo de formar las imgenes de los seis objetos.Vehculo guiado automtico.Un VGA realiza un viaje redondo (que empieza y terminaUtilizando el cuarto de correo como el origen (0,0),las ubicaciones (entrega son (10,30),(10,50),(30,10),(40,40) y (50,60) para los cinco departamentos.Todas1.52.63.14.43.84.75.33.92.72.94.33.55.46.23.45.13.62.21.94.43.45.92.43.12.76.51.12.91.2.52.64.13.23.44.62.95.2.53.43.54.66.22.64.63.53.8.94.12.94.63.83.25.26.2.91.9
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)las distancias estn en metros.El vehculo se mueve slo a lo largo de pasillos horizonta-les y verticales.El objetivo es minimizar la longitud del viaje redondo.Defina las ciudades y la matriz de distancias del modelo TSP.Suponiendo que el vehculo se mueve a una velocidad de 35 metros por minuto,Corte de papel tapiz,Garfinkel (1977).Usualmente,tapizar los muros de una habitacinrequiere cortar hojas de diferentes longitudes de acuerdo con las puertas y ventanas,yalgo ms.Las hojas se cortan de un solo rollo,y sus puntos de inicio deben alinearse paraque coincidan con el dibujo repetitivo del rollo.Por tanto,la cantidad de desperdicio de-pende de la secuencia en que se cortan las hojas.Con el objeto de determinar el desper-dicio,podemos considerar un solo dibujo como una unidad de longitud (independiente-unidad.Por ejemplo,una hoja de dibujos de 9.50 de longitud requiere diez dibujos conse-cutivos.Si la correspondencia de los dibujos en el muro requiere iniciar la hoja a uncuarto hacia abajo del primer dibujo,entonces la hoja (de 9.5 dibujos de longitud) debeterminar a tres cuartos hacia abajo del dcimo dibujo.Por lo tanto,el desperdicio en unahoja puede presentarse en el primero y ltimo dibujos nicamente,y su cantidad siemprees menor que la longitud completa de un dibujo completo.y el ltimo dibujos.Luego,para la hoja ,tenemosPara el ejemplo que se acaba de citar,El desperdicio entre dos hojas secuenciales,,en la que la hoja ,puede calcularse como sigue:Si ,el desperdicio es .De locontrario,si ,entonces el corte final de se traslapan.El re-.En este caso,el desper-En realidad,las dos cantidades de desperdicio (Por ejemplo,dados .35,utilizamos la frmula para .55.Se obtiene el mismo resultado utilizando ),se agrega una hoja ficticia0.La longitud de un recorrido que pasa por todos los 1 nodos proporciona el desperdicio total que resulta de una secuencia especfica.Ahorael problema puede modelarse como modelo TSP de (excelWallPaper.xls
Hoja,i
Corte de inicio en el dibujo,
Longitud de la hoja,Li1010.472.3423.823.8255.934.5858.145.1261.916.4356.32
11.3Algoritmos TSP exactosDemuestre que la solucin ptima de la asignacin asociada produce el recorrido ptimo.Cuantifique el desperdicio total como un porcentaje de la longitud de todas las hojas.Recoleccin de pedidos en un almacn,Ratliff y Rosenthal (1983).larse utiliza una gra elevada para recolectar y entregar pedidos entre lugares especficosen el almacn.Las tareas de la gra implican lo siguiente:(1) Recolectar una carga en unlugar;(2) entregarla en un lugar,y (3) moverse descargada para llegar a un lugar de reco-leccin.Supongamos que hay pedidos que se tiene que recolectar y entregar.El objeti-ductivo de la gra [elemento (3)].Los tiempos no productivos pueden calcularse contransversal de la gra,entre otros factores.Para el propsito de esta situacin,la gra ini-despus de completar todos los pedidos.Para un grupo especifico de ocho pedidos,los tiempos (en minutos) para llegar a loslugares de los pedidos 1,2,Ã,y 8 desde un estado inactivo son .1,.4,1.1,2.3,1.4,2.1,1.9 y 1.3,respectivamente.La siguiente tabla proporciona los tiempos no productivos (en mi-nutos) asociados con la secuenciacin de los pedidos.Defina las ciudades y la matriz de distancias para el modelo TSP.todos los pedidos.11.3ALGORITMOS TSP EXACTOSEsta seccin presenta dos algoritmos de PE exactos:el de ramificacin y acotamiento(B&B) y el plano de corte.En teora,ambos algoritmos garantizan la optimalidad.Eltema computacional es una historia diferente;esto quiere decir que los algoritmos pue-11.3.1Algoritmo de ramificacin y acotamientoptima del problema de asignacin asociado.Si la solucin es un recorrido,el procesotermina.De lo contrario,se imponen restricciones en la solucin resultante para impo-sibilitar los subrecorridos.La idea es crear ramas que asignen un valor cero a cada unade las variables de uno de los subrecorridos.Por lo comn,el subrecorrido con lamenor nmero de ramas.Si la solucin del problema de asignacin en cualquier nodo es un recorrido,suvalor objetivo proporciona una cota superior en la longitud ptima del recorrido.Si no,se requiere ms ramificacin en el nodo.Un subproblema se 01.01.2.51.7.91.3.71.10.92.0.81.1.3.51.21.901.4.41.01.01.61.52.3.402.01.52.81.01.21.81.42.502.1.4.9.91.11.0.52.10.2.31.3.81.12.21.4.601.21.71.51.61.01.9.92.00
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)Solucin obtenida con el algoritmo de ramificacin y acotamiento del problema TSP del ejemplo 11.3-1
4
5
z 19(1-4-2-5-3-1)
z 17(2-5-2)(1-4-3-1)
z 21(1-4-5-2-3-1)
2
1
z 15(1-3-1)(2-5-4-2)
3
z 16(1-3-4-2-5-1)
x31 0x13 0x52 0x25 0
ce una cota superior ms pequea,o si hay evidencia de que no puede conducir a unamejor cota superior.El recorrido ptimo se da en el nodo con la menor cota superior.acotamiento,y TSP.
Considere la siguiente matriz TSP de 5 ciudades:La asignacin asociada se resuelve utilizando AMPL,TORA o Excel.La solucin esSe compone de dos subrecorridos,1-3-1 y 2-5-4-2,adems de constituir el nodo de inicio delrbol de bsqueda de ramificacin y acotamiento,como se muestra en el nodo 1 en la figura 11.2.En este ejemplo utilizaremos un recorrido arbitrario,1-2-3-4-5-1,para determinar la cotasuperior inicial;es decir,10 29 unidades.Como alternativa,se pueden utilizarpequeas).La cota superior estimada significa que la longitud del recorrido ceder de 29.Los futuros nodos de ramificacin y acotamiento buscan cotas superiores ms pe-queas,si existe alguna.10369
11.3Algoritmos TSP exactosEn el nodo 1 del rbol de ramificacin y acotamiento,el subrecorrido ms corto 1-3-1 crea0 que conduce al nodo 3.Los problemas de asig-,respectivamente.En este momento,podemos examinar el nodo 2 o el nodo 3,y elegir arbitrariamente explo-rar el nodo 2.Su solucin de asignacin es 2-5-2 y 1-4-3-1 con 17.Como la solucin no es unrecorrido,seleccionamos el subrecorrido ms corto 2-5-2 para ramificacin:la rama duce al nodo 4,y la rama Ahora tenemos tres subproblemas sin explorar:los nodos 3,4,y 5.Examinamos arbitraria-mente el subproblema en el nodo 4,estableciendo 2.La solucin resultante,el recorrido 1-4-5-2-3-1,produce la cota superior ms pequea Los dos subproblemas en los nodos 3 y 5 permanecen sin explorar.Seleccionando arbitraria-mente el subproblema 5,establecemos en la matriz de distancias en el nodo 2.El resulta-19.El subproblema 3 es elnico que permanece sin explorar.Sustituyendo obtenemos una mejor solucin de recorrido:1-3-4-2-5-1 con la cota superior ms pequea Se han examinado todos los nodos del rbol,y por consiguiente se completa la bsqueda deramificacin y acotamiento.El recorrido ptimo es el asociado con la cota superior ms pe-quea:1-3-4-2-5-1 de 16 unidades de longitud.Comentario.mostrar un escenario del peor caso en el algoritmo de ramificacin y acotamiento,en elsentido de que requiere explorar 5 nodos.Si hubiramos explorado el nodo 3 (0),habramos encontrado la cotas superior 16 unidades,yconcluido que la ramificacin en el nodo 2,con 17,no puede conducir a una mejor so-lucin,y por lo tanto se eliminara la necesidad de explorar los nodos 4 y 5.Por lo general no hay reglas exactas para seleccionar la mejor secuencia de bsqueda,excepto algunas reglas prcticas.Por ejemplo,en un nodo dado podemos iniciar con unaentre todas las ramas creadas.La esperanza es que la eli-menor longitud.En el ejemplo 11.3-1,esta regla le habra dado prioridad al nodo 3 sobre3),como se desea.Otra regla demanda se-cuenciar la exploracin de los nodos horizontalmente (en lugar de verticalmente),esdecir,el ancho antes que la profundidad.La idea es que es ms probable que los nodos0) es ms pequeo.Esta regla tambinalgoritmo de ramificacin y acotamiento al proporcionar una cota superior ÃestrechaÃ.Por ejemplo,la heurstica vecina ms cercana en la seccin 11.4-1 produce el recorrido1-3-4-2-5-1 con longitud 16.Esta cota superior estrecha habra eliminado de inmedia-to la necesidad de explorar el nodo 2 (la matriz de distancias es totalmente entera,por lo
que no se puede encontrar una mejor solucin en el nodo 2.)
Los comandos interactivos de AMPL son ideales para implementar el algoritmo TSP de ramifi-.El archivo resuelve y despliega la solucin en pantalla.La siguiente tabla resume los comandos AMPL ne-11.3-1) interactivamente.
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)
Comandos AMPL
fix x[1,3]:; commandsfix x[2,5]:; commandsunfix x[2,5];fix x[5,2]:; commandsunfix x[5,2];unfix x[1,3];fix x[3,1]
Tambin puede usarse TORA para generar el rbol de ramificacin y acotamiento.Inicie con elmodelo de asignacin en el nodo 1.La condicin de rama
cacin en el nodo 1,utilizando las siguientes secuencias para explorar los nodos.lera antes de proseguir con la siguiente.Siga cada ruta verticalmente a partir del nodo 1,seleccionando siempre la rama msa la izquierda,hasta que la ruta termine en un nodo sondeado a fondo.Resuelva el problema 1,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificacin y acotamiento.Resuelva el problema 6,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificacin y acotamiento.Resuelva el problema 8,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificacin y acotamiento.Experimento con AMPL.solver el problema 5,conjunto 11.2a por el algoritmo de ramificacin y acotamiento.11.3.2Algoritmo del plano de corteexcluir las soluciones de subrecorrido.Definamos una variable continua 2,3,Ã,y .Las restricciones adicionales deseadas (planos de corte) son
11.3Algoritmos TSP exactos
TABLA 11.3241
Considere la siguiente matriz de distancias de un problema TSP de 4 ciudades.nes adicionales,como se muestra en la tabla 11.3.Todas las 1.El recorrido corres-pondiente es 1-2-3-4-1 con longitud de 59.La solucin satisface todas las restricciones adiciona-rrido,considere el subrecorrido (1-2-1,3-4-3),o 1.Los valores ptimos2,y 1 no satisfacen la restriccin 6,43,en latabla 11.3.(Convnzase de que la misma conclusin es cierta para otras soluciones de subreco-rrido,como (3-2-3,1-4-1)).1321262920302012307
combinado resultante crece exponencialmente con la cantidad de ciudades,que lo hace ser com-putacionalmente insoluble.Cuando esto sucede,el nico recurso es utilizar,o bien el algoritmo
de ramificacin y acotamiento,o una de las heursticas de las secciones 11.4 y 11.5.
se da un modelo general del algoritmo de plano de corte.El modeloTSP de 4 ciudades del ejemplo 11.3-2 utiliza los siguientes comandos AMPL:
Optimal tour: 1- 2- 3- 4- 1length=59.00
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)Escriba a continuacin los cortes asociados con el siguiente modelo TSP:Experimento con AMPL.Use AMPL para resolver el siguiente problema TSP por el al-goritmo de plano de corte.Problema 2,conjunto 11.2a.Problema 3,conjunto 11.2a.Problema 11,conjunto 11.2a.Experimento con AMPL.En el modelo de tarjeta de circuito del problema 8,conjunto11.2a,los datos de entrada se suelen dar en funcin de las coordenadas (ros en lugar de la distancia entre los respectivos agujeros.Especficamente,considere las43212010922302010513143042447910
Agujero
(1,2)(4,2)(3,7)(5,3)(8,4)(7,5)(3,4)(6,1)(5,6)
El taladro siempre recorre la distancia ms corta entre dos agujeros sucesivos.es de .5 s.Use los archivos 11.4HEURêSTICAS DE BòSQUEDA LOCALEsta seccin presenta dos heursticas de bsqueda local para el modelo TSP :de .Las heursticas de bsqueda local terminan en un ptimolocal.Una forma de mejorar la calidad de la solucin es repetir la bsqueda medianterecorridos de inicio generados al azar.Otra opcin es utilizar metaheursticas,cuyaidea bsica es escapar del entrampamiento en un ptimo local.Las metaheursticas se
11.4Heurstica de bsqueda local11.4.1Heurstica del vecino ms cercanoComo su nombre lo sugiere,una solucin TSP puede hallarse comenzando con unapates se rompen arbitrariamente).La ciudad que se acaba de agregar se conecta en-tonces con su ciudad no conectada ms cercana.El proceso contina hasta que seforma un recorrido.
La matriz siguiente resume las distancias en millas en un modelo TSP de 5 ciudades.La heurstica puede iniciarse desde cualquiera de las cinco ciudades.Cada ciudad de iniciopuede conducir a un recorrido diferente.La tabla 11.4 proporciona los pasos de la heurstica quese inicia en la ciudad 3.(Las distancias previamente seleccionadas se reemplazan con Ã).12022015021010011013022080160185210130185
En una matriz de distancias simtrica,la inversin de subrecorrido de (rrido diferente.Por ejemplo,la inversin 2-4-5-3 en el recorrido 1-2-4-5-3
1-3-5-4-2
.Esto quiz no sea ciertopueden no ser iguales.
TABLA 11.4Pasos de la heurstica del vecino ms cercano para resolver el modelo TSP del ejemplo 11.4-1
Paso
Accin
1Inicio en la ciudad 3La ciudad 2 est ms cercana a la ciudad 3(La ciudad 4 est mas cercana a la ciudad 2(Ã, La ciudad 1 est ms cercana a la ciudad 4(Ã, 190})La ciudad 5 est ms cercana a la ciudad 1(,ÃÃ, ÃÃ, ÃÃ, 6Agregue la ciudad 3 para completar el recorrido3-2-4-1-5-3
El recorrido resultante,3-2-4-1-5-3,tiene una longitud total de 80 735 millas.Observe que la calidad de la solucin depende de la seleccin de la ciudad de inicio.Por ejemplo,si partimos de la ciudad 1,el recorrido resultante es 1-2-3-4-5-1 con una longitud de780 millas (Ãcomprubelo!).Por tanto,una mejor solucin puede determinarse repitiendo la
heurstica con inicio en diferentes ciudades.11.4.2Heurstica de inversinEn un modelo TSP de ciudades,la heurstica de inversin trata de mejorar un reco-does abierto si le falta exactamente un segmento).Por ejemplo,considere el recorrido,
-4-1 en la figura 11.3.La inversin de un subrecorrido abierto 3-5-2 produce el
mentos 1-2 y 3-4,como se muestra en la figura 11.3.El nmero mnimo del subrecorri-do invertido es 2 (por ejemplo,3-5 o 5-2).El nmero mximo es distancias es simtrica,y siones en la bsqueda para un mejor recorrido.
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)
EliminarEliminarAgregar35241
FIGURA 11.3La inversin de subrecorrido 3-5-2 en el recorrido 1-3-5-2
-4-1 produce el recorrido 1-2-5-3-4
eliminar los segmentos 1-3 y 2-4,y agregar los
TABLA 11.5Aplicacin de la heurstica de inversin al modelo TSP del ejemplo 11.4-1
Tipo
Inversin
Recorrido
Longitud
Inicio
Ã
(1-4-3-5-2-1)
Inversin de4-31-3-4
-5-2-1820dos a la vez3-5(1-4-5-3
-2-1)725
5-2
1-4-3-2-5
-1
730Inversin de4-3-51-5-3-4
-2-1q
tres a la vez
3-5-2
1-4-2-5-3
-1
qInversin decuatro a la vez4-3-5-21-2-5-3-4
-1745
nita (es decir,le podran faltar segmentos).De hecho,iniciar con un recorrido de longi-cin final (vea el problema 2,conjunto 11.4A,para una ilustracin).
Considere el modelo TSP del ejemplo 11.4-1.Los pasos de inversin (autoexplicativos) se reali-Adems,ninguna de las inversiones puede incluir la ciudad de inicio del recorrido inicial (este ejemplo) ya que esto no producir un recorrido factible.Por ejemplo,la inversin 1-4 con-duce a 4-1-3-5-2-1,lo cual no es un recorrido.La solucin determinada por la heurstica de inversin es una funcin del recorrido de inicio.Por ejemplo,si iniciamos con 2-3-4-1-5-2 de 750 millas de longitud,la heurstica produce un reco-rrido diferente:2-5-1-4-3-2 de 730 millas de longitud (Ãcomprubelo!).Por esta razn,la calidad
de la solucin puede mejorarse si la heurstica se repite con diferentes recorridos de inicio.
excelReversalTSP.xlsms cercano,vea las opciones dadas a continuacin).La matriz de distancias puede ingresarse
11.4Heurstica de bsqueda localEjecucin de la heurstica TSP por medio de una hoja de clculo (archivo excelReversalTSP.xls
manualmente,o llenarse al azar (simtrica o asimtrica) con una densidad especificada.Lamximo como corresponda.Tambin automatiza cuatro opciones para el recorrido de des como punto de inicio.Se utiliza entonces el mejor entre los recorridos resultantes parapermite utilizar un recorrido de inicio especfico.genera un recorrido de inicio aleatorio.
En la tabla 11.5 del ejemplo 11.4-2,especifique los segmentos eliminados y agregadosEn la tabla 11.5 del ejemplo 11.4-2,use el recorrido desconectado de longitud infinita3-2-5-4-1-3 (es decir,un recorrido al que le falta al menos un segmento) como recorridorrido conectado..La matriz siguiente proporciona las distancias entre 10 ciudades).(Por comodidad,el archivo ciona la matriz de distancias en formato AMPL.)
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)excelReversalTSP.xlsrecorrido del vecino ms cercano.Compare la calidad de las soluciones en los incisos (a),(b) y (c) con la solucin exac-ta ptima obtenida por AMPL.11.5METAHEURêSTICAStrampamiento en un ptimo local.Las metaheursticas,como se explica en el captulo10,estn diseadas para aliviar este problema.Esta seccin detalla la aplicacin al mo-delo TSP de la bsqueda tab,de recocido simulado,y gentica.Se recomienda que re-vise el material del captulo 10 antes de proseguir con el resto de este captulo.11.5.1Algoritmo tab aplicado al modelo TSPComo se explica en la seccin 10.3-1,la bsqueda tab se escapa del entrampamientoen ptimos locales al permitir movimientos de bsqueda inferiores.Una lista tabiteraciones sucesivas,llamado .Un movimiento tab puede seraceptado si conduce a una solucin mejorada.Para el modelo TSP,los elementos de la1.Recorrido de inicio.Hay cuatro opciones disponibles:(a) un recorrido especfico;heurstica del vecino ms cercano (seccin 11.4.1);(c) el mejor entre todos los re-de las ciudades 1,2,Ã,y como punto de inicio,y (d) un recorrido aleatorio.2.Inversin de un subrecorrido.3.Vecindad en la iteracin Todos los recorridos (incluidos los no factibles con4.Movimiento tab.1234567891010021180539952174233215946792936357925568524362725404948631655111466022111354556204615937647211071745882826333049835498776556493935481003555070438243234989
11.5Metaheursticas5.Siguiente movimiento en la iteracin ,y seleccinelo como el siguiente movimiento si no es tab,o si estab pero produce una mejor solucin.De lo contrario,excluya el recorrido mscorto (tab) y repita la prueba con siguiente recorrido de vecindario ms corto.6.Periodo de tenencia tab 7.Cambios en la lista tab en la iteracin 1 se agregan a la lista.Los segmentos del recorrido que1)se
4-5-1 de 780 de longitud como recorrido de inicio.La tabla 11.6 proporciona las cinco iteraciones.En las iteraciones 1,2 y 3,los recorridos mscortos no son tab.En la iteracin 4,el recorrido ms corto,1-4-3-5-2-1 de 745 de longitud,estab porque la inversin requiere eliminar los segmentos 4-5 y 3-2,y ambos estn en la lista tab.longitud en la iteracin 3),el siguiente recorrido ms corto 1-4-5-2-3-1 de 790 de longitud,el cualresulta ser no tab,define el siguiente movimiento.En la iteracin 5,los dos recorridos 1-4-5-3-2-1 (longitud 730) son tab (y ninguno proporciona un mejor recorrido).El siguiente mejor recorrido en la ve-cindad,1-4-2-5-3-1 (de longitud infinita),no es tab y por consiguiente representa el siguientemovimiento.Observe que slo un segmento eliminado (4-5) en el recorrido seleccionado 1-4-2-5-3-1 aparece en la lista tab,lo cual no es suficiente para declararlo tab porque mentos eliminados deben estar en la lista.Observe tambin que el recorrido superior 1-5-4-2-3-1 (de longitud infinita) no se selecciona porque le faltan dos segmentos,en comparacin con el
no faltante en el recorrido seleccionado,1-4-2-5-3-1.
excelTabuTSP.xlsqueda tab al modelo TSP.Para facilitar la experimentacin,los modelos TSP simtricos yasimtricos de TPS pueden generarse al azar.Incluso,el recorrido de inicio puede especificarsede manera determinstica o aleatoria.Los botones on/off (fila 6 de la hoja de clculo) suprimen
o revelan los detalles de las iteraciones,incluyendo los cambios en la lista tab.12022015021010011013022080160185210130185
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)
TABLA 11.6
Iteracin
Inversin
Recorrido
Longitud
Eliminar
Agregar
Lista tab (52)
0
Ã
1-2-3-4-5-1
780
12-31-3-2-4-5-18103-41-2-4-3-5-17854-51-2-3-5-4-12-3-41-4-3-2
-5-17301-2,5-11-4,2-51-4,2-53-4-51-2-5-4-3-1
2-3-4-5
1-5-4-3-2-1
q
24-31-3-4-2-5-13-21-4-2-3-5-12-51-4-3-5-2
-17453-2,5-13-5,2-11-4,2-5,3-5,2-14-3-21-2-3-4-5-17803-2-51-4-5-2-3-1790
4-3-2-5
1-5-2-3-4-1
750
34-31-3-4-5-2-18203-51-4-5-3
-2-17254-3,5-24-5,3-23-5,2-1,4-5,3-25-21-4-3-2-5-17304-3-51-5-3-4-2-13-5-21-4-2-5-3-1
4-3-5-2
1-2-5-3-4-1
745
44-51-5-4-3-2-15-31-4-3-5-2-17454-5,3-2ÃTab3-21-4-5-2-3
-17905-3,2-15-2,3-14-5,3-2,5-2,3-14-5-31-3-5-4-2-15-3-21-4-2-3-5-1
4-5-3-2
1-2-3-5-4-1
q
54-5
4-5,2-34-2,5-35-2,3-1,4-2,5-31-4-5-3-2-17255-2,3-1ÃTab4-5-21-2-5-4-3-15-2-31-4-3-2-5-17304-5,3-1ÃTab4-5-2-31-3-2-5-4-1
11.5MetaheursticasMetaheurstica tab aplicada al modelo TSP utilizando la hoja de clculo Excel (archivo excelTabuTSP.xls
).(Por comodidad,el archivo presenta las distancias en formato AMPL).ExcelTabuTSP.xlsUn recorrido aleatorio.El mejor recorrido del vecino ms cercano.Compare la calidad de la solucin en los incisos (a),(b) y (c) con la solucin ptima exac-ta obtenida por AMPL,utilizando el archivo
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)11.5.2Algoritmo de recocido simulado aplicado al modelo TSPLa seccin 10.3.2 explica que en cualquier iteracin en el recocido simulado,ningunasiempre es aceptada como el siguiente movimiento.Si noexiste tal solucin,la bsqueda puede moverse a una solucin de vecindad inferiorTemperaturadad de iteraciones de bsqueda,por lo que se reduce el valor de,y se produceuna bsqueda ms selectiva.Incluso,la medida de aceptacin favorece los movimien-tos cuyo valor objetivo,,porque1.Recorrido de inicio.Hay cuatro opciones disponibles:(a) Un recorrido especfi-co;(b) una ciudad de inicio especfica para un recorrido construido por la heurs-tica del vecino ms cercano (seccin 11.4-1);(c) el mejor entre todos losuna de las ciudades 1,2,Ã,y como punto de inicio,y (d) un recorrido aleatorio.2.Inversin de subrecorrido.3.Programa de temperatura.0,1,Ã},1,2,Ã,con el cambio de una temperatura a la siguiente ocurrien-4.Vecindad en la iteracin Todos los recorridos (incluidos los no factibles de lon-
TBALactual-Lsiguiente
TBALactual-Lsiguiente
1234567891010021180539952174233215946792935792556854362725404948631655111466022111354550461593764721171745882826333049835498776556493935481003555070438243234989
11.5Metaheursticas
TABLA 11.750,y cambio de
que ocurre cada dos iteraciones de aceptacin
Iteracin
Inversin
Recorrido
Longitud
Lactual
Lsiguiente
T
p=e
TB
R
0Ã3-2-5-4-1-350Ã12-53-5-2-4-1-37955-43-2-4-5-1-38104-13-2-5-1-4-37302-5-43-4-5-2-1-38205-4-13-2-1-4-5-372572550ÃAceptar el movimiento,2-5-4-13-1-4-5-2-379022-13-1-2-4-5-38251-43-2-4-1-5-373572573550.8187.8536Rechazar el movimiento,4-53-2-1-5-4-32-1-43-4-1-2-5-374572574550.6703.3701Aceptar el movimiento,1-4-53-2-5-4-1-32-1-4-53-5-4-1-2-334-13-1-4-2-5-31-23-4-2-1-5-32-53-4-1-5-2-37504-1-23-2-1-4-5-372574572525Aceptar el movimiento,1-2-53-4-5-2-1-38204-1-2-53-5-2-1-4-3745
5.Siguiente movimiento en la iteracin que el mejor recorrido actual;de lo contrario,examine los recorri-
taheurstica de recocido simulado.50.Un cambio de lugar cada dos iteraciones de aceptacin.El ejemplo se inicia con el recorrido no factible (longi-La tabla 11.7 detalla los clculos para tres iteraciones.El mejor movimiento de inversin5-4-1 en la iteracin 1 se acepta porque da por resultado una mejor longitud de recorrido.Esto significa que el recorrido 3-2-1-4-5-3 es la mejor solu-1202201502101001101322080160185210130185
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)
cin disponible hasta ahora.La iteracin 2 produce movimientos inferiores,lo que significa queel movimiento anterior,5-4-1 en la iteracin 1,es un mnimo local.Por consiguiente,examinamosse acepta un recorrido (si todos los recorridos se rechazan,o se repite el examen con una nuevaronda de nmeros aleatorios o la bsqueda termina).El movimiento 1-4 con una longitud de re-.8536 es mayor que.El siguientemovimiento en el orden,2-1-4,con longitud de recorrido de 745 se acepta porque En la iteracin 3 se obtuvieron dos iteraciones de aceptacin en las iteraciones 1 y 2.Porconsiguiente,la temperatura cambia de 50 a .5(50) 25.El proceso iterativo contina entonces
hasta que ocurre una condicin de terminacin.
excelSimulatedAnnealingTSP.xls).La hoja de clculo sigue el diseo general de la
50 )=.6703p=e( 725-735
Metaheurstica de recocido simulado aplicada al modelo TSP utilizando la hoja de clculo Excel (archivoexcelSimulatedAnnelingTSP.xls
11.5Metaheursticas1234567891011002118053995282174233215946792936357925568524362725404948631655111466022111354556204615937647211071745882826333049835498776556493935481003554173105070438243234989del vecino ms cercano.).(Por comodidad,el archivo proporciona las distancias en formato AMPL.)
excelSimulatedAnnealingTSP.xlsUn recorrido aleatorio.El mejor recorrido del vecino ms cercano.Compare la calidad de la solucin en los incisos (a),(b) y (c) con la solucin ptima exac-ta obtenida por AMPL.11.5.3Algoritmo gentico aplicado al modelo TSPEn la metaheurstica gentica presentada en la seccin 10.3.3,se seleccionan dos pa-dres de una poblacin para crear dos hijos.Los hijos luego se convierten en padres ypoblacin.El proceso de crear hijos y de retirar a los padres se repite hasta que se llegagentica tal como se aplica al TSP.1.Codificacin de genes.La codificacin puede ser binaria o numrica.La lite-ratura presenta heursticas basadas en ambos tipos de codificacin.Esta presentacinadopta el cdigo de recorrido numrico directo (por ejemplo,1-2-5-4-3-1).2.Poblacin inicial..Comenzando desde un nodo (origen) especfico,un recorrido se cons-cionado de entre todos los nodos que salen del ltimo nodo agregado.Si se llega a un
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)
TABLA 11.80Seleccionar P1 y P2 de la poblacin1Seleccionar al azar dos puntos de cruce para formar parcialmente C2 y C1,respectivamente.3Crear la lista L1 (L2) reacomodando los elementos ,1,2,Ã,De L1 (L2),cree L1
, 2, 6)L1=L1-(2, 6, 3)=(7, 1
,1,2,Ã,
C1=5-4
punto donde no existe ningn nodo de salida nico,todo el proceso se repite hasta quenita).A diferencia del algoritmo tab y del recocido simulado donde una nueva bs-queda puede ser no factible,es posible que los recorridos de padre no factible nuncaconduzcan a la creacin de recorridos hijos factibles.Este resultado es particularmente3.Creacin de un hijo.El proceso se inicia seleccionando dos padres,P1 y P2,cuyos genes se intercambian para crear dos hijos,C1 y C2.Supondremos que P1 repre-senta el mejor padre (en funcin de la longitud de recorrido) y P2 el siguiente mejor..()para una lista de 25 de estos procedimientos].En esta presentacin utilizaremos el pro-,cuyos pasos se explican en la tabla 11.8.no factibles (con segmentos faltantes).Si esto sucede,el procedimiento debe repetirse4.Mutacin.lidad de aproximacin de .1,al intercambiarse los nodos de dos posiciones selecciona-das al azar en el recorrido (excluidas las del nodo de inicio).La seleccin al azar puederepetirse para asegurar dos posiciones distintas.
Utilizaremos el modelo TSP del ejemplo 11.4-1 para demostrar la aplicacin de la heurstica 12022015021010011013022080160185210130185
11.5Metaheursticas
Nodo
1{2,3,4,5}{1,3,4,5}{1,2,4,5}{1,3,5}{1,2,3}
TABLA 11.9Algoritmo gentico aplicado al modelo TSP del ejemplo 11.4.3
Iteracin
Miembro
Recorrido
Cruces
11-4-5-2-3-1
3-2-4-5-1-38103
(Padre2) 42-5
-3-4
-
1
53-4(Padre1) 61-5-
3-2-4
Hijo15-2-
3-4-1
Hijo25-1-
3-2-4
-581021
1-4-5-2-3-17902
35-2-3-4-1-5(Padre2) 42-5-3-
4-1
53-4-5-1-2-3(Padre1) 61-5-3-
2-4
Hijo15-3-2-4-1
Hijo25-3-1-2-4
(Padre2) 11-5-
3-2
-4
25-3-2-4-1-535-3-2-4-1-5
(Padre1) 54-5-
3-2
-1
-47256
Hijo14-5-3-2-1
Hijo21-5-3-2-4
-1735
La tabla 11.9 proporciona los detalles de las iteraciones 1,2 y 11.La iteracin 11 proporcio-na la mejor solucin (la cual tambin resulta ser ptima).Las iteraciones que intervienen se omi-tieron para conservar espacio.rando el padre 1.Comenzando con el nodo de inicio 1,se selecciona el nodo 4 al azar de entre elconjunto de nodos de salida {2,3,4,5}.Luego,los nodos salientes del nodo 4 son {1,3,5}que {1} ya est en el recorrido parcial.Seleccionando el nodo 5 al azar se produce el recorridoparcial 1-4-5.El proceso se repite hasta que se construye el recorrido completo 1-4-5-2-3-1.Tengamos en cuenta que si la construccin del recorrido se detiene (no pueden agregarse nodosnuevos),entonces todo el proceso debe repetirse de nuevo.Por ejemplo,la construccin del re-
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)Metaheurstica gentica aplicada al modelo TSP utilizando una hoja de calculo Excel excelGeneticTSP.xls
En la iteracin 1,P1 serve que las definiciones de P1 y P2 no incluyen los ltimos elementos 1 y 2.respectivamente).5,obtenemos C1 parciales.Luego,L1{5,2},lo cual produce Cl.Asimismo,L2{5,1},lo cual produce C2 .Ahora los hijosC1y C2 reemplazan a los padres menos aptos 2 y 3 que corresponden a las longitudes de los peo-Para problemas pequeos,las iteraciones pueden ÃsaturarseÃen una forma un tanto rpida,en el sentido de que los hijos no pueden distinguirse de los padres que reemplazan,como lo de-muestra la iteracin 11.El nico recurso en este caso es iniciar un nuevo ciclo de ejecucin que
permita utilizar una nueva condicin de inicio (aleatoria).
forma automtica hasta que se llega a una condicin de terminacin.La aleatoriedad de las condi-
ciones de inicio proporciona condiciones diferentes cada vez que se pulsa el botn de ejecucin.
corrido del vecino ms cercano.).(Por comodidad,el archivo proporciona las distancias en formato AMPL).excelGeneticTSP.xlsUn recorrido aleatorio.El mejor recorrido del vecino ms cercano.Compare la calidad de las soluciones en los incisos (a);(b) y (c) con la solucin ptimaexacta obtenida por AMPL.Bosch,R.,y A.Herman,ÃContinuous Line Drawings via the Traveling Salesman ProblemÃ,Operations Research Letters,vol.32,pgs.302-303,2004.Garfinkel,R.S.,ÃMinimizing Wallpaper Waste.Part I:A Class of Travelling Salesman Pro-Operations Research,25,pgs.741-751,1977.Gilmore,P.C.,y Gomory,R.E.,ÃSequencing a One State Variable Machine:A Solvable Case ofthe Travelling Salesman ProblemÃ,Operations Research,vol.12,pgs.655-679,1964.Laporte,G.,ÃThe Traveling Salesman Problem:An Overview of Exact and Approximate Algo-European Journal of Operational Research,vol59,nm.2,pgs.231-247,1992.Larraaga,P.,C.Kuijpers,R.Murga,I.Inza,y S.Dizdarevich,ÃGenetic Algorithms for the Tra-velling Salesman Problem:A Review of Representations and OperatorsÃ,,nm.13,pgs.129-170,199.1234567891011002118053995282174233215946792936357925568524362725404948631655111466022111354556204615937647211071745882826333049835498776556493935481003554173105070438243234989
Captulo11Problema del agente viajero (TSP)Lenstra,J.,y Rinnooy Kan,A.,ÃSome Simple Applications of the Traveling Salesman Pro-Operational Research Quarterly,vol.26,nm.4,pgs.717733,1975Ratliff,H.,y Rosenthal,A.,ÃOrder-picking in a Rectangular Warehouse:A Solvable Case of theTraveling Salesman ProblemÃ,Operations Research,vol.31,pgs.507-521,1983Yamada,Y.,y R.Nakano,ÃGenetic Algorithms for Job-Shop Scheduling ProblemsÃ,SeminarioUNICOM,Londres,18-19 demarzo de 1997,pgs.67-81
12.1NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CçLCULOS subproblemas (ms manejables).Los clculos se realizan entonces recursivamenteguiente problema.La solucin para todo el problema est disponible cuando se solu-ciona el ltimo subproblema.La forma en que se realizan los clculos recursivos de-pende de cmo se descomponga el problema original.En particular,normalmente lossubproblemas estn vinculados por restricciones comunes.La factibilidad de estas res-tricciones comunes se mantiene en todas las iteraciones.
Ejemplo 12.1-1(Problema de la ruta ms corta)Supongamos que deseamos seleccionar la ruta por carretera ms corta entre dos ciudades.La reddestino en el nodo 7.Las rutas pasan por ciudades intermedias designadas por los nodos 2 a 6.CAPêTULO 12
Aplicacin de la vida real. Optimizacin del corte de rboles y asignacin de troncos en Weyerhaeuserrentes productos finales (madera para construccin,madera contrachapada,tablas deaglomerado de madera,o papel).Las especificaciones de los troncos (por ejemplo lon-gitud y dimetro finales) difieren segn el aserradero donde se procesan los troncos.Con rboles talados hasta de 100 pies de altura,la cantidad de combinaciones de corteque satisfacen los requerimientos del aserradero puede ser grande,y la forma de cortarel rbol en troncos puede afectar los ingresos.El objetivo es determinar las combina-ciones de corte que maximicen el ingreso total.El estudio utiliza programacin din-mica para optimizar el proceso.El sistema propuesto se implement por primera vezen 1978 con un incremento anual en la utilidad de al menos $7 millones.(El caso 8 del
captulo 26,en ingls,en el sitio web proporciona los detalles del estudio).
Captulo 12Programacin dinmica determinstica
3
7Inicio
4
2
6
5
1
812897136975
Podemos resolver este problema enumerando todas las rutas entre los nodos 1 y 7 (haycinco rutas).Sin embargo,la enumeracin exhaustiva es computacionalmente insoluble en redesgrandes.Para resolver el problema por PD,primero lo descomponemos en etapas mediante las lneas de rayas verticales en la figura 12.2.A continuacin,realizamos por separadoms cortas a todos los nodos terminales de una etapa,y luego utilizarlas como datos de entradaa la etapa inmediatamente subsiguiente.Partiendo del nodo 1,la etapa 1 llega a tres nodos ter-minales (2,3 y 4) y sus clculos son simples.Resumen de la etapa 1.
3427651289713
8
5
34271875
0
8
5
17
12
7656917
12
21f1f1f0f2f2f3
12.1Naturaleza recursiva de los clculos de programacin dinmica (PD)Luego,la etapa 2 tiene dos nodos terminales,5 y 6.La figura 12.2 muestra que se puede lle-gar al nodo 5 desde los nodos 2,3 y 4 por las rutas (2,5),(3,5) y (4,5).Esta informacin,junto conlos resultados resumidos (distancias ms cortas) en la etapa 1,determina la distancia (acumula-Se puede llegar al nodo 6 slo desde los nodos 3 y 4.Por lo tantoResumen de la etapa 2.El ltimo paso es considerar la etapa 3.Se puede llegar al nodo de destino 7 desde el nodo5 o desde el 6.Utilizando los resultados resumidos 5 y 6 al nodo 7,obtenemos Resumen de la etapa 3.millas.Para determinar la ruta ptima comenzamos con el resumen de la etapa 3,donde el nodo7 se conecta al nodo 5;en el resumen de la etapa 2 el nodo 4 se conecta al nodo 5,y en el resu-men de la etapa 1 el nodo 4 se conecta al nodo 1.Por lo tanto,la ruta ms corta es 1 El ejemplo revela las propiedades bsicas de los clculos de PD.Los clculos en cada etapa son una funcin de las rutas factibles de dicha etapa,y
etapa inmediatamente precedente.
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaEcuacin recursiva.ticamente los clculos recursivos en el ejemplo 12.1-1.Sea ,y defina Todas las distancias se miden desde 0 al establecer = 1) = 0.La ecuacin re-siguiente nodo,.En terminologa de PD,.Eltomado en todas las etapas precedentes.conduce al siguiente marco unificador para la PD.precedentes.ejemplo 12.1-1.En la etapa 3,los clculos recursivos en el nodo 7 utilizan la distanciams corta a los nodos 5 y 6 (es decir,los estados de la etapa 2) sin preocuparse sobreproblema.La razn es la naturaleza genrica del subproblema.Puede ser lineal o no li-neal,y la cantidad de alternativas puede ser finita o infinita.Todo lo que hace el princi-pio de optimalidad es ÃdescomponerÃel problema original en subproblemas msmanejables computacionalmente.CONJUNTO DE PROBLEMAS12.1AResuelva el problema 12.1-1,suponiendo que se utilizan las siguientes rutas:Soy un vido excursionista.El verano pasado,mi amigo G.Don y yo nos fuimos de cam-pamento durante 5 das a las hermosas White Mountains en New Hampshire.Decidimoslimitar nuestra excursin a tres picos muy conocidos:Los montes Washington,Jefferson yAdams.El monte Washington tiene un sendero de 6 millas de la base a la cumbre.Lossenderos correspondientes de los montes Jefferson y Adams son de 4 y 5 millas.Los sen-Washington y Jefferson;de 2 millas entre los montes Jefferson y Adams,y de 5 millasentre los montes Adams y Washington.Comenzamos el primer da en la base del monte
12.2Recursividad hacia adelante (avance) y hacia atrs (retroceso)Washington y regresamos al mismo lugar al final de los 5 das.Nuestro objetivo era reco-rrer a pie tantas millas como pudiramos.Tambin decidimos escalar una montaa exac-Adems,decidimos que no se poda visitar la misma montaa en dos das consecutivos.Utilice la PD para programar la caminata de 5 das.12.2RECURSIVIDAD HACIA ADELANTE (AVANCE) Y HACIA ATRçS (RETROCESO)recursividad hacia adelantede la etapa 1 a la etapa 3.El mismo ejemplo puede resolverse por medio derecursivi-,comenzando en la etapa 3 y terminando en la etapa 1.Naturalmente,la recursividad hacia adelante y hacia atrs da la misma solucinptima.Aun cuando el procedimiento hacia adelante parece ms lgico,la mayorparte de la literatura de PD utiliza la recursividad hacia atrs.La razn de esta prefe-rencia es que,por lo general,la recursividad hacia atrs puede ser ms eficiente desde
Etapa 3.El nodo 7 (ruta cada uno.La siguiente tabla resume los clculos de la etapa 3:
d(x3, x4)
Solucin ptima
x3
x4=7
f3(x3)
59976667
Etapa 2.La ruta (2,6) no existe.Dada ) desde la etapa 3,podemos comparar las alternati-
d(x2, x3)+f3(x3)
Solucin ptima
x2
x3=5
x3=6
f2(x2)
151791613
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaLa solucin ptima de la etapa 2 se lee como sigue:Para las ciudades 2 y 4,la ruta ms cortapasa por las ciudad 5;y para la ciudad 3,la ruta ms corta pasa por la ciudad 6.Etapa 1.Partiendo del nodo 1,tenemos las rutas alternativas:(1,2),(1,3) y (1,4).Utilizando) de la etapa 2,obtenemosLa solucin de la etapa 1 conecta la ciudad 1 con la ciudad 4.Luego,la solucin de la etapa 2conecta la ciudad 4 con la ciudad 5.Por ltimo,la solucin de la etapa 3 conecta la ciudad 5 con
la ciudad 7.La ruta ptima es 1 7,y la distancia asociada es de 21 millas.CONJUNTO DE PROBLEMAS12.2APara el problema 1,conjunto 12.1a,desarrolle la ecuacin recursiva hacia atrs y utilcelaPara el problema 2,conjunto 12.1a,desarrolle la ecuacin recursiva hacia atrs,y utilcela7.Defina las etapas y los estados por medio de la recursividad hacia atrs,y luego resuel-12.3APLICACIONES DE PD SELECCIONADASEsta seccin presenta cuatro aplicaciones,cada una con una nueva idea en la imple-mentacin de la PD.Todos los ejemplos utilizan la ecuacin recursiva
d(x1, x2)+f2(x2)
288235214
FIGURA 12.3Red para el problema 3,conjunto 12.2a
3
7
4
2
6
5
1
141221237944566
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasConforme estudie cada aplicacin,preste especial atencin a los tres elementosDe los tres elementos,la definicin del suele ser la ms sutil.Las aplicacionesse ha de modelar.No obstante,a medida que investigue cada aplicacin se dar cuentala forma en que se defini aqu.Pruebe otra definicin que le parezca Ãms lgicaÃyutilcela en los clculos recursivos.Pronto descubrir que las definiciones presentadasaqu son correctas.Entre tanto,el proceso mental asociado le permitir entender mejoren el desarrollo de la ecuacin recursiva de PD.12.3.1Modelo de la mochila/equipo de vuelo/carga de contenedorculos ms valiosos que un combatiente carga en una mochila.El problema representapor varias actividades econmicas.El objetivo es maximizar el rendimiento total..Sea en la mochila,y defina .El problema general se representa como
mochila(determinacin de los artculos ms valiosos que se cargarn en un buque de la armada).ÃParece quearmadas:Ejrcito,Fuerza Area y Armada!
Captulo 12Programacin dinmica determinstica= 1,2,Ã,,donde es el mayor entero que es menor o igual a.Estadefinicin permite que la solucin distribuya algunos,ninguno,o todos los recur-artculos.El rendimiento para ,el peso total asignado a las etapas+ 1,Ã,y .Esta definicin reconoce que el lmite de peso es laetapas.1,y ,dado el estado Paso 1.Paso 2.izquierdo de la ecuacin recursiva.Por definicin,.Por lo tanto,,y la ecuacin
Un barco de 4 toneladas puede cargarse con uno o ms de tres artculos.La siguiente tabla da elpeso unitario,,en toneladas y el ingreso unitario en miles de dlares,,para el artculo .El ob-
wiDxiW5rimi+fi+11xi-wimi26i=1, 2,Ã, n fi1xi2=mnmi=0, 1, Ã , CW
wiDxiW5rimi+fi+11xi+126i=1, 2,Ã, nfn+1(xn+1)K0W
wiCW
wiDmi=0, 1, . . . , CW
wiD
Artculo
wi
123123473114
La definicin del estado puede ser multidimensional.Digamos que el volumen de la mochila puede impo-ner otra restriccin.Por lo general,un estado multidimensional implica clculos de etapa ms complejos.Veason enteros,el estado enteros.Etapa 3.pero puede suponer uno de los valores 0,1,Ã,y 4 (porque .Por lo tanto se excluyen todos los valores no facti-
12.3Aplicaciones de PD seleccionadas).El ingreso para el artculo 3 es 14.En consecuencia,la ecuacin recur-Etapa2.,o ,
Etapa1.
2 D=2
14m3
00ÃÃÃÃ001014ÃÃÃ141201428ÃÃ28230142842Ã4234014284256564
47m2+f3 (x2-3m2)
Ã00408042474715647611
31m1+f2 (x1-2m1)
ÃÃ00ÃÃ1402831Ã3114731Ã47061315962622
La solucin ptima se determina como sigue:Dado que 4 toneladas,del estado 1,se da la alternativa ptima;es decir que en el barco se cargarn dos unidades delartculo 1.Esta asignacin deja,para las etapas 2 y 3.De la0 da por resultado,,lo cual deja para la etapa 3.Luego,a partir de la etapa 3,0 da.Por lo tanto,la solucin ptimacompleta es,,,y .El rendimiento asociado es
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaEn la tabla para la etapa 1,en realidad tenemos que calcular la fila slo para 4,porquesta es la ltima etapa que se considerar.Sin embargo,se incluyen los clculos para 0,1,2y 3 para poder realizar el anlisis de sensibilidad.Por ejemplo,Ãqu sucede si la capacidad del
Por lo tanto la solucin ptima es,y el ingreso ptimo es
ral que pueda manejar todos los problemas de PD.Tal vez esto explique la persistente ausenciablemas de PD:El problema de la mochila de una sola restriccin (archivo excelKnnapsack.xls).La figura 12.4 muestra la pantalla de inicio del modelo de PD ( hacia atrs) de la mochila.Lapantalla est dividida en dos secciones:La seccin de la derecha(columnas Q:V) resume la solu-cin de salida.En la seccin de la izquierda (columnas A:P),los datos de entrada para la etapaactual aparecen en las filas 3,4,y 6.Los clculos de las etapas se inician en la fila 7.(Las colum-nas H:N estn ocultas para conservar espacio).Los smbolos de los datos de entrada son auto-explicativos.Para ajustar la hoja de clculo de manera conveniente en una pantalla,el valor fac-12.3-1.Los clculos se realizan etapa por etapa,y el usuario proporciona los datos bsicos queComenzando con la etapa 3 y utilizando la notacin y datos del ejemplo 12.3-1,las celdas deexcelKnapsack.xls)
Celda(s)
Lmite de los recursos,
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasson 0,1,Ã,y,como en elejemplo 12.3-1.La hoja de clculo valida de forma automtica los valores que el usuario ingresay emite mensajes autoexplicativos en la fila 5:ÃsÃ,ÃnoÃ,y ÃeliminarÃ.Amedida que se ingresan y verifican los datos de la etapa 3,la hoja de clculo Ãcobra vidaÃy genera automticamente todos los clculos necesarios de la etapa (columnas B a P).Se utiliza1111111 para indicar que el ingreso correspondiente no es factible.La solucin pti-) para la etapa se da en las columnas O y P.La columna A proporciona los valores de,los cuales son iguales a cero para todas las (puede dejar las celdas A9:A13 en blanco o ingresar ceros).
w3 D=C 4
excelKnapsack.xls
Etapa 2: Etapa 3: Etapa 1:
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaAhora que los clculos de la etapa 3 estn completos,realice los pasos siguientes para crearPaso 1.,C9:C13,y pguelos en Q5:Q9 en la seccin de resumen de la solu-cin ptima.Luego copie los valores () O9:P13,y pguelos en R5:S9.Recuerdeque tiene que pegar slo valores,lo que requiere seleccionar la opcin Pegado especialen el cuadro de dilogo.Paso 2.9,y pguelos en A9:A13 (Pegado es-en este paso.)Paso 3.Cambie la celda C4 a 2,e ingrese los nuevos valores de ) en la columna A como preparacin para calcular (vea la frmula recursiva para el problema de la mochila del ejemplo 12.3-1).Un proce-dimiento parecido se repite para la etapa 1.Cuando la etapa 1 est completa,el resumen de lasolucin puede usarse para leer la solucin ptima,como se explic en el ejemplo 12.3-1.
rece sin formato,y que usted puede organizar su contenido como le plazca.CONJUNTO DE PROBLEMAS12.3AEn el ejemplo 12.3-1,determine la solucin ptima suponiendo que la capacidad de peso m-xima del barco es de 2 toneladas.Repita el ejemplo para una capacidad de peso de 5 toneladas.,,,,,,,,,,,,En el modelo de carga de un contenedor del ejemplo 12.3-1,suponga que el ingreso porartculo incluye una cantidad constante que se obtiene slo si se elige el artculo,como se
excelKnapsack.xls
Artculo
,si ,si ,si
Encuentre la solucin ptima por medio de PD.(excelSetupKnapsack.xlsUn excursionista debe empacar tres artculos:alimento,botiqun de primeros auxilios yropa.La mochila tiene una capacidad de 3 pies.Cada unidad de alimento ocupa 1 pie,el,y cada pieza de ropa ocupa aproximadamente.El excursionista asigna pesos de prioridad de 3,4 y 5 al alimento,el botiqun,y la
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasropa,respectivamente,lo que significa que la ropa es el ms valioso de los tres artculos.Por experiencia,el excursionista debe llevar al menos una unidad de cada artculo y noms de dos botiquines.ÃCuntas unidades de cada artculo debe llevar el excursionista?Un estudiante debe elegir 10 cursos optativos de cuatro departamentos diferentes,conpor lo menos un curso de cada departamento.Los 10 cursos se asignan a los cuatro de-partamentos de una manera que maximice el ÃconocimientoÃ.El estudiante mide su co-Tengo un pequeo jardn de 10 20 pies.Esta primavera pienso plantar tres tipos dehortalizas:tomates,chcharos y maz.El jardn est organizado en filas de 10 pies.Lasfilas del maz y de los tomates son de 2 pies de ancho,y las de los chcharos son de 3 piesde ancho.Me gustan ms los tomates y menos los chcharos,y en una escala del 1 al 10asignara un 7 a los tomates,un 7 al maz y un 3 a los chcharos.A pesar de mis preferen-cias,mi esposa insiste en que plante al menos una fila de chcharos y no ms de dos filasde tomates.ÃCuntas filas de cada legumbre debo plantar? riales de construccin.Una familia elegible puede escoger de entre tres tamaos de casa:1000,1100 y 1200 pies.Cada tamao requiere determinada cantidad de voluntarios demano de obra.La sucursal de Fayetteville,Arkansas,ha recibido cinco solicitudes paralos 6 meses venideros.El comit a cargo asigna una calificacin a cada solicitud basadoen varios factores.Una alta calificacin significa una alta necesidad.Durante los 6 mesessiguientes,la sucursal puede contar con un mximo de 23 voluntarios.Los siguientesdatos resumen las calificaciones de las solicitudes y la cantidad requerida de voluntarios.
123456I25506080100100100II207090100100100100III406080100100100100IV10203040506070
Solicitud
Tamao de la casa
Califi-cacin
120078100064110068100062120085
El alguacil Bassam busca reelegirse en el condado de Washington.Los fondos disponiblespara la campaa son aproximadamente de $10,000.Aunque al comit de reeleccin le gus-tara lanzar la campaa en los cinco distritos del condado,los fondos limitados lo dictan deotra manera.La tabla siguiente incluye listas de la poblacin votante y el monto de losfondos necesarios para lanzar una campaa efectiva en cada distrito.Un distrito puede re-cibir todos sus fondos asignados,o ninguno.ÃCmo debern asignarse los fondos?
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaUn aparato electrnico consta de tres componentes los cuales estn en serie,de modoque la falla de uno hace que falle el aparato.La confiabilidad (probabilidad de que noponente.La tabla siguiente incluye la confiabilidad,,y el costo,.El capital total dispo-nible para la construccin del aparato es de $10,000.ÃCmo deber construirse el apara-,del aparato.EstoEste problema es parecido al problema 9,excepto que las variables,,soncontinuas.)
Distrito
Poblacin
Fondos requeridos ($)
Cantidad de unidades
Componente 1
Componente 2
1.61000.73000.520002.82000.85000.74000.93000.96000.95000
12.3Aplicaciones de PD seleccionadas10,y + 3,y 12.3.2Modelo de tamao de la fuerza de trabajocontratando y despidiendo trabajadores.Ambas actividades incurren en un costo.Elobjetivo es minimizar el costo total de la mano de obra requerida para el proyecto.trabajadores.El modelo asumemnimo o si en una semana se realiza una contratacin adicional.Por senci-llez,no se incurre en ningn costo cuando ocurre un despido.).Si ,ocurre contratacin a unetapai1,2,Ã,,la cantidad de trabajadores en la semana ,la cantidad de trabajadores disponible en la semana
manas es de 5,7,8,4 y 6 trabajadores,respectivamente.La mano de obra excedente conservada enla fuerza de trabajo costar $300 por trabajador por semana,y una nueva contratacin en cual-
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaestn en cientos de dlares.
C1(x5-6)+C2(x5-x4)
Solucin ptimax4x5=6f5(x4)x543(0)+4+2(2)=88653(0)+4+2(1)=66663(0)+0 =006
C1(x4-4)+C2(x4-x3)+f5(x4)
83(1)93(2)
C1(x3-8)+C2(x3-x2)+f4(x3)
128
C1(x2-7)+C2(x3-x2)+f3(x2)
203(1)198183(1)178123(1)127123(1)
Etapa 4.Etapa 3.Etapa 2.Etapa 5.
12.3Aplicaciones de PD seleccionadas
CONJUNTO DE PROBLEMAS12.3BEn el ejemplo 12.3-2,si se incurre en una indemnizacin por cada trabajador despedido,Luxor Travel organiza viajes tursticos de una semana al sur de Egipto.La agencia ofrece7,4,7 y 8 automviles en renta durante las siguientes 4 semanas.Luxor Travel subcontratatomviles.El concesionario cobra una cuota de renta semanal de $220 por automvil,ms una cuota fija de $500 por cualquier transaccin de renta.Luxor,sin embargo,puederenta.ÃCul es la mejor forma para que Luxor maneje la situacin de renta?de cuatro motores al ao.La capacidad de produccin disponible y los costos de produc-cin varan de un ao a otro.GECO puede producir cinco motores en el ao 1,seis en elao 2,tres en el ao 3,y cinco en el ao 4.Los costos de produccin correspondientes pormotor a lo largo de los siguientes 4 aos son de $300,000,$330,000,$350,000 y $420,000,respectivamente.GECO puede elegir si produce ms de lo que necesita en un cierto ao,en cuyo caso el motor se debe almacenar apropiadamente hasta la fecha de envo.Elcosto de almacenamiento por motor tambin vara de un ao a otro,y se estima que seade $20,000 en el ao 1,$30,000 en el ao 2,$40,000 en el ao 3,y $50,000 en el ao 4.Enla actualidad,al inicio del ao 1 GECO tiene un motor listo para ser enviado.Desarrolleun plan de produccin ptimo para GECO.
C1(x1-5)+C2(x1-x0)+f2(x1)
2(5)3(1)2(6)3(2)2(7)3(2)335
Semana
Fuerza de mano deobra mnima (i)
Fuerza de manode obra real (xi)
Decisin
5Contratar 5 trabajadores8Contratar 3 trabajadores8Ningn cambio6Despedir 2 trabajadores6Ningn cambio
Etapa 1.
Captulo 12Programacin dinmica determinstica12.3.3Modelo de reemplazo de equiporacin.La situacin tiene que ver con determinar la edad ms econmica de una mquina.aos.Alde cada ao,una mquina o se mantiene en servicio un ao ms,o es reemplaza-da por una nueva.Sean ) el ingreso anual,el costo de operacin y el valorde desecho,respectivamente,de una mquina de aos.El costo de adquisicin de unai,i 1,2,Ã,,defina1,Ã,y
tiene tres aos de edad,durante los siguientes 4 aos (4).Una mquina de 6 aos de edaddebe ser reemplazada.El costo de una mquina nueva es de $100,000.La siguiente tabla da los, si se CONSERVA, si se REEMPLAZA
Edad,t(aos)
Ingresos,
Costo de operacin,c(t
Valor de desecho,
La determinacin de los valores factibles para la edad de la mquina es algo complicada.Lafigura 12.6 resume la red que representa el problema.Al de 3 aos de edad.Podemos o reemplazarla (),o bien conservarla (K) durante otro ao.Si elreemplazo ocurre,la nueva mquina tendr un ao de edad al inicio del ao 2;de lo contrario,lamquina conservada tendr 4 aos de edad.La misma lgica aplica al inicio de los aos 2 a 4.Si
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasuna mquina de un ao de edad es reemplazada al inicio de los aos 2,3 y 4,su reemplazo tendrun ao de edad al inicio del ao siguiente.Asimismo,al inicio del ao 4,una mquina de 6 aosde edad debe ser reemplazada,y al final del ao 4 (final del horizonte de planificacin),de-La red muestra que al inicio del ao 2 las posibles edades de la mquina son 1 y 4 aos.Alinicio del ao 3 las posibles edades son 1,2 y 5 aos,y al inicio del ao 4 las posibles edades son1,2,3 y 6 aos.La red tambin supone que la mquina ser desechada al inicio del ao 5 inde-decir,el ingreso mximo) a partir del inicio del ao 1 hasta el final del ao 4.Utilizaremos laforma tabular para resolver el problema.Todos los valores estn en miles de dlares.Observemos que si una mquina se reemplaza en el ao 4 (es decir,al final del horizonte de pla-nificacin),su ingreso incluir el valor de rescate,),de la mquina desecho,(1),de la mquinadereemplazo.Adems,si en el ao 4 una mquina de se conserva,su valor de rescate ser Etapa 4.
1
311K
22K
33K
44K
4K
55K
6InicioEdad de la mquina1245K
2K
3K
2RSSSSRRRRRRRRR
1
1
Final
K
R
78.42067.32045.7206(Debe reemplazarse)
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaEtapa 3.Etapa 2.
K
R
85.72067.12017.020
K
R
85.52030.820
K
R
51.220
FIGURA 12.7Solucin del ejemplo 12.3-3
(t 2)K
(t 3)K
(t 3)
(t 1)RR
(t 1)R
(t 2)KKVender
Ao 3
Ao 4
Ao 1
Ao 2
Etapa 1.La figura 12.7 resume la solucin ptima.Al inicio del ao 1,dada 3,la decisin ptimaes reemplazar la mquina.Por lo tanto,la mquina nueva tendr un ao de edad al inicio del ao2,y 1 al inicio del ao 2 exige o que se conserve o que se reemplace la mquina.Si se reem-plaza,la mquina tendr un ao de edad al inicio del ao 3;de lo contrario,la mquina conser-vada tendr dos aos de edad.El proceso contina de esta manera hasta que se llegue al ao 4.)y (
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasCONJUNTO DE PROBLEMAS12.3CEn cada uno de los siguientes casos,desarrolle la red y encuentre la solucin ptima paraMi hijo de 13 aos maneja un negocio de corte de csped con 10 clientes.A cada clientele corta el csped 3 veces al ao,y cobra $50 por cada corte.Acaba de pagar $200 por unacortadora nueva.El costo de operacin y mantenimiento de la cortadora es de $120 parael primer ao de servicio y de ah en adelante se incrementa 20% al ao.Una cortadorade un ao de edad tiene un valor de reventa de $150,el cual se reduce de ah en adelanteun 10% al ao.Mi hijo,que planea conservar su negocio hasta que tenga 16 aos,piensaque es ms econmico comprar una cortadora nueva cada 2 aos.Basa su decisin en elhecho de que el precio de una cortadora nueva se incrementar slo 10% al ao.ÃSe jus-Circle Farms desea desarrollar una poltica de reemplazo para su tractor de dos aos deedad durante los siguientes 5 aos.Un tractor debe mantenerse en servicio durante almenos 3 aos,pero debe ser desechado despus de 5 aos.El precio actual de compra deun tractor es de $40,000 y se incrementa 10% al ao.El valor de desecho de un tractor de un ao de edad es de $30,000 y se reduce 10% al ao.El costo actual de operacinanual del tractor es de $1300 pero se espera que se incremente 10% al ao.Formule el problema como un problema de la ruta ms corta.Determine la poltica de reemplazo ptima del tractor durante los siguientes 5 aos.aos.Un equipo1 y cero en caso contrario.El ingreso anual es una funcin de la edad y cero en caso contrario.Formule el problema como un modelo de PD.5,y el equipoResuelva el problema 4,suponiendo que el equipo tiene un ao de edad y que $6000 y,12.3.4Modelo de inversin,al inicio de cada uno de los si-aos.Tiene dos oportunidades de inversin en dos bancos.First Bank paga,ambos compuestos anualmente.Para fo-mentar los depsitos,ambos bancos pagan bonos sobre nuevas inversiones en la formade un porcentaje de la cantidad invertida.Los porcentajes de los bonos respectivospara First Bank y Second Bank son .Los bonos se pagan al finalel ao inmediatamente subsiguiente.Esto significa que slo pueden invertirse bono ydinero nuevo fresco en cualquiera de los bancos.Sin embargo,una vez que se depositauna inversin,debe permanecer en el banco hasta el final del ao $6000, y
1+tn=4
Captulo 12Programacin dinmica determinsticai,i 1,2Ã.,e,las cantidades invertidas en First Bank yen Second Bank,respectivamente.,en la etapa Observamos que,,por definicin.Por lo tanto i,i 1,Ã,y ,dado que en First Bank y en Second Bank,respectivamente.1,2,el problema se establece comoPor tanto,la ecuacin recursiva hacia atrs de PD est dada comoComo se hizo antes,
Suponga que desea invertir $4000 ahora y $2000 al inicio de los aos 2 a 4.La tasa de intersofrecida por First Bank es 8% compuesto anualmente,y los bonos a lo largo de los 4 aos si-guientes son 1.8%,1.7%,2.1% y 2.5%,respectivamente.La tasa de inters anual ofrecida porSecond Bank es .2% ms baja que la de First Bank,pero sus bonos son .5% ms altos.El objeti-vo es maximizar el capital acumulado al cabo de 4 aos.
i=xi-IiI
i
12.3Aplicaciones de PD seleccionadasUtilizando la notacin presentada antes,tenemosEtapa 4.,y su valor mximo ocurre en .Por lo tanto,la solucin ptima para la etapa 5 puede resumirse$4,000, $2000
Solucin ptimaEstadof4(x4)I4x41.108x40
Etapa 3.Por lo tanto,
Solucin ptimaEstadof3(x3)I3x32216+1.1909x30
Etapa 2.
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaPor lo tanto,Etapa 1.Por lo tanto,Trabajando hacia atrs y observando que,obtenemos$2035.22$2052.92$2035.22$2072
Solucin ptimaEstadof2(x2)I2x24597.8+1.27996x2x2
$4000
12.4Problema de dimensionalidad
CONJUNTO DE PROBLEMAS12.3DResuelva el problema 12.3-4,suponiendo que .08.Adems,suponga queinvertir en una cuenta de ahorros.Cada dlar invertido redita $1.09 al final del ao.como.Resuelva el problema por PD para un espacio de 5 aos.ovejas.Al final de cada ao,decide sobre cuntas vender o conser-var.La utilidad de vender una oveja en el ao .Las ovejas conservadas en el ao 1.El granjero planea vender todas las ovejas al caboaos.3 aos,2 ovejas,$130,y 12.3.5Modelos de inventarioLa PD tiene importantes aplicaciones en el rea de control de inventarios.Los captu-los 13 y 16 presentan algunas de estas aplicaciones.Los modelos en el captulo 13 sondeterminsticos,y los del captulo 16 son probabilsticos.Otras aplicaciones de progra-macin dinmica probabilstica se dan en el captulo 24 en el sitio web.12.4PROBLEMA DE DIMENSIONALIDADEn todos los modelos de PD presentados en este captulo,el est representado por un solo elemento.Por ejemplo,en el modelo de la mochila (sec-cin 12.3.1),la nica restriccin es el peso del artculo.De manera ms realista en estecaso,el volumen de la mochila tambin puede ser una restriccin viable,en cuyo casose dice queen cualquier etapa el es bidimensional:peso y volumen.etapa.Esto es particularmente evidente en clculos tabulares de PD debido a que el
Ao
Solucin
ptima
Decisin
$4000 en First Bank$5441.80$2072 en First Bank$2610.13$2365.13$2274.64$12,691.66 (
Captulo 12Programacin dinmica determinsticavariables de estado.Esta dificultad computacional en ocasiones se conoce en la litera-Tambin sirve para demostrar la relacin entre programacin lineal y dinmica.
Acme Manufacturing fabrica dos productos.La capacidad diaria del proceso de fabricacin esde 430 minutos.El producto 1 requiere 2 minutos por unidad,y el producto 2 requiere 1 minutopor unidad.No hay lmite en la cantidad producida del producto 1,pero la demanda diaria delproducto 2 es de 230 unidades.La utilidad unitaria del producto 1 es de $2 y la del producto 2 esde $5.Determine la solucin ptima por medio de PD.1,2.i,i1,2.)representa las cantidades de los recursos 1 y 2 (tiempo de produccin y)representa las cantidades de los recursos 1 y 2 (tiempo de produccin yEtapa 2.como la utilidad mxima en la etapa 2 (producto 2),dado el estado).EntoncesPor lo tanto,mx {5},y la solucin para la etapa 2 es
)5 mn {} mn {
Etapa 1.
12.4Problema de dimensionalidadcil).Para este problema establecemos 230,lo cual da 0 215.Como min (430,230) es la envoltura menor de dos lneas que se cortan (Ãcomprubelo!),se desprende que(430,230) ocurre en 100.Por lo tanto,obte-nemos,1150,02150,100230,0,100,observamos que
100 unidades,230 unidades,CONJUNTO DE PROBLEMAS12.4AResuelva los siguientes problemas por medio de PD.
(430,230)1350100
Captulo 12Programacin dinmica determinsticaartculos del ejemplo 12.3-1,suponga que las limita-,respectivamente.Dado que ,y son el peso,elvalor y el ingreso por unidad,respectivamente,del artculo ,escriba la ecuacin recursivaBertsekas,Deterministic and Stochastic Models,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1987.Denardo,EDynamic Programming Theory and Applications,Prentice Hall,Upper SaddleRiver,NJ,1982Dreyfus,S.,y A.Law,The Art and Theory of Dynamic Programming,Academic Press,NuevaYork,1977.Sntedovich,M.,,Marcel Dekker,Nueva York,1991.
13.1MODELO GENERAL DE INVENTARIOfacer las fluctuaciones de la demanda.El exceso de existencias de un artculo aumentael costo del capital y de almacenamiento,y la escasez de existencias interrumpe la pro-duccin y/o las ventas.El resultado es buscar un nivel de inventario que balancee lasdos situaciones extremas minimizando una funcin de costo apropiada.El problema sepoltica de inventario es el precio por unidad de un artculo de inventario.En ocasiones,determinada,lo cual es un factor al momento de tomar la decisin de tencias de algo.Incluye el inters sobre el capital y el costo del almacenamiento,mantenimiento y manejo.(faltante)es la penalizacin en que se incurre cuando se ago-tan las existencias.Incluye la prdida potencial de ingresos,la interrupcin de laproduccin y el costo subjetivo de prdida de lealtad del cliente.CAPêTULO 13Modelos de inventario determinsticos
Captulo 13Modelos de inventario determinsticospuede provocar la reduccin de otro (por ejemplo,pedir con ms frecuencia eleva el costode preparacin pero reduce el costo de retencin del inventario).El propsito de la mini-mizacin de la funcin de costo del inventario total es balancear estos costos conflictivos.revisiones peridicas(por ejemplo,pedir al inicio de cada semana o cada mes).Alternativamente,el sistema puede estarrevisiones continuas,colocando un nuevo pedido cuando el nivel del inven-punto de volver a pedir especfico.Un ejemplo de los dos tiposocurre en tiendas al menudeo.La revisin es peridica si el artculo se repone cada se-mana o cada mes.Es 13.2EL PAPEL (ROL) DE LA DEMANDA EN EL DESARROLLO DE MODELOS DE INVENTARIOEn general,la complejidad de los modelos de inventario depende de si la demanda esdeterminstica o probabilstica.Dentro de ambas categoras,la demanda puede variar,o no,con el tiempo.Por ejemplo,el consumo de gas natural que se utiliza en la calefac-cin domstica es estacional.Aun cuando dicho patrn se repite anualmente,el consu-mo en un mismo mes puede variar de un ao a otro,dependiendo,por ejemplo,de laEn situaciones prcticas,el patrn de la demanda en un modelo de inventarioDeterminstico y constante (esttico) con el tiempo.Determinstico y variable (dinmico) con el tiempo.Probabilstico y estacionario a lo largo del tiempo.Probabilstico y no estacionario a lo largo del tiempo.En funcin del desarrollo de modelos de inventario,la primera categora es lams sencilla analticamente,y la cuarta es la ms compleja.Por otra parte,la primeracategora es la menos probable que ocurra en la prctica,y la cuarta es la ms preva-lente.En la prctica,el objetivo es balancear la sencillez y la precisin del modelo.aceptable? Una Ãestimacin aproximadaÃinicial se basa en el clculo de la media y ladesviacin estndar del consumo durante un periodo especfico (por ejemplo,mensual-mente).Entonces Si la demanda mensual promedio (registrada a lo largo de varios aos) es Ãdemanera aproximadaÃconstante y 20%),enton-
Media *100
,mide la variacin relativa o dispersin de los datos alrededor de la media.Porlo general,los valores altos de cin del consumo mensual.Para la demanda determinstica,= 0,dado que la desviacin estndar asociadaes cero.
13.2El papel (rol) de la demanda en el desarrollo de modelos de inventariomeses pero V permanece razonablemente pequeo en todos los meses,entoncesla demanda puede considerarse determinstica pero variable.20%) pero aproximadamente constante,entonces laEl caso restante es la demanda probabilstica no estacionaria,la cual ocurrecon mes.
de gas natural en una residencia rural a lo largo de 10 aos (1990-1999).El proveedor enva unDesde el punto de vista del modelado de inventarios,es razonable suponer que cada mes re-presenta un periodo de decisin para la colocacin de un pedido.El propsito de este ejemplo esUn examen de la media y el coeficiente de variacin,V,en la tabla 13.1,revela dos resultados:rante los meses invernales.La conclusin es que la demanda mensual es (aproximadamente) determinstica pero variable.
TABLA 13.1
Ene.Feb.Mar.Abr.May.Jun.Jul.Ago.Sep.Oct.Nov.Dic.19901001109070655040425668889519911101259880605344456377929919929010088795657383960708290199312113095907058414470809510019941091199975685543416579889419951301221008573584243647580101199611510010390765545406778989719971301151009580604948648596105199812510094867959463969901001101999878078756948394150708893Media111.71109582.569.655.342.742.262.877.290.798Desv.Est.15.5415.27.57.997.823.953.42.866.096.916.676(%)13.9113.87.99.6811.247.137.966.789.698.957.356.1
Captulo 13Modelos de inventario determinsticos
Tiempo
t0 yD
y2
13.3MODELOS ESTçTICOS DE CANTIDAD DE PEDIDO ECONîMICO (EOQ)(EOQ,por sus siglas en ingls) con demanda esttica (constante).Estos modelos sonanalticamente simples.13.3.1Modelo EOQ clsicocon reposicin de pedidos instantnea y sin escasez.Defina Tasa de demanda (unidades por unidad de tiempo)El nivel de inventario sigue el patrn ilustrado en la figura 13.1.Cuando el inventariollega al nivel cero,se recibe al instante un pedido de unidades de tamao.Las exis-tencias se agotan uniformemente a una tasa de demanda constante,.El ciclo de pe-El modelo de costo requiere dos parmetros de costo.Dado que el nivel de inventario promedio es,el costo total (TCU,por sus siglas en ingls) es
A y
D B +hA y
2B= K+hA y
2 B t0
t0= Costo de preparacin+Costo de retencin por ciclo t0
t0y
2t0= y
D unidades de tiempo
13.3Modelos estticos de cantidad de pedido econmico (EOQ)
Puntos de volver a pedir
L
Tiempo
se determina minimizando el TCU(es continua,una condicin necesaria para la optimalidad esLa condicin tambin es suficiente porque TCU(Por lo tanto,la poltica de inventario ptima para el modelo propuesto esEn realidad,un nuevo pedido no tiene que recibirse en el instante que se pide.Ensu lugar,puede ocurrir un (tiempo de anticipacin)positivo ,entrela colocacin y el recibo de un pedido como se muestra en la figura 13.2.En este casopunto de volver a pedir (punto de reorden)ocurre cuando el nivel del inventario seunidades.ciclo,lo cual por lo general puede no ser el caso.Si as sucediera,definimos el po de espera efectivo.Por lo tanto,el punto de volver a pedir ocurre cuando el inventariounidades,y la poltica de inventario puede volverse a formular comounidades.
Las luces de nen en el campus de la Universidad de Arkansas se reemplazan a razn de 100unidades por da.La planta fsica pide las luces de nen de forma peridica.Iniciar un pedido decompra cuesta $100.Se estima que el costo de una luz de nen almacenada es de aproximada-
t0Le=L-nt0t0Pedido *=42 K D
h
unidades de cada t*0= y*
D unidades de tiempoy*=C2
h
d TCU1y2
dy =- KD
y2 + h
2 =0
Captulo 13Modelos de inventario determinsticosmente $.02 por da.El tiempo de espera entre la colocacin y la recepcin de un pedido es de12 das.Determine la poltica de inventario ptima para pedir las luces de nen.Con los datos del problema,tenemos Por lo tanto,Ya que el tiempo de espera ,debe-.El nmero de ciclos enteros incluidos en Por lo tanto,Por lo tanto,el punto de volver a pedir ocurre cuando el nivel del inventario se reduce a Pedir 1000 unidades siempre que el nivel del inventario se reduzca a 200 unidades.
excelEOQ.x1s operacin de produccin y consumo simultneos,como se indica en el problema 10,conjunto13.3a.Tambin resuelve las situaciones de reducciones de precios presentada en la seccin13.3.2.Para utilizar la plantilla con el caso especial del ejemplo 13.3-1,ingrese C3:C5,C8 y C10 para indicar que los datos correspondientes no son aplicables,como se muestra
en la figura 13.3.
$100
A 1000
$.02
$20
A y
D B +hA y
2 B LeD=2*100=200 luces de nen e=L-nt0*=12-1*10=2 das =Aentero ms grande L
t*0 B=Aentero ms grande 12
10 B=1t0 (=10 das)t*0=y*
D = 1000
100 =10 dasy*=C2
h
$100
.02
=1000 luces de nen
13.3Modelos estticos de cantidad de pedido econmico (EOQ)excelFOQ.xls
CONJUNTO DE PROBLEMAS13.3AEn cada uno de los siguientes casos no se permite la escasez,y el tiempo de espera entrela colocacin y la recepcin de un pedido es de 30 das.Determine la poltica de inventa-lb de la semana.El costo fijo por pedido es de $20.Refrigerar y guardar la carne cuestaDetermine el costo de inventario por semana de la presente poltica de pedido.Determine la poltica de inventario ptima que McBurger debe utilizar,suponiendoun tiempo de espera cero entre la colocacin y la recepcin de un pedido.
Captulo 13Modelos de inventario determinsticosda.Cada vez que se coloca un pedido,a la compaa le cuesta $20.Una unidad de inven-Determine la poltica de inventario ptima,suponiendo un tiempo de espera de unaPoltica 1.Pedir 150 unidades.El punto de volver a pedir es 50 unidades,y el tiempoentre la colocacin y la recepcin de un pedido es de 10 das.Poltica 2.Pedir 200 unidades.El punto de volver a pedir es 75 unidades,y el tiempoentre la colocacin y la recepcin de un pedido es de 15 das.El costo de preparacin por pedido es de $20,y el costo de retencin por unidad enSi estuviera a cargo de idear una poltica de inventarios para la compaa,Ãqu reco-La tienda Walmark Store comprime y carga en una tarima las cajas de cartn vacas parareciclarlas.La tienda genera cinco tarimas al da.El costo de almacenar una tarima en laparte trasera de la tienda es de $.10 por da.La compaa que traslada las tarimas al centrode reciclaje cobra una cuota fija de $100 por la renta de su equipo de carga,ms un costo detransporte variable de $3 por paleta.Grafique el cambio en la cantidad de tarimas con eltiempo,e idee una poltica ptima para el traslado de las tarimas al centro de reciclaje.Un hotel utiliza un servicio de lavandera externo para proporcionar toallas limpias.Elhotel genera 600 toallas sucias al da.El servicio de lavandera recoge las toallas sucias ylas reemplaza con limpias a intervalos regulares.Hay un cargo fijo de $81 por el serviciode recoleccin y entrega,adems del costo variable de $.60 por toalla.Al hotel le cuesta$.02 al da guardar una toalla sucia y $.01 por da guardar una limpia.ÃCon qu frecuen-de artculos de inventario en esta situacin.Conforme el nivel de las toallas sucias se incrementa,el de las toallas limpias se reduce al mismo ritmo).subsidiaria de la compaa en Europa en calidad de prstamo.Durante el ao,las obliga-ciones financieras del empleado en los Estados Unidos (por ejemplo,pagos de hipoteca yprimas de seguros) ascienden a $12,000,distribuidas de manera uniforme a lo largo de losmeses del ao.El empleado puede cumplir con estas obligaciones depositando toda lasuma en un banco estadounidense antes de partir a Europa.Sin embargo,en este mo-en comparacin con la tasa de inters en Europa (6.5% anual).El costo del envo de fon-dos desde el extranjero es de $50 por transaccin.Determine una poltica ptima para latransferencia de fondos de Europa a los Estados Unidos,y analice la implementacinprctica de la solucin.Mencione todas las suposiciones..El consumo ocurre a la tasa constante .Yaque el consumo tambin ocurre durante el periodo de reposicin,es necesario que por pedido,y el costo de retencin es por unidad,por unidad detiempo.Si es el tamao del pedido y no se permite que haya escasez,demuestre que El nivel mximo del inventario es.
y + h
2 A1-D
a ByyA1- D
a B
13.3Modelos estticos de cantidad de pedido econmico (EOQ)Una compaa puede producir una mercanca o adquirirla de un contratista.Si la produ-ce,le costar $20 cada vez que se preparen las mquinas.La tasa de produccin es de 100unidades por da.Si se la compra al contratista le costar $15 cada vez que se coloque unpedido.El costo de mantener la mercanca en existencia,ya sea que se compre o se pro-duzca,es de $.02 por unidad por da.El uso que la compaa hace de la mercanca se esti-ma en 26,000 unidades anualmente.Suponiendo que no se permite que haya escasez,ÃlaEn el problema 8,suponga que se permite que haya escasez a un costo de penalizacinpor unidad por unidad de tiempo.es la escasez mxima durante el ciclo de inventario,demuestre que 13.3.2EOQ con reducciones de preciosEste modelo es el mismo de la seccin 13.3.1,excepto que el artculo en inventariopuede adquirirse con un descuento si el tamao del pedido,,excede un lmite dado,Matemticamente,el precio de compra unitario,,es Por consiguiente,Aplicando la notacin utilizada en la seccin 13.3.1,el costo total por unidad de
y+h
2y, yqTCU2(y)=Dc2+KD
y+h
Costo de compra por unidad de tiempo
t0=c1y
A y
D B=Dc1, yqc2y
t0=c2y
A y
D B=Dc2, y7q c=ec1, si yqc2, si y7qf, c17c2w=C2A1- D
a B
p(p+h)
y=C2KD(p+h)
phA1-D
a B
TCU (y, w)= KD
y + h{yA1- D
a B-w}2+pw2
2A1- D
a Byy*=C2
hA1-D
a B
, D6a
Captulo 13Modelos de inventario determinsticos
II
III
ICostoTCU1TCU2yymQ
se grafican en la figura 13.4.Debido a que las dosfunciones difieren slo por una constante,sus mnimos deben coincidir en el punto de reduccin de precios,,con respecto a las zonas I,II y III,delineadas en la),(),respectivamente.El valor dePaso 1.Determine .Si est en la zona I,entonces .De lo con-trario,vaya al paso 2.Paso 2.Defina las zonas II y III.Si .De lo contrario,est en la zona III,y
h b Q+ 2
h =0ym=C2
h
y*=eym, si q se encuentra en las zonas I o IIIq, si q se encuentra na la zona II Q2+a 2(c2D-TCU1(ym))
h b Q+ 2
h =0c2D+ KD
Q + hQ
2 = 1(ym)TCU2(Q)=TCU1(ym)ym=C2
h
13.3Modelos estticos de cantidad de pedido econmico (EOQ)
o 1:
o 2: Qq
o 3:
LubeCar se especializa en cambios de aceite rpidos.El taller compra aceite automotriz a granela $3 por galn descontado a $2.50 si la cantidad de pedido es de ms de 1000 galones.El talleratiende aproximadamente 150 automviles por da,y cada cambio de aceite requiere 1.25 galo-nes.LubeCar guarda el aceite a granel a un costo de $.02 por galn por da.Incluso,el costo decolocar un pedido es de $20.El tiempo de espera es de 2 das para la entrega.Determine la pol-Tambin tenemosPaso 1.612.37,nos vamos al paso 2.
h
=C2*20*187.5
.02
=612.37 galones
Captulo 13Modelos de inventario determinsticosPaso 2.Por consiguiente la ecuacin 1000) queda en la zona II,la cual produce la cantidad de pedido ptima 1000 galones.Dado un tiempo de espera de 2 das,el punto de volver a pedir es 2lones.Por lo tanto,la poltica de inventario ptima es ÃPedir 1000 galones cuando el nivel de in-
Zona III Zona II Zona I
.02 b Q+ 2*20*187.5
.02 =0 =574.75 =3*187.5+ 20*187.5
612.37 + .02*612.37
2 TCU1(ym)=c1D+ KD
ym + hym
2
excelEOQ.xIs tilla en la figura 13.3.Ingrese los datos aplicables en la seccin de datos de entrada C3:C11.La panta-
lla de resultados da la poltica de inventario ptima y tambin los clculos intermedios del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS13.3BConsidere la situacin del servicio de lavandera del hotel del problema 6,conjunto13.3a.El cobro normal por lavar una toalla sucia es de $.60,pero el servicio de lavanderacobrar slo $.50 Si el hotel entrega las toallas en lotes de al menos 2500.ÃEl hotel debeUn artculo se consume a razn de 30 artculos por da.El costo de retencin por unidadpor da es de $.05 y el costo de preparacin es de $100.Suponga que no se permiten fal-modo no exceda las 500 unidades y los $8.El tiempo de espera es de 21 das.DetermineUn artculo se vende a $25 cada uno,pero se ofrece un 10% de descuento para lotes de 150unidades o ms.Una compaa utiliza este artculo a razn de 20 unidades por da.El costode preparacin para pedir un lote es de $50,y el costo de retencin por unidad por da es de$.30.El tiempo de espera es de 12 das.ÃDebe aprovechar la compaa el descuento?En el problema 3,determine el intervalo del porcentaje de descuento del precio que,cuando se ofrece para lotes de 150 unidades o ms,no representar una ventaja financie-En el modelo de inventario analizado en esta seccin,suponga que el costo de retencin,de lo con-trario,.Demuestre cmo se determina el tamao de lote econmico.
13.3Modelos estticos de cantidad de pedido econmico (EOQ)13.3.3Cantidad de pedido econmica (EOQ) de varios artculos con limitacin les siguen el patrn mostrado en la figura 13.1 (no se permiten faltantes).La diferenciaes que los artculos compiten por un espacio de almacenamiento limitado.1,2,Ã,Tasa de demandaConforme a la suposicin de que no se permiten faltantes,el modelo matemtico quePara resolver el problema,primero abordamos la situacin no restringida:Si la solucin satisface la restriccin,entonces el proceso termina.De lo contrario,latringida.Con la disponibilidad de poderosos programas de cmputo (como AMPL ySolver),el problema se resuelve de forma directa como un programa no lineal,como sedemostrar en el siguiente ejemplo.
Los datos siguientes describen tres artculos de inventario.
hi
, i=1, 2,Ã, nyi70, i=1, 2, Ã, nani=1aiyiAMinimizar TCU1y1, y2, Ã, yn2=ani=1aKiDi
yi + hiyi
110.30125.101315.201
Captulo 13Modelos de inventario determinsticossolverConstrEOQ.xls
Los valores ptimos no restringidos,son 11.55,20.00 y 24.49 uni-dades,respectivamente,los cuales violan la restriccin de almacenamiento 25.El pro-blema restringido puede resolverse como un programa lineal utilizando Solver o AMPL,comoLa solucin ptima es,,,y el
costo $13.62/da.
solverConstrEOQ.xls).plantilla y de los parmetros Solver se muestran en la figura.Como con la mayora de los pro-gramas no lineales,deben darse los valores iniciales (en esta plantilla,9).Un valor inicial De hecho,puede ser una buena idea reemplazar ),donde positivo muy pequeo,para evitar la divisin entre cero durante las iteraciones.Por lo general,local).En este ejemplo,la solucin resultante es la ptima global porque la funcin objetivo y las
restricciones se comportan bien (funcin objetivo convexa y espacio de soluciones convexo).
El modelo AMPL no lineal para la situacin general de cantidad de pedido econmica de variosamplConstrEOQ.txt)se explica en la figu-
ra C.17 en el apndice C en el sitio web.
hi
, i=1, 2, 3,
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)CONJUNTO DE PROBLEMAS13.3CLos datos siguientes describen cinco artculos de inventario.Determine las cantidades de pedido ptimas.Resuelva el modelo del ejemplo 13.3-3,suponiendo que requerimos que la suma de losinventarios promedio de todos los artculos sea menor que 25 unidades.En el problema 2,suponga que la nica restriccin es un lmite de $1000 en la cantidadde capital que puede invertirse en el inventario.Los costos de compra por unidad de losartculos 1,2 y 3 son,$100,$55 y $100,respectivamente.Determine la solucin ptima.Los siguientes datos describen cuatro artculos de inventario.
Ver que los archivos solverConstrEOQ.xlsjunto.Artculo,1200.351.02250.150.83300.281.14280.300.55350.421.2
Artculo,110025020.23905.242010.1
150.Formule el problema como un programa no lineal,y determine la solucin ptima.13.4MODELOS DINçMICOS DE CANTIDAD DE PEDIDO ECONîMICA (EOQ)periodos iguales.La demanda por periodo,aun cuando es determinstica,es dinmica,en cuantovara de un periodo al siguiente.neacin de requerimiento de materiales (MRP,por sus siglas en ingls).La idea de laMRP se describe con un ejemplo.Suponga que las demandas trimestrales durante elao siguiente para dos modelos finales,2,de un producto dado son 100 y 150unidades,respectivamente.Al final de cada trimestre se entregan los lotes trimestrales.ly de un mes para 2.Cada
Captulo 13Modelos de inventario determinsticos1y .El tiempo de espera paraes de un mes.ly lidas) que ocurre al final de los meses 3,6,9 y 12.Dados los tiempos de espera para 2,las flechas de rayas muestran los inicios planeados de cada lote de produccin.Para iniciar a tiempo la produccin de los dos modelos,la entrega del subensam-1y 2.Esta informa-,donde la demanda resultante es de 2 unidades por unidad de 2.Utilizando un tiempo de espera deun mes,las flechas de rayas en la grfica .Deacuerdo con estos dos programas,la demanda combinada de es tpica de la situacin,dondeEn esta seccin se presentan dos modelos.El primero asume que no hay costo depreparacin (de pedido),y el segundo asume que s lo hay.Esta variacin aparente-mente ÃpequeaÃhace la diferencia en la complejidad del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4AEn la figura 13.7,determine los requerimientos combinados para el subensamble es de slo un periodo.es de tres periodos.
7891011
1234567891011
100
100
100100
100
100
100
200
200200
200200
200200
200200
7891011
150150
150150
150150
300
300
200
300
200
300
200
300300
300300
300300
300300
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)13.4.1Modelo de EOQ sin costo de preparacinperiodos iguales.Cada periodoejemplo,el tiempo regular y el tiempo extra representan dos niveles de produccin).necesidad de periodos posteriores,en cuyo caso ocurre un costo de retencin.No se incurre en costo de preparacin en ningn periodo.No se permite que haya faltantes.El costo de retencin unitario en cualquier periodo es constante.ros no puede satisfacer la demanda en un periodo actual.Esta suposicin requiere quela capacidad de produccin acumulada para los periodos 1,2,Ã,e a la demanda acumulada durante los mismos periodos.crecientes.Por ejemplo,la produccin durante el tiempo regular y el tiempo extra co-excede al del tiempo regular.destinos,donde cin por periodo (por ejemplo,extra).La capacidad de produccin de cada uno de los cin es igual a las cantidades de oferta.Las cantidades demandadas se especifican porla demanda de cada periodo.El costo de ÃtransporteÃunitario desde un origen hastaun destino es la suma de los costos de produccin y retencin aplicables por unidad.Lanica del transporte presentada en el captulo 5.La validez del nuevo algoritmo de solu-
Costo0Cantidad producida
NivelIINivelI
NivelIII
NivelIV
Captulo 13Modelos de inventario determinsticos
meses de diciembre a marzo.Al inicio la demanda es lenta,alcanza su mximo a mediados de latemporada,y baja hacia el final.Debido a la popularidad del producto,MetalCo puede utilizartiempo extra para satisfacer la demanda.La siguiente tabla proporciona las capacidades de pro-duccin y las demandas durante los cuatro meses de invierno.
Para una comprobacin de la optimalidad de este procedimiento,vea S.M.Johnson,ÃSequential ProductionPlanning over Time at Minimum CostÃ,,vol.3,pgs.435-437,1957.
Tiempo regular (unidades)Tiempo extra (unidades)Demanda (unidades)
MesOferta acumuladaDemanda acumulada300100500290680500
durante el tiempo extra.El costo de retencin por unidad por mes es de $.10.tantes,la oferta acumulada de cada mes no puede ser menor que la demanda acumulada,comose muestra en la tabla siguiente.La tabla 13.2 resume el modelo y su solucin.Los smbolos 1,2,3,4.Debidoa que la oferta acumulada en el periodo 4 excede la demanda acumulada,se agrega un destinoficticio para balancear el modelo como se muestra en la tabla 13.2.Todas las rutas de ÃtransporteÃdesde un periodo anterior a uno actual estn bloqueadas porque no se permiten faltantes.El costo de ÃtransporteÃunitario es la suma de los costos de produccin y retencin aplica-bles.Por ejemplo,el costo unitario del periodo $6),en tanto que el costo unitario de produccin unitario en es decir,$9 $9.30.El costo unitario para cualquier destino es cero.Para cada columna,la demanda se satisface dando prioridad a su rutas mas econmicas.columna 1,la ruta (,1) es la ms econmica y por lo tanto se le asigna la cantidad factible m-min{90,100} 90 unidades.Esta asignacin deja 10 unidades no satisfechas en la colum-na 1.La siguiente ruta ms econmica en la columna 1 es {,1},a la cual se le asigna 10 ({50,10}).Ahora la demanda durante el periodo 1 est satisfecha.
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)Luego pasamos a la columna 2.Las asignaciones en esta columna ocurren en el orden si-guiente:100 unidades a (,2),60 unidades a (,2),y 30 unidades a (,2).Los costos unitariosde estas asignaciones son $6,$9 y $9.10,respectivamente.No utilizamos la ruta (,2),cuyocosto unitario es de $6.10,porque toda la oferta de Continuando de la misma manera,satisfacemos las demandas de la columna 3 y de la co-lumna 4.La solucin ptima (mostrada en negritas en la tabla 13.2) se resume como sigue:
TABLA 13.24Excedente 66.16.26.399.19.29.310301066.16.209.19.266.199.15020
Tiempo regular 1Producir 90 unidades durante el periodo 1.Tiempo extra 1Producir 50 unidades:10 unidades durante el periodo 1,30 durante el 2,y 10 durante el 3.Tiempo regular 2Producir 100 unidades durante el periodo 2.Tiempo extra 2Producir 60 unidades durante el periodo 2.Tiempo regular 3Producir 120 unidades durante el periodo 3.Tiempo extra 3Producir 80 unidades durante el periodo 3.Tiempo regular 4Producir 110 unidades durante el periodo 4.Tiempo extra 4Producir 50 unidades durante el periodo 4,con 20 unidades de capacidad ociosa.
El costo total asociado es (90 3$6) 1(10 3$9) 1(30 3$9.10) 1(100 3$6) 1(60 3$9) 1(10
3$9.20) 1(120 3$6) 1(80 3$9) 1(110 3$6) 1(50 3$9) 5$4685.
Captulo 13Modelos de inventario determinsticosCONJUNTO DE PROBLEMAS13.4BResuelva el ejemplo 13.4-1,suponiendo que los costos de produccin y retencin unita-rios son los que aparecen en la tabla siguiente.
1234224547610Costo de retencin unitario hasta el siguiente periodo ($).30.35.20.25417
Tiempo regularTiempo extraSubcontratacin
Encuentre la solucin ptima e indique las unidades que se producirn en cada periodo.Suponga que se requieren 10 unidades adicionales en el periodo 4.ÃDnde debenproduccin regular,produccin con tiempo extra,o subcontratacin.Puede acudirse a lasubcontratacin slo si se ha utilizado la capacidad de tiempo extra.La siguiente tablaproporciona la oferta,la demanda y los datos del costo de la situacin.Los costos de produccin unitarios en los tres niveles de cada periodo son $4,$6 y$7,respectivamente.El costo de retencin unitario por periodo es de $.50.Determine la13.4.2Modelo de EOQ con costo de preparacinEn esta situacin no se permiten faltantes,y se incurre en un costo de preparacin cadavez que se inicia un nuevo lote de produccin.Se presentarn dos mtodos de solu-cin:un algoritmo de programacin exacta dinmica y una heurstica.
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)La figura 13.9 resume esquemticamente la situacin del inventario.Los smbo-i,i 1,2,Ã,,como) es la funcin de costo de produccin marginal,dada Sin faltantes,el modelo de inventarioperiodos.A fin de simplificar,supondremos que el costo de retencin en el periodo el inventario de final de periodo,definido como Para la ecuacin recursiva hacia adelante,o de avance,el ,el nivel del inventario al final del periodo.En el caso extremo,el inven-tario restante,,puede satisfacer la demanda en todos los periodos restantes;es decir,) el costo mnimo del inventario para los periodos 1,2,Ã,e .La ecuacin recursiva hacia adelante es.Para precedentes.),
z1x1D1
z2x2
zixiDixn1 0
zi1xi1
znxnDn
Captulo 13Modelos de inventario determinsticos
La siguiente tabla proporciona los datos de una situacin de inventario de 3 periodos.($)Costo de13312273346
345678Solucin ptima335373931131330023232113432255433765449765511876613913981,el valor mnimo de
La demanda ocurre en unidades discretas,y el inventario de inicio es 1 unidad.El costo deproduccin unitario,),es de $10 para las primeras 3 unidades y de $20 para cada unidad adi-cional,es decir,Periodo 13,0 Periodo 2:
C2(z2)+h2x3+f1(x3+D2-z2)Solucin
z2=0
1
2
3
4
5
6ptima1727375777975026337731004412
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)Periodo 3:0,0
Por lo tanto,la solucin ptima es,y ,con un costo total de $99.
exce1DPlnv.xls hasta 10 periodos.El diseo de la hoja de clculo es parecido al de excelKnapsack.xls seccin 12.3.1,donde los clculos se realizan etapa por etapa y se requiere que el usuario ingre-se los datos para conectar las etapas sucesivas.excelDPInv.xlsal ejemplo 13.4-2.Los datos de en-trada se ingresan para cada etapa.Los clculos se inician con el periodo 1.Observe cmo se in-) en la fila 3:(G3 10,H3 20,I3 tario es de $10 para los primeros tres artculos y de $20 para los artculos adicionales.Observe2).Adems,tiene que crear los valores factibles de la varia-.La hoja de clculo verifica de forma automtica si los valores ingresados son correctos,yenva mensajes autoexplicativos en la fila 6 (s,no,o borrar).Una vez que se han ingresado todos los datos,los valores ptimos de dan en las columnas S y T.Luego se crea un registro permanente de la solucin para el periodo 1),en la seccin de resumen de la solucin ptima de la hoja de clculo,como se mues-tra en la figura 13.10.Esto requiere copiar D9:D15 y S9:T15 y luego pegarlas mediante la opcinPegado especial excelKnapsackxls A continuacin,en preparacin para la etapa 2,copie en la columna A como se muestra en la figura 13.10.Todo lo que se requiere ahora es actualizar
los datos de entrada para el periodo 2.El proceso se repite para el periodo 3.CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4CPara cada uno de los dos casos siguientes,determine los intervalos factibles para .(Ver que es til representar cada situacin como en la figura 13.10.)
1x4=02: z3=3
:1x3=0+4-3=12: z2=3
C3(z3)+h3x4+f2 (x4+D3-z3)
z3=0
1
2
3
4
16263656993
Captulo 13Modelos de inventario determinsticos4 y todos los datos restantes son los mismos.2.*(a)Encuentre la solucin ptima del siguiente inventario de 4 periodos.excelDPInv.
Periodo 1:Periodo 2:Periodo 3:
1551227133914371
de $2 para cada una de las unidades adicionales.Verifique los clculos usandoexcelDPInv.xls.
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)rante el periodo.Desarrolle la ecuacin recursiva hacia adelante correspondiente.Desarrolle la ecuacin recursiva hacia atrs o de retroceso para el modelo,y luego util-Desarrolle la ecuacin recursiva hacia atrs para el modelo,suponiendo que el costo deen el periodo.Algoritmo de programacin dinmica con costos marginales constantes o decrecientes.La PD general dada antes es aplicable con cualquier funcin de costo.Estaen incrementos de 1,lo que podra dar lugar a tablas grandes cuando las cantidadesdemandadas son grandes.clculos.En esta situacin especial,tanto el costo de produccin unitario como los cos-duccin y el nivel del inventario,respectivamente.Esta situacin suele ocurrir cuandoEn las condiciones dadas,se puede demostrar queo con una nueva produccin con inventario entrante,peronunca con ambos;es decir,0.(En el caso de inventario inicial positivo,0,la cantidad puede amortizarse con las demandas de los periodos sucesivoshasta que se agote.),durante el periodo facer la demanda exacta de uno o ms periodos subsiguientes contiguos.
(unidades)Costo de preparacin 6977
es de 15 unidades,el costo de produccin unitario es de $2,y el costode retencin unitario es de $1 durante todos los periodos.(Para simplificar,los costos de pro-duccin y retencin unitarios son los mismos durante todos los periodos.)La solucin se determina por el algoritmo hacia adelante ya proporcionado,excepto queahora suponen sumas ÃconcentradasÃen lugar de con incrementos de uno.15,la demanda del primer periodo se ajusta a 76 61 unidades.
Vea H.Wagner y T.Whitin,ÃDynamic Version of the Economic Lot Size ModelÃ,Management Science,5,pgs.89-96,1958.La comprobacin de optimalidad impone la suposicin restrictiva de funciones de costoconstantes e idnticas durante todos los periodos.Ms tarde,la suposicin fue flexibilizada por A.Veinott Jr.para permitir funciones de costo cncavas diferentes.
Captulo 13Modelos de inventario determinsticosPeriodo 1:Periodo 2.
C1(z1)+h1x2Solucin
z1=61
87
177
244
2724525860022061262629887116116568177183183769769244Pedir en 1 para11,21,2,31,2,3,4
C2(z2)+h2x3+f1(x3+D2-z2)Solucin
z2=0
26
116
183
16634648029809090656116157157857183Pedir en 2 paraÃ2,32,3,4
C3(z3)+h3x4+f2(x4+D3-z3)Solucin
z3=0
90
157
36549965636565606767864157Pedir en 3 paraÃ3,4
Periodo 3.
C4(z4)+h4x5+f3(x5+D4-z4)Solucin
z4=0
67
86420486067
Periodo 4.
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)
,y ,a un costo total de $860.
excelWagnerWhitin.xls excelDPlnv.xls..Adems,por sencillez,la nueva hoja de clculo no permite el descuento por cantidad.La plantilla est li-mitada a un mximo de 10 periodos.Recuerde utilizar la opcin Pegado especial + valores
CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4DResuelva el ejemplo 13.4-3,suponiendo que el inventario inicial es de 80 unidades.PuedeexcelWagnerWhitin.xlspara verificar sus clculos.Resuelva el siguiente modelo de inventario determinstico de 10 periodos.Suponga uninventario inicial de 50 unidades.
:1x2=02: z1=61
1x5=02: z4=67
:1x4=02: z3=0
Encuentre la poltica de inventario ptima para el siguiente modelo de 5 periodos.Elcosto de produccin unitario es de $10 para todos los periodos.El costo de retencin uni-tario es de $1 por periodo.11502100713081809140
(unidades)Costo de preparacin 08070806
Captulo 13Modelos de inventario determinsticosperiodos:El costo de produccin unitario es de $2 para todos los periodos.Heurstica Silver Meal.unitario es constante e idntico para todos los periodos.Por esta razn slo balanceasatisfecha a partir de la produccin del periodo actual.El objetivo es minimizar los cos-tos de preparacin y retencin asociados por periodo.1,Ã,y t,imos periodos.Utilizando la misma anotacin de los modelos de PD,tenemosLuego definimos TCU() como el costo por periodo asociado;es decir,,la heurstica determina que minimiza el TCU(La funcin TC(Paso 0.Paso 1.1,Ã,y
02015171710101833515501
13.4Modelos dinmicos de cantidad de pedido econmica (EOQ)Paso 2.1.Si ,detngase;ya se ha cubierto todo el horizontede planeacin.De lo contrario,vaya al paso 1.
El costo de produccin unitario es de $2 para todos los periodos.La funcin TC (1,.Por ejemplo,dada TC (1,1) $20,TC(1,2) 3,lo que requiere pedir 10 riodo 1 para los periodos 1 a 3.Establezca 02015171710101833515501
TC(1,)TCU(1,)110$20
$20.00215$35
$17.50$94
$16.33420$109
$27.25
TC(4,)TCU(4,)420
$18.00513$57
$28.50
513$5
$5625$30
$15
4,el cual requiere pedir 20 unidades en el periodo 4 parael periodo 4.Establezca
Captulo 13Modelos de inventario determinsticos5,que requiere pedir 13 unidades en el periodo 5 para el periodo5.Luego establecemos 6.Sin embargo,como te de planificacin,debemos pedir 25 unidades en el periodo 6 para el periodo 6.Comentarios.que no est incluido en los clculos heursticos.solucin de PD ($122 vs.$92).El desempeo ÃinadecuadoÃde la heurstica puede atribuirse ala naturaleza de los datos,ya que el problema puede quedar en los valores de costo de prepara-cin extremos para los periodos 5 y 6.No obstante,el ejemplo muestra que la heurstica no tienela capacidad de Ãmirar hacia delanteÃen busca de mejores oportunidades de programacin.Porejemplo,si pedimos en el periodo 5 para los periodos 5 y 6 (en lugar de pedir para cada periodo
por separado) podemos ahorrar $25,lo que reducir el costo heurstico total a $97.
cionar la solucin final.El procedimiento se inicia con el ingreso de los datos necesarios pararealizar los clculos,incluyendo saltados en color turquesa en la hoja de clculo).El usuario debe iniciar entonces cada iteracinmanualmente hasta que se hayan cubierto todos los periodos.La figura 13.11 muestra la aplicacin de la heurstica Excel al ejemplo 13.4-4.La primeraiteracin se inicia ingresando el valor 1 en la celda J11,sealando que la iteracin 1 se inicia enel periodo 1.La hoja de clculo generar entonces tantas filas cuantos periodos ejemplo).El nmero del periodo aparecer en orden ascendente en las K11:K16.Ahora exami-namos el TCU en la columna P (resaltado en color turquesa) y localizamos el periodo que co-3 con TCU $16.33.Esto significa que la siguiente iteracin seiniciar en el periodo 4.Ahora,deje una fila en blanco e ingrese el valor 4 en J18.Esta accin,lacual produce los clculos en la iteracin 2,muestra que su mnimo local aparecer en el periodo$18.00) y seala el inicio de la iteracin en el periodo 5.De nueva cuenta,ingresando5 en J22,el mnimo local para la iteracin 3 ocurre en el nodo 5.Luego,ingresando el valor de 6en J25 se produce la iteracin de terminacin del problema.La hoja de clculo actualizar au-tomticamente la poltica ptima asociada y su costo total,como se muestra en la figura 13.11.
Heurstica
Unidades producidasCosto ($)Unidades producidasCosto ($)2491022002223000001820155000Total
CONJUNTO DE PROBLEMAS13.4Ema durante el mes de abril.Fishing Hole,Inc.estima que la demanda en diciem-bre es de 50 caas.Se incrementa en 10 caas cada mes hasta que llega a 90 enabril.De ah en adelante,la demanda se reduce a razn de 5 caas por mes.Elcosto de preparacin de un lote de produccin es de $250,excepto durante losmeses de demanda mxima de febrero a abril,donde se incrementa a $300.Ello largo del ao,y el costo de retencin por mes es de $1.Fishing Hole est de-sarrollando el plan de produccin del ao siguiente (enero a diciembre).ÃCmorante los siguientes 12 meses.Las estimaciones de la demanda en meses sucesi-vos son 100,120,50,70,90,105,115,95,80,85,100 y 110.El costo de preparacines de $1.20.Determine el programa de reimpresin ptimo.Bishop,J.,ÃExperience with a Successful System for Forecasting and InventoryOperations Research,vol.22,nm.6,pgs.1224-1231,1974.Edwards,J.,H.Wagner,y W.Wood,ÃBlue Bell Trims Its InventoryÃ,,vol.15,nm.1,pgs.34-52,1985.Solucin del ejemplo 13.4-4 obtenida con Excel por medio de heurstica Silver-Meal (archivo
Medal.xls
Modelo de inventario heurstico Silver MedalDatos de entrada:Nmero de periodos, N =Periodo t =Costo de preparacin, K =Costo de retencin, ht =Demanda, Dt =Solucin completaIniciar iteracin en el periodoClculos del modelo (Borrar la columna J manualmente)Solucin ptima (Costo total = $122.00)PeriodoPedir 32 en el periodo 1 para los periodos 1 a 3, costo = $49.00Pedir 20 en el periodo 4 para los periodos 4 a 4, costo = $18.00Pedir 13 en el periodo 5 para los periodos 5 a 5, costo = $49.00Pedir 25 en el periodo 6 para los periodos 6 a 6, costo = $50.00
Captulo 13Modelos de inventario determinsticosLewis,T.,ÃPersonal Operations Research:Practicing OR on OurselvesÃ,,vol.26,nm.5,pgs.34-41,1996.Nahmias,S.,Production and Operations Analysis,5a.ed.,Irwin,Homewood,IL,2005.Silver,E.,D.Pyke,y R.Peterson,,3a.ed.,Wiley,Nueva York,1998.Tersine,R.,3a.ed.,North Holland,NuevaYork,1988.Waters,C.,Wiley,Nueva York,1992.
14.1LEYES DE PROBABILIDADexperimento.La con-espacio de muestreo,y un subconjunto de ste esevento.A modo de ilustracin,el experimento de lanzar un dado (de 6 caras) pro-duce el espacio de muestreo {1,2,3,4,5,6}.El subconjunto {l,3,5} define el evento de ob-tener valores impares.Un experimento tambin puede ocuparse de un espacio de muestreo continuo.Por ejemplo,el tiempo entre las fallas de un componente electrnico puede asumircualquier valor no negativo.ensayos,entonces la pro-),la probabilidad de realizar un evento es .Por ejemplo,cuantas ms veces selanza una moneda equilibrada,ms se acercar la estimacin de Por definicin,0,y seguro si 1.Por ejemplo,en el experi-mento del dado de 6 caras,obtener un siete es imposible,pero obtener un nmero en elrango de 1 a 6 es seguro.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.1AEn una encuesta dirigida en las preparatorias del estado de Arkansas para estudiar la co-
CAPêTULO 14Repaso de probabilidad bsica
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicacripcin en carreras de ingeniera,400 de 1000 estudiantes encuestados han estudiadomatemticas.La inscripcin en carreras de ingeniera muestra que,de los 1000 estudian-tes de ltimo ao,150 han llevado matemticas y 29 no.Determine las probabilidades depersonas.Determine el nmero que sea ms probable que dos personas hayan nacido el mismo da.(Solucione el problema 2 suponiendo que dos o ms personas comparten su cumpleaos.14.1.1Ley de la adicin de probabilidad,y su .Losmutuamente excluyentes cia del otro,Basada en estas definiciones,la ley de adicin de probabilidad
Considere el experimento de lanzar un dado.El espacio de muestreo del experimento es{1,2,3,4,5,6}.Para un dado equilibrado,tenemos.Por lo tantoIntuitivamente,el resultado tiene sentido porqueCONJUNTO DE PROBLEMAS14.1BSe lanza dos veces un dado de 6 caras.Si zamientos,calcule las siguientes probabilidades:es par.
{1, 2, 3, 4, 5}
6P{E+F}=P{E}+P{F}-P{= 2
3 + 1
2 - 1
3 = 5
6P{=P+P= 1
3P{F}=P+P+P= 1
2P{E}=P+P+P+P= 1
6 + 1
6 + 1
6 + 1
6 = 2
3 F={3, 4, o 5} ={1, 2, 3, o 4}P=P=P=P=P=P= 1
6P{E+F}=eP{E}+P{FP{E}+P{F}-P{ E y F son mutuamente excluyentesde lo contrario
14.1Leyes de probabilidades par y menor que 6,y es mayor que 2,y (f)es 4,y la suma de es impar.Se lanzan dos dados de forma independiente,y se registran los dos nmeros que resulten.La probabilidad de que los dos nmeros sean pares.Puede lanzar una moneda siete veces.Ganar $100 si aparecen tres cruces antes de queaparezca una cara.ÃCules son las probabilidades de ganar?Ann,Jim,John y Nancy se han programado para competir en un torneo de frontenis.Esdos veces ms probable que Ann derrote a Jim,y Jim est al mismo nivel que John.Elpasado registro ganador de Nancy contra John es uno de tres.Determine lo siguiente:La probabilidad de que Jim gane el torneo.La probabilidad de que una mujer gane el torneo.La probabilidad de que ninguna mujer gane.14.1.2Ley de probabilidad condicional0,la probabilidad condicional de ,entonces dientes si,y slo si,En este caso,la ley de probabilidad condicional se reduce a
Usted participa en un juego en el que otra persona lanza un dado.No puede ver el dado,pero leinforman sobre los resultados.Su tarea es predecir el resultado de cada lanzamiento.Determinela probabilidad de que el resultado sea 6,dado que le dicen que el resultado fue un nmero par.{6},y defina {2,4 o 6} por lo tanto,
Observe que {} P{Ees un subconjunto deF.P{E|F}= P{
P{F} = P{E}
P{F} =a 1/6
1/2 b= 1
3P{=P{E{F}P{E|F}=P{E}P{E|F}= P{
P{F}, P{F}70
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicaCONJUNTO DE PROBLEMAS14.1CEn el ejemplo 14.1-2,suponga que le dicen que el resultado es menor que 6.Determine la probabilidad de obtener un nmero par.Determine la probabilidad de obtener un nmero non mayor que uno.Las acciones de WalMark Stores,Inc.se cotizan en la Bolsa de Valores de Nueva Yorkbajo el smbolo WMS.Histricamente,el precio de WMS sube con el ndice Dow 60% delas veces,y baja 25% de las veces.Hay tambin 5% de probabilidades de que WMS subacuando el Dow baja,y 10% de que baje cuando el Dow sube.Determine la probabilidad de que WMS subir independientemente del Dow.Encuentre la probabilidad de que WMS suba dado que el Dow suba.ÃCul es la probabilidad de que WMS baje dado que el Dow baje?Los graduados de preparatoria con una calificacin ACT de al menos 26 pueden buscarser admitidos en dos universidades,A y B.La probabilidad de ser aceptados en A es de.4,y de .25 en B.La probabilidad de ser aceptado en ambas universidades es de slo 15%.Determine la probabilidad de que el estudiante sea aceptado en B,dado que tam-bin fue aceptado en A.ÃCul es la probabilidad de que sea aceptado en A,dado que el estudiante fue acep-},entonces dientes.Teorema de Bayes..Se sabees de 1 y 2%,respectiva-mente.Un cliente acaba de comprarle una batera al minorista.Si la batera resulta defectuosa,Ãcul es la probabilidad de que provenga de la fbri-prstata.El examen del antgeno prosttico especfico (PSA,por sus siglas en ingls) resul-ta positivo 90% de las veces en los hombres afectados,y 10% en hombres sanos.ÃCul es la14.2VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADel lanzamiento de un dado),o estar representados por un cdigo (como en el caso dellanzamiento de una moneda con el resultado cara/cruz codificado como 0/1).La repre-variable aleatoria,puede ser discreta (como en el tiempo para que falle un equipo).Cada variable aleato-
P{B}, P{B}70
La seccin 15.2.2 proporciona ms detalles sobre el teorema de Bayes.
14.2Variables aleatorias y distribuciones de probabilidadbabilidad (fdp)),que satisface las siguientes condiciones:FDA y fdp para el lanzamiento
fdp,FDA,
56
4
3
2
1
Variable aleatoria,
Discreta
ContinuaIntervalo de aplicabilidadx=a, a+1, Ã, baxbCondiciones para la fdpp(x)Ã0, abx=ap(x)=1f(x)Ã0,Lbaf(x)=1
(FDA),definida como
Considere el experimento de lanzar un dado representado por la variable aleatoria {1,2,3,4,5,6}.La fdp y la FDA asociadas son La figura 14.1 grafica las dos funciones.La fdp funcin discreta uniformetodos los valores de las variables aleatorias ocurren con iguales probabilidades.) uniforme se ilustra mediante el siguiente experimento..Despus de marcar unpunto de referencia arbitrario en la circunferencia,se hace girar la aguja en el sentido de las ma-
6, X=1, 2, Ã, 6 (x)=1
6 , x=1, 2,Ã, 6pExXF=LP(X)=aXx=ap(x), x discretaF(X=1Xaf(x)x continua
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicaFDA y fdp para una aguja que gira
fdp,FDA,
1pl
pl
,desde el punto marcado hasta elpunto donde se detuvo la aguja.Como cualquier punto de detencin sobre la circunferenciatiene la misma probabilidad de ocurrir,la distribucin de La FDA asociada,
La figura 14.2 muestra las grficas de las dos funciones.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.2AEl nmero de unidades,,requeridas de un artculo es discreto de 1 a 5.La probabilidad,),es directamente proporcional al nmero de unidades requeridas.La constante deDetermine la fdp y la FDA de ,y trace la grfica de las funciones resultantes.sea un valor par.) sea una fdp.Determine la FDA y encuentre la probabilidad de que 1250 galones.El tanque de 1100 galones se rellena diariamente a medianoche.ÃCul es
x2, 10x20F(X)=P{xX}=LX0f(x)=LX0 1
pl = X
pl , 0Xplf(x)= 1
pl , 0xpl
14.3Expectativa de una variable aleatoria14.3EXPECTATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA,el valor esperadocalcula como
Durante la primera semana de cada mes pagu todas mis facturas y contest algunas cartas.Suelo comprar 20 estampillas de primera clase cada mes para este propsito.En realidad,la can-tidad de estampillas que uso vara al azar entre 10 y 24 con iguales probabilidades.Determine elpromedio de estampillas que sobran (es decir,el excedente promedio) por mes.Por lo tanto,El productorepresenta el resultado de quedarse sin estampillas lo que corresponde ala probabilidad de utilizar al menos 20 estampillas;es decir,
CONJUNTO DE PROBLEMAS14.3AEn el ejemplo 14.3-1,calcule el faltante promedio de estampillas por mes.(Puede haber un faltante si necesita ms de 20 estampillas.)positivostantode la falta de estampillas.ÃSon inconsistentes estos resultados?Explique.cada maana.La cantidad de ejemplares vendidos,,vara al azar de acuerdo con la Determine la probabilidad de que el propietario venda todos los ejemplares.Un ejemplar cuesta 50 centavos y se vende a $1.00.Determine el ingreso neto espe-
45, x=35, 36, . . . , 491
30, x=50, 51, . . . , 591
33, x=60, 61, . . . , 70 P{xÃ20}=p1202+p1212+p1222+p1232+p1242=511
152= 5
155
15 (0)E{h(x= 1
15 [(20-10)+(20-11)+(20-12)+Ã+(20-19)]+ 5
15 (0)=3 2
3h(x)=e20-x, x=10, 11, . . . , 190, de lo contrariop(x)= 1
15 , x=10, 11, Ã, 24.EEh(x)F=Labx=ah(x)p(x), x discreta1bah(x)f(x) x continua
Captulo 14Repaso de probabilidad bsica14.3.1Media y varianza (desviacin estndar) de una variable aleatoriavalor medio.La varianzamedio.Su raz cuadrada se conoce como Desv.Est.{}.Unadesviacin estndar grande implica una alta incertidumbre.};es decir,
1,2,Ã,6.Por lo tanto,Suponga que la longitud de la aguja es de una pulgada.Entonces,
Desv.Est.()=1.822
=.906 pulg.var(x)=L3.1401x-1.5722A1
3.14 B dx=.822 pulg.2E(x)=L3.140x11
3.142 dx=1.57 pulg.f(x)= 1
3.14, 0x3.14Desv.Est.()=12.917
=1.708+(5-3.5)2+(6-3.5)2F=2.917var{x}=A1
6 BE11-3.522+12-3.522+13-3.522+14-3.522E{x}=1A 1
6B+2A 1
6 B+3A 1
6 B+4A 1
6 B+5A 1
6 B+6A 1
6 B=3.5Desv.Est.{}=3var{x}
var{x}=Labx=a(x-E{x2 p(x), x discreta1ba(x-E{x2 x E(x)=Labx=axpx), x discreta1baxfx)x continua
14.3Expectativa de una variable aleatoria
excelStatTables.xls calcula la media,la desviacin estndar,las probabilidades,y lospercentiles para 16 fdp comunes,incluidas las distribuciones uniformes continuas.El uso de la
hoja de clculo es autoexplicativo.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.3BCalcule la media y la varianza de la variable aleatoria definida en el problema 1,conjun-Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria del problema 2,conjunto 14.2a.b,son es una fdp,demuestre quees una fdp,y ,donde son constantes,demuestre que14.3.2Variables aleatorias conjuntas,donde .Defina .EntoncesLas mismas frmulas aplican a las fdp discretas,al reemplazar la integracin con la suma.
12 {x}= b+a
2
Captulo 14Repaso de probabilidad bsica,donde las variables aleatorias ),podemos demostrar que independiente,}y cov {trario no es cierto,en el sentido de que dos variables dependientes puedan tener cova-rianza cero.
).Se selecciona un artculo alazar y se examina.Luego se selecciona un segundo artculo de entre los nueve artculos restan-tes y se examina.Sean que representen los resultados de la primera y segunda selecciones.representa una prdida de $6.Determine la media y la varianza del ingreso des-pus examinar los dos artculos.)la fdp conjunta de ,y definimos a les.Primero,determinamos Luego,sabemos que el segundo resultado .Por consiguiente,),primero determinamos la fdp conjunta } en la seccin 14.1.2),a partir de la cual podemos determinar la distribucin).Por lo tanto,Luego,
9 * 4
10 = 2
15p{x2=B, x1=G}= 4
9 * 6
10 = 4
15p{x2=G, x1=B}= 6
9 * 4
10 = 4
15p{x2=G, x1=G}= 5
9 * 6
10 = 5
15P{x2=B|x1=B}= 3
9P{x2=B|x1=G}= 4
9P{x2=G|x1=B}= 6
9P{x2=G|x1=G}= 5
9p11G2= 6
10 =.6, p11D2= 4
10 =.4 =E{x1x2}-E{x1}E{x2} =E1x1x2-x1E{x2}-x2E{x1}+E{x1}E{x2}2 cov {x1, x2}=E{1x1-E{x1}2-E{x2}2var {c1x1+c2x2}=c12var {x1}+c2var {x2}+2c1c2cov {x1, x2}E{c1x1+c2x2}=c1E{x1}+c2E{x2}
14.3Expectativa de una variable aleatoria$6.Por lo tanto,son independientes).Estos clculos requieren determinar las distribuciones margina-),como una tabla y luego agregar las columnas y filas correspondientes),respectivamente.Por lo tanto,
15 +15-62 4
15 +1-6+52 4
15 +1-6-62 2
$1.20
154
159
15=.6x1=B4
152
156
15=.4p2(x2)9
15=.66
15=.4
Ahora,las distribuciones marginales determinan el ingreso esperado como2cov{ingreso1,ingreso2}Ya que var{ingreso2}.Para calcular la varianza,utilizamosla siguiente frmula (vea el problema 4,conjunto 14.3b)Por lo tanto,Por lo tanto,
15 2]-.6*.6=-3.23Convarianza=[(5*5)1 5
15 2+(5*-6)1 4
15 2+(-6*5)1 4
2*.6+(-6)2*.4]-.62=29.04var{x}=E{x2}-1E{x}22 =(5*.6-6*.4)+(5*.6-6*.4)=$1.20
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicaCONJUNTO DE PROBLEMAS14.3C=1.20.2=20.20=3.20.2
14.4CUATRO DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD COMUNESinvestigacin de operaciones:binomial discreta y de Poisson,y exponencial continua y14.4.1Distribucin binomialartculos cada uno.La fraccin de ar-tculos defectuosos,,en cada lote se estima a partir de datos histricos.Nos interesadeterminar la fdp de la cantidad de artculos defectuosos en un lote.Haycombinaciones distintas de ,y la probabilidad de realizar cada combinacin es .Por lotanto,de acuerdo con la ley de la adicin (seccin 14.1.1),la probabilidad de .Su media y varianza son
Las labores diarias de John Doe requieren hacer 10 viajes redondos por automvil entre dos ciu-dades.Una vez que realiza los 10 viajes,el seor Doe puede descansar el resto del da,una moti-vacin suficientemente buena para exceder el lmite de velocidad.La experiencia muestra quehay 40% de probabilidad de ser multado por exceso de velocidad en cualquier viaje redondo.
x-xp(x1, x2)=
14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comunesSi cada multa por exceso de velocidad es de $80,Ãcul es la multa diaria promedio?.4.Por lo tanto,la probabilidad deComentarios.excelStatTables.xls.Ingrese 10 en F7,.4 en G7,y 0
en J7.La respuesta es .006047,aparece en M7.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.4ASe lanza un dado 10 veces.ÃCul es la probabilidad de que el dado lanzado no muestreSuponga que se lanzan cinco monedas de forma independiente.ÃCul es la probabilidadciera a lo largo de su vida al examinar su escritura.Para verificar su afirmacin,a 10 mi-escritura,las cuales luego se emparejaron,un millonario y un profesor,y se le presenta-ron al adivino de la suerte.Decimos que la afirmacin es cierta si el adivino hace almenos ocho predicciones correctas.ÃCul es la probabilidad de que la afirmacin sea unel operador lance 3 dados al mismo tiempo.El casino paga tantos dlares cuantos nme-ros de los dados resulten iguales a su seleccin.Si no hay ninguna coincidencia,ustedslo le paga $1 al casino.Determine su ganancia esperada a largo plazo.Suponga que lanza dos dados al mismo tiempo.Si coinciden recibe 50 centavos.De locontrario,paga 10 centavos.Determine la ganancia esperada del juego.14.4.2Distribucin de PoissonLos clientes llegan a un banco o a una tienda de abarrotes de una forma ÃtotalmentealeatoriaÃ;es decir,las horas de llegada no pueden predecirse con anticipacin.La fdpbucin de Poisson.el nmero de eventos (por ejemplo,llegadas) que ocurren durante un lapsode tiempo especfico (a saber,un minuto,o una hora).Dado que l es una constante co-nocida,la funcin de densidad de probabilidad de Poisson se define como
$80 $80 ($320
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicaLa media y la varianza de la distribucin de Poisson sonLa frmula de la media revela que l debe representar la tasa a que ocurren los eventos.La distribucin de Poisson destaca en el estudio de colas (vea el captulo 18).
ÃCul es la probabilidad de que no lleguen trabajos durante cualquier hora,su-10 trabajos por da.Para,tenemos que calcular la tasa de llega-das por hora;es decir,trabajos de reparacin por hora.Por lo tanto.Comentario.excelStatTables.xls.
en F16 y 0 en J16.La respuesta .286505 aparece en M16.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.4BDe acuerdo con la distribucin de Poisson,los clientes llegan a una instalacin de servicioa razn de 4 por minuto.ÃCul es la probabilidad de que al menos un cliente llegue enLa distribucin de Poisson con el parmetro l se aproxima a la distribucin binomial con(n,p.Demuestre este resultado para la si-tuacin en la que sabe que un lote fabricado contiene 1% de artculos defectuosos.Si setoma una muestra de 10 artculos del lote,calcule la probabilidad de que en la muestrahaya cuando mucho un artculo defectuoso,primero por medio de la distribucin bino-mial (exacta) y luego por medio de la distribucin de Poisson (aproximada).Demuestrese incrementa a,digamos,0.5.Compruebe las frmulas de la media y la varianza de la distribucin de Poisson.
0! =.2865 P{no hay llegadas por hora}= (lhora)0 e-lhora
0!lhora= 10
8 =1.25 var{x}=l {x}=l
14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comunes
x f(x)f(x) e xl
ll
14.4.3Distribucin exponencial negativapecfico sigue la distribucin de Poisson (seccin 14.4.2),entonces,automticamente,la(es decir,entre llegadas sucesivas) es la distribu-cin exponencial negativa (o,simplemente exponencial).Especficamente,si tasa de ocurrencia de las llegadas de Poisson,entonces la distribucin del tiempo entrellegadas,,es
lE{x}= 1
}es consistente con la definicin de .Si eventos,entonceses el intervalo de tiempo promedio entre eventos sucesivos.
Los automviles llegan al azar a una gasolinera.El tiempo promedio entre llegadas es de 2 mi-nutos.Determine la probabilidad de que el tiempo entre llegadas no exceda de 1 minuto.La determinacin de la probabilidad deseada es igual a la de calcular la FDA de ;es decir,La tasa de llegadas para el ejemplo esllegadas por minuto.Si sustituimos 1,la pro-
2 )(1)=.3934l= 1
2 =1-e-lA =-e-lx|oA P{xA=LA0le-lxdx1
l
Captulo 14Repaso de probabilidad bsica
x f(x)f(x) e
12 2
x
12
2
psmsm
Comentarios.excelStatTables.xls
rior.Ingrese .5 en F9,1 en J9.La respuesta (CONJUNTO DE PROBLEMAS14.4CLos clientes que compran en Walmark Store son tanto urbanos como suburbanos.Losminuto.Las llegadas son totalmente aleatorias.Determine la probabilidad de que eltiempo entre llegadas de todos los clientes sea menor que 5 segundos.14.4.4Distribucin normalLa distribucin normal describe muchos fenmenos aleatorios de la vida diaria,comolas calificaciones de exmenes y el peso y la estatura de las personas.La fdp de la dis-La figura 14.4 muestra las grficas de la fdp normal.La funcin siempre es sim-distribucin.Este notable resultado se basa en el teorema siguiente:Teorema del lmite central.e idnticamente distribuidas,cada una con media m y desviacin estndar s,y se definan
22ps2
e- 1
2 1x-m
s22, -q66q
14.4Cuatro distribuciones de probabilidad comuneses asintticamente normal con media nµy varianza n,indepen-,Ã,ydistribucin).El pro-y varianza.Este resultado tiene im-portantes aplicaciones en el control de calidad estadstico.La FDA de la variable aleatoria normal no puede determinarse en una forma ce-rrada.La tabla A.1 en el apndice A da las probabilidades de (0,1),la con media cero y desviacin estndar 1.En general,una variable alea-,tambin conocido como
.03 cm.El resultado del proceso deestndar de .1 cm.Determine el porcentaje de la produccin que satisfar las especificaciones.Definiendo x como el parmetro interno del cilindro,la probabilidad de que satisfaga las es-Esta probabilidad se calcula por medio de la normal estndar (tabla A.1 en el apndice A).Dado.1,tenemos.3} debido a la simetra de la fdp,como se muestra en la fi-gura 14.5.La probabilidad acumulada (tabla A.1 en el apndice A) como la entrada designada con la fila Comentario.excelStatTablesxls.1 en F15,.1 en G15,.97 en J15 y 1.03 en K15.La respuesta (
.1 z 1.03-1
.1 }P-.03x1+.03}=Px1.03}z= x-m
ss2
n
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicaCONJUNTO DE PROBLEMAS14.4DLa facultad de ingeniera de la Universidad de Arkansas requiere una calificacin ACTmnima de 26.Las calificaciones de examen entre estudiantes del ltimo ao de prepara-toria en un distrito escolar dado,por lo comn se distribuyen con media de 22 y desvia-Si la Universidad de Arkansas no acepta a cualquier estudiante con una calificacinACT menor que 17,Ãqu porcentaje de estudiantes no ser elegible para admisinen la Universidad de Arkansas?siones tienen una media de 180 lb y una desviacin estndar de 15 lb.El helicpteropuede llevar a 5 personas,pero su capacidad de peso mxima es de 1000 lb.ÃCul es la:Aplique el teorema del lmite central.)Por lo comn,el dimetro interno de un cilindro est distribuido con una media de 1 cmy una desviacin estndar de .01 cm.En el interior de cada cilindro se ensambla unabarra slida.El dimetro de la barra tambin suele distribuirse con una media de .99 cmy una desviacin estndar de .01 cm.Determine el porcentaje de pares de cilindro-barraque no podrn ser ensamblados.(14.5DISTRIBUCIONES EMPêRICASLas secciones precedentes abordaron las fdp y las FDA de cinco distribuciones comu-nes:uniforme,binomial,de Poisson,exponencial y normal.ÃCmo se reconocen estassobre la situacin que estamos estudiando.Esta seccin muestra cmo los datos mues-treados pueden convertirse en una fdp.Paso 1.Paso 2.Histograma de frecuencias.traslapan.La frecuencia en cada clase es la cuenta de los valores de los datos sinprocesar que quedan comprendidos dentro de los lmites designados de la clase.
0.3
f(z)
14.5Distribuciones empricas.43.44.82.01.05.56.21.24.41.52.43.46.43.74.82.55.5.38.72.7.42.22.4.51.79.38.04.75.9.71.65.2.6.93.93.3.2.24.99.61.99.11.310.63.0.32.92.94.88.72.47.21.57.911.76.33.86.95.3
cio de una muestra de 60 clientes.Los valores mnimo y mximo de los datos son 2 y 11.7,respectivamente.Esto significa quela muestra est cubierta por el rango (0,12).Dividimos arbitrariamente el rango (0,12) en 12 cla-ses,cada una de 1 minuto de ancho.La seleccin apropiada del ancho de la clase es crucial pararevelar la forma de la distribucin emprica.Aun cuando no haya reglas exactas para determinarel ancho de clase ptimo,una regla prctica es utilizar de 10 a 20 clases.En la prctica puede sernecesario probar diferentes anchos de clase antes de decidir sobre un histograma aceptable.La siguiente tabla resume la informacin en forma de histograma de la muestra dada.La co-,se calcula dividiendo las entradas de la columna de frecuencias60).Por ejemplo,.La columna,se genera al sumar los valores de de manera recursiva.Por ejem-plo,
60 =.1833
i
Intervalode clase
Cuenta deobservaciones
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia relativa(0,1)
||||
11.1833.18332(1,2)
8.1333.31663(2,3)
9.1500.46664(3,4)
7.1167.58335(4,5)
6.1000.68336(5,6)
7(6,7)8(7,8)9(8,9)10(9,10)11(10,11)12(11,12)Totales
proporcionan una versin ÃdiscretizadaÃde la fdp y la FDA en el tiem-po de servicio.Podemos convertir la FDA resultante en una funcin continua si unimos los pun-tos resultantes con segmentos de lnea.La figura 14.6 proporciona la fdp emprica y la FDA parael ejemplo.La FDA,como la presenta el histograma,aparece definida en los puntos medios delas clases.
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicaAhora podemos estimar la media,,y la varianza,,de la distribucin emprica.Sea nmero de clases en el histograma y se definacomo el punto medio de la clase ,entoncesAplicando estas frmulas al ejemplo presente,obtenemos
Los histogramas se pueden construir de manera muy cmoda si utilizamos Excel.Seleccione,luego ingrese los datos pertinentes en el cuadro de dilogo.mente como parte de los resultados.excelMeanVar.xls calcular la media,la varianza,el mximo y el mnimo de la muestra.Incluso,Excel permite utili-
HistogramQ
Data Analysis+.0167*111.5-3.93422=8.646 minutos2 st2=.1883*1.5-3.93422+.1333*1-3.93422+Ã tq=.1833*.5+.133*1.5+Ã+11.5*.0167=3.934 minutos st2=aNi=1fi1tqi-tq22 tq=aNi=1fitqitqisttq
,la cual puedeFDA lineal de una distribucin
89101112
FDA
14.5Distribuciones empricasComparacin de la FDA emprica y la FDA exponencial terica
0.50
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
10.5
11.5
Prueba de bondad de ajuste.Puede realizarse una evaluacin inicial de los datos comparando la FDA emprica conla FDA de la distribucin terica propuesta.Si las dos FDA no se desvan Ãen excesoÃ,entonces es probable que la muestra se tom de la distribucin terica propuesta.EstaÃcorazonadaÃinicial puede respaldarse an ms con la prueba de bondad de ajuste.Elsiguiente ejemplo proporciona los detalles del procedimiento propuesto.
ponencial.La primera tarea es especificar la funcin que define la distribucin terica.Segn elejemplo 14.5-1,minutos.Por consiguiente,servicios por minutosegn la distribucin exponencial hipottica (vea la seccin 14.4.3),y la fdp y la FDA asociadasPodemos utilizar la FDA,),para calcular la FDA terica para .5,1.5,Ã,y 11.5,y1,2,Ã,12,calculado en el ejemplo14.5-1 como se muestra en la figura 14.7.Un examen superficial de las dos grficas sugiere que ladistribucin exponencial puede proporcionar un ajuste razonable por los datos observados.El siguiente paso es implementar la prueba de bondad de ajuste.Existen dos pruebas comoesa:(1) la prueba de Kolmogrov-Smirnov,y (2) la prueba .Limitaremos la presenta-
3.934 =.2542tq=3.934
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicaricas y tericas.Especficamente,para la clase ,la frecuencia terica Luego,suponiendo clases,se calcula una medida de la desviacin entre las frecuencias empri-1 grados de libertad,donde se obtiene a partir de tablas ji cuadrada (vea la tabla A.3,apndice
FrecuenciaFrecuencia
(0,1)2(1,2)3(2,3)4(3,4)5(4,5)6(5,6)7(6,7)8(7,8)9(8,9)10(9,10)11(10,11)Totales
Como regla prctica,el conteo de frecuencia debe ser al menos de 5.Este requeri-miento se suele resolver combinando clases sucesivas hasta que se satisface la regla,como semuestra en la tabla.El nmero resultante de clases llega a ser 7.Como estamos estimandoun parmetro a partir de los datos observados (es decir,l),el grado de libertad de la ji cuadrada
14.5Distribuciones empricas3.4.9.75.83.42.77.84.4.84.41.93.43.15.11.4.14.14.94.815.96.72.12.32.53.33.86.12.85.92.12.83.43.1.42.7.92.94.53.86.13.41.14.22.94.67.25.12.6.94.92.44.15.111.52.6.110.34.35.14.31.14.16.72.22.95.28.21.13.32.17.33.53.17.9.95.16.25.81.4.54.56.41.22.110.73.22.33.33.37.16.93.11.62.11.9
5.Si consideramos un nivel de significancia .05,obtenemos el valor crtico(utilice la tabla A.3 en el apndice A,o,en excelStatTables.xls,ingrese 5 en F8 y .05en L8,y obtenga la respuesta en R8).Ya que el valor de co,aceptamos la hiptesis de que la muestra de toma de una fdp exponencial.CONJUNTO DE PROBLEMAS14.5A
clase de .5,1 y 1.5 minutos,respectivamente.Compare grficamente la distribucin acumulada de la FDA emprica y la de unadistribucin exponencial correspondiente.ÃCul de los tres histogramas es el ÃmejorÃpara comprobar la hiptesis nula?un mensaje.67.335.236.458.747.994.861.359.393.417.834.756.422.148.148.235.865.330.172.55.870.988.976.417.377.466.123.923.836.85.636.493.536.476.789.339.278.751.963.689.558.612.828.682.738.771.321.135.929.2
Utilice Excel para construir un histograma apropiado.Compruebe la hiptesis de queEl rango de la distribucin se estima a partir de los datos muestreados.El lmite mximo en el rango de la distribucin es 100,pero el lmite mnimo debeestimarse a partir de los datos muestreados.
Captulo 14Repaso de probabilidad bsicadispositivo automtico.Se registra el tiempo de llegada y se transforma en un tiempo ab-soluto que inicia de cero.La siguiente tabla proporciona los tiempos de llegada (en minu-tos) de los primeros 60 automotores.Use Excel para construir un histograma apropiado.
Llegada
Tiempo de
Llegada
Tiempo de
Llegada
Tiempo de
Llegada
Tiempo de5.21667.631132.746227.86.71769.332142.347233.59.11878.633145.248239.8412.51986.634154.349243.6518.92091.335155.650250.5622.62197.236166.251255.8727.42297.937169.252256.5829.923111.538169.553256.9935.424116.739172.454270.31035.725117.340175.355275.11144.426118.241180.156277.11247.127124.142188.857278.11347.5281127.443201.258283.61449.729127.644218.459299.81567.130127.845219.960300.0
Feller,W.,An Introduction to Probability Theory and Its Applications,2a.ed.,vols.1 y 2,Wiley,Nueva York,1967.Paulos,J.A.,Innumeracy:Mathematical Illiteracy and Its Consequences,Hill y Wang,NuevaYork,1988.Papoulis,A.,Probability and Statistics,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1990.Ross,S.,Introduction to Probability Models,5a.ed.,Academic Press,Nueva York,1993.
15.1TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE. PROCESO siones bajo certidumbre (todos los datos se conocen con certeza).El PJA est disea-do para situaciones en que las ideas,sentimientos y emociones que afectan el procesolas alternativas.
Ejemplo 15.1-1(Idea general del PJA)Martin Hans,un brillante estudiante del ltimo ao de la preparatoria,recibi ofertas de becasacadmicas completas de tres instituciones:U de A,U de B y U de C.Martin fundamenta sueleccin en dos criterios:la ubicacin y la reputacin acadmica.Para l,la reputacin acadmi-ca es cinco veces ms importante que la ubicacin,y asigna un peso de aproximadamente 83% ala reputacin y un 17% a la ubicacin.Luego utiliza un proceso sistemtico (el cual se detallarCAPêTULO 15
Aplicacin de la vida real. Planeacin de la distribucin de planta de fabricacin integrada por computadora (FIC) ) en un edificio desocupado.El nue-tro industrial de excelencia tcnica.Se recopilan las recomendaciones solicitadas porlos profesores sobre el plan de diseo del nuevo laboratorio,incluida el rea ideal y ab-soluta para cada unidad.El estudio utiliza tanto un proceso de jerarqua analtica(PJA) como la programacin de metas para llegar a una solucin comprometida quecumpla con las necesidades de enseanza,investigacin y servicio a la industria.(El
caso 9 del captulo 26,en el sitio web de este libro,detalla este estudio).
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosreputacin,como se muestra en la tabla siguiente:La estructura del problema de decisin se resume en la figura 15.1.El problema implica una(U de A,U de B y U de C).
Basado en estos clculos,Martin elige la U de A porque tiene el peso compuesto ms alto.Comentarios.La estructura general del PJA puede incluir varios niveles de criterios.Suponga en el ejemplo 15.1-1 que la hermana gemela de Martin,Jane,tambin fueaceptada con beca completa a las tres universidades.Los padres insisten en que los doshermanos asistan a la misma universidad.La figura 15.2 resume el problema dedecisin,el cual ahora implica dos jerarquas.Los valores de jerarqua son los pesos relativos que representan las opiniones de Martin y Jane(presumiblemente iguales).Los pesos ( U de C U de B U de A
U de AU de BU de C27.759.427.318.2
Resumen de clculos de PJA para el ejemplo 15.1-1
Seleccionar unauniversidad
Ubicacin(.17)Criterios de jerarqua 1Decisin:Alternativas:
U de B(.277)
U de C(.594)
U de AU de AU de BU de
Reputacin(.83)
U de B(.273)
U de C(.182)
U de A
.4743.17 .2737.17
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqua analtica (PJA)respectivamente,representan las preferencias de Martin y Jane con respecto a laubicacin y reputacin de cada universidad.El resto de la grfica de toma dedecisiones puede interpretarse del mismo modo.Observe que 1,y 1.La parte inferior de la figura 15.2 demuestra cmo se calcula el pesocompuesto de la U de A.CONJUNTO DE PROBLEMAS15.1ASuponga que se especifican los siguientes pesos para la situacin de Martin y Jane (figuraBasado en esta informacin,califique las tres universidades.
Seleccionaruna universidad
Criterios de jerarqua 2Criterios de jerarqua 1Decisin:Alternativas:U de A(p11)
U de B(p12)U de A p(p1 p11 p2 p21) q(q1 q11 q2 q21)
U de C(p13)
Ubicacin (p1)
U de A(p21)
U de B(p22)
U de C(p23)
Reputacin (p2)
Martin (p)
U de A(q11)
U de B(q12)
U de C(q13)
Ubicacin (q1)
U de A(q21)
U de B(q22)
U de C(q23)
Reputacin (q2)
Jane (q)
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosDeterminacin de los pesos.(asunto) del PJA es la determinacin de lospesos relativos (como los utilizados en el ejemplo 15.1-1) para calificar las alternativas.criterios en una jerarqua dada,el PJA establece,que cuantifica el juicio del tomadorde decisiones de la importancia relativa de los criterios.La comparacin por pares se1,2,Ã,criterio alterno.Si ,el PJA utiliza una escala numricamucho ms importante,y ,entoncesAdems,todos los elementos diagonales son iguales a 1,porque estoselementos califican cada criterio contra s mismo.
Para demostrar cmo se determina la matriz de comparacin A para el problema de decisin deMartin del ejemplo 15.1-1,comenzamos con la jerarqua superior que tiene que ver con los cri-).En el juicio de Martin,mucho ms importante ,y por consiguiente 5 y,de forma automtica,por lo que se produce la siguien-na.Por lo tanto,dividimos los elementos de la columna 1 entre 6 (1 1.2Los pesos relativos deseados,,se calculan entonces como promedios de fila:.83,los pesos que utilizamos en la figura 15.1.Las co-son iguales,una indicacin de que el tomador de decisiones est ejerciendo un jui-.La consistencia siempreA continuacin,tenemos{8,3,5,1,7}{1.83,3.67,5.5}
21
5211
2521, AR=ABC±1231
213
21
32
31wL=.17+.17
2=.17wR=.83+.83
.17.17.83.83
5+12.A=LRa11
551bRLa12= 1
5 , aji= 1
k .
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqua analtica (PJA)de la columna respectiva;es decir,,y .129,.277,y .594) dan los pesos de las ubicaciones respec-tivas de U de A,U de B y U de C,respectivamente.Asimismo,los valores de ,y .545,.273,.182) dan los pesos relativos con respecto a la reputacin acadmica de las tres univer-
sidades.stos son los valores utilizados en la figura 15.1..En el ejemplo 15.1-2,todas las columnasson idnticas,y las de no lo son.Esto significano lo es.Consistencia implica juicio racional por parte del tomador de decisiones.,para todas las Por ejemplo,en la matriz dientes.En particular,las columnas de cualquier matriz de comparacin de 2 ,son dependientes por definicin,y por consiguiente una matriz de 2 pre es consistente.tentes,y se espera un grado de inconsistencia.Para decidir qu nivel de inconsistenciaes ÃtolerableÃtenemos que desarrollar una medida cuantificable de consistencia para.En el ejemplo 15.1-2 vimos que una matriz consistente en la cual todas las columnas son idnticas;es decir,;es decir,oooo
.545.545.545.273.273.273.182.182.182
3=.545wRB=.273+.273+.273
3=.273wRC=.182+.182+.182
.125.143.118.250.286.294.625.571.588
3=.129wLB=.250+.286+.294
3=.277wLC=.625+.571+.588
3=.594
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegos,...,Por consiguiente,A es consistente si,no sea consistente,el peso relativo,,est dado aproxima-el ejemplo 15.1-2).Sies el vector de los promedios calculados,se puede demostrar que En este caso,cuanto ms se acerca ,ms consistente es la matriz de compara-.Basado en esta observacin,el PJA calcula la ,se determina empricamente como el promediogeneradas al azar..1,el nivel de inconsistencia es aceptable.De lo contrario,la inconsisten-cia es alta,y quizs el tomador de decisiones tenga que revisar las estimaciones de los
j=nmxw
i, i=1, 2, Ã, nAw
= nmxw
= 1.98(n-2)
nRI=Consistencia aleatoria de A= nmx-n
n-1CI =êndice de consistencia ACR= CI
RIAw
= nmxw
, nmxÃnw
Aw = nw±w1w2own=±nw1nw2onwn=n±w1w2own±1w1
w2Ãw1
wnw2
w11Ãw2
oooo
w1wn
w2Ã1A=±1w1
w2Ãw1
wnw2
w11Ãw2
oooo
w1wn
w2Ã1
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqua analtica (PJA)
En el ejemplo 15.1-2,la matriz no son idnticas.,comenzamos calculando .Por el ejemplo 15.1.2,tenemos Por lo tanto,Ahora,con
Ya que .1,el nivel de inconsistencia en es aceptable.
excelAHP.xls 8 o menor.La figura 15.3 demuestra la aplicacin del mo-datos de entrada de la hoja de clculo.El orden en el cual se ingresan las matrices de compara-cin no es importante,aunque tiene ms sentido considerarlas en su orden jerrquico natural.Los pesos,,se copian de la columna J y se pegan enel rea de resumen de la solucin (la seccin derecha de la hoja de clculo).Recuerde utilizarcuando realice este paso para garantizar un registro permanente.
ValoresQ
Pegado especialCR =CI
RI=.00565
.66=.00856RI =1.98(n-2)
n= 1.98*1
3=.66CI =nmx-n
n-1=3.0113-3
3-1=.00565nmx=.3863+.8320+1.7930=3.0113ALw
=±11
21
5211
2521±.129.277=±0.3863w
1=.129, w
2=.277, w
3=.594Aw
.ani=1aanj=1aijw
jb=nmxani=1w
i=nmxani=1w
i=1,
Los resultados ms precisos de la hoja de clculo difieren de los ejemplos 15.1.2 y 15.1.3,debido a la apro-
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosEn la figura 15.3,la calificacin final se da en las celdas (K18:K20).La frmula en la celda K18 esEsta frmula proporciona el peso compuesto de la alternativa U de A y se copia en las celdasK19 y K20 para evaluar las alternativas U de B y U de C.Observe por la frmula en K18 que lareferencia a la alternativa U de A debe estar fija en la (es decir,$L7 y $N7),mientras(o bien $L$4 y $L$5).Lacolumna (sin celdas vacas que intervengan).En la figura 15.3,losestn en la columna N.No hay restricciones en lacolocacin de los pesos A porque son columna y fila fijas en la frmula.de jerarqua.Una vez que desarrolla la frmula correctamente para la primera alternativa,lamisma frmula se copia en las celdas restantes.Recuerde que la frmula deben estar fijas en columna y fila,excepto las referencias a las alternativas,las cualesdeben estar fijas slo en la columna.El problema 1,conjunto 15.1b,le pide que desarrolle la
frmula para un problema de 3 niveles.CONJUNTO DE PROBLEMAS15.1BConsidere las dos jerarquas del problema 1,conjunto 15.1a.Copie los pesos en un ordenexcelAHP.xls,luego de-$K7&""&TEXT($L$4*$L7$L$5*$ N7,"#### 0.00000")$L$4*$L7$L$5*$N7excelAHP.xls
excelAHP.xlsdebe resultar til para verificar sus clculos.
15.1Toma de decisiones bajo certidumbre. Proceso de jerarqua analtica (PJA)sarrolle la frmula para evaluar la primera alternativa,U de A,y cpiela para evaluar lasdos alternativas restantes.cin a tres candidatos:Steve (S),Jane (J),y Maisa (M).La seleccin final se basa en trescriterios:entrevista personal (),experiencia (),y referencias ().El departamento uti-rios.Despus de entrevistar a los tres candidatos y compilar los datos con respecto a susexperiencias y referencias,se construyen las matrices .ÃCul de los tres can-didatos debe ser contratado? Evale la consistencia de los datos.IERSJMSJMSJMKevin y June Park () estn en el proceso de comprar una nueva casa.Tres casas.Los Park acordaron dos criterios para seleccionar la casa,),y cercana al lugar de trabajo (),para locual desarrollaron las siguientes matrices de comparacin.Califique las tres casas enorden de prioridad,y calcule la relacin de consistencia para cada matriz.de Investigacin de Operaciones:porcentaje de regalas (R),comercializacin (M),ypago anticipado (A).Dos editores,y P,expresaron su inters en el libro.Utilizando las
241
2131
41
31Q AAJY=B CABCP1421
4131
21
31Q AAKW=B CABCP121
21
211
3231Q AAKY=B CABCP1231
2121
31
21QAJ=YWa141
41bAK =YWa11
331bA=KJa121
21bAE =SJM±11
32311
21
221 AR=SJM±11
21211
2121 A=IER±121
41
211
5451 AI=SJM±1341
311
51
451
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosHPHP HPrectiva de la escuela.Tres candidatos,Ivy (),Bahrn (),se postularon para el puesto.Existen tres categoras de votantes:izquierda (),centro ().Sejuzga a los candidatos con base en tres factores:experiencia acadmica (),postura antelos problemas (S) y carcter personal (P).Las siguientes son las matrices de comparacinpara la primera jerarqua de izquierda,centro y derecha.LCR ESPESP ESP),postura ante los problemas (),y carcter personal (Luego se utiliz el PJA para reducir las matrices a los siguientes pesos relativos.
2111
211 AR=ESP±1191181
91
81A=L±121
21
211
5251 AL=ESP±131
21
311
3231AR=HPa121
21b AM=HPa11
221b AA=HPa11bA=RMA±111
4111
5451
Izquierda
Centro
ESPESPESP.1.2.3.3.5.2.7.1.3Bahrn.5.4.2.4.2.4.1.4.2Smith.4.4.5.3.3.4.2.5.5
nuevas restricciones de presupuesto en sus escuelas primarias.Hay dos opciones disponi-bles:Eliminar el programa de educacin fsica (),o el de msica ().El superintenden-cin.El comit ha decidido estudiar el problema desde el punto de vista de restriccin al).El anlisis produjo las siguien-BN BN
221bAs=BNa1111b
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgoEM EMEM EMAnalice el problema de decisin y haga recomendaciones.3.Los factores para decidir incluyen el precio de compra (PP),el costo de manteni-miento (MC),el costo de manejo en la ciudad (RD).La siguiente tabla proporciona los
21bAPB=EMa11
331bASN=EMa11
331bASB=EMa11
221b
Modelo del automvil
PP($)
MC($)
CD($)
6,0001800450015008,000120022507506001125600
Utilice los datos de costos para desarrollar las matrices de comparacin.Evale laconsistencia de las matrices,y determine la seleccin del modelo.15.2TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE RIESGOEn condiciones de riesgo,los beneficios asociados con cada alternativa de decisinestn representados por distribuciones de probabilidad,y la decisin puede basarse encriterio de valor esperado,costo esperado.En ocasiones,el criterio del valor esperado se modifica para tener encuenta otras situaciones,como se describir ms adelante en esta seccin.
Aplicacin de la vida real. Lmites en las reservaciones de un hotel El hotel La Posada cuenta con 300 habitaciones.Su clientela incluye tanto a viajeros porcios como por placer.Las tarifas de las habitaciones tienen descuentos,sobrejeros por placer.Los viajeros por negocios,que suelen tardarse en re-servar sus habitaciones,pagan la tarifa completa.La Posada establece un que pagan los clientes por negocios.El caso 10 en el captulo 26 en el sitio web utiliza el
anlisis del rbol de decisiones para determinar el lmite de las reservaciones.15.2.1çrbol de decisiones. Basado en el criterio del valor esperadominimizacin del costo esperado.Los datos del problema asumen que la retribucin (oAnlisis con rbol de decisiones.
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegos
.Las acciones de la compaa ,aun cuando son riesgosas,podran redi-tuar 50% durante el siguiente ao.Si las condiciones del mercado de valores no son favorables(es decir,un mercado ÃbajistaÃ) las acciones pueden perder 20% de su valor.La compaa proporciona inversiones seguras con 15% de rendimiento en un mercado ÃalcistaÃy de slo 5%en un mercado ÃbajistaÃ.Todas las publicaciones que ha consultado (Ãy siempre hay una abun-dancia de ellas al final del ao!) pronostican una probabilidad de 60% de un mercado ÃalcistaÃy40% de un mercado ÃbajistaÃ.ÃCmo debe invertir su dinero?la figura 15.4.Se utilizan dos tipos de nodos en el rbol:Un cuadrado (,y un crculo (O) representa un evento aleatorio.Por lo tanto,las dos ramas que emanan.A continuacin,las dos ramas que emanan de los eventos aleatorios 2 y 3 representan los mer-cados ÃalcistaÃy ÃbajistaÃcon sus respectivas probabilidades y retribuciones.Segn la figura 15.4,las retribuciones esperadas a 1 ao son
porque produce un rendimiento esperado ms alto.Comentarios.En la terminologa de teora de la decisin,los mercados probabilsticos Ãalcis-taÃy ÃbajistaÃse llaman .Por lo general,un problema de decisin puedealternativas.Si ,dado el estado 1,2,Ã,1,2,Ã,),en-
Rendimiento a 1 ao de la inversin de 10,000
Alternativa de decisin
Mercado ÃalcistaÃ($)
Mercado ÃbajistaÃ($)
FIGURA 15.4Representacin en forma derbol de decisiones del problema
Mercado alcista (.6)Mercado bajista (.4)Inversin A
2
Mercado alcista (.6)Mercado bajista (.4)$5000$2000$1500$500
Inversinen la accin B
3
1
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgo
CONJUNTO DE PROBLEMAS15.2ALo invitaron a participar en el juego de la Rueda de la Fortuna en la televisin.La rueda).La rueda est dividida en dos regiones semicirculares,una blanca ().Le dijeron que la rueda est diseada para que se detenga 30% de las veces enla regin blanca.La retribucin del juego es $800$200Desarrolle un rbol de decisiones asociado,y determine un curso de accin basadoen el criterio del valor esperado.Farmer McCoy puede sembrar maz o soya (soja).Las probabilidades de que los preciosde la siguiente cosecha suban,no cambien,o bajen son .25,.30 y .45,respectivamente.Silos precios suben,la cosecha de maz redituar un ingreso neto de $30,000 y la de soya re-dituar un ingreso neto de $10,000.Si los precios no cambian,McCoy (apenas) saldr amano.Pero si los precios bajan,las cosechas de maz y soya sufrirn prdidas de $35,000 y $5000,respectivamente.Represente el problema de McCoy como un rbol de decisiones.Se le presenta la oportunidad de invertir en tres fondos mutuos:de servicios,de cre-cimiento agresivo,y global.El valor de su inversin cambiar segn las condiciones del mercado.Hay 10% de probabilidades de que el mercado baje;50% de que perma-nezca moderado,y 40% de que funcione bien.La siguiente tabla proporciona el cambio
Porcentaje de rendimiento sobre la inversin
Alternativa
Mercado bajista (%)
Mercado moderado (%)
Mercado alcista (%)Servicios+5+7+8Crecimiento agresivo-10+5+30Global+2+7+20
Represente el problema como un rbol de decisiones.precio nominal,o en una accin de crecimiento agresivo que paga slo 1% de dividendo.Si ocurre inflacin,la tasa de inters subir a 8%,en cuyo caso el valor principal del bonobajar 10% y el valor de la accin bajar 20%.Si la recesin se materializa,la tasa de in-ters bajar a 6%.En este caso,se espera que el valor principal del bono baje 5%,y queel valor de la accin suba 20%.Si la economa no cambia,el valor de la accin subir 8%y el valor principal del bono no cambiar.Los economistas estiman 20% de probabilidad
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosde inflacin y 15% de recesin.Usted est basando su decisin de inversin en las condi-ciones econmicas del siguiente ao.Represente el problema como un rbol de decisiones.AFC est a punto de lanzar su nueva comida rpida Wings ÃN Things a nivel nacional.Eldepartamento de investigacin est convencido de que Wings ÃN Things ser un granxito y desea presentarlo de inmediato en todas las tiendas de distribucin de AFC sinpublicidad.El departamento de mercadotecnia ve las ÃcosasÃde forma diferente y desealanzar una intensa campaa publicitaria.La campaa publicitaria costar $100,000,y hay70% de probabilidades de que tenga xito con ingresos de $950,000.Si la campaa notiene xito,el ingreso estimado bajar a $200,000.Si no se utiliza publicidad,el ingreso seducto,y de $200,000 con probabilidades de .2 si no lo son.Desarrolle el rbol de decisiones asociado.ÃQu curso de accin debe seguir AFC al lanzar el nuevo producto?Se lanza al aire una moneda tres veces sucesivas.Recibe $1.00 por cada cara (Sin embargo,regresa $1.10 por cada cruz que salga.Tiene las op-ciones de jugar o no jugar el juego.Desarrolle el rbol de decisiones para el juego.Se le presenta la oportunidad de participar en el siguiente juego en un casino.Se lanza undado dos veces,con cuatro resultados:(1) ambos lanzamientos muestran el mismo nme-ro par;(2) ambos lanzamientos muestran el mismo nmero impar;(3) los dos lanzamien-par,y 4) todos los dems resultados.Le permiten apostar su dinero en exactamente dosresultados con cantidades en dlares iguales.Por ejemplo,puede apostar cantidades deEl premio por cada dlar que apueste es de $2.00 por el primer resultado,$1.95 por el se-gundo y tercer resultados,y $1.50 por el cuarto resultado.Desarrolle el rbol de decisiones para el juego.Acme Manufacturing produce lotes de aparatos con 0.8%,1%,1.2% y 1.4% de aparatosdefectuosos de acuerdo con las probabilidades respectivas,0.4,0.3,0.25 y 0.05.Tres clien-tes,estn contratados para recibir lotes con no ms de 0.8%,1.2% y 1.4% deaparatos defectuosos,respectivamente.Si los aparatos defectuosos resultan ser ms quelos contratados,se penaliza a Acme con $100 por cada 0.1% de incremento.Si Acmelas especificaciones.Suponga que no se inspeccionan los lotes antes de su envo.Desarrolle el rbol de decisiones asociado.TriStar planea abrir una nueva planta en Arkansas.La compaa puede abrir una plantase garantiza una demanda alta.El horizonte de tiempo para el problema de decisin esde 10 aos.TriStar estima que las probabilidades de demandas altas y bajas durante lossiguientes 10 aos son .75 y .25,respectivamente.El costo de construccin dentro de
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgo2 aos es de $4.2 millones.El ingreso por la operacin durante los siguientes 10 aos se
Estimaciones del ingreso anual (en $1000)
Alternativa
Demandaalta
Demandabaja
Desarrolle el rbol de decisiones asociado,si despus de 2 aos TriStar tiene la Desarrolle una estrategia de construccin para TriStar durante los siguientes 10 aos.(Por sencillez,ignore el valor del dinero con el tiempo.)Resuelva de nuevo el problema 9,suponiendo que las decisiones se toman considerandoel valor del dinero con el tiempo a una tasa de inters anual de 10%.[:Necesita ta-blas de inters compuesto para resolver este problema.Puede utilizar la funcin NPV,dada.NPV asume que cada flujo de efectivo ocurre al final del ao.]Resuelva una vez ms el problema 9,suponiendo que la demanda puede ser alta,media ybaja con probabilidades de 0.7,0.2 y 0.1,respectivamente.La ampliacin de una plantapequea ocurrir slo si la demanda en los primeros 2 aos es alta.La siguiente tablaproporciona estimaciones del ingreso anual.Ignore el valor del dinero con el tiempo.
Estimaciones del ingreso anual (en $1000)
Alternativa
Demanda alta
Demanda mediana
Planta pequea ahora 400280150Planta ampliada dentro de 2 aos900600200
ca.La compaa desea desarrollar un programa de mantenimiento preventivo para la flo-tilla.La probabilidad de una avera en el ao 1 es cero.Durante el ao 2,la probabilidadde una avera es de 0.03 y se incrementa 0.01 en los aos del 3 al 10.Despus del ao 10,laprobabilidad de una avera se mantiene constante en 0.13.El costo de mantenimiento porcamin es de $200 por una avera aleatoria y de $75 por un mantenimiento programado.Desarrolle el rbol de decisiones asociado.sucesivos.100150200250300.20.25.30.15.10
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosLa tienda compra una hogaza a 55 centavos y la vende a $1.20 cada una.Las hogazasque no se venden al final del da se liquidan a 25 centavos cada una.Suponga que el nivelDesarrolle el rbol de decisin asociado.En el problema 13,suponga que la tienda desea ampliar el problema de decisin a un ho-rizonte de 2 das.Las alternativas para el segundo da dependen de la demanda en el pri-mer da.Si la demanda en el da 1 es igual a la cantidad en existencia,la tienda continuarpidiendo la misma cantidad para el da 2;si excede la cantidad en existencia,la tiendapuede pedir cualquiera de las existencias de alto nivel;y si es menor que la cantidad enexistencia,la tienda puede pedir cualquiera de la existencia de bajo nivel.Desarrolle el(miles de) unidades de un producto por da.A medi-se incrementa,la proporcin de unidades defectuosas,,se eleva de acuerdoCada unidad defectuosa incurre en una prdida de $50.Una unidad en buen estado pro-El dimetro externo,,de un cilindro se procesa con una mquina automtica con lmites.El proceso de produccin sigue.Los cilindros de dimensio-dlares cada uno.Los cilindros de di-dlares cada uno.Desarrolle el rbol dedecisiones,y determine el ajuste Cohan and Associates (1984).lados para reducir los riesgos de incendio y estimular el crecimiento de nuevos rboles.La direccin tiene la opcin de posponer o planear una quema.En una extensin de bos-que especfica,si se pospone una quema,se incurre en un costo administrativo general de$300.Si se planea una quema controlada,hay 50% de probabilidades de que el buentiempo prevalecer y que la quema costar $3200.Los resultados de la quema pueden serexitosos con probabilidad de .6,o marginales con probabilidad de .4.La ejecucin exitosaproducir un beneficio estimado de $6000,y la ejecucin marginal proporcionar slo$3000 en beneficios.Si el tiempo es malo,la quema se cancelar y se incurrir en un costode $1200 sin beneficios.ponerse.Estudie la sensibilidad de la solucin a los cambios de la probabilidad de buen tiempo.(1967).Un fabricante ha utilizado programacin lineal para determinar lacio en $35.Por tanto,el fabricante puede seguir utilizando la combinacin de productos(ptima) original (A1),o utilizar una nueva combinacin (ptima) con base en el compo-nente de mayor precio (A2).Desde luego,la accin A1 es ideal si el precio no se eleva,yla accin A2 tambin ser ideal si el precio se eleva.La siguiente tabla proporciona la uti-0,de otro modo
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgocon respecto al precio del componente.Incremento de precio (01)Sin incremento de precio (02)$400,000$295,500$372,000$350,000Desarrolle el rbol de decisiones asociado,y determine la accin que debe adoptarse.se incrementar o no.Esta informacin dice que hay 58% de probabilidades de queel incremento del precio sea de .9 y 42% de que sea de .3.ÃRecomendara la inver-de sus procesos.La vida de anaquel es de un mes,y cualquier cantidad sobrante se des-truye.La cantidad,,en galones del producto qumico utilizada por Acme est represen-El consumo real del producto qumico ocurre instantneamente al inicio del mes.tivos (o niveles de aspiracin):La cantidad excedente mensual no debe superar los 20 ga-lones,y la cantidad faltante promedio mensual no debe exceder de 40 galones.15.2.2Variantes del criterio del valor esperadoEsta seccin aborda dos temas relacionados con el criterio del valor esperado:la de-probabilidadesa posterioribasada en experimentacin,y el uso de lacontra el valor real del dinero.Probabilidades a posteriori (de Bayes).valor esperado se suelen estimar a partir de datos histricos (vea la seccin 14.5).Enexperimentacin adicional.Las probabilidades resultantes se conoce como babilidades a posteriori (o de Bayes),en contraste con las probabilidades a priorideterminadas a partir de datos duros sin procesar.
,1000,de otro modo
Aplicacin de la vida real. Problema de Casey: Interpretacin y evaluacin Un examen de deteccin de un recin nacido,de nombre Casey,revela una deficienciade la enzima C14:1.La enzima se requiere para digerir una forma particular de grasas decadena larga,y su ausencia podra conducir a una enfermedad grave o a una muertemisteriosa (catalogada comnmente bajo el sndrome de muerte repentina infantil,oSIDS por sus siglas en ingls).El examen se haba administrado antes a aproximada-mente 13,000 recin nacidos,y Casey fue el primero en dar positivo.Aun cuando elexamen de deteccin por s mismo no constituye un diagnstico definitivo,la extrema
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegos
babilidades a posteriori.En el ejemplo 15.2-1,las probabilidades (anteriores) de .6 y .4 de unmercado ÃalcistaÃy un mercado ÃbajistaÃse determinan a partir de publicaciones financieras dis-ponibles.Suponga que en lugar de depender nicamente de estas publicaciones,usted decidiconducir una investigacin ms ÃpersonalÃal consultar a un amigo que se desempea bien en elmercado de valores.El amigo cuantifica una recomendacin de invertir Ãa favor/o en contraÃ,dela siguiente manera:En un mercado ÃalcistaÃ,hay 90% de probabilidades de que la recomenda-cin sea Ãa favorÃ.Se reduce a 50% en un mercado ÃbajistaÃ.ÃCmo afecta la informacin adicio-nala la decisin?La afirmacin del amigo proporciona probabilidades condicionales de las recomendaciones ÃafavorÃy Ãen contraÃdado que los estados de la naturaleza son mercados ÃalcistaÃy ÃbajistaÃ.DefinaVoto Ãa favorÃVoto Ãen contraÃPor lo tanto,la afirmacin del amigo se escribe en la forma de enunciados de probabilidad comoSi la recomendacin del amigo es Ãa favorÃ,Ãinvertira en la accin Si la recomendacin del amigo es Ãen contraÃ,Ãinvertira en la accin El rbol de decisiones que aparece en la figura 15.5 representa el problema.El nodo 1 es unevento aleatorio que representa las posibilidades Ãa favorÃy Ãen contraÃ.Los nodos 2 y 3 sony B,dadas las recomendaciones ÃafavorÃy Ãen contraÃ,respectivamente.Por ltimo,los nodos 4 a 7 son eventos aleatorios que re-presentan los mercados ÃalcistaÃy ÃbajistaÃ.a posterioriPde los nodos 4,5,6 y 7.Estas probabili-dades a posteriori toman en cuenta la informacin adicional proporcionada por la recomendacinÃa favorÃo Ãen contraÃy se calculan de acuerdo con los siguientes pasos generales:Paso 1.dades de que padeciera esta deficiencia.Dado que Casey dio positivo,se utiliza la pro-
C14:1.La situacin se detalla en el caso 11,captulo 26 en el sitio web..9.1.5.5
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgoPaso 2..4,las probabilidades conjun-.4,respectivamente;es decir,
Mercado alcista (m1)Mercado bajista (m2)Mercado alcista (m1)Mercado bajista (m2)Accin A
4
$5000Ã$2000$1500$500
Accin B
5
2
Mercado alcista (m1)Mercado bajista (m2)Mercado alcista (m1)Mercado bajista (m2)Accin A
6
$5000Ã$2000$1500$500
Accin B
7
1
Voto
P m2|v1 .270
P m1|v1 .730
P m2|v1 .270
P m1|v2 .231
P m2|v2 .769
P m1|v2 .231
P m2|v2 .769
.54.06.20.20Paso 3.Estas probabilidades son las sumas en las columnas de la tabla del paso 2;es decir,
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosPaso 4.la suma en la columna correspondiente en la tabla del paso 3,lo cual da
.730.231.270.769buciones esperadas para los nodos 4,5,6 y 7;es decir,Recomendacin ÃA favorÃRecomendacin ÃEn contraÃcisin 2 y 3 son $3110 y $731,respectivamente (vea la figura 15.5).Por lo tanto,dadas las proba-0.26 como se calcularon en el paso 3,podemos calcular la retri-
bucin esperada para todo el rbol de decisiones (vea el problema 3,conjunto 15.2b).
excelBayes.xls para conservar espacio).Los datos de entrada incluyen }.La hoja de clculo verifi-
ca los errores en los datos de entrada y muestra los mensajes de error apropiados.CONJUNTO DE PROBLEMAS15.2Bron clculo en la preparatoria se desempean bien,en comparacin con el 50% de losque no lo cursaron.Las admisiones para el ao acadmico actual muestran que slo 30%
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgode los estudiantes nuevos completaron un curso de clculo.ÃCul es la probabilidad que.El porcentaje de componentes defectuosos provenientes de los provee-son 1 y 2%,respectivamente.Cuando se inspeccion una muestra aleatoriade tamao 5 de un lote recibido,slo se encontr una unidad defectuosa.Determine la.Del vendedor En el ejemplo 15.2-2,suponga que tiene la opcin de invertir los $10,000 originales en uncertificado de depsito seguro que produce 8% de inters.El consejo del amigo es inver-tir slo en el mercado de valores.Desarrolle el rbol de decisin asociado.do de invertir en el mercado de valores.)Usted es el autor de la que promete ser una novela exitosa.Tiene la opcin de o publicarla novela usted mismo,o por medio de un editor.El editor le ofrece $20,000 por firmar elcontrato.Si la novela tiene xito,vender 200,000 copias.De lo contrario,vender slo100,000.El editor le paga $1 de regalas por ejemplar.Una investigacin del mercado in-dica que hay 70% de probabilidades de que la novela tenga xito.Si decide publicarlausted mismo,incurrir en un costo inicial de $90,000 por la impresin y la comercializa-cin,pero obtendr una utilidad neta de $2 por cada ejemplar vendido.Basado en la informacin dada,Ãaceptara la oferta del editor,o publicara ustedcon el xito potencial de la novela.Por experiencia pasada,el agente le aconseja quecuando una novela tiene xito,la encuesta predecir el resultado equivocado 20%de las veces.Cuando la novela no tenga xito,la encuesta predecir correctamente85% de las veces.ÃCmo afectara esta informacin su decisin?Considere la situacin de decisin de Farmer McCoy en el problema 2,conjunto 15.2a.Elgranjero tiene la opcin adicional de utilizar el terreno como rea de pastizales,en cuyocaso est garantizada una retribucin de $7500.El granjero tambin recab informacinros precios de artculos de consumo.La valoracin del agente de ÃfavorableÃo Ãdesfavo-rableÃse describe por medio de las siguientes probabilidades condicionales:.85.15.50.50.15.85representan las valoraciones ÃfavorableÃy ÃdesfavorableÃ,y representan los cambios Ãhacia arribaÃ,ÃigualesÃ,y Ãhacia abajoÃde los futuros precios.Desarrolle el rbol de decisiones asociado.En el problema 5,conjunto 15.2a,suponga que la gerencia de AFC decidi investigar elmercado para su nuevo producto Wings ÃN Things en lugares seleccionados.El resultado
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosde la investigacin es o ÃbuenoÃ() o ÃmaloÃ().La investigacin arroja las siguientesCon campaaP{.95.05.8.2.3.7.4.6representan ÃxitoÃy Ãno xitoÃ,y y no ÃreceptivoÃ.Desarrolle el rbol de decisiones asociado.Determine el mejor curso de accin para AFC.Datos histricos en Acme Manufacturing estiman 5% de probabilidad de que un lote deartefactos sea inaceptable (malo).Un lote malo tiene 15% de artculos defectuosos,y un lote bueno incluye slo 4% de artculos defectuosos.Si lote bueno y un lote malo,respectivamente,las probabilidades,se utiliza una muestrade prueba de dos artculos,y se obtienen tres posibles resultados:(1) ambos artculos son);(2) un artculo est bueno (),y (3) ambos artculos estn defectuosos (.Los contratos especificanno deben exceder de 5 y 8%,respectiva-mente.Se incurre en una penalizacin de $100 por punto porcentual por arriba dellmite mximo.Si entrega lotes de mejor calidad que la especificada por los costos del contrato le cuesta al fabricante $50 por punto porcentual.Desarrolle el rbol dedecisiones,y determine la estrategia de prioridad para enviar los lotes.situaciones en que la retribucin esdinero en lugar del valor real en el anlisis.Para ilustrar este punto,suponga que hayde $40,000 o que se pierda.La retribucin esperada asociada es de ($40,000 Ã ($20,000 $10,000.Aunque hay una retribucin esperada neta,diferentesindividuos interpretan de forma diferente el resultado.Un inversionista que desearetribucin de $40,000.Por el contrario,quizs un inversionista conservador no estdispuesto a correr el riesgo de perder $20,000.El concepto de funcin deutilidadide para reflejar estas diferencias.La funcin de utilidad ocupa entonces el lugar deldinero real en el modelo de toma de decisiones.de utilidad? En la ilustracin anterior de inversin,la mejor retribucin es de $40,000,$20,000.Podemos establecer una escala de utilidad,,de 0 a 100 que es-100.El valor de $20,000 y $40,000 se determina como sigue:Si la actitud del toma-dor de decisiones hacia el riesgo es neutra (indiferente),entonces
15.2Toma de decisiones en condiciones de riesgotarse por medio de una lnea recta que une (0,Ã $20,000) y (100,$40,000).En estecaso,tanto el dinero real como su utilidad conducen a las mismas decisiones.De mane-ra ms general,la funcin des hacia el riesgo.La figura 15.6 ilustra los casos de los individuos .El indivi-,el individuo adverso al riesgo (o precavido),y el,es un .La figura demuestra que para,la reduccin de la utilidad asociado con una ganancia de $10,000.Lo con-ef.Por lo general,un individuopuede ser tanto propenso como adverso al riesgo,en cuyo caso la curva de utilidad se-ÃcuantificandoÃla actitud del tomador de decisiones hacia el riesgo,con diferentes ni-veles de efectivo.En nuestro ejemplo,el intervalo deseado es (100.Para especificar los valores de efectivo intermedio (por ejemplo,$10,000,$0,$10,000,$20,000 y $30,000),establece-),el tomador de decisiones debe formular una preferenciagarantizadax($),neutros ante el riesgo (
1010100500XYZdabcef2020Miles de dlaresUtilidad40
0
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegos.El valor de (o indiferencia) hacia el riesgo.Por ejemplo,para $20,000,el tomador de decisio-igualmente atractivos.En este caso podemos calcular la utilidad de (en oposicin a la aversin al riesgo).Por ejemplo,con CONJUNTO DE PROBLEMAS15.2CUsted es un estudiante en la Universidad de Arkansas y desea desesperadamente asistiral siguiente juego de bsquetbol de los Razorbacks.El problema es que el boleto de ad-misin cuesta $10 y usted slo tiene $5.Puede apostar sus $5 en un juego de ,conuna probabilidad de 50-50 de duplicar su dinero o perderlo todo.Basado en el valor real del dinero,Ãintentara participar en el juego de Basado en su ardiente deseo de ver el juego,transforme el dinero real en una fun-Basado en la funcin de utilidad que desarroll en (b),Ãintentara participar en elLa familia Golden se acaba de mudar a una ciudad donde los terremotos no son raros.Deben decidir si construyen su casa de acuerdo con el cdigo ssmico de alto estndar.Elcosto de construccin aplicando el cdigo ssmico es de $850,000;de lo contrario,puedeconstruirse una casa comparable por slo $350,000.Si ocurre un sismo (y la probabilidadde que ocurra uno es de .001),costar $900,000 reparar una casa construida por debajo delas normas.Desarrolle la lotera asociada con esta situacin,suponiendo una escala de que se incremente a $14,000 o de que se reduzca a $8,000 durante el siguiente ao.Por100,determine la utilidad de rendimiento ($20,000)($20,000)
Probabilidad de indiferencia
Rendimiento neto ($)
Inversionista A
Inversionista B-20001.001.00-10000.300.9000.200.8010000.150.7020000.100.5030000.050.4040000.000.00
Trace la grfica de las funciones de utilidad para los inversionistas cada inversionista ya sea como persona adversa al riesgo o como propensa al riesgo.
15.3Decisin bajo incertidumbrenes.Venture I puede producir un rendimiento neto de $20,000 con probabilidad de0.4 o una prdida neta de $10,000 con probabilidad de 0.6.Venture II puede produ-probabilidad de 0.4.Basado en la funcin de utilidad en (b),aplique el criterio dedebe elegir.15.3DECISIîN BAJO INCERTIDUMBRELa toma de decisiones bajo incertidumbre,as como bajo riesgo,implica acciones alter-Especficamente,la matriz de retribucin de un problema de decisin con ooooo,representa el estado de la natura-.La retribucin o resultado asociado con la accin En la toma de decisiones bajo incertidumbre,la distribucin de probabilidad aso-,o se desconoce o no puede ser determinada.EstaLaplace.Ya que no se co-nocen las distribuciones de probabilidad,no hay razn alguna para creer que las proba-bilidades asociadas con los estados de la naturaleza sean diferentes.Por tanto,las alter-igualmente probables de que ocurran;es decir,) representa la ganancia,la mejor alternativa es la que da por resultado
n anj=1v(ai, sj)fP{s1}=P{s2}=Ã=P{sn}= 1
n .
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosmejor de las peores condiciones posibles.Si ) es una prdida,entonces seleccio-) es una ganancia,utilizamos el criterio lamento de Savage ÃmoderaÃel grado de conservadurismo del cri-prdidamin),considere la siguiente matriz de prdidaFila mx,con una prdida definida de$10,000,es la alternativa preferida.Sin embargo,puede ser mejor elegir ocurre.ste suele ser el casoFila mxEl ltimo criterio,,est diseado para representar diferentes actitudesde decisin que van desde la ms optimista hasta la ms pesimista.Defina 0 .Si 0,entonces el criterio se reduce al cri-terio minimax conservador,que busca la .Si 1,en-.El$1,000$0$0$9,910$11,000$90$10,000$10,000,si ,si
15.3Decisin bajo incertidumbre0 y 1.Sin la fuerte sensacin con respecto a un optimismo y a un pesimismo extremos,
razn de Alaska para ensear tcnicas de sobrevivencia en reas salvajes.NOS estima que laasistencia puede caer dentro de una de cuatro categoras:200,250,300 y 350 personas.El costodel campamento ser mnimo cuando su tamao satisfaga la demanda con exactitud.Las desvia-demanda no se satisface.Si representan los tamaos de los campamentos (200,250,300 yel nivel de asistencia,la siguiente tabla resume la matriz de costos (en51018258712232118122130221915El problema se analiza aplicando los cuatro criterios.Laplace.a 4,los valores esperados con las diferentes acciones se
$21,500
$18,000
23)
25) $14,500
Fila mx 51018252587122323211812213022191530
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosLa siguiente tabla resume los clculos.
Alternativa
Fila mn
Fila mx
(Fila mn) )(Fila mx)
apropiadapodemos determinar la alternativa ptima.Por ejemplo,en
es la ptima,y en
excelUncertainty.xls Laplace,maximin,Savage y Hurwicz.La hoja de clculo est basada en el uso de una matrizde costos.Para utilizar una matriz de recompensas,todas las entradas deben multiplicarse por
1.El tamao mximo de la matriz es (10 CONJUNTO DE PROBLEMAS15.3AHank es un estudiante inteligente y suele obtener buenas calificaciones,siempre quepueda repasar el material del curso la noche anterior al examen.Para el examen de maa-na,Hank enfrenta un pequeo problema.Sus hermanos de fraternidad van a tener unafiesta que va a durar toda la noche,y a la cual le gustara asistir.Hank tiene tres opciones:),moderado (),o difcil (),dependiendodel impredecible humor del profesor.Hank anticipa las siguientes calificaciones:8560409285811008882
Savage.La matriz de arrepentimiento se determina restando 5,7,12 y 15 de las columnas 1 a 4,respectivamente.Por lo tanto,Fila mx036101030081611061625157025
15.4Teora de juegosSuponga que a Hank le interesa ms la calificacin que obtendr.Las calificacionesaprobatorias que van de la A a la D,son 90,80,70 y 60,respectivamente.ÃExigiraPara la temporada de siembra venidera,Farmer McCoy puede sembrar maz (),trigo),o soya (),o utilizar el terreno para pastoreo ().Las retribuciones asociadas conlas diferentes acciones dependen de la cantidad de lluvia:lluvia fuerte (),lluvia mode-),lluvia ligera (),o sequa ().La matriz de retribuciones (en miles de dlares)603040503501004512151510
Mquina
($)Ki
100524012315034908
Desarrolle un curso de accin para Farmer McCoy basado en cada una de las cuatro de-cisiones bajo criterios de incertidumbre.cfico.Las demandas mnima y mxima del producto son **,respectivamente.,y est dado comodecisin bajo incertidumbre.4000 y el siguiente conjunto de datos,resuelva el problema:
15.4TEORêA DE JUEGOSperar al otro.Ejemplos tpicos incluyen el lanzamiento de campaas publicitarias deEn un conflicto,cada uno de los dos jugadores .Asociada con cada par de estrategiasretribucinque un jugador recibe del otro.Tal situacin se conoce como de suma cero entre dos personasda del otro.Esto significa que podemos representar el juego en funcin de la retribu-cin que recibe un jugador.Designando los dos jugadores estrategias,
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosrespectivamente,el juego se presenta usualmente en funcin de la matriz de retribu-15.4.1Solucin ptima de juegos de suma cero entre dos personasDebido a que los juegos de suma cero o constante implican un conflicto de intereses,laintenta buscar una estrategia diferente porque el resultado ser una retribucin peor.combinadas al azar.
Dos compaas,,venden dos marcas de un medicamento para la gripe.La compaa ),televisin ().La compaa ),la televisin (),tambin enva folletos por correo (Dependiendo de la efectividad de cada campaa publicitaria,una compaa puede capturar unaparte del mercado de la otra.La siguiente matriz resume el porcentaje del mercado capturado o
Aplicacin de la vida real. Ordenacin de golfistas en el ltimo da de juegospor parejas de la copa RyderEn el da final de un torneo de golf,dos equipos compiten por el campeonato.El ca-termina las parejas.Para dos golfistas que ocupan el mismo orden en sus respectivaspizarras,es plausible suponer que haya una probabilidad de 50-50 de que cualquiera deellos gane el juego.La probabilidad de ganar se incrementa para un golfista de msalto orden cuando se enfrenta a uno de ms bajo orden.El objetivo es desarrollar unprocedimiento analtico que apoye o refute la idea de utilizar pizarras.El caso 12,cap-
tulo 26,en el sitio web detalla el estudio basado en la teora de juegos.Fila mnColumna mx8
B1B2ÃBnA1a11a12Ãa1mA2a21a22Ãa2moooooAmam1am1Ãamn
,la re-,y la retribucin para
15.4Teora de juegosdor.Si la compaa ,entonces,independientemente de lo que haga,lo peor que puede suceder es que .Esto se re-presenta por medio del valor mnimo de las entradas en la fila 1.Asimismo,con la estrategia ,y con la estrategia ,el peor resultado es que pierda 9% ante B.Estos resultados aparecen bajo .Para lograr lo ,laLuego,para la compaa ,la matriz de retribuciones dada es para ,la est basada en el valor minimax.El resultado es que la compaa ,lo que significa queambas compaas deben utilizar la publicidad por televisin.La retribucin favorecer a la com-porque su segmento del mercado se incrementar 5%.En este caso decimos que el valorquiera de las compaas.Si ),la compaa ,lo que resultara en una prdida peor para (6 u 8%).Por la misma razn,,y 3% si se utiliza
Fila mnColumna mx11
Dos jugadores,,juegan a tirar la moneda.Cada jugador,sin saberlo el otro,escoge cara ().Ambos jugadores revelan sus elecciones al mismo tiempo.Si coinciden (),el.De lo contrario,,respectivamente.$1 y $1,respectivamente,y el juego notiene una estrategia pura porque los dos valores no son iguales.Especficamente,si el jugador ,el jugador .Si esto sucede,.La constante tentacinde cambiar de estrategia muestra que una solucin de estrategia pura no es aceptable.Lo que serequiere en este caso es que ambos jugadores combinen al azar sus estrategias puras respectivas.max del juego;es decir,En el ejemplo de tirar la moneda,el valor del juego debe quedar entre
pura.En su lugar,la solucin puede requerir combinar dos o ms estrategias al azar,como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosEn los juegos (a) y (b) dados a continuacin,la retribucin es para el jugador
B1B2B3B4A18628A28945A37535B1B2B3B4A14-4-56A2-3-4-9-2A367-8-9A473-95
510107En los juegos (a) y (b) dados a continuacin,la retribucin es para el jugador Especifique el intervalo del valor del juego en cada caso.1046
Dos compaas promueven dos productos competidores.En la actualidad,cada productocontrola 50% del mercado.Debido a mejoras recientes en los dos productos,cada compaaplanea lanzar una campaa publicitaria.Si ninguna de las dos compaas se anuncia,conti-nuarn iguales las partes del mercado.Si alguna de las compaas lanza una campaa msagresiva,la otra compaa con toda certeza perder un porcentaje proporcional de sus clien-tes.Un encuesta del mercado muestra que se puede llegar a 50% de los clientes potencialespor medio de la televisin,a 30% por medio de peridicos,y a 20% por medio de la radio.Formule el problema como un juego de suma cero entre dos personas,y determineDetermine un intervalo para el valor del juego.ÃPuede operar cada compaa conCONJUNTO DE PROBLEMAS15.4AEn los juegos (a) y (b) dados a continuacin,la retribucin es para el jugador .Cadajuego tiene una solucin de estrategia pura.En cada caso,determine las estrategias quedefinan el punto de silla y el valor del juego.
15.4Teora de juegos,la retribucin es para el jugador 15.4.2Solucin de juegos con estrategias combinadascos o programacin lineal.La solucin grfica es adecuada para juegos con exactamen-te dos estrategias puras de uno o ambos jugadores.Por otra parte,la PL (programacinlineal) puede resolver cualquier juego de suma cero entre dos personas.El mtodo gr-fico es interesante porque explica la idea de un punto de silla visualmente.Solucin grfica de juegos.tiene dos estrategias,,0 1.El jugador ,Ã,y ,Ã,y1.En este caso,la retribucin espe-rada de A correspondiente a la estrategia pura El jugador A busca el valor de que maximice las retribuciones mnimas esperadas,esdecir,
4.La retribucin es para el jugador minimax no son iguales (Ãcomprubelo!).Las retribuciones esperadas de 432 6
Estrategia pura de B
Retribucin esperada de A1-2x1+42-x1+33x1+24-7x1+6
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegosLa figura 15.7 muestra una grfica creada por TORA de las cuatro lneas rectas asociadas,la envolvente inferior de las cuatro lneas (delineada por franjas verticales) representa la.El m-ximo (mejor) de la envolvente inferior corresponde al punto de solucin maximinEste.La solucin ptima del.El valor correspondiente del juego,,se0.5 en la funcin o bien de la lnea 3,o de la lnea 4,lo cual da finen la envolvente inferior de la grfica.Esto significa que .En consecuencia,las retribuciones esperadas de
2+2=5
2,-7(1
2)+6=5
Solucin grfica del juego de suma cero entre dos personas del ejemplo 15.4-3 obtenida con TORA
Del men,seleccione la opcine ingrese los datos del problema,luego seleccione
SOLVE/MODIFY
Graphical
Zero-sum Games
Main
15.4Teora de juegos
Estrategia pura de A
Retribuciones esperadas de B14y3-12-4y3+6
lneas dadas (ser instructivo que trace las dos lneas e identifique la envolvente superior).EsteLa solucin dala cual da el valor del juego comocon probabilidades iguales,ycon probabilidadesy (En realidad,el juego tiene solucio-dos lneas.Cualquier combinacin no negativa de estas soluciones alternativas tambin es unaComentarios.tiene dos,pueden tratarse del mismo modo.La diferencia principal es quePor consiguiente,buscaremos el punto minimax en lugar del punto maximin de lade las lneas trazadas.Sin embargo,para resolver el problema conTORA,es necesario expresar la retribucin en funcin del jugador que tiene dosestrategias,multiplicndola por CONJUNTO DE PROBLEMAS15.4BRobin viaja entre dos ciudades y puede utilizar dos rutas.La ruta da de cuatro carriles,y la ruta es una larga carretera sinuosa.Robin maneja Ãsuperr-pidoÃ.La patrulla de caminos cuenta con una fuerza policial limitada.Si se asignara todala fuerza a la ruta por la que maneja Robin,con toda certeza recibira una multa de $100por exceso de velocidad.Si la fuerza se reparte 50-50 entre las dos rutas,hay 50% de pro-,y slo 30% de que reciba la.Desarrolle una estrategia tanto para Robin como para la pa-trulla de caminos.Resuelva grficamente los siguientes juegos.La retribucin es para el jugador
1
8.7
8v=4*( 7
8 )-1= 5
2 .y3= 7
8, 4y3-1=-4y3+6B1B2B3A11-37A224-6B1B2A158A265A357
Puede usar el mdulo Zero-sum games de TORA para verificar su respuesta
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegos5505011.110110
Compruebe que las estrategiaspara ypara son ptimas,ydetermine el valor del juego.cero entre dos personas puede expresarse como un programa lineal,y viceversa.Dehecho,GDantzig (1963,pg.24) expresa que cuando J.von Neumann,padre de lateora de juegos,la introdujo por primera vez al mtodo simplex en 1947,de inmediatoprogramacin lineal.Esta seccin explica cmo se resuelven los juegos mediante PL.,Ã,y ,pueden determinarse
54, 5
54 , 021 1
6, 0, 5
6 2
15.4Teora de juegosObserve que el valor del juego,,no est restringido en cuanto a signo.,Ã,y ,se determinan resolviendo el,el problema de (irrestricta),el valor del juego.cin por medio de la definicin de dualidad del captulo 4).Esto significa que la solucinptima de un problema da automticamente la solucin ptima del otro.
Resuelva el siguiente juego mediante programacin lineal.El valor del juego,,queda entre2 y 2.Fila mnColumna mx34
Captulo 15Anlisis de decisiones y juegos0.29,y
.60,y CONJUNTO DE PROBLEMAS15.4CEn un paseo campestre,2 equipos de dos personas juegan a las escondidas.Hay cuatroescondites (A,B,C y D) y los dos miembros del equipo que se esconden pueden hacerlopor separado en dos de los cuatro escondites.El otro equipo puede entonces buscar enlos otros dos escondites restantes.El equipo que busca obtiene un punto si encuentra a los dos miembros del equipo que se esconde;si no encuentra a los dos pierde un punto.De lo contrario,el resultado es un empate.Desarrolle el problema como un juego de suma cero entre dos personas.Determine la estrategia ptima y el valor del juego.La U de A y la U de D estn ideando sus estrategias para el juego de bsquetbol colegialvaronil del campeonato de 1994.Valorando las fuerzas de sus respectivas ÃbancasÃ,cadatro.La habilidad de cada equipo de encestar canastas de 2 puntos,3 puntos y tiros libreses la clave para determinar el marcador final del juego.La siguiente tabla resume lospuntos netos que la U de A anotar por posesin como una funcin de las diferentes es-
de TORA para resolver cualquier juegode suma cero entre dos personas.
LP-basedQ
SolveQ
Zero-sum Games
Resuelva el juego mediante programacin lineal,y determine una estrategia para eljuego de campeonato.Basado en la informacin dada,Ãcul de los dos equipos se perfila para ganar elPronostique el nmero de puntos esperado con el cual se ganar el campeonato.El ejrcito del coronel Blotto est peleando por el control de dos posiciones estratgicas.Blotto dispone de dos regimientos y el enemigo de tres.Una posicin caer ante el ejrci-to con ms regimientos.De lo contrario,el resultado de la batalla es un empate.Formule el problema como un juego de suma cero entre dos personas y resulvaloEn el juego Morra de dos dedos entre dos jugadores,cada jugador muestra uno o dosdedos,y al mismo tiempo adivina cuntos dedos mostrar el oponente.El jugador queadivina correctamente gana una cantidad igual al nmero de dedos mostrados.De locontrario,el juego es un empate.Desarrolle el problema como un juego de suma ceroentre dos personas,y resulvalo mediante programacin lineal.Chen,S.,y C.Hwang,Fuzzy Multiple Attribute Decision Making,Springer-Verlag,Berln,1992.Clemen,R.J.,y T.Reilly,Making Hard Decisions:An introduction to Decision Analysis,2a.ed.,Duxbury,Pacific Grove,CA,1996.Cohan,D.,S.Haas,D.Radloff,y R.Yancik,ÃUsing Fire in Forest Management:Decision MakingInterfaces,vol.14,nm.5,pgs.8-19,1984.Dantzig,G.B.,,Princeton University Press,Princeton,NJ,Meyerson,R.,Game Theory:Analysis of Conflict,Harvard University Press,Cambridge,MA,Rapport,A.ÃSensitivity Analysis in Decision MakingÃ,The Accounting Revie,vol42,nm.3,pgs.441-456,1967.Saaty,T.,RWSPublications,Pittsburgh,1994.
U de AU de AU de AU de A
16.1MODELOS DE REVISIîN CONTINUAEsta seccin presenta dos modelos:(1) una versin ÃprobabilizadaÃdel modelo EOQmandas probabilsticas,y (2) un modelo EOQ probabilstico ms exacto que incluye la16.1.1Modelo EOQ ÃprobabilizadoÃmanda.El periodo crtico durante el ciclo de inventario ocurre entre la colocacin y laCAPêTULO 16Modelos de inventario probabilsticos
Aplicacin de la vida real. Decisiones de inventario en la cadena de abasto de Dell Dell,Inc.implementa un modelo de negocio de ventas directas en el que las computa-doras personales se venden directamente a los clientes en los Estados Unidos.Cuandollega un pedido de un cliente,las especificaciones se envan a una planta de manufac-tura en Austin,Texas,donde la computadora se construye,prueba y empaca en,aproxi-madamente,8 horas.Dell maneja poco inventario.A sus proveedores,que por locomn se ubican en el sureste asitico,se les pide que manejen lo que se conoce comoinventario ÃrevolventeÃdisponible en manufactura.Estos revolvedores son propiedad de Dell y los rentan a los proveedores.Dell entonces ÃsacaÃlas partes que necesita de los revolvedores,y la responsabilidadAunque Dell no posee el inventario guardado en los revolvedores,su costo se transfierede manera indirecta a los clientes mediante la fijacin de precios de los componentes.Por lo tanto,cualquier reduccin del inventario beneficia directamente a los clientes deDell con la reduccin de los precios de los productos.La solucin propuesta ha dadopor resultado un estimado de $2.7 millones en ahorros anuales.(El caso 13 del captu-lo 26,en el sitio web de este libro,detalla este estudio).
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticos,impuestas al modelo EOQ clsico
Tiempo
recepcin de pedidos.ste es el lapso de tiempo en que se podran presentar los fal-tantes (agotamiento de las existencias).La idea entonces es mantener existencias deseguridad constantes que eviten la probabilidad de faltantes.Por intuicin,una proba-bilidad de pocos faltantes implica mayores existencias de reserva,y viceversa.,y los parme-tros del modelo EOQ determinsticoque incluyen el tiempo de espera,;la demanda,y la cantidad econmica de pedido (EOQ),.Observe que ;es decir,).Con arreglo a estasuposicin,la demanda durante el tiempo de espera y desviacin estndar.La frmula para es (representado de forma aproximada si es necesario por) un valor entero..Si ,entonces(0,1),(como se define en la seccin 14.4.4),obtenemosDefiniendo el parmetro .(El valor de narse desde la tabla normal estndar que aparece en el apndice A,o utilizando elexcelStatTables.xls
sL faz= xL-mL
sLP{xLÃB+mL}asL=2Ls2
existencias,
(0, 1)
a
En el ejemplo 13.3-1,donde se determina la poltica de inventario de las luces de nen,la canti-dad econmica de pedido es de 1000 unidades.Suponga que la demanda (100,10);esdecir,10 unidades.Determine el tamao deSegn el ejemplo 13.3-1,el tiempo de espera 2 das.Por lo tanto,1.645,las existencias de reserva se calculan como
100) unidades.CONJUNTO DE PROBLEMAS16.1AEn el ejemplo 16.1-1,determine la poltica de inventario ptima en cada uno de los si-Tiempo de espera 15 das.Tiempo de espera 23 das.Tiempo de espera 8 das.Tiempo de espera 10 das.(200,20).El costo de conservar el CD en los anaqueles es de $.04 por disco por da.Ala tienda le cuesta $100 colocar un nuevo pedido.El tiempo de espera para la entrega esde 7 das.Determine la poltica de inventario ptima de la tienda dado que la tienda(300,5).El costo de retener un rollo en la tienda es de $.02 por da,y el costo fijo de colocar unpedido de reposicin es de $30.La poltica de inventario de la tienda es pedir 150 rollossiempre que el nivel del inventario se reduzca a 80 unidades.Al mismo tiempo,mantie-ne siempre una existencia de reserva de 20 rollos.Determine la probabilidad de quedarse sin existencias.Dados los datos de la situacin,recomiende la poltica de inventario para la tienda,
=2102*2
=14.14 unidades L=DL=100*2=200 unidades
16.1Modelos de revisin continua
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticos16.1.2Modelo EOQ probabilsticoLa base para el desarrollo del modelo EOQ ÃprobabilizadoÃen la seccin 16.1.1 esÃplausibleÃ,pero no hay razn alguna para creer que el modelo produce una polticade inventario ptima.El hecho de que la informacin pertinente en relacin con la na-turaleza probabilstica de la demanda se ignore en un principio,slo para ser Ãrevivi-daÃde una manera totalmente independiente en una etapa posterior de los clculos,basta para refutar la optimalidad.Para remediar la situacin,esta seccin presenta unrectamente en la informacin del modelo.Por supuesto,la precisin ms alta se obtie-ne a expensas de clculos ms complejos.La figura 16.3 ilustra un cambio tpico del nivel de inventario con el tiempo.como se ilustra por los ciclos 1 y 2,respectivamente.La poltica exige pedir la cantidad,siempre que la cantidad del inventario disponible se reduzca a un nivel .Como enel caso determinstico,el nivel de volver a pedir entre la colocacin y la recepcin de un pedido.Los valores ptimos de tes por unidad de tiempo.La demanda no satisfecha durante el tiempo de espera se pone en rezago.No se permite ms de un pedido pendiente.naria con el tiempo.Para desarrollar la funcin de costo total por unidad de tiempo,sean,durante el tiempo de espera
Tiempo
Ciclo 1
Ciclo 2
Tiempo
y
y
R
16.1Modelos de revisin continuaAhora se determinan los elementos de la funcin de costos.es,de modo que el costo de preparacin por unidad de tiempo es aproximada-mente.Costo de retencin esperado.es el nivel de inventario promedio,el costo deLa frmula promedia los inventarios inicial y final esperados en un ciclo,el cual},respectivamente.Como una aproximacin,la expre-} pueda ser negativo.Costo por faltantes esperado..Su valor espe-es proporcional slo a la cantidad faltante,el costo es-perandopor ciclo es,y,basndose enciclos por unidad de tiempo,el costo porfaltante por unidad de tiempo es.Los valores ptimo,,se determinan a partir de no pueden determinarse en formas cerradas.Seaplica un algoritmo iterativo,desarrollado por Hadley y Whitin (1963,pgs.169-174) a
pDy=C2D1K+pS
h
0TCU
0R =h-apD
ybLqRf1x2=00TCU
0y =-aDK
y2b+h
2-pDS
y2=0TCUy, R2= DK
y+hay
2 +R-E{x}b+pD
y LqR1x-R2f1x2 dxpS
y/D = pDS
yD
yS=LqR1x-R2f1x2I= 1y+E{R-x}2+E{R-x}
2 = y
2 +R-E{x}KD
yD
y
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticoslas ecuaciones (1) y (2) para determinar la solucin.El algoritmo converge en un n-mero finito de iteraciones,siempre que haya una solucin factible.0,las ecuaciones (1) y (2) producenexisten cuando.El valor mnimo de ,el cual ocurre cuando Paso0.,y sea 0.Establezca 1,yPaso i.a partir de la ecuacin (2).Si ,detngase;.De lo contrario,use .Establezca 1,y repita el paso
Electro utiliza resina en su proceso de fabricacin a razn de 1000 galones por mes.Colocar unpedido le cuesta $100 a Electro.El costo de retencin por galn por mes es de $2,y el costo porfaltante por galn es de $10.Los datos histricos muestran que la demanda durante el tiempo deespera es uniforme en el rango (0,100) galones.Determine la poltica de colocacin de pedidosptima para Electro.Utilizando los smbolos del modelo,tenemosPrimero tenemos que verificar si el problema tiene una solucin nica.Con las ecuacionesdey obtenemosDebido a que,existe una solucin nica para
100 = R2
200 -R+50y'ÃyNy' = 10*1000
2 =5000 galonesyN =C2*10001100+10*502
2
=774.6 galonesy'yNf(x)= 1
100 , 0x100y1=y=42KD
h
42
h
y'ÃyNy' = PD
hyN =C2D1K+pEx}2
h
16.1Modelos de revisin continuaPor consiguiente,Por lo tanto,,la solucin ptima es 93.611 galones,nes.Se puede utilizar el archivo excelContRev.xls|.La poltica de inventario ptima exige pedir
aproximadamente 320 galones siempre que el nivel del inventario se reduzca a 94 galones.
50 =93.611 galonesy3 =1100,000+10,000*.20399
=319.44 galonesS = R22
200 -R2+50=.20399 galonesR2=100- 319.39
50 -=93.612y2 =1100,000+10,000*.19971
=319.37 galonesS = R1
200 -R1+50=.19971 galonesR1 =100- 316.23
50 =93.68 galonesy1 =C2
h
=C2*1000*100
2
=316.23 galonesRi=100- yi
50L100R1
100 = 2yi
10*1000yi=C2*10001+10S2
2
=1100,000+10,000S
galones
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticosCONJUNTO DE PROBLEMAS16.1BPor los datos dados en el ejemplo 16.1-2,determine lo siguiente:El nmero aproximado de pedidos por mes.El costo de preparacin mensual esperado.El costo de retencin esperado por mes.El costo por faltantes esperado por mes.Resuelva el problema 16.1-2,suponiendo que la demanda durante el tiempo de espera semantiene uniforme entre 0 y 50 galones.uniforme entre 40 y 60 galones.Compare la solucin con la obtenida en el ejemplo 16.1-2,e interprete los resultados.(En ambos problemas,}es la misma,Determine la solucin ptima para el ejemplo 16.1-2,suponiendo que la demanda (100,2).Suponga que 10,000 galones por mes,$2 por galn por mes,$4 por galn,y 16.2MODELOS DE UN SOLO PERIODOsolo periodo de tiempo.Al final del periodo se desechan las unidades sobrantes,si lashay,como en el cado de artculos de moda.Se desarrollarn dos modelos.La diferenciaentre ellos es si se incurre o no en un costo de preparacin para colocar un pedido.,durante el periodoretencin y por faltantes.Si ) es ptima,la poltica de inventario exige pedir;de lo contrario,no se coloca pedido alguno.16.2.1Modelo sin preparacin (Modelo ).Tiene que ver con el almacenamiento y venta deperidicos.de que se recibe el pedido.
16.2Modelos de un solo periodo
y DD y0
yD
Tiempo
yD
.Si ,la cantidad se mantiene durante el periodo.Si El costo esperado durante el periodo,)},se expresa como,y por lo tanto tiene un m-nimo nico.Si tomamos la primera derivada cero,obtenemos ,es discreta,entonces la funcin de costo asociada es
p+hhPDy}-p11-P{Dy}2=0hLy0f1D2 dD-pLq0f1D2 dD=0E{C1y2}=hLy01y-D2f1D2+pLqy1D-y2f1D2
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticosDespus de algunas manipulaciones algebraicas,la aplicacin de estas condiciones da
p+h P{Dy}
Now que debe tener en existencia al inicio de cada da.El propietario paga 30 centavos por unejemplar y lo vende a 75 centavos.La venta del peridico suele ocurrir entre 7:00 y 8:00 .(lademanda es prcticamente instantnea).Los peridicos que sobran al final del da se reciclan yse obtiene un ingreso de 5 centavos por ejemplar.ÃCuntos ejemplares debe tener en existenciacada maana?,suponiendo que la demanda del da puede describirse como ),definida como200220300320340.1.2.4.2.1
Los costos de retencin y penalizacin no se definen de forma directa en esta situacin.Lostavos,y que el costo de penalizacin por agotamiento de las existencias es de 75 vospor ejemplar.Por lo tanto,en funcin de los parmetros del problema de inventario,tene-(300,20).Podemos utilizar la plantilla excelStatTables.xlsdeterminar la cantidad de pedido ptima ingresando 300 en F15,20 en G15,y .643 en L15,y asse obtiene la respuesta deseada de 307.33 peridicos en R15.Adems,podemos utilizar las tablasnormales estndar del apndice A.Defina Por lo tanto,307.3.El pedido ptimo es aproximadamente de 308 ejemplares.
20 =.366P{z.366}L.643z= D-300
20p
p+h = 45
45+25 =.643
16.2Modelos de un solo periodo200220300320340.1.3.7.91.0
Caso (b).).Pero antes determinamos la FDA CONJUNTO DE PROBLEMAS16.2APara el modelo de un solo periodo,demuestre que para la demanda discreta la cantidadcio del periodo.La fdp asociada se mantiene uniforme entre 10 y 15 unidades.Debido ala dificultad de estimar los parmetros de costo,la cantidad de pedido se determina demodo que la probabilidad de un excedente o de un faltante no exceda de .1.ÃEs posibleSi la cantidad de pedido es de 4 unidades,encuentre el intervalo permisible del costo depenalizacin unitario implicado por las condiciones ptimas.Suponga que la demanda
012345678.05.1.1.2.25.15.05.05.05
Para la relacin crtica calculada de .643,tenemos
Por lo tanto,300 ejemplares.La librera de la U de A ofrece un programa de reproduccin de apuntes de clase paraprofesores participantes.El profesor Yataha le da clases a un grupo de primer ao deentre 200 y 250 estudiantes,distribuidos de manera uniforme.La reproduccin de unacopia cuesta $10 y se vende a $25.Los estudiantes compran sus libros al inicio del semes-tre.Las copias de los apuntes del profesor Yataha que no se venden se trituran para re-ciclarlas.Mientras tanto,una vez que la librera se queda sin copias,no se imprimen ms.Si la librera desea maximizar sus ingresos,Ãcuntas copias debe imprimir?.La tienda com-.Despusde esa hora las donas se venden a 5 centavos cada una.La cantidad de clientes que com-pran donas entre las 6:00 y las 8:00 est uniformemente distribuida entre 30 y 50.Cadacliente suele pedir 3 donas con caf.ÃCuntas donas debe tener aproximadamente en
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticosPoltica de pedir ptima (
SKyss1
No pedirPedir
E C(y)
E C(y)
E C(S)
E C(S)
Colony Shop se est surtiendo de abrigos para el siguiente invierno.Colony paga $50 porun abrigo y lo vende a $110.Al final de la temporada invernal,Colony ofrece los abrigos a$55 cada uno.La demanda de abrigo durante la temporada invernal es de ms de 20 peromenor que o igual a 30,todos con iguales probabilidades.Debido a que la temporada inver-nal es corta,el costo de retencin es insignificante.Asimismo,el gerente de Colony no creeque la escasez de sacos provoque penalizaciones.Determine la cantidad de pedido ptimaque maximizar el ingreso para Colony Shop.Puede utilizar una aproximacin continua.Para el modelo de un solo periodo,suponga que el artculo se consume de modo unifor-me durante el periodo (y no de forma instantnea al inicio del periodo).Desarrolle elmodelo de costo asociado,y determine la cantidad de pedido ptima.el periodo,y que la fdp de la demanda es uniforme entre 0 y 100.(16.2.2Modelo con preparacin (Poltica .Utilizando la misma notacin,el costo esperado total por periodo esComo se muestra en la seccin 16.2.1,el valor ptimo Ya que es constante,el valor mnimo detambin debe ocurrir en ,y el valor de ),el cual se descarta.
1S2}=K+E{C1S2 s6SE{C
1y2}P{yy}= p
p+h =K+hLy01y-D2f1D2+pLqy1D-y2f1D2E{C
1y2=K+E{C1y2}
es la cantidad disponible antes de que se coloque un pedido.Caso 1.ya est disponible,su costo equivalente es )}.Si se),el costo correspondiente dada ,el cual incluye el costo de preparacin .De acuerdo con la figura 16.5,tenemosPor lo tanto,la poltica de inventario ptima en este caso es pedir unidades.De acuerdo con la figura 16.5,tenemosPor lo tanto,es ventajoso pedir en este caso,y Caso 3 .De acuerdo con la figura 16.5,tenemos Esta condicin indica que,como en el caso (2),no es ventajoso colocar un pedido;esdecir,La poltica de inventario ptima,ms conocida como ,se resume como,no pedir
del periodo.La fdp de la demanda es uniforme entre 0 y 10 unidades.El costo de retencin uni-tario del artculo durante el periodo es de $.50,y el costo de penalizacin unitario por agota-miento de las existencias es de $4.50.Se incurre en un costo fijo de $25 cada vez que se coloca unpedido.Determine la poltica de inventario ptima para el artculo.,considereInclusive,
10 dD = y
10p
p+h = 4.5
4.5+.5 =.9E{C1x2}6E{C
1y2}(x7S)E{C1x2} mn y7xE{C
1y2}=E1C
1S(sxS)mn y7xE{C
1y2}=E1C
1S6E{C1x2}E{C
1y2}(x7 s)x7SsxSx6s
16.2Modelos de un solo periodo
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticosPoltica
S 9Kys s1 19
IntervalofactibleNo pedirE C(y)
Por lo tanto,9,la ecuacin anterior se reduce a1,o 19.Se descarta el valor de .Debido a queno tiene un valor factible.Como se muestra en la figura16.6,la poltica de inventario ptima en este caso exige que no se pida el artculo.Este resultadose suele presentar cuando la funcin de costo es ÃplanaÃo cuando el costo de preparacin es alto
con respecto a los dems costos del modelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS16.2BDetermine la poltica de inventario ptima para la situacin en el ejemplo 16.2-2,supo-En el modelo de un solo periodo de la seccin 16.2.1,suponga que el modelo maximiza la.Si utilizando la informacin de la seccin 16.2-1,desarrolle una expresin para la utilidad espe-rada,y determine la cantidad de pedido ptima.Resuelva el problema numricamente para$10.La fdp de la demanda es uniforme entre 0 y 10.Resuelva el problema 5,conjunto 16.2a,suponiendo que hay un costo fijo de $10 asocia-do con la entrega de las donas.
10 1y-D2+4.5 L10y 1
10 1D-y2 dD
16.3MODELO DE VARIOS PERIODOScosto de preparacin.Adicionalmente,el modelo permite un retraso en el cumplimien-to de la demanda y supone un retraso cero en la entrega.Adems,asume que una fdp),describe la demanda en cualquier periodo.El modelo de varios periodos considera el valor descontado del dinero.Si es el factor de descuento por periodo,entonces una cantidad $no satisfecha se deja pendiente exactamente un periodo.Defina1,Ã,y ,dado queel ingreso por unidad,respectivamente,la situacin del inventario puede formularse24,en el sitio web,detalla este punto):puede ser negativo porque la demanda no satisfecha se qued pendiente.El problema puede resolverse de manera recursiva.En el caso en que la cantidadde periodos es infinita,la ecuacin recursiva se reduce acibir un pedido,respectivamente.
16.3Modelo de varios periodos
Captulo 16Modelos de inventario probabilsticosse determina a partir de la siguiente condicin necesaria,la cualEl valor dese determina como sigue.Si hay ms unidades al inicio del siguiente periodo,la utilidad durante el siguiente periodo se incrementar,porque se tiene que pedir esta cantidad mucho menor.Esto significa que Por tanto,el nivel ptimo del inventario La poltica de inventario ptima durante cada periodo,si el nivel del inventario,se da por tanto como,pedir ,no pedirCONJUNTO DE PROBLEMAS16.3Amiento de la demanda se queda pendiente,y los pedidos se reciben con retraso cero enentrega.La fdp de la demanda por periodo es uniforme entre 0 y 10,y los parmetros deFactor de descuento Encuentre la poltica de inventario ptima para los dos periodos,suponiendo que el in-ventario inicial en el periodo 1 es cero.
p+h+11-a2r-c-h Ly0f(D) dD+c(1-a)r+pda1-Ly0f1D2b+ac Lq0f(D) dD=00F1y-D2
0y =c0F1y-D2
0y +aLq00F1y-D2
0y f1D2=0 0(.)
0y =-c-hLy0f(D) dD+Lqy[(1-a)r+p] f(D)
Factor de descuento que el no cumplimiento de la demanda se queda pendiente.cumplimiento de la demanda pendiente.Desarrolle la poltica de inventario ptima basa-,la solucin ptima es independienteCohen,R.,y R.Dunford,ÃForecasting for Inventory Control:An Example of When ÃSimpleÃInterfaces,vol.16,nm.6,pgs.95-99,1986.Hadley,G.,y T.Whitin,Analysis of Inventory Systems,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,Nahmias,S.,Production and Operations Analysis,5a.ed.,Irwin,Homewood.IL,2005.Silver,E.,D.Pyke,y R.Peterson,,3a.ed.,Wiley,Nueva York,1998.Zipken,PFoundations of Inventory Management,McGraw-Hill,Boston,MA,2000.
Bibliografa569
17.1DEFINICIîN DE UNA CADENA DE MARKOV1,2à .La familia de variables aleatorias {con una cantidad finita o infinita de estados.
Ejemplo 17.1-1(Mantenimiento de una mquina)regular o buena.Para el mes ,el proceso estocstico en esta situacin se representa como sigue:porque representa tres estados:malo (0),regular (1) y bueno (2).
Ejemplo 17.1-2(Taller)Los trabajos llegan al azar a un taller a razn de 5 trabajos por hora.El proceso de llegada sigueuna distribucin de Poisson,la cual,en teora,permite que llegue cualquier cantidad de trabajos).El proceso de estado infinito que describe la cantidad de
Proceso de Markov.futuro depende slo del estado inmediatamente anterior.Esto significa que dados los
CAPêTULO 17Cadenas de Markov
Captulo 17Cadenas de Markov,la familia de variables aleatoriastes,las probabilidades en un punto especfico del tiempo probabilidad de transicin en un pasoPor definicin,tenemos cadena de Markov.Tiene la propiedad de que todas susprobabilidades de transicin po.Aunque una cadena de Markov puede incluir un nmero infinito de estados,la pre-sentacin en este captulo se limita a slo cadenas finitas,ya que es el nico que senecesita en el texto.
Ejemplo 17.1-3(Problema del jardinero)Cada ao,durante la temporada de siembra de marzo a septiembre,un jardinero realiza una prue-ba qumica para verificar la condicin de la tierra.Segn el resultado de la prueba,la productividaden la nueva temporada puede ser uno de tres estados:(1) buena,(2) regular y (3) mala.A lo largode los aos,el jardinero ha observado que la condicin de la tierra del ao anterior afecta la pro-se o permanecer como est pero nunca mejorar.Por ejemplo,si la condicin de la tierra es buenaen este ao (estado 1) hay 20% de que no cambie el ao siguiente,50% de probabilidad de que.2.5.30.5.5ooooo
17.1Definicin de una cadena de Markovsea regular (estado 2),y 30% de probabilidad de que se deteriorar a una condicin mala (esta-do 3).El jardinero modifica las probabilidades de transicin co.En este caso,la matriz de transicin se vuelve:
El uso de fertilizante puede conducir a mejorar las condiciones del suelo.CONJUNTO DE PROBLEMAS17.1AUn profesor de ingeniera adquiere una computadora nueva cada dos aos.El profesor,la siguiente2con probabilidad .2,o 3con probabilidad .15.Si el modelo2,las probabilidades de cambiar a 3son .6 y .25,respectivamente.Pero3,entonces las probabilidades de comprar los modelos ly son .5 y .1,respectivamente.Represente la situacin como una cadena de Markov.Una patrulla policiaca vigila un vecindario conocido por sus actividades pandilleriles.quiere la ayuda;si no sucede algo,continuar el patrullaje regular.Despus de recibir unallamada,hay 10% de probabilidades de cancelacin (en cuyo caso el patrullaje normal sereanuda),y 30% de probabilidad de que la unidad ya est respondiendo a la llamada ante-rior.Cuando la patrulla llega a la escena del suceso,hay 10% de probabilidades de que losinstigadores hayan desaparecido (en cuyo caso reanuda su patrullaje),y 40% de probabili-dades de que se haga una aprehensin de inmediato.De otro modo,los oficiales rastrearnel rea.Si ocurre una aprehensin,hay 60% de probabilidades de trasladar a los sospecho-sos a la estacin de polica,de lo contrario son liberados y la unidad regresa a patrullar.Cyert and Associates (1963).vencen o se retrasan.Si el pago sobre un prstamo se retrasa ms de cuatro trimestres (1 ao),Banco 1 considera el prstamo como una deuda incobrable y la cancela.La siguien-te tabla proporciona una muestra de la experiencia anterior de Banco 1 con prstamos..30.60.10.10.60.30.05.40.55Exprese la situacin del prstamo de Banco 1 como una cadena de Markov.Pliskin and Tell (1981).trasplante o someterse a dilisis peridicas.Durante un ao cualquiera,30% se somete a trasplantes cadavricos y 10% recibe riones de donadores vivos.En el ao despus deun trasplante,30% de los trasplantes cadavricos y 15% de los recipiendarios de donado-
Cantidadprestada
Trimestres
0$2000 pagados,$3000 retrasados un trimestre,$3000 retrasados 2 trimestres,y el resto retrasados 3 trimestres.1$4000 pagados,$12,000 retrasados un trimestre,$6000 retrasados dostrimestres,y el resto retrasado 3 trimestres.2$7500 pagados,$15,000 retrasados un trimestre,y el resto retrasado 2 trimestres.3$42,000 pagados,y el resto retrasado un trimestre.4$50,000 pagados.
Captulo 17Cadenas de Markovres vivos regresan a la dilisis.Los porcentajes de muertes entre los dos grupos son 20%y 10%,respectivamente.De aquellos que estn en el grupo de dilisis,10% mueren,y delos que sobreviven ms de un ao despus de un trasplante,5% mueren y 5% regresan ala dilisis.Represente la situacin como una cadena de Markov.17.2PROBABILIDADES DE TRANSICIîN ABSOLUTAS Y DE PASOS,las probabilidades absolutas.A partir de estosclculos,podemos ver queChapman-Kolomogorov
La condicin inicial de la tierra es buena,es decir (1,0,0).Determine las probabilidades.30.60.10.10.60.30.05.40.55.101659.52454.372881.101659.52454.372881.101659.52454.372881.30.60.10.10.60.30.05.40.55.101753.525514.372733.101702.525435.372863.101669.525384.372863.30.60.10.10.60.30.05.40.55
17.2Probabilidades de transicin absolutas y de Por lo tanto,las probabilidades absolutas requeridas se calculan como son casi idnticos.El resultado es.Ello demuestra que,a medida que la cantidad de transiciones aumenta,inicial.Las probabilidades resul-
probabilidades de estado estableComentarios.Los clculos asociados con las cadenas de Markov son tediosos.La plantilla celMarkovChains.xls CONJUNTO DE PROBLEMAS17.2AConsidere el problema 1,conjunto 17.1a.Determine la probabilidad de que el profesorcompre el modelo actual en 4 aos.Considere el problema 2,conjunto 17.1a.Si la patrulla se encuentra en este momento enla escena de una llamada,determine la probabilidad de que haga una aprehensin en dospatrullajes.Considere el problema 3,conjunto 17.1a.Suponga que actualmente Banco 1 tiene prsta-mos pendientes que ascienden a $500,000.De stos,$100,000 son nuevos,$50,000 estnretrasados un trimestre,$150,000 estn retrasados dos trimestres,$100,000 estn retrasa-dos tres trimestres,y el resto estn retrasados ms de tres trimestres.ÃCul sera la situa-Considere el problema 4,conjunto 17.1a.Para un paciente al que se est tratando con dilisis,Ãcul es la probabilidad de reci-Para un paciente que ha sobrevivido ms de un ao,Ãcul es la probabilidad de queUn juego de lanzamiento de dados utiliza una cuadrcula de cuatro casillas.Las casillas,C y D con retribuciones monetarias de$6 y $9,respectivamente.Comenzando en la casilla ,lanzamos el dado parareloj.Por ejemplo,si el dado muestra 2,nos movemos a la casilla C.El juego se repite uti-Exprese el problema como una cadena de Markov.Determine la ganancia o prdida esperadas despus de lanzar el dado 5 veces.(100) .101659.52454.372881.101659.52454.372881.101659.52454.372881(.101659.52454.372881)(100) .101753.525514.372733.101702.525435.372863.101669.525384.372863(.101753.525514.372733)(100) .30.60.10.10.60.30.05.40.55(.30.60.1)
Captulo 17Cadenas de Markov17.3CLASIFICACIîN DE LOS ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOVabsorbentees decir,otro estado.Matemticamente,esto suceder sies 1.Esto puede suceder si,y slo si,el estado no es transitorio.à pasos.Esto significa quecuando Con base en las definiciones dadas,una cadena de Markov tar de todos los estados transitorios porque,por definicin,la propiedad transitoria re-quiere entrar a otro estado de ÃatrapamientoÃy nunca volver a visitar el estado transi-torio.El estado de ÃatrapamientoÃno necesita ser un solo estado absorbente.Porejemplo,considere la cadenael sistema se queda ÃatrapadoÃen los estados 3 y 4.Un los estados 3 y 4,que en cierta forma desempean el papel de un estado absorbente.Pordefinicin,todos los estados de un ,lo cual significatransiciones;es decir,.Observe que cada uno de losestados 3y 4 aperidica(no peridica).En este caso las probabilidades absolutas despus de transiciones,,siempre convergen de forma nica a una distribucin limi-,como
Ejemplo 17.3-1(Estados absorbentes y transitorios)Los estados 1 y 2 son transitorios porque llegan al estado 3 pero nunca se puede regresar a ellos.1.Estas clasificaciones tambin pueden verse cuandoes calculada.Por ejemplo,considere.2.5.30.5.50100001000.3.700.4.6
17.3Clasificacin de los estados en una cadena de MarkovEl resultado muestra que,a la larga,la probabilidad de volver a entrar al estado 1 o 2 es cero,yque la probabilidad de quedarse ÃatrapadoÃen el estado absorbente 3 es segura.
Ejemplo 17.3-2(Estados peridicos)Podemos probar la periodicidad de un estado calculando 2,3,4,Ã .Estos valores sern positivos slo en el periodo correspondiente del estado.Por ejemplo,consideremos5).Esto significa que el periodo
CONJUNTO DE PROBLEMAS17.3AClasifique los estados de las siguientes cadenas de Markov.Si un estado es peridico,de-.10.9.7.30.2.7.10100000.5.50000.7.30000001000000.4.60000.28
21
41
4000101
301
31
.0567.942400.9424.05760.97696.02304.03456.9654400.6.4.6.40.24.7600.76.240.904.0960010.144.8560
Captulo 17Cadenas de MarkovUn juego implica cuatro bolas y dos urnas.Una bola en cualquier urna tiene una proba-bilidad de 50-50 de ser transferida a la otra urna.Represente el juego como una cadenade Markov,y demuestre que sus estados son peridicos con periodo con tres filas y dos columnas.Cada muro interior tiene una puerta que conecta con lassalas adyacentes.Los guardias se desplazan por las salas a travs de las puertas interiores.Represente los movimientos de cada guardia en el museo como una cadena de Markov,y17.4PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE Y TIEMPOS DE RETORNO MEDIOS En una cadena ergdica,las probabilidades de estado estable se definen comoEstas probabilidades,las cuales son independientes de,se pueden determinar dees redundante).Lo que permanecen sin cambiar despus de una transicin adicional,y por estarazn representan la distribucin de estado estable.por primera vez.Esto se conoce como tiempo medio del primer retorno medio de recurrencia,y se calcula en una cadena de Markov de
con fertilizante (ejemplo 17.1-3),tenemos.3.6.1.1.6.3.05.4.55
pj , j=1, 2, Ã, n ajpj=1 P=P P{aj(0)}pj= lmn:q aj1n2, j=0, 1, 2, Ã
17.4Probabilidades de estado estable y tiempos de retorno medios de cadenas ergdicasexcelMarkovChanins.xls
(Cualquiera de las primeras tres ecuaciones es redundante).La solucin es 0.3729;es decir que a la larga la condicin de la tierra ser buena 10% del tiempo,regular 52% del tiempo,y mala 37% del tiempo.Esto quiere decir que,en promedio,se requerirn aproximadamente 10 temporadas de siembraestado,2 temporadas para que regrese al estado ,y 3.Estos resultados apuntan hacia un panoramamenos promisorio para la condicin de la tierra con el uso propuesto de fertilizantes.Un pro-grama ms agresivo debe mejorar el panorama.Por ejemplo,considere la siguiente matriz deEn este caso,0.58,y 0.11,lo cual da 8.9,un cam-
bio reversible del sombro panorama dado anteriormente.
excelMarkovChains.xls al ejemplo del jardinero.Ladena de Markov.Los pasos son autoexplicativos.En el paso 2a,puede invalidar los cdigos deestado preestablecidos (1,2,3,Ã) por un cdigo de su eleccin,y luego hacer clic en el botn ubi-cado en la celda L2.Los nuevos cdigos se transferirn automticamente a travs de la hoja de
.35.6.05.3.6.1.25.4.35
.1017 =9.83, m22= 1
.5254 =1.9, m33= 1
.3729 =2.68
Captulo 17Cadenas de Markov
Ejemplo 17.4-2(Modelo de costos)Considere el problema del jardinero con fertilizante (ejemplo 17.1-3).El jardn necesita dossacos de fertilizante si la tierra es buena.La cantidad se incrementa en 25% si la tierra es regu-lar,y 60% si la tierra es mala.El costo del fertilizante es de $50 por saco.El jardinero estima unrendimiento anual de $250 si no se utiliza fertilizante,y de $420 si se aplica el fertilizante.ÃEs re-Aplicando las probabilidades de estado constante del ejemplo 17.4-1,obtenemos$170.Se recomienda eluso del fertilizante.CONJUNTO DE PROBLEMAS17.4AEn un da soleado,MiniGolf puede tener ingresos de $2000.Si el da est nublado,los in-gresos se reducen 20%.Un da lluvioso reducir los ingresos en 80%.Si hoy est soleadohay 80% de probabilidades de que maana est soleado sin amenaza de lluvia.Si estnublado,hay 20% de probabilidades de que maana llueva,y 30% de probabilidades deque est soleado.Seguir lloviendo hasta el da siguiente con una probabilidad de .8,perocon 10% de probabilidades de que est soleado.Determine los ingresos diarios esperados para MiniGolf.Determine el promedio de das que no estarn soleados.A Joe le encanta salir a comer a los restaurantes del rea.Sus comidas favoritas son lamexicana,la italiana,la china y la tailandesa.En promedio,Joe paga $10,00 por una co-mida mexicana,$15.00 por una comida italiana,$9.00 por una comida china,y $11.00 poruna comida tailandesa.Los hbitos alimenticios de Joe son predecibles:Hay 70% de pro-les de que cambie a una de las tres restantes.ÃCunto paga Joe en promedio por su comida diaria?ÃCon qu frecuencia consume Joe comida mexicana?Algunos exconvictos pasan el resto de su vida libre en juicio,en la crcel,o en libertadcondicional.Al inicio de cada ao,las estadsticas muestran que hay 50% de probabilida-des de que un exconvicto libre cometa un nuevo delito y de que sea procesado.El juezpuede enviar al exconvicto a la crcel con una probabilidad de .6,u otorgarle la libertadcondicional con probabilidad de .4.Un vez que estn en la crcel,10% de los exconvictossern puestos en libertad por buena conducta.De los que estn en libertad condicional,10% cometen nuevos delitos y son arraigados para ser procesados,50% regresarn paracumplir su sentencia por violar las rdenes de libertad condicional,y 10% sern puestosen libertad por falta de pruebas.Los contribuyentes solventan el costo asociado con elcastigo de los exconvictos.Se estima que un juicio costar aproximadamente $5000,unasentencia de crcel promedio costar $20,000,y un periodo de libertad condicional pro-Determine el costo esperado por exconvicto.$135.51
17.4Probabilidades de estado estable y tiempos de retorno medios de cadenas ergdicas0123.1.3.4.2
La tienda est comparando dos polticas de colocar pedidos:(1) Pedir hasta 3 unidadescada 3 das si el nivel de las existencias es menor que 2;de lo contrario,no pedir.(2) Pedir3 unidades cada 3 das si el nivel del inventario es cero;de lo contrario,no pedir.El costofijo por ordenar por envo es de $300,y el costo de retener las unidades excedentes porunidad por da es de $3.Se espera una entrega inmediata.Para las dos polticas,compare el promedio de das entre agotamientos sucesivos delinventario.Hay tres categoras de filtro del impuesto sobre la renta en los Estados Unidos:los quenunca evaden impuestos,lo que en ocasiones lo hacen,y los que siempre lo hacen.Unde los que no evadieron impuestos el ao pasado,95% continuar en la misma categoraeste ao;4% se mover a la categora Ãa vecesÃ,y el resto se mover a la categora Ãsiem-preÃ.Para los que a veces evaden impuestos,6% se mover a ÃnuncaÃ,90% permanecerigual,y 4% se mover a ÃsiempreÃ.Por lo que se refiere a los evasores de ÃsiempreÃ,losporcentajes respectivos son 0,10 y 90%.Exprese el problema como una cadena de Markov.A la larga,Ãcules seran los porcentajes de las categoras de evasin de impuestosde ÃnuncaÃ,Ãa vecesÃy ÃsiempreÃ?Las estadsticas muestran que un contribuyente en la categora Ãa vecesÃevade im-puestos que suman aproximadamente $5000 por declaracin y en la categora Ãsiem-preÃsuman aproximadamente $12,000.Suponiendo que la poblacin de contribu-Warehouzer posee un bosque renovable para plantar pinos.Los rboles caen dentro deuna de cuatro categoras segn su edad:bebs (0-5 aos);jvenes (5-10 aos);maduros(11-15 aos),y viejos (ms de 15 aos).Diez por ciento de los rboles bebs y jvenes semuere antes de llegar al siguiente grupo de edad.Por lo que se refiere a los rboles ma-duros y viejos,50% se talan y slo 5% se mueren.Debido a la naturaleza de renovacinde la operacin,todos los rboles talados y muertos son reemplazados con rboles nue-vos (bebs) al final del siguiente ciclo de cinco aos.Exprese la dinmica del bosque como una cadena de Markov.Si el bosque puede contener un total de 500,000 rboles,determine la composicin alargo plazo del bosque.en el mercado,determine el ingreso anual promedio derivado de la operacin del bosque.busca una mejor calidad de vida o un mejor empleo.La ciudad de Mobile tiene una pobla-cin citadina interna,una poblacin suburbana y una poblacin rural circundante.Ela los suburbios y 5% al interior de la ciudad.En cuanto a la poblacin suburbana,30% setraslada a las reas rurales y 15% al interior de la ciudad.La poblacin del interior de laciudad no se cambiara a los suburbios,pero 20% s se cambiara a la quieta vida rural.Exprese la dinmica de la poblacin como una cadena de Markov.Si el rea metropolitana de Mobile en la actualidad incluye 20,000 residentes rurales,100,000 suburbanos,y 30,000 habitantes citadinos,Ãcul ser la distribucin de la po-Determine el panorama de la poblacin de Mobile a largo plazo.
Captulo 17Cadenas de MarkovUna agencia de renta de automviles tiene oficinas en Phoenix,Denver,Chicago yAtlanta.La agencia permite rentas en una y en dos direcciones de modo que los autom-viles rentados en un lugar pueden terminar en otro.Las estadsticas muestran que al finalde cada semana 70% de todas las rentas son en dos direcciones.En cuanto a las rentas enuna direccin:Desde Phoenix,20% van a Denver,60% a Chicago,y el resto va aAtlanta;desde Denver,40% va a Atlanta y 60% a Chicago;de Chicago,50% va a Atlantay el resto a Denver;y desde Atlanta,80% va a Chicago,10% a Denver,y 10% a Phoenix.Exprese la situacin como una cadena de Markov.Si la agencia inicia la semana con 100 autos en cada lugar,Ãcmo ser la distribucinSi cada lugar est diseado para manejar un mximo de 110 autos,Ãhabra a la largade cada da.Los datos de los ltimos 30 das proporciona las siguientes posiciones de in-ventario al final del da:1,2,0,3,1,0,0,3,0,1,1,3,2,3,3,2,1,0,2,0,1,3,0,0,3,2,1,2,2.Represente el inventario diario como una cadena de Markov.Determine el inventario diario esperado.Determine el promedio de das entre inventarios cero sucesivos.En el problema 9,suponga que la demanda diaria puede exceder la oferta,lo cual dalugar a faltantes (inventario negativo).El nivel del inventario al final del da durante los 30 das pasados se da como:1,2,0,Ã2,2,2,Ã1,Ã1,3,0,0,1,Ã1,Ã2,3,3,Ã2,Ã1,0,2,0,Ã1,3,0,0,3,Ã1,1,2,Ã2.Exprese la situacin como una cadena de Markov.costo de penalizacin por libro faltante es de $4.00 por da,determine el costo del in-Una tienda inicia una semana con al menos 3 PC.La demanda por semana se estima en 0con probabilidad de .15,1 con probabilidad de .2,2 con probabilidad de .35,3 con proba-bilidad de .25,y 4 con probabilidad de .05.La demanda insatisfecha se deja pendiente.Lasiempre que el nivel del inventario se reduzca por debajo de 3 PC.El nuevo pedido siem-pre regresa las existencias a 5 PC.Exprese la situacin como una cadena de Markov.Suponga que la semana se inicia con 4 PC.Determine la probabilidad de que un pe-dido se coloque al final de dos semanas.Si el costo fijo de colocar un pedido es de $200,el costo de retencin por PC por se-mana es de $5,y el costo de penalizacin por computadora faltante es de $20,deter-Resuelva el problema 11,suponiendo que el tamao del pedido,cuando se coloca,seaexactamente de 5 piezas.
17.5Tiempo del primer pasoEn el problema 12,suponga que la demanda de las PC es de 0,1,2,3,4 o 5 con iguales pro-babilidades.Suponga adems que la demanda no satisfecha no se ha dejado pendiente,pero que an se incurre en un costo de penalizacin por faltante.Exprese la situacin como una cadena de Markov.Determine la probabilidad a largo plazo de que ocurra un faltante.Si el costo fijo de colocacin de un pedido es de $200,el costo de retencin porcomputadora por semana es de $5,y el costo de penalizacin por faltante de PC por semana es de $20,determine los costos de colocacin de pedido e inventario edo concesiones anuales para proyectos.Todas las licitaciones son competitivas,pero ladurante los ltimos tres aos,y mnima si se dieron otorgamientos en cada uno de los l-timos tres aos.De manera especfica,la probabilidad de obtener una concesin si no seha recibido ninguna en los ltimos tres aos es de .9.Se reduce a .8 si se recibi una,a .7si se recibieron dos,y de slo .5 si se recibieron tres.Exprese la situacin como una cadena de Markov.Determine la cantidad esperada de otorgamientos por propietario por ao.Jim Bob ha recibido muchas multas por violaciones al reglamento de trnsito.Desafortunadamente para Jim Bob,la tecnologa moderna puede seguir el rastro de susmultas anteriores.En cuanto acumula 4 infracciones,su licencia de manejo es revocadatorial limpio.Jim Bob es ms imprudente inmediatamente despus de completar la clasede educacin vial,e invariablemente la polica lo detiene con 50% de probabilidades deser multado.Despus de cada nueva multa,trata de ser ms cuidadoso,lo cual reduce laExprese el problema de Jim Bob como una cadena de Markov.Si cada multa es de $100,Ãcunto,en promedio,paga Jim Bob entre suspensiones su-El clima diario en Fayettville,Arkansas,puede ser nublado (C),soleado (S),lluvioso (R),o ventoso (W).Los registros a lo largo de los ltimos 90 das sonCCSWRRWSSCCCRCSSWRCRRRRR CWSSWRWWRCRRRRCWSSWRWCCSWRRWSSCCCRCSSWSSWRWWRCRRRRCWSSWRWCCSWRRWSSS.Basado enestos registros,use una cadena de Markov para determinar la probabilidad de que un datpico en Fayetteville pueda estar nublado,soleado,lluvioso o ventoso.17.5TIEMPO DEL PRIMER PASO,el.En esta seccin nos interesa el ,definido como el nmero esperado de transiciones para llegar.Los clculos tienen su origen en la deter-,definido ,donde es la probabilidad del primer paso del estado transiciones.Se puede determinar una expresin pararecursivamente a partir de
Captulo 17Cadenas de Markovestados.1,no es seguro que el sistema pase alguna vez del estado 1,la cadena de Markov es ergdica,y el transiciones,,es utilizar la siguiente frmula ba-
Considere una vez ms la cadena de Markov del jardinero con fertilizantes.dems,considere el paso de los estados 2 y 3,(regular y malo) al estado 1 (bueno).Por lo tanto,De modo que,Por lo tanto,se requerirn 12.5 temporadas en promedio,para pasar la tierra regular a tierrabuena,y 13.34 temporadas para ir de la tierra mala a la tierra buena.
,como se muestra a continuacin.
excelFirstPassTime.xls del primer paso.La figura 17.2 muestra los clculos asociados con el ejemplo 17.5-1.El paso 2 de7.505.006.676.67.60.30.40.55.4.457.505.006.676.67.30.60.10.10.60.30.05.40.55
17.5Tiempo del primer pasoexcelFirstPassTime.xls
paso 1.En el paso 2a,puede anular los cdigos de estado preestablecidos en la fila 6 con un c-digo de su eleccin.El cdigo se transfiere entonces automticamente por toda la hoja de clcu-lo.Despus de que ingrese las probabilidades de transicin,el paso 3 crea la matriz .El.Por ejemplo,para crear ,primero copie en la ubicacin destino seleccionada.A continuacin,resalte la columna 3 de la matriz copiada,crtela,y pguela en la columna 2,y as se elimina la columna 2.Asimismo,resalte ahora la fila 3de la matriz resultante,crtela,y luego pguela en la fila 2,y as se elimina la fila 2.La creada automticamente realiza su cdigo de estado correcto.,se calcula la inversa en la ubicacin destino.Las ope-Resalte E18:F19,el rea donde residir la inversa.
Captulo 17Cadenas de Markov
21345
filas de la inversa,es decir,ingresando 2,e 3,los clculos restantes se realizan de forma automti-
ca copiando E18:F19 en E22:F23 y E26:F27,y copiando H18:H19 en H22:H23 y H26:H27.CONJUNTO DE PROBLEMAS17.5AUn laberinto se compone de las rutas mostradas en la figura 17.3.La interseccin 1 es laentrada al laberinto,y la interseccin 5 es la salida.En cualquier interseccin,el ratntiene probabilidades iguales de seleccionar cualquiera de las rutas disponibles.Cuando elratn llega a la interseccin 5,el experimento se repite volviendo a entrar al laberintoExprese el laberinto como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de que,comenzando en la interseccin 1,el ratn llegue ala salida despus de tres intentos.En el problema 1,por intuicin,si se agregan ms opciones (rutas) al laberinto,Ãse incre-Jim y Joe comienzan un juego con cinco fichas,tres para Jim y dos para Joe.Se lanza unamoneda,y si el resultado es cara,Jim le da a Joe una ficha,de lo contrario Jim obtieneuna ficha de Joe.El juego termina cuando Jim o Joe tiene todas las fichas.En este punto,hay 30% de probabilidades de que Jim y Joe continen con el juego,comenzando denuevo con tres fichas para Jim y dos para Joe.Represente el juego como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de que Joe gane con tres lanzamientos de la moneda.Deque Jim gane haciendo lo mismo.Determine la probabilidad de que un juego termine a favor de Jim.A favor de Joe.gane.Joe gana.dar por polinizacin cruzada flores de lis rosas con flores de lis rojas,naranjas y blancas.las rojas pueden producir 40% rojas,50% rosas y 10% naranjas,las naranjas pueden pro-ducir 25% naranjas,50% rosas y 25% blancas,y las blancas pueden producir 50% rosas y50% blancas.Exprese la situacin del jardinero como una cadena de Markov.cada tipo de flores de lis,Ãcmo sera la distribucin despus de 5 aos? ÃA largo plazo?
17.6Anlisis de los estados absorbentesdiante publicidad y mercadotecnia inteligentes para que cambien de marcas.Considere el.Los clientes que se ÃmantienenÃleales a una marca dada seestiman en 75%,con un margen de slo 25% para que sus competidores hagan un cam-bio.Los competidores lanzan sus campaas publicitarias una vez al ao.Para los clientes,las probabilidades de que cambien a las marcas son de .1 y .15,res-pectivamente.Los clientes de la marca con las siguientes probabilidades:.2 y .05 respectivamente.Los clientes de la marca con probabilidades iguales.Exprese la situacin como una cadena de Markov.A largo plazo,Ãqu tanto segmento del mercado dominar cada marca?17.6ANçLISIS DE LOS ESTADOS ABSORBENTESEn el problema del jardinero,sin fertilizante la matriz de transicin se da como,y el estado 3,porque una vez que llega a ese estado el siste-ma permanecer all por tiempo indefinido.Una cadena de Markov puede tener ms de unestado absorbente.Por ejemplo,un empleado puede permanecer con la misma compaahasta su retiro o renunciar antes (dos estados absorbentes).En estos tipos de cadenas,nostransiciones para llegar a ella,dado que el sistema se inicia en un estado transitorio es-pecfico.Por ejemplo,en la cadena de Markov antes dada,si actualmente la tierra esbuena,nos interesar determinar el promedio de temporadas de siembra hasta que latierra se vuelva mala,e igualmente la probabilidad asociada con esta transicin.forma conveniente con matrices.En primer lugar,la cadena de Markov se particionade la nueva matriz.Por ejemplo,considere la siguiente matriz de transicin:.2.3.4.1.5.30.2.2.5.30.5.5
Captulo 17Cadenas de MarkovEn este caso,tenemos tos 1),se puede demostrar que:Tiempo esperado en el estado Tiempo esperado para la absorcin
Se procesa un producto en secuencia en dos mquinas,I y II.La inspeccin se realiza despus deque una unidad del producto se completa en cualquiera de las mquinas.Hay 5% de probabili-dades de que una unidad sea desechada antes de inspeccionarla.Despus de la inspeccin,hay3% de probabilidades de que la unidad sea desechada,y 7% de probabilidades de ser devuelta ala misma mquina para trabajarla de nuevo.De lo contrario,una unidad que pasa la inspeccinPara una pieza que se inicia en la mquina 1,determine el promedio de visitas a cadaestado.Si un lote de 1000 unidades se inicia en la mquina I,determine el promedio de uni-dades buenas completadas.Para la cadena de Markov,el proceso tiene 6 estados:iniciar en 1(1),inspeccionar despus1),iniciar en II (2),inspeccin despus de II (2),desechar despus de la inspeccin I o II),y buena despus de II ().Los estados son estados absorbentes.La matriz de transi-0.9500.050.070.90.030000.95.05000.070.03.9000010000001.2.4.50.3.1.3.2.2.4.3.1.50.3.2
Adaptado de J.Shamblin y G.Stevens,Operations Research:A Fundamental Approach,McGraw-Hill,Nueva York,captulo 4,1974.
17.6Anlisis de los estados absorbentesPor lo tanto,pus del ejemplo 17.5-1),obtenemosmuestra que,en promedio,la mquina I es visitada 1.07 veces,la inspeccin I es visitada 1.02 veces,la mquina II es visitada .98 veces,y la inspeccin II es visi-tada .93 veces.La razn por la que el nmero de visitas en la mquina I y la inspeccin I seamayor que 1 son el retrabajo y la reinspeccin.Por otra parte,los valores correspondientes paramquina II.En realidad,en condiciones perfectas (ningunas piezas se desechan o retrabajan),asignando una probabilidad de transicin de 1 a todos los estados).Por supuesto,la permaen cada estado podra diferir.Por ejemplo,si los tiempos de procesamiento en las mquinasI y IIson de 20 y 30 minutos y si los tiempos de inspeccin en I y II son de 5 y 7 minutos,entonces unapieza que inicia en la mquina 1 ser procesada (es decir,desechada o terminada) en (1.07 62.41 minutos.Para determinar la cantidad de piezas terminadas en un lote inicial de 1000 piezas,podemos
CONJUNTO DE PROBLEMAS17.6AEn el ejemplo 17.6-1,suponga que el costo de la mano de obra para las mquinas I y II esde $20 por hora y que para la inspeccin es de slo $18 por hora.Suponga adems que serequieren 30 minutos y 20 minutos para procesar una pieza en las mquinas I y II,respec-tivamente.El tiempo de inspeccin en cada una de las dos estaciones es de 10 minutos.1.071.02.980.930.071.071.030.98001.071.02000.071.07.050.030.050.03.9.16.84.12.88.08.92.04.96.9500.071.90.0711.071.02.980.930.071.071.030.98001.071.02000.071.070.9500.070.90000.9500.070.050.030.050.03.9
Captulo 17Cadenas de MarkovCuando pido prestado un libro de la biblioteca de la ciudad,trato de devolverlos despusde una semana.Dependiendo del tamao del libro y de mi tiempo libre,hay 30% de pro-babilidades de que lo conserve otra semana.Si me lo quedara dos semanas,hay 10% deprobabilidades que me lo quede una semana ms.En ninguna condicin me lo quedoms de tres semanas.Exprese la situacin como una cadena de Markov.En el Casino del Ro,un apostador puede apostar en dlares enteros.Cada apuesta gana$1 con probabilidad de .4 o pierde $1 con probabilidad de .6.Comenzando con tres dla-res,el apostador se retirar si pierde todo el dinero o bien lo duplica.Exprese el problema como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de terminar el juego con $6.De perder los $3.Jim debe avanzar cinco aos para completar su doctorado en la Universidad ABC.Sinembargo le agrada la vida de estudiante y no tiene prisa para obtener su grado.En cual-quier ao acadmico,hay 50% de probabilidades de que pueda tomarse un ao sabticoy 50% de probabilidad de dedicarle tiempo completo a su doctorado.Despus de com-pletar tres aos acadmicos,hay 30% de probabilidades de que Jim pueda dar ÃmarchaatrsÃy simplemente obtenga una maestra,20% de probabilidades de que se tome libreel siguiente ao pero continuando con el programa de doctorado,y 50% de probabilida-des de que asista a la escuela a tiempo completo en busca de su doctorado.Exprese la situacin de Jim como una cadena de Markov.diante de Jim termine.ha descartado la posibilidad de hacerlo antes.Al final de cada ao pondera sus opciones(y actitud con respecto al trabajo).La probabilidad de renunciar despus de un ao es deslo .1,pero parece incrementarse en aproximadamente .01 con cada ao ms que pasa.Exprese el problema como una cadena de Markov.A los 57 aos,Ãcul es la probabilidad de que el empleado renuncie?A los 58 aos,Ãcul es el nmero esperado de aos antes de que el empleado quedeEn el problema 3,conjunto 17.1a,pierda como una deuda incobrable.brable.De que se liquide en su totalidad.Si un prstamo tiene seis meses de antigedad,determine el nmero de trimestresEn un torneo de tenis de individuales,Andre y John estn jugando un partido por el cam-peonato.El partido se gana cuando uno de los jugadores gana tres de cinco ÃsetsÃ.Lasestadsticas muestran que hay 60% de probabilidades de que Andre gane cualquier set.Exprese el partido como una cadena de Markov.En promedio,Ãcunto durar el partido,y cul el la probabilidad de que Andre gane
17.6Anlisis de los estados absorbentesSi el marcador es 1 set a 2 a favor de John,Ãcul es la probabilidad de que Andre gane?En el inciso (c),determine el nmero promedio de sets hasta que el partido terminee interprete el resultado.Los estudiantes en U de A han expresado su disgusto por el rpido paso al cual el depar-tamento de matemticas est impartiendo el Cal I de un semestre.Para afrontar este pro-blema,el departamento de matemticas ahora est ofreciendo Cal I en 4 mdulos.Losestudiantes establecern su paso individual para cada mdulo y,cuando estn listos,harn un examen que los llevar al siguiente mdulo.Los exmenes se aplican una vezcada 4 semanas,de modo que un estudiante diligente puede completar los 4 mdulos enun semestre.Despus de un par de aos con este programa,20% de los estudiantes com-pleta el primer mdulo a tiempo.Los porcentajes para los mdulos del 2 al 4 fueron de22,25 y 30%,respectivamente.Exprese el problema como una cadena de Markov.En promedio,un estudiante que inici el mdulo I al principio del semestre actualÃRecomienda aplicar la idea del mdulo a otras materias bsicas? Explique.En la U de A,la promocin de profesor asistente a profesor asociado requiere el equiva-lente de cinco puntos (aos) de desempeo aceptable.Se realizan revisiones de desem-peo una vez al ao,y el candidato recibe una calificacin promedio,una buena califica-cin o una calificacin excelente.Una calificacin promedio equivale a estar a prueba,elcandidato no gana puntos hacia la promocin.Una buena calificacin equivale a ganarun punto,y una calificacin excelente suma dos puntos.Las estadsticas muestran que enbuena calificacin;el resto obtiene una calificacin excelente.Exprese el problema como una cadena de Markov.Determine el promedio de aos hasta que un nuevo profesor asistente sea promovido.Pfifer and Carraway (2000).enviada por correo.Durante el primer ao,la probabilidad de que un cliente realice unacompra es de .5,la cual se reduce a .4 en el ao 2,de .3 en el ao 3,y de .2 en el ao 4.Sino realiza ninguna compra en cuatro aos consecutivos,el cliente es borrado de la listade correo.Si hace una compra la cuenta regresa a cero.Exprese la situacin como una cadena de Markov.lista de correo.Si un cliente no ha realizado una compra en dos aos,determine el nmero esperadode aos que estar en la lista de correo.112 volts.Si el voltaje se sale de este intervalo,la mquina se detiene.El regulador de vol-taje de la mquina puede detectar variaciones en incrementos de un volt.La experienciamuestra que el voltaje cambia cada 15 minutos.Dentro del intervalo permisible (118 a112 volts) el voltaje puede subir 1 volt,permanecer igual,o bajar un volt,todos con igua-les probabilidades.Exprese la situacin como una cadena de Markov.Determine la probabilidad de que la mquina se detenga a causa de un voltaje bajo.De un voltaje alto.
Captulo 17Cadenas de MarkovConsidere el problema 4,conjunto 17.1a,que tiene que ver con los pacientes que sufrende falla de rin.Determine las siguientes medidas:Cuntos aos puede un paciente permanecer sometido a dilisis.La longevidad de un paciente que inicia un tratamiento de dilisis.de un trasplante.(presumiblemente,pasar pocos aos con dilisis significa una mejor calidad de vida).Bini,D.,E.Harold,y J.Palacios,Numerical Methods for Structured Markov Chains,University Press,Nueva York,2005.Cyert,R.,H.Davidson,y G.Thompson,ÃEstimation of the Allowance for Doubtful Accounts byManagement Science,vol.8,nm.4,pgs.287-303,1963.Pfifer,P.,y R.Cassaway,ÃModeling Customer Relations with Markov ChainsÃ,Journal of,vol.14,nm.2,pgs.43-55,2000.Grimmet,G.,y D.Stirzaker,,2a.ed.,Oxford University Press,Oxford,Inglaterra,1992.Pliskin,J.,y E.Tell,ÃUsing Dialysis Need-Projection Model for Health Planning in,vol.11,nm.6,pgs.84-99,1981.Stewart,W.,Introduction to the Numerical Solution of Markov Chains,Princeton UniversityPress,Princeton,NJ,1995.Tijms,H.,A First Course in Stochastic Models,Wiley,Nueva York,2003.
18.1ÃPOR QU ESTUDIAR LAS COLAS?Esperar que nos atiendan es parte de la vida diaria.Esperamos en los restaurantes,ha-cemos fila para abordar un avin,y nos formamos en la cola para que nos atiendan endependencias oficiales.El fenmeno de esperar no se limita a los seres humanos:lostrabajos esperan para ser procesados,los aviones vuelan en crculos a diferentes alturashasta que se les permite aterrizar,y los autos se detienen en los semforos.Eliminar laoperacin del centro de operacin puede ser prohibitivo.Nuestro nico recurso es bus-medio de medidas de desempeo representativas,tales como longitud promedio de la cola,tiempo de espera promedio en la cola,y el uso promedio de la instalacin.El siguiente ejem-plo demuestra cmo pueden usarse estas medidas para disear una instalacin de servicio.CAPêTULO 18
Aplicacin de la vida real. Estudio de un sistema de transporte interno en una planta de manufactura En una planta de manufactura se utilizan tres camiones para transportar materiales.Los camiones esperan en un lote central de estacionamiento hasta que se les solicita.Uncamin que responde a una solicitud viajar a las instalaciones del cliente,transportaruna carga a su destino,y luego regresar al lote central.Los departamentos principalesque utilizan el servicio son el de produccin,taller de reparaciones,y el departamentode mantenimiento.Los usuarios se han quejado por el largo tiempo que esperan a quese desocupe un camin,en especial el departamento de produccin,para solicitar que seagregue un cuarto camin a la flotilla.sta es una aplicacin inusual,porque la teoralogstica,y que con un simple cambio del procedimiento de operacin de la flotilla decamiones no se requiere un cuarto camin.El caso 14 del captulo 26,en el sitio web,detalla el estudio.
Captulo 18Sistemas de colas
McBurger es un restaurante de comida rpida con tres mostradores de servicio.El gerente deseaagilizar el servicio.Un estudio revela la siguiente relacin entre la cantidad de mostradores y el
actual de tres mostradores.Cinco mostradores reduciran la espera a 3 minutos aproximadamente.Modelo basado en costos.servicio y la espera por parte de los clientes.La figura 18.1 ilustra un modelo de costosAl mismo tiempo,el costo de esperar se reduce con el incremento del nivel de servicio.terminar el costo de la espera,sobre todo la que experimentan las personas.Este puntoCONJUNTO DE PROBLEMAS18.1A
Costo totalCosto de operar la instalacin de servicio Nivel de servicio Costo de esperar s por unidad Nivel de servicioCosto
Cantidad de cajeros
1
2
3
4
5
6
Tiempo de espera promedio (min)16.210.36.94.82.91.91.3
Cantidad de cajeros
1
2
3
4
5
6
Inactividad (%)081218293642
18.2Elementos de un modelo de colasy,al mismo tiempo,mantener la eficiencia de la instalacin aproximadamente a90%.ÃPueden alcanzarse las dos metas? Explique.Acme Metal Jobshop se encuentra en el proceso de comprar un taladro vertical de usosmltiples.Dos modelos,,estn disponibles con costo de operacin por hora de $18y $25,respectivamente.El modelo .El anlisis de colas de,el nmero promedio de trabajos enla cola es 4,el cual es 30% mayor que el tamao de la cola en .Un trabajo retrasado re-presenta un ingreso perdido,el que Acme estima en $10 por trabajo en espera por hora.ÃCul modelo debe comprar Acme?18.2ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS.Los clien-.Al llegar,un cliente puedesi la instalacin est ocupada.Cuandouna instalacin completa un servicio,ÃjalaÃde forma automtica a un cliente que estesperando en la cola,si lo hay.Si la cola est vaca,la instalacin se vuelve ociosa hastaque llega un nuevo cliente.Desde el punto de vista del anlisis de colas,la llegada de los clientes est repre-tiempo entre llegadas(tiempo entre llegadas sucesivas),y el servicio sepor cliente.Por lo general,los tiempos entre llegadas yde servicio son probabilsticos (por ejemplo,la operacin de una dependencia oficial)desempea un papel en el anlisis de colas.Puede ser finito(como en el rea intermedia entre dos mquinas sucesivas),o,para todos los propsi-tos prcticos,infinita (como en las instalaciones de pedidos por correo).,la cual representa el orden en que se seleccionan los clien-tes en una cola,es un factor importante en el anlisis de modelos de colas.La discipli-primero en llegar,primero en ser atendido (FCFS,por sus siglasen ingls).Entre otras disciplinas esta (LCFS,(SIRO,por sus siglas eningls).Los clientes tambin pueden ser seleccionados de entre la cola,con base en algn.Por ejemplo,los trabajos urgentes en un taller se procesan antesque los trabajos regulares.ra.Los clientes pueden el tiempo de espera,pueden anticipada,o de una cola porque han estado esperando demasiado.ejemplo la operacin de una dependencia oficial o un banco).Los servidores tambinpueden estar dispuestos en serie (a saber,los trabajos procesados en mquinas sucesi-La fuente de la cual se generan los clientes puede ser finita o infinita.Una servicio de un tcnico en mantenimiento).Una es,para todo propsito prc-tico,por siempre abundante (como las llamadas que entran a un conmutador telefnico).
Captulo 18Sistemas de colaslos de colas matemticos.Este captulo proporciona ejemplos de dichos modelos.LasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.2AEn cada una de las siguientes situaciones,identifique al cliente y al servidor:Aviones que llegan a un aeropuerto.Herramientas verificadas en un taller de maquinado.Casos en cortes legales.Operacin de pagar en un supermercado.Operacin de un estacionamiento.Para cada una de las situaciones en el problema 1,identifique lo siguiente:(a) la natura-leza de la fuente solicitante (finita o infinita);(b) la naturaleza de los clientes que llegan(individualmente o en masa);(c) el tipo del tiempo entre llegadas (probabilstico o deter-minstico);(d) la definicin y el tipo del tiempo de servicio;(f) la capacidad de la cola (fi-nita o infinita),y (g) disciplina en las colas.Estudie el siguiente sistema e identifique las situaciones de colas asociadas.En cada si-tuacin,defina los clientes,el(los) servidor(es),la disciplina en colas,el tiempo de servi-cio,la longitud mxima de la cola y la fuente solicitante.En un taller se reciben rdenes de trabajo para ser procesadas.Cuando las recibe,elsupervisor decide si es un trabajo urgente o regular.Algunas rdenes requieren el uso deuna o de varias mquinas idnticas.Las rdenes restantes se procesan en una lnea deproduccin de dos etapas,de la cual dos estn disponibles.En cada grupo,se asigna unainstalacin para manejar los trabajos urgentes.gan.Las rdenes terminadas se envan en cuanto llegan de una zona de envo de capaci-sito central de herramientas.Cuando una mquina se avera,se solicita una tcnico enmantenimiento del centro de servicio para que la repare.Las mquinas que procesan r-Si se anticipa un largo tiempo de espera,un cliente que llega puede desistir de hacer cola.En cada una de las situaciones descritas en el problema 1,analice la posibilidad de quelos clientes se cambien de cola,desistan de hacer cola o se salgan de una.18.3PAPEL DE LA DISTRIBUCIîN EXPONENCIALEn la mayora de las situaciones de colas,las llegadas ocurren .Aleatoriedad sig-del ltimo evento.
18.3Papel de la distribucin exponencialdistribucin exponencial,la cual se define como totalmente aleatorio.Porejemplo,si en este momento la hora es 8:20 .y la ltima llegada fue a las 8:02 tervalo de las 8:20 a las 8:29,y es totalmente independiente del tiempo que ha transcu-.Dado que ,entre even-tos sucesivos (llegadas),si es el intervalo desde la ocurrencia del ltimo evento,en-Para comprobar este resultado,observamos que para la exponencial con mediaPor lo tanto,
ocurre una falla.El tiempo para que falle la mquina (o su unidad de respaldo) es exponencialy ocurre cada 5 horas en promedio.El operador de mquina afirma que sta Ãtiene el hbitoÃde.Analice la afirmacin del operador.La tasa de fallas promedio de la mquina esfallas por hora.Por lo tanto,la dis-
5 =.2 =P{t7T} =e-l(T+S)
e-lS =e-lT P{t7T+S|t7S}= P{t7T+S,t7S}
P{t7S} = P{t7T+S}
P{t7S}P{t7Y}=1-P{t6Y}=e-lY1
l ,P{t7T+S| t7S}=P{t7T} {tT}=3 T 0le-ltdt=1-e-lTE{t}= 1
lf(t)=le-lt, t70
Captulo 18Sistemas de colasCon respecto a la afirmacin del operador,sabemos sin pensarlo que no puede ser ciertaporque entra en conflicto con el hecho de que el tiempo entre averas es exponencial y por,con-siguiente,totalmente aleatorio.La probabilidad de que ocurra una falla a las 8:30 .no puedeusarse para sustentar o refutar la afirmacin del operador,porque el valor de tal probabilidad.) a la cual se calcule.Por ejemplo,si en este mo-.,entonces hay una baja probabilidad de que la afirmacin del operadorsea correcta,es decir,.,entonces la probabilidad de que ocurra una falla a las.se incrementa a aproximadamente .777 (Ãcomprubelo!).Estos dos valores extremosCONJUNTO DE PROBLEMAS18.3A1.(a)llegadas promedio.ÃCules son las unidades que describen cada variable?En cada uno de los siguientes casos,determine la tasa de llegadas promedio por,y el tiempo entre llegadas promedio en horas.Cada 6 minutos ocurren dos llegadas.El intervalo promedio entre llegadas sucesivas es de .5 horas.En cada uno de los siguientes casos,determine la tasa de servicio promedio por,y el tiempo de servicio promedio en horas.Se completa un servicio cada 12 minutos.Cada 15 minutos ocurren dos salidas.El tiempo promedio de servicio es de .3 horas.En el ejemplo 18.3-1,determine lo siguiente:El promedio de fallas en una semana,suponiendo que el servicio se ofrece las 24horas del da,7 das a la semana.La probabilidad de al menos una falla en un periodo de 24 horas.ocurra dentro de 3 horas.Si no ha ocurrido ninguna falla 3 horas despus de la ltima falla,Ãcul es la proba-El tiempo entre llegadas a la Oficina Estatal de Hacienda es exponencial,con valormedio de .05 horas.La oficina abre a las 8:00Escriba la distribucin exponencial que describe el tiempo entre llegadas..El ltimo cliente lleg a la oficina a la 8:26.ÃCul.?,Ãde que
pEt6 10
60 F=1-e-.2A 10
60 B=.03278
18.3Papel de la distribucin exponencialmedia de 6 horas.Si la mquina ha funcionado sin fallar durante las ltimas 3 horas,Ãcules la probabilidad de que siga funcionando sin fallar durante la siguiente hora?,Ãde quemedia de 10 minutos.sern (a) de menos de 2 minutos;(b) entre 2 y 3 minutos,y (c) de ms de tres minutos.Las llegadas en restaurantes similares ocurren a razn de 35 clientes por hora.El tiempoentre llegadas est distribuido exponencialmente.Ann y Jim,dos empleados en un restaurante de comida rpida,efectan el siguientejuego mientras esperan que lleguen clientes:Jim le paga a Ann 2 centavos si el siguientecliente no llega dentro de 1 minuto;de lo contrario,Ann le paga a Jim 2 centavos.Determine la ganancia promedio de Jim en un periodo de 8 horas.El tiempo entre llega-das es exponencial con media de 1.5 minutos.Suponga que en el problema 7 las reglas del juego son tales que Jim le paga a Ann 2 cen-tavos si el siguiente cliente llega despus de 1.5 minutos,y Ann le paga a Jim una canti-dad igual si la siguiente llegada ocurre dentro de 1 minuto.Para llegadas dentro del inter-valo de 1 a 1.5 minutos,el juego es un empate.Determine la ganancia esperada de Jim enun periodo de 8 horas.En el problema 7,suponga que Ann le paga a Jim 2 centavos si la siguiente llegada ocurredentro de 1 minuto,y 3 centavos si el tiempo entre llegadas es entre 1 y 1.5 minutos.Annrecibe de Jim 5 centavos si el tiempo entre llegadas es entre 1.5 y 2 minutos,y 6 centavos sies de ms de 2 minutos.Determine la ganancia esperada de Ann en un periodo de 8 horas.del cliente inmediatamente anterior recibir 10% de descuento.Si el tiempo entre llega-das es de entre 4 y 5 minutos,el descuento es de 6%.Si el tiempo entre llegadas es dems de 5 minutos,el cliente obtiene 2% de descuento.El tiempo entre llegadas es expo-nencial con una media de 6 minutos.Determine la probabilidad de que un cliente que llega reciba 10% de descuento.Se sabe que el tiempo entre fallas de un refrigerador Kencore es exponencial con valormedio de 9000 horas (aproximadamente 1 ao de operacin),y la compaa emite unagaranta de 1 ao sobre el refrigerador.ÃCules son las probabilidades de que la repara-La U de A opera dos lneas de autobuses en el campus:roja y verde.La lnea roja prestaservicio al norte del campus,y la verde al sur del campus,con una estacin de transferen-cia que une las dos rutas.Los autobuses verdes llegan al azar (tiempo entre llegadas ex-ponencial) a la estacin de transferencia cada 10 minutos.Los autobuses rojos tambin lohacen al azar cada 7 minutos.Demuestre que la media y la desviacin estndar de la distribucin exponencial son iguales.
Captulo 18Sistemas de colas18.4MODELOS DE NACIMIENTO Y MUERTE PUROS (RELACIîN ENTRE LASEsta seccin presenta dos situaciones de colas,el modelo de slo ocurren llegadas,y el modelo de en el cual slo ocurren salidas.Unrecin nacidos.El modelo de muerte pura puede demostrarse por medio del retiroentre las distribuciones exponencial y la de Poisson,en el sentido de que una distribu-18.4.1Modelo de nacimiento puroclientes por unidad de tiempo,entoncesΩ 0,tenemosΩ 0,cuandomucho puede ocurrir un evento (llegada).Por lo tanto,a medida que ,con la tasa de llegadas,,como constante de proporcionalidad.do el tiempo entre llegadas es exponencial con mediadefinaΩ 0 suficientemente pequeo,
l ,p1(h)=1-p0(h)Llhp0(h)=e-lh=1-lh+ (lh)2
2! -Ã=1-lh+0(h2) =e-lt =1-(1-e-lt) =1-P{tiempo entre llegadast} 0(t)=P{tiempo entre llegadasÃt}
18.4Modelos de nacimiento y muerte puros ninguna llegada durante ,o .No sepermiten todas las dems combinaciones porque,de acuerdo con la distribucin expo-nencial,a lo sumo puede haber una llegada durante un periodo muy pequeo.La leylas llegadas son independientes.En cuando a la segunda ecuacin,durante ,tenemosdistribucin de Poisson media,entonces la cantidad de llegadas durante un periodo especfico es Poisson.Lo contrario tambin funciona.Poisson,dada la tasa de llegadas
lE{n|t}=ltpn(t)= (lt)ne-lt
n! , n=0, 1, 2, Ã p0(t)= lm h:0 p0(t-h)-p0(t)
h =-lp0(t), n=0 n(t)= lm h:0pn(t+h)-pn(t)
h =-lpn(t)+lpn-1(t n70
En una ciudad grande nacen bebs a razn de uno cada 12 minutos.El tiempo entre nacimientossigue una distribucin exponencial.Determine lo siguiente:La cantidad promedio de nacimientos por ao.40 actas durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas.
Exponencial
PoissonVariable aleatoriaTiemposucesivas,,durante
Valor medio
l unidades de tiempolTllegadas durante TProbabilidad acumuladaP{tA}=1-e-lApnN(T)=p0(T)+p1(T)+Ã+pN(T)PA}P{t7A}=e-lAp0(A)=e-lA
Captulo 18Sistemas de colasPor lo tanto,la cantidad de nacimientos por ao en el estado es es de ms de un da.PorDebido a que la distribucin de la cantidad de nacimientos es Poisson,la probabilidad de emitir50 actas de nacimiento en 3 horas,dado que se emitieron 40 actas durante las primeras 2 horas,2),es decir,
Los clculos asociados con la distribucin de Poisson y,de hecho,todas las frmulas de colas sontediosas y requieren habilidades de programacin para asegurar una precisin razonable.Podemos utilizar las funciones POISSON,POISSONDIST y EXPONDIST de Excel para calcu-lar las probabilidades individuales y acumuladas de Poisson y exponencial.Estas funciones tam-excelTables.xls.Por ejemplo,para un nacimiento de 5 bebs por hora,laJ16 para obtener la respuesta .000216 en M16.La probabilidad acumulada de cuando mucho.999938).Para determinar la probabilidad de que el tiempo entrenacimientos sea menor que o igual a 18 minutos,use la distribucin exponencial ingresando 2.5en F9 y .3 en J9.La respuesta .527633 aparece en O9.
Tambin podemos utilizar TORA (archivo excelPoissonQ.xlsdeterminar de forma automtica todas las probabilidades de Poisson significativas (TORA y en Excel).En ambos casos,los datos de entrada son los mismos.Para el mode-lo de nacimiento puro del ejemplo 18.4-1,los datos son los siguientes
p10(1)= A 60
12 *1B10 e-5*1
10! =.01813P{t71}=e-120=0p0(1)= (120*1)0 e-120*1
0! =e-120=0lt=120*365=43,800 nacimientos/aol= 24*60
12 =120 nacimientos/ao
Lambda
Mu
c
Lmite del sistema
00
5 nacimientos por da.Observe tambin que Mu identifica el modelo como nacimiento puro.
CONJUNTO DE PROBLEMAS18.4AEn el ejemplo 18.4-1,suponga que el oficinista que captura la informacin de las actas denacimiento en la computadora normalmente espera hasta que se juntan al menos 5 actas.Un coleccionista de arte viaja a subastas de arte una vez al mes en promedio.Cada viajees seguro que produzca una compra.El tiempo entre viajes est exponencialmente distri-buido.Determine lo siguiente:La probabilidad de que se realice una compra en un periodo de 3 meses.La probabilidad de que se realicen no ms de 8 compras por ao.La probabilidad de que el tiempo entre viajes sucesivos exceda de 1 mes.En un banco,la tasa de llegadas es de 2 clientes por minuto.Determine lo siguiente:El promedio de llegadas durante 5 minutos.La probabilidad de que no haya llegadas durante los siguientes .5 minutos.La probabilidad de que haya al menos una llegada durante los siguientes .5 minutos.La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sucesivas sea al menos de 3 minutos.El tiempo entre llegadas en el restaurante L&J es exponencial con media de 5 minutos..Determine lo siguiente:.,si elde Poisson con media de 25 libros por da.Cada anaquel en la estantera contiene 100 li-bros.Determine lo siguiente:La probabilidad de que se requieran ms de 10 libreros cada mes,si un librero secompone de 5 anaqueles.La U de A opera dos lneas de autobuses en el campus:roja y verde.La lnea roja prestatacin de transferencia que conecta las dos lneas.Los autobuses verdes llegan al azar (deacuerdo con una distribucin de Poisson) a la estacin de transferencia cada 10 minutos.Los autobuses rojos tambin llegan al azar cada 7 minutos.Un estudiante cuyo dormitorio est cerca de la estacin tiene clase en 10 minutos.Cualquiera de los autobuses lo lleva al edificio del saln de clases.El viaje requiere 5minutos,despus de lo cual el estudiante camina durante aproximadamente 3 minu-tos para llegar al saln de clase.ÃCul es la probabilidad de que el estudiante lleguePruebe que la media y la varianza de la distribucin de Poisson durante un intervalo ,donde es la tasa de llegadas.Derive la distribucin de Poisson a partir de las ecuaciones diferenciales del modelo denacimiento puro.
18.4Modelos de nacimiento y muerte puros
Captulo 18Sistemas de colas18.4.2Modelo de muerte pura En el modelo de muerte pura,el sistema se inicia con N clientes en el instante 0,sin lle-gadas nuevas permitidas.Las salidas ocurren a razn de po.Para desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad unidades de tiempo,seguimos los argumentos utilizadoscon el modelo de nacimiento puro (seccin 18.4-1).Por lo tanto,Amedida que 0,obtenemosPoisson truncada
Una florera inicia cada semana con 18 docenas de rosas.En promedio,la florera vende 3 doce-nas al da (una docena a la vez),pero la demanda real sigue una distribucin de Poisson.Siempreque el nivel de las existencias se reduce a 5 docenas,se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas do-cenas para entrega al principio de la siguiente semana.Debido a la naturaleza de la mercanca,las rosas sobrantes al final de la semana se desechan.Determine lo siguiente:3 docenas por da,la probabilidad de co-excelPoissonQ.xls o TORA.Los mltiplesescenarios de TORA pueden ser ms convenientes en este caso.Los datos de entrada asociados1,2,Ã,y 7 son Lambda 0,Mu 1,Lmite del sistema 18,y Lmite de la fuente 18.Observe que
(18-n , t=1, 2,Ã, 7 pn5(t)=p0(t)+p1(t)+Ã+p5(t) 0(t)=1-aNn-1pn(t) n(t)= (mt)N-ne-mt
(N-n , n=1, 2,Ã, N 0(t)=mp1(t) n(t)=-mpn(t)+mpn+1(t 06n6N N(t)=-mpN(t) 0(t+h)=p0(t)(1)+p1(t)mh n(t+h)=pn(t-mh)+pn+1(t)mh, 06n6N N(t+h)=pN(t-mh)
18.4Modelos de nacimiento y muerte puros7}.Para calcular0,1,2,Ã,18,el cual puede determinarse con el software pro-porcionado.El resultado es CONJUNTO DE PROBLEMAS18.4BEn el ejemplo 18.4-2,use la plantilla excelPoissonQ.xls o TORA para calcular 1,2,Ã,18,y luego verifique manualmente que estas probabilidades dendocenas.Considere el ejemplo 18.4-2.En cada uno de los siguientes casos,primero escriba la res-puesta algebraicamente,y luego utilice excelPoissonQ.xls o TORA para dar las respues-tas numricas.La probabilidad de que las existencias se agoten despus de 3 das.La probabilidad de que se compre al menos una docena al final del cuarto da,si lamucho de un medio da,dado que la ltima compra se realiz el da anterior.nuevo auditorio de 400 asientos.Las empresas locales compran los boletos en bloques de10 y los donan a organizaciones juveniles.Los boletos se ponen a la venta para empresasdurante 4 horas slo un da antes del concierto.El proceso de colocar pedidos de boletoses Poisson con una media de 10 llamadas por hora.Los (bloques de) boletos que sobrandespus de que se cierra la oficina se venden con descuento como Ãboletos baratos de l-tima horaÃ,una hora antes de que se inicie el concierto.Determine lo siguiente:El promedio de boletos baratos de ltima hora disponibles.Cada maana,el refrigerador en un pequeo taller se encuentra abastecido con dos cajas(24 latas por caja) de refrescos para los 10 empleados del taller.Los empleados pueden.a 4:00 y se sabe que cada empleado consume aproximadamente 4 latas al da,pero el proceso estotalmente aleatorio (distribucin de Poisson).ÃCul es la probabilidad de que un em-pleado no encuentre un refresco al medioda (el inicio del periodo del almuerzo)?,Ãjustogastos imprevistos.Los retiros de $20 cada uno ocurren al azar durante el mes y estn es-na.Determine la probabilidad de que el estudiante se quede sin dinero para gastos im-
123456736912151821.0000.0088.1242.4240.7324.9083.9755
Captulo 18Sistemas de colasSe sacan 80 artculos del inventario de acuerdo con la distribucin de Poisson a razn de5 artculos por da.Determine lo siguiente:La probabilidad de que se saquen 10 artculos durante los 2 primeros das.La probabilidad de que ya no haya artculos al final de los 4 das.El promedio de artculos sacados a lo largo de un periodo de 4 das.mquina.La reposicin de la existencia que regresa el nivel a 10 piezas ocurre cada 7das.El tiempo entre fallas es exponencial con media de 1 da.Determine la probabilidadpuesto disponibles.La demanda de un artculo ocurre de acuerdo con una distribucin de Poissson conmedia de 3 por da.El nivel de existencia mximo es de 25 artculos,lo cual ocurre cadalunes inmediatamente despus de que se recibe un pedido.El tamao del pedido depen-de de la cantidad de unidades sobrantes al final de la semana,el sbado (el negocio estcerrado los domingos).Determine lo siguiente:*El tamao semanal promedio del pedido.*La probabilidad de escasez al inicio del negocio el viernes.La probabilidad de que el tamao del pedido semanal exceda de 10 unidades.Demuestre que la distribucin del tiempo entre salidas correspondiente a la Poissonunidades de tiempo.Derive la distribucin de Poisson truncada a partir de las ecuaciones diferenciales delmodelo de muerte pura mediante induccin.[Vea la sugerencia en el problema 8,18.5MODELO DE COLAS GENERAL DE POISSONsalidas con base en la suposicin de Poisson,es decir,los tiempos entre llegadas y lostiempos de servicio siguen la distribucin exponencial.El modelo es la base para la de-rivacin de los modelos de Poisson especializados en la seccin 18.6.estado estable de la situacin de colas,alcanzado despus de que el sistema ha es-tado en operacin durante un tiempo suficientemente largo.Este tipo de anlisis con-inicio de la operacin del sistema.(Una razn de por qu no se analiza el comporta-miento transitorio en este captulo es su complejidad analtica.Otra es que el estudio dela mayora de las situaciones de colas ocurre en condiciones de estado estable.);lo que significa que dependen de la cantidad de clientes en la instala-cin de servicio.Por ejemplo,en una caseta de cobro en una carretera,los encargadostienden a acelerar el cobro de las cuotas durante las horas pico.Otro ejemplo ocurre enCantidad de clientes en el sistema (haciendo cola,adems de los que estnTasa de llegadas,si Tasa de salidas,si
m
18.5Modelo de colas general de PoissonDiagrama de transicin en colas de Poisson
0
mm 0 1 2
.Estas probabilidades se utilizanentonces para determinar las medidas de desempeo del sistema,como la longitud prome-dio de las colas,el tiempo de espera promedio,y la utilizacin promedio de la instalacin.en la figura 18.2.El sistema de colas est en el estado .Como se explica en la seccin 18.3,la probabilidad de que ocurra ms de0.Esto sig-0,el estado ,y .Eles indefinida porque no pueden ocurrir salidas si el sistema est vaco.En condiciones de estado estable,para 0,las tasas de flujo deben ser iguales.Con base en el hecho de que el estado 1,tenemosAsimismo,Igualando las dos tasas,obtenemos la siguiente Segn la figura 18.2,la ecuacin de balanceo asociada con .Para0,tenemosLuego,para 1,tenemos
m1 bp0l0p0=m1p1ln-1pn-1+mn+1pn+1=(ln+mn)pn, n=1, 2, ÃaTasa de flujo de salidaesperada del estado nb=(ln+mn)pnaTasa de flujo de entradaesperada al estado nb=ln-1pn-1+mn+1pn+1
Captulo 18Sistemas de colasy simplificando,obtenemos (Ãcomprubelo!)Podemos demostrar por medio de induccin que
B&K Groceries opera con tres cajas.El gerente utiliza el siguiente programa para determinar lacantidad de cajas en operacin,segn la cantidad de clientes que haya en la lnea:
mnmn-1Ãm1 bp0, n=1, 2, Ãp2=a l1l0
m2m1 bp0p1=A l0
Los clientes llegan al rea de cajas de acuerdo con una distribucin de Poisson con tasamedia de 10 clientes por hora.El tiempo promedio en la caja es exponencial con media de 12 mi-nutos.Determine la probabilidad de estado estable clientes en el rea de cajas.Con la informacin del problema,tenemos 0,1,ÃPor lo tanto,
3 B+8A 2
3 B2+8A 2
3 B3+Ãf=1 pnÃ7=A 10
5 B3A 10
10 B3A 10
15 Bn-6p0=8A 2
3 Bn-6p0 6=A 10
5 B3A 10
10 B3p0=8p0 5=A 10
5 B3A 10
10 B2p0=8p0 4=A 10
5 B3A 10
10 Bp0=8p0 3=A10
5 B3p0=8p0 2=A10
5 B2p0=4p0 1=A 10
5 Bp0=2p0 mn=c60
5 clientes por hora,
Cantidad de clientes en la tienda
Cantidad de cajas en operacin 1 a 314 a 62Ms de 63
18.5Modelo de colas general de Poissono,de forma equivalentePor lo tanto,,ahora podemos determinar 0.Por ejemplo,la probabilidad de que slo unaPodemos utilizar para determinar medidas de desempeo para la situacin de B&K.Porejemplo,CONJUNTO DE PROBLEMAS18.5AEn el ejemplo 18.5-1,determine lo siguiente:La distribucin de probabilidades de la cantidad de cajas abiertas.El promedio de cajas ocupadas.En el modelo de B&K del ejemplo 18.5-1,suponga que el tiempo entre llegadas en elte tambin es exponencial con media de 10 minutos.Suponga adems que B&K agregauna cuarta caja y que las cajas abren con base en incrementos de dos clientes.DetermineLas probabilidades de estado estable,El promedio de cajas ociosas.En el modelo de B&K del ejemplo 18.5-1,suponga que las tres cajas estn siempre abier-caja vaca.Determinar lo siguiente:La probabilidad de que tres cajas estn en uso.La probabilidad de que cliente que llega no tenga que esperar.First Bank de Springdale opera cajeros automticos de un solo carril.Los autos llegan deacuerdo con una distribucin de Poissson a razn de 12 autos por hora.El tiempo por
=1 caja+01p7+p8+Ã2 aCantidad esperadade cajas ociosasb=3p0+21p1+p2+p32+11p4+p5+p62p1+p2+p3=(2+4+8)A 1
55 BL.255p0=1
55 .p0e31+8a 1
1- 2
3 bf=1aqi=0xi= 1
1-x , |x|61p0E31+8A1+A 2
3 B+A 2
3 B2+ÃBF=1
Captulo 18Sistemas de colasminutos.El carril tiene espacio para un total de 10 autos.Una vez que el carril est lleno,los dems autos que llegan buscan el servicio en otra sucursal.Determine lo siguiente:rril est lleno.La probabilidad de que un auto no pueda utilizar el cajero en cuanto llegue.ÃAlguna vez ha escuchado a alguien repetir el contradictorio comentario:ÃEl lugar estservicio.Una posible plataforma para modelar esta situacin es decir que la tasa de llega-das al sistema se reduce a medida que la cantidad de clientes se incrementa.De manerams especfica,consideramos el caso simplificado del Club de Pool M&M,donde losclientes suelen llegar en parejas para Ãjugar poolÃ.La tasa de llegadas normal es de 6 pa-rejas (de personas) por hora.Sin embargo,una vez que la cantidad de parejas en el salnde pool excede de 8,la tasa de llegadas se reduce a 5 parejas por hora.Se supone que elproceso de llegadas sigue la distribucin de Poisson.Cada pareja juega pool durante untiempo exponencial con media de 30 minutos.El saln de pool cuenta con un total de 5mesas y puede acomodar a ms de 12 parejas a la vez.Determine lo siguiente:La probabilidad de que los clientes comiencen a desistir.La probabilidad de que todas las mesas estn ocupadas.El nmero promedio de tablas en uso.esperan.Si el lugar est lleno,los clientes se van a otra parte.Las llegadas ocurren deacuerdo a una distribucin de Poisson con media de 4 por hora.El tiempo para recibir uncorte de pelo es exponencial con media de 15 minutos.Determine lo siguiente:Las probabilidades de estado estable.Prepare el diagrama de transicin,y determine la ecuacin de balanceo del sistema.Determine las probabilidades de estado estable.Considere el modelo de una sola cola,donde se permite slo un cliente en el sistema.Losclientes que llegan y encuentran la instalacin ocupada nunca regresan.Suponga que ladistribucin de las llegadas es Poisson con media por unidad de tiempo,y que el tiempode servicio es exponencial con media deunidades de tiempo.Prepare el diagrama de transicin,y determine las ecuaciones de balanceo.Determine las probabilidades de estado estable.
mmn= n
2 +5, n=1, 2, 3, 4ln=10-n, n=0, 1, 2, 3
18.6Colas de Poisson especializadasgeneralizado se aplica como sigue.Considere,y .Verifique este procedimiento.18.6COLAS DE POISSON ESPECIALIZADASLa figura 18.3 ilustra la situacin de colas de Poisson especializadas con paralelos.Se selecciona un cliente de la cola para iniciar el servicio con el primer servidordisponible.La tasa de llegadas al sistema es de clientes por unidad de tiempo.Todoslos servidores paralelos son idnticos,es decir que la tasa de servicio de cualquier ser-clientes por unidad de tiempo.La cantidad de clientes en el sistema se de-en elservicioTamao de la fuente solicitante (finita o infinita)
mi+1 bp0, k=0, 1, 2,ÃFIGURA 18.3Representacin esquemtica de un sistema de colas con cservidores paralelos
ÃÃ
Servidor1Tasa dellegadas lTasa de salidas mTasa de salidas mTasa de salidas m
Servidor2
Servidorc
Instalacinde servicio
Cola
Sistema
Captulo 18Sistemas de colasDistribucin markoviana (o de Poisson) de llegadas y salidas (o de formaTiempo constante (determinstico)Distribucin Erlang o gama del tiempo (o de forma equivalente,la sumaPrimero en llegar,primero en ser servidoòltimo en llegar,primero en ser servidoSIRODisciplina general (es decir,cualquier tipo de disciplina)Para ilustrar el uso de la notacin,el modelo (/10):(das Poisson (o tiempo entre llegadas exponencial),tiempo de servicio constante,y 10servidores paralelos.La disciplina en colas es ,y hay un lmite de 20 clientes entodo el sistema.El tamao de la fuente de donde llegan los clientes es infinito.Como nota histrica,los primeros tres elementos de la notacin (D.G.Kendall en 1953,y se conocen en la literatura como la notacin de Kendall.En.Lee agreg los smbolos a la notacin.Este autor agreg el ltimo ele-mento,el smbolo ,en 1968.Antes de presentar los detalles de las colas de Poisson especializadas,demostra-18.6.1Medidas de desempeo de estado estableTiempo de espera en el Tiempo de espera anticipado en la instalaciones de servicio.
18.6Colas de Poisson especializadasEstas relaciones son vlidas en condiciones ms bien generales.El parmetro al sistema.Es igual a la tasa de llegadas todos los clientes que llegan pueden unirse al sistema.De lo contrario,si algunos clien-.Ms adelante demostraremos cmo se determina Tambin existe una relacin directa entre .Por definicinfrmula por ,la que junto con la frmula de Little da,y la cantidad prome-debe ser igual al promedio de servidores ocupados.Por lo tanto,
ccq=Ls-Lq= lefec
mLs=Lq+ lefec
mWs=Wq+ 1
maTiempo de esperaanticipado en el sistemab=aTiempo de esperaanticipado en la colab+aTiempo de servicioesperadob Lq=lefecWq Ls=lefecWs Lq=aqn=c+1(n-c)pn s=aqn=1npn
Captulo 18Sistemas de colas
El estacionamiento para visitantes en el Colegio Ozark se limita a slo 5 espacios.Los autos queutilizan estos espacios llegan de acuerdo con una distribucin de Poisson a razn de 6 por hora.El tiempo de estacionamiento est distribuido exponencialmente con una media de 30 minutos.estacionamiento hasta que un auto estacionado salga.El espacio temporal tiene cabida slo para3 autos.Otros que no pueden estacionarse o encontrar un espacio de espera temporal deben irsea otra parte.Determine lo siguiente:,de que haya La tasa de llegadas efectiva de los autos que por lo general utilizan el estacionamiento.El promedio de autos en el estacionamiento.El tiempo promedio que un auto espera un espacio de estacionamiento.La utilizacin promedio del estacionamiento.Observamos primero que un espacio de estacionamiento acta como un servidor,de modo5 servidores paralelos.Asimismo,la capacidad mxima8 autos.De acuerdo con la seccin 18.5,obtenemos1,2,Ã,8,en la siguiente ecuacin.04812 (Ãcomprubelo!).Con ,ahora podemos calcular
1! + 32
2! + 33
3! + 34
4! + 35
5! + 36
5!5 + 37
5!52 + 38
5!53 b=1p0+p1+Ã+p8=1pn=d3n
n! p0,n=1, 2, 3, 4, 53n
5! 5n-5 p0,n=6, 7, 8 mn=cnA60
30B=2n autos/hora, n=1, 2, 3, 4, 55A60
ra 18.4,donde los clientes llegan de la fuente a razn de autos por hora.Un auto que llega.Esto12345678.14436.21654.21654.16240.09744.05847.03508.02105
18.6Colas de Poisson especializadas
SistemaFuente
efec perdidalll
Un auto no podr entrar al estacionamiento si ya entraron 8.Esto significa que la propor-.Por lo tanto,,el promedio en el sistema.Podemos calcular Un auto que espera en el espacio temporal es en realidad un auto que est haciendo cola.Porlo tanto,su tiempo de espera hasta que encuentra un espacio es .Para determinar Por tanto,ocupados,A partir deobtenemosCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6AEn el ejemplo 18.6-1,haga lo siguiente:periodo de 8 horas.,el promedio de espacios vacos es igual a
Uso del lote de estacionamiento = cq
c = 2.9368
5 =.58736 cq, cq=Ls-Lq= lefec
m = 5.8737
2 =2.9368 espaciosWq=.53265- 1
2 =.03265 horasWs= Ls
lefec = 3.1286
5.8737 =.53265 horasWq=Ws- 1
mLs=0p0+1p1+Ã+8p8=3.1286 autos lefec=l-lperdida=6-.1263=5.8737 autos/hora perdida=lp8=6*.02105=.1263 autos/hora ac-1n=0(c-n)pn.
Captulo 18Sistemas de colasResuelva el problema 18.6-1 con los siguientes datos:cantidad de espacios de estaciona-6,cantidad de espacios temporales 45 minutos.18.6.2Modelos de un solo servidor1).El primermodelo no limita el nmero mximo en el sistema,y el segundo supone un lmite fini-to del sistema.Ambos modelos suponen una capacidad infinita de la fuente.Las llega-tes por unidad de tiempo.Se utilizar la notacin ampliada de Kendall para caracterizar cada situacin.especfica,se utilizar el smbolo GD (disciplina general) con la notacin.Utilizando la notacin del modelo general,tenemos Incluso,0,porque todos los clientes pueden unirse al sistema.Sila expresin para La suma de la serie geomtrica essiempre que 1.Por lo tantoEn consecuencia,la siguiente distribucin geomtrica da la frmula general para 1,o .Si ,la seriegeomtrica diverge,y las probabilidades de estado estable no existen.Este resulta-do tiene un sentido intuitivo,porque a menos que la tasa de servicio sea mayor que latasa de llegadas,la longitud de la cola continuar creciendo y no puede alcanzarseningn estado estable.
dr a 1
1-r b= r
1-r =(1-r)r d
dr aqn=0rn Ls=aqn=0npn=aqn=0n(1-r)rnpn=(1-r)rn, n=1, 2, Ã (r61)p0=1-r, r 6 1A1
1-r B,p0(1+r+r2+Ã)=1pn=rnp0, n=0, 1, 2, Ãr= l
m ,ln=lmn=mf, n=0, 1, 2,Ã(1):(/q)
18.6Colas de Poisson especializadasen la presente condicin,las medidas de desempeo restantesse calculan utilizando las relaciones dadas en la seccin 18.6.1.Por lo tanto,
Automata es una instalacin de lavado de autos de una sola baha.Los autos llegan segn unadistribucin de Poisson con una media de 4 autos por hora y pueden esperar en el estaciona-miento de la instalacin en la calle si la baha est ocupada.El tiempo para lavar y limpiar unauto es exponencial,con una media de 10 minutos.Esto significa que,para todo propsito prc-tico,no hay ningn lmite en el tamao del sistema.El gerente de la instalacin desea determinarel tamao del estacionamiento.
1-r q=Ws- 1
m = r
m-r) s= Ls
l = 1
m-r) = 1
Los resultados del modelo se muestran en la figura 18.5.El promedio de autos que esperan en laes 1.33 autos.Por lo general,no es aconsejable utilizar de espacios de estacionamiento,porque el diseo debe,en cierto sentido,tener en cuenta la lon-gitud mxima posible de la cola.Por ejemplo,puede ser ms razonable disear el estaciona-de las veces.Para hacer esto,sea la cantidad de espacios de estacionamiento.Tener (cola ms baha).Un auto quecuando muchoSautos en el sistema.EstaDe acuerdo con la figura 18.5,la probabilidad acumuladap5 es .91221.Esto significa5 espacios de estacionamiento.,es decir,La suma de la serie geomtrica truncada esla cual reduce la condicin a
1-r ,(1-r+r+r2+Ã+rS)Ã.9p0+p1+Ã+pSÃ.9
Lambda
Mu
c
Lmite del sistema
61infinitoinfinito
4 autos por hora,yautos por hora.Comoel sistema puede operar en condiciones de estado estable.Los datos de TORA oexcelPoissonQ.xls
m6 1,m= 60
10 =6
Captulo 18Sistemas de colas1,lo cual in-vierte la direccin de la desigualdad),tenemos.CONJUNTO DE PROBLEMAS18.6BEn el ejemplo 18.6-2,haga lo siguiente.Determine la utilizacin en porcentaje de la baha de lavado.namiento antes de entrar a la baha de lavado.Si hay 7 espacios de estacionamiento,determine la probabilidad de que un auto quellega encuentre un estacionamiento vaco.
S Ã ln (.1)
ln A 4
6 B -1=4.679L5rS+1.1
Scenario 1: (M/M/1):(GD/infinity/infinity)
nProbability pnCumulative PnnProbability pnCumulative Pn00.333330.33333130.001710.9965710.222220.55556140.001140.9977220.148150.70370150.000760.9984830.098770.80247160.000510.9989940.065840.86831170.000340.9993250.043900.91221180.000230.9995560.029260.94147190.000150.9997070.019510.96098200.000100.9998080.013010.97399210.000070.9998790.008670.98266220.000040.99991100.005780.98844230.000030.99994110.003850.99229240.000020.99996
120.002570.99486250.000010.99997Resultados del ejemplo 18.6-2 obtenidos con TORA (archivo
18.6Colas de Poisson especializadasJohn Macko estudia en la U de Ozark.Realiza trabajos peculiares para complementarsus ingresos.Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 das,pero el tiempoentre solicitudes es exponencial.El tiempo para terminar un trabajo tambin es exponen-cial con media de 4 das.ÃCul es la probabilidad de que John se quede sin trabajos?Si John gana aproximadamente $50 por trabajo,Ãcul es su ingreso mensual promedio?Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cadauno,Ãcunto,en promedio,debe esperar que le paguen?Durante aos,el detective Columbo,del Departamento de Polica de Fayetteville,ha te-nido un xito fenomenal al resolver todos los casos criminales.Es slo cuestin de tiem-po antes de que cualquier caso se resuelva.Columbo admite que el tiempo por caso esÃtotalmente aleatorioÃ,pero,en promedio,cada investigacin le lleva aproximadamenteuna semana y media.Los crmenes en el tranquilo Fayetteville no son muy comunes.Ocurren al azar a razn de un crimen por mes (4 semanas).El detective Columbo estsolicitando que un asistente comparta la pesada carga de trabajo.Analice la peticin deColumbo,en particular desde la perspectiva de los siguientes puntos:El promedio de casos en espera de ser investigados.El porcentaje del tiempo que el detective permanece ocupado.El tiempo promedio necesario para resolver un caso.cin de probabilidades de Poisson,con una media de 90 autos por hora.El tiempo paracruzar la caseta es exponencial con media de 38 segundos.Los conductores se quejan dellargo tiempo de espera,y las autoridades desean reducir el tiempo de cruce promedio a30 segundos con la instalacin de dispositivos de cobro de cuota automticos,siempreque se satisfagan dos condiciones:(1) que el promedio de autos que esperan en este siste-ma exceda de 5,y (2) que el porcentaje del tiempo ocioso de la caseta con el nuevo dis-positivo instalado no exceda de 10%.ÃSe puede justificar el nuevo dispositivo?Un restaurante de comida rpida tiene una ventanilla para servicio en su auto.Los autosllegan segn una distribucin de Poisson a razn de dos cada 5 minutos.El espacio enfrente de la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos,incluso el que se est atendien-do.Los dems autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario.El tiempo deservicio por cliente es exponencial,con una media de 1.5 minutos.Determine lo siguiente:La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos.El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido.La probabilidad de que la lnea de espera exceda la capacidad de 10 espacios.de Poisson,con una media de 10 por hora.El tiempo de servicio por cliente es exponencialcon una media de 5 minutos.Hay tres espacios en frente de la ventanilla,incluido el autoque estn atendiendo.Otros autos que llegan se forman afuera de este espacio para 3 autos.),d un argumento convincente de por qu en general1.ÃEn qu condicin se mantendr la igualdad?),derive la expresin
Captulo 18Sistemas de colas),demuestre queEl nmero esperado en la cola,si la cola no esta vaca es igual a,/).1).Algunosde comida rpida.No se permiten nuevas llegadas cuando la cantidad de clientes en el.Por lo tanto,Utilizandoel modelo generalizado de la seccin 18.5 daPor lo tanto,tiene que ser menor que 1 en este modelo,porque el lmite trola las llegadas al sistema.Esto significa que es la tasa que importa en este caso.en el sistema,entonces,como se
mpn=d11-r2rn
1-rN+1,rZ111-r2rn
1-rN+1,r=1t, n=0, 1,Ã, Np0=d1-r
1-rN+1 ,rZ11-r
1-rN+1 ,r=1p0 (1+r+p2+Ã+rN)=1aqn=0pn=1,pn=ernp0nN0,n7Nr= l
0,
m-l 2.= 1
(1-r) .
18.6Colas de Poisson especializadasEn este caso,Cuando(Ãcomprubelo!).Podemos derivar El uso de una calculadora de mano para procesar las frmulas de colas es,en el mejorde los casos,incmodo (Ãlas frmulas se vuelven ms complejas en los ltimos modelos!)Se recomienda utilizar TORA o la plantilla excelPoissonQ.xls para manejar estos clculos.
Considere la instalacin de lavado de autos del ejemplo 18.6-2.Suponga que la instalacin cuen-ta con un total de 4 espacios de estacionamiento.Si el estacionamiento est lleno,los autos quellegan pueden irse a otras instalaciones.El propietario desea determinar el efecto del limitadoEn trminos de la notacin del modelo,el lmite en el sistema es 5.Los si-
2 = r-(N+1)rN+NrN+1]
(1-r) (1-rN+1) , rZ1 =(1-r)r
1-rN+1 d
dr a 1-rN+1
1-r b =a 1-r
1-rN+1 br d
dr aNn=0rn = 1-r
5,la proporcin de clientes perdidos es .04812,la cual,basada en un da de 24 horas,equivale a perder el negocio de (4.62 autos al da.La decisin en cuanto a incrementar el tamao del lote de esta-cionamiento debe basarse en el valor del negocio perdido.Mirando el problema desde un ngulo diferente,el tiempo total esperado en el sistema,es de .3736 horas,o aproximadamente 22 minutos,por debajo de los 30 minutos del ejemplo18.6-3,cuando se permite que todos los autos que lleguen se unan a la instalacin.Esta reduc-
Lambda
Mu
c
Lmite del sistema
61
Captulo 18Sistemas de colasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6CEn el ejemplo 18.6-4,determine lo siguiente:La probabilidad de que un auto que llegue entre de inmediato a la baha de lavado.El tiempo de espera hasta que se inicie el servicio.La cantidad esperada de espacios de estacionamientos vacos.La probabilidad de que todos los espacios de estacionamiento estn ocupados.promedio en el sistema a aproximadamente 10 minutos.(excelPoissonQ.xls o TORA.)Considere la instalacin de lavado de autos del ejemplo 18.6-4.Determine la cantidad deEl tiempo que el peluquero Joe Cakes emplea para realizar un corte de pelo es exponen-cial con una media de 12 minutos.Debido a su popularidad,los clientes suelen llegar (deacuerdo con una distribucin de Poisson) a una razn mayor que la que Joe puede mane-jar:6 clientes por hora.Joe en realidad se siente cmodo si la tasa de llegadas se reduceefectivamente a alrededor de 4 clientes por hora.Para alcanzar esta meta se le ocurriproporcionar asientos limitados en el rea de espera,de modo que los clientes que aca-ocupados.ÃCuntos asientos debe proporcionar Joe para alcanzar su meta?El ensamble final de los generadores elctricos en Electro se realiza a la razn de Poissonde 10 generadores por hora.Luego los generadores son transportados por una banda aldepartamento de inspeccin para su revisin final.La banda puede transportar un mxi-mo de 7 generadores.Un sensor automtico detiene al instante la banda una vez que sellena,lo que evita que el departamento de ensamble final arme ms unidades hasta quehaya espacio disponible.El tiempo para inspeccionar los generadores es exponencial,conuna media de 15 minutos.samble pueden reducirse si se incrementa la capacidad de la banda.De hecho,el inge-ensamble opere 95% del tiempo sin interrupciones.ÃEs justificable esta reclamacin?
Scenario 1:(M/M/1):(GD/5/infinity)
nProbability pnCumulative PnnProbability pnCumulative Pn00.365410.3654130.108270.8797010.243610.6090240.072180.95188
20.162410.7714350.048121.00000Resultados del ejemplo 18.6-4 obtenidos con TORA (archivo
18.6Colas de Poisson especializadasUna cafetera puede acomodar un mximo de 50 personas.Los clientes llegan en una co-rriente Poisson a razn de 10 por hora y son atendidos (uno a la vez) a razn de 12 por hora.juntos.ÃCul es la probabilidad de que se cumpla su deseo? (Suponga que puedenhacerse arreglos para que se sienten juntos en cuanto haya tres sillas disponibles.)Los pacientes llegan a la clnica de un mdico de acuerdo con una distribucin de Poissona razn de 20 pacientes por hora.La sala de espera no puede acomodar ms de 14 pa-cientes.El tiempo de consulta por paciente es exponencial,con una media de 8 minutos.es de 5 clientes por hora.La tasa de servicio µes de 8 clientes porhora.Calcule lo siguiente:Tiempo de espera promedio en la cola.),el nmero esperado en el siste-,es igual a18.6.3Modelos de varios servidoresEsta seccin considera tres modelos de colas con varios servidores paralelos.Los pri-18.6-2.El tercer modelo trata el caso del autoservicio,el cual equivale a tener una can-tidad infinita de servidores paralelos.
2 . 1 1+2+Ã+i= i1i+12
2 .2
n
0
1
2
3
4
.399.249.156.097.061.038
Aplicacin de la vida real. Personal de ventas por telfono de Qantas AirwaysPara reducir los costos de operacin,Qantas Airways buscar dotar de personal a suoficina principal de reservaciones y ventas por telfono de forma eficiente,al mismotiempo que proporciona un servicio de calidad a sus clientes.Tradicionalmente,las ne-base en el incremento histrico del negocio.El aumento de la cantidad de empleadoslefnicas,dividido entre el promedio de llamadas que un operador puede manejar.
Captulo 18Sistemas de colasDebido a que los clculos estn basados en promedios,la cantidad adicional de em-En particular,el largo tiempo de espera para el servicio durante horas laborales picoha ocasionado quejas de los clientes y en consecuencia prdida de negocios.El proble-dos contratados y las necesidades de los clientes.La solucin utiliza el anlisis de colas) insertado en un modelo de programacin entera.Los ahorros a partir del mo-Busque los detalles del estudio en el caso 15,captulo 26,en el sitio web.
//).servidores paralelos idnticos.La.En esta situacin nal de tasa de servicio de la instalacin.En trminos del modelo generalizado (seccinAs que,Siy suponiendo queel valor de
ckc! p0 =aqk=0kpk+c Lq=aqn=c(n-c)pn =eac-1 n=0 rn
n! + rc
c! a 1
1- r
c bf-1, r
c 6 1 0=eac-1n=0 rn
n! + rc
c! aqn=cAr
c Bn-cf-1aqn=0 pn=1,r
c 6 1,r= l
m ,pn=dln
m12mm2Ã1nm2 p0=ln
nn p0=rn
n! p0,n6cln
Aqc=1imB1cm2n-c p0=ln
cn-cmn p0=rn
qq
18.6Colas de Poisson especializadas.Las medidas
Dos compaas de taxis prestan servicio a una comunidad.Cada compaa posee dos taxis,yambas comparten el mercado por igual;las llamadas llegan a la oficina de despachos de cadacompaa a una tasa promedio de 8 por hora.El tiempo promedio por viaje es de 12 minutos.Lasllamadas llegan de acuerdo con una distribucin de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial.de despachos.Analice la propuesta del nuevo propietario.Desde el punto de vista de las colas,los taxis son los servidores,y el viaje del taxi es el servi-cio.Cada compaa puede representarse con el modelo (
(c-1)!(-r)2 p0 = rc+1
c!c p0 d
dA r
c B aqk=0A r
c Bk = rc+1
c!c p0aqk=0kA r
La figura 18.7 proporciona los resultados con los dos escenarios.Los resultados muestran9 minutos) en la situacin consolidada,una notable reduccin de ms de 50% y unaComentarios.cionan un modo de operacin ms eficiente.El resultado es cierto incluso si las instalaciones dis-tintas resultan estar Ãmuy ocupadasÃ(vea los problemas 2 y 10,conjunto 18.6d).
Escenario
Lambda
Mu
c
Lmite del sistema
852infinitoinfinito21654infinitoinfinito
Comparative analysis
cLambdaMuLÃda effp0LsWsLqWq28.0005.0008.000.1104.4440.5562.8440.356
416.0005.00016.000.0275.5860.3492.3860.149viajes por taxi por hora.El modelo consolidado es (para un viaje,La siguiente tabla da los datos de entrada de anlisis comparativos.
10 =5
Resultados del ejemplo 18.6-5 obtenidos con TORA (archivo
Captulo 18Sistemas de colasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6Dvidores permanecen ocupados.el tiempo de espera promedio de un viaje a 5 minutos o menos.En el ejemplo de la compaa de taxis,suponga que el tiempo promedio por viaje es enrealidad de aproximadamente 14.5 minutos,de modo que la utilizacinpara los 2 y4 taxis se incrementa a ms de 90%.ÃSigue valiendo la pena consolidar las dos compaastuaciones (llegadas/salidas Poisson) que garantice que la operacin de la situacin decolas ser estable (es decir,que la longitud de la cola no crezca de forma indefinida):El tiempo entre llegadas promedio es de 2 minutos,y el tiempo de servicio promedioes de 6 minutos.La tasa de llegadas es de 30 clientes por hora,y la tasa de servicios por servidor es deLos clientes llegan al Thrift Bank segn una distribucin de Poisson,con una media de 45clientes por hora.Las transacciones por cliente tardan alrededor de 5 minutos y estndistribuidas exponencialmente.El banco desea utilizar una sola lnea y varias cajas,simi-lar a las que se utilizan en aeropuertos y algunas dependencias.El gerente es conscientede que los clientes pueden irse a otros bancos si perciben que su espera en la lnea es Ãex-cesivaÃ.Por esta razn,el gerente desea limitar el tiempo de espera en la cola a no msde 30 segundos.ÃCuntas cajas debe poner en servicio el banco?El restaurante de comida rpida McBurger opera con 3 cajas.Los clientes llegan,deacuerdo con una distribucin de Poisson,cada 3 minutos y forman una lnea para seratendidos por la primera caja disponible.El tiempo para completar un pedido est distri-buido exponencialmente con una media de 5 minutos.La sala de espera en el interior delrestaurante est limitada.Sin embargo,la comida es buena,y los clientes estn dispuestosa esperar afuera del restaurante,si es necesario.Determine el tamao de la sala de espe-Una pequea oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas.Los clientes de acuerdo conuna distribucin de Poisson a razn de 1 cada 3 minutos.Sin embargo,slo 80% de ellosbusca servicio en las ventanillas.El tiempo de servicio por cliente es exponencial,con unamedia de 5 minutos.Todos los clientes que llegan forman una lnea y acceden a las venta-nillas con base en la disciplina de primero en llegar,primero en ser atendido (FCFS).ÃSera posible ofrecer un servicio razonable con slo una ventanilla? Explique.El centro de cmputo de la U de A est equipado con cuatro maxicomputadoras idnti-cas.La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25.Cada usuario es capaz deenviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos en promedio,pero el tiempo realentre envos es exponencial.Los trabajos que llegan automticamente se van a la prime-ra computadora disponible.El tiempo de ejecucin por envo es exponencial con unamedia de 2 minutos.Calcule lo siguiente:pus de enviarlo.El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario.
mcB
18.6Colas de Poisson especializadasEl promedio de trabajos en espera de ser ejecutados.El porcentaje de tiempo que todo el centro de cmputo est ocioso.El promedio de computadoras ociosas.El aeropuerto Drake presta servicios a pasajeros,rurales,suburbanos y en trnsito.Ladistribucin de las llegadas de cada uno de los tres grupos es Poisson con tasas medias de15,10 y 20 pasajeros por hora,respectivamente.El tiempo para documentar un pasajeroes exponencial con media de 6 minutos.Determine la cantidad de mostradores que debeEl tiempo promedio total para documentar un cliente es de al menos 15 minutos.En los Estados Unidos,el uso de una sola fila y varios servidores es comn en las oficinasde correos,en mostradores de documentacin de pasajeros en aeropuertos.Sin embargo,tiende a favorecer la configuracin de una lnea y un servidor,a pesar del hecho de queconfiguracin de una lnea y varios servidores ofrece una operacin ms eficiente.),Morse (1958,pg.103) muestra queCon la observacin de quendica que los servidores estn extremadamente ocupa-dos,use esta informacin para demostrar que la relacin del tiempo de espera promedioa medida quePor lo tanto,con 2,el tiempo de espera promedio puede redu-cirse en un 50%.La conclusin de este ejercicio es que siempre es aconsejable agrupar losservicios,independientemente de qu tan ÃsobrecargadosÃpuedan estar los servidores.
c : 1.1
c r
c :1Lq= r
c-rr
),indique cul parte de la deri-vacin requiere la condicinExponga oralmente el significado de la condicin.donde es el nmero promedio de servidores ocupados.Por consiguiente,demuestre que),demuestre que/),.Esto significa que el tamao de la cola es .La tasa de llegadas efectiva
m(c-r) .c
(c-r) .r
(c-r) pc.Lq= cr
(c-r)2 pccq=lefec
m.cqLq =aqn=c+1(n-c)pn,Ls=Lq+cqr
c 6 1.
Captulo 18Sistemas de colasen el caso en quecomo
cc p0 d
dA r
c B aN-cj=0Ar
c Bj = rcr
c!c p0aN-cj=0jAr
c Bj-1 =aN-cj=0jpj+c Lq=aNn=c(n-c)pnr
c Z1p0=fPac-1n=0rn
n!+rcA1-Ar
cBN-c+1B
c!A1-Ar
cB Q-1,r
cZ1aac-1n=0rn
n!+rc
c!(N-c+1)b-1,r
c=1pn=drn
n!p0, 0ncrn
c!cn-cp0, cnNr= l
Se puede demostrar que conse reduce a,calculamos el valor de
2c! p0, r
c =1r
c =1, Lq = rc+1
(c-1)!(-r)2 e1-ar
cbN-c+1-(N-c+1)a1- r
cbar
cbN-cfp0
18.6Colas de Poisson especializadas
En el problema de la compaa de taxis consolidada del ejemplo 18.6-5,suponga que no puedenasegurarse nuevos fondos para la compra de ms taxis.Se le aconsej al propietario que unates sobre una demora potencial excesiva una vez que la lista de espera llega a ser de 6 clientes.Laexpectativa es que estos clientes busquen el servicio en otra parte,lo que a su ver reducir eltiempo de espera de los que ya estn en la lista de espera.Evale la situacin.10 clientes,lo que con-5 viajes por hora.Los si-
Lambda
Mu
c
Lmite del sistema
5410Infinito
FIGURA 18.8
Scenario1: (M/M/4):(GD/10/infinity)
nProbabilityCumulativenProbabilityCumulative
00.031210.0312160.087260.7939310.099860.1310670.069810.8637420.159770.2908480.055840.9195830.170430.4612690.044680.96426
40.136340.59760100.035741.00000Resultados del ejemplo 18.6-6 obtenidos con TORA (archivo ,antes de limitar la capacidad del sistema es de .149 horas9 minutos)(vea la figura 18.7),lo cual es aproximadamente el doble del nuevo promedio .0754.5 minutos).Esta notable reduccin se logra a expensas de perder alrededor de 3.6%.03574).Sin embargo,este resultado no refleja la prdida in-CONJUNTO DE PROBLEMAS18.6EEn el ejemplo 18.6-6,determine lo siguiente:El nmero esperado de taxis ociosos.debajo de 3 minutos.
Captulo 18Sistemas de colasEn la tienda de Eat & Gas funciona una estacin de gasolina de dos bombas.El carril queconduce a las bombas puede alojar cuando mucho 3 autos (automviles),excluyendo a losque se les est dando atencin.Los autos que llegan se van a otra parte si el carril estlleno.La distribucin de los autos que llegan es de Poisson con media de 20 por hora.Eltiempo para llenar el tanque y pagar es exponencial con media de 6 minutos.Determine loEl porcentaje de autos que buscarn servicio en otra parte.El porcentaje de tiempo que una bomba est en uso.La utilizacin en porcentaje de las dos bombas.La capacidad del carril que garantice que,en promedio,no ms de 10% de los autosestn ociosas es de .05 o menos.Tres mecnicos atienden un pequeo taller de reparacin de motores.A principios demarzo de cada ao,las personas traen sus caas de timn y podadoras de csped paraservicio y reparacin.El taller est dispuesto a aceptar todas las caas de timn y po-dadoras que traigan los clientes.Sin embargo,cuando los clientes nuevos ven el piso deltaller tapizado de trabajos en espera,se van a otra parte para un servicio ms rpido.Elpiso del taller puede alojar un mximo de 15 podadoras o caas de timn,excluyendo lasque estn en reparacin.Los clientes llegan al taller cada 10 minutos en promedio,y acada mecnico le lleva un promedio de 30 minutos completar cada trabajo.Tanto lostiempos entre llegadas como los de servicio son exponenciales.Determine lo siguiente:El promedio de mecnicos ociosos.la limitada capacidad del taller.La probabilidad de que el siguiente cliente que llegue ser atendido por el taller.La probabilidad de que al menos un mecnico est ocioso.El promedio de caas de timn o podadoras en espera de servicio.Un medida de la productividad total del taller.En la U de A,los estudiantes de primer ao recin matriculados son muy notorios por-Durante el primer par de semanas del semestre,prevalece el caos vial en el campus por-estacionamiento.Con una rara dedicacin,los estudiantes esperan pacientemente en losautos.Consideremos un escenario especfico.El estacionamiento cuenta con 30 espaciospero tambin puede acomodar 10 autos ms en los carriles.Estos 10 autos adicionales nodad de uno de los 30 espacios de estacionamiento.Los estudiantes de primer ao lleganal estacionamiento de acuerdo con una distribucin de Poisson,con una media de 20autos por hora.El tiempo de estacionamiento por autos promedia 60 minutos,pero enDetermine el promedio de espacios de estacionamiento ocupados.
18.6Colas de Poisson especializadasDetermine el promedio de espacios que est ocupado en los carriles.un periodo de 8 horas porque el estacionamiento est lleno.Verifique la expresin para dondees el nmero de servidores ocupado.Verifique la expresin para ,defina (seccin 18.5),luego demuestre que la expresin para /):(/)ÃModelo de autoservicio.En este modelo,las tasas de,respectivamente,y la cantidad de servidores es ilimitadaporque el cliente tambin es el servidor.Un ejemplo tpico es realizar la parte escritadel examen para la licencia de conductor.Las gasolineras de autoservicio y los cajeroscajeros automticos.En trminos del modelo general de la seccin 18.5,tenemosPor lo tanto,Por resultado,la cual es Poisson con media .Como era de esperarse,es una instalacin de autoservicio.
n! , n=0, 1, 2, Ãp0= 1
1+r+ r2
2! +Ã = 1
er =e-raqn=0 pn=1,pn= ln
n!mn p0= rn
n! p0, n=0, 1, 2,Ãmn=nm, n=0, 1, 2,Ãln=l, n=0, 1, 2,ÃqZqqp0=a1+acn=1 rn
n! b-1pn= rn
n! p0 , n=1, 2,Ã, cr
c =1.cqlefec=mcq,(M/M/cN/q)r
c Z 1
Captulo 18Sistemas de colas
Un inversionista invierte $1000 al mes,en promedio,en el mercado de valores.Debido a que elinversionista debe esperar una buena oportunidad para ÃcomprarÃ,el tiempo real de compra esaleatorio.El inversionista suele conservar los valores durante unos 3 aos en promedio pero losvende al azar cuando se le presenta una buena oportunidad para ÃvenderÃ.Aunque al inversio-nista se le suele reconocer como un astuto corredor del mercado de valores,la experiencia pasa-da indica que alrededor de 25% de los valores declinan a 20% al ao,aproximadamente.El 75%restante aumenta de valor a razn de 12% al ao.Estime el capital accionario del inversionista(a largo plazo) promedio en el mercado de valores.) porque,para todoslos propsitos prcticos,el inversionista no tiene que esperar en lnea para comprar o vender susvalores.El tiempo promedio entre colocaciones de pedidos es de 1 mes,lo que da por ao.La tasa de venta de los valores esvalor por ao.Puede obtener los resultados del
,obtenemosCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6FEn el ejemplo 18.6-7,calcule lo siguiente:La probabilidad de que el inversionista venda todos sus valores.La probabilidad de que el inversionista posea al menos 10 valores.La posibilidad de que el inversionista posea entre 30 y 40 valores,inclusive.cian 30% al ao y el 90% restante suben 15% al ao.a un examen de manejo en carretera.Estos exmenes suelen ser administrados por el de-partamento de polica de la ciudad.Los registros en la ciudad de Springdale muestranque el promedio de exmenes escritos es de 100 por da de ocho horas.El tiempo prome-dio necesario para completar el examen es aproximadamente de 30 minutos.Sin embar-go,la llegada real de los conductores que van a realizar el examen y el tiempo que cadauno emplea en el examen son totalmente aleatorios.Determine lo siguiente:La cantidadpromedio de sillas que el departamento de polica debe proporcionar enel saln donde se realizan los exmenes.excelPoissonQ.xls o TORA) que con .1,los valores de
$1000)(1$1000)(1$63,990
m =36 valores
Lambda
Mu
c
Lmite del sistema
.3333333infinitoinfinito
18.6Colas de Poisson especializadasqueo como 4 servidores.9 grande,y demuestre que la misma conclusin es vlidadebe ser mayor (al menos 14).A partir de los resultados de losproblemas 3 y 4,Ãa qu conclusin puede llegarse con respecto al uso de (18.6.4Modelo de servicio de mquinas (mquinas.Cuando una mquinase descompone,se llama a uno de los tcnicos en mantenimiento para que la repare.La tasa de descomposturas descomposturas por unidad de tiempo,ytiempo.Todas las descomposturas y servicios siguen la distribucin de Poisson.pueden descomponerse,y por consiguiente puede generar llamadas de servicio.Una vezque todas las mquinas se descompongan,no podr haber ms llamadas de servicio.,la tasa de descomposturas detodoel talleres proporcional a la cantidad de mquinas que estn funcionando.En fun-cin del modelo de colas,tener descompuestas,y que la tasa de descomposturas asociada de todo el taller esEn funcin del modelo generalizado de la seccin 18.5,tenemosUtilizando las frmulas de la seccin 18.6.1,podemos calcular las medidas restantes de
Rn-Rb-1 pn=cCnKrnp0,0nRCn nn
, 0,
Captulo 18Sistemas de colas
Toolco opera un taller con 22 mquinas.En promedio,una mquina se descompone cada 2 horas.Se requiere un promedio de 12 minutos completar una reparacin.Tanto el tiempo entre des-composturas como el tiempo de reparacin son exponenciales.A Toolco le interesa determinarla cantidad de tcnicos en reparaciones para mantener el taller funcionando ÃbienÃ.de la cantidad de tcnicos,definida como Los resultados en esta situacin se obtienen utilizando los siguientes datos de entrada:lambda.5,mu 1,2,3 o 4,lmite del sistema 22,y lmite de la fuente 22.La figura 18.9 pro-porciona los resultados.La siguiente tabla da la productividad asociada como una funcin delnmero de tcnicos en reparaciones.
22*100 aProductividadde las mquinasb=Mquinas disponibles-Mquinas descompuestas
Mquinas disponibles*100
Tcnicos en reparaciones
1
2
3
45.4480.1588.7990.45Ã34.718.641.66
Resultados del anlisis comparativo realizado con TORA para el ejemplo 18.6-8 (archivo
cLambdaMuLÃda effp0LsLqWsWq10.5005.004.99800.000412.004011.00442.40182.201820.5005.008.81610.05644.36772.60450.49540.295430.5005.009.76700.10782.46600.51280.25250.0525
40.5005.009.95000.11992.10010.11020.21110.011145.44%).Si se au-menta la cantidad de tcnicos a dos,la productividad salta 34.71% a 80.15%.Cuando el taller em-plea tres tcnicos,la productividad se incrementa slo en aproximadamente de 8.64% a 88.79%,Juzgando a partir de estos resultados,se justifica el uso de dos tcnicos.El caso de tres no estan fuerte ya que eleva la productividad en slo 8.64%.Tal vez una comparacin monetaria
18.6Colas de Poisson especializadasCONJUNTO DE PROBLEMAS18.6GEn el ejemplo 18.6-8,haga lo siguiente:Verifique los valores de Calcule la cantidad esperada de tcnicos ociosos,si Calcule la probabilidad de que los tcnicos estn ociosos,si ociosos,si En el ejemplo 18.6-8,defina y calcule la productividad de los tcnicos para 1,2,3,y 4.dir el nmero de tcnicos que Toolco debe contratar.En los clculos de la figura 18.9,puede parecer confuso que la tasa promedio de descom-posturas de mquinas en el taller,,se incrementa con el incremento de .Explique porUn operador atiende 5 mquinas automticas.Despus de que cada mquina completaun lote,el operador debe reiniciarla antes de que se inicie un nuevo lote.El tiempo paracompletar un lote es exponencial con media de 45 minutos.El tiempo de preparacintambin es exponencial con media de 8 minutos.parando.Calcule la probabilidad de que todas las mquinas estn funcionando.Kleen All es una compaa de servicios que realiza varios trabajos peculiares,como jardi-nera,poda de rboles y pintura de casas.Los 4 empleados de la compaa salen de la ofi-cina con la primera asignacin del da.Despus de completar una asignacin,el empleadollama a la oficina para pedir instrucciones para el siguiente trabajo que se va a realizar.Eltiempo para completar una asignacin es exponencial con una media de 45 minutos.Eltiempo de viaje entre los trabajos tambin es exponencial con una media de 20 minutos.Determine el promedio de empleados que viajan entre los trabajos.Calcule la probabilidad de que ningn empleado ande en camino.Luego de una larga espera,los Newborns fueron recompensados con quntuples,2 niosy 3 nias,gracias a los maravillosos avances de la medicina.Durante los primeros 5meses,la vida de los nios consista en dos estados,despiertos (la mayor parte del tiempollorando) y dormidos.De acuerdo con los Newborns,las actividades de los bebs de Ãdes-pertar-dormirÃnunca coinciden.En su lugar,todo el asunto es totalmente aleatorio.Dehecho,la seora Newborn,profesional en estadsticas,cree que el tiempo que cada bebllora es exponencial,con una media de 30 minutos.La cantidad de sueo que cada bebobtiene tambin resulta ser exponencial,con media de 2 horas.Determine lo siguiente:El promedio de bebs despiertos en cualquier momento.La probabilidad de que todos los bebs estn dormidos.despiertos (y llorando) que dormidos.Verifique la expresin de dondees el promedio de tcnicos ocupados.
lefec=mR
Captulo 18Sistemas de colasVerifique los siguientes resultados en el caso especial de un tcnico (1):118.7(//)ÃFîRMULA DE POLLACZEK-KHINTCHINE (P-K)Poisson son complejos.En general,es aconsejable utilizar la simulacin como una he-Esta seccin presenta una de las pocas colas no Poisson para la cual hay disponi-bles resultados analticos.Se trata del caso en que el tiempo de servicio,,est repre-}.Los,as.El modelo no proporciona una expresin de forma cerrada para la tasa de llegadas a la instalacin de un solo servidor.Dadas 1,se puede demostrar por medio,las medidas de desempeo restantes (,como se explica en la seccin 18.6.1.excelPKFormula.xls automatiza los clculos de este modelo.
En la instalacin de lavado de autos Automata del ejemplo 18.6-2,suponga que se instala un sis-nutos.ÃCmo afecta el nuevo sistema al funcionamiento de la instalacin?4 autos por hora.El tiempo de servicio es constan-0.Por lo tanto,
6B=.667 autos s=4A1
6B+42AA1
6B2+0B
2A1-4
6B=1.33 autosE{t}= 10
60 = 1
6p0=1-lE{t}=1-rLs=lE{t}+ l2(E2{t}+var{t
qq
r 0=a1+aRn=1 Kn
1K-n2b-1 n=Kn
1K-n2! p0
18.7(//)ÃFrmula de Pollaczek-Khintchine (P-K)qqEs interesante comparar los tiempos de espera con los del caso Poisson en el ejemplo 18.6-2,).Las tasas de llegadas y salidas son las mismas en ambos casos (autos por hora).No obstante,como se muestra en la tabla siguiente,el
E{t} =6 Wq=.667
4=.167 horas s=1.333
CONJUNTO DE PROBLEMAS18.7AEn el ejemplo 18.7-1,calcule el porcentaje de tiempo que la instalacin est ociosa.Uniforme entre 8 y 20 minutos.3 minutos.Discreto con valores iguales a 4,8 y 15 minutos y probabilidades de .2,.6 y .2,respec-tivamente.Layson Roofing Inc.instala techos de tejas en casas nuevas y viejas en Arkansas.Losdas y se les pone en una lista de espera para ser procesados sobre la base de FCFS.Lostamaos de las casas varan,pero es bastante razonable suponer que las reas del techoestn uniformemente distribuidas entre 150 y 300 metros cuadrados.Por lo comn,lacuadrilla de trabajo puede completar 75 cuadrados al da.Determine lo siguiente:El tiempo promedio que un cliente espera hasta que se completa el trabajo de techado.dos al da,Ãcmo afectar esto al tiempo promedio hasta que se completa un trabajo?Optica elabora lentes de prescripcin de acuerdo con los pedidos de los clientes.Cadatrabajador se especializa en ciertos tipos de lentes.La compaa ha estado experimentan-do demoras inusuales en el procesamiento de prescripciones bifocales y trifocales.El tra-bajador a cargo recibe 30 pedidos por da de 8 horas.El tiempo para completar unaprescripcin en general est normalmente distribuido,con una media de 12 minutos yuna desviacin estndar de 3 minutos.Despus de emplear entre 2 y 4 minutos,unifor-memente distribuidos,para inspeccionar los lentes,el trabajador puede empezar a proce-sar una nueva prescripcin.Determine lo siguiente:El porcentaje de tiempo que el trabajador est ocioso.Un producto llega de acuerdo con una distribucin de Poisson a razn de uno cada 45minutos.El producto requiere dos operaciones aleatorias atendidas por un trabajador.Lamente 28 minutos.La segunda operacin realiza ajustes y cambios menores,y su tiempo
(M/Mq/q)
(M/DGDq/q)(hr)Ws.500.333(hr)Wq.333.167
tiempo de espera anticipado es menor en el modelo actual.Los resultados tienen sentido porque
Captulo 18Sistemas de colasdepende de la condicin del producto cuando sale de la operacin 1.Especficamente,eltiempo de la operacin 2 es uniforme entre 3 y 6 minutos.Debido a que cada operacinrequiere toda la atencin del trabajador,no se puede cargar un nuevo producto en la m-Cunto tiempo se requiere,en promedio,para que un producto que llega salga de la).Demuestre que en el caso en que el tiempo es constante,la frmula
E{t} y r= l
m =lE{tLs=r+ r2
).Dado que el tiempo de servicio es Erlang con parmetros (es decir,y ,demuestre que la frmula P-K se reduce a tiempo de servicio es exponencial con media deunidades de tiempo.servidores paralelos,suponga que los clientes segnuna distribucin de Poisson,con tasa media de .Los clientes que llegan son asignados aDetermine la distribucin de la probabilidad del tiempo entre llegadas.,y Determine la distribucin de la probabilidad del tiempo entre llegadas.18.8OTROS MODELOS DE COLASLas secciones anteriores se concentraron en el modelo de colas de Poisson.La literatu-ra sobre colas abunda con otros tipos de colas.En particular,las colas con prioridad deservicio,las colas en red y las colas no Poisson forman un importante cuerpo de la lite-ratura de teora de colas.Estos modelos se encuentran en la mayora de libros especia-lizados en la teora de colas.18.9MODELOS DE DECISIîN EN COLASen una instalacin de colas es una funcin de la tasa de servicios,y de la cantidad de servidores paralelos,.Esta seccin presenta dos modelos de deci-sin para determinar niveles de servicio ÃadecuadoÃen sistemas de colas:(1) un mode-lo de costos,y (2) un modelo de nivel de aspiracin.El objetivo es encontrar un balan-
mLs=mr+ m+m)r2
2(1-mr)var{t}=m
m2)E{t}= m
m
18.9Modelos de decisin en colas18.9.1Modelos de costosEl costo del ofrecimiento del servicio.Un incremento de un costo provoca automticamente una reduccin del otro,como se,el modelo de costos se expresa como Los dos ejemplos siguientes ilustran el uso del modelo de costos.El primer ejem-
KeenCo Publishing se encuentra en el proceso de comprar una copiadora comercial de alta ve-locidad.Los vendedores propusieron cuatro modelos cuyas especificaciones se resumen a conti-
Modelo de copiadora
Costo de operacin ($/h)
Velocidad (hojas/min)034576
Los trabajos llegan a KeenCo en una corriente Poisson a razn de cuatro trabajos por da de 24horas.El tamao del trabajo es aleatorio con promedios aproximadamente de 10,000 hojas portrabajo.Los contratos con los clientes especifican un costo de penalizacin por entrega retrasa-da de $80 por trabajos por da.ÃCul copiadora debe comprar KeenCo?
Captulo 18Sistemas de colas.Determinamos reconociendo que,paratodos los propsitos prcticos,cada copiadora puede ser tratada como un modelo).La tasa de llegadas es 4 trabajos/da.La tasa de servicios Por lo tanto,calculados por TORA o excelPoissonQ.xls,se dan en la siguiente tabla:
5.56 =4.32 trabajos/daTiempo promedio por trabajo= 10,000
30 * 1
El modelo 3 produce el costo mnimo.CONJUNTO DE PROBLEMAS18.9AEn el ejemplo 18.9-1,haga lo siguiente:Verifique los valores de dados en el ejemplo.Ãestn en procesoÃal final del da.ÃCul copiadora produce el costo mnimo
Modelo
Tasa de servicios
Modelo
(Trabajos/da)
(Trabajos/da)
(Trabajos)
Modelo
($)EOCi
($)EWCi
360.001000.001360.002480.00271.20751.203576.00100.00676.004648.0058.40706.40
18.9Modelos de decisin en colasMetalco va a contratar a un tcnico en mantenimiento para un taller de 10 mquinas.Seestn considerando dos candidatos.El primero puede realizar reparaciones a razn de 5 mquinas por hora y gana $15 por hora.El segundo,por estar ms calificado,recibe $20 por hora y puede reparar 8 mquinas por hora.Metalco estima que cada mquinaPoisson con una media de 3 por hora y que el tiempo de reparacin es exponencial,ÃculB&K Groceries va a abrir una tienda que presumir de constar con lectores de barras deÃltima generacinÃ.El seor Bih,uno de los propietarios de B&K ha limitado las opcio-nes a dos lectores:El lector puede procesar 10 artculos por minuto,y el lector leer 15 artculos por minuto.El costo diario de operacin (10 horas) y mantenimiento derespectivamente.Los clientes que ter-minan sus compras llegan a la caja de acuerdo con una distribucin de Poisson a razn de10 clientes por hora.Cada carrito lleva entre 25 y 35 artculos,distribuidos de manerauniforme.El seor Bih estima que el costo promedio por cliente que espera por minutoes aproximadamente de 20 centavos.ÃCul lector debe adquirir B&K? (tiempo de servicio por cliente no es exponencial,sino uniformemente distribuido.)por hora) para satisfacer las especificaciones del cliente.El propietario de un taller estmica (en piezas por hora).Por experiencias pasadas,el propietario estima que los pedidosde los clientes llegan al taller de acuerdo con una distribucin de Poisson a razn de trespedidos por hora.Cada pedido promedia 500 piezas.Los contratos entre el propietario ySuponiendo que el tiempo de produccin real por pedido es exponencial,desarrolleA partir del modelo de costos en (a),determine una expresin para la tasa de pro-Aplicando los datos del problema,determine la tasa de produccin ptima que elA un taller llegan trabajos a una taza de distribucin de Poisson a razn de 80 trabajos porsemana.Una mquina automtica representa el cuello de botella en el taller.Se estima queun incremento unitario de la produccin de la mquina costar $250 por semana.Los traba-jos retrasados normalmente originan un negocio perdido,el que se supone es de $500 portrabajo por semana.Determine la tasa de produccin ptima para la mquina automtica.Pizza Unlimited vende dos modelos de restaurantes franquiciados.La capacidad del mo-es de 20 grupos de clientes,la del modelo es de 30 grupos.El costo mensual dees de $16,000.Un inversionistadesea montar un restaurante de pizzas estilo buffet que grupos de clientes,cada uno ocu-pando una mesa,lleguen siguiendo una distribucin de Poisson a razn de 25 grupos porhora.Si todas las mesas estn ocupadas,los clientes se irn a otra parte.El modelo vir a 26 grupos por hora,el modelo servir a 29 grupos por hora.Debido a la varia-cin de los tamaos de los grupos y de los tipos de rdenes,el tiempo de servicio es expo-nencial.El inversionista estima que el promedio de negocio perdido por grupo declientes por hora es de $15.Se estima que una demora en el servicio de los clientes queDesarrolle un modelo de costos apropiado.Suponiendo que el restaurante estar abierto 10 horas al da,Ãcul modelo recomen-solicitada.Derive el modelo de costos general,y defina todos sus componentes y trminos.
Captulo 18Sistemas de colasSecond Time Around vende a consignacin artculos populares usados.Su operacinnen y agotan al azar,de acuerdo con una distribucin de Poisson con tasas de artculos por da.Cada unidad de tiempo que el artculo est agotado,Second Time pier-a causa de las oportunidades perdidas,y cada unidad de tiempo que un artculo semantiene en existencia,se incurre en un costo de retencin de $Desarrolle una expresin para el costo total esperado por unidad de tiempo.Determine el valor ptimo deÃCul condicin debe imponerse a los valores
En una instalacin de almacn de herramientas manejado por varios empleados,las solicitudesde cambio de herramientas llegan de acuerdo con una distribucin de Poisson a razn de 17.5 so-licitudes por hora.Cada empleado puede manejar un promedio de 10 solicitudes por hora.Elcosto de contratar un empleado en la instalacin es de $12 por hora.El costo de la produccinperdida por mquina de espera por hora es aproximadamente de $50.Determine la cantidad p-.Por lo tanto,en el modelo de costos general presentado al inicio de esta seccin,con ,obtenemos el siguiente modelo de costos:
hora.El estado estable se alcanza slo sies decir 2 en este ejemplo.La tabla siguien-ptimo.Los valores excelPoissonQ.xls o TORA) muestran que el nmero ptimo de empleados es 4.
m
c
(respuestas)Ls(c)
ETC($)32.21741.84251.76961.754
CONJUNTO DE PROBLEMAS18.9BResuelva el ejemplo 18.9-2,suponiendo que Tasco Oil posee una unidad propulsora de oleoducto que opera de forma continua.Eltiempo entre descomposturas de cada propulsor es exponencial con una media de 20 horas.El tiempo de reparacin es exponencial con una media de 3 horas.En una estacin particu-lar,dos tcnicos de mantenimiento atienden 10 propulsores.El salario por hora de cadatcnico es de $18.Se estima que las prdidas del oleoducto son de $30 por propulsor des-compuesto por hora.Tasco est estudiando la posibilidad de contratar un tcnico adicional.
18.9Modelos de decisin en colastcnicos en servicio es de dos?,Ãde tres?Una compaa renta una lnea telefnica de telecomunicaciones de banda ancha (WATS,por sus siglas en ingls) por $2000 al mes.La oficina est abierta 200 horas laborales pormes.Durante el tiempo restante,la lnea WATS se utiliza para otros propsitos y no estdisponible para la compaa.El acceso a la lnea WATS durante las horas laborales seampla a 100 vendedores,cada uno de los cuales puede necesitar la lnea en cualquier mo-mento dos veces en promedio por da de 8 horas con tiempo exponencial entre llamadas.Un vendedor siempre espera si la lnea WATS est ocupada a un costo estimado de 1 cen-tavo por minuto de espera.Se supone que mientras un vendedor espera una llamada dadano se presentar la necesidad de hacer llamadas.El costo normal de las llamadas (sin utili-zar la lnea WATS) promedia aproximadamente 50 centavos por minuto,y la duracin decada llamada es exponencial,con una media de 6 minutos.La compaa est considerandorentar (al mismo precio) una segunda lnea WATS para mejorar el servicio.ÃLa lnea WATS nica le est ahorrando dinero a la compaa en comparacin conun sistema sin lnea WATS? ÃQu tanto est ganando o perdiendo la compaa pormes en comparacin con el sistema sin lnea WATS?ÃDebe rentar la compaa una segunda lnea WATS? ÃCunto ganara o perderasobre el caso de una lnea WATS nica al rentar una lnea ms?Un taller mecnico incluye 20 mquinas y 3 tcnicos en reparaciones.Una mquina enfuncionamiento se descompone de acuerdo con una distribucin de Poisson.El tiempode reparacin por mquina es exponencial con una media de 6 minutos.Un anlisis de8 horas para todo el taller.Suponga que la tasa de produccin por mquina es de 25 uni-dades por hora y que cada unidad producida genera $2 en ingresos.Adems,asuma queel salario de un tcnico es de $20 por hora.Compare el costo de contratar los tcnicosAplique el resultado al ejemplo 18.9-2,y demuestre que el resultado es 18.9.2Modelo de nivel de aspiracinmetros de costos.En general,estos parmetros son difciles de estimar,en particular elasociado con el tiempo de espera de clientes.El modelo de nivel de aspiracin mitigade colas.La idea es determinar un intervalo aceptable para el nivel de servicio (especificando lmites razonables en las medidas de desempeo conflictivas.Tales lmi-niveles de aspiracinque el tomador de decisiones desea alcanzar.
C2 Ls(c*-1)-Ls(cETCc*-1)ÃETC(c*) y ETCc*+1)ÃETCc
Captulo 18Sistemas de colasÃaceptableÃde servidores,*,teniendo en cuenta dos medidas de desempeo (conflictivas):El porcentaje de ociosidad de los servidores,(Vea el problema 12,conjunto 18.6D para la comprobacin.)cisiones.Por ejemplo,,como se muestra en la figura 18.10.Localizando fica,podemos determinar un intervalo aceptable para *.Si no se pueden satisfacer lasdos condiciones al mismo tiempo,entonces una o ambas deben relajarse antes de quese pueda encontrar un intervalo factible.
En el ejemplo 18.9-2,suponga que se desea determinar la cantidad de empleados de modo queel tiempo de espera hasta que se recibe una herramienta permanezca por debajo de 5 minutos.Al mismo tiempo,el porcentaje de ociosidad debe estar por debajo de 20%.Sin pensar,y antes de realizar cualquier clculo,es inalcanzable un lmite de aspiracin de 5 mi-nutos en el tiempo de espera hasta que se recibe una herramienta (es decir,de acuerdo con los datos del problema,el tiempo de servicio promedio slo es de 6 minutos.
c *100= c-(Ls-Lq)
c *100=a1- lefec
cm b*100FIGURA 18.10Aplicacin de los niveles de aspiracin enla toma de decisiones de colas
Intervalo aceptable de c 0WSXXbaWS
c
c
2
3
4
5
6
7
25.47.66.36.16.06.06.012.541.756.365.070.875.078.0
Con base en estos resultados debemos,o reducir el tiempo de servicio o reconocer que la causalicitudes por hora).sta,sin duda,es el rea que hay que atacar.Por ejemplo,nos gustara inves-tigar la razn de tan alta demanda de reemplazo de herramientas.ÃPodra ser que el diseo de laherramienta est defectuoso en s? O,Ãpodra ser que los operadores de las mquinas tratan aCONJUNTO DE PROBLEMAS18.9CUn taller utiliza 10 mquinas idnticas.Cada mquina se descompone una vez cada 8horas en promedio.Se requiere media hora en promedio para reparar una mquina des-compuesta.Los procesos de descompostura y reparacin siguen la distribucin dePoisson.Determine lo siguiente:mora hasta que se inicie una reparacin sea de menos de 10 minutos.En el modelo de costos de la seccin 18.9-1,en general es difcil estimar el parmetro de(costo de espera).En consecuencia,puede ser til calcular el costo por los niveles de aspiracin.Utilizando el modelo de nivel de aspiracin para determi-*,podemos entonces determinar el (Vea el problema 5,conjunto 18.9B,para la derivacin.) Aplique el procedimiento al pro-blema del ejemplo 18.9-2,con Bose,S.,An Introduction to Queuing Systems,Kluwer Academic Publishers,Boston,2001.Gross,D.,y M.Harris,Fundamentals of Queuing Theory,3a.ed.,Wiley,Nueva York,1998.Lee,A.,Applied Queuing Theory,St.MartinÃs Press,Nueva York,1966Lipsky,A Linear Algebraic Approach,Macmillan,Nueva York,1992.Saaty,T.,Elements of Queuing Theory with Applications,Dover,Nueva York,1983.Tanner,M.,Practical Queuing Analysis,McGraw-Hill,Nueva York,1995.
C2 Ls(c*-1)-Ls(c
19.1SIMULACIîN MONTECARLOUn precursor de la simulacin actual es el experimento Montecarlo,un esquema de mo-aleatorio.Algunos ejemplos de aplicaciones Montecarlo incluyen la evaluacin de inte-grales mltiples,la estimacin de la constantey la inversin de matrices.Esta seccin utiliza un ejemplo para demostrar la tcnica Montecarlo.El objetivo
5 cm,y su centro es ((1,2).drado cuyo lado sea igual al dimetro del crculo,como se muestra en la figura 19.1.Los puntosde esquina se determinan a partir de la geometra del cuadrado.oportunidad igual de seleccionar cualquier punto en el cuadrado.Si quedan dentro del crculo,entoncesPara asegurarnos de que todos los puntos en el cuadrado son igualmente probables,las
10 , -3 y7 f1(x)= 1
10 , -4x6açrea aproximadadel crculob=m
n açrea delcuadradob=m
CAPêTULO 19
Captulo 19Modelado de simulacin
TABLA 19.1.3529.5869.3455.7900.6307.6733.3646.1281.4871.7698.2346.4799.7676.2867.8111.2871.4220.9486.8931.8216.8912.9534.6991.6139.3919.8261.4291.1394.9745.5933.7876.3866.2302.9025.3428.9341.5199.7125.5954.1605.6037.1782.6358.2108.5423.3567.2569.3473.7472.3575.4208.3070.0546.5644.8954.2926.6975.5513.0305
pendientes 0-1.La tabla 19.1 incluye una muestra de tales nmeros,los cuales utilizaremos en losejemplos de este captulo.Para el propsito de simulacin general,se utilizan operaciones aritmti-cas especiales para generar nmeros (seudo) aleatorios 0-1,como se demostrar en la seccin 19.4.,para generar un punto aleatorioPara demostrar la aplicacin del procedimiento,consideremos
Comentarios.experimentos estadsticos comunes.Aumente el tamao de la muestra,Use rplicas,
4, 7)(6, 7)
(
4,
)(
6,
)
(1, 2)
19.1Simulacin Montecarlo,y dependen de lanaturaleza del experimento de simulacin y tambin del nivel de confianza deseado.Sin embargo,como en cualquier experimento estadstico,la regla de oro es que los va-producen resultados de simulacin ms precisos.Al final,el tamaomulacin.Sin embargo,un tamao de muestra seleccionado se suele considerar Ãade-cuadoÃsi produce una desviacin estndar Ãrelativamente pequeaÃ.en cuenta la variacin aleatoria del resultado del experimento.Siy rplicas,entonces,con un nivel de confianza ,elEl parmetrose determina con las tablas de distribucin excelStatTable.xls).es igual al nmero de rplicas,el cual es distinto del
Los clculos asociados con cada muestra en el ejemplo 19.1-1 son voluminosos.Se utiliza la plan-excelCircle.xls (con macros VBA) para probar el efecto del tamao de la muestra yla cantidad de rplicas en la precisin de la estimacin.Los datos de entrada incluyen el radiodel crculo;y su centro ();el tamao de la muestra,;el nmero de rplicas,,y el nivel de.La entrada ejecucin.Por ejemplo,si 3,la plantilla producir de forma automtica el30,000,60,000 y 90,000.Se realizan nuevas estimaciones cada vez que se hacenmeros aleatorios.La figura 19.2 resume los resultados de 5 rplicas y los tamaos de muestra de 30,000,60,000y 90,000.El rea exacta es de 78.54 cmdias estimadas con los tres tamaos de muestra son ligeramente diferentes..Por ejemplo,el intervalo90,000,con ,y 2.776.En general,para obtener una precisin razonable en la estimacin del inter-valo de confianza,el valor de En el ejemplo 19.1-1,estime el rea del crculo utilizando las primeras dos columnas de los nmeros aleatorios 0-1 en la tabla 19.1.(Por conveniencia,repase cada columna dearriba a abajo,y seleccione primero
Press to Execute Montecarlota
2 , N-1 A
- s
1N
ta
2 , N-1AA
+ s
1N
ta
2 , N-1A
Captulo 19Modelado de simulacinexcelCircle.xls
) de la muestra utilizando el par de aleatorios (0,1),(excelCircle.xlsza asociado,dados Base su estimacin en las primeras dos columnas de nmeros aleatorios (0,1) en la tabla 19.1.Considere el juego en el cual dos participantes,Jan y Jim,se turnan para lanzar al aire una mo-neda.Si el resultado es cara,Jim obtiene $10 de Jan.De lo contrario,Jan obtiene $10 de Jim.Ejecute el experimento con 5 rplicas de 10 lanzamientos cada una.Use las primeras
19.1Simulacin Montecarlo
0123
Establezca un intervalo de 95% de confianza para las victorias de Jan.Compare el intervalo de confianza en (c) con las victorias tericas esperadas de Jan.plicas,cada una de tamao 5.Calcule el intervalo de 95% de confianza,y compreloSimule cinco ganancias o prdidas del siguiente juego de ÃcrapsÃ.El jugador lanza dosdados.Si la suma resultante es 7 u 11,el jugador gana $10.De lo contrario,el jugadoranotado,en cuyo caso el jugador gana $10.Si se,el jugador pierde $10.iguales.La demanda por supone los valores 0,1 y 2 con las probabilidades respectivasde .2,.7 y .1.Use los nmeros aleatorios de la tabla 19.1 (comenzando con la columna 1)para estimar la distribucin conjunta de la demanda y el tiempo de espera.A partir de ladistribucin conjunta,estime la funcin de densidad de probabilidad de la demanda du-rante el tiempo de espera.(Considere el experimento de la aguja de Buffon.Se traza un plano horizontal con lneascm entre ellas.Se deja caer una aguja de ) al azar sobre el plano.El objetivo del experimento es determinar la probabi-lidad de que cualquiera de los extremos toque o cruce una de las lneas.Defina Disee el experimento Montecarlo,y estime la probabilidad deseada.Use Excel para obtener 4 rplicas,cada una de tamao 10 de la probabilidad desea-da.Determine el intervalo de 95% de confianza para la estimacin.Suponga que
2 sen u, 0h D
2 , 0up
Captulo 19Modelado de simulacinModelado de simulacinSugerencia:çrea de un crculo)/(çrea de un rectngulo que envuelve estrechamente al crculo) 5p/4.] 19.2TIPOS DE SIMULACIîNMontecarlo.Difiere en que estudia el comportamiento de sistemas reales como una.Existen dos tipos distintos de modelos de simulacin.con el tiempo.Estos modelos suelen utilizar ecuaciones diferencialespara describir las interacciones entre los diferentes elementos del sistema.Unmodelos discretos dio y la longitud de la cola.Estas medidas cambian slo cuando un cliente entrao sale del sistema.Los instantes en que ocurren los cambios en puntos discretosespecficos del tiempo (eventos de llegada y salida),originan el nombre de evento discretoEste captulo presenta los fundamentos de la simulacin de evento discreto,in-cluida una descripcin de los componentes de un modelo de simulacin,la recoleccin deTambin pone nfasis en el papel de la computadora y los lenguajes de simulacin enCONJUNTO DE PROBLEMAS19.2Aambas).En cada caso,especifique el objetivo de desarrollar el modelo de simulacin.Los pedidos de un artculo llegan al azar a un almacn.Un pedido que no puede sernuevos envos.La poblacin mundial se ve afectada por la disponibilidad de los recursos naturales,la produccin de alimentos y las condiciones ambientales,el nivel educativo,el cui-A una baha receptora de un almacn automatizado llegan mercancas en tarimas.vador a una transportadora elevada que mueve las tarimas a los corredores.Los locan en compartimientos de almacenamiento.Explique por qu estara de acuerdo o en desacuerdo con el siguiente enunciado:ÃLa ma-otra forma como sistemas de colas,compuestos de tes,donde los clientes pueden esperar,e
pD
19.3Elementos de la simulacin de evento discreto19.3ELEMENTOS DE LA SIMULACIîN DE EVENTO DISCRETOque describan el comportamiento del sistema simulado.Por ejemplo,en una instala-cin de servicio,las medidas de desempeo asociadas pueden incluir el tiempo de es-pera promedio hasta que un cliente es atendido,la longitud promedio de la cola y lautilizacin promedio de la instalacin de servicio.Esta seccin muestra como se reco-19.3.1Definicin genrica de eventosTodas las simulaciones de eventos discretos describen,directamente o indirectamente,situaciones de colas en las que los clientes llegan (para servicio),esperan en la cola (sies necesario) y luego reciben el servicio antes de salir de la instalacin de servicio.Como tal,cualquier simulacin de evento discreto,independientemente de la comple-jidad del sistema que describe,se reduce a tratar con dos eventos bsicos:llegadas y salidas.El siguiente ejemplo ilustra el uso de los eventos de llegada y salida paradescribir un sistema compuesto de colas distintas.
Metalco Jobshop recibe dos tipos de trabajos:regulares y urgentes.Todos los trabajos se proce-san en dos mquinas consecutivas con amplias reas intermedias.Los trabajos urgentes siempresuponen prioridad preventiva sobre los trabajos regulares.Esta situacin consta de colas en tndem que representan las mquinas.Al principio nos po-En realidad slo hay dos eventos:la llegada de un (nuevo) trabajo al taller y la salida de un tra-bajo (terminado) de una mquina.En primer lugar observe que los eventos dad son los mismos.Lo mismo aplica a 22.Luego,en la simulacin discreta podemos uti-lizar un evento (llegada o salida) de ambos tipos de trabajos y simplemente ÃetiquetarÃel eventoque identifique el tipo de trabajo como regular o urgente.(En este caso pode-,y de hecho lo es).Dadoeste razonamiento,los eventos del modelo se reducen a (1) una llegada (al taller),y (2) una sa-(de una mquina).Las acciones asociadas con el evento de llegada dependen del tipo detrabajo que llega (urgente o regular) y de la disponibilidad de una mquina.Asimismo,el proce-Habiendo definido los eventos bsicos de un modelo de simulacin,demostramos cmo seejecuta el modelo.La figura 19.4 ofrece una representacin esquemtica de ocurrencias tpicasde eventos en la escala de tiempo de la simulacin.Una vez que se han realizado todas las accio-nes asociadas con un evento existente,la simulacin ÃsaltaÃal siguiente evento cronolgico.Enesencia,la ejecucin de la simulacin ocurre en los instantes en que ocurren los eventos.
Captulo 19Modelado de simulacineventos de salida son una funcin del tiempo de servicio en la instalacin.Estos tiempos puedencos (como la llegada aleatoria de los clientes a un banco).Si el tiempo entre eventos es deter-minstico,la determinacin de sus tiempos de ocurrencia es simple.Si es probabilstico,utilizamosun procedimiento especial para muestrear de la distribucin de probabilidad correspondiente.CONJUNTO DE PROBLEMAS19.3AIdentifique los eventos discretos necesarios para simular la siguiente situacin.Llegandos tipos de trabajos de dos fuentes diferentes.Ambos tipos se procesan en una sola m-quina,con prioridad dada a los trabajos de la primera fuente.Llegan trabajos a una tasa constante en un sistema transportador de carrusel.Tres esta-ciones de servicio estn equidistantes entre s alrededor del carrusel.Si el servidor estocioso cuando llega un trabajo a la estacin,el trabajo se retira del transportador paraprocesarlo.De lo contrario,el trabajo contina girando en el carrusel hasta que el servi-dor vuelve a estar disponible.Un trabajo procesado se guarda en un rea de envo adya-cente.Identifique los eventos discretos necesarios para simular esta situacin.Los autos llegan a los carriles de una caja de servicio en su coche de un banco,dondecada carril puede alojar un mximo de cuatro autos.Si los dos carriles estn llenos,losautos que llegan buscan servicio en otra parte.Si en cualquier momento un carril es almenos dos autos ms largo que el otro,el ltimo auto en el carril ms largo se pasar a laltima posicin del carril ms corto.El banco opera la instalacin de servicio en su coche.a 3:00 .cada da laboral.Defina los eventos discretos de la situacin.sola charola a todos sus alumnos.Los nios llegan a la ventanilla despachadora cada 30segundos.Se requieren 18 segundos para recibir la charola del almuerzo.Trace el mapade los eventos de llegada y salida en la escala de tiempo de los primeros cinco alumnos.19.3.2Muestreo de distribuciones de probabilidadLa aleatoriedad de la simulacin surge cuanto el intervalo,,entre eventos sucesivos esprobabilstico.Esta seccin presenta tres mtodos para generar muestras aleatorias su-,Ã) de una distribucin de probabilidad Mtodo inverso.Mtodo de aceptacin y rechazo.
FIGURA 19.4Ejemplo de la ocurrencia de eventos de simulacin en la escala de tiempo
Evento 1
ento 2Eento 4ETiempo
19.3Elementos de la simulacin de evento discretobilidad analticamente solubles,como la exponencial y la uniforme.Los otros dos m-todos se ocupan de casos ms complejos,como el normal y el de Poisson.Los tresmtodos se derivan del uso de nmeros aleatorios 0-1 independientes e idnticamentedistribuidos.Esta seccin presentar slo los dos primeros mtodos.Los detalles del mtodoMtodo inverso.) (continua o discreta).El mtodo inverso determina},donde 0 1,para todos los valores definidos de 1.Con base en este resultado,se determina una mues-Paso 1.Paso 2.
Ejemplo 19.3-2(Distribucin exponencial) a una instalacin con valor medio deLa funcin de densidad acumulada es ),podemos resolver
l b ln (1-R)F(t)=Lt0le-lx dx=1-e-lt, t701
l .f(t)=le-lt, t70FIGURA 19.5Muestreo de una distribucin de probabilidad por medio del mtodo inverso
F(x)10R1xx1
F(x)(b) x discreta(a) x continua1R1xx1
Captulo 19Modelado de simulacinPor ejemplo,para .9,el periodo de tiempo hasta que ocurre laCONJUNTO DE PROBLEMAS19.3BEn el ejemplo 19.3-2,suponga que el primer cliente llega en el instante 0.Use los prime-llegada de los 3 clientes siguientes,y trace la grfica de los eventos resultantes en la esca-la de tiempo.Distribucin uniforme.,dado el nmero aleatorio En un taller se reciben trabajos al azar.El tiempo entre llegadas es exponencial conmedia de 2 horas.El tiempo necesario para procesar un trabajo es uniforme entre 1.1 y 2 horas.Suponiendo que el primer trabajo llega en el instante 0,determine el tiempo dellegada y salida de los primeros cinco trabajos mediante los nmeros aleatorios (0,1) des por mes con probabilidades de .2,.3,.4 y .1,respectivamente.El taller de manteni-nivel de las existencias a 5 unidades inmediatamente despus que se reduzca a 2 unidades.En una situacin de simulacin,las unidades de TV se inspeccionan en busca de posiblesdefectos.Hay 80% de probabilidades de que una unidad pase la inspeccin,en cuyo casose le enva a empaque.De lo contrario,la unidad se repara.Podemos representar la situa-cin simblicamente de dos maneras.gotoREPARACIîN/.2,EMPAQUE/.8gotoEMPAQUE/.8,REPARACIîN/.2 Estas dos representaciones parecen equivalentes.No obstante,cuando se aplica una se-cuencia dada de nmeros aleatorios (0,1) a las dos representaciones,pueden resultar de-cisiones diferentes (REPARACIîN o EMPAQUE).Explique por qu.Un jugador lanza una moneda repetidamente hasta que cae una cara.La retribucin aso-,donde Idee el procedimiento de muestreo del juego.bucin acumulada despus de que salen dos caras.Distribucin triangular.En la simulacin,la carencia de datos puede hacer imposible de-terminar la distribucin de probabilidad asociada con una actividad de simulacin.En lavalores mnimos,los ms probables y los mximos.Estos tres valores bastan para definiruna distribucin triangular,la cual puede utilizarse entonces como una estimacin Ãpreli-minarÃde la distribucin real.
b - a , atb
t1=-a 1
4 b ln(1-.9)=.577 horas =34.5 minutos
19.3Elementos de la simulacin de evento discretoDesarrolle la frmula para tomar muestras de la siguiente distribucin triangular,los lados izquierdo y derecho por tringulos rectngulos simtricos.Los intervalos res-Los intervalos res-a,b],[[c,d],a,b,c,d.Ambos tringulos tienen la misma altura que el rectngulo.Desarrolle un procedimiento de muestreo..Demuestre cmo se puede obtener una muestra aleatoria de laes el nmero (de Bernoulli) de fallas hasta que ocurre un xito,y probabilidad de un xito,0 1.Genere cinco muestras para .6,utilizando losDistribucin de Weibull.Demuestre cmo se puede obtener una muestra aleatoria de ladistribucin de Weibull con la siguiente funcin de densidad de probabilidad:Mtodo de convolucin.La idea bsica del mtodo de convolucin es expresar lamuestra deseada como la suma estadstica de otras variables aleatorias fciles de muestrear.Tpicas entre estas distribuciones estn las de Erland y la de Poisson,cuyas muestras
Ejemplo 19.3-3(Distribucin Erlang)aleatorias exponenciales independientes e idnticamente distribuidas.Sea Erlang;entonces1,2,Ã,
(b-a-a),axb2(c-x)
(c-b)(c-a),bxc
Captulo 19Modelado de simulacinSegn el ejemplo 19.3-2,una muestra de la Por lo tanto la muestra Para ilustrar el uso de la frmula,suponga que 4 eventos por hora.Los tres prime-.0190,los cuales dan
Ejemplo 19.3-4(Distribucin de Poisson)eventos es exponencial,entonces la distribucin de la cantidad de eventos por unidad de tiempoes Poisson,y viceversa.Utilizamos la relacin para muestrear la distribucin de Poisson.Suponga que la media de la distribucin de Poisson es eventos por unidad de tiempo.Sedesprende que el tiempo entre eventos es exponencial con media de unidades de tiempo.Esto,de Poisson se repetir durante unidades de tiempo si,y slo si,1,es una muestra de la distribucin exponencial conmedia.Con el resultado del ejemplo 19.3-3,tenemos
l b ln (R1), =0 -a 1
l b lnaqni=1Ribt6-a 1
l b lnaqn+1i=1Rib, n701
l 0t6t1, n=0 t1+t2+Ã+tnt6t1+t2+Ã+tn+1, n701
l
y=-1 1
4 2 ln(.019)=.991 horas =-a 1
l b ln aqmi=1Rib =-a 1
l b{ln (R1)+ ln(R2)+. . . + ln(Rm)}yi=-a 1
l b ln (Ri), =1, 2, Ã, m
19.3Elementos de la simulacin de evento discretoPara ilustrar la implementacin del proceso de muestreo,supongamos que por hora.Para obtener una muestra durante un periodo .5 hora,primero calculamos .1353.El nmero aleatorio .1353.Por consiguiente,la muestra
Ejemplo 19.3-5(Distribucin normal)se hace lo bastante grande.Utilizamos este resultado para generar muestras detiene una medida dey una varianza de,sesony ,respectivamente.Por lo tanto,una muestra,de una distribucin normal ,se calcula aEn la prctica,consideramos que 12 por conveniencia,lo cual reduce la frmula aPara ilustrar el uso de este mtodo,supongamos que deseamos generar una muestra de2).Sumando los primeros 12 nmeros aleato-rios de las columnas 1 y 2 de la tabla 19.1,tenemos 6.1094.Por lo tanto Frmula de muestreo normal de Box-Muller.La desventaja del procedimientoanterior es que requiere generar 12 nmeros aleatorios por muestra normal,lo cual escomputacionalmente ineficiente.Un procedimiento ms eficiente utiliza la trans-(0,1) estndar.Por lo tanto,).El nuevo procedimiento es ms eficiente porquerequiere slo dos nmeros aleatorios (0,1).En realidad,este mtodo es an ms efi-ciente de lo que se formul,porque Box y Muller demostraron que la frmula dada
y=m+s(x-6)y=m+sPx-n
2
4n
12
Qn
12n
21
121
2x=R1+R2+Ã+Rn
Captulo 19Modelado de simulacin(10,2),los dos primeros nmeros aleatorios de la columna 1 de la tabla 19.1(0,1):Por lo tanto,las muestras CONJUNTO DE PROBLEMAS19.3CEn el ejemplo 19.3-3,calcule una muestra Erlang,si En el ejemplo 19.3-4,genere tres muestras Poisson durante un periodo de 2 horas,dadoque la media de la distribucin de Poisson es de 5 eventos por hora.En el ejemplo 19.4-5,genere dos muestras desde convolucin como el de Box-Muller.A Metalco Jobshop llegan trabajos de acuerdo con una distribucin de Poisson,con unamedia de 6 trabajos por da.Los trabajos se asignan a los cinco centros de maquinado deltaller en una forma estrictamente rotacional.Determine una muestra del intervalo entrellegadas de trabajos al primer centro de maquinado.Las calificaciones del examen ACT de la clase de estudiante de ltimo ao de 1994 en laprepatoria de Springdale son normales,con una medida de 27 puntos y una desviacinestndar de 3 puntos.Supongamos que sacamos una muestra aleatoria de seis estudiantesdel ltimo ao de esa clase.Utilice el mtodo de Box-Muller para determinar la media yEl profesor de psicologa Yataha est llevando a cabo un experimento de aprendizaje enel cual se entrenan ratones para que encuentren su camino en un laberinto.La base dellaberinto es un cuadrado.Un ratn entra al laberinto por una de las cuatro esquinas yentr.El diseo del laberinto es tal que el ratn debe pasar por cada uno de los tres pun-tos de esquina restantes exactamente una vez antes de que salga.Las mltiples rutas delllas del reloj.El profesor Yataha estima que el tiempo que el ratn emplea para llegar aun punto de esquina desde otro est distribuido uniformemente entre 10 y 20 segundos,segn la ruta que tome.Desarrolle un procedimiento de muestreo para el tiempo que unratn pasa en el laberinto.En el problema 6,suponga que una vez que el ratn sale del laberinto,de inmediatoentra otro ratn.Desarrolle un procedimiento de muestreo para la cantidad de ratonesque salen del laberinto en 5 minutos.
L-2.109 1=cos(2*.6733)3-2 ln(.0589)
L -1.103
Para todos los problemas de este conjunto,utilice los nmeros aleatorios de la tabla 19.1 comenzando con
19.4Generacin de nmeros aleatorios1.(muestras geomtricas independientes.Vea elproblema 9,conjunto 19.3B.)19.4GENERACIîN DE NòMEROS ALEATORIOSLos nmeros aleatorios uniformes (0,1) desempean un papel clave en el muestreo dedistribuciones.Slo los dispositivos electrnicos pueden generar nmeros aleatorios(0,1) verdaderos.Sin embargo,debido a que los modelos de simulacin se ejecutan enla computadora,el uso de dispositivos electrnicos para generar nmeros aleatorios esdemasiado lento para este propsito.Adems,los dispositivos electrnicos son activa-dos por leyes de probabilidades,lo que hace imposible duplicar la misma secuencia denmeros aleatorios a voluntad.Este punto es importante porque la depuracin,la ve-de la secuencia de los nmeros aleatorios.simulacin est basada en operaciones aritmticas.Tales nmeros no son verdadera-mente aleatorios debido a que toda la secuencia puede generarse con anticipacin.Esmtodo congruencial multiplicativo.Dados los parmetros ,un nmero seu-del generador.plicativo que mejoran la calidad del generador.
12.La semilla es
u3=(9*5+5) mod 12=2, R3= 2
12=.1667 2=(9*8+5) mod 12=5, R2= 5
12=.4167 1=(9*11+5) mod 12=8, R1= 8
12=.6667 n= un
m , n=1, 2, Ã n=(bun-1+c) mod(=1, 2, Ãf(x)=Cxr+x-1pr(1-p)x, x=0, 1, 2, Ã
Captulo 19Modelado de simulacinexcelRN.xls
excelRN.xlsimplementa el mtodo congruencial multiplicativo.La figura 19.6 generala secuencia asociada con los parmetros del ejemplo 19.4-1.Observe que la duracin del ciclo esexactamente 4,tras de lo cual la secuencia se repite.El punto aqu es que los valores selecciona-de su ciclo.Por lo tanto,la implementacin ÃcasualÃde la frmula congruencial no se recomienda.En su lugar debemos utilizar un generador confiable y probado.Todos los programas de compu-tadora comerciales estn equipados con generadores de nmeros aleatorios confiables.CONJUNTO DE PROBLEMAS19.4Acon el siguiente conjunto de parmetros,y compare los resul-
19.5Mecnica de la simulacin discretaEncuentre un generador de nmeros aleatorios en su computadora,y utilcelo para gene-rar 500 nmeros aleatorios (0,1).Elabore el histograma de los valores resultantes (pormedio de la herramienta histograma de Microsoft,vea la seccin 12.5) y convnzase vi-sualmente de que los nmeros obtenidos siguen razonablemente la distribucin (0,1).Enrealidad,para probar adecuadamente la secuencia,necesitara aplicar las siguientes prue-bas:bondad de ajuste de ji cuadrada (vea la seccin 14.6),realice la prueba en busca deindependencia y la prueba de correlacin;para los detalles,vea Law (2007).19.5MECçNICA DE LA SIMULACIîN DISCRETAlacin.El vehculo de explicacin es un modelo de una sola cola.La seccin 19.5.1 uti-de simulacin de colas de un solo servidor.Debido a los tediosos clculos que tipificanla ejecucin de un modelo de simulacin,la seccin 19.5.2 muestra cmo se maneja y19.5.1Simulacin manual de un modelo de un solo servidormedia de 15 minutos.La peluquera es atendida por slo un peluquero,y se lleva entre10 y 15 minutos,distribuidos de manera uniforme,para realizar un corte de pelo.Losclientes son atendidos con base en la disciplina primero en llegar,primero en salir(FIFO).El objetivo de la simulacin es calcular las siguientes medidas de desempeo:asociadas con los eventos de llegada y salida del modelo.Evento de llegadaInicie el servicio y declare ocupada la instalacin.Actualiza las estadsticas deSi la instalacin est ocupada,ponga al cliente en la cola,y actualice las estadsti-Evento de salidaSi la cola est vaca,declare ociosa la instalacin.Actualice las estadsticas de uti-Seleccione un cliente de la cola,pngalo en la instalacin.Actualice las es-
Captulo 19Modelado de simulacinSegn los datos del problema,el tiempo entre llegadas es exponencial con mediade 15 minutos,y el tiempo de servicio es uniforme entre 10 y 15 minutos.Si presentan muestras aleatorias de tiempos entre llegadas y de servicio,entonces,comose explica en la seccin 19.3.2,obtenemos Para el objetivo de este ejemplo,utilizamos de la tabla 19.1,comenzando con lacolumna 1.Tambin utilizamos el smbolo mulacin.Suponemos adems que el primer cliente llega en el instante Debido a que los clculos de simulacin suelen ser voluminosos,la simulacin selimita slo a las primeras 5 llegadas.El ejemplo est diseado para cubrir todas las si-tuaciones posibles que pudieran surgir en el curso de la simulacin.Ms adelante,en laseccin 19.5.2,presentamos la plantilla excelSingleServer.xls con el modelo sin tener que realizar manualmente los clculos.0,el cliente inicia el serviciode inmediato.Por lo tanto,el tiempo de salida se calcula como el tiempo de salida se calcula como -15ln(.0589)] minutos, 0
Tiempo,
42.48Llegada del cliente 2
Tiempo,
Evento42.48Llegada del cliente 2
Debido a que la cola est vaca,lainstalacin se declara ociosa.Al mismo tiempo,registramos que la instalacin ha13.37 minutos.La lista actualizada de eventosLa lista actualizada de eventos-15ln(.4799)]
19.5Mecnica de la simulacin discretaDebido a que la instalacin esta ociosa,el cliente 2 inicia el servicio,y la instalacin sedeclara ocupada.El tiempo de salida es57.22),el cliente 3 se53.49.La lista de eventos futuros actualizada es La lista de eventos futuros actualizada es - 15lniniciar el servicio.El tiempo de espera es
Tiempo,
57.22Salida del cliente 2
Tiempo,
60.81Llegada del cliente 4
Tiempo,
70.19Salida del cliente 3
70.19,el cliente 4 se coloca en lacola.La lista actualizada de eventos futuros es La lista actualizada de eventos futuros es -15ln(.9341)]
Tiempo,
70.19Salida del cliente 3
Captulo 19Modelado de simulacinLa simulacin se limita a 5 llegadas,porconsiguiente no se genera la llegada del cliente 6.La instalacin sigue ocupada,porque61.83.La lista de eventos actualizada es iniciar el servicio.El tiempo de espera es El tiempo de espera es +5* .1782]=81.08 minutosW4= 70.19-60.81=9.38 minutosSalida del cliente 4 en el instante T581.08.El cliente se retira de la cola para iniciarel servicio.El tiempo de espera es porque su variacin es una funcin del tiempo.En consecuencia,
Periodo simulado
Tiempo,
Evento70.19Salida del cliente 3
Tiempo,
Evento81.08Salida del cliente 4
Tiempo,
Evento92.82Salida del cliente 5
19.5Mecnica de la simulacin discreta
20304060708090
2030405060708090
W4
q1
q2
q3
q5
q4
W5
A228.63
A450.34
A313.37
Implementando esta frmula con los datos que aparecen en la figura 19.7,obtenemosbasada en observacionescola,es decir,CONJUNTO DE PROBLEMAS19.5Aprimero en llegar,primero en ser atendido (FCFS).Suponga adems que el tiempo paraobtener un corte de pelo est uniformemente distribuido entre 15 y 30 minutos.El tiempo
q= 32.36
5=6.47 minutosW1+W2+W3+W4+W5=0+0+3.73+9.38+19.25=32.36 minutosaValor promedio de una variablebasada en observacionesb=Suma de las observaciones
Cantidad de observaciones aUtilizacin promediode la instalacinb=A3+A4
92.82=63.71
92.82=.686 peluqueros aLongitud promediode la colab=A1+A2
92.82=32.36
92.82=.349 clientes
Captulo 19Modelado de simulacinentre llegadas de los clientes es exponencial con una media de 10 minutos.Simule manual-mente el sistema durante 75 unidades de tiempo.Con los resultados de la simulacin,deter-mine el tiempo promedio que un cliente espera en la cola,el promedio de clientes que espe-ran y la utilizacin promedio de los peluqueros.Use los nmeros aleatorios de la tabla 19.1.Tiempo para la falla de un componente electrnico.Nivel del inventario de un artculo.Cantidad de pedido de un artculo de inventario.Cantidad de artculos defectuosos en un lote.Tiempo necesario para calificar exmenes.Cantidad de autos en el lote de estacionamiento de una agencia de renta de autos.
Tiempo de simulacin,
Cantidad de clientes que esperan0T3036T4146T6266T7176T100106T122126T183186T202206T251
Tiempo de simulacin,
Cant.de servidores ocupados
El tiempo de espera promedio en cola de los que deben esperar.queros.Suponga,adems que la utilizacin de los servidores (peluqueros) se resume en
19.5Mecnica de la simulacin discretaTiempo promedio que permanece ocupada la instalacin.Tiempo ocioso promedio de instalacin.19.5.2Simulacin basada en una hoja de clculo del modelo de un solo servidorEsta seccin desarrolla una hoja de clculo basada en el modelo de un solo servidor.Elobjetivo del desarrollo es reforzar las ideas presentadas en la seccin 19.5.1.Desde luego,hoja de clculo.Otras situaciones requieren un esfuerzo de modelado ms complicado,Una lista cronolgica de los eventos del modelo.cin basado en la hoja de clculo (en realidad,basado en cualquier computadora).Lade la computadora.Como en la seccin 19.5.1,a los clientes se les atiende en el orden dellegada (FIFO,primero en llegar,primero en salir).excelSingleServer.xls.cuatro formas:constante,exponencial,uniforme y triangular.La distribucin triangulardistribucin,simplemente con tres estimaciones excelSingle.xls
Captulo 19Modelado de simulacinmnimo,el ms probable y el mximo del tiempo.La nica otra informacin necesariapara controlar la simulacin es la duracin de la ejecucin de la simulacin,la cual en estemodelo es especificada por el nmero de llegadas que se pueden generar en el modelo.Los clculos de la hoja de clculo reservan una fila para cada llegada.Los tiemposentre llegadas y de servicio de cada llegada se generan con los datos de entrada.Se su-0.Debido a que la instalacin co-mienza ociosa,el cliente inicia el servicio de inmediato.La hoja de clculo proporcionaexcelMultiServer.xlscaso de un solo servidor.Sin embargo,la determinacin del tiempo de salida no es tansimple y requiere el uso de macros VBA.CONJUNTO DE PROBLEMAS19.5BCon los datos de la seccin 19.5.1,ejecute el simulador Excel para 10 llegadas y trace ladel tiempo de simulacin.Compruebe que las reas bajo las curvas son iguales a la sumade los tiempos de servicio y la suma de los tiempos de espera,respectivamente./1 para 500 llegadas,con la tasa de llegadas 6 salidas por hora.Ejecute 5 aplicaciones (refrescando la hojade clculo,oprimiendo F9) y determine un intervalo de 95% de confianza con todas lasmedidas de desempeo del modelo.Compare los resultados con los valores tericos depor un solo operador.No estn disponibles los datos detallados de la estacin de inspeccin.Sin embargo,el operador estima emplear 10 minutos Ãen promedioÃpara inspeccionar unaunidad.En las peores condiciones,el tiempo de inspeccin no excede de 13 minutos,y paraciertas unidades el tiempo de inspeccin puede ser tan bajo como 9 minutos.Use el simulador de Excel para simular la inspeccin de 200 televisores.Basado en 5 rplicas,estime la cantidad promedio de unidades en espera de ser ins-19.6MTODOS PARA REUNIR OBSERVACIONES ESTADêSTICASmedio de herramientas de inferencia estadstica apropiadas (por ejemplo,intervalos deconfianza y pruebas de hiptesis).Para realizar esta tarea,un experimento de simu-lacin debe satisfacer tres condiciones:Las observaciones son independientes.En un sentido estricto,el experimento de simulacin no satisface ninguna de estas con-diciones.No obstante,podemos garantizar que estas condiciones permanecen estads-ticamente aceptables al restringir la forma de reunir las observaciones.
19.6Mtodos para reunir observaciones estadsticasEn primer lugar consideremos el tema de las distribuciones estacionarias.Los re-sultados de una simulacin son una funcin de la duracin del periodo simulado.El pe-.Cuando los resultados de la simulacin se estabilizan,elestado estable.Desafortunadamente,no hay una forma definitiva depredecir de antemano el punto de inicio del estado estable.Por lo general,una ejecucines decir que el problema se aborda con un tamao de muestra suficientemente grande.cin se extraen de una poblacin normal.Este requisito se cumple utilizando el dio de una muestra es asintticamente normal,de manera independiente de la pobla-cin padre.Por consiguiente,el teorema del lmite central es la herramienta principalLa tercera condicin tiene que ver con la independencia de las observaciones.Enuna simulacin,una observacin se puede basar en una sola ejecucin independiente ouna observacin.Cada mtodo presenta desventajas y ventajas.El primero alivia lacada observacin.En el segundo mtodo,el efecto del periodo transitorio no es tanpronunciado,pero empeora de manera inherente el tema de la independencia.Comose explicar ms adelante en esta seccin,un posible remedio consiste en prolongar elMtodo de subintervalos.pliamente utilizados (vea la seccin 19.7).Por otra parte,el tercer mtodo,aun cuandoticas para las diferentes observaciones,puede ser difcil de implementar en la prctica.Las secciones 19.6.1 y 19.6.2 presentan los primeros dos mtodos.Los detalles del19.6.1Mtodo de subintervalosLa figura 19.9 ilustra la idea del mtodo de subintervalos.Supongamos que la duracinunidades de tiempo.El mtodo de subintervalos primero truncasubintervalos (o lotes) iguales.El promedio de una medida de desempeo deseada(por ejemplo,longitud de la cola o tiempo de espera en la cola) dentro de cada subinter-valo se utiliza entonces para representar una sola observacin.El truncamiento del pe-riodo transitorio inicial significa que durante ese periodo no se renen datos estadsticos.sitorias (no estacionarias) se mitiga,en particular para las observaciones que se renenal final de la ejecucin de la simulacin.La desventaja es que los lotes sucesivos concondiciones restrictivas comunes no son necesariamente independientes.El problema
Captulo 19Modelado de simulacin
Lote 1Periodo transitorio
Lote 2
Lote n
T
Tiempo de
una funcin del tiempo de simulacin.La longitud de la ejecucin de la simulacin es horas,y la longitud del periodo transitorio es de 5 horas.La base de tiempo para una observacines de 5 horas,lo que produce 5 observaciones.Seala longitud promedio de la cola en el lote .Debido a que la longitud de la cola es unavariable basada en el tiempo,tenemos6) es la base de tiempo por lote.
i= Ai
t , i=1, 2, Ã, 5Q
iFIGURA 19.10Cambio de longitud de la cola con el tiempo de simulacin en el ejemplo 19.6-1
Periodotransitorio
Tiempo de
3
2
5101520
Lote 1
Lote 2
Lote 3
Lote 4
Lote 5
30
35
12345141011615
2.331.671.831.002.501.87Desviacin estndar muestral
19.6Mtodos para reunir observaciones estadsticasLa media y varianza muestrales pueden usarse para calcular un intervalo de confianza,si sedesea.El clculo de varianza muestral en el ejemplo 19.6-1 se basa en la siguiente frmula efecto de la autocorrelacin entre los lotes sucesivos.La frmula exacta se encuentra en Law19.6.2Mtodo de rplicaindependiente en la cual el periodo transitorio se trunca,como se ilustra en la figura19.11.El clculo de los promedios de observacin para cada lote es el mismo que en elmtodo de subintervalos.La nica diferencia es que la frmula de la varianza estndares aplicable porque los lotes no son independientes.trola una corriente de nmeros aleatorios 0-1 distinta,la cual produce observacionesestadsticamente independientes.La desventaja es que cada observacin puede ser in-fluida por el efecto inicial de las condiciones transitorias.Dicho problema puede ate-CONJUNTO DE PROBLEMAS19.6AEn el ejemplo 19.6-1,use el mtodo de subintervalos para calcular el tiempo de esperapromedio en la cola para los que deben esperar.dios de lotes.Se estima que el periodo transitorio es de 100,y cada lote tambin tiene unabase de tiempo de 100 unidades de tiempo.Aplicando los siguientes datos,los cuales pro-cin,estime el intervalo de 95% de confianza para el tiempo medio de espera.
s=Tani=1xi2-n xq2
n - 1
FIGURA 19.11Recoleccin de datos de simulacin siguiendo el mtodo de rplica
Lote 1
TMedida de desempeo
Lote 2
T
Lote n
T
Captulo 19Modelado de simulacin19.7LENGUAJES DE SIMULACIîNLa ejecucin de modelos de simulacin implica dos tipos distintos de clculos:(1) manejolos eventos del modelo,y (2) clculos aritmticos y de contabilidad asociados con la gene-racin de muestras aleatorias y recoleccin de estadsticas del modelo.El primer tipo declculo implica una lgica extensa en el desarrollo del procesamiento de listas,y el segun-do tipo implica clculos tediosos que requieren mucho tiempo.La naturaleza de estosclculos hace que la computadora sea una herramienta esencial para ejecutar modelos desimulacin y,a su vez,promueve el desarrollo de lenguajes de simulacin especiales paracomputadora para realizar estos clculos de una forma conveniente y eficiente.En los lenguajes de programacin del evento,el usuario detalla las acciones asociadascon la ocurrencia de cada evento,como en el ejemplo 19.5-1.El rol principal del len-guaje en este caso es (1) la automatizacin del muestreo a partir de las distribuciones,(2) el almacenamiento y recuperacin de los eventos en orden cronolgico,y (3) la re-coleccin de estadsticas del modelo.(es decir,clientes) en el sistema.Por ejemplo,los tres bloques/nodos ms pro-cual se crean las transacciones,una donde pueden esperar si es necesario,y una,en la que se realiza el servicio.Cada uno estos bloques/nodos se define contoda la informacin necesaria para controlar automticamente la simulacin.Porejemplo,una vez que se especifica el tiempo entre llegadas,un programa orientado alproceso ÃsabeÃde manera automtica cundo ocurrirn los eventos de llegada.Dehecho,cada bloque/nodo del modelo cuenta con instrucciones permanentes que defi-mas acciones que se utilizan en los lenguajes de programacin de evento.La diferenciaclculo y lgicos.En cierto modo podemos considerar a los lenguajes orientados alproceso como basados en el concepto de entrada y salida del mtodo de la ÃcajanegraÃ.Esto en esencia significa que los lenguajes orientados al proceso intercambianla flexibilidad del modelo por la sencillez y facilidad de uso.
Intervalo de tiempo
Tiempos de espera10,20,13,14,8,15,6,8100Ã20012,30,10,14,16200Ã30015,17,20,22300Ã40010,20,30,15,25,31400Ã50015,17,20,14,13500Ã60025,30,15
19.7Lenguajes de simulacinLos lenguajes de programacin de evento (como SIMSCRIPT,SLAM y SIMAN)son anticuados y rara vez se utilizan en la prctica.Recientemente,un nuevo lenguajellamado DEEDS (Elizandro y Taha,2008) se basa en el uso de la hoja de clculo deExcel para controlar la programacin del evento.DEEDS permite la flexibilidadde modelado de los lenguajes de simulacin orientados al evento al mismo tiempo quelogra la naturaleza intuitiva de un lenguaje orientado al proceso.El paquete comercial predominante orientado al proceso es Arena.Utiliza unacin.Tambin cuenta con capacidades de animacin donde pueden observarse visual-mente los cambios del sistema.Sin embargo,para un profesional experimentado en lasimulacin,estas interfaces parecen reducir el desarrollo de un modelo de simulacin aun paso de Ãcmara lentaÃ.No sorprende que algunos usuarios prefieran seguir escri-CONJUNTO DE PROBLEMAS19.7Amedia de 5 minutos.El tiempo que un empleado pasa con un cliente es exponencial con media de 10 minutos.Todos los clientes que llegan hacen cola y esperan al primerempleado libre disponible.Ejecute un modelo de simulacin del sistema durante 480 El uso promedio de los empleados.MultiServerSimulator.xls.constante de 5 unidades por hora.El tiempo de inspeccin requiere entre 10 y 15 minu-tos distribuidos uniformemente.La experiencia pasada muestra que 20% de las unidadesdeben ser ajustadas y enviadas de nuevo para reinspeccin.El tiempo de ajuste tambinest distribuido uniformemente entre 6 y 8 minutos.Ejecute un modelo de simulacinUn ratn se encuentra atrapado en un laberinto y Ãdesea salirÃdesesperadamente.Despus de tratar entre 1 y 3 minutos,distribuidos de manera uniforme,hay 30% de pro-babilidades de que encuentre la ruta correcta.De lo contario,vagar sin rumbo entre 2 y3 minutos,distribuidos de manera uniforme,y a la larga terminar donde comenz,slopara intentarlo una vez ms.El ratn puede Ãtratar de liberarseÃlas veces que le plazca,pero hay un lmite para todo.Con tanta energa consumida al intentarlo una y otra vez,tribuido,con una media de 10 minutos y una desviacin estndar de 2 minutos.Escribaun modelo de simulacin para estimar la probabilidad de que el ratn se libere.Para estimar la probabilidad,suponga que el modelo procesar 100 ratones.En la etapa final de fabricacin,un auto que se desplaza sobre un transportador se sita
Resuelva estos problemas con un lenguaje de simulacin de su predileccin,o un lenguaje de programacinde alto grado.
Captulo 19Modelado de simulacinquierdo y derecho al mismo tiempo.Los tiempos de operacin en los lados izquierdo yderecho son uniformes entre 15 y 20 minutos,y entre 18 y 22 minutos,respectivamente.El transportador llega al rea de las estaciones cada 20 minutos.Simule el proceso duran-ponencial,los autos llegan con una media de 10 minutos.Los autos que llegan se formanen un solo carril que tiene espacio a lo sumo para cinco autos.Si el carril est lleno,losautos que llegan se van a otra parte.Se requieren entre 10 y 15 minutos distribuidos uni-formemente para lavar un auto.Simule el sistema durante 960 minutos,y estime el tiem-Banks,J.,J.Carson,B.Nelson,y D.Nicol,4a.ed.,PrenticeHall,Upper Saddle River,NJ,2005.Box,G.,y M.Muller,ÃA Note on the Generation of Random Normal DeviatesÃ,,vol29,pgs.610-611,1958.Elizandro,D.,y H.Taha,Simulation of Industrial Systems:Discrete Event Simulation UsingExcel/VBA,Taylor and Francis,Nueva York,2008.Law,A.,Simulation Modeling & Analysis,4a.ed.,McGraw-Hill,Nueva York,2007.Rubenstein,R.,B.Melamed,y A.Shapiro,,Wiley,NuevaYork,1998.Taha,Simulation Modeling and SIMNET,Prentice Hall,Upper Saddle River,NJ,1988.
20.1PROBLEMAS NO RESTRINGIDOSMatemticamente,un puntoAsimismo,.Los puntos como mximos,y como mnimos.El valor El valor f(x1),f(x3),f(x6)]es un mximo globalo absoluto,y relativosAsimismo,Aunque (en la figura 20.1) es un punto mximo (local),difiere de los mximos).A este respecto,,en tanto que .En general,para como se defini antes,En la figura 20.1,la primera derivada (pendiente) de extremos.Esta propiedad tambin se satisface en puntos de inflexin ,como es el.Si un punto con pendiente (gradiente) cero no es un extremo (mximo o m-nimo),entonces debe ser un punto de inflexin o silla.CAPêTULO 20Teora de optimizacin clsica
Captulo 20Teora de optimizacin clsica
20.1.1Condiciones necesarias y suficientes variables tenga extremos.Se supone que la primera y segunda derivadas par-Teorema 20.1-1o silla,es ms apropiado referirse a estos puntos obtenidos con la solucin de .El teorema siguiente establece las condiciones de sufi-sea un punto extremo.Teorema 20.1-2(i)Hes un punto mnimo.(ii)Hes un punto mximo.
Ejemplo 20.1-1Considere la funcinf(x1, x2, x3)=x1 +2x3 +x2 x3 - x12- x2-x3§f(X0)=0
20.1Problemas no restringidosPara determinar el tipo de punto estacionario,considere Los determinantes menores principales detienen los valores 2,4 y 6,respectivamente.
0x1202f
0x10x202f
0x10x302f
0x20x102f
0x202f
0x20x302f
0x30x102f
0x30x202f
0x3X0=£-2000-2101-2X0=a1
2, 2
3, 4
3b 0f
0x3=2+x2-2x3=0 0f
0x2=x3-2x2=0 0f
Por lo tanto,como se muestra en la seccin D.3,se define negativa ysenta un punto mximo.Por lo comn,sies indefinida,debe ser un punto silla.En casos no conclu-yentes,puede o no ser un extremo,y la condicin de suficiencia se hace algo compli-cada,porque en la expansin de Taylor se deben considerar trminos de mayor orden.una sola variable como sigue.Dado que es un punto estacionario,entonces0,deben investigarse las derivadas de mayor orden como lo requiere el si-Teorema 20.1-3Si nes impar
2 , 2
3 , 4
3 BHX0
Captulo 20Teora de optimizacin clsica
0,la cual da el punto estacionario 0.Ahora Por consiguiente,0,la cual da 0,como un punto estacionario.AdemsPor consiguiente,CONJUNTO DE PROBLEMAS20.1ADetermine los puntos extremos de las siguientes funciones.Verifique que la funcintiene los puntos estacionarios (0,3,1),(0,1,1),(1,2,0),(2,1,1) y (2,3,1).Utilice la condi-cin de suficiencia para identificar los puntos extremos.objetivo no lineal sin restricciones..Sugerencia:mn f
20.1Problemas no restringidos20.1.2Mtodo de Newton-RaphsonPor lo general,la condicin necesaria 0 puede ser extremadamente no lineal y,en consecuencia,difcil de resolver.El mtodo de Newton-Raphson es un algoritmoiterativo para resolver ecuaciones no lineales.un punto dado.Luego,mediante la expansin de Taylor,Por lo tanto,las ecuaciones originales 1,2,Ã,es no singular,entoncescin anterior para determinar un nuevo punto.El proceso puede o no converger de-pendiendo de la seleccin del punto de inicio.La convergencia ocurre cuando dos pun-,son aproximadamente iguales (dentro de una toleranciauna funcin de una sola variable.La relacin entre
xk-xk+1xk+1=xk - f(xk)
,donde tan La figura 20.3 demuestra que la convergencia no siempre es posible.Si el punto,el mtodo divergir.Por lo comn,podra requerirse intentar varios puntos
Para demostrar el uso del mtodo de Newton-Raphson,considere la funcin ),tenemos que resolver
Captulo 20Teora de optimizacin clsica
Por lo tanto,para el mtodo de Newton-Raphson,tenemos10,la siguiente tabla proporciona las iteraciones sucesivas:
216x2-468x+24 (x)=216x2-468x+241kxkf(xk)
10.0000002.9789237.03210817.0321081.9764295.05567925.0556791.3143673.74131233.7413120.8713582.86999542.8699950.5735472.29640552.2964050.3712521.92515461.9251540.2307021.69445271.6944520.1289991.56545381.5654530.0541561.51129691.511296.01086411.500432101.500432.000431311.500001
20.2Problemas restringidos1.5.En realidad,y Los dos puntos restantes se determinan intentando diferentes valoresinicial.De hecho,1,deberan dar por resultado los puntos estacionarios
sola variable.Requiere que se ingreseen la celda C3.Para el ejemplo 20.1-3,ingresamos se reemplaza con A3.La plantilla permite establecer un lmite de tolerancia ,elnes.Se le pide que utilice puntos iniciales diferentes,,para que tenga una idea de cmo fun-ciona el mtodo.CONJUNTO DE PROBLEMAS20.1Bpara resolver el problema 1(c),conjunto 20.1a.Resuelva el problema 2(b),conjunto 20.1a,por medio del mtodo de Newton-Raphson.20.2PROBLEMAS RESTRINGIDOSEsta seccin se ocupa de la optimizacin de funciones continuas restringidas.La sec-cin 20.2.1 presenta el caso de restricciones de igualdad,y la seccin 20.2.2 se ocupa delas restricciones de desigualdad.La presentacin en la seccin 20.2.1 se cubre en sumayor parte en Beightler and Associates (1979,pgs.45-55).20.2.1Restricciones de igualdadEsta seccin presenta dos mtodos:el Jacobiano.El mtodoLagrangiano se puede desarrollar lgicamente a partir del Jacobiano.Esta relacinproporciona una interpretacin interesante econmica del mtodo Lagrangiano.Mtodo de derivadas restringidas (Jacobiano)
f(x)x= 3
2 .x= 2
3 , x= 13
12
Captulo 20Teora de optimizacin clsicamtodo Jacobiano
1,2,Ã,,son dos veces continuamente diferenciables..Los puntos estacionarios correspondientes se identifican como los pun-tos donde estas derivadas parciales se desvanecen.De este modo,las condiciones dede los puntos estacionarios.Para aclarar el concepto propuesto,considere es una constante.En la figura 20.4,la curva designada por los tres puntos ) que satisfacen la restriccin dada.El mtodo de.El punto para el problema restringido.Ahora se desarrolla el mtodo matemticamente.De acuerdo con el teorema deTaylor,para ,tenemos
20.2Problemas restringidos0,las ecuaciones se reducen a Para factibilidad,debemos tener .Por consiguiente 1) incgnitas,.Observe que siEsto significa que,de hecho,tenemos incgnitas.,al menos () ecuaciones son redundantes.Si se elimina la redun-dancia,el sistema se reduce a .Si ,y guna vecindad factible,lo que significa que el espacio de soluciones se compone deslo un punto.El caso restante () es ms elaborado.,respectiva-mente.Rescribiendo los vectores gradiente de ,obtenemos matriz Jacobiana .Se supo-ne que la Jacobiana es no singular.Esto siempre es posible debido a que las ciones dadas son independientes por definicin.Los componentes del vector seleccionarse por lo tanto,de modo que sea no singular.
Captulo 20Teora de optimizacin clsicaes no singular,se deduce que,esdecir,Segn esta ecuacin,la derivada restringida con respecto al vector independiente gradiente restringido Por lo tanto debe ser nulo en los puntos estacionarios.,y los elemen-
(1,2,3),deseamos estudiar la variacin de Por lo tanto,
0x2=6x2 §Yf=a0f
0x1, 0f
) y
0cZ=§Z f-§YfJ-1C0f(Y, Z)=(§Zf - §Yf J-1C)0Z0Y=-J-1C0ZJ0Y=-C0Z0f(Y, Z)=§Yf0Y +§Zf0Z
20.2Problemas restringidos(1,2,3),dado un pequeo cambio .Tenemos independientex,los valores factibles de Por lo tanto,para .4601.La diferencia
f1X0+0X2-f1X02=-.477f(X0)=58, f(X0+0X)=57.523X0+0X=(1-.0283, 2 +.01, 3 +.025)=(.9717, 2.01, 3.025 )a0x10x3b=-J-1C 0x2=a-.0283.0250b0Y=-J-1C 0Z0c f=1§Z f-§YfJ-1C2 0Z=a6122-147, 302.83-2.50bb 0x2=-46.010x2J-1C=a31b-1a6b=¢6
12-1
12-6
123
12a6bLa2.83-2.50b C=0g1
0x20g2
0x2µ=a2x2+22x2b =§0g1
0x10g1
0x30g2
0x10g2
0x3Â¥=ax3x12x1+2x22x3b
Captulo 20Teora de optimizacin clsicaCONJUNTO DE PROBLEMAS20.2Apor medio de los dos mtodos presentados,utilizando .01.ÃSe hace el efecto de la aproximacin lineal ms insignificante con la,Ãcul es el valor de
Este ejemplo ilustra el uso de derivadas restringidas.Considere el problema Determinamos los puntos extremos restringidos como sigue.SeanPor lo tanto,Por consiguiente,286113521
3 x1-28
3 x2+2x3 §c f=0cf
0cx3=2x3-12x1, 2x22¢-2
31
35
3-1
3a31b J=a1152b, J-1=¢-2
31
35
3-1
3, C=a3b §Yf=a0f
0x1, 0f
0x2b=12x1, 2x22, §Z f=0f
0x3=2x3Y=(x1, x2) y Z = x3g2(X=5x1+2x2+x3-5=0g1(X=x1+x2+3x3-2=0 Minimizar f(X)=x12+x2+x3
20.2Problemas restringidoses la variable independiente,de Por el mtodo Jacobiano,De ah que,sea el punto mnimo.Anlisis de sensibilidad en el mtodo Jacobiano.El mtodo Jacobiano se puede utilizar.Especficamente,Ãcul es el efecto de cambiar grealizado en la programacin lineal (vea los captulos 3 y 4).Sin embargo,el anlisis depunto extremo.El desarrollo ser til al estudiar el mtodo Lagrangiano.,entoncesY,Zcomo ya antes se defini.La expresin para ,eldebe desvanecerse.Por lo tanto
0g=§Y0f J-10f(Y0, Z0)=§Y0f J-10g(Y0, Z0)§cf=§Zf - §Yf J-1C0f(Y, Z)=§Yf J-10g +§cf0Z0Y=J-10g-J-1C0Z 0g=J0Y+C0Z f1Y, Z2=§Yf0Y+§Z f0Z0c2f
0cx3=460
970.§dx1
dx3dx2
dx3¥=-J-1C=¢5
3 -14
30cf
0cx3=10
3 adx1
dx3b-28
3 adx2
dx3b+2=a10
3, -28
3b§dx1
dx3dx2
dx3Â¥+2
Captulo 20Teora de optimizacin clsica.Por lo comn,estas razones se conocen como
(.81,.35,.28) da el puntoptimo.Dado ),entoncesPor consiguiente aproximadamenteen .0867.Asimismo,paraaproximadamenteCONJUNTO DE PROBLEMAS20.2BSuponga que el ejemplo 20.2-2 se resuelve de la siguiente manera.Primero,utilice las res-;luego utilice las ecuaciones resultantes.Calculando la derivada de la,podemos determinar los puntos de mximos ymnimos.) de la obtenida por medio del mtodo Jacobiano?ÃCmo difiere el mtodo sugerido del mtodo Jacobiano?Aplique el mtodo Jacobiano al ejemplo 20.2-1 seleccionando Resuelva por medio del mtodo Jacobiano:donde Ces una constante positiva.Suponga que el lado derecho de la restriccin se cam-,donde es una pequea cantidad positiva.Determine el cambio correspon-Resuelva por medio del mtodo Jacobiano:
a0f
0g1, 0f
0g2b=§Y0 fJ-1=11.62, .72¢-2
31
35
3-1
3=1.0876, .30672§Y0 f=a0f
0x1, 0f
0x2b=12x01, 2x022=11.62, .702
20.2Problemas restringidos) en la vecindad del punto factible (2,5),dadoAplique el mtodo Jacobiano para hallar )en la vecindad del punto factible (1,1,1).como variables independientes,el mtodoJacobiano no proporciona una solucin ni establece la razn.como variables independientes,y aplique lacondicin de suficiencia para determinar el tipo de punto estacionario resultante.Determine los coeficientes de sensibilidad,dada la solucin en (b).Mtodo Lagrangiano.En el mtodo Jacobiano,si el vector cientes de sensibilidad,es decirPor lo tanto,.Una forma ms conveniente para representar estas.Esto da porestacionarios.
0xj 1f-Lg2=0, j=1, 2,Ã, n0f
0g0f - L 0g=0L =§Y0J-1= 0f
0gg2(X)=x1+2x2+5x3+6x4-15=0g1(X)=x1+2x2+3x3+5x4-10=0Minimizar (X)=x12 +x2 +x3 +x4g2(X)=x1+5x1x2+x3-7=0g1(X)=x1+x2+3x2x3-5=0Maximizar f(X)=x1 +2x2 +10x3 +5x1x2
Captulo 20Teora de optimizacin clsica.Seamultiplicadores Lagrange.Por definicin,estos multiplicadores tienen la misma in-terpretacin que los coeficientes de sensibilidad del mtodo Jacobiano.Existen condiciones de suficiencia para el mtodo Lagrangiano,pero en general son difciles de calcular.
Considere el problema del ejemplo 20.2-2.La funcin Lagrangiana es Esta solucin combina los resultados de los ejemplos 20.2-2 y 20.2-3.Los valores de los multipli-,dados por el vector ,son iguales a los coeficientes de sensibilidad obtenidosen el ejemplo 20.2-3.El resultado muestra que estos coeficientes son independientes de la selec-dependiente en el mtodo Jacobiano.
L=(l1, l2)=(.0870, .3043) 0=(x1, x2, x3)=(.8043, .3478, .2826) 0L
0l2=-(5x1+2x2+x3-5)=0 0L
0l1=-(x1+x2+3x3-2)=0 0L
0x3=2x3-3l1-l2=0 0L
0x2=2x2-l1-2l2=0 0L
0x1=2x1-l1-5l2=0L(X, L )=x12 +x2 +x3 - l1(x1 +x2 +3x3 - 2) - l2(51 +2x2 +x3 - 5)0L
0,
0X=0L(X, l )=f(X) - L g(X)
20.2Problemas restringidosCONJUNTO DE PROBLEMAS20.2CResuelva el siguiente problema de programacin lineal mediante los mtodos Jacobiano.02.Determine el cambio correspondiente del valorResuelva el problema 6,conjunto 20.2b,por medio del mtodo Lagrangiano,y verifiquesensibilidad obtenidos en el problema 6,conjunto 20.2b.20.2.2Restricciones de desigualdad. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)dad.La contribucin principal de la seccin es el desarrollo de las condiciones de Karush-Kuhm-Tucker para determinar los puntos estacionarios.Estas condicio-.Seala cantidad de holgura agregada a la res-
W.Karush fue el primero en desarrollar las condiciones KKT en 1939 como parte de una tesis de maestraen la Universidad de Chicago.Las mismas condiciones fueron desarrolladas de forma independiente en 1951por W.Khun y A.Tucker.
Captulo 20Teora de optimizacin clsicaes el total de restricciones de desigualdad.La funcin Lagrangiana es por,una condicin necesaria para optimalidad es que sea no negativo (no positivo) para problemas de maximizacin (minimizacin).El re-,es decir,En el caso de maximizacin,a medida que se incrementa el lado derecho de la restriccin,el espacio de soluciones se hace menos restringidoy por consiguiente no puede disminuir,lo que significa que .Igualmente paraminimizacin,a medida que se incrementa el lado derecho de las restricciones,incrementarse,lo cual implica que .Si las restricciones son igualdades,esto es,se hace no restringido en cuanto a signo (vea el problema 2,conjunto 20.2d).rias.Ahora se desarrollarn las condiciones restantes.,obtenemos0,entonces.Este resultado indica que el recurso correspondienteest escaso (es decir,agotado por completo).Sientonces 0.Esto indica que el recurso no est escaso y,por con-siguiente,no tiene ningn efecto en el valor deDel segundo y tercer conjuntos de ecuaciones,obtenemosEsta nueva condicin repite en esencia el argumento anterior,porque si 0,g0 o;y siy
0gi=0).Si70, Si=0 0L
0L=-1g1X2+S22=0 0L
0Si=-2liSi=0, i=1, 2,Ã, m 0L
0X=§f1X2-L§g1X2=0L = 0f
0gL(X, S, L )=f(X)-L Cg(X)+S2D
20.2Problemas restringidos
TABLA 20.1
Funcin objetivoEspacio de solucionesCncavaConjunto convexo
TABLA 20.2
MinimizacinConvexa
Estas condiciones tambin aplican al caso de minimizacin,excepto que positivo (Ãcomprubelo!).Tanto en maximizacin como en minimizacin,los multipli-en cuanto a signo.Suficiencia de las condiciones KKT.un espacio de soluciones es convexo.Por esta razn,ofrecemos un condiciones de suficiencia,que,aunque no tan general como los de la Tabla 20.1,sonms fciles de aplicar en la prctica.Para proporcionar estas condiciones,definimos los.Las condi-
Captulo 20Teora de optimizacin clsicaminimizacin.Este resultado se verifica observando que si g() es convexa,entonces0.Se pueden establecer interpretacionessimilares para todas las condiciones restantes.Observe que una funcin lineal es tantoconvexa como cncava.Adems,si una funcin es cncava,entonces (
ste es un problema de minimizacin,de ah que .Las condiciones KKT se dan por lo
20.2Problemas restringidos4.Debido a que0son convexos,) debe ser convexa,y elpunto estacionario resultante da un mnimo restringido global.Las condiciones KKT son funda-CONJUNTO DE PROBLEMAS20.2DDemuestre que las condiciones KKT son las mismas que en la seccin 20.2.2,excepto queEscriba las condiciones KKT necesarias para los siguientes problemas.
1Ã1, 2Ã2, x3Ã0 1+x32 2x1+x25 5x3=0 4(2-x2)=0
Captulo 20Teora de optimizacin clsica1,2,Ã,condiciones KKT necesarias tambin son suficientes.ÃEs cierto este resultado si ? ÃPor qu?Desarrolle las condiciones KKT,y proporcione las estipulaciones conforme a las cualeslas condiciones son suficientes.Bazarra,M.,H.Sherali,y C.Shetty,Nonlinear Programming Theory and Algorithms,3a.ed.,Wiley,Nueva York,2006.Beightler,C.,D.Phillips,y D.Wilde,Foundations of Optimization,2a.ed.,Prentice Hall,NJ,1979.Fletcher,R.,Practical Methods of Optimization,2a.ed.,Wiley,Nueva York,2000.
21.1ALGORITMOS NO RESTRINGIDOSEsta seccin presenta dos tipos de algoritmos para el problema no restringido:de 21.1.1Mtodo de bsqueda directable estrictamente unimodales.Aunque el caso parezca trivial,la seccin 21.1.2 demues-algoritmo general de mltiples variables.intervalo de incerti-dumbreque se sabe incluye el punto de solucin ptima.El procedimiento localiza elnados;el .Ambos buscan la maximizacin de una*.Los dos mtodos se inician con el intervalo inicial de incertidumbre Paso general ).La siguiente tabla muestra cmo se determinan CAPêTULO 21
Mtodo dictomo
Mtodo de la seccin doradax1= 1
2 (xR+xL-¢)x1=xR-A 15
-1
2 B(xR-xL)x2= 1
2 (xR+xL+¢)x2=xL+A 15
-1
2 B(xR-xL)
La seleccin de x1y x2garantiza que L,x1,x2,xR.
Captulo 21Algoritmos de programacin no linealIlustracin del paso general de los mtodos de bsqueda,dictomo y de la seccin dorada
El siguiente intervalo de incertidumbre,,se determina de la siguiente manera:),entonces .Sea Sea la figura 21.1(a)].2.Si f(x1) ,f(x2),entonces .Sea Sea la figura 21.1(b)].3.Si f(x1) 5f(x2),entonces .Sea ;establezca ,como se demostrar en breve.,donde cificado por el usuario.En el mtodo dictomo,los valores punto medio del intervalo de incertidumbre actual.Esto significa que En el mtodo de la seccin dorada,la idea es ms elaborada.Observamos que cada),pero al finalse descarta uno de ellos.Lo que el mtodo de la seccin dorada propone es ahorrarclculos al reutilizar el valor desechado en la iteracin inmediatamente subsiguiente.
21.1Algoritmos no restringidos),lo que significa que .En la iteracin1,seleccionamos ,lo cual conduce a la siguiente ecuacin:lo cual conduce a la siguiente ecuacin:x2(iteracin i) 2xL] 5xR2 a(xR2xL)ola cual se simplifica comoEsta ecuacin da por resultadoSe selecciona la raz positivatervalos de incertidumbre sucesivos,es decirque,en ste,el estrechamiento del intervalo de incertidumbre se desacelera apreciable-.Adems,el mtodo de la seccin dorada requiere la mitadde los clculos porque recicla un conjunto de clculos de iteracin inmediata anterior.
2.La tabla siguiente demuestra los clculos para lasiteraciones 1 y 2 siguiendo los mtodos dictomo y de la seccin dorada,con .1.Continuando
20),2
2 L.681a= -1;15
2 .a2+a-1=0xL+a[xL+a(xR-xL)-xL]=xR-a(xR-xL)x1=xR-a(xR-xL)x2=xL+a(xR-xL)f 06a61
Captulo 21Algoritmos de programacin no linealde la misma manera,a fin de cuentas el intervalo de incertidumbre se estrechar a la tolerancia
F5 (seccin dorada).Los datos de entrada incluyen .La funcin La figura 21.2 compara los dos mtodos.El mtodo de la seccin dorada requiere menos de la
mitad de las iteraciones del mtodo dictomo,adems la mitad de los clculos en cada iteracin.CONJUNTO DE PROBLEMAS21.1Adictoma.Suponga que , 0, 2, 2
|(-3)3|, 2x4
Mtodo dictomo
Mtodo de la seccin doradaIteracin 1Iteracin 1I0=(0, 3)K(xL, xR)I0=(0, 3)K(xL, xR)x1=0+.5(3-0-.1)=1.45, f(x1)=4.35x1=3-.618(3-0)=1.146, f(x1)=3.438x2=0+.5(3-0+.1)=1.55, f(x2)=4.65x2=0+.618(3-0)=1.854, f(x2)=5.562f(x2)7f(x1)QxL=1.45, I1=(1.45, 3)f(x2)7f(x1)QxL=1.146, I1=(1.146, 3)Iteracin 2Iteracin 2I1=(1.45, 3)K(xL, xR)I1=(1.146, 3)K(xL, xR)x1=1.45+.5(3-1.45-.1)=2.175, f(x1)=5.942x1=x2 en iteracin 0=1.854, f(x1)=5.562x2= 3 + 1.45 + .1
2=2.275, f(x2)=5.908x2=1.146+.618(3-1.146)=2.292, f(x2)=5.903f(x1)7f(x2)QxR=2.275, I2=(1.45, 2.275)f(x2)7f(x1)QxL=1.854, I2=(1.854, 3)
21.1Algoritmos no restringidos
21.1.2Mtodo del gradiente diferenciables,llamado mtodo del
timo de forma directa resolviendo las ecuaciones de condiciones necesarias.
Captulo 21Algoritmos de programacin no linealve nulo.sta es la nica condicin necesaria para la optimalidad.) se maximiza.Sea procedimiento,y defina .La idea es de-a lo largo de la cualse maximice en un punto dado..Esto equivale a determinar ) es una funcin de una sola variable,se puede utilizar el mtodo debsqueda de la seccin 21.1.1 para determinar el ptimo,siempre que son aproximadamente iguales.Esto equivale a tener ,o de forma
(1,1).La figura 21.3 muestra lospuntos de solucin sucesivos.Por lo tanto ,para determinar el ptimo).El valor mximo de ) es,el cual da el siguiente punto de
2, 1Br1= 1
4h(r)=f(1-2r, 1)=-2(1-2r)2+2(1-2r)+4X=(1, 1)+r(-2, 0)=(1-2r, 1)§f(X0)=(-2, 0)§f(X)=(4-4x1-2x2, 6-2x1-4x2)(x*1, x*2)=A 1
3, 4
3 BMaximizar (x1, x2)=4x1+6x2-2x12-2x1x2-2x2h(r)=f[Xk+r§f(Xk)]Xk+1=Xk+rk§f(Xk)0f
0p
21.1Algoritmos no restringidosMaximizacin depor el mtodo del ascenso ms pronunciado
Por lo tanto,Por consiguiente,Por lo tanto,
4 y X4=A 3
8, 21
16 B. h(r)=- 1
8 (5+r)2+ 21
16 (5+r)+ 39
32 =A 3
8, 5
4 B+r A0, 1
4 B=A 3
8, 5+r
4 B §f(X3)=A0, 1
4Br3= 1
4 y X3=A 3
8, 5
4 B. (r)=- 1
2 (1-r)2+ 3
4 (1-r)+ 35
8 =A 1
2, 5
4 B+r A- 1
2, 0B=A 1-r
2, 5
4 B §f(X2)=A- 1
2, 0Br2= 1
4 y X2=A 1
2, 5
4 B. (r)=-2(1+r)2 +5(1+r)+ 3
2 =A 1
2, 1B+r(0, 1)=A 1
2, 1+rB §f(X1)=(0, 1)
Captulo 21Algoritmos de programacin no lineal.El punto aproximado(.3438,1.3125).El ptimo exacto es (.3333,1.3333).
CONJUNTO DE PROBLEMAS21.1BDemuestre que,por lo comn,cuando se aplica el mtodo de Newton-Raphson (seccinpaso.Aplique el mtodo a la maximizacin de descenso (ascenso) ms pronunciado.Suponga que 0 en cada caso.21.2ALGORITMOS RESTRINGIDOS,son parte de las restricciones.Incluso,al) es no lineal,y todas las funciones son conti-nuamente diferenciables.
2-3-20-1
20-1
2 c=(1, 3, 5)f(X)=cX+XTAXf(X)=mn f(X)=(x2-x12)2+(1-x1)f(X)=4x1+6x2-2x1-2x1x2-2x2§f(X5)=A0, 1
16Br5= 1
4 y X5=A 11
32, 21
16 B. h(r)=- 1
32 (3-r)2+ 11
64 (3-r)+ 567
128 =A 3
8, 21
16 B+r A- 1
8, 0B=A 3-r
8, 21
16 B §f(X4)=A- 1
8, 0B
21.2Algoritmos restringidosun solo algoritmo para el modelo no lineal general.Quizs el resultado ms generalaplicable al problema sean las condiciones KKT (seccin 20.2.2).La tabla 20.2 muestraque las condiciones slo son necesarias,a menos que buen comportamiento..Los mtodos indirectos resuelven el problema no linealderivados del programa original.Los m-nes separable,cuadrtica y estocstica.Los algoritmos directos incluyen el mtodo decombinacin lineal y un breve anlisis del algoritmo SUMT,la tcnica de maximiza-cin secuencial sin restricciones.En la lista de referencias al final del captulo se hallanotras importantes tcnicas no lineales.21.2.1Programacin separableseparable ),es decir,Por ejemplo,cualquier funcin lineal es separable.Por otra parte,la funcinno es separable.mediante sustituciones apropiadas.Considere,por ejemplo,el caso de maximizar .Sea ,entonces ln ,y el problema separable es es indefinida con valores no positivos.Podemos tener en cuenta el caso en que son valores positivos muy pequeos.gramacin lineal.La funcin de una sola variable puede ser representada por una fun-(captulo 9).Suponga que
Captulo 21Algoritmos de programacin no lineal1,2,Ã,.Los puntos intervalo designado.Por lo tanto,son positivos.es positivo,entonces slo un positivo.Para demostrar cmo se satisfacen estas condiciones,considere el problema separable entero combinado como sigue.Sean
.Eneste instante vamos a renunciar a la precisin matemtica en favor de una notacin ms simple.
21.2Algoritmos restringidosLa formulacin muestra cmo se puede resolver cualquier problema separable,en principio,mediante programacin entera combinada.La dificultad es que las res-tricciones se incrementan con rapidez con la cantidad de puntos de ruptura.En par-ticular,la factibilidad computacional del procedimiento es cuestionable porque no hayde programacin entera combinados.regular (captulo 3) utilizando una base restringida.En este caso se eliminan las res-.La base restringida modifica la condicin devos.El proceso se repite hasta que se satisfaga la condicin de optimalidad o hasta quesea imposible satisfacer la condicin de base restringida,lo que ocurra primero.aproximado,en tanto que el mtodo de base restringida slo puede garantizar un pti-mo local.Adems,en los dos mtodos,la solucin aproximada puede no ser factiblepara el problema original,en cuyo caso quiz sea necesario refinar la aproximacin
La solucin ptima exacta de este problema,obtenida por AMPL o Solver,es 2.1232,y 20.25.Para demostrar cmo se utiliza el mtodo de aproximacin,considere las
Captulo 21Algoritmos de programacin no lineal) ya son lineales.),suponemos cuatro puntos de ruptura y 4,respectivamente.Dado que 3,entonces Por lo tantoAsimismo,1,2,3,4,deben satisfacer la condicin de base restringida.0) es una holgura.(El problema result tener una solucin inicial obvia.En ge-neral se pueden utilizar variables artificiales,seccin 3.4.)es la variable de entrada.Debido a que positivo,la condicin de base restringida dicta que debe salir antes de que solucin.Sin embargo,de acuerdo con la condicin de factibilidad,loque significa que no puede entrar a la solucin.La siguiente mejor variable de entrada,,requiere que salga de la solucin bsica,una condicin que da la casualidad de sersatisfecha por la condicin de factibilidad.La nueva tabla es por tanto
Bsica
x1
w22
w23
w24
s1
w21
818
Bsica
x1
w22
w23
w24
s1
w21
1500161601010111011
k
a2k
f2(a2k)=a2k4
00021123216843
21.2Algoritmos restringidosLuego,es la variable de entrada,lo cual es admisible porque es positivo.El mtodosaldr.Entonces,son candidatas para la variable de entrada.La variable ,por consiguiente no puede volverse bsica.Asimismo,no puede salir.En consecuencia,la ltima tabla es la solucin debase mejor restringida para el problema aproximado.
Programacin separable convexa.,lo cual garantiza un espacio de solucionesconvexo.Adems,si ,entonces el problema tiene un ptimo global (vea la tabla 20.2,seccin20.2.2).En tales condiciones,se puede utilizar la siguiente aproximacin simplificada.Considere un problema de minimizacin y sea 0,1,Ã,.Si cambio correspondiente (pendiente del segmento de lnea) en el mismo intervalo.Entonces
10B+3A 1
10 B=2.1 1=0FIGURA 21.4Aproximacin lineal por segmentos de unafuncin convexa
Bsica
x1
w22
w23
w24
s1
w21
Solucinz37
2400
2-3622 1
2w243
10-6
10011
10-8
10 1
10w23-3
1016
1010-1
1018
109
10
Captulo 21Algoritmos de programacin no lineal.Esto significa que en el.En consecuen-pueda asumir un valor positivo.en esencia de la misma manera.Sea ).Se deduce queEl problema de maximizacin se trata en esencia del mismo modo.En este caso,,lo que significa que,para ,la variable asuma un valor positivo (vea el problema 7,conjunto21.2a,para la comprobacin).cota superior (seccin 7.3).El concepto de base restringida no se requiere porque lables bsicas.
Ejemplo 21.2-2Considere el problemasujeto a x2 Ã3.5 x1 Ã2.1 x1+2x2232 3x1+x2243Maximizar =x1-x2 rijk= gij(ajk)-gij(aj, k-1)
ajk-aj, k-1 rjk= fj(ajk)-fj(aj, k-1)
ajk-aj, k-1 0xjkajk-aj,k-1, k=1, 2,Ã, Kj, j=1, 2,Ã, n anj=1aaKjk=1rijkxjk+gij1aj02bbi, i=1, 2,Ã, mMinimizar =anj=1aaKjk=1rjkxjk+fj1aj02bgij(xj)LaKjk=1rijkxjk+gij(aj0)
21.2Algoritmos restringidoszacin.Las funciones ),g) ya son lineales.4.Sean 4.Las pendientes correspondientes a las funciones separables se de-terminan como sigue.Para j = Para j
k
a1k
g11(a1k)=3a1k4
r11k
00ÃÃ11332233
k
a2k
g22(a2k)=2a2k
r22k
00ÃÃ112222863344
Captulo 21Algoritmos de programacin no linealnuevas.La solucin ptima es
El modelado con AMPL del problema no lineal de los problemas lineales.La obtencin de la solucin es un asunto totalmente diferente debidoal comportamiento ÃimpredecibleÃde las funciones no lineales.El archivo
porciona el modelo.El modelo se explica en el apndice C en el sitio web (vea la figura C.17).CONJUNTO DE PROBLEMAS21.2AAproxime el siguiente problema como un programa combinado entero.Repita el problema 1 siguiendo el mtodo de base restringida.Luego determine la solu-
21.2Algoritmos restringidosno se encuentra en su cota superior.Resuelva como un problema de programacin convexa separable.21.2.2Programacin cuadrtica
Captulo 21Algoritmos de programacin no linealdefine una forma cuadrtica (vea la seccin D.3 en el sitioweb).Se supone que la matriz es simtrica y definida negativa,es decir que trictamente cncava.Las restricciones son lineales,lo que garantiza un espacio de so-luciones convexo.La solucin de este problema se basa en las condiciones KKT necesarias.Estascondiciones (como se muestra en la tabla 20.2,seccin 20.2.2) tambin son suficienteses cncava y el espacio de soluciones es un conjunto convexo.cin.La conversin a minimizacin es simple.El problema puede escribirse como ,respectivamente.La aplicacin de las condiciones KKT produce oooooo
21.2Algoritmos restringidoslas variables de holgura de las restricciones.Las condiciones se,la transpuesta del primer conjunto de ecuaciones puede escri-Por consiguiente,las condiciones necesarias pueden combinarse como ,las ecuaciones restantes son lineales en .Por lo tanto,el problema equivale a resolver un conjunto de ecuaciones li-0.Esto significa que pueden ser positivas al mismo tiempo,ni tampoco .sta es la misma idea de restringida el problema tenga un espacio de soluciones factible.
A00I
Captulo 21Algoritmos de programacin no linealy actualizando la fila objetivo.2420120001
Bsica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
663000104210100424200106120000012
Bsica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
SolucinR033
21
2-1-3
004
21
4-1
401
001
21
2-1-1
104
2-1
41
40-1
011
Bsica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
0020
3-1
301
30-1
32
0020
61
60-1
602
32
3
21.2Algoritmos restringidos.El valor ptimo asociado
de z54.16.
La plantilla de Solver,excelQP.xls,resuelve el ejemplo 21.2-3.Los datos se ingresan de una ma-nera similar a la programacin lineal (vea la seccin 2.3.1).La diferencia principal radica en laforma de ingresar las funciones no lineales.Especficamente,la funcin objetivo no lineal se in-la funcin objetivo no lineal se in-K (x1,x2)].Observe que las celdas B5:C5 no se utilizan paranada en el modelo.Por legibilidad,ingresamos el smbolo NL para indicar que la restriccin aso-ciada es no lineal.Tambin podemos especificar la no negatividad de las variables o en el cuadro
CONJUNTO DE PROBLEMAS21.2Bes estrictamente cncava,y luego resuelva el problema utilizando el al-
3, x*2= 5
6 )
Bsica
x1
x2
l1
m1
m2
R1
R2
s1
00000100
31
61
3-1
601
0010
201
010
6-1
12-1
61
121
25
6
Captulo 21Algoritmos de programacin no lineales estrictamente convexa,y luego resulvala con el algoritmo de progra-21.2.3Programacin estocsticalidad mnima.Matemticamente,el problema se define comoson variables aleatorias,y la restriccin ,0 Tanto medias y varianzas conocidas.},varianza var{a
21.2Algoritmos restringidosSi F es la FDA de la funcin de distribucin normal estndar,se deduce queSeael valor normal estndar de modo que se cumple,si,y slo si,son independientes,cov{0,y la ltima restriccin se reduce aPor lo tanto,la restriccin original es equivalente a
, para todas las ianj=1E{aij}xj+KaiCanj=1var{aij}xj
bianj=1E{aij}xj+Kai2XTDiX
bibi-E5hi6
2var5hi6
ÃKaiF(Kai)=1-aiKaiP5hibi6=F£bi-E5hi6
2var5hi6
P5hibi6=Pehi-E5hi6
2var5hi6
bi-E5hi6
2var5hi6
fÃ1-ai =£var5ai16ocovain, ai16 Ãoà covai1, ain6ovar5ain6 Di=Matriz de covarianza i=sima =1x1,Ã, xn2T
Captulo 21Algoritmos de programacin no linealPor lo tanto,la restriccin estocstica es equivalente a la restriccin lineal determinsticaTodas las son variables normales aleatorias.son normales,tambin es normal.manera similar.
Ejemplo 21.2-4Considere el problema de estocsticaMaximizar z=5x1+6x2+3x3anj=1aijxj-bianj=1aijxj-bi0anj=1aijxjbianj=1aijxjE{bi}+Kai3var{bi}
anj=1aijxj-E5bi6
2var{bi}
KaiPcbi-E5bi6
2var{bi}
Ãanj=1aijxj-E5bi6
2var{bi}
sÃaiPebiÃanj=1aijxjfÃaianj=1var5aij6xj2-yi=0
21.2Algoritmos restringidos1,2,3,son variables aleatorias independientes y normalmen-excelStatTables.xlsPara la primera restriccin,la restriccin determinstica equivalente es El problema resultante puede resolverse como un programa no lineal (utilizando AMPL oSolver),o convertirse en un programa separable como sigue:El problema puede resolverse mediante programacin separable.Incluso,puede utilizarse elexcelCCP.xlsCONJUNTO DE PROBLEMAS21.2C
8Ka1=K.05L1.645, Ka2=K.10L1.285 var5a116=25, var5a126=16, var5a136=4 E5a116=1, E5a126=3, E5a136=9 x1, x2, x3Ã0 55x1+x2+6x3b26Ã.10 5a11x1+a12x2+a13x386Ã.95
Captulo 21Algoritmos de programacin no lineal16,y das con medias de 5 y 2,y varianza de 16 y 25,respectivamente.Convierta el problema en21.2.4Mtodo de combinaciones linealescin 21.1.2).Sin embargo,la direccin especificada por el vector gradiente puede no daruna solucin factible para el problema restringido.Adems,el vector gradiente no ne-cesariamente ser nulo en el punto ptimo (restringido).Por tanto el mtodo del ascen-soms pronunciado debe modificarse para manejar el caso restringido..La funcin objetivo ,mediante la serie de Taylor.Esto daximice sujeta a la restricciones (lineales) del problema.Debido a que una constante,el problema
106Ã0.9Maximizar z=x1+x2+x3x1, x2, x3Ã0P57x1+5x2+x3b26Ã0.1P5a1x1+3x2+a3x3106Ã0.9
21.2Algoritmos restringidos,se puede tener.De acuerdo con la expansin deTaylor,la condicin no garantiza que .Sin embargo,dado que ,debe existir un punto .El objetivo es determinar.Defina.Debido que