MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito en serie, son ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora ya podemos resolver algunas de las ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, que surgen con frecuen-cia en las aplicaciones. El capítulo termina con el tema de los sistemas de ecuaciones


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MODELADO CON ECUACIONESDIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
3.1 Ecuaciones lineales3.2 Ecuaciones no lineales
3.3Sistemas de ecuaciones lineales y no linealesEjercicios de repaso
‘@B
En la sección 1.3 explicamos que muchos modelos matemáticos, como los del creci-miento demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente,
l
las reacciones químicas, un líquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad
de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito enserie, son ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora ya podemos resolver
algunas de las ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, que surgen con frecuen-cia en las aplicaciones. El capítulo termina con el tema de los sistemas de ecuacionesdiferenciales de primer orden como modelos matemáticos.
71
72
3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES LINEALES
w Crecimiento y decaimiento exponencial
n
Periodo medio
n
Datación con radiocarbono
w Ley de Newton del
enji-iamiento
w Mezclas
n
Circuitos en serie
n
Tirmino transitorio
H
Término de estado estable
Crecimiento
y decaimiento
El problema de valor inicial
dx
-
kx,
=
xo,
en donde
k
fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En la sección1.3 describimos que, en biología, se ha observado que en cortos
periodos la tasa de crecimientode algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a lapoblación presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momentoinicial arbitrario, que podemos considerar definido por
t

= 0, la solución de (1) nos sirve para
predecir la
poblacion en el futuro -esto es, para
t


0-. En física, un problema de valorinicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la
cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuacióndiferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química,la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se
apega a la ecuación (1).
La constante de proporcionalidad
k,
en
(l), se puede hallar resolviendo el problema de
valor inicial, con una determinación de x en un momento
tl


to.
Crecimiento bacteriano
Un cultivo tiene una cantidad inicial
NO
de bacterias. Cuando
t
= 1 h, la cantidad medidade bacterias es
$0.
Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacte-
rias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microor-ganismos.
Primero se resuelve la ecuación diferencial
$=kN
sujeta a
N(O) =
NO.
A continuación se
define la condición empírica
N( 1)
=
$Vs para hallar
k,
la constante de proporcionalidad.Con ello, la ecuación (2) es separable y lineal, a la vez. Cuando se escribe en la formapodemos ver por inspección que el factor integrante es
c
Multiplicamos ambos lados de
.
la ecuación por ese factor y el resultado inmediato es
f

[eekrN]
= 0.
Sección 3.1 Ecuaciones lineales
73
Integramos ambos lados de la última ecuación para llegar a la solución general
e*‘N = c, 0 sea N(t) =
ceA’.
t
= 0,
NO
=
ceo
= c
y,
por consiguiente,
N(t)
=
Noekt.
Cuando
t
= 1, entonces
:NO
=
Nsek,
o bien
ek
=
G.
Con la última ecuación obtenemos
k
=

In
z

=
0.4055. Así
N(t)
=

N0e”,4055t.
Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, despejamos
t
de
=
Noe0.4055’;
por consiguiente,
0.4055t

=

In 3, y así
3
-

=
2.71
h.
= 0.4055
Véase la figura 3.1.
FIGURA 3.1
En el ejemplo 1 obsérvese que la cantidad real,
NO,
de bacterias presentes en el momento
t
= 0, no influyó para la definición del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara. El
tiempo requerido para triplicar una población inicial de 100 o 1 000 000 bacterias siempre esde unas 2.71 horas.Como muestra la figura 3.2, la función exponencial
ekr
se incrementa al aumentar
t,
cuando
k
� 0, y disminuye al crecer
t
k
0; por ello, los problemas de describir el crecimiento
FIGURA 3.2
74
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN(sea de poblaciones, bacterias o capitales) se caracterizan con un valor positivo de
k,
mientrasque cuando interviene un decrecimiento (como la desintegración radiactiva), se tiene un valor
negativo de k. Por lo anterior, se dice que
k
es una constante de crecimiento (k
� 0) o unaconstante de descrecimiento o de declinación
(k


0).Periodo medioEn
fisica,
el periodo medio es una medida de la estabilidad de unasustancia radiactiva. Es, simplemente, el tiempo que transcurre para que se desintegre o
transmute la mitad de los átomos en una muestra inicial,
Ao,
y se conviertan en átomos de otro
elemento. Mientras mayor sea su semivida, más estable es una sustancia; por ejemplo, lasemivida del radio Ra-226, muy radiactivo, es unos 1700
afíos.
En ese lapso, la mitad de
determinada cantidad de Ra-226 se transmuta y forma radón, Rn-222. El isótopo más común del
uranio, el U-238, tiene periodo medio de 4500 millones de años. Es el tiempo que tarda en
transmutarse la mitad de una cantidad de U-238 en plomo 206.Periodo medio del plutonioUn reactor de cría convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótoporadiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial,
Ae, deuna muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isótopo, si la razón de desintegra-ción es proporcional a la cantidad presente.
SOLUCIÓN
Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda en cualquier momento
t.
Comoen el ejemplo
1,
la solución del problema de valor inicial
$=kA,
A(O) =
Aoes
A(t)
=
Ace&‘.
Si se ha desintegrado el 0.043% de los átomos de
Ao,
queda el 99.957%. Paracalcular la constante
k (o declinación) empleamos
0.99957Ac
=
A(15), esto es,
099957Ao =
Aoelsk. Despejamos k y tenemos k =
h

In 0.99957 = -0.00002867. En consecuencia,Si el periodo medio es el valor que corresponde a
A(t)
=
Ad2,
despejando a
t
se obtiene
Ad2

Aoe-O~OO”02867’,

es

decir,

f
=
De acuerdo con esta ecuación,
In 2
t
=
o.oooo2867
=
24,180
tios
con radiocarbono
Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó unmétodo que emplea al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles.
La teoría de la
datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en que el isótopo
carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno.La razón de la cantidad de
C-l4
al carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante
y,
en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos
es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo la absorción del
C-l4 sea por
Sección
3.1 Ecuaciones
hdes

75
respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de C- 14 presente,por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera, es posible obteneruna estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que el periodo
medio del
C-l4 radiactivo es, aproximadamente, 5600
años.
Por este trabajo, Libby ganó el
Premio Nobel de química en 1960. Su
metodo se usó para fechar los muebles de madera en lastumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.Antigüedad de un fósilSe analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la centésima parte de la cantidadoriginal de C-14. Determine la edad del fósil.
SOLUCIÓN
El punto de partida es, de nuevo, A(t)
=

Acekc.
Para calcular el valor de laconstante de decaimiento aplicamos el hecho que
Ac/ =
A(5600),
o sea,
Ao/
=
Aoe5600k.
Entonces,
5600k
=
In
i
=
-In
2, de donde
k
-(hr

2)/5600 = -0.00012378; por consiguienteTenemos, para
A(t) =
Ao/lOOO,
que
Ao/lOOO
=
Aoe
de modo que
-0.00012378r =
In
&-
=
-

In 1000. Así
In 1000

= 0.00012378
=
55,800 años
n
En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método.Normalmente esta técnica se limita a unos 9
periodos medios del isótopo, que son unos 50 000anos. Una razón para ello es que el análisis químico necesario para una determinación exactadel
C-l4
remanente presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de
Ao/lOOO.
También, para este método se necesita destruir una muestra grande del espécimen. Si la
medición se realiza en forma indirecta, basándose en la radiactividad existente en la muestra,
es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación normal de fondo.
Pero en últimas fechas, los científicos han podido separar al
C-l4
del C-12, la forma estable,
con los aceleradores de partículas. Cuando se calcula la relación exacta de
C-l4 a C-12, la
exactitud de este método se puede ampliar hasta antigüedades de 70 a 100 000 años. Hay otrastécnicas
isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer antigüe-dades de varios millones de años. A veces, también es posible aplicar métodos que se basan enel empleo de aminoácidos.
Ley de Newton del enfriamiento
En la ecuación (10) de la sección 1.3 vimos que laformulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto,se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer ordenen que
k
es una constante de proporcionalidad, T(r) es la temperatura del objeto cuando
t

� 0
y
T,,,
es la temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el
ejemplo 4 supondremos que
T,,,

es constante.
76
3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
m
Enfriamiento de un pastel
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos,
2OO’F.

¿En
cuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de
7O”F?En la ecuación (3) vemos que
T,,,
= 70. Por consiguiente, debemos resolverel problema de valor inicial

k(T-

70),T(O) = 300y determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200.La ecuación (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables,
&
= kdt,
cuyo resultado es
ln/T
-

701
= kt +
cl, y así T
=
70 +
c2ekt.
Cuando
t

= 0,
T= 300, de modoque 300 = 70 +
c2
define a
c2
= 230. Entonces, T=
ekt.
Por ultimo, la determinaciónT(3)
= 200 conduce a
e3k

=
g,
T(t) = 70 +
230e-0.19018’.
Observamos que la ecuación (5) no tiene una solución finita a T(t) = 70 porque
límt
+

m
T(t)
= 70; no obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir
unintervalo razonablemente largo.
¿Cuán
“‘7
No nos debe inquietar el hecho deque el modelo (4) no se
apegue mucho a nuestra intuición física. Las partes
u) y
b) de lafigura 3.3 muestran que el pastel estará a la temperatura ambiente pasada una media hora.
w
22.872"24.9
32.3
FIGURA 3.3
Sección
3.1 Ecuaciones
h-des

77
Al mezclar dos fluidos, a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras
(Sec.
1.3), supusimos que larazón con que cambia la cantidad de sal, A’(r), en el tanque de mezcla es una razón neta:
dA
En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (12) de la sección 1.3.
Mezcla
de dos soluciones de salRecordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 300 galones deuna solución de sahnuera. Al tanque entraba y salía sal porque se le bombeaba una solucióna un flujo de 3
gal/min, se mezclaba con la solución original, y salía del tanque con un flujo
de 3
gabmin.
La concentración de la solución entrante era 2 lb/gal; por consiguiente, laentrada de sal era
RI
= (2
lb/gal) . (3
gal/min)
= 6
lb/min,
del tanque salía con una razón
RZ
= (3
gal/min) .
(N300

lb/gal)
=
A/l
OO
lb/min.
obtuvimos la ecuación (12) de la sección 1.3. Surge esta pregunta: si había 50
Ib
de sal
disueltas en los 300 galones iniciales,
¿cuánta sal habrá en el tanque pasado mucho tiempo?SOLUCIÓNPara hallar A(t), resolvemos el problema de valor inicial
4+-$-,
A(O) = 50.
= 50, y no lacantidad inicial de líquido. Como el factor integrante de esta ecuación diferencial lineal es
e
podemos formular la ecuación así:
Al integrar esta ecuación y despejar
A
se obtiene la solución general A
=
600 +
ce-f’1oo.
Cuando
t
= 0, A
=
50, de modo que c= -550. Entonces, la cantidad de sal en el tanque enel momento
t
está definida por
A(t) = 600
-

550e-f’1m.
Esta solución se empleó para formar la tabla de la figura
3.4b). En la ecuación (7) y en lafigura 3.4 también se puede ver, que A
+
600 cuando
t

+

m.
Esto es lo que cabría esperaren este caso; pasado un largo tiempo, la cantidad de libras de sal en la solución debe ser(300
ga1)(2
lb/gal)
= 600 lb.
8
se acumulará líquido en el tanque a una tasa de (3
-
2)
gal/min

= 1
gal/min. Cuando
78
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
A
500

(min)

(Ib)
50

FIGURA 3.4hayan transcurrido
t
minutos, en el tanque habrán 300 +
I
galones de salmuera. La razón conque sale la sal es, entonces,
R2
= (2
gal/min)
lbigal) .
Así, la ecuación (6) se transforma en
$=6-$&

osea
g+&A=6.
El lector debe comprobar que la solución de la última ecuación, sujeta a A(O)
= 50, es
A(t) =
600
+
2t

-
(4.95 X
107)(300
+
Circuitos en serie
Cuando un circuito en serie sólo contiene un resistor y un inductor(circuito
LR),

la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje a travésdel inductor
(L(dildt)) y del resistor
(iR)
es igual al voltaje aplicado, (E(t)), al circuito (Fig. 3.5).FIGURA 3.5
Circuito
LR en serie
Sección 3.1 Ecuaciones
hdes

79
Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corriente i(t),L
2
+ Ri
=
E(t),
(8)en que L y R son las constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. Lacorriente i(t) se llama, también, respuesta del sistema.
FIGURA 3.6Circuito RC en serie
La caída de voltaje a
travCs de un
capacitar de capacitancia C es
q(t)lC, donde
q
es la carga
capacitar; por lo tanto, para el circuito en serie de la figura 3.6 (circuito
RC), la segundaley de Kirchhoff establece
Ri +
$

q
= E(t).
(9)Pero la corriente i y
q se relacionan mediante i
=
dqldt, así, la ecuación (9) se transformaen la ecuación diferencial lineal
I

L-
+

-

E(t)-
Circuito en serie
-1
Un acumulador de 12
volts se conecta a un circuito en
señe
LR, con una inductancia de
f

hem-y y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero.
SOLUCIÓN
Lo que debemos resolver, según la ecuación
(8),
i$+lOi=12
sujeta a i(O) = 0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factorintegrante es
eZof.
A continuación lo sustituimos
$

[ezO’i]
=
24e”‘.
80
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Al integrar cada lado de esta ecuación y despejar i obtenemos i
=

f

-t
ce-“*.
Si i(O)
=
0,
entonces 0 =
4
+ c, o bien
=
-

4;
por consiguiente, la respuesta es
i(t)

=

g
-

g
e-20r.
A partir de la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos formular una solución general de (8):
eW)‘E(t)
+
&Wr.
En especial, cuando
I?((r)
=
EO

es una constante, la ecuación (ll) se transforma en
i(t)

=

$

+

Ce-WW.
Observamos que cuando
t

+
el segundo término de la ecuación (12) tiende a cero. A esetérmino se le suele llamar término transitorio; los demás miembros se llaman parte de estado
estable (o estado estacionario) de la solución. En este caso,
EdR también se denomina
grandes, resulta que la corriente está determinada tan sólo por la ley de Ohm,
E =
iR.
Examinemos la ecuación diferencial en el ejemplo 1, que describe el crecimiento de un cultivode bacterias. La solución,
NQ) =
NOeo.4055’,
del problema de valor inicial
dN/dt
=
kN,

N(to)
=
No
es una función continua; pero en el ejemplo se habla de una población de bacterias, y el sentidocomún nos dice que N
sólo adopta valores enteros positivos. Además, la población no creceen forma continua, -esto es, a cada segundo, microsegundo, etc.- como predice la función
N(t)

=

Noe0.4055t;puede haber intervalos,
[t,,

t2],
durante los que no haya crecimiento alguno.Quizá, entonces, la gráfica de la figura
3.7a) sea una descripción más real de
N
que la gráfica
de una función exponencial. Muchas veces es más cómodo que exacto usar una función continua
en la descripción de un fenómeno discreto. Sin embargo, para ciertos fines nos podemos darpor satisfechos si el modelo describe con gran exactitud el sistema, considerado
macroscópi-comente en el transcurso del tiempo, como en las figuras
3.7b) y c), y no consideradomicroscópicamente.
FIGURA 3.7
Sección 3.1 Ecuaciones
hwaies

81
1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta eon una razón proporcional a lacantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cincoanos,
Len cuanto tiempo se triplicará y cuadruplicará?2. Suponga que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tresanos.
¿Cuál
era la población inicial?
¿Cuál
será en 10 anos?
3.
La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquiermomento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 anos.
¿Cuál
será la poblaciónpasados 30 anos?
4.
En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa propor-cional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos.Pasadas 10 horas, hay 2000
especímenes.
¿Cuál
era la cantidad inicial de bacterias?
5. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la
cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3.3 horas. Sial principio había
1
gramo de plomo,
¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre
el
90%?6. Cuando
t
= 0, había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa
cantidad disminuyó el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier momento, es
proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule la cantidad que queda despuésde 2 horas.
7.
Calcule el periodo medio de vida de la sustancia radiactiva del problema 6.
8. a) El problema de valor inicial
dAldt
=
kA,
A(O) =
Ao
es el modelo de desintegración de
=
-(in

2)lk.
b) Demuestre que la solución del problema de valor inicial en la parte a) se puede escribir
A(t)
=
Ao2-T9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente, la razón con que
t
representa el espesor, en pies, del
medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3
ft
bajo la superficie, es el 25% de laintensidad inicial
le del rayo incidente.
iCuál es la intensidad del rayo a 15 ft bajo
la superficie?
10. Cuando el interés se capitaliza (o compone) continuamente, en cualquier momento la
cantidad de dinero,
S,
aumenta a una tasa proporcional a la cantidad presente:
=
rS,
donde r es la tasa de interés anual
[Ec.
(6),
Sec. 1.31.a) Calcule la cantidad reunida al término de cinco anos, cuando se depositan $5000 en unacuenta de ahorro que rinde el
5$% de interés anual compuesto continuamente.b)
¿En
cuantos años se habrá duplicado el capital inicial?c) Con una calculadora compare la cantidad
obtenida en la parte a) con el valor deEste valor representa la cantidad reunida cuando el interés se capitaliza ca& trimestre.
ll.
En un trozo de madera quemada o carbón vegetal se determinó que el 85.5% de su
C-l4
se había desintegrado. Con la información del ejemplo 3 determine la edad aproximada de
82
3
MODEIADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENla madera. Éstos son precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar losmurales
prehistókos
de una caverna en Lascaux, Francia.
12. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la
temperatura del aire es 5°F. Después de un minuto, el termómetro indica
55”F, y despuésde cinco marca
30°F.

¿Cuál
era la temperatura del recinto interior?13. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es
70°F y se lleva alexterior, donde la temperatura es
10°F.
Pasado
j
minuto el termómetro indica 50°F.
¿Cuál
es la lectura cuando
t

= 1
min?
¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue
a
15”F?
La fórmula (3) también es válida cuando un objeto absorbe calor del medio que le rodea.
Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es
20°C se deja caer en un
recipiente con agua hirviente,
¿cuánto tiempo tardara en alcanzar
90°C si se sabe que sutemperatura aumentó 2°C en un segundo?
¿Cuánto tiempo tardará en llegar a
98”C?
Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v aun circuito en serie
LR

con 0.1 h de inductancia
y 50
R de resistencia. Determine la corriente i(t), si
i(O)
= 0. Halle la corriente cuando
t

4

00.
21.22.
Resuelva la ecuación (8) suponiendo que E(t) =
EO
sen wt y que i(O) =
io.
Se aplica una fuerza electromotriz de 100
volts
a un circuito en serie
RC,
donde laresistencia es 200
R y la capacitancia es
lo4
f. Determine la carga
q(t)
del
capacitar,
si
q(O)
= 0. Halle la corriente
i(t).Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie
RC,
en que la resistenciaes 1000
Q y la capacitancia es 5 x 10” f. Determine la carga
q(t)
del
capacitar, si i(O) =0.4 amp. Halle la carga cuando
t

+

00.
Se aplica
una fuerza electromotriz
120,
Osts20

=

o
a un circuito en serie
LR,

en que la inductancia es 20 h y la resistencia es 2
IR.
Determinela corriente, i(r), si
i(O)
= 0.Suponga que un circuito en serie
RC

tiene un resistor variable. Si la resistencia, en cualquiermomento
t
es
R

=
kr
+
kzt,
donde
kl

y
k2

� 0 son constantes conocidas, la ecuación (10) setransforma en
(k,
+
k,t)

+
$q
= E(t).
Demuestre que si E(t) =
EO
y
q(O)
=
qo,
entonces

=

-W

+

tqo

-

EoC)
Un tanque contiene 200 1 de agua en que se han disuelto 30 g de sal y le entran 4
L/min
desolución con 1 g de sal por litro; está bien mezclado, y de él sale líquido con el mismo flujo
(4
L/min).
Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier
momento
t.
Resuelva el problema 21 suponiendo que entra agua pura.
Sección
3.1 Ecuaciones lineales
83
23. Un tanque tiene 500 gal de agua pura y le entra
salmuera
con 2
Ib
de sal por galón a un
flujo de 5
gal/min. El tanque está bien mezclado, y sale de él el mismo flujo de solución.Calcule la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento
t.
24. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale a un flujo de 10
gal/min,permaneciendo igual lo demás.
¿CuAndo se vacía el tanque?25. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10
Ib
de sal disuelta.Le entra
salmuera con
+

Ib de sal por galón a un flujo de 6
gal/min. El contenido del tanqueestá bien mezclado y de él sale un flujo de 4
gal/min
de solución. Calcule la cantidad delibras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.26. En el ejemplo 5, el
tamafio del tanque con la solución salina no apareció entre los datos.
Como se describió en la página 78 el flujo con que entra la solución al tanque es igual,
pero la
salmuera sale con un flujo de 2
gal/min. Puesto que la
salmuera se acumula en el
tanque a una rapidez de 4
gal/min,
en cualquier tanque finito terminara derramándose.
Suponga que el tanque esta abierto por arriba y que su capacidad total es de 400 galones.a)
¿Cuándo
se derramará el tanque?b)
¿Cuántas
libras de sal habrá en el tanque cuando se comienza a derramar?
c) Suponga que el tanque se derrama, que la
salmuera
continúa entrando al flujo de 3
gal/min, que el contenido está bien mezclado y que la solución sigue saliendo a un flujode 2
gal/min. Determine un método para calcular la cantidad de libras de sal que hayen el tanque cuando
t
= 150
min.d) Calcule las libras de sal en el tanque cuando
t

+

00.
respuesta coincide con lo quecabría esperar?e) Use una
graficadora para trazar la variación de
A(t) durante el intervalo [0,
-).
27. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa
m
en caída sujeta a unaresistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es
m-=rng-kv,
en que
k es una constante de proporcionalidad positiva.a) Resuelva la ecuación, sujeta a la condición inicial v(O) =
VO.
Calcule la velocidad límite (o terminal) de la masa.
c) Si la distancia
s se relaciona con la velocidad por medio de
dsldt
= v, deduzca una
ecuación explícita para
s,
si también se sabe que
s(O)

=
se.
28. La razón con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con laecuación diferencial
dx

kx


r y
k son constantes positivas. La función
x(t) describe la concentración del
fátmaco ensangre en el momento
t.
Determine el valor límite de x(t) cuando
t

+

00.

¿En
cuánto tiempola concentración es la mitad del valor límite? Suponga que
x(O)

= 0.29. En un modelo demográfico de la población
P(t) de una comunidad, se supone que
dP
dB
dD

dt
dt
en donde
dBldt
y

dDldt son las tasas de natalidad y mortalidad, respectivamente.
84
3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
a) Determine P(t) si
$=

klP
y
f$
=
k,P.
b) Analice los casos
RI



ka,

kl
=
k2
y
kl



Rz.
30. La ecuación diferencial
$
= (k
cos

t)P,en que
k es una constante positiva, se usa con
Cecuencia para modelar una población que
sufre fluctuaciones estacionales anuales. Determine P(t) y grafique la solución. Supongaque P(O) =
PO.
Cuando se tiene en cuenta lo olvidadizo de un individuo, la rapidez con que
memoriza estádefinida por
g
=
kl(M

-
A)
-

k2A,en que
kl

� 0,
k2

� 0, A(t) es la cantidad de material memorizado en el tiempo
t,

M
es lacantidad total por memorizar y M-A es la cantidad que resta por memorizar. Halle
A(t) ygrafique la solución. Suponga que A(O) = 0. Determine el valor límite de
A
cuando
t

+
e interprete el resultado.
32. Cuando todas las curvas de una familia
G(x,CI)
= 0 cortan ortogonalmente todas las
curvas de otra familia,
H(x, y,
4
= 0, se dice que las familias son trayectorias ortogonalesentre sí (Fig. 3.8). Si
dyldr

=f(x,
y) es la ecuación diferencial de una familia, la ecuacióndiferencial de sus trayectorias ortogonales es
dy/uk = -1
lf(x, y).
FIGURA 3.8
a) Formule una ecuación diferencial para la familia y
=
-x

-
1 +
cle’.b) Determine las trayectorias ortogonales a la familia de la parte a).33. Los censos poblacionales en Estados Unidos de 1790 a 1950 aparecen en millones en latabla adjunta.
Sección 3.1 Ecuaciones
iinea!es

85
a) Con esos datos formule un modelo del tipo
z=kP,
=
Po.
b)
Forme una tabla donde se compare la población predicha por el modelo de la parte a)con
10s
censos de población. Calcule el error y el porcentaje de error para cada par de
Problemas para discusión34. Suponga que un forense que llega a la escena de un crimen ve que la temperatura del
cadáver es 82°F. Proponga datos adicionales, pero verosímiles, necesarios para estableceruna hora aproximada de la muerte de la víctima, aplicando la ley de Newton del enfria-miento, ecuación (3).35. El Sr. Pérez coloca al mismo tiempo dos tazas de café en la mesa del desayunador. Deinmediato vierte crema en su taza, con una jarra que estaba desde hace mucho en esa mesa.
Lee el diario durante cinco minutos y toma su primer sorbo. Llega la Sra. Pérez cinco
minutos después de que las tazas fueron colocadas en la mesa, vierte crema la suya y tomaun sorbo. Suponga que la pareja agrega exactamente la misma cantidad
de,crema.
¿Quién
y por qué toma su café más caliente? Base su aseveración en ecuaciones matemáticas.
36. Un modelo lineal de la difusión de una epidemia en una comunidad de
n
personas es el
problema de valor inicial
dx
=
r(n
-
x),
dt
=
en donde
x(t) representa la población cuando el tiempo es
t,

r

� 0 es una rapidez constantey
es un entero positivo pequeño (por ejemplo, 1). Explique por qué, según este modelo,
86
3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
todos los individuos contraerán la epidemia. Determine en cuanto tiempo la epidemia
seguirá su curso.
ECUACIONES NO LINEALES
W
n
Rapidez relativa de crecimiento
n
Ecuación diferencial logística
n
Función logística
W
Reacciones químicas de segundo orden
Modelos demográficosSi P(t) es el tamaño de una población en el momento
t,
el
modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que
dPldt
=
kP

para cierta
k

En
este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por
dPldt
se supone constante, igual a
k.
Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial
durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente
ejercerán restricciones sobre el crecimiento demográfico. Así, cabe esperar que la razón (1)disminuya a medida que
P

aumenta de tamaño.La hipótesis que la tasa con que crece o decrece una población sólo depende del numero
presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenómenos estacionales
1.3),
se puede enunciar como sigue:
!E$e
0 sea
$
=
Pf(P).
Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos demográficos animales, se llama
hipótesis de dependencia de densidad.Ecuación logística
Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una
cantidad K determinada de individuos en una población. Dicha cantidad se llama capacidad
de sustento, o de sustentación, del ambiente.
Entoncesf(K)
= 0 para la
fknciónfen
la ecuación(2) y se escribe
tambiénf(0)
=
r.
f(P)
K P
FIGURA 3.9
Sección 3.2 Ecuaciones no
hmales
condiciones. La hipótesis más sencilla es que
f(P)
es linea!; esto es, que
f(P) =
CIP
+

~2.

Siaplicamos las condiciones
f(O)
= r y
f(K)
= 0, tenemos que
c2
= r y
CI
=
-rlK,
respectivamente,y
f
adopta la forma
f(P)
= r
-

(r/K)P.
Entonces la ecuación (2) se transforma en
$=P

r-XP

1
Si redefinirnos las constantes, la ecuación no lineal (3) es igual a la siguiente:
(4)
Alrededor de 1840, P. F.
Verhufst, matemático y biólogo belga, investigó modelos mate-máticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que estudiófue la
(4), con
a


b
� 0. Esa ecuación se llamó ecuación logística y su solución se denomina
función logística. La gráfica de una función logística es la curva logística.
La ecuación diferencial
dPldt
=
kP no es un modelo muy fiel de la población cuando éstaes muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativossobre el ambiente (como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible).Esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento demográfico. Según veremos a conti-nuación, la solución de (4) está acotada cuando
t

+
Si se rearregla esa ecuación en la forma
dP/dt
=
aP

-

bP2,
el término no lineal
-bP2,
se puede interpretar como un término de
“inhibición” o “competencia.” Asimismo, en la mayor parte de las aplicaciones la constantepositiva
a
es mucho mayor que b.Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud las pautas decrecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua
(Daphnia)
y moscasde la fruta
(Drosophila)
en un espacio limitado.
Solución de la ecuación logística
Uno de los métodos para resolver la ecuación (4)
es por separación de variables. Al descomponer el lado izquierdo de
dPIP(a

-

bP)
= dt en
fracciones parciales e integrar, se obtiene
lla+
dP=dtP
a-bP

-

ilnla
-

bPI
= t + c
P
=
clea’.
a
-

bP
Como consecuencia de la última ecuación,
p(t)

=

war

=

acl
1 +
bcle”’
+
emor’
Si P(O) =
PO,

Po

+

alb,
llegamos a
ct
=
Pol(a

-

bP0)
y así, sustituyendo y simplificando, la
solución es
88
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENP(r) =
+ (a
-

bP&?““
Gráficas de P(t)La forma básica de la gráfica de la función logística P(f) se puede
conocer sin mucha dificultad. Aunque la variable
t
suele representar al tiempo
-y
casi no nosocupamos de aplicaciones en que
t

0-,tiene cierto interés incluir ese intervalo al presentarlas diversas gráficas. Según
(5)
vemos que
aP0
b
Y

-03.
La línea de puntos P =
a/2b de la figura 3.10 corresponde a la ordenada de un punto de inflexiónde la curva logística. Para caracterizarlo diferenciamos la ecuación (4) aplicando la regla delproducto:

-bg

+(a-bP)$=$(a-2bP)

)
= P(a
-
bP)(a
-
2bP)
=,,,(P-$(P-&).
Recuérdese, del cálculo diferencial, que los puntos en donde
&P/d?
= 0 son posibles puntosde inflexión, pero se pueden excluir P = 0 y
alb; de aquí que P =
al2b sea el único valorposible para la ordenada a la cual puede cambiar la concavidad de la gráfica. Entonces, P”
= 0
cuando 0

P


af2b,
y
al2b


P


alb
significa que
Pr’


0; por consiguiente, al avanzar de
izquierda a derecha la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, en el puntoque corresponde a P
=
a/2b. Cuando el valor inicial satisface a 0
a/2b, la gráfica de P(f)toma la forma de una
S
[Fig. 3. loa)]. Cuando
C

PO

C

a/b, la gráfica sigue teniendo la formade S, pero el punto de inflexión está en un valor negativo de
t
[Fig. 3.
lOb)].
FIGURA 3.10
Sección 3.2 Ecuaciones no lineales
89
Ya vimos la ecuación (4) en la ecuación (9) de la sección 1.3, donde tenía la forma
aWdr
=
kx(n + 1
-x),

k
� 0. Esta ecuación diferencial es un modelo razonable para describir la difusiónde una epidemia que comienza cuando un individuo infectado se introduce en una población
estática. La solución
x(l) representa la cantidad de sujetos que contraen la enfermedad en
cualquier momento.Crecimiento logísticoSuponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional nosólo a la cantidad
x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infec-
~(4) = 50.SOLUCIÓNSuponiendo que nadie sale del
campus durante la epidemia, debemos resolver
el problema de valor inicial
dx
=
kx(1000

-
x),
x(O) = 1.Sustituimos
a
= 1
OOOk
y b =
k en la ecuación (5) y vemos de inmediato que
x(t)
=
k +
999ke-lmk’

=
1 +
999e-lwk”Usamos la condición
~(4) = 50 y calculamos
k con
50 =
1000
1 +
OOOk
=
a ln
s

= -0.9906. Entonces
x(t) =
1 +
~(6)
=
1000
1 +
999e-5.9436
= 276 alumnosEn la tabla de la
figura 3. ll b) hay otros valores calculados de
x(t).
Curvas de GompertzOtra ecuación que tiene la forma de la ecuación (2) es una
modikación
de la ecuación logística
$
=
P(a

-
b
In
P),
(6)
90
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ta)

(days)

(number

infected)
8
882
953
FIGURA 3.11
en donde
a y b son constantes. Por separación de variables se comprueba con facilidad(consúltese el problema 5 en los ejercicios 3.2) que una solución de la ecuación (6) es
[email protected])

=

en donde c es una constante arbitraria. Cuando
b
� 0,
P
+

edb cuando
t

+

00,
mientras que
&#xOyc0;cuandob
La gráfica de la
función (7) se llama
curva de
Gompertz
y se parece mucho a la gráfica de la función logística. La figura 3.12 muestra dosformas de la gráfica de
P(t).
Las funciones como la ecuación (7) surgen, por ejemplo, al describir el aumento o ladisminución de ciertas poblaciones, en el crecimiento de tumores, en predicciones actuarialesy en el incremento de las utilidades por la venta de un producto comercial.Reacciones químicasSupongamos que se combinan
a
gramos de la sustancia
A
con
b
gramos de la sustancia B. Si, para formar
X(t)

gramos de la sustancia C se necesitan Mpartesde
A
y
N partes de
B,
A
y
B
que quedan en cualquier momento son,respectivamente,
y
b-N
Según la ley de acción de masas, la rapidez de reacción se
apega a
+NX
Sección 3.2 Ecuaciones no lineales
91
FIGURA 3.12
Sacamos a
M(M
N)
como factor común del primer factor, a
NI(A4
+
N)
del segundo e
introducimos una constante de proporcionalidad,
k
� 0, con lo cual la ecuación (8) adquiere laforma
=
k(a
-

X)(/3
-

X),
en que
ct

=
a(M +
N)IM y
p

=
b(M
+
N)IN. De acuerdo con la ecuación (7) de la sección 1.3,una reacción química que responde a la ecuación diferencial no lineal (9) se llama reacción desegundo orden.Reacción química de segundo ordenCuando se combinan dos sustancias,
A
y B, se forma un compuesto C. La reacción entreambas es tal que, por cada gramo de
A
se usan 4 gramos de
B.
Se observa que a los 10 minutosse han formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C en función del tiempo
si la velocidad de la reacción es proporcional a las cantidades de
A
y B que quedan y al
principio hay 50 gramos de
A
y 32 gramos de
B.
¿Qué
cantidad de compuesto C hay a los15 minutos? Interprete la solución cuando
t

+
w.
Sean
X(t)
los gramos del compuesto C presentes cuando el tiempo es
f.
Estáclaro que
X(O)
= 0 y
X( 10) = 30 g.Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos,
a
gramosde
A
y
b
gramos de
B,
de tal modo que
a
+
b
= 2 y
b
=
4a;
por consiguiente, debemos emplear
a
=
2
=
2(‘) g de la sustancia
A
y
b
=
5
=
2(:)
de
B.
En general, para obtener Xgramos de Cdebemos
implear
y
$YgdeB.
92
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENEntonces, las cantidades de
A
y
B
que quedan en cualquier momento son
50-5
Sabemos que la rapidez de formación del compuesto C está definida porPara simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a
+
como factor común del primertérmino,
0
del segundo e introduciremos la constante de proporcionalidad:
9
= k(250
-

X)(40
-
X).
Separamos variables y por fracciones parciales llegamos a
kdt.
Al integrarla obtenemos
250

-x
0 sea
210kr
Cuando
t

= 0,
X=
0, y en consecuencia
CL
=
y.
Cuando
X=
30 g cuando
t

= 10, vemos que21 Ok =
6

In
E
X(t)
= 1000
1

_

e-0.1258r
25
_

4e-0.1258t’
En la figura 3.13 se muestra el comportamiento de X en
íkncjón
l),
está claro que X
+
40 cuando
t

+

00.
Esto quiere decir quese forman 40 gramos de la sustancia C y que quedan
50-$(40)=42gdeA
y
32-4(40)=OgdeB.
No obstante contar con la integral 20 en la Tabla de integrales al final del libro, podría ser más útilla forma alternativa, en función de la tangente hiperbólica inversa
ha
al resolver algunos de los problemas en los ejercicios 3.2.
Sección 3.2 Ecuaciones no lineales
93
(medido)
FIGURA 3.131. La cantidad C(r) de supermercados que emplean cajas computarizadas en un país esta
definida por el problema de valor inicial

=

C(1

-

0.0005c),
= 1,
r

� 0.
¿Cuántos supermercados utilizan el método computarizado cuando
t
=
10?
lo adoptaran después de un tiempo muy largo?
2.
La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anunciose
apega a la ecuación logística. Al principio,
N(O)

= 500 y se observa que
N(l)

= 1000.
N(t)-
3. El modelo demográfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad esta descrito por el
problema de valor inicial
dP
=
P(lO-’
-

lo-‘P),
=
xloo,
en donde
t
se expresa en meses.
¿Cuál
es el valor límite de la población?
¿Cuándo igualarala población la mitad de ese valor límite?
94
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
4. Determine
una
solución de la ecuación logística modificada
5
=
P(a
-

bP)(l
-

CP),
a, b,
c
� 0.
5. a) Resuelva la ecuación (6):
dP
=
P(a

-
b
In
P).
b) Determine el valor de c en la ecuación
(7), si P(O) =
PO.
6. Suponga que 0


PO



ealb,
y que
a

� 0. Use la ecuación (6) para determinar la ordenadadel punto de inflexión de una curva de Gompertz.7. Dos sustancias,
A
y B, se combinan para formar la sustancia C. La rapidez de reacción esproporcional al producto de las cantidades instantáneas de
A
y B
¿Cuánto de Cse forma en 20 minutos? Cual es la cantidad límite de C al cabo de mucho tiempo?
¿Cuántode las sustancias A y B queda después de mucho tiempo?
8.
Resuelva el problema 7 si hay al principio 1 OO gramos del reactivo A.
¿Cuándo se formarála mitad de la cantidad límite de C?9. Obtenga
una solución de la ecuaciónque describe las reacciones de segundo orden. Describa los casos
Q

f

,B
y
û:
=
/?.
10. En una reacción química de tercer orden, los gramos
X
de un compuesto que se formacuando se combinan tres sustancias se
apegan a
$

=

k(a

-

X)@

-
X)(y

-

X).
Resuelva la ecuación suponiendo que
Q

f

/3

f

y.
ll. La profundidad
h
del agua al vaciarse un tanque cilíndrico vertical por un agujero en su
fondo está descrita por
dh
= 32
ft/s2,en donde
A,
y
Ao
son las áreas transversales del tanque y del agujero, respectivamente
[Ec.

Sec.
1.31. Resuelva la ecuación con una profundidad inicial del agua de 20 ft,
A,
ftz
y
Ao

=
i

ft*.

¿En
qué momento queda vacío el tanque?
12.
tarda en vaciarse el tanque del problema ll si el factor por fricción y contracciónen el agujero es c =
0.6? (Vea el problema 7 de los ejercicios 1.3.)
13. Resuelva la ecuación diferencial de la
tractriz
Sección 3.2 Ecuaciones no
hea~es
(vea el problema
13, en
10s
ejercicios
.13). Suponga que el punto inicial en el eje
y
es (0,
10) y que la longitud de la cuerda es
s
= 10 pies.14.Según la ley de Stefan de la radiación, la rapidez de cambio de la temperatura de un objetocuya temperatura absoluta es
T, es
$
=
k(T4
-

T,,,4),
en donde
Tm

es la temperatura absoluta del medio que lo rodea. Determine una solución
de esta ecuación diferencial. Se puede demostrar que, cuando T
-

T,,,
es pequeña en
comparación con
T,,,,
esta ecuación se
apega mucho a la ley de Newton del enfriamiento
[Ec.

(lo),
Sec.

1.31.
15. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa m que cae cuando laresistencia que le opone el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, es
rn-=rng-ku2,
en que
k es una constante de proporcionalidad positiva.a) Resuelva esta ecuación sujeta a la condición inicial v(O) =
vg.
b) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa.c) Si la distancia
s
se relaciona con la velocidad de caída mediante
dsisldt

= v, deduzca unaecuación explícita de
s,
sabiendo que
s(O)
=
SO.
16. a) Deduzca una ecuación diferencial para describir la velocidad v(t) de una masa m que
se sumerge en agua, cuando la resistencia del agua es proporcional al cuadrado de lavelocidad instantánea
y,
al mismo tiempo, el agua ejerce una fuerza de flotación hacia
17. a) Si se sacan o “cosechan”
h
animales por unidad de tiempo
(h
constante), el modelo
demográfico P(t) de los animales en cualquier momento
t
es
=
Po,
en donde
a,
b,
h y
PO
son constantes positivas. Resuelva el problema cuando
a

= 5,
b
=

1
b) Use un programa para determinar el comportamiento a largo plazo de la población en
�lapartea),cuandoPo4, 1

c) Si la población se extingue en un tiempo finito, determine ese tiempo.
18. a) Use los datos censales de 1790, 1850 y 1910, para Estados Unidos (tabla anexa al
problema 33, ejercicios 3.1) y forme un modelo demográfico del tipo
$
=
P(a
-

bP),
=
Po.
b) Forme una tabla para comparar la población predicha por el modelo en la parte a) conla población según el ceso. Calcule el error y el porcentaje de error con ca& par dedatos.
96
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
19.
Determine las trayectorias ortogonales de la familia
y
=
l/(x
+
CI)
(problema 32, ejercicios
3.1). Use una graficadora para trazar ambas familias en el mismo conjunto de ejes
coordenados.Si se supone que una bola de nieve se funde de tal modo que su forma siempre es esférica,un modelo matemático de su volumen es
en donde S es el área superficial de una esfera de radio
r,
y
k


0 es una constante de
V(O)

=
Vo.
c) Si r(O) =
ro,
determine el radio de la bola de nieve en función del tiempo
t.

¿Cuándodesaparece la bola de nieve?
21. La ecuación diferencial
&
describe la forma de una curva plana, C, que refleja todos los rayos de luz que le llegan y
los concentra en el mismo punto (problema 17, ejercicios 1.3). Hay varias formas de
resolver esta ecuación.a) Primero, compruebe que la ecuación diferencial sea homogénea
(Sec. 2.4). Demuestreque la sustitución
y
=
ux da como resultado
udu
Use un sistema algebraico de computación (SAC) o alguna sustitución adecuada para
integrar el lado izquierdo de la
ecuacion.
Demuestre que la curva C debe ser una
parábola con foco en el origen, simétrica con respecto al eje
X.
b) A continuación demuestre que la primera ecuación diferencial se puede escribir en laforma alternativa
=
2xy’ +
Y(JJ’)~.
Sea
w
=
J? y aplique el resultado del problema 54,
ejercicios 1.1, para resolver la ecuación diferencial resultante. Explique cualquier
diferencia que exista entre esta respuesta y la que obtuvo en la parte a).c) Por último, demuestre que la primera ecuación diferencial también se puede resolvercon la sustitución
u =
x2
+
y’.22. Un modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto es
1
dW2(-)
=2w2--
w3,
en donde
W(x)
es la altura de la ola en función de su posición relativa a un punto
determinado en alta mar.a) Por inspección, determine todas las soluciones constantes de la ecuación diferencial.b) Use un sistema algebraico de computación para determinar una solución no constantede la ecuación diferencial.c) Con una graficadora, trace todas las soluciones que satisfagan la siguiente condición
inicial:
W(O)
= 2.
Sección 3.3Sistemas de ecuaciones
lineoles y no lineales
97
caída libreFIGURA 3.14
Problema para discusión23. Un paracaidista que pesa 160
Ib,
se arroja de un avión que vuela a 12 000
ft
de altura.
Después de caer libremente durante 15 s, abre su paracaídas. Suponga que la resistenciadel aire es proporcional a
2
cuando no se abre el paracaídas y a la velocidad v después deabrirlo (Fig. 3.14). Para una persona con este peso, los valores normales de la constante
ken los modelos del problema 27, ejercicios 3.1, y el problema
15
anterior, son
k
= 7.857 y
= 0.0053, respectivamente. Calcule el tiempo que tarda el paracaidista en llegar al suelo.
iCuál
es su velocidad de impacto con el suelo?
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
n
Sistema de ecuaciones diferenciales como modelo matemático
W
Sistemas lineales y no lineales
W
Desintegración radiactiva
n
Mezclas
n
Modelo de
Lotka-Volterra
depredador-presa
Modelos de competencia
W
Redes eléctricas
Hasta ahora, todos los modelos matemáticos descritos han sido ecuaciones diferenciales únicas.Una sola ecuación diferencial puede describir
una población en un ambiente; pero si hay, porejemplo, dos especies que interactúan y compiten en el mismo ambiente (por ejemplo, conejos
y zorros), el modelo demográfico de sus poblaciones
x(t) y y(t) podría ser un sistema de
dos ecuaciones diferenciales de primer orden, como
(1)
98
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENCuando
gt y
g2
son lineales en las variables x y
y

+sto
es,
gr(x,
y)
=
CIX
+
cu

+fi(t),
g2(x,
se dice que el sistema (1) es un sistema lineal. Un sistema de ecuacionesdiferenciales que no es lineal se denomina no lineal.
En esta sección describiremos unos modelos matemáticos partiendo de algunos de lostemas expuestos en las dos secciones anteriores. Esta sección se parece a la 1.3 porque
abordaremos algunos modelos matemáticos que son sistemas de ecuaciones diferenciales deprimer orden, sin desarrollar método alguno para resolverlos. Hay motivos para no resolverahora esos sistemas: en primer lugar, todavía no conocemos las herramientas matemáticasnecesarias
y,
En el capítulo
8
examinaremos los métodos de solución para sistemas de ecuaciones
lineales de primer orden, y en los capítulos 4 y 7, para sistemas de ecuaciones diferenciales li-neales de orden superior.
Series radiactivas
Para describir la desintegración radiactiva en las secciones 1.3 y 3.1,
supusimos que la razón de desintegración es proporcional al numero
A(r)
de núcleos de la
sustancia presentes en el momento
t.
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, porlo general no sólo se transmuta en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sinoque la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaey forma una tercera sustancia, etc. Este proceso se llama serie de desintegración radiactiva(o serie radiactiva) y continúa hasta llegar a un elemento estable. Por ejemplo, la serie del uranioes U-238
+
Th-234
+
. .
+
Pb-206, donde este último es un isótopo estable del plomo. Los
periodos
medios de vida de los diversos elementos en una serie radiactiva pueden ser demiles de millones de años (4.5 x
10’

tios
para el U-238) hasta una fracción de segundo.
Supongamos que una serie radiactiva se esquematiza con X
%
Y
*
Z , y que
kr
=
-XI
0y
k2

=
-AZ
0 son las constantes de desintegración de los elementos Xy
Y,
respectivamente, yque Z es un elemento estable. Supongamos también que x(t),
y(t) y z(t) representan las canti-
dades de los elementos X, Y y
Z,
respectivamente, que quedan en cualquier momento. La
desintegración del elemento X está definida pormientras que la razón con que desintegra el segundo elemento,
Y,
es la razón neta
dY
=
h,x
-

h2y
porque gana átomos cuando desintegra
X,
y al mismo tiempo pierde átomos por su propia
desintegración. Como Z es un elemento estable, sólo está ganando átomos por el
desintegra-
miento del elemento
Y:
En otras palabas, un modelo de la serie radiactiva de tres elementos es el sistema de tres
ecuaciones diferenciales de primer orden
&=-Axdt

Sección 3.3Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
99
=
h2Y.
Examinemos los dos tanques de la figura 3.15. Para fines de nuestra descripción,supongamos que el tanque
A
contiene 50 galones de agua en que se disolvieron 25 libras desal. Consideremos que el tanque
B contiene 50 galones de agua pura. El líquido es bombeadodentro y fuera de los tanques, como se ve en la figura; la mezcla se intercambia entre ambos yse supone que el líquido que sale de
B
ha recibido una buena agitación. Deseamos formar unmodelo matemático que describa los números
XI(~)
y
n(t)
de libras de sal en los tanques
A y B,
respectivamente, en el momento
t.
agua
pura,
3
gidhnill
1
gal/min

+
mezcla,
4
gal/min3
gal/min
FIGURA 3.15
-*
Mediante un análisis parecido al de la página 24 en la sección 1.3 y en el ejemplo 5 de lasección 3.1, para el tanque
A,
la tasa neta de cambio de
XI(~)
es
I
tasa de entradade la sal
*
tasa de salidade la sal
.A
= (3
gal/min)
* (0 lb/gal) + (1
gal/min)
(4
gal/min)
*2 1=
-

25x1 +
50x2.
De igual forma, para el tanque
B,
la tasa neta de cambio de
XZ(~)
es
[email protected]
dt
50
50 502 2=
25x1

-

25x2.
Así llegamos al sistema lineal
d-x-Zx

+Ix
25


50

2
100
3
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
dx2

_ 2 2

-

25x2.
Observamos que el sistema anterior tiene las condiciones iniciales
x](O)

= 25,
~(0)

= 0.
Modelo depredador-presa
Supongamos que dos especies animales interactúan en el
mismo ambiente o ecosistema; la primera sólo come plantas y la segunda se alimenta de la
primera. En otras palabras, una especie es depredador y la otra es la presa; por ejemplo, loslobos cazan a los
caribús que se alimentan de pasto, los tiburones devoran a los peces pequeños
y el búho de las nieves persigue a
un
roedor ártico llamado
Zemming.
Para fines de nuestra
descripción, imaginemos que los depredadores son zorros y las presas, conejos.Sean
x(t) y
JJ(~)
las poblaciones de zorros y conejos en cualquier momento
t.
Si no hubieraconejos, cabría esperar que los zorros disminuyeran en numero siguiendo la ecuación
dx
a
� 0.Al carecer del suministro alimenticio adecuado. Por otro lado, cuando hay conejos en el
ecosistema parece lógico imaginar que la cantidad de encuentros o interacciones por unidad detiempo entre ambas especies, es proporcional simultáneamente a sus poblaciones,
x y
y; o sea,es proporcional al producto
xy. Así, cuando hay conejos, hay alimento para los zorros y éstosaumentan en el ecosistema a una tasa
bxy
� 0. Al sumar esta tasa a la ecuación (4) se obtieneun modelo demográfico para estos depredadores:
dx
-ax + bxy.
Por otro lado, cuando no hay zorros y si se supone además que las reservas de alimento sonilimitadas, los conejos aumentarían con una rapidez proporcional al número de
especímenesexistentes en el momento
t:
dy,
�dO.
Pero cuando hay zorros, el modelo demográfico para los conejos es la ecuación (6) menos
cxy,

� 0; esto es, disminuye según la rapidez con que son comidos:
4
= dy
-
cxy.
$

=

-ax + bxy
=

x(-a + by)
!!L

-
dy
-

cxy
=
y(d
-
cx),
(8)
en donde
a,
b,
c y d son constantes positivas. Éste es un sistema famoso de ecuaciones y sellama modelo depredador-presa de
Lotka-Volterra.
Sección 3.3
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
101
A excepción de las dos soluciones constantes x(t) = 0,
r(r) = 0, y x(t)
=
dlc,
r(f)

=
ulb, elsistema no lineal (8) no se puede resolver en términos de funciones elementales; sin embargo,podemos analizar en forma cuantitativa y cualitativa esos sistemas. Véase el capítulo 9, Méto-dos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.Modelo depredador-presaSupongamos quedx
=
-0.16~ +
0.08~~

=
4.5y

-

0.9xyrepresenta un modelo depredador-presa. Como estamos manejando poblaciones,
x(t)
L
0,
y(t)

2
características de las demografías de depredadores y presas para este modelo, sobrepuestasen los mismos ejes coordenados. Las condiciones iniciales empleadas fueron
x(O)
= 4,
y(O)
4. La curva en negro representa la población x(t) del depredador (zorros) y la curva encolor a la
JJ(~)
de la presa (conejos). Obsérvese que el modelo parece predecir que ambas
n
FIGURA 3.16Modelos de competencia
Ahora consideremos que hay dos especies animales distintasque ocupan el mismo ecosistema, no como depredador y presa, sino como competidores en el
uso de los mismos recursos, como alimentos o espacio vital. Cuando falta una especie,
supongamos que la razón de crecimiento demográfico de cada especie esdx
Y
z=cy,
102
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENEn vista de que las dos especies compiten, otra hipótesis podría ser que cada una se ve
menguada por la influencia (o existencia) de la otra población. Así, un modelo de las dos
poblaciones es el sistema linealen que
a,

b,
c y d son constantes positivas.
(5), que cada rapidezde crecimiento en las ecuaciones (9) debe disminuir a una tasa proporcional a la cantidad deinteracciones entre las dos especies:dx
=
ax

-
bxy
dt
=
cy

-
dxy.
dt
Lotka-Volterra. Sería más real reemplazar las tasas en las ecuaciones (9) -que indican que la
población de cada especie aislada crece en forma exponencial- con tasas que reflejen que
cada población crece en forma logística (esto es, que la población permanece acotada):
dx
=
a,x
-

blx2
=
a2y

-

bzy2.
Si a esas nuevas tasas se les restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones,
llegamos a otro modelo no lineal
ak

=
alx
-

bg*
-

=

x(al

-

blx
-

qy)

-

a2.y

-

bu*
-

c2xy

=

y(a2

-

bu

-

qx),
en que todos los coeficientes son positivos. El sistema lineal (10) y los sistemas no lineales(ll) y (13) se llaman modelos de competencia.
Redes
Una red eléctrica con más de un ciclo también origina ecuaciones diferencialessimultáneas. Como vemos en la figura 3.17, la corriente
i,(t)
se divide en las direccionesindicadas en el punto
BI,
que se llama nodo de la red. Según la primera ley de Kirchhoff
podemos escribir
i,(t)
=
i*(t)
+
if(t)
Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales103
FIGURA 3.17
Además, podemos aplicar también la segunda ley de Kirchhoff a cada circuito. Para el circuito
,4$&&4,,
sumamos las caídas de voltaje a través de cada uno de sus elementos y llegamos a
E(t) =
ilR1
+
Ll
f
+
i2R2.
De igual manera, para el circuito
A

$1

CI

vemos que
E(t) =
ilR1
+
Ll%.
Usamos la ecuación (14) a fin de eliminar
il de la (15) y
(16),
y obtenemos dos ecuaciones
lineales de primer orden para las corrientes
iz(t) e
h(t):

-g
+ (RI +
R+z +
Rli3
= E(t)
(17)
+
R,is
=
E(t).
Dejamos como ejercicio (problema 14) demostrar que el sistema de ecuaciones diferen-ciales que describe las corrientes
i,(t)
e
i2(t) de la red con un resistor, un inductor y un
capacitar(Fig. 3.18) es
L
2

+

Ri2= E(t)
RC
$f

+

i2

-

il

=
0.FIGURA 3.18
(18)
104
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN1. No hemos descrito método alguno para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales deprimer orden; sin embargo, los sistemas como el (2) se pueden resolver con sólo saberresolver una sola ecuación lineal de primer orden. Determine una solución del sistema
(2),sujeta a las condiciones iniciales x(O) =
XO,

y(O)
= 0 y z(O) = 0.
2.
En el problema
1
suponga que el tiempo se mide en días, que las constantes de desintegra-ción son
Rr
= -0.138629 y
k2
= -0.00495
1,
y también que
xg
= 20. Con una graticadora,trace las curvas de las soluciones x(t), y(t) y z(t) en el mismo conjunto de coordenadas.Con las gráficas estime los
periodos medios de los elementos Xy Y.3. Use las gráficas del problema 2 para aproximar los tiempos en que son iguales las canti-dades
x(l)
y y(t),
x(l) y
z(l)
y(t), y z(t).
¿Por qué se puede aceptar intuitivamente el tiempodeterminado por igualación de
y(r) y
z(j)?4. Establezca un modelo matemático de
una serie radiactiva de cuatro elementos,
fl

X;
Y y
donde Z es
un elemento estable.
5.
Se tienen dos tanques,
A
y
B,
a los que entra y sale líquido con los mismos flujos, de acuerdo
con lo que describe el sistema de ecuaciones (3).
¿Cuál sería el sistema de ecuaciones
diferenciales si, en lugar de agua pura, entrara al tanque
A
una
salmuera con 2
Ib
de sal porgalón?6. Con la información de la figura 3.19 formule un modelo matemático para el mínimo delibras de sal,
x,(t),
x*(t) y
xi,
en cualquier momento en los tanques
A, B y C, respectiva-mente.
agua pura,4
gal/min2
gal/min1
gal/min6
gallmin
4
gal/min
FIGURA 3.19
7. Hay dos tanques
A
y
B,
y al principio hay 100 gal de
salmuera en cada uno. El tanque
A
contiene 100 Ib de sal disueltas y el
B,
50 lb. El sistema es cerrado, porque los líquidosbien agitados sólo pasan de un tanque a otro como vemos en la figura 3.20. Use lainformación de la figura para formar un modelo matemático de las libras de sal
XI(T)
y
x2(t)
en cualquier momento
t
en los tanques
A
y
B,
respectivamente.
x](t) y
xz(r)
válida para cualquier momento
.
es? Use esta relación como ayuda para hallarla cantidad de sal en el tanque
B
cuando
I
= 30
min.
Sección 3.3
Sistemas
de
ecuaciones lineales y no lineales
105

gal/min
FIGURA 3.20
9.
Se tiene un modelo depredador-presa de
Lotka-Volterra definido por
dx,
+
0.02xy
=
0.2y
-

o.o25xy,en que las poblaciones
x(t) del depredador, y y(t), de la presa, se expresan en miles. Conun programa, calcule, aproximadamente, el momento
I

� 0 cuando se igualan por primeravez las poblaciones suponiendo x(O) = 6,
y(O)

= 6. Use las gráficas para hallar el periodoaproximado de cada población.10. Se tiene el modelo de competencia defínido por
dx
= x(2
-

0.4x
-

0.3y)
=
y(1
-

O.ly
-

0.3x),
I
en anos. Con un
ODE
solver,
analice las poblaciones a través de un largo periodo en cada uno de los casos siguientes:a) x(O) = 1.5,y(O) = 3.5b) x(O) = 1,
= 1c)
x(O) = 2,
y(O)
= 7
y(O)
= 0.5ll.Se tiene el modelo de competencia definido por
dx
=
X(1

-

0.1.X

-

0.05y)
= y(1.7
-

O.ly
-

O.l5x),en que las poblaciones x(t) y y(t) se expresan en miles y
t
en años. Con un
ODE
solver,
analice las poblaciones en un largo periodo en cada uno de los casos siguientes:
a)x(O)=
1, y(O)= 1b) x(O) = 4,
y(O) =
10c)
x(O) = 9,
y(O)
= 4d) x(O) = 5.5,
y(O)
= 3.5
12.
Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales para describir las corrientes
iz(t) e

en la red eléctrica de la figura 3.21 es el siguiente:
13.
iz(t) e
is

en la red eléctrica de la figura 3.22.
14.
Demuestre que el sistema lineal de las ecuaciones (18) describe las corrientes
i](t) e
iz(t)
en la red de la figura 3.18.
[Sugerencia:
dq/dt =
i3.1
Una enfermedad contagiosa se difunde en una comunidad pequeña, con población fija de
n personas, por contacto directo entre los individuos infectados y los susceptibles al pade-cimiento. Suponga que al principio todos son susceptibles y que nadie sale de la comunidadmientras se difunde la epidemia. Cuando el tiempo es
t,
sean
s(t), i(t)
y
r(t),
la cantidad de
personas -en miles- susceptibles pero no infectadas, las infectadas por la enfermedad
y las que se
de la enfermedad, respectivamente. Explique por qué el sistemade ecuaciones diferenciales
FIGURA 3.21
106
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
L$f
+
L$? +
Rli2
= E(t)
-Ri!?+R&+li

=o
dt
2dt
C3

FIGURA 3.22
/
=
-klsi
dt
2


Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales
y no lineales
107en que
kl
(tasa de infección) y
k2
(tusa de eliminación o recuperación) son constantes
positivas, es un modelo matemático razonable para describir la difusión de la epidemia enla comunidad. Proponga unas condiciones iniciales plausibles asociadas con este sistemade ecuaciones.16. a) Explique por qué en el problema 15 basta con analizar
&=

-ksi
dt

dt
2


b) Sean
kl

=
0.2,
k2
= 0.7 y
n
= 10. Escoja diversos valores de i(O) =
io,
0


io


10. Conun
ODE

solver
prediga el modelo acerca de la epidemia en los casos
so



k2/kl
y
SO

5

k2Ikl.
En el caso de una epidemia, determine la cantidad de personas que se
contagiaran en último término.Problemas
para
discusión
17. Suponga que los compartimientos
A
y
B
de la figura 3.23 están llenos de fluidos y que
están separados por una membrana permeable. Dicha figura muestra el exterior e interiorde una célula. También suponga que el nutriente necesario para el crecimiento de la célulapasa a través de la membrana. Un modelo de las concentraciones
x(t) y
y(t)
del nutrienteen los compartimientos
A
y
B,
respectivamente, en el momento
t,
es el sistema lineal deecuaciones diferenciales
dx

-4
VA
y
VB
son los volúmenes de los compartimientos y k

0 es un factor de
permeabilidad. Sean
x(O)
=
xs y
y(O)
=
ys las concentraciones iniciales del nutriente. Conbase sólo en las ecuaciones del sistema y en la hipótesis
xo


yc
� 0, trace curvas probables
fluido a lafluido a laconcentración
FIGURA 3.23
108
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENde solución del sistema en el mismo sistema de ejes coordenados. Explique su razonamien-to. Discuta el comportamiento de las soluciones cuando
t
tiende a infinito
18. El sistema del problema 17, al igual que el de las ecuaciones
(2),
se puede resolver sin
grandes conocimientos. Despeje x(t) y y(t) y compare las gráficas con su conjetura respectodel problema 17. [Sugerencia: reste las dos ecuaciones y haga
z(l)
=x(t) -y(t).] Determine
los valores límite de
x(l)
y
r(t) cuando
t

+
Explique por qué concuerdan con lo quecabría esperar intuitivamente.
19.
Con base en la pura descripción física del problema de mezclas de las páginas 99 y 1 OO yla figura 3.15, describa la naturaleza de las funciones
XI(~)
y
xi.

¿Cuál
es el comporta-miento de cada función durante un periodo amplio? Trace las posibles gráficas de
xt(t) y
xi.
Compruebe sus conjeturas empleando un programa para obtener las curvas de
solución de las ecuaciones
(3), sujetas a
XI(O)
= 25,
x2(0) = 0.
1. En marzo de 1976, la población mundial llegó a 4000 millones. Una revista predijo que
con una tasa de crecimiento anual promedio de
1.8%, la población mundial sería de 8000millones al cabo de 45 anos.
¿Cómo se compara este valor con el que predice el modelosegún el cual la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cualquier momento?
2.
A un recinto de 8000
fi3 de volumen entra aire con 0.06% de dióxido de carbono. El flujode entrada es 2000
fi3/min y sale con el mismo flujo. Si hay una concentración inicial de0.2% de dióxido de carbono, determine la concentración en el recinto en cualquier instante
posterior.
¿Cuál es la concentración a los 10
min?

¿Cuál es la concentración de estado
estable, o de equilibrio, del dióxido de carbono?
3. Un marcapasos cardiaco (Fig.
3.24),
está formado por una batería, un
capacitar y el
corazón, que funciona a modo de resistor. Cuando el conmutador
S está en
P,
el
capacitar
FIGURA 3.24se carga; cuando está en
Q, se descarga y manda un estímulo eléctrico al corazón. En esteintervalo, el voltaje E que se aplica al corazón está determinado por
dE

&#xt200;t,
Sección 3.3Sistemas
de
ecuaciones lineales y no lineales
109
en donde
R
y C son constantes. Determine E(t), cuando E(t) = 0. (Naturalmente, la abertura
C, de un soluto.La célula tiene un volumen constante
Vy
el área de su membrana permeable es la constanteA. Según la ley de Fick, la rapidez de cambio de su masa
m
(la del soluto) es directamen-
te proporcional al área
A
y a la diferencia
C,

-
C(t), donde C(t) es la concentración del
soluto en el interior de la célula en cualquier momento t. Determine C(t), si
m

=
W(t)
yC(O) = C
O
(Fig. 3.25).
?fl-
las
molhlas del solutose difunden por la
_
membrana celularFIGURA 3.25
5. La ley de Newton del enfriamiento es
dT/dt
=
k(T
-

Tm), k
0; en este caso, la tempera-tura del medio que rodea a un objeto
T,,,

cambia en el tiempo. Suponga que la temperatura
inicial del objeto es
TI
T2,
y suponga que
T,,,
=
T2
+
B(Tl
-
T), en donde
B
� 0 es una constante.a) Determine la temperatura del objeto en cualquier momento
t.
b)
¿Cuál
es el valor límite de la temperatura, cuando
t

+

=?c)
¿Cuál es el valor límite de
T,,,
cuando
t

-+

=?
6. Un circuito
LR
en serie tiene un inductor variable cuya inductancia es
L=

Ost
10
Determine la corriente
i(t),
si la resistencia es 0.2
Q
el voltaje aplicado
esE

=
4 e
i(O)
=
0.
Grafique

i(t).
7. Un problema clásico del cálculo de variaciones es determinar la forma de una curva
%
talque una cuenta, por la influencia de la gravedad, se deslice del punto
A(0, 0) al punto
B(xl,
en el tiempo mínimo (Fig 3.26). Se puede demostrar que una ecuación diferencial nolineal de la
formau
de la trayectoria
esy[ 1 +
@‘)2]
=
k,
donde
k es
una constante. Primero
despeje
& en función de
y y
dy,
y a continuación sustituya
y = k
sen20
para llegar a la
forma paramétrica de la solución. La curva
%
resulta ser una cicloide.
110
3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENFIGURA 3.26
8.
Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba, al aire, con una velocidad inicial
VO

Ns.
Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad
instantánea, un par de ecuaciones diferenciales describen al movimiento:
m$=

-mg-kv2,
k
� 0,
con la dirección de las
y
positivas hacia arriba, el origen al nivel del piso, para que v
=
VO
cuando
y

= 0; la otra ecuación es
Y
k
� 0,con el eje de las
y positivas hacia abajo, el origen en la altura máxima, para que v
=
0
cuando
y

=
h.
Estas ecuaciones describen al movimiento del proyectil cuando sube y baja,respectivamente. Demuestre que la velocidad de impacto
�\i
del proyectil es menor que la
vg.
También se puede demostrar que el tiempo
tl necesario para que el
proyectil llegue a su altura máxima
h es menor que el tiempo
t2
que tarda en caer desdeesa altura
(Fig. 3.27).FIGURA 3.27
9. Las poblaciones de dos especies animales se
apegan
al sistema no lineal de ecuaciones
diferenciales de primer orden
dx
=
klx(a
-

x)
=
kgy.
Determine
x y
y
en función de
t.
Sección 3.3Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
111
2
lb/gal

galhnin
5
gal/min
loo gal
100 gal
Ll-

7-

-
mezcla,mezcla,
3
gal/min
1
gal/min

gal/min
FIGURA 3.28
10.
Dos tanques,
A
y
B,
contienen 1 OO galones de
salmuera cada uno al principio del proceso.El líquido, bien agitado, pasa entre ambos como muestra la figura 3.28. Con la informaciónde la figura, formule un modelo matemático para el número de libras de sal
XI
y
~2,
en lostanques
y B, respectivamente, en cualquier momento.

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