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Unidad IV Series. 4.1 Definición de seria. Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a 1 + a 2 + a 3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el


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Unidad IV

Ser
ies.
4.1 Definición de seria.

Una

serie

es la generalización de la noción de suma a los términos de una
sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los
términos:

a
1

+

a
2

+

a
3

+

·

·lo cual suele escribirse en forma más compacta con el
símbolo de sumatorio:

.

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número
finito

n

de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el
comportamiento de la serie a medida que

n

crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien
definidos; en cambio en una

serie infinita
, cada un
o de los términos suele
obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al
tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como

serie infinita
, pero a
diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de h
erramientas del
análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe
una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o
no
-
convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los
cálculos.Sumas parciales

La

sucesión de sumas parcialesasociada a una sucesiónestá
definida para cadacomo la suma de la sucesióndesdehasta
:

.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos
de las sumas
parciales asociadas.

Convergencia

Por definición, la serieconverge

al límitesi y solo si la sucesión de
sumas parcia
les asociada

S
k

converge a

. Esta definición suele escribirse como

.

4.1.1 Finita.

Si la sucesión sigue para siempre, es una

sucesión infinita
,

si no es una

sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una

sucesión infinita
)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una
sucesión
infinita
)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1

hacia atrás{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras

en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en e
l nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que

alterna

0s y 1s (sí, siguen un orden, en este
caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que
decimos

qué orden
! Podría ser adelant
e, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!Una sucesión es muy parecida a un

conjunto
, pero con los términos

en orden

(y el
mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la

sucesión

que alterna 0s y 1s. El

conjunto
sería
sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una

regla

que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la suce
sión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

4.1.2 Infinita.

En matemáticas, la expresión

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

es una serie infinita cuyos
términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos.
Ut
ilizando notación matemática para sumatorias, la suma de los
primeros

m
términos de la serie se expresa como:

EJEMPLO 1:

En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación
decimal del numero racional13


es en la realidad, una serie infinita.

310+310 2 +3103 +k=1∞310k




* SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES


Para cada serie infinita ∑ akexiste una sucesión de sumas parciales {Sn} definida
como sigue:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a
3

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 +…

+an

EJEMPLO 2 :

La sucesión de sumas parciales de k=1∞310kes

S1 = 310S2 = 310 + 3102

S3 = 310 + 3102 + 3103



Sn =


310 + 3102 + 3103 + 310n

En el ejemplo 2 cuando n es muy grande Sn, dará una buena aproximació
n a 13y
de esta manera parece razonable escribir 13 =limn→∞k=1n310k =k=1∞310kEsto conduce a la definición siguiente:

Se dice que una serie infinita k=1∞ak es converge la sucesión de sumas parciales
{Sn}; esto es limn→∞k=1∞ak =S .

El numero S es la suma

de las serie ,S ; limn→∞Sn no existe , se dice entonces
que la serie es divergente

TEOREMA

Si la serie infinita k=1+∞unes convergente , entonces limn→∞un= 0Fuente Bibliografica

http://es.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%C
2%B7_%C
2%B7_%C2%B7

Publicado por

Nochi 19

en

14:25
4.2 Serie num
érica y convergencia Prueba de
la razón (crite
rio de
D´Alembert) y Prueba de
la raíz (criterio de Cauchy).

SERIES NUM´ERICAS.
1.Convergencia.

Si {an} es una sucesion de numeros reales, se define la serie de termino general
an y se escribe


como:
Si este lımite de la enesima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la
serie es

convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.2. Convergencia absoluta.

Se dice que la seriees absolutamen
te convergente si la serie

es convergente.
Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenacion suya
tambien lo es y tiene el mismo valor.

Se dice que una serie es condicionalmente
convergente si es convergente, pero
no absolutamente convergente.

3. Propiedades.

• El caracter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un
numero finito de sus terminos.

• Para que la serieconverja es necesario que lim an = 0.
4.3 Serie de potencias.

Una
serie de potencias puede ser interpretada como una función de “
x”:

Cuyo dominio es el conjunto de los

x

2 R para los que la serie es converge
nte y el
valor def(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto

x.

Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno,
en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más
aun, su función de
rivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de
vista más practico, las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir,
la suma parcial de orden

n, que no es más que un polinomio de grado

n

a lo sumo,
representa una aproximación a

la función suma en su dominio de convergencia.
En la siguiente figura (Figura 1.0), puede verse la función

f(x) = ex junto con
algunas aproximaciones mediante sumas parciales de su serie de potencias.
Figura 1.0:

Aproximacion a

e
x

por su serie de potenciasLa siguiente imagen muestra el teorema de la

serie

de potencias, ejemplificando lo
descrito anteriormente.

4.4 Radio de convergencia.

Si nos limitamos al conjunto de los numeros reales, una serie de la forma
recibe el nombre de serie de potencias centrada en

x
0
. La serie

converge
absolutamente

para un conjunto de valores de

x

que verifica que

|

x

−

x
0

|

r
,
donde

r

es un número real llamado

radio de convergencia

de la serie. Esta
converge, pues, al menos, para los valores de

x

pertenecientes al
intervalo

(
x
0

−

r
,

x
0

+

r
)
, ya que la convergencia para los extremos de este ha de
estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también
semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para

x
0
,

r

= 0
. Si lo hace para
cualquier valor de

x
,

r

=La funci
ón

1 / (1 −

x
)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de
potencia

x

−

x
0

=

x

−

0 =

x
, tiene el siguiente aspecto:

Su radio de convergencia es

r

= 1
. Eso significa que para calcular si tomo
cualquier valor cuya distancia al

x
0

= 0

es menor que

r

= 1
, por ejemplo el

x

= 0.25
,
entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo
que remplazarlo en la función, de hecho(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
4.5 Serie de T
aylor.

L
a serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se
puede encontrar una solución aproximada a una función,

se basa

en ir haciendo
operaciones según una

ecuación general y mientras mas operaciones tenga la
serie mas

exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es
la

siguiente:
También

representada como:
Donde:

n!

es el factorial de

n.F
(n)

es la enésima derivada de

f

en el punto

aComo se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que
desarrollar un binomio (x
-
a)

n

por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a"
siempre a 0. Para fines prácticos

no afecta mucho en el resultado si se hacen
muchas operaciones
en la serie.La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una
función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro
punto.Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas
expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el
término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha
de incluir

la aproximación.Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales,
logarítmicas etc...4.6 Represent
ación de funciones mediante la
serie de Taylor.

Teorema de Taylor. Si la función

f

y sus primeras

n
+1

derivadas son continuas en
un intervalo que contiene a

a

y a

x
, entonces el valor de la función en un
punto

x

está dado por:
Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.

Funcion eSe puede aplicar la ecuación de las series de T
aylor como más sencillo le resulte
a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.

Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque
algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número
de derivaci
ones, como la función

e
.

Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se
decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que
resultados da.Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y
para darnos una idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una
idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación
de la serie
Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se
irá llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que
el resultado
sea más preciso. Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora
para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y
ya está
Función Coseno

Para el coseno el procedimiento es el mismo.

Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada
una para observar el patrón.

Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion
general:Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o
sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de
términos.El valor práctico de las

series de Taylor

radica en el uso de un número
finito de términos que d
arán una aproximación lo suficientemente cercana a la
solución verdadera para propósitos prácticos

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