Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales. II II. ÍNDICE GENERAL 1. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias 1 2. La ecuación lineal I: aspectos teóricos sobre la existencia y unici-dad de solución y matrices fundamentales 33 3.


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II
II
IVÍNDICEGENERAL
IV
2
concluimostrasunaseriedecálculossimplesquelaúnicasolucióndenuestroproblemaesP(t)=106et
10
199+et
10.Elvalorlímitedelapoblaciónesportantol´mt!1P(t)=106,comosedesprendedeunasimpleaplicacióndelaregladeL'Hôpital.Pararesponderalasegundacuestióntenemosqueencontrarelvalort0paraelqueP(t0)=106
2.Bastaentoncesconresolverlaecuación106et0
10
199+et0
10=106
2,et0
10=199.Tomandologaritmosneperianosenambosmiembrosconcluimosquet0=10log(199)meses4,41años.2.Resuelvelassiguientesecuacionesdiferenciales:(a)x0=et�2t
t2�1(b)(x2+9)y0+xy=0(c)dy
dx=2xe�y(d)x0=1+t
t2x2(e)x0=et+xSolución:(a)Laecuacióntienesusvariablesseparadas.Integrandoobtenemosx(t)=et�log(jt2�1j)+C,C2R.2
4
(b)Separandolasvariablesobtenemosy0
y=�x
x2+9eintegrandoconrespectoaxllegamosay(x)=C
p
x2+9.(c)Separandolasvariablesresultaeydy
dx=2x,dedondeseobtienelasolucióngeneraly(x)=log(x2+C),C2R:x2+C�0,sinmásqueintegrarambosmiembrosconrespectoalavariablex.Obsérveseque,dadocualquierdatoinicialy(x0)=y0,lasoluciónsóloexistesix2��C=x20�ey0.(d)Separandolasvariablesobtenemosx2x0=1+t
t2.Integrandoentoncesconrespectoatenambosmiembrosdelaecua-ciónencontramosquelasolucióngeneraldelamismavienedadaporx(t)=3log(jtj)�1
t+C1
3,C2R.(e)Separandolasvariablesresultae�xx0=et,dedondeobtenemoslasolucióngeneralx(t)=�log(C�et),C�et,integrandolaecuaciónconrespectoalavariablet.Obsérveseque,dadocualquierdatoinicialx(t0)=x0,lasoluciónsóloexistesitlog(C)conC=et0+e�x0.4
6
esfalsaengeneral.Sijamosf(x)=ex3+2x,determinalasfuncionesgquevericandichaidentidad.Solución:Porunlado(fg)0(x)=(3x2+2)ex3+2xg(x)+ex3+2xg0(x)mientrasque,porotrolado,f0(x)g0(x)=(3x2+2)ex3+2xg0(x).Entonceshadecumplirse(3x2+1)ex3+2xg0(x)=(3x2+2)ex3+2xg(x)o,equivalentemente,g0(x)
g(x)=3x2+2
3x2+1.Resolviendoestaecuacióndiferencialenvariablesseparadasobtene-mosg(x)=Cex+1
p
3arctan(p
3x),C2R.5.Resuelvelassiguientesecuacionesdiferenciales:(a)3x+y�2+y0(x�1)=0(b)(t2x2�1)x0+2tx3=0,haciendox=z (c)x+(x�t)x0=0(d)2t+3x+(x+2)x0=0Solución:(a)Laecuaciónpuedeserreescritaenformacanónica(conladerivadadespejada)delasiguienteforma:y0=3x+y�2
1�x.6
8
queesunaecuaciónhomogénea.Haciendoelcambiodevariableu=z
tobtenemoslasiguienteecuaciónequivalente:t2 +2u2 �1
uu0=1
t.Integrandolosdosmiembrosdeestaecuaciónconrespectoalava-riabletllegamosalasiguienteexpresiónimplícitaparau:1
2 t2 +2u2 �log(juj)=C+log(jtj),C2R.Deshaciendonalmentelosdoscambiosdevariableefectuados2ob-tenemosx2t2�2log(jxj)=C,C2R.(c)Laecuaciónadmitelasolucióntrivial.Busquemoslasrestantessoluciones.Resolviendolaecuaciónconrespectoaladerivadaobte-nemosx0=x
t�x=x
t
1�x
t,queeshomogénea.Elconsabidocambiodevariableu=x
tnoscon-duceau0=1
tu2
1�u,cuyassolucionessatisfacenlarelaciónimplícita�1
u�log(juj)=log(jtj)+C,C2R.Deshaciendoelcambiodevariableobtenemosnalmentexlog(jxj)+t+Cx=0,C2R.(d)Resolviendolaecuaciónconrespectoaladerivadaobtenemosx0=�3x+2t
x+2,queadoptalaformadeunaecuacióndiferencialreducibleahomo-génea.Consideramoslasrectasdeecuaciones3x+2t=0,x+2=0,
2u=z
tyx=z 8
10
Solución:Lasecuacionesdelarectatangenteynormalenelpunto(t,x)son,respectivamente,(T�t)x0=X�x,(T�t)�1
x0=X�x,dondelasvariablesestánrepresentadasconletrasmayúsculas(Tpa-ralasordenadasyXparalasabscisas).Lacondicióninicialquenosproporcionaelproblemaesx(1)=1.Sustituyendoenlasecuacionesanterioreslosdatosdelproblemaob-tenemos:�tx0=b�x,(a�t)�1
x0=�x.Además,hadevericarsejx�tx0j=jxx0+tj.Estaúltimaecuaciónnosconducealaresolucióndelossiguientesproblemasdevaloresiniciales:x0=x�t
x+tx(1)=1,x0=x+t
t�xx(1)=1,correspondientesambosaecuacioneshomogéneas.Elprimerodeellospuedereescribirsedelasiguienteforma(x0=x
t�1
x
t+1x(1)=1.Haciendoelcambiodevariableu=x
tsellegaalasiguienteecuacióndiferencialconvariablesseparadasu0=�1
tu2+1
u+1,condatoinicialasociadou(1)=x(1)=1,cuyaúnicasolución3satisfacelasiguienterelaciónimplícita:2arctanx
t+log(x2+t2)=
2+log(2).
3Esinmediatovericarlascondicionesdelteoremadeexistenciayunicidaddesolu-ciones10
12
Figura1.2:RepresentacióngrácadelassolucionesdelEjercicio6.12
Métodoselementales13
Enefecto,¶P
¶x=2tcos(tx)�t2xsen(tx)=¶Q
¶t.Entonces¶F
¶t=P)F(t,x)=tsen(tx)+H(x).Porotrolado¶F
¶x=Q)H00)Hk2R.Portanto,lasolucióngeneralrespondealasiguienterelaciónimplí-cita:tsen(tx)=C2R.(b)EsexactaconP(x,y)=sen(2x)
y+x,Q(x,y)=y�sen2(x)
y2.Enefecto,¶P
¶y=�2sen(x)cos(x)
y2=¶Q
¶x.Entonces¶F
¶x=P)F(x,y)=�cos(2x)
2y+x2
2+H(y).Porotrolado¶F
¶y=Q)H0(y)=y�1
2y2)H(y)=y2
2+1
2y.Portanto,lasolucióngeneralrespondealasiguienterelaciónimplí-cita:y2+x2+1
y1�cos(2x)=C2R.(c)Laecuaciónnoesexacta,yaqueparalasfuncionesP(x,y)=y(3xy�4),Q(x,y)=x(3�4xy)nosesatisfacelacondicióndeexactitud.Enefecto,¶P
¶y=2(3xy�2)6=3�8xy=¶Q
¶x.13
Métodoselementales15
Entonceshadecumplirse�y0(y)�(y)=(y�1)(y))(y)=e�y.BuscamosnalmenteF(x,y)talque¶F
¶x=�ye�y,¶F
¶y=x(y�1)e�y.SetienequeF(x,y)=�xye�y+H(y)yx(y�1)e�y=�xe�y+xye�y+H0(y),delocualresultanalmentequeHk2R,porloquelasolucióndelaecuacióndepartidarespondealasiguienterelaciónimplícita:xye�y=C2R.(e)Laecuaciónnoesexacta,yaquesiP(t,x)=(t+1)2,Q(t,x)=1+t2,setieneque¶P
¶x=06=2t=¶Q
¶t.Buscamosunfactorintegrantedelaforma(t,x)=(t+x).Lacondiciónsucienteynecesariaquehadecumplirseparaqueennuestrocaso(t+x)seafactorintegrantees(t+1)20(t+x)=2t(t+x)+(1+t2)0(t+x).Resolviendoestaecuaciónobtenemos(t+x)=et+x.Buscamosen-toncesF(t,x)talque¶F
¶t=(t+1)2et+x)F(t,x)=(1+t2)et+x+H(x).Finalmente,lafunciónH(x)quedadeterminadasinmásqueimpo-nerlacondición¶F
¶x=(1+t2)et+x+H0(x)=Q(t,x)(t+x)=(1+t2)et+x,quenosconduceaHk2R.Portanto,lasoluciónx(t)vienedadaporlaleyimplícita(1+t2)et+x=C2R.15
Métodoselementales17
quenosconducecomoúnicaopciónaelegirunfactorintegrantedelaformaespecíca(x,y)=ex+2y.BuscamosahoraF(x,y)talque¶F
¶x=(x+y2)ex+2y)F(x,y)=(x�1+y2)ex+2y+H(y).Finalmente,lafunciónH(y)quedadeterminadaalimponerlacon-dición¶F
¶y=2(y+x�1+y2)ex+2y+H0(y)=Q(x,y)(x,y)=2(y2+y+x�1)ex+2y,quenosconducenuevamenteaHk2R.Portanto,lasolucióny(x)vienedadaporlaleyimplícita(x�1+y2)ex+2y=C2R.(h)Laecuaciónnoesexacta,yaquesillamamosP(x,y)=x2+y2+1,Q(x,y)=�2xy,setieneque¶P
¶y=2y6=�2y=¶Q
¶x.Buscamosunfactorintegrantedelaforma=(y2�x2),elcualhabrádevericarlasiguientecondiciónsucienteynecesaria:2y(y2�x2)+2y(x2+y2+1)0(y2�x2)=�2y(y2�x2)+4x2y0(y2�x2).Resolviendoestaecuaciónenvariablesseparadasobtenemos(y2�x2)=1
(y2�x2+1)2.BuscamosahoraF(x,y)talque¶F
¶x=x2+y2+1
(y2�x2+1)2)4F(x,y)=x
y2�x2+1+H(y).
4Paracalcularunaprimitivadex2+y2+1
(y2�x2+1)2conrespectoaxbastaconobservarquelasiguientedescomposiciónessatisfecha:x2+y2+1
(y2�x2+1)2=1
2 1
(x�p
1+y2)2+1
(x+p
1+y2)2!.17
Métodoselementales19
a,b:R!Rtalesque2t=a(t)t2+b(t).Porejemplo,a0yb(t)=2t.(b)Lasfunciones(t)=ety (t)=e�t(denidasenR)NOpuedensersolucionesdeunamismaecuacióndiferenciallinealdeprimerordenhomogénea,yaquedeserlotendríanquevericarsesimultá-neamentelasdossiguientescondiciones:et=a(t)et,�e�t=a(t)e�t,quealapostresetraducenenquesimultáneamentea1ya�1.Paraelcasonohomogéneolosanálogosdelascondicionesanterio-ressonet=a(t)et+b(t),�e�t=a(t)e�t+b(t),quetrasuncálculosencilloconducenalassiguientesexpresionesdeloscoecientes:a(t)=et+e�t
et�e�t,b(t)=�2
et�e�t.EstasexpresionessonsóloválidasenRnf0g,luego(t)y (t)NOpuedensersolucionesdeunamismaecuaciónlinealdeprimerordennohomogénea.9.Calculalosvaloresdelaconstante2Rquehacenquelaecuacióndiferencialx0=(+cos2t)xtengaunasolución-periódica5notrivial.Solución:Setratadeunaecuacióndiferencialenvariablesseparadas,porloquesepuedeencontrarfácilmentesusolucióngeneral6:x(t)=Ce(+1
2)t+1
4sen(2t).
5Esdecir,x(t)=x(t+)8t2R6Parallegaralaexpresiónnaldelamismaesnecesariocalcularpreviamenteunaprimitivadecos2(t),tarealacualresultabastantesimplesiseescribecos2(t)=1+cos(2t)
2.19
Métodoselementales21
Variandolaconstanteyconsiderandoahoralaecuacióncompletaobtenemos(C0+5C)e5x=5Ce5x+cos(x))C0(x)=cos(x)e�5x,luegohadeserC(x)=1
26e�5x(sen(x)�5cos(x))+K,K2Ry,portanto,y(x)=1
26(sen(x)�5cos(x))+Ke5x,K2R.(c)Lasolucióngeneraldelaecuaciónhomogénea,x0=2t
t2+1x,esxh=C(t2+1),C2R.VariandolaconstanteyconsiderandoahoralaecuacióncompletaobtenemosC0(t2+1)+2Ct=2Ct+t3)C0(t)=t3
t2+1,luegohadeserC(t)=1
2t2�log(t2+1)+K,K2Ry,portanto,x(t)=1
2t2�log(t2+1)+K(t2+1),K2R.(d)Lasolucióngeneraldelaecuaciónhomogénea,x0�2x=0,esxh=Ce2t,C2R.SiasumimosC=C(t)yrecuparamoslaecuacióncompleta,resultaque(C0+2C�2C)e2t=4e2t)C04)C(t)=4t+K,K2R.Entoncesx(t)=(4t+K)e2t,K2R.21
Métodoselementales23
Imponiendonalmentelacondicióninicialobtenemos2log2
p
5+K=0)K=�log2
p
5.Porconsiguiente,lasoluciónbuscadaesx(t)=tlog p
5t
2p
1+t2!.(c)Lasolucióngeneraldelaecuaciónhomogéneaesxh(t)=Cesenh(t),C2R.Sivariamoslaconstanteyensayamosenlaecuacióncompletaconx(t)=C(t)esenh(t)obtenemos(C0+Ccosh(t))esenh(t)=Ccosh(t)esenh(t)+esenh(t))C01)C(t)=t+K,K2R.Portantox(t)=(t+K)esenh(t),K2R.Alimponernalmentex(0)=1obtenemosK=1y,enconsecuen-cia,laúnicasolucióndenuestroproblemadevaloresinicialesesx(t)=(t+1)esenh(t).12.Seana,b:R!Rfuncionescontinuastalesquea(t)c�0paratodot2Ryl´mt!1b(t)=0.Demuestraquetodaslassolucionesdelaecuacióndiferencialx0=�a(t)x+b(t)tiendenacerocuandot!1.(Indicación:usalaregladeL'Hôpitalenelsegundotérminodelafórmuladevariacióndelasconstantes).23
Métodoselementales25
(c)y0+y
x=log(x)
xy2Solución:(a)Dividiendolaecuaciónpor3t,t6=0,obtenemosx0�2
3tx=t2
3x�2.(1.4)Multiplicandoahoralaecuación(1.4)porx2llegamosax2x0�2
3tx3=t2
3,queesequivalentealaecuaciónz0�2
tz=t2
3(1.5)víaelcambiodevariablez=x3
3.Lasolucióngeneraldelaecuación(1.5)esz(t)=t2t
3+C,C2R,luegodeshaciendoelcambiodevariableobtenemosx(t)=(t3+Ct2)1
3,C2R.(b)Multiplicandolaecuaciónporx�7obtenemosx�7x0=et+2x�6.Planteamoselcambiodevariablez=1
6x�6,encuyocasolaecuaciónanteriorsepuedereformulardelsiguientemodo:z0+12z=�et.Lasolucióngeneraldeestaecuaciónesz(t)=�1
13et+Ce�12t,C2R.Deshaciendoelcambiodevariableobtenemosx(t)=Ce�12t�6
13et�1
6,C2R.(c)Multiplicandolaecuaciónpory�2obtenemosy�2y0=log(x)
x�1
xy.Planteamoselcambiodevariablez=�1
y,encuyocasolaecuaciónanteriorsepuedereformulardelsiguientemodo:z0=z
x+log(x)
x.25
Métodoselementales27
(b)Efectuamoselcambiodefunciónincógnitau(x)=1
y(x)�1
x+1
x2,demodoque�u0
u2=1
u0=y0+1
x2�2
x3=1
x4�y2+1
x2�2
x3=1
x4�1
u+1
x�1
x22+1
x2�2
x3=�1
u2�2
x1�1
x1
uo,equivalentemente,u0=1+2
x1�1
xuqueesunaecuacióndiferenciallinealdeprimerordencuyasolucióngeneralesu(x)=x2Ce2
x+1
2,C2R.DeshaciendoelcambiodevariableconcluimosquelasolucióndelaecuacióndeRiccatidepartidaesy(x)=1
x2 x�1+1
Ce2
x+1
2!,C2R.15.SeconsideralaecuacióndiferencialdeRiccatiy0=�1
x2�y
x+y2.(1.6)(a)Buscaunasoluciónparticulardelaformay=x con 2R.(b)Encuentralasoluciónquecumpley(1)=2ycalcula,siespo-sible,ellímitecuandox!1dedichasolución.Solución:(a)Lafuncióny=x resuelvelaecuacióndiferencial(1.6)siysolamentesi x �1=�x�2�x �1+x2 ,27
Métodoselementales29
(b)(3t2x+x3)x0+2t3=0(c)xy0+y=y2log(x)(d)tcos(t+x)+sen(t+x)+tcos(t+x)x0=0(e)(3tx+x2)+(3tx+t2)x0=0(f)txcos(tx)+sen(tx)+(t2cos(tx)+ex)x0=0(g)3x+3etx2
3+tx0=0(h)x0=1
x+t(i)y0=y
2ylog(y)+y�x(j)y0=1+e2x(k)y0=y
x(log(y)�log(x))(l)xy0+y=2x(m)y0=log(xy)Solución:(a)Variablesseparadas:x(t)=arctanhC
(2�et)3i,C2R.(b)Homogénea:x0=�2t3
3t2x+x3=�2
3(x=t)+(x=t)3.Lasolucióngeneralvienedadaporlasiguienterelaciónimplícita7:(x+t)3(x4+3t2x2+2t4)=C(x+2t)3,C2R.(c)Bernoulli:y0+y
x=log(x)
xy2.Lasolucióngenerales8y(x)=1
Cx+log(x)+1,C2R.
7Elsiguientecálculoesútil:Zudu
u4+3u2+2=1
2Zdv
v2+3v+2=1
2Zdv
v+1�Zdv
v+2=1
2log(v+1)�log(v+2).8LaintegralRlog(x)dx
x2seresuelveporpartes29
Métodoselementales31
queesunaecuaciónenvariablesseparadascuyasolucióngeneralesu�log(ju+1j)=C+t,C2R.Deshaciendonalmenteelcambiodevariableobtenemoslasiguien-teexpresiónimplícitaparalasolución:x=log(jx+t+1j)+C,C2R.(i)ExactaconP(x,y)=�yyQ(x,y)=2ylog(y)+y�x.Enefecto,¶P
¶y=�1=¶Q
¶x.Lasolucióngeneralvienedadapory(x)=y(ylog(jyj)�x)=C,C2R.(j)Variablesseparadas:Integrandoenlosdosmiembrosconrespectoaxobtenemosy(x)=x+1
2e2x+C,C2R.(k)Homogénea:y0=y
xlogy
x.Lasolucióngeneralvienedadaporlasiguienteexpresión:y(x)=xeCx+1,C2R.(l)Linealdeprimerorden:Six6=0setieney0+y
x=2.Lasolucióngeneraldelacorrespondienteecuaciónhomogéneaesyh(x)=C
x,C2R.Usandoelmétododevariacióndelasconstantesencontramosquelasolucióngeneraldelaecuacióncompletaesy(x)=x+C
x,C2R.(m)Variablesseparadas:y0
y=log(x),dedondey(x)=Cex(log(x)�1),C2R.Enparticular,estaecuaciónadmitelasolucióntrivialy0.31
CAPÍTULO2LaecuaciónlinealI:aspectosteóricossobrelaexistenciayunicidaddesoluciónymatricesfundamentales1.Seconsideralaecuacióndiferencialx0=F(t,x),(2.1)dondeF:RRN!RNesunafuncióncontinuaquesatisface:(a)Paracualquier(t0,x0)2RRNexisteunaúnicasoluciónx:R!RNdelproblemadevaloresinicialesconstituidoporlaecuacióndiferencial(2.1)ylacondicióninicialx(t0)=x0.(b)Elconjuntodetodaslassolucionesdelaecuación(2.1)deni-dasenResunespaciovectorialreal.Demuestraque(2.1)esunaecuaciónlinealhomogénea.Solución:Setratadeprobarque,bajolascondiciones(a)y(b),else-gundomiembrodelaecuacióndiferencial(2.1)hadeserdelaformaF(t,x)=a(t)xparaalgunafuncióna:R!Rcontinua.Lacondición(a)esnecesa-riaparaque(2.1)sealineal.De(b)sededucequesix1(t)yx2(t)son33
LaecuaciónlinealI35
(Febrero1990)Solución:(a)EngeneralNO.Laecuaciónpuedereescribirsecomox0=B(t)xconB(t)=A(t)
t,funciónquenopodemosgarantizarqueseacontinuaent=0.Portanto,nosepuedeaplicarelteoremadeexistenciayunicidadparaecuacioneslineales.(b)Delaformulacióndiferencial(2.2)sepasaalaformulacióninte-gral(2.3)sinmásqueintegrarprudentementelaecuaciónentre0yt.Seanx(t)unasoluciónde(2.2)y"�0.Entoncesx(t)�x(")=Zt"x0(s)ds=Zt"A(s)
sx(s)ds,luegox(t)=x(")+Zt"A(s)
sx(s)ds.Comprobemosquel´m"!0Zt"A(s)
sx(s)ds=Zt0A(s)
sx(s)ds.ParaellodemostraremosqueladiferenciaZt0A(s)
sx(s)ds�Zt"A(s)
sx(s)ds=Z"0A(s)
sx(s)ds(2.4)tiendeacerocuando"!0.Enefecto, Z"0A(s)
sx(s)ds Z"0kA(s)x(s)k
sdsMZ"0s�ds=M
1�"1�!0cuando"!0,dedondesedesprende(2.4).Elenunciadorecíprocosecompruebaderivandoprudentementelaecua-ciónintegral(2.3).Supongamosparaelloquex(t)esunasoluciónde(2.3),esdecir,x2C([0,1),RN)talquex(t)=x0+Zt0A(s)
sx(s)ds.35
LaecuaciónlinealI37
EstudiamosacontinuaciónlaconvergenciauniformedelasucesióndeiterantesdePicardsobrecompactos[0,T]de[0,1).Aplicandoelprincipiodeinducciónsepuededemostrarfácilmentequekxn+1(t)�xn(t)kkx0kMn+1T
(n+1)!(1�)n+1t(n+1)(1�)(2.5)paratodot2[0,T],dondehemosdenotadoMT=m´ax0tTfkA(t)kg.Enefecto,sievaluamosenprimerlugarlasdosprimerasdiferencias,x1(t)�x0(t)yx2(t)�x1(t),yapodemosintuirquelacotaqueapa-receenelsegundomiembrode(2.5)eslaadecuada:kx1(t)�x0(t)k= Zt0A(s)
sx0ds kx0kMTZt0s�ds=kx0kMTt1�
1�,kx2(t)�x1(t)kZt0kA(s)k
skx1(s)�x0(s)kdskx0kM2T
1�Zt0s1�2ds=kx0kM2T
2(1�)2t2(1�).Supongamosentoncesciertalasiguienteestimación(hipótesisdein-ducción):kxn(t)�xn�1(t)kkx0kMnT
n!(1�)ntn(1�).Entonceskxn+1(t)�xn(t)kZt0kA(s)k
skxn(s)�xn�1(s)kdskx0kMn+1T
n!(1�)ntn(1�)Zt0sn�(n+1)dskx0kMn+1T
(n+1)!(1�)n+1t(n+1)(1�).Comolaserieå1k=0kx0kMkT
k!(1�)ktk(1�)esconvergente1,sepuedeaplicar
1Enefecto,sefuedecomprobarfácilmenteque1åk=0kx0kMkT
k!(1�)ktk(1�)=kx0keMTt1�
1�37
LaecuaciónlinealI39
dedondesededucelopretendidoenvirtuddelaconvergenciauni-formedefxnghaciaen[0,t](cf.apartado(c)).Entoncesl´mn!1nZt0A(s)
sxn(s)dso=Zt0A(s)
sxn(s)ds,porloquepodemosconcluirque(t)resuelvelaecuaciónintegral(2.3).(e)Comprobaremosquelaecuación(2.3)admiteunaúnicasolución.Supongamosparaelloque1(t)y2(t)sondossolucionesde(t)=x0+Zt0A(s)
s(s)dsquesatisfacenlacondicióninicial1(0)=2(0)=x0.Demostrare-mosqueJ=ft2[0,1):1(t)=2(t)g=[0,1)=I,(2.7)paralocualharemosusodelasiguienteProposición1.SeanIRconexoyJunsubconjuntonovacíodeIqueessimultáneamenteabiertoycerradorelativoaI.EntoncesJ=I.Portanto,hemosdedemostrarqueelconjuntoJdenidoen(2.7)esnovacío,abiertoycerradorelativoa[0,1).
QueJcontienealgúnelementoesevidente,yaquealmenos02Jporque1(0)=2(0)=x0.
TambiénesinmediatoconcluirqueJesuncerradorelativoaI,yaqueelconjuntodepuntosenquecoincidendosfuncionescontinuasescerrado.
ComprobaremosparaacabarqueJesunabiertorelativoaIo,loqueeslomismo,quecualquierpuntot02JesinterioraJ.Dichodeotromodo,demostraremosquedadocualquiert02Jexiste"�0paraelque[t0�",t0+"]\IJ.Evaluamosenprimerlugar1(t)y2(t)ent0:1(t0)=x0+Zt00A(s)
s1(s)ds,2(t0)=x0+Zt00A(s)
s2(s)ds.39
LaecuaciónlinealI41
Luegok1()�2()k 1�M"(t0)(t0+")1��t1�0
1�!0.(2.8)Sielegimos"sucientementepequeño,porejemplo"m´n(t0,1�
M"(2t0)+t1�01
1��t0),enparticularsetienequeM"(t0)(t0+")1��t1�0
1�1,porloquesólopuedeserk1()�2()k=0paraquesesatisfaga(2.8).Consecuentementek1(t)�2(t)k=08t2[t0�",t0+"]\[0,1)o,loqueeslomismo,[t0�",t0+"]\[0,1)Jlocualconcluyelaprueba.(f)Considéreseporejemploelsiguienteproblemadevaloresinicia-lesunidimensional(N=1):(x0=x
2p
tx(0)=1.Obsérvesequehemoselegido=1
2,A(t)1
2yx0=1.Laúnicasolucióndeesteproblemaesx(t)=ep
t,demodoquex0(t)=1
2p
tep
tsit�0.Observamos,portanto,quex(t)noesderivableent=0.3.Sea:I!MN(R)talque2C1(I).Demuestraqueunacondi-ciónnecesariaysucienteparaqueseamatrizfundamentaldeunsistemadeltipox0=A(t)x,conA:I!MN(R)continua,esdet((t))6=08t2I.41
LaecuaciónlinealI43
graciasa(2.9).Portanto,si(t)fueseunamatrizsoluciónentonces1(t)2(t),�2(t)1(t)seríansolucioneslinealmenteindependientesdex0=A(t)x.Enpar-ticular,(t)resolveríalaecuaciónx0=A(t)xyhabríamosconcluido.Portanto,buscamosquelamatriz(t)resuelvaunaecuacióndelti-po0(t)=A(t)(t),paralocualbastaconcalcularA(t)=0(t)(t)�1=01(t)�02(t)02(t)01(t)1
1(t)2+2(t)21(t)2(t)�2(t)1(t)[email protected]1(t)01(t)+2(t)02(t)
1(t)2+2(t)201(t)2(t)�1(t)02(t)
1(t)2+2(t)21(t)02(t)�2(t)01(t)
1(t)2+2(t)22(t)02(t)+1(t)01(t)
1(t)2+2(t)21A.LuegoparaestaeleccióndeA(t)setieneque0=A(t).5.Seconsideralamatriz(t)[email protected]
t+1t+10e�3t1001A.Discutelosvaloresdetparalosquepuedesermatrizfundamen-taldeunaecuacióndiferenciallinealhomogénea.Hallaunamatrizfundamentalprincipalencero.Solución:Comodet((t))=1paratodot2R,(t)esmatrizfundamentaldealgunaecuaciónlinealhomogéneaparacualquiert2Rnf�1genvirtuddelEjercicio3.3Paracalcularunamatrizfundamentalprincipalent=0usaremoselsiguienteresultado:
3Larazóndeexcluirelpuntot=�1hayquebuscarlaenlacorrectadenicióndeldominiodelafunción1
t+1,queintervienecomocoecientedelamatriz(t)43
LaecuaciónlinealI45
(b)Construyedichaecuación.Solución:(a)Comodet((t))=�sen
tcos
t,(t)serámatrizfundamentaldeunaecuaciónlinealhomogénea4si
t6=nk,k+1
2o8k2Z,esdecir,paracualquiert2[k2Z2
2k+1,1
k.(b)Sehadecumplir0(t)=A(t)(t),luegoparatodotlocalizadoenalgúnintervalodelosdelapartadoanteriorsepuededespejarA(t)=0(t)(t)�[email protected]�
t2cos(
t)0000
t2sen(
t)[email protected]
sen(
t)0000101
cos(
t)[email protected]�
t2cotan(
t)000
t2tan(
t)00001A.Portanto,laecuaciónsatisfechapor(t)esx0(t)[email protected]�
t2cotan(
t)000
t2tan(
t)00001Ax(t).7.Seanf1(t)=cos(t)et,f2(t)=e�tcos(t)dossolucionesdex0=A(t)x.Sepide:
4NuevamenteenvirtuddelEjercicio345
LaecuaciónlinealI47
8.Seconsideraelproblemax01=2x1+x2+cos(t)x02=3x1+4x2+t,x1(0)=x2(0)=1.Sepide:(a)Comprobarquelasfuncionesf1(t)=et�et,f2(t)=e5t3e5t,constituyenunsistemafundamentaldesoluciones.(b)ComprobarlafórmuladeJacobi–Liouville.(c)Encontrarla(única)soluciónquevericalascondicionesda-das.Solución:(a)Porunladoesinmediatocomprobarquef1(t)yf2(t)sonambassolucionesdelcorrespondientesistemahomogéneox01=2x1+x2x02=3x1+4x2o,loqueeslomismo,que(t)=ete5t�et3e5tesunamatrizsolucióndelsiguientesistemaconcoecientescons-tantes:x01x02=2134x1x2.Porotrolado,f1(t)yf2(t)sonlinealmenteindependientesyaquedet((t))=det(f1(t)jf2(t))=4e6t6=08t2R.Porconsiguiente,f1(t)yf2(t)formanunsistemafundamentaldesolucionesdenuestroproblema.(b)LafórmuladeJacobi–Liouvilleestablecelasiguienteidentidaddet((t))=det((t0))eRtt0traza(A(s))ds47
LaecuaciónlinealI49
luegox(t)=etet+23I1(t)�I2(t)�I3(t)+I4(t)3I1(t)�3I2(t)�I3(t)+3I4(t),dondeI1(t)=Zt0et�scos(s)ds=1
2(et+sen(t)�cos(t)),I2(t)=Zt0e5(t�s)cos(s)ds=1
26(5e5t+sen(t)�5cos(t))I3(t)=Zt0set�sds=et�t�1,I4(t)=Zt0se5(t�s)ds=1
25(e5t�5t�1).Porconsiguiente,x(t)=2et�99
325e5t+38
13sen(t)�34
13cos(t)+8
5t+48
252et�99
325e5t+38
13sen(t)�34
13cos(t)+8
5t+48
25.9.SeaA:R!MN(R)continuatalqueexisteM�0conkA(t)kM8t2R.Seax(t)unasolucióndex0=A(t)x.(a)Dado2R,obténlaecuaciónsatisfechapory(t)=e�tx(t).(b)Demuestraquelafunción'(t)=ky(t)k2esderivableyque�(M+)'(t)1
2'0(t)(M�)'(t)8t2R.(c)Deducedelapartadoanteriorlaexistenciadeintervalosdeva-loresdeparalosqueellímitecuandot!1dey(t)esobien0obien1.49
LaecuaciónlinealI51
dedondeseconcluyeque'(t)C1e2(M�)t,C1�0.Porotraparte'0(t)
'(t)�2(M+),luego'(t)C2e�2(M+)t,C2�0.CombinandoambasestimacionesobtenemosC2e�2(M+)t'(t)C1e2(M�)t.Porconsiguiente:
Si2(M,1)entoncesl´mt!1f'(t)g=0,luegol´mt!1fky(t)kg=0.
Si2(�1,�M)entoncesl´mt!1f'(t)g=1,luegol´mt!1fky(t)kg=1.10.SeaA:I!MN(R)continuayconsideremoslasecuacionesdiferen-cialesmatricialessiguientes:Y0(t)=A(t)Y(t),(2.12)Z0(t)=�Z(t)A(t)(2.13)yW0(t)=A(t)W(t)�W(t)A(t),(2.14)dondeIesunintervaloreal.(a)Demuestraquecadaunadeestasecuacionesadmiteunaúnicasoluciónunavezprejadaunacondicióninicialent02I.51
LaecuaciónlinealI53
esequivalenteaX0(t)=B(t)X(t),X(t0)[email protected](0)Y12(0)...Y1N(0)Y21(0)...Y2N(0)...YN1(0)...YNN(0)1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA,(2.15)conB:I!MN2(R)continuadenidacomoB(t)=(Dij(t)),Dij(t)=diag(aij(t)).Portanto,existeunaúnicasolucióndelsistemalinealhomogéneo(2.15).(b)Setieneque(YZ)0(t)=Y0(t)Z(t)+Y(t)Z0(t)=A(t)(YZ)(t)+Y(t)(�Z(t)A(t))=A(t)(YZ)(t)�(YZ)(t)A(t),luegoW=YZessoluciónde(2.14).Consideramosahoraelproble-madevaloresinicialesW0(t)=A(t)W(t)�W(t)A(t),W(t0)=IN,cuyaúnicasoluciónesW(t)=INyaqueenesecasoW0(t)=0NN=A(t)IN�INA(t).ComoporhipótesisY(t0)Z(t0)=IN,setienequeY(t)Z(t)=INparatodot2Iporunargumentodeunicidaddesolución.(c)Trasponiendolaecuación(2.12)obtenemosY0(t)T=Y(t)TA(t)T=�Y(t)TA(t),53
LaecuaciónlinealI55
Solución:(a)FALSA.Comodet((t))=1�sen(t)2=cos(t)2,lamatriz(t)sólopodrásermatrizfundamentaldex0=A(t)xsit6=1
2+k,k2Z.(b)VERDADERA.Setienequex0(t)=et2
2(tu(t)+u0(t)),x00(t)=et2
2(t2u(t)+2tu0(t)+u(t)+u00(t)),porloquereescritaentérminosdelanuevafunciónincógnitau(t)laecuaciónresultantees0=et2
2t2u(t)+2tu0(t)+u(t)+u00(t)�2tet2
2tu(t)+u0(t)+et2
2(t2�1)u(t)=et2
2u00(t),dedondededucimosquelaecuaciónoriginalsereduceau00=0,queesunaecuacióndiferenciallinealdesegundoordenconcoe-cientesconstantes.(c)FALSA.Bastaconcomprobarquenisiquierasonsoluciones:x0(t)=2tZ10cos(t2+s2)ds=2ty(t),x00(t)=2Z10cos(t2+s2)ds�4t2Z10sen(t2+s2)ds=2(y(t)�2t2x(t)),y0(t)=�2tZ10sen(t2+s2)ds=�2tx(t),y00(t)=�2Z10sen(t2+s2)ds�4t2Z10cos(t2+s2)ds=�2(x(t)+2t2y(t)).Portanto,x00+4t2x=2y6=0,y00+4t2y=�2x6=0.55
CAPÍTULO3LaecuaciónlinealII:formacanónicadeJordan,exponencialdeunamatrizyfórmuladevariacióndelasconstantes1.Resuelvelassiguientesecuacionesdiferencialeslineales:(a)[email protected]�6�31443�8�2�[email protected](t)1A,(b)[email protected]�9�4�[email protected],(c)x0=35�53x+e�t0,(d)[email protected]�6514�13107�641Ax.Obténademáslassolucionesdelosproblemasdevaloresinicialescorrespondientesalossistemas(b)y(c)concondicionesinicialesx(0)[email protected](0)=01,respectivamente.57
LaecuaciónlinealII59
esunamatrizfundamental(principalent=0)delaecuaciónhomo-génea.Porconsiguiente,siasumimosx(0)=x0setienex(t)=eAtx0+Zt0eA(t�s)(0,0,sen(s))[email protected]
3e�t�5
3e2t2
3e�t+et�5
3e2t�16
3e�t+2et+10
3e2t�4
3e�t+4
3e2t�1
3e�t+4
3e2t8
3e�t�8
3e2t2
3e�t�2
3e2t1
6e�t+1
2et�2
3e2t�4
3e�t+et+4
[email protected]�16
3e�(t�s)+2et�s+10
3e2(t�s)8
3e�(t�s)�8
3e2(t�s)�4
3e�(t�s)+et�s+4
3e2(t�s)1Asen(s)[email protected]
3e�t�5
3e2t2
3e�t+et�5
3e2t�16
3e�t+2et+10
3e2t�4
3e�t+4
3e2t�1
3e�t+4
3e2t8
3e�t�8
3e2t2
3e�t�2
3e2t1
6e�t+1
2et�2
3e2t�4
3e�t+et+4
[email protected]
3e�t(et�1)2(16+5et)4
3e�t(e3t+et�2)2
3e2t+et+4
3e�t�31A.(b)Escribimosx0=A(t)x+b(t)conA(t)[email protected]�9�4�121A,b(t)[email protected](a),losvalorespropiosdeAson1=1(doble)y2=�1,consubespaciospropiosasociadosE1=Ker[A�I]=*[email protected]�11A+,E2=Ker[A+I]=*[email protected]�21A+,respectivamente.Laformacanó[email protected]�11A.ParaencontrarlamatrizdepasoPquesatisfaceeAt=PeJtP�1cal-culamosKer[(A�I)2]=*[email protected]�201A,[email protected]�311A+.59
LaecuaciónlinealII61
Empleandolafórmuladevariacióndelasconstantesconx(t0)=x0=(x10,x20,x30)Tobtenemosnalmentex(t)=eA(t�t0)x0+Ztt0eA(t�s)(s,0,0)[email protected](t�t0+5)et�t0�4et0�t2(et�t0�et0�t)(t�t0+6)et�t0�6et0�t(t�t0+2)et�t0�2et0�t2et�t0�et0�t(t�t0+3)et�t0�3et0�t4et0�t�(t�t0+4)et�t02(et0�t�et�t0)6et0�t�(t�t0+5)et�[email protected][(t�s+5)et�s�4es�t]s[(t�s+2)et�s�2es�t]s[4es�t�(t�s+4)et�s][email protected](t�t0+5)et�t0�4et0�t2(et�t0�et0�t)(t�t0+6)et�t0�6et0�t(t�t0+2)et�t0�2et0�t2et�t0�et0�t(t�t0+3)et�t0�3et0�t4et0�t�(t�t0+4)et�t02(et0�t�et�t0)6et0�t�(t�t0+5)et�[email protected]((t0+1)t+3t0+3�t20)et�t0�4(1�t0)et0�t�8t+1((t0+1)t�t20)et�t0+2(t0�1)et0�t�3t+2(t20�(t+2)t0�t�2)et�t0+4(1�t0)et0�t+7t�21A.Resolviendoparaeldatoinicialx(0)=(0,0,1)Tobtenemosx(t)[email protected](t+5)et�4e�t2(et�e�t)(t+6)et�6e�t(t+2)et�2e�t2et�e�t(t+3)et�3e�t4e�t�(t+4)et2(e�t�et)6e�t�(t+5)[email protected][email protected](t+3)et�4e�t�8t+1tet�2e�t�3t+2�(t+2)et+4e�t+7t�[email protected](2t+9)et�10e�t�8t+1(2t+3)et�5e�t�3t+2�(2t+7)et+10e�t+7t�21A.(c)EnestecasoJ=A=35�53=3I2+5M,M=01�10.EsfácilmentecomprobablequeM2n=�I2,M2n+1=(�1)nM,n2N.61
LaecuaciónlinealII63
ParaencontrarlamatrizdepasoPquesatisfaceeAt=PeJtP�1ob-servamosqueKer[(A+I)2]=R3.ElegimosP12Ker[(A+I)2]nKer[A�I],porejemplo(1,0,0)T,comoprimeracolumnadeP.Lasegundaco-lumnadeP,llamémoslaP2,vienedadaporKer[A+I]3P2=(A+I)[email protected][A+I]comoterceracolumnadeP,[email protected]�5071A.Porcon[email protected]�501400771A,P�[email protected]�6
75
701
1400�1
141
71A.ParacalcularlamatrizexponencialdeJtconsideramoslasiguientedescomposiciónJ=�[email protected],demodoqueeJt=e�[email protected][email protected]�t00te�te�t000e�[email protected]�t(1+7t)�6te�t5te�t14te�te�t(1�12t)10te�t7te�t�6te�te�t(1+5t)1A.Entoncesx(t)=eA(t�t0)[email protected]�t(1+7(t�t0))�6(t�t0)et0�t5(t�t0)et0�t14(t�t0)et0�tet0�t(1�12(t�t0))10(t�t0)et0�t7(t�t0)et0�t�6(t�t0)et0�tet0�t(1+5(t�t0))1Ax0.63
LaecuaciónlinealII65
Porconsiguiente,B2=cos(t)�sen(t),sen(t)cos(t)esunabasedesoluciones.(c)Llamemos(t)alamatrizfundamentalqueseconstruyeapartirdelabaseobtenidaenelapartado(a),esdecir,(t)=e2tte2t0e2t.Esinmediatocomprobarquelasmatrices(t)TyA3conmutan.Te-niendoencuentaentoncesqueA3=AT1setieneque(t)T0=0(t)T=[A1(t)]T=(t)TAT1=(t)TA3=A3(t)T,luegoB3=0e2t,e2tte2tesunabasedesoluciones.3.SeaA:I!MN(R)continuatalqueA(t)A(s)=A(s)A(t).De-muestralossiguientesenunciados:(a)A(t)yRt0A(s)dsconmutan.(b)SiA2C1(I)entoncesAyA0conmutan.(c)SiA2C1(I)entoncesd
dteA(t)=A0(t)eA(t)=eA(t)A0(t).(d)Comoconsecuenciadelapartadoanterior,demuestraquesiAyBconmutanentonceseA+B=eAeB.65
LaecuaciónlinealII67
paraloquehemosvueltoausarlahipótesisgeneralA(t)A(s)=A(s)A(t)8t,s2I.(c)HaremosusodelasiguienteProposición3.SeaIRacotadoyffn:I!Rgn2NunasucesióndefuncionesdeclaseC1(I).Supongamosquelasucesióndederi-vadasff0ngn2Nconvergeuniformementehaciaunafuncióngyqueexistet02Italquelasucesiónffn(t0)gn2Nesconvergente.Enton-cesffng!funiformementecuandon!1,fesdeclaseC1(I)yf0=g.Demostración.Llamemos allímitedelasucesiónffn(t0)gcuandon!1.Denimosf(t):=Ztt0g(s)ds+ .Entoncesclaramentef2C1(I)y,envirtuddelteoremafundamentaldelcálculo,f0=g(queesunafuncióncontinuaporserlímiteuni-formedeunasucesióndefuncionescontinuas).Paracomprobarqueffng!funiformementecuandon!1escribimosfn(t)=Ztt0f0n(s)ds+fn(t0).(3.1)Usandolaconvergenciauniformedelasucesióndederivadassetie-nequeZtt0f0n(s)ds!Ztt0g(s)dscuandon!1.Porotroladol´mn!1ffn(t0)g= =f(t0),porloquepasandoallímiten!1enlaecuación(3.1)obtenemosqueffn(t)g!fpuntualmentecuandon!1.Estudiamosnalmentelaconvergenciauniformedeffng.Setienef(t)�fn(t)=Ztt0g(s)ds+ �fn(t)=Ztt0g(s)ds+ �Ztt0f0n(s)ds+fn(t0),67
LaecuaciónlinealII69
paraconcluirelejercicioquelarestriccióndeeA(t)aJesderivableyd
dteA(t)=A0(t)eA(t).ParaelloestimamoskS0n(t)�A0(t)eA(t)k=kA0(t)Sn�1(t)�A0(t)eA(t)kkA0(t)kkSn�1(t)�eA(t)kCJkSn�1(t)�eA(t)k,conkA0(t)kCJparatodot2J(yaqueA0escontinuasobreuncompactoy,portanto,acotada).Porotrolado Sn(t)�eA(t) = nåk=0A(t)k
k!�1Ã¥k=0A(t)k
k! = 1Ã¥k=n+1A(t)k
k! = l´mm!1,m�n+1(måk=n+1A(t)k
k!) l´mm!1(måk=n+1 A(t)k
k! )1Ã¥k=n+1kA(t)kk
k!MkJ
k!!0,n!1,dondekA(t)kMJparatodot2J(yaqueAescontinuasobreuncompactoy,portanto,acotada).Portanto,sehaprobadoquefS0n(t)g!A0(t)eA(t)cuandon!1,uniformementeenJ(encadacomponente).Ademásesclaroque,porlapropiadenicióndeex-ponencialdeunamatriz,fSn(t)g!eA(t)cuandon!1puntual-mente.EstamosentoncesencondicionesdeaplicarlaProposición3paraconcluirqued
dteA(t)=A0(t)eA(t).Unaargumentacióncompletamenteanálogapermiteconcluirtam-biénqued
dteA(t)=eA(t)A0(t),sinmásqueprocederdelaformayaconocidaapartirdelaidentidadconmutadaS0n(t)=Sn�1(t)A0(t)de(3.2).(d)DenimosA(t):=tA+B,t2R.ComoAyBconmutanporhipótesis,setienequeA(t)A(s)=(tA+B)(sA+B)=tsA2+tAB+sBA+B2=stA2+tBA+sAB+B2=(sA+B)(tA+B)=A(s)A(t)69
LaecuaciónlinealII71
LasmatricesA(t)eRt0A(s)dsconmutan,porlocualbastaconcalcu-larF(t)[email protected]
3t2
2�t2
2t3
31A= et3
300et3
3!e0[email protected]
2�t2
201A= et3
300et3
3! cos(t2
2)sen(t2
2)�sen(t2
2)cos(t2
2)!= et3
3cos(t2
2)et3
3sen(t2
2)�et3
3sen(t2
2)et3
3cos(t2
2)!.4.Seconsideralaecuacióndiferenciallinealx0=AxconA2MN(R).Demuestraquesiesunamatrizsolucióndedichaecuación,tam-biénloes(m)paratodom2N.¿Sepuedeasegurarquesiesunamatrizfundamentaldelaecuación,entonces(m)tambiénloes?Proporcionaunejemploquejustiquelarespuesta.DemuestratambiénquesiAesunamatriznilpotente,entonces(p)=0paracualquierptalqueAp=0y,comoconsecuencia,todosloscoecien-tesde(t)sonpolinomios.Solución:Razonamosporinducción.Enefecto,esunamatrizsolu-cióndex0=Axporhipótesisyadmitimos(hipótesisdeinducción)que(m�1)tambiénloes,esdecir,(m�1)0=A(m�1).Entonces(m)0=(m�1)00=hA(m�1)i0=A(m),luego(m)tambiénesunamatrizsolucióndex0=Ax.Nosepuedeasegurarquesiesmatrizfundamentaldex0=Axentonces(m)tambiénloes.Enefecto,si0(t)=A(t)ylama-trizAnoesinvertiblesededuceinmediatamentequetampocoloes71
LaecuaciónlinealII73
(c)SedenelasucesiónXn+1(t)=eAtX0�Zt0eA(t�s)Xn(s)Adsparat2R,n0ydondeX0(t)=eAtX0.DemostrarqueXnconvergealasolucióndelproblemadevaloresinicialesyquelaconvergenciaesuniformesobrecompactos.(d)Seefectúaenlaecuación(3.3)elcambiodevariableX(t)=Y(t)e�At.ResolverlaecuaciónenYyobtenercomoconsecuenciaunaexpresiónexplícitadelasolucióndelproblemadevaloresini-cialesparalaecuación(3.3).(e)SupongamosquelosvalorespropiosdeAestánenelejeima-ginarioysonsimples.Demostrarentoncesquetodaslassolu-cionesde(3.3)estánacotadasen(�1,1).(Febrero1994).Solución:(a)Setratasimplementedereescribirelproblemadevalo-resinicialesasociadoalaecuación(3.3)comounproblemalinealenRN2yaplicarentonceselresultadoconocidodeexistenciayunicidaddesolucionesalsistemalinealdecoecientesconstantesresultante.(b)SeaX(t)=(X1(t)j...jXN(t))unasoluciónde(3.3)quesatisfaceX(0)=X0,dondeXj(t),1jN,representanlascolumnasdelamatrizsoluciónX(t).ClaramenteX0j=AXj�XAj,1jN.Entendiendoentoncesb(t)=�X(t)AcomolamatrizdetérminosindependientesdelsistemayaplicandolafórmuladevariacióndelasconstantesobtenemosXj(t)=eAt(X0)j�Zt0eA(t�s)X(s)Ajds,porloqueconcluimosqueX(t)tambiénresuelvelaecuacióninte-gral.Recíprocamente,sipartimosahoradeunasoluciónX(t)delaecuaciónintegralX(t)=eAtX0�Zt0eA(t�s)X(s)Ads=eAtX0�eAtZt0e�AsX(s)Ads73
LaecuaciónlinealII75
Consideramoslahipótesisdeinducciónsiguiente:kXn(t)�Xn�1(t)kekAktkAknkX0ktn
n!.EntonceskXn+1(t)�Xn(t)kZt0ekAk(t�s)kXn(s)�Xn�1(s)kkAkdsZt0ekAk(t�s)ekAkskAknkX0ksn
n!kAkds=kX0kkAkn+1
(n+1)!ekAkttn+1.Comolaserieå1k=0kX0kkAkn+1
(n+1)!ekAkttn+1esconvergente2podemosaplicarelcriteriodecomparacióndeWeierstrassparaconcluirquelaserieX0(t)+1åk=0Xk+1(t)�Xk(t)(3.5)y,porconsiguiente,lasucesióndesumasparcialesfXn(t)g=nX0(t)+n�1åk=0Xk+1(t)�Xk(t)oconvergenabsolutayuniformementeen[0,T].Finalmente,comolasiterantesXn(t)sontodascontinuas,ellímiteuniformede(3.5)hadeserunafunción(matricial)continuaen[0,T].(d)ConsideramoslatransformaciónX(t)=Y(t)e�At.EntonceslaecuaciónX0(t)=AX(t)�X(t)AsepuedereescribirentérminosdelafunciónincógnitaY(t)delasiguienteforma:Y0(t)e�At�Y(t)Ae�At=AY(t)e�At�Y(t)e�AtA.Sitenemosencuentaquee�AtA=Ae�AtenvirtuddelEjercicio3(c)(conA(t)=�At),obtenemosY0(t)=AY(t)
2Enefecto,sefuedecomprobarfácilmenteque1åk=0kX0kkAkn+1
(n+1)!ekAkttn+1=kX0ke2kAkt75
LaecuaciónlinealII77
6.Seconsideraelproblemadevaloresinicialesx0=tAx,x(0)=x0,(3.6)dondeA2MN(R)yx02RN.(a)Justicaque(3.6)tieneunaúnicasolucióndenidaenR.(b)ConstruyelasucesióndeiterantesdePicardasociadaa(3.6).(c)Utilizandoelapartadoanterior,encuentralasoluciónde(3.6)yexprésalaentérminosdelaexponencialdeunamatriz.(d)PruebaquesitodoslosvalorespropiosdeAtienenparterealnegativa,entoncestodaslassolucionestiendenacerocuandot!1.(Diciembre1993)Solución:(a)LaaplicaciónB:R!MN(R)denidacomoB(t)=tAescontinua,luegolaexistenciayunicidaddesolucióndelproblema(3.6)esinmediataalaluzdelteoremadeexistenciayunicidadparaelproblemadeCauchyasociadoaunaecuacióndiferenciallineal.(b)DenimoslasucesióndeiterantesdePicarddelaformaestándar,basándonosenlaecuaciónintegralequivalentea(3.6):x0(t)x0,xn+1(t)=x0+Zt0sAxn(s)ds.Sepuedecomprobarfácilmenteporinducciónquexn(t)= nåk=01
k!At2
2k!x0.(3.7)(c)Paraellotomamosellímitepuntualenlaexpresión(3.7)cuandon!1.Enefecto,l´mn!1xn(t)=l´mn!1( nåk=01
k!At2
2k!x0)=l´mn!1(nåk=01
k!At2
2k)x0= 1Ã¥k=01
k!At2
2k!x0=eAt2
2x0.77
LaecuaciónlinealII79
luegoeJt2
2=eat2
[email protected]00......000......0000...0..................000000[email protected]
2t10...0..................0...t2
2t101CCCCCCCAcon= cos(bt2
2)sen(bt2
2)�sen(bt2
2)cos(bt2
2)!,yclaramenten eJt2
2 o!0cuandot!1porsera0.7.DadaunamatrizA2MN(R)sedenesusenopormediodelaseriesen(A)=Ã¥n0(�1)n
(2n+1)!A2n+1.Pruebaque(a)Laseriedadaesconvergentey,portanto,elsenodeunamatrizestábiendenido.(b)ksen(A)kekAk8A2MN(R).(c)Lafunciónt2R7!sen(tA)2MN(R)esdeclaseC2(R)ysatisfacelaecuaciónmatricialX00+A2X=0.(d)Calcularsen(tA)paraA=1032.(Junio1989).Solución:(b)ksen(A)kån0kAk2n+1
(2n+1)!=ekAkparatodaA2MN(R).79
LaecuaciónlinealII81
ytambiénX0(0)=A,luegoX011(0)=1,X012(0)=1,X021(0)=3,X022(0)=2.Resolviendo(3.8)y(3.9)juntoconlascondicionesinicialesanterioresobtenemosX11(t)=sen(t),X12(t)=0.Entonceslasecuaciones(3.10)y(3.11)puedenreescribirsedelasi-guienteforma:X0021(t)+9sen(t)+4X21(t)=0,(3.12)X0022(t)+4X22(t)=0.(3.13)Resolviendoahoralaecuación(3.13)juntoconlosdatosinicialesco-rrespondientesobtenemosX22(t)=sen(2t).8.DadaunamatrizA2MN(R),¿cómodebendenirselasfuncioneshiperbólicassenh(A)ycosh(A)?¿Sesatisfacelaidentidadcosh(A)2�senh(A)2=IN?Solución:Delaformamásnaturalposible.Sedenensenh(A)=eA�e�A
2,cosh(A)=eA+e�A
2ysecumplecosh(A)2�senh(A)2=eA+e�A
2eA+e�A
2�eA�e�A
2eA�e�A
2=IN.81
LaecuaciónlinealII83
Portantolaformacanó[email protected]�2001�2001�21A.CalculamosahoralamatrizdepasoPquesatisfaceA=PJP�1.Ele-gimosparaelloenprimerlugarunvectorv2Ker[(A+2I)3]nKer[(A+2I)2],porejemplov=(1,0,0)T.Elegimosdespuésw2Ker[(A+2I)2]delasiguienteforma:w=(A+2I)[email protected]�8�12�[email protected][email protected]�81A.Finalmentetomamosu2Ker[A+2I]delasiguienteforma:u=(A+2I)[email protected]�8�12�[email protected][email protected][email protected]�80�8161A,P�[email protected]
40�1
4�1
80�1
801A.AtendiendoalasiguientedescomposicióndelamatrizdeJordancomosumadeunadiagonalyotranilpotente,J=�[email protected],83
LaecuaciónlinealII85
yb(t)=(0,0,e�2t)T.Resultaentoncesx(t)[email protected](t)x2(t)x3(t)1A=e�[email protected]+2t+1t(1+2t)t2
2�4t2�4t2+2t+1t(1�t)8t(t�1)4t(2t�3)2t2�4t+11A8�&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x[000;:[email protected](0)x2(0)x3(0)[email protected]
2dsRt0s(s+1)dsRt0(2s2+4s+1)ds1CA9�=�;=e�2t8:[email protected]+2t+1t(1+2t)t2
2�4t2�4t2+2t+1t(1�t)8t(t�1)4t(2t�3)2t2�[email protected](0)x2(0)x3(0)[email protected]
6(8t2+16t+7)�t2
6(16t3+16t2�14t�9)t
3(16t4�34t2�6t+3)1CA9�=�;.Lasoluciónparticularqueent0=0vale(1,1,1)Tesx(t)=e�2t[email protected]+2t+1+t(1+2t)+t2
2+t3
6(8t2+16t+7)�4t2�4t2+2t+1+t(1�t)�t2
6(16t3+16t2�14t�9)8t(t�1)+4t(2t�3)+2t2�4t+1+t
3(16t4�34t2�6t+3)1CA=e�[email protected]
3+8t4
3+7t3
6+9t2
2+3t+1�8t5
3�8t4
3+7t3
3�15t2
2+3t+116t5
3�34t3
3+16t2�23t+11CA.(c)La(única)solucióndelaecuacióndiferencial(3.14)quesatisfacex(0)=x0(0)=x00(0)=1eslaprimeracomponentedelasolución(vectorial)encontradaen(b),esdecir,x(t)=4t5
3+8t4
3+7t3
6+9t2
2+3t+1.85
LaecuaciónlinealII87
Concluimosentoncesqueunasoluciónparticulardelaecua-ciónx00+4x=5sen(3t)esv1(t)=Im(u1(t))=�sen(3t).(ii)Consideramosahoralaecuaciónx00+4x=cos(3t)=Re(e3it).Buscamosentoncesunasoluciónparticulardey00+4y=e3it(3.17)delaformau2(t)=Be3itconB2C.Sustituyendou2(t)en(3.17)obtenemosfácilmentequehadeserB=�1
5.Portanto,lasoluciónparticularde(3.17)quehemosencontradoesu2(t)=�1
5e3it.Concluimosentoncesqueunasoluciónparticulardelaecua-ciónx00+4x=cos(3t)esv2(t)=Re(u2(t))=�1
5cos(3t).(iii)Consideramosnalmentex00+4x=sen(2t)=Im(e2it).Enes-tecaso=2iresuelvelaecuacióncaracterística,luegohemosdebuscarunasoluciónparticulardey00+4y=e2it(3.18)delaformau3(t)=Cte2itconC2C.Sustituyendou3(t)en(3.18)obtenemosfácilmentequehadeserC=�i
4.Portanto,lasoluciónparticularde(3.18)quehemosencontradoesu3(t)=�t
4e2it.Concluimosentoncesqueunasoluciónparticulardelaecua-ciónx00+4x=sen(2t)esv3(t)=Im(u2(t))=�t
4cos(2t).87
LaecuaciónlinealII89
Como=inoresuelvelaecuacióncaracterística2�2+3=0,buscamosunasoluciónparticulardelaecuacióny00�2y0+3y=eit(3.19)delaformay(t)=AeitconA2C.Sustituyendou2(t)en(3.19)obtenemosfácilmentequehadeserA=1+i
4.Portanto,lasoluciónparticularde(3.19)quehemosencontradoesy(t)=1+i
4eit.Concluimosentoncesqueunasoluciónparticulardelaecua-ciónx00�2x0+3x=sen(t)esx2(t)=Im(y(t))=1
4(sen(t)+cos(t)).Porconsiguiente,x(t)=1
4(sen(t)+cos(t))+t
3+2
9esunasoluciónparticulardelaecuacióndiferencialdepartida.11.Porelmétododevariacióndelasconstantes,hallaunasoluciónpar-ticularde(a)x00+x=cotan(t)(b)x00+4x=sec(2t)(c)x00�6x0+9x=e3t
t2(d)x00�x=e�tsen(e�t)+cos(e�t)Solución:(a)Unsistemafundamentaldesolucionesdelaecuaciónhomogéneaesfcos(t),sen(t)g.Portanto,buscamosunasoluciónparticulardex00+x=cotan(t)deltipox(t)=A(t)cos(t)+B(t)sen(t).(3.20)89
LaecuaciónlinealII91
Derivandoobtenemosx0(t)=A0cos(2t)�2Asen(2t)+B0sen(2t)+2Bcos(2t),x00=A00cos(2t)�4A0sen(2t)�4Acos(2t)+B00sen(2t)+4B0cos(2t)�4Bsen(2t).Sustituyendo(3.22)enlaecuaciónsetiene(A00+4B0)cos(2t)+(B00�4A0)sen(2t)=sec(2t).ComocondiciónadicionalconsideramosA0cos(2t)+B0sen(2t)=0,(3.23)demodoqueB0=�A0cotan(2t)y,portanto,lasexpresionesdex0yx00sereducenax0=2Bcos(2t)�2Asen(2t),x00(t)=2(B0�2A)cos(2t)�2(2B+A0)sen(2t)=�2A0cos(2t)2
sen(2t)+sen(2t)�4Acos(2t)�4Bsen(2t)=�2A0
sen(2t)�4x(t).Deaquísedesprendeinmediatamentequeparaque(3.22)seaunasoluciónparticularsehadecumplir�2A0
sen(2t)=sec(2t),esdecir,A(t)=1
4log(cos(2t)).Delacondición(3.23)sededuce-nalmentequeB(t)=t
2,luegox(t)=1
4log(cos(2t))cos(2t)+t
2sen(2t)esunasoluciónparticulardex00+4x=sec(2t).(c)Unsistemafundamentaldesolucionesdelaecuaciónhomogéneaesfe3t,te3tg.Buscamosentoncesunasoluciónparticulardex00�6x0+9x=e3t
t2(3.24)91
LaecuaciónlinealII93
siysolamentesi�2A0e�t=e�tsen(e�t)+cos(e�t))A0=�1
2sen(e�t)+etcos(e�t))A=�1
2etcos(e�t).Volviendoa(3.27)obtenemosB0=1
2e�2tsen(e�t)+etcos(e�t))B=1
2e�tcos(e�t)�sen(e�t).Porconsiguiente,x(t)=�etsen(e�t)esunasoluciónparticularde(3.28).12.Previorebajamientodelordendelascorrespondientesecuacionesdiferencialeslineales,resuelve(a)t2x00+t(t�4)x0+2(3�t)x=2t4et,conx1(t)=t2.(b)(t2�t)x000+(3t�t2�3)x00�tx0+x=0,conx1(t)=1
tyx2(t)=t.(c)tx00�(2t+1)x0+(t+1)x=(t2+t�1)e2t,conx1(t)=et.(d)(1+t)x00+(4t+5)x0+(4t+6)x=e�2t,conx1(t)=eatya2Rpordeterminar.Solución:(a)Tomandot0=1setienex1(1)=1,x01(1)=2.Pararesolverlaecuaciónhomogéneanecesitamosencontrarotrasoluciónx2(t)talquex1(t)yx2(t)seanlinealmenteindependientes.Elegimosparaellolossiguientesdatosinicialesparax2(t):x2(1)=0,x02(1)=1.Elwronskianodeambassolucionesenelpuntot0=1esentoncesW(x1,x2)(1)= 1021 =16=0,93
LaecuaciónlinealII95
(b)Tomandot0=2setienex1(2)=1
2,x01(2)=�1
4,x001(2)=1
4,x2(2)=2,x02(2)=1,x002(2)=0.Pararesolverlaecuaciónnecesitamosencontrarotrasoluciónx3(t)demodoquex1(t),x2(t)yx3(t)seanlinealmenteindependientes.Paraelloelegimos,porejemplo,lossiguientesdatosinicialesparax3(t):x3(2)=0,x03(2)=0yx003(2)=1.Elwronskianodelastressolucionesent0=2esentoncesW(x1,x2,x3)(2)= 1
220�1
4101
401 =16=0,porloquetenemosgarantizadoquex1(t),x2(t)yx3(t)seránlineal-menteindependientes.Paraconstruirx3(t)usamosnuevamentelafórmuladeJacobi–Liouville:8(t�1)
t3et�2=e�Rt2(3s�s2�3
s(s�1))ds=W1
t,t,x3(t)= 1
ttx3(t)�1
t21x03(t)2
t30x003(t) =2
tx003(t)+2
t2x03(t)�2
t3x3(t),dedondesededucelasiguienteecuacióndiferenciallinealdesegun-doorden(obsérvesequeesaquídondehemosconseguidorebajarelordendelaecuacióndepartidaenunaunidad)parax3(t):t2x003+tx03�x3=4(t�1)et�2,(3.30)aresolverjuntoconlascondicionesx3(2)=0yx03(2)=0.Esfácil-mentecomprobablequeft,1
tgesunabasedesolucionesdelaecua-ciónhomogénea,demodoquepodemosbuscarunasoluciónpar-ticulardelaecuacióncompletadeltipox3(t)=A(t)t+B(t)
tvíaelmétododevariacióndelasconstantes.Tenemosx03(t)=A0(t)t+A(t)+B0(t)
t�B(t)
t2.95
LaecuaciónlinealII97
dedondesededucelasiguienteecuacióndiferenciallinealdeprimerordenparax2(t):x02�x2=tet�1,quejuntoconlacondiciónx2(1)=0admiteúnicamentelasoluciónx2(t)=t2�1
2et�1.Portanto,unabasedesolucionesdelaecuaciónhomogéneaesB=net,t2�1
2et�1o.Resolvemosnalmentelaecuacióncompleta.Paraelloconstruimosenprimerlugarunamatrizfundamentaldelsistema:(t)=et1
2(t2�1)et�1et1
2(t2+2t�1)et�1,apartirdelacualpodemosconstruir(multiplicandoporlamatrizdepasoadecuada)lacorrespondientematrizfundamentalprincipalent=1: (t)=et�1
23�t2t2�13�2t�t2t2+2t�1.Aplicandoentonceslafórmuladevariacióndelasconstantescondatoinicialx0=(x10,x20)Tobtenemosx(t)=et�1
2x10(3�t2)+x20(t2�1)x10(3�2t�t2)+x20(t2+2t�1)+et+1t(et�1�t)(2t+1)et�1�t(t+2).(d)Paraquex1(t)=eatresuelvalaecuaciónhomogéneahadesera=�2.Podemosconsiderarentoncest0=0demodoquex1(0)=1yx01(0)=�2.Buscamosentoncesx2(t)talquex2(0)=0,x02(0)=1.SetieneW(x1,x2)(0)= 10�21 =16=0,97
LaecuaciónlinealII99
(a)Existeunaecuacióndeltipoy00+a(t)y0+b(t)y=0cona,b2C(R)talquey(t)=t5essolución.(Febrero1989)(b)ExisteunamatriznilpotenteA2MN(R)talqueeAestambiénnilpotente.(Febrero1989)(c)Dadas(t)y (t)matricesfundamentalesdeunmismosiste-malinealhomogéneo,secumpleque(t) (t)�1esconstante.(Septiembre1989)(d)SeaA2MN(R).SiAesantisimétrica(respectivamentesimé-trica),entonceseAesantisimétrica(respectivamentesimétrica).(Febrero1991)(e)Existeunasoluciónnotrivialdex00+sen(t)x0=0quesatisfacex(0)=x()=0.(Febrero1994)(f)fet,sen(t)gesunsistemafundamentaldesolucionesdeunaecuacióndiferencialdelaformax00+a(t)x0+b(t)x=0cona,b:R!Rcontinuas.(Junio1994)(g)Seanf1yf2dossolucioneslinealmenteindependientesdelaecuaciónx00+a1x0+a2x=0cona1,a22R.Entonceselwrons-kianoW(f1,f2)esconstantesiysólosia1=0.(h)SeaA2M3(R)conunvalorpropio talquedim(Ker[A� I])=3.Entoncessuformacanó[email protected] 000 000 1A.99
LaecuaciónlinealII101
antisimétricamientrasquee0N=INnoloes.Demostramosahoralaveracidaddelenunciadoparaelcasosimétrico.ParaellodenotamosporSn(X)alasucesióndesumasparcialesdeeX.SetieneSn(AT)=nåk=0(AT)k
k!=nåk=0(Ak)T
k!= nåk=0Ak
k!!T=[Sn(A)]T,dedondealpasarallímiten!1seobtieneeAT=(eA)T.Seconclu-yeentoncesteniendoencuentaqueeAT=eA,yaqueporhipótesisA=AT.(e)FALSA.Siasumimosy=x0,laecuaciónsepuedereescribircomounadeprimerordendelasiguienteforma:y0+sen(t)y=0,quetienesusvariablesseparadas.Enefecto,y0
y=�sen(t))y=Cecos(t))x(t)=x(0)+CZt0ecos(s)ds,C2R.Siasumimosx(0)=0entonceshadeserx()=CZ0ecos(s)ds,quesóloseanulasiC=0.(f)FALSA.Enefecto,W(et,sen(t))= etsen(t)etcos(t) =et(cos(t)�sen(t)),queseanulaparalosvalorest=
4(1+2k)conk2Z.(g)VERDADERA.Lamatrizdecoecientesdelsistema22asocia-doalaecuaciónx00+a1x0+a2x=0esA=10�a2�a1.EntonceslafórmuladeJacobi–LiouvilleestablecequeW(f1(t),f2(t))=W(f1(t0),f2(t0))e�a1(t�t0),demodoqueW(f1(t),f2(t))sólopuedeserconstantesia1=0.(h)VERDADERA.Dehecho,laúnicamatrizA2M3quecumplelacondicióndim(Ker[A� I])=3esA= I3,yaqueelsubespa-ciopropioasociadoalvalorpropio esR3,esdecir,Ax= xparacualquiervectorx2R3.101
LaecuaciónlinealII103
sededucequer1.(d)Enefecto,W(S(t),C(t))= S(t)C(t)S0(t)C0(t) =S(t)C0(t)�S0(t)C(t)=�S(t)2�C(t)2=�1envirtuddelodemostradoen(c).(e)Denimosga(t):=S(t)C(a)C(t)S(a).Tenemos(ga)0(t)=S0(t)C(a)C0(t)S(a),(ga)00(t)=S00(t)C(a)C00(t)S(a)=�S(t)C(a)C(t)S(a)=�ga(t).Luegoga(t)satisfacex00+x=0conga(0)=S(a),(ga)0(0)=C(a),ga�(a)=0,(ga�)0(a)=S0(a)C(a)�C0(a)S(a)=C(a)2+S(a)2=1.EsevidentequeS(ta)resuelvelaecuacióndiferencialx00+x=0sujetaalassiguientescondicionesiniciales:S(t+a)(t=0)=S(a)=ga+(0),S0(t+a)(t=0)=S0(a)=C(a)=(ga+)0(0),S(t�a)(t=a)=S(0)=0=ga�(a),S0(t�a)(t=a)=S0(0)=1=(ga�)0(a).ConcluimosentoncesquehadeserS(ta)=ga(t)porunicidad.(f)De(b)sededucequeC(ta)=S0(ta),queasuvezesigualaS0(t)C(a)C0(t)S(a)graciasa(e).PortantoC(ta)=S0(t)C(a)C0(t)S(a)=C(t)C(a)(�S(t)S(a))=C(t)C(a)S(t)S(a),dondesehavueltoautilizar(b).(g)Razonamosporreducciónalabsurdo.SupongamosparaelloqueC(t)6=0paratodot2(0,1).ComoC(t)escontinuayC(0)=1,sehadevericarqueC(t)�0paratodot2[0,1).EntoncesC00(t)=�C(t)0en[0,1),porloqueC(t)hadesercóncava103
LaecuaciónlinealII105
Demuestraqueuvessolucióndeunsistemalinealhomogéneoyresuelvedichosistema3.Solución:Tenemosu0(t)=Z10p
e�cos(t)d,v0(t)=�Z10p
e�sen(t)d,decuyasexpresionessededucenfácilmente(integrandoporpartesenrepetidasocasiones)lassiguientesrelaciones:u0=1
2(1+t2)(v�tu),v0=�1
2(1+t2)(u+tv).Portanto,setienequeuvresuelveelsistemalinealhomogéneox0=A(t)xconA(t)=1
2(1+t2)�t1�1�t.16.Sea'2C1(R,RN)solucióndelsistemax0=AxconA2MN(R).Demuestraquet'(t)essolucióndex0=Ax+'(t)[email protected]�1011�120�[email protected](3.31)(Julio2004)Solución:Como'essolucióndex0=Axsetieneque(t'(t))0=t'0(t)+'(t)=A(t'(t))+'(t),luegot'essolucióndex0=Ax+'.
3RecuérdesequeR10e�t2dt=p

2105
LaecuaciónlinealII107
Porotroladoesclaroque'(t)[email protected]ónhomo-géneax0=Ax,porloquet'(t)[email protected]ónparticu-lardelaecuacióncompleta(3.31).Finalmente,lasolucióngeneralde(3.31)sepuedeexpresardelasiguienteforma:x(t)[email protected]�12(et�1�t)2(1�et)+tet�1et�2t1�et+t2(et�1)2(et�1�2t)3�2(et�t)[email protected]107
CAPÍTULO4TeoríadecomparacióndeSturm1.Deciderazonadamentesiesverdaderaofalsalasiguientearma-ción:Lassolucionesdelaecuaciónx00+"t
t+1x=0,"�0,(4.1)tieneninnitosceros.(Septiembre1990)Solución:VERDADERA.Enefecto,esclaroquefq"(t)g=n"t
t+1o!"�0cuandot!1.Portanto,podemosgarantizarlaexistenciadet02R+talquejq(t)�"j"
28t�t0,luegoenparticularq(t)�"
28t�t0.Comparamos(4.1)conlaecua-ciónx00+"
2x=0(4.2)en(t0,1).PorelteoremadecomparacióndeSturm,entredoscerosdecualquiersoluciónde(4.2)debeexistiralmenosuncerodetodasoluciónde(4.1).Ahorabien,x(t)=senr
"
2t109
TeoríadecomparacióndeSturm111
(iia)Si01
4,entonces11
4�etparavaloressu-cientementegrandesdet.Portanto,podemosarmarqueexistet0�0talqueq(t)et
48t�t0�0.Comparamosentonces(superiormente)laecuación(4.3)conx00+x0+x
4=0,(4.5)cuyassolucionessondelaformax(t)=Ae�t
2+Bte�t
2,A,B2R,lascualestienenalosumouncero.LateoríadeSturmindicaentoncesquelassolucionesde(4.3)tambiéntienenalosumouncero.(iib)Si=1
4nopodemosobtenerconclusionesbasándonosenlateoríadecomparacióndeSturm.(b)Consideremoselcambiodevariablex(t)=u(p
t),elcualconducealasiguienteecuación:t2u00(p
t)+p
tu0(p
t)+t2u(p
t)=0,obient2u00(t)+tu0(t)+t2u(t)=0(4.6)sinmásqueconsiderarlatransformaciónp
t7!t.Obsérvesequeestaecuaciónyanodependede,luegoelcomportamientodelassolucionesdet2x00+tx0+t2x=0(4.7)tampoco.Laecuación(4.6),equivalentea(4.7),esunaecuacióndeBesseldeíndicecero(verCapítulo6).Paraanalizarlaplanteamoselcambiodevariableu(t)=y(t)
p
t,(4.8)111
CAPÍTULO5Laecuaciónperiódica1.Seconsideralaecuaciónescalarx0=a(t)xcona2C(R)yT–periódica.Sepide:(a)ProbarqueadmitesolucionesT–periódicasnotrivialessiysólosiRT0a(t)dt=0.(b)SidichaecuacióntienesolucionesnT–periódicasconn2N,entoncesestassolucionessonT–periódicas.(c)Si'2C(R)admitedosperiodos0T1T2yT2=2T1Q,entonces'esconstante.(d)Deducirdelosapartadosanterioresquelaecuaciónnoadmiteotrassolucionesperiódicas(notriviales)quelasT–periódicasamenosquea0.Solución:(a)Deizquierdaaderecha:Lasolucióngeneraldelaecuaciónx0=a(t)xesx(t)=KeRt0a(s)ds,K2R.Porhipótesisx(t)=x(t+T)paratodot2R,luegoZt0a(s)ds=Zt+T0a(s)ds=Zt0a(s)ds+Zt+Tta(s)ds.EstoimplicaqueRt+Tta(s)ds=0.Enparticular,parat=0secon-cluyequeRT0a(t)dt=0.113
Laecuaciónperiódica115
Teorema1.TodosubgrupoGdeRobienesdensoenRobienesdelaformaG= Zcon 2R.EnnuestrocasoconsideramosG=fT2R:'(t+T)='(t)8t2Rg,esdecir,elconjuntodelosperiodosde'2C(R).EnprimerlugarobservamosqueGesunsubgrupoaditivo,yaquesiT1,T22Gen-tonces'(t+T1)='(t)y'(t+T2)='(t)paratodot2Ry,portanto,'(t+(T1+T2))='((t+T1)+T2)='(t+T1)='(t)8t2R.Luego
G=RobienG= Zcon 2R.SifueseG= ZyT1,T22G,habríandeexistirp,q2ZtalesqueT1= pyT2= q,locualnosconduciríaalasiguientecontradicción:T1
T2=p
q2Q.Porconsiguientehadeser
G=R,dedondesededuceque'esnecesa-riamenteconstante.Enefecto,seanx02Rjo,x2RyfTngGtalesquefTng!x�x02Rcuandon!1.Entonces'(x)='(x0+(x�x0))='�x0+l´mn!1fTng=l´mn!1f'(x0+Tn)g=l´mn!1f'(x0)g='(x0)8x2R.(d)Razonamosporreducciónalabsurdo.Supongamosquelaecua-ciónx0=a(t)xadmiteunasolución,x(t),˜T–periódicacon˜T6=Ty˜T6=TQ,yaqueencasocontrariox(t)tambiénseríaT–periódicasegúnloprobadoen(b).Entoncesa(t)esT–periódica(porhipóte-sis)y,comoveremosacontinuación,también˜T–periódica.Enefecto,observamosenprimerlugarquesiunafunciónfesT–periódicasuderivadatambiénloes,yaquef0(u+T)=l´mx!u+Tf(x)�f(u+T)
x�u�T=l´mv!uf(v+T)�f(u+T)
v�u=l´mv!uf(v)�f(u)
v�u=f0(u)8u2R.Ahorabien,six(t)esunasolución˜T–periódicanotrivialsetienequea(t)x(t)=x0(t)=x0(t+˜T)=a(t+˜T)x(t+˜T)=a(t+˜T)x(t),115
Laecuaciónperiódica117
(d)1=0y2=1.Solución:Sea(t)unamatrizfundamentalprincipalencero.Enton-cesC=(T)esunamatrizdemonodromía.UsandolafórmuladeJacobi–Liouvilleparalamatriz(t)evaluadaent=Tobtenemosdet(C)=det((T))=det((0))expZT0traza(A(s))ds=expZT0traza(A(s))ds.(5.2)Comotodaslasmatricesdemonodromíasonsemejantesentresíto-dastienenelmismodeterminante,luegolaidentidad(5.2)esválidaparacualquiermatrizdemonodromía.Loscasos(a)y(d)nopuedendarse,yaqueparacualquiermatrizdemonodromíaChadevericarsedet(C)=12,quenopuedeserninegativoninuloenvirtuddelaexpresión(5.2).Loscasos(b)y(c),porelcontrario,sípuedenocurrir.Porejemplo,xy0=01�10xyilustraelcasoexpresadoen(b)yxy0=01�1
160xyelexpresadoen(c).4.DadoelsistemaT–periódicox0=A(t)x,denotemosporZTalcon-juntodetodassussolucionesT–periódicas.DemuestraqueZTesunsubespaciovectorialdelconjuntodesolucionesdelsistematalquedim(ZT)=dim(Ker[C�I]),dondeCesunamatrizdemonodro-mía.117
Laecuaciónperiódica119
Estamatriznoesprincipalencero,perounamanipulaciónalgebrai-casencillaenelcoecientesen(pt)(y,portanto,ensuderivada)nosconducea (t)= cos(pt)1
psen(pt)�psen(pt)cos(pt)!,quesíesprincipalencero.1Porconsiguiente,paraconstruirunama-trizdemonodromíabastaconevaluarC= (2)= cos(2p)1
psen(2p)�psen(2p)cos(2p)!.ParacalcularlosmultiplicadorescaracterísticosbastaconobservarqueelpolinomiocaracterísticodelamatrizC,p(C)=det(C�I2)=2�2cos(2p)+1,seanulasiysolamentesi=cos(2p)isen(2p).6.Sea˜CunamatrizsemejanteaunamatrizdemonodromíaCdelsis-temaT–periódicox0=A(t)x.¿Es˜Cunamatrizdemonodromíadedichosistema?Solución:SI.Como˜CyCsonsemejanteshadeexistirunamatrizregularPtalque˜C=PCP�1.Sea(t)unamatrizfundamentaldex0=A(t)x.Entonces(t+T)tambiénloesy,comoCesunamatrizdemonodromía,setieneque(t+T)=(t)C.Portanto,(t+T)=(t)P�1˜CP,(t+T)P�1=(t)P�1˜C.Finalmente,como (t)=(t)P�1tambiénesunamatrizfunda-mental(cf.Proposición2)ysesatisface (t+T)= (t)C,podemosconcluirque˜Ctambiénesunamatrizdemonodromía.
1Nótesequefsen(pt),1
pcos(pt)gtieneelmismoderechoaserunabasedesolucionesquefsen(pt),cos(pt)g119
Laecuaciónperiódica121
esunamatrizdemonodromía.Luegolosmultiplicadorescaracterís-ticossatisfacenlaecuaciónp(T)=(f1(T)�)(f02(T)�)�f01(T)f2(T)=2�(f1(T)+f02(T))+f1(T)f02(T)�f01(T)f2(T)=2�D(a,b)+1=0,dondehemosusadoquef1(T)f02(T)�f01(T)f2(T)=det(C)=eRT0traza(A(s))ds=1envirtuddelEjercicio3.(b)Resolvemoslaecuacióncaracterísticaencontradaenelapartadoanterior:2�D(a,b)+1=0.Setieneque=D(a,b)p
D(a,b)2�4
2con0D(a,b)24,esdecir,=D(a,b)
2ip
4�D(a,b)2
2,(5.5)dedondesecompruebafácilmentequejj=1.Comolosdosmulti-plicadorescaracterísticossoncomplejos(conjugados)setienequeelsistemaesacotado,luegox(t)yx0(t)sonfuncionesacotadas.(c)Enamboscasossededucefácilmenteapartirde(5.5)quealme-nosunodelosmultiplicadorescaracterísticosesobien�1obien�1,luegoencualquiercasohadetenermódulo&#x]TJ/;ཱ ;.4;W T; 13;&#x.896;&#x 0 T; [00;1.Denotemospor0dichomultiplicadorcaracterístico.Entoncesexisteunasolu-ciónnotrivialde(5.4),alacualdenotaremospor'(t),quesatisface'(t+T)=0'(t)paratodot2R.Sisuponemosciertalapropiedad'(t+(n�1)T)=n�10'(t),unsimpleargumentoinductivonospermiteconcluirque'(t+nT)='(t+(n�1)T+T)=0'(t+(n�1)T)=n0'(t).Portantofk'(t+nT)kg=fkn0'(t)kg=fj0jnk'(t)kg!1cuandon!1,luego'(t)noesacotada.121
Laecuaciónperiódica123
tienesignoconstante,esdecir,nocambialaconcavidaddeu(t).Perolaúnicaposibilidaddequeu(t)seacontinua,T–periódicaytalquesucurvaturatengasignoconstanteesqueu(t)C2R.Sinembargolaúnicasoluciónconstantedelaecuaciónx00+p(t)x=0esx0,locualnosconduceaunacontradicción(cf.Ejercicio14).Lamismacondiciónsobrelafunciónp(t)essucienteparaconcluirquelaecuaciónx00+cx0+p(t)x=0,c�0,(5.6)noadmitesolucionesT–periódicasnotriviales.Enefecto:
Siu(t)fueseunasoluciónT–periódica(notrivial)de(5.6)lamismadiscusiónqueenlasituaciónanteriorespertinente.Po-demoscomparar(5.6)conlaecuaciónx00+cx0=0paracon-cluirqueu(t)nosepuedeanular,yaqueencasocontrarioen-tredoscerosconsecutivosdeu(t)tendríaqueexistiralmenosuncerodecualquiersolucióndex00+cx0=0.Perotodaslassolucionesdex00+cx0=0sondelaformax(t)=A+Be�ct,A,B2R,lascualesalomásseanulanunavez.
Siporelcontrariou(t)noseanularahabríadeconservarelsig-no(bienseapositivoonegativo).Entonces(u0+cu)0=�p(t)utendríatambiénsignoconstante(porquep(t)lotiene),locualsetraduceenqueu0+cuseríaestrictamentemonótona.Perosabemosqueu0+cuesT–periódica(cf.Ejercicio1(d),dondesepruebaqueladerivadadeunafunciónT–periódicaestam-biénT–periódica),locualgeneraunacontradicción.9.Seconsideralaecuaciónx0=A(t)x,dondeA:R!MN(R)escontinuayT–periódica.Sea(t)unamatrizfundamentalprincipalenceroyClacorrespondientematrizdemonodromía.Demuestralassiguientesarmaciones:123
Laecuaciónperiódica125
10.Resuelvelassiguientescuestiones:(a)DemuestraquesilamatrizAtieneunvalorpropiodelafor-ma2ki
T,conk2Z,entoncesx0=AxtieneunasoluciónT–periódica.(b)Demuestraquelaecuaciónx00=f(t),confcontinuayT–periódica,tienesolucionesT–periódicassiysólosiRT0f(t)dt=0.(c)Discutelaexistenciadesoluciones2–periódicasdelaecua-cióny00+2y=p(t),donde2Rypescontinuay2–periódica.(d)Sealaecuacióndiferencialx0=A(t)x,conA(t)continuayT–periódica.Demuestraquesiunmultiplicadorcaracterísticoesraízn–ésimadelaunidad,entoncesexisteunasoluciónperió-dicadeperiodonT.(e)Hallaunacondiciónnecesariaysucienteparaquelaecuaciónx0+(sen(t))x=f(t),confcontinuay2–periódica,tengaso-lución2–periódica.(Septiembre1987)(f)DemuestraquesiRT0traza(A(s))ds�0entonceselsistemaT–periódicox0=A(t)xesnoacotado.(g)Decidedeformarazonadasicadaunadelassiguientesecua-cionestienesolución–periódica:x00+4x=sen(4t),x00+4x=sen(2t),x00+4x=sen(t).(Junio2004)(h)Pruebaqueelsistemalinealx0=a(t)0b(t)a(t)x,cona,b2C(R)yT–periódicas,admitesolucionesT–periódicasnotrivialessiysolamentesiRT0a(t)dt=0.(Junio2004)125
Laecuaciónperiódica127
Sabemosque[(t)�1]T=10�t0esunamatrizfundamentalde(5.7)yquesussolucionesT–periódicassonaquellasquerespondenalasiguienteforma:y(t)=[(t)�1]Ty0,y02Ker[I�(T)T]=Ker00�T0=0u:u2R.Porconsiguiente,laecuaciónx00=f(t)admitesolucionesT–periódicasnotrivialessiysolamentesiuZT0f(t)dt=08u2R,esdecir,siysolamentesiZT0f(t)dt=0.(c)Lamatrizfundamentalprincipalent=0delsistemahomogéneoasociadoes(t)=cos(t)1
sen(t)�sen(t)cos(t)yunamatrizdemonodromíaesC=(2)=cos(2)1
sen(2)�sen(2)cos(2).Laecuacióncaracterísticaasociadaaestaúltimamatrizes2�2cos(2)+1=0,dedondeconcluimosque=1esunmultiplicadorcaracterísticosiysólosicos(2)=1,esdecir,siysólosi2Z.Portanto:(i)Si=2Zentonces=1noesunmultiplicadorcaracterísti-coypodemosarmar,envirtuddelteoremadelaalternativadeFredhölm,queexisteunaúnicasolución2–periódicadelaecuacióny00+2y=p(t).127
Laecuaciónperiódica129
(d)Sea(t)lamatrizfundamentalprincipalent=0,demodoqueC=(T)esunamatrizdemonodromía.Seatambiénunmul-tiplicadorcaracterísticotalquen=1.Entonceshadeexistirunasoluciónnotrivialx:R!RNdex0=A(t)xtalquex(t+T)=x(t),x(t+2T)=x(t+T)=2x(t),..................x(t+nT)==nx(t)=x(t).Portanto,x(t)esunasoluciónnT–periódica.(e)Setratadeunaecuaciónlinealnohomogénea,cuyasoluciónge-neralesx(t)=Zt0f(s)e�cos(s)dsecos(t).Entoncesx(t)=x(t+2)siysolamentesiZt0f(s)e�cos(s)dsecos(t)=Zt+20f(s)e�cos(s)dsecos(t+2),luegounacondiciónsucienteynecesariaparaquex(t)sea2–periódicaesZ20f(t)e�cos(t)dt=0,yaquefes2–periódicaporhipótesis.(f)Sea(t)unamatrizfundamentalprincipalencero,conlocualC=(T)esunamatrizdemonodromía.AplicandolafórmuladeJacobi–Liouvilleobtenemos(cf.Ejercicio3)det(C)=eRT0traza(A(s))ds�1,yaqueporhipótesistraza(A(s))�0.Estoquieredecirquenecesa-riamentealgunodelosmultiplicadorescaracterísticoshadeserma-yorque1.Porconsiguiente,lapropiedaddemostradaenelEjercicio9(b)nospermiteconcluirqueexisteunasoluciónnoacotada,luegoelsistemaesnoacotado.(g)Laecuaciónhomogéneaeslamismaenlostrescasos,x00+4x=0,cuyasolucióngeneralvienedadaporx(t)=Acos(2t)+Bsen(2t),A,B2R.129
Laecuaciónperiódica131
Laecuaciónx00+4x=sen(t)noadmitesoluciones–periódicaspueselsegundomiembronoes–periódico.(h)Elsistemaestriangular,luegopuederesolverseexplícitamente.Enefecto,x1(t)=AeRt0a(s)ds,x2(t)=AZt0b(s)ds+BeRt0a(s)dsconA,B2Renvirtudalmétododeloscoecientesindetermina-dos.ConsiderandosucesivamenteA=0,B=1yA=1,B=0obtenemosunamatrizfundamental(dehecho,principalent=0):(t)= eRt0a(s)ds0�Rt0b(s)dseRt0a(s)dseRt0a(s)ds!.Lassolucionesdelsistemasonentoncesdelaformax(t)=x1(t)x2(t)=1 eRt0a(s)ds�Rt0b(s)dseRt0a(s)ds!+20eRt0a(s)dscon1,22R.
SiRT0a(s)ds=0entoncesx(t)=0eRt0a(s)dsesunasolución(1=0,2=1)T–periódica,yaqueclaramentex(0)=x(T).
Parademostrarlaimplicacióncontraria,admitamosqueZT0a(s)ds6=0.EntoncescualquiersoluciónT–periódicasatisface1=1eRT0a(s)ds,2=1ZT0b(s)dseRT0a(s)ds+2eRT0a(s)ds,dedondesedesprendequesólopuedeser1=2=0,esdecir,lasolucióntrivial,locualescontradictorio.131
Laecuaciónperiódica133
cuyassolucionessonfácilmentecalculables:y(t)=Aet
20+B0e�t,A,B2R.Deshaciendoelcambiodevariablesobtenemosquelassolucionesdelsistemadepartidasondelaformay(t)=Aet
2cos(t)�sen(t)+Be�tsen(t)cos(t),A,B2R.Enparticular,volvemosaobtenerlasoluciónquenosindicaelenun-ciadodelproblemasinmásqueconsiderarA=�1yB=0.Pode-mosconstruirnalmentelamatrizfundamentalprincipalent=0, (t)= et
2cos(t)e�tsen(t)�et
2sen(t)e�tcos(t)!,delacualobtenemoslasiguientematrizdemonodromía:C= ()=�e
200�e�.Porconsiguiente,losmultiplicadorescaracterísticosson�e
2y�e�ylosexponentescaracterísticos1
2y�1.Esobvioqueelsistemanotienesoluciones–periódicasnotrivialespues=1noesunmul-tiplicadorcaracterístico.12.Seaf:R2!Runafuncióncontinua.Demostraremosquesilaecua-cióndiferencialx00=f(x,x0)notienesolucionesconstantes,enton-cestampocotienesolucionesperiódicas.Paraellosesugiereseguirlossiguientespasos:(a)Silaecuaciónnotienesolucionesconstantesc2R,pruebaquef(c,0)6=0.(b)SiexisteunasoluciónT–periódicax(t)delaecuación,pruebaqueexistent1,t2talesquex0(t1)=x0(t2)=0,x00(t1)0x00(t2).133
Laecuaciónperiódica135
(Febrero1990)Solución:(a)Comoelsistemax1x20=�1+cos(t)0cos(t)�1x1x2estriangular(inferior),lasecuacionesquelocomponenestándesa-copladasypodemosoptarporresolverloparaefectuarelcálculodeunamatrizfundamental.Laprimeraecuacióndelsistema,x01(t)=(�1+cos(t))x1(t),tieneporsolucióngeneralx1(t)=Aesen(t)�t,A2R.Lasegundaecuaciónsepuedeescribircomox02(t)=cos(t)x1(t)�x2(t)=Acos(t)esen(t)�t�x2(t),cuyasolucióngeneralesx2(t)=Aesen(t)�t+Be�t,B2R.Paraextraerdelasolucióngeneralx1x2=Aesen(t)�tAesen(t)�t+Be�tdossolucioneslinealmenteindependientes,podemosconsiderarlosdatosiniciales(1,0)Ty(0,1)Tent=0,dedondeobtenemos(esen(t)�t,esen(t)�t�e�t)T,(0,e�t)T.Portanto,unamatrizfundamentales(t)= esen(t)�t0esen(t)�1e�te�t!lacualesademásprincipalent=0(porlaformaenquelahemosconstruido).135
Laecuaciónperiódica137
aaplicarse,ahoraparaelcaso4–periódico,paraconcluirquelaecuacióncompletatieneunaúnicasolución4–periódica.Elrazo-namientoconcluyealobservarqueestasoluciónhadesertambién2–periódica,yaqueencasocontrarioexistiríandossoluciones4–periódicasdistintas.14.Seaa2C(R),2–periódica,nonegativaynoidénticamentenula.Seconsideralaecuaciónx00+a(t)x=0,(5.10)con2R.(a)Demuestraquesi0entoncesnoexistensoluciones2–periódicasdistintasdelatrivial.(b)¿Quésepuededecirsi=0?(c)Daunejemploqueilustrequelaconclusióndelprimeraparta-donoesciertasi&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 16;&#x.006;&#x 0 T; [00;0.Solución:(a)Demostraremosenprimerlugarquesi0enton-cestodasoluciónnotrivialde(5.10)tienealosumouncero.Paraellocomparamosconlaecuaciónx00=0.AplicandoelteoremadecomparacióndeSturmconcluimosqueentredoscerosconsecutivosdeunasoluciónnotrivialde(5.10)existe,almenos,uncerodelassolucionesdelaecuaciónx00=0,quesonlasrectasx(t)=At+B.Perolasrectasnohandetenercerosnecesariamente(considérese,porejemplo,A=0yB6=0).Porconsiguiente,todasoluciónnotrivialde(5.10)tiene,alomás,uncero.Concluimoselrazonamientoporreducciónalabsurdo.Enefecto,supongamosquex(t)esunaso-lución2–periódicanotrivialde(5.10).Deanularseunavezloharíainnitasveces(porperiodicidad),luegox(t)nopuedeanularseni,portanto,cambiardesigno.Luegodex(t)=�x00(t)
a(t)(5.11)137
Laecuaciónperiódica139
esunamatrizdemonodromía.Porconsiguiente,elúnicomultiplica-dorcaracterísticoes=1y,envirtuddelteoremadelaalternativadeFredhölm,laecuaciónx00+x=cos(t)admitesoluciones2–periódicassiysolamentesiZ20y(t)T0cos(t)dt=0paratoday(t)=(y1(t),y2(t))Tsolución2–periódicade(5.12)o,equivalentemente,dey00+y=0.Sabemosque(t)esunamatrizfundamentalde(5.12)yquetodassussoluciones,quesondelafor-may(t)=(t)y0=cos(t)sen(t)�sen(t)cos(t)y10y20=y10cos(t)+y20sen(t)y20cos(t)�y10sen(t)paracualesquieray10,y202R,son2–periódicas.PorconsiguienteZ20y(t)T0cos(t)dt=y20Z20cos(t)2dt�y10Z20sen(t)cos(t)dt=y20,quesóloseanulasiy20=0.Portanto,laecuaciónx00+x=cos(t)notienesoluciones2–periódicas.16.Decide,encadacaso,siexisteunafunciónquesatisfaga(a)y00+1
2sen(t)y=0,y(0)=y()=0,ynoidénticamentenula.(b)y00+sen(t)y=0,y()=0,y0()=1.(c)y00+y0+1
2y=0,y(0)=1,y(=2)=0.(d)y00�2y=0,y(0)=1,y(=2)=0.(e)y00+1
2y=sen(t),y2–periódica.139
Laecuaciónperiódica141
luegoelproblemaadmitecomoúnicasolucióny(t)=1
1�ep
2ep
2t�ep
2(�t).(e)Resolvemoselsistema2–periódicoasociadoalaecuaciónho-mogénea:y1y20=01�1
20y1y2.Lamatriz(t)= cos(p
2
2t)p
2sen(p
2
2t)�p
2
2sen(p
2
2t)cos(p
2
2t)!esfundamentalyprincipalent=0,luegoC=(2)= cos(p
2)p
2sen(p
2)�p
2
2sen(p
2)cos(p
2)!esunamatrizdemonodromía.Portanto,calculandosusvalorespropiosobtenemoslosmultiplicadorescaracterísticosdelsistema:cos(p
2)isen(p
2).Como1noesunodelosmultilpicadorescaracterísticos,podemosconcluirquelaecuaciónhomogéneanoad-mitesoluciones2–periódicas.Porconsiguiente,laecuacióncom-pletatieneunaúnicasolución2–periódica.(f)Lamatriz(t)=cos(t)sen(t)�sen(t)cos(t)esfundamentalyprincipalent=0paraelsistemahomogéneo2–periódicoy1y20=01�10y1y2asociadoanuestroproblema.PorconsiguienteC=(2)=Iesunamatrizdemonodromía,delocualsedesprendequeelúnicomultiplicadorcaracterísticodelsistemaes=1.Aplicandoenton-ceselteoremadelaalternativadeFredhölmconcluimosquelaecua-cióny00+y=sen(t)admitesoluciones2–periódicassiysolamentesiZ20(y1(t),y2(t))0sen(t)dt=0141
Laecuaciónperiódica143
Unaformaconvenientederesolverestesistemaconsisteenefectuarelcambiodevariablesy1=x1,y2=x1�x2,y3=x1�x3,elcualconducealsiguientesistemaequivalente:8:y01=y1�y2�1
2x3y02=2y1�y2�y3y03=0.Portantoy3=k2Ry,efectuandoahoraloscambiosdevariablez1=2y1�y2,z2=y2,llegamosaz01=�z2z02=z1�ko,equivalentemente,z1z20=0�110z1z2+0k.(5.14)Lamatrizfundamentalprincipalent=0paralapartehomogéneadelsistema(5.14)es(t)=cos(t)�sen(t)sen(t)cos(t).Empleandoentonceslafórmuladevariacióndelasconstantespararesolver(5.14)condatoinicialz(0)=z0=(z01,z02)Tobtenemosz(t)=(t)z0+(t)Zt0(s)�10�kds=cos(t)�sen(t)sen(t)cos(t)z01z02�kcos(t)�1sen(t)=(z01�k)cos(t)�z02sen(t)+k(z01�k)sen(t)+z02cos(t).Deshaciendonalmenteloscambiosdevariableconcluimosquex1(t)=x02�k
2sen(t)+x01�k
2cos(t)+k
2,x2(t)=x02�k
2cos(t)�x01�k
2sen(t)+k
2,x3(t)=x02�k
2sen(t)+x01�k
2cos(t)�k
2.143
Laecuaciónperiódica145
Portanto,lamatrizfundamentalprincipalent=0asociadaalsiste-ma(5.13)es (t)[email protected]�1
2sen(t)+1
2cos(t)+1
2sen(t)�1
2sen(t)+1
2cos(t)�1
2�1
2sen(t)�1
2cos(t)+1
2cos(t)�1
2sen(t)+1
2cos(t)�1
2�1
2sen(t)+1
2cos(t)�1
2sen(t)1
2sen(t)+1
2cos(t)+1
21A,demodoqueC= (2)=I3esunamatrizdemonodromía.Claramente,elúnicomultiplicadorcaracterísticoes=1,porloqueexistensoluciones2–periódicasdelaecuaciónhomogénea.UsandoelteoremadelaalternativadeFredhölmpodremosconcluirlaexistenciadesoluciones2–periódicasdelaecuacióncompletasiysolamentesiZ20y(t)[email protected]�sen(t)�sen(t)sen(t)1Adt=0(5.15)paratoday(t)solución2–periódicadelaecuació[email protected]
21
21
2�10�1�1
21
2�1
21Ay.(5.16)Unamatrizfundamentaldelaecuación(5.16)es[ (t)�1](dondedenotatrasposiciónyconjugaciónenelcasodecoecientescomple-jos),quevienedadapor1
[email protected](t)+cos(t)+1sen(t)�cos(t)+1sen(t)+cos(t)�1�2sen(t)2cos(t)�2sen(t)�sen(t)+cos(t)�1sen(t)+cos(t)�1�sen(t)+cos(t)+11A.Porotrolado,lassoluciones2–periódicasde(5.16)sondelaforma[ (t)�1]y0,cony0=(y1,y2,y3)T2Ker(I3� ?(2))=R3.Porconsiguiente,laintegralde(5.15)setraduceen�y1Z20sen(t)dt�y2Z20sen(t)dt+y3Z20sen(t)dt,queclaramentevaleceroparacualesquieray1,y2,y32R.Podemosconcluirentoncesqueexistensoluciones2–periódicasdenuestroproblema.145
Laecuaciónperiódica147
(b)y00�!2y=0.(c)y00+2cy0+!2y=0.(d)y00�2cy0+!2y=0.Solución:(a)Reescritaenformadesistema,laecuacióndesegundoordeny00+!2y=0adoptalaformay1y20=01�!20y1y2.Losvalorespropiosdelamatriz(decoecientesdelsistema)Ason=!i,luego=m´axfRe():2(A)g=0.Esteeselcasoenquehayquecalcularelíndicedecadaunodelosvalorespropios:(i!)=m´nnk2N:Ker[Ai!I]k=Ker[Ai!I]k+1o=1,delocualsededucequeessistemaesacotadoperonoconvergente.(b)EnestecasolamatrizdecoecientesdelsistemaequivalenteesA=01!20,cuyosvalorespropiosson=!.Portanto=!�0,dedondeseconcluyequeelsistemaesnoacotado.(c)Setratadelaecuacióndelosciladorarmónicoamortiguado.Lamatrizdecoecientesdelsistemaequivalentedependeahorade!�0yc�0:A=01�!2�2c.LosvalorespropiosdeAson=�cp
c2�!2.Portanto
Sic!setiene=�c0.Enconsecuenciaelsistemaesconvergente,luegatodaslassolucionestiendenasintóticamen-tehaciacero.147
Laecuaciónperiódica149
ylosmultiplicadorescaracterísticossonlasraícesdelpolinomio2�2cos2p
!
+1=0,estoes,=cos2p
!
isen2p
!
.AplicamosnalmenteelteoremadelaalternativadeFredholmparaestablecerloscasosenqueexistensoluciones2
–periódicasdelaecuacióndelosciladorarmónicoforzado.Claramente=1esunmultiplicadorcaracterísticosiysolamentesip
!
=k2Znf0g.Portanto,si 6=p
!
kconk2Znf0g,entoncesexisteunaúnicasolución2
–periódicadelaecuaciónx00+!2x=F0sen( t)(!�0).Siporelcontrario =p
!
kparaalgúnk2Znf0g,entoncespodremosgarantizarlaexistenciadesoluciones2
–periódicasdelaecuaciónanteriorsiysolamentesisesatisfacelacondiciónZ2
0y(t)T0F0sen( t)dt=0(5.17)paratodasolución2
–periódicay(t)delaecuaciónadjuntay0=0!2�10y.(5.18)Paravericarbajoquécondicionessecumple(5.17)calculamosenprimerlugarlassoluciones2
–periódicasdelaecuación(5.18),quesondelaforma[(t)�1]Ty0,y02KerI2�T2
.Teniendoencuentaque[(t)�1]T= cos(p
!t)p
!sen(p
!t)�1
p
!sen(p
!t)cos(p
!t)!,I2�?2
[email protected]�cos(2p
!
)p
!sen(2p
!
)�1
p
!sen(2p
!
)1�cos(2p
!
)1A,149
Laecuaciónperiódica151
datosinicialesx(0)=x0(0)=0obtenemosx(t)y(t)=(t)Zt0(s)�10F0sen( s)ds=(t) �F0
p
!Rt0sen( s)sen(p
!s)dsF0Rt0sen( s)cos(p
!s)ds!=(t) F0
!� 2[sen( t)cos(p
!t)�
p
!cos( t)sen(p
!t)]F0
!� 2[p
!sen( t)sen(p
!t)+ cos( t)cos(p
!t)� ]!= F0
!� 2[sen( t)�
p
!sen(p
!t)]F0
!� 2[cos( t)�cos(p
!t)]!.Porconsiguiente,x(t)=F0
!� 2sen( t)�
p
!sen(p
!t).151
CAPÍTULO6Ecuacionesdiferencialesconcoecientesanalíticos1.Seconsideraelproblemadevaloresiniciales8:x00�t2x0�2tx=0x(0)=1x0(0)=0.Deciderazonadamentesisonverdaderasofalsaslassiguientesar-maciones:(a)Elproblemadevaloresinicialesposeeunaúnicasoluciónana-líticaent=0.(b)Elproblemadevaloresinicialesnotienesolucionesanalíticas.(c)Laúnicasoluciónanalíticadelproblemadevaloresinicialesvienedadaporx(t)=1ån=0t3n
3nn!.Solución:Todosloscoecientesdelaecuaciónsonanalíticosent=0,luegot=0esunpuntoregular.Portanto,elproblemadevaloresinicialesplanteadoadmiteunaúnicasoluciónx(t)=1ån=0cntn(6.1)analíticaent=0yelenunciado(a)esverdadero,porloque(b)hadeserfalso.Veamosque(c)esverdadero.Paraellosustituimos153
Ecuacionesdiferencialesconcoecientesanalíticos155
Demuestraqueelpuntot=�1essingular–regularyquelaecua-ciónposeeunsistemafundamentaldesolucionesconunelementoanalíticoyotrodesarrollableenseriedeFrobenius.Solución:Loscoecientesdelaecuacióna0(t)=4(1+t)2,a1(t)=�3(1�t2),a2(t)4,sonanalíticos.Ademása0(�1)=0,porloquet=�1esunpun-tosingular.Comprobemosqueessingular–regular.Setienequelafunción(1+t)a1(t)
a0(t)=�3(1+t)(1�t2)
4(1+t)2=�3(1�t)
4esanalíticaent=�1porsercocientedefuncionesanalíticas.Tam-bién(1+t)2a2(t)
a0(t)1esanalíticaent=�1,porloquet=�1esunpuntosingular–regular.ReescribiendolaecuaciónenlaformadeFuchsobtenemos(1+t)2x00+p�1(t)(1+t)x0+q�1(t)x=0,conp�1(t)=�3
4(1�t),q�1(t)1.Haciendoahoraelcambiodevariable=1+tpodemosdesplazarlasingularidadalorigenyaplicar,portanto,elteoremadeFuchs.Obtenemosentonceslaecuación2x00(�1)+p�1()x0(�1)+q�1()x(�1)=0,conp�1()=�3
4(2�),q�1()1.Deestemodolaecuaciónindicialasociadaat=�1ess(s�1)+p�1(=0)s+q�1(=0)=s(s�1)�3s
2+1=s2�5s
2+1=0,155
Ecuacionesdiferencialesconcoecientesanalíticos157
4.Estudialospuntossingulares–regularesylasraícesdelaecuaciónindicialasociadaalaecuacióndiferencialhipergeométrica:t(1�t)x00+[ �(1+ + )t]x0� x=0, , , 2R.Solución:Loscoecientesdelaecuaciónsonanalíticos:a0(t)=t(1�t),a1(t)= �(1+ + )t,a2(t)=� .Ademása0(0)=a0(1)=0,porloquet=0yt=1sonpuntossin-gulares.Veamossisononosingulares–regulares.Setieneenprimerlugarquelafunciónta1(t)
a0(t)= �(1+ + )t
1�tesanalíticaent=0porsercocientedefuncionesanalíticas.Porlamismarazónt2a2(t)
a0(t)=� t
1�tesanalíticaent=0,porloquet=0esunpuntosingular–regular.Siefectuamosunestudioanálogoparaelpuntot=1obtenemosquelasfunciones(t�1)a1(t)
a0(t)=(1+ + )t�
t,(t�1)2a2(t)
a0(t)= t�1
t,sonanalíticasent=1,luegoelpuntot=1tambiénessingular–regular.Estudiamosacontinuaciónlaecuaciónindicialasociadaat=0.Paraello,reescribiendolaecuaciónhipergeométricaenlaformadeFuchsobtenemost2x00+p0(t)tx0+q0(t)x=0,conp0(t)= �(1+ + )t
1�t,q0(t)=� t
1�t.Deestemodo,laecuaciónindicialasociadaat=0ess(s�1)+p0(0)s+q0(0)=s(s�1)+ s=s2+( �1)s=0,157
Ecuacionesdiferencialesconcoecientesanalíticos159
luegot=0esunpuntosingular–regular.Podemosentoncesreescri-birlaecuaciónenlaformadeFuchs:t2x00+p(t)tx0+q(t)x=0,dondep(t)1yq(t)=�t2sonfuncionesanalíticasent=0.Laecuaciónindicialeslasiguiente:s(s�1)+p(0)s+q(0)=s(s�1)+s=s2=0,delacuals=0esunaraízdoble.Portanto,unabasedesolucioneses'1(t)=jtj01Ã¥n=0cntn=1Ã¥n=0cntnconc0=1,'2(t)='1(t)log(jtj)+jtj01Ã¥n=0c0ntn=1Ã¥n=0cntnlog(jtj)+1Ã¥n=0c0ntnconc00=0,ylaúnicasoluciónquepasapor(0,1)hadesernecesariamenteunmúltiplode'1(t).Buscamosnalmenteloscoecientescn.Paraelloescribimosx(t)=1Ã¥n=0cntn,x0(t)=1Ã¥n=1ncntn�1,x00(t)=1Ã¥n=2n(n�1)cntn�2,porloquet2x00=1Ã¥n=2n(n�1)cntn,tx0=1Ã¥n=1ncntn,t2x=1Ã¥n=2cn�2tn.Entoncessetieneque1Ã¥n=2n(n�1)cntn+1Ã¥n=1ncntn�1Ã¥n=2cn�2tn=0.Identicandotérminosdelmismoordenentobtenemosc1=0;n2cn�cn�2=0,n2.Portanto,sepuedeconcluirquec2n+1=0paratodon0;esdecir,quetodosloscoecientesdeordenimparhandesernulos.Paralos159
Ecuacionesdiferencialesconcoecientesanalíticos161
Insertandolasexpresionesanterioresparax0(t)yx00(t)(entérminosdefysusderivadas)enlaecuacióndiferencialsetienequex(t)=p
tf( t )essoluciónsiysolamentesi 2 2t2 +1
2f00( t )+ 2t +1
2f0( t )+ 2 2t2 � 2p2p
tf( t )=0o,equivalentemente, 2t2 f00( t )+ t f0( t )+ 2t2 �p2p
tf( t )=0.(6.5)Denotando= t ,laecuación(6.5)puedeserreescritacomo2f00()+f0()+(2�p2)f()=0,queessatisfechasiysólosifesunasolucióndelaecuacióndeBesseldeordenp.(b)Laecuaciónresultantedeelegir =1, =2yp=1
2est2x00+4t4�3
4x=0.(6.6)Porlodemostradoen(a),x(t)=p
tf(t2)resuelve(6.6)dondefesunasolucióndelaecuacióndeBesseldeorden1
2.Enparticularpo-demoselegirf(t2)=sen(t2)
t,dedondeseconcluyequex(t)=sen(t2)
p
tesunasoluciónquesatisfacex(p
)=0.(c)Paravalorespositivosdet,laecuación(6.6)puedereescribirsedelasiguienteforma:x00+16t4�3
4t2x=0.Essencillocomprobarque16t4�3
4t218t224s
1+p
13
8,11A=I.PodemosentoncescompararenIconlaecuaciónx00+x=0,encuyocasoelteoremadeSturmnospermitearmarquelassolucionesnotrivialesde(6.6)tieneninnitoscerospositivos.161
CAPÍTULO7Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones1.Seconsideralasucesióndefuncionesfn:[0,1]!R,fn(x)=sen(nx).Deciderazonadamentesisonverdaderasofalsaslassiguientesar-maciones:(a)Lasucesiónesuniformementeacotada.(b)Lasucesiónesequicontinua.(c)Existeunasucesiónparcialdeffngqueconvergeuniforme-menteen[0,1].Solución:(a)VERDADERA.Esevidente,yaquejsen(nx)j18x2[0,1],8n2N.(b)FALSA.Enefecto,bastaconelegir"1ycualquierparejadepuntosdelaforma(x=0,yn=
2n)conn=n()2Nsuciente-mentegrandeparaquejx�ynj=
2n.Deestemodosetienequejsen(nx)�sen(ny)j=sen
2=1�".163
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones165
Figura7.1:Representacióngrácadealgunostérminosdelasucesióndefuncio-nesdelEjercicio1enelintervalo[0,1].165
166
Figura7.2:Representacióngrácadeloscuatroprimeroselementosdelasuce-siónff0ngdelEjercicio2enelintervalo(�2,2).166
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones167
3.SeanIunintervalocompactoyfn2C1(I,RN)unasucesióndefun-cionestalqueff0ngesuniformementeacotada.Demuestraqueffngesequicontinua.Solución:Comoff0ngesuniformementeacotada,hadeexistirunaconstanteM�0talquekf0n(x)kM8n2N,8x2I.Comoademásfn2C1(I,RN)paratodon2Npodemosaplicarelteoremadelvalormedioparaconcluirquedadosx,y2Italesquejx�yj,existez2Int(I)quesatisfacekfn(x)�fn(y)kkf0n(z)kjx�yjM.Fijado"&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.817;&#x 0 T; [00;0,bastaentoncesconelegir="
Mparadeducirlaequi-continuidaddeffng.4.Seafn:R!Runasucesióndefuncionesuniformementeacotada,equicontinuaytalquel´mjtj!1fn(t)=0uniformementeenn.Pruebaqueexisteunasucesiónparcialdeffngqueconvergeunifor-mementeenRhaciaunafunciónf2C(R).Solución:Sea"�0.Delacondiciónl´mjtj!1fn(t)=0uniformementeenn2NsedesprendelaexistenciadeR=R(")�0(¡independienteden!)talquejfn(t)j"
28t2R:jtj�R.167
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones169
5.Seconsideralasucesióndefuncionesfn:R!R,fn(t)=8:0,tnt�n,ntn+11,tn+1.Pruebaqueesuniformementeacotadayequicontinuayqueconver-gepuntualmentehaciaf0peronolohaceuniformemente.Solución:Esevidentequejfn(t)j1paratodot2Ryn2N,deloquesedesprendelaacotaciónuniforme.Pasemosaestudiarlaequicontinuidad.Sea"1ytomemos="
21
2.
Sit,sn,entoncesjfn(t)�fn(s)j=0".
Sit,sn+1,entoncesjfn(t)�fn(s)j=0".
Sit,s2(n,n+1),entoncesjfn(t)�fn(s)j=jt�n�s+nj=jt�sj".
Sit2(n,n+1)ysn,entoncesjfn(t)�fn(s)j=jt�njjt�sj".
Sitn+1ys2(n,n+1),entoncesjfn(t)�fn(s)j=j1�t+njjt�sj".Dadot2RsiempresepuedeencontrarN=N(t)talqueparan&#x]TJ/;བྷ ;.9;U T; 12;&#x.383;&#x 0 T; [00;Nsetienequetn,luegofn(t)=0y,portanto,lasucesiónffngconvergepuntualmentehaciacerocuandon!1.Comprobemosnalmentequeffngnoadmitesucesionesparcialesqueconverjanuniformemente.Razonamosporreducciónalabsur-do.Supongamosparaelloqueexistieseunatalsucesiónparcialffnkg.Enesecasoellímiteuniformedeberíasercero,queesellímitepun-tual.Esdecir,habríadecumplirsequeffnkg!0uniformementecuandok!1o,dichodeotromodo,queparatodo"&#x]TJ/;བྷ ;.9;U T; 12;&#x.383;&#x 0 T; [00;0existeuníndiceN=N(")talquesinkNentoncesjfnk(t)j"8t2R.169
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones171
Peroestonoesfactible,yaqueconsóloelegir"�1yt�nk+1sellegaaunacontradicción.6.Seconsideralaecuacióndiferencialx00�t2x=0.¿Paraquévaloresdelafunciónz(t)=et4
12esunasolución–aproximadadelaecuaciónenelintervalo[�1
2,1
2]?Solución:UnafuncióndeclaseC1atrozosesunasolución"–aproximadadex0=F(t,x)en[a,b]sij0(t)�F(t,(t))j"8t2[a,b]\Dom()dondeseaderivable.Ennuestrocaso,x00�t2x=0puederees-cribirseenformavectorialcomo(u1,u2)0=(u2,t2u1).Seaentonces(t)=et4
12,t3
3et4
12,luego0(t)=t3
3et4
12,t2et4
12+t6
9et4
12.Tenemosk0(t)�F(t,(t))k= 0,t6
9et4
12 =t6
9et4
12:=h(t).Lafunciónh(t)alcanzasuvalormáximoenlospuntost=1
2:h�1
2=h1
2=1
576e1
192,luegoesunasolución"–aproximadadex00�t2x=0enelinterva-lo[�1
2,1
2]siysólosi"�1
576e1
192.7.Seconsideraelproblemadevaloresiniciales(P)x0=F(t,x)x(t0)=x0171
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones173
siguienteestimaciónparaladiferenciaentredositerantesdePicardconsecutivas:kxk+1(t)�xk(t)kM Lk
k!jt�t0jk.(7.1)Enefecto,lacondición(7.1)esclaramentesatisfechaparak=1yaquekx2(t)�x1(t)kZtt0kF(s,x1(s))�F(s,x0(s))kdsLZtt0kx1(s)�x0(s)kdsLZtt0Zt0kF(s,x0(s))kdsdLMZtt0j�t0jdLM jt�t0j.Supongamos(hipótesisdeinducción)quekxk(t)�xk�1(t)kM Lk�1
(k�1)!jt�t0jk�1.Entonceskxk+1(t)�xk(t)kZtt0kF(s,xk(s))�F(s,xk�1(s))kdsLZtt0kxk(s)�xk�1(s)kdsM Lk
(k�1)!Ztt0js�t0jk�1ds=M Lk
k!jt�t0jk.EstudiemosahoralaconvergenciadelasiterantesdePicard.Paraelloescribimosxn(t)comounaserietelescópicadelasiguientefor-ma:xn(t)=x0+nåk=1�xk(t)�xk�1(t),t2I.Paracadat2I,laserieåk1kxk(t)�xk�1(t)k(7.2)estádominadaporlaserieåk1M kLk�1
(k�1)!,lacualesconvergente.1Portanto,elcriteriodelamayorantedeWeierstrassestablecequelaserie
1Ã¥1k=1M kLk�1
(k�1)!=M å1k=1 k�1Lk�1
(k�1)!=M eL 173
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones175
(a)x0=x+2,x(0)=2.(b)x0=x4
3,x(0)=0.(c)x0=x4
3,x(0)=1.(d)x0=sen(x),x(0)=0.(e)x0=x
2,x(1)=1.Solución:ElesquemaiterativodePicardeselsiguiente:x0(t)datoinicial=x(t0),xn+1(t)=x0+Ztt0F(s,xn(s))ds.(a)F(t,x)=x+2,luegosetratadeunaecuaciónlineal.Tenemosx0(t)2,x1(t)=2+Zt04ds=2+4t=2(1+2t),x2(t)=2+Zt0[2(1+2s)+2]ds=2+4Zt0(1+s)ds=2(1+t)2=2(1+2t+t2),x3(t)=2+Zt0(4+4s+4s2)ds=21+2t+t2+1
3t3,x4(t)=2+Zt04+4s+2s2+2
3s3ds=21+2t+t2+1
3t3+1
12t4.Enestecasolasoluciónexplícitaesfácilmentecalculableportratarsedeunproblemalineal:x(t)=2(2et�1).(b)F(t,x)=x4
3,luego0x0(t)=x1(t)=x2(t)...Portanto,lasucesióndeiterantesdePicardconvergehaciacero.Siresolvemoselproblemadevaloresinicialesporseparacióndevaria-blesobtenemosquex0essolución,peroengeneralnopodemosgarantizarlaunicidad.175
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones177
9.(EjemplodeMüller)Seconsideraelproblemadevaloresiniciales(P)x0=f(t,x)x(0)=0dondef:(�1,1)R!Reslafunciónf(t,x)=8��&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td[;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td[;:0sit0yx2R2tsi0t1yx02t�4x
tsi0t1y0xt2�2tsi0t1yt2x.(i)Pruebaque(P)tieneunaúnicasolución.(ii)CalculalasucesióndeiterantesdePicard.¿Esconvergente?Solución:(i)Demostraremosenprimerlugarquefescontinuaen(�1,1)R.(a)Continuidaddefenlospuntos(0,x)conx6=0.Seaf(tn,xn)gunasucesiónconvergentehacia(0,x)cuandon!1.Setrataentoncesdecomprobarquel´mn!1ff(tn,xn)g=f(0,x)=0.(a1)Six&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.482;&#x 0 T; [00;0yftng!0+,paravaloresdensucientementegrandessetienequexn&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.482;&#x 0 T; [00;t2n,luegol´mn!1ff(tn,xn)g=l´mn!1f�2tng=0.(a2)Six0yftng!0+,entoncesl´mn!1ff(tn,xn)g=l´mn!1f2tng=0.(b)Continuidaddefenlospuntos(t,t2)con0t1.Seaf(tn,xn)gunasucesiónconvergentehacia(t,t2)cuandon!1.177
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones179
(d4)Si0tn1yxn0,entoncesl´mn!1ff(tn,xn)g=l´mn!1f2tng=0=f(0,0).Porconsiguiente,elteoremadeCauchy–Peanogarantizalaexisten-ciadealmenosunasoluciónde(P).Veamosnalmenteque(P)ad-miteunaúnicasolución.(a)Sit0,entoncesf(t,x)=0paratodox2R,luegoelproble-maaresolverenestecasoesx0=0x(0)=0cuyaúnicasolucióneslatrivial.(b)Si0t1existendosposibilidades:(b1)Sifuesef(t,x)=2tenalgúnintervalo,entonceselpro-blemaaresolverseríax0=2tx(0)=0queadmiteporúnicasoluciónalafunciónx(t)=t2.Peroentoncessetendríax0=f(t,x)=2t�4x
t=2t�4t2
t=�2t,locualnosconduciríaacontradicción.(b2)Sifuesef(t,x)=�2tenalgúnintervalo,entonceselpro-blemaaresolverseríax0=�2tx(0)=0queadmiteporúnicasoluciónalafunciónx(t)=�t2.Sinembargo,lafunciónx(t)habríadeserpositivaparaquef(t,x)=�2t,locualescontradictorioconelresultadoobtenido.179
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones181
(a)Sit0,entoncesf(t,x)=f(t,y)=0paracualesquierax,y2R.(b)Si0t1podemosdistinguirlossiguientescasos:(b1)Sixy0setienequef(t,x)=f(t,y)=2t.(b2)Sit2xysetienequef(t,x)=f(t,y)=�2t.(b3)Si0xyt2setienequef(t,x)=2t�4x
t�2t�4y
t=f(t,y).(b4)Six0y0yt2setienequef(t,x)=2tyf(t,y)=2t�4y
t,luegof(t,x)�f(t,y).(b5)Six0t2ysetienequef(t,x)=2tyf(t,y)=�2t,luegof(t,x)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 14;&#x.062;&#x 0 T; [00;f(t,y).(b6)Si0xt2ysetienequef(t,x)=2t�4x
t��2t=f(t,y).(ii)LasucesióndeiterantesdePicardeslasiguiente:x0(t)x0=0,x1(t)=Zt0f(s,0)ds=0sit0Rt02sds=t2sit�0,x2(t)=Zt0f(s,x1(s))ds=(0sit0Rt0f(s,s2)ds=Rt02s�4s2
sds=�t2sit�0,x3(t)=Zt0f(s,x2(s))ds=0sit0Rt0f(s,�s2)ds=Rt02sds=t2sit�0.Engeneral,sepuedeargumentarporinducciónquex2n(t)=0sit0�t2si0t1,x2n+1(t)=0sit0t2si0t1,locualpermiteconcluirquelassucesionesparcialesfx2ngyfx2n+1gconvergenaunquenohacialasoluciónde(P).Portanto,podemosarmarquelasucesióndeiterantesdePicardnoesconvergente.181
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones183
esx(t)=e2t.Portanto,paraconcluirhemosderesolverelproblemay0(t)=etyy(0)=3,queadmiteporúnicasolucióny(t)=3eet�1.11.Estudialaexistenciayunicidaddesolucióndelossiguientesproble-masdevaloresiniciales:(a)x0=jxj+(2�x2�t2),x(t0)=x0.(b)x0=g(x)+1
t�2,x(t0)=x0,dondeg(x)=cos(x)six01six0.Solución:(a)Laexistenciadesolucionesestágarantizadaporlaconti-nuidaddelafunciónF(t,x)=jxj+(2�x2�t2)enambasvariables.Además,FessublinealenlasegundavariableyaqueF(t,x)jxj+2paratodo(t,x),locualessucienteparaconcluirlaunicidaddesolución.(b)LafunciónF(t,x)=g(x)+1
t�2escontinuaporqueg(x)loes,locualgarantizalaexistenciadesoluciones.Launicidadpuedededu-cirsecomoconsecuenciadelasublinealidaddeF,yaquejF(t,x)jjg(x)j+1
jt�2j1+1
jt�2jparatodo(t,x)2R2.12.Paralassiguientesfunciones,hallaunaconstantedeLipschitzenlaregiónindicadaobiendemuestraquenoexiste:183
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones185
(e)Setienejf(x,y)�f(˜x,˜y)j= xy
1+x+y�˜x˜y
1+˜x+˜y = xy(1+˜x+˜y)�˜x˜y(1+x+y)
(1+x+y)(1+˜x+˜y) = y˜y(x�˜x)+x˜x(y�˜y)+xy�˜x˜y
(1+x+y)(1+˜x+˜y) = y˜y(x�˜x)+x˜x(y�˜y)+y(x�˜x)+˜x(y�˜y)
(1+x+y)(1+˜x+˜y) = y(1+˜y)(x�˜x)+˜x(1+x)(y�˜y)
(1+x+y)(1+˜x+˜y)  y(1+˜y)
(1+x+y)(1+˜x+˜y) jx�˜xj+ ˜x(1+x)
(1+x+y)(1+˜x+˜y) jy�˜yj 1+˜y
1+˜x+˜y jx�˜xj+ 1+x
1+x+y jy�˜yj2k(x,y)�(˜x,˜y)k1,luegopodemostomarL=2.(f)NOexiste.Siexistiesetalconstante,llamémoslaL,habríadesa-tisfacerjxlog(jxj)�ylog(jyj)j
jx�yjL8x,y2[�1,1].Paracomprobarquenoesposiblebastacontomary=0(obsérvesequef(y)=0)yx="�0tanpequeñocomosedesee.13.Sedicequeunafuncióncontinuaf:R!Reslinealatrozossiexisten�1=x0x1x2xk=+1talesquefeslinealencadaintervalo(xi,xi+1),i=0,1,2,,k�1;esdecir,f(x)=aix+bix2(xi,xi+1),i=0,1,2,,k�1,ai,bi2R.Pruebaquelasfuncioneslinealesatrozossonglobalmentelipschit-zianas.Solución:EsinmediatocomprobarquelacondicióndeLipschitzessatisfechaencadasubintervalo(xi,xi+1).Enefecto,dadoscuales-quierax,y2(xi,xi+1)setienequejf(x)�f(y)j=jaix+bi�(aiy+bi)j=jaijjx�yj.185
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones187
ecuaciónlacualproducedossoluciones:z=1jtj.Portanto,sóloexisteunpuntojo,z(t)=1�jtj,(7.3)quesatisfagalacondición0z(t)1paratodot2[�1,1].(b)Veamosenprimerlugarquelasucesiónfxkgesdecreciente.Setieneque01�t2
2=T(x0)=x11=x0.Razonamosentoncesconformealprincipiodeinducciónsuponien-dociertalapropiedadxkxk�1ydemostrandoquexk+1xk.Enefecto,sesatisfacexk+1=T(xk)=1
2(x2k+1�t2)1
2(x2k�1+1�t2)=T(xk�1)=xk.Portantopodemosconcluirquelasucesiónfxkgesmonótona(de-creciente)yacotada(0xk1paratodok2N),dedondesededucelaexistenciadelímite,esdecir:existeunafuncióny(t)talquel´mk!1fxk(t)g=y(t)paratodot2[�1,1].Claramentehadeseryz,yaquey(t)esunpuntojodeTnonegativo.Enefecto,secompruebafácilmenteque0[T(y)](t)=Tl´mk!1fxk(t)g=l´mk!1f[T(xk)](t)g=l´mk!1fxk+1(t)g=y(t)graciasalacontinuidaddeT.FinalmentesepuedeaplicarelteoremadeDini2paraargumentarquelaconvergenciaesuniforme.(c)Observamosenprimerlugarquecualquierfuncióncontinuaen[�1,1]puedeaproximarseuniformementeporpoligonales.Enefec-to,bastaconconsiderarunaparticióndelintervalo[�1,1]�1=t0t1...tn�1tn=1tannacomosedeseeyconstruirencadasubintervalo,pongamos[ti�1,ti],elsegmentopif(ti)�f(ti�1)
ti�ti�1t+f(ti�1)ti�f(ti)ti�1
ti�ti�1,
2Sifn:[0,1]!ResunasucesiónmonótonadefuncionescontinuasqueconvergepuntualmenteenIhaciaunafuncióncontinuaf,entoncesconvergeuniformementehaciafen[0,1]187
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones189
SetienequekT(f)�T(g)k1=m´ax0t1fj[T(f)](t)�[T(g)](t)jg1
3Z10s2jsen(f(s))�sen(g(s))jds1
3Z10s2jf(s)�g(s)jds1
9kf�gk1,luegoTescontractivay,porelteoremadepuntojodeBanach,admiteunúnicopuntojo.16.Pruebaqueexisteunaúnicafuncióncontinuaen[0,1]quecumplex(t)=sen(t)+Zt0x(s)
p
sds8t2[0,1].Solución:ProbaremosenprimerlugarlasiguienteProposición5.SeanXunespaciométricocompletoyT:X!Xunaaplicacióntalesqueexistek2NparaelqueTkescontractiva.EntoncesTtieneunúnicopuntojo.Demostración.PorelteoremadepuntojodeBanach,existeunúni-coelementox2XtalqueTk(x)=x.EntoncesTk(T(x))=T(Tk(x))=T(x),porloqueT(x)estambiénunpuntojodeTkquehadecoincidirnecesariamenteconx.Portanto,xesademásunpuntojodeT.Veamosqueeselúnico.Enefecto,siy2XfueseotropuntojodeTtambiénloseríadeTk,puesTk(y)=Tk�1(T(y))=Tk�1(y)=Tk�2(T(y))=Tk�2(y)==T(y)=y.Porconsiguiente,hadesery=x.189
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones191
Solución:Elenunciadodelteoremaeselsiguiente:Considéreseelsiguienteproblemadevaloresiniciales(P)x0=F(t,x)x(t0)=x0,dondeF:DRN+1!RNy(t0,x0)2D,siendoDundominiodeRN+1.SiF(t,x)escontinuaenlasdosvariablesylocalmentelipschitzianaconrespectoalasegundavariable3,entonces(P)admiteunaúnicasoluciónx(t)denidaenunentornodet0.Elproblema(P)sepuedereescribirentérminosdelsiguienteproble-maintegralequivalente:x(t)=x0+Ztt0F(s,x(s))ds.Seana,b�0talesque(cf.Ejercicio7)R=n(t,x)2RN+1:jt�t0ja,kx�x0kboD,M0talquekF(t,x)kM8(t,x)2Ry m´nfa,b
Mg.Denimos˜R=n(t,x)2RN+1:jt�t0j ,kx�x0kboR.SeaI[t0� ,t0+ ]unentornocompactodet0yconsideremoselespaciodeBanachX=C(I,RN)dotadodelanormadelmáximo:kxk1=m´axt2Ifkx(t)kg.Consideremostambiénelsiguientesubconjunto(métrico)deX:A=fx2X:x(t0)=x0,kx(t)�x0k1bg.VeamosqueAescerrado(y,portanto,completo).SeaparaellofxngunasucesióndeAtalquel´mn!1fxng=x(nótesequeestaconver-genciaesuniforme).Entonces
3Esdecir:siD=I
,paracadax2
existenunabolaabiertaB(x,r)yunaconstanteL=L(x)talesquesiy,z2
\B(x,r)setienequekf(y)�f(z)kLky�zk191
Análisislocaldeexistenciayunicidaddesoluciones193
Porconsiguiente,siexigimosL(x0) 1(locualesfácildecon-seguirpuesbastacontomar sucientementepequeño)tendremosdemostradalacontractividaddeT,dedondeseconcluyequeexisteunúnicoelementox2AtalqueTx=xo,loqueeslomismo,x(t)=x0+Ztt0F(s,x(s))ds8t2I.193
CAPÍTULO8Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones1.(a)Demuestraelsiguienteprincipiodecomparacióndesolucio-nes:SeanDR2undominioyf:D!Rcontinuaylocalmentelipschitzianaenlasegundavariable.Seantambién'1,'2dossolu-cionesdex0=f(t,x)denidasenunintervaloabiertoIyt02I.Si'1(t0)'2(t0),entonces'1(t)'2(t)8t2I.(b)Sienelapartadoanteriorsesustituyelaecuaciónx0=f(t,x)porx00=f(t,x),¿sesiguecumpliendoelprincipiodecompa-ración?(c)Demuestraqueelproblemadevaloresinicialesx0=x2+x�2x(0)=0tieneunaúnicasolucióndenidaen(�1,1)yquedichaso-luciónadmitelímitesen�1yen1.Calculadichoslímites.Solución:(a)Supongamosqueexistiese(unprimer)t0t?2Italque'1(t?)='2(t?),demodoque'1(t)'2(t)8tt?.Entonces,alserfcontinuaylocalmentelipschitzianaconrespectoalasegundavariableelteoremadeCauchy–Picard–Lindelöffgarantizalaunici-dad(local)desolucióndelproblemadevaloresinicialesx0=f(t,x)x(t?)='1(t?),195
Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones197
Sea'iunasolucióndex0=Fi(t,x)denidaenunintervaloabiertoI(i=1,2)yseat02I.Entonces,si'1(t0)'2(t0)setieneque'1(t)'2(t)8tt0,t2I.Solución:Razonamosporreducciónalabsurdo.Supongamosqueexistieseunprimerinstantet0t?2Ienelque'1(t?)='2(t?).Denimosentonceslasiguientefuncióndistanciaentreambassolu-ciones:d(t):='2(t)�'1(t).Esevidentequed(t?)=0yd0(t)='02(t)�'01(t)=F2(t,'2(t))�F1(t,'1(t))&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 14;&#x.628;&#x 0 T; [00;0,porloqued(t)esestrictamentecreciente.Enparticular0=d(t?)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 14;&#x.628;&#x 0 T; [00;d(t0)='2(t0)�'1(t0)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 14;&#x.628;&#x 0 T; [00;0,queesabsurdo.3.Seaf:Rn+1!Rnunafuncióncontinuayglobalmentelipschitzianaconrespectoax.(a)Demuestraquelasoluciónx(t;y)dex0=f(t,x)x(0)=yestádenidaenR.(b)Seat02Rjo.SedeneP:Rn!Rndelasiguienteforma:P(y)=x(t0;y).DemuestraquePesbiyectiva.197
Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones199
quex(t0;x0)=v,dadov2Rnarbitrario.Paraelloconsideramoselproblemadevaloresinicialesx0=f(t,x)x(t0)=v,quesabemos(porelapartado(a))admiteunaúnicasolucióndeni-daenR.Denotemosporx(t;t0,v)adichasolución.Bastacontomarx0=x(0;t0,v).4.Seconsideralaecuaciónx0=f(x),dondef(x)=8:�4�x,x�1x(4�x2),�1x14�x,x1.Sepide:(a)Dadox02R,demostrarqueexisteunaúnicasolucióndelaecuaciónquecumplex(0)=x0.Denotemosporx(t;x0)adichasolución.(b)Demostrarquex(t;x0)estádenidaen(�1,1)paracadax02R.Solución:(a)Launicidad(local)desoluciónestágarantizadaporelteoremadeCauchy–Picard–Lindelöff,yaquefescontinuaylocal-mentelipschitziana(basta,porejemplo,conobservarquef0esaco-tada).(b)Losequilibriosdelaecuaciónsonx4,x0yx�4.Siele-gimosx0&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 13;&#x.279;&#x 0 T; [00;4yaplicamoselteoremadecomparacióndelEjercicio1(comparamosconlasoluciónx4),tenemosquex(t)&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 13;&#x.279;&#x 0 T; [00;48t2I.Enestecasof(x)=4�x,queesglobalmentelipschitziana.EstonospermiteconcluirenvirtuddelEjercicio3(a).Elrazonamientoesanálogosix0�4,comparandoconlasoluciónx�4.Finalmen-te,six02(�4,4)bastaconaplicarelprincipiodecomparacióndelEjercicio1(a)comosehizoenelapartado(c)delmismoejercicio.199
Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones201
unpuntocríticodex(t)yaquex0(0)=sen(0)=0.Comoademásx00(0)=x(0)cos(0)=2�0,x(t)tieneunmínimolocalent=0.(b)NO.Deserlo,setendríax0(t)=2t=f(t,x)8t2(0,1).Además,jf(t,x)j=2t1siysólosi0t1
2.Bastaconelegir,porejemplo,=3
4paraobservarquef(,x())=2=3
2�1,locualcontradicelacondicióndecrecimientosobrejfj.6.Seconsideraelproblemadevaloresinicialesx0=1
t2+x2,x(0)=x01.(8.2)Sepide:(a)Probarqueexisteunaúnicasoluciónx(t)denidaen(�1,1).(b)Demostrarqueexistenl´mt!1x(t)yl´mt!�1x(t).(c)Encontraracotacionesparadichoslímites.Solución:(a)SeaF:R2n(0,0)!RlafuncióndenidaporF(t,x)=1
t2+x2.LaexistenciadesolucionessededucedelacontinuidaddeF(t,x)enR2n(0,0)pormediodelteoremadeCauchy–Peano.Porotrolado,launicidaddesoluciónmaximalde(8.2)sedesprendedelteoremadePicard–Lindelöf,yaqueF(t,x)es(enparticular)declaseC1enlasegundavariabley,portanto,localmentelipschitziana.Fijadox01,seaI=(!�,!+)elintervalomaximalenqueestádenidalasoluciónx(t)de(8.2)(elcual,porsupuesto,hadeconteneralpuntot0=0).Comprobemosentoncesquehadeser!+=1y!�=�1.Observamosenprimerlugarquex(t)esestrictamentecreciente,yaquex0�0paratodo(t,x)2R2.Claramentex(t)�x0paratodot�0,luegot2+x2�t2+x20t2+1sit�0.Entoncespodemoscompararlaecuacióndepartidacony0=1
t2+1.Enefecto,lasolucióngeneraldey0=1
t2+1vienedadapory(t)=arctan(t)+C,C2R.(8.3)201
Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones203
Demostración.Razonamosporreducciónalabsurdo.Supon-gamosqueexistendospuntosconsecutivost1t2talesque'1(t1)='2(t1),'1(t2)='2(t2).Denimosd(t):='2(t)�'1(t).Claramented(t1)=d(t2)=0.Ademásd0(t1)='02(t1)�'01(t1)=F2(t1,'2(t1))�F1(t1,'1(t1))&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.279;&#x 0 T; [00;0,d0(t2)='02(t2)�'01(t2)=F2(t2,'2(t2))�F1(t2,'1(t2))&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.279;&#x 0 T; [00;0,locualcontradiceelhechodequet1yt2seanpuntosconsecu-tivosenlosque'1y'2coinciden.EligiendoahoraC=�arctan(t)�1�con&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.279;&#x 0 T; [00;0arbitraria-riamentepequeñoen(8.3),setienequey(t)=�1��1=x(t?).Lacuestiónaresponderesentonces¿quépuedeocurriralaizquierdadet?Ladisyuntivaesclara:obienarctan(t)�arctan(t)�1�=y(t)x(t)en(!�,t),encuyocasoconcluimosdirectamenteque!�=�1,obienexisteunúnicopuntot1(segúnlaProposición7)enelquex(t1)=y(t1)ylasgrácasdex(t)ey(t)intercambiansupo-siciónrelativa,esdecir,x(t)y(t)sitt1yx(t)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 16;&#x.168;&#x 0 T; [00;y(t)sit&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 16;&#x.168;&#x 0 T; [00;t1.Sinembargolasegundaalternativanopuedeveri-carse,yaquedeserasípodríamosusar(8.4)paraaplicarelprincipiodecomparacióndelEjercicio2,elcualnospermitiríadeducirque,comox(t2)y(t2)paracualquiert2t1(porquelassolucionesnopuedencortarsedosveces),entonceshabríadeserx(t)y(t)paratodott2,locualescontradictorioconelhechodeque,porejemplo,x(t1)=y(t1).(b)y(c)Hemosdemostradoquex0x(t)arctan(t)+x0+"
2+x0+"8t0,8"�0,203
Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones205
Solución:SI.Esevidenteque�1y0=sen(x)1.Integrandoestacadenadedesigualdadesentre0yt�0obtenemos�ty(t)�1t,1�ty(t)1+t,conloqueconcluimosquey(t)estádenidahasta1.Análogamen-te,siintegramosentret0y0podemosarmarquey(t)tambiénestádenidahasta�1.Porotrolado,usandolaprimeraecuaciónsetieneque0x0(t)=y2(t)(1+t)2,t&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 14;&#x.112;&#x 0 T; [00;0.Integrandoentre0yt&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 14;&#x.112;&#x 0 T; [00;0:0x(t)�11
3(1+t)3,1x(t)1+1
3(1+t)3,luegox(t)estádenidahasta1.Elcasodeprolongaciónhasta�1esanálogo.9.¿Existeunaúnicasolucióndelproblemadevaloresinicialesx0=m´axft,xgx(0)=0denidaen(�1,1)?Solución:Lafunciónf:R2!Rdenidaporf(t,x)=m´axft,xg=1
2(t+x)+1
2jt�xjescontinua.Ademásjf(t,x)�f(t,y)j t+x
2+jt�xj
2�t+y
2�jt�yj
2 jx�yj
2+ jt�xj
2�jt�yj
2 jx�yj
2+ t�x
2�t�y
2 =jx�yj,luegofesglobalmentelipschitzianayportanto(verEjercicio4(a))existeunaúnicasolucióndenidaenR.205
Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones207
11.Elintervalomaximaldedenicióndelasoluciónx(t)=p
1�tdelproblemadevaloresinicialesx0=x
2t�2x(0)=1es(�1,1)yl´mt!1�x(y)=0.¿Haycontradicciónconlosresulta-dosdeprolongaciónconocidos?Solución:NO.Segúnlosresultadosdeprolongaciónquesehande-mostrado,podemosprolongarunasolucióndex0=f(t,x)(fcon-tinuaylocalmentelipschitziana)bienhastaqueexplote(esdecir,hastatoparconunaasíntota)bienhastaqueestaalcancelafronte-radeldominiodef.Ennuestrocaso,eldominiodef(t,x)=x
2t�2esD(f)=(Rnf1g)R.Parahablardesoluciónserequierequeelcon-juntoenqueestaestédenidaseaunabiertoconexo,luegoconside-raremosD1=(�1,1)RoD2=(1,1)Rsegúneldatoinicialdequesedisponga.Encualquiercaso,lacondiciónl´mt!1�x(t)=0enD1permiteconcluirquelasoluciónhaalcanzadolafronteradeD1(enefecto,(1,0)2Fr(D1)),porloqueesmaximal.12.(a)Pruebaquetodasolucióndelaecuacióndelpénduloconroza-mientomx00+bx0+mg
lsen(x)=0estádenidaenR.(b)Pruebaquelasolucióndelproblemadevaloresiniciales8:x00+(x2�1)x0+x=0x(0)=x0x0(0)=v0,con&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x[000;0,estádenidaen[0,1).Solución:(a)Reescribiendolaecuacióndesegundoordenenformadesistemaobtenemosx01x02=x2�b
mx2�g
lsen(x1)=f(x1,x2).207
Análisisglobaldeexistenciayunicidaddesoluciones209
Portanto,setieneque0l´msupt!!+E(t)(x20+v20)e2!+.Finalmente,si!+fuesenitosetendríaquel´msupt!!+E(t)es-nito,locualesabsurdo.Enefecto,sifuese!+1sabemosquel´mt!!+k(x1,x2)k22=l´mt!!+x(t)2+x0(t)2=1.209
CAPÍTULO9Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad1.Decidedeformarazonadasicadaunadelassiguientesarmacionesesverdaderaofalsa.(a)Seax"(t),"0,lasoluciónde8:x00+"x0+x3=0x(0)=1x0(0)=0.Entoncesx"(t)estádenidaen[0,1)yl´m"!0x"(t)=x0(t)paracadat0.(b)Seax"(t),"0,lasoluciónde"x0+x3=0x(0)=1.Entoncesx"(t)estádenidaen[0,1)yl´m"!0x"(t)=0paracadat0.(c)Seax"(t),"2R,lasolucióndex0+"sen(x)=0x(0)=1.211
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad213
(b)FALSA.Laecuaciónpuedeintegrarsemedianteelmétododese-paracióndevariables,envirtuddelcualobtenemosx"(t)=r
"
"+2t,queestádenidaen[0,1).Alpasarallímitesetienel´m"!0x"(t)=08t�0,peronoent=0.(c)VERDADERA.Lafunciónf(t,x,")=�"sen(x)essublinealparacualquier"2Rjo(aunquearbitrario),yaquejf(t,x,")j".Portanto,x"(t)estádenidaenRparacualquiervalorde".Ademássetieneque0jx00"j=j�"cos(x")x0"jj"jjx0"j=j"jj�"sen(x")j"2,loqueimplicalaconvergenciauniformedefx00"(t)ghaciacerocuan-do"!0.Tambiénpodríahaberseabordadoelproblemadeformadirecta,resolviendolaecuacióndiferencialporelmétododevaria-blesseparadas.Enefecto,setienequelaúnicasolucióndelproblemadevaloresinicialesesx"(t)=2arctantan1
2e�"t.Apartirdeestaexpresiónlasconclusionessoninmediatas.2.SeaF:R2!RdeclaseunoyT–periódica(T�0)enlavariablet,esdecir:F(t,x)=F(t+T,x)8(t,x)2R2.Denotemosporx(t;x0)alasolucióndelproblemadevaloresinicia-lesx0=F(t,x)x(0)=x0.Supongamosqueexistenx1,x22R,conx1x2,talesqueF(t,x1)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.483;&#x 0 T; [00;0,F(t,x2)08t2R.Sepide:213
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad215
(ii)x(0)=x0x2.Razonamoscomoenelapartadoanterior.Su-pongamosahoraquex(t)cortaax2(esdecir,queexistet2&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 14;&#x.136;&#x 0 T; [00;0talquex(t2)=x2).Enestecasohadeserx0(t2)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 14;&#x.136;&#x 0 T; [00;0,peroporotroladox0(t2)=F(t2,x(t2))=F(t2,x2)0(porhipótesis),dandolugaraunacontradicción.Portanto,x(t)x2paratodot0.(iii)x(0)=x0=x1.Enestecasox0(0)=F(0,x(0))=F(0,x0)=F(0,x1)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 13;&#x.482;&#x 0 T; [00;0yesválidalamismadiscusiónqueen(a).(iv)x(0)=x0=x2.Enestecasox0(0)=F(0,x(0))=F(0,x0)=F(0,x2)0yesválidalamismadiscusiónqueen(b).(c)Lasfuncionesx(t;x)yx(t+T;x)resuelvenambaslaecuacióndiferencialx0=F(t,x)ysatisfacenlamismacondicióninicial.Enefecto:x0(t+T;x)=F(t+T,x(t+T))=F(t,x(t+T)),x(t=0)=x(T;x)=x,dondehemosusadoquexesunpuntojodePsegúnlodemos-tradoen(b).Entonces,porelteoremadeexistenciayunicidadhadeocurrirquex(t;x)=x(t+T;x)8t2R,esdecir,x(t;x)esT–periódica.3.Dado"&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 13;&#x.28 ;� Td;&#x[000;0,seax(t;")lasoluciónmaximaldelproblemadevaloresiniciales"x0=x2+(1�")tx(0)=1.(a)PruebaqueparatodoT&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 13;&#x.28 ;� Td;&#x[000;0ytodos2(0,1)severical´m"!1fx"(t)g=1
1�tuniformementeen[�T,s].215
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad217
(a)Demostrarquesi"2[0,1
2],entoncesx(t;")estádenidaenR.(b)ProbarqueparatodoT�0existe"0�0talquesi�"0"0entoncesx(t;")estádenidaen[0,T].(c)Calcular¶x
¶"(t;0).(Junio1995)Solución:(a)Lospuntosdeequilibriodelaecuacióndiferencialsonaquellosquesatisfacen(1+")x�"x2�1=0,estoes,x=1+"j"�1j
2".Siconsideramos"2[0,1
2],lospuntosdeequilibriosonentoncesx=1,x=1
"2[2,1].Portanto,si"�0setieneque1x(t;")1
"8t2(!�,!+)=I,esdecir,lasolucióndenuestroproblemadevaloresinicialesestáatrapadaentredossolucionesconstantes,luegoI=R.Siporelcon-trario"=0,elproblemaaresolveresx0=x�1x(0)=2cuyaúnicasoluciónesx(t)=1+etqueestádenidaenR.(b)Esunaaplicacióndirectadelteoremadedependenciacontinuadelasoluciónrespectodeparámetros,yaqueF(t,x,")=(1+")x�"x2�1escontinuayelproblemadevaloresinicialesadmiteunaúnicasolu-ciónmaximalpara(t0,x0,"0)=(0,2,0)(estasoluciónfuecalculadaenelapartadoanterior,dondeademásseapuntóqueelintervalomaximaldedenicióndelamismaesR).217
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad219
Multiplicandolaprimeraecuaciónporcos((t))ylasegundaporsen((t))ysumandoambasobtenemos0(t)="(t)3.(9.2)Siahoramultiplicamoslaprimeraecuaciónpor�sen((t))ylase-gundaporcos((t))ysumamosobtenemos(t)0(t)=�(t).(9.3)Deestemodoobtenemosunsistemadeecuaciones,(9.2)–(9.3),equi-valentealanteriorperoescritoentérminosdelasnuevasvariables(t)y(t).De(9.3)seobtiene0�1,esdecir,(t)=0�t.Unaná-lisissimpledelaecuación(9.2)condatoinicialasociado(0)=0nospermiteconcluirquelaúnicasolucióndelcorrespondientepro-blemadevaloresinicialeses(t)=0
q
1�2"20t.(9.4)Distinguimoslossiguientescasos:(a)"�0.Eldenominadorde(9.4)seanulaent=1
2"20,luego(t)sóloestádenidaen[0,1
2"20).Portanto,si"�0nopuedehablarsedeestabilidad.2(b)"=0.Enestecasosetiene(t)0y,portanto,lasolucióntri-vialesestableperonoasintóticamenteestable(bastaconelegir="enladenicióndeestabilidad).(c)"0.Enestecaso(t)0,luegoelorigenesestable.Ade-más(t)!0cuandot!1,locualsignicaque x(t)�00 =kx(t)k=(t)!0cuandot!1.Porconsiguiente,lasolucióntrivialesasintóti-camenteestable.
2Locualnosignicaquelasolucióntrivialseainestable,sóloquenotienesentidodiscutirlaestabilidaddelamismaporquenoestáglobalmentedenida219
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad221
(iii)Six0p1setienequex(t;x0)p1paratodot2I.Usandonuevamenteladenicióndef(x)yteniendoencuentaquenesimparsededuceenestecasoquex0(t;x0)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 15;&#x.14 ;� Td;&#x[000;0paratodot2I,luegox0x(t;x0)p1paratodot2(t0,!+).Razonandocomoen(ii)seconcluyequehadeser!+=1.(b)Hacemoslamismadistinciónqueenelapartadoanterior:(i)Six02(pi,pi+1)paracualquier1in�1,sabemospor(a)quelasoluciónx(t;x0)esacotada.Paracomprobarqueestambiénmonótonaobservamosquesuderivadax0(t;x0)=�(x�p1)...(x�pi�1)(x�pi)(x�pi+1)...(x�pn)nocambiadesigno.Enefecto,signo(x0(t;x0))=(�1)n�iporloquex(t;x0)esmonótonayacotada(ii)Six0&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 15;&#x.885;&#x 0 T; [00;pnsabemosquepnx(t;x0)x0yx0(t;x0)0,porloquex(t;x0)esdecrecienteyacotada.Porconsiguiente,existel´mt!1fx(t;x0)gypnl´mt!1fx(t;x0)gx0.(iii)Six0p1sabemosquex0x(t;x0)p1yx0(t;x0)&#x]TJ/;འ ;.9;U T; 14;&#x.513;&#x 0 T; [00;0,porloquex(t;x0)escrecienteyacotada.Porconsiguiente,existel´mt!1fx(t;x0)gyx0l´mt!1fx(t;x0)gp1.(c)UsamoselprimermétododeLyapunov.Paraellocalculamosenprimerlugar¶f
¶x=�(x�p2)(x�p3)...(x�pn)�(x�p1)(x�p3)...(x�pn)�...(x�p1)(x�p1)...(x�pn�1).Entonces¶f
¶x(pi)=�(pi�p1)(pi�p2)...(pi�pi�1)(pi�pi+1)...(pi�pn),dedondesededucequesigno¶f
¶x(pi)=(�1)n�i+1.Finalmente,comonesimparporhipótesissetieneque221
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad223
7.Seconsideralaecuaciónx00+g(x)=0dondeg:R!ResLipschitz–continua.Seap2RunpuntodeequilibrioaisladotalquelafunciónG(x)=Rx0g(z)dzalcanzaenpunmáximolocalestricto.Pruebaquepesunpuntodeequilibrioinestable.Solución:Reescritaequivalentementeenformadesistema,laecua-ciónx00+g(x)=0seleex1x20=x2�g(x)=F(x1,x2).Como(p,0)esunpuntodeequilibrio,hadeserg(p)=0.Paraestu-diarlaestabilidaddeestepuntoconstruimosJ[F](p,0)=01�g0(p)0,cuyosvalorespropiosson=p
�g0(p).Finalmente,comoG(x)alcanzaenpunmáximolocalestrictohadevericarseg0(p)=G00(p)04,luegop=m´axfRe():2(J[F](p,0))g&#x]TJ/;༣ ;.9;U T; 13;&#x.279;&#x 0 T; [00;0locualindicaqueelpuntodeequilibrio(p,0)esinestableenfuncióndelprimermétododeLyapunov.8.Encuentradosfuncionesa,b2C(R)talesquelaecuaciónlineales-calarx0=a(t)xseaasintóticamenteestable,x0=(a(t)+b(t))xseainestableyademásl´mt!1b(t)=0.
4Envirtuddelteoremafundamentaldelcálculo,yaquegescontinuaporhipótesis223
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad225
Solución:(a)Reescribiendolaecuacióndesegundoordenenformadesistemaobtenemosx01x02=x2�x1�f(x2)=F(x1,x2).Comofescontinua,Ftambiénloes.Portanto,existensolucionesdenuestraecuación.Porotraparte,comofeslinealatrozosesglo-balmentelipschitziana(cf.Ejercicio13delCapítulo7)y,comocon-secuencia,Ftambiénloes.LuegoexisteunaúnicasolucióndenidaenRdelproblemadevaloresinicialesasociadoanuestraecuación.(b)Elúnicopuntodeequilibroes(0,0)yaquef(0)=0.TenemosrF(x1,x2)=01�1�f0(y).Obsérveseque,aunquefnoesderivable,síloesenunentornode0;luegorFexisteenunentornode(0,0).Enefecto,f0(0)=�2)rF(0,0)=01�12.ElúnicovalorpropioderF(0,0)es=1(doble),luego=0.Portanto,(0,0)esunpuntodeequilibrioinestable.10.Estudialaestabilidaddelospuntosdeequilibriodelassiguientesecuacionesysistemas:(a)x00�2xe�x2=0.(b)x00+2x0+5x+x3=0.(c)x0=y+x�x3,y0=�x.(d)x00+xjxj=0.(e)x0=f(x+y),y0=�f(x�y),dondef(z)=2zsiz03z2+2zsiz0.225
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad227
luegoelúnicopuntodeequilibrioesp=(0,0)T.EnestecasoelprimermétododeLyapunovnoproporcionainformación(=0doble)=0).ConsideramosentonceslasiguientefuncióndeLyapunov:V(x1,x2)=jx1j3
3+x22
2.ClaramenteV(0,0)=0,V(x,y)esdenidapositivaenunentornodepyV0(x1,x2)=(x1jx1j,x2)(x2,�x1jx1j)=0,luegopesunpuntodeequilibrioestableperonoasintóticamenteestable.(e)Escritavectorialmentelaecuaciónesdelaformaxy0=f(x+y)�f(x�y)=F(x,y).Teniendoencuentaladenicióndefsepuedecomprobarfácilmentequelosúnicospuntosdeequilibriosonp=�1
31
3,q=�2
30,r=00.CalculamosJ[F](p)=J[F](r)=f0(0)f0(0)�f0(0)f0(0)(p)=22�22,J[F](q)=f0(�2
3)f0(�2
3)�f0(�2
3)f0(�2
3)(q)=�2�22�2.Enelprimercasolosvalorespropiossonp=22i)=2�0,mientrasqueenelsegundocasosonq=�22i)=�20.Entonces,segúnelprimermétododeLyapunovlospuntosdeequi-libriopyrsoninestablesmientrasqueelpuntodeequilibrioqesasintóticamenteestable.11.Seconsideraelsistemax0=�6y5ex+y,y0=2(x�1)ex+y.227
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad229
Solución:Probaremosquedadoq2A,existe�0talquelabolaeuclídeacentradaenqderadiosequedadentrodeA.Comoporhipótesispesunatractor,existe�0talquesiky�pksetienequex(t;y)estádenidaen[0,1)yl´mt!1fx(t;y)g=p.Esdecir,siky�pkentoncesy2A.Porotrolado,siq2Aexistet0&#x]TJ/;བྷ ;.9;U T; 13;&#x.28 ;� Td;&#x[000;0talquesitt0entonceskx(t;q)�pk
2.(9.5)Además,comof2C1(RN;RN)porhipótesis(enparticularescon-tinuaylocalmentelipschitziana)podemosaplicarelteoremadede-pendenciacontinuadelasoluciónrespectodedatosinicialesparaconcluirqueexiste�0talquesikq�˜qk,entonceskx(t;˜q)�x(t;q)k
28t2[0,t0].(9.6)Seay=x(t0;˜q).Usando(9.5)y(9.6)obtenemosky�pkky�x(t0;q)k+kx(t0;q)�pk
2+
2=.Sededuceportantoquex(t;y)estádenidaen[0,1)yl´mt!1fx(t;y)g=p,luegoy2A.Ahorabien,lasolucióndelproblemadevaloresinicia-lesx0=f(x)x(0)=yes,porunlado,x(t;y)mientrasque,porotrolado,tambiénessolu-ción'(t):=x(t+t0;˜q).Enefecto,'(0)=x(t0;˜q)=y.Entoncesx(t;y)='(t)porunicidad.Deestemodo,dadoq2Ahemosencontrado�0(elde(9.6))talquesikq�˜qkentonces˜q2A,luegoAesabierto.229
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad231
(b)Tieneexactamenteunpuntodeequilibrioyesestableperonoasintóticamenteestable.(c)Tieneunainnidaddepuntosdeequilibrioytodosellossoninestables.(Febrero1990)(d)Tieneunasoluciónasintóticamenteestable,peroelprimermé-tododeLyapunovnoproporcionainformación.(e)Todaslassolucionesestándenidasyacotadasen[0,1)yalmenosunadeellasesinestable.(f)Tieneunasoluciónestableyotrainestable.(Junio1991)Solución:(a)x0=x2(x�1)2.Todaslassolucionessonmonótonas(osiemprecrecenosiempredecrecen),luegonopuedentenderhacialospuntosdeequilibrio.Enefecto,podemosaplicarelteoremadeinestabilidaddeCetaevconlasfuncionesV0(x)=x(paraelpuntodeequilibriop=0)yV1(x)=x�1(paraelpuntodeequilibriop=1).SetieneV0(0)=0,V00(x)=x0�0enunentornoreducidode0,V1(0)=0,V01(x)=x0�0enunentornoreducidode1.Ademáspodemosconsiderarlassucesionesfxng=n1
no!0,fyng=n1+1
no!1,n!1,paralascualessevericaqueV0(xn)�0yV1(yn)�0paratodon2N.(b)x00+4x=0o,equivalentemente,x1x20=01�40x1x2=x2�4x1,231
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad233
15.Seconsideraelsistemadeecuacionesdepresa–depredadordeLotka–Volterrax0=(a�by)xy0=(�c+dx)ydondea,b,cydsonconstantespositivas.Setratadeestudiarlaspropiedadesdeestabilidaddelpuntodeequilibrio(c
d,a
b)atravésdelossiguientespasos:(a)Utilizaelcambiodevariablesp=log(x),q=log(y)paratransformarlaecuacióndeLotka–Volterraenunsistemadelaforma(p0=�¶H
¶q(p,q)q0=¶H
¶p(p,q),dondeH2C1(R2,R)(estetipodesistemassellamanHamilto-nianos).DeterminalafunciónH.(b)SedeneV:R+R+!RcomoV(x,y):=H(log(x),log(y)).CompruebaqueValcanzaen(c
d,a
b)unmínimoestricto.(c)Comoconsecuenciadelapartadoanterior,determinalaspro-piedadesdeestabilidaddelpuntodeequilibrio(c
d,a
b).(Septiembre1992)Solución:(a)Derivandoelcambiodevariablesp=log(x),q=log(y)obtenemosp0=x0
x=a�by=a�beq,q0=y0
y=�c+dx=�c+dep.Sihadeserp0=a�beq=�¶H
¶q(p,q)hemosdeelegirlafunciónH(p,q)delaformaH(p,q)=beq�aq+f(p),233
Dependenciacontinuaydiferenciablerespectodedatosinicialesyparámetros.Estabilidad235
SetieneU0(x,y)=V0(x,y)=rV(x,y)(x0,y0)=d�c
x,b�a
y(a�by)x,(dx�c)y=(dx�c)(a�by)+(by�a)(dx�c)=0,luego(c
d,a
b)esestableperonoasintóticamenteestable.16.Sepide:(a)Demostrarque,dado�0,laecuaciónx+ex=0tieneunaúnicaraízrealalaquedenotaremosporx.(b)ProbarquelafunciónV(x,y)=
2x2+ex+1
2y2alcanzasumínimoabsolutoenelpunto(x,0).(c)Estudiarlaestabilidaddelospuntosdeequilibriodelaecua-cióndiferencialx00+x+ex=0,�0.(Diciembre1996)Solución:(a)Denimosf(x)=x+ex.EnelintervaloI=[�1
,0]podemosaplicarelteoremadeBolzano,luegoexistealmenosunaraízrealdefenI.Ademásf0(x)=+ex�0,luegofesestricta-mentecreciente.Portanto,laraízxdefesúnica.(b)CalculamoslasderivadasparcialesdeV:¶V
¶x=x+ex,¶V
¶y=y.Entonces,elúnicopuntocríticodeVes(x,0).Comprobamosquesetratadeunmínimo:H(V)=+ex001,luegoH(V)x0=+ex001.235
CAPÍTULO10SeriesdeFourier,problemasdecontorno,ecuacionesenderivadasparcialesycálculodevariaciones1.Unadelascuestionesprincipalesdelateoríadeecuacionesdeevo-luciónenderivadasparcialesconsisteenresolverunproblemadevaloresinicialesparaunaecuacióndada,esdecir,predecirelcom-portamientofuturodelsistemaconocidosuestadoactual.Enmu-chasocasionesesposibledemostrarqueestosiemprepuedehacer-seyqueademáslasoluciónesúnica.Sinembargo,enlateoríadeecuacionesdiferencialesordinariassepuedeademásinvertirelpro-ceso,enelsentidoenquedadoelestadoactualdelsistemaesposibletambiénreconstruirelpasadodelmismo.AmenudoesconvenienterepresentarestapropiedadentérminosdeungrupoT(t)detransfor-macionestemporalesquepermiteexpresarlasoluciónu(t;u0)aso-ciadaaldatoinicialu0delasiguienteforma:u(t;u0)=T(t)u0.LosoperadoresT(t)satisfacenlassiguientespropiedades:T(t)T(s)=T(s)T(t)=T(t+s),l´mt!0T(t)=T(0)=I.Enelámbitodelasecuacionesenderivadasparcialeslasituaciónesmuydiferente.Dehecho,enmuchoscasosesnecesariorestringirelestudiodelaevolucióndelassolucionesalfuturo(t�0),encuyocasoelanálogodelgrupouniparamétricoT(t)esunsemigrupodetransformacionesS(t),denidosolamenteparainstantest�0.UnsemigrupofuertementecontinuoS(t)satisfaceS(t)S(s)=S(s)S(t)=S(t+s)8t,s�0,l´mt!0+S(t)=S(0)=I,237
SeriesdeFourier,problemasdecontorno,ecuacionesenderivadasparcialesycálculodevariaciones239
Sinembargo,alextenderlasoluciónatiemposnegativosobtenemosku(,x)kL2((�1,0)) 1åk=1sen(kx)
k!ke�tkL2((�1,0)),queesdivergente.2.Determinalosvalorespropiosylasfuncionespropiasdelproblemax00+4x0+(4+9)x=0,x(0)=x0(1)=0.(Septiembre2004)Solución:Setratadeunproblemadecontornolinealdesegundoorden,luegoresolvemosenprimerlugarlaecuacióncaracterísticaasociada2+4+(4+9)=0.Si=0setienequelaúnicaraízdelaecuacióncaracterísticaes=�2conmultiplicidaddos,luegolassolucionesdex00+4x0+4x=0sontodasdelaformax(t)=Ae�2t+Bte�2t,A,B2R.ImponiendolascondicionesdecontornoobtenemosA=B=0locualconducealasolucióntrivial,porloque=0nopuedeserunvalorpropio.Para0obtenemos=�23p
jj,valoresloscualesdanlugaralassolucionesx(t)=Ae(�2+3p
jj)t+Be(�2�3p
jj)t,A,B2R.ImponiendonuevamentelascondicionesdecontornoobtenemosA=B=0,porloquenohayvalorespropiosnegativos.Finalmente,paravalores�0obtenemos=�23p
i,luegotodaslassolucionesdex00+4x0+(4+9)x=0sondelaformax(t)=e�2tAsen(3p
t)+Bcos(3p
t),A,B2R,�0.239
SeriesdeFourier,problemasdecontorno,ecuacionesenderivadasparcialesycálculodevariaciones241
Figura10.1:Lassolucionesdelaecuación(10.1)sonloscerosdelafunciónre-presentada:0,2,03042,6,41195,12,9904,21,7629,...241
242
(e)Lafunciónu(t,x)=sen(t)sen(x)esunasolucióndelaecua-cióndeondasutt�uxx=0enD=[0,][0,]yalcanzasumáximoenlafronteradeDcomoconsecuenciadelprincipiodelmáximo.(Septiembre2003)Solución:(a)VERDADERA.EldesarrollodeFourieresdelaformaxa0
2+1Ã¥n=1nancos[n(x+)]+bnsen[n(x+)]o,conan=1
Z�xcos[n(x+)]dx,n2N[f0g,bn=1
Z�xsen[n(x+)]dx,n2N.Claramentea0=0y,porserlafunciónxcos(nx)impar,an=(�1)n
Z�xcos(nx)dx=0,n2N.Porotroladobn=(�1)n
Z�xsen(nx)dx=(�1)n
(�1)n+12
n=�2
n.Entoncesx�21Ã¥n=1sen[n(x+)]
n=21Ã¥n=1(�1)n+1sen(nx)
n.(b)VERDADERA.Lacomplituddelsistematrigonométricogaranti-zalaconvergenciaenL2(�,).(c)FALSA.Laecuacióndiferencialpuedeserreescritadelasiguienteforma:t2x00+tx0+x=�1,(10.2)admitiendoclaramentecomosoluciónparticularlafunciónconstan-tex�1.Bastaentoncesconencontrarlasolucióngeneraldela242
244
resuelvelaecuacióndeondasutt�uxx=0.Sinembargo,u(t,x)0enlafronteradeDmientrasque,porejemplo,u
2,
2=1.Elmotivoesquenoexisteunprincipiodelmáximo(estándar)paralaecuacióndeondas.4.Sealafunciónf(x)=cos(x)�1+2x
denidaenelintervalo[0,].(a)CalculaeldesarrolloenseriedeFourierdesenosdef.(b)¿Convergedichodesarrollouniformementeen[0,]?(c)¿SatisfacensuscoecienteslaidentidaddeParseval?(d)Demuestraquecos(x)=1�2x
�2
Ã¥k1sen(2kx)
k(1�4k2).Solución:(a)LaseriedeFourierdesenosdefsedenecomof(x)1ån=1bnsen(nx),bn=2
Z0f(x)sen(nx)dxenelintervalo[0,].Ennuestrocasosetienebn=2
Z0cos(x)�1+2x
sen(nx)dx=2
hn
n2�11+(�1)n+1
n(cos(n)�1)+2
�
ncos(n)i=�2
nhn2
1�n21+(�1)n+1+cos(n)i=�2
n(1�n2)1+(�1)n=(0sinesimpar�4
n(1�n2)sinespar,luegof(x)�2
1Ã¥n=1sen(2nx)
n(1�4n2).244
246
5.(a)Resuelvemedianteelmétododeseparacióndevariableselsi-guienteproblemamixtoparalaecuacióndelcalor8:ut�uxx=u,t&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x[000;0,x2[0,],u(0,x)=3sen(x)+sen(3x),x2[0,],u(t,0)=u(t,)=0,t0.(Junio2002)(b)Resuelveelsiguienteproblema8:ut=uxx,t&#x]TJ ;� -2;.51; Td;&#x[000;0,x2(0,),u(0,x)=f(x),x2[0,],ux(t,0)=ux(t,)=0,t0,dondef:[0,]!Rvienedadaporf(x)=1+5cos(3x).Demostrarademásquel´mt!1u(t,x)=1
Z0f(x)dxuniformementeen[0,]einterpretarfísicamenteelresultado.(Junio2003)(c)Resuelveelsiguienteproblemamixtoparalaecuacióndeltelé-grafomedianteelmétododeseparacióndevariables:8���&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td[;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td[;&#x]TJ ;� -2;.52;&#x Td[;:¶2u
¶t2+2¶u
¶t+u=¶2u
¶x2,t�0,x2(0,),u(0,x)=sen(x),x2[0,],u(t,0)=u(t,)=0,t�0,¶u
¶t(0,x)=0,x2[0,].(Julio2003)(d)Encuentraunasolucióndelproblema8:utt�uxx=sen(x),t2R,x2(0,),u(0,x)=ut(0,x)=0,x2[0,],u(t,0)=u(t,)=0,t2R.246
248
AplicandolascondicionesdecontornoobtenemosBsen(p
1+)=0,quedalugarasolucionesnotrivialessiysolamentesi=n2�1conn2N.Finalmente,teniendoencuentalacondicióninicialu(0,x)=3sen(x)+sen(3x)sededucequelasoluciónalproblemadedifusiónplanteadoesdelaformau(t,x)=3sen(x)+e�8tsen(3x).(b)Comoenelapartadoanterior,buscamossolucionesconlasvaria-blesseparadas:u(t,x)=v(t)w(x).Insertandoestaexpresiónenlaecuacióndelcalorobtenemosv0(t)w(x)=v(t)w00(x),dedondeseconcluyequev0(t)
v(t)=�=w00(x)
w(x).Resolvemosenprimerlugarv0(t)+v(t)=0,dedondeseobtienequev(t)=ke�tconk2R.Porotrolado,lasolucióngeneraldelaecuaciónparaw(x)es
w(x)=Ax+BconA,B2Rsi=0,
w(x)=Aex+Be�xconA,B2Rsi�0,
w(x)=Acos(p
x)+Bsen(p
x)conA,B2Rsi0.Elúnicocasoviableeseltercero,paraelqueaplicandolascondi-cionesdefronterasetienew0(0)=w0()=0,dedondesededucequehadeser=n2,n2N,paraqueexistansolucionesnotri-viales.Finalmente,teniendoencuentalacondicióninicialu(0,x)=1+5cos(3x)seconcluyequelasoluciónalproblemadedifusiónplanteadoesdelaformau(t,x)=1+5e�9tcos(3x).248
250
Figura10.3:EvolucióntemporaldelasolucióndelEjercicio5(b).250
SeriesdeFourier,problemasdecontorno,ecuacionesenderivadasparcialesycálculodevariaciones251
Claramentel´mt!1u(t,x)=1=1
Z0(1+5cos(3x))dx,locualsignicaqueladistribucióndetemperaturasseestabilizaatiempolargoenelpromediodeldatoinicialsobreelintervalo[0,].(c)Buscamossolucionesdelaformau(t,x)=v(t)w(x).Sustituyen-doestaexpresiónenlaecuacióndeltelégrafoobtenemos(v00(t)+2v0(t)+v(t))w(x)=v(t)w00(x),v00(t)+2v0(t)+v(t)
v(t)=w00(x)
w(x),dedondeseconcluyequev00(t)+2v0(t)+v(t)
v(t)=�=w00(x)
w(x).Separandolasecuacionesparav(t)yw(x)obtenemosv00(t)+2v0(t)+(1+)v(t)=0,w00(x)+w(x)=0.Laecuaciónparaw(x)admiteexactamentelamismadiscusiónquelarealizadaenelapartadoanterior,porloquesóloelcasoenque=n2conn2Ngenera(lassiguientes)solucionesnotrivialesw(x)=ksen(nx),k2R.Resolvemosentonceslaecuaciónv00(t)+2v0(t)+(1+n2)v(t)=0,obteniendolasolucióngeneralv(t)=e�t(Acos(nt)+Bsen(nt)),A,B2R.Luegou(t,x)=e�tsen(nx)(c1cos(nt)+c2sen(nt)),c1,c22R.Imponiendonalmentelascondicionesinicialesobtenemosu(t,x)=e�tsen(x)(cos(t)+sen(t)).251
SeriesdeFourier,problemasdecontorno,ecuacionesenderivadasparcialesycálculodevariaciones253
(d)Sustituyendolaexpresiónsugerida,u(t,x)=v(x)+w(t,x),enlaecuacióndeondasobtenemoswtt(t,x)�v00(x)�wxx(t,x)=�v00(x)=sen(x),dondehemosusadoquew(x)resuelvelaecuacióndeondashomo-génea.Portanto,v(x)=sen(x)+Ax+B,A,B2R.Aplicandoahoralascondicionesv(0)=v()=0setienequeA=B=0,porloquehadeserv(x)=sen(x).Porotrolado,aplicandolascondicionesdecontornou(t,0)=u(t,)=0seobtienew(t,0)=w(t,)=0.Finalmente,haciendousodelosdatosinicialesu(0,x)=ut(0,x)=0llegamosaw(0,x)=�sen(x),wt(0,x)=0.Sólofaltapordeterminarlafunciónw(t,x).Perosabemosquew(t,x)resuelveelsiguienteproblemamixtoparalaecuacióndeondasho-mogénea8:wtt�wxx=0,t2R,x2(0,),w(0,x)=�sen(x),wt(0,x)=0,x2[0,],w(t,0)=w(t,)=0,t2R.Buscamossolucionesconvariablesseparadasdelaformaw(t,x)= (t) (x).Entonces 00(t)
(t)= 00(x)
(x)=�.Comenzamosresolviendoelproblemadecontorno 00(x)+ (x)=0,x2(0,) (0)= ()=0,queúnicamenteadmitesolucionesnotrivialessi=n2conn2N,delocualsedesprendefácilmentequehadeser (x)=ksen(nx),k2R.Resolvemosacontinuaciónlaecuaciónent,obteniendo (t)=Acos(nt)+Bsen(nt),A,B2R.253
SeriesdeFourier,problemasdecontorno,ecuacionesenderivadasparcialesycálculodevariaciones255
Figura10.5:EvolucióntemporaldelasolucióndelEjercicio5(d).255
256
y"2C2([0,1]).Podemoshacerladeducción(sinpérdidadegene-ralidad)paraelcasoenquey2C2([0,1])esunmínimolocaldeF,luegoF[y+"']F[y].Estoequivaleaarmarquelafunción"7!F[y+"']alcanzaunmínimoen"=0y,portanto,derivandolaintegralconrespectoalparámetro"obtenemos0=d
d"F[y+"']("=0)=Z10nFy(x,y(x)+"'(x),y0(x)+"'0(x))'(x)+Fp(x,y(x)+"'(x),y0(x)+"'0(x))'0(x)odx("=0)=Z10nFy(x,y(x),y0(x))'(x)+Fp(x,y(x),y0(x))'0(x)odx.Integrandoahoraporpartesseconcluyeque0=Z10nFy(x,y(x),y0(x))�d
dxFp(x,y(x),y0(x))o'(x)dx+Fp(1,y(1),y0(1))'(1)�Fp(0,y(0),y0(0))'(0)(10.3)paratodafunción'2C2([0,1]).Enparticular,sielegimos'2C2([0,1])talque'(0)='(1)=0setienequeZ10nFy(x,y(x),y0(x))�d
dxFp(x,y(x),y0(x))o'(x)dx=0.EntoncesunaaplicacióndirectadellemafundamentaldelcálculodevariacionesnospermiteconcluirqueFy�dFp
dx=0,(10.4)porloque(10.3)setraduceenFp(1,y(1),y0(1))'(1)�Fp(0,y(0),y0(0))'(0)=0(10.5)paratoda'2C2([0,1]).Finalmente,laarbitrariedaddelafuncióntest'nospermitededucirde(10.5)quelascondicionesdecontornohandeser¶F
¶y0(x=0)=¶F
¶y0(x=1)=0.(10.6)256
258
x2y00+2xy0�4y=0,queesdeEuler.Haciendoelcambiodeva-riablex=ezpodemosreducirlaaunaconcoecientesconstantes,asaber,u00+u0�4u=0,cuyasolucióngeneralesu(z)=Ae�1+p
17
2z+Be�1�p
17
2z,A,B2R.Deshaciendoelcambiodevariableobtenemosquelasolucióngene-ralde(10.7)esy(x)=Ax�1+p
17
2+Bx�1�p
17
2+1,A,B2R.Aplicandonalmentelascondicionesdecontorno(10.6)enelinter-valo[1,2],esdeciry0(1)=y0(2)=0,concluimosquelaúnicasolu-cióndenuestroproblemademinimizaciónesy1.7.Sea
=[0,T][0,2].SeconsideraelsiguientefuncionalF[y]=Z
n¶u
¶t2�¶u
¶x2+¶u
¶xcos(2x)od(x,t)denidoeneldominioD=fu2C(
):u(0,x)=u(T,x)=u(t,0)=u(t,2)=0g,dondet2[0,T]yx2[0,2].(a)Demuestraquesiu2C2(
),entonceslaecuacióndeEuler–Lagrangeasociadaalproblemavariacionalanteriores¶2u
¶t2�¶2u
¶x2=sen(2x).(b)Calculaunasolucióndelproblemamixtoconsistenteenlaecua-cióndeondasde(a)juntoconlassiguientescondicionesinicia-lesydecontorno:u(0,x)=sen(2x),¶u
¶t(0,x)=0,u(t,0)=u(t,2)=0.(Sugerencia:Buscarladelaformau(t,x)=å1n=0un(t)sen(nx
2)).258
260
Luegou(t,x)=3cos(2t)+1
4sen(2x)resuelveelproblemaplanteadoen(b).(c)SI.Enefecto,supongamosqueu1(t,x)yu2(t,x)resuelvenambaselproblemaplanteadoen(b).Entonceslafunciónv(t,x)=u1(t,x)�u2(t,x)satisfaceelsiguienteproblemahomogéneo:8:vtt�vxx=0v(0,x)=vt(0,x)=0v(t,0)=v(t,2)=0.LafuncióndeenergíaasociadaaesteproblemaesE(t)=1
2Z20v2t+v2xdx.ClaramenteE0(t)=0comosedesprendedeunasencillaintegraciónporpartes,luegoE(t)E(0)=1
2Z20vt(0,x)2+vx(0,x)2dx=0paratodot0(yaquevt(0,x)=0=vx(0,x)).Porconsiguientesehadecumplirvt0vx,dedondesedesprendequelafunciónv(t,x)esconstante.Comov(t,0)=0hadeserv0,luegou1u2.260

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