Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales

de Compostela denominada Ecuaciones en Derivadas Parciales. La intenci on es proporcionar al alumnado interesado en esta materia pro-blemas relacionados con los distintos tipos de problemas abordados a lo largo de la materia. As pues resolveremos en el primer cap tulo problemas de primer orden, tanto cuasilineales como no lineales.


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ProblemasResueltosdeEcuacionesenDerivadasParcialesAlbertoCabadaFernandez2demayode2018.
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IndicegeneralIntroduccionI1.Ecuacionesdeprimerorden11.1.Metododelasbandascaractersticas................11.1.1.Ejerciciosresueltos......................11.1.2.Ejerciciospropuestos.....................111.2.MetododelasIntegralesPrimeras.................121.2.1.Ejerciciosresueltos......................121.2.2.Ejerciciospropuestos.....................221.3.EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales.............231.3.1.Ejerciciosresueltos......................241.3.2.Ejerciciospropuestos.....................382.EcuacionesdeSegundoOrden392.1.Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden...392.1.1.EjerciciosResueltos.....................392.1.2.Ejerciciospropuestos.....................532.2.EcuacionesHiperbolicas.......................542.2.1.EjerciciosResueltos.....................552.2.2.Ejerciciospropuestos.....................652.3.EcuacionesParabolicas........................672.3.1.Ejerciciosresueltos......................682.3.2.Ejerciciospropuestos.....................82Bibliografa85
4INDICEGENERAL
IntroduccionEnestamemoriaserecopilanunaseriedeproblemasdelamateriadequintocursodelalicenciaturadeCienciasmatematicasdelaUniversidaddeSantiagodeComposteladenominadaEcuacionesenDerivadasParciales.Laintencionesproporcionaralalumnadointeresadoenestamateriapro-blemasrelacionadosconlosdistintostiposdeproblemasabordadosalolargodelamateria.Aspuesresolveremosenelprimercaptuloproblemasdeprimerorden,tantocuasilinealescomonolineales.Enelprimercaso,laresolucionsebasaratantoenelmetododelascurvascaractersticascomoeneldelasin-tegralesprimeras.ElcalculodelasgeneratricesdelconodeMongeseranlasherramientasusadasparalaresoluciondelasecuacionesnolineales.Elsegundotemaestadedicadoalaclasi caciondeecuacionescuasilinealesyalaresoluciondeecuacioneshiperbolicasyparabolicas.Enelprimercasosereduciranasuformacanonicapormediodelascurvascaractersticasy,cuandoelloseaposible,seobtendralasolucionexplcitadelproblematratado.Paralaresolucionefectivadelasecuacioneshiperbolicasyparabolicas,usaremoslaexpresiondelasoluciongeneralobtenidaeneldesarrollodelasclasesteoricas.Enbuenapartedeloscasoslaresoluciondirectadelasintegralesinvolucradasnovaaserposible,porloqueserecurriraalaspropiedadescualitativasdelasfuncionesqueaparecenenlaexpresiondelasoluciontratadaenlosproblemasparabolicosyalosresultadosclasicosdelanalisisvectorialenloshiperbolicos.Sibienenmuchoscasosestasintegralespuedenserresueltasdirectamentepormediodeprogramacionmatematica,sehanrealizadoloscalculosconde-talle,porconsiderarqueeldesarrollodelcalculovectorialesfundamentalenlaformaciondelalumnadoalquevadirigidoestamateria.Todaslassuper ciessoluciondelosproblemasresueltossonrepresentadosenelpropioejercicio.Lasdistintassecciones nalizanconproblemaspropuestos,aportandoselaexpresiondelasolucionbuscada.TambiensehanrealizadoprogramasinformaticosenlenguajeMAPLEquepuedenserutilizadosenlaresoluciondevariosdelosproblemastratados.
iiIntroduccion
Captulo1Ecuacionesdeprimerorden1.1.MetododelasbandascaractersticasCuandolossistemascaractersticosconsideradosseanlinealeslaresolucionesinmediata.Laexpresionvendradadadelcalculoefectivodelamatrizexpo-nencialcorrespondiente.Acontinuacionpresentamosunaseriedeproblemasqueseresuelvendeestemodo.1.1.1.EjerciciosresueltosEjercicio1.1.1Resolverlasiguienteecuacion:(6x�2y�3u)ux�9uuy=4y;u(x;0)=1:Solucion:Enestecasof1(x;y;z)=6x�2y�3z;f2(x;y;z)=�9z;f(x;y;z)=4yy (s)=( 1(s); 2(s); (s))(s;0;1):Dadoquedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=det6s�31�90=96=0;sabemosquehayunaunicasolucionentornoalacondicioninicial.1
2EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.1:SoluciondelEjercicio1.1.1Elsistemacaractersticoresultaser:8:x0=6x�2y�3z;x(0)=s;y0=�9z;y(0)=0;z0=4y;z(0)=1;ysusoluci[email protected](t;s)y(t;s)z(t;s)[email protected];[email protected]�2�300�90401A:Esdecir:x(t;s)=se6t�1
2sen6t;y(t;s)=�3
2sen6t;z(t;s)=cos6t:Apartirdeestaexpresionvemosquelasuper ciesolucionestasobreelcilindroelptico9z2+4y2=9.Delacondicioninicialdeducimosque(ver gura1.1)u(x;y)z(t(x;y);s(x;y))=p
1�4y2=9:utNota1.1.1Elproblemaanterior,aligualquetodosaquellosenlosqueelsiste-macaractersticoesunsistemalineal,puedeserresueltodirectamentemedianteprogramacionenlenguajesdecalculosimbolico.Enestecasoconcretolapro-gramacionenlenguajeMAPLEsera:with(linalg):
MetododelasBandasCaractersticas3with(plots):A:=array([[6,-2,-3],[0,0,-9],[0,4,0]]);DD:=exponential(A,t);C:=vector([s,0,1]);SS:=multiply(DD,C);Ejercicio1.1.2Resolverlasiguienteecuacion(y�x)ux+2yuy=3x�y+2u;u(0;x)=�x:Solucion:Losdatosdelproblemaconsideradosonf1(x;y;z)=y�x;f2(x;y;z)=2y;f(x;y;z)=3x�y+2zy (s)=( 1(s); 2(s); (s))(0;s;�s):Dadoquedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=dets02s1=s;lacondiciondetransversalidadseveri casiempreques6=0.Elsistemacaractersticoaresolvereselsiguiente:8:x0=�x+y;x(0)=0;y0=2y;y(0)=s;z0=3x�y+2z;z(0)=�s;ysusolucionvienedadapor0[email protected](t;s)y(t;s)z(t;s)[email protected]�s1A;[email protected]�1100203�121A:Conlocual
4EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.2:Solucionenformapa-rametricadelEjercicio1.1.3
Figura1.3:Planoz=�x�yx(t;s)=�e2t�e�ts
3;y(t;s)=e2ts;z(t;s)=��4e2t+e�ts
3:Notesequelaparametrizaciondelasuper ciesolucionsereducealorigencuandos=0(veasela gura1.2).Ellosedebeaquelacurvainicialnoestrasversalal ujoen(0;0;0),conlocualelmetododelascurvascaractersticasnopermitegarantizarlaexistenciadesolucionenesepunto.Sinembargo,usan-doesamismaexpresion,noesdifcilcomprobarquelasoluciondelproblemaconsideradovienedadaexplcitamenteporlaexpresion(ver gura1.3)u(x;y)z(t(x;y);s(x;y))=�x�y:Locualponedemani estoquelacondiciondetrasversalidadesunacondi-cionsu cienteparagarantizarlaexistenciayunicidaddesolucionquenohadeveri carsenecesariamenteentodoslospuntosdelacurvainicial.utEjercicio1.1.3Resolverlasiguienteecuacion:(x+y�4u)ux�(y+x)uy=�3u;u(x;x)=�x2:Solucion:Enestecasolosdatosdelproblemavienendadosporf1(x;y;z)=x+y�4z;f2(x;y;z)=�x�y;f(x;y;z)=�3z
MetododelasBandasCaractersticas5y (s)=( 1(s); 2(s); (s))(s;s;�s2):Dadoquedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=det2s+4s21�2s1=4(s+s2);deducimosqueelproblematienesolucionunicaparalosvaloresdelparametros6=0ys6=�1.Elsistemacaractersticosera:8:x0=x+y�4z;x(0)=sy0=�x�y;y(0)=sz0=�3z;z(0)=�s2:Launicasoluciondeesteproblemavienedadaporlaexpresi[email protected](t;s)y(t;s)z(t;s)[email protected]�s21A;[email protected]�4�1�1000�31A:Esdecirx(t;s)=(1+2t)s��4
3t�8
9+8
9e�3ts2;y(t;s)=(1�2t)s�4
3t�4
9+4
9e�3ts2;z(t;s)=�e�3ts2:Lasuper ciesolucion�(t;s)(x(t;s);y(t;s);z(t;s))serepresentaenlas guras1.4y1.5,pudiendoobservarseenlasegundadeellascomolasolucionveri calacondicioninicial.Noteseque,aligualqueenelejercicio2.3.1,enelorigenlasuper cieparametrizadasereduceal(0;0;0)dadoquelacurvainicialnoestrasversalal ujoenesepunto.utEjercicio1.1.4Resolverlaecuacion(�12x+8y�8u)ux+3(y+u)uy=�y+7u;u(x;0)=�x:Solucion:Losdatosdelproblemaconsideradosonf1(x;y;z)=�12x+8y�8z;f2(x;y;z)=3y+3z;f(x;y;z)=�y+7z
6EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.4:SoluciondelEjercicio1.1.3
Figura1.5:Condicioninicialy (s)=( 1(s); 2(s); (s))(s;0;�s):Lacondiciondetransversalidadseveri casiemprequedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=det�4s1�3s0=3s6=0:Elsistemacaractersticoaresolvereselsiguiente:8:x0=�12x+8y�8z;x(0)=s;y0=3y+3z;y(0)=0;z0=�y+7z;z(0)=�s;ysusoluci[email protected](t;s)y(t;s)z(t;s)[email protected]�s1A;[email protected]�128�80330�171A:Conlocualx(t;s)=1
2�e4t+e�12ts;y(t;s)=3
2�e4t�e6ts;z(t;s)=1
2�e4t�3e6ts:
MetododelasBandasCaractersticas7
Figura1.6:SoluciondelEjercicio1.1.4
Figura1.7:CondicioninicialLasuper ciesolucionserepresentaenlas guras1.6y1.7.Aligualqueocurreenelejercicio1.1.3lacurvainicialnoestrasversalal ujoenelorigenylasuper cieparametrizadasereduceaunpuntoenesecaso.utEjercicio1.1.5Resolverlaecuacion(�2x+y�u)ux+3(3u�y)uy=9u�3y;u(x2;x)=�x2:Solucion:Losdatosdelproblemaconsideradosonf1(x;y;z)=�2x+y�z;f2(x;y;z)=�3y+9z;f(x;y;z)=�3y+9zy (s)=( 1(s); 2(s); (s))(s2;s;�s2):Lacondiciondetransversalidadseveri casiemprequedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=s(18s2+5s+1)6=0,s6=0:Elsistemacaractersticoaresolvereselsiguiente:8:x0=�2x+y�z;x(0)=s2;y0=�3y+9z;y(0)=s;z0=�3y+9z;z(0)=�s2;ysusolucionvienedadapor
8EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.8:SoluciondelEjercicio2.2.1
Figura1.9:Condicio[email protected](t;s)y(t;s)z(t;s)[email protected]�s21A;[email protected]�21�10�390�391A:Conlocualx(t;s)=1
2�(s2�s)e�2t)+s+s2;y(t;s)=1
2�(3�e6t)s+3(1�e6t)s2;z(t;s)=1
2�(1�e6t)s+(1�3e6t)s2:Lasuper ciesolucionserepresentaenlas guras1.8y1.9.Nuevamentevemosqueenelorigenlasuper ciesolucionsereduceaunpunto.utEnelultimoejerciciodeesteapartadosepresentaunejemploenelqueelsistemacaractersticonoeslineal.Apesardeelloesposibleobtenerlasolu-cionexplcitadelmismo,sibienesnecesariounanalisismasso sticadoqueelrealizadoenlosejerciciosanteriores.Esteproblemaponedemani estolane-cesidaddedesarrollarnuevosmetodosderesoluciondeecuacionescuasilinealesquepermitanevitareltenerqueresolverelsistemacaracterstico.Unodeestosmetodosconsistiraenlabusquedadeintegralesprimerasdelaecuacionysedesarrollaraenlasiguienteseccion.Ejercicio1.1.6Resolver(xy�u)ux+(y2�1)uy=yu�x;u2(x;0)=x2�1:Solucion:Enestecaso,dadoquesix�0, (s)=( 1(s); 2(s); (s))(coshs;0;senhs)
MetododelasBandasCaractersticas9esunaparametrizaciondelahiperbolaz2=x2�1;y=0;lacondiciondetransversalidadseveri casiemprequedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=senhs6=0,s6=0:Elsistemacaractersticovienedadoporelsiguientesistemanolineal:8:x0=xy�z;x(0)=coshs;y0=y2�1;y(0)=0;z0=yz�x;z(0)=senhs:Delasegundaecuaciondeducimos:t=Zt01ds=Zt0y0(s)
y2(s)�1ds=Zy(t)0dr
r2�1=1
2log1�y(t)
1+y(t):Porlotanto,y(t)=1�e2t
1+e2t=�tanht:Multiplicandolasdosrestantesecuacionesporelfactorintegrantee�Rt0y(s)ds=cosht;ydenotandoporx(t)=x(t)coshtyz(t)=z(t)cosht,elsistemaestudiadosetransformaen:x0(t)=�z(t);x(0)=coshs;z0(t)=�x(t);z(0)=senhs:Conlocualx00=�z0=x:Porconsiguientex(t)=c1(s)et+c2(s)e�tyz(t)=�x0(t)=�c1(s)et+c2(s)e�t:Porlotanto:coshs=x(0)=c1(s)+c2(s);senhs=z(0)=�c1(s)+c2(s):Deestemodoprobamosquelasoluciondelproblemaconsideradovienedadaenformaparametricaporlasiguienteexpresion:
10EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.10:SoluciondelEjercicio1.1.6x(t;s)=cosh(t�s)
cosht;y(t;s)=�tanht;z(t;s)=�senh(t�s)
cosht:Six0,lacondicioninicialvieneparametrizadapor (s)=(�coshs;0;senhs):Repitiendolosmismosargumentosqueenelcasoanterior,llegamosaquelasolucionenformaparametricaseescribedelsiguientemodo:x(t;s)=�cosh(t+s)
cosht;y(t;s)=�tanht;z(t;s)=senh(t+s)
cosht:Enamboscasospodemosobtenerunaexpresionexplcitadelasolucion.Realizaremosloscalculosparax�0,comoveremossixesnegativolosrazona-mientossonanalogos.
MetododelasBandasCaractersticas11�z2(t;s)+x2(t;s)=cosh2(t�s)�senh2(t�s)
cosh2t=1
cosh2t=y2(t;s)
senh2t=y2(t;s)
�1+cosh2t=y2(t;s)
�1+1
x2(t;s)�z2(t;s):Conlocual,lasolucionvienedadaenformaimplcitaporlaexpresiondelhiperboloideparabolicodeunahojax2+y2�z2=1;representadoenla gura1.10.Notesequeenlospuntos(1;0;0)lacurvainicialnoestransversalal ujo,sinembargoexistesolucionpasandoporambospuntos.ut1.1.2.EjerciciospropuestosResolverlassiguientesecuacionesenderivadasparciales:1.(9x�2y+3u)ux+9(x+u)uy=15x�6y+9u;u(0;x)=0:Solucion:�(t;s)=�e6ts�2t(3t+1);(18t2+6t�1);6t(t+1).2.(�2x+y�u)ux�2(x�u)uy=�5u;u(0;�x)=�2:Solucion:�(t;s)(x(t;s);y(t;s);z(t;s)),conx(t;s)=�e�ts+22
17sent�14
17e�5t+14
17e�tcost;y(t;s)=�e�ts(cost+sent)+8
17�e�5t�e�tcost�36
17e�tsent;z(t;s)=�2e�5t:3.(�2x+y�u)ux+(y+2u)uy=�2u;u(x2;�x)=x3�1:Solucion:�(t;s)(x(t;s);y(t;s);z(t;s)),conx(t;s)=e�ts2�ssenht+1
3�et�6e�t+5e�2t(s3�1)y(t;s)=�ets+2
3�et�e�2t(s3�1)z(t;s)=e�2t(s3�1)
12EcuacionesdePrimerOrden4.(2x+3y)ux+(�3x+2y)uy=6u;u(�x2;x2)=1:Solucion:�(t;s)=e2t�s2(sen3t�cos3t);s2(sen3t+cos3t);e4t.1.2.MetododelasIntegralesPrimerasComohaquedadodemani estoenelEjercicio1.1.6,silossistemascarac-tersticosconsideradossonnolinealeslaresoluciondelosmismospuedesermuycomplicaday,engeneral,practicamenteimposiblederesolverexplcitamente.Elmetododelasintegralesprimeraspermitesalvarelescollodelaresoluciondirectadelsistemacaractersticoasociado.Ladi cultadconsistiraenestecasoenlapropiabusquedadelasintegralesprimerasapropiadas.Acontinuacionpresentamosvariosproblemasresueltosporestatecnica.1.2.1.EjerciciosresueltosEjercicio1.2.1Obtenerlaexpresiondeunafamiliauniparametricadesolu-cionesdelaecuacionxux�uy=u:Solucion:LatransformadadeJacobivienedadaenestecasoporxwx�wy+zwz=0:Consideramoslossiguientesfactoresintegrantes(parax6=0yz6=0):a1=1
x;a2=0;a3=�1
z:Buscamosw:DR3!Runasoluciondelsistema:wx=a1;wy=a2;wz=a3:(1.1)Alserwy=0obtenemosquew=f(x;z).Porconsiguiente1
[email protected]
@x,deloquededucimosquef(x;z)=logjxj+g(z).Finalmente,alser�1
z=wz=g0(z),deducimosqueg(z)=�logjzj,conlocualw(x;y;z)=log x
z :Lasolucionu:VR2!Rvienedadaimplcitamenteporlaexpresionw=K2R;esdecirK=log x
u(x;y) o,loqueeslomismo,uc(x;y)=cx;c2R:ut
MetododelasIntegralesPrimeras13Nota1.2.1Fijemonosenquea1=z;a2=0;a3=�x;sonfactoresintegrantesdelaecuacionanterior.Sinembargonoexisteningunaintegralprimeraqueresuelvaelsistema(1.1)conestosfactores.Paracomprobarlo,essu cientetenerencuentaque,aligualqueenlaelec-cionanterior,w=f(x;z)[email protected]
@ximplicaquef(x;z)=zx+g(z),locual,juntoconlaigualdad�x=wz,nosllevaalasiguientecontradicciong0(z)=�2x:Estehechoponedemani estoqueparacadaelecciondefactoresintegran-tesnoestagarantizadalaexistenciadeunaintegralprimeraasociaday,comoconsecuencia,noesposibleobtenerunafamiliadesolucionesdelaecuacionconsiderada.Ejercicio1.2.2Obtenerlaexpresiondeunafamiliauniparametricadesolu-cionesdelaecuacionux+uuy=x+u:Solucion:LatransformadadeJacobies,enestecaso,wx+zwy+(x+z)wz=0:Losfactoresintegranteselegidossona1=x;a2=1;a3=�1:Aspueslasoluciondelsistemaasociado(1.1)seobtienedelsiguientemodo:Alser�1=wztenemosquew=�z+f(x;y)[email protected]
@ydeducimosquef(x;y)=y+g(x).Laultimaecuacionx=wx=g0(x)nosdicequew(x;y;z)=�z+y+x2
2eslaintegralprimerabuscada.PorlotantouK(x;y)=y+x2
2+K;K2R;esunafamiliauniparametricadesolucionesdelproblemaconsiderado.utEjercicio1.2.3Obtenerlaexpresiondeunafamiliauniparametricadesolu-cionesdelaecuacion(xy�u2)ux+xuy=u:Solucion:LatransformadadeJacobiesiguala(xy�z2)wx+xwy+zwz=0:
14EcuacionesdePrimerOrdenTomemoslossiguientesfactoresintegrantes:a1=1;a2=�y;a3=z:Lasoluciondelsistema(1.1)seobtiene,enestecaso,delsiguientemodo:Dadoquewx=1sabemosquew=x+f(y;z).Porotrolado,delaigualdad�[email protected]
@ydeducimosquef(y;z)=�y2
2+g(z).Finalmente,delhechodequez=wz,llegamosaquelaintegralprimerabuscadavienedadaporlasiguienteexpresion:w(x;y;z)=x�y2
2+z2
2:Porconsiguiente,paraK2Ry(x;y)2R2endominiosconvenientes,uK(x;y)=p
�2x+y2+Kesunafamiliauniparametricadesolucionesdelproblemadado.utEjercicio1.2.4Obtenerlaexpresiondeunafamiliauniparametricadesolu-cionesdelaecuacionsenxux+(x3�y)uy=sen2x:Solucion:LatransformadadeJacobiesigualasenxwx+(x3�y)wy+sen2xwz=0:Tomandolossiguientesfactoresintegrantes:a1=�2cosx;a2=0;a3=1;lasoluciondelsistema(1.1)seobtienecomosigue:Alser�2cosx=wx,deducimosquew=�2senx+f(y;z).Delasegundaigualdadobtenemosf(y;z)=g(z).Comoconsecuenciadelaexpresion1=wz=g0(z)concluimosquew(x;y;z)=z�2senx:AsuK(x;y)=2senx+K;K2R;esunadelasfamiliasbuscadas.utEjercicio1.2.5Calcularlaunicasoluciondelasiguienteecuacion:x(u2�y2)ux+y(x2�u2)uy=u(y2�x2);u(x;x)=1
x2;x�1:
MetododelasIntegralesPrimeras15Solucion:Enestecasolosdatosdelproblemasonf1(x;y;z)=x(z2�y2);f2(x;y;z)=y(x2�z2);f(x;y;z)=z(y2�x2)y (s)( 1(s); 2(s); (s))=s;s;1
s2:Dadoquedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=det s�1
s4�s21�s�1
s4�s21!=2s1
s4�s2;tenemosquelacondicioninicialestransversalal ujosiempreques6=0;1,conlocualesteproblematienesolucionunica.LatransformadadeJacobiserax(z2�y2)wx+y(x2�z2)wy+z(y2�x2)wz=0:Enunprimermomentoelegimoslossiguientesfactoresintegrantesa1=x;a2=y;a3=z:Laintegralprimeraasociadaaestosvaloresseobtieneteniendoencuentaquex=wx,conlocualw=x2
2+f(y;z)y,comoconsecuencia,[email protected]
@y(y;z)implicaquef(y;z)=y2
2+g(z).Finalmente,z=wz=g0(z)implicaquew(x;y;z)=x2
2+y2
2+z2
2esunaintegralprimeradeestaecuacion.Dadoquew( (s))=s2+1
2s4noesunafuncionconstante,debemosencontrarunasegundaintegralprime-rafuncionalmenteindependentedeesta.Paraelloconsideramoslossiguientesfactoresintegrantes:a1=1
x;a2=1
y;a3=1
z:Lasoluciondelsistema(1.1)seobtieneparaestosvaloresdelsiguientemodo:Alser1
x=wx,deducimosquew=logjxj+f(y;z).Delasegundaigualdadobtenemosquef(y;z)=logjyj+g(z):Delaultimaexpresionconcluimosquew(x;y;z)=log(jxyzj):
16EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.11:SoluciondelEjercicio1.2.5Ahorabien,dadoquew( (s))=log1=0;lafuncionde nidaimplcitamentealigualarestasegundafuncionaceronosdalasolucionbuscada,esdecir:u(x;y)=1
xy;representadaenla gura1.11.utEjercicio1.2.6Calcularlaunicasoluciondelasiguienteecuacion:(y�u)ux+(x�y)uy=u�x;u(1;y)=1;y0:Solucion:Enestecasolosdatosdelproblemasonf1(x;y;z)=y�z;f2(x;y;z)=x�y;f(x;y;z)=z�xy (s)( 1(s); 2(s); (s))=(1;s;1):Dadoquedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=det s�101�s1!=s�1;tenemosquelacondicioninicialestransversalal ujocuandos6=1,conlocualesteproblematienesolucionunica.
MetododelasIntegralesPrimeras17EnestecasolatransformadadeJacobivienedadaporlasiguienteexpresion:(y�z)wx+(x�y)wy+(z�x)wz=0:Enprimerlugarconsideramoslosfactoresintegrantesa1=a2=a3=1:Evidentementew=z+f(x;y):[email protected]
@y(x;y),sededucequef(x;y)=y+g(x),conlocual1=wx=g0(x).Deestemodo,probamosquew1(x;y;z)=x+y+zesunaintegralprimeradelaecuacion.Enestecaso,alnoserw1( (s))unafuncionconstante,necesitamosencontrarunhasegundaintegralprimerafuncionalmenteindependentedew1.Probemosahoraconlosfactoresintegrantesa1=x;a2=z;a3=y:Laintegralprimeraasociadaaestosfactoresvienedadaalresolverelsistema(1.1)comosigue:Dadoquex=wx,deducimosquew=x2
2+f(y;z),[email protected]
@y(y;z):Aspues,f(y;z)=zy+g(z).Delhechodequey=wz=y+g0(z)sededucequew2(x;y;z)=x2
2+zyeslaintegralprimerabuscada.Aligualqueenelcasoanterior,w2( (s))noesunafuncionconstante,porlotantolasolucionbuscadanoestade nidaimplcitamentealigualarw2aunaconstante.Porotrolado,dadoquerango@(w1;w2)
@(x;y;z)=rango111xyz=1,x=y=z;sabemosqueenlospuntosexterioresalarectax=y=zlasintegralesprimerasw1yw2sonfuncionalmenteindependientes.Ennuestrocaso,paray0estamosfueradeesarecta.PorconsiguientetodasoluciondelaecuaciondeJacobi,seraunacombinacionfuncionaldew1yw2:w(x;y;z)=Z(w1(x;y;z);w2(x;y;z)):ParacalcularlaexpresiondelafuncionZessu cientetenerencuentaquew1( (s))�w2( (s))=3
2:
18EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.12:SoluciondelEjercicio1.2.6Deestemodo,de niendoZ(p;q)=p�q�3
2;llegamosaquew(x;y;z)=w1(x;y;z)�w2(x;y;z)�3
2=x+y+z�x2
2�zy�3
2;eslaunicasoluciondelaecuaciondeJacobiqueseanulaalolargodelacurva .Dadoquewz=1�y6=0siemprequey6=1,sabemosqueestafuncionde neimplcitamentelaunicasoluciondelproblema,lacualvienedadaporlasiguienteexpresion(ver gura1.12):u(x;y)=2x+2y�x2�3
2y�2:utEjercicio1.2.7Calcularlaunicasoluciondelasiguienteecuacion:x2ux+y2uy�u2=0;u(x;2x)=1;x�0:Solucion:Enestecasolosdatosdelproblemavienendadosporf1(x;y;z)=x2;f2(x;y;z)=y2;f(x;y;z)=�z2y
MetododelasIntegralesPrimeras19 (s)( 1(s); 2(s); (s))=(s;2s;1):Dadoquedetf1( (s)) 01(s)f2( (s)) 02(s)=dets214s22=�2s26=0,s6=0;tenemosquelacondicioninicialestransversalal ujo,conlocualesteproblematienesolucionunica.LatransformadadeJacobivienedadaporlasiguienteexpresion:x2wx+y2wy+z2wz=0:Laprimeraelecciondefactoresintegrantesesa1=1
x2;a2=0;a3=�1
z2:Lasoluciondelsistema(1.1)seobtienedelsiguientemodo:Alser1
x2=wx,tenemosquew=�1
x+f(y;z).Delaecuacion0=wydeducimosquef(y;z)=g(z).Finalmente�1
z2=wzimplicaqueg(z)=1
z,conlocualtenemoslaintegralprimeraw1(x;y;z)=1
z�1
x:Dadoquew1( (s))noesconstantedebemosencontrarotraintegralprimerafuncionalmenteindependientedew1.Paraellotomamosa1=0;a2=1
y2;a3=�1
z2:Conlocual,dadoque0=wx,sabemosquew=f(y;z).Delasegundaigualdad1
y2=wy,deducimosquef(y;z)=�1
y+g(z).Conlocual,alser�1
z2=wz,obtenemoslasegundaintegralprimeraw2(x;y;z)=1
z�1
y:Claramentew2noesconstantealolargodelacurvainicial ,porlotantodebemosencontrarlasoluciongeneraldelaecuaciondeJacobi.Paraello,dadoquerango@(w1;w2)
@(x;y;z)=rango111xyz=2siemprequexyz6=0;lasoluciongeneralvienedadaporunacombinacionfuncionaldeambasfuncio-nes.
20EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.13:SoluciondelEjercicio1.3.7Lasolucionunicavendradadaporlaqueseaconstantealolargodelacurvainicial.Aspues,dadoquew1( (s))�2w2( (s))=�1;obtenemosquelasoluciondelaecuaciondeJacobivienedadaporw(x;y;z)=w1(x;y;z)�2w2(x;y;z)+1=�1
z�1
x+2
y+1;delaquededucimoslaexpresiondelasoluciondelproblemaconsideradocomou(x;y)=xy
xy�y+2x;yqueserepresentaenla gura1.13.utEjercicio1.2.8Calcularlaunicasoluciondelasiguienteecuacion:yzux+zxuy+xyuz=�xyz;u(x;y;0)=y2�x2
2;x�0;y�0:Solucion:Enestecasodebemosencontrarunafuncionu:Df(x;y;z)2R3;x�0;y�0gR3!R;siendoDunentornodelplanoz=0.Losdatosdelproblemavienendadosporf1(x;y;z;p)=yz;f2(x;y;z;p)=xz;f3(x;y;z;p)=xy;f(x;y;z;p)=�xyz
MetododelasIntegralesPrimeras21y (s1;s2)( 1(s1;s2); 2(s1;s2); 3(s1;s2); (s1;s2))=s1;s2;0;s22�s21
2:[email protected]( (s1;s2))@ 1
@s1(s1;s2)@ 1
@s2(s1;s2)f2( (s1;s2))@ 2
@s1(s1;s2)@ 2
@s2(s1;s2)f3( (s1;s2))@ 3
@s1(s1;s2)@ 3
@s2(s1;s2)1CCCCCCA=s1s2;lasuper cieestransversalal ujosiemprequexy6=0,conlocualesteproblematienesolucionunica.LaTransformadadeJacobisiguelaexpresionyzwx+zxwy+xywz�xyzwp=0:Buscamosunafuncionw:R4!Rqueresuelvalaecuacionanterioryqueseanulealolargodelacondicioninicial .Paraellodebemosencontrarlasoluciongeneraldelaecuacion.Estavendradadacomocombinacionfuncionaldetresintegralesprimerasfuncionalmenteindependientes.Enunprimermomentoelegimoslosfactoresintegrantesa1=x;a2=�y;a3=z;a4=1:Paracalcular,siexiste,laintegralprimeraasociada,debemosresolverelsistemawx=a1;wy=a2;wz=a3;wp=a4:(1.2)Paraello,delaexpresionwx=xdeducimosquew=x2
2+f(y;z;p).Dadoque�[email protected]
@y(y;z;p),sabemosquef(y;z;p)=�y2
2+g(z;p).Laterceraigualdadnosdicequeg(z;p)=z2
2+h(p).Porultimo,alser1=wp=h0(p),obtenemoslaexpresiondeunaintegralprimeracomow1(x;y;z;p)=x2
2�y2
2+z2
2+p:Debidoaquew1( (s1;s2))=s22
2noesunafuncionconstante,debemosencontrarunasegundasoluciondelaecuaciondeJacobi.Enestecasoprobamosconlossiguientesfactoresintegrantes:a1=�x;a2=y;a3=z;a4=1:Procediendocomoenelcasoanterior,llegamosaquew2(x;y;z;p)=�x2
2+y2
2+z2
2+p
22EcuacionesdePrimerOrdenesunaintegralprimeradelaecuaciondeJacobi.Aligualquew1,tenemosquew2( (s1;s2))=�s21+3
2s22noesunafuncionconstantey,porconsiguiente,necesitamosunatercerasoluciondelaecuaciondeJacobi.Paraellotomamoscomofactoresintegrantesa1=x;a2=y;a3=�z;a4=1:Lasoluciondelsistema(1.2)vienedadaporw3(x;y;z;p)=x2
2+y2
2�z2
2+p;quetampocoesconstantealolargode .Teniendoencuentaquerango@(w1;w2;w3)
@(x;y;z;p)[email protected]�yz1�xyz1xy�z11A=3siemprequex�0ey�0.LasoluciongeneraldelaecuaciondeJacobiseraw(x;y;z;p)=Z(w1(x;y;z;p);w2(x;y;z;p);w3(x;y;z;p));siendoZ:R3!RunafunciondeclaseC1.Noesdifcilveri carquelaunicasoluciondelaecuaciondeJacobiqueseanulaen seobtienede niendoZ(a;b;c)c�3a;esdecirw(x;y;z;p)=�x2+2y2�2z2�2p:Dadoquewp6=0,aligualarestaexpresionaceroobtenemoslaexpresiondelasolucionbuscada:u(x;y;z)=�x2+2y2�2z2
2:ut1.2.2.EjerciciospropuestosObtenerlaexpresiondeunafamiliauniparametricadesolucionesdelassiguientesecuaciones:1.ux+uuy=x+u:Solucion:u(x;y)=y+x2
2+K;K2R.
1.3.ECUACIONESDEPRIMERORDENNOLINEALES232.senysenuux+senxsenuuy=senxseny:Solucion:cos(u(x;y))=�cosx+cosy
2+K;K2R.3.senxux+(x3�y)uy=sen2x:Solucion:u(x;y)=2senx+K;K2R.4.(exu�cos2x)ux+senuuy=1:Solucion:u(x;y)=�y+K;K2R.Resolverlassiguientesecuacionesenderivadasparciales:1.yux�xuy=0;u(x;x)=x2:Solucion:u(x;y)=x2+y2
2.2.senyux+2senxuy=senxseny;u(0;y)=cosy:Solucion:u(x;y)=�3cosx+cosy+3.3.cos2y
2ux+uy=cosy;u(x;x)=x:Solucion:u(x;y)=2x�y.4.(eu+cosu)ux+(�eu+cosu)uy=eucosu;u(x;x)=�logjxj;x0;y0:Solucion:u(x;y)=log2
jx+yj.5.x(u2�y2)ux+y(x2�u2)uy=u(y2�x2);u(x;x)=1=x2:Solucion:u(x;y)=1
xy.6.(y�u)ux+(x�y)uy=u�x;u(1;y)=1:Solucion:u(x;y)=2(x+y)�x2�3
2(y�1).1.3.EcuacionesdePrimerOrdenNoLinealesSilaecuaciondeprimerordennoescuasilinealnotenemosgarantizadalaunicidaddesolucion.PorsupuestolastecnicasquehanresultadotanutilesenlasdosseccionesanterioresnopuedenserahoraaplicadasconlocualdebemosusarlaherramientadesarrolladaporMongeylaconstrucciondelconoquellevasunombre.Enloquesigueseresuelvenproblemasnolinealesconestatecnica.
24EcuacionesdePrimerOrden1.3.1.EjerciciosresueltosEjercicio1.3.1Obtenerlaexpresiondetodaslassolucionesdelsiguientepro-blema8:u2x�u2y=1;u(x;0)=1:Solucion:Lafuncionquede nelaecuaciones,enestecasoF(x;y;z;p;q)=p2�q2�1:Lacondicioninicialvieneparametrizadaporlaexpresion (s)( 1(s); 2(s); (s))=(s;0;1):Elsistemacaractersticovienedadoporlasiguienteexpresion8&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x0=Fp=2p;x(0)= 1(s)=s;y0=Fq=2q;y(0)= 2(s)=0;z0=pFp+qFq=2p2�2q2;z(0)= (s)=1;p0=�Fx�pFz=0;p(0)=p0(s);q0=�Fy�qFz=0;q(0)=q0(s);juntoconlacondicionadicionalF(x(t;s);y(t;s);z(t;s);p(t;s);q(t;s))=0=p2(t;s)�q2(t;s)�1:Paralaelecciondep0(s)yq0(s)necesitamoscompletarlacurvadatoaunabandainicial.Paraellosedebeveri carenunprimermomentolacondiciondebandap0(s) 01(s)+q0(s) 02(s)= 0(s);lacual,obviamente,sereescribecomop0(s)=0:Porlotanto,lacondiciondecompatibilidadsereduceaq20(s)=�1;locualesimposible.Porconsiguienteestacurvanuncapuedecompletarseaunabanday,comoconsecuencia,elproblemanotieneningunasolucion.utEjercicio1.3.2Obtenertodaslassolucionesdelsiguienteproblema8:u2x�u2y�2u=0;u(0;y)=(1+y)2:
EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales25Solucion:Enestecasolafuncionquede nelaecuacionvienedadaporlaexpresionF(x;y;z;p;q)=p2�q2�2z:Lacurvainicialestaparametrizadapor (s)( 1(s); 2(s); (s))=(0;s;(1+s)2):Elsistemacaractersticosera:8����&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x0=2p;x(0)=0;y0=�2q;y(0)=s;z0=2p2�2q2;z(0)=(1+s)2;p0=2p;p(0)=p0(s);q0=2q;q(0)=q0(s):(1.3)Lacondiciondecompatibilidadresultaserp2(t;s)�q2(t;s)=2z(t;s):(1.4)Lacondiciondebandanosdicequeq0(s)=2(1+s):Porconsiguiente,seracompatiblesiysolosip0(s)=p
6(1+s):Aspuestenemosunicamentedosbandasinicialescompatiblesconelpro-blemaconsiderado.Veamossicadaunadeellasnosdalugaraunasolucion.Paraellolasbandasdebensertransversalesal ujo.Estoocurresiysolosi06=detFp 01Fq 02=det2p0(s)0�2q0(s)1=2p0(s)=2p
6(1+s):Conlocualambasbandassontransversalessiempreques6=�1o,loqueeslomismo,lacurvanopaseporelpunto(0;�1;0).Paraobtenerlaexpresiondelassolucionesdebemosresolverloscorrespon-dientessistemasasociados.Tratemosenunprimermomentoelcasop0(s)=p
6(1+s):Delaigualdad(1.4)ydenotandoporR(t;s)[email protected](t;s)y(t;s)z(t;s)p(t;s)q(t;s)1CCCCA
26EcuacionesdePrimerOrdendeducimosqueelsistema(1.3)[email protected]
@tR(t;s)=BR(t;s)+b(t;s);R(0;s)=C(s):(1.5)Siendo,enestecaso,[email protected]�20040000020000021CCCCA;b(t;s)[email protected];C(s)[email protected](1+s)2p
6(1+s)2(1+s)1CCCCA:Dadoquelaunicasoluciondelproblema(1.5)vienedadaporlaformuladeLagrange:R(t;s)=eBtC(s)+Zt0eB(t�r)b(r;s)dr;(1.6)obtenemosquelaunicasolucionde(1.3)vienedadaporx(t;s)=p
6(1+s)(e2t�1);y(t;s)=s�2(1+s)(e2t�1);z(t;s)=(1+s)2e4t;p(t;s)=p
6(1+s)e2tyq(t;s)=2(1+s)e2t:Aspues,lasuper ciesolucionvienedada,enformaparametrica,por:�(t;s)=p
6(1+s)(e2t�1);s�2(1+s)(e2t�1);(1+s)2e4t:Paraobtenerlaexpresiondelasolucionencoordenadascartesianas,essu- cientetenerencuentaques=2
p
6x+y;ye2t=x
p
6(1+s)+1:
EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales27
Figura1.14:SoluciondelEjercicio1.3.1Deestemodo,llegamosau(x;y)=z(t(x;y);s(x;y))=(p
6(1+y)+3x)2
6:Lasegundasolucionseobtienealconsiderarp0(s)=�p
6(1+s)enelsistemacaracterstico.Siguiendolosmismospasosqueenelcasoanterior,deducimosquelasuper- ciesolucionvieneparametrizadaporlaexpresion�(t;s)=�p
6(1+s)(e2t�1);s�2(1+s)(e2t�1);(1+s)2e4t:Dedondesededucequeu(x;y)=(p
6(1+y)�3x)2
6:AmbassolucionesserepresentanenlaFigura1.14.Enlaquesepuedeob-servarcomoambasfuncionesysusderivadasparcialesrespectodexcoincidenalolargodelacondicioninicial.Ademaslosvaloresdelasrespectivasderivadasrespectodeyalolargodelacurvasonopuestos.utNota1.3.1Dadoquelastresultimasecuacionesdelsistema(1.3)solointer-vieneunavariable,esposibleresolverlasdirectamenteporlaformuladeLagran-geunidimensional(1.6).Claramente,unavezqueseobtienelaexpresiondepyq,esinmediatocalcularxeysinmasqueintegrar.Nota1.3.2Elproblemaanterior,aligualquetodosaquellosenlosqueelsis-temacaractersticoesunsistemalineal,puedeprogramarseenprogramasdecalculosimbolico.AcontinuacionsepresentanloscomandoscorrespondientesallenguajeMAPLEqueresolveranesteejercicio:
28EcuacionesdePrimerOrdenwith(linalg):with(Student[VectorCalculus]):B:=array([[0,0,0,2,0],[0,0,0,0,-2],[0,0,4,0,0],[0,0,0,2,0],[0,0,0,0,2]]);DD:=exponential(B,t);CC:=exponential(B,t-r);C0:=vector([0;s;(1+s)2;sqrt(6)(1+s);2+2s])BB:=vector([0,0,2,0,0])SS:=multiply(DD,C0);RR:=multiply(CC,BB);TT:=int(RR&#x]TJ/;༙ ; .96;& T; 7.;݉ ;� Td;&#x [00;,r=0..t);LL:=SS&#x]TJ/;༙ ; .96;& T; 7.;݈ ;� Td;&#x [00;+TT;Ejercicio1.3.3Resolverelsiguienteproblema8&#x]TJ/;༙ ; .96;& T; 7.;݈ ;� Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:xux+yuy+1
2(u2x+u2y)�u=0;u(x;0)=1�x2
2:Solucion:EnestecasoF(x;y;z;p;q)=xp+yq+1
2(p2+q2)�z;y (s)( 1(s); 2(s); (s))=(s;0;1�s2
2);s2R;sonlosdatosdelproblemaconsiderado.Elsistemacaractersticoaconsiderarsera,enestecaso8����&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x0=x+p;x(0)=sy0=y+q;y(0)=0z0=px+qy+p2+q2;z(0)=1
2(1�s2);p0=0;p(0)=p0(s);q0=0;q(0)=q0(s);(1.7)conjuntamenteconlaecuacionadicionalx(t;s)p(t;s)+y(t;s)q(t;s)+1
2(p2(t;s)+q2(t;s))=z(t;s):(1.8)
EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales29Lacondiciondebandaseveri casiysolosip0(s)=�s:Conlocuallacondiciondecompatibilidadesequivalenteaqueq0(s)=1.Lacondiciondetransversalidadseveri casiempreque06=detFp 01Fq 02=det01q0(s)0=�q0(s):Porconsiguienteelproblemaconsideradotienedossoluciones.Cadaunadeellasseobtieneresolviendoelsistema(1.7)juntoconlaecuacion(1.8)paracadabandainicialcorrespondiente.Esevidentequelasolucionasociadaalvalorq0(s)=1veri caquep(t;s)=�syq(t;s)=1:Porlotanto,teniendoencuentalaigualdad(1.8),paraobtenerelvalordelasrestantesvariablesessu cienteconusarlaexpresion(1.6)[email protected];b(t;s)[email protected]�s11+s2
21CA;C(s)[email protected]�s2
21CA:Porconsiguiente,obtenemosquex(t;s)=s;y(t;s)=et�1;yz(t;s)=et�(1+s2)
2:Lasuper cieparametrizadavienedadaporlaexpresion�(t;s)=s;et�1;et�1+s2
2;conlocual,lasolucionencoordenadascartesianasesigualau(x;y)=1�x2
2+y:
30EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.15:SoluciondelEjercicio1.3.3Cuandoq0(s)=�1,haciendolosmismosrazonamientosqueenelcasoante-rior,obtenemosquelasuper ciesolucionvieneparametrizadaporlaexpresion�(t;s)=s;1�et;et�1+s2
2;dedondededucimosqueu(x;y)=1�x2
2�yeslasegundasoluciondelproblemaconsiderado.Ambassolucionesserepresen-tanenlaFigura1.15.utEjercicio1.3.4Calcularlaexpresiondetodaslassolucionesdelsiguientepro-blema8:xux�2yuy+u2x�u2y+2u=0;u(x;0)=1�x2:Solucion:Lafuncionquede nelaecuacionvienedadaporF(x;y;z;p;q)=xp�2yq+p2�q2+2z:Lacurvainicialseparametrizadelsiguientemodo (s)( 1(s); 2(s); (s))=(s;0;1�s2):Porconsiguientedebemosresolverlasecuaciones8&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x0=x+2p;x(0)=s;y0=�2y�2q;y(0)=0;z0=px+2p2�2yq�2q2;z(0)=1�s2;p0=�3p;p(0)=p0(s);q0=0;q(0)=q0(s);(1.9)
EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales31
Figura1.16:SoluciondelEjercicio1.3.4conjuntamenteconlaecuaciondecompatibilidadx(t;s)p(t;s)�2y(t;s)q(t;s)+p2(t;s)�q2(t;s)+2z(t;s)=0:(1.10)Enestecasop0yq0debenveri carlassiguientespropiedades:(i)Condiciondebandainicial:p0(s) 01(s)+q0(s) 02(s)= 0(s),p0(s)=�2s:(ii)Condiciondecompatibilidad:F( 1(s); 2(s); (s);p0(s);q0(s))=0,sp0(s)+p20(s)�q20(s)=2(s2�1):(iii)Condiciondetransversalidad:06=detFp 01Fq 02=dets+2p0(s)1�2q0(s)0=2q0(s):Porlotantosabemosqueesteproblematieneexactamentedossolucionesquevienendadasparalossiguientesvalores:p0(s)=�2s;q0(s)=p
2:Calculemos,enunprimermomento,lasolucionasociadaalvalorq0(s)=p
2.Delasdosultimasecuacionesdelsistema(1.9)obtenemosdeinmediatoqueq(t;s)=p
2;yp(t;s)=�2se�3t:
32EcuacionesdePrimerOrdenPorconsiguiente,sinmasquetenerencuentalaecuacion(1.10),lasrestantesvariablessecalculancomolasoluciondelproblema(1.5)[email protected]�2000�21A;b(t;s)[email protected]�4se�3t�2p
24s2e�6t�21A;C(s)[email protected]�s21A:Aspuesobtenemosquex(t;s)=se�3t;y(t;s)=p
2(e�2t�1)yz(t)=�s2e�6t�1+2e�2t:Porlotantolasuper ciesolucionestaparametrizadaporlaexpresion�(t;s)=se�3t;p
2(e�2t�1);�s2e6t�1+2e�2t;�2se�3t;p
2:Delasexpresionesdexeynoesdifcilcomprobarqueu(x;y)=z(t(x;y);s(x;y))=�x2+1+p
2y:Cuandoq0(s)=�p
2,haciendosimilaresargumentacionesobtenemosqueu(x;y)=�x2+1�p
2y;Eslasegundasolucionbuscada(verFigura1.16).utEjercicio1.3.5Obtenerlaexpresiondetodaslassolucionesdelsiguientepro-blema8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:�xux�yuy+1
2(u2x�u2y)+u=0;u(x;0)=1
2(x2+1):Solucion:Enestecasolaecuacionvienede nidaporlafuncionF(x;y;z;p;q)=�xp�yq+1
2(p2�q2)+zylacondicioninicial (s)( 1(s); 2(s); (s))=(s;0;1
2(s2+1)):Secompruebaconfacilidadquelascondicionesdebandaycompatibilidadseveri cansiemprequep0(s)=syq0(s)=1:Dadoquelacondiciondetransversalidadsesatisfacesiempreque
EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales33detFp 01Fq 02=det01�q00=q06=0;deducimosqueesteproblematieneunicamentedossoluciones.Estasvendrandadasalresolverlossistemascaractersticosasociadosacadabandainicial,loscualessiguenlasiguienteexpresion:8�����&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x0=�x+p;x(0)=sy0=�y�q;y(0)=0z0=�xp+p2�yq�q2;z(0)=1
2(1+s2);p0=0;p(0)=s;q0=0;q(0)=q0(s);(1.11)conjuntamenteconlaecuacionadicionalz=xp+yq�1
2(p2�q2):(1.12)Consideremosenunprimermomentoelcasoq0=1.Delasdosultimasecuaciones,esevidentequep(t;s)=syq(t;s)=1:Usandoahoralaexpresion(1.12),sabemosquelastresprimerasvariablessonlaunicasoluciondelaecuacion(1.3),[email protected]�1000�1000�11A;b(t;s)[email protected]�1s2�1
21CA;C(s)[email protected]+1
21CA:Conlocualx(t;s)=s;y(t;s)=e�t�1yz(t;s)=e�t+1
2(s2�1):Lasolucionvendradadaporlaexpresionu(x;y)=1
2(1+x2)+y:Considerandoq0=�1obtenemosqueu(x;y)=1
2(1+x2)�yeslaotrasolucionbuscada(veasela gura1.17).ut
34EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.17:SoluciondelEjercicio2.3.3Ejercicio1.3.6Resolverelsiguienteproblema8:2xux+yuy+u2x�u2y�u=0;u(x;x)=x2;x&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0:Solucion:Lafuncionquede nelaecuacionesF(x;y;z;p;q)=2xp+yq+p2�q2�z:Lacondicioninicialseparametrizadelsiguientemodo (s)( 1(s); 2(s); (s))=(s;s;s2):Paracompletarlacondicioninicialaunabandainicialsedebeveri carlacondiciondebanda:p0+q0=2s;yladecompatibilidad:2sp0+sq0+p20�q20�s2=0:Esinmediatoveri carqueestesistematieneunaunicasoluciondadaporp0=3
5syq0=7
5s:DadoquedetFp 01Fq 02[email protected]
5s1�9
5s11CA=5s;
EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales35sabemosqueelproblemaconsideradotienesolucionunica.Paracalcularladebemosresolverelsistema(1.3),elcualvienedadoporlasiguienteexpresion:8��������&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x0=2x+2p;x(0)=sy0=y�2q;y(0)=sz0=2xp+2p2+yq�2q2;z(0)=s2;p0=�p;p(0)=3
5s;q0=0;q(0)=7
5s;(1.13)conjuntamenteconlaecuacionadicionalz=2xp+yq+p2�q2:(1.14)Denuevoestamosanteunsistemanolineal,sibiendelasdosultimasecua-cionesdeducimosdeinmediatoquep(t;s)=3
5se�tyq(t;s)=7
5s:Delaexpresion(1.14),deducimosquelastresprimerasvariablessonlaunicasoluciondelaecuacion(1.3),[email protected];b(t;s)[email protected]
5se�t�14
5s�49
25s2+9
25s2e�2t1CCCCA;C(s)[email protected]:Esdecir:x(t;s)=7
5se2t�2
5se�t;y(t;s)=�9
5set+14
5syz(t;s)=�21
25s2et�3
25s2e�2t+49
25s2:Lasuper cieparametrizadasiguelaexpresion�(t;s)=(7
5se2t�2
5se�t;�9
5set+14
5s;�21
25s2et�3
25s2e�2t+49
25s2)yserepresentaenlas guras1.18y1.19.ut
36EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.18:SoluciondelEjercicio2.2.3
Figura1.19:CondicioninicialEjercicio1.3.7Resolverelsiguienteproblema8:u2x+y2uy�5yu=0;u(x;1)=x2;x&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0:Solucion:EnestecasoF(x;y;z;p;q)=p2+y2q�5yzy (s)( 1(s); 2(s); (s))=(s;1;s2):Lacondiciondebandanosdicequep0(s)=2s;conlocuallacondiciondecompatibilidadsereduceaq0(s)=s2:DadoquedetFp 01Fq 02=det2p0(s)110=�1;sabemosqueelproblemaconsideradotieneunaunicasolucion.Paraobtenersuexpresiondebemosresolverelsistema8&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x0=2p;x(0)=sy0=y2;y(0)=1z0=2p2+y2q;z(0)=s2;p0=5py;p(0)=s2;q0=5z+5qy;q(0)=2s;(1.15)
EcuacionesdePrimerOrdenNoLineales37conjuntamenteconlaecuacionadicional5yz=p2+y2q:(1.16)Esevidentequeestesistemanolinealnopuedeserreducidoaunaexpresiondeltipo(1.5),conlocualdebemosresolverlodirectamente.Comencemosporlasegundaecuacion,enestecasotenemost=Zt01ds=Zt0y0(s)
y2(s)ds=Zy(t)1dr
r2=1�1
y(t):Porlotantoy(t;s)=1
1�t:Dadoqueconocemoselvalordey,lacuartaigualdaddelsistemasetrans-formaenlasiguienteecuacionlinealconcoe cientesvariablesp0
p=5
1�t;p(0)=2s:Sinmasqueintegrardirectamente,obtenemosquesuunicasolucionresultaserp(t;s)=2s
(1�t)5:Integrandoahoraenlaprimeradelasecuaciones,llegamosaquex(t;s)=s
(1�t)4:Finalmente,paracalcularlaexpresiondezdebemosresolverlaterceradelasigualdades.Enestecaso,usandolaigualdad(1.16)conjuntamenteconlasexpresionesdeyypobtenidaspreviamente,debemosresolverlaecuacionz0=5
1�tz+4s2
(1�t)10;z(0)=s2:Multiplicandoenestecasoporelfactorintegrante(1�t)5,obtenemosquelaunicasolucionvienedadaporz(t;s)=s2
(1�t)9:Lasuper cieparametrizadaesiguala�(t;s)=s
(1�t)4;1
1�t;s2
(1�t)9:Esevidentequeestasuper ciesecorrespondeconlaexpresionu(x;y)=z(t(x;y);s(x;y))=x2yyqueserepresentaenla gura1.20.ut
38EcuacionesdePrimerOrden
Figura1.20:SoluciondelEjercicio1.3.7Nota1.3.3Notesequeenelejercicioanteriornohasidonecesariocalcularelvalordeq(t;s).1.3.2.EjerciciospropuestosResolverlassiguientesecuacionesenderivadasparciales:1.u2x+u2y�2u=0;u(x;x)=1:Solucion:u(x;y)=(x�y+2)2
4;u(x;y)=(y�x+2)2
4.2.uxuy=2;u(x;x)=3x:Solucion:u(x;y)=2x+y;u(x;y)=x+2y:3.u3x�uy=0u(x;0)=p
x3;x2[0;1]:Solucion:u(x;y)=2s
x3
4�27y:4.2ux+u2y=2;u(0;y)=y2:Solucion:u(x;y)=x+2x2+y2
1+2x:5.u2x+u2y=1;u(1;y)=1:Solucion:u(x;y)=x;u(x;y)=2�x.
Captulo2EcuacionesdeSegundoOrden2.1.Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrdenEnestaseccionclasi caremosdistintasecuacionescuasilinealesdesegun-doordenbidimensionalessegunsucaracterhiperbolico,parabolicooelptico.Paraello,calcularemossuscurvascaractersticasylasreduciremosasuformacanonica.Finalmentecalcularemoslaexpresionexplcitadelaunicasolucionbuscada.2.1.1.EjerciciosResueltosEjercicio2.1.1Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuacionuxx�x4uyy�x4+4x
2x2ux+x4
2uy=0;(x;y)2D;(2.1)conD=f(x;y)2R2:x�0g:Denotandopornalvectornormalunitarioexterioralacorrespondientecurva,seconsideranlassiguientescondicionesiniciales:ux;�x3
3=x;unx;x3
3=0paratodox�0;(2.2)u(0;y)=y3;un(0;y)=0paratodoy2R:(2.3)u(x;0)=x3;un(x;0)=1paratodox�0;(2.4)Calcular,siexiste,laexpresiondelassolucionesdelosproblemas(2.1){(2.2),(2.1){(2.3)y(2.1){(2.4).39
40EcuacionesdeSegundoOrdenSolucion:Losvaloresdelosparametrosdelaecuaciongeneraldesegundoordensona=1;b=0yc=�x4,porconsiguiente=b2�ac=x4�0enDylaecuacioneshiperbolica.Paracalcularlaformacanonicadeestaecuacion,debemosobtenerlasdoscurvascaractersticasfuncionalmenteindependientes.Estasvienendadascomolassolucionesdelasiguienteecuacion(y0)2�x4=0;esdeciry0=x2;loquenosconduceay=x3
3+K;K2R:Debemosporlotantoconsiderarelsiguientecambiodevariable=y�x3
3;=y+x3
3;yencontrarunafuncionvquesatisfagalaexpresionv(;)=u(x;y):Aplicandolaregladelacadena,sabemosqueux=�x2(v�v);uy=v+v;uxx=�2x(v�v)+x4(v+2v+v)yuyy=v+2v+v:Enconsecuencia,laecuacion(2.1)sereescribecomov�1
4v=0:Denotandoporw=v,tenemosqueestaecuacionsereducealasiguientew�1
4w=0;cuyasoluciongeneralesw(;)=e=4f():Conlocuallasolucionbuscadaesigualav(;)=v(0;)+e=4Z0f(s)ds
Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden41o,loqueeslomismo,v(;)=e=4F()+G();conF(0)=0:Deshaciendoelcambiodevariable,concluimosquelasoluciongeneralde(2.1)esigualau(x;y)=e(y+x3
3)=4Fy�x3
3+Gy+x3
3;(2.5)siendoFyGfuncionesdeclaseC2talesqueF(0)=0.Resolverelproblema(2.1){(2.2)equivaleaencontrarunafuncionqueveri- quelaexpresion(2.5)conjuntamenteconlacondicioninicial(2.2),laprimeradecuyasigualdades,sereescribedelsiguientemodo:G(0)+F�2x3
3=ux;�x3
3=x:(2.6)Dadoqueelvectornormaln=(x2;1),tenemosquelasegundapartedelacondicioninicialesigualax2uxx;�x3
3+uyx;�x3
3
p
x4+1=unx;�x3
3=0;esdeciruyx;�x3
3=�x2uxx;�x3
3:(2.7)Derivandorespectodexeyenlaexpresion(2.5)ascomoenlaigualdad(2.6),sinmasquesustituiren(2.7)llegamosaquehadeveri carselosiguiente:x5
4+(G0(0)�G(0)+1
2x2)x4+x
4+G0(0)�G(0)�1
2x2=0;paratodox�0;locualesimposible.Porlotantoelproblema(2.1){(2.2)notienesolucion.Ellosedebeaquelacurvainicialesunacurvacaractersticadelproblema.Siabordamoselproblema(2.1){(2.3),aligualqueenelcasoanterior,debemostenerencuentaquelasoluciongeneraldelaecuacionesdelaforma(2.5),conlocualun(0;y)=�ux(0;y)=0paratodoy2R.Porlotantoesteproblematienein nitassolucionesdadasporlaexpresion(2.5)conFyGfuncionesdeclaseC2veri candoF(0)=0yez=4F(z)+G(z)=z3:Porejemplo,tomandoF(z)0yG(z)=z3obtenemoslasolucionu(x;y)=y+x3
33:
42EcuacionesdeSegundoOrden
Figura2.1:SoluciondelEjercicio2.1.1Porotrolado,side nimosF(z)z3yG(z)=z3(1�ez=4)llegamosalasiguienteexpresionu(x;y)=e(y+x3
3)=4y�x3
33+y+x3
3[email protected]�e(y+x3
3)=41CA:Esimportantetenerencuentaquelacondicionun(0;y)=0esunacondi-cionnecesariaquedebeveri cartodasoluciondelproblema(2.1),porlotantocualquierproblemaenelqueestevalorseadistintodeceronoseraresoluble.Pararesolverelproblema(2.1){(2.4)debemostenerencuentaquelasolu-ciongeneralvienedadaporlaigualdad(2.5).PorconsiguienteGx3
3+ex3=12F�x3
3=u(x;0)=x3:(2.8)DerivandoenambosmiembrosllegamosalaigualdadG0x3
3+1
4ex3=12F�x3
3�ex3=12F0�x3
3=3:(2.9)Porotrolado,alsern=(0;1),tenemosqueun(x;0)=uy(x;0);conlocual,derivandorespectodeyenlaexpresion(2.5),lasegundapartedelacondicioninicialsetransformaenG0x3
3+1
4ex3=12F�x3
3+ex3=12F0�x3
3=1:(2.10)Restando(2.10)de(2.9)obtenemoslasiguienteigualdad
Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden43F0�x3
3=�e�x3=12paratodox�0:PorconsiguientelafuncionFveri caF0(z)=�ez=4;F(0)=0;conlocualF(z)=�4(ez=4�1):Sustituyendoenlaexpresion(2.8)obtenemosqueGx3
3=x3+4(1�ex3=12);esdecirG(z)=3z+4(1�ez=4):Porlotanto,launicasoluciondelproblema(2.1){(2.4)esigualau(x;y)=3y+x3+4(1�ey=2);yserepresentaenla gura2.1.utEjercicio2.1.2Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuacion�y2uxx+uyy�4y2ux+4y2�1
yuy=0;(x;y)2D;(2.11)conD=f(x;y)2R2;y�0g:Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(0;y)=y2
2;un(0;y)=�1paratodoy�0:(2.12)Siendonelvectornormalunitarioexterioralacurva(0;y).Solucion:Enestecasotenemosquelosvaloresdelosparametrosdelaecuaciongeneraldesegundoordensona=�y2;b=0yc=1,conlocual=b2�ac=y2�0enD.Porconsiguientelaecuacioneshiperbolica.Paracalcularlasoluciongeneraldelproblemaconsideradoesnecesarioredu-cirloasuformacanonica.Paraellodebemosobtenerlasdoscurvascaractersti-casfuncionalmenteindependientes,lascualesvienendadascomolassolucionesgeneralesdelaecuacioncuadratica�y2(y0)2+1=0;esdeciryy0=1:
44EcuacionesdeSegundoOrden
Figura2.2:SoluciondelEjercicio2.1.2Sinmasqueintegrarenambosladosdelaecuacionobtenemosquelasdossolucionesbuscadasvienendadasporlaexpresiony2
2=x+K;K2R:Debemosporlotantoconsiderarelsiguientecambiodevariable=y2
2+x;=y2
2�x;yencontrarunafuncionvquesatisfagalaexpresionv(;)=u(x;y):Aplicandolaregladelacadena,sabemosqueux=v�v;uy=y(v+v);uxx=v�2v+v;yuyy=v+v+y2(v+2v+v):Porlotanto,laecuacion(2.11)sereduceav+2v=0:Denotandoporw=v,tenemosquesusoluciongeneralesw(;)=e�2f():
Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden45Conlocuallasolucionbuscadaesigualav(;)=v(;0)+e�2Z0f(s)dso,loqueeslomismo,v(;)=e�2F()+G();conF(0)=0:Deestemodo,concluimosquelasoluciongeneralde(2.11)esigualau(x;y)=e�(y2+2x)Fy2
2�x+Gy2
2+x;(2.13)siendoFyGfuncionesdeclaseC2talesqueF(0)=0.Paracalcularlaexpresiondelaunicasolucionde(2.11)quesatisfacelacondicioninicial(2.12)usamoselhechodequelasoluciongeneralvienedadaporlaigualdad(2.13)y,porconsiguientee�y2Fy2
2+Gy2
2=u(0;y)=y2
2:(2.14)Derivandoenambosmiembrosllegamosalaigualdad�2e�y2Fy2
2+e�y2F0y2
2+G0y2
2=1:(2.15)Dadoquen=(�1;0),tenemosqueun(0;y)=�ux(0;y);conlocual,derivandorespectodexenlaexpresion(2.13),lasegundapartedelacondicioninicialsetransformaen�2e�y2Fy2
2�e�y2F0y2
2+G0y2
2=1:(2.16)Restando(2.16)de(2.15)obtenemoslasiguienteigualdad2e�y2F0(y2
2)=0paratodoy�0:DedondededucimosquelafuncionFesconstante.DadoqueF(0)=0concluimosqueF0.Sustituyendoen(2.14)tenemosqueG(z)zy,porlotanto,launicasoluciondelproblema(2.11){(2.12)(vease gura2.2)esigualau(x;y)=y2
2+x:ut
46EcuacionesdeSegundoOrdenEjercicio2.1.3Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuaciony2uxx�x2uyy+y2(x2�2)
2xux+x2(y2+2)
2yuy=0;(x;y)2D;(2.17)siendoD=f(x;y)2R2:x�0;y�0g.Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(x;3x)=x2;un(x;3x)=x:(2.18)Siendonelvectornormalunitarioexterioralolargodelacurva(x;3;x).Solucion:Dadoque=b2�ac=x2y2�0enDsabemosquelaecuacioneshiperbolica.Lasdoscurvascaractersticassonlassolucionesgeneralesdelaecuacioncuadraticay2(y0)2�x2=0;esdeciryy0=x:Integrandoenambosladosdelaecuaciondeducimosquelasdossolucionesbuscadassony2=x2+K;K2R:Porlotantoconsideramoselsiguientecambiodevariable=y2�x2;=y2+x2;ybuscamosunafuncionvquesatisfagalaexpresionv(;)=u(x;y):Laregladelacadenanosdicequeux=�2x(v�v);uy=2y(v+v);uxx=�2(v�v)+4x2(v�2v+v);yuyy=2(v+v)+4y2(v+2v+v):Porlotanto,laecuacion(2.17)seescribeenlasnuevasvariablescomov�1
8v=0:
Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden47
Figura2.3:SoluciondelEjercicio2.1.3Denotandoporw=v,sabemosquew(;)=e=8f():Conlocuallasolucionbuscadaesigualav(;)=e=8F()+G();conF(0)=0:Comoconsecuencia,lasoluciongeneralde(2.17)esigualau(x;y)=e(y2�x2)=8F�y2+x2+G�y2�x2;(2.19)siendoFyGfuncionesdeclaseC2talesqueF(0)=0.Paracalcularlaexpresiondelaunicasolucionde(2.17){(2.18),delaigualdad(2.19)deducimosqueex2F�10x2+G�8x2=u(x;3x)=x2:(2.20)Derivandoenambosladosdelaigualdadobtenemosqueex2F�10x2+10ex2F0�10x2+8G0�8x2=1:(2.21)Porotrolado,elvectornormaln=(�3;1)=p
10,conlocual�3ux(x;3x)+uy(x;3x)
p
10=un(x;3x)=x:Derivandorespectodexenlaexpresion(2.19),laigualdadanteriorsetrans-formaen3ex2F(10x2)+24G0(8x2)=2p
10:(2.22)
48EcuacionesdeSegundoOrdenComoconsecuenciadeestasdosultimasexpresionesdeducimosque30F0(10x2)=(3�2p
10)e�x2paratodox�0:PorlotantolafuncionFsatisfacelaecuacionF0(z)=3�2p
10
30e�z=10;F(0)=0;esdecirF(z)=3�2p
10
31�e�z=10:Sustituyendoen(2.20)tenemosqueG(z)=z
8�3�2p
10
3ez=8�1:Aspues,launicasoluciondelproblema(2.17){(2.18)vienedadaporlaexpresionu(x;y)=y2�x2
8+3�2p
10
31�e(y2�9x2)=40yserepresentaenla gura2.3.utEjercicio2.1.4Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuacionuxx+4uxy+4uyy+u=0;(x;y)2R2:(2.23)Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(x;0)=senx;un(x;0)=cosx:(2.24)Siendonelvectornormalunitarioexterioralolargodelacurva(x;0).Solucion:Alsera=1,b=2yc=4,tenemosque=b2�ac=0y,porconsiguiente,laecuacionesparabolica.Launicacurvacaractersticaseobtienealresolverlaecuacion(y0)2�4y0+4=0;esdeciry0=2o,loqueeslomismo,y=2x+K,conK2R.Pararealizarelcambiodevariabletomamos=�2x+yyunasegundaaplicacionfuncionalmenteindependientedeesta.Conel ndequeloscalculosresultenlosmassimplesposibleselegimos=x.Esevidentequeambasfuncionessonindependientes:detxyxy=det�2110=�16=0:Denuevobuscamosunafuncionvqueveri quev(;)=u(x;y).Paraellobuscamoslaecuacionquenecesariamentehadeveri caresafuncion.
Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden49
Figura2.4:SoluciondelEjercicio2.3.4Teniendoencuentaqueux=�2v+v;uy=v;uxx=4v�4v+v;uxy=�2v+v;yuyy=v;ysustituyendoen(2.23),obtenemosquelafuncionvessoluciondelaecuaciondiferencialordinariadesegundoordenv+v=0;cuyasoluciongeneralvienedadaporlaexpresionv(;)=F()cos+G()sen;esdecirlasoluciongeneralde(2.23)esigualau(x;y)=F(y�2x)cosx+G(y�2x)senx;(2.25)conFyGfuncionesdeclaseC2.Paracalcularlaunicasolucionde(2.23){(2.24),usandolaexpresionpreviasabemosqueF(�2x)cosx+G(�2x)senx=u(x;0)=senx:(2.26)Alserelvectornormaln=(0;1),obtenemosquelasegundapartedelacondicioninicialsereescribecomo
50EcuacionesdeSegundoOrdenuy(x;0)=un(x;0)=cosx;esdecirF0(�2x)cosx+G0(�2x)senx=cosx:(2.27)Derivandoen(2.26)yusandoestaultimaexpresionllegamosaque�F(�2x)senx+G(�2x)cosx=3cosx:(2.28)Resolviendoelsistemaformadoporlasecuaciones(2.27)y(2.26)obtenemosqueF(z)=senzyG(z)=2+cosz:Lasolucionbuscadasera:u(x;y)=sen(y�2x)cosx+(2+cos(y�2x))senx=sen(y�x)+2senx;yserepresentaenla gura2.4.Esevidenteque,alcontrariodeloquesucedecuandoestamosanteunaecuacionhiperbolica,laeleccionde=xnoesunica.Porconsiguientelaexpresiondelasoluciongeneraldelaecuacionobtenidaen(2.25)puedediferirsegunelcambiodevariableusado.Entodocasoelconjuntoquede nesera,comoesnatural,elmismo.Ennuestrocaso,pudimoshaberde nido=y,conlocualux=�2v;uy=v+v;uxx=4v;uxy=�2(v+v);yuyy=v+2v+v;obteniendosequelafuncionvessoluciondelaecuaciondiferencialordinariadesegundoordenv+1
4v=0;cuyasoluciongeneralvienedadaporlaexpresionv(;)=F()cos=2+G()sen=2:Aspuessabemosquelaexpresiongeneraldelassolucionesde(2.23)tambienpuedeescribirsecomou(x;y)=F(y�2x)cosy=2+G(y�2x)seny=2;(2.29)conFyGfuncionesdeclaseC2.
Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden51Apartirdeestaexpresionpodemoscalcularlaunicasolucionde(2.23){(2.24)delmismomodoqueenelcasoanterior.Usando(2.29)deducimosqueF(�2x)=u(x;0)=senx;(2.30)conlocual,delaexpresionuy(x;0)=F0(�2x)+1
2G(�2x)=cosx;deducimosqueF(z)=senz=2yG(z)=3cosz=2:Launicasolucionde(2.23){(2.24)vienedadaporu(x;y)=�seny�2x
2cosy
2+3cosy�2x
2seny
2=sen(y�x)+2senx;comoyasabamos.utEjercicio2.1.5Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuacion�uxx+2uxy�uyy�3ux+3uy=0;(x;y)2R2:(2.31)Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(x;2x)=x3;un(x;2x)=0:(2.32)Siendonelvectornormalunitarioexterioralolargodelacurva(x;2x).Solucion:Alsera=c=�1yb=1,tenemosque=b2�ac=0y,porconsiguiente,laecuacionesparabolica.Launicacurvacaractersticaseobtienealresolverlaecuacion�(y0)2�2y0�1=0;esdeciry0=�1o,loqueeslomismo,y=�x+K,conK2R.Pararealizarelcambiodevariabletomamos=x+yjuntoconunasegundaaplicacionfuncionalmenteindependientedeesta.Conel ndequeloscalculosresultenlosmassimplesposibleselegimos=x.Denuevobuscamosunafuncionvqueveri quev(;)=u(x;y).Veamosqueecuacionveri canecesariamenteestafuncion.Esevidentequeux=v+v;uy=v;uxx=v+2v+v;uxy=v+v;
52EcuacionesdeSegundoOrdenyuyy=v:Conlocual,sustituyendoen(2.11),obtenemosquelafuncionvessoluciondelaecuaciondiferencialordinariadesegundoordenv+3v=0:Denotandowvesevidentequew(;)=F()e�3.Porlotanto,inte-grandorespectodellegamosalasiguienteexpresionv(;)=G()+F()1�e�3
3;esdecirlasoluciongeneralde(2.11)esigualau(x;y)=G(x+y)+F(x+y)1�e�3x
3(2.33)conFyGfuncionesdeclaseC2.Paracalcularlaunicasolucionde(2.31){(2.32),usandolaexpresionpreviadeducimosqueG(3x)+F(3x)1�e�3x
3=u(x;2x)=x3:(2.34)Alserelvectornormaln=(�2;1),sabemosquelasegundapartedelacondicioninicialsereescribecomo0=un(x;2x)=�2ux(x;2x)+uy(x;2x)
p
5;esdeciruy(x;2x)=2ux(x;2x):Combinandoestaultimaexpresionconlasegundaigualdaden(2.34),llega-mosalasiguientepropiedad3x2=du
dx(x;2x)=ux(x;2x)+2uy(x;2x)=5ux(x;2x);conlocualux(x;2x)=3
5x2yuy(x;2x)=6
5x2:Derivandorespectodexeyen(2.33)yusandoestasigualdades,obtenemosque�3
5x2=ux(x;2x)�uy(x;2x)=F(3x)e�3x:Finalmente,sustituyendoen(2.34),deducimosqueG(3x)=x3+x2
5�e3x�1:
Clasi caciondeEcuacionesCuasilinealesdeSegundoOrden53DeestemodolaunicasolucionbuscadaestacaracterizadaporlasfuncionesF(z)=�z2ez
15yG(z)=z3
27+z2
45(ez�1);conlocualu(x;y)=(x+y)3
27+(x+y)2
45�e�2x+y�1:ut2.1.2.EjerciciospropuestosEjercicio2.1.6Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuacionuxx�x2uyy+4x2�1
xux�4x2uy=0;(x;y)2D;conD=f(x;y)2R2:x�0;y�0g:Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(x;0)=x2;un(x;0)=0paratodox�0:SiendonelvectornormalunitarioexterioraDalolargodelacurva(x;0).Solucion:Lasoluciongeneralesigualau(x;y)=G(2y+x2)+F(2y�x2)e�(2y+x2);ConFyGdosfuncionesdeclaseC2yF(0)=0.Launicasoluciondelproblemainicialvienedadaporlaexpresionu(x;y)=2y+x2+(e�4y�1)=2:Ejercicio2.1.7Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuaciony2uxx�uyy+4y2ux+1+4y2
yuy=0;(x;y)2D;conD=f(x;y)2R2:x�0;y�0g:Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(0;y)=�y2;un(0;y)=0paratodoy�0:Siendonelvectornormalunitarioexterioralacurva(0;y).Solucion:Lasoluciongeneralesigualau(x;y)=F(y2+2x)e�2x+y2+G(2x�y2);ConFyGdosfuncionesdeclaseC2yF(0)=0.Launicasoluciondelproblemainicialvienedadaporlaexpresionu(x;y)=e�4x�1
2+2x�y2:
54EcuacionesdeSegundoOrdenEjercicio2.1.8Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuaciony2uxx�uyy+1
yuy=0;(x;y)2D;conD=f(x;y)2R2:y�0g:Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(0;y)=y2;un(y;0)=yparatodoy�0:Siendonelvectornormalunitarioexterioralacurva(0;y).Solucion:Lasoluciongeneralesigualau(x;y)=F(y2�2x)+G(y2�2x);siendoFyGdosfuncionesdeclaseC2yF(0)=0.Launicasoluciondelproblemainicialvienedadaporlaexpresionu(x;y)=y2+p
(y2�2x)3�p
(y2+2x)3
6:Ejercicio2.1.9Obtenerlasoluciongeneraldelasiguienteecuacion�uxx+2uxy�uyy�ux+uy=0;(x;y)2R2:Calcularlaexpresiondelaunicasolucionqueveri calascondicionesini-cialesu(x;x)=x;un(x;x)=0paratodox2R:Siendonelvectornormalunitarioexterioralacurva(x;x).Solucion:Lasoluciongeneralesigualau(x;y)=F(x+y)(ey�1)+G(x+y);ConFyGdosfuncionesdeclaseC2.Launicasoluciondelproblemainicialvienedadaporlaexpresionu(x;y)=x+y
2:2.2.EcuacionesHiperbolicasEnestaseccionresolvemosecuacionesparabolicasdedimensionmenoroigualquetres.Enestecasousaremoslasformulasdelaintegraldesuper cieylosclasicosteoremasdelcambiodevariableparalaresoluciondelasintegralesquesurgenenlaresoluciondelosproblemasconsiderados
EcuacionesHiperbolicas55
Figura2.5:SoluciondelEjercicio2.2.12.2.1.EjerciciosResueltosEjercicio2.2.1Resolverelsiguienteproblemadedimensionuno8:utt(x;t)�uxx(x;t)=xe�t�1;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=cos2x;x2R;ut(x;0)=e�x;x2R:Solucion:UsandolaformuladeD'Alembertdeducimosquelaunicasolucionvienedadaporlasiguienteexpresion:u(x;t)=1
2Zt0Zx+t�sx�t+sye�s�1dyds+cos2(x+t)+cos2(x�t)+Zx+tx�te�ydy=1
2Zt0(x+t�s)2�(x�t+s)2
2e�s�1ds+cos2(x+t)+cos2(x�t)+et�x�e�t�x=1
22xZt0(t�s)e�s�1ds+cos2(x+t)+cos2(x�t)+et�x�e�t�x=x
e(t�1+e�t)+e�xsenht+1
2�cos2(x+t)+cos2(x�t):Enla gura2.5serepresentanlosvaloresdelasolucionparaciertosvaloresdet.ut
56EcuacionesdeSegundoOrden
Figura2.6:SoluciondelEjercicio2.2.2Ejercicio2.2.2Resolverelsiguienteproblemaunidimensional:8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:utt(x;t)�uxx(x;t)=(x+t)2;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=x
2;x2R;ut(x;0)=senhx;x2R:Solucion:AplicandodenuevolaformuladeD'Alembertllegamosa(veasela gura2.6):u(x;t)=1
2Zt0Zx+t�sx�t+s(y+s)2dyds+x+t
2+x�t
2+Zx+tx�tsenhydy=1
2Zt0(x+t)3�(x�t+2s)3
3ds+x+cosh(x+t)�cosh(x�t))=1
2t4
3+2t2x
3+t2x2+x+cosh(x�t)�cosh(x�t):utEjercicio2.2.3Resolverlasiguienteecuacionbidimensional8:utt(x;y;t)�xu(x;y;t)=xyet;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x;y2R;u(x;y;0)=x2�y;x;y2R;ut(x;y;0)=x+y;x;y2R:Solucion:Enestecaso,elmetododeldescensodeHadamardnosdicequelasoluciondeesteproblemavienedadaporlaexpresion.
EcuacionesHiperbolicas57u(x;y;t)=u1(x;y;t)+u2(x;y;t)+u3(x;y;t);(2.35)donde:u1(x;y;t)=1
2Zt0ZB((x;y);t�s)pqes
p
(t�s)2�(x�p)2�(y�q)2dpdqds;u2(x;y;t)[email protected]
@t 1
2ZB((x;y);t)p2�q
p
t2�(p�x)2�(q�y)2dpdq!yu3(x;y;t)=1
2ZB((x;y);t)p+q
p
t2�(p�x)2�(q�y)2dpdq:Debemos,porconsiguiente,calcularlasintegralesanteriores.Paraello,rea-lizandoelcambiodecoordenadasp�x=(t�s)rcos;q�y=(t�s)rsen;yaplicandoelteoremadelcambiodevariable,obtenemosque:u1(x;y;t)=1
2Zt0Z10Z20(x+(t�s)rcos)(y+(t�s)rsen)es
p
1�r2r(t�s)ddrds=xyZt0Z10r(t�s)es
p
1�r2drds=xyZt0(t�s)esds=xy(et�1�t):Realizandoahoraelcambiodecoordenadasp�x=trcos;q�y=trsen;(2.36)yusandodenuevoelteoremadelcambiodevariable,obtenemosque:ZB((x;y);t)p2�q
p
t2�(p�x)2�(q�y)2dpdq=Z10Z20(x+trcos)2
p
1�r2trddr�Z10Z20(y+trsen)
p
1�r2trddr=2tZ10t2r2
2+x2�y
p
1�r2rdr=2t(t2
3+x2�y):
58EcuacionesdeSegundoOrden
Figura2.7:u(x;y;0)
Figura2.8:u(x;y;1)Porlotanto:u2(x;y;t)=t2+x2�y:Finalmente,deformaanalogaalaanteriorintegral,llegamosaqueu3(x;y;t)=1
2Z10Z20x+trcos+y+trsen
p
1�r2trddr=(x+y)tZ10dr
p
1�r2=(x+y)t:Conlocual,lasolucionbuscadavienedadaporlaexpresionu(x;y;t)=xy(et�1�t)+t2+x2�y+(x+y)t;yqueserepresentaenlas guras2.7y2.8parat=0yt=1.utEjercicio2.2.4Resolverlasiguienteecuacionbidimensional8:utt(x;y;t)�xu(x;y;t)=x3�ycost;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x;y2R;u(x;y;0)=x�y;x;y2R;ut(x;y;0)=x+y3;x;y2R:Solucion:Aligualqueenelejercicioanterior,sabemosquelaunicasoluciondeesteproblemavienedadaporlaexpresionu(x;y;t)=u1(x;y;t)+u2(x;y;t)+u3(x;y;t):Enestecaso:
EcuacionesHiperbolicas59
Figura2.9:u(x;y;0)
Figura2.10:u(x;y;1)u1(x;y;t)=1
2Zt0Z10Z20(x+(t�s)rcos)3�(y+(t�s)rsen)coss
p
1�r2r(t�s)ddrds=Zt0Z102x3+3x(t�s)r2�2ycoss
2p
1�r2r(t�s)drds=Zt0�(t�s)2x+x3�ycoss(t�s)ds=1
4�t4x+2t2x3�4y+4ycost:Porotrolado:1
2ZB((x;y);t)pq
p
t2�(p�x)2�(q�y)2dpdq=1
2Z10Z20(trcos+x)(trsen+y)tr
p
1�r2ddr=txyZ10r
p
1�r2dr=txy:Conlocual:u2(x;y;t)[email protected]
@t 1
2ZB((x;y);t)pq
p
t2�(p�x)2�(q�y)2dpdq!=xy:Porultimo:
60EcuacionesdeSegundoOrdenu3(x;y;t)=1
2Z10Z20tr
p
1�r2(trcos+x+(trsen+y)3)ddr=Z10tr
2p
1�r2(2x+3r2t2y+2y3)dr=t(x+t2y+y3):Lasolucionbuscada(veanselas guras2.9y2.10)vienedadaporlaexpre-sionu(x;y;t)=1
4�t4x+2t2x3�4y+4ycost+xy+t(x+t2y+y3):utEjercicio2.2.5Resolverlasiguienteecuaciontridimensional8:utt(x;y;z;t)�xu(x;y;z;t)=z�yt3;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x;y;z2R;u(x;y;z;0)=xy;x;y;z2R;ut(x;y;z;0)=x+y;x;y;z2R:Solucion:Enestecasolasolucionvienedadaporlasiguienteexpresion:u(x;y;z;t)=u1(x;y;z;t)+u2(x;y;z;t)+u3(x;y;z;t)+u4(x;y;z;t):Dondeu1(x;y;z;t)=1
4[email protected]((x;y;z);t)pqdSpqw;u2(x;y;z;t)=1
4[email protected]((x;y;z);t)(p+q)dSpqw;u3(x;y;z;t)=1
4[email protected]((x;y;z);t)(y(p�x)+x(q�y))dSpqwyu4(x;y;z;t)=Zt01
4(t�s) [email protected]((x;y;z);t�s)�w�qs3dSpqw!dt:Aplicandolade niciondeintegraldesuper cie,deducimosqueu1(x;y;z;t)=1
4[email protected]((x;y;z);t)pqdSpqw=1
2tZB((x;y);t)pq
p
t2�(x�p)2�(y�q)2dpdq:
EcuacionesHiperbolicas61Realizandoelcambiodecoordenadas(2.36),tenemosqueestaultimaexpre-sionesiguala1
2Z10Z20(x+trcos)(y+trsen)r
p
1�r2ddr=xyZ10r
p
1�r2dr=xy:Delmismomodo,tenemosque:u2(x;y;z;t)=1
2Z10Z20(x+trcos+y+trsen)rt
p
1�r2ddr=t(x+y)Z10r
p
1�r2dr=t(x+y)yu3(x;y;z;t)=t
2Z10Z20(xrtcos+yrtsen)
p
1�r2rddr=0:Finalmente,paracalcularu4,usandolade niciondeintegraldesuper cie,[email protected]((x;y;z);t�s)�w�qs3dSpqw=ZB((x;y);t�s)z+p
(t�s)2�(p�x)2�(q�y)2�qs3
p
(t�s)2�(p�x)2�(q�y)2dpdq+ZB((x;y);t�s)z�p
(t�s)2�(p�x)2�(q�y)2�qs3
p
(t�s)2�(p�x)2�(q�y)2dpdq=2ZB((x;y);t�s)z�qs3
p
(t�s)2�(p�x)2�(q�y)2dpdq;conlocualu4(x;y;z;t)=1
2Zt0ZB((x;y);t�s)z�qs3
p
(t�s)2�(p�x)2�(q�y)2dpdqds=1
2Zt0Z10Z20z�(y+r(t�s)sen)s3
p
1�r2r(t�s)ddrds=Zt0Z10z�ys3
p
1�r2r(t�s)drds=Zt0(t�s)(z�ys3)ds=zt2
2�yt5
20:
62EcuacionesdeSegundoOrdenAspues,lasolucionbuscadaesigualau(x;y;z;t)=xy+t(x+y)+zt2
2�yt5
20:utEjercicio2.2.6Resolverlasiguienteecuaciontridimensional8:utt(x;y;z;t)�xu(x;y;z;t)=y2sent;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x;y;z2R;u(x;y;z;0)=x2+y2;x;y;z2R;ut(x;y;z;0)=y�z;x;y;z2R:Solucion:Nuevamente,lasolucionvienedadacomolasumadecuatrofun-ciones:u(x;y;z;t)=u1(x;y;z;t)+u2(x;y;z;t)+u3(x;y;z;t)+u4(x;y;z;t);Enestecasou1(x;y;z;t)=1
4[email protected]((x;y;z);t)�p2+q2dSpqw=1
2tZB((x;y;z);t)p2+q2
p
t2�(x�p)2�(y�q)2dpdq=1
2Z10Z20(x+trcos)2+(y+trsen)2
p
1�r2rddr=Z10r
p
1�r2(r2t2+x2+y2)dr=x2+y2+2t2
3;
EcuacionesHiperbolicas63u2(x;y;z;t)=1
4[email protected]((x;y;z);t)(p�w)dSpqw=1
4ZB((x;y);t)q�p
t2�(p�x)2�(q�y)2�z
p
t2�(x�p)2�(y�q)2dpdq+1
4ZB((x;y);t)q+p
t2�(p�x)2�(q�y)2�z
p
t2�(x�p)2�(y�q)2dpdq=1
2ZB((x;y);t)q�z
p
t2�(x�p)2�(y�q)2dpdq=1
2Z10Z20y+trsen�z
p
1�r2rtddr==t(y�z)Z10r
p
1�r2dr=t(y�z;u3(x;y;z;t)=1
2[email protected]((x;y;z);t)(p(p�x)+q(q�y))dSpqw=t
Z10Z20(x+rtcos)rcos+(y+rtsen)rsen
p
1�r2rddr=2t2Z10r3
p
1�r2dr=4
3t2yu4(x;y;z;t)=Zt01
4(t�s) [email protected]((x;y;z);t�s)q2sensdSpqw!ds=1
2Zt0Z10Z20(y+r(t�s)sen)2sens
p
1�r2(t�s)rddrds=Zt0Z10(r2(t�s)2+2y2)sens
2p
1�r2r(t�s)drds=1
3Zt0(t�s)((t�s)2+3y2)sensds=1
3t(3y2+t2�6)+(2�y2)sent:Conlocual,lasolucionbuscadaesigualau(x;y;z;t)=x2+y2+t3
3+2t2+t(y2+y�z�2)+(2�y2)sent:
64EcuacionesdeSegundoOrdenutEjercicio2.2.7Calcularlaexpresiondelassolucionesradialesu(x;t)v(kxk;t)delaecuacionutt(x;t)�4xu(x;t)=0;x2R3;t�0:(2.37)Usarlaformulaobtenidaparacalcularlaunicasoluciondelaecuacionan-teriorconcondicionesinicialesu(x;0)=0yut(x;0)=kxk.Solucion:Denotandoporr=kxk,teniendoencuentaqueutt(x;t)=vtt(r;t);uxi(x;t)=vr(r;t)xi
r;paratodoi=1;2;3;yuxixi(x;t)=vr(r;t)r2�x2i
r3+vrr(r;t)x2i
r2;paratodoi=1;2;3:Deducimosque4u(x;t)=vrr(r;t)+2
rvr(r;t):Conlocual,laecuaciondepartidasetransformaenlaecuacionunidimen-sionalvtt(r;t)�4vrr(r;t)+2
rvr(r;t)=0:De niendoahoraw(r;t)=rv(r;t);tenemosquewesresuelvelasiguienteecuacionconcoe cientesconstanteswtt(r;t)�4wrr(r;t)=0;r�0;t�0:Estamospuesanteunaecuacionlinealdesegundoordenconcoe cientesconstantes,cuyodiscriminanteesiguala4,conlocuallaecuacioneshiperbolica.Enestecasolascurvascaractersticasquenoscaracterizanelcambiodevariablevienendadasalresolverlasecuacionesdiferencialesordinariasy0=2:Porlotantoelcambiodevariablesera=(r;t)=t+2r;= (r;t)=t�2r:Noesdifcilveri carquez(;)w(r;t)satisfacelaecuacion
EcuacionesHiperbolicas65z=0;cuyasoluciongeneralvienedadaporz(;)=f()+g();conf(0)=0;o,demodoequivalente,w(r;t)=f(r+2t)+g(r�2t);conf(0)=0:Aspues,lasoluciongeneraldelaecuacion(2.37)vienedadaporlaexpresionu(x;t)=v(kxk;t)=f(kxk+2t)+g(kxk�2t)
kxk;conf(0)=0:Enelcasoparticulardelascondicionesinicialesu(x;0)=0yut(x;0)=kxk,deducimosdelaexpresiongeneralquef=�g.Derivandorespectodettenemosqueut(x;t)=2f0(kxk+2t)+2f0(kxk�2t)
kxk;conlocualkxk=ut(x;0)=4f0(kxk)
kxk:Porlotantof0(r)=r2
4y,porconsiguiente,f(r)=r3
12:Laexpresiondelaunicasolucionbuscada,vienedadaporu(x;t)=(kxk+2t)3�(kxk�2t)3
12kxk:ut2.2.2.EjerciciospropuestosResolverlassiguientesecuacionesenderivadasparciales:1.8:utt(x;t)�uxx(x;t)=x+t;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=x2;x2R;ut(x;0)=�2x;x2R:Solucion:u(x;t)=t3
6+t2+1
2(t�4)tx+x2:
66EcuacionesdeSegundoOrden2.8:utt(x;t)�uxx(x;t)=xet;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=senx;x2R;ut(x;0)=coshx;x2R:Solucion:u(x;t)=x(et�t�1)+costsenx+coshxsenht:3.8:utt(x;t)�uxx(x;t)=cos(x�t);t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=ex=2;x2R;ut(x;0)=x3;x2R:Solucion:u(x;t)=�sen2tcos(t+x)+tsen(t�x)+1
2sen2tsen(t+x)+e(t+x)=2+e(x�t)=2=2+tx(t2+x2):4.8��&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:utt(x;y;t)�xu(x;y;t)=x+y
1+t2;t�0;x;y2R;u(x;y;0)=x2�y2;x;y2R;ut(x;y;0)=x;x;y2R:Solucion:u(x;y;t)=tx+t2x
2+x2�y2+tyarctant�ylogp
1+t2:5.8��&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:utt(x;y;t)�xu(x;y;t)=x+y
p
1+t2;t�0;x;y2R;u(x;y;0)=4�y;x;y2R;ut(x;y;0)=xy�5y2;x;y2R:Solucion:u(x;y;t)=4�5
3t3�y+txy�5ty2+(x+y)1+tarcsenht�p
1+t2:6.8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:utt(x;y;t)�xu(x;y;t)=ycosht;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x;y2R;u(x;y;0)=�x2�y2;x;y2R;ut(x;y;0)=y�x;x;y2R:Solucion:u(x;y;t)=�2t2+t(y�x)+y(cosh(t)�1)�x2�y2:
2.3.ECUACIONESPARABOLICAS677.8��&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:utt(x;y;z;t)�xu(x;y;z;t)=z
2;t�0;x;y;z2R;u(x;y;0)=z2;x;y;z2R;ut(x;y;0)=xy;x;y;z2R:Solucion:u(x;y;z;t)=t2+txy+tz+t2z
4+z2:8.8:utt(x;y;z;t)�xu(x;y;z;t)=ye�t;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x;y;z2R;u(x;y;0)=z;x;y;z2R;ut(x;y;0)=x+y+z;x;y;z2R:Solucion:u(x;y;z;t)=xt+y�2t�1+e�t+z(t+1):9.8&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:utt(x;y;t)�xu(x;y;t)=xsen2t;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x;y2R;u(x;y;0)=�y;x;y2R;ut(x;y;0)=xy;x;y2R:Solucion:u(x;y;t)=1
8x�2t2+cos2t�1+y(tx�1):10.8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:utt(x;y;z;t)�xu(x;y;z;t)=z�1
t+1;t�0;x;y;z2R;u(x;y;0)=z�3y;x;y;z2R;ut(x;y;0)=y�z;x;y;z2R:Solucion:u(x;y;z;t)=t(y�z)+(z�1)((t+1)log(t+1)�t)�3y+z:2.3.EcuacionesParabolicasEnestaultimaseccionresolvemosecuacionesparabolicasdeuna,dosytresdimensiones.Paraellousaremoslaexpresiongeneraldelasolucion,sibienusaremoslaspropiedadescualitativasdelasfuncionesqueintervienenenlaexpresionparapoderresolverlasdirectamente.
68EcuacionesdeSegundoOrden2.3.1.EjerciciosresueltosEjercicio2.3.1Resolverlasiguienteecuacionunidimensional8:ut(x;t)�uxx(x;t)=et;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=cos3x;x2R:Solucion:De niendoparatodox2Ryt&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0elnucleointegralKdelsiguientemodoK(x;t)=1
p
4te�x2
4t;(2.38)ydenotandoporu1(x;t)Zt0ZRK(x�y;t�s)esdydsyu2(x;t)ZRK(x�y;t)cos3ydy;(2.39)sabemosquelaunicasolucionbuscadavienedadaporlaexpresionu(x;t)=u1(x;t)+u2(x;t):Porotrolado,dadoqueZRK(z;r)dz=1;paratodor�0;(2.40)deducimosqueu1(x;t)=Zt0esZRK(x�y;t�s)dyds=et�1:Sinembargoresolverlaintegral(2.39)esmuchomascomplicado.Paraellodebemostenerencuentaqueu2eslaunicasoluciondelsiguienteproblemavt(x;t)�vxx(x;t)=0;t�0;v(x;0)=cos3x:(2.41)Esteproblemapuederesolversebuscandounasoluciondadaenvariablessepa-radasv(x;t)=X(x)T(t):Conlocuallaecuacion(2.41)setransformaenX(x)T0(t)�X00(x)T(t)=0;X(x)T(0)=cos3x:Delasegundaigualdad,deducimosque,casodeexistirsoluciondeestetipo,necesariamentesehadeveri carqueX(x)=cos3x
T(0)ccos3x:
EcuacionesParabolicas69
Figura2.11:SoluciondelEjercicio2.3.1PorconsiguienteX00(x)=�9X(x):Aspues,deducimosquelaprimeradelasecuacionessetransformaenX(x)(T0(t)+9T(t))=0;paratodox2Ryt�0:AlnoserlafuncionXidenticamentenulaenR,obtenemosqueforzosamentesehadeveri carqueT(t)=T(0)e�9te�9t
c;conlocual,launicasoluciondelproblema(2.41)vienedadaporlaexpresionv(x;t)=e�9tcos3xy,comoconsecuencia,launicasoluciondelproblemaestudiadoresultaseru(x;t)=et�1+e�9tcos3x:Enla gura2.11serepresentalagra cadelasolucionparadistintosvaloresdet.utNota2.3.1Lassolucionesdelosproblemasdeevolucionpuedenserrepresen-tadosdeformanaturalmedianteproblemasdecalculosimbolico.EnestecasoconcretopodemosverlaevoluciondelatemperaturarepresentandolasolucionmedianteelprogramaMAPLE.Loscomandosseran:with(plots);u:=(x;t)!exp(t)�1+exp(�9t)cos(3x);plot(fu(x;0);u(x;.1);u(x;.2)g;x=�2Pi..2Pi);
70EcuacionesdeSegundoOrdenEjercicio2.3.2Resolverlasiguienteecuacionunidimensional8:ut(x;t)�uxx(x;t)=senhxcosht;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=sen2x;x2R:Solucion:Usandolaexpresion(2.38)sabemosquelaunicasolucionbuscadavienedadaporlaexpresionu(x;t)=u1(x;t)+u2(x;t);siendou1(x;t)Zt0ZRK(x�y;t�s)senhycoshsdydsyu2(x;t)ZRK(x�y;t)sen2ydy:Enestecaso,laresoluciondeambasintegralesesmuycomplicada.Porloqueparasucalculoefectivoesnecesariotenerencuentalasecuacionesqueestasexpresionesresuelven.Enunprimermomento,paradeducirlaexpresiondeu1,debemostenerencuentaquelafuncionv1(x;t)=ZRK(x�y;t)senhydyeslaunicasoluciondelproblemavt(x;t)�vxx(x;t)=0;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;v(x;0)=senhx:(2.42)Denuevo,aligualqueenelejercicioanterior,podemosbuscarlasoluciondadaenvariablesseparadasv1(x;t)=X(x)T(t):Delasegundaigualdaddeducimosque,casodeexistirsoluciondeestetipo,necesariamentesehadeveri carqueX(x)=senhx
T(0)c1cos2x:Conlocual,laprimeradelasecuacionessetransformaenX(x)(T0(t)�T(t))=0;paratodox2Ryt�0;esdecirT(t)=T(0)etet
c1;
EcuacionesParabolicas71conlocual,launicasoluciondelproblema(2.42)vienedadaporlaexpresionv1(x;t)=etsenhx:Aspues,tenemosqueu1(x;t)=Zt0et�ssenhxcoshsds=1
2�tet+senhtsenhx:Paraobtenerlaexpresiondeu2,usamoselhechodequeestafuncioneslaunicasoluciondelsiguienteproblemavt(x;t)�vxx(x;t)=0;t�0;v(x;0)=sen2x:Paraobtenerlasolucionenvariablesseparadas,usamoslaexpresionsen2x=1�cos2x
2:Conlocualu2(x;t)=w1(x;t)+w2(x;t);siendow1launicasoluciondelproblemawt(x;t)�wxx(x;t)=0;t�0;w(x;0)=1
2;(2.43)yw2lacorrespondienteawt(x;t)�wxx(x;t)=0;t�0;w(x;0)=�cos2x
2:(2.44)Esevidentequew1(x;t)1=2eslaunicasolucionde(2.43),conlocual,obtenerlaexpresiondeu2sereducealcalculodelafuncionw2.Paraello,buscamosdenuevounasoluciondadaenvariablesseparadasw2(x;t)=X(x)T(t):Conlocuallaecuacion(2.44)setransformaenX(x)T0(t)�X00(x)T(t)=0;X(x)T(0)=�cos2x
2:Razonandodeformaanalogaalcasoanterior,obtenemosquelaunicasolu-ciondelproblema(2.44)vienedadaporlaexpresionw2(x;t)=�1
2e�4tcos2xy,porlotantou2(x;t)=1
2(1�e�4tcos2x):
72EcuacionesdeSegundoOrden
Figura2.12:SoluciondelEjercicio2.3.2Aspues,conclumosquelaunicasoluciondelproblemavienedadaporlaexpresionu(x;t)=1
2�1�e�4tcos2x+�tet+senhtsenhx:Enla gura2.12serepresentalagra cadelasolucionparadistintosvaloresdet.utEjercicio2.3.3Resolverlasiguienteecuacionunidimensional8:4ut(x;t)�uxx(x;t)=0;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=e2x�x2;x2R:Solucion:Paracalcularlaexpresiondelasolucionbuscada,debemoshaceruncambiodevariableenelquesenormalicelavelocidaddetrasmisiondelatemperatura.Paraellode nimosv(x;t)=u(x;4t):Claramente,lafuncionveslaunicasoluciondelaecuacionvt(x;t)�vxx(x;t)=0;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;x2R;u(x;0)=e2x�x2;x2R:Porconsiguiente,sesatisfacequev(x;t)=ZRK(x�y;t)e2y�y2dy=ZR1
p
4te�(x�y)2
4te2y�y2dy;
EcuacionesParabolicas73
Figura2.13:SoluciondelEjercicio2.3.3Enestecaso,sinmasquetenerencuentaque�(x�y)2
4t+2y�y2=1+4t
4t�x2
1+4t+2yx+4t
1+4t�y2=�1+4t
4tx+4t
1+4t�y2+4t+2x�x2
4t+1;deducimosquev(x;t)=e4t+2x�x2
4t+1
p
4tZRe�1+4t
4t(x+4t
1+4t�y)2dy:Realizandoelcambiodevariablez=p
1+4tx+4t
1+4t�y;yusandolaexpresion(2.40),llegamosaquev(x;t)=e4t+2x�x2
4t+1
p
4t+1:Porconsiguienteu(x;t)=v(x;t=4)=et+2x�x2
t+1
p
t+1eslasolucionbuscada(veasela gura2.13).utEjercicio2.3.4Resolverlasiguienteecuacionbidimensional8:ut(x;y;t)�4xu(x;y;t)=etcos3xsen2y;(x;y)2R2;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;0)=cosxseny;(x;y)2R2:
74EcuacionesdeSegundoOrdenSolucion:Enestecasosabemosquelaunicasolucionbuscadavienedadaporlaex-presionu(x;y;t)=u1(x;y;t)+u2(x;y;t);dondeu1(x;y;t)Zt0ZR2K(x�p;y�q;t�s)escos3psen2qdpdqdsyu2(x;y;t)ZR2K(x�p;y�q;t)cospsenqdpdq:Enestasituaciontenemosqueparatodox;y2Ryt�0elnucleointegralKvienedadoporlaexpresionK(x;y;t)=e�x2+y2
4t
4t:(2.45)Nuevamente,laresolucionanalticadeestasintegralesnoesmuysencilla.Porlotantousandoelhechodequelafuncionu2eslaunicasoluciondelproblemavt(x;y;t)�4xv(x;y;t)=0;t�0;v(x;y;0)=cosxseny;calcularemoslaexpresiondeu2comolaunicasoluciondeesteproblema,dadaenvariablesseparadas.Aspuesu2(x;y;t)=X(x)Y(y)T(t):Conlocualsehadeveri carqueX(x)Y(y)T0(t)�(X00(x)Y(y)�X(x)Y00(y))T(t)=0;t�0;x;y2R;juntoconX(x)Y(y)T(0)=cosxseny;x;y2R:Porlotanto,X(x)=c1cosx;Y(y)=c2seny;conT(0)=1
c1c2:AspuesdeducimosqueX(x)Y(y)(T0(t)+2T(t))=0;t�0;x;y2R;conlocualT(t)=T(0)e�2t;t2R:Concluyendosequeu2(x;y;t)=e�2tcosxseny:
EcuacionesParabolicas75
Figura2.14:u(x;y;0)
Figura2.15:u(x;y;1)Paraelcalculodeu1,debemostenerencuentaquelafuncionv1(x;y;t)ZR2K(x�p;y�q;t)cos3psen2qdpdqeslasoluciondelproblemavt(x;y;t)�4xv(x;y;t)=0;t�0;v(x;y;0)=cos3xsen2y:Razonandodelmismomodoqueenelcalculodelafuncionu2,deducimosquev1(x;y;t)=e�13tcos3xsen2y:Porconsiguienteu1(x;y;t)=Zt0ese�13(t�s)cos3xsen2yds=et�e�13t
14cos3xsen2yylasolucionbuscada(veanselas guras2.14)y2.15)vienedadaporlaexpresionu(x;y;t)=et�e�13t
14cos3xsen2y+e�2tcosxseny:utEjercicio2.3.5Resolverlasiguienteecuacionbidimensional8:ut(x;y;t)�4xu(x;y;t)=tcosh3xsen2y;(x;y)2R2;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;0)=cosxsenhy;(x;y)2R2:Solucion:Nuevamentelaunicasolucionvienedadaporlaexpresionu(x;y;t)=u1(x;y;t)+u2(x;y;t);
76EcuacionesdeSegundoOrden
Figura2.16:u(x;y;0)
Figura2.17:u(x;y;1)dondeu1(x;y;t)Zt0ZR2K(x�p;y�q;t�s)scosh3psen2qdpdqdsyu2(x;y;t)ZR2K(x�p;y�q;t)cospsenhqdpdq;siendoKelnucleointegraldadoporlaexpresion(2.45).Dadoqueu2resuelvelaecuacionvt(x;y;t)�4xv(x;y;t)=0;t�0;v(x;y;0)=cosxsenhy;buscamosu2dadaenvariablesseparadas:u2(x;y;t)=X(x)Y(y)T(t);t�0;x;y2R:Necesariamentesedebeveri carX(x)=c1cosxY(y)=c2senhy;conT(0)=1
c1c2:Porlotanto,obtenemosqueX(x)Y(y)T0(t)=0;t�0;x;y2R;yT(t)=T(0)t�0:Porconsiguienteu2(x;y;t)=cosxsenhy:Porotrolado,dadoquev1(x;y;t)ZR2K(x�p;y�q;t)cosh3psen2qdpdq;
EcuacionesParabolicas77eslasoluciondelproblemavt(x;y;t)�4xv(x;y;t)=0;t�0;v(x;y;0)=cosh3xsen2y;procediendocomoenelcasoanterior,obtenemosquev1(x;y;t)=e5tcosh3xsen2y:Conlocual,deducimosqueu1(x;y;t)=Zt0se5(t�s)cosh3xsen2yds=e5tcosh3xsen2yZt0se�5sds=�5t+1�e5t
25cosh3xsen2y:Lasolucionbuscadasera(veanselas guras2.16y2.17)u(x;y;t)=cosxsenhy�5t+1�e5t
25cosh3xsen2y:utEjercicio2.3.6Resolverlasiguienteecuacionbidimensional8:2ut(x;y;t)�4xu(x;y;t)=e�tcos2xsen3y;(x;y)2R2;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;0)=cos(x+y);(x;y)2R2:Solucion:Enestecaso,parapoderaplicarlaexpresiondelasolucionenfunciondelnucleointegralKdadoporlaexpresion(2.45),debemoseliminarlaconstante2normalizandoelparametro.Paraello,debemostenerencuentaqueu(x;y;t)esunasoluciondelproblemaconsideradosiysolosiv(x;y;t)u(x;y;2t)essoluciondelaecuacion8:vt(x;y;t)�4xv(x;y;t)=e�2tcos2xsen3y;(x;y)2R2;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;v(x;y;0)=cos(x+y);(x;y)2R2:Estaultimaecuaciontienesolucionunicadadaporlaexpresionv(x;y;t)=v1(x;y;t)+v2(x;y;t);dondev1(x;y;t)Zt0ZR2K(x�p;y�q;t�s)e�2scos2psen3qdpdqds
78EcuacionesdeSegundoOrden
Figura2.18:u(x;y;0)
Figura2.19:u(x;y;1)yv2(x;y;t)ZR2K(x�p;y�q;t)cos(p+q)dpdq:Dadoquev2resuelvelaecuacionvt(x;y;t)�4xv(x;y;t)=0;t�0;v(x;y;0)=cos(x+y);intentamoscalcularv2delsiguientemodo:v2(x;y;t)=F(x+y)T(t);t�0;x;y2R:CasodeexistirunasoluciondeestetipotenemosqueF(z)=cosz
T(0):DadoqueF(x+y)=�2F(x+y),deducimosquelafuncionTdebeveri carPorlotanto,obtenemosqueT0(t)+2T(t)=0;t�0;conlocualT(t)=T(0)e�2t;t�0yv2(x;y;t)=e�2tcos(x+y):Paraelcalculodelafuncionv1,usamoselhechodequelafuncionw1(x;y;t)ZR2K(x�p;y�q;t)cos2psen3qdpdq;resuelveelproblemavt(x;y;t)�4xv(x;y;t)=0;t�0;v(x;y;0)=cos2xsen3y:
EcuacionesParabolicas79Deformaanalogaacomosehaprocedidoenlosejerciciosanteriores,llega-mosaquew1(x;y;t)=e�13tcos2xsen3y:Porconsiguientev1(x;y;t)=Zt0e�2se�13(t�s)cos2xsen3yds=e�2t�e�13t
11cos2xsen3y:Finalmente,lasoluciondelproblemaconsiderado(veanselas guras2.18y2.19)resultaseru(x;y;t)=v(x;y;t=2)=e�tcos(x+y)+e�t�e�13t=2
11cos2xsen3y:utEjercicio2.3.7Resolverlasiguienteecuaciontridimensional8:ut(x;y;z;t)�4xu(x;y;z;t)=etsen(x+y+z);(x;y;z)2R3;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;z;0)=cos(x+y+z);(x;y;z)2R3:Solucion:Launicasoluciondeesteproblemavienedadaporlaexpresionu(x;y;z;t)=u1(x;y;z;t)+u2(x;y;z;t);dondeu1(x;y;z;t)Zt0ZR3K(x�p;y�q;z�r;t�s)essen(p+q+r)dpdqdrdsyu2(x;y;z;t)ZR3K(x�p;y�q;z�r;;t)cos(p+q+r)dpdqdr:Alestaranteunaecuaciontridimensional,elnucleointegralKseraigualaK(x;y;z;t)=e�x2+y2+z2
4t
(p
4t)3:(2.46)Dadoquelafuncionu2resuelveelproblemavt(x;y;z;t)�4xv(x;y;z;t)=0;t�0;v(x;y;z;0)=cos(x+y+z);intentaremoscalcularlaexpresiondelafuncionu2dadadelsiguientemodo:u2(x;y;z;t)=F(x+y+z)T(t):
80EcuacionesdeSegundoOrdenLasfuncionesFyThandesatisfacernecesariamentelassiguientesigualda-des:F(x+y+z)T0(t)�F(x+y+z)T(t)=0;t�0;x;y;z2R;yF(x+y+z)T(0)=cos(x+y+z);x;y;z2R:EnconsecuenciaF()=cos
T(0):PorlotantoT0(t)+3T(t)=0;t�0;o,loqueeslomismo,T(t)=T(0)e�3t;t�0:Deestemododeducimosqueu2(x;y;z;t)=e�3tcos(x+y+z):Porotrolado,lafuncionv1(x;y;z;t)ZR3K(x�p;y�q;z�r;t)sen(p+q+r)dpdqdreslasoluciondelproblemavt(x;y;z;t)�4xv(x;y;z;t)=0;t�0;v(x;y;z;0)=sen(x+y+z):Aligualqueenelcasoanteriorconcluimosquev1(x;y;z;t)=e�3tsen(x+y+z):Deestaexpresiondeducimosqueu1(x;y;z;t)=Zt0ese�3(t�s)sen(x+y+z)ds=et�e�3t
4sen(x+y+z);conloquelasolucionbuscadavienedadaporlaexpresionu(x;y;z;t)=e�3tcos(x+y+z)+et�e�3t
4sen(x+y+z):utEjercicio2.3.8Resolverlasiguienteecuaciondedimensiontres8:ut(x;y;z;t)�4xu(x;y;z;t)=1;(x;y;z)2R3;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;z;0)=e�(x2+y2+z2);(x;y;z)2R3:
EcuacionesParabolicas81Solucion:Denuevo,launicasoluciondeesteproblemavienedadaporlaexpresionu(x;y;z;t)=u1(x;y;z;t)+u2(x;y;z;t);siendo,enestecaso,u1(x;y;z;t)Zt0ZR3K(x�p;y�q;z�r;t�s)dpdqdrds;u2(x;y;z;t)ZR3K(x�p;y�q;z�r;t)e�(p2+q2+r2)dpdqdr;yelnucleointegralKdadoporlaexpresion(2.46).DelhechodequeZR3K(z;t)dz=1;paratodot�0;(2.47)deducimosqueu1(x;y;z;t)Zt0ZR3K(x�p;y�q;z�r;t�s)dpdqdrds=t:Paraelcomputodelafuncionu2,denotandoporX(x;y;z)2R3yP(p;q;r)2R3,tenemoslasiguienteigualdadu2(X;t)=ZR3K(X�P;t)e�kPk2dP=1
(p
4t)3ZR3e�kX�Pk2
4te�kPk2dP:ParalaresoluciondeestaintegraldebemostenerencuentalassiguientesigualdadeskX�Pk2
4t+kPk2=1+4t
4tkXk2
1+4t�2X
1+4t;P�+kPk2=1+4t
4t X
1+4t�P 2+kXk2
4t+1= X
p
1+4t�p
1+4tP 2
4t+kXk2
4t+1:donde,por;&#x]TJ/;༔ ; .96;& T; 10;&#x.516;&#x 0 T; [0;sedenotaelproductoescalarenR3.
82EcuacionesdeSegundoOrdenPorconsiguiente,usandolapropiedad(2.47),llegamosalasiguienteexpre-sion:u2(X;t)=e�kXk2
1+4t
(p
4t)3ZR3e� X
p
1+4t�p
1+4tP 2
4tdP=e�kXk2
1+4t
(p
4t)3ZR3e� X
p
1+4t�Q 2
4t
(p
1+4t)3dQ=e�kXk2
1+4t
(p
1+4t)3:Aspueslasolucionbuscadavienedadaporlaexpresionu(x;y;z;t)=t+e�x2+y2+z2
1+4t
(p
1+4t)3:ut2.3.2.EjerciciospropuestosEncontrarlaunicasolucionfsicamenterelevantedelassiguientesecuacionesenderivadasparciales:1.8:ut(x;t)�4uxx(x;t)=t+et;x2R;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;0)=2;x2R:Solucion:u(x;t)=et+t2
2+1.2.8:ut(x;t)�uxx(x;t)=3t2;x2R;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;0)=senx;x2R:Solucion:u(x;t)=e�tsenx+t3.3.8:ut(x;t)�uxx(x;t)=e�tcosx;x2R;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;0)=cosx;x2R:Solucion:u(x;t)=(t+1)e�tcosx.
EcuacionesParabolicas834.8:ut(x;t)�uxx(x;t)=etsenx;x2R;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;0)=cos2x;x2R:Solucion:u(x;t)=senhtsenx+e�4tcos2x.5.8:ut(x;t)�uxx(x;t)=t3cos2x;x2R;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;0)=sen3x;x2R:Solucion:u(x;t)=e�9tsen3x+1
256�3e�4t�3+12t�24t2+32t3cos2x.6.8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:ut(x;t)�uxx(x;t)=1
1+t2;t�0;x2R;u(x;0)=�sen5x;x2R:Solucion:u(x;t)=arctant�e�25tsen5x.7.8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:ut(x;t)�uxx(x;t)=te�t
1+t2senx;t�0;x2R;u(x;0)=cosh3x;x2R:Solucion:u(x;t)=1
2senxe�tlog(1+t2)+e9tcosh3x.8.8:ut(x;y;t)�xu(x;y;t)=et;(x;y)2R2;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;0)=cosxseny;(x;y)2R2:Solucion:u(x;y;t)=et�1+e�2tcosxseny.9.8:ut(x;y;t)�xu(x;y;t)=(1+5t)cosxsen2y;(x;y)2R2;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;0)=sen(x�y);(x;y)2R2:Solucion:u(x;y;t)=e�2tsen(x�y)+tcosxsen2y.
84EcuacionesdeSegundoOrden10.8:ut(x;y;z;t)�xu(x;y;z;t)=(t+1)e�tcosh(x+z)sen2y;(x;y;z)2R3;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;0)=sen(x�2z);(x;y;z)2R3:Solucion:u(x;y;z;t)=te�tcosh(x+z)sen2y+e�5tsen(x�2z).11.8:ut(x;y;t)�xu(x;y;t)=2(1+t)senz;(x;y;z)2R3;t&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;0;u(x;y;0)=cos(y+z)senhx;(x;y;z)2R3:Solucion:u(x;y;t)=2tsenz+e�tcos(y+z)sinhx.
Bibliografa[1]H.CartanCalculDi erentiel,.Hermann,Pars,1967.[2]A.Castro.CursoBasicodeEcuacionesenDerivadasParciales.Addison{WesleyIberoamericana,1997.[3]R.CouranteD.HilbertMethodsofMathematicalPhysics,Vol.IeII.Wiley{Interscience,1962.[4]A.Dou.Ecuacionesenderivadasparciales.Dossat,1970.[5]L.C.Evans.Partialdi erentialequations.AMS,1998.[6]F.John.Partialdi erentialequations.Springer{Verlag,1991.[7]I.Peral.PrimercursodeecuacionesenderivadasParciales.Addison{Wesley,1995.[8]I.G.Petrowsky.Lecturesonpartialdi erentialequations.DoverPu-blications,1991.[9]W.A.Strauss.Partialdi erentialequations,anintroduction.JohnWi-ley,1992.[10]I.Stavroulakis;S.Tersian.PartialDi erentialEquations.AnIntro-ductionwithMathematicaandMAPLE(SecondEdition).WorldScienti c,2004.[11]H.F.WeinbergerEcuacionesdiferencialesenderivadasparciales.Re-verte,1992.85

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