Cálculo

14.2 Ejemplo segundo parcial14.2 Ejemplo segundo parcial iii Cálculo vectorial M. A. Malakhaltsev J. R. Arteaga B. Bogotá, 2013 Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur


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14Apéndices
263
14.1 Ejemplo de primer parcial Ejercicio 14.1.
en el punto (x, y, zestá definida implícitamente 2) Dada la curva parametrizada por,
3sen t t p, p] encuentre la ecuación paramétrica de la recta tangente a C en el punto P(0, 2, 0).3) Considere las siguientes funciones, curvas de nivel ( )y gráficas (gráf.) que
CN: I), II), III), IV) o V)Gráf.: A), B), C), D) o E)Realizado el 11 de septiembre del 2011. Tiempo: 70 minutos.Las curvas de nivel mostradas son para valores de
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14.2 E \f \b\t\n \f \r\r
265
Ejercicio 14.2. Llene la casilla en blanco con(falso) o V (verdadero), según sea el caso.1) La curva 1 tiene curvatura constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) Las expresiones
(
t
)
representan la misma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) El gradiente dey la curva de nivel0) forman un ángulo de cero grados . . . . .
4) La funciónx, y, z
3,1
3,1
www2) . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 14.3.x, y, z. Considere la superficie de nivelx, y, zx, y, zrespuesta en la forma simplificada: Ejercicio 14.4., g1) En un mismo plano dibuje las curvas de nivel de2) Encuentre el valor del ángulo de intersección de las dos curvas de nivel del ítem anterior.14.2 Ejemplo de segundo parcial Ejercicio 14.5. Llene la siguiente tabla de tal manera que por renglones corresponda a la respues-ta correcta, de las integrales y los sólidos de dos en la tabla de la página siguiente.
Realizado el 29 de octubre del 2011. Tiempo: 70 minutos.
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6.2 I \t\r \r\f\r
115
6.2 Integral Integral a, b]  [c, d]  {(x, y) | a  x  b, c  y  d} (6.15)un rectángulo tal que R ( D. Si integramos la función) respecto a la variable , obtenemos una función en la variable x,ydy.
Entonces, podemos construir dos integrales iteradas:x,ydydx,x,ydydx.
sstt (6.17)
Interior de no hayPor lo tanto, podemos concluir que el valor máximo de 14 y el valor mínimo es es 10. Entonces la estimativa buscada de la integral es:

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14.3 E \f \r  \r
269
y la superficie 1 con el vector normal hacia 1) Calcule la divergencia 2) Complete el enunciado del teorema de Gauss en general. Teorema.una región sólida simple en la superficie dada con la orientación positiva (hacia afuera). un campo vectorial en tes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta 3) Plantee la integral triple, según el teorema de Gauss, cuyo valor es el flujo a través de dados. Es decir, usando cualquier tipo de coordenadas (cartesianas, cilíndricas o esféricas), plantee llenando los espacios vacíos la integral triple. No deje nada indicado ni casillas sin llenar.
d
4) Halle el flujo del campo vectorial, dado a través de la superficie dada
Ejercicio 14.12.
x, y, z1) Plantee la integral triple que representa la masa de 2) Usando el planteamiento anterior calcule la masa Ejercicio 14.13. Considere la siguiente función,xy. 1) Encuentre los puntos críticos de2) Clasifique los puntos críticos donde la función tiene máximo local, mínimo 3) Encuentre los valores
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14.4 E \f \r\r 
271
Ejercicio 14.20.x,y
1) Describa las curvas de nivel.2) ¿Cuál es el punto 3) ¿Cuál es la dirección en que crece lo más rápido posible la temperatura? Ejercicio 14.21.la curva que es intersección entre las dos superficies 2Calcule la longitud de la curva Ejercicio 14.22.Considere la superficie Ejercicio 14.23.. Muestre que se satisface la siguiente ecuación:
xyz
Ejercicio 14.24. La ecuación
define una función te. Use la derivación implícita para calcular
x,y Ejercicio 14.25.
f
definida porx, y, zConsidere la superficie de nivelx, y, zx, y, z Ejercicio 14.26.Encuentre una ecuación vectorial o una ecuación paramétrica para la recta tan-gente a la curva Ejercicio 14.27.Suponga que una partícula viaja a lo largo de la hélice Ejercicio 14.28. Suponga que está definida implícitamente como una función de
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12.4 I \t\r \f \b\n \f \n \r \r
235
Ejemplo 12.9. Consideremos la superficie x, y, zdefinida sobre este triángulo. El triángulo es la gráfica de la función OAB (v. figura 12.8).Gráfica de la función OAB
yB(0, 2)A(1, 0)xxyzCAB
Entonces la integral de la funcion fdSOABx,y,hx,y
OAB
1 \b 62\b32
dydx
46.
www
cd
12.4 Integral de superficie de un campo vectorial12.4.1 Orientación de una superficieUna superficie admite un campo vectorial continuo de vectores normales unitarios Si la superficie orientación dada por el campo vectorial , y la otra dada por el campo vecto (v. figura 12.9).
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1.6 S\n\b \n\f\r\b
cilindro sinusoidal es una superficie cilíndrica generada por una familia de ) y que pasan por una curva (en este caso el gráfico de la función . La ecuación que define esta superficie cilíndrica es la ecuación . Observemos que no aparece la variable
\n1010\n1.8\n13
1.6 Superficies Definición 1.5. Supongamos el espacio tridimensional superficie cilíndricaen este espacio es una superficie asociada a una ecuación de segundo grado en las variables , es decir una superficie cuádrica Los ejemplos principales de las superficies cuádricas son los siguientes:paraboloide elíptico, fig. 1.20,es una superficie cuya ecuación en forma
cx2
a2\by2
paraboloide circular y es además una superficie de revolución. La orientación del paraboloide elíptico depende del valor de
Paraboloide elíptico
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20
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\b, fig. 1.25, es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
a2\by2
b2z2
es una superficie de revolución.
Las formas canónicas de las cuádricas son la simplificación al máximo de la
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1.7 E\b \f \r\n 
25
Ejercicio 1.36. La reducción de la ecuación
5 1;B. x2
5\by2
6z2
301;C. (x1)2\b\by2
Ejercicio 1.37. La ecuación y vértice en (0, 4, 4),un paraboloide circular con vértice en (0, 4, 1) y eje el eje Ejercicio 1.38. Halle la ecuación para la superficie que se obtiene al rotar la parábola Ejercicio 1.39. Encuentre la ecuación para la superficie que se obtiene al rotar la recta Ejercicio 1.40.Encuentre la ecuación para la superficie que consiste en todos los puntos
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30
CAPÍTULO 2 F\n  \b \r\b
Ejemplo 2.7.
R
La derivada de hallando primero la derivada en general y luego reemplazando el valor de 1),2(0,0) Teorema 2.2. )),( funciones vectoria-les derivables en \t\t\t
Figura 2.1. Ejemplo 2.6
Š2
Š1
1
2
3xy
Š4
Š3
Š2
Š1
1
2
3
40
Definición 2.4. Dada una función vectorial vectorial
dt(t)(f1(t),..., fn(t)).rSrS
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2.1 F\n  \b \r\b \f \n \r \r\r
tangenteGeométricamente la derivada de una función vectorial )en el vec-, es un vector tangente a la trayectoria determinada por . Si el vector tangente ecuación vectorial de la recta tangente
,
la recta tangente no existe.b) En la fórmula 5 las funciones vectoriales toman valores en
Ejemplo 2.8. La recta tangente a la trayectoria definida por
(3,1)
Definición 2.5. Dada una función vectorial integral definidael vector

Ejemplo 2.9. Dada la función vectorial
t24rS
la integral definida estdt
t24dt1
2sen2tpy20,1
2ln(4t2)py201
1,ln
16p2.rS
Hasta ahora hemos definido los límites, las derivadas y las integrales de funciones vectoriales de una variable real,
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14.5 E \f \r\r 
273
Con la anterior información llene la siguiente tabla de tal manera que por renglones corresponda a la respuesta correcta.
Ejercicio 14.32.x,yx,y
1) En un mismo plano dibuje las curvas de nivel de2) Use los gradientes deción entre estas curvas de nivel. Ejercicio 14.33. Considereuna función derivable, ), un vector unitario, ) el vector gradiente en 1) La dirección hacia donde la función decrece con la mayor tasa de cambio es:
2) Una dirección en donde el crecimiento es cero es:
3) La ecuación que relaciona derivada direccional con el vector gradiente es:
4) El vector gradiente es siempre perpendicular a:
5) La derivada direccional está definida por:
(llene el numerador y el denominador de la fracción).
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CAPÍTULO 14 �A \f\b
1) Haga un dibujo del sólido 2) Plantee la integral triple,xyz
en sus seis formas diferentes según el orden del diferencial de volumen 3) Resuelva cada una de las integrales anteriores. Ejercicio 14.51.Encuentre el valor promedio dex, y, zen el primer octante con un vértice en el origen del sistema coordenado y las caras Ejercicio 14.52. Sea taria). Evalúe
x2\by2\bz2dV.
Ejercicio 14.53. la región definida por 4. Evalúe
Ejercicio 14.54. Sea x, y, z Ejercicio 14.55. Considere en el espacio tridimensional los cilindros:
Dos cilindros
…1…0.500.51…1…0.500.51…1…0.500.51
Figura 14.2. Ejercicio 14.55
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278
CAPÍTULO 14 �A \f\b
1.02.03.04.05.01) una aproximación de
xyT
2) una aproximación lineal (linearización) de 3) use el resultado del punto anterior para estimar la temperatura en (3 Ejercicio 14.60.La figura 14.4 muestra 16 curvas de nivel de una función ) con valores de2 de derecha a izquierda respectivamente.
0.51Curvas de nivel de Use la figura anterior para dar un estimativo de las derivadas parciales Ejercicio 14.61.Las figuras 14.5 y 14.6 representan campos vectoriales planos son suaves en todo el plano una curva orientada en sentido antihorario (positiva).
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3.1 C\r\b \b\r\r\b  \r\r\b \r\r\b
47
yzxPlano z  75
La curva La curva de nivel
0
10075
Curva de nivel para Ejemplo 3.4. Las curvas de nivel de la funcion Ejemplo 3.5. Las curvas de nivel de la funcion 0 (fig. 3.5).
c  2c  1c  5
Curvas de nivel de
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3.2 D\r\f\r\b \r\r\b
se consideran las demás variables dife-sen(sen( En este capítulo trataremos con detalle el caso 1) La derivada parcial de
), se define como el límite,
en el caso de que este límite exista.2) La derivada parcial de
), se define como el límite,
en el caso de que este límite exista.
La derivada parcial como la derivada ordinaria respecto a ) definida por ) y luego evaluando en El número que representa la derivada parcial pendiente de la recta tan-gente a la curva , que es la intersección de la superficie (gráfica de la función) con el plano vertical )) (v. figura 3.6).
Eje vertical enLa curva
Derivada parcial respecto a
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104
CAPÍTULO 5 O\r
Ejercicio 5.4.
7,0y2p
Ejercicio 5.5. ¿En qué punto obtiene la función Ejercicio 5.6.
Ejercicio 5.7.Para la función; para los casos que existan, hallar estos valores ( Ejercicio 5.8.Encuentre los valores extremos locales de Ejercicio 5.9.Usando multiplicadores de Lagrange, encuentre el valor máximo de la función
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110
CAPÍTULO 6 I \t\r\b \f\b
f
x,y, debido a la el prisma con base el
f
El volumen del prisma , el cual denotamos El volumen lo podemos aproximar con la suma de los volúme- van a ser más pequeños, entonces la expresión en (6.3) va a ser cada vez una mejor aproxima-ción del valor del volumen deseado. Podemos concluir quem, nm, nm, nPartición del rectángulo
x*13
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6.1 I \t\r \f \b  \t\n\b
113
partición regular del rectángulo Ejemplo 6.2. Para resolver la integral
4 es un valor aproximado de esta integral, pero es el valor exacto de la inte- Teorema 6.1. integral doble de existe. Teorema 6.2 (propiedades de la integral doble). La integral doble sobre un rectángulo gral doble sobre un rectángulo f(x,yx,yx,yx,yx,yx,y (6.10) La integral doble es un funcional positivo, es decir que six,y
Si un rectángulo se divide en dos rectángulos x,yx,yx,y
De este teorema podemos concluir que six,yx,y
(6.13)
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3.3 E\b \f \r\n 
59
Ejercicio 3.5.Utilice la definición de derivada parcial (3.4) para encontrar f Ejercicio 3.6.En la tabla 3.1 se muestran algunos valores de la funciónTabla 3.1.
61518156585585615181565202932292051) Hallar2) Hallar un estimativo para
(1,2).
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60
CAPÍTULO 3 F\n  \b \b\r\r\b
3) Hallar un estimativo para
(1,2).4) Hallar un estimativo para
(1,2). Ejercicio 3.7.En la figura 3.9 se muestran algunas curvas de nivel correspondientes a una función). Estas curvas,son hipérbolas para cada valor constante de Se muestran las curvas de nivel para
c  2c  5
) conocidas algunas curvas de nivel
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3.3 E\b \f \r\n 
61
1) Hallar2) Hallar un estimativo para
(2,1).3) Hallar un estimativo para
(2,1). Ejercicio 3.8.La figura 3.10 muestra la gráfica de una funciónSegún esta gráfica, llene la casilla en blanco con positiva, negativa o cero, según sea el caso.1) La primera derivada parcial
2) La primera derivada parcial
3) La primera derivada parcial
4) La segunda derivada parcial
y32128442222002848
Gráfica de
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114
CAPÍTULO 6 I \t\r\b \f\b
Teorema 6.3 (estimativa de la integral doble). Sea el valor máximo y mínimo respectivamente. Entonces,x,y
Ejemplo 6.3. Considere la integral doble gral doble 1, 1]  [1, 4]. Para estimar la integral necesitamos encontrar los valores extremos de la fun-. En primer lugar, encontramos los puntos crí-
x,y
x,yLa matriz de segundas derivadas de
x2(0,0)2f
xy(0,0)2f
xy(0,0)2f
Luego, para usar el criterio de la segunda derivada, calculamos
x2(0,0)�0,+2det2f
x2(0,0)2f
xy(0,0)2f
xy(0,0)2f
3 es el valor mínimo Para esto necesitamos considerar la función Los vértices del rectángulo {() ,BC{() {() ,DA{() ción de una variable 2 definida en valor máximo de 1, y el valor mínimo es manera similar encontramos los valores extremos en otros lados:
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3.3 E\b \f \r\n 
63
4) la segunda derivada parcial 5) la segunda derivada parcial 6) la segunda derivada parcial cruzada Ejercicio 3.15.
2) Sea
1t4w
x, y, z Ejercicio 3.16.Encuentre todas las segundas derivadas parciales de la función, Ejercicio 3.17.
Ejercicio 3.18. y. Ejercicio 3.19.
Ejercicio 3.20.verdadero. Justifique matemáticamente.x, y, z
\by2\bz21, entonces 3f
yzx, y, z
Ejercicio 3.21.Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie representada por la ecuación
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CAPÍTULO 3 F\n  \b \b\r\r\b
1) z  f (x, y)  x2 \b y2 en P(1, 1, 2).2) z  f (x, y) 
x2\by2w en P(3, 4, 5).3) z  f (x, y) 
1x22y2w en P(1/2, 1/2, 1/2),4) z 
Ejercicio 3.22.Hallar la ecuación de la recta normal a la superficie representada por la ecuación
x2\by2w en P(3, 4, 5).3) z  f (x, y) 
1x22y2w en P(1/2, 1/2, 1/2).4) z 
Ejercicio 3.23.) en una placa de metal plana está definida por:x,y
Ejercicio 3.24.
R1
R1\b1
R2\b1
R3.Encuentre R
R3.
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4Gradiente
65
4.1 Funciones derivables Definición 4.1. ) es derivable sobre
Ejemplo 4.1. coeficientes . Luego, los términos del grado superior con respecto a , y, si 0 entonces vable en cada punto (
Lema 4.1. Si una función es diferenciable en (a, b), entonces A  f
x (a, b), Bf
a,b
x (a, b)p \b f
luego
p
00SlimApS
pAp \b e1 p
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14.6 E \f \r\r 
281
Ejercicio 14.65. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas:
para mover una partícula a lo largo del cuadrado, orientado positivamente, de vértices en los puntos (0 Ejercicio 14.66. Calcular el flujo del campo vectorial:x, y, z
)\b)a través del cubo unitario en el primer octante que tiene tres caras sobre los planos Ejercicio 14.67.x,y,z
S
kSj la mitad superior de la esfera x2 \b y2 \b z2  1. Hallar Sds,SFS
donde 
S
Ejercicio 14.68.mover una partícula a lo largo de la línea poligonal desde el punto (0 Ejercicio 14.69.RRel campo vectorial:
la superficie correspondiente a la porción del plano
Ejercicio 14.70.xye
1) Verificar que es un campo vectorial conservativo. Explique.2) Hallar una función Ejercicio 14.71. Conteste falso (F) o verdadero (V). Justifique. 1) El campo vectorial
S
0,y& &  0,entonces& 
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210
CAPÍTULO 11 C\n \rx,y un campo vectorial derivable en es una región del x,yx,yx,y& 
rS

(Ejercicio resuelto)1) Decida si en la región mostrada en la figura 11.2 el positivo (antihorario) o negativo (horario).ROTACIONAL
Campo vectorial rotacional2) Considere el campo vectorial,0). Halle el valor de la integral de línea
es el cuadrado con vértices en orientado positivamente.1) Primero observamos que las líneas de campo del campo mostrado. Imaginemos que el campo vectorial es el campo vectorial de velocidades de un fluido, por ejemplo agua. Tomamos unos imaginariamente muy pequeñas con aspas en sus bordes. La figura 11.2 muestra cuatro
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14.6 E \f \r\r 
283
es el triángulo con vértices (03), orientado positiva- Ejercicio 14.76.Considere el campo vectorial,y la curva Calcule la integral de línea,
Ejercicio 14.77.Considere el campo vectorial,x,y,z
S
Calcule la integral de superficie, flujo hacia afuera,
Ejercicio 14.78. Considere el campo vectorial,x,y,zy la superficie Calcule la integral de superficie, flujo hacia arriba,
Ejercicio 14.79. Considere el campo gravitacional, donde las constantes están renor-()
r3(x, y, z)x
(x2\by2\bz2)3/2\by
(x2\by2\bz2)3/2\bz
1) Demuestre que es irrotacional.2) Demuestre que este campo es conservativo y halle un potencial escalar3) Demuestre que su divergencia es cero.
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72
CAPÍTULO 4 G\r\f Luego derivamos (4.10) con respecto a x,y
xf
x,y
xy0.QR (4.11)En (4.11) sustituimos x  y  0, f (0, 0)  0, f
x (0, 0)  1, f
y (0, 0)  0 y obtenemos que 2f
xy (0, 0)  1.
4.5 Derivadas direccionales y el vector gradiente Definición 4.2 (Derivada direccional)es un conjunto abierto, una función escalar en las variables . La derivada direccional respecto a un vector unitario ), y se define como el límite,ha,y
%%
, en el caso de que este límite exista.(1,0),
y, para (0,1),
es decir las derivadas parciales son casos par-ticulares de la derivada direccional de una función en un punto.La fórmula (4.12) que define la derivada direccional la podemos por este punto en la dirección del vector unitario . Ahora restringimos la funciónLa derivada direccional deen la dirección del vector unitario es igual a la derivada de Esto justifica el nombre direccional Teorema 4.4. ) es derivable en un punto (para un vector unitario
x(x0,y0)a\bf
y(x0,y0)b.uS (4.14)
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284
CAPÍTULO 14 �A \f\b
4) Halle el trabajo que realiza un cohete de la \r\b\r, para ir desde la superficie de la tierra hasta el infinito. Si necesita datos como masa, velocidades de escape etc., debe usted mismo investigarlos.5) Investigue todo lo relacionado con colocar un satélite geoestacionario. Si necesita datos como masa, velocidades de escape etc., debe usted mismo investigarlos. Ejercicio 14.80.Encuentre los valores máximo y mínimo absoluto de la funcióndonde estos valores se alcanzan. Ejercicio 14.81. Encuentre el volumen del sólido dentro de la esfera
Ejercicio 14.82.x, y, z) es una función suave y que es un campo vec-torial suave en el espacio. Además rot(& )divergencia gradsi la expresión tiene valor escalar, valor vectorial o no tiene sentido, respectiva-1) La derivada direccional de
rotgrad)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
grad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
grad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rotrot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicio 14.83.Decida cuál es la respuesta correcta a la pregunta: ¿cuál de los campos es conser-vativo?x,y,zx,y,zxyzxyzes conservativo pero
S
es conservativo pero C. Ambos son conservativos.D. Ninguno de los dos es conservativo.
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74
CAPÍTULO 4 G\r\f 
Ejemplo 4.13. Consideremos la función. El vector gradiente decrece más rápido en la dirección del vector (rápido en la dirección del vector (9, por ejemplo en la dirección del vector (2, 9), la función Teorema 4.7. El vector gradiente de una funciónortogonal a la curva de nivel deDemostración. Supongamos que la curva de nivel (v. definición 3.2) es parame-
S
(t)]f(x(t),y(t))crSrS donde c es una constante. Por lo tanto derivando en ambos lados, usando la regla de la cadena y evaluando en
dtt0f
x(x(t),y(t))dx
dtt0\bf
y(x(t),y(t))dy
))·Es decir el vector gradiente ) es ortogonal al vector tangente la curva de nivel que contiene el punto (El anterior teorema es válido también para una funciónvariablesx, y, z). En este caso se dice que el vector gradiente en un punto ), es ortogonal a la superficie de nivel Ejemplo 4.14. . La curva de nivel que pasa por el punto
A
(1,
)3curva solución a la ecuación(1,
3). Para encontrar el vector tangente en el punto ), entonces el vector tangente en el pun-a la curva de nivel que lo contiene es
3,1).Por otro lado el vector gradiente en
3)f
(1,
3),f
(1,
(1,
(1,
(2,2
ssss
3)·
3)‰w(p/3).\trS
04-Vectorial.indd 7431/05/13 12:32 a.m.
14.6 E \f \r\r 
285
Ejercicio 14.84.
es la curva dada por {
2B.
171
6C.17
171
6D.
151
12E.15
153
6
wwww
F. Ninguna de las anteriores. Ejercicio 14.85. es un campo vectorial, el cual es el rotacional de un campo vectorial
S
es un campo vectorial constante;es el campo vectorial cero;tiene divergencia cero; Ejercicio 14.86. Considere la ecuación de onda,
t2a.22u(x)
¿Cuál de las siguientes funciones resuelve la ecuación? E. Ninguna de las anteriores. Ejercicio 14.87.Suponga que una partícula se mueve en el plano de modo que su velocidad tiene A. Su velocidad es perpendicular a su distancia al origen. B. Su velocidad es cero.C. Su velocidad es perpendicular a su aceleración. D. Su aceleración es cero.E. Todas las anteriores.F. Ninguna de las anteriores.
14-Vectorial.indd 28531/05/13 01:10 a.m.
4.5 D\r\f\r\b \f \r\b    \t\r\f 
75
Ejemplo 4.15. Dada una función en dos variables en tres variables de la siguiente manera:x, y, z. El gráfico de ) es la superficie de nivel cero de la funciónx, y, zEl vector gradiente dex, y, z
x(x0,y0),g
y coincide con un vector normal del plano tangente a la gráfica de ). Dado que por definición la ecuación del plano tangente a la gráfica de una
x(x0,y0)(xx0)\bg
y deducimos entonces que el vector gradiente de la funciónx, y, z), es ortogonal al plano tangente de la gráfica de la superficie de nivel cero. Ejemplo 4.16. En la figura 4.1 se muestran algunas curvas de nivel y el vector gradiente en ). Las curvas de nivel el 1, 1]. El vector gradiente en un punto (y, x), )). La magnitud del vector gradiente 1, es decir el vector gradiente se ha reescalado. Podemos obser-var que el vector gradiente intersecta ortogonalmente las curvas de nivel.
Vectores gradiente (reescalados) ycurvas de nivel de la función
0.30.3000.30.30.60.60.90.90.60.60.90.9
0.00
0.000.08
0.08
0.08
0.16
0.24
0.32
0.40
0.48
0.56
0.16
0.24
0.32
0.40
0.48
0.08
0.16
0.24
0.32
0.40
0.56
0.480.160.240.320.400.48
04-Vectorial.indd 7531/05/13 12:32 a.m.
286
CAPÍTULO 14 �A \f\b
Ejercicio 14.88.A. Una parábola que es convexa hacia arriba;B. una parábola que es convexa hacia abajo;C. Una circunferencia con centro al lado izquierdo del origen;D. Una circunferencia con centro al lado derecho del origen;E. Dos hojas de una rosa;F. Ninguna de las anteriores. Ejercicio 14.89.Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie parametrizada por las 2) Considere la superficie
S
sobre esta superficie.3) Considere de nuevo la superficie dada en el ítem anterior con orientación a través de Ejercicio 14.90.Use el teorema de Stokes para evaluar con(

Ejercicio 14.91. Use el teorema de la divergencia para evaluar el flujo de
S
(x2\by4)\bx3z3\b
a través de la superficie tera de la región
14-Vectorial.indd 28631/05/13 01:10 a.m.
86
CAPÍTULO 4 G\r\f dienteŽ? Es decir, ¿hay algún río que no intersecta una curva de nivel mos-Dé un estimativo de la pendiente de la montaña en el pueblo de Darién en la Mapa topográfico Calima (Valle del Cauca)
Ejercicio 4.30. La presión de un mol de gas ideal se incrementa a razón de 057 kPa/s y la tem-
para encontrar la razón de cambio del volumen cuando la presión es de 90 kPa y Ejercicio 4.31.segundos está definida por
t,y
14twx
t,y
14tw ,
04-Vectorial.indd 8631/05/13 12:32 a.m.
15.2 E\b \f \r\n X
2912)
4.01.01.03.04.03.01.00.02.0
3)
8.00.02.02.08.04.00.00.02.0
4)
1.001.006.31.001.006.30.00.00.0
15-Vectorial.indd 29131/05/13 11:58 a.m.
4.7 E\b \f \r\n 
87
15. ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del bicho después de 15 segundos? Ejercicio 4.32.tras su altura disminuye a razón de 5 in/s. ¿A qué razón cambia el volumen del Ejercicio 4.33. La longitud instante la razón a la que cambia el área superficial de la caja. Ejercicio 4.34. La temperatura en un punto de una bola de metal es inversamente proporcional Ejercicio 4.35. Suponga que en una cierta región del espacio el potencial eléctrico está definido x, y, zción del vector SSS
04-Vectorial.indd 8731/05/13 12:32 a.m.
5Optimización
89
5.1 Extremos libresExtremos ) una función real de varias variables definida en un , si existe una vecindad de (),talque
x
2) un , si existe una vecindad (),
x
3) un , si existe una vecindad de (),
x
4) un , si existe una vecindad (),
x
SaSCAPÍTULO
Ejemplo 5.1. …x2 … y2] (parte entera)1 posee un valor máximo no
x
posee un valor máximo estricto de 1 en el punto (0, 0). El dominio de esta función es el primer cuadrante. Observe que para una vecindad drante (v. figura 5.1). Ejemplo 5.3. 0. Las curvas de nivel son rectas paralelas a . Si dibu-jamos el vector gradiente
parte entera se define como: [
05-Vectorial.indd 8931/05/13 12:34 a.m.
90
CAPÍTULO 5 O\r dirección perpendicular a las curvas de nivel y apunta en sentido contrario a la . El valor del mínimo es cero (v. figura 5.2).
x
ywwy0.70.20.00.51.01.51.52.02.00.00.01.00.30.81.31.8x
5.1.2 Puntos críticosEn los ejemplos anteriores obtuvimos los valores extremos por simple inspección, teniendo como herra-mientas la gráfica dey las gráficas de sus curvas de nivel. Ahora quisiéramos tener otra herramienta. Esta herramienta va a ser analítica y se aplicará para funciones que posean todas sus segundas derivadas en varias variables que consideramos en esta sección poseen todas sus segundas derivadas parciales
Figura 5.2. f (x, y)  (x \b y \n 2)2
1010
05-Vectorial.indd 9031/05/13 12:34 a.m.
5.1 E\b \b
91
Ejemplo 5.4. con segundas derivadas parciales continuas (0, 0), y este valor es 4. Por el teorema 5.1, el gradiente se debe anular en este punto. Efectivamente, (0, 0) (v. figura 5.3).Ejemplo 5.5. La condición del teorema 5.1 es necesaria pero no es suficiente, es decir, para que una función que cumpla las hipótesis del teorema tenga un extremo local pero no es suficiente. Por ejem-(0, 0) (0, 0), sin embargo en ningún extremo local (máximo o mínimo). La gráfica de
Definición 5.2. una función real con segundas derivadas parciales continuas Teorema 5.1 una función real con segundas deriva-posee un extremo local en
z
05-Vectorial.indd 9131/05/13 12:34 a.m.
92
CAPÍTULO 5 O\r Teorema 5.2 (condición suficiente). Sean una función real con segundas deriva-()···()···
€ Si € Si segunda derivada.Veamos este teorema para cuando ():();())Puede haber un extremo local, un punto de silla o ninguno de los mienta, por ejemplo la gráfica de la función o del gradiente y curvas de nivel, por ejemplo considere la función del ejemplo 5.3.
Clairaut las segundas derivadas parciales cruzadas son iguales.
05-Vectorial.indd 9231/05/13 12:34 a.m.
15.2 E\b \f \r\n X
1) (0, 2,
(t21)3y2,1
t.
1) Aplique la definición y luego use el hecho de que cada componente es una función real de variable real.
t22
2sen
iSSj3) 1
t23
t\b11
3(t\b1)2y3\b(1cost\btsent);
iSSjw4) 2
t3\b3t23
t\b1\bt3
3(t\b1)2y3\b
2t\b3t2costt3sent.
iSSjw 2.8 1)
2
t\b1;cost.w2) (e31)\b1
1) (2
2468
15-Vectorial.indd 29331/05/13 11:58 a.m.
296
CAPÍTULO 15 S\n \b
2(e1/e),
w

1.001.541.01.21.21.00.01.270.0
4) 36
149,
w

7.07.006.9180.0180.07.00.00.00.0
5) e7 \n e…7,
0.09.90.001.0196.61.00548.84.90.50
15-Vectorial.indd 29631/05/13 11:58 a.m.
5.3 Ejercicios del capítulo 5
105
x, y, zx, y, zx, y, zy, x Ejercicio 5.10.Usando multiplicadores de Lagrange, encuentre el valor mínimo de la función x, y, z, tt, x Ejercicio 5.11.Usando multiplicadores de Lagrange, encuentre el valor máximo y el valor míni-x, y, zxy,
8\by2
Ejercicio 5.12.Encuentre los valores máximo y mínimo de la funciónx, y, z
w
Ejercicio 5.13.Encuentre el valor mínimo de൉൉൉
05-Vectorial.indd 10531/05/13 12:34 a.m.
298
CAPÍTULO 15 S\n \b
2
2,(B)2e3
(1\be4)3y2,
10.90.80.70.50.40.6
AB 2.18 1) (t) 13,3.336e-13.335e-13.334e-13.333e-13.331e-13.33e-13.332e-1102
345
6
12221
1332) (t)1
(2cosh(1.5232.53.5
0.210.620.80.4
1
15-Vectorial.indd 29831/05/13 11:58 a.m.
300
CAPÍTULO 15 S\n \b
15.3 Ejercicios del capítulo 32) El interior de la esfera 3) El interior de la elipse 77) El interior del elipsoide
4\by2
4\bz2
1.01.0
0.50.511000.50.511
15-Vectorial.indd 30031/05/13 11:58 a.m.
15.3 E\b \f \r\n 
3012) {(x, y)  x \b y ^ 1},
1.13.0
11.61.81.8220.60.60.80.81.21.21.41.411
3) {(x, y)  x },
1.00.0
1) El dominio es . La superficie de nivel existe para
1 la superficie es el 2) El dominio es . La superficie de nivel existe para todos
00.01.21.51.51.21.51.50
00.01.01.01.01.000.00
00.03.83.63.60
c ^ 0 c  0 c
15-Vectorial.indd 30131/05/13 11:58 a.m.
5.3 Ejercicios del capítulo 5
107
Ejercicio 5.23.Determine las dimensiones del cono del volumen más grande que se puede ins- Ejercicio 5.24.Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo tal que Ejercicio 5.25.Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 8 Ejercicio 5.26.Determine las dimensiones de la caja rectangular con mayor volumen y área superficial de1) 96 cm2) 216 cm Ejercicio 5.27.es igual a 108 y su volumen es máximo. Ejercicio 5.28.x, y, z Ejercicio 5.29.de inversión de capital. Suponga que la produc-son constantes positivas y 15, encuentre los valores de
05-Vectorial.indd 10731/05/13 12:34 a.m.
15.5 E\b \f \r\n _
1) (2, 1); mínimo local; 2) (0, 1); máximo local; 3) (0, 0); mínimo local; 4) (2, 6) (0, 0); máximo; 7) (0, 0); silla; 8) (0, 0); mínimo local; 9) (0, 0); mínimo local; 10) (0, 0); máximo local; 1) (
21,p
RQ1) (0, 0),2) (0, 0),3) (0, 4). (0, 5 Mínimo local
2y
5,0)8.ww2) f (6, 5, 7)  220.3) fmáxf(,1y
2,0,0(0,,1y
2,0)f(0,0,,1y
www
17,16y
17,4y
17\b4
17"23,5.wwww 5.10 fmínf(
5y2),
5y2),
5y2),
))
ww
15-Vectorial.indd 30931/05/13 11:58 a.m.
15.6 E\b \f \r\n $
311
15.6 Ejercicios del capítulo 6 390. 1) 180.2) 352.3) 312.
3\b8
6\b2
103\b2
81,94.wwww 1664. 36. 54. 6700 ft 1)
2)\b2e(13
2)\b2e(9
2)\b6e(5
2)\b4e(1
2,944. exp( 1. Es verdad que, 0,000036 1) 3) 0 4) 2. 1)
2.01.0
15-Vectorial.indd 31131/05/13 11:58 a.m.
116
CAPÍTULO 6 I \t\r\b \f\b
Ejemplo 6.4. . Un ejemplo de una integral itera-x,ydydxdydxxdx
6.
sstCambiando el orden de las variables de integración obtenemos la otra integral x,ydxdydxdy
3x3\bx2yR`10dx321
ydy
6.
ss
Observemos que los resultados coinciden, este hecho no es por accidente (v. teorema 6.4). Las integrales iteradas nos brindan la herramienta principal para resolver las integrales dobles, por el siguiente teorema. Teorema 6.4 6.4 a, b]  [c, d]  {(x, y) | a  x  b, c  y  d} un rectángulo tal que R ( D. Entonces,Rf(x,yx,ydydxx,ydydx
Ejemplo 6.5. 0, 1]  [0, 2] de los ejemplos 6.1 y 6.2. La integral iterada dex,yx,ydydxdydx
2y220dx10[2x\b 2]dx
y por el teorema de Fubini (v. teorema 6.4) podemos comprobar que es igual a la otra integral iterada:
06-Vectorial.indd 11631/05/13 12:36 a.m.
314
CAPÍTULO 15 S\n \b
15.7 Ejercicios del capítulo 7 1)
5;w2) p  I  pe4;3) 0I
7.2
RQ 7.3
1) La región es el triángulo con vértices en
3) La región es el triángulo con vértices en
udvdu2
 es el triángulo con vértices en es el triángulo con vértices en 7.6 es el triángulo con vértices en dydx 7.7
64p2. 7.8 VD
1y2z2
dzdy
Usamos cambio de variables . El volumen es
7.10
Representa el área de la región de integración unión de un triángulo con un cuarto de círculo. Su valor es 2
15-Vectorial.indd 31431/05/13 11:58 a.m.
6.3 A\r \b \f \r  \t\r \f
117
x,yx,ydxdydxdy
2x\bxy10dy201
ydy
Este resultado corresponde al valor del volumen del sólido considerado en el Tenemos la siguiente fórmula útil. Seaenemos la siguiente fórmula útil. Seaa, b]  [c, d] un rectángulo, entoncesRf(x,ydy.
ejercicio resuelto). Calcule la integral
0, 2]  [0, p/2](el valor de la integral es el volumen del sólido acotado por la superficie Tenemos,ydydxxdxydy
QQ
6.3. Aplicaciones de la integral dobleVeamos algunos ejemplos de aplicaciones de la integral doble. En el próximo capítulo veremos algunos otros, los cuales involucran regiones de integración
06-Vectorial.indd 11731/05/13 12:36 a.m.
15.10 E\b \f \r\n 
321
9.13
2p
9.14
(). 2 80 8
2). 2 9.20
15.10 Ejercicios del capítulo 10 C. A. D. A A. 10.6 2) 1)
x\b 6y\b6
ji
2
x11\by7\bz11,7y6
2
x11\by7\bz11,11z10
2
www 10.8
x2R
15-Vectorial.indd 32131/05/13 11:58 a.m.
4.6 R\r \r \t  \r \n \r \n\r  \r  \r \t  \r \n \r \b\n
79
Para obtener la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie 0 en el punto (2, 2, 0) (v. figura 4.5), consideramos la x, y, z). Verificamos queLuego,
x  z  cos(z \b x  y), entonces F
x (2, 2, 0)  1. Similarmente, F
y (2, 2, 0)  1, F
s, ys, z
El plano tangente y la recta normal a la superficie
3.03.00.00.00.03.03.03.03.0
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15.11 E\b \f \r\n 
323
3) 43
210;4) 37
cos8sen4;
3;6) 1
109;w7) 3213\be151
1) 1) 303;2) 14
(cos4cos1
1) 9, 2) 9. 15.11 Ejercicios del capítulo 11 11.1 2. 20. 6557.1) Sí. 2) No.
15-Vectorial.indd 32331/05/13 11:58 a.m.
6.3 A\r \b \f \r  \t\r \f
1) ¿Cuál es la masa 2) ¿Cuál es el valor promedio
3) ¿Cuál sería la masa de la lámina con una densidad constante igual a
1) Podemos hallar la masa
xydAxydxdyydy16.
2) El área 4, entonces el valor promedio de la densidad
3) Si la densidad es constante
m (x, y) 
. La última igualdad siempre es verdadera porque

06-Vectorial.indd 11931/05/13 12:36 a.m.
6.4 E\b \f \r\n $
121
Ejercicio 6.6.Se divide en cuatro cuadrados iguales y se usa la regla del punto medio. Encuentre un valor estimado para el volumen del sólido que yace debajo del olumen del sólido que yace debajo del 0, 4]  [0, 4]. Ejercicio 6.7. Dada la tabla de valores para una función) definida en
345676135.534810106.571001014Estime el valor de
usando la regla del punto medio con Ejercicio 6.8. Dada la tabla de valores para una función) definida en
4567871504.54567826101112135.5945676…12345
06-Vectorial.indd 12131/05/13 12:36 a.m.
330
CAPÍTULO 15 S\n \b
15.14 Ejemplo de primer parcial 1) Sea x,y,z
x\bF
zz
x0z
xF
x
F
z z
x1
x\bz
y1
x\bz1
(x\bz)y1z
Rta.1
2sen
3cos
3),a(s)(0,2,0)\bs(1,0,
Rta.(
3)rSSaS\trSwwwwvS
3) Son 10 casillas para llenar. Por cada casilla correcta 0,5
: I, II, III, IV o VGráf.: A), B), C), D), o E), 1)
Es una elipse.2) Vs
t
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122
CAPÍTULO 6 I \t\r\b \f\b
Estime el valor de
Ejercicio 6.9.intervalos de 5 pies, empezando en la esquina superior izquierda de cada rectán-
101520253003510111153511131110361013151315377791110203333577Estime el volumen de agua en la piscina. Ejercicio 6.10.6.10.3, 1]  [2, 2] y f (x, y)  ex2y2.1) Halle el valor aproximado de la integral doble

)( en los centros de 2) Use el teorema 6.3 para estimar la integral doble

valores extremos de, convencerse de que están en el seg-g-8fmín, 8fmáx]. Ejercicio 6.11.6.11.0, 2]  [0, 4] y f (x, y)  xy.1) Halle aproximadamente el valor de la integral doble . Para
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332
CAPÍTULO 15 S\n \b
15.15 Ejemplo de segundo parcial Los apareamientos son:
(c)I(d)IV1) Usaremos simetrías. En primer lugar, el sólido en la ecuación que lo define, ésta no cambia. En segundo lugar, dado que la densidad ) es constante, las funciones del integrando de los numeradores quedan, lo tanto al integral sobre el sólido 0,¯x,y,z
x,y,zzdV
EdV2p0p/2020r3cosfsenfdrdfdu
4
6p(2)34p
4
6p(2)33
 Entonces el centro de masa es
4R
Sea ABCD el paralelogramo cuyos vértices están en 1) La trans
T
15-Vectorial.indd 33231/05/13 11:58 a.m.
6.4 E\b \f \r\n $
123
Halle el valor exacto de la integral doble  usando integrales 3) Use el teorema 6.3 para estimar la integral doble . Para esto hallar primero los valores extremos de, y convencerse de que están en el segmento gmento 8fmín, 8fmáx].4) Halle el valor promedio
Ejercicio 6.12.6.12.1, 1]  [2, 2] y f (x, y)  5  x2  y2.1) Bosqueje el sólido sobre el rectángulo R  [1, 1]  [1, 1] acotado por la gráfica de la función2) Halle su volumen aproximado usando una suma de Riemann con )(3) Halle el valor exacto del volumen. Ejercicio 6.13.. Calcule la integral. Ejercicio 6.14.Calcule la integral iteradadxdy
ydxdy
y\by
dxdyln5ln2dxdy Ejercicio 6.15. Calcule el valor de la integral doble,

 xyeydA, donde R  {(x, y) | 0  x  2, 0  y }.2) R4\bx2
1\by2dA, donde R x, y) | 0  x  3, 0  y }.
06-Vectorial.indd 12331/05/13 12:36 a.m.
15.15 E \f \b\t\n \f \r\r
333
u
v
3
2
1
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3TGráca de SGráca de R
0
0
0
1
1
A\tB\tC\tD\t
x
y
3
2
1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
ABCD
Su matriz inversa es,
A
1S1112
T
El paralelogramo , cuyos vértices están en 2) El jacobiano de la transx,y
3) Usando la órmula de cambio de variables tenemos:dydxdu.
2
14.8 1) Extremos libres (test de la segunda derivada) Puntos críticos: Este punto lo tenemos en cuenta porque está en el disco
P
2002
P
entonces en (1, 2) la unción tiene un mínimo local y su valor es cero,
15-Vectorial.indd 33331/05/13 11:58 a.m.
124
CAPÍTULO 6 I \t\r\b \f\b
3) R

 x sen(x \b y) dA, donde R0,%
60,%
6
.4) Rxy2


1, 2]  [1, 1].8) R(x2y)dA Ejercicio 6.16.Encuentre el volumen del sólido:2) debajo del paraboloide
4\by2
1, 1]  [1, 1],4) encerrado por la superficie
encerrado por la superficie 6) encerrado por el cilindro 7) encerrado por la superficie Ejercicio 6.17. Bosqueje el sólido sobre el rectángulo Bosqueje el sólido sobre el rectángulo 1, 1]  [1, 1] acotado por la gráfica de la función, y halle su volumen. Ejercicio 6.18.6.18.0, 1]  [0, 1] entre las gráficas de las 1, y halle su volumen. Ejercicio 6.196.190, 1]  [0, 1] entre las gráficas de las 2, y halle su volumen.
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6.4 E\b \f \r\n $
125
Ejercicio 6.20. Calcule el valor promedio de la función) sobre la región f es el rectángulo con vértices ( f Ejercicio 6.21. Ejercicio 6.22.
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128
CAPÍTULO 7 I \t\r\b \f\b: \t \b \t \r\b
Diremos que ) son funciones reales continuas definidas sobre [región es de tipo , entonces la integral doble dex,yx,y
si la integral iterada existe.es a la vez de tipo  y de tipo . Si una región es de tipo , se puede cambiar el orden de integración de tipo  a tipo  o viceversa, es decir, podemos extender el teorema de Fubini (6.4) x,yx,ydydxx,ydxdy.
Definición 7.3 (integrabilidad). Una funciónes integrable en una región tipos  o , si la integral desobre la región existe.Ejemplo 7.2. Ejercicio resuelto). Hallar el valor de la integral doble iterada,sen()dxdy.
La región de integración es el triángulo mostrado en la figura 7.1, la cual es de tipo . Observando la gráfica, podemos escribir la región como tipo  y
ee

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130
CAPÍTULO 7 I \t\r\b \f\b: \t \b \t \r\b
Definición 7.5. una región tal que es una región de tipo  o tipo  y para todo es integrable sobre cada región , entonces la integral doble dedefine comox,yx,y
Al conjunto de las regiones El valor de la integral no depende de la partición tomada para Ejemplo 7.4. Ejercicio resuelto). Hallar el valor de la integral doble de la funciónsobre la región acotada por las curvas La región es de tipo  y se puede escribir como, 4 (v. figura 7.2). Por lo tanto la integral se puede plantear y resolver como una integral doble iterada sobre esta región.xydAxydydx
222xy24x2dx1
222x(16x4)dx0.
Región de integración tipo :
x
D1yy  x2y  4432112123
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338
CAPÍTULO 15 S\n \b2) Como es constante, elevando al cuadrado, la expresión cos es constante. Es decir las curvas de nivel son rectas 23) Si Sea Por lo tanto la ecuación del plano tangente y la recta normal en respectivamente 2 Sea x,y
x,y
2ex(cosy\b 1,seny)&f(0,0)(1,0)Df(0,0)(cosu,senu)(1,0)1cosu13u0(1,0).uSuS 14.18 Lp/20\t(t)dtp/20
9sen9cos
2
14.19
0, por lo tanto la ecuación dada define una función implícita
x(P)F
x
F
z(P)8x
3z2(P)f
x(P) 2/3z
yF
y
F
z2y
3z22y
3z22f
xy(P)
yQQQRRQ8x
3z2RR(P)TSST8x
3
y1
z2(P)8x
32
z3z
y(1,1.,2)1
9
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Índice de materias
ángulo polar, 2aplicación regular, 225arco de curva, 35 gráfica de función, 76 superficie paramétrica, 225 escalar, 183 línea de, 187 vectorial, 183 vectorial conservativo, 203, 209 vectorial gradiente, 186 vectorial irrotacional, 209 elíptico recto, 16 sinusoidal, 17 abierto, 48 medida cero, 129 curvilíneas, 135 matriz jacobiana, 135 cartesianas, 1, 4 cilíndricas, 5 de la función, 27 esféricas, 7 polares, 2criterio de la segunda derivada, 92curva, 37 parametrizada, 37curvas de nivel, 46curvas coordenadas del sistema de coordenadas cartesianas, 2 del sistema de coordenadas polares, 2curvatura, 37derivada derivada direccional, 72 función vectorial, 31 parcial, 48 parcial de orden superior, 54divergencia campo vectorial, 253 vectorial de la recta, 11 vectorial del plano, 11 por un punto, 12 lineal, 12
17-Vectorial_INDEX.indd 34903/06/13 02:49 p.m.
350
Í \f \f \r\r\becuación vectorial de la recta tangente, 31 paramétricas superficie de revolución, 228 paramétricas de recta, 11 paramétricas del plano, 12eje polar, 2 de Leibniz, 31 Frenet, 38 de un campo vectorial, 183, 184, 187, 198 del rotacional, 208, 247 potencial de energía, 205 potencial escalar, 203, 205 determinada implícitamente, 69 diferenciable, 65 variables, 45 integrable, 128 objetivo, 96 restricción, 96 suave, 53, 54 vectorial, 27 vectorial continua, 29gráfica de función variables, 45integral de línea, 183 de línea de un campo vectorial, 191 de línea, aplicaciones, 193 de línea, notación, 190integral de la función vectorial, 31integral de superficie de un campo vectorial, 236 de una función, 233integral doble acotación, 132 aditividad, 132 aplicaciones, 132 aplicaciones: área, 133 aplicaciones: centro de masa, 133 aplicaciones: masa, 133 aplicaciones: momentos de inercia, 133 aplicaciones: primer momento, 133 aplicaciones: promedio, 133 aplicaciones: volumen, 133 cociente en, 132 jacobiano, 135 linealidad, 132 monotonía, 132 producto en, 132 tipo , 127 tipo , 128 tipo , 128integral doble sobre el rectángulo, 118integral múltiple jacobiano, 170integral triple acotación, 152 cambio de variables. Coordenadas cilíndricas, 171 cambio de variables. Coordenadas esféricas, 174 monotonía, 152 sobre paralelepípedo, 151 tipo , 154 tipo , 156
17-Vectorial_INDEX.indd 35003/06/13 02:49 p.m.
Í \f \f \r\r\b
tipo , 156 valor promedio, 163 volumen, 162 función vectorial, 29 local estricto, 89 local no estricto, 89 local estricto, 89 local no estricto, 89 jacobiana del cambio de coordenadas, 135 compatible, 249, 257 positiva de una curva, 248orientación positiva canónica del plano paraboloide circular, 17parámetro de una curva, 32 tangente a la gráfica, 58 ecuación lineal, 225, 228 ecuación paramétrica, 225 superficie paramétrica, 225 coordenadas exteriores, 225 coordenadas interiores, 225 crítico, 91radio polar, 2 normal a la gráfica, 56región acotada, 127región, 127 campo vectorial bidimensional, 187 campo vectorial tridimensional, 186superficie de revolución, 228 líneas coordenadas, 225 orientable, 236 paramétrica, 225superficie, 15 catenoide, 14 cono, 20 cuádrica, 17 elipsoide, 19 hiperboloide de dos hojas, 19 hiperboloide de una hoja, 18 hiperboloide elíptico de dos mantos, 19 hiperboloide elíptico de un solo manto, 18
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352
Í \f \f \r\r\b paraboloide elíptico, 17 paraboloide hiperbólico, 18 revolución, 13 silla de montar, 18superficies de nivel de una función, 46 cambio de variables, 136 Clairault, 54 Fubini, 116, 154 fundamental de las integrales de línea, 203 Gauss, 252 Green, 206 Green, primera forma vectorial, 209 Green, segunda forma vectorial, 213 Stokes, 247 valor medio, 132, 140valor promedio, 133vector normal, 226 normal unitario, 226vector director, 11 gradiente, 73 normal a la gráfica, 56volumen de sólido, 133
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Este libro está dirigido a quienes desean entender la práctica del cálculo dife-rencial e integral en varias variables, en su aplicación técnica. Se presenta un formato de texto propositivo, que busca hacer del cálculo algo práctico, es decir, que el lector identique por sí mismo los principios básicos y lógicos que le dan fundamento al cálculo diferencial e integral en dos y más varia-bles.Entre sus características relevantes pueden mencionarse las siguientes:- Es un texto guía para el curso de Cálculo Vectorial para carreras de inge-- Sirve como texto para aquellos estudiantes que deseen estudiar de forma individual este curso.- Cuenta con los temas sucientes para el curso, explicados de manera corta y clara. - Los ejercicios y problemas, que son su punto central, fueron escogidos cuidadosamente.- El texto está adaptado al proceso pedagógico de enseñanza-aprendizaje del curso.
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152
CAPÍTULO 8 Á\r \f \b\n\b   \t\r\b \b.... Podemos usar esta suma para hallar el valor aproxi-mado de la integral triple. Por ejemplo, sean ¯¯)(x,y,z
...y a esta forma de aproximar la integral triple se le conoce como el La definición de la integral triple se puede extender a cualquier región en De la definición de integral triple se puede obtener el siguiente teorema. Teorema 8.3x, y, zx, y, z) dos funciones definidas en una re-x, y, zx, y, zx, y, zx,y,zx,y,zdV.
Teorema 8.4 x, y, z) una función definida en una región x, y, zx, y, zes el volumen de x,y,z
(8.25)
Ejercicio resueltox, y, zcon centro en el origen. Estimaremos la integral
z2 (8.26)
08-Vectorial.indd 15231/05/13 12:47 a.m.
4.7 E\b \f \r\n 
85
Ejercicio 4.27. De la función se conocen sus curvas de nivel (v. figura 4.6). En el punto indicado (2, 1) dibuje:1) el vector que indica hacia dónde2) el vector que indica hacia dónde3) un vector que indica hacia dónde4) el vector gradiente de Ejercicio 4.28.elíptico invertido cuya altura podemos modelar aproximadamente portaña en (0, 40, 0) quiere trazar la ruta de subida hasta la cima de mayor dificultad, comenzando en este punto. Dibujar la superficie y sobre ella la ruta que quiere el Ejercicio 4.29. La foto del mapa topográfico en la figura 4.7 muestra las curvas de nivel de una parte de la frontera de los departamentos del Valle del Cauca y del Chocó. Ubique el cerro Pan de Azúcar, el río Calima, el río Frío, la represa de Calima que está en la altura 1500 metros sobre el nivel del mar. Los lados de los cuadrantes en el sobre el nivel del mar?Dibuje el vector gradiente en el punto (2, 1)
11001122332233
7.000.0012.0016.003.005.00
04-Vectorial.indd 8531/05/13 12:32 a.m.
158
CAPÍTULO 8 Á\r \f \b\n\b   \t\r\b \b
Tipo : Proyectando dxdzdydxdydzdxdydz
͵ሻTipo : Proyectando
Ejercicio resueltoPodemos considerar la región sólida de integración ejemplo 8.3 como una región sólida tipo  o tipo . Por ejemplo, si considera-como una región sólida tipo , tenemos que la región ) (proyec- 2, 0 (proyección de la recta de intersección de los pla- 0) (v. figura 8.5). Por lo tanto,
D(1, 2, 4)B(0, 2, 4)C(1, 2, 0)A(1, 0, 4)yzx
'
Una región sólida tipo 
2y1
zdxdzdy
2y1
dzdy
2yz\b1
z dzdy
3y3\b 2y2dy
ABab
08-Vectorial.indd 15831/05/13 12:47 a.m.
164
CAPÍTULO 8 Á\r \f \b\n\b   \t\r\b \b
Bz
x
y
Encontraremos el valor promedio de
w
x2\bz2 sobre el círculo B. En primer lugar encon-tramos el volumen de E: V(E)E1dVB22w
dydA
x2\bz2dA
 rdrd
32
3p.
f (x, y, zydV
ydydA
2(22w
x2\bz2)2dA
rdrd
61
3p.
Por lo tanto, ¯f1
x,y,z
2.
(8.56)
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166
CAPÍTULO 8 Á\r \f \b\n\b   \t\r\b \b
Ejercicio 8.6. Hallar el área de la superficie que es la gráfica de Ejercicio 8.7.8.7., 1] [0, 1] [0, 1] y la función f (x, y, z
Ejercicio 8.8.8.8., 1] [0, 2] [0, 3] y la funciónf (x, y, z
Ejercicio 8.9.Hallar el valor de la integral iterada.dxdzdy
dxdydz
x0
4xŠy2
xdzdydx
a2x20
a2x2y201
dzdydxxyzdzdydx Ejercicio 8.10.Exprese la integralx,y,z
como una integral iterada de la formax,y,zdzdydx
1) el sólido acotado por 2) el sólido acotado por y, z 3) el tetraedro acotado por los planos
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288
CAPÍTULO 15 S\n \b7).4).
2\by
8\bz
k,zk,xk,x Hiperboloide de un solo manto con eje, el eje
25z2. 1.40 z2 \b x2  \n20y.
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Cambio de variables
169
9.1 Cambio de variablesen sí mismo definida por:
es derivable en , es decir,
existen y son , entonces el jacobiano se define como el
(u1,u2,...,un)x1
u1x1
u2···x1
unx2
u1x2
u2···x2
un......xn
u1xn
u2···xn
un
(9.2)CAPÍTULO
Ejemplo 9.1. Consideremos la aplicación lineal ()
x
x,y,zu,v,w
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9.1 C\r \f \r\r\b
9.1.1 Fórmula para cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas en una integral tripleEl cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas es,x,y,z
(r,u,z)
x
rx
ux
zy
ry
uy
zz
rz
uz
z
001r, nadas cilíndricas en una integral triple esx,y,zdxdydzrdrd
¿Cuándo usar coordenadas cilíndricas en una integral triple? La respuesta a esta pregunta depende dey de la región de integración 1) Si la función de integraciónuna expresión que tiene la suma de cuadrados de al menos dos de sus varia-2) Si la región de integración está acotada por alguna superficie con ecuación que tiene la suma de cuadrados de al menos dos de sus variables, por ejemplo
Ejercicio resuelto. La región de integración, figura 9.1
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174
CAPÍTULO 9 C\r \f \r\r\b   \t\r\b \bFórmula para cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricasEl cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas esx,y,z
(r,f,u)x
rx
fx
uy
ry
fy
uz
rz
fz
upsenfcosucosfcosursenfsenusenfsenucosfsenursenfcosucosfrsenf0pr2senf.
nadas esféricas en una integral triple es:x,y,zdxdydz
¿Cuándo usar coordenadas esféricas en una integral triple? La respuesta a esta pregunta depende de dos cosas, una es la función que se va a integrar,otra es la región de integración. Por lo tanto, podemos decir que si la función de integración está dada en coordenadas cartesianas y tiene una expresión que invo-dijo antes también depende de la región de integración. En caso de que la región de integración sea un pedazo de esfera (centrada en el origen) o la parte interior de un cono dentro de una esfera (esfera centrada en el origen y cono con vértice en
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15.11 E\b \f \r\n 
2) Una parametrización de la astroide 1es:( Ésta es una curva cerrada.0.51
0.5
3) La integral es cero porque es un campo vectorial conserva-tivo.4) La integral es cero porque es un campo vectorial conser-vativo. 1) 4200.2) 1263) 2.6) 0. 18. 1152
3\b18
2
3w
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15.16 E \f \r  \r
3353) F
& FS  cos x \b cos y \n 2 cos z  0 en general.4) V
es un paraboloide abierto hacia arriba con vértice en (1, 2), donde alcanza el mínimo que tiene valor de
superficies: la esfera y el plano. 1) & 
xx,f
yy,f
x,y,z
2\by2
2\bz2
2\bc.
3) C&fdf((b))f((b)).
rSrSrS4) WCdQRx2
2\by2
2\bz2
2\bc(1,2,3)(2,0,0)5FS
rS
1) & ().
FSFSSS
3) 2p0p0103()r2r2senfdrdfdu.
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80
CAPÍTULO 4 G\r\f 
Ejercicios del capítulo 4Ejercicios recomendados: Ejercicio 4.1. Sea ). Use la regla de la cadena
r,u
s,2u
sr,2u
r2,2u
Ejercicio 4.2. Sean )). Calcular el valor de
uv\bg
w en el punto u  1, y  1, w  0 sabiendo que, f
xf
y 2;2f
x22f
y22f
Ejercicio 4.3. Aplique la regla de la cadena para hallar
s, donde z  er cos u, r st, u
Ejercicio 4.4. Si
Ejercicio 4.5. Aplique la regla de la cadena para hallar:
s cuando s  10 y t  0, donde w  x2 + y2 + z2, x  st, y  s cos t, z  s sen t;2) w
s cuando s  0 y t  8, donde w  xy + yz, + zx, x  st, y  est, z  t2;3) w
uv, y Ejercicio 4.6. Aplique la regla de la cadena para hallar:
dt donde z  sen x cos y, x t, y 
t5;w2) dz
dt, donde z  x ln(x \b 10y), x  sen t, y  cos t,
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142
CAPÍTULO 7 I \t\r\b \f\b: \t \b \t \r\b
7.3 Ejercicios del capítulo 7Ejercicios recomendados: Ejercicio 7.1.Use la propiedad de acotación (7.8) de las integrales dobles para estimar el valor
D
w
x2\by2dA, D  [0, 1]  [0, 2];2) I  e4x2y2,D D  {(x, y)  x2 \b y2 x  0};3) I  w
Ejercicio 7.2. Ejercicio 7.3.Halle el valor de la integral doble
es la región acotada por las curvas: 1 (v. figura 7.10).
0.511.5
x  1x  1y  1x  y2
Dominio de integración:
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7.2 C\r \f \r\r\b   \t\r\b \f\b: \r\r 
141
0.511.5
Dominio de integración: La ecuación 1, la cual es equivalente a
2sendrd
2sen
4p0
16sen(1Šcos2
1Š2cos22cos2
cos4
cos2
cos4
2.
QQ
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7.3 E\b \f \r\n '
145
9) que se encuentra abajo de la esfera
10) que se encuentra dentro del cilindro Ejercicio 7.13.Calcule las siguientes integrales. Si lo estima necesario, cambie el orden de inte-
2arcsenycosxw
xdxdy Ejercicio 7.14. Calcule la integral doble. Use coordenadas polares, si lo estima necesario.
9y2Šw
9y2x2y2dxdy,2) 55
w
2xw
dydx
dydx
2w
64Šdydx
x2\by2dA, donde R  {(x, y)  1  x2 \b y2  100, y  0},4) Dex2y2dA, donde D  {(x, y)  x2 \b y2  16, y  0},5) 40w
dydx
16y20(x2\by2)3
Ejercicio 7.15. Una piscina circular tiene un diámetro de 20 pies. Su profundidad es constante a lo largo de las líneas este-oeste e incrementa de forma lineal desde 3 pies en el extremo sur hasta 7 pies en el extremo norte. Calcule el volumen de la piscina. Ejercicio 7.16.centro. Es decir, al abrir el hueco el eje de la broca pasa por el centro de la esfera. Calcule el volumen del sólido restante en forma de anillo. Ejercicio 7.17. Una broca cilíndrica de radio 2 es usada para perforar una esfera de radio 4. Al abrir el hueco, la superficie cilíndrica de la broca pasa tangente por el centro de la esfera. Calcule el volumen del sólido restante en forma de arete.
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Área de superficies e
147
8.1 El área de una superficie8.1.1 Una fórmula del álgebra linealLema 8.0.1. vectores en Para demostrar este lema se pueden usar las expresiones del producto punto Teorema 8.1. El área de un paralelogramo determinado por los vectores (fig. 8.1):
A
()
Ahora, si el ángulo entre los vectores
y

A
con lo cual podemos concluir que la fórmula (8.2) es verdadera.
Figura 8.1
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148
CAPÍTULO 8 Á\r \f \b\n\b   \t\r\b \b8.1.2 El área de una superficieuna superficie dada la cual es la gráfica de una función derivable Repitamos la construcción de la integral doble: sean൉൉൉una partición arbitraria del segmento [൉൉൉una partición arbitraria del segmento [la gráfica de la función
\b
(2) es la suma de términos de orden superior. El plano tangente a la superficie )) es la gráfica de la función
\b
y (xi1,a1)(y ya1).
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8.1 E \r \f \n \r \b\n
por los vectores (v. figura 8.2)
x(xi1,ya1)+xi,(0,yaya1,g(xi1,ya)f(xi1,ya1))0,+ya,f
y(xi1,ya1)+ya.vSQRRQ
w
S (8.11)Su producto cruz es det
+ix0f
x(xi1,ya1)+xi0+yaf
y(xi1,ya1)+ya+ix+aydet10f
x(xi1,ya1)01f
[
x(xi1,ya1),f
Una superficie y su plano tangente sobre el rectángulo
f(xi1, ya1)  g(xi1, ya1)(xi1, ya1)(xi1, ya)g(xi, ya1)(xi, ya)f(xi, ya)g(xi, ya)f(xi, ya1)g(xi1, ya)
f(xi1, ya)
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150
CAPÍTULO 8 Á\r \f \b\n\b   \t\r\b \b
f
x(xi1,ya1)2\bf
QQR
A
(S)"mi1ma1A(Sia)mi=1ma=1
f
x(xi1,ya1)2\bf
QQRAhora, si comparamos este resultado con la definición de integral doble, podemos concluir que la suma de la derecha es una suma de Riemann de la
f
x,y
x,yQQR Teorema 8.2. área de la gráfica de una función derivable) sobre una región
A
(.)
f
x,y
x,yQRR
(8.16)
Ejemplo 8.1.
) una función cuya gráfica es un paraboloide elíptico. El área de la gráfica de
A
D
1\bx2\by2dA.
w (8.17)
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8.2 Integrales triples
163
Una región esférica sólida
La ecuación de la esfera es , entonces la esfera es una región sólida entre las gráficas de las funciones
R2x2y2 y gr (x, y)  w
definidas sobre el círculo }. Por lo tanto el volumen de la esfera
R2Šx2Šy2w
dzdA
R2x2y2dA.
r, ) para evaluar la última integral obtenemos,
rdrd
3R34
3pR3.
Valor promedio de una funciónCon la integral triple podemos hallar el valor promedio de una función f x, y, zsobre una región sólida
f1
x,y,z
EdV.
Ejemplo 8.9. x, y, zy vértice x, y, z(v. figura 8.10).
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18
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\bparaboloide hiperbólico, fig. 1.21, o comúnmente llamado una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
cx2
a2y2
b2, (1.24)donde a, b, c son números reales diferentes de cero.
Paraboloide hiperbólico fig. 1.21, o comúnmente llamado es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
a2\by2
b2z2
c2 1, (1.25)donde a, b, c son números reales diferentes de cero.
420\n2\n4\n3.4\n0.2\n2.20.60.6Figura 1.22. Hiperboloide elíptico de un manto
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24
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\b
Ejercicio 1.29. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto Ejercicio 1.30. ¿Cuál de las rectas es paralela a la recta dada?C. la recta de intersección de los planos Ejercicio 1.31. Encuentre las trazas de la superficie Ejercicio 1.32. Identifique la superficie con ecuación Ejercicio 1.33. Halle la ecuación de la superficie formada por todos los puntos es cuatro veces la distancia de Ejercicio 1.34. La ecuación de un paraboloide hiperbólico es:
4\by2
7z
10; B. x2
5\by2
10z2
4;1 C. x2
7\by2
10z2
4; D. x2
9y2
7z
Ejercicio 1.35. La superficie cuya ecuación está dada porA. hiperboloide de un solo manto con eje el eje B. paraboloide elíptico con eje el eje y vértice en el origen;C. hiperboloide de dos mantos con eje el eje
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Funciones vectoriales
27
2.1 Funciones vectoriales de una variable2.1.1 Definición de función vectorialfunción vectorial de variable real
D
Denotaremos la función vectorial )como() son funciones reales de variable real llamadas coordenadas de la funciónGeométricamente una función vectorial móvil en . Para cada valor del parámetro obtenemos el vector de posición asociado al valor de
Ejemplo 2.1. Sea (t)
una función vectorial. Su dominio es valores en el plano . Para 2 obtenemos el vector de posición (2, 4). Teorema 2.1. El dominio de una función vectorial Ejemplo 2.2.
una función vectorial. Entonces
. Por lo tanto,
2.1.2. Operaciones entre funciones vectorialesLas operaciones entre funciones vectoriales se definen, si las funciones toman valores en el mismo espacio vectorial Definición 2.1. entonces definimos:1) La suma de dos funciones vectoriales
S
es una función vec-
02-Vectorial.indd 2731/05/13 12:20 a.m.
2.1 F\n  \b \r\b \f \n \r \r\r
Continuidad Definición 2.2. una función vectorial tal que EntoncesSS
RQ
,limPor lo tanto, el límite existe si y sólo si todos los límites existen.
Ejemplo 2.4. log(1
,cosSSSSlog(1),lim
,lim(0,1, Definición 2.3. Una función vectorial es Ejemplo 2.5. Consideremos la función vectorial
R
Q(t) 1
1t,1
que está definida െሼെ
1ty1
Ejemplo 2.6. La función vectorial(), tiene dominio no es continua, sin embargo su segunda componente sí es continua (v. figura 2.1).
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218
CAPÍTULO 11 C\n \r
Ejercicio 11.5.son conservativos. En dicho caso, x,y)\b(x,y)\b(x,y)\b(x,y)\b(x,y)\b(x,y Ejercicio 11.6. En la figura 11.8 se observa una curva Campo y curva0.20.40.81
Hallar: C&fd.
Ejercicio 11.7.x,y
x2\by2.SSS Pruebe que P
yQ
Ejercicio 11.8. Argumente por qué el dominio de: x,y
una región simple-mente conexa.
11-Vectorial.indd 21831/05/13 12:53 a.m.
12
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\becuaciones paramétricas del plano
N
) es un vector normal al plano los vectores
y
NSPM¡ son ortogonales. Por lo tanto, 
N
SPM¡ x  x0, y  y0, z  z0) \b (N1, N2, N3) . (1.11)Entonces, tenemos la ecuación del plano que pasa por el punto P(x0, y0, z0) y tiene el vector normal
N
Luego obtenemos la (v. figura 1.13). Nota 1.4.Para obtener un vector normal se puede tomar el producto cruz Los vectores
Pv1v2aOFigura 1.13. En el plano a, PM
 a es ortogonal a
N
S
PMNaO
S
01-Vectorial-OK.indd 1231/05/13 12:11 a.m.
334
CAPÍTULO 15 S\n \b
2) Extremos condicionados (multiplicadores de Lagrange)
1l,y2
Reemplazando en la restricción tenemos
1l,
45
Lo cual implicaValor máximo de Valor mínimo de
15.16 Ejemplo de examen final 1)
(t)t5(1,1,1),rS por lo tanto \t(t)5t4(1,1,1)rS y esto indica que rS representa una recta.2) V
El dominio por investigar es un rectángulo 8 y las curvas de nivel unción integrando son circunerencias concéntricas con
1. Por lo tanto,
15-Vectorial.indd 33431/05/13 11:58 a.m.
178
CAPÍTULO 9 C\r \f \r\r\b   \t\r\b \b
Ejercicio 9.3Ejercicio 9.4. Considere el sólido debajo del paraboloide: Ejercicio 9.4
1) Plantee la integral en coordenadas cilíndricas para calcular el volumen. 2) Halle el valor del volumen. Ejercicio 9.5.1) Plantee la integral en coordenadas cilíndricas para calcular el volumen. 2) Halle el valor del volumen.
09-Vectorial.indd 17831/05/13 01:34 a.m.
292
CAPÍTULO 15 S\n \b
2.5 1) D  , 110.50.52446
0.51
0.40.60.81
15-Vectorial.indd 29231/05/13 11:58 a.m.
180
CAPÍTULO 9 C\r \f \r\r\b   \t\r\b \b
6) donde Ejercicio 9.10.Calcular el volumen del sólido restante que se obtiene de una bola de radio 3 centrada en el origen cuando se le extrae la parte del cilindro Ejercicio 9.11. Ejercicio 9.12. Use coordenadas esféricas para calcular el valor de la integral triplex,y,z
2) donde
f
3) donde
x2\by2\bz2,w y B es el sólido acotado por el cono fp
Ejercicio 9.13.Use coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido que se encuen-
x2\b
y
Ejercicio 9.14.Calcule el volumen del sólido que se encuentra en el interior del cono
Ejercicio 9.15.Integre la funciónx,y,z
Ejercicio 9.16. Sea Ejercicio 9.17.Evalúe la siguiente integral triple:
4y20
4x2y2
4x2y2
dzdxdy
.
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188
CAPÍTULO 10 C\r\b \r\b   \t\r \f  \r. Derivando la primera ecuación y reemplazando en la segunda ecuación obtenemos,
dt(t)y(t)d2x
dt2(t)dy
dt(t)x(t)d2x
La solución de esta ecuación diferencial de segundo orden lineal con coeficien- son constantes). (10.6)Entonces, derivando esta solución y reemplazándola en la primera ecuación de Entonces, la ecuación de una línea de campo del campo vectorial y, x Las líneas de campo del campo vectorial x,yy,xy,x)es: (v. figura 10.9).
0.51
0.51
La línea de campo del campo vectorial x,yy, x)). En general, las líneas de campo de este campo vectorial son circunferencias con centro en el origen
10-Vectorial.indd 18831/05/13 12:51 a.m.
10.1 C\r\b \r\b
189
Ejemplo 10.8. x,y,zy,x,zun campo vectorial en el espa- (v. figura 10.10). Para hallar las líneas de campo resolvemos el siguien-
dt(t)y(t),dy
dt(t)x(t),dz
dt(t)z(t)
Dado que las dos primeras ecuaciones del sistema no incluyen La tercera ecuación tiene soluciónt, z La gráfica de una línea de campo que pasa por ( (v. figura 10.10).
2.62.62.60.00.00.02.62.6
El campo vectorial
S
x, y, zy, x, zEl rayo vertical es la línea del campo que pasa por el punto (0
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3.2 D\r\f\r\b \r\r\b
53
(función definida mediante una tabla)) una función definida
0, 01, 02, 03, 04, 01, 55, 12, 016, 027, 02, 539, 164, 345, 6128, 0125, 00, 0continua, suave y que en puntos intermedios del dominio, donde no tenemos Podemos dar un estimativo de derivada parcial en cualquier punto dado en 1). Para esto podemos seguir el siguien-Tomamos 5 y sustituimos en la fórmula de la definición 3.6 sin 5;10;1
0,564,327,0
5 y sustituimos en la fórmula de la defini-5;10;1
0,57,827,0
(3.19)
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10.2 I \t\r \f  \r
191
Ejemplo 10.11. , 2p], la ecuación de una circunferencia g. El valor de la integral de línea dea lo largo de fds(2cos2sen
4sen4costdttdt
Ejemplo 10.12. x, y, z, z, 2p], la ecuación de una hélice g. El valor de la integral de línea dea lo largo de fdst,t
sen2t\bcos2t\b1dt2p0(t\bcost\bsent)
2dt 2
2p2.
www (10.19)
10.2.2 Integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva un campo vectorial continuo, donde es una región abierta. una curva suave en con una ecuación dada por una función vecto-ecto-a,b)) es una función vectorial conti-ectorial conti-a, b]. Definición 10.4. La integral de línea del campo vectorial a lo largo de la curva
Observe que si cambiamos la orientación de la curva , el valor de la integral de línea del campo vectorial dF cambia de signo. La integral de línea a lo largo de una curva

cambiamos la orientación de la curva.
Ejemplo 10.13. x,yy,y un campo vectorial en ectorial en , 2p] la ecuación de una circunferencia g. Observe que la orientación, dada por la parametrización, es positiva (contraria a las manecillas de reloj).
10-Vectorial.indd 19131/05/13 12:51 a.m.
9.1 C\r \f \r\r\b
173
es constante, entonces por simetría de la figura tenemos
y
0,¯
M
rdxdrd
3.
Es decir, Ejercicio resueltoacotado por las superficies

Calcule el volumen del sólido (v. figura 9.2). Cilindro truncado
Cambiando las coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas tenemos

La región ocupada por
4,y2z
rdxdrd
(9.20)
09-Vectorial.indd 17331/05/13 01:34 a.m.
194
CAPÍTULO 10 C\r\b \r\b   \t\r \f  \r
Ejemplo 10.17. El campo de fuerzas, considerado en el plano, inducido por una carga eléctrica
x,y
x2\by23,Ky
para mover 4) a lo largo del segmento
t2\b4t23\b 4Kt
t2\b4t23dt213K
ww
5t2dt3K
2
5.FS
rSww
215
w
5t2dtK
10w
5.
,(2) para mover una partícula desde
K
10
para mover la misma partícula pero desde el punto
10
5w.
El trabajo de un campo de fuerzasdos puntos a lo largo de una curva
r
S
(10.32)
10-Vectorial.indd 19431/05/13 12:51 a.m.
10.3 E\b \f \r\n 
195
10.3 Ejercicios del capítulo 10Ejercicios recomendados: Ejercicio 10.1. ¿Cuál es el campo vectorial correspondiente? (fig. 10.11)
Ejercicio 10.1y, y, x Ejercicio 10.2. ¿Cuál es el campo vectorial correspondiente? (fig. 10.12)
Figura 10.12. Ejercicio 10.2
10-Vectorial.indd 19531/05/13 12:51 a.m.
196
CAPÍTULO 10 C\r\b \r\b   \t\r \f  \r
y, y, x Ejercicio 10.3. ¿Cuál es el campo vectorial correspondiente? (fig. 10.13)
Ejercicio 10.3y, xy,
10-Vectorial.indd 19631/05/13 12:51 a.m.
10.3 E\b \f \r\n 
197
Ejercicio 10.4. ¿Cuál es el campo vectorial correspondiente? (fig. 10.14) Ejercicio 10.4
y, y, x Ejercicio 10.5. ¿Cuál es el campo vectorial correspondiente a ? (fig. 10.15)
11000.50.50.50.511
Figura 10.15. Ejercicio 10.5
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198
CAPÍTULO 10 C\r\b \r\b   \t\r \f  \r
A. Gráfica de la izquierda; B. Gráfica de la derecha. Ejercicio 10.6. Hallar el conjunto de puntos (SSS,donde Ejercicio 10.7. Hallar el campo vectorial gradiente asociado al campo escalar.
Ejercicio 10.8. Hallar la familia de líneas de flujo del campo vectorial. Ejercicio 10.9.Encontrar la ecuación de la línea de flujo del campo vectorial Ejercicio 10.10. Una partícula en el punto (83) se mueve de acuerdo con el campo de velocidades SSS Ejercicio 10.11. Hallar el valor de la integral fds

es la parte de recta que va desde (1 f
es el segmento que va desde (0, 0, 0) a (1, 9, 8); Ejercicio 10.12. Hallar el valor de la integral línea de la funciónx, y, za lo largo del segmento Ejercicio 10.13. Sean
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10.3 E\b \f \r\n 
201
3) (x,y)xsenyi\byjFSS
S
a lo largo de la parábola xziyxjzyk
S
a lo largo de la curva SSS Ejercicio 10.22. Calcule el trabajo total realizado para mover una partícula desde
S
a lo largo de la curva,1) segmento que une
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204
CAPÍTULO 11 C\n \r Teorema 11.2.La integralesindependientede la trayectoria
para toda curva cerrada Definición 11.3. Una región se llama conexa si para cualesquier puntos existe una xiste una 0, 1]  R tal que r (0) = A, r(1) = B. Teorema 11.3. un campo vectorial continuo definido sobre una región abierta conexa D cualquier curva sobre esindependientede la trayectoriaescampovectorialconservativo.
Teorema 11.4
.
es un campo vectorial conservativo, entonces
yQ
Es decir, siP,Q es un campo vectorial conservativo, entonces su matriz derivada
D
,FS
D
,£P
xP
yQ
xQ
Teorema 11.5 (Condición suficiente)región simplemente conexa
yQ
es campo vectorial conservativo. Es decir, siP,Q es un campo vectorial que satisface:1) su dominio es una región simplemente conexa,2) su matriz de derivadas (11.5) es simétrica, es un campo vectorial conservativo.
es simplemente conexa no es simplemente conexa
11-Vectorial.indd 20431/05/13 12:53 a.m.
11.1 T\r \n \f\r \r \f \n
(Justificación del nombre)Queremos justificar por qué se llaman ciertos campos conservativos, ¿qué es lo que ellos conservan? Supongamos es un campo de fuerzas y que es un campo vectorial conservativo, ¿qué es lo que conserva? La respuesta a esta pregunta es que conserva la energíaVeamos.Consideremos la integral de línea
para mover una par-a lo largo de la curva Calculemos esta integral de dos maneras diferentes:1) Usando la segunda ley de Newton, Tomemos cualquier para-)de
d
dt(t)
Usemos la definición de integral de línea,
dt2\t(t)dtmbad(t)

2d
dt()dt1
2mbad
dt(2)dt1
2m2(b)1
2m2(a)K(b)K(a),FSrSrSrSvSvSvSvSvSvSvS
(11.7) donde K=1
es la energía cinética. Es decir, obtenemos una diferencia de energías cinéticas entre los puntos inicial y final.2) Usando el hecho de que&potencial de energía está definido por )),porque
rSrSrSrSrSrS (11.8)
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336
CAPÍTULO 15 S\n \bQQQR
5
1)
QQQQQQ
RRR
2
28
158p2
2
602p2
2
15
1) Puntoscríticos(0,0)unción alcanza un mínimo local y su valor es 3) Multiplicadores de Lagrange con 0(3).
15-Vectorial.indd 33631/05/13 11:58 a.m.
2.2 Curvas parametrizadas
2.2.1 ¿Cómo podemos dibujar una curva?Una técnica para graficar manualmente sobre el papel una curva basa en el conocimiento previo de superficies. Al eliminar el parámetro entre dos coordenadas, obtenemos una ecuación en dos variables, por ejemplo la curva sobre el plano coordenado que es la proyección ortogonal de la curva . La otra manera es que la curva está sobre una superficie cilíndrica 0. Así podemos graficar la curva varias superficies en las cuales está.En muchos casos nos valemos de una superficie a la cual perte-nece la curva dada pero a veces es necesario tener información de dos superficies a las cuales pertenece. En general, no es cierto que podemos gra-ficar la curva habiendo encontrado dos superficies cilíndricas a las cuales pertenece, pues la intersección de las dos superficies encontradas puede ser que tenga más información que la que necesitamos, es decir describa curvas adicionales a la curva . Lo que sí es cierto es que la curva es la intersección de las tres superficies cilíndricas perpendiculares a los planos coordenados difícil de visualizar la situación.De la misma manera la proyección de la curva dada sobre el plano es la curva con ecuación La curva 1 tiene como proyección , fig. 2.2.Š0.5Š1.0
Una curva en A continuación veremos algunas técnicas para graficar curvas que tienen
02-Vectorial.indd 3331/05/13 12:20 a.m.
34
CAPÍTULO 2 F\n  \b \r\b
Ejemplo 2.11. En el ejemplo 2.11 la curva las superficies cilíndricas . En este caso es suficiente esta información, la curva es la intersección de este par de superficies cilíndri-cas. La primera superficie cilíndrica se dibuja, dibujando primero la curva , luego un deslizamiento de esta curva a lo largo del eje en ambas direcciones. Similarmente la segunda superficie cilíndrica dibuja, dibujando primero la curva , luego un desliza-miento de esta curva a lo largo del eje sólo en la dirección positiva. Ejemplo 2.12. Consideremos la curva La curva y también sobre la super- ficie cilíndrica Con sólo esta información no podemos graficar la curva, aunque sí lo podríamos hacer mirando la intersección de las tres su- perficies cilíndricas, lo cual puede resultar un poco complicado. Para este caso, el intervalo alo െ2p, 2p], las coordenadas x y y del punto sobre la curva en sentido positivo recorre el intervalo alo 2p, 2p] sobre el eje z. Por lo tanto, se forma una hélice circular, la cual está sobre el cilindro y hace parte de la intersección entre las dos superficies , pero la inter- La curva superficie cilíndrica l, fig. 2.3.
Š1.0Š1.0Š6.5Š4.0Š1.5
Una curva helicoidal en
02-Vectorial.indd 3431/05/13 12:20 a.m.
36
CAPÍTULO 2 F\n  \b \r\b
(ejercicio resuelto). La función vectorial

determina la espiral de Arquímedes (v. figura 2.4). Encuentre la longitud de
A
(0,0)(0)y,0)Tenemos,seny luego
1\bt2.rS (2.21)La longitud de arco es2p0(t)d
t
rS
wwwww2p0
1\bt2dt1
2QQt
1\bt2\b ln(t\b
1\bt2)2p0RRp
1\b 4p2\b1
2ln 2p\b
1\b 4p2.
(2.22)
Espiral de Arquímedes
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14.2 E \b\t\n \f \r\r
iii
14
.
2
E \b\t\n \f \r\r

iii
Cálculo vectorialM. A. MalakhaltsevJ. R. Arteaga B.Bogotá, 2013
Australia € Brasil € Corea € España € Estados Unidos € Japón € México € Reino Unido € Singapur
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D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe núm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, México, D.F.Cengage Learning’ es una marca registrada usada bajo permiso.DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemasde información a excepción de lo permitidoen el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.Datos para catalogación bibliográfica:Malakhaltsev, Mikhail/José Ricardo Arteaga BejaranoCálculo vectorial, 1ISBN: 978-607-519-028-0Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.comEste libro es publicado por Cengage Learning de Colombia, S.A., en coedición con la UNIVERSIDAD DE LOS ANDES en la Carrera 1 No. 19-27 Edificio Aulas 6 de Bogotá, D.C.Cálculo vectorial Mikhail Malakhaltsev/José Ricardo Arteaga BejaranoPresidente de Cengage LearningFernando Valenzuela MigoyaDirector Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica:Ricardo H. RodríguezGerente de Procesos para Latinoamérica:Claudia Islas LiconaGerente de Manufactura para Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Pilar Hernández SantamarinaGerente de Proyectos Especiales:Luciana RabuffettiCoordinador de Manufactura:Rafael Pérez GonzálezEditores: Sergio R. Cervantes GonzálezTimoteo Eliosa GarcíaDiseño de portada: Ediciones OVAImagen de portada:© vic927/ShutterstockComposición tipográfica:Ediciones OVA
Impreso en México1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13
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A Svetlana y DavidJosé Ricardo
00-Vectorial-OK.indd v03/06/13 02:51 p.m.
1 Curvas y super“ cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Coordenadas cartesianas () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Coordenadas polares () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Coordenadas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Coordenadas cilíndricas () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Coordenadas esféricas () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Super cies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Super cies cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Super cies cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Funciones vectoriales de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 nición de función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2. Operaciones entre funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.4 Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.5 Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.6 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 ¿Cómo podemos dibujar una curva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Reparametrización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.2 E \b\t\n \f \r\r
vii
14
.
2
E




\b

\t\n
\f

\r

\r
v
ii
Contenido general
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viii
C\n \rParámetro s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1 Campos escalares en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.1 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2 Recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1 Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Teorema de la función implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 Derivadas direccionales y el vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 724.6 Recta tangente a una curva y plano tangente a una super cie . . . . . . . 76Ejercicios del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5 Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1 Extremos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1.1 Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.2 Puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2 Extremos restringidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6 Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.1 Integral doble sobre rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 nición y propiedades de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . 109
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C  \f \t \r
6.2 Integral iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3. Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3.1 Volumen de un sólido debajo de una grá ca. . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3.2 Valor promedio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.4 Ejercicios del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7 Integrales dobles: regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1 Integrales dobles sobre regiones: tipos . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.1 Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2 Cambio de variables en integrales dobles: jacobiano . . . . . . . . . . . . 1357.2.1 Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.3 Ejercicios del capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8 Área de super“ cies e integrales triples . . . . . . . . . . . . . . 1478.1 El área de una super cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.1.1 Una fórmula del álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.1.2 El área de una super cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.2 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 nición de la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2.2 Cálculo de la integral triple sobre regiones sólidas tipos ,  y  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.2.3 Aplicaciones de la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.3 Ejercicios del capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9 Cambio de variables en integrales triples . . . . . . . . . . . . . 1699.1 Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.1.1 Fórmula para cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas en una integral triple . . . . . . . . . . . . . . 171 9.1.2 Fórmula para cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.2 Ejercicios del capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
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x
C\n \r 10 Campos vectoriales e integral de línea . . . . . . . . . . . . . . 18310 .1 Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 ca de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 18410.1.2 Líneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.2 Integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.2.1 Integral de línea de un campo escalar a lo largo de una curva . . . . . . . 190 10.2.2 Integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva . . . . . . 191 10.2.3 Algunas aplicaciones de la integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.3 Ejercicios del capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11 Cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.1 Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.1.1 Campo vectorial conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 11.1.2 Independencia de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20611.3 Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.4 Primera forma vectorial del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . 20911.5 Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21211.6 Segunda forma vectorial del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . 21311.7 Área de una región plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21511.8 Ejercicios del capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 12 Integral de super“ cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.1 Super cies paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.2 Área de una super cie paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23012.3 Integrales de super cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23312.3.1 Integrales de super cie de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23312.4 Integral de super cie de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.4.1 Orientación de una super cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 12.4.2 Integral de super cie de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 23612.5 Ejercicios del capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
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C  \f \t \r
13 Teorema de Stokes y teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . 24713.1 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.1.1 Independencia de la superS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Teorema de Gauss-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25213.3 Ejercicios del capítulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 14 Apéndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26314.1 Ejemplo de primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26314.2 Ejemplo de segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26514.3 Ejemplo de examen  nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26814.4 Ejemplo de tarea 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27014.5 Ejemplo de tarea 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27414.6 Ejemplo de tarea 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 15 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28715.1 Ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28715.2 Ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28915.3 Ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30015.4 Ejercicios del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30415.5 Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30815.6 Ejercicios del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31115.7 Ejercicios del capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31415.8 Ejercicios del capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31615.9 Ejercicios del capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.10 Ejercicios del capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.11 Ejercicios del capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32315.12 Ejercicios del capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32615.13 Ejercicios del capítulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.14 Ejemplo de primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33015.15 Ejemplo de segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
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xii
C\n \r15.16 Ejemplo de examen  nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33415.17 Ejemplo de tarea 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33715.18 Ejemplo de tarea 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34015.19 Ejemplo de tarea 3 ( nal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Índice de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
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El libro es un texto guía para el curso Cálculo Vectorial para los estudiantes de las carreras de ingeniería. Está basado en las notas de clase del cur-so usadas durante muchos años en la Universidad de los Andes (Bogotá, in nitesimal: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.El objetivo principal del libro es acompañar al estudiante a entender de manera rápida y efectiva cuál es el corazón de cada tema del curso. Está escrito de manera corta; sin embargo, contiene los temas su cientes para niciones y los teoremas ca una colección mínima de ejercicios necesarios para entender el tema. Además el libro contiene una selección de tareas y exámenes que Para la preparación de este libro elegimos los mejores ejemplos y ejerci-cios de varios libros, en particular de [1]-[5].
Prefacio
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C  \f \t \r
Mikhail MalakhaltsevPh. D. (1987, Universidad de Kazan, Rusia). Profesor de Universidad de los Andes (Bogotá, Colombia). Autor de más de treinta artículos en el área de geometría diferencial. Dictaba varios cursos de servicio y electivas en las universidades de Kazan y de los Andes. Es coautor de textos de José Ricardo Arteaga BejaranoPh. D. (1988, Universidad de Kazan, Rusia). Profesor asociado de Univer-sidad de los Andes (Bogotá, Colombia) desde 1990. Director del Depar-tamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes. Autor de varios artículos en el área de geometría diferencial. Adjunct Professor ofMathe-State University (USA). Codirector del Research Group in Mathematical and Computational Biology (BIOMAC) de la Universidad de los Andes.
C  \f \t \r
x
v
Acerca de los autores
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2
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\b
Ejemplo 1.1. Hallar las coordenadas polares del punto Tenemos que
(1)2 12
,2
w
w y el único ángulo u tal que 0  u 2p y cosu cosu1y
2,sen
2,es (v. figura 1.3a). Para este punto el radio polar es 3, luego
w
3, y el punto es wA(1,
(v. figura
radio polar, y la pareja coordenadas polares OA eje polar, fig. 1.2r,
r
p
coordenadas del sistema de coordenadas polares hay una manera especial para elegir las coordenadas polares, (0, 0) y el eje polar el semieje positivo OX
x2y2cosuxysenuyy0u 2p (1.2)Figura 1.3. Ejemplos 1.1 y 1.21243py
x
1110
w
3yx10
w
Fig. 1.3aFig. 1.3b
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2.3 Ejercicios del capítulo 2
41
Ejercicio 2.11.Determine la ecuación del plano normal a la curva dada por la ecuación Ejercicio 2.12.¿En qué punto de la curva Ejercicio 2.13.Encuentre la función vectorial que representa la curva de intersección entre:1) el cilindro 2) el cono
3) el paraboloide 4) el cilindro Ejercicio 2.14. Encuentre el vector tangente unitario
Ejercicio 2.15.Halle la longitud de los siguientes arcos y haga un bosquejo de las gráficas.),42)),0(7sen,10,7cos
2t\bet\bet,0t7.rSrSrSrSuiSjSkS3)4)
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4
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\bcoordenadas cartesianas
NotaciónNombrexyzIPrimer octanteIISegundo octanteIIITercer octanteIVCuarto octanteVQuinto octanteVISexto octanteVIISéptimo octanteVIIIOctavo octante
1.2.1 Coordenadas cilíndricas (fijamos un punto OA Para cada punto la proyección de (v. figura 1.5). Entonces, las coordenadas cilíndricases la longitud del segmento orientado . Por la definición, , z
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15.17 E \f \r\r 
La curva de nivel
Por lo tanto los valores de . A medida que aumenta el valor de cuando disminuye el valor de , aumenta su radio. El valor máximo de 1. El punto más caliente es (0, 0). Para un punto
(x2\by2\b1)2,x
x,y Parametrización
2,t3

2.rSQR601\bt2
2dt
Sea . La superficie dada es el nivel cero de & ( (0, 0, 1) es el punto buscado.
x 1\bf\t(u)yz
yf\t(u)xxz
xyz
14.24
z(3,1)12
14.27
14.28
yxseny\bx2eyz
x2ey\bsenz. 14.29 1
5e.w
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escalares
45
3.1 Campos escalares en varias variablesgráfica de f
Ejemplo 3.1. . La gráfica dees un plano (v. figura 3.1).
Gráfica del plano, Ejemplo 3.2. La función
(círculo unitario centrado en el origen). La gráfica deel hemisferio superior (v. figura 3.2).
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14
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\b
y la curva plana es una función positiva definida sólo para 0. En el proceso de movi-)) de la curva describe una circunferencia con ) (v. figura 1.15).Superficie de revolución
xaz = f(x)(a, 0, f(a))x2 \b y2  a2z  f(a)yz(0, 0, f(a))
Esta circunferencia satisface las ecuaciones, z entonces la ecuación de la superficie
y la curva plana es una función positiva definida sólo para de la superficie Ejemplo 1.17. es una superficie de revolución obtenida al rotar sobre el eje curva con valores de los parámetros
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48
CAPÍTULO 3 F\n  \b \b\r\r\b
Ejemplo 3.6. Las curvas de nivel de la función
1x2
y
Ejemplo 3.7. Las superficies de nivel de la funciónx, y, zLas superficies de nivel de la funciónx, y, z
3.2 Derivadas parciales Definición 3.3. Un conjunto existe una bola abierta Definición 3.4 (Derivadas parciales)función escalar en las variables definida en un conjunto abierto derivada parcial
), se define como el límite,h,...,a
en el caso de que este límite exista.
para calcular por ejemplo la derivada consideramos las variables (()sen(
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11.4 P\r \r \r \f \r \f G
es rotacional en ese punto. Si la tapita colocada en cualquier punto rota en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj), decimos que el rota-
f
x,y
S
0. Si rota en sentido negativo, decimos que x,yx,y Si la velocidad angular con que rota la tapita es constante, entonces. En el caso mostrado en la figura 11.2 el campo es rotacional en todo punto de la región mostrada (0) y rota en sentido negativo.2) Podemos aplicar la primera forma vectorial del teorema de Green o hacer la suma de los valores de las cuatro integrales de línea. Escogemos la primera:
SS En la última integral, Las siguientes dos expresiones para una integral de línea de un campo vectorial
S
a lo largo de una curva suave son equivalentes:Tds,
es el vector tangente unitario a la curva . (V. figura 11.3.)
2200111122
Vector tangente unitario a una circunferencia orientada positivamente
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12.5 E\b \f \r\n X
243
y, z
y, z
Ejercicio 12.9. La representación paramétrica de la parte del cilindro y,z Ejercicio 12.10. La representación paramétrica de la parte del plano Ejercicio 12.11.Las ecuaciones paramétricas de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva x,yx,yx,yx,y Ejercicio 12.12.\b(C.Ninguna. Ejercicio 12.13. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa un cono? x,xcos7cos10C.Ninguna.
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216
CAPÍTULO 11 C\n \r
. Por lo tanto,
ydx
(rcost)(rcost)()(
t
1
22p0r2dt.pr2
(Ejercicio resuelto)La fórmula (11.26) realmente es muy valiosa al tener que calcular áreas de regiones limitadas por curvas que están dadas en coordenadas (rosa de cuatro Para esto tomamos coordenadas polares ara esto tomamos coordenadas polares t cos t \b 2 cos 2t sen t]dt. Por simetría,
ydx
(tcost)(sen 2tcost\b 2cos22cos2
2.
(11.28)
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50
CAPÍTULO 3 F\n  \b \b\r\r\bDe manera análoga podemos interpretar la derivada parcial respecto a ) (v. figura 3.7).
Eje vertical enLa curva
Derivada parcial respecto a Las dos rectas tangentes definen el plano tangente a la supercie (gráfica de )) (v. figura 3.8).
La curva La curva
x  x0y  y0
Derivadas parciales respecto a Las funciones en varias variables pueden estar bien definidas no sólo con fórmulas explícitas, sino también conociendo o su gráfica o las gráficas de sus
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11.8 E\b \f \r\n 11
219
Ejercicio 11.9.
x,y
positivamente. Ejercicio 11.10.
x,y
orientada positivamente (v. figura 11.9) (
Ejercicio 11.11.
x,y
orientada negativamente (v. figura 11.10) (t,
Ejercicio 11.11
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220
CAPÍTULO 11 C\n \r
Ejercicio 11.12.En la figura 11.11 se muestra el campo vectorialx,y
1 orientada en sentido antihorario (positivo). Por los ejercicios anteriores este campo no es conservativo, pues a pesar de que no es una región sim-plemente conexa.1) Demuestre que
2) ¿Existe alguna contradicción con el teorema de Green? Explique.Campo y curva
Ejercicio 11.13.Decida si el campo vectorialy, es un campo vectorial conservativo.Ejercicio 11.14. Sea 1 orientada positivamente, fig. 11.12. Use el teo rema de Green para calcularydx

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244
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\n
Ejercicio 12.14. Hallar el área de1) la parte del paraboloide 2) la superficie 0, la superficie con ecuaciones paramétricas Ejercicio 12.15.La integral doble para calcular el área de la superficie cuyas ecuaciones paramé-
100u2cos2v\b16u2sen2v\b100u4dvdu;B.502p0
20u4cos2v\b8u4sen2v\b10u2dvdu;C.502p0
100u4cos2v\b16u4sen2v\b100u2dvdu;D.502p0
20u4cos4v\b16u4sen4v\b100u2dvdu;E.502p0
Ejercicio 12.16. Sea la parte del paraboloide 0) (v. figura 12.16). Si tomamos arriba, es decir escogemos un vector normal a la curva frontera (borde) de la superficie (circunferencia sobre el plano 9) queda orientada positivamente sobre el plano A. Falso. B. Verdadero. Ejercicio 12.17. 0) (v. figura 12.16). Hallar un vector normal hacia arriba considere la parametrización Ejercicio 12.18.Hallar la integral de superficiex,y,z

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15.18 E \f \r\r X
3411) xw/3up/3Amáx
3w2
0,144342) Sí, porque el área del medio círculo
w
2
0,15960,.14434 Si
mín
2.
w
8 0. (32 (3 8
2.
w
1)
xyz1111
15-Vectorial.indd 34131/05/13 11:58 a.m.
Cálculo vectorialM. A. MalakhaltsevJ. R. Arteaga B.Bogotá, 2013
00-Vectorial-OK.indd i03/06/13 02:51 p.m.
11.8 E\b \f \r\n 
221
Curva orientada positivamente
1xy1011
Ejercicio 11.14 Ejercicio 11.15.
es el rectángulo con vértices (0tivamente.Ejercicio 11.16. Decida si la siguiente afirmación es falsa o verdadera:Si un campo vectorialx,yen una región es conservativo.Ž Ejercicio 11.17. Use el teorema de Green para expresar el área encerrada por las curvas:
como una integral de línea. Escribirla (v. figura 11.13).
11-Vectorial.indd 22131/05/13 12:53 a.m.
224
CAPÍTULO 11 C\n \r
Ejercicio 11.26. Determine sies un campo conservativo. En caso de serlo, encuentre una fun-1)(x,y,z2)(x,y,z3)(x,y,z4)(x,y,z5)(x,y,zyzexyeEjercicio 11.27. Si son campos vectoriales, y x,y,zx,y,z0(teorema 11.10).(()&\b&&\b&((()& & 
11-Vectorial.indd 22431/05/13 12:53 a.m.
Integral
225
12.1 Superficies superficie paramétrica es una superficie que es imagen de una aplicación regular. Es decir, siSSSes necesario que se satisfaga:Si(2) Las derivadas parciales
uyvv
determinado por un vector posición coordenadas interiores coordenadas exteriores plano tangente T a una superficie
A
ecuación paramétrica:s,tPara cada punto con el vector posición existen dos curvas líneas coordenadas )y((fig. 12.1)
12-Vectorial.indd 22531/05/13 01:50 a.m.
12.1 S\n\b �\r\r\r\b
227
que los vectores tangentes a las líneas coordenadas en el punto ectores tangentes a las líneas coordenadas en el punto , 0, 2], vrS(1, 1)  [0, 1, 2] y el vector normal esector normal es1,0,2][0,1,2] [
Paraboloide elíptico y líneas coordenadas(Ejercicio resuelto)radio 1 es la superficie paramétrica v, v, )(fig. 12.3). El punto
per- Las líneas coordenadas que pasan por el punto
2sen
2sen
(
v
)

(
1/
2cos
2sen
2
)
Encontremos la ecuación del plano tangente En primer lugar, calcu-lamos las derivadas Entonces, los vectores básicos del plano
2),v(p/4,p/4)(1/2,1/2,0),rSrSw (12.13)
12-Vectorial.indd 22731/05/13 01:50 a.m.
228
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\n
qrqrqrqr
2\bs1/21/21/
Un vector normal es
2)(1/2,1/2,0)(
2/4,
wwwy el vector normal unitario es
(p/4,p/4(p/4,p/4)(1/2,1/2,1/
2).wNSNSnS (12.16)
Por lo tanto la ecuación lineal del plano tangente
x1
2y1
2z1
21/21/21/
21/21/20]
0x\by\b
(Ejercicio resuelto) (superficies de revolución). Una superficie de revoluciónes aquella que se genera mediante la rotacion de una curva plana, o generatriz
12-Vectorial.indd 22831/05/13 01:50 a.m.
230
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\nUna superficie de revolución. La generatriz es la curva
1.81.80.01.8
0.02.0
12.2 Área de una superficie paramétrica Teorema 12.1 (Área de una superficie paramétrica). Sea una superficie paramétrica dada ),(área de la super-ficie
A

NS (12.23)
(Ejercicio resuelto).como una superficie de revolución . La ecuación paramétrica de la esfera (sin . Observe que estas ecuaciones pueden obtener-
12-Vectorial.indd 23031/05/13 01:50 a.m.
246
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\n
A. F
S
B. Para cualquier punto sobre , el ángulo entre el vector normal escogido
S
Ejercicio 12.21.Hallar la fórmula para el área de una superficie de revolución Ejercicio 12.22. Hallar el área de superficie de revolución Ejercicio 12.23. Hallar el flujo de
S
a través de x,y,z
S
x,y,z 5, con orientación positiva (hacia afuera);x,y,z
S
es el cubo con vértices ( Ejercicio 12.24. Ejercicio 12.25.Un fluido con densidad 1060 fluye con velocidad
v
S
z
flujo hacia arriba a través del paraboloide,
z
91
4
x2\by2,
Ejercicio 12.26.) dentro de una sustancia con conductividad . Hallar el flujo de calor que entra a través de la superficie cilíndrica 3. Es decir, halle
donde F  K&u.
12-Vectorial.indd 24631/05/13 01:50 a.m.
232
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\n
Esta superficie obtenida es conocida como (fig. 12.6).
El área de la superficie de este catenoide es
xdxxdx
(12.31)
12-Vectorial.indd 23231/05/13 01:50 a.m.
12.3 I \t\r\b \f \b\n
Este catenoide tiene una propiedad particular, es una superficie que tiene en sus bordes dos circunferencias. Cualquier otra superficie suave que una estas cir-cunferencias tiene área mayor.
12.3 Integrales de superficie12.3.1 Integrales de superficie de una función una superficie paramétrica en ),(integral de la función f sobre la superficie fdSdudv.
de una superficie paramé-icie paramé-a, b]  [c, d], geométricamente la integral de una fdS
(v. figura 12.7).
(ui, vj)(ui, vj)7ij+ijuv
rSrSFigura 12.7. Una partición del dominio de  y la partición correspondiente de 
12-Vectorial.indd 23331/05/13 01:50 a.m.
234
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\n
Ejemplo 12.7. . Hallemos la integral fdS Para esto, tomemos la parametrización del cilindro:donde0 fdS
Ejemplo 12.8. la gráfica de una función x,yx,y,hx,yx, y, zx, y, zfdSx,y,hx,y
dxdy.
x, y, z) es una función positiva en u, v, h
S
y función de distribución fdSárea
12-Vectorial.indd 23431/05/13 01:50 a.m.
236
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\nde una superficie
Una superficie es una superficie con un campo vectorial normal unitario fijo. Este campo se llama una de la superficie.Hay unas superficies , por ejemplo, la banda de Möbius (v. figura 12.10).es una superficie no orientable
nSnS
12.4.2 Integral de superficie de un campo vectorial una superficie orientada por un campo normal (Flujo de un campo vectorial)x, y, z) un campo vectorial definido en un una superficie orientable tal que la integral superficie del campo vectorial
La integral (12.40) se llama a través de la superficie ),(una parametrización de una superficie
uvuv.nSrSrSrSrS (12.41)
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240
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\n
cos,b. AEjercicio 12.2. ¿Cuál ecuación corresponde a cuál gráfica (ica (p])? (fig. 12.12).
IVIII00yyzzxx02222222220005
IV,b. A Ejercicio 12.3.¿Cuál ecuación corresponde a cuál gráfica (ica (p])? (fig. 12.13).
0yx0
z02
0yx20
z
502
Figura 12.13. Ejercicio 12.3
12-Vectorial.indd 24031/05/13 01:50 a.m.
12.5 E\b \f \r\n X
241
cos4sen4b. A Ejercicio 12.4.Cuál ecuación corresponde a cuál gráfica? (fig. 12.14).
VIIVIII001yy
z
zx20x0002
VII y B VIII y B Ejercicio 12.5. ¿Cuál ecuación corresponde a cuál gráfica ica p], v  [0, 2p])? (fig. 12.15).
IYY00000yyxx
z
z010
Figura 12.15. Ejercicio 12.5 Axcosusenv,ysenusenv,zcosv,Bx(2\bsenv)cosu,y(2\bsenv)senu,zu\bcosv.€€
12-Vectorial.indd 24131/05/13 01:50 a.m.
242
CAPÍTULO 12 I \t\r \f \b\n
b. A Ejercicio 12.6.(v. figura 12.16).
z
yx5000
El paraboloide
Ejercicio 12.7. La representación paramétrica del paraboloide elíptico y, z y, y y, z y, z y,
Ejercicio 12.8. La representación paramétrica de la parte de la esfera
y, z y, z
9x2y2,w 4.5 y2 \b x2 9;
12-Vectorial.indd 24231/05/13 01:50 a.m.
Teorema de Stokes y teorema de Gauss
247
13.1 Teorema de Stokes Teorema 13.1(Teorema de Stokes)una superficie paramétrica, orientable, suave por partes definida porque tiene como borde (frontera) una curva cerrada, simple suave por partes y orientada positivamente. (),x,y un campo vectorial derivable en &
1) La integral del lado izquierdo es una integral de línea. Se puede interpretar así
S
trabajo
S
al mover una partícula a lo largo de la curva cerrada b) Si
S
es un campo de velocidades del flujo de un fluido, como la circulación
S
a lo largo de la curva cerrada La integral del lado derecho es una integral de superficie. Es el
S
(el rotacional de un campo vectorial
S
es de nuevo otro campo vectorial) a través de la superficie &&
(13.3) donde n
S
es un vector unitario normal a la superficie orientable define la orientación La orientación de la curva y de la superficie . Es decir, la , la cual está definida por la elección del campo
13-Vectorial.indd 24731/05/13 01:03 a.m.
248
CAPÍTULO 13 T\r \f SZ\b  \r \f G\r\n\b\bvectorial normal
S
, define la orientación de . A esta orientación de la curva a) Imaginemos a un hombrecillo con un sombrero chinoŽ (forma de medio cono, el hombrecillo de lejos parece un vector) caminando sobre la superficie muy cerca de la curva , si la superficie izquierda decimos que camina en la orientación positiva.b) La curva está orientada positivamente si en un punto cualquiera muy regla de la mano derecha se satisface que la posición I dedo índice es el vector tangente a II dedo del corazón está señalando la superficie III dedo pulgar es el vector normal
S
13.1.1 Independencia de la superficie Podemos cambiar la superficie por otra superficie 1) Las dos superficies Exista una familia de superficies la cual define una deformaciónŽ continua de 3) La familia en el teorema de Stokes.
Verificar el teorema de Stokes para:x,y,zSuperficie 4 y campo vectorial
…1…0.500.51x…1…0.500.51y…1…0.500.51z
13-Vectorial.indd 24831/05/13 01:03 a.m.
13.1 T\r \f SZ\b
Verifiquemos primero las condiciones exigidas por el teorema de Stokes:1) El campo vectorial
S
está definido sobre todo el espacio 2) La superficie es suave, orientable y además parametrizada. Podemos 4), (con centro en el origen y radio 2. 3) Con esta parametrización tenemos la orientación definida por( el cual es el campo vectorial hacia adentroŽ.4) La frontera (borde) es la circunferencia por,2cos2sen Ahora hagamos ciertos cálculos:a) El rotacional del campox, y, zP, Q, Ry, x, y, z Ver figura 13.1 en la cual se muestra la superficie y el campo vectorial b) Dado que &es un campo escalar, lo podemos denotar por lo tanto el integrando de la integral de superficie gdS&&
&
%uv%%uv%d
A
&(102012
Para verificar el teorema de Stokes resolvemos separadamente el lado iz quier do de (13.2) y el lado derecho.
13-Vectorial.indd 24931/05/13 01:03 a.m.
252
CAPÍTULO 13 T\r \f SZ\b  \r \f G\r\n\b\b
13.2 Teorema de Gauss-OstrogradskyTeorema 13.2 Teorema de Gauss-Ostrogradsky o teorema de la divergencia de Gaussuna región sólida del espacio la frontera superficial de suave por partes, regular y con orientación positiva (hacia afuera, vector nor-mal exterior). Seax, y, z) un campo vectorial de clase una región abierta que contiene a
1) La integral del lado izquierdo es una integral de superficie, es el flujo hacia a través de . Recordemos que esta integral de superficie, o inte-gral de flujo sobre la superficie cerrada equivalentes:
2) El vector normal sobre la superficie S si es escogido hacia afuera diremos es positiva.3) La integral del lado derecho es una integral triple de volumen sobre el sólido (Ejercicio resuelto).) a través de la superficie cerrada 2. Es decir hallemos el valor de la integral de superficie (fig. 13.2),
&ydydzdx
35.FSFSFSSS
&
(13.20)
13-Vectorial.indd 25231/05/13 01:03 a.m.
16
CAPÍTULO 1 C\n\r\b  \b\n\b
por la curva obtenido no necesariamente es una superficie de revolución, por ejemplo si la curva
4\by2
La ecuación de la superficie cilíndrica en cilindro elíptico recto es una superficie cilíndrica generada por una familia ) y que pasan por una curva
4\by2
ecuación que define esta superficie cilíndrica es:
4\by2
Observemos que no aparece la variable triz, fig. 1.18.\b
Consideremos la curva . La superficie cilíndrica generada por la familia de rectas paralelas al eje Si la familia de rectas que genera una superficie cilíndrica son paralelas a uno de los ejes coordenados y la curva plana plano coordenado perpendicular a la familia de rectas, entonces la ecuación de la superficie cilíndrica no tiene la variable del eje. Esto no significa que en general las ecuaciones de las superficies cilíndricas no tengan una o dos variables. Un plano podría ser considerado como una superficie cilíndrica.
01-Vectorial-OK.indd 1631/05/13 12:11 a.m.
10.3 E\b \f \r\n 
199
Ejercicio 10.14. Hallar la masa de un alambre1) en forma de un cuarto de circunferencia 2) en forma de hélice Ejercicio 10.15. Hallar el valor de la integral
consiste en los segmentos que van desde (0, 0) a (1, 0) y desde (1, 0) a Ejercicio 10.16. Hallar el valor de
C
(segmentos) que va desde (0Ejercicio 10.17. Hallar el valor de la integral
consiste en los segmentos: desde (0, 0, 0) a (0, 3, 3), desde (0, 3, 3) a Ejercicio 10.18. Calcular la integral
yz dy \b xy dz, donde C está dado por: x  10
Ejercicio 10.19. Hallar el valor de
w
SS la curva orientada positivamente vista desde
xj\bzkyC:(t)t2i\bt3j\bt4k,0t1;F
SSSSSSS
rS
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15.2 E\b \f \r\n X
289
15.2 Ejercicios del capítulo 23) No existe intersección entre los dominios de las componentes, por lo tanto el dominio es el conjunto vacío.
t23
2cos
tt3
t\b1;w3) 3
t\b1
t\btcost.w 2.3 1) 11112222
2) 2312123113
32
15-Vectorial.indd 28931/05/13 11:58 a.m.
254
CAPÍTULO 13 T\r \f SZ\b  \r \f G\r\n\b\b
Campo vectorial conservativo:sea una región simplemente conexa,& 1) Para cualquier campo vectorial& & 
es decir, la divergencia del rotacional de un campo&  entonces existe un campo vectorial & El campo gravitacional satisface que &  sin embargo no existe ningún campo & rior, pues el dominio del campo gravitacional no es el origen del sistema de coordenadas el campo gravitacional no está definido 4) ¿Cómo hallar &  si éste existe? existesicampo vectorial incompresible, .)& 
(13.29) G2(x, y, z)z0F1(x, t)dt,
Una consecuencia del teorema de Gauss es: si un campo vectorial&  a través de dos superfi-(Ejercicio resuelto)es una superficie cerrada ycampo vectorial de clase &
(13.32)
13-Vectorial.indd 25431/05/13 01:03 a.m.
13.3 E\b \f \r\n 
259
& 
A. FalsoB. VerdaderoEjercicio 13.11.x,y,zla superficie z orientada hacia arriba. La integral de superficie& 
A)0;B)27
Ejercicio 13.12. Use el teorema de Stokes para calcular la integral
8arctan
zR\by2z\bzy
S
FSiSSjSk es la parte del hemisferio x 
positivo;xyz
S
es la superficie compuesta por la tapa inferior y los cuatros lados laterales del cubo con vértices
13-Vectorial.indd 25931/05/13 01:03 a.m.
13.2 T\r \f G\r\n\b\b-O\b\t\r\f\bZ
253
Ejemplo 13.5. Calculemos el flujo hacia afuera de
S
z, y, x) a través de la esfera 9. Es decir, hallemos el valor de la integral de superficie
La divergencia de este campo vectorial es igual a 1 y por lo tanto, usando el teorema de Gauss, podemos concluir que la integral triple de volumen es el volu-men de la esfera. Luego:
1) Para cualquier función es decir, el rotacional del gradiente de una funciónes el vector cero.
13-Vectorial.indd 25331/05/13 01:03 a.m.

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