MECANICĂ CLASICĂ - Laboratorul de Mecanica si Acustica

Dumitru Luca Cristina Stan ... pe calculul diferenţial şi integral. Cunoştinţele acumulate în cadrul acestei discipline vor ... fizică, în care Mecanica fizică este prezentă în planul de învăţământ al anului I, fie sub acest nume, fie ca o parte a unui curs de Fizică generală. Ea poate fi utilă, în egală măsură ...


Texto en PDF

MECANIC€CLASIC€DumitruLucaCristinaStanUniversitateaAl.I.CuzaIa³iUniversitateaPolitehnicaBucure³ti8ianuarie2007
Prefaµ Mecanic clasic esteunadinprimeleramurialezicii,atâtînsensistoric,cât³icaimportanµ ³tiinµic .Eaafostfundamentat ca³tiinµ dec treGalileoGalilei³iIsaacNewtonînsec.XVII,prinformulareaunuisetredusdeprincipiialedinamiciicorpurilor.Principiilesuntadev ruriunanimrecunoscute,vericabileprinconsecinµeîntr-omultitudinedesituaµiidinviaµareal .Împreun cuobservaµia³iexperimentul,eleservesclaformularealegilorzice,carereprezint leg turicantitativedetipcauz -efectîntrem rimilerelevanteîntr-unproceszic.Structuramatematic amecaniciiclasiceafostîntregit ulteriorprinlucr rileluiLagrange,însecolulalXVIII-le³iHamiltonînsec.alXIX-lea.Considerat ,timpdepeste200deani,cao³tiinµ "închis ",mecanicaclasic arevenitînatenµiazicienilorînultimeledecenii,pem sur cematematicai-afurnizatunsetdeinstru-mentenoipentruanalizadinamiciisistemelorac rorevoluµieestedescris deecuaµiineliniare,iartehnicadecalculi-apusladispoziµiemijloacetotmaiperformante.Nuesteîntâmpl torc unnum rîncre³teredecolectivedecercetaredinuniversit µiî³ifocalizeaz ast zichiarîndomeniulmecaniciiinteresulpentrustudiereaunoraspectecalitativededinamic neliniar ,cumar,deexemplu,tranziµiadelacomportamentulliniarlacelturbulentsauhaotic.Atâtprinobiectuldestudiu(abordatînprimelesemestrealeprogrameiuniversitare),cât³imetodeledeabordare,cursuldeMecanicazic îlintroducepeproasp tulstudentîntr-undomeniufundamentalalcunoa³teriiintuitive³iraµionale.Cuno³tinµeleacumulatelacurs,aplicaµiiledezvoltatelaseminar³iexperimenteledinlaborator,coroboratecustudiulindividual,îiofer studentuluiunsetdeprincipii³ilegizice,precum³iinstrumenteledestudiu,bazatepecalcululdiferenµial³iintegral.Cuno³tinµeleacumulateîncadrulacesteidisciplinevorservicapunctdeplecarepentruabordareaMecaniciianalitice,Teorieirelativit µii,Mecaniciicuanticeetc.Pelâng rolulinformativ,acestecuno³tinµeauimpactformativesenµial,întrucâteleservesclaînµelegerealumiiînconjur toare,indinstrumentenecesarepentrurezolvareaanenum rateproblemedinviaµareal .Carteadefaµ reprezint unmanualdestinatstudenµilordelafacult µiletehnice³idezic ,încareMecanicazic esteprezent înplanuldeînv µ mântalanuluiI,esubacestnume,ecaoparteaunuicursdeFizic general .Eapoateutil ,înegal m sur ,elevilordincursulsuperioralliceului,cât³iprofesorilordezic ,pentrupreg tireaexamenelordedenitivat,gradulII³igradulI,sauoric reipersoaneinteresateîndomeniu.Avândînvederec ,deregul ,cursuldemecanic seaudiaz însemestrulI,înparaleli
ii
cucursuldeanaliz matematic ,iarceldealgebr apareînsemestrulalII-lea,amrecurslaunbagajminimaldecuno³tinµedindomeniulcalcululuivectorial³ialanalizeimatematice.Înaceea³iidee,amintrodus,pelâng AnexaI,dedicat calcululuivectorial,oaII-aAnex cuprinzândcâtevainformaµiisuccintedespreecuaµiidiferenµialedetipulcelorîntâlniteîncarte,însoµitedeexemple³i,înunelecazuri,deprobleme.Amîncercat,dinmoduldeprezentare,s nufacems seînµeleag c mecanicazic estedoarmatematic aplicat .Studentulesteinvitats înµeleag foartedetimpuriuc oatitudinepasiv ,bazat pesimplamemorareaunorformule³idemonstraµii,conduce-petermenlung-lainsucces.Ca³iîncelelalte³tiinµealenaturii,înµelegereafenomeneloranalizate,bazat peatitudineaactiv ³icritic acelorstudiate³ipecapacitateadeastabilicorelaµiiîntrefenomeneaparentdisparateconstituiecheiasuccesului.Amevitatfolosireaunuimaterialdiscursivsaucucaracteristoric;acoloundeamconsideratnecesareastfeldeinformaµii,eleaufostmenµionatecanotedesubsol,împreun cutrimiterilaadresedeinternetpentrudocumentaresuplimentar .Fiecarecapitolesteîmp rµitînsecµiuni³iseîncheiecuunnum rdeproblemeaferenteacestorsecµiuni.Esteindicatca,înaintedeasetrecelacapitolulurm tor,s serezolveproblemelecapitoluluicurent.ÎnCapitolul1,dedicatcinematiciipunctuluimaterial,dup introducereanoµiunilorfunda-mentale(modeluldepunctmaterial,mi³care,sistemdereferinµ ,traiectorie)suntprezentatem rimileprincipale(vitez medie,vitez instantanee,acceleraµieinstantanee).Amacordatunspaµiuimportantprezent riisistemelordecoordonate(carteziene,cilindrice,sferice,naturale),precum³icalcululuivitezei³iacceleraµieiînraportcuacestesistemedecoordonate.Capitolul2,dedicatdinamiciipunctuluimaterialconstituiecentruldegreutatealc rµii,avândînvederecaaicisuntintroduseprincipiiledinamicii,precum³ioseriedem rimiziceimportantepentrumecanic (impuls,momentcinetic,lucrumecanic,energie).Totaicisestudiaz mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaunortipuridiferitedeforµe,seintroducenoµiuneadecâmpconservativ³isedemonstreaz legeaconserv riienergieiîncazulforµelordependentedepoziµie.Înultimaparteesteprezentat succintintegrareanumeric aecuaµieidiferenµiale,încazulunorforµecuexpresiicomplicate.Capitolul3estededicatmi³c riisubacµiuneauneiforµecentrale.Acestaesteunsubiectesenµialpentruîntreagazic ,avândînvederec toateforµelefundamentalesuntdetipcentral.Accentulestepusaicipeefectulforµelordenatur gravitaµional ,f cându-seleg turaculegileluiKeplerdinastronomie³icuraµionamenteleluiI.Newton,privitoarelalegeaatracµieiuniversale.Sediscut apoiproblemacelordou corpuri,iarînnal,sefaceoprezentaredeprincipiuaproblemeicelortreicorpuri.Problemeledelasfâr³itulcapitoluluisuntdestinateaprofund riitemei.Capitolul4,dedicatsistemelordiscretedepunctemateriale,esteintrodusînideeapreg tiriiabord riimecaniciicorpurilorcudistribuµiecontinu demas ,subiectulcentralalp rµiiaII-aacursuluideMecanic zic .Înacestcapitolseindic moduldecalculalm rimilorspecicesistemelordiscrete,plecându-seelaceleintroduseînmodeluldepunctmaterial.Deasemenea,sediscut legiledeconservareaimpulsului,energiei³imomentuluiunghiular,valabileîncazulsistemelorizolate.Suntprezentatefenomeneledeciocnire,princontact³iprinintermediulcâmpului,însistemullaboratorului³ialcentruluidemas .înCapitolul5sunttrecuteînrevist m rimilespecicesistemelorzicecudistribuµiecontinu demas /sarcin ,precum³itehnicidecalculaleexpresiilorunorastfeldem rimi
iii
(mas ,impuls,forµeinterne/externe,intensitateacâmpului,momentcineticetc.).Prezentareaacestorsubiectevapermitestudentuluiextrapolarea³igeneralizarearezultatelorpentrudiversealtesistemeîntâlniteînaltedomeniialezicii³i/sautehnicii.Principalelemodeleidealizatecucareseopereaz înacestcontext,solidulrigid³iuidulideal,suntprezentateînCapitolele6,respectiv8.ExtensiialeacestormodelesuntprezentateînCapitolul7,soliduldeformabil,respectivînultimaparteaCapitolului8,dedicat uneiscurteanalizeacurgeriiuidelorvâscoase.Noµiunileacumulateprinstudiulmecaniciimediilorcontinue,al turideaplicaµiiledez-voltatelaseminar³iexperimenteledelaboratorconsolideaz cuno³tinµelestudentuluicareseiniµiaz întainelezicii.Acestecuno³tinteauunevidentcaracterfundamental,eleoferindmijloace³ic ipentruînµelegereanaturii.Eleofer ,deasemenea,instrumentedelucrupentruabordareacelorlaltedomeniialezicii(electricitate³ielectrodinamic ,mecanic analitic ³imecanic cuantic ,zicaatomului³imoleculei).Abordareanewtonian înmecanicaclasic estelegat ,înanumitecazuri,deoseriededi-cult µimatematiceimportante,carepotocoliteprinutilizareaadou tehnicideabordarenoiecuaµiileluiLagrange,respectivecuaµiileluiHamilton.Acesteapleac deladinamicanewtonian ,îns folosesccanoµiunecheieenergia,recurgândlaa³a-numitelecoordonatege-neralizate,respectivimpulsurigeneralizate.FolosindecuaµiileluiLagrangesauHamilton,a³acumesteprezentatînCapitolul9,putemg simairapidecuaµiiledemi³care,precum³ivalorile³iorientareaforµelordereacµiunesaudeleg tur ,prinintegrareaunorecuaµiidiferenµialedeordinulI.Capitolul10estededicatprezent riiprincipalelornoµiunicarepermittrecereadelameca-nicaclasic lamecanicarelativist .Dup cumse³tie,rezultateleprezisedemecanicaclasic încazulmi³c riicuvitezecomparabilecuvitezaluminiisuntcontrazisederealitate.Mecanicarelativist ,alec reibazeaufostpusedec treAlbertEinsteinînanul1905,reprezint ,defapt,oextensieamecaniciiclasice.Îna³anumitateoriearelativit µiirestrânse,careesteparµialacoperit înCapitolul2,sestudiaz mi³careacorpurilorînraportcusistemedereferinµ inerµiale.Relativitatearestrâns sebazeaz pedou postulateintrodusedeEinstein:(a)echivalenµatuturorsistemelordereferinµ inerµiale³i(b)constanµavitezeiluminiiînraportcuoricesistemdereferinµ inerµial.Oabordareaproblemeiîntr-uncadrumailargoreprezint teoriaarelativit µiigenerale,încaremi³careaesteanalizat înraportcusistemedereferinµ neinerµiale.Amconsideratnecesar,încadrulspaµiuluilimitatalacestuivolum,s introducemcâtevaaspecteledeinteresdinteoriarelativit µiirestrânse,caunminimnecesarpentrustudiulme-caniciiclasice.Urmeaz caoanaliz maidetaliat ateorieirelativit µiirestrânse,împreun cuproblematicarelativit µiigenerales estudiatemaiîndetaliuîncadruldisciplineiTeoriarelativit µii.De³izicaclasic folose³temodeleliniare,lumeazic înconjur toareesteînmodprepon-derentneliniar .Înacestsensamprezentatsuccint,înCapitolul11,ideilefundamentale³itehniciledeabordaremodern aevoluµieiunorsistememecanicedescrisededinamicineliniare,a³acumapareleînteoriahaosului.Sunttrecuteînrevist noµiuniînleg tur cusistemeledisipative,atractori,analizaînspaµiulfazelor,bifurcaµii,coecienµiLyapunov,analizafrac-tal ,etc.Acesteinstrumentedescriucomportareahaotic asistemelorziceguvernatedelegideterministe,pentrucareecuaµiiledemi³care³icondiµiileiniµialepermit,înprincipiu,
iv
determinareaevoluµieisistemuluilaoricemomentdetimp.Noµiunilesuntaiciexemplicatefolosindunmodeldeoscilatorneliniar.Înfuncµiedevaloareaneliniarit µiisistemelor,dinamicaacestoraestefoartevariat ,eaap rândnudoarsubformaunorevoluµiisimple,previzibile,ciuneoriînformedeosebitdecomplicate,chiarhaotice.Cutitludeexemplu,extindereaanalizeicurgeriiturbulenteaunuiuid,carefuseseparµialprezentat învolumuldeMecanicamediilorcontinui,esteprezentat aicidinpunctdevederealteorieihaosului.ÎnnalulCapitolului3seprezint câtevanoµiuniesenµialelegatedeapariµiahaosuluiînsistemelehamiltoniene,caracterizatedesensibilitateridicat lacondiµiileiniµiale.ÎnAnexaIsefaceotrecereinrevist amodurilordereprezentareavectorilor³iaoperaµiilorcuace³tia.Operaµiilealgebricecuvectorisuntcunoscutedinmateriadeliceu,îns elementeledeanaliz vectorial ³i,înspecial,parteadedicat operatorilorvectorialidiferenµialiconstituieunsubiectcevamaidicilpentrustudenµi.Dinexperienµanoastr ,ace³tiaîntâmpin aiciproblemenunumaidincauzadicult µiisubiectuluiînsine,cimaialesdeoarecelacursuldeanaliz matematic ,introducereaoperatorilordiferenµialisefaceadeseaînmodformal,f r unsuportzicintuitiv.Amafectat,deaceea,unspaµiumailargacestuisubiect,comparativcuceldedicatalgebreivectoriale.ÎnAnexaIIsuntprezentatesuccintprincipaleletipurideecuaµiidiferenµialedeordinulI³iII,întâlniteîncuprinsulc rµii.Incelemaimultecazuri,consideraµiileprivindintegrareaacestorecuaµiidiferenµialesuntînsoµitedeexempleilustrative.Suntemrecunosc torireferenµilor³tiinµici,Prof.dr.IoanMerche³,delaFacultateadeFizic aUniversit µii"AlexandruIoanCuza"dinIa³i³iProf.dr.RaduChi³leag,delaDepartamentuldeFizic aUniversit µiiPolitehnicaBucure³ti,pentrudiscuµiileavutecuocaziaredact riimanuscrisului³ipentrusugestiilef cutecuocaziacitiriiacestuia.Neexprim m,deasemenea,gratitudineatuturorcelorcare,prinobservaµii³isugestii,nevorputeaajutalaîmbun t µirea³icompletareaacestuimanual,într-oediµieviitoare.Ia³i,Bucuresti,decembrie2003.
Cuprins1Cinematicapunctuluimaterial11.1Obiectulcinematicii.Modeluldepunctmaterial..................11.2Traiectoria³iecuaµiilecinematice..........................21.3Vectoruldeplasare,viteza³iacceleraµia.......................41.3.1Vitezamedie³ivitezainstantanee.....................41.3.2Acceleraµiamedie³iacceleraµiainstantanee................71.4Coordonatecarteziene................................91.5Coordonatepolareplane...............................121.5.1Vitezaunghiular ...............................151.6Coordonatenaturale.................................161.7Coordonatecilindrice.................................171.8Coordonatesferice..................................191.9Probleme.......................................242Dinamicapunctuluimaterial272.1Principiiledinamiciinewtoniene...........................272.1.1Noµiuniintroductive.............................272.1.2Enunµulprincipiilordinamicii........................282.2Integrareaecuaµieidiferenµialeami³c rii......................312.2.1Impulsul.Conservareaimpulsului......................322.2.2Momentulunghiular.Conservareamomentuluiunghiular.........342.2.3Lucrulmecanic³iputerea..........................362.2.4Energiacinetic ................................372.2.5Energiapotenµial .Forµeconservative...................382.2.6Legeaconserv riienergieimecanice.Forµeconservative..........402.3Mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaadiferitetipurideforµe........412.3.1Forµ constant ,F=F0...........................412.3.2Forµ dependent detimpF=F(t)....................422.3.3Forµ dependent devitez F=F(v)...................422.3.4Forµ dependent depoziµie.........................45v
viCUPRINS
2.3.5Forµecuexpresiicomplicate.Integrarenumeric .............492.4Probleme.......................................503Forµedetipcentral533.1Conservareamomentuluiunghiular.........................543.2EcuaµialuiBinet...................................553.3Forµedetipul1=r2..................................563.4LegileluiKepler³iatracµiauniversal .......................603.5Problemacelordou corpuri.............................623.6Problemacelortreicorpuri.............................663.7Probleme.......................................684Dinamicasistemelordiscretedeparticule714.1M rimicaracteristicesistemelordeparticule....................714.2Centruldemas .Legideconservare........................734.3Legeaconserv riiimpulsului.............................744.4Legeaconserv riienergiei..............................754.5Legeaconserv riimomentuluiunghiular......................764.6Ciocniri.Deniµii³iclasic ri............................784.6.1Impulsulforµei³ivariaµiaimpulsuluiîndecursulciocnirii.........794.6.2Ciocniriuni-dimensionale..........................824.6.3Ciocnirioblice(bi-dimensionale)......................864.7Analizaproceselordeciocnireînsistemulcentruluidemas ...........904.7.1Unexempludeciocnireelastic intermediat decâmp:împr ³tiereaRutherford..................................934.8Probleme.......................................975Modeluldemediucontinuu995.1Masaunuisistemcontinuu..............................1015.2Impulsulunuisistemcontinuu............................1015.3Câmpulgravitaµional³ipotenµialulgravitaµionalcreatdeodistribuµiecontinu demas ........................................1025.3.1Câmpul³ipotenµialulgravitaµionalpeaxaunuiinel...........1025.3.2Calcululcâmpului³ialpotenµialuluigravitaµionalcreatedeodistribuµiesferic demas ................................1045.4Legea(teorema)luiGauss..............................1125.5Momentulcineticaluneidistribuµiisfericedemas ................1165.6Probleme.......................................1186Solidulrigid1216.1Modeluldesolidrigid................................1216.2Mi³careadetranslaµieasoliduluirigid.......................1236.3Rotaµiarigiduluiînjuruluneiaxexe.......................1256.4Câtevaexempledecalculalmomentelordeinerµie................127
CUPRINSvii
6.4.1Teoremaaxelorparalele...........................1286.4.2Teoremaaxelorperpendiculare.......................1306.5Rotatorulliniar....................................1366.6Rotaµiarigiduluiînjurulunuipunctx......................1396.7Elipsoiduldeinerµie.................................1426.8EcuaµiileluiEuler..................................1446.9Stabilitatearotaµieisoliduluirigid..........................1456.10Giroscopul.Mi³careagiroscopuluiîncâmpgravitaµional.............1466.11Probleme.......................................1517Soliduldeformabil1557.1Introducere......................................1557.2Deformaµiadealungire/compresiune........................1557.3Deformaµiadeforfecare...............................1587.4Deformaµiadetorsiune(r sucire)..........................1597.5Deformaµiadeîncovoiere(exiune).........................1617.6Probleme.......................................1628Fluide1658.1Staticauidelor.Ecuaµiafundamental ahidrostaticii..............1678.1.1Presiuneahidrostatic ............................1708.1.2Formulabarometric .............................1728.1.3LegealuiArhimede..............................1728.2Dinamicauidelor..................................1738.2.1Derivatasubstanµial auneim rimizice.................1748.2.2Ecuaµiadecurgereaunuiuid.......................1758.2.3Ecuaµiadecontinuitate...........................1768.2.4Ecuaµia(legea)luiBernoulli.........................1808.2.5AplicaµiilelegiiluiBernoulli.........................1828.3Fluidevâscoase....................................1858.3.1Introducere..................................1858.3.2Curgereauidelorvâscoaseprinconductecilindrice.EcuaµialuiPoisseuille-Hagen.....................................1868.3.3Forµedefrecarevâscoas lainterfaµasolid-lichid.LegealuiStokes....1888.3.4EfectulMagnus................................1898.3.5Formareavârtejurilor.Curgereaturbulent ................1908.4Probleme.......................................1929Elementedemecanic analitic 1959.1M rimicaracteristice.................................1969.1.1Leg turi....................................1969.1.2Coordonategeneralizate³ivitezegeneralizate...............1989.1.3Forµegeneralizate...............................1999.1.4Spaµiulconguraµiilor............................200
viiiCUPRINS
9.2FormalismulluiLagrange..............................2019.2.1Principiullucruluimecanicvirtual.....................2019.2.2EcuaµiileluiLagrange............................2029.2.3Cazulleg turilorneolonome.MetodamultiplicatorilorLagrange.....2049.3FormalismulluiHamilton..............................2059.3.1PrincipiulluiHamilton............................2059.3.2Ecuaµiilecanonice..............................2079.3.3SemnicaµiafuncµieiHamilton.......................2109.3.4Spaµiulfazelor................................2109.3.5TeoremaluiLiouville.............................2119.3.6ParantezeleluiPoisson............................2139.4TeoriaHamilton-Jacobi...............................2149.4.1Transform rilecanonice...........................2149.4.2EcuaµiaHamilton-Jacobi...........................2169.5Teoremedeconservareînmecanicaanalitic ....................2179.5.1Conservareaenergiei.............................2179.5.2Conservareaimpulsuluitotal........................2189.5.3Conservareamomentuluicinetic.......................2199.6Probleme.......................................22010Noµiuniderelativitaterestrâns 22310.1Relativitateaînmecanicaclasic ..........................22310.1.1Transform rileluiGalilei..........................22410.2Principiilerelativit µiirestrânse...........................22710.3Transform rileLorentz................................22810.4Consecinµealetransform rilorLorentz.......................23010.4.1Dilatareaduratelor..............................23010.4.2Contracµialungimilor............................23210.4.3Dependenµamaseidevitez .........................23310.4.4Transformareavitezelorînteoriarelativit µii...............23410.4.5Transformareamaseiînteoriarelativit µii.................23510.5Forµaînteoriarelativit µii..............................23610.6Energiaînmecanicarelativist ...........................23710.6.1RelaµialuiEinstein..............................23710.6.2Leg turadintreenergie³iimpuls......................24010.7UniversulMinkowski.................................24010.7.1Cuadrivectoridepoziµie...........................24410.7.2Cuadrivectorulinterval............................24510.7.3Cuadrivectorulvitez ............................24610.7.4Cuadrivectorulacceleraµie..........................24710.7.5Cuadrivectorulimpuls-energie........................24710.7.6Cuadrivectorulforµ -putere........................24810.8Probleme.......................................248
CUPRINSix
11Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic25111.1Neliniaritate³isensibilitatelacondiµiileiniµiale..................25111.2Sistemedinamice...................................25311.2.1Sistemedisipative³iatractori........................25411.3Echilibru³istabilitate................................25611.3.1Analizaliniar destabilitateasistemelorbidimensionale.........25811.4Ciclurilimit .....................................26311.5Reprezent ri(secµiuni)Poincaré...........................26511.6Bifurcaµii.......................................26911.7ExponenµiLyapunov.................................27411.8Fractali.Auto-asem nare.Dimensiunefractal ³idimensiunetopologic ....27511.9Sistemcudinamic haotic .............................27711.9.1OscilatorulvanderPolînregimforµat...................27711.9.2Haosîncazulcurgeriiturbulente......................28011.10Haosînsistemehamiltoniene............................28211.10.1Sistemeintegrabile..............................28611.10.2Sistemenonintegrabile............................29011.10.3Exemplu:HamiltonianulHenon-Heiles...................29111.11Probleme.......................................295AVectori297A.1Reprezentareaunuivector..............................297A.1.1Reprezentareageometric ..........................298A.1.2Reprezentareaanalitic ...........................298A.1.3Reprezentareamatriceal ..........................299A.2Operaµiialgebricecuvectori.............................299A.2.1Adunarea³isc dereavectorilor.......................299A.2.2Înmulµireavectorilor.............................301A.3Elementedeanaliz vectorial ............................306A.3.1Derivareavectorilor.............................306A.3.2Integrareavectorilor.............................307A.3.3Operatorivectorialidiferenµiali.......................307A.4Probleme.......................................317BNoµiuniintroductivedespreecuaµiidiferenµialeordinare321B.1EcuaµiidiferenµialedeordinulIcuvariabileseparabile..............322B.2EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulI.......................323B.3EcuaµiadetipBernoulli...............................325B.4EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulII.......................326B.5EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulIIcucoecienµiconstanµi.........327CConstantezice³iunit µidem sur 329Bibliograe333
Capitolul1
Cinematicapunctuluimaterial1.1Obiectulcinematicii.ModeluldepunctmaterialMi³careaesteoproprietateintrinsec amateriei,însensulc nuexist materieînrepausabsolut,dup cumnupoateconceput mi³caref r suportulmaterial.Modicareast riidemi³careaunuisistemziceste,deregul ,studiat caoconsecinµ aacµiuniicorpurilorînconjur toare,saucarezultatalinteracµiunilorunorp rµidininteriorulsistemului.Modi-careast riidemi³carepoatestudiat ,pentruînceput,doarpurdescriptiv,f r aluaînconsiderarecauzelecareodetermin .Oastfeldeabordaregeometric ami³c riiestecunos-cut dreptabordareacinematic ,iarcapitolulcorespunz tordinmecanic poart numeledeCinematic .Deoareceunastfeldedemersestemaisimplu,elestealesînprim instanµ ,atâtpeconsiderentedidactice1,cât³iînideeaintroduceriiunornoµiuni³im rimizicestrictne-cesareulteriorînstudiulmecanicii.Cinematicaprecede,a³adar,Dinamicaparteamecaniciiîncaresuntluateînconsiderareefecteleunorfactori-cauz ³ianumeforµelecucarecorpurileexterioaresauinterioareacµioneaz asuprasistemuluistudiat.Descriereacomplet ami³c riiunuisistemzicrealesteadeseaoproblem epreacom-plex ,enerelevant .Înpractic ,într-unanumitcontext,sepotignoraanumiteam nunte,ne-esenµialepentruproblemastudiat .Oreprezentaresimplicat aunuisistemsauaunuiproceszicsenume³temodelzic.Modelelezice³imodelareasuntinstrumenteesenµiale,nunumaiînzic ,ciînîntregprocesulcunoa³teriilumiiînconjur toare.Descriereamatematic asociat unuimodelzicsimplueste,deasemenea,simpl .Dinp cate,cucâtrecurgemlamodeletotmaisimple,cuatâtneîndep rt mmaimultderealitate.Cumlumeareal esteîntotdeaunamultmaicomplicat decâtmodelelecucareseopereaz înzic ,trebuies mcon³tienµic ³irezultateleobµinutesunt,într-unanumesens,incomplete.Recurgerealamodelesimpleestenecesar înfazaincipient acunoa³teriinaturii,inclusivîn³coal .Pem suralu riiînconsiderareaaspectelorconsiderateiniµialne-esenµiale,neapropiemmaimultderealitate,cupreµulutiliz riiunuiinstrumentmatematicmaisosticat³imaidicil.
1Încondiµiileîncareestenecesar oabordareauneitemedestudiat,porninddelasimplu,sprecomplex³icomplet!1
2Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Înzic suntcunoscutemulteexempledemodelecareauevoluat,înprocesulcunoa³terii,într-osuccesiunecuprinzândmaimulteetape.Exemplelecelemaicunoscutesuntmodelulatomului³i/saualnucleului,modeluldeuidsauceldesolidrigid,diferitemodeledeundeetc.Celmaisimplumodeldinmecanic estecelalpunctuluimaterial.Elpoatefolositoridecâteorisestudiaz mi³careadetranslaµieaunuiobiectsausistemdeobiecte,dedimensiunimultmaimicidecâtdistanµeleparcurse.Uncorpesteastfelasimilatunuipunctmaterial2,încareseconsider aconcentrat întreagasamas .Seînµelegec uncorpnutrebuies eneap ratmicînaccepµiuneaproprieacuvântului,pentruatratatcapunctmaterial.Înm suraîncareunastfeldepunctmaterialesteînmi³care,elsedenume³te³imobil,adic punctmaterialînmi³care.Modelulpunctuluimaterialseaplic cuacela³isucces,atâtpentrustudiereami³c riiunorcorpuridedimensiuni³imasegigantice(cumarcorpuriledininteriorulsistemuluisolar),cât³iunorcorpuridedimensiuninanoscopice(atomi,nuclee,electroni,etc.).Abordareacarepleac delamodeluldepunctmaterialesteutil înpa³iiulteriori,cândsetrecelastudiulmecaniciicorpurilordedimensiunicenumaipotreduselaunpunct.Dac uncorpestepreamarepentruamaiputeaconsideratparticul ,elpoategânditcao"colecµie"(unsistem)depunctemateriale.Rezultateleg siteînmecanicapunctuluimaterialseextrapoleaz pentrusistemeledepuncte,cuprecauµiilenecesareuneiastfeldeoperaµii.M rimilezicecelemaiimportanteîncinematic suntviteza³iacceleraµia.Vomîncepeprinadeniacestem rimi,urmândaleg siexpresiileînraportcudiferitesistemedecoordonate.1.2Traiectoria³iecuaµiilecinematicePentruastudiamodulîncaresemodic întimppoziµiaunuipunctmaterialînraportcuunaltul,estenevoiedeadeniunsistemdereferinµ (denumitadesea³ireper),consideratxîncontextulproblemeidestudiat.Poziµiaînraportcureperulapunctuluimaterialac ruimi³careostudiemesteprecizat prina³a-numitulvectordepoziµie.Acesta,notatcelmaiadeseacu~r,areorigineaînorigineareperului,iarvârfulînpunctulmaterialstudiat.Proiecµiilelui~rpeaxelesistemuluidereferinµ utilizat(notatprescurtatcuSR)determin ,deasemenea,înmodunivoc,poziµiaunuipunctdinspaµiu.Într-unspaµiutridimensional,poziµiamobilului,notat cuPînFig.1.1,estedeterminat deuntripletdenumere,numitecoordonate,carereprezint distanµe³i/sauunghiuri.Utilizareareprezent riivectorialeareavantajulc expresiilem rimilorcinematicenudepinddetipuldecoordonateales.Distanµadintredou punctedinspaµiusenume³temetric .Mecanicanewtonian folose³temetricaeuclidian ,denumit adesea³imetricagalileean ,înmemorialuiGalileoGalilei3.Dis-
2Uneori,unpunctmaterialsedenume³te³iparticul .3GalileoGalilei(1564-1642),zicianitalian,esteconsideratprimulomde³tiinµ alepociimoderne.Prin-cipalelesalecontribuµiiînzic suntlegatededescoperirealegilormi³c riipendulului,alec deriilibereacorpurilor,precum³iuneledispozitivetehnice(lunetaastronomic ,unnoumodeldepompahidraulic ,ba-lanµahidrostatic ).Asusµinutipotezaheliocentric aluiCopernicus.Carteasaceamaiimportant esteDialoguridespreprincipaleledou sistemealelumii,publicat laFlorenµaîn1632³idedicat analizeicriticeasistemuluigeocentricalluiPtolemeu³i,respectiv,heliocentricalluiCopernicus.Printr-ocoincidenµ ,1642
1.2.Traiectoria³iecuaµiilecinematice3
z
Figura1.1:Reprezentareatraiectorieiunuipunctmaterial.Lamomentultpunctulmobilsea înP,descrisdevectoruldepoziµie~r.tanµadintredou puncteP1(x1;y1;z1)³iP2(x2;y2;z2),exprimat într-unsistemdecoordonatecarteziene4,estedat derelaµia:d=[(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2]1=2(1.1)Traiectoriaunuicorpestecurbadescris deacestaîndecursulmi³c rii,adic loculgeo-metricalpoziµiilorsuccesiveocupatedemobilîndecursulmi³c rii.Înmecanicaclasic seconsider c traiectoriacorpuluiestebinedeterminat 5,iarmulµimeapoziµiilorsuccesiveocu-patedeacestaîndecursulmi³c riiestecontinu .S descriem,a³adar,poziµiaunuipunctmaterialcaresedeplaseaz peocurb oarecare,cuajutorulunuivectordepoziµie,notat~r(Fig.1.1).Legeademi³careamobiluluiesteexprimat genericprinecuaµiavectorial :~r=~r(t);(1.2)careesteechivalent cutreiecuaµiiscalare,cedescriuvariaµiileîntimpalecoordonatelormobilului.Deexemplu,încazulunuisistemdecoordonatecarteziantridimensional:x=x(t);(1.3)y=y(t);(1.4)z=z(t):(1.5)Ecuaµiile(1.3),(1.4),(1.5)senumescecuaµiiparametricealemi³c rii(parametrulestetim-pult).Prineliminareatimpuluidinecuaµiileparametricesus-menµionate,seobµineecuaµiatraiectoriei.
esteanulmorµiiluiGalilei³ina³teriiluiNewton.Informaµiisuplimentaredespreviaµa³ioperaluiGalileipotg site³ilaadresadeweb:http://galileo.imss.renze.it/museo/b/egalilg.html4A³acumvomvedeaîncontinuare,înfuncµiedesimetriaproblemeidestudiat,potfolosite³ireperedetipsfericsaucilindric.5Înmecanicacuantic ,specic sistemelormicroscopice,seconsider capoziµiauneimicro-particule(³ideci³itraiectoriaacesteia)nupotdeterminatecuoriceprecizie,deaceeasevorbe³tedoardeoanumit probabilitatecaparticulas seg seasc ,launmomentdat,într-oanumit zon dinspaµiu.Particulaîns ³ieste"de-localizat ",iartraiectoriaeisespecic print-unnordeprobabilitate,care,înanumitecazurisenume³te³iorbital.
4Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.2:Vectoruldeplasare,înintervalult2t1,notatcu~r,reprezint diferenµavectorilordepoziµieaipunctelorP1³iP2:~r=~r2~r11.3Vectoruldeplasare,viteza³iacceleraµiaS consider mc ,îndecursulmi³c riisale,unmobilsea lamomentult1într-unpunctP1,descrisdevectoruldepoziµie~r1³ic lamomentult2elaajunsînpunctulP2,descrisdevectoruldepoziµie~r2,situaµiereprezentat înFig.1.2.DistanµadintrepuncteleP1³iP2întrecares-adeplasatmobilulpoateinterpretat caindmodululunuivector,~r,denumitvectordeplasare:~r=~r2~r1:(1.6)1.3.1Vitezamedie³ivitezainstantaneeSedene³tevitezamediepeoporµiunesdetraiectoriecaindraportul:vm=s
t;(1.7)undesestecoordonatacurbilinie,m surat de-alungultraiectoriei.Întrucâtm surareadistanµelorde-alungultraiectorieiestemaipuµinconvenabil ,sepre-fer exprimareavitezeimobiluluiînfuncµiedecoordonatesaudevectoriidepoziµiealeacestuia.Dup cumrezult dinFig.1.3,lungimeatraiectorieisparcurs demobilîntr-unintervaldetimpnit,t,difer semnicativdem rimeavectoruluideplasare,~r.A³acumvomvedeaimediat,~rarom rimemultmaiconvenabildefolositpentrucalculareavitezeipunctuluimaterial.Dac consider mt1=t³it2=t+t,atunci,încondiµiileîncaret!0,vectoruldeplasarerdevine,lalimit ,egalcudistanµacurbilinies.Înplus,rdevinetangentlacurba-traiectorie(Fig.1.3).Înacestecircumstanµe,sepoatedenivitezainstantaneeamobilului:~v=limt!0~r
t=limt!0~r(t+t)~r(t)
t:(1.8)Constat m,pedealt parte,c vitezainstantanee(saumomentan )estechiarderivatavec-
1.3.Vectoruldeplasare,viteza³iacceleraµia5
Figura1.3:Pem sur cescadeintervalult,punctulP2seapropiedinceîncemaimultdeP1,iarvectoruldeplasaretindes ajung pedirecµiatangenteilatraiectorie.toruluidepoziµieînraportcutimpul:~v=d~r
dt=_~r:(1.9)Caurmare,vitezainstantanee(momentan ),adic vitezamobiluluiîntr-unpunctesteunvectortangentlatraiectorie;m rimeasaestedat dederivataînraportcutimpulavectoruluis udepoziµie.Vectorulvitez instantaneeestetangentlatraiectorie,întimpcevectorulvitez mediearedirecµiasecantei.Pedealt parte,pentruacalculavitezamedieamobiluluiîntr-unintervaldetimpt,acestaseîmparteînnsubintervalet1,t2,...,tnatâtdemici,încâtpedurataec ruisubintervalvitezainstantanees r mân practicconstant 6.Vitezamediesedene³teca:vm=v1t1+v2t2+:::+vntn
t1+t2+:::+tn=1
tni=1viti:(1.10)Dac acesteintervaledetimpdevindinceîncemaimici,vitezelemediipeecareintervaldetimptiseapropiedevalorileinstantanee³i,caurmare,sumadinrelaµiaanterioar devineointegral :vm=limti!0ni=1viti
ni=1ti=1
tt+ttvdt:(1.11)
6Prinurmare,vitezainstantaneepoates variezeprinsaltdoarlatrecereaîntreintervaleleti³iti+1,i=1:::n
6Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.4:Pedurataec ruisubintervalti,vitezar mânepracticconstant ,vi.Distanµaparcurs însubintervaluliestes=viti
Figura1.5:Spaµiultotalparcursdemobilînintervaluldetimpspecicatreprezint sumaariilordreptunghiurilorelementare.Avândînvedereceledou deniµiialevitezeimedii,datede(1.10)³i(1.11),rezult :s=vmt=t+ttvdt=aria(ABCD):(1.12)Caurmare,spaµiulparcursdemobilîntr-unintervaloarecaredetimpreprezint ,dinpunctdevederegeometric,ariadesubcurbavitezei,delimitat dedreptelet=const:³it+t=const:Considerândmomentuliniµialt=0,spaµiulparcursdevine:s(t)=s0+t0v(t)dt;(1.13)undes0estecoordonatacurbilinieiniµial acorpului.
1.3.Vectoruldeplasare,viteza³iacceleraµia7
Figura1.6:Determinareavariaµieivitezei~v=~v(t+dt)~v(t)înintervaluldetimpdt.Întermenivectoriali,sepoatescriepentruvectoruldepoziµielamomentult:~r(t)=~r0+t0~v(t)dt;(1.14)unde~r0reprezint vectoruldepoziµielamomentuliniµial.Dimensiunea³iunitateadem sur avitezeisunt,respectiv:[v]=[s]
[t]=LT1;(1.15)hviSI=1ms1:(1.16)1.3.2Acceleraµiamedie³iacceleraµiainstantaneePentruacaracterizavariaµiaîntimpavectoruluivitez ,sedene³teonou m rimezic ,denumit acceleraµie.Ca³iîncazulvitezei,sepoatedenioacceleraµiemedie³ioacceleraµieinstantanee.Acceleraµiamedieestedenit prinrelaµia:~am=~v
t:(1.17)M rimeaacceleraµieimediiaunuimobilcaresedeplaseaz întredou puncte,deexemplu,P1³iP2(Fig.1.6)depindedevariaµianet avitezeiînintervalulconsiderat.Pentruprecizarearateidevariaµieîntimpavitezeiinstantaneeseintroducenoµiuneadeacceleraµiainstantanee,denit prinrelaµia:~a=limt!0~v
t=d~v
dt(1.18)=d
dtd~r
dt=d2~r
dt2:(1.19)
8Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.7:Variaµiavitezeiînsubintervaluliestevi=aiti,adic ariaunuidreptunghi.
Figura1.8:Sumareadup toatedreptunghiurileelementaredetermin ariadesubcurbaacceleraµieiAcceleraµiaesteunvectorcareareorientarealui~v.Eareprezint derivatadeordinulîntâiavitezeiînraportcutimpul,prinurmare,derivatadeordinuldoiavectoruluidepoziµie,~r(t)înraportcuacela³iparametru.Avândînvederedeniµiileacceleraµieimedii³ialeacceleraµieiinstantanee,(1.17)³i(1.20),sepoateexprimaacceleraµiamedie³isubforma:~am=~v
t=limti!0ni=1~aiti
ni=1ti=1
tt+tt~adt:(1.20)Sepoateintroduce,ca³iîncazulvitezei,ointerpretaregrac .Pentruadeterminavariaµiadevitez amobilului,încondiµiileîncareacceleraµianuesteconstant ,împ rµimintervaluldetimpînsubintervalepecareacceleraµiaî³ip streaz valoareaconstant .Ariaec ruidreptunghicuîn lµimeaa³il µimeatireprezint chiarvariaµiadevitez mobiluluiînacestintervaldetimp.Sumândacumariiletuturordreptunghiurilorelementare,seobµineariadesubcurbavitezei(analogcusituaµiaprezentat înFig.1.5).
1.4.Coordonatecarteziene9
v=t+ttadt=aria(ABCD):(1.21)Caurmare,variaµiadevitez aresemnicaµiaarieidesubcurbaa=a(t),înintervaluldetimpnitconsiderat.Considerândmomentuliniµialt=0,launmomentnaloarecare,relaµiademaisussepoatescrie,încazulgeneral:~v(t)=~v0+t0~a(t)dt;(1.22)unde~v0reprezint vitezainiµial acorpului.Încazulparticular,încareacceleraµiaesteconstant ,iarmi³carea-unidimensional ,relaµia(1.22)devine:v(t)=v0+at;(1.23)iar(1.14):s(t)=s0+v0t+1
2at2:(1.24)Dimensiunea³iunitateadem sur pentruacceleraµiesunt,respectiv:[a]=[v]
[t]=LT2;(1.25)haiSI=1ms2:(1.26)1.4CoordonatecartezieneÎnsistemuldecoordonatecarteziene,vectoruldepoziµiealunui,P,estedescrisprincoordonatelesalex;y;z,obµinuteprinproiecµialuiPpeceletreiplanereciprocperpendiculare:~r=~r(x;y;z):(1.27)DenumireadecoordonatecartezienevinedelanumeleluiRenéDescartes7.ÎnFig.1.9,punctulPseg se³telaintersecµiaatreiplaneimaginare,reciprocperpendicu-lare,x=x1;y=y1;z=z1.FiecaredintreacesteasuntparalelecuplaneletriedruluidreptOxyz.Vomatribuiapoiec reiadinaxeletriedruluiOxyzcâteunvector-unitate,orientatînsensulcre³teriiluix,y,³i,respectiv,z.Ace³tivectori-unitate,pecarenoiîivomnotacu(^x;^y;^z)8,senumescversori(Fig.1.9).
7RenéDescartes(1595-1650),matematician,zician³ilosoffrancez,cunoscut³isubnumeles ulatinizatCartesius.Dintrecontibuµiilesalecelmaiimportanteîndomeniulcunoa³terii,potamintiteintroducereasistemuluidecoordonatecarteziene³iageometrieianalitice.Calosof,amarcatrupereadescolastici,intro-ducândprincipiilecunoa³teriiraµionale.Îndou dincelemaiimportantec rµialesale,Discursasuprametodei(1637)³iMeditaµii(1641),aîncercats extind metodelecunoa³teriimatematiceîntoatedomeniilecunoa³te-rii.EsteautorulcelebreiaserµiuniCogito,ergosum(Cuget,deciexist).Oscurt biograealuiR.Descartespoateg sit laadresadeweb:http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Descartes.html.8Uneorieisenoteaz cu^i;^j³i^k,sau^ex;^ey³i^ez
10Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Deoareceoricevectorpoateexprimatcaocombinaµieliniar deace³titreiversori,eiformeaz bazasistemului.Bazasistemuluirespect regulaburghiuluidrept,adic :^x^y=^z:(1.28)Deexemplu,vectoruldepoziµiesepoateexprimaprinrelaµia:~r=x^x+y^y+z^z:(1.29)
Figura1.9:Sistemuldecoordonatecartezian(Oxyz)³iversorii(^x;^y;^z)Vomg siexpresiilevitezei³iacceleraµiei,porninddelaexpresiauneideplas rielementare,~r:~r=~r2~r1=(x2x1)^x+(y2y1)^y+(z2z1)^z=x^x+y^y+z^z:(1.30)Aceast expresiesepoateg sipecalegeometric ,considerândc oricedeplasarereal reprezint sumaatreideplas risuccesiveindependente,îndecursulc rorasemodic doarunadincoordonate.Conform(Fig.1.10),seobserv c :~r=~rx+~ry+~rz;(1.31)unde~rx;~ry;~rzreprezint deplas ri"virtuale",efectuatepedirecµiilex;y;³iz.Trecândlalimitatimpilordeobservaµiefoartemici,t!0;expresiadevine:d~r=dx^x+dy^y+dz^z:(1.32)F cândraportuldintreelementuldedeplasareinnitezimal ³iintervaluldetimpcorespunz -toracesteia,seobµineexpresiavitezei:~v=d~r
dt=dx
dt^x+dy
dt^y+dz
dt^z=_x^x+_y^y+_z^z=vx^x+vy^y+vz^z:(1.33)
1.4.Coordonatecarteziene11
Figura1.10:Descompunereavectoruluideplasare~r=~r2~r1dup celetreidirecµiiindependenteM rimeavectoruluivitez este:v=
v2x+v2y+v2z:(1.34)Înmodsimilarsepocedeaz pentruacceleraµie:~a=d~v
dt=dvx
dt^x+dvy
dt^y+dvz
dt^z=_vx^x+_vy^y+_vz^z(1.35)=x^x+y^y+z^z=ax^x+ay^y+az^z:(1.36)M rimeavectoruluiacceleraµieeste:a=
a2x+a2y+a2z:(1.37)UnvolumelementardVîncoordonatecartezienepoatescriscaunprodusdetreideplas riinnitezimalereciprocperpendiculare(Fig.1.10):V=dxdydz;(1.38)iarunelementdesuprafaµ încoordonatecartezienevaaveaexpresia:dAz=dxdy;dAx=dydz;dAy=dzdx:(1.39)Folosireacoordonatelorcartezieneestepreferat dinmotivedesimplitatematematic .Aceastasedatoreaz ³ifaptuluic ,indmereuorientaµide-alungulaxelortriedruluidrept,versorii^x;^y³i^zr mânconstanµiînorientare³i,caurmare,derivatelelorînraportcutimpulsuntnule.Înfuncµiedesimetriami³c rii³idedateleconcretealeproblemeidestudiat,putemrecurge³ilaaltetipuridesistemedecoordonate.Dintreacestea,înceleceurmeaz ,nevomreferilacoordonatelelegatedemobilulînmi³care.
12Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.11:Sistemuldecoordonatepolareplane1.5CoordonatepolareplaneVariabilelecaredescriupoziµiamobiluluiînsistemuldecoordonatepolareplanesuntdis-tanµapân laorigine,notat ³iunghiul',m suratînraportcuoax dereferinµ arbitraraleas (încazulnostruOx-Fig.1.11).Leg turadintrecoordonatelepolareplane³icelecartezieneseexprim subforma:x=cos';(1.40)y=sin':Versoriisistemuluidecoordonatepolareplanesunt^e³i^e'.S consider m,înceleceurmeaz ,odeplasareinnitezimal amobiluluidinpunctulP1inpunctulP2(Fig.1.12).Vectoruldeplasarecorespunz torintervaluluidetimpdtestenotatîncud~r=!OP2!OP1:Aceast deplasareinnitezimal real ~drpoateconsiderat caorezultantauneisuccesiunidedeplas rivirtualedup dou direcµiiperpendiculare,~dr'³i~dr,îndecursulc roravariaz ,perând,doarunadintrecoordonate.Caurmare,vectoruldeplasare
Figura1.12:Vectoruluideplasareinnitezimal d~rseobµine,aplicândregulatriunghiului,caosum dedeplas riinnitezimale,încarevariaz maiîntâi',apoi:innitezimal poatescrissubforma:d~r=d~r'+d~r;(1.41)
1.5.Coordonatepolareplane13
încare:d~r'(constant,'variabil)reprezint odeplasareinnitezimal deunghid',peunarcdecercderaz ;d~r('constant,variabil)reprezint odeplasareinnitezimal de-alungullui~(t+t)(translaµiedelungimed).Caurmare,µinândcontdeversoriidirecµiilordedeplasare,seobµine:d~r=d'^e'+d^e:(1.42)Prinîmp rµirealaintervaluldetimpinnitezimal,dt,seobµine:~v=d~r
dt=d'
dt^e'+d
dt^e=_'^e'+_^e=v'^e'+v^e:(1.43)S-auobµinutdou componentealevitezei:ocomponent azimutal ,v',determinat devariaµiavectoruluidepoziµiedoarcaorien-tare;ocomponent radial ,v,determinat devariaµiavectoruluidepoziµiedoarcam rime.v'=_';(1.44)v=_:(1.45)S calcul m,încontinuare,expresiaacceleraµieiîncoordonatepolareplane.Spredeosebiredecoordonatelecarteziene,aiciversorii^e³i^e'î³ischimb orientareaodat cudeplasareapunctuluimaterialpetraiectorie(Fig.1.12).Prinurmare:~a=d~v
dt=d(_'^e'+_^e)
dt=__'^e'+'^e'+_':^e'+^e+_:^e:(1.46)Vomcalculaderivataversorilorapelânddinnoulaconsiderentegeometrice(Fig.1.13).
Figura1.13:Determinareageometric aversorilordeplasareinnitezimal Urm rindmodulîncareseschimb direcµiacelordoiversoripentruodeplasareinnitezi-mal aparticulei,seconstat c :d^e=j^ejd'^e';(1.47)d^e'=j^e'jd'(^e):(1.48)
14Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.14:Unelementdesuprafaµ încoordonatepolareplane.Derivataec ruiversorseobµineprinsimplaîmp rµirelaintervaluldetimp,dt::^e=d^e
dt=j^ejd'^e'
dt=d'
dt^e'=_'^e';(1.49):^e'=d^e'
dt=j^e'jd'(^e)
dt=d'
dt^e=_'^e:(1.50)Dup cumseobserv ,derivataec ruiversoresteunvectordem rimeegal cuvitezadevariaµieacoordonateiunghiulare³iesteorientat perpendicularfaµ dedirecµiaceluilaltversor(Fig.1.13).Revenindlaformulaacceleraµieiseobµine,dup aranjareatermenilor,expresianal :~a=(_'2)^e+(2__'+')^e':(1.51)Ca³iviteza,acceleraµiaaredou componente,radial ³iazimutal (sautransversal ).Fiecaredintretermeniicareaparînexpresiaacceleraµieisuntdeterminaµideoanumit variaµieavectoruluivitez .Deexemplu:termenul^e-datoratvariaµieivitezeiînm rime;termenul2__'^e'(numitacceleraµieCoriolis)-datoratdeplas riineuniformeacorpuluipeotraiectoriecurbilinie,deraz variabil ;termenul'^e'datoratvariaµieiîntimpavitezeiunghiulare(vezisecµiuneaurm toareaacestuicapitol);termenul_'2^e-(acceleraµiecentripet )-datoratvariaµieivitezeicaorientare.Unelementdesuprafaµ (osuprafaµ innitezimal )are,încoordonatepolareplane,(Fig.1.14)expresia:dA=dd':(1.52)
1.5.Coordonatepolareplane15
Figura1.15:Reprezentareavectoruluivitez unghiular .1.5.1Vitezaunghiular Variaµiaînunitateadetimpaunghiuluidescrisdevectoruldepoziµiereprezint onou m rimezic ,numit vitez unghiular .Vitezaunghiular instantaneeestelimitaacestuiraportatuncicândintervaluldetimptindec trezero.!=limt!0'
t=d'
dt(1.53)Sepoatedenivitezaunghiular caspaµiulunghiular(prescurtatunghiul)parcursdemobilinunitateadetimp.Vitezaunghiular esteasociat întotdeaunami³c riiderotaµie.Direcµiavectoruluivitez unghiular esteperpendicular peplanulderotaµieamobilului,iarsensulestedatderegulaburghiuluidreptsauamîiniidrepte(Fig.1.15):Dac a³ez mdegeteleîmpreunateînsensulderotaµie,atunci,degetulmareorientatde-alungulaxeiderotaµieindic sensulvitezeiunghiulare.Vitezatangenµial într-omi³careacircular estelegat devitezaunghiular prinrelaµia:~v=~!~r:(1.54)Dac proiect mvectorul~!peaxeleunuisistemdereferinµ cartezian,atunci:~!=!x^x+!y^y+!z^z;(1.55)unde!x;!y;!zsuntcomponentelecorespunz toarepeaxeleOx;Oy³iOz.Folosindexpri-mareasubformaunuideterminantaprodusuluivectorial,ecuaµia(1.54)sepoatescriesubforma:~v=^x^y^z!x!y!zxyz(1.56)=(!yz!zy)^x+(!zx!xz)^y+(!xy!yx)^z:(1.57)Deoarecevectoruldepoziµiepoatescriscaomatricecuosingur linie,~r=xyz;(1.58)
16Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
O
wr
xyz
O
wr
xz
y
wr
Figura1.16:Ilustrareaoperaµieideoglindire.conformregulilordeînmulµirematriceal ,vectorul~vpoateexprimatcarezultatulînmulµiriiadou matrice:~v=0!z!y!z0!x!y!x0…xyz=\n~r:(1.59)Caurmare,vitezaunghiular constituieuntensor.Acestasecaracterizeaz printr-oma-tricecutreilinii³itreicoloane:\n=0!z!y!z0!x!y!x0:(1.60)Spredeosebiredevitez ³iacceleraµiecaresuntvectoripolari(aupunctuldeaplicaµieînpunctulmaterial),vitezaunghiular esteunvectoraxial.Unvectoraxialnuarepunctuldeaplicaµiexatîntr-unpunctcipoatealunecaliberde-alunguluneiaxe(perpendicularapetraiectorie).Vectoriiaxiali,spredeosebiredeceipolari,nuî³ischimb sensullaoperaµiadeoglindire(atuncicândx!x,y!y,z!z).Încazullor,regulaburghiuluidreptdevineregulaburghiuluistângadic ^x^y=^z(veziFig.1.16).1.6CoordonatenaturaleDeplasareaunuimobilpoatem surat ³icuajutorulcoordonateicurbiliniis,m surat de-alungultraiectoriei.Înacestecondiµiivitezaeste:v=ds
dt:(1.61)Sepoatedeniunversor,^et,tangentlatraiectorie(Fig.1.17):^et=~v
v=1
vd~r
dsds
dt=1
vd~r
dsv=d~r
ds;(1.62)înleg tur cucarevitezainstantaneesepoateexprimaprinrelaµia:~v=v^et:(1.63)
1.7.Coordonatecilindrice17
Figura1.17:Versoriicoordonatelornaturaleplane(^et;^en).Derivândînraportcutimpulexpresiavitezei,rezult expresiaacceleraµiei:~a=_v^et+v:^et:(1.64)Oporµiuneinnitezimal detraiectoriecurbilinie,ds,poateconsiderat caunarcdecercderaz R,cucentrulînregiuneaconcav acurbei.Sepoateintroduceapoiunaldoileaversor,^en,perpendicularpe^et³iîndreptatsprecentruldecurbur atraiectoriei.Folosindacela³itipderaµionamentdecalculalderivateiunuiversorca³iîncazulcoordonatelorpolareplane(Fig.1.17),sepoateexprimaderivataînraportcutimpulalui^et.:^et=d^et
dt=d^et
dsds
dt=vd^et
ds=vj^etjd'^en
ds=vd'
ds^en:(1.65)Graduldeabatereatraiectorieidelaliniadreapt sem soar prinm rimeanumit curbura.Sedene³tecurburatraiectorieiîntr-unpunctcainversulrazeidecurbur ,R.Expresiacurburiitraiectorieirezult dinrelaµia:R=1
C=lim'!0s
'=ds
d':(1.66)A³adar,acceleraµiaareexpresia:~a=_v^et+v2
R^en=~at+~an(1.67)Termenul~at-senume³teacceleraµietangenµial iar~an-acceleraµienormal .Informaµiiledesprecurburatraiectorieisuntincluseînvaloareaacceleraµieinormale(~an),determinat devariaµiavitezeidoarcaorientare.1.7CoordonatecilindriceÎnsistemuldecoordonatecilindrice,poziµiamobiluluiesteprecizat înoricemomentdecoordonatele:distanµadelapunctulPlaaxaOz;
18Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.18:Sistemuldecoordonatecilindrice(;';z).'unghiuldintredirecµialui³iaxaOx,denumit³iunghiazimutal;zdistanµadelapunctulPlaplanulorizontal,xOy,denumit ³icot 9.Denumireaacestuitipdecoordonateprovinedelaformaloculuigeometricapunctelorpentrucare(Fig.1.18):=1=const.,careestesuprafaµaunuicilindrucugeneratoareaparalel cuaxaOz;z=z1=const.,careesteunplandecot ;'='1=const.,careesteunplanvertical,ceconµineaxadesimetrieOzacilindrului.Limiteleîncarepotvariaceletreicoordonatecilindricesunt:0-1pentru,0-2pentru'³i0-1pentruz.Vomnotacu^e;^e';^ez(Fig.1.18)versoriicorespunz toridirecµiilorspecicatedeceletreicoordonatecilindrice.“iînacestcaz,ceitreiversoriformeaz obaz ortonormat .Sensulacestorversorivasensulcre³teriilui;'³iz.Sistemulconstituieuntriedruorientat,însensulc serespect ³iînacestcazregulaburghiuluidrept(sauamâiniidrepte):^e^e'=^ez:(1.68)S determin m,înceleceurmeaz ,vectoruldeplasareinnitezimal întrepuncteleP1³iP2(Fig.1.19)depetraiectorie,caocompuneredetreideplas riindependente,dup direcµiiledatedeversoriisistemuluidecoordonatecilindrice:d~r=d~r+d~r'+d~rz:(1.69)
9Defaptcoordonatelecilindricesuntogeneralizareacoordonatelorpolareplane,obµinut prinad ugareaceleide-atreiadimensiuni,z.
1.8.Coordonatesferice19
Figura1.19:Descompunereavectoruluideplasareinnitezimal dup treidirecµiiindependente,d~r;d~r';d~rz.M rimileec reideplas riinnitezimalepotaproximatedirectdinFig.1.19,ceeaceînseamn :d~r=d^e+d'^e'+dz^ez:(1.70)Împ rµindlaintervaluldetimpinnitezimal,obµinemexpresiavitezeiîncoordonatecilindrice:~v=d~r
dt=d
dt^e+d'
dt^e'+dz
dt^ez=_^e+_'^e'+_z^ez:(1.71)Derivândrelaµiavitezei³iµinândseamac ^ezestesingurulversorcareî³ip streaz orientareaneschimbat întimp,:^ez=0;³ic derivatelecelorlalµidoiversoriaufostdejadeterminate(1.49),(1.50),seobµineu³orexpresiaacceleraµieiîncoordonatecilindrice:~a=(_'2)^e+(2__'+')^e'+z^ez:(1.72)Înaceast expresie,identic mcuu³urinµ primiidoitermenicareap reau³iînexpresieiacceleraµieiîncoordonatepolareplane.Laacesteaseadaug termenuldatoratdeplas riide-alungulaxeiOz.Elementuldesuprafaµ încoordonatecilindriceareunadinexpresiile:dA=d'dz;dA'=ddz;dAz=dd';(1.73)iarceldevolumeste:dV=dAd=dd'dz:(1.74)1.8CoordonatesfericeÎnsistemuldecoordonatesferice,poziµiaunuipunct,P,(veziFig.1.21)estedescris decoordonatele:r-distanµadelapolulOlapunctulP;
20Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.20:Unelementdesuprafaµ ³iunelementdevolumîncoordonatecilindrice.'-unghiulm suratîntreaxaOx³iproiecµialuiOPdinplanulorizontal,denumit³iunghiazimutal;-unghiulm suratînplanvertical,întreOP³iaxavertical Oz,denumit³icolatitu-dine.Facemprecizareac îngeograesefolose³teunsistemdecoordonateînrudit,încareplanulecuatorialxOysecaracterizeaz prinlatitudinezero.Complementulunghiuluisenume³te,întermenigeograci,latitudinenordic ,iarsuplementulluisenume³telatitudinesudic .Înaceia³itermeni,'senume³telongitudineestic ,respectivvestic .Dup cumseobserv înFig.1.21,loculgeometricalpunctelorpentrucarer=r1(const.)esteosfer ;'='1(const.)esteunplan,iar=1(const.)esteuncon.Caurmare,limiteledevariaµiepentruceletreicoordonatesunt:0-1pentrur;0-2pentru';0-pentru.PoziµieiunuipunctPiseata³eaz ,înacestcaz,unansambludetreiversorireciprocperpendiculari,(^er;^e;^e')îndreptaµiîndirecµiadecre³tereacoordonatelorr;;³i'.Sistemulcelortreiversori,ceformeaz ,deasemenea,obaz ortonormat ,esteorientatrespectândregulaburghiuluidrept,astfelc :^er^e=^e':(1.75)Leg turadintrecoordonatelesferice³icelecartezieneesteexprimat prinrelaµiile:x=rsincos';(1.76)y=rsinsin';z=rcos:ÎnconformitatecuFig.1.22,sepoateexprimaleg turadintreversoriicelordou sistemedecoordonate.Seobserv c doarversorul^e'estesituatîntr-unplanorizontal(paralelcuplanulecuatorialxOy)ceilalµiversoriaându-seînplanvertical.
1.8.Coordonatesferice21
Figura1.21:Sistemuldecoordonatesferice(r,³i')³iversoriicorespunz tori.
Ozyx
q
q
q
Figura1.22:Orientareaversorilorsistemuluidecoordonatesferice,înraportcuunsistemdecoor-donatecartezian.
22Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
VomnotacuOdreaptaceseobµineprinintersecµiaplanuluiecuatorialcuunplanmeri-dional'=const³icu^versorulacesteidirecµii.Expresialui^sevascrieca:^=cos'^x+sin'^y:(1.77)Caurmare,vomputeascrieexpresiileversorilorcoordonatelorsferice,înfuncµiedeproiecµiilelorpeaxeleunuisistemedecoordonatecarteziansubforma:^er=sin^+cos^z=sincos'^x+sinsin'^y+cos^z;(1.78)^e=cos^sin^z=coscos'^x+cossin'^ysin^z;(1.79)^e'=sin'^x+cos'^y:(1.80)A³acumvomvedeaîncontinuare,acesteultimeecuaµiipotfolositeînmodconvenabilpentrucalcululderivatelorversorilorînraportcutimpul.Încoordonatelesferice,poziµiamobiluluiestedescris înoricemomentdevectoruldepoziµie~r;orientatde-alungulversorului^er.Acestversorî³ischimb orientareaodat cudeplasareapunctuluimaterial,inddependentdecelelaltecoordonateunghiulare,³i',dup cumindic ³irelaµiamatematic g sit maisus.Caurmare:~r=r^er(;'):(1.81)Determin mviteza³iapoiacceleraµiafolosindrelaµiilededeniµie:~v=d
dt(r^er)=_r^er+r:^er:(1.82)Pentrucalcululderivateiînraportcutimpulaversorului^erputemrecurge,elaconsiderentedenatur geometric ,a³acumamprocedatîncazulcelorlaltesistemedecoordonateanalizatepân înprezent,elacalcululdiferenµial.S alegem,încontinuare,aceast adouavariant .Observ mc dependenµadetimpaversorului^ernuesteexplicit ,cirezult implicitdinfaptulc variabilele³i'suntfuncµiidetimp.Caurmare,vomexprimaderivataînraportcutimpulprinintermediulacestordou funcµiicompuse=(t)³i'='(t)::^er=d^er
dt=_d^er
d+_'d^er
d':(1.83)Seobserv c avemnevoie³idederivateleversoruluiînraportcucelelaltevariabile.Levomcalculafolosindrelaµiile(1:78);(1:79);(1:80):d^er
d=coscos'^x+cossin'^ysin^z=^e;(1.84)d^er
d'=sinsin'^x+sincos'^y=sin^e':(1.85)Înlocuind,obµinem::^er=_^e+_'sin^e':(1.86)
1.8.Coordonatesferice23
Figura1.23:Elementuldesuprafaµ ³ielementuldevolumîncoordonatesferice.Folosindacestrezultat,putemscrieexpresianal avitezeiîncoordonatesferice:~v=_r^er+r_^e+r_'sin^e':(1.87)A³acumamv zutîntoatecazurileanterioare,derivândînraportcutimpulexpresiavitezei³iµinândcontdeexpresiilederivatelorversorilor,g sim:d^e
d=sincos'^xsinsin'^ycos^z=^er;(1.88)d^e
d'=cossin'^x+coscos'^y=cos^e';(1.89)d^e'
d=0;(1.90)d^e'
d'=cos'^xsin'^y=^=sin^ercos^e:(1.91)Cuacesterezultatesepoatescrieexpresianal aacceleraµieiîncoordonatesferice:~a=rrsin2_'2^er+r+2_r_rsincos_'2^e+(1.92)+rsin'+2_r_'sin+2r__'cos^e':(1.93)Elementeledesuprafaµ ³idevolumestesuntar tateînFig.1.23.Expresiilelormatematiceseobµinprinînmulµireaadou ³i,respectiv,treilaturiinnitezimalereciprocperpendiculare,îndreptatede-alunguldirecµiilorversorilor^er;^e³i^e'.Suprafaµaelementar ,considerat înprim aproximaµiedreptunghi,estecuprins întredou meridianecedifer întreeleprinunghiuld'³idou paralelecedifer prinunghiuld:Expresiaelementuluidesuprafaµ estedat deunadinrelaµiile:dAr=rdrsind';dA'=rddr;dA=rsind'dr:(1.94)
24Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
Figura1.24
Figura1.25Elementuldevolum(Fig.1.23)vaaveaexpresia:dV=dAdr=r2sindrdd'(1.95)1.9Probleme1.(a)Poateaveauncorpvitez zero³itotu³is eaccelerat?(b)Poatevariadirecµiavitezeiunuicorpdac acceleraµiaesteconstant ?2.Vitezaunuiobiectînfuncµiedetimpestedat îngraculdinFig.1.24.G siµi:(a)Acceleraµiamedieaobiectuluiînintervaleledetimp:(i)0-1s;(ii)1s-3;(iii)3s-4s;(b)Acceleraµiainstantaneelamomentult=2s.(c)Careestedistanµastr b tut înprimeledou secundedemi³care?3.Descrieµimi³c rilereprezentatepringraceledinFig.1.25,întermenidevitez .Caredintreurm toarelereprezent rinupotdescriemi³careareal aunuicorp³idece?4.Ecuaµiademi³careaunuitrenestedat deexpresia:x(t)=27:015t2+t3.Caresuntmomenteledetimplacareels-aoprit?5.Unmobilparcurgejum tatedintr-oanumit distanµ cuvitezav0:Restuldistanµeiîlparcurgeastfel:ojum tatedintimpcuvitezav1,cealalt -cuvitezav2:Calculaµivitezamediepedurataîntregiideplas ri.
1.9.Probleme25
R spuns:vm=2v0(v1+v2)
v1+v2+2v06.Ecuaµiilemi³c riiunuimobilsunt:x=Acos!t;y=Bsin!t;z=ct-undeA;B;csuntconstantepozitive.S seaeecuaµiile:(a)vitezei;(b)acceleraµiei;(c)traiectoriei;(d)razeidecurbur atraiectoriei.7.Unmobilporne³tecuvitezainiµial v0=20m/s³iseopre³tedup untimptm=20s.Dependenµadetimpavitezeiestedat deungracdeformaunuisfertdeelips cusemiaxelev0³itm.Determinaµispaµiultotalparcursdemobil.R spuns:s=v0tm
4=314m.8.Acceleraµianormal aunuicorpcaresedeplaseaz peuncercderaz Restean= t+ ;cu ³i -constantepozitive.S sedetermineacceleraµiatangenµial ³ispaµiulparcursdemobil.Seconsider c lat=0;s=0.R spuns:at=2 p
R
p
t+ ,s=2
3
R
a( t+ )3=29.Unmobilsemi³c peotraiectoriecircular dup legeas=ct3undec=0.1cm=s3.S seaeacceleraµiatangenµial înmomentulcândvitezaestev=0.3m/s.10.Unpunctmaterialsemi³c peohiperbol echilater xy=k2p strându-³iînecaremomentmodululvitezeiconstant.S sedetermine:(a)componentelevitezeipeaxeleOx³iOy;(b)acceleraµia;(c)razadecurbur .R spuns:(a)vx=v
È
1+y2
x2;vy=v
È
1+x2
y2;(b)a=2v2k2
(x2+y2)3=2;(c)R=1
2k2x2+y23=211.Unmobildescrieotraiectorieplan ,astfelîncâtvx=c=const:S searatec acceleraµiasepoatescrieînacestcazsubformaa=v3
Rc;undevestevitezamobilului³iRrazadecurbur .12.S secalculezeîncoordonatepolareplaneexpresia~v~a³iapois sededuc razadecurbur atraiectoriei.Înparticularsevaconsideraunghiulpolar'cam sur atimpului.R spuns:~v~a=_r3
R^eb;unde^ebestecelde-altreileaversor,denumitalbinormalei,³icare,înpreun cu^et³i^enformeaz untriedrudrept(numittriedruFrénet).R=j~v~aj
v3=r2rr"+2rr02+2r02
(r02+r2)3=2,unde(')înseamn aiciderivataînraportcuvariabila'.13.Determinaµi,folosindargumentedenatur geometric ³itrigonometric ,expresiilevite-zei³iacceleraµieiîncoordonatesferice.
26Capitolul1.Cinematicapunctuluimaterial
14.Unpunctmaterialsemi³c uniformpeosfer ,astfelîncâttraiectoriasafaceununghiconstant, ,cumeridianelepecareleintersecteaz .S seae:(a)ecuaµiatraiectoriei;(b)ecuaµiileparametricealemi³c rii;(c)expresiarazeidecurbur atraiectoriei.R spuns:(a).tg
2=e'ctg ;(b).r=const;=vt
rcos ;'=tg lntgvt
rcos
r;R=1
r
1+sin2 tg215.G siµicomponentelevitezeiuneiparticulecaresemi³c peospiral descris decoordo-natele:=a;'=bt;z=ctundetestetimpul,iara;b³icsuntconstantepozitive.R spuns:~v=ab^e'c^ez;~a=ab2^e16.Unsatelitsemi³c peoorbit circular înjurulP mântului,laaltitudineade509km(6880kmfaµ decentrulP mântului)³itraverseaz PolulNordlaecare94minute³i35secunde.RelativlaSRlegatdesatelit,P mântulexecut orotaµiecomplet înjurulaxeisalepolare,laecare23,934ore.G siµiviteza³iacceleraµiasatelituluifaµ deP mântînpoziµiacorespunz toarelatitudinii'=45.R spuns:v=7.626km=s;a=8.848m=s2
Capitolul2
DinamicapunctuluimaterialMi³careacorpuriloravând:(a)vitezemultinferioarevitezeiluminii³i(b)locîndomeniispaµialemacroscopiceestestudiat demecanicanewtonian .Denumireaafostatribuit înonoareazicianuluiI.Newton1.Mi³careacorpurilorcuvitezecomparabilecuvitezaluminiiconstituieobiectuldestudiualmecaniciirelativiste,întimpcemi³careaunorcorpuri(particule)îninteriorulunordomeniimicroscopice(cumeste,deexemplu,îninteriorulatomilor)constituieobiectdestudiupentrumecanicacuantic .Obiectuldestudiualmecaniciinewtonieneîlconstituie,a³adar,sistemezicecepotconsideratecazurilimit alecelordou domeniisus-menµionate.Dealtfel,atâtmecanicarelativist ,cât³iceacuantic auap rutmultmaitârziu,laînceputulsecoluluiXX.A³acumamar tat³iîncapitolulanterior,parteamecaniciicarestudiaz mi³careacor-purilor,încontextulcauz -efect,esteDinamica.Dinamicanewtonian sefundamenteaz petreiprincipii,careconstituieadev ruricenutrebuiedemonstrate,civericateprinconsecinµe.ÎnceputuriledinamiciisuntlegatedecontribuµiileluiGalileoGalileiînsecoleleXVI-XVII.2.1Principiiledinamiciinewtoniene2.1.1NoµiuniintroductiveCorpuriledinlumeareal sea înpermanenµ îninteracµiune,chiardac ,uneori,efecteleacesteiinteracµiunisuntdicildepusînevidenµ .Intensitateainteracµiuniidintrecorpuriesteexprimat prinnoµiuneadeforµ ,onoµiuneintrodus înzic pebazaexperienµeinoastresenzoriale,maiprecisaefortuluidepuspentruaccelerareaunorcorpurisaupentrumenµinerealorîntr-oanumit staredeechilibrumecanic.
1IsaacNewton(1642-1727)zicianenglezesteconsideratfondatorul³tiinµelornaturiiînepocamodern .Printrecelemaiimportantecontribuµii³tiinµicealeluiI.Newtonamintim:introducereacalcululuidiferenµial,formulareaprincipiilormecaniciiclasice,studiiasupranaturiiluminii³iaunorinstrumenteoptice,descoperirealegiiatracµieiuniversale.Principalasalucrare,Principiilematematicealelosoeinaturale,este³iast ziconsiderat unadincelemaivaloroasec rµide³tiinµ publicatede-alungulanilor.Informaµiisuplimentaredespreviaµa³iopera³tiinµic aluiNewtonpotg sitelaadresadeweb:http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Newton.html.27
28Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
Studiindmi³careaoric ruicorpdinjurulnostru,esteimposibils ignor m,deexemplu,efectuluria³alceluimaiimportantcorpdinimediatavecin tate-P mântul.Acestaatragetoatecorpurilecuforµeac rorintensitateeste,cufoartepuµineexcepµii,foarteimportant .Seînµelegec ,pentruastudiadoarmi³careaunorcorpuri,caefectalaltorforµedecâtceadegreutate,estenecesars compens mînefectforµelelordegreutate.Cum,îngeneral,efectulforµelorexterioarenusepoateeliminaîntotalitateniciodat ,sepoateimagina,camodeldestudiu,unpunctmaterialliber,sauizolat,cainduncorpdedimensiunineglijabile,caresea subefectuluneiforµeexterioarerezultantedevaloarenul 2.A³acumamamintitîncapitolulanterior,mi³careacorpurilorpoatestudiat doarprinraportarelaunreperexterior.Deaceea,caracteristicilemi³c riidepinddepropriet µilerepe-ruluiutilizat.Înmecanic esteconvenabil,decelemaimulteori,cami³careacorpurilors eraportat launtipparticulardereper,a³a-numitulreperspaµio-temporalinerµial,saumaipescurt,reperinerµial.Reperulfaµ decareunpunctmateriallibersedeplaseaz rectiliniusenume³tereperspaµialinerµial.Reperulfaµ decareunpunctmateriallibersemi³c uniformsenume³tetemporalinerµial.Înconcluzie,unsistemdereferinµ sevanumiinerµial,dac înraportcuacesta,unpunctmateriallibersedeplaseaz rectiliniu³iuniform,decicuvitez constant înmodul³iorientare.Om rimezic important înstudiuldinamiciipunctuluimaterialesteaceeadeimpulsmecanicsaucantitatedemi³care.Noµiuneadecantitatedemi³careafostintrodus deR.Descartesîn1645³iafostutilizat deNewtonîn1686înformulareaprincipiilordinamicii.Prindeniµie,cantitateademi³caresauimpulsulunuipunctmaterialeste:~p=m~v:(2.1)Cum~vestedenitîntotdeaunaînraportcuunreferenµialanume,impulsul~palunuicorpvaaveavaloridiferiteînraportcureferenµialediferite.Înzic ,noµiuneadecantitatedemi³caresemaidenume³te³imomentliniarsaumo-mentum(înc rµiledelimb englez ).Defapt,denumireavinedinlatin ,momentumindoprescurtareacuvântuluimovimentum,adic mi³care.Aceast m rimesenume³teimpuls,dincauzaroluluis uesenµialînanalizaproblemelordeciocnire(decarenevomocupaînunuldincapitoleleurm toare).Impulsulsemainume³te³imomentliniar,pentrua-ldeosebideoalt m rimezic important înstudiulmi³c riiderotaµie,caresenume³temomentunghiular(saumomentcinetic).Dimensiuneaimpulsului³iunitateasadem sur înSIsunt:[p]=[m][v]=MLT1;(2.2)hpiSI=1Kgms=1Ns(2.3)2.1.2Enunµulprincipiilordinamicii1.PrincipiulI,cunoscut³icaprincipiulinerµiei:Unpunctmaterialtindes -³imenµin stareaderepausrelativsaudemi³carerectilinie³iuniform ,atâttimpcâtnusea subacµiuneaunorforµeexterioare.
2A³acumvomvedeaulterior,condiµiadepunctmaterialliberestesatisf cut uneoridoarparµial.Deexemplu,eapoatevalabil doarde-alunguluneisinguredirecµii,alteoridoarpedurataunuiintervaldetimpextremdescurt,îna³afel,încâtforµeleexternes nuproduc efectedetectabile.
2.1.Principiiledinamiciinewtoniene29
2.PrincipiulII,cunoscut³icaprincipiulfundamentalaldinamicii:Ratadevariaµieîntimpaimpulsuluiunuipunctmaterialesteegal cuforµarezultant ceacµioneaz asupraacestuia:d~p
dt=~F:(2.4)3.PrincipiulIII,cunoscut³icaprincipiulacµiunii³ireacµiunii:Dac dou corpurisea îninteracµiune,forµele"resimµite"deecareînpartesuntegalecam rime,daropusecasens.Acesteforµeperechi,numiteacµiune³i,respectiv,reacµiunesemanifest asupraadou corpuridiferite.S discut m,încontinuare,câtevadintreimplicaµiileacestorprincipii.Oprim observaµie,deordingeneral:celetreiprincipiialedinamiciisuntadev rurivalabiledoarînraportcuunsistemdereferinµ inerµial,SRI.Înpractic ,celmaiutilizatSRIestea³a-numitulsistemallaboratorului,prescurtatSL.Trebuieprecizatc denumireadesistemallaboratoruluinutrebuieluat adliteram,însensulc eanupresupunecastudiulmi³c riis sefac exclusivîntr-unlaborator.DinmodulîncareafostdenitunSRI,rezult c unsistemdereferinµ caresedeplaseaz acceleratînraportcuunSRIesteneinerµial3.Interacµiuniledintrecorpuriserealizeaz ,edirect(princontactzic),eladistanµ ,prinintermediulcâmpului(gravitaµional,electromagnetic,etc.).Tendinµacorpurilordea-³ip strastareademi³caresauderepausrelativsenume³teinerµie.Întermenicantitativi,m surainerµieiesteexprimat dem rimeazic denu-mit masainert saumas inerµial ³iafostnotat cumînecuaµia(2.4).Seînµelegec ,cucâtestemaimaremasainert apunctuluimaterial,cuatâtmaimareesteinerµiaacestuialamodicareast riidemi³care.Avândînvederec ,înmecanicanewtonian ,masainert esteom rimeindependent detimp,ecuaµiaprincipiuluiIIaldinamiciisepoatescrie³isubforma:md~v
dt=m~a=~F:(2.5)Aceastaesteoformularemaipuµingeneral decâtecuaµia(2.4).Conformecuaµiei(2.5)oaceea³iforµ ~Fvaproduceacceleraµiidiferite,cândacµioneaz asupraunorcorpuridemas diferit ,îns vaproduceîntotdeaunaoaceea³ivariaµiedeimpulsoric ruicorp,indiferentdemasainert aacestuia.Formularea(2.4)estevalabil chiar³iînmecanicarelativist ,cazîncaremultedintreadev rurilemecaniciclasicenumaisuntvalabile.Deexemplu,dac înmecanicaclasic acceleraµia,conformecuaµiei(2.5),estedirectproporµional cuforµa,iarvectoriiforµ 
3DeoarecesistemullaboratoruluiestelegatdeP mânt³iexecut omi³carederotaµie,împreun cuacesta,nicim carSLnuesteînmodrigurosunreperinerµial,decâtîntr-oprim aproximaµie.
30Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
³iacceleraµieauaceea³iorientare,înmecanicarelativist sedemonstreaz c ace³tidoivectorinumaisuntparaleliîntreei4.Ecuaµia(2.5)esteesenµial înmecanic ,deoareceeaexprim oleg tur direct întrefactorulcauz (forµa)³ifactorulefectacesteia(acceleraµia).Ecuaµiavectorial (2.5)esteechivalent ,într-unspaµiutridimensional,cutreiecuaµiiscalare.Deexemplu,într-unsistemdecoordonatecarteziene,acesteasunt:Fx=md2x
dt2;(2.6)Fy=md2y
dt2;(2.7)Fz=md2z
dt2:(2.8)Toateforµeleîntâlniteînzic exprim intensitateaunorinteracµiuni,reductibilelapatrutipurifundamentale:(a)gravitaµionale;(b)electromagnetice;(c)nuclearetari³i(d)nucleareslabe.Celemaimultedintreinteracµiuniledinafaracelorfundamentalesuntreductibilelaforµedenatur electromagnetic .ConformprincipiuluiIIIaldinamicii,încazulunuisistemizolatdedou punctemate-riale,acceleraµiilepecareecarecorpdinperechelecap t subinuenµaceluilalt,suntorientatepeaceea³idirecµie,suntopusecasens³iinversproporµionalecumaselelor.Forµelenuexist înafarainteracµiuniidintreperechidecorpuri.Estefoarteimportantdemenµionatc perechileacµiune-reacµiuneacµioneaz asupraunorcorpuridiferite.PebazaprincipiuluiIIIaldinamiciisepoateimaginaunprocedeudecomparareamaselor.Dac dou punctematerialesuntsupusedoaracµiuniicelordou forµe-perechi,~F1!2³i~F2!1,cu:~F1!2=d~p2
dt³i~F2!1=d~p1
dt;(2.9)rezult c :d
dt(~p1+~p2)=0;deci~p1+~p2=!const:(2.10)A³adar,impulsulunuisistemdedou punctematerialeizolateesteoconstant vecto-rial .Înraportcuunreferenµialdat,R,întreimpulsurileunuipunctmaterialladou momentet³it0diferitesepoatescrierelaµia:~p1+~p2=~p01+~p02saum1~v1+m2~v2=m1~v01+m2~v02:(2.11)Prinurmare:m1~v1~v01=m2~v2~v02(2.12)
4Înmecanicarelativist seconsider c masadepindedevitez ,conformuneirelaµiideforma:m=m0
È
1v2
c2;undem0estemasaderepausacorpului,v-vitezaacestuia,iarcvitezaluminii.
2.2.Integrareaecuaµieidiferenµialeami³c rii31
³ideci:m1
m2=j~v02~v2j
j~v01~v1j(2.13)Oridecâteoristudiulexperimentalalmi³c riinuconcord aparentcupreviziunileteoreticealeprincipiilordinamicii,estenevoiedevericatdac :1.amdenitcorectsistemuldestudiat³idac nuamuitats lu mînconsiderareoanumit interacµiune;2.reperulutilizataproximeaz într-om sur adecvat condiµiaderepergalilean;3.scaradetimpestesucientdeprecis ;4.expresiileconcretealeforµelorsuntcorecte.Dintreacestea,condiµia(2)puneproblemeînmodfrecvent,a³acumammenµionatanterior.Deexemplu,oanaliz riguroas ami³c riicorpurilorlasuprafaµaP mântuluiimplic recurgerealaunsistemdereferinµ inerµialgalileanlegatnudeP mânt,cideunsistemstelar.Înacestcontextaupututexplicateefecteledeplas riispreest,existenµaadou mareepezi,comportamentulpendululuiFoucault,etc.Al turideceletreiprincipiialedinamiciienumeratemaisus,semaimenµioneaz (uneorichiarcaunalpatruleaprincipiu)³ia³a-numitulprincipiualindependenµeiacµiuniiforµelor,sauprincipiulsuperpoziµiei:Încazulîncareasupraunuicorp(punctmaterial)acµioneaz maimulteforµe,acceleraµiaimprimat corpuluiesteegal curezultantaforµelorîmp rµit lamasaacestuia:~a=1
mni=1~Fi(2.14)Evident,rapoartele~Fi=m=~aireprezint ,ecareînparte,acceleraµiapecareecareforµ ~Fiarimprima-opunctuluimaterial,dac aracµionasingur ,independentdeprezenµacelorlalteforµe.Prinurmareamputeascrierelaµiaanterioar ³isubforma:~a=ni=1~ai:(2.15)2.2Integrareaecuaµieidiferenµialeami³c riiUnadintresarcinilecelemaiimportantealemecaniciiestedeterminareaecuaµieidemi³careacorpurilor³i/sauecuaµiatraiectoriei.Înacestscop,înmecanicanewtonian sepleac delaecuaµiaprincipiuluifundamentalaldinamicii,carepermitescriereaecuaµieidiferenµialeami³c rii.Oastfeldeecuaµiediferenµial estedeordinulII³i,înunelecazuri,eapoateaveaosoluµieanalitic .Încazulîncareexist osoluµieanalitic ,aceastasea prinintegraresuccesiv 5.A³acumvomvedeaîncontinuare,pentruag siosoluµie~r(t)unic ,pelâng 
5Exist clasedeecuaµiidiferenµialedeordinulIIcarenuauosoluµieanalitic .Înacestcazsefolosescoseriedetehnici(cumarcelegracesaunumerice)decalculalunorsoluµiiaproximative.
32Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
cunoa³tereaexpresieiforµeiînecuaµia(2.5),suntnecesareinformaµiisuplimentareprivindvalorilevitezei³icoordonateilamomentuliniµialalmi³c rii.Înmajoritateacazurilor,forµelesuntfuncµiidepoziµiarelativ acorpurilor,devitez ,saudetimp:~F=~F(~r;~v;t):(2.16)Valoareaacceleraµieisea dinecuaµiaprincipiuluiIIaldinamicii.Încoordonatecarte-ziene,deexemplu,celetreicomponentealeacceleraµieisevorscriesubforma:x=1
mFx(x;y;z;_x;_y;_z;t);(2.17)y=1
mFy(x;y;z;_x;_y;_z;t);(2.18)z=1
mFz(x;y;z;_x;_y;_z;t):(2.19)Fiecaredinacesteecuaµiiadmitoinnitatedesoluµii.G sireauneisoluµiiunicepresupunecunoa³tereavalorilorx;y;z;_x;_y;_z,launanumitmomentspecicat.Deobiceiseprecizeaz valorileacestorm rimilamomentuliniµial,deaceeaansamblulacestorvalorisenume³tesetuldecondiµiiiniµiale:~r0=~r(t0);(2.20)~v0=~v(t0):(2.21)Integrareaecuaµiilordiferenµialealemi³c riisepoatefaceînfuncµiedetimpsaude-alungultraiectoriei.Sepotg siastfeloseriedem rimizice(impuls,momentunghiular³ienergie)care,înanumitecondiµii,suntconstantealemi³c rii.2.2.1Impulsul.Conservareaimpulsului.Relaµiafundamental (2.5)sepoatescriesubforma:d~p=~Fdt:(2.22)Acestlucruînseamn c variaµiainnitezimal aimpulsuluipunctuluimaterialînintervaluldetimpdtestedeterminat deacµiuneaforµei~F:Integrândîntredou momenteoarecaredetimp,notatet1³it2,seobµine:~p2~p1=t2t1~Fdt;(2.23)careconstituieformulareamatematic ateoremeivariaµieiimpulsului.Procedândîntr-oma-nier similar aceleiafolositeîncazulvitezei³iacceleraµieimedii,cureferireladenirea³iinterpretareageometric aacestora,putemdeniforµamedieca:~Fm=1
tt2t1~Fdt:(2.24)
2.2.Integrareaecuaµieidiferenµialeami³c rii33
O
t+tp=Fdt
CD
Figura2.1:VariaµiaimpulsuluiaresemnicaµiaarieidesubgraculF=F(t).Easeobµineprinsumareaariilordreptunghiurilorelementare:p=aria(ABCD).Pedurataec ruiintervaldt,forµaareovaloareconstant .Ultimeledou relaµiipermitinterpretareageometric aimpulsuluicaariadesubgracul~F=~F(t))(veziFig.2.1).Însituaµiaîncareforµavariaz întimpdup olegeoarecare,variaµiainnitezimal aimpulsului(dp)estenumericegal cuariaelementar adreptunghiului(Fdt)obµinutprindivizareacurbeiînporµiunipecareforµasepoateconsideraconstant .Adunândariatuturoracestorfâ³iiseobµineariaregiuniiABCDcareestenumericegal cuvariaµiatotal aimpulsului.A³acumamg sit³iînsecµiuneaanterioar ,încazulunuipunctmaterializolat(F=0),relaµia(2:23)devine:~p(t2)=~p(t1)=!const:(2.25)Impulsulpunctuluimaterializolatr mâneconstantîntimp,atâtcaorientarecât³icam rime6.S analiz mceseîntâmpl cuunsistemizolatdedou corpuriaateîninteracµiune.ÎnFig.2.2elesuntreprezentatecapunctemateriale,notateA³iB,avândimpulsurile,launanumitmomentdat,~pA³i~pB.Forµacucareecarecorpacµioneaz asupraceluilaltîntr-unintervalinnitezimaldetimpproducevariaµiileinnitezimaledeimpuls:~FABdt=d~pA;(2.26)~FBAdt=d~pB:(2.27)Adunândceledou relaµiirezult :~FAB+~FBAdt=d(~pA+~pB):(2.28)ConformprincipiuluialtreileaalluiNewton,celedou forµeformeaz operecheacµiune-reacµiune:~FAB=~FBA:(2.29)
6Înmecanicacuantic ,valorileimpulsuluisuntcuanticate.
34Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
Figura2.2:Sistemizolatdedou corpuriaateîninteracµiune:~FAB=~FBACaurmare,legeaconserv riiimpulsuluiunuisistemizolatdedou corpuri7:~p=~pA+~pB=!const:(2.30)Înconcluzie:Impulsultotalalunuisistemdedou punctematerialeizolateseconserv .2.2.2Momentulunghiular.Conservareamomentuluiunghiular.S înmulµimvectorialrelaµia(2.4)lastânga,cu~r:~r~F=~rm~a=~rmd~v
dt=d
dt(~rm~v):(2.31)Aiciamµinutcontdefaptulc masainert esteindependent detimp³ic :~rmd~v
dt=d
dt(~rm~v)d~r
dtm~v:(2.32)Ultimultermenalecuaµieiprecedenteestezerodeoareced~r=dt=~v,iarvectorii~v³im~vsuntcoliniari,produsullorvectorialind,deaceea,nul.Putemacumdenimomentulforµei³imomentulunghiular(saumomentulimpulsului)înraportcuunpunct,conformecuaµiilor:~M=~r~F;(2.33)~J=~r~p:(2.34)Folosindacestem rimi,relaµia(2:31)devine:~M=d~J
dt;(2.35)carereprezint formulareamatematic ateoremeivariaµieimomentuluiunghiular:Înraportcuunpunctdereferinµ dat,momentulforµeiceacµioneaz asupraunuicorpesteegalcuratadevariaµieîntimpamomentuluiunghiularalaceluicorp.
7Dup cumvomconstataulterior,aceast legeestevalabil ³ipentrusistemeleizolatedepunctematerialecumaimultdedou componente.
2.2.Integrareaecuaµieidiferenµialeami³c rii35
Integrândecuaµiaprecedent întredou momentedetimpt1³it2,seobµinerelaµia:~J(t2)~J(t1)=t2t1~Mdt:(2.36)Dimensiunilemomentuluiforµei³ialemomentuluiunghiular³iunit µiledem sur cores-punz toaresunt:[M]=[r][F]=ML2T2;(2.37)hMiSI=1Kgm2s2=1Nm;(2.38)[J]=[r][p]=ML2T1;(2.39)hJiSI=1Kgm2s1=1Nms1:(2.40)Încazulunuipunctmaterializolat,din(2:36)seobµine:~J(t2)=~J(t1)=!const:(2.41)adic ,încazulunuisistemizolatdecorpuriestevalabil legeaconserv riimomentuluiunghiu-lar.S analiz mceseîntâmpl încazulunuisistemizolatdedou corpuri,A³iB,aateîninteracµiune.ÎnFig.2.3vectoriidepoziµiecorespunz torisuntnotaµi~rA³i~rB.Aplicând
Figura2.3:Unsistemizolatdecorpuriîninteracµiunerelaµia(2:35)ec ruicorp,seobµine:~MA=~rA~FAB=d~JA
dt;(2.42)~MB=~rB~FBA=d~JB
dt;(2.43)unde:~JA=~rA~pA;(2.44)~JB=~rB~pB(2.45)suntmomenteleunghiularecorespunz toarealecelordou punctemateriale.
36Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
Sumândceledou momente³iµinândcontdeprincipiulaltreileaaldinamicii(~FAB=~FBA),seobµine:~M=~MA+~MB=(~rA~rB)~FAB(2.46)=d
dt~JA+~JB:(2.47)Deoarecevectoruldiferenµ :~rBA=~rA~rB(2.48)estecoliniarcuforµeledeinteracµiune,rezult c :~rBA~FAB=0:(2.49)Deaici:~J=~JA+~JB=!const:(2.50)adic :Momentulunghiularalunuisistemdedou corpuriizolateesteoconstant ami³c rii,p strându-³iorientarea³im rimeaconstanteîntimp.2.2.3Lucrulmecanic³iputereaS înmulµimscalarrelaµiafundamental (2:4),cuvectoruldeplasareinnitezimal d~r:~Fd~r=md~v
dtd~r=md~vd~r
dt=m~vd~v=d1
2mv2:(2.51)M rimea:dL=~Fd~r=Fdrcos'(2.52)reprezint lucrulmecanicelementarefectuatdeforµa~Fladeplasareapedistanµainnitezimal dr8.Dup cumestedenit(caprodusscalar),lucrulmecanicdepindedeunghiuldintredirecµiaforµei³iceaavectoruluideplasare,putândzero,pozitivsaunegativ.LucrulmecanictotalefectuatladeplasareaîntrepuncteleA³iBpetraiectoriamarcat înFig.2.4sea integrândrelaµia(2.52)întreceledou puncte:LAB=BA~Fd~r:(2.53)LucrulmecanicaresemnicaµiaarieidesubcurbaF(r).Împ rµindrelaµia(2:52)ladt,putemdenionou m rime,numit puteremecanic ,P:P=dL
dt=~F~v:(2.54)
8AnuseseconfundanotaµiadLcuvariaµialucruluimecanic,carearom rimef r sens.Lucrulmecanicesteom rimedeproces³inuunadestare,caurmaredLnuesteovariaµiealuiL,ciunLinnitmic.Uneori,pentruaeliminaoposibil confuzie,lucrulmecanicelementar,ca³iocantitateinnitezimal dec ldur senoteaz cuL,respectiv,Q.
2.2.Integrareaecuaµieidiferenµialeami³c rii37
Fr
rd
j
AB
Figura2.4:Lucrulmecanicelementarlaodeplasareinnitezimal peotraiectorieoarecaredepindedeunghiul'dintrevectoriiforµ ³ideplasare.Putereamecanic esteegal culucrulmecanicprodusînunitateadetimp.A³adar,putereaesteom rimedestare³ieaarevaloriinstantaneecaresepotmodicadelamomentlamoment.Eaesteom rimescalar .Dimensiunilelucruluimecanic³ialeputeriisunt,respectiv:[L]=[F][d]=ML2T2;(2.55)[P]=[L]
[t]=ML2T3;(2.56)iarunit µiledem sur corespunz toare:hLiSI=1Nm=1J;(2.57)hPiSI=1Nms1=1Js1=1W:(2.58)UnJoule(1J)estelucrulmecanicefectuatdeoforµ de1Nladeplasareaunuipunctmaterialpedistanµade1m.Unitateadem sur aputerii,înSistemulInternaµional,esteWatt-ul,prescurtatW9.2.2.4Energiacinetic Cantitatea1
2mv2dinrelaµia(2:51)senume³teenergiecinetic ³isenoteaz cuEc.Reve-nindlaaceast relaµie³iµinândcontdenotaµiilef cute,rezult c :dL=dEc:(2.59)Integrândecuaµiaanterioar întredou punctedepetraiectorie,g sim:L=BA~Fd~r=Ec(B)Ec(A):(2.60)Relaµia(2.60)reprezint expresiamatematic ateoremeidevariaµieaenergieicinetice:
9Denumireaafostdat înonoareazicianuluiJamesWatt(1736-1819)zician³iinginerscoµian,inventatorulma³iniimodernecuabur.Informaµiidesprecontribuµiilesaleladezvoltarea³tiinµei³itehniciipotg sitelaadresadeweb:http://www.history.rochester.edu/steam/marshall/.
38Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
Fr
rd
AB
rd
rd
Figura2.5:Descompunereauneideplas riinnitezimalede-alungul³i,respectiv,perpendicularpedirecµiaforµei.Lucrulmecanictotalnudepindededeplasareadup direcµiaperpendicular pedirecµiaforµei.Variaµiaenergieicineticeaunuipunctmaterial,întredou st riîndecursulmi³c rii,esteegal culucrulmecanicefectuatdeforµarezultant ceacµioneaz asuprapunctuluimaterial,peduratami³c riiîntreacestest ri.Relaµia(2:60)nepermitedenireaenergieicineticeapunctuluimaterial,dac consider mc lamomentuliniµialacestaeraînrepaus:Ec=BA(v=0)~Fd~r:(2.61)Energiacinetic reprezint ,a³adar,lucrulmecanicnecesarpentruaaduceuncorp,aatiniµialînrepaus,laovitez v.2.2.5Energiapotenµial .ForµeconservativeS calcul mlucrulmecanicefectuatladeplasareaunuipunctmaterialîntrepuncteleA³iB:Consider mc mi³careamobiluluisedatoreaz existenµeiuneiforµedeinteracµiune~Fdinparteaunuialtcorp,situatundevaînvecin tate.Vomconsidera,încontinuare,c forµaFestedependent doardedistanµadintrecorpuldestudiat³iunaltcorpdinvecin tatealui10.Lucrulmecanicelementar,efectuatîmpotrivaforµeideinteracµiune,este:dL=~Fd~r:(2.62)Odeplasareelementar ,~dr,sepoatedescompuneîndou componente,d~r1³id~r2,dup direcµiaforµei³i,respectiv,perpendicular peaceasta(veziFig.2.5).Înacestfel,vomputeascrie:dL=~Fd~r1~Fd~r2=~Fd~r1:(2.63)Dup cumseconstat ,lucrulmecanictotalalforµeiF,atuncicândaceastaî³ischimb punctuldeaplicaµieîntredou punctedepetraiectorie,arevaloarea:LAB=BA~Fd~r1;(2.64)
10Propriet µileuneiastfeldeforµevordiscutatemaiîndetaliuîntr-osecµiuneurm toare,dedicat studiuluiforµelordependentedepoziµie.
2.2.Integrareaecuaµieidiferenµialeami³c rii39
Figura2.6:Lucrulmecanicnudepindededrumulurmat:L(1)AB=L(2)AB.independentdelungimeadeplas riidup direcµiaperpendicular pedirecµiaforµei11.Oastfeldeforµaestedenumit conservativ .Lucrulmecanicaluneiforµeconservativeesteindependentdeformatraiectoriei,elindfuncµiedoardepoziµiapunctelorîntrecarearelocdeplasarea.Caurmare,indiferentdedrumulurmatdepunctulmaterialîntreceledou puncte(dru-murile(1)sau(2)înFig.2.6),lucrulmecanicareaceea³ivaloare.L(1)AB=L(2)AB;(2.65)adic :BA~Fd~r(1)=BA~Fd~r(2):(2.66)Trecândtotulîntr-unsingurmembru³iinversândlimiteleintegralei,rezult :BA~Fd~r(1)+AB~Fd~r(2)=0;(2.67)ceeaceînseamn condiµiaintegral caoforµ s econservativ :integralapeunconturînchisaforµei(denumit ³icirculaµiavectoruluiforµ peunconturînchis)trebuies ezero:~Fd~r=0:(2.68)AvândînvedereteoremaluiStokes-Ampère,sepoatescrie:~Fd~r=(rot~F)nds(2.69)Condiµiadiferenµial deforµ conservativ este:rot~F=0:(2.70)
11Analizasepoateface³iinvers,considerânddescompunereavectoruluiforµ dup direcµiilevectoruluideplasre³i,respectiv,perpendicular peaceasta.Lucrulmecanictotalvadepindedoardecomponentaforµeide-alunguldeplas rii.
40Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
Condiµiile(2.68)si(2:70)permitdenireauneim rimizicescalare,numit energiepoten-µial ,Ep.Eadescriecapacitateaunuisistemdeaefectualucrumecanic.Cuajutorulrelaµiei(2.70)sepoatescrie:~F=gradEp=rEp:(2.71)Încoordonatecarteziene:~F=@Ep
@x^x@Ep
@x^y@Ep
@x^z:(2.72)A³adar,vectorulforµ esteorientatpedirecµiaceleimairapidecre³teriafuncµieienergiepotenµial .Pedealt parte:dEp=~Fd~r:(2.73)Integrândaceast relaµierezult :Ep(B)Ep(A)=BA~Fd~r:(2.74)Dup cumseobserv ,nuenergiapotenµial ,civariaµiaacesteiapoateprecizat înmodexact.Pentruadenienergiapotenµial asistemuluiîntr-oanumit stare(precizat prindistanµadintrecorpuri,înacestcaz),artrebuidenit ostareasistemului,încareenergiapotenµial aacestuias econsiderat zero.ÎncazulforµelordetipF1=r2,aceastaseîntâmpl atuncicândcorpurilesea laodistanµ relativ innit-mare.Întermenipractici,aceastapresupunec distanµadintrecorpuriesteatâtdemare,încâtforµeledeinteracµiunenumaiproducefectedetectabile12.Caurmare:Ep(B)=B1~Fd~r:(2.75)Energiapotenµial aunuisistemesteegal culucrulmecanicnecesar"desfacerii"sistemului,iniµiallegat,înp rµilesalecomponente(carenumaiinteracµioneaz înurmasepar rii).2.2.6Legeaconserv riienergieimecanice.ForµeconservativeDinrelaµiile(2:60)³i(2:74)rezult :Ec(B)Ec(A)=[Ep(B)Ep(A)];(2.76)adic :Ec(A)+Ep(A)=Ec(B)+Ep(B)=E=const:(2.77)A³adar,încazulîncarecaracteristicilemi³c riimecaniceaunuisistemsuntdeterminatedoardeprezenµaunorforµeconservative,energiamecanic total ,E,esteoconstant ami³c rii13.
12Încazulforµelordenatur gravitaµional ,acestedistanµesuntdeordinulmiilorsaumilioanelordekm,înschimbîncazulforµelorelectricedintreparticulelecomponentealenucleuluiatomic,distanµele"innite"suntdeordinulcâtorvananometri.13Legeaconserv riienergieimecanicenuserespect decâtîncazulforµelorconservative.Cândcaracteristicilemi³c riisuntdeterminatedealtetipurideforµe,sevorbe³tedesprelegeaconserv riienergiei,însensgeneral,însensulc seinclud³iefecteledisipative,radiative,etc.
2.3.Mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaadiferitetipurideforµe41
M rimilepecarele-amobµinutprinintegrareaecuaµieidiferenµialeami³c riisuntnumiteintegraleprimealemi³c rii.Elepermitsimplicareacalculelormatematicenecesarerezolv riiunorproblemedemecanic ,însensulc ,înloculintegr riiunorecuaµiidiferenµialedeordinulII,careseobµinfolosindprincipiulIIaldinamicii,sepleac delaecuaµiidiferenµialedeordinulI.Dinp cate,rezolvareaproblemelordemecanic plecânddelalegiledeconservare(acoloundelegiledeconservaresuntrespectate!)estelipsit deposibilitateadeadescriest rileintermediarealesistemului³idecideaurm ri"lmul"evoluµieiacestuiaîntrest rileiniµial ³inal .2.3Mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaadiferitetipurideforµeS analiz m,încontinuare,mi³careaunuipunctmaterialsubacµiuneaunortipurisimpledeforµe.Nevomlimita,pentruînceput,lastudiulmi³c riiuni-dimensionale.Vomexaminacâtevacazurisemnicative,într-oordinedelasimplulacomplex.2.3.1Forµ constant ,F=F0Celmaisimpluexempludeintegrareaecuaµieidiferenµialeami³c riiesteacelaîncareforµaesteconstant (unastfeldecazesteîntâlnit,deexemplu,înstudiulc deriilibereacorpurilorîncâmpulgravitaµionaldinimediatavecin tateaP mântului)14.F=F0=const:(2.78)Folosinddeniµiaacceleraµiei³iprincipiulfundamentalalmecanicii³iµinândcontdecon-diµiilelalimit ,seg se³teprinintegrare:_x(t)=x(t)dx=1
mt0Fdt=F0
mt+_x(0);(2.79)încareconstantadeintegrareestevaloareavitezeilamomentuliniµial.Seobserv c vitezacre³teliniarcutimpul.Integrânddinnou,avândînvederedeniµiavitezei,obµinemecuaµiademi³care:x(t)=t0_x(t)dt=F0
2mt2+_x(0)t+x(0):(2.80)Trebuiefacut precizareac alegereamomentuluit0=0;consideratcainiµial,estearbitrar .Obµinem,înnal:x(tt0)=F0
2m(tt0)2+_x(t0)(tt0)+x(t0):(2.81)Expresiaobµinut reprezint ecuaµiauneiparabole.
14Înacestecondiµiiseneglijeaz variaµiaacceleraµieigravitaµionalecualtitudinea.
42Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
2.3.2Forµ dependent detimpF=F(t)Dac forµadepindedetimp15,atunciFnumaipoatescosfactorcomunînintegraladin(2:79).Deaceeaexpresiavitezeiva:v(t)=1
mtt0F(t)dt+v(t0):(2.82)Integrândînc odat ,seg se³teecuaµiademi³care:x(t)=tt0dt1
mtt0F(t)dt+v(t0)(tt0)+x(t0):(2.83)De³iaceast expresieparecomplicat laprimavedere,termeniieipotinterpretaµiu³or.Ultimultermendescriepoziµiadestart(coordonataxlamomentuliniµial,t0).Penultimultermendescriemi³careacuvitezaconstant ,cucaremobiluls-ardeplasaînabsenµaoric reiforµe.Primultermenreect efectulforµeiF.2.3.3Forµ dependent devitez F=F(v)Forµeledependentedevitez facparte,deregul ,dincategoriaforµelordecontact.Astfeldeforµesuntceledeterminate,deexemplu,defenomenuldecurgerevâscoas .Principiulaldoileaaldinamiciiconduce,înacestcaz,larelaµia:mdv
dt=F(v):(2.84)Ecuaµiadiferenµial seintegreaz u³ordac sesepar variabileleînceidoitermeni,subforma:dt=m
F(v)dv:(2.85)Caurmare:tt0=v(t)v(t0)m
F(v)dv;(2.86)deunde,cunoscândcondiµiileiniµiale,sepoateobµinelegeavitezei³iapoiprintr-onou inte-grare,legeademi³care.Înfuncµiedeformaconcret adependenµeidevitez aforµei,sepotg sicazuriparticularedemi³care,pecarelevomprezenta,pescurt,înceleceurmeaz .
15Oastfeldeforµ esteimplicat înfenomeneledeîmpr ³tierearadiaµieielectromagneticeînionosfer dec treelectroniiliberi.Acestfenomenseproduceprinabsorbµiadeenergieelectromagnetic dec treelectroni³ireemisiaacesteiaîntoatedirecµiile.
2.3.Mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaadiferitetipurideforµe43
Figura2.7:Dependenµadetimpavitezei,v=v0ek
mt;pentrutreivaloridiferitealecoecientuluiderezistenµ :k1�k2�k3:Forµ detipulF=kvOastfeldeforµ apareîncazuldeplas riicuvitezemiciaunuicorpîntr-unuid(gazsaulichid).Forµadevâscozitateacµioneaz însensinversvitezei,tinzânds încetineasc mi³carea.Coecientulkdinexpresiavitezeisenume³tecoecientderezistenµ .Înlocuindexpresiaforµeiîn(2:86)rezult :tt0=m
kv(t)v(t0)dv
v:(2.87)Înurmaefectu riiintegralei³idup rearanjareatermenilorrezult :k
m(tt0)=lnv0lnv:(2.88)Considerândc t0=0³ic v(t0)=v0,dup aplicareafuncµieiinverselogaritmuluiseobµineexpresiavitezei:v=v0ek
mt=v0et
;(2.89)unde:=m
k(2.90)senume³tetimpderelaxarealmi³c rii.Timpulderelaxarereprezint intervaluldup carevitezascadedeeori.t=)v=v0
e:(2.91)Oreprezentaregrac adependenµeivitezeidetimpestedat înFig.2.7.Seobserv c ,pem sur cescadevaloarealuikratadedescre³tereavitezeisereduceiartimpiiderelaxarecresc.Pentruag silegeami³c rii,integr mdinnourelaµia(2.89):x(t)=x0+t0v0et
dt;(2.92)
44Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
Figura2.8:Reprezentareaspaµiuluiparcurs,pentrudiferitevalorialecoecientuluidefrecare,pentrucazulx0=0.undex0estepoziµiacorespunz toaremomentuluit0=0:Efectuândcalculele,seobµine,înnal,legeami³c rii,subforma:x(t)=x0+v01et
:(2.93)Conformrelaµiilor(2.89)³i(2.93),viteza³icoordonatatindasimptoticlazero,cualtecuvinte,arînsemnac ,uncorpacµionatdeoastfeldeforµ nusevaopriniciodat .Oanaliz experimental maiatent ami³c riiarat c ,înrealitate,corpulseopre³teînnal.Explicaµiaconst înaceeac ,atuncicândvitezaatingevalorifoartemici(a³anumitafaz terminal ami³c rii),dependenµaFsv1nusemairespect .Setrece,înacestecondiµii,laodependenµ detipulFsv0,deciforµadevineconstant .A³acumamv zutînsecµiuneaanterioar ,încazulmi³c riisubefectuluneiforµe(derezistenµ )constante,vitezadescre³teliniarlazero.FolosinddezvoltareaînserieTaylorafuncµieiexponenµiale:ez=1+z+z2
2!+z3
3!+:::(2.94)putemscrieecuaµia(2:89)subforma:v=v01k
mt+:::'v0kv0
mt=v0a0t;(2.95)unde:a0=F0
m;(2.96)F0=kv0(2.97)reprezint valorileacceleraµiei³i,respectiv,forµeilamomentulîncareforµaderezistenµ devineconstant .Similar,pentruecuaµiaspaµiului:x(t)=x0+v0m
k11+k
mt1
2k2
m2t2:::'(2.98)'x0+v0t1
2v0k
mt2=x0+v0t+1
2a0t2:(2.99)
2.3.Mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaadiferitetipurideforµe45
Seconstat c s-aureg sitecuaµiilemi³c riisubacµiuneauneiforµeconstante.Forµ detipulF=kv2Încazulîncarevitezadedeplasareaunuicorpînraportcuuidulînconjur tordep ³e³teovaloarecritic ,pelâng forµaderezistenµ datorat vâscozit µii,apareoforµ derezistenµ suplimentar ,devaloareconsiderabil ,datorat antren riiuiduluiodat cucorpulînmi³-care.Aceast forµ nou esteproporµional cup tratulvitezei,F=kv2.Unastfeldetipdedependenµ aparedeoarecepunereaînmi³careaparticulelordeuidarelocprinprocesedeciocnire,înurmac roraacestoralisetransfer impuls.Perecheaforµeicareaccelereaz uidul(³icareesteproporµional ,prinurmare,cuv)esteoforµ egal ³idesemncontrar,caresemanifest asupracorpului,caoforµ derezistenµ .Cumparticulelecucarecorpulin-teracµioneaz înunitateadetimpsuntcuprinseîntr-uncilindrucugeneratoareaproporµional cudistanµaparcurs (vdt),înexpresiaforµeirezultantederezistenµ apareunnoufactor,pro-porµionalcuv.Deaicirezult proporµionalitateaforµeicup tratulvitezei.Energiacinetic auiduluipusînmi³caredetrecereamobiluluisetransform ,înnal,înc ldur ,întrucât,datorit vâscozit µii,particuleledeuidajungdinnouînstareapecareoavuseser înaintedeafostpuseînmi³care.Înlocuindexpresiaforµeiînformulageneral dat de(2.86),g sim:tt0=m
kvv0dv
v2;(2.100)ceeaceconduce,µinândcontdecondiµiileiniµiale,laexpresiavitezei:v(t)=v0
1+kv0
mt:(2.101)Legeaspaµiuluiog simprintr-onou integrare,curespectareacondiµieic ,lamomentuliniµial,t=0,x(0)=x0:xx0dx=t0v0
1+kv0
mtdt:(2.102)Integraladinmembrulaldoileaserezolv u³ordac sefacesubstituµia:u=1+kv0
mt.Seobµine:x=x0+m
klnkv0
mt+1:(2.103)2.3.4Forµ dependent depoziµieExempledeforµecaredepinddepoziµiesunt:forµelegravitaµionale,forµeleelastice,forµeleelectriceetc.Ecuaµiademi³carerezult dinaplicareaprincipiuluifundamentalaldinamicii:mdv
dt=F(x):(2.104)
46Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
Înmulµindambiitermeniaiacesteiecuaµiicudx³ifolosindrelaµiadedeniµieavitezei(v=dx=dt),obµinem:mvdv
dt=F(x)dx
dt:(2.105)Deoarece:vdv
dt=d
dt1
2v2;(2.106)seobµine:d1
2mv2=F(x)dx:(2.107)Termenuldindreaptaînrelaµia(2:107)estelucrulmecanicelementarpentrudeplasareapedistanµadx:dL=F(x)dx:(2.108)Integrarearelaµiei(2:107)conducela:1
2mv201
2mv2=xx0F(x)dx;(2.109)sau:EcEc0=xx0F(x)dx:(2.110)Integraladinmembruldoireprezint lucrulmecanicefectuatdeforµaFladeplasareaîntredou punctedecoordonatex0³ix.Relaµia(2.110)afostdejadiscutat într-unparagrafanterior,eaexprimândlegeadeva-riaµieaenergieicineticeîncazuluni-dimensional.Lucrulmecanicefectuatdeoforµ pentrudeplasareapunctuluimaterialîntredou poziµiiesteegalcuvariaµiaenergieicinetice.De-alunguluneitraiectoriiînchise,lucrulmecanicefectuatdeoforµ dependent depoziµievazero.Încazuluneitraiectoriideschise,valoarealucruluimecanic,denitderelaµia(2.53),nudepindededrumulurmat,cidoardepoziµiileîntrecarearelocmi³carea.Înacestecondiµiisepoatedeniînecarepunctîncareestelocalizatcorpul,energiapotenµial ,astfel:F(x)=dEp(x)
dx;(2.111)sau:dEp(x)=F(x)dx=dL:(2.112)Integrândrelaµia(2:112)întredou puncteoarecare,seobµine:EpEp0=xx0F(x)dx:(2.113)Dinrelaµiile(2.110)³i(2.113)seobsev c pentruoriceforµ dependent depoziµieestevalabil relaµia:EcEc0=(EpEp0);(2.114)
2.3.Mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaadiferitetipurideforµe47
Figura2.9:Dependenµaenergieipotenµiale,Ep;dedistanµ .Liniaorizontal reprezint valoareaenergieitotaleE.sau:Ec0+Ep0=Ec+Ep=constant=E:(2.115)Relaµia(2.115)reprezint legeadeconservareaenergieitotaleauneiperechidecorpuriizolate.Încazulforµelordependentedepoziµie,energiatotal seconserv .Dac dependenµaexplicit aenergieipotenµialeEp(x)estecunoscut ³idac avemînvederec ,încondiµiileîncareenergiacinetic estenul energiatotal Edevineegal cuenergiapotenµial maxim ,putemdeduceecuaµiademi³careplecânddelalegeadeconservareaenergiei:1
2mdx
dt2=EEp(x);(2.116)dx
dt=
2
m[EEp(x)]Separândvariabilele³iintegrând,rezult :t(x)=t0xx0dx
È
2
m[EEp(x)]:(2.117)Ecuaµiademi³carex(t)seobµinedup calculareaintegraleidinmembrulaldoilea³irearanjareatermenilor.Interpretarecalitativ Înceleceurmeaz ,vominterpretaînmodcalitativnaturami³c riiuneiparticulesubac-µiuneauneiforµedependentedepoziµie.Pentruaceasta,s consider modependenµ oarecareEp(x),deexempludeformaceleidinFig.2.9,cuunmaximînpunctulB,unminimînpunctulD³iovaloareconstant începânddinpunctulF.Dac peacela³igracmarc mprintr-olinieorizontal graculenergieitotale,E,atuncidiferenµaEEp(x),corespunz toareec reipoziµiix,reprezint energiacinetic ,Ec;pecareoarecorpulînecarepunctconsiderat.Deoareceenergiacinetic esteproporµional cup tratulvitezei,eavatrebuis eîn-totdeaunaocantitatepozitiv .Caurmare,poziµiilexpermise(adic aceleacaredescriuo
48Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
mi³carereal )vordoarcelepentrucareliniaenergieitotalesea deasupracurbeiener-gieipotenµiale.Oricealt regiune,carenucorespundeacesteicondiµtii,spunemc estezicinaccesibil .ÎncazulreprezentatînFig2.9,regiuniledintrepunctelex1³ix2(regiuneaI)ca³iceledintrex3³ix4(regiuneaIV),³idedup x5(regiuneaV)suntinaccesibile.Înschimb,celelalteregiunipotaccesibiledinpunctdevedereenergetic.Decelemaimulteori,punctulmaterialr mâneînregiuneaîncareesteiniµiallocalizat.Spreexemplu,dac esteiniµialînpunctulA,regiuneaI³isemi³c spredirecµiapozitiv acoordonateix,deplasareacontinu pân înpunctulx1,acoloundeenergiacinetic devinezero(particulaseopre³te).Lamomentulimediaturm tor,punctulmaterialsevami³caînapoiîndirecµiadincareavenit.Acestlucruesteu³ordeintuitmaialesc ,înpunctulx1pantacurbeipotenµialuluiestepozitiv .Dac nereamintimleg turadintreenergiapotenµial ³iforµ (2.111),rezult c forµaestenegativ ,decisecomport caoforµ derevenire,orientat însensinversdeplas rii.Dinacesteconsiderente,punctulx=x1,încareE=Ep(x1)senume³tepunctdeîntoarcere.Lafelsunt³ipunctelex=x2³ix=x3.PunctulmateriallocalizatînregiuneaIareunsingurpunctdeîntoarcere,deundesepoatedeplasalainnit.Oastfeldestaresenume³testareliber ..RegiuneaIIIaredou punctedeîntoarcere,faptcarefacecamobiluls sedeplasezeîntotdeaunaînaceast vecin tatenit .Astfel,mi³careaestelimitat înaceast regiune.S discut mînceleceurmeaz comportareaparticuleiînregiuneaV.Întoatepuncteleacesteizone:dEp
dx=0;(2.118)ceeaceînseamn c punctulmaterialr mâneînrepaus(forµacareacµioneaz asupraluiestenul ).Sespunec unpunctmaterialesteînechilibruatuncicândforµacareacµioneaz asupraluiestezero.Trebuieîns diferenµiatest riledeechilibrudinpuncteledinregiuneaVdeceledinpuncteleBsauD.Valorilepotenµialuluidifer .Astfel,exist puncteîncarecorpulsea înstarede:(a)echilibruinstabil(punctulB);(b)echilibrustabil(punctulD);(c)echilicruindiferent(punctulF³iregiuneacareurmeaz ).ForµadetipelasticF=kxVomparticularizarelaµiageneral (2.117)pentrucazulforµelordetipelastic.Conformde-niµiei(2.75),energiapotenµial arevaloareazeroincondiµiileîncareresortulestenedeformat,x=0.Avematunci:Ep(x)=x0kxdx=1
2kx2:(2.119)Aplicândlegeaconserv riienergiei,înstareaîncareresortulestenedeformat(x=0),vomavea:E(0)=Ec:(2.120)
2.3.Mi³careapunctuluimaterialsubacµiuneaadiferitetipurideforµe49
Energiatotal are,deci,valoarea:E=Ec=1
2kA2:(2.121)Aestedistanµamaxim pân lacarepoateajungepunctulmaterial³isenume³teamplitudine.ÎnlocuindpeEîn(2.117)seobµine:tt0=xx0dx
È
2
mk
2[A2x2]=(2.122)=arcsinx=Aarcsinx0=AAcosd
q
k
mA21sin2=(2.123)=arcsinx=Aarcsinx0=AAcosd
!Acos=(2.124)=1
!0(arcsinx=Aarcsinx0=A);(2.125)undes-af cutschimbareadevariabil x=Asin³is-anotatk
m=!20.Considerândc t0=0³iaândpexînfuncµiedetrezult :!0t+arcsinx0
A=arcsinx
A;(2.126)adic :x=Asin(!0t+arcsinx0
A):(2.127)M rimea!0senume³tefrecvenµ unghiular propriesaupulsaµiaproprieaoscilaµiiloriar'0=arcsinx0
Afazainiµial ami³c rii.Dup cumestedenit ,pulsaµiami³c riiesteom rimeconstant ,specic corpului³iindependent decondiµiileiniµiale.ÎnFig.2.10estereprezentareagrac auneimi³c rioscilatoriicuvizualizareaprincipalelorm rimicaracteristice.2.3.5Forµecuexpresiicomplicate.Integrarenumeric Încazurileîncareexpresiaforµeiestecomplicat ,nusepoateg siosoluµieanalitic .Întotdeaunaesteposibil îns orezolvarenumeric .Ceamaisimpl caledearealizaacestlucruestedat dedezvoltareaînserieTaylor.S presupunemc suntcunoscutecondiµiileiniµialex(t0)³i_x(t0).Valorileluix(t)³ialelui_x(t)lamomentululterior,seobµinprindezvoltareafuncµiilorînjurulvaloriloriniµiale:x(t0+t)=x(t0)+1
1!_x(t0)(t)+1
2!x(t0)(t)2+:::(2.128)_x(t0+t)=_x(t0)+1
1!x(t0)(t)+1
2!x(t0)(t)2+:::(2.129)
50Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
0
1.57
3.14
4.71
6.28
7.85
9.42
10.99
12.56
14.13
15.7
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
tx0 x A
T=2p/w0
Figura2.10:Reprezentareagrac auneimi³c rioscilatorii
Figura2.11:Pentruproblema2Termeniicuputerideordinsuperiorlui2ailuitaufostneglijaµideoareceeitindlazerodac testesucientdemic.Toµitermeniiacesteidezvolt risuntcunoscuµiavândînvederec ,înafar decondiµiileiniµiale(x(t0)³i_x(t0)),estecunoscut ³ivaloareaacceleraµieix(t0)dinecuaµiafundamental amecanicii.x(t0)=1
mF(x(t0);_x(t0);t0):(2.130)Înacestmomentcunoa³temdeci,prindezvoltareaTaylor,pex³ipe_xlamomentuldetimpt0+t.Proceduraiterativ poatecontinuaînpa³it.Astfel,sepotdeterminax³i_xlamomentelet0+2t,t0+3t,...,cupreciziecuatâtmaibun cucâtpasuldetimpsealegemaimic.Prinacestprocedeunumeric,ecuaµiademi³care³i,eventual,traiectoriasuntdeterminat înmodaproximativ,indiferentdecâtdecomplicat esteexpresiaforµei.2.4Probleme1.Desenaµitoateforµelecareacµioneaz asuprauneicarµia³ezatepemasadelucru.Caresuntperechileacµiune-reacµiune?Careestereacµiuneagreut µiic rµii?2.(a)Câteperechideforµeacµiune-reacµiuneaparînsistemuldecorpuridinFig.2.11?(b)Dac celedou corpuriaumaselem1=4kg,m2=2kg,iarforµadeîmpingereesteF=6N,careesteforµadecontactdintrecorpurile1³i2?(c)Ar taµic ,dac sistemulseîmpingedinspredreapta(dela2spre1),valoareaforµeidecontactnumaieste4N.
2.4.Probleme51
3.Cuceacceleraµietrebuies coboareunmobildemas Mdeasuprauneiscânduridemas ma³ezatepeunplanînclinatdeunghi ,pentrucascânduras aluneceuniformînsuspeplanulînclinat?Se³tiecoecientuldefrecarelaalunecare.R spuns:a=g1+m=M
sin +cos 4.Omingedeteniscumasam=50gcadepepodea,atingând-ocuvitezav=30m/s,dup carerico³eaz cuvitezainiµial de20m/s.(a)Careestevaloareamomentuluiforµeicareacµioneaz asuprabileiîntimpulcontactului?(b)Câtesteforµamedieexercitat asuprapodeleidac mingeaesteîncontactcupodeauauntimpde1s?R spuns:(a)Ft=2;5Ns;(b)Fm=2;5N.5.Unbastondedimensiunifoartemici,legatdeosfoar delungimelxat într-ununpunct,esterotituniform,cuturaµianpeosuprafaµ orizontal ,f r frec ri.(a)Decâteoricre³teturaµiabastonului,dac rulsescurteaz lajum tate?(b)Cevaloarearelucrulmecanicefectuatdeforµacareascurtatrul?R spuns:(a)de4ori;(b)L=6m2n2l2.6.G siµiviteza³iacceleraµiaunuipunctmaterialdemas mceporne³tedinrepausdinpoziµiax=0lamomentult=0,dac estesupus acµiuniiforµei:(a)F=F0+ct;(b)F=F0sin(ct);(c)F=F0ectundec³iF0suntconstantepozitive.7.Folosindconsiderentelegatedeconservareaenergiei,reg siµilegeademi³careaunuicorpsubacµiuneauneiforµeconstante.8.Unpunctmaterialdemas msemi³c într-uncâmpdeenergiepotenµial Ep(x)=alnx+b
x2,undexreprezint distanµafaµ deorigineiara³ibsuntconstantepozitive.G siµiexpresiaforµeiînfuncµiedepoziµie.Caresuntpuncteledeechilibru³icefeldeecilibruarepunctulmaterialînacestepoziµii?R spuns:F(x)=a=x+2b=x3;x=(2b=a)1=2;echilibrustabil9.Calculaµilucrulmecanicefectuatdeforµa~F= xy3^x+x2^y,cu =const.ladepla-sareapetraiectoriay=1
2x2dinpunctulA(0;0)înB(2;2):R spuns:L=8 10.Energiapotenµiat aunuisistemdedoiatomiceformeaz omolecul biatomic areexpresia:Ep=a
x12b
x6undea³ibsuntconstantepozitive.(a)G siµiexpresiaforµei³ipoziµiilepunctelordeechilibru;(b)Careestevaloareaenergieinecesarepentruarupemolecula(prinseparareacelordoiatomi)?Aceast energiesenume³teenergiededisociere.R spuns:(a)F=12a
x136b
x7;xmin=
2a
b;(b)Ep(1)Ep(xmin)=b2
2a.
52Capitolul2.Dinamicapunctuluimaterial
11.Unpunctmaterialsemi³c peotraiectoriecircular deraz R;subacµiuneauneiforµecentraleF=k
r2,undekesteoconstant pozitiv .S secalculeze:(a)energiacinetic ;(b)energiapotenµial ;(c)energiatotal ;(d)momentulunghiular.R spuns:(a)Ec=k
2R;(b)Ep=k
R;(c)E=k
2R;(d)J=p
kmR.12.Calculaµiperioadamiciloroscilaµiiexecutatedeunpunctmaterialsubacµiuneagreut µii,învecin tateaminimuluiuneicurbenetedederaz R,situat înplanvertical.R spuns:T=2
R
g.13.Studiaµimi³careaunuicorpdemasam,aatiniµialînrepaus,dac alunec dinvârfulunuiplanînclinatdeunghi ;înprezenµauneiforµedefrecarelaalunecareavândavândcoecientul.R spuns:v=g(sin cos )t;x=1=2g(sin cos )t2:14.Unproiectilreactivestearuncatorizontalcuvitezainiµial v0:Presupunândc sistemuldepropulsiealacestuiasedefecteaz ³iestefrânatdeoforµ F=Ae vundeA³i suntconstantepozitive,s sedetermine:(a)legeavitezeiproiectilului;(b)timpul;(c)distanµaparcurs pân lac dere.R spuns:(a)v(t)=v01
ln1+A
m te v0;(b)T=(1e v0)m
A;(c)d=m
2A[1(1+ v0)e v0].15.S sedeterminelegeavitezei³ilegeademi³careaunuicorpîncâmpgravitaµional,înprezenµauneiforµedefrecaredinparteaaeruluiproporµional cuviteza,dac lamomentuliniµialvitezacorpuluiestev0.Secunoa³tevitezalimit c.R spuns:v=c+(c+v0)e(g=c)(tt0);x=x0c(tt0)(m2g
k2+mv0
k)ek
m(tt0)1:16.(a)Obil estearuncat peomas orizontal cuvitezav0:“tiindc valoareaforµeidefrecareesteproporµional cup tratulvitezei,s seg seasc legeavitezei³iaspaµiului.(b)Dac bilaararuncat verticalînjos,careardependenµavitezeidespaµiulparcurs?Sed vitezalimit vl=
mg
k.R spuns:(a)v(t)=v0k
mp
v0t+k2
4m2t2;x(t)=x01
2k
mp
v0t2+1
12k2
m2t3;(b)v(x)=
v2l1e2gx=v2l+v20e2gx=v2l:
Capitolul3
ForµedetipcentralExist situaµiiîncaredreaptasuportaforµeiceacµioneaz asupraunuicorpaatînmi-³caretreceînpermanenµ printr-unpunctx.Oastfeldeforµ senume³tedetipcentral.Exemplereprezentativeînacestsenssuntforµelefundamentale(gravitaµionale,electromagne-tice,nucleare),dar³imultedindeforµelene-fundamentale(forµeleintermolecularevanderWaals,forµeledetipelasticetc.).ÎnFig.3.1esteprezentatunexempluîncareforµadetipcentralsemanifest asuprapunctuluimaterialP,demas m,caurmareaatracµieiexercitatedeunaltcorp,demas foartemare(M��m),plasatînorigineaO.PerecheadecorpuriM+mpoateSoarele+P mântul(întrecaresemanifest forµedeatracµiegravitaµional ),nucleul+unelectron(întrecaresemanifest forµedeatracµieelectrostatic )1,sauproton+proton(cazîncareforµadetipcentralestederespingereelectrostatic ,dincauzasemnuluisarcinilorelectrice).Forµeledetipcentralsuntproporµionalecudistanµadintrecorpurileaateîninteracµiune.
z
Figura3.1:Unpunctmaterialmi³cându-sesubacµiuneauneiforµedetipcentral.
1Forµeledeatracµiegravitaµional dintrenucleu³ielectronsuntneglijabileîncomparaµiecuforµelecoulom-bienedeatracµie.53
54Capitolul3.Forµedetipcentral
Expresiageneral auneiforµedetipcentralestedeforma:~F=F(r)^er=rEp(r);(3.1)undeenergiapotenµial ,Ep,esteofuncµiedoardedistanµardintrecorpuri.Forµeledetipcentralauoseriedecaracteristiciexclusive,decarenevomocupaînceleceurmeaz .Ulterior,vomdeduceecuaµiatraiectorieiunuicorpaatsubacµiuneauneiforµecentrale³ivomanalizafactoriicaredetermin formaacesteitraiectorii.3.1ConservareamomentuluiunghiularS calcul mmomentuluneiforµedetipcentral,~F,exercitat asupraunuicorpdemas m,înraportcuunpunctO(Fig.3.1):~M=~r~F=~rd~p
dt=d
dt(~rm~v)=d~J
dt=0:(3.2)Înrelaµia(3.2)s-aµinutcontdefaptulc d~r
dtm~v=~vm~v=0³ic ,deoareceforµa~F³ivectoruldepoziµie~rauaceea³idreapt suport,produsulvectorial~r~Festezero.A³adar,momentulcinetic(unghiular)alcorpuluiatras,înraportcuO,r mâneconstant(seconserv )peduratami³c rii:~J=~rm~v=~const:(3.3)Conservareamomentuluiunghiularcavectorînseamn :(1)"îngheµarea"orient riiluiJ;(2)conservareamodululuiacestuivectorpetoat duratami³c rii2.S vedemîncontinuarecaresuntconsecinµeleconserv riimomentuluiunghiular.1.Conservareaorient riilui~J.Vectorul~Jaredreaptasuportperpendicular peplanulvectorilor~r³i~p.Sensullui~Jestedatderegulaburghiuluidrept.Întrucâtdreaptasuportalui~Jr mânex înspaµiu,planulperpendicularpeaceast dreapt (ceconµinevectorii~r³i~v)trebuies r mân ,deasemenea,x.Caurmare:Traiectoriaunuicorpaatsubacµiuneauneiforµedetipcentralesteîntotdeaunaplan .Esteresc,înacestecondiµii,s folosimpentrudeducereaecuaµieitraiectoriei,coordo-natepolareplane.2.Conservaream rimiilui~J.S examin modeplasareinnitezimal aunuicorppunctiformpetraiectoriasa,a³acumesteprezentat înFig.3.2.Momentulcineticvaaveam rimea:J=j~rm~vj=rmvsin'=rmjd~rjsin'
dt=rmrd'
dt=r2m!:(3.4)
2Exist situaµiiîncareconcluziaanterioar trebuienuanµat .Deexemplu,încazulmi³c riiunuielectronîncâmpulcoulombiandeforµealnucleului,momentulcinetic,ca³iproiecµiilesale,potluadoaranumitevalori:sespunec acestem rimisuntcuanticate.
3.2.EcuaµialuiBinet55
Figura3.2:Odeplasareinnitezimal acorpuluipeotraiectorieoarecare.Înrelaµiaanterioar amµinutcontc rd'estecatetaopus unghiului'=QPAîntriunghiulPQA,iarPQ=jd~rjesteipotenuz .Amnotat,deasemenea,_'=!.Caurmare:r2!=J
m=const:(3.5)Mi³careaarelocîncondiµiileîncareprodusulr2!r mâneconstantîntimp.Sepoatedaointerpretaregeometric direct acesteiultimerelaµii,dac vomcalculaaria"m turat "devectoruldepoziµieînintervaluldetimpdt:dA=limt!0[1
2r(t)r(t+t)sin']1
2r2d':(3.6)RaportuldA=dtsenume³tevitez areolar .Expresiavitezeiareolareva:\na=dA
dt=1
2r2d'
dt=1
2r2!=J
2m=const:(3.7)Constanµavitezeiareolareîncazulmi³c riiplanetelorsistemuluisolarafostdescoperit deKepler3³ipublicat în1509încarteasaAstronomiaNova(Nouaastronomie).Înconcluzie,conservareamodululuimomentuluiunghiularesteechivalent culegeaariiloraluiKepler.3.2EcuaµialuiBinetAvândînvederecaracterulplanaltraiectorieiunuicorpaatsubacµiuneauneiforµecentrale,pentruag siecuaµiatraiectorieivomrecurgelafolosireacoordonatelorpolareplane.
3JohannesKepler(1571-1630),astronom³imatematiciangerman,adeptulsistemuluiheliocentricaluiCopernic.Keplerafostprimulomde³tiinµ careaintuitc studiulmi³c riiastrelornutrebuieabor-datdoardinperspectivacinematicii.Elesteinµiatorulintroduceriiconsiderentelordedinamic înmeca-nicacereasc ³iprimulastronomcareaar tatc mi³careacorpurilorcere³tiesteunsubiectdezic .Adescoperitc planetelesistemuluisolarserotescpetraiectoriieliptice,avândSoareleîntr-unuldinfocare.PrezentareacelortreilegialeluiKepler,privitoarelasistemulsolar,vaf cut maiîndetaliuîntr-osec-µiuneurm toareaacestuicapitol.InformaµiisuplimentaredespreJ.Keplersepotg silaadresadewebhttp://es.rice.edu/ES/humsoc/Galileo/People/kepler.html
56Capitolul3.Forµedetipcentral
VomplecadelaecuaµiaprincipiuluialII-leaaldinamicii:m[(rr_'2)^er+(2_r_'+r')^e']=F^er:(3.8)Avândînvederec forµa~Faredoarcomponent radial ,ecuaµiavectorial anterioar esteechivalent cuecuaµiilescalare:m(rr_'2)=F;(3.9)m(2_r_'+r')=0:(3.10)Ecuaµia(3.10)sepoaterescriesubforma:1
rmd
dt(r2_')=0)mr2_'=J=const:;(3.11)carereprezint legeadeconservareamomentuluiunghiular,demonstrat anterior.Ecuaµia(3.9)poateserviladeducereaecuaµieidiferenµialeatraiectoriei.A³acumvomvedeaîncontinuare,acestlucruesteposibilprincombinarearezultatelorobµinuteplecânddelaaplicareaprincipiuluialII-leaaldinamicii,cucâtevaconsiderentedenatur energetic .Pentruag siecuaµiatraiectorieiestenecesars elimin mtimpulînecuaµia(3.8).Vomsubstituiderivataînraportcutimpulprinderivataînraportcuvariabila':_r=dr
dt=dr
d'd'
dt=dr
d'J
mr2=J
md
d'1
r;(3.12)r=d_r
dt=d_r
d'_'=J
m21
r2d2
d'21
r:(3.13)Înlocuindecuaµia(3.13)în(3.8),seobµinea³a-numitaecuaµiealuiBinet:d2
d'21
r+1
r=Fmr2
J2:(3.14)Observ mc membruldoialecuaµieiluiBinetesteneliniar.3.3Forµedetipul1=r2Integrareaecuaµieidiferenµiale(3.14)estesimpl dac m rimeaforµeiFesteinverspro-porµional cup tratuldistanµei.Oastfeldecondiµieestesatisf cut încazulforµelordetipgravitaµionalsaucoulombian4.Estesimpludeobservatc ,încazulunorforµedetipul:F=k1
r2;(3.15)membrulaldoileaalecuaµiei(3.14)devineindependentder,iarecuaµialuiBinetdevineunadetiposcilatorarmonic,cuvariabilele1=r³i'.
4Faptulc forµadeatracµiedintreplaneteerainversproporµional cup tratuldistanµeieraunlucrucunoscutînc înaintealuiNewton.
3.3.Forµedetipul1=r257
S preciz mc ,încazulinteracµiunilordetipgravitaµional,constantakdinecuaµia(3.15)este:k=\rm1m2;(3.16)unde\rreprezint constantaatracµieiuniversale.Valoarealui\rafostdeterminat printr-unexperimentr mascelebruînzic ,dezicianulenglezCavendish5.Odescriereaexperi-mentuluiluiCavendishvaprezentat însecµiuneaurm toareaacestuicapitol.Încazulinteracµiunilorelectrostatice:k=1
4"q1q2;(3.17)unde"estepermitivitateaelectric amediuluiîncaresuntplasatecorpurileaateîninterac-µiune.Demenµionatc forµeleelectrice(coulombiene)potdeatracµiesauderespingere,înfuncµiedesemnulsarcinilorelectricealecorpurilor.Forµeledetipgravitaµionalsuntdoardeatracµie(~F=F^er).Înlocuind(3.15)înecuaµialuiBinet(3.14),seobµine:d2
d'21
r+1
r=k1;(3.18)undeamf cutnotaµia:k1=mk
J2=const:(3.19)Dac sefacesubstituµia:1
x=1
rk1;(3.20)seobµineecuaµiadiferenµial omogen :d2
d'21
x+1
x=0:(3.21)Aceastaesteoecuaµiediferenµial detiposcilatorarmonicliniar,cuvariabiladependent 1=x³iindependent ,'.Eaadmiteosoluµieforma:1
x=Acos(''0):(3.22)Caurmare:1
r=Acos(''0)+k1:(3.23)ConstanteleA³i'sea plecânddelacondiµiileiniµialealemi³c rii:t=0:r=r0;_r=_r0;J=J0=const:(3.24)Derivândrelaµia(3.23)obµinem:_r
r2=A_'sin(''0):(3.25)
5HenryCavendish(1731-1810)chimist³izicianenglez.Adescoperithidrogenul³iargonul.Aefectuatexperimentedeelectricitate³iaprezisoseriederezultate,re-descoperiteulteriordeMaxwell.Principalasacontribuµieîndomeniulziciiestelegat dem surareaconstanteiatracµieiuniversale,\r.
58Capitolul3.Forµedetipcentral
Folosind(3.5)³iformulafundamental atrigonometriei:sin2(''0)+cos2(''0)=1;(3.26)seg se³tevaloareaconstanteiA:A=
m_r0
J0k12+1
r0k12:(3.27)Înlocuind(3.27)în(3.23)seobµineecuaµiatraiectorieiînvariabileler³i'.(Fig.3.3(a)):r=p
1+"cos(''0):(3.28)Aceastaesteecuaµiauneicurbeconice,cuparametrul:p=1
k1(3.29)³iexcentricitatea:"=
1
r0k112+m_r0
J0k12:(3.30)Relaµia(3.30)sepoaterescrieµinândcontdevaloareaenergieitotalelamomentuliniµial:E=Ec+Ep=1
2m(r20+r20_'20)+r01k
r2dr(3.31)=1
2mv20k
r0;(3.32)subforma:"=
2J20
mk2E+1:(3.33)Înfuncµiedevaloareaexcentricit µii,",conicapoate:(a)uncercderaz r=p=J20
mk,(veziFig.3.3a)dac "=0.Aceastaseîntâmpl când:E=mk2
2J20:(3.34)(b)oelips (veziFig.3.3b)dac "0,ceeacepresupuneca:E=Ec+Ep0;adic EcjEpj:(3.35)Prinurmare,condiµiacaansamblulcelordou corpuriîntrecaresemanifest forµedeatracµiegravitaµional s r mân legatestecaenergiacinetic iniµial acorpuluims eestemaimic decâtmodululenergieipotenµialeaansamblului(energiapotenµial 
3.3.Forµedetipul1=r259
r
rxyO
F
ba
r
r

F
(a)
(b)
(c)(d)F’Figura3.3:Traiectoriiconicecudiferiteexcentricit µi.
60Capitolul3.Forµedetipcentral
aunuisistemlegatestenegativ )6.Traiectoriielipticeauplanetelesistemuluisolar,sateliµiiP mântului,sauelectroniiînjurulnucleului7.Valorilesemiaxeloruneiastfeldetraiectoriielipticeseobµinprinînlocuirilecorespunz -toare:a=p
1"2=k
2jEj;(3.36)b=p
ap=J
È
2mjEj:(3.37)(3.38)(c)oparabol (Fig.3.3c),dac "=1.Aceastaseîntâmpl atuncicând:E=0adic Ec=jEpj:(3.39)(d)ohiperbol (Fig.3.3d),dac "�0,ceeaceseîntâmpl atuncicând:E�0adic Ec�jEpj:(3.40)Traiectoriaeste,înacestcaz,deschis ,energiacinetic acorpuluidemas mindsucientdemarepentruaînvinge"barieraenergetic "creat deforµadeatracµie.Ovaloarepozitiv aenergieitotaleasistemuluiconduce,a³adar,laexistenµauneist rinelegate(libere).Unexempluînacestsensîlconstituiemi³careaîninteriorulsistemuluisolarauneicometeproveninddinafaraacestuia.3.4LegileluiKepler³iatracµiauniversal Legeaatracµieiuniversaleafostformulat deIsaacNewton,plecânddelaprincipiulfunda-mentalaldinamicii³idelarezultateleanterioarealeluiGalilei³iKepler,încadrulmodeluluiheliocentricalluiN.Copernic.CeletreilegialeluiKepler,privitoarelami³careaplanetelorsistemuluisolar,sunt:1.Legeaorbiteloreliptice:Planetelesemi³c înjurulSoareluipetraiectoriieliptice,Soareleindîntr-unuldinfocare.2.Legeaariilor:Vitezaareolar aoric reiplanetedinsistemulsolaresteoconstant ami³c rii.3.Legeaperioadelor:Raportuldintrep tratulperioadeimi³c rii³icubulsemiaxeimariareovaloareconstant pentrutoateplanetelesistemuluisolar.
6Încazulinteracµiunilorelectrostatice,înfuncµiedesemnulsarcinilorelectrice,energiapotenµial poatenegativ saupozitiv .Forµeledeinteracµiuneelectrostatic suntdetiprepulsiv(decienergiapotenµial estepozitiv )dac sarcinileelectriceauacela³isemn³iinvers.7Dac seadmitemodelulplanetaralatomului
3.4.LegileluiKepler³iatracµiauniversal 61
Primeledou legisuntconsecinµedirectealeconserv riimomentuluiunghiularalunuicorpsubacµiuneauneiforµedetipcentral,a³acumafostdemonstratanterior.S demonstr macumceade-atreialegealuiKepler.Pentruaceasta,vomevaluaperioadami³c riipeorbitaeliptic :T=A
\na=ab
J=(2m)(3.41)•inândcontc :b=a
1"2(3.42)³ifolosindprimarelaµiedinsistemuldeecuaµii(3.36)seg se³te:T2
a3=42m
k:(3.43)Înlocuindacumconstantakdin(3.15),constat mc ,într-adev racestraportesteindependentdemasaplanetei:T2
a3=42
\rM:(3.44)Întabelulurm torsuntprezentatecâtevadatereferitoarelasistemulplanetaralSoarelui,uneleexprimateînunit µidem sur speciceP mântului.
Planeta
Raza(RPam)
T(ani)
"
Masa(MPam)
Mercur
0,387
0,241
0,206
0,055
Venus
0,723
0,615
0,007
0,815
P mânt
1,000
1,000
0,017
1,000
Marte
1,524
1,881
0,093
0,107
Jupiter
5,203
11,862
0,048
317,94
Saturn
9,539
29,460
0,056
95,18
Uranus(1781)
19,191
84,020
0,046
14,53
Neptun(1846)
30,061
164,77
0,010
17,13
Pluto(1930)
39,529
247,68
0,248
0,0022
Forµadeatracµiegravitaµional dintredou corpuripurt toaredesarcin (mas )gravi-taµional estedirectproporµional cuprodusulmaselorgravitaµionalealecorpurilor³iinversproporµional cup tratuldistanµeidintreele:~F=\rm1m2
r2^er:(3.45)Constantaatracµieiuniversale,\r,careintervineînecuaµia(3.45)estenumericegal cuforµadeinteracµiunedintredou corpuricumasade1kg,aateînvid,ladistanµade1munuldecel lalt.Valoareasaafostm surat deCavendishcuajutorulunuiinstrumentdemaresensibilitatepentrum surareaforµelor-balanµadetorsiune,prezentat schematicînFig.3.4.Dou sferedinplumbcudiametrulde5cmsuntxatelacapeteleuneibareculungimeade1,8m,suspendat lamijloculeideunrdetorsiunedincuarµ.Deacestaesteprins 
62Capitolul3.Forµedetipcentral
Figura3.4:Schemadispozitivuluiexperimentalpentrum surareaconstanteiatracµieigravitaµionale.oglindaO.Aducândînapropiereasferelormicialtedou sfere,totdinplumb,dardediametrumaimare(31cm),s-aconstatatodeviereabareic trepoziµiamarcat culiniepunctat ,caurmareaatracµieisferelordemas m1dec tresfereledemas m2.Deviaµiabareiapututm surat cuajutorulunghiuluidedeviereaunuifasciculluminosprovenitdelaosurs delumin ,reectatdeoglindaO³iproiectatapoipeunecran8.Etalonândruldincuarµastfelîncâts secunoasc valoareaforµeiceproducetorsiunearuluipentruununghidedeviaµiedat,s-apututcalculavaloareaforµeideinteracµiunedintrecorpuri³iastfelvaloareaconstanteigravitaµionale.ExperimentulluiCavendishafostprimulcareapermisoevaluarenumeric aconstantei\r³ideasemenea,amaseiPamântului.Valoareaacceptataînprezentpentru\reste:\r=6:671011Nm2=kg:(3.46)3.5Problemacelordou corpuriÎnsecµiuneaanterioar amconsideratdoarmi³careaunuicorpsubacµiuneaforµeideter-minat deprezenµaaltuicorpdemas multmaimare,aatînrepausînorigineasistemuluidereferinµ .ÎncondiµiileîncareM��m,acceleraµiaprodus deforµadeatracµieasupracorpuluiatractor(Soare,nucleuetc.)estepracticneglijabil ,comparativcuefectulaceleia³iforµeasupracorpuluiatras,m.Deoareceomi³careaccelerat este,înacestecondiµii,executat doardecorpulm,studiulprezentatînsecµiuneaanterioar estecunoscut³isubdenumireadeproblemaunuisingurcorp.Avândînvederec ,defapt,ambelecorpurisuntînacela³itimpatractor³iatras,laoexaminaremaidetaliat artrebuis evalu mefecteleforµeideatracµieasupraambelorcorpuri,decis formul m³is studiemoproblem acelordou corpuri.Dealtfel,înmultealtecazuriîntâlniteînsituaµiireale,estenecesars studiemmi³careaunorcorpuridemasecomparabile,aateîninteracµiunegravitaµional saucoulombian .Evident,într-unasemeneacaz³iacceleraµiileambelorcorpurisuntcomparabile.Cunoscândexpresiaforµeideinteracµiunegravitaµional dintrecorpuriledemasem1³i
8Dup cumestecunoscutdincursulelementardezic ,dac ooglind plan serote³tecuunanumeunghi, faµ dedirecµia(x )afascicoluluiincident,fascicolulreectatserote³tecuununghi2 .
3.5.Problemacelordou corpuri63
Figura3.5:Unsistemizolatformatdindou corpuridemasem1³im2.m2,pecareleconsider mc caformândunsistemizolatdeexterior,s a mcaresunttraiectoriilepecaresevormi³caacestea.Aplic mprincipiulfundamentalaldinamicii,pentruecaredinceledou corpuri:m1d2~r1
dt2=~F12;(3.47)m2d2~r2
dt2=~F21:(3.48)Ecuaµiilesuntcuplateprintermenulforµ ,caredepindededistanµar12=j~r2~r1jdintrecorpuri.Deoarece:~F12=~F21;(3.49)prinsc dereacelordou relaµii(3.47)³i(3.48)seobµine:~F21=m1m2
m1+m2d2~r12
dt2;(3.50)sau:~F21=d2~r12
dt2:(3.51)M rimea=m1m2
m1+m2senume³temasaredus 9asistemului.Relaµia(3.51)reprezint ecuaµiadiferenµial demi³careaunuicorpgeneric,demas ,aatsubacµiuneauneiforµeegal cuceadeinteracµiunedintrecorpurileceformeaz sistemul.Caurmare,problemacelordou corpurisereduceastfellaceaaunuisingurcorpaatsubacµiuneauneiforµedetipcentral.Dup rezolvareaecuaµiei(3.50)seg se³telegeademi³care:~r12=~r12(t):(3.52)
9Conceptuldemas redus afostfolositpentruintroducereacorecµieidemas încalcululenergieielectro-nuluipeorbit înmodelulBohr,deoareceelectronul³inucleulexecut împreun orotaµieînjuruluneiaxecetreceprincentruldemas alsistemului.
64Capitolul3.Forµedetipcentral
Legiledemi³carealeec ruicorpsea u³orprinrecurgerealanoµiuneadecentrudemas alsistemului.Poziµiaacestuiasedene³teînfuncµiedepoziµiilecorpurilorcomponentealesistemului(exprimateprin~r1;~r2³i~r12)conformrelaµiei:~rCM=m1~r1+m2~r2
m1+m2:(3.53)MutândorigineaOasistemuluidereferinµ înCM,obµinem,pentruvectoruldepoziµiealcentruluidemas (CM)înraportchiarcusistemulcentruluidemas (SCM),expresia:(~rCM)SCM=0;(3.54)sau,echivalent:m1(~r1)SCM+m2(~r2)SCM=0:(3.55)Folosind(3.55)³ireprezentareadinFig.3.5,seobµin,pentruvectoriidepoziµieaicelordou corpuriînsistemulSCM,relaµiile:(~r1)SCM=m2
m1+m2~r12;(3.56)(~r2)SCM=m1
m1+m2~r12;(3.57)iarînsistemullaboratorului(SL):~r1=~rCM+m2
m1+m2~r12;(3.58)~r2=~rCMm1
m1+m2~r12:(3.59)Legiledemi³carealeluim1³im2potscrisedac estecunoscut valoarealui~rCM.Însistemullaboratorului,celedou corpurisemi³c împreun ,caopereche,unulînjurulceluilalt,întimpce,concomitent,arelocomi³carededriftacentruluidemas .Defapt,centruldemas sedepaseaz cuvitez constant ,astfelc ,pentruunobservatorcares-armi³caodat cuel,orbitelecorpurilorsuntsimpleelipse.ÎnFig.3.6suntreprezentateînsistemulcentruluidemas (SCM)traiectoriilecorpurilordemas m1;m2³iaceluidemas redus pentruexemplulnumeric:m1=m2=10=7³icondiµiiiniµiale:(1;0)respectiv(0;0,6).Dup cumindic ³irelaµiile(3.56),(3.57),celedou corpurisemi³c petraiectoriiase-menea,astfelîncâtraportulvectorilordepoziµieesteinversproporµionalcuraportulmaselor.Pentrucondiµiileiniµialealese,traiectoriilesunteliptice,cuunfocarcomunsituatînCM,corpurileindînpermanenµ diametralopuse.Traiectoriacorpuluisubacµiuneaforµeidetipcentraldepindedevaloareaenergieicinetice³ipotenµialeacorpului.Iat ,spreexemplu,înFig.3.7cumsemodic formatraiectorieicorpuluigenericdemas subacµiuneauneiforµedeatracµie,pentrudiferitevalorialeraportuluivitezeiiniµialefaµ devitezacorespunz toareuneiorbitecirculare(k=0;3;0;7;1;1;1;5).k=v
vc=v=
\rM
r:(3.60)
3.5.Problemacelordou corpuri65
-0.5
0
0.5
1
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
CM (r1) SCM m1 m2
x y (r2) SCM
Figura3.6:TraiectoriileînSCMalecorpurilordemas m1;m2³ipentruexemplulnumeric:m1=m2=10=7³icondiµiiiniµiale:(1;0)respectiv(0;0,6).
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.5 1.1 0.7 0.3 x y
Figura3.7:Traiectoriacorpuluigenericdemas redus pentrudiferitevalorialecoecientuluik.
66Capitolul3.Forµedetipcentral
3
3
3333
Figura3.8:Unsistemizolatdetreicorpuri,întrecaresemanifest doarforµedeinteracµiunegravitaµional .Înmodevident,dac unuldintrecorpuriaremasamultmaimaredecâtcel lat,sepoateconsiderac elsea chiarînpoziµiaCMasistemului.Înaceast aproximaµiecorpul"greu",M,r mâneimobil(deexempluSoarele,ac ruimas esteM=1:991030kg),înjurulluigravitândcorpul"u³or"(deexempluP mântul,cumasam=5:971024kg).3.6ProblemacelortreicorpuriProblemainteracµiuniidintrecorpuridevinefoartecomplex dac sem re³tenum rulcorpuriloraateîninteracµiune.S consider mtreicorpuriceformeaz unsistemizolat,întrecaresemanifest doarforµedeinteracµiunegravitaµional (Fig.3.8).Ecuaµiilecareledescriumi³careasunt:m1d2~r1
dt2=\rm1m2
r312~r12\rm1m3
r313~r13;(3.61)m2d2~r2
dt2=\rm2m1
r321~r21\rm2m3
r323~r23;(3.62)m3d2~r3
dt2=\rm3m1
r331~r31\rm3m2
r332~r32:(3.63)Acestaesteunsistemdetreiecuaµiidiferenµialedeordindoi,neliniare,cuplate,caresuntechivalentecuunsistemde³aseecuaµiiscalare.Rezolvareaarconduce,cunoscândcondiµiileiniµialereferitoarelapoziµia³ivitezaec ruicorp,ladeterminarealegilordemi³care³iapoi,prineliminareacorespunz toareatimpului,laecuaµiiletraiectoriilor.Dinp cate,nusepotg sisoluµiianaliticealeecuaµiilordiferenµialeprecedente,cidoarsoluµiiaproximative,g sitefolosindtehnicinumerice.Studiulproblemeiînsistemulcentruluidemas (SCM)simplic ³iînacestecondiµiicalculele,deoarececunoa³tereami³c riipermite,prinleg turadintrevectoriidepoziµieaiec ruicorpînSL³iînSCM,determinareami³c riiexacteaec ruicorp.ÎnFig.3.9esteredat formatraiectorieiobµinut prinrezolvareanumeric asistemuluiecuaµiilorscalare,surprins lapatrumomentedetimpdiferite,pentrutreicorpuridemase
3.6.Problemacelortreicorpuri67
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-2
-1
0
1
2
-1
-0.5
0
0.5
1
-2
-1
0
1
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
0
1
2
-4
-3
-2
-1
0
1
t*=2.5 t*=5 t*=10 t*=20
y y
Figura3.9:Traiectoriileobµinuteprinrezolvarenumeric ,pentrutreicorpuridemaseegale(liniegroas ,subµire³ipunctat ),surprins dup patruintervaledetimpdiferite(t),notatepeecarereprezentare.egale.Pentrueliminareaparametrilorcarenusuntabsolutnecesariîncalculelenumerices-aprocedatlaadimensionalizareasistemuluideecuaµii,prinintroducereacoordonatelorreduse:mi=mi
M;xi=xi
d;yi=yi
d;t=t
d=vc;vc=
\rM
d;(3.64)undedesteodistanµacaracteristic iarM-omas caracteristic .Avantajulpecareîlofer aceast adimensionalizareesteacelac elimin constanta\r.Condiµiileiniµialepentruceletreicorpuri(m3=m2=m1=0;5)sunt:(-0,1;0,8),(0,5;0),(-0,3;0)pentrupoziµiile(x0;y0)³irespectiv(0;-0,4),(0;0,3),(-0,3;-0,4)pentruvitezeleiniµiale(_x0;_y0)10.Seobserv modulîncaresecomplic traiectoriacorpurilorpem sur cesemic³oreaz distanµadintrecorpuri,datorit cre³teriiputerniceaforµeideinteracµiunegravitaµional .Oproblem deosebitdeinteresant ³iutil totodat dinpunctdevederealaplicaµiilorpractice,esteaceeaîncarem3esteneglijabil încomparaµiecucelelaltemase.Formatraiectorieiunuisatelit(m3=0;0005)lansatînspaµiulîncareexist unsistemdedou corpuricere³ticumaseegale(m1=m2=0;5)esteredat înFig.3.10.Poziµiileiniµiale(m1:(-0,5;0),m2:(0,5;0))aufostaleseastfelîncâtcentruldemas alcelordou corpuri
10Alegereaacestoradepindedeproblemaconcret caresestudiaz .Încondiµiiledefaµ elecorespund:d-distanµainiµial dintrecorpurile1³i2³iM-masatotal acelordou corpuri.Pentrusimplicareanotaµiilorvomfolosiînceleceurmeaz scriereaf r asteriscpentrum rimileadimensionalizate.
68Capitolul3.Forµedetipcentral
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x x x y y y y
Figura3.10:Traiectoriileunuisatelit(m3=0;0005,dup t=100-liniesubµire)ceporne³tedincondiµiiiniµialediferite,înjuruladou corpuridemaseegale(m1=m2=0;5-liniegroas ).s seaechiarînorigineasistemuluideaxe.Valorilevitezeloriniµiale(m1:(0;-0,5)³im2:(0;0,5))corespundmi³c riicorpurilorm1;m2petraiectoriicircularecuorigineaîncentruldemas .Celde-altreileacorp,demas neglijabil ,vaexecutami³c riperiodicesauhaotice,înfuncµiedecondiµiileluiiniµiale.ÎnFig.3.10suntsurprinse,dup untimpt=100,traiectoriilecelortreicorpuri.Seobserv cummodicareacondiµiiloriniµialealecorpului3(liniesubµire)schimb puternictraiectoriaacestuia.Delaotraiectorieperiodic (corpul3execut treibucleînchisepetimpuluneiperioadealecorpului1³i2)setrecespreotraiectoriecubucleinegale³iapoiînultimeledou cazurispreotraiectoriehaotic .Figura3.11ilustreaz mi³careaunuisatelit(m3=0;0005)încazulperechiiPamânt-Lun ,pentrucare:m1=81=82;m2=1=82,pentrudou condiµiiiniµialediferitealecorpuluim3(marcatepedesen),pentruacelea³icondiµiiiniµialealecorpurilor1³i2considerateînguraanterioar .3.7Probleme1.Oparticul semi³c peotraiectoriecircular subacµiuneauneiforµedetipcentral,cucentrulîntr-unpunctdepecerc.Ar taµic modululforµeiesteinversproporµionalcuputereaa5-aadistanµei.2.Unsatelitcumasam,neglijabil comparativcumasaPamântului,estelansatcuvitezavparalel cusuprafaµasolului,laîn lµimeade320km.Sedau:masaP mântului
3.7.Probleme69
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-2
-1
0
1
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
m1 m1
m3
m2 m3 m3 m2 m2 y y x x
Figura3.11:Mi³careaunuisatelit(m3=0:0005)încazulperechiidecorpuriPamânt-Lun ;s-aconsiderat:m1=81=82;m2=1=82³icondiµiileiniµiale:((-1;0),(0;0,506))-stânga³i((-2;0),(0;0,7))-dreapta.M=5:981024Kg,razaP mântuluiR=6:38106m³iconstanta\r=6:671011Nm2Kg1.(a)Calculaµivaloareavitezeinecesarepentruaaducesatelitulpeorbitacircular ;(b)Careestevitezade"evadare"asatelituluiînspaµiu?(c)Considerândc satelitulesteobservatlaunmomentulteriorlans rii,laodistanµ de1000KmdesuprafaµaPamântului,calculaµi:(c1)excentricitateaorbitei;(c2)viteza;(c3)energiatotal peorbitaeliptic .R spuns:(a)v=
\rM
r;(b)v=
2\rM
r;(c1)"=1
2a(rmaxrmin)(c2)v0=
\rM
2armax
rmin;(c3)E=\rMm
2a:3.Oparticul demas msemi³c peuncercderaz r0subacµiuneauneiforµeatractiveF(r)=1
r2exp(r
a);a�0.Ar taµic mi³careacircular estestabil doardac r0a.4.Uncorpsemi³c peoorbit spiral r=r0ekcur0,k-constante.Ar taµic forµacedetermin oastfeldemi³careestedetipcentral,inversproporµional cur3³ic variaz întimpdup olegelogaritmic .
Capitolul4
DinamicasistemelordiscretedeparticuleÎncapitoleleanterioareamrecurs,dinmotivedesimplitate,lamodelulpunctuluimaterial.Corpuriledinviaµareal potaproximate,într-om sur maimaresaumaimic ,caindpunctemateriale.Modelemaiapropiatederealitatearaceleaîncarecorpurilerealesuntaproximateprinsistemedepunctemateriale.Acesteapotformatedintr-unnum rnitdepuncte-a³a-numitelesistemediscretedepuncte-saupotconµine,chiarinoricevolumele-mentar,unnum renormdeparticule-a³a-numitesistemecudistribuµiecontinu demas ,pescurt,mediicontinue.Dincategoriasistemelordiscretedepuncte,putemaminti,caexemple,atomiisaumoleculeleunuigaz,electroniidininteriorulatomului1,sauplanetelesistemuluisolar.Dintreexemplelecelemaicunoscutedesistemecontinue,vomamintimodeluldeuid,sauceldecorpsolid.Pentruasemenµinecaoentitatestabil ,întreconstituenµiiunuiastfeldesistem,sauîntreace³tia³icorpurileexterioare,trebuies seexerciteforµedeatracµiesauforµedeleg tur .Deoarece,într-unfelsaualtul,oricesistemestealc tuitdintr-unansambludecorpuricepotconsideratepunctemateriale,m rimilecaracteristicesistemelordeparticuleseexprim caosum dem rimispecicepunctuluimaterial.Evident,aceast sum vaunaalgebric ,încazulm rimilorscalare³iunavectorial ,încazulm rimilorvectoriale.Trebuiemenµionatc ,încazulsistemelordepunctemateriale,apar³ioseriedem riminoi,carenusepotdeniîncazulunuipunctmaterial(cumartemperatura,densitatea,concentraµia,etc.).Înacestcapitolvomstudialegilemecaniciisistemelordiscretedepunctemateriale,pebazacuno³tinµeloracumulateînstudiulmi³c riipunctuluimaterial.4.1M rimicaracteristicesistemelordeparticuleS consider munsistemalc tuitdintr-unnum rNdeparticuledemasemi(Fig.4.1).Întrucâtmasaesteom rimescalar ,masasistemuluivaegal cusuma(algebric )amaselor
1înlimitelemodeluluiplanetaralatomului71
72Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
Figura4.1:Sistemdepunctematerialeparticulelorsistemului:m=Ni=1mi:(4.1)Dac not mcu~vivitezeleec ruipunctmaterialconstituentalsistemului,sepoatedeniimpulsulsistemuluicasuma(vectorial )aimpulsurilorec ruipunctmaterial:~p=Ni=1mi~vi=Ni=1~pi:(4.2)Încazulsistemelordepunctemateriale,exist dou categoriidistinctedeforµe:forµeinterne³iforµeexterne.Forµeledeinteracµiunedintreperechiledeparticuleleconstituentealesistemuluisenumescforµeinterne.Forµeledeinteracµiunedintreparticulelesistemului³ialtecorpuridinexteriorulacestuiasenumescforµeexterne.Rezultantaforµelorinterneestenul :Ni=1~Finti=Ni=1Nj=1j=i~Fij=1
2Ni=1Nj=1j=i(~Fij+~Fji)=*Fint=0;(4.3)întrucât,conformprincipiuluiacµiunii³ireacµiunii,acµiuneaexercitat depunctulmaterialiasuprapunctuluijdinsistemesteegal înmodul³iopus casenscureacµiuneaexercitat depunctuljasupraluii:~Fij=~Fji:(4.4)A³adar:Rezultantaforµelorinterneunuisistemdepunctematerialeestenul .S consider m,înceleceurmeaz ,c asuprasistemuluiacµioneaz unaltsistem(exterior),formatdinN0corpuri.Forµatotal (extern )ceacµioneaz asuprasistemuluideNparticuleva:Ni=1~Fexti=Ni=1N0k=1~Feik=*Fext:(4.5)Avândînvedere³iecuaµia(4.3),rezult c :
4.2.Centruldemas .Legideconservare73
Figura4.2:Dou sistemedepunctematerialeaateîninteracµiune.Forµarezultant ceacµioneaz asupraunuisistemdepunctematerialeesteegal cusumaforµelordeinteracµiunedintrecomponentelesistemului³icorpurileexterioareacestuia.~F=Ni=1~Fi=*Fint+*Fext=Ni=1N0k=1~Feik:(4.6)4.2Centruldemas .LegideconservareNoµiuneadecentrudemas afostdejaintrodus lastudiulproblemeicelordou corpuri.Vomgeneralizaaceast deniµiepentrucazulunuisistemdeNparticulecaracterizatedevectoriidepoziµie~ri.Centruldemas alunuisistemdepunctematerialeesteunpunctgeometricreprezentativpentrusistem,denitprinvectoruldepoziµie:~rCM=Ni=1mi~ri
Ni=1mi=1
mNi=1mi~ri;(4.7)undemreprezint masasistemului.Derivândrelaµia(4.7)înraportcutimpul,seobµinevitezacentruluidemas :~vCM=_~rCM=Ni=1mi_~ri
Ni=1mi=1
mNi=1mi~vi:(4.8)Seobserv c produsul:m~vCM=Ni=1mi~vi(4.9)reprezint impulsulsistemului.Prinurmare,impulsulcentruluidemas esteegalcuimpulsulsistemului,centruldemas indunpunctreprezentativalacestuia.
74Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
Derivândînc odat înraportcutimpulrelaµia(4.7)seobµineacceleraµiacentruluidemas :~aCM=_~vCM=ni=1mi_~vi
Ni=1mi=1
mNi=1_~pi:(4.10)Relaµiapoaterescris subforma:m~aCM=Ni=1d~pi
dt=Ni=1~Fi=~Fext:(4.11)Deci,acceleraµiapecareoarecentruldemas esteaceea³icuacceleraµiapecarearc p ta-ouncorppunctiform,demas egal cumasasistemului,subacµiuneauneiforµeegal cu~Fext.Aceast observaµiepermitesimplicareastudiuluidinamiciiunuisistemdecorpuri,însensulc ,maiîntâisedetermin caracteristicilemi³c riicentruluidemas subacµiuneaforµeirezultante³iulteriorsedetermin mi³careaec reicomponenteasistemuluiînraportcucentruldemas .4.3Legeaconserv riiimpulsuluiEcuaµia(4.11)conducedirectlalegeaconserv riiimpulsuluiunuisistemdepuncteizolatedeexterior.Întrucât,încazulunuisistemizolat,~Fext=0:~aCM=0)~p=Ni=1~pi=~const:;(4.12)ceeacereprezint formulareamatematic alegiiconserv riiimpulsuluisistemului:Impulsulunuisistemizolatdepunctematerialeseconserv .A³acums-aconstatatîncazulproblemeicelordou corpuri,uneoriestemaisimpl analizami³c riisistemelordepunctematerialeînraportcusistemulcentruluidemas (SCM),ur-mândcarevenirealasistemullaboratorului(SL)s sefac doarînnal,pentruasecompararezultateleobµinutecuexperimentul.Încazulîncareasuprasistemuluinuacµioneaz forµeexterioare,SCMesteinerµial.Vec-toruldepoziµiealunuicorpoarecaredinsistempoatescrisca:~ri=~rCM+(~ri)SCM:(4.13)Derivândrelaµiaînraportcutimpul,rezult c vitezaec ruicorpdepindedesistemuldereferinµ încareaceastaafostdenit :~vi=~vCM+(~vi)SCM:(4.14)
4.4.Legeaconserv riienergiei75
4.4Legeaconserv riienergieiS calcul mlucrulmecanicefectuatdeforµeleinterne³iexternecareacµioneaz asupraparticuleiasistemului,pentruaodeplasaîntrepunctelecaracterizatedevectoriidepoziµie~r1³i~r2.Linti+Lexti=r2r1(~Finti+~Fexti)d~ri=r2r1d~pi
dtd~ri=(4.15)=v2v1d
dt1
2miv2i=1
2miv2i(t)1
2miv2i(0);(4.16)adic :Lint+Lext=Ec(t)Ec(0);(4.17)unde:Lint=Ni=1Linti;Lext=Ni=1Lexti;(4.18)Ec(t)=Ni=11
2miv2i(t);Ec(0)=Ni=11
2miv2i(0):(4.19)Seobserv c lavariaµiaenergieicineticeasistemuluicontribuieatâtforµeleinternecât³iceleexterne.Încazulîncareforµelecareacµioneaz asuprasistemuluisuntconservative,atuncisepotdenienergiilepotenµialecorespunz toareacestora.Lint+Lext=(Eintp(t)Eintp(0))(Eextp(t)Eextp(0)):(4.20)Folosindecuaµiile(4.17)³i(4.20)seajungelalegeaconserv riienergieitotale:Ec(t)+Eintp(t)+Eextp(t)=Ec(0)+Eintp(0)+Eextp(0)=const:(4.21)Încazulunuisistemizolat,Lext=0³icaurmareseobµinelegeaconserv riienergieimecanice:Ec(t)+Eintp(t)=Ec(0)+Eintp(0)=const:(4.22)Energiapotential ,încazulunuisistemdecorpuriîntrecaresemanifest forµedeinterac-µiunegravitaµional ,depindedoardedistanµarelativ dintrecorpuri³inudepindedesistemuldereferinµ alespentrustudiulmi³c rii:Eintp=1
2Ni;j=1i=jEijp(j~ri~rjj):(4.23)Factorul1/2estenecesarpentruaeliminasumareadedou oriaaceluia³itermen,iar:Eijp=\rmimj
j~ri~rjj:(4.24)
76Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
Singurultermencaredepindedesistemuldereferinµ alespentrustudiulmi³c riiesteenergiacinetic .Avândînvedererelaµia(4.14),energiacinetic denit înSLeste:Ec=1
2Ni=1mi[(~vi)2SCM+2(~vi)SCM~vCM+v2CM](4.25)=1
2Ni=1mi(~vi)2SCM+~vCMNi=1mi(~vi)SCM+1
2~vCMNi=1mi(4.26)=Ni=11
2mi(~vi)2SCM+1
2m~vCM=(Ec)SCM+1
2m~vCM:(4.27)Deoareceimpulsulcentruluidemas m suratînraportcucentruldemas estenul,rezult :Ni=1mi(~vi)SCM=m(~vCM)SCM=0:(4.28)Înconcluzie,energiacinetic aunuisistem,m surat înraportcuSL,esteegal cuenergiacinetic m surat înSCM(numit energiecinetic intern )lacareseadaug energiacinetic detranslaµieaCM(numit energiecinetic orbital ).Energiaintern este:Eint=(Ec)SCM+Eintp:(4.29)Deoarecepentruforµeledetipatractivenergiapotenµial estenegativ ,energiaintern aunuisistempoateaveaatâtvaloripozitivecât³ivalorinegative,dup cumenergiacinetic intern estemaimic saumaimaredecâtenergiapotenµial intern .Unsistemsenume³telegatdac forµeleinterneîlmenµinlocalizatîntr-oregiunenit dinspaµiu(exemplusistemulplanetar,sistemulatomic,sistemulnuclearetc.).Sistemelelegateauenergieintern negativ .Sistemulestestabilatuncicând:Eint=0:(4.30)Pentruadesfacesistemulînp rµilecomponente³iaeliberaastfelparticuleledinsistem,trebuies furniz macestuiaoenergiepozitiv devaloare:Eleg=Eint:(4.31)4.5Legeaconserv riimomentuluiunghiularS calcul mmomentulforµeicareacµioneaz asuprapunctuluimaterialidinsistem,înraportcuorigineaO:~Mi=~ri~Fi:(4.32)
4.5.Legeaconserv riimomentuluiunghiular77
Asuprapunctuluiiacµioneaz atâtforµedinparteacelorlaltepunctedinsistemcât³iforµedinexterior:~Fi=Ni=1~Fintij+~Fexti:(4.33)Momentultotalalforµelorcareacµioneaz asuprasistemuluiestedatdesumavectorial amomentelorindividuale:~M=Ni=1~Mi=Ni=1Nj=1~ri~Fintij+Ni=1~ri~Fexti:(4.34)Sumadubl conµinetermenidetipul:~ri~Fintij+~rj~Fintji;(4.35)care,datorit faptuluic :~Fintij=~Fintji;(4.36)seanuleaz ,întrucâtconµineprodusevectorialedevectoricoliniari:(~ri~rj)~Fintij=~rji~Fintij=0:(4.37)Momentulunghiulartotalvadeterminatdoardeforµeleexterioare:~M=Ni=1~ri~Fexti:(4.38)Pedealt parte:~M=Ni=1~rid~pi
dt=d
dtNi=1(~ri~pi);(4.39)dincauzacoliniarit µiivectorilor~vi³i~pi(~vi~pi=0).Seobµine:~M=d
dtNi=1~Ji=d~J
dt;(4.40)unde:~J=Ni=1~Ji(4.41)estemomentulunghiulartotalalsistemuluidepunctemateriale.Aceast m rimeseconserv ,adic î³ip streaz neschimbatem rimea,direcµia³isensul:~J=!const:(4.42)atuncicând:(a)sistemulesteizolatadic ,Ni=1~Fexti=0;(b)cândasuprasistemuluiacµioneaz forµedetipcentral,adic ~ri~Fexti=0.
78Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
4.6Ciocniri.Deniµii³iclasic riProcesuldeinteracµiunedescurt durat dintredou saumaimultecorpuri2senume³teciocnire.Forµadeinteracµiunecareapareînmomentulciocniriiestemultmaimaredecâtoricealt forµ exterioar ,deaceea,pedurataciocnirii,sistemulseconsider izolat.Înacestecircumstanµesuntvalabilelegiledeconservarealeimpulsului³ienergieitotale:~p=~p0;(4.43)Ec+Eint=E0c+E0int:(4.44)undes-aunotatcu"'",m rimiledup ciocnire.Exist dou modalit µideproducereaciocnirii:(a)princontactdirect(deexempluciocniriledintrebilelajoculdebiliard,coliziuniledirecte,etc.)(b)prinintermediulacµiuniiladistanµ mijlocitedeprezenµacâmpului(deexempluciocniricomet -Soare;ciocniriîntreparticuleînc rcate,etc.).Îngeneral,num ruldeparticuledinaintedeciocnirepoates ediferitdenum ruldeparticuledup ciocnire.Clasicareaciocnirilorsepoatefaceînfuncµiedediversecriterii.Unuldintreacesteafolose³tenoµiuneadenumit energiedereacµie,Q,denit cadiferenµadintreenergiaintern asistemuluiînst rileiniµial ³inal :Q=EintE0int:(4.45)1.Dac Q=0,avemdeafacecuociocnireelastic 3.Înacestcaz,seconserv nunumaiimpulsulsistemului,ci³ienergiasacinetic :~p=~p0;(4.46)Ec=E0c:(4.47)2.Dac Q=0ciocnireaesteneelastic (a)Q0ciocnireendoenergetic (despeµaI-a):EcE0c:(4.48)Cre³tereaenergieiinternesefacepeseamadiminu riienergieicinetice.Înaceast categorieintr mareamajoritateaciocnirilorinelastice.Proceseledeexcitare³iionizaresuntciocniriinelasticedespeµaI-a.
2durat multmaimic decâtceaîncareacesteanuinteracµioneaz 3Astfeldeciocniriseîntâlnesc,deexemplu,încazulîmpr ³tieriielasticeaparticulelor penucleegrele(împr ³tiereRutherford),laciocnireafoton-electron(efectCompton),etc.
4.6.Ciocniri.Deniµii³iclasic ri79
(b)Q�0ciocnireexoenergetic (despeµaaII-a)Ec�E0c:(4.49)Sc dereaenergieiinternesefacepeseamacre³teriienergieicineticedup ciocnire.Înaceast categorieintr ³iproceseleatomicededezexcitare,recombinare,reacµiilenuclearedesiune³ifuziune,etc.Unaltcriteriuclasic ciocnirileîn:a)directe;b)inverse.Unexempludeciocnireinvers îlconstituieoexplozie.Unlmalunuiastfeldeeveniment,proiectatinvers,nevaar taociocnireplastic ,careesteociocniredirect .Deasemenea,înfuncµiedeorientareavitezelorparticulelor,ciocnirilesepotclasicaîn:a)uni-dimensionale;dac vitezeleparticulelorînainte³idup ciocnirer mânpeaceea³idreapt suport(putândaveaunsenssaualtul,peaceast dreapt ),b)oblice;dac acestevitezefacunghiuridiferitede0sau180o.Exist dou metodedestudiuaciocnirilor.Primadintreelefolose³tea³anumitulmodelasimptotic,conformc ruiatraiectoriileparticulelorînainte³idup ciocniresuntrectilinii³inuseµinecontdeceeaceseîntâmpl cucorpurileînzonadeciocnire.Într-oadouaabordare,sefolose³temodeluldinamiciiciocnirilor.Acestmodeldetaliaz traiectoriaparticulelorînzonadeciocnire³iµinecontdetoatecauzeleceinuenµeaz mi³careacorpurilorpedurataciocnirii.4.6.1Impulsulforµei³ivariaµiaimpulsuluiîndecursulciocniriiSeadmitedreptmomentdestart(t)aluneiciocniri,acelaîncareforµelenou-ap rutedatorit interacµiuniidintrecorpuriproducefectem surabile,iarmomentuldestop,(t0),acelaîncareacesteforµedevinneglijabile.ÎnFig.4.3estereprezentat oposibil variaµietemporal aforµelor-perechiexercitateasupraadou bileelasticecareseciocnescîntreele.Într-unintervaldetimpinnitezimal,pedurataciocnirii,forµaF(t)vadeterminaovariaµieinnitezimal aimpulsuluiec ruicorp.ConformprincipiuluialII-leaaldinamicii:~F=d~p
dt)d~p=~F(t)dt:(4.50)M rimead~preprezint variaµiaelementar aimpulsului,iarprodusul~Fdtsenume³teimpulsulelementaralforµei.Integrândecuaµia(4.50)întremomentelet³it0,vomg si:~p0~p=t0t~F12(t)dt;(4.51)sau,pentruprimulcorp:~p1=~F12&#x-3.2;≦t;(4.52)încare~F12&#x-3.2;≦reprezint valoareamedieaforµeipeduratat.A³adar,variaµiaimpulsuluiunuicorp,determinat deprocesuldeciocnire,esteegal cuimpulsulforµeit0t~F12(t)dt.
80Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
t’=t+t
Figura4.3:Variaµiaîntimpaforµelordeacµiune³ireacµiunepedurataciocniriiadou corpuri.Impulsulforµei(denumituneori³ipercuµie)estenumericegalcuariaha³urat desubcurbaF=F(t).DinFig.4.3seobserv c ariadreptunghiuluiF12&#x-278;&#x.223;testeegal cuariadesubcurbaF12=F12(t).Orelaµiaanaloag cu(4.52)sepoatescrie³ipentrucorpul2:~p2=t0t~F21(t)dt=~F21&#x-3.2;≦t:(4.53)Dac presupunemc celedou corpuricareseciocnescconstituieunsistemizolat³idac ,înplus,µinemcontdeprincipiulacµiunii³ireacµiunii(~F12=~F21înoricemoment),atunciariiledesubceledou curbeF12(t)³iF21(t)suntegale,astfelîncât:~p1=~p2;(4.54)sau:~p01~p1=~p02+~p2:(4.55)Amreg sitastfellegeaconserv riiimpulsuluisistemuluideparticule:Impulsulsistemuluidup ciocnireesteegalcuimpulsulacestuiaînaintedeciocnire.Observaµie:1.Legeaconserv riiimpulsuluir mânevalabil chiar³iatuncicândceledou corpuriceseciocnescsea încâmpulunuial3-leacorp(decelemaimulteori-P mântul),înm suraîncareduratataciocniriiestefoartemic ,astfelîncâtimpulsulforµelordegreutate~G1t³i~G2ts eneglijabilîncomparaµiecuimpulsurile~F12&#x-3.2;≦t³i~F21&#x-3.2;≦taleforµelorimpulsive4.
4Pedurataciocnirilorcorpurilerealesufer procesededeformareîncareaparforµeimportantecam rime(aproapeîntotdeauna,multmaimaridecâtforµeledeinteracµiunedinafaraciocnirii)³iac rorvariaµieîntimpestedestuldecomplicatdedeterminatînpractic .Acesteforµedescurt durat senumescforµeimpulsive.
4.6.Ciocniri.Deniµii³iclasic ri81
2.Legeaconserv riiimpulsuluiî³ip streaz valabilitateaînmultecazuridoardup oanu-mit direcµie,dup careforµadegreutateestecompensat înefectdeforµedeleg tur (reacµiuneanormal vertical laosuprafaµ ,tensiuneadintr-unr,etc.).Deexemplu,ciocnireaelastic sauplastic ,înpunctulO,adou penduleformatedindou corpuridemasem1³im2,suspendatededou resautije,caînFig.4.4.sefacecurespectarealegiiconserv riiimpulsuluidup direcµiavertical Oy,dup care~G1;2t=~T1;2t
llm2m1y
xG1G2T1T2O
Figura4.4:Ciocnireaadou pendulesefacecurespectarealegiiconserv riiimpulsuluidup direcµiaOy;dup care,pentruecarecorp,greutateaesteegalat detensiuneadinruldesuspensie.3.Legeaconserv riiimpulsuluipermiteg sirearelaµiilordeleg tur întreimpulsurilecelordou corpurif r anecesar cunoa³tereaexplicit adependenµei~F(t)acelordou forµedepercuµie5.Acestlucruesteesenµialînprivinµaconsecinµelor,avândînvederec a³acumammenµionat³ianterior,estefoartedicildeg sitexpresiaanalitic adependenµeidetimpacelordou forµe.4.Legeaconserv riiimpulsuluiestesinguralegegeneral careleag întreelem rimileiniµiale³inalealecomponentelorsistemului,avândînvederec -încazulciocniriiplastice-energiamecanic nuseconserv ,forµeleimplicateînacestprocesindne-conservative.5.Gracul-oglind dinFig.4.3corespundeuneiciocniriuni-dimensionaleîntreobiecteobi³nuite,careajungîncontact.Exist ,îns ,situaµiiîncareforµeledepercuµiesuntderaz lung (forµegravitaµionalesauelectrice)încarearmaµiileprecedentepots nuerigurosadev rate.Acestlucrusedatore³tefaptuluic interacµiunilereciprocenusetransmitinstantaneu³i,înm suraîncaretimpulnecesartransmiteriiacµiuniiladistanµ estecomparabilcudurataciocnirii,noµiuniledeacµiunesaureacµiuneinstantaneenumaipotfolosite.Oastfeldesituaµieapareînelectromagnetism,încaresuntnumeroaseexempledeinteracµiuniîntârziate.Aici,interacµiuniledintresarcinileelectriceauloc
5Înprincipiu,nuestenecesarcaforµeledeformatoarecaresemanifest asupracelordou corpuris ecore-latelaoricemoment,atâtavremecâtintegralelemenµionatesuntegale.Nuexist ,îns ,doveziexperimentalec eleardiferite,deaceeanoipresupunemc elesuntegaleînoricemoment.
82Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
prinintermediulcâmpuluielectromagnetic,iarîntârziereaestedatorat vitezeiniteapropag riicâmpului.Transferuldeimpulsîntredou sarcini(carearputeas apar prinintermediulcâmpului,deexemplu,caurmareauneimi³c ribru³teauneiadintresarcini)sevafacecuoîntârziereegal curaportuldintredistanµadintreceledou sarcini³ivitezaluminii,c(dac celedou sarcinisea învid).A³adar,dac examin mecareparticul separat,unadintreacesteapoates -³ivariezeimpulsulcuocantitatep1;cares nueegal ³idesemncontrarcuvariaµiaimpulsuluiceleilalteparticule,laacela³imoment.Aparent,conservareaimpulsuluinuesterespectat înacestcaz!A³acumvomvedeaîncadruldiscipliniiEectrodinamic ,estedoaroînc lcareaparent alegiiconserv riiimpulsuluideoarece,larânduls u,câmpulelectromagneticcaremijloce³tetransportuldeimpulsareasociatunimpuls.Tablouldevinemaipuµin"obscur",dac seareînvederec transferulenergieielectromagneticesefaceprinintermediulfotonilor.Înacestsens,seadmitec interacµiuneastatic dintredou sarcinielectricearelocprinintermediulunuischimbcontinuudefotonivirtuali.4.6.2Ciocniriuni-dimensionaleCiocnireaplastic (totalneelastic )unidimensional S consider mprocesuldeciocnireplastic dintredou corpuridemasem1³im2caresedeplaseaz peoaceea³idreapt ³iînacela³isens,cuvitezele~v1³i~v2(Fig.4.5).Pentrucaciocnireas seproduc trebuieca~v1�~v2:
Figura4.5:Secvenµeleunuiprocesdeciocnireplastic unidimensional întredou corpuri.Dup ciocnireceledou corpuriselipesc,deplasându-secaunulsingurcumasa(m1+m2).Vitezacorpurilordup ciocnireseg se³teaplicândlegeaconserv riiimpulsuluisistemului:m1~v1+m2~v2=(m1+m2)~v0(4.56)~v0=m1~v1+m2~v2
m1+m2:(4.57)Aceast vitez ,dup cumeradea³teptat,este:v1�v0�v2:(4.58)Variaµiiledevitez aleec ruicorpînparte,înurmaciocnirii,sunt:~v1=~v1~v0=m2(~v1~v2)
m1+m2;(4.59)~v2=~v0~v2=m1(~v1~v2)
m1+m2:(4.60)
4.6.Ciocniri.Deniµii³iclasic ri83
Energiadereacµie(c ldura)degajat întimpulprocesuluiareexpresia:Q=E0c(Ec1+Ec2)=1
2(m1+m2)v021
2m1v211
2m2v22=1
2m1m2
m1+m2(~v1~v2)2=1
2v2rel;(4.61)undeestemasaredus asistemului,iarvrelestevitezarelativ acorpurilor.ExempluOarm trimiteorafal dengloanµedemas mcuvitezav,pedirecµieorizontal ,asupraunuiblocdinlemncumasaMaatiniµialînrepauspeosuprafaµ orizontal .Presupunândc nuexist frecare,s determin mvitezapecareovaaveabloculdelemndup ce"absoarbe"toategloanµele.Sistemulformatdincelengloanµe(careajungpracticînacela³itimp)³ibloculdinlemnesteunsistemizolat.Caurmare,impulsultotalalsistemuluipedirecµiaxseconserv 6.Lamomentuliniµial,sistemulconst dinngloanµecesemi³c ecarecuvitezav³ibloculdinlemnaatînrepaus.Impulsultotalpedirecµiax,lamomentuliniµial,este:Px0=nmv+M0=nmv:(4.62)Dup cegloanµeles-auopritînbloculdelemn,masaacestuiacre³telavaloareaM+nm.S not mcuVvitezapecareoobµineblocul,exactdup oprireagloanµelor.Impulsultotalpedirecµiax,lamomentulconsiderat,este:Px(t)=(nm+M)V:(4.63)Avândînvedereconservareaimpulsului,rezult c vitezapecareocapat bloculdinlemnva:V=nm
nm+Mv:(4.64)Indiferentdenum rulgloanµelortrase,vitezapecareocap t bloculdinlemnesteîntotdeaunamaimic decâtvitezagloanµelor.Ciocnireacentral elastic uni-dimensional Vomstudiaciocnireaelastic central dintredou corpuri,folosindrezultateleg siteîncazulciocniriiplasticecentrale.Astfel,dup cecorpurileajungîncontact,sepoateconsiderac ciocnireaelastic sedesf ³oar îndou etape:1.etapaI,dedeformareplastic acorpurilor,caresetermin atuncicândacesteaajungs aib aceea³ivitez ;2.etapaaII-a,înurmac reiacorpurilerevinlaformainiµial ,dup caresesepar dinnou.
6deoarecesingureleforµecareacµioneaz (greutatea³inormala)suntpedirecµiavertical (y)
84Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
Primaetap estesimilar uneiciocniriplasticedirecte,avândînvederec ,lasfâr³itulei,corpurileajungs aib aceea³ivitez .Adouaetap estesimilar uneiciocniriplasticeinverse,însensulc "lmul"eiesteimagineaproiectat însensinversalmuluietapeiI.Deaceea,variaµiiledevitez acelordou corpuriînurmaciocniriisunt:~v01=~v12~v;(4.65)~v02=~v2+2~v:(4.66)unde~vestevitezacomun acorpurilorlasfâr³ituletapeiI.S-aconsideratj~v1j�j~v2j,astfelc j~v1j�j~vj�j~v2j.Înlocuindexpresia(4.57)seobµine:~v01=2m1~v1+m2~v2
m1+m2~v1;(4.67)~v02=2m1~v1+m2~v2
m1+m2~v2:(4.68)Exist urm toarelecazuriparticulare:1.~v2=0;Vitezeledup ciocnireaelastic vor:~v01=m1m2
m1+m2~v1;(4.69)~v02=2m1
m1+m2~v1;(4.70)iarenergiilecineticepentruecarecorp:E0c1=m1m2
m1+m22Ec1;(4.71)E0c2=4m1m2
(m1+m2)2Ec2:(4.72)2.m1=m2,~v2=0;Vitezeledup ciocnireaelastic vor:~v01=0;(4.73)~v02=~v1;(4.74)iarenergiacinetic aec ruicorp:E0c1=0;(4.75)E0c2=Ec1:(4.76)Într-unastfeldecazparticular,corpurileî³ischimb întreeleviteza.Particulaaat iniµialînmi³careî³ipierdetoat energiacinetic .Oaplicaµiepractic aunuiastfelderezultatestefolosireaapeigrelecamoderatorînreactoriinuclearicusiune,pentruîncetinireaneutronilor.
4.6.Ciocniri.Deniµii³iclasic ri85
3.m2��m1;Acestcazcorespundeciocniriideunperete.Seobµine:~v01=~v1;(4.77)~v02=0;(4.78)ceeaceînseamn c particulaestereectat deperete.4.m2m1;Acestcazcorespundeunuipereteînmi³care,careciocne³teoparticul .Seobµine:~v01=~v1;(4.79)~v02=2~v1;(4.80)ceeaceînseamn c pereteleî³icontinu mi³careaf r aînniciunfelperturbat,întimpceparticulacap t ovitez dedou orimaimaredecâtceaaparticuleiincidente.CoecienµiderestituireOm rimedeinteresîncazulciocnirilorfrontaleunidimensionaleestecoecientulderesti-tuire,k.Într-ociocnireperfectelastic ,uni-dimensional ,legeaconserv riiimpulsului³ilegeaconserv riienergieiconduclaecuaµiilebinecunoscute:m1v1+m2v2=m1v01+m2v02;(4.81)m1v21
2+m2v22
2=m1v021
2+m2v022
2:(4.82)Rearanjândtermeniiîntreacestedou ecuaµii,g sim:m1v1v01=mv2v02;(4.83)m1v21v021=mv22v022:(4.84)Împ rµindtermencutermenultimeledou ecuaµii,vomobµine:v1v01
(v1v01)(v1+v01)=v2v02
(v2v02)(v2+v02);(4.85)adic :v1+v01=v02+v2:(4.86)Cualtecuvinte:v1v2=v01v02:(4.87)A³adarvitezarelativ iniµial (vrel)=v1v2³ivitezarelativ nal (vrel)0=v01v02suntînrelaµia:(vrel)0=(vrel);(4.88)
86Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
adic vitezadeapropiereacelordou corpuriînaintedeciocnireesteegal cuvitezadeîndep rtarealor,dup ciocnire.Senume³tecoecientderestituire,raportul:k=v02v01
v2v2:(4.89)Rezult c ,într-ociocnireperfectelastic unidimensional ,k=1.Într-ociocnireperfectinelastic (plastic ),încondiµiileîncareîntotdeaunav02v01=0)k=0.Ciocnirileuni-dimensionalerealesecaracterizeaz princoecienµiderestituirecuprin³iîntre0³i1.4.6.3Ciocnirioblice(bi-dimensionale)Încelemaimultedincazuri,direcµiileimpulsuriloriniµialealecorpurilorcareseciocnescfacîntreeleununghidiferitde0sau1800.Studiulciocniriipresupunedeterminareaparame-trilorcorpurilor(viteze³idirecµiidemi³care)dup ciocnire.Chiarcunoscândvitezeleiniµiale(v1;v2)³iunghiuldintreacestea,num ruldenecunoscuteestemaimaredecâtnum ruldeecuaµiipecareleputemscriefolosindu-nedelegeaconserv riiimpulsului³iaenergieimecanice(aceastadinurm pentrucazulciocnirilorelastice).Oexcepµiearconstitui-o,a³acumvomvedeaîncontinuare,ciocnireaoblic plastic .Ciocnireaelastic oblic Încazuluneiciocnirielasticebi-dimensionaleavem4necunoscute(celedou componentealevitezelor~v01³i~v02)³idoar3ecuaµii:unacareexprim legeaconserv riienergiei³ialtedou -legeaconserv riiimpulsuluiproiectat pedirecµiileaxelordecoordonate.Înacestcaz,estenecesar cunoa³tereaforµeideinteracµiune(sauapotenµialuluideinteracµiune)dintrecorpuri.Exist omultitudinedepotenµialedeinteracµiune,înfuncµiedenaturaproceselorceaulocpedurataciocnirii³ideexigenµelemodeluluizicales.Înpractic ,informaµiidesprenaturapotenµialuluideinteracµiuneseobµindinanalizadistribuµieiunghiulareaparticuleiµint rico³at înurmaciocnirii³iaceleiproiectilcaresufer unprocesdeîmpr ³tiere.Pentrurezolvareaproblemei,dinpunctuldevederealmecanicii,estenecesar ,înplus,cunoa³tereaunghiuluif cutdeceledou vitezenale.S examin m,încontinuare,ciocnireadintreoparticul -proiectildemas m1³ioalta-µint ,aat înrepaus.De³iacestcazpareunulparticular,nueste,deoarecesepoatealegeîntotdeaunaunreferenµiallegatdeparticulaµint ³ireduceoriceproblem launadeacesttipparticular.Unastfeldecazaparefrecventînzicanuclear ,zicaatomic sauzicaplasmei.Interacµiunea,pedurataciocnirii,poates edenatur gravitaµional (cumseîntâmpl deexemplu,încazulciocniriidintrecomet ³iSoare),electromagnetic saunuclear (cumseîntâmpl ,deexempluînexperienµelededifuzieaparticulelor penucleedeAu,efectuatedeRutherford).S consider mparticula2plasat înorigineareferenµialuluiR³iparticula1careseapropiedeaceastadup otraiectorieiniµial rectilinie.DistanµadintreOx³idreaptatraiectorieaparticulei1;notat cubsenume³teparametrudeciocnire.Încazulîncareb=0,reg simcazulparticularalciocniriiunidimensionale(frontale).
4.6.Ciocniri.Deniµii³iclasic ri87
Dinmomentulîncareceledou corpuriajunglaodistanµ r0;forµele-perechi,pecarelevompresupune,deexemplu,derespingere,vordeterminacurbareatraiectorieiparticulei1.Aceastavaluaformaunuiarcdehiperbol (a³acumamar tatînCap.5)dac potenµialuldeinteracµiuneesteunuldeformaV=+K
r.Particula2vaplecaîntr-omi³careaccelerat (Fig.4.6).
m1m2m1m2v1v’1v’2
byxOr0Rq1q2
zona deinteractiune
Figura4.6:Unexempludeciocnireoblic bi-dimensional .Ciocnirileindelastice,serespect legeaconserv riienergiei:1
2m1v1=1
2m1v021+1
2m2v022(4.90)³iaimpulsului:m1v1=m1v01cos1+m2v02cos2(dup Ox);(4.91)0=m1v01sin1+m2v02sin2(dup Oy):(4.92)A³adar,avem4necunoscute(v01;v02;1³i2)³idoar3ecuaµii.Deaceea,ceeacevomputeascrieînnalvaorelaµieîntrev01³iv02cafuncµiideoalt m rimem surabil experimental,deexemplu1.Vomrescrieecuaµiile(4.91)³i(4.92),trecândînmembrulîntâim rimileceserefer laparticula1³iînmembrulaldoilea-celereferitoarelaparticula2:m1v1m1v01cos1=m2v02cos2;(4.93)m1v01sin1=m2v02sin2:(4.94)Împ rµindprinm1ambeleecuaµii³iridicându-leapoilap tratvomobµine:v21+v021cos212v1v01cos=m2
m12v022cos2;(4.95)v021sin2=m2
m1v022sin22:(4.96)
88Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
Adunândmembrucumembruacesteultimedou ecuaµiig sim:v21+v0212v1v01cos=m2
m12v022:(4.97)Dinecuaµia(4.90)avem:v022=m1
m2v21v021:(4.98)Înlocuindrelaµia(4.98)în(4.97)g sim:v1
v1=m1
m1+m2cos1
cos21m21m22
m21:(4.99)Cazuriparticulare(a)1=0.Acestaestecazuldejaanalizat,alciocniriiuni-dimensionale.Într-adev r,încondiµiileîncareconsider msemnul(+)³i,respectivsemnul(-)înparantezadinmembruldreptalecuaµiei(4.99),vomg sic :v01=v1;v02=0(4.100)³i,respectiv:v01=m1m2
m1+m2v1:(4.101)Relaµiile(4.100)arat c înacestcaznuexist ciocnire.Încazulal2-lea,valoarealuiv02va:v02=2m1
m1+m2v1(4.102)(b)m1�m2.Pentrucam rimeadesubradicalînecuaµia(4.99)s epozitiv (ceeacecorespundeuneivalorirealealuiv01,cazulcontrarindlipsitdesens)estenevoieca:cos21�m21m22
m21:(4.103)Vaexistaununghimaximdeîmpr ³tiere,m,încondiµiileîncare:cos21m=m21m22
m21=1m2
m12;01m
2:(4.104)A³adarunghiul1mestecuprinsîntre0³i
2;unghiul1nupoatemaimaredecât
2.Oberv mc ,dac m1��m2;unghiuldeîmpr ³tiere1tindelazero.Încondiµiileîncare11m,exist dou valorialeraportuluiv01
v1:primavaloarecorespundea³a-numiteiciocnirirazante,ceade-a2-a,maimic ,ciocniriifrontale.(c)m1m2.Înacestcaznumaiexist restricµiiasupravaloriilui1,acestaputândluaoricevaloareîntre0³iradiani.Încazulîncare1&#x-355;&#x.223;
2,procesulsenume³teretro-împr ³tiere.
4.6.Ciocniri.Deniµii³iclasic ri89
(d)m1=m2.Înmulµindrelaµia(4.91)cucos1³irelaµia(4.92)cusin1³iapoiadunându-leg sim:v1cos1=v01+v02cos(1+2):(4.105)Deoarecem1=m2,relaµia(4.99)devine:v01
v1=cos1:(4.106)Înlocuind(4.106)în(4.105)g sim:v1cos1=v1cos1+v02cos(1+2);(4.107)adic :cos(1+2)=0;(4.108)sau:1+2=
2:(4.109)A³adar,înacestcaz,dup ie³ireadinsferadeinteracµiune,celedou particuleseînde-p rteaz unadecealalt ,dup dou direcµiicarefacîntreeleununghide90o.Ciocnireaneelastic oblic .CalcululenergieidereacµieS consider mprocesuldeciocnireplastic dintreuncorpcumasam1³ivitezainiµial ~v1³iuncorpcumasam2;aatiniµialînrepaus.Dup ciocnire,vitezelecelordou corpurisunt~v01�~v02,direcµiadedeplasareindoarecare.S not mcuunghiulpecareîlfacedirecµiademi³careaprimuluicorpdup ciocnirecuceadedinaintedeciocnire(Fig.4.7).S 
Figura4.7:Ciocnireneelastic necentral consider msituaµiageneral ,încaremaselecorpurilorsemodic întimpulciocnirii(m01;m02suntmaselecorpurilordup ciocnire).Legeaconserv riiimpulsuluiconducelaegalitatea:~p1+~p2=~p01+~p02:(4.110)
90Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
Avândînvederec p2=0,relaµiadintremoduleleimpulsurilorcorpurilor,înainte³idup ciocnireeste:p022=p021+p212p01p1cos:(4.111)Energiadereacµiecap t expresia:Q=p021
2m01+p022
2m02p21
2m1;(4.112)care,folosind(4.111),setransform în:Q=p021
2m01+p021
2m02+p21
2m022p01p1
2m02cosp21
2m1(4.113)=p021
2m011+m01
m02+p21
2m1m1
m0212p01p1
2m02cos(4.114)=E0c11+m01
m02+Ec1m1
m0212
E0c1Ec1m01m1
m02cos:Aceast relaµieestefolosit înspecialînzicaatomic ³inuclear indcunoscut subnumeledeformulaQ.4.7Analizaproceselordeciocnireînsistemulcentruluidemas A³acumamv zutîncapitoleleanterioare,raportareami³c riioric ruicorpsepoateface,elaunreferenµialextern,denumitsistemullaboratorului(notatSLsauR),elaacelaalcentruluidemas (notatSCMsauR).Fiecaredinacestevarianteprezint oseriedeavantaje³iinconveniente.SLneofer ocaleintuitiv ³ifrecventutilizat înviaµacotidian deaobservami³careaunorcorpuri.Demulteori,îns ,calculelematematicenecesarepentruag si,înnal,rezultatulc utat,suntfoartelaborioase,iarrelaµiilematematice-foartelungi³icomplicate.Tabloulsesimplic înmodconsiderabilînSCM,îns unastfeldesistemdereferinµ paremainesigur,celpuµinpentrucelcarenuestefamiliarizatcuacesta,într-oprim etap deutilizare.Pentrusimplicareacalculelor,esteconvenabils plec mdelaSL,s exprim mapoim rimiledeinteresînSCM³is revenim,înnallaSL,ocolindastfelinconvenienteleutiliz riisistemuluilaboratorului.S ilustr mstudiulciocnirilorînsistemulcentruluidemas .Observaµiilesuntf cutedinorigineaO0aluiRcaresemi³c ,deci,înraportcuuneventualSL,cuvitezacentruluidemas .Vomplecadelaunexempludemi³careuni-dimensional .Oparticul demas m1semi³c cuvitezav1apropiindu-sedeoalt particul demas m2,aat înrepaus,înx2(Fig.4.8).Centruldemas sea laodistanµ xCMdeorigineaO,astfelîncât:(m1+m2)xCM=m1x1+m2x2:(4.115)Derivândrelaµia(4.115)obµinem:(m1+m2)vCM=m1v1+m2v2:(4.116)
4.7.Analizaproceselordeciocnireînsistemulcentruluidemas 91
O'=CM
Figura4.8:Unsistemdeparticule³icentrullordemas .•inândcontc ,încazulnostru,v2=0,vomobµine:vCM=m1v1
m1+m2=
m2v1;(4.117)încareamnotatcumasaredus asistemului.UnobservatorplasatînO0vaconstatac particula1areovitez :v1=v1vCM=m2
m1+m2v1=
m1v1;(4.118)iarparticula2vitezav2:v2=v2vCM=0vCM=
m2v1:(4.119)Particulele1³i2seapropiedeO0,a³acumrezult ³idinFig.4.9.
O'=CM
**R*
Figura4.9:Celedou particuleseapropiedeO0,undesevaproduceciocnirea.Impulsulcelordou particule,calculateînSCMvor:p1=m1v1=m1m2
m1+m2v1=v1;(4.120)p2=m2v2=m1m2
m1+m2v1=v1:(4.121)ImpulsultotaliniµialalsistemuluideparticuleînraportcuR:p=p1+p2=0:(4.122)Înconformitateculegeaconserv riiimpulsului,³iimpulsulnal,imediatdup ciocnire,vatrebuis enul.Considerândociocnireelastic unidimensional ,înaintedeciocnire,particulele1³i2seapropiedeO0cuvitezelev1³i,respectiv,v2;înurmaciocniriielesevordeplasa,deasemeneadup aceea³idirecµie(carepoatefaceoriceunghicuceainiµial ),îndep rtându-sedeO0cuvitezele,v01³iv02.S încerc ms trecemdelaSCMlaSL³is a m,înplus,unghiurilef cutedevitezelecelordou particulecudirecµiami³c riiiniµiale,Ox.Pentruaaavitezele~v01³i~v02;vomadunalaacestea,folosindregulatriunghiului,viteza~vCM(Fig.4.10).
92Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
vCMvCMv‘1v1v‘2v2‘*‘*qCq1q2x, xy**o
Figura4.10:Relaµiiledintrevitezeleparticulelor1³i2înSCM³iînSL.Vitezelenalevor:~v01=~v01+~vCM;(4.123)~v02=~v02+~vCM:(4.124)proiectândpeceledou axerelaµia(4.123)vomputeascrie:v01cos1=v01cosCM+vCM;(4.125)v01sin1=v01sinC:(4.126)Împ rµindceledou relaµiiprecedente,vomobµine:tg1=v01sinC
v01cosC+vCM=sinC
cosC+\r;(4.127)încareamnotatcu\rraportuldintrevitezacentruluidemas înraportcusistemullaborato-rului³ivitezanal acorpului1,înraportcuSCM.•inândcontdeecuaµia(4.117),avem:~v01=~v1~vCM=~v1
m2~v1=m2
m2~v1;(4.128)~v01=
m1~v1:(4.129)Folosindrelaµiile(4.129)³i(4.117),raportul\riaforma:\r=vCM
v01=
m2v1
m1
v1(4.130)³i,caurmare:tg1=sinC
cosC+m1
m2:(4.131)S examin macumcâtevacazuriparticulare:
4.7.Analizaproceselordeciocnireînsistemulcentruluidemas 93
(a)Cazulciocniriiproton-proton,sauproton-neutron(m1=m2).Înconformitatecurelaµia(4.131):tg1=sinC
1+cosC=2sinC
2cosC
2
2cos2C
2=tgC
2;(4.132)adic 1=C
2:(4.133)DeoareceînSCM,Cpoateaveaoricevaloarecuprins între0³i;1poatemaximum
2.(b)Cazulciocniriiuneiparticule-proiectilcuoµint demas multmaimare(m2��m1).Înacestcaz,ecuaµia(4.131)vaconducelarelaµia:tg1=sinC
cosC=tgC)1'C;(4.134)adic unghiuldeîmpr ³tiereareaceea³ivaloare,atâtînSCM,cât³iînSL.(c)Cazulciocniriicuoµint demas maimic decâtmasaparticuleiproiectil(m1�m2).Dinrelaµia(4.131)rezult c unghiuldeîmpr ³tiere,1;r mânemic,indiferentdevaloarealuiC:4.7.1Unexempludeciocnireelastic intermediat decâmp:împr ³tiereaRutherfordA³acumamconstatatîncapitoluldedicatmi³c riipunctuluimaterialîntr-uncâmpcentraldeforµe,dac forµadeinteracµiuneesteunadetiprepulsiv,excentricitateatraiectorieiesteîntotdeaunapozitiv ,iartraiectoria,înSL,esteohiperbol .S examin m,încontinuare,mi³careauneiparticuledemas m1încâmpulrepulsivaluneiparticuleµint demas m2��m1,aat înrepaus.Oastfeldeexperienµ (r mas celebr înzic )afostefectuat în1909-1910dec treRutherford³istudenµiis iGeiger³iMardsen,folosindcaparticuleproiectil,particule ,iarcaparticuleµint -iniµialnucleedeFe,apoinucleedeAu7.ExperimenteleluiRutherfordaudemonstratc masanucleuluiesteconcentrat într-oregiunespaµial cudimensiunimaimicide1014m(întimpcedimensiunileatomuluisuntdecelpuµin10000orimaimari).A³acumvomvedeaulterior,experienµeleluiRutherfordaudemonstratc sarcinapozitiv anucleuluiesteconcentrat într-uncorpcumas considerabil (practicîntreagamas aatomului),purt toraluneisarcinipozitiveimportante.ÎnexperienµeleluiRutherford,într-oincint vidat s-aintrodusosurs radioactiv plasat într-oincint absorbant ,carel sas ias particule printr-uncanalîngust(veziFig.4.11)subformaunuifasciculincidentpeofoiµ dinAu.Particuleledifuzateeraudetectatefolosindundetectorcuscintilaµie,careerareprezentatdeopl cuµ dintr-unmaterialceemiteunmicimpulsluminosatuncicândestelovitdeoparticul rapid înc rcat electric.
7Aurulafostutilizatdatorit maleabilit µii³iductilit µiisaleexcepµionale;elpoatetrasînfoiµecuogrosimefoartemic ,comparabil cucâtevadiametreatomice.
94Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
sursã departiculea
SuportSprepompa de vidFoiþã de AuDetectorLunetã
()Figura4.11:a)SchiµadispozitivuluiexperimentalalluiRutherford;b)Dependenµanum ruluideparticuledifuzatedeunghiuldedifuzie.A³acumrezult ³idingraculdinFig.4.11b,ceamaimarepartedintreparticulele proiectiltrecprinfoiµ practicnedeviate,daromic fracµiunedinelesuntîmpr ³tiatelaunghiuride90osauchiarmaimari.Faptulc ceamaimarefracµiunedinuxuldeparticule proiectiltrecnedeviateprinfoiµadeAu³ic celedifuzatesuntîmpr ³tiatelaunghiurimariarat c particulele aufostîmpr ³tiate,defapt,pecentrededifuziedemicidimensiuni,încareesteconcentrat sarcinapozitiv aatomului.Defapt,acesteexperimenteauconduslapropunereadec treRutherford,în1911,amodeluluiplanetaralatomului.S analiz mdinpunctdevedereteoretic,acestprocesdeciocnireprinintermediulcâm-pului.Consider mc nucleuldifuzantsea înrepaus,înorigineaunuisistemdeaxexOy(Fig.4.12)³ic oparticul -proiectil, ,seapropiedeacestacuovitez ~v0³iunimpulsiniµial~p0=m~v0.Dac întreµint ³iproiectilnuarexistainteracµiune,traiectoriaparticulei arr mâneodreapt ,ladistanµabfaµ decentruldifuzant(m2).M rimeabeste,dup cumdejacunoa³tem,parametruldeciocnire.Pedurataciocnirii,forµele-perechideinteracµiunesuntdenatur coulombian ,inddeforma:F=1
4"0Q1Q2
r2;(4.135)undeQ1=2eestesarcinaelectric aparticulei iarQ2=ZeestesarcinanucleuluideAu(eindsarcinaelementar :e=1;6091019C).Veninddelaodistanµ mare,acoloundenuexist practicefectem surabilealeforµelorcoulombiene,particula sedeplaseaz rectiliniu³iuniform,cuvitezav0.Pem suraapropieriideunnucleudeAu,particula î³ireduceviteza,traiectoriasadevenindunarcdehiperbol .Înpunctuldeapropieremaxim dem2,particulaarevitezaminim (veziFig.4.12),urmândapois eaccelerat deaceea³iforµ coulombian ,într-omanier simetric cuceeaceseîntâmplaseanterior.Deoareceunghiulm turatde~rînunitateadetimpdepindedoardemodulullui~r,traiec-torialuim1înSLvasimetric înraportcuOx.Înconcluzie,rezultatulnetalprocesuluideciocnire,mijlocitdeforµelecoulombiene,const doarînmodicareadirecµieidemi³careaparticulei ,vitezaacesteiar mânândconstant cavaloare,dup ciocnire8.Evident,forµaceacµioneaz asupraparticulei inddetipcentral,
8Aceast armaµieestecorect înm suraîncarem2��m1,nucleuldeAur mânândînpermanenµ înO
4.7.Analizaproceselordeciocnireînsistemulcentruluidemas 95
m1
min
()
Figura4.12:a)Împr ³tiereauneiparticule peunnucleudifuzantdeAuînrepausînSL;b)orientareavectorilor~p0;~p³i~p.
96Capitolul4.Dinamicasistemelordiscretedeparticule
momentulcineticalluim1înraportcuOseconserv :J=mv0b=mr2d
dt=const:(4.136)A³acumrezult dinFig.4.12b,variaµiapaimpulsuluiparticulei înurmaciocniriiva:(m~v)=~p~p0;(4.137)m rimealui~pind:p=2mv0sin'
2:(4.138)Conformteoremeivariaµieiimpulsului,aceast variaµieaimpulsuluiparticulei trebuieatribuit impulsuluiforµeicoulombiene.Vomdescompuneaceast forµ îndou componente,unaparalel cuOx,altacuOy,astfelîncât:~p=~Fdt=~Fxdt+~Fydt:(4.139)Deoarecehiperbolatraiectorieestesimetric înraportcuOx,impulsulforµeiFy,înprimaparteaciocnirii(pân cândm1ajungeînpunctulA),esteegal³idesemnopuscuimpulsulforµeiînceade-adouaparteaciocnirii,astfelîncâtFydt=0:(4.140)Caurmarep=Fxdt=Fcosdt;(4.141)adic :p=2mv0sin'
2=1
4"0Q1Q2cos
r2dt:(4.142)Înlocuindper2dinrelaµia(4.136)vomavea:p=Q1Q2
4"0v0b21cosd=(4.143)=Q1Q2
4"0v0b(sin2sin1);(4.144)încare1=(')=2³i2='=2reprezint valorileluiînainte,respectivdup ciocnire.Cum:sin2=sin
2'
2=cos'
2;(4.145)sin1=sin
2'
2=cos'
2;(4.146)rezult c :p=Q1Q2
2"0v0bcos'
2:(4.147)
(adic nuexist unreculalacestuia).
4.8.Probleme97
A³adar:2mv0sin'
2=Q1Q2
2"0v0bcos'
2(4.148)³i,caurmare:tg'
2=Q1Q2
2"0v0bm:(4.149)Ecuaµia(4.149)exprim dependenµaunghiuluideîmpr ³tiere'deenergiacinetic iniµial v0,bindconsideratparametru.Dac uxuldeparticule estemonoenergetic,putemg si,deasemenea,dependenµanum ruluideparticuledifuzateînfuncµiedeunghiul .Aceastapresupuneaareanum ruluideparticulecareauparametruldeciocnirecuprinsîntreb³ib+db;difuzateîntreunghiurile'³i'+d'.RezultateleexperimentalealeluiRutherfordl-auconduspeacestas evaluezedimensiunilenucleuluicaindatâtdemici-lascaraatomului-încâtacestas econsideratpunctiform.4.8Probleme1.S seg seasc ,lamomenteledetimpt=0s³it=10s,pentrusistemuldepunctematerialeavândurm toarelecaracteristici:m1=1kg;~r1=2t2^x+3t^y+4^z;m2=3kg;~r2=(1+t2)^x+(2+5t)^y;m3=5kg;~r3=(1+2t2)^x+4t2^z:(a)poziµiacentruluidemas ;(b)vitezacentruluidemas ;(c)impulsulsistemului;(d)energiacinetic .2.Oparticul cumasam1=1g³iviteza~v1=3^x2^yciocne³teplasticoparticul cumasam2=1g³iviteza~v2=4^y6^z.Calculaµivectorulvitez aparticuleinouformate³im rimeaacestuia,considerândc mi³careaarelocîntr-unsistemdereferinµ inerµial.R spuns:~v=1^x+2^y4^z;v=4;6m=s:3.Oparticul demas m1ciocne³teelastic,cuvitezainiµial v0,oparticul demas m2aat înrepaus.Pentruceunghideîmpr ³tiereimpulsulparticuleidemas m1seînjum t µe³te?4.Unobuzcaresedeplaseaz cuvitezav=500m/ssedezintegreaz întreifragmenteidentice,astfelc energiacinetic asistemuluicre³tede=1:5ori.Careestevitezamaxim vmaxaunuifragment?R spuns:vmax=v(1+
2(1))=1km/s.
Capitolul5
ModeluldemediucontinuuÎncapitolulanterioramtrecutînrevist propriet µilezicealesistemelordeparticulecuunnum rnitdecomponente.De³iunastfeldemodelreprezint unpasînainteînînµelegereami³c riiunorcorpuricupropriet µimaiapropiatedealecelordinlumeareal ,înmareamajoritatedoarmodeluldemediucontinuupoatedaunr spunssatisf c torprivindpropriet µileunorastfeldecorpuri.Dup cumestecunoscut,materiaseprezint subdou forme,substanµa³icâmpul.Dintreacestea,doarcâmpulreprezint formastrictcontinu ,substanµaavândîntotdeaunaoanumit structur .Substanµareprezint oform discret deexistenµ amateriei.Înciudastructuriidiscrete,într-omultitudinedesituaµii,substanµapoateaproximat foartebinecaunmediucontinuu.Estecazulmediilorcondensate(lichide³isolide),dar³i,înanumitecircumstanµe,algazelor.Pentruaînµelegecriteriilecarenepermits atribuimuneisubstanµecalicativuldemediucontinuu,s examin mcâtevaexemple:Num ruldemoleculedintr-uncm3deaer,încondiµiinormaledepresiune³itemperatur ,estedeaproximativ31019:Admiµândc diametruluneimoleculedeN2sauO2dinaerestede3Angstr"om,rezult c ,cumoleculeledintr-uncm3deaer,amputeaconstruiun"lanµ"culungimeade3101931010m=9109m=9milioanedekm!!!Chiar³icumoleculeledintr-unmm3amputeaconstruiun"lanµ"continuupedistanµaBucure³ti-Pekin!Încazulcorpurilorsolidesaulichide,într-unmm3desubstanµ suntaproximativ1020atomi.Deaceea,într-unvolumpecarenoiîlprivimcaindinnitezimaldinconsiderentepracticeexist ,defapt,unnum renormdeparticule.Toateacesteparticulesuntindiscerna-bileîntreele:auacelea³icoordonatespaµiale,sesitueaz laaceea³idistanµ faµ deoax întimpulrotaµieietc.Înm suraîncareuncorppoateconsideratodistribuµiepracticcontinu desubstanµ ³iputemadmitecontinuitateaînsensmatematicam rimilorzicececaracterizeaz propriet µilezice,sumelecareap reauînCap.7vorînlocuiteaiciprinintegrale.A³acumamv zutînSecµiunea5.2aP rµiiIaacestuimanual,centruldemas alunuisistemdepunctematerialeesteunpunctreprezentativalunuisistemdiscret(încazulnostrucontinuu)depunctemateriale.Încazulunuicorpcudistribuµiecontinu sumelecareaparînrelaµia(5.7)dinsecµiunea99
100Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
sus-amintit :~rCM=Ni=1mi~ri
mi=1
mNi=1mi~risevorînlocuiprinintegrale,cualtecuvinte,poziµiacentruluidemas vadescris devectorul:~rCM=RRR~rdm
RRRdm=1
mZZZ~rdV(5.1)Ecuaµia(5.1)esteechivalent cu3ecuaµiiscalare:xCM=1
mZZZxdVyCM=1
mZZZydV(5.2)zCM=1
mZZZzdVîncareestedensitateavolumic demas asistemului.Înunelecazuri,masapoatedistribuit într-unstratsubµirepeosuprafaµ .Înacestcazfolosimdensitateasupercial demas ,denit ca:=dm
dS)dm=dS;(5.3)Înacestcazrelaµia(5.1)seînlocuie³tecu:~rCM=RRR~rdS
RRRdS=1
mZZZ~rdS(5.4)Înmodsimilar,însituaµiileîncaremasaestedistribuit peosingur dimensiune,subformaunuirsubµire³ilung,relaµiadedeniµiealui~rCMvaconµinedensitatealiniar demas ,:=dm
dl)dm=dl³i:~rCM=~rdl
dl=1
m~rdl(5.5)Derivândînraportcutimpulrelaµiile(5.1),(5.4)sau(5.5)seobµineexpresiavitezeicentruluidemas .Deexemplu,încazulecuaµiei(5.1):~vCM=1
mZZZ~vdm(5.6)
5.1.Masaunuisistemcontinuu101
Cumintegraladinmembruldreptalecuaµieiprecedentereprezint impulsultotalalsistemului,deducem³iînacestcazc :m~vCM=~psist:(5.7)Aceastaînseamn c impulsulsistemuluipoateînlocuitcuimpulsulcentruluidemas .Derivândapoirelaµia(5.7)înraportcutimpul,vomobµine:m_~vCM=m~aCM=_~psist=~Fext:(5.8)Acestaînseamn c ³iîncazulsistemelorcontinui,mi³careadetranslaµieaacestorapoatedescris demi³careacentruluidemas ,asuprac ruiaseconsider c acµioneaz rezultanta~Fextaforµelorexterioare(rezultantaforµelorinterioaresistemuluieste³iaicinul ).Încontinuare,vomtreceînrevist acelea³im rimizicecareaufostprezentateîncapitoluldedicatsistemelordiscretedepunctemateriale.Vomîncercas g simexpresiilem rimilorzicespecicesistemelorcudistribuµiecontinu demas .5.1MasaunuisistemcontinuuMasaunuisistemcudistribuµiecontinu esteegal cusumamaselorelementare,dm,dincareesteconstituitcorpul:m=Vdm=V(x;y;z)dV(5.9)M rimeazic =dm=dVreprezint densitateavolumic demas .Îngeneral,densitateapoateaceea³iînoricepunctalmediuluicontinuu(cazîncaresespunec corpulesteomogen),saupoateaveavaloridiferiteînzonediferitealecorpului,cazîncarecorpulestedenumitneomogendinpunctuldevederealmasei.Încazulunuicorpomogen:m=VdV=V;(5.10)Vindvolumultotalalcorpului.5.2ImpulsulunuisistemcontinuuImpulsulesteom rimezic vectorial ,caurmare,impulsulsistemuluisevacalculacasumavectorial aimpulsurilormaselorelementare:~p=Vdm~v=~vdV:(5.11)Estemomentulacums r spundemlaîntrebarea:cedimensiuni³iceform trebuies aib unastfeldevolumelementardV?R spunsuleste:dVtrebuies eatâtdemic,încâttoateparticuleledininteriorulvolumuluielementardVs aib acelea³icoordonate³iaceea³ivitez instantanee,~v.Înmi³careadetranslaµieaunuicorpreal,toateparticuleleconstituenteauaprioriaceea³ivitez .Înmi³carea
102Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
derotaµie,îns -a³acumvomvedeaulterior-particuleledelaperiferiacorpuluiauovitez maimare,iarcelemaiapropiatedeaxaderotaµie-unamaimic (particuleledepeaxaderotaµiesea chiarînrepaus!).Înceeaceprive³teformaunuiastfeldevolumelementar,trebuieavutînvederec unvolumdVconstituieoc r mid dinconstrucµiacorpului,caurmaresimetria³iformaluidVtrebuies eînconcordanµ cusimetria³iformacorpuluimacroscopic.Dac ,deexemplu,dorims exprim mimpulsulunuicorpcusimetriesferic pentruex-primarealuidVnevomfolosidecoordonatelesferice:dV=r2sindrdd'(5.12)Dac corpuldestudiatareosimetriecilindric ,vomexprimapedVîncoordonatecilindricedV=dd'dz(5.13)³i,însfâr³it,pentruuncorpcusimetrierectangular ,vomfolosicoordonatecarteziene:dV=dxdydz(5.14)5.3Câmpulgravitaµional³ipotenµialulgravitaµionalcreatdeodistribuµiecontinu demas Ca³iimpulsul,câmpulgravitaµional(sauelectric)creatdeunsistemdepunctemateriale(saudesarcinielectrice)seobµineprinînsumarevectorial acâmpurilorelementarecreatedeecaresarcin elementar gravitaµional (sauelectric )conµinut învolumulelementardV:Întrucâtsumareavectorial esteooperaµiemultmaidicil decâtceascalar ,nuexist oreµet general decalcul,deaceeavomilustraacesteoperaµiirecurgândlacâtevaexemple.5.3.1Câmpul³ipotenµialulgravitaµionalpeaxaunuiinelS consider muninelomogenconstruitdinsârm subµire,avândmasam³irazaR(Fig.5.1).
xlLPRO
dja
II
d
Figura5.1:Unmodelpentrucalcululcâmpuluigravitaµionalcreatîntr-unpunctApeaxaunuiinel.Densitatealiniar demas ainelului,,esteom rimeconstant :=dm
ds;(5.15)
5.3.Câmpulgravitaµional³ipotenµialulgravitaµionalcreatdeodistribuµiecontinu demas 103
undeds=Rd'esteunelementdelungime(dearc)ainelului.Unastfeldeelementdinvecin tateapunctuluiP(Fig.5.1),demas dm=dlsecom-port practic,ca³iunpunctmaterial:câmpulgravitaµionalcreatdeelînpunctulAvaaveaintensitatea:d=\rdm
l2(5.16)Vectoruld~areorigineaînA³iesteîndreptatspreP:Pentrucalculullui~totalvatrebuis adun mvectorialcâmpurileelementarecreateînAdetoatemaseleelementaredepecircum-ferinµainelului.Defapt,vectoriid~creaµideacestemaseelementaredepeinelsea³eaz pegeneratoareleunuiconcuvârfulînA:Întrucâtavemoinnitatedevectori(innitezimali)d;pentruacalculacâmpulgravitaµionalrezultant,trebuies recurgemlametodaanalitic .Vomdescompunepedîntr-ocomponent paralel cuaxainelului,dvert³iunaperpendicular peax ,d?:dk=dcos =\rdm
l2cos (5.17)³id?=dsin =\rdm
l2sin :(5.18)Avândînvederec inelulcircularestecompusdinperechidiametralopusedeelementedemas ,dm³idm0,sumaperechilord?decomponentealecâmpuluiva0:Caurmare:A=dk=\r
l2dmcos (5.19)Cumdm=ds=Rd',cos =x=l,l=p
x2+R2;iar=m=2R,rezult c :A=\rRx
(x2+R2)3
220d'(5.20)adic :A=\rmx
(x2+R2)3
2(5.21)Seconstat c :pentrux=0,=0;deciintensitateacâmpuluigravitaµionalîncentrulineluluiestezero;pentrux!1,!0;vaexista,prinurmare,unmaximalintensit µiicâmpuluigravitaµionalîntr-unpunctxîncare:dA
dx=0)x0=R
p
2Graculfuncµiei(x)esteprezentînFig.5.2.
104Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
R GA
G(x)x
Vg(x)
2
-R
2
V(0)
Figura5.2:Dependenµadedistanµ aintensit µiicâmpului,(x)³iapotenµialuluigravitaµio-nal,Vg(x)createdeuninelcirculardemas m³iraz R,înpunctedepeaxulacestuia.PotenµialulgravitaµionalcreatînAdeacela³ielementdemas dmalineluluieste:dVg=\rdm
l=\rds
l=\rmRd'
2l;(5.22)sau:dVg=\rmRd'
2p
R2+x2(5.23)PotenµialulgravitaµionaltotalînpunctulAva:Vg(A)=\rmR
2p
R2+x220d'=\rmR
p
R2+x2(5.24)iarîncentrulinelului:Vg(0)=\rm
R(5.25)Constat m,a³adar,c potenµialulgravitaµionalarevaloareamaxim încentrulinelului³idescre³temonotonde-alungulaxeiacestuia.5.3.2Calcululcâmpului³ialpotenµialuluigravitaµionalcreatedeodistri-buµiesferic demas (a)CazulsfereigoaleS consider macumomas mdistribuit peosuprafaµ sferic (sfer goal )deraz R:S calcul mintensitateacâmpuluigravitaµionalcreatdeaceast mas într-unpunctexterior,Aalacesteia,situat distanµardecentrulsferei(Fig.5.3).Pentruaceasta,vomîmp rµisuprafaµasferic îninelecucentrulpedreaptaOA;del µimeRd³ideraz Rsin:Cumsuprafaµaunuiastfeldeineleste:dS=2RsinRd=2R2sind;(5.26)
5.3.Câmpulgravitaµional³ipotenµialulgravitaµionalcreatdeodistribuµiecontinu demas 105
BPORrl
Figura5.3:Unmodelpentrucalcululcâmpuluicreatdeodistribuµiesferic demas m,înexteriorulacesteia.iardensitateasupercial demas pesuprafaµasferei:=M
4R2;(5.27)masaelementar aunuiinelva:dmi=dS=M
4R22R2sind=M
2sind:(5.28)Masaunuielementdeinelvaofracµiuned'=2dindmi:dm=d'
2M
2sind=M
4sindd'(5.29)ValoareacâmpuluicreatdeunelementdeinelînpunctulAva:dA=\rdm
l2=\rM
4sindd'
l2(5.30)Procedândlafelca³iîncazulineluluidinsecµiuneaprecedent ,vomproiectaped~Adup direcµiaOA³i,respectiv,perpendicularpeOA:dAk=dAcos =M
4l2sincos dd';dA?=dAsin =M
4l2sinsin dd':Cum:dA?=0;rezult c :A=dAk=\rM
4sincos dd'
l2(5.31)
106Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
Aplicânddedou oriteoremacosinusuluiîntriunghiulOPA;putemscrie:cos =r2+l2R2
2rl(5.32)cos=r2+l2R2
2rl:(5.33)Derivândrelaµia(5.33)obµinem:sind
dl=2l
2rR)sind=ldl
rR;(5.34)deoarecer³iRsuntconstante,indiferentdepoziµiaelementuluidemas pesfer .•inândcontderelaµiile(5.32)³i(5.34),relaµia(5.31)devine:A=\rM
4r+RrRldl
rRr2+l2R2
2rl3d';(5.35)Deci:A=\rM
8r2Rr+RrRr2+l2R2
l2dl20d';(5.36)deoareceînsumareadup 'esteindependent deceadup l:A³adar:A=\rM
4r2Rr+RrRr2R2
l2dl+1dl=\rM
4r2R4R(5.37)Prinurmare,intensitateacâmpuluicreatdemasaMplasat pesuprafaµasferic ,înpunc-tulA,plasatînexteriorulsfereigoale,este:A=\rM
r2(5.38)Acestareprezint unrezultatcutotulremarcabil,întrucâtacela³irezultats-arobµinedac întreagamas asfereiarconcentrat încentrulOalacesteia.Cualtecuvinte,pentrutoatepuncteledininterioruluneiastfeldemasedistribuitepeosuprafaµ sferic (indiferentderazaacesteia!),câmpulgravitaµionalareaceea³ivaloareca³icândîntreagamas asfereiarconcentrat încentrulacesteia.AcestrezultatîiaparµineluiNewton³iaconstituitunuldinprimelesalesucceseînconstrucµiateorieigravitaµieiclasice.S calcul macumintensitateacâmpuluigravitaµionalîntr-unpunctdininteriorulsfereigoale.NotândacestpunctcuB,intensitateacâmpuluigravitaµional,B,vaputeacalculat folosindunraµionamentsimilarcucelprecedent,careaconduslarelaµia(5.36).Vomschimbadoarlimiteledeintegrare:celmaiîndep rtatinelînraportcupunctulBsea ladistanµalM=R+r;iarcelmaiapropiat-ladistanµalm=Rr:A³adar:B=\rM
8r2Rr+RRrr2+l2R2
l2dl20d'Primadintreceledou integraledinrelaµiademaisusestezero,a³adar:B=0(5.39)
5.3.Câmpulgravitaµional³ipotenµialulgravitaµionalcreatdeodistribuµiecontinu demas 107

GrgM/R2OR1/r2
Figura5.4:Dependenµa(r)pentrucazuluneimaseM,distribuiteuniformpeosuprafaµ sferic deraz R.Asenotadiscontinuitateafuncµiei(r)înpunctulr=R.Prinurmare,intensitateacâmpuluigravitaµionalîninterioruluneisferegoaleestenul.Graculcareexprim dependenµa(r)esteprezentatînFig.5.4.S calcul m,încontinuare,potenµialulgravitaµionalcreatdeaceea³imas elementar ,înpunctedinexteriorulsferei.Potenµialulcreatdemasaelementar dmînpunctulAdinexteriorulsfereiva:dVg=\rdM
l=\rM
4lsindd'(5.40)sau,µinândcontdeecuaµia(5.34):dVg=\rM
4ldl
lrRd'(5.41)PotenµialulcreatînAdemasadepeîntreagasfer va:Vg(A)=\rM
4rRr+RrRdl20d'=\rM
2rR(r+Rr+R)deci:V(A)g=\rM
r(5.42)Amobµinut³iînacestcazunrezultatlafeldeinteresant:Ca³iintensitateacâmpuluigravitaµional,potenµialulgravitaµionalcreatdeosuprafaµ sfe-ric înexteriorulsfereiareaceea³ivaloareca³icelcreatdeomas punctiform ,M,plasat încentrulacesteia.Înceeaceprive³tepuncteledininteriorulsferei:Vg(B)=\rM
4Rr+RrRdl20d'=\rM
R(5.43)adic înoricepunctinterior,B;potenµialulgravitaµionalVgareaceea³ivaloarecupotenµialulpesuprafaµasferei.
108Capitolul5.Modeluldemediucontinuu

-gM/RRrO1/r
Figura5.5:DependenµaVg(r)pentrucazuluneimaseMdistribuiteuniformpeosuprafaµ sferic deraz R.GraculdependenµeiVg(r)estereprezentatînFig.5.5.Observaµie:Relaµiile(5.38)³i(5.42),respectiv(5.39)³i(5.43)suntlegateprinrelaµiadeleg tur dintrecâmp³ipotenµial:~=gradVg=rVg;(5.44)care,încoordonatesfericesereducela:=dVg
dr;(5.45)Rezult c :Vg=~d~r:(5.46)Aceastaînseamn c ,dac secunoa³tedependenµa(r),sepoateaadirectdependenµaVg(r);folosindrelaµia(5.46).Dac ,dimpotriv ,secunoa³tedependenµaVg(r);folosindrelaµia(5.46)sepoateaa(r).A³acumamconstatatînaceast secµiune,calcululdependenµei(r)estecevamaidicil(datorit necesit µiisum riivectoriale).Deaceea,demulteoriseprefer ca,maiîntâis secalculezeVg(r),careesteom rimescalar ,iarsea înpasulaldoilea,folosindrelaµia(5.45).(b)CazulsfereiplineVomanaliza,încontinuare,dependenµele(r)³iVg(r)vomconsiderasferaplin ,avândodistribuµieomogen demas (densitateavolumic demas esteaceea³iînoricepunctdinvolumulsferei).Caoprim modalitatedeabordareaproblemei,vomconsiderasferaformat dintr-oinnitatedep turisfericedegrosimeinnitezimal dR;ecaredinacestep turicomportându-secaosuprafaµ sferic ,lacarene-amreferitînsecµiunea(a).Întrucâtecareastfeldep tur 
5.3.Câmpulgravitaµional³ipotenµialulgravitaµionalcreatdeodistribuµiecontinu demas 109
sferic creaz într-unpunctdinexteriorulsfereicâmpulgravitaµionaldeintensitate:d=\rdM
r2(dmindmasap turiisferice),câmpulcreatînAdeîntreagasfer demas Mva:=Vd=\r
r2dm=\rM
r2(5.47)Înrelaµiaanterioar amµinutcontc r=OAesteconstantpentrutoatep turilesferice,deaceeaafostscoas factorcomundesubsemnulintegralei.A³adar³iîncazuluneisferepline,câmpulcreatîntr-unpunctdinexteriorulacesteiaesteegalcucâmpulpecarel-arcreaîntreagamas Masferei,dac arconcentrat încentrulacesteia.Evident,urmândunraµionamentsimilar,vomg sic ³ipotenµialulgravitaµionalcreatdesferaplin într-unpunctoarecaredinexteriorulsfereivaaveaaceea³ivaloareca³icâmpulcreatdeaceea³imas M;dac arplasat încentrulsferei:Vg=\rM
r(5.48)S analiz m,încontinuare,câmpul³ipotenµialulgravitaµionalîninteriorulsfereipline.S presupunemosuprafaµ sferic deraz arbitrar rB(0rBR)caînFig.5.6,caretreceprinpunctulB;acoloundedorims calcul mintensitateacâmpului.
Figura5.6:Unmodelpentrucalcululintensit µiicâmpuluigravitaµionalîninterioruluneisferederaz R.Toatep turilesfericedinexteriorulsfereideraz r(r�rB)vorcreaînBuncâmpnul,deoarecepunctulB;ca³itoatepuncteledinzonaneha³urat înFig.5.6sea îninteriorulacestorp turi.Ori,a³acumamar tatînsecµiunea(a);(veziFig.5.4)câmpulîninterioruluneip turisfericeestenul.CâmpulgravitaµionalcreatînBeste,defapt,datorattuturorp turilorsfericederaz 0rrB;adic demasamidininteriorulsfereideraz rB.Cumesteconstant,putemscrierelaµia:=m
V=3m
4R3;=mi
Vi=3Mi
4r3B;(5.49)caurmare:mi=r3B
R3m:(5.50)
110Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
A³adar:B=\rmi
r2B=\rmr3B
r2BR3=\rm
R3rB(5.51)Constat m,prinurmare,c ,îninteriorulsfereipline,intensitateacâmpuluigravitaµionalcre³teliniardelazero(încentrulsferei)lavaloareaS=\rM
R2;atuncicândrB=R;decipesuprafaµasferei.Graculfuncµiei(r)esteprezentatînFig.5.7.

GgM/R2OrR1/r2
Figura5.7:Dependenµa(r)pentrucazuluneimaseM,distribuiteînvolumuluneisferederaz R.PentrucalcululdependenµeiVg(r)îninteriorulsfereiplinenevomfolosidedeniµiapoten-µialului.A³acumcunoa³temdeja,potenµialulgravitaµionalreprezint lucrulmecanicefectuatîmpotrivaforµelordeatracµiegravitaµional ,pentruadeplasaosarcin gravitaµional (mas )dintr-unpunct(încareseevalueaz Vg)pân lainnit.Referindu-nelaFig.5.6,pentruacalculaVg(B);vatrebuis calcul m:(i)lucrulmecanicnecesarpentruatransportaosarcin unitatedinpunctulBpân pesuprafaµaexterioar asferei,lacares ad ug m:(ii)lucrulmecanicpentrudeplasareaaceluia³icorpdeprob demas unitatedelasuprafaµasfereipân lainnit.A³adar:LB!1=RrFinteriorgdrRrFexteriorgdr;(5.52)încare:Finteriorg=\rMm0
R3r;iar:Fexteriorg=\rMm0
r2:m0indmasacorpuluideprob .
5.3.Câmpulgravitaµional³ipotenµialulgravitaµionalcreatdeodistribuµiecontinu demas 111
Primaintegral dinrelaµia(5.51)vaaveavaloarea:I1=\rMm0
R3Rrrdr=\rm0M
2R3R2r2(5.53)iara2-aintegral ,I2;va:I2=\rMm01Rdr
r2=\rMm0
r(5.54)Cuacesterezultateputems scriemexpresialuiVg(B):Vg(B)=LB!1
m=\rM
2R3R2r2\rM
rVg(B)=\rM
2R33R2r2(5.55)Conformrelaµiei(5.55),potenµialulîncentrulsfereiplineva:Vg(0)=3
2\rM
R=1;5Vg(A)(5.56)ÎntreO³iA;conformrelaµiei(5.56)potenµialulvariaz dup olegeparabolic ,ecuaµiaVintg(r)inddegradulII.CuacesteconcluziiputemreprezentagraculVg(r);acestaar tândcaînFig.5.8.

-gM/R-1,5gM/R
Vgr1/r2r2
punct de inflexiune
Figura5.8:DependenµapotenµialuluiVg(r)creatdeosfer plin demas M³iraz R.Observaµie:Calcululintensit µiicâmpuluigravitaµional³ialforµeigravitaµionaleresim-µit deuncorpplasatînexteriorulsfereiladistanµarafostf cutpentruprimaoar deI.Newton.Explicaµiafaptuluic uncorp,aatînimediatavecin tateasuprafaµaP mântului,cadedup odreapt caretreceprincentrulP mântului(cualtecuvintec P mântulsecom-port înastfeldecazurica³iunpunctmaterialplasatîncentruls u)afostdoarintuitdeNewtonînmomentulcândaconstruitteoriagravitaµiei,darnudemonstratriguros.Pentruaproduceodemonstraµieriguroas ,a³acumamf cut-opeparcursulacesteisecµiuni,Newtonatrebuits -³iconstruiasc inclusivinstrumenteledelucru-calcululdiferenµial³iintegral.Caoricezicianriguros,Newtonaa³teptat18anipentruavericarezultateleteorieisale,înaintedealepublicaîncarteasaPrincipiile.
112Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
5.4Legea(teorema)luiGaussOadouaabordareaproblemeiexaminateînsecµiuneaanterioar sebazeaz pelegea(sauteorema,cumesteadeseorinumit )luiGauss.Defapt,aceast legeestevalabil întoatecazurileîncareforµadeinteracµiuneesteinversproporµional cur2(a³acumestecazulcuforµeledenatur gravitaµional saucoulombian ).TeoremaluiGaussesteutil întoatesituaµiilelegatedecalcululintensit µiicâmpuluigravitaµional(sauelectric),iarutilizareaeiconducelasimplicareacalculelor,a³acumvomvedeaînceleceurmeaz .Dup cumestecunoscut,intensitateacâmpuluicreatîntr-unpunctsituatlaodistanµ rdeomas m;saudeosarcin qestedatderelaµia:~(r)=\rm
r2^er;(5.57)respectiv,~E=1
4"0q
r2^er(5.58)Nevomlimitadiscuµia,înceleceurmeaz ,lacazulcâmpuluigravitaµional.S consider momas mplasat îninterioruluneisuprafeµeînchisedeform arbitrar careînconjoar aceast mas surs decâmp.Aceast suprafaµ (Fig.5.9)senume³tesuprafaµ gaussian .
()
q
Figura5.9:(a)osuprafaµ gaussian ceînconjoar omas m;(b)undetaliu(bi-dimensional)alzoneidinjurulpunctuluiP.S consider m,peaceast suprafaµ ()unelementdesuprafaµ dS:Dac atribuimsuprafeµeielementaredSunversoralnormalei,^n,orientatspreexterior,sespunec amvectorizatsuprafaµadS.Cam rimevectorial ,aceastapoatescris subforma:~dS=dS^n(5.59)IntensitateacâmpuluigravitaµionaldinoricepunctPdepesuprafaµadSareexpresia(5.58).Elsepoatedescompuneîndou componente,~nnormal pe~dS³i,respectiv,~p;paralel cuaceasta.FluxulvectoruluiprinsuprafaµadSeste:d=~p+~n~dS=~p~dS+~n~dS(5.60)
5.4.Legea(teorema)luiGauss113
Deoarece:~p~dS=pdScos(p;n)=pdScos900=0rezult c :d=~n~dS=ndScos1800=ndScun=cos:A³adar:d=cosdS=dSn(5.61)sau:d=dScos (;^n)(5.62)cu =1800:Avândînvedere(veziFig.5.9)c dScos=dSn;undedSnreprezint proiecµialuidSpedirecµialui~r(adic suprafaµaefectiv v zut deliniiledecâmpdivergentedinm);îninteriorulunghiuluisolidd\n;dpoatescris³isubforma:d=dSn(5.63)Înlocuindacumpeînrelaµia(5.63)vomg si:d=\rm
r2dScos=\rmdSn
r2=\rmd\n(5.64)Fluxulprinîntreagasuprafaµ gaussian ()vaobµinutprinintegrareaecuaµiei(5.64):=d=\rmd\n=4\rmA³adar,uxultotalalcâmpuluiprintr-osuprafaµ oarecare,creatdeosarcin punctiform ,m;plasat îninteriorulacesteisuprafeµeeste:=4\rm(5.65)Unrezultatsimilarrelaµiei(5.65)seobµinefolosindmaiîntâiosuprafaµ auxiliar sferic (1),deraz r1;cucentrulînm;(Fig.5.10)princareuxulluieste:1=\rm
r214r21=4\rm(5.66)Esteevidentc ,încazulsuprafeµeisferice(1),normalalasuprafaµadSestecoliniar cu~r³idS=dSn.Similar,prinsuprafaµa(2)uxultotalva:1=\rm
r224r22=4\rm(5.67)Cualtecuvinte,1=2=;încarereprezint uxulprinoricesuprafaµ ()cuprins între(1)³i(2):
114Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
()()()Figura5.10:Dou suprafeµesferice(1)³i(2)aateîninteriorul,respectivexteriorulsuprafeµei().Putemgeneralizarezultatulanterior(ec.5.65)pentruunnum rNdemase(m1;m2;:::;mN)aateînintervalulsuprafeµeiarbitrare().Întrucâtuxulesteom rimescalar ,uxulgeneratdeceleNmaseva:=1=2+:::+n=4\r(m1+m2+:::+mN:)Cummtotal=Ni=1mi;atunci:=4\rmtotal(5.68)Ecuaµia(5.68)sepoateaplicaînegal m sur dac masainterioar mtotalnuestedistri-buit subformaaNmasepunctiformediscrete,ciestedistribuit continuu.Cândmasamesteplasat înexteriorulsuprafeµeigaussiene()(veziFig.5.11),uxulelementaralluiprinsuprafaµadS1va,conformrelaµiei(5.64):d1=\rm
r21dS1cos1=\rmdS1n
r21=\rmd\n(5.69)încarer1=OP1.Fluxuld2prindS2alaceleia³im rimi(careînacestcazfaceununghiascuµit)cu^n2va:d2=\rm
r22dS2cos2=\rmdS2n
r22=\rmd\n(5.70)A³adard1=d2;iarsumad1+d2=0:Cum,îninteriorulunghiuluinit,\n;subcaresevedesuprafaµa()dinO,vomaveaperechidesuprafeµedetipdS1³idS2,dinexemplulprecedent,rezult c :=()d=0(5.71)
5.4.Legea(teorema)luiGauss115
mO
W
dWdS2P2q2
n2^n1^dS1P1G2G1q2
()Figura5.11:Fluxulelementard1,respectivd2allui~prindou suprafeµeelementaredS1³idS2,v zuteînacela³iunghisolidd\n.A³adar,uxulcâmpului;creatdeomas punctiform sauosum demasepunctiforme,oridistribuµiecontinu demas printr-osuprafaµ închis ,oarecare,carenuconµinemasamtotalesteegalcuzero.Sumarizândrezultateleexprimateprinecuaµiile(5.68)³i(5.71)putemscriec :=4\rmtotalcândmtotalesteîninteriorulsuprafeµei()0cândmtotalesteînexteriorulsuprafeµei()Observaµii:1.Înelectrostatic ,avândînvedereexpresiaforµeicoulombienedeinteracµiune³iexpresiacorespunz toareaintensit µiicâmpuluielectric,uxultotalsevascrie:=qtot
"0cândqtotalesteîninteriorullui()0cândqtotalesteîninteriorullui()(5.72)2.Înelectrostatic seanalizeaz ³iunal3-leacaz,frecventîntâlnitîncazulsarcinilorelectricedepeunconductormetalic³ianumeacelaîncaresarcinaqseg se³tepesuprafaµagaussian ().Searat c ,înacelcaz:s=qtotal
2"03.Folosindu-nedelegealuiGauss,putemg sicuu³urinµ intensitateacâmpuluigravitaµio-nalîninterioruluneisferegoalesauomogenepline,deraz R-cazstudiatînsecµiunileprecedente.Deexemplu,pentrucazulsfereipline(veziFig.5.5),uxullui~prinsferaderaz rva:=\rmint4r2
r2=\rVint
r24r2=4\r4r3
3
116Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
Cum:=m
V=3m
4R3;rezult c :=4\r3m
4R34r3
3=4\rmr
R3:(5.73)Avândînvederec =4r2;rezult c :=
4r2=\rmr
R3;(5.74)adic amreg sit,defapt,formula(5.38).Acestdinurm rezultatarat c legealuiGauss³ilegealuiNewtonaforµeigravitaµionalesuntechivalente:dac sepleac delaexpresiaforµei,respectivaintensit µiicâmpuluisereg se³telegealuiGauss³iinvers.5.5Momentulcineticaluneidistribuµiisfericedemas (a)CazulsfereigoaleS consider m,pentruînceput,omas m;distribuit peosuprafaµ sferic deraz R(Fig.5.12).
Figura5.12:Osfer demas m³iraz r,înrotaµieînjurulaxei().S calcul mmomentulcineticalsferei,cândaceastaserote³teînjurulaxei():Întrucâtelementuldesuprafaµ dSîncoordonatesfericeareexpresia:dS=R2sindd';(5.75)masaelementar conµinut pesuprafaµadSva:dm=dS=m
4R2R2sindd';
5.5.Momentulcineticaluneidistribuµiisfericedemas 117
încareestedensitateasupercial demas depesfer .Momentulcineticalluidmînraportcuaxava:d~J=r1~vdm(5.76)Avândînvedereorientareavectorilor~r1³i~v;d~Jesteparalelcuaxa()³iorientatspreînsus.Modulullui~dJeste:dJ=r1vdmsin900=r1vdm:Întrucâtr1=Rsin,iarv=!r1=!Rsin;rezult c :dJ=Rsin!Rsinm
4sindd':A³adar:dJ=mR2
4sin3dd'!(5.77)Avândînvederec !esteacela³ipentrutoateelementeledmdepesfer ³ic toµivectoriidJ;corespunz toriacestorelementeledemas suntparaleliîntreei,putemscrie:J=dJ=mR2!
40sin3d20d'(5.78)Dar0sin3d=4
3;iar20d'=2;astfelîncâtJ=2
3mR2!(5.79)(b)CazulsfereiplineS calcul macummomentulcineticaluneisfereplineînraportcuundiametru,J,încazuluneisfereplinedemas m³iraz R;omogen .Înacestcaz:dm=dVîncare=m=V=3m=4R3;iardV=r2sindrdd'.A³adar:dm=3m
4R3r2sindrdd'Prinurmare:dJ=r1vdm=rsin!rsin3m
4R3r2sindrdd':Peacelea³iconsiderente,ca³iîncazulanterior:J=dJ=3m!
4R3R0r4dr0sin3dd20d'Obµinem,înnal:J=2
5mR2!(5.80)
118Capitolul5.Modeluldemediucontinuu
Dinanalizarelaµiilor(5.79)³i(5.80)constat mc ~Jsepoatescriecaunprodusîntreom rimescalar I³ivectorulvitezaunghiular :~J=I~!(5.81)încareîncazulsfereigoaleI=2
3mR2;iarîncazulsfereipline,I=2
5mR2:M rimeaIsenume³temomentdeinerµiealsfereiînraportcuaxa():Despremomentedeinerµieîncazuldiferitelorcorpurivomdiscutaîndetaliuîncapitoluldedicatmi³c riiderotaµieasolidului.Pentrumoment,anticipândrezultateledinacelcapitol,vomprecizadoarc momentuldeinerµiealunuicorpînraportcuoax exprim tendinµadeîmpotrivireamodic riiîntimp(acre³teriisausc derii)vitezeiunghiulare,!:Defapt,vomdemonstrac Ieste-pentrumi³careaderotaµie-ceeaceestemasapentrumi³careadetranslaµie³ianumeom sur ainerµieimecanicelamodicarea(aici)avitezeiunghiulareînmi³careaderotaµie.5.6Probleme1.Uncorpdemas mdeformauneibaresubµiri,delungimeL,estea³ezatde-alungulaxeiOxaunuisistemdereferinµ ,cucap tuldinstângaplasatladistanµadfaµ deorigine.DeterminaµiintensitateacâmpuluigravitaµionalînorigineaO.R spuns:\rm
d(L+d).2.Aaµiintensitateacâmpuluigravitaµionalcreatdeunplaninnit,caracterizatdeodensitatesupercial demas ,,constant ,înregiuneadinimediatasavecin tate.R spuns:2\r.3.Determinaµi³iapoireprezentaµigrac,intensitateacâmpuluigravitaµionalcreatdeop tur plan innit ,degrosimed,caracterizat dedensitateavolumic demas ,,constant într-unpunctsituatladistanµaxdeplanulmedian.R spuns:(d)=(2"0)dac x�d=2;(x)=("0)dac xd=2.4.Unbalonsfericconµineîncentruls uunmicobiectdemas m.Dac sem re³tevolumulbalonului,corpuldininteriorr mânândînaceea³ipoziµie,uxulgravitaµionalprinsuprafaµabalonuluicre³te,descre³tesaur mâneconstant?Cesepoatespunedespreintensitateacâmpuluigravitaµional?R spuns:uxulr mâneconstantiarintensitateadescre³te.5.Demonstraµic potenµialulgravitaµionalcreatdeundiscderaz R³imas mîntr-unpunctsituatlaperiferiadisculuieste4\rq
R.6.Osfer demas m³iraz Raredensitatevariabil delacentruspreperiferie,conformrelaµiei=0(1r=R).Demonstraµic :(a)=3m
R3(b)intensitateacâmpuluigravitaµionalareexpresia:=mr
4"0R343r
R:
5.6.Probleme119
7.Calculaµienergiaproprie,gravitaµional auneisferedemas M³iraz R.R spuns:3
5\rM2
R.
Capitolul6
Solidulrigid6.1ModeluldesolidrigidSolidulrigidreprezint unsistemcontinuudepunctematerialeaateladistanµexe,indiferentdeintensitateaforµelordeformatoare.Solidulrigidreprezint ,prinurmare,unmodeldecorpabsolutnedeformabil.Dintreexempleledecorpurirealecareseapropiemaimultdeconceptulderigidamintimdiamantulsauunelealiajealewolframuluicucarbonul1.Înmodeluldesolidrigidseignor ,deasemenea,vibraµiileatomilorînjurulpoziµiilordeechilibru.Mecanicasoliduluirigidesteunadinp rµilecelemaidicilealezicii,datorit complexi-t µiidescrieriimi³c rii³iaaparatuluimatematicaferent.Pentruilustrareaacesteiarmaµii,amintim,cutitludeexemplu,c doarmi³careagiroscopuluiestetratat într-ocolecµiedepatruvolumeaparµinândautorilorF.Klein³iA.Sommerfeld2.Opartedinrezultateleobµinuteîncadrulstudiuluimecaniciicorpuluirigidsereg sescînaltedomeniialezicii,cumarzicaatomului³imoleculei,spectroscopieetc.A³acumvomvedeaîncontinuare,oricâtdecomplicat ar,mi³careaunuisolidrigidsepoatedescompuneîntr-omi³caredetranslaµie³iunasaumaimultemi³c riderotaµie.Rotaµiarigiduluiareloc,eînjuruluneiaxe,eînjurulunuipunct.Înprimulcaz,axaderotaµieestex înspaµiu,înaldoileacazaxasepoatereorientaînspaµiuîntimpulmi³c rii,singuracondiµierestrictiv indcaeas treac printr-unpunctx.Oastfeldeax mobil înspaµiusenume³teax instantaneederotaµie.Evident,rotaµiaînjuruluneiaxexeestecazulcelmaisimplualrotaµieiunuisolidrigid.Abordareami³c riisoliduluirigidînacestcapitolvaurmacaleadelasimplulacomplex,încercânds acoperimcâtevaaspecteesenµiale.Vomutilizaînacestscopcâtevarezultatedincapitoleleanterioarecuprivirelamecanicapunctuluimaterial³iasistemelordepunctemateriale.Întrucâtforµeleinternecaremenµinconstantedistanµeledintreperechiarbitraredepuncte
1Cumestea³anumitulaliajvidiatermenproveninddincuvântulgermanwiedia=ca³idiamantul2Asuprateorieigiroscopului"UberdieTheoriedesKreisels"4vol,Ed.Johnson,NewYork,1965,Ed.Iap rut în1897121
122Capitolul6.Solidulrigid
dinvolumulrigidului(a³anumiteleforµedeconstrângere)suntîntotdeaunaînperechi,elerespectândprincipiulacµiunii³ireacµiunii,îndescriereami³c riisoliduluirigidvomputeaaplicalegiledeconservarealeimpulsului,momentuluicinetic³ienergiei.Num rulminimdecoordonateindependentecaredescriuînmodcompletmi³careasoliduluirigidsenume³tenum rulgradelordelibertatealerigidului.Laprimavedere,dac unsolidrigidesteformatdinNparticulecomponente,iarpoziµiaec reiparticuleestedescris de3coordonate,num rultotaldecoordonatenecesarepentrudescriereami³c riiînacestcazartrebuis e3N.Aceastaaserµiunearadev rat dac toatecele3Ncoordonatearindependente.Dac impunemcondiµiacaunsingurpunct,P,alsoliduluirigids r mân xînspaµiu,atuncitranslaµiadevineblocat ,îns rigidulsepoaterotiînjurulaceluipunctx.A³acumvomvedeaîndetaliulamomentulpotrivit,pentruunintervaltemporalinnitezimaldt,rigidulexecut orotaµieînjuruluneiaxe"xe"cetreceprinP.Esteposibilca,ulterior,axainstantaneederotaµies sereorientezeînspaµiu,ocupândoalt poziµiecetreceprinpunctulxP³ia³amaideparte.Dac impunemacumcondiµiaca³iunal2-leapunct,(QînFig.6.1(a))alrigiduluis r mân x,corpulsepoateînc rotiînjurulaxeixePQ.Dac ,însfâr³it,impunemcondiµiaca³iunal3-leapunct,R,situatînafaradrepteiPQs r mân x,atunci³irotaµiadevineblocat ,iarsolidulrigidr mâneînrepaus.Rezult c poziµiaînspaµiuaunuisolidrigidpoateprecizat înmodunivocprin9coordonatespaµiale(3puncte3coordonate)
Figura6.1:(a)PoziµiaunuiSRînspaµiuestexat decoordonatelea3punctenecoliniareP;Q³iR;(b)Rigiduluiiseasociaz unreferenµialalcentruluidemas R0.Oanaliz maiatent arat c ,defapt,num ruldecoordonatespaµialecaretrebuiecu-noscuteestechiarmaimicdecât9.Într-adev r,dac (xP;yP;zP),(xQ;yQ;zQ)³i(xR;yR;zR)suntcoordonatelepunctelorP;Q;Rîntreace³ti9parametriexist treileg turi,exprimateprinrelaµiilematematicecareexprim constanµadistanµelorPQ;PR³iPQ.Prinurmare:dPQ=
(xPxQ)2+(yPyQ)2+(zPzQ)2=const1;dPR=
(xPxR)2+(yPyR)2+(zPzR)2=const2;(6.1)dRQ=
(xRxQ)2+(yRyQ)2+(zRzQ)2=const3:A³adar,poziµiaînspaµiuaunuisolidrigidesteînîntregimecaracterizat prin93=6
6.2.Mi³careadetranslaµieasoliduluirigid123
coordonateindependente.Spunemc unsolidrigidare6gradedelibertate.Înrezolvareauneiproblemededinamic arigiduluialegereacelor6coordonateestelalatitudineanoastr :îngeneral3dintrecoordonatesunt"consumate"pentruprecizareapoziµieicentruluidemas O0arigidului(xO0;yO0;zO0)(Fig.6.1(b)),iarcelelalte3suntunghiurilenecesarepentruadescrierotaµiacorpului3.Exist cazurichiarmaisimpledecâtcelprecedent,cumesteacelaalmi³c riiplan-paralele,încaresolidulrigidserostogole³teînjuruluneiaxecaretransleaz mereuparalelcueaîns ³i.Înacestcazsuntnecesaredoardou coordonate,x³i',pentrudescriereami³c rii.Estecazul,deexemplu,alrostogoliriiunuicilindrusauauneisferepeunplanînclinat.Osituaµie³imaisimpl oreg simîncazulmi³c riipendulelor(zicsaudetorsiune),încareaxaderotaµier mânex .Înacestecazuri,poziµiacorpuluiesteprecizat printr-osingur coordonateunghiular .Vomexaminaîncontinuaremi³c rilesimpleexecutatedesolidulrigid.6.2Mi³careadetranslaµieasoliduluirigidPentruag siecuaµiadiferenµial ami³c riidetranslaµieaunuirigid,vomplecadelaconstatareac ,îndecursultranslaµiei,toatepuncteleconstituentealeacestuiasedeplaseaz petraiectoriiparaleleîntreele.Înplus,toatepuncteleauaceea³ivitez instantanee.Maimultdecâtatât,variaµiaîntimpavitezeituturorpunctelorrigiduluiestesimilar ,decitoatepuncteleconstituentealerigiduluiacesteaauaceea³iacceleraµie~a.
Figura6.2:Pentrucasolidulrigids executeomi³caredetranslaµiedup direcµiaOx,enecesarcarezultantaRy=0.Acceleraµia~aeste,îngeneral,efectulunorforµeexterioare(Fig.6.2).AcesteforµesedescompunîncomponenteparalelecuOx³i,respectiv,perpendicularepeOx.Corpulrigidvatransladup direcµiaOxînm suraîncarerezultantaforµelorperpendicularepeOxestenul :~F1y+~F2y+~F3y+:::=0(6.2)
3Adesea,soliduluirigidiseata³eaz unsistemdereferinµ R0,solidarcuacesta,sistemcareserote³teînjurulaxelorOx;Oy³iOzalereperuluilaboratoruluiR.
124Capitolul6.Solidulrigid
Înacestecondiµii,rezultantaforµelor,pecareoscriem,îngeneral,subforma:~R=Nk=1~Fk(6.3)vaavea,înacestcaz,expresia:~R=Nk=1~Fkx;(6.4)undeNestenum rultotaldeforµeexterioareceacµioneaz asuprarigidului.Relaµia(6.4)poatescris ³isubformascalar :R=Nk=1Fkcos'k:(6.5)Studiuldinamiciisoliduluirigidsebazeaz perezultateleg siteîncazulmi³c riipunctuluimaterial.Într-adev rvomconsiderasolidulrigidcaindformatdintr-oinnitatedepuncte,ecaredemas innitezimal dm.Nevomconcentraatenµiaasuprami³c riiunuipunctgenericalrigidului,scoµându-l(ipotetic!)dinansambluldepunctematerialealerigidului.Acestpunctgenericvaexecutaoaceea³imi³careca³iîntregrigidul,dac vaacµionatdeoforµ ~Fx,careîirevinedinforµatotal ~R.Cualtecuvinte,~Fxestedeatâteaorimaimicdecâtforµarezultant careacµioneaz asupraîntreguluirigid,~R,decâteoridmestemaimicdecâtmasamaîntreguluicorp:Fx
R=dm
m)Fx=dm
mR:(6.6)Pentruunastfeldepunctgeneric,legeaa2-aadinamiciisevascriesubforma:dmd2~r
dt2=~Fx:(6.7)Integrândacumecuaµia(6.7)peîntregvolumulValcorpului,vomobµine:Vdmd2~r
dt2=V~Fx:(6.8)Întrucât:V~rdm=m~rO0;(6.9)~rO0indvectoruldepoziµiealcentruluidemas ,avem,încontinuare:V~vdm=m~vO0;V~adm=m~aO0:(6.10)Pedealt parte,V~Fx=~R,caurmare,ecuaµia(6.8)sepoatesubforma:md2~rO0
dt2=~R,m~aCM=~R;(6.11)
6.3.Rotaµiarigiduluiînjuruluneiaxexe125
încare~aCM=~aesteacceleraµiacentruluidemas arigidului.Acceleraµiacentruluidemas arigiduluiesteegal cuacceleraµiadetranslaµieaoric ruipunctalacestuia.Prinurmare,mi³careadetranslaµieaîntreguluirigidesteînîntregimecaracterizat demi³careacentruluidemas alacestuia,încareseconsider aplicat rezultanta~Raforµelorexterioare.Dinaceast cauz ,tratareaproblemeitranslaµieisoliduluirigidesteidentic cuceaatranslaµieipunctuluimaterial.Înfuncµiedetipuldeforµ exterioare,ecuaµiadiferenµial ami³c riidetranslaµieseintegreaz a³acumamamintitînCapitolul3alP rµiiI,g sindu-sesuccesivdependenµele~v(t);~r(t)³iapoiecuaµiatraiectoriei.6.3RotaµiarigiduluiînjuruluneiaxexeÎnafarami³c riidetranslaµie,rotaµiaînjuruluneiaxexereprezint unaldoileatipdemi³caresimpl arigidului.S consider munsolidrigidcareexecut omi³carederotaµieînjurulaxeixeOz(Fig.6.3).
Figura6.3:Rotaµiaunuirigidînjuruluneiaxexe,Oz:a)vederelateral ;b)vederedesus(înplanulxOy).Axapoatemenµinut x (deexempluxând-olacapeteprinlag re)saupoates r mân înmodspontanx ,înanumitecondiµii(veziSec.2.5).S consider moparticul generic ,demas mk,plasat înpunctulPk,ac reipoziµieînspaµiuestespecicat devectoruldepoziµie~rk.TraiectoriaparticuleiPk,esteuncercderaz rk?,cucentrulînpunctulCdepeaxaOz.Avândînvederec CPkkOP0k,rezult c OP0k,careestechiarproiecµialui~rkînplanulxOy,esteegalcurk?³iegal(veziFig.6.3b)cu:rk?=
x2k+y2k:(6.12)Dac 'esteunghiulf cutdeOP0kcuaxaOx,atuncivitezaunghiular derotaµiearigiduluiînjurulluiOzva!=_'.Deaceea,vitezainstantaneeaparticuleiPkva:~vk=~!rk?=~!(~rk~rkk)=~!~rk
126Capitolul6.Solidulrigid
întrucâtj~!~rkkj=!rkksin0o=0.A³adar:~vk=~!~rk(6.13)Componentelelui~vkîntr-unsistemdereferinµ carteziansunt:_xk=vksin';_yk=vkcos';(6.14)_zk=0;iarmodululvitezeipunctuluiPkeste:vk=
_x2k+_y2k:(6.15)Energiacinetic aîntreguluicorpvasumaenergiilorcineticealetuturorparticulelorconsti-tuentealerigidului:Ec=1
2Vv2kdmk=1
2V!r2dm=!2
2Vr2?dm:(6.16)Integraladinultimultermenalecuaµiei(6.16)senume³temomentuldeinerµiealrigiduluiînraportcuaxaOz.Easenoteaz :Izz=Vr2?dm=Vr2dV:(6.17)Cuaceast notaµie,energiacinetic derotaµiesepoatescriesubforma:Ec=1
2=Izz!2:(6.18)Comparândexpresiaenergieicineticederotaµie(6.18),cuenergiacinetic înmi³careadetranslaµie,Ec=mv2=2,constat mc înloculmaseidinmi³careadetranslaµie,aiciaparemomentuldeinerµieînraportcuaxaderotaµie4.Înacela³itimp,rolulvitezeitangenµiale,vesteacumjucatdevitezaunghiular ,!.S g sim,înceleceurmeaz ,³iechivalentulecuaµieifundamentaleadinamiciipentrumi³careaderotaµie.A³acumcunoa³temdeja,om sur aefectuluiderotaµieindusdeoforµ îlreprezint momentulforµei,~M=~r~F.Amar tatanteriorc între~M³imomentulcineticalcorpului~Jexist relaµia:~M=d~J
dt:(6.19)Momentulcinetictotalalcorpuluiîncazulrotaµieiînraportcuoax (încazulnostruOz)este:~J=Vd~J=~r~vdm=Vr?!r?sin90odm^z;
4Spredeosebiredemas ,careesteom rimeconstant ,valoarealuiIdepinde³idedistribuµiamaseiînraportcuaxaderotaµie.
6.4.Câtevaexempledecalculalmomentelordeinerµie127
iarmodululs u:J=j~Jj=!Vr2dm=!Izz:(6.20)ÎntrucâtIzzesteindependentdetimp,datindc axaOzestesolidar cucorpulvomavea:Mz=d
dt(!Izz)=Izzd!
dt=Izz_!:(6.21)Ecuaµiadiferenµial (6.21)descriemi³careaderotaµiearigidului,tota³acumFx=m_vdeter-min translaµiade-alunguluneidirecµiiOx.Oparalel întrem rimilezicespecicemi³c riidetranslaµie³iceleiderotaµieesteprezentat înTabelul6.1.Tabela6.1:Analogiadintrem rimilespecicemi³c riirectilinii³iceleiderotaµieînjuruluneiaxe.
Mi³carearectilinie
Mi³careaderotaµie
Poziµia:x
Poziµiaunghiular :
Viteza:v=dx
dt
Vitezaunghiular :!=d
dt
Acceleraµia:a=dv
dt=d2x
dt2
Acceleraµiaunghiular :"=d!
dt=d2!
dt2
Ecuaµiilemi³c riiuniformaccelerate:
Ecuaµiilemi³c riiuniformaccelerate:
v=v0+at
!=!0+"t
x=v0t+at2
2
=!0t+"t2
2
Masa:m
Momentuldeinerµie:I=r2dm
Impulsul:p=mv
Momentulcinetic:J=I!
Forµa:F
MomentulcupluluiM=rFsin
F=ma
M=I"
~F=d~p
dt
~M=d~J
dt
Energiacinetic detranslaµie
Energiacinetic derotaµie:
Ec=1
2mv2
Ec=1
2I!2
Energiapotenµial :Ep(x)
Energiapotenµial :Ep()
Ep(x)=xx0F(x)dx
Ep()=0M()d
F(x)=dE(x)
dx
M()=dE()
d
6.4CâtevaexempledecalculalmomentelordeinerµieA³acumamar tatînCapitolul5alP rµiiI,momentuldeinerµieîncazulunuisistemdiscretformatdinNpunctematerialecareserotescînjurulaxei()estedatderelaµia:I=Ni=1mir2i:(6.22)Relaµiaechivalent încazulsistemelorcontinueva:I=Vr2?dm;(6.23)
128Capitolul6.Solidulrigid
încarer?estedistanµadintreelementuldemas dm³iaxaderotaµie()înraportcucaresecalculeaz I.Înfuncµiedemodulcumestedistribuit masa,putemdeniodensitateliniar ,odensitatesupercial ,sausauodensitatevolumic demas :Pentrucele3cazuri,momentuldeinerµiesevascriesubforma:I=Lr2?dl=r2?dl;I=Sr2?dS=ZZr2?dS;(6.24)I=Vr2?dV=ZZZr2?dV:Dac uncorpsecompunedinmaimultep rµi,momentuldeinerµiealîntreguluicorpînraportcuoax esteegalcusumaalgebric amomentelordeinerµiealep rµilorcomponenteînraportcuaceaax :I=I1+I2+I1+::::(6.25)Cualtecuvinte,momentuldeinerµiealunuicorpînraportcuoax x esteom rimescalar .6.4.1TeoremaaxelorparalelePentrucalcululmomentelordeinerµieînraportcuoax oarecare,estefoarteutil cunoa³-tereaa³a-numiteiteoremealuiHuygens-Steinersauteoremaaxelorparalele.S demonstr maceast teorem .Consider mc unrigidexecut orotaµieînjuruluneiaxeexterioare().S alegemsistemuldereferinµ allaboratoruluicaavândaxaOzidentic cuaxa().S consider m,deasemenea,unsistemdereferinµ (R0)legatdecorp,cuoriginea
y'x'z'
a
(d)

Figura6.4:Rotaµiaunuirigidînjuruluneiaxeexterioare.încentruls udemas ,careserote³teodat cucorpulrigid.Unelementdemas dm,aatladistanµar?deaxavaaveavectoruldepoziµie~rînraportcu(R)³i(~r0)înraportcu(R0).Relaµiadintre~r³i~r0este:~r=~R+~r0;(6.26)unde~Restevectoruldepoziµiealcentruluidemas ,O0însistemuldereferinµ allaboratorului.
6.4.Câtevaexempledecalculalmomentelordeinerµie129
Momentuldeinerµiealuneimaseelementare,dmînraportcuaxa()este:dI=r2?dm;încare:r?=rsin =j~r^!j:(6.27)Înrelaµiaprecedent ,^!esteversorulvitezeiunghiulare~!,careestecoliniar cuaxa(),conformdeniµiei.Defapt,relaµia(6.27)poatescris ,µinândcontderelaµia(6.26)³isubforma:r?=~R^!+~r0^!:A³adar:dI=~R^!+~r0^!2dm:Momentuldeinerµiealîntreguluicorp,înraportcuaxa,va:I=VdI=V(~R^!)2dm+2V(~R^!)(~r0^!)dm+V(~r0^!)2dm(6.28)Avândînvederec :j~R^!j=Rj^!jsin (~R;^!)=Rsin =d;(6.29)iar:j~r0^!j=r0j^!jsin (~r0;^!)=r0sin =r0?;(6.30)rezult c :V(~R^!)2dm=d2Vdm=md2:(6.31)Deasemenea:V(~r0^!)2dm=Vr02?dm=I0;(6.32)unde(0)esteoax paralel cuaxa(),dartrecândprincentruldemas O0alcorpului(deaceeasenume³teax central ).A³adar:I=md2+2dVr0dm^!+I0:(6.33)Avândînvederec Vr0dm=mrCM=R0,încarerCM=R0estemodululvectoruluidepoziµiealcentruluidemas însistemul(R0)alcentruluidemas ,careeste,înmodevident,zero,rezult c :I=I0+md2:(6.34)Aceast ecuaµieserve³telaformulareaenunµuluiteoremeiHuygens-Steiner:Momentuldeinerµiealunuicorpînraportcuoax extern ()esteegalcusumadintremomentuldeinerµiealaceluia³icorpînraportcuaxacentral (0),paralel cuaxaextern ,³iprodusuldintremasacorpului³ip tratuldistanµeidintreaxele()³i(0).S calcul mîncontinuarecâtevamomentedeinerµiealeunorcorpurifrecventîntâlniteînpractic :
130Capitolul6.Solidulrigid
Figura6.5:Unrsubµirecareserote³teîndiversemoduriînjurulcâtorvaaxederotaµieposibile.(a)Distribuµieliniar demas :rsubµireS consider munrsubµiredemas m³ilungimel(Fig.6.5)Dac rulserote³teînjuruluneiaxe()perpendicular per³itrecândprinO(Fig.6.5),unelementdemas dm,plasatladistanµar?=xdeaxa()vaaveamomentuldeinerµieînraportcuaceast ax :dI=r2?dm=x2dm=x2dx:Momentuldeinerµiealîntreguluirva:I=dI=l0x2dx=x3
3l0=m
ll3
3=ml2
3:(6.35)Dac rulserote³teînjuruluneiaxecentrale(0)(Fig.6.5),vomavea:I0=l=2l=2x2dx=m
ll=2l=2x2dx=ml2
12:(6.36)Dinrelaµiile(6.35)³i(6.36)rezult ³ivalabilitateateoremeiHuygens-Steiner:I=I0+ml2
4(6.37)Dac rulserote³teînjuruluneiaxe(00)cecoincidecurulînsu³i,cumîntreagasamas sea chiarpeaxaderotaµie,(r?=0)³i,caurmare,I00=0.Înaintedeacalculamomenteledeinerµiealeunorcorpuricudistribuµiesupercial demas ,s demonstr menunµuluneialteteoremeimportante.6.4.2TeoremaaxelorperpendiculareS consider muncorpdeformauneipl ciplanefoartesubµiri,ac reimas esteconµinut înplanulx0O0y0alsistemuluidereferinµ propriu(R0)cuorigineaîncentruldemas alcorpului(Fig.6.6).S calcul mmomentuldeinerµieIz0alpl cii.Pentruînceput,momentuldeinerµie
6.4.Câtevaexempledecalculalmomentelordeinerµie131
y'Figura6.6:Oplac subµiredemas m³igrosimed(multmaimic decâtcelelaltedimensiunialeacesteia).alunuielementdemas dmcareserote³teînraportcuaxeleOx0;Oy0³iOz0va,respectiv:dIx0=y02dm;dIy0=x02dm;dIz0=r02dm:(6.38)Întrucâtr02=x02+y02,rezult c :dIz0=dIx0+dIy0;sau,dup integrarepeîntreagasuprafaµ apl cii:dIz0=dIx0+dIy0,Iz0+Ix0+Iy0:(6.39)A³adar:Momentuldeinerµiealuneipl ciplaneînraportcuoax central perpendicular peplac esteegalcusumacelorlaltedou momentecentraledeinerµie,calculateînraportcucelelalteaxecentrale,reciprocperpendiculare,dinplanulpl cii.Aceastaesteenunµulteoremeiaxelorperpendiculare.(b)InelS calcul mcâtevamomenteprincipaledeinerµieînraportcucâtevaaxederotaµiealeunuiinel(veziFig.6.7).Dac rotaµiaineluluiarelocînjurulaxei()cecoincidecuaxaO0z0:Iz0=I=r2?dm=R2dm=R2dm=mR2:(6.40)Dac rotaµiaarelocînjurulaxei(0),conformteoremeiaxelorparalele,vomputeascrie:I0=I+mR2=mR2+mR2=2mR2:(6.41)Dac rotaµiaseproduceînjurulaxei(00),momentuldeinerµieI00poatecalculatapelânddinnoulateoremaaxelorparalele:I00=Ix0+mR2:(6.42)
132Capitolul6.Solidulrigid
''
Figura6.7:Unineldinsârm subµire,demas m³iraz R³icâtevaposibileaxederotaµie.Esteevident,dinmotivedesimetrie,c Ix0=Iy0.Conformteoremeiaxelorperpendicu-lare:Iz0=Ix0+Iy0=2Ix0:(6.43)Din(6.40),(6.42)³i(6.43)rezult c :I00=Iz0
2+mR2=3
2mR2:(6.44)(c)DiscS calcul m,pentruînceput,peI,unde()esteoax perpendicular peplanuldiscului,trecândprincentruldemas alacestuia.Vomconsideraunelementdesuprafaµ dS
Figura6.8:Undiscomogen,demas m³iraz R³icâtevaposibileaxederotaµie.(pecaresevaaaomas dm=dS)delimitatdedou arcedecercderazer³ir+dr³icaresevededincentruldisculuisubununghielementard'(Fig.6.8).Momentulde
6.4.Câtevaexempledecalculalmomentelordeinerµie133
inerµiealacestuielementdemas careserote³teînjurulaxei()va:dI=r2?dm=r2dS=r2rd'dr:(6.45)Cum=m=S=m=R2,dup integrareaecuaµiei(6.45)vomobµine:I=Sr3drd'=m
R2R0r3dr20d'=m
R2R4
42=mR2
2:(6.46)Folosindu-nedeteoremaaxelorparalele,g simimediat:I0=I+mR2=3
2mR2;(6.47)dup cum,prinfolosireateoremeiaxelorperpendiculare:I00=1
2I=mR2
4:(6.48)Rezult ,încontinuare,c :I000=I00+mR2=5
4mR2:(6.49)(d)Cilindrugol,cilindruplin³ip tur cilindric 
Figura6.9:(a)uncilindrugoldemas m³iraz R;(b)uncilindruplindemas m³iraz R;(c)Op tur cilindric demas m,razeR1³iR2.S consider muncilindrudemas m,raz R³iîn lµimeh³is consider m,pentruînceput,c masaesteînîntregimedistribuit pesuprafaµasaexterioar (Fig.6.9).Cum=m=(2rh),iardS=rd'dh,unelementdemas dmvaaveaexpresia:dm=dS=m
2rhrd'dh=md'dh
2h:(6.50)
134Capitolul6.Solidulrigid
dmvasituatladistanµar?=Rdeaxaderotaµie,astfelîncât:I=R2dm=R2m
2h20d'h0dh=mR2:(6.51)Încazulunuicilindruplin,unelementdevolumdV(exprimatîncoordonatecilindrice)vaconµinemasa:dm=dV=m
Vrd'dhdr:(6.52)Momentuldeinerµieînraportcuaxa()va,înacestcaz:I=r2?dm=r2dV=m
VR0r3dr20d'h0dh;I=m
VR4
42h=m
R2h2R4h
4=mR2
2:(6.53)Dup oprocedur similar vomcalculamomentuldeinerµie,înraportcuaxadesimetrie,aluneip turicilindrice,demas m,raz interioar R1³iraz exterioar R2(Fig.6.9c):I=m
VR2R1r3dr20h0dh=m
2(R21+R22):(6.54)(e)Sfera
Figura6.10:(a)Odistribuµiesferic supercial demas ;(b)unelementdesuprafaµ dS³i(c)unelementdevolum,dVîncoordonatesferice.S consider mîncontinuareosferagoal ,cualtecuvintemasaeims edistribuit peosuprafaµ S=4R2.Densitateasupercial demas va=m=4R2.Unelementdemas dm=dSsevaaalaodistanµ r?=rsinfaµ deaxa(),astfelîncât:I=Sr2sin2dS=R2m
4R2sin2R2d'd==mR2
40sin2d20d'=mR2
44
32==2
3mR2(6.55)
6.4.Câtevaexempledecalculalmomentelordeinerµie135
Încazulsfereipline,unelementdemas vaaveaexpresia:dm=dV=3m
4R3r2sindrdd':(6.56)Unastfeldeelementdemas sevaaaînpermanenµ îndecursulrotaµiei,ladistanµar?=rsincu0rR,astfelîncât:I=Vr2sin23m
4R3r2sindrdd'==3m
4R3R0r4dr0sin3d20d'==3m
4R3R5
54
32=2
5mR2:(6.57)(f)Paralepipeddreptunghic.
Figura6.11:Unparalelipipeddemas m³idimensiunia;b³ic,împreun cuceletreiaxecentralealeacestuia.Fieunparalelipipedomogendemas m³idimensiunia;b³ic(Fig.6.11).S calcul mcele3momenteprincipalecentraledeinerµiealeacestuia.Unelementdemas dmvaexprimatînacestcaz:dm=dV=m
abcdxdydz:Distanµadeladmlaaxa()este:r?=
x2+y2;astfelîncât:I=m
abc(x2+y2)dxdydz=m
abca
2a
2x2dxb
2b
2dyc
2c
2dz++m
abca
2a
2dxb
2b
2y2dyc
2c
2dz=m
3abca3
4bc+ab3
4c==m
12a2+b2:(6.58)
136Capitolul6.Solidulrigid
Înmodsimilarvomg si:I0=m
12b2+c2;I00=m
12a2+c2:(6.59)6.5RotatorulliniarS examin mîncontinuaremi³careaunuisistemformatdindou masepunctiforme,ecaredevaloarem,montatelacapeteleuneitijedemas neglijabil ³idelungime2l(Fig.6.12).Un
Figura6.12:(a)Mi³careaderotaµieaunuirotatorliniar;(b)Orientareavectorilormomentecineticecorespunz torirotaµieidateastfeldesistemsenume³terotatorliniar.S consider mc rotatorulliniaresteconstrânss efectuezeomi³carederotaµieînjurulaxei(),carefacecutijaununghiarbitrar'.Notândcu~r1³i~r2vectoriidepoziµieaicelordou mase(~r1=~OA³i~r2=~OB),momentelecineticealecelordou maseînraportcupunctulOvor:~J1=~r1m~v1=~r1m(~!~r1);(6.60)~J2=~r2m~v2=~r2m(~!~r2):(6.61)Vectorii~J1³i~J2suntperpendicularipetij ,prinurmare,paraleliîntreei,astfelîncâtmomentulcinetictotalalrotatoruluiînraportcuOva:~J=~r1m(~!~r1)+~r2m(~!~r2):(6.62)DinFig.6.12(a)rezult c vectorii~J³i~!facununghide
2'radiani.Maimult,dinFig.6.12(b)rezult c momentulcinetictotal~Jalrotatoruluiareocomponent ~Jk,paralel cu~!³iuna,~J?,perpendicular peacesta.Pentruacalculamodululmomentuluicineticorbital
6.5.Rotatorulliniar137
~Js observ mc :~!~r1=~!(~r1k+~r1?)=~!~r1?;~!~r2=~!(~r2k+~r2?)=~!~r2?:Cum~!?~r1;2?rezult c :j~!~r1?j=!r1?=!lsin';j!~r2?j=!r2?j=!lsin':Folosindacesteultimedou relaµii³iecuaµia(6.62)rezult c modululmomentuluicinetictotalarevaloarea:J=2m!l2sin':(6.63)Produsul2ml2reprezint momentuldeinerµiealrotatoruluipentrurotaµiaînjuruluneiaxeperpendicularepetij ,trecândprinO.A³adar:J=I!sin':(6.64)A³acumammenµionatanterior,oastfelderotaµiepoatecontinua,înmodulexaminataici,numaidac rotatorulesteconstrânss -³ip strezeunghiul'constant.Oastfeldeconstrângereoputemrealizaînpractic dac ,deexemplu,sud mtijadeunaxderotaµie(înO)iaraxulîlforµ ms r mân xcuajutorulunorlag resaurulmenµimontaµilaceledou capetealesale(vezi³iFig.6.12(a)).Pentruaînµelegedecemi³carearotatoruluiarelocînprezenµaunorconstrângeriexterioare,s examin mefectulforµelorcentrifugedeinerµiecaresemanifest asupracelordou mase(Fig.6.13).Forµelecentrifugedeinerµieacµioneaz pedirecµiaradial (C1A,respectivC2B)³icreaz uncupludeforµecaretindes reorientezeaxa()forµând-os seroteasc sprepoziµianal ar tat înFig.6.13.Întrucâtbraµulec reiforµecentrifugeesteb=lcos',momentulcupluluideforµecentrifugearevaloarea:M=Fcf1lcos'+Fcf2lcos'=m!2lsin'lcos'+m!2lsin'lcos';sau:M=2m!2l2sin'cos'=m!2l2sin2':(6.65)Constat m,prinurmare,c estenevoiedeuncupludeforµeexterioare(deleg tur )cares compensezeînefectpe~M.Cupluldeforµeexterioareesteasiguratdelag relesaurulmenµiimontaµilacapeteleaxuluiderotaµie.Trebuieremarcatc ,înacordcurelaµia(6.65),~Marevaloareazeroatuncicând'=90osau'=0o.Aceastaînseamn c rotaµiarotatoruluiînjuruluneiaxe,eperpendicular ,eparalel cutijaesteunastabil ,însensulc înlag renumaiestenecesars sedezvoltemomenteantagonistecupluluideforµecentrifuge.Cualtecuvinte,oastfeldeax derotaµiecaaceeadinFig.6.13(c)numainecesit lag re,deaceeaeasenume³te³iax liber .
138Capitolul6.Solidulrigid
Figura6.13:Forµelecentrifuge~Fcf1³i~Fcf2creaz uncuplucaretindes rearanjezerotatorul,princre³tereavaloriiunghiului'.
Figura6.14:Rotatorulliniardublu.Înacestcaz,momentulcinetictotal~Jdevineparalelcu~!.Îngeneral,axeleliberealecorpuriloromogeneînrotaµiesuntaxelelordesimetrie.Condiµia~M=0aparenunumaiatuncicând'=90o,ci³iatuncicând'=0(condiµieîncareFcf1=Fcf2=0).Îngeneral,înraportcuoax liber ,momentelecentrifugalesecompenseaz reciproc,iarmi³careaestestabil (saupermanent ).Unrotatorliniarsepoaterotiînjurulaxei()numaidac elestedublu(Fig.6.14).Înacestcazforµelecentrifuge³imomentelelorsecompenseaz reciproc,iarmomentulcinetic
6.6.Rotaµiarigiduluiînjurulunuipunctx139
total~Jtotaldevineparalelcu~!(Fig.6.14(b)),întrucâtcomponenteleperpendiculare,~J?³i~J0?suntegale³idesensopus.Constatareac mi³careaderotaµieaunuisolidrigid(iarrotatorulliniaresteexemplulcelmaisimpludesolidrigid,indformatdin2,respectiv4puncte)devinestabil înm suraîncarevectorul~Jdevineparalelcu~!.Aceast concluzieareomaxim importanµ pentruaînµelegecaracteristicileunormi³c riderotaµiemultmaicomplicate.Dealtfel,a³acumammenµionatanterior,mi³careadevinestabil încazulîncareaxaderotaµie()faceununghi
2cutijarotatorului,situaµieîncare~!devineparalelcu~J.Înacestecircumstanµeprodusulvectorialdintreceidoivectoriparalelieste:~!~J=0:(6.66)Corpurilerealeasimilatesoliduluirigidvorprezentaorotaµieliber înm suraîncareesterealizat condiµia(6.66).Operaµiatehnic pentrurealizareaeiîntr-unatelierdeserviceauto,încazuluneiroµideautomobil,deexemplu,senume³teechilibraredinamic .Aceastapresupunead ugareapejantaroµii,aunormicimaseadiµionaledinplumbcareajusteaz simetriaroµii,pân cândmomentulcineticalroµiiîntimpulrotaµieidevineparalelcuaxasadesimetrie³i,implicitcu~!.Înabsenµaechilibr riidinamiceroatavasolicitaînmodintens(³inedorit)rulmenµii,ducândlauzuralorprematur ³ichiaruneorilaaccidente.6.6RotaµiarigiduluiînjurulunuipunctxS examin macummi³careaderotaµieaunuisolidrigidinjuruluneiaxe()caresepoatereorientaînspaµiu.Singuraconstrângereimpus axeiesteaceeadeatreceprintr-unpunctxO(Fig.6.15).Oastfeldemi³carearigiduluisenume³terotaµieinjurulunuipunctx.
Figura6.15:Uncorpsolidaat,launmomentdat,înrotaµieînjurulaxeiinstantanee()aat înpoziµiaAA0.S presupunemc ,launmomentdat,axaderotaµieocup poziµiaar tat înFig.6.15.Înacelmoment,unelementdemas dmdescrie,pentruunintervaldetimpdt,unarcdecerc
140Capitolul6.Solidulrigid
cucentrulînC,iarmomentuls ucineticinraportcuOarevaloarea:d~J=~r~vdm=~r(~!~r)dm:(6.67)Folosindidentitateadubluluiprodusvectorial:~a(~b~c)=~b(~a~c)~c(~a~b);vomscrieped~Jca:d~J=[r2~!~r(~r~!)]dm:(6.68)Dac µinemcontc :~r=x^x+y^y+z^z;~!=!x^x+!y^y+!z^z;(6.69)ecuaµia(6.68)devine:d~J=(x2+y2+z2)(!x^x+!y^y+!z^z)(x^x+y^y+z^z)(x!x+y!y+z!z):(6.70)Relaµia(6.70)esteechivalent cu3ecuaµiiscalare:dJx=[(x2+y2+z2)!xx2!xxy!yxz!z]dm==[(y2+z2)!xxy!yxz!z]dm;dJy=[(x2+y2+z2)!yxy!xy2!yyz!z]dm==[xy!x+(x2+z2)!yyz!z]dm;dJz=[(x2+y2+z2)!zxy!xyz!yz2!z]dm==[xz!xyz!y+(x2+y2)!z]dm:(6.71)Relaµia(6.71)sepoatescriemaicompactsubform matriceal :dJxdJydJz=(y2+z2)dmxydmxzdmyxdm(x2+z2)dmyzdmzxdmzydm(x2+y2)dm…!x!y!z:(6.72)Înrelaµia(6.72)vomfacenotaµiile:dIxx=(y2+z2)dm=(r2x2)dm;dIyy=(x2+z2)dm=(r2y2)dm;(6.73)dIzz=(x2+y2)dm=(r2z2)dm;³i:dIxy=dIyx=xydm;dIxz=dIzx=xzdm;(6.74)dIyz=dIzy=yzdm:
6.6.Rotaµiarigiduluiînjurulunuipunctx141
M rimiledIxx;dIyy³idIzzreprezint momenteleprincipaledeinerµiealeelementuluidemas ³iausemnicaµiamomentelordeinerµiealemaseidm,dac aceastas-arrotiînjurulaxelorOx;OysauOz..M rimiledIij(i;j=x;y;z;i=j)senumescmomentecentrifugaledeinerµie³ielesuntasociatecuefecteleforµelorcentrifugedeinerµieceapardac axa()nuesteoax liber .Integrândecuaµiile(6.73)³i(6.74)peîntregulvolumalrigidului,vomg sic :~J=I~!;(6.75)încare:~J=Jx^x+Jy^y+Jz^z;(6.76)iarIestetensorulmomentelordeinerµiealrigidului:I=IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz:(6.77)Seînµelegec :Ixx=V(r2x2)dm;Iyy=V(r2y2)dm;(6.78)Izz=V(r2z2)dm;³i:Ixy=Iyx=Vxydm;Ixz=Izx=Vxzdm;(6.79)Iyz=Izy=Vyzdm:Dinecuaµia(6.75)rezult c ,ingeneral,dac axa()ocup opoziµiearbitrar înspaµiuînraportcusolidulrigid,vectorii~J³i~!nusuntparaleli.Chiarîncazulsimplu,încareaxa()esteparalel cuOz(prinurmare!x=!y=0),momentulcinetictotalvaaveacomponentelenenule:Jx=Ixy!;Jy=Iyz!;Jz=Izz!;cualtecuvintevaexistaocomponent alui~Jparalel cu~!:~Jk=Izz~!.Vaexista,deasemenea,ocomponent perpendicular alui~Jpe~!,ac reimodulesteJ?=
I2xz+I2yz!.S deducemacumexpresiaenergieicineticederotaµiearigiduluicupunctx.Energiacinetic aunuielementdemas dmva:dEc=1
2dmv2=1
2dm~v~v=1
2dm(~!~r)~v:(6.80)
142Capitolul6.Solidulrigid
Înexpresia6.80,încareapareunprodusmixta3vectori,vomfolosiposibilitateadepermutareciclic permis atermenilor,întrucât:(~a~b)~c=~a(~b~c):Vomobµine:dEc=1
2dm[~!(~r~v)]=1
2~!(~r~vdm);saudEc=1
2~!d~J:(6.81)Integrândecuaµia(6.81)peîntregvolumulrigidului5vomg si:Ec=1
2~!~J:(6.82)Trebuiemenµionatc ecuaµia(6.82)esteanalogulecuaµiei:Ec=1
2~v~p=1
2mv2;(6.83)valabil încazulmi³c riidetranslaµie.6.7ElipsoiduldeinerµieS presupunemc axainstantaneederotaµie()face,launmomentdat,unghiurile x; y³i zcucele3axealeunuireferenµialOxyzlegatdecorp.Vectorulvitez unghiular ~!sepoatescriesubforma~!=!^!.Înacestecondiµii,versorul^!poatescris,înfuncµiedeceletreiunghiuri,ca:^!=cos x^x+cos y^y+cos z^z:(6.84)MomentuldeinerµieIalrigiduluiînraportcuaxa()va:I=Vr2?dm=V(r2r2cos2')2dm:Observ m,îns ,c produsulrcos'(veziFig.6.15)sepoatescrie³isubforma:rcos'=~r^!;(6.85)astfelîncât:I=V[r2(~r^!)2]dm:(6.86)
5Energiaesteom rimescalar .
6.7.Elipsoiduldeinerµie143
Avândînvedereecuaµia(6.84),precum³ifaptulc ~r=x^x+y^y+z^z,ecuaµia(6.86)devine:I=Ixxcos2 x+Iyycos2 y+Izzcos2 z++2Ixycos xcos y+2Ixzcos xcos z+2Iyzcos ycos z:(6.87)Ecuaµia(6.87)permiteexprimareamomentuluideinerµiealrigiduluiînraportcuoax in-stantaneederotaµiearbitrar ,caofuncµiede3momenteprincipaledeinerµie³idemomentelecentrifugaledatedeecuaµiile(6.78)³i(6.79).Alegândunsistemdereferinµ convenabillegatdecorp,îna³afelîncât:X=cos x
p
I;Y=cos y
p
I;Z=cos z
p
I;(6.88)ecuaµia(6.87)cap t oform maisimpl :1=IxxX2+IyyY2+IzzZ2+2IxyXY+2IxzXZ+2IyzYZ:(6.89)Ecuaµia(6.89)senume³teaelipsoiduluideinerµie.Dac sistemuldeaxelegatdecorpsealegecuorigineaîncentruldemas arigiduluiiaraxeleOx;Oy³iOzsuntparalelecuaxeledesimetriealerigidului,momentelecentrifugaleseanuleaz ,iarecuaµia(6.89)cap t oform ³imaisimpl (a³a-numitaform canonic ):1=IxxX2+IyyY2+IzzZ2;(6.90)sau,echivalent:I=Ixxcos2 x+Iyycos2 y+Izzcos2 z:Cutitludeexemplu,dac calcul mmomentuldeinerµiealunuiparalelipipeddreptunghicdelaturia;b³ic,careserote³teînjuruluneidiagonaledevolum,seobµineexpresia:Id=Ixxa+Iyyb+Izzc
p
a2+b2+c2:(6.91)Observaµie.Ecuaµia(6.89)poart denumireadeecuaµiaelipsoiduluideinerµiedeoareceeareprezint ecuaµiaunuielipsoidderotaµiecuaxeleOX;OY³iOZ(Fig.6.16).UnpunctPdepesuprafaµaacestuielipsoid,carearecoordonateleXP;YP;ZP,vaaveapoziµiapesuprafaµaelipsoidului,descris deunvectordepoziµie~P(XP;YP;ZP).Putemscrie:~P=(XP^X+YP^Y+ZP^Z)=1
p
I(cos x^X+cos y^Y+cos z^Z)=^!
p
I:(6.92)Constat mc modululvectorului~Pesteinversproporµionalcuradicalulmomentuluideinerµiecorespunz torrotaµieiînjurulaxei().Armaµiaanterioar poatereformulat însensulc momentuldeinerµieînraportcuaxa()esteinversproporµionalcuputereaa2-aalungimiisegmentuluiOP.Elipsoiduldeinerµiereprezint oconstrucµieimaginar careseasociaz unuisolidrigidreal³icarepermiteoreprezentaremaiintuitiv a"imaginii"momentelordeinerµiealerigiduluiînraportcuaxeinstantaneearbitrare.
144Capitolul6.Solidulrigid
Figura6.16:Elipsoiduldeinerµieasociatunuisolidrigidaatinrotaµieînjuruluneiaxeinstantaneearbitrare.6.8EcuaµiileluiEulerA³acumamar tatînParteaIcândamcalculatderivateleversorilorunuisistemdereferinµ mobil(ata³atunuicorpaatînrotaµieînraportcusistemullaboratorului)amobµinutrelaµia:d^er
dtSL=d^er
dtSC+~!^er:(6.93)Ecuaµia(6.93)este,defapt,multmaigeneral ,eapermiµândexprimareaderivatelororic reim rimivectorialeînraportcuceledou referenµiale.Deexemplu,întrederivatelemomentuluicineticînraportcusistemullaboratorului,respectivsistemuldereferinµ legatdecorpputemscrierelaµia:d~J
dtSL=d~J
dtSC+~!~J:(6.94)Avândînvederec d~J
dtSL=~M(momentulrezultantceacµioneaz asuprarigidului),ecuaµia(6.94)sevascriesubformaa3ecuaµiiscalareplecânddelaecuaµiavectorial :~M=d
dtIxx000Iyy000Izz…!x!y!z+^x^y^z!x!y!zJxJyJz;adic :Mx=d(Ixx!x)
dt+!yJz!zJy=Ixxd!x
dt+!y!z(IzzIyy);My=d(Iyy!y)
dt+!zJx!xJz=Iyyd!y
dt+!z!x(IxxIzz);(6.95)Mz=d(Izz!z)
dt+!xJy!yJx=Izzd!z
dt+!x!y(IyyIxx):
6.9.Stabilitatearotaµieisoliduluirigid145
Sistemuldeecuaµii(6.95)reprezint a³a-numiteleecuaµiialeluiEuler³ielepermit,prinintegrare,g sirealegiidemi³careîncazulrotaµieioric ruirigid³ianalizastabilit µiiacesteia.Unexempluînacestsensesteprezentatînsecµiuneaurm toare.6.9StabilitatearotaµieisoliduluirigidS presupunemc amadus,cuajutorulunorforµeexterne,unsolidrigidlaomi³carederotaµieînjuruluneiaxelibereaacestuia.S ata³ msoliduluisistemuldereferinµ propriu(SC),avândaxaOxparalel cu().Dac vomînl turaforµeleexterioare,neputempuneproblemadac rotaµiaînjurulaxei(Oz=)vacontinuaînmodstabilsaunu.Naturastabi-lit µiirotaµieisepoateaaanalizândmi³carearigiduluidup aplicareauneimiciperturbaµiicaremodic orientareaaxei³i,implicitalui~!.Întrucât,înainteseaplicareaperturbaµiei,vectorul~!arecomponentele!x=!;!y=0;!z=0,dup aplicareaperturbaµieiacesteavor:!0x=!+!x;!0y=!y;!0z=!z:EcuaµiileluiEuler(6.95)sevorscrie,înacestecondiµii:0=Ixxd(!+!x)
dt+!y!z(IzzIyy);0=Iyyd(!y)
dt+!z(!+!)(IxxIzz);0=Izzd(!z)
dt+(!+!)!y(IyyIxx):Deoarece!!,!!!.Înacela³itimpprodusele!y!z,potconsiderateegalecuzero,ecaredintermeniidinacestprodusindfoartemic.Caurmare,ecuaµiileprecedentedevin:0=Ixxd(!x)
dt;(6.96)0=Iyyd(!y)
dt+!(IxxIzz)!z;(6.97)0=Izzd(!z)
dt+!(IzzIyy)!y:(6.98)întrucâtd(!+!x)=dt=d(!x)=dt,!indindependentdetimp.Conformecuaµiei(6.96),!xr mâneconstant întimp.Ecuaµiilediferenµiale(6.97)³i(6.98)descriuevoluµiileîntimpaleperturbaµiilor!y³i!z.Substituind,deexemplu,pe!zdinecuaµia(6.97)în(6.98)vomobµine:!z=1
!(IxxIzz)Iyyd(!y)
dt(6.99)³id2(!y)
dt2+(IxxIzz)(IxxIyy)
IyyIzz!y=0:(6.100)
146Capitolul6.Solidulrigid
Ecuaµiadiferenµial deordinII((6.100))estedetiposcilatorarmonicdac fracµiadintermenulal2-lea(carearesemnicaµiapulsaµieipropriiaoscilatorului)esteînpermanenµ pozitiv .Aceastaseîntâmpl dac simultan:Ixx�Iyy;Ixx�Izz(deciIxxestemaxim)sau:IxxIyy0;IxxIzz(deciIxxesteminim):Cualtecuvinte,oax liber estestabil dac ,înraportcuea,momentuldeinerµiealrigiduluiareovaloareextrem (minim saumaxim ).6.10Giroscopul.Mi³careagiroscopuluiîncâmpgravitaµionalGiroscopulreprezint unsolidrigidcarepoateefectuaomi³carederotaµieînjuruluneiaxexesauaunuipunctx.Axax este,încazulgiroscopuluisimetric(variantaceamaifrecventîntâlnit înpractic )oax desimetriecetreceprincentruldemas .Adeseaaceast ax sexeaz îndou lag recare,larândullor,seata³eaz uneia³anumitesuspensiicardanice(Fig.6.17),careîipermitegiroscopuluis iaoricepoziµieinspaµiu,chiardac elsea încâmpulgravitaµionalalP mântului.Aceast conguraµiesenume³tegiroscopliber.
Figura6.17:Ofotograeaunuigiroscopmontatîntr-osuspensiecardanic .Giroscopulexecut încelemaimultecazuriomi³carederotaµiecupunctx,atuncicândserote³teînjuruluneiaxeinstantaneederotaµie,încondiµiileatracµieigravitaµionale(Fig.6.18).S consider mpentruînceput,c axaderotaµieaunuigiroscopsimetricdeformaunuidiscestecoliniar cudirecµiaforµeidegreutate(Fig.6.18a).Înacestecondiµii,rezultantaforµelorestenul :~G+~N=0;(6.101)
6.10.Giroscopul.Mi³careagiroscopuluiîncâmpgravitaµional147
Figura6.18:Ungiroscopsimetricîncâmpgravitaµional.iarmomentulrezultanteste,deasemenea,nul,întrucât:~MG=~MN:S aplic momic perturbaµiecares determine,deexemplu,înclinareaaxei()cuununghifaµ devertical (Fig.6.18b).Înacestecondiµii,relaµiadintreforµesep streaz (~G=~N),îns acumapardoar~MN=0,întimpce~MG=0.NotândcuCcentruldemas ³icu~r=~OC,vectoruldepoziµiealcentruluidemas algiroscopului,braµulforµeiGestebG=rsin,iarmomentullui~GînraportcuOesteMG=mgrsin.Cavector:~MG=~rm~g;(6.102)~MGesteperpendicularatâtpe~rcât³ipe~G.Cumatât~r,cât³i~Gsuntvectoriîntr-unplanvertical,rezult c ~MGesteunvectororizontal,deci~MG(MGx;MGy;0).S presupunemc axaderotaµieagiroscopuluieste"îngheµat "launmomentdatînplanulfoii,a³acumesteprezentat înFig.6.19.Înacestecondiµii~!³i~J(t)suntparaleli
Figura6.19:(a)Orientareavectorilor~r;~J³i~MG;(b)Evoluµiaîntimpavectorului~J.cuaxaderotaµie.Aceast stare"îngheµat "nusepoatemenµine,întrucâtmomentul~MG
148Capitolul6.Solidulrigid
determin variaµialui~Jîntimp:~MG=d~J
dt=~J(t+dt)~J(t)
dt:(6.103)Variaµialui~Jînseamn ³ireorientareasaînspaµiu,întrucât,conform(6.103):~J(t+dt)=~J(t)+~Mdt:(6.104)Pedealt parte,~J(t)seconsider asuma:~J(t)=~Jk(t)+~J?(t)iar~J(t+dt)=~Jk(t)+~J?(t+dt):Întrucât~Mz=0,vectoruld~Jaredoarcomponenteorizontaledeaceea~Jk(t)=~Jk(t+dt),astfelîncât:~MG=~J?(t+dt)~J?(t)
dt:Prinurmare,efectulmomentuluiforµeidegreutatesetraduceprintr-orotaµieavârfuluilui~J(t)printr-ununghid'întimpuldt,peunarcdecercderaz J?=Jsin.Acestefectsecontinu înpermanenµ ,deaceeavârfullui~Jvadescrie,defaptuncercînplanorizontal.Efectulsus-menµionat,caresenume³teprecesieaaxeigiroscopuluiaparedeoarecemomen-tulcinetic~Jalgiroscopuluiaretendinµadease"desprinde"deaxaluiderotaµie,devansându-imi³careadeprecesie,caefectalmomentuluiforµeidegreutate.A³acumamar tatanterior,înm suraîncare~Jnumaiesteparalelcu~!,intr înjocmomenteleforµelorcentrifugale,caretinds readuc pe~!peste~J.A³adarîntr-odescrierecalitativ ,precesiagiroscopului(caurmareaatracµieigravitaµionale)arelocdatorit desprinderiivectorului~Jdeaxagiroscopului³idatorit efectelorcombinatealeforµelorcentrifugecare"urm resc"readucerealui~!peste~J.Pentruag sioexplicaµiecantitativ ami³c riideprecesie,vomplecadelafaptulc ~Mz=0.Caurmare:~Mz=d~Jz
dt=0)~Jz=constant:(6.105)Înplus,deoarecevectorii~MG³i~Jsuntînpermananµ perpendiculariunulpealtul,produsullorscalarestezero:~MG~J=0)d~J
dt~J=0:(6.106)Ecuaµiaprecedent sepoatescrie³isubforma:1
2d
dt(J2)=0)j~Jj=const.(6.107)
6.10.Giroscopul.Mi³careagiroscopuluiîncâmpgravitaµional149
A³adar,întimpulprecesiei,atâtcomponentaJz,cât³iJî³ip streaz modululconstantîntimp(deaceeaspunemc ~Jdescriesuprafaµalateral aunuiconcuaxadesimetrieaxaOz).Întrucât:J2=J2x+J2y+J2z;(6.108)rezult c ³i:J2x+J2y=J2xy=const.(6.109)cualtecuvinte,vaexistaunvector~Jxy=~J?alc ruivârfdescrieuncercînplanorizontal.S g sim,încontinuare,expresiavitezeiunghiularedeprecesie.Produsulscalardinecuaµia(6.106)sepoatescrie,avândînvederec Mz=0,subforma:MxJx+MyJy=0;(6.110)sau:Mx
Jy=My
Jx=\n;(6.111)încare\nesteom rimeconstant ,independent det.Semnicaµiaacesteiaovomdescoperiînceleceurmeaz .Din(6.111)rezult c :Mx=\nJy)dJx
dt=\nJy(6.112)³irespectiv:My=\nJx)dJy
dt=\nJx:(6.113)Derivând,inraportcutimpul,ecuaµia(6.112)³iintroducândrezultatulîn(6.113)vomg si:d2Jx
dt2+\n2Jx=0;(6.114)d2Jy
dt2+\n2Jy=0:(6.115)Soluµiileecuaµiilordiferenµiale(detiposcilatorarmonic)(6.114)³i(6.115)sevorscrie,µinândcont³ideecuaµia(6.109)subforma:Jx=Asin(\nt+ );Jy=Acos(\nt+ ):(6.116)A³adar\naresemnicaµiavitezeiunghiularedeprecesiealui~J³i,implicit,agiroscopului.Avândînvederec :MG=
M2x+M2y=
dJx
dt2+dJy
dt2(6.117)
150Capitolul6.Solidulrigid
³iµinândcont³ideecuaµia(6.116),rezult imediat:mgrsin=A\n:(6.118)Pedealt parte,folosindrelaµia(6.116),ecuaµia(6.109)sevascrie,folosindformulafunda-mental atrigonometriei:J2xy=J2J2z=A2;adic A=
J2J2z(amales,evident,doarsoluµiapozitiv ,avândînvederesemnicaµianoµiuniideamplitudine).Înacestecondiµii,dinecuaµia(6.118)rezult expresiavitezeiunghiularedeprecesie:\n=mgrsin
È
J2J2z:(6.119)Constat mc \nestedirectproporµionalcumomentulforµeidegreutate,deaceeaprecesiavalent atuncicândînclinareaaaxeifaµ devertical estemic ³isevaacceleraodat cucre³terealui.Înexperimenteledelaboratoresteconvenabils seutilizezeungiroscopcareevolueaz înplanulorizontal(==2),deoareceastfelesteu³ordecompensatmomentulgreut µiimotorului(M)ceantreneaz giroscopul,ca³ialgreut µiipropriiaacestuiaprinmontareauneicontragreut µi(CGînFig.6.20).Înacestecondiµii,giroscopulesteechilibratînpoziµie
Figura6.20:UngiroscoporizontalCG=contragreutate,M=motorelectricdeantrenareD=disc-giroscop,G=greutateextern .orizontal .Apariµiaprecesieipoateprovocat deag µareauneigreut µisuplimentare,G,alc reibraµînraportcuOesteb=r=OA.Înacestcazecuaµia(6.119)sevascrie:\n=mgr
J;(6.120)întrucâtJz=0.Înacestcaz,pânzadecondescris devectorul~Jînexemplulanalizatanteriorestedegenerat într-unplan.
6.11.Probleme151
Trebuiemenµionatc oastfeldetrataresimplicat amodeluluidegiroscopignor oalt mi³careagiroscopului,anumeaceeaîncareaxagiroscopuluiexecut ³iorotaµieînplanvertical,(=(t)),denumit mi³caredenutaµie.Pentruaidenticacinedetermin nutaµias maiexamin mînc odat precesia.Caracteristicaaparentstranieagiroscopului,a³a-numitulefectgiroscopic,anumeapariµiauneirotaµiiînplanorizontalcaurmarealmomentuluiuneiforµeverticale,nueste,defapt,stranie!Estenormal,a³acumamv zutmaiînaintecavariaµialui~J,adic d~Js apar într-unplanorizontal,deoareced~J³i~MGsuntlegaµiprinrelaµia:~M=d~J
dt:(6.121)Acestcomportamentaparestraniu,dac forµ moanalogiecumi³careadetranslaµie,acoloundeefectul(deplasareaaccelerat )aparecaindcoliniar cuforµaexterioar .Legeacareguverneaz acolomi³careaesteîns ~F=m~a,³inuteoremavariaµieimomentuluicinetic(6.121).Efectulgiroscopicaparecafoarteimportantînsituaµiileîncareîncomponenµaunorma³iniexist p rµiînrotaµiecaresecomport întocmaicaungiroscop.Uncupludeforµeexternecareapare,deexemplu,atuncicândsedore³tevirareaunuivaporîntr-unplandirecµieorizontalfacecaaxaeliceiacestuias r spund cuorotaµieinplanvertical,situaµiecarepoateconducelaefectepericuloasedac nuestecontrabalansat .Efectuldegiroscoppoateconstatatintuitivdac lu mînmâini"haltera"reprezentat degiroscopuldinFig.6.20.Constat mc ,dac încerc ms rotimaxagiroscopuluiînplanorizontal,giroscopulnerote³tebraµeleînplanvertical!Revenindacumlami³careadenutaµieefectuat degiroscopînplanvertical,rezult c eaapareatuncicândasupragiroscopuluiacµioneaz uncupludeforµe,ambeleplasateînplanorizontal.Deregul ,înexperimenteledelaborator,acesteasuntforµeledefrecarelaaxulgiroscopuluiîndispozitivuldesusµinere.Sepoateu³orconstatac ,înprezenµafrec rii,prinad ugareagreut µiiGînA,giroscopulîncepemi³careadeprecesie,însoµit deoînclinarelent aaxuluis uînplanvertical(_=0),adic denutaµie.Însituaµiimaigenerale,asuprac roranuvominsistaaici,eposibilca³inutaµias eomi³careperiodic .UnastfeldeexempluîlconstituiechiarP mântul,caresecomport caungiroscopuria³.PrecesiaP mântului,datorat acµiuniicombinateaSoarelui³iLuniifacecaaxaacestuias seroteasc pesuprafaµalateral aunuiconcudeschidereade23;5o,orotaµiecomplet durând26000deani.Acestfaptfaceca,peste14000deani,onou stea(Vega)s devin "Steauapolar "înloculsteleiPolaris.6.11Probleme1.Seconsider omolecul deoxigenceserote³teînplanulxOyînjurulaxeiperpendiculareOz,cetreceprincentruls u.Masaatomuluideoxigeneste2;661026kgiar,latemperaturacamerei,distanµadintreceidoiatomi,consideraµipunctiformi,este1;211010m.(a)Calculaµivaloareamomentuluideinerµiealmoleculeiînraportcuaxaderotaµie;
152Capitolul6.Solidulrigid
(b)Considerândc vitezaderotaµieînjurulacesteiaxeeste4;61012rad/s,determinaµienergiacinetic derotaµieamoleculei;(c)Demonstraµic ,încazulîncaremaselecelordoiatominuaregale,momentuldeinerµieînraportcuaceast ax arevaloaremaxim doarcândaceast ax treceprincentruldemas .R spuns:(a)1;951046kgm2;(b)2;061021J.2.Determinaµimomentuldeinerµiealunuiansamblude3bareidentice,demas m³ilungimeL,reciprocperpendiculare,careserotescînjuruluneiaxeparalelecuunadinbaresituat lacap tulalteia(Fig.6.21).
xyz
Figura6.21:Pentruproblema4R spuns:11mL2
12.3.DensitateaP mântuluivariaz cudistanµapân lacentruls uconformrelaµiei:=014;211;6r
R103kg/m3undeResterazaP mântului.Ar taµic momentuldeinerµieîncazulrotaµieiînjuruluneiaxecetreceprincentrus uesteI=0;33MR2,MindmasaP mântului.4.Dou corpurideformaunuidisc³iaunuiinel,deaceea³imas ³iraz ,sunta³ezateunullâng altullaîn lµimeah,înpunctuldeplecaredinvârfulunuiplanînclinat.Caredintreacestecorpurivaajungeprimullabazaplanului,presupunândc eleserostogolescf r s alunece?R spuns:discul.5.Peunplanînclinatdeunghi serostogole³teînjosuncilindrudemas m,raz R³imomentdeinerµieI.S seae,încazulrostogoliriif r alunecare,respectivînceacualunecare,urm toarelem rimi:(a)forµadefrecare³icoecientuldealunecareminimnecesarcaalunecareas nuapar ;(b)acceleraµiacentruluidemas ;(c)acceleraµiaunghiular ;
6.11.Probleme153
(d)distanµadelaaxainstantaneederotaµiepân lacentruldemas acorpului.R spuns:(a)?tg
1+mR2=I;(b)a=gsin
1+I=mR2;a=g(sin cos );(c)"=a
R,"=mgR=Icos ;(d)d=a
";d=I(tg )=(mR).6.Suprafaµauneisteleneutronicevibreaz u³or,iarmomenteledeinerµieprincipalesuntfuncµiiarmonicedetimp,conformrelaµiei:Izz=2
5mr2(1+"cos!t)Ixx=2
5mr2(1"
2cos!t);"1Steauaserote³tecuvitezaunghiular \n(t).(a)Ar taµic proiecµiapeaxaOzalui\n(t),adic \nz,r mâneconstant .(b)Demonstraµic ~\n(t)execut omi³caredenutaµieînjurulaxeiOz.Determinaµifrecvenµaunghiular aacesteia(\nz�!).R spuns:(a)\nz=\n0z
1+"cos!tconst:;(b)!n=3
2"\nzcos!t.
Capitolul7
Soliduldeformabil7.1IntroducereForµeledeinteracµiunedintreparticuleleconstituentealeunuimediusolidau,înrealitate,valorinite,îna³afelîncâtarareoricorpurilesolidepotconsiderateabsolutrigide.Solidelereale,înmarealormajoritate,suntdeformabile.Cândforµeinternesauexterneacµioneaz asupraparticulelorcomponentealecorpuluisolid,aparastfeldeformaµii,corpulrespectivaându-seîntr-ostaredecomprimaresauîntindere.Dac ,dup înl turareaacµiuniiforµelorsus-menµionate,solidulrevinelaformainiµial ,sespunec aceadeformaµieafostreversibil sauelastic .7.2Deformaµiadealungire/compresiuneS presupunemcasupunemuncorpsoliduneiforµe~F(Fig.7.1)orientat arbitrarfaµ de
Figura7.1:(a)Oforµ extern ~Facµioneaz asuprasecµiuniitransversaleS,aepruvetei;(b)Undetaliu,referitorlasecµiuneadSosecµiunetransversal prinacesta1RaportulF=Ssenume³teefortunitarmediu,iarraportuldF=dSsenume³teefortunitar
1Corpuldestudiatsenume³te,înacestcaz,epruvet .155
156Capitolul7.Soliduldeformabil
(saustress).=limS!0F
S=dF
dS(7.1)A³acumseconstat ³idinFig.7.2,corespunz torcelordou componentealeforµei,vomaveaunefortunitarnormal:=dFn
dS(7.2)³iunefortunitartangenµial(saudeforfecare):=dFtg
dSReferitorladeniµiaefortuluiunitarnormal,s amintimc elestedenumittensiune,dac forµadFesteorientat îna³afelîncâtdetermin odeformaµiedealungire2.Dac forµadeformatoaredetermin unefortdereducereadimensiunilorcorpului,easenume³tecompresiune.ÎnFig.7.2suntprezentatecele3tipurideefortunitar.
Figura7.2:(a)Oimagineauneisecµiuniîntr-oepruvet paralepipedic (b)efortdetensiune;(c)efortdecompresiune;(d)efortdeforfecare.AmnotatcuFds³iFsdforµeleceacµioneaz stânga-dreapta³iinvers;Fjs³iFsjsuntforµelecare(pedesen)acµioneaz sus-jos,respectivjos-susPrezenµauneiforµe,respectivaunuiefortreprezint ocauz .Efectulacesteiaînterme-niideform riisecaracterizeaz cantitativprinm rimeazic denumit alungire/comprimarerelativ .Dac efortulunitarestedealungire,,atunciefectuls u:"=l
l0(7.3)senume³tealungirerelativ .Invers,dac efortulestedecompresiune,vorbimdespreocom-primarerelativ (evident,înacestcaz,"0,deoarecell0).Însfâr³it,dac efortulestedeforfecare,vorbimdespreoalt m rime,notat cu\r:\r=d
d0(7.4)
2Anuseconfundatensiuneacarearesemnicaµiadensit µiisupercialedeforµ cuforµadetensiune,notat cu~FnînFig.7.1saucu~Tînmultecazuri.
7.2.Deformaµiadealungire/compresiune157
undedestedistanµapecareseproducealunecareaporµiuniidintr-oparteasuprafeµeideforfecare,iard0odimensiunecaracteristic ,desprecarevomvorbiîndetaliumaijos.Într-orelaµiematematic ,efortulunitar³ialungirea/comprimarearelativ seexprimasubforma:=E"(7.5)încareconstantadeproporµionalitateEsenume³temoduldeelasticitatesaumodululluiYoung.Întrucât"esteom rimeadimensional ,unitateadem sur înSIaluiEvaaceea³icuceaalui³ianumeN=m2.Relaµia(7.5)exprim legealuiHooke.ObservaµieRelaµia(7.5)esterespectat doarîncazulmicilordeformaµiialesolidelor,maiprecisînsituaµiaîncaredeformaµiaestereversibil 3.Dac urm rimosituaµieîncareforµeledeformatoaredep ³esclimitadeproporµionalitatevalabil încazulrelaµiei(7.5),obµinemodependenµ deformaprezentat înFig.7.3.
Figura7.3:Dependenµa"()pentruoepruvet metalic .IntervalulBCsenume³teregiuneînmuieresaudecurgereîntrucâtînaceast regiune,deformaµiaseproduceprintr-ocurgerefoartevâscoas aunorstraturialesoliduluipelâng altele.Sc derealuiînporµiuneaBCsedatore³te,înprincipal,sc deriisecµiuniitransversaleaepruvetei.intervalulCDsenume³teregiunedeecruisaj³icorespundeunuiprocesinversceluipetrecutînporµiuneaBC,maiprecisuneiînt ririamaterialului,careîntr-oastfeldedeformaredevinemultmairigiddecâtînfazeleiniµialealedeform rii.Dup dep ³ireapunctuluiD,areloc,dinnouoalungirerapid amaterialului,careînnal,serupe(punctulE).Observaµii:1.GraculprezentatînFig.7.3seîntâlne³te,deregul ,încazulepruvetelormetalice.Înmultesituaµii,îns ,elestemaisimplu,anumiteporµiunilipsind.Materialelecasantesaufragileajungs serup ,înaintedeaajungeînregiuneadeînmuiere.2.DeformaµiileplasticedinintervalulBCsuntfoarteimportanteînproceseledeprelucrarelarecedinmetalurgie(laminare,trelare,extrudare,forjareetc.)3.Odat cucre³terealungimii,chiarîncazuldeformaµiilorelasticedinzonaOA,arelocomodicareasecµiuniitransversaleaepruvetei.Saconsider m(Fig.7.4)oepruvet cusecµiunecircular dediametruiniµialb0.
3Cutoatec ,aparent,legealuiHookeesteuncazfoarteparticularindvorbadoardemicideformaµii,înrealitatenum rulsituaµiilorîncareaceast leger mânevalabil estefoartemare.Printreexemplelecelemaiimportanteputemamintiaicideformaµiiledindomeniulundelorelasticeliniareînmediisolide.
158Capitolul7.Soliduldeformabil
Figura7.4:ModicareasectiuniiuneiepruveteprinalungireÎnurmaalungiriicucantitateal,diametrulepruveteiscadecucantitateab=bb0(b0).Denimraportulb
b0caomodicarerelativ adiametruluiepruvetei.Acestraportestedirectproporµionalcualungirearelativ :b
b0=l
l0(7.6)Constantadeproporµionalitate,dinecuaµia(7.6)senume³tecoecientulluiPoisson³ielareovaloarepracticconstant încazulmetalelor³ialiajelor(0;4).Cutitludeexerciµiu,propunemcititoruluis vericec ,înurmaalungirii,volumulepru-veteicre³te(vezi³iproblemelepropuselaacestcapitol).7.3DeformaµiadeforfecareS consider muncorpsoliddeformabildeform paralepipedic (Fig.7.5)xatlaparteainferioar ,ADdeunsuportrigid.S aplic moforµ tangenµial ,~FasuprasuprafeµeiBC.
Figura7.5:DeformaµiadeforfecareaunuicorpparalepipedicCaurmareadeform rii(forfec rii),suprafaµaBC,asupracareiasemanifest forµa~Fsevadeplasa,ocupând,înnal,poziµiaB0C0.Dac not mAB=l0,iardeformaµiaBB0=CC0cul,pentrudeformaµiimiciputemscrie:tg\r\r=l
l0="(7.7)Efortulunitartangenµialeste:=F
S;(7.8)
7.4.Deformaµiadetorsiune(r sucire)159
astfelîncât,orelaµiedetipHookeîntreefortulunitar³ideformaµiarelativ sevascriesubforma:=G"(7.9)Înrelaµiaanterioar ,constantadeproporµionalitateGsenume³temoduldeforfecarealma-terialului.Evident,unitateadem sur aluiGînSIesteN=m2,ca³iîncazulmodululuideelasticitatealuiYoung.Dealtfel,pentrumareamajoritateametalelor³ialiajelor,modululdeforfecarereprezint aproximativ40%dinvaloarealuiE:G0;4EObservaµie1.Deformaµiadeforfecareliniar apare,a³acumvomvedeaîncapitoleleurm toare,înmediilesolideîncaresepropag undetransversale.Eaapare,deasemeneaîn³uruburi³inituricareservesccadispozitivedeasamblareaunorpl ciplaneadiacente,atuncicândacesteatinds sedeplaseaz însensuricontrare,paralelunelefaµ dealtele.Deformaµiadeforfecareapare,deasemenea,încazulfoarfecelorcareoblig dou p rµialeuneifois sedeplasezeînsensuricontrarii,faµ deosuprafaµ det iere.7.4Deformaµiadetorsiune(r sucire)Uncazparticularaldeformaµieideforfecareesteceadetorsiune,încarealunecareasu-prafeµelorarelocîncadruluneisimetriicilindrice.S consider mune³antiondeformauneibaresaur,dediametruAB(Fig.7.6),xat rigiddeunsuportlaparteainferioar .
Figura7.6:(a)Deformaµiadetorsiuneauneibare(r)(b)Deformaµiadetorsiuneauneip turicilindrice.Dac uncupludeforµe~F~F0acµioneaz lacap tulinferioralbarei,aceastavadeterminaorotaµieacap tuluisuperioralacesteia,punctulAajungândînA0,iarDînD0.A³adar,ca
160Capitolul7.Soliduldeformabil
urmareaacµiuniicupluluideforµedeformatoareFF0,diametrulADserote³te(ca³iîntreagasecµiunesuperioar arului)cuununghi':'=AA0
R=DD0
R(7.10)S consider macumop tur sferic deraz r(0rR)³idegrosimedr(Fig.7.6b).Asupraacesteiaacµioneaz uncupludeforµe~F³i~F0carestedeatâteaorimaimicdecâtcuplulforµelor~F~F0,decâteorisuprafaµadS=2rdrestemaimic decâtsuprafaµatotal S=R2.AplicândlegealuiHookepentrudeformaµiadetorsiune:tg  =aa0
lo=rd'
l0:(7.11)Înrelaµiaanterioar amnotatcud'unghiulcucareserote³tefaµasuperioar aruluiEfortulunitartangenµialeste:=2F
2rdr=F
rdr(7.12)Pedealt parte,conformecuaµiei(7.9):F
rdr=Gr'
l0(7.13)Caurmare:F=Gr2'dr
l0Momentulcupluluideforµeva:M=Gr3dr'
l0(7.14)Momentultotalalforµelor~F~F0ceacµioneaz asuprabareiva:M=M=G'
l0R0r3dr(7.15)adic M=G'
l0R4
4(7.16)Dinecuaµia(7.16)constat mc momentuldetorsiune,Mestedirectproporµionalcudefor-maµiaunghiular ,',abareisaurului:M=C':(7.17)
7.5.Deformaµiadeîncovoiere(exiune)161
Aiciconstantadeproporµionalitate:C=GR4
4l0(7.18)senume³teconstantadetorsiuneabarei(saurului).Seconstat c constantadetorsiuneestedirectproporµional cuR4³iinversproporµio-nal culungimeal0abarei/ruluidetorsiune.A³acumvomvedeaulteriorînstudiulzicii,exist unnum rînsemnatdedispozitivedem sur aforµelorsaucuplurilordeforµe,bazatepedeformaµiaunorredetorsiune.Dealtfel,balanµadetorsiune,amintit înParteaIaprezen-tuluicurscadinamometrupentrum surareaforµelordeatracµiegravitaµional dec treHenryCavendishesteunbunexempluînacestsens.Sensibilitateauneibalanµedetorsiunesere-gleaz grosierprinmodicareadiametruluirului4,iarnprinajustarealungimiirului.Alteaplicaµiialebalanµeidetorsiunelevomreg siînelectricitate(laconstrucµiagalvanometrelor)magnetism(laconstrucµiamagnetometrelordetorsiune)³.a.m.d.7.5Deformaµiadeîncovoiere(exiune)Acesttipdedeformaµieapareatuncicânduncap taluneibareestexatrigid,iarasupraceluilaltseacµioneaz cuoforµ (Fig.7.7)careacµioneaz perpendicularpeaceasta.
Figura7.7:(a)deformaµiadeîncovoiere;(b)undetaliupentrucalculCa³iîncazurileanterioare,deformareabareiînceteaz înmomentulîncarecuplulexercitatdeforµaextern ~F(³ideperecheaei~F0,dinzonadeîncastraredinstânga)esteanulatînefectdeuncupluelasticdezvoltatînbaraîns ³i.Neputemimaginac baraesteformat ,iniµial,dinstraturiparalepipediceparalelesuprapuse,degrosimiinnitizimale.Caurmareaîncovoierii,deformaµiileacestorstraturisuntdiferenµiate,înfuncµiedelocaµialor:straturiledininteriorularculuidecercAB0astfelformatvorcomprimate,celedinexteriorulacestuiarcdecerc
4Odublareadiametruluiruluidetorsiunedetermin osc dereasensibilit µiibalanµeide24=16ori!
162Capitolul7.Soliduldeformabil
voralungite,iarstratulAB0vaaveaaceea³ilungime,ca³iînstareanedeformat .DeaceeastratulABsauAB0senume³te³istratneutrualbarei.AlungireastratuluiCDaatladistanµaydestratulneutru(Fig.7.7b)va:l=(R+y)Rl=yAlungirearelativ aaceluia³istratva:"=l
l0=y
R=y
RAplicândlegealuiHooke:=E"=E
Ry(7.19)cualtecuvinte,efortuldealungire/comprimarecre³tedirectproporµionalcudistanµapân lastratullimit .Constat m,a³adar,c efortulunitarvamaximlaperiferiaextern abarei,zerolanivelulstratuluineutru(y=0)³inegativînzonacuprins întrestratulneutru³iperiferiadinsprecentruldecurbur ,O.Faptulc efortuldecompresiune,respectivalungire,esteminimînvecin tateastratuluineutrupermiteca,încazulgrinzilordeconstrucµiisau³inelordecaleferat ,acoloundeapardeformaµiideîncovoiere,secµiuneatransversal înaceast zon s poat aleas mairedus ,a³acumestereprezentatînFig.7.8.
Figura7.8:Secµiunitransversaleprintr-o³in decaleferat ³iprintr-ogrind portant folosit înconstrucµii.Serealizeaz ,prinfolosireaunorastfeldegrinzi,înstructur celular ,elementeconstruc-tiveexibile³ifoarterezistente(aripideavion,macarale,poduri,hale,etc.)7.6Probleme1.unbastondincauciucculungimeaL=40cmserote³teuniformînplanorizontalînjurulunuicap t,cuvitezaunghiular !=600rot/min.Densitateacauciuculuieste=1400Kg/m3iarmodululs udeelasticitateE=105N/m2.Determinaµialungireabastonuluideterminat demi³careaderotaµieneglijândefectelegravitaµiei.R spuns:l=1
3E!2L35;6cm.2.UnrdelungimeL,moduldeelasticitateE³isecµiuneS,estealungitelasticcuL.
7.6.Probleme163
(a)determinaµiconstantaelastic k;(b)calculaµilucrulmecanicnecesarpentruoastfeldealungire.R spuns:(a)k=ES
L;(b)L=1
2ESL2
L.3.Uncabludeoµel(E=21011N/m2)cusecµiunea3;00cm2aredensitatealiniar demas 2;4Kg/m.Dac sefolosesc500mdecablupentruoescalad montan ³icablulseatârn verticalpeunperetedestânc ,careestealungireacabluluisubacµiuneaproprieigreut µi?R spuns:L=1
2gL2
EA=4;9cm.4.(a)Estimaµiforµacucareunmaestrukaratetrebuies loveasc omas delemn,dac vitezamâiniiînmomentulimpactuluiestede10m/s³idescre³tepân la1;00m/sînintervalulde0;002scâtdureaz impactul.Masamâiniiseconsider 1Kg.(b)Câtestetensiuneadeforfecareceapareînmasadelemndepincearegrosimeade1;00cm³iol µimede10cm.(c)Cunoscândc tensiuneamaxim suportat demasadepinestede3;60106N/m2vaavealovituraefectderupere?R spuns:(a)F=mm
t=4500N;(b)F
S=4;50106N/m2;(c)da.
Capitolul8
FluideÎncapitolul2amexaminatcâtevadintrecaracteristicilemi³c riiunuimodelidealizatdecorpcudistribuµiecontinu demas solidulrigid.Încontinuare,nevomocupacustudiulechilibruluimecanic³ialmi³c riiunuialtsistemzicmodelidealizatcudistribuµiecontinu uidul.Unuidconstituieextremaopus soliduluirigid,însensulc elesteuncorpabsolutdeformabil.Dac ,încazulsoliduluirigiddeformaµiiledeterminatedeforµeinterioaresauexterioaresuntnule,indiferentdem rimeaacestorforµe,încazulcorpuriloruide(lichidesaugaze),forµeaparentneînsemnatepotproducedeformaµiiconsiderabile.Acestcomportamentestedatoratunorinteracµiunimultmaislabeîntreatomiisaumoleculelecealc tuiescuidul.Încazullichidelor,forµeleintermolecularesuntderaz scurt ,atracµiamanifestându-sedoarîntremoleculelevecinedeordinulI.Încazulgazelor,forµeleintermolecularesunt³imaislabe,datorit distanµelormaridintremoleculesauatomi.Faptulc întremoleculeledegazexist distanµerelativmari(încomparaµiecumediilecondensatelichide³isolide)facecastudiulgazeles eabordat,pedeopartesubformademodeldeuid(încazulmacroscopic),pedealt parte,subformademodelcinetic(încazulmicroscopic)încareoparticul generic estetratat înmodindividual,atribuindu-i-secaracteristicizicestatistice.Oastfeldeabordareîncadrulteorieicinetico-moleculareseîntâlne³te,deexemplu,înstudiulgazuluiideal.Criteriuldup careuncorprealpoatetratatînmodeluldeuidsauînmodelulcineticîlreprezint relaµiadintredimensiuneacaracteristic avolumuluielementaraluidului³idistanµamedieparcurs întredou ciocnirisuccesive.Evident,înmodeluldeuidaceast distanµ medieestemultmaimic decâtoricedimensiunecaracteristic aelementuluidevolum.Faptulc unuidreprezint uncorpabsolutdeformabilfacecaacestas nuaib form proprie(iar,încazulgazului,nicivolumpropriu).Încadrulmodelululuideuidseopereaz cum rimizicemacroscopice,cumsunt:temperatura,presiunea,concentraµiadeparticule,densitateaetc.,m rimicaredepind,îngeneral,detimp³idepoziµiaînspaµiu(adic decoordonatelex,y,z).Forµeleinterneditreparticuleleconstituentealeuidelorsenumescforµedecoeziune.Acesteaauvaloriatâtdemariîncât,deexemplu,încazullichidelor,eledetermin ostarede165
166Capitolul8.Fluide
comprimarepermanent .Presiunileinternepotaveavalorideordinulsutelorsaumiilordeatmosfere,astfelîncâtdoarforµeexternefoartemaripotproduceefectedecomprimare/dilatarecomparabile.Deaceea,lichidelesuntconsiderate,practic,incompresibile.ÎnFig.8.1suntreprezentate,(m ritedinmotivdevizibilitate)dou tipuridemoleculedelichid:
Figura8.1:Forµeleintermolecularedininteriorullichidului(1)³idinstratulsupercial(2).1.celedinvolumullichidului,carer mânînechilibruindiferent,deoarecerezultantaforµelordeatracµieexercitatedemoleculelevecineestenul ;2.moleculedinstratulsupercial(reprezentatelascar multmaimare),caresuntatrasedoardemoleculeledinstratulinferiorlor(concentraµiamoleculelordegazdedeasuprasuprafeµeilibereestepracticnul ,încomparaµiecumoleculeledinacelstratinferior).Rezultantaforµelordeatracµieresimµit deecaremolecul dinstratulsupercialvaîndreptat (dinmotivedesimetrie)perpendicularpesuprafaµaliber alichidului.Forµeledeinteracµiunedintremoleculelelichidului³ipereµiivasuluiîncareacesteaseg sescsenumescforµedeadeziune.Elesuntresponsabiledemodicareasuprafeµeiliberealichidelor,careînregiuneadecontactcusolidulseabatedelaformaplan ,luândformademenisc(Fig.8.2).Dincompunereaforµelordecoeziune³iadeziuneiana³tereorezultant ,~R,anulat 
Figura8.2:(a)Meniscconcav(forµedeadeziunedenatur atractiv )(b)Meniscconvex(forµedeadeziunedenatur repulsiv ).înefectdereacµiuneanormal ,~N,datorat lichidului.Laechilibru,~R+~N=0;(8.1)
8.1.Staticauidelor.Ecuaµiafundamental ahidrostaticii167
iarformamenisculuiesteconcav încazulîncareforµeledeadeziunesuntdenatur atractiv ,sauconvex încazulîncareforµeledeadeziunesuntdenatur repulsiv .Încazul(a),sespunec lichidulud vasul,încazul(b)c acestanuud vasul1.Vomexaminapescurt,câtevalegicareguverneaz echilibrul³i,respectiv,curgereauidelorîncadruladou secµiuni:staticauidelor(denumit ³ihidrostatic )³idinamicauidelor(denumit ³ihidrodinamic )2.8.1Staticauidelor.Ecuaµiafundamental ahidrostaticiiSaconsider m(Fig.8.3)unvolumelementar,dV,încoordonatecarteziene,îninteriorulunuiuidaatînrepaus.Asupraacestuiaacµioneaz dou tipurideforµe:
Figura8.3:Forµeleinterneceacµioneaz asupraunuivolumelementardV=dxdydz.internedatorateinteracµiuniiuneiparticuledeuidcurestuluiduluiceînconjoar pedV;externedatoratecâmpuluigravitaµionalîncareuidul,inclusivelementuldevolumdVseg sescînpermanenµ 3.Notândcu~F(i)³i,respectiv~F(e)rezultanteleforµelorinterne³iexternecareacµioneaz asupraluidV,condiµiadeechilibruauidului(³iimplicitaluidV)sevascrie:~F(i)+~F(e)=0:(8.2)
1Fenomenelelainterfaµalichid-solidauoimportanµ practic considerabil înnatur ³itehnic ,eleindresponsabiledeascensiuneacapilar aapeiînplantesaudetrecerealichidelorprinmembrane,dar³iînmultealteexemplealec rorprezentaredep ³e³tespaµiulcepoatealocatînaceast carte.2Prexulhidro-dinacestedenumirinutrebuieînµelesadliteram,teoriapecareovomexaminareferindu-senudoarlacazulapei,ciaoric ruialtlichid.3Înunelecazuri,uidelesepotg si³isubacµiuneaunorforµeexterne,alteledecâtcelegravitaµionale.
168Capitolul8.Fluide
Dac µinemcontc :~F(i)=F(i)x^x+F(i)y^y+F(i)z^z;~F(e)=F(e)x^x+F(e)y^y+F(e)z^z;atuncirelaµia(8.2)esteechivalent cutreiecuaµiiscalare:F(i)x+F(e)x=0;F(i)y+F(e)y=0;F(i)z+F(e)z=0:S examin mconsecinµeleacestorrelaµii,luândcaexempludirecµiaOycareesteceamaivizibil înFig.8.3.FaµadinstângaaluidVarecoordonatay,ceadindreapta(y+dy).Forµeleinterneceacµioneaz înacestcazsuntFy(y)³iFy(y+dy).Notândcuppresiuneaexercitat deoforµ asuprauneisuprafeµedate,atuncivomavea,deexemplu:p(y)=F(i)y(y)
dxdz³ip(y+dy)=F(i)y(y+dy)
dxdz:(8.3)S observ m,pentrumoment,c presiuneaesteom rimescalar .Caurmare,rezultantaforµelorinternede-alungulaxeiOyva:F(i)y=F(i)y(y)F(i)y(y+dy)=[p(y)p(y+dy)]dxdz:(8.4)DezvoltândînserieTaylortermenulp(y+dy)³ineglijândtermeniideordinsuperior:p(y+dy)=p(y)[email protected]
@ydy+:::(8.5)relaµia(8.4)devine:F(i)y=@p
@ydydxdz=@p
@ydV:(8.6)Relaµiisimilarevomg si³ipentrudirecµiileOx³iOz:F(i)x=@p
@xdV;F(i)z=@p
@zdV:(8.7)Introducândecuaµiile(8.6)³i(8.7)înecuaµia(8.3)vomg si:~F(i)=@p
@[email protected]
@[email protected]
@zdV=gradpdV:(8.8)Avândînvederec ³iforµaexterioar ,~F(e)sepoatescriecagradientulenergieipotenµialegravitaµionale:~F(e)=grad(Epg);(8.9)
8.1.Staticauidelor.Ecuaµiafundamental ahidrostaticii169
atunciecuaµia(8.2)sepoatescrie³isubforma:gradpdVgrad(Epg)=0;(8.10)sau:gradp+1
dVgrad(Epg)=0:(8.11)Cumpotenµialulgravitaµional,Vg,înloculîncareseg se³teparticuladeuidsepoateexprimaînfuncµiedeEpgprinrelaµia:Vg=(Epg)
dV;(8.12)rezult c ,defaptecuaµia(8.11)sepoatescrie³isubforma:gradp+gradVg=0;(8.13)sau:rp+rVg=0:(8.14)Ecuaµiile(8.13)³i(8.14)exprim condiµiadeechilibrustaticaluidului.Easemainume³te³iecuaµiafundamental ahidrostaticii.Înmodevident,elementuldevolumpoateaveaoform diferit decâtceaparalelipipedic .S lu mînconsiderareunelementdevolumdelimitatdecincisuprafeµedreptunghiulare,a³acumestereprezentatîntr-oimaginebidimensional înFig.8.4.Dac µinemcontc forµelede
Figura8.4:Oimaginebidimensional aunuielementdevolumîmpreun cuforµeledepresiunecesemanifest asuprafeµeloracestuia.natur gravitaµional audoarcomponent de-alungulluiOz,condiµiadeechilibrualuidVîncâmpulexterneste:F(i)yzsin F(i)y(y+dy)=0;(8.15)F(i)yzcos +F(i)z(z)G=0:
170Capitolul8.Fluide
Amavutînvederec rezultantaforµelorceacµioneaz dup odirecµieOx,perpendicular peplanulfoii,estezero.Înrelaµia(8.15b),greutateaelementuluidevolumdVeste:G=1
2dydzdxg(8.16)inddensitateauidului.Întrucâtm rimilesuprafeµelorasuprac roraseexercit forµele~F(i)yz,~F(i)z(z)³i~F(i)y(y+dy)sunt,respectiv:dxdz
sin ,dxdy³idxdz,iarpresiunilepefeµelepecareacµioneaz ~F(i)z³i~F(i)y(y+dy)suntp(z)³irespectivp(y+dy),ecuaµiile(8.15)conduclarelaµiile:p(z)dxdz
sin sin p(y+dy)dxdz=0;pxydxdz
sin cos +p(z)dxdy1
2gdxdydz=0:(8.17)Deoarecedup simplicareaprindx,ultimultermendinecuaµia(8.17b)conµineunprodusdedou m rimiinnitezimale,elpoateneglijatîncomparaµiecuprimiidoitermeni,astfelîncâtsistemulanteriordevine:p(z)=p(y+dy);pxydzctg =p(z)dy:Deaicirezult :pxy=p(z)dy
dzctg =p(z);(8.18)întrucâtctg =dy=dz.Aproximaµiareferitoarelaultimultermendinecuaµia(8.17)estecuatâtmaijusticat ,cucâtvolumulprismei,dV,estemaimic.Înacestecondiµiiobµinemecuaµia:pxy=p(z)=p(y+dy):(8.19)Ecuaµia(8.19)reprezint demonstraµialegiiluiPascal4careseenunµ astfel:Înoricepunctdininteriorulunuiuid,presiuneasetransmiteîntoatedirecµiile,cuaceea³iintensitate.Evident,presiuneaesteom rimescalar ,îns produsulpdSreprezint oforµ elementar ,iar,dinoricepunctaluidului,pleac astfeldeforµeelementaredivergente.8.1.1Presiuneahidrostatic Ecuaµiavectorial (8.13)esteechivalent cuurm toareletreiecuaµiiscalare:@p
@[email protected]
@x=0;@p
@[email protected]
@y=0;(8.20)@p
@[email protected]
@z=0:
4Înmultemanualedemecanic sevorbe³tedeprincipiulluiPascal.
8.1.Staticauidelor.Ecuaµiafundamental ahidrostaticii171
Avândînvederec ,învecin tateasuprafeµeiP mântului,suprafeµeleechi-potenµialegravita-µionalesuntplaneorizontale,rezult imediatc :@Vg
@[email protected]
@y=0)@p
@[email protected]
@y=0:(8.21)Caurmare,peosuprafaµ orizontal 5,presiuneahidrostatic esteconstant .Înceeaceprive³tedirecµiavertical ,estecunoscutc :dVg
dz==g;(8.22)(indintensitateacâmpuluigravitaµional).Caurmare,atreiaecuaµiedin(8.20)sepoatescriesubforma:dp
dz=g)dp=gdz:(8.23)Integrândecuaµiaprecedent ,cucondiµialalimit p(z=0)=p0,valabil înplanulsuprafeµeiliberealichidului(adic pesuprafaµadecontactcuaerul)(vezi³iFig.8.5),g sim:p0pdp=g0zdz;(8.24)adic :p0p=gz;sau:p(z)=p0+gz:(8.25)Aceastaînseamn c ,îninteriorullichidului(Fig.8.5),acoloundez0,presiuneahidrostatic +gzseadaug ,defapt,lapresiuneaatmosferic ,p0.Încazulapei(=1000kg/m3),la
Figura8.5:Pentrucalcululpresiuniihidrostatice.oadâncimedeaproximativ10m,presiuneatotal ,parevaloarea2p0=2atm6.Demulte
5Oastfeldesuprafaµ senume³tesuprafaµ denivel.6Estecunoscut,dealtfel,dinmanualuldeliceu,c presiuneadeoatmosfer esteechivalent cuopresiunehidrostatic exercitat deocoloan demercurde0,76m,saudeocoloan deap de10m
172Capitolul8.Fluide
ori,coordonata(z)dinecuaµia(8.25)seînlocuie³tecuadâncimea,h,acoloaneideap .Presiuneahidrostatic areatuncivaloarea:ph=gh;(8.26)iarpresiuneatotal laoadâncimeh,subnivelulapeieste:p=p0+gh:(8.27)8.1.2Formulabarometric Înecuaµia(8.24)amconsideratc densitateauiduluiesteconstant ,deaceeaafostscoas factorcomun,înfaµaintegralei.Acestlucruestevalabildoarîncazullichidelor(caresuntincompresibile).Încazulgazelor,densitateasemodic cupresiunea.Folosindu-sedeecuaµiadestareagazuluiideal,pV=m
RT,densitateagazuluisepoatescrie:=m
V=p
RT:(8.28)Înlocuimvaloarealuidat deecuaµia(8.28)înecuaµia(8.23)vomobµine:dp=p
RTgdz:(8.29)Separândvariabilele³iintegrând:pp0dp
p=g
RTz0dz;(8.30)vomg sidependenµap(z):p=p0egz
RT;(8.31)denumit ³iformulabarometric .Conformecuaµiei(8.31),presiuneaatmosferic descre³teexponenµialcuîn lµimea³itemperatura.8.1.3LegealuiArhimedeEcuaµia(8.27)serve³teladeducereaexpresieiforµeiascensionaleceacµioneaz asupraunuicorpsoliddeoform arbitrar ,scufundatîntr-unlichid.S consider munastfeldecorp(Fig.8.6)³is evalu mforµarezultant exercitat delichidulînconjur torasuprasa.Asupraoric ruielementdevolumdValcorpului,forµeledepresiuneceacµioneaz dup direcµiileOx³iOysevorcompensaînefect(conformlegiiluiPascal,aplicat oric reisuprafeµedenivel).Dac not mcudSariabazeiunuiparalelipipedelementardevolumdV,forµarezultant ceacµioneaz asupraluidVeste:dF=dFz=(p2p1)dS=g(h2h1)dS:(8.32)
8.2.Dinamicauidelor173
Figura8.6:Uncorpsolidscufundatîntr-unuid,divizatînvolumeelementare.Forµarezultant ,cesemanifest asupraîntreguluisolidscufundatseobµineintegrândecuaµia(8.32)peîntreagasuprafaµ acorpului:F=Fz=g(h2h1)S=gV=mlg(8.33)încareamnotatcuml=Vmasadelichiddezlocuitdecorpulscufundat.Ecuaµia(8.33)exprim legealuiArhimede,careseenunµ astfel:Uncorpsolidscufundatîntr-unuidesteîmpinsdejosînsus,pevertical ,deoforµ ascensional (denumit ³iforµ arhimedic ),egal cugreutateauiduluidezlocuitdeacelcorp.8.2DinamicauidelorFiindsistemecudistribuµiecontinu demas ,întocmaica³iîncazulsoliduluirigiduidelepottratatecaansambluricuunnum rinnitdecomponente.Seînµelegec pentrug sireaecuaµiilordemi³carenuputemintegraecuaµiilecarerezult dinaplicareprincipiuluiIIaldinamicii,nicim carpentruecareelementdevolumdV(care,a³acumar tamanterior,conµineunnum renormdeparticule,atomisaumolecule).Înmecanicauidelor,Euler7aar tatc putemabordastudiuldinamiciiuidelordindou punctedevederedistincte:(a)S consider moparticul deuiddevoluminnitizimaldV³is -iurm rimcoordonatele(deexemplu,x;y;z)cafuncµiedetimp,plecând,evident,delaforµeleceacµioneaz asuprasa8,folosindprincipiulalII-leaaldinamicii.Aceast abordarecepleac delalegilemecaniciinewtonieneaprimitnumeledeabordarelagrangean 9.(b)S neprestabilimpoziµiiînspaµiulocupatdeuidulînmi³care³is monitoriz mm rimilezicedeinteres(densitateauidului,viteza,presiuneaetc.)întimp.Aceast 
7LeonhardEuler(1707-1783)zicianelveµian,consideratcelmaimarematematicianalsecoluluiXVIII-lea.Lucr rilesaleocup circa80devolume(peste886dearticole³ic rµi),celemaimultescriseînultimeledeceniialevieµii,cânderacompletorb.CelemaicunoscutecontribuµiialeluiL.Eulersuntînmecanic :unghiurileEuler(cespecic orientareaunuirigid),ecuaµiilecedescriumi³careauidului,ecuaµiileEuler-Lagrangedinmecanicaanalitic etc.8Aceast abordareamurmat-oîncazulsoliduluirigid.9Dup numeleluiJosephLagrange(1736-1813).
174Capitolul8.Fluide
adouaabordareaprimitnumeledeabordareaeulerian .A³acumvomvedeaînceleceurmeaz ,eaestemaiconvenabil înstudiulmi³c riiuidelor,încomparaµiecuabordarealagrangean .ObservaµieUnexemplucareilustreaz celedou tipurideabord riîlavemdac nepropunems urm rimstudiulcurgeriiapeidintr-unuviu.Înabordarealagrangean arnevoies urm rimmi³careauneiparticulegenericedeuid,delaizvorpân lav rsareaînmare.Înabordareaeulerian ,curgereaestestudiat monitorizândvitezauidului,nivelulapeietc.înpunctelealesepeparcursuluviului10.8.2.1Derivatasubstanµial auneim rimiziceA³acumvomvedeaîncontinuare,exist dou tipuridederivatealem rimilorzicececaracterizeaz curgereauidului.Deexemplu,dac monitoriz mvitezaîndecursulmi³c riiuneiparticuledeuidde-alungultraiectorieisale(denumit ³iliniedecurent),variaµiavitezeiînraportcutimpulreprezint oderivat total ,d~v=dt.Componentelevitezei~vsunt,larândullor,funcµiidetimp(vezi³iFig.8.7).Variaµiavitezeiîntr-unintervaldetimpdteste:d~v=~vB~vA=~v(x+dx;y+dy;z+dz;t+dt)~v(x;y;z;t):(8.34)Dezvoltândpe~v(x+dx;y+dy;z+dz)înserieTaylor11³ineglijândtermeniideordinsuperiorvomavea:d~v'@~v
@[email protected]~v
@[email protected]~v
@[email protected]~v
@tdt:(8.35)Împ rµindecuaµia(8.35)prindtvomobµine:
Figura8.7:Oparticul deuidare,lamomentult,coordonateleA(x;y;z),iardup untimpdtajungeînB(x+dx;y+dy;z+dz).Evident,distanµeleaufostreprezentateexageratdemari,dinmotivdevizibilitate.
10UneledindateleculesedestaµiiledemonitorizarenesuntoferiteprinstaµiideradiofuziunelaemisiuneaCoteleapelorDun rii"11Aceastadac ~v(r;t)esteofuncµiederivabil ,iarderivatasaînvecin tatealuiBestedenit .
8.2.Dinamicauidelor175
d~v
[email protected]~v
@xdx
[email protected]~v
@ydy
[email protected]~v
@zdz
[email protected]~v
@t;[email protected]~v
@[email protected]~v
@[email protected]~v
@[email protected]~v
@t:(8.36)Constat mc ,înecuaµia(8.36),aap rut³[email protected][email protected],careexprim variaµiavitezeiîntimpîntr-unlocxatdinvolumullichidului(abordareaeulerian ).Ecuaµia(8.36)poatescris ³isuboalt form ,dac scoatemformalpe~vcafactorcomun:d~v
[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]~v
@t:(8.37)Înparantez ,recunoa³temimediatunprodusscalarîntreunvector~v(vx;vy;vz)³[email protected]
@x^[email protected]
@y^[email protected]
@z^z.Ecuaµia8.37sescrie,maicompact,subforma:d~v
dt=(~vr)[email protected]~v
@t:(8.38)Denimastfeloperatorul:d
dt=(~vr)[email protected]
@t;(8.39)denumitderivatasubstanµial auneim rimizice.Acestoperatorsepoateaplicanunumaiuneim rimivectoriale(viteza~v,înexemplulanterior),ci³iunorm rimiscalare,ca,deexemplu,presiunea:dp
dt=(~vr)[email protected]
@t:(8.40)Ecuaµia(8.40)nevautil ,înceleceurmeaz ,pentrustabilireaecuaµieidecurgereaunuiuid.8.2.2EcuaµiadecurgereaunuiuidVomrecurgelaacela³iexempludeparticul deuid,pecarel-amfolositpentrudeducereaecuaµieifundamentaleahidrostaticii.Evident,pentrucaparticulas semi³teaccelerat,estenevoiecarezultantaforµelordepresiune(gradpdV)³iaforµelorexterne~F(e)s ediferit dezero.AplicândlegeaaII-aadinamiciipentrumi³careade-alunguluneiliniidecurent:dm~a=gradpdV+~F(e)(8.41)³iexprimândpe~aconformecuaµiei(8.38),vomg si:dV(~vr)[email protected]~v
@t=gradpdV+~fdV(8.42)
176Capitolul8.Fluide
adic :(~vr)[email protected]~v
@t=rp+~f:(8.43)Înecuaµiile(8.42)³i(8.43)amintrodusm rimea~f=~F(e)=dV,avândsemnicaµiadensit µiivolumicedeforµ exterioar ceacµioneaz asuprauidului.Ecuaµia(8.43),scris deobiceisubforma:@~v
@t+(~vr)~v+1
rp=~f
;(8.44)senume³teecuaµialuiEuler.Eareprezint ecuaµiageneral decurgereaunuiuidideal(lipsitdevâscozitate).Integrareaecuaµiei(8.44),încazulgeneral,estedicil .Ecuaµia(8.44)esteechivalent cu3ecuaµiiscalare,îns aiciavem7necunoscute:vx;vy;vz;;p,³ifx;fy;fz.Dintreacestea,com-ponenteleforµelorexternesuntcunoscute,îns mair mânînc 4necunoscute.A³acumvomvedeaînceleceurmeaz ,treiecuaµiiscalaresuplimentarepotdedusedinlegeaconserv riimasei(exprimat subformaa³a-numiteiecuaµiidecontinuitate).Ceadea7-anecunoscut dinlistaamintit maisustrebuieaat dintr-oalt legezic ,delacazlacaz.8.2.3EcuaµiadecontinuitateEcuaµiadecontinuitatereprezint ,înfapt,legeadeconservareamasei,aplicat încazulcurgeriiunuiuid.S consider munpunctPdininterioruluidului,aatîninteriorulunuivolumelementardV=dxdydz(Fig.8.8).
Figura8.8:(a)Unvolumelementar,dV,deuid(b)Oimaginebi-dimensional aelementuluidevolum,cudetaliiprivindcurgereadup direcµiaOy.VitezaparticulelorconµinuteîninteriorulluidVovomconsiderareprezentat înmodcompletdevectorul~vP,vitezaunuipunctgenericP,dininteriorulluidV:~vP=~v=vx^x+vy^y+vz^z:(8.45)S examin m,încontinuare,curgereauiduluide-alunguluneidirecµiidate(deexemplu,de-alunguldirecµieiOy,careesteconvenabil dinpunctdevederealvizibilit µiiînFig.8.8).Laintrare,pesuprafaµaAC,componentavitezeiuidului³idensitateasaau,respectiv,valorilevy(y)³i(y),iarlaie³ire,pesuprafaµaBD,vy(y+dy),respectiv(y+dy).Dac exist o
8.2.Dinamicauidelor177
mas net izvorât dindV,de-alunguldirecµieiOy,atunciaceastasevaputeascriesubforma:dm(+)y=dm(y+dy)dm(y)==(y+dy)dSvy(y+dy)dt(y)dSvy(y)dt:(8.46)Rezultatulanteriorsescriesubaceaform ,deoarecemasadeuidcareiesedinvolumulelementarx,dV,esteconµinut într-unparalelipipeddearieabazeidS=dxdz³ideîn lµimeegal cuspaµiulparcursdeoparticul într-untimpdt,înmi³careuniform cuvitezavy(y+dy).Înmodsimilar,masadeuidcareintr învolumulelementarxprinsuprafaµadinstângaesteconµinut într-unparalelipipeddeariedS=dxdz³iîn lµimevy(y)dt.Ecuaµia(8.46)serescrieastfel:dm+y=[(y+dy)vy(y+dy)(y)vy(y)]dxdzdt:(8.47)DezvoltândînserieTaylorpe(y+dy)³ivy(y+dy)³ireµinânddoartermeniideordinulIdindezvoltare,vomavea:(y+dy)'(y)[email protected]
@ydy;vy(y+dy)'vy(y)[email protected]
@ydy:(8.48)Introducândecuaµiile(8.48)în(8.47)³iefectuândcalculeleînecuaµia(8.47),vomobµine:dm(+)y=vy(y)@
@y+(y)@vy
@ydVdt:(8.49)Relaµiisimilarevomg si,deasemenea,pentrucurgereapedirecµiileOx³iOz:dm(+)x=vx(x)@
@x+(x)@vx
@xdVdt;(8.50)dm(+)z=vz(z)@
@z+(z)@vz
@zdVdt:(8.51)Caurmare,masatotal izvorât dindVîntotal,dup celetreidirecµii,Ox;Oy³iOzva,conformecuaµiilor(8.49-8.51):dm(+)=dm(+)x+dm(+)y+dm(+)[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@zdVdt=[(~vr)+(r~v)]dVdt:(8.52)Relaµia(8.52)sepoatescrie³imaicompact,subforma:dm(+)=[r(~v)]dVdt=div(~v)dVdt:(8.53)Pedealt parte,dac denimintensitateacurentuluimasiccaretreceprintr-osuprafaµ elementar dSca:I=dm
dt;
178Capitolul8.Fluide
atunci:I=vdtdS
dt=vdS:(8.54)Putem,deasemenea,denidensitateadecurentmasic:j=dm
dtdS;~j=~v:(8.55)Atuncirelaµia(8.53)sepoatescriesubforma:dm(+)=div~jdVdt:(8.56)Ecuaµia(8.56)permites denimoperatoruldivergenµ :div~j=dm(+)
dVdt:(8.57)Divergenµavectoruluidensitatedecurentmasic~jreprezint cantitateadeuidizvorît dintr-unelementdevolumalescaunitate,înunitateadetimp.Cualtecuvinte,divergenµareprezint productivitateadeuxdecurentmasicalunit µiidevolumelementardeuid.Acestlucruestevalabil³iînconcordanµ cuteoremaGauss-Ostrogradski:(V)div~jdV=(S)~j~dS:(8.58)Menµion mc înecuaµia(8.58),cu(V)³i(S)s-aunotatvolumul³irespectivsuprafaµacem rgine³teunvolumdeuid.Vatrebuis r spundemacumlaîntrebarea:deundeprovinemasadm(+)?Dac masadeuidseconserv ,masaizvorât nupoateprovenidecâtdinsc dereadensit µiiuiduluiîninteriorulvolumuluielementarconsiderat.Notândcudm()masacarep r se³tepedV,va:dm()=[(t+dt)(t)][email protected]
@tdVdt:(8.59)Dac masadeuidseconserv 12,legeaconserv riimasei,sevascriesubforma:dm(+)+dm()=0(8.60)adic ,avândînvedereecuaµiile(8.53)³i(8.59):[email protected]
@t=0:(8.61)Ecuaµia(8.61)constituieformularealocal (saudiferenµial )aecuaµieidecontinuitate.Observaµii
12Însensulc uidulnuestecreatprinprocesezicesauchimiceîninteriorulluidV.
8.2.Dinamicauidelor179
1.Dac uidulesteincompresibil(@[email protected]=0),atunciecuaµia(8.61)sereducela:div~j=0:(8.62)2.Dinecuaµia(8.61)sepoateobµine,încazullichidelor,(considerateuidepracticincom-presibile),prinintegrare:(V)div~jdV=S~j~dS=0:(8.63)Integralaa2-adinecuaµia(8.63)sepoatescrie,deexemplu,încazulcurgeriiunuilichidprintr-oconduct deformaceleidinFig.8.9,subforma:(S)~j~dS=(S1)~j~dS+(S2)~j~dS+(Slat)~j~dS=0:(8.64)
Figura8.9:Curgereauidelorprintr-oconduct îngustat Înecuaµia(8.64)amnotatcu(Slat)suprafaµalateral aconductei,princare,evident,nuiese/intr uid,astfelîncât(Slat)~j~dS=0.Ecuaµia(8.64)sereducela:(S)~j~dS=(S1)~j~dS+(S2)~j~dS=0(8.65)sau:S1~v1^n1dS+S2~v2^n2dS=0:(8.66)•inândcontdeorientareaversorilornormalilasuprafaµ vomg si,înnal:v1S1+v2S2=0)S1v1=S2v2:(8.67)Relaµia(8.67)constituieformulareaintegral aecuaµieidecontinuitate,încazuluiduluiideal(lipsitdevâscozitate)incompresibil.A³acumvomdiscutaînSecµiunea4.5,încazuluidelorvâscoasevitezauneiparticuledinuidnumaiareaceea³ivaloareînoricepunctaluneisecµiunidate(deexemplu,v1înoricepunctdinS1respectivv2însecµiuneaS2).Dincauzafrec riiinterne,vitezaparticulelordeuidestemaxim laaxulconductei³itindelazero,pem suraapropieriidepereteleconductei.
180Capitolul8.Fluide
8.2.4Ecuaµia(legea)luiBernoulliOalt legedeconservaredinzic ,anumelegeaconserv riienergieimecaniceareoexpri-mareconcret îndinamicauidelor,denumit ecuaµialuiBernoulli13.Eaestevalabil ,a³acumvomconstataînceleceurmeaz ,încazulcurgeriiuideloridealeincompresibile,într-uncâmpdeforµeconservativ,înregimlaminar.Denumimcurgerelaminar aunuiuid,situaµiaîncareliniiledecurentnuseintersec-teaz ,iarp turiadiacentedeuidînmi³carenuseintrep trund.PentrudeducereaecuaµieiluiBernoulli,vomplecadelaecuaµiageneral decurgereaunuiuid(8.44),pecare,pentruînceput,ovomînmulµiscalarcuvectorulvitez :d~v
dt~v+rp~v=~f~v(8.68)Primultermendinecuaµiaanterioar poatescris³isubforma:d~v
dt~v=d
dt1
2v2=d
dt1
2v21
2v2d
dt:(8.69)Cedealdoileatermenpoatescris,larânduls u,subforma:rp[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@zvz=(~vr)p=dp
dt@
@t;(8.70)încareamfolositexpresiaderivateisubstanµiale(8.40).Încazuluiduluiincompresibil,@[email protected]=0,astfelîncât:rp~v=dp
dt:(8.71)Înconsecinµ ,ecuaµia(8.68)devine:dp
dt+d
dt1
2v2=~f~v:(8.72)Dac lichidulcurgeîntr-uncâmpdeforµeexternecucaracterconservativ,(decideriv dintr-unpotenµialscalar,V0),atunci:~f=gradV0;(8.73)încareV0reprezint energiapotenµial aunit µiidevolum.Înacestecondiµii,înmulµindcudtecuaµia(8.72),vomg si:dp+d1
2v2=~f~vdt:(8.74)
13DanielBernoulli(1700-1782),n scutîntr-ofamiliedematematicienielveµieni,estecunoscutpentrucontribuµiilesalelastudiulpropriet µiloruidelor.Ceamaiimportant lucrare,Hidrodinamica,ap rut în1738,conµinestudiiteoretice³ipracticelegatedeechilibrul,presiunea³ivitezauidelor.
8.2.Dinamicauidelor181
Integrândecuaµia(8.74)de-alunguluneiliniidecurent,întredou punctedepetraiectorie³iµinândcontc ~vdt=d~r,vomobµine:21dp+21d1
2v2=21~fd~r;(8.75)sau:p2p1+1
2v221
2v21=21dV0
drdr=V02+V01:(8.76)Relaµiaanterioar ovomscriesubforma:p2+1
2v22+V02=p1+1
2v21+V01:(8.77)Încazulîncareforµeexternesuntdetipgravitaµional:V0=mgh
V=gh;(8.78)iarrelaµia(8.77)sepoatescriesubforma:p+1
2v2+gh=const:(8.79)Ecuaµia(8.79)exprim legealuiBernoulli.Aici:preprezint presiuneastatic dinuid.Aceastaestedatorat acµiuniiforµelorcucarerestuluiduluiacµioneaz asupraelementuluidevolumdeuiddV;1
2v2senume³tepresiunedinamic ³ieaesteasociat forµeloractive,carepunuidulînmi³care;ghsenume³tepresiunedepoziµie³ieaesteasociat cuefectulforµelorconservativeexterneuidului14.Trebuieneap ratsubliniatc ,pelâng semnicaµiapresiunilor,ecaretermendinecuaµiile(8.77)³i(8.79)are³isemnicaµiaenergieiunit µiidevolum:termenulpreprezint ,înacela³itimp³ienergiapotenµial aunit µiidevolum.Eaestelegat deacµiuneacâmpuluiforµelorinternedinuid;termenulghreprezint ,înacela³itimp³ienergiapotenµial aunit µiidevolum.Eaestelegat deacµiuneacâmpuluideforµedinexterioruluidului;termenul1
2v2reprezint ,înacela³itimp³ienergiacinetic aunit µiidevolumaui-dului.
182Capitolul8.Fluide
Sv12z21zhp0p0S1
Figura8.10:Curgereaunuilichidprintr-unoriciulateral.8.2.5AplicaµiilelegiiluiBernoulliExist unnum rapreciabildeaplicaµiitehnicealelegiiluiBernoulli,dintrecare,încon-tinuare,vomamintidoarcâteva.a)FormulaluiTorricelli.S calcul mvitezadecurgereaunuilichidprintr-odeschidereavasuluicareîlconµine,caînFig.8.10.Secµiuneavasuluiumplutculichidpân lacotaz2esteS2,iaraoriciuluiaatlacotaz2esteS1.Dac vasulestedescoperit,suprafaµaliber esteîncontactdirectcuatmosferacareacµioneaz asupralichiduluicupresiuneap0,lanivelulambelordeschideri.De³iformaliniilordecurentnuestesimpl ,chiar³iîncazulvaselorcuform simetric ,totu³iestesucients ³timc vitezaparticulelordeuidr mâneconstant lanivelulec reisecµiuni(S1³iS2).Dac scriemecuaµiaBernoulli:p0+1
2v22+gz2=p0+1
2v21+gz1;(8.80)rezult c :v21=v22+2g(z2z1):(8.81)Folosind³iecuaµiadecontinuitateacurgerii:Sv1=S2v2)v2=S1v1
S2deducemc :v1=
2gh
1S21
S22:(8.82)ÎncondiµiileîncareS2S1,raportulS21=S22!0³ivitezadecurgeredevine:v1=
2gh:(8.83)Relaµia(8.83)estecunoscut subnumeledeecuaµialuiTorricelli.b)Pulverizatorul(Fig.8.12a).Unjetdeaercareiesedinzonaîngustat auneiconducteC,denumit ³iajutaj,creaz înzonaAodepresiunestatic (pApatm),carefacecalichidul
14Anuseconfundapresiuneadepoziµiecupresiuneahidrostatic ,de³iambeleauaceea³iformul decalcul!
8.2.Dinamicauidelor183
Figura8.11:(a)Pulverizatorul;(b)TubulPitot;(c)TubulVenturi.dinrezervorulRs urceînconductavertical .Lacap tulsuperioralconductei,lichidulvaruptînparticulene(aerosoli),caresuntantrenate,împreun cuaerul.Peacestprincipiuseobµinaerosoliînmedicin .Dispozitivulseutilizeaz ³ilapulverizareabenzineiîncarburatorulmotoarelorOtto,avopseleiînprocesuldeacoperireprotectoareetc.c)TubulPitot.TubulVenturi.(Fig.8.12b,c).ÎncazultubuluiPitot,oriciuldeintrare,A,esteexpusjetuluideuid,întimpceoriciullateralB,nu.LaniveluloriciuluiAsemanifest atâtpresiuneadinamic ,cât³iceastatic ,întimpcelaniveluloriciuluiBdoarpresiuneastatic .Denivelareahdinmanometrulculichid,Mvam suradoarpresiuneadinamic ,pd=v2=2.Cunoscânddensitateauiduluiîncondiµiilecurgerii,sepoatedeterminavitezauidului.ÎncazultubuluiVenturi(Fig.8.12c),denivelareahesteom sur adiferenµeidintrepresiunilestaticealeuiduluiîntreceledouazonealeconductei.Evident,folosindexpresiilepresiuniihidrostatice,cunoscândsecµiunileconducteiînceledou zone³iaplicândecuaµiadecontinuitate,sepoatedetermina,³iînacestcaz,vitezadecurgereauidului.
Figura8.12:(a)Beculcugaz,(b)Trompadeap .d)Beculcugaz.Trompadeap .Deoareceobµinereauneitemperaturicâtmairidicatelaardereaunuigazcombustibilpresupuneasigurareauneicantit µiadecvatedegazcareîntreµinearderea(comburant),introducereacarburantuluipeuxulbeculuicugazsefacea³acumestear tatînFig.8.12(a).ÎnzonaajutajuluiAsecreaz odepresiunestatic ,care
184Capitolul8.Fluide
antreneaz aerulînconjur tor,odat cugazulmetan(saubutan)³ifacecatemperaturadearderes creasc .Reglareatemperaturiidearderesefaceprinreglareal rgimiizoneideadmisieaaerului,A.Acela³iprocedeusefolose³telaarz toareledinlaboratoruldechimie(a³anumitulbecTeclu)15,dar³ilaconstrucµiaarz toruluidearagazetc.Unaltexempluinteresantîlofer dispozitivuldenumittrompadeap (Fig.8.12(b)),careesteunexempludepomp devid:aiciaeruldinatmosferaceînconjoar ajutajulA(inclusivdinrezervorulRcesedore³teavidat)estescos,prinantrenareodat cuapaînconductainferioar ,B.Defapt,trompadeap esteunfeldebecdegazcufuncµionareinversat .e)Forµaportant .Aripaoric ruiaviondirijeaz spreînjosoanumit cantitatedeaer,creândprinaceasta,oanumit forµ portant ,careîmpingeîntregavionulspreînsus.Totu³i,portanµaestecreat într-om sur multmaimareprinalegereaformeiadecvateaaripii.V zut însecµiunetransversal ,aripadeavion(sauelicea,careesteînfondoarip rotitoare)arat caînFig.8.13.
Figura8.13:Curgereaparticulelordeaerînvecin tateaaripiideavion.Vezi³icoperta.Înzonaconvex ,A,dincauzaîndesiriiliniilordecurent,cre³tepresiuneadinamic ,deciscadepresiuneastatic .ÎnzonaBpresiuneastatic estemare,datorit vitezeimaimicidecâtînzonaA.DiferenµadintrepresiunilestaticealezonelorB³iA,înmulµit cusuprafaµa(orizontal )pecaresemanifest acestea,dauna³terelaoforµ portant considerabil ,carepoateridicaînaeravioanecugreut µideordinulzecilordetone.Cumvaloareadiferenµeidepresiunestatic esteegal cudiferenµadepresiunedinamic (deciesteproporµional cuv2),decolarea³izborulavioanelorgreleauloclavitezedeordinulsutelordem=s.Totînscopulcre³teriiportanµei,suprafaµaaripilorsealegecâtmaimare16.F r s constituieaplicaµii,cidoarefectealelegiiluiBernoulli,putemamintiaiciforµelede"atracµie"lateral pecareleresimtvehiculelecaresedeplaseaz petraiectoriiparalele,ladistanµerelativmiciunuldecel lalt(efectpericulosmaialesîncazulremorcilortractate)sauavapoarelor.
15Dup numelechimistuluiromânNicolaeTeclu(1839-1916),academician,contribuµiiîndomeniulproduceriiozonului,aldioxiduluidecarbonsolid.16Încazulavioanelorutilitare,caretrebuies zboarecuvitezerelativmici,cre³tereaportanµeiserealizeaz prinfolosireaaripilorduble.
8.3.Fluidevâscoase185
8.3Fluidevâscoase8.3.1IntroducereFluidelerealesuntvâscoasedatorit frec riiinterne:straturiadiacentedeuidsemi³c uneleînraportcualtele,iarlainterfaµadintreeleaparforµedefrecare³i,caurmareeforturitangenµiale.Acesteforµedefrecaretinds reduc vitezarelativ dintreparticulesaup turideuid.F r aintraîndetaliuînfenomeneledetransportaleimpulsuluicareauloclascar microscopic 17,vommodelafrecareaintern prinforµedefrecaredintrep turiadiacentedeuid.S consider munuidcarecurgelaminarde-alungulaxeiOx(Fig.8.14),deexempluapadintr-unrâu.Vomîmp rµiuidulînp turidegrosimeinnitezimal ,aateuneledeasupra
Figura8.14:Prolulvitezeiîncazulcurgeriiunuiuidvâscos.celorlalte.P tura(1)vaaveavitez apropiat dezero,eaindîncontactcualbiarâului,aat înrepaus³isuferindacµiuneafrec riicuaceasta.P tura(2)vaaveaovitez mic darmaimaredecâtp tura(1),p tura(3)ovitez maimaredecâta2-a³.a.m.d.ÎnFig.8.14amreprezentatuna³a-numitprolalvitezelor,încareamguratm rimeavitezeiec ruistratdelichid,caofuncµiedecoordonatay.Într-unmodelsimplicat(a³a-numitaabordarenewtonian )seconsider c vitezacre³teliniarcucoordonatay.Forµadefrecarevâscoas sepresupuneadirectproporµional cusuprafaµap turilorîncontact³icuratadevariaµieamodululuivitezeidup direcµiaperpen-dicular pestrat(încazulnostru,Oy).Oexpresiematematic aacesteiforµesepoatescrieintroducânduncoecientdeproporµionalitate,,denumitcoecientdevâscozitatedinamic :Fr=Sdv
dz:(8.84)Curgereaînregimulmenµionataici,înprezenµaforµeidefrecaredetip(8.84),senume³tenewtonian iaruidelecarerespect olegedetip(8.84)senumescnewtoniene.Încazullichidelornewtoniene,coecientuldevâscozitatedinamic ,estefuncµiedenaturauidului³idetemperatur .Unitateadem sur aluiînSIva:&#x-278;&#x.223;SI=1Nm
m2m
s=1kg
ms=1Poise:DenumireadePoisevinedelanumeleluiPoisseuille18unzicianfrancezcares-aocupatintensdestudiulcurgeriiuidelornewtonienevâscoase.
17AcestsubiectestetratatíndetaliuladisciplinadeFizic molecular ³itermodinamic .18JeanLouisMariePoiseuille(1799-1869),zicianfrancez,cunoscutpentrucercet rilelegatedecurgereauidelorprintuburicilindrice.
186Capitolul8.Fluide
8.3.2Curgereauidelorvâscoaseprinconductecilindrice.EcuaµialuiPoisseuille-HagenSaconsider m,înceleceurmeaz ,curgereastaµionar aunuiuidnewtonianprintr-oconduct cilindric deraz R(Fig.8.15).Fiecarestratdeuidareformauneip turicilindricederaz r(r2[0;R])³igrosimedr,³iesteparalel cuaxulconductei.Toateparticuleledintr-oastfeldep tur cilindric auvitezav(r);latrecereadelaunstratlaaltul(curgereaindlaminar )vomaveaunsaltinnitezimaldvalvitezei.Îninteriorulp turiide
Figura8.15:Prolulvitezeiîncazulcurgeriivâscoaseprintr-oconduct orizontal .uidcasesemi³c cuvitezaperiferic v(r)sea uncilindruderaz rcaresemi³c cuviteza~v+d~v.Suprafaµaextern acilindruluiacµioneaz cuoforµ Frasuprap turiicilindricecareîlînconjoar antrenând-oînmi³carecuvitezav(r).ForµaFrareexpresia:Fr=2rLdv
dr;(8.85)înconformitateculegealuiNewton((8.84)).AiciS=2rh,iarzesteînlocuitaicidecoordonatar.Dac mi³careacilindruluideraz resteuniform (acceleraµiaestenul )atunciforµaactiv caredetermin curgereaesteegal înmodul³idesenscontrarcuforµaFr.Forµaactiv estedatorat diferenµeidepresiunedelacapeteleconductei:ma=r2p+2rLdv
dr=0:(8.86)Rezult :rp+2Ldv
dr=0:(8.87)Înecuaµia(8.87)vomseparavariabilele³ivomobµine:dv=p
2Lrdr:(8.88)Integrândecuaµia(8.88)între0³ir,dup cenot mcuv(0)vitezauiduluilaaxulconducteig sim:v(r)v(0)dv=p
2Lr0rdr;(8.89)
8.3.Fluidevâscoase187
adic :v(r)=v(0)pr2
4L:(8.90)Valoarealuiv(0)oputemaaintegrândecuaµia(8.88)întrer=0(acoloundev=v(0))³iR(acoloundev=0):0v(0)=p
2LR0rdr)v(0)=pR2
4L:(8.91)•inândseamadeecuaµia(8.91)ecuaµia(8.90)devine:v(r)=pR2
4L1r2
R2:(8.92)Conformecuaµiei(8.92),prolulvitezeiesteparabolic,întrucâtvdepindep traticder.Vâr-furilevectorilorvitezei,într-osecµiuneoarecareaconductei,sesitueaz peunparaboloidderotaµie(Fig.8.15).Ecuaµia(8.92)permite,deasemeneacalcululdebituluivolumicdeuidprinîntreagacon-duct .Printr-op tur cilindric ,debitulvolumic(elementar)este:dqv=2pR2
4L1r2
R2rdr:(8.93)Prinintegrareînraportcur(adic adunândvolumeledeuidcecurgînunitateadetimpprintr-osecµiunetransversal aconducteiprintoatep turilecilindrice)obµinem:Qv=dqv=pR4
2LR0rr3
R2dr=R4
8Lp:(8.94)Ecuaµia(8.94)senume³teecuaµialuiPoiseuille.Conformacesteia,Qvestedirectproporµionalcudiferenµadintrepresiunilestaticedelacapeteleconductei³icuputereaa4-a(!)arazeiconductei.Aceast dependenµ dramatic adebituluidediametrulconducteifacecavariaµiirelativmicialeluiRs sereecteînvariaµiifoartemarialedebituluideuid,pentruodiferenµ depresiuneconstant .Peacestmecanismsebazeaz reglareadebituluidesângedinarterec treµesuturi.Se³tiec ,launmomentdat,creierulsaualteorganealecorpuluiconsum maimultoxigen,înunitateadetimpîncondiµiileunuiefortzicintens19.Oaltaconcluzieimportant legat delegealuiPoiseuillerezult dac rescriemecuaµia(8.94)subforma:Qv=p
8
R2L
R2=p
8
R2L
S:(8.95)
19S menµion m,totu³i,c sângelenuesteunlichidrigurosnewtoniandecâtîntr-oprim aproximaµie.Vâscozitateaacestuiadepindedemaimulµiparametribiozici.Exist oramur distinct amecaniciiuidelor,numit reologie,careseocup decurgerealichidelornon-newtoniene,a³acumeste,înmodrigurosvorbind,sângele.
188Capitolul8.Fluide
Ecuaµia(8.95)areoform identic culegealuiOhmdinelectrocinetic :I=V
L
S=U
R;(8.96)cuV=U;caresenume³tetensiuneelectric ³iR=L
S;(8.97)Înecuaµia(8.95)putemdeniorezistenµ (mecanic )lacurgere:Rm=8
R2L
S=mL
S;(8.98)underezistivitateamecanic ,m,estenudoaroconstant dematerialcaînelectricitate,cidepinde³iderazaconductei.Înrest,raportulL=Sapareexactca³iîncazullegiiluiOhm,încazulcurgeriicurentuluielectric.M rimeaechivalent intensit µiicurentuluielectricesteaicidebituldeuid,careconformecuaµiei(8.95),estedirectproporµionalcudiferenµadepresiunedelacapeteleconductei,tota³acumIesteproporµionalcudiferenµadepotenµialV=U(Vinddiferenµadepotenµiallacapeteleunuiconductor).Avândînvedereprolulparabolicalvitezei,putemdeniîncadrulacestuitipdecurgere,ovitez medie,
v,auiduluidinconduct .Pentruaceastavomexprimadebitulvolumicprinrelaµia:Qv=S
v:(8.99)EgalândpeQvdinrelaµiile(8.94)³i(8.99)vomg si:
v=R2
8Lp=v(0)
2:(8.100)A³adar,încazulcurgeriivâscoaseprinconductecilindrice,vitezamedieauiduluiestededou orimaimic decâtvitezaaceluia³iuidlaaxulconductei.8.3.3Forµedefrecarevâscoas lainterfaµasolid-lichid.LegealuiStokesS examin macummi³careauniform auneisfereîntr-unuidvâscos.Cummi³careaesteuniform ,acceleraµiasfereiestenul ,adic forµeleexternecarepunsferaînmi³caresuntegaleînmodulcurezultantaforµelordefrecarevâscoas .Vomdeduceoexpresieaforµelordefrecarevâscoas pebazauneianalizedimensionale,unprocedeulargutilizatatuncicândunmodelteoreticestedicildeconstruitpebazaunorlegizice.Pebazacelordiscutateanterior,vompresupunec forµadefrecarevâscoas (forµaderezistenµ laînaintareaînuid)dintresfer ³iuidulînconjur tordepindedevitezaacesteiaînraportcuuidul,deraz ³idepropriet µiledevâscozitatealeuidului,exprimateprincoecientuldevâscozitatedinamic :Fr=kv r \r;(8.101)
8.3.Fluidevâscoase189
încarekesteoconstant adimensional .Înlocuindîn(8.101)dimensiunilem rimilorzicecareintervinacolo,seobµine:LMT2=(LT1) L (ML1T1)\r:(8.102)EgalândexponenµiiluiL;M³iTdincei2membrivomg si: = =\r=1(8.103)adic ,defapt,ecuaµia(8.101)sescriesubforma:Fr=kvr:(8.104)Înurmaunorm sur toririguroase,Stokes20adescoperitc ,încazulsferei,constantakdinecuaµiaprecedent arevaloareak=6,a³aîncât:Fr=6vr:(8.105)Ecuaµia(8.105)exprim cantitativlegealuiStokes.Trebuiemenµionatc ,încazulunorcorpuricuformediferitedeceasferic ,ecuaµia(8.104)î³ip streaz valabilitatea,cuobservaµiac valoarealuiknumaieste6,cieadifer ,înfuncµiedeformacorpului.8.3.4EfectulMagnusÎnsecµiuneaprecedent amexaminatmi³careaprintr-unuidauneisferecareexecut omi³caredetranslaµieînraportcuuidul.Dac ,îns ,simultancumi³careadetranslaµie,corpulexecut ³iorotaµieînjuruluneiaxe,atunciefectulinteracµiuniisfereicuuiduldevinemaicomplex,datorit frec rii.S consider mc sferasedeplaseaz de-alungulaxeiOxîntr-unuidaatînrepaus.Pentrusimplicarearaµionamentului,putemconsiderac ,invers,sferasea înrepaus,iaruidulsedeplaseaz însenscontraraxeiOx,cuviteza~v(Fig.8.16).Înregiunidinuidsucientdeîndep rtatedesfer ,liniiledecurentr mânrectilinii,neperturbatedeprezenµasferei.Pem suraceneapropiemdesuprafaµaexterioar asferei,formaliniilordecurentsemodic dinceîncemaimult,acesteaindobligates ocoleasc sfera.Înzonedinceîncemaiapropiatedesfer semanifest dinceîncemaipronunµatantrenareaaeruluidec tresferaînrotaµie.Datorit acesteiantren ri,deexemplu,înzonaBdinparteainferioar ,vitezadecurgereauiduluipelâng sfer este(v!R),Rindrazasferei.Înacela³itimp,înzonaA,vitezacorespunz toareauiduluiva(v+!R).Presiuneadinamic înzonaAvadecimaimaredecâtînzonaB.Dac sferaaredimensiunimici(pentruaneglijaefectulpresiuniidepoziµie),conformlegiiluiBernoulli,presiuneastatic ,psA,dinzonaAvamaimic decâtceadinzonaB.Apareastfeloforµ F=Sps=S(psBpsA)(Sindsuprafaµatransversal pecaresemanifest diferenµadepresiuneîndreptat perpendicularpedirecµiauxuluideuid,spreA.Aceastavadeterminaomi³careaccelerat ,cuoacceleraµieperpendicular pedirecµiademi³careauidului.
20SirGeorgeGabrielStokes(18191903),matematician³izicianirlandez,recunoscutpentrucontribuµiileimportanteîndinamicauidelor,optic ³izicamatematic .
190Capitolul8.Fluide
Figura8.16:Mi³careacompus (translaµie-rotaµie)auneisfereîntr-unuid.A³adar,osfer careiniµial,înabsenµarotaµieisedeplaseaz rectiliniucuviteza~v,înprezenµarotaµieivaurmaotraiectoriecurbat spreA(Fig.8.16(b)).Pentrudeplasareaînacestregim,deexemplu,auneimingidefotbal,sautenis,înaer21estenevoies lovim"razant"mingeaînzonaD.8.3.5Formareavârtejurilor.Curgereaturbulent Efectulcombinatalforµelordefrecare³iforµelordepresiunedinuidfaceca,încelemaimultecazuri,mi³careauiduluiînvecin tateaunorobiectes piard caracterullaminar,maialesdac vitezarelativ auiduluifaµ deacelobiectdep ³e³teoanumit valoarecritic .Curgereacap t înacestcazuncaracterturbulent.S consider mdinnoucazuluneisfereaat înrepaus,într-unuidcaresedeplaseaz înraportcusferacuviteza~v(Fig.8.17).Regiuneaîncareliniiledecurentsuntperturbatedelaformalorrectiliniedec treprezenµa
Figura8.17:Formareavârtejurilorînspateleuneisfere.Stratullimit estem rginitlaexteriordesuprafaµadesenat culinieîntrerupt .corpuluiCsenume³testratlimit .Oparticul deuidcaresedeplaseaz petraiectoriaOABCvaaveaomi³carecomplex ,dinurm toarelemotive.Dincauzaaglomer riideuidînzonaA,aicivitezaparticulelor
21Oastfeldeexecuµie,carepresupuneoanumit îndemânareasportivului,senume³te"lovitur cuefect"înfotbal,sau"t iat "întenis.
8.3.Fluidevâscoase191
scade,iarpresiuneastatic înuidcre³te.Dimpotriv ,înzonaB,acoloundeliniiledecurentseîndesesc(întocmaicaîntr-oconduct careseîngusteaz )vitezaparticulelor³i,implicit,presiuneadinamic crescsubstanµial.ConformlegiiluiBernoulli,înBapareoregiunededepresiunestatic ,iarparticuladecurentceurmeaz traiectoriaABvaaccelerat spreB,întocmaicaîncazul"c deriiîntr-ogroap depotenµial".Efectulforµelordepresiuneeste,înzonaAB,multmaiimportantdecâtalforµelordefrecareuid-solid.Dinmotivedesimetrie,ne-ama³teptacafenomeneles sedesf ³oareînsensinversîntreregiunileB³iA0,deciparticulas ajung înA0cuaceea³ivaloare~vAavitezei.Lucrurilenustauînrealitatea³a,deoareceparticuladeuidnumaipoate"urca"barieradeenergiepotenµial determinat decre³tereadepresiunestatic dinzonaBA0,dincauzapierderiideenergiemecanic determinat defrecare.ParticulasevaopriînzonaCînaintedeaajunsînA0³ivaobligat s seîntoarc spreB22.Apare,datorit opririiprematureaparticulelordeuid,tendinµadeformareavârteju-rilorînspateleunorastfeldeobiecte.Aceastadetermin transformareauneip rµiînsemnatedinenergiacinetic asociat mi³c riidirijateauidului,înc ldur .Astfeldevârtejuricareseformeaz ,deexemplu,înspatelevehiculelorcaresedeplaseaz înaersauînap ,determin cre³tereadramatic aforµelorderezistenµ laînaintareaînregiunidevitez ridicat .Pelâng lucrulmecaniccheltuitpentruînvingereafrec riicuaerul,unlucrumecanicsuplimentarseconsum pentrupunereaînmi³careturbulent (careînnalsestinge,dup trecereavehicu-lului)aaeruluisauaapei.Seînµelegec înurmastingeriimi³c riiturbulenteavârtejurilor,energialorcinetic setransform înc ldur ,dac dinpunctuldevederealmecanicii,aceastaesteoenergiepierdut .Exist ,a³adar,dou tipurideforµederezistenµ laînaintareaîntr-unuid:Forµedefrecarevâscoas (Fv),proporµionalecuvitezaFv=kv;(8.106)Forµedepresiune(saudeantrenare),denatur inerµial ,legatedeantrenareauiduluiînmi³carecuvitezeconsiderabile,proporµionalecuv2:Fa=k0v2:(8.107)Întrucâtacestaldoileatipdeforµeestelegatdeapariµia³imenµinereauneidiferenµedepresiuneîntreparteafrontal ³iceaposterioar aobiectuluimobil,astfeldeforµevordepinde,deasemeneadesecµiuneaobiectului,normal peliniiledecurent,precum³idedensitateauidului.Deaceeaestenormals recurgemdinnoulaoanaliz dimensional ,incluzândîntr-oformul factoriisus-menµionaµi:Fa=bv S \r:(8.108)Înlocuindînecuaµiaprecedent dimensiunilem rimilorcareintervin,vomavea:LMT2=(LT1) L2 (ML3)\r
22Situaµiaestesimilar arunc riiunuicorppeunplanînclinat,cazîncarebarieradeenergiepotenµial estedenatur gravitaµional .
192Capitolul8.Fluide
obµinem:1= +2 3\r;1=\r³i2= .Caurmare: =2;\r=1, =1.Înacestecondiµiiexpresiaforµeideantrenareva:Fa=bSv2:(8.109)Constantabdepindedeformacorpului:eaarevalorimici(0;01)încazulcorpurilorae-rodinamice(a³acumesteformadepic tur )³ipoateatingevalorimultmaimariîncazulcorpurilorconcave(b=0;4încazulpara³uteidesf cute.Trebuies menµion mc ,lavitezemicidemi³careînraportcuuidul,forµaderezistenµ laînaintareestedenatur predominantvâscoas FrFv.Dimpotriv ,lavitezemari,rolulpredominantîljoac forµeledeantrenarecare,conformecuaµiei(8.107)suntproporµionalecuv2.Exist unregimintermediaralvitezelor,încareareloctrecereadelacurgerealaminar laceaturbulent ,când,practic,celedou tipurideforµe,Fv³iFa,auvaloricomparabile.Sepoatedeni,înacestregim,ovitez critic ,detreceredelaregimullaminarlacelturbulent,vc.Procedeulpentrudeducereavitezeicritice³iaregimuluilacareapareturbulenµaafostpropus deO.Reynolds23,pentrucazulcurgeriiunuiuidîntr-oconduct .Reynoldsaconstatat,pecaleempiric ,c aceast vitez critic depindedevâscozitateauidului,dedensitateaacestuia³idediametrulconductei:vc=R  d\r:(8.110)Coecientuldeproporµionalitate,R,dinecuaµia(8.110)senume³tecoecientulsaunum rulluiReynolds.Aplicând,dinnou,procedeulanalizeidimensionale,vomg sic  =1; =1³i\r=1,cualtecuvintec :vc=R
d:(8.111)Determinareapecaleexperimental anum ruluiluiReynoldspresupunem surareavitezeicriticevc.Aceastareprezint valoareamedieacurgeriiuiduluiprinconduct .A³acumamdemonstratanteriorînecuaµia(8.100)vitezamedieestejum tatedinvitezauiduluilaaxulconductei.Reynoldsaconstatatc ,pentrumajoritateauidelorvâscoase,intervalulvalorilorcriticealuiRlacareapareturbulenµaestecuprinsîntreR1=2000³iR2=4000.Num rulluiReynoldsareorelevanµ important înaplicaµiiletehnicealeaero³ihidrodinamicii.8.4Probleme1.S secalculezepoziµiapunctuluideaplicaµiealforµeirezultanteceacµioneaz asupraunuibarajdinparteaapeidinlaculdeacumularecareîlacoper pân laîn lµimeaH:R spuns:H=3
23OsborneReynolds(1842-1912),inginer³izicianenglez,cucontribuµiiimportante]nstudiulregimuluidecurgereauidelorvâscoase
8.4.Probleme193
2.S seg seasc ecuaµiamatematic asuprafeµeilibereaunuilichidincompresibil,careserote³tecuvitezaunghiular constant !înjurulaxeiderotaµievertical (Oz).Secunoa³teacceleraµiagravitaµional g:R spuns:z(x;z)=!2
2g(x2+y2)3.Peosuprafaµ orizontal sea unvascilindricculichiddedensitate³ivâscozitatecunoscute(;).Nivelullichiduluiestemenµinutconstantlaîn lµimeah.Pesuprafaµalateral estemontatuntuborizontaldelungimel³iraz interioar rlaîn lµimeah1debaz .S seaedistanµapeorizontal ,d;m surat delacap tulcapilaruluipân lapunctulîncarelichidulcadepeplan.R spuns:d=r2g(hh1)
8l
2h2
g:4.Întredoicilindricoaxiali,verticali,deaceea³iîn lµimeh=2;5cm³idiametred1=10cm³id2=10;4cmsea aer.Cilindrulexteriorserote³tecuturaµia=360rot/min.Pentruamenµinutx,cilindrulinterioresteacµionatcuforµatangenµial F=1;38103N:S seaevaloareacoecientuluidevâscozitateaaerului.R spuns:=F(d2d1)=22hd2d15.Careestevitezaminim decurgereturbulent auiduluiînjuruluneibilecurazaR2,carecadeîntr-unlichiddedensitate2³ivâscozitate2,³tiindc ,pentruobil curazaR1,curgerealaminar într-unlichiddedensitate1³ivâscozitate1arelocpentruvitezemaimicidecâtv1:R spuns:v2�v11R12=2R21:6.Razasecµiuniiuneiconductesemic³oreaz conformlegiir=r0e x;unde =0;50miarx-distanµam surat delacap tulconductei.DeterminaµiraportulnumerelorReynoldsîntresecµiunileaateladistanµax=3;2m.R spuns:e x=5:7.Uncilindruderaz R³ilungimelestetraversatdeunuidîncurgerestaµionar .Densitateauiduluiesteiarcoecientuldevâscozitate:“tiindc vitezadecurgeredepindededistanµapân laaxaprincipal atubuluiconformrelaµieiv=v0(1r2=R2);determinaµi:(a)volumuldeuidcetraverseaz secµiuneatubuluiînunitateadetimp;(b)energiacinetic auiduluiconµinutîntub;(c)forµadefrecareexercitat deuidasupratubului;(d)diferenµadepresiunelaextremit µiletubului.R spuns:(a)Q=1
2v0R2;(b)Ec=1
6lR2v20;(c)Ffr=4lv0;(d)p=4lv0=R2:8.UnvascilindriccusecµiuneaSconµineunanumitvolumdelichid.Labazaacestuiaexist unmicoriciudecurgere,desecµiunes(sS):S seaeraportuldintretimpul
194Capitolul8.Fluide
decurgereaprimeijum t µi³itimpuldecurgereaceleideadouajum t µialichiduluidinvas.R spuns:p
21:9.S secalculezetimpulnecesaruneisferederaz r³idensitateas ating vitezalimit cândcadeîntr-unlichidcuvâscozitateadinamic :Sferapleac dinrepausdelasuprafaµalichiduluiiarvitezalimit seconsider caindunprocentdinvaloareaexact .R spuns:t=4r2
9ln10:10.UnbalonumplutcuheliuestelegatdeunrculungimeaL=2m³imasamf=0:05Kg.Balonulareoform sferic R=4m.Atuncicândesteeliberat,elridic lungimeahdinr³iapoir mâneînechilibru.“tiindc masaanvelopeibalonuluiestemb=0;25Kg,determinaµivaloareahaporµiuniidinrridicatdebalon.R spuns:h=(aerHe)Vmb
mfL=1:91m:11.Undiscsubµire,orizontal,deraz R=10cm,serote³teuniformcuvitezaunghiular !=60s1;într-ocavitatecilindric plin cuuleiavândcoecientuldevâscozitate=0;08Poise.Distanµadintredisc³ibazaorizontal acavit µiiesteh=1;0mm.Determinaµiputereadezvoltat deforµelevâscoase.Seneglijeaz efecteledemargine.R spuns:P=!2R4
h=9W:
Capitolul9
Elementedemecanic analitic Mecanicaclasic permiteanalizaproblemelordemi³careacorpurilorrealefolosindmodeledetippunctmaterial,sistemedepunctemateriale,solidrigidorideformabil,uidetc.,prinintegrareaecuaµiilordiferenµialealemi³c rii.A³acums-adiscutatîncapitoleledincuprinsulvolumelorI³iII,dac secunoscforµeleceacµioneaz asuprasistemului³icondiµiilelalimit (caracterizat deansamblul(~r0;~v0))sepoatedeterminastareasistemuluilaoricemomentulterior.Pentrudescriereami³c riiestenevoie,deobicei,deunnum rdedesenecares precizezeorientareaforµelor,amomenteloracestora,direcµiademi³careetc.Oabordarealternativ celeinewtonieneesteceapropus demecanicaanalitic ,dezvoltat dec treLagrange1³iHamilton2.Mecanicaanalitic ofer soluµiimairapidedecâtceanew-tonian ,maialesatuncicândsistemulanalizatconµineunnum rmaredecomponente,iarevoluµialuiesteafectat derestricµiialemi³c rii,datorateunorconstrângerimecanice.A³acumarmaLagrangeînintroducerealucr riisaleLaméchaniqueanalytique(1788),mecanicaanalitic numaiareneap rat nevoiedereprezent rigrace,eafolosinddoarrelaµiianalitice³icalculalgebricîncaresuntimplicateviteze,coordonate³ienergii.Vomprezenta,înceleceurmeaz dou formalismespecicemecaniciianaliticepentrustudiulsistemelormecanice:1.formalismulLagrange-înspaµiulcoordonategeneralizate-timp:fqi;tg;2.formalismulHamilton-înspaµiulcoordonategeneralizate-impulsurigeneralizate:fqi;pig.Acestemetodepermitatâtdeterminarealegilordemi³care,prinrezolvareaunorecuaµiidiferenµialedeordinuldoi(metodaLagrange)saudeordinulîntâi(metodaHamilton),cât³icalculareaforµelordereacµiecareproducrestricµiiînmi³careasistemelor.
1JosephLouisLagrange(1736-1813)estecunoscutcafondatoralmecaniciianaliticedatorit lucr riiLaméchaniqueanalytique(1788).Printrecontribuµiilesale³tiinµicesenum r fundamentareacalcululuivaria-µionalcuaplicaµiiîndinamic (1760),studiilegatedeproblemacelortreicorpuri(1772),oseriederezultateînteorianumereloretc.2SirWilliamRowanHamilton(1805-1865)matematicianirlandez.Hamilton³i-aînceputstudiileîn1824,iarîn1827,înaintedea³ileterminadevineprofesordeastronomie³iastronomulregeluiIrlandei.Contribuµiilesaleînopticageometric ³iînmecanicaclasic suntdeoimportanµ remarcabil .195
196Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
9.1M rimicaracteristiceS examin munsistemdeNparticulecaresemi³c într-unspaµiu3-dimensional.Conformmecaniciiclasicenewtoniene,ecareparticul ,j(cuj=1:::N),estedescris de3coordonatecarteziene(xj;yj;zj)astfelc ,întotal,num ruldecoordonatecaredescriusistemuleste3N:Cunoscândtoateforµelecareacµioneaz ³itoatecondiµiileiniµiale:3Npentrupoziµiileiniµiale(xj0;yj0;zj0);3Npentruvitezeleiniµiale(_xj0;_yj0;_zj0);sepoatecunoa³teînoricemomentpoziµiaec reiparticule³iimplicitasistemuluicaîntreg.Punctuldepornireîlreprezint aplicareaecuaµieifundamentaleadinamiciinewtoniene:mj::~rj=~Fj;(9.1)unde,vectoruldepoziµiealparticuleij(~rj),într-unsistemdecoordonatecartezieneeste:~rj=xj^x+yj^y+zj^z:(9.2)Rezolvareasistemului(9.1),constituitdin3Necuaµiidiferenµialedeordinuldoi,esteposibil înpractic pentruunnum rNdeparticulenit³isucientdemic.9.1.1Leg turiÎncazulunuisistemliber(pentrucarenuexist niciunfelderestricµiiasupracoordonatelor³ivitezelorparticulelor),num rulcoordonatelorcartezienecaredescriusistemuleste3N.Dac exist restricµiicarerestrângdomeniulvalorilorposibilealecoordonatelor3,sespunec sistemulestelegat.Restricµiileseexprim prinanumiterelaµiimatematice(k=
1;l),carepotaveaeformaunoregalit µi4,eceaaunorinegalit µi5:fk(~rj;:~rj;t)=0;(9.3)fk(~rj;:~rj;t)0:(9.4)Leg turilepotclasicatedup tipuldependenµelorpecareleimplic :dac depinddetimpcafuncµieexplicit ,senumescreonome;încazulîncarenudepinddetimp,senumescscleronome;dac depinddecoordonate³idetimpsaudecomponenteleintegrabilealevitezei,senumescolonome;încazcontrarsenumescneolonome.Caurmare,leg turileneolonomesuntdescrisedecoordonatecarenupotvariaindependentunadecealalt .
3Deexemplu,mi³careabilelorpeomas debiliardesterestrâns laomi³careîntr-unplan.4Unsolidrigidesteunsistemcaracterizatdevaloareaconstant adistanµeiîntreoricaredou punctedininterioruls u,deciderestricµia(~ri~rj)2c2ij=0:5Deexemplu,mi³careamoleculelordegazdintr-unrecipientsfericderaz Resterestricµionat decondiµia:riR;i=
1;N.
9.1.M rimicaracteristice197
Oconstrângerereonom este,deexemplu,atuncicândoparticul sedeplaseaz de-alunguluneicurbecaresedeformeaz întimpsauîncazulmoleculelordegazînchiseîntr-osfer curazavariabil întimp.Mi³careauneisferemicipesuprafaµauneisferederaz maimareestesupus uneirestricµiicarenupoatedenit decâtpân înmomentulîncareparticulap r se³tesferamare,decimi³careaestesupus uneileg turineolonome.Deoarecetimpulnuapareexplicitînrelaµiadeleg tur ,aceastaeste³iscleronom .S lu m,spreexemplu,oleg tur caredepindedoardecoordonate³idetimp:fk(xj;t)=0:(9.5)Prinderivareasaînraportcutimpulrezult :dfk
[email protected]
@[email protected]
@t;(9.6)adic oexpresiecareinclude³ivitezele_xi:Aceast relaµiepermiteonou modalitatededenirealeg turilor.Dac toaterelaµiilecareconµinvitezelesepotobµineprinderivareaînraportcutimpulaunorecuaµiiîncareaparnumaicoordonateledepoziµie(³ieventualtimpul)sespunec sistemulestesupusunorleg turiolonome.Încazcontrar,sespunec sistemulestesupuslaleg turineolonome.Vomconsidera,înceleceurmeaz ,numaisistemedeparticulesupuseunorleg turiolo-nome,exprimateprinrelaµiideforma:fk(~rj;t)=0;k=
1;l;j=
1;N;(9.7)undelreprezint num ruldeleg turi.Trebuief cut observaµiac num rullnupoatearbitrardemare,deoarece,dac :l�3N,sistemuldevineincompatibil³inuaresenszic;l=3N,sistemulpoaterezolvat³isepotdeterminacele3Nnecunoscute;l3N,sistemulestecompatibilnedeterminat.Acestultimcazestecelmaiinteresantdinpunctdevederezic.Vomnotaprin:n=3Nl;(9.8)diferenµadintrenum rulnecunoscutelor³inum rulleg turilor(ecuaµiilor).Acestnum rîntreg³ipozitivreprezint num rulgradelordelibertatealesistemuluiconsiderat.Caurmare,dintrevariabilelexj;potaleseînmodarbitrarnvariabileindependente,iarrestull=3Nnpotdeterminateînfuncµiedeprimele,prinrezolvareasistemuluideecuaµii:fk(~rj;t)=0k=
1;l3N:(9.9)
198Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
9.1.2Coordonategeneralizate³ivitezegeneralizateEliminareadependenµelordintrecoordonatelecartezienexj;yj;zjalecelorNparticulesepoatefaceprinalegereaunuinum rdendecoordonateindependenteqi;i=
1;n:Astfel,sepoatescrie:xj=xj(q1;q2;:::;qn;t);(9.10)yj=yj(q1;q2;:::;qn;t);(9.11)zj=zj(q1;q2;:::;qn;t);(9.12)sau,prinrelaµiavectorial echivalent :~rj=~rj(qi;t):(9.13)Relaµiiledetreceredelasetuldevariabile~rjlasetulqi³iinverspoateconsideratcaoreprezentareparametric alui~rj:Încazulleg turilorscleronome,relaµiilenudepindexplicitdetimp,ciprinintermediulcoordonatelorindependenteqi:xj=xj(q1(t);q2(t);:::;qn(t));(9.14)yj=yj(q1(t);q2(t);:::;qn(t));(9.15)zj=zj(q1(t);q2(t);:::;qn(t)):(9.16)Subform restrâns ,relaµiileanterioaresescriu:~rj=~rj(qi(t));(9.17)undej=
1;Niari=
1;n:Coordonateleindependentefqigcaredescriusistemulsenumesccoordonategeneralizate.Încazulunorsisteme,alteledecâtcelemecanice,coordonateleqipotreprezentaaltcevadecâtlungimisauunghiuri(deexemplupotsarcini,curenµielectricisaumasici,polarizaµieelectric etc.).Vitezelecartezienealeparticulelorsistemuluisepotexprimaînfuncµiedevitezelegene-ralizate.Pentruaceasta,s consider modeplasareinnitezimal real oarecare,d~rj,ceseobµinevariindînmodarbitrarvariabileleqidelavaloareaqi;lavaloareaqi+dqi.Încazulleg turilorscleronome,putemscrie:[email protected]~rj
@qidqi:(9.18)Împ rµindecuaµiaprecedent laintervaluldetimpdtîncarevariaz d~rj,obµinemrelaµiiledetransformaredelasetuldevitezecarteziene,lacelegeneralizate,_qi=dqi
dt;i=
1;n::~rj=~vj=d~rj
[email protected]~rj
@qi_qi:(9.19)
9.1.M rimicaracteristice199
S denimacumodeplasarevirtual asistemuluiconsiderat,notat ~rj,caindoricevariaµiecontinu posibil avectorilor~rjînacordcurelaµiilematematicecaredenescleg turileimpusesistemului,laovaloareconstant avariabileit.Trebuies facemdistincµiaîntredeplas rilevirtuale(~rj),careseproduclat=0³ideplas rilereale(d~rj),careseproducîntr-unintervalnitdetimp,dt=0,³ide-alungulc roraforµelesauconstrângerilesepotmodica.Deplas rilevirtualepotexprimateînfuncµiedecoordonateleindependenteconformrelaµiilordetransformaredejascrise:[email protected]~rj
@qiqi:(9.20)9.1.3Forµegeneralizate(a)CazuluneisingureparticuleS consider m,pentruînceput,c asuprauneisingureparticuleacµioneaz osingur forµ ~Fcaredetermin odeplasarevirtual ,~r.Lucrulmecanicelementarvirtualefectuateste:L=~F~r=Fxx+Fyy+Fzz(9.21)undeFx,Fy,Fzsuntcomponentelevectoruluiforµ într-unsistemcartezianortogonaldecoordonate.Dac exprim mdeplas rileelementarevirtualex,y,zînfuncµiedecoordonategeneralizate,vomavea:[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@qiqi=ni=1Qiqi(9.22)[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@qi;(9.23)senume³teforµageneralizat asociat coordonateigeneralizateqi.Observaµie:Dac forµa~Fderiv dintr-oenergiepotenµial ,U,atunci:Fx=@U
@x;Fy=@U
@y;Fz=@U
@z:(9.24)Revenindînexpresiaforµeigeneralizatedat deexpresia(9.23),seobµine:Qi=@U
@[email protected]
@qi@U
@[email protected]
@qi@U
@[email protected]
@qi;(9.25)ceeaceînseamn derivataparµial afuncµieiUînraportcuqi.Încazulsistemelorconservative,forµelegeneralizatesepotdeterminacuajutorulrelaµiei:Qi=@U
@qi;i=
1;n:(9.26)
200Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
(b)CazulunuisistemdeNparticuleS generaliz manalizapentrucazulunuisistemformatdinNparticule.Lucrulmecanicelementaralforµelorcarearproduceodeplasarevirtual ~rjeste:L=Nj=1~Fj~rj=Nj=1~Fj[email protected]~rj
@qiqi:(9.27)Relaµia(9.27)sepoatescrie,înmodformal,caunprodusîntreoforµ generalizat Qicareproducemodicareacoordonateigeneralizateqi,cucantitateaqi:dL=ni=1Qiqi;(9.28)unde:Qi=Nj=1~Fj@~rj
@qi:(9.29)M rimea:[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@qi(9.30)senume³teforµageneralizat Qi,corespunz toarecoordonateigeneralizateqi(i=
1;n).Deoa-rece,îngeneral,~Fj=~Fj(~rj;:~rj;t);(j=
1;N)(9.31)³iforµelegeneralizatepotaveaodependenµ detipul:Qi=Qi(qi;_qi;t);(i=
1;n):(9.32)A³acumamdiscutat,coordonatelegeneralizatenuauneap ratdimensiuneaunorlungimi,deaceeaniciforµelegeneralizatenureprezint neap ratoforµ ,îns ,întotdeauna,produsulexprimatderelaµia(9.28)trebuies aib semnicaµiaunuilucrumecanic!Observaµie:Dac forµele~Fjsuntconservative,relaµia(9.26)estevalabil ³iînacestcaz.9.1.4SpaµiulconguraµiilorVariabilelorgeneralizateqi(i=
1;n)lisepoateasociaunspaµiumatematic,numitspa-µiulconguraµiilor.Acestspaµiureprezentativsepoatevizualizaa³ezândpeoax mulµimeacoordonatelorgeneralizate{qigiarpeaxaperpendicular ,coordonatatimp,t:Dimensiuneaacesteireprezent rieste3N+1pentruunsistemlibersau(3Nl)+1=n+1;pentruunsistemlegat.Conguraµiasistemuluiestedat devaloriletuturorcoordonatelorindependente,qi;launmomentdat.UneiconguraµiiinstantaneeasistemuluideNparticuleîicorespundeunpunctînspaµiulconguraµiilor,numitpunctreprezentativ.Odat cuschimbareaîntimpaconguraµieisistemuluirezult oschimbareapoziµieipunctuluireprezentativ,astfelîncâtel
9.2.FormalismulluiLagrange201
qi}{t
Figura9.1:EvoluµiaîntimpasistemuluidinstareaP1înstareaP2de-alungulunortraiectoriiposibile.descrie,întimp,ocurb .Curbadescris depunctulreprezentativestedenit prinecuaµiileparametrice:qi=qi(t)i=
1;n;(9.33)³isenume³tetraiectoriegeneralizat .A³adar,înacestspaµiu,stareaunuisistemesterepre-zentat deunpunct,iarevoluµiasistemuluicorespundeuneitraiectorii(Fig.9.2).Spaµiulconguraµiilorareavantajuldeareducemi³careacelorNpunctematerialealesis-temuluilami³careaunuisingurpunct.Evoluµiaîntimpasistemuluiestedescris demi³careapunctuluireprezentativde-alunguluneitraiectoriigeneralizateînspaµiulconguraµiilor.9.2FormalismulluiLagrange9.2.1PrincipiullucruluimecanicvirtualÎncontinuare,s consider modeplasarevirtual innitezimal cartezian oarecare,xj,aunuipunctdinsistemulconsiderat.Acestavatrece,lamomentuldetimpt;delacoordonatelexjlacoordonatelexj+xjastfelîncâts esatisf cuterelaµiile:fk(xj+xj;t)=0;k=
1;l;j=
1;N:(9.34)Înreprezentareadinspaµiulfazelor,odeplasarevirtual arcorespundeuneicomut riverticale(salt)instantaneudepeotraiectoriegeneralizat ,pealta.Dac dezvolt mdup puterileluixj³ip str mnumaitermeniideordinulîntâi,vomobµine:fk(xj+xj;t)=fk(xj;t)[email protected]
@xjxj+:::(9.35)Folosindec.(9.7),rezult :fk(xj+xj;t)[email protected]
@xjxj=0;(9.36)
202Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
relaµiecespecic condiµiilepentrucadeplas rilexjs evirtuale.Existenµaleg turiloratragedup sineapariµiaunornoiforµe,denumitereacµiideleg tur .S lenot mpeacesteaprin~Rj.Ecuaµiiledemi³caretrebuies includ ³iacesteforµe,deaceeatrebuiescrisesubforma:m::~rj=~Fj+~Rj;j=
1;N:(9.37)Spredeosebiredeforµele~Fj,caresuntcunoscute,reacµiile~Rjsuntnecunoscute,indnecesarcaeles edeterminatedincondiµiileproblemei.Pentruadep ³idicult µilelegatedenecunoa³tereaexpresiilorforµelordeleg tur ,sepropuneunformalismanalitic.Unindiciualuneiastfeldeprocedurioofer solidulrigid.Lucrulmecanicalforµelorinterne,careµinsistemullegatp strânddistanµadintreoricaredou puncteconstant ,estenul.Înmodsimilar,pentruoricedeplasarevirtual innitezimal cesatisfacecondiµiile(9.36),lucrulmecanicalforµelordereacµietrebuies enul:Nj=1~Rj~rj=0:(9.38)Aceast armaµieconstituieenunµulprincipiuluilucruluimecanicvirtualsauprincipiulluid'Alembert6carest labazaformalismuluiLagrange.Pebazaluisepoteliminareacµiiledesprijin~Rjdinecuaµiiledemi³care(9.37).Dac seefectueaz produsulscalarcu~rjînambiimembriaiecuaµiei(9.37)³iapoisesumeaz dup toatevalorileindiceluij,seobµine:Nj=1mj::~rj~rj=Nj=1~Fj~rj:(9.39)Principiullucruluimecanicvirtualsemaipoatescrie³isubforma:Nj=1mj::~rj~Fj~rj=0:(9.40)9.2.2EcuaµiileluiLagrangeS înlocuimînexpresiaprincipiuluid'Alembert(9.40)valoriledeplas rilorinnitezimalevirtuale(9.20)³is nefolosimdeexpresiaforµeigeneralizate(9.29):Nj=1mj::~rj~Fj[email protected]~rj
@qiqi=0;(9.41)Nj=1ni=1mj::~rj@~rj
@qiqini=1Qiqi=0:(9.42)
6JeanleRondd'Alembert(1717-1783)matematician³ilozoffrancezestecunoscutcafondator,al turideDenisDiderot,alEnciclopediei.Deasemeneaelaaduscontribuµiideosebitdeimportanteînteoriaecuaµiilordiferenµiale³icuderivateparµiale.
9.2.FormalismulluiLagrange203
Primuluitermenalacesteiultimerelaµiipoatescris³isubforma:Nj=1mj::[email protected]~rj
@qi=Nj=1d
dtmj:[email protected]~rj
@qimj:~rjd
[email protected]~rj
@qi:(9.43)Avem,pedealt parte:d
[email protected]~rj
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]~rj
@[email protected]~rj
@[email protected][email protected]~rj
@[email protected][email protected]
@[email protected]~rj
@[email protected]~rj
@qk_qk;(9.44)iardin(9.19)seobserv c :@~rj
@qi=d~vj
d_qi:(9.45)Revenimcuacestesubstituµiiîn(9.42),caredevine:ni=1Nj=1d
dtmj~vjd~vj
d_qimj~vjd~vj
dqiQiqi=0:(9.46)Dac leg turilesuntolonome,qisuntarbitrari³iindependenµi³icaurmare:Nj=1d
dtmj~vjd~vj
d_qimj~vjd~vj
dqi=Qi:(9.47)Introducemexpresiaenergieicineticeasistemului:Ec=1
2Nj=1mj~v2j;(9.48)³ivomajungelasetuldeecuaµiidiferenµialedeordindoi:d
[email protected]
@_qi@Ec
@qi=Qi;i=
1;n;(9.49)carereprezint ecuaµiileLagrange.Dac forµelegeneralizateprovindintr-oenergiepotenµial U:Qi=@U
@qi;(9.50)ecuaµiileluiLagrange(9.49)devin:d
[email protected]
@_qi@Ec
@qi=@U
@qii=
1;n:(9.51)Elesepotscriesubform maicompact ,introducândfuncµiaLagrangeasistemului,prinrelaµia:LEcU:(9.52)
204Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
Observaµie.Deoareceenergiilesuntm rimiscalare,rezult c ³ifuncµiaLagrangeesteom rimescalar .EcuaµiileLagrangecap t atunciforma:d
[email protected]
@_qi@L
@qi=0;i=
1;n:(9.53)Înconcluzie,formalismulLagrangeneofer ometod derezolvareaproblemelordemecanic urmândurm toareleetape:1.stabilireanum ruluigradelordelibertate³ialegereacoordonatelegeneralizateqicaredescriuconguraµiasistemului;2.determinareavitezelorgeneralizate³iexprimareaenergieicineticeEc;3.dac sistemulesteconservativ,exprimareaforµelorgeneralizateînfuncµiedeenergiapotenµial ;încazcontrar,acesteforµesecontruiesc;4.scriereaecuaµiilorluiLagrange³iprecizareacondiµiiloriniµialeqi(to)³i_qi(to),(i=
1;n);5.integrareaecuaµiilorluiLagrange,obµinându-seînnalsoluµiaqi=qi(t)(i=
1;n);6.determinareacoordonatelorxj(t)(j=
1;N)³iapoiareacµiunilordesprijin~Rj(j=
1;N).9.2.3Cazulleg turilorneolonome.MetodamultiplicatorilorLagrangeÎncazulleg turilorolonome,coordonateledependenteaupututeliminateprinintro-ducereacoordonatelorgeneralizate.Acestlucrunusemaipoaterealizadac leg turilesuntneolonome.De³inuexist ometod general deanaliz pentrucazulleg turilorneolonome,s consider m,înceleceurmeaz ,doarconstrângericepotexprimatesubform diferenµial .Urm rindacela³iraµionamentdededucereaecuaµiilorLagrangefolosindprincipiuld'Alembert(9.40),vomfolosiexpresiadeplas riivirtuale,care,înacestcaz,numaiconµinedoartermenicevariaz înmodindependent.Deaceea,înurmaefect riicalculelor,seajungelarelaµia:ni=1d
[email protected]
@_qi@Ec
@qiQiqi=0:(9.54)Pentrusistemeconservative,avem:ni=1d
[email protected]
@_qi@L
@qiqi=0:(9.55)Pentruaconsideradoardeplas rileindividualeindependenteseintroducni³tem rimicuvaloriarbitrare,numitemultiplicatoriLagrange,k;k=
1;s(undekcorespundenum ruluiderelaµiideleg tur dintrevariabileleqi).Deplas rilevirtualeseproduclamomentedetimpconstante,caurmare,relaµiadiferenµial aleg turiloreste:[email protected]
@qiqi=0:(9.56)
9.3.FormalismulluiHamilton205
FolosindmultiplicatoriiLagrangeseelimin deplas riledependenteconformrelaµiei:sk=1[email protected]
@qiqi=0;(9.57)sau:ni=1sk=1[email protected]
@qiqi=0:(9.58)Caurmare,sc zândrelaµiile(9.54)³i(9.58)seobµine:ni=1d
[email protected]
@_qi@Ec
@qiQisk=1[email protected]
@qiqi=0:(9.59)EcuaµiileLagrangepentruleg turineolonomedevin:d
[email protected]
@_qi@Ec
@qiQi=sk=1[email protected]
@qi:(9.60)Pentrucazulcâmpuluiconservativ,ecuaµiileLagrangesescriusubforma:d
[email protected]
@_qi@L
@qi=sk=1[email protected]
@qi:(9.61)EcuaµiileLagrangepentruleg turineolonomeconµinnvariabileqidintrecaressuntdepen-dente³inssuntindependente.Pentrucoordonateledependenteindiceleiarevalorilei=
1;siarpentruceleindependente,indiceleiarevalorilei=
s+1;n:9.3FormalismulluiHamiltonCeade-adouamodalitateanalitic destudiuasistemelordeparticuleconst înfolosi-reaansamblului:coordonategeneralizate-impulsurigeneralizate.Înacestcazseconsider c impulsurile³icoordonateletrebuietratatecaseturiindependentedevariabile7.Acestformalism,de³im re³tedimensiuneasistemuluila2n,aremareleavantajdealucracudou seturideecuaµiidiferenµialedeordinulîntâi,multmaiu³ordeintegrat.Unsetdeecuaµiinespunecumvariaz întimppoziµiadiferitelorparticuledinsistemiarcel laltsetnespunecumvariaz întimpimpulsullorgeneralizat.Înecarecaz,vitezeledevariaµiesuntdeterminatecunoscânddiferitelepoziµiisauimpulsurilamomentedetimpspecicate.9.3.1PrincipiulluiHamiltonS presupunemc sistemultrecedintr-ostareP1încaresea lamomentuliniµialt1;într-ostareP2lamomentult2.Evoluµiasistemuluipoateavealocprintr-omultitudinedest riintermediareposibile.ÎnFig.9.2suntreprezentatetreidintreacestea.Înspaµiulconguraµiilor
7Neputemimaginac impulsurilearputeacompletindependentedeschimb riledepoziµie.
206Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
qi}{t
Figura9.2:Traiectoriiînspaµiulconguraµiilorsepotimaginamaimultetraiectoriivirtualposibile.Înrealitateîns ,sistemulevolueaz peosingur cale.Aceast caleseg se³tecuajutorulprincipiuluiformulatdeHamilton.Pentruoricesistemmecanic,dintretoatedrumurileposibileesterealizabilcelpentrucarefuncµiaacµiune,denit prinrelaµia:S=t2t1L(qi;_qi;t)dt;(9.62)admiteunextremum.Condiµiadeextremumeste:S=0;(9.63)³iaceastasepoatecalculadac secunoa³tefuncµiaLagrangeL(qi;_qi;t):L=EcU=Nj=11
2mi_q2iU(qi;t);(9.64)undeEcreprezint energiacinetic total iarUenergiapotenµial .Vomar taîncontinuarec ecuaµiileLagrangepotobµinute³ifolosindprincipiulHamil-ton.S consider moabatereinnitezimal delatraiectoriavirtual ,delaqi(t)laqi(t)+qi(t).Impunândcondiµiadeextrem(9.63)³idezvoltândînseriedeputerialeluiqi³i_qidincare
9.3.FormalismulluiHamilton207
reµinemdoartermeniideordinulîntâi,seobµine:S=t2t1L(qi+qi;_qi+_qi;t)dtt2t1L(qi;_qi;t)dt(9.65)[email protected]
@qi[email protected]
@_qi_qi+:::dt(9.66)[email protected]
@qiqi+d
[email protected]
@_qiqid
[email protected]
@_qiqi+:::dt(9.67)[email protected]
@qid
[email protected]
@_qiqidt+t2t1ni=1d
[email protected]
@_qiqidt(9.68)[email protected]
@qid
[email protected]
@_qi[email protected]
@_qiqit2t1:(9.69)Deoareceqi(t1)=qi(t2)=0,seobµine8:[email protected]
@qid
[email protected]
@_qiqidt=0:(9.70)Relaµiaprecedent esteadev rat laoricemomentdinintervaluldetimpconsiderat.Încazulleg turilorolonomeqisuntvariaµiiindependente,astfelc seobµindirectecuaµiileLagrange(9.53).9.3.2EcuaµiilecanoniceHamiltonintroduceînanul1834unaltmoddeadeterminastareamecanic aunuisis-tem,precum³ievoluµiaacesteiaîntimp.ÎnformularealuiHamilton,stareaunuisistemdepunctematerialesepoatedescriecuajutorula2nvariabile:q1;q2;::::qn,caresuntcoordonatelegeneralizatealeluiLagrange³ivariabilelep1;p2;::::pn,denumiteimpulsurigeneralizate.Hamiltondene³teimpulsurilegeneralizateprinrelaµiile:[email protected]
@_qi;i=
1;n:(9.71)Încazulcelmaisimplu,încareimpulsurilepiauexpresiile9:pi=mi_qi:(9.72)
8deplasareavirtual esteechivalent cusaltuldepeotraiectoriepealtalaunmomentdetimpprecizat9AiciLesteofuncµiep tratic ,darnu³iomogen ,în_q
208Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
³isemainumescimpulsurileconjugatevariabilelordepoziµieqi.FolosindecuaµiaLagrange(9.53)seobserv c :[email protected]
@qi:(9.73)Gruparea(qi;pi)senume³teperechedevariabileconjugate.Dac @L
@qi=0;(9.74)coordonataqisenume³tecoordonat ciclic .Folosindecuaµia(9.53),variabilaconjugat luiqisatisfacerelaµia:d
dt(pi)=0)pi=const:(9.75)Caurmare,impulsulgeneralizat,conjugatuneicoordonateciclice,seconserv .FuncµiaLagrangedepindeîngeneraldecoordonatelegeneralizate,qi;vitezelegeneralizate,_qi³itimp,t.Caurmare,deoareceL=L(qi;_qi;t)variaµiaîntimpsedetermin conformrelaµiei:dL
[email protected]
@[email protected]
@_qi[email protected]
@t:(9.76)FolosindecuaµiileLagrange(9.53)rezult :dL
dt=ni=1d
[email protected]
@[email protected]
@_qid
dt(_qi)[email protected]
@t=(9.77)=ni=1d
[email protected]
@[email protected]
@t:(9.78)Deoareceînacestcazsuma³iderivatacomut întreele,grupândtermenii³iµinândseamade(9.71),seobµine:d
dtL[email protected]
@t:(9.79)Sedene³tefuncµialuiHamiltoncuajutorulexpresiei:H=ni=1_qipiL:(9.80)Decelemaimulteori(darnuîntotdeauna!),funcµiaHamiltonasistemuluicoincidecuenergiatotal .Îngeneralîns ,funcµialuiHamiltondepindedecoordonatelegeneralizate,impulsurilegeneralizate³idetimp.H=H(qi;pi;t):(9.81)Relaµia(9.79)devine:dH
[email protected]
@t:(9.82)
9.3.FormalismulluiHamilton209
Seobserv c dac funcµiaLagrangenudepindeînmodexplicitdetimp;atuncifuncµiaHa-miltonseconserv :@L
@t=0)H=const:(9.83)Diferenµiindrelaµia(9.80)³ifolosinddiferenµialafuncµieiLagrange,rezult :dH=ni=1_qidpi+ni=1d_qipidL(9.84)=ni=1_qidpi+ni=1d_qipi[email protected]
@_qid_qi[email protected]
@qidqi@L
@tdt;(9.85)caredevine,utilizânddeniµiaimpulsuluigeneralizat:dH=ni=1_qidpi[email protected]
@qidqi@L
@tdt:(9.86)Aceast expresieocompar mcudiferenµialafuncµieiH(pi;qi;t):[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@tdt:(9.87)Prinidenticare,seobµine:[email protected]
@pi;(9.88)@L
@qi=@H
@qi;(9.89)@L
@t=@H
@t:(9.90)Dac vomµinecontdeecuaµiileLagrangeprecum³idedeniµiaimpulsuluigeneralizat,relaµiile(9.88)³i(9.89)cap t formele:[email protected]
@pi;(9.91)_pi=@H
@qi;i=
1;n:(9.92)Ecuaµiile(9.91)³i(9.92)senumescecuaµiilecanonicesauecuaµiileluiHamilton10.Elefor-meaz unsistemde2necuaµiidiferenµialedeordinulîntâi.Rezolvarealornecesit cunoa³tereaa2ncondiµiiiniµialereferitoarelacoordonatelegeneralizate³ilaimpulsurilegeneralizatelamomentuldeiniµial,t0³ianume:qi(t0)=qi0;(9.93)pi(t0)=pi0:(9.94)
10Seobserv osimetrieaacestorecuaµii:dac înmembrulîntâiaparederivataînraportulcutimpulauneim rimi,înceadeadouaaparederivataînraportcuvariabilaconjugat .
210Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
Soluµiasistemuluireprezint dependenµeledetimpalecoordonatelor³iimpulsurilorgenerali-zate:qi=qi(t);(9.95)pi=pi(t):(9.96)Esteremarcabilfaptulc ecuaµiileluiHamiltonsuntvalabilepentruoricesistemzic,cucondiµiaalegeriiadecvateahamiltonianului.Chiar³iteoriarelativit µiipoatepus subformahamiltonian .Maimultdecâtatât,aceast formularereprezint punctuldepornireîndeducereaecuaµiilormecaniciicuantice.9.3.3SemnicaµiafuncµieiHamiltonÎncazulcelmaisimplu,încarefuncµiaLagrangeareforma(9.64),atunci,conformdeniµiei:H=ni=1mi_q2iL;(9.97)H=1
2ni=1mi_q2i+U(qi;t):(9.98)Caurmare,hamiltonianulsistemuluiestedeterminatcasumaenergiilorcinetice³ipotenµialealesistemului.Cualtecuvinte,elreprezint energiatotal asistemuluidepunctematerialesupuslaleg turiolononome.Aceea³isemnicaµieseobµine³iîncazulleg turilorscleronome.Dac îns leg turileimpusesistemuluidepindexplicitdetimp,adic suntleg turireonome,atunci,înexpresiaenergieicineticeapar³itermenidegradulîntâifaµ devitezelegeneralizate.Înacestcaz,funcµiaHamiltonnumaicoincidecuenergiatotal asistemului.9.3.4SpaµiulfazelorÎnformalismulluiHamilton,evoluµiasistemuluipoatedescris cuajutorulunuispaµiucu2ndimensiuni11,carearedreptaxe,coordonatelegeneralizate³iimpulsurilegeneralizate.Unpunctreprezentativdinacestspaµiusenume³tefaz .Eldetermin completstareasistemuluiprinxareatuturorperechilorfqi;piglaunmomentdat.Evoluµiaîntimpasistemuluiestedeterminat detraiectoriapunctuluireprezentativdinspaµiulfqi;pig;numitspaµiulfazelor12(Fig.9.3).Fiec ruipunctdinspaµiulfazelorîicores-pundeoanumit traiectorie,iardou traiectoriidiferitenusepotintersecta.Datorit unici-t µiisoluµiilorecuaµiilorHamilton,sistemulevolueaz ,plecânddindiferitecondiµiiiniµialepetraiectoriidiferite.Pentrusistemeleconservative,mi³careaînspaµiulfazeloresterestrâns peohiper-suprafaµ determinat decondiµia:H(pi;qi)=E=const:(9.99)
11Nuexist osperanµ preamareînavizualizaacestspaµiu!Defaptmarelesecretconst înnicim caranuîncercaafaceacestlucru.12Noµiuneintrodus înzic deJ.W.Gibbs
9.3.FormalismulluiHamilton211
Figura9.3:Otraiectorieposibil înspaµiulfazelor.Deoarecesistemulestenit,arevolum³ienergienit (coordonata³iimpulsulauundomeniunitdevariaµie),suprafaµadeenergieconstant esteosuprafaµ închis .Neputemimaginac sepoateselectaoregiunedinspaµiulfazelorcares corespund unuidomeniudevaloriposibilealecoordonatelorsauimpulsurilorgeneralizatealetuturorparticulelordinsistem.Sepotdeniurm toarelem rimi:Volumulelementarînspaµiulfazelor,cuvalorialecoordonateigeneralizateînintervalul(pi;pi+dpi)³ialeimpulsuluigeneralizatînintervalul(qi;qi+dqi)arevaloarea:d=dp1dp2:::dpndq1dq2:::dqn=ni=1dpidqi:(9.100)Volumultotalînspaµiulfazelorm rginitdesuprafaµa(9.99)este:=H(pi;qi)Edp1:::dpndq1:::dqn:(9.101)Dup cumseobserv ,volumulînspaµiulfazeloresteofuncµiemonotoncresc toaredeenergiatotal :=(E):(9.102)Dincaracteristicilegeneralealeunuisistemconservativrezult faptulc ecarestareposibil ³iimplicitecaretraiectorieposibil asistemuluiconsideratestesituat pehipersuprafaµadeenergieconstant (9.99).9.3.5TeoremaluiLiouvilleS consider munvolumelementarînspaµiulfazelor³is urm rimevoluµiaîntimpaacestuia.ConformecuaµiilorluiHamiltonrezult c ,pentruovaloaredat afuncµieiHamilton,traiectoriileadou punctediferitenusepotintersecta.Oconsecinµ imediat aacesteiobservaµiiesteconservareanum ruluidepunctereprezentativealeansamblului.Acestlucruînseamn c ,pentruunvolumelementar,variaµiaîntimpanum ruluideparticuleseface
212Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
doarpeseamatravers riipereµilor(uxdepuncteprinsuprafaµacarem rgine³tevolumulconsiderat).Putemscriea³adarorelaµiesimilar celeideconservareamaseiuidelor,adic @
@t=div(~v):(9.103)Operatoruldivergenµ înacestspaµiu2n-dimensionalsecalculeaz cuajutorulrelaµiei:div(~v)[email protected]
@qi(~v)[email protected]
@pi(~v):(9.104)•inândcontdeecuaµiilecanonice(9.80),(9.81)sepoatescrie:div(~v)[email protected]_qi
@[email protected]
@[email protected]_pi
@[email protected]
@pi(9.105)[email protected]
@[email protected][email protected]
@qi@2H
@[email protected][email protected]
@pi(9.106)[email protected]
@[email protected]
@pi;(9.107)adic :d
[email protected]
@[email protected]
@pi(9.108)[email protected]
@[email protected]
@qi@H
@[email protected]
@pi(9.109)=fH;g:(9.110)ParantezafH;gdinecuaµiaanterioar estenumit parantezaPoisson³iesteexplicat înparagrafulurm tor.Ecuaµiaobµinut semaipoatescriesubforma:d
dt+div~v=0;(9.111)@
@t+div~v=0;(9.112)d
dt=0:(9.113)Interpret mrelaµia(9:113)caoevoluµieînspaµiulfazelor,îna³afel,încâtlichidulfazics î³ip strezedensitateaconstant .Cualtecuvinte,volumulînspaµiulfazelorr mâneconstant(Fig.9.4).Dac lamomentult1toatepunctelecaracteristicesuntdistribuiteînspaµiulfazelorastfelîncâtocup regiuneaha³urat înFig.9.4³inotat G1,atuncivolumulha³uratpoates -³ischimbedoarforma,nu³ivaloarea.Lamomentult2elpoateocupa,spreexemplu,regiuneaha³urat G2:Aceast armaµieconstituieteoremaluiLiouville13.
13JosephLiouville(1809-1882)fostprofesordematematic ³imecanic laÉcolePolitehnique³ilaSorbonadinParis.Afostconsideratcelmaibunmatematicianfrancezdinperioada1840-1870,contribuµiilesaleîndomeniulmecaniciistatistice,problemelordegeometriediferenµial ³ifuncµiilorspecialeindconsideratedeoimportanµ deosebit .
9.3.FormalismulluiHamilton213
tt2
Figura9.4:Conservareavolumuluiînspaµiulfazelor.A³adar:@
@t+fH;g=0:(9.114)Pentruansamblurilestaµionaredensitateanudepindedetimp³icaurmare:@
@t=0)fH;g=0:(9.115)Aceast relaµieserealizeaz nunumaicând=const,ci³iatuncicând=(H).Dependenµa=(H)seexprim înfuncµiedecondiµiileconcreteîncaresea sistemulstudiat.9.3.6ParantezeleluiPoissonFieofuncµieoarecaref=f(qi;pi;t):Derivatatotal înraportcutimpulsescriesubforma:df
[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@pi_pi:(9.116)FolosindecuaµiileluiHamilton(9.91)³i(9.92),rezult :df
[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@pi@f
@[email protected]
@qi:(9.117)Sedene³teparantezaPoissondintrefuncµiaf³ifuncµiaH;relaµiamatematic :fH;[email protected]
@[email protected]
@qi@H
@[email protected]
@pi:(9.118)Înacestecondiµiiexpresia(9.116)sepoatescriesubforma:df
[email protected]
@t+fH;fg:(9.119)Pentrucazulîncarefuncµiafesteconstant întimp:@f
@t+fH;fg=0:(9.120)
214Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
Funcµiafcareîndepline³tecondiµia(9.120)senume³teintegral prim .Dac înplus,funcµiafnudepindeînmodexplicitdetimp(@f
@t=0),atuncicondiµiadeintegral prim devine:fH;fg=0:(9.121)Pentrudou funcµiioarecare,f³ig,parantezaPoissonsescrie:ff;[email protected]
@[email protected]
@qi@f
@[email protected]
@pi:(9.122)ParantezelePoissonalevariabilelorcanoniceauvalorile:fqi;qjg=0;fpi;pjg=0;(9.123)fpi;qjg=ij:(9.124)undeij=1pentrui=j³iij=0pentrui=j.Încazulîncareg(sauf)estecoordonatageneralizat qisauimpulsulgeneralizatpi,seobµine:ff;[email protected]
@pi;(9.125)ff;pig=@f
@qi:(9.126)Dac funcµiafestechiarfuncµiaHamilton,relaµiileobµinutesunttocmaiecuaµiilecanonice:_qi=fH;qig;(9.127)_pi=fH;pig:(9.128)9.4TeoriaHamilton-Jacobi9.4.1Transform rilecanoniceAlegereaconvenabil avariabilelorcaredescriumi³careaunuisistempoateaducesimpli-c riconsiderabilealecalculelormatematice.Deaceea,vomc utaînceleceurmeaz ,aceletransform ridecoordonatecares simplicecâtmaimultproblema.S neamintimfaptulc ,pentrucoordonateciclice,impulsurilegeneralizateconjugateacestoraseconserv .Fieunsistemdepunctematerialecungradedelibertate,ac ruimi³careestecaracterizat deecuaµiilecanonice(9.80)³i(9.81).S urm rimcumsetransform acesteecuaµiidac asupravariabilelorfacemotransformaredeforma:Pi=Pi(pi;qi;t);(9.129)Qi=Qi(pi;qi;t);(9.130)undefuncµiilePi;Qiadmitderivateparµialedeordinuldoi,continue.
9.4.TeoriaHamilton-Jacobi215
Condiµianecesar ³isucient ca³ivariabilelepi³iqis poat exprimateînfuncµiedevariabilelePi³iQiestecajacobianulvariabilelorPi;Qifaµ devariabilelepi;qis ediferitdezero:J@(P1;P2;:::Pn;Q1;Q2;:::Qn)
@(p1;p2;::::pn;q1;q2;::::qn)=0:(9.131)Dac diferenµiemrelaµiile(9.129),(9.130),obµinem:[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@tdt;(9.132)[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@tdt:(9.133)Seobserv c jacobianulJestechiardeterminantultermenilordinmembruldreptalecuaµiilor:dPi@Pi
@[email protected]
@[email protected]
@qjdqj;(9.134)dQi@Qi
@[email protected]
@[email protected]
@qjdqj:(9.135)S scriemacumecuaµiilecanonice,folosindnoilevariabile:H0=H0(Pi;Qi;t)i=
1;n(9.136)[email protected]
@Pi;(9.137)_Pi=@H0
@Qi:(9.138)Pentrucaecuaµiiledemi³carescriseînvariabilelePi;Qis aib formacanonic ,trebuieimpuseunelerestricµii.Acestearezult dinaplicareaprincipiuluiluiHamiltonambelorsistemedevariabile:t2t1ni=1pi_qiH(pi;qi;t)dt=0;(9.139)t2t1ni=1Pi_QiH0(Pi;Qi;t)dt=0:(9.140)Valabilitateasimultan aacestorrelaµiinuînseamn neap rategalitateaintegranzilor,cieipots difereprintr-oderivat total auneifuncµiiarbitrare,F:Caurmaresepoatescrie:ni=1pi_qiH(pi;qi;t)=ni=1Pi_QiH0(Pi;Qi;t)+dF
dt(9.141)sau:ni=1pidqini=1PidQi+H0Hdt=dF(pi;qi;t);i=
1;n;(9.142)
216Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
undeF(pi;qi;t)senume³tefuncµiegeneratoareatransform rii.Restricµiaimpus senume³tecondiµiadecanonicitate.Deaicirezult imediatc :[email protected]
@qi;(9.143)[email protected]
@Qi;(9.144)[email protected]
@t:(9.145)Înconcluzie,cunoscândfuncµiageneratoareF,sepotstabilirelaµiiledintrevechile³inoilevariabilecanonicealesistemului³itotodat sepoateaanouafuncµieHamilton.Încazulîncareacestanudepindedetimpînmodexplicit:H0=H:(9.146)Dac consider m,încontinuare,dou m rimimecaniceoarecaref³ig,sepoatedemonstrac parantezelePoissonaleacestorm rimiscrisecusetuldevariabilepi;qi³irespectivPi;Qisuntegale,dac celedou seturidevariabilepotg siteprintr-otransformarecanonic detipul:ff;ggp;q=ff;ggP;Q:Aceast proprietatesenume³teinvarianµaparantezelorPoissonlatransform rilecanonice.9.4.2EcuaµiaHamilton-JacobiTransform rilecanonicepermitg sireaacelorcoordonatecares conduc laoform sim-plicat aecuaµiilorHamilton.Deoareceformaceamaisimpl pecareopoateaveaunsistemcanoniccorespundecazuluiîncarehamiltonianulH0esteidenticnul,sistemulcanonicconsi-derat(P;Q)conducelarelaµiile:_Qi=0;(9.147)_Pi=0;(9.148)AcestecondiµiiimpunnecesitateacavariabileleQi;Pis econstanteîntimp.S consider mS(P;q;t)caofuncµiegeneratoareatransform rii,caresatisfaceecuaµiile:[email protected](P;q;t)
@qi;(9.149)H0[email protected](P;q;t)
@t:(9.150)CondiµiadeanulareahamiltonianuluiH0conducelarelaµia:@S(P;q;t)
@t+H(p;q;t)=0:
9.5.Teoremedeconservareînmecanicaanalitic 217
Dac vomînlocuiînhamiltonianulH(pi;qi;t)variabilelepiprinexpresiiledatede(9.149),seobµine,pentrufuncµiageneratoareSatransform rii,ecuaµia:@S
@[email protected]
@qi;qi;t=0;(9.151)cunoscut subnumeledeecuaµiaHamilton-Jacobi14.EcuaµiaHamilton-JacobiesteoecuaµiecuderivateparµialepentrufuncµiaS15³ireprezint oexprimareechivalent alegilormi³c riipentrusistemulmecanicconsiderat.Osoluµiaacesteiecuaµii,senume³teintegral complet .9.5Teoremedeconservareînmecanicaanalitic Teoremeledeconservarecaresevordeduceînceleceurmeaz rezult dininvarianµafuncµieiLagrangeladiferitepropriet µidesimetriealespaµiului³itimpului.Proprietateadeuniformitateatimpuluidetermin legeadeconservareaenergiei.Proprietateadeomogenitateaspaµiului(invarianµalatranslaµii)determin legeadeconservareaimpulsului.Proprietateadeizotropieaspaµiului(invarianµalarotaµii)determin conservareamo-mentuluiunghiular.9.5.1ConservareaenergieiDac funcµiaLagrangenudepindeînmodexplicitdetimp,[email protected][email protected]=0:DinecuaµiileLagrange,rezult :dL
dt=ni=1d
[email protected]
@_qi;(9.152)sau:d
dtL[email protected]
@_qi=0:(9.153)FuncµiaE=L[email protected]
@_qicareestetocmaifuncµiaHamiltonasistemului,î³ip streaz înacestecondiµiivaloareacon-stant .DeoarecepentrusistemeconservativefuncµialuiLagrangeaunuisistemmecaniceste:L=EcU;(9.154)
14CarlGustavJacobi(1804-1851),ziciangermancunoscutpentrucontribuµiilesalefundamentaleîndome-niulalgebrei,înteoriafuncµiiloreliptice³iaecuaµiilorcuderivateparµiale.15FuncµiageneratoareSdinecuaµiaHamilton-Jacobidifer deacµiuneadinformalismulLagrangedoarprintr-oconstant aditiv ³iaredimensiuneadeenergietimp.
218Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
undeEcenergiacinetic ,Uesteenergiapotenµial ,iarexpresiafuncµieiHamiltonestedat derelaµia(9.80)seobµinepentru(9.153):d
dt(Ec+U)=0:(9.155)Caurmare:Ec+U=const:(9.156)adic energiatotal pentruunsistemconservativseconserv .9.5.2ConservareaimpulsuluitotalS consider munsistemulsimpluconstituitdintr-osingur particul ,caracterizat defuncµiaLagrangeL(qk,_qk),undek=x;y;z.S consider modeplasareinnitezimal (trans-laµie)asistemului,astfelîncâtcoordonatageneralizat qks semodicecuocantitatefoartemic ("):q0k=qk+":(9.157)ImpunândcondiµiacafuncµiaLagranges r mân neschimbat ,deoarece:qk=q0kqk=";(9.158)rezult :[email protected]
@qkqk="[email protected]
@qk=0:(9.159)Deplasarea"indindependent ³iarbitrar ,condiµiadeinvarianµ ,L=0conducela:@L
@qk=0:(9.160)DinecuaµiileLagrangeseobµine:d
[email protected]
@:qk=0;(9.161)adic :@L
@:qk=const:(9.162)DeoareceL=EcU,relaµiaanterioar semaipoatescrie:@L
@[email protected](EcU)
@:[email protected]
@:qk1
2mni=1_q2k=m_qk=pk=const:(9.163)Deoareceamconsideratosingur particul ,impulsulgeneralizatpkreprezint peoricaredintreceletreicomponentealevectorului~pîntr-unsistemdereferinµ .Generalizând,sepoatearmac ,dac funcµiaLagrangeesteinvariant înraportcutranslaµiasistemului,impulsulsistemuluipedirecµiatranslaµieiseconserv .
9.5.Teoremedeconservareînmecanicaanalitic 219
rr
d+jd
dj
O
qr
Figura9.5:Orotaµieinnitezimal .9.5.3ConservareamomentuluicineticS consider m,înceleceurmeaz ,c sistemulexecut orotaµiecuununghiinnitezimal³is impunemcondiµiadeinvarianµ afuncµieiLagrange.Numimvectorderotaµieinnitezimal ,~',vectorulparalelcuaxaderotaµie,cearecavaloareabsolut -m rimea',adic unghiulderotaµieînjuruluneiaxe.Dup cumseobserv dinFig.(9.5):j~rj=rsind'(9.164)sau,înscrierevectorial :~r=~'~r:(9.165)Variaµainnitezimal devitez ,corespunz toareacesteirotaµiieste:~v=~'~v:(9.166)Dincondiµiadeinvarianµ afuncµieiLagrange,rezult :[email protected]
@~rk[email protected]
@~vk~vk=0:(9.167)Dup înlocuireaexpresiilordeplas rilorinnitezimale,obµinem:[email protected]
@~rk(~'~rk)[email protected]
@~vk(~'~vk)=0;(9.168)sau:ni=1_~pk(~'~rk)+~pk(~'~vk)=0:(9.169)Deoarece~a(~b~c)=~b(~c~a)=~c(~a~b)seobµine:ni=1~'~rk_~pk+(~vk~pk)=0;(9.170)
220Capitolul9.Elementedemecanic analitic 
Figura9.6sau:~'ni=1d
dt(~rk~pk)=0:(9.171)Deoarece~'estealesarbitrar,relaµiaanterioar esteadev rat ,dac :d
dtni=1(~rk~pk)=0;(9.172)ceeaceînseamn c :~J=ni=1(~rk~pk)=const:(9.173)Dac funcµiaLagranger mâneinvariant larotaµie,momentulunghiulartotalalsistemuluiseconserv .9.6Probleme1.Unpendulmatematiccumasam2estesuspendatdeobar rigid foarteu³oar ,delungimel.Larândulei,baraesteprins deuncorpdemas m1ag µatdeunresortcuconstantaelastic k(veziFig.9.6).Sepresupunec mi³careasistemuluiarelocdoarînplanulgurii.(a)s seconstruiasc funcµiaLagrangeasistemului,L=L(y;;_y;_);(b)S sescrieecuaµiademi³careasistemului.R spuns:L=1
2m1_y2+1
2m2_y2+l2_22l__ysin1
2ky2+m1gy+m2g(y+lcos);(b)(m1+m2)(yg)m2l(sin+_2cos)+ky=0;+1
l(gy)sin=0:2.S sescrieecuaµiileluiLagrangepentrupendululdubludinFig.9.7ceexecut oscilaµiiînplanulxy.Seconsider m1=m2=m³il1=l2=l:R spuns:21ll_2(_1_2)sin(12)+l2cos(12)+l_1_2sin(12)+2gsin1=0;2l+l1cos(12)l_1(_1_2)sin(12)+l_1_2sin(12)+2gsin2=03.Unpunctmaterialsemi³c peocicloid descris deecuaµiile:x=a(sin);y=a(1+cos)cu02:(a)S seconstruiasc lagrangeanulsistemului;(b)S sescrieecuaµiiledemi³care.
9.6.Probleme221
Figura9.7:R spuns:(a)L=ma2(1cos)_2mga(1+cos);(b)+1
2ctg
2_2g
2actg
2=0:4.G siµiecuaµiilediferenµialedemi³carealeuneiparticuledemas m,aat subacµiuneauneiforµeatractiveinversproporµionalecup tratuldistanµei(F=k
r2):(a)folosindformalismulLagrange;(b)folosindformalismulHamilton.R spuns:rr2_k
r2=0;mr2_=const:
Capitolul10
Noµiuniderelativitaterestrâns Timpdepeste200deani,mecanicanewtonian aoferitmijloculesenµialpentruexplicareacusuccesaunuinum rimpresionantdefenomenedinnatur .Cutoateacestea,s-aconstatatc rezultateleprezisedemecanicanewtonian încazulmi³c riiunorcorpurialec rorvitezeseapropiedevitezaluminiisunteronate.FizicianulgermanAlbertEinstein1estecelceapropusajustareamecaniciinewtonieneprincâtevapostulate,fundamentândastfelceeaces-anumitapoiteoriarelativit µi.Maiexact,Einsteinaformulatdou teoriidistincte:Teoriarelativit µiirestrânse(1905)³iTeoriarelativit µiigeneralizate(1915)2.10.1Relativitateaînmecanicaclasic Unsistemdereferinµ esteconstituitdintr-uncorpsausistemdecorpuric ruiaiseasociaz uninstrumentpentrum surareatimpului,precum³iinstrumentepentrum surareadistanµelor.S consider mdou sistemedereferinµ cartezienecuoriginileînpunctediferite:()-unsistemdereferinµ inerµial3,pecares -lconsider maicicaindx³i(0)-unsistemaatînmi³careînraportcu().Înceledou sistemesea doiobservatoriceurm rescmi³careaunuipunctmaterialaat,launmomentdat,înP(Fig.10.1).Presupunândc ambiiobservatoriauinstrumentepentrum surareadistanµelor³itimpuluibazatepeacelea³ifenomene,poziµiapunctuluimaterialestedescris deurm toriivectoridepoziµie(Fig.10.1):
1AlbertEinstein(1879-1955)esteconsideratunuldintreceimaimarioamenide³tiinµ aituturortimpurilor.În1905,lavârstade26deani,apublicatpatrulucr ri³tiinµicecareaurevoluµionatzicaclasic .Dou dintreacesteaserefer lateoriarelativit µiirestrânse.Încinsteasa,comunitateainternaµional adeclaratanul2005caanulEinstein.2Aceastadinurm esteoextindereateorieirelativit µii,ceiaîncalcul³ifenomenulgravitaµiei.Teoriarelativit µiigeneralizatenuconstituiesubiectulmanualului.3Reamintimfaptulc unsistemdereferinµ inerµialestecelîncaresuntvalabileprincipiilemecanicii,înparticularprincipiulinerµiei.Dac uncorpesteliber,atuncielsea înrepaussauînmi³carerectilinie³iuniform .223
224Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
Figura10.1:CoordonatelepunctuluimaterialPîndou sistemedereferinµ diferite³i0.~r=~r(t)înreferenµialul();~r=x^x+y^y+z^z;(10.1)~r0=~r0(t)înreferenµialul(0).~r0=x0^x0+y0^y0+z0^z0:(10.2)PoziµiaoriginiiO0asistemului(0)esteprecizat dec treobservatoruldinsistemul(),prinvectoruldepoziµie~R0:~R0=X^x+Y^y+Z^z;(10.3)unde(X;Y;Z)suntcoordonateleluiO0m suratedin.Principalaipotez cucarelucreaz mecanicaclasic esteaceeac timpulcurgelafelînceledou sistemedereferinµ 4.Caurmare,considerândc masaesteindependent demi³care,iardistanµelesem soar lafelînoricesistemdereferinµ ,mecanicaclasic opereaz cunoµiuniledetimpabsolut³imas absolut .S analiz mîncontinuaremodulcumsetransform coordonatelepunctuluimaterialatuncicândsuntm surateînraportcusistemedereferinµ diferite:10.1.1Transform rileluiGalilei(a)TransformareacoordonatelorS consider mc sistemuldereferinµ (0)sea înmi³caredetranslaµiefaµ de()5cuviteza:~v=d~R0
dt:(10.4)DinFig.10.1seobserv c :~r=~R0+~r0;(10.5)unde:~R0=~vdt+~const:(10.6)
4Teoriarelativit µiireinterpreteaz noµiuniledespaµiu³itimp,considerându-lem rimidependenteunadecealalt .5Înmodsimetric,putemconsiderac sea înmi³carecuviteza-~vfaµ de0:
10.1.Relativitateaînmecanicaclasic 225
Încazulparticularîncaredirecµiileaxelorcelordou sistemedereferinµ coincid:^x=^x0;^y=^y0;^z=^z0:(10.7)Conformecuaµiei(10.5),leg turadintrecoordonatem suratedeobservatoriiaaµiînsistemeledereferinµ ()³i(0)poatescris matricial,subforma:xyz=XYZ+x0y0z0:(10.8)Încazul³imaiparticular,încareorigineaO0asistemului(0),aatiniµialînorigine,sedeplaseaz de-alungulaxeiOx:~v=dX
dt^x)X=vt:(10.9)Alegândconstantadinec.(10.6)egal cuzero,seobµincoordonateleluiPm suratedeobservatoruldinsistemul():x=vt+x0;(10.10)y=y0;(10.11)z=z0:(10.12)Înmodevident,coordonatelem suratedeobservatoruldin(0)sunt:x0=xvt;(10.13)y0=y;(10.14)z0=z:(10.15)(b)TransformareavitezelorLegeadetrasformareavitezeiseobµinederivândînraportcutimpulrelaµia(10:5):d~r
dt=d~R0
dt+d~r0
dt:(10.16)•inândcontdedeniµiavitezei³ideecuaµia(10:4);rezult :~u=~v+~u0:(10.17)Relaµia(10.17)exprim faptulc vitezaabsolut ,~u;m surat deobservatoruldinsistemulxesteegal cusumavectorial dintrevitezadetransport,~v³ivitezarelativ ~u0,m surat deobservatoruldinsistemulînmi³care,0.Legeadetransformareavitezeidinsistemulaatînmi³careîncelxeste,înmodevident:~u0=~u~v:(10.18)
226Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
Relaµia(10.18)estecunoscut carelaµiadetransformareGalileiavitezelor.Înmodsimilar,ecuaµiavectorial (10.17)maipoatescris ³isubformamatricial :_x_y_z=_X_Y_Z+_x0_y0_z0:(10.19)ÎncazulparticularaltranslaµieiînlungulaxeiOxcuvitezadetransportv;relaµiiledetransformarealevitezeidevin:ux=v+u0x;(10.20)uy=u0y;(10.21)uz=u0z;(10.22)sau:ux=v+u0x;(10.23)uy=u0y;(10.24)uz=u0z:(10.25)(c)Principiulrelativit µiialluiGalileiPân acumamaatc observatoriaaµiînsistemedereferinµ diferitem soar valoridiferitepentrupoziµia³ivitezapunctuluimaterial.S analiz m,încontinuare,cepotspuneace³tiadespreaceleraµiile³iimplicitforµeleceacµioneaz asuprapunctuluimaterialînmi³care.Derivândînraportcutimpulexpresiavitezei(10.17)seobµineexpresiaacceleraµiei:~a=~atr+~a0;(10.26)unde~atr=d~v
dt;sau:~a0=~a~atr:(10.27)Într-unsistemdecoordonatecartezian,expresia(10.26)sescriematricialsubforma:xyz=XYZ+x0y0z0:(10.28)S consider mc punctulmaterialaatînPesteliberînsistemulinerµial().Atunci,conformprincipiuluifundamentalalmecanicii:!F=0)~a=d~u
dt=0:(10.29)
10.2.Principiilerelativit µiirestrânse227
Pentrucaels eliber³iînsistemulmobil,cualtecuvintepentruca³isistemuldereferinµ (0)s einerµial,trebuierespectat ocondiµiesimilar :~a0=d~u0
dt=0:(10.30)Dinrelaµia(10.26)rezult imediatc :~atr=d~v
dt=0;(10.31)adic :~v=!const:(10.32)Relaµiaobµinut permitedenireasistemelordereferinµ inerµiale.Oricesistemdereferinµ careexecut omi³carerectilinie³iuniform faµ deunsistemdereferinµ inerµialconstituie,larânduls u,unsistemdereferinµ inerµial.Caurmare,dac ambelesistemedereferinµ suntinerµialerezult c :~a=~a0:(10.33)Înmulµindrelaµiaanterioar cumasainert ,care,înmecanicanewtonian sepostuleaz aconstant ,seobµine:m~a=m~a0)(10.34)~F=~F0:(10.35)Înconcluzie,forµacareacµioneaz asupraunuipunctmaterialesteaceea³iînoricesistemdereferinµ inerµialsau,maigeneral,legilemecaniciisuntacelea³i6înoricesistemdereferinµ inerµial.Aceast armaµieconstituieprincipiulrelativit µiialuiGalilei.Cualtecuvinte,toatesistemeledereferinµ inerµialesuntechivalente.Dac ecuaµiilematematicecaredescriuunfenomenauaceea³iexpresie(form )sespunec suntlegiinvariante.Încazuldefaµ ecuaµiiledemi³caredinmecanicanewtonian suntinvariantelatransform rileluiGalilei.10.2Principiilerelativit µiirestrânseExperimentelerealizatepân lasfâr³itulsecoluluialXIX-leaaudemonstratc nuexist niciunsistemdereferinµ preferenµial,toatesistemeledereferinµ inerµialeindechivalente.Ofundamentareteoretic aacestorconstat riexperimentaleaufostformulat deA.Einsteinîn19057,pebazaurm toarelorpostulate:1.Legileziciiauacelea³iexpresiiîntoatesistemeledereferinµ inerµiale.
6Armaµiatrebuieînµeleas însensulc legilemecaniciir mânacelea³icaform aexpresiilor³inucavalorinumericeimplicateînecuaµiilecareledescriu.Deexemplu,dac impulsulseconserv într-unsistemdereferinµ inerµialelseconserv întoatesistemeledereferinµ inerµiale,darvaloareasaestealta,delasistemlasistem.7înarticolulintitulatZurElectrodynamikderbewegterKörper,AnnalenderPhysikvol.17(1905)891-921.
228Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
2.Vitezamaxim depropagareainteracµiuniidintredou corpuriesteegal cuvitezadepropagarealuminiiînvid8³iesteconstant ³iindependent desistemuldereferinµ inerµial.Primulpostulatgeneralizeaz valabilitateaexpresiilormatematicealelegilorcedescriufenomenelezice9,pentruoricesistemdereferinµ inerµial.Cualtecuvinte,estevorbaaicidespreinvarianµalegilormecaniciiînraportcusistemeledereferinµ inerµiale.Postulatulaldoileastabile³tecalimit avitezeidetransmitereladistanµ ainteracµiunilor-vitezadepropagarealuminiiînvid.Acestpostulatestemaicurândoformulareaunorconstat riexperimentale.Deoareceprimulpostulatconducelaconcluziac nuexist unsistemdereferinµ inerµialpreferenµial,enunµulpostulatuluialdoileaseimpunecaonecesitate:vitezadepropagarealuminiitrebuies eaceea³iînoricesistemdereferinµ inerµial.10.3Transform rileLorentzTransform rileluiGalileifacleg turaîntrelegileziciicedescriufenomeneîndiferitesistemedereferinµ inerµiale,l sândinvariantelegileluiNewton.Lasfâr³itulsecoluluialXIX-lea,s-aconstatattotu³i,c ecuaµiilecedescriucâmpulelectromagnetic10nur mâninvariantelatransform rileGalilei.Neputemîntrebaînmodrescdeceaparastfeldediscrepanµe?CumtrebuieînµelesediferenµeledintrerezultateleprezisedeteorialuiMaxwell,încontextultreceriidelaunsistemdereferinµ inerµiallaaltul?PebazateorieicâmpuluielectromagneticaluiMaxwell,zicianuldanezH.A.Lorentz11adecisc trebuiemodicateacesteadinurm .Elaconstruit,pebazaprincipiilorluiEinstein,unsetdetransform rimatematiceîntrecoordonateleînraportcusistemeledereferinµ inerµiale(ast zicunoscutecaecuaµiileLorentz),carep streaz invarianteecuaµiileluiMaxwell.Pentruadiscutatransform rileLorentz,s consider mdinnouceledou sistemedere-ferinµ inerµiale,carteziene:()-x³i(0)-mobil.Pentrusimplicareacalculelor,s con-sider maicicazulîncareorigineasistemului(0)sedeplaseaz paralelcuaxaOx³ic ,lamomentult=0,originilecelordou sistemecoincid(OO0):CoordonatelecartezienealeunuipunctMm suratelamomentultînsistemul()sunt:x=x0+vt;(10.36)y=y0;(10.37)z=z0;(10.38)
8c=2:99792458108ms19adic legilemecaniciinewtoniene³ialeelectromagnetismuluimawwellian.10Ansambluridecâmpurielectrice³imagneticecaresegenereaz reciproc,încontextulpropag riiladistanµ .11HendrikAntoonLorentz(1853-1928)ziciandanez,aavutconstribuµiiimportanteladezvoltareateorieirelativit µii³iamecaniciicuantice.În1902aprimit,împreun cuZeeman,premiulNobelpentruzic .
10.3.Transform rileLorentz229
iarcelem surateînsistemul(0)sunt:x0=xvt;(10.39)y0=y;(10.40)z0=z:(10.41)S admitemacumprincipalaipotez amecaniciirelativiste:ecaresistemdereferinµ inerµialareuntimppropriu³ietaloanedelungimeproprii.Atunci,olungimem surat însistemuldereferinµ mobilvadiferit deceam surat însistemuldereferinµ x,indnecesars introducemuncoecientdeconversie, ,ac ruivaloareurmeaz adeterminat : x0=xvt:(10.42)Conformpostulatuluiîntâialrelativit µii,expresiamatematic aecuaµiilordemi³careasis-temuluitrebuies eaceea³iînambelesistemedereferinµ inerµiale.A³adar: x=x0+vt0;(10.43)deoarecedinsistemul(0)sistemul()sevedecadeplasându-secuviteza(v).Înlocuindpex0din(10.43)în(10.42)îlputemcalculape t0: ( xvt0)=xvt)(10.44)( 21)x= vt0vt)(10.45) t0=( 21)x
v+t:(10.46)Împ rµindecuaµiile(10.46)³i(10.42)seobµine: x0
t0=xvt
( 21)x
v+t)(10.47)x0
t0=x=tv
( 21)x
vt+1:(10.48)Deoareceraportuldintredistanµ ³itimpreprezint ovitez ,sepoatescrie:u0x=uxv
( 21)ux
v+1:(10.49)Dac fenomenulanalizateste,deexemplu,propagareaunuisemnalluminos,atunciconformpostulatuluialdoileaaluiEinstein,vitezadepropagareaacestuiaesteaceea³iînambelesisteme³iesteegal cuc:ux=u0x=c:(10.50)Caurmaredinrelaµia(10.49)rezult :c=cv
( 21)c
v+1)(10.51) =
1v2
c2:(10.52)
230Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
Transform rileluiLorentzdirecte(pentrum sur torileînsistemulx)devin:x=x0+vt0
q
1v2
c2;(10.53)y=y0;(10.54)z=z0;(10.55)t=t0+v
c2x0
q
1v2
c2;(10.56)iartransform rileLorentzinverse(pentrum sur torileînsistemulmobil):x0=xvt
q
1v2
c2;(10.57)y0=y;(10.58)z0=z;(10.59)t0=tv
c2x
q
1v2
c2:(10.60)Transform rileluiLorentzstabilescleg turadintrecoordonatelespaµiale³iceletemporaleîna³afelîncâtformaecuaµiilorzices r mân aceea³iîntoatesistemeledereferinµ inerµiale,respectândcondiµiainvarianµeivitezeidepropagarealuminiiînoricesistemdereferinµ inerµial.Transform rileLorentzdirectesepotscrie³isubform matricial :xyzt=1
È
1v2
c200v
È
1v2
c201000010v=c2
È
1v2
c2001
È
1v2
c2x0y0z0t0:(10.61)10.4Consecinµealetransform rilorLorentz10.4.1DilatareaduratelorS consider mdeexemplumi³careunuipunctmaterialpeotraiectorie(Fig.10.2)careintersecteaz axaOx.CoordonateleintersecµieitraiectorieicuaxaOxasistemuluixsuntx1(t1)³ix2(t2),iarînsistemul(0)elesuntx01(t01)³ix02(t02):Intervalultemporaldintredou evenimente,reprezentatdesuccesiuneadeintersecµii,m surat însistemuldereferinµ x,()este:t=t2t1;(10.62)iarînsistemul(0):t0=t02t01:(10.63)
10.4.Consecinµealetransform rilorLorentz231
Figura10.2:Traiectoriaunuipunctmaterialv zut dindou sistemedereferinµ inerµialediferite()³i(0).Folosindec.(10.60)seobµine:t0=t2v
c2x2
q
1v2
c2t1v
c2x1
q
1v2
c2=(10.64)=t2t1
q
1v2
c2v
c2x2x1
q
1v2
c2=(10.65)=t
q
1v2
c2v
c2x
q
1v2
c2:(10.66)Caurmare,timpulscursîntredou evenimentedinsistemul(0)depindedetimp,depoziµie³idevitezadedeplasareasistemului.Sepotfaceurm toareleobservaµii:1.Dac evenimentelesuntsimultaneîn()(adic seproduclaacela³imoment),atunci:t1=t2)t0=v
c2x
q
1v2
c2=0;(10.67)cualtecuvinte,evenimentelenumaisuntsimultaneînsistemulaatînmi³care.Caurmare,noµiuneadesimultaneitateesterelativ .2.Dac evenimenteleseproducînacela³ilocîn():x1=x2)t0=t
q
1v2
c2�0:(10.68)Duratam surat însistemulaatînmi³careestemaimaredecâtceam surat însiste-mulaatînrepaus.Acestfenomensenume³tedilatareaduratelor.3.Dac fenomenulstudiatesteunulperiodic,cuperioadaT(în)³iT0(în0)avem:T0=T
q
1v2
c2�T:(10.69)
232Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
Figura10.3:Obar a³ezat înpoziµieparalel cuaxeleOxalecelordou sistemedereferinµ .DurataT,m surat înraportcusistemulfaµ decaresistemulestepresupusalegatsenume³teperioada(durata)proprie.Dup cumseconstat ,durataproprieesteceamaimic :T=T0
1v2
c2:(10.70)10.4.2ContracµialungimilorS neimagin mc nepropunemm surareauneidistanµeînsistemul().Oastfeldedistanµ ,carearputea,deexemplu,lungimeauneibaresaurigle(veziFig.10.3),sepoatescrieînsistemulx,ca:l=x2x1:(10.71)Lungimeabareiînsistemul(0)vaaveavaloarea:l0=x02x01:(10.72)Pentrucam sur toriledin(0)s indiceînmodcorectlungimea,citirilecoordonatelorcores-punz toarecapetelorbareitrebuief cutesimultan.Caurmare:t01=t02:(10.73)FolosindecuaµiaLorentz(10.60)seobµine:t2v
c2x2
q
1v2
c2=t1v
c2x1
q
1v2
c2)(10.74)t=v
c2x=v
c2l:(10.75)Lungimeabarei,m surat în(0)va,conformecuaµiilorLorentz(10.57):l0=x2vt2
q
1v2
c2x1vt1
q
1v2
c2)(10.76)l0=x2x1
q
1v2
c2v(t2t1)
q
1v2
c2:(10.77)
10.4.Consecinµealetransform rilorLorentz233
Figura10.4:Traiectoriaunuipunctmaterialsubformaunuicercaatîntr-unplanperpendicularpeaxaOx³iO0x0Caurmare:l0=l
q
1v2
c2v2
c2l
q
1v2
c2=l
1v2
c2�0;(10.78)adic l0l:Lungimilem suratedeunobservatordinsistemdereferinµ înmi³carefaµ dereferenµialulpropriusuntmaimicidecâtceledinsistemulpropriu(lungimeproprie).Rezultatulexprimatderelaµiaprecedent estecunoscutsubnumeledecontracµialungimilor.10.4.3Dependenµamaseidevitez S consider m,înceleceurmeaz ,c traiectoriaunuipunctmaterialmobil,demas mesteuncercaatîntr-unplanperpendicularpeaxaOx³iO0x0(Fig.10.4).Mi³careapeotraiectoriecircular esterezultatulacµiuniiuneiforµedetipcentripet.Pentruastfeldemi³c ri,forµaesteanti-coliniar curazavectoare³i,caurmare,momentulunghiularalpunctuluimaterialînraportcucentrulderotaµieesteconstant.~r~F=~rd~p
dt=d
dt(~r~p)=d~J
dt=0)(10.79)~J=!const:(10.80)Conformpostulatuluiteorieirelativit µiirestrânse,expresiamatematic aacesteim rimiesteinvariant .Acceptândoaceea³iexpresiematematic amomentuluicineticînambelesistemedereferinµ ,sepoatescrie12:~J=~J0)(10.81)rmv=r0m0v0)(10.82)r2m!=r20m0!0)(10.83)
y2+z2m!=
y02+z02m0!0:(10.84)
12Pentrusimplitatearaµionamentuluicareurmeaz ,admitemc valorilemomentuluiunghiularsuntegaleînceledou sistemedereferinµ .De³i,înmodevident,oastfeldeipotez estefoartesimplicatoare,eaconducelaunrezultatcorect,caresereg se³teînmanualeledeteoriarelativit µiirestrânse,plecânddelaoanaliz riguroas careexcedetematicaacestuicurs.
234Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
Deaici:
y2+z2m2
T=
y02+z02m02
T0:(10.85)Folosindecuaµiiletransform rilorluiLorentz³iexpresiaperioadeiînsistemul(0),rezult :m0=mT0
T)(10.86)m0=m
q
1v2
c2:(10.87)Dac not mmasaderepauscum=m0,dependenµamaseidemi³caredevitez sepoatescriesubforma:m0=m0
q
1v2
c2:(10.88)10.4.4Transformareavitezelorînteoriarelativit µiiConsider munfenomenpropagatoriucaresedesf ³oar cuvitezeleux;uy;uzînsistemul()³iu0x;;u0y;u0zînsistemul(0).Conformdeniµieivitezelor:ux=dx
dt;u0x=dx0
dt0:(10.89)FolosindrelaµiileluiLorentz(10.53)³i(10.56)obµinemprindiferenµire:ux=dx0+vdt0
q
1v2
c2
1v2
c2
dt0+v
c2dx0(10.90)=dx0+vdt0
dt0+v
c2dx0=u0x+v
1+v
c2u0x:(10.91)Înmodanalog,pentrucelelaltedou componente:uy=dy
dt=dy0
1v2
c2
dt0+v
c2dx0=u0y
1v2
c2
1+v
c2u0x;(10.92)uz=dz0
1v2
c2
dt0+v
c2dx0=u0z
1v2
c2
1+v
c2u0x:(10.93)Compunereavitezelorpoateanalizat ³iinvers,înraportcusistemuldereferinµ aatînmi³care.Deoarece,dinacestsistem,deplasareaceluilaltsevedecuvitezav,orientat însensopus,rezultateleg siter mânvalabileîncondiµiileîncareînlocuimpevcuv:
10.4.Consecinµealetransform rilorLorentz235
Relaµiiledetransformareinvers alevitezelorsunt:u0x=uxv
1v
c2ux;(10.94)u0y=uy
1v2
c2
1v
c2ux;(10.95)u0y=uz
1v2
c2
1v
c2ux:(10.96)Dac fenomenulstudiatestepropagareaunuifasciculdelumin ,atunci:u0x=c:(10.97)Vitezaluminii,m surat însistemulaatînmi³careesteconform(10.91),³iînacordcupostulatulaldoileaalteorieirelativit µiirestrânse:ux=c+v
1+v
c2c=c:(10.98)Acestrezultataparesurprinz torînlimitelemecaniciiclasice,îns elseveric princonsecinµe,chiardac -aparent-estegreudeacceptat.10.4.5Transformareamaseiînteoriarelativit µiiÎnmecanicaclasic masaseconsider m rimeabsolut ,independent demi³care.Acestlucrunumaiestevalabilînteoriarelativit µii.S g simrelaµiadetransformareamasei,latrecereadelasistemuldereferinµ x()lacelînmi³care(0),pentruuncorpcaresedeplaseaz cuvitezauxpedirecµiaOx.Avândînvederedependenµamaseidevitez ,expresiilemaseiînceledou sistemedereferinµ sunt:m=m0
q
1u2x
c2;m0=m0
q
1u02x
c2:(10.99)Caurmare,raportulloreste:m
m0=
1u02x
c2
q
1u2x
c2:(10.100)Folosindrelaµiadetransformareavitezei(10.91),sepoatescrie:1u02x
c2=1(uxv)2
c21v
c2ux2=(10.101)=c22vux+v2
c2u2xu2x+2vuxv2
c21v
c2ux2(10.102)=c2(1v2
c2)u2x(1v2
c2)
c21v
c2ux2=(1u2x
c2)(1v2
c2)
1v
c2ux2:(10.103)
236Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
Deaicirezult relaµiadetransformareamaseidemi³care:m
m0=
(1u2x
c2)(1v2
c2)
1v
c2ux2
1u2x
c2=
(1v2
c2
1v
c2ux)(10.104)m0=m1v
c2ux
q
1v2
c2:(10.105)10.5Forµaînteoriarelativit µiiS vedemacumîncemodtrebuieinterpretat ecuaµiafundamental ami³c riipentruainvariant latransform rileLorentz.Pornimdelaexpresia:~F=d~p
dt=d(m~v)
dt;(10.106)careestevalabil înambeleteorii.Impulsul,r mânedenitcaprodusîntremas ³ivitez ,doarc ,trebuies avemînvederedependenµamaseidevitez :~p=m~v=m0
q
1v2
c2:(10.107)Dac asupraunuicorpcumas derepausnenul acµioneaz untimpîndelungatoforµ con-stant ,întermeniimecaniciiclasiceacestfaptconducelacre³tereavitezeilavalorioricâtdemari(chiarmaimaridecâtvitezaluminii!),lucrucarevineîncontradicµiecupostulatulaldoileaalrelativit µii.Estecorects admitemc acelcorpcâ³tig impuls³inuvitez !Pem sur cevitezacre³te,cre³te³imasademi³care(inerµial )³i,atuncicândvtindesprec,masa,decim suraîmpotriviriilaaccelerarea"nal "pentruatingereavitezeiluminii,devineinnitdemare.Înacelecondiµii,corpulnumaisimteefectulacceleratoralforµei.A³adar,oricâteresursedeenergiearaveaunacceleratordeparticule,acestanuajut laobµinereadevitezesuperioarevitezeiluminii.Încontinuare,vomexprimaforµacuajutoruladou componentecarerezult prinderivareaînraportcutimpulaimpulsului:~F=~vdm
dt+md~v
dt(10.108)=~vd
dtm0
q
1v2
c2+m0
q
1v2
c2d~v
dt:(10.109)S calcul mexpresiaforµeifolosinddoipa³i,înconformitatecuurm torulprocedeu:A.S consider m,pentruînceput,doarvariaµiavitezeiînmodul:Variaµiavitezeicam rime
10.6.Energiaînmecanicarelativist 237
estedeterminat decomponentalongitudinal aforµei:~Ftg=~vtgd
dtm0
q
1v2
c2+md~vtg
dt(10.110)=~vtg1
2‹2v
c2m0
1v2
c23=2d~vtg
dt+m0
q
1v2
c2d~vtg
dt(10.111)=v2
c2m0
1v2
c23=2+m0
q
1v2
c2d~vtg
dt)(10.112)=m0
1v2
c23=2d~vtg
dt)~Ftg=mld~vtg
dt:(10.113)M rimeanotat ml³idenit ca:ml=m0
1v2
c23=2;(10.114)senume³temas longitudinal .Eaestedeterminat devariaµiavitezeidoarcam rime.B.S consider macumvariaµiavitezeidoarcaorientare:Variaµiavitezeicaorientareestedeterminat decomponentanormal aforµei.Înaceast situaµie,v2=const:,iarprimaderivat din(10.109)seanuleaz ,astfelîncât:~Fn=m0
q
1v2
c2d~vn
dt:(10.115)Sumândvectorialceledou componente(10.113)³i(10.115),seobµine:~F=~Ftg+~Fn=mo
1v2
c23=2d~vtg
dt+mo
q
1v2
c2d~vn
dt:(10.116)Dup cumseconstat dinaceast relaµie,derivateleînraportcutimpulalecelordou com-ponentealevitezei(asociatecucomponenteleacceleraµiei)aparînmulµitecucantit µidiferite,deaceeaforµaînteoriarelativit µiinumaiestecoliniar cuacceleraµia:~a=~atg+~an=d~vtg
dt+d~vn
dt:(10.117)Ilustrareaacesteiobservaµiiestedat înFig.10.5.10.6Energiaînmecanicarelativist 10.6.1RelaµialuiEinsteinConformdeniµiei,lucrulmecanicelementarefectuatdeforµa~Fladeplasareapedistanµaelementar d~reste:dL=~Fd~r=d~p
dtd~r=d~p~v:(10.118)
238Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
m
n
tg
na
tga
a
Figura10.5:Forµa,înteoriarelativit µii,nuestecoliniar cuacceleraµia.Impulsulrelativistalpunctuluimaterialareexpresia:~p=m~v=m0~v
q
1v2
c2:(10.119)Lucrulmecanictotalseobµineprinintegrarearelaµiei(10.118)întredou punctedepetraiec-torie.Folosindfaptulc dxy=d(xy)xdy;seobµine:L=BAdL=BA~Fd~r=BAd~p~v=(10.120)=~p~vjBABAm0~vd~v
q
1v2
c2=(10.121)=m0~v~v
q
1v2
c2jBABAm0~v
q
1v2
c2d~v:(10.122)Integralasecalculeaz u³ordac sefolose³terezultatulurm tor:d
1v2
c2=1
21v2
c21
212v
c2dv=(10.123)=1v2
c21
2vdv
c2)(10.124)~vd~v
q
1v2
c2=c2d
1v2
c2:(10.125)
10.6.Energiaînmecanicarelativist 239
Caurmare,lucrulmecanicdevine:L=m0v2
q
1v2
c2jBA+m0c2
1v2
c2jBA=(10.126)=m0
q
1v2
c2v2+c21v2
c2jBA=m0c2
q
1v2
c2jBA(10.127)=m0c2
q
1v2B
c2m0c2
q
1v2A
c2(10.128)=m(vB)c2m(vA)c2=E(B)E(A)=E:(10.129)M rimeanotat :E=m0c2
q
1v2
c2(10.130)senume³teenergierelativist acorpuluicumasaderepausm0³ivitez dedeplasarev:Relaµia:E=mc2(10.131)estecunoscut subnumelederelaµialuiEinsteindintremas ³ienergie.Oric reivariaµiidemas îicorespundeovariaµiedeenergie³iinvers,oric reivariaµiideenergieîicorespundeovariaµiedemas .Vericareaacesteirelaµiideechivalenµ 13sefaceprintr-omultitudinedeexperimenteleînzicaparticulelorelementare.Deexemplu:reacµiidintreparticule³iantiparticule;încazulreacµieideanihilaredintreunelectron³iunpozitron14,aaµiecareînrepaus,rezult doifotoni\rcuenergiaec ruiaegal cum0c2:defectuldemas ;dac seadun maseleconstituenµilorunuinucleu³isecompar cuvaloaream surat amaseinucleuluiseconstat c aceastadinurm estemaimic .Diferenµaestereg sit subform deenergiedeleg tur anucleului,ceacareesteres-ponsabil destabilitateasistemului.Deexemplu,nucleuldeHe(formatdin2pro-tonicumaseleMp³i2neutronicumaseleMn)areE=M c2=3727;44MeViar2Mpc2+2Mnc2=3755;44MeV.DiferenµaE=28MeVreprezint energiadeleg tur anucleului.Încazuldeplas rilorcuvitezemultmaimicidecâtvitezaluminii,vc,relaµiasepoateaproximasubforma:E=mc2m0c21+1
2v2
c2+:::=m0c2+1
2mv2+:::(10.132)
13Deregul ,variaµiileenergieideterminateînmodpracticcorespundunorvariaµiifoartemicialemasei.Deexemplu,pentru20kilotonedetrinitrotoluen(TNT)dintr-obomb atomic ,variaµiadepistat amaseiconstituenµilorcareintr ³icarerezult dinreacµieestedecirca1gram.14Pozitronulesteantiparticulaelectronului.Antiparticulelesunt,îngeneral,particuleelementarecareaparînreacµiienergetice³iaupropriet µi(electrice,magnetice,etc.)denitedeosimetriespecic (înoglind ).Deobicei,particulele³iantiparticuleleapar³idisparînpereche.
240Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
Termenulm0c2senume³teenergierelativist derepausiar1
2mv2-energiecinetic corespun-z toarevitezeiv:Diferenµadintreenergiarelativist demi³care³ienergiaderepausdene³teenergiacinetic relativist :Ec=mc2m0c2:(10.133)10.6.2Leg turadintreenergie³iimpulsS introducemimpulsulp=mvînexpresiaenergieirelativiste:E=moc2
q
1v2
c2=moc2
q
1mv2
m2c2=moc2
q
1p2
m2c2:(10.134)Aranjândtermeniiînaceast relaµie,sepoatescrie:E21p2
m2c2=m2oc4)(10.135)E2E2p2
m2c2=m2oc4:(10.136)DeoareceE=mc2;(10.137)seobµinerelaµiadintreimpuls³ienergiesubforma:E2p2c2=m2oc4:(10.138)10.7UniversulMinkowskiTransform rileLorentzdescriuleg turadintremomentul³iloculdesf ³ur riioric ruife-nomen.Neputemimaginaununiversspaµiu-timp,cutreidimensiunidetipspaµial³iunadetiptemporalîncares reanaliz mfenomenelerelativiste.S a³ez mpeaxaorizontal spaµiul(încazultranslaµieide-alungulaxeiOxvomluadoarcoordonatacaresemodic ,x)iarpeaxavertical -cantitateact15.Oricepunctdinuniversulspaµiu-timpreprezint uneveniment.Totalitateapunctelorcaredescriuevoluµiaunuievenimentdene³teoliniedeunivers.ÎnFig.10.6suntilustratetipuridetraiectoriiîndiagramelespaµiu-timp:(1)pentruoparticul aat înrepaus,poziµiasa,x0r mâneneschimbat întimp,deciliniadeuniversestevertical ;(2)pentruomi³carerectilinie³iuniform viteza(reprezentat depantadreptei)esteconstant ,deaceealiniadeuniversesteodreapt înclinat ;(3)omi³careaccelerat arepantavariabil înecarepunct³icaurmaretraiectoriaesteocurb (deexemplu,încazuldefaµ ,mi³careaestelaînceputrapid ³iapoilent ).Liniadeuniverscorespunz toarepropag riiunuisemnalluminosestereprezentat dedreaptamarcat cuv=c.Eaesteorientat la450faµ deceledou axe.Distanµadintre
15Aceast combinaµiesealegedinconsiderentedeomogenitatealedimensiunilor.
10.7.UniversulMinkowski241
xctv=c(1)(2)(3)
Figura10.6:Tipuridetraiectoriiîndiagramaspaµiu-timp:(1)repaus;(2)mi³carerectilinie³iuniform ;(3)mi³careaccelerat dou evenimente:deexempluceldecoordonate(0;0)(produsînorigine)³iceldecoordonate(ct;x)estedat dem rimea:s2=x2c2t2:(10.139)Aceast distanµ senume³temetricaspaµiului.Eaesteinvariant latransfom rileLorentz,deoarece:c2t2x2=c2(t0+v
c2x0)2
1v2
c2(x0+vt0)2
1v2
c2=(10.140)=(ct0+v
cx0x0vt0)(ct0+v
cx0+x0+vt0)
1v2
c2(10.141)=t02(c2v2)x02(1v2
c2)
1v2
c2=(10.142)=c2t02+x02=s02:(10.143)Liniadeuniverscecorespundedeplas riioriginiiO0aunuisistemdereferinµ aatînmi³carecuvitezavfaµ desistemulx(adic axatemporal ct0)seg se³teimpunând,întransform rileLorentz,condiµia:x0=0)xv
ct=0:(10.144)Înmodsimilarseg se³teliniadeuniverscecorespundeaxeispaµiale(x0):ct0=0)ctv
cx=0:(10.145)Unghiuldeînclinare(1)dintreaxact0³iaxactestedeterminatdincondiµia:tg1=x
ct=v
c;(10.146)iarunghiuldeînclinare(2)dintreaxax0³iaxax(folosind(10.145))tg2=vx
cx=v
c:
242Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
xct
A
v=c


B’B’
x’ct’Figura10.7:Interpretareageometric atransform rilorLorentzCaurmare,ambeleaxe(x0),(ct0)suntrotitesubacela³iunghi2=1=;faµ deaxele(x;ct).Avândînvedereacesteobservaµii,transform rileLorentzpotinterpretate,dinpunctdevederegeometric,catrecereadelaunsistemdecoordonateortogonallaunsistemoblic,înclinatdeunghiuldatderelaµia(10.146).ÎnFig.10.7esteilustrat interpretareageometric atransform rilorLorentz.S reprezent mintervaleleunitates=s0=1:Datorit invarianµei,c2t02+x02=c2t2+x2=1,eledeneschiperboleechilaterecaretindasimptoricspreliniadeuniversaluminii(veziFig.10.6).ÎnFig.10.7acesteliniideuniverstaieaxax0înA'³iaxact0înB'.Caurmare,echivalentulsegmentuluiunitatespaµial OA=x=1dinsistemul(x;ct)esteOA'însistemul(x0;ct0).Înmodsimilar,echivalentulsegmentuluiunitatetemporal OB=ct=1dinsistemul(x;ct)esteOB'însistemul(x0;ct0).Dac observatorulestelegatdesistemul(x;ct),atuncivedesegmentulOA'caOA1;undeA1seobµineducândparalelalaaxatemporal ct0.Seobserv ocontracµieaacesteilungimi:OA'OA(lungimeproprieînsistemulînrepaus).Dac observatorulestelegatdesistemul(x0;ct0),atuncivedesegmentulOAcaOA01;undeA01seobµineducândparalelalaaxatemporal ct:“iînacestcaz,OA01OA'(lungimeproprieînsistemulînmi³care).Înmodanalogsepoatediscuta³ipeaxatemporal .A³adar,diagramelespaµiu-timp,numite³idiagrameMinkowskinepermitobservaµiiintui-tiveasupramoduluiîncaresemodic elementelecinematicealemi³c riiîndiferitesistemedereferinµ .Deoareceneputemimaginac peaxadistanµeloramputeareprezentatoateceletreidimensiuni,s2aresemnicaµiap tratuluiunuiintervaldenitîntr-unspaµiucu4-dimensiuni.Metricacaredene³teaceast distanµ estediferit deceadintr-unspaµiunormal,cutreidimensiuni(metricaeuclidian )prinfaptulc aparesemnulminusînfaµap tratuluiuneicomponente.Deaceea,geometriaunuiastfeldespaµiuesteunadiferit deceacucaresuntemobi³nuiµi.S consider mcâtevacazuriparticulare:1.evenimenteleseproducînacela³iloc(x=0)darlamomentediferitedetimp;Deoareces2=c2t20;sespunec evenimentelesuntseparateîntimp.Unastfeldeintervalse
10.7.UniversulMinkowski243
nume³teintervaltemporal.Invarianµacuadri-intervaluluiconducela:s02=c2t02+x020:(10.147)Caurmare,nuexist niciunsistemdereferinµ încareevenimenteles esimultane(t0=0)deoareces-arobµines02&#x-3.2;≦0(contradicµie!).Poate,îns ,existaunsistemdereferinµ încareevenimenteles seproduc înacela³iloc(x0=0)³iatunci:s02=c2t020:2.evenimenteleseproducînlocuridiferite,darlaacela³imomentdetimp(t=0);Deoareces2=x2&#x-3.2;≦0;sespunec evenimentelesuntseparateînspaµiu.Unastfeldeintervalsenume³teintervalspaµial.Invarianµacuadri-intervaluluiconducela:s02=c2t02+x02&#x-3.2;≦0:(10.148)Caurmare,nuexist niciunsistemdereferinµ încareevenimenteles seproduc înacela³iloc(x0=0)deoareces-arobµines020(contradicµie!).Poate,îns ,existaunsistemdereferinµ încareevenimenteles esimultane(t0=0)³iatunci:s02=x02&#x-3.2;≦0:3.evenimenteseproduccuvitezaluminii.Deoareces2=0;sespunec evenimentelesuntseparatedelimitareavitezeilavaloareamaxim cecorespundevitezeiluminii.c2t2=x2)c=x
t:(10.149)Puncteledincarepleac luminasuntseparatedepuncteleîncareajunge,princuadri-intervalenule.Aceast observaµieestedefaptorearmareapostulatuluiinvarianµeivitezeidepropagarealuminii.Regiuniledinuniversulspaµiu-timpdinvecin tateae-c ruievenimentseîmpartîntreiregiuni,separatededreptelev=c;orientatela450faµ deaxe.ÎnFig.10.8estereprezentatconulMinkowskidinvecin tateaoriginii.Deoarecetoatefenomeneleseproduccuvitezemaimicidecâtvitezaluminii,singurazon permis esteceadininteriorulconuluiluminos.Regiunea3esteinterzis ,deoarecestr batereaeiarnecesitapropagareacuvitezemaimaridecâtvitezaluminii!Zonadininteriorulconuluiseîmparteîndou regiuni,analizateînceleceurmeaz :Fieunevenimentsituatîntr-unpunctînspaµiulcorespunz torluix=0;situatînparteanegativ aaxeitemporale.Deoareceacestaseproducelaunmomentdetimpanteriorprezentului(consideratt=0),acestevenimentpoateinuenµadesf ³urareaevenimentuluidinorigine.Regiunea1corespundetrecutuluiabsolut.Fieunevenimentsituatîntr-unpunctînspaµiulcorespunz torluix=0;situatînparteapozitiv aaxeitemporale.Deoareceacestaseproducelaunmomentdetimpulteriorprezentului(consideratlat=0),acestevenimentpoateinuenµatdedesf ³urareaevenimentuluidinorigine.Regiunea2corespundeviitoruluiabsolut.
244Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
trecutFigura10.8:ConulMinkowskidinvecin tateaoriginii.Zon permis esteceadininteriorulconuluiluminos.10.7.1CuadrivectoridepoziµieDinexperienµanostr depân acum,³timc x;y;zreprezint celetreicomponentecar-tezienealeunuispaµiu3-dimensional.Dac maiad ug mocomponent ,dedimensiunect(numit component temporal ),m rimdimensiuneaspaµiuluila4.Înacestspaµiu,carenumaiesteunulintuitiv16,vomlucracuvectoricu4-dimensiuni,numiµi³icuadrivectori.Dincelediscutatepân acum,eisuntinvarianµilatransform rileLorentz.Vomnotacuadrivectoriiprinsimbolulxi;i=
1;4.Algebrapecareovomfolosiseam n înmarepartecucea³tiut ,doarc ,înacestcaz,metricaestedat derelaµia:s2=x2+y2+z2c2t2:(10.150)Pentrusimplicareascrierii,vomadoptaurm toareleconvenµiidenotaµii: =v
c;(10.151)\r=1
È
1 2:(10.152)Cuadrivectoruldepoziµiecorespundeunuivectorîndiagramaspaµiu-timpcareareorigineaînorigineasistemuluiiarvârfulînpunctulîncorespunz torevenimentuluistudiat.Caurmare,coordonatelecuadrivectoruluidepoziµiesunt:x1=x;x2=y;x3=z;x4=ct:(10.153)Leg turadintrecoordonatelecuadrivectoruluidepoziµiedintr-unsistemx³iunulcarese
16suntemprizonieriaispaµiului3D!
10.7.UniversulMinkowski245
depaseaz cuvitezaconstant vestedat detransform rileLorentz:x1=\r(x01+ x04);(10.154)x2=x02;(10.155)x3=x03;(10.156)x4=\r(x04+ x01);(10.157)Subform matricial sepoatescrie:xyzct=\r00 \r01000001 \r00\r‘‡x0y0z0ct0;(10.158)sau:xi=Aijx0j;i=
1;4:(10.159)undeAijestematriceatransform rii:Aij=\r00 \r01000001 \r00\r:Înmodevident,transformareainvers estedescris deecuaµiile:x01=\r(x1 x4);(10.160)x02=x2;(10.161)x03=x3;(10.162)x04=\r(x4 x1);(10.163)caresuntreprezentatematricialprin:x0y0z0ct0=\r00 \r01000001 \r00\r‘‡xyzct:(10.164)10.7.2CuadrivectorulintervalConsider mc oricemodicareacoordonatelorunuievenimentdinsistemulx(xi;i=
1;4)esteechivalent cuomodicareacoordonateicorespunz toarem surat însistemulmo-bil(x0i;i=
1;4).Acestlucruesterealizatprincalibrareaceasurilorînceledou sisteme17.Cuadrivectorulintervalcorespundedistanµeidintr-unspaµiucu4dimensiunidintredou eve-nimenteoarecare.Valoareainnitezimal aacestuia(încazulîncareevenimentelesuntfoartepuµindep rtateunuldealtul)este:ds2=dx2+dy2+dz2c2dt2:(10.165)
17Calibrareacorespundex riimomentelordetimpîncareunsemnal(deexemplulumina)str batedistanµeegalem suratede-alunguluneidrepte.
246Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
10.7.3Cuadrivectorulvitez Cuadrivectorulvitez estedenitcavariaµiacuadrivectoruluidepoziµieînunitateadetimppropriu18(d):ui=dxi
d;i=
1;4:(10.166)Deoarecedurataproprieesteceamaiscurt ,adic conformcu(10.69)d=dt
1u2
c2;(10.167)cuadrivectorulvitez devine:ui=1
q
1u2
c2dxi
dt:(10.168)Folosindnotaµia\ru=1
È
1u2
c2;sepoatescrie:u1=1
q
1u2
c2dx1
dt=\ruux;(10.169)u2=1
q
1u2
c2dx2
dt=\ruuy;(10.170)u3=1
q
1u2
c2dx3
dt=\ruuz;(10.171)u4=1
q
1u2
c2dx4
dt=\ruc;(10.172)unde(ux;uy;uz)suntcomponentelecartezieneobi³nuitealevectoruluivitez !u.Deci,cua-drivectorulvitez este:ui=(\ruux;\ruuy;\ruuz;\ruc);(10.173)sauui=\ru(!u;c):Deoarecetoµicuadrivectoriisuntinvarianµilatransform rileLorentz,sepoateg sidirectrelaµiadetransformareavitezeidintr-unsistemxînunulaatînmi³care.Folosindrelaµiile(10.160-10.163),seobµine:u01=\r(u1 u4)=\r\ru(uxv);(10.174)u02=u2=1
\ruuy;(10.175)u03=u3=1
\ruuz;(10.176)u04=\r(u4 u1)=\r\ru(cv
cux):(10.177)
18Reamintimfaptulc timpulpropriuestem suratcuunceasorniccaresedeplaseaz odat cucorpul,adic deobservatorulînraportcucarecorpulesteînrepaus.
10.7.UniversulMinkowski247
Pedealt parte,se³tiec :u04=dx04
d0=cdt0
dt0
1u02
c2=\r0uc:(10.178)Identicând(10.177)³i(10.178),g sim:\r\ru(cv
cux)=\r0uc;(10.179)\r\ru=\r0u
1v
c2ux:(10.180)Revenindîn(10.174)obµinem:u01=\r0u(uxv)
1v
c2ux:(10.181)Înlocuind³iexpresialuiu01:u01=dx01
d0=\r0udx0
dt0=\r0uu0x;(10.182)reg simrelaµiadetransformareacomponenteivitezeipeaxaOx:u0x=uxv
1v
c2ux;(10.183)³iînmodanalogpentrucelelaltecomponente.10.7.4CuadrivectorulacceleraµieCuadrivectorulacceleraµiesedene³tecavariaµiacuadrivectoruluivitez înraportcuin-tervaluldetimppropriu:ai=dui
d=\rudui
dt:(10.184)10.7.5Cuadrivectorulimpuls-energiePrindeniµie,cuadrivectorulimpulsesteprodusuldintremasaderepaus(deoarecesedene³teînsistemulfaµ decarecorpulesteînrepaus)³icuadrivectorulvitez :pi=m0ui=(m0\ru!u;m0\ruc):(10.185)Deoarecemasademi³careeste:m=m0\ru;(10.186)folosindexpresiaenergieirelativisteE=mc2;cuadrivectorulimpulssescrieca:pi=m!u;E
c=!p;E
c:(10.187)Seobserv c ceade-apatracomponent esteproporµional cuenergia.Dinacestmotiv,acestcuadrivectorsenume³tecuadrivectorimpuls-energie.
248Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
10.7.6Cuadrivectorulforµ -putereCuadrivectorulforµ sedene³tecaderivataînraportcutimpulpropriuacuadrivectoruluiimpuls:Fi=dpi
d=\rudpi
dt:(10.188)Avândînvederemodulîncareafostdenitimpulsul,seobµine:Fi=\rud~p
dt;cdm
dt:(10.189)Putereaestedenit calucrulmecanicefectuatînunitateadetimp:P=dL
dt=~Fd~r
dt=~F~u=md~u
dt+~udm
dt~u(10.190)Înlocuindderivataînraportcutimpulamasei:dm
dt=m0d
dt(\r)=m01
21u2
c23=22~u
c2d~u
dt(10.191)=(m0\r)~u
c2\r2d~u
dt=\r2
c2m~ud~u
dt;(10.192)seobµine:P=m1+\r2u2
c2~ud~u
dt=\r2m~ud~u
dt=c2dm
dt:(10.193)Caurmare,m rimeacomponenteiapatraacuadrivectoruluiforµ ,corespundeputeriimeca-nice.Easepoatescrieca:cdm
dt=P
c=~F~u
c:(10.194)Componentelecuadrivectoruluiforµ -puteresunt:Fi=\rud~p
dt;~F~u
c:(10.195)10.8Probleme1.Cumtrebuies sedeplasezeunetalondelungime(de1m)înraportcuunsistemx,pentrucadoiobservatorisituaµiînsistemeledereferinµ x,respectivcaresedeplaseaz cuvitezav;s m soareaceea³ivaloarealungimii?2.Obar delungimeproprieL0esteorientat subunghiul0faµ deaxaOx'asistemuluipropriu(faµ decareesteînrepaus).Ar taµic lungimeabarei,m surat într-unsistemdereferinµ caresedeplaseaz cuvitezavfa' deacesta,esteL=L0
1v2
c2cos2iarorientareafaµ deaxaOxasistemuluimobilestetg=tg0
È
1v2
c2:
10.8.Probleme249
3.Unmiuonaretimpulmediudeviaµ 0=2;2106s;dup caresedezintegreaz într-unelectron³idoineutrini.Careestedistanµamaxim pân lacaremaipoatedetectat?R spuns:d=v=v0
È
1v2
c2=660m.4.Onav spaµial sedeplaseaz cuvitezav=0,866c.Depenav setrimitspreP mântdou semnaleluminoase,launintervaldetimpt0=4s.Determinaµi:(a)careesteintervaluldetimpdup caresuntrecepµionatepeP mânt;(b)cedistanµ ,m surat depeP mânt,parcurgenavetaîntreceledou emisiidesemnal;(c)careesteenergiacinetic ,m surat depeP mânt,aunuicorpcumasam0=1Kgaatînrepauspenav .R spuns:(a)t=
1+v=c
1v=ct0=15s;(b)x=\rvt0=2;1109m;(c)Ec=(mm0)c2=91016J:5.Determinaµivitezavdedeplasareaunuiobservatorcem soar lungimeaproprielauneiriglecaind2=3l:R spuns:v=0;745c.6.Derivaµiexpresiavectoruluiacceleraµie.R spuns:ai=\ru(\ru~a+_\ru~u;_\ruc)unde~a=d~u=dt;_\ru=u_u=c2
(1u2=c2)3=2:7.Vlad³iDrago³suntdoifraµigemeni.Drago³pleac peoplanet îndep rtat iarVladr mînepeP mânt.PentruVlad,Drago³seîndep rteaz ,astfelc penavet timpulsedilat .Dar³ipentruDragos,Vladseîndep rteaz ,astfelc ³ielconsider c timpultrecemaigreupeP mânt.Fiecaredintrefraµicredec ,laîntoarcere,cel laltvamaitân r.Explicaµiacestparadox,cunoscutcaparadoxulgemenilor,pebazadiagrameispaµiu-timp.Caredinfraµivamaitân r?8.Reprezentaµidiagramaspaµiu-timp(ct;x)pentruunobservatorx³iapoireprezentaµi:(a)liniadeuniverspentruuncorpînrepaus,situatînpunctulx=1m;(b)liniadeuniversauneiparticulecarepleac lamomentult=0dinpunctulx=0.5m³isedeplaseaz cuvitezav=0.5c;(c)diagrama(ct0;x0)corespunz toareunuiobservatorcaresedeplaseaz cuvitezav=0.5cfaµ deobservatorulx³iac ruioriginecoincidecuaacestuia;(d)loculgeometricalevenimenteloraateladistanµas2=-1m2faµ deorigine;(e)loculgeometricalevenimenteloraateladistanµas2=1m2faµ deorigine;(f)calibraµicoordonateletemporale(ct0)corespunz toareec ruiintervaldelungime(x0);(g)loculgeometricalevenimenteloraateladistanµas2=0faµ deorigine;(h)loculgeometricalevenimentelordinspaµiul(ct;x)careseproducsimultancuceldelamomentulct=2m;(i)loculgeometricalevenimentelordinspaµiul(ct0;x0)careseproducsimultancuceldelamomentulct0=2m;
250Capitolul10.Noµiuniderelativitaterestrâns 
(j)evenimentelecareseproduclat0=0;x0=0:5m;(k)loculgeometricalevenimentelorcareseproducînpunctulx0=1m;(l)liniadeuniversaunuifotonemisînlat0=0înpunctulx=0,c l tore³teîndirecµiaaxeiOxnegative,estereectatdeooglind situat lax0=1m³iapoiesteabsorbitdeundetector(m)localizatînpunctulx=0:75m:
Capitolul11
Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasicVomîncheiaanalizacapitolelorselecµionatedinmecanicazic trecândînrevist câtevasubiecteconsiderateactualmentedemareinteres,atâtînmecanic ,dar³iînzic ,maigene-ral.Uneori-surprinz torlaprimavedere-astfeldefenomeneaparîndiversealtedomeniiale³tiinµelornaturiisauchiarînafaraacestora.Estevorbadedinamicaneliniar ³iteoriahaosului.Acestedomeniidemareintersînzilelenoastreintroduc³idezvolt oseriedecon-cepteteoreticenoi-instrumentecucareseanalizeaz fenomenedicildeexplicatîncontextulmecaniciiclasice.Fenomenelehaoticeîntâlniteîncelemaidiversesistemezice,cumaruniioscilatorimecanici,circuiteelectrice,uide,sistemeopticeneliniare,reacµiichimice,fenomenedinlumeaviului,paraaveaaspectesimilareînprivinµacomplexit µilor.Acesteaspectepotdescriseprinecuaµii³im rimisimilare.11.1Neliniaritate³isensibilitatelacondiµiileiniµialeÎnc delasfâr³itulsecoluluialXIX-lea,HenryPoincaré,consideratp rinteledinamiciineliniare,asubliniatfaptulc turbulenµele³icomportareaneliniar ,observatedeexempluîncurgereauidelor1,suntdefaptcaracteristiciinerentesistemelorîncareseproducinteracµiunineliniare.Maimultdecâtatât,elademonstratc ,chiar³iîncazulsistemelorsimple2,cupuµinegradedelibertate,darcareincludneliniarit µi3,sepoateconstataoevoluµiecomplicat ³icare,întimp,devineimprevizibil .A³adar,unuldiningredientelehaosuluiesteneliniaritatea.S nereamintimcâtevanoµiunilegatedeneliniaritateînalgebra³igeometrie.Unsistemesteneliniardac estedescrisdeecuaµiineliniare,cualtecuvintedac variabileledinamicecedescriupropriet µilesistemului(coordonatele,viteza,presiuneaetc.)aparînecuaµiisubformaunortemenineliniari.Ofuncµieesteliniar dac areproprietatea:f(x+y)=f(x)+f(y)f(ax)=af(x);8(x;y;a)�0:
1Astfeldesistemesuntnumitespaµio-temporale,inddescrisedeecuaµiicuderivateparµialeînraportcuspaµiul³icutimpul.2sistemedescrisedoardeodinamic temporal .3cumardeexempluproblemacelortreicorpuri.251
252Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Încazulunuisistemdeecuaµii,liniaritateimplic :L(a+b )=aL()+bL( ):undea,bsuntdou constanteoarecare,iar³i -dou funcµiioarecare.Înpractic ,ofuncµiecomplex poatedescompus încombinaµiiliniaredep rµisimple,urmândcaecareparteerezolvat separat,înnal,recombinareap rµilorconducândlasoluµiacomplet .Peastfeldemetodesebazeaz descompunereaînserieFourier,înmodurinormale,saualtecombinaµiiliniare.Acesteconsiderenteî³ipierdvalabilitateaîncazulsistemelorneliniare.Unuldintrecelemaiimportanteprincipiisimplicatoareutilizatîndinamicaliniar ³ianumeprincipiulsuperpoziµieinumaiestevalabil.Dinpunctdevederezic,principiulsuperpoziµieinepermites explic mpropagareain-dependent aundelorelectromagneticesauacelorelastice,f r perturbarereciproc .To-tu³i,aplicareaprincipiuluisuperpoziµieinupermiterezolvareaoric reiproblemededinamic liniar 4,principiulînsineavânddoarvaloaremetodologic ,elsugerânddescompunereaîntre-guluiînp rµisimple.Înmodevident,lumeazic real estepreponderentneliniar ,deciarenunµa,înunelesituaµiicedescriufenomenedinlumeareal laprincipiulsuperpoziµieiesteînîntregimejus-ticat.Liniaritateasereg se³teîncazulobiecteledinspaµiuleuclidian:linii,plane,obiecte3-dimensionale,careî³ip streaz dimensiunileoricumle-amm sura.Dincontr ,unobiectneliniararat diferit,înfuncµiedescaralacareîlprivim.Deexemplu,osfer privit foartedeaproapepareaunplan,întimpcedac oprivimdefoartedeparte,eapareaunpunct.A³acumvomvedeaîncontinuare,odinamic detiphaoticpresupunenudoaruncaracterneliniar,cieatrebuies eînsoµit deocaracteristic esenµial -sensibilitatealacondiµiileiniµiale.Dac pentrusistemelepredictibile,nehaotice,omic perturbareast riiiniµialeasistemuluidetermin omic modicareast riisalenale5,încazulsistemelorhaotice,miciperturb riconduclast ridivergente³inepredictibile6.Divergenµatraiectoriilorvecinedindiagrameledinspaµiulconguraµiiloresteoamprent ahaosului³ipermiteindividualizareaacestuiaînrelaµiacualtcomportamentimpredictibil,cumestecelprezentînprezenµaunuizgomotextern.Însistemeleneliniareaparea³anumit ruperespontan desimetriesau-exprimatfolo-sinduntermenmaiadecvat-înc lcarespontan asimetriei.Dac pentrusistemeleliniareecuaµiiledemi³caresuntinvariantelaotranslaµieatimpului7,pentrusistemeleneliniare,dinmomentulîncareeleaudevenithaotice,î³ipierdbruscpropriet µiledeinvarianµ ,iarevoluµialordevinedependent detimp.Esteimportants subliniemfaptulc uncomportamentimpredictibilpoates apar însistemedescrisedeecuaµiideterministe,pentrucareecuaµiademi³careasociat cucondiµiileiniµialepermite,înprincipiu,determinareaevoluµieisistemuluilaoricemomentdetimp.Acesttipdehaosestecunoscutsubnumeledehaosdeterminist.
4Integrareaunorecuaµiiliniarepoatecomplicatefoartemultdecondiµiilelalimit .5Distanµadintreceledou st riapropiateînspaµiulconguraµiilorr mâneapropiat ,înacordcuteoremaLiouvilledeconservareavolumuluidinspaµiulfazelor6Efectuldivergenµeiadou traiectoriivecineafostexprimatmetaforicdeE.N.Lorentz(1972)caposibili-tateacaob taiadearipialeunuiuturedinBrazilias determineotornad înTexas.7Adic ecuaµiiledemi³care³icondiµiileexterioarer mânacelea³ilat³ilat+pentruoricare;schimbându-sedoardac semodic condiµiileexterioare
11.2.Sistemedinamice253
Vomîncerca,înaceast introducereînteoriasistemelorneliniare³iahaosuluis prezent mexempledesisteme³ideneliniarit µicarepots conduc lacomportamenthaotic,modulcumpoatecontrolat dinamicalor,precum³icâtevam rimicecaracterizeaz aceast dinamic .11.2SistemedinamiceS consider munsistemdescrislamomentuldetimptdeunsetdevariabiledestarexi;i=
1;nnumitevariabiledestare.Spaµiultuturorvariabilelorfx1;x2;:::;xngestenumitspaµiulst rilorsauspaµiulfazelor8.Nevomreferi,înceleceurmeaz doarlasistemelenite,descrisedefuncµiideevoluµiecucaractercontinuu.Dac sistemulareocomportaredeterminist ,evoluµiasaestedeterminat înmodunivocdeunsetdeecuaµiidemi³caredeforma:dxi
dt=fi(x1;x2;:::;xn;t;1;2;:::;c);(11.1)undefieste,îngeneral,ofuncµieneliniar decoordonatelefxig;i=
1;n;detimp9³ideunsetdeparametrij;j=
1;c:Dac sistemulestedescrisdeecuaµiidiferenµialedeordinsuperior,deexempludeordinN,seintroduceunnousetdevariabile,deexemplu:y=_x.PrinaceastasereduceordinulecuaµieidiferenµialelaN1,iarmetodapoatecontinuaprinintroducereadenoivariabilepân seajungelaoecuaµiediferenµial ordinar A³adar,prinintroducereadenoivariabile,oecuaµiediferenµial deordinNsepoatescriesubformaacuNecuaµiidiferenµialedeordinulîntâi.Relaµia(11.1)sepoatescriesubformavectorial :d~x
dt=~f(fxig;t;fjg);i=
1;n;j=
1;c;(11.2)unde~x=~x(x1;x2;:::;xn)³i~f(f1;f2;:::;fn)suntvectoridedimensiunen.Parametriij;j=
1;c,numiµiparametridecontrol,suntconstantexatelaanumitevalori.Atuncicândacesteasuntschimbate,eleproducmodic rialecaracteruluidinamiciisistemului.Parametriidecontrolsuntm rimicedescriucaracteristiciintrinsecialesistemului,cumar:coecienµidevâscozitate,frecvenµeproprii,amplitudineasaufrecvenµaunorperturbaµiiexterioareimpusesistemuluietc.Dac funcµia~fdepindeexplicitdetimp,a;acumestesistemuldescrisdeec.(11.1)acestaestenumitneautonom.Deexemplu,într-unsistemmecanic,~fpoateoforµaexterioar periodic ,a³acumestecazuloscilatoruluiînregimforµat.Dac funcµia~fnudepindeexplicitdetimp,sistemulestedenumitautonom.Înacestcaz,ecuaµiademi³careestedeforma:d~x
dt=~f(fxi(t)g;fjg);i=
1;n;j=
1;c:
8Evidentc ,încazuln=2,acestspaµiuestereprezentatdeunplan.9Pentrusistemeledinamicecontinue,timpulesteovariabil real ,continu .Înunelemodele,elestediscretizat:t=tk=k;k2Z+:Acestesistemesenumescsistemedinamicediscretesauh rµiiterative.Maiexist ³iatreiaposibilitatedesistemedinamice,pentrucare³ist rile³itimpulsuntdiscretizate;acesteasenumescautomatecelulare.
254Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Trecereadelaunsistemneautonomlaunulautonomsepoatefaceprinintroducereauneivariabilesuplimentare,xn+1ac reiderivat întimps eunitar :dxn+1
dt=1:(11.3)Înacestcaz,ceadea(n+1)avariabil estexn+1=t(considerândcondiµiainiµial xn+1(0)=0).Caurmare,variabilatimppoateeliminat dinposturadevariabil explicit prinintroducereauneivariabilesuplimentare,xn+1;carem re³tedimensiuneasistemuluicuounitate.Acest"truc"matematicnepermites trat m³isistemeleneautonomeîntr-omanier similar celeifolositepentruceleautonome.Cunoscândcondiµiileiniµiale,xi(0)=xi0;ecuaµia(11.1)permitedeterminareaevoluµieisistemuluilaoricaremomentdetimpt:Evoluµast rilordinspaµiulfazelorestedescris deotraiectoriesauorbit .Eaestecurbatangent înecarepunctlavectorul~f;laoricemomentdetimp,pentruunsetxatdecondiµiiiniµiale10.Mulµimeatraiectoriilordinspaµiulfazelorconstituieceeacesenume³teportretulfazic.Conformteoremeifundamental deexistenµ ³iunicitateasoluµiilorecuaµiilordiferenµiale(11.1),traiectoriilesuntunice³inusuntposibileintersecµiisauautointersecµiialeniciuneiorbite.Celemaimulteecuaµiidetip(11.1)nupotrezolvateanalitic11³ideaceeasinguraalternativ esterezolvarealornumeric .Odat cucre³tereadimensiuniisistemului,cre³te³icomplexitateaacestuia.Apareatunciîntrebarea:câtdemic poatevaloarealuinastfelîncâtsistemuls aib traiectoriihaotice?R spunsuleste:minimtrei.Exempleleconsiderateînacestcapitolsuntalesedintrecelemaisimpleîna³afelîncâts eaccesibil rezolvareanumeric peoricetipdecalculatorpersonal.11.2.1Sistemedisipative³iatractoriTraiectoriiledinspaµiulfazelorseam n culiniiledecurentaleunuiuidînmi³care,deaceeadistribuµialorînspaµiupoateoferiinformaµiiasuprapropriet µilorsistemului.S urm -rim,deexemplu,ceeaceseîntâmpl întimp,culiniiledecurentdintr-unvolumelementar.Dindeniµiaoperatoruluidivergenµ ,se³tiec acestaesteproporµionalcuuxuldeliniicaretraverseaz suprafaµaceînchidevolumuldat,pentruunvolum-surs innitezimal.Dac nu-m ruldeliniicareintr învolumuldatestediferitdenum ruldeliniicareiesdinacesta,atuncidivergenµaestenenul .Spunemc sistemelesuntdisipativedac ,oriundeînspaµiulfazelor:div~f0:(11.4)Cualtecuvinte,relaµia(11.4)poateînµeleas caocontracµieavolumuluidinspaµiulfa-zelor.Dup cumamdiscutatînCapitolulIalacestuimanual,sistemelehamiltonieneî³ip streaz volumulconstantînspaµiulfazelor.Spunemc astfeldesisteme(hamiltoniene)suntconservative,adic :div~f=0:(11.5)
10Pentruoînµelegerecâtmaicomplet aunuisistemdinamicnuestesucient analizatraiectoriilorindivi-dualeciestenecesar analizaansambluluigeneratpentrumaimultecondiµiiiniµiale.11ÎnAnexaBdinvolumulIsuntprezentatemodalit µiderezolvareanalitic aunorecuaµiidiferenµialeordinaretipice.
11.2.Sistemedinamice255
Figura11.1:Unexempludeatractor,împreun cubazinuls u,într-unspaµiutridimensionalalfazelor.Încazulsistemelordisipative,traiectoriileînspaµiulfazelorsuntputernicdivergente,însensulc ,dup unintervaloarecaredetimp,sistemulpractic"uit "st rileiniµialedincareapornit,iarst rilenalesevorlocalizaînanumiteregiuninite(puncte,curbe,sauvolumegeometrice).Pentruacestesisteme12sedene³tenoµiuneadeatractor.Atractoriireprezint seturidepunctedinspaµiulst rilorsprecareconvergtraiectoriile.Setuldecondiµiiiniµialecareconductraiectoriilespreunanumitatractorsenume³tebazindeatracµiealacestuia(Fig.11.1).Încazulîncareexist maimulµiatractori,bazinelelordeatracµiesuntseparatedeni³telimitenumiteseparatoare.Deniµiamatematic exact aatractorilornuestedelocsimpl ³inuestescopulacesteiprezent ri.Ceeaceneintereseaz maimultsuntrezultatelelegatedetipuldeatractori³irecuno³tereaacestora.Ceimaiimportanµiatractoriîndinamicaneliniar haotic sunt:atractorihaotici-structurifoartecomplicatef r niciunfeldesimetriececorespundunormi³c rihaotice,³iaupropriet µigeometriceneobi³nuite;atractoristranii-formegeometricedetipfractal,caracterizatedestructurirepetitivelaoricescar .Atractoriideformaunorpunctexesaucurbeînchise(tipciclulimit )suntcaracteristiciunordinamicipredictibile³iaparîncondiµiidestaµionaritate³iperiodicitate.
12Sistemeleconservativenuposed bazinedeatracµie.
256Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
11.3Echilibru³istabilitateSistemuldeecuaµii(11.1)conµineecuaµiidiferenµialedeordinulîntâi.Principalulmotivalalegeriiacestuitipdeecuaµiiesteg sireacâtmaisimpl asoluµiilorfxi0gpentrucarederivateleîntimpalest rilorseanuleaz :dxi
dt=0)fi(fxig;fjg)=0:(11.6)Soluµiilestaµionarealesistemuluideecuaµiialgebricecuplate(B.58)senumescpunctexe,punctecriticesaupunctesingulare.Elesea caintersecµiialenulclinelor(locurilegeometricefi(fxig;fjg)=0.Celmaisimpl evoluµieîntimpaunuisistemesteaceeaîncareeltindespreostarestaµionar deechilibru:xi(t)=xi0=const:(11.7)Esteinteresants a mdac ,înevoluµiasa,sistemulatingeefectivoastfeldestare.Sprecaredintrest risevaîndreptasistemul,încazulîncareexist maimultest ristaµionare?Înplus,odat atinse,suntacestest risuntstabile?R spunsurilelaacesteîntreb risea folosinda³a-numitelemetodedeliniarizareaecuaµiilor(11.1).Pentruaceasta,seconsider omic deplasareifaµ deunpunctcriticxi0:i(t)=xi(t)xi0:(11.8)S consider mc parametriidecontrolsuntxaµi.Admiµândc fsepoatedezvoltaînserieTaylorînjurulsoluµieistaµionare³iluândînconsideraredoartermeniideordinîntâidinaceast dezvolt rii,avem:fi(xi0+i)=fi(xi0)[email protected]
@xkfxi0gk+:::(11.9)Ecuaµia(11.1)devine,înacestcontext:di
dt[email protected]
@xkfxi0gk;(11.10)sau:di
dt=nk=1Mikk;(11.11)încare:[email protected]
@xkfxi0g:(11.12)Înacestfel,amreformulatoproblem deanaliz astabilit µiiunuisistemneliniar(11.2),transformând-oînanalizastabilit µiiunuisistemliniar:d~
dt=M~;(11.13)
11.3.Echilibru³istabilitate257
undeMesteJacobianultransform riiluifînraportcuvariabilelevectoruluin-dimensional~x=~x(fxig);i=
1;nînvecin tateast riideechilibru~x0=~x0(fxi0g;i=
1;n:Dac perturbaµiavariaz întimpdup olegedeforma:~(t)=~uet;(11.14)atunciec.(11.13)devine(dup simplicareatermenuluinenulet):M~u=~u(11.15)sau:Mikuk=ui:(11.16)Sistemul(11.16)alcelornecuaµiiestecompatibildeterminatdac ³inumaidac determinantulestenul,adic :det(Mikik)=0;(11.17)undeikestesimbolulKronecker.Ecuaµia(11.17)estecunoscut subnumeledeecuaµiesecular .Prinrezolvareaacesteiecuaµii,reprezentatedeanulareaunuipolinomdegradnîn;putemg sivalorileproprii(realesaucomplexe)asociatevectorilorproprii~u:Soluµiasistemuluiliniarizatpoatescris casuperpoziµia:(t)=ni=1cieit~u;(11.18)undeconstantelecnsedetermin dincondiµiileiniµiale.Întermenimatematici,starea~x0esteasimptoticstabil dac valorilepropriiialeecuaµieiseculare(11.17)auparteareal negativ .Doarînacestcaz,dup cumseobserv revenindînsoluµia(11.14),distanµafaµ depunctulcriticdeechilibruscadeexponenµialîntimp,iarsistemulperturbatajungedinnouînaceast stare.Dincontr ,dac celpuµinunadinvalorilepropriialematriceijacobieneauvaloarepozitiv ,atunci~x0esteunpunctxinstabil.Noµiuneadestabilitatesepoateînµelegemaibinecuajutoruldeniµiiilorurm toare.S not mprinU"³iprinU(")dou regiuniceînconjoar stareastaµionar ~x0.Sepotadoptaurm toareledeniµii:~x0estestabil însensLyapunov,dac pentruoricevecin tateU"alui~x0exist oaalt vecin tateU("),astfelîncâtoricetraiectorieceiesedininteriorulluiU(")nuvap r siniciodat U".~x0esteinstabil dac nuexist oastfeldevecin tateU(");~x0esteasimptoticstabil ,dac ,pelâng condiµiadestabilitate,oricetraiectorieceiesedininteriorulluiU(")tindespre~x0atuncicândt!1.Reprezentareageometric astabilit µii,într-unspaµiualfazelortridimensional,estear tat înFig.11.2.Transferuldeanaliz astabilit µiiunuisistemneliniarlaanalizastabilit µiisistemuluiliniariazatasigur corespondenµaconcluziilorobµinute.Astfel,Hartman³iGrobman[]de-monstreaz oteorem carearm c :
258Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Figura11.2:Reprezentareageometric astabilit µii,într-unspaµiutridimensionalalfazelor.dac soluµiasistemuluiliniarizatesteasimptoticstabil 13atunci³isoluµiastaµionar aasistemuluineliniaresteasimptoticstabil .dac soluµiasistemuluiliniarizatesteinstabil atunci³isoluµiastaµionar aasistemuluineliniaresteasimptoticinstabil .Sistemelordisipative,carenecesit existenµaunoruxuripentruasemenµine,cualtecuvinte,sistemedeschise,aateînpermanent relaµiedeschimbenergeticsaudemateriecumediulexterior,lecorespunde,înmodevident,stabilitateaasimptotic .Înacestesituaµii,stareasprecaretindesistemulesteunatractor.Dac sistemuldinamicprezint maimulµiatractori,atunci,ecaredintreace³tiaî³iarepropriulbazindeatracµie,careestereprezentatdesetuliniµialdepunctececonduclast rinalesituatepeatractoriirespectivi.11.3.1Analizaliniar destabilitateasistemelorbidimensionaleS exemplic manalizageneral anterioar încazulunuisistemcudimensiunean=2:Atunciecuaµiile11.1devin:_x1=f1(x1;x2);(11.19)_x2=f2(x1;x2):(11.20)Punctelexe(x10;x20)sedetermin dincondiµiile:f1(x10;x20)=0;(11.21)f2(x10;x20)=0:(11.22)
13Pentrusoluµiidoarstabilealesistemuluiliniarnusepoateprecizatipuldestabilitatealsoluµieisistemuluineliniar.
11.3.Echilibru³istabilitate259
Matriceajacobian arepatruelemente,iarecuaµiasecular sedetermin dincondiµia:M11M12M21M22=0;(11.23)dincarerezult :2(M11+M22)+M11M22M12M21=0:(11.24)DeoarecetrasamatriceiM³ideterminantulaparînmoddirectînaceast relaµie,adic :TrM=M11+M22;(11.25)detM=M11M22M12M21;(11.26)iar,ecuaµiasecular devine:2TrM+detM=0:(11.27)iarceledou soluµiisuntdatederelaµia:1;2=1
2TrM
(TrM)24detM:(11.28)Not m=(TrM)24detM:Valorile³isemnulvalorilorproprii1;2depinddevalorilem ri-milorTrM³idetM:Sepotîntâlniurm toarelesituaµiireprezentateîndiagramadestabilitate=0dinFig.11.3.1.�0,(TrM)2�4detM�0³iTrM�0)1;2reale³ipozitive;nodinstabil2.�0,(TrM)2�4detM�0³iTrM0)1;2reale³inegative;nodstabil3.&#x-3.2;≦0,(TrM)2&#x-3.2;≦4detM&#x-3.2;≦0)1;2reale³idistinctecasemn;³ainstabil 4.0,(TrM)24detM³iTrM&#x-3.2;≦0)1=2complexconjugatecuparteareal pozitiv ;focarinstabil5.0,(TrM)24detM³iTrM0)1=2complexconjugatecuparteareal negativ ;focarstabil6.0,(TrM)24detM³iTrM=0)1=2complexconjugatecuparteareal nul ;Zonadestabilitateesteîncadrat încadranulIVha³uratînFig.11.3.Soluµia(11.18)descriemodulîncareseîndep rteaz sauseapropieotraiectoriileînvecin tateast rilorstaµionare³ipermite,totodat ,identicareaformeiacesteia.Eadevine:~(t)=c1e1t~u1+c2e2t~u2(11.29)undevectorii~u1seconsider normalizaµi14.
14Ace³tianutrebuies eneap ratortogonali.
260Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Figura11.3:Diagramadestabilitate.
11.3.Echilibru³istabilitate261
Curbareatraiectoriilorestedeterminat devalorilediferitealelui1³i2:Curbelesuntparabolecutangent comun înorigine.Elesuntparcurseînsensuldeîndep rtaredestareastaµionar încazul(1)-nodinstabil³iînsensdeapropiereîncazul(2)-nodstabil.Pentrucazul(3),untermendinsoluµia(11.29,deexempluc1e1t)scadeexponenµial,iarcel laltcre³te,astfelîncâttraiectoriiledevinhiperbole,iarpunctuldeechilibru-detip³a.Pentrucazulvalorilorpropriicomplexe,puncteledeechilibrudetipnodsetransform înpunctedetipfocarinstabilîncazul(4)³ifocarstabilîncazul(5).Aceast comportaresepoateg sifolosindnumerecomplexe:1=r+ii;2=rii,2=1(11.30)~u1=~ur+i~ui;~u2=~uri~ui,~u2=~u1(11.31)careconduceînnaltransformarealui(11.29)în:~(t)=c1e1t~u1+c1e1t~u1(11.32)=2ertRe(c1eit~u1);(11.33)undec1=c2:S-aobµinutecuaµiaunuivectorrotitorcuamplitudineadependentedetimp,adic traiectoriideformaunorelipsecurazeleexponenµialcresc toareîncazul(4)sauexpo-nenµialdescresc toareîncazul(5).Încazul(6)seobµintraiectoriiperiodicedeformaunorelipseconcentrice.Punctuldeechilibruestestabildeoarecemiciledevierinusuntamplicate.Acestaîns nuesteasimp-toticstabil,deoarecetraiectoriilenuconvergînsprepunctuldeechilibru.Prinurmare,elnureprezint unatractor.AcestetipuridistinctedetraiectoriisuntreprezentateîndiagramadestabilitatedinFig.11.3,undevizualizareatraiectoriilors-arealizat³ifolosindreprezentareavectorial acâmpurilor.Exemplu:S consider munsistemdisipativconstituitdintr-unoscilatorneliniar(vezi3.9.1volI)caresemi³c cufrecarevâscoas .Ecuaµiadiferenµial ami³c riieste:x+ _x+ x+\rx3=0;(11.34)undeconstanta estepozitiv .Ecuaµiaprecedent poatescris subformaunuisistemdedou ecuaµiidiferenµialeordinarecuplate:_x=y;(11.35)_y= y x\rx3;(11.36)încare~x=(x;_x)=(x;y)iar~f=(f1;f2)=(y; y x\rx3):Punctelecriticesuntdeterminatedecondiµiile:y=0;(11.37) y x\rx3=0;(11.38)
262Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
ceeaceînsemn c :x( \rx2)=0:(11.39)Caurmare,înafar de~x(1)0=(0;0)maisunt,deasemenea,posibile³isoluµiilestaµionare:~x(2)0=(

\r;0);(11.40)~x(3)0=(

\r;0):(11.41)deci,întotalsistemularetreist ricritice.S analiz mstabilitatealiniar aacestorst rifolosindconcluziileanterioare,legatederelaµiiledintreTrM³idetM.Jacobianuleste:[email protected][email protected]@[email protected]@[email protected]@[email protected]=01 3\rx2 :(11.42)Deci:TrM= ;(11.43)detM= +3\rx2;Învecin tateapunctelorstaµionare,acestevaloridevin:~x(1)0=(0;0):TrM= ;(11.44)detM= ;(11.45)ceeaceînsemn (deoarece �0)c soluµiilepot:a.nodstabildac 04 2;b.punctspiraldac 4 &#x-278;&#x.223; 2c.³adac  0:~x(2)0=(

\r;0)³i~x(3)0=(

\r;0):TrM= ;(11.46)detM=4 ;(11.47)ceeaceînsemn (deoarece �0)c soluµiilepot:a.nodstabildac  2�16 :b.punctspiraldac 04 2c.³adac  0:Dup cumseobserv sistemularetreisoluµiistabile.Pentru\r&#x-3.2;≦0stareastaµionar sebifurc îndou noisoluµiistabile.
11.4.Ciclurilimit 263
11.4Ciclurilimit Exist situaµiiîncareevoluµiapetermenlungaunuisistemconvergec treocurb în-chis .Aceast curb închis esteunatractor,numitciclulimit ,dac atuncicândt!1,traiectoriilesauseapropieasimptotic,respectivseîndep rteaz deea.Ciclurilelimit suntcaracteristicefenomenelorperiodice.Poincaré³iBendixson[]audemonstratoteorem princarearm c ,pentrusistemelebidimensionale,încazulîncareexist regiuninitedincaretraiectoriilepornesc³iseîntorc15exist dou posibilit µipentrucomportareapetermenlung(t!1):1.traiectoriiles seapropiedeunpunctx;2.traiectoriiles seapropiedeunciclulimit .Însituaµiaîncareciclurilelimit exist ³isepoateidenticauninterior³iunexterioralacestora,niciotraiectoriiledininteriornupoatetraversaaceast curb închis ,dup cumniciotraiectoriesituat înexteriornupoateintersectacurbapentruap trundeîninterior.Aceast proprietateestedatorat faptuluic traiectoriiledinspaµiulfazelornusepotintersecta.S lu m,spreexemplu,cazulunuioscilatorarmoniccaresemi³c înprezenµauneiforµedefrecareproporµional cup tratulvitezei.Ecuaµiadiferenµial ami³c rii16este:x+f(x)_x+!20x=0;(11.48)undef(x)esteofuncµiecaredescrieexpresiaforµeidefrecare,iar!0estepulsaµiaproprie.S consider muncoecientdeneliniaritate(0).S analiz murm toarelesituaµii:1.=0:Ecuaµia(11.48)devine:x+!20x=0;(11.49)³icoincidecuecuaµiaunuioscilatorliniararmonicliber.Soluµiaesteooscilaµieperiodic descris de:x(t)=Acos(!0t+');(11.50)constanteleavândsemnicaµiaamplitudiniiA³iafazeiiniµial 'inddeterminate,dinnou,dincondiµiileiniµiale.Soluµiaîndomeniultimp³iînspaµiulfazelorpentruoscilatorulliber,esteilustrat înFig.11.4.2.=2�0³if(x)=x;ecuaµia(11.48)devine:x+2_x+!20x=0;(11.51)³icoincidecuecuaµiaunuioscilatorliberamortizat.Soluµia17esteooscilaµieperio-dic cu!=
!202;amortizat întimpcutimpulderelaxare=1=,descris de:x(t)=Aetcos(!t+');(11.52)constanteledeamplitudineA³idefaz iniµial 'inddeterminatedincondiµiileiniµiale.
15seturiinvarianteînspaµiulfazelor16veziparagraful3.9dinvol.117veziparagraful3.6dinvol.1
264Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
0
10
20
30
40
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x,yDomeniul timpt
-4
-2
0
2
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ySpatíul fazelorx
Figura11.4:Soluµiaîndomeniultimp³iînspaµiulfazelorpentruoscilatorulliber
0
10
20
30
40
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x,yDomeniul timpt
-4
-2
0
2
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
ySpatíul fazelorx
Figura11.5:Soluµiaîndomeniultimp³iînspaµiulfazelorpentruoscilatorulamortizat
11.5.Reprezent ri(secµiuni)Poincaré265
0
50
100
150
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x,yDomeniul timpt
-4
-2
0
2
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
ySpatíul fazelorxep=0.1
Figura11.6:Soluµiaîndomeniultimp³iînspaµiulfazelorpentruoscilatorulvanderPol,pentruovaloare=0.1Soluµiaîndomeniultimp³iînspaµiulfazelorpentruoscilatorulamortizatesteilustrat înFig.11.5.3.=2�0³if(x)=(x2x20).Ecuaµia(11.48)devine:x+(x2x20)_x+!20x=0:(11.53)S facemschimbareadevariabil x0=x=x0;s consider mx20=0³i,pentrusimplitate,!0=1:Revenindlaecuaµie,dup renunµarealaindiceleprim,seobµineformastandardaecuaµieistudiateîn1926devanderPol.x+(x21)_x+x=0:(11.54)Ecuaµia(11.54)poatescris subformaunuisistemdedou ecuaµiidiferenµialeliniare:_x=y(11.55)_y=(x21)yx(11.56)ÎnFig.11.6,11.7³i11.8suntilustraterezultatulrezolv rilornumericepentrudiferitevalorialeparametruluidecontrol(0:1;1;5):Aici,cucre³tereaneliniarit µii,traiectoriasistemuluiînspaµiulfazelor(x;y)detipciclulimit ,î³ischimb forma.11.5Reprezent ri(secµiuni)PoincaréOdat demonstrat posibilitateacaunsistems posedeunciclulimit apareîntrebareadac acestaestestabilsauinstabil.Sepoatefaceoanaliz destabilitatepebazaliniariz rii
266Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
0
20
40
60
-3
-2
-1
0
1
2
3
x,yDomeniul timpt
-4
-2
0
2
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
ySpatíul fazelorxep=1
Figura11.7:Soluµiaîndomeniultimp³iînspaµiulfazelorpentruoscilatorulvanderPol,pentruovaloare=1
0
20
40
60
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x,yDomeniul timpt
-4
-2
0
2
4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ySpatíul fazelorxep=5
Figura11.8:Soluµiaîndomeniultimp³iînspaµiulfazelorpentruoscilatorulvanderPol,pentruovaloare=5
11.5.Reprezent ri(secµiuni)Poincaré267
Axx123x1U
A2A0
Figura11.9:Otraiectorieparticular ceintersecteaz unplanPoincaréînpuncteleA0;A1;A2sistemuluicaceaexpus încazulpunctelorstaµionare,daranalizaestemultmaicomplicat .Metodapropus deHenryPoincaré³icunoscut subdenumireademetodasecµiunilorPoincaré,const într-osimplicareareprezent riisoluµiilorunuisistemdinamicprintr-oin-vestigare"stroboscopic "aspaµiuluifazelor.Prinacestprocedeuseefectueaz odiscretizareadependenµeidetimpatraiectoriilor³iotransformareimplicit afuncµiilorcontinuedetimpînsecvenµediscretedetipul:~xn(t)=~x(tn);t=t0+nT;n=1;2;::::(11.57)Cualtecuvinte,seproduceosecµionareperiodic atraiectorieidinspaµiulfazelorcuunplandat.MulµimeapunctelordeintersecµieatraiectoriilorcuacestplanconstituiesecµiuneaPoincaré.ÎnFig.11.9esteprezentat otraiectorieparticular ceintersecteaz unplanPoincaréînpuncteleA0;A1;A2.SecµiunilePoincaréaparastfelcani³temulµimidepuncte.Dinamicasistemului.poatecaracterizat dup modulcumsuntdispuseacesteapuncte.Dac exist soluµiistabile,atuncipunctelesesuprapun,întimpce,pentrust rineperiodice,punctelesuntîmpr ³tiate.Dac sistemulestecaracterizatprinnperiodicit µi,vaexistaogruparenet denpunctexealesecµiunii.1.Atuncicândsoluµiilesuntperiodice,traiectoriaînspaµiulfazelortindecãtreoorbit închis ,tipciclulimit .SecµiuneaPoincarécorespunz toareestefoartesimpl ³isereducelaunsingurpunct.PuncteleA0,A1,A2dinFig.11.9coincidtotalsauparµial.2.Atuncicândsoluµiilesuntcvasiperiodice,dinamicasistemuluiestecaracterizat dedou perioade.Toat traiectoriaseruleaz peuntor³ipoateprivit casuprapunereaadou mi³c ri:orevoluµiede-alungulceleimaimaridimensiuni³iorotaµieînjurulaxei"cilindrului"ceformeaz torul.Fiecarefrecvenµ debaz esteata³at launadinaceste
268Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
mi³c ri.ImagineadinsecµiuneaPoincarédepindederaportulîncaresea celedou frecvenµe.S analiz m,încontinuare,cazulîncare:!1=!2=n1=n2:(11.58)Dac raportuln1=n2esteraµional,atuncitraiectoriaseînchide³imi³careaesteperiodic .SecµiuneaPoincarécorespunz toaresereducelaosuccesiunedepuncteîn³iruitede-alunguluneicurbeînchise,ac reiform poatesimpl ,f r punctedeintersecµie(cerc,elips etc.),saumaicomplicat .Dac raportuln1=n2esteiraµionalatuncitraiectorianuseînchideniciodat .Atrac-torulsistemuluiesteuntorpeac ruisuprafaµ sea³eaz traiectoriile.SecµiuneaPoincarécorespunz toaresereducelaosuccesiunedepuncteatâtdeapropiate,încâtcurbaînchis estecontinu .Înacestcazvomspunec celedouãfrecvenµesunt"incomensurabile".3.Atuncicânddinamicasistemuluiestehaotic ,imagineasecµiuniiPoincaréestefoartecomplex ³ineregulat .ImportanµametodeisecµiuniiPoincaréesteevident încazuluneimi³c riperiodice,darmaialesfaciliteaz înµelegereaproceselordinamicecucaractercomplex(haotic),deoarece:1.permitetrecereadelaspaµiuln-dimensionalpecaresuntdenitesoluµiileunuisistemdinamic,laoaplicaµiePaplanuluiasupraluiînsu³i,reducândnumãruldecoordonatelan1:P:~xn!~xn1;(11.59)2.discretizareatimpuluiducelasubstituireaecuaµiilordiferenµialecuecuaµiicudiferenµenite,u³ordeintegratprinmetodenumerice.DiscretizareaPoincaréconduceladeter-minareaiterativ apunctelordinsecµiunedup regula:~x1=P(~x0);~x2=P(~x1)=P2(~x0)~x3=P(~x2)=P2(~x1)=P3(~x0):::~xn=P(~xn1)=P2(~xn2)=:::=Pn(~x0)3.discretizareaPoincaréesteunic ³ireversibil deoarecetraiectoriiledinspaµiulfazelornusepotintersectaîntreele.Singuradicultatecareapareaiciestelegat defaptulc nuexist ometod universal pentrug sireaanalitic aaplicaµieiP.Deaceea,decelemaimulteorieaseg se³tefolosindalgoritminumerici.Floquet[]adezvoltatoteoriedeanaliz astabilit µiisoluµiilorperiodice.Pentruperturb rideforma:~(t)=~x(t)~xl:(11.60)
11.6.Bifurcaµii269
ecuaµia(11.13)devine~n+1=C~n=Cn~0;(11.61)iarcomportamentulpetermenlungestedescrisdevalorilepropriialematriceiC;denit învecin tateacicluluilimit .ValorilepropriialeluimatriceiluiFloquetdetermin stabilitateatraiectoriei:ciclullimit estestabildac distanµascadeexponenµialîntimp.ÎnacestcazvalorilepropriialeluiCsuntsubunitareînmodul;jij1;cualtecuvintetoatevalorilepropriisuntconµinuteîninteriorulcerculuideraz unitatedinplanulcomplex.ciclullimit esteinstabildac distanµacre³teexponenµialîntimp.ÎnacestcazcelpuµinovaloarepropriealuiCaremodululmaimaredecât1,jij1.Totu³i,încazulpunctelorcareînchidîntimptraiectoriasubformauneicurbedetipciclulimit ,analizaestecevamaicomplicat .11.6BifurcaµiiDac parametriidecontrolisuntxaµicavalori,portretulînspaµiulfazelorestebinedenit.Dac valorileparametriloriseschimb ,atuncisemodic ³iportretuldefaz .Uneimicivariaµiiînvalorileiîipoatecorespunde,deasemenea,micischimb riînportretuldefaz .Exist ³icazuriîncareschimbareamenµionat aparebrusc³istareasistemuluidevinetotaldiferit deceainiµial .Spunematuncic înevoluµiasistemuluiaap rutobifurcaµie.Vomanaliza,încontinuare,modulîncaredinamicasistemuluiesteinuenµat depara-metriidecontroli:Dup cumamdiscutatdeja,ace³tiadescriucaracteristiciintrinsecialesistemului³i,atuncicândseschimb ,potmodicaînmodsemnicativevoluµiaacestuia.Deexemplu,atuncicândsedep ³e³teovaloarecritic aunuiparametrudecontrol,&#x-3.2;≦csiste-mulî³ipoateschimbastareastaµionar dinpunctstabildeechilibruîndou (saumaimulte)punctestabiledeechilibru,cualtecuvintesistemultrecedintr-ostarestaµionar într-ostareoscilatorie.Fenomenulprincare,înurmamodic riiparametrilordecontrolseproducetrecereabrusc sprenoist riposibiledeechilibru,senume³tefenomendebifurcaµie.Vomanalizaacumcazulcelmaisimplu,unidimensional,bifurcaµiilorlocale,careaparînvecin tateauneipoziµiideechilibru(~x0),luândînconsiderarevariaµiaunuisingurparametrudecontrol().Dinamicasistemului(11.1),înacestcaz,estedescris deecuaµia:d~x
dt=~f(~x0;)=0:(11.62)Aceast relaµiepoateinterpretat caoecuaµieimplicit pentrudeterminareapunctelorstaµionareînfuncµiedeparametruldecontrol:~x0=~x0():(11.63)Înacestecondiµii,s analiz mcâtevasituaµiiposibiledebifurcaµii:
270Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Figura11.10:Bifurcaµie³a-noda.bifurcaµia³a-nod:f=x2;(11.64)conducelapunctelexe:x(1)0=p
;x(2)0=p
:(11.65)A³adar,dac 0,nuexist valorirealepentrupunctelestaµionare,decinuesteposibil niciostarestaµionar asistemului.Dac �0;sistemularebruscdou st ristaµionare.Tipulexactdestabilitateînvecin tateaacestorpunctexeseg se³teprinanalizaliniar prezentat anterior,adic prinanalizavalorilorjacobianuluiasociat:[email protected]
@xx0=2x0:(11.66)Seobµinnoduristabilepentrusoluµiilex(2)0³inoduriinstabilepentrusoluµiilex(1)0:ÎnFig.11.10estereprezentat obifurcaµiedetip³a-nod.Înparteastâng esteilustrat dependenµaf=f():S geµilemarcheaz apropiereasauîndep rtareatraiectoriilordepunctelexe,înfuncµiedevalorileparametruluidecontrol³imarcheaz zoneledestabilitate.Înparteadreapt esteilustratcâmpulvectorilorvitez pecaresunttrasateefectivcâtevaevoluµiiîntimp,porninddincondiµiiiniµialediferite.Seobserv c evoluµiileîntimppentruvalorile0;conduclaoîndep rtarerapid dest rilestaµionare(dx
dt=0),indiferentdecondiµiileiniµiale.Pentruvalorile�0st rilestaµionaredeperamurastabil atragtoatetraiectoriilecarevindinvecin tate(dedeasuprasaudesubea),indiferentdecondiµiileiniµiale.b.bifurcaµiafurc :f=xx3;(11.67)conducelapunctelexe:x(1)0=p
;x(2)0=p
;x(3)0=0:(11.68)
11.6.Bifurcaµii271
Figura11.11:Bifurcaµiefurc transcritic Pentru=0toateceletreisoluµiicolapseaz ,iarsistemulareosingur starestaµionar .Dac =0sistemulsarelatreist ristaµionare.Nusuntposibilest ristaµionarepentru0:Dinanalizavalorilorjacobianuluiasociatrezult :[email protected]
@xx0=3x20:(11.69)Caurmare:M(x(1)0)=M(x(2)0)=2;(11.70)M(x(3)0)=;(11.71)adic pentru0st rilesuntinstabiledetip³aiarpentru&#x-3.2;≦0st rilesuntdetipnoduristabile.Formauneiastfeldebifurcaµiidetipfurc numit supercritic 18esteindicat înFig.11.11.Cazulîncare:f=xx3;(11.72)conducelaoinversareacondiµiilordestabilitate,astfelc vaexistaosingur ramur sra-bil pentru0:Ilustrareaacesteibifurcaµii,numit subcritic estedat al turideceaînFig.11.12.c.bifurcaµiatranscritic :f=xx2;(11.73)
18Unexemplualacestuitipdebifurcaµieesteîntâlnitînsistemelemagnetice,învecin tateapunctuluiCurie,undeareloctranziµiadelaostareparamagnetic launaferomagnetic ³iinvers,parametruldecontrolindtemperatura.
272Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Figura11.12:Bifurcaµiefurc supercritic conducelapunctelexe:x(1)0=;x(2)0=0:(11.74)A³adarsuntposibiledou st ristaµionar pentruoricevaloareaparametrului=0³iosingur starestaµionar dac =0.Dinanalizavalorilorjacobianuluiasociat:[email protected]
@xx0=2x0:(11.75)Rezult c :M(x(1)0)=;M(x(2)0)=;(11.76)A³adarsistemulareostarestabil ³iostareinstabil carecolapseaz pentru=0:ÎnFig.11.13estedat aceast reprezentare:zoneledeinstabilitatesuntmarcateprinpuncte.d.bifurcaµiaHopf:Înacestcazsistemularecelpuµindou dimensiuni.S consider mspreexemplu:_x=y+x((x2+y2));(11.77)_y=x+y((x2+y2)):(11.78)Dinanalizavalorilorjacobianuluiînjurulst riistaµionare(0,0)rezult :M=3x2y212xy12xy3y2x2(0;0)(11.79)=11(11.80)
11.6.Bifurcaµii273
Figura11.13:Bifurcaµietranscritic 
x
1
lx0
y
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
xy
Figura11.14:BifurcaµieHopf
274Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Caurmare,învecin tateaacestuipunctavem:detM=2+1;(11.81)TrM=;(11.82)deunderezult c soluµiileecuaµieisecularesunt:1;2=i:(11.83)A³adar,pentru0sistemulareostarestabil detipfocarstabil(nodspiral),iarpentru&#x-3.2;≦0-ostareinstabil detipfocarcarecolapseaz pentru=0:Depeatractorulstaµionar(0,0)sistemulconverge(pentru&#x-3.2;≦0)spreosoluµieperiodic descris deunciclulimit ,curazacresc toareîntimp.Astfeldebifurcaµii,ilustrateînFig.11.14aufoststudiatedeHopf19în1942.Lafelca³iîncazulbifurcaµieidetipfurc ,acesttipdebifurcaµie,carefacetrecereadelaunpunctxstabillaunciclulimit ,aredou forme:bifurcaµieHopfsupercritic (reprezentat înFig.11.14)³ioform subcritic .Oabordarealternativ aprincipalelortipuridebifurcaµiiprezentatesepoatefaceconside-rândc unanumittippoateg sitcarezultataluneiperturb riimperfecteauneibifurcaµiitranscriticesaudetipfurc .Ecuaµiageneral auneiperturbaµiiimperfectepoatescris subforma:_x=ax3+bx2+cx+d(11.84)încaretoµitermeniipolinomuluicoexist .Înurmamodic riiaxeitimpului(=1=at)³idup efectuareaschimb riidevariabil z=x(b=3a),ecuaµiaprecedent sereducelaformacanonic :_z=z3+z+;(11.85)încare³isuntcombinaµiideparametrioriginali.Analizaacesteiecuaµiiafostf cut învol.Isecµiunea3.9.11.7ExponenµiLyapunovPentrucaracterizareacantitativ acomportamentuluihaotics-aupropusmaimultem -rimi.Printreacesteasenum r ³iexponenµiiLyapunov.Ace³tiasuntdeniµipentruacarac-terizamoduldeîmpr ³tiereatraiectoriilorînspaµiulfazelor.ExponenµiiLyapunovm soar ratadedivergenµ adou traiectoriial turateînspaµiuln-dimensionalalfazelor.Înnotaµiaadoptat denoi,distanµadintredou traiectoriivecinearputeachiardeplasarea~(t)denit anterior:~(t)=~x(t)~x0(t);(11.86)caresatisfaceecuaµiademi³care:d~
dt=M~(t):(11.87)
19EberhardtHopf(1902-1942),matematiciangerman.
11.8.Fractali.Auto-asem nare.Dimensiunefractal ³idimensiunetopologic 275
Soluµiasistemuluiliniarizatconducelasoluµiiinstabiledeformaunorsuperpoziµiidefuncµideforma:i(t)=i0eit;(11.88)Dac i�0;sedene³teexponentulLyapunovca:i=limt!11
tln(t)
(t0):(11.89)Dup cumseconstat ,coecientulLyapunovdepindededirecµiai;i=
1;ndup caresecal-culeaz divergenµa.Înmodevident,pentruunsistemcundimensiunivorexistancoecienµiLyapunov.PrezenµaacelpuµinunuiexponentLyapunovpozitivesteunindiciuc traiectoriilesuntputernicdivergente,decisistemulpoateconsiderathaotic.SpectrulexponenµilorLyapunovesteceamaifolosit metod dediagnoz asistemelorhaotice.Semnulacestorcoecienµipermiteoclasicareaatractorilor.Deexemplu,pentruunsistemcaracterizatde3ecuaµiidiferenµiale(încarepoateap reahaos)exist treiexponenµilorLyapunovac rorcombinaµieestecaracteristic pentruunanumitatractor.(-,-,-)!punctx(comportamentstaµionar);(0,-,-)!ciclulimit (comportamentoscilatoriu);(0,0,-)!tor(comportamentcvasiperiodic);(+,0,-)!atractorstraniu20(comportamenthaotic).Caurmare,orbitelehaoticeaucelpuµinunexponentLyapunovpozitiv;pentruorbiteleperiodicetoµiexponenµiiLyapunovsuntnegativi,iarînapropiereauneibifurcaµii,exponentulLyapunovestezero.11.8Fractali.Auto-asem nare.Dimensiunefractal ³idimen-siunetopologic Conformdeniµieidat deMandelbrot[]în1975,poateconsiderat fractaloricegur geometric sauobiectnaturalcarearesimultanurm toarelecaracteristici:a)p rµilesaleauaceea³iform saustructur ca³iîntregul(putândtotu³iu³ordeformate)lasc ridiferite;b)formasaeste³ir mâne,oricarearscaradeanaliz ,eextremdeneregulat ,eextremdeîntrerupt saufragmentat ;c)conµineelementedistinctealec rorsc risuntfoartevariate³iacoper ogam foartelarg devalori.Oproprietatefundamental astructurilorfractaliceesteauto-asem narea.Aceast pro-prietate,numit ³iinvarianµ descar const înconservareastructuriiunuiobiect,indiferentdescaralacareestereprezentat.Deobiceiconstrucµiilegeometricealefractalilorsebazeaz peregulideiteraµiecareseaplic înmodrepetitiv.Deexemplu,setulCantoresteconstruitprineliminareadeecaredat atreimiidinmi-jloculsegmentelorap ruteporninddelaunsegmantdelungimedat .ÎnFig.11.15sunt
20Seface,demulteori,distincµiaîntreatractorulstraniu,caracterizatdeocomportaregeometric repetiv ladiferitesc rideobservaµie(comportarefractal )³icelhaoticpur.
276Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Figura11.15:SetulCantordup Niteraµiimarcatecapetelesegmentelorobµinuteprinextragereauneitreimidinsegmentulobµinutîniteraµiaprecedent .
Figura11.16:CurbaKochdup NiteraµiiCurbaluiKoch(ilustrat înFig.11.16)seconstruie³teîncepândcuoliniedreapt lamijlo-culc reia,înlocs setaieotreime,seadaug dou treimisubformauneiliniifrântedeforma
11.9.Sistemcudinamic haotic 277
unuidinte;procesulserepet îniteraµiisuccesivepentruecaresegmentsimilarcuceliniµial.Ocaracteristic important acurbeiKochestefaptulc ,de³iestecontinu înecarepunct,eanueste,totu³i,diferenµiabil .Unfractalestecaracterizatdeodimensiunefracµionar ,carenuarecorespondentîngeometriaeuclidian .Deexemplu,uncorpdeform sferic poatecaracterizatprinlungimeacircumferinµei.Aceastaesteîns odimensiunegrosier ,deoareceignor neregularit µilesuprafeµeiobiectului,³inupoateastfelconsiderat ocomponent deidenticareaacestuia.Dimensiuneafractal µineîns contdeacestepropriet µi,cuanticândgradulde"rugozitate"alobiectului.Odat cudescoperireacalcululuidiferenµial³iintegraldec treNewton³iLeibnitzs-aimpusînmodrescoipotez debaz înzicaclasic ipotezadiferenµiabilit µii.Forµauneiastfeldepresupuneris-amanifestatprinaceeac apermisformularealegilorziciiîntermeniiunorecuaµiidiferenµiale.Înabordareamodern ,sepuneproblemaconstruiriiuneizicidescrisedefuncµiicontinuedarnon-diferenµiabile.Pentrucaracterizareastructurilordetipfractal,afostintrodus dec treKolmogorov(1958)onou m rime,df,cunoscut subnumelededimensiunedecapacitate.Pentruadeniaceast m rime,s consider munsetSdepuncte,aatîntr-oregiunem rginit aspaµiuluiRn.Not mcuN(")num rulminimde"sfere"deraz "(decivolum"n)necesarpentruaacoperitoatepunctelesetuluiS.Dac pentrulimita"!0g simN(")="df,atunciputemdenidimensiuneadecapacitate,numit ³idimensiunefractal (Mandelbrot,1982),caraportul:df=lim"!0logN(")
log":(11.90)Punctularedimensiunea0,curbaaredimensiunea1iarosuprafaµ aredimeniunea2.Unfractalareodimensiunefracµionar situat între1³i2.11.9Sistemcudinamic haotic 11.9.1OscilatorulvanderPolînregimforµatOscilatorulvanderPolînregimforµatestedescrisdeurm toareaecuaµiediferenµial liniar deordindoi:x(1x2)_x+x=fcos!t:(11.91)Aceastaesteesteechivalent cuunsistemdetreiecuaµiidiferenµialeordinare,atreiaecuaµietransformându-lînsistemautonom:_x=y;(11.92)_y=(1x2)yx+fcosz;(11.93)_z=!:(11.94)Înabsenµaforµ rii,dejas-adiscutatanteriorc ,pentrux�1;termenuldeamortizareestepozitiv³i,caurmare,traiectoriileînspaµiulfazelortindeexponenµialspreunnodstabil.Dac x1;traiectoriileînspaµiulfazelorconduclaunciclulimit ,careestedeformatînfuncµiedevaloareaneliniarit µii:UnoscilatorvanderPolcux1oscileaz ,indiferentdecondiµiile
278Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
0
20
40
60
80
100
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Domeniul timpt
x
-4
-2
0
2
4
-6
-4
-2
0
2
4
6
ySpatíul fazelorxep=0.25
Figura11.17:Evoluµiaîntimp³iînspaµiulfazeloraunuioscilatorvanderPol.Parametriidecontrolsuntspecicaµiînparteadesusagurii.iniµiale.S analiz m,încontinuare,cumseschimb mi³careaoscilatoruluidac îlforµ mdinexteriorcuoforµ periodic detipulfcos!t:Dinamicaestedeosebitdecomplex ,³iînfuncµiedevaloareaneliniarit µiisauconsiderânddreptparametrudecontrolamplitudineasaufrecvenµa,sepotobservaum toareledinamicidistincte:antrenaretotal sauparµial ami³c riidec treforµaexterioar sausincronizarecuaceasta;cvasiperiodicitate;haos.Dac amplitudineaforµ riiestesucientdemare,deexempluf=3;!=1:2,iarneliniaritateeesteredus ,=0:25,sistemulestecompletantrenatdeforµaexterioar ³ioscileaz sincroni-zatcuacesta,peaceea³ifrecvenµ .Înceleceurmeaz sevorilustraunelerezultatenumericeobµinuteprinrezolvareasistemuluideecuaµii,dup încetarearegimuluitranzitoriu.Evolu-µiatemporal x(t)³iînspaµiulfazelor(x;y)suntilustrateînFig.11.17.Încazurileîncareamplitudineaforµ riinuestepreamare,astfelîncâtîncâts produc antrenareatotal ³is controlezecompletdinamica,sepoateg siunfenomendecvasiperiodicitatecareconst dintr-ocompetiµieîntrefrecvenµaproprieasistemului³iceaaforµeiexterioare.Evoluµiatemporal x(t)³ispaµiulfazelor(x;y)pentrucazuldecvasiperiodicitatesuntilustrateînFig.11.18.Fenomenuldecvasiperiodicitateseobserv celmaiclarînanalizaspectruluideputere.Întrefrecvenµelecaracteristiceexist unraportdenumereîntregi.Exist undomeniudeparametripentrucarecomportareaoscilatoruluivanderPolestehaotic .Încazuluneine-liniarit µipronunµate³ialunuiiraµionalîntrefrecvenµeleimplicate,traiectoriileînspaµiulfazelorpotumpletoat zonaavut ladispoziµie.
11.9.Sistemcudinamic haotic 279
0
50
100
-2
-1
0
1
2
3Domeniul timpt
x
-4
-2
0
2
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
ySpatíul fazelorxep=0.25
Figura11.18:Evoluµiaîntimp³iînspaµiulfazeloraunuioscilatorvanderPol.Unuldinparametriidecontrolareovaloareinferioar celeidinguraanterioar .
0
20
40
60
80
100
-3
-2
-1
0
1
2
3Domeniul timpt
x
-4
-2
0
2
4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ySpatíul fazelorxep=3
Figura11.19:Evoluµiaîntimp³iînspaµiulfazeloraunuioscilatorvanderPol.Doidintreparametriidecontrolauprimitaltevaloridec tceledinceledou gurianterioare.
280Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
ÎnFig.11.19esteilustrat osecvenµ dindomeniultimpasoluµieix³ispaµiulfazelor(x;y)asociatcomport riihaoticepentruundomeniudetimplimitat.DiagramelePoincarépentrusituaµiilereprezentateînultimeledou cazurineconrm observaµiilef cute.Comportareaoscilatoruluisepoateanalizaînmodglobal,construinddiagramadebifur-caµiepentruparametruldecontrol-amplitudineadeforµare.Diagrameledebifurcaµieofer oimaginedeansambluadinamiciisistemuluiconsiderat,pentruundomeniudevariaµieaunorm rimiconsideratedreptparametridecontrol.Dac lucr mcuamplitudineaforµ riicaparametrudecontrol(!=1:25)cevariaz între0³i5,seobµindiagrameletrasatepentruceledou frecvenµeconsideratedenoipentrudou cazurideneliniarit µi:mic ,=0:25³imare=3:Înacestfelsepotdeterminavalorileparametrilordecontrolcareconduclaunanumittipdedinamic .Înmodevident,dac secalculeaz coecienµiiLyapunov,seg sescvaloripozitivepentrudomeniulhaotic,³ivalorinulesaunegativepentrust rileperiodicesaudecvasiperiodicitate.11.9.2HaosîncazulcurgeriiturbulenteDinamicauidelor³iînspecialcurgereaturbulent ofer poatecelmaiintuitivmoddeînµelegereacomport riihaoticepentrusistemeledeterministe.Defapt,analizami³c rilormaselordeaerdinatmosfer ,înscopulpredicµiilormeteorologiceaconstituitprimalucrareîncares-af cutreferirelaa³a-numitaproblem asensibilit µiilacondiµiileiniµiale.A³acumammenµionat,aceast proprietateconstituieunuldiningredienteledebaz aleteorieihaosuluideterminist.Încazulcurgeriilaminareînregimstaµionar,distanµadintretraiectoriileadou particuledeuidvecinesemenµineconstant întimpulmi³c riisauvariaz într-undomeniulimitat.Dac semodic puµincondiµiileiniµialedecurgere,rezultatulnalesteprevizibil,inddoar
Figura11.20:Tipuridetraiectorii:(a)predictibile(b)impredictibilepuµinmodicatfaµ decelanterior.AcestlucruesteilustratînFig.11.20(a).Dependenµadecondiµiileiniµialeesteîns decisiv înregimuldecurgereturbulent .Dou particuledeuidvecinelamomentuliniµialsevordeplasapetraiectoriicomplicate,îndep rtându-seînmodexponenµialunafaµ dealta.Înaceast situaµie,omodicareapoziµieiiniµialeauneiparticuleconducelaimpredictibilitateast riinale(Fig.11.20(b)).De³icurgereaesteguvernat ³iînacestcazdeecuaµiideterministe,caresunt,înprincipiu,rezolvabilepentruoricesetdecondiµiilalimit cunoscute,totu³istareanal nupoateprecizat .Acestcomportamentafostobservatdec treEdwardLorenz,carelucraînîn1961launprogramdesimulareadinamiciiatmosferice.Întimpcerulaunprogramformatdin
11.9.Sistemcudinamic haotic 281
0
5
10
15
20
25
30
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
tx(t)
Figura11.21:Ilustrareasensibilit µiisistemuluiLorenzpentruomodicareacondiµieiiniµialecu104:dou sprezeceecuaµiidiferenµialeliniare,avruts reiaunelecalcule³iaintrodus,cavaloareiniµial ovaloareaat în³iruldedateobµinute.Spremarealuisurprindere,listanoilordatenucoincideacuceadinrulareaanterioar .Urm rindnoilerezultate,aobservatc acesteareiau³iruldejaaatdoarpeunmic porµiune,dup care,rezultatelenoidifer multdeceleaateanterior.Printr-oanaliz atent ,³i-adatseamac erorileap ruteprovindintrunchiereanum ruluidezecimaleconsiderate.ÎnFig.11.21esteilustrat sensibilitateasistemuluilacondiµiileiniµiale.Rezolvareanumeric afostf cut pentruodiferenµ acondiµiiloriniµialealeluixde104însistemuldeecuaµiiLorenypecarelevomdiscutamaideparte.Maitârziu,în1963,Lorenzanalizeaz subacestaspect,onou problem legat deuide³ianumecurgereaconvectiv .Elstudiaz mi³careaunuiuidîntredou pl ciplane,menµinutelatemperaturidiferite.C lduraestetransferat delaplacacald (ceadejos)laplacarece(ceadesus)prinfenomenuldeconducµietermic iarmi³careauiduluiestecontrolat devâscozitate.Fenomenullegatdemi³careaceaparedatorit diferenµei(gradientului)detemperatur estenumitconvecµie.Elpoatemodelatdeosingur ecuaµiediferenµial cuderivateparµiale.Cametod derezolvareaecuaµieisepropunedescompunereaînmi³c risimple(moduriproprii)dincare,înprim aproximaµie,seconsider cadecisivedoartrei.EcuaµiilepecareLorenzleconsider importanteînanalizaacestuifenomensunt:dx
dt=(yx)(11.95)dy
dt=rxyxz(11.96)dz
dt=xybz;(11.97)
282Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
cunoscutecaecuaµiileLorenz.Variabilelececaracterizeaz sistemulsunt(x;y;z)³idescriu:x-vitezauiduluiînmi³careacircular deconvecµie;y-variaµiaorizontal atemperaturii;z-variaµiavertical atemperaturii.Parametriisistemuluisunt(;r;b)³idenescurm toarelepropriet µi:resteproporµionalcunum rulluiReynolds-descrietranziµiadinregimlaminarînregimturbulent;bdescrieconguraµia(geometria)sistemului;esteproporµionalcunum rulPrandl,caredescrieraportuldintrevâscozitate³icon-ductivitateatermic auidului21.Lorenzaconstatatc ,pentrub=8=3,convecµiaîncepelavalorimicialelui;adic adiferenµeidetemperatur dintreceledou pl ci.SistemuldeecuaµiialeluiLoreny,de³ilaprimavedereparesimplu,nuaresoluµiianalitice,adic nusepoatedaoexpresiematematic detipulx=x(t);y=y(t);z=z(t);cares descrieevoluµialaoricemomentdetimp.Soluµiapoateg sit doarprinintegrarenumeric .ParametriiutilizaµideLorenzaufost=10:0;r=28:0;b=2:66666666pentrucondiµiileiniµiale:x0=0:6895;y0=0:0560;z0=19:3245.ÎnFig.11.21seobserv cum,începânddelaunlaunmomentdat,unadinsoluµii(trasat culiniepunctat )sedeta³eaz decealalt ,evoluµiasistemuluiindmultdiferit .Analizasistemuluiarat ocomportarediferit ,înfuncµiedevalorileparametrilor(;r;b).Dac sexeaz valorile(;b)³iseconsider dreptparametrudecontrolr;caresevariaz delavalorimicisprevalorimari,seobµinoseriedebifurcaµiicareconducsistemuldintr-ostarestaµionar ,prinst rideintermitenµ sprest rihaotice.Acestecomport risuntilustratemaideparte,înreprezent riledatelornumericeobµinutepentruvalorilespecicatealeparametrilor.Dac temperaturadintreceledou pl cinuestepreamare,uidulr mâneînstarestaµio-nar .Odat cucre³tereavaloriiluir,sistemulareocomportaredinceîncemaicomplex ,evoluândsprestareahaotic .ÎnFig.11.22,suntilustratediferitedinamiciposibilealesiste-muluipentruvaloridiferitealeparametrilor:regimcudou st ristaµionare,regimperiodic³iregimhaotic.Pentruecaresituaµie,suntreprezentatedependenµadetimpavariabilelorx;y;z³i,înmodcorespunz tor,atractoriidinspaµiul3-dimensionalalfazelor.Înacesteguri,culinieîngro³at estereprezentat traiectoriasistemului,pentruoalt condiµieiniµial .11.10HaosînsistemehamiltonieneUntipspecialdesistemedinamice,deimportanµ deosebit înzic îlconstituiesistemeleac rordinamic înspaµiulfazelorestedeterminat defuncµialuiHamilton.Încazulsistemelorautonome,aceast funcµieesteoconstant ami³c rii³icoincidecuenergiatotal asistemului.
21Fluideleu³or"convectibile"suntcaracterizatedeovaloaremic anum ruluiPrandtl.
11.10.Haosînsistemehamiltoniene283
0
5
10
15
20
25
30
-20
-10
0
10
20
30
40tx!y!z
Figura11.22:Dependenµadetimpavariabilelorx;y;zpentru=10;b=2:666;r=28:
-15
-10
-5
0
5
10
15
-20
-10
0
10
20
10
15
20
25
30
35
40
y
x
z
Figura11.23:Atractorulcorespunz torreprezent riidinFig.11.22
284Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
0
5
10
15
20
25
30
-100
-50
0
50
100
150
200
250tx!y!z
Figura11.24:Dependenµadetimpavariabilelorx;y;zpentru=3;b=1;r=166:
-20
-10
0
10
20
-50
0
50
130
140
150
160
170
180
190
200
y
x
z
Figura11.25:Atractorulcorespunz torreprezent riidinFig.11.24
11.10.Haosînsistemehamiltoniene285
0
5
10
15
20
25
30
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35tx!y!z
Figura11.26:Dependenµadetimpavariabilelorx;y;zpentru=3;b=1;r=26:
-10
-5
0
5
10
-15
-10
-5
0
5
10
15
10
15
20
25
30
35
y
x
z
Figura11.27:Atractorulcorespunz torreprezent riidinFig.11.26
286Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
Sistemelehamiltonienesuntdescrisedeunsetdevariabile(qi;pi),i=
1;n,nindnum ruldegradedelibertatealesistemului,ac rorevoluµieîntimpestedeterminat deecuaµiileluiHamilton.Acesteareprezint unsetde2necuaµiidiferenµialeordinarecuplate22caresepotscrieatuncicândestecunoscut expresiafuncµieiHamiltonH=H(qi;pi;t):dqi
[email protected]
@pi;(11.98)dpi
dt=@H
@qi:(11.99)A³adar,funcµialuiHamiltonjoac acela³irolca³ifuncµiilefi(xi)dincazulsistemelordinamicedisipative.Analogiamerge³ilanivelulvariabilelorx1=q1;x2=q2;:::.Leg turaspecial dintreqi³ipi,dat deecuaµiileHamiltonconfer spaµiuluifazelorpropriet µimatematicespecialecunoscutesubnumeledestructur simplectic 23.Spaµiulfazelorunuisistemhamiltonianeste2n-dimensional³i,pentruc estegreudevizualizat,sefolosesc³iînacestcazsecµiunilePoincare.CândHnudepindeexplicitdetimp,sistemelehamiltonienesuntconservative.Principaladeosebireîntresistemeledinamicedisipative³icelehamiltonieneconst înfaptulc ,încelde-aldoileacaz,volumulînspaµiulfazelorseconserv .Caurmare,sistemelehamiltonienenuposed atractoriînspaµiulfazelor.Sepuneatunciîntrebareaaparehaosînastfeldesisteme³idac apare,încemodsemanifest ³ipoatecaracterizat?Printreexempledesistemehamiltoniene,de³iînmodpracticsuntdestulderare,sea sistemelemecaniceînabsenµaoric rorforµedefrecare.Celmaianalizatsistemaproapeconservativestesistemulsolar.Totu³i³iînacestsistemexist sursededisipareaenergieilegatedeforµamareelor,vânturisolare,uxurideparticuleemisedeexploziileunorasteroizi,etc.11.10.1SistemeintegrabileEnergiatotal asistemelorconservativecoincidecufuncµialuiHamilton,E=H=H(qi;pi)³iesteointegral mi³c rii.Înacestcaz,porninddelaostareiniµial oarecare,(qi0;pi0)sistemulevolueaz înspaµiulfazelorpeotraiectoriedescris devalorilelui(qi(t);pi(t))determinatelaoricemomentdetimpdinecuaµiileHamilton.DeoareceH(qi(t);pi(t))=H(qi0;pi0)înseamn c oricetraiectorieposibil estestrictdeterminat devaloarealuiH:Cualtecuvinte,traiectoriileînspaµiulfazelorpotetichetateînfuncµiedevaloareaenergiei.Aceast observaµienuestevalabil ³ireciproc,ovaloaredat aenergieiputândcorespundelamaimultetraiectoriiposibile.Traiectoriilepot,deasemenea,recunoscutedup oricealt m rimecaresep streaz constant întimpulmi³c rii.Înacestcaz,elesuntlimitatenudoarînregiuneadinspaµiulfazelorcorespunz toareuneivaloridateaenergiei,ci³iaceleilimitatedevaloareaconstanteidemi³care.Astefel,traiectoriilesereg sescpesuprafaµa2nkdimensional ,undekestenum rulconstantelordemi³care.Dac num ruldeconstantedemi³carecoincidecunum ruldegradedelibertate,atuncisistemulesteintegrabil;sistemulnu
22a³acumamdiscutatîncapitoluldedicatmecaniciianalitice23Dac seiau3traiectoriiapropiateînspaµiulfazelor(qi;pi),(qi+dqi;pi+dpi),(qi+dq0i;pi+dp0i)atuncisuprafaµadpidq0idqidp0i;numit suprafaµ simplectic ,seconserv ,adic :
dt(dpidq0idqidp0i)=0:
11.10.Haosînsistemehamiltoniene287
esteintegrabil(spunemc enonintegrabil),dac acestnum restemaimic.Condiµiadeinte-grabilitate,dup cumamdiscutatanterior,esteechivalent cuorestricµionareatraiectoriilordinspaµiulfazelorpeosuprafaµ n-dimensional (n=2vacorespundesuprafeµeiunuitor).Uneori(înspecialpentrumi³c rileperiodice)estemaiavantajoss selucrezecuvariabilecareseconserv ,³ianumevariabileleacµiune³iperecheacanonicconjugat -unghi,.Variabilaacµiuneestedenit ca:J=1
2pdq:(11.100)Dac consider mtransform rilecanonicedelavariabilelecoordonategeneralizate-impulsurigeneralizatelavariabileacµiune-unghi:(q;p)!(J;),atunci,ecuaµiileHamiltonconduclarelaµiile:_[email protected]
@Ji;(11.101)_Ji=@H
@i:(11.102)Deoarecevariabilaunghinuaredimensiune,rezult c variabilaacµiunetrebuies aib di-mensiuneaenergietimpsaudup cumafostdenit anterior,impulsdistanµ 24.Seînµelegeacumdeceaceast variabil seconserv înmi³careaperiodic .Îngeneralvorbind,cazulîncareHnudepindedevariabilaunghiiadic H=H(Ji)conducelaconsecinµac Jiesteointegral ami³c rii.Înacestcaz,sistemulesteintegrabil:_Ji=@H
@i=0)Ji=const:(11.103)_[email protected]
@Ji=!i(J);i=
1;n:(11.104)M rimile!isenumescfrecvenµeunghiularealemi³c rii;eledepinddoardeJi,decisuntconstanteîntimp.Prinintegrareaecuaµiei(11.104)rezult :i=!it+i(0):(11.105)Înconcluzie,dac g simtransform ricanonicedetipul(qi;pi)!(J;)cares conduc larelaµiile(11.103),(11.104)atuncisistemulesteînmodsigurintegrabil.Analizamatematic asistemelorintegrabileconducelaconcluziac ,printresistemelehamiltonieneserecunosccaintegrabileurm toarele:sistemecuunsingurgraddelibertatecuH(q1;p1)innitdiferenµiabil învariabilele(q1;p1);sistemecuH(qi;pi)cafuncµiiliniaredeqi;pi;sistemecuH(qi;pi)funcµiineliniaredeqi;pidarcarepotdecuplateînsistemeuni-dimensionale.
24Oricem rimezic careareaceast dimensiunepoateconsiderat variabil acµiune.
288Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
pq
E1 E2 E3
Figura11.28:S consider mspreexemplucazulunuisistemconservativcuunsingurgraddelibertate³ianumeunoscilatorliniararmonic.Atunci:H(p;q)=E=p2
2m+m!2q2
2;(11.106)iarecuaµiiledemi³caresunt:[email protected]
@p=p
m;_p=@H
@q=m!2q:Înreprezentareadinspaµiulfazelor,dinFig.11.28,seobserv traiectoriisubformaunorcurbeînchise.Fiecareelips estedeterminat deovaloareconstant aenergiei.Acestlucruestevericat³iprinfaptulc ,oscilatorulliniararmonicesteunsistemconservativcuunsingurgraddelibertate:n=1:Atunci,regiuneaîncaresesitueaz traiectoriiletrebuies aib dimensiunea211=1,ceeacecorespundeuneicurbe.Curbelesuntînchisedeoarecemi³careaesteperiodic ,iarsuprafaµaînchis deelecre³teodat cucre³tereaenergiei(E1�E2�E3).Îngeneral,periodicitateami³c riiestecaracterizat decongurareatraiectoriilordinspaµiulfazelor.Sepotîntâlniurm toarelesituaµii:1.orbiteînchise,denitedevariaµiiperiodicecuaceea³ifrecvenµ unghiular aleluip³iq;mi³careaestenumit devibraµiesaurotaµie25;2.orbitedenitederelaµiideperiodicitateîntrep³iq;mi³careaestenumit derevoluµie.
25astronomiionumescmi³caredelibraµie
11.10.Haosînsistemehamiltoniene289

-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
qJq
separatoare
Figura11.29Unelesistemeprezint ambeletipuridemi³c ri.S consider m,spreexemplu,unpendulmatematicdemas msuspendatdeunpunctxprinintermediuluneibarerigidesubµiri³ifoarteu³oare,delungimel:Învariabile,Jmomentunghiular;unghi,energiatotal sescrieca:H=E=Ec;rot+Ep(11.107)=J2
2ml2+mgl(1cos)=const:(11.108)Deaicirezult valoarealuiJcafuncµiedevaloareaenergieitotaleE:J=
2ml2[Emgl(1cos)]=J(E;):(11.109)Seobserv c J=0,E=mgl(1cos),iarvaloareamaxim amomentuluiunghiularseobµinepentru=,adic J=
2ml2(E2mgl):Înreprezentarea(J;)traiectoriaestedeterminat deecuaµiileHamilton:_J=mglsin(11.110)_=1
ml2J;(11.111)pentrudiferitevalorialecondiµiiloriniµiale(energieitotale).Avemurm toarelesituaµii:PentruJ=0³i=0;E=0,cazîncarependululsea înpunctulverticalcelmaidejos,subpunctuldesuspensie,undeesteîntr-ostaredeechilibrustabil.Oricemic devierefaµ deaceast poziµieconducelarevenireasprepoziµiadeechilibruprinmicioscilaµii.Traiectoriileînvecin tateaacestorpunctesuntcurbeînchisedeform eliptic caredescriumi³careaperiodic asistemului.
290Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
PentruJ=0³i=;E=2mgl;pendululsea înpunctulverticalcelmaidesus,deasuprapunctuluidesuspensie,ajungîndaicidup orotaµieînsenstrigonometricsauanti-trigonometric.Acestepunctesuntinstabiledeoareceoricemic deviereatraiectorieiconducelaoîndep rtarerapid deacestea.Deoarecetraiectoriiledinvecin tatesunthiperbolice,acestepunctesenumescsemainumescdetip³a.Comportareapoateextins ³ipentrupunctele=n;nimpar:Trecereadelauntipdemi³careperiodic ,limitat devalorilelui(undecos=1E
mgl)laceapentrucarenumaiexist niciorestricµieavalorilorlui;sefacedecurbeleseparatoare,denitepentruvalorileenergieiE=2mgl:Sistemelehamiltonieneintegrabilesuntcaracterizatedetraiectoriiînspaµiulfazelorcuform similar celeidiscutate.Putemextindeanalizapentrusistemeintegrabilecun-gradedelibertate,pecareleputemechivalacuunnum rdenoscilatoriarmonicidetipulprezentat.Traiectoriaînspaµiulfazelorsevaa³eza,laoricemomentdetimp,pesuprafaµandimensional aunuitor,numittorinvariant.Dac n=2;sistemulestecaracterizatdedou frecvenµe:_[email protected]
@J1=!1;(11.112)_[email protected]
@J1=!2;(11.113)iartraiectoriilesuntconnatepesuprafaµaunuitor.Dac frecvenµelesuntînraportraµional!1=!2=n1=n2,mi³careaestecaracterizat deodubl periodicitate(ex.rotaµie³irevoluµie).Conceptulesteu³ordeînµelesdac negândimc ,dup n2rotaµiicu!1peuncerc³idup alten1rotaµiicu!2pealtcerc(evidentdederaz diferit ),traiectoriilevorajungeînacela³ipunctdeundeauplecat(n2!1=n1!2).Dac frecvenµelesuntînraportincomensurabil,traiectoriilevorumpletoat suprafaµadinspaµiulfazelordeoarecepotajungeînmodarbitrarînvecin tateaoric ruipunctdepetor.Astfeldesistemesenumescergodice,deoarecesepoatecalculamediaîntimpaoric reim rimicamedieasupraansambluluidetraiectorii.Înconcluzie,sistemelehamiltonieneintegrabilepotaveacomport riperiodicesaucvasipe-riodice,darniciodat haotice.11.10.2SistemenonintegrabilePentrusistemelenonintegrabilenuexist constrângeri(adic constantedemi³care),astfelc traiectoriileseîmpr ³tieînspaµiulfazelor.Sepuneîntrebarea,caresuntportreteleînspaµiulfazelorcorespunz torunorastfeldesisteme?TeoremaKolmogorov-Arnold-Moser(cunoscut cateoremaKAM)arm c uniitoriinvarianµiaisistemelorintegrabilesep streaz ,de³ideformaµi,³iîncazulsistemelornonintegrabileatuncicândabatereadelaintegrabilitatenuestepreamare.Abatereadelaintegrabilitateseexprim caoperturbare(H1)ahamiltonianuluisistemului(H)faµ devaloareasaintegrabil ,H0:H=H0+H1:(11.114)
11.10.Haosînsistemehamiltoniene291
5
2.5
0
-2.5
-5
5
2.5
0
-2.5
-5
100
75
50
25
0
-25
xy
xyFigura11.30:ReprezentareasuprafeµeienergieipotenµialeEp(x;y)Astfel,dac :1sistemulaproapeintegrabilp streaz torulmi³c riicvasiperiodice(numittorKAM);&#x-3.2;≦1;toriisedistrug.Înviziuneaechivalenµeiunuisistemintegrabilcuunlanµdeoscilatoriarmonici,prezenµauneip rµinonintegrabileahamiltonianuluidetermin uncuplajaloscilaµiilorindependente.Atuncicândraportulacestorfrecvenµeesteiraµional,potap reaoseriederezonanµeceproduccre³terirapidealeamplitudinilordeoscilaµie³ioîndep rtareatraiectoriilordepesuprafaµatorilorcaracteristici.Spredeosebiredesistemeledisipative,pentrucarecomportareapetermenlungfacecasistemuls "uite"condiµiileiniµiale³is convearg spreunatractor(saugrupurideatractori),sistemelehamiltonienedepindînmodesenµialdecondiµiileiniµiale.11.10.3Exemplu:HamiltonianulHenon-HeilesAcesttipdehamiltonianafostintroduspentruprimadat deHenon³iHeiles[]înanalizami³c riiuneisteleîngalaxie.Încoordonategeneralizate,elareforma:H=1
2p21+1
2q21+1
2p22+1
2q22+q21q21
3q32;(11.115)cecorespundeunuicuplajdedoioscilatoriarmonicicuplaµiprinintermediulunuitermencubic,careconstituiedefaptparteanonintegrabil ahamiltonianului.Dac not mq1=x;q2=y;p1=px;p2=py,atuncifuncµiaHamiltonpoateg sit cuajutorulenergieipotenµialecorespunz toaremi³c riibi-dimensionaleauneisingureparticule:Ep(x;y)=1
2x2+1
2y2+x2y1
3y3:(11.116)Aceast funcµieestereprezentat înFig.11.30.Înreprezentareapreyentat înFig.11.31seobserv cum,odat cucre³tereavaloriienergieitotale,seproduceodeformareaconturuluienergieipotenµiale³i,pentruovaloarecritic a
292Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.0623590.124720.187080.249440.311790.37415
Figura11.31:ReprezentareaconturuluisuprafeµeienergieipotenµialeEp(x;y)pentrudiferitevalorialeenergiei.energiei,traiectoriaînchis (corespunz toaregropiidinvecin tateaoriginii)sedeschide.Înaceast situaµie,caracterulm rginit(periodic)almi³c rii,determinatedecaptareaparticuleiînaceast groap ,devinenem rginit,particulacuenergiemarereu³inds scapedinaceast "capcan ".EcuaµiileHamiltonasociatesunt:_q1=p1(11.117)_q2=p2(11.118)_p1=q12q1q2(11.119)_p2=q2q21+q22:(11.120)Dac sistemulesteconservativ,traiectoriilesuntredusepesuprafaµadedimensiune221=3.VomfolosimetodasecµiunilorPoincare³ivommaireduceodimensiuneastfelc ,prinaceast secµionareseilustreaz împr ³tiereapunctelorpesuprafaµaunuiplan(n=2).ÎnFigurile11.32,11.33,11.34,11.35esteilustratmodulîncaretorulinvariantsedezintegreaz ,înfuncµiedevaloareaenergieitotale,înformaµiunidetipinsule³iarhipelaguri.Distrugereatorilorinvarianµiurmeaz regulimatematicestricte;elenufacîns obiectulacestuimanual.Ceeaceesteimportantdereµinutestec sistemulprezint înmodsimultancaracteristicidecomportareintegrabil ³idehaos.
11.10.Haosînsistemehamiltoniene293
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Q2P2E=0.013
Figura11.32:
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Q2P2E=1/10
Figura11.33:
294Capitolul11.Noµiunidedinamic neliniar ³ihaosclasic
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Q2P2E=0.0333
Figura11.34:
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Q2P2E=0.16668
Figura11.35:
11.11.Probleme295
11.11Probleme1.Caredintreurm toareleecuaµiisuntliniare³icaresuntneliniare?x2y00+xy0+(x2n2)y=0dy
dx=y2+xdx
dt=a(xxy)dy
dt=c(yx)2.Transformaµiurm toareleecuaµiiînformastandardaunuisistemdeecuaµiiordinarecuplate:x00+ax0+bsinx=ccos!tx000=+bx2;b=const:3.Reprezentaµigracfuncµiax0=xx3³iidenticaµipuncteledeechilibru.4.Folosindanalizaliniar destabilitate,studiaµisistemuldinamicdescrisdeecuaµiax0=axbx3(a;b-constante)pentruambelesemnealeparametruluia.5.G siµipuncteledeechilibru,tipulacestuia³iilustraµispaµiulfazelorpentruurm torulsistemdeecuaµiineliniarecuplate:dx
dt=xyy!tdy
dt=xyx;b=const:
AnexaA
VectoriDescriereacantitativ aunorfenomenedinnatur presupuneexprimarealeg turilordintrediversem rimiprinrelaµiimatematiceadecvate.Fizica,primadintre³tiinµelenaturii,opereaz cuoseriedenoµiuni,exprimatecantitativprinm rimizicescalare,vectorialesautensoriale.M rimilezicescalaresuntcompletdeterminatedoarprinvaloarealornumeric .Înaceast categorieintr timpul,temperatura,energia,lucrulmecanic,potenµialulelectricsaugravitational,etc.Operaµiilematematicecuscalarisuntoperaµiiaritmeticeobi³nuite.Exist m rimiziceac rordescrierecomplet necesit specicareasuplimentar adirecµiei³iasensuluiacestora.Înacestcaz,avemdeafacecua³a-numitelem rimivectoriale,sau,pescurt,vectori.Într-unspaµiutridimensional,unvectorestedeterminatînmodunivocprinproiecµiilesalepeceletreiaxealesistemuluidecoordonate.A³acumvomvedeamaitârziu,într-unspaµiuN-dimensional,unvectorsepoatereprezentasubformauneimatricelinie,sauauneimatricecoloan cuNelemente.Înzic ,unnum rconsiderabildem rimisuntvectoriale.Înmecanic ,dintreexemplelecelmaifrecventîntâlnitedem rimivectoriale,putemamintiviteza,acceleraµia,forµa,impulsul,vitezaunghiular ,momentulcinetic,momentulforµeietc1.Pelâng scalari³ivectori,exist ³ioatreiacategorie-maipuµinnumeroas -dem rimizice,careconstituieogeneralizareavectorilor.Acesteasenumescm rimitensoriale,sautensori.Elesereprezint prinmatricicumaimultelinii³icoloane2.Amintimaici,caexempledem rimitensorialeîntâlniteînmecanic ,vitezaunghiular ³imomentuldeinerµie.A.1ReprezentareaunuivectorExist treimodalit µidereprezentareaunuivector:1.printr-unsegmentorientat(a³a-numitareprezentaregeometric ),2.prinproiecµiilesalepeaxeleunuisistemdecoordonate(a³a-numitareprezentareanali-tic ),sau
1A³acumvomvedeaîncontinuare,viteza,acceleraµia,forµa³iimpulsulsuntvectoripolari;vitezaunghiu-lar ,momentulcinetic³imomentulforµeisuntvectoriaxiali,saupseudovectori.2Cuuneledintreeleamf cutcuno³tinµ încuprinsulacesteic rµi.297
298CapitolulA.Vectori
FiguraA.1:Elementelespecicealeunuivector:O-originea;AA'-dreaptasuportorientat ;eadetermin direcµia³isensulvectorului.3.printr-omatrice.Fiecaredinacesteaprezint avantaje³idezavantaje,deaceeamoduldereprezentareaunuivectorsealegeînfuncµiedecontextulproblemeiderezolvat.A.1.1Reprezentareageometric Înacestcaz,unvectorestereprezentatcaunsegmentorientat,careporne³tedintr-unpunctnumitoriginesaupunctdeaplicaµiesaupol(notatcuOînFig.A.1).Segmentulestea³ezatpedreaptasuportAA'³iaresensulindicatdevârfuls geµii.Unvectordenitînacestmodsenume³tevectorpolar.Elesteprecizatprin:1.modul(m rime);2.origine(punctdeaplicaµie);3.orientare(direcµie³isens).Lungimeasegmentuluiorientatesteproporµional cum rimeavectorului.Modululunuivec-tor,~A,senoteaz ~AsauA.S consider munvectordem rimeegal cuunitatea,notat^eA,orientatpedirecµia³iînsensulvectorului~A.Acestasenume³teversor3.Putem,prinurmare,scriec :~A=A^eA:(A.1)A.1.2Reprezentareaanalitic Într-oreprezentareanalitic ,unversorestedeterminatprinproiecµiilesalepeaxeleunuisistemdereferinµ .UnexempluînacestsensesteprezentatînFig.A.2,încares-aufolositcoordonatelecarteziene.S not mcuAx;Ay³iAz-proiecµiilelui~Ade-alungulaxelorOx;Oy³iOz.Atunci:~A=Ax^x+Ay^y+Az^z;(A.2)unde^x;^y;^zsuntversoriidirecµiilorx;y;z.
3Înliteraturadespecialitatesefolosesc³ialtenotaµiipentruversori.
A.2.Operaµiialgebricecuvectori299
FiguraA.2:Proiecµiileunuivector,~A,peaxeleunuirepercartezianM rimeavectoruluisea folosindteoremaluiPitagora:A=
A2x+A2y+A2z:(A.3)Deexemplu,dac :~v=5^x3^y+^z(m/s),atuncivx=5m/s,vy=3m/s,³ivz=1m/s.M rimeavitezeivav=p
25+9+1m/s=p
35m/s=5.92m/s.A.1.3Reprezentareamatriceal Oricevectorpoateexprimatcaomatricecuosingur liniesaucuosingur coloan ,ecareelementalacesteiareprezentândcomponenta(proiecµiavectorului)peoanumit di-recµie.Deexemplu,vectorulreprezentatanaliticprinrelaµia(A.2)sevareprezentamatriceal,esubforma:~A=(AxAyAz);(A.4)sau:~A=AxAyAz:(A.5)A.2OperaµiialgebricecuvectoriA.2.1Adunarea³isc dereavectorilorFie~A³i~Bdoivectorioarecare.Suma~A+~Beste,deasemenea,unvector:~A+~B=~C:(A.6)Vectorulrezultantsepoatereprezentaprinoricaredinmodalitaµilemenµionateanterior.ÎnFig.A.3suntprezentatedou metodegeometricedeaareavectoruluirezultant.Prinregula
300CapitolulA.Vectori
FiguraA.3:Determinareapecalegeometric arezultanteiadoivectori:(a)prinmetodapoligonului;(b)prinmetodaparalelogramuluipoligonului(Fig.A.3(a))vectorulrezultantadoi(saumaimulµi)vectorisea construindvectorulcareînchideconturulpoligonalformatdinvectoriia³ezaµiînsuccesiuneavârf-origine.Origineavectoruluirezultantsea înorigineaprimuluivector,iarvârful-învârfulultimuluivectoralsumei.ÎnFig.A.3(b)esteilustrat adunareaadoivectoriprinregulaparalelogramului.Conformreguleiparalelogramului,vectorulrezultantestediagonalamareaparalelogramuluiconstruitdeceidoivectoriconcurenµi~A³i~B.Dingur seobserv c adunareaestecomutativ .Aceast construcµiegeometric permitecalcululm rimiivectoruluisum cuajutorulteoremeiluiPitagorageneralizate:C=
A2+B2+2ABcos ;(A.7)unde esteunghiuldintrevectorii~A³i~B.Dac sumaadoivectoriesteegal cuzero,atuncivectoriisuntegalicam rime³iausensuriopuse.~A+~B=~0)~B=~A:(A.8)Aceast relaµiedene³tevectorulopus³ieapermitedenireaoperaµieidesc dereadoivectoricaindadunareaunuivector,~A,cuvectorulopus,~B:~A~B=~A+(~B):(A.9)
FiguraA.4:Determinareavectoruluidiferenµ ,~D=~A~B:(a)folosindadunarealui~Acuvectorulopus,~B;(b)unindvârfurilevectorilordesc zut³isc z tor.Vectoruldiferenµ arevârfulînvectorul-desc zut³iorigineaînvectorul-sc z tor.
A.2.Operaµiialgebricecuvectori301
S exemplic m,încontinuare,adunareavectorilor,plecânddelareprezentarealoranali-tic .Încoordonatecarteziene:~A=Ax^x+Ay^y+Az^z;(A.10)~B=Bx^x+By^y+Bz^z:(A.11)Componentelevectoruluisum sea prinadunareaalgebric acomponentelor(proiecµiilor)corespunz toare,pedirecµiileOx;Oy³iOz.~C=(Ax+Bx)^x+(Ay+By)^y+(Az+Bz)^z;(A.12)~D=(AxBx)^x+(AyBy)^y+(AzBz)^z:(A.13)Evident,proceduraanalitic poateutilizat pentruadunareaanvectori~Ai,i=1;2;3:::;n.Dac secunoscproiecµiileacestorvectoripeaxelesistemuluidecoordonatecarteziene,Aix;Aiy;Aiz,atunci,vectorulsum este:~R=ni=1~Ai;(A.14)demodul:R=
A2x+A2y+A2z;(A.15)unde:Ax=ni=1Aix;Ay=ni=1Aiy;Az=ni=1Aiz:(A.16)A.2.2ÎnmulµireavectorilorSepotdenimaimultemodurideînmulµireavectorilor,înfuncµiedecontextulproblemei.Rezultatulînmulµiriipoateom rimevectorial sauunascalar .ÎnmulµireaunuivectorcuunscalarDinînmulµireaunuivector,~A,cuunscalar,,rezult unaltvector,~A0,dem rimeA.~A0=~A=!A:(A.17)Direcµiavectorului~A0esteaceea³icuavectorului~A,iarm rimea³isensuls udepinddevaloareascalarului:dac �0sensullui~A0estesensullui~A;dac 0sensullui~A0estecontrarsensuluilui~A.Unexempludeînmulµireaunuivectorcuunscalarafostdejaprezentatînrelaµia(A.1)³iilustratînFig.A.1.
302CapitolulA.Vectori
FiguraA.5:Interpretareageometric aprodusuluiscalarcuajutorulproiecµieiunuivectorpedreaptasuportaceluilalt.ProdusulscalarProdusulscalaradoivectorisenoteaz cu"".Rezultatuloperaµieideînmulµirescalar adoivectoriesteunscalar:~A~B=ABcos ;(A.18)unde reprezint unghiuldintrevectorii~A³i~B(Fig.A.5).Dac vectorii~A³i~Bsuntperpen-diculari,produsullorscalarestenul,deoarececos900=1.Dindeniµiadat derelaµia(A.18)seobserv c produsuluiscalarestecomutativ:~A~B=~B~A:(A.19)CuajutorulFig.A.5sepoatedaointerpretaregeometric aprodusuluiscalaradoivectori.A³acumrezult dingur ,proiecµiavectorului~Apedreaptasuportalui~Beste:Pr~B~A=Acos ;(A.20)astfelîncât:~A~B=BPr~B~A:(A.21)Lafel:Pr~A~B=Bcos ;(A.22)astfelîncât:~A~B=APr~A~B:(A.23)Componentaunuivectorpeoax esteproiecµiaacestuiapedirecµiaaceleiaxe.Înfuncµiedeversoriiec reiaxe,sepoatescrie:Ax=Acos(~A;^x)=~A^x;(A.24)Ay=Acos(~A;^y)=~A^y;(A.25)Az=Acos(~A;^z)=~A^z:(A.26)
A.2.Operaµiialgebricecuvectori303
Cosinusurileunghiurilordintrevectorul~A³iaxeleOx;Oy;Ozsenumesccosinusuriledirectoarealevectorului~A.cos(~A;^x)=Ax
A= 1;(A.27)cos(~A;^y)=Ay
A= 1;(A.28)cos(~A;^z)=Az
A=\r1:(A.29)Caurmare:~A=A( 1^x+ 1^y+\r1^z)=A^eA;(A.30)unde:^eA= 1^x+ 1^y+\r1^z(A.31)esteversoruldirecµieilui~A.Într-adev r:^eA^eA=1;(A.32)deoarece: 21+ 21+\r21=1:(A.33)Launrezultatidenticseajungefolosindreprezentareaanalitic .Deoareceversorii^x(1;0;0),^y(0;1;0)³i^z(0;0;1)suntreciprocperpendiculari,adic :^x^y=^y^z=^z^x=0;(A.34)^x^x=^y^y=^z^z=1;(A.35)produsulscalaralvectorilor~A(Ax;Ay;Az)³i~B(Bx;By;Bz)seexprim ca:~A~B=AxBx+AyBy+AzBz:(A.36)Exempledem rimideniteprintr-unprodusscalarsunt:lucrulmecanic,uxulcâmpului(gravitaµional,electric,magnetic)printr-osuprafaµ etc.ProdusulvectorialProdusulvectorialadoivectori~A³i~B,notatcu""arecarezultatunvectoraxial,~C:~A~B=~C:(A.37)Princonvenµie,produsulvectorialesteunvectorperpendicularpeplanulformatde~A³i~B(Fig.A.6).Sensullui~Cestestabilitderegulaburghiuluidrept:Sea³eaz burghiulperpendicularpeplanulformatdevectorii-produs³iserote³teînsensulsuprapuneriiprimuluivectorpestecelde-aldoilea,pedrumulcelmaiscurt.Sensuldeînaintarealburghiuluiestesensulvectoruluirezultant.Aceast regul deînmulµirene"atenµioneaz "c produsulvectorialesteanticomutativ:~A~B=~B~A:(A.38)
304CapitolulA.Vectori
FiguraA.6:Ilustrareamoduluidedeterminareadirecµiei³isensulprodusuluivectorial.M rimeavectoruluirezultantestedat derelaµia:C=ABsin :(A.39)CuajutorulFig.A.6sepoatedaointerpretaregeometric produsuluivectorial.Seconstat c modulullui~Creprezint ariaparalelogramuluiconstruitdeceidoivectori.S calcul mprodusulvectorial,folosinddedataaceastareprezentareaanalitic :~A~B=(Ax^x+Ay^y+Az^z)(Bx^x+By^y+Bz^z)(A.40)=AxBx(^x^x)+AxBy(^x^y)+AxBz(^x^z)+AyBx(^y^x)+AyBy(^y^y)+AyBz(^y^z)+AzBx(^z^x)+AzBy(^z^y)+AzBz(^z^z):(A.41)Deoareceprodusulvectorialadoivectoricoliniariestezero,iar:^x^y=^z;(A.42)^y^z=^x;(A.43)^z^x=^y;(A.44)seobµine:~A~B=^x(AyBzAzBy)+^y(AzBxAxBz)+^z(AxByAyBx)=^xAyAzByBz+^yAxAzBxBz+^zAxAyBxBy=^x^y^zAxAyAzBxByBz(A.45)
A.2.Operaµiialgebricecuvectori305
FiguraA.7:Interpretareageometric aprodusuluimixtcavolumulparalelipipeduluiconstruitcuceitreivectori.ProdusulmixtProdusulmixtincludeambeletipurideînmulµiridintrevectori.Rezultatulprodusuluiscalardintrevectorul~C³iprodusulvectorialalaltordoivectori,~A³i~B,esteunpseudo-scalar,D4:~A~B~C=D(A.46)Dac vectoriisuntcunoscuµipecomponente,atunciprodusulmixtsepoatecalculasubformaunuideterminant:D=AxAyAzBxByBzCxCyCz:(A.47)•inândcontdesemnicaµiageometric aprodusuluivectorial~A~B,precum³iaprodusuluiscalar~A~B,dinFig.A.7rezult c m rimealuiDesteegal cuvolumulparalelipipeduluiconstruitcuceitreivectori(necoplanari):V=ariabazeiîn lµimea(A.48)=~A~BCcos(~A~B;~C)(A.49)=~A~B~C:(A.50)Dinrelaµia(A.47)seobserv c produsulmixtnu-³ischimb valoareadac ceitreivectorisuntcomutaµiciclic:~A~B~C=~B~C~A=~C~A~B(A.51)
4Produsulvectorialdintredoivectori(încazulnostru,~A~B)esteunpseudo-vector.Deoareceunpseudo-vectorî³ischimb sensullainversareasensuluiuneiadinaxelesistemuluidecoordonate,m rimeaDî³ivaschimba,larândulei,semnuldup oastfeldeinversare.Deaceea,sespunec D,exprimatprintr-unprodusdetipulceluidinrelaµia(A.46)esteunpseudoscalar.
306CapitolulA.Vectori
TriplulprodusvectorialRezultatulînmulµiriivectorialeatreivectorieste,deasemenea,unvector.Deoareceefec-tuarearepetat aprodusuluivectorialîntrevectoriesteunlucrumaidicil,seprefer expri-marearezultatuluicuajutorulunorprodusescalare³ianume5:~A~B~C=~B~A~C~C~A~B:(A.52)A.3Elementedeanaliz vectorial A.3.1DerivareavectorilorS consider munvector,~A(s),exprimatcaofuncµiedeom rimescalar ,s.Încoordonatecarteziene,~A(s)sevascriesubforma:~A=Ax(s)^x+Ay(s)^y+Az(s)^z:(A.53)Derivatavectorului~Aînraportcuscalarulspoatescris înacela³imodca³iderivatauneifuncµiiscalare,adic :d~A
ds=lims!0~A(s+s)~A(s)
s:(A.54)Încazulîncarefuncµiascalar sestetimpul,derivatavectorului~Ava:d~A
dt=dAx
dt^x+dAy
dt^y+dAz
dt^z:(A.55)Dac m rimea~Areprezint vectoruldepoziµieaunuimobil,derivatalui~Aînraportcutimpulreprezint ,a³acums-adiscutatînCapitolulîntâi,vitezainstantaneeamobilului.Reguliledecalculaderivateiuneim rimivectoriale,~A,înraportcuom rimescalar generic ,s,vor:d
ds(~A~B)=d~A
dsd~B
ds;(A.56)d
ds[f(s)~A(s)]=df
ds~A+fd~A
ds;(A.57)d
ds(~A~B)=d~A
ds~B+~Ad~B
ds;(A.58)d
ds(~A~B)=d~A
ds~B+~Ad~B
ds:(A.59)Toateacesteregulivorfolositeîncadrulcinematicii³idinamiciipunctuluimaterial³ialesistemelordepunctemateriale.
5Aceast regul esteu³ordereµinutsubnumelebacminuscab.
A.3.Elementedeanaliz vectorial 307
FiguraA.8:Calcululintegraleivectorului~ade-alungulconturuluiA.3.2IntegrareavectorilorS menµion m,pentruînceput,c înmatematic sedene³teofuncµiescalar 6devariabil vectorial ,deforma:u(~r)=u(x;y;z)(A.60)³iofuncµievectorial 7devariabil vectorial ,deforma:~a(~r)=~a(x;y;z)=ax(x;y;z)^x+ay(x;y;z)^y+az(x;y;z)^z:(A.61)Ambelefuncµiisuntdeniteînoricepunctdescrisdevectoruldepoziµie~r³i,înceledou relaµiiscriseanterior,suntexprimateînsistemuldereferinµ cartezian(x;y;z).S consider mocurb ,,înspaµiulîncareestedenit înoricepunctfuncµiavectorial ~a.Integralafuncµieivectoriale~ade-alungulcurbeisenume³tecirculaµiavectorului~ade-alungulcurbei³isedene³teca:~ad~r=(axdx+aydy+azdz);(A.62)unded~rreprezint ovariaµieinnitezimal avectoruluidepoziµie.Încoordonatecarteziene:d~r=dx^x+dy^y+dz^z:(A.63)Putemexprima,deasemenea,relaµia(A.62)înfuncµiededistanµacurbilinieds,m surat de-alungulcurbei(Fig.A.8).Dac not mcuunghiuldintredirecµialui~a³itangentalacurbaînoricepunct,atunci:~ad~r=acosds:(A.64)A.3.3OperatorivectorialidiferenµialiOperatoriivectorialidiferenµialipermitexprimarealocal (punctual )alegilorzicii.Eipotexprimaµicuajutoruloperatoruluidiferenµialnotat~r"³inumitnabla8.Expresia
6Exempledefuncµiiscalare:densitatea,temperatura,energiapotenµial ,etc.7Exempledefuncµiivectoriale:viteza,intensitateacâmpuluigravitaµional,electric,etc.8Decelemaimulteoriseomitescrierealuircuvectordeasupra.
308CapitolulA.Vectori
concret aluirestefuncµiedesistemuldecoordonateutilizat.Încoordonatecarteziene,operatorulrareexpresia9:~r=^[email protected]
@x+^[email protected]
@y+^[email protected]
@z:(A.65)Operatorul~r~r=r2=^[email protected]
@x+^[email protected]
@y+^[email protected]
@z^[email protected]
@x+^[email protected]
@y+^[email protected]
@z(A.66)[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@z2(A.67)senume³teoperatorulLaplacesaulaplaceian.Înfuncµiedemodulîncarerseaplic uneim rimizice,scalaresauvectoriale,sedenesctreioperatorivectorialidistincµi:1.operatorulgradient-dac rseaplic uneifuncµiiscalare;2.operatoruldivergenµ -dac rseînmulµe³tescalarcuofuncµievectorial ;3.operatorulrotor-dac rseînmulµe³tevectorialcuofuncµievectorial .Expresiileoperatorilorvectorialidepinddesistemuldecoordonateîncaresedenesc.Pen-trusimplitate,vomconsideraînceleceurmeaz doarsistemulcartezian,urmândcaexpresiileoperatorilordiferenµialiînaltesistemedecoordonatesaededuse³iutilizatemaitârziu.OperatorulgradientOperatorulgradientseobµineprinaplicarealuiruneifuncµiiscalare.Carezultat,seobµineom rimevectorial .S consider mofuncµiescalar generic ,'='(x;y;z).Încoordonatecarteziene,expresiagradientului10m rimiiscalare'este:~r'=~grad'[email protected]'
@x^[email protected]'
@y^[email protected]'
@z^z:(A.68)Interpretareazic S consider mc valorilefuncµieiscalare'nudepinddecâtdecoordonatelepunctuluiîncareaceastaseevalueaz .Sedene³tenoµiuneadesuprafaµ denivelconstant(sausuprafaµ echi-potenµial (dac funcµia'reprezint unpotenµial),loculgeometricalpunctelorpentrucarefuncµia'areaceea³ivaloare(Fig.A.9):'='(x;y;z)=const:(A.69)
9Expresiaoperatoruluirdepindedesistemuldecoordonateales.10Operatorulgradientesteunvector,deaceea,pentrusubliniereaacestuilucru,amreprezentats geatadevectordeasuprasa.Înmodcurent,pentrusimplicareascrieriiseomiteacestsemn,f r auitaîns c m rimeazic exprimat înfuncµiedeungradientesteom rimevectorial .
A.3.Elementedeanaliz vectorial 309
FiguraA.9:Suprafeµeechipotenµiale
FiguraA.10:Orientareasegmentuluisînraportcuunsistemdecoordonatecarteziene.Variaµiafuncµiei'întredou suprafeµedenivelconstanteste:'='2(x;y;z)'1(x;y;z):(A.70)Avândînvederec 'esteom rimedat ,dinFig.A.9seconstat c raportul'
sdepindedoardeorientareasegmentuluis.Sedene³tederivatadup odirecµieafuncµieiscalare'conformrelaµiei:d'
ds=lims!0'
s:(A.71)Dac raport msegmentulslaunsistemdeaxecarteziene³iµinemcontdefaptulc funcµia'depindedevariabilasprinintermediulcoordonatelorx;y;z,putemscrie:d'
ds=lims!0x;y;z!0'
xx
s+'
yy
s+'
zz
s(A.72)
310CapitolulA.Vectori
FiguraA.11:Orientareavectoruluigradient•inândseamaderelaµiilecosinusurilordirectoare,relaµiaanterioar sepoatescriesubforma:d'
[email protected]'
@xcos [email protected]'
@ycos [email protected]'
@zcos\r;(A.73)unde:cos =lims!0x
s;(A.74)cos =lims!0y
s;(A.75)cos\r=lims!0z
s:(A.76)Expresia(A.73)reprezint rezultatulunuiprodusscalar:d'
ds=grad'^es;(A.77)unde:grad'[email protected]'
dx^[email protected]'
@y^[email protected]'
@z^z:(A.78)sau:grad'=cos ^x+cos ^y+cos\r^z;(A.79)iar^esesteversoruldirecµieis.M rimeavectoruluigradienteste:jgrad'j=
@'
@[email protected]'
@[email protected]'
@z2:(A.80)S consider m,încontinuare,oporµiunededimensiuniinnitezimaleaunuiplan(),tangentînpunctulPlasuprafaµadenivelconstant'='(x;y;z)=const(Fig.A.11).Toatepuncteledinplanul(),dinimediatavecin tatealuiP,sevorcaracterizaprinaproximativaceea³ivaloarealui'³i,caurmare:'0)d'
ds=0:(A.81)
A.3.Elementedeanaliz vectorial 311
Pentruoricedirecµiedinacestplan,caracterizat deversorii:^es1,^es2,etc.vomavea:d'
ds1=grad'^es1=0;(A.82)d'
ds2=grad'^es2=0:(A.83)Relaµiileanterioaresuntsatisf cuteîncondiµiileîncaregrad'esteorientatperpendicularpeoricaredou direcµiidinplanul().Direcµiagradientuluieste,a³adar,perpendicular înoricepunctpesuprafaµa'=const,avândorientareanormaleiînpunctulrespectiv.Princonvenµie,s-aalessensulvectoruluir'caindacelaîncare'cre³te.Înconcluzie,vectorulgradientesteîndreptatîndirecµiaceleimairapidecre³teriînspaµiualui'.Principalelepropriet µilealegradientuluisunt:1.esteofuncµievectorial denit într-unpunct(funcµiedepunct);2.indic direcµia³isensulceleimairapidecre³teriînspaµiuafuncµieiscalare;3.aresemnicaµiaderivateidup aceadirecµiepentrucarefuncµiascalar cre³tecelmairapid;4.esteorientatperpendicularpesuprafeµeleechipotenµiale'=const:,oricarearm rimeazic ',c reiaiseaplic .Semnicaµiazic aacestuioperatorafostdiscutat am nunµitînleg tur cunoµiuneadepotenµialscalargravitaµional.Operatoruldivergenµ DeniµieOperatoruldivergenµ seobµineprinînmulµireascalar aoperatoruluircuofuncµievectorial .S consider mofuncµievectorial depunct,~a,careîncoordonatecartezieneareexpresia:~a=~a(x;y;z):(A.84)Expresiadivergenµeieste:div~a=~r~a=(^[email protected]
@x+^[email protected]
@y+^[email protected]
@z)(^[email protected]
@x+^[email protected]
@y+^[email protected]
@z)(A.85)[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@z(A.86)Interpretareazic Pentruailustrasemnicaµiazic aoperatoruluidivergenµ nevomfolosideunexempludinmecanicauidelor.Sedene³teintensitateacurentuluimasic,I,dreptcantitateadeuidcaretreceprintr-osuprafaµ dSînunitateadetimpdt:I=dm
dt:(A.87)
312CapitolulA.Vectori
dSdSna
vdt(a)(b)
FiguraA.12:Ilustrareainterpret riiziceadivergenµei.
A.3.Elementedeanaliz vectorial 313
Masadmpoatescris înfuncµiedevaloareavitezeiunei"particule"deuidînregiuneasuprafeµeiinnitezimaledS.S nefolosimdeFig.A.12(a),încares-anotatcu unghiuldintre~v³inormalalasuprafaµ .Suprafaµa"v zut "efectivdeuidulîncurgereestedSn=dScos .Cantitateadeuidcetreceîntr-untimpdtprinsuprafaµadS(saudSn)estecuprins într-uncilindrudearieabazeidSn³ideîn lµimevdt.Caurmare:dm=dSnvdt=dSvdtcos (A.88)undeestedensitateavolumic auidului.Rezult c :I=dm
dt=dSvcos :(A.89)Sedene³te,deasemenea,densitateacurentuluimasic,j,prinrelaµia:j=dm
dSndt=v:(A.90)Constat mc ,întrucâtvitezaesteom rimevectorial ,iar-unscalar,jesteom rimevectorial :~j=~v:(A.91)Avândînvederec ~vsepoatescrie,încoordonatecarteziene,subforma:~v=vx^x+vy^y+vz^z;(A.92)rezult c :~j=jx^x+jy^y+jz^z;(A.93)unde:jx=vx;jy=vy;jz=vz:(A.94)S analiz mîncontinuare,curgereaunuiuidînraportcuunreferenµialcartezianOxyz.M rimeavectorial generic ~adinrelaµia(A.85)vaacum~j.NevomfolosideFig.A.12(b)³ivomîncepediscuµianoastr cudirecµiaOydinmotivedevizibilitatemaibun .DensitateadecurentpefaµadeintrareînparalelipipeduldevolumdVestejy(y),iarpeceadeie³irejy(y+dy).Cantitateadeuidceintr ,într-untimpdtînvolumulelementardVeste:dm(y)=dxdzvy(y)dt;(A.95)iarceacareiese:dm(y+dy)=dxdzvy(y+dy)dt:(A.96)Dac dm(y)estediferitdedm(y+dy),atunciputemvorbideomas net deuidcare"izvor ³te"sau"dispare"dinvolumulelementardV,exprimat ca:dmy=dm(y+dy)dm(y)=dxdzdt[vy(y+dy)vy(y)]:(A.97)Observaµii:Amconsideratmaisusc uidulesteincompresibil,deci(y)=(y+dy)=.Dac dm(y+dy)�dm(y)sespunec dVsecomport (dup direcµiay)caunizvor.Încazcontrar,dVsecomport caunpuµsaudren.
314CapitolulA.Vectori
Putemexprimapevy(y+dy)subformauneidezvolt riînserieTaylor:vy(y+dy)=vy(y)+1
[email protected]
@ydy+1
[email protected]
@y2(dy)2+:::(A.98)Dac vitezadevariaµiealuivycuynuestefoartemare,atunci,într-oprim aproximaµie,putemconsiderac :vy(y+dy)=vy(y)[email protected]
@ydy;(A.99)astfelîncât:dmy=[email protected]
@ydy:(A.100)Relaµiisimilarevorputeascrisecuu³urinµ ³ipentrudirecµiileOx³iOz,astfelîncât:dm=dmx+dmy+dmz(A.101)=[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@z(A.102)[email protected](vx)
@[email protected](vy)
@[email protected](vz)
@zdVdt(A.103)[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@zdVdt(A.104)A³adar:@jx
@[email protected]
@[email protected]
@z=dm
dVdt:(A.105)ÎntrucâttermenulIdinrelaµia(A.105)sepoatescriecaunprodusscalarîntreoperatorulr(@
@x^x;@
@y^y;@
@z^z)³ivectorul~j(jx;jy;jz),rezult c :div~j=dm
dVdt:(A.106)Cualtecuvinte,div~jreprezint masadeuidizvorât ,înunitateadetimp,dintr-unvolumelementarunitate,dV.Sespunec div~jreprezint productivitateavolumic specic deuidaunit µiidevolumelementar,dV,aunuiizvordeuid.Evident,cucâtizvorulvamaiputernic,cuatâtdiv~jcareîlcaracterizeaz vamaimare.Dealtfel,termenuldedivergenµ provinedelacuvântullatindivergere,careînseamn aizvorî.Avândînvederec dm=~j!dS,încaredSestesuprafaµacareînconjoar volumulelementardV,prinintegrarepeîntregvolumuluneisursemacroscopicedeuidvomputeascrie:S~j!dS=Vdiv~jdV(A.107)carereprezint teoremaluiGreen-Gauss-Ostrogradski.Aceast ultim relaµiestabile³teoleg tur întreointegral desuprafaµ alui~j³iunadevolumauneifuncµiide~j.
A.3.Elementedeanaliz vectorial 315
OperatorulrotorDeniµieOperatorulrotorrezult dinînmulµireavectorial aluircuom rimevectorial ,~a.Re-zultatulesteom rimevectorial ,care,încoordonatecartezieneestedatdeexpresia:r~a=rot~a=^x^y^[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@zaxayaz(A.108)[email protected]
@y@ay
@z^[email protected]
@z@az
@x^[email protected]
@x@ax
@y^z:Interpretareazic Fieunvector~a,caracterizatprincomponenteleax;ay³iazîncoordonatecarteziene.S consider modirecµieoarecare,descris deversorul^n:Înplanulperpendicularpeversorul^n,alegemunconturinnitezimalînchisdelungimel,carem rgine³teosuprafaµ mic S:Deobicei,sensuldeparcurgerealconturuluisestabile³teastfelîncâtsensulpozitivalversorului^ns coincid cuceldeterminatprinregulaburghiuluidrept.Operatoruldiferenµialrotesteunvectorac ruiproiecµiepedirecµialui^nestedenit prinrelaµia:rotn~a=limS!0~a!dl
S:(A.109)S consider m,înceleceurmeaz ,c vectorulgeneric~aesteviteza~vaunuipunct(elementdemas )dintr-uncorprigidcareserote³tecuvitezaunghiular !înjuruluneiaxederotaµiecoliniar cuversorul^n.Traiectoriapunctuluiconsideratesteuncercderaz r,cucentrulpeaxaderotaµie,iarvitezasa,v=!resteorientat tangentlatraiectorie.Lungimeaconturuluiceînchideelementuldesuprafaµ S=r2estedl=2r.Conformdeniµiei(A.109)seobµine:rotn~v=limr!0vdl
r2=limr!0!2r
r2=2!:(A.110)Astfel,rotorulvitezeiliniareapunctelorunuisolidrigidaatînmi³carederotaµiearesemni-caµiadubluluivitezeiunghiulare.Dinpunctdevederealcalcululuimatematicestemultmaiconvenabil denireaoperato-ruluirotorîntermenidecoordonate.S g simproiecµiilevectoruluirot~aîntr-unsistemdecoordonatecartezian,deexemplude-alungulaxeiOz.Conturulpecareseintegreaz esteundreptunghiculaturilex,yindicatînFig.A.13.Seobµine:~a!dl=(x+x;y;z)(x;y;z)ax(x;y;z)dx+(x+x;y+y;z)(x+x;y;z)ay(x+x;y;z)dy+(x;y+y;z)(x+x;y+y;z)ax(x;y+y;z)dx+(x;y;z)(x;y+y;z)ay(x;y;z)dy:(A.111)
316CapitolulA.Vectori
FiguraA.13:Denireaoperatoruluirotorîntermenidecoordonate.Considerândc x³iysuntmici,putemdezvoltatermeniiAx;AyînserieTaylor³ireµinedoartermeniisemnicativi:Ax(x;y+y;z)=Ax(x;y;z)[email protected](x;y;z)
@yy+:::(A.112)Ay(x+x;y;z)=Ay(x;y;z)[email protected](x;y;z)
@xx+:::(A.113)S revenimînrelaµia(A.111)încare,pentruclaritate,s calcul msumadintreprima³iatreia,respectivdintreadoua³iapatraintegral .Dup inversarealimiteloruneiintegrale³iapariµiasemnuluiminus,seobµine:I1=(x+x;y;z)(x;y;z)Ax(x;y;z)dx(x+x;y;z)(x;y;z)Ax(x;y;z)[email protected](x;y;z)
@yydx=@Ax(x;y;z)
@yyx:(A.114)Înmodsimilarseg se³te:I2=@Ay(x;y;z)
@xxy:(A.115)Caurmare,conformdeniµiei(A.109),proiecµiavectoruluirot~ApeaxaOzeste:[email protected]
@x@Ax
@y:(A.116)Înmodsimilarseobµin³icelelalteproiecµii(considerânddreptunghiuriculaturiley;z³i,respectivz;x):[email protected]
@y@Ay
@z;(A.117)[email protected]
@z@Az
@x:(A.118)
A.4.Probleme317
FiguraA.14:IlustrareateoremeiluiStokes-AmpèreDinacesterelaµiirezult expresiavectoruluirotorîncoordonatecarteziene:[email protected]
@y@Ay
@z^[email protected]
@z@Az
@x^[email protected]
@x@Ax
@y^z:(A.119)Teoremaintegral Stokes-AmpèreS calcul muxulvectoruluirot~aprintr-osuprafaµ oarecarem rginit deunconturînchis,divizândsuprafaµaconsiderat înmicielementedesuprafaµ Si.Srot~ad~S=(i)Sirot~ad~S:(A.120)CumSiestefoartemic,seobµinînprim aproximaµie,folosindrelaµiadedeniµie(A.109),urm toareleexpresiicecorespundec ruielementdesuprafaµ :Sirot~Ad~S=Sirot~AndSrot~AnSii~Ad~l(A.121)Caurmare:Srot~Ad~S(i)i~Ad~l:(A.122)ConformFig.A.14,integraleledepecontururilecem rginescdou suprafeµevecinesuntopusecasemn(deoarecesuntparcurseînambelesensuri)³icaurmareseanuleaz reciproc.Singuriitermenicer mânnecompensaµisuntceidepeconturulexteriorcem rgine³tesupra-faµaconsiderat .ConsiderândsuprafeµeleSidinceîncemaimici,printrecerelalimit seobµinerelaµia:Srot~Ad~S~Ad~l:(A.123)Aceast relaµieestecunoscut cateoremaStokes-Ampère.A.4Probleme1.Poaterezultantaadoivectoridem rimidiferite,egal cuzero?
318CapitolulA.Vectori
2.Folosinddeniµiaprodusuluiscalaradoivectoris sedemonstrezeteoremacosinusului.3.Folosinddeniµiaprodusuluivectorialîntr-untriunghiconstruitcuvectorii,~A;~B;~C(~C=~A+~B)deduceµiteoremasinusului:sin(~A;~B)
C=sin(~B;~C)
A=sin(~A;~C)
B:4.Fievectorii:~a=^x^y+4^z;~b=^x+2^y+2^z;~a=2^x+2^y2^z:(a)reprezentaµigracvectorii~a;~b³i~c;(b)calculaµi~a+2~b~c;~a(~b~c);~b~a2~c;(c)determinaµi:proiecµialui~bpe~c2~a;unghiuldintre~a+2~b~c³i~c2~a;cosinusuriledirectoaredintre3~b³i~c.5.Forµele:~F1=2^x^y4^z;~F2=4^x+3^y+^z:acµioneaz asupraunuipunctmaterialcaresedeplaseaz înliniedreapt dinpunctulA(2;2;1)înpunctulB(2;4;1).CalculaµilucrulmecanicL=~Fd~refectuatdeforµacarerezult dincompunerealui~F1cu~F2,(~F1+~F2).6.Careestevaloareadistanµeidintrevârfurilevectorilordepoziµie~r1=^x2^y+3^z³i~r2=2^x4^y+5^z?R spuns:57.Pentrucevaloarealuicurm toriitreivectorisuntcoplanari?~a=3^x+2^y^z;~b=3^x+4^y5^z;~a=c(^x+^y^z):Careestevaloarealuicpentrucaeis formezeuntriunghi?R spuns:c=7;c=4p
2
A.4.Probleme319
8.Demonstraµiegalit µile:~a~b~c~d+~b~c~a~d+(~c~a)~b~d=0~a~b~c~d=~a~b~d~c~a~b~c~d==~a~c~d~b~b~c~d~a:9.Demonstraµiegalitatea:rot(rot~a)=grad(div~a)r2~a.10.Calculaµigradientulfunctiei1=r3cunoscândc r=
x2+y2+z2:11.CalculaµirotorulfuncµieiU=k=r³icomponentelecartezienealeforµeideniteprinrelaµia~F=rU;under=
x2+y2+z2,iark-oconstant .12.Determinaµidivergenµavectorului~r=xy^xyz^yzx^z:
AnexaB
NoµiuniintroductivedespreecuaµiidiferenµialeordinareOecuaµiediferenµial esteaceaecuaµieîncarenecunoscutay(ofuncµiedeunasaumaimultevariabile,x1;x2;:::;xm)apareîmpreun cuderivatelesalepân launordinn.Ordinulmaximalderivatei,n,reprezint ordinulecuaµieidiferenµiale.Dac funcµiayestedeosingur variabil (m=1),ecuaµiadiferenµial senume³teordinar .Dac m�1,ecuaµiadiferenµial senume³tecuderivateparµiale.Înceleceurmeaz ,vomfaceofoartescurt trecereînrevist aprincipalelortipurideecuaµiidiferenµialeordinare³ivomprezentamodalitateadeaareasoluµiiloracestora,atuncicândacestlucruesteposibil.Amales,înspecialtipuriledeecuaµiidiferenµialeordinarecareaparîncarteadefaµ .Concretizândcelear tateanterior,oecuaµiediferenµial ordinar sescriesubformagene-ral :f(x;y;y0;:::;y(n))=0:(B.1)Oecuaµiedeforma:f(x;y;y0)=0(B.2)estedeordinulI,deoareceaiciaparedoarderivatadeordinIaluiy.Înacela³isens,ecuaµia:f(x;y;y0;y00)=0(B.3)estedeordinulII.Înanumitecondiµii,ecuaµiadiferenµial (B.1)sepoatescriesubformaechivalent :y(n)= (x;y;y0;:::;yn1);(B.4)denumit form normal .Rezolvarea(integrarea)uneiecuaµiidiferenµialeurm re³teg sireamulµimiifuncµiilory(x)careveric ecuaµiadiferenµial respectiv 1.Prinsoluµieaecuaµieidiferenµialepeintervalul
1Aceast mulµimesenume³tesoluµiageneral aecuaµieidiferenµiale.321
322CapitolulB.Noµiuniintroductivedespreecuaµiidiferenµialeordinare
(a;b)Rseînµelegeofuncµiey(x),pentrucareexist derivateley0;y00;:::;y(n)³iveric relaµia(B.4)pe(a;b),pentruoricevaloarealuix.Ecuaµiilediferenµialedescriuevoluµiaunuisistemîntimp³i/sauspaµiu.Integrarealorconducelag sireauneifamiliidesoluµiiy(x),deforma:y='(x;a1;a2;:::an);(B.5)undeaisuntconstantearbitrare,ecareputândluavaloriîntr-unintervalnitsauinnit.Num rulnalconstanteloresteegalcuordinulecuaµieidiferenµiale.Relaµia(B.5)precizeaz soluµiageneral aecuaµieidiferenµiale.Pentruoanumit valoareaconstantelorai(cui=1:::n),seg se³teosoluµieparticular aecuaµieidiferenµiale.Dinp cate,nuexistaometod general deintegrareaecuaµiilordiferenµiale,cimetodevalabiledoarpentruanumitetipurideecuaµiidiferenµiale.Alegereametodeisefaceînfuncµiedeformaecuaµieidiferenµiale³ieaesteaplicabil într-unnum rlimitatdesituaµii.B.1EcuaµiidiferenµialedeordinulIcuvariabileseparabileFormageneral aacestorecuaµiieste:y0g(y)=h(x))g(y)dy=h(x)dx:(B.6)Aceastaseintegreaz imediat:g(y)dy=h(x)dx+C;(B.7)undeCesteoconstant real oarecare.Ecuaµiilediferenµialecuvariabileseparabileapar,deexemplu,înstudiulmi³c riipunctuluimaterialsubacµiuneaunorforµedependentedevitez saudetimp.Exemple(1)Fieecuaµiadiferenµial :y0+y2cosx=0:(B.8)Easepoatescriesubforma:dy
y2=cosxdx;(B.9)deunde:dy
y2=cosxdx,1
y=sinx+C(B.10)sau:y=1
sinx+C;;C2R(B.11)(2)Fieecuaµiadiferenµial :xy0=
1y2:(B.12)
B.2.EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulI323
Easepoatescriesisubforma:dy
È
1y2=dx
x:(B.13)Dup integrarevomg si:arcsiny=lnjxj+lnC=lnCjxj;(B.14)deunde:y=sin(lnCjxj);C�0(B.15)B.2EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulIEcuaµiilediferenµialeliniaredeordinulIauforma:dy
dx+f(x)y=g(x);(B.16)undef(x)³ig(x)suntfuncµiioarecaredex,înparticularnulesauconstante.Uneiastfeldeecuaµiiiseasociaz ecuaµiaomogen :dy
dx+f(x)y=0;(B.17)Soluµiaecuaµieiomogeneesteu³ordeg sit,deoareceecuaµia(B.17)estecuvariabilesepa-rabile;easepoaterescriesubforma:dy
y=f(x)dx:(B.18)Dac F(x)esteoprimitiv aluif(x)avem:lnjyj=F(x)+C)jyj=eCeF(x);(B.19)³ideci:y=eCeF(x)=aeF(x)cua=eC(B.20)S presupunemcunoscut osoluµieparticular ,y0(x)aecuaµiei(B.16).Atunci:dy0
dx+f(x)y0=g(x):(B.21)Sc zând,membrucumembru,ecuaµiile(B.16)si(B.21)avem:dy
dxdy0
dx+f(x)(yy0)=0;(B.22)ceeaceînseamn c diferenµa(yy0)esteosoluµieaecuaµieidiferenµiale(B.22)³ideci:yy0=aeF(x);(B.23)
324CapitolulB.Noµiuniintroductivedespreecuaµiidiferenµialeordinare
adic :y=y0+aeF(x):(B.24)Prinurmare,putemarmac :Soluµiageneral auneiecuaµiidiferenµialeliniareneomogenedeordinulIestesumdintreosoluµieparticular aacesteiecuaµii³isoluµiageneral aecuaµieiomogenecorespunz toare.Încontinuare,r mâneproblemag siriiuneisoluµiiparticulareaecuaµieineomogene.Acestlucrupoaterealizatfolosinda³a-numitametod avariaµieiconstantei³ianume:S presupunemc constantaa,careapareînexpresiasoluµieiecuaµieiomogenearofuncµiedex,adic a=a(x)2.C ut mîncecondiµiifuncµiay(x)=a(x)eF(x)estesoluµieaecuaµiei(B.16).Vomavea:dy
dx=a0(x)eF(x)+a(x)F0(x)eF(x):(B.25)Avândînvederec F0(x)=f(x),dup înlocuirealuidy=dxînecuaµia(B.16)obµinem:a0(x)eF(x)a(x)f(x)eF(x)+f(x)a(x)eF(x)=g(x);(B.26)deunde:a0(x)eF(x)=g(x):(B.27)Caurmare,a(x)esteoprimitiv aluig(x)eF(x),deci:a(x)=g(x)eF(x)dx:(B.28)Putemacumscriesoluµiageneral aecuaµieineomogenesubforma:y=[a+g(x)eF(x)dx]eFx;(B.29)undeF(x)esteoprimitiv afuncµieif(x),careaparecauncoecientalluiyînecuaµia(B.16).Exemple(1).Fieecuaµiadiferenµial :dy
dx=2x(ex2+y):(B.30)Easepoatescriesubformaechivalent :dy
dx2xy=2xex2:(B.31)Înacestcaz,f(x)=2x,iaroprimitiv aluif(x)estex2.Prinurmare:y=[a+2xex2ex2dx]ex2=(a+x2)ex2:(B.32)
2Deaicidenumireadevariaµiaconstantei.
B.3.EcuaµiadetipBernoulli325
(2).Fieecuaµiadiferenµial :dy
dx(1+x2)+2xy=cosx:(B.33)Easemaipoatescrie³isubforma:dy
dx+2xy
1+x2=cosx
1+x2:(B.34)Înacestcaz:f(x)=2x
1+x2;(B.35)careareoprimitiv dat deln(1+x2).Rezult ,înnal:y=[a+cosx
1+x2eln(1+x2)dx]eln(1+x2)=a+sinx
1+x2:(B.36)B.3EcuaµiadetipBernoulliOastfeldeecuaµieareforma:dy
dx=f(x)y+g(y)y ;(B.37)unde esteoconstant arbitrar .Dac  =0sau =1,ecuaµiaesteliniar .Dac  estediferitde0sau1,iary=0,împ rµindecuaµiaprecedent priny ,vomobµine:dy
dxy =f(x)y1 +g(x):(B.38)Maideparte,f cândschimbareadevariabil z=y1 ,avem:dz
dx=(1 )y dy
dx)dy
dx=y00
1 dz
dx:(B.39)Înlocuindacestrezultatîn(B.38)g sim:dz
dx=(1 )[f(x)z+g(x)]:(B.40)Amajunsastfellaoecuaµiediferenµial înz(x).Dup ceg simsoluµiaz=z(x),expresialuiysepoateobµinedinrelaµia:y=z1
1 :(B.41)ExempluFieecuaµiadiferenµial :dy
dx=2xy+x3y3:(B.42)
326CapitolulB.Noµiuniintroductivedespreecuaµiidiferenµialeordinare
Folosindprocedeulanalizatîncazulecuaµiilorliniare,vomg si:z=[a+2x3e2x2]e2x2:(B.43)Dup integrare:z=ae2x2x2
2+1
4:(B.44)A³adar,expresialuiyeste:y=(ae2x2x2
2+1
4)1
2:(B.45)B.4EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulIIFormageneral aecuaµiilordiferenµialeliniaredeordinulIIeste:f2(x)y00+f1(x)y0+f0(x)y=g(x):(B.46)Ecuaµieidiferenµiale(B.46)iseasociaz ecuaµiaomogen :f2(x)y00+f1(x)y0+f0(x)y=0:(B.47)S presupunemc secunoa³teosoluµieparticular ,y0(x),aecuaµiei(B.46).Atunci:f2(x)y000+f1(x)y00+f0(x)y0=g(x):(B.48)Sc zândecuaµiile(B.46)si(B.48)g sim:f2(x)(y00y000)+f1(x)(y0y00)+f0(x)(yy0)=g(x):(B.49)Decidiferenµa(yy0)estesoluµieaecuaµieiomogene.Înconcluzie:Soluµiageneral auneiecuaµiiliniaredeordinulIIestesumauneisoluµiiparticulareaacesteiecuaµii³isoluµiaecuaµieiomogeneasociate.C ut m,într-oprimaetap ,soluµiaecuaµieiomogene.Presupunemc y1(x)esteosoluµieaecuaµieiomogene³is consider mc yestelegatdey1printr-orelaµiedeforma:y=zy1;(B.50)undezesteonouafuncµienecunoscut .Calculândy0³iy00³iînlocuindîn(B.48)vomavea:f2(x)(y001z+2y01z0+y1z00)+f1(x)(y01z+y1z0)+f0(x)y1z=0:(B.51)Deoarecey1esteosoluµie,µinândcontde(B.48),g sim:z[f2(x)y001+f1(x)y01+f0(x)y1]=0:(B.52)Dinecuaµia(B.51)mair mâne:f2(x)(2y01z0+y1z00)+f1(x)y1z0=0;(B.53)
B.5.EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulIIcucoecienµiconstanµi327
careestedeforma:F2(x)z00+F1(x)z0=0:(B.54)F cândschimbareadevariabil u=z0g simoecuaµiediferenµial liniar omogen deordinulI,desprecareamdiscutatmaiînainte.Prinintegrareseg se³tez,apoisoluµiaecuaµieiomogene.Deremarcatc dac y1(x)esteosoluµieparticular aecuaµieiomogene,ky1(undekesteoconstant arbitrar )este,deasemenea,osoluµieparticular aaceleea³iecuaµiidiferenµiale.S presupunemacumc secunoa³teoadouasoluµieparticular aecuaµiei(B.48),y2(x),carenuestedeformaky1.Acesteia2-asoluµiitrebuies îicorespund osoluµiez1(x),a³aîncâty2(x)=z1(x)y1(x).Prinurmare,soluµiageneral aacesteiecuaµiitrebuies e:z=k2z2+k1;(B.55)sau:z=k2y2
y1+k1:(B.56)(k1³ik2suntdou constantearbitrare).Înconcluzie:SoluµiauneiecuaµiidiferenµialeliniaredeordinulII,omogene,estedeforma:y=k1y1+k2y2;(B.57)y1³iy2inddou soluµiiparticulare,alc rorraportnuesteoconstant .Cualtecuvinte:Soluµiaecuaµieidiferenµiale(B.46)sepoateobµinedac secunoa³teosoluµieparticular asa³idou soluµiine-proporµionalealeecuaµiei(B.48).Primasoluµieparticular ,y0,sepoateobµineprinmetodavariaµieiconstantei,decarene-amocupatîncazulecuaµiilorliniare.Nuexista,îns ,metodegeneraledeaarealuiy1³iy2.B.5EcuaµiidiferenµialeliniaredeordinulIIcucoecienµicon-stanµiAstfeldeecuaµiisuntdeforma:ay00+by0+cy=f(x);(B.58)a,b,cindconstanterealearbitrare.Ecuaµiaomogen asociat este:ay00+by0+cy=0:(B.59)Cumacestaesteuncazparticularasituaµieidiscutateanterior,aicisepotobµinedou soluµiiparticularealeecuaµieiomogene(B.59)c utândosoluµiedeforma:y=erx;(B.60)
328CapitolulB.Noµiuniintroductivedespreecuaµiidiferenµialeordinare
underesteoconstant cetrebuiedeterminat .Vomavea:ar2erx+brerx+cerx=0(B.61)³i:ar2+br+c=0:(B.62)Ecuaµia(B.62)senume³teecuaµiacaracteristic asociat ecuaµieidiferenµiale(B.59).Eaarer d cinir1;2realesaucomplexe,distinctesauconfundate.Exist treisituaµiidistincte:(a)r1³ir2suntreale³idistincte.Soluµiageneral aecuaµieiomogeneeste:y=k1er1x+k2er2x;(B.63)k1sik2inddou constantearbitrare.(b)r1³ir2suntreale³iconfundate.Soluµiageneral aecuaµieiomogeneeste:y=(ax+b)er1x;(B.64)cua,b-constantearbitrare(c)r1³ir2suntcomplexconjugate.r1= +i ,iarr2= i .Soluµiageneral este:y=k1er1x+r2er2x=e x(k1ei x+k2ei x);(B.65)adic :y=e x[k1(cos x+isin x)+k2(cos xisin x)]:(B.66)Soluµiareal trebuiesaaib coecienµireali,astfelîncât:y=e x(acos x+bsin x);(B.67)sau:y=Ce xcos( x+'):(B.68)Pentruaobµinesoluµiageneral aecuaµieineomogene,laosoluµieparticular aacesteiecuaµiitrebuieadunat soluµiageneral aecuaµieiomogene,menµionat anterior.
AnexaC
Constantezice³iunit µidem sur ConstanteziceVitezaluminiiînvidc=2;99792458108m=sConstantaatractieiuniversale\r=6;6731011Nm2=kg2MasaatomuluidehidrogenmH=1;673521027kgMasaelectronuluime=9;10941031kgSarcinaelectronuluie=1;602181019CValoridenitecastandardAcceleraµiagravitaµional standardg0=9:80665m=s2Presiuneaatmosferic normal p0=1;01325105PaM rimispeciceP mântuluiMasaMP=5;9741024kg\rMp=3;98601014m3=s2RazalapoliRp=6356;8kmRazalaecuatorRe=6378;1kmSemiaxamareaorbiteiap=1;49598108kmExcentricitateaorbitei"=0;016722Perioadaorbital T=3;1558107sVitezamaxim peorbit vmax=29;785km=sVitezadeevadareînspaµiuve=11;9km=sVitezaunghiular medieorbital !=7;2921105s1329
330CapitolulC.Constantezice³iunit µidem sur 
M rimispeciceSoarelui³iLuniiMasaSoareluiMS=1;9891030kg=3;3295105MP\rMS=1;327121020m3=s2MasaLuniimL=7;3481022kg=0;012300MPSemiaxamareaorbiteiLuniiaL=3;8440105kmPerioadaorbital aLuniiTM=2:3606106sUnit µiledem sur alem rimilorfundamentaledinSI1.Kilogramul,kg:masaetalonuluiinternaµionalp stratlaBiroulInternaµionaldeM suri³iGreut µidelaSèvres,dinFranµa.2.Secunda,s:durataa9192631770perioadedeoscilaµieatranziµieihiperneîntreniveleleF=4,mF=0³iF=3,mF=0alest riifundamentaleaizotopului133Cs.3.Metrul,m:distanµaparcurs înviddelumin în1=299792458s:4.Amperul,A:intensitateacurentuluicare,trecândprindou conductoaredesecµiunenneglijabil ,innitlungi³iparaleleîntreele,plasateînvidlaodistanµ de1m,determin oforµ deinteracµiuneîntreacesteade2107Npentruecaremetrudelungimeaconductorului.5.Kelvinul,K:intervaluldetemperatur egalcu1/273,16dintemperaturatermodinamic apunctuluitriplualapei.6.Candela,cd:intensitatealuminoas emis ,într-odirecµiedat ,deosurs monocroma-tic cufrecvenµade5401012Hz³iac reiintensitateenergetic înaceast direcµieestede1/683W/sr.Unit µiderivateNewton1N=1kgm=s2Joule1J=1NmWatt1W=1J=sPascal1Pa=1N=m2Hertz1Hz=1s1
331
Prexepentrumultiplii³isubmultipliim rimilormetrice103kilo-(k)106Mega-(M)109Giga-(G)1012Terra-(T)103mili-(m)106micro-()109nano-(n)1012pico-(p)
Bibliograe1.G.Anicul esei,Ecuaµiidiferenµiale³iecuaµiileziciimatematice.Ed.Univ."AlexandruIoanCuza"Ia³i,2003.2.A.P.Arya,IntroductiontoClassicalMechanics,2-ndEdition,PrenticeHallInternationalInc.,1990.3.V.Barger,M.Olson,ClassicalMecanics-AModernPerspective,McGraw-Hill,NewYork,1973.4.F.S.Crawford,Cursuldezic Berkeley,vol3:Unde,Ed.Didactic ³iPedagogic ,Bucure³ti,1983.5.A.P.French,M.G.EbisonIntroductiontoClassicalMechanics,VanNostrand,UK,1986.6.H.Goldstein,C.Poole,andJ.Safko,ClassicalMechanics,3-rdEdition,AddisonWesley,2000.7.D.Halliday,R.Resnick,Fizicavol1,Ed.Didactic ³iPedagogic ,Bucure³ti,1975.8.W.Hauser,IntroductiontothePrinciplesofMechanics,Addison-WesleyPublishingComp.Inc.,1965.9.R.C.Hilborn,ChaosandNonlinearDynamics,OxfordUniversityPress1994.10.A.Hristev,Mecanic ³iacustic ,Ed.Didactic ³iPedagogic ,Bucure³ti,1981.11.I.Irodov,ProblemesdePhysiqueGenerale,Ed.Mir,Moscov,1983.12.T.W.Kibble,F.H.Berkshire,ClasicalMechanics,Longman,4-thEdition,1985.13.Ch.Kittel,W.Knight,M.Ruderman,Cursuldezic Berkeley,vol1:Mecanica,Ed.Didactic ³iPedagogic ,Bucure³ti,1981.14.I.Merche³,L.Burlacu,AppliedAnalyticalMechanics,"TheVoiceofBucovinaPress",Iasi,1995.333
334CapitolulC.Constantezice³iunit µidem sur 
15.E.Ott,ChaosinDynamicalSystems,CUP1993.16.C.Pl viµu,A.Hristev,L.Georgescu,D.Bor³an,C.Stanescu,L.Ionescu,R.Moldovan,Problemedemecanic zic ³iacustic ,EdituraDidactic ³iPedagogic ,Bucure³ti,1981.17.I.M.Popescu,Fizicavol1,Ed.Didactic ³iPedagogic ,Bucure³ti,1982.18.M.Sanduloviciu,Mecanica,curslitograat,Ed.Universit µii"Al.I.Cuza"Ia³i,1983.19.H.G.SchusterDeterministicChaos,Springer-Verlag1984.20.C.Stan,Fizica1,Ed.Bren,Bucuresti,2002.21.H.J.Weber,G.B.Arfken,EssentialMathematicalMethodsforPhysicist,ElsevierAca-demicPress,2004.
Glosar³ainstabil ,259acµiune,206acceleraµie,7,9,11centripet ,14Coriolis,14instantanee,7medie,7normal ,17tangenµial ,17amplitudine,49atractor,261atractori,255haotici,255stranii,255balanµadetorsiune,61bazindeatracµie,255Bernoulliecuaµiadetip,325bifurcaµii,269³a-nod,270furc ,270subcritice,271supercritice,271transcritice,271bifurcaµii[Hopf,272centrudemas ,73ciclulimit ,263,265circulaµiaunuivector,307coecientderezistenµ ,43derestituµie,85colatitudine,20condiµiiiniµiale,32contractialungimilor,233coordonate,2carteziene,3,9ciclice,208cilindrice,17generalizate,198naturale,17polareplane,12reduse,67sferice,19cosinusuridirectoare,303cuadrivectordepozitie,244forµ -putere,248impuls-energie,247interval,245vitez ,246curburatraiectoriei,17curgerelaminar ,180densitateliniar ,128supercial ,128volumic ,128deforµ exterioar ,176densitatea335
336GLOSAR
curentuluimasic,313derivatasubstanµial ,175diagramadestabilitate,259dilatareaduratelor,231dimensiunedecapacitate,277fractal ,277distribuµieliniar demas ,130supercial demas ,130durataproprie,232echilibru,48indiferent,48instabil,48stabil,48ecuaµiadecontinuitate,178Euler,176fundamental ahidrostaticii,169luiBernoulli,180luiToricelli,182ecuaµiicanonice(Hamilton),209Lagrange,204,205ecuaµiaBinet,56parametric ,3ecuaµiiLorenz,282efectulMagnus,189elipsoiduldeinerµie,143energiecinetic ,37,38,76cinetic intern ,76cinetic orbital ,76cineticarelativista,240dereacµie,78intern ,76potenµial ,40,75relativista,239energiecinetic derotaµie,141eveniment,240exponenµiLyapunov,274faza,49,210uid,165newtonian,185focarinstabil,259stabil,259forµadeadeziune,166decoeziune,165portant ,184forµegeneralizate,200forµ conservativ ,39medie,32forµeexterne,72impulsive,80interne,72formalismHamilton,195Lagrange,195formulaQ,90fractal,275frecvenµaunghiular ,49funcµiaHamilton,208Lagrange,203,206funcµiescalar ,307vectorial ,307giroscopliber,146gradedelibertate,123impuls,28inerµie,29integral prim ,214
GLOSAR337
integraleprime,41intensitateacurentuluimasic,311intervalspatial,243temporal,243Joule,37latitudinenordic ,20sudic ,20legãturineolonome,196olonome,196reonome,196scleronome,196,198legealuiPoiseuille,187conserv riienergieimecanice,75conserv riienergieitotale,75conserv riiimpulsului,74deconservareaenergiei,47luiArhimede,173luiBernoulli,181luiStokes,189Pascal,170liniedeunivers,240longitudineestic ,20vestic ,20lucrumecanic,36m rimitensoriale,297vectoriale,297m rimitensoriale,16,297masademi³care,234,236derepaus,234inert ,29longitudinal ,237redus ,83redus ,63meniscconcav,167convex,167mi³caredenutaµie,151deprecesie,148mobil,2modul,298momentalforµei,34deinerµie,126liniar,28unghiular,34unghiulartotal,77momentecentrifugaledeinerµie,141principaledeinerµie,141momentulforµei,126nodinstabil,259stabil,259nulcline,256operatordivergenµ ,308,311gradient,308Laplace,308nabla,308rotor,308,315parametridecontrol,253parametrudeciocnire,86,94perecheacµiune-reacµiune,33portretulfazic,254presiunedinamic ,181static ,181produsmixt,305scalar,302vectorial,303
338GLOSAR
pulsaµia,49punctmaterial,2punctmaterial,2,9,72liber,28punctecritice,256xe,256singulare,256puteremecanic ,36regulaparalelogramului,300poligonului,300bacminuscab,306burghiuluidrept,10,15,303,315burghiuluistâng,16mâiniidrepte,18reperinerµial,28spaµialinerµial,28temporalinerµial,28rotaµiacupunctx,139injurulaxiexe,125rotaµiecupunctx,146secµiuneaPoincaré,267separatoare,255sistemalcentruluidemas ,66,74allaboratorului,64,74autonom,253conservativ,254,288dereferinµ ,223dereferinµ inerµial,227dinamic,253disipativ,254,258integrabil,286,287izolat,66,74,75,78legat,76,196liber,196neautonom,253nonintegrabil,287,290solidrigid,121spaµiulconguraµiilor,200fazelor,210,254stareliber ,48suprafaµ echipotenµial ,308teoremaaxelorparalele,128axelorperpendiculare,131Green-Gauss-Ostrogradski,314Stokes-Ampère,317variaµieienergieicinetice,37variaµieiimpulsului,32variaµieimomentuluiunghiular,34timpderelaxare,43traiectoria,3traiectoriegeneralizat ,201transform riGalilei,226Lorentzdirecte,230Lorentzinverse,230unghiazimutal,20variabileconjugate,208vectoraxial,16polar,16versori,9,298vitezaabsoluta,225areolar ,55detransport,225generalizat ,198instantanee,5medie,5relativa,225unghiular ,15

Documentos PDF asociados:

MECANICĂ CLASICĂ - Laboratorul de Mecanica si Acustica
EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA CLÁSICA Versión Electrónica
Ventilación mecánica - ATS
MECANICA DE FLUIDOS - nd.edu
Principios de la Mec´anica - w3.mecanica.upm.es
INGENIERÍA MecÁnicA - mondragon.edu
Física I: Mecánica. - etsie.ugr.es
MECÁNICA DE SUELOS. - itson.mx
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA MECÁNICA - uva.es
MECÁNICA AUTOMOTRIZ - mundomanuales.com
VENTILACIÓN MECÁNICA - files.sld.cu
MECANICA DE MATERIALES PDF - lamalinks.me
Manual de mecánica básica - gob.mx
CURSILLO DE MECÁNICA DE LA BICICLETA - ubu.es
Introducción a la Mecánica de los Sólidos - ing.una.py
Fisica Vol. III - Mecanica Cuantica
Libro de mecanica de suelos ii.pdf
FUNDAMENTOS DE MECANICA DE FLUIDOS - edutecne.utn.edu.ar
11 problemas resueltos de TECNOLOGÍA MECÁNICA.
MANUAL DE MECÁNICA DE SUELOS - fic.umich.mx
VENTILACIÓN MECÁNICA CONVENCIONAL. - neonatos.org
DESCONEXIÓN DE LA VENTILACIÓN MECÁNICA - sati.org.ar
Curso De Mecanica Automotriz En Chicago Il
Mecanica De Materiales Timoshenko 4 Edicion
VENTILACIÓN MECÁNICA: CONOCIMIENTOS BÁSICOS
Introducción a la mecánica de los fluidos - rubenomana
FUNDAMENTOS DE MECANICA DE FLUIDOS - edUTecNe
Programa de estudio MECÁNICA DE FLUIDOS - uv.mx
VOLÚMEN I MECANICA - Blog de ESPOL
Manual De Mecanica Industrial PDF Online
Manual de mecánica teórica - web-argitalpena.adm.ehu.es
Descargar Solucionario De Mecanica De Materiales Roy R ...
INMOVILIZACIÓN DE PACIENTES Y SUJECIÓN MECÁNICA.
LA NARANJA MECÁNICA - files.jackkerouacweb.com
La mecánica bioprogresiva en la práctica clínica
250131 - MECSOLS - Mecánica de Suelos
Retos de la Ingeniería Mecánica en el Siglo XXI.
manual mecanica de motos arias paz
Deambulación del enfermo con ayuda mecánica
Solucionario cengel mecanica de fluidos pdf