METODOS CL´ ASICOS´ DE RESOLUCION DE´ ECUACIONES

nociones sobre ecuaciones diferenciales hace an˜os, cuando estudiaba en el entonces Colegio Universitario de La Rioja, semilla de nuestra actual Universidad; de sus apuntes dictados en clase surgieron parte de estas notas, que se han ido completando durante varios an˜os.


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METODOSCLASICOSDERESOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIAS
JuanLuisVaronaMalumbresProfesordelDepartamentodeMatematicasyComputaciondelaUniversidaddeLaRiojaMETODOSCLASICOSDERESOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIASUNIVERSIDADDELARIOJA
VARONAMALUMBRES,JuanLuisMetodosclasicosderesoluciondeecuacionesdiferencialesordinarias/JuanLuisVarona.--Logro~no:ServiciodePublicaciones,UniversidaddeLaRioja,1996.XI-51p.;24cm.ISBN84-88713-32-01.Ecuacionesdiferenciales.I.UniversidaddeLaRioja.ServiciodePublicaciones,ed.II.Ttulo517.91
MathematicsSubjectClassi cation(1991):34-01c\rJuanLuisVaronaEdita:UniversidaddeLaRiojaRealiza:ServiciodePublicacionesLogro~no,1996ISBN:84-88713-32-0DepositoLegal:LR-76-1996Composicion:TEX,realizadaporelautorImpresion:Gra casOchoa,S.A.Reimpresion(conpeque~nascorrecciones):1999,2007y2009URLdelautor:http://www.unirioja.es/cu/jvarona/hola.htmlhttp://www.unirioja.es/cu/jvarona/welcome.htmlImpresoenEspa~naPrintedinSpain
PROLOGOEstetextotuvosuorigenenunosapuntessobreEcuacionesDiferencialesparalosalumnosdelaLicenciaturadeMatematicas,aunque,alolargodeestosultimosa~nos,hemosobservadoque,ademas,resultabanutilesparaotrascarreras,enparticularparalasense~nanzasdeIngenierasTecnicasdelaUniversidaddeLaRioja.Vistoqueestosapuntespodanseraprovechadospordiversaspersonascondiferentesobjetivos,ypuestoquepodantenerunpubliconodemasiadorestringido,nosdecidimosadarlesvidaenformadelibro.Losmetodosclasicospararesolverecuacionesdiferencialessonimportantesperodifcilesderecordar.Poresonosplanteamosescribiralgo|enprincipio,losapuntesantesmencionados|dedicadoaellosconexclusividad,dondesepudiesenencontrarlosmetodosfacilmente.Deaququeestelibronocontienenadademuchosdelosaspectosfundamentalesdelateoradeecuacionesdiferenciales:existenciayunicidaddesoluciones,sistemasdeecuaciones,integracionpordesarrollosenserie,estabilidad,:::,porcitarsolounospocos.Esclaroque,matematicamentehablando,nopuedeplantearseunestudioseriodelasecuacionesdiferencialessinabordaresostemas,peronoesesteelobjetivodellibro.Lostemasqueaqusetratanpuedenexplicarseaestudiantesdediversascarrerastalcomoaparecendesarrollados.Encambio,elestudiodelaexistenciayunicidaddesoluciones,porejemplo,requierenecesariamenteuntratamientodistinto,yaseamaspracticoomasteorico,dependiendodeltipodepersonasalqueestedestinado.Ellibroconstafundamentalmentedetrespartes,deacuerdoaunaprimeraclasi caciongeneraldelaecuacionesqueseestudian:ecuacionesexplcitasdeprimerorden,ecuacionesenlasqueladerivadaapareceimplcitamente,yecuacionesenlasquesepuedereducirelorden.Cadaunadeestaspartesabarcadiversostiposdeecuaciones,queaparecenenloquehemosdenominado((Apartados)),yquehemosnumeradoconsecutivamentedesde1hasta13.Entreestosnumerosaparecenavecesalgunosdenotadoscon((prima)),como40.Alguienmalintencionadopodapensarquetanextra~nanotacionrespondasimplementeadejadezdelautor,paranotenerquerenumerarlosapartadostrashaberredactadoellibroendesorden.Noesesteelcaso(almenosenestasnotas).Elusode((primas))esintencionado,yquieresigni carqueuntiposereducealanteriormediantealgunmecanismoenformadecambiodevariable.Porotraparte,todoslosmetodosderesolucionsebasan,enesencia,enaplicartransformacionesdiversashastallegaraunaecuaciondevariablesseparadas,cuyaresolucionrequieresolocalcularintegrales.Aspues,notenasentidoutilizarladenominacion10(osucesivas)paraalguntipoconcretodeecuacion,puestoquelomismopodahaberseaplicadoalamayora.Variosdelostiposquesev
viMetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
estudiansesubdividenasuvezensubtipos.Entodocaso,siempreseanalizanlosprocesosquehayqueseguirparallegaralaresolucion,avecespordiferentescaminos.Unresumendelosmetodosqueseemplean,pararecordarlosdeunvistazo,esloqueapareceenloquehemosdenominado((Recetas)).Estosesquemaspermitenclasi carfacilmentelasecuacionesestudiadasytenerunarapidaindicaciondecomoabordarsuresolucion.Asmismo,concadatipodeecuacionessemuestraunejemplotpicocompletamenteresuelto.Enellibroapareceunapeque~nabibliografaconlibrosexclusivamenteencastellano.Alcontrarioqueenmuchosotrostemasdematematicas,existen,ennuestroidioma,bastantestextosdedicadosalasecuacionesdiferenciales,asquesolohemosincluidounospocos.(Laabundanciadelibrosencastellanosobreecuacionesdiferencialessedebe,enopiniondelautor,alinteresdeltemaendisciplinasnoestrictamentematematicas.Realmente,enlostemasmaspuntualesydeinvestigacion,estaabundanciayanopuedeconsiderarsecierta.)Entrelasobrascitadas,nohemosconsideradonecesarioindicarcualessonteoricasycualessededicanfundamentalmentealaresoluciondeproblemas,yaquenoshaparecidoquesusttulossonbastantedescriptivos.Acabaellibroconunapendicededicadoalosmetodosderesoluciondeintegralesinmediatasocalculodeprimitivas.Talcomoyahemosmencionadoanteriormente,todaslaecuacionesqueaquestudiamosseintentanreduciraecuacionesenvariablesseparadascuyasolucionseexpresapormediodeintegrales.Aspues,talrecordatoriopuederesultarclaramentedeintereseneltemaqueestamostratando.Queremosdejarconstanciadequelosnombresqueaparecenenelndicenosecorrespondenexactamenteconlosttulosquehemosidodandoalosdiferentesapartados.Lanocoincidencianosedebeadescuido,sinoquehasidopensadaconscientementeparaque,cuandoalguienseencuentraanteunaecuacionquedeberesolver,elndicelepermitaunarapidaidenti caciondeltipoquesetrata,ydondesepuedelocalizardentrodeltexto.Deseamosasmismojusti carlafaltadeunndiceterminologicootabladecontenidos,quequizasalguienpuedaecharenfalta.Laventajaquetienentalestiposdendicesesquepermitenbuscarpalabrasclaveclasi cadasalfabeticamente,alcontrarioqueenunndicegeneralenelque,obviamente,losapartadosaparecenconsecutivamentesegunelordenenelqueseabordandentrodellibro,yenelquemuchosterminossu cientementedescriptivospuedennoestarre\rejadososerdifcilesdelocalizar.Esopiniondelautorquecasicualquierlibrodeestudiooconsultadeberallevarunndicedenombres,asquenopodemosresistirnosaexplicarsuausencia.Hayquetenerpresentequeesteesunlibropeque~noenextension,dedicadoauntemabastantepuntual,conunndicedetallado,ycuyopropositoespermitirque,cuandonosencontramosanteunaecuaciondiferencial,podamosfacilmentedistinguirsutipoparaprocederaresolverla.Aspues,noparecademasiadoimportantealgoparecidoaunndicedenombres,yaqueloqueinteresaallectoressaberidenti careltipodeunaecuacionalavistadesuaspecto,nodesunombre,queesfacilquequienconsultaellibronoconozca.Queremostambienmencionarladi cultaddeelaborarunndicedenombresu cientementecompleto;estoesaspuestoque,aunquemuchosdelostiposdeecuacionesqueaquseestudiansquetienenunnombrequelosdescribe,estonoesasentodosloscasos,sino
Prologovii
quemuchasveceslascatalogamosunicamenteporsuaspecto.Porestarazon,ademas,muchosdelosttulosdelosapartadossonmeramentedescriptivos,clasi candoeltipodeecuacionmedianteunaformula.Detodasformas,sialguiendeseabuscarunaecuacionporsunombre,noescomplicadolocalizarlaenelndiceyaqueestees,necesariamente,peque~no.Tampocosehaincluidounndicede((recetas)),puessiempreaparecen,comomucho,unpardepaginasdespuesdecadatipo,luegoresultanfacilesdelocalizaratravesdelndice.Lomismopuededecirsedelosejercicios,queinvariablementeestancolocadostraslaexplicacionteoricadelmetodo.Aunqueellibrohasidosu cientementerepasado,yhasidoyautilizadocomoapuntesfotocopiadosdurantevariosa~nos,laexperiencianosmuestralapracticaimposibilidaddeevitarquesedeslicealgunaerrata.Enesteaspecto,esdedestacarquetodasellassondebidasalautorynoaningunprocesoposteriorenimprenta,puestoqueellibrohasidoeditadodirectamenteapartirdelaspaginasyaimpresassuministradasporelautor.EnsuconfeccionsehautilizadoTEX,acuyocreador,DonaldKnuth,deseohacerconstarmigratitudporpermitiralacomunidadmatematica(ycient caengeneral)lautilizaciondetanpotenteyutilherramientadestinadaaelaborartextosdegrancalidadtipogra ca.Lastimaque,aun,noestelosu cientementeadaptadoparaescribirenlenguanoinglesa.Asmismo,quieroagradeceramiscompa~nerosdelDepartamentodeMatematicasyComputaciondelaUniversidaddeLaRiojasussugerenciasycorreccionessobrelasversionespreliminaresdeestelibro.Enparticular,aJoseLuisAnsorena,JoseManuelGutierrezyVctorLanchares,cuyascrticashanpermitido,sinduda,mejorareltexto.TambienmireconocimientoaJoseJavierGuadalupe,dequienaprendmisprimerasnocionessobreecuacionesdiferencialeshacea~nos,cuandoestudiabaenelentoncesColegioUniversitariodeLaRioja,semilladenuestraactualUniversidad;desusapuntesdictadosenclasesurgieronpartedeestasnotas,quesehanidocompletandodurantevariosa~nos.Porultimo,amimujer,MaraJoseRamrez,quehasoportadomiausenciadurantelasmultipleshorasquehededicadoaescribirestelibro;comoahora|sabadoalasochodelama~nana|,queduermeenlahabitaciondealladomientrasyodoylosultimos(ojala!)retoquesaltexto.JuanLuisVaronaDpto.deMatematicasyComputaci[email protected]~no,febrerode1996
INDICEPROLOGO....................vINDICE.....................ixGENERALIDADES..................1ECUACIONESEXPLICITASDEPRIMERORDENy0=f(x;y)....51:Variablesseparadasg(x)=h(y)y0...........52:Ecuaciondelaformay0=f(ax+by)..........73:Homogeneasy0=fy
x...............730:Reduciblesahomogeneasy0=fa1x+b1y+c1
ax+by+c........930:1:Caso((rectasquesecortan))...........930:2:Caso((rectasparalelas))............9300:HomogeneasimplcitasFy
x;y0=0...........113000:Ecuaciony0=f(x;y)conf(x; y)= 1f(x;y)......124:EcuacionesexactasP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0conPy=Qx...1440:Reduciblesaexactas:Factoresintegrantes.........1640:1:Factorintegrantedelaforma(x).........1640:2:Factorintegrantedelaforma(y).........1640:3:Otrasexpresionesrestrictivaspara(x;y).......165:Ecuacioneslinealesdeprimerordeny0+a(x)y=b(x).....1750:EcuaciondeBernoulliy0+a(x)y+b(x)y =0.......21500:EcuaciondeRiccatiy0+a(x)y+b(x)y2=c(x).......226:Sustituciones..................24ix
xMetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
ECUACIONESENLASQUELADERIVADAAPARECEIMPLICITAMENTEF(x;y;y0)=0...................257:Falgebraicaeny0degradon.............25Obtenciondelaenvolventedeunafamiliadecurvas......268:Ecuaciondelaformay=f(x;y0)...........278:1:Ecuaciony=f(y0)..............278:2:EcuaciondeLagrangey+x'(y0)+ (y0)=0......288:3:EcuaciondeClairautyxy0+ (y0)=0.......289:Ecuaciondelaformax=f(y;y0)...........3210:EcuaciondelaformaF(y;y0)=0...........33ECUACIONESDIFERENCIALESENLASQUESEPUEDEREDUCIRELORDENF(x;y;y0;:::;y(n))=0..............3511:EcuaciondelaformaF(x;y(k);:::;y(n))=0........35110:Ecuacioneslinealesdeordensuperior..........3612:EcuaciondelaformaF(y;y0;:::;y(n))=0.........40120:EcuacionF(x;y;y0;:::;y(n))=0conF(x;mu0;m1u1;:::;mnun)= F(x;u0;u1;:::;un)...............4213:EcuacionF(x;y;y0;:::;y(n))=0conF(x;u0;u1;:::;un)= F(x;u0;u1;:::;un)...............44Peque~nabibliografaencastellano.............47APENDICE:Metodosbasicosparacalcularintegralesinde nidas...49
GENERALIDADESDesdelosprimerospasosenelcalculodiferencial,detodosesconocidoque,dadaunafunciony=f(x),suderivadady
dx=f0(x)estambienunafuncionquesepuedeencontrarmedianteciertasreglas.Porejemplo,siy=ex3,entoncesdy
dx=3x2ex3o,loqueeslomismo,dy
dx=3x2y.Elproblemaalquenosenfrentamosahoranoeseldecalcularderivadasdefunciones;masbien,elproblemaconsisteen:sisedaunaecuacioncomody
dx=3x2y,hallardealgunamaneraunafunciony=f(x)quesatisfagadichaecuacion.Enunapalabra,sedesearesolverecuacionesdiferenciales.Laformadeecuaciondiferencialmassencillaquepuedepensarseesdy
dx=f(x).Resolverlaconsisteenencontrarunafuncioncuyaderivadaseaf(x),esdecir,encontrarlasprimitivas(integralesinde nidas)def(x).Portanto,podemosdecirquelosmetodosderesoluciondeecuacionesdiferencialesconstituyenunageneralizaciondelcalculodeprimitivas.De nicion1.Llamamosecuaciondiferencial(E.D.)aunaecuacionquerelacionaunafuncion(ovariabledependiente),suvariableovariables(variablesindependientes),ysusderivadas.Silaecuacioncontienederivadasrespectoaunasolavariableindependienteentoncessedicequeesunaecuaciondiferencialordinaria(E.D.O.);ysicontienelasderivadasparcialesrespectoadosomasvariablesindependientessellamaecuacionenderivadasparciales(E.D.P.).Ejemplosdeecuacionesdiferencialesordinariassondy
dx4y=2;(x+2y)dx3ydy=0(1)yd2y
dx24dy
dx3+3y=0;(2)[email protected]
@[email protected]
@y=u(3)[email protected]
@[email protected]
@t2[email protected]
@t(4)sonecuacionesenderivadasparciales.1
2MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
Otrotipodeecuacionesquepuedenestudiarsesonlasecuacionesdiferencialesderetraso(oretardo),comoeselcasodeu0(t)=72u(t3):Estancaracterizadasporlapresenciadeundesplazamientott0enelargumentodelafuncionincognitau(t).Engeneral,sonmasdifcilesdemanejarquelasE.D.sinretraso.Nonosocuparemosaqudeellas.De nicion2.Sellamaordendelaecuaciondiferencialalordendeladerivadaoderivadaparcialmasaltaqueapareceenlaecuacion.As,porejemplo,lasecuaciones(1)y(3)sondeorden1,(2)esdeorden2y(4)deorden3.Enloquesiguenospreocuparemossolodeecuacionesdiferencialesordinariasy,comonohabralugaraconfusion,lasdenominaremossimplementeE.D.Porlogeneral,salvoqueelcontextonosindiqueotranotacion(oestaprovengadeloscambiosdevariablequeefectuemos),utilizaremosxparadenotarlavariableindependienteeyparalavariabledependiente.De nicion3.Decimosqueunaecuaciondiferencial(deordenn)estaexpresadaenformaimplcitacuandotienelaformaF(x;y;y0;:::;y(n))=0siendoFunafuncionF:\nRn+2!Rcon\nunsubconjunto(generalmenteabierto)deRn+2.Ydecimosqueestaexpresadaenformaexplcitacuandotenemosy(n)=f(x;y;y0;:::;y(n1))conf:DRn+1!Runafuncionde nidaenunsubconjuntoD(generalmenteabierto)deRn+1.UnaclaseimportantedeE.D.,bienestudiadayconbuenaspropiedades,eslasiguiente:De nicion4.Sedicequeunaecuaciondiferencialeslinealsitienelaformaan(x)dny
dxn+an1(x)dn1y
dxn1++a1(x)dy
dx+a0(x)y=g(x);ysellamalinealhomogeneasi,ademas,g(x)=0.Dadaunaecuacionlineal,sucorrespondienteecuacionlinealhomogeneaenlaquesehahechog(x)=0sedenominalinealhomogeneaasociada.Unaecuacionquenoeslinealsedicenolineal.Nuestroobjetivoesresolverecuacionesdiferenciales,estoes,encontrarsussoluciones.
Generalidades3
De nicion5.Decimosqueunafunciony='(x)de nidaenunintervaloI(esdecir,':IR!R)essoluciondeunaecuaciondiferencialenelintervalosi,sustituidaendichaecuacion,lareduceaunaidentidad.(Enotraspalabras,sisatisfacelaE.D.)UnaE.D.sediceresoluble(ointegrable)porcuadraturassisusolucionesexpresablemedianteintegrales.Engeneral,lasoluciondeunaecuaciondiferencialdeordenndependeradenparametros.PeroinclusodeestaformapuedennoobtenersetodaslassolucionesdeunaE.D.Porejemplo,cuandotenemosunafamiliauniparametricadesolucionesdeunaE.D.,unasencillainterpretaciongeometricanosmuestraquetambienlaenvolventedelafamiliadecurvas(siexiste)essoluciondelaE.D.Acontinuacion,nosdedicaremosaexplicarlosdiversosmetodosclasicosderesoluciondeE.D.Noharemoshincapieenelintervalodede niciondelassoluciones,niefectuaremosunestudiodetalladodelarigurosidaddelosmetodosempleadosque,enesencia,descansansiempreenlaregladelacadenaylosteoremasdelafuncioninversaydelafuncionimplcita.Nonosdetendremosnuncaencomprobarlashipotesisdeestosteoremas,sinoquesupondremosentodomomentoquelasfuncionesqueaparecenenlosmetodosdescritossonlosu cientemente((buenas)),oestanlosu cientementerestringidasensudominio,paraquesiempresesatisfaganlashipotesisnecesarias.Tampoconospreocuparemosenexcesodesabersihemosobtenidotodaslassoluciones;aesterespecto,enalgunoscasosnosinteresaremosporlassolucionessingularesdeunaE.D.,comopuedeserlaenvolventedeunafamiliadesoluciones.Nosapresuramosase~nalarquelasformulasgeneralesqueaparecencomosoluciondediversostiposdeecuacionesnodebenmemorizarse;masbien,elprocedimientodebedesarrollarsecompletocadavez.Paraellobastararecordarunoscuantospuntosesencialesquedestacamosenlascajasdetextoquehemosdenominado((recetas)).Porultimo,comentarque,enlosejemplosquenosapareceran,ellectorpuedeentretenerseenrepresentargra camentelassolucionesdelasE.D.planteadas,almenosenloscasosmassencillosoefectuandounsimplebosquejodesuapariencia.Nopensemosenestocomounaperdidadetiempo,puesayudaacomprenderlanaturalezadelproblemaydesussoluciones.
ECUACIONESEXPLICITASDEPRIMERORDENSonlasquetienenlaformay0=f(x;y):APARTADO1:Variablesseparadas.SitenemoslaE.D.g(x)=h(y)y0;formalmente,podemosponerg(x)dx=h(y)dy;sisuponemosqueGesunaprimitivadegyHunadeh,tendremosG0(x)dx=H0(y)dye,integrando,G(x)=H(y)+C,queeslasoluciongeneraldelaecuacion.Expliquemosconunpocomasderigorporquefuncionaelmetodo:Seay='(x)unasoluciondelaE.D.,esdecir,'(x)debecumplirg(x)=h('(x))'0(x).PeroHesunaprimitivadeh,asque,porlaregladelacadena,g(x)=h('(x))'0(x)=(H')0(x).Integrando,G(x)=(H')(x)+C(loqueanteshemosexpresadocomoG(x)=H(y)+C),dedonde'(x)=H1(G(x)C).Enlospasosanteriores,estajusti cadoemplearlaregladelacadenacuando'yHsonderivables,locualesciertosinmasquesuponerquehseacontinua.Y nalmente,parapoderdespejar'medianteelusodeH1bastaraconexigirademasquehnoseanularaenelintervalodede nicion,conlocual,comoH0=h=0,HescrecienteodecrecienteluegoexisteH1(enotraspalabras,comoladerivadadeHnoseanula,elteoremadelafuncioninversanosaseguraqueexisteH1).Lasecuacionesenvariablesseparadassonlasmassencillasdeintegrary,alavez,lasmasimportantes,yaquecualquierotrometododeresolucionsebasaesencialmenteenaplicardiversostrucosparallegaraunaecuacionenvariablesseparadas.Enellashemosvisto,contodorigor,quehipotesishayqueimponerparaqueelmetodoqueconducealasolucionestecorrectamenteempleado,ycomosejusti caelfuncionamientodelproceso.Apartirdeahoranoincidiremosmasenestosdetallesque,aunqueimportantes,sobrecargaranlaexplicacion.Ellectorpuededetenersementalmenteapensarenellos,justi candoadecuadamentelospasosqueseefectuen.5
6MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
Encualquiercaso,convienerecordarquelaexpresiondy
dxessimplementeunautilnotacionparadesignarladerivadadeyrespectodex,nouncocientededydivididopordx;nidynidxtienenentidadensmismas.Estanotacionseemplea,noporquesniparaintroducirconfusion,sinoque,alcontrario,seusaporqueesconsecuenteconlosenunciadosdevariosimportantesresultados.Yahemosvistocomoresultaadecuadaalahoraderecordarcomoresolverecuacionesenvariablesseparadasg(x)=h(y)dy
dx,descomponiendog(x)dx=h(x)dy(comosidy
dxfueserealmenteunafraccion)eintegrandoambosladosdelaexpresionanterior.Peronosoloaquseponedemani estolautilidaddeestanotacion.Porejemplo,elteoremadelafuncioninversaprueba(conlashipotesisadecuadas)que,cuandoyesunafunciondex,sisedespejaxcomofunciondeysecumplex0(y)=dx
dy=1
dy=dx=1
y0(x);esdecir,seproduceuncomportamientosimilarasiestuvieramosoperandoconfracciones.Analogamente,sitenemosquezesunafunciondeyy,asuvez,yunafunciondex,laregladelacadenaestablecequeladerivadadelafuncioncompuestaz(x)esdz
dx=dz
dydy
dx;queescomosisimpli caramosdyenlossupuestoscocientesdeladerecha.Estopermiteusarlasnotacionesdeltipody
dxysucomportamientocomosifuesenfraccionescomoreglanemotecnicadelosresultadosanteriores.
RECETA1:Variablesseparadas.Sondelaformag(x)=h(y)y0:Formalmente,seseparag(x)=h(y)dy
dxeng(x)dx=h(y)dyyseintegra.
Ejemplo1:Resolverdy
dx+(senx)y=0:Despejando,dy
y=(senx)dxe,integrando,logy=cosx+C,esdecir,y=ecosx+C.SinmasquetomarK=eCencontramoslassolucionesy=Kecosx.Fijarseque,enprincipio,parecequeKtienequeserpositiva;peroenrealidadlaintegraldedy
yeslogjyj,loquenosllevaraasolucionesconvaloresnegativosdeK.Porultimo,notary=0(esdecir,tomarK=0)tambienesclaramenteunasoluciondelaE.D.,aunquenoseobtieneconelmetodoseguido.Aspues,lasoluciongeneraldelaE.D.esdelaformay=KecosxconK2R.
E.D.explcitasdeprimerorden7
APARTADO2:Ecuaciondelaformay0=f(ax+by).Sia=0ob=0,laecuacionesseparable.Enotrocaso,efectuemoselcambiodefunciony(x)porz(x)dadoporz=ax+by,dedondez0=a+by0y,portanto,y0=z0a
b.Entonces,sustituyendoenlaE.D.obtenemosz0a
b=f(z),esdecir,z0=a+bf(z),queesdevariablesseparadas.Laescribimoscomodx=dz
a+bf(z);conloque,integrando,x=R(a+bf(z))1dz=(z;C).Aspues,lassolucionesdelaE.D.departidaseranx=(ax+by;C);demodoquehemosencontradoycomofunciondexexpresadaenformaimplcita.
RECETA2:Ecuaciondelaformay0=f(ax+by).Elcambiodefunciony(x)porz(x)dadoporz=ax+bylatransformaenunadevariablesseparadas.
Ejemplo2:Resolvery0exey=1:Tenemosy0+1=ex+y,conloquesiefectuamoselcambiodefunciondadoporlasustitucionz=x+y,laecuacionquedatransformadaenz0=ez,esdecir,dx=ezdz,ecuacionenvariablesseparadascuyasolucionesx=ez+C.Volviendoalasvariablesiniciales,Cx=exy,dedondelog(Cx)=xy,yportantolasoluciondelaE.D.departidaesy=log(Cx)x.(Observarquenonoshemospreocupado|niloharemosdeaquenadelante|deponermoduloscuandoalcalcularunaintegralapareceunlogaritmo.Ellectorpodraanalizarestoscasosconmuchomascuidado.)APARTADO3:Homogeneas.Supongamosquetenemoslaecuaciony0=fy
x:
8MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
Pararesolverla,hacemoselcambiodefunciony(x)poru(x)medianteu=y
x.As,derivandoy=uxtenemosy0=u0x+u,esdecir,u0x+u=f(u).Estaecuacion,quepodemosponercomou0x=f(u)u,esdevariablesseparadas.Vamosasolucionarla:Sif(u)=u,podemosescribirdu
f(u)u=dx
xe,integrando,Rdu
f(u)u=log(x
C).Despejandoxobtenemosx=Ce(u)con(u)=Rdu
f(u)u.Portanto,lascurvasconecuacionesparametricas(x=Ce(u)y=Cue(u)sonsoluciondelaecuaciondiferencialparacadaC2R.(Estoconstituyeunafamiliadecurvashomoteticas:unacurvaseobtienedeotramedianteunahomotecia,esdecir,multiplicandolosvaloresdexeyporunaconstante.)Aveces,esconvenienteexpresarestassolucionesdeotrasformas.Siemprepuedeponersex=Ce(y=x),soluciondadamedianteunafuncionimplcita.Y,cuandoenx=Ce(u)selogradespejardealgunaformau=H(x;C),lasoluciondelaE.D.quedamuchomassencilla:y=xH(x;C).Supongamosahoraqueexistealgunu0talquef(u0)=u0.Enestecaso,esinmediatocomprobarquelarectay=u0xessolucion:y0=u0=f(u0)=f(y
x),luegosesatisfacelaecuaciondiferencial.Estetipodesolucionesquenoseobtienenconelprocedimientogeneralsuelendenominarsesolucionessingulares.Nota:Engeneral,unafuncionh(x;y)sedicehomogeneadegrado sih(x;y)= h(x;y).EsinmediatocomprobarqueunaE.D.delaformaP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0conP(x;y)yQ(x;y)funcioneshomogeneasdelmismogradoes,efectivamente,unaecuaciondiferencialhomogenea(despejary0=dy
dx=P(x;y)
Q(x;y)=P(x;x(y=x))
Q(x;x(y=x))yextraer=xdePyQ).Deaquprovieneelnombredeestetipodeecuaciones.
RECETA3:Homogeneas.Sondelaformay0=fy
x:Sehaceelcambiodefunciony(x)poru(x)mediantey=ux,transformandoseaslaE.D.enunadevariablesseparadas.
Ejemplo3:Resolvery0=2xyy2
x2:
E.D.explcitasdeprimerorden9
Conelcambioy=uxpodemosponery0=2y
x(y
x)2=2uu2.Comoy0=u0x+u,sustituyendotenemosu0x+u=2uu2,esdecir,xu0=uu2.Siu=u2,podemosponerdu
uu2=dx
x.Paraintegrar,descomponemos1
uu2=A
u+B
1u,loquesesatisfaceparaA=B=1.Entonces,integrando,logulog(1u)=logx
C,esdecir,u
1u=x
C;ysustituyendou=y
xtenemosy=x
1y=x=x
C,dedondeCy=x(xy).Deaquesfacildespejarexplcitamenteysiassedesea.Porotraparte,apartirdeu0=0yu0=1(paralascualesu=u2),setienenlassolucionessingularesy=0ey=x.APARTADO30:Reduciblesahomogeneas.Consideremoslaecuaciony0=fa1x+b1y+c1
ax+by+c:Pararesolverla,hayquedistinguirdoscasos:30:1:Supongamosenprimerlugarquelasrectasax+by+c=0ya1x+b1y+c1=0secortanenelpunto(x0;y0).As,tendremosqueax+by+c=a(xx0)+b(yy0)ya1x+b1y+c1=a1(xx0)+b1(yy0).HagamosahoraelcambiodevariableydefuncionX=xx0,Y=yy0,conlocualY0=y0=fa1(xx0)+b1(yy0)
a(xx0)+b(yy0)=fa1X+b1Y
aX+bY=f a1+b1Y
X
a+bY
X!;esdecir,hemosreducidolaecuacionaunahomogenea.30:2:Ensegundolugar,supongamosqueax+by+c=0ya1x+b1y+c1=0sonrectasparalelas,conlocualpodraponerse(a1;b1)=K(a;b)paraalgunK2R.Efectuemosahoraelcambiodefuncionz=ax+by.Derivando,z0=a+by0,osea,y0=z0a
b.SisustituimosenlaE.D.originalobtenemosdz
dx=a+bfKz+c1
z+c;queesdevariablesseparadas.
10MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
RECETA30:Reduciblesahomogeneas.Sondelaformay0=fa1x+b1y+c1
ax+by+c:30:1:Silasrectasax+by+c=0ya1x+b1y+c1=0secortanen(x0;y0),sehaceelcambiodevariableydefuncionX=xx0,Y=yy0.Laecuacionsereduceaunahomogenea.30:2:Siax+by+c=0ya1x+b1y+c1=0sonrectasparalelas,sehaceelcambiodefuncionz=ax+by.Lanuevaecuacionqueapareceesdevariablesseparadas.
Ejemplo30:1:Resolvery0=2x+4y6
x+y3:Lasrectas2x+4y6=0yx+y3=0secortanenelpunto(x;y)=(1;2),conloqueefectuamoselcambioX=x1,Y=y2,Y0=y0.Sustituyendo,obtenemoslaecuacionhomogeneaY0=2X+4Y
X+Y=2+4Y=X
1+Y=X:Pararesolverla,hacemosunnuevocambiou=Y=X,dedondeY=uX,Y0=u0X+u.Trassustituir,tenemosu0X+u=2+4u
1+uque,alapostre,podemosponercomoXdu
dX=u23u+2
u+1.Tenemosahoraquedistinguircuando,ycuandono,seanulalaexpresionu23u+2.Resolviendou23u+2=0,estoocurreparau=1yu=2.Analicemosenprimerlugarelcasou23u+2=0.As,podemosescribirdX
X=(u+1)du
u23u+2=A
u1du+B
u2du=2
u1du3
u2dudedonde,integrando,2log(u1)3log(u2)=log(KX)y,consiguientemente,(u1)2
(u2)3=KX.Sustituyendoahorau=Y=Xllegamosfacilmentea(YX)2=K(Y2X)3;yvolviendoalasvariablesoriginalesxeyobtenemoslassoluciones(yx1)2=K(y2x)3delaE.D.departida.Finalmente,conu0=1yu0=2tenemos,respectivamente,lassolucionesY=XeY=2Xque,sustituyendoXeYporsuvalor,setraduceneny=x+1yy=2x.
E.D.explcitasdeprimerorden11
Ejemplo30:2:Resolvery0=xy1
xy2:Efectuamoselcambiodefuncionz=xy,dedondez0=1y0.Sustituyendo,tenemosz0+1=z1
z2,yconsiguientementedz
dx=z1
z21=1
z2,queeslaecuacion(z2)dz=dx,cuyasvariablesestanseparadas.Integrando,1
2(z2)2=x+K,y nalmente,sustituyendodenuevoz=xyydenotandoC=2K,obtenemosquelassolucionesdelaE.D.originalson(xy2)2+2x=C.APARTADO300:Homogeneasimplcitas.SealaecuacionFy
x;y0=0:Pararesolverla,consideremoslacurvaF( ; )=0ysupongamosquehemoslogradoencontrarunarepresentacionparametricadelacurvadadapor ='(t), = (t).Esdecir,queseveri caF('(t); (t))=0.Hagamosahoraelcambiodefuncionyportmediantey
x='(t),teniendoencuentaquey0= (t).Siderivamosy=x'(t)respectodextenemosy0='(t)+x'0(t)dt
dx,esdecir, (t)='(t)+x'0(t)dt
dx,o (t)'(t)=x'0(t)dt
dxque,enprincipio,esunaecuacionenvariablesseparadas.Si (t)='(t),podemosponer'0(t)dt
(t)'(t)=dx
x,cuyasolucionserax=Ce(t)con(t)=R'0(t)dt
(t)'(t).DeaququelaE.D.departidatienelassoluciones(x=Ce(t)y=C'(t)e(t);C2R:Siexistet0talque (t0)='(t0),formalmente,podemospensar0=x'0(t)dt
dx,luego'0(t)=0yportanto'(t)=cte.='(t0),loquenosllevaraalasoluciony=x'(t0).Estarectaes,efectivamente,unasoluciondelaE.D.,comopodemoscomprobardirectamente:F(y
x;y0)=F('(t0);'(t0))=F('(t0); (t0))=0.
12MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
RECETA300:Homogeneasimplcitas.SondelaformaFy
x;y0=0:ConsideramoslacurvaF( ; )=0.Siencontramosunarepresentacionparametrica ='(t), = (t),F('(t); (t))=0,sehaceelcambiodefuncionyportmediantey
x='(t),y0= (t).As,derivandoy=x'(t)respectodex,apareceunaecuacionenvariablesseparadas.
Ejemplo300:Resolverx2(y0)2(y2+x2)=0:Siponemoslaecuacionenlaforma(y0)2(y
x)2=1,podemosrecordarqueelcosenoyelsenohiperbolicossatisfacenlarelacion(cht)2(sht)2=1,loqueseadecuaanuestrasnecesidades.As,tomemosahoray
x=shtyy0=cht.Siderivamosy=xshttenemosy0=sht+xchtdt
dx,osea,cht=sht+xchtdt
dx.Despejando,dx
x=cht
chtshtdt(notarque,enestaecuacion,eldenominadornoseanulanuncayaquecht�sht,luegonohayquepreocuparsedeanalizarporseparadolasracesdechtsht=0)e,integrando,x=Ce(t)con(t)=Zcht
chtshtdt=Zet+et
2etdt=1
2Z(1+e2t)dt=1
2t+1
4e2t:Entonces,laE.D.originaltienecomosolucioneslascurvas(x=Cet=2+e2t=4y=C(sht)et=2+e2t=4:APARTADO3000:Sealaecuaciony0=f(x;y)conftalque,paraalgun jo,veri caf(x; y)= 1f(x;y):Noteseenprimerlugarque,cuando =0,sinmasquetomar=xtenemosy0=f(x;y)=x1f(1;y),queesunaecuacionenvariablesseparadas;y,cuando =1,sepuedeponery0=f(x;y)=fx;xy
x=f1;y
x;esdecir,nosencontramosanteunaE.D.homogenea.Enotrocaso,veamoscomoelcambiodefunciony=z transformalaecuacionenunahomogenea:
E.D.explcitasdeprimerorden13
Derivando,y0= z 1z0y,sustituyendoenlaE.D.original, z 1z0=f(x;z ),esdecir,z0=1
1
z 1f(x;z )=1
f1
zx;1
z z =1
fx
z;1que,efectivamente,esunaE.D.homogenea.Logicamente,como,alhacerenlahomogeneaelcambioz=ux,estasetransformaenunadevariablesseparadas,sihubieramosefectuadodesdeelprincipioelcambioy=(ux) ,nuestraE.D.sehubieraconvertidodirectamenteenunadevariablesseparadas.Porultimocomentarque,extrayendo=x,estetipodeecuacionespuedeponersecomoy0=f(x;y)=fx;x y
x =x 1f1;y
x =x 1hy
x :Pero,almenosasimplevista,noparecemassencillodescribirlasecuacionesqueestamostratandocomo((lasquetienenlaformay0=x 1h(yx )))enlugardecomolohemoshechoenesteapartado.
RECETA3000:Silaecuaciony0=f(x;y)estalque,paraalgun =0 jo,fsatisfacef(x; y)= 1f(x;y);entonceselcambiodefunciony=z transformalaecuacionenunahomogenea.(Si =1,laE.D.yaeshomogenea;ysifcumplelarelacionanteriorcon =0,laE.D.esdevariablesseparadas.)
Ejemplo3000:Resolvery0=1
2y
x3p
x
y2:Dadaf(x;y)=1
2x1y3x1=2y2,paraintentarencontrar tanteamosf(x; y)=1
2(x)1( y)3(x)1=2( y)2=1
2 1x1y31=22 x1=2y2,yobservamosqueestoesiguala 1f(x;y)sinmasquetomar =1
2.Entonces,sisustituimosy=z1=2enlaE.D.,tenemos1
2z1=2z0=1
2x1z1=23x1=2z1,esdecir,z0=z
x6(z
x)1=2,queeshomogenea.Pararesolverla,tomamosahoraz=ux,conlocual,sustituyendo,u0x+u=u6u1=2,osea,u1=2du=6x1dx,ecuacionenvariablesseparadas.Integrandola,2
3u3=2=6log(x
C),luegox=Cexp(u3=2=9).Deshaciendoloscambiosz=uxyy=uxencontramosquelassolucionesdelaE.D.departidason,expresadascomocurvasenparametricas,(x=Ceu3=2=9y=C1=2u1=2eu3=2=18:
14MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
APARTADO4:Ecuacionesexactas.LlamamosexactaaunaecuaciondiferencialP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0;esdecir,y0=dy
dx=P(x;y)
Q(x;y),quecumplePy=Qx(conlanotaci[email protected]
@y,[email protected]
@x).Antesdeexplicarcomoresolverlas,comentemosbrevementealgosobre((expresionesdiferenciales))(rigurosamentehablando,estamostratandocon1-formasdiferencialesw=Pdx+Qdy,aunquenoentraremosenello):SupongamosdeantemanoentodoloquesiguequePyQsondeclaseC1(continuasconderivadasparcialescontinuas)ensudominiodede nicion(unabiertodeR2).UnaexpresiondiferencialP(x;y)dx+Q(x;y)dysedicequeesunadiferencialcerradaenunaregionRdelplanoxysiseveri caPy(x;y)=Qx(x;y)paratodo(x;y)2R.YsediceexactaenRcuandoexistealgunafuncionF(x;y)[email protected]
@[email protected]
@y=Qparatodo(x;y)2R;enotraspalabras,siladiferencialdeFesdF=Pdx+Qdy(F,queesunicasalvoconstantes,sedenominafuncionpotencial).ElteoremadeSchwartzsobreigualdaddederivadascruzadasnosaseguraquecualquierexpresiondiferencialexactaescerrada.Locontrarionoesciertoengeneral,aunquesenunaclasemuyampliadedominiosdeR2:lossimplementeconexosque,intuitivamente,sonlosquenotienenagujeros.Demostrarestehechonoesexcesivamentesencillo,perotampocoesnecesarioparaloqueaqupretendemos.Enrealidad,ellemadePoincare(quenormalmentesepruebaencualquiercursodecalculointegralenvariasvariables)aseguraqueunaexpresioncerradaesexactasiemprequeeldominioseaestrellado,loquesigni caqueexistaunpuntodeldominioquesepuedauniratodoslosdemasmedianteunsegmentosinsalirnosdeldominio;enparticular,losconjuntosconvexossonestrellados.Ademas,estoaseguraque,dadacualquierexpresioncerrada,esexactalocalmente,esdecir,alrededordecadapuntopodemosrestringireldominiodetalformaquelaexpresionseaexactaenesenuevodominio.Porlotanto,enloqueanosotrosconcierne,podemosidenti carlosconceptosdeexactoycerrado,yaquenonosestamospreocupandodedondeestande nidaslasE.D.quetratamosderesolvernienqueintervaloexistenlassoluciones.Enrealidad,enecuacionesdiferencialessuelehablarsesiempredeexactoaunre riendoseaquesesatisfacelaigualdadPy=Qx.UnaE.D.exactaesunaexpresionexactaigualadaacero.Veamoscomoresolverlas:sitenemosPdx+Qdy=0exacta,comoexisteFtalquedF=Pdx+Qdy,entonceslaecuacionpodemosponerlaenlaformadF=0y,portanto,susolucionseraF(x;y)=C(siendoCconstantearbitraria).Aspues,bastaconqueencontremoslafuncionpotencialF.Elprocedimientoparahallarlaque,segunveremos,funcionagraciasaquePy=Qx,escomosigue:[email protected]
@x=P;as,esposibleencontrarFintegrandoP(x;y)respectoaxmientrassemantieneyconstante,esdecir,F(x;y)=RP(x;y)dx+'(y),dondelafuncionarbitraria'(y)esla((constante))deintegracion.Derivandorespectodeyobtenemos
E.D.explcitasdeprimerorden15
@F
@[email protected]
@yRP(x;y)dx+'0(y).Porotraparte,[email protected]
@y=Q,deaquresultaque'0(y)=Q(x;y)@
@yRP(x;y)dx;estaesrealmenteunaexpresi[email protected]
@xQ(x;y)@
@yZP(x;y)dx[email protected]
@x@
@y@
@xZP(x;y)dx[email protected]
@x@P
@y=0:Unavezconocida'0(y),integrandoobtenemos'(y)y,sustituyendosuvalor,llegamosalafuncionpotencialF(x;y).As,quedanhalladascompletamentelassolucionesbuscadasF(x;y)=C,expresadasenformaimplcita.(Logicamente,paraencontrarFpodrahaberseseguidoelprocesoanteriorcambiandoelordenenelqueseusaPyQ,[email protected]
@[email protected]
@x=P.Asimismo,integrandoestasdosexpresioneseigualandolas,muchasvecesbastaunasimpleinspeccionparadeterminarF.)
RECETA4:Ecuacionesexactas.SonlasdelaformaP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0;esdecir,y0=dy
dx=P(x;y)
Q(x;y),quecumplenPy=Qx.SebuscaunafuncionF(x;y)talquedF=!=Pdx+Qdy,ylasoluciondelaE.D.esF(x;y)=C(siendoCconstante).
Ejemplo4:Resolver3y+ex+(3x+cosy)y0=0:SiponemoslaecuacionenlaformaPdx+Qdy=0conP(x;y)=3y+exyQ(x;y)=3x+cosy,esclaroquePy=Qx=3,luegolaE.D.esexacta.CalculemoslafuncionpotencialF(quenosdaradirectamentelassolucionesF(x;y)=C).ComoFx=3y+ex,integrandorespectodex,F(x;y)=3yx+ex+'(y).DerivandorespectodeyeigualandoaQqueda3x+'0(y)=3x+cosy,esdecir,'0(y)=cosy,dedondebastatomar'(y)=seny,yportantoF(x;y)=3yx+ex+seny.As,lasoluciondelaE.D.vienedada,implcitamente,por3yx+ex+seny=C.(Notesequealintegrar'0(y)=cosynohacefaltaponerlaconstantedeintegracion'(y)=seny+C1yaque,enesecaso,unadelasdosconstantesdelasolucion3yx+ex+seny+C1=Cseraclaramentesuper\rua.)
16MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
APARTADO40:Reduciblesaexactas:Factoresintegrantes.SitenemosunaecuacionP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0quenoesexacta,unaideaparaintentarresolverlaseratratardeencontraralgunafuncion(x;y)noidenticamentenulatalque(x;y)P(x;y)dx+(x;y)Q(x;y)dy=0seaexacta.Comoestaecuacionesequivalentealadepartida,sussolucionesylasdeP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0seranlasmismas.Desgraciadamente,nohayningunprocedimientogeneralquepermitaencontrarfactoresintegrantes.Sinembargo,squeesposiblehacerlo,ydemanerasencilla,endoscasos:40:1:Existenciadefactorintegrantedelaforma(x).Queremosque(x)P(x;y)dx+(x)Q(x;y)dy=0seaexacta,estoes,@
@y((x)P(x;y))[email protected]
@x((x)Q(x;y)):Derivando,(x)Py(x;y)=0(x)Q(x;y)+(x)Qx(x;y),osea,(x)(Py(x;y)Qx(x;y))=0(x)Q(x;y).Paraqueestotengasentido,0(x)
(x)=Py(x;y)Qx(x;y)
Q(x;y)tienequeresultarserunafuncionquedependaexclusivamentedex,quedenotamosh(x).Cuandoesteeselcaso,esclaroquelafuncionquesatisfacelarelacionanteriores(x)=expZh(x)dx;conlocualhemosencontradoelfactorintegrantebuscado.40:2:Existenciadefactorintegrantedelaforma(y)[email protected]
@y((y)P(x;y))[email protected]
@x((y)Q(x;y)),esdecir,0(y)P+(y)Py=(y)Qx,yportanto0(y)
(y)=QxPy
P,quetienequeserfuncionsolodey,quedenotamosh(y).Enestascondiciones,elfactorintegrantees(y)=exp(Rh(y)dy).40:3:Apartedeloscasosanteriormentetratados,paraalgunostiposdeproblemassepuedeintentarencontrarfactoresintegrantesimponiendoa(x;y)condicionesrestrictivasdemuydiversotipo.Porejemplo,exigiendoqueseadelaforma(x;y)=x y con y constantesadeterminar,quesea(x+y),o(xy),etc.Paraestudiarestoscasos,[email protected]
@y(P)[email protected]
@x(Q)eintentarresolverlanuevaecuacionqueaparece,teniendoencuenta,sobretodo,sitienesentido.Porsergeneralmenteprocedimientosbastanteparticulares,nocomentaremosaqunadamassobreellos.
E.D.explcitasdeprimerorden17
RECETA40:Reduciblesaexactas:Factoresintegrantes.SiP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0noesexacta,podemosintentarencontrar(x;y)talque(x;y)P(x;y)dx+(x;y)Q(x;y)dy=0seaexacta.40:1:Existenciadefactorintegrantedelaforma(x).OcurrecuandoPyQx
Q=h(x),tomandose(x)=exp(Rh(x)dx).40:2:Existenciadefactorintegrantedelaforma(y).OcurrecuandoQxPy
P=h(y),tomandose(y)=exp(Rh(y)dy).40:3:Otrasexpresionesrestrictivaspara(x;y).
Ejemplo40:Resolver(2x2+y)dx+(x2yx)dy=0:Enestecaso,P(x;y)=2x2+yyQ(x;y)=x2yx.EstaecuacionnoesexactayaquePy=1yQx=2xy1.ParaintentarencontrarunfactorintegrantesecalculaPyQx
Q=1(2xy1)
x2yx=2(1xy)
x(1xy)=2
x:Yaqueseobtieneunaexpresionquedependesolodex,podemosasegurarqueexisteunfactorintegrantedadoporlaformula(x)=exp(R2
xdx)=x2.Entonces,simultiplicamoslaE.D.por(x)=x2seobtienelaecuacionexacta(2+yx2)dx+(yx1)dy=0.Porelmetodousual,encontramosquelafuncionFtalqueFx=2+yx2yFy=yx1esF(x;y)=2xyx1+1
2y2.Portanto,lasoluciondelaE.D.exacta,ytambiendeladepartida,resultaser2xyx1+1
2y2=C.APARTADO5:Ecuacioneslinealesdeprimerorden.Dadalaecuaciony0+a(x)y=b(x);vamosaexplicarcomoresolverlaportresmetodosdistintos:(i)Encontrarunfactorintegrantedelaforma(x).Paraello,silaponemosenlaforma(a(x)yb(x))dx+dy=0ydenotamosP(x;y)=a(x)yb(x)yQ(x;y)=1,setienePyQx
Q=a(x).Portanto,segunhemosvistoanteriormente,laE.D.tieneelfactorintegrante(x)=exp(Ra(x)dx).As,multiplicandopor(x),laecuacionexpZa(x)dx(a(x)yb(x))dx+expZa(x)dxdy=0
18MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
tienequeserexacta.Ahora,bastaraencontrarlafuncionpotencialFconloquelaecuacionanteriorpodraponersedF=0ysusolucionseraF(x;y)=C.BusquemosF:ComoFy=exp(Ra(x)dx),tendremosF=yexp(Ra(x)dx)+'(x).Porotraparte,derivandoestaFrespectodexyusandoqueFx=exp(Ra(x)dx)(a(x)yb(x))llegamosaFx=yexpZa(x)dxa(x)+'0(x)=expZa(x)dx(a(x)yb(x));dedondeb(x)exp(Ra(x)dx)='0(x).Integrando,'(x)=Rb(x)exp(Ra(x)dx)dx,luegoF=yexp(Ra(x)dx)Rb(x)exp(Ra(x)dx)dxylasoluciondelaecuacionexacta(ydelalinealdepartida)es,expresadaenformaimplcita,yexpZa(x)dxZb(x)expZa(x)dxdx=C:Sinmasquedespejary,tenemosquelasoluciondelaecuacionlinealresultasery=expZa(x)dxZb(x)expZa(x)dxdx+C:(ii)Unsegundometododeresolucionsebasaenresolverpreviamentelaecuacionlinealhomogeneaasociaday0+a(x)y=0.Estaecuacionesdevariablesseparadas,puespuedeponersedy
y=a(x)dx;susolucionesy=Cexp(Ra(x)dx).Apliquemosahoraelmetododevariaciondelasconstantes,estoes,consideremosy=C(x)expZa(x)dxyvamosavercomodebeserC(x)paraqueseveri quey0+a(x)y=b(x).Derivando,y0=C0(x)exp(Ra(x)dx)C(x)a(x)exp(Ra(x)dx)y,sustituyendoenlaecuacionlineal,C0(x)expZa(x)dxC(x)a(x)expZa(x)dx+a(x)C(x)expZa(x)dx=b(x):Dosdelossumandosanterioressecancelan,dedondeC0(x)=b(x)exp(Ra(x)dx)e,integrando,C(x)=Zb(x)expZa(x)dx+C:As,hemosllegadoalamismaexpresionparalassolucionesquelaqueencontramosporelmetodoanterior.
E.D.explcitasdeprimerorden19
(iii)Eltercerprocedimientoderesolucionpartedesuponerquehemosencontrado,dealgunaforma,unasolucionparticularyp(x)delaE.D.lineal.Entonces,lasoluciongeneraldelalinealesypmaslasoluciongeneraldelalinealhomogeneaasociada,esdecir,y=yp+CexpZa(x)dxessolucionparatodoC2R.Lajusti caciondeestehechoessencilla.Enefecto,bastacomprobarque,siypessoluciondey0+a(x)y=b(x)yyloesdey0+a(x)y=0,entoncesy+ypessoluciondey0+a(x)y=b(x),locualesclaramentecierto:(y+yp)0+a(x)(y+yp)=(y0+a(x)y)+(y0p+a(x)yp)=0+b(x)=b(x):(iv)Elultimometododeresoluciondeecuacioneslinealesquedescribimosconsisteenefectuarunadescomposiciony(x)=u(x)v(x)adecuada.Tomandoydeesaforma,siderivamos,y0=u0v+uv0,conlocual,alsustituirenlaecuacion,u0v+uv0+a(x)uv=b(x).Sacandoufactorcomun,podemosescribirlaexpresionanteriorcomou0v+(v0+a(x)v)u=b(x).Vamosahoraaelegirvdetalformaqueseanuleelcoe cientedeu,esdecir,quesatisfagav0+a(x)v=0.EstaesunaE.D.envariablesseparadas;resolviendola,v0
v=a(x),conlocualbastatomarlogv=Ra(x)dx,esdecir,v(x)=expZa(x)dx:Conv(x)esafuncion,laecuacionquedaahorau0v=b(x),dedondeu0=b(x)v1,esdecir,u0(x)=b(x)exp(Ra(x)dx).Integrando,u(x)=Zb(x)expZa(x)dxdx+C:Sinmasquerecomponery=u(x)v(x),conesteprocedimientodenuevoencontramoslamismaexpresionparalassolucionesdelaE.D.linealdepartida.Paraconcluir,comentemosunavezmasquenohacefaltarecordarlaformulaquehemosobtenidoparalassolucionesdelaecuacionlineal,sinoquebastaseguirencadaproblemaalgunodelosprocesosdescritos.Generalmente,enopiniondelqueescribe,losquesuelenconduciralasolucionporunprocedimientomascortosuelenserelsegundoyelcuarto.Eltercerotiene,sobretodo,granimportanciateorica.Ademas,merecelapenadestacarqueelsegundoyeltercerotienensuparalelismoalahoraderesolverecuacioneslinealesdeordensuperior(comoveremosmasadelante),mientrasquelosotrosdossoloseaplicanalasdeprimerorden.Ejemplo5:Resolver2xy03y=4x2porloscuatrometodosdescritos.
20MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
RECETA5:Ecuacioneslinealesdeprimerorden.Sondelaformay0+a(x)y=b(x):Haytresmetodosderesolucion:(i)Encontrarunfactorintegrantedelaforma(x).(ii)Resolverlaecuacionlinealhomogeneaasociaday0+a(x)y=0(queesdevariablesseparadas),cuyasolucionesy=Cexp(Ra(x)dx),yusarelmetododevariaciondelasconstantes(estoes,cambiarCporC(x)enlaexpresionanteriorysustituirenlaecuacionlineal).(iii)Encontrardealgunaformaunasolucionparticularyp(x),conlocuallasoluciongeneraldelalinealesypmaslasoluciongeneraldelahomogeneaasociada.(iv)Descomponery(x)=u(x)v(x),sustituirenlalineal,eigualara0elcoe cientedeu,resolviendolaecuacionqueaparece(v0+a(x)v=0,queesdevariablesseparadas);trasesto,quedaunaecuacionenu(x)devariablesseparadas.DecualquiermodoseobtienequelasoluciongeneraldelaE.D.linealesy=expZa(x)dxZb(x)expZa(x)dxdx+C:
(i)Tenemoslaecuacionlinealy03
2xy=2x,esdecir,dy=(3
2xy+2x)dx,queesdelaformaPdx+Qdy=0conP(x;y)=3
2xy2xyQ(x;y)=1.ComoPyQx
Q=3=(2x)0
1=3
2x,existeelfactorintegrante(x)=exp(R3
2xdx)=x3=2.As,laecuacion(3
2x5=2y2x1=2)dx+x3=2dy=0esexacta.LafuncionpotencialFdebecumplirFy=x3=2,luegoF=x3=2y+'(x).Porotraparte,Fx=3
2x5=2y2x1=2=3
2x5=2y+'0(x),dedonde'(x)=2Rx1=2dx=4x1=2.Portanto,F(x;y)=x3=2y4x1=2,ylasoluciondelaE.D.esx3=2y4x1=2=C,oseay=Cx3=2+4x2,C2R.(ii)Lalinealhomogeneaasociadaesy03
2xy=0.Podemosponerlacomody
y=3dx
2x,devariablesseparadas,cuyasolucioneslogy=3
2logx+K,esdecir,y=Cx3=2.Empleemosahoraelmetododevariaciondelasconstantes,paralocualtomamosy=C(x)x3=2.Derivando,y0=C0(x)x3=2+3
2C(x)x1=2y,sustituyendoenE.D.departida,2x(C0(x)x3=2+3
2C(x)x1=2)3C(x)x3=2=4x2,estoes,C0(x)=2x1=2.Integrando,C(x)=4x1=2+K1luegolasoluciondelalinealesy=(4x1=2+K1)x3=2.SiempleamosdenuevoCparadenotarlaconstante,y=Cx3=2+4x2,lamismaexpresionquehemosencontradoen(i).(iii)Primero,tratemosdehallarunasolucionparticulardelaecuacionlineal.Lomas
E.D.explcitasdeprimerorden21
sencilloesintentarprobarsiexistealgunasolucionpolinomica.Estosoloseraposibleconunpolinomiodesegundogrado,puesenotrocasonopodrancancelarsenuncatodoslossumandos.Portanto,vamosatantearconpolinomiosdelaformay=ax2+bx+c.Derivando,y0=2ax+by,sustituyendoenlaecuacion,2x(2ax+b)3(ax2+bx+c)=4x2.Siigualamoslosterminosdelmismogradoencontramosqueestosecumplecona=4,b=c=0.Aspues,unasolucionparticulardelalinealesy=4x2.Porotraparte,ytalcomoyahemoscalculadoen(ii),lasoluciongeneraldelahomogeneaasociadaesy=Cx3=2.Ende nitiva,denuevotenemosquelasoluciongeneraldelalinealesy=Cx3=2+4x2.(iv)Pararesolverlaecuacionlineal,descomponemosy=u(x)v(x),dedondey0=u0v+uv0.Sustituyendo,2x(u0v+uv0)3uv=4x2,esdecir,2xu0v+(2xv03v)u=4x2.Siigualamosa0elcoe cientedeuqueda2xv03v=0,oseav0
v=3
2x;integrando,logv=3
2logx,luegov=x3=2.Conesto,laecuacionqueda2xu0x3=2=4x2,esdecir,u0=2x1=2,cuyasolucionesu=4x1=2+C.Sinmasquerecomponery=uvobtenemosy=(4x1=2+C)x3=2,lamismasolucionparalalinealqueconlosotrostresmetodos.APARTADO50:EcuaciondeBernoulli.Consideremosy0+a(x)y+b(x)y =0:Esclaroque,si =0,laE.D.anterioreslinealy,si =1,esdevariablesseparadas.Enotrocaso,veamoscomoresolverla:Efectuemoselcambiodefunciony1 =z,paraelcual(1 )y y0=z0,esdecir,1
y y0=z0
1 .Sustituyendoen1
y y0+a(x)y1 +b(x)=0tenemosz0
1 +a(x)z+b(x)=0,conloquehemostransformadolaecuaciondeBernoullienlaE.D.linealz0+(1 )a(x)z=( 1)b(x).Puedeseguirseunsegundometododeresolucionsinmasqueaplicarunprocedimientoanalogoalultimodelosquehemosvistoparaecuacioneslineales.Partimosdeladescoposiciony(x)=u(x)v(x).Derivando,y0=u0v+uv0y,sustituyendoenlaE.D.,u0v+uv0+a(x)uv+b(x)u v =0,queescribimoscomou0v+(v0+a(x)v)u+b(x)u v =0.Ahora,igualamosa0elcoe cientedeu,conlocualtenemosv0+a(x)v=0,queesunaecuacionenv(x)devariablesseparadas;resolviendoladeterminamosv(x).Conestav,laecuaciondelaquepartamoshaquedadou0v+b(x)u v =0,queesunaecuacionenu(x)devariablesseparadas.Resolviendolaencontramosu(x),conloqueyatenemoscompletamentesolucionadalaecuaciondeBernoulli.Ejemplo50:Resolverxy0+2y+x5y3ex=0:Puestaenlaformay0+2
xy+x4y3ex=0,esclaroquelaecuacionesdeBernoullicon =3.Hacemoselcambiodefunciony2=z,paraelcualz0=2y3y0,esdecir,
22MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
RECETA50:EcuaciondeBernoulli.Esdelaformay0+a(x)y+b(x)y =0:Si =0eslineal,ysi =1,devariablesseparadas.Enotrocaso,sehaceelcambiodefunciony1 =z,conloquelaE.D.deBernoullisetransformaenunalineal.Unsegundometododeresolucioneselsiguiente:sedescomponey(x)=u(x)v(x)ysesustituyeenlaE.D.,seigualaa0elcoe cientedeu(quedav0+a(x)v=0,queesdevariablesseparadas),loquenosllevaadeterminarv,apareciendoahoraunaecuacionenu(x)devariablesseparadas.
y0
y3=z0
2.Sisustituimosestoeny0
y3+2
xy2+x4ex=0quedaz04
xz=2x4ex,queeslinealcona(x)=4
xyb(x)=2x4ex.Talcomosabemos,lasoluciondelaecuacionlinealesz=expRa(x)dxRb(x)expRa(x)dxdx+C:ComoRa(x)dx=R4
xdx=4logx=logx4,sesiguez=x4(R2x4ex
x4dx+C)=x4(2ex+C).Portanto,lasoluciondelaE.D.deBernoulliesy2=x4(2ex+C),esdecir,y=x2(2ex+C)1=2.Resolvamosahoralaecuacionporelsegundoprocedimientoexplicado.Tomamosy=uv,luegoy0=u0v+uv0;sustituyendo,x(u0v+uv0)+2uv+x5u3v3ex=0,esdecir,xu0v+(xv0+2v)u+x5u3v3ex=0.Elijamosvtalquexv0+2v=0,estoes,dv
v=2dx
x,locualseconsigueconlogv=2logx,osea,v=x2.As,tenemoslanuevaecuacionxu0+x5u3x6ex=0,quepuedeescribirsecomodu
u3=exdx.Susoluciones1
2u2=ex+C=2,esdecir,u=(2ex+C)1=2.Contodoesto,lasoluciondelaecuaciondeBernoullidelaquepartamosesy=x2(2ex+C)1=2.Logicamente,hemosobtenidolamismaquemedianteelprimermetodo.APARTADO500:EcuaciondeRiccati.SupongamosquetenemoslaE.D.y0+a(x)y+b(x)y2=c(x):Pararesolverla,tenemosquehaberencontradopreviamenteunasolucionparticularyp(x).Siesteeselcaso,efectuamoselcambiodefunciony=yp+z,conlocualy0=y0p+z0y,sustituyendo,y0p+z0+a(x)(yp+z)+b(x)(y2p+2ypz+z2)=c(x).Comoy0p+a(x)yp+b(x)y2p=c(x)porserypsolucionparticular,esaexpresionquedaz0+a(x)z+b(x)z2+2b(x)zyp=0,
E.D.explcitasdeprimerorden23
esdecir,z0+[a(x)+2b(x)yp(x)]z+b(x)z2=0,queesunaE.D.deBernoullicon =2.(Noteseahoraque,comoelcambioz=u1enladeBernoullireduciraestaaunalineal,elcambiodirectoy=yp+1
utransformalaecuaciondeRiccatienunalinealdeunsolopaso.)ExistendiversosresultadosinteresantessobrelaecuaciondeRiccati.Porejemplo,siseconocendossolucionesy1ey2suyas,elcambiodefunciony=y1vy2
1vllevaaquesepuedaresolverlaecuacionconunasolacuadratura:v=Cexp(Rb(x)(y2(x)y1(x))dx).Perodesafortunadamente,nohayningunprocedimientogeneralquepermitaobteneralgunasolucionparticular,porloquemuchasveceslasE.D.deRiccatinoresultanintegrablesenterminosdefuncioneselementales.Aesterespecto,resultaapropiadocitarlaecuacionespecialdeRiccatiy0+by2=cxmconb;c2Rnf0g;sesabequepuederesolverseenterminos nitossiysolosim=2om=4k
2k+1paraalgunenterok.
RECETA500:EcuaciondeRiccati.Esdelaformay0+a(x)y+b(x)y2=c(x):Elmetodorequierehaberencontradopreviamenteunasolucionparti-cularyp(x).Siesteeselcaso,haciendoelcambiodefunciony=yp+z,laE.D.deRiccatisereduceaunadeBernoullicon =2.
Ejemplo500:Resolvery0+y2=x22x:Unprimervistazoalaecuacionnosinduceapensarque,posiblemente,tengacomosolucionunpolinomiodeprimergradoy=ax+b.Sustituyendo,a+(ax+b)2=x22x,loque,efectivamente,sesatisfaceparaa=1yb=1.Portanto,unasolucionparticularesyp=x+1.Siefectuamoselcambiodevariabley=x+1+z(luegoy0=1+z0)ysustituimosenlaE.D.,obtenemos,trassimpli car,z0+(22x)z+z2=0,ecuaciondeBernoullicon =2.Haciendoelcambioz=u1(dedondeu0=1
z2z0),alsustituiren1
z2z0+2x2
z1=0apareceu0+(2x2)u=1,queesunaE.D.linealcona(x)=2x2yb(x)=1.Lasoluciondeestaultimaesu=expR(22x)dxZexpR(2x2)dxdx+C=e2xx2Zex22xdx+C:Deshaciendoloscambios,u=1
z=1
y+x1,luego1
y+x1=e2xx2Zex22xdx+C
24MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
eslasoluciondelaE.D.deRiccati.(Deaqupuededespejarseysisedesea,obteniendoselasolucionexplcitamente,perolaintegralqueaparecenopuederesolverseenterminosdefuncioneselementales.)APARTADO6:Sustituciones.SupongamosquetenemoslaE.D.y0=f(x;y)quetieneunaspectodiferenteacualquieradelasqueyasehanestudiado.Enocasionespuedeocurrirque,sustituyendounapartedelaecuacionporunanuevavariable,laE.D.aparentementedifcildelaquepartamossetransformeenunaquepuederesolverseconfacilidad.Estoes,enesencia,encontraruncambiodevariablesinteligente.Aunquenopuedendarsereglas jassobrequesustitucionesusar,siesquehayalgunasustitucionposible,valelapenaintentaralgocuandonosenosocurreotrocamino.Muchasveces,unasustitucionmuysimplepuedesersu ciente.
RECETA6:Sustituciones.CuandotenemosunaE.D.y0=f(x;y)quenorespondeaalgunodelostiposestudiadoshastaahora,avecesunasustitucion(enesencia,uncambiodevariable)masomenosingeniosatransformalaecuacionenunareconocible.Logicamente,nopuededarseunareglageneralpero,entodocaso,merecelapenaintentaralgo.
Ejemplo6:Resolverxdy
dxy=2x3
yey=x:Laecuacionnoesseparable,nihomogenea,niexacta,niadmitefactoresintegrantes(x)o(y),ni, nalmente,eslineal,deBernoulliodeRiccati.Sinembargo,silaponemosenlaformaxy0y
x2=2x
yey=x,nosdamoscuentarapidamentequeladerivadadelexponentey=xeselprimermiembroy0xy
x2.As,alefectuarelcambiodefunciondadoporlasustitucionu=y
x,laecuacionquedatransformadaenu0=2u1eu,esdecir,ueudu=2dx,ecuacionenvariablesseparadas.Integrandoporpartesresultaueueu+C=2x,dedondeu+1=(C2x)eu.Volviendoalasvariablesiniciales,y
x+1=(C2x)ey=x,yportantolasoluciondelaE.D.departidaes,expresadaenformaimplcita,y+x=x(C2x)ey=x.
ECUACIONESENLASQUELADERIVADAAPARECEIMPLICITAMENTESonlasquetienenlaformaF(x;y;y0)=0:APARTADO7:Falgebraicaeny0degradon.Supongamosquetenemos(y0)n+a1(x;y)(y0)n1++an1(x;y)y0+an(x;y)=0:Sipensamosenlaexpresionanteriorcomoenunpolinomioeny0degradonigualadoacero,ylogramosresolverlaexpresionalgebraica,obtenemoslasracesy0=fi(x;y),i=1;2;:::;n.Esdecir,(y0f1(x;y))(y0f2(x;y))(y0fn(x;y))=0:Porlotanto,lassolucionesdelaE.D.departidaseranlasdecadaunadelasnuevasecuacionesdiferencialesy0fi(x;y)=0,i=1;2;:::;n,quehabraqueresolver.Deestaformaobtenemosnfamiliasuniparametricasdesoluciones.
RECETA7:Falgebraicaeny0degradon.Tenemos(y0)n+a1(x;y)(y0)n1++an1(x;y)y0+an(x;y)=0:Resolviendolocomounpolinomioeny0degradonigualadoaceroobtenemos(y0f1(x;y))(y0f2(x;y))(y0fn(x;y))=0:Portanto,lassolucionesdelaE.D.departidaseranlassolucionesdecadaunadelasecuacionesy0fi(x;y)=0,i=1;2;:::;n.
25
26MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
Ejemplo7:Resolvery2((y0)2+1)=1:Despejando(y0)2queda(y0)2=1y2
y2,cuyassolucionesalgebraicassony0=p
1y2
y.Vamosaresolverestasdosnuevasecuacionesdiferencialesalavez(ambassondevariablesseparadas).Silasponemoscomoydy
p
1y2=dx,integrando,p
1y2=x+C.Sielevamosalcuadradoambosterminos,podemosexpresarconjuntamentelasdosfamiliasdesolucionescomo1y2=(x+C)2,esdecir,(x+C)2+y2=1,quesonlascircunferenciasconcentroenelejexyradio1.Porultimo,esevidentequey=1ey=1tambiensonsolucionesdelaE.D.,aunquenoseencuentranentrelasqueacabamosdehallar.Siatendemosalainterpretaciongeometricadelasecuacionesdiferenciales,eslogicoqueestasdosrectasseansoluciones,yaquesonlasenvolventesdelafamiliadecircunferenciasquesatisfacenlaE.D.Obtenciondelaenvolventedeunafamiliadecurvas.Recordemosqueesunaenvolvente:Dadaunafamiliauniparametricadecurvasf' g 2Aenelplano,laenvolventedelafamiliaesunanuevacurva'talque,encadapuntodecontactode'conalgunadelas' ,latangentede'yde' eslamisma.SupongamosenprimerlugarquetenemosunafamiliadecurvasexpresadasimplcitamentecomoF(x;y;C)=0(esdecir,paracadavalordelparametroCapareceunacurvadelafamilia).LasenvolventesseobtieneneliminandoCdelsistema(F(x;y;C)=0FC(x;y;C)=0;dondeconFChemosdenotadoladerivadaparcialdeFrespectoaC.Enelcasodelascircunferenciasdelejemploanteriortendramos((x+C)2+y2=12(x+C)=0:Despejandoenlasegundaecuacion,x=Cy,sustituyendoenlaprimera,y2=1.Esdecir,lasenvolventessonlasrectasy=1.Ensegundolugar,supongamosquetenemoslafamiliadecurvasenparametricas(x=x(t;C)y=y(t;C):LasenvolventesseobtienendespejandoC=C(t)eneljacobianoigualadoacerodetxCyCxtyt=0
E.D.enlasqueladerivadaapareceimplcitamente27
ysustituyendoenlasecuacionesparametricas.Realmente,conestosprocedimientosnosoloaparecenlasenvolventes,sinotambienloslugaresgeometricosdepuntossingulares,yaseadepuntosderetroceso,depuntosdein\rexionodecuspides.(Enlospuntosderetrocesonohayvectortangente,ysurgenenelprocesoanteriorseacualsealaparametrizaciondelascurvas;encambio,lospuntosdein\rexionylascuspidespuedenapareceronosegunsealaparametrizacionusada.Porejemplo,nuncasurgenalusarelparametroarco.Porestarazon,alosprimerosselesllamapuntossingularesesencialesy,alosotros,puntossingularesevitables.)Entodocaso,despuesdeaplicarestosmetodos,hayquecomprobarsiemprequeesloquehemosencontrado.APARTADO8:Ecuaciondelaformay=f(x;y0).Comoprocedimientogeneralparaintentarresolverestetipodeecuaciones,tomamosy0=pyderivamosy=f(x;y0)respectodex,conlocualtenemosp=y0=fx+fy0dy0
dx=fx(x;p)+fy0(x;p)p0:(Quizasresultemassencillointerpretarestocomoquederivamosy=f(x;p)respectodex,obteniendosedirectamentep=fx+fpp0.)Cuandoftienelaformaadecuada,lanuevaecuacionp=fx(x;p)+fp(x;p)p0quehemosencontradopuedeserdealgunodelostiposyaestudiados.Siesteeselcaso,laresolvemos,obteniendosusolucionx=(p;C).Entonces,lasoluciondelaE.D.departidasera(x=(p;C)y=f((p;C);p);expresadocomounafamiliadecurvasenparametricas.Puederesultarextra~nopensarqueelparametropvaleprecisamentedy
dx;peroestonoimportaenabsoluto,sinoquepuedeconsiderarseunasimplecuriosidad.Sinembargo,nosiempreocurre,paraunafuncionfgenerica,queelprocesoanteriorconduzcaaunaecuacionreconocible.Estosquesucedeenlostrescasosqueestudiamosacontinuacion:8:1:Ecuaciony=f(y0):Enestecaso,comof(x;y0)=f(y0),setienefx(x;p)=0,luegoconelprocesodescritohabremosobtenidolaecuacionp=fp(p)p0o,loqueeslomismo,p=f0(p)p0.Sip=0,estolopodemosponercomodx=f0(p)
pdp,queesdevariablesseparadas.Integrandola,x=Rf0(p)
pdp=(p)+C,ylassolucionesdey=f(y0)seranlascurvas(x=(p)+Cy=f(p):
28MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
Notar,alavistadesurepresentacionparametrica,quetodasellastienenlamismaforma:sediferencianunicamenteenundesplazamientohorizontal.Apartirdep=0obtenemoslasolucionconstantey=f(0)(alsustituirenlaecuacionquedaf(0)=f(0)).Gra camente,estoesunarectaenvolventedelasdemassoluciones.8:2:EcuaciondeLagrange:y+x'(y0)+ (y0)=0:Siponemosy0=pyderivamosrespectodexquedap+'(p)+x'0(p)dp
dx+ 0(p)dp
dx=0que,silopreferimos,podemosescribircomo(p+'(p))dx+x'0(p)dp+ 0(p)dp=0.Supongamosenprimerlugarquep+'(p)=0.Entonces,podemosdividirporp+'(p),conloquenosaparecelaecuacionlinealdx
dp+'0(p)
p+'(p)x+ 0(p)
p+'(p)=0enlaquexactuacomofuncionypcomovariable.Silaresolvemos,obtendremoscomosolucionx=(p;C).Conesto,habremosencontradoparalaE.D.deLagrangelassoluciones(x=(p;C)y=(p;C)'(p) (p)enformadefamiliadecurvasparametricas.Supongamosahoraqueexistealgunparaelcual+'()=0.Formalmente,tomamosy0=y,sustituyendoenlaE.D.,y+x'()+ ()=0,esdecir,y=x ().Estarectaes,efectivamente,soluciondelaecuaciondeLagrange,sinmasquecomprobarquelasatisface:x ()+x'()+ ()=0pues+'()=0.Estasrectasdecimosquesonlassolucionessingularesdelaecuacion.Ademas,recprocamente,vamosaverquesiy=x ()essoluciondelaE.D.,entoncessecumpleque+'()=0.Paraello,nohaymasqueutilizarquey=x ()satisfacelaecuacion,conlocualdeberacumplirse0=x ()+x'()+ ()=(+'())x,luego+'()=0.8:3:EcuaciondeClairaut:yxy0+ (y0)=0:EsteesuncasoparticulardeecuaciondeLagrangecon'(y0)=y0.Aqu,como'()+=0paratodo2R,noexistenlassolucionesque,enlaecuaciondeLagrange,encontrabamosporelmetodogeneral;soloaparecenrectas.Enrealidad,tenemosahoracomosolucionesdelaE.D.todalafamiliaderectasy=x (),2R.
E.D.enlasqueladerivadaapareceimplcitamente29
Vamosaverque,ademas,existeunasolucionsingular,laenvolventedeestehazderectas.Paraello,planteamoselsistema(y=x ()0=x 0()enelquelasegundaecuacioneslaprimeraderivadarespectoalparametro.Paraencontrarexplcitamentelaenvolventehabraquedespejarenunadelasdosecuacionesysustituirenlaotra,locualnosiempreesposible.Peropodemosdejarsuecuacionparametricaque,obviamente,sera(x= 0()y= 0() ():Apartedelaconsideraciongeometricadequelasrectasnotienenpuntosderetroceso,cuspidesopuntosdein\rexion,realmentepodemosgarantizarqueestacurvaesunaenvolventeynounlugargeometricodepuntossingulares.Enefecto,encadapunto(x();y())delacurva,estaintersecaprecisamentealarectay=x ()delhaz;ylapendientedeesarectaenelpuntodeinterseccion(yencualquierotro,dehecho),quees,coincideconladelacurva:dy
dx=dy=d
dx=d= 0()+ 00() 0()
00()=:Depaso,estosigni caquelassolucionesrectassonlastangentesdelasolucionsingular.Realmente,podemoshallarlassolucionesdelaecuaciondeClairautsinnecesidaddesaberqueesuncasoparticulardelaecuaciondeLagrangecuyassolucionessonrectasysuenvolvente.Paraello,tomamosy0=penlaE.D.yderivamoslaexpresionyxp+ (p)=0respectodex,obteniendoppxp0+ 0(p)p0=0,esdecir,(x+ 0(p))p0=0.Deaqu,p0=0o 0(p)=x.Enprimerlugar,sisuponemosd2y
dx2=p0=0,tendremosdy
dx=p=constante;sustituyendoenlaE.D.encontramoslafamiliadesolucionesrectasy=x (),2R.Ensegundolugar,sisuponemos 0(p)=x,encontramoslasoluciondadaparametricamentepor(x= 0(p)y=p 0(p) (p)(donde,anecdoticamente,elparametropcoincideconp=dy
dx);estaeslasolucionsingular,laenvolventedelhazderectas.Ejemplo8:1:Resolvery=(y0)2+2(y0)3:Tomandoy0=ppodemosponery=p2+2p3.Derivandorespectodextenemosy0=p=2pp0+6p2p0=(2p+6p2)p0,esdecir,p=(2+6p)pp0.Parap=0,simpli camos
30MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
RECETA8:Ecuaciondelaformay=f(x;y0).Engeneral,setomay0=pysederivalaecuaciony=f(x;y0)respectodex.Siftienelaformaadecuada,alanuevaE.D.selepuedeaplicaralgunodelosmetodosyaestudiados,procediendoseasasuresolucion.8:1:Cuandoy=f(y0);laecuacionqueseobtienemedianteelprocesoanterioresdevariablesseparadas.8:2:EcuaciondeLagrange:y+x'(y0)+ (y0)=0:Sereduceaunaecuacionlinealconxcomofuncionypcomovariable.Ademas,paralostalesque+'()=0seobtienencomosolucioneslasrectasy=x ().8:3:EcuaciondeClairaut:yxy0+ (y0)=0:EsuncasoparticulardeecuaciondeLagrangeenelquesoloaparecenrectas(ysuenvolvente).
porp,conloque1=(2+6p)p0,esdecir,dx=(2+6p)dp.Integrando,obtenemoscomosolucionlafamiliadecurvasparametricas(x=2p+3p2+Cy=p2+2p3:Ademas,apartirdep=0setienelasolucionsingulary=0.Paraconcluirelejemplo,vamosaverqueobtenemossiintentamosencontrarlaenvolventedelafamiliadecurvasparametricasanteriores.Setienedet102+6p2p+6p2=p(2+6p)=0()p=0op=1
3:Conp=0obtenemoslarectay=0que,efectivamente,essoluciondelaE.D.:eslaenvolventedelasotrassoluciones.Peroconp=1
3aparecelarectay=1
27que,claramente,noessolucion.Enrealidad,enunpunto(x;y)decualquieradelascurvas,elvectortangentees(_x;_y)=(dx
dt;dy
dt)=(2+6p;2p+6p2).As,cuandop=0tenemoselvectortangente(_x;_y)=(2;0);perocuandop=1
3elvectortangentees(_x;_y)=(0;0),esdecir,nohayvectortangente.Estoquieredecirquelarectay=1
27esellugargeometricodelospuntosderetrocesodelafamiliadecurvassolucion.
E.D.enlasqueladerivadaapareceimplcitamente31
Ejemplo8:2:Resolvery=x+y03(y0)2:NosencontramosanteunaecuaciondeLagrangey+x'(y0)+ (y0)=0con'(y0)=1y (y0)=y0+3(y0)2.Pararesolverla,tomamosp=y0y,derivandolaE.D.respectodex,tenemosp=1+p06pp0,esdecir,(p1)dx=(16p)dp.Parap=1podemosponerdx=16p
p1dp=(65
p1)dp,ecuaciondevariablesseparadas.(Fijarseque,aldescribirelproceso,hemosdichoquetenaquesaliraquunaecuacionlineal;porcasualidad,loquenoshaaparecidoesunalinealhomogenea,quesiempreesunaE.D.devariablesseparadas.)Integrandola,x=6p5log(p1)+C.Sustituyendoestoyy0=penlaexpresiony=x+y03(y0)2queday=6p5log(p1)+C+p3p2=5p3p25log(p1)+C.Aspues,lascurvasparametricas(x=6p5log(p1)+Cy=5p3p25log(p1)+CsonsolucionesdelaecuaciondeLagrangedelaquepartamos.Ademasdeestas,apartirdep=1seobtiene,sinmasquesustituirliteralmenteeny=x+p3p2,lasolucionsingulardadaporlarectay=x2.Ejemplo8:3:Resolvery=y0x2(y0)2:EstamosanteunaecuaciondeClairautyxy0+ (y0)=0con (y0)=2(y0)2.Hemosdemostradoque,sinmasquetomary0=,lasrectasy=x22sonsoluciondelaE.D.paracada2R.Calculemossuenvolvente:enelsistema(y=x220=x4(recordarquelasegundaecuacionseobtienederivandolaprimerarespectoalparametro)despejamos=x
4enlasegundaecuaciony,sustituyendoenlaprimera,encontramosquelaenvolventeeslaparabolay=x2
8.Porotraparte,sihubieramosintentadoresolverlaE.D.directamente,sinutilizarloquehemosdemostradopreviamente,tendramosquetomary0=p,conlocualy=px2p2y,derivandorespectodex,p=p0x+p4pp0,esdecir,(x4p)p0=0.Deaqu,p0=0ox=4p.Sisuponemosd2y
dx2=p0=0,tendremosdy
dx=p=constante,luego,sustituyendoenlaE.D.,hubieramosencontradocomosolucioneslasrectasy=x22,2R.Porultimo,parahallarlasolucionsingular(envolventedelasrectas),sisuponemosx=4p,tendramoslasolucionparametrica(x=4py=px2p2=4p22p2=2p2;logicamente,sinmasquedespejarpenlaprimeraexpresionysustituirenlasegunda,estacurvaeslaparabolay=x2
8.
32MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
APARTADO9:Ecuaciondelaformax=f(y;y0).Estasecuacionessonsimilaresalasqueaparecenenelapartado8peroconelpapeldexeyintercambiado.Engeneral,paraintentarresolverlas,tomamosy0=pyderivamosx=f(y;y0)(o,sisepre ereinterpretarloas,x=f(y;p))respectodey(enlugarderespectoax,comohacamosenelapartado8).Estorequieretenerunpocomasdecuidado,ademasdeusardx
dy=1
dy=dx=1
p.As,1
p=dx
dy=fy(y;p)+fp(y;p)dp
dy:Seguncomoseaf,estanuevaecuacion1
p=fy(y;p)+fp(y;p)dp
dyalaquehemosreducidolaquetenamosrespondeaalgunodelostipospreviamenteestudiados,luegopodramosresolverla.Encualquiercaso,silogramoshacerlo,obtenemossusoluciony=(p;C).Conesto,lasoluciondelaecuaciondepartidaseralafamiliadecurvasparametricas(x=f((p;C);p)y=(p;C):Peronopodemosasegurarque,paraunafuncionfcualquiera,sepamosresolverlaecuacionintermediaquenosaparece,conloquenohabraformadecontinuarelproceso.Sepuedenestudiarcasossimilaresalosdelaformay=f(x;y0)enlosquesegarantizaqueelmetodonoquedarainterrumpido.Lostrescasosquemerecelapenadistinguirsonlossiguientes:9:1:Ecuacionx=f(y0).9:2:Ecuacionx+y'(y0)+ (y0)=0.9:3:Ecuacionxy
y0+ (y0)=0.Sedejaallectorque,comoejercicio,describaelmetododeresoluciondeestostrestiposdeecuaciones.Simplementehayquededicarseamodi car,concuidado,elprocesoutilizadoenloscorrespondientestipos8.1,8.2y8.3,recordandoqueahorahayquederivarrespectodeyenlugarderespectodex.
RECETA9:Ecuaciondelaformax=f(y;y0).Engeneral,setomay0=pysederivalaecuacionx=f(y;y0)respectodey.Seguncomoseaf,lanuevaE.D.queasseobtieneesyaconocida,procediendoseasuresolucion.Sepuedenestudiarcasossimilaresalosdelaformay=f(x;y0).
E.D.enlasqueladerivadaapareceimplcitamente33
Ejemplo9:Resolverx=(y0)3+y0:Sitomamosdy
dx=y0=pyderivamosx=p3+prespectodeytenemos1
p=1
dy=dx=dx
dy=3p2dp
dy+dp
dy;quepodemosponercomody=(3p3+p)dp,ecuacionenvariablesseparadas.Integrandola,y=3
4p4+1
2p2+C.Porlotanto,lassolucionesdelaecuacionx=(y0)3+y0sonlafamiliadecurvasparametricas(x=p3+py=3
4p4+1
2p2+C:APARTADO10:EcuaciondelaformaF(y;y0)=0.Paraintentarencontrarsussoluciones,consideremoslacurvaF( ; )=0.Elmetododeresolucionrequierequehayamoslogradoencontrarpreviamenteunarepresentacionparametricadelacurva,estoes, ='(t)y = (t)talqueF('(t); (t))=0.Siashasido,vamosahoraaefectuarelcambiodefuncionyportmediantey='(t),teniendoencuentaquey0= (t).Entonces,derivandoy='(t)respectodextenemosy0='0(t)dt
dxque,alsery0= (t),puedeescribirsecomo (t)='0(t)dt
dx;ecuacionenvariablesseparadas.Si (t)noseanula,podemosponerdx='0(t)
(t)dte,integrando,x=R'0(t)
(t)dt+C.Comoconsecuencia,lafamiliadecurvasparametricas(x=R'0(t)
(t)dt+Cy='(t)sonsolucionesdelaE.D.departida.Siexistealgunt0paraelque (t0)=0,formalmenteefectuamoselsiguienterazonamiento:0='0(t)dt
dx,asque'0(t)=0yconsecuentemente'(t)=cte.='(t0),loquenosconduciraalasoluciony='(t0).Y,enefecto,podemoscomprobarconrigorqueestarectahorizontalessoluciondelaE.D.sinmasquesustituirenella:F(y;y0)=F('(t0);0)=F('(t0); (t0))=0.
34MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
RECETA10:EcuaciondelaformaF(y;y0)=0.ConsideramoslacurvaF( ; )=0.Siencontramosunarepresen-tacionparametrica ='(t), = (t),F('(t); (t))=0,sehaceelcambiodefuncionyportmediantey='(t),y0= (t).As,derivandoy='(t)respectodex,apareceunaecuacionenvariablesseparadas.
Ejemplo10:Resolvery2=3+(y0)2=3=1:Sitomamosy=cos3t,y0=sen3t,esclaroque(cos3t)2=3+(sen3t)2=3=1.Derivandoy=cos3ttenemosy0=3cos2tsentdt
dx,loque,usandoy0=sen3t,resultasersen3t=3cos2tsentdt
dx.Sisuponemos,enprimerlugar,sent=0,tenemosdx=3cos2t
sen2tdt=3cot2tdt.Integrandox=3Rcot2tdt=3R(1+cot2t)dt+3Rdt=3cott+3t+C.Portanto,lascurvasparametricas(x=3cott+3t+Cy=cos3tsonsolucionesdelaE.D.departida.Porultimo,paralosttalesquesen3t=0,locualocurrecuandot=k,k2Z,aparecencomosolucionessingulares,talcomojusti camosaldesarrollarelmetodo,lasrectashorizontalesy=cos3(k),esdecir,y=1ey=1.
ECUACIONESDIFERENCIALESENLASQUESEPUEDEREDUCIRELORDENSupongamosquetenemoslaE.D.F(x;y;y0;:::;y(n))=0conn�1:Alcontrariodeloqueocurraconecuacionesdeprimerorden,nohaymuchosmetodosparaencontrarsolucionesdeecuacionesdiferencialesdeordenmayorqueuno.Porejemplo,estademostradoquelaE.D.linealgeneraldeordenn�1noessolubleporcuadraturas.Squepuedenresolverselasecuacioneslinealesdeordennconcoe cientesconstantes;aunqueesteesuntemacentralenelestudiodelateoradeE.D.O.,nonosocuparemosdeelloenestasnotas.Realmente,lounicoquevamosaveraquesunaseriedemetodosquepermitenreducirelordendeunaE.D.Aplicandolos(sucesivamentesiesnecesario),podremosllegaraunaecuaciondeprimerordenque,conunpocodesuerte,seencontraraentrelasqueyasabemosresolver.APARTADO11:EcuaciondelaformaF(x;y(k);:::;y(n))=0con1kn.Tenemosunaecuacionenlaquenoaparecelavariabledependientey(yademas,sik�1,tampocosusderivadashastaelordenk1).Esevidentequeelcambioy(k)=zlaconvierteenF(x;z;:::;z(nk))=0;queesunaE.D.deordennk.Silogramosresolverla,obtenemosquesusolucionseraz=(x;C1;:::;Cnk),unafamiliadependientedenkconstantes.Entonces,alsery(k)=z,paraencontrarlassolucionesdelaecuacionoriginalbastaraconintegrarkveces(x;C1;:::;Cnk)respectodex,esdecir,y=ZZZ|
{z
}kveces(x;C1;:::;Cnk)dxdx:::dx|
{z
}kveces;locualintroduciraknuevasconstantesenlasoluciongeneral.Deestemodo,dichasoluciongeneraltendralaformay=ZZZ|
{z
}kveces(x;C1;:::;Cnk)dxdx:::dx|
{z
}kveces+Cnk+1xk++Cn1x+Cn:35
36MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
RECETA11:EcuaciondelaformaF(x;y(k);:::;y(n))=0.Medianteelcambioy(k)=zseconvierteenunaecuaciondeordennk.
Ejemplo11:Resolvery00xy000+(y000)3=0:Tomemosy00=z,conloquelaecuacionsetransformaenzxz0+(z0)3=0,queesdeClairaut.Sinmasquesustituirz0=,lassolucionesdeestasonlasrectasz=x3,2R.Ademas,tambiensonsolucionlasenvolventes.Paracalcularlas,enelsistema(z=x30=x32despejamos=p
x
3enlasegundaecuacion,conloque,sustituyendoenlaprimera,encontramoslasdosenvolventesz=2x
3p
x
3.UnavezresueltacompletamentelaecuaciondeClairaut,hallemoslassolucionesdelaoriginal:Comoy00=z,apartirdez=x3,integrandodosveces,y=ZZ(x3)dxdx=x3
63x2
2+C1x+C2:Cambiandolanotaciondelasconstantes,y=K1x3108K31x2+K2x+K3.Porultimo,dez=2x
3p
x
3obtenemosy=ZZ2
3p
3x3=2dxdx=Z2
3p
3x5=2
5=2+C1dx=4
15p
3x7=2
7=2+C1x+C2:Esdecir,lasdosfamiliasdecurvasy=8x3
105p
x
3+C1x+C2yy=8x3
105p
x
3+C1x+C2.APARTADO110:Ecuacioneslinealesdeordensuperior.Supongamosquetenemosunaecuacionan(x)y(n)+an1(x)y(n1)++a1(x)y0+a0(x)y=g(x)conn�1.Enprimerlugar,convienedejarconstanciadequeexisteunateorageneralbienestablecidasobreecuacionesdiferencialeslinealesdecualquierorden.Peroesteesunestudioesencialmenteteorico:noesposibledescribirlasoluciongeneraldeunaE.D.
E.D.enlasquesepuedereducirelorden37
linealdeorden2osuperiorpormediodecuadraturas.Sinembargo,squesecalculanlassolucionesdeformamuysatisfactoriacuandonosencontramosanteecuacioneslinealesconcoe cientesconstantes(esdecir,cuandoai(x)=ai2R,0in).Perotodoestoquedafueradelosobjetivosqueestamospersiguiendoaqu.Fundamentalmente,enesteapartadonospreocuparemossolodevercomounaecuacionlinealdeordenn�1puedereducirsedeorden,sucesivamentesiesnecesario,hastallegaraunaecuacionlinealdeprimerorden,delasquehemosestudiadoenelapartado5.Enrealidad,estemetododereducciondeordenradicaenhaberencontradopreviamenteunasolucionparticulardelalinealhomogeneaasociadaan(x)y(n)+an1(x)y(n1)++a1(x)y0+a0(x)y=0;sinohemossabidohallartalsolucionparticular,elprocesoaqudescritonotieneparanosotrosningunautilidadpractica.Supongamospuesquehemoslogradoencontrarunasolucionparticularyn(x)delahomogeneaasociada(masadelantesepondrademani estoporqueresultaadecuadointroducirunanenlanotaciondelasolucionparticular).Enestecaso,efectuamoselcambiodefuncionyporzdadopory(x)=yn(x)z(x).Sinmasquederivarsucesivamente,obtenemosy0(x)=y0n(x)z(x)+yn(x)z0(x)y00(x)=y00n(x)z(x)+2y0n(x)z0(x)+yn(x)z00(x):::y(n)(x)=y(n)n(x)z(x)++nky(k)n(x)z(nk)(x)++yn(x)z(n)(x):Sustituyendoenlalineal,ysacandofactorcomunlosz(k),quedaanynz(n)+(nany0n+an1yn)z(n1)++(nany(n1)n++2a2y0n+a1yn)z0+(any(n)n++a1y0n+a0yn)z=g(x):Elcoe cientedezenlaexpresionanteriores0porserprecisamenteynsoluciondelaecuacionlinealhomogenea.As,podemosponerbn(x)z(n)+bn1(x)z(n1)++b1(x)z0=g(x):EstaesunaE.D.delasestudiadasenelapartadoanterior.Sienellahacemosz0=uaparecebn(x)u(n1)+bn1(x)u(n2)++b1(x)u=g(x);queesunaecuacionlinealdeordenn1.Sisabemosresolverestanuevaecuacion(porejemplo,sin1=1yaplicamoscualquieradelosmetodosderesoluciondeE.D.linealesdeprimerordenyaestudiados),
38MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
tendremosquesusoluciongeneralseraunafuncionu(x)=(x;C1;:::;Cn1)dependienteden1constantes.Entonces,lasoluciondeladepartidaseray(x)=yn(x)z(x)=yn(x)Zu(x)dx=yn(x)Z(x;C1;:::;Cn1)dx=yn(x)Z(x;C1;:::;Cn1)dx+Cnyn(x);dondeCnsurgecomoconstantedeintegracionalcalcularunaprimitivade(queaparecerepresentadaconlamismanotaciondeintegral,esperandoqueestepeque~noyhabitualabusodenotacionnointroduzcaconfusionenellector).Sinoconseguimosresolverlaengeneral,sepuedeintentarreducirelordendenuevoencontrandoahoraun1(x)solucionparticulardelahomogeneaasociada.Siesteprocesolologramoshacerelsu cientenumerodeveces,llegaremossiempreaunaecuacionlinealdeorden1,quesquesabemosresolver.FinalizaremoscomentandocomovariosdelosresultadosestudiadosparaE.D.linealesdeprimerordentambienpuedenaplicarsealinealesdeordensuperior.Enprimerlugar,esinmediatocomprobar(talcomohacamosen(iii)delapartado5)quelasoluciongeneraldelalinealpuedeexpresarsecomounasolucionparticulardelalinealmaslasoluciongeneraldelalinealhomogeneaasociada.(Logicamente,silalinealyaeshomogenea,puedetomarsecomosolucionparticularlafuncionnula.)Porotraparte,elprocesodereducciondeordenquehemosutilizadonosmuestra,porinduccion,quelasoluciongeneraldelalinealdeordennpuedeexpresarsecomoy(x)=yp(x)+C1y1(x)++Cn1yn1(x)+Cnyn(x);dondeyp(x)esunasolucionparticulardelalineal.Enefecto,paraordenn=1lohemosprobadoaltratarlaslinealesdeprimerorden.Y,paraefectuarelpasodeinducciondeordenn1an,basta jarseeneldesarrollodelprocesodereduccionseguido.Enefecto,porhipotesisdeinduccion,lasoluciondelaE.D.enu(x)deordenn1quenosaparecatendralaformau(x)=(x;C1;:::;Cn1)=up(x)+C1u1(x)++Cn1un1(x):Portanto,lasoluciondelaecuaciondepartidadeordennseray(x)=yn(x)z(x)=yn(x)Zu(x)dx=yn(x)Z(x;C1;:::;Cn1)dx=yn(x)Zup(x)+C1u1(x)++Cn1un1(x)dx=yn(x)Zup(x)dx+C1Zu1(x)dx++Cn1Zun1(x)dx+Cn=yn(x)Up(x)+C1U1(x)++Cn1Un1(x)+Cn=yp(x)+C1y1(x)++Cn1yn1(x)+Cnyn(x);
E.D.enlasquesepuedereducirelorden39
talcomoqueramoscomprobar.TambienexisteelmetododevariaciondelasconstantesparaE.D.linealesdeordenn,yestadestinadoaresolverlaecuacionlinealcuandoseconocelasoluciongeneraldelahomogeneaasociada,y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)++Cnyn(x).Enestascondiciones,sebuscalasoluciondelalinealdelaformay(x)=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)++Cn(x)yn(x)paraciertasfuncionesCk(x)adeterminar.ParaencontrarestasCk(x),sederivasucesivamentelaexpresionanteriorysesustituyeenlaecuacionlineal,igualandoaceroloscoe cientesdelosyk(x).Aunquenonospreocuparemosdeello,puededemostrarserigurosamentequeestosiempreconducealasolucionbuscada.
RECETA110:Ecuacioneslinealesdeordensuperior.Sondelaformaan(x)y(n)+an1(x)y(n1)++a1(x)y0+a0(x)y=g(x):Silogramosencontraralgunasolucionyn(x)delalinealhomogeneaasociada,elcambiodefunciony=ynzhacequelalinealsetransformeenunadeltipoanterior,cuyoordensepuedereducir.As,apareceunanuevaecuacionlineal,estavezdeordenn1.
Ejemplo110:Resolverxy00+(7x1)y07y=x2e7xsabiendoquelalinealhomogeneaasociadatieneunasoluciondelaformaeax.Enprimerlugar,determinemosaparaquey2=eaxseasoluciondexy00+(7x1)y07y=0.Derivando,y02=aeax,y002=a2eax;sustituyendo,a2xeax+(7x1)aeax7eax=0,esdecir,[x(a2+7a)a7]eax=0,locualseconsiguecona=7.Apliquemosahoraelmetododereducciondeorden.Tomamosy=y2z,conlocual,derivando,y0=y02z+y2z0,y00=y002z+2y02z0+y2z00.Sisustituimosenlalineal,queda(y002z+2y02z0+y2z00)x+(7x1)(y02z+y2z0)7y2z=x2e7x.Sacandofactorcomunz00,z0yz,aparecexy2z00+[2xy02+(7x1)y2]z0+[xy002+(7x1)y027y2]z=x2e7x.Comoelcoe cientedezcoincideconlalinealhomogenea,delaquey2essolucion,estaecuacion,trassustituiry2ey02,setransformaenxe7xz00+[14xe7x+(7x1)e7x]z0=x2e7x.Simpli candoe7x,podemosponerxz00+(7x1)z0=x2.(Notesequesuelesermascomodoutilizarelsmboloy2enlugardesuexpresionconcretayaque,deestemodo,nohacefaltaarrastrartampocolasexpresionesdey02niy002,sinoquebastacondarsuvaloral naldelassimpli caciones.Enparticular,nose
40MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
necesitacalculary002.Porelcontrario,siempleamosdirectamentelasexpresionesdey2,y02ey002desdeelprincipio,estopuedeayudarnosadetectaralgunerrorquehayamospodidocometer:esfacilqueelerrornosllevaraaunpuntosinsalidaenelquenosepodracontinuarelprocesoalnoanularseelcoe cientedez.)TenemosahoraunaE.D.desegundoordenenz(x)enlaquenoapareceexplcitamentez.Parareducirladeorden,bastatomarz0=u,conlocualquedaxu0+(7x1)u=x2,estoes,u0+(71
x)u=x,linealdeprimerorden.Resolvamoslaaplicandodirectamentelaformulageneralquehemosdeducidoenelapartado5.As,sinmasquetomara(x)=71
xyb(x)=x,calculandopreviamenteexpZa(x)dx=expZ71
xdx=exp(7xlogx)=x1e7x;tendremosquesusolucionesu(x)=xe7xZxx1e7xdx+C1=xe7x1
7e7x+C1=1
7x+C1xe7x:Deshaciendoloscambios,y(x)=y2(x)z(x)=y2(x)Zu(x)dx=e7xZ1
7x+C1xe7xdx=e7xx2
14+C1Zxe7xdx=e7xx2
14+1
7C1xe7xC1Z1
7e7xdx=e7x1
14x2+1
7C1xe7x1
49C1e7x+C2=1
14x2e7x+C11
7x1
49+C2e7x:CambiandolanotaciondeC1por49C1,lasoluciongeneraldelalinealdesegundoordenqueday(x)=1
14x2e7x+C1(7x1)+C2e7x:APARTADO12:EcuaciondelaformaF(y;y0;:::;y(n))=0.Enestaecuacionnoapareceexplcitamentelavariableindependientex.Vamosavercomosereducedeordensiefectuamoselcambioy0=pylatransformamosenunanuevaenlaqueaparecerany,pylasderivadasdeprespectodey.(Atencion!:respectodey,norespectodex.)Paraello,vamosaverelprocesoaseguirparaescribirlasderivadassucesivasdeyrespectodexenfunciondey,p,ylasderivadasdeprespectodey.Yatenemosdy
dx=y0=p.Paralassiguientes,sidenotamosp0=dp
dy,p00=d2p
dy2,:::,yhacemosusodelaregladelacadena,entoncesy00=dy0
dx=dp
dx=dp
dydy
dx=p0p;
E.D.enlasquesepuedereducirelorden41
y000=dy00
dx=d
dx(p0p)=d
dy(p0p)dy
dx=p00p+(p0)2p;yassucesivamente.Notesequeenlaexpresiondecaday(k)soloaparecenderivadasdephastaelordenk1.Conesto,sustituyendoenFlosvaloresquehemosencontradoparay0,y00,:::,y(n),laE.D.originalsetransformaenunadelaformaGy;dp
dy;:::;dn1p
dyn1=0;cuyoordenesn1.Silogramosresolverestanuevaecuacionencontraremosque,engeneral,susolucionseradelaformap=(y;C1;:::;Cn1),dependienteden1constantes.Ahora,devolviendoapsuvalororiginal,esdecir,p=dy
dx,obtenemosdy
dx=(y;C1;:::;Cn1),queesotraecuacion,estavezdeprimerorden,quetambienhayqueresolver(locual,ademas,a~nadeunanuevaconstante).Lassolucionesdeestaultimaseran,obviamente,lasmismasquelasdelaE.D.departida.
RECETA12:EcuaciondelaformaF(y;y0;:::;y(n))=0.Hacemoselcambioy0=pytransformamoslaE.D.enunanuevadependiendodey,pylasderivadasdeprespectodey.Estaesdeordenn1.
Ejemplo12:Resolver2yy00=(y0)2+1:Tomandoy0=p,ytalcomohemoscomprobadoalexplicarelmetodo,setieney00=p0pdondep0=dp
dy.Entonces,alsustituirenlaE.D.,estasenostransformaen2yp0p=p2+1,esdecir,2pdp
p2+1=dy
y,queesdevariablesseparadas.Siintegramos,log(p2+1)=log(C1y),dedondep2+1=C1y,yportantop=p
C1y1.Volvemosahoraarestaurarelvalorp=dy
dx,conlocualnosaparecedy
dx=p
C1y1.Estaesdenuevounaecuacionenvariablesseparadas,quepodemosescribircomo(C1y1)1=2dy=dx.Integrandola,2p
C1y1=C1x+C2,conloqueyahemosencontradolassolucionesdelaE.D.departida.
42MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
APARTADO120:SilaecuacionF(x;y;y0;:::;y(n))=0estalque,para ym jos,FcumpleF(x;mu0;m1u1;:::;mnun)= F(x;u0;u1;:::;un);vamosaverque,efectuandouncambiotantodevariableindependientecomodedependiente,estaE.D.sepodratransformarenunadeltipoanterior(esdecir,enlaquenoapareceralavariableindependiente).Unaecuaciondeestascaractersticassueledecirsequeeshomogeneageneralizadadegrado ,enlaquecadafactorxcontribuyecongrado1,cadaycongradom,y0congradom1,y00conm2,etcetera.Tomamosdosnuevasvariablestyz(tlaindependienteyzladependiente)querelacionamosconlasoriginalesxeymediantex=et,y=emtz.Conesto,vamosavercomoescribiry0=dy
dx;:::;y(n)=dny
dxnenfunciondet,zylasderivadasdezrespectodet.Sidenotamosz0=dz
dt(y,porsupuesto,z(k)=dkz
dtk),tenemosdy
dx=dy=dt
dx=dt=memtz+emtz0
et=e(m1)t(z0+mz):Apartirdeaqu,d2y
dx2=d
dxdy
dx=d
dtdy
dxdt
dx=d
dte(m1)t(z0+mz)1
dx=dt=h(m1)e(m1)t(z0+mz)+e(m1)t(z00+mz0)i1
et=e(m2)tz00+(2m1)z0+m(m1)z;analogamented3y
dx3=d
dxd2y
d2x=d
dtd2y
d2xdt
dx=d
dte(m2)t(z00+(2m1)z0+m(m1)z)1
dx=dt=h(m2)e(m2)t(z00+(2m1)z0+m(m1)z)+e(m2)t(z000+(2m1)z00+m(m1)z0)i1
et=e(m3)tz000+(3m3)z00+(3m26m+2)z0+m(m1)(m2)z;yassucesivamente.Engeneral,porinduccion,esclaroqued(k)y
dx(k)=e(mk)tgk(z;z0;:::;z(k)):
E.D.enlasquesepuedereducirelorden43
Deestemodo,sustituyendoenlaE.D.queestamosintentandoresolver,obtenemosF(et;emtz;e(m1)t(z0+mz);:::;e(mn)tgn(z;z0;:::;z(n)))=0;extrayendo=et,estoresultasere tF(1;z;(z0+mz);:::;gn(z;z0;:::;z(n)))=0:Comoe tnopuedeanularse,elotrofactortienequesercero,luegohemostransformadolaecuaciondepartidaenunadelaformaG(z;z0;:::;z(n))=0;enlaquenoapareceexplcitamentelavariableindependientet.Estaecuacionpuedereducirsedeordenaplicandoelprocesodescritoenelapartadoanterior.Encualquiercaso,silogramosresolverla,susolucionseraz=(t;C1;:::;Cn);deshaciendoloscambiosx=etey=emtz,tendremosquelasoluciondelaE.D.originalseray=xm(logx;C1;:::;Cn).
RECETA120:SilaecuacionF(x;y;y0;:::;y(n))=0estalque,para ym jos,FcumpleF(x;mu0;m1u1;:::;mnun)= F(x;u0;u1;:::;un);haciendoelcambiox=et,y=emtzlaE.D.setransformaenunadelaformaG(z;z0;:::;z(n))=0,alaquesepuedeaplicarelmetodoanterior.
Ejemplo120:Resolver4x2y3y00=x2y4:Analicemosenprimerlugarcomolograrqueestaecuacionseahomogeneageneralizadaenlaquecadafactorxcontribuyacongrado1,ylosfactoresy,y0,y00congradosm,m1ym2respectivamente.Paraello,cadamonomiotienequeserdelmismogrado.Enelmiembrodeladerecha,estoseconsiguecon2=4m,esdecir,m=1
2,conlocualx2y4esdegrado2.Entonces,elmiembrodelaizquierdaesdegrado2+3m+(m2)=2+3
2+(1
22)=2,coincidenteconeldelotromiembro.Aspues,conm=1
2laE.D.eshomogeneageneralizada(degrado2,aunqueestonotieneimportancia).Hagamosahoraloscambiosx=et,y=et=2z,ydenotemosz0=dz
dt,z00=d2z
dt2.Deestemodo,y0=dy
dx=dy=dt
dx=dt=1
2et=2z+et=2z0
et=et=2(z0+1
2z);
44MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
y00=d2y
dx2=d
dxdy
dx=d
dtdy
dxdt
dx=d
dtet=2(z0+1
2z)1
dx=dt=h1
2et=2(z0+1
2z)+et=2(z00+1
2z0)i1
et=e3t=2(z001
4z):SustituyendoenlaE.D.,4e2te3t=2z3e3t=2(z001
4z)=e2te2tz4,dedonde,simpli cando,4z3z00=1,ecuacionenlaquenoaparecelavariableindependientet.Pararesolverla,tomamosz0=p,conloquez00=dz0
dt=dp
dt=dp
dzdz
dt=p0pconlanotacionp0=dp
dz.As,tenemoslanuevaecuacion4z3p0p=1,convariabledependientepeindependientez,queyaesdeprimerorden.Estaecuacion,quepodemosponercomo4pdp=z3dz,esdevariablesseparadas.Integrando,2p2=1
2z2+C1,osea,4p2=2C1z2.Comop=z0=dz
dt,hemosllegadoahoraaplantear4(z0)2=2C1z2,esdecir,2z0=p
2C1z2,quepodemosescribircomo2(2C1z2)1=2dz=dt.Denuevointegrando,t+C2=Z2(2C1z2)1=2dz=Z2z(2C1z21)1=2dz=1
2C1(2C1z21)1=2
1=2=1
C1(2C1z21)1=2:Volviendoalasvariablesinicialesx=etey=et=2z,apareceahoralogx+C2=1
C1(2C1y2x11)1=2,conlocual,sinmasquecambiarlanotaciondelasconstantes,K1logx+K2=p
2K1y2x11.Aspues,elevandoalcuadradoydespejandoy2,lassolucionesdelaE.D.departidavienendadaspory2=(K1logx+K2)2+1
2K1x;dondeK1yK2sonconstantesarbitrarias.APARTADO13:SilaecuacionF(x;y;y0;:::;y(n))=0estalque,para jo,FcumpleF(x;u0;u1;:::;un)= F(x;u0;u1;:::;un);vamosacomprobarcomo,atravesdeuncambiodevariabledependiente,elordensepuedereducirenuno.LapropiedadquecaracterizaalafuncionFsueleexpresarsediciendoqueFeshomogeneadegrado respectoalosargumentosu0;u1;:::;un.Coneste
E.D.enlasquesepuedereducirelorden45
lenguaje,laecuacionqueestamosintentandoresolvereshomogeneadegrado respectodey;y0;:::;y(n).Enprimerlugar,esclaroque,cuando �0,lafuncionconstantey=0(paralacualy0=y00==0)essolucionyaque,efectivamente,F(x;y;y0;:::;y(n))=F(x;0;0;:::;0)=0 F(x;1;1;:::;1)=0.Parahallarlasdemassoluciones,tomemosunanuevafuncionzdadapory0=yz.Obviamente,estoesequivalenteadeciry=exp(Rzdx),puestoquedy
dx=yz()dy
y=zdx()logy=Zzdx()y=expZzdx:Encualquiercaso,siderivamossucesivamentelaexpresiony0=yz,obtenemosy00=y0z+yz0=yz2+yz0=y(z2+z0),y000=y00z+2y0z0+yz00=y(z2+z0)z+2yzz0+yz00=y(z2+3zz0+z00),etcetera.Esimportantedestacarelhechodequesiempreapareceunarelaciondeltipoy(k)=ygk(z;z0;:::;z(k1)).Entonces,sinmasquesustituir,laE.D.quedaF(x;y;yz;y(z2+z0);:::;ygn(z;z0;:::;z(n1)))=0;dedonde,extrayendo=y,y F(x;1;z;z2+z0;:::;gn(z;z0;:::;z(n1)))=0;yportanto,comoestamossuponiendoqueynoeslafuncionnula,elsegundofactorhabradesercero.Claramente,estopuedeponerseenlaformaG(x;z;z0;:::;z(n1))=0;queesunaecuaciondeordenn1.Silogramosresolverla,tendremosquesussolucionesseranz=(x;C1;:::;Cn1),unafamiliadependienteden1constantes.Entonces,lassolucionesdelaE.D.originalserany=expZ(x;C1;:::;Cn1)dx;loque,alintegrar,introducelan-esimaconstante.As,puedeponersey=CnexpZ(x;C1;:::;Cn1)dx:
RECETA13:SilaecuacionF(x;y;y0;:::;y(n))=0estalque,para jo,FcumpleF(x;u0;u1;:::;un)= F(x;u0;u1;:::;un);entonceselcambiodefunciondadopory0=yz(esdecir,y=exp(Rzdx))hacequeelordensereduzcaenuno.
46MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
Ejemplo13:Resolver3x2((y0)2yy00)=y2:Estaecuacioneshomogeneadegrado2respectodey;y0;y00pues,alsustituiry;y0;y00pory;y0;y00,laecuacionquedamultiplicadapor2.Pararesolverla,hacemoselcambioyporzdadopory=exp(Rz(x)dx),conlocualy0=zexpZzdx;y00=(z0+z2)expZzdx:SustituyendoenlaE.D.queda3x2z2exp2Zzdx(z0+z2)exp2Zzdx=exp2Zzdx;dedonde,simpli candoexp(2Rzdx),sesigue3x2z0=1,ecuacionenvariablesseparadas.Trasponerlacomodz=1
3x2dxlaintegramos,conloquez=1
3x1+C1.Porultimo,y=expZz(x)dx=expZ1
3x1+C1dx=exp1
3logx+C1x+C2=x1=3exp(C1x+C2);luegolasoluciondelaecuacionoriginales,sinmasquecambiarlanotaciondelasconstantes,lafamiliadefuncionesy=K1x1=3eK2x.
Peque~nabibliografaencastellanoF.Ayres,Ecuacionesdiferenciales,Col.Schaum,McGraw-Hill,Mexico,1988.M.Braun,Ecuacionesdiferencialesysusaplicaciones,GrupoEditorialIberoamerica,Mexico,1990.M.deGuzman,Ecuacionesdiferencialesordinarias.Teoradeestabilidadycontrol,Alhambra,Madrid,1975.A.Kiseliov,M.KrasnovyG.Makarenko,Problemasdeecuacionesdiferencialesordi-narias,3:aed.,Mir,Moscu,1970.F.Marcellan,L.CasasusyA.Zarzo,Ecuacionesdiferenciales.Problemaslinealesyaplicaciones,McGraw-Hill,Madrid,1990.R.K.NagleyE.B.Saff,Fundamentosdeecuacionesdiferenciales,2:aed.,Addison-WesleyIberoamericana,Wilmington(Delaware,USA),1992.S.Novo,R.ObayayJ.Rojo,Ecuacionesysistemasdiferenciales,AC,Madrid,1992.G.F.Simmons,Ecuacionesdiferencialesconaplicacionesynotashistoricas,2:aed.,McGraw-Hill,Madrid,1993.D.E.Zill,Ecuacionesdiferencialesconaplicaciones,2:aed.,GrupoEditorialIbero-america,Mexico,1988.47
APENDICE:Metodosbasicosparacalcularintegralesinde nidas1.oReglasprincipalesdeintegracion:(1)SiF0(x)=f(x),entoncesZf(x)dx=F(x)+C;conCunaconstantearbitraria.(2)Zaf(x)dx=aZf(x)dx,dondeaesunaconstante.(3)Z(f(x)g(x))dx=Zf(x)dxZg(x)dx.(4)SiZf(x)dx=F(x)+Cyu='(x),entoncesZf(u)du=F(u)+C;siendodu='0(x)dx.Enparticular,siF0(x)=f(x),setieneZf(ax+b)dx=1
aF(ax+b)+C;a=0:2.oTabladeintegralesinmediatas:(a)Zxkdx=xk+1
k+1+C;k=1.(b)Zdx
x=logjxj+C.(c)Zexdx=ex+C.49
50MetodosclasicosderesoluciondeE.D.O.
(d)Zaxdx=ax
loga+C;a�0.(e)Zsenxdx=cosx+C.(f)Zcosxdx=senx+C.(g)Zdx
cos2x=Z(1+tg2x)dx=tgx+C.(h)Zdx
sen2x=Z(1+cotg2x)dx=cotgx+C.(i)Zdx
cosx=logjsecx+tgxj+C=log tgx
2+
4 +C.(j)Zdx
senx=logjcosecxcotgxj+C=log tgx
2 +C.(k)Zshxdx=chx+C.(l)Zchxdx=shx+C.(m)Zdx
ch2x=thx+C.(n)Zdx
sh2x=cothx+C.(~n)Zdx
x2+a2=1
aarctgx
a+C=1
aarccotgx
a+C1;a=0.(o)Zdx
x2a2=1
2alog xa
x+a +C;a=0.(p)Zdx
a2x2=1
2alog a+x
ax +C=1
aargthx
a+C;a=0.(q)Zdx
p
x2+a=log x+p
x2+a +C=1
aargshx
p
a+C;a�0.(r)Zdx
p
x2a=log x+p
x2a +C=1
aargchx
p
a+C;a�0.(s)Zdx
p
a2x2=arcsenx
a+C=arccosx
a+C1;a�0.
Integralesinde nidas51
3.oMetododesustitucion:SienlaintegralZf(x)dxseefectualasustitucion(ocambiodevariable)x='(t)setieneZf(x)dx=Zf('(t))'0(t)dt:Lafuncion'seprocuraelegirdetalmaneraqueelsegundomiembrodelaformulaanteriortengaunaformamasadecuadaparalaintegracion.4.oIntegracionporpartes:Sitenemosdosfuncionesu='(x)yv= (x),severi caZudv=uvZvdu;dondedu='0(x)dxydv= 0(x)dx.Enestemetodo,uyvhayquebuscarlasdetalformaquelanuevaintegralqueapareceseamasasequiblequeladepartida.

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