APUNTES DE ELECTROMAGNETISMO - U-Cursos

con que se leen estas líneas es gobernado por leyes del electromagnetismo. Fenómenos climáticos como la aurora boreal, el rayo y el relámpago se explican en base a esta teoría, La luz se entiende como ondas electromagnéticas. Las aplicaciones prácticas son muy variadas en el mundo moderno:


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1
UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA

Avda. Tupper 2007
–

Casilla 412
-
3
-

Santiago
–

Chile

Fono: (56) (2)
9
78 42
03
, Fax: (56) (2) 695 3881
APUNTES DE
ELECTROMAGNETISMO
Luis
Vargas D.

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Universidad de Chile

Versión

200
92

INDICECAPITULO 1. ELECTROSTÁTICA EN EL VACIO

................................
...........................

6

1.1 Introducció
n

................................
................................
................................
................

6

1.2 Ley de Coulomb

................................
................................
................................
..........

8

1.2.1 Descripción

................................
................................
................................
............

8

1.2.2 Dimensiones

................................
................................
................................
..........

8

1.3 Campo Eléctrico

................................
................................
................................
.......

10

1.4
Principio de Superposición

................................
................................
......................

11

1.5 Campo Eléctrico de Distribuciones Continuas de Carga

................................
....

16

1.5.1 Distribución Lineal

................................
................................
..............................

17

1.5.2 Distribución superficial de carga

................................
................................
.........

21

1.5.3 Distribución Volumétrica de Carga

................................
................................
.....

23

1.6 Ley de Gauss

................................
................................
................................
.............

28

1.6.1 Conceptos Matemáticos Incluidos

................................
................................
.......

28

1.6.2 Ley de Gauss

................................
................................
................................
.......

29

1.7 Potencial Eléctrico

................................
................................
................................
....

33

1.7.1 Trabajo de un Campo Elé
ctrico

................................
................................
...........

33

1.7.2 Definición de Potencial Eléctrico

................................
................................
........

35

1.7.3 Relaciones entre Potencial y Campo Eléctrico

................................
....................

38

1.7.4 Ecuación de Laplace y Poisson

................................
................................
...........

40

1.7.5 Campo Eléctrico Conservativo

................................
................................
............

42

1.8 Dipolo eléctrico

................................
................................
................................
.........

43

1.8.1 Definición Dipolo

................................
................................
................................

43

1.8.2 Potencial Eléctrico de un Dipolo

................................
................................
.........

43

1.8.3 Dipolo de

un Conjunto de Cargas y Distribuciones

................................
............

46

1.8.4 Potencial a grandes distancias

................................
................................
.............

49

1.9 Problemas Resueltos

................................
................................
................................
.

51

1
.10 Problemas propuestos

................................
................................
............................

79

CAPITULO 2. PROPIEDADES DIELÉCTRICAS DE LA MATERIA

.............................

81

2.1 Introducción

................................
................................
................................
..............

81

2.2 Modelo de los Materiales Dieléctricos

................................
................................
....

81

2.2.1 Mater
iales No Polares

................................
................................
..........................

81

2.2.2 Materiales Polares
................................
................................
................................

83

2.2.3 Vector Polarización

................................
................................
.............................

84

2.3 Potencial Eléctrico en
la Materia

................................
................................
............

84

2.4 Distribuciones de carga de polarización

................................
................................
.

85

2.5 Generalización de la 1ª ecuación de Maxwell
................................
.........................

883

2.6 Constante Dieléctrica

................................
................................
...............................

89

2.6.1 Polarización de medio
s materiales

................................
................................
......

89

2.6.2 Clasificación de materiales dieléctricos

................................
..............................

89

2.6.3 La Ecuación del Potencial (Laplace) en Medios Materiales

...............................

91

2.7 Ruptura dieléctrica

................................
................................
................................
...

93

2.8 Condiciones de borde

................................
................................
...............................

94

2.9 Refracción del campo eléctrico

................................
................................
................

99

2.10 Consideraciones sobre Simetría

................................
................................
..........

100

2.11 Problemas re
sueltos

................................
................................
..............................

103

2.12 Problemas Propuestos

................................
................................
..........................

110

CAPITULO

3. CONDUCTORES EN ELECTROSTÁTICA

................................
............

112

3.1 Modelo Básico de Conductores

................................
................................
.............

112

3.2 Propiedades

................................
................................
................................
.............

112

3.3 Caso Conductor con Oquedad

................................
................................
..............

113

3.4 Condensadores

................................
................................
................................
........

119

3.5 Cargas en medios materiales

................................
................................
.................

123

3.6 Problemas Resuelt
os

................................
................................
...............................

125

3.6 Problemas Propuestos

................................
................................
............................

134

CAPITULO
4. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA

................................
..............................

135

4.2 Energía de un Sistema de Conductores

................................
................................

136

4.3 Fuerza Eléctrica y Energía

................................
................................
....................

137

4.4 Energía en términos de Campos

................................
................................
...........

139

4.5 Problemas Resueltos

................................
................................
...............................

143

4.6 Problemas Propuestos

................................
................................
............................

146

C
APITULO 5. CORRIENTE ELECTRICA

................................
................................
......

147

5.1 Modelo de Medios Materiales Conductores

................................
.........................

147

5.2 Definición de Corriente

................................
................................
..........................

148

5.3 Densidad de Corriente
................................
................................
............................

151

5.4 Ley de Ohm

................................
................................
................................
.............

15
5

5.5 Fuerza electromotriz

................................
................................
..............................

159

5.6 Efecto Joule

................................
................................
................................
.............

161

5.7 Cargas en medios materiales

................................
................................
.................

163

5.8 Corriente de Convección

................................
................................
........................

165

5.9 Ecuación de Continuid
ad

................................
................................
.......................

1674

5.10 Ecuación de Continuidad en Medios Materiales

................................
...............

168

5.11 Condiciones de Borde para

................................
................................
.............

170

5.12 Ley de Voltajes de Kirchoff

................................
................................
.................

176

5.13 Ley de Corriente
s de Kirchoff.

................................
................................
............

178

5.14 Problemas Resueltos

................................
................................
.............................

181

5.15 Problemas Propuestos

................................
................................
..........................

187

CAPITULO 6. MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO

................................
.....................

190

6.1 Introducció
n

................................
................................
................................
............

190

6.2 Fuerza de una Corriente sobre una Carga Eléctrica

................................
..........

190

6.3 Definición de campo magnético

................................
................................
.............

192

6.4 Ley de Biot y S
avarat

................................
................................
.............................

195

6.5 Ley Circuital de Ampere

................................
................................
........................

200

6.6 3ª Ecuación de Maxwell
................................
................................
..........................

202

6.7 4ta Ecuación de Maxwell

................................
................................
......................

203

6.8 Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnético

........

203

6.9 Potencial Magnético Vectorial

................................
................................
...............

207

CAPITULO 7. MAGNETOSTÁTICA EN LA MATERIA

................................
...............

211

7.1 Dipolo Magnético

................................
................................
................................
....

211

7.2 Modelo Atómico de Materiales

................................
................................
..............

214

7.3 Corrientes de Mag
netización

................................
................................
.................

215

7.4 Permeabilidad Magnética

................................
................................
......................

216

7.5 Clasificación de los Materiales Magnéticos

................................
..........................

217

7.6 Con
diciones de borde

................................
................................
.............................

219

7.7 Resumen Electrostática y Magnetostática

................................
............................

221

7.8 Problemas Resueltos

................................
................................
...............................

222

7.8 Problemas Propuestos

................................
................................
............................

239

CAPITULO 8. CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO

................................
...............

241

8.1 LEY DE FARADAY
-
LENZ

................................
................................
..................

241

8.1.1 Ley de Inducción

................................
................................
...............................

241

8.1.2 Modificación 3ª Ecuación de Maxwell

................................
.............................

248

8.1.3 Inductancia Propia

................................
................................
.............................

250

8.1.4 Inductancia de Conjunto de Circuitos

................................
...............................

252

8.1.5 Inductancia en Sistemas Distribuidos

................................
................................

253

8.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

................................
............................

2555

8.3. ENERGÍA ELECTROMAGNÉTICA

................................
................................
.

258

8.3.1 Energía del Campo Electromagnético

................................
...............................

258

8.3.2 Fuerza sobr
e Materiales Magnéticos

................................
................................
.

259

8.4. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

................................
................................
...

264

8.5 Problemas Resueltos

................................
................................
...............................

267

8.5 Problemas Propuestos

................................
................................
............................

275

CAPITULO
9. CORRIENTE ALTERNA

................................
................................
.........

276

9.1 Elementos circuitos RLC

................................
................................
.......................

276

9.2 Circuitos RLC

................................
................................
................................
.........

277

9.3 Corrientes alternas

................................
................................
................................
.

278

9.4 Transformada Fasorial

................................
................................
..........................

279

9.5 Problemas Resueltos

................................
................................
...............................

282

9.6 Problemas Propuestos

................................
................................
............................

291

Anexo A. Sitios Web de interés

................................
................................
.........................

292

Anexo B. Fórmulas usadas

................................
................................
................................
.

294
INDICE FIGURAS

INDICE TABLAST
ABLA
1.

C
AMPOS EN CONFIGURACI
ONES MULTIPOLARES
.

................................
................................
...............

50

T
ABLA
2:

V
ALORES DE PERMITIVID
AD DIELÉCTRICA Y FUE
RZA DIELÉCTRICA DE M
ATERIALES

.........................

94

T
ABLA
3.

C
ONDUCTIVIDAD
(
APROXIMADA
)*

DE ALGUNOS MATER
IALES A
20
º
C

................................
............

157

T
ABLA
4.

P
ERMEABILIDAD
R
ELATIVA DE
A
LGUNOS
M
ATERIALES
*

................................
...............................

218

6

CAPITULO 1. ELECTROSTÁTICA EN EL VACIO1.1 IntroducciónEl fenómeno electromag
nético rige un campo vastísimo de nuestra realidad, para
dimensionar su alcance consideremos algunos ejemplos:

ñ

Parte de la actividad del sistema nervioso, la interacción neuronal y el mismo ojo
con que se leen estas líneas es gobernado por leyes del electr
omagnetismo.

ñ

Fenómenos climáticos como la aurora boreal, el rayo y el relámpago se explican en
base a esta teoría,

ñ

La luz se entiende como ondas electromagnéticas.

ñ

Las aplicaciones prácticas son muy variadas en el mundo moderno:

o

Toda la tecnología electrón
ica ( TV, PC, celulares, video juegos, etc.) esta
basada fuertemente en estos principios,

o

Aplicaciones médicas: Rayos X, electrocardiogramas, electroencefalograma,
resonancia magnética, etc.

o

Tarjetas de crédito, códigos de barra de supermercados, sistemas

de
posicionamiento geográfico, etc.

La comprensión acabada de estos temas requiere del estudio de las especialidades de
ingeniería, sin embargo, en este curso aprenderemos los fundamentos que nos permitirán
tener un entendimiento básico de los principios
en que se basan las aplicaciones
tecnológicas listadas anteriormente.Desde el punto de vista de la descripción del fenómeno partiremos adoptando las siguientes
propiedades básicas de la carga eléctrica:

ñ

La carga eléctrica es una propiedad fundamental de
la materia, como la masa o la
capacidad calórica.

ñ

En la naturaleza la carga eléctrica se da en dos formas:

o

Electrón (e) con una

masa de 9.1066E
-
31[kg], la cual se define como carga
negativa.

o

Protón (p) con una masa de 1.67248E
-
27[kg], la cual se define co
mo carga
positiva.

ñ

Ambas partículas poseen carga de igual magnitud pero de signo opuesto.Para entender mejor la interacción de las cargas conviene dividir el estudio en dos partes.
La primera parte considera que no hay movimiento de cargas, es decir, las

partículas se
encuentran en estado de reposo, mientras que en la segunda se considera la interacción de
cargas en movimiento. De esta forma, primero abordaremos situaciones estacionarias
(electrostática y magnetostática) y luego incorporaremos las variaci
ones temporales
(corrientes y campos variables en el tiempo).La teoría que describe matemáticamente estos fenómenos fue formulada alrededor de 1865.
Mediante el uso de campos escalares y vectoriales se puede resumir toda la teoría en cuatro
ecuaciones, l
lamadas ecuaciones de Maxwell. Desde aquella fecha hasta nuestros días se ha

7

producido un enorme desarrollo de aplicaciones tecnológicas en prácticamente todos los
campos del quehacer humano, pero la teoría básica no ha experimentado mayores cambios.En e
sta primera parte revisaremos los principios que rigen a la carga eléctrica en estado de
reposo, más conocida como Electrostática. 81.2 Ley de Coulomb
1.2.1 DescripciónEs una ley experimental, que fue descubierta en 1785 por el coronel francés Charl
es
Augustin de Coulomb. El coronel encontró que la magnitud de la fuerza experimentada por
una partícula con carga q
1

en presencia de otra partícula con carga q
2

tiene la forma: (1.1)Recordemos que 1N=1 Kg

m/seg
2
.
Figura
1
. Fuerza de CoulombO sea:

i)

Es directamente proporcional al producto q
1
q
2
,

ii)

La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia RAdicionalmente, se encontró que:

iii)

La fuerza tiene la dirección de la línea que une q
1

y q
2

iv)

Si q
1

y q
2
son de i
gual signo se repelen, en caso contrario se atraen.Así, la ecuación de fuerza queda

(1.2)1.2.2 DimensionesE
xiste libertad para escoger las unidades de la constante K o de la carga q (pero no ambas).
Notar que [k·q
1
·q
2
]=[F·R
2
]=Kg·m3/seg
2



ma
sa·distancia
3
/tiempo
2
.

En el sistema MKS se define la unidad 1 Coulomb (C)
1

para las cargas y corresponde a la
carga de 6

10
18

electrones. Así, para un electrón la carga es



1

Más tarde veremos que esta unidad es útil en el caso de las corrientes donde se cumple 1 Ampere = 1 C/seg.9

Con esta definición experimentalmente se encuentra que:(1.3)

y definiendo la

unidad Farad

la constante
e
o
, llamada
permitividad del

espacio
libre
, corresponde adonde c es la velocidad de la luz.
EJEMPLO 1.

Comparar la fuerza de repulsión eléctrica con la fuerza gravitacional entre 2 protones.Solución:
Figura 2. Módulo fuerza entre cargas.Fuerza Gravitacional de atracción:

(1.4)Fuerza eléctrica de repulsión:


(1.5)


(1.6)G

Así, la fuerza eléctrica es 10
36

veces más intensa que la fuerza gravitacional, por lo que las
dos partículas debieran separarse. A partir de este simple ejercicio podemos extrapolar
algunas conclusiones:

ñ

La mayoría de los objetos en nuestra vida diaria no

están cargados (de otra forma se
vería nítidamente su efecto),

ñ

A nivel molecular la gravedad es despreciable como fuerza.

ñ

Entre planetas la fuerza eléctrica es despreciable frente a la gravitacional.

ñ

Toda carga eléctrica es un múltiplo entero de la carga
de un protón (igual al electrón
con signo opuesto).
10

1.3 Campo Eléctrico
Para expresar en forma más rigurosa el concepto de fuerza eléctrica se usa el concepto de
campo eléctrico. Consideremos el arreglo de cargas de la Figura 3.

Figura 3. Fuerza ent
re cargas
Llamemos

a la fuerza que siente q
2

debido a q
1

y escribámosla de la siguiente forma

(1.7)

Como


(1.7.1)A la expresión

se le

denomina campo eléctrico producido por la carga q
1
. Con
esto, la fuerza que siente la carga
q
2

en presencia de dicho campo es
. En
términos matemáticos

corresponde a un campo vectorial, es decir, una función q
ue
asocia un vector a cada punto del espacio. Físicamente corresponde a una perturbación
eléctrica en todo el espacio producida por la carga q
1
.Generalicemos el resultado anterior al de una carga q ubicada en la posición
en un
siste
ma de coordenadas de origen O como en la Figura 4.

Figura 4. Campo Eléctrico de carga puntual
11

La expresión del campo eléctrico en

un punto de este sistema es[N/C] (1.7)

Las dimensiones son de fuerza sob
re carga eléctrica
2
. ¡

no esta definido en el punto
!.Notar que en este análisis q
1

y q
2
son cargas puntuales, es decir, no tienen dimensiones
espaciales. Un modelo más preciso de las cargas requiere suponer q
ue existen
distribuciones en volumen en donde se reparte la carga. Por ejemplo
, esferas de diámetro

2
a
y
2
b respectivamente, según se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Modelo de cargas puntuales
El modelo de cargas puntuales implica que se cumple a, b



Dado que numéricamente la carga de un electrón es muy pequeña (1.6E
-
19[C]), es posible
definir matemáticamente el campo eléctrico como:
(1.8)
1.4
Principio de Superposición Consideremos n cargas q
1
, q
2
, q
3
,......, q
n

loca
lizadas en posiciones

según se
muestra en la Figura 6.


2

E
stas dimensiones son equivalentes a volt dividido por metro [v/m] en sistema MKS como veremos más

adelante.12Figura 6. Sistema de Cargas PuntualesLuego la fuerza resultante que siente una carga q localizada en r es la suma de las fuerzas
que cada partícula ejerce sobre ella, es de
cir,
donde
. (1.9)Así, la fuerza puede expresarse como(1.10)

donde


(1.11)Este campo

es el campo eléctrico resultante de la interacció
n de todas las cargas en el
punto
. Así, el campo eléctrico de un conjunto de cargas puede obtenerse como la
superposición de todos los campos individuales de cada una de las cargas. Este es el
llamado
Principio de Superposición
.Una

manera alternativa de ver esto es considerar el campo eléctrico como una función
lineal de la carga. Por lo tanto, satisface las condiciones de linealidad de una función
cualquiera
. (1.12)
EJEMPLO 2.

Considere 2 cargas puntuale
s de 1 mC y
–
2 mC (m=mili=10
-
3
) localizados en (3, 2,
-
1) y
(
-
1,
-
1, 4) respectivamente. Se pide calcular la fuerza sobre una carga de 10 nC (n = nano
=10
-
9
) dispuesta en (0,3,1). Calcule la intensidad de campo eléctrico en la posición de dicha
carga.13S
olución:Figura 7. Fuerza entre tres cargas puntuales.
La expresión de la fuerza es


(1.13)

Donde Luego el campo eléctrico es(1.18)ó
14

EJEMPLO 3

Dos cargas puntuales de masa m y carga q cada una están suspendidas desde un punto
común mediante dos hilos de masa despreciable y longitud
l
. Muestre que en la situación de
equilibrio el ángulo

que forma cada hilo con respecto a la vertical satisface la expresión
si

es muy pequeño muestre queSolución:
Figura 8. Equilibrio electroestáticoPor la situación
de equilibrio (estamos en electrostática) se cumple:

(1.19)Sabemos que

(1.20) , luego

(1.21)

(1.22)si


1


sin

, cos


1


tg
reemplazando obtenemos
,


(1.2
3)
EJEMPLO 4

Se dispone de un material que cae por un tubo desde un proceso minero. Dicho material
está compuesto de varias sustancias de donde interesa separar partículas de cuarzo cargadas
positivamente de partículas de fosfato de roca cargadas en form
a negativa. Para ello se idea
el sistema de la Figura 9 en donde se aplica un campo eléctrico horizontal de
E=500.000[v/m].15Figura 9. Movimiento de cargasSuponiendo velocidad y desplazamiento inicial nulo (boca del tubo) y una relación
carga/masa de a
mbas partículas igual a q/m = 9 [
m

C/Kg.] (
m

= micro = 10
-
6
). Se pide
determinar la separación horizontal de las partículas luego de caer 80 cms.Solución:

Suposición: A pesar de que las cargas se mueven, aquí sólo usamos la fuerza electrostática
y despre
ciamos la interacción entre las cargas en movimiento.

(1.24)


(1.25)
C.I. y(t=0)=0,
C.I.

x(t=0)=0

16Se pide la distancia entre las cargas luego de desplazarse 80 cm en el sentido del eje y, o
seaResolviendo se encuentra que esa distancia se alcanza en
un tiempo
.
Reemplazando este tiempo en la ecuación para
x(t)

se tiene:
Propuesto

Resuelva el mismo problema suponiendo que se tiene una estimación de la velocidad
máxima de salida del material por el tubo v
max
= 10m/s y se requiere calcular
ahora
el
campo eléctrico
,

de modo que se separen 1 m todas las partículas de cuarzo y fosfato antes
de que caigan 80 cm.

1.5 Campo Eléctrico de Distribuciones Continuas de Carga
Habíamos dicho que cuando se tiene un

conjunto de cargas puntuales el campo tiene la
expresión:

(1.26) Figura 10.Campo de sistema de cargasPor extensión, cuando se tiene una distribución continua de carga tenemos


“

y q

dq
(dq ubicada en r′). Con ello la expresión para el campo queda
(1.27)Examinaremos 3 casos: Distribución de carga lineal, superficial y en volumen.
017

1.5.1 Distribución Lineal En este caso se tiene una densidad lineal
[C/m] de modo que el elemento diferencial
de carga es dq=
l
(
)
dl'

según se muestra en la Figura 11.

(1.28)

Figura 11. Distribución Lineal de Carga
Luego la expresión del campo es
(1.29)
EJEMP
LO 5.

Considere una distribución lineal de carga
l

que se extiende de A a B a lo largo del eje Z,
como se muestra en la Figura 12. Se pide calcular el campo en todo el espacio.

Figura 12.Campo de distribución rectilínea 18Solución:

Consideración física

inicial: El campo tiene simetría azimutal, es decir, la magnitud no
depende de
f
.
Necesitamos resolver 2 tipos de integrales, para lo cual usamos las siguientes propiedades
geométricas de la configuración




(1.32)Resolvamos ahora el primer tipo de integral.a)hagamos el cambio de variable
z
-
z‟=atg
a

con
a
2
=x
2
+y
2
19

además

entonc
es Suponiendo que en el punto A z

=z

1
y en B z

=z

2
se tiene

Luego las dos primeras integrales corresponden a lo siguiente:

Resolv
amos ahora la tercera integral.

b)

usamos el mismo cambio de variable

Así, tenemos finalmente:
20
Casos particulares:a)

distribución lineal semi
-
infinita
b)

distribución lineal infinita luego, y e
n coordenadas cilíndricas:Figura 13. Cambio de coordenadas
Notar que el campo no esta definido para
r

= 0.

21

1.5.2 Distribución superficial de cargaEn este caso se tiene una densidad superficial

[C/
m
2
] de modo que el elemento
diferencial de carga es

según se muestra en la Figura 14.
Figura 14. Distribución Superficial de CargaAquí

y la ecuación del campo eléctrico queda entonces
(1.33)
EJEMPLO 6.

Considere un disco de radio R, el cual posee una distribución de carga superficial
s

constante. Se pide determinar el campo en el eje z, según se muestra en la Figura 15.
Figura 15. Disco uniformemente cargadoSolución:

Los vect
ores de posición son 22

Luego,
El campo eléctrico en el eje z esUsaremos coordenadas polares:
por simetría


,o sea


(probarlo)
Caso particular:

R


, plano infinito

Figura 16. Plano infinito uniformemente cargado.Notar que el campo es constante y sólo cambia de signo cuando el eje z pasa por cero. Más
t
arde veremos que este resultado es importante para el estudio de conductores.23

1.5.3 Distribución Volumétrica de CargaConsideremos una distribución de carga en volumen representada por el campo escalar

[C/m
3
] de modo que el elemento

diferencial de carga es

según se
muestra en la Figura 17.
Figura 17. Distribución volumétrica de cargaLa expresión para el campo eléctrico es:


(1.34)

Donde la integral se calcula en todo el espacio


don
de hay carga. EJEMPLO 7.

Se tiene una distribución esférica de carga total Q y radio R. Se pide determinar la densidad
de carga
r

en toda la esfera suponiendo que ella se distribuye uniformemente.Solución:
Figura 18. Esfera cargadaLa distribución
de carga
r

cumple con
24

donde el elemento de volumen
dv

esReemplazando,
EJEMPLO 8.

Determine el campo eléctrico producido por la distribución de carga del Ejemplo 7 para
r
>

R en t
odo el espacio.Solución:
Figura 19. Campo eléctrico esfera cargada.La expresión para el campo eléctrico es
(1.35)

Usando coordenadas esféricas 25

con ello la expresión para el campo queda
El problema ahora es resolver esta integral. ¡Tarea ardua! Por ello en general se recurre a simplificaciones para resolver este tipo de problemas.
Veremos aquí una variante.
Dado que el problema presenta simetría esférica, basta con
calcular el

campo en el eje z (además al integrar sobre

las otras integrales se anulan).Figura 20. Coordenadas esféricasAsí, calculamos la componente en z del campo, es decir,
(1.36)

Desarrollando el producto puntodonde además

Reemplazando26
No depende de
. Realicemos ahora las integraciones en las otras variables. etc.......Se llega finalmente a


(1.37)

como existe simetría radial, el campo en todo el espacio tiene la forma
(1.38)
27

y si usamos el hecho de que
, también podemos expresar el campo eléctrico
como:


(1.39)Veamos un camino más corto (pero también más difícil de imaginar). Notemos que se
cumpleLuego podemos escribir la integral como
Observemos ahora que
luego podemos escribir la integral como

Si suponemos que z�R luego
, luego 28

por la simetría radial, el campo tiene la forma
(1.40)Al introducir la carga en función de la de
nsidad se obtiene el mismo campo calculado
anteriormente
(1.41)Dado que el cálculo directo de los campos se dificulta con la evaluación de integrales, es de
suma utilidad el uso de programas computacionales en aplicaciones prácti
cas. Además, en
muchos casos facilita los cálculos la Ley (o teorema) de Gauss que veremos a continuación.
1.6 Ley de Gauss
1.6.1 Conceptos Matemáticos IncluidosAntes de ver la Ley de Gauss conviene repasar los siguientes conceptos de cálculo
vectori
al.i)
Concepto de Flujo
. Consideremos un campo vectorial

definido en todo el espacio y
una superficie S cualquiera como se muestra en la Figura 21.

Figura 21. Concepto de flujoSe define el flujo
y

de

a
través de la superficie S como
(1.42)

Integral de superficie del producto de dos vectores
3




3

El símbolo
•
se usará para designar el producto punto de dos vectores.29

Notar que


es un campo escalar que depende del sentido en que se escoja el vector
unitario
. Para superficies c
erradas
Figura 22. Flujo en esfera cerrada.ii)
Teorema de la divergencia
(1.43)

donde V es el volumen contenido por la superficie cerrada y


es el operador
en coord
e
na
da
s cartes
ianas.Si
campo eléctrico, entonces
y

representa el flujo de campo eléctrico. Interesa el
caso de superficies cerradas.
(1.44)
1.6.2 Ley de GaussLa ley de Gauss establece que el flujo de campo eléctrico a
través de una superficie cerrada
S es igual a la carga total encerrada por dicha superficie (Q
T
) dividida por la constante
e
0
.
Así:(1.45)30

Dado que
para una distribución volumétrica entonces:


(1.46)

Ahora si aplicamos el teorema de la divergencia



dado que esto es válido


volumen V, entonces(1.47)Esta ley provee un método muy fácil para calcular el campo eléctrico.Es usual definir
el vectorcomo
Vector Desplazamiento

(ya veremos que en
medios materiales tiene un significado físico importante), de modo que la ecuación anterior
se escribe como
(1.48) Esta ecuación es la 1ª Ecuación d
e Maxwell.
EJEMPLO 9.

Calcule el campo eléctrico en todo el espacio producido por una distribución homogénea de
carga
r

dispuesta en una esfera de radio R.Figura 23.Distribución esférica homogénea de carga.Solución:

Para r� R,

con 31

es constante para r fijo y por simetría
apunta en la dirección

en
coordenadas esféricas, es decir,
, luego
Reemplazando Para r R tenemos: y la carga encerrada por S es



(1.49)Figura 24. Flujo superficie esférica.
Lue
go

32

Gráficamente:Figura 25. Campo de una esfera.Así, de acuerdo a la Figura 25 el campo es máximo en la superficie de la esfera, desde
donde decae en ambos sentidos. Este ejemplo sirve para comprender mejor el modelo de carga
s puntuales. En efecto, si
deseamos calcular el campo en las cercanías de una carga puntual debe recurrirse a un
modelo parecido al desarrollado en este ejemplo, en donde se ve que el campo justo en el
centro de la partícula es cero.Conviene puntualizar
algunos aspectos de la Ley de Gauss:i) La ley de Gauss es útil cuando hay simetría, o sea cuando se puede “sacar” la magnitud
del campo eléctrico E de la integral de superficie, es decir, cuando se puede efectuar la
manipulación

ii) La ley de Gauss es v
á
lida para todo el espacio.iii)

Aplicarla requiere cierta destreza (la que se logra con práctica). Por ejemplo
consideremos que tenemos una carga puntual en presencia de una distribución en volumen
como la mostrada en la Figura 26. Se desea calcular el
campo en todo el espacio. Una
solución simple consiste en aplicar superposición.

Figura 26. Superposición aplicada.33En este ejemplo no es posible usar directamente la Ley de Gauss en la configuración inicial
(lado izquierdo) y, por otro lado, la integ
ración directa resulta de gran complejidad. Sin
embargo, al aplicar la superposición se resuelven separadamente los campos para la
situación de una carga puntual sola, y luego la de la esfera. El campo total será la suma
directa
(ojo: se debe usar el mismo

sistema de referencia!)
de ambos campos.

1.7 Potencial Eléctrico
Hemos visto que los campos eléctricos son originados por cargas eléctricas, ya sea
puntuales o distribuidas espacialmente. Introduciremos ahora el concepto de potencial
eléctrico el cua
l está asociado al trabajo o la energía de un determinado campo eléctrico.
Adicionalmente, este concepto de potencial eléctrico entrega una manera alternativa, y en
general más fácil, para obtener el campo eléctrico.
1.7.1 Trabajo de un Campo EléctricoSupongamos que deseamos mover una carga puntual q desde un punto (A) a otro (B) en
presencia de un campo eléctrico

como se muestra en la Figura 25.
Figura 27. Trabajo de Campo Eléctrico.La fuerza que experimenta q debido al camp
o eléctrico es
, de modo que el trabajo
que debe realizar un agente externo para mover dicha carga una distancia infinitesimal
es(1.50)El signo negativo indica que el trabajo lo hace un

agente externo (por ejemplo un dedo
empujando la carga). Si
dW

es positivo significa que el trabajo lo realiza el agente externo
(o sea el campo eléctrico se opone al desplazamiento de la carga en el sentido de
). Si

34

dW
es negativo s
ignifica que el trabajo lo ha realizado el campo eléctrico (no ha sido
necesario empujar con el dedo).Luego el trabajo (externo) realizado para llevar carga desde el punto A a B es:
(1.51)Dividiendo
W

por q se obtiene el trabaj
o por unidad de carga o, equivalentemente, la
energía por unidad de carga. Esta cantidad, llamada
V
AB
, se conoce como la
diferencia de
potencial

entre los puntos A y B. Así:
Notar que:

i) A es el punto inicial y B el punto final del

desplazamiento.

ii) Si V
AB


0 el campo eléctrico es quien hace el trabajo (hay una pérdida en la energía
potencial eléctrica al mover la carga desde A a B). En caso contrario es un agente externo
quien ha realizado el trabajo

iii)V
AB

se mide en [J/C], lo

cual se denomina Volt [V]. Por ello es común expresar el
campo eléctrico en [V/m]
EJEMPLO 10.

Supongamos una carga Q fija en el origen y una segunda carga q ubicada a una distancia
r
A
.
Se desea calcular el trabajo necesario para llevar esta segunda car
ga a una distancia
r
B

según se muestra en la Figura 28. Calcule además
V
AB
.
Figura 28.Trabajo carga puntual.

Solución
:

Campo:
(1.53)Trabajo:
(1.54)35
Notar que si r
A
r
B
(com
o en la Figura 28)

el valor de

W

resulta negativo si q y Q son del
mismo signo. Sabemos que para este caso las cargas se repelen, por lo tanto el campo de Q
es quien realiza el trabajo (y no un agente externo).La expresión para la diferencia de potencial

V
AB

es
(1.55)Esta expresión no depende de q sino que
de la carga que produce el campo
, en este caso
Q. Este resultado permite definir de manera más general el potencial eléctrico como
veremos a continuació
n.
1.7.2 Definición de Potencial EléctricoPara el ejemplo analizado anteriormente
V
AB

representa el trabajo por unidad de carga que
es necesario realizar para llevar una carga entre los puntos A y B. Si dejamos variable el
punto B se genera la función
(1.56)esta función permite evaluar el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar para
llevar una carga desde la posición

a cualquier lugar definido por el vector
.Si aho
ra hacemos tender
r
A




, obtenemos

(1.57) Esta expresión representa el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar para traer
desde el infinito una carga hasta la posición
, cuando existe una c
arga Q en el origen (la
carga que produce el campo eléctrico
). Esta expresión se define como la función
potencial eléctrico

de la carga Q y corresponde a un campo escalar definido en todo el
espacio. Para generalizar este resultado c
onsideremos la situación de la Figura 27.
36Figura 29. Potencial eléctrico carga puntual.Así, en un sistema de referencia cualquiera la expresión general para el potencial eléctrico
asociado a una carga q en la posición
es[V] (1.57)

Dado que V es una función lineal con la carga, también aquí se cumple la propiedad de
superposición, i.e., para n cargas

se cumple:
(1.58)Análogamente al c
aso del campo eléctrico, para distribuciones continuas de carga se tiene


(1.59)

y dependiendo de la distribución de carga es
Donde
l
,
s

y
r

corresponden a las densidades de carga lineal, superficial y de vo
lumen,
respectivamente (campos escalares en la variable
)
. EJEMPLO 11.

Se tiene una línea de largo
l

con distribución de carga
l

cte en el eje z.. Se pide demostrar
que el potencial producido por esta distribución lineal de carga en

el plano medianero
(x,y,0) puede escribirse como:
(1.63)

donde


r

es el radio desde el origen a un punto cualquiera del plano medianero. Exprese el
resultado en coordenadas cartesianas.37Solución
:

Co
nsideremos la
Figura 30.Figura 30. Potencial línea cargada.Los vectores son

,luego,
Haciendo el cambio de variablese tiene

De la geometría de la Figura 30 se cumple
38

, luego

1.7.3 Relaciones entre Potencial y Campo EléctricoA partir de las relaciones de trabajo desarrolladas para cargas

puntuales habíamos visto que
la función potencial entre dos puntos
A

y
B

correspondía

a
y haciendo
B
= r y
A



, obteníamos la función potencial como


(1.64) donde V(r=

)=0

En el caso general el pot
encial puede no ser nulo para r




(por ejemplo cuando hay
distribuciones de carga infinita). Recordemos que la definición obtenida a partir del trabajo
nos conducía a la expresiónque representa el trabajo por unidad de carga para t
rasladar una carga desde el punto A al
B. Por lo tanto al dejar variable el punto A=r, la expresión del potencial queda
El valor que adquiere
es llamado
referencia

o
potencial de referencia

(o voltaje
de refere
ncia V
ref
). Por ello, la expresión general del potencial eléctrico es
(1.65)
Notar que dado que es un valor constante, al calcular el trabajo entre dos puntos cualquiera
se cancela. Para simplificar la notación es común asigna
r un valor nulo a la referencia, es
decir,
.39Del desarrollo anterior se cumple la relación
(1.66) El campo eléctrico se obtiene a partir del gradiente de la función potencial.
EJEMPLO
12

Considere una d
istribución de carga lineal infinita según se muestra en la Figura 31.
Calcule el potencial en todo el espacio.Figura 31. Campo y potencia de línea cargada.Solución:

Aplicando gauss a la superficie S tenemos Por otra parte, l
a carga total encerrada es
. Luego, en coordenadas cilíndricas el
campo vale
Apliquemos ahora la definición de potencial eléctrico.40escogiendo un radio para realizar la integral de línea
. Por lo tanto,

Analizando esta expresión vemos que el potencial en el infinito no es nulo, ya que la
función potencial diverge. Por ello, se escoge la referencia para un valor arbitrar
io de r. Por
ejemplo, para r=ref hacemos Vref =0. Así, la expresión para la función potencial de esta
distribución infinita de carga queda finalmente, 1.7.4 Ecuación de Laplace y PoissonHabíamos visto que
Tomando la divergencia a ambos lados obtenemos
(1.67)
Si usamos la 1ª ecuación de Maxwell llegamos a


(1.68)

ó(1.69) ecuación de Poisson.

Cuando no hay carga tenemos:
(1.70) ecuación de Laplace.El operador

2

se conoce también como el
Laplaciano
. En coordenadas cartesianas esEn coordenadas cilíndricas es 41
y en esféricas su expresión es

Así, el
Laplaciano

de un campo escalar es también un campo escalar.Hemos demostrado que el potencial eléctrico satisface la ecuación de Poisson en las
regiones donde existen fuentes de carga y satisface la ecuación de Laplace en las regiones
s
in carga. Adicionalmente se requiere definir condiciones de borde para resolver los
sistemas de ecuaciones diferenciales resultantes. Así, una manera alternativa de obtener el
campo eléctrico es resolver la ecuación de Laplace (o Poisson) cuando se conocen

(o se
pueden inferir) las condiciones de borde.EJEMPLO 13
.

Para la configuración de la Figura 32 se sabe que el potencial en los planos semi
-
infinitos
definidos por V(
f
=0,
r
, z) = 0 y V(
f
=
p
/6,
r
, z) = 100 V. Se pide calcular el potencial y el
campo par
a la región entre los semiplanos (no incluido el eje z, o sea
r

= 0
).
Figura 32. Potencial entre placas.Solución
:

Claramente V depende sólo de
f
, por lo que la ecuación de Laplace en este caso es

Dado que
r
=0
esta excluido del

cálculo esta ecuación se convierte en
42
cuya solución es de la forma
.

Aplicando las condiciones de borde obtenemos para
f
=0

el potencial V=0, es decir, B=0.

Usando la otra condición de borde para
f
=
p
/6 ten
emos
Luego el potencial es y el campo
1.7.5 Campo Eléctrico ConservativoOtra propiedad importante de los campos eléctricos se obtiene a partir de

la propiedad
matemática asociada a un campo escalar
, los cuales satisfacen la identidad
. (1.74)Así, dado que

en electrostática
4
. Luego, para una superficie
S cualquiera del espacio se cumple
(1.75)

y aplicando el teorema de Stokes
(1.76)Donde
C(S)

es el contorno que limita a la superficie
S
. Podemos escribir entonces
(1.77)


4

V
eremos luego que esto cambia cuando los campos son variables en el tiempo.43

Este res
ultado implica que el trabajo neto realizado por el campo eléctrico en una
trayectoria cerrada es nulo. Es decir, la fuerza proveniente de un campo electroestático es
una fuerza conservativa.Ahora veremos los campos eléctricos en la materia. Pero antes d
ebemos definir el concepto
de dipolo, el cual es la base para esos estudios.

1.8 Dipolo eléctrico
1.8.1 Definición DipoloUn dipólo eléctrico se compone de dos cargas idénticas pero de signo contrario, las cuales
se encuentran forzadas (por algún med
io) a mantener distancia d constante entre ellas, tal
como se muestra en la Figura 28.Figura 33. Dipolo eléctrico.Se define

(1.78) como Dipolo eléctrico o Momento dipolar.
Notar que la suma
neta de las cargas de un dipolo debe
ser nula y que el vector

apunta desde la carga
negativa hacia la positiva. Las unidades del dipolo son [C
ñ
m].
1.8.2 Potencial Eléctrico de un DipoloConsideremos la configuración de la Figura 34 donde
r
1

es la distancia de Q a P y

r
2

es la
distancia de
–
Q a P.44Figura 34. Potencial de un dipolo.El potencial de esta configuración evaluado en el punto P es:Interesa el caso cuando r
1
, r
2
>
>
d, o sea, cuando podemos aproximar

Además, Dado que

y si definimos

y
, la expresión del potencial
eléctrico producida por el dipolo se puede escribir como
(1.80)En el caso general,

el dipolo esta ubicado en un punto cualquiera

(vector que define la
posición del punto medio del dipolo) como en la Figura 33.
45Figura 35. Potencial del dipolo en sistema de coordenadas arbitrario.
En este caso el potencial eléc
trico tiene la forma
(1.81)
EL campo eléctrico de un dipolo se calcula a partir de
.
EJEMPLO 1
4
.

Calcule el campo eléctrico de un dipolo
ubicado en el origen como se muestra en
la Figu
ra 36.Figura 36. Campo eléctrico dipolo.

Solución:Sabemos que

, y en coordenadas esféricas46
V solo depende de
r

y
q
, luego

El campo resultante no depende del á
ngulo azimutal, ya que la configuración presenta
simetría según
f
. Además, para el caso
q

= 90º el campo sólo tiene componente según
, es
decir es perpendicular al plano x
-
y.Para puntos muy alejados del dipolo el campo eléctrico y e
l potencial disminuyen con la
distancia según las expresiones

Así, su efecto decae rápidamente con la distancia (un exponente mayor que en el caso de
cargas puntuales).
1.8.3 Dipolo de un Conjunto de Cargas y DistribucionesPor
extensión, también se define el momento dipolar para el caso en que se tiene un
conjunto de cargas
tal que su suma neta en nula, i.e.,
, tal como se
muestra en la Figura 37. Figura 37. Dipolo de sistema de ca
rgas.Para este sistema se define el momento dipolar eléctrico como:Claramente para n=2 se tiene
, pero
, entonces

según habíamos visto. Notar que no depende del o
rigen.
47

Para el caso general de una distribución volumétrica de carga el momento dipolar asociado
es Figura 38. Dipolo de distribuciones de carga.

EJEMPLO 15
.Se tienen 8 cargas dispuestas como en la
Figura 39. Se desea saber el efecto de agregar una
novena carga Q al sistema.
Figura 39. Dipolo de 8 cargas.Se sabe que las cargas satisfacen las relaciones

(1.82) y

(1.83) Se
pide calcular el moment
o dipolar en los casos:

a)

Carga Q se ubica en el centro del círculo,

b)

Carga Q se ubica en la posición x =
-
d/4. Donde d es el diámetro del círculo.Solución:48

a) Tomando el centro del círculo como origen del sistema de referencia se tiene
. (1.84) En este caso no existe momento dipolar.b) En este casoFigura 40. Dipolo 9 cargas. El momento dipolar es
(1.85)Luego podemos reemplazar esa distribución por el dipolo:Figura 41. Dipolo equivalente.(1.85)49

Es
to es lo que se vería desde una distancia
.Propuesto
. Calcular el torque sobre un dioplo en presencia de un campo eléctrico
.
1.8.4 Potencial a grandes distanciasHabíamos visto que para distribuciones en volumen el potencial eléc
trico es
Nos interesa evaluar la situación para el caso en que
, donde es posible expandir
el termino

en serie de la forma:....Términos de Orden Superiory reempl
azando en la expresión del potencial

Claramente el primer término corresponde al potencial de la carga concentrada en un solo
punto, mientras que el segundo término corresponde al potencial de un dipolo. En general
cuando se tiene
una distribución de carga vemos:i) Desde muy lejos, solo la carga total

ii) Desde más cerca, pero lejos todavía, dos cargas, es decir, un dipolo

iii) Desde más cerca aún, cuatro cargas, cuadripolo,

iv)

etc.La relación con la distancia de los campos y

potencial eléctrico de las distintas
configuraciones se muestran en la siguiente Tabla:
50

Tabla 1. Campos en configuraciones multipolares.

Configuración

Potencial Eléctrico

Campo EléctricoUna carga q
ñ

1



r



1



r
2

Dos cargas q
ñ

(Dipolo)
-
q
ñ



1



r
2



1



r
3

Cuatro cargas

Dos dipolos q
ñ

-
q
ñ


-
q
ñ

q
ñ




1



r
3



1



r
4

51

1.9 Problemas Resueltos
PROBLEMA 1
Se tiene una esfera de radio 100 cm que tiene una distribución volumétrica de carga dada
por
. Se desea anular el campo en el casquete ubicado a 90 cm del
centro. Para ello se dispone de las siguientes alternativas:

a)

Una carga que debiera ubicarse en el origen. Indique monto de la carga.

b)

Un casquete esférico de radio 50 cm con densidad

superficial de carga constante
. Indique el valor de
.

c)

Un casquete esférico de radio 150 cm con densidad superficial de carga
constante
. Indique el valor de
.
Soluc
ión:La idea es con las distintas alternativas provocar un campo eléctrico que anule el de
la esfera para r = 90cm, es decir que tenga el mismo valor absoluto pero distinto signo que
el provocado por la esfera para ese mismo radio.Primero calculamos el

campo al interior de la esfera utilizando Ley de Gauss.
Consideremos que la esfera posee radio R, y que la densidad de carga de la esfera es

donde

Debido a la naturaleza del problema conviene trabajar en coord
enadas esféricas
, donde:

ñes la distancia al origen.

ñes el ángulo azimutal.

ñes el ángulo superior.

Luego,

y

Figura P.1.1S(r)

r

R

52

Queremos calcular el campo eléctrico al interior de la esfera para cualquier radio, el
que definirá una superficie S, por lo tanto calculamos para r R

Tenemos queLa carga encerrada por la Superficie S es
Luego
.
Por simetría esférica, podemos suponer que el Campo Eléctrico es radial:Lugo, el flujo eléct
rico es:

Y







(Campo en el interior de la esfera).

Debemos anularlo para la distancia de 0.9 mt. Examinemos las al
ternativas:a)

Supongamos una carga Q en el centro de la esfera, con Q por determinar.
Figura P.1.1.1 QEl Campo eléctrico producido por una
Carga puntual, ubicada en una posición
, sobre

es:

Con
= 0 y

=

tenemos que



53
Por el Principio de Superposición, tenemos que:


para todo r 100 cm.

En particular, esto es válido pa
ra r = 90 cm. Designaremos como r
1

a este radio
particular. Determinaremos el valor de Q tal que,

, para r = r
1.. Entonces,

Finalmente,
Reemplazando con los val
ores numéricos: b)

Consideremos un radio r
2

= 50 cm., El Campo eléctrico al exterior de un casquete
uniformemente cargado con una densidad superficial de carga
, lo calculamos por
Gauss:

Fig
ura P.1.1.2

Por lo tanto,

y por simetría esférica,



Por el Principio de Superposición, tenemos que:


para todo r 100 cm.rr
2La carga total encerrada por la superficie S , de radio
r
2

es; Como

es constante, 54

En particular, est
o es válido para r
1

= 90 cm.. Determinaremos el valor de
s

tal que,
.


Reemplazando los valores numéricos: c)

Consideremos un r
adio r
3

= 150 cm., El campo eléctrico provocado por un cascarón
uniformemente cargado al interior de éste es nulo, pues la carga encerrada al aplicar la
ley de Gauss será cero. Veámoslo matemáticamente:

F
igura P.1.1.3

No existe σ tal que el campo eléctrico en r = 90cm sea nulo. r
3

r

Para r r
3

Entonces:
Con esto se observa que cualquier casquete con
alguna densidad de carga, cualquiera que esta
sea, no provocará campo eléctrico al interio
r de
el, por lo tanto no podremos anular el campo en
algún r, en particular r = 90cm con esta
alternativa. 55PROBLEMA 2Se tiene un disco circular de radio a cargado con una densidad superficial de carga

como se muestra en la figur
a P.1.2 Se pide:a)

Calcular el potencial en el eje z.

b)

Calcular el campo en el eje z.

Solución:

Figura P.1.2Los

límites de integración serán

y
.Entonces Luego:
a) Recordando que la fórmula para el
Potencial Eléctrico de una distribución
superficial de carga es:



Para nuestro caso (
trabajando en coordenadas
cilíndricas):




Z 56b)

PROBLEMA 3

La figura P.1.3 muestra un tubo de rayos catódicos como los usados en los
televisores. El tubo produce un flujo de electrones que entran con una velocidad inicial de
v
0

en la dirección horizo
ntal, a un espacio limitado entre dos placas. Estas placas tienen
densidades superficiales de carga dadas por +

y
-
, lo cual provoca un campo eléctrico
perpendicular a ellas. A una distancia L de las placas se en
cuentra una pantalla de largo 2S.
Determine lo siguiente:a)

La velocidad con que los electrones salen de la región entre las placas (considere
velocidad en las dos direcciones).

b)

La condición sobre la distancia L para que ningún electrón salga de la pantalla

(de largo 2S).

Datos:

d = 2
0e
-
7 m.
M = 9.107e
-
31 Kg.



W = 3 m
q = 1.602e
-
19 C

= 10e
-
21 C/m
2= 8.854e
-
12 F/m
S = 10 cm
v
0

= 3e+4 m/s.


Figura P.1.3Indicación:

Considere que el campo eléctrico es cero fuera de la región entre las placas.
Considere asimismo, que existe gravedad.

Solución:

d

L

W

-

V
0x

S

S57
Donde

dentro de la zona de placas. Como
, debemos
calcul
ar el Campo eléctrico producido por las placas paralelas.
Debido a que el ancho
w
de cada una placas es mucho mayor, que la separación
entre ellas,
d
, podemos considerar que el Campo es el producido por la superposición
de dos placas con densidad de c
arga de signo opuesto. Para determinar el campo
eléctrico en esta zona, necesitamos saber el producido por una Placa cargada con una
densidad

uniforme.
Figura P.1.3.1
Si

, entonces
, lo cual equivale a:

, si estamos sobre el Disco, y
, si estamos bajo el disco,
suponiendo que
estrictamente positivo.

En el problema utilizaremos los ejes
x, y

con los vectores
unitarios
,
,
respectivamente. Figura P.1.3.2
Considerando un disco delgado de radio
a

con
densidad de carga uniforme
, se sabe que el
campo eléctrico en el eje Z es:
(pr
oblema anterior)
Z

v
0

d

w

L

S

S

X

58

Figura P.1.3.3 Sea

Tal que Como condición inicial, podemos suponer que los electrones salen por el medio de la
zona de placas, con velocidad solo en la horizontal.
Con esto:

Ecuaciones de movimiento
:

Según

:

De la ecuación anterior, vemos que no hay fuerzas que actúen sobre el
eje X

Como x(t=0)=0

C
1
=0

.Existe un tiempo t
1
tal que x(t
1
) = w; Entonces v
0
·t
1
=w:luego:

Para este sistema de placas,

En las regiones
I

y en
III

los campos se anulan ( por
ley de gauss carga total encerrada nula). En
II

se
refuerzan, es decir se suman los efectos de ambas
placas, quedando un campo que va de la placa con
carga positiva, a la placa con carga negativa.Luego,
, si

d/2

-
d/2
I

II

III59Según

:

Ambas fuerzas (eléctrica y de gravedad) actúan sobre el eje YEvaluando en

(tiempo que demora un electrón en salir de las placas)


De esta manera, hemos encontrado tanto la posición de salida, como la velocidad de salida
del sector de las placas bajo los campos eléctrico y gravitatorio.Luego:

b)

Necesitamos ahora las ecuaciones de las partículas a partir del i
nstante en que dejan las
placas hasta que llegan al la pantalla de largo 2S. Para estas nuevas ecuaciones ya
tenemos las condiciones iniciales, las que vienen dadas por continuidad, por las
ecuaciones antes encontradas.

El electrón se ve afectado por una única fuerza, la que corresponde a la fuerza de gravedad
60 Según
:

No hay fuerzas según x



; Como

C
1
=w

.Existe un tiempo t
2
tal que

x(t
2
) = LLuego: Según

:

Tenemos solo la fuerza de gravedad



Aplicando la condición de borde

Ahora, determinamos la posición:

61
C
on el tiempo
t
2

tenemos que la partícula impacta en la pantalla
. Existen dos casos

e
.

Para los valores dados, el caso

no tiene

solución. Por lo
tanto, se analiza el caso

con

.

Después de poco de trabajo algebraico, se llega a una Ecuación de Segundo grado
para L:

Para discernir datos sobre esta ecuación, sustituimos los valores entregados, en el
Discriminante, resultando este ser positivo. Por ello, esta ecuación posee Raíces Reales y
Distintas. Tomaremos la que sea positiva, o en el caso de que ambas sean posit
ivas, la de
menor módulo. Para los valores del problema, la solución que nos sirve, es: Como comentario: A pesar de que sea un valor muy alto, es razonable, debido a la casi nula
masa del electrón y su ve
locidad muy alta.PROBLEMA 4
Considere el sistema de la figura P.1.4, el cual se compone de dos planos infinitos,
separados a una distancia
d
, conteniendo densidades de carga
s
0

y
-
s
0
,

respectivamente.
Entre los planos se ubica una esfera sólida que co
ntiene un material cargado el cual puede
superponerse con una distribución volumétrica constante
r
0
. Se pide:a) Calcular el campo eléctrico en el centro de la esfera.
62

b) Calcular el campo eléctrico en un punto
A

situado en el plano meridiano a una

distancia
L

del plano derecho.c)Si una partícula de carga
–
q

y masa
m

se ubica a una distancia
d

del centro de la
esfera en el eje z, (no importa dirección). Calcule la ecuación de movimiento de la partícula
y obtenga la posición en el eje Z

en función del tiempo.
Figura P.1.4Solución:a)

Lo primero será encontrar los campos provocados por las placas y la esfera por
separado para así por superposición encontrar el campo total.

En este caso buscamos el campo entre las placas den
tro de la esfera.

Utilizando un resultado del problema tres, tenemos que para una placas el campo eléctrico
está dado por:



Para este caso Placa 1
: Consideramos la placa con carga positiva para y mayor que
cero Placa 2
: Consideramos la placa con carga negativa para y menor que cero
A

r
0

s
0

s
0

i

J

k63Esfera
: La esfera genera un campo con dependencia radial (
). Utilizando la ley de Gauss
(para r
d/2) obtenemos que: Evaluando esta expresión en el origen obtenemos que Finamente tenemos el campo total estará dado por:
b)

Debemos calcular el campo para un punto A como se mue
stra en la figura P.1.4
Placas
: Ambas placas producen campos en sentidos opuestos, por lo que se anularán en
cualquier punto que no esté entre las placas, esto se aprecia en la figura P.1.4.1. Para un
punto a la derecha de ambas placas

F
igura P.1.4.2Luego el único campo que aporta es el producido por la esfera.Esfera
: Utilizaremos la ley de Gauss para calcular el campo.Ocupando
, calculamos el campo producido por ella:As
0

s
0

i

J

k64
Con ello concluim
os que el campo fuera de la esfera es El punto A se encuentra a una distancia

del centro de la esfera.
Luego reemplazando este valor en la expresión del campo se obtiene que:
c)

Tenemos que :
donde
(Notar que en r = z

)
separando por componentes, se obtiene:Eje z:Se propone la solución de la forma:65

Luego, como

PROBLEMA 5En la
Figura P.1.5 se muestra una distribución lineal de carga λ
0
, infinita, la cual es
rodeada por la distribución volumétrica de carga, que en coordenadas cilíndricas tiene la
forma
, la cual se extiende hasta un radio r = a. Entre a
mbas densidades
existe la relación
a)

Calcule el campo eléctrico en todo el espacio

b)

Calcule el potencial eléctrico en todo el espacioFigura P.1.5.1
66

Solución:a)

Calcularemos los campos eléctricos producidos por ambas distribu
ciones de carga para
luego encontrar el campo total por el principio de superposición, es decir el campo total
será la suma de ambos.Para la distribución lineal
con

En la integral:
Pero: Q
enc

=
λ
0

· L

Entonces podemos escribir:

Entonces el campo eléctrico producido por la distribución lineal:

Ahora, para la distribución volumétrica:
con
67

Tenemos dos casos:1)
Para

Pero: 2)
Para r� a

Aplicando nuevamente la re
lación entre las densidades


68

Finalmente el campo en todo el espacio está dado por: b) Para calcular el potencial se sabe que:


con 1)
Para r


2)
Para r� a
Donde el voltaje V(a) es el voltaje de referencia que debiera ser un dato.
Finalmente el potencial en todo el espacio es: 69

PROBLEMA 6.Dos cilindros concén
tricos de radios a y b respectivamente y largo L se encuentran
ubicados tal como lo indica la Figura 1. El espacio entre ambos se encuentra lleno de un
material con un vector polarización dado por Dado lo anterior se pide:a) Calc
ular las densidades superficiales de carga de polarización

b) Calcular la densidad volumétrica de carga de polarización

Figura P.1.6.1
Superficie del cilindro de radio aSuperfic
ie del cilindro de radio ba)

Densidades superficiales de carga de polarización

Para

y

, pero Para

y

, pero b) Densidades volumétricas de carga de polarización

b

a

a

b70

PROBLEMA 7.

Se tiene una esfera de radio R cargada con densidad volumétrica variable
r
(r) =
r
or3/R3.
La esfera además contiene en el origen
una carga puntual Qo. Se pide:.a)
Determine el campo eléctrico para cualquier punto del espacio

b)
Determine el potencial eléctrico para cualquier punto del espacio

Figura P.1.7.1
a)

Usando Ley de Gauss: i)

Para
Además se tiene que:

Por lo tanto:
ii)

Para
R 71

Y

es radial también:

Y finalmente para
:

b)i)Para

iii)

Para
PROBLEMA 8
.Un alambre de

largo
R

y densidad de carga
l
o

uniforme se encuentra incrustado radialmente en
una esfera de radio
R
, de modo que su extremo más profundo se encuentra a una distancia
x

del
centro de la esfera, tal como se indica en la Figura 2. La esfera está cargada de

modo tal que el
campo eléctrico producido por ella en cualquier punto del espacio es:

si
;

si

a)

Determine el
vector

fuerza
que la esfera ejer
ce sobre el alambre

b)

Determine el potencial electrostático

de la esfera en cualquier punto del espacio72



Figura P.1.8.1

El campo eléctrico para todo el espa
cio está dado por:

–, para
.

–

, para
.

a)

La Fuerza que la esfera ejerce sobre el alambre está dada por: , y el elemento dife
rencial de volumen

b) Calculemos el potencial electroestático para todo el espacio.i)

Para x

x

R

l
0

R



R73
ii)

Para PROBLEMA 8
.
Co
nsidere una esfera maciza de radio 2a y con densidad de carga en volumen
0
, a
la cual se le ha practicado una perforación, también esférica, de radio a, según se muestra
en la Figura 1. Figura 1.

Se pide:a) Calcule el campo eléctrico en todo el espacio.b) Determine una expresión que permita estimar el trab
ajo necesario para traer una
carga q desde una distancia muy grande al centro de la esfera.c) ¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico a través de una superficie compuesta de
un casquete esférico de radio 4ª centrado en el origen?
74
Solucióna)

Como
en la distribución original de la esfera (esfera 1) no hay simetría esférica
(Figura 2a), se separa la esfera 1 perforada en dos esferas, una con densidad

0

(Figura 2b)
llamada esfera 2 y otra con densidad de carga
-
0

(Figura 2c) llamada esfera 3,
respectivamente.

Figura 2a.

Figura 2b.Figura 2c.
Campo eléctrico para

esfera
1
:Fuera de la esfera 1:
· =

0

1

·
2
sin

0
2
0
=
1
0
0
2
sin
2
0
0
2
0

1
2sin
0
2
0
=

0
0

2
sin
2
0
0
2
01
2
·
4
=

0
0
4
3

8
31

=

8
0
3
3
0
2

·Dentro de la esfera

1
:
1

·
2
sin

0
2
0
=

1
0

0
2
sin
0
0
2
0


1
2
·
4
=

0
0
4
3

3


1

=

0
3
0

· −

+ 75
−
Campo eléctrico para esfera
2 Fuera de la esfera: 2
′

·
′
2
sin
′

0
2
0
=

1
0

−
0
′
2
sin
′
0
0
2
0




2
′
2
·
4
=

−
0
0
4
3

3

2

=

−
0
3
3
0
′
2

·
′Dentro de la esfera:

2
′

·
′
2
sin
′

0
2
0
=

1
0

−
0
′
2
sin
′
′
0
0
2
0

2
′
2
·
4
=

−
0
0
4
3

′
3


2
′

=

−
0
′
3
0

·
′
Basta expresar todo en un sistema de
referencia. Notando que:

−′a

′ a

′
76
=

′

+
�=

`
=
−
=
cos
sin

+
(
sin
sin
−
)

+
cos
De esto se calcula:

′
=′



∴
′
=

2
−

2
sin
sin

+

2
2



Luego el campo eléctrico será:Fuera de la esfera original:
(

)
=

1

+
2
=
8
0
3
3
0
2

·

+
−
0
3
3
0
′
2

·
′

=
8
0
3
3
0
2

·

+
−
0
3
3
0
′
3
·
′
;

=
′
′ )
=
8
0
3
3
0
2

·

+
−
0
3
3
0
(
2
−

2
sin
sin

+

2
)
3
2

·
(
−)
(

)
=

0
3
3
0

8
2

·

+
−
+(
2
−

2
sin
sin

+

2
)
3
2

Dentro de la esfera 1 y fuera de la esfera 2:

(

)
=

1

+
2
=
0
3
0

·

+
−
0
3
3
0
′
2

·
′ )
=

0
3
0

·

+
−
0
3
3
0
(
2
−

2
sin
sin

+

2
)
3
2

·
(
−)
(

)
=

0
3
0+
−
3
(
−)
(
2
−

2
sin
sin

+

2
)
3
2

Dentro de la esfera 1 y dentro de la esfera 2:77
(

)
=

1

+
2
=
0
3
0

·

+

−
0
′
3
0

·
′

=
0
3
0

·

+

−
0
3
0

·
′
(

)
=

0
3
0

·

+

−
0
3
0
·
(−)
(

)
=

0
3
0
·
Se puede ver que el campo
eléctrico dentro de la perforación es
constante según

.

Nota:
Para los ca
mpos eléctricos
calculados se puede escribir en coordenadas esféricas para una expresión más formal.
=

+
(

+

)=

+

+

)

b)

El trabajo desde un punto A hasta uno B es:

=
−
· Tomando B=0 (centro de la esfera) A =

(punto muy muy lejano) y un camino radial. 78

=
−
·

0
∞
=
−+

0
2
2
∞Do
nde
=
dependiendo del camino que se tome.c)

Para el flujo se usa Teorema de Gauss directamente. · =

0 · =
1
0

0
2
sin
2
0
0
2
0
−
0
2
sin
0
0
2
0 · =
0
0

4
3
(
2
)
3
−
4
3
3 · =
28
0
3
3
0 79

1.
10

Problemas propuestosPROBLEMA 1

Considere el sistema de la Figura PP.1.1, en el cual se con
ocen los valores para el potencial
eléctrico en los planos cilíndricos definidos por los radios r=a, donde el potencial es nulo, y
r=b donde vale V
0
.
Figura PP.1.1Suponiendo que los campos sólo dependen de r, se pide:

a)

Calcule el ca
mpo eléctrico para arb y ángulos menores a
a

(región I).

b)

Si ahora este espacio (región I) se rellena con una densidad de carga en volumen
, calcule el nuevo campo eléctrico en esa región.PROBLEMA 2Se tiene una cinta de ancho 4a
cargada con una con una densidad superficial de carga
s
. A
la cinta le falta un pedazo en forma de circunferencia de radio a, tal como se ilustra en la
Figura PP.1.2. Para esta configuración determine el vector campo eléctrico y el potencial en
el eje z. Figura PP.1.2.

a

b

a

I

Z

a

4a80

PROBLEMA 3

Se observa la siguiente distribución de carga:

ñ

El tubo macizo interior posee radio a y una densidad homogénea
.

ñ

El cilindro intermedio posee un radio interior b y un radio exterior c. Además

de
una densidad homogénea
.

ñ

El manto exterior posee una densidad homogénea superficial

y radio d.

ñ

Todos los elementos son infinitamente largos.Calcule E en todo el espacio. Figura PP.1.3dc

b
a81

CAPITULO 2. PROPIEDADES DIELÉCTRICAS DE LA MATERIA2.1 IntroducciónHasta aquí hemos visto las propiedades de la carga eléctrica en el vacío. En este capítulo
veremos la forma que adoptan los campos eléctricos en la mater
ia. Por materia
entenderemos una distribución de carga que se mantiene restringida a un espacio definido.
En términos generales hay tres clases de materiales:I.

Dieléctricos o aislantes: donde las cargas sólo pueden desplazarse en torno a su
posición de equ
ilibrio

II.

Conductores: donde las cargas pueden moverse libremente en la superficie o al
interior del material

III.

Semiconductores: un material que presenta en distinto grado (generalmente con un
comportamiento muy no lineal) las propiedades tanto de dieléctricos

como de
conductoresConductores son típicamente los metales como el cobre y el aluminio. Aislantes son
materiales como el vidrio y las cerámicas, o líquidos como el aceite. Semiconductores son
aleaciones especial
es compuestas de silicio o germa
nio. Estos

últimos se usan en la
fabricación de chips para PC. En este curso sólo estudiaremos los dieléctricos y los
conductores, ya que la gran mayoría de los materiales corresponde a una combinación
directa de estas dos clasificaciones.

2.2 Modelo de los Mate
riales Dieléctricos
En los dieléctricos las cargas no pueden desplazarse libremente y sólo pueden producirse
pequeñas rotaciones en torno a un punto de equilibrio fijo según veremos a continuación.
2.2.1 Materiales No PolaresPara entender el efecto m
acroscópico de un campo eléctrico sobre un material dieléctrico
consideremos un átomo de un dieléctrico formado por una nube de electrones cuya carga
negativa neta es
–
Q y un núcleo fijo consistente de cargas positivas con carga total Q,
según se muestra e
n la Figura 42.82Figura 42. Modelo de átomo.Al aplicar un campo eléctrico externo la configuración de cargas experimenta una leve
deformación según se muestra en la Figura 43 (se desprecian los efectos de los propios
campos de las cargas entre sí):
Figura 43. Átomo en presencia de campo eléctrico.Desde una cierta distancia (mucho mayor que las distancias atómicas) esta deformación
puede representarse mediante un dipolo de la forma (ver Ejemplo 13):
Figura 44. Representación mediante dipolo.Así

entonces, al aplicar un campo externo el material presentará pequeños desplazamientos
de sus electrones en torno a una posición de equilibrio, los cuales pueden representarse a
través de dipolos.
83

Notar que en este modelo, el material no posee dipolos con

antelación a la aplicación del
campo externo
. Por ello estos materiales se llaman no polares.
2.2.2 Materiales PolaresExisten otros materiales, que por su estructura molecular poseen dipolos en forma natural,
los cuales se encue
ntran generalmente orientados en forma aleatoria
5
, tal como se muestra
en la Figura 45. Estos materiales se llaman polares (constituidos de moléculas polares).
Figura 45. Elemento de volumen en un medio material polar.En estos materiales, al aplicar u
n campo eléctrico externo se produce una alineación de los
dipolos:Figura 46. Medio material polar frente a un campo.En estos materiales tampoco se produce una traslación significativa de cargas ya que su
estructura atómica impide el movimiento (fuerz
as inter
-
nucleares).



5

E
xisten unos materiales llamados ferroeléctricos en los cuales existe una polarización perma
nente en ausencia de campo
eléctrico externo, aunque su número es muy reducido en la naturaleza.

84

2.2.3 Vector PolarizaciónSegún vimos, en los dieléctricos sólo se produce desplazamiento de cargas en torno al
punto de equilibrio. Así, para un elemento de volumen del material dieléctrico (polar o no
polar) tendremos una nube de

dipolos como se muestra en la Figura 47. Figura 47. Elemento de volumen en un medio material.Definimos el vector polarización
(mayúscula) como el momento dipolar por unidad de
volumen de un dieléctrico, es decir,Donde los
N

dipolos

se encuentran en el volumen
.

2.3 Potencial Eléctrico en la Materia
Consideremos ahora la expresión del potencial eléctrico producido por el elemento de
material de volumen
, según se muestra en la Figura 48.Figura 48. Potencial eléctrico de elemento de volumen.
85

Si suponemos que el elemento de volumen

puede representarse por un dipolo
equivalente
, entonces el
potencial en una posición
será:
:Vector polarizacion

Donde


es el espacio del medio material en donde están los dipolos. Sabemos por otro
lado que
(probarlo)

Luego

podemos escribir


(2.4)utilizaremos ahora la identidad
, con ello

El teorema de la divergencia establece que



y aplicándolo a nuestro desarrollo (2.8)
Si escribimos el elemento diferencial

podemos escribir el potencial como


(2.9)2.4 Distribuciones de carga de polarizaciónAhora recordemos que para distribuciones de carga en el vacío
teníamos las siguientes
expresiones para el potencial:En volumen:
(2.10)
86

En superficie:
(2.11)
Figura 49.Cargas de polarización.Por lo tanto, al comparar estas expresiones puede concluirse que

la expresión para el
potencial de los medios materiales corresponde al potencial producido por una distribución
volumétrica de carga igual a

(2.12) y otra de superficie igual a

(2.13). En otras palabras, al ap
licar un campo eléctrico a un material dieléctrico, este se
comporta como una distribución de carga en volumen
r
P

y otra en su superficie
s
P
, tal
como se muestra en la Figura 50.Figura 50. Modelo de medios materiales.Es importante destacar lo siguient
es aspectos:

ñ

Las cargas de
r
P

y
s
P

no se mueven (se obtienen de la rotación de los dipolos).

ñ

La carga neta del material sigue siendo nula. En efecto:
(2.14)
ñ

r
P

y
s
P

obedecen a la alineación que ofrecen los

dipolos del material dieléctrico y
no corresponden a cargas libres al interior de él.

87

EJEMPLO 16

Un cubo dieléctrico de lado
l

y centrado en el origen tiene una polarización radial
,
donde a es una constante y
. Se pide encontrar las densidades de carga de
polarización y la carga total al interior del cubo y en su superficie.Figura 51. Dieléctrico cúbico.

Solución:

En volumen
O sea, se tiene una distribución en volumen de carga cons
tante al interior del cubo.En superficie
, por lo tanto tendremos una distribución por cada cara del cubo:Plano x
-
z. Con y=l/2,

Con y=
-
l/2, Similarmente para las

otras caras se tiene

Carga total al interior del cubo:Carga en las caras:

ñ

Por cada carañ

Seis caras 88

Notar que la carga total es
Se obtiene que el material dieléctrico tiene carga neta nula, lo que está de acuerdo a la
intuición, ya que el material dieléctrico no tiene cargas libres.
2.5 Generalización de la 1ª ecuación de Maxwell
Consideremos ahora el caso g
eneral en que tenemos una distribución de cargas libre
r

al
interior de un material dieléctrico (puesta allí a propósito). La 1ª ecuación de Maxwell
indica

(2.15).

Aquí
r
total

corresponde a la carga total que es fuente de campo el
éctrico. Por ello, en este
caso corresponde a la carga libre al interior del dieléctrico más las distribución de carga de
polarización.

Así,
r
total

=
r
L
+
r
P

(2.16) donde
r
L

densidad de carga libre y
r
P

densidad de polarización.
Luego, podemos escribir

, (2.16)

ó
(2.17)

pero
Se define

(2.20) como el vector desplazamiento eléctrico en medios
materiales. Con ello


(2.21)

1ª Ecuación de Maxwell.

Integrando en volumenLey de Gauss en medios materialesNotar que en estas expresiones
es el campo eléctrico total, el cual es resultante tanto de
fuentes externas como de las
cargas libres
r
L

y las de polarización
r
P
. A su vez, en el
espacio vacío

y se cumple

según habíamos visto anteriormente.
89

2.6 Constante Dieléctrica
2.6.1 Polarización de medios materialesEn la mayoría d
e los materiales
en ausencia de campo eléctrico y en general la
polarización

de los materiales varia con la intensidad del campo eléctrico aplicado. La
atmósfera es un típico ejemplo de un medio en el cual la po
larización varía con la altitud.
Dependiendo de la forma en que se efectúa esa variación los materiales se clasifican de la
siguiente forma:ñ


Materiales lineales

ñ

Materiales isótropos. Aquí

ñconstante


material homogéneo.Se acostumbra a escribir:

(2.23)

donde
es la susceptibilidad eléctrica de un material y corresponde a una medida de cuan
susceptible o sensible es

un material al campo eléctrico aplicado. En general

es una
matriz que considera todas las posibles variaciones de la polarización con el campo
aplicado. Sustituyendo la expresión de

en la definición del vector

desplazamiento queda Se define

(2.26) como la permitividad dieléctrica relativa del material dieléctrico
y
como la constante dieléctrica del material, también llamada Permitividad
die
léctrica (recordemos que
es la permitividad del espacio vacío definida anteriormente).
Con ello
. (2.27)Así, en general la constante dieléctrica será variable al interior del material, siendo la
expresión más

general de estos cambios

(2.28) , y en general
.
2.6.2 Clasificación de materiales dieléctricos
90

En base a la constante dieléctrica los materiales se clasifican en a)

Material lineal si
,

b)

Material isótropo si
,

c)Material homogéneo si
, con
e

constante.A continuación se ilustran las distintas posibilidades para un material específico:i)

Material lineal, isótropo y homogéneo
Figura 52. M
aterial lineal, isótropo y homogéneo.Aquí se cumple que

;son paralelos y

con

constante.
ii)

Material lineal, isótropo y no homogéneo
Figura 53. Material lineal,

isótropo y no homogéneo. Aquí se cumple que

;son paralelos y

con
.Por ejemplo, l
as flechas que representan el campo están más largas a la derecha que a la
izqu
ierda en la Figura 53(situación con campo aplicado)
91

iii)

Material lineal, anisótropo (no isótropo) y no homogéneo
Figura 54. Material lineal, anisótropo y no homogéneo.Aquí se cumple que

;no son paralelos

y

con
.iv)

Material no lineal, anisótropo (no isótropo) y no homogéneo
Figura 55.Material no lineal, anisótropo y no homogéneo.Aquí

, donde f es una función no lineal (
)

;no son paralelos y

con
.
2.6.3 La Ecuación del Potencial (Laplace) en Medios MaterialesSi tenemos un medio dieléctrico cualquiera en el que no hay densidad de carga libre, y l
os
campos presentes son

estáticos,
se cumple
:Con respecto a las leyes constitutivas se tiene:
92

Según vimos anteriormente, el parámetro

tiene varias posibilidades
dependiendo de las
características del medio
. Para el caso de un medio lineal se tienen las siguientes
posibilidades
:

Medio lineal, anisótropo (no isótropo) y no homogéneo. Es un material en que la
relaci
ón entrey

es una funci
ón

no

lineal
, dependiente de la posición
. Esto
quiere decir que dicha

relaci
ón se puede expresar en la forma 

Medio Lineal
, anisótropo (no isótropo) y homogéneo
:
Es un material en que la
relaci
ón entrey

es una funci
ón lineal

que no depende de la posición
. Esto
quiere decir que dicha

relaci
ón se puede expresar en la formay los elementos

son constantes y
forman una matriz si
métrica.

Medio Isótropo: Medio Is
ótropo: Es un
material cuyas propiedades diel
éctricas

no
dependen de la orientaci
ón del material.

En el caso de lo medios que son además
lineales, esto signi
fica que la relaci
ón se expresa como

para i=1,2,3

Medio Homogéneo
: Es un
material cuyas propiedades diel
éctricas son las mismas
en todo punto del material.

Si el medio es lineal, la (o las)

son constant
es,
independientes de la posici
ón en el material. La ecuació
n de

Laplace se obtiene de la siguiente forma.

Donde

I

es la

matriz identidad de 3x3. Esto último relaciona

y

en general a través de
una matriz.Esta ecuación cum
ple con la primera ecuación de Maxwell
Por o
tra parte, sabemos que el campo electrostático es conservativo, es decir, se cumple
por lo que el campo eléctrico se deriva de una función potencial de la forma:

93

Reemplazando en la expresión de la divergencia del vector desplazamiento tenemos:

Si el material es
no homogéneodepende de la posición
,
por lo tanto

al tomar

la
divergencia se
debe
apli
ca
r

sobre un producto de funciones.
Por ello, e
n este caso, a pesar

de que no hay densidad de carga libre, no se cumple la ecuación de Laplace
.Cuando el material es homogéneo
A

es constante respecto de la posición y puede salir fuera
de la divergencia. C
on ello se obtiene:

por lo que aquí sí se cumple la ecuación de Laplace.2.7

Ruptura dieléctricaCuando el campo eléctrico es lo suficientemente fuerte, es posible arrancar los electrones
de las moléculas
y el material deja de comportarse como aislante, esto se conoce como
ruptura dieléctrica.
Es posible encontrar la ruptura dieléctrica de cualquier material o
incluso de gases como el aire. El mínimo valor del campo eléctrico para el cual se produce
la rupt
ura se denomina “fuerza dieléctrica” y es un parámetro de gran importancia en
ingeniería. 94

Valores de permitividad dieléctrica (aproximada)*
y fuerza dieléctrica de materiales

Tabla 2: Valores de permitividad dieléctrica y fu
erza dieléctrica de materiales


Constante Dieléctrica Fuerza dieléctricaMaterial

(adimensional)

E (V/m)

Titanato de Bario 1200 7.5 x 10
6


Agua (mar) 80

Agua destilada

81

Nylon 8

Papel 7 12 x 10
6


Vidrio

5
-
10 35 x 10
6

Mica 6 70 x 10
6

Porcelana

6

Bakelita 5 20 x 10
6

Cuarzo (fusionado) 5

30 x 10
6

Goma (dura) 3.1 25 x 10
6

Madera 2.5
–

8.0

Polyestyreno

2.55

Polypropyleno 2.25

Parafina 2.2 30 x 10
6

Pe
troleo 2.1 12 x 10
6

Aire (a 1 atmósfera) 1 3 x 10
6

(*) Estos valore
s pueden variar en otras Tablas ya que hay muchas variedades y aleaciones de
cada material y la permitividad es además sensible a la temperatura, impurezas, etc.
2.
8

Condiciones de bordeHasta el momento hemos considerado el fenómeno electrostático en

el vacío y en medios
materiales en forma aislada. En la práctica existirán campos en dos o más medios
materiales en contacto entre si. Llamaremos condiciones de borde a las condiciones que
deben satisfacer los campos en las superficies de separación de lo
s medios.

Consideremos dos medios dieléctricos tal como se muestra en la Figura

56
, en los cuales se
tiene campos eléctricos

y

en la interfaz de cada uno de los medios. Supongamos que
descomponemos cada uno de
los campos en sus componentes tangencial y normal a la
interfaz según se muestra en la Figura

56
.
Las c
omponentes de cada vector

son 95
Figura 56.Condiciones de borde
.Usaremos las ecuaciones


(2.29) y (2.30) para deducir las condiciones de borde.i)

Condiciones sobre el campo eléctrico.

Para la trayectoria infinitesimal
l

(que rodea la superficie S) se cumple que:luego:




(2.31)

Las componentes tangenciales del campo a ambos
lados son idénticas.

ó

(2.32)

la componente tangencial del vector D es discontinua.ii)

Condiciones sobre el vector desplazamiento.

Co
nsideremos la interfaz de dos medios como en la Figura 57.Figura 57. Condiciones de borde
.
Aplicando la Ley de Gauss96
(2.33)en el caso general

carga libre
puesta deliberadamente en la interfaz (no es de polarización). LuegoSi


(2.34)

Es decir, el vector

sufre la discontinuidad de la carga superficial para su componente
normal. Si no hay ca
rga libre

y


(2.35)

Para el campo eléctrico se tiene
(2.36)
Las ecuaciones de esta sección son las condiciones de borde que deben cumplir

y

cuando se pasa de un medio material a otro distinto. Generalmente estas condiciones se
aplican cuando conocemos los campos en un medio y deseamos saber que ocurre con ellos
al otro lado de la superficie de contacto con otro medio.EJEMPLO 17

Se tiene
una densidad de carga superficial
s

entre dos medios dieléctricos según se muestra
en la figura. Se pide calcular el campo eléctrico y el vector desplazamiento en todo el
espacio.Figura 58.Carga superficial entre dieléctricos.Solución:

Las cargas libres están en el plano. Para las cargas de polarización, dado que los medios son
homogéneos no hay densidad de carga en volumen y sólo habrá densidad de carga
superficial de polarización, la que también se distribuirá en planos paral
elos al de la carga
libre (caras de ambos dieléctricos en contacto con
s
). Por lo tanto, por simetría todos los
campos tienen la dirección

y
. Las cargas superficiales de polarización en ambos
dieléctricos estar
án dadas por

y

donde

y
. Así el problema se puede representar por 3 densidades de carga superficial,
según se muestra en la siguiente figura:
97Figura 59.Carga lib
re y de polarización.Claramente, por superposición (o aplicando la Ley de Gauss en S),


y

luego
y Por las condiciones de borde sabemos que
(considerando q
ue los campos tienes sentidos
contrarios)
:

De las fó
rmulas de densidad de carga de polarización tenemos:

y reemplazando la expresión del campo
dividiendo

tenemosAnálogamente para

se obtiene luego 98Claramente se cumple
Caso particular sin medios
y
que es la expresión del campo de un plano infinito de carga. 99

2.
9

Refracción del campo eléctrico
Consideremos dos medios distintos en los cuales se tienen campos eléctricos y de
desplazamiento en ausencia de cargas libres en la

interfaz. Esto se muestra en la Figura

60
.Figura 60.Refracción campo eléctrico.

Sean
,

y
,

los vectores de campo eléctrico y de desplazamiento en estos dos
medio
s contiguos tal como se muestra en la Figura

60
.Aplicando las condiciones de borde para el campo eléctrico se tiene
(2.37)Las del vector desplazamiento (sin carga superficial entre los medios) son

(2.38)Dividiendo (2.37)/(2.38)



Esta es la ley de refracción del campo eléctrico en ausencia de carga libre, la que también
se puede escribir como
(2.39)100

2.
10

Consideraciones sobre SimetríaHa
sta aquí hemos usado extensivamente la noción de simetría para calcular campos. Esta
noción esta basada fuertemente en despreciar efectos de borde de las configuraciones, esto
es, suponer planos infinitos, cilindros infinitos, etc. Esta aproximación permit
e tener una
primera visión de los fenómenos pero en la práctica, es necesario considerarlos y por ello se
utilizan programas computacionales para resolver la ecuación de Laplace y la de Poisson. Para ilustrar las limitaciones de efectuar simplificaciones

en los cálculos consideremos el
siguiente ejemplo.Ejemplo intrigante

Considere tres materiales dieléctricos homogéneos formando la configuración de la Figura

61
. Hay dos dieléctricos de constantes

y
, cada un
o de los cuales corresponde a
semiesferas de radio a. En el centro de la esfera se ubica una bola cargada con densidad de
carga

y radio
. A partir de r�a todo el espacio se llena con un tercer dieléctrico de
con
stante
. Se piden los campos en todo el espacio.Figura 61. Simetría y condiciones de borde.Solución:

Si comenzamos a resolver desde el tercer dieléctrico tendremos el siguiente desarrollo:Figura 62. Simetría esférica.

Aplicand
o la ley de Gauss a S
101

Pero
. Además D sólo depende de r, luegoSi ahora aplicamos condiciones de borde para D en
r=a
se obtienen los vectores
desplazamiento en los me
dios 1 y 2. Así,Se obtienen entoncesPero al aplicar la condición de continuidad para la componente tangencial del campo en la
interfaz de ambos medios se debe cumplir

en
. Cuestión que claramente es
contradictoria con las expresiones anteriores.Si ahora partimos aplicando la ley de Gauss en S´ (ubicada en r, tal que
) se tieneY suponiendo que los vectores desplazamient
o son diferentes en cada medio se obtieneLa ecuación para los campos queda Si aplicamos ahora continuidad de la componente tangencial del campo obtenemosLuego los vectores desplazamien
to son
Para obtener los campos en el medio 3 aplicamos continuidad del vector desplazamiento.
Con ello obtenemos los siguientes dos valores diferentes para las Zonas 1 y 2, para la part
e superior y

para la inferior.¿Cuál es el camino correcto?102

La respuesta se encuentra en la validez de las suposiciones sobre la simetría del problema.
En primer lugar observemos que las cargas de polarización se distribuyen según
se muestra
en la siguiente figura.

Figura 63. Densidades superficiales de carga de polarización.Dado que los medios son diferentes, las densidades de carga también serán diferentes. Así,
, y en consecuencia, el probl
ema no tiene simetría esférica. Con ello

y no es posible usar la Ley de Gauss tal como se mostró.En el primer caso, al suponer simetría radial en el medio 3 suponemos despreciable el
efecto deformador de los medios 1 y 2. En el se
gundo caso,
suponemos que los medios 1 y
2

son lo suficientemente grandes de modo que
. Con ello los campos tendrán simetría
radial (sólo dependen de r) al interior de los medios.

103

2.1
1

Problemas resueltosPROBLEMA 1

Considere un c
ilindro conductor infinito de radio
a

inmerso en cuatro diferentes medios
según se muestra en la figura. Si se carga el conductor con una densidad

s
,
se pide calcular:

a)El campo eléctrico en todo el espacio.

b) Densidades de carga de polarización.

c)El ve
ctor desplazamiento D en todo el espacio.
Figura P.2.1Solución:

Para realizar este ejercicio ocuparemos la ley de Gauss para desplazamiento eléctrico,
, además de la condición de borde

y de l
a relación para
medios isótropos

.a) Suponemos que
.El campo en las intersecciones de los dieléctricos es tangencial
Figura P.2.1.2

e
1

e
2

e


e


aE
1
(r )
E
2
(r )104Aplicando condición de borde
(ya que la única componente del campo es la tangencial.El campo eléctrico no depende del dieléctrico. Luego aplicamos la ley

de Gauss. Para ello, ocupamos un cilindro Gaussiano concéntrico al
cilindro conductor de largo unitario, pudiendo distinguir dos casos:

Figura P.2.1.3ñ

r

En este caso, no hay carga libre encerrada, con ello tenemos que:ñ

r� a.

Podemos ver que la ley de Gauss nos da:
(En esta ecuación ya está hecha la
simplificación del largo del cilindro que correspondería en ambos lados de ésta)
Si
, obtenemos que el campo f
uera de la esfera es: b) De las dos relaciones dadas al comienzo, tenemos que el vector polarización
.Sabemos que la densidad volumétrica de polarización es:
. Luego
concluimos que par
a todo medio i, la densidad
es
(resultado esperado, pues de antemano sabemos que no hay densidades volumétricas de
carga)
105

Tenemos también que existe una densidad de carga superficial debido a la
po
larización en cada una de la
s zonas de borde. En la figura 9.2.1.4
, podemos ver las
normales asociadas a cada superficie.


Figura P.2.1.4Luego, sólo existe carga de polarización

en la cara del cír
culo. En esta
zona, tal como lo muestra el dibujo, el vector normal es
.Entonces la carga de polarización de la superficie del cilindro depende de la zona de
contacto. Para cada zona, su valor es:

Evalu
ando en c) Como ya usamos en la parte a, para un material isótropo (la mayoría) tenemos que el
desplazamiento se relaciona con el campo de forma que
. Luego, el desplazamiento
para
cada zona es:ñsi r a.

ñ�si r a, para la zona i. 106

PROBLEMA 2Un conductor cilíndrico largo
L
de radio
a

q
ue tiene una densidad de carga λ

por unidad de
longitud, se sumerge en un medio dieléct
rico de constante dieléctrica

ε
.
Se pide encontrar el
campo eléctrico a una distancia r�a del eje del cilindro.Solución:


Para r�a PROBLEMA
3

Considere dos placas planas de vidrio (
e
r
= 8.5 ) puestas verticalmente, que se encuentran
separadas por un hueco de aire y rodeadas de aceite (
e
r
= 3.0 ), tal como lo ilustra la figura

P.2.3
. Un campo eléctrico uniforme de 2000 V/m existe en el acei
te. Se pide calcular el
campo eléctrico en el vidrio y en el hueco de aire cuando el campo en el aceite a)

Es normal a la lámina de vidrio

b)

Forma un ángulo de 75


con ésta.
aceitevidrio
airevidrioaceite

Figura P.2.3Indicación.
Considere que los campos sólo tienen componentes en el plano de esta página
(no tres dimensiones). Para todos los problemas haga todo supuesto que usted considere justificadamente
necesarios para resolverlos (incluida la posible necesidad de datos adicio
nales).Vidrio

Vidrio107Solución: Aceite aire Aceite







75°

E



Figura P.2.3.1

a) Se tienen las siguientes condiciones de borde:

Donde

es la carga libre en la interfaz, supondrem
os que no hay carga libre en ninguna
interfaz, es decir, suponemos
.Como el campo en el aceite es normal a la superficie

Dado que el campo en el aceite es normal a la superficie, se tiene que: Donde los subíndices son 1 para aceite y 2 para vidrio
Luego el campo para el primer vidrio es Entre vidrio (subíndice 2) y el aire, que le asignaremos como
r
eferencia el 0, aplicamos
condici
ones de borde de forma análoga a la anterior.
108

Luego el
c
ampo en el aire será:Para la próxima placa de vidrio el campo valdrá lo mismo que en la primera.
b) El campo eléctrico del aceite forma un ángul
o de 75° con la lámina de vidrioAplicamos condiciones de borde:
Multiplicando (1) por

y sumando el cuadrado de ambas condiciones tenemos:
Considerando

Para encontrar el campo en el aire, debemos nuevamente aplicar condiciones de borde:
109

110

2.1
2

Problemas PropuestosPROBLEMA 1

Dos cilindros concéntricos de radios a y b respectivamente y largo

L se encuentran
ubicados tal como lo indica la Figura PP.2.1. El espacio entre ambos se encuentra lleno de
un material con permitividad
e
. El vector polarización entre ambos medios está dado por P
=


Dado lo anterior a)

Calcular las

densidades superficiales de carga de polarización

b)

Calcular la densidad volumétrica de carga de polarización

c)

Plantear una expresión para el vector campo eléctrico en todo el espacio.

Figura PP.2.1PROBLEMA 2

Una densidad de carga esférica

(
0ra
) se encuentra rodeada de un material
dieléctrico con geometría esférica hasta una distancia radial b, según se muestra en la
Figura PP.2.2 Figura PP.2.2 a

bL

a

b
111

El medio material se compone de moléculas, cada una de las cua
les posee un
momento dipolar eléctrico de 5x10
-
20

[Cm] orientado radialmente (según
)
. La
densidad de carga produce una modificación en las moléculas, las cuales presentan
la siguiente densidad volumétrica

[moléc
ulas/m
3
]. Se pide:a)

Determinar el vector polarización del medio material.

b)

Calcular los campos

y

en todo el espacio.

c)

Determinar la diferencia de potencial entre los casquetes definidos por radios a y
b.

PROBLEMA

3

Considere tres materiales dieléctricos homogéneos formando la configuración
esférica de la Figura PP2.3.
Figura PP.2.3.En el centro de la esfera de radio a se ubica una carga q. Se pide:a)

Calcular

en todo el espac
io.

b)

Calcular

en todo el espacio.

c)

Son iguales los campos en las zonas I y II. ñ

a

Zona I

Zona II112

CAPITULO

3. CONDUCTORES EN ELECTROSTÁTICA3.1 Modelo Básico de ConductoresModelaremos un conductor ideal como un medio material en el cual existen abun
dantes
cargas positivas y negativas, las cuales pueden moverse libremente en presencia de un
campo eléctrico. Así, al aplicar un campo eléctrico se genera una fuerza sobre las cargas,
las que se moverán hasta alcanzar el estado de equilibrio. Este equilibr
io implica que el
campo eléctrico al interior del conductor debe ser nulo (de otro modo las cargas
continuarían su movimiento) según se ilustra en la Figura

64
.Figura 64
. Conductor en presencia de un campo eléctrico.Supondremos en principio que la can
tidad de carga libre al interior del conductor es muy
elevada (infinita). Por lo tanto siempre el conductor puede disponer de carga negativa y
positiva para localizarla, de modo que se alcance el estado en que el campo interior sea
nulo en la condición est
acionaria. En este capítulo solo estudiaremos la condición de
equilibrio y dejaremos el fenómeno de la conducción para más adelante.
3.2 PropiedadesDe la definición anterior se sigue que un conductor cumple con las siguientes propiedades:1.

La carga sól
o se redistribuye en la superficie, ya que si
es nulo en el interior
, o sea, no existe densidad volumétrica de carga.

2.

Toda la superficie del conductor es una superficie equipotencial. En efecto, dado
que
y dado que
es nulo al interior del material conductor, entonces

entre cualquier par de puntos del conductor, es decir, todo el conductor
esta a un mismo potencial.

3.

El campo eléctrico inmediatamen
te afuera del conductor es normal a la superficie
del conductor y vale
, donde
s

es la densidad superficial de carga del
conductor. Consideremos el conductor de la figura 65.113Figura 65. Densidad de carga en conductores.Aplicando l
a ley de Gauss al cilindro infinitesimal de la Figura 65 se tiene

Dado que sólo hay campo afuera
(3.1)haciendo tender h

0

la contribución de la mitad del manto se hace despreciable,

con ello pero

para el aire
, luego(3.2)Lo que concuerda con la intuición física, ya que si hubiera campo en el s
entido tangencial
en la superficie del conductor habría movimiento de cargas, el que se mantendría hasta
alcanzar un nuevo punto de equilibrio con campo tangencial nulo.
3.3 Caso Conductor con Oquedad
114

En esta sección probaremos que toda carga libre sólo

existe en la superficie exterior de un
conductor. Consideremos el caso en que se tiene un conductor con una oquedad y se le
inyecta una carga libre Q, la cual puede desplazarse libremente en el conductor, tal como se
muestra en la Figura 66.Figura 66.
Densidad de carga en conductor hueco.Si tomamos una superficie S‟ que contenga al hueco, por la Ley de Gauss se debe cumplir
Pero

encerrada por la superficie S‟ es nula. Ahora bien, la carga encerrada
por
la superficie S‟ puede deberse a una carga superficial en la superficie interior del hueco,
o bien a una carga en volumen. Pero ya hemos visto por la propiedad 1 que un conductor no
puede tener densidad de carga en volumen. Por ello, la carga en la superfi
cie interior del
conductor es nula.En consecuencia, solo podrá distribuirse la carga libre Q en la superficie exterior, lo que
hará de forma que se produzca un campo nulo al interior.Un caso interesante se produce cuando

se introduce una carga puntual

Q en el hueco
interior de un conductor sin carga, según se muestra en la Figura 67. Figura 67.Carga en oquedad.En este caso, al aplicar la Ley de Gauss a S sigue cumpliéndose que

encerrada por la superficie S es nula. Por lo ta
nto,

c
oncluí
mos que debe aparecer una

115

densidad de carga
s
‟ en la superficie interior de la oquedad de modo de lograr que la carga
neta sea nula, es decir,(3.3)

Ahora bien, como la carga neta de todo el conductor debe seguir siendo n
ula (estaba
descargado originalmente), aparecerá también una densidad de carga
s

en la superficie
exterior del conductor de modo que
(3.4)La situación de equilibrio se muestra en la Figura 68.
Figura 68. Situación de equilibrio
.Aquí
s

y
s
´

se distribuyen de forma que el campo al interior del conductor es cero.
EJEMPLO 18
.

Consideremos dos placas conductoras cargadas con cargas Q y
-
Q respectivamente. Entre
las placas existe un material dieléctrico de constante dieléctrica
e
. Suponiendo que
desprecian los efectos de los extremos de las placas (o sea placas

) se pide:i)

Distribución de las cargas en las placas

ii)

Campos en todo el espacio

iii)

Diferencia de potencial entre las placasSolución:

Consideremos que la configuración es la
mostrada en la Figura 69.

116Figura 69. Condensador placas planas.i)

Llamemos
s
1
,
s
2
,
s
3

y
s
4

a las densidades de carga superficial en c
/u de las
caras de las placas. Se cumple
(3.5)donde
s

= Q/A
. Análogamente se obtiene



(3.6)Por simetría los campos sólo tienen componente según

(sólo habrá cargas en
planos). Consideremos el volumen contenido por la superficie S
1
, el cual es un
paralelepípedo cuyas caras

horizontales están contenidas en ambos conductores.
Allí se cumple
pero en la tapa de abajo y en la de arriba
es nulo, y en el manto
es ortogonal a
, luego
Por otra parteLuego por la ley de Gauss
, es decir, se cumple
(3.7)117

En el espacio exterior a las placas el campo es constante (se debe sólo a distribuciones
de carga s
uperficial constante) y tiene la dirección del vector k unitario. Llamémoslo
D
ext
. Consideremos ahora el volumen limitado por la superficie S2, la cual define un
paralelepípedo que traspasa ambas placas. Se cumple

Es decir, no h
ay campo exterior a las placas.Para la superficie S3, la cual define un cubo cuya cara inferior esta contenida en el
conductor y la superior fuera de él, se cumpley
Así, de (3.5)
, de

(3.7)
y de (3.6)
. La distribución de carga se muestra en la Figura 70.Figura 70. Gauss para un condensador.ii)

Nos falta calcular el campo entre las placas. Tomando la superficie Gaussiana
S, cuya cara infe
rior esta contenida en el conductor y la superior en el
dieléctrico, se tiene
118
Suponiendo El campo eléctrico al interior del dieléctrico es

iii)

Así, si
s
,
e
, d
>

0


>

0Notar que dado
, para una variable tenemos
. Luego si sabemos el
voltaje entre dos puntos, para pequeñ
os incrementos podemos aproximar

A modo de ejemplo, si tomamos la referencia de la Figura 71 donde
, se tiene

si V
2
>
V
1
; si V
2

V
1

, que es el caso mostrado en la
figura.Figura 71.Dirección campo eléctrico.
En general, cuando calculamos el potencial entre dos puntos cualquiera tenemos119
Es importante notar que en el ejemplo anterior, si el dato hubiera

sido la diferencia de
potencial
, los resultados serian idénticos (PROBARLO!).
3.4 CondensadoresUn condensador es un sistema de dos conductores en donde la carga de uno de ellos es de
igual magnitud pero de signo contrario al otro
. Generalmente se dispone de un dieléctrico
entre ambos conductores. Se define el parámetro capacidad de un condensador como


(3.8)

donde Q es la carga positiva de uno de los conductores y

V

la diferencia de potencial entre
ellos
(V
Q
-
V
-
Q
).
Se cumple la propiedad de que la capacidad

C es independiente de Q y

V y
sólo depende de la geometría y las características dieléctricas de los materiales.Figura 72. Condensador.EJEMPLO 19
.

Calcule la capacidad del Ejemplo 16
.
120

Solución:

Teníamos la configuración
Figura 73. Condensador placas planas.Se cumple
Luego para este ejemplo la capacidad tiene las siguientes propiedades:ñ

Menor d


mayor C,

ñ

Mayor A


mayor C,

ñ

Mayor
e



mayo
r C,

ñ

Para un mismo

V
, la carga acumulada es mayor mientras mayor es su
capacidad.
EJEMPLO 20
.

Calcule la capacidad del condensador de la Figura 74. Desprecie los efectos de borde, i.e.,
calcule campos considerando a, b



L.

Figura 74. Condensador
cilíndrico.121Solución:

Llamemos
s
1
,
s
2
,
s
3

y
s
4

a las densidades de carga superficial de cada cara. Figura 75.Distribución de cargas condensador cilíndrico.Si distribuimos la carga de modo que
s
3
+
s
4
=
s
a
y
s
1
+
s
2
=
-
s
b

para que el condensador
cumpla con
la definición se debe tener (i)

De acuerdo a las propiedades vistas en los conductores la carga se almacena en la superficie
externa, es decir,
s
4
=0


s
3
=
s
a. Tomemos una superficie gaussiana S según se muestra
en la Figura 76.Figura 76. Simetría axial exterior.Aplicando la ley de Gauss a SEl sistema posee simetría axial, luego

para r�

b

(al interior del cilindro conductor
externo)

y es nulo al interior de los conductores, o sea

en el manto de S. Por ello,122y de (i) Consideremos ahora una superficie Gaussiana en a

r

b como la mostrada en la Figura 77.Figura 77. Simetría axial interior.

Se cumpleLa diferencia de potencial entre placas es:y escogiendo
(

)Por definición
, y en este caso 123
(**)

y
.
O
cupando (**) y r
eemplazando todo esto en (

)
:
Notar que nuevamente la capacidad C es proporcional a
e

y el área, e inversamente
proporcional a la separación entre las placas. Se acostumbra a designar los condensadores
por el símbol
oFigura 78. Símbolo condensador.
3.5 Cargas en medios materialesResumiendo lo que hemos visto hasta aquí es lo siguiente:(i)

DieléctricosFigura 79. Cargas en dieléctricos.
Los med
ios se componen de dipolos que pueden girar en torno a su posición de
equilibrio, pero no se desplazan.(ii)

Conductores:Equilibrio electrostático

124 Figura 80. Conductores en equilibrio electroestático.Sólo tiene distribución superficial. La carga al

interior es nula
r
=0

y no hay
polarización
.
En la práctica, los medios materiales podrán exhibir carácterísticas tanto de dieléctricos
como de conductores.
125

3.6 Problemas ResueltosPROBLEMA 1

En la Figura P.3.1 se muestra una d
istribución cilíndrica, la cual esta formada por dos
medios que poseen car
acterísticas dieléctricas y ohm
icas. Se pide:a)

Suponiendo que los conductores están a una diferencia de potencial V
0
, calcular el
vector densidad de corriente.

b)

Calcule la capacidad d
el sistema

c)

Calcule la resistencia del sistema

Figura P.3.1Solución
:

Donde Q
1

y Q
2

es la carga sobre el manto del cilindro con ángulo de (2π
-
2α) y 2

α
respectivamente. El largo del cilindro es L.Por condición de borde de
la componente tangencial del campo:
Reemplazando en la expresión anterior:126 Aplicando la definición de diferencia de potencial:

Las densidades de corriente se calculan como:

Con Q
1

+ Q
2
ya calculados.La capacidad del sistema se puede calcular a partir de la siguiente expresión:

127Para calcular la resistencia se de
be calcular la corriente I. Finalmente, por ley de Ohm:

Con I ya calculado.

128

PROBLEMA 2Un cable coaxial de sección circular

tiene un dieléctrico compuesto entre sus dos
conduct
ores. El conductor interior tiene un radio exterior a y esta rodeado por una cubierta
de dieléctrico de constante dieléctrica

y de radio exterior b. A continuación hay otra
cubierta de dieléctrico de constante dieléctrica

y de radio exterior c. Si se establece una
diferencia de potencial

entre los conductores, calcule el vector de polarización y las
densidades de carga inducidas en los dos medios dieléctricos.Solución:

Llamem
os

a la densidad de carga superficial del cilindro de radio exterior a y

a la
del conductor de radio interior c.

Primero calculamos el campo eléctrico en función de la densidad de carga

debiendo
separar el cálculo para los diferentes dieléctricos.Para arb
:
Para brc:

Ahora busquemos el valor de
129Ya que conocemos el valor de
, calculemos el vector
de polarización y densidades de

carga inducidas.
Para arb:
130
Para brc:

PROBLEMA 3

Se tiene un cilindro muy largo de radio b, el que es rellenado con tres materiales
dieléctricos como se indica en la figura. Sobre la superficie del cilindro interior se
distribuye una densidad d
e carga
s
. Calcule la relación entre

y

de manera que la
carga neta en la frontera entre el dieléctrico 1 y 3 sea nula. Figura P.3.3 131Condiciones de bordeEl campo eléctrico apunta en la dirección radial en ambos dieléctricos , por lo tanto en la
interfaz se cumple que: Queremos que: 13
2
PROBLEMA 4

Conside
re un grupo hueco de material plástico (aislante) de lado a, el cual tiene dos
orificios A y B por los cuales puede entrar y salir líquido dieléctrico, respectivamente. Las
características del material dieléctrico son permitividad ε y densidad de masa
. Las
caras superior e inferior se forran con material conductor, como se indica en la figura (los
orificios se mantienen).Figura P.3.4.1
a) Determinar la diferencia de potencial mínima que se debe aplicar entre los c
onductores
para mantener el cubo lleno con líquido dieléctrico.

b) Determinar para dicho potencial la densidad de carga de polarización.Sugerencia: Considere primero el cubo parcialmente lleno de líquido hasta una altura x
(medida desde el fondo) y calcu
le la diferencia de potencial mínima necesaria para evitar
que el líquido se escurra por el orificio inferior.Solución:

a)

Al tener el cubo parcialmente lleno podemos considerar el sistema de dos condensadores en

serie equivalente: Figura P.3.4.2

A

B

V133

En

el cual calculamos la capacidad equivalente:

Si consideramos la constante dieléctrica
k
:
Se calcula la energía del sistema:
La fuerza que actúa en la cara inferior del cubo:

Condición del problema (g: aceleración de gravedad):

Reemplazando y considerando x = a (cubo lleno):
b) 134

3.6 Problemas Propuestos
PROBLEMA 1

Se coloca un dielé
ctrico en el volumen comprendido entre dos esferas de radios a y b. La
esfera interior posee densidad de carga libre superficial
. Calcular

en
todo el espacio.
Figura PP.3.1PROBLEMA 2

Consi
dere un condensador conformado por dos dieléctricos con pérdidas entre dos placas
paralelas circulares a las cuales se le aplica una diferencia de potencial V
0.
Para este sistema
se pide determinar:

a)

La densidad de carga libre en la interfaz dieléctrica.

b)

La
s densidades de carga de polarización superficial y volumétrica.

c)

La carga total inducida en los electrodos. a

b
V
0
r

V=0

a

b135CAPITULO
4. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA4.1 DefiniciónLa energía electrostática de un sistema de partículas es igual al trabajo n
ecesario para
formar dicho sistema


W=U.
(4.1)Comencemos estudiando el trabajo necesario para formar un sistema de tres partículas en
posiciones P1, P2 y P3 según se muestra en la Figura

81
.Figura 81
. Energía sistema de partículas.Para formar dich
o sistema supondremos que traemos una por una las cargas desde el
infinito. Para traer la primera carga no es necesario efectuar trabajo ya que no existe una
fuerza que se oponga al movimiento. Para traer la segunda carga se debe hacer el trabajodonde V
21
es el potencial producido por la carga 1 en la posición P
2
.

Para traer la tercera carga se debe hacer el trabajoaquí V
32

es el potencial producido por la carga 2 en la posición P
3
.

El trabajo total para forma
r este sistema es: (4.2)

Si ahora cambiamos el orden en el cual formamos este sistema (el trabajo debe ser el
mismo), digamos que primero traemos la carga q
3

, luego la q
2

y finalmente la q
1

se tiene:
(4
.3)

sumando (4.2) y (4.3)
(4.4)

Así, la energía total de este sistema es la mitad de la suma del producto de cada carga por el
potencial producido por el resto de las cargas en ese punto.

Procediendo en form
a análoga, para un sistema de n cargas se tiene:136
(4.5)


en [J] joules

Por extensión, para distribuciones continuas de carga se tiene


“

y
q

dq
, con ello
(4.6)y para una distribución específica d
e carga tendremos:
(4.7)


para distribuciones lineales


(4.8) para distribuciones superficiales


(4.9) para distribuciones en volumen
4.2 Energía de un Sistema de Conductore
sConsideremos un sistema de conductores con cargas Q
1
,Q
2
,...,Q
n

según se muestra en la
Figura

83
.Figura 83
. Energía sistema de conductores.En este caso toda la carga se distribuye en la superficie de los conductores, por lo que solo
habrá
s
. Así la
expresión de la energía electrostática será:
(4.10)

pero el voltaje en la superficie de los conductores es constante, luego

,


(4.11)donde V
i

es el potencial del conductor

i
-
ésimo y Q
i

su carga total.
137

Caso condensadores

Aquí solo intervienen dos conductores, según se muestra en la Figura

84
.Figura 84
. Energía de condensadores.

Por lo tanto,pero

y como
Q=C

V
,
las expresiones quedan finalmente


(4.11)

ó


(4.12)
4.3 Fuerza Eléctrica y EnergíaUn aplicación importante de la energía es el cálculo de fuerzas. E
n efecto, teníamos que la
expresión del trabajo entre dos puntos
a
y
b

es


(4.13)De esta expresión fluye que (4.14)La fuerza es el gradiente del trabajo. En términos de la energía, decimos que la fuerza es

producida por una variación de la energía almacenada en el sistema.

Para el caso en que la configuración tiene un grado de libertad, por ejemplo según x, la
expresión de la fuerza puede obtenerse de



En muchas aplicaciones esta
forma de calcular la fuerza puede ser más fácil de obtener que
mediante el cálculo directo con campos.EJEMPLO

21
.

Consideremos un condensador de placas planas de área A, en el cual una de las placas
puede moverse libremente en el sentido horizontal, tal
como se muestra en la Figura

85
.138Figura 85
. Energía y fuerza eléctrica.Si inicialmente se cargan las placas con Q y
–
Q respectivamente, se pide calcular la fuerza
entre las placas.Solución:

La expresión para calcular la energía es
, ya que el movimiento se realiza con
carga constante (carga neta no se modifica en el movimiento). La capacidad, según
habíamos calculado anteriormente, es
, pero ahora la distancia entre las placas es
variable, por ello,Luego la expresión de la energía queda,Con ello la fuerza que experimenta la placa móvil esResultado que es congruente con el campo constante entre las placas. Esta relación es
ampliamente usa
da en transductores de presión, voltímetros, micrófonos, etc. Comentario. Si ahora en vez de imponer que la carga se mantenga constante, imponemos
que la tensión entre l
as placas se mantenga constante,

po
r ejemplo mediante una batería,
se
tendría la situ
ación de la Figura

86
.Figura 86
.Energía con baterías.139

Aquí se cumpleY dado que V
0

se mantiene constante, a medida que se desplaza la placa (x varía) la
densidad de carga

debe modificarse. Este cambio lo re
aliza la batería que mantiene
constante la diferencia de potencial entre las placas. Posteriormente abordaremos el trabajo
que realiza este tipo de fuentes de voltaje, pero por ahora conviene puntualizar que este
efecto no está incorporado en las ecuacione
s de energía deducidas anteriormente.

4.4 Energía en términos de Campos
Consideremos el caso de una distribución volumétrica de carga
r

en un volumen

, cuya
energía es


(4.15)

pero
, luego podemos escribi
r


(4.16)Dado que
será nulo en todo punto fuera del volumen

, el espacio de integración
puede ampliarse a un espacio mucho mayor, por ejemplo una esfera
S

de radio R que
contenga al volumen

, según se muest
ra en la Figura

87
.
Figura 87
.Energía en función de campos.Podemos escribir entonces Usemos ahora la propiedad
, con ello140, y aplicándolo al integrando
podemos escribir


(4.17)Aplicando el teorema de la divergencia al primer termino tenemos
(4.18)sabemos que

y
. Por otro lado
, por lo
tanto si R



se tiene que

y aplicando

obtenemos finalmente la expresión para la energía en función de los
campos como


(4.19)

Al término

(4.20) se le conoce como de
nsidad de energía electrostática
[J/m
3
].EJEMPLO 22
.

Para la configuración esférica de la Figura

88

se pide calcular la energía electrostática.
Suponga

constante.Figura 88
.Energía esfera uniformemente cargada.Solución:

Calculem
os primero los campos para 0


r


a. Aplicando la Ley de Gauss a una esfera de
radio r a141
y

Usando el mismo procedimiento para r
>
a

;

Luego la energía electrostática del sistema es


Dentro de la esfera:
Fuera de la esfera:

Luego la energía es
Otro camino.
142

Se calcula el potencial


Pero el espacio donde hay densidad de ca
rga es sólo la esfera de radio a
, luego
resultado idéntico al anterior.

143

4.5 Problemas ResueltosPROBLEMA 1

La molécula de agua tiene un momento dipolar de

Cm. Una muestra contiene

moléculas, cuyos momentos dipolares están

todos orientados en la dirección del
campo eléctrico de

N/C ¿Cuánto trabajo se requiere para rotar los dipol
os desde
esta orientación (
0°) a una en la cual todos los momentos se
an perpendiculares al campo
(
90°)?Solución:
Los que buscamos en una rotación de 90° , por lo que nos fijamos Como la muestra contiene

moléculas, el trabajo total será la suma de todos los trabajosSolo nos queda reemplazar los valores de q, p y E, en que q corresponde a la carga del
electrón (
C), p la magnitud del momento dipolar (

según el
enunciado) y E es el módulo del campo
eléctrico cuyo valor nos entrega el enunciado que
corresponde a
PROBLEMA 2

Una esfera de radio R y de material no polarizable (
) está cargada con una densidad
de carga uniforme, d
e tal modo que su carga total es q. Calcule la energía del sistema. Solución: z144 Figura P.4.2.1

Sea la esfera de centro 0 y radio R; aplicando el teorema de Gauss a una esfera concéntrica
de radio r, se obtiene:
La energía del sistema será:en que

es toda la región en que existe campo eléctrico, (todo el espacio).

Sea

la energía de la región
, y

la de la región
, se cumple que:Calculamos
:
145

Finalmente:
146

4.6 Problemas PropuestosPROBLEMA 1

Se tiene un cable coaxial formado por 2 cilindros metálicos concéntricos, de longitud
(d
1
+d
2
) y radios a y b. El espacio entre ambos conductores se llena con dos m
edios
dieléctricos no ideales, caracterizados por constantes dieléctricas y conductividades (
)
en una zona de largo d
1
y

(
) en una zona de largo d
2
respectivamente.Si se mantiene una diferencia de pote
ncial
V constante entre los cilindros
conductores, calcular

a)

La densidad de corriente en el espacio entre los conductores (arb).

b)

La resistencia y la capacidad del cable coaxial.

c)

La energía almacenada y la potencia disipada en el cable.

Indicación: Conside
re que (d
1
+d
2
�)�a,b lo que permite suponer simetría radial. Desprecie
las corrientes que circulan por los conductores.

Figura PP.4.1.1PROBLEMA 2

Encuentre la cantidad de energía almacenada en el campo eléctri
co producido por una
esfera que mide 3m de radio y que tiene una densidad uniforme de carga

si se supone que la esfera está en el vacío (
).
V
+

d
1

d
2
a

b147

CAPITULO 5. CORRIENTE ELECTRICA5.1 Modelo de Medios Mate
riales ConductoresEn electrostática modelamos un conductor como un medio material que dispone de
abundante carga libre, la cual puede desplazarse sin obstáculos hasta alcanzar el estado de
equilibrio cuando se le ha aplicado un campo eléctrico externo. E
n el estado de equilibrio
vimos que el campo eléctrico al interior del conductor era nulo.
Ahora veremos el fenómeno de la conducción eléctrica y utilizaremos un modelo más
elaborado de la materia, pero que incluye al visto anteriormente en electrostátic
a. La
principal diferencia con el caso anterior radica en el hecho de que ahora los conductores no
terminan en una pared definida, sino que se extienden en circuitos cerrados, tal como se
muestra en la Figura 89. Figura 89. Corriente en circuito
s.Supongamos que en la Figura 89 se aplica un campo eléctrico circular de magnitud
constante en todo el medio conductor. Si usamos el modelo de conductor visto hasta aquí,
las cargas al interior se moverán debido a la fuerza ejercida por dicho campo, per
o no se
alcanzaría la situación de equilibrio ya que el conductor no termina en ninguna parte. Como
la fuerza sobre cada carga es constante

(5.1)
, las cargas se acelerarían
indefinidamente, cosa que no ocurre en la realidad. Por el
lo es necesario ampliar este modelo incorporando las colisiones que experimentan las
cargas cuando se desplazan en el medio material. En efecto, al avanzar las cargas bajo la
influencia de la fuerza eléctrica colisionan con la estructura de la red atómica
hasta alcanzar
una velocidad de desplazamiento estacionaria en promedio (
v
d
). Esta es la nueva situación
de equilibrio dinámico del fenómeno de la conducción eléctrica, es decir, al aplicar un
campo eléctrico constante a un conductor como en la Figura 89,
los electrones (y cargas de
desplazamiento en general) alcanzan una velocidad de desplazamiento constante en
régimen permanente (para un tiempo suficientemente largo). Dicha velocidad dependerá
desde luego del campo eléctrico y de la estructura del medio m
aterial. Los electrones con
capacidad de movimiento en el medio forman un tipo especial denominado electrones de
conducción o electrones libres.

148

5.2 Definición de CorrienteLa corriente eléctrica es el fenómeno de desplazamiento de cargas en un medio mate
rial.
Como vimos anteriormente, dicho desplazamiento incluye mayoritariamente a los
electrones, ya que éstos disponen de mayor movilidad al interior de los medios. Consideremos un trozo de material al cual se le aplica un campo eléctrico externo como en
la Figura 90.
Figura 90. Corriente eléctrica.Si tomamos el plano A que corta transversalmente el medio material de la figura, se define
la corriente
I

como:


(5.2) esta unidad s
e llama Ampere.

donde Q es la carga total que atraviesa el plano A en el sentido de
. Sin entrar en mayores detalles, físicamente lo que ocurre es que en el estado estacionario
los electrones se desplazan con velocidad promedio cons
tante y sin acumularse en ningún
punto. Así, para una misma área desplazada una pequeña distancia de A, tal como A
'

en la
Figura 90, la corriente será la misma. De esta forma, para cualquier volumen


de un conductor, tal como el ilustrado en la
Figura 9
1, en estado estacionario los electrones se desplazan manteniendo la carga neta
nula.
Figura 91. Carga neta nula.

Si designamos por
r
e

la densidad volumétrica de electrones de conducción y
r
R

a la del
resto de las cargas en el volumen

, ent
oncesArea AMovimiento
de electrones

Movimiento
de electrones

Area A
'

Volumen
149


(5.3) para todo tiempo t en estado estacionario.

Así, al aplicar un campo externo se moverán los electrones, pero el número total de
electrones por unidad de volumen sigue constante. Consideremos que en este material exi
ste n electrones libres por unidad de volumen que
pueden desplazarse en presencia de un campo externo. Supongamos que
v
d

es la velocidad
de desplazamiento promedio de esos electrones. Figura 92. Electrones de combinación.Entonces, en un tiempo

t

las partículas avanzarán una distancia

x

y atravesarán el área A.
En otras palabras, todas las partículas contenidas en el volumen
Av
d

t

pasan a través del
área A en un tiempo

t
. La carga total que atraviesa el área A es por lo tanto:
(5.4)donde q es la carga de una partícula. Luego la corriente que atraviesa la superficie es:
Así, la corriente es positiva en el sentido contrario al movimiento de los electrones.
(5.6)EJEMPLO 23

Determine la velocidad promedio de desplazamiento de los electrones en un alambre de
cobre típico de radio 0.0814 cm que transporta una corriente de 1[A]. Suponga que existen
8.46

10
22

electrones libres de moverse por cada cm
3

de cobre.Sol:


(5.7)A
150

151

5.3 Densidad de CorrienteConsideremos un conductor muy delgado por donde transita una corriente I, según se
ilustra en la Figura 93.

Figura 93.Corriente por unidad de superficie.Se define la dens
idad de corriente

como un vector que indica la corriente por unidad de
superficie. Para el caso de la Figura 90.


(5.8)Así,

tiene la dirección de la corriente. Para el caso de las p
artículas visto en el ejemplo
anterior se tiene

(vector en sentido contrario al movimiento de electrones).Por extensión, cuando se tienen superficies mayores como en la Figura 94 se define

como

(5.9)
donde

I es la cantidad de corriente que atraviesa en forma ortogonal al elemento de área

S e
es la dirección de la corriente (y normal al elemento de área).

Figura 94. Vector densidad de corriente.Así, la corriente que

atraviesa el área A (en el sentido de

) es

. (5.10)En general el vector densidad de corriente variará con la posición.

EJEMPLO
24
.

A

IArea to
tal A

O
S


I
152

Un conductor ideal tiene la forma irregular de la Figura 92.
Fi
gura 95.La curva del limite superior del conductor es
y = ax
2
+2b
, la cual es válida en todo el largo
l
del conductor. Por el conductor circula una corriente I, la cual ingresa y sale del conductor
perpendicular a los planos que lo limitan. Se pide calcul
ar el vector densidad de corriente
en los planos extremos del conductor.Sol
n

Supondremos que la corriente se distribuye en forma homogénea al interior del conductor.
Por ello, en el extremo x=0, el vector densidad de corriente se distribuye homogéneament
e
en el disco de radio b y apunta en dirección
. Así, En el otro extremo, el plano de salida del conductor forma un ángulo
q

con el eje x. Dicho
ángulo se forma entre la ortogonal a la tangente de la curva
y
= ax
2
+2b
, evaluada en
x=l
, y
el eje
x
. La tangente esta definida por la curva
y


=2ax
, que por definición corresponde a
tg(90
-
q

)

en
x=l
, es decir, aplicando identidades trigonométricas

y

.

De las leyes de semejanza de triángulos obtenemos el radio del disco en el extremo de
salida del conductor

Con ello finalmente el vector densidad de corriente en el plano de salida es

I

x,b

l

I

q

90
-
q153

En forma análoga
podemos definir un vector densidad de corriente superficial cuando se
estudian distribuciones de corriente en superficie. Supongamos que tenemos una corriente
fluyendo en el plano y
-
z, según se muestra en la Figura 96.

Figura 96. Densidad superf
icial de corriente.Se define el vector densidad de corriente superficial

[A/m] como
(5.11)
Inversamente, cuando disponemos del vector podemos calcular la corriente atravesando un
tramo de ancho L como


(5.12)

EJEMPLO 25
.

Considere un conductor toroidal que trasporta una corriente I según se muestra en la Figura
97. Suponga que se desea tener una representación equivalente en dos dimensiones de este
conductor a través de una cinta. Se pide determinar la c
orriente superficial por esta cinta
resultante (imagine que resulta de aplastar al toroide hasta dejarlo plano).
Figura 97

Sol
.

En la Figura 94, en el lado izquierdo esta representado el toroide (de tres dimensiones) de
secc
ión transversal A. En el lado derecho se presenta la cinta (dos dimensiones) de ancho
I

Area A

Diámetro 2a

I

Ancho 2a 154

2a. Ambos elementos conducen la misma corriente total
I
, es decir la sección transversal
del toroide es atravesada por la misma corriente que atraviesa por un corte trans
versal de la
cinta. Esta situación se ilustra en la Figura 98. La figura del lado derecho es una
amplificación de la sección del toroide. La proyección bajo esa sección es un trozo
transversal de la cinta.
Figura 98Si
J

es
la densidad de corriente homogénea del toroide (
J

=
I

/
p
a
2

A/m
2
) y
K

la densidad
superficial de corriente de la cinta (A/m), entonces la condición de equivalencia impone
. Desarrollando obtenemos
Luego el vector densidad de
corriente superficial es
.

Este resultado indica que la corriente no se distribuye en forma homogénea en la cinta, ya
que es mayor en el centro (
y=0
) y decrece hacia los bordes, llegando a ser nula para (
y=a
).
Este resultado es coherente con la intuición,

ya que si miramos el toroide desde arriba (un
punto perpendicular al plano de la hoja de papel), efectivamente veremos pasar más
corriente en el centro y menos hacia la orilla (convénzase de este resultado!).

Propuesto.

Determinar K si imponemos que la
corriente se distribuya en forma homogénea
en la cinta.

I

Area

A

Diámetro 2a

x

I

x

I155
5.4 Ley de OhmEn la mayoría de los materiales conductores se encuentra que al aplicar un campo eléctrico
se verifica la relación


(5.13)
donde
g

es en general constante y
se denomina conductividad. Las unidades de
g

son
[A/Vm]. Es común llamar Mho (o MHO) a la unidad [A/V], con ello también se usa
[MHO/m] como la unidad de
g
.Todos los materiales que satisfacen la relación anterior se denominan óhmicos y
g

puede
depender d
e otras variables como la temperatura o la presión, pero no del campo eléctrico.
Existen también materiales no óhmicos en donde g depende del campo eléctrico aplicado,
pero en este curso no los estudiaremos.Consideremos un conductor alargado de sección u
niforme S por donde circula una corriente
I debido a la presencia de un campo
según se muestra en la Figura 99.
Figura 99. Ley de Ohm.

Por la ley de ohm
, pero suponiendo distribución hom
ogénea de corriente

y
de la definición de campo

Reemplazando valores en la ley de ohm se tieneSe define

(5.14) como la resistividad del
material y

(5.15) como la
resistencia. Las dimensiones de la resistencia son [Volt/Ampere] y se llama OHM. Con esto
podemos escribir


(5.16)Esta es la Ley de Ohm en conductores.

Sección S1

2

l156

También es usual definir G

= 1/R como la conductancia del material. En general, mientras menor sea la resistencia de un material será un conductor más
eficiente, y en el límite, si la resistencia se hace nula hablamos de un conductor perfecto
donde
. Este úl
timo caso ocurre en algunos materiales pero en condiciones de muy
baja temperatura, son los llamados
superconductores
.
Para un material es posible medir su voltaje y corriente y determinar así la característica V
-
I , y con ello la conductividad, según se

muestra en la Figura 100.
Figura 100. Característica V
-
I.
En la Tabla 3 se presentan valores de conductividad para diferentes materiales.
Material ohmic
oMaterial no ohmico

I [A]

V[v]157
Tabla 3. Conductividad (aproximada)* de algunos materiales a 20ºC

Material

Conductividad g


(mhos/meter)

Conductores

Plata

6.1 x 10
7

Cobre (standard) 5.8 x 10
7

Oro 4.1 x 10
7

Aluminio

3.5 x 10
7

Tungsteno 1.8 x 10
7

Zinc

1.7 x 10
7

Bronce 1.1 x 10
7

Hierro (puro)

10
7

Plomo 5 x 10
6

Mercurio 10
6

Carbon

5 x 10
4

Agua (mar) 4Semiconductores

Germanium (pure)

2.2


Silicon (pure) 4.4 x 10
-
4Aisladores

Agua destilada 1
0
-
4

Earth 10
-
5

Bakelita 10
-
10

Papel

10
-
11

Vidrio 10
-
12

Porcelana

10
-
12

Mica 10
-
15

Parafina 10
-
15

Goma

(dura) 10
-
15

Cuarzo (fusionado) 10
-
17


Cera

10
-
17

(*) Estos valores pueden variar en otras Tablas ya que hay muchas
variedades y aleaciones de cada material y la conductividad es además
sensible a la temperatura, impurezas, etc.

En el cas
o general se tienen conductores irregulares como en la Figura 101.158
Figura 101. Corriente en conductor irregular.Aquí la diferencia de potencial entre los extremos es y dado que la corriente en las caras extremas es la mi
sma (no hay corriente que se acumule
o salga por otra superficie del conductor) se puede definir la resistencia como


(5.17)

donde el recorrido de la integral de línea es cualquiera y el área es cualquier sección
transversal del con
ductor.EJEMPLO 26

Un alambre de diámetro 1mm. y de conductividad

tiene

electrones
libres por m
3
. Si se aplica un campo eléctrico de
en la dirección axial se pide:

a)

la densidad de carga de

electrones libres

b)

densidad de corriente

c)

corriente

d)

velocidad media de los electronesSolución:

Figura 102. Conductor unifilar.a)

b)

c)

Area A

I
S
159

d)
5.5 Fuerza electromotrizLlamaremos fuerza electromotriz FEM a un dispositivo con la propiedad de mantener una
diferencia de potencial definida entre sus terminales. Esquemáticamente se muestra en la
Figura 103. in
dependiente de lo que se
conecte entre los terminales 1 y 2. Figura 103. Fuerza electromotriz.Una pila común, una batería de auto, un generador son ejemplos de fuerza
electromotriz. Si

Se acostumbra a anotar como: ó Figura 104. Notación FEM.Recordemos que por “conductor perfecto” entenderemos un conductor con una
conductividad muy grande y que por lo tanto presenta una resistencia (R) despreciable y no
registra diferencia de potencial algun
a. Sin embargo, en la práctica las FEM poseen una
resistencia interna R
IN
, por lo que la representación más usada es la siguiente:
Figura 105. FEM en circuitos.

Conductor perfecto R=0+

+

-

-

R
in+

-

V
1

V
2

FEM

1

2160

Examinemos la configuración de la Figura 106.

Figura 106. Co
nductor real.Habíamos probado que la diferencia de potencial entre los “conductores perfectos” es donde
l
es la distancia entre los conductores. Esta diferencia de potencial es
exactamente el valor de la f
uerza electromotriz. Luego

,

Por otra parte, la corriente que atraviesa el área A es
. Además la densidad de
corriente cumple con
. Luego, si
l
es el largo del condu
ctor de sección A,
tenemos
Esta expresión corresponde a la Ley de Ohm vista anteriormente.

La fuerza electromotriz
e

realiza el trabajo de tomar cargas a un potencial y entregarlas
a uno de mayor magnitud. Al circuito analizado se
le representa como: Figura 107. Convención signos.

R

I

+
e

-

Cable conductor perfecto

el

Conductor perfecto

Conductor perfecto

A

I

Ig,
e

V
1

V
2+

-161

5.6 Efecto JouleConsideremos la configuración de la figura:

Figura 108. Efecto Joule.

La energía de la carga en el disco 1 es
donde

es
la carga que atraviesa el plano A
1

y
V
1

es el potencial en 1.Similarmente la energía en el disco 2 es
.Por lo tanto la diferencia de energía es

pero

y

son igu
ales (no hay acumulación de carga)
Por otra parte la potencia es el cambio de la energía en el tiempo, o sea

, pero y haciendo coincidir 1 con el comienzo

del conductor y 2 con el fin tenemos que (5.18)


es la potencia disipada en el material. Dicha potencia se expresa en un calentamiento del material producto de las colisiones
entre las partículas. Esta potencia es suministra
da por la FEM. Como

V=RI

, una expresión usual de esta potencia es:

A
2

A
1I

+
e

-

1

2

A
1162


(5.19)ó
(5.20)En general, para un material cualquiera tendremos
Figura 109. Energía en elemento dif
erencial.La potencia disipada en el elemento de volumen es

(5.21)

ó
. (5.22)Como todos los vectores son paralelos

y podemos escribir finalmente la
expresión

(5.23)
la cual representa la potencia disipada en un material de volumen

.

dV 163

5.7 Cargas en medios materialesResumiendo lo que hemos visto hasta aquí es lo siguiente:(ii)

DieléctricosFigura 110. Cargas en dieléctricos.
Los medios se componen de dipolos que pueden girar en torno a su posición de
equilibrio, pero no se desplazan.(iii)

Conductores:Equilibrio electrostático Figura 111. Conductores en equilibrio electroestático.Sólo tiene distribución superficial. La carga al interior es nula
r
=0

y no hay polarización
.

Equilibrio Dinámico: corrientes Figura 112. Conductores en equilibrio dinámico.Electrones se desplazan con velocidad constante.
Carga total por unidad de volumen es
nula. También puede existir una polarización del material

(órbitas de electrones se
desplazarán de su centro).

164

Si llamamos

a la densidad de carga de electrones por unidad d
e volumen y

a la
densidad del resto de las cargas, se cumple
(5.24) en todo el volumen

.
Además los materiales óhmicos cumplen con
.Así, en general un medio material puede present
ar características de dieléctricos (
e
), o sea
aisladores, o conductores (g) como se muestra en la Figura 113.
Figura 113. Cargas en materiales reales.Si g





conductor perfecto

Si
e





aislante perfectoAmbas características son
contrarias, es decir, si es un buen aislante tendrá pocas cargas
libres y será por lo tanto un conductor pobre, y viceversa.

165

5.8 Corriente de ConvecciónLa corriente de convección se produce cuando se tiene una masa con carga en
desplazamiento, por eje
mplo un líquido con carga fluyendo por una cañería. Consideremos
que esto ocurre en la Figura 114, con una masa eléctricamente cargada que se desplaza con
velocidad
v
c
.
Figura 114. Corriente de convección.Si la masa contenida en el cilindro e
lemental tiene velocidad
v
c

,

y si designamos por
r
c

la
densidad de carga en dicho volumen, entonces la cantidad de carga contenida en el
volumen

S


l
es
r
c

(

S


l).
Por lo tanto,

la corriente atravesando al área

S en un
intervalo

es
, (5.25)


pero
(5.26)Luego el vector densidad de corriente es
, (5.26)

donde

es el vector unitario en la dirección de despl
azamiento de la masa cargada.Se cumple


(5.27)

Donde I es la corriente total que atraviesa el área A (la cual desde luego no se mueve).Conviene precisar que en las corrientes de convección NO tiene sentido la ley de ohm, es
decir
, no se cumple la relación
.EJEMPLO 27

El sistema de la figura 115 representa una cinta transportadora de un polvo cargado que
puede modelarse como una densidad superficial de carga
. La cinta tiene un
ancho d
e 1m se mueve a una velocidad de 2 m/s. Se pide:


lO

A

m,q


S166a)

calcular la corriente que atraviesa el área A

b)

¿cuánta carga ha pasado en 5 segundos?
Figura 115. Cinta transportadora de carga.

Solución:

a)



b) La corriente de convección tiene gran importancia en el entendimiento de los seres vivos.
Por ejemplo el intercambio de sustancias entre células se puede explicar mediante un
modelo eléctrico en base a corrient
e de convección de proteínas.

d

Ancho 1 ms

A167

5.9 Ecuación de ContinuidadConsideremos un volumen


del espacio en el cual se tiene un flujo neto de corriente
saliendo del volumen.


(5.28)

aquí
apunta hacia afuera del volumen


. Figura 116. Continuidad de carga eléctrica.

Si llamamos
Q
in

a la carga contenida en el volumen

, entonces se debe cumplir


(5.29)

O sea, la corriente que sale corresponde a la variación de carga encerrada en el volum
en.
Supongamos que
Q
in

se describe a través de una densidad de carga libre
6
.Luego:Dado que el volumen


es fijo (no depende de t) podemos escribir:


(5.32)

y reemplazando en la expresi
ón original tenemos:


(5.33)

Aplicando el teorema de la divergencia al lado derecho(5.34)

Como se cumple


espacio


(contenga este un medio material o no)


(5.35)

Ecuación de continuid
ad.

La carga no aparece ni desaparece espontáneamente, sino que se conserva.




6

Notar que la carga de polarización no se desplaza, ya que sólo gira en torno a la posición
de equilibrio.

dS168

5.10 Ecuación de Continuidad en Medios MaterialesConsideremos un medio material que posee tanto características dieléctricas (
e
) como
conductoras (g). Supongamos que en t=0 se
inyecta instantáneamente una densidad de
carga
en el material. Determinaremos la variación que experimenta la carga para
Figura 117. Ecuación de continuidad en medios materiales.

Tenemos

, donde hemos supuesto g constante.

Pero

, y reemplazando en la ecuación de continuidad
obtenemos


(5.36)donde

(5.37) es la constante de relajación y mide la rapidez co
n que la carga en
volumen emigra hacia la superficie. Así, en régimen estacionario no hay carga en volumen
y sólo hay carga superficial.EJEMPLO 28

Considere un medio material que forma una esfera de radio R, el cual tiene características
dieléctricas
e

y

conductividad g, según se muestra en la Figura 118. En
t=0

se carga dicha
esfera con una carga Q
0

uniformemente distribuida.

Figura 118.Carga en función del tiempo.

Se pide:a)

Determine la ecuación que rige la carga en la esfera para
,

b)

Evalúe el tiempo que toma la carga en volumen en disminuir 36.8% de su valor
inicial,



e
,

g

R

g,
e
R169

c)

Cuánto vale el tiempo calculado en b) para los siguientes materiales:
g

e
R

Cobre1

Cuarzo fusionado5Sol
n

a)

la ecuación que rige la carga es:Integrando en el volumen Para t=0

y


b)
c) cobre

Cuarzo fusionado

T
R51.2 días 170

5.11 Condiciones de Borde para Consideremos la interfaz de dos medios materiales como en la Figura 119. A ambos lados
hay campos y densidades de corriente.

Figura 119. Condiciones de borde.

De las condiciones de borde para dieléctricos teníamos que la componente tangencial del
campo eléctrico se mantiene (aquí sigue cumpliéndose
) y que la diferencia de la
componente normal
del vector desplazamiento es igual a la densidad de carga superficial
(sigue cumpliéndose la primera ecuación de Maxwell
). Por lo tantoPor otra parte, también usaremos la ecuación de continuidad

para obtener
condiciones sobre J. Tendremos dos casos interesantes. I.

Situación Estacionaria
. Cuando no existe variación de carga en la interfaz se
cumple
. Si tomamos un volumen como el del cilindro d
e la Figura 118
obtenemos (se procede en forma similar a la usada para derivar la continuidad de la
componente normal del vector
)
(5.39)
Aquí claramente habrá una carga acumulada en la interfaz ya que las c
ondiciones
(5.38) deben cumplirse. Así, al reemplazar la componente normal de

en (5.38) se
tiene
(5.39)Cuando se cumple esta condición de borde diremos que el sistema esta en estado
estacionario o en r
égimen permanente, la cual es equivalente a suponer
.



(5.38)171

II.

Situación Transitoria. Cuando hay variación de carga tenemos que
. Haremos
uso ahora de la ecuación de continuidad en el volumen


indicado en la Figura 106.
ó en su versión integral
.

Aquí Q es la carga en


y haciendo tender el largo del cilindro a cero

(5.40)

y
solo se concentra en la interfaz, luego


(5.41)Esta es la condición que deben satisfacer las componentes normales del vector densidad de
corriente de ambos medios. Esta situación se llama transitoria o transiente.
Caso en que uno de los medios es un conductor pe
rfecto
. Consideremos la interfaz entre un medio material y un conductor puro tal como se muestra
en la Figura 120.
Figura 120. Dieléctrico y conductor perfectos.Al tomar la superficie Gaussiana S, se tiene
(5.42)

Al interior del conductor perfecto el vector polarización es nulo. Luego, los campos
cumplen(5.43)Las condiciones de borde para el vector J en este caso son las mismas que desarrollamos
anteriormente.
Medio material

Conductor puro

S

172EJEMPLO 29

Considere
el sistema de la Figura 121. Se pide:

a)

Calcular

y
entre las placas conductoras en la condición de equilibrio.

b)

Idem pero en la situación transitoria.

Figura 122. Condensador compuesto sin acumulación
de carga
.

Sol.a)

Supondremos que campos y densidades de corrientes tienen dirección según z.
Dado que estamos en la condición de equilibrio, no hay variación en la carga
superficial
s

entre los dos medios, es decir, se cumple

en la in
terfaz y
por lo tanto de la ecuación de continuidad

en régimen permanente.
Según vimos esto conduce a la condición

Para los campos eléctricos supondremos

, con
E
i

constante para ambos
medios. De la Ley de Ohm se tiene

y
,Por lo tanto,
(5.44)

Por otro lado, sabemos que la relación entre el voltaje y el campo eléctrico entre dos
puntos (1,2) cualquiera es
y haciendo coincidir 1 con el potencial cero y 2 con el potencial
V
0

tenemos
conductor

conductorPotencial V
o

Potencial cero V=0

d/2

d/2173

Usando la condición (5.44) obtenemos

Luego las de
nsidades de corriente sonClaramente se cumple la continuidad de la componente normal del vector densidad
de corriente en la interfaz. Para los vectores desplazamiento tenemos
Por lo tanto existirá una distrib
ución de carga
s

entre los dos medios materiales
dada por la condición

, donde usamos la notación
.

Luego, Es importante notar además que habrá una densidad de carga en la cara interior
de
los conductores (interfaz entre conductor puro y medio material). Si llamamos
a las densidades en la placa superior e inferior, sus expresiones son
b)

Consideramos ahora el período transi
ente para la distribución de carga
s

en la
interfaz . Usamos la misma notación anterior

Donde los campos tienen la dirección de la Figura 123.

Figura 123. Condensador compuesto con acumulación de carga.Según vimos la ecuación de continuidad en
el régimen transitorio conduce a la
condición de borde

Ss V=0

V=V
0174

Por otra parte, de las condiciones de borde para el vector desplazamiento
(5.45)

Además sabemos que (5.46)

De (5.45) y (5.46) tenemos el sistema:


Luego las densidades de corriente son:Tomando la diferencia
175

Reemplazando en la ecuación de continuidad
Solución Homogénea Solución Particular
C.I. Notar que para t



que es el resultado obtenido en la parte a). 176

5.12 Ley de Voltajes de KirchoffConsideremos un sistema de conductores como el de la Figura 124.

Fig
ura 124. Ley de voltajes de Kirchoff.La diferencia de potencial entre 1 y n es
Pero


(5.49)


La suma neta de las diferencias de potencial en un loop cerrado es nula. Esto se
conoce cono “Ley de voltajes de

Kirchoff”EJEMPLO 30

Encontrar el voltaje en el condensador de la figura 125 si este se encuentra inicialmente
descargado. Figura 125. Circuito RC serie.

Sol:

Conductor perfecto

1


2

3


4

n
-
1


n

+


-

1


1
m
F

i


+10V


_
177

Aplicando ley de voltajes de Kirchoff:

Resolvemos la solución particular y

luego la homogénea.

Solución homogénea:Solución particular:Solución completa:Aplicando la condición inicial:
Notar que para

178

5.13 Ley de Corrientes de Kirchoff.Consideremos ahora un sistema de conductores que convergen a un mismo espacio


según se muestra en la Figura 126. Figura 126.Ley de corrientes de Kirchoff.Si no existe acumulación de carga
(5.50)Tomando el volumen


que contiene a todos los conductores convergentes
(5.51)

y aplicando el teorema de la divergencia Si no hay acumulación de carga la suma neta de corri
entes que convergen a un espacio
cerrado es nula. Esta es la “Ley de corrientes de Kirchoff”.



I
4

I
3

I
2

I
1

I
n179

EJEMPLO 31

Calcular la corriente I de la figura 127 si el condensador se encuentra inicialmente
descargado.

Figura 127. Circuito RC paralelo
.

Solución:De la ley de corrientes de Kirchoff obtenemos que

De las ecuaciones del condensador sabemos que

De aplicar ley de voltajes de Kirchoff y ley de Ohm se obtieneIgu
alando las dos expresiones encontradas para la corriente
llegamos a la siguiente
ecuación diferencial:En el ejemplo 30 resolvimos la misma ecuación diferencial con la misma condición inicial,
llegando a
l resultado que se muestra a continuación:
I

I
2

I
1

1


1
m
F

1



+10V


_
180

FinalmenteNotar que para
solo hay corriente en la resistencia R
1,
es decir,

no hay
corriente en el condensador.

1815.14 Problemas R
esueltosPROBLEMA 1:

Considere el circuito de la Figura . Figura P.5.1.1

Se pide:

a)

Determinar la corriente I en función del tiempo si en t = 0 la carga del condensador
es nula (voltaje nulo).

b)

Calcular la corriente para la condición estacio
naria (t infinito).

Solución:

a)

Por la ley de corrientes de Kirchoff:Pero por ley de voltajes de Kirchoff
Utilizando nuevamente la ley de voltajes de Kirchoff y la ley de Oh
mEntonces formamos la siguiente ecuación diferencial:Para resolver esta ecuación debemos encontrar la solución particular y la homogénea.

Solución homogénea:

I

+

E

R
1
=R

R
2
=R

C182Solución partic
ular:LuegoAplicando condición inicial:Pero lo que buscamos es la corriente I, la que estaba dada por
b)Resulta intuitivo este resultado, pues el condensador durante el régimen transitorio se carga
no conduciendo una vez cargado. Correspondiendo entonces la corriente I en régimen
permanente a la corriente del circuito sin el condensador.PRO
BLEMA 2

Se tiene un par de electrodos de placas planas paralelas entre las cuales se aplica una
diferencia de potencia V
0.
En el interior se coloca un dieléctrico perfecto junto con dos
secciones de dieléctrico con pérdidas. Para este problema se pide dete
rminar:a)

La distribución de campo eléctrico en todo el sistema. (desprecie efectos de borde)183

b)

La capacidad equivalente C del sistema de electrodos.

c)

La conductancia equivalente G del sistema de electrodos.

d)

La densidades de cargas en las interfaces del sistem
a.

Hint: la energía eléctrica

y

Considerar profundidad unitaria Figura P.5.2.1

Solución:

a)

Los campos

están los tres en la dirección Z y con

el sentido de este
mismo vector (van de mayor a menor voltaje). Como estos tres campos son
tangenciales a las interfaces del medio, se tienen que

(condiciones
de borde)

Habíamos visto que:(entre las placas)

Luego:

Fuera de las placas el campo es nulo, pues la carga encerrada será cero.b)

como Sólo nos queda igual a la
energía eléctrica del condensador Z

b

2a

b


d

V
0184

A

2A

4AV= 1Volt

1 Volt
c) d) Sabiendo que

pero el campo solo tiene componente tangencial por lo
tanto no hay densidad de carga en las interfa
ces. PROBLEMA 3

Un conjunto de n placas conductoras de áreas
, están ordenadas
formando una pila vertical. La distancia entre las placas sucesivas es d y entre ellas hay un
material de conductividad G=cte. Experimentalmente se

encuentra que la resistencia
eléctrica entre la primera y segunda placa es 1

.

a)

Calcule la resistencia total cuando n



b)

Considere la situación de la Fig P.5.3.2 en el límite cuando n



y calcule la
intensidad de corriente que circula por la resistencia d
e 1

. conectada entre la
cuarta placa y la tierra.

Figura P.5.3.1

Indicación: Solución: 185

A

2A

4AV= 1Volt

1

1

b)

Figura P.5.3.2186 187
C

R

V
a

b

R

5.15 Problemas Propuestos
PROBLEMA 1

En el circuito de la figura, el interruptor
permanece cerrado y el

abierto hasta que el
condensador C se carga a un potencial V
0.
En t=0 se abre

y se cierra
. Para
determinar:

a)

El volta
je en el condensador.

b)

El tiempo que demora el condensador en descargarse.

c)

La potencia en la resistencia en función del tiempo.


Figura PP.5.1PROBLEMA 2

Se tiene un tren de juguete que se mueve sobre rieles colocados
en forma de circunferencia.
Los rieles tienen una resistencia r por unidad de longitud y el tren tiene una resistencia R.
Se aplica una diferencia de potencial

entre los rieles.

a)

Encuentre y dibuje el circuito equivalente.

b)

Encuent
re la corriente que pasa por el tren cuando este se encuentra formando un

con la dirección de referencia.

Figura PP.5.2

188

PROBLEMA 3

Se quiere energizar un circuito electrónico por el

que circulan 20 mA a 2400 Volts. Para
esto se dispone de una fuente de tensión de corriente continua de 3000 Volts que tiene una
resistencia interna de 10
; y de un divisor de tensión formado por dos resistencias; como
se indica
en la siguiente figura: Figura PP.5.3.1

a)

Se pide calcular las resistencias

y

para alimentar el circuito de modo que la
potencia entregada por la fuente de tensión sea mínima; calcule esta po
tencia.b)

En el mismo circuito se quiere además hacer funcionar un galvanómetro ideal (sin
resistencia interna), que funciona solamente si la corriente es igual o mayor que 20
mA. El circuito a emplear en esta parte es el que se muestra a continuación:
Figura PP.5.3.2

Se pide calcular las resistencias

y

para alimentar el circuito de modo que la
entrega de potencia por la fuente sea mínima; calcule esta potencia.

PROBLEMA 4

+

E=3000 Vcc +

E=3000 Vcc G
189Una barra de

cobre de conductividad
g

y sección rectangular ha sido deformada como se
indica en la Figura

PP.5.3.4. Los parámetros del sistema son:

ñ

g

= 5,8x107

ñ

h
1

= 1 m

ñ

h
2

= 0,2 m

ñ

b = 0,3 mI. Suponiendo que una corriente I constante fluye atravesando el conduc
tor en el sentido
radial (
)se pide:

o

El vector densidad de corriente
,

o

La resistencia entre las caras definidas por
r
=h
1

y
r
=h
2
,

o

Calcule las pérdidas joule en el conductor

II. Suponiendo que una corriente I const
ante fluye atravesando el conductor en el sentido
tangencial (
) se pide:

o

El vector densidad de corriente
,

o

La resistencia entre las caras definidas por
q
=0 y
q
=
p
/2,

o

Calcule las pérdidas joule en el conductor

Figura

PP.5.3.4
h
1

h
2

b

h
1

h
2

b

190CAPITULO 6. MAGNETOSTÁTICA

EN EL VACÍO6.1 IntroducciónEl estudio de la magnetostática comprende el fenómeno del campo magnético producido
por corrientes estacionarias. O sea, se cumple
constante en el tiempo y
campos no dependen del tiempo.

A pesar de que los efectos magnéticos de los imanes se conocían ya en la antigua Grecia,
fue Oersted quien en 1819 propuso un primer modelo para explicar la desviación que suf
re
la aguja de una brújula por la acción de una corriente eléctrica. Sus resultados condujeron a
la determinación de la fuerza que experimenta una carga en presencia de una corriente
eléctrica, y posteriormente a la de las fuerzas entre circuitos eléctrico
s. Para presentar estos conceptos, seguiremos un tratamiento análogo al de electrostática, esto
es, primero veremos la fuerza sobre una carga y luego definiremos el concepto de campo
magnético a partir de esa fuerza. Posteriormente extenderemos el concep
to a circuitos
eléctricos en general.6.2 Fuerza de una Corriente sobre una Carga EléctricaConsideremos una carga eléctrica q con velocidad

y una corriente
I

que circula a través
de un circuito eléctrico (que llamaremos
G
‟
) según
se muestra en la Figura 128.

Figura 128. Carga móvil frente a un circuito.Se encuentra experimentalmente que la fuerza que experimenta la carga está definida por la
expresión:

(6.1)

donde:
es l
a velocidad de carga q
es el elemento diferencial de corriente por el circuito
G
‟+

-qIO

ñ191



indica la posición de q
recorre el c
ircuito
G
‟ indicando la posición del elemento



es una constante llamada permeabilidad del aire.EJEMPLO 32

Calcule la fuerza que ejerce un circuito circular de radio R y corriente I sobre una carga q
ubica
da en la posición z = z
0
, para los siguientes casos:

i)

La carga esta inmóvil

ii)

Carga se mueve con velocidad inicial

iii)

Carga se mueve con velocidad inicial

iv)

Carga se mueve con velocidad inicial
.

Solución:

Consideremos la configuración de la Figura 129.
Figura 129. Circuito circular.

Primero calculamos la integral de línea
sobre el circuito circular, de radio R y corriente
I, sobre el eje z. Aquí
G
‟ es el círcul
o de radio R del circuito. Tenemos,
luego :
I

Rj

j192
Luego la expresión para la Fuerza sobre una carga q en la posición z e
s:
Entonces:

i)

Si la carga está estática (
) permanece estática
.

ii)

Si tiene una velocidad inicial

se tiene
, es decir, la carga sigue
moviéndose c
on la misma velocidad.

iii)

Si se le da una velocidad inicial en el sentido ĵ, i.e.,
experimenta una
fuerza dada por la expresión:

iv)

Si la velocidad inicial es ahora
, la fuerza que experi
menta q es:


(6.4)
6.3 Definición de campo magnéticoHabíamos dicho que la expresión de la fuerza que produce un circuito sobre una carga tiene
la forma
Es importante notar que las variables que definen a
la carga se encuentran fuera de la
integral. Por otra parte, al interior de la integral sólo se encuentran los parámetros del
circuito

y la corriente que circula a través de él. Así, el efecto que produce la circulación
de la corrien
te está contenido completamente en la integral. Se define el campo magnético
que produce el circuito como


(6.5)

Este campo magnético corresponde a un campo vectorial que representa la perturbación en
todo el espacio que aparece c
omo resultado de la circulación de la corriente I. Con ello, la fuerza que sufre una carga en presencia de
es:
(6.6)


Esta es la llamada Fuerza de Lorentz 193

que veremos en detalle más adelante.

L
as unidades del campo magnético se obtienen de
Se define
O sea, una carga de 1[C] que se mueve con velocidad de 1[m/s] en presencia de un campo
magnético de 1[T] experimenta la fuerza de 1[N]. En la práctica
el Tesla resulta ser una
unidad muy grande, por ello se acostumbra usar el Gauss [G], con la equivalencia
EJEMPLO 33

Determine el campo magnético del circuito circular del ejemplo anterior en los siguientes
puntos:

a)

Cualquier punto
del eje z.

b)

Obtenga una expresión para el campo en cualquier punto del plano x
-
y, con
x
2
+y
2
�R
2
. Figura 130. Campo magnético de circuito circular.

a) Para el ejemplo anterior tenemos que el campo magnético producido por el circuito
circular en el
punto z
0

del eje z esPor lo tanto, dejando variable z
0
, el campo en cualquier punto z seráb) Tenemos



,

I

Rj

j

194 El problema es ahora resolver esta integral, ¡cosa nada fácil! (tratar de hacerlo). De
cualquier forma, el campo en el plano x
-
y sólo tiene componente según

y será positivo si
está dentro del círculo y ne
gativo fuera de él (conviene hacer el esfuerzo de esta
visualización).Campo Magnético Producido por una Carga Puntual

Consideremos una carga puntual q moviéndose con velocidad
, según se muestran en la
Figura 131.
Figura 131.

Campo magnético de carga puntual.

Usando la expresión que habíamos definido para el campo magnético del circuito en este
caso el campo magnético que produce la carga es:


(6.9)

pero aquí
, pero
dq

q
,

y
(6.10) es el campo producido por una carga en movimiento.Campo magnético producido por distribuciones de corriente

Para el caso de distribuciones de corriente en volumen como las de la Figur
a 132 se usa el
vector densidad de corriente. 0q0

195
Figura 132. Campo magnético de distribuciones de corrientes.Aquí
, por lo tanto el campo magnético es:


(6.11)

donde V‟ es todo el volumen en donde hay
.Así entonces, el efecto que produce una corriente puede representarse a través de su campo
magnético, el cual provoca una perturbación en todo el espacio y puede medirse ya sea
poniendo una carga en movimiento o con un circuito adi
cional. En ambos casos se
observarán fuerzas que actuarán sobre estos últimos elementos (carga y/o circuito se
moverán). 6.4 Ley de Biot y SavaratEn 1820 Jean Baptiste Biot y Felix Savarat generalizan los resultados obtenidos por
Oersted. Estos resulta
dos fueron presentados 1 mes después por Ampere. Consideremos
dos circuitos que llevan corrientes I e I‟ según se muestra en la figura siguiente: Figura 133.Interacción de dos circuitos.

Biot y Savarat demostraron que la fuerza neta qu
e ejerce el circuito
G
‟ sobre
G

esta dada
por la expresión:(6.12)

La expresión diferencial de esta ecuación, que indica la fuerza que ejerce el circuito
G
‟
sobre el elemento
del circuito
G

es


(6.13)

ó



(6.14)

donde

(6.15) es el campo magnético producido por el circuito
G
‟
en
.

0G
‟

I‟

G

I
196

Notar que una vez determinado el campo magnético del circuito
G
‟, podemos calcular la
fuer
za sobre el otro circuito ocupando la fórmula

(6.16).

EJEMPLO 34

Considere un circuito constituido por un conductor muy delgado que va de
-


a +


en el
eje y. Este conductor lleva una corriente
I
0
. Se pide calcular la fuerza sobr
e una espira
cuadrada de lado 2a con corriente I
1

según se muestra en la Figura 134.



Figura 134.Circuito frente a corriente lineal.

Solución:

Primero calculamos el campo magnético producido p
or el conductor infinito en el plano y
-
z. Consideremos un punto P localizado en el eje z.

Figura 135.Campo de conductor infinito.
P

qa

2a

3a

a

-
a

I
0
I
1197haciendo el cambio de variable Ahora calculamos la fuerza
Figura 136. Fuerza sobre conductor rectangular.Para las corrientes en el sentido

se tiene:Para las de sentido

se tiene:
Para el segmento en z=a se tiene:
para el segmento en z=3a se tiene
2a

3a

a

I
1ñ198

w

F
o

Fuerza neta =EJEMPLO 35En este ejemplo calcularemos la fuerza neta que experimenta un loop de corriente (o espira)
en presencia de un campo magnético, y a partir de esto determinaremos el to
rque. El
concepto del torque producido por un campo magnético es muy importante en la
comprensión del comportamiento de las partículas cargadas orbitando (el modelo de la
materia que veremos más adelante), motores y generadores eléctricos. Consideremos u
n loop de corriente rectangular de largo
l
y ancho

w
, el cual esta expuesto

a
un campo magnético uniforme de módulo
B
tal como se ve en la Figura 137. y
Figura 137. Torque magnético.En esta figura se puede ver

que

es paralelo a

en los lados 1
-
2 y 3
-
4 del loop y
ninguna fuerza es ejercida en esos lados. Sólo hay fuerza en los otros dos lados, entonces la
fuerza neta sobre el circuito es Es
decir, la fuerza neta es cero, por lo tanto el circuito no experimenta movimiento de
traslación neto (no se desplaza).

4

I

1

z

B

F
o

l


2

3
199Sin embargo, las fuerzas de cada lado están aplicadas en lugares diferentes y, en
consecuencia, producirán un torque neto sobre el circ
uito. Para examinar esta situación,
consideremos el caso en que el plano del circuito forma un ángulo
a

con el campo
magnético según se ilustra en la Figura 138. Figura 138. Fuerza y torque.El elemento diferencial del
torque

(o el momento mecánico d
e fuerza) sobre un elemento
de corriente
del circuito es

y sus unidades son Newton
-
metros (N

m). Por lo tanto, el torque neto es
donde c es la trayectoria del circuito. Es decir,y dado que el campo es constanteaw

F
o

F
o

200

Así, cuando el plano del circuito es paralelo al campo magnético, éste experimenta el
torque máximo. En la posición de equilibrio el vector normal a la superficie del circuito

es paralelo al campo magnético y no hay torque.6.5 Ley Circuital de AmpereConsideremos una región


del espacio en donde existe corriente fluyendo según se
muestra en la Figura 139.

Figura 139. Ley circuital de Am
pere.

Si tomamos una superficie cualquiera por la cual atraviesa una corriente total I
enlazada
,
entonces la Ley Circuital de Ampere establece lo siguiente:
(6.17)

donde:

G
(S) contorno de la superficie S recorrido en el sentido de

la mano de derecha en
torno del vector del elemento de superficie
, según se muestra en la Figura 139.

I
enlazada

corriente total que atraviesa la superficie S, la que es igual a la corriente
enlazada por la trayectoria
G
(S).Notar
que cuando se conoce el vector densidad de corriente

como en la Figura 140, la
corriente enlazada es
. Figura 140. Corriente enlazada.

Area SContorno
G
(S)
I
Contorno
G
(S)201Es muy importante respetar el sentido del contorno de la superfici
e, esto es, mantener la
regla de la mano derecha, cuando se aplica esta Ley.

Es usual definir la ley de Ampere en términos del vector intensidad de campo magnético

el cual se define de la expresión(6.17)

donde

m
0
es la permeabilidad del espacio vacío igual a

según vimos
anteriormente. Con esta definición la ley circuital de Ampere se puede escribir como
(6.18)EJEMPLO 36

Calcule el campo producido por una bobina

infinita de N espiras (vueltas) por unidad de
largo y que lleva una corriente
I
.

Solución:
Figura 141. Campo bobina.

Por simetría los campos tendrán dirección según z. Llamemos a los campos en el interior
y en el exter
ior
.Por la geometría del problema, el campo afuera puede suponerse despreciable, ya que el
campo de espiras contiguas se cancela.Para la interior tomamos el contorno

de la superficie S cuya mitad esta dentr
o de la
bobina y la otra esta afuera. Se cumple:Pero tomando una trayectoria de largo
l

en el eje z se tiene

, ya que no hay
corriente enlazada afuera de la bobina. Luego,

N espiras o vueltas
por unidad de largo

S
1 202Area S

Contorno

G
(S)
La corriente enlazada es negativa dado el sentido de la trayectoria utilizada en la figura 141.

Así, en un solenoide (o bobina) ideal el campo al interior es constante y nulo en el exterior.
6.6 3ª Ecuación de MaxwellAplicando el teorema de
Stokes a la integral de línea de la ley circuital de Ampere se tiene
(6.19)

Además, en términos del vector densidad de corriente la corriente total enlazada por el
contorno
es(6.20)

Esqu
emáticamente esto se muestra en la Figura 142.
Figura 142. Tercera ecuación de Maxwell.
Reemplazando valores obtenemos


(6.21)

y esta ecuación se cumple para cualquier superficie S, luego
(6.22
)

esta es la 3ª ecuación de MaxwellDado que
esta ecuación también se puede escribir como


(6.23)En termino físicos decimos que las líneas de campo magnético rotan alrededor de
. O que
las líneas de campo magnético

“aparecen” alrededor de una corriente dada.
203

Más tarde agregaremos otro término a esta ecuación cuando veamos campos variables en el
tiempo.
6.7 4ta Ecuación de Maxwell Otro resultado experimental
es que a diferencia del caso de los campos eléctricos que nacen
y terminan en cargas eléctricas, en el caso del campo magnético no existen fuentes de
donde nazcan líneas de campo, es decir, no existen cargas magnéticas. Esto se traduce en
que toda línea de

campo magnético es cerrada. Matemáticamente esto se expresa de la
siguiente forma:
(6.24)

esta es la 4ª ecuación de MaxwellSi integramos esta ecuación en un volumen cualquiera tenemos

En otras palabras,
el flujo neto del campo magnético en cualquier superficie cerrada es
nulo. Esto se muestra en la Figura 143.
Figura 143. Inexistencia de cargas magnéticas.En la Figura 143 entran a la superficie un número igual de líneas de campo que salen de

dicha superficie.
6.8 Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnéticoUna característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada
móvil es que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la p
artícula. En efecto, la
expresión de la Fuerza de Lorentz es
(6.26)



No existen cargas
magnéticas204La fuerza magnética por consiguiente no realiza trabajo sobre la partícula y la energía
cinética no se ve afectada por esta fuerza. Así, la fuerza magnética solo

modifica la
dirección de la velocidad pero no su módulo.

En el caso especial en que la velocidad de una partícula sea perpendicular a un campo
magnético uniforme, como se ve en la Figura 144, la partícula se mueve describiendo una
órbita circular.

Figura 144.Movimiento de cargas en un campo magnético.La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular.
Podemos relacionar el radio de la circunferencia con el campo magnético y la veloc
idad de
la partícula haciendo que la fuerza resultante sea igual a la masa

m

multiplicada por la
aceleración centrípeta
v
2
/r
. La fuerza resultante en este caso es
qvB

puesto que
v

y
B

son perpendiculares. Así pue
s la segunda ley de Newton nos da
(6.27)

o sea

(6.28)
Por lo tanto, la partícula cargada se mueve en un plano perpendicular al campo magnético
uniforme que esta dirigido hacia el plano de papel (ind
icado por las cruces). La fuerza
magnética es perpendicular a la velocidad de la partícula haciendo que se mueva en una
circunferencia de radio r que satisface la ecuación anterior.La frecuencia angular del movimiento circular es


(6.29)y su periodo vale

(6.30) v

+q
205

Es importante notar que la frecuencia no depende del radio de la órbita ni de la velocidad
de la partícula. Esta frecuencia se denomina
frecuencia ciclotrón.
La
componente de la velocidad paralela a B no se ve influida por el campo magnético.
Consideremos por ejemplo un campo magnético uniforme en la dirección z y sea v
z

la
componente de la velocidad de la partícula paralela al campo. En un sistema de referencia
q
ue se mueve en la dirección z con velocidad v
z
, la partícula tiene su velocidad
perpendicular al campo y se mueve en una circunferencia contenida en el plano
xy
. En el
sistema de referencia original la trayectoria de la partícula es una hélice que se enrol
la
alrededor de las líneas de B, como se muestra en la Figura 145.

Figura 145. Trayectoria helicoidal.Cuando una partícula cargada tiene una pequeña componente de velocidad paralela al
campo magnético B, se mueve con una t
rayectoria helicoidal.Selector de Velocidades

La fuerza magnética sobre una partícula cargada que se mueve en el interior de un
campo magnético uniforme puede equilibrarse por una fuerza electrostática. Dado que la
fuerza eléctrica tiene la dirección del

campo eléctrico (en el caso de partículas positivas) y
la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético, los campos eléctrico y magnético
deben ser perpendiculares entre sí, según se muestra en el arreglo de la Figura 146. En esa
configuración se t
iene una región del espacio entre las placas de un condensador, en el cual
existe un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre si.



Figura 146. Selector de velocidades.

-
q
v

qv
B

v

q
E
206Cuando una partícula positiva se

mueve hacia la derecha experimenta una fuerza eléctrica
dirigida hacia abajo
q
E

y otra fuerza magnética dirigida hacia arriba
q
v

B
, que se equilibran
si
vB=E
, Si la carga es negativa, estarán invertidas ambas fuerzas. Luego, para que las
cargas pasen sin
ser interceptadas la velocidad cumple con la condición
v
=E/B,
independiente de la masa y la carga de la partícula. Es decir, las cargas que pasan se
seleccionan en base a su velocidad exclusivamente. El Espectrógrafo de Masas
.

El espectrógrafo de masas
, fabricado en primer lugar por Aston en 1919, fue diseñado para
medir las masas de los isótopos. Mide la razón masa a carga de los iones (cargas positivas),
determinando la velocidad de éstos y luego midiendo el radio de su órbita circular en el
interior
de un campo magnético uniforme. El cuociente masa a carga viene dado por


(6.31)
en donde B es campo magnético, r el radio de la órbita circular y
v

la velocidad de la
partícula. Un dibujo esquemático de un espectrógrafo de masa
s se muestra en la Figura 147.
Figura 147. Espectrógrafo de masas.En la Figura 147, se ven iones procedentes de la fuente, que son acelerados por un campo
eléctrico y entran en un espacio que contiene un campo magnético uniforme (aquí el c
ampo
eléctrico es nulo). Si los iones parten del reposo y se mueven a través de una diferencia de
potencial V, su energía cinética cuando entren en P1 es igual a la pérdida de energía
potencial
qV
.(6.32)

Los iones se mueven en una
circunferencia de radio r e inciden sobre una película
fotográfica en el punto
P2
, a una distancia 2r del punto en el que entraron en el electroimán.
La velocidad v puede eliminarse de las ecuaciones para hallar q/m en función de las
magnitudes conocidas V
, B y r. El resultado esfuente

+q

P
1

v

-

V +

r

P
2

207
(6.33)
6.9 Potencial Magnético Vectorial
Similarmente a lo ocurrido en electrostática cuando definíamos un potencial desde el cual
se obtenía el campo, para simplificar los cálculos de campos magnétic
os se recurre al
concepto de potencial magnético vectorial.Dado que sabemos que la divergencia de

es nula (cuarta ecuación de Maxwell)
aprovecharemos la identidad matemática
(6.34)
para asumir que el

campo magnético
puede expresarse como
(6.35)donde

se denomina potencial magnético vectorial y es en general más fácil de calcular
que el campo magnético directamente.Teníamos que
por definición
se representa por ñ
(6.36)


para circuitos,

ñ


(6.37)


para densidades en volumen, yñ


(6.38) para densidades superficiales

de corriente
.Se puede demostrar que (6.39)

opera sobre con ello, si tomamos por ejemplo la expresión del campo magnético para circuitos lineales,
se tiene:208


(6.40)aplicando la identidad


(6.41)
donde f es un campo escalar y
un campo vectorial


(6.42)

opera sobre y como

(6.43)


(6.44)

luego


(6.45)

y como


opera sobre

y
“

sobre
podemos escribir finalmente:
(6.46)

de donde se deduce que
(6.47)para circuitos.Similarmente para distribuciones de corriente se obtiene
(6.48)para distribuciones superficiales de corriente
(6.49)para distribuciones en volumenNotar que una vez que

se dispone del vector

, el campo magnético se obtiene fácilmente
derivando (en realidad se debe calcular el rotor como se definió originalmente), cuestión
que en general es más fácil de realizar que el cálculo directo.
209

Usando la i
dentidad


(6.50)Se puede demostrar que
para campos magnéticos que no varían en el tiempo.
Luego


(6.51)Pero habíamos demostrado que por la 3ra Ecuación de Maxwell se cumple
(6.52)

Por lo tanto, el potencial magnético vectorial cumple con

(6.53) Ecuación de Poisson vectorial.En coordenadas cartesianas
, la ecuación de Poisson corresponde a

con


(6.54)Se requieren condiciones de borde para resolver esta ecuación, en conjunto con
metodologías numéricas de resolución de ecuaciones diferenciales parcia
les.EJEMPLO 37

Si por el plano x
-
y circula una densidad superficial de corriente

, se pide obtener el
campo magnético en todo el espacio.

Sol
n
:

De la definición de

tenemos:
ds′

= dx
′
dy
′

Por simplicidad calcularemos

en un punto del eje z, según se muestra en la Figura 148.










x‟

y‟
210



Figura 148. Potencial magnético vector.

Tenemos
Luego

pero
, y de la figura:

211

CAPITULO
7
. MAGNETOSTÁTICA

EN
L
A MATERIA7
.1

Dipolo MagnéticoPara abordar el tema de los campos magnéticos en la materia se hace necesario, al igual que
vimos anteriormente para dieléctricos, un modelo elemental para aplicarlo a un medio
material. Este concepto para el c
aso de campos magnéticos es el dipolo magnético. Consideremos un circuito circular de corriente como en la Figura 149.

Figura 149. Dipolo Magnético.El área del circuito es

y conduce una corriente I. Si lla
mamos
al vector normal a
la superficie, definimos el dipolo magnético

como el vector

Así, el dipolo magnético (también llamado momento dipolar magnético) es proporcional al
área definida por el circuito y pr
oporcional también a la corriente que circula por él.

Determinemos ahora el campo magnético

en un punto de observación P(r,
q
,
f
) producido
por el circuito circular (o
loop
) de la figura 150. Para ello primero obtendremos el vector
p
otencial magnético, y consideraremos el sistema de coordenadas de la Figura 1
5
0
.




Figura 150. Campo magnético de un dipolo magnético.

I

a
P(r,
q
,
f
)

y

x

za

q
q

f

I
212

En estas condiciones, el potencial en el punto P tiene la forma
Para r��a, es decir, para lugares lejanos del punto de observación, se cumple

Además,Luego, despreciando los té
rminos de orden superior (TOS) la expresión del vector potencial
magnético es

considerando que

y desarrollando la
integral se llega a que el vector potencial magnético

sólo tiene la componente

y está
dada por


(6.56)

lo que también puede escribirse como: donde

es el dipolo magnético del loop (notar que
). Finamente el campo ma
gnético se obtiene a partir de
(6.58)Es interesante comparar esta ecuación con expresiones similares de electrostática para el
potencial eléctrico V y la intensidad de campo eléctrico

producidas por el dipolo
eléctrico. Esta comparación está hecha en la siguiente tabla, en la que notamos las
similitudes entre el campo

lejano producido por un pequeño loop de corriente y
lejano
prod
ucido por un dipolo eléctrico. Es entonces razonable interpretar un pequeño loop de
corriente como un dipolo magnético. Se puede demostrar que el torque sobre un dipolo magnético está dado por la expresión
(6.66)
213

eléctrico

Magnético

a
rc

Esta expresión
es generalmente aplicable en la determinación del torque sobre un dipolo y
su única limitación es que el campo magnético debe ser uniforme. Cabe hacer notar que el
torque está en la dirección del eje de rotación y en la posición de equilibrio

y

son
paralelos.

Las líneas de B sobre el dipolo magnético son similares a las líneas de E sobre un
dipolo eléctrico. La figura 151 (d) ilustra las líneas de B alrededor del dipolo magnético
m=IS.
Figura 151. Comparación electroestática v/s magnetostática.r

a
r

Q

Monopolo ( carga puntual)
Q
m

No existe

Monopolo ( carga puntual)

d

q

+Q

-
Q

r

P

a
q
Dipolo (dos puntos con carga)

Dipolo (dos puntos con

carga)

x

y

z

P

q

I

d

q

+Q
m

-
Q
m

r

Pa

b

d214

7
.
2 Modelo Atómico de MaterialesSimilarmente al análisis de dieléctricos supondremos aquí un mode
lo microscópico de la
materia. En este caso supondremos que cada átomo se compone de un núcleo con carga
positiva en reposo y un conjunto de electrones rotando en torno de ese núcleo con
velocidad
u,
según se muestra en la Figura 152. Así, los electrones d
e este átomo pueden
modelarse como un circuito con corriente
.

Donde q es la carga total de los electrones [C] y R el radio promedio de las trayectorias
circulares. Esquemáticamente: Figura 152. Modelo Atómico de Corriente
s.Así, es posible representar el átomo mediante el dipolo magnético


(6.67)

Para describir el fenómeno a escala macroscópica se define el vector magnetización

como el momento dipolar magnético por unidad de
volumen:


(6.68)

Un medio en el cual

se dice un medio magnetizado. Notar que en presencia de un
campo magnético externo los dipolos magnéticos tenderán a alinearse con él debido al
torque
, según vimos en la sección anterior.
Figura 153. Modelo Atómico de Corrientes.-

+

RI



Sin campo

Con

externo
215

Notar que debido a lo pequeña de las corrientes se desprecia el efecto entre ellas y solo se
asume que los dipolos responden al campo externo
.7
.
3 Corrientes de MagnetizaciónConsideremos un elemento diferencial de volumen de un medio material con
magnetización, como en la Figura 154. Luego el momento dipolar asociado al volumen
dV‟
es
, donde: Figura 154. Modelo de la Materia.El potencial magnético

asociado al dipolo magnético en la posición

es:


(6.69)

, (6.70)

pero


(6.71)

y usando la identidad
podemos escribir


(6.72)


(6.73)

Lue
go


(6.74)

Aplicando el teorema

a la segunda integral

‟

0216


(6.75)

Esta expresión tiene la forma:


(6.76)con

(6.77) densidad de corriente de magnetización en volumen
(6.78) densidad de corriente superficial de magnetización (que rodea al
m
aterial)Así, el efecto de la magnetización puede reemplazarse por las dos densidades de corriente

y

que aparecen en el material.7
.
4 Permeabilidad MagnéticaRecordemos que


(6.79)En el espacio vacío, donde

es la densidad de corriente en vol
umen.Ahora en general al interior de un medio material habrá tanto corrientes libres

como de
magnetización. Así :


(6.80)entonces(6.81)

designaremos

y


(6.82)



, (6.83)si anotamos

(6.84)
(6.85)ó

(6.86)Con

(6
.87) es la permeabilidad del material y

(6.88) es la
permeabilidad relativa. Análogamente al caso de los dieléctricos, en los medios
magnetizados se tiene:217

No lineal

ñ


y

no es paralelo a 

no lineal anisótropoñ

, pero


no lineal isótropoñ



lineal
-
isótrop
oñ

,
m
=cte.


homogéneo7
.
5 Clasificación de los Materiales MagnéticosEs común realizar la siguiente clasificación de los materiales magnéticos dependiendo del
valor
m
r.

Figura 155. Clasificación Materiales Magnéticos.

Los más importante
s son los ferromagnéticos y en general,

es altamente dependiente de
la temperatura (alta t°


disminuye
).

La relación específica entre

y

depende de la T° y de la historia, por ello bajo
diferentes condiciones
m
r

puede variar de 50 a 600. En el cap
ítulo 7 veremos aplicaciones
específicas de estos materiales.De la ley de Amperé

. (6.89)

Luego se puede montar un experimento en que variamos

y medimos

(en el capítulo 7
veremos relaciones entre el campo magnético y el voltaje, que se usan para m
edir B). La
curva resultante es la curva de histéresis
7

de la Figura 156.



7

S
ignifica retraso en griego

Materiales
magnéticos

DiamagnéticosParamagnéticosFerromagnéticos
218

Figura 156. Ciclo de Histéresis.
En la Figura 156 B
r

es el valor residual del campo aunque no haya corriente y Bmax: es el
valor de saturación del campo

Valores típi
cos de la permeabilidad para diferentes materiales se muestra en la siguiente
tabla.

Tabla 4. Permeabilidad Relativa de Algunos Materiales
*




Material


Diamagnéticos

Bismuto
0.999833

Mercurio
0.999968

Plata
0.9999736Plomo

0.9999831

Cobre
0.9999906

Agua
0.9999912

Hidrógeno (s.t.p.)



1.0
Paramagnéticos

Oxígeno (s.t.p.) 0.999998

Aire

1.00000037

Aluminio
1.000021

Tungsteno
1.00008

Platino

1.0003

Mangan
eso
1.001Ferromagnéticos

Cobalto

250

Níquel


600

Hierro Suave
5000

Hierro
-
Silicio
7000*Estos valores son típicos y pueden variar con respecto a otras publicaciones debido a que
existen muchas variedades de lo
s distintos materiales.Curva cuando material
está inicialmente no
magnetizado (densidad de
flujo permanenteB
max

B
r

-
B
max

-
B
r

I219

Propuesto
. Considere un material ferromagnético de 2 cms de ancho con permeabilidad
relativa de
m
r=2.5.

Se ha medido el campo al interior del medio material igual a
. Se pide
determinar a)
, b)
, c)
, d)

.7
.
6 Condicio
nes de bordeConsideremos dos medios magnéticos de permeabilidades

y

según se muestra en la
Figura 157. Para considerar la situación más general, consideraremos que en el plano de
interfaz entre los medios existe una corriente superficial (que se inte
rna en la hoja).
Figura 157. Condiciones de Borde.De las ecuaciones de Maxwell sabemos que (6.90)
(6.91) y para

h

0
,

definiendo

(6.92) como la
densidad de corriente superficial se obtiene:

(6.93)Usando e
stas condiciones de borde se puede demostrar que(6.94)

W

G
q
1

q
2 
h220
EJEMPLO 38

El plano x
-
y sirve de interfaz entre dos medios. El medio 1 (z

0) se llena con un material
de permitividad
m
r
=6 , y el medio 2 (z
>
0) se llena con un material con
m
r
=4. Si en la
interfa
z hay una corriente superficial de

y

. Encuentre

y
.

Figura 158. Aplicación condiciones de borde.Solución:

Imponiendo condiciones de borde para la componente normal del campo magnético
tenemosademás
Aplicando ahora la condición

para H tenemos

Como

Por lo tanto, igualando componentes:

y
Y

2

1

221

7
.
7 Resumen

Electrostática y MagnetostáticaEn resumen, para campos que no dependen del tiempo se cumplen las siguientes ecuaciones
de Maxwell:(1)




cargas estacionarias p
roducen campo eléctrico(2)

No existen cargas magnéticas (3)

Trabajo desarrollado por campo eléctrico es conservativo(4)




campo magnético “rota” en torno a corrientes
Los campos en la materia cumplen además con
(6.95)
(6.96)La fuerza neta sobre una carga es
(6.97)
Las ecuaciones anteriores se han deducido para campos estacionarios que sólo dependen de
la posición.
y

(6.98)
En lo que resta del curso veremos que ocurre cuando los campos son dep
endientes del
tiempo, es decir, cuando

y
. 222

7
.
8 Problemas ResueltosPROBLEMA 1

Se tienen dos cables paralelos que llevan cada uno una corriente estable

e
. Encuentre
la fuerza por unidad de largo entre los cables si la distancia que los separa es

d. ¿La fuerza
atractiva o repulsiva?




Solución:



-

d
I
1
I
2





Figura P.6.1.1

Debemos calcular la fuerza que ejerce cada una de las corrientes sobre la otra por separado
para después sumarlas.

Sabemos que la fuerza de un circuito sobre otro está dado por
Escrito de otra forma:



Pero nos interesa la fuerza por u
nidad de largo, por lo que al resolver la integral anterior
nos queda lo que buscamos es la fuerza por unidad de longitud, por lo
tanto, al dividir por L se obtiene la fórmula que utilizaremos en el problema para la fuerza
por unidad de largo.


223

Donde
es la fuerza que ejerce por unidad de longitud el circuito uno sobre el circuito
dos. Calculemos

utilizando la ley circuital de Ampere

Para
El campo sobre I2 resulta de evaluar en
, entonces:Ahora, veamos la fuerza por unidad de largo q
ue ejerce la corriente uno sobre la corriente
dos.De forma análoga calculamos

que corresponde a la fuerza por unidad de longitud que
ejerce la corriente dos sobre la corriente uno.

Para
El campo sobre I1 resulta de evaluar en
, entonces:

Co
n esto la fuerza

queda dada por
La fuerza que se origina es atractiva.224

PROBLEMA 2

Dado el vector potencial magnético
, calcular el flujo total para cruzar la
superficie.


Z,




5m





1


2
[m]

Figura P.6.2.1Solución:

Para encontrar el flujo primero encontraremos

para luego hacer 225

12

3

4

Figura P.6.2.2

a

Otro método de resolución:
PROBLEMA 3

Si por el plano x
-
y circula una densidad superficial de corriente

se pide obtener

en todo el espacio. Figura P.6.3.1

Solución:Utilizaremos la ley de Ampere, para ello nos damos una su
perficie de largo b y altura a que
sea atravesada por la densidad de corriente tal como se muestra en la figura.
Figura P.6.3.2Figura P.6.3.2
b226

a

Para encontrar la dirección, ocupamos la regla de la mano derecha, llegando a
la siguiente
forma de También se puede escribir como

donde

es el vector normal al plano.

PROBLEMA 4:Se tiene una franja delgada de metal de ancho a y muy larga. La corriente total es I.
Calcular, por definición, el campo magnético en el plano
de la franja a una distancia b del
borde más cercano.Solución:

Figura P.6.34.1Calculando el campo magnético por definición:

¨227Como

la franja es delgada, es decir, despreciamos su espesor, podemos aproximar la
densidad de corriente por

Usando el cambio de variable:

Con esto:

228

PROBLEMA 5:

Calcular el campo magnético producido por un cascarón cilíndrico infinito de rad
io R por el
que circula una corriente uniforme J en la dirección del eje del cilindro. Se pide el campo
en todos los puntos, es decir, tanto dentro como fuera del cilindro.
Figura P.6.5.1

Solución:Para r�R

El campo magnético par
a r R es nulo por la ley circuital de Ampere, debido a que la
corriente enlazada es nula (cilindro hueco) R
229

PROBLEMA 6:Se tiene una partícula de masa m y carga q que se mueve en un campo magnético uniforme
B. Demostrar que el movimiento más gen
eral de la partícula describe una hélice, cuya
sección transversal es una circunferencia de radio

, donde v es la componente
de la velocidad de la partícula que es perpendicular a B.Solución:

Entonces, se obtienen las ecuaciones:

Por otra part
e, se tenía que
, luego el movimiento de la partícula según el plano x
-
y
es descrito por comportamientos sinusoidales, mientras que según el plano z el movimiento
es constante, Entonces es posible concluir que el movimiento descrito por la partícula es
un
a hélice, donde el plano x
-
y puede tener en general, una inclinación en un

con

230

respecto a la horizontal. De esta manera es posible ver que la velocidad de la partícula se
puede expresar como
.

Como es sabido, la posición de la partícula se obtiene t
rivialmente por medio de la
integración de la velocidad:

Sin pérdida de generalidad:

Además, la posición de la partícula está dada por:De donde se obtiene lo que se quiere demostrar:
PROBLEMA 7:Demostrar que la fuerza entre alambres paralelos

que conducen corrientes de intensidad I
1

e
I
2

, ambas en la misma dirección según
, es atractiva. Si los dos alambres paralelos son
muy largos y están separados por una distancia a, hallar la fuerza magnética sobre el
segmento dI
2

del alambre 2.











Figura P.6.7.1

I
1

I
2

a231
Solución:

El campo magnético producido por un alambre infinito es:

La Fuerza de (1) sobre (2) está dado por:
El se
ntido de la fuerza va según
, es decir, hay atracción siempre y cuando:

Entonces, existe atracción en la medida que las corrientes por los alambre paralelos sean en
el mismo sentido, o habrá repulsión cuando las corrientes circulantes sean de direccio
nes
opuestas.
PROBLEMA 8.Considere una espira rectangular en presencia de un alambre infinito por el cual circula una
corriente

(Considere que el alambre coincide con el eje z) según se
muestra en la Figura

P.6.8.1
.
Figura P.6.8.1y

a

b

x

z

X(t)

I232

A una distancia
se ubica un circuito rectangular de lados a y b, el cual se encuentra
detenido y estático. Se pide:

i.

Si la espira tiene una resistencia total R diga si hay corriente al interior de ella y en
caso afirmativo, calcule su sent
ido y valor.

ii.

Determine el torque sobre el circuito rectangular

iii.

Suponga ahora que la corriente en el alambre infinito es
, se pide determinar la
velocidad del circuito rectangular (
) para generar la misma corriente
calculada en i).

Hint: Suponga que el ca
mpo generado por la corriente del circuito cuadrado es
despreciable frente al campo del alambre infinito.Solución
:i) con

Flujo externoEl voltaje inducido es:

producto de la corriente inducida

Despreciable por enunciado
I233

I

I

I

I

I Si


Para

ii)
B

iii) Si
B

B

I

I

I234
Igualando esta corriente con la de la parte i)
Quedo en función de x también. Con esto bastaba.
PROBLEMA 9.Se dispone de un emisor radioactivo que emite partículas cargadas de diferente velocidad
en dirección horizontal, tal como se muestra en la Figura
P.6.9.1
Figura P.6.9.1
Para seleccionar las partículas en función de su velocidad, se construye un
sistema compuesto por dos placas conductoras, las cuales generan un campo eléctrico
. Además, en el mismo espacio se genera un campo magnético constante
. Ambo
s campos se suponen conocidos.
Suponiendo que la salida del cañón de partículas sólo tienen velocidades según
, y
despreciando el efecto de gravedad, se pide:i.

Determinar la velocidad para la cual las partículas pasan inalteradas por el sistema,
indepen
diente de su masa y carga (su velocidad se mantiene constante)

ii.

Para velocidades menores a las calculadas en i) se pide determinar la razón entre
masa y carga de las partículas que logran pasar por el sistema de placas (no quedan
atrapadas en la placa infer
ior)

l

Cañón de
partículas

t235

i)
Igualando términos:

Si ii)

Caso general:


Solución homogénea:


Solución particular:Solución general:

(1 punto)236

Condiciones iniciales:
Para
:
Seael tiempo cuando las cargas llegan a la
posición z =
-
h/2 Reemplazo en
Razón

Ecuación no lineal para m/q
h/2

l237PROBLEMA 10.Una línea de transmisión coaxial llena de un material con permitividad no lineal tiene un
conductor interno sólido de radio a y un conductor
externo muy delgado de radio interior b,
tal como se ilustra en la Figura

P.6.10.1.
Figura P.6.10.1

Si la curva de magnetización del material se puede aproximar por
. Suponiendo que en el conductor interno circula una cor
riente

hacia la derecha y vuelve en la dirección opuesta por el conductor externo, calcule el campo
magnético en todo el espacio.Hint: Suponga que en el conductor interno la corriente se distribuye en forma
homogénea. Por su parte, suponga que el condu
ctor externo no tiene grosor.
Para ra:
b

a

a

b

a

b238arb:

Para r�b: 239

7
.
8 Problemas PropuestosPP. 1

Se tiene un disco de radio R y densidad de carga

que gira con velocidad angular w.
Determinar el
campo magnético en el eje de simetría.

Figura PP.6.1PP. 2

Considere dos discos coaxiales de radios a y b respectivamente (b
>
a) separados por una
distancia h tal como lo ilustra la Figura P6.2. Suponga que �h�a,b. Se pide calcular el
vector camp
o magnético en el eje z. Figura PP6.2
w

R
Z

b

h

a

YX
240PP.3

Un motor de plasma es ideado para naves espaciales, el cual se construye con dos
rieles conductores entre los cuales se produce un campo magnético B, según se muestra en
la Figura PP6.3.

Figura PP6.3.Una corriente de 1000 [A] fluye a través de dos rieles conductores, los cuales están
comunicados mediante un pulso de plasma de masa m=10 kg, el cual puede moverse sin
perder su forma (conexión a ambos rieles) una distancia L=1m. Su
ponga que la distancia
entre los rieles es de d=30 cms y que el plasma tiene forma cilíndrica.

Se pide:

a)

Estime la fuerza sobre la columna de plasma,

b)

Si una nave se equipa con este motor, calcule la velocidad de expulsión del plasma
(extremo derecho en el d
ibujo),

c)

Suponiendo que la nave está en el espacio y que pesa 5 tons, estime el aumento de
la velocidad que produce un disparo (una columna) del pulso de plasma. PP.4

Se dispone de un circuito de forma rectangular por el cual circula una corriente
I=2[A]
, según se muestra en la Figura PP6.4.

Figura PP6.4.

Se pide:

a)

Calcule el campo magnético en el centro del circuito si a= 2 m y b=1m.

b)

Si el conductor posee una conductividad g=6x107 [mho/m] y una sección de 1mm2,
se pide calcular la potencia disipada

en el conductor.
a

b

I

Flujo de
Plasma

I

I

I

Plasma de
masa m

Rieles conductores
fijos

d

L

B241
CAPITULO
8
. CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO 8
.1 LEY DE FARADAY
-
LENZLuego que Oersted descubriera que las corrientes estacionarias producen campos
magnéticos capaces de inducir fuerzas, en 1831 (11 años después) Michael Faraday en
Lo
ndres y Joseph Henry en New York descubrieron que un campo variable en el tiempo
también producía corriente. En este capítulo estudiaremos este fenómeno.8
.1.1 Ley de Inducción

Consideremos una región del espacio


en donde se tiene un campo magnético var
iable
. Supongamos que en esta región se dispone una espira cerrada de resistencia R (loop)
según se muestra en la Figura 159.

Figura 159. Inducción MagnéticaEl flujo
f

enlazado por este circuito es
[Weber] (7.1)
donde

es el campo en el plano de la espira. El flujo se mide en Weber = Tesla x m
2
.

Notar que como
, entonces
.Se encuentra experimentalmente que aparece una corriente I dada por la expresión:

(7.2)

donde R es la resistencia del conductor de la
espira. Por lo tanto, la expresión experimental de la Ley de Faraday Lenz se puede escribir como

(7.3)
ITrayectoria
G
(S)

(loop)

Area S
242

Recordemos que para una espira de resistencia R y corriente I, como la mostrada en la
Figura 160, se cumple
e

= RI
, donde
e

es una FEM
o fuente que mantiene la diferencia de
potencial entre los puntos A y B. Figura160. Inducción Magnética De las expresiones anteriores podemos concluir entonces que un campo magnético variable
genera o induce un FEM dada por la expresión
(7.4)
Esta es la
Ley de inducción de Faraday
-
Lenz
.Así, para

la corriente girara en sentido contrario a la trayectoria
G
(S). Es decir, si

es creciente en el tiempo, entonces la corriente inducida en la espira genera un campo
de sentido opue
sto a
. Llamando

al campo generado por esta corriente tenemos la
situación de la Figura 161.
Figura161. Sentido de la Inducción Magnética para flujo creciente

Inversamente, para

la corriente seguirá el sentido de
G
(S). Esquemáticamente: Figura162. Sentido de la Inducción Magnética para flujo decreciente

I

B

A

-

e

+

t

f
(t)



It

f
(t)

I243

Notar que el campo magnético total en el plano de la espira

es el resultante del
producido por la corriente en la espira

mas el externo
, es decir,
. Este
es el campo resultante u
sado en la ecuación de la Ley de Inducción.

donde En estricto rigor la ley de Faraday
-
Lenz relaciona la FEM inducida con la variación
temporal del flujo
f
(t). En la práctica se encuentra que
f
(t) puede tener dos causas:a)

Originado por un camp
o variable: (7.5)b) Originado por área variable s(t): (7.6)
Veremos a continuación un par de ejemplos de estos dos casos.EJEMPLO 39Considere el circuito de la Figura 163, el cual ilustra un toroide con dos bobinas.
Figura 1
63. Inducción en Toroide
.El Toroide se compone de un material ferromagnético de permeabilidad
m
=500
m
0

y sección
uniforme
. Las dimensiones del Toroide son
a=8 cm, b=12 cm
.Suponiendo que las líneas de campo magnético al interior del Toroide son círcul
os
concéntricos y que su valor puede suponerse constante en toda la sección. Se pide:a)

determine el valor de

en el punto medio del Toroide

b)

determine el flujo enlazado por una espira del circuito 2

c)

determine la FEM inducida entre los puntos A y B

d)

evalúe
el valor de la FEM si
I
1
(t)=3sin100
p
t

,
N
1
=200

vueltas ,
N
2
=100

vueltas.Sección S

A

B

+-

b

a

I
1
(t)

N
2

N
1244

Sol
n

Figura 164. Ley de Ampere en Toroide.a)

Por la ley circuital de Ampere tenemos (la bobina del lado derecho no tiene
corriente) Nos dicen que el campo es c
oncéntrico, luego de

podemos suponer que

Por su parte, la corriente entra en el plano del papel, es decir:
.Reemplazando en la Ley circuital de ampere tenemos

y en el punto medio S
2Trayectoria C
2Trayectoria C
1

r

I
1

245b)

El flujo a través de S
2

es Para el campo tenemosEl elemento de area perpendicular al campo es

c)

La FEM total inducida es
e
AB=N2
e
2 donde
e
2 es

la FEM inducida en una espira.
El sentido de la FEM se muestra en la Figura 165. Figura 165. Sentido FEMLa FEM inducida en cada
espira es

d)La corriente es variable en el tiempo, luego


+

e
2

-246

EJEMPLO 40

Consideremos una región del espacio con un campo magnético constante
.
Se tiene una espira cuadrada girando en torno al eje z a 50 v
ueltas por segundo, según se
muestra en la figura. Se pide:i.

Calcular la FEM inducida en la espira

ii.

Calcular la corriente por la espira si se sabe que la resistencia total del conductor es
R=0.1 [

].Suponga que en t=0 la espira esta en el plano yz.
Figura 166. FEM en circuito móvil
.Solución:

a) Calculemos el flujo enlazado por la espira
ds=dzdr
,pero
en el sentido de la trayectoria (c)
3 cm =
a4 cm =
b

jj

i

(
i
)

247en t=0,
j
=
p
/2 luego reemplazando valores se tiene:
b)

Figura 167. Flujo sinusoidal.Este es el principio de funcionamiento de un generador eléctrico de corriente alterna.
f
(t)

t248

8
.1.2 Modificación 3ª Ecuación de MaxwellDado que un campo magnético variable es capaz de generar una fuerza eletromotríz,
ento
nces produce también un campo eléctrico. En efecto, de la Ley de Faraday
-
Lenz
tenemos que

donde

pero la FEM es



y aplicando la identidad (T. de Stokes)
Si consideramos superficies estacionarias
como S es cualquiera:
3ª ecuación de MaxwellEs decir el campo “rota” en torno a las variaciones del campo magnético. Figura 168. Modificación tercera ley de Maxwell.
249

Notar que ahora
, es decir, cuando se tienen campos que var
ían en el tiempo el
campo eléctrico, y en consecuencia la fuerza eléctrica, no es conservativo.

Recordando que
, a partir de la 3ª ecuación de Maxwell tenemos
(7.13)

Aprovechando la identidad

definimoscon

potencial eléctrico. Luego podemos e
xpresar el campo eléctrico como

Así, el campo eléctrico tiene dos fuentes, una electrostática a través del potencial eléctrico y
otra de inducción, debida a la variación temporal del campo magnético. Notar qu
e si no hay
variaciones en el tiempo se recobra el campo conservativo visto en electrostática. Propuesto

Una barra conductora se desplaza con velocidad
sobre dos rieles conductores según se
muestra en la Figura 169.
Figura 169. FEM por fl
ujo y circuito variable.

Entre las barras existe un campo magnético
. Se pide calcular la
Fem en el circuito ABCD.

Origen electrostático

Debido a campo magnético
variable en el tiempoB

A

D

C250

8
.1.3 Inductancia PropiaPara un circuito eléctrico cualquiera es posible encontrar una relación entre la corriente que
circula por él y el

flujo enlazado, la cual es independiente del valor de ambas variables.
Este parámetro es de gran importancia práctica en el estudio de circuitos eléctricos.
Consideremos el circuito de la Figura 170.

Figura 170.Inductancia propia.Supongamos

que el campo magnético se debe sólo a la corriente I que circula por el
circuito. Entonces, por definición el campo magnético tiene la forma
(7.14)y por lo tanto el flujo enlazado es

(7.15)y tomando la razón entre
f

e I tenemos
(7.16
)Notemos que esta expresión NO depende de la corriente ni del flujo, sino que sólo depende
de la geometría del sistema. Se define este cuociente como Inductancia propia (designada
por la letra L) y es un parámetro muy usado para describir los circuitos e
léctricos. (7.17)

I

Area A251

Sus unidades son Wb/A, la cual tiene el nombre de Henry [H]. EJEMPLO 41Considere el circuito de la Figura 171. Se pide determinar la inductancia propia del circuito
del lado izquierdo. Figura 171. Inductancia propi
a de Toroide
.El Toroide se compone de un material ferromagnético de permeabilidad
m
=500
m
0

y sección
uniforme
. Las dimensiones del Toroide son
a=8 cm, b=12 cm
. Se pide
determinar la inductancia propia del circuito.Sol
nEn el Ejemplo 39 habíamos dete
rminado el campo magnético en el punto medio del
toroide, el cual supusimos constante en toda la sección transversal (S). La expresión de
campo magnético es:

el flujo es
. Para el circuito de la corriente
I
1
, el elemento de area perpendicular
al campo

es
. Por ello el flujo enlazado por este circuito es. De esta expresión resulta en forma directa la expresión de la inductancia propia Sección S

b

a

I
1

N
1
252

8
.1.4 Inductancia de Conjunto de CircuitosPor extensión, para un sistema de n circuitos, se definen inducta
ncias mutuas.
Consideremos n circuitos como en la Figura 172. Figura 172. Inductancia mutua
.Sea
el flujo magnético que atraviesa el circuito j debido a la corriente que circula por el
circuito k. Se define la Inductancia mutua entre el circuito
j y el k como



(7.18)

Donde
I
k

es la corriente en el circuito k (que produce el flujo
).EJEMPLO 42

Considere el circuito del Ejemplo 41. Se pide determinar la inductancia mutua entre el
circuito 1 y el circuito 2 (del lado derecho). Fig
ura 173. Inductancia propia de Toroide
.

Sol
n

En este caso calculamos el flujo enlazado por el circuito de la derecha, cuando el elemento
que produce el campo es la corriente que circula por el circuito 1 (
I
1
(t)
)
.

En el ejemplo anterior vimos que el campo

producido por
I
1

es
. El flujo
enlazado por el circuito del lado derecho es
, que en este caso es
. Luego la inductancia mutua es

.
ñ

ñ

ñ

ñ

ñ

ñ

I
1

I
2

I
n

Sección S

A

B

+-

b

a

I
1
(t)

N
2

N
1

253

8
.1.5 Inductancia en Sistemas DistribuidosLa inductancia es un parámetro usado para caracterizar el comportamiento
eléctrico de las
líneas de transmisión usadas ya sea para transportar energía o información. En esta sección
calcularemos la inductancia propia por unidad de largo de una línea de alta tensión típica.
Para ello consideraremos que la línea puede modelarse c
omo un conductor de radio a y de
largo infinito, según se muestra en la Figura 174.
Figura 174. Conductor infinitoPara resolver este problema debemos hacer algunos supuestos básicos:ñ

Supondremos que la corriente se devuelve a una distancia inf
inita del conductor

ñ

Para calcular la inductancia separaremos el flujo enlazado en dos componentes, una
externa al conductor y otra interna a él. Dicho de otro modo separaremos el espacio
en dos zonas definidas por
ra

y
�ra.

ñ

La corriente se distribuye en f
orma uniforme al interior del conductor, por ello la
densidad de corriente es
J=I/A

[A/m
2
]Comenzaremos calculando la inductancia para
ra
. En esta zona interna al conductor
tenemos una distribución continua de corriente, por lo que debemos definir apropi
adamente
el concepto de flujo enlazado. Para ello consideremos el elemento de largo unitario de la
Figura 175.
Figura 175. Elemento unitarioSección A=
p
a
2

I

I

L=1

2a

254

Dado que tenemos corriente distribuida comenzaremos definiendo el flujo enlazado por un
elemento de

corriente
dI

según se muestra en la Figura 175. Para tener una mejor
visualización del fenómeno, en la Figura 176 se muestra el detalle de la sección transversal
del conductor
Figura 176. Corte transversal de elemento unitarioEl flujo enlaza
do por el elemento de corriente
dI

se destaca por la superficie sombreada de
la Figura 176. Aplicando la Ley circuital de ampere para la trayectoria circular de radio r
de la Figura 175 se obtieneLuego el campo magnético es y el flujo enlazado en la

superficie de largo unitario definida por el plano que va desde el
radio
r

al radio
a
es
Este flujo corresponde al flujo interior al conductor que es enlazado por el elemento
dI
.
Como interesa caracterizar a todo el conductor, debemos obtener el valor
medio de las
contribuciones de todos los elementos de corriente, el cual está dado por

Finalmente
255

8
.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTOLa cuarta ecuación de Maxwell nos dice que
(7.19)
y tomando la divergencia a ambos lados tenemos (7.20)Pero el lado izquierdo es una identidad matemática



vector A. Luego esto
fuerza a que
, sin embargo, la ecuación de continuidad vista anteriormente nos
dice que

(7.21)Tenemos por lo tanto una contradicción que debemos resolver.Se encuentra experimentalmente que en una región del espacio


en donde no hay
corrientes pero se tiene un campo eléctrico variable en el tiempo se cumple
(7.22)

Así, el término

debe sumarse a la 4ª ecuación, lo que conduce finalmente a: (7.23)Esta es la
4ª ecuación de Maxwell
.El término

se conoce como corriente de desplazamiento.Notar que al tomar la divergencia de esta ecuación reproducimos la ecuación de
continuidad


(7.24)

256

EJEMPLO 43

Se tiene un condensador de placas
planas de área 5 cm


y separación entre placas de 3mm.
Si se le aplica una divergencia de potencial de

V=50sin1000t[V]

a las placas se pide:a)

calcular los campos

y

b)

calcular la corriente de desplazamiento

c)

calcular la corriente que sale de la fuenteSo
lución Figura 177. Corriente de desplazamiento.

a)



V=50sin(1000t)[V]


e
=2
e
0 b)luego la corriente de desplazamiento es
c)
pero Q=CV

3mme
V=50sin(1000t)[V]

257


Notar que

Figura 178.Corri
ente de desplazamiento en condensador.Corriente de desplazamiento
(no hay desplazamiento de
electrones)

I física con desplazamiento de electrones

+
-
258

8
.3. ENERGÍA ELECTROMAGNÉTICA8
.3.1 Energía del Campo ElectromagnéticoTomando el producto de las ecuaciones de Maxwell y campos tenemos Con ello,
Restando ambas ecuaciones


(7.25)

De las propie
dades algebraicas sabemos que
luego(7.26)

Además,

y
, y suponiendo medios homogéneos podemos escribir las
derivadas como
(7.27)

(7.28)

Reemplazando y ordenando


(7.29)

Tomemos la integral sobre un volumen


muy grande


(7.30)

Sabemo
s que

,

,
, luego si




259

, y suponiendo que el espacio no varia con el
tiempo
(7.31)

Esta expresión tiene la siguiente interpretación:ñes la potencia consumida por efecto joule, y

ñes la densidad de energía del sistema
electromagnético (
energía por unidad de volumen).En ausencia de pérdidas joule se cumple(7.32)

En este caso
, es decir la energía total del campo electromagnético (eléctrico y
magnético) se conserva. Notar que si hay perdidas

, es decir, la energía disminuye
debido
a la potencia disipada por efecto Joule.Notar que para el caso en que sólo hay campos magnéticos
, por lo tanto la
energía queda


(7.33)

Para el caso en que tenemos sólo circuitos magnéticos, es común considerar la siguiente
expresión de la energía en

términos de la potencia:


(7.34)

Por otra parte, de la ley de Faraday
-
Lenz sabemos que el voltaje
V(t)

es igual al voltaje
inducido, luego
(7.35)

Pero si sólo hay circuitos magnéticos, los podemos representar por inductancias. En este
caso,

y po
demos representar la energía como

, ó también

(7.36)

8
.3.2 Fuerza sobre Materiales Magnéticos
26
0

Una aplicación muy importante de la energía es la determinación de la fuerza en circuitos
magnéticos. La fuerza que realiza un dispositivo magnético e
s igual a la diferencia de energía que
produce el movimiento. Si llamamos

a la fuerza ejercida para provocar un
desplazamiento
, entonces la variación de energía es
(7.37)Así, una manera muy usada para determinar la fuerza es mediante la expresió
n:
(7.38)Donde

es el vector unitario que indica la dirección de la fuerza (sentido del
desplazamiento).
EJEMPLO 44

Consideremos la configuración de la Figura 179. Calcular la fuerza sobre la barra
magnética.

Figura 179. Fuerza sobre barra magnética.

Solución:

Supondremos que el campo magnético al interior del material ferromagnético es constante
(la misma suposición realizada en el caso del Toroide), y que en la trayectoria
c

sólo
tendremos campo
s constantes al interior del material (
) y en el entrehierro (
).

Empleando la Ley Circuital de Amperex

N

I

+
-x
,

Material
ferromagnético
de sección
cuadrada S261Donde
l
1

es el largo medio del material ferromagnético. Si suponemos que

(en la
práctica la diferencia es del orden de 1000 en materiales ferromag
néticos), podemos
aproximar

Si la estructura que contiene el conductor se mantiene fija y solo permitimos que se mueva
la estructura horizontal una cantidad
dx
, la expresión de la fuerza es

Pero la variación de energía sólo ocurre en el entrehierro
, es decir, si llamamos
a la densidad de energía electromagnética en cada entrehierro (energía por unidad de
volumen) entonces

Usando la expresión

y

reemplazando se tiene
En términos de la variable de desplazamiento la fuerza es 262

A
sí, el sistema tiende a levantar la parte inferior del circuito magnético. Esta fuerza se
igualará a la fuerza de gravedad o al peso adicional que se desea levantar. Este es el
principio de funcionamiento de un electroimán.EJEMPLO 45

Un voltaje sinusoida
l de 100 V (rms) y frecuencia 60 Hz es entregado al loop mostrado en
la figura 180. El área A de cada polo es
. La resistencia del cable y la
reluctancia del acero serán ignoradas. ¿Cuál es el numero de vueltas requeridas por el
contacto para crear una f
uerza promedio de 4.5 newtons?Solución:

Usaremos la expresión
para representar la energía del sistema. Luego la
expresión de la fuerza es Inductancia El voltaje aplicado es

Figura 180.

Electroimán simplemente excitado

Si x es pequeño (i.e.
entonces ahí no hay fuerza electromagnética causada por el
movimiento)

y corriente
. De aquí en adelante e valor instantáneo de
la fuerza electromagnética seráv‟

x

R

v

N

centro

a
r
m
a
d
u
r
a

f

f
e

i263

La única variable es t y el valor promedio de

es 0.5. Por lo tan
to el valor promedio
de la fuerza desarrollada esLa substitución de los datos dados en esta ecuación entregara el numero de vueltas N
requeridas, el cual es aproximadamente 4376. Notar que la fuerza es independiente de la
posición. Esto es porque el flu
jo en las posiciones aéreas están determinadas por el voltaje
AC. 264

8
.4. ONDAS ELECTROMAGNETICASConsideremos las ecuaciones de Maxwell

Si suponemos que estamos en el espacio vacío se tiene

por lo que el sistema queda: (
7.39)

(7.40)
(7.41)
(7.42)tomando el rotor en (7.41) se tiene

(7.43)y usando la identidad

pero por (7.39)

265

por otro lado
y por (7.42)
(7.44)luego

(7.45)l
o que podemos escribir como: Donde Eq. ( 7.46 ) es una ecuación de ondas con velocidad de propagación

donde c es la
velocidad de la luz.

Recordar que

y

en cartesianas,
por ello la ecuación ( 7.46 ) corresponde a tres ecuaciones ( una por

cada componente) :

(7.47) cuya solución general tiene la forma :
(7.48) (7.46)266

Estos campos corresponden entonces a una onda qu
e se propaga con velocidad
g
-
1
.En forma análoga se encuentra que:

Por lo tanto,

y

son campos que se propagan como ondas viajeras a la velocidad
(7.50)

la cual corresponde a la velocidad de la luz.

(7.49)267

a

b

N

s8
.5 Problemas ResueltosPROBLEMA 1

En la figura se muestra un Toroide delgado de sección circular, el cual posee un enrollado
de N vueltas con una corriente I
0.

El alambre tiene una conductividad
s

y diámetro D. Para
este problema se pide determinar:

a)

El campo magnético al interior del Tor
oide.

b)

La inductancia equivalente L del enrollado.

c)

La resistencia equivalente R del enrollado. Figura P.7.1.1

Solución:

a)

Toroide delgado

lo podemos “estirar”
Figura P.7.1.2

L.C.A.:



I
0

I
0
I
0

I
0 268

VolumenQue son los campos magnéticos al interior del Toroide.b)

Necesitamos la energía magnética almacenada total.
c)

Una aproximación

PROBLEMA 2

El electroimán mostrado en la figura 2.23 es exc
itado por 2 fuentes de corrientes idénticas.
Encuentre la fuerza de atracción entre los polos en términos de la corriente I y la geometría.
Si la corriente fuera invertida en uno de los lados, ¿cuál será la fuerza entre los polos?

Solución:269

Considere qu
e el sistema será lineal suponiendo que la reluctancia del acero es
despreciable. Fuerza electromagnética Profundidad central = dFigura P.7.2.1Entonces De la ley circuital de Ampere y las direcciones de los mmfs
H


2x = 2NI.

Pe
ro Con lo cual Consecuentemente

El signo negativo indica que es una fuerza de atracción.

x

I

I

N

N

m



f

w270

PROBLEMA 3

Un cable coaxial tiene un dieléctrico con
el conductor interno tiene un radio de 1mm
y el radio interno del conductor externo es
de 5mm. Determine la corriente de
desplazamiento entre los dos conductores por metros de longitud de cable para un voltaje
aplicado
.

Hint: Considere

Solución:Ocupando la indicación tenemos:

¨

Ahora, ya con la expresión para la capacidad, ocupamos la

siguiente expresión para la
corriente.
PROBLEMA 4.Se tiene un electroimán formado por dos piezas de fierro, ambas de permeabilidad μ
(μ >> μ
0
). En la pieza (1) se enrolla un a bobina de N
1

vueltas por donde circula una
corriente I
1

en la pieza (2) se enrolla una bobina de N
2

vueltas por donde circula una
corriente I
2
. Ambos enrollados son tales que tienden a producir flujo ascendente en sus
respectivas piernas, de modo que
tienden también a contrarrestarse.

También se sabe que la
sección de las dos piernas es A.

Determinar:

a)

Reluctancia y circuito magnétic
o equivalente

b)

Flujo magnético Φ por el circuito

c)Inductancias propias y mutuas

d)

Energía del sistema

e)

Fuerza sobre la pieza móvil.
271

FiguraP.7.3
.1
Lo primero que se quiere hacer es encontrar el campo
magnético en todo

el material. Para esto se tiene que
dar un camino por el cual se va a integrar. El camino
elegido es el que pasa por la mitad del material.
A partir de la definición de la intensidad de campo

se tiene:
Por condiciones

de borde B
1
= B
0
= B
2

= B. Ya que las componentes normales se
conservan. Entonces:
Así la expresión de la corriente enlazada queda:
N1

N2

I
1

I
1

I
2

I
2

2d

x

a

1.5d272

Ahora, se calcula el flujo enlazado en el circuito. Esto se hace con la expresión:
Se sabe el campo es constante a
proximadamente constante al interior del material, entonces
puede salir de la integral, luego:

Se reemplaza en la ecuación que se tenía anteriormente, para poder calcular las reluctancias
y así poder ver el circuito magnético:

El valor de las dos r
eluctancias es

y
.
Las reluctancias están conectadas en serie, por lo que se suman para obtener la reluctancia
equivalente:

Y el circuito magnético equivalente nos queda de la siguiente forma:
Lo único que falta por
saber en ese circuito es el valor del flujo, se puede despejar y se
obtiene:
+

+

_

_ 273
Las inductancias se pueden calcular a partir de la siguiente expresión:
La expresión anterior entrega la inductancia que produce I
j

enlazado por la bobina i. Para calcula
r la inductancia se tiene que activar solo una corriente. Entonces, para calcular
la inductancia que produce I
1

enlazado por la bobina 1:

Para L
22

se tiene que considerar que la corriente en la bobina de la pieza móvil del
transformador va en sentido
contrario a I
1
, entonces para obtener las inductancias hay que
considerar el signo positivo, o nos saldrían negativas y L
21

saldría distinto a L
12
.Ahora, para L
22

se hace lo mismo, pero se activa I
2

y desactiva I
1
:

Sabemos que L
12
= L
21
, pero sacar
por separado:

Se observa que las inductancias mutuas dieron iguales. Ahora se quiere conocer la energía magnetostática almacenada del sistema. Para esto, se
utiliza la siguiente expresión:
274
Reemplazando queda:

Se ordena un poco la expresión,
para después poder derivarla y encontrar la fuerza que
actúa sobre la pieza móvil. Para esto, se utiliza que
, así las fracciones que tengan

como denominador tienden a 0. Así la energía queda de la forma:

Ahora, para saber la fuerza que se ejerce so
bre la pieza móvil, se deriva la expresión de la
energía respecto a x:Al reemplazar queda: 275

8
.5 Problemas PropuestosPROBLEMA 1

Por la bobina infinitamente larga de la figura circula una corriente
. En el exterior
de la bobina a una distancia r(
t) del eje hay un electrón con velocidad
. Se pide
encontrar la fuerza que actúa sobre el electrón en un instante arbitrario.
Figura PP.7.1PROBLEMA 2

Un capacitor con aire como dieléctrico tiene placas que miden cada una de ellas 1cm
2

de
área y están separadas a 0.1mm de distancia. Encuentre la corriente de desplazamiento para
un voltaje aplicado de
.
I(t)r276

CAPITULO
9
. CORRIENTE ALTERNA9
.1 Elementos circuitos RLCHasta el momento hemos visto tres elementos básicos de circuitos, resi
stencia,
condensadores e inductancias. La simbología usada para designarlos se muestra a
continuación:

Resistencia


Figura 170. Resistencia eléctrica.

La resistencia es

(8.1), y se cumple

(8.2), donde
.



Condensador

F
igura 171. Condensador.

La capacidad es

(8.3), y se cumple

(8.4), por ello la corriente es

(8.5)

Inductancia

 Figura 172. Inductancia.

Análogamente, para la inductancia

(8.6), y se cumple

(8.7). Con ello la
fem inducida es


(8.8)

B

A

A

B

i

B

A

A

B

I

A

B

B

A

f

Area S

N277

9
.2 Circuitos RLCLos elementos RLC pueden unirse y combinarse de muchas formas para formar circuitos.
Tomemos por ejemplo el caso de la Figura 181.
Figura 181. Circuito RLC.Las ecuaciones que describen las corrientes y voltajes son: Esta es una ecuación de segundo orden, por lo tanto se requieren 2 condiciones iniciales
para resolverla. Estas condiciones viene dadas por el voltaje inicial en el condensador y por
la corriente inicial en la

inductancia.

+
V
0

-

+-

+ R
1

-

+ R
2

-

I
2

L

+

V
L

-

I
1

I
3

C278
9
.3 Corrientes alternasConsideremos el siguiente circuito:
Figura 182. Circuito RC con fuente alterna.
En este circuito la fem o fuente de voltaje es sinusoidal. Las corrientes que se generarán en
estado estacionario también

tendrán forma sinusoidal (según veremos), por ello a estos
circuitos se les denomina Circuitos de Corriente Alterna o CA.Para el circuito de la figura las ecuaciones que lo describen son
Solución Homogénea
Solución Particular
se determina reemplazando en (1)


solución de régimen permanente, cuando t



es de la forma
(8.9)Así, es necesario resolver en general una ecuación diferencial, cuyo orden depende del
número de condensadores e inductancias que tenga

el circuito. Sin embargo, debido a que
las soluciones de régimen permanente son sinusoidales se recurre a una transformada para
simplificar los cálculos según veremos a continuación.

C

I

R
2799
.4 Transformada FasorialSe acostumbra usar una transformada fasorial

sobre este tipo de funciones:
(8.10)luego si aplicamos F a ambos lados de la ecuación diferencial del circuito de la Figura 125
(8.11)se puede demostrar que F es lineal y biyectiva
(8.12)pero

(8.13) , luego la ecuaci
ón queda
(8.14)Concepto de Impedanciañ

para resistencia


(8.15)280ñ

para condensadores


(8.16
) Figura 183. Representación fasorial

condensadorñ

para inductancias


(8.17)
Figura 1
84. Representación fasorial.

inductanciaAsí, para el ejemplo visto anteriormente Figura 185. Representación fasorial.
(8.18)
(8.19)
(8.20)
(8.21)

+-

-

R

C

+-+-

-

281


si
,


2829
.5 Problemas ResueltosPROBLEMA 1En el c
ircuito de la siguiente figura, el interruptor S1 ha estado abierto desde
hasta
.

Se pide lo siguiente:a)

Calcular el voltaje

del condensador y la corriente
, para
.

b)

En

se cierra S1. Calcule las corrientes y tensiones en los distintos elementos
en

y en
.

c)

Se reemplaza la inductancia L por un interruptor S2. Suponga que ambos
interruptores han estado abiertos desde
hasta
. En

se cierra S1. En

se abre S1. En

se cierra S2, para abrirse en

d)

Para

se dejan ambos interruptores abiertos. Calcule

el voltaje
=
a
través del condensador. Figura P.8.1.1
Solución.a)

Es evidente que para
,
, ya que la fuente de voltaje

está
desconectada.

b)

Para calcular las corrientes y voltajes en

y
, basta observar que se
cumple lo siguiente:
+- 283E
n

se cumple :

Lo que quiere decir que antes de cerrarse S1 no hay corriente por la inductancia, y el
condensador tiene voltaje nulo por no poder tomar carga. Entonces, por continuidad de
voltaje y corriente se observa que en
:

Luego, se concluye

que el circuito para

se comporta como el siguiente: Figura P.8.1.2

Además, por leyes de voltaje de Kirchoff se cumple que :
+-

284

Finalmente, también de la figura se ve que: En

sabemos que el circuito ha pasado por su perí
odo transiente, y está en régimen
permanente; todas las corrientes y los voltajes deben ser constantes; esto dice de inmediato
que: Por lo tanto, el circuito se comporta como el siguiente:

Figura P.8.1.3
Luego, +- 285
c)

El circuito que in
teresa en este punto es:

Figura P.8.1.4
Para
.

Para
, al estar cerrado S1, la parte relevante del circuito es :

Figura P.8.1.5

+-

+- 286
Luego, donde

es la corriente en el instante inicial
; es fácil ver que
, pues:

Luego, para

se tiene que:

En
, se abre S2, abriéndose todo el circuito; luego no circula más corriente y el voltaje

se mantiene durante todo el intervalo
.En

se cierra S2 y el condensador comienza a descargarse a través de
. Luego, el
cir
cuito relevante es el siguiente: Figura P.8.1.6
287 Aquí el condensador actúa como fuente, luego se deducen las siguientes ecuaciones: Luego;
En

se abre S2, quedando el condensador desconectado; por lo tanto para
, el
voltaje

s
e mantiene.Gráficamente,
es aproximadamente:
Figura P.8.1.7

288

PROBLEMA 2Calcular la potencia disipada en Watts por la resistencia

del siguiente circuito:
Figura P.8.2.1

Datos: Sol
ución:La fuente de voltaje alterno produce un voltaje entre los puntos a
-
b que puede escribirse
como:
220 V

50 Hz

a

b

c

d289

Si se supone que el voltaje de la fuente son 220 volts efectivos, se ve que: Además:

La potencia disipada por la resistencia

que se pide c
alcular, es el valor medio de ésta,
cuyo valor está dado por:
Donde

es la amplitud de la corriente que circula por la resistencia.La resolución de problema se hará mediante fasores, recordando que las impedancias
asociadas a los distintos elementos

del circuito son: Luego, el circuito queda reducido a:
Figura P.8.2.2
290

Donde las impedancias respectivas son:

Las ecuaciones para las corrientes, dadas por la leyes de Kirchoff, son:

Cuya resolución para

da:

Finalmente,

la potencia disipada pedida es : 2919
.6 Problemas PropuestosPROBLEMA 1En el siguiente circuito, dados los valores de los distintos elementos, calcular las corrientes
,

e
PROBLEMA 2En el circuito de la figura, calcu
le algebraicamente la corriente total entregada por la fuente,
y la corriente y el voltaje en cada rama del circuito:
C

6

8j

6

-
8j

10j
292

Anexo

A
. Sitios Web de interés1.
-

http://www.acien
ciasgalilei.com/videos/3electricidad
-
mag.htm

.

El sitio es de la „Academia

de Ciencias Galilei

y en la sección de videos de electromagnetismo contiene
alrededor de 74 videos, que fueron elaborados por el California Institute of Technology y están doblados

al español. Los videos son muy explicativos e interesantes.
2.
-

http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/index.ht
ml
Excelentes y explicativas imágenes, animaciones; además de aplicaciones y simulaciones en java
applets y shockwave. Ordenados en Campos Vectoriales, Electrostática, Magnetostática, Ley de Faraday
y Luz. Además de extensas guías (en inglés) sobre los

temas del curso (Course Notes) y un Tour Guiado
(Guided Tour), ambas secciones con links a algunos de estos complementos. Desarrollada por el MIT, la
página es parte del proyecto TEAL (Technology Enabled Active Learning) utilizado en el curso de
Electrici
dad y Magnetismo de los mechones del MIT. La distribución y aplicación del material es libre con
propósitos de educación sin fines de lucro y poniéndolo en el conocimiento del MIT TEAL/Studio Physics
Proyect.
Project Manager
: Andrew McKinney
. Material reco
mendable para exposición en clase, aunque
las aplicaciones requieren de buenos recursos de sistema. 3.
-

(
http://faraday.physics.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/
)Hay sólo 8 Flash de electricidad y magnetismo de un total de 91. El resto de los Flash tratan de Caos,
Mecánica Clásica,
Micrómetro
, Misceláneos, Mecánica Cuántica, Relatividad, etc. Los Flash fueron
desarrollados por Davis M. Harrison del Departamento de

Física de la Universidad de Toronto; tienen
copyright y están bajo licencia Creative Commons.4.
-

http://dfists.ua.es/experiencias_de_fisica/index1.htmlSe encuentran en esta página 5
videos de electricidad y magnetismo, de 18 en total. Éstos tratan de
interacción entre imanes, el experimento de Oersted, acciones entre corrientes (Ampère), campo
magnético de un solenoide y de la ley de Faraday. El resto trata de cómo efectuar medidas co
n
instrumentos y otros experimentos de física.

Son buenos videos. Fueron desarrollados por el
Departamento de Física de la Universidad de Alicante.5.
-

http://newton.cni
ce.mecd.es/2bach/campmag/mag_bobina.htm?2&2Applets de java que tratan de imanes, líneas de fuerza, inducción magnética, acción y creación de
campos magnéticos y corriente alterna. La página pertenece al Ministerio de Educación y Ciencia de
España, y fue

desarrollado (al parecer) por José Luis San Emeterio.Otras:6.
-

http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/112/htm/electr.htm“Electromagnetismo: de la Ciencia a la Tecnología” Interesante libro sobre el electromagnetismo, su
historia, evolución y aplicaciones, escrito por Eliezer Braun. Forma parte de una colección virtual de
libros “La Ciencia Para Todos” desarrollada por ILCE

(Instituto Latinoamericano de la Comunicación
Educativa), que está ordenada por materias: Astronomia, Biología, Ciencias de la Tierra, Física,
Ingeniería, Matemática, Química y „Varia‟.7.
-

http://www.unizar.es/lfnae/luzon/CDR3/electromagnetismo.htm

Applets sobre electromagnetismo, recopilados de Internet, con breves explicaciones acerca del
fenómeno en cuestión. Parte de la página personal de Gloria Luzón, profesora de
la Universidad de
Zaragoza.8.
-

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/elecmagnet.htm293

Extensos textos y desarrollos matemáticos acerca del electromagnetismo con di
bujos y algunos applets
como apoyo. Parte de la página “Física con Ordenador. Curso interactivo de Física en Internet”, del
profesor Ángel Franco García, de la Universidad del País Vasco.9.
-

http://personales.upv.es/jquiles/prffi/indice.htm

Problemas resueltos de Campos, Electrostática, Conductores y Dieléctricos, Electrocinética, Análisis de
Redes, Semiconductores, Campo Magnético, y Corriente Alterna. Página de Isidro José Quile
s Hoyo, de
la Universidad Politécnica de Valencia.10.
-

http://www.licimep.org/Curso2007/Electromagnetismo/ProblemasResueltos.htm

Problemas resueltos del l
ibro de Resnick y del libro de Murphy en formato pdf. Página dentro de la
página de la “Liga de Ciclismo de Montaña del Estado de Puebla” (¿? Ciclistas muy bien formados).11.
-

http://www
.fis.puc.cl/~fis1532/wguia07.htm

Diez guías de Electromagnetismo que tratan desde las leyes de Coulomb y Gauss hasta Inducción
Magnética, con dibujos como apoyo a los desarrollos. Además hay guías escaneadas de algún libro
antiguo. La página es del curso
de Electricidad y Magnetismo del 1er semestre del 2003 de la
Universidad Católica.12.
-

http://petra.euitio.uniovi.es/~acamba/teoria/Hay contenidos desde Cálculo Vectorial y Campos hasta Inducc
ión Magnética y Corriente Alterna, en
formato pdf, con ejemplos desarrollados y dibujos. Es parte de la página del profesor Alfonso Camba
Menéndez de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Informática de Oviedo, España.13.
-

http://www.portalplanetasedna.com.ar/magnetismo.htm

Artículo sobre el magnetismo terrestre, teorías sobre su origen, características y variación, apoyado con
1 dibujo. Fuente del artículo: Gran Encicl
opedia Universal (Cap. 23). Parte del sitio argentino Planeta
Sedna.14.
-

http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/fisica/electymagne/TEORIA/examenes/indic
e.htm

Problemas resueltos de Oscilaciones y Ondas, Campo Eléctrico, Campo Magnético y Campos
dependientes del tiempo. Enunciados con dibujos, soluciones a mano y escaneadas. Preparada por el
profesor Arturo Busso de la Facultad de Ciencias Exactas y Natu
rales y Agrimensura, Universidad
Nacional del Nordeste, Argentina.15.
-

http://www.walter
-
fendt.de/ph14s/

Página del profesor alemán Walter Fendt. Sólo hay 9 applets de electrodinámica en la versión española
,
de un total de 13 en la versión alemana.16.

http://phet.colorado.edu/new/simulations/sims.php?sim=Charges_and_Fields

Página con animaciones muy buenas de cámpos eléc
tricos y magnéticos, etc.

294

Anexo B. Fórmulas usadasConstantes en sistema MKS

Fórmulas

Fórmulas de divergencia y gradiente de campos vectoriales

y campos escalares
:

i) Coordenadas Cartesianasy
:,

,

ii) Coordenadas Cilíndricas

y
:

,
,

,
.

ii) Coordenadas Esféricas

y
:

,
,

,

.

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