Apuntes de Análisis Matemático I - ugr es

Es fácil comprobar a partir del axioma del supremo que todo conjunto A de números reales no vacío y minorado tiene ínfimo, que en lo sucesivo se notará infA. En efecto, si notamos A :=f a : a 2Ag, se tiene que m es minorante de A , m es mayorante de A 5


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IVÍNDICEGENERAL3.5.Reglasdederivación...............................1183.6.Interpretacióngeométricadelconceptodederivada.Hiperplanotangente...1243.7.ApéndiceA)DesigualdaddeCauchy-Schwarz.................1273.8.ApéndiceB)Normasduales...........................1283.9.ApéndiceC)Hiperplanos............................1293.10.Referenciasrecomendadas............................1313.11.ResumendelresultadosdelTema3.......................1323.12.EjerciciosdelTema3..............................1373.13.SolucionesalosejerciciosdelTema3.....................1434.Teoremadelvalormedio.TeoremasdelpuntojodeBanachydeSchauder.TeoremadePicard-Lindelöf.1574.1.Teoremadelvalormedio............................1584.2.TeoremasdelpuntojodeBanachydeSchauder..............1644.3.TeoremadePicard-Lindelöf...........................1694.4.Referenciasrecomendadas............................1714.5.ResumendelresultadosdelTema4......................1724.6.EjerciciosdelTema4..............................1754.7.SolucionesalosejerciciosdelTema4.....................1795.Derivadasegunda.Matrizhessiana.1855.1.Aplicacionesbilineales.............................1865.2.Derivadasegunda................................1875.3.Reglasdederivación...............................1915.4.TeoremadeSchwarz...............................1945.5.FórmuladeTaylor................................1965.6.Camposescalares................................1995.7.Referenciasrecomendadas............................2035.8.ResumendelresultadosdelTema5......................2045.9.EjerciciosdelTema5..............................2095.10.SolucionesalosejerciciosdelTema5.....................2116.Derivadassucesivas.2216.1.Reglasdederivación...............................2266.2.Derivadasdeordensuperiordecamposescalares................2286.3.Referenciasrecomendadas............................2326.4.ResumendelresultadosdelTema6......................2336.5.EjerciciosdelTema6..............................2396.6.SolucionesalosejerciciosdelTema6.....................2417.Extremosrelativos.2457.1.Condicionesnecesariasysucientesdeextremorelativo...........2457.2.Apéndice:ClasicacióndeformascuadráticasdeNvariables........2537.3.Referenciasrecomendadas............................2627.4.ResumenderesultadosdelTema7.......................2637.5.EjerciciosdelTema7..............................265
ÍNDICEGENERALV7.6.SolucionesalosejerciciosdelTema7.....................2678.Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.2798.1.Teoremadelafuncióninversa..........................2808.2.Teoremadelafunciónimplícita.........................2868.3.Apéndice:ElTeoremadelafuncióninversasededucedelTeoremadelafunciónimplícita.................................2928.4.Referenciasrecomendadas............................2948.5.ResumenderesultadosdelTema8.......................2958.6.EjerciciosdelTema8..............................2978.7.SolucionesalosejerciciosdelTema8.....................3019.Variedades.Extremoscondicionados.3099.1.Variedadesdiferenciables............................3109.2.Espaciostangenteynormal...........................3189.3.Extremoscondicionados.............................3219.4.Cálculoprácticodepuntoscríticoscondicionados.FuncióndeLagrange,sis-temadeLagrangeymultiplicadoresdeLagrange................3239.5.AplicacióndelTeoremadeLagrangealcálculodeextremosabsolutos....3249.6.Referenciasrecomendadas............................3359.7.Resumenderesultados.............................3369.8.EjerciciosdelTema9..............................3399.9.SolucionesdelosejerciciosdelTema9.....................341IIIIntegración35710.MedidadeLebesgueenRN.35910.1.s-álgebrasymedidas..............................36010.2.ConstruccióndelamedidadeLebesgueenRN.................36410.3.ExistenciayunicidaddelamedidadeLebesgue...............36910.4.CaracterizacióndelamedidadeLebesgue...................37810.5.ComportamientodelamedidadeLebesguefrenteaaplicaciones.......37910.6.ApéndiceA:Orden,topologíayaritméticaen[0;Â¥]..............38610.7.ApéndiceB:“Subaditividaddelvolumen”...................38810.8.ApéndiceC:“Descomposicióndeunisomorsmolineal.”..........39010.9.ApéndiceD:“ConjuntosternariosdeCantoryfunciónsingulardeLebesgue”39210.10.Referenciasrecomendadas............................39510.11.ResumendelresultadosdelTema10......................39610.12.EjerciciosdelTema10.............................39910.13.SolucionesalosejerciciosdelTema10.....................40311.Integralasociadaaunamedida41311.1.Funciónmedible.................................41411.2.Propiedadesdelasfuncionesmedibles.....................41711.3.Funcionessimples.TeoremadeaproximacióndeLebesgue..........420
VIÍNDICEGENERAL11.4.Integraldefuncionessimplespositivas.....................42211.5.Integraldeunafunciónmediblepositiva....................42411.6.Funciónintegrableeintegral..........................42811.7.DensidaddelasfuncionessimplesenL(m)..................43511.8.Referenciasrecomendadas............................43511.9.ResumendelresultadosdelTema11......................43611.10.EjerciciosdelTema11..............................43911.11.SolucionesalosejerciciosdelTema11.....................44312.Teoremasdeconvergencia44912.1.Teoremadelaconvergenciamonótona.....................45012.2.TeoremadelaconvergenciadominadayLemadeFatou...........45512.3.Teoremadelaconvergenciaabsoluta.....................45712.4.TeoremadeRiesz................................45812.5.SubespaciosdensosenL(RN).........................46212.6.ResumendelresultadosdelTema12......................46412.7.EjerciciosdelTema12..............................46712.8.SolucionesalosejerciciosdelTema12.....................47113.Técnicasdeintegraciónenunavariable.47913.1.Notaciónyaditividaddelaintegral.......................47913.2.Teoremafundamentaldelcálculo........................48113.3.Integraciónporpartes..............................48813.4.Cambiodevariable...............................48913.5.Criteriodecomparación.............................49013.6.Funcionesdenidasporintegrales.......................49313.7.Continuidadabsoluta..............................49713.8.ResumenderesultadosdelTema13.......................49913.9.EjerciciosdelTema13..............................50313.10.SolucionesalosejerciciosdelTema13.....................50914.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.52114.1.TeoremadeFubini................................52214.2.TeoremadeTonelli...............................53014.3.Teoremadelcambiodevariable.........................53214.4.Coordenadaspolares,cilíndricasyesféricas..................53714.5.ResumenderesultadosdelTema14.......................54014.6.EjerciciosdelTema14..............................54514.7.SolucionesalosejerciciosdelTema14.....................551IVReferencias571
Tema1IntroducciónalAnálisisdeunavariable.1.1.ResultadosfundamentalesenR.LosnúmerosrealesconstituyenlabasesobrelacualseasientaelAnálisisMatemáti-co.Consecuentemente,laprimerapremisaparaavanzarprovechosamenteenesteáreaseráestablecerlaspropiedadesdelconjuntoRdelosnúmerosreales.CodicamosacontinuaciónlaspropiedadesbásicasdeRquedehecholocaracterizan.Resunconjuntoprovistodeunasumayunproductorespectodeloscualesesuncuerpocon-mutativo.Estádotadoademásdeunarelacióndeordentotalcompatibleconlasoperacionesdelcuerpo,estoes,unarelacióndeordenquevericalassiguientespropiedades:i)a;b2R)aboba,ii)[a;b;c2R;ab])a+cb+c,yiii)[a;b;c2R;ab;0c])acbc.Nótese,sinembargo,queelcuerpoQdelosnúmerosracionalestambiéngozadelasanteriorespropiedadesporloquelógicamentenosonéstasporsísolaslasquecaracterizanaR.LapropiedadfundamentaldeR(queyalodistinguedeQ)eselaxiomadelsupremo.Axioma1.1(delsupremo).Todoconjuntonovacíoymayoradodenúmerosrealestienesupremo,esdecir,elconjuntodesusmayorantetienemínimo.Esclaroqueparaqueunconjuntodenúmerosrealestengasupremohadesernovacíoymayorado.Elaxiomaanteriornosaseguraqueestasdoscondicionessontambiénsucientes.ElsupremodeunconjuntoAnovacíoymayoradodenúmerosrealessenotaráenlosucesivosupA.EsfácilcomprobarapartirdelaxiomadelsupremoquetodoconjuntoAdenúmerosrealesnovacíoyminoradotieneínmo,queenlosucesivosenotaráinfA.Enefecto,sinotamos�A:=f�a:a2Ag,setienequemesminorantedeA,�mesmayorantede�A5
101.IntroducciónalAnálisisdeunavariable.dondeparacadannaturalbn:=supfxk:kng(lasucesiónfbngesunasucesióndecrecientedeelementosde[�¥;+¥]queobligadamentetienelímite).Ellímiteinferiordeunasucesiónfxngen[�¥;+¥]eselelementode[�¥;+¥]denidoporliminfxn:=limandondeparacadannaturalan:=inffxk:kng(lasucesiónfangesunasucesióncrecientedeelementosde[�¥;+¥]queobligadamentetienelímite).Nótesequeparacadan2Nsetienequeanbnyportantolimanlimbnoloqueeslomismoliminfxnlimsupxn:AhoradeladenicióndelímiteydelaProposición1.12ii)sededucefácilmentelasiguientecaracterizacióndelaexistenciadelímiteen[�¥;+¥].Proposición1.15.Unasucesiónfxngen[�¥;+¥]tienelímitesi,ysólosi,liminfxn=limsupxn:Enconsecuenciaenelcasodequelasucesiónseadenúmerosreales,éstaesconvergentesi,ysólosi,liminfxn=limsupxn2R:Teorema1.16(Bolzano-Weierstrass).Todasucesiónacotadadenúmerosrealesadmite(almenos)unasubsucesiónconvergente.Demostración:Seafxngunasucesiónacotadadenúmerosreales.SeaL:=limsupxn.EsclaroqueL2R.Vamosadenirporinducciónunaaplicacións:N!Nestrictamentecrecientetalquefxs(n)g!L:Pordenicióndelímitesuperior,lasucesiónfbngdenidaporbn:=supfxk:kng;8n2NdecreceaL.Luego9m12N:Lbm1L+1:Pordenicióndebm1ylacaracterizacióndelsupremo9s(1)m1:bm1�1xs(1)bm1:
Acosta,AparicioyMoreno13Teorema1.19.SeaANinnito.Entoncesexisteunaaplicaciónf:N!Abiyectiva.Demostración:Seaf(1)=minA.Supuestodenidosf(1);f(2);:::;f(n),seaf(n+1)=minfa2Anff(1);f(2);:::;f(n)gg:Claramentef(n)f(n+1);8n2Ndedondesededucequefesinyectiva.Veamosquefessobreyectiva.Seab2Aunelementojoydenimosk:=maxfn2N:f(n)bg(elconjuntoanterioresnovacíoynito,dehecho,tienebelementosalosumo).Esclaroquef(k)b.Sifuesef(k)b,entoncessetendríab2Anff(1);:::;f(k)g;y,enconsecuencia,seseguiríadeladenicióndefquef(k+1)b,loquecontradiceladenicióndek.Hemosprobadoquef(k)=b.
Corolario1.20.ExisteunabiyeccióndeNsobreQ.Demostración:Seag:Q!Ninyectiva,entoncesQyg(Q)sonbiyectivos.Elresultadosededucedelteoremaanterior.
NuestropróximoobjetivoesprobarquelauniónnumerabledeconjuntosnumerablesesnumerableyqueRnoesnumerable.Paraellousaremoselsiguienteresultado.Lema1.21.UnconjuntoAnovacíoesnumerablesi,ysólosi,existeg:N!Asobreyectiva.Demostración:SupongamosqueAesnumerableyseaf:A!Ninyectiva.Seab2Ajo.Laaplicacióng:N!Adenidaporg(f(a))=a;8a2Ag(n)=b;8n2Nnf(A)(sif(A)6=N)esclaramentesobreyectiva.Supongamosahoraqueexisteg:N!Asobreyectiva.Laaplicaciónf:A!Ndenidaporf(a)=minfn2N:g(n)=agesinyectiva.
Proposición1.22.Launiónnumerabledeconjuntosnumerablesesnumerable.EsdecirsiIesunconjuntonumerableyAiesunconjuntonumerableparacadai2I,entonceselconjuntoA=[i2IAiesunconjuntonumerable.
141.IntroducciónalAnálisisdeunavariable.Demostración:PodemossuponerqueI6=/06=Ai.Existenfuncionesg:N�!I;fi:N�!Ai;8i2Isobreyectivas.Denimosh:NN�!Aporh(m;n)=fg(n)(m):Veamosquehessobreyectiva.Dadoa2A,elegimosi2Italquea2Ai,entonceselegi-mosm;n2Ntalesqueg(n)=iyfi(m)=a.AlserNNnumerablesepuedeconstruirunaaplicacióndeNsobreNN,yenconsecuenciaexistetambiénunaaplicacióndeNsobreA.EnvirtuddellemaanteriorhemosprobadoqueAesnumerable.
Teorema1.23.ElconjuntoRdelosnúmerosrealesnoesnumerable.Demostración:Bastaprobarqueelintervalo[0;1]noesnumerable.Silofueseexistiríaunaaplicaciónf:N![0;1]sobreyectiva.Dividimos[0;1]entresintervaloscerradosdeiguallongitudyalmenosenunodeellos,quenotamosI1,noestáelpuntof(1).DividimosI1entresintervalosdeiguallongitudyalmenosenunodeellos,quenotamosI2,noestáf(2).Eneln-ésimopasoInesunintervaloquenocontienealpuntof(n)ycuyalongitudesunterciodeladelintervaloIn�1.LasucesiónfIngasídenidaesunasucesióndecrecientedeintervaloscerradosnovacíosdeRvericadoque`(In)=1
3n,paratodonaturaln.Elteoremadelosintervalosencajados(Teorema1.6)nosaseguraqueexistex2[0;1]talque\Â¥n=1In=fxg.Estoesabsurdopuesalserfsobreyectivahadeexistirk2Ntalquef(k)=xconloquex62Ikyconmayormotivox62\Â¥n=1In.
Parafamiliarizarse,deunamanera“informal”yagradable,conelduroconceptodelanumerabilidadrecomendamoslalecturadelCapítulo2de[Thi]titulado“Fábulas”.1.3.NotasNota1.24.Existendiversosprocedimientosparapresentarelcuerpodelosnúmerosreales.Enlosmétodos“constructivos”,losaxiomasdePeanodenenlosnúmerosnaturales(“LosnúmerosnaturalesloshizoDiosylosdemásloshizoelhombre”,Kronecker).AxiomasdePeano.ExisteunconjuntoN,unelemento1enNyunaaplicacións:N!Nqueacadanaturalnlehacecorresponderotronaturals(n),llamadosusiguiente,vericando:i)sesinyectiva.ii)1=2s(N)(1noeselsiguientedeningúnnatural).iii)Principiodeinducción.SiAesunsubconjuntodeNquesatisface:
161.IntroducciónalAnálisisdeunavariable.1.5.ResumenderesultadosdelTema1.ElconjuntoRdelosnúmerosreales.Resel“único”cuerpoconmutativoconunarelacióndeordenvericando:i)a;b2R)aboba(ordentotal),ii)[a;b;c2R;ab])a+cb+c(compatibilidaddelordenconlasuma),yiii)[a;b;c2R;ab;0c])acbc(compatibilidaddelordenconelproducto),quesatisfaceelaxiomadelsupremo,estoes,todoconjuntonovacíoymayoradodenúmerosrealestienesupremo(elconjuntodesusmayorantetienemínimo).Teoremadelosintervalosencajados.SeafIngunasucesióndecrecientedeintervaloscerradosnovacíostalquef`(In)g!0(donde`(In)denotalalongituddelintervaloIn).Entonces\Â¥n=1In=fxgparaalgúnx2R.TeoremadecomplituddeR.EnR,todasucesióndeCauchyesconvergente.TeoremadeBolzano-Weierstrass.Todasucesiónacotadadenúmerosrealesadmiteunasucesiónparcialconvergente.Conjuntonumerable.UnconjuntoAsedicenumerablesiesvacíoosiexistef:A!Ninyectiva.EsfácildeducirdeladeniciónqueelconjuntoZdelosnúmerosenterosyelconjuntoQdelosnúmerosracionalessonnumerables.Teorema.ElconjuntoRdelosnúmerosrealesnoesnumerable.Teorema.TodoconjuntonumerableoesnitooequipotenteaN.
181.IntroducciónalAnálisisdeunavariable.esdecirnp
xmanp
a�mnp
xn.Deducirquea=limnp
xmanp
a�mliminfnp
xnparaconcluirqueliminfxn+1
xn=limanliminfnp
xn:Lasegundadesigualdadesbienconocidaylatercerasedemuestrademaneraanálogaalaprimera.1.5Probarquelaaplicaciónf:R!]�1;1[denidaporf(x):=x
1+jxjesunabiyecciónestrictamentecreciente.Calcularsuinversa.¿Esf�1estrictamentemonótona?.¿Crecienteodecreciente?.Engeneral,¿cómoeslafuncióninversadeunabiyecciónestrictamentecrecienteentrenúmerosreales?.Extender,conservandoelorden,faunabiyecciónˆf:[�Â¥;+Â¥]![�1;1].1.6UnaformanaturaldeenumerarN2(biyeccións:N�!N2)vienedadaenelsiguienteesquema(1;1)!(1;2)(1;3)(1;m)###(2;1) (2;2)(2;3)(2;m)#(m;1) (m;2) (m;3) (m;m)esdecir,losparesasociadosalosprimerosnaturalesson(1;1);(1;2);(2;2);(2;1);(1;3);(2;3);(3;3);(3;2);(3;1);;(1;m);(2;m);(3;m);(m;m);(m;3);(m;2);(m;1):Conlaenumeracióndescritaantes,calculara)s(11);s(13);s(15).b)s(k).c)s�1(4;1);s�1(1;4).d)s�1(n;m).
Acosta,AparicioyMoreno19Indicaciónparaelapartadob):(1;1)7�!1;(n;1)7�!n2.Paranumerarlas(n+1)2�n2=2n+1parejasqueorlanelcuadradoanteriorporunacolumnade(n+1)�parejasyunala(n+1)�parejas,obsérveseque(1;n+1)7�!n2+1;(2;n+1)7�!n2+2;(n+1;n+1)7�!n2+n+1y(n+1;1)7�!(n+1)2;(n+1;2)7�!(n+1)2�1;(n+1;n+1)7�!(n+1)2�n=n2+n+1:En[SoSi],CapítuloIpuedeencontrarseunaampliacoleccióndeejerciciosconsolu-ciones.
Tema2Camposescalaresyvectorialescontinuos.Límitefuncional.Enestetema,porabstraccióndelaspropiedadesdelanormayladistanciaeuclídea,sepresentanlasnocionesdeespacionormadoyespaciométrico.LatopologíausualdeRNeslageneradaporlanormaeuclídea,estoes,losabiertossonunionesdebolasabiertaseuclídeas.ElTeoremadeHausdorff,resultadoprincipaldeestetema,armaquedichatopologíacoin-cideconlatopologíaasociadaacualquiernormaenRN.ProbamostambiénlasextensionesaRNdelosTeoremasdecomplitudydeBolzano-Weierstrass.DenimosloscompactosdeRNcomolossubconjuntoscerradosyacotados.Presentamosdoscaracterizacionesdeloscompactosquesonestupendasherramientasenlasdemostra-cionesporcompacidad(aquellascuyosenunciadosestánligadosalanocióndecompacto).Laprimeraarmaquetodasucesiónenuncompactoseacumula(Teorema2.28)ylase-gundaquetodocompactovericaelaxiomadeHeine-Borel(Teorema2.31).IntroducimostambiénlasnocionesdeconvexidadyconexiónenRNquesonlasextensionesgeométricaytopológica,respectivamente,delanocióndeintervalodeR.Denimoslacontinuidaddefuncionesrealesdevariasvariablesrealesyprobamosquetalesfuncionesconservanloscompactosylosconexos.ElTeoremadeDinidacondicionessucientesparaqueunasucesióndefuncionesque,enprincipio,convergesólopuntual-menteconverjauniformemente.ElTeoremadeHeinenosaseguraquelasfuncionescontinuasdenidasencompactossondehechouniformementecontinuas.Terminamoslalecciónestudiandoelconceptodelímitefuncional(indispensableparadenirelconceptodefunciónderivable)ylarelaciónqueexisteentreésteylacontinuidad.Enlosucesivo,paracadanaturalN,RNdenotaelespaciovectorialrealdelasN-uplasdenúmerosreales,esdecir,RN:=fx=(x1;:::;xN):x1;:::;xN2Rgconlasdenicionesusualesdesumayproductoporescalaresx+y:=(x1+y1;:::;xN+yN);lx:=(lx1;:::;lxN):Alascomponentesx1;:::;xNdelaN-uplaquedeneelvectorxselesdenominancoordenadas
dedichovector.Cuandohayalugaraconfusión,yenespecialcuandoseestétrabajando23
Acosta,AparicioyMoreno25c)Deii)yiii)sededucefácilmentequejkxk�kykjkxyk;8x;y2X:d)Porúltimo,deiii)sededucefácilmenteporinducciónquekx1+x2++xnkkx1k+kx2k++kxnk;8x1;;xn2X:Ejemplos2.3.1.(R;jj)esunespacionormado.Dehecho,enRtodaslasnormassonproductodelvalorabsolutoporunaconstantepositiva.2.AlgunasnormasenRN.Ademásdelanormaeuclídea,enRNconsideraremosentreotraslanormadela
suma
ylanormadelmáximo
,dadas,respectivamente,porkxk1:=jx1j++jxNj;kxk¥:=maxfjx1j;;jxNjg(x2RN)Noesdifícilcomprobar(hágasecomoejercicio)queambassonnormasyqueseveri-caladesigualdad(véaseelEjemplo2.13)kxk¥kxk2kxk1Nkxk¥(x2RN):Esconvenientedibujarlaesferaunidad(elementosquetienennorma1)endimensión2paratenerunaideadecómosecomportalanorma.Siconsideramoslabolaunidadcerradaasociadaaunanorma,estoes,B:=fx2R2:kxk1g;ocurrequeabolasmenorescorrespondenmayoresnormas.3.EnelespaciovectorialC[a;b]delasfuncionesrealescontinuasdenidasenelintervalocerradoyacotado[a;b],sepuededenir,porlapropiedaddecompacidad,lanormadadaporkfk¥=maxfjf(x)j:x2[a;b]g(f2C[a;b]):Compruébesequedehechoesunanorma.Recordemosahoraqueladistanciaeuclídea
enRN,esdecir,laaplicaciónd2:RNRN�!R+0denidapord2(x;y)=kx�yk2(x;y2RN);vericalassiguientespropiedades:
Acosta,AparicioyMoreno29i)(O2Á;OA))OA.ii)A2Á.iii)AeselmayorabiertoincluidoenA,enconsecuencia,Aeslaunióndetodoslosabier-tosincluidosenA.iv)A2Á,A=A.v)(F2F;AF))
AF:vi)
A2F.vii)
AeselmenorcerradoquecontieneaAycoincideconlainterseccióndetodosloscerradosquecontienenaA.viii)A2F,A=
A.ix)(EnA)=En
A,equivalentementeA=En
EnA.x)EnA=
EnA,equivalentemente
A=En(EnA).DelaigualdadEnA=
EnA,sededucequeFr(A)=
A\
(EnA):AcontinuaciónextendemoselconceptodeconvergenciaenRaespaciosmétricos.Denición2.11(Convergenciaenespaciosmétricos).Sedicequeunasucesiónfxngdeele-mentosdeunespaciométrico(E;d)esconvergente
siexisteunelementox2Etalque8e�0;9m2N:nm)d(xn;x)e;equivalentemente,sifd(xn;x)g!0.Sisevericalacondiciónanterior,diremosquefxngconvergeaxyentalcasoescribiremosfxng!x.Esfácilcomprobar(ejercicio)queelelementoxquevericalacondicióndeconvergenciaesúnicoysellamalímitedelasucesiónfxng
,yentoncesescribiremosx=limxn.ElconceptodesucesióndeCauchyenunespaciométricoestambiéncopialiteraldeldadoparaR.Denición2.12(sucesióndeCauchy).Unasucesiónfxngdeelementosdeunespaciométri-co(E;d)esdeCauchy
siseverica8e�0;9m2N:p;qm)d(xp;xq)e;equivalentemente,8e�0;9m2N:[nm;h2N])d(xn+h;xn)e:
302.Continuidadylímitefuncional.EsinmediatocomprobarqueenunespaciométricotodasucesiónconvergenteesdeCauchy.(Q;j:j)esunejemplodequeelrecíprocodeestaarmaciónnoescierto.Aque-llosespaciosmétricosquevericanquetodasucesióndeCauchyesconvergentesella-mancompletos
.UnespacionormadoycompletoparalamétricaasociadaalanormaesunespaciodeBanach
.Elespacionormado(C[0;2];k:k1),esdecir,elespaciovectorialdelasfuncionesrealescontinuasdenidasen[0;2]conlanormaintegral
dadaporkfk1:=Z20jf(x)jdx;noescompleto1(véaseEjercicio2.3).UnsubconjuntoAdeunespaciométrico(E;d)sedicecompletosielespaciométrico(A;d)escompleto,esdecir,sitodasucesiónenAqueseadeCauchyconvergeaunelementodeA.Ejemplo2.13(Convergenciaen(RN;kk2).SifxngesunasucesiónenRNdenotaremosporxn(k)alacoordenadak-ésimadeltérminoxn.ProbaremosquelaconvergenciaenRNsereducealaconvergenciacoordenadaacoordenada,estoes:fxngkk2!x,fxn(k)g!x(k);8k=1;2;;Ndondex=(x(1);:::;x(N)).Demostración:Probemosprimeramentequeparatodovectorx2RNsevericakxk¥kxk2Nkxk¥(1)Denotandoporx(k)alascomponentesdelvectorx,sepruebafácilmentelaprimerade-sigualdad,yaquekxk2¥:=maxfjx(k)j:k=1;:::;Ng2=maxfx(k)2:k=1;:::;NgNåk=1x(k)2=kxk22:Yporotroladokxk2:=vuut
NÃ¥k=1x(k)2q
kxk2Â¥+N:::+kxk2Â¥=p
Nkxk¥Nkxk¥:Delaprimeradesigualdadde(1)sesiguequesiunasucesiónfxngenRNtienelímitex,entoncesfxn(k)g!x(k)paratodok=1;:::;N.Supongamosahoraquefxn(k)g!x(k);8k=1;:::;N:
1Lanocomplituddelespacio(C[0;2];k:k1)noesconsecuenciadelanormaelegida,sinodequeesnecesarioampliarsensiblementeelconjuntodefuncionesintegrablesparaconseguirlacomplitudyqueenconsecuencialascosasmarchenbien.AlgoanálogoocurreconQysu“completación”aR
Acosta,AparicioyMoreno33Denición2.19.DosnormaskkyjjjjjjenunmismoespaciovectorialXsedicenequivalentes
siexistenconstantesm;M�0vericandomkxkjjjxjjjMkxk;8x2X:Esinmediatoprobarquelarelaciónbinariaquehemosdenidoentrenormasesdeequiv-alencia.Proposición2.20.SeankkyjjjjjjdosnormasenelespaciovectorialX.Equivalenlassiguientescondiciones:i)Lasnormaskkyjjjjjjsonequivalentes.ii)Ambasnormasgeneranlamismatopología.Demostración:i))ii)SeaOunabiertoparalatopologíaasociadaakk.Dadoa2O,exister�0talqueBkk(a;r)O;pero,porser,ambasnormasequivalentes,existeunaconstantem�0talquemkxkjjjxjjj;8x2X:Portanto,setieneBjjjjjj(a;mr)Bkk(a;r)O;yOesabiertoparalatopologíaasociadaalanormajjj:jjj.Lainclusióncontrariaesconse-cuenciadelaotradesigualdadentelasnormas.ii))i)Porserlasbolasabiertasconjuntosabiertos,existeunaconstantes�0talqueBjjjjjj(0;s)Bkk(0;1):Seax2Xunelementononulo,entonces,esclaroqueseverica sx
2jjjxjjj s) sx
2jjjxjjj 1)s
2kxkjjjxjjjEnvistadelahipótesis,ambasnormasestánenlasmismascondiciones,luegotambiénsepuedeprobarqueexisteunaconstanteMtalquejjjxjjjMkxk;8x2X.
ParaprobarelTeoremadeHausdorff,enprimerlugar,generalizaremosalespacioeu-clídeoelTeoremadeBolzano-Weierstrass.Denición2.21(conjuntoacotado).UnsubconjuntoAdeunespaciométrico(E;d)sediceacotado
siexistenM�0yx02EtalesqueAB(x0;M).Así,unsubconjuntoAdeunespacionormado(X;kk),esacotadosiexisteM�0talquekakM;8a2A:
342.Continuidadylímitefuncional.Pruébesequetodasucesiónconvergenteesacotada.Dehecho,todasucesióndeCauchyenunespaciométricoestambiénacotada.Teorema2.22(Bolzano-Weierstrassen(RN;kk)2)).(RN;kk2)vericalapropiedaddeBolzano-Weierstrass,esdecir,todasucesiónacotadaen(RN;kk2)admiteunaparcialcon-vergente.Demostración:Haremoslapruebaporinducciónsobreladimensióndelespacio.ParaN=1,setratadelTeoremadeBolzano-Weierstrass,queesconocidoenR.SupongamosquesevericaparaRN.EnRN+1setienequek(x;y)k2=q
x(1)2++x(N)2+y2;8(x;y)2RNR:()FijamosunasucesiónacotadaenRN+1,quepodemossuponerdelaformaf(xn;yn)g,dondexn2RN,yn2R,paracadanaturaln.Envistade(),lassucesionesfxngefyngsonacotadas.Porhipótesisdeinducción,laprimeraadmiteunaparcialconvergente,queescribiremosfxs(n)g,ahorabien,porserfys(n)gacotada(parcialdeunaacotada),elTeoremadeBolzano-Weierstrassnosaseguraqueadmiteunaparcialconvergentequeescribiremosfys(t(n))g2.Finalmente,lasucesiónenRN+1dadaporf(xs(t(n));ys(t(n)))gesunaparcialconvergentedef(xn;yn)g.
Teorema2.23(Hausdorff).TodaslasnormasenRNsonequivalentes.Demostración:ProbaremosquesikkesunanormacualquieraenRN,entoncesequivalealanormaeuclídea.Notamosporfe1;e2;;eNgalabasecanónicadeRN.Dadocualquiervectorx2RNqueseescribadelaformax=x(1)e1++x(N)eN,setienekxk=kx(1)e1++x(N)eNk(porladesigualdadtriangular)jx(1)jke1k++jx(N)jkeNk(ke1k++keNk)kxk¥(ke1k++keNk)kxk2;luego,tomandoM=ke1k++keNksetienequekxkMkxk2;8x2RN:Ahoradenimosm:=inffkxk:kxk2=1g:
2Obsérvesequesinotamosfyng=fxs(n)g,entoncesfyt(n)g=fxs(t(n))g
Acosta,AparicioyMoreno35Probaremosquemesunmínimo3.Sabemosqueporsermelínmodelconjuntoanterior,existeunasucesiónfxngdeelementosdeRNvericandokxnk2=1;fkxnkg!m(véanseelEjemplo2.9ylaProposición2.15).Como(RN;kk2)vericalapropiedaddeBolzano-Weierstrass(Teorema2.22),hadeexistirunelementox02RNyunasucesiónparcialfxs(n)gdefxngtalquefxs(n)gkk2!x0;conloquesetienekx0k2=limfkxs(n)k2g=1;enparticularx06=0.Porladesigualdadyaprobadaentrelasnormassetienejkxs(n)k�kx0kjkxs(n)�x0kMkxs(n)�x0k2;8n2N;yenvirtuddelaconvergenciaenlanormaeuclídeadefxs(n)gax0,concluimosquefkxs(n)kgconvergeakx0k,portantom=kx0k�0.Queremosprobarahoraquemkxk2kxk;8x2RN;desigualdadqueesciertasix=0.Six6=0,setiene x
kxk2 2=1)m x
kxk2 )mkxk2kxk:
Dadoque“noexistemásespaciovectorialrealdedimensiónNqueRN”,podemosdecirqueen“cualquier”espaciovectorialrealnito-dimensionaltodaslasnormassonequivalentes(véaseproblema2.8).Enrealidad,talpropiedadcaracterizalanito-dimensionalidaddeunespaciovectorial.ComocorolariodelteoremaanteriorydelaProposición2.20seobtiene:Corolario2.24.ExisteunaúnicatopologíaenRNqueprocedadeunanormaalaquella-maremoslatopologíadelanorma
.Entodoloquesigue,sesupondráqueRNestádotadodelatopologíadelanorma,cuyosabiertosnosonmásqueunionesdebolasabiertasparaalgunanorma.EnelcasodeR,losabiertossonunionesdeintervalosabiertos.LasegundaconsecuenciadelTeoremadeHausdorffesqueelconceptodesucesióndeCauchyenRNesindependientedelanorma.Estehecho,juntoconelTeoremadecomplituddeRyelEjemplo2.13nospruebanelsiguienteresultado.
3Dehaberpospuestolademostracióndeesteteoremaalaobtencióndelapropiedaddecompacidad(Proposi-ción2.51),estohabríasidoinmediato.Enefecto,dadoquelafunciónnormakkescontinuaen(RN;kk2)(nótesequejkxk�kykjkx�ykMkx�yk2)yquelaesferaunidadparalanormaeuclídeaSkk2(0;1)escompacta,porlapropiedaddecompacidad,elconjuntofkxk:kxk2=1gtienemínimo.
362.Continuidadylímitefuncional.Teorema2.25(complitud).EnRN,todasucesióndeCauchyesconvergente,estoes,RNesunespaciodeBanachconcualquiernorma.LaterceraconsecuenciadelTeoremadeHausdorffesqueelconceptodeacotaciónenRNesindependientedelanorma.ElTeorema2.22admiteahoraelsiguienteenunciado.Teorema2.26(Bolzano-Weierstrass).RNvericalapropiedaddeBolzano-Weierstrass,esdecir,todasucesiónacotadaadmiteunaparcialconvergente.
Acosta,AparicioyMoreno372.3.Compactos,convexosyconexos.DedicamosestasecciónapresentartrestiposdistinguidosdesubconjuntosdeRN:loscompactos,losconvexosylosconexos.EnlademostracióndelTeoremadeHausdorffsólosehatenidoencuentaqueSk:k2(0;1)esunconjuntoacotadoycerrado.4EllonosmotivaadestacarestossubconjuntosdeRN.Denición2.27.UnsubconjuntoKdeRNescompacto
siescerradoyacotado.Decircuálesdelossiguientesconjuntossoncompactos:N,f1
n:n2Ng,fag,B(a;r),
B(a;r),S(a;r),[a;b][[c;d],f(x;y)2R2:x�0g.ObsérvesequeelpuntocrucialdelademostracióndeltancitadoTeoremadeHausdorffconsisteenprobarquetodasucesiónenlaesferaSk:k2(0;1)seacumula,esdecir,admiteunaparcialconvergenteaunpuntodedichaesfera.EstonosmotivalasiguientecaracterizacióndeloscompactosdeRNqueseráunaherramientabásicaenfuturasdemostracionesyqueasuveznospermiteextenderdichoconceptoaespaciosmétricoscualesquiera.Teorema2.28(CaracterizacióndeloscompactosdeRN).SeaKunsubconjuntodeRN.Equivalen:i)Kescompacto(cerradoyacotadodeRN).ii)TodasucesióndepuntosdeKadmiteunasucesiónparcialqueconvergeaunpuntodeK.Demostración:i))ii)SeafxngunasucesiónenK.Porhipótesis,fxngesacotaday,porelTeoremadeBolzano-Weierstrass,tieneunasubsucesiónfxs(n)gconvergenteaunvectorxquenecesaria-mentehadeperteneceraK,porserKunconjuntocerrado.ii))i)Kescerrado:Seax2
KyfxngunasucesiónenKconvergenteax.Porhipótesis,existefxs(n)g!y2K.Puestoquetambiénfxs(n)g!x,deducimosdelaunicidaddellímitequex2K.Hemosprobadoque
KKyportantoKescerrado.Kesacotado:SupongamosqueKnoesacotado.SetieneentoncesqueKnB(0;n)6=/0;8n2N,luegopodemoselegirparacadanaturaln,unelementoxn2KnB(0;n).Lasucesiónfxngasíelegidanopuedetenerningunaparcialconvergenteyaquekxnkn,8n2N,y,portanto,todassusparcialessonnoacotadas.HemosprobadoquesiKesnoacotado,entoncesnosevericaii).
4DelTeoremadeBolzano-Weierstrasssesiguequetodasucesiónenunconjuntoacotadoadmiteunaparcialconvergente;siademáselconjuntoescerrado,lacaracterizaciónsecuencialdelaadherencia(Proposición2.15)nosaseguraqueellímitesequedaenelconjunto.
Acosta,AparicioyMoreno39ElaxiomadeHeine-Borel(armaciónii)delanteriorteorema)setomacomodenicióndecompacidadenunespaciotopológicocualquierayesunavaliosaherramientaenmuchasdemostraciones(véaseporejemploelTeoremadeDini,Teorema2.52).Nota2.32.ObsérvesequeenalaxiomadeHeine-Borelsepuedensustituirsimultáneamentelosabiertosporabiertosrelativosylainclusiónporigualdad,esdecir,lacompacidadsólodependedelatopologíadelconjuntoencuestión.Conmásprecisión,aniveldeespaciostopológicostambiéncoincidenlossubconjuntoscompactosylossubespacioscompactos.FinalizamosestasecciónpresentandodosextensionesdelanocióndeintervalodeRasubconjuntosdeRN,unadenaturalezageométricayotradenaturalezatopológica.RecordemoslasiguientecaracterizacióngeométricadelosintervalosdeR,unsubconjun-toIdeResunintervalosi,ysólosi,paracualesquierax;y2Iconxy,setieneque[x;y]I(esderesaltarqueparaprobarestacaracterizaciónserequiereelaxiomadelsupremo).Comoobviamentesetiene[x;y]=fx+t(y�x):0t1g;entoncesIesunintervalosi,ysólosi,paracualesquierax;y2Iycualquiert2[0;1],severicax+t(y�x)2I.Enefecto,bastaconsiderarladesigualdadminfx;yg(1�t)x+tymaxfx;yg;8t2[0;1]:Lapropiedadanteriorque,comoacabamosderecordar,caracterizaalosintervalostieneperfectosentidoenRNy,portanto,nosinvitaageneralizarelconceptodeintervalodelasiguienteforma:Denición2.33.UnsubconjuntoAdeRNesconvexo
sisevericaa;b2A)a+t(b�a)2A;8t2[0;1];esdecir,paracualesquieradoselementosa;benA,elsegmentodeextremosaybestácontenidoenA.Obviamenteelanteriorconceptotienesentidoencualquierespaciovectorial.Esinme-diatocomprobarqueenRNlasbolasabiertassonconjuntosconvexos,eigualocurreconlasbolascerradas.Comocasoparticular,porsupuesto,seobtienequelosintervalossonconjuntosconvexos.Alnyalcabo,intentamosabstraerunapropiedadquetienen(yquedehechocaracterizaa)losintervalos.Parapresentarlaotrageneralizacióndeintervalo,laconexión,nosinspiraremosenestaotracaracterizacióntopológicadelosintervalos:Proposición2.34.SeaCR.Equivalen:i)Cesunintervalo.ii)NoexistenparticionesnotrivialesdeCenabiertosrelativos,estoes,siO1;O2sonabiertosenCtalesqueO1\O2=/0yC=O1[O2,entoncesO1=/0obienO2=/0.
402.Continuidadylímitefuncional.Demostración:i))ii)SeaCunintervaloy,razonandoporreducciónalabsurdo,supongamosqueCeslaunióndisjuntadedosabiertosO1yO2deCnovacíos.Seanentoncesa2O1;b2O2.Podemossuponersinperderdegeneralidadqueab.ComoCesunintervalo,setieneque[a;b]C.Denamosc:=sup([a;b]\O1):Como[a;b]escerrado,esclaroquec2[a;b]C.Sic2O1,entoncescb,yalser[a;b]unintervaloyO1unabiertodeC,setienequeexisted&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.76; 0 ;&#xTd [;0talque[c;c+d[[a;b]]c�d;c+d[\CO19=;)c;c+d[a;b]\O1;loquecontradiceladenicióndec.Unrazonamientoanálogo(hágase)muestraquec=2O2,loquellevaacontradicción.Hemosprobadoqueunintervalonoadmiteparticionesnotrivialesenabiertosrelativos.ii))i)SiCnofueseunintervalo,entoncesexistiríannúmerosrealesx;y2Cyunrealz=2Ctalesquexzy.Entonces,laparticiónC=(]�Â¥;z[\C)[(]z;+Â¥[\C)contradiceii).
Denición2.35.UnconjuntoCdeunespaciométricoesconexo
sivericaquelaúnicaparticióndeCendosabiertosrelativoseslatrivial.Enlasiguientesecciónprobaremosque,enlosespaciosnormados,todoconjuntoconvexoesconexo,enparticular,lossegmentosylasbolassonconexos.Claramenteunconjuntoformadopordoselementosnoesconexo.Porsupuesto,ladenicióndeconexiónpuededarseenespaciostopológicos.
422.Continuidadylímitefuncional.Proposición2.40(Regladelacadenaparalacontinuidad).SeanE1,E2,E3espaciosmétri-cos,AE1,f:A!E2,BE2,g:B!E3ysupongamosquef(A)B.SifescontinuaenunpuntoadeAygescontinuaenf(a),entonceslacomposicióngfescontinuaena.Comoconsecuencia,sifygsoncontinuas,entoncesgfescontinua.Pongamosahorademaniestolabuenaconvivenciaentreelálgebraylatopologíadeunespacionormado(X;k:k).Estoes,1.Lasumaen(X;k:k)escontinua,esdecir,laaplicacióndeXXenXdenidapor(x;y)!x+y.Enefecto,sif(xn;yn)g!(x;y),entoncesk(x+y)�(xn+yn)kkx�xnk+ky�ynk2maxfkx�xnk;ky�ynkg!0:2.ElproductoporescalaresenXescontinuo,esdecirlaaplicacióndeRXenXdenidapor(l;x)!lx.Enefecto,siflng!l,fxng!x,setieneklx�lnxnkk(l�ln)x+ln(x�xn)kjl�lnjkxk+jlnjkx�xnk(kxk+jlnj)maxfjl�lnj;kx�xnkg!0;dondesehatenidoencuentaqueflngesacotada.Enparticular,elproductoenRescontinuo.3.Lanormak:kescontinua,esdecirlaaplicacióndeXenRdenidaporx!kxk.Bastatenerencuentaladesigualdadjkxk�kxnkjkx�xnk:Ahoraesinmediatalademostracióndelsiguienteresultado:Corolario2.41.Sean(E;d)unespaciométrico,(X;k:k)unespacionormadoya2AE.i)Sif;g:A!Xsoncontinuasenayl2R,entoncesf+gylfsoncontinuasena.ii)Sif:A!Ryg:A!Xsoncontinuasena,entoncesfgescontinuaena.iii)Sif:A!Rescontinuaenayf(x)6=0,8x2A,entonces1
fescontinuaena.iv)Sif;g:A!Rsoncontinuasenayg(x)6=0,8x2A,entoncesf
gescontinuaena.Proposición2.42(Continuidaddelarestricción).SeanEyFespaciosmétricos,BAEyf:A!F,yconsideremoslaaplicaciónrestriccióndefaB,fjB:B!FdenidaporfjB(x):=f(x),8x2B.EntoncesfjBescontinuaentodopuntodeBenelquefseacontinua.Enconsecuencia,silafunciónfescontinua,entoncessurestricciónaBtambiénloes.
Acosta,AparicioyMoreno43Esimportantedestacarquelacontinuidadnosetransereaextensiones(lasfuncionesdenidasenunsólopuntosoncontinuas,luegosilacontinuidadsetransrieseaextensiones,concluiríamosquetodaslasfuncionessoncontinuas).Sinembargo,setieneelsiguienteresultadoparcial.Proposición2.43(Carácterlocaldelacontinuidad).SeanE;Fespaciosmétricos,AE,f:A!Fyb2BA.SiBesun“entornorelativo”deb(exister�0talqueB(b;r)\AB)yfjBescontinuaenb,entoncesfescontinuaenb.Enparticular,sif:E!F,BEesabiertoysifjBescontinua,entoncesfescontinuaenB.Demostración:Sear�0talqueB(b;r)\AB.SifangesunasucesiónenAconvergentealpuntob,entonces9m2N:nm)an2B(b;r);conloqueparanmsetienequean2B.Asífam+ngn2NesunasucesiónenBqueconvergealpuntob,yaqueesparcialdelasucesiónfang.PorserfjBcontinuaenbsetienequeff(am+n)gn2N!f(b)y,portanto,tambiénff(an)g!f(b).
Ejemplos2.44(funcionescontinuas).1.LasproyeccionesdeRNenRsoncontinuas,esdecirlasaplicacionespk:RN!R(k=1;:::;N)denidasporpk(x1;:::;xN)=xk.2.TodafunciónpolinómicadeRNenRescontinua.3.TodafunciónracionalR=P
QenNvariablesescontinuaensuconjuntodedenición:f(x1;:::;xN)2RN:Q(x1;:::;xN)6=0g:4.Lasfuncioneselementalesrealesdevariablereal(exponencial,logaritmo,raíces,fun-cionestrigonométricas)soncontinuasensudominiodedenición.Lasiguientecaracterizaciónproporcionarálamanerasatisfactoriadeintroducirenespa-ciostopológicoselconceptodecontinuidadenunpunto.Proposición2.45(e-d-caracterizacióndelacontinuidad).Sean(E;d),(F;r)espaciosmétri-cos,AE,f:A!Fya2A.Equivalenlassiguientesarmaciones:i)fescontinuaena.ii)8e�0;9d�0:x2Ad(x;a)d)r(f(x);f(a))e,equivalentemente8e&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0;9d&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0:f(B(a;d)\A)B(f(a);e):
Acosta,AparicioyMoreno45(Comoconsecuencia1
fpuedenoseruniformementecontinuaaunqueloseaf).Lafunciónf:R!Rdenidaporf(x)=x2escontinuay,sinembargo,noesuniforme-mentecontinuayaqueparacadanaturalnsetieneque fn+1
n�f(n) �2:(Comoconsecuenciaelproductodefuncionesuniformementecontinuasnotieneporquéserlo).Engeneral,elproductoporescalaresenunespacionormado(X;k:k)escontinuoperonoesuniformementecontinuoyaqueparacadavectorxnonuloyparacadanaturalnsetiened1
n;nx;1
2n;nx=1
2ny f1
n;nx�f1
2n;nx = 1�1
2 kxk=1
2kxk:Esclaroquetodarestriccióndeunafunciónuniformementecontinuatambiénloes.Proposición2.47(Caracterizacióndelacontinuidadglobal).Sean(E;d),(F;r)espaciosmétricos,AEyf:A!F.DenotemosporÁF(resp.ÁA)lafamiliadelosabiertosdeF(resp.abiertosrelativosdeA)yporFF(resp.FA)lafamiliadeloscerradosdeF(resp.cerradosrelativosdeA).Equivalenlassiguientesarmaciones:i)fescontinua,equivalentemente(Proposición2.45):8a2A;8e�0;9da�0:x2Ad(x;a)da)r(f(x);f(a))e:ii)LaimageninversaporfdecualquierabiertodeFesunabiertorelativodeA:O2ÁF)f�1(O)2ÁA:iii)LaimageninversaporfdecualquiercerradodeFesuncerradorelativodeA:C2FF)f�1(C)2FA:iv)LafunciónfaplicavaloresadherentesdecualquiersubconjuntodeAenvaloresad-herentesdelaimagendedichoconjunto,estoes:f(
B\A)
f(B);8BA:Esimportantedestacarqueenlassentenciasii)yiii)elcalicativorelativoesobligado.Sinofueseasí,entoncestodoslosconjuntosdeunespaciométricoseríancerrados(cadasubconjuntoSsepuedeescribirdelaformaS=f�1(f0g)dondef:S!Reslafunciónconstantementecero,yportantoSeslaimageninversaporunafuncióncontinuadeuncerrado),yenconsecuenciatambiénabiertos.Silafuncióntomavaloresrealesyestádenidaentodoelespaciométrico,setieneelsiguienteresultadoquepermitereconocersubconjuntosabiertosycerradosdeunespaciométricodeformamuysencilla.
Acosta,AparicioyMoreno512.5.Límitefuncional.Recordemosque“la”topologíadeRNsiguesiendolatopologíadelanorma.Denición2.60.Sean(E;d)unespaciométricoyAunsubconjuntonovacíodeE.Sedicequea2Eesunpuntodeacumulación
deAsiexisteunasucesiónfangdepuntosdeAdistintosdeayconvergenteaa,equivalentemente,siB(a;e)\(Anfag)6=/0;8e�0:DenotaremosporA0alconjuntodelospuntosdeacumulacióndeA.Sedicequeunpuntoa2Aesunpuntoaislado
deAsiexistee�0talqueB(a;e)\A=fag.EsinmediatoquetodopuntoadherenteaAoesdeacumulacióndeAoesaislado.EnconsecuencialospuntosdeAosondeacumulaciónosonaislados.Denición2.61.Sean(E;d)y(F;r)espaciosmétricos,AE,f:A!F,aunpuntodeacumulacióndeAy`2F.Sedicequeftiendea`cuandoxtiendeaa,ysenotaf(x)!`cuandox!a,siparatodasucesióndepuntosdeAdistintosdeayconvergenteaa,severicaquelasucesiónimagenconvergea`,esdecir:[8fangenA;an6=a;fangd!a])ff(an)gr!`:Supuestalaexistenciadeuntal`,delaunicidaddellímitesecuencialsesiguequetalele-mentoesúnico,sellamalímitedelafunción
fenelpuntoaysenotalimx!af(x)=`:ComoconsecuenciainmediatadelEjemplo2.13,elestudiodelaexistenciadellímitedeloscamposvectorialessereducealdesuscamposescalarescomponentes,talcomoserecogeenelsiguienteenunciado.Proposición2.62(Reducciónacamposescalares).SeanM;Nnaturales,ARN,f=(f1;:::;fM):A!RMuncampovectorialenAyaunpuntodeacumulacióndeA.Entoncesftienelímiteena,fitienelímiteena;8i=1;:::;M:Entalcaso,limx!af(x)=(limx!af1(x);:::;limx!afM(x)):Proposición2.63(Álgebradelímites).SeanARN,aunpuntodeacumulacióndeA,f;g:A!Ryl2R.Severica:
522.Continuidadylímitefuncional.i)Sif;gtienenlímiteena,entoncesf+gylftienenlímiteenaylimx!a(f+g)(x)=limx!af(x)+limx!ag(x);limx!a(lf)(x)=llimx!af(x):ii)Sif;gtienenlímiteena,entoncesfgtienelímiteenaylimx!a(fg)(x)=limx!af(x)limx!ag(x):iii)Sif;gtienenlímiteena,g(x)6=08x2A,ylimx!ag(x)6=0,entoncesf
gtienelímiteenaylimx!af
g(x)=limx!af(x)
limx!ag(x):Notas2.64.a)Puestoqueenlosespaciosmétricoslaconvergenciasecuencialdependesólodelatopología,setieneque,aligualqueocurríaconlacontinuidad,tambiénelconceptodelímitefuncionalesdecaráctertopológico:dependedelastopologíasdelosespaciosmétricosperonodelasmétricasconcretasqueseutilicen.b)PuedeocurrirqueelpuntoanopertenezcaalconjuntoA,peroqueseadeacumulación.EnelcasoenqueapertenezcaaA,elvalorquetomelafunciónfenanoafectaparanadaalaexistenciadellímite,nialvalordeéste.c)Nóteseque,enlaDenición2.61,bastaexigirlacondición[8fangenA;an6=a;fangd!a])ff(an)gesconvergente:Enefecto,sifangyfa0ngsondossucesionesquevericanlahipótesisanterior,entonceslasucesión“mezcla”fa1;a01;a2;a02;:::;an;a0n;:::gestáenlasmismascircunstancias,yportanto,lasucesiónimagenff(a1);f(a01);f(a2);f(a02);:::;f(an);f(a0n);:::gesconvergente,loqueconllevaaquelimf(an)=limf(a0n):Larelaciónentrelacontinuidaddeunafunciónenunpuntoylaexistenciadelímitefuncionalendichopuntoserecogeenelsiguienteresultado:Proposición2.65.SeanE;Fespaciosmétricos,AE,f:A!FyaunpuntodeA.i)SiaesunpuntoaisladodeA,entoncesfescontinuaena.
542.Continuidadylímitefuncional.Demostración:i))ii)Sedejacomoejercicio(véaselae�d-caracterizacióndelacontinuidad).ii))iii).Seae�0jo.Porhipótesis9d�0:0k(x;y)k2d)jf(x;y)�`je:Ahora,sirestalque0rd,entoncesparatodorealJsevericaquek(rcosJ;rsenJ)k2=rd;luegosetienequejf(rcosJ;rsenJ)�`je:iii))iv)SeanfrngunasucesióndenúmerosrealespositivosconvergenteaceroyfJngunasucesióndenúmerosreales.Parae&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0jo,porhipótesis9d&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0:(0rd;J2R))jf(rcosJ;rsenJ)�`je:Comofrng!0,entonces9m2N:nm)0rnd;yportanto,envistadelahipótesisnm)jf(rncosJn;rnsenJn)�`je:Enconsecuencia,ff(rncosJn;rnsenJn)g!`:iv))i)Seaf(xn;yn)gunasucesiónenR2nf(0;0)gconvergentea(0;0).Paracadanat-uralntomemosrn:=k(xn;yn)k2yJn2Rtalquexn=rncosJn;yn=rnsenJn:Delacontinuidaddelanormasesiguequefrng!0,yportantoporiv)ff(xn;yn)g=ff(rncosJn;rnsenJn)g!`:
Corolario2.67(Límitesdireccionales).Seaf:R2nf(a;b)g!R.Siexistelim(x;y)!(a;b)f(x;y)=`entonces,paratodoJ2]�p;p]existelimr!0f(a+rcosJ;b+rsenJ)=`:Losanterioreslímitessellamanlímitesdireccionales
enladirecciónJ.Enconsecuencia,deexistirlímitehandeexistirtodosloslímitesdireccionalesyserigualesallímite.
562.Continuidadylímitefuncional.2.6.Apéndice.2.6.1.A)TeoremadeHeine-Borel-Lebesque.TeoremadeHeine-Borel-Lebesgue.SeaKunsubconjuntodeunespaciométrico.Equiv-alen:i)Kescompacto,estoes,todasucesióndepuntosdeKadmiteunasucesiónparcialconvergenteaunpuntodeK.ii)KvericaelaxiomadeHeine-Borel
:todorecubrimientoporabiertosdeKadmiteunsubrecubrimientonito,estoes,siUesunafamiliadeabiertosdeEtalesqueKSU2UU,entoncesexistenn2NyU1;;Un2UtalqueKSni=1Ui.Enlademostracióndelteoremaanteriorusaremoslosdossiguientesresultadosauxiliares,deinterésensímismos:Proposición2.68.SeafxngunasucesióndeunespaciométricoEyx2E.Sonequivalentes:a)Lasucesiónfxngadmiteunaparcialconvergenteax.b)Paracadapositivoe,elconjuntofn2N:xn2B(x;e)gesinnito.Demostración:Pordenicióndeconvergenciaesclaroquea))b).b))a)Supongamosb)ciertoydenamoss:N�!Ndelasiguientemanera:s(1)=minfn2N:xn2B(x;1)g:Supuestodenidos(k),parakn,denimoss(n+1)=minm2N:m�s(n);xm2Bx;1
n+1:Asíconseguimosunasucesiónparcialfxs(n)gque,porlaformadeconstruirla,claramenteconvergeax.
Lema2.69(delnúmerodeLebesgue).SeaKunsubconjuntocompactodeunespaciométri-co.EntoncesparatodorecubrimientoporabiertosUdeKexister�0talquex2K)9U2U:B(x;r)U:EntalcasosedicequeresunnúmerodeLebesgueasociadoalrecubrimiento
U.
Acosta,AparicioyMoreno57Demostración:SinoexistieraunnúmerodeLebesgue,entonceshabríaunrecubrimientoporabiertosUdeKtalquen2N)9xn2K:Bxn;1
n U;8U2U:PorhipótesisfxngadmiteunaparcialconvergenteaunelementoxdeK.Portanto,hadeexistirunconjuntoU2Utalquex2U,y,porseresteconjuntoabierto,paraalgúnpositivorsevericaB(x;r)U.Ahora,elegimos1
Nr
2,ysabemosqueexisten�Ntalqued(xn;x)r
2.Entonces,siy2B(xn;r
2),setiened(x;y)d(x;xn)+d(xn;y)r:AsíBxn;r
2B(x;r)U:Como1
n1
Nr
2,obtenemosqueB(xn;1
n)B(xn;r
2)U,loquecontradicelaeleccióndexn.
DemostracióndelTeoremadeHeine-Borel-Lebesgue.i))ii)Probamosprimeroquedadounpositivoe,existeunsubconjuntonitoFKtalqueKSx2FB(x;e).Denoserasí,tomemosx12K;x22KnB(x1;e);yengeneral,xn+12Kn[ni=1B(xi;e):ObtendríamosasíunasucesiónenKvericandoqued(xn;xm)esin6=m,oseafxngesunasucesiónsinparcialesconvergentes(puesnisiquierapuedenserdeCauchy),loquecontradicelahipótesis.AhoraprobamosqueKvericaelaxiomadeHeine-Borel.FijamosunrecubrimientoporabiertosUdeK.SearunnúmerodeLebesgueasociadoalrecubrimiento.SabemosqueexisteunconjuntonitoFKtalqueKSx2FB(x;r).Ahorabien,cadaunadelasbolasanterioresestácontenidaenalgúnabiertodelrecubrimientoporserrunnumerodeLebesgue,portanto,ésteadmiteunsubrecubrimientonito,comoqueríamosdemostrar.
582.Continuidadylímitefuncional.ii))i)SeafxngunasucesiónenKysupongamosquenoadmiteningunaparcialcon-vergenteaningúnelementodeK.PorlaProposición2.68,hadeocurriry2K)9ry�0:fn2N:xn2B(y;ry)gesnito:ComolafamiliadeconjuntosfB(y;ry):y2KgesunrecubrimientoporabiertosdeK,porhipótesis,debendeexistirelementosy1;;ymtalesqueKB(y1;ry1)[[B(ym;rym);locualesunacontradicción,yaqueentalcasoN=fn2N:xn2Kgn2N:xn2m[j=1B(yj;ryj)seríanito,yaquecadaunadelasbolasB(yi;ryi)cuyauniónrecubreKcontieneaunnúmeronitodetérminosdelasucesión.
602.Continuidadylímitefuncional.2.6.3.C)Demostracióndelacaracterizacióndelacontinuidadglobal.DemostracióndelaProposición2.47.i))ii)SeaOFabierto.Sif�1(O)esvacíonohaynadaquedemostrar.Enotrocasoseaa2f�1(O)jo.Tomemose�0talqueB(f(a);e)O:Lahipótesisnosaseguralaexistenciadeunpositivodatalquef(B(a;da)\A)B(f(a);e);yenconsecuenciaB(a;da)\Af�1(O):Hemosprobadoquef�1(O)contienelainterseccióndeAconunabolacentradaencadaunodesuspuntos,luegof�1(O)esunabiertorelativodeA.ii))iii)SiCesuncerradodeF,entoncesAnf�1(C)=f�1(FnC)esunabiertorelativodeA,yportantof�1(C)esuncerradorelativodeA.iii))iv)SeaBA.Porhipótesis,f�1
f(B)esuncerradorelativodeAque,eviden-temente,contieneaB,portanto,hadeconteneralcierredeBenlatopologíarelativaaA,estoes,
B\Af�1
f(B):Aplicandofobtenemosf(
B\A)
f(B).iv))i)Sinoocurrei),entonces9a2A;9e0�0:8d�0;9xd2Avericandod(xd;a)dr(f(xd);f(a))e0yportantoB:=fxd:d&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0gesunsubconjuntodeAtalquea2
Byf(a)=2
f(B),yenconsecuencianosevericaiv).
Acosta,AparicioyMoreno612.6.4.D)OtrademostracióndelTeoremadeHeine.Muchasveceslacompacidadseusapara“uniformizar”unacondiciónqueapriorinopareceseruniforme.Comomuestradeestaidea,daremosunanuevademostracióndelTeo-remadeHeine,queesdirecta.TeoremadeHeine.SeaFunespaciométrico,Kunespaciométricocompactoyf:K!Funafuncióncontinua.Entoncesfesuniformementecontinua.Demostración.NotemospordyrlasdistanciasdeKyF,respectivamente.Porlae-d-caracterizacióndecontinuidad,dadounpositivoe,paracadapuntoxdeKexisteunpositivod(x)talquey2K;d(y;x)d(x))r(f(y);f(x))e:Ahora,variandoelpuntox,recubrimoselcompactoporunaunióndeabiertos,sinmásqueconsiderarKSx2KBx;d(x)
2:PorserKcompacto,setieneque,envistadelTeoremadeHeine-Borel-Lebesgue,pode-mosobtenerunsubrecubrimientonito.Estoes,existenelementosx1;x2;;xn2Ktalesque(?)Kn[i=1Bxi;di
2;dondehemosnotadopordialospositivosquevericanlacondicióndecontinuidadenelpuntoxi.Tomamosd=minfdi
2:1ingysix;y2Kvericanqued(x;y)d,entonces,por(?),severicaque,paraalgúnisetienex2Bxi;di
2,portanto,comoddiobtenemosquex;y2B(xi;di)yusandolacontinuidaddefenxisetienequer(f(x);f(xi))e;r(f(y);f(xi))e:Finalmente,usandoladesigualdadtriangularsededucequer(f(y);f(x))2e:
Acosta,AparicioyMoreno632.7.Referenciasrecomendadas.[Ber],[Bra],[Bri],[Cra],[Fe],[Jur],[MaHo],[SoSi]y[Stro].
642.Continuidadylímitefuncional.2.8.ResumenderesultadosdelTema2.Espacionormado.SiXesunespaciovectorialreal,unanorma
enXesunafunciónkk:X�!R+0vericandoi)kxk=0,x=0.ii)klxk=jljkxk;8l2R;8x2X(homogeneidad
).iii)kx+ykkxk+kyk;8x;y2X(desigualdadtriangular
).Elparordenado(X;kk)sellamaespacionormado
.Espaciométrico.Unadistancia
(ométrica
)denidaenunconjuntonovacíoEesunafunciónd:EE�!R+0queverica:1.d(x;y)=0,x=y.2.d(x;y)=d(y;x);8x;y2E(propiedadsimétrica
).3.d(x;z)d(x;y)+d(y;z);8x;y;z2E(desigualdadtriangular
).Alparordenado(E;d)seledenominaespaciométrico
.Topologíadeunespaciométrico.Sea(E;d)unespaciométrico.Dadoa2E;r0,labolaabierta
(resp.cerrada
)decentroayradiorsonlosconjuntosdadosporB(a;r):=fx2E:d(x;a)rg;
B(a;r):=fx2E:d(x;a)rg:Laesfera
decentroayradioreselconjuntoS(a;r):=fx2E:d(x;a)=rg:UnsubconjuntoOdeunespaciométrico(E;d)sediceabierto
siverica:8a2O;9r�0:B(a;r)O:Asípues,unsubconjuntoesabiertosipuedeexpresarsecomounióndebolasabiertas.Todoespacionormadoesunespaciotopológicoconlatopologíaasociadaaladistanciadenidapord(x;y):=kx�yk.Convergencia.Unasucesiónfxngdeelementosdeunespaciométrico(E;d)esconvergente
axsifd(xn;x)g!0.Elconceptodeconvergenciaestopológico,estoes,sienunespacioEdosdistanciasdydgeneranlamismatopología,entonceslassucesionesconvergentesen(E;d)yen(E;d)sonlasmismas(yademástienenlosmismoslímites).Laconvergenciaenelespacionormado(C[a;b];k:k¥)sellamaconvergenciauniforme
,estoes,ffngk:k¥�!f,[8e�0;9m2N:nm)jfn(x)�f(x)je;8x2[a;b]]:Unasucesiónfxngdeelementosdeunespaciométrico(E;d)esdeCauchy
siseverica8e�0;9m2N:p;qm)d(xp;xq)e;
Acosta,AparicioyMoreno65equivalentemente,8e�0;9m2N:[nm;h2N])d(xn+h;xn)e:TodasucesiónconvergenteesdeCauchy,peroelrecíproconoescierto.AquellosespaciosmétricosquevericanquetodasucesióndeCauchyesconvergentesellamancompletos
.UnespacionormadoycompletoparalamétricaasociadaalanormaesunespaciodeBanach
.Normasequivalentes.DosnormaskkyjjjjjjenunmismoespaciovectorialXsedicenequivalentes
siexistenconstantesm;M�0vericandomkxkjjjxjjjMkxk;8x2X;equivalentemente,(Proposición2.20)siambasnormasgeneranlamismatopología.TeoremadeHausdorff.TodaslasnormasenRNsonequivalentes.Comoconsecuencia,existeunaúnicatopologíaenRNqueprocedadeunanorma,alaquellamamostopologíadelanormaenRN
.LosabiertosenRNsonlasunionesdebolasabiertasparacualquiernorma.Teoremadecomplitud.EnRN,todasucesióndeCauchyesconvergente,estoes,RNesunespaciodeBanachconcualquiernorma.Conjuntoacotado.UnsubconjuntoAdeunespaciométrico(E;d)sediceacotado
siAB(x0;M)paraconvenientesx02E,M�0.TodasucesióndeCauchyesacotada.TeoremadeBolzano-Weierstrass.RNvericalapropiedaddeBolzano-Weierstrass,esdecir,todasucesiónacotadaenRNadmiteunaparcialconvergente.Compactos.EnRNlossubconjuntoscerradosyacotadossellamancompactos
.LoscompactosdeRNsecaracterizancomoaquellossubconjuntosKenlosquetodasucesióndepuntosdeKadmiteunasucesiónparcialconvergenteaunpuntodeK(Teorema2.28).Estacaracterizacióneslaquesetomacomodenicióndecompactoenunespaciométrico.EnunespaciométricoelTeoremadeHeine-Borel-LebesguearmaqueunsubconjuntoKescompactosi,ysólosi,vericaelaxiomadeHeine-Borel
:todorecubrimientoporabier-tosdeKadmiteunsubrecubrimientonito,estoes,siUesunafamiliadeabiertosdeEtalesqueKSU2UU,entoncesexistenn2NyU1;;Un2UtalqueKSni=1Ui.Estacaracterizacióneslaquesetomacomodenicióndecompactoenunespaciotopológico.Engeneral,siAesunsubconjuntodeunespaciométrico(E;d),losabiertosdeA
oabiertosrelativos
sonlasinterseccionesdelosabiertosdeEconA.AdichatopologíaenAselellamalatopologíainducida
.Nota:LacompacidaddeunsubconjuntoKdeunespaciotopológicoesunapropiedadintrínsecadelespaciotopológico(K;topologíainducida).Convexos.UnsubconjuntoAdeRNesconvexo
si[a;b]:=fa+t(b�a):t2[0;1]gA;8a;b2A:
662.Continuidadylímitefuncional.Conexos.UnsubconjuntoCdeRNesconexo
sivericaquelaúnicaparticióndeCendosabiertosrelativoseslatrivial.TodoconvexodeRNesconexo.Funcióncontinua.Sean(E;d);(F;r)espaciosmétricos,AE,f:A!Fya2A.Sedicequelafunciónfescontinua
enelpuntoasi8fangenA;fangd!a)ff(an)gr!f(a)Elconceptodecontinuidadentreespaciosmétricosestopológico.Elestudiodelacontinuidaddeloscamposvectorialessereducealdesuscamposes-calarescomponentes:Sif=(f1;:::;fM):ARN!RMesuncampovectorialyaesunpuntodeA,entoncesfescontinuoena,fiescontinuoena;8i=1;:::;M:Regladelacadenaparafuncionescontinuas.SeanE1,E2,E3espaciosmétricos,AE1,f:A!E2,BE2,g:B!E3ysupongamosquef(A)B.SifescontinuaenunpuntoadeAygescontinuaenf(a),entonceslacomposicióngfescontinuaena.Comoconsecuencia,sifygsoncontinuas,entoncesgfescontinua.Álgebradelasfuncionescontinuas.Sean(E;d)unespaciométrico,(X;k:k)unespacionormadoya2AE.i)Sif;g:A!Xsoncontinuasenayl2R,entoncesf+gylfsoncontinuasena.ii)Sif:A!Ryg:A!Xsoncontinuasena,entoncesfgescontinuaena.iii)Sif:A!Rescontinuaenayf(x)6=0,8x2A,entonces1
fescontinuaena.iv)Sif;g:A!Rsoncontinuasenayg(x)6=0,8x2A,entoncesf
gescontinuaena.Carácterlocaldelacontinuidad.SeanE;Fespaciosmétricos,AE,f:A!Fyb2BA.SiBesun“entornorelativo”deb(exister�0talqueB(b;r)\AB)yfjBescontinuaenb,entoncesfescontinuaenb.Enparticular,sif:E!F,BEesabiertoysifjBescontinua,entoncesfescontinuaenB.e�d-caracterizacióndelacontinuidad.Sean(E;d),(F;r)espaciosmétricos,AE,f:A!Fya2A.Equivalenlassiguientesarmaciones:i)fescontinuaena.ii)8e�0;9d�0:x2Ad(x;a)d)r(f(x);f(a))e,equivalentemente,8e&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0;9d&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0:f(B(a;d)\A)B(f(a);e):
Acosta,AparicioyMoreno67Comoconsecuenciadelacaracterizacióndelacontinuidadglobal(Proposición2.47)setiene:Sean(E;d)unespaciométricoyf:E!Runaaplicacióncontinua.DenotemosporÁ(resp.F)lafamiliadelosabiertos(resp.cerrados)deE.Entoncesparatodoa2Rsetieneque:i)fx2E:f(x)ag2Á.ii)fx2E:f(x)&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;ag2Á.iii)fx2E:f(x)ag2F.iv)fx2E:f(x)ag2F.v)fx2E:f(x)=ag2F.Loscompactosseconservanporfuncionescontinuas(Teorema2.50)y,comoconsecuen-cialasfuncionescontinuasenuncompactovaluadasenRalcanzansumínimoysumáximoabsolutos(Propiedaddecompacidad:Corolario2.51).Asimismo,losconexosseconservanporfuncionescontinuas(Teorema2.54).TeoremadeDini.SeanKunsubconjuntocompactodeunespaciométricoyffngunasucesiónmonótonadefuncionescontinuasdeKenRqueconvergepuntualmenteenKaunafuncióncontinuaf.EntonceslaconvergenciaesuniformeenK.Continuidaduniforme.Sean(E;d)y(F;r)espaciosmétricos,AEyf:A!Funafunción.Sedicequefesuniformementecontinua
si8e�0;9d�0:[x;y2A;d(x;y)d])r(f(x);f(y))eTeoremadeHeine.SeanEyFespaciosmétricos,KEcompactoyf:K!Funafuncióncontinua.Entoncesfesuniformementecontinua.Límitefuncional.Sean(E;d)y(F;r)espaciosmétricos,AE,f:A!F,aunpuntodeacumulacióndeAy`2F.Sediceque`esellímitedefena(oqueftiendea`cuandoxtiendeaa,ysenotaf(x)!`cuandox!a),si[8fangenA;an6=a;fangd!a])ff(an)gr!`:Elconceptodelímitefuncionalentreespaciosmétricosestambiéntopológico.Reducciónacamposescalares.SeanM;Nnaturales,ARN,f=(f1;:::;fM):A!RMuncampovectorialenAyaunpuntodeacumulacióndeA.Entoncesftienelímiteena,fitienelímiteena;8i=1;:::;M:Entalcaso,limx!af(x)=(limx!af1(x);:::;limx!afM(x)):
682.Continuidadylímitefuncional.Álgebradelímites.SeanARN,aunpuntodeacumulacióndeA,f;g:A!Ryl2R.Severica:i)Sif;gtienenlímiteena,entoncesf+gylftienenlímiteenaylimx!a(f+g)(x)=limx!af(x)+limx!ag(x);limx!a(lf)(x)=llimx!af(x):ii)Sif;gtienenlímiteena,entoncesfgtienelímiteenaylimx!a(fg)(x)=limx!af(x)limx!ag(x):iii)Sif;gtienenlímiteena,g(x)6=08x2A,ylimx!ag(x)6=0,entoncesf
gtienelímiteenaylimx!af
g(x)=limx!af(x)
limx!ag(x):Relaciónentrelímitefuncionalycontinuidad.SeanE;Fespaciosmétricos,AE,f:A!FyaunpuntodeA.i)SiaesunpuntoaisladodeA,entoncesfescontinuaena.ii)SiaesunpuntodeacumulacióndeA,entoncesfescontinuaenasi,ysólosi,limx!af(x)=f(a).Coordenadaspolares.ExisteunabiyeccióndeR+]�p;p]sobreR2nf(0;0)g.Estoes,dado(x;y)2R2nf(0;0)gexisteunúnico(r;J)2R+]�p;p]talquex=rcosJ;y=rsenJ:Alpar(r;J)selellamacoordenadaspolares
delpunto(x;y).Proposición(coordenadaspolares).Seanf:R2nf(0;0)g!Runafuncióny`unnúmeroreal.Equivalenlassiguientesarmaciones:i)lim(x;y)!(0;0)f(x;y)=`.ii)8e�0;9d�0:0k(x;y)kd)jf(x;y)�`je:iii)limr!0f(rcosJ;rsenJ)=`uniformementeenJ,esdecir:8e&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0;9d&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0:[0rd;J2R])jf(rcosJ;rsenJ)�`je:
Acosta,AparicioyMoreno69iv)ParacualquiersucesiónfrngdepositivosconvergenteaceroycualquiersucesiónderealesfJng(siqueremosjJnjp),severicaqueff(rncosJn;rnsenJn)g!`:Límitesdireccionales.Seaf:R2nf(a;b)g!R.Siexistelim(x;y)!(a;b)f(x;y)=`;entonces,paracadaJ2]�p;p],existelimr!0f(a+rcosJ;b+rsenJ)=`:Losanterioreslímitessellamanlímitesdireccionales
enladirecciónJ.Enconsecuencia,deexistirlímitehandeexistirtodosloslímitesdireccionalesyserigualesallímite.Enlaprácticaesusualparacalcularloslímitesdireccionalesdef(x;y)enelpunto(a;b),considerarlasrectasy=b+m(x�a)(dependientemyquepasapor(a;b))yhallarellímitelimx!af(x;b+m(x�a)):
Acosta,AparicioyMoreno712.9.EjerciciosdelTema2.Losproblemasenlosqueaparezcaelsímbolo*sesuponenconocidos.Enclasenosdedicaremosalosdemás.Serecomienda(conlasdebidasprecauciones)elusodeMathematica(oprogramassimilares)paradibujarlasfuncionesqueaparezcanenlosproblemas,especialmenteenlosquesepretendeestudiarlaconvergenciapuntualyuniforme,yenlosproblemasdecálculodelímites.2.1ProbarqueenelespaciovectorialC[a;b]delasfuncionesrealescontinuasdenidasenelintervalo[a;b]laaplicaciónkfk¥:=maxfjf(x)j:x2[a;b]gesunanorma.2.2Probarquelasucesióndefuncionesffngdenidasporfn(x):=xn;8x2[0;1];8n2Nconvergepuntualmenteen[0;1]peronoconvergeuniformementeen[0;1[.Pruébeseque,dehecho,ffngnoadmiteparcialesconvergentesenC[0;1].Sinembargo,ffngconvergeuniformementeen[0;a]con0a1.Indicación
:Úseselamonotoníadeffngparaprobarquenohayparcialesconvergentes.2.3ConsideremoselespaciovectorialC[0;2]delasfuncionescontinuasdenidasen[0;2].Probarquei)(C[0;2];k:k¥)esunespaciodeBanach.ii)(C[0;2];k:k1)esunespacionormadonocompleto,dondekfk1:=R20jf(x)jdx.iii)¿Sonequivalenteslasanterioresnormas?Indicación
:i)ffngk:kÂ¥-Cauchy)ffn(a)gesdeCauchyparatodoa2[0;2].ElTeoremadecomplitudnossugierelasiguientecandidataalímite:f(a):=limfn(a);(a2[0;2]):UtilizandolacondicióndeCauchy“atope”pruébesequefesacotadayqueffngconvergeuniformementeaf.ElTeoremadeconservacióndelacontinuidadporcon-vergenciauniformeaseguraquefescontinua.ii)Pruébesequesig(a)6=0,entonces,usandolacontinuidaddegena,existed�0talqueR20jg(x)jdxjg(a)j
2d.
722.Continuidadylímitefuncional.Seaffnglasucesióndecrecientedefuncionescontinuasdadaporfn(x):=xnsix2[0;1]1six2[1;2]8n2N:Probarqueffngesk:k1-CauchyutilizandoqueZ20jfn+h�fnjZ10fn=1
n+1:Parademostrarquedichasucesiónnoesconvergenteen(C[0;2];k:k1),obsérvesequesiffueselafunciónlímite,entoncesparacada0a1setendría0Za0jfjZa0jfnj+Za0jfn�fjafn(a)+kfn�fk1!0;dedondesededucequef(a)=0yporcontinuidadf(1)=0.Porotraparte0Z21j1�fj=Z21jfn�fjkfn�fk1!0obligaaquef(1)=1.iii)Paracadanaturalnbastaconsiderarlafunciónfn(x):=�nx+1six2[0;1
n]0six2[1
n;2]Tambiénsepuedeusarquelanormakk¥escompletaykk1noloes.2.4Probarquelasucesióndefuncionesfn(x):=1+x
nn;8x2R;8n2Nygn(x):=n�np
x�1;8x2R+;8n2Nconvergenpuntualmenteensudominioperonouniformemente.Probartambiénqueconvergenuniformementeentodointervalocompacto.Indicación
:ÚseseladesigualdadentrelamediageométricayaritméticaparaprobarlamonotoníadelasucesiónyaplíqueseelTeoremadeDini.EnelsegundocasopuedecalcularsekgnkÂ¥(enacotados)derivando.2.5a)ConstrúyaseunasucesiónffngdefuncionesenlaesferaunidaddeC[0;1]talquekfp�fqkÂ¥=1,8p6=q.Indicación
:Tómese,porejemplo,f1(x):=8:1six2[0;1
2]�2(x�1)six2[1
2;1];f2(x):=8����&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;:1six2[0;1
22]�22(x�1
2)six2[1
22;1
2]0six2[1
2;1]:
Acosta,AparicioyMoreno73b)¿EscompactalabolaunidadcerradadeC[0;1]?2.6SeaAunsubconjuntodeunespaciodeBanach.Probarqueequivalenlassiguientesarmaciones.i)Aescompleto.ii)Aescerrado.2.7ProbarqueelcierredeunsubespaciodeunespacionormadoesunsubespacioyquelossubespaciosdeRNsoncerrados.Indicación
.VéaseelEjercicio2.6.2.8PruébesequenoexistemásespacionormadodedimensiónNqueRNconunaconve-nientenorma.Esdecir,si(X;k:k)esunespacionormadodedimensiónN,entoncesexisteunanormajjj:jjjenRNyunabiyecciónlinealf:(X;k:k)!(RN;jjj:jjj)isométrica(i.e.,jjjf(x)jjj=kxkparatodoxenX).Dedúzcasequeentodoespacionito-dimensionalhayunaúnicatopologíaqueprocedadeunanorma.Indicación
:Seaf:X!RNunabiyecciónlineal(¡descríbase!).Bastacomprobarquejjjf(x)jjj:=kxkesunanormaenRN.2.9SeaNunnúmeronaturalyseana0;a1;:::;aNnúmerosrealesdistintos.EnelespaciovectorialXdetodaslasfuncionespolinómicasdegradomenoroigualqueNdenimos:kfk:=Nåk=0jf(ak)j;(f2X):Probarquei)kkesunanormaenX.ii)Latopologíaquegeneraestanormanodependedelaeleccióndelosrealesak.iii)UnasucesiónfpngenXconvergeuniformementeenunintervalo[a;b]si,ysólosi,existenN+1númerosrealesdistintosdelintervalo[a;b],b0;b1;:::;bN,talesquefpn(bk)gconvergeparak=0;1;:::;N.Indicación
.ÚsesequesiNesunnúmeronatural,x0;:::;xNsonnúmerosrealesdistintosyy0;:::;yNsonnúmerosrealescualesquiera,existeunúnicopolinomiopdegradomenoroigualqueNtalqueyi:=p(xi)parai=0;1;:::;N:
742.Continuidadylímitefuncional.Dehechoelpolinomiopvienedadoporlaexpresiónp(x)=Nåi=0yiPr6=i(x�xr)
Pr6=i(xi�xr):2.10SeanMunsubespaciovectorialde(RN;kk)yx02RN.Probarqueexistem02Mquematerializaladistanciadex0aM,esdecir,kx0�m0k=dist(x0;M):=inffkx0�mk:m2Mg:(SedicequelossubespaciosdeRNsonproximinales
,porvericarseloanterior).Indicación
:JusticarlaexistenciadeunasucesiónacotadafmngenMtalquefkx0�mnkg!dist(x0;M):2.11SeaMunsubespaciopropiodeRN.Probarqueexisteunvectorxdelaesferaunidadtalquedist(x;M)=1.Indicación
:Seax02RNnMyseam02Mtalquekx0�m0k=dist(x0;M).Considerarelvectornormalizadodex0�m0.2.12ProbarquetodoespacionormadoXeshomeomorfo
asubolaabiertaB(0;1),esdecir,existeunabiyecciónbicontinua(continuaconinversacontinua)deXsobreB(0;1).Indicación
:VéaseelEjercicio1.5.2.13SeanE;Fespaciosmétricos,AEyf:A!Funafunción.Probarquesifconservalassucesionesconvergentes,entoncesfescontinua.2.14Sea(E;d)unespaciométrico.Pruébesequei)Ladistanciad:EE�!Rescontinua.ii)SiAEesunsubconjuntonovacío,denimosdist(x;A)=inffd(x;a):2Ag(x2E):Pruébesequelafunciónx7!d(x;A)escontinuaenE.Dehecho,laarmaciónanterioresconsecuenciadelasiguientedesigualdad:jdist(x;A)�dist(y;A)jd(x;y);8x;y2E:
Acosta,AparicioyMoreno752.15SeaAunsubconjuntonovacíodeunespaciométrico(E;d).SedeneeldiámetrodeAcomodiam(A)=supfd(x;y):x;y2Ag2R+0[f+¥g:Pruébeseque:1.diam(
A)=diam(A).2.A=fx2E:dist(x;EnA)�0gy
A=fx2E:dist(x;A)=0g.Deducirqueenunespaciométricotodoconjuntoabiertosepuedeexpresarcomounauniónnumerabledeconjuntoscerradosyquecadaconjuntocerradosepuedeexpresarcomounaintersecciónnumerabledeabiertos.3.Sixesunvectordeunespacionormadoyr�0,entonces
B(x;r)=
B(x;r)ydiam(B(x;r))=2r.¿Sonciertaslasanterioresigualdadesparaunespaciométri-cocualquiera?Indicación
:UsarelCorolario2.48yelEjercicio2.14.2.16LemadeUryshonparaespaciosmétricos.SeanAyBsubconjuntosnovacíos,cerradosydisjuntosdeunespaciométricoE.Probarqueexisteunaaplicacióncontinuaf:E!Rvericando:0f1;f(A)=f0g;f(B)=f1g:DeducirqueexistensubconjuntosabiertosU;VdeEtalesque:AU;BV;U\V=/0:Indicación
:Considéreselafunciónf(x)=dist(x;A)
dist(x;A)+dist(x;B)(x2E):Paraprobarlacontinuidaddeestafunción,úseseelEjercicio2.14.2.17Decimosqueunafamiliadesubconjuntosdeunconjuntotienelapropiedaddela
intersecciónnita
silainterseccióndecualquiersubfamilianitatieneintersecciónnovacía.ProbarqueunespaciotopológicoKescompactosi,ysólosi,todafamiliafFigi2IdecerradosdeKtalque\i2I(Fi)=/0novericalapropiedaddelaintersecciónnita.2.18Pruébesequeunafunciónrealf2C1[a;b]esuniformementecontinua.Dehecho,existeunaconstanteM0talquejf(y)�f(x)jMjy�xj;8x;y2[a;b]:Indicación:
Teoremadelvalormedio.
762.Continuidadylímitefuncional.2.19SeaAunconjuntonocerradodeunespaciométrico(E;d).Probarqueexisteunaaplicacióncontinuaf:A!Rquenoesuniformementecontinua.Indicación
:Fijadox02
AnA,considerarlafunciónf(a):=1
d(a;x0);(a2A)yutilizarelEjercicio2.14.2.20Seaf:RR!Rlafuncióndenidapor:f(x;y)=(x+y)senp
xsenp
y:i)Estudiarlaexistenciadelímitedelafunciónfenlospuntos(0;0),(0;1)y(0;p).ii)¿Esfuniformementecontinua?2.21Límitealolargodeunacurva.SeanE;Fespaciosmétricos,AunsubconjuntodeE,aunpuntodeacumulacióndeAyf:A!F.Seag:[0;1]!Eunaaplicacióncontinuavericandoqueg(]0;1[)Anfagyg(0)=a.Probarquesiexisteellímitelimx!af(x),entoncesexisteellímitelimt!0f(g(t))yademáslimx!af(x)=limt!0f(g(t)):2.22Límitesiterados.SeanI;JintervalosdeRquetienena0comopuntodeacumulación,A=IJnf(0;0)gyf:A!R.Consideremoslassiguientesarmaciones:a1)[x2Inf0g)9limy!0f(x;y):=f1(x)a2)[y2Jnf0g)9limx!0f(x;y):=f2(y)b)9lim(x;y)!(0;0)f(x;y)=`.Probarqueai)yb)implicanquefitienelímite`en0.Loslímiteslimx!0(limy!0f(x;y));limy!0(limx!0f(x;y));cuandoexisten,sellamanlímitesiterados
defen(0;0).2.23*Estudiarlaexistenciadeloslímitesiteradosydellímiteen(0;0)delassiguientesfuncionesdenidasenR2nf(0;0)g:f(x;y)=x2�y2
x2+y2;g(x;y)=y3
(x2+y2)3
2;w(x;y)=ysen1
xsix6=00six=0;u(x;y)=x2y2
x2+y2;v(x;y)=(xjyj
ysiy6=00siy=0;h(x;y)=xy
x2+y2:
Acosta,AparicioyMoreno772.24*Estudiarlaexistenciadelímiteen(0;0)delassiguientesfuncionesrealesdenidas,encadacaso,enunsubconjuntoapropiadodeR2:f(x;y)=xy2
x2+y4;g(x;y)=x2y
(x2+y2)3
2;h(x;y)=1
x2+1
y2sen(xy)u(x;y)=cotxseny;v(x;y)=x3+y3
x2+y2:2.25*Estudiarlacontinuidaddelafunciónf:R2!Rdadaporf(x;y)=x2sijxjjyjy2sijxj�jyj:Indicación
.Obsérvesequeminfx2;y2g=1
2[x2+y2�jx2�y2j].Tambiénpuedepro-barsequefescontinuaenlospuntos(x;y)talesquejxj=jyjyusarelcarácterlocaldelacontinuidad.2.26*Estudiarlacontinuidaddelafunciónf:R2!R3denidaporf(x;y)= ex2�y2;log(1+jxj)
p
1+x2+y4;senycosx!:2.27*Estudiarlaexistenciadelímiteen(0;0)delassiguientesfuncionesdenidasenR+R+f(x;y)=senx+seny
x+y;g(x;y)=x
ysen(x2+y2);h(x;y)=xey+yex
x+y;f(x;y)=xEy
x:2.28*Estudiarparaquénúmerospositivosalafunciónf(x;y)=sen(xy)
(x2+y2)a;8(x;y)2R2nf(0;0)gtienelímiteen(0;0).2.29*Demostrarquelim(x;y)!(0;b)ex�eyx
x=1�b;lim(x;y)!(0;0)1�cosxcosy
p
x2+y2=0:
782.Continuidadylímitefuncional.2.30*Estudiarlaexistenciadelímiteen(0;0)delassiguientesfuncionesrealesdenidas,encadacaso,enunsubconjuntoapropiadodeR2:f(x;y)=x4+3x2y2+2xy3
(x2+y2)2;g(x;y)=2x5+2y3(2x2�y2)
(x2+y2)2;h(x;y)=y(x2+y2)
x;u(x;y)=x2+y2
p
x2+y2+1�1:2.31*SeaKuncuerpouncuerpoconmutativoconunarelacióndeordenvericandoi)a;b2R)aboba(ordentotal),ii)[a;b;c2R;ab])a+cb+c(compatibleconlasuma),yiii)[a;b;c2R;ab;0c])acbc(compatibleconelproducto)SedotaaKdelatopologíadelorden(losabiertosdeKsonlasunionesdeintervalosabiertos).Probarquelassiguientesarmacionessonequivalentesi)Kvericaelaxiomadelsupremo.ii)KvericaelaxiomadeBolzano(Todafuncióncontinuadenidaenunintervaloquetomavalorespositivosynegativosseanula).iii)Kesconexo.ComoconsecuenciaReselúnicocuerpoordenadoquevericaelaxiomadeBolzano,ytambiéneselúnicocuerpoordenadoconexo
802.Continuidadylímitefuncional.expresionesquesededucendeladesigualdadentrelamediageométricaylaaritméticasinmásqueobservarque1+x
nn=1+x
nn1yx=�np
xn1:2.5a)fn(x):=8����&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;:1six2[0;1
2n]�2n(x�1
2n�1)six2[1
2n;1
2n�1]0six2[1
2n�1;1]kfnk¥=fn(0)=1;kfn+h�fnk¥=(fn�fn+h)(1
2n+h�1)=1.2.6Rutinario.Proposición2.16.2.7Rutinario.2.8SeguirlasindicacionesyaplicarelTeoremadeHausdorff.2.9i)Rutinario.ii)yiii)Porelejercicioanterior,todaslasnormasenXsonequivalentesyaqueladimensióndeXesN+1.2.10Pordenicióndeínmo,existeunasucesiónfmngenMtalquefkx0�mnkg!dist(x0;M):Lasucesiónfmngesacotadapuescomo9m2N:nm)kx0�mnkdist(x0;M)+1setienequenm)kmnkkmn�x0k+kx0kdist(x0;M)+1+kx0k:Ahora,porelTeoremadeBolzano-Weierstrass,9fms(n)g!m02RN:ComoMescerrado,porserunsubespacionito-dimensional,setienequem02M.Finalmentef x0�ms(n) g!dist(x0;M)f x0�ms(n) g!kx0�m0k9=;)kx0�m0k=dist(x0;M):
Acosta,AparicioyMoreno812.11Nótesex:=x0�m0
kx0�m0k.Setienequedist(x;M)kxk=1yparatodom2Msevericaquekx�mk= x0�m0
kx0�m0k�m =kx0�(m0+kx0�m0km)k
kx0�m0kdist(x0;M)
kx0�m0k=1:2.12Considérensef:X!B(0;1)dadaporf(x):=x
1+kxkysuinversaf�1(y):=y
1�kyk:2.13SeafangunasucesiónenAconvergenteaunpuntoa2A.Lasucesiónfa1;a;a2;a;a3;a;:::gesclaramenteconvergentehaciaa,luegoporhipótesistambiénesconvergentelasuce-siónff(a1);f(a);f(a2);f(a);f(a3);f(a);:::g:Comolasubsucesióndelostérminosparesconvergeaf(a),igualleocurrealadelostérminosimpares,esdecir,ff(an)g!f(a).2.14i)Lacontinuidaddelaaplicacióndistanciasesiguede:jd(x;y)�d(xn;yn)jjd(x;y)�d(y;xn)j+jd(xn;y)�d(xn;yn)jd(x;xn)+d(y;yn)2d((x;y);(xn;yn)):ii)Nótesequedadoselementosx;y2Eya2Aseverica:dist(x;A)d(x;a)d(x;y)+d(y;a);yreorganizandolostérminosdeladesigualdadanteriortenemosdist(x;A)�d(x;y)d(y;a);8a2A:Tomandoínmoenlaexpresiónanteriorseobtienedist(x;A)�d(x;y)dist(y;A);estoes,dist(x;A)�dist(y;A)d(x;y):Bastaintercambiarlospapelesdexeyparaobtenerjdist(x;A)�dist(y;A)jd(x;y);dedondesededuceinmediatamentelacontinuidaddelafunciónx7!dist(x;A).
822.Continuidadylímitefuncional.2.151.SuponemosqueAesacotado,puesenotrocasoquedalaigualdad¥=¥.Esclaroquediam(A)diam(
A).Paraprobarlaotradesigualdad,seanx;y2
Aytomemosdossucesionesfxng;fyngenAconfxng!x,fyng!y.Paracadanaturaln,setiened(x;y)d(x;xn)+d(xn;yn)+d(yn;y)d(x;xn)+diam(A)+d(yn;y)yenconsecuencia,tomandolímitesd(x;y)diam(A);8x;y2
A,equivalente-mentediam(
A)diam(A).2.x2
A()[9fang!xconan2A]()dist(x;A)=0:x2A()x=2
EnA()dist(x;EnA)�0:Enconsecuencia,A=[n2Nnx2E:dist(x;EnA)1
no:y
A=\n2Nny2E:dist(y;A)1
no:3.Porserelcierredeunconjuntoelmenorcerradoconteniéndolo,setieneque
B(x;r)
B(x;r):Paralaotrainclusión,nótesequesid(x;y)=r,entoncesy2
B(x;r)puesfx+n
n+1(y�x)g!y;yparacadanaturalnesx+n
n+1(y�x)2B(x;r):Delprimerapartadosesiguequediam(B(x;r))=diam
B(x;r)=diam(
B(x;r))=2r;yaquesia;b2
B(x;r),d(a;b)d(a;x)+d(x;b)r+r=2r;yportantodiam(
B(x;r))2r:Laotradesigualdadsesiguedeque,dados2SXsetienequex�rs;x+rs2
B(x;r)yd(x+rs;x�rs)=k2rsk=2r:Conlamétricatrivialsetienequediam(B(x;1))=0,ysiademásEtienemásdeunpunto
B(x;1)=fxg6=E=
B(x;1).
Acosta,AparicioyMoreno832.16Dadounsubconjunto/06=Adeunespaciométrico,esfácilcomprobarquelafunciónx7!dist(x;A);escontinua(Ejercicio2.14).Denimosentonceslafunciónf:R�!Rporf(x):=dist(x;A)
dist(x;A)+dist(x;B);8x2E;queestábiendenidapuesAyBsoncerradosdisjuntos.Delacontinuidaddelaapli-cacióndistanciasededucelacontinuidaddef.Esinmediatoqueestaaplicaciónveri-caque0f1,f(A)=f0gyf(B)=f1g.Porúltimo,seanU:=x2E:f(x)1
2;V:=x2E:f(x)�1
2quesonabiertosporlacontinuidaddefyqueclaramentevericanAU,BVyU\V=/0.2.17ÚseseelaxiomadeHeine-Borelyelpasoacomplementos.2.18Seguirlaindicación.2.19Seax02
AnA.Esclaroquef(a):=1
d(a;x0),8a2A,escontinua.SeafangunasucesiónenAtalqued(x0;an)1
n;8n2N.Setieneentoncesquelasucesiónff(an)gnoestáacotada(nf(an);8n2N),loqueimpidequefseauniformementecontinua.Enefecto,siffueseuniformementecontinua,jadoe&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.53; 0 ;&#xTd [;0existiríad&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.53; 0 ;&#xTd [;0talque[x;y2A;d(x;y)d])jf(x)�f(y)je;dedondesededucequelafunciónfconservaríalassucesionesdeCauchy.2.20i)Comojf(x;y)jk(x;y)k1setienequelim(x;y)!(0;0)f(x;y)=0.Para(x;y)2RRcercade(0;1)setienejf(x;y)j2 senp
y ;luegolim(x;y)!(0;1)f(x;y)=0.Veamosquefnotienelímiteen(0;p).Seaan=(2
2n+1;p),8n2N.Entoncesf(an)=(2
2n+1+p)(�1)nsen1!psen1sinespar�psen1sinesimpar:ii)Paraprobarquefnoesuniformementecontinuabastautilizarquehaydossuce-sionesqueconvergena(0;p)cuyassucesionesimágenestienenlímitesdistintos.Enefectofd(a2n;a2n�1)g!0yfjf(a2n)�f(a2n�1)jg!2psen1:
842.Continuidadylímitefuncional.2.21Deexistirlímitetienenqueexistirloslímitesalolargodecualquiercurvayserigualesallímite.Lademostraciónesinmediataporsucesiones:[ftng!0;tn6=0])[fg(tn)g!a;g(tn)6=a])ff(g(tn))!limx!af(x):2.22Laarmacióndeb)equivalealasiguientecondición8e�0;9d�0:0k(x;y)kÂ¥d(x;y)2A)jf(x;y)�`je:Supongamosquesevericaa1.Fijemosx2Inf0gconjxjd.Altomarlímitecuandoy!0enlaexpresiónanteriornosquedajf1(x)�`jeo,loqueesigual,limx!0f1(x)=`.Hemosprobadoquelimx!0(limy!0f(x;y))=`.Lademostracióndelotrocasoesanáloga.2.23f:Comolimx!0(limy!0f(x;y))=1ylimy!0(limx!0f(x;y))=�1noexistelímite.g:Delimx!0g(x;y)=y
jyj3sesiguequenoexistelimy!0(limx!0g(x;y))yportantotampocogtienelímite.h:Loslímitesiteradosvalencero,perocomoh(t;t)=1
2(sit�0),concluimosquenoexistelímite.u:Loslímitesiteradosvalencero,luegodeexistirlímiteesteescero.ju(x;y)j=jxyj2
x2+y21
4(x2+y2)!0)lim(x;y)!(0;0)u(x;y)=0:v:Noexistelimy!0v(x;y).Comolimy!0(limx!0v(x;y))=0,deexistirlímiteesteescero.Dejv(x;y)jjxjsesiguequelim(x;y)!(0;0)v(x;y)=0.w:Noexistelimx!0w(x;y).Comolimx!0(limy!0w(x;y))=0,deexistirlímiteesteescero.Dejw(x;y)jjyjsesiguequelim(x;y)!(0;0)w(x;y)=0.Sumandolasdosúltimasfuncionesobtenemosunafunciónquenotienelímitesiteradosysinembargotienelímite.2.24f:Comof(0;t)=0yf(t2;t)=1
2noexistelímite.g:Comog(0;t)=0yg(t;t)=jtj
t1
2p
2noexistelímite.h:Comoh(t;t)!2yh(2t;t)!5
2noexistelímite.u:Comou(t;t)!1yu(t;�t)!�1noexistelímite.v:Comov(t;0)=t,deexistirlímitehadesercero.jv(x;y)jjx3j+jy3j
x2+y2=jx3j
x2+y2+jy3j
x2+y2jx3j
x2+jy3j
y2=k(x;y)k1;luegolim(x;y)!(0;0)v(x;y)=0.
Acosta,AparicioyMoreno852.25f(x;y)=minfx2;y2g=1
2[x2+y2�jx2�y2j]yportantocontinuaporlacontinuidaddelospolinomios,delvalorabsoluto,laregladelacadena,etc.Tambiénsepuedehacerdirectamenteteniendoencuentaelcarácterlocaldelacon-tinuidadyelestudiodelafunciónenlasbisectricesdeloscuadrantes.2.26Lafunciónfescontinuaporserlocadaunasdesustrescamposescalarescomponentes.2.27Paraencontrarelcandidatoalímiteodemostrarquenoexiste,estúdienseloslímitesdireccionalespuesdeexistirlímitehandeexistirtodosyserigualesallímite.Dehabercandidatoalímite,paraprobarsitalcandidatoesonoellímitehayqueacudiraladeniciónyutilizarconvenientesacotaciones.f:lim(x;x)!(0;0)f(x;x)=1. senx+seny
x+y�1  senx�x
x + seny�y
y !0:g:g(x;y)=x(x2+y2)
ysen(x2+y2)
(x2+y2).Comoelsegundofactortienelímite1,bastaestudiarelprimero,g1,quetienelímitedireccionalceroentodaslasdirecciones.Perog1noestáacotadaenunentornode(0;0)(yaqueg1(1
n;1
n4)=n+1
n5)porloquenoexisteellímite.h:lim(x;x)!(0;0)h(x;x)=1. xey+yex
x+y�1 jey�1j+jex�1j!0;luegolim(x;y)!(0;0)h(x;y)=1.F:Como0E(y
x)y
x)0F(x;y)ysetienequelim(x;y)!(0;0)F(x;y)=0.2.28Acotacionesútiles:
jxyj1
2(x2+y2);8(x;y)2R2;jsenxjjxj;jarctanxjjxj;8x2R:
Setienequejsen(xy)jjxyj1
2(x2+y2)conloquea1)jf(x;y)j1
2(x2+y2)1�a)lim(x;y)!(0;0)f(x;y)=0:Porotraparte,sia=1noexistelímitepuesf(x;0)=0yf(x;x)=sen(x2)
2x2!1
2.Ysia�1tampocoexisteellímiteyaquef(x;x)=sen(x2)
x2x2(1�a)
2anoestáacotada.
862.Continuidadylímitefuncional.2.29ex�eyx
x=ex�1
x+1�exy
x=ex�1
x+y1�exy
yx!1�b;puesex�1
x!1six!0(derivadadelaexponencial).(x;y)!(0;b))xy!0)1�exy
yx!�1: 1�cosxcosy
p
x2+y2 = (cosx)(1�cosy)+1�cosx
p
x2+y2 j1�cosyj+j1�cosxj
p
x2+y2 1�cosy
y + 1�cosx
x !0(derivadadelcoseno).2.30f:f(x;0)=1;f(0;y)=0,luegonoexistelímite.g:Comog(x;0)=2x,deexistirlímiteesteescero.jg(rcosJ;rsenJ)j=rj2cos5J+2sen3J(2cos2J�sen2J)j8r;luegolim(x;y)!(0;0)g(x;y)=0.h:Comoh(x;0)=0,deexistirlímiteesteescero.jh(rcosJ;rsenJ)j=r2jtgJj:Seafrng!0.Paracadan,seaJncon0Jnp
2talquer2ntgJn=1.Laproposicióndelcambioacoordenadaspolaresnospruebaquenoexistelímitedehpuessupnr2tgJ:0Jp
2o=+Â¥;8r�0:u:Comou(x;0)=x2
p
x2+1�1=p
x2+1+1!2,deexistirestelímite,valdría2.Deju(rcosJ;rsenJ)�2j=jp
r2+1�1jesi0re,seconcluyequelim(x;y)!(0;0)u(x;y)=2:2.31
i)=)ii)
EselconocidoTeoremadeloscerosdeBolzano.Seaf:[a;b]!Kunafuncióncon-tinuavericandoquef(a)0f(b):SeaC:=fx2[a;b]:f(x)0g
Acosta,AparicioyMoreno87queesnovacíoymayorado.Seac:=supC:Probemosquef(c)=0.Esclaroquec2[a;b]yquef(c)0,yenconsecuenciacb.Supongamos,razonandoporreducciónalabsurdo,quef(c)0.Porcontinuidaddelafunciónfenc,existiríad&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.78; 0 ;&#xTd [;0talquef(c+d)0;loquecontradicelaeleccióndec.
ii)=)iii)
Razonandoporreducciónalabsurdo,supongamosKeslaunióndisjuntadedosabier-tosO1yO2novacíos.Tendríamosentoncesquelafunciónf:K!Kdenidaporf(x)=�1;8x2O11;8x2O2seríacontinua(carácterlocaldelacontinuidad)tomaríavalorespositivosynegativosynoseanularía.HemosprobadoquesiKvericaelaxiomadeBolzano,entoncesKesconexo.
iii)=)i)
SeaAKnovacíoymayorado.NotamosM(A)elconjuntodesusmayorantes.VeamosqueKnM(A)esabierto.Enefectosim2KnM(A),existea2Atalquema,conlocual] ;a[KnM(A):SisuponemosqueM(A)notienemínimo,seríatambiénabierto.EnefectosiM2M(A),existiríaM02M(A)conM0M,yenconsecuencia]M0;![M(A):TendríamosentoncesquefKnM(A);M(A)gseríaunadesconexióndeK.Hemosproba-doqueKesconexo,entoncesKvericaelaxiomadelsupremo.
Acosta,AparicioyMoreno892.11.Brevebiografíadelosmatemáticosmencionadosenlostemas1y2ArquímedesdeSiracusa,(287-212a.C.).NacióenSiracusa,Sicilia.EstudióconlossucesoresdeEuclidesenAlejandría,conlosquesemantuvodespuésencontactoylescomunicabasusavances.Fuebastanteconocidoporsuscontemporáneoscomoelinventordealgunas“ecaces”máquinasdeguerra.Esconsideradocomounodelosmásgrandesmatemáticosdetodoslostiempos.Usóelmétododeexhaucción,quefueelorigendelaintegración,yquelepermitiócalcularáreas,volúmenesysupercies.Dióunaaproximacióndelnúmerop,asícomounmétodoparaaproximarraícescuadradas.Enmecánica,descubrióresultadosfundamentalessobreelcentrodegravedaddecuerpos.Elfamosoresultadoquellevasunombre,daelpesodeuncuerpoinmersoenunlíquido.Muchosdesustrabajoshansobrevividohastalaactualidad,como:Sobreequilibriosenelplano,Cuadraturadelaparábola,Sobrelaesferayelcilindro,Sobreespirales,Medidadeuncírculo.ArquímedesmuriódurantelatomadeSiracusaenlaSegundaGuerraPúnica.Bolzano,Bernhard(1781-1848).Filósofo,lógicoymatemáticochecodeorigenitaliano.Ademásdesusimportantestraba-josenelcampodelosfundamentosdelalógica,anticipóimportantesconcepcionesrelativasalateoríadeconjuntosycreólaprimerafuncióncontinuanoderivableenningúnpunto.Borel,Emile(1871-1956)Matemáticoypolíticofrancés.Ocupóloscargosdediputado(1924)yministrodeMari-na(1925).TrabajóconéxitoendiferentesáreasdelaMatemática,especialmentesobrefun-cionescomplejas,topología,variablerealyteoríadelamedida.Algunasdesusaportacionesfueronfundamentalesparalamodernateoríadelaintegración.Tambiénactuócomorepresentantedelacomunidadmatemáticaalpúblicogeneral.TrabajócomoprofesorenlauniversidadesdeLilleylaSorbonayenla“EcoleNormaleSupérieure”.Publicómásde300trabajos,entreartículosylibros.Tambiénfueeditordeunaimportantecoleccióndelibros,enlacualpublicósuobra“Leconssurlathéoriedesfonctions”.En1921fuenombradomiembrodelaAcadémiedesSciencesypresidentedeéstaen1934;recibiólaprimeramedalladeorodelaCNRS.Comoconferencianteimpresionaba,consuairededistinciónydignidad.PareceserquelademostracióndelTeoremadeHeine-Borel-Lebesgue(caracterizacióndelacompacidadenRN)sedebeúnicamenteaél.Cantor,Georg(1854-1918).Matemáticoalemándeorigenruso.Seleconsideraelcreadordelallamadateoríadecon-juntosydelateoríadelosnúmerostransnitos.Suobraimpulsóunarevisiónenprofundidaddelosfundamentosdelasmatemáticas.
Tema3Camposescalaresyvectorialesderivables.Reglasdederivación.Lamaneranaturaldeextenderacamposvectorialeselconceptodefunciónrealdevari-ablerealderivableesintroducirelconceptodederivadaenelsentidodeFréchet:UncampovectorialfdenidoenARNyconvaloresenRMesderivable,enelsentidodeFréchet,enunpuntoainteriordeAsiexisteT2L(RN;RM),elespaciodeloscamposvectorialesdeRNenRM,vericandolimx!af(x)�f(a)�T(x�a)
kx�ak=0encuyocasolaaplicaciónTesúnica,sedenominaladerivadadelafunciónfenelpuntoaysenotaporDf(a).Losconceptosdederivabilidadyderivadasonalgebraico-topológicos(nodependendelasnormaselegidasenRNyRM).AsíelestudiodeladerivadadeFréchetparacamposvectorialesrequiereestarfamilia-rizadoconelespaciodeBanachL(RN;RM)deloscamposvectorialeslinealesdeRNenRM.EmpezamosestableciendoelisomorsmoqueexisteentreesteespaciovectorialyellasmatricesMMN(R).Dichoisomorsmohacecorresponderalacomposicióndecamposelproductodelascorrespondientesmatrices.Esclaroqueelúnicocampovectoriallinealacotadoeselnuloyquedoscamposvectori-aleslinealesquetomanlosmismosvaloresenlaesferaunidadcoinciden(!Hágase!).AcadaT2L(RN;RM)leasignamoselnúmerorealkTk:=maxfkT(x)k:kxk=1g:ProbamosquetalaplicaciónesunanormaenL(RN;RM),yqueparaT2L(RN;RM)setienekT(x)kkTkkxk;8x2RNconloquetodocampovectoriallinealeslipschitziano;probamostambiénquekTkeslaconstantedeLipschitzdeT(véaseDenición3.2).95
963.Camposderivables.reglasdederivación.EstudiamostambiénlosisomorsmostopológicosenRNIso(RN)=fT2L(RN):detAT6=0gqueseránesencialesalahoradeestablecerelTeoremadelafuncióninversa.ProbamosqueIso(RN)esunabiertodeL(RN)yquelaaplicacióninversiónJ:Iso(RN)!L(RN)dadaporJ(T):=T�1;8T2Iso(RN)escontinua.
Acosta,AparicioyMoreno973.1.ElespaciodeBanachL(RN;RM).Enlosucesivo,paracadadosnaturalesNyM,L(RN;RM)denotaráelespaciovectorialdeloscamposvectorialeslinealesdeRNenRM,esdecir,elconjuntodelasaplicacionesT:RN!RMtalesqueT(x+y)=T(x)+T(y);T(lx)=lT(x);8x;y2RN;8l2R;conlasoperacionesusualesdesumayproductoporescalares.EnelcasodequeN=MescribiremossimplementeL(RN)enlugardeL(RN;RN).ConvienedejarsentadodesdeelprimermomentoqueelespaciovectorialL(RN;RM)yelespaciovectorialMMN(R)delasmatricesMNdenúmerosrealessonmatemática-menteindistinguibles.ParacadaT2L(RN;RM)denimosAT2MMN(R)por(3.1.1)AT:=Ti(ej)1iM1jN;dondeT1;:::;TMsonloscamposescalarescomponentesdeTyfe1;:::;eNgeslabasecanóni-cadeRN.LaaplicacióndeL(RN;RM)enMMN(R)denidaporT!ATesunisomor-smodeL(RN;RM)sobreMMN(R),cuyoinversoeslaaplicacióndeMMN(R)sobreL(RN;RM)denidaporA!TAdondeTAeslaaplicaciónlinealdeRNenRMdadapor(3.1.2)TA(x)t:=Axt;8x2RN:Enparticular,siT2L(RN;R),entoncesAT2RNysiA2RN,entonceslacorrespondienteaplicaciónTAactúadelaformasiguiente(3.1.3)TA(x)=(Ajx);8x2RN;dondehemosnotadopor(j)elproductoescalarenRN.AdemásestaidenticacióndeL(RN;RM)conMMN(R)tienelaimportantesiguientepropiedad.SiT2L(RN;RM)yS2L(RM;RP),entonces(3.1.4)A(ST)=ASAT;donde,comoesusual,notamosporyuxtaposiciónlacomposicióndelosoperadoresSyT,esdecir(ST)(x)=S(T(x));8x2RN:Enefecto,six2RNsetieneque(ASAT)xt=AS(ATxt)=AST(x)t=(S(T(x)))t=((ST)(x))t=A(ST)xt:
1003.Camposderivables.reglasdederivación.oloqueeslomismodist(x;A)�dist(y;A)d(x;y):Ahora,intercambiandolospapelesdexey,setieneladesigualdaddist(y;A)�dist(x;A)d(x;y);queunidaalaanteriorllevaa dist(x;A)�dist(y;A) d(x;y):Enconsecuencia,si(E;d)esunespaciométrico,AunsubconjuntonovacíodeEyaunnúmeroreal,entonceslosconjuntosU:=fx2E:dist(x;A)�agyV:=fx2E:dist(x;A)ag:sonabiertos(vercaracterizacióntopológicadelacontinuidadglobal).LasiguienteproposiciónpruebaqueunaaplicaciónlinealdeRNenRMeslipschitziana,yademásdalaconstantedeLipschitz.Proposición3.4.SeanN;M2NyT:RN!RMlineal.Entoncessevericanlassiguientesarmaciones:i)kTkalcanzaelmáximoenlaesferaunidadyenconsecuenciapodemosdenirkTk:=maxfkT(x)k:kxk=1g:ii)Teslipschitziana,dehechosevericaque(3.1.5)kT(x)kkTkkxk;8x2RN:AdemáskTk=minfK0:kT(x)kKkxk;8x2RNg=maxfkT(x)k:kxk1g:LaprimeraigualdadnosaseguraquekTkeslaconstantedeLipschitzdeT.Demostración:i)ComoTescontinuaylaesferaunidadescompacta,i)esconsecuenciadelacontinuidaddelaaplicaciónnorma,delaregladelacadenaparafuncionescontinuasydelapropiedaddecompacidad.ii)Esclaroque Tx
kxk kTk;8x2RNnf0g;
Acosta,AparicioyMoreno101yusandoqueTeslineal,tenemoskT(x)kkTkkxk;8x2RNnf0g:Dadoqueestaúltimaexpresiónestambiénválidaparacero,podemosescribirlaequivalente-menteenlaformakT(x)kkTkkxk;8x2RN:DelaanteriordesigualdadsededucequeTeslipschitziana,yaquesix;y2RN,obtenemoskT(x)�T(y)k=kT(x�y)kkTkkx�yk;esdecir,Teslipschitziana.SeaahoraK0talquekT(x)kKkxk;8x2RN:SesiguequekTk=maxfkT(x)k:kxk=1gK;yportantokTk=minfK0:kT(x)kKkxk;8x2RNg;esdecir,kTkeslaconstantedeLipschitzdeT.Finalmente,lapropiedaddecompacidadnosaseguraqueTalcanzaelmáximoenlabolaunidadcerrada.EsclaroquekTkmaxfkT(x)k:kxk1gy3.1.5nosaseguraquetambiénmaxfkT(x)k:kxk1gkTk:HemosprobadoquekTk=maxfkT(x)k:kxk1g:
ElteoremadeHausdorffnosaseguraquetodaslasnormasdeniblesenelespaciovecto-rialL(RN;RM)sonequivalentes(esdedimensiónMN).Enelsiguienteresultadopresen-tamoslaformausualdenormaresteespacio.Teorema3.5(ElespaciodeBanachL(RN;RM)).LafunciónqueacadaaplicaciónlinealT:RN!RMlehacecorresponderelnúmerorealkTk:=maxfkT(x)k:kxk=1gesunanormaenL(RN;RM),denominadanormadeoperadores
.AdemásL(RN;RM)esunespaciodeBanach.
1023.Camposderivables.reglasdederivación.Demostración:Veamosquelafunciónkk:L(RN;RM)!Resunanorma.ParaT;S2L(RN;RM)yl2R,setiene:i)kTk=0)�kT(x)kkTkkxk;8x2RN)T=0:ii)klTk=maxfk(lT)(x)k:kxk=1g=maxfjljkT(x)k:kxk=1g=jljkTk:iii)k(T+S)(x)k=kT(x)+S(x)kkT(x)k+kS(x)kkTkkxk+kSkkxk;8x2RN;dondesehausado3.1.5.Hemosprobadoquek(T+S)(x)k(kTk+kSk)kxk;8x2RNyenconsecuencia,envistadelaproposiciónanterior,concluimosquekT+SkkTk+kSk:FinalmenteL(RN;RM),alserdedimensiónnita,escompletoparacualquiernorma,enparticular,paralanormadeoperadores.
HállenselanormadeoperadoresdeL((R2;k:k1);R),L((R2;k:k2);R)(úseseenestecasoladesigualdaddeCauchy-Schwarz,ApéndiceA)yL((R2;k:k¥);R).ElsiguienteresultadogeneralizaelhechodequeRseaabierto,yaqueIso(R)seiden-ticaconR(¿Porqué?).Proposición3.6.Iso(RN)esunabiertodeL(RN).Demostración:LaaplicacióndeL(RN)enRdenidaporT!detAT(T2L(RN))escontinua(¡Hágase!).EnconsecuenciaIso(RN)=fT2L(RN):detAT6=0gesunabiertodeL(RN).
Veamosparanalizarestasecciónque,aligualquelaaplicacióndeRenRdadaporx!1
xescontinua,tambiénlaaplicacióndeIso(RN)enL(RN)dadaporT!T�1escontinua.Proposición3.7(Continuidaddelaaplicacióninversión).LaaplicacióninversiónJ:Iso(RN)!L(RN)denidaporJ(T):=T�1;8T2Iso(RN)escontinua.
1043.Camposderivables.reglasdederivación.3.2.Conceptodederivada.Elconceptodederivadaesdelosquemáshaninuidoeneldesarrollodelamatemática.Nuestroobjetivoeselestudiodeladerivabilidad,asícomoelcálculodeladerivadacuandoelloproceda,delasfuncionesf:A!RM;dondeARN,siendoMyNdosnaturalesprejados.Esencialmenteelestudiodeladerivabilidaddeuncampovectorialfenunpuntoarespondealproblemadesifesaproximableporunafunciónafín(continua)enelpun-toa,esdecir,porunafuncióngdelaformag(x)=c+T(x);8x2RN,dondec2RMyT2L(RN;RM).Lapartelinealdelamejoraproximaciónafíndelafunciónfenelpun-toaesladerivadadeéstaenaylaspropiedadesdeestamejoraproximación(equivalen-tementedeladerivada)repercutendemaneranaturalsobrelaspropiedadeslocalesdelafunciónenelpuntoa.Así,elcálculodiferencialesunapotenteherramientaparaestudiarelcomportamientolocaldefunciones
.ElcálculodiferencialparaaplicacionesentreespaciosnormadosfueiniciadoporFrécheten1.925,sibienlapaternidadhadesercompartidaconmuchosotrosmatemáticoscomoStolz,Young,etc.Empezaremosrecordandolanocióndederivadaparafuncionesrealesdevariablereal,asícomosuinterpretacióngeométrica.Denición3.8(derivadadefuncionesrealesdevariablereal).SeanAR,a2A\A0yf:A!Runafunción.Sedicequefesderivableenelpuntoasiexistelimx!af(x)�f(a)
x�a;encuyocasoelvalordetallímitesenotaf0(a)ysedenominaladerivada
delafunciónfenelpuntoa.Laderivabilidaddeunafuncióntienelasiguientemagnícacaracterizaciónentérminosdeexistenciadeunamejoraproximaciónafín,cuyainterpretaciónesclara.Proposición3.9(Caracterizacióndeladerivabilidad).SeanAR;a2A\A0yf:A!Runafunción.Equivalen:i)fesderivableena.ii)Existeunafunciónafín(continua)g:R!Rvericandoqueg(a)=f(a)yquelimx!af(x)�g(x)
x�a=0:Enesesupuestolafuncióngesúnicayvienedadaporg(x)=f(a)+f0(a)(x�a);8x2R:
Acosta,AparicioyMoreno1093.3.Camposescalaresderivables.Vectorgradiente.Proposición3.14(Reduccióndeladerivabilidadacamposescalares).SeaARN,yf=(f1;:::;fM):A!RMuncampovectorial.Entoncesfesderivableena2Asi,ysólosi,cadacampoescalarcomponenteesderivableena,encuyocasoDf(a)(x)=(Df1(a)(x);:::;DfM(a)(x));8x2Rn:Ademásf2C1(a)si,ysólosi,fi2C1(a)parai=1;:::;M.Demostración:ElenunciadoesconsecuenciadequeparaunaaplicaciónlinealT=(T1;:::;TM)deRNenRMsevericaparacadax2Anfagf(x)�f(a)�T(x�a)
kx�ak==f1(x)�f1(a)�T1(x�a)
kx�ak;:::;fM(x)�fM(a)�TM(x�a)
kx�akydelaProposición2.62.DelamismaproposiciónsededucetambiénquelacontinuidadenadelaaplicaciónDfsereducealacontinuidaddelasaplicacionesDf1;:::;DfMena,yaquesonlascomponentesdelaaplicaciónDf.
Envistadelresultadoanterior,enelrestodelasección,estudiaremosloscamposescalaresderivables.Salvomenciónexpresaencontra,losresultadosqueseobtengansonválidostambiénparacamposvectoriales.Denición3.15(Derivadasparciales.Vectorgradiente).SeaARN,a2Ayfuncam-poescalarenA.Paracada1iN,supongamosqueaiesunpuntodeacumulacióndelconjuntoAi:=fxi2R:(a1;:::ai�1;xi;ai+1;:::;aN)2Ag:SilafuncióndeAienRdenidaporxi7!f(a1;:::ai�1;xi;ai+1;:::;aN)esderivableenai,sedicequeftienederivadaparcial
respectodelavariablei-ésimaenelpuntoa.Entalcasoelvalordellímitelimxi!aif(a1;:::ai�1;xi;ai+1;:::;aN)�f(a)
xi�aisedenominaladerivadaparcialdefrespectodelavariablei-ésimaenelpuntoaysenotaDif(a)(otambién¶f
¶xi(a)).Esconsecuenciadeladeniciónqueelcálculodeladerivadaparcialrespectodelavari-ablei-ésimadelcampoescalarfenunpuntogenéricox=(x1;:::;xN)sehadellevaracaboderivandolafunciónrealdevariablerealqueresultaalconsiderarconstanteslasvariablesxj(j6=i)yportantolasreglasdederivaciónordinariassepodránutilizar.SiAiAeselconjuntodepuntosdondeftienederivadaparcialrespectodelavari-ablei-ésima,entonceselcampoescalarenAidenidoporx7!Dif(x)sedenominala
1103.Camposderivables.reglasdederivación.aplicaciónderivadaparcial
defrespectodelavariablei-ésimaysenotaDif(otambién¶f
¶xi).Sedicequeelcampoescalarftienegradiente
enelpuntoasiadmitederivadasparcialesenaconrespectodetodaslasvariables,encuyocasodenimoselvectorgradiente
defenapor:Ñf(a):=(D1f(a);:::;DNf(a))2RN:SiCeselconjuntodepuntosdeAdondeftienegradiente,entonceselcampovectorialenCdenidoporx!Ñf(x)sedenominaaplicacióngradiente
defysenotaÑf.Proposición3.16(Condiciónnecesariadederiv.ycandidataaderivada).SeanARNyfuncampoescalarenAderivableenunpuntoa.EntoncesftienegradienteenaconDif(a)=Df(a)(ei);8i2f1;:::;Ng;dondefe1;:::;eNgeslabasecanónicadeRN.Enconsecuencia,Df(a)(x)=(Ñf(a)jx);8x2RN:Demostración:Parai2f1;:::;NgsetienequeDf(a)(ei)=limt!0f(a+tei)�f(a)
t=limxi!aif(a+(xi�ai)ei)�f(a)
xi�ai=limxi!aif(a1;:::;ai�1;xi;ai+1;:::;aN)�f(a)
xi�ai=Dif(a);dondesehautilizado(*)delasecciónanterior.ElrestoesconsecuenciadelalinealidaddeDf(a).
Notas3.17.1.Lacondiciónanteriornoessuciente.ElcampoescalarenR2f(x;y)=x6
(y�x2)2+x6(x;y)6=(0;0);f(0;0)=0tienegradienteen(0;0)iguala(0;0)y,sinembargo,noesnitansiquieracontinuoen(0;0)(tómesey=x2).2.Supongamosqueelcampoescalarfesderivableenaytienederivadanonula.PuestoqueDf(a)(x)=(Ñf(a)jx);8x2RN
1143.Camposderivables.reglasdederivación.3.4.Camposvectorialesderivables.Matrizjacobiana.Denición3.22(matrizjacobiana).SeanARN,a2Ayf:A!RMuncampovectorial.Sedicequeftienematrizjacobianaenelpuntoasicadaunodeloscamposescalarescomponentestienegradienteendichopunto,encuyocasosedenelamatrizjacobiana
defenaporJf(a):[email protected](a):::Djf1(a):::DNf1(a):::::::::::::::D1fi(a):::Djfi(a):::DNfi(a):::::::::::::::D1fM(a):::DjfM(a):::DNfM(a)1CCCCA=�Djfi(a)1iM1jN:EnelcasoM=Naldeterminantedelamatrizjacobianaseledenominadeterminantejaco-biano.ObsérvesequelosNnúmerosquecomponenlalai-ésimadelamatrizjacobianasonlascomponentesdelvectorÑfi(a),enconsecuencia,envirtuddelasProposición3.14y3.18,sielcampovectorialadmitematrizjacobianacontinuaenelpuntoa,entoncesesderivableendichopuntoy,envirtuddelaProposición3.14ydelTeorema3.21,siAesabiertoyelcampoescalaradmitematrizjacobianacontinua,entoncesesdeclaseC1.Lacondiciónnecesariadederivabilidadylacandidataaderivadasecodicanenelsiguienteresultado.Proposición3.23.SeanARNyf:A!RMuncampovectorial.Sifesderivableena2A,entoncesftienematrizjacobianaenay(Df(a)(x))t=Jf(a)xt;8x2RN:Demostración:Loscamposescalarescomponentesdefsonderivablesena.Enconsecuencia,envirtuddelaProposición3.16,dichoscamposescalarestienengradienteena,esdecirftienematrizjacobianaena.SetieneademásqueADf(a)=�Dfi(a)(ej)1iM1jN=�Djfi(a)1iM1jN;dondesehautilizadolaProposición3.14.Elrestoesconsecuenciadelaigualdad(3.1.2)delasección3.1.
Acosta,AparicioyMoreno115Ejemplos3.24.1)TodafunciónconstantedeRNenRMesdeclaseC1conDf(a)=0;8a2RN:2)TodaaplicaciónlinealTdeRNenRMesdeclaseC1conDT(a)=T;8a2RN:3)TodaaplicaciónbilinealTdeRMRNenRP(esdecir,linealenambasvariables)esdeclaseC1conderivadadadaporDT(a;b)(x;y)=T(x;b)+T(a;y);8(a;b);(x;y)2RMRN:CalculemosenprimerlugarlasderivadasdeTenlasdireccionesdelabasecanónica.Paraellosife1;:::;eMgeslabasecanónicadeRM,yff1;:::;fNgeslabasecanónicadeRN,entoncesf(e1;0);:::;(eM;0);(0;f1);:::;(0;fN)geslabasecanónicadeRMRN.ClaramentesetieneT((a;b)+t(ei;0))�T(a;b)
t=T((a+tei;b))�T(a;b)
t=T(a;b)+tT(ei;b))�T(a;b)
t=T(ei;b)(i=1;:::;M);esdecir,T0((a;b);(ei;0))=T(ei;b)(i=1;:::;M)HaciendoelmismotipodecálculoobtenemosqueT0�(a;b);(0;fj)=T(a;fj)(j=1;:::;N):HemosprobadoqueJT(a;b)[email protected](e1;b):::T1(eM;b)T1(a;f1):::T1(a;fN)T2(e1;b):::T2(eM;b)T2(a;f1):::T2(a;fN)::::::::::::::::::::::::::::::::::TP(e1;b):::TP(eM;b)TP(a;f1):::TP(a;fN)1CCA:PortantodeserTderivableen(a;b),suderivadaen(a;b)habríadeser,envirtuddelaProposición3.23,(x;y)7�!�JT(a;b)(x;y)tt=T(x;b)+T(a;y):Comolamatrizjacobianaescontinua,bastatenerencuentaelcomentarioquesiguealaDenición3.22,paraconcluirqueT2C1(RMRN).Otraforma:
Acosta,AparicioyMoreno119SupuestalacontinuidaddeDfenayladeDgenb,probaremosahoralacontinuidaddeDhena.PorsergdeclaseC1enb,existee�0talquegesderivableenB(b;e)B;usandoquef2C1ena,existed1�0talquefesderivableenB(a;d1)A.Lacontinuidaddefenanosaseguralaexistenciaded2�0talquef(B(a;d2))B(b;e).Tomandod=minfd1;d2gtenemos,aplicandolafórmulaqueyahemosprobadoDh(x)=Dg(f(x))Df(x);8x2B(a;d):Enconsecuencia,Dh=F(Dgf;Df),dondeFeslaaplicaciónbilinealdeL(RMRp)L(RN;RM)enL(RN;Rp)denidaporF(T;S)=TS;8(T;S)2L(RM;Rp)L(RN;RM):Asípues,Dhescontinuaporlaregladelacadenaparafuncionescontinuasylaregladecontinuidaddelasfuncionesvectoriales(DgfescontinuaenapuesfescontinuaenayDgescontinuaenf(a)yDfescontinuaena).
Notas3.25.a)Esinteresanteobservarlaformaqueadoptalaregladelacadenacuandoseinvolucranderivadaselementales.i)EnelcasoARf�!BRMg�!RPsetieneque(gf)0(a)=Dg(f(a))(f0(a)):Enefecto,(gf)0(a)=D(gf)(a)(1)=Dg(f(a))(Df(a)(1))=Dg(f(a))(f0(a));dondesehautilizadolaNota3.13.2.ii)EnelcasoARf�!BRg�!Rsetieneque(gf)0(a)=f0(a)g0(f(a));yportanto,laregladelacadenareciénenunciadageneralizalaconocidaparafuncionesdevariablereal.Enefecto,porelcasoanterior(gf)0(a)=Dg(f(a))(f0(a))=f0(a)Dg(f(a))(1)=f0(a)g0(f(a));dondesehavueltoautilizarlaNota3.13.2.
Acosta,AparicioyMoreno121Demostración:Esconsecuenciadelcarácterlocaldellímite.
Nota.SupongamosqueelconjuntoAesunióndisjuntadedossubconjuntosA1yA2yf1:A1�!RM;f2:A2�!RMsoncamposvectorialestalesquef(x)=f1(x)six2A1f2(x)six2A2Porelresultadoanterior,laderivabilidaddefenA1yenA2noesmásqueladerivabilidaddef1enA1ydef2enA2,respectivamente(cuyoestudioposiblementesepuedellevaracabomedianteelusodelasreglasdederivación).Enlospuntosde(Fr(A1)[Fr(A2))\A,posiblementehayaquehacerunestudioparticular.Proposición3.27(Derivacióndelafuncióninversa).a)SeaARN;a2Ayf:A�!RNuncampovectorial.Supongamosquefesinyectiva,derivableenayquef(a)2f(A),entoncesf�1esderivableenf(a),detJf(a)6=0f�1escontinuaenf(a)Además,sisevericaloanterior,setieneDf�1(f(a))=Df(a)�1;yenconsecuencia,Jf�1(f(a))=Jf(a)�1:b)SeanAyBsubconjuntosabiertosdeRNyfunhomeomorsmodeAsobreB.Sif2C1(a)paraalgúna2AcondetJf(a)6=0,entoncesf�12C1(f(a)).Demostración:a))f�1escontinuaenf(a)porserderivable.Comoff�1=Idf(A);f�1f=IdA;laregladelacadenanosdaDf(a)Df�1(f(a))=IdRN;Df�1(f(a))Df(a)=IdRNconloqueDf(a)2Iso(RN)yDf�1(f(a))=Df(a)�1,portantodetJf(a)6=0.(Alserfderivableena,existeunafunciónr:A�!Rcontinuaenaconr(a)=0quevericaademáskf(x)�f(a)�Df(a)(x�a)k=r(x)kx�ak;8x2A:
Acosta,AparicioyMoreno123Notas3.28.1.Esteresultadogeneralizaparapuntosinterioreselvistoparafuncionesrealesdeunavariablereal.Enefecto,siIResunintervaloyf:I�!Resunafunción(realdevariablereal),a2Iyb=f(a).Supongamosquefescontinua,inyectivayderivableena.Entoncesbesunpuntointeriordef(I)ylassiguientesarmacionessonequivalentes:i)f0(a)6=0yf�1escontinuaenb.ii)f�1esderivableenb.Además,encasodequesecumplani)yii)setiene:(f�1)0(b)=1
f0(a):Enefecto,Df(a)2Iso(R),f0(a)6=0yDf�1(b)=Df(a)�1,(f�1)0(b)=1
f0(a):2.EsbuenoresaltarquelareglaantesestablecidanoeselTeoremadelafuncióninversa.
Acosta,AparicioyMoreno125
unacurvaenRN
esunaaplicacióncontinuagdeunintervaloIdeRenRN.Normalmentelaformamáscómodadevisualizarunacurvaesconsiderarsuimagen
(enRN,almenoscuandoN3)enlugardesugráca
enRN+1.Supongamosquegesderivableenunpuntot02Icong0(t0)6=0,entonceslarectaquepasaporelpuntog(t0)condireccióng0(t0),estoes,fg(t0)+tg0(t0):t2Rgeslarectatangenteagenelpuntog(t0).
ClaramenteIm(g)=pRN(Graf(g))(dondehemosidenticadodeformanaturalRN+1=RRN).SilacurvasevisualizaenRN,esnaturalvisualizartambiénenRNlatangenteenunpuntocomolaproyeccióndelarectatangentealagrácadegenelpunto(t0;g(t0)).Estavienedadaporf(t0;g(t0))+(t;tg0(t0)):t2Rg=f(t0;g(t0))+t(1;g0(t0)):t2Rgysuproyecciónesfg(t0)+tg0(t0):t2Rg;queeslarectatangenteageng(t0)cuandog0(t0)6=0.Seguidamentemostramosqueparauncampovectorialderivablef,lavariedadafíntan-gentealagrácadefenelpunto(a;f(a))coincideconelconjuntodetodaslasrectastangentesalascurvascuyaimagenestácontenidaenGraf(f)yquepasanporelpunto(a;f(a)).Proposición3.30.SeaARNunabiertoyf:A�!RMunafunciónderivable.Sia2Ayu2RNRM,equivalen:i)u2Graf(Df(a)).
1263.Camposderivables.reglasdederivación.ii)Existend�0yg:[�d;d]�!RNRMcontinuatalqueg([�d;d])Graf(f);g(0)=(a;f(a))yg0(0)=u:Demostración:i))ii)Notaremosporp1yp2alasproyeccionesdeRNRMsobreRNyRM,respecti-vamente.Siu2Graf(Df(a)),sead�0talque[a�dp1(u);a+dp1(u)]Ayconsideremoslacurvag:[�d;d]�!RNRMdenidaporg(t)=(a+tp1(u);f(a+tp1(u))):Esclaroqueg([�d;d])Graf(f),g(0)=(a;f(a))yg0(0)=(p1(u);Df(a)(p1(u)));dondesehanutilizadolasreglaselementalesdederivación.Porotraparte,comou2Graf(Df(a)),entoncesu=�p1(u);Df(a)(p1(u))yenconsecuenciag0(0)=u.ii))i)Supongamosahoraquegesunacurvavericandolascondicionesrequeridasenii).Entonces,comoIm(g)Graf(f),severicaquefp1g=p2gylasreglaselementalesdederivaciónnosaseguranqueDf(a)(p1(g0(0)))=p2(g0(0));estoes,u=g0(0)2Graf(Df(a)).
Acosta,AparicioyMoreno1273.7.ApéndiceA)DesigualdaddeCauchy-Schwarz.Proposición.j(xjy)jkxk2kyk2;8x;y2RN;donde(j)denotaelproductoescalarenRN,estoes(xjy):=Nåk=1xkyk;ylaigualdadocurresi,ysólosi,losvectoressonlinealmentedependientes.Demostración:Seanx;y2RN.Siy=0sedalaigualdadylacondición(¿Porqué?).Encasocontrario,ladesigualdaddeCauchy-Schwarzequivaleaprobar0(xjx)(yjy)�(xjy)2
(yjy);desigualdadqueprobamosacontinuación.Enefecto(xjx)(yjy)�(xjy)2
(yjy)=(xjx)�(xjy)
(yjy)(xjy)=(xjx)�2(xjy)
(yjy)(xjy)+(xjy)
(yjy)(xjy)=(xjx)�2(xjy)
(yjy)(xjy)+(xjy)
(yjy)2(yjy)=x�(xjy)
(yjy)y x�(xjy)
(yjy)y0Finalmente,siporejemploy=axparaconvenientea2R,entonces(xjy)2=(xjax)2=a2kxk42=kxk22kaxk22=kxk22kyk22:
1303.Camposderivables.reglasdederivación.SupongamosqueA=a+Hparaconvenientesa2RNyHhiperplanovectorial.SifesunfuncionalnonulotalqueH=Ker(f),entoncessevericaqueA=fx2RN:f(x)=f(a)g:Recíprocamente,supongamosqueA=fx2RN:f(x)=agparaconvenientea2R.Puestoquefessobreyectiva(¡Hágase!),podemoselegira2RNtalquef(a)=a.SetieneentoncesqueA=f�1(a)=fx2RN:f(x)=ag=fx2RN:x�a2Ker(f)g=a+Ker(f):
Proposición.Seanfunfuncionallinealnonuloyx0unvectordeRN,entoncesdistx0;f�1(a)=jf(x0)�aj
kfk:Enconsecuencia,sielfuncionalfvienedadoporf(x)=A1x1+:::+ANxN;8x2RN;(A21+:::+A2N�0)yseconsideraenRNlanormaeuclídea,entonceslafórmulaanterioresdist�x0;A=jA1x0(1)+:::+ANx0(N)�aj
q
A21+:::+A2N:Demostración:Bastaprobarquedist�x0;Ker(f)=jf(x0)j
kfk.Enefecto,seaatalquef(a)=a,entonces,envirtuddelalinealidaddef,setienequedistx0;f�1(a)=dist�x0�a;Ker(f):Alserflipschitzianaderazónkfk,setieneparacadax2Ker(f)quejf(x0)j=jf(x0�x)jkfkkx0�xk()dedondesededucequejf(x0j
kfkdist�x0;Ker(f):Pordenicióndenormadeunaplicaciónlineal,existeunasucesiónfxngenlaesferaunidadde�RN;kktalquekfkn+1
njf(xn)j;8n2N.Alsernx0�f(x0)xn
f(xn)ounasucesiónenKer(f),setieneparacadannaturalquedist�x0;Ker(f) x0�x0�f(x0)xn
f(xn) = f(x0)
f(xn) n+1
njf(x0)j
kfk;
Acosta,AparicioyMoreno131dedondededucimostomandolímitesquedist�x0;Ker(f)jf(x0)j
kfk.Hemosprobadoquedist�x0;Ker(f)=jf(x0)j
kfk:Nótesequetambiénsepuederazonarqueladesigualdad(*)es,dehecho,unaigualdadporalcanzarselanormadeoperadores.Laúltimaexpresiónsededucedelaanteriorsinmásquerecordarquelanormaeuclídeaesautodual.
3.10.Referenciasrecomendadas.[BRV],[Cra],[Fe],[FeSa],[MaHo],[Jur]y[MaHo].
1323.Camposderivables.reglasdederivación.3.11.ResumendelresultadosdelTema3L(RN;RM)MMN(R).ElespaciovectorialL(RN;RM)yelespaciovectorialMMN(R)delasmatricesMNdenúmerosrealessonmatemáticamenteindistinguibles.ParacadaTenL(RN;RM)denimosAT2MMN(R)porAT:=Ti(ej)1iM1jN;dondeT1;;TMsonloscamposescalarescomponentesdeTyfe1;:::;eNgeslabasecanóni-cadeRN.LaaplicacióndeL(RN;RM)enMMN(R)denidaporT!ATesunisomor-smodeL(RN;RM)sobreMMN(R),cuyoinversoeslaaplicacióndeMMN(R)sobreL(RN;RM)denidaporA!TAdondeTAeslaaplicaciónlinealdeRNenRMdadaporTA(x)t:=Axt;8x2RN:Isomorsmotopológico.SiXeYsonespaciosnormados,unaaplicaciónT:X�!Yesunisomorsmotopológico
siTesunaaplicaciónbiyectiva,linealycon-tinuacuyainversatambiénescontinua.SiX=Y=RN,todaaplicaciónlinealybiyectivaesunisomorsmotopológico.NotaremosIso(RN)alconjuntodelosisomorsmosdeRNenRN.Iso(RN):=fT2L(RN):detAT6=0g:Funciónlipschitziana.Sean(E;d)y(F;r)espaciosmétricos.Sedicequef:E!FeslipschitzianasiexisteK0vericandor(f(x);f(y))Kd(x;y);8x;y2E:LamenorconstantequevericaestadesigualdadsedenominalaconstantedeLipschitzdeT.ElespaciodeBanachL(RN;RM).NormadelespacioL(RN;RM).LafunciónqueacadaaplicaciónlinealT:RN!RMlehacecorresponderelnúmerorealkTk:=maxfkT(x)k:kxk=1gesunanormaenL(RN;RM),denominadanormadeoperadores
.L(RN;RM)esunespaciodeBanach.AdemássevericaquekT(x)kkTkkxk;8x2RNkTk=minfK0:kT(x)kKkxk;8x2RNg=maxfkT(x)k:kxk1g:LaprimeraigualdadnosaseguraquekTkeslaconstantedeLipschitzdeT.
1383.Camposderivables.reglasdederivación.3.6Paraa2R+seafa:R2!Rlafuncióndenidapor:fa(x;y)=jxyja
x2�xy+y2si(x;y)6=(0;0);fa(0;0)=0:Estudiarlacontinuidadyderivabilidaddefa.3.7Estudiarlacontinuidadyderivabilidaden(0;0)delafunciónf:R2�!Rdenidapor:f(x;y)=1�cosxcosy
p
x2+y2si(x;y)6=(0;0);f(0;0)=0:3.8SeanfuncampoescalardenidoenARNya2A.Probarqueequivalen:i)fesderivableena.ii)Existenh:A!RNcontinuaenaconh(a)=0yb2RN:f(x)�f(a)�(bjx�a)=(h(x)jx�a);8x2Adonde(:j:)denotaelproductoescalarusualdeRN.3.9SeanAunabiertodeRNyfuncampoescalardenidoenAconderivadasparcialesacotadasenA.Probarquefescontinuo.Darunejemploquemuestrequeuntalcampoescalarpuedenoserderivable.Indicación
:ConsiderarelcampoescalardenidoenR2porf(x;y)=xy
p
x2+y2si(x;y)6=(0;0);f(0;0)=0:3.10*(Condiciónsucientedederivabilidad).SeanAR2,(a;b)2Ayf:A!Runcampoescalar.SupongamosqueD1fexisteenunentornode(a;b)yescontinuaen(a;b)yqueexisteD2f(a;b).Probarquefesderivableen(a;b).EstudiarunresultadoanálogoparacamposescalaresdeNvariables.Indicación
:Seae�0,tómesed�0talquek(x;y)�(a�b)k1d)8&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;:(x;y)2A9D1f(x;y)jD1f(x;y)�D1f(a;b)jejf(a;y)�f(a;b)�D2f(a;b)(y�b)jejy�bj
Acosta,AparicioyMoreno139Para(x;y)2R2con0k(x;y)�(a;b)k1d,sepuedeescribirf(x;y)�f(a;b)�D1f(a;b)(x�a)�D2f(a;b)(y�b)=[f(x;y)�f(a;y)�D1f(a;b)(x�a)]+[f(a;y)�f(a;b)�D2f(a;b)(y�b)]ybastaaplicarelteoremadelvalormedioalprimersumando(cuandox6=a)paraprobarladerivabilidaddefen(a;b).3.11SeanARyf;g:A!R3funcionesderivablesena2A.Consideremoslasfuncionesh:A!Ryj:A!R3denidasporh(x):=(f(x)jg(x));j(x):=f(x)^g(x);8x2A(heselproductoescalardefyg,jeselproductovectorialdefporg).Calcularh0(x)yj0(x).3.12SeafuncampoescalarderivableenA=R+R+.ConsidéreseelcampoescalarhdenidoenW=R+]0;p
2[porh(r;J):=f(rcosJ;rsenJ);8(r;J)2W:Probarqueequivaleni)x¶f
¶y(x;y)�y¶f
¶x(x;y)=f(x;y);8(x;y)2A.ii)¶h
¶J(r;J)=h(r;J);8(r;J)2W.Deducirquelassolucionesdei)sondelaforma:f(x;y)=jp
x2+y2exparctany
x;dondej:R+!Resunafunciónderivable.3.13Seaf:RN!RMderivableenceroyhomogéneadegrado1,esdecir:f(tx)=tf(x);8x2RNnf0g;8t2R+:Probarquefeslineal.3.14TeoremadeEuler.Seapunnúmeroreal.Unafunciónf:RNnf0g!Rsellamahomogéneadegradopsiverica:f(tx)=tpf(x);8x2RNnf0g;8t2R+:Demostrarqueparaunafunciónderivablef:RNnf0g!Requivalen:
1403.Camposderivables.reglasdederivación.i)feshomogéneadegradop.ii)[Df(x)](x)=pf(x);8x2RNnf0g:3.15*Laidenticacióncanónicade(C;j:j)con(R2;k:k2)nospermitetenerunavisiónrealdeunafunciónf:C!C.Asaber,lafunciónf:C!Cdadaporx+iy=z7!f(z)=u+iv;puedeversecomof:R2!R2dadapor(x;y)7!f(x;y)=(u(x;y);v(x;y)):Probarqueparaz0=a+ibequivalenlassiguientesarmaciones:i)fesderivableen(a;b)conJf(a;b)=A�BBA.ii)limz!z0f(z)�f(z0)
z�z0=A+iB.3.16*SeanAunabiertoconvexodeRNyf:A!RNunafunciónderivableenAvericandoque:NÃ¥i;j=1Difj(x)hihj�0;8x2A;8h2RNnf0g:Probarquefesinyectiva.3.17*a)Probarquekk1esderivablesóloenlospuntosdelconjuntoR2nf(x;y)2R2:xy=0gconÑk:k1(x;y)=x
jxj;y
jyj:Estudiarladerivabilidaddek:k1enRN.b)Probarquek:k2esderivableenlospuntosdelconjuntoR2nf(0;0)gconÑk:k2(x;y)= x
p
x2+y2;y
p
x2+y2!:Estudiarladerivabilidaddek:k2enRN.
Acosta,AparicioyMoreno145deducimosquefescontinuaen(0;0).Derivabilidad
:EsinmediatoqueD1f(0;0)=1yD2f(0;0)=0,conloquesig(x;y):=f(x;y)�x
k(x;y)k2=x(xy�jyj)
(jyj+x2)p
x2+y2setienequeg(x;x)=x�jxj
x
p
2(1+jxj)quenotienelímitecuandox!0.Hemosprobadoquelafunciónfnoesderivableen(0;0).Estudioenelejedeabscisassalvoelpunto(0;0).Consideremoselpunto(a;0)cona6=0.Continuidad
:Comococientedecontinuascondenominadordistintodecerofescon-tinuaen(a;0).Derivabilidad
:f(a;y)�f(a;0)
y=aa�jyj
y
a2+jyjquenotienelímitecuandoy!0.AsínoexisteD2f(a;0)yenconsecuenciafnoesderivableen(a;0).Estudiofueradelejedeabscisas.LafunciónesdeclaseC1puestienederivadasparcialescontinuas.3.6De�1
2(x2+y2)�xy1
2(x2+y2)=)1
2(x2+y2)x2�xy+y23
2(x2+y2)setieneque02jxyja
3(x2+y2)f(x;y)2jxyja
x2+y2x2+y2
2a�1Estudioen(0;0).Continuidad
:fescontinua()1a1a=)jf(x;y)jx2+y2
2a�1!0luegocontinua.0a1)1f(x;x);8x2]0;1[yportantonocontinua.Derivabilidad
:fesderivable()3
2a
1483.Camposderivables.reglasdederivación.Siparaalgúni2f1;:::;Ngesxi=ai,entonceselcorrespondientesumandoesnulo.Enotrocasoaplicandoelteoremadelvalormediopodemosencontraryientrexiyaitalquef(a1;:::;ai�1;xi;:::;xN)�f(a1;:::;ai;xi+1;:::;xN)=Dif(a1;:::ai�1;yi;xi+1;:::;xN)(xi�ai):Enconsecuenciajf(x)�f(a)jM[jx1�a1j+:::+jxN�aNj]=Mkx�ak1;dondeMesunacotadelasderivadasparcialesdef.Nota
:Unatalfunciónfesmásquecontinuaena,sinembargo,notieneporquéserderivableena.Porejemplo,elcampoescalardenidoenR2porf(x;y)=xy
p
x2+y2;f(0;0)=0tienederivadasparcialesacotadasynoesderivableenR2.¶f
¶x(x;y)=y
p
x2+y2�x2y
(x2+y2)p
x2+y2=y3
(x2+y2)p
x2+y2yenconsecuencia ¶f
¶x(x;y) y2
(x2+y2)jyj
p
x2+y21:Lasimetríadefnosdatambiénque ¶f
¶y(x;y) 1.Porúltimocomonoexistelímitedexy
x2+y2cuando(x;y)!(0;0),lafunciónfnoesderivableen(0;0).3.10(Condiciónsucientedederivabilidad).SeafuncampoescalardenidoenAR2talqueD1fescontinuaen(a;b)2AyexisteD2f(a;b).Seae�0ytomemosd�0talquek(x;y)�(a;b)k1d)8&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;:(x;y)2A9D1f(x;y)jD1f(x;y)�D1f(a;b)jejf(a;y)�f(a;b)�D2f(a;b)(y�b)jejy�bj:Para(x;y)2R2con0k(x;y)�(a;b)k1d,setienequef(x;y)�f(a;b)�D1f(a;b)(x�a)�D2f(a;b)(y�b)=f(x;y)�f(a;y)�D1f(a;b)(x�a)+f(a;y)�f(a;b)�D2f(a;b)(y�b):Six=aelprimersumandoesnulo.EnotrocasoconsideremoslafuncióndelintervaloIdeextremosayxenRdenidapors:t!f(t;y)�D1f(a;b)t:
1543.Camposderivables.reglasdederivación.CasoRN.Consideremosunpuntoa=(a1;:::;aN)6=(0;:::;0).SetienequeDk:k2(a)(x)=(ajx)
kak2;queesunageneralizacióndeladerivadadejj.Ademáslafunciónkk2esdeclaseC1enelconjuntoencuestión.c)kk¥Estudioenlasdiagonalesdeloscuadrantes.Consideremosunpunto(a;b)con0jaj=jbj.Parax2Rcon0jxjjajsetienequek(a+x;b)k¥�k(a;b)k¥
x=ja+xj�jaj
xsiax�00siax0:Comoja+xj�jaj
x!a
jajcuandox!0,concluimosquenoexisteD1kk¥(a;b).Análoga-mentenoexisteD2kk¥(a;b).Enconsecuenciak:k¥noesderivableenlasdiagonalesdeloscuadrantes.Estudiofueradelasdiagonalesdeloscuadrantes.Consideremosunpunto(a;b)con0jajjbj.Parax2Rcon0jxjjbj�jaj,setienequek(a+x;b)k¥�k(a;b)k¥
x=jbj�jbj
x=0puesja+xjjaj+jxjjbj,yparay2Rcon0jyjjbj�jajsetienequek(a;b+y)k¥�k(a;b)k¥
y=jb+yj�jbj
y!b
jbjpuesjb+yjjbj�j�yj�jaj.Enconsecuenciaelgradientedelafunciónkk¥eselqueseanuncia.Análogamenteparapuntosdelaforma0jbjjaj.Porúltimocomoelgradienteescontinuolafunciónkk¥esdeclaseC1enelconjuntoqueseconsidera.CasoRN.Consideremosunpuntoa=(a1;:::;aN).Si9k;q2f1;:::;Ng:jakj=jaqj=jak¥,en-toncesk:k¥noesderivableena.Si91k2f1;:::;Ng:jakj=kak¥entoncesDk:k¥(a)(x)=ak
jakjxk.Ademáslafunciónkk¥esdeclaseC1enelconjuntoencuestión.3.18i))ii)Porserfderivableena,setienequef0(a;x)=Df(a)(x);8x2RNconloqueexistef0(a;)yeslineal.
1563.Camposderivables.reglasdederivación.Siellímiteen0det7!f(tu)�f(0)
tfueseuniformeenu2SR2,entonces,8e�0;9d�0:jtjd)jg(t;J)je;8J2]�p;p]:Portanto,siftng!0,setendríaqueg(tn;Jn)!0paracualquiersucesiónfJng.EnestecasosetienequesifJng!0y0Jnp
2paracadan,entoncestomamostn=senJn
cos2Jn!0yg(tn;Jn)=t4ncos6J
0+t4ncos6Jn=1,paracadanaturaln.Luegoellímiteanteriornoesuniformeenu2SR2.
Tema4Teoremadelvalormedio.TeoremasdelpuntojodeBanachydeSchauder.TeoremadePicard-Lindelöf.EnlaprimerasecciónobtenemosunageneralizacióndelTeoremadelvalormedioreal
:f(b)�f(a)=f0(c)(b�a)paraconvenientec2]a;b[acamposescalaresf(b)�f(a)=(Ñf(c)jb�a)paraconvenientec2]a;b[:FijadasdosnormasenRNyRM,probamoselimportanteresultadoconocidocomoTeoremadelvalormedio
oDesigualdaddeLagrange
paracamposvectorialeskf(a)�f(b)kkb�aksupfkDf(x)k:x2]a;b[g;dondeseconsideraenL(RN;RM)lanormadeoperadores.Finalmenteparalasnormaseuclídeasprobamostambiénunaprácticadesigualdadparacamposvectorialeskf(b)�f(a)k2kb�ak2sup(r
Ã¥i;jDjfi(x)2:x2]a;b[);quesepuederecordarcomoquelanormadeoperadoressemayoraporla“normaeuclídea”delacorrespondientematriz.Enlasegundaseccióndenimoslasfuncionescontractivas
comolasfuncioneslipschitzianasdeconstantedeLipschitzmenorque1.Obtenemoselimportantísimoresultadoteórico-prácticoconocidocomoTeoremadelpuntojodeBanach
paraespaciosmétricoscomple-tos(4.12)ydeducimosdeélelTeoremadeSchauder
paracamposvectorialesdeRNenRN(4.15).LosTeoremasdelvalormedioydeSchauderseránherramientasfundamentalesenlademostracióndelTeoremadelafuncióninversa.157
Acosta,AparicioyMoreno1594.1.Teoremadelvalormedio.Esconocidoelsiguienteimportanteresultado:Teorema4.1(valormedioreal).Seana;b2Rcona6=byseaIelintervalocerradodeextremosayb.Sif:I!ResunafuncióncontinuaenIyderivableenI,entoncesexistec2Italquef(b)�f(a)=f0(c)(b�a):EsteteoremaadmiteunageneralizacióninmediataalcasodecamposescalaresdenidosenRN.RecordemosquesiaybsondospuntosdistintosdeRN,entonceslossegmentoscerradoyabiertodeextremosaybsonrespectivamentelosconjuntos[a;b]=fa+t(b�a):t2[0;1]gy]a;b[=fa+t(b�a):t2]0;1[g:Teorema4.2(valormedioparacamposescalares).Seana;b2RNvericandoquea6=byque[a;b]ARN.Sif:A!Resuncampoescalarcontinuoen[a;b]yderivableen]a;b[,entoncesexistec2]a;b[talquef(b)�f(a)=�Ñf(c)jb�a:Demostración:LapruebadeesteteoremaconsisteenaplicarelTeoremadelvalormediorealalafunciónauxiliars:[0;1]!Rdenidapors(t)=f(a+t(b�a)):Puestoqueseslacomposiciónconfdelafunciónde[0;1]enAdenidaport7!a+t(b�a);laregladelacadenaparafuncionescontinuasnospermitearmarquesescontinuaen[0;1].Lanota3.25a)nosgarantizaquesesderivableen]0;1[cons0(t)=Ds(t)(1)=Df(a+t(b�a))(b�a)=�Ñf(a+t(b�a))jb�a:Así,lafunciónscumplelashipótesisdelTeoremadelvalormediorealy,portanto,existeJ2]0;1[talquef(b)�f(a)=s(1)�s(0)=�Ñf(a+q(b�a))jb�a:
Esusualqueelpuntocqueapareceenelenunciadodelteoremaanteriornosesepacal-cular.Elsiguientecorolarionosdaunamayoracióndeladistanciaentrelosvalorestomadosporuncampoescalarenlosextremosdelsegmentoobtenidausandoladesigualdad3.1.5.NosedebeolvidarquetalestimacióneslaresponsabledelamayoríadelasaplicacionesdelTeoremadelvalormedioreal.
Acosta,AparicioyMoreno161yportantoks0(t)kkDf(a+t(b�a)kkb�akMkb�ak;8t2]0;1[:Puestoquekf(b)�f(a)k=ks(1)�s(0)k;elteoremaestaráprobadosicomprobamosqueks(1)�s(0)kMkb�ak:Lapruebadedichadesigualdadesconsecuenciainmediatadelsiguienteresultadotécnicoquetieneimportanciaensímismo.Proposición4.6.Seans:[0;1]!RMyg:[0;1]!Rfuncionescontinuasen[0;1],deriv-ablesen]0;1[yquevericanks0(t)kg0(t);8t2]0;1[:Entoncesks(1)�s(0)kg(1)�g(0):Demostración:Probaremosqueparacadae�0severicaks(1)�s(0)kg(1)�g(0)+2e;resultadodelquesesigueelenunciadodadalaarbitrariedaddee.Fijemose�0yconsideremoselconjuntoA:=ft2[0;1]:ks(t)�s(0)kg(t)�g(0)+et+eg:Esclaroque02A.Seaa:=sup(A).Delacontinuidaddesygsededuceinmediatamenteque(4.1.1)ks(a)�s(0)kg(a)�g(0)+ea+e;yqueAesunabiertorelativode[0;1]yportanto0a.Veamosquea=1yenconsecuenciaks(1)�s(0)kg(1)�g(0)+2e;comosepretendedemostrar.Lapruebadequea=1laharemosporreducciónalabsurdo.Supongamosportantoquea1yveamosqueentoncesexistes&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.21; 0 ;&#xTd [;0talquea+s2A,encontradelhechodeseraelsupremodeA.Enefecto,deladerivabilidaddesygena,podemostomars&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.21; 0 ;&#xTd [;0talquea+s1y(4.1.2)ks(a+s)�s(a)�ss0(a)k
se
2
1644.TeoremasdelvalormedioydelpuntojodeBanach.Demostración:Paracadax2]a;b[setienekDf(x)k:=maxfkDf(x)(y)k2:kyk2=1g=max(s
MÃ¥i=1�Ñfi(x)jy2:kyk2=1)s
Måi=1kÑfi(x)k22=r
Ã¥i;jDjfi(x)2;dondesehautilizadoladesigualdaddeCauchy-Schwarz.ElcorolarioesahoraunaconsecuenciainmediatadelTeorema4.5.
Usamosenunejemploconcretoelresultadoqueacabamosdeprobar.Ejemplo4.10.Probarqueelcampovectorialf:R2�!R2denidoporf(x;y)=sen(x+y);p
1+x2+y2((x;y)2R2)eslipschitzianaconconstantedeLipschitzmenoroigualquep
3.Paracada(x;y)2R2setienequeJf(x;y)= cos(x+y)cos(x+y)x
p
1+x2+y2y
p
1+x2+y2!;y,enconsecuencia,Ã¥i;jDjfi(x)2=2cos2(x+y)+x2+y2
1+x2+y23:ElenunciadosededucedelCorolario4.9.
1684.TeoremasdelvalormedioydelpuntojodeBanach.AplicandoelTeoremadelpuntojodeBanach(4.12)alafuncióncontractivagenelespaciométricocompleto
B(0;r)(cerradodeuncompleto)obtenemos9!x2
B(0;r)talquex=g(x),esdecirx=y+j(x):Equivalentementey=x�j(x),esdeciry=f(x).Como
B(0;r)D,sesiguequey2f(D).
Nota
:Elanteriorlemanosepuedemejorar,esdecirelradiodelaboladecentro0contenidaenf(D)esóptimo.Enefecto:laaplicaciónj:D!RNdenidaporj(x):=axescontractivaderazónaylafunciónfasociadaestalquef(D)=fx�j(x):x2Dg=f(1�a)x:x2Dg=B(0;1�a):DemostracióndelTeoremadeSchauder:i)Dadoa2U,tomemosr�0talqueB(a;r)U.ProbemosquesiaeslaconstantedeLipschitzdejsetienequeB(f(a);(1�a)r)f(B(a;r)):Consideremoslafunción
j:D!RNdenidapor
j(x):=1
r�j(a+rx)�j(a):Claramente
j(0)=0.Veamosquelaaplicación
jestambiéncontractivaconconstantedeLipschitzmenoroigualquea.Paracualesquierax1;x22Dsetienek
j(x1)�
j(x2)k=1
rkj(a+rx1)�j(a+rx2)ka
rk(a+rx1)�(a+rx2)k=akx1�x2k:AplicandoelLema4.16,si
f:=iD�
j,entonces(4.2.2)B(0;1�a)
f(D):Puestoqueesinmediatocomprobarque
f(x)=1
r�f(a+rx)�f(a);8x2D;sesigueque
f(D)=1
r�f(a+rD)�f(a)=1
r�f(a+B(0;r))�f(a)=1
r�f(B(a;r))�f(a);
Acosta,AparicioyMoreno171estoes,severicaladesigualdad(4.3.2)paran+1.Ahorabien,(4.3.2)nosaseguraquekFn(j)�Fn(y)k¥(M(b�a))n
n!kj�ykÂ¥;8j;y2C[a;b];8n2Nyteniendoencuentaque�C[a;b];kkÂ¥esunespaciodeBanach(véaseEjercicio2.3),quelasucesión(M(b�a))n
n!convergeaceroyelCorolario4.13obtenemosqueexisteunaúnicafunciónF2C[a;b]talqueF(F)=F.Luegoteniendoencuentaladenición(4.3.1)concluimosqueF(t)=Ztaf(s;F(s))ds;8t2[a;b]:AsíF2C1[a;b]ysevericaF(a)=0yF0(t)=f(t;F(t));8t2[a;b];dondesehautilizadoelTeoremafundamentaldelcálculoparalaintegraldeRiemann.
Paramásinformaciónsobreestasecciónsepuedeconsultar[Guz,Capítulo4].
1744.TeoremasdelvalormedioydelpuntojodeBanach.Ademássi0a1estalqued(f(x);f(y))ad(x;y);8x;y2E;entoncesparacadan2Nsevericaladesigualdad:d(an;a)an
1�ad(a1;a0):TeoremadeSchauder.SeanURNabiertoyj:U!RNunafuncióncontractiva.Sif:=iU�j(dondeiUeslaaplicacióninclusióndeUenRN),entoncesseverica:i)f(U)esunabiertodeRN.ii)fesunhomeomorsmo(biyecciónbicontinua)deUsobref(U)(dehechofesbilip-schitziana).iii)SiademásU=RN,entoncesfesunhomeomorsmodeRNsobresímismo.TeoremadePicard-Lindelöf.Seana;b2Rconabyseaf:[a;b]R!Runafuncióncontinua.Supongamosqueademás9M0talquejf(t;x)�f(t;y)jMjx�yj;8t2[a;b];8x;y2R(fesuniformementelipschitzianaensegundavariable).EntoncesexisteunaúnicafunciónF2C1[a;b]talqueF(a)=0yF0(t)=f(t;F(t));8t2[a;b]:
Acosta,AparicioyMoreno1754.6.EjerciciosdelTema44.1SeanARNabiertoconexoyf:A�!RMuncampovectorialconderivadaconstante.ProbarquefeslarestricciónaAdeunafunciónafíndeRNenRM.Indicación:
Considerarelcampovectorialg:A�!RMdenidoporg(x):=f(x)�Df(a)(x)paraconvenientea2A:4.2Probarquelaecuaciónx=arctgx+1tieneunaúnicasoluciónyaproximarlahastalasmilésimas.Indicación:
Considerarlafunciónf(x):=arctgx+1;8x2[1;+¥[:4.3SeaARNunabiertoconvexoyseaf:
A�!
Aunaaplicacióncontinua.SupongamosquefesderivableenAyqueSupnåi;jDifj(x)2:x2Ao1:Probarqueftieneunúnicopuntojoen
A.Indicación:
UtilizarelCorolario4.9.4.4Probarque(0;0)eslaúnicasoluciónenelconjuntoCdelsistemadeecuacionesqueseindica,dondeCeselconjuntodadoporC:=f(x;y)2R2:jxj;jyj1gyelsistemadeecuacionesvienedadoporsenxseny=2xx2+y2=4yIndicación:
AplicarelTeoremadelpuntojodeBanach(4.12)alcampovectorialf:C�!R2dadoporf(x;y)=senxseny
2;x2+y2
4;considerandoenR2lanormaeuclídea.
1764.TeoremasdelvalormedioydelpuntojodeBanach.4.5Seaf:R2�!R2elcampovectorialdenidoporf(x;y)=(1+senx;arctgy):Probarqueexisteunúnicop2R2talquef(p)=2p.Indicación:
VerEjemplo4.13.4.6Seaf:
B(0;1)RN�!RMuncampovectorialcontinuo.Supongamosquef(0)=0yquefesderivableenB(0;1)conkDf(x)kkf(x)k;8x2B(0;1).Probarquef(x)=0;8x2
B(0;1):Indicación:
UtilizarelTeoremadelvalormedioparaprobarquekf(x)kkxkSupfkf(y)k:y2[0;x]g:Utilizarahoralapropiedaddecompacidadparaprobarlaexistenciadey12[0;x]talquekf(x)kkxkkf(y1)k:Iterarelproceso.4.7*Seaf:ARN�!RNuncampovectorialdeclaseC1ena2A.Probarque:i)8e�0;9d�0:B(a;d)AyfesderivableenB(a;d)x;y2B(a;d))kf(x)�f(y)�Df(a)(x�y)kekx�ykii)Siademás,suponemosqueDf(a)esunisomorsmotopológicoenRN,pruébesequeexister�0talqueB(a;r)AyfesunhomeomorsmodeB(a;r)sobresuimagen.4.8*SeanARNabierto,f:A!RMuncampovectorialdeclaseC1yKAuncompacto.Probarque:8e�0;9d�0:fx2RN:dist(x;K)dgAkhkd)kf(x+h)�f(x)�Df(x)(h)kekhk;8x2K(fesuniformemente
derivableenK).Indicación:
ÚseseelaxiomadeHeine-Borelparaconseguirlaprimeracondición.De-spués,elTeoremadeHeine,paraconseguircontinuidaduniformedeladiferencialenuncompactodeAquecontengaaK.Finalmente,bastausarelTeoremadelvalormediocomoenlapartei)delEjercicio4.7.
Acosta,AparicioyMoreno181yenconsecuencia,Ã¥i;jDjfi(x)2=cos2x+1
(1+y2)22:ElCorolario(4.9)nosaseguraquefeslipschitzianaconconstantedeLipschitzmenoroigualquep
2.Asíf
2escontractiva.ElresultadosesiguedelTeoremadelpuntojo.4.6Seax2B(0;1)nf0g.Setienequekf(x)kkxkSupfkDf(y)k:y2]0;x[gkxkSupfkf(y)k:y2]0;x[gkxkSupfkf(y)k:y2[0;x]g;dondesehautilizadoelTeoremadelvalormedioyladesigualdaddelahipótesis.Lapropiedaddecompacidadnosaseguralaexistenciadey12[0;x]talquekf(x)kkxkkf(y1)k:Repitiendoelproceso,existey22[0;y1][0;x]talquekf(y1)kky1kkf(y2)k,yenconsecuenciakf(x)kkxk2kf(y2)k:Sepruebaahoraporinducciónqueparacadannaturalsetienekf(x)kkxknkf(yn)kparaconvenienteyn2[0;x];yportantoparacadanaturalnsetienequekf(x)kkxknSupfkf(y)k:y2[0;x]g=kxknmaxfkf(y)k:y2[0;x]g;dondesehavueltoautilizarlapropiedaddecompacidad.Comokxk1,sesiguequefkxkng!0yportantof(x)=0.LaarbitrariedaddexnosaseguraquefseanulaenB(0;1).Porúltimolacontinuidaddefnosaseguraquedichafunciónseanulatambiénen
B(0;1).4.7*i)Seae�0jo.Tomemosd�0talquesikx�akd,entoncesa2AfesderivableenxykDf(x)�Df(a)ke:Lafuncióng:B(a;d)!RNdenidaporg(z):=f(z)�Df(a)(z)esderivableconderivadaDg(z)=Df(z)�Df(a);8z2B(a;d).Paracadax;y2B(a;d),elTeoremadelvalormedio(4.5)aplicadoalafuncióngenelsegmento[x;y],nosaseguraquekf(x)�f(y)�Df(a)(x�y)k=kg(x)�g(y)kkx�ykSupfkDg(z)k:z2]x;y[g
1824.TeoremasdelvalormedioydelpuntojodeBanach.=kx�ykSupfkDf(z)�Df(a)k:z2]x;y[gekx�yk:ii)Seae�0.Tomemosd�0comoeni).Seanx;y2B(a;d),setienequekDf(a)(x�y)k�kf(x)�f(y)kkDf(a)(x�y)�f(x)�f(y)kekx�yk;dondesehanusadolapropiedadtriangularyelapartadoi).AsíkDf(a)(x�y)k�ekx�ykkf(x)�f(y)k;peroalserDf(a)unisomorsmo,setienetambiénquekx�ykkDf(a)�1kkDf(a)(x�y)kyportanto1
kDf(a)�1k�ekx�ykkf(x)�f(y)k:Seaahorae2R+cone1
kDf(a)�1k.Sinotamosrasucorrespondiented,setieneque1
kDf(a)�1k�ekx�ykkf(x)�f(y)k;8x;y2B(a;r);expresiónquenosdalainyectividaddefylacontinuidaddesuinversa.Esteejerciciohacebuenalaexpresión“fheredalocalmentelaspropiedadesdeDf(a)”.ConvieneresaltarqueesteejercicionoeselTeoremadelafuncióninversaquenosase-guraráademásquefeslocalmenteunafunciónabierta
(lademostracióndedichoteo-remarequieretambiénelusodeotraherramientafundamental,elTeoremadeSchauder(4.15)).4.8*Consideramoslafuncióng:K�!Rdadaporg(x)=dist(x;RNnA)(x2K):ComoAesunaabiertoquecontieneaK,entoncesRNnAesuncerradoenRNcuyaintersecciónconKesvacía.Portanto,dist(x;RNnA)�0paratodox2K.Comolafuncióndistanciaaunconjuntoescontinua,entoncesporlapropiedaddecompacidad,galcanzaelmínimoenK.Sir:=ming(K),entoncessetienequex2RN;dist(x;K)r)x=2RNnA)x2A:Seae&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0jo.Paraconseguirlaotracondición,aplicamoselTeoremadeHeinealadiferencialdefyalcompactoK0:=y2RN:dist(y;K)r
2 ;conjuntoquecontieneaK.Dadounpositivoe,porlacontinuidaduniformedeDfenK0existeunpositivodrqueverica
Acosta,AparicioyMoreno183(4.7.1)x;y2K0;kx�ykd)kDf(x)�Df(y)ke:Ahorabien,porlaeleccióndedr
2esinmediatoquesevericay2RN;dist(y;K)d)y2A:Además,six2K,setienequeunelementodelaformax+hconkhkdvericaquex+h2K0,portantoenvistade4.7.1tenemos(4.7.2)kDf(x)�Df(y)ke:LadesigualdaddelenunciadoesconsecuenciadelTeoremadelvalormedio.Consid-eremoslafuncióng:B(a;da)!RMdadaporg(z)=f(z)�Df(a)(z).Dadosx;y2B(a;da)conx6=y,setienekf(y)�f(x)�Df(a)(x�y)k=kg(y)�g(x)kky�xkSupfkDg(z)k:z2]x;y[g=ky�xkSupfkDf(z)�Df(a)k:z2]x;y[geky�xk;dondesehavueltoautilizarladesigualdadde(4.7.2).4.9*AunquelaexistenciayunicidaddelpuntojodefsepuedededucirdelCorolario(4.13),haremosunademostraciónindependienteconelndequeelejerciciogenera-liceelTeoremadelpuntojo(tómesean=an;8n2N).Unicidad:
Supongamosquea;b2Esontalesquef(a)=ayf(b)=b,setieneparacadannaturalqued(a;b)=d(fn(a);fn(b))and(a;b)dedondesededuce,porconvergeracerolasucesiónfang,quea=b.Existencia:
Lasucesiónfxng=ffn(x0)gesdeCauchy.Enefectoparan;h2N,setiened(xn+h;xn)d(xn+h;xn+h�1)++d(xn+1;xn)=d�fn+h�1(x1);fn+h�1(x0)++d�fn(x1);fn(x0)an+h�1d(x1;x0)++and(x1;x0)d(x1;x0)¥åk=nak:ComolaserieÃ¥n1anesconvergente,lasucesiónå¥k=nakconvergeaceroysepuedeconcluirquefxngesunasucesióndeCauchy,yportantoconvergente.Seaa:=limxn,setieneentoncesqued(f(a);a)d(f(a);xn+1)+d(xn+1;a)=d(f(a);f(xn))+d(xn+1;a)a1d(a;xn)+d(xn+1;a)!0;dedondesededucequef(a)=a.
1865.DerivadasegundaDenicióndederivada�!FórmulainnitesimaldelrestoTeoremadelvalormedio�!FórmuladeTaylor:Comoladerivadasegundaesunoperadorlinealconvaloresenelespaciodelasaplica-cioneslineales,empezaremosidenticandoesteespaciodeoperadoresconlasaplicacionesbilineales.Bajoestaidenticación,probaremosqueladiferencialsegundaessimétrica,resultadoqueseconocecomeTeoremadeSchwarz(Teorema5.6).5.1.Aplicacionesbilineales.ParacadaT2L(RN;L(RM;RP)),sidenimosF(x;y)=T(x)(y)(x2RN;y2RM)()esfácilcomprobarqueF:RNRM�!RPesunaaplicaciónbilineal,estoes,Feslinealencadavariable.Recíprocamente,siF:RNRM�!RPesunaaplicaciónbilineal,laigualdad()deneunaaplicaciónlinealT:RN�!L(RM;RP).ComoelespacioL(RN;L(RM;RP))esunespacionormadosiseconsideralanormadeoperadores,ylaanterioridenticaciónen-treoperadoresyformasbilinealeseslineal,entonceslanormadelespaciodeoperadoresinduceotraenelespacioL2(RNRM;RP)delasaplicacionesbilinealesdeRNRMenRP.ParaT2L(RN;L(RM;RP))setieneentonceskTk=maxkT(x)k:x2RN;kxk=1 ==maxkT(x)(y)k:x2RN;y2RM;kxk=1;kyk=1 ;escribiendolaigualdadanteriorentérminosdeF,laaplicaciónbilinealasociadaaT,setienequekFk=maxkF(x;y)k:x2RN;y2RM;kxk=1;kyk=1 :SiN=M,notaremossimplementeporL2(RN;RP)alconjuntodelasaplicacionesbilin-ealesdeRNRNenRP.CuandoP=1yN=M,lasaplicacionesbilinealesdeRNRNenRseidenticanconlasmatricescuadradasdeordenNdenúmerosreales.SiA2MNN(R),laformabilinealasociadaFAvienedadaporFA(x;y)=TA(x)(y)=�xAtjy=xAtyt(x;y2RN);dondeestamosusandolasidenticacionesL2(RN;R)L(RN;L(RN;R))L(RN;RN)MNN:SisuponemosqueA=�aij),comoFA(ei;ej)=�eiAtjej=�(ani)jej=aji;
Acosta,AparicioyMoreno187entonces,esclaroquelaformabilinealFAessimétricasi,ysólosi,lamatrizAloes,encuyocasoFA(x;y)=xAyt:Proposición5.1.i)Laaplicaciónkk:L2(RNRM;RP)�!RdadaporkFk=maxkF(x;y)k:x2RN;y2RM;kxk=1;kyk=1 esunanormaenL2(RNRM;RP).ii)SevericakFk=maxkF(x;y)k:x2RN;y2RM;kxk1;kyk1 ==minK0:kF(x;y)kKkxkkyk;8x2RN;8y2RM iii)Fescontinua.Demostración:i)yii)BastausarquelaidenticacióndeL2(RNRM;RP)enL(RN;L(RM;RP))esunaisometríayquelasigualdadesanálogassevericanenL(RN;L(RM;RP)).iii)ComoconsecuenciadelaigualdadF(x;y)�F(a;b)=F(x�a;y�b)+F(x�a;b)+F(a;y�b);yenvistadeii)setienekF(x;y)�F(a;b)kkFkkx�akky�bk+kx�akkbk+kakky�bk;dedondesededucelacontinuidaddeF.
5.2.Derivadasegunda.RecordemosquesiARyf:A�!Resderivable,sedicequefesdosvecesderiv-ablesilafunciónf0:A�!Resderivable.Paracamposvectoriales,sepuedetrasladarlamismadeniciónsinmásquetenerencuentaquelaaplicaciónderivadatomavaloresenL(RN;RM),estoes,enelespaciovectorialdelasmatricesdeordenMNqueseidenticaconRMN,enelque,envirtuddelTeoremadeHausdorff,todaslasnormassonequivalentes.UsualmenteenL(RN;RM)consideraremoslanormadeoperadores.
Acosta,AparicioyMoreno189Demostración:Enefecto,sabemosquelaaplicaciónE:L(R;RM)�!RMdenidaporE(T)=T(1);8T2L(R;RM)esunisomorsmodeL(R;RM)sobreRMylarelaciónentref0yDfvienedeterminadaporesteisomorsmo.Portanto,lacomposiciónUDf�!L(R;RM)E�!RMnoesmásquef0.Comolasegundafunciónesderivableporserlinealysuinversatambién,entonces,graciasalaregladelacadena,Dfesderivableenasi,ysólosi,fadmitesegundaderivadaena.Además,siestoocurre,usandolaregladelacadena,yteniendoencuentaque,porserElinealDE(T)=E;8T2L(R;RM),obtenemosf00(a)=D(f0)(a)(1)=D(EDf)(a)(1)==DE(Df(a))D(Df)(a)(1)==ED(Df)(a)(1)=D(Df)(a)(1)(1)=D2f(a)(1;1):Comolaaplicación(s;t)7!D2f(a)(s;t)esbilineal,entoncesD2f(a)(s;t)=stD2f(a)(1;1)=stf00(a)(s;t2R):
Ejemplos5.4(Funcionesdosvecesderivables).1.Todafunciónconstantef:RN�!RMesdeclaseC2conD2f(a)=0;8a2RN:2.TodaaplicaciónlinealT:RN�!RMesdeclaseC2conD2T(a)=0;8a2RN:3.TodaaplicaciónbilinealT:RNRM�!RPesdeclaseC2conderivadasegundaen(a;b)2RNRMdenidaporD2T(a;b)(x1;y1);(x2;y2)=T(x1;y2)+T(x2;y1);8(x1;y1);(x2;y2)2RNRM:Enefecto,comoDT(a;b)(x;y)=T(a;y)+T(x;b);8(a;b);(x;y)2RNRM;
1905.DerivadasegundaDTesunaaplicaciónlinealdeRNRMenL(RNRM;RP),luegoDTesdeclaseC1,esdecir,TesdeclaseC2.CalculemosahoraladerivadasegundadeTen(a;b)2RNRM.SetieneD2T(a;b)�(x1;y1);(x2;y2)=hD(DT)(a;b)(x1;y1)i�x2;y2=�DT(x1;y1)(x2;y2)=T(x1;y2)+T(x2;y1);8(x1;y1);(x2;y2)2RNRM:NóteselasimetríadeD2T(a;b).4.Envistadelosejemplos2y3,laaplicaciónsumas:RNRN�!RNdadapors(a;b)=a+b;8a;b2RNylaaplicaciónproductoporescalaresp:RRN�!RNdadaporp(a;a)=aa;8a2R;a2RNsondeclaseC2conD2s(a;b)=0;8a;b2RNyD2p(a;a)(l1;x1);(l2;x2)=l1x2+l2x1;8a;l1;l22R;a;x1;x22RN:5.LaaplicacióninversiónJ:Iso(RN)�!L(RN)dadaporJ(T)=T�1;8T2Iso(RN)esdeclaseC2conderivadasegundaenT2Iso(RN)denidaporD2J(T)(R;S)=T�1ST�1RT�1+T�1RT�1ST�1;R;S2L(RN):Enefecto,sabemosqueJesderivableconderivadaDJ=F(J;J)deIso(RN)enL(L(RN)),dondeFeslaaplicaciónbilinealdeL(RN)L(RN)enL(L(RN))denidaporF(F;G)(S)=�FSG;8F;G;S2L(RN):LasreglasdederivaciónylosejemplosdefuncionesderivablesgarantizanqueDJesdeclaseC1,yenconsecuenciaJesdeclaseC2,conderivadasegundadadaporD2J(T)(R;S)=D(DJ)(T)(R)(S)=D(F(J;J))(T)(R)(S)=hDF(T�1;T�1)D(J;J)(T)i(R)(S)=DF(T�1;T�1)(DJ(T)(R);DJ(T)(R))(S)=DF(T�1;T�1)(�T�1RT�1;�T�1RT�1)(S)=F(T�1;�T�1RT�1)+F(�T�1RT�1;T�1)(S)=�T�1S(�T�1RT�1)�(�T�1RT�1)ST�1==T�1ST�1RT�1+T�1RT�1ST�1;8R;S2L(RN):
Acosta,AparicioyMoreno1915.3.Reglasdederivación.i)Linealidad.SeanARN,a2Ayf;g:A�!RMfuncionesdosvecesderivablesenayseal2R.Entoncesf+gylfsondosvecesderivablesenaconD2(f+g)(a)=D2f(a)+D2g(a);D2(lf)(a)=lD2f(a):Además,sif;g2C2(a),entoncesf+g2C2(a)ylf2C2(a).Demostración:Lacomprobacióndeestareglaesrutinaria.ii)Regladelacadena.SeanARN;BRM;f:A�!RMtalquef(A)Byg:B�!RP.Supongamosquefesdosvecesderivableena2Ayquegesdosvecesderivableenf(a).Entonceslacomposiciónh=gfesdosvecesderivableenaconD2h(a)(x1;x2)==D2g(f(a))Df(a)(x1);Df(a)(x2)+Dg(f(a))D2f(a)(x1;x2)paracualesquierax1;x22RN.Ademássif2C2(a)yg2C2(f(a)),entoncesh2C2(a).Demostración:Teniendoencuentalashipótesis,podemostomarUyVentornosdeayf(a),respecti-vamente,talesquefesderivableenU,gesderivableenV,yf(U)V.LaregladelacadenaparaladerivadaprimeragarantizaquelafunciónhesderivableenU,yademásqueDh(x)=Dg(f(x))Df(x);8x2U:PortantoDh=YF;dondeFeslaaplicacióndeUenL(RM;RP)L(RN;RM)dadaporF(x)=(Dgf)(x);Df(x);8x2U;yYeslaaplicacióndeL(RM;RP)L(RN;RM)enL(RN;RP)denidaporY(R;S)=RS:Comogesdosvecesderivable(resp.declaseC2)enf(a)podemosasegurarqueDgesderivable(resp.declaseC1)enf(a).Enconsecuencia,laregladelacadenaparaladerivadaprimeranosdicequeDgfesderivable(resp.declaseC1)ena,luegolafuncióncomponenteprimeradeFesderivable(resp.declaseC1)ena.Comofesdosvecesderivable(resp.declaseC2)ena,lafuncióncomponentesegundadeF,esto
1945.Derivadasegundavi)Reducciónacamposescalares.SeanARNyf:A�!RMuncampovectorial.Sif=(f1;:::;fM),entoncesfesdosvecesderivableena2Asi,ysólosi,cadafkesdosvecesderivableenaparak=1;:::;M,encuyocasoD2f(a)(x1;x2)=D2f1(a)(x1;x2);:::;D2fM(a)(x1;x2)Ademásf2C2(a)si,ysólosi,fk2C2(a)parak=1;:::;M.Demostración:Parak=1;:::;M,notaremosporpkalaproyecciónk-ésimadeRMyporIkalainyec-ciónk-ésimadeRenRM.Comof1=p1f;:::;fM=pMfyf=I1f1+:::+IMfM;lalinealidaddeladerivadasegundaylaregladelacadenaaseguranquefesdosvecesderivableenasi,ysólosilasfuncionescomponentesloson.Elmismoargumentoesválidoencasodequef2C2.Además,elanteriorapartadoaseguraqueD2fk(a)=pkD2f(a);k=1;:::;MyD2f(a)=I1D2f1(a)+:::+IMD2fM(a);esdecir,D2f(a)(x1;x2)=D2f1(a)(x1;x2);:::;D2fM(a)(x1;x2);8x1;x22RN:
5.4.TeoremadeSchwarz.Teorema5.6(Schwarz).SeanARNyf:A!RMuncampovectorial.Supongamosquefesdosvecesderivableenunpuntoa2A.EntonceslaaplicaciónbilinealD2f(a)essimétrica,estoes,D2f(a)(x1;x2)=D2f(a)(x2;x1);8x1;x22RN:Demostración:Dadoe�0,elegimosd�0talquesix2B(a;2d)entoncesseverica(5.4.1)x2A;fesderivableenxykDf(x)�Df(a)�D(Df)(a)(x�a)ke
2kx�akSeanh;k2RNcon0khk;kkkdjos.Consideremoslafunciónj:B(0;d)RN�!RMdenidaporj(x)=f(a+h+x)�f(a+x)�D(Df)(a)(h)(x);(x2B(0;d)):
Acosta,AparicioyMoreno197Seaahorax2RNcon0kx�akd.Setieneque[a;x]B(a;d)ylafuncióngescontinuaen[a;x]yderivableen]a;x[.AplicandoelTeoremadelvalormedioalcampovectorialgenelsegmento[a;x]obtenemosquekg(x)�g(a)kkx�aksupnkDf(z)�Df(a)�D(Df)(a)(z�a)k:z2]a;x[okx�aksupnekz�ak:z2]a;x[o=ekx�ak2;dondesehautilizado5.5.1.Porotraparte,porserkg(x)�g(a)k= f(x)��f(a)+df(a)(x�a)+1
2d2f(a)(x�a) ;hemosconcluidolademostración.
Teorema5.9(FórmuladeTaylorconrestodeLagrangeparacamposesc.).SeanARNya;x2Acona6=x,talesqueelsegmento[a;x]estáincluidoenA.Sif:A�!ResunafuncióndeclaseC1en[a;x]ydosvecesderivableen]a;x[,entoncesexistec2]a;x[talquef(x)=f(a)+df(a)(x�a)+1
2d2f(c)(x�a):Demostración:LademostracióndeesteresultadoconsisteenaplicarlaFórmuladeTaylorclásicaalafunciónauxiliars:[0;1]�!Rdenidapors(t)=f(a+t(x�a)):LaregladelacadenaaseguraquesesdeclaseC1en[0;1]ydosvecesderivableen]0;1[cons0(t)=df(a+t(x�a))(x�a);8t2[0;1]:UsandolaNota5.5,obtenemoss00(t)=d2fa+t(x�a)(x�a);8t2[0;1]:Así,lafunciónscumplelashipótesisdelaFórmuladeTaylory,portanto,existet02]0;1[talques(1)=s(0)+s0(0)+1
2s00(t0);esdecir,f(x)=f(a)+df(a)(x�a)+1
2d2f(a+t0(x�a))(x�a):
Teorema5.10(FórmuladeTaylor).SeanARNya;x2Acona6=x,talesqueelsegmento[a;x]estáincluidoenA.Sif:A�!RMesuncampovectorialdeclaseC1en[a;x]ydosvecesderivableen]a;x[,entonceskf(x)�f(a)�df(a)(x�a)k1
2kx�ak2supnkD2f(z)k:z2]a;x[o:
1985.DerivadasegundaDemostración:SielconjuntonkD2f(z)k:z2]a;x[onoestámayorado,nohaynadaqueprobar.Enotrocaso,seaK:=supnkD2f(z)k:z2]a;x[o:LapruebadeesteteoremaconsisteenaplicarlaProposición4.6alasfuncioness:[0;1]�!RMyg:[0;1]�!Rdenidaspors(t)=fa+t(x�a)+(1�t)Dfa+t(x�a)(x�a)yg(t)=�1
2Kkx�ak2(1�t)2:sygsoncontinuasen[0;1]yderivablesen]0;1[cons0(t)=Dfa+t(x�a)(x�a)�Dfa+t(x�a)(x�a)++(1�t)D2fa+t(x�a)(x�a;x�a)==(1�t)D2fa+t(x�a)(x�a;x�a)yg0(t)=Kkx�ak2(1�t):Enconsecuencia, s0(t) g0(t);8t2]0;1[:Portanto,ks(1)�s(0)kg(1)�g(0);esdecir,kf(x)�f(a)�df(a)(x�a)k1
2kx�ak2K:
Envistadelasreglasdederivación(Sección5.4,apartadovi)),paraconocerladerivadasegundadeuncampovectorial,essucienteconocerlasderivadassegundasdeloscamposescalarescomponentes.Porestarazónnoslimitamosalestudiodeladerivadasegundadecamposescalares.
2005.DerivadasegundaDemostración:i))ii)SeaUunentornoabiertodeaincluidoenAtalquefesderivableenU.Paracadaj2f1;:::;ngexisteDjfenUyDjf(x)=Df(x)(ej);8x2U;yenconsecuencia,Djf=EjDfdondeEjeselfuncionaldeevaluaciónenej,estoes,laaplicaciónlinealdeL(RN;R)enRdenidaporEj(T)=T(ej):LaregladelacadenagarantizaahoraqueDjfesderivableena,yenelcasodequef2C2(a)setienequeDjf2C1(a).Ademáslasderivadasparcialessegundasdefenasepuedencalculardelasiguientemanera:D(i;j)f(a)=Di(Djf)(a)=Di(EjDf)(a)=DEjDf(a)(ei)=EjD(Df)(a)(ei)=EjD(Df)(a)(ei)==D(Df)(a)(ei)(ej)=D2f(a)(ei;ej);paracualquieri2f1;::;Ng.ElTeoremadeSchwarzgarantizaqueD2f(a)essimétrica,portantoHf(a)también.ii))i)SeaUunentornoabiertodeaincluidoenAtalquefesderivableenU.SetienequeDf(x)(y)=Ñf(x)jy;8x2U;8y2RN:SinotamosporfalaidenticaciónusualdeRNconL(RN;R)dadaporf(x)(y)=(xjy);8x;y2RN;entoncesDf=fÑf.ComoÑfesderivableenayfeslineal,laregladelacadenaaseguraqueDfesderivableena,estoes,fesdosvecesderivableena,yenelcasodequeÑf2C1(a)setienequeDf2C1(a),estoes,f2C2(a).
ElresultadoanteriorjuntoconelteoremadecaracterizacióndeloscamposescalaresdeclaseC1(Teorema3.21)pruebanelsiguienteresultado:Corolario5.13.SeanARNunabiertoyfuncampoescalarenA.Lassiguientesarma-cionessonequivalentes:i)fesdosvecesderivableenA.
Acosta,AparicioyMoreno201ii)ÑfesderivableenA.Además,f2C2(A),Hf2C(A):ApesardequeelTeoremaanteriorarmaquesifesdosvecesderivableena,lasderivadasparcialescruzadascoinciden,hayejemplossencillosdecamposescalaresdondeestonoocurre.Incluimosunodeellos:Ejemplo5.14.ConsideremoselcampoescalarenR2dadoporf(x;y)=xy(x2�y2)
x2+y2si(x;y)6=(0;0);f(0;0)=0:SetienequeD1f(0;0)=0D1f(x;y)=x4y+4x2y3�y5
(x2+y2)2si(x;y)6=(0;0)portanto,D(2;1)f(0;0)=limy!0D1f(0;y)�D1f(0;0)
y=limy!0�y5
y5=�1D2f(0;0)=0;D2f(x;y)=x5�4x3y2�xy4
(x2+y2)2si(x;y)6=(0;0);dedondeD(1;2)f(0;0)=limx!0D2f(x;0)�D2f(0;0)
x=limx!0x5
x5=1:
Laregladelacadenaparalasderivadasparcialessegundassededuceapartirdelafórmulaobtenidaenlaregladelacadenaparaladiferencialsegunda,sibienconvienecodicarqueseobtienesimplementederivandoparcialmenteenlaexpresiónobtenidaparalasderivadasparcialesprimeras.Ejemplo5.15(Laplacianoenpolares).Seaz=z(x;y)uncampoescalarenR2dosvecesderivable.Sicambiamosacoordenadaspolares,estoes,hacemosx=rcosJ;y=rsenJynotamosw(r;J)=z(rcosJ;rsenJ);entoncesderivandoparcialmenteenlasexpresiones¶w
¶r(r;J)=¶z
¶x(rcosJ;rsenJ)cosJ+¶z
¶y(rcosJ;rsenJ)senJ
2025.Derivadasegunda¶w
¶J(r;J)=¶z
¶x(rcosJ;rsenJ)(�rsenJ)+¶z
¶y(rcosJ;rsenJ)rcosJobtenemos¶2w
¶r2=¶
¶r¶w
¶r=¶
¶r¶z
¶xcosJ+¶z
¶ysenJ=¶
¶r¶z
¶xcosJ+¶z
¶x¶
¶r(cosJ)+¶
¶r¶z
¶ysenJ+¶z
¶y¶
¶r(senJ)=¶2z
¶x2cosJ+¶2z
¶y¶xsenJcosJ+0+¶2z
¶x¶ycosJ+¶2z
¶y2senJsenJ+0=¶2z
¶x2cos2J+¶2z
¶y2sen2J+2senJcosJ¶2z
¶y¶x;¶2w
¶J¶r=¶
¶J¶w
¶r=¶
¶J¶z
¶xcosJ+¶z
¶ysenJ=¶
¶J¶z
¶xcosJ+¶z
¶x¶
¶J(cosJ)+¶
¶J¶z
¶ysenJ+¶z
¶y¶
¶J(senJ)=¶2z
¶x2(�rsenJ)+¶2z
¶y¶x(rcosJ)cosJ+¶z
¶x(�senJ)+¶2z
¶x¶y(�rsenJ)+¶2z
¶y2(rcosJ)senJ+¶z
¶ycosJy¶2w
¶J2=¶
¶J¶w
¶J==¶
¶J¶z
¶x(�rsenJ)+¶z
¶y(rcosJ)=¶
¶J¶z
¶x(�rsenJ)+¶z
¶x¶
¶J(�rsenJ)+¶
¶J¶z
¶y(rcosJ)+¶z
¶y¶
¶J(rcosJ)=¶2z
¶x2(�rsenJ)+¶2z
¶y¶x(rcosJ)(�rsenJ)+¶z
¶x(�rcosJ)+¶2z
¶x¶y(�rsenJ)+¶2z
¶y2(rcosJ)(rcosJ)+¶z
¶y(�rsenJ)=�r¶z
¶xcosJ+¶z
¶ysenJ+r2¶2z
¶x2sen2J+¶2z
¶y2cos2J�2¶2z
¶y¶xsenJcosJ:Enconsecuencia,ellaplacianodez,denidoporDz=D(1;1)z+D(2;2)z
Acosta,AparicioyMoreno203seexpresaencoordenadaspolaresdelasiguientemaneraDz(rcosJ;rsenJ)=¶2w
¶r2(r;J)+1
r2¶2w
¶J2(r;J)+1
r¶w
¶r(r;J):
5.7.Referenciasrecomendadas.[MaHo].
2045.Derivadasegunda5.8.ResumendelresultadosdelTema5Aplicacionesbilineales.SevericaqueL(RN;L(R;RP))L2(RNRM;RP))(conjuntodeaplicacionesbi-linealesdeRNRMenRP).LaidenticaciónvienedadaporT7!F;dondeF(x;y)=T(x)(y)(x2RN;y2RM):LaexpresióndelanormainducidaporestaidenticaciónenelespaciodelasaplicacionesbilinealeseskFk=maxkF(x;y)k:x2RN;y2RM;kxk=1;kyk=1 ==maxkF(x;y)k:x2RN;y2RM;kxk1;kyk1 :CuandoP=1yN=M,lasaplicacionesbilinealesdeRNRNenRseidenticanconMNN(R);siA2MNN(R),laformabilinealasociadaFAvienedadaporFA(x;y)=�xAtjy=xAtyt(x;y2RN):AdemásFAessimétricasi,ysólosi,Aessimétrica,encuyocasoFA(x;y)=xAyt:Camposvectoriales2vecesderivables.SeanARN;f:A�!RMyseaA1Aelconjuntodepuntosdondefesderivable.Sedicequefesdosvecesderivableena2A1silafunciónDf:A1�!L(RN;RM)esderivableena,encuyocasolaaplicaciónD(Df)(a)2L(RN;L(RN;RM))L2(RNRN;RM)sedenominaladerivadasegundadefenaysenotaD2f(a).SiARyf:A�!RMesuncampovectorial2vecesderivableenunpuntoa2A,entoncesD2f(a)(1;1)=f00(a);Propiedadesdeladerivadasegundaydelasfunciones2vecesderivables.i)Linealidad.SeanARN,a2Ayf;g:A�!RMfunciones2vecesderivablesenayseal2R.Entoncesf+gylfson2vecesderivablesenaconD2(f+g)(a)=D2f(a)+D2g(a);D2(lf)(a)=lD2f(a):Además,sif;g2C2(a),entoncesf+g2C2(a)ylf2C2(a).
2105.Derivadasegunda5.6SeaTunaisometríalinealde�RN;kk2ensímismoyfuncampoescalardeclaseC2enunabiertoWdeRN.Justicarque:D(fT)(x)=Df�T(x);8x2T�1(W)dondeDf(x):=åNi=1¶2f
¶x2i(x):Indicación:a)PruébesequeTconservaelproductoescalar;paraellobastadesarrollarkx+yk22conelndeexpresarelproductoescalarenfuncióndelanormaeuclídea.b)Calcularlasderivadasparcialesqueaparecenenledenicióndeloperadorlaplaciano(D)(regladelacadenaparalasderivadasparcialessegundas).Traducira)entérminosdelamatrizasociadaaTparaobtenerelenunciado.5.7Obtenerlasfuncionesf:R+�!RdeclaseC2talesque:D�fkk2(x)=0;8x2RNnf0g:Indicación:Calcularlasderivadasparcialesdesegundoordenqueintervienenenellaplacianoyresolverlaecuacióndiferencialenlaquesetraducelahipótesis.
2145.DerivadasegundaOtraformadeobtenerlacondiciónsobreladiferencialsegunda:LlamamosgDf,conloque,porserfdosvecesderivableenRNnf0gtenemosg:RNnf0g�!L(RN;R);Dg:RNnf0g�!L(RN;L(RN;R))L2(RN;R);ysetieneparaa2RNnf0gDg(a)(x)=limt!0g(a+tx)�g(a)
tycomolaevaluaciónenunpuntoesunafuncióncontinuaenelespaciodeoperadores,tenemosDg(a)(x;x)=limt!0g(a+tx)(x)�g(a)(x)
t;portanto,(5.10.2)Dg(x)(x;x)=limt!0g(x+tx)(x)�g(x)(x)
t:Encadapunto,geslineal,porserladiferencialdef,luegousandoelTeoremadeEuler,obtenemoslacadenadeigualdadesg(x+tx)(x)�g(x)(x)
t=g(x+tx)((1+t)x)
1+t�g(x)(x)
t==pf((1+t)x)
1+t�pf(x)
t=pf(x)(1+t)p�1�1
t;tomandolímiteencero,yusandolaigualdad5.10.2concluimosqueDg(x)(x;x)=p(p�1)f(x):5.3Paracalcularlasderivadassucesivasenlospuntosencuestiónsepuedederivarysusti-tuiróutilizarladenicióndederivadaparcial.Derivandoconrespectoaambasvari-ablesseobtieneD1f(x;y)=(2x+3y)cos(x2+3xy);D2f(x;y)=3xcos(x2+3xy);portantoD(1;1)f(x;y)=2cos(x2+3xy)�(2x+3y)2sen(x2+3xy);D(1;2)f(x;y)=3cos(x2+3xy)�(3x)(2x+3y)sen(x2+3xy);D(2;2)f(x;y)=�9x2sen(x2+3xy):Evaluandoen(0;0)setieneHf(0;0)=2330;
Acosta,AparicioyMoreno217ComoDgesderivable,usandoqueelsegundosumandoesconstanteyelúltimoesafín,tenemosD2g(x)=D2f(x)�B=0:EnvistadequeAesabiertoyconexo,elCorolario4.8nosaseguraqueDgesconstantey,porserDg(a)=0,sabemosqueDgesidénticamentecero.AplicandodenuevoelCorolario4.8obtenemosquegesconstanteybastaevaluarenaparaterminarelproblema.Obtenemosentoncesquesevericaelenunciadoparab=f(a)�Df(a)(a)+1
2D2f(a)(a;a);T(x)=Df(a)(x)�D2f(a)(a;x);S(x;x)=1
2D2f(a)(x;x);seobtieneelenunciado.5.6Comoparacualesquierax;y2RNsetienequekx+yk22=�x+yjx+y=kxk22+kyk22+2�xjy;siTesunoperadorlinealqueconservalanorma,tambiénconservaelproductoescalar,esdecir,�T(x)jT(y)=�xjy;8x;y2RN:()SiescribimosT=(T1;:::;TN),yj=Tj(x),laregladelacadenaparalasderivadasparcialesnosdaparai=1;:::;N¶(fT)
¶xi(x)=Nåj=1¶f
¶yj(T(x))¶Tj
¶xi(x):Sife1;:::;eNgeslabasecanónicadeRN,setieneque¶Tj
¶xi(x)=DiTj(x)=DTj(x)(ei)=Tj(ei);dondesehautilizadoqueTjeslineal.Derivandootravezsetiene¶2(fT)
¶x2i(x)=Nåj=1Nåk=1¶2f
¶yk¶yj(T(x))¶Tk
¶xi(x)Tj(ei)esdecir,¶2(fT)
¶x2i(x)=Nåj=1Nåk=1¶2f
¶yk¶yj(T(x))Tk(ei)Tj(ei);yportanto,Nåi=1¶2(fT)
¶x2i(x)=Nåi=1Nåj=1Nåk=1¶2f
¶yk¶yj(T(x))Tk(ei)Tj(ei)=
Tema6Derivadassucesivas.Sabemosqueladerivadadeunafunciónesunaaplicaciónlineal,laderivadasegundaesbilinealyocurrequeladerivadak-ésimaesunaaplicaciónk-lineal.Antesdenada,pre-sentaremoslanotaciónqueusaremosparaestasaplicaciones.Denición6.1.Sikesunnatural,notaremosporLk(RN;RM)Lk(RNk:::RN;RM)alconjuntodelasaplicacionesdeRNk:::RNenRMquesonk-lineales,estoes,linealesencadavariable.EsteconjuntoesunespaciovectorialdeniendolasoperacionesdeformapuntualyesfácilprobarquesepuedeidenticarLm+n(RN;RM)Lm(RN;Ln(RN;RM))delasiguienteformanaturalT�x1;:::;xm+n=T�x1;:::;xm�xm+1;:::;xm+n8x1;:::;xm+n2RN:Enparticular,sik�1,setieneLk(RN;RM)L(RN;Lk�1(RN;RM)):ElespacioLk(RN;RM)sepuedenormarsidenimoskTk=maxfkT(x1;xk;:::;xk)k:xi2RN;kxik=1;1ikg(T2Lk(RN;RM)):LanormavericapropiedadesanálogasalasqueaparecenenlaProposición5.1.221
2226.DerivadassucesivasDenición6.2(Funciónkvecesderivable).SeaARNyf:A�!RMunafunciónykunnaturalmayorque1.SeaAk�1Aelconjuntodepuntosdondefesk�1vecesderivableyseaDk�1f:Ak�1�!Lk�1(RN;RM)laaplicaciónderivada(k�1)-ésimadef.Sedicequefeskvecesderivable
ena2Ak�1silafunciónDk�1fesderivableendichopunto,encuyocasoalaaplicaciónD(Dk�1f)(a)2L(RN;Lk�1(RN;RM))Lk(RN;RM)sellamaderivadak-ésima
defenaysenotaDkf(a).ADkf(a)seleasocialaaplicacióndkf(a):RN�!RMdenidapor:dkf(a)(x):=Dkf(a)(x;k:::;x);8x2RN:SedicequefeskvecesderivableenunsubconjuntoBAsieskvecesderivableencadapuntodeB.SeaAkAelconjuntodepuntosdeAdondefeskvecesderivable.Laaplicaciónx�!Dkf(x)deAkenLk(RN;RM)sedenominalaaplicaciónderivadak-ésima
defysenotaDkf.SedicequefesdeclaseCk
ena,ysenotaf2Ck(a),sieskvecesderivableenunentornodeaylafunciónDkfescontinuaena.SedicequefesdeclaseCkenunsubconjuntoBAsiesdeclaseCkencadapuntodeB.Sedicequefeskvecesderivable(resp.Ck)cuandoloseaentodoslospuntosdesuconjuntodedenición(quenecesariamenteseráabierto).NotamosporCk(A)alconjuntodelasfuncionesdeclaseCkenelabiertoA.FinalmentesedicequefesdeclaseCÂ¥ena2A(resp.BA)sif2Ck(a)(resp.f2Ck(B));8k2N.Sim;n2N,entonceslaidenticacióndelosespaciosLm+n(RN;RM)yLm(RN;Ln(RN;RM))nospermitecomprobar(medianteunasencillainducción)quefesm+nvecesderivableenunpuntoasi,ysólosi,esnvecesderivableenunentornodeaylafunciónDnfesmvecesderivableena,encuyocasoDm+nf(a)Dm(Dnf)(a):Apartirdeahorapresentamosparaladerivadak-ésimalosresultadosobtenidoseneltemaanteriorparaladerivadasegunda.Convienetenerpresentequeelpasodeladerivada(k�1)-ésimaaladerivadak-ésimaesidénticoalpasodeladerivadaprimeraaladerivadasegunda.Nota6.3.SeaAR,f:A�!RMuncampovectorialyk�1.Supongamosquefeskvecesderivableenunpuntoa2A.Entonces,larelaciónentreladerivadadefyladerivadaelementalvienedadaporDkf(a)(s1;:::;sk)=s1:::skf(k)(a);8s1;:::;sk2R;equivalentementef(k)(a)=dkf(a)(1):
Acosta,AparicioyMoreno225Demostración:BastaprobarqueDPkeselpolinomiodeTaylordelafunciónDfenelpuntoa.Paracadam2f2;:::;kg,lafunciónj:RN�!RMdadaporj(x)=dmf(a)(x�a)escomposicióndelafuncióng:RN�!RNdadaporg(x)=x�aydelafuncióndmf(a):RN�!RM.Luego,ellemaanteriorylaregladelacadena,permitenarmarquejesderivableyqueparacadax2RNsevericaDj(x)=D(dmf(a)g)(x)=D(dmf(a))(g(x))Dg(x)==D(dmf(a))(x�a)IdRN=D(dmf(a))(x�a)==mDmf(a)(x�a;m�1:::;x�a;)==mDm�1(Df)(a)(x�a;m�1:::;x�a)()=mdm�1(Df)(a)(x�a);dondesehautilizadolaexpresióndeladerivadaquedaellemaanterior.DeaquísesigueinmediatamentequePkesderivableysuderivadavienedadaporDPk(x)=Df(a)+d(Df)(a)(x�a)+1
2d2(Df)(a)(x�a)+:::+1
(k�1)!dk�1(Df)(a)(x�a);queeselpolinomiodeTaylordeDfenadeordenk�1.Enparticular,DPk(a)=Df(a).Elresultadosesigueaplicandoelmismoargumento.
Teorema6.8(Fórmulainnitesimaldelresto).SeaARNyf:A�!RMuncampovecto-rial.Supongamosquefeskvecesderivableenunpuntoa2A,entoncessevericalimx!af(x)�Pk(x)
kx�akk=0:Demostración:Razonamosporinducciónsobrek,porloquesupondremosconocidalafórmulainnitesimaldelrestoparafuncionesk�1vecesderivablesenunpunto.Dadounpositivoe,comofeskvecesderivableena,existed�0talque(6.0.1)kx�akd)8:x2Afesk�1vecesderivableenxkDf(x)�Qk�1(x)kekx�akk�1dondeQk�1eselpolinomiodeTaylordeordenk�1deDfena,estoesQk�1(x)=Df(a)+d(Df)(a)(x�a)+:::+1
(k�1)!dk�1(Df)(a)(x�a):Lademostraciónseconcluyeprobandoqueparacadax2B(a;d)nfagsevericaquekf(x)�Pk(x)kekx�akk;
2266.DerivadassucesivaslocualseráconsecuenciadelTeoremadelvalormedioaplicadoalafuncióng:B(a;d)�!RMdenidaporg(z)=f(z)�Pk(z);8z2B(a;d)enelsegmento[a;x].Enefecto,porelTeorema4.5ylaproposiciónanteriortenemoskg(x)�g(a)ksupkDg(z)k:z2]a;x[ kx�ak=supkDf(z)�Qk�1(z)k:z2]a;x[ kx�ak==supekz�akk�1:z2]a;x[ =ekx�akk:
Ejemplos6.9.1.TodafunciónconstantefdeRNenRMesdeclaseC¥conDkf(a)=0;8a2RN;8k2N.2.TodaaplicaciónlinealTdeRNenRMesdeclaseC¥conDkT(a)=0;8a2RN;8k2:3.TodaaplicaciónbilinealTdeRNRMenenRPesdeclaseC¥conDkT(a;b)=0;8(a;b)2RNRM;8k3:4.Laaplicaciónsumas:RNRN�!RNylaaplicaciónproductoporescalaresp:RRN�!RNsondeclaseC¥.5.LaaplicacióninversiónJ:Iso(RN)�!L(RN)dadaporJ(T)=T�1;T2Iso(RN)esdeclaseC¥.EscribiendolaaplicaciónderivadaprimeradeJcomoyahicimosenelEjemplo5.4.5,DJ=f(J;J),elresultadosesiguedelaregladelacadena(véaseSección5.8.2)ydelEjemplo6.9.3.6.1.Reglasdederivación.Porlaformadedenirladiferencialk-ésima,éstavericaanálogaspropiedadesalasdeladerivadasegunda.1.Linealidad.Elconjuntodelasfuncioneskvecesderivablesenunpuntoaesunespaciovectorialenelquelaaplicaciónf7!Dkf(a)eslineal.
2306.DerivadassucesivasCorolario6.14.SeanARNunabierto,funcampoescalarenAyk�1.Lassiguientesarmacionessonequivalentes:i)feskvecesderivableenA.ii)Todaslasderivadasparcialesdeordenk�1sonderivablesenA.Además,f2Ck(A),D(i1;:::;ik�1)f2C1(A);8i1;:::;ik�12f1;:::;Ng:Notación6.15.SeanARNyfuncampoescalarenAqueeskvecesderivableenunpuntoa2A.LasimetríaquegarantizaelTeorema6.13aseguraqueelordenenelqueseefectúenlasderivadasparcialessucesivasdelcampoescalarfenaesirrelevante.Enconsecuencia,lasderivadasparcialesdeordenksepuedenreorganizarconelndesimplicarlanotación.Estehechopermitedenir,parak1;:::;kN2N[f0gtalesquek1++kN=kD(k1;:::;kN)f(a):=Dk11:::DkNNf(a)=D(1;k1:::;1;:::;N;kN:::;N)f(a):Convieneobservarqueelnúmerodederivadasparcialesdeordenkeventualmentedistin-tashaquedadoreducidodeNka(N+k�1)!
k!(N�1)!RCkN=N+k�1k:Pongamosa=(a1;:::;aN),entonceselpolinomiodeTaylordeordenk
defenaeselpoli-nomioPk:RN�!RdenidoporPk(x)=f(a)+�Ñf(a)jx�a+1
2(x�a)Hf(a)(x�a)t+1
3!d3f(a)(x�a)+:::++1
k!dkf(a)(x�a);que,denuevoenvirtuddelTeorema6.13,adquiereahoraelsiguienteaspectof(a)+kår=1år1+:::+rN=r1
r1!:::rN!D(r1;:::;rN)f(a)(x1�a1)r1:::(xN�aN)rNparacualquierx=(x1;:::;xN)2RN,yaqueelsumandoD(r1;:::;rN)f(a)(x1�a1)r1:::(xN�aN)rNserepiter!
r1!:::rN!RPr1;:::;rNrveces.
Acosta,AparicioyMoreno231Nota6.16.ParaobtenerlafórmuladeTaylor(6.10)paracamposescalares,hayquesusti-tuirloscorrespondientespolinomiosdeTaylorporlafórmulaqueacabamosdepresentarytambién1
(k+1)!dk+1f(c)(x�a)poråk1+:::+kN=k+11
k1!:::kN!D(k1;:::;kN)f(c)(x1�a1)k1:::(xN�aN)kN;expresiónquesabemostiene(N+k)!
(k+1)!(N�1)!sumandos.
2346.DerivadassucesivasFinalmentesedicequefesdeclaseCÂ¥ena2Asif2Ck(a)paratodok.SiARyf:A�!RMesuncampovectorialkvecesderivableenunpuntoa2A,entoncesf(k)(a)=Dkf(a)(1;k:::;1)=dkf(a)(1):Propiedadesdeladerivadak-ésimaydelasfuncioneskvecesderivables.i)Linealidad.SeanARN,a2Ayf;g:A�!RMfuncioneskvecesderivablesenayseal2R.Entoncesf+gylfsonkvecesderivablesenaconDk(f+g)(a)=Dkf(a)+Dkg(a);Dk(lf)(a)=lDkf(a):Además,sif;g2Ck(a),entoncesf+g2Ck(a)ylf2Ck(a).ii)Regladelacadena.SeanARN;BRM;f:A�!RMtalquef(A)Byg:B�!RP.Supongamosquefeskvecesderivableena2Ayquegeskvecesderivableenf(a).Entonceslacomposiciónh=gfeskvecesderivableena.Ademássif2Ck(a)yg2Ck(f(a)),entoncesh2Ck(a).iii)Carácterlocaldeladerivadak-ésima.SeanARN,a2Ayf:A�!RMuncampovectorial.Entoncesfeskvecesderivableenasi,ysólosi,existealgúnentornoUAdeatalquefjUeskvecesderivableena,encuyocasolasderivadask-ésimasenadeambasfuncionescoinciden.iv)Derivacióndelafuncióninversa.SeanAyBsubconjuntosabiertosdeRNyfunhomeomorsmodeAsobreB.Sifeskvecesderivableena(resp.declaseCkena)paraalgúna2AyDf(a)2Iso(RN),entoncesf�1eskvecesderivableenf(a)(resp.declaseCkenf(a)).vi)Reducciónacamposescalares.SeanARNyf:A�!RMuncampovectorial.Sif=(f1;:::;fM),entoncesfeskvecesderivableena2Asi,ysólosi,cadafieskvecesderivableenaparai=1;:::;M,encuyocasoDkf(a)=Dkf1(a);:::;DkfM(a)Portanto,unacampovectorialesdeclasekenunpuntocuandotodassuscomponentesloseantambién.LasaplicacioneslinealessondeclaseCÂ¥ysudiferencialsegundaesnula.Todaapli-caciónbilinealT:RNRM�!RPesdeclaseCÂ¥conderivadasegundaen(a;b)2RNRMdenidaporD2T(a;b)(x1;y1);(x2;y2)=T(x1;y2)+T(x2;y1);8(x1;y1);(x2;y2)2RNRM;portantoD3T0,portanto,DkT0parak3.LaaplicacióninversiónJ:Iso(RN)�!L(RN)esdeclaseCÂ¥.
Acosta,AparicioyMoreno235TeoremadeSchwarzparaladerivadak-ésima.SeaARN,f:A�!RMuncampovectorialyk�1.Supongamosquefeskvecesderivableenunpuntoa2A.Entonceslaaplicaciónk-linealDkf(a)essimétrica,estoes,Dkf(a)�x1;:::;xk=Dkf(a)�xs(1);:::;xs(k)paracualesquierax1;:::;xk2RNycualquierpermutaciónsdelconjuntof1;:::;kg.PolinomiodeTaylordeordenk.SeaARNyf:A�!RMunafunción.Supongamosquefeskvecesderivableenunpuntoa2A,entonceslafunciónPk:RN�!RMdenidaporPk(x)=f(a)+df(a)(x�a)+1
2d2f(a)(x�a)+:::+1
k!dkf(a)(x�a)sellamapolinomiodeTaylordeordenkdefena.ElpolinomiodeTaylordeordenkdeunafunciónenunpuntoavericaPk(a)=f(a);DnPk(a)=Dnf(a)(nk)yDnPk(x)=0;8n�k:Fórmulainnitesimaldelresto.SeaARNyf:A�!RMuncampovectorial.Supongamosquefeskvecesderivableenunpuntoa2A,entoncessevericalimx!af(x)�Pk(x)
kx�akk=0:FórmuladeTaylorconrestodeLagrangeparacamposescalares.SeaARN,a;x2Acona6=x,talesqueelsegmento[a;x]estáincluidoenA.Sif:A�!ResunafuncióndeclaseCken[a;x]yk+1vecesderivableen]a;x[,entoncesexistec2]a;x[talquef(x)=Pk(x)+1
(k+1)!dk+1f(c)(x�a);dondePk(x)eselpolinomiodeTaylordeordenkdefena.FórmuladeTaylor.SeanARNya;x2Acona6=x,talesqueelsegmento[a;x]estáincluidoenA.Sif:A�!RMesunafuncióndeclaseCken[a;x]yk+1vecesderivableen]a;x[,entonceskf(x)�Pk(x)kkx�akk+1
(k+1)!supfkDk+1f(z)k:z2]a;x[g;dondePk(x)eselpolinomiodeTaylordeordenkdefena.RESULTADOSPARACAMPOSESCALARES.Derivadasparcialessucesivas.SeanARN,a2AyfuncampoescalarenA.
2366.DerivadassucesivasSeani2;:::;ik2f1;:::;NgyA(i2;:::;ik)Aelconjuntodepuntosdondeftienederivadaparcialdeordenk�1respectodelasvariablesik;:::;i2.Sii12f1;:::;NgyelcampoescalarD(i2;:::;ik)fenA(i2;:::;ik)tienederivadaparcialrespectodelavariablei1enelpuntoa,entoncessedicequeftienederivadaparcialdeordenkrespectodelasvariablesik;:::;i1enelpuntoayladerivadaDi1(D(i2;:::;ik)f)(a)senotaD(i1;:::;ik)f(a),estoesD(i1;:::;ik)f(a)=Di1Di2:::Dikf(a):SiA(i1;:::;ik)Aeselconjuntodepuntosdondeftienederivadaparcialdeordenkrespectodelasvariablesik;:::;i1,entonceselcampoescalarenA(i1;:::;ik)denidoporx�!D(i1;:::;ik)f(x)sedenominalaaplicaciónderivadaparcialdeordenkdefrespectodelasvariablesik;:::;i1ysenotaD(i1;:::;ik)f.Caracterizacióndecamposescalareskvecesderivables(k2).SeanARN;a2AyfuncampoescalarenA.Entoncesfeskvecesderivableenasi,ysólosi,fesk�1vecesderivableenunentornodeaytodaslasderivadasparcialesdeordenk�1sonderivablesenaSifeskvecesderivableena,setienequeDkf(a)�ei1;:::;eik=D(i1;:::;ik)f(a);equivalentemente,Dkf(a)�x1;:::;xk=NÃ¥i1;:::;ik=1D(i1;:::;ik)f(a)pi1(x1):::pik(xk)paracualesquierax1;:::;xk2RN,donde,paracadai2f1;:::;Ng;pidenotalai-ésimaproyeccióndeRN.Ademásf2Ck(a),D(i1;:::;ik�1)f2C1(a)8i1;:::;ik�12f1;:::;Ng:Parak1;:::;kN2N[f0gtalesquek1++kN=ksedeneD(k1;:::;kN)f(a)=Dk11:::DkNNf(a)=D(1;k1;1;;N;kN;N)f(a):ElTeoremadesimetríadeSchwarzpermitereducirelnúmerodederivadasparcialesdistintas.TeniendoencuentaesteresultadoseobtienelasiguienteexpresióndelpolinomiodeTaylordeordenkdeuncampoescalarenelpuntoa.Pk(x)=f(a)+(Ñf(a)jx�a)+1
2(x�a)Hf(a)(x�a)t+kår=3år1++rN=r1
r1!rN!D(r1;:::;rN)f(a)(x1�a1)r1:::(xN�aN)rN
Acosta,AparicioyMoreno237paracualquierx=(x1;:::;xN)2RN.Caracterizacióndelaexistenciadederivadadeordenk.SeanARNunabierto,funcampoescalarenAyk�1.Lassiguientesarmacionessonequivalentes:i)feskvecesderivableenA.ii)Todaslasderivadasparcialesdeordenk�1sonderivablesenA.Además,f2Ck(A),D(i1;:::;ik�1)f2C1(A);8i1;:::;ik�12f1;:::;Ng:
Acosta,AparicioyMoreno2396.5.EjerciciosdelTema66.1Ordenarelpolinomio2x3y+x2y2+3x+y+1enpotenciasdex�1ey�2.6.2SeafelcampoescalarenR2denidoporf(x;y)=exseny:¿CuáleslaFórmuladeTaylordeorden2conrestodeLagrangeenelsegmento(0;0);(x;y)?6.3SeaAunsubconjuntoabiertodeRNyfuncampovectorialdeclaseCÂ¥deAenRM.SupongamosqueexisteC�0talquekDkf(x)kCk;8x2A;k2N:Probarquesia2Ayr�0sontalesqueB(a;r)A,entonceslaserieÃ¥k11
k!dkf(a)(x�a)convergeuniformementeenB(a;r)yf(x)=f(a)+¥åk=11
k!dkf(a)(x�a);8x2B(a;r):6.4*Demostrarporinducciónsobreklaregladederivación5)delaSección6.1.Indicación:Supóngaseelresultadociertoparak,yaplíqueselaregladelacadena.6.5*Seak�1yTunaaplicaciónk-linealde�RNkenRM.i)ProbarqueTesderivableenaconDT(a1;:::;ak)(x1;:::;xk)==T(x1;a2;:::;ak)+T(a1;x2;a3;:::;ak)+:::+T(a1;:::;ak�1;xk)paracualesquieraa1;:::;ak;x1;:::;xk2RN.ii)Deducirdei)elLema6.6.6.6*SeaPunpolinomiodegradokenRN.ProbarquePesdeclaseC¥yqueparacadanaturalrk,elpolinomiodeTaylordeordenrdePencualquierpuntoa2RNcoincideconP.Deducirquesiexistea2RNtalqueP(a)=0yD(i1;:::;iN)P(a)=0;i1;:::;iN2N[f0g;1i1+:::+iNk;entoncesP(x)=0;8x2RN.
Acosta,AparicioyMoreno2416.6.SolucionesalosejerciciosdelTema6.6.1Comofesunpolinomiodegrado4,entoncesfcoincideconsupolinomiodeTaylordeorden4encualquierpunto,luegof(x;y)=f(1;2)+4Ã¥r=1Ã¥r1+r2=r1
r1!r2!D(r1;r2)f(1;2)(x�1)r1(y�2)r2:Acontinuación,calculamoslasderivadasparcialesdeordenmenoroigualquecuatrodefyescribiremosenuncuadrolaevaluacióndeéstasen(1;2).D1f(x;y)=6x2y+2xy2+3;D2f(x;y)=2x3+2x2y+1;D(2;0)f(x;y)=12xy+2y2;D(1;1)f(x;y)=6x2+4xy;D(0;2)f(x;y)=2x2;D(3;0)f(x;y)=12y;D(2;1)f(x;y)=12x+4y;D(1;2)f(x;y)=4x;D(0;3)f(x;y)=0;D(4;0)f(x;y)=0;D(3;1)f(x;y)=12;D(2;2)f(x;y)=4;D(1;3)f(x;y)=0;D(0;4)f(x;y)=0;ValoresdefydeD(i;j)fen(1;2)(i+j4)
f
D1
D2
D(2;0)
D(1;1)
D(0;2)
D(3;0)
D(2;1)
D(1;2)
D(0;3)
14
23
7
32
14
2
24
20
4
0
D(4;0)
D(3;1)
D(2;2)
D(1;3)
D(0;4)
0
12
4
0
0
conloque,calculandolasderivadasparcialesyevaluandoen(1;2)setienef(x;y)=14+�23(x�1)+7(y�2)+�16(x�1)2+14(x�1)(y�2)+(y�2)2+�4(x�1)3+10(x�1)2(y�2)+2(x�1)(y�2)2+�2(x�1)3(y�2)+(x�1)2(y�2)2
Acosta,AparicioyMoreno247b)Lafunciónf(x;y)=jxj+jyj;8(x;y)2R2,notienegradienteen(0;0)yalcanzaen(0;0)unmínimoestricto,yaquef(0;0)=0yf(x;y)�0;8(x;y)2R2nf(0;0)g.c)Lafunciónf(x;y)=jxj+y,8(x;y)2R2,notienegradienteen(0;0)ynoalcanzaen(0;0)extremorelativo:a6=0)f(0;a)=a(loquetambiénsededucedelanotaanterioryaquef0((0;0);(0;1))=1).Teorema7.6(Condic.neces.ysuc.deexistenciadeextremorelativo).SeanfuncampoescalardenidoenARNya2Aunpuntocríticodef.SupongamosquefesdosvecesderivableenayqueD2f(a)esnonula.i)(Condicionessucientes)Sid2f(a)(x)0;8x6=0,entoncesfalcanzaenaunmáximorelativoestricto.Sid2f(a)(x)&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0;8x6=0,entoncesfalcanzaenaunmínimorelativoestricto.ii)(Condicionesnecesarias)Sifalcanzaenaunmáximorelativo,entoncesd2f(a)(x)0;8x2RN:Sifalcanzaenaunmínimorelativo,entoncesd2f(a)(x)0;8x2RN:Demostración:ObsérvesequeelpolinomiodeTaylordesegundoordendefenaesf(a)+1
2d2f(a)(x�a);8x2RN:i)SeakkunanormacualquieradeRNydenotemosporS(RN)laesferaunidadparadichanorma.Sid2f(a)(x)0;8x2RNnf0g;lapropiedaddecompacidadnospermiteasegurarque9c&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0:d2f(a)(u)�c;8u2S(RN):Desnormalizandoobtenemosd2f(a)(x)�ckxk2;8x2RN:Lafórmulainnitesimaldelrestonosaseguraqueexisted&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0talqueB(a;d)Ayqueparax2RNcon0kx�akdseverica f(x)�f(a)�1
2d2f(a)(x�a) c
2kx�ak2;dedondesededucequef(x)�f(a)=f(x)�f(a)�1
2d2f(a)(x�a)+1
2d2f(a)(x�a)c
2kx�ak2�c
2kx�ak2=0:
2527.Extremosrelativos.Terminamosestaleccióndandounteoremaparalaexistenciadeextremosrelativosin-volucrandoderivadasdeordensuperioradosquegeneralizaelanálogoendimensiónuno.Proposición7.16(Condic.nec.ysuf.deexistenciadeextremorelativo).SeanfuncampoescalardenidoenARNykunnaturalmayorque2.Supongamosquefeskvecesderivableenunpuntocríticoa2A,quetodaslasderivadasparcialeshastalasdeordenk�1sonnulasyquealgunaderivadaparcialdeordenknoesnula.Severicanlassiguientesarmaciones:a)Sikesimpar,entoncesfnoalcanzaextremorelativoena.b)Sikespar,setiene:i)Sidkf(a)(x)�0;8x6=0,entoncesfalcanzaenaunmínimorelativoestricto.ii)Sidkf(a)(x)0;8x6=0,entoncesfalcanzaenaunmáximorelativoestricto.iii)Sidkf(a)(x)0;8x2RN,entoncesdealcanzarfenaunextremorelativo,hadesermínimo.iv)Sidkf(a)(x)0;8x2RN,entoncesdealcanzarfenaunextremorelativo,hadesermáximo.v)Si[9x;y2RN:dkf(a)(x)0dkf(a)(y)],entoncesfnoalcanzaningúnex-tremorelativoena.Notas7.17.a)EnelcasoparticulardelresultadoanteriorparasubconjuntosdeR,parai=1;:::;k,setienedif(a)(x)=f(i)(a)xi;8x2R;porloquerecaemosenlosresultadosconocidosparafuncionesrealesdevariablereal(recordadosenlaintroducción):-Sikesimpar,fnoalcanzaenaunextremorelativo.-Sikesparseverica:f(k)(a)0&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0si,ysólosi,falcanzaenaunmáximomínimorelativoestricto.b)Alnocontarconcriteriosquefacilitenlaclasicacióndeformasdegradok4,lashipótesisdelasarmacionesqueaparecenenlaparteb)sonsólocomprobablesencasosparticulares.
Acosta,AparicioyMoreno2537.2.Apéndice:ClasicacióndeformascuadráticasdeNvariablesLascondicionesnecesariasysucientesdeexistenciadeextremorelativodadasenelTeorema7.6,ysugeneralizaciónaNvariables,ponenderelieveelinterésquetieneparanosotroselconocimientodecriteriosquepermitandecidirel“signo”delpolinomiod2f(a),yengeneraldedkf(a)parakpar.Puestoqueparak4noparecequeexistancriteriosconutilidadpráctica,noscentramosenelcasok=2:EnloquesigueNesunnúmeronatural,fe1;:::;eNgeslabasecanónicadeRNy(j)eselproductoescalareuclídeo(xjy):=x1y1+:::+xNyN:Esfácilcomprobarqueelproductoescalareuclídeogozadelassiguientespropiedades:1.(lx+yjz)=l(xjz)+(yjz);8x;y;z2RN;8l2R.2.(xjly+z)=l(xjy)+(xjz);8x;y;z2RN;8l2R.3.(xjy)=(yjx);8x;y2RN.Esdecir,esunaformabilinealysimétricaenelsentidoqueserecogeenlasiguientedeni-ción.Denición7.18(formabilineal).Unaformabilineal
enRNesunaaplicaciónB:RNRN!Rlinealenambasvariables,esdecir:i)B(lx+y;z)=lB(x;z)+B(y;z);8x;y;z2RN;8l2R.ii)B(x;ly+z)=lB(x;y)+B(x;z);8x;y;z2RN;8l2R.Siademásverica:iii)B(x;y)=B(y;x);8x;y2RN;sediceentoncesqueBesunaformabilinealsimétrica
.Denición7.19(formacuadrática).Unaformacuadrática
enRNesunaaplicaciónQ:RN!RtalqueQ(x)=B(x;x),8x2RNparaalgunaformabilinealB.Denición7.20(operadorautoadjunto).UnaaplicaciónlinealT:RN!RNsedicequeesunoperadorautoadjunto
siverica(T(x)jy)=(xjT(y));8x;y2RN:
Acosta,AparicioyMoreno255deneunoperadorlinealenRN.AdemásB(x;y)=B Nåk=1(xjek)ek;y!=Nåk=1(xjek)B(ek;y)= xjNåk=1B(ek;y)ek!=(xjT(y));8x;y2RN:LasimetríadeBnospruebaqueTesautoadjunto.Finalmente,esclaroquelacondiciónB(x;y)=(xjT(y)),8x;y2RNimplicaQ(x)=(xjT(x)),8x2RN.Elrecíprocotambiénescierto.SupongamosqueQ(x)=(xjT(x)),8x2RN.Entonces(x;y)!B(x;y)y(x;y)!(xjT(y))sonformasbilinealessimétricasquedeterminanlamismaformacuadráti-ca,luegocoinciden.
Elproductoescalareuclídeovericatambiénlapropiedad4.(xjx)�0;8x2RNnf0g;esdecir,esunaformabilinealsimétricaqueesdenidapositivaenelsentidodelaDenición7.10.Denición7.22(Matrizdeunaformacuadrática.Autovectores.Autovalores).SeaQunaformacuadráticaenRN.LamatrizsimétricaH=(B(ei;ej))1i;jn,dondeBeslaformabilinealsimétricaasociadaaQ,sedenominamatrizasociada
aQconrespectoalabasecanónica.EsinmediatoqueB(x;y)=xHyt,8x;y2RN(dondex(x1;:::;xN)),oequivalentementeQ(x)=xHxt,8x2RN.ResaltemosqueHestambiénlamatrizasociada,conrespectoalabasecanónica,alúnicooperadorlinealautoadjuntoTasociadoaQ.Enefecto,de(T(x)jy)=(xjT(y))=B(x;y)=xHyt=(xHjy);8x;y2RN;sededucequeT(x)=xH,8x2RN,yportanto(H=Ht)(T(x))t=Hxt;8x2RN:Unautovector
deQesunvectorunonulotalqueT(u)=luparaalgúnreall.Alnúmeroreall,queesclaramenteúnico,selellamasuautovalor
.Equivalentemente(Proposición7.21):B(x;u)=l(xju);8x2RN:
2587.Extremosrelativos.Teorema7.26(principal).ParacadaformacuadráticaQenRNexisteunabaseortonor-malfu1;:::;uNgdeRNcompuestadeautovectoresdeQ.Ademássifl1;:::;lNgsonsuscorrespondientesautovalores,entoncesQ(x)=l1a21+:::+lNa2N;8x=a1u1+:::+aNuN2RN:Entérminosdematrices,H=A�1DAdondeHeslamatrizasociadaaQconrespectoalabasecanónica,[email protected]:::00l2:::0............00:::lN1CCCAyAeslamatrizinversibleasociadaalafuncióncambiodelabasecanónicaalabasefu1;:::;uNg.Enconsecuencia,det(H)=l1:::lN:Demostración:SeanB;TrespectivamentelaformabilinealsimétricayeloperadorautoadjuntoasociadosaQ.Lademostraciónesporinducciónsobreladimensióndelespacio.Paradimensiónunosetieneparal=B(1;1)queQ(x)=lx2;8x2RconloqueT(x)=lx;8x2Ryelvector1esunautovector,yportantoenestecasoeslabasecanónicalaque“diagonaliza”,siendoinnecesariocambiardebase.ConsideremosahoraunnaturalN�1.EllemaanteriornosaseguraqueQtieneunau-tovectoru1quesupondremosdenormauno,esdecir,paraconvenientel1realB(x;u1)=l1(xju1);8x2RN:SeaV=fu1g?:=fy2RN:(u1jy)=0g:VesunsubespaciovectorialdeRNdedimensiónN�1ylarestriccióndeQaVes,obvia-mente,unaformacuadrática.Sifv1;:::;vN�1gesunabaseortonormaljadadeV,entoncesesclaroqueelisomorsmoj:RN�1!VqueaplicalabasecanónicadeRN�1enlabasedeVjadaj(x1;:::;xN�1):=x1v1+:::+xN�1vN�1preservaelproductoescalar(xjy)=(j(x)jj(y));8x;y2RN�1:Víaj,podemosconsiderarlaformacuadráticarestriccióndeQaVcomounaformacuadráti-caenRN�1,estoes,podemosdenirQj(x):=Q(j(x));8x2RN�1
Acosta,AparicioyMoreno259paraobtenerunaformacuadráticaenRN�1cuyaformabilinealsimétricaasociadaes:Bj(x;y):=B(j(x);j(y));8x;y2RN�1:LahipótesisdeinducciónaplicadaaBjnosaseguraqueRN�1tieneunabaseortonormalfw2;:::;wNgdeautovectoresdeQj.Esdecir,paracadai=2;:::;NhayunconvenientenúmeroreallitalqueBj(y;wi)=li(yjwi);8y2RN�1:Veamosahoraquej(w2);:::;j(wn)sontambiénautovectoresdeQ.ElloesconsecuenciadequelaanteriorigualdadpuedeescribirseenlaformaB(v;j(wi))=li(vjj(wi));8v2V;ydequeparacadax2RN,existenarealyv2V,talesquex=au1+v,conloqueparai=2;:::;Nsetiene:B(x;j(wi))=aB(u1;j(wi))+B(v;j(wi))=al1(u1jj(wi))+li(vjj(wi))=li(vjj(wi))=li(au1jj(wi))+li(vjj(wi))=li(xjj(wi));dondesehautilizadoqueu1esunautovectordeByquej(wi)2V.Consideremosparai=2;:::;N,ui=j(wi);yveamosqueentoncesfu1;:::;uNgeslabasebuscada.Enefecto,dichabaseesortonormalyademásparatodox=a1u1+:::+aNuNsetienequeQ(x)=B(x;x)=B(a1u1+:::+aNuN;x)=a1B(u1;x)+:::+aNB(uN;x)=l1a1(u1jx)+:::+lNaN(uNjx)=l1a21+:::+lNa2N:Enconsecuencia,siFeslatransformaciónortogonalenRNdeterminadaporelcambiodelabasecanónicaalabaseortonormalfu1;:::;uNg,yAessumatrizasociada,sesiguequeQ(x)=(F(x))D(F(x))t=xAtDAxt;conloqueH=AtDA;ybastarecordarqueAt=A�1.
EsclaroquelasformascuadráticasdiagonalesQ(x)=a1x21+:::+aNx2Nseclasicanasimplevista(segúnelsignodeloscoecientes).Comoelteoremaprincipalaseguraquetodaformacuadrática“es”diagonalsinmásquecambiardebase,sesiguein-mediatamenteelsiguientecriteriodeclasicación.
Acosta,AparicioyMoreno261Demostración:ComoP(l)=(l�l1):::(l�lN),aldesarrollareigualarcoecientessetienequeAkeslasumadetodoslosproductosdekelementosdelconjuntofl1;:::;lNg,k=1;:::;N,dedondesededucelaimplicacióni))ii).Paraprobarlaimplicacióncontrariabastaobservarquel0)P(l)6=0.Enefecto:P(0)=(�1)NAN6=0,ysil0yNespar(resp.impar)todoslossumandosdeP(l)sonpositivos(resp.negativos).Laequivalenciaiii),iv)sepruebaanálogamente.
Elsiguientecriterionospermiteclasicarunaformacuadráticasiconocemoselsignodeloscoecientesdelpolinomiocaracterístico(¡nohacefaltaconocerelsignodelasraícesdedichopolinomio!)Proposición7.30(Segundocriteriodeclasicacióndeformascuadráticas).SeanQunafor-macuadráticaenRNyP(l)=lN�A1lN�1+A2lN�2+:::+(�1)NANsupolinomiocaracterístico.Entoncessetiene:Qesdenidapositivanegativa,Ak�0(�1)kAk�0k=1;:::;NQespositivanegativa,Ak0(�1)kAk0k=1;:::;NQesindenida,9p;q2f1;:::;Ng:Ap;(�1)qAq0(Enconsecuencia,QesindenidasiparaunkparAkesnegativo).Demostración:Elprimercriteriodeclasicacióndeformascuadráticas(Proposición7.27)nosaseguraqueQesdenidapositivasi,ysólosi,lk&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0,k=1;:::;N,loqueequivaleasuvez,envirtuddelaProposición7.29,aqueAk&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0,k=1;:::;N.ParaobtenerahoraelcriterioparaformasdenidasnegativasnótesequeQesdenidanegativasi,ysólosi,�Qesdenidapositiva,yquesiHdenotalamatrizasociadaaQconrespectoalabasecanónica,entonceselpolinomiocaracterísticode�Qesdet(lI�(�H))=det((�1)(�lI�H))=(�1)Ndet(�lI�H)=(�1)NP(�l)=lN+A1lN�1+A2lN�2+:::+AN:Finalmenteenloscasosenquelaformacuadráticaespositivaonegativalademostraciónesanáloga.
Acosta,AparicioyMoreno2637.4.ResumenderesultadosdelTema7.Extremorelativo.SeafuncampoescalardenidoenARN.Sedicequefalcanzaenunpuntoa2AunmáximorelativosiexisteunentornoabiertoUdeatalqueUAyf(x)f(a);8x2U:Sedicequefalcanzaenelpuntoa2AunmáximorelativoestrictosiexisteunentornoabiertoUdeatalqueUAyf(x)f(a);8x2Unfag:Análogasdenicionessehacenparamínimos.Laexpresiónextremorelativo
signicaobienmáximorelativo,obienmínimorelativo.Condiciónnecesariadeexistenciadeextremorelativo.Puntoscríticos.Seafuncam-poescalardenidoenARN.Sifalcanzaunextremorelativoenunpuntoa2Ayftienegradienteena,entoncesÑf(a)=0.Másaún,sifalcanzaunextremorelativoenunpuntoa2Ayftienederivadadireccionalenasegúnelvectoru,entoncesf0(a;u)=0.LospuntosdeAdondeftienegradientenulosellamanpuntoscríticos
def.Esdecirsonlassolucionesdelsistemadeecuaciones(nonecesariamentelineal)Ñf(x)=0denidoenlospuntosenlosqueftienegradiente.Condicionesnecesariasysucientesdeexistenciadeextremorelativo.SeanfuncampoescalardenidoenARNykunnaturalmayoroigualque2.Supongamosquefeskvecesderivableenunpuntocríticoa2A,quetodaslasderivadasparcialeshastalasdeordenk�1sonnulasyquealgunaderivadaparcialdeordenknoesnula.Severicanlassiguientesarmaciones:a)Sikesimpar,entoncesfnoalcanzaextremorelativoena.b)Sikespar,setiene:i)Sidkf(a)(x)�0;8x6=0,entoncesfalcanzaenaunmínimorelativoestricto.ii)Sidkf(a)(x)0;8x6=0,entoncesfalcanzaenaunmáximorelativoestricto.iii)Sidkf(a)(x)0;8x2RN,entoncesdealcanzarfenaunextremorelativo,hadesermínimo.iv)Sidkf(a)(x)0;8x2RN,entoncesdealcanzarfenaunextremorelativo,hadesermáximo.v)Si[9x;y2RN:dkf(a)(x)0dkf(a)(y)],entoncesfnoalcanzaningúnex-tremorelativoena.Lascondicionesnecesariasysucientesdeexistenciadeextremorelativoponendere-lieveelinterésquetieneparanosotroselconocimientodecriteriosquepermitandecidirel“signo”delpolinomiodkf(a).
Acosta,AparicioyMoreno2657.5.EjerciciosdelTema77.1UnafunciónrealfdenidaenunabiertoyconvexoAdeRNsediceconvexa
siverica:f((1�a)x+ay)(1�a)f(x)+af(y);8x;y2A;8a2[0;1]:i)SesuponequefesderivableenA.Probarque:[fesconvexa],[f(x)f(a)+Df(a)(x�a);8x;a2A]:DeducirquesifesconvexayDf(a)=0,entoncesfalcanzaenaunmínimoabsoluto.ii)SesuponequefesdosvecesderivableenA.Probarque:[fesconvexa],[D2f(a)(x;x)0;8a2A;8x2RN]:iii)Probarquelafunciónf:]�1;1[]�1;1[!Rdenidaporf(x;y)=�p
1�x2p
1�y2esconvexa.Estudiarsusextremos.7.2(*)Estudiarlosextremosrelativosyabsolutosdelassiguientesfunciones:f1(x;y)=x�y
1+x2+y2;f2(x;y)=senxcosy;f3(x;y)=sen(xy);f4(x;y)=x3+y3�3axy(a2R);f5(x;y)=x4+y4�4a2xy(a2R);f6(x;y)=(x2+2y2)e�(x2+y2);f7(x;y)=xy
(1+x)(1+y)(1+xy)(x;y�0);f8(x;y;z)=x2+y2+3z2�xy+2xz+yz;f9(x;y;z)=xy+xz+yz:7.3Estudiarlosextremosrelativosde:i)Dadoa�0,lafunciónf:R+R+N:::R+!Rdenidapor:f(x1;x2;:::;xN)=x1x2:::xN+aN+1Nåi=11
xi:ii)Dadosa1;a2;:::;aN2R,lafunciónf:RN!Rdenidapor:f(x1;x2;:::;xN)= Nåi=1aixi!e�kxk22:(Siquieresimplicarsealgo,hágaseparaN=2oN=3.)
2667.Extremosrelativos.7.4Dadosnpuntos(ai;bi)2R2,determinarlascondicionesquehandecumpliraybparaquelarectagdeecuacióny=ax+bseatalquelacantidadS(a;b)=Nåi=1(bi�aai�b)2seamínima.7.5Dadosmpuntosai2RNcalcularelmenorvalordelafunciónf(x):=måi=1kx�aik22:7.6TeoremadeRollegeneralizado.SeanAunsubconjuntoabiertoacotadodeRNyf:
A!Runafuncióncontinuaen
A,constanteenFr(A)yderivableenA.ProbarqueDf(x)=0paraalgúnxdeA.7.7Seaf:R2!Rdenidaporf(x;y)=x2y�4x2�2y2.Justicarqueparatodosubcon-juntocompactoKR2lafunciónfalcanzasuvalormínimoenKenunpuntodelafronteradeK,esdecir:minf(K)=minf(Fr(K)):7.8(*)SeanfuncampoescalarcontinuodenidoenunabiertoAdeRNyaunpuntodeA.SupongamosquefesderivableenAnfag,queexisted�0talqueB(a;d)Ayqueseverica(x�ajÑf(x))0(resp.&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0);8x2B(a;d)nfag:Entoncesfalcanzaunmáximo(resp.mínimo)relativoestrictoenelpuntoa.7.9Seaf:R2!Rlafuncióndadaporf(x;y):=x2+(1�x)3y2.Demostrarquedichafuncióntieneunúnicopuntocríticoenelquealcanzaunmínimoestrictoyquenoalcanzaningúnextremoabsoluto.¿PuedepresentarsetalsituaciónparaunafuncióndeRenR?7.10SeanA=f(x;y;z)2R3:x+y+z=1gyf:A!Rlafuncióndadaporf(x;y;z)=xyz.Estudiarlosextremos“locales”def.Indicación
:PuedeusarselaNota7.4.Mejoresreformularelproblemaenlossiguientestérminos:delacondiciónx+y+z=1,despejamosz=1�x�y,conloquesenospideeshallarlosextremosdelafunciónf:R2!Rdenidaporf(x;y):=xy(1�x�y).
Acosta,AparicioyMoreno2677.6.SolucionesalosejerciciosdelTema7.7.1i)
)
Seana;x2A.Sia=xnohaynadaquedemostrar.Enotrocasopara0a1,setienef(a+a(x�a))�f(a)
a(1�a)f(a)+af(x)�f(a)
a=f(x)�f(a)ybastatomarlímitecuandoa!0+paraobtenerDf(a)(x�a)f(x)�f(a):
(
Seanx;y2A.Queremosprobarquepara0a1,severicaf((1�a)x+ay)(1�a)f(x)+af(y):Notemosa=(1�a)x+ay.Porhipótesisf(x)f(a)+Df(a)(x�a)f(y)f(a)+Df(a)(y�a))(1�a)f(x)+af(y)f(a)+Df(a)((1�a)(x�a)+a(y�a))=f(a)=f((1�a)x+ay)Enconsecuencia,sifesconvexayDf(a)=0,setieneDf(a)=0)f(a)f(x);8x2A;esdecirfalcanzaenaunmínimoabsoluto.ii)
)
Seana2A;x2SRN.Existed�0talque0td)a+tx2A.Pori):0f(a+tx)�f(a)�Df(a)(tx)
t2=f(a+tx)�f(a)�Df(a)(tx)�1
2D2f(a)(tx;tx)
t2+1
2D2f(a)(x;x)yaltomarlímitecuandot!0,lafórmulainnitesimaldelrestonosaseguraque0D2f(a)(x;x).
(
LafórmuladeTaylorconrestodeLagrangeparafuncionesvaluadasenR,nosaseguraquesia;x2A,cona6=x,entonces9c2]a;b[talquef(x)�f(a)�Df(a)(x�a)=1
2D2f(c)(x�a;x�a)conloqueporhipótesisf(x)�f(a)�Df(a)(x�a)0,quenosdicequefesconvexaporlodemostradoeni).
2687.Extremosrelativos.iii)Esinmediatocomprobarqueelúnicopuntocríticoesel(0;0).CalculemoslamatrizhessianaHf(x;y)[email protected]
1�x2p
1�y2
p
1�x2�xy
p
1�x2p
1�y2�xy
p
1�x2p
1�y21
1�y2p
1�x2
p
1�y21CA:Enconsecuenciaparatodo(x;y)2]�1;1[]�1;1[,setienedetH1�0;detH2=1�x2y2
(1�x2)(1�y2)�0;dedondededucimosporelcriteriodeSylvesterqued2f(x;y)esdenidapositivaparatodo(x;y)2]�1;1[]�1;1[.Elapartadoii)nosdicequefesconvexa.Claramentefalcanzaen(0;0)unmínimoabsolutoestricto.7.2
f1
¶f
¶x=0¶f
¶y=0),x2=y2,jxj=jyj2xy+1=0)xy0Puntoscríticos
:A=(p
2
2;�p
2
2);B=(�p
2
2;p
2
2).Matrizhessiana
:Haciendousodequelasderivadasparcialesprimerassonnulasenlospuntoscríticos,bastatrabajarconlamatrizD(x;y)=�x+yx+y�x�yy�x;det(D(x;y))=2(x2+y2)(aunquenoessimétricaenlospuntosencuestiónsiloes)Solución
:falcanzaenAunmáximorelativoestricto.falcanzaenBunmínimorelativoestricto.Extremosabsolutos
:jf(rcosJ;rsenJ)j= r
1+r2(cosJ�senJ) 2r
1+r2!0;(r!+¥);yportantolimk(x;y)k!+¥f(x;y)=0.Siunafunciónalcanzavaloresmayores(resp.menores)queellímiteen¥,entoncesalcanzasumáximo(respmínimo)absolutoqueclaramentesontambiénrelativos.falcanzaenAsumáximoabsolutoigualap
2
2falcanzaenBsumínimoabsolutoiguala�p
2
2
Acosta,AparicioyMoreno275sesiguequeS(a;b)!+¥cuandok(a;b)k¥!+¥,y,portanto,podemosasegurarque9K�0:k(a;b)k¥�K)S(a;b)�S(a0;b0)Así,alalcanzarporcompacidadlarestriccióndelafunciónSalcompactof(a;b)2R2:k(a;b)k¥Kgunmínimoabsoluto,podemosaseguraquelafunciónSalcanzaunmínimoabsolutoqueestambiénrelativoporloquealafuerzahadealcanzarseen(a0;b0).7.5Dkf(x)=2måi=1(x(k)�ai(k))=0,x(k)=1
mmåi=1ai(k);k=1;:::;n:Puntocrítico
:u=1
måmi=1ai(baricentrodelosmpuntos).Unrazonamientotopológiconosaseguraquelafunciónfalcanzaenelpuntouunmín-imoabsoluto.Def(x)kx�a1k22(kxk2�ka1k2)2,sesiguequelimkxk2!+¥f(x)=+¥yportantoftieneunmínimoabsoluto.Tambiénsepuederazonardirectamentecomosigue:f(x)=måi=1kx�aik22=måi=1k(x�u)+(u�ai)k22=måi=1((x�u)+(u�ai)j(x�u)+(u�ai))=måi=1kx�uk22+måi=1ku�aik22+2måi=1(x�uju�ai)=mkx�uk22+måi=1ku�aik22+2 x�ujmåi=1(u�ai)!=mkx�uk22+måi=1ku�aik22måi=1ku�aik22=f(u);8x2Rn:7.6TeoremadeRollegeneralizado.
Aescompacto,luegolafunciónfalcanzaelmáximoyelmínimo.Razonamospordisyuncióndecasos:-Silafunciónfalcanzaambosenlafrontera,sonigualeselvalormáximoyelmínimodefque,portanto,esconstanteyladerivadaseanulaencualquierpuntodeA.-Sialgunonoloalcanzaenlafrontera,alalcanzarseenunpuntointeriorlacondiciónnecesariadeextremorelativonosaseguraque9a2A:Df(a)=0.
2787.Extremosrelativos.ysinoslimitamosalasdireccionesadmisibles0=f0((x;y;z);(u;v;w))=uyz+xvz+xyw;8(u;v;w)2R3:u2+v2+w2�0u+v+w=0Enconsecuencialosposiblesextremoslocalesson,portanto,lassolucionesdelsistemauyz+xvz+xyw=0x+y+z=1dondeu2+v2+w2�0u+v+w=0Eligiendocomodireccionesadmisibles(1;1;�2)y(1;�2;1),setienequeyz+xz�2xy=0yz�2xz+xy=0)xy=xz=yz;dedondesededucequeelpunto(x;y;z)puedetenerdoscoordenadasnulasoninguna.Posiblesextremoslocales
:a=(1;0;0),b=(0;1;0),c=(0;0;1),d=�1
3;1
3;1
3.ComolarestriccióndefalcompactoK:=f(x;y;z)2R+0R+0R+0:x+y+z=1galcanzaunmáximoyunmínimoabsoluto,concluimosquefalcanzaendunmáximolocal.Veamosquefnoalcanzaena,bycunextremo.Enefectobastaconsiderarporejemplolassucesionesf(1+2
n;�1
n;�1
n)gyf(1+1
n;1
n;�2
n)g,yaqueftoma,respectivamente,valorespositivosynegativos.
Tema8Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.Dedicamosestalecciónalestudiodedosdelosresultadosmássobresalientesdelcálculodiferencial:losTeoremasdelafuncióninversa(8.5)ydelafunciónimplícita(8.12)paracamposvectoriales,loscualessonformulacionesequivalentesdelmismoresultado(véanselademostracióndelTeorema8.12yelApéndice).Ambosteoremasresponden,comoveremos,al“principiogeneral”,yaaludido,segúnelcualunafunciónderivableheredalocalmentelaspropiedadesdesuderivada.Delodichosededucequeesunacuestióndegustopersonaldecidirporcualdeellossehadeempezar.NosinclinamosporelTeoremadelafuncióninversaquesepuedemotivarapartirdelosresultadosconocidosparafuncionesrealesdevariablereal.LaprimerasecciónestádedicadaalTeoremadelafuncióninversaylasegundaalTeore-madelafunciónimplícita.Ambosresultadosemotivanconejemplos.TambiénseincluyeunapéndiceenelquesepruebaelTeoremadelafuncióninversaapartirdelTeoremadelafunciónimplícita.279
2808.Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.8.1.Teoremadelafuncióninversa.EmpezamosrecordandoelsiguienteresultadoqueesconsecuenciadelTeoremadelvalormedioreal(4.1):SeaIunintervaloyf:I!Runafunciónderivableconf0(x)6=0;8x2I.Entoncesfesestrictamentemonótonayocurreunadelasdosposibilidadessiguientes:f0(x)�0;8x2Iof0(x)0;8x2I:Siademáshacemosusodelaregladederivacióndelafuncióninversa(Proposición3.27)obtenemosTeoremaglobaldelafuncióninversaparafuncionesreales.SeanIRuninter-valoabiertoyf:I!Runafunciónderivableconderivadadistintadeceroentodopun-to.Entonces,fesinyectiva(dehechoesestrictamentemonótona)ysufuncióninversaf�1:f(I)!Resderivable,siendo(f�1)0(f(x))=1
f0(x);8x2I:Puestoquelaimagenporunafuncióncontinuayestrictamentemonótonadeunintervaloabiertoesunintervaloabierto,sesigueque,enlascondicionesdelenunciadodelteoremaan-terior,f(I)esunintervaloabiertodeRylafunciónbiyectivaf:I!f(I)esmuchomásqueunhomeomorsmo,yaqueesderivable(porhipótesis)ysuinversatambiénesderivable(portesis).Formulamosacontinuaciónestehechodandounadeniciónadecuada.Denición8.1(difeomorsmo).SeanA;BabiertosdeRN.Sedicequef:A!Besundifeomorsmo
sifesbiyectivaderivableyf�1tambiénesderivable.Entalcasoescribiremosf2Dif(A;B).Sedicequef:A!RNesundifeomorsmoenA
sif(A)esunabiertodeRNyf2Dif(A;f(A)).Sedicequef:A!RNesundifeomorsmolocal
siparacadaa2AexisteunentornoabiertoUdeacontenidoenAtalquefesundifeomorsmoenU.Encasodequef2Dif(A;B),yquetantofcomof�1seandeclaseCk,diremosquefesundifeomorsmodeclaseCk.AnálogamentesedenenlosdifeomorsmosenAdeclaseCkylosdifeomorsmoslocalesdeclaseCk.Porejemplo,lafunciónexponencialesundifeomorsmoenRdeclaseC¥.Elsiguienteejemplomuestraqueendimensiónmayorque1nosepuedeesperarunresultadosimilaralresultadoparafuncionesrealesqueacabamosderecordar.
Acosta,AparicioyMoreno281Ejemplo8.2.Lafunciónf:R2!R2(determinadaporlaexponencialcompleja)dadaporf(x;y)=(excosy;exseny)�(x;y)2R2);esunafunciónderivablequetienederivadainversibleentodopuntodet�Jf(x;y)=e2x6=0;8(x;y)2R2;ynoes(globalmente)inyectivaf(x;y)=f(x;y+2p);8(x;y)2R2:Porlocalizacióndelteoremarecordadoobtenemoselsiguienteresultado:Teorema8.3(localdelafuncióninversaparafuncionesreales).SeaARyseaf:A!R.SupongamosquefesdeclaseC1enunpuntoa2Ayquef0(a)6=0.EntoncesexisteunentornoabiertoUdeacontenidoenAtalqueV:=f(U)esunabiertodeR,fesundifeomorsmodeUsobreV,f�1:V!UesunafuncióndeclaseC1enf(a)y(f�1)0(f(x))=1
f0(x);8x2U:Demostración:Porserf2C1(a)yf0(a)6=0,existeunintervaloabiertoUcentradoenelpuntoa,contenidoenAytalquef0(x)6=0;8x2U.AplicandoelTeoremaglobalalafunciónfjU,yteniendoencuentaelcomentarioquesigueadichoteorema,podemosasegurarquefesundifeomorsmodeUsobreVtalque(f�1)0(f(x))=1
f0(x);8x2U:Finalmente,puestoquelaanteriorigualdadpuedeescribirseenlaforma(f�1)0=gf0f�1;dondeporgdenotamosalafunciónrealinversióndadaporg(x)=1
x;8x2R,sesiguequef�12C1(f(a))yaquef2C1(a).
ElsiguienteejemploponedemaniestoqueesesencialexigirquefseadeclaseC1enaparaobtenerelresultadoanterior.Ejemplo8.4.Lafunciónf:R!Rdenidaporf(x)=x+2x2sen1
x;f(0)=0
2828.Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.esderivableentodopuntoconf0(0)=1;f0(x)=1+4xsen1
x�2cos1
x(x6=0)(f0noescontinuaen0).Veamosquelafunciónfnisiquieraadmiteunainversalocalen0.Enefecto,siexistieseunintervaloabiertoI,con02I,talquelafunciónffueseinyectivaenI,entoncesfsería(estrictamente)monótonaenI,yenconsecuenciaf0seríadesignoconstanteenI,peroestoesimposiblepuesf01
2np=�1;8n2Nyf0(0)=1.ElTeoremalocal(8.3)sísegeneralizaparacamposvectoriales.
Habidacuentaquelosejem-plosdecamposescalaresdeclaseC1enunpuntoquenoseandeclaseC1enunentornodedichopuntonosonfrecuentes,enunciaremoselresultadoparacamposvectorialesdeclaseC1enunabierto.Teorema8.5(funcióninversa).SeanARNunabiertoyf:A!RNuncampovectorialdeclaseC1(oloqueesigualsuscamposescalarescomponentestienengradientecontinuo).Supongamosqueexistea2Atalquedet�Jf(a)[email protected](a):::DNf1(a)::::::::::::::::D1fN(a):::DNfN(a)1A6=0:EntoncesexisteunentornoabiertoUdeacontenidoenAtalqueV:=f(U)esunabiertodeRN,fesundifeomorsmodeclaseC1deUsobreV,yparacadax2UsevericaJf�1�f(x)[email protected](x):::DNf1(x)::::::::::::::::D1fN(x):::DNfN(x)1A�1:Además,siparaknaturalmayorque1severicaquefeskvecesderivable(resp.fesdeclaseCk)ena,entoncesf�1eskvecesderivable(resp.f�1esdeclaseCk)enf(a).Demostración:NotemosS=Df(a)�1,yconsideremoselcampovectorialj:A!RNdadoporj:=iA�Sf:LalinealidaddeladerivadaylaregladelacadenanosaseguranquejendeclaseC1,siendoparacadax2ADj(x)=IdRN�SDf(x):AlserDj(a)=0ydet�Jf(a)6=0,sesiguequeexisteunabolaabiertaUcentradaenaycontenidaenA,talquekDj(x)k1
2ydet�Jf(x)6=0;8x2U:ElCorolario4.7nosaseguraquejescontractivaenU.AplicandoahoraelTeoremadeSchauder(4.15,apartadosi)yii))alafuncióniU�jjU=SfjU,obtenemosque
Acosta,AparicioyMoreno283i)G:=S(f(U))esunabiertodeRN.ii)SfesunhomeomorsmodeUsobreG.PuestoqueS2Iso(RN),sesiguenalmenteque:a)V:=f(U)=S�1(G)esunabiertodeRN.b)f=S�1(Sf)esunhomeomorsmodeUsobreV.LademostracióndelTeoremaseconcluyeutilizandolaregladederivacióndelainversa(Proposición3.27yelapartado4delaSección6.1).
Nota8.6.Lacondicióndet�Jf(a)6=0equivaleaarmarqueelsistemalinealDf(a)(x)=ytienesoluciónglobal
única:x=Df(a)�1(y);8y2RN:ElTeoremadelafuncióninversaaseguralaexistenciadeunentornoabiertoUdeatalquef(U)esunabiertodeRNyparacaday=(y1;y2;:::;yN)2f(U)elsistemadeNecuacionesconNincógnitas8:f1(x1;x2;:::;xN)=y1:::::::::::::::::fN(x1;x2;:::;xN)=yNtieneunaúnicasoluciónx=(x1;x2;:::;xN)2U.Ademáslafuncióninversaf�1=(f�1)1;(f�1)2;:::;(f�1)NasídenidaesdeclaseC1enf(U)(equivalentementesuscamposescalarescomponentes(f�1)1;(f�1)2;:::;(f�1)Ntienengradientecontinuo).Quedajusticadalafrase,tantasvecescitada,fheredalocalmentepropiedadesdesuderivada.Sabemos(Ejemplo8.2)queparadimensiónmayorqueunonoesciertalaversiónglobaldelTeoremadelafuncióninversa,sinembargo,siimponemoslainyectividad,síprobaremosunaversiónglobal,querequierelasiguiente:Proposición8.7.SeanARNunabiertoyf:A!RNundifeomorsmolocal,entoncesfesunaaplicaciónabierta.
2848.Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.Demostración:SeaOAabierto.Veamosquef(O)esabierto.Porhipótesisparacadax2AexisteUxentornoabiertodexcontenidoenAtalqueVx:=f(Ux)esunabiertodeRNyfesundifeomorsmodeUxsobreVx.Setieneentoncesquef(O\Ux)esunabiertorelativodeVxyportantoabiertodeRN.Porúltimoalserf(O)=f[x2O�O\Ux=[x2Of�O\Ux;concluimosquef(O)esabierto.
Corolario8.8(Teorema“global”delafuncióninversa).SeanARNunabierto,kunnat-uralyf:A!RNuncampovectorial.SupongamosquefesdeclaseCkenAyquedet�Jf(x)6=0;8x2A:EntoncesfesundifeomorsmolocaldeclaseCkenA,yportantounaaplicaciónabierta.Siademásfesinyectiva,entoncessetienequefesundifeomorsmodeclaseCkenA.Demostración:AplicandoelTeoremadelafuncióninversa(8.5)encadapuntodeAseobtienequefesundifeomorsmolocaldeclaseCkenAyportanto,envirtuddelaProposición8.7,f(A)esabierto.Siademásfesinyectiva,envistadelcarácterlocaldeladerivabilidad,alserfundifeo-morsmolocaldeclaseCkconcluimosquefesundifeomorsmodeclaseCkenA.
Nota8.9.QuefseaundifeomorsmoenunabiertoARNsueleinterpretarsecomoquedichafuncióndenenuevascoordenadasenf(A).Dehechoesusualdenominarcambiosdecoordenadasalosdifeomorsmos:lascoordenadassegúnfdeunpuntoydef(A)sonlascoordenadascartesianasdelpuntoxdeAtalquef(x)=y.Aunque,engeneralcuandoseaplicaelTeoremadelafuncióninversa,noseconocelafunciónf�1,elenunciadodelTeoremanospermitecalcularsumatrizjacobiana.Ilustramosestehechoconunejemplo.Ejemplo8.10(coordenadaspolares).Recordemosquef:A=R+]�p;p[!R2denidaporf(r;J)=(rcosJ;rsenJ)eslaaplicaciónquedaelcambioacoordenadaspolares,quesabemosesinyectiva.fesdeclaseCÂ¥vericandodet�Jf(r;J)=r�0;8(r;J)2A:
2868.Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.8.2.Teoremadelafunciónimplícita.NosocupamosahoradeestablecerelTeoremadelafunciónimplícitaapartirdeldelafuncióninversa.Empezamosanalizandodosejemplosquenosvanamotivardichoteorema.Ejemplos8.11.a)Seana;b;c2R,conb6=0yf:R2!Relcampoescalardadoporf(x;y):=ax+by+c:Esinmediatoqueelconjuntof(x;y)2R2:f(x;y)=0gesunarectanovertical,yportantoparacadanúmerorealxexisteunúniconúmerorealytalquef(x;y)=0,esdecir,dichaecuacióndeneimplícitamente
aycomofuncióndex.Dehecho,talfunciónescalculableenestecaso:y=j(x):=�a
bx�c
b:b)Seaf:R2!Relcampoescalardadoporf(x;y)=x2+y2�1:Enestecasoelconjuntof(x;y)2R2:f(x;y)=0geslacircunferenciaunidad,yportantolaecuaciónf(x;y)=0nodeneimplícitamenteaycomofuncióndex,yaquesijxj�1)noexisteningúnrealyjxj=1)y=0eselúnicorealjxj1)existendosreales(y=p
1�x2;y=�p
1�x2)9=;:f(x;y)=0:Esteejemploponedemaniestoquetenemosquelocalizar
paraabordarconéxitolosproblemasdeexistenciayunicidaddefuncionesdeterminadasimplícitamente,enelsiguientesentido.Sea(a;b)2R2conf(a;b)=0.i)Problemadeexistencia:
¿ExisteunentornoabiertoUdeayunafunción(contin-ua,derivable,:::)j:U!Rvericandoqueb=j(a)yf(x;j(x))=0;8x2U?
Acosta,AparicioyMoreno287ii)Problemadeunicidad:
¿EsestafunciónúnicaenelsentidodeexistirunentornoabiertoWde(a;b)conlapropiedadf(x;y)2W:f(x;y)=0g=f(x;j(x)):x2Ug?Larespuestaaambaspreguntasenesteejemploeslasiguiente:
Sijaj1noexisteunatalj.
Sijaj1U=]�1;1[yj(x)=p
1�x2conW=RR+sib�0j(x)=�p
1�x2conW=RR�sib0:EnestesencilloejemplovaleelmismoentornoUparacualquieraconjaj1.EngenerallosentornosUyWdependendelpunto(a;b)encuestión.ElTeoremadelafunciónimplícitadacondicionessucientesparadarrespuestapositivaalosproblemasdeexistenciayunicidaddedeterminacionesimplícitas.Teorema8.12(funciónimplícita).SeanGRNRMunconjuntoabiertoyf:G!RMuncampovectorialdeclaseC1(oloqueesigualsuscamposescalarescomponentestienengradientecontinuo).Supongamosqueexiste(a;b)2Gtalquef(a;b)[email protected]+1f1(a;b):::DN+Mf1(a;b):::::::::::::::::::::::DN+1fM(a;b):::DN+MfM(a;b)1A6=0:EntoncesexistenunentornoabiertoWde(a;b)contenidoenG,unentornoabiertoUdeayunafunciónj:U!RMdeclaseC1talquef(x;y)2W:f(x;y)=0g=f(x;j(x)):x2Ug:Setienetambiénqueparatodox2Useveri[email protected]+1f1(x;j(x)):::DN+Mf1(x;j(x))::::::::::::::::::::::::::::DN+1fM(x;j(x)):::DN+MfM(x;j(x))1A6=0:yqueJj(x)=�[email protected]+1f1(x;y):::DN+Mf1(x;y):::::::::::::::::::::::DN+1fM(x;y):::DN+MfM(x;y)1A�[email protected](x;y):::DNf1(x;y):::::::::::::::::::D1fM(x;y):::DNfM(x;y)1Adondey=j(x).Ademássiparaknaturalmayorque1severicaquefeskvecesderivable(resp.fesclaseCk)en(a;b),entoncesjeskvecesderivable(resp.jesdeclaseCk)ena.
Acosta,AparicioyMoreno293SinotamosU:=j(V),veamosquesevericalatesisdeTeoremadelafuncióninversa.EnefectodelaigualdadanteriorsesiguequeUesunabiertodeRNyaqueU=(f;IdA)�1(W)eslaimageninversadelabiertoWporlafuncióncontinuadeA(abierto)enRNRNdenidaporx7�!(f(x);x):Además,a2Uyaque(f(a);a)2W.TambiénhemosprobadoqueelcampovectorialfesundifeomorsmodeclaseC1deUsobreV.Apartirdeljacobianodelafunciónimplícita,parax2U,sinotamosy=f(x)(x=j(y)),tenemosqueJf�1�f(x)=Jj(y)=�[email protected]+1F1(y;x):::DN+NF1(y;x)::::::::::::::::::::::DN+1FN(y;x):::DN+NFN(y;x)1A�[email protected](y;x):::DNF1(y;x):::::::::::::::::::D1FN(y;x):::DNFN(y;x)1A=�[email protected](x):::DNf1(x)::::::::::::::::D1fN(x):::DNfN(x)1A�1�I=Jf(x)�1:Finalmentelasperfeccionesadicionalesdelafunciónfsetranserenasuinversalocal.ElloesconsecuenciadequeunatalperfecciónlatieneFyportantoj,esdecirlainversalocaldef.
2948.Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.8.4.Referenciasrecomendadas.[Cra],[MaHo],[Jur].
Acosta,AparicioyMoreno2958.5.ResumenderesultadosdelTema8.Denición(difeomorsmo).SeanA;BabiertosdeRN.Sedicequef:A!Besundifeomorsmo
sifesbiyectivaderivableyf�1tambiénesderivable.Entalcasoescribiremosf2Dif(A;B).Sedicequef:A!RNesundifeomorsmoenA
sif(A)esunabiertodeRNyf2Dif(A;f(A)).Sedicequef:A!RNesundifeomorsmolocal
siparacadaa2AexisteunentornoabiertoUdeacontenidoenAtalquefesundifeomorsmoenU.Encasodequef2Dif(A;B),yquetantofcomof�1seandeclaseCk,diremosquefesundifeomorsmodeclaseCk.AnálogamentesedenenlosdifeomorsmosenAdeclaseCkylosdifeomorsmoslocalesdeclaseCk.Porejemplo,lafunciónexponencialesundifeomorsmoenRdeclaseCÂ¥.Teoremadelafuncióninversa.SeanARNunabiertoyf:A!RNuncampovectorialdeclaseC1(oloqueesigualsuscamposescalarescomponentestienengradientecontinuo).Supongamosqueexistea2Atalquedet�Jf(a)[email protected](a):::DNf1(a)::::::::::::::::D1fN(a):::DNfN(a)1A6=0:EntoncesexisteunentornoabiertoUdeacontenidoenAtalqueV:=f(U)esunabiertodeRN,fesundifeomorsmodeclaseC1deUsobreV,yparacadax2UsevericaJf�1�f(x)[email protected](x):::DNf1(x)::::::::::::::::D1fN(x):::DNfN(x)1A�1:Además,siparaknaturalmayorque1severicaquefeskvecesderivable(resp.fesdeclaseCk),entoncesf�1eskvecesderivable(resp.f�1esdeclaseCk).Proposición.SeanARNunabiertoyf:A!RNundifeomorsmolocal,entoncesfesunaaplicaciónabierta.Teorema“global”delafuncióninversa.SeanARNunabierto,kunnaturalyf:A!RNuncampovectorial.SupongamosquefesdeclaseCkenAyquedet�Jf(x)6=0;8x2A:EntoncesfesundifeomorsmolocaldeclaseCkenA,yportantounaaplicaciónabierta.Siademásfesinyectiva,entoncessetienequefesundifeomorsmodeclaseCkenA.Teoremadelafunciónimplícita.SeanGRNRMunconjuntoabiertoyf:G!RMuncampovectorialdeclaseC1(oloqueesigualsuscamposescalarescomponentestienengradientecontinuo).Supongamosqueexiste(a;b)2Gtalquef(a;b)[email protected]+1f1(a;b):::DN+Mf1(a;b):::::::::::::::::::::::DN+1fM(a;b):::DN+MfM(a;b)1A6=0:
3068.Teoremasdelafuncióninversaydelafunciónimplícita.8.10Elcampovectorialf:R2R2!R2dadoporf(x;y;u;v)=�xeu+yev�1�e;uex+vey�e;cumplelashipótesisdelTeoremadelafunciónimplícitaenelpunto(1;1;0;1),luegoexistenunentornoabiertoUde(1;1)yuncampovectorialj:U!R2declaseC¥vericandoj(1;1)=(0;1)yf(x;y;j1(x;y);j2(x;y))=(0;0);8(x;y)2U:LoscálculoshabitualesdanJj(1;1)=�1eee�11e0e=1
e�110�11�eyenconsecuenciadet�Jj(1;1)=1
1�e6=0:AsíelcampovectorialjcumplelascondicionesdelTeoremadelafuncióninversa,loquenosaseguralaexistenciadeunaentornoabiertoAde(1;1)contenidoenUyunentornoabiertoBde(0;1)talesquej2Dif(A;B).Porúltimo,elTeoremadelafuncióninversanosaseguratambiénqueJj�1(0;1)=Jj(1;1)�1=e�10�1�1:8.11i)PN(Haymáscamposescalaresquevariables).ComoDf(a)esinyectiva,elrangodelamatrizJf(a)esmáximoyhayPvectoreslinealmenteindependientesenfÑf1(a);:::;ÑfN(a)g;quepodemossuponer,sinmenguadegeneralidad,sonlosprimeros.Enestesupuesto,denimoselcampovectorialF:ARN�P�!RNdadoporF(x1;:::;xP;yP+1;:::;yN):=�f1(x1;:::;xP);:::;fP(x1;:::;xP);fP+1(x1;:::;xP)+yP+1;:::;fN(x1;:::;xP)+yN;estoes,F(x;y):=f(x)+(0;y).EsclaroqueFesdeclaseC1en(a;0)yqueJF(a;0)[email protected]Ñf1(a):::0ÑfP(a)ÑfP+1(a):::IÑfN(a)1CCCCCCA
3109.Variedades.Extremoscondicionados.Enlasecciónsegundaseintroducenlasnocionesdeespaciostangenteynormalaunavariedadqueseránútilesalahoradeestudiar,enlaúltimasección,losextremosdecamposescalarescondicionadosporunavariedaddiferenciable.9.1.Variedadesdiferenciables.Denición9.1(implícitadevariedaddiferenciable).SeanNnaturalykenterocon0kN.SedicequeunsubconjuntonovacíoMdeRNesunavariedad
(diferenciable)enRNdedimensiónksiparacadaa2Mexisten,GentornoabiertodeaenRNg:G!RN�kdeclaseC1vericandorango�Jg(x)=N�k;8x2GtalesqueM\G=fx2G:g(x)=0g.EnelcasodequesepuedaconseguirunafuncióngcomoantesquedeterminelatotalidaddeM,diremosquelavariedadMestáglobalmentedeterminadaporg
.HablandocoloquialmentelaanteriordeniciónpresentalasvariedadesdiferenciablesenRNcomolosconjuntosdecerosdeunafuncióngdeclaseC1,estoes,comolosconjuntosformadosporlospuntosquesesometenalaligazónimpuestaporunafuncióngdeclaseC1queexpresaladependenciaentrelasvariablesdelospuntosquecomponenlavariedad.Lanocióndedimensiónrespondealgradodelibertaddelasvariablesysejusticavíael“principio”deinherencialocaldepropiedadesglobalesdeladerivada.NótesequeencadapuntoadelavariedadelconjuntodepuntosligadosporDg(a),estoesKerDg(a),tienedimensiónkpuestoquedim�KerDg(a)=N�dim�ImDg(a)=N�rango�Jg(a):Noesinmediatoqueelenterokqueapareceenladenicióndevariedadestédeterminadodeformaúnica,conloquelafrase,Mesunavariedaddedimensiónk,quedaenelaire.ElCorolario9.4justicaráelconceptodedimensióndeunavariedadenelcaso0kN.Losdoscasosextremos,lasvariedadesdedimensión0ydedimensiónNenRN,sonfácilesdedescribir:MRNesunavariedaddedimensión0si,ysólosi,Mesunconjuntodepuntosaisladosyportantonumerable.SiademásMescompacta,elconjuntoesnito.Enefecto,supongamosqueMesunavariedaddedimensión0.Fijemosa2Myconsid-eremosGygcomoenladenición.Lafuncióngvericaquerango�Jg(x)=N;8x2G;
3129.Variedades.Extremoscondicionados.
iii)(Deniciónporparametrizacionescartesianaslocales)Paracadaa2M,existen8:WentornoabiertodeaenRNUabiertodeRkp:U!RNhomeomorsmodeclaseC1deUsobrep(U)talesquep(U)=M\Wrango�Jp(y)=k;8y2U.Laterna(W;U;p)sedenominaunaparametrizacióncartesianalocaldeMena
.
iv)(Deniciónpordifeomorsmosespaciales)Paracadaa2M,existen8:WabiertodeRNGentornoabiertodeaenRNF:W!GdifeomorsmodeclaseC1talesqueF�W\(Rkf0g)=M\G.Dehechosi(W;U;p)esunaparametrizacióncartesianalocaldeMena,entoncesexisteFsatisfaciendolacondiciónanterioryademás:W\(Rkf0g)Uf0gyF(x)=p(x1;:::;xk);8x2W\(Rkf0g):
Acosta,AparicioyMoreno317esdeclaseCÂ¥enG:=RNnf0g,yparacadaa2G,elEjercicio3.17nosdaDg(a)(x)=(ajx)
kak2;estoes,Jg(a)=(a1;:::;aN)
kak2;yportantorango�Jg(a)=1.Lavariedaddeterminadaporgesfx2G:kxk2�1=0g=Skk2(0;1):c)SeaN�1.LaesferaunidadSkk1(0;1):=fx2RN:kxk1=1gnoesunavariedadenRN,peroestámuycercadeserlo.ElconjuntoM=fx2Skk1(0;1):xi6=0;parai=1;:::;NgesunavariedadenRNdedimensiónN�1globalmentedeterminadaporlaaplicacióng:G�!RdeclaseC¥denidaporg(x)=kxk1�1;dondeG=fx2RN:xi6=0;parai=1;:::;Ng:Enefecto,paracadaa2G,envistadelEjercicio3.17,setieneDg(a)(x)=Nåi=1ai
jaijxi;8x2RN;esdecir,Jg(a)=a1
ja1j;:::;aN
jaNj;yportantorango�Jg(a)=1;8a2G.ElmotivoporelcualSkk1(0;1)noesunavariedaddiferenciableestotalmenteintuible:lospuntosquehemosexcluidodeSkk1(0;1)paraobtenerMsonpuntos
“esquinas”deSkk1(0;1)
.Comprobemosseguidamentequelaintuiciónescorrecta.PorcomodidadtrabajaremosenR2.SiSkk1(0;1)fueseunavariedad,existiríaunentornoabiertoUde(1;0)enR2yuncampoescalarh:U�!RdeclaseC1talesquerango�Jh(x;y)=1;8(x;y)2UU\Skk1(0;1)=f(x;y)2U:h(x;y)=0g:
3189.Variedades.Extremoscondicionados.Siconsideramosu+=(1;1);u�=(1;�1),setieneque(1;0)+tu2Skk1(0;1);8t2]�1;0[;yenconsecuenciaDh(1;0)(u)=limt!0�h((1;0)+tu)�h(1;0)
t=0:Puestoquefu+;u�ggeneraR2,seconcluyequeDh(1;0)=0,loquecontradiceelhechodequerango�Jh(1;0)=1.PeseaqueSkk1(0;1)noesunavariedad,sinembargoesunióndisjuntadedosvar-iedades:M(dedimensión1)yf(1;0);(�1;0);(0;1);(0;�1)g(dedimensión0).9.2.Espaciostangenteynormal.Puestoquelasvariedadessonlocalmentegrácasdefuncionesderivables,laSección3.6justicalassiguientesdeniciones.Denición9.6(espaciostangenteynormal).Seank;N2NconkN;MunavariedaddeRNdedimensiónkyaunpuntodeM.Sedicequeu2RNesunvectortangenteaMena
siexisteunacurvacontenidaenMquepasaporelpuntoayquetienetangenteenacondirecciónu,estoes,9d�0;9g:]�d;d[�!RNcontinuatalqueg�]�d;d[Mcong(0)=ag0(0)=u:SedeneelespaciotangenteTM(a)alavariedadMena
comoelconjuntodevectorestangentesaMenelpuntoa.VeremosenseguidaqueTM(a)esunsubespaciovectorialdeRN.ElcomplementoortogonalenRNdelespaciotangenteena,quenotaremosTM(a)?,sellamaespacionormalaMena
,estoes,TM(a)?=fx2RN:(xju)=0;8u2TM(a)g:Alavariedadafína+TM(a)(resp.a+TM(a)?)selellamalavariedadafíntangente
(resp.normal
)alavariedadMenelpuntoa.Sik=1(resp.2;N�1)lavariedadafíntangenterecibeelnombrederecta
(resp.plano,hiperplano
)tangenteaMenelpuntoa
.Elsiguienteresultadodescribeestosespaciosatravésdelasfunciones“determinaciónimplícita”gy“parametrizacióncartesiana”p.
3209.Variedades.Extremoscondicionados.yportanto0=(Dg(a)Dg(0))(1)=Dg(a)�Dg(0)(1)=Dg(a)�g0(0)=Dg(a)(u):Ahora,paraquesedelaigualdaden9.2.1nosbastaobservarquelosespaciosextremostienenlamismadimensión:dim�KerDg(a)=N�dim�ImDg(a)=N�m=k=rango�Jp(b)=dim�ImDp(b):HemosprobadoqueImDp(b)=TM(a)=KerDg(a):DeterminaremosahorabasesdelosespaciostangenteTM(a)ynormalTM(a)?alavar-iedadMenelpuntoa.Sife1;:::;ekgeslabasecanónicadeRksetienequefDp(b)(e1);:::;Dp(b)(ek)ggeneranTM(a).Además,sonlinealmenteindependientesporserlosvectorescolumnadelamatrizJp(b)quetienerangok,yportantoconstituyenunabasedeTM(a).ComoDg(a)(x)=0;8x2TM(a),oloqueeslomismo,�Ñgj(a)jx=0;8x2TM(a)(j=1;:::;m);setienequefÑg1(a);:::;Ñgm(a)gsonvectoresdeTM(a)?.AdemássonlinealmenteindependientesporserlosvectoresladelamatrizJg(a)quetienerangom,luegoconstituyenunabasedeTM(a)?,yaquedim�TM(a)?=N�dim�TM(a)=N�k=m:
Nota9.8.Puestoqueusualmentelasvariedadesnosvendrándadas(globalmente)por“de-terminacionesimplícitas”g,yelcálculodeparametrizacionescartesianaslocalespuedesercomplicado,enlaprácticasuelesermásútilladescripcióndelespaciotangentedadoporTM(a)=KerDg(a).ParaladeterminacióndeunabasedeTM(a)sepuedeprocedercomosigue:CalculadaJg(a),lasecuacionesimplícitasdeTM(a)vienendadasporJg(a)xt=0;yelteoremadeCramernospermitepasaralasecuacionesparamétricasdeTM(a).Losvec-toresqueseobtienenalirhaciendocadaunodeloskparámetrosigualesa1yelrestoigualesa0,determinanunabasedeTM(a).Porejemplo,siTM(a)esdedimensiónN�1(hiperplano),yTM(a)=fx2RN:a1x1++aNxN=0g;entonces,supuestoa16=0,losvectores(�a2;a1;0;:::;0);(�a3;0;a1;0;:::;0);:::;(�aN;;0;:::;0;a1) sonunabasedeTM(a)(sonvectoresdeTM(a)linealmenteindependientes).
Acosta,AparicioyMoreno321Ejemplo9.9.VariedadesafíntangenteyafínnormalalaesferaunidadeuclídeaM=Skk2(0;1)enunpuntoa.Lafuncióng:RNnf0g�!Rdenidaporg(x)=kxk2�1determinaglobalmentelavariedadM.Paracadaa2M,sabemosqueÑg(a)=(a1;:::;aN):LavariedadafíntangentealavariedadMenelpuntoaeselhiperplanodeRNdeecuacióna+TM(a)=fx2RN:(Ñg(a)jx�a)=0g=fx2RN:a1(x1�a1)++aN(xN�aN)=0g=fx2RN:a1x1++aNxN=1g:LavariedadafínnormalaMenaeslarectaa+TM(a)?=fa+tÑg(a):t2Rg;esdecir,larectadeecuacionesparamétricasdadas(cambiando1+tport)por8:x1=a1t::::::xN=aNt(t2R):9.3.Extremoscondicionados.Dedicamosestasecciónalestudiodelosextremosdecamposescalaresdenidosensub-conjuntosabiertosdeRNcondicionadosporunavariedaddiferenciable.Convienetenerpre-sentequeenelTema7setratóesteproblemaenelcasoparticulardevariedadesdedimensiónN,esdecirabiertosdeRN.Ahoravamosadesarrollarlateoríaparavariedadesdedimensiónkcon0kN.Denición9.10(Extremocondicionado).SeanXunespaciotopológico,f:X!RunafunciónyCunsubconjuntodeX.Sedicequefalcanzaenunpuntoa2Cunmáximocondicionado
porCsiexisteunentornoabiertoUdeatalquef(x)f(a);8x2U\C.Sedicequefalcanzaenunpuntoa2CunmáximocondicionadoporCestricto
siexisteunentornoabiertoUdeatalquef(x)f(a);8x2U\Cnfag:Sisecambianlasdesigualdadesenlasdenicionesanteriores,aparecenlosconceptosdemínimocondicionado
ymínimocondicionadoestricto
.Unextremo
esobienunmáximocondicionado,obienunmínimocondicionado.
3269.Variedades.Extremoscondicionados.Solución:p
2
2;�p
2
2;�p
2
2;p
2
2(l=1);p
2
2;p
2
2;�p
2
2;�p
2
2(l=�1);Sólofaltacompararlosvaloresquetomafencadaunodeestospuntos:f(0;0)=0;fp
2
2;p
2
2=f�p
2
2;�p
2
2=1;f�p
2
2;p
2
2=fp
2
2;�p
2
2=�1EnconsecuenciaelmáximodefenKvale1ysealcanzaenlospuntosp
2
2;p
2
2y�p
2
2;�p
2
2.Elmínimovale�1ysealcanzaen�p
2
2;p
2
2yp
2
2;�p
2
2.b)Determinarlasconstantesdeequivalenciaóptimasdelasnormaskk1ykkpenR3,donde(1p¥).Elproblemaconsisteendeterminarlamayorconstanteaylamenorconstantebtalesqueakxk1kxkpbkxk1;8x2R3;oequivalentemente,akxkpb;8x2R3:kxk1=1;yportanto,setratadedeterminarlosvaloresmáximoymínimoabsolutosdelafunciónkkpsobrelaesferaunidadparalanormakk1.Porrazonesdesimetría,podemosrestringirnuestraatenciónalainterseccióndelaesferaconelprimeroctante,esdecir,alconjuntoK:=n(x;y;z)2R3:x+y+z=1;0x;y;zo:Asimismo,debidoalcrecimientodelafuncióndeR+0enRdadaport�!t1=p,pode-mosplantearnoselproblemaenlossiguientestérminos:Determinarlosextremosabsolutosdelafunciónfdenidaporf(x;y;z)=xp+yp+zp(x;y;z2R+0)enelconjuntoK:=n(x;y;z)2R3:x+y+z=1;0x;y;zo:LacontinuidaddefylacompacidaddeKnosgarantizanlaexistenciadelosextremosabsolutos.ElconjuntoKesunaunióndisjuntade31+32+33=7variedadesdiferenciables.Enefecto:
Acosta,AparicioyMoreno327
3variedadesdedimensión0:M1=f(1;0;0)g;M2=f(0;1;0)g;M3=f(0;0;1)g
3variedadesdedimensión1:M4=f(x;y;0)2R3:x+y=1;0x;0ygqueestáglobalmentedeterminadaporlafuncióndenidaporg(x;y;z)=(x+y+z�1;z);(x;y;z)2G:=R+R+RyanálogamentelasvariedadesM5=f(x;0;z)2R3:x+z=1;0x;0zg;M6=f(0;y;z)2R3:y+z=1;0y;0zg:
Unavariedaddedimensión2:M7=n(x;y;z)2R3:x+y+z=1;0x;y;zo;queestáglobalmentedeterminadaporlafuncióndenidaporg(x;y;z)=x+y+z�1;(x;y;z)2G=R+R+R+:CalculemoslosposiblesextremosdelafunciónfcondicionadosporM4.PuestoquefesderivableenR3ylavariedadM4puedeversecomolavariedadglobalmentedeter-minadaporlafuncióng:G=R+R+R�!R2denidaporg(x;y;z)=(x+y+z�1;z)sepuedeaplicarelTeoremadeLagrange.FuncióndeLagrange:L:GR2�!RdenidaporL(x;y;z;l;m)=xp+yp+jzjp+l(x+y+z�1)+mz:SistemadeLagrange:8&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;:pxp�1+l=0pyp�1+l=0psigno(z)jzjp�1+l+m=0x+y+z=1z=0x;y&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;0Solución:a=1
2;1
2;0;(a;b)=�p
2p�1;p
2p�1:EstepuntoeselúnicoenM4enelquefpuedealcanzarunextremoabsolutoenK.
3289.Variedades.Extremoscondicionados.ElmismoprocedimientosesigueparalasvariedadesM5yM6,quenosproporcionanlassoluciones1
2;0;1
2y0;1
2;1
2,respectivamente.Demaneraanálogapodemoscalcularlosposiblesextremosdelafunciónfcondiciona-dosporM7aplicandoelTeoremadeLagrange.FuncióndeLagrange:L:GR�!RdenidaporL(x;y;z;l)=xp+yp+zp+l(x+y+z�1):SistemadeLagrange:8����&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;:pxp�1+l=0pyp�1+l=0pzp�1+l=0x+y+z=1x;y;z&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;0Solución:a=1
3;1
3;1
3;a=�p
3p�1:EstepuntoeselúnicodeM7dondefpuedealcanzarunextremoabsolutoenK.Porconsiguientecadavariedadaportaunúnicopunto,portantohaysietecandidatos.BastaevaluarlafunciónenellosparaconcluirqueelmáximodefenKes1yestevalorloalcanzaenlospuntosqueaportanlasvariedadesdedimensión0yelvalormínimoes1
3p�1yloalcanzaenelpuntoqueaportalavariedaddedimensión2.Comoconsecuenciadenuestrosresultadossesigueque,si1
p+1
q=1,entonces1
3p�11
p=1
31
qkxkp1;8x2R3;kxk1=1;ylascotasobtenidassoninmejorables.Enconsecuencia,lasconstantesdeequivalenciaóptimasdelasnormaskk1ykkpenR3son1
31
qkxk1kxkpkxk1;8x2R3:Nota:ElestudioenRNesanálogo.ElconjuntoK=nx2RN:x1+:::+xN=1;0x1;:::;xNoesunióndisjuntadeN1+N2+:::+NN=2N�1variedades.Cadaunaaportaunúnicoposibleextremoabsolutodef.Aligualqueocurreendimensión3,elmáximosealcanzaenlospuntoscríticosdelasvariedades
Acosta,AparicioyMoreno329dedimensión0(puntos)yelmínimoenelpunto1
N;:::;1
NqueeselqueaportalavariedaddedimensiónN�1.Seobtiene,comoconsecuencia,elsiguienteresultado:SeanN2Nyp2Rcon1p¥.Lasconstantesdeequivalenciaóptimasdelasnormaskk1ykkpenRNson:1
N1
qkxk1kxkpkxk1;8x2RN;donde1
p+1
q=1:c)DadoN2N,calcularelmayorvalordelafunciónfdenidaporf�x1;:::;xN=x1:::xN;8x=(x1;:::;xN)2RNenelconjuntoK=nx2RN:kxk2=1;0xi;i=1;:::;No:LacontinuidaddefylacompacidaddeKgarantizanlaexistenciademáximoabsoluto.Nóteseque,comoenelejemploanterior,Kesunióndisjuntade2N�1variedadesyfseanulaentodassalvoenM=nx2RN:kxk2=1;0xi;i=1;:::;No:EsclaroentoncesquelospuntosdeKenlosquefalcanzasumáximoabsolutohandeserpuntosdeM.Vamosportantoacalcularloscandidatosaextremosdefcondi-cionadosporM,lavariedadglobalmentedeterminadaporlafuncióng:G=R+NR+�!Rdenidaporg�x1;;xN=x21+:::+x2N�1:FuncióndeLagrange:L:GR�!RdenidaporL�x1;:::;xN;l=x1:::xN+l(x21+:::+x2N�1):SistemadeLagrange:8&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;:x2:::xN+2lx1=0::::::::::::::::::::x1:::xN�1+2lxN=0x21++x2N=1x1;:::;xN&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;0Solución:a=1
p
N;:::;1
p
N;a=�N
2p
NN:Yaqueestepuntoeselúnicocandidatosesiguequeenéllafunciónfalcanzaelmáximoabsoluto,quenecesariamente(alserúnico)esestricto.Setienepuesque:x1x2xN1
NN=2;8x2K;ysedalaigualdadsi,ysólosi,x1=x2==xN:
3309.Variedades.Extremoscondicionados.Nota:Lasolucióndelejercicioanterioresequivalentealaimportantedesigualdadentrelasmediasaritméticaygeométrica.Demuéstrese(Ejercicio9.5).EnlalecturaquehicimosdelTeoremadeLagrangehemosseñaladoqueescondiciónnecesariaparaquefalcanceenaunextremocondicionadoporlavariedadMelhechodequeexistaa2Rmtalque(a;a)seaunpuntocríticodelafuncióndeLagrange:ÑL(a;a)=0.SidenotamosporLaalafunciónparcialdelafuncióndeLagrangeobtenidajandoa,estoes,La:G�!RdenidaporLa(x)=L(x;a);(x2G);(nótesequeLaesunafunciónsólodeNvariables).EsclaroqueentoncessevericaqueDLa(a)=0:Elsiguienteresultadotraduceenelcontextodeextremoscondicionados,lascondicionesnecesariasysucientesdeexistenciadeextremosrelativoscuandolaprimeraderivadanonulaeslasegunda.Teorema9.14(Condicionesneces.ysuf.deextremocondicionado).Seank;m;N2Nconk+m=N;yMunavariedadenRNdedimensiónk,GunabiertodeRNquecontieneaMyf:G�!Runcampoescalarderivable.Seana2M;gunafunciónquedeterminalocalmenteMenaya2Rmtalesque(a;a)esunpuntocríticodelafuncióndeLagrangeL.Silasfuncionesfygsondosvecesderivablesenayd2La(a)jTM(a)esnonulasevericanlassiguientesarmaciones:i)(Condicionessucientes)Sid2La(a)(u)0;8u2TM(a)nf0g;entoncesfalcanzaenaunmáximocondicionadoporMestricto.Sid2La(a)(u)&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0;8u2TM(a)nf0g;entoncesfalcanzaenaunmínimocondicionadoporMestricto.ii)(Condicionesnecesarias)SifalcanzaenaunmáximocondicionadoporM,entoncesd2La(a)(u)0;8u2TM(a)nf0g:SifalcanzaenaunmínimocondicionadoporM,entoncesd2La(a)(u)0;8u2TM(a)nf0g:
Acosta,AparicioyMoreno331Demostración:Puestoquegesdosvecesderivableena,podemosconsiderarunaparametrizacióncarte-sianalocal(W;U;p)deMtalquepesdosvecesderivableenb=p�1(a).LaestrategiadelademostraciónpasaporlaProposición9.11yconsisteenaplicaralafunciónfpenelpuntoblascondicionesnecesariasysucientesdeexistenciadeextremosrelativos.Comopesdosvecesderivableenbyfesdosvecesderivableena,sesiguequefpesdosvecesderivableenb.Puestoquegp=0,setienequegjp=0;8j2f1;:::;mg,luego(a1g1+:::+amgm)p=0;yenconsecuencia,comoLa=f+(a1g1++amgm),tenemosquefp=Lap:Comprobemosquebesunpuntocríticodefp,estoesD(fp)(b)=0.Enefecto,D(fp)(b)=D(Lap)(b)=DLa(a)Dp(b)=0puesDLa(a)=0porhipótesis.Además,sabemosqueparay2Rkseverica(verSección5.3,ii)D2(fp)(b)(y;y)=D2(Lap)(b)(y;y)=D2La(a)Dp(b)(y);Dp(b)(y)+DLa(a)D2p(b)(y;y)==D2La(a)Dp(b)(y);Dp(b)(y):Finalmente,puestoqueenvirtuddelaProposición9.7,Dp(b)esunabiyeccióndeRksobreTM(a)podemoscambiarenelenunciadod2La(a)(u)pord2(fp)(b)(y)ybastarátenerencuentalaProposición9.11paraconcluirlademostracióndelteorema.
Nota:Enlautilizaciónprácticadelteoremaconvendrátenerpresentelasiguienteconse-cuenciadelapartadoii):Sid2La(a)(u)0;8u2TM(a);entoncessiftieneunextremocondicionadoenaporM,éstehadesermáximo.Análoga-mente,sid2La(a)(u)0;8u2TM(a);entoncesdealcanzarfenaunextremocondicionadoporM,éstehadesermínimo.Alaaplicaciónprácticadelresultadoanteriordedicaremoselrestodeltema.
3349.Variedades.Extremoscondicionados.Aunqueaseamínimoestrictoyademásseaelúnicopuntocrítico,lajusticacióndequeesmínimoabsolutonoesfácil.Usaremosladesigualdadentrelasmediasgeométricayaritmética:Ennuestrocasosi0x;y;zsetieneque3p
x2y2z2xy+xz+yz
3ysedalaigualdadsi,ysólosi,xy=xz=yzsi,ysólosix=y=z.Comoennuestrocasohadeserxyz=1,seconcluyeque3xy+xz+yzysedalaigualdadsi,ysólosi,x=y=z=1.Hemosobtenidoquefalcanzaen(1;1;1)unmínimocondicionadoporMabsolutoestricto,estoes,elortoe-droenR3devolumen1ysupercielateralmínimaeselcubo.Nota:Paramásinformación,véaseelEjercicio9.6.
Acosta,AparicioyMoreno337Extremocondicionado.SeanXunespaciotopológico,f:X!RunafunciónyCunsubconjuntodeX.Sedicequefalcanzaenunpuntoa2Cunmáximocondicionado
porCsiexisteunentornoabiertoUdeatalquef(x)f(a);8x2U\C.Sedicequefalcanzaenunpuntoa2CunmáximocondicionadoporCestricto
siexisteunentornoabiertoUdeatalquef(x)f(a);8x2U\Cnfag:Sisecambianlasdesigualdadesenlasdenicionesanteriores,aparecenlosconceptosdemínimocondicionado
ymínimocondicionadoestricto
.Unextremocondicionado
esobienunmáximocondicionado,obienunmínimocondicionado.TeoremadeLagrange(Condiciónnecesariadeextremocondicionado).Seank;m;N2Nconk+m=NyMunavariedadenRNdedimensiónk,GunabiertodeRNquecontieneaMyf:G�!Runcampoescalarderivable.SilafunciónfalcanzaenunpuntoadelavariedadMunextremocondicionadopordichavariedadygesunafunciónquedeterminalocalmenteMena,entoncesexistenúnicosnúmerosrealesa1;:::;am2RtalesqueD(f+a1g1+:::+amgm)(a)=0:Teorema(Condicionesneces.ysuc.deextremocondicionado).Seank;m;N2Nconk+m=N;yMunavariedadenRNdedimensiónk,GunabiertodeRNquecontieneaMyf:G�!Runcampoescalarderivable.Seana2M;gunafunciónquedeterminalocalmenteMenaya2Rmtalesque(a;a)esunpuntocríticodelafuncióndeLagrangeL.Silasfuncionesfygsondosvecesderivablesenayd2La(a)jTM(a)esnonulasevericanlassiguientesarmaciones:i)(Condicionessucientes)Sid2La(a)(u)0;8u2TM(a)nf0g;entoncesfalcanzaenaunmáximocondicionadoporMestricto.Sid2La(a)(u)&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0;8u2TM(a)nf0g;entoncesfalcanzaenaunmínimocondicionadoporMestricto.ii)(Condicionesnecesarias)SifalcanzaenaunmáximocondicionadoporM,entoncesd2La(a)(u)0;8u2TM(a)nf0g:SifalcanzaenaunmínimocondicionadoporM,entoncesd2La(a)(u)0;8u2TM(a)nf0g:
3389.Variedades.Extremoscondicionados.Véanseademáslosapartadossobre:
AplicacióndelTeoremadeLagrangealcálculodeextremosabsolutos.
Estudioprácticodelascondicionesdeextremoenlospuntoscríticos.
Acosta,AparicioyMoreno3399.8.EjerciciosdelTema99.1Seank;N2NconkN.ProbarqueunavariedadafíndedimensiónkenRNesunavariedad(diferenciable)dedimensiónkenRN.9.2(*)SeaNunnúmeronaturalmayorqueuno.ProbarquenoexisteunaparametrizacióncartesianaglobaldeSkk2(0;1).Calcularparametrizacionescartesianaslocalesdedichavariedad.CalculaunaparametrizacióncartesianaglobaldelavariedadMdelEjemplo9.5.c).9.3SeaNunnúmeronaturalmayorqueuno.ProbarqueelconjuntoM=fx2RN:kxk¥=1y91i2f1;:::;Ngtalquejxij=1gesunavariedadenRNdedimensiónN�1queestáglobalmentedeterminada.9.4JusticarquecadaunodelossubconjuntosdeR3esunavariedadycalcularlosespa-ciostangenteynormalenelpunto(a;b;c)queseindica:1.(Elipsoide)M=n(x;y;z)2R3:x2
a2+y2
b2+z2
g2=3o(a;b;g�0);(a;b;c)=(a;b;�g):2.(Paraboloidehiperbólico)M=(x;y;z)2R3:z=x2�y2 ;(a;b;c)=(0;0;0):3.(Hélice)M=(cost;sent;t):t2R ;(a;b;c)=(�1;0;p):4.(BordedelabóvedadeViviani)M=n(x;y;z)2R2R+:x2+y2+z2=1;x�1
22+y2=1
4o;(a;b;c)=(0;0;1):
3409.Variedades.Extremoscondicionados.5.(Toro)M=n(x;y;z)2R3:�p
x2+y2�22+z2=1o;(a;b;c)=(3;0;0):9.5Probarqueparaa=(a1;:::;aN)conai0(i=1;:::;N)sonequivalentesi)a1aN1
NN
2�kak2=1.ii)Np
a1aNa1++aN
N.Ademásenamboscasossedalaigualdadsi,ysólosi,a1==aN.9.6i)DeterminarlasdimensionesdelortoedroenR3desupercielateralseisunidadesyvolumenmáximo¿Existeunortoedrodevolumenmínimocondichasupercielateral?ii)¿Existeunortoedrodesupercielateralmáximaconvolumenjounaunidad?9.7Determinarlasdimensionesdelortoedrodemayorvolumenquesepuedeinscribirenelelipsoidex2
a2+y2
b2+z2
c2=1(a;b;c�0):9.8CalcularladistanciamínimadeunpuntoaunplanoenR3.9.9DeterminarlosextremosabsolutosdelassiguientesfuncionesenelconjuntoKindica-do:f(x;y)=2x2�3y2�2x;K:=n(x;y)2R2:x2+y25og(x;y)=10xy�x2y�xy2;K:=n(x;y)2R2:0x;0y;x+y10oh(x;y)=x2+y2�xy�x�y;K:=n(x;y)2R2:0x;0y;x+y3ou(x;y)=x2�2xy+y2;K:=n(x;y)2R2:x2+y22xo:v(x;y)=y�x;K:=n(x;y)2R2:x2+y2�2x=0o:9.10Estudiarlosextremoslafunciónf(x;y;z)=xyz;8(x;y;z)2R3condicionadosporelconjunton(x;y;z)2R3:x+y+z=1o:
3429.Variedades.Extremoscondicionados.9.2Skk2(0;1)esuncompactodeRNluegonopuedeserhomeomorfoaunabiertodeRN�1.EnconsecuenciaSkk2(0;1)noadmiteunaparametrizacióncartesianaglobal.Sinem-bargoSkk2(0;1)sítieneparametrizacioneslocalessencillas.PorejemplosiaN6=0,tómeseUlabolaunidadeuclídeaabiertadeRN�1yp(y)=8:y;q
1�kyk22siaN�0;conW=UR+y;�q
1�kyk22siaN0;conW=UR�:VeamosenprimerlugarelcasoparticularN=2.SeanW=RRlossemiplanosabiertos,yconsideremoselabiertodeRU:=fx2R:0jxj1g=]�1;0[[]0;1[:Consideremosporúltimolasparametrizacionesp(x):=�x;(1�jxj);8x2U:Entonces
(W+;U;p+)esunaparametrizacióncartesianalocalparatodopuntodeMconordenadapositiva.
(W�;U;p�)esunaparametrizacióncartesianalocalparatodopuntodeMconordenadanegativa.Unaparametrizacióncartesianaglobalseconsigueseparandoeldominiodedenicióndeambas:SinotamosU�=U�1=]�2;�1[[]�1;0[U+=U+1=]0;1][]1;2[,entonceslaaplicaciónp:U�[U+�!R2dadaporp(x)=p�(x+1)six2U�p+(x�1)six2U+esunaparametrizacióncartesianaglobaldeM.Veamosahoraelcasogeneral.SeanW+=fx2RN:0xNgyW�=fx2RN:xN0glosdossemiespaciosabiertosdeRN.ConsideremoselabiertodeRN�1dadoporU=f(x1;:::;xN�1)2RN�1:x1;:::;xN�16=0;jx1j++jxN�1j1g:Lasaplicacionesp:U�!RNdadasporp(x1;:::;xN�1)=�x1;:::;xN�1;(1�jx1j��jxN�1j)
Acosta,AparicioyMoreno343sonrespectivamenteparametrizacionescartesianaslocalesdeM\W.Enconsecuen-cia,siconsideramoslosabiertosU�=U�(1;:::;1)yU+=U+(1;:::;1);entonces(RN;U+[U�;p),dondep(x1;:::;xN�1)=p��(x1;:::;xN�1)+(1;:::;1)si(x1;:::;xN�1)2U�p+�(x1;:::;xN�1)+(1;:::;1)si(x1;:::;xN�1)2U+;esunaparametrizacióncartesianaglobaldeM.9.3Lafuncióng(x)=kxkÂ¥�1;8x2G=fx2RN:91i2f1;:::;Ngtalquejxij=kxkÂ¥gesdeclaseCÂ¥vericandoJg(a)=0;:::;0;ai
jaij;0;:::;0,paracadaa2Gconjaij=kak¥,yenconsecuenciarango�Jg(a)=1;8a2G:AsíMesunavariedadenRNdedimensiónN�1.9.4TodosloscasossonvariedadespropiasenR3yenconsecuenciadedimensión2(resp.1).Setratapuesdedescribirelplano(resp.larecta)tangenteylarecta(resp.elplano)normalalavariedadMenelpunto(a;b;c).ConvienerecordarquesiA2+B2+C2;a2+b2+g2�0,entoncessetienequepA(x�a)+B(y�b)+C(z�c)=0r8:x=a+aty=b+btz=c+gt9=;(t2R)9&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;=&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;;=)p?8:x=a+Aty=b+Btz=c+Ct9=;(t2R)r?a(x�a)+b(y�b)+g(z�c)=01.(Elipsoide)Lafuncióng(x;y;z)=x2
a2+y2
b2+z2
g2�3;8(x;y;z)2G=R3nf(0;0;0)gesdeclaseCÂ¥conJg(x;y;z)=2x
a2;2y
b2;2z
g2,yenconsecuenciarango�Jg(x;y;z)=1;8(x;y;z)2G:
Acosta,AparicioyMoreno349=(Aa+Bb+Cc�D)
A2+B2+C22;esdecir,d=jAa+Bb+Cc�Dj
p
A2+B2+C2:Lajusticacióndequeesmínimoabsolutoesfácil(verEjercicio2.10queutilizalapropiedaddeBolzano-Weierstrass.)9.9LosconjuntosKsoncompactosylasfuncionessoncontinuasluegoalcanzanelmáx-imoyelmínimoabsolutos.Esclaroquelosextremosabsolutossontambiénextremoscondicionados(relativosenelcasodeabiertos).Sielpuntodondefalcanzaunex-tremoabsolutopertenecealinteriordeK,entoncesfalcanzaenélunextremorelativoyenconsecuencialasderivadasparcialesdefendichopuntosonnulas.Enotrocaso,elpuntopertenecealafronteradeKyseestudiacomoextremoscondicionados(lafronteradeKóesunavariedadóesuniónnitadevariedadesdisjuntas).
f
f(x)=2x2�3y2�2x:K:=n(x;y)2R2:x2+y25o:EnestecasoKesuncírculodecentroelorigenyradiop
5.Estudioenelinterior:(¶f
¶x(x;y)=4x�2¶f
¶y(x;y)=�6y):Elúnicopuntocríticoesa=1
2;0.Estudioenlafrontera:FuncióndeLagrange:L:(R2nf(0;0)g)R�!RdenidaporL(x;y;l)=2x2�3y2�2x+l(x2+y2�5):SistemadeLagrange:8:(2+l)x=1(l�3)y=0x2+y2=59=;)(y=0)x=p
5;l=1
p
5�2l=3;x=1
5;y=p
124
5)Solución:b=�p
5;0;a=1
p
5�2;c=��p
5;0;a=�1
p
5�2;d=1
5;p
124
5;b=3;e=1
5;�p
124
5;b=3:
3509.Variedades.Extremoscondicionados.Enconsecuencia,falcanzaelmáximoencyvale10+2p
5,mientrasqueelmínimovale�380
25=�15;2ysealcanzaendye.
g
g(x;y)=10xy�x2y�xy2;K:=n(x;y)2R2:0x;0y;x+y10oKeseltriángulodevértices(0;0);(0;10);(10;0).Estudioenelinterior:(¶g
¶x(x;y)=10y�2xy�y2¶g
¶y(x;y)=10x�x2�2xy):Elúnicopuntocríticoesa=10
3;10
3.Estudioenlafrontera:Lafronteraesunióndisjuntade4variedadesglobalmentedeterminadas:M1=f(0;0);(0;10);(10;0)g(dedimensióncero);M2=f(x;y)2R2:x=0;0y10g;M3=f(x;y)2R2:y=0;0x10g;M4=f(x;y)2R2:0x;0y;x+y=10g;dedimensiónuno.Lafuncióng(x;y)=(10�x�y)xyseanulaentodoslospuntosdelafronterayenelinteriordeKtomavalorespositivos,luegoalcanzaelmínimoenlafronterayéstevaleceroyelmáximoloalcanzaenelpuntocríticodelinterioryvale10
33.
h
h(x;y)=x2+y2�xy�x�y;K:=n(x;y)2R2:0x;0y;x+y3oKeseltriángulodevértices(0;0);(0;3);(3;0).Estudioenelinterior:(¶h
¶x(x;y)=2x�y�1¶h
¶y(x;y)=2y�x�1):Elúnicopuntocríticoesa=(1;1).Estudioenlafrontera:Lafronteraesunióndisjuntade4variedadesglobalmentedeterminadas:M1=f(0;0);(0;3);(3;0)g(dedimensióncero);M2=f(x;y)2R2:x=0;0y3g;
Acosta,AparicioyMoreno351M3=f(x;y)2R2:y=0;0x3g;M4=f(x;y)2R2:0x;0y;x+y=3g;dedimensiónuno.EnlasvariedadesM2yM3lospuntoscríticossonc=0;1
2;b=�1
2yd=1
2;0;g=�1
2:EstudiamoslosextremoscondicionadosdehenM4.FuncióndeLagrange:L:R+R+R�!RdenidaporL(x;y;l)=x2+y2�xy�x�y+l(x+y�3):SistemadeLagrange:8:2x�y�1+l=02y�x�1+l=0x+y=3Solución:b=3
2;3
2;a=�1
2:Evaluandoseobtienequehalcanzaelmáximoen(0;3)y(3;0)yéstevale6;elmínimovale-1ysealcanzaena=(1;1).
u
u(x;y)=x2�2xy+y2;K:=n(x;y)2R2:x2+y22xo:Keselcírculodecentro(1;0)yradio1.LapropiedaddecompacidadnosaseguraquefalcanzaelmáximoyelmínimoabsolutosenK.SielpuntodondefalcanzaunextremoabsolutopertenecealinteriordeK,estoes,alconjuntof(x;y)2R2:x2+y22xg;entoncesfalcanzaenélunextremorelativoyenconsecuencialasderivadasparcialesdefendichopuntosonnulas,estoes,essolucióndelsistemaÑf(x;y)=0,D1f(x;y)=0D2f(x;y)=0,x=y:Puntoscríticos:f(x;x):0x1g.Estudioenlafrontera:M=f(x;y)2R2:x2+y2�2x=0g:
3529.Variedades.Extremoscondicionados.EstudiamosahoralosextremoscondicionadosporM.ObsérvesequeMeslavariedadenR2dedimensiónunodeterminadaglobalmenteporlafuncióndeclaseC¥g(x;y)=x2+y2�2x;8(x;y)2G=R2nf(1;0)g;puesrango�Jg(x;y)=1;8(x;y)2G:FuncióndeLagrange:L:GR�!RdenidaporL(x;y;l)=x2�2xy+y2+l(x2+y2�2x):SistemadeLagrange:8:x�y=l(1�x)x�y=lyx2+y2=2x9=;)l(1�x�y)=0))8&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;:b=(0;0);a=0;c=(1;1);a=0d=2+p
2
2;�p
2
2;b=�2�p
2;e=2�p
2
2;p
2
2;g=�2+p
2y�x=lyFinalmente,evaluandouseobtienequeu(x;x)=0;u(d)=3+2p
2;u(e)=3�2p
2:Enconsecuencia,elmáximosealcanzaendyelmínimovaleceroysealcanzaenlospuntosdelconjuntof(x;x):0x1g.
v
v(x;y)=y�x;K:=n(x;y)2R2:x2+y2�2x=0o:Lafuncióng(x;y)=x2+y2�2x;8(x;y)2G=R2nf(1;0)gesdeclaseC¥yvericarango�Jg(x;y)=1;8(x;y)2GporloqueMeslavariedaddedimensiónunoenR2globalmentedeterminadaporg.DehechoMeslacircunferenciaC((1;0);1),luegoescompacta,loqueaseguralaexistenciadeextremosabsolutos.Enestecaso,elinteriordelconjuntoesvacío.Estudioenlafrontera:
Acosta,AparicioyMoreno353FuncióndeLagrange:L:GR�!RdenidaporL(x;y;l)=y�x+l(x2+y2�2x):SistemadeLagrange:8:�1+2lx�2l=01+2ly=0x2+y2�2x=0,8:1=2l(x�1)�1=2lyx2+y2=2x,(l6=0)y=1�xx2+y2=2x,2x2�4x+1=0:Solución:a=2+p
2
2;�p
2
2;a=p
2
2;b=2�p
2
2;p
2
2;b=�p
2
2Concluimosquevalcanzaelmáximoenbyenaelmínimo,yestosvalen�1+p
2y�1�p
2,respectivamente.9.10f(x;y;z)=xyz;8(x;y;z)2M=f(x;y;z)2R3:x+y+z=1g:FuncióndeLagrange:L:R4�!RdenidaporL(x;y;z;l)=xyz+l(x+y+z�1):SistemadeLagrange:8��&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;:yz+l=0xz+l=0xy+l=0x+y+z=1)yz=xz=xySoluciones:a=1
3;1
3;1
3;a=�1
9;b=(1;0;0);b=0;c=(0;1;0);b=0;d=(0;0;1);b=0HLa(x;y;z)=HLb(x;y;z)[email protected]=1
[email protected];[email protected];[email protected];[email protected]:Jg=(1;1;1))K(x;y;z)=1�1001�1
Tema10MedidadeLebesgueenRN.Desdelaantigüedadelhombrehatenidoqueenfrentarsealproblemademedirlongitudes,áreasyvolúmenes;sibiendehecholahistoriaestállenadeacontecimientosqueasíloavalan,hayqueconstatarquelaformalizacióndelateoríadelamedidaesreciente.LamedidadeLebesgueenRNesunaextensióndelanociónelementaldevolumendeunintervaloacotadoN-dimensionalaunamuyampliaclasedesubconjuntosdeRN.PuestoquelamedidadeLebesguetienediferentesignicadoenespaciosdedistintadimensión,esusualjarladimensiónN2N,loqueharemosdesdeestemomento,yenconsecuencianoseránecesarioindicarlaexplícitamenteenlanotación.ElprocedimientoqueseguiremosparaconstruirlamedidadeLebesgueenRNconsistiráendenirdirectamentelamedidaexteriordeLebesgueapartirdelvolumendeunintervaloacotadoyrestringirdichamedidaexterioralaampliaclasedelosconjuntosmedibles,clasequedescribiremosutilizandolatopología(Teorema10.15),aunqueseprobarátambiénquenohayquedisponerdelatopologíaparaconocerlosconjuntosdedichaclase(Teorema10.16).EntérminosgeneraleselproblemademedirenRNconsisteenasignaracadasubconjuntoAdeRNsumedidam(A),conlaquesepretendecuanticarsutamaño.Naturalmenteestaasignaciónhadeposeerciertascualidadesquenosdictalarazón,asaberm(A)0ym(A1[:::[An)=m(A1)+:::+m(An)paracualesquieraconjuntosA1;:::;Andisjuntosentresí.Noobstante,eldesarrolloexitosodelateoríaexigequelaanteriorcondicióndeaditividadseaválidaparacualquiersucesiónfAngdeconjuntosdisjuntosentresí,estoesm([¥n=1An)=¥ån=1m(An):EstambiénnaturalrequerirquelamedidaasignadaalosintervalosN-dimensionalesven-gadadaporlafórmulatradicional.NotodoslossubconjuntosdeRNsepuedensometeraestasreglas.Aquellosquesílohacenconstituyenunafamilia,losconjuntosmedibles,quegozadelaspropiedadesqueseguidamentecodicamos.Convieneresaltarqueeltrabajoconmedidasinvolucrainexorablementeelconjunto[0;¥](véaseelApéndiceAenelquesereco-genlasnocionesusadashabitualmenteendichoconjunto).359
Acosta,AparicioyMoreno3612)SimesunamedidasobreA,entonces:i)m(/0)=0.ii)[A;B2A;A\B=/0])m(A[B)=m(A)+m(B)(aditividad
).iii)[A;B2A;AB])m(A)m(B)(monotonía
).iv)[An2A;AnAn+1;8n2N])m([Â¥n=1An)=limm(An)(crecimientocontinuo
).v)[An2A;AnAn+1;8n2N;m(A1)Â¥])m(\Â¥n=1An)=limm(An)(decrecimientocontinuo
).vi)[A;B2A])m(A[B)m(A)+m(B)(subaditividad
).vii)[An2A;8n2N])m([¥n=1An)å¥n=1m(An)(s-subaditividad
).Demostración:
1
a)Esconsecuenciadei)yii)deladeniciónyaqueWC=/0.b)Bastahacereniii)deladeniciónA=A1;B=A2=A3=:::c)Esconsecuenciadeii)yiii)deladeniciónyaque\¥n=1An=�[¥n=1ACnC.d)Sepruebacomob)peroutilizandoc).e)EsconsecuenciadelaigualdadAnB=A\BCusandod)yelaxiomaii)deladenición.
2
i)TomemosA2Atalquem(A)¥,entoncesm(A)=m(A[/0[/0:::)=m(A)+m(/0)+m(/0)+:::;luegom(/0)=0.ii)m(A[B)=m(A[B[/0[/0[:::)=m(A)+m(B)+0+0+:::=m(A)+m(B).iii)m(A)m(A)+m(BnA)=m(A[(BnA))=m(B).iv)PongamosB1=A1yBn+1=An+1nAn,8n2N.Setieneque:An=[nk=1Bk;8n2Ny,enconsecuencia,[¥n=1An=[¥k=1Bkconloquem([¥n=1An)=m([¥k=1Bk)=¥åk=1m(Bk)=lim�m(B1)+:::+m(Bn)=limm([nk=1Bk)=limm(An);dondesehautilizadoelaxiomades-aditividad,elconceptodeserieylapropiedaddeadi-tividadnita.v)Lapropiedaddeaditividadnitanosaseguraparan2Nquem(A1)=m(A1nAn)+m(An);ytambiénquem(A1)=m(\¥n=1An)+m(A1n\¥n=1An);conloquealserm(A1)¥,utilizandoademásiv),setienem(A1)�m(\¥n=1An)=m(A1n\¥n=1An)=m([¥n=1(A1nAn))=
36210.MedidadeLebesgueenRN.limm(A1nAn)=lim(m(A1)�m(An))=m(A1)�limm(An)dedondeobviamentesededucelapropiedadv).vi)m(A[B)=m(A[(BnA))=m(A)+m(BnA)m(A)+m(B).vii)PongamosBn=[nk=1Ak;8n2N.Setienequem([¥n=1An)=m([¥n=1Bn)=limm(Bn)limnåk=1m(Ak)=¥ån=1m(An);dondesehanutilizadoiv),vi)yelconceptodeserie.
Nota10.3.Obsérvesequeahoralas-subaditividadaseguraque,encualquierespaciodemedida,launiónnumerabledeconjuntosdemedidaceroesdemedidacero.Denición10.4(Propiedadc.p.d.).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.SedicequeunapropiedadP(w)relativaaunpuntogenéricow2Wsevericacasipordoquier
conrespectoam(m-c.p.d.),obien,paracasitodopuntodeWconrespectoam(m-ctw2W),sielconjuntodepuntosdondedichapropiedadnosevericaesunconjuntodemedidacero.Seomitelareferenciaalamedidamsinohaylugaraconfusión.Porejemplo,lafunciónparteenteraE:R!Rescontinuac.p.d.yaqueelconjuntoZdepuntosdediscontinuidadtienemedidacero(segúnlaNota10.3).Si(W;A;m)esunespaciodemedidayfPngesunasucesióndepropiedadesrelativasaunpuntogenéricow2WtalquecadaunadelasPnsevericac.p.d.,entoncessevericantodassimultáneamentec.p.d.,esdecir,siseconsideralapropiedadPdeterminadapor:“Psevericaenwsi,ysólosi,todaslasPnsevericanenw”,entoncesPsevericac.p.d.Enefecto,siparacadannaturalEnWeselconjuntodemedidaceroenelquenosevericaPn,entonceselconjuntoE:=fw2W:Pnosevericaenwgesdemedidacero,puesE=[n2NEn.
Acosta,AparicioyMoreno365dondeI1;I2;:::;INsonintervalos(cadaunodeellosdecualquiertipo,abierto,cerradoosemiabierto,acotadoono)enR.CuandoelintervaloIesacotadoynovacíosedenesuvolumen
por:v(I):=(supI1�infI1)(supIN�infIN):Porcoherenciaconvenimosquev(/0)=0.SiN=1elvolumen1-dimensionaldeunintervaloacotadoIRsellamalalongitud
deIyserepresentapor`(I).ParaN=2(N=3)elvolumen2-dimensional(3-dimensional)deunintervaloacotadoenR2(R3),quenoesotracosaqueunrectángulo(ortoedro)deladosparalelosalosejes,eselárea
(volumen
)dedichorectángulo(ortoedro).NotaremosporJalafamiliadelosintervalosacotados
deRN.Paraalgunasdemostracionesesmáscómodorestringirseaunafamiliamáspequeñadeintervalosacotados.Denición10.7(cubodiádicodedimensiónN).Dadoa=(a1;:::;aN)2RNyd�0,lla-mamosN-cubo
deladodyvérticeaalintervaloacotadoQ(a;d)=[a1;a1+d[[a2;a2+d[:::[aN;aN+d[:Paracadan2NnotaremosporPnelconjuntodetodoslosN-cubosdelado1
2nconvérticeenunpuntoxdeRNcuyascoordenadasseanmúltiplosenterosde1
2n.Esdecir:Pn=Qx;1
2n:x2RN;2nx2ZN:Talesintervalosacotadossedenominancubosdiádicos
dedimensiónN.NoesdifícilprobarqueparacadanaturalnlafamiliaPnconstituyeunapartición(numer-able)deRN.EnRNtenemoselsiguienteresultadoacercadelaexpresióndeunconjuntoabiertocomounióndecubosdiádicosdisjuntos,queseráfrecuentementeusado.Proposición10.8(Descomposicióncanónicaencubosdiádicos).TodoconjuntoabiertonovacíoGenRNesunióndeunasucesiónfQngdeN-cubosdiádicosdosadosdisjuntosycuyaadherenciaestácontenidaenG.AdemássiKGyKescompactoentoncessevericaqueK[mn=1Qnparaalgúnm2N.Demostración:Paran=1seaS1elconjuntodelosN-cubosdiádicosdelado1
2cuyaadherenciaestácon-tenidaenG.Paran2N,n�1seaSnelconjuntodelosN-cubosdiádicosdelado1
2ncuyaad-herenciaestácontenidaenGynoestáncontenidosenningúnN-cubodiádicodeladomayorque1
2ncuyaadherenciaestécontenidaasuvezenG.Como[¥n=1SnesunafamilianumerabledeN-cubosdiádicos,podemosconsiderarunaenumeraciónfQn:n2Ngdeésta.ProbamosahoraquelasucesiónfQngsatisfacelaspropiedadesde-seadas.
36610.MedidadeLebesgueenRN.ParacadanaturalndenimosFn:=[fQ:Q2SngsiSn6=/0/0siSn=/0Esclaroque[Â¥p=1Qp=[Â¥n=1FnyqueG[Â¥n=1Fn.VeamosqueG[Â¥n=1Fn.Paraelloseax2G;porserGabiertoenRNexister�0talque
BÂ¥(x;r)G.Sean2Ntalque1
2nryseaQ2Pntalquex2Q(lafamiliaPnesunaparticióndeRN).Paratodoy2
Qsetienequeky�xk¥1
2nr,asíresultaque
QG;portanto,obienQ2Sn,obienQQ0conQ02Smymn.EncualquiercasosetienequeQ[Â¥n=1Fnporloquex2[Â¥n=1Fn.HemosdemostradoasíqueG=[Â¥p=1Qp.VeamosqueQp\Qq=/0parap6=q.SeaQp2SmyQq2Sn.Sim=nentoncesQpyQqsonN-cubosdiádicosdistintosdeigualladoyportantosetienequeQp\Qq=/0.Sim6=n,QpyQqsonN-cubosdiádicosdedistintoladoy,pordenicióndelosconjuntosSn,eldemenorladonoestácontenidoeneldemayorlado,luegosetienequeQp\Qq=/0.SeaahoraKGcompacto.SiG=RNentoncesQp2S1,8p2Nylaexistenciademesinmediata.Enotrocaso,sea:a=inffky�xkÂ¥:x2K;y2RNnGg:PorserKcompactoyRNnGcerradoyambosdisjuntos,hadesera&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.02; 0 ;&#xTd [;0.Sean0elmáspequeñonúmeronaturaltalque1
2n0a.Siahorax2KyQ2Pn0estalquex2Q,setieneque
QGporlocual,obienQ2Sn0,obienQQ0conQ02Smymn0,asíresultaqueK[n0n=1Fn:ComoKesunconjuntoacotadoesclaroqueparatodon2NelconjuntofQ:Q2Sn;Q\K6=/0gesnito,enconsecuencialafamiliafQ:Q2Sn;Q\K6=/0;1nn0gesnitay,segúnacabamosdever,Kestácontenidoenlaunióndedichafamilia,luego9m2NtalqueK[mn=1Qn.
Acosta,AparicioyMoreno367Corolario10.9.Las-álgebrageneradaporJcoincideconlas-álgebradeBorelB.Demostración:SeaAlas-álgebrageneradaporJ.EnvistadelresultadoanteriorsetienequeÁAyportantoBA.VeamosqueJByenconsecuenciaAB.Enefecto,bastapensarqueunintervaloacotadodedimensiónNeslaintersecciónde2Nsemiespaciosqueobviamentesonborelianosporserabiertosocerrados.
SiAesunsubconjuntodeRN,lamaneramásnaturalenlaquecabepensarmedirAessindudalaquedalasiguientedenición.Denición10.10(MedidaexteriordeLebesgue).Lamedidaexteriorde
Lebesgue
espordeniciónlaaplicaciónl:P(RN)![0;Â¥]dadaporl(A):=inf(¥ån=1v(In):A[n2NIn;In2J;8n2N);8ARN(obviamente,existensucesionesfIngquevericanlascondicionesexigidas).Probemosquetambiénl(A)=inf(¥ån=1v(In):A[n2NIn;In2J;Inabierto;8n2N);8ARNParaabreviarnotamospora(A)alsegundomiembrodelaigualdadademostrar.Esclaroquel(A)a(A).Sil(A)=Â¥,entoncesl(A)=a(A).Sil(A)Â¥,paraprobarquea(A)l(A)observemosquesiI=I1:::INesunintervaloacotado,ysipara0ddenimosI(d):=]infI1�d;supI1+d[]infIN�d;supIN+d[:setienequeI(d)esunintervaloabiertoacotadoconII(d)yclaramentesevericaquev(I(d))!v(I)cuandod!0:Ahora,dadoe&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.33; 0 ;&#xTd [;0,tomemosunasucesiónfIngenJtalqueA[Â¥n=1Iny¥ån=1v(In)l(A)+e
2:Comoacabamosdever,existeparacadan2NunintervaloabiertoacotadoJntalqueInJnyv(Jn)v(In)+e
2n+1:Concluimosquea(A)¥ån=1v(Jn)¥ån=1v(In)+e
2n+1=e
2+¥ån=1v(In)l(A)+e
36810.MedidadeLebesgueenRN.yportantoa(A)l(A).
SeguidamenteexponemoslaspropiedadesbásicasdelamedidaexteriordeLebesgue.Proposición10.11(PropiedadesdelamedidaexteriordeLebesgue).Laaplicaciónl:P(RN)![0;Â¥]denidaporl(A):=inf(¥ån=1v(In):A[n2NIn;In2J;8n2N);8ARNsatisfacelassiguientespropiedades:i)l(/0)=0.ii)[A;BRN;AB])l(A)l(B)(monotonía).iii)[AnRN;8n2N])l�[Â¥n=1Anå¥n=1l(An)(s-subaditividad).Demostración:i)Esinmediatayaqueelvacíoesunintervaloacotadodevolumencero.ii)EsconsecuenciadequesiunasucesiónfIngdeelementosdeJcubreBtambiéncubreA.iii)Siå¥n=1l(An)=Â¥,nohaynadaqueprobar.Enotrocasoseae�0.Paracadan2NtomemosunasucesiónfIm;ngm2NdeelementosdeJquecubreAnytalque¥åm=1v(Im;n)l(An)+e
2n:DenotemosA=[¥n=1An.SisescualquierbiyeccióndeNsobreNN,deA[¥k=1Is(k)deducimos,teniendoencuentaelApéndiceAsobre[0;¥],quel(A)¥åk=1v(Is(k))=¥ån=1¥åm=1v(Im;n)¥ån=1l(An)+eylaarbitrariedaddeedemuestralas-subaditividad.
Denición10.12(medidaexterior).Unamedidaexterior
enunconjuntonovacíoWespordeniciónunaaplicaciónm:P(W)![0;Â¥]vericando:i)m(/0)=0.ii)[A;BW;AB])m(A)m(B)(monotonía).iii)[AnW;8n2N])m�[Â¥n=1Anå¥n=1m(An)(s-subaditividad).Proposición10.13(RegularidaddelamedidaexteriordeLebesgue).DadoARN,existeBborelianotalqueAByl(A)=l(B).
37010.MedidadeLebesgueenRN.Demostración:
i)
EsclaroqueRN2M.SiA[Z2M,conA2Byl(Z)=0,entonces,envirtuddelaregularidaddelamedidaexteriordeLebesgue,existeB2BtalqueZByl(B)=0.Enestasituaciónpodemosescribir(A[Z)C=AC\ZC=AC\[BC[(ZC\B)]=[AC\BC][[AC\(ZC\B)];yportanto(A[Z)C=A0[Z0,siendoA0=AC\BC2ByZ0=AC\(ZC\B)quesatisfacel(Z0)l(B)=0,porloque(A[Z)C2M.SiahorafAn[ZngesunasucesióndeelementosdeM,entonces[Â¥n=1(An[Zn)=([Â¥n=1An)[([Â¥n=1Zn)2Mpuestoque[Â¥n=1An2Byl�[Â¥n=1Znå¥n=1l(Zn)=0.FinalmenteelCorolario10.9nosaseguraqueJM(sisequiereunademostraciónalternativadeestehecho,sinutilizarelcitadocorolario,bastapensarqueunintervaloacotadoesunióndeunintervaloabiertoyelconjuntoZunióndesuseventualescarasqueclaramenteverical(Z)=0).
ii)
Lapruebadeesteapartadoeslaboriosa.Comprobaremosenprimerlugarquelare-striccióndelaMesunamedida.Supuestoquelseaaditivaenlas-álgebraMobsérvesequeparacualquierE2Mnecesariamentehadesatisfacersequel(A)=l(A\E)+l(AnE);8ARN:Enefecto,dadoARNseaB2Bcomoen10.13.Setienel(A)=l(B)=l(B\E)+l(BnE)l(A\E)+l(AnE)ylasubaditividaddel(esinmediatoqueunamedidaexterioressubaditiva)nospermiteconcluirquelaanteriordesigualdadesdehechounaigualdad.EsnaturalentoncesconsiderarlafamiliaC=fERN:l(A)=l(A\E)+l(AnE);8ARNg;esdecir,lafamiliadelosconjuntosque“partenbienrespectoalamedidaexterior”cualquierconjunto.Probaremosseguidamentelassiguientesarmaciones:a)Cesunas-álgebraylesunamedidasobreC.b)Las-álgebraMestácontenidaenlas-álgebraC.Comoconsecuenciadeestosapartadosseconcluyequelesunamedida.
a)
EsinmediatocomprobarqueRN2CyqueparacualquierA2CtambiénAC2C.DadosE;F2CyARN,tenemos:l(A)=l(A\E)+l(A\EC)=
Acosta,AparicioyMoreno371l(A\E\F)+l(A\E\FC)+l(A\EC\F)+l(A\EC\FC):AlsustituirAporA\(E[F)quedal(A\(E[F))=l(A\E\F)+l(A\E\FC)+l(A\EC\F);(1)yportantol(A)=l(A\(E[F))+l(A\EC\FC)=l(A\(E[F))+l(A\(E[F)C):ObtenemosasíqueE[F2C.PorinducciónsesiguequelauniónnitadeconjuntosdeCperteneceaC.SeanahoraE;F2Cdisjuntos,por(1)setiene:l(A\(E[F))=l(A\E)+l(A\F);8ARN:SiahoraE1;E2;:::;En2Csondisjuntosdosados,obtenemosporinducciónque:l(A\(E1[:::[En))=l(A\E1)+:::+l(A\En);8ARN:(2)SeanalmenteunasucesiónfEngdeelementosdeCdisjuntosdosadosypongamosFn=E1[:::[En,8n2N,yE=[¥n=1En.Entoncesl(A)=l(A\Fn)+l(AnFn)=nåk=1l(A\Ek)+l(AnFn)nåk=1l(A\Ek)+l(AnE);dondesehausado(2)ylamonotoníadel.Haciendoquen!¥yusandolas-subaditividadylasubaditividaddel,obtenemosl(A)¥ån=1l(A\En)+l(AnE)l([¥n=1(A\En))+l(AnE)==l(A\E)+l(AnE)l(A);loquedemuestraqueE2Cyque:l(A)=¥ån=1l(A\En)+l(AnE);8ARN:(3)TomandoA=Een(3)obtenemoslas-aditividaddel,esdecirEn2C;8n2N;Ei\Ej=/0(i6=j))l([¥n=1En)=¥ån=1l(En):ProbemosnalmentequelauniónnumerabledeelementosdeCperteneceaC.EnprimerlugarsiE;F2C,setienequeE\F=(EC[FC)C2CyenconsecuenciaEnF=E\FC2C.SeaahoraunasucesióncualquierafEngdeelementosdeC.DenimosporrecurrenciaF1:=E1yFn+1:=En+1n[nk=1Ek:
37210.MedidadeLebesgueenRN.DeloyademostradoFn2C,8n2N.Claramentedichosconjuntossondisjuntosdosadosporloqueconcluimosque[Â¥n=1En=[Â¥n=1Fn2C:
b)
SupongamosqueSesunsemiespaciodeRNdeltipo:f(x1;:::;xN)2RN:xiag(resp.;&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;;);paraalgúnicon1iNyalgúna2R.VeamosqueS2C.SiARNyA[Â¥n=1InconIn2J,8n2N,entonceslosintervalosIn\SrecubrenA\SylosintervalosInnSrecubrenAnSyportantoseverical(A\S)+l(AnS)¥ån=1v(In\S)+¥ån=1v(InnS)=¥ån=1(v(In\S)+v(InnS))=¥ån=1v(In):Consecuentementel(A\S)+l(AnS)l(A)ylasubaditividaddelamedidaexteriornospermiteconcluirquelaanteriordesigualdadesdehechounaigualdadyqueportantoS2C.ComocualquierintervaloacotadodeRNsepuedeexpresarcomolaintersecciónde2NsemiespaciosdeltipoanterioryéstospertenecenaCpodemosasegurarquetambiénlosintervalosacotadospertenecenaC.ComoBeslas-álgebraquegeneraJpodemosahoraconcluirqueBC.SupongamosnalmentequeZRNvericaquel(Z)=0.ParacualquierARNsetieneentoncesl(A\Z)+l(AnZ)=l(AnZ)l(A);dondesehautilizadolamonotoníadel.LasubaditividaddelnospermiteconcluirquelaanteriordesigualdadesdehechounaigualdadyportantoZ2C.HemosprobadoqueMC(dehechoprobaremosenseguidaqueambass-álgebrascoinciden).Unavezprobadoquelesunamedida,demostraremosahoraqueextiendeelvolumendelosintervalosacotados,estoes,l(I)=v(I);8I2J:EstaessindudalapartemásdifícildelteoremaquedehechorequierelautilizacióndelTeoremadeHeine-Borel-Lebesgue(ApéndiceAdelTema2).SupongamosqueIesunin-tervaloacotadodeRN.Esclaroquel(I)v(I),puesIesunrecubrimientodesímismo.Enconsecuenciasiv(I)=0,tambiénl(I)=0.Paraprobarlaigualdadenelcasov(I)&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0,observemosquesiI=I1:::IN,yparacadadtalque0d1
2minfsupI1�infI1;:::;supIN�infINgdenimosI(d)=[infI1+d;supI1�d]:::[infIN+d;supIN�d];setienequeI(d)esunintervalocerradotalqueI(d)Iyv(I(d))!v(I)cuandod!0:
Acosta,AparicioyMoreno373Fijadoe�0,podemosenconsecuenciatomarunintervalocerradoKcontenidoenItalquev(I)v(K)+e:SeafIngunasucesióndeintervalosabiertosyacotadosdeRNquerecubranIytalque¥ån=1v(In)l(I)+e:PuestoqueKescompactohadeocurrirqueKI1[:::[Imparaconvenientem2N(Teo-remadeHeine-Borel-Lebesgue).Severicaentoncesquev(K)v(I1)+:::+v(Im)¥ån=1v(In)l(I)+e(paracomprobarlaprimeradesigualdadvéaseelApéndiceBsobre"Subaditividaddelvolu-men"),yportantov(I)l(I)+2e.Comoquieraquelaanteriordesigualdadesválidaparacualquierpositivoepodemosconcluirquev(I)l(I)yenconsecuencial(I)=v(I).Porúltimo,probaremoslaunicidadanunciadaenelteoremahaciendousodelamagnícarelaciónexistenteentrelamedidadeLebesgueylatopologíadeRNquerecogemosenelsiguienteresultado.Teorema10.16.ParaERNequivalen:i)E2M.ii)E2C,estoes,l(A)=l(A\E)+l(AnE);8ARN.iii)8e&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.04; 0 ;&#xTd [;0;9Gabierto:EGyl(GnE)e.iv)9AdetipoGd:EAyl(AnE)=0.v)8e&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0;9Fcerrado:FEyl(EnF)e.vi)9BdetipoFs:BEyl(EnB)=0.ParatodoconjuntomedibleEseverican:l(E)=inffl(G):Gabierto;EGg(regularidadexteriorde
l)supfl(K):Kcompacto;KEg(regularidadinteriorde
l)Lacaracterizacióndelosconjuntosmediblesdadaporii)sedebeaCarathéodoryynorequiereusarlatopología.
37810.MedidadeLebesgueenRN.10.4.CaracterizacióndelamedidadeLebesgueTeorema10.17(CaracterizacióndelamedidadeLebesgue).i)SimesunamedidasobreM(resp.B)invarianteportraslacionesytalquea:=m([0;1[N)¥,entoncesm=al.ii)LamedidadeLebesgueeslaúnicamedidasobreMinvarianteportraslacionesparalaquelamedidadelintervalo[0;1[Nes1.Demostración:
i)
NotemosQ0=[0;1[NyQn=1
2nQ0;8n2N:Paracadanaturaln,Q0esuniónde2nNintervalostrasladadosdeQndosadosdisjuntos,porloqueusandoquemesinvarianteportraslaciones,setienequea=m(Q0)=2nNåj=1m(Qn)=2nNm(Qn);estoes,m(Qn)=a
2nN=av(Qn):Utilizandodenuevoquemesinvarianteportraslacionesdeducimosquem(Q)=av(Q);paracualquiercubodiádico:Ladescomposicióndeunabiertoenunióndediádicosdisjuntos(Proposición10.8)nosaseguraquem(G)=al(G)paracualquierconjuntoabiertoG.SeaahoraKuncompactoytomemosIintervaloabiertoacotadoconteniendoaK.Entoncescomom(I)Â¥,tenemosm(K)=m(I)�m(InK)=al(I)�al(InK)=a[l(I)�l(InK)]=al(K):ParaE2M,envirtuddelasregularidadesdelamedidadeLebesgueydelamonotoníadem,setienequeal(E)=asupfl(K):KEcompactog=supfal(K):KEcompactog=supfm(K):KEcompactogm(E):al(E)=ainffl(G):EGabiertog=inffal(G):EGabiertog=inffm(G):EGabiertogm(E):
38010.MedidadeLebesgueenRN.SiahoraZesdemedidacero,entonces,envirtuddelaregularidaddelamedidaexteriordeLebesgue,existeBborelianoconZBtalquel(B)=0.SetienepuesqueT(Z)T(B))l(T(Z))l(T(B))=aTl(B)=0)l(T(Z))=0:Enconsecuencia,l(T(E))=aTl(E);8E2M:SeguidamenteprobamosqueaT=1enelcasoparticulardequeTseaunaisometría.Enefecto,tomandocomoElabolaunidadeuclídeaB,alserT(B)=B,obtenemosl(B)=l(T(B))=aTl(B):AsÝaT=1yvaleelenunciadopuesalserTunaisometría,sumatrizasociadaesortogonalyenconsecuenciatienedeterminante1(véaselaProposición7.25).HemosprobadoquesiTesunaisometría,entoncesl(T(E))=l(E);8E2M:EnelcasogeneralenqueTseaunaaplicaciónlinealcondetT6=0,essabido(véaseApéndiceC)queexistenisometríaslinealesQ1yQ2yunaaplicaciónlinealD,talqueD(ei)=aiei(1iN),dondea1;:::;aNsonrealespositivos,talesqueT=Q1DQ2:Esinmediatocomprobarquel(D([0;1]N))=l([0;a1]:::[0;aN])=NÕj=1aj=detD=jdetTj;yenconsecuencia,aD=detD;comoqueríamosdemostrar.HemosprobadoelenunciadoparaeloperadordiagonalD.Porelresultadoyaprobadoparaisometríasyparaoperadoresdiagonales,concluimosqueparacadaE2Mseverical(T(E))=l((Q1DQ2)(E))=l((DQ2)(E))=detDl(Q2(E))==jdetTjl(Q2(E))=jdetTjl(E):SupongamosnalmentequedetT=0.EnestasituaciónT(RN)estáincluidoenunhiper-planodeRNyportantoexisteunaisometríalinealQvericandoqueQ(T(RN))f0gRN�1.Enconsecuencia,porloyademostrado,l(T(RN))=l(Q(T(RN)))l(f0gRN�1)=0ydeellodeducimosquel(T(E))=0;8E2M:
FinalizamoslalecciónestudiandoelcomportamientodelamedidadeLebesguefrentealasaplicacionesdeclaseC1.
Acosta,AparicioyMoreno381Lema10.19.SeaGRNunabiertonovacío.ExisteentoncesunasucesiónfBngdebolasabiertaseuclídeasdisjuntasentresídemaneraquel GnÂ¥[n=1Bn!=0:Demostración.Supongamosenprimerlugarquel(G)Â¥.PongamosG=Â¥[k=1Qk(descomposicióncanónicaencubosdiádicos(Proposición10.8)).Comol(G)=¥åk=1l(Qk)existep12Ntalquep1Ã¥k=1l(Qk)&#x]TJ/;མ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;l(G)
2:Parak=1;2;:::;p1seanakelcentrodeQkylkellado.ConsideremosB2ak;lk
2Qk(k=1;2;:::;p1):SetienequelB2ak;lk
2=lB20;lk
2=llk
2B2(0;1)=lk
2Nl(B2(0;1))=(lk)Nl(B2(0;1))
2N=l(Qk)C;dondesehanutilizadoelTeorema10.17ylaProposición10.18.AsíexisteunaconstanteCcon0C1talquelB2ak;lk
2=Cl(Qk);8k=1;2;:::;p1:NosinteresaunabuenamayoracióndelamedidadelconjuntoGnSp1k=1Bk,setienequel Gnp1[k=1Bk!=l(G)�p1åk=1l(Bk)=l(G)�Cp1åk=1l(Qk)l(G)�Cl(G)
2=1�C
2l(G):ConsideramosahoraelabiertoGnSp1k=1
BkyseaplicaelprocesoanteriorparaobtenerBp1+1;:::;Bp2
Acosta,AparicioyMoreno383dondefB2(an;rn)gesunasucesióndebolaseuclídeasabiertasdisjuntasdosadosyZesunconjuntodemedidacero(Lema10.19).Setieneentoncesquef(E)f(H)=¥[n=1f(B2(an;rn))[f(Z)B2(f(an);Krn)[f(Z);dondesehautilizadolahipótesisdelipschitzianidad.Porunladosetienequel ¥[n=1B2(f(an);Krn)!¥ån=1l(B2(f(an);Krn))=¥ån=1KNl(B2(f(an);rn))=KNl(H):PorotraparteseaLGesunabiertotalqueZLGconl(L)e(regularidadexteriordelamedidadeLebesgue(Teorema10.16)).LadescomposicióncanónicadeunabiertoencubosdiádicosnosdaL=¥[n=1Qn:ParacadannotemosbnalcentroysnelsemiladodelcubodiádicoQn;así
Qn=
BÂ¥(bn;sn);8n2NyportantoL=SÂ¥n=1
B¥(bn;sn).Tenemospuesquef(Z)f(L)f ¥[n=1
BÂ¥(bn;sn)!Â¥[n=1
BÂ¥(f(bn);p
Nsn)ytambiénl(f(Z))¥ån=1p
NNsNN=¥ån=1p
NN(2sn)N
2N=p
N
2N¥ån=1(2sn)N=p
N
2Nl(L)p
N
2Ne:Resumiendo,jadoe�0,hemosprobadoquel(f(E))KNl(H)+p
N
2NeKN(l(E)+e)+p
N
2Neylaarbitrariedaddeepruebalaproposición.
Acosta,AparicioyMoreno385ii)SeaEGmedible.Elapartadov)delTeorema10.16nosproporcionaunasucesiónfFngdecerradoscontenidosenEtalquel�En[Â¥n=1Fn=0.Consideremosparacadan2NelcompactoKn=(F1[:::[Fn)\
B(0;n):SetieneentoncesqueKnE;8n2Nyl(En[Â¥n=1Kn)=0:Comof(E)=f([Â¥n=1Kn[(En[Â¥n=1Kn))=[Â¥n=1f(Kn)[f(En[Â¥n=1Kn);concluimosquef(E)esmediblepueslacontinuidadconservalacompacidadyelapartadoi)nosaseguraquef�En[Â¥n=1Knesmedible(dehechoesunconjuntodemedidacero).
Acosta,AparicioyMoreno387ClaramenteparaN2Njo,setieneMåm=1Nån=1am;n¥åk=1as(k);8M2N;luegoNån=1¥åm=1am;n=¥åm=1Nån=1am;n¥åk=1as(k);(dondesehautilizado())yportanto¥ån=1¥åm=1am;n¥åk=1as(k):Recíprocamente,paraK2Njo,existenM;N2NtalesqueKåk=1as(k)Måm=1Nån=1am;n;luegoKåk=1as(k)¥åm=1Nån=1am;n=Nån=1¥åm=1am;n¥ån=1¥åm=1am;n(dondesevuelveautilizar()),yportanto¥åk=1as(k)¥ån=1¥åm=1am;n:Aplicandoloyademostradoabm;n=an;myalabiyecciónts:N!NN,dondet(m;n)=(n;m),seobtienelaotraigualdad.Ladenicióndeproductoesalgomásproblemática.ExtendemoselproductousualenR+0medianteelconvenio:x¥=¥x=¥;8x2]0;¥];0¥=¥0=0:Esinmediatocomprobarqueesteproductoesasociativo,conmutativoydistributivore-spectodelasuma,asícomoque1eselelementoneutro.Elhaberdenido0¥=¥0=0haceevidentequeelproductonoseacontinuo.Noobstanteesclaroquesifangyfbngsonsucesionescrecientesdeelementosde[0;¥],fang!ayfbng!b,entoncesfanbng!ab.Enparticular,[a;an2[0;¥];8n2N])a¥ån=1an=¥ån=1aan:
38810.MedidadeLebesgueenRN.10.7.ApéndiceB:“Subaditividaddelvolumen”.Siunintervaloacotadoestáincluidoenlaunióndeunnúmeronitodeintervalosacota-dos,estoesII1[I2[:::[In,entoncesv(I)v(I1)+:::+v(In):Demostración:i)EmpezaremosprobandoquesiunintervaloacotadoIesuniónnitadeintervalosI1;:::;Indisjuntosdosados,entoncesv(I)=v(I1)+:::+v(In)(aditividaddelvolumenenJ):Fijemosj2f1;:::;Ng,seanS;TsemirrectasdisjuntascuyauniónseaRypongamosˆS:=fx=(x1;:::;xN)2I:xj2Sg;ˆT:=fx=(x1;:::;xN)2I:xj2Tg:()Sededucedirectamentedeladenicióndevolumenquev(I)=v(ˆS)+v(ˆT)puestoque`(pj(I))=`(pj(I\ˆS))+`(pj(I\ˆT)),mientrasqueparak6=jes`(pk(I))=`(pk(I\ˆS))=`(pk(I\ˆT)).Probaremoslaproposiciónporinducciónsobreelnúmerodeintervalosqueintervienenenladescomposición.Acabamosdedemostrarqueelenunciadoesciertosiemprequeenlaparticiónintervienensólodosintervalos.Sean�2unnaturaltalqueelenunciadoesciertoparatodoslosnúmerosnaturalesprecedentes.SeaIunintervaloacotadodeRNtalqueI=I1[:::[Inparaintervalosdisjuntos.SeanI1=A1:::AN,In=B1:::BNlasexpresionesdeI1eIncomoproductodeintervalosacotadosdeR,seaj2f1;:::;NgtalqueAj\Bj=/0(porserI1\In=/0taljexiste),seanSyTsemirrectasdisjuntasdeRtalesqueAjS;BjT;S[T=RydenamosˆSyˆTcomoen().PorserI1ˆS,InˆTtenemos:ˆS=(ˆS\I1)[:::[(ˆS\In�1);ˆT=(ˆT\I2)[:::[(ˆT\In)expresionesdeˆSyˆTcomounionesden�1intervalosacotadosdosadosdisjuntos.Aplicandolahipótesisdeinducciónyquev(/0)=0,tenemos:v(I)=v(ˆS)+v(ˆT)=�v(ˆS\I1)++v(ˆS\In�1)+�v(ˆT\I2)++v(ˆT\In)=
39210.MedidadeLebesgueenRN.10.9.ApéndiceD:“ConjuntosternariosdeCantoryfun-ciónsingulardeLebesgue”Probamosqueparacadaa2[0;1[existeunconjuntoternariodeCantorCademedidaa(enparticularelconjuntodeCantororiginalesdemedidaceroynonumerable).LosconjuntosdeCantorsondiseminados(despreciablestopológicamente,estoes:compactosdeinteriorvacío)ytienenmedidatancercaalaunidadcomosequiera.Denición10.23(ConjuntosternariosdeCantor).SeaI0=[0;1].Tomemosr2]0;1
2[,enprincipiosinrestricciónadicional.ElprimerpasodelaconstruccióndelosconjuntosternariosdeCantorconsisteensuprim-irdelintervaloI0elintervaloabiertocentradoenelpuntomediodeI0conlongitudr,inter-valoquenotaremosI1;1.Enelsegundopasosesuprimendecadaunodelosdosintervalosquequedan,losinter-valosabiertoscentradosenelpuntomediodecadaunodeellosconlongitudr2,intervalosquenotaremosI2;1;I2;2.Eneltercerosesuprimendecadaunodeloscuatrointervalosquequedan,losintervalosabiertoscentradosenelpuntomediodecadaunodeellosconlongitudr3,intervalosquenotaremosI3;1;I3;2;I3;3;I3;4.Yasísucesivamente.Esclaroquelasumadelaslongitudesdelosintervalosquehemossuprimidoesr�1+2r+(2r)2++(2r)n+:Estaríafeoquelasumadelaslongitudesdelosintervalosquequitamosfuesemayorque1,esdecir,hemosdeimponerquer
1�2r1()r1
3:Resumiendo,r2]0;1
3]:ElconjuntoternariodeCantorasociadoaryquenotaremosCreselsiguienteCr=I0n�I1;1[(I2;1[I2;2)[(I3;1[I3;2[I3;3[I3;4)[;cuyamedidaesclaramentel(Cr)=1�3r
1�2r:Habidacuentaquelafunciónr7�!g(r)=1�3r
1�2r
Acosta,AparicioyMoreno393escontinua,estrictamentedecrecienteyvericaquelimr!0g(r)=1yqueg�1
3=0;deducimosqueg�]0;1
3]=[0;1[:Hemosprobadoquesia2[0;1[,existeunconjuntoternariodeCantorconmedidaa.Enparticular,elconjuntodeCantororiginal,C1
3,queenlosucesivolonotaremossimplementeporCesdemedidacero.Probamosahoraqueexisteunafunciónf:[0;1]![0;1]creciente,continuaytalquef(C)=[0;1](deloquesededucequeelconjuntodeCantororiginalCnoesnumerable).DichafunciónsesueleutilizarparaconstruirunhomeomorsmodeRsobreRquenocon-servalosconjuntosdemedidacero(véaseelEjercicio10.9).Másadelanteveremostambiénqueestafunciónuniformementecontinuanoesabsolutamentecontinua.Denición10.24(FunciónsingulardeLebesgue).SeanIn;k(k=1;2;:::;2n�1)losinterva-losquesesuprimenenelpason-ésimodelaconstruccióndelconjuntodeCantororiginal.DenimoslafunciónsingulardeLebesguef:[0;1]![0;1]comof(x)=(0,six=02k�1
2n,six2In;kparan2N;k2f1;:::;2n�1gyf(x)=supff(t):t2[0;1]nC;txg;8x2Cnf0g:ElprocesoparaobtenerlaexpresióndefenelintervaloIn;ksepuededescribircomosigue:unavezdenidafen0como0yen1como1,encadaunodelosintervalosquesesuprimenenlaconstruccióndeCsedenefcomoelvalormediodelosvaloresquetomaenlospuntosmáspróximosadichointervaloparaloscualesyaestádenida.Nótesequeparax2In;ksetienequef(x)=2k�1
2n=k�1
2n�1+k
2n�1
2yqueportanto,sikesparelintervaloanteriorenelqueestáyadenidafesIn�1;k
2,ysikesimparelintervaloposteriorenelqueestáyadenidafesIn�1;k+1
2.EnamboscasoselotrointervalocolindanteesobiendelaformaIp;qcon1pn�2obienf0g;f1gsik=1;k=2n�1.Esclaroquefescrecienteyquef([0;1])2k�1
2n:n2N;k2fi;:::;2n�1gqueesunconjuntodensoen[0;1].Porotraparte,puestoquefescreciente,sinofuesecontinuaenunpuntoa2[0;1],algunodelosintervalos]f(a�);f(a)[,]f(a);f(a+)[no
39410.MedidadeLebesgueenRN.seríavacíoynoestaríacontenidoenf([0;1]),contradiciendolainclusiónantesmencionada.PorcontinuidadftomaenCtodoslosvaloresdelconjuntoanterior,yalserf(C)compacto,concluimosquef(C)=[0;1].Ademásesevidentequefesderivableen[0;1]nCconderivadanulaendichospuntos.Convienesaberqueexistenfuncionesde[0;1]en[0;1]continuasyestrictamente
cre-cientesconderivadanulacasipordoquier.
Acosta,AparicioyMoreno39510.10.Referenciasrecomendadas.[Jur],[Ber],[Guz],[LuMa],[RaWe]y[Ru].
Acosta,AparicioyMoreno397Nótesequev)esunrenamientodeladenicióndeconjuntomedibleyqueloscerradossepuedentomaracotados(esdecir:compactos).TeoremadeexistenciayunicidaddelamedidadeLebesgue.LamedidadeLebesgueleslarestriccióndelaMyeslaúnicamedidasobreMqueextiendeelvolumendelosintervalosacotados.SeaE2M,setienel(E)=inffl(G):Gabierto;EGgsupfl(K):Kcompacto;KEgregularidadexteriorinteriordel:TeoremadecaracterizacióndelamedidadeLebesgue.i)SimesunamedidasobreM(resp.B)invarianteportraslacionesytalquea:=m([0;1[N)¥,entoncesm=al.ii)LamedidadeLebesgueeslaúnicamedidasobreMinvarianteportraslacionesparalaquelamedidadelintervalo[0;1[Nes1.MedidadeLebesgueyhomeomorsmos.TodohomeomorsmodeRNsobreRNconservalosconjuntosborelianos.SinembargoexistenhomeomorsmosdeRsobreRquenoconservanlosconjuntosmedibles.MedidadeLebesgueyaplicacioneslineales.SeaT:RN!RNunaaplicaciónlineal.ParatodoconjuntomedibleERNsevericaqueelconjuntoT(E)esmedibleyl(T(E))=jdetTjl(E);dondenotamosdetTaldeterminantedelamatrizasociadaaT.EnparticularsiTesunaisometríaeuclídea,entoncesl(T(E))=l(E);8E2M:MedidadeLebesgueyaplicacionesdeclaseC1.SeanGRNabiertoyf:G!RNunafuncióndeclaseC1.Severicanlassiguientespropiedades:i)f(Z)esdemedidaceroparatodoZGdemedidacero.ii)f(E)esmedibleparatodoEGmedible.ConjuntoternariodeCantorEsunsubconjuntoCde[0;1]nonumerable,demedidaceroytalquetodossuspuntossondeacumulación.FunciónsingulardeLebesgueEsunafunciónf:[0;1]![0;1]continuaycrecienteconderivadanulacasipordoquier.Ademásf(C)=[0;1](deloquesededucequeCesnonumerable).
Acosta,AparicioyMoreno39910.12.EjerciciosdelTema1010.1(*)Probarquei)Doscubosdiádicosobiensondisjuntosounodeelloscontienealotro.ii)Paratodon2NsevericaquelafamiliaPndelosN-cubosdiádicosdelado1
2nconstituyeunaparticióndeRN.10.2TeoremadeCarathéodory.SeamunamedidaexteriorenunconjuntonovacíoW.ProbarquelafamiliaA:=fEW:m(A)=m(A\E)+m(A\EC);8AWgess-álgebraylarestriccióndemaAesunamedidacompleta.10.3ProbarqueMeslamayors-álgebraquecontienelosintervalosacotadosysobrelaquelesaditiva.10.4(*)ExpresiónanalíticadelConjuntodeCantorProbarqueCeselconjuntodelosnúmerosrealesxquesepuedenexpresardelaformax=¥ån=1an
3n;conan2f0;2g;8n2N:ProbartambiénqueCescompactoyquetodossuspuntossondeacumulación.Indicación
:SiparacadanaturalnnotamosJn;k(k=1;2;:::;2n)losintervalosquequedanenlaconstruccióndelconjuntodeCantor,estoes,C=\¥n=1Cn;dondeCn=2n[k=1Jn;k;8n2N:EntoncescadaintervaloJn;ktienelaforma"nåj=1aj
3j;nåj=1aj
3j+1
3n#;cona1;:::;an2f0;2g:Probartambiénque:1.1
4estáenCynoesextremodeningúnintervalodelosquesesuprimenenlaconstruccióndeC.2.Ccontieneirracionales.Darunejemplo.
Acosta,AparicioyMoreno40110.9SeanAunabiertodeRNyf:A!RMunafuncióndeclaseC1conNM.Probarquef(A)esdemedidacero.10.10TodavariedaddiferenciableenRNdedimensiónkNesdemedidacero.10.11Seanx1;x2;:::;xN;a2RNyP:=(x2RN:x=a+Nån=1tnxn;tn2[0;1];1nN)(N-paralelogramoenRN,generalizacióndelparalelogramoenR2ydelparalelepípedoenR3).Probarquel(P)=jdet(x1;x2;:::;xN)j:Deducirdeloanterioreláreadeltriángulo.10.12(*)Probarquetodaaplicaciónf:RN!RNlipschitzianaparacualquiernormacon-servalosconjuntosdemedidaceroylosconjuntosmedibles.Indicación:
AplíquenseelTeoremadeHaussdorf,laProposición10.20ylapruebadelapartadoii)delaProposición10.22.10.13(*)Medidainterior.MedibilidadoriginaldeLebesgue.RecordamosqueparacadaARNlamedidaexteriordeA,l(A),verical(A)=inffl(G):GabiertoAGg:Denimosahoralamedidainterior
deA,l(A),comosiguel(A):=supfl(K):KcompactoKAg:SabemostambiénquesiAesunconjuntomedible,entoncesl(A)=l(A)(=l(A)):Probar1.l(A)l(A);8ARN.2.QueexisteARnomedibletalquel(A)=l(A).Indicación:
considerarunconjuntonomedibledelintervalo[0;1].3.Sil(A)¥,EntoncesAesmediblesi,ysólosi,l(A)=l(A).4.Aesmediblesi,ysólosi,l(A\B(0;n))=l(A\B(0;n));8n2N:
40210.MedidadeLebesgueenRN.5.SiAesmedibleyBA,entoncesl(A)=l(B)+l(AnB):6.DenicióndeLebesguedemedibilidad.
SeaAacotadoyseaIunintervaloacota-doquecontieneaAa)Comprobarquel(A)=v(I)�l(InA):Elnúmerov(I)�l(InA)esladenicióndemedidainteriordeAdadaporLebesgue(obsérveselaindependenciadelintervaloIelegido).b)LebesguedeniólamedibilidaddeunconjuntoAacotadoporlapropiedadv(I)�l(InA)=l(A);dondeIesunintervaloacotadoquecontieneaA.Comprobarqueunconjuntoacotadoesmedibleenelsentidoanteriorsi,ysólosi,esmedible.c)LebesguedeniótambiénlamedibilidaddeunconjuntoAcualquieraporlapropiedaddequeA\IfuesemedibleparacualquierintervaloacotadoI.Comprobarqueestamedibilidadcoincideconlamedibilidad.10.14(*)Probarqueelproductocartesianodeconjuntosmediblesesmedible.Indicación
:Seanp;qnaturalesjos.Probarquei)SiZRpesdemedidacero,ykesunnatural,entoncesZ[�k;k]qesunconjun-todemedidaceroenRp+q.DeducirquetambiénesdemedidaceroelconjuntoZRq.ii)SiERpesmedibleyCRqescerrado,entoncesECesmedible.iii)SiERpesmedibleyBRqesunFs,entoncesEBesmedible.
Acosta,AparicioyMoreno40310.13.SolucionesalosejerciciosdelTema10.10.1i)SeanQ1=Q�a;1
2n2Pn;Q2=Q�b;1
2m2Pmconintersecciónnovacía.Supong-amosporejemploquenmyseaz2Q1\Q2.Notandoaj;bj;zjlacoordenadaj-ésimadea;b;zrespectivamente,tenemosqueporserz2Q1\Q2severicapara1jdmaxfaj;bjgzjminaj+1
2n;bj+1
2m()enparticularajzjbj+1
2mporloque2maj2mbj+1y,puestoque2majy2mbjsonnúmerosenteros,setieneque2maj2mbj,esdecir,ajbj,para1jd,loquejuntocon(*)implicaqueb2Q1.Siesn=mrazonandoigualconladesigualdadbjzjaj+1
2nseobtienequebjaj;1jd,porloquea=by,enestecasoQ1=Q2.Sinm,comob2Q1setiene0bj�aj1
2nporloque02m(bj�aj)2m
2ny,comoéstaesunadesigualdadentrenúmerosenteros,sededuceque02m(bj�aj)2m
2n�1estoes,0bj�aj1
2n�1
2mpara1jd.Siahorax2Q2setiene0xj�bj1
2mpara1jd,ysumandoestadesigualdadconlaanteriorobtenemosque0xj�aj1
2n,para1jd,esdecirx2Q1,porloqueQ2Q1.ii)Despuésdelovistoenelapartadoi)bastatenerencuentaquedadox2RNesx2QE(2nx)
2n;1
2n2Pn,dondeparax=(x1;x2;:::;xN)2RNhemosnotadoE(x)=(E(x1);E(x2);:::;E(xN))siendoElafunción“parteentera”.10.2ElteoremadeCarathéodoryestáhechoenteoríasalvoquelamedidamescompleta,estoes[Z2A;m(Z)=0;BZ],B2A:EnefectoseaAW,comom(B)=0setienem(A\B)+m(AnB)m(B)+m(A)=m(A);dondeseutilizadolamonotoníadelamedidaexterior.Lasubaditividaddemnospermiteconcluirquelaanteriordesigualdadesdehechounaigualdad.
40410.MedidadeLebesgueenRN.10.3SeaAunas-álgebraquecontienealosintervalosacotadosysobrelaquelamedi-daexterioresaditiva.Porcontenerlosintervaloscontienealas-álgebraBdelosborelianos.Comolas-álgebraMlahemoscaracterizadoporE2Msi,ysólosil(A)l(A\E)+l(A\EC);8ARN;bastaráprobarquetodoconjuntoE2AcumpletaldesigualdadparaconcluirqueAM,esdecirMeslamayors-álgebraquecontienelosintervalosacotadosysobrelaquelesaditiva.SeaE2A.LaregularidaddelamedidaexteriordeLebesguenosaseguraqueparacadaARNexisteBborelianotalqueAByl(A)=l(B).AsíparacadaARN,setienel(A)=l(B)=l(B\E)[(B\EC)=l(B\E)+l(B\EC)l(A\E)+l(A\EC);dondesehautilizadoqueB\E;B\EC2A.10.4Fijadosaj2f0;2g;8j2N,esclaroquelaserieåj1aj
3jesconvergente(esdetérmi-nospositivosysumasparcialesacotadaspor1).Así¥åj=1aj
3j2[0;1]:Veamosqueparacadan2Nyparacadak=1;:::;2nlosintervalosJn;ktienenlaforma"nåj=1aj
3j;nåj=1aj
3j+1
3n#;cona1;:::;an2f0;2g:Paran=1severicanlasexpresiones.EnefectoJ1;1=0;1
3=0
3;1
3yJ1;2=2
3;1=2
3;2
3+1
3:(1)Supongamosquelasexpresionessonciertasparanylasprobaremosparan+1.SeaJn;k=a;a+1
3n:(2)Dichointervalodalugarados:sutercioizquierdaJn+1;2k�1=a;a+1
3n+1=a+0
3n+1;a+1
3n+1ysutercioderechaJn+1;2k=a+2
3n+1;a+1
3n=a+2
3n+1;a+2
3n+1+1
3n+1;
Acosta,AparicioyMoreno407f(a)+f�a+1
3n
2=f(a)+f(a)+1
2n
2=f(a)+1
2n+1:Calculemosahora,utilizandonuevamentelahipótesisdeinducción,losvaloresdegendichospuntos:ga+1
3n+1=ga+2
3n+2+2
3n+3+:::=g(a)+1
2n+2+1
2n+3+:::=g(a)+1
2n+1=f(a)+1
2n+1yga+2
3n+1=g(a)+1
2n+1=f(a)+1
2n+1:PorúltimoseaxunelementodelconjuntodeCantorC,yseax=¥ån=1an
3nconan2f0;2gSiparacadanaturalnnotamosxn=Ã¥nk=1ak
3k,esclaroquefxng!xyquecadaxnesunextremoizquierdodeunintervaloJn;k,luegoparadichospuntosvalelafórmula,estoesf(xn)=nåk=1ak
2k+1:Porcontinuidadf(x)=limf(xn)=¥ån=1an
2n+1:10.6i)Larelaciónx'y,y�x2Qesunarelacióndeequivalenciaylaclasedeequiv-alenciadexesx+Q.ii)Comoparacadai2IsetienequeAi\[0;1]6=/0(dehecho
Ai=
x+Q=R),podemosescribirAi=xi+Q;conxi2[0;1]:AlserE=fxi:i2Ig,setienequeE[0;1].Veamosque[0;1][Â¥n=1(qn+E).Enefecto:x2[0;1])x+Q=xi+Q,paraconvenientei2I.Enconsecuenciax�xi2Q\[�1;1]yportantox�xi=qn,paraconvenienten2N,luegox2qn+E.Veamosahoraquelosconjuntosqn+Esondisjuntos:(qn+E)\(qm+E)6=/0)qn+xi=qm+xj)i=j(partición))n=m:Lainclusión[Â¥n=1(qn+E)[�1;2]esobvia.
41010.MedidadeLebesgueenRN.10.10SeaMunavariedaddiferenciableenRNdedimensiónkN.Sabemosquedadox2M,exister&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.05; 0 ;&#xTd [;0,URkabiertoyp:U!RNdeclaseC1talqueB(x;r)\Mp(U),ycomop(U)esdemedidacero(ejercicioanterior)sesiguequeB(x;r)\MesdemedidaceroenRN.LabolaB(x;r)contieneunabolaBconcentroyradioracionalestalquex2B;lafamiliaBdetalesbolasesnumerable.YaqueM=[B2B(B\M)yB\Mtienemedidacero;sesiguequeMtienemedidacero.10.11ConsideremoslaaplicaciónlinealT:RN!RNdadaporT(ek)=xk;8k2f1;2:::;Ng:EsclaroquesinotamosI=[0;1]N,entoncesT(I)=P�a.Enconsecuencial(P)=l(P�a)=l(T(I))=jdetTjl(I)=jdetTj=jdet(x1;x2;:::;xN)j;dondesehautilizadoquelamedidadeLebesgueesinvarianteportraslacionesyelcomportamientodelamedidadeLebesguefrentealasaplicacioneslineales.Probemosnalmentelafórmuladeláreadeltriángulo.Esclaroqueeláreadeuntrián-guloAeslamitaddeláreadelparalelogramoconloqueA=1
2jdet(x;y)j:Comopodemostrasladarygirar,noquitageneralidadsuponerquex=(b;0)ey=(a;h)conb;h�0.AsíA=1
2 b0ah =bh
2:10.12DelTeoremadeHausdorffsededucequefestambiénlipschitzianaparakk2.LaProposición10.20nosaseguraquefconservalosconjuntosdemedidacero.Ahora,lademostracióndelapartadoii)delaProposición10.22nosdicequefconservalosconjuntosmedibles.10.131.SeanKAG,KcompactoyGabierto.LamonotoníadelamedidadeLebesguenosaseguraquel(K)l(G).Asíl(K)l(A)ytambiénl(A)l(A).2.SeaEunsubconjuntonomedibledelintervalo[0;1](véaseejercicio10.6).ElconjuntoA=E[]1;+Â¥[esnomedibleyl(A)=Â¥.3.Bastaprobarquesil(A)=l(A)Â¥,entoncesAesmedible.Seae&#x]TJ/;མ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.11; 0 ;&#xTd [;0,tomamosKAGconl(A)�e
2l(K)yl(G)l(A)+e
2:Setienequel(GnA)l(GnK)l(GnK)=l(G)�l(K)e;yestoesequivalentealamedibilidaddeA.
Tema11IntegralasociadaaunamedidaHacianalesdelsigloXIXresultóclaroparamuchosmatemáticosquelaintegraldeRie-manndebíacambiarseporalgúntipodeintegralcapazdeintegrarmásfuncionesysobretodomejoravenidaconlosprocesosdeconvergencia.Sehacíanecesariaunaintegralquetuvieseteoremasdeconvergenciaque,encondicionesmuygenerales,permitiesenintercambiarellímiteylaintegral.Entrelosintentoshechosenestadirección,losmásnotablesfueronde-bidosaJordan,Borel,YoungyLebesgue.LaconstruccióndeLebesgueresultóserlamásexitosa.Esquemáticamente,heaquílaideaprincipal:LateoríadelaintegraldeRiemanntienecomopuntodepartidalaconsideraciónparacadafunciónfacotadasobreunintervalo[a;b]delasllamadassumasdeRiemannmÃ¥j=1f(xj)l(Ij);dondeI1;:::;Imsonintervalosdisjuntoscuyauniónes[a;b];xj2Ij,yl(Ij)denota,lalongi-tuddeIj(1jm).LebesguedescubrióqueseobteníaunateoríadelaintegracióncompletamentesatisfactoriasisepermitíaquelosconjuntosIjdelasumaanteriorpertenecieranaunaclasemásampliadesubconjuntosdelarecta,losllamados“conjuntosmedibles",ysilaclasedelasfuncionesqueseconsideranseamplíaalaqueélllamó“funcionesmedibles”apareciendoasíloquesedenominansumasdeLebesgue
defcorrespondientesaparticionesenlaimagendedichafunción:nÃ¥k=1ykl�f�1(Jk);dondeJ1;:::;JnsonintervalosdisjuntoscuyauniónesR;yk2Jk,yl�f�1(Jk)denotalamedidadelconjuntomediblef�1(Jk)parak=1;:::;n.Esdedestacarqueestaidea,sencillaperobrillante,deconsiderarparticionesdelaimagendefenvezdeeneldominiodefdiolugaralateoríadelamedidaylaintegraldeLebesgue.Ladivulgacióndedichaideasesueleexpresarconelsiguientesímil:“SiRiemannyLebesguetuviesenquecontarunmontóndemonedassobreunamesaéstosprocederíande413
41611.Integralasociadaaunamedida.5.Sean(X;A;m)unespaciodemedidacompletoeYunespaciotopológico.Sif;g:X�!Ysonfuncionesigualesc.p.d.,entoncesfesmediblesi,ysólosi,loesg.Enefecto,supongamosporejemploquelafunciónfesmedibleyqueelconjuntoZ=fx2X:f(x)6=g(x)gesdemedidacero.ParaBmedibledeYsetienequeg�1(B)=(g�1(B)\Z)[(g�1(B)\ZC)=(g�1(B)\Z)[(f�1(B)\ZC)esmedibleyaqueg�1(B)\Zesmedibleporsermcompleta,yf�1(B)\ZCesmedibleporserfmedible.
Obsérvesequesilamedidanoescompletadosfuncionesigualesc.p.d.notienenquesersimultáneamentemedibles.Enefecto,siesAunsubconjuntonomedibledeunconjuntoZdemedidacero,entonceslasfuncionesf;g:X�!Rdenidasporf(x)=0;8x2X;g(x)=8:0six2XnZ1six2A2six2ZnAsonigualesc.p.d.puesfx2X:f(x)6=g(x)g=Z:fesmedibleysinembargo,comog�1(f1g)=fx2X:g(x)=1g=A;yf1gesunboreliano,concluimosquegnoesmedible.6.Sean(RN;M;l)elespaciodemedidadeLebesgueyE2M.Sonmedibleslassigu-ientesfuncionesrealesdenidasenE:i)Lascontinuas.ii)Lascontinuasc.p.d.iii)Lasigualesc.p.d.aunamedible.iv)Lascomposicionesdeunamedibleconunacontinua.Enefecto,i)yiv)sehanprobadoantes.ii)Seaf:E�!Rcontinuac.p.d.SeaZelsubconjuntodeEdemedidaceroenelquefnoescontinua.fjEnZesmedibleporsercontinuayfjZesclaramentemedible.Enconsecuencia,siBResabierto,entoncesf�1(B)=�fjEnZ�1(B)[�fjZ�1(B)2M;y,portanto,fesmedible.iii)Consecuenciadelapartado5.
Nota:Esconvenienteadvertirqueenelespaciomedible(RN;M)cualquierconjuntosusceptibledeserconstruidoconlastécnicasbásicasdelaTeoríadeconjuntosesmedibley,enconsecuencia,cualquierfuncióndenidamedianteelusodelastécnicashabitualesdelAnálisisesmedible.
Acosta,AparicioyMoreno41711.2.Propiedadesdelasfuncionesmedibles.Proposición11.3(Caracterizacióndelasfuncionesmedibles).Sean(W;A)unespaciomedibleyf:W�!Runafunción.Equivalen:i)fesmedible.ii)fw2W:f(w)ag2A;8a2R:iii)fw2W:f(w)ag2A;8a2R:iv)fw2W:f(w)ag2A;8a2R:v)fw2W:f(w)&#x]TJ/;ཤ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;ag2A;8a2R:Demostración:Esobvioquelaprimeraarmaciónimplicacualquieradelasrestantes.Paraprobarelrecíprocoessucientedemostrarquecualquieradelasfamiliasdeintervalossiguientesa)f]�Â¥;a[:a2Rgb)f[a;+Â¥[:a2Rgc)f]�Â¥;a]:a2Rgd)f]a;+Â¥[:a2Rggeneranlas-álgebradeBoreldeR,paraloquebastacomprobarquelas-álgebrageneradacontienealosintervalosabiertosacotados.Porejemplo,enelcasob)bastaobservarque[a;+Â¥[=Rn]�Â¥;a[;]a;+Â¥[=Â¥[n=1ha+1
n;+¥hya;b=�¥;b\a;+¥:Losotroscasossedejancomoejercicio(¡Hágase!).
Dadasf;g:W!Rsedenenlasfuncionesf_g;f^g;f+;f�:W!Rpor(f_g)(w):=maxff(w);g(w)g;(f^g)(w):=minff(w);g(w)g;f+:=0_f;f�:=0_(�f):Esinmediatocomprobarf=f+�f�;jfj=f++f�;f_g=1
2(f+g+jf�gj);f^g=1
2(f+g�jf�gj):Proposición11.4(Estabilidadalgebraicadelasfuncionesmedibles).Sean(W;A)unespaciomedible,f;g:W�!Rfuncionesmedibles,aunnúmerorealypunpositivo,entonceslasfuncionesf+g;af;fg;jfjp;f+yf�sontambiénmedibles.Enconsecuencia,elconjuntodelasfuncionesmediblesrealesesunasubálgebradelálgebradelasfuncionesrealesdenidasenW.Siademássuponemosquefnoseanula,entonceslafunción1
ftambiénesmedible.
Acosta,AparicioyMoreno421Comofesmedible,losconjuntosEnyEn;ktambiénloson.Denimosentonceslafunciónsimplesn:=n2nåk=1k�1
2ncEn;k+ncEn:(obsérvesequelosconjuntoscuyasfuncionescaracterísticasaparecenenladeniciónanteri-orformanunaparticióndeW).Probemosquelasucesiónsn asíobtenidaespuntualmentecreciente,esdecir,sn(w)sn+1(w);8n2N;8w2W:Dadounnaturalnyw2W,entoncessiw2En,setienesn(w)=n=n2n+1
2n+1f(w);y,portanto,sn(w)sn+1(w).Enotrocaso,siw2En;k,entoncesalserhk�1
2n;k
2nh=h2k�2
2n+1;2k�1
2n+1h[h2k�1
2n+1;2k
2n+1h:obienw2En+1;2k�1obienw2En+1;2k.Enelprimercasosn(w)=k�1
2n=sn+1(w);mientrasqueenelsegundosn(w)=k�1
2n2k�1
2n+1=sn+1(w):Veamosahoraqueparaw2Wsevericasn(w) !f(w):Seaw2Wyseanunnaturaltalquef(w)n.Setieneentoncesquesn(w)f(w)sn(w)+1
2n:Así,paransucientementegrande,severicaque(11.3.1)0f(w)�sn(w)1
2n;dedondeseobtienelaconvergenciaanunciada.Finalmente,siademásfestámayorada,tenemosque9m2N:En=/0;8nm;conlocualde11.3.1deducimosque0f(w)�sn(w)1
2n;8w2W;8nm:Hemosprobadoqueenestecasolaconvergenciaesuniforme.
42211.Integralasociadaaunamedida.11.4.Integraldefuncionessimplespositivas.EnelcasoenquedispongamosdeunamedidamsobreA,hayunaformanaturaldedenirlaintegraldeunafunciónsimplepositiva.Comprobamosenprimerlugarqueladeniciónquedaremosdeintegralesindependientedelaexpresióndelafunciónsimplequeelijamos.Supongamosquesedalaigualdadmåi=1aicAi=nåj=1bjcBj;dondem;n2N;0ai;bj+¥8i;jyfA1;:::;Amg;fB1;:::;BngsondosparticionesdeWenconjuntosmedibles,entoncescomprobaremosquesevericalaigualdadmåi=1aim(Ai)=nåj=1bjm(Bj):Enefecto,usandoquelamedidaesaditivayquesiparaciertosíndicesi;jsevericaqueAi\Bj6=/0,entoncesevaluandolafunciónsimpleenestaintersecciónsetieneai=bj,obtenemosmåi=1aim(Ai)=måi=1aimAi\[nj=1Bj=måi=1aim[nj=1(Ai\Bj)==måi=1ainåj=1m(Ai\Bj)=måi=1nåj=1aim(Ai\Bj)=nåj=1måi=1aim(Ai\Bj)==nåj=1måi=1bjm(Ai\Bj)=nåj=1bjmåi=1m(Ai\Bj)=nåj=1bjm[mi=1(Bj\Ai)=nåj=1bjm(Bj):Denición11.9(Integraldeunafunciónsimplepositiva).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.Sis=åmi=1aicAi:W�![0;¥[,dondefA1;:::;AmgesunaparticióndeWenconjuntosmedibles,entoncessedenelaintegraldelafunciónsimplescomoelelementode[0;¥]dadopor:ZWsdm:=måi=1aim(Ai):Proposición11.10(Prop.delaintegraldelasfuncionessimplespositivas).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.Sis;t:W�![0;¥[sonfuncionessimplesya2[0;¥[,entoncessevericanlassiguientesarmaciones:i)RW(s+t)dm=RWsdm+RWtdm:ii)RW(as)dm=aRWsdm:iii)hsti)RWsdmRWtdm.iv)RWsdm=0si,ysólosi,s=0c.p.d.
Acosta,AparicioyMoreno425Demostración:DeladenicióndeintegralparafuncionesmediblespositivassededucequeZWsndmZWfdm;8n2N;y,portanto,limZWsndmZWfdm:Paraprobarlaotradesigualdad,seasunafunciónsimplepositivaconsfysea0r1:ParacadanaturalndenimosFn:=nw2W:sn(w)rs(w)o:ObtenemosasíunasucesióncrecientedeconjuntosmediblestalqueS¥n=1Fn=W.Enefecto,paracadaw2W,setiene8:f(w)=0)w2F1f(w)&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x [00;0)rs(w)f(w)(r1))9n2N:w2Fn:Supuestoques=åmk=1akcAk,paracadanaturalnsevericaquermåk=1akm(Ak\Fn)=måk=1rakm(Ak\Fn)=ZWrscFndmZWsncFndmZWsndm;(11.5.1)dondesehautilizadoladenicióndeFnylamonotoníadelaintegral11.10.iii).Paracadak2f1;:::;mg,Ak\Fn n2Nesunasucesióncrecientedeconjuntosmediblestalque¥[n=1�Ak\Fn=Ak;yportantosesiguedelapropiedaddecrecimientocontinuodemquem(Ak)=limnm�Ak\Fn:Tomandolímitecuandon!¥en11.5.1obtenemosquermåk=1akm(Ak)limZWsndm;esdecir,rZWsdmlimZWsndm:Tomandoahoraenladesigualdadanteriorlímitecuandor!1obtenemosqueZWsdmlimZWsndm:
Acosta,AparicioyMoreno427iv)Seasn unasucesióncrecientedefuncionessimplespositivasconvergenteaf.SupuestoqueRWfdm=0;entoncesRWsndm=0;8n2N,yenvirtuddelapartadoiv)delaProposición11.10essn=0c.p.d.,8n2N,dedondeconcluimosquef=0c.p.d.(puesfw2W:f(w)6=0g[n2Nfw2W:sn(w)6=0g).Supongamosahoraquef=0c.p.d.Entonces,como0snf,setienequesn=0c.p.d.;8n2N;luegoZWsndm=0;8n2NyportantoRWfdm=0:Finalmente,comoparacualesquieradosfuncionesmediblespositivasfygsevericafjf�gj+g;delosapartadosiii)yi)anterioressededucequeZWfdmZWjf�gjdm+ZWgdm:Sisuponemosquef=gc.p.d.,entonces,teniendoencuentaiv)deducimosqueZWfdmZWgdm:DeigualformaZWgdmZWfdm;porloqueZWfdm=ZWgdm:
Nota:Delaúltimaarmaciónsededucequeparacalcularlaintegraldeunafunciónmediblepositivapuedenignorarse,siasísedesea,losvaloresquetomadichafunciónenunconjuntodemedidacero.Estoes,elconocimientodeunafunciónmediblepositivaenalgúnsubconjuntomedibleEdeWtalquem(WnE)=0,essucienteparacalcularlaintegraldedichafunción.
Acosta,AparicioyMoreno429iii)hfgi)RWfdmRWgdm:iv)jRWfdmjRWjfjdm:Ademássifygsonmedibleseigualesc.p.d.,entoncesfesintegrable,gesintegrable,encuyocasoZWfdm=ZWgdm:Demostración:i)Puestoquef+g=(f++g+)�(f�+g�),elresultadosededucedelaaditividaddelaintegralparafuncionesmediblespositivasydelaobservaciónhechaantes.ii)SabemosqueafesmedibleyqueZWjafjdm=ZWjajjfjdm=jajZWjfjdm¥;yportantoafesintegrable.Porotraparteaf=af+�af�,porloquesia0setienequeZW(af)dm=ZW(af+)dm�ZW(af�)dm==aZWf+dm�aZWf�dm=aZWfdm;mientrasquesia0;entoncesZW(af)dm=ZW(�af�)dm�ZW(�af+)dm==�aZWf�dm+aZWf+dm=aZWfdm:iii)Setienequef+�f�g+�g�)f++g�g++f�))ZW�f++g�dmZW�g++f�dm)ZWf+dm+ZWg�dmZWg+dm+ZWf�dm))ZWf+dm�ZWf�dmZWg+dm�ZWg�dm;esdecir,ZWfdmZWgdm:
43011.Integralasociadaaunamedida.iv)Comojfjesclaramenteintegrabley�jfjfjfj,losapartadosanterioresnosdan�ZWjfjdmZWfdmZWjfjdm;esdecir, ZWfdm ZWjfjdm:Finalmentesif;gsonmedibleseigualesc.p.d.,entoncesjfj=jgjc.p.d.ylaProposi-ción11.13garantizaqueZWjfjdm=ZWjgjdm;loquepruebaquefesintegrablesi,ysólosi,loesg.Porotraparte,comojf�gj=0c.p.d.,sifygsonintegrables,entoncesconcluimosque ZWfdm�ZWgdm = ZW(f�g)dm ZWjf�gjdm=0;dondesehaaplicadonuevamentelaProposición11.13.
Nota:Delaúltimaarmacióndelaproposiciónanteriorsededucequeparaestudiarlaintegrabilidad,yelvalordelaintegralcuandoproceda,deunafunciónmediblepuedenignorarselosvaloresquedichafuncióntomaenunconjuntocualquierademedidacero.Proposición11.16.Sean(W;A;m)unespaciodemedida,E2A,EDWyf:D�!Runafunción.EntoncesfjE2L(mE)si,ysólosi,fcE2L(m),encuyoca-soZEfjEdmE=ZWfcEdm:Demostración:SabemosquefjEesmedibleen(E;AE)si,ysólosi,fcEesmedibleen(W;A),porloqueparalademostracióndaremosporsupuestalamedibilidaddeambasfunciones.Supongamosenprimerlugarque0f.TomemosunasucesióncrecientedefuncionessimplespositivasfsngqueconvergepuntualmenteafcE.EsclaroentoncesquesnjE esunasucesióncrecientedefuncionessimplespositivasdenidasenEqueconvergepuntualmenteafjE.PorlaProposición11.12aplicadaalasfuncionesfjEyfcEtenemosqueZEfjEdmE=limZEsnjEdmEyZWfcEdm=limZWsncEdm:Observemosqueparacadan2Nsevericaquesn(w)=0;8w2EC;luegosisn=mÃ¥k=1akcAk
Acosta,AparicioyMoreno431paraconvenientesm2N;a1;:::;am2[0;¥[yfA1;:::;AmgparticióndeWenconjuntosmedibles,necesariamentehadeocurrirqueak=0;si1kmyAk\EC6=/0;luegomåk=1akmE(Ak\E)=måk=1akm(Ak);y,portantoZEsnjEdmE=ZWsncEdm:Ahora,delasanterioresexpresionessesiguequeZEfjEdmE=ZWfcEdm;dedondeseobtieneelenunciado.Finalmente,parafarbitraria,aplicandoloanteriorajfjobtenemosqueZEjfjEjdmE=ZEjfjjEdmE=ZWjfjcEdm=ZWjfcEjdm;porloquefjE2L(mE),fcE2L(m):Además,esesesupuesto,dadoquefjE=f+jE�f�jEyfcE=f+cE�f�cE;denuevoaplicandoloanterioraf+yf�obtenemosqueZEfjEdmE=ZEf+jEdmE�ZEf�jEdmE=ZWf+cEdm�ZWf�cEdm=ZWfcEdm:
Denición11.17(Integraldefunc.enconjuntomedibleydenidac.p.d.).Sean(W;A;m)unespaciodemedida,DWyf:D�!Runafunción.SiE2AconED,entoncessedicequefesintegrableenE
sisevericaquefjEesunafunciónintegrableenelespaciodemedida(E;AE;mE),yentalcasodenimoslaintegraldefenE
porZEfdm:=ZEfjEdmE:Envirtuddelresultadoanterioresteconceptosepuedetambiénexpresarentérminosdelespaciodemedidainicial.Enefecto,fesintegrableenEsisevericaquefcEesintegrableenelespaciodemedida(W;A;m),yentalcasolaintegraldefenEvienedadaporZEfdm=ZWfcEdm:
Acosta,AparicioyMoreno433Enefecto,esclaroquesiEesunconjuntomedibleconm(E)Â¥,entonceslafun-cióncE,alsermediblepositivaconintegralacotada,esintegrableysuintegralesRWcEdm=m(E).Elrestoesconsecuenciadelalinealidaddelaintegral.DehechoFeselespaciovectorialdelasfuncionessimplesintegrables(¡Compruébese!).Enelpróximoteoremacomprobaremosquecualquierfunciónintegrablees“aprox-imable”porfuncionesdeF.2.Sea(W;A;m)unespaciodemedida:i)Sif:W�!Resunafunciónmedibleyexisteg:W�!Rintegrabletalquejfjg,entoncesfesintegrable.ii)SiE2Aconm(E)Â¥yf:E�!Resmedibleyacotada,entoncesfesinte-grable.Enparticular,todafuncióncontinuadenidaenunsubconjuntocompactodeRNesintegrable(respectodelamedidadeLebesgue).Enefecto,paraprobari)bastatenerencuentalamonotoníadelaintegralparafuncionesmediblespositivasyladenicióndefunciónintegrable.Ahoraii)esconsecuenciadequejfjMcE,dondeMesunacotadef.Esobligadoadvertir,sinembargo,queelcálculodelaintegraldeunatalfunciónin-clusoenlassituacionesmássencillasestodavíainabordable.Lafunciónf(x;y)=x+y;8(x;y)2[0;1][0;1]esunejemplodeello.3.SiellectorconocelaintegraldeRiemannpuedededucirinmediatamentequetodafunciónintegrableenelsentidodeRiemannesintegrableyqueambasintegralescoin-ciden.Enefecto,sean[a;b]unintervalocompactodeRyf:[a;b]�!RunafunciónintegrableRiemann.Noquitageneralidadsuponerque0f,puesenotrocasobastatenerpresentequef=f+�f�.Paracadanaturalnseconsideralaparticiónde[a;b]Pn=xk=a+kb�a
2n:k=0;1;:::;2nylasfuncionessimplesen;En:[a;b]�![0;+¥[denidasporen=2nåk=1mkc[xk�1;xk[+f(b)cfbg;En=2nåk=1Mkc[xk�1;xk[+f(b)cfbgdondeparak=1;:::;2n,mk=inff([xk�1;xk])yMk=supf([xk�1;xk]):
43411.Integralasociadaaunamedida.EsinmediatocomprobarqueparacadanaturalnsevericaqueZ[a;b]endl=I(f;Pn):=2nÃ¥k=1mk(xk�xk�1);Z[a;b]Endl=S(f;Pn):=2nÃ¥k=1Mk(xk�xk�1);yenen+1fEn+1En:Sinotamose=limenyE=limEn;setienequeeyEsonmediblesyacotadasyelejemploanteriorgarantizaquesonintegrables.AdemáslaProposición11.12nosaseguraqueZ[a;b]edl=limZ[a;b]endl=Zbaf(x)dx=limZ[a;b]Endl=Z[a;b]Edl:ConsecuentementelafunciónmediblepositivaE�etieneintegralceroyportantoe=E=fc.p.d.LaProposición11.15garantizaquefesintegrableyqueZ[a;b]fdl=Z[a;b]edl=Z[a;b]Edl=Zbaf(x)dx:Elejemploanteriorlegitimalaintroduccióndelasiguientenotación.SeanIRunintervalodeextremosaybcon�Â¥ab+Â¥yf:I�!Rintegrable(respectodelamedidadeLebesgue).EntoncesseusalanotaciónZbaf(x)dxparadesignarlaintegralRIfdl.AnálogamentecuandoseconsideranfuncionesintegrablesenRNsuintegralsenotaporZRNf(x1;:::;xN)d(x1;:::;xN):4.Elsiguienteejemploponedemaniestoqueelconjuntodelasfuncionesintegrables(Lebesgue)esestrictamentemayorqueeldefuncionesintegrablessegúnRiemann.Lafunciónf:R!Rdenidaporf(x)=0six=2Qxsix2Q;esintegrableconintegralnula(puesf=0c.p.d.)y,sinembargo,noestádenidaenunintervalocompacto,niesacotadaysóloescontinuaenunpunto.
43611.Integralasociadaaunamedida.11.9.ResumendelresultadosdelTema11.Funciónmedible.Sean(X;A)y(Y;B)espaciosmedibles.Unafunciónf:X�!Ysedicemediblesif�1(B)2A;8B2Bequivalentemente,silacondiciónanteriorsevericaparaunafamiliadeconjuntosquegenerelas-álgebraB.Enelespaciomedible(RN;M)cualquierfunciónrealdenidamedianteelusodelastécnicashabitualesdelAnálisisesmedible.Funciónsimple.Sea(W;A)unespaciomedible.Unafuncións:W�!Resunafunciónsimplesiesmedibleysuimagenesnita,estoes,s(W)=fa1;:::;amg.ClaramentelosconjuntosAi:=fw2W:s(w)=aig(i=1;:::;m)sonmediblesyformanunaparticióndeW.Lafunciónsseexpresaentoncesenlaformas=mÃ¥i=1aicAi:TeoremadeaproximacióndeLebesgue.Sean(W;A)unespaciomedibleyf:W�![0;Â¥[unafunciónmedile.EntoncesexisteunasucesióncrecientefsngdefuncionessimplespositivasqueconvergepuntualmenteafenW.Siademásfestámayorada,entoncesexisteunasucesióncrecientedefuncionessimplespositivasfsngqueconvergeuniformementeafenW.Integraldeunafunciónsimplepositiva.Sea(W;A;m)unespaciodemedida.Sis=Ã¥mi=1aicAi:W�![0;Â¥[esunafunciónsimple,sedenelaintegraldescomoelelementode[0;Â¥]dadopor:ZWsdm:=mÃ¥i=1aim(Ai):Integraldeunafunciónmediblepositiva.Sea(W;A;m)unespaciodemedida.Sif:W�![0;Â¥[esunafunciónmedible,sedenelaintegraldefcomoelelementode[0;Â¥]dadopor:ZWfdm:=supZWsdm:ssimple;0sf:
Acosta,AparicioyMoreno44311.11.SolucionesalosejerciciosdelTema11.11.1SupongamosqueRWfdm=0.Paracadanaturaln,denimosEn:=nw2W:f(w)�1
no:Obtenemosasíunasucesióncrecientedeconjuntosmediblesvericandoque¥[n=1En=nw2W:f(w)�0o:Esclaroque1
ncEnf;8n2Nyportanto1
nm(En)=ZW1
ncEndmZWfdm;8n2N:Deducimosdeestoquem(En)=0;8n2N;ydelcrecimientocontinuodelamedidamconcluimosquemnw2W:f(w)�0o=0;portantof=0c.p.d.Nota:AunquenoseutilizalaProposición11.12,seutilizalapropiedaddecrecimientocontinuodeunamedidaqueeslabasedesudemostración.11.2Esclaroquesif=0c.p.d.,entoncesREfdm=0;8E2A.SupongamosahoraqueREfdm=0;8E2A.ConsideremoselconjuntomedibleE:=nw2W:f(w)0o:SetieneentoncesZWf+dm=ZEf+dm=ZEfdm=0;yelejercicioanterior(Proposición11.13.iv)nosaseguraquef+=0c.p.d.Análoga-mentef�=0c.p.d.,luegof=0c.p.d.11.3i)Bastaaplicarelapartadov)delaProposición11.5alasucesióndesumaspar-cialesdelaserie:nånk=1fk(w)o.
44611.Integralasociadaaunamedida.i)SiAesmedible,tomamosCcerradoyGabiertotalesqueCAGyl(GnC)eyconsideramoselcerradoF=C[(GC)quecumplequel(FC)=l(GnC)ey(cA)jFescontinua(enCvale1yenRnGvale0yambossoncerrados,dedondesededucequelaimageninversadecualquiercerradodeRescerrada)Seaahoras=Ã¥mk=1akcAk.SeanF1;:::;FmcerradostalesquecAkjFkseacon-tinuayl(FCk)e
m.ElconjuntoF=F1\:::\Fmescerrado,sjFescontinuayl(FC)=l(FC1)[:::[(FCm)l(FC1)+:::+l(FCm)e:ii)Seafmedibleacotada,entoncesexisteunasucesiónsn defuncionessimplesqueconvergeuniformementeaf(bastaaplicarelTeoremadeaproximacióndeLebesgueaf+yf�).Pori)8n2N;9FnRNcerrado:l(FCn)e
2nysnjFncontinua:SeaF=T¥n=1Fn,conjuntoqueescerrado.Setienequel(FC)=l¥[n=1FCn¥ån=1l(FCn)e:snjFescontinua,paratodonsnjF!fjFuniformemente)fjFescontinua:iii)Seaj:R�!]�1;1[unhomeomorsmo,porejemploj(x)=x
1+jxj;8x2R:Lafunciónjfesmedibleacotada,luegoporii)existeFcerradotalquel(FC)eyjfjF=(jf)jFescontinua.PeroentoncesfjF=j�1(jfjF)tambiénescontinua.11.8SeaC00(RN)=f:RN!R:fescontinuadesoportecompacto ;dondeelsoportedefeselconjuntosop(f)=
fx2RN:f(x)6=0g:i)Sif2C00(RN),probaremosquefesintegrable.LapropiedaddecompacidadnosaseguralaexistenciadeM�0taljfjM,conloquesisop(f)=KsetienequejfjMcK2L(l):
44811.Integralasociadaaunamedida.yalserm(E)Â¥,sesiguequemÂ¥\m=1Ek;m=0:Comom(E)Â¥,lapropiedaddedecrecimientocontinuonosaseguraquelimm!Â¥m�Ek;m=0:Sie&#x]TJ/;མ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0,esclaroqueparacadak2Nexistemk2Ntalquem�Ek;mke
2k:SinotamosA=SÂ¥k=1Ek;mk,esinmediatocomprobarquem(A)eyjfn(w)�f(w)j1
k;8w2EnA;nmk;puesm(A)¥åk=1m�Ek;mk¥åk=1e
2k=e;yEnA=En¥[k=1Ek;mk=¥\k=1EnEk;mk==¥\k=1nw2E:jfn(w)�f(w)j1
ksinmko:
Tema12TeoremasdeconvergenciaEsusualenAnálisisMatemáticotrabajarconfuncionesqueestándenidascomolímite(enalgúnsentido)deunasucesióndefunciones.Esfundamental,portanto,sercapacesdededucirlaintegrabilidaddeunatalfunciónapartirdelconocimientodelaintegrabilidaddelasfuncionesquelaaproximany,ensucaso,relacionarelvalordelaintegraldelafunciónlímiteconelvalordelasintegralesdelasfuncionesaproximantes.EnestalecciónobtendremoslosteoremasdeconvergenciaparalaintegraldeLebesgue.ElTeoremadelaconvergenciamonótona(TCM12.1)ysuprimeraconsecuen-cia,elTeoremadelaconvergenciadominada(TCD12.5),nospermitirán,encondicionesrazonables,intercambiarellímiteylaintegral.ElLemadeFatou(12.7),otraconsecuenciadelT.C.M.,nosproporcionaráunresultadoaceptableinclusocareciendodeconvergencia.ProbaremostambiénlacomplituddelespacioL(m)(12.9)locualnospermitirámostrarco-moL(m)sepuedeobtenerapartirdeF(elespaciodelasfuncionessimplesintegrables)deigualmodoquelosnúmerosrealesseobtienenapartirdelosnúmerosracionales.ParalaintegraldeLebesgueenRNdisponemosdeunsubespaciodeF(RN)especial-mentetangible:lasfuncionesescalonadas.Tambiéndisponemosdeunaclaseespecialmentedestacadadefunciones:lasfuncionescontinuasdesoportecompacto.Terminaremoslalec-ciónprobandoelTeoremadedensidad12.12quearmaqueambasclasesdefuncionessondensasenelespacioL(l)delasfuncionesintegrablesenRN.Recordemosquesi(W;A;m)esunespaciodemedidayffngesunasucesióndefun-cionesdeWenR,sedicequeffngconvergecasipordoquier
,obienqueffn(w)gconvergepara
casitodopuntowdeW
,sielconjuntodepuntosw2Wenlosquelasucesiónffn(w)gnoesconvergenteesdemedidacero.Enesecaso,dadaunafunciónfdeWenR,sedicequelasucesiónffngconvergecasi
pordoquieraf
,obien,quelasucesión
ffn(w)gconvergea
f(w)paracasitodow2W
(abreviadamenteffng!fc.p.d.of(w)=limfn(w),ctw2W)sielconjuntofw2W:ffn(w)gnoconvergeaf(w)gesdemedidacero.449
45012.Teoremasdeconvergencia12.1.Teoremadelaconvergenciamonótona.En1906elmatemáticoitalianoBeppoLevipublicóuninteresanteresultadosobrelainte-gracióntérminoatérminodeseriesdefuncionespositivas,unaversiónequivalentededichoresultadosereerealaintegracióntérminoatérminodesucesionescrecientesdefuncionesyesconocidacomo“Teoremadelaconvergenciamonótona”.Teorema12.1(convergenciamonótona(TCM)).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.SiffngesunasucesiónmonótonadefuncionesintegrablesenWvericandoquelasucesióndesusintegralesRWfndm estáacotada,entoncesffngconvergec:p:d:aunafunciónfintegrableenWyZWfdm=limZWfndm:Demostración:SeaffngunasucesiónmonótonadefuncionesintegrablesenWvericandoquelasuce-sióndesusintegralesRWfndm estáacotada.SupongamosenprimerlugarqueffngesunasucesióncrecientedefuncionespositivasyseaM�0talqueZWfndmM;8n2N:Comolasfuncionesfnsonmedibles,elconjuntofw2W:limfn(w)2Rgesmedible(Proposición11.5.v),yportantoelconjuntoE:=fw2W:limfn(w)=+Â¥gtambiénesmedible.Probaremosquem(E)=0.FijemosK�0yparacadannaturalconsid-eremoselconjuntomedibleEn=fw2W:fn(w)Kg:SetienequeKm(En)=ZEnKdmZEnfndmZWfndmM;yportantom(En)M
K.Comolasucesióndefuncionesescreciente,entonceslasucesióndeconjuntosfEngtambiénloes,portanto,porelcrecimientocontinuodelamedidasabemosquem ¥[n=1En!=limm(En)M
K:ComoESÂ¥n=1En,entoncesm(E)M
K.DelaarbitrariedaddeK,obtenemosquem(E)=0.Seaf:W�!Rlafuncióndenidaporf(w)=0siw2Elimfn(w)siw2EC:
45812.TeoremasdeconvergenciaComoelconjuntomediblew2W:å¥n=1fn(w)6=f(w) esunsubconjuntodeEC,sesiguequeesdemedidacero,yenconsecuencia¥ån=1fn=fc:p:d:Veamosquelafunciónfcumplelascondicionesdelteorema.ParaelloconsideremoslasucesiónfFngdefuncionesintegrablesenWdenidaporFn=nåk=1fk;8n2N:ObsérvesequefFng�!fc.p.d.yqueesfácilcomprobarquejFnjGc.p.d.,8n2N.ElTeorema(12.5)nospermiteconcluirquefesintegrableyquelimZWjf�Fnjdm=0:Portanto,ZWfdm=limZWFndm=limZWnåk=1fkdm=limnåk=1ZWfkdm=¥ån=1ZWfndm
12.4.TeoremadeRiesz.Losteoremasdeconvergenciaprecedentesculminanahoraconelsiguienteresultado.Teorema12.9(Riesz).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.Seaffngunasucesióndefun-cionesintegrablesenWtalquelimp;q�!¥ZWjfp�fqjdm=0;esdecir:8e�0;9m2N:p;qm=)ZWjfp�fqjdme:ExisteentoncesunafunciónfintegrableenWtalquelimZWjf�fnjdm=0yexiste,además,unasucesiónparcialffs(n)gqueconvergec.p.d.af.
46012.Teoremasdeconvergenciadondehemosutilizadoquens(n);8n2N.
Laaplicaciónkk1:L(m)�!R+0denidaporkfk1=ZWjfjdmsatisfaceclaramentelaspropiedades1.kafk1=jajkfk1;8a2R;8f2L(m)(homogeneidad).2.kf+gk1kfk1+kgk1;8f;g2L(m)(desigualdadtriangular).Laúnicadecienciadekk1(paraserunanorma)esquepuedeserkfk1=0sinquelafunciónfseacero.EsteproblemadesaparecealconsiderarelespacioL1(m)denidocomosigueL1(m)=L(m)=N(m)dondeN(m)eselsubespaciovectorialdeL(m)denidoporN(m)=ff:W�!R:fesmedibleyf=0c:p:d:g:Enconsecuencia,f+N(m)=g+N(m)si,ysólosi,f=gc.p.d.,estoes,m(fw2W:f(w)6=g(w)g)=0:Enelcasodeque(W;A;m)seaunespaciodemedidacompletoladescripcióndeN(m)esmássimple:N(m)=ff:W�!R:f=0c.p.d.g:EsencialmenteL1(m)noesotracosaquequeelmismoespacioL(m)enelquesecon-sideralaigualdadc.p.d.enlugardelaigualdadordinariadefunciones.Demaneranaturalkk1seconvierteenunanormaenL1(m)sinmásquedenirkf+N(m)k1=kfk1(¡Com-pruébese!).Laconvergenciarespectodelanormakk1sedenominaconvergenciaenmedia
.ElTeo-remadeRieszproporcionalacomplituddeL1(m).Teorema12.10(complituddeL1(m)).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.Entonces�L1(m);kk1esunespaciodeBanach.Ejemplo:ElespaciodeBanach(`1;kk1).ConsideremoselcasoparticularenqueW=N,A=P(N),ymeslamedidadenidaporm(A)=númerodeelementosdeAsiAesnitoÂ¥siAnoesnito
46212.Teoremasdeconvergencia12.5.SubespaciosdensosenL(RN).CuandotratamoslaintegraldeLebesgueenRNpodemosconsiderardosclasesespe-cialmentedestacadasdefunciones:lasfuncionesescalonadasylasfuncionescontinuasdesoportecompacto.Comoanunciamosenlaintroducciónprobaremos,comoprimeraconse-cuenciadelosteoremasdeconvergencia,ladensidaden�L(l);kk1deambasclasesdefunciones.Denición12.11.h:RN�!Resunafunciónescalonada
siexistenmnatural,a1;:::;amrealeseI1;:::;Imintervalosacotadostalesquehsepuedeescribirdelaformah=mÃ¥k=1akcIk:EsclaroqueelconjuntoE(RN)detodaslasfuncionesescalonadasenRNesunsubespa-ciodelespacioF(RN)delasfuncionessimplesintegrablesyqueZhdl=mÃ¥k=1akv(Ik):Teorema12.12(densidad).i)ElespaciovectorialC00(RN)delasfuncionescontinuasdesoportecompactoesdensoen�L(l);kk1,esdecir,dadaunafunciónintegrablefexisteunasucesiónffngenC00(RN)talquelimkf�fnk1=0:ii)ElespaciovectorialE(RN)delasfuncionesescalonadasesdensoen�L(l);kk1,esdecir,dadaunafunciónintegrablefexisteunasucesiónffngenE(RN)talquelimkf�fnk1=0:Ademássepuedeconseguirenamboscasosquelasucesiónconverjatambiénc.p.d.Demostración:TeniendoencuentaelTeorema11.20bastaráprobarquedadosE2Mconl(E)Â¥ye&#x]TJ/;མ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0,existeg2C00(RN)(resp.h2E(RN))talquekcE�gk1e(resp.kcE�hk1e):
Acosta,AparicioyMoreno463
i)
LaregularidadinteriordelamedidadeLebesguenosaseguraqueexisteuncompactoKEtalquel(EnK)e
2.SeaGunabiertoacotadotalqueKG.Lafunciónj:RN�!Rdenidaporj(x)=dist(x;RNnG)
dist(x;RNnG)+dist(x;K);8x2RN;escontinuacon0j1yademásj(x)=1six2K0six=2G;8x2RN.EsclaroquefjngesunasucesióndecrecienteenC00(RN)queconvergeacK.ElCorolario12.2nosaseguraqueexistem2NtalquekcK�jmk1e
2.Tomemosg=jm.SevericaentonceskcE�gk1kcE�cKk1+kcK�gk1=l(EnK)+kcK�gk1e:
ii)
LaregularidadexteriordelamedidadeLebesguenosaseguraqueexisteunabiertoGtalqueEGyl(GnE)e
2.LaProposición10.8(dedescomposicióncanónicadeunabiertoencubosdiádicos)nosaseguraqueexisteunasucesiónfIngdeintervalosacotadosdisjuntosdosadostalqueG=S¥n=1In.Esclaroqueånk=1cIk esunasucesióncrecienteenE(RN)queconvergeacG.Comol(G)=l(GnE)+l(E)¥elCorolario12.2nosaseguraahoraqueexistem2Ntalque cG�åmk=1cIk 1e
2.Tomemosh=åmk=1cIk.SevericaentonceskcE�hk1kcE�cGk1+kcG�hk1=l(GnE)+kcG�hk1e:AhoraesclaraladensidaddeC00(RN)yE(RN)enL(l)asícomoque,paraunafunciónintegrablefdada,porelprocedimientohabitualpodemosconstruirunasucesiónffngendichosespaciostalquelimkf�fnk1=0:AplicandoadichasucesiónelTeoremadeRiesz(12.9)seobtieneunafunciónintegrablef0yunasucesiónparcialffs(n)gdeffngtalesquekf0�fnk1�!0yffs(n)g�!f0c:p:d:Comokf0�fkkf0�fnk1+kfn�fk1;8n2N;deducimosquekf�f0k1=0yenconsecuenciaf=f0c.p.d.Asílasucesióndefuncionesffs(n)gdeC00(RN)(resp.E(RN))vericakf�fs(n)k1�!0yffs(n)g�!fc:p:d:
46412.Teoremasdeconvergencia12.6.ResumendelresultadosdelTema12.Teoremadelaconvergenciamonótona(TCM).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.SiffngesunasucesiónmonótonadefuncionesintegrablesenWvericandoquelasucesióndesusintegralesRWfndm estáacotada,entoncesffngconvergec:p:d:aunafunciónfintegrableenWyZWfdm=limZWfndm:Corolario(versiónprácticadelTCM).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.SeaffngunasucesiónmonótonadefuncionesintegrablesenWvericandoquelasucesióndesusintegralesRWfndm estáacotada.Sif:W!Resunafunciónmedibletalqueffng�!fc:p:d:,entoncesfesintegrableenWyZWfdm=limZWfndm:Corolario(teoremadelaconvergenciacrecienteparafuncionesmediblespositivas(TCC).Sea(W;A;m)unespaciodemedida.SiffngesunasucesióncrecientedefuncionesmediblespositivasenWqueconvergec:p:d:aunafunciónmediblepositivaf,entoncesZWfdm=limZWfndm:Corolario.Sean(W;A;m)unespaciodemedidayfunafunciónmediblepositivaenW.Entoncesn:A�![0;¥]denidaporn(E)=ZEfdm;8E2Aesunamedidaabsolutamentecontinua
respectodem,esdecir:[E2A;m(E)=0]=)n(E)=0:Ademássifesintegrable,entonces,dadoe�0existed�0demaneraquen(E)eparatodoconjuntomedibleEconm(E)d.Teoremadelaconvergenciadominada(TCD).Sea(W;A;m)unespaciodemedi-da.Seaffngunasucesióndefuncionesintegrablesqueconvergec.p.d.enWaunafunciónmedible
fysupongamosqueexisteunafunciónintegrablegtalquejfnjg;c:p:d:;8n2N:EntoncesfesintegrableylimZWjf�fnjdm=0:
47012.Teoremasdeconvergencia12.14*SeaGunabiertodeRN.DadaunafunciónfintegrableenGyunnúmeropositivoeexisteunafunciónjdesoportecompactoqueadmitederivadasparcialescontinuasdetodoslosórdenes(j2CÂ¥00(RN)),talquesopjGyRGjf�jje.Indicación:
EnvirtuddelTeoremadedensidad(12.12apartadoii))bastaconaproxi-marlafuncióncaracterísticadeunintervaloacotadocontenidoenGporunafuncióndeC¥00(RN).EstudiarestaaproximaciónenprimerlugarenelcasoN=1.Enestasituaciónobservarquesia;b;d2Rconaby0db�a
2,entonceslafunciónj:R�!Rdenidaporj(x)=g(x�a)g(b�x
g(x�(b�d))+g((a+d)�x)+g(x�a)g(b�x);8x2Rdondeg(x)=e�1
xsix�00six0vericalassiguientespropiedades:i)j2CÂ¥00(R).ii)sop(j)[a;b].iii)0j(x)1;8x2R.iv)j(x)=1;8x2[a+d;b�d].v)j(x)=0;8x=2[a;b].
47212.Teoremasdeconvergenciaii)1
nlog(x+n)e�xcos(x)jfn(x)jlog(1+n)
n=log(1+n)�log(1)
n1
1+J1;(0Jn)8n2NdondesehautilizadoelTeoremadelvalormedio.AsíM=1.iii)1+nx
(1+x)n1+nx(1+x)n;8n2N=)M=1.12.5Paratodonaturalnlafunciónjf�fnjesmedible.LamonotoníadelaintegralparafuncionesmediblespositivasnosaseguraqueZWjf�fnjdmm(W)kf�fnkÂ¥:Lasucesiónkf�fnkÂ¥ en[0;Â¥]convergeaceroporhipótesis.Seam2Ntalquekf�fmkÂ¥ 1.ComoRWjf�fmjdmm(W)concluimosquef�fmesintegrableyenconsecuenciaf=fm+(f�fm)tambiénesintegrable.Comokf�fnkÂ¥ �!0,concluimosquelimZWjf�fnjdm=0:Elapartadoi)delEjercicio12.2muestraquelahipótesism(W)Â¥nopuedesersuprimida.12.6Setratadedarunejemplodeunasucesióndefuncionesintegrablesqueseaacotadaenmediaynotenganingunaparcialconvergente(L(l)esdedimensióninnita).fn=c[n;n+1[N;8n2N:Lasfuncionessonsimplesintegrablesconkfnk1=1;8n2Nyp6=q=)jfp�fqj=fp+fqyenconsecuenciakfp�fqk1=2:AsíffngnotieneningunaparcialdeCauchy,luegonotieneningunaparcialconver-gente.12.7SetratadedarunejemploquepongademaniestoqueenelTeoremadeRiesz(12.9)lasucesiónqueconvergec.p.d.tienequeseruna“sucesiónparcial”deladada.LasiguientesucesióndeintervalosdeR:I1=[0;1];I2=h0;1
2i;I3=h1
2;1i;I4=h0;1
4i;I5=h1
4;2
4i;I6=h2
4;3
4i;I7=h3
4;1i:::::::::::::::
Acosta,AparicioyMoreno473estalquefl(In)g�!0,yenconsecuenciacIn convergeenL([0;1]);kk1acero.Seax2[0;1].EsobvioquexperteneceainnitosInynoperteneceainnitosIn,asílasucesióncIn tomainnitasveceselvalorceroeinnitasveceselvalor1yportantonoesconvergente.PorúltimolasucesióncI2n convergeaceroc.p.d.(dehechoenRnf0g).12.8i))ii)SeafgngunasucesiónenAtalquefgng�!fen�L(m);kk1.ElTeoremadeRiesz(12.9)nosaseguralaexistenciadeunafunciónintegrablegtalquefgng�!gen�L(m);kk1y9fgs(n)g�!gc.p.d.Esclaroquef=gc.p.d.Lasucesiónffng=fgs(n)gcumplelascondicionesdelaarmaciónii)(véaseelEjercicio12.1)ii))i)Seaffngunasucesiónvericandoii).ElTeoremadeRiesznosaseguraqueexisteunafunciónintegrablegtalqueffng�!gen�L(m);kk1y9ffs(n)g�!gc.p.d.dedondesededucedelEjercicio12.1quef=gc.p.d.Comofesmedibleconcluimosquetambiénesintegrable.Porúltimodekf�fnk1kg�fnk1+kf�gk1;8n2NsededucequeffngconvergeenmediaafyenparticularZWfdm=limZWfndm:12.9UnfácilcálculonosdaqueR2p0fn(x)dx=0;8n2N.Comojfn(x)jjanj+jbnj;8x2[0;2p];8n2N;si,razonandoporreducciónalabsurdo,lasucesiónfjanj+jbnjgestuvieseacotadasepodríaaplicarelEjercicio12.3ysellegaríaalasiguientecontradicción:2p=Z2p0dx=Z2p0limfn(x)dx=limZ2p0fn(x)dx=0:12.10Razonandoporreducciónalabsurdo,siunasucesiónparcialfs(n) convergiesec.p.d.,considerandolasucesióndefunciones(Riemann)integrablesfgng=n�fs(n+1)�fs(n)2c[0;2p]o
Acosta,AparicioyMoreno475Seae�0.ElTeorema12.12nosaseguraqueexistej2C00(RN)talquekf�jk1e
3.Seah2RNynotemosjh(x)=j(x+h);8x2RN.Setienequejh2C00(RN)yquekfh�jhk1e
3:Asíkf�fhk1kf�jk1+kfh�jhk1+kj�jhk12e
3+kj�jhk1:Veamosnalmentequeelúltimosumandosepuedecontrolar.Enefecto,sepuedesuponerquekhk1paraconvenientenormadeRN.SetienequeK=x2RN:dist(x;sop(j))1 esuncompactodeRNvericandosop(j);sop(jh)=sop(j)�hK.Lacon-tinuidaduniformedej�jh(TeoremadeHeine)nosaseguralaexistenciaded&#x]TJ/;༦ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0talquekhkd=)kj�jhkÂ¥e
3l(K)+1:ElrestoesconsecuenciadeladesigualdadZjj(x)�jh(x)jdxkj�jhk¥l(K):12.13i)yii)sonconocidas(véaseelEjemplo10.19.3).Probamosiii):Apartadoa),estoesfescontinuac.p.d.()e=Ec.p.d.SeaZ1=S¥n=1Pn.
)
SeanZ2=fx2[a;b]:fnoescontinuaenxgyZ=Z1[Z2.Probamosqueparacadax2[a;b]nZsevericaquee(x)=E(x).Enefecto,seae�0,existed�0talt2]x�d;x+d[\[a;b])jf(x)�f(t)jeEsclaroqueexisteunnaturalnyunintervaloIdePntalqueI]x�d;x+d[,conloque0En(x)�en(x)=Mk�mkf(t1)�f(t2)+ejf(x)�f(t1)j+jf(x)�f(t2)j+e3e;paraconvenientest1;t22I.Hemosprobadoquee(x)=E(x).
47612.Teoremasdeconvergencia
(
SeaZ3=fx2[a;b]:e(x)E(x)gyZ?=Z1[Z3.Seax2[a;b]nZ0.Veamosquefescontinuaenx.Dadoe&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.28; 0 ;&#xTd [;0existeunnaturalntalqueEn(x)�en(x)e.SeaIunintervalodePntalquex2I,ysead&#x]TJ/;ལ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.28; 0 ;&#xTd [;0talque]x�d;x+d[I.Setieneentoncesquet2]x�d;x+d[=)jf(x)�f(t)jEn(x)�en(x)e:Apartadob).SeaMunacotadef,estoes,�Mf(x)M;8x2[a;b].Esclaroqueparacadanaturalnes�MenEnM.PorotrapartefengyfEngsonsucesionesmonótonasdefuncionesintegrablesqueconvergenpuntualmenteaeyErespectiva-mente,yademás�M(b�a)Z[a;b]endlZ[a;b]endlM(b�a):ElT.C.M.nosdaqueZ[a;b]edl=limZ[a;b]endloloqueeslomismoZ[a;b]edl=limI(f;Pn)yenconsecuenciaelTeoremadeDarbouxnosaseguraqueZ[a;b]edl=Z
baf(x)dx:DemaneraanálogaZ[a;b]Edl=¯Zbaf(x)dx:Probemosnalmenteiv).AcabamosdeprobarquefesintegrableRiemann()Z[a;b](E�e)dl=0loqueequivale,envirtuddelapartadoiv)delaProposición10.13,aqueE=ec.p.d.queasuvezesequivalente,segúnhemosprobadoenelapartadoa),aquefseacontinuac.p.d.12.14CasoN=1
:ZG c[a;b]�j =Zba(1�j)=Za+da(1�j)+Zbb�d(1�j)d+d=2d:Casogeneral
:SeaI=I1IN.Setomaj:RN�!Rlafuncióndenidaporj(x1;:::;xN)=j1(x1)jN(xN);
48013.Integralessimples.lafunciónfesintegrableenIsi,ysólosi,loesenI;encuyocasoZIfdl=ZIfdl:Estehechonospermiteconsiderar,aefectosdeintegración,sólointervalosdeRdelaforma]a;b[con�¥ab+¥:Sif2L(]a;b[)notaremossuintegralporZbaf(x)dx:EsusualdenirZabf(x)dx:=�Zbaf(x)dx:ConvieneresaltarquelanotaciónescoherenteconlayautilizadaparalaintegraldeRiemannElsiguienteresultadoesunaherramientaindispensableenmuchasdemostraciones.Proposición13.2(Aditividaddelaintegralrespectodelintervalodeintegración).i)Seanf:]a;b[!Runafunciónyg2]a;b[.Entoncesf2L1(]a;b[),f2L1(]a;g[)\L1(]g;b[);encuyocasoZbaf(x)dx=Zgaf(x)dx+Zbgf(x)dx:ii)Seana;b;g2[�¥;+¥]yf:]a;b[�!Runafunciónintegrable,dondea=minfa;b;ggyb=maxfa;b;gg.EntoncesZbaf(x)dx=Zgaf(x)dx+Zbgf(x)dx:Demostración:i)EsuncasoparticulardelaProposición11.18.ii)LafórmulaquesepretendedemostraresequivalenteaZbaf(x)dx+Zgbf(x)dx+Zagf(x)dx=0;()fórmulaqueestrivialsidosdelostrespuntosqueaparecenenellacoinciden,puesentalcasosereduceaZbaf(x)dx+Zabf(x)dx=0:Además,sisepermutandecualquierformalospuntosa;byg,elprimermiembrodelafórmula()permaneceóquedamultiplicadopor�1.Ellopermitesuponerqueagb,encuyocasolafórmulaesciertaporelapartadoi).
Acosta,AparicioyMoreno48113.2.Teoremafundamentaldelcálculo.Elteoremafundamentaldelcálculoponedemaniestoqueladerivaciónylaintegraciónsonoperacionesinversas,estoesZxaf(t)dt0=f(x)paracasitodopuntox2]a;b[;f(x)=f(a)+Zxaf0(t)dtparatodopuntox2]a;b[:Antesdeconcretarestasarmacionesconvieneintroducirunconceptomásdébilqueeldeintegrabilidad.Denición13.3(integrabilidadlocaleintegralindefenida).Unafunciónf:]a;b[!Reslocalmenteintegrablesiesintegrableencadaintervalocompactocontenidoen]a;b[.Fijadounpuntoa2]a;b[,sedenelaintegralindefenidadefdeorigenaporF(x):=Zxaf(t)dt;8x2]a;b[:Esinmediatodelaproposiciónanteriorquetodafunciónintegrableeslocalmenteinte-grable.Probaremosenseguidaquelafunciónf(x)=1
x;8x2]0;1[eslocalmenteintegrableperonointegrable.Tambiénesclaroquedosintegralesindenidassediferencianenunacostante.Esfácilcomprobarquetodafunciónlocalmenteintegrableesmedible.Enefecto,seanfangyfbngsucesionesdenúmerosrealesdelintervalo]a;b[conanbn;8n2Ntalesquefang&ayfbng%b,entoncesfc[an;bn]!fc.p.d.yesclaroquefesmedible,yaquecadafunciónfc[an;bn]esmedibleporserintegrable.Resaltamostambiénqueenvirtuddelapropiedaddecompacidadlasfuncionescontinuassonlocalmenteintegrables.Teorema13.4(fundamentaldelcálculo).Seaf:]a;b[!Runafunciónlocalmenteinte-grableyseaa2]a;b[unpuntojo.Laintegralindenidadefdeorigena,estoesF(x)=Zxaf(t)dt;8x2]a;b[vericalassiguientesarmaciones:i)Escontinua.ii)Esderivablec.p.d.conF0=fc.p.d.AdemásFesderivableencadapuntoxdelintervalo]a;b[enelquefescontinuaconF0(x)=f(x).
48613.Integralessimples.Denición13.6(Acotaciónlocal).f:]a;b[!Rsedicelocalmenteacotadasiesacotadaencadaintervalocompactocontenidoen]a;b[.Esclaroquetodafunciónmediblelocalmenteacotadaeslocalmenteintegrable.Ob-sérvesequetodafuncióncontinuaeslocalmenteacotada.Probamosnalmente,paraestanfunciones(notanparticulares),laregladeBarrowparaintervaloscompactos.Elteoremadelvalormedionosaseguralaexistenciade0qn1talqueGn(x)=f(x+qn
n),conloqueparacadax2[a;b]severicaquejGn(x)jkf[a;b+1
m]k¥2L([a;b]);ysepuedeutilizarnuevamenteelteoremadelaconvergenciadominadaparaconcluirqueZbaf(x)dx=G(b)�Ga):
Esbuenoresaltarquelaúltimaarmaciónesinmejorableenelsentidodequeesciertasiemprequetengasentidoformularse.PorotraparteesclaroquecualquierfunciónqueseobtengasumandoaGunafunciónconstanteestambiénprimitivadef.Probamosacontinuaciónquedeestaformaseobtienentodaslasprimitivasdef.Enefecto,siHesotraprimitivadef,entonceslafunciónG�Hesderivableconderivadaceroluegoconstante(teoremadelvalormedio).Nota13.7(criteriodeintegrabilidad).Unafunciónf:]a;b[![0;+¥[queadmiteprimitivaesintegrable,si,ysólosi,suprimitivaGtienelímites(reales)ena;b.Enelcasodefuncionesintegrablesf:]a;b[!R,lacondiciónanterioresnecesaria.Sepodríapensaraventuradamentequetodafunciónf:]a;b[!RconprimitivaGquetengatienelímites(reales)ena;besintegrable.Elsiguienteejemploponedemaniestoqueestonoesasí.Ejemplo13.8.Consideremoslafunciónf:R+!Rdenidaporf(t)=sent
t:Elteoremafundamentaldelcálculo(Teorema13.4)nosaseguraquelafunciónG:R+!RdadaporG(x)=Zx1f(t)dtesunaprimitivadelafunciónfenR+.
48813.Integralessimples.iv)Si0ab+Â¥,entoncesfr2L(]a;b[);8r2R;siendoZbaxrdx=8&#x]TJ/;འ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td ;&#x[000;:br+1�ar+1
r+1sir6=�1log�b
asir=�1:fresunafunciónpositivaymedibleque,paracualquierrealr,admiteprimitivaenR+dadaporG(x)=8:xr+1
r+1sir6=�1log(x)sir=�1:Puestoquelimx!0G(x)=�Â¥sir+100sir+1�0ylimx!+Â¥G(x)=+Â¥sir+100sir+10elenunciadosesiguedelaregladeBarrow.Ejemplo13.10(Funciónexponencial).Lafunciónf:R+!Rdenidaporf(x)=e�x;8x2R+esintegrableyZ+Â¥0e�xdx=1:EsmediblepositivayadmiteprimitivaenR+dadaporG(x)=�e�x:13.3.Integraciónporpartes.Otrométododecálculodeintegraleseslafórmuladeintegraciónporpartes.Proposición13.11(Fórmuladeintegraciónporpartes).Seanu;v:]a;b[!Rfuncionesderi-vablestalesqueu0vyuv0sonintegrables.Entoncesexistenlimx!au(x)v(x)ylimx!bu(x)v(x)ysevericaZbau(t)v0(t)dt=limx!bu(x)v(x)�limx!au(x)v(x)�Zbau0(t)v(t)dt:
49013.Integralessimples.Demostración.Essabidoqueunafunciónderivablef:]a;b[!]a;b]esundifeomorsmosi,ysólosi,f0(t)6=0;8t2]a;b[;encuyocasoesbienconocido(teoremadelvalormedio)quefesestrictamentemonótonaylomismoleocurreaf�1.Sólosepuededarunadelassiguienteposibilidadesexcluyentesentresí:1.f0(t)�0;8t2]a;b[.2.f0(t)0;8t2]a;b[.Quesetraducenen1.jf0j=f0,f�1(a+)=ayf�1(b�)=b.2.jf0j=�f0,f�1(a+)=byf�1(b�)=a.Lafórmuladelcambiodevariableesahoraconsecuenciadelteoremadecambiodevari-able(Teorema13.13),sinmásquerecordarque(ff)jf0j2L(I),(ff)f02L(I):
ElEjercicio13.0contieneabundantesejemplosenlosquesepuedeaplicarestafórmula.Nota13.15.Utilizandoelteoremafundamentaldelcálculo(Teorema13.4)sepruebaunaversiónmásgeneraldelteoremadelcambiodevariabledondesóloseleexigealafunciónfqueseaundifeomorsmo,esdecirf0(t)6=0,8t2I.13.5.Criteriodecomparación.Enelestudiodelaintegrabilidaddeunafunciónlocalmenteintegrablef:I!RdenidaenunintervaloIdeResdecisivoelcomportamientodelafunciónenlosextremosdelintervalo.Puestoquesabemosqueparacadac2I:fesintegrableenIsi,ysólosi,fesintegrableenI\]�¥;c]yenI\[c;+¥[,sesiguequepodemoscentrarnuestroestudioenintervalossemiabiertosy,porunasimplecuestióndesimetría,nosbastaráconenunciarlosresultadosparaintervalosdelaforma:[a;b[con�¥ab+¥:Esimportantedestacarquelaideaquesubyaceenloquesigueeslasiguientepropiedadelemental:
Acosta,AparicioyMoreno491Sif:I�!Resunafunciónmedibleparalaqueexisteunafuncióng:I!Rintegrabletalquejfjg,entoncesfesintegrable.Elprimerresultadomuestraquesib+Â¥ylafunciónesacotadaenlascercaníasdeb,entoncesfesintegrable.Proposición13.16.Sean�Â¥ab+Â¥yf:[a;b[�!Runafunciónlocalmenteintegrable.Supongamosqueexistenc2[a;b[yM&#x]TJ/;འ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.89; 0 ;&#xTd [;0talesquejfjM;8x2[c;b[(locualocurreenparticularsiftienelímitenitoenb).Entoncesfesintegrable.Demostración:Comofesintegrableen[a;c]porhipótesisyestambiénintegrableen[c;b[porseracotada,concluimosquefesintegrable.
Convieneresaltarqueenestaproposiciónesesencialb+¥,recuérdesequeZ+¥1dx
x=+¥:Ejemplos13.17.a)Lafunciónde]0;1[enRdenidaporx7�!sen1
xesmedible(porsercontinua)yalseracotada(peseaquenotienelímiteen0),esintegrable.b)Lacondiciónnoesnecesaria.Lafunciónde]0;1[enRdenidaporx7�!1
p
xnoestáacotaday,sinembargo,esintegrabledehechoZ10dx
p
x=2:Proposición13.18(Criteriodecomparación).Sean�¥ab+¥yf;g:[a;b[�!Rfuncioneslocalmenteintegrablescong(x)6=0;8x2[a;b[.Supongamosquelimx!bf(x)
g(x)=L:Entoncesi)SiL2R,fesintegrablesi,ysólosi,gesintegrable.ii)SiL=0ygesintegrable,entoncesfesintegrable.iii)SiL=¥yfesintegrable,entoncesgesintegrable.
49613.Integralessimples.Enefecto:consideremoslafunciónf:R+R+:!Rdenidaporf(t;x)=xt�1e�x:Esfácilcomprobar(verEjercicio13.3)quet2R+=)xt�1e�x2L1(R+);esdecir,estádenidalafunciónG(t)=Z+¥0xt�1e�xdx;8t2R+:Derivandorespectoalavariablet,setieneque¶f
¶t(t;x)=xt�1lnxe�x;8t2R+:Ladicultad,comoyahemoscomentado,estáencomprobarlahipótesisiii)delTeorema13.21:laexistenciadeunafuncióng:W:�!Rintegrabletalque ¶f
¶t(t;w) g(w);8t2R+;8w2W;vieneennuestraayudaelcarácterlocal.Sea0t0.Tomemosa;b2Rtalesque0at0b:ComprobemosquedichahipótesissevericaparaIW=]a;b[R+.Enefecto,comoa�1t�1b�1=)xt�1maxnxa�1;xb�1oxa�1+xb�1;setieneque ¶f
¶t(t;x) =xt�1e�xjlnxjxa�1+xb�1e�xjlnxj;8(t;x)2]a;b[R+;conlocualbastaprobarquexa�1+xb�1e�xjlnxj2L1(R+):En]0;1[estafunciónsecomportacomoxrlnxqueesfácilcomprobar(véaseelEjercicio13.3)esintegrablesi,ysólosi,r��1.En[1;+¥[secomportacomox�2queesintegrable.Enefectoxre�xlnx
x�2=xr+2lnx
ex=xr+3
exlnx
x�!0cuandox�!+¥:PorúltimoelcarácterlocaldeladerivabilidadnosaseguraquelafunciónGesderivableconG0(t)=Z+¥0xt�1e�xlnxdx;8t2R+:
50013.Integralessimples.ysevericaZbau(t)v0(t)dt=limx!bu(x)v(x)�limx!au(x)v(x)�Zbau0(t)v(t)dt:TeoremadecambiodevariableparafuncionesmediblespositivasSeanIyJinterva-losabiertosdeR,fundifeomorsmodeclaseC1deIsobreJyf:J![0;+¥[unafunciónmedible.EntoncesZJf(x)dx=ZIf(f(t))jf0(t)jdt:TeoremadecambiodevariableSeanIyJintervalosabiertosdeR,fundifeomorsmodeclaseC1declaseC1IsobreJyf:J!Runafunciónmedible.Entoncesf2L(J),(ff)jf0j2L1(I);encuyocasoZJf(x)dx=ZIf(f(t))jf0(t)jdt:FórmuladelcambiodevariableSean�¥ab+¥,funafunciónrealmedibledenidaen]a;b[yf:]a;b[!]a;b[undifeomorsmodeclaseC1.Entoncesf2L1(]a;b])()(ff)f02L1(]a;b[)yencasoarmativovalelasiguientefórmuladelcambiodevariable:Zbaf(x)dx=Zf�1(b�)f�1(a+)f(f(t))f0(t)dt:CriteriodecomparaciónSean�¥ab+¥yf;g:[a;b[!Rfuncioneslocal-menteintegrablescong(x)6=0;8x2[a;b[.Supongamosquelimx!bf(x)
g(x)=L:Entoncesi)SiL2R,fesintegrablesi,ysólosi,gesintegrable.ii)SiL=0ygesintegrable,entoncesfesintegrable.iii)SiL=¥yfesintegrable,entoncesgesintegrable.
Acosta,AparicioyMoreno501TeoremadecontinuidaddefuncionesdenidasporintegralesSean(E;d)unespaciométrico,(W;A;m)unespaciodemedidayf:EW!Runafunciónsatisfaciendolassiguientescondiciones:i)8t2E,lafunciónw7�!f(t;w)esintegrableenW.ii)8w2W,lafunciónt7�!f(t;w)escontinuaenE.iii)Existeg:W!Rintegrabletalquejf(t;w)jg(w);8t2E;8w2W:EntonceslafunciónF:E!R,denidaporF(t)=ZWf(t;w)dm;escontinuaenE.TeoremadederivacióndefuncionesdenidasporintegralesSeanIunintervalodeR,(W;A;m)unespaciodemedidayf:IW!Runafunciónsatisfaciendolassiguientescondiciones:i)8t2I,lafunciónw7�!f(t;w)esintegrableenW.ii)8w2W,lafunciónt7�!f(t;w)esderivableenI.iii)Existeg:W!Rintegrabletalque ¶f
¶t(t;w) g(w);8t2I;8w2W:EntonceslafunciónF:I!R,denidaporF(t)=ZWf(t;w)dm;esderivableenIconF0(t)=ZW¶f
¶t(t;w)dm;8t2I:DenicióndefunciónabsolutamentecontinuaUnafunciónf:[a;b]!Rsediceabso-lutamentecontinuasiparacadae�0existed�0talquesi]ai;bi[ i=1;2;:::;nesunconjuntonitodesubintervalosde[a;b]disjuntosdosadosconåni=1(bi�ai)d,entoncesnåi=1jf(bi)�f(ai)je:TeoremadecaracterizacióndelasintegralesindenidasSeaf:[a;b]!Runafun-ción.Equivalenlassiguientearmaciones
50213.Integralessimples.1.fesabsolutamentecontinua.2.fesderivablec.p.d.en[a;b],lafunciónf0esintegrableen[a;b]ysevericaquef(x)�f(a)=Zxaf0(t)dt;8x2[a;b]:Esdecir,lasfuncionesabsolutamentecontinuassonprecisamenteaquellasquesepuedenreconstruirapartirdesuderivada.
Acosta,AparicioyMoreno50313.9.EjerciciosdelTema13.13.0.Probarqueexistenlassiguientesintegralesyquetienenelvalorqueseindicaencadacaso:Z10dx
1+ex=1+ln2
1+e;Z1
20dx
p
20+8x�x2=arcsen2
3�arcsen7
12;Z30dx
p
9�x2=p
2;Z10x2
p
1�x6dx=p
6;Z+Â¥1x�1
x3�3x2+x+5dx=3p+ln2
10;Z+Â¥0x
3+x4dx=p
3p
12Z+¥�¥dx
ex+e�x=p
2;Zp�pcos2xdx=Zp�psen2xdx=p;Z+Â¥0e�axcos(bx)dx=a
a2+b2;Z+Â¥0e�axsen(bx)dx=b
a2+b2(a�0;b2R);Z1�1p
1�x2dx=p
2;Zp�p(1+cosx)2dx=3p;Zp
2�p
2jsenxj3dx=4
3;Zp
20sen2Jcos2JdJ=p
16;Z101�r2
33
2rdr=8
35Z+Â¥0dx
1+x2+y2=p
2p
1+y2;Z10dy
p
1+y2=ln(1+p
2);Z+Â¥0dx
(1+y)(1+yx2)=p
2(1+y)p
y(y�0);Z+Â¥0dy
(1+y)p
y=p;Z10lnxdx=�1;Z+Â¥0dy
(1+y)(1+yx2)=Z+Â¥01
1�x21
1+y�x2
1+yx2dy=2lnx
x2�1(x6=1):13.1ParacualquiersubconjuntoEmediblede]0;1[sedenen(E)=ZEdx
x:Probarquenesunamedidaen]0;1[absolutamentecontinuarespectodelamedidadeLebesguelen]0;1[ysinembargo0d1
2=)n(]d;2d[)=ln2yl(]d;2d[)=d:¿ContradiceestehecholasegundapartedelCorolario12.4?13.2Darunejemplodeunafunciónintegrableen]0;1[cuyocuadradonoloes.
50613.Integralessimples.i)F(t)=Z+Â¥0e�x�e�tx
xdx;8t2R+:ii)F(t)=Zp0ln(1+tcosx)dx;8t2]�1;1[:13.6ProbarquelafunciónF:R!RdenidaporF(t)=Z+¥�¥cos(tx)e�x2
2dx;esderivable.UtilizarelmétododeintegraciónporpartesenlaexpresióndeF0paraobtenerqueF0(t)=�tF(t);8t2R.DeducirdeelloquelafuncióndeRenRdadaport7�!F(t)et2
2tienederivadanula.Porúltimoconcluir,utilizandoelTeoremadelvalormedio,queF(t)=Ce�t2
2;8t2R;dondeC=Z+¥�¥e�x2
2dx:EstaconstantesecalculaenelEjercicio14.7,concretamenteC=p
2p.13.7Probarque1.Lafunciónf(x)=p
x;8x2[0;1]esabsolutamentecontinua.2.Lafuncióng(x)=(0six=0xsen�p
2xsix2]0;1]noesabsolutamentecontinua.13.8Seaf:]a;b[!Runafunciónlocalmenteintegrable.Probarquefesintegrablesi,ysólosi,elconjuntoZtsjf(x)jdx:astbestáacotado.EncasoarmativoZbaf(x)dx=limZtnsnf(x)dx
Acosta,AparicioyMoreno507paracualesquierasucesionesfsngyftngen]a;b[consntn;8n2N;fsng&a;ftng%b:13.9EstudiarladerivabilidaddelafunciónF(t):=Z+¥0sen(tx)
1+x2dx;8t2R+Indicación
:Realizarelcambiodevariabley=txyaplicarelteoremadederivación(Teorema13.21)13.10SeanI;JintervalosabiertosdeRyf:IJ!Runafuncióncontinuavericando1.ParacadatdeIlafunciónx7�!f(t;x)estáenL1(J).2.ParacadaxenJlafunciónt7�!f(t;x)esdeclaseC1(J).3.Lafunción ¶f(t;x)
¶t estádominadaporunafunciónintegrable.Seag:I!JunafuncióndeclaseC1.Probarqueparaa2J,lafunciónF(t):=Zg(t)af(t;x)dx;8t2IesderivableconderivadaF0(t)=Zg(t)a¶f(t;x)
¶tdx+f(t;g(t))g0(t);8t2I:Indicación
:Considerarlafunciónf:IJ!Rdadaporf(u;v)=Zvaf(u;x)dx:
Acosta,AparicioyMoreno50913.10.SolucionesalosejerciciosdelTema13.13.1Lafunciónfesmedible(positiva)porsercontinua.LaprimerapartedelCorolario12.4nosaseguraquenesunamedidaen]0;1[absolutamentecontinuarespectodel.Nosecontradicelasegundapartedelcitadoteoremapuesfnoesintegrable(véaseelEjemplo13.9).13.2Lafunciónx7�!1
p
xesintegrableysucuadrado,x7�!1
x,noloes(véaseelEjemplo13.9).13.3a)
xre�gx2L1(R+)()r��1
,paracadag2R+.Enefecto,six2]0;1[setienequexre�gxre�gxxr,estoes,lafunciónsecomportacomoxr.Así(véaseEjemplo13.9)lafunciónesintegrableen]0;1[si,ysólosi,r��1.En[1;+¥[secomparaconx�2(verCriteriodecomparación(Proposición13.18))ylafunciónesintegrable:limx!+¥xre�gx
x�2=limx!+Â¥xr+2
egx=0:b)
x
ex�12L1(R+)
.Enefecto,en]0;1[lafunciónesintegrablepuesescontinuaytienelímiteen0yen1.En[1;+¥[secomportacomoxe�x,queacabamosdeverqueesintegrable.Enefecto,limx!+¥ex
ex�1=1:c)
xrlnx=2L1(R+)
.En[1;+¥[lafunciónesintegrablesi,ysólosir�1.Enelcasor�1,tomemosa2Rconra�1,ybastacompararconxa,quesabemosesintegrable(véaseEjemplo13.9):limx!+¥xrlnx
xa=limx!+Â¥lnx
xa�r=0:Siporelcontrarior�1,entoncesbastacomparacon1
xparaconcluirquelafunciónnoesintegrable.Enefecto:limx!+¥1
x
xrlnx=limx!+Â¥1
xr+1lnx=0:
51013.Integralessimples.En]0;1[lafunciónesintegrablesi,ysólosir��1.Enelcasor��1,tomemosa2Rconr�a��1,ybastacompararconxa,quesabemosesintegrable(véaseEjemplo13.9):limx!0xrlnx
xa=limx!0xr�alnx=0:Siporelcontrarior�1,entoncesbastacompararcon1
xparaconcluirquelafunciónnoesintegrable.Enefecto:limx!01
x
xrlnxlimx!0x�(r+1)
lnx=0:d)
1
p
xsen1
x2L1(]0;1[)
.Enefecto, 1
p
xsen1
x 1
p
x2L1(]0;1[):Tambiénsepuederazonarquelafunciónescontinuaytienelímiteen0yen1.e)
xa�1(1�x)b�12L1(]0;1[)()a;b�0
.Enefecto,xa�1(1�x)b�12L1(]0;1
2[)()a�1��1xa�1(1�x)b�12L1(]1
2;1[)()b�1��1=)xa�1(1�x)b�12L1(]0;1[)()a;b�0:f)
lnxln(1+x)2L1(]0;1[)
.Enefecto,esunafuncióncontinuaytienelímiteen0yen1:limx!0lnxln(1+x)=limx!1lnxln(1+x)=0:Paracalcularelprimerlímiteténgaseencuentaquelnxln(1+x)=ln(1+x)lnx=ln(1+x)1
xxlnxlimx!0(1+x)x=eylimx!0xlnx=0:
51213.Integralessimples.iv)Porlacontinuidaddelafunciónsenoencero,yporserlasucesiónn1+x2
n�noconvergenteaexp(�x2),lasucesióndefuncionesffngdadaporfn(x)=1+x2
n�nsenx
nconvergepuntualmenteacero.Usandoademásquelasucesión1+x2
n�nclaramentevericaaldesigualdad1+x2
nn=1+nx2
n+:::1+x2;dedondeseobtieneladesigualdadjfn(x)j1
1+x2Porúltimo,laintegrabilidadenR+delaúltimafunción(bastausarelcriteriodecomparación)yelteoremadelaconvergenciadominadanosaseguraquelasucesióndeintegralesdelenunciadoconvergeacero.v)Esinmediatocomprobarqueenestecasolasucesióndefuncionesfn(x)=1
1+x
nnx1
nconvergepuntualmentealafunciónx7!e�x.Paran2setienequejfn(x)j1
p
x8x2]0;1[;jfn(x)j1
1+x
228x1Lasfuncionesquesehanusadoparamayorarsonintegrables,portanto,aplicandoelteoremadelaconvergenciadominadaseobtienequelasucesióndeintegralesconvergeaZ+¥0e�xdx=1(Ejemplo13.10).vi)Paracadanaturaln,consideremoslafunciónintegrabledadaporfn(x)=1�x
nnxa�1c]0;n[:Aplicandoladesigualdaddelasmediasparalosnúmerosa1=:::=an=1�x
n;an+1=1;queda 1�x
nn!1
n+1n�x+1
n+1=1�x
n+1
Acosta,AparicioyMoreno517ybastaevaluarlaconstanteenceroC=F(0)=Z+¥�¥e�x2
2:EstaconstantesecalculaenelEjercicio14.7,concretamenteC=p
2p.HemosprobadoqueF(t)=p
2pe�t2
2;8t2R:13.71.Paraprobarquelafunciónfesabsolutamentecontinuabastatenerencuentaquef(x)=Zx01
2p
x;8x2[0;1];yelresultadosesiguedelaProposición13.24.2.Lafuncióngnoesabsolutamentecontinua,enefectosead�0.Tomemosn02Ntalque1
4n0d.Consideremoslossubintervalosdisjuntosdelintervalo[0;1]Ik=[ak;bk]=1
4k+1;1
4k;k=n0;n0+1;:::;n0+n:Esclaroquen0+nåk=n0`(Ik)d;mientrasquen0+nåk=n0jg(bk)�g(ak)j=n0+nåk=n01
4k+1�1
4n0+nåk=n01
k+1�1sinessucientementegrandepueslaserieåkn01
k+1esdivergente.13.8SeaM:=supZtsjf(x)jdx:astb2[0;Â¥]:Sifesintegrable,entoncesZtsjf(x)jdxZbajf(x)jdx(astb)
51813.Integralessimples.yenconsecuenciaM2R.RecíprocamentesupongamosM2R,consideremosfsngyftngsucesionesen]a;b[consntnparacadanaturalnyfsng&a;ftng%b:Paracadanaturalndenimoslafunciónfn=jfjc[sn;tn].Comoffng%jfjylasuce-siónfRfngestaacotada,laversiónprácticadelteoremadelaconvergenciamonótona(Corolario12.2)nosaseguraquejfj2L1(]a;b[),yenconsecuencia,alserfmedible,tambiénf2L1(]a;b[).Finalmenteseanfsng;ftngcomoenelenunciado,considere-mosparacadanaturalnlafuncióngn=fc]sn;tn[,esclaroquelasucesiónfgng!f,así,envirtuddelteoremadelaconvergenciadominada(Teorema12.5),concluimosqueZbaf(x)dx=limZtnsnf(x)dx:Obsérvesequelafórmulaanterioresválidaaunquelassucesionesnoseanmonótonas,estoes,bastaquesntnparacadanaturalnyfsng!a;ftng!b:13.9AplicaremoselTeoremadederivación.Paraello,empezamosporcomprobarquelafunciónx7!sentx
1+x2esintegrableenR+paracadat�0jo.Bastausarquelafunciónanterioresmedibleporsercontinua,elcriteriodecomparación,ladesigualdad sentx
1+x2 1
1+x2;8x�0ylaregladeBarrowparalafunciónpositivax7!1
1+x2,cuyaprimitiva(arctan)tienelímitesen0yen+¥.AhorapodemosaplicarelTeoremadelcambiodevariable.Paracadat�0jo,hace-moselcambioy=tx,conloqueobtenemosF(t)=Z+¥0seny
1+y2
t21
tdy=Z+Â¥0tseny
t2+y2dy:AhoraaplicaremoselTeoremadederivaciónparalafunciónf(t;x)=tsenx
t2+x2(t;x�0):a)ElTeoremadelcambiodevariable(porelargumentoanterior)nosaseguraqueparacadat�0jolafunción,x7!f(t;x)esintegrableenR+.b)Esclaroqueparacadax�0jo,lafunciónt7!f(t;x)esderivableenR+conderivada¶f
¶t(t;x)=senx(t2+x2)�tsenx(2t)
(t2+x2)2:
Tema14Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.ElobjetivodeestetemaeselestudiodelaintegraldeLebesgueenRN,estoes,laintegralasociadaalespaciodemedida(RN;M;l).Traselasentamientoenlasleccionesprecedentesdelospilaresbásicosquesostienenlateoríadelaintegración,podemosahoraabordarlacuestiónfundamentalparanosotros:proporcionarmétodosquepermitanreconocercuandounafunciónf:E�!R,dondeEesunsubconjuntomedibledeRN,esintegrabley,encasoarmativo,calcularsuintegral.EsusualnotarL1(E)alconjuntodelasfuncionesintegrablesenE.Esimportantetenerpresentequeelproblemadeintegraciónplanteadocontienedoscues-tionesdistintas:unaeslaintegrabilidaddelafunción(hastaahorasabemosquesoninte-grableslasfuncionesnulasc.p.d.,lascombinacioneslinealesdefuncionescaracterísticasdeconjuntosdemedidanitaylasfuncionescontinuasdesoportecompacto)yotraescalcu-lar,supuestoquelafunciónseaintegrable,elvalordesuintegral.Enestesentidodebemosadvertirquepresentamostrestiposdetécnicasdeintegración:-Métodosqueproporcionanlaintegrabilidaddefaunquenoelvalordelaintegral.-Métodosqueproporcionanlaintegrabilidaddefyelvalordesuintegral.-Métodosqueproporcionanelvalordelaintegral,supuestoquelafunciónseainte-grable.Ellectortendrácuidadoenlosucesivodeadvertirconprecisiónlainformaciónquecadaresultadoproporcionaalrespecto.Paracalcularintegralesmúltiplesnosedisponedeningúnprocedimientoelementalcom-parablealaregladeBarrow(Teorema13.5),perosedisponedeunresultadofundamentalquerelacionalaintegralenRNconintegracionessucesivasenespaciosdemenordimensión,loqueenúltimainstanciapermiteevaluarintegralesmúltiplesrealizandointegracionesiteradasencadaunadelasvariables.EsteresultadoeselTeoremadeFubini.521
52214.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.14.1.TeoremadeFubini.Teorema14.1(Fubini).Seanpyqnaturalesyf:RpRq�!Runafunciónintegrable.Entoncessevericanlassiguientespropiedades:i)Paracasitodoy2Rq,lafuncióndenidaenRpporx7�!f(x;y)esintegrableenRpylafuncióndenidacasipordoquierenRqpory7�!ZRpf(x;y)dxesintegrableenRq.ii)Paracasitodox2RplafuncióndenidaenRqpory7�!f(x;y)esintegrableenRqylafuncióndenidacasipordoquierenRpporx7�!ZRq(x;y)dyesintegrableenRp.iii)ZRpRqf(x;y)d(x;y)=ZRqZRpf(x;y)dxdy=ZRpZRqf(x;y)dydx:Demostración.DesignemosporFelconjuntodetodaslasfuncionesf:Rp+q!Rinte-grablesquesatisfaceni),ii)yiii).LademostraciónconsisteenprobarqueF=L1(Rp+q),loqueharemosenvariasetapas.Puestoquelospapelesdepyqsonintercambiables,essucientecomprobari)ylaprimeraigualdaddeiii).a)Fesunespaciovectorial:LademostraciónesconsecuenciainmediatadequelaunióndedosconjuntosdemedidaceroesdemedidaceroydelaspropiedadesdelaintegraldeLebesgue.b)Fesestableporpasoallímitedesucesionesmonótonas:SiffngesunasucesiónmonótonadefuncionesdeFqueconvergepuntualmentehaciaunafunciónintegrablef,entoncesf2F.Enefecto,podemossuponerqueffngescreciente(enotrocasoconsideraríamosf�fng).Enprimerlugar,comoparatodo(x;y)2RpRqsevericaquefn(x;y)f(x;y);
Acosta,AparicioyMoreno523lamonotoníadelaintegralnosaseguraqueZRpRqfn(x;y)d(x;y)ZRpRqf(x;y)d(x;y);8n2N(1)ysededucedelaversiónprácticadelteoremadelaconvergenciamonótona(Corolario12.2)parafuncionesdeL1(Rp+q)),queZRpRqfn(x;y)d(x;y)�!ZRpRqf(x;y)d(x;y):(2)Utilizandoquelauniónnumerabledeconjuntosdemedidaceroesdemedidacero,sededucelaexistenciadeZRqdemedida(q-dimensional)cerotalqueparatodoy2RqnZyparatodon2N,laaplicaciónx7�!fn(x;y)esintegrableenRpylafuncióndenidacasipordoquierenRqporFn(y)=ZRpfn(x;y)dxesintegrableenRq,siendoademásZRqFn(y)dy=ZRqZRpfn(x;y)dxdy=ZRpRqfn(x;y)d(x;y):LasucesiónfFngesclaramentecreciente(podemosdenirFn(y)=0;8y2Z).Lade-sigualdad(1)nospermite,enconsecuencia,aplicarelCorolario12.2parafuncionesdeL1(Rq)),paradeducirqueparacasitodoy2Rq,lasucesiónfFn(y)gesconvergente,luegoacotada.Ahora,comoparacaday2Rqesfn(x;y) f(x;y);denuevoelCorolario12.2parafuncionesdeL1(Rp)),nosaseguraqueparacasitodoy2Rqlafunciónx7�!f(x;y)esintegrableenRpyqueZRpfn(x;y)dx!ZRpf(x;y)dx:PuestoqueporhipótesisZRqZRqfn(x;y)dxdy=ZRpRqfn(x;y)d(x;y);8n2N(3)denuevoladesigualdad(1)nospermiteaplicarelCorolario12.2parafuncionesdeL1(Rq)),paraarmarquelafuncióndenidacasipordoquierenRqpory7�!ZRpf(x;y)dx
52414.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.esintegrableenRqyademásZRqZRpfn(x;y)dxdy�!ZRqZRpf(x;y)dxdy:Porúltimo,teniendoahoraencuenta(2)y(3),concluimosqueZRpRqf(x;y)d(x;y)=ZRqZRpf(x;y)dxdy:c)SiERp+qRpRqesmedibleconl(E)Â¥,entoncescE2F.Lademostracióndeesteapartadoladividiremosenvariossubapartados:c.1)SiIesunintervaloacotadodeRpyJesunintervaloacotadodeRq,entoncescIJ2F.Enefecto,cIJ(x;y)=cI(x)cJ(y);8(x;y)2RpRqy,consecuentemente,jadoy2RqlafuncióndenidaenRpporx!cIJ(x;y)eslafuncióncIsiy2J0siy=2JqueesintegrableconintegralZRpcIJ(x;y)dx=v(I)siy2J0siy=2J=v(I)cJ(y);loquepruebai).Probemoslaprimeraigualdaddeiii)ZRpRqcIJ(x;y)d(x;y)=l(IJ)=v(I)v(J)==ZRqv(I)cJ(y)dy=ZRqZRpcIJ(x;y)dxdy:c.2)SiGRp+qesunconjuntoabiertoconl(G)Â¥,entoncescG2F.PongamosG=[Â¥n=1InparaconvenientesucesiónfIngdeintervalosacotadosdeRp+qdisjuntosdosados(Proposición10.8).EntoncescG=¥ån=1cIn:
Acosta,AparicioyMoreno527Fórmula14.4(delteoremadeFubinienconjuntosmedibles).a)Enelplano.SiER2esunconjuntomedibleyf2L1(E),entoncesZEf(x;y)d(x;y)=Zb1a1ZE(x)f(x;y)dydx=Zb2a2ZE(y)f(x;y)dxdy;siendoa1=infE1;b1=supE1;a2=infE2;b2=supE2dondeE1=p1(E);yE2=p2(E)(p1;p2sonlasproyeccionessobrelosejescoordenados)yparacadax2]a1;b1[(resp.y2]a2;b2[)esE(x)=fy2R:(x;y)2Eg(resp.E(y)=fx2R:(x;y)2Eg):Enparticular,cuandoE=IJ,siendoI;JintervalosdeR,entoncesZEf(x;y)d(x;y)=ZIZJf(x;y)dydx=ZJZIf(x;y)dxdy:Demostración.TeniendoencuentaelteoremadeFubiniyelhechodequecE(x;y)=c]a1;b1[(x)cE(x)(y);ctx2R;8y2Rsetieneque:ZEf(x;y)d(x;y)=ZR2f(x;y)cE(x;y)d(x;y)=ZRZRf(x;y)cE(x;y)dydx==ZRZRf(x;y)c]a1;b1[(x)cE(x)(y)dydx=ZRZRf(x;y)cE(x)(y)dyc]a1;b1[(x)dx==Z]a1;b1[ZE(x)f(x;y)dydx=Zb1a1ZE(x)f(x;y)dydx:Finalmente,unintercambiodepapeles,dalaotraigualdad.
Ejemplo:Áreadelcírculo.SeaE=f(x;y)2R2:x2+y2r2g(r�0).Calcularemosl(E).Setienel(E)=ZEd(x;y)=Zr�r"Zp
r2�x2�p
r2�x2dy#dx=Zr�r2p
r2�x2dx=hc.v.x=rsenti=2r2Zp
2�p
2cos2tdthutilizarquecos2t=1+cos2t
2i=pr2:
Acosta,AparicioyMoreno529y,portantoZ10Z10f(x;y)dxdy=Z10�1
1+y2dy=�arctanyiy=1y=0=�p
4:AnálogamentesepruebaqueZ10Z10f(x;y)dydx=p
4:b)Lafunciónf:RR�!Rdenidaporf(x;y)=xy
(x2+y2)2;admitelasdosintegralesiteradasysoniguales,pero,sinembargo,noesintegrable.Enefecto,silofueseZ+¥�¥Z+¥�¥f(x;y)dxdy==Z+¥�¥Z0�¥f(x;y)dx+Z+¥0f(x;y)dxdy==Z+¥�¥Z+¥0(�f(x;y)+f(x;y))dxdy=Z+¥�¥0dy=0;dondesehautilizadoquef(�x;y)=�f(x;y);8(x;y)2R.AnálogamentesepruebaqueZ+¥�¥Z+¥�¥f(x;y)dydx=0:Veamosquenoesintegrable.Sifuesefintegrabletambiénloseríajfjconloque,envirtuddelTeoremadeFubini,setendríaqueZR2jf(x;y)jd(x;y)=Z+¥�¥Z+¥�¥jf(x;y)jdydx;peroZ+¥�¥jf(x;y)jdx=Z+¥�¥jxjjyj
(x2+y2)2dx=jyjZ+Â¥02x
(x2+y2)2dx=jyj�1
x2+y2x=+Â¥x=0=1
jyj;y,enconsecuencia,Z+¥�¥Z+¥�¥jf(x;y)jdxdy=+¥pueslafuncióndeR+enRdenidapory!1
ynoesintegrable(véaseelEjemplo13.9).
Obsérvesequesehausadoelhechodequelaexistenciadelasintegralesiteradasdejfjesunacondiciónnecesariaparalaintegrabilidaddef.Elsiguienteresultadoarmaquedichacondiciónestambiénsucienteparaqueunafunciónmedibleseaintegrable.
53414.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.jdetJf(a)jl(E)=l(T(E))=l��Tf�1(f(E))a�Nl(f(E)):HemosprobadoquesiEB(a;d)esmedible,entoncessevericaqueaNjdetJf(a)jl(E)l(f(E))bNjdetJf(a)jl(E):()Porotraparte(2)seescribetambién(1�e)jdetJf(a)jjdetJf(t)j(1+e)jdetJf(a)j;8t2B(a;d);yenconsecuenciaparacadaEB(a;d)mediblesevericatambiénZE(1�e)jdetJf(a)jdtZEjdetJf(t)jdtZE(1+e)jdetJf(a)jdt;oequivalentemente(1�e)jdetJf(a)jl(E)ZEjdetJf(t)jdt(1+e)jdetJf(a)jl(E):()Laconjunciónde(*)y(**)pruebaelapartadoa).b)ParatodoconjuntomedibleEincluidoenWseverica:l(f(E))=ZEjdetJf(t)jdt:Fijemosr&#x]TJ/;འ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;1.ComprobemosqueWsepuedeexpresarcomouniónnumerabledebolasabiertas,encadaunadelascualessecumplenlasdesigualdadesdelapartadoa).Enefecto,paracadax2Wexisted(x)&#x]TJ/;འ ;.9;Ւ ;&#xTf 1;.94; 0 ;&#xTd [;0talquesecumplenlascondicionesdelapartadoa).Entonces,elrecubrimientoU=fB(x;;d(x)):x2Wgadmite,envirtuddelLema10.21,unsubrecubrimientonumerable.SeaEWmedible.EsinmediatoqueEsepuedeexpresarcomounauniónnumerabledeconjuntosmediblesdisjuntosentresíE=Â¥[n=1EnconEnB(bn;rn);8n2N:Elapartadoa)nosgarantizaqueparacadanaturalnsetiener�1ZEnjdetJf(t)jdtl(f(En))rZEnjdetJf(t)jdt:ComolaaplicaciónE!ZEjdetJf(t)jdt
Acosta,AparicioyMoreno537encuyocasoZEf(x)dx=Zf�1(E)f(f(t))jdetJf(t)jdt;loquepruebalafórmuladelcambiodevariablequeeslamanerahabitualdeutilizarelTeorema14.10paracalcularintegrales.
Nota14.12.ParareconocerquefesundifeomorsmodeclaseC1deWsobref(W)esusualutilizarelteorema“global”delafuncióninversa(Corolario8.8).Enlaprácticaelconjuntodeintegraciónf(E)esconocidoyelproblemaradicaenencontraruncambiodevariableadecuadoyenconocerE,estoes,elconjuntodeRNqueseaplicamedianteeldifeomorsmofenelconjuntodepartida.Esusualtambién,unavezefectuadoelcambiodevariable,utilizarelteoremadeFubini(Teorema14.1)paracalcularlaintegral.14.4.Coordenadaspolares,cilíndricasyesféricas.a)Coordenadaspolaresenelplano.DadasporeldifeomorsmofdeclaseCÂ¥,delabiertoW=R+]�p;p[sobreelabiertoG=R2nf(x;0):x0g,denidoporf(r;J)=(rcosJ;rsenJ)condetJf(r;J)=r�0;8(r;J)2W:LafórmuladelcambiodevariabledevieneparaER2medibleyf:E!Rmedibleenf2L1(E),rf(rcosJ;rsenJ)2L1�f�1(E);encuyocasoZEf(x;y)d(x;y)=Zf�1(E)f(rcosJ;rsenJ)rd(r;J):Ejemplo:áreadelcírculo.SeaE=f(x;y)2R2:x2+y2r2gconr�0.Setratadecalcularl(E).Setienel(E)=ZEd(x;y)=Z]0;r[]�p;p[rd(r;J)=Zr0Zp�prdJdr=pr2;dondesehanutilizadolosteoremasdeFubini,delcambiodevariableylaregladeBarrow.
Acosta,AparicioyMoreno541b)EnelespacioR3.SeaER3unconjuntomedibleyf2L1(E).Laintegraldelafunciónfsepuedecalcularmedianteunaintegraciónsimpleyunaintegracióndobleomediantetresintegracionessimples(¿Cuántasposibilidadeshay?).Porejemplo,pode-moscalcularlaintegraldefcomosigue:ZEf(x;y;z)d(x;y;z)=Zb3a3ZE(z)f(x;y;z)d(x;y)dz;siendoa3=infE3;b3=supE3dondeE3=p3(E),yparacadaz2]a3;b3[esE(z)=f(x;y)2R2:(x;y;z)2Eg:TeoremadeTonelliSeanpyqnaturalescualesquierayseaf:Rp+qRpRq�!Runafunciónmedibleysupongamosqueesnitaalgunadelassiguientesintegralesiteradas:ZRpZRqjf(x;y)jdydx;ZRqZRpjf(x;y)jdxdy:Entoncesfesintegrable.CriteriodeintegrabilidadSeanpyqnaturales.Unafunciónmediblef:Rp+q�!Resintegrablesi,ysólosi,algunadelassiguientesintegralesiteradasesnita:ZRpZRqjf(x;y)jdydx;ZRqZRpjf(x;y)jdxdy:Entalcasoexistenlasdosycoinciden.Entoncestambiénexistenlasintegralesiteradasdefysonigualesalaintegraldef.MedidadelconjuntoordenadoSeaf:RN![0;+Â¥[unafunciónmedible.Entoncesfesintegrablesi,ysólosi,elconjuntoordenadodefPf:=(x;y)2RN+1:0yf(x) tienemedidanita,encuyocasoZRNf(x)dx=l�Pf:TeoremadecambiodevariableparafuncionesmediblespositivasSeanWyGabiertosdeRN,fundifeomorsmodeclaseC1deWsobreGyf:G![0;+Â¥[unafunciónmedible.EntoncesZf(E)f(x)dx=ZEf(f(t))jdetJf(t)jdt;8EWmedible.
54214.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.TeoremadecambiodevariableSeanWyGabiertosdeRN,fundifeomorsmodeclaseC1deWsobreG,EWmedibleyf:f(E)!Runafunciónmedible.Entoncesf2L1(f(E)),(ff)jdetJfj2L1(E);encuyocasoZf(E)f(x)dx=ZEf(f(t))jdetJf(t)jdt:FórmuladecambiodevariableEnlascondicionesdelteoremadelcambiodevariable(Teorema14.10),obsérvesequesiademásl�GC=0,entonces:ParacualesquieraERNmedibleyf:E!Rmediblesevericaf2L1(E),(ff)jdetJfj2L1�f�1(E):encuyocasosetienelasiguientefórmuladecambiodevariableZEf(x)dx=Zf�1(E)f(f(t))jdetJf(t)jdt:Coordenadaspolaresenelplano.DadasporeldifeomorsmofdeclaseCÂ¥delabiertoW=R+]�p;p[sobreelabiertoG=R2nf(x;0):x0g,denidoporf(r;J)=(rcosJ;rsenJ)condetJf(r;J)=r�0;8(r;J)2W:LafórmuladelcambiodevariabledevieneparaER2medibleyf:E!Rmedibleenf2L1(E),rf(rcosJ;rsenJ)2L1�f�1(E);encuyocasoZEf(x;y)d(x;y)=Zf�1(E)f(rcosJ;rsenJ)rd(r;J):Coordenadascilíndricasenelespacio.DadasporeldifeomorsmofdeclaseCÂ¥delabiertoW=R+]�p;p[RsobreelabiertoG=R3nf(x;0;z):x0g,denidoporf(r;J;z)=(rcosJ;rsenJ;z)condetJf(r;J;z)=r�0;8(r;J;z)2W:LafórmuladecambiodevariablevienedadaahoraparaER3medibleyf:E!Rmedible,porf2L1(E),rf(rcosJ;rsenJ;z)2L1�f�1(E);
54814.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.14.8Probarquelafunciónf(x;y)=1
1+x2+y2esintegrableen]0;+Â¥[]0;1[ydeducirque:Zp
20arctg(cosx)
cosxdx=p
2ln(1+p
2):14.9ProbarqueZ+Â¥0lnx
x2�1dx=1
2ZR+R+d(x;y)
(1+x2y)(1+y)=p2
4:DeducirqueZ10lnx
x�1dx=p2
6yobtenerapartirdeelloque¥ån=11
n2=p2
6:14.10Probarquelimt!+Â¥Zt0senx
xdx=p
2:EnelEjemplo13.8seprobólaexistenciadedicholímite,ahorasetratadecalcularloIndicaciones:
a)Probar,usandolosTeoremasdeFubiniyTonelli,quelafunciónF(x;y)=e�xysenxesintegrableen]0;n[]0;¥[yqueZn0senx
xdx=Z+¥0Zn0e�xysenxdxdy:b)Paracadanaturaln,seafn:]0;+¥[!Rlafuncióndenidaporfn(y)=Zn0e�xysenxdx:Probar,integrandoporpartes,queffn(y)g�!1
1+y2;Probarademásquejfn(y)j2
1+y2;8n2N:
55214.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.v)
f(x;y)=e�xy=2L1�(x;y)2R2:1x;0y1
x 
Enefectolafunciónfesmediblepositiva.ComoZ+¥1hZ1
x0e�xydyidx=Z+Â¥1h�1
xe�xyi1
x0dx=Z+Â¥1�1�1
e1
x=+Â¥;fnoesintegrableenvirtuddelteoremadeFubini.vi)
f(x;y)=e�jx�yj2L1(]�1;1[R)
Enefectolafunciónfesmediblepositiva.ComoZ1�1hZ+¥�¥e�jx�yjdyidx=Z1�1hZx�¥ey�xdy�Z+¥xex�ydyidx=Z1�1ey�xx�¥+�ex�y+¥xdx=Z1�12dx=4;LuegoporelteoremadeTonelli(Teorema14.6)lafunciónfesintegrableyporelteoremadeFubiniZ]�1;1[Rf(x;y)d(x;y)=4:vii)
f(x;y)=x
(x2+y2)p
1�x2L1(f(x;y)2R2:0x;0yxg)
Enefectolafun-ciónfesmediblepositiva.ComoZ10hZx0x
(x2+y2)p
1�xdyidx=p
2LuegoporelteoremadeTonellilafunciónfesintegrableyporelteoremadeFubiniZf(x;y)2R2:0x1;0y1
xgf(x;y)d(x;y)=p
2viii)
f(x;y)=cos(xy)
(1+y2)p
senx2L1(]0;1[R+)
jf(x;y)jg(x;y)=1
1+y2)p
senxLafuncióngesmediblepositivayZ+¥0g(x;y)dy=p
41
p
senxqueesintegrableen]0;1[�compararcon1
p
x,luegoporporelteoremadeTonellilafuncióngesintegrableeigualleocurrealafunciónf(medibleyacotadaporunaintegrable).
Acosta,AparicioyMoreno555PorserSlinealyllevarlabasecanónicaenlosvectoresfx1;:::;xNgtenemosqueS(t)=S(t1e1+:::+tNeN)=t1S(e1)+:::+tNS(eN)=t1x1+:::+tNxN;yenconsecuenciaS(AN)=T�a:Obtenemosentoncesquel(T)=l(T�a)=l(S(AN))=jdetSjl(AN)=jdet(x1;:::;xN)jl(AN)yprobaremosporinducciónquel(AN)=1
N!:ParaN=1esinmediato.SupongamosqueesciertoparaunnaturalNyloprobaremosparaN+1.Asíl(AN+1)=ZRN+1cAN+1d(t1;:::;tN+1)==Z10Zft2RN:åNk=1tk1�tN+1;0tk(1kNgd(t1;:::;tN)dtN+1:Comoelconjunto(t2RN:Nåk=1tk1�tN+1;0tk;1kN)eslaimagendeANmediantelahomoteciaderazón1�tN+1,usandolaspropiedadesdelamedidadeLebesgueylahipótesisdeinducción,concluimosquel(AN+1)=Z10h(1�tN+1)Nl(AN)idtN+1=1
N+1l(AN)=1
N+11
N!=1
(N+1)!:14.4Calcularelvolumendelossiguientesconjuntos:i)BóvedadeViviani:Interseccióndeuncilindrocircularconlasemiesfera,estoes,E=((x;y;z)2R3:x�1
22+y21
4)\(x;y;z)2R3:x2+y2+z21;0z :ElconjuntoEescompacto,luegonohayproblemadeintegración.LabóvedadeVivianisepuedevercomoelconjuntoordenadolimitadoporlafunción(x;y)7�!p
1�x2�y2
56414.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.esmediblepositiva,elcriteriodeintegrabilidad(Corolario14.7)nosdicequefesintegrablesi,ysólosi,lasiguienteintegralesnita1
2Z+Â¥0hZ+Â¥01
(1+y)(1+yx2)dxidy==1
2Z+Â¥0h1
(1+y)p
yharctanp
yxix=Â¥x=0idy=p
2Z+Â¥01
2(1+y)p
ydy==p
2harctanp
yiy=+Â¥y=0=p2
4:ElteoremadeFubini(Teorema14.1)nosaseguraahoraquep2
4=1
2Z+Â¥0hZ+Â¥0dy
(1+y)(1+yx2)idx:Comosevericac.p.d.laidentidadf(x;y)=1
2(1�x2)1
1+y�x2
1+yx2;(salvoenlasemirrectax=1;y�0),entoncessetienequeZ+Â¥0dy
(1+y)(1+yx2)=Z+Â¥01
1�x21
1+y�x2
1+yx2dy==1
1�x2log1+y
1+yx2y=+Â¥y=0=1
1�x2log1
x2�log1=2logx
x2�1y,enconsecuencia,Z+Â¥0logx
x2�1dx=p2
4:ComoZ+Â¥0logx
x2�1dx=Z10logx
x2�1dx+Z+Â¥1logx
x2�1dx=x=1
t==Z10logx
x2�1dx+Z01logt
1�t2dt=2Z10logx
x2�1dx;concluimosqueZ10logx
x2�1=p2
8:LlamamosahoraA=Z10logx
x�1dx;B=Z10logx
x+1dx:Obsérvesequenohayproblemadeintegrabilidad,yaqueenelpunto1tienenlímiteyenelpunto0,alserlimx!0logx
x�1
logx=�16=0;limx!0logx
x+1
logx=16=0;
Acosta,AparicioyMoreno565bastausarelcriteriodecomparaciónparacomprobarqueambasfuncionessoninte-grables,yaquelafunciónlogesintegrableen]0;1[.SesiguepuesA+B=Z102xlogx
x2�1dx=�x2=t=A
2A�B=2Z10logx
x2�1dx=p2
49�=�;)A=Z10logx
x�1dx=p2
6:Porúltimo,como0x1)1
1�x=¥ån=0xn;setienequeZ10logx
x�1dx=Z10¥ån=0(�logx)xndx;ycomoparan2N[f0gsevericalaigualdadZ10�(logx)xndx=hu=�logx;u0=�1
xv0=xn;v=xn+1
n+1i=Z10xn
n+1dx=1
(n+1)2ylaserieån11
n2esconvergente,envirtuddelteoremadelaconvergenciaabsoluta(Teorema12.8)tenemosqueZ10logx
x�1dx=Z10 ¥ån=0(�logx)xn!dx==¥ån=0Z10(�logx)xndx=¥ån=11
n2:Hemosprobado,portantoque¥ån=11
n2=p2
6:14.10a)Fesmedible,porsercontinua,yparacadannaturales(14.7.1)Z+Â¥0jF(x;y)jdy=�jsenxj
xe�xyy=+Â¥y=0=jsenxj
x2L1(]1;n[);puesestafunciónescontinuaytienelímiteen0yenn.Elcriteriodeintegra-bilidad(Corolario14.7)nosuseguraqueFesintegrableen]0;n[]0;+¥[.ElteoremadeFubininosdiceahoraqueZn0Z+¥0F(x;y)dydx=Z+¥0Zn0F(x;y)dxdy:
56614.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.Procediendocomoenlaigualdad14.7.1calculamoslaprimeraintegraldelprimermiembro,obteniendoqueZn0senx
xdx=Z+¥0Zn0e�xysenxdxdy:b)ElteoremadeFubiniaseguraquecadafnestádenidac.p.d.(dehechoestadeni-daentodopunto)yqueesintegrable.Integrandoporpartesdosvecessetieneparacadannaturalquefn(y)=h�e�xycosxix=nx=0�yZn0e�xycosxdx=1�e�nycosn�yZn0e�xycosxdx=1�enycosn�yhe�xysenxix=nx=0+yZb0e�xysenxax=1�enycosn�y�e�nysenn+yfn(y);luegofn(y)=1�e�ny(cosn+ysenn)
1+y2;8n2N;yenconsecuenciaffn(y)g�!1
1+y2:Además,paracadanaturalnsevericatambiénque cosn+ysenn
eny 1+y
ey1;dedondesesigueparacadanaturalnquejfn(y)j2
1+y22L1(]0;+¥[):c)Comoellímiteexiste,bastacalcularlimZn0senx
xdx:Elapartadob)nospermiteaplicarelteoremadelaconvergenciadominada(Teo-rema12.5)alasucesiónffngparaobtener,teniendoencuentaelapartadoa),quelimZn0senx
xdx=limZ+Â¥0fn(y)dy=Z+Â¥0dy
1+y2=harctgyiy=+Â¥y=0=p
2:Hemosprobadoquelimt!+Â¥Zt0senx
xdx=p
2:
57014.Técnicasdeintegraciónenvariasvariables.Z10"Z1�z0�1
2(1+x+y+z)2x=1x=0dy#dz=x)ZE(x2+y2+z2)d(x;y;z)conE=n(x;y;z)2R3:0x;0y;0z;x
a+y
b+x
c1o(a;b;c�0):ZE(x2+y2+z2)d(x;y;z)=Zc0Zf(x;y)2R2:0x;0y;x
a+y
b1�z
cg(x2+y2+z2)d(x;y)dz=Zc0hZb�1�z
c0hZa�1�z
c�y
b0(x2+y2+z2)dxidyidz=
CapítuloIVReferencias571
574Bibliografía.[MaHo]Marsden,J.E.yHoffman,M.J.,AnálisisClásicoElemental,SegundaEdición,Addison-WesleyIberoamericana,Argentina,1998.2.7,3.10,4.4,5.7,6.3,7.3,8.4[McBo]E.J.McShaneyT.A.Botts,AnálisisReal.Aguilar,Madrid,1971.1.24,1.4[RaWe]L.RadeyB.Westergren,MathematicsHandbookforScienceandEngineering.Studentlitteratur,Lund(Suecia),1998(Cuartaedición).10.8,10.10[Rey]J.ReyPastor,ElementosdeAnálisisAlgebraico.HerederosdeJ.ReyPastor,Madrid,1966.1.24,1.4[Ru]W.Rudin,RealandcomplexAnalysis.McGraw-Hill,1966.10.10,11.8[SoSi]P.N.deSouzayJ-NSilva,BerkeleyProblemsinMathematics.Springer-Verlag,NewYork,1999.1.4,1.6,2.7[Stra]G.Strang,Linearalgebraanditsapplications,AcademicPress.7.3[Stro]Stromberg,K.E.,Anintroductiontoclassicalrealanalysis,WadsworthInterna-tionalGroup,Belmont,California,1981.2.7,7.2[Thi]S.ThiodePol,Primosoalgunosdislatessobrenúmeros.Alhambra,Madrid,1977.1.2,1.4
ÍndicealfabéticoD(i;j)f,199Hf,199N-cubo,365[�¥;+¥],8¶2f
¶xi¶xj,199A,28l,367C2(A),188
A,28s-álgebrageneradaporD,363s-aditiva,360s-álgebra,360fxngconvergeax,9fxngdivergenegativamente,9fxngdivergepositivamente,9kvecesderivable,222C[a;b],25J,365(semidenida)positiva,249área,365rectatangenteaunacurvaenunpunto,125Regladelacadenaparalasderivadasparciales,120abierta,169abierto,27abiertosrelativos,38acotado,33adherencia,28adherente,28aplicaciónderivadak-ésima,222aplicaciónderivadaelemental,105aplicaciónderivadaparcial,110aplicaciónderivadaparcialdeordenk,229aplicacióngradiente,110argumento,62autovalor,255autovector,255AxiomadeHeine-Borel,38,56Axiomadelsupremo,5AxiomasdePeano,14bolaabierta,27bolacerrada,27borelianos,363campoescalar,41campovectorial,41campovectorialcontinuo,41camposescalarescomponentes,41cardioide,547,560casipordoquier,362cerrado,28cierre,28claseCk,222claseC1,107claseC2ena,188compacto,37compactodeunespaciométrico,38completo,360conexo,40conjuntonumerable,12conjuntoordenado,530conjuntosmedibles,360constantedeLipschitz,98continua,41continuo,41convergenciaenmedia,460convergenciauniforme,31convexa,265convexo,39coordenadas,23coordenadaspolares,53cubosdiádicos,365curvaenRN,125575

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