Análisis Matemático II - web fi uba ar

Análisis Matemático II María Inés Parnisari 26 de abril de 2017 Índice 1. Introducción al espacio Rn 2 2. uncionesF de ariasv ariablesv 4 3. uncionesF compuestas, inversas e implícitas 9 4. Extremos de funciones de ariasv ariablesv 11 5. Curvas en el espacio 14 6. Ecuaciones diferenciales 15 7. Integrales de línea 17 8. Integrales ...


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1IntroducciónalespacioRn1.1Coordenadascilíndricas,esféricasypolares
Cilíndricas
Esféricas
Polares
p2R³,p=(r;;z)conr0;2[0;2]
p2R³,p=(;;')con0;'2[0;];2[0;2]
p2R²;p=(r;)conr0;2[0;2]
r=c)cilindroverticalrecto=c)semiplanoverticalz=c)planohorizontal
r=c)esferaconcéntrica'=c)semicono=c)semiplano
r=c)circunferencia=c)semirrecta
Decilíndricasacartesianas:8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x=rcos()y=rsin()z=zDecartesianasacilíndricas:8&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:r=p
x²+y²=arctan(y
x)z=z
Deesféricasacartesianas:8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:x=sin(')cos()y=sin(')sin()z=cos(')Decartesianasaesféricas:8&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:=p
x²+y²+z²=arctan(y
x)'=arccos(z
r)
Depolaresacartesianas:(x=rcos()y=rsin()Decartesianasapolares:(r=p
x²+y²=arctan(y
x)
1.2SeccionescónicasCircunferenciaElipseParábolaHipérbola(x�x0)2+(y�y0)2=r2(x�x0)2
a2+(y�y0)2
b2=1y=ax²+bx+c(x�x0)2
a2�(y�y0)2
b2=1
1.3Superciescuádricas1.Cilindro:a)
Elíptico:(x
a)2+(y
b)2=1b)
Parabólico:x2+2rz=02
2Funcionesdevariasvariables2.1FuncionesdevariasvariablesPuntosyconjuntosdepuntosenRn:1.EntornodeA2Rn:estodoconjuntocapazdeincluirunaesferaabiertadeRnconcentroenAyradiomayoracero.SedenotacomoE(A).2.EntornoreducidodeA2Rn:E(A)=E(A)�fAg3.Puntoaislado:A2SesunpuntoaisladodeScuandoexisteunE(A)quenotienepuntosdeS.4.Puntodeacumulación:AesunpuntodeacumulacióndeScuandoentodoE(A)existealgúnpuntodeS.5.Conjuntoabierto:aquelquetodossuspuntossoninteriores.6.Conjuntocerrado:contieneatodossuspuntosdeacumulación.7.Conjuntoacotado:cuandoselopuedeincluirenunaesferaabiertaconradionito.8.Conjuntocompacto:cuandoescerradoyacotado.9.Conjuntoconvexo:Sesconvexocuando8A;B2S,elsegmento
ABestáincluidoenS.10.Conjuntoconexo:Sesconexocuando8A;B2SsepuedepasardeAaBdesplazándoseporS.11.Conjuntosimplementeconexo:Sconexoessimplementeconexocuandotodacurvacerradatrazadaenélpuede,pordeformacióncontinua,transformarseenunpunto,manteniéndoseenelconjunto.EnR2,simplementeconexoconexosinagujeros.
(a)Convexidad.
(b)Aesconexo,Bnoesconexo.
(c)Eltubonoessimple-menteconexo.DadounconjuntoSRnyunpuntoA2Rn,puedenocurrirtrescosas:1.AesunpuntointerioraS,cuandoexisteE(A)incluidoenS,2.AesunpuntoexterioraS,cuandoexisteE(A)quenotienepuntosdeS,3.AesunpuntofronteradeS,cuandoparatodoE(A)haypuntosenSypuntosquenoestánenS.Funciónescalar:f:URn!R.Reglaqueasociaacadan-adaordenadadenúmerosreales,(obienacadavectorxdeU),unnúmeroreal.ElconjuntoUeseldominiodef,sucodominioesR,yelrangodefesfz2R:z=f(x);x2Ug
Figura1:CampovectorialenR².Campovectorial:f:URn!Rm(m�1).Reglaqueasociaacadan-adaordenadadenúmerosrealesunvectordeRm.Operacionesentrefuncionesdevariasvariablesf:URn!R,g:VRn!R1.sumadefyg:f+g:U\VRn!Rtalque(f+g)(x)=f(x)+g(x)2.productodefyg:fg:U\VRn!Rtalque(fg)(x)=f(x)g(x)3.cocientedefyg:f
g:WRn!Rtalquef
g(x)=f(x)
g(x),dondeW=U\V�fx2V:g(x)=0g4
2.2GeometríadelasfuncionesdevariasvariablesSedenelagrácadef:URn!Ralconjuntof(x1;x2;:::;xn;y)2Rn+1:
x2U;y=f(x1;x2;:::;xn)g
Figura2:f(x;y)=�x²�2y²ysuscurvasdenivel.Lagrácadelafunciónf:UR2!Reslagrácadelasuperciez=f(x;y).Paran3,lagrácanopuedeservisualizada.Paragracar,hayquecortarlasuperciez=f(x;y)conlosplanosdeltipoy=kxyestudiareltipodecurvasresultantes.Enparticular,seestudianlascurvasresultantesdecortarlasupercieconlosplanosy=0yx=0.Otroconceptoimportantequetambiénseusacomoayudaparaobtenergrácosdefuncionesdedosvariableseseldenivelconstantedeunafunción:dadalafunciónf:URn!Ryelnúmeroc2rangodef,sedeneelnivelcdelafunciónfcomoelconjuntoNc=fx2U:f(x)=cg:Cuandon=2,lacurvasellamacurvadenivel.Cuandon=3,lacurvasellamasuperciedenivel.Elnivelcdelasuperciez=f(x;y)sepuedeinterpretargeométricamentecomolainterseccióndelafunciónconelplanoz=c.Estascurvasnosdanideadelaimagendelafunción.2.3LimitesycontinuidadBolaabierta:seax02Rnyr�0:Labolaabiertadecentrox0yradior,denotadaporB(x0;r)eselconjuntodepuntosdeRnquedistandex0enmenosquer:Conjuntoabierto:unconjuntoURnesunconjuntoabiertodeRnsiparacadax02Uexisteunr�0talqueB(x0;r)U:Estoes,elconjuntoURnseráabiertosicuandotomamosunpuntox0enél,estesiempretienevecinosquesiguenviviendodentrodeU.Fronteradeunconjunto:seaURnunsubconjuntodeRn.Unpuntox02RnesunpuntofronteradeUsitodabolaabiertaB(x0;r)contienepuntosenUyfueradeél.Límite:seaf:URn!RunafuncióndenidaenelconjuntoabiertoU.Six0esunpuntodeUounpuntofronteradeU,sedicequeellímitedefcuandoxtiendeax0esL,locualseescribecomolmx!x0f(x)=Lsidadocualquier"�0existe�0talquex2B(x0;)\U(x6=x0))f(x)2B(L;").Límiteporcurva:unacondiciónnecesaria(peronosuciente)paraqueellímitelm(x;y)!(x0;y0)f(x;y)existayseaL,esquesiloslímiteslmx!x0f(x;(x))ylmx!x0f(x; (x))existen(dondey=(x)ey= (x)soncurvasquepasanpor(x0;y0))debenvalerL.Elúnicoargumentoqueconcluyequeunlímiteexisterequierelaaplicacióndirectadeladenición.Paracalcularlímitestambiénesútilexpresarlafunciónencoordenadaspolares.Ejemplo:lm(x;y)!(0;0)x3y
x2+y2=lmr!0(rcos)3(rsen)
(rcos)2+(rsen)2Teorema:Seanf;g:URn!RdosfuncionesdenidasenelabiertoUyseax0unpuntodeUounpuntofronteradeU.Silmx!x0f(x)=Lylmx!x0g(x)=M,entonces:1.lmx!x0(f+g)(x)=L+M2.lmx!x0(fg)(x)=LM3.SiM6=0;lmx!x0f
g(x)=L
MSif:UR2!Resunafunciónpolinomial,entonceslm(x;y)!(x0;y0)f(x;y)=f(x0;y0)Continuidadenunpunto:seaf:URn!RunafuncióndenidaenelabiertoUdeRn,yseax02U:Sedicequefesunafuncióncontinuaenx0sif(x0)=lmx!x0f(x).Lasfuncionespolinomialessoncontinuasencualquierpunto(x0;y0)2R2.Continuidadenunabierto:seaf:URn!RunafuncióndenidaenelabiertoUdeRn.SedicequefescontinuaenUsiloesparatodosycadaunodelospuntos(x;y)2U:Continuidaddeuncampoescalar:f:DR2!Rescontinuoenunpunto(x0;y0)2Dsilm(x;y)!(x0;y0)f(x;y)=f(x0;y0).Continuidaddeuncampovectorial:Losconceptosdecontinuidadydiferenciabilidadparafuncionesf:URn!Rm,m�1,seestablecenentérminosdelasfuncionescoordenadasdelafunciónf.Estoes,sedirá5
quelafunciónf=(f1;f2;:::;fm)escontinua(respectivamente,diferenciable)enelpuntox02Usíysolosilasfuncionescoordenadasfi:URn!R,i=1;2;:::;m;loson.Teorema:seanf;g:URn!RfuncionesdenidasenelabiertoUdeRn.Sifygsoncontinuas,entonces,1.lafunciónf+g:URn!R=f(x)+g(x)escontinua.2.lafunciónfg:URn!R=f(x)g(x)escontinua.3.lafunciónf
g:URn!R=f(x)
g(x)escontinuaentodopuntox2U,dondeg(x)6=0.4.lacomposicióngf:URn!Rescontinua.2.4Derivadasparciales
Para
una
función
de
una
variable:f:IR!RdenidaenelintervaloabiertoI,sedeneladerivadadefenx02I,denotadaporf0(x0),comoelvalordellímitelmh!0f(x0+h)�f(x0)
h=f0(x0)cuandoésteexiste(encuyocasodecimosquefesdiferenciableenx0).Sif0(x0)existe,suvalornosdalapendientedelarectatangentealagrácadelafuncióny=f(x)enelpunto(x0;y0).Paraestetipodefunciones,diferenciabilidadequivaleaexistenciadederivada,yladiferenciabilidadenunpuntoimplicalacontinuidaddelafunciónenesepunto.
Para
una
función
de
dos
variable:f:UR2!RdenidaenelabiertoU,conp=(x0;y0)unpuntodeU,sedeneladerivadaparcialdefconrespectodex(laprimeraderivadadef)enelpuntop,[email protected]
@x(p)of0x(p)comoellí[email protected]
@x(p)=lmh!0f(x0+h;y0)�f(x0;y0)
h.Delmismomodo,laderivadaparcialdefconrespectodeyesellímite(siexiste)@f
@y(p)=lmh!0f(x0;y0+h)�f(x0;y0)
h.Paraestetipodefunciones,laexistenciadederivadasparcialesunpuntonoimplicaquelafunciónseacontinuaenesepunto,porloquetampocoimplicaqueseadiferenciableenesepunto.Lasderivadasparcialesdeunafunciónz=f(x;y)enunpuntop=(x0;y0)noshablandelcomportamientogeométrico(lainclinación)delassuperciequetalfunciónrepresenta,enlasdireccionesdelosejesxey.Lasderivadasparcialesdeunafunciónseobtienenderivandoparcialmentecadaunadelasvariables,ydejandolasotrascomoconstantes.Ejemplo:sealafunciónf(x;y)=5x³+4xy+y².Setienequef0x=15x²+4yyquef0y=4x+2y.2.5DerivadasdireccionalesDerivadadireccional:seaf:URn!RunafuncióndenidaenelconjuntoabiertoU,yseax02U.Seav2Rnunvectorunitariodado.Sedeneladerivadadelafunciónfenx0enladireccióndelvectorv,[email protected]
@v(x0)comoellímitelmt!0f(x0+tv)�f(x0)
t.Elvectorunitariovsepuedeescribircomov=(cos();sin()),02,conloqueladerivadadireccionalsereescribirí[email protected]
@v(x0;y0)=lmt!0f(x0+tcos();y0+tsin())�f(x0;y0)
t.Notarquesi[email protected]
@[email protected]
@x,ysi=
[email protected]
@[email protected]
@y.2.6Diferenciabilidad
Para
funciones
de
una
variable:lafunciónf:IR!Resdiferenciableenx02IsiexisteunaconstanteAtalquef(x0+h)=f(x0)+Ah+r(h),dondelimh!0r(h)
h=0(elresiduor(h)tiendea0másrápidamentequeh).DespejandoA,obtenemosqueA=f(x0+h)�f(x0)
h�r(h)
h.
Para
funciones
de
dos
variable:lafunciónf:UR2!Resdiferenciableenelpuntop=(x0;y0)sihayconstantesA1yA2talesquef((x0;y0)+(h1;h2))=f(x0;y0)+A1h1+A2h2+r(h1;h2)dondelim(h1;h2)!(0;0)=r(h1;h2)
j(h1;h2)j.DespejandoA1yA2,[email protected]
@x(x0;y0)[email protected]
@y(x0;y0).Teorema:Sedicequelafunciónf:UR2!RdenidaenelabiertoUesdiferenciableenelpuntop=(x0;y0)2U,siexistenlasderivadasparcialesdefenp:[email protected]
@x(x0;y0)[email protected]
@y(x0;y0),ysielresiduor(h1;h2)denidoenf((x0;y0)+(h1;h2))=f(x0;y0)+A1h1+A2h2+r(h1;h2)tienelapropiedadlim(h1;h2)!(0;0)r(h1;h2)
j(h1;h2)j=0.Silafunciónesdiferenciableenp,escontinuaenesepunto.6
1;2;:::;ndenidasenunavecindadVde(
x1;:::;
xm),lascu[email protected]yi
@xj=�@(F1;F2;:::;Fn)
@(y1;:::;yi�1;xj;yi+1;:::;yn)
@(F1;F2;:::;Fn)
@(y1;y2;:::;yn)Curvascomointerseccióndesupercies:dadoelsistemadeecuacionesF(x;y;z)=0G(x;y;z)=0yelpuntoA=(x0;y0;z0).Cuando:1.F(A)=0yG(A)=0,2.rF;rG2C1(E(A));3.rF(A)6=0yrG(A)6=0,elsistemadeneunacurvaCquepasaporA,yqueadmiterectatangenteyplanonormalenA,siendod0=rF(A)rG(A)elvectordirectordelarectatangente.Superciesdenidasenformaimplícita:seaF(x;y;z)=0conFescalaryunpuntoA=(x0;y0;z0),talque:1.F(A)=02.rFesC1enE(A);3.rF(A)6=0;EntoncesF(x;y;z)=0eslaecuacióndeunasuperciequepasaporAyadmiterectanormalyplanotangenteenA.Además,[email protected]
@z(A)6=0,entoncesF(x;y;z)=0deneaz=f(x;y)enunentornodeA.3.5FuncionesinversasSiF:UR2!ResunafuncióntalqueF(
u;
v)=(
x;
y)yenunentornode(
u;
v)[email protected]
@u;@f
@v;@g
@u;@g
@vdelasfuncionescoordenadasdeFsoncontinuas(i.e.FesdeclaseC1),setienequesiendoeldeterminantedeJF(
u;
v)6=0,entoncesexisteunentornode(
x;
y)enlaqueexistelainversaF�1delafunciónF,lacualtienecontinuaslasderivadasparcialesdesusfuncionescoordenadasenelentorno,ysumatrizjacobianaesJF�1(x;y)=(JF(u;v))�1donde(x;y)=(f(u;v);g(u;v))2E((
x;
y)).(F�1)0(x;y)=(F0(u;v))�1Teoremadelafuncióninversa:SeaF:URn!RunafuncióndenidaenelconjuntoabiertoUdeRn.SeaF(p)=q;p=(x1;x2;:::;xn);q=(y1;y2;:::;yn).SupongaqueenunentornoBdeplafunciónFesdeclaseC1yqueeldeterminanteJF(p)6=0:EntonceshayunentornoB0enRndeqenlaquesepuededenirlafuncióninversadeF,F�1:B0!B,lacualesdeclaseC1yJF�1(y)=(JF(x))�1dondey=F(x)2B04Extremosdefuncionesdevariasvariables4.1DenicionesyejemplospreliminaresExtremosrelativos:seaf:URn!RunafuncióndenidaenelconjuntoabiertoUdeRn.Sedicequeftieneunmáximorelativoolocalenelpuntox02Usif(x0)f(x)paraunentornodex0:Sedicequeftieneunmínimorelativoolocalsif(x0)f(x)paraunentornodex0.Unacondiciónnecesaria(peronosuciente)paraquelafunciónf:URn!R,diferenciableen
x2U,tengaenesepuntounextremolocalesquetodassusderivadasparcialesseanulenen
x.Estoesnecesarioyaquesilasderivadasparcialesseanulan,elplanotangenteenelpuntoeshorizontal.Extremosabsolutos:dadoSD;f(x0;y0)esunmáximoabsolutodelosvaloresdefenScuando8x2S�f(x0;y0)g!f(x)f(x0;y0):f(x0;y0)seráunmínimoabsolutocuandox2S�f(x0;y0)g!f(x)&#x-354;f(x0;y0):Sediceentoncesquelafunciónalcanzaunmínimo/máximoen(x0;y0).Suvaloresf(x0;y0).Puntocrítico:seaf:URn!R.Alospuntos
x2Uenlosquepodríahaberextremosselosllamapuntoscríticos.Haydedostipos:11
5Curvasenelespacio5.1Introducción.Límitesycontinuidad.Unafunciónvectorialdeunavariablerealesunafuncióndeltipof:IR!Rn,lacualacadanúmerorealt2Ileasociaunúnicovalorf(t)enelespacioRn.Así,podemosescribirf(t)=�x1(t);x2(t);:::;xn(t)2Rndondexi:IR!Rconi=1;2;:::;nsonfuncionesrealesdelavariablerealt,llamadasfuncionescoordenadasdelafunciónf.Límite:seaf:IR!RnunafuncióndenidaenelintervaloabiertoIdeRyseat0unpuntodeIounpuntofronteradeI.Sedicequeellímitedelafunciónfcuandottiendeat0esL2Rn,locualseescribecomolmt!t0f(t)=Lsidadocualquier�0existeun�0talquet2I;0jt�t0j)jf(t)�Lj.Teorema:seaf:IR!Rncomoenladeniciónanterior.Entonceslmt!t0f(t)=L=(`1;`2;:::;`n)2Rnsiysólosilmt!t0xi(t)=`i,dondef(t)=�x1(t);x2(t);:::;xn(t).Continuidad:seaf:IR!RnunafuncióndenidaenelsubconjuntoabiertoIdeRyseat02I.Sedicequefescontinuaent0silmt!t0f(t)=f(t0).Teorema:seaf:IR!RnunafuncióndenidaenelintervaloabiertoIdeR,digamosquef(t)=�x1(t);x2(t);:::;xn(t).Seat02I,Lafunciónfescontinuaent0siysólosisusfuncionescoordenadasxi:IR!Rloson.5.2CaminosenRn.Consideracionesyejemplospreliminares
Figura5:Hélicedeecuación~(t)=(4cos(t);4sin(t);t).Unafunciónf:IR!Rncontinua,denidaenelintervaloIdeR,sellamacaminootrayectoriaenelespacioRn.SilafunciónestádenidaenelintervalocerradoI=[a;b],diremosqueelpuntof(a)2Rneselpuntoinicialdelcamino,yf(b)2Rneselpuntonaldeél.Sif(a)=f(b),diremosqueelcaminofescerrado.SilafunciónfesinyectivaenI,diremosquefesuncaminosimple.Sisetienequef(a)=f(b)ylafunciónfrestringidaalintervalo[a;b)esinyectiva,diremosquefesuncaminocerradosimple.Traza:Sellamatrazadelcaminof:IR!Rnalconjuntodelasimágenesdef,esdecir:trazadef=ff(t)2Rnjt2IgRn.Curva:Designaremosconlapalabracurva(enRn)alatrazadeuncaminof:IR!Rn.Sielcaminof:[a;b]!R2;f(t)=(xt;yt)essimple,podremosdecirquelacurvaff(t)2R2:t2[a;b]}esunacurvasimple.UnacurvaesplanasihayunplanoStalquef(t)2S8t2I.Curvasuave:curvaquenoposeepuntosangulosos.UnacurvaCrepresentadapor:I!Rn(t)=(1;:::n)essuavesisusderivadassoncontinuasenelintervaloIynosonsimultáneamentenulas,exceptoposiblementeenlospuntosterminalesdelintervalo.Curvasuaveatrozos:UnacurvaCessuaveatrozossiessuaveentodointervalodealgunaparticióndeI.Oseaqueelintervalopuededividirseenunnúmeronitodesubintervalos,encadaunodeloscualesCessuave.5.3Diferenciabilidad.CurvasregularesDerivada:Seaf:IR!RnuncaminodenidoenelintervaloabiertoIdeR.Seat02I.Sedeneladerivadadefent0,denotadaporf0(t0)[email protected]
@t(t0)comoellímitef0(t0)=lmh!0f(t0+h)�f(t0)
hcuandoésteexiste.Entalcasosedicequeelcaminofesdiferenciableent0.Silafunciónesdiferenciableentodoslospuntost02I,decimosquefesdiferenciableenI.Tenerencuentaqueladerivadaf0(t0)esunvectordeRn,yademásqueésteestangentealacurvaent0,yqueapuntaendirecciónalrecorridodelacurva.Vectorvelocidad:Seaf:IR!Rnuncaminodiferenciable.Alvectorf0(t)selellamavectorvelocidaddelcaminoenelpuntof(t)2Rn.Caminoregular:Seaf:IR!R3uncaminodeclaseC1.fesuncaminoregularsif0(t)6=
08t2I:Rectatangente:Seaf:IR!R3uncaminoregular.Larectatangentealacurvaenf(t0)eslarectaenR3quepasaporf(t0)ytienecomovectordirectoraunoparaleloaf0(t0).Esdecir:14
L:(x;y;z)=k�f0x(t0);f0y(t0);f0z(t0)+(x(t0);y(t0);z(t0))conk2RPlanonormal:paraelcaminof:IR!R3elplanonormalalacurvacorrespondienteenf(t0)eselplanoenR3quepasaporf(t0)ytieneporvectornormalalvectorf0(t0).Esteplanotienecomoecuación:@f
@x(t0)(x�x(t0))[email protected]
@y(t0)(y�y(t0))[email protected]
@z(t0)(z�z(t0))=05.4ReparametrizacionesSeaf:[a;b]!Rnuncaminoregular.Seakunaconstantepositiva.Pararecorrerlacurvadescritaporf,kvecesmásrápido,podemostomarlafunción':0;b�a
k![a;b]dadapor'(s)=ks+a.Lareparametrización
f:0;b�a
k!Rn,
f(s)=(f')(s)=f(ks+a).Sikesnegativa,lareparametrizaciónrecorrefconunavelocidadenmódulokvecesmayor,peroensentidoinversoaldef.Sik=�1,elcamino
f:[0;b�a]!Rndadopor
f(s)=f(b�s)recorrelacurvadescritaporfconlamismavelocidad-enmódulo-def,peroensentidoinversoaldef.5.5LongituddeuncaminoRapidez:llamamosrapidezdeuncaminof:IR!RndeclaseC1enf(t0)alnúmerononegativokf0(t0)k.Longituddeuncamino:seaf:[a;b]!RnuncaminodeclaseC1.Lalongituddefentret=ayt=b,denotadapor`(f),sedenecomo:`(f)=bakf0(t)kdt6Ecuacionesdiferenciales6.1IntroducciónydenicionesEcuacióndiferencial:unaecuaciónsellamaecuacióndiferencialsicontienederivadasodiferencialesdeunaomásvariablesdependientesdeunaomásvariablesindependientes.Ecuacióndiferencialordinaria:sonlasecuacionesdiferencialesenlasqueguranderivadasdediferentesórdenesdelafuncióndesconociday(x),quedependesolodeunavariableindependiente.Ordendeunaecuacióndiferencial:sellamaordendeunaecuacióndiferencialaldeladerivadademayorordenqueguraendichaecuación.Ejemplo:elordendelaecuacióny00+y0=x²es2.Ecuacióndiferenciallineal:unaecuacióndiferencialeslinealcuandoeslinealeny(x)yensusderivadas.Esdecirquelostérminosquecontienenlafunciónincógnitaysusderivadasy0;y00;:::y(n)aparecencomocombinaciónlinealdey;y0;:::y(n):Suformageneralesa1(x)y+a2(x)y0+:::+an(x)y(n)=f(x).Problemadevalorinicial:eselproblemadeencontrarunasolucióndelaecuacióndiferencialy0=f(x;y)sujetoaunacondicióninicialy(x0)=y0.Paraquelasoluciónaesteproblemaseaúnica,debevericarsequehayatantascondicionesinicialescomoelordendelaecuacióndiferencial.6.2EcuacionesdevariablesseparablesUnaecuacióndiferencialseparablesepuedeescribirdelaformaN(y)y0=M(x).EstaecuaciónsepuedereescribircomoN(y)dy=M(x)dx,eintegrandoambosmiembrosseobtieneunasolución.6.3EcuacioneshomogéneasSondelaformay0=f(x;y),dondef(x;y)=f(tx;ty).Estetipodeecuacionessepuedenresolverhaciendoelcambiodevariablesy=zx,dondez=z(x).Entoncesreemplazamosy0porz+xz0yresolvemos.15
7.4Independenciadelcamino,camposconservativosyfuncionespo-tencialesSea~F:URn!RnuncampodeclaseCk(k0)denidoenelconjuntoabiertoURn.Lasarmacionessiguientessonequivalentes(estoes,osontodasverdaderasotodasfalsas):1.Feselcampogradientedeunafunción:URn!RdeclaseCk+1,esdecir,~F=r2.Laintegral~Fdalolargodeuncamino:[a;b]!RnseccionalmenteC1dependesolamentedelpuntoinicial(a)ynal(b)delcamino:~Fd=(b)�(a)3.Laintegral~Fdalolargodeuncamino:[a;b]!RncerradoseccionalmenteC1escero.4.Elcampo~Fesconservativo.5.Lafunción:URn!RdeclaseCk+1eslafunciónpotencial.Condiciónnecesariaperonosucienteparaqueuncamposeaconservativo:
sea~F:URn!Rn,~F=(F1;F2;:::;Fn)uncampodeclaseCk(k1)denidoenelconjuntoabiertoU[email protected]
@xj(x)[email protected]
@xi(x)parax2U,1ijn:Esdecirquelamatrizjacobianade~Fdebesersimétrica.Nota:silamatrizessimétrica,elcampopuedeonoserconservativo.Sinoloes,podemosconcluirquenoesconservativo.
Propiedad:silamatrizjacobianade~FescontinuaysimétricaenunUsimplementeconexo,entoncesexistefunciónpotencial.7.5IntegralesdelíneadecampoescalarSeaf:URn!RunafunciónrealcontinuadenidaenelabiertoURn,ysea:[a;b]!RnuncaminodeclaseC1talque([a;b])U.Laintegraldelínearespectoalalongituddearcodelafunciónfalolargodelcaminoesfdl=baf((t))k0(t)kdtdondedl=k0(t)kdtesladiferencialdelalongituddearcodelcamino.
Una
aplicación:conociendoladensidadlinealdeunalambreenelespacio,digamosquedadaporlafunción=(x;y;z)(engr/cm),yelcaminoC:[a;b]!R3encuyaimagenseencuentraelalambre,entoncessumasatotalsecalculacomoM=Cdl.
Propiedades:1.Sif;g:URn!RsondosfuncionescontinuasdenidasenelabiertoURnyC:[a;b]!RnesuncaminoseccionalmenteC1,entoncesC(f+kg)ds=Cfds+kCgds2.Seaf:URn!RunafuncióncontinuadenidaenelabiertoURn.Sea:[a;b]!RnuncaminodeclaseC1talque([a;b])U,ysea:[c;d]!Rnunareparametrizaciónde.Entoncesfds=fds.7.6LaperspectivadelafísicaTrabajo:Sea~F:UR2(oR3)!R2(oR3)uncampodeclaseCk,k0,ysea:[a;b]!R2(oR3)uncaminoseccionalmenteC1cuyaimagenestácontenidaenU.Eltrabajoquehayquerealizarparallevaruncuerpodemasamdelpuntop=(a)alpuntoq=(b)porelcaminoatravésdelcampo~FesWpq=~Fd=ba~F((t))0(t)dt=mba00(t)0(t)dt=1
2m 0(b) 2�1
2m 0(a) 2Teoremadelvalormedio:seaunafuncióncontinuaf:URn!RdenidaenelabiertoUdeRn,yuncaminodeclaseC1:[a;b]!Rn,([a;b])U,denimoselvalormediodelafunciónfsobreelcamino,como:f=1
Lfdl=1
bak0(t)kdtbaf((t))k0(t)kdtElvalorfesuntipodepromediodelosvaloresquetomalafunciónalolargodelcamino.18
8Integralesmúltiples8.1IntegralesdoblesIntegraldoble:seaf:QR2!RunafunciónescalonadadenidaenelrectánguloQdeR2.DigamosqueQestádivididoennmsubrectángulosQij.Sedenelaintegraldobledelafunciónf(x;y)sobreelrectánguloQ,como:Qf(x;y)dxdy=nXi=1mXj=1cij(xi�xi�1)(yj�yj�1)Notarquesif(x;y)=kpara(x;y)2Q=[a;b][c;d]setieneQf(x;y)dxdy=k(areadeQ).Sik�0,elvalordeestaintegralrepresentaelvolumendeunparalepípedorectangularconbaseQyalturak.Teorema:silafunciónf:QR2!RdenidaenelrectánguloQ=[a;b][c;d]escontinua,entoncesesintegrable,ylaintegraldobledeellasobreQsepuedecalcularcomoQf(x;y)dxdy=dc baf(x;y)dx!dy=ba dcf(x;y)dy!dxDeformageométrica,laintegraldobledelafunciónf(x;y)sobreQeselvolumendelparalepípedocuyatapaeslagrácadelafunciónf(x;y)sobreQ.Consideremoselcuerpo
quequedalimitadoentrelagrácadef(x;y),elplanoxyyelárealimitadaporQ.Entoncessetieneque:Qf(x;y)dxdy=volumende
8.2IntegralesdoblesdefuncionessobreregionesmásgeneralesRegionesdeltipo(I)sonregioneslimitadas:
1.porlarectaverticalx=aporlaizquierda,2.porlarectaverticalx=bporladerecha,3.porlagrácadelafuncióndex,y=g1(x)pordebajo,4.porlagrácadelafuncióndex,y=g2(x)porencima.Regionesdeltipo(II)sonregioneslimitadas:
1.porlarectahorizontaly=cpordebajo,2.porlarectahorizontaly=dporencima,3.porlagrácadelafuncióndey,x=h1(y)porlaizquierda,4.porlagrácadelafuncióndey,x=h2(y)porladerecha.Regionesdeltipo(III):sonaquellasregionesquedebemosdividirparaverlascomolaunióndevariasregionesdetipo(I)otipo(II).Seaf:RR2!R.SilaregiónResdetipo(I),esdecir,siR=f(x;y):axb;1(x)y2(x)gentonceslaintegraldobledef(x;y)sobreRsepuedecalcularcomo:R(x;y)dxdy=ba 2(x)1(x)f(x;y)dy!dx:19
8.5IntegralestriplesTeorema:seaf:QR3!RunafuncióncontinuadenidaenelrectánguloQ=[a;b][c;d][e;g]deR3.EntoncesfesintegrableenQyQf(x;y;z)dxdydz=badcgef(x;y;z)dzdydxLasregionesquesepuedenpresentarserán,engeneral,subconjuntosdeR3limitadosporgrácasdefuncionesdedosvariables.Demodomáspreciso,siResunaregióndelplanoxy,denamos
como:
=fx2R³:(x;y)2R^1(x;y)z2(x;y)gdonde1;2sonfuncionescontinuasdenidasenlaregiónRdeR2.Másaún,estaintegralsecalculacomo
f(x;y;z)dxdydz=R"21f(x;y;z)dz#dxdyLaintegraltripledef(x;y;z)sobre
eslaintegraldobledeunafunción(x;y)sobrelaregiónR,lacualsepuedevercomolaproyeccióndelaregión
sobreelplanoxy.Estaproyecciónseobtieneexpresandoelcuerpoenfuncióndelasvariablesx;y.TambiénsepuedenconsiderarregionesRenelplanoxzeyz.8.6CambiodevariableenintegralestriplesTeorema:consideremosunafuncióndetransformacióndecoordenadasF:
0R³!R³deltipoF(u;v;w)=(x;y;z)=�x(u;v;w);y(u;v;w);z(u;v;w):Lafórmuladecambiodecambiodevariablesenintegralestripleses:
f(x;y;z)dxdydz=
0f(F(u;v;w)) @(x;y;z)
@(u;v;w) dudvdw1.Coordenadascilíndricas:Sonútilescuandoaparecencilindrosoplanos.
f(x;y;z)dxdydz=
0f(rcos();rsin();z)rdrddz2.Coordenadascilíndricasgeneralizadas:
f(x;y;z)dxdydz=
0f(arcos();brsin();cez)abcrdrddz3.Coordenadasesféricas:
f(x;y;z)dxdydz=
0f(rcos()sin();rsin()sin();rcos())r2sin()drdd4.Coordenadasesféricasgeneralizadas:
f(x;y;z)dxdydz=
0f(arcos()sin();bsin()sin();crcos())abcr2sin()drdd8.7Aplicacionesdelasintegralestriples1)Volúmenesdecuerposenelespacio:V=
dxdydz21
2)Masadecuerposenelespacio.Sead(x;y;z)lafuncióndensidad,y
2R³.Entonces:M=
d(x;y;z)dxdydz=masade
3)Centrosdemasaymomentosdecuerposenelespacio:Momentosestáticos=8�&#x]TJ ;� -1;.93; Td;&#x [00;:Mxy=
zd(x;y;z)dxdydzMxz=
yd(x;y;z)dxdydzMyz=
xd(x;y;z)dxdydzCentrodemasa=(x;y;z)=Myz
M;Mxz
M;Mxy
M9Integralesdesupercie9.1Superciessimples
Figura10:Superciesimple.UnacurvaesunobjetounidimensionalenR2oR3,esdecir,unacurvaeslaimagendeunaciertafuncióndenidaenunsubconjuntoIdelarecta(espaciodedimensión1).Delamismamanera,unasupercieserálaimagenenR3deunaciertafunciónqueestádenidaenunsubconjuntoDdeR2(queesbidimensional).Superciesimple:seaSR2unaregióndeltipoIydeltipoIIenR2,yseaf:SR2!R3,f(u;v)=�f1(u;v);f2(u;v);f3(u;v)unafuncióninyectiva(paraquenohayapuntostalesquef(p1)=f(p2)2K)declaseC1,[email protected]
@[email protected]
@vsonlinealmenteindependientesentodo(u;v)2S.Alaimagendelafunciónf,K=f(S),selellamasuperciesimple.LaregiónS,dominiodef,esunaregióncerradayacotadadelplanoR2:Notación:@KeslafronteradeK(@K=f(@S)[email protected],sudominio),yIntKeselinteriordedelasuperciesimpleK,siendoIntK=f(IntS).Supercieregular:dadalasuperciedeecuaciónx=F(u;v)con(u;v)2D,sedicequelamismaesregularsiFesdiferenciableyF0u;F0v6=0.Superciesuave:dadalasuperciedeecuaciónx=F(u;v)con(u;v)2D,sedicequelamismaessuavesiesregularyF2C¹.Intuitivamente,unasuperciesuavenotieneesquinas.9.2OrientacióndesuperciesDemanerageneral,unasupercieKenR3sediráorientablesiesposibledecidirsinambigüedadcuálescadaunodelosladosdelasupercie,elinterioryelexterior.DecirqueunasupercieKesorientable,signicaquepodemosteneruncampodevectoresnormalesaK,N:K!R3,demaneraquelosvectoresnormalesapuntenenladireccióndeunodelosladosdelasupercie.SerequierequeestecampoNseacontinuoenK.EstecampoesN(x;y;z)[email protected]
@u@f
@v
[email protected]
@u@f
@vk.Paraobtenerunvectornormalaunasupercie,seutilizalaregladelpulgar:[email protected],lasuperciedebequedaranuestraizquierda,ynosotrosseríamoselvectornormaln.Superciesdenidasenformaimplícita:tenemosunasupercieSdadaporz=4�x2yqueremosobtenerunvectornormalenunpunto(x0;y0;z0).SitomamosF(x;y;z)=z�4+x2,sabemosquelasupercieSeslacurvadenivel0deF,yporlotantoesperpendicularalgradientedeF,queasuvezesparaleloalvectornormal.EntoncesrF=(2x;0;1),ytenemosqueelvectornormalalpuntoes(2x0;0;1).22
Hipótesis:1.~F2C¹[email protected]óncompactadeR²[email protected],suaveatrozos,recorridaensentidopositivoTeorema:sea~F:UR²!R²,~F(x;y)=(P;Q)uncampodeclaseC1denidoenU.SeaDUunaregiónplanaconsufronteraunacurvacerradapositivamenteorientada(contrarioalasagujasdelreloj).Entonces: @D+~Fd~l=D@Q
@x�@P
@ydxdy
Una
aplicación:si~F=(P;Q)estalqueQ0x�P0y=1,entonces @D+~Fd~s=Ddxdy=áreadeD.10.5Teoremadelrotor(Stokes)
Hipótesis:1.~F2C¹[email protected]cieabierta,suaveatrozos,simple,parametrizadaporunafunció[email protected],suaveatrozos,yestárecorridaensentidopositivorespectoalasupercieTeorema:seaSunasuperciesimpleorientable,parametrizadapor:DR3!R3declaseC2,lacualproporcionalaorientacióndeS,[email protected]~F:UR3!R3uncampovectorialdeclaseC1denidoenUquecontieneaD.Entonces: @S+~Fd~l=Srot(~F)d~s=Srot~F((u;v))n(u;v)dudvElteoremadelrotoresunageneralizacióndelteoremadeGreen.EsimportantedestacarqueparaelcálculodelacirculacióndeunacurvaCpodemoselegircualquiersupercieSquetengacomobordeaC,yobviamentenosconvieneelegirlasuperciemássencillaposible.Ejemplo:siCesuncírculo,Spodríaserunacircunferencia.10.6Teoremadeladivergencia(Gauss)
Hipótesis:1.~F2C¹[email protected]³[email protected],consusnormaleshaciaafueraTeorema:[email protected],unasupercieorientadaconsusvectoresnormalesapuntandohaciaelexteriordelsólido.Si~F:UR³!R³,~F(x;y;z)=(F1;F2;F3)esuncampovectorialdeclaseC1denidoenelabiertoUquecontieneaW,entonces:@W~Fd~s=Wdiv(~F)dxdydzElintegrandodelaintegraltriplepuedepensarsecomolaexpansióndeunuido.ElteoremadeladivergenciadicequelaexpansióntotaldeunuidoqueestádentrodeuncuerpoWesigualalujototaldeluidoquesaleporlafronteradelcuerpoW.25

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