UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE - cch-sur unam mx

Las ecuaciones de primer y segundo grado se resolvían con un método prácticamente idéntico al que usamos hoy en día. Sin embargo, la solución no apareció en Europa hasta el s. XII, en el libro Tratado de Medidas y Cálculos, del matemático judeo-español Abraham Bar Hiyya Ha-Nasi.


Texto en PDF


1UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SURGUÍA DE ESTUDIO PARA MATEMÁTICAS II

(ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA)Elaborada por los profesores:Guadalupe Xochitl Chávez Pérez

Antonio García Flores

Teresa Manuel Hernán
dez

Andrés Martínez Palacios

Jesús Ramírez Vega

Carlos Gabriel Sánchez Lordmé
ndez Agosto de 2017

2

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
ESCUELA NACIONAL
COLEGIO DE

CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SUR
Guía de estudio para preparar el examen extraordinario de
MATEMÁTICAS I
I

Basado en el programa actu
alizado de 2016
Impreso en Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades.
Plantel Sur.Autores:

Guadalupe Xochitl Chávez Pérez (Coordinadora)

Antonio García Flores

Teresa Manuel Hernández

Andrés Martínez Palacios

Jesús Ramírez Vega

Carlos Gabriel S
ánchez LordméndezPlaneación y edición

Ernesto Márquez Fragoso
Agosto de 2017
3INTRODUCCIÓN
La presente guía es un material didáctico elaborado por profesores de la Academia de
Matemáticas del plantel

Sur, con el objetivo de apoyarte en la preparación de tu evaluación
extraordinaria de Matemáticas II. Este trabajo se sustenta en
los principios filosóficos y
e
l Modelo Educativo del Colegio de
Ciencias y Humanidades (CCH)

y considera los

Programas de E
studio Actualizados
del año
2016.
Contiene las cuatro unidades del curso:

1. Ecuaciones cuadráticas

2. Funciones cuadráticas y aplicaciones

3. Elementos básicos de geometría plana

4. Congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras
INSTRUCCIONESEn cada unidad encontrarás una presentación, conceptos clave, sugerencias de actividades con
base en los temas del programa
; además, p
ara cada tema
desarrollado
se señalan los objetivos,
se da una breve explicación, se exponen ejemplos resuelto
s, se proponen ejercicios con
soluciones, se incluyen ejercicios de autoevaluación y
se proponen algunos textos de consulta
.Para que
logres el

éxito en
esta asignatura
, debes estudiar los ejemplos resueltos, resolver los
ejercicios propuestos y verificar

tus resultados. Si algún ejercicio no lo entiendes o no lo puedes
resolver, puedes acudir con los profesores
del Programa Institucional de Asesorías (PIA),
ubicado en la planta alta del
≓≒≗≔≗≑≗≝ ⊾²¶⊿.⊾
Sólo los educados son libres
⊿
␇⒗␞␦⌽␣⌽␫␭
4ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

................................
................................
................................
.......................

3

INSTRUCCIONES

................................
................................
................................
......................

3

ÍNDICE

................................
................................
................................
................................
....

4

UNIDAD 1. ECUACIONES CUADRÁTICAS

................................
................................
......

6

Presentación

................................
................................
................................
.........................

6

Conceptos clave

................................
................................
................................
...................

7

Resolución de ecuaciones cuadráticas
de las formas:
⪩
⳦
⽗
⪓
,

⪒
⪩
⳦
⽗
⪓
,
⪒
⪩
⳦
⽐
⪓
⽗
⪔
,
⪒
⪩
⳦
⽐
⪓
⽗
ⳤ
,
⪒⪩
⽐
⪓
⳦
⽐
⪔
⽗
⪕
,
⪩
⽐
⪓⪩
⽐
⪔
⽗
ⳤ

................................
.............................

8

Solución por factorización

................................
................................
................................
.

11

Solución completando el trinomio cuadrado perfecto

................................
.......................

19

Solución utilizando la fórmula general

................................
................................
..............

22

Problemas que d
an lugar a ecuaciones cuadráticas

................................
...........................

28

Respuestas a los ejercicios

................................
................................
................................
.

31

Autoevaluación tipo examen extraordinario
................................
................................
......

33

UNIDAD 2. FUNCIONES CUADRÁTICAS Y APLICACIONES

................................
.....

36

Presentación

................................
................................
................................
.......................

36

Conceptos clave

................................
................................
................................
.................

36

Problemas que conducen a Funciones Cuadráticas

................................
...........................

38

Gráficas de funciones cuadráticas

................................
................................
.....................

42

Problemas que involucran funciones cuadráticas

................................
..............................

48

Respues
tas a los ejercicios

................................
................................
................................
.

53

Autoevaluación tipo examen extraordinario
................................
................................
......

55

UNIDAD 3. ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA PLANA
................................
....

58

Presentación

................................
................................
................................
.......................

58

Conceptos claves

................................
................................
................................
...............

58

Construcción con regla y compás

................................
................................
......................

60

Ángulos

................................
................................
................................
..............................

61

Geometría del triángulo

................................
................................
................................
.....

64

Polígonos

................................
................................
................................
...........................

73

Ángulos interiores de un polígono
................................
................................
.....................

75

Círculo y Circunferencia

................................
................................
................................
...

82

Respuestas a los ejercicios

................................
................................
................................
.

86

Autoevaluación tipo examen extraordinario
................................
................................
......

885UNIDAD 4. CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS.

.............

91

Presentación

................................
................................
................................
.......................

91

Conceptos claves

................................
................................
................................
...............

92

Congruencia

................................
................................
................................
.......................

94

Semejanza

................................
................................
................................
........................

103

Semejanza de triángulos

................................
................................
................................
..

105

Criterios de semejanza de triángulos

................................
................................
...............

107

Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes

................................
......

110

Teorema de Pitágoras

................................
................................
................................
......

115

Respuestas a los ejercicios

................................
................................
...............................

120

Autoevaluación tipo examen extraordinario
................................
................................
....

123

Bibliografía básica

................................
................................
................................
...............

129

Bibliografía complementaria

................................
................................
...............................

129 Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas6UNIDAD 1. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Presentación

-

Utilizarás los métodos de factorización, c
ompletar el trinomio cuadrado perfecto y
fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable.

-

Determinarás cuando una ecuación cuadrática no tiene solución real.

-

Resolverás problemas que involucren en su solución ecuaciones de segundo g
rado con
una variable.

Un poco de historia

Fue Al Kjwarizmi astrónomo, geógrafo y matemático quien determinó las primeras reglas del
cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación,
previo cambio de signo, y la a
nulación de términos idénticos en ambos miembros. También
estudió las ecuaciones de segundo grado.

Las ecuaciones de primer y segundo
grado
se resolvían con un método prácticamente idéntico
al que usamos hoy en día. Sin embargo, la solución no apareció en
Europa hasta el s. XII, en el
libro Tratado de Medidas y Cálculos, del matemático judeo
-
español Abraham Bar Hiyya Ha
-
Nasi. Siglos después, todos los libros de matemáticas de nivel medio superior incluyen la famosa
≔⊄≠≛≣≚≏ ≕≓≜≓≠≏≚ ≝ ≚≚≏≛≏≒≏ ≑≝≛≜≛≓≜≢≓ ⊾≑≖≗≑
≖≏≠≠≝≜≓≠≏⊿.

Temas que comprende la unidad:

•

Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

•

Resolución de ecuaciones cuadráticas de las formas:
⥟
ⵁ
⽗
⥉
,

⥈
⥟
ⵁ
⽗
⥉
,
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉
⽗
⥊
,
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉
⽗
╽
,
⥈
(
⥟
⽐
⥉
)
ⵁ
⽐
⥊
⽗
⥋
,
(
⥟
⽐
⥉
)
(
⥟
⽐
⥊
)
⽗
╽
.

•

Métodos de solución de la ecuación cuadrática
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
⽗
╽
:

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas7a)

Factorización.

b)

Método de completar un trinomio cuadrado perfecto.

c)

Fórmula general para resolver u
na ecuación cuadrática.

•

Discriminante
⥉
ⵁ
⽑
▁
⥈⥊

y naturaleza de las raíces.

•

Problemas de aplicación.

Conceptos clave

Ecuación de segundo grado.

Son aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:

⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
⽗
╽

donde
a
, b

y
c

son números reales cualesquiera, tales que
⥈
⽘
╽
.

Diferencia de cuadrados.

Es un binomio en el cual sus términos se están restando y además
están elevados al cuadrado; es decir son binomios que tienen la forma:

⥈
ⵁ
⽑
⥉
ⵁ

La diferencia de cuadrad
os s
e obtiene multiplicando dos binomios conjugados, es decir:

(
⥈
⽐
⥉
)
(
⥈
⽑
⥉
)
⽗
⥈
ⵁ
⽑
⥉
ⵁ

Binomios conjugados.

Son dos binomios que sólo se diferencian en un signo, por ejemplo:

•

⥈
⽑
⥉

y
⥈
⽐
⥉

•

▀
⥟
⽐
▃

y
▀
⥟
⽑
▃

Trinomio cuadrado perfecto.

Es el resultado de e
levar un binomio al cuadrado, es decir, es un
trinomio de la forma:

⥈
ⵁ
⽐
╿
⥈⥉
⽐
⥉
ⵁ

Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

Se refiere a la fórmula que se
puede emplear para resolver este tipo de ecuaciones; es:

⥟
⽗
⽑
⥉
⽒
◉
⥉
ⵁ
⽑
▁
⥈
⥊
╿
⥈

Discriminante de una ecuación de segundo grado.

En una ecuación cuadrática
, s
e refiere al
valor de:

⤱
⽗
⥉
ⵁ
⽑
▁
⥈⥊

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas8
Resolución de ecuaciones cuadráticas de las formas:
⪩
⳦
⽗
⪓
,

⪒
⪩
⳦
⽗
⪓
,
⪒
⪩
⳦
⽐
⪓
⽗
⪔
,
⪒
⪩
⳦
⽐
⪓
⽗
ⳤ
,
⪒
(
⪩
⽐
⪓
)
⳦
⽐
⪔
⽗
⪕
,
(
⪩
⽐
⪓
)
(
⪩
⽐
⪔
)
⽗
ⳤ

Ejemplo 1.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado

⥟
ⵁ
⽗
╾╽╽

E
sta es una ecuación de segu
ndo grado
ya que

la podemos escribir como
⥟
ⵁ
⽑
╾╽╽
⽗
╽
.
Además, observa que la forma de la ecuación es
⥟
ⵁ
⽗
⥉
.
En este caso, como queremos despejar
⥟

extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos:

â¾°
⥟
ⵁ
⽗
⽒
◉
╾╽╽

⥟
⽗
⽒
╾╽

Así que las

raíces o soluciones de la ecuación son
⽑
╾╽

y
╾╽
.

Ejemplo 2.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado

▂
⥟
ⵁ
⽗
╾╽╽

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas9Observa que

es un
a ecuación de segundo grado y

la podemos escribir como
▂
⥟
ⵁ
⽑
╾╽╽
⽗
╽
.
Además, observa que la forma de la ecuación es
⥈
⥟
ⵁ
⽗
⥉
. En este caso primero despejamos
⥟
ⵁ
:

⥟
ⵁ
⽗
╾╽╽
▂
⽗
╿╽

⥟
ⵁ
⽗
╿╽

Ten en cuenta que ahora se tiene una ecuación de la forma
⥟
ⵁ
⽗
⥉
,

como en el ejemplo 1, así
que la solución de la última ecuación se obtendrá de la misma manera que en el ca
so de la
ecuación de ejemplo 1; extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación:

â¾°
⥟
ⵁ
⽗
⽒
◉
╿╽

⥟
⽗
⽒
╿
◉
▂

Así que las soluciones de la ecuación son
╿
◉
▂

y
⽑
╿
◉
▂
.

Ejemplo 3.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:

▀
⥟
ⵁ
⽑
▂
⽗
▅

Observa que e
sta es un
a ecuación de segundo grado y

la podemos escribir como
▂
⥟
ⵁ
⽑
╾▀
⽗
╽
;
además que su forma es
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉
⽗
⥊
. Para resolver esta ecuación transponemos
1

el
⽑
▂

y
tenemos:

▀
⥟
ⵁ
⽗
╾▀

Ahora tenemos una ecuación similar a la del ejemplo 2 así que resolve
mos la ecuación de la
misma manera:

⥟
ⵁ
⽗
╾▀
▀

⥟
⽗
⽒
√
╾▀
▀

Así que las soluciones de la ecuación son
√
ⵀⵂ
ⵂ

y
⽑
√
ⵀⵂ
ⵂ
.




1

Transponer e
s llevar un término de un lado de la ecuación al otro.

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas10Ejemplo 4.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:

▀
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
⽐
▀
⽗
▃

Este caso es similar al mostrado en el ejemplo 3 s
ólo que en vez de tener
⥟
ⵁ

se tiene
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
.
Sin embargo, este tipo de ecuaciones se puede resolver virtualmente de la misma manera que la
ecuación mostrada en el ejemplo 3. Primero despejamos el término
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
:

▀
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
⽗
▃
⽑
▀

(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
⽗
▀
▀

â¾°
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
⽗
⽒
◉
╾

⥟
⽑
▀
⽗
⽒
╾

⥟
⽗
▀
⽒
╾

Así que las soluciones de la ecuación son
▁

y
╿
.

Ejemplo 5.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:

(
⥟
⽑
▁
)
(
⥟
⽐
▂
)
⽗
╽

Podemos comprobar que esta es una ecuación de segundo grado realizando la multiplicación de
binom
ios:

⥟
ⵁ
⽐
▂
⥟
⽑
▁
⥟
⽑
╿╽
⽗
╽

⥟
ⵁ
⽐
⥟
⽑
╿╽
⽗
╽

Esta ecuación podría resolverse a través de la fórmula general, sin embargo, la ecuación original
está expresada como la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero, proposición que
nos lleva a afirmar que s
ólo se cumple si cualquiera o los dos factores son iguales con cero,
generando las ecuaciones:

⥟
⽑
▁
⽗
╽

⥟
⽗
▁

⥟
⽐
▂
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
▂

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas11Ejercicio 1
.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

1)

⥟
ⵁ
⽗
▅

2)

⥟
ⵁ
⽑
╾▀
⽗
╽

3)

⥟
ⵁ
⽐
╾▀
⽗
╿▂

4)

▁
⥟
ⵁ
⽗
╿▂

5)

⽑
▆
⥟
ⵁ
⽗
⽑
▃▁

6)

╾▂
⥟
ⵁ
⽐
▆
⽗
╾▅

7)

╿
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
⽐
▃
⽗
╾▁

8)

⽑
▀
(
⥟
⽑
▁
)
ⵁ
⽐
▂
⽗
ⵀⵀ
ⵂ

9)

(
⥟
⽐
╾
)
ⵁ
⽗
╽

10)

(
⥟
⽑
▀
)
(
⥟
⽐
▂
)
⽗
╽

11)

(
⥟
⽑
▅
)
(
⥟
⽐
▄
)
⽗
╽

12)

(
⥟
⽑
▂
)
(
⥟
⽑
▂
)
⽗
╽Solución por factorización

Para resolver factorizando una ecuación cuadrática debes recordar que la factorización
dep
ende de la estructura algebraica.

Ejemplo 6
. Si tienes la ecuación de segundo grado

⥟
ⵁ
⽑
▀
⥟
⽐
╿
⽗
╽

Ecuación cuya estructura corresponde a un trinomio cuadrático que resulta de la multiplicación
de dos binomios con un término común y que para encontrarlos
se buscan dos números cuyo
producto sea
╿

que es el término independiente y su suma sea
⊼

3. Tales números son
␍
╾

y
␍
╿
,
por lo que la ecuación queda expresada como:

(
⥟
⽑
╾
)
(
⥟
⽑
╿
)
⽗
╽

Al factorizarla, la ecuación queda expresada como la multiplicación de dos f
actores cuyo
producto es cero, proposición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos
factores son iguales con cero, generando las ecuaciones:

⥟
⽑
╾
⽗
╽ó

⥟
⽑
╿
⽗
╽

Al despejar la variable de las ecuaciones generadas se obtienen las raíc
es de la ecuación
cuadrática, es decir:

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas12⥚⥐

⥟
⽑
╾
⽗
╽
➧
⥟
⽗
╾

⥚⥐

⥟
⽑
╿
⽗
╽
➧
⥟
⽗
╿

Por lo que las raíces o soluciones de la ecuación
⥟
ⵁ
⽑
▀
⥟
⽐
╿
⽗
╽

son
╾

y
╿
.

Ejemplo 7.
Si tienes una ecuación de segundo grado como:

╿▂
⥟
ⵁ
⽑
╾▃
⽗
╽

Esta ecuación tiene una estructura

que corresponde a la de una diferencia de cuadrados. La
factorización de una diferencia de cuadrados es la multiplicación de dos binomi
os conjugados;
para encontrar

dichos binomios se extrae la raíz cuadrada a 25
x
2

y la raíz cuadrada de 16. Tales
raíces
son
▂
⥟

y 4, por lo que la ecuación queda factorizada como

(
▂
⥟
⽐
▁
)
(
▂
⥟
⽑
▁
)
⽗
╽

La ecuación queda expresada como la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero,
proposición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos factores son
ig
uales con cero, generando las ecuaciones:

▂
⥟
⽑
▁
⽗
╽

⥟
⽗
▁
▂

▂
⥟
⽐
▁
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
▁
▂

Por lo que las raíces o soluciones de la ecuación son
ⵃ
ⵄ

y
⽑
ⵃ
ⵄ
.

Ejemplo 8.
Si tienes una ecuación de segundo grado como:

▁
⥟
ⵁ
⽑
╾╿
⥟
⽐
▆
⽗
╽

Ecuación cuya estructura correspon
de a la de un trinomio cuadrado perfecto el cual resulta de
la multiplicación de un binomio elevado al cuadrado o multiplicado por si mismo. Para
encontrar su forma factorizada, se extrae la raíz cuadrada de
▁
⥟
ⵁ

y la raíz cuadrada de
▆
. Tales
raíces cu
adradas son 2
x

y 3 y como el signo del coeficiente del término lineal es negativo, la
ecuación queda factorizada como:

(
╿
⥟
⽑
▀
)
(
╿
⥟
⽑
▀
)
⽗
╽

La ecuación queda expresada como la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero,
Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas13proposición que nos lleva a af
irmar que solo se cumple si cualquiera o los dos factores son
iguales con cero, generando las ecuaciones:

╿
⥟
⽑
▀
⽗
╽

⥟
⽗
▀
╿

╿
⥟
⽑
▀
⽗
╽

⥟
⽗
▀
╿

como te podrás dar cuenta las dos raíces son iguales por lo se dice que
ⵂ
ⵁ

es la raíz de
multiplicidad
╿

de la e
cuación
▁
⥟
ⵁ
⽑
╾╿
⥟
⽐
▆
⽗
╽
.

Ejemplo 9.
Si tienes una ecuación de segundo grado como:

╾╽
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽗
╽

Ésta

se factoriza determinando el factor común
╿
⥟

y dividiendo cada término del polinomio
╾╽
⥟
ⵁ
⽐
▁

entre él para obtener
los

factor
es
, es decir

╾╽
⥟
ⵁ
╿
⥟
⽗
▂
⥟

▁
⥟
╿
⥟
⽗
╿

quedando la ecuación factorizada como:

╿
⥟
(
▂
⥟
⽐
╿
)
⽗
╽╿
⥟
⽗
╽

⥟
⽗
╽

▂
⥟
⽐
╿
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
╿
▂Por lo que se tiene que
╽

y
⽑
ⵁ
ⵄ

son las raíces de la ecuación
╾╽
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽗
╽
.

Ejemplo 10.
Si tienes una ecuación de segundo grado como:

▀
⥟
ⵁ
⽐
╿
⥟
⽑
╿
╾
⽗
╽

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas14Ecuación cuya estructura corresponde a la de un trinomio de segundo grado, el cual resulta de
la multiplicación de dos binomios y que para encontrarlos se puede multiplicar al coeficiente
del término cuadrático
▀

por el término independiente
⽑
╿╾

cuyo p
roduc
to es

⽑
▃▀

y se buscan

dos números cuyo producto sea

⽑
▃▀

y su suma sea 2, que es el coeficiente del término lineal.
Tales números son
␍
▄

y
▆

y con ellos se expresa al término lineal
╿
⥟

utilizando estos números
como coeficientes de dos
términos lineale
s que generan un

polinomio

con

cuatro términos:

▀
⥟
ⵁ
⽑
▄
⥟
⽐
▆
⥟
⽑
╿╾

Este último se factoriza por agrupación, quedando la ecuación factorizada como sigue:

⥟
(
▀
⥟
⽑
▄
)
⽐
▀
(
▀
⥟
⽑
▄
)
⽗
╽

(
▀
⥟
⽑
▄
)
(
⥟
⽐
▀
)
⽗
╽

La ecuación queda expresada como la multiplicación de dos factore
s cuyo producto es cero,
proposición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos factores son
iguales con cero, generando las ecuaciones:

▀
⥟
⽑
▄
⽗
╽

⥟
⽗
▄
▀

⥟
⽐
▀
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
▀Ejercicio 2
.
Contesta cada una de las siguientes preguntas

1)

¿Qué

es una ecuación cuadrática?
2)

¿Cuándo se considera una ecuación cuadrática completa?
3)

¿Cuándo se considera incompleta?
Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas154)

Aparte de factorizar para resolver ecuaciones cuadráticas, ¿Qué otras formas para
resolverlas conoces?

5)

¿Cuál es el número de r
aíces que tiene una ecuación cuadrática?

Elige la opción que corresponde a la de la respuesta correcta:

6)

La factorización de
⥠
ⵁ
⽑
▃
⥠
⽐
▆
⽗
╽

es:

A)

(
⥠
⽑
▀
)
(
⥠
⽐
▀
)
⽗
╽

B)

(
⥠
⽑
▆
)
(
⥠
⽐
╾
)
⽗
╽

C)

(
⥠
⽑
╾
)
(
⥠
⽐
▆
)
⽗
╽

D)

(
⥠
⽑
▀
)
(
⥠
⽑
▀
)
⽗
╽

7)

La factorización de
⥟
ⵁ
⽐
╾▁
⥟
⽐
▁▆
⽗
╽

es:

A)

(
⥟
⽐
▄
)
ⵁ
⽗
╽

B)

(
⥟
⽐
▄
)
(
⥟
⽑
▄
)
⽗
╽

C)

(
⥟
⽐
╿
)
(
⥟
⽐
▄
)
⽗
╽

D)

(
⥟
⽑
▄
)
ⵁ
⽗
╽

8)

La factorización de
▄╿
⥠
⽐
╾▃
⽐
▅╾
⥠
ⵁ
⽗
╽

es:

A)

(
▁
⽐
▆
⥠
)
ⵁ
⽗
╽

B)

(
▁
⽐
▆
⥠
)
(
▁
⽑
▆
⥠
)
⽗
╽

C)

(
▁
⽐
⥠
)
(
▁
⽐
▄╿
⥠
)
⽗
╽

D)

(
▁
⽑
▆
⥠
)
ⵁ
⽗
╽Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas169)

La factorización de
╾╽╽
⥟
ⵁ
⽑
╿╽
⥟
⽐
╾
⽗
╽

es:

A)

(
╾╽
⥟
⽐
╾
)
(
╾╽
⥟
⽐
╾
)
⽗
╽

B)

(
╾╽
⥟
⽐
╿╽
)
(
╾╽
⥟
⽑
╾
)
⽗
╽

C)

(
╾╽
⥟
⽑
╾
)
(
╾╽
⥟
⽑
╿╽
)
⽗
╽

D)

(
╾╽
⥟
⽑
╾
)
(
╾╽
⥟
⽑
╾
)
⽗
╽

10)

La factorización de
⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽐
╿▂
⽗
╽

es:

A)

(
⥟
⽑
▂
)
(
⥟
⽐
▂
)
⽗
╽

B)

(
⥟
⽐
▂
)
(
⥟
⽑
╾╽
)
⽗
╽

C)

(
⥟
⽑
▂
)
(
⥟
⽑
▂
)
⽗
╽

D)

(
⥟
⽐
╾╽
)
(
⥟
⽑
▂
)
⽗
╽

11)

La fact
orización de
▀
⥟
ⵁ
⽑
▂
⥟
⽐
╿
⽗
╽

es:

A)

(
⥟
⽐
╾
)
(
▀
⥟
⽐
╿
)
⽗
╽

B)

(
▀
⥟
⽑
╿
)
(
⥟
⽑
╾
)
⽗
╽

C)

(
⥟
⽐
╾
)
(
▀
⥟
⽑
╿
)
⽗
╽

D)

(
▀
⥟
⽐
╾
)
(
⥟
⽑
╿
)
⽗
╽

12)

La factorización de
⥟
ⵁ
⽐
╾╾
⥟
⽐
╿▁
⽗
╽

es:

A)

(
⥟
⽐
▁
)
(
⥟
⽐
▃
)
⽗
╽

B)

(
⥟
⽐
▀
)
(
⥟
⽐
▅
)
⽗
╽

C)

(
⥟
⽐
╿
)
(
⥟
⽐
╾╿
)
⽗
╽

D)

(
⥟
⽐
╾╾
)
(
⥟
⽐
╿▁
)
⽗
╽

13)

Las raíces de la ecuación
⥟
ⵁ
⽑
╾╾
⥟
⽑
╿▃
⽗
╽
, son:

A)

⽑
╾╾

y
⽑
╿▃

B)

╾╾

y
╿▃
.

C)

╾▀

y
⽑
╿

D)

⽑
╾▀

y
╿

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas1714)

Las raíces de la ecuación
⥟
ⵁ
⽑
▆
⥟
⽗
╽
, son:

A)

⽑
╾

y
⽑
▆

B)

╽

y
▆

C)

▀

y
⽑
▀

D)

▆

y
╾

15)

Las raíces de la ecuación
▆
⥟
ⵁ
⽑
▁▆
⥟
⽗
╽
, son:

A)

▄

y
⽑
▄

B)

ⵆ
ⵂ

y
⽑
ⵆ
ⵂ

C)

▀

y
⽑
▀

D)

ⵃⵈ
ⵈ

y
╽

16)

Las raíces de la ecuación
▁
⥈
ⵁ
⽐
▀
⥈
⽑
╾╽
⽗
╽
, son:

A)

ⵄ
ⵃ

y
⽑
╿

B)

╿

y
⽑
ⵄ
ⵃ

C)

▀

y
⽑
╾╽

D)

╾╽

y
⽑
▀

17)

Las raíces de la ecuación
▆
⥠
ⵁ
⽐
▃
⥠
⽐
╾
⽗
╽
, son:

A)

▆

y
▃

B)

▃

y
╾

C)

ⵀ
ⵂ

de multiplicidad 2

D)

⽑
ⵀ
ⵂ

de multiplicidad 2

18)

Las raíces de la ecuación
▁
⥔
ⵁ
⽑
▁
⥔
⽐
╾
⽗
╽
, son:

A)

▁

⥠

-
1

B)

⽑
▁

y
╾

C)

ⵀ
ⵁ

de multiplicidad 2

D)

⽑
ⵀ
ⵁ

de multiplicidad 2

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas1819)

Si las r
aíces de la ecuación de segundo grado son
▆

y
▄
, la ecuación factorizada es:

A)

(
⥟
⽐
▄
)
(
⥟
⽑
▆
)
⽗
╽

B)

(
⥟
⽑
▄
)
(
⥟
⽑
▆
)
⽗
╽

C)

(
⥟
⽐
▆
)
(
⥟
⽑
▄
)
⽗
╽

D)

(
⥟
⽐
▄
)
(
⥟
⽐
▆
)
⽗
╽

20)

Si las raíces de la ecuación de segundo grado son
⽑
╿

y
ⵂ
ⵁ
, la ecuación factorizada es:

A)

(
⥟
⽐
╿
)
(
⥟
⽑
ⵂ
ⵁ
)
⽗
╽

B)

(
⥟
⽑
╿
)
(
⥟
⽐
ⵂ
ⵁ
)
⽗
╽

C)

(
⥟
⽑
ⵂ
ⵁ
)
(
⥟
⽑
╿
)
⽗
╽

D)

(
⥟
⽐
ⵂ
ⵁ
)
(
⥟
⽑
╿
)
⽗
╽

21)

Si las raíces de la ecuación de segundo grado son
╽

y
⽑
▁
, la ecuación factorizada es:

A)

(
⥟
⽐
▁
)
⥟
⽗
╽

B)

⥟
(
⥟
⽑
▁
)
⽗
╽

C)

(
⥟
⽑
╽
)
(
⽑
▁
)
⽗
╽

D)

▁
(
⥟
⽑
╽
)
⽗
╽

22)

Si las raíces de la ecuación de segundo grado son 3 y
▁
, la ecuación es:

A)

⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
▁
⽗
╽

B)

⥟
ⵁ
⽑
▄
⥟
⽐
╾╿
⽗
╽

C)

⥟
ⵁ
⽑
▁
⥟
⽐
▀
⽗
╽

D)

⥟
ⵁ
⽐
▄
⥟
⽐
╾╿
⽗
╽

23)

Si las raíces de la ecuación de segundo grado son
-
1 y
▀
, la ecuación es:

A)

⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽑
▀
⽗
╽

B)

⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽑
╾
⽗
╽

C)

⥟
ⵁ
⽑
⥟
⽐
▀
⽗
╽

D)

⥟
ⵁ
⽐
╿
⥟
⽑
▀
⽗
╽Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas1924)

Si las raíces de la ecuación de segundo grado son
⽑
▂

y
⽑
▄
, la ecu
ación es:

A)

⥟
ⵁ
⽑
▂
⥟
⽐
▄
⽗
╽

B)

⥟
ⵁ
⽐
▂
⥟
⽑
▄
⽗
╽

C)

⥟
ⵁ
⽐
╾╿
⥟
⽐
▀▂
⽗
╽

D)

⥟
ⵁ
⽑
╾╿
⥟
⽐
▀▂
⽗
╽

25)

Si las raíces de la ecuación de segundo grado son
╾

y
ⵀ
ⵁ
, la ecuación es:

A)

⥟
ⵁ
⽐
â·¶
ⵁ
⽐
╾
⽗
╽

B)

⥟
ⵁ
⽑
⥟
⽐
╿
⽗
╽

C)

╿
⥟
ⵁ
⽑
▀
⥟
⽐
╾
⽗
╽

D)

╿
⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
╾
⽗
╽Solución completando el trinomio cuadrad
o perfecto

En ocasiones, la ecuación de segundo grado no es fácil de factorizar por alguno de los
procedimientos mostrados en los ejemplos anteriores, por lo que hay que buscar otra forma de
factor
izarla, lo cual se logra completando un trinomio cuadrado perfecto que es el producto de
un binomio por sí mismo, es decir, de elevar al cuadrado un binomio.

Ejemplo 11
.

Si tienes una ecuación de segundo grado como:

▃
⥟
ⵁ
⽑
⥟
⽑
╾▂
⽗
╽

Primero divides toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es
6, quedando:

▃
⥟
ⵁ
▃
⽑
⥟
▃
⽑
╾▂
▃
⽗
╽
▃

⥟
ⵁ
⽑
╾
▃
⥟
⽑
▂
╿
⽗
╽

Enseguida completas el trinomio cuadrado perfecto para el binomio
⥟
ⵁ
⽑
ⵀ
ⵅ
⥟
, para ello:

Obtienes la mitad del coeficiente del término lineal:

⽑
╾
▃
⽕
╿
⽗
⽑
╾
╾╿

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas20Elevas este término al cuadrado:

(
⽑
╾
╾╿
)
ⵁ
⽗
╾
╾▁▁

y lo sumas y restas a la ecuación original para obtener:

⥟
ⵁ
⽑
╾
▃
⥟
⽐
╾
╾▁▁
⽑
╾
╾▁▁
⽑
▂
╿
⽗
╽

Ahora ya tienes l
a certeza de que
⥟
ⵁ
⽑
ⵀ
ⵅ
⥟
⽐
ⵀ
ⵀⵃⵃ

es un trinomio cuadrado perfecto, el cual puedes
factorizar como
(
⥟
⽑
ⵀ
ⵀⵁ
)
ⵁ

y al reducir los términos independientes
⽑
ⵀ
ⵀⵃⵃ
⽑
ⵄ
ⵁ

como
⽑
ⵂⵅⵀ
ⵀⵃⵃ
, se
tiene que la ecuación de segundo grado queda expresada como
:

(
⥟
⽑
╾
╾╿
)
ⵁ
⽑
▀▃╾
╾▁▁
⽗
╽

que es una diferencia de cuadrados y que al factorizarla deja a la ecuación expresada como:

(
⥟
⽑
╾
╾╿
⽑
╾▆
╾╿
)
(
⥟
⽑
╾
╾╿
⽐
╾▆
╾╿
)
⽗
╽

La ecuación queda expresada como la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero,
pro
posición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos factores son
iguales con cero, generando las ecuaciones:

⥟
⽑
╾
╾╿
⽑
╾▆
╾╿
⽗
╽

⥟
⽑
▂
▀
⽗
╽

⥟
⽗
▂
▀

⥟
⽑
╾
╾╿
⽐
╾▆
╾╿
⽗
╽

⥟
⽐
▀
╿
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
▀
╿Por lo que se tiene que
ⵄ
ⵂ

y
⽑
ⵂ
ⵁ

s
on las raíces de la ecuación
▃
⥟
ⵁ
⽑
⥟
⽑
╾▂
⽗
╽
.

Ejemplo 12.

Si tienes una ecuación de segundo grado como:

▅
⥟
ⵁ
⽐
╾▁
⥟
⽑
╾▂
⽗
╽

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas21Primero divides toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es
8, quedando:

⥟
ⵁ
⽐
╾▁
▅
⥟
⽑
╾▂
▅
⽗
╽

Enseguida completas el trinomio cuadrado perfecto para el binomio
⥟
ⵁ
⽐
ⵀⵃ
ⵇ
⥟
, para ello:

Obtienes la mitad del coeficiente del término lineal:

╾▁
▅
⽕
╿
⽗
╾▁
╾▃
⽗
▄
▅

Elevas este término al cuadrado:

(
▄
▅
)
ⵁ
⽗
▁▆
▃▁

y lo sumas y restas a la ecuac
ión original para obtener:

⥟
ⵁ
⽐
╾▁
▅
⥟
⽐
▁▆
▃▁
⽑
▁▆
▃▁
⽑
╾▂
▅
⽗
╽

Ahora ya tienes la certeza de que
⥟
ⵁ
⽐
ⵀⵃ
ⵇ
⥟
⽐
ⵃⵈ
ⵅⵃ

es un trinomio cuadrado perfecto, el cual puedes
factorizar como
(
⥟
⽐
ⵆ
ⵇ
)
ⵁ

y al reducir los términos independientes
⽑
ⵃⵈ
ⵅⵃ
⽑
ⵀⵄ
ⵇ

como
⽑
ⵀⵅⵈ
ⵅⵃ
, se tiene
que la ecuación de segundo grado queda expresada como:

(
⥟
⽐
▄
▅
)
ⵁ
⽑
╾▃▆
▃▁
⽗
╽

que es una diferencia de cuadrados y que al factorizarla deja a la ecuación expresada como:

(
⥟
⽐
▄
▅
⽑
╾▀
▅
)
(
⥟
⽐
▄
▅
⽐
╾▀
▅
)
⽗
╽

La ecuación qu
eda expresada como la multiplicación de dos factores cuyo producto es cero,
proposición que nos lleva a afirmar que solo se cumple si cualquiera o los dos factores son
iguales con cero, generando las ecuaciones:

⥟
⽐
▄
▅
⽑
╾▀
▅
⽗
╽

⥟
⽐
▄
▅
⽐
╾▀
▅
⽗
╽

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas22⥟
⽑
▀
▁
⽗
╽

⥟
⽗
▀
▁

⥟
⽐
▂
╿
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
▂
╿Por lo que se tiene que
ⵂ
ⵃ

y
⽑
ⵄ
ⵁ

son las raíces de la ecuación

▅
⥟
ⵁ
⽐
╾▁
⥟
⽑
╾▂
⽗
╽
.

Ejercicio 3

1)

Al resolver la ecuación
⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽐
▆
⽗
╽

completando el trinomio cuadrado perfecto, el
paso correcto al completarlo es:

A)

⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽐
▆
⽑
▆
⽗
╽

B)

⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽐
╿▂
⽑
╿▂
⽗
╽

C)

⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽐
╿╽
⽑
╿╽
⽐
▆
⽗
╽

D)

⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽐
╿▂
⽑
╿▂
⽐
▆
⽗
╽

2)

Al resolver la ecuación
⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽑
╾╽
⽗
╽

completando el trinomio cuadrado perfecto, el
paso correcto al completarlo es:

A)

⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
▆
⽐
▆
⽑
╾╽
⽗
╽

B)

⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
▆
⽑
▆
⽑
╾╽
⽗
╽

C)

⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
ⵈ
ⵃ
⽑
ⵈ
ⵃ
⽑
╾╽
⽗
╽

D)

⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
ⵈ
ⵃ
⽐
ⵈ
ⵃ
⽑
╾╽
⽗
╽

Resuelve las siguientes ecuaciones, completando el trinomio cuadrado perfecto:

3)

⥟
ⵁ
⽐
╿
⥟
⽑
╾▂
⽗
╽

4)

⥟
ⵁ
⽑
▁
⥟
⽐
╾
⽗
╽

5)

⥟
ⵁ
⽑
⥟
⽑
╾╿
⽗
╽

6)

▀
⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽑
╾
⽗
╽Solución utilizando la fórmula general

Como sabes, existe una fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, sin
embargo, debes saber que esta fórmula proviene de
compl
eta
r

el trinomio cuadrado perfecto
Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas23y factorizar

la ecuación general
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
⽗
╽
, proceso que pue
des consultar en algún
texto de álgebra o consultar con algún profesor e incluso hacerlo siguiendo los pasos
descritos en el ejemplo anterior.

Así, para la ecuación
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
⽗
╽
, se tiene:

⥟
⽗
⽑
⥉
⽒
◉
⥉
ⵁ
⽑
▁
⥈⥊
╿
⥈

Donde fácilmente puedes observar

que:
⥈

es el coeficiente del término cuadrático,
⥉

es el
coeficiente de término lineal y
⥊

es el término independiente.

Ejemplo 13
. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo 6

⥟
ⵁ
⽑
▀
⥟
⽐
╿
⽗
╽

si la resuelves aplicando la fórmula general, primero se n
ecesita identificar los parámetros
⥈
,
⥉

y
⥊

de la ecuación igualada con cero, que son en este caso:

⥈
⽗
╾

⥉
⽗
⽑
▀

⥊
⽗
╿

enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:

⥟
⽗
⽑
(
⽑
▀
)
⽒
â¾°
(
⽑
▀
)
ⵁ
⽑
▁
(
╾
)
(
╿
)

╿
(
╾
)

⥟
⽗
▀
⽒
◉
▆
⽑
▅
╿
⽗
▀
⽒
◉
╾
╿
⽗
▀
⽒
╾
╿

⥟
⽗
▀
⽐
╾
╿
⽗
╿

⥟
⽗
▀
⽑
╾
╿
⽗
╾Por lo que se tiene que
╾

y
╿

son las raíces de la ecuación
⥟
ⵁ
⽑
▀
⥟
⽐
╿
⽗
╽
, valores que
coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo 6, resuelto por factorización.

Observa además el valor
del

discriminante
:

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas24⤱
⽗
(
⽑
▀
)
ⵁ
⽑
▁
(
╾
)
(
╿
)
⽗
╾

El cual fue positivo y que las soluciones de la ecuación fueron números reales distintos.

Ejemplo 14
. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo 7:

╿▂
⥟
ⵁ
⽑
╾▃
⽗
╽

si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetro
s
⥈
⏬
⥉

y
⥊

de la ecuación
igualada con cero, que son en este caso:

⥈
⽗
╿▂

⥉
⽗
╽

⥊
⽗
⽑
╾▃

sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:

⥟
⽗
⽑
╽
⽒
â¾°
╽
ⵁ
⽑
▁
(
╿▂
)
(
⽑
╾▃
)
╿
(
╿▂
)

⥟
⽗
╽
⽒
◉
╽
⽐
╾▃╽╽
▂╽
⽗
⽒
◉
╾▃╽╽
▂╽
⽗
⽒
▁╽
▂╽

⥟
⽗
▁╽
▂╽
⽗
▁
▂

⥟
⽗
⽑
▁╽
▂╽
⽗
⽑
▁
▂Por lo que se tiene que
ⵃ
ⵄ

y
⽑
ⵃ
ⵄ

son las raíces de la ecuación
╿▂
⥟
ⵁ
⽑
╾▃
⽗
╽
, valores que
coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo 7, resuelto por factorización.

Observa además el valor del discriminante:

⤱
⽗
╽
ⵁ
⽑
▁
(
╿▂
)
(
╾▃
)
⽗
╾▃╽╽

El cual fue positivo y que las soluciones de la ecuación fueron números reales distintos.

Ejemplo 15
. Si tienes la ecuación cuadrática del ejemplo 9:

╾╽
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽗
╽

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas25si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros
⥈
⏬
⥉

y
⥊

de

la ecuación
igualada con cero, que son en este caso:

⥈
⽗
╾╽

⥉
⽗
▁

⥊
⽗
╽

sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:

⥟
⽗
⽑
▁
⽒
â¾°
▁
ⵁ
⽑
▁
(
╾╽
)
(
╽
)
╿
(
╾╽
)

⥟
⽗
⽑
▁
⽒
◉
╾▃
⽑
╽
╿╽
⽗
⽑
▁
⽒
◉
╾▃
╿╽
⽗
⽑
▁
⽒
▁
╿╽

⥟
⽗
⽑
▁
⽐
▁
╿╽
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
▁
⽑
▁
╿╽
⽗
⽑
▅
╿╽
⽗
⽑
╿
▂Por lo que se tiene que
╽

y
⽑
ⵁ
ⵄ

son las raíces de la ecuación
╾╽
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽗
╽
, valores que
coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo 9, resuelto por factorización.

Observa además el valor del discriminante:

⤱
⽗
▁
ⵁ
⽑
▁
(
╾╽
)
(
╽
)
⽗
╾▃

El cual fue po
sitivo y que las soluciones de la ecuación fueron números reales distintos.

Ejemplo 16
. Si tienes la ecuación cuadrática:

⥟
ⵁ
⽑
▁
⥟
⽑
▄
⽗
╽

si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros
⥈
⏬
⥉

y
⥊

de la ecuación
igualada con cero, q
ue son en este caso:

⥈
⽗
╾

⥉
⽗
⽑
▁

⥊
⽗
⽑
▄

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas26sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:

⥟
⽗
⽑
(
⽑
▁
)
⽒
â¾°
(
⽑
▁
)
ⵁ
⽑
▁
(
╾
)
(
⽑
▄
)
╿
(
╾
)

⥟
⽗
▁
⽒
◉
╾▃
⽐
╿▅
╿
⽗
▁
⽒
◉
▁▁
╿

⥟
⽗
▁
⽐
◉
▁▁
╿
⽗
╿
⽐
◉
╾╾

⥟
⽗
▁
⽑
◉
▁▁
╿
⽗
╿
⽑
◉
╾╾Como te darás cuenta, nos encontr
amos con la raíz cuadrada no exacta, la cual no tendrá
necesidad de extraer ya que al ser un número irracional no tendrás un resultado correcto si la
aproximas por lo que se tiene que
╿
⽐
◉
╾╾

y
╿
⽑
◉
╾╾

son las raíces de la ecuación
⥟
ⵁ
⽑
▁
⥟
⽑
▄
⽗
╽
.

Observa
además el valor del discriminante:

⤱
⽗
(
⽑
▁
)
ⵁ
⽑
▁
(
╾
)
(
⽑
▄
)
⽗
▁▁

El cual fue positivo y que las soluciones de la ecuación fueron números reales distintos a pesar
de que su valor no tiene raíz cuadrada exacta.

Ejemplo 17
. Si tienes la ecuación cuadrática:⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽐
╿
⽗
╽

si la resuelves aplicando la fórmula general, identificas los parámetros
⥈
⏬
⥉

y
⥊

de la ecuación
igualada con cero, que son en este caso:

⥈
⽗
╾

⥉
⽗
⽑
╿

⥊
⽗
╿

sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:

⥟
⽗
⽑
(
⽑
╿
)
⽒
â¾°
(
⽑
╿
)
ⵁ
⽑
▁
(
╾
)
(
╿
)
╿
(
╾
)

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas27⥟
⽗
╿
⽒
◉
▁
⽑
▅
╿
⽗
╿
⽒
◉
⽑
▁
╿

como te darás cuenta, nos encontramos con la raíz cuadrada de un número negativo la cual no
es un número real sino un número imaginario, teniendo entonces:

⥟
⽗
╿
⽒
◉
▁
⽑
▅
╿
⽗
╿
⽒
◉
⽑
▁
╿

⥟
⽗
╿
⽒
╿
⥐
╿

⥟
⽗
╿
⽐
╿
⥐
╿
⽗
╾
⽐
⥐

⥟
⽗
╿
⽑
╿
⥐
╿
⽗
╾
⽑
⥐por lo que se tiene que las raíces de la ecuación no son reales sino complejas, es decir,
╾
⽐
⥐

y
╾
⽑
⥐

son las raíces de la ecuación
⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽐
╿
⽗
╽
.

Observa además el valor del discriminante:

⤱
⽗
(
⽑
╿
)
ⵁ
⽑
▁
(
╾
)
(
╿
)
⽗
⽑
▁

El cual fue negativo

y que las soluciones de la ecuación fueron números complejos distintos.

Ejercicio 4

1)

Al resolver la ecuación general
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
⽗
╽
, si
⥉
ⵁ
⽑
▁
⥈⥊
⽛
╽

en la fórmula general.

A)

Las raíces son reales y repetidas.

B)

Las raíces son complejas.

C)

Las raíces son re
ales y diferentes.

2)

Al resolver la ecuación general
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
⽗
╽
, si
⥉
ⵁ
⽑
▁
⥈⥊
⽗
╽

en la fórmula general.

A)

Las raíces son reales y repetidas.

B)

Las raíces son complejas.

C)

Las raíces son reales y diferentes.

3)

Al resolver la ecuación general
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
⽗
╽
, si
⥉
ⵁ
⽑
▁
⥈
⥊
⽚
╽

en la fórmula general.

A)

Las raíces son reales y repetidas.

B)

Las raíces son complejas.

C)

Las raíces son reales y diferentes.

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas28Resuelve utilizando la fórmula general, las ecuaciones:

4)

⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽑
╾╽
⽗
╽

5)

⥟
ⵁ
⽐
▃
⥟
⽐
▃
⽗
╽

6)

╿
⥟
ⵁ
⽑
▄
⥟
⽑
╾▂
⽗
╽

7)

▀
⥟
ⵁ
⽐
▃
⥟
⽑
▂
⽗
╽

8)

⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽐
▂
⽗
╽

Problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas

A partir del siguiente problema, trata de identificar las relaciones que existen entre los datos que
se te proporcionan y los re
sultados que debes obtener.

Ejemplo 18
. Se construye una calle que cruza en diagonal sobre un terreno rectangular, de tal

manera que éste queda dividido en dos partes iguales en forma de triángulo.

Si la longitud de la calle es de 500 m., ¿cuáles son las l
ongitudes del ancho y largo del terreno,
si ambas suman 700m?

Iniciamos la solución usando una figura que simula al problema y donde podrás observar que la
calle divide al terreno en dos triángulos rectángulos congruentes donde
⥟

simboliza el ancho y
▄╽╽
␍
⥟

al largo.Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

⥟
ⵁ
⽐
(
▄╽╽
⽑
⥟
)
ⵁ
⽗
▂╽╽
ⵁ

⥟
ⵁ
⽐
▁▆╽╽╽╽
⽑
╾▁╽╽
⥟
⽐
⥟
ⵁ
⽗
╿▂╽╽╽╽

⥟
ⵁ
⽐
▁▆╽╽╽╽
⽑
╾▁╽╽
⥟
⽐
⥟
ⵁ
⽑
╿▂╽╽╽╽
⽗
╽

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas29╿
⥟
ⵁ
⽑
╾▁╽╽
⥟
⽐
╿▁╽╽╽╽
⽗
╽

Simplificando
:

⥟
ⵁ
⽑
▄╽╽
⥟
⽐
╾╿╽╽╽╽
⽗
╽

Este mod
elo corresponde a una ecuación de segundo grado, el cual se puede resolver mediante
factorización, para lo cual buscamos dos números que multiplicados den
╾╿╽╽╽╽

y sumados
␍
▄╽╽
, quedando:

(
⥟
⽑
▀╽╽
)
(
⥟
⽑
▁╽╽
)
⽗
╽

Relación que se cumple con
:

⥟
⽑
▀╽╽
⽗
╽
➧
⥟
⽗
▀╽╽

Y con
:

⥟
⽑
▁╽╽
⽗
╽
➧
⥟
⽗
▁╽╽

Por lo
tanto,

las medidas de los lados del terreno son: 300 y 400 metros.

Ejemplo 19.

Raúl Márquez quiere instalar un telón rectangular en un teatro. Si sabe que necesita
252 m
2

de tela y que la altura del escenario es 10 metros menos que

el doble de su ancho ¿Cuáles
son las medidas de la tela que necesita?

Incógnitas y datos

Ecuación

Ancho:
⥟

Altura:
╿
⥟
⽑
╾╽

(
╿
⥟
⽑
╾╽
)
⥟
⽗
╿▂╿

╿
⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽗
╿▂╿

╿
⥟
ⵁ
⽑
╾╽
⥟
⽑
╿▂╿
⽗
╽Resuelve la ecuación para lo cual te recomendamos que dividas a la ecuación en
tre
╿
, que es el
coeficiente del término cuadrático
⥟
ⵁ
. Después de hacerlo la ecuación queda:

╿
⥟
ⵁ
╿
⽑
╾╽
⥟
╿
⽑
╿▂╿
╿
⽗
╽

⥟
ⵁ
⽑
▂
⥟
⽑
╾╿▃
⽗
╽

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas30Resuélvela y da solución al problema.

Ejemplo 20.
E
l cuadrado LMNO tiene lados de longitud
╿
⥟

⽐

╾

y los dos

cuadrados más pequeños tienen lados de
medida 3 y 6 unidades respectivamente. ¿Cuál es el valor de
⥟

si sabes que el área de la región sombreada es 76 unidades
cuadradas?
Considera que el área total del cuadrado es:

(
╿
⥟
⽐
╾
)
ⵁ
⽗
(
╿
⥟
⽐
╾
)
(
╿
⥟
⽐
╾
)
⽗
▁
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽐
╾

Ahora considera que el área del cuadrado pequeño es
▀
ⵁ
⽗
▆
, mientras que el área del cuadrado
mediano es
▃
ⵁ
⽗
▀▃
. Por último, considera que, según los datos, si al área total se le restan las
áreas de los cuadrados de lado
s 3 y 6 se obtiene 76
u
2
, c
on lo cual podremos escribir la siguiente
ecuación:

▁
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽐
╾
⽑
▆
⽑
▀▃
⽗
▄▃

Que es una ecuación de segundo grado. Al igualarla a cero se obtiene:

▁
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽑
╾╿╽
⽗
╽

Al resolver esta ecuación obtendrás como posibles soluciones:

⥟
ⵀ
⽗
⽑
▃

⥟
ⵁ
⽗
▂

Como el valor

negativo conllevaría a que el cuadrado tuviera lados negativos, podemos concluir
que la solución es
⥟
⽗
▂
.

Ejercicio 5
.
Resuelve los siguientes problemas cuyo modelo es una ecuación cuadrática
.

1)

¿Cuáles son los dos números enteros cuya suma es 23 y la suma
de sus cuadrados es
277?

2)

Si el área de un terrero de forma rectangular es de 105 m
2

¿Cuál es su perímetro si su
largo excede 1 m al doble de su ancho?

3

6

2
x

+ 1

L

M

N

O

Figura
1
. Cuadrado LMNO

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas313)

Un auditorio tiene 600 asientos. El número de asientos de cada fila es menor en 10
unidades que el dobl
e del número de filas ¿Cuál es el número de asientos en cada
fila?

4)

¿Cuáles son los factores negativos de 189 tales que su diferencia es 12?

5)

El perímetro de un terreno rectangular es de 34 m y su área de 60 m
2
. ¿Cuáles son sus
dimensiones?

Respuestas a lo
s ejercicios

Ejercicios 1

Ejercicio

Respuesta

Ejercicio

Respuesta

1

⽒
╿
◉
╿

7

▂
⏬
╾

2

⽒
◉
╾▀

8

╾╽
▀
⏬
╾▁
▀

3

⽒
╿
◉
▀

9

⽑
╾

4

⽒
▂
╿

10

▀
⏬
⽑
▂

5

⽒
▅
▀

11

▅
⏬
⽑
▄

6

⽒
▀
◉
╾▂
⽗
⽒
◉
╾▂
▂

12

▂

Ejercicios 2

Ejercicio

Respue
sta

Ejercicio

Respuesta

Ejercicio

Respuesta

Ejercicio

Respuesta

18

A

15

D

22

B

29

D

16

A

23

A

310

C

17

D

24

C

411

B

18

C

25

C

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas32512

B

19

B6

D

13

C

20

A

7

A

14

B

21

AEjercicios 3

Ejercicio

1

2

3

4

5

6

Respuesta

D

C

▀
⏬
⽑
▂

╿
⽒
◉
▀

▁
⏬
⽑
▀

╾
⏬
⽑
╾
▀Ejercicios 4

Ejercicio

1

2

3

4

5

6

7

8

Respuesta

C

A

B

╿
⏬
⽑
▂

⽑
▀
⽒
◉
▀

▂
⏬
⽑
▀
╿

⽑
╾
⽒
╿
◉
▃
▀

⽑
╿
⽒
⥐Ejercicios 5

Ejercicio

1

2

3

4

5

Respuesta

╾▁
⏬
▆

▁▁

╿╽

⽑
▆
⏬
⽑
╿╾

▂
⏬
╾╿

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas33Autoevaluación tipo examen extraordinario1.

En una hoja aparte (hoja de operaciones)
escribe el desarrollo de tus respuestas.

2.

Para cada ejercicio elige la opción que corresponde a tu resultado y escríbela en la casilla
correspondiente en la tabla de respuestas.

3.

Compara tus respuestas

con las que vienen el final y decide si ya estás listo(a) para presentar
tu examen extraordinario.1.

Los enteros A, B y C son enteros consecutivos ordenados de menor a mayor, A es menor y
C es el mayor. ¿Cuáles

de los siguientes valores podría tomar A si sabes que A
2

= C?

I.

-
1

II.

0

III.

2

A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

2.El perímetro de un rectángulo es
▃
⥗
. Si uno de los lados es de longitud
â·®
ⵁ

¿cuál es el área
del rect
ángulo?

A)
B)
C)


D)

E)

3.

La suma de dos números es 11 y su producto 30. Elige el modelo que representa al problema.

A
)



B
)



C
)



D
)
E
)

RESPUESTAS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas344.

Si una de las raíces de la ecuación cuadrática
╿
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽑
╾▅
⽗
╽

es
␍
▃
, ¿cuál es el valor
numérico de
⥉
?

A) b = 3 B) b = 6 C) b =
-
3 D) b = 9

5.

La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halla la ecuación cuadrática
que represent
a esta situación.

A)
⥟
ⵁ
⽐

(

╾╽
⽑
⥟
)
ⵁ
⽗
▂▅

B)
⥟
ⵁ
⽐
(

╾╽
⽐
⥟
)
ⵁ
⽗
▂▅

C)
⥟
ⵁ
⽐

╾╽
⽐
⥟
ⵁ
⽗
▂▅

D)
⥟
ⵁ
⽐

╾╽
⽑
⥟
ⵁ
⽗
▂▅

6.

Calcula las raíces de la siguiente ecuación cuadrática
ⵂ
ⵇ
⥟
ⵁ
⽐
╿
⽗
▂A)
ⵈ
ⵇ

,
ⵊ
ⵈ
ⵇ

B)
◉
▅

⏬
⽑
◉
▅


C)
ⵊ
⳩⳪
⳧

,
⳩⳪
⳧

D)
◉
╾▁

⏬
⽑
◉
╾▁

7.

Al factorizar la ecuación cuadrática⥟
ⵁ
⽑
╾▀
⥟
⽑
▁▅
⽗
╽
, se obtiene:

A)
(
⥟
⽐
▀
)
(
⥟
⽐
╾▃
)
⽗
╽
B)
(
⥟
⽑
▀
)
(
⥟
⽑
╾▃
)
⽗
╽C)
(
⥟
⽐
▀
)
(
⥟
⽑
╾▃
)
⽗
╽
D)
(
⥟
⽑
▀
)
(
⥟
⽐
╾▃
)
⽗
╽

8.

Para vallar una finca rectangular de

750 m
2

se han utilizado 110 m de cerca. ¿Cuáles son
las dimensiones de la finca?⤮
)

⥟

⽗

╾╽

⏬
⥠

⽗

▄▂B)
⥟

⽗

╾▂

⏬
⥠

⽗

▂╽C)
⥟

⽗

▀╽

⏬
⥠

⽗

╿▂D)
⥟

⽗

╿▂

⏬
⥠

⽗

▀╽

9.

¿Cuáles son las raíces de la ecuación
?

Unidad 1. Ecuaciones cuadráticas35A
)

B
)

C
)

D
)

E
)

10.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene como raíces
?

A
) B
)


C
)


D
)
E
)
RESPUESTAS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

B

D

D

A

B

C

D

B

A

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones36UNIDAD 2. FUNCIONES CUADRÁTICAS Y APLICACIONESPresentación

En esta unidad se avanza en el concepto de función al introducir un nuevo tipo de variación que
conlleva conceptos como concavidad y simetría.
El objetivo es identificar funciones cuadráticas,
gra
ficarlas y resolver problemas que involucren una función de este tipo.

El concepto de función ha sido considerado como uno de los conceptos más importantes de la
matemática, en parte porque a nivel histórico se ha consolidado como un modelo de procesos
de
variación.

La primera mujer que registra la historia de la Matemática fue

Hipatia

(350
-
415), quien

trabajó en la biblioteca de Alejandría

y escribió varios documentos a
cerca de las propiedades
geométricas de la

parábola.

Conceptos clave

Variable independiente:
Variable que puede cambiar libremente su valor sin que se vea
afectada por alguna otra variable. Generalmente, una variable independiente es la entrada de
una función y normalmente se denota por el símbolo

x
, en tanto que frec
uentemente

y

se
reserva para la variable dependiente.

Variable Dependiente:
Su valor depende de la función dada y el valor elegido para la variable
independiente.

Función:
En

matemática
, una

función

(f) es una relación entre un conjunto dado

⥅

(llamado
do
minio) y otro conjunto de elementos
⥆

(llamado condominio) de forma que a cada elemento
⥟

del dominio le corresponde un único elemento
⥠
⽗
⥍
(
⥟
)

del codominio (los que forman el
recorrido, también llamado rango o ámbito).Unida
d 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones37 Registros de una función

numérica (tabla), gráfica y expresión algebraica:
Existen tres
formas de representar una función y éstos son la tabular (elaborar una tabla), gráfica (construir
su gráfica) y algebraica (mediante su regla de correspondencia). F
unción

Variable

Variable

Independiente

Dependiente

Fig. 2 Función

Unida
d 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones38Problemas que conducen a

Funciones Cuadráticas

1.

El Huerto.

En el jardín de una residencia se quiere destinar una
zona rectangular para hacer un huerto

(Fig. 3)

y se dispone de 56
metros lineales de malla de acero para cercar la zona. ¿Cuáles
deben ser las dimensiones del rec
tángulo si se desea abarcar la
mayor área posible? Para contestar realiza lo siguiente:

¿Qué forma tiene la zona que se desea
abarcar
?
_______________________________________

¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? _____________________________________
___

Si el perímetro del rectángulo mide 56 metros, ¿cuánto suman la base y la altura? ___________

¿Recuerdas cómo se obtiene el área de un rectángulo? _______________________________

Si representamos el área con
⪪

y la base del rectángulo con

⪩
, entonces una expresión algebraica
para la altura es: _______________________

Así tenemos que el área del rectángulo es:

y = x(28
⊼

x)

o bien,

y =
-
x
2

+ 28x

Esta igualdad es un modelo algebraico para el área del rectángul
o que estamos considerando.
Representa en el lenguaje del Álgebra, la relación entre todas las posibles medidas de la base y
el área correspondiente.

El modelo que obtuvimos es un modelo polinomial cuadrático o de segundo grado, porque el
exponente con el
que aparece la variable
⥟

es 2.

En este modelo intervienen dos variables:
⥟

y
⥠
. El valor de
⥠

depende del valor de
⥟
; por tal
razón decimos que
⥠

es la variable dependiente y
⥟

la variable independiente.

Fig. 3 Huerto

Unida
d 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones39Lo anterior significa que el Área del terreno de nuestro problema

depende de su base.

Completa la tabla 1:

x

base (m)

y

área (m2)

Operación

⥠

⽗

⥟
(
╿▅

␍

⥟
)

╽

╽

⥠

⽗

╽
(
╿▅

␍

╽
)

⽗

╽
(
╿▅
)

⽗

╽

▁

▆▃

⥠

⽗

▁
(
╿▅

␍

▁
)

⽗

▁
(
╿▁
)

⽗

▆▃

▅
╾╿
╾▃
╿╽
╿▁
╿▅
Tabla
1
.

Problema "El Huert
o"

¿Para qué valores de la base se obtiene la menor área del terreno? _______________________

¿Cuál es la mayor área del terreno? _______________________________________________

Grafica estos puntos en un plano cartesiano, coloca en el
eje x el valor de l
a base y en el eje y el valor del área.¿Tendrá sentido unir los puntos?

_______________________________________

¿Por qué? _______________________________

¿Cómo se llama este tipo de gráfica? ___________

Marca el punto más alto de la curva e indica cuále
s sus coordenadas
(


, ).

Ahora ya puedes decir cuáles son las medidas de la base y la altura con las que se abarca la
mayor área posible ___________________________________________________________
Gráfica

1:

P
roblema "El Huerto"

Unida
d 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones402.
La editorial.

Una editorial vende a los expendio
s de revistas una publicación científica a $60 el ejemplar, y cada 50 ejemplares que excedan los
500, el precio de venta disminuye $2, ¿cuántos ejemplares extras debe adquirir un expendio para que la editorial tenga un ing
reso máximo? Para que
te ayudes a
contestar, completa la siguiente tabla.

Número de
disminución
de $2(
x)

Precio por revista

Número de
Ejemplares

Ingresos
(y=f(x))

Diferencias

Diferencias de
diferencias

╽

▃╽

▂╽╽

(
▃╽
)
(
▂╽╽
)
⽗
▀╽╽╽╽

▀╽╽╽╽
⽑
▀╾▆╽╽
⽗
⽑
╾▆╽╽

⽑
╾▆╽╽
⽑
(
⽑
╾▄╽╽
)
⽗

⽑
╿╽╽

╾

▃╽
⽑
╿
(
╾
)

⽗

▂▅

▂╽╽
⽐
▂╽
(
╾
)

⽗
▂▂╽

(
▃╽
⽑
╿
(
╾
)
)
(
▂╽╽
⽐
▂╽
(
╾
)
)

⽗
(
▂▅
)
(
▂▂╽
)
⽗
▀╾▆╽╽▀╾▆╽╽
⽑
▀▀▃╽╽
⽗
⽑
╾▄╽╽

⽑
╾▄╽╽
⽑
(
⽑
╾▂╽╽
)
⽗
⽑
╿╽╽2

▃╽
⽑
╿
(
╿
)

⽗
▂▃

▂╽╽
⽐
▂╽
(
╿
)

⽗
▃╽╽

(
▃╽
⽑
╿
(
╿
)
)
(
▂╽╽
⽐
▂╽
(
╿
)
)

⽗
(
▂▃
)
(
▃╽╽
)
⽗
▀▀▃╽╽

▀▀▃╽╽
⽑
▀▂╾╽╽
⽗
╾▂╽╽3

▃╽
⽑
╿
(
▀
)

⽗
▂▁

▂╽╽
⽐
▂╽
(
▀
)

⽗
▃▂╽

(
▃╽
⽑
╿
(
▀
)
)
(
▂╽╽
⽐
▂╽
(
▀
)
)

⽗
(
▂▁
)
(
▃▂╽
)
⽗
▀▂╾╽╽
4
Tabla
2
.

"
La editorial
"
Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones41i.

Traza la gráfica
en el plano de

⊾µ≏ ≓≒≗≢≝≠≗≏≚⊿.ii.

Explica el significado de los
valores que obtuviste en las
dos últimas columnas de la
½≏≐≚≏ 2 ⊾µ≏ ≓≒≗≢≝≠≗≏≚⊿.

iii.

Recuerda
que, si las diferencias de las diferencias se mantienen constantes esto implica
que se trata de una función cuadrática, ¿la situación que se está trabajando es función
cuadrática?
iv.

Encuentra el modelo algebraico de ingresos en función del número de dismin
ución de
$2, ≣≢≗≚≗≨≏ ≚≝ ≠≓≏≚≗≨≏≒≝ ≓≜ ≚≏ ½≏≐≚≏ 2 ⊾µ≏ ≓≒≗≢≝≠≗≏≚⊿ ≧ ≕≓≜≓≠≏≚≗≨≏. v.

Escribe la función en forma general, para ello sólo tienes que multiplicar los binomios y
reducir términos semejantes.
Por lo anterior, podemos decir que la expresión algeb
raica de una función cuadrática en su forma
general es:

Gráfica 2
. "La editorial"

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones42⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊

con
⥈
⽘
╽y que su gráfica es una parábola.
Grá
ficas de funciones cuadráticasPara graficar una función cuadrática pasaremos

la función de la forma general⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
, a la forma estándar,
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
⥏
)
ⵁ
⽐
⥒
,

donde el vértice de la parábola es el punto
(
⥏
⏬
⥒
)
. Asimismo, podemos calcular los ceros
de la función, si es que éstos existen, al igualar la función a cero y obteniendo una
ecuación cuadrática a resolver.

Si
⥈
⽚
╽

la parábola abre hacia abajo (cóncava

hacia abajo)

S
i
⥈
⽛
╽

la parábola abre haci
a arriba (cóncava hacia arriba)

El

eje de simetría es
⥟
⽗
⥏
. Para obtener dos puntos simétricos de la parábola se puede
sustituir
⥟
⽗
⥏
⽒
╾

en
⥍
(
⥟
)
.
R
ecordar que en la función
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊
,

⥊

represe
≜≢≏ ≓≚ ≞≣≜≢≝ ≒≓ ≗≜≢≓≠≡≓≑≑≗⊄≜ ≑≝≜ ≓≚ ≓≘≓ ⊾≧⊿ (≝≠≒≓≜≏≒≏ ≏≚ ≝≠≗≕≓≜).

Ejemplos
.
Grafica las siguientes funciones cuadráticas:

1)

⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽑
▂

Transformemos la ecuación general a su forma estándar, esto es, la función está en forma
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
⥟
ⵁ
⽐
⥉⥟
⽐
⥊

y la vamos a escribir en forma
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
⥏
)
ⵁ
⽐
⥒

completando los
cuadrados, como sigue:⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽑
▂Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones43

⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽐
▁
⽑
▂
⽑
▁
⥍
(
⥟
)
⽗
(
⥟
⽐
╿
)
ⵁ
⽑
▆ ⠀
⥍
(
⥟
)
⽗
(
⥟
⽐
╿
)
ⵁ
⽑
▆

es la forma deseada y en esta e
xpresión tenemos que:

⥈
⽗
╾
,

⥏
⽗
⽑
╿

y
⥒
⽗
⽑
▆

Por lo que el vértice de la parábola es el punto

y como,
⥈
⽛
╽

la parábola abre hacia
arriba (cóncava hacia arriba), su eje de simetría es
⥟
⽗
⽑
╿

y los ceros de la func
ión o raíces de
la parábola se obtienen igualando la función a cero y resolviendo:

La ecuación
⥟
ⵁ
⽐
▁
⥟
⽑
▂
⽗
╽

la podemos resolver por varios métodos, utilizaremos el de
factorización.

(
⥟
⽐
▂
)
(
⥟
⽑
╾
)
⽗
╽

⥟
⽐
▂
⽗
╽

o
(
⥟
⽑
╾
)
⽗
╽

⥟
⽗
⽑
▂

o
⥟
⽗
╾

⠀
Los ceros de la función son
⽑
▂

y
╾
, esto es, los puntos
(
⽑
▂
⏬
╽
)

y
(
╾
⏬
╽
)
.

Por lo que su gráfica es:

Trinomio
cuadrado
perfecto

El trinomio se
puede
expresar así

Es el
resultado de
los dos
números

Se resta para
no alterar la
función

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones44 Nota: observa que el punto de intersección con el eje
╁
⥠
╁

es
⽑
▂2)⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
⥟
ⵁ
⽑
▃
⥟
⽐
▀

Para pasar a la forma
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
⥏
)
ⵁ
⽐
⥒
, primero f
actorizamos de la siguiente manera:
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
)
⽐
▀

Completamos cuadrados en el paréntesis y restamos
(
ⵈ
ⵃ
)
(
⽑
╿
)

para que no se altere la
expresión
:

⥍
(
⥟
)
⽗

⽑
╿
(
⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
▆
▁
)
⽐
▀
⽑
(
▆
▁
)
(
⽑
╿
)

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽐
▆
▁
)
⽐
▀
⽐
╾▅
▁

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
⥟
⽐
▀
╿
)
ⵁ
⽐
╾▂
╿

De donde
⥈
⽗
⽑
╿
,
⥏
⽗
⽑
ⵂ
ⵁ
, y
⥒
⽗
ⵀⵄ
ⵁ

Entonces el vértice es
⥃
(
⽑
ⵂ
ⵁ
⏬
ⵀⵄ
ⵁ
)
, el eje de simetría es
⥟
⽗
⽑
ⵂ
ⵁ
, como
⥈
⽗
⽑
╿
⽚
╽

la parábola
≓≡ ≑⊄≜≑≏≤≏ ≖≏≑≗≏ ≏≐≏≘≝ (≏≐≠≓ ≖≏≑≗≏ ≏≐≏≘≝). µ≏ ≗≜≢≓≠≡≓≑≑≗⊄≜ ≑≝≜ ≓≚ ≓≘≓ ⊾≧⊿ ≓≡ ≓≜ S.

Los ceros
de la función los obtenemos resolviendo la ecuación
⽑
╿
⥟
ⵁ
⽑
▃
⥟
⽐
▀
⽗
╽

por fórmula
general, como
⥈
⽗
⽑
╿
,
⥉
⽗
⽑
▃

y
⥊
⽗
▀

al sustituir en
⥟
⽗
ⵊ
â· 
⽒
◉
â· 
⸹
ⵊ
ⵃ
⷟ⷡ
ⵁ
⷟

nos queda: Gráfica
3
.
⪗
(
⪩
)
⽗
⪩
⳦
⽐
⳨⪩
⽑
⳩Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones45
⥟
⽗
ⵊ
(
ⵊ
ⵅ
)
⽒
â¾°
(
ⵊ
ⵅ
)
⸹
ⵊ
ⵃ
(
ⵊ
ⵁ
)
(
ⵂ
)
ⵁ
(
ⵊ
ⵁ
)

❧

⥟
⽗
ⵅ
⽒
◉
ⵂⵅ
ⵉ
ⵁⵃ
ⵊ
ⵃ


❧

⥟
⽗
ⵅ
⽒
◉
ⵅⴿ
ⵊ
ⵃ

❧

⥟
⽗
ⵅ
⽒
ⵆ
⏯
ⵆⵃ
ⵊ
ⵃ

❧


⥟
ⵀ
⽗
ⵅ
ⵉ
ⵆ
⏯
ⵆⵃ
ⵊ
ⵃ
⽗
ⵀⵂ
⏯
ⵆⵃ
ⵊ
ⵃ
⽗
⽑
▀
⏯
▁▁


⥟
ⵁ
⽗
ⵅ
ⵊ
ⵆ
⏯
ⵆⵃ
ⵊ
ⵃ
⽗
ⵊ
ⵀ
⏯
ⵆⵃ
ⵊ
ⵃ
⽗
╽
⏯
▁▁

Entonces su gráfica es: 3)


⥍
(
⥟
)
⽗
▄
⥟
ⵁ
⽐
╾▁
⥟

Factoriza el
▄

como factor común: __________________
__________________________

Completa cuadrados y realiza lo necesario para que no se altere la función

____________________________________________________________________________
_______

Escribe la función en la forma
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
⥏
)
ⵁ
⽐
⥒

______________
_____________

La función en forma estándar te debió haber quedado
⥍
(
⥟
)
⽗
▄
(
⥟
⽐
╾
)
ⵁ
⽑
▄
, de donde vemos
que
⥈
⽗
▄
⽛
╽
, es cóncava hacia arriba. Su vértice es
⥃
(
⽑
╾
⏬
⽑
▄
)

ya que
⥏
⽗
⽑
╾

y
⥒
⽗
⽑
▄
,
su eje de simetría es
⥟
⽗
⽑
╾
.

Resuelve la ecuación
▄
⥟
ⵁ
⽐
╾▁
⥟
⽗
╽
,
para obtener los ceros de la función.

Con lo anterior bosqueja la gráfica de la función
:

Gráfic
a
4
.

⪗
(
⪩
)
⽗
⽑
⳦
⪩
⳦
⽑
⳪⪩
⽐
⳧Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones46
4)⥍
(
⥟
)
⽗
▀
⥟
ⵁ
⽑
╾

Está función se puede expresar como:
⥍
(
⥟
)
⽗
▀
(
⥟
⽑
╽
)
ⵁ
⽑
╾
⏬

completa lo siguiente:

⥈
⽗
┿
┿
┿
⽛
┿
┿
┿
,
⥏
⽗
┿
┿
┿
┿

y
⥒
⽗
┿
┿
┿
┿
, por lo que el vér
tice es
⥃
(
┿
┿
┿
┿
⏬
┿
┿
┿
┿
)
, la ecuación del eje
de simetría es:
⥟
⽗
┿
┿
┿
┿
┿
, abre hacia arriba, y siempre podemos obtener dos puntos simétricos
de la parábola con evaluar en
⥟
⽗
⥏
⽒
╾
; así que al evaluar la función en
⥟
⽗
╾

y en
⥟
⽗
⽑
╾

obtenemos los puntos
⤮
(
╾
⏬
╿
)

y
⤯
(
⽑
╾
⏬
╿
)

respectivamente; la intersección con el eje
⏽
⥠
⏾

está
en
⽑
╾
. Los ceros de la función los obtenemos al resolver la ecuación
▀
⥟
ⵁ
⽑
╾
⽗
╽
,

▀
⥟
ⵁ
⽗
╾

⥟
ⵁ
⽗
╾
▀

⥟
⽗
⽒
√
╾
▀

De donde
⥟
ⵀ
⽗

⽑
╽
⏯
▂▅

y
⥟
ⵁ
⽗
╽
⏯
▂▅

son los ceros de la f
unción, o bien son los cortes
con el eje X.

Por lo anterior su gráfica es:

Gráfica
5
.
⪗
(
⪩
)
⽗
Ⳬ
⪩
⳦
⽐
⳥⳨⪩Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones47 5)(
⥟
)
⽗
⽑
⥟
ⵁ

Se puede expresar como
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
(
⥟
⽑
╽
)
ⵁ
⽐
╽

que es de
la forma
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
⥏
)
ⵁ
⽐
⥒
, de donde
⥈
⽗
⽑
╾
⽚
╽
,
⥏
⽗
╽

y
⥒
⽗
╽

por lo que su vértice es
⥃
⽗
(
╽
⏬
╽
)
, su e
je
de simetría es
⥟
⽗
╽
, es cóncava hacia abajo y dos de sus
puntos son:
⤮
(
╾
⏬
⽑
╾
)

y
⤯
(
⽑
╾
⏬
⽑
╾
)
, su intersección con el
≓≘≓ ⊾
⊿ ≓≡
╽
, que es también el único cero de la función.
Ejercicio 1
.
Grafica las siguientes parábolas y marca dos
puntos simétricos de ellas, éstos
pueden ser los ceros de cada función (si es que existen).1)

⥍
(
⥟
)
⽗
╿
⥟
ⵁ
⽐
▅
⥟
⽑
▂
2)

⥍
(
⥟
)
⽗
▁
⥟
ⵁ
⽐
▅
⥟
⽐
▀3)

⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
▁

4)

⥍
(
⥟
)
⽗
╿
⥟
ⵁ
⽑
▅
⥟5)

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
⥟
ⵁ
⽑
▃
⥟

6)

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
▂
⥟
ⵁ
⽐
╿7)

⥍
(
⥟
)
⽗
▀
⥟
ⵁ
⽐
╾

8)

⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽑
▀9)

⥍
(
⥟
)
⽗
▀
⥟
ⵁ
⽐
▆
⥟
⽐
╾
10)

⥍
(
⥟
)
⽗
ⵀ
ⵁ
⥟
ⵁ
⽑
▃
⥟

Gráfica
6
.
⪗
(
⪩
)
⽗
⳧
⪩
⳦
⽑
â³¥

Gráfica
7
.
⪗
(
⪩
)
⽗
⽑
⪩
⳦

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones48Problemas que involucran funciones cuadráticas A partir del planteamiento de una función cuadrática como modelo matemático,
se pueden resolver problemas determinando el vérti
ce de la parábola. A este tipo
≒≓ ≞≠≝≐≚≓≛≏≡ ≡≓ ≚≓≡ ≑≝≜≝≑≓ ≑≝≛≝: ⊾¹»¸BµE¶A¼ DE ¶⋓Á²¶¸¼ Â
¶⋖·²¶¸¼⊿

Observa las siguientes parábolas



Ejemplos

1.

La ganancia semanal de una empresa se relacio
na con el número de artículos producidos cada
semana y esto se puede representar por la función:

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
⥟
ⵁ
⽐
▆▃
⥟
⽑
▂╿

Donde
⤽
(
⥟
)

representa la ganancia semanal en pesos y

el número de artículos producidos
por semana.

a)

Representa gráficamente esta situación.

b)

Si la empresa produce 26 artículos en una semana ¿Cuál será su ganan
cia?

c)

Determina cuántos artículos deberá producir la empresa a la semana para que obtenga
una ganancia máxima.

Solución

Para graficar la función cuadrática determinemos primero su vértice, esto lo haremos al escribir
el modelo algebraico en forma estándar:

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
⥟
ⵁ
⽐
▆▃
⥟
⽑
▂╿

-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-4
-2
0
2
4
Vértice
Máximo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4
-2
0
2
4
Vértice
Mínimo
Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones49Factorizamos en
⥟

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
⥟
ⵁ
⽑
▁▅
⥟
)
⽑
▂╿

Completando cuadrados

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
⥟
ⵁ
⽑
▁▅
⥟
⽐
▂▄▃
)
⽑
▂╿
⽐
╾╾▂╿

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
⥟
⽑
╿▁
)
ⵁ
⽐
╾╾╽╽

De donde el vértice es
⥃
(
╿▁
⏬
╾╾╽╽
)
, eje de simetría
⥟
⽗
╿▁
, la parábola se abre hacia abajo, y
dos puntos

de ella son
(
╿▂
⏬
╾╽▆▅
)
,
(
╿▀
⏬
╾╽▆▅
)
, el punto de intersección con el eje
⥠

es
(
╽
⏬
⽑
▂╿
)
.

Observa que, así como sustituimos
⥟
⽗
╿▂

y
⥟
⽗
╿▀

en
⤽
(
⥟
)
, podemos sustituir cualquier
≤≏≚≝≠ ≒≓ ⊾
⥟
⊿ ≧ ≻≡≢≓ ≜≝≡ ≓≡≢≏≠≿≏ ≠≓≞≠≓≡≓≜≢≏≜≒≝ ≓≚ ≜≛≓≠≝ ≒≓ ≏≠≢≿≑≣≚≝≡ ≟≣≓ ≡≓ ≞≠
oducen a la semana
y
⤽
(
⥟
)

corresponde a las ganancias, por lo que podemos contestar la pregunta del inciso b)
sustituyendo
⥟
⽗
╿▃

en

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
╿▃
⽑
╿▁
)
ⵁ
⽐
╾╾╽╽

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
╿
(
╿
)
ⵁ
⽐
╾╾╽╽

⤽
(
⥟
)
⽗
⽑
▅
⽐
╾╾╽╽

⤽
(
⥟
)
⽗
╾╽▆╿

Entonces, si la empresa

produce
╿▃

artículos a la semana, su ganancia será de
╏╾╽▆╿
.

Dibujamos en un plano cartesiano la
información anterior y esto es la
representación gráfica del problema, lo que
contesta el inciso a). Para contestar el inciso c) en la gráfica podemos ob
servar que el punto máximo de la parábola
es el vértice
⥃
(
╿▁
⏬
╾╾╽╽
)
, lo que significa que cuando

toma el valor de
╿▁

artículos, la
ganancia máxima es de
╏╾╾╽╽
, cualquier otro valor de

nos dará una ganancia menor a
╏╾╾╽╽
.
Entonces la respuesta de c) es
╿▁

artículos.Gráfica 8. Problema Ganancias

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones502.

Una rana describe en un salto una trayectoria parabólica, si la longitud de su salto fue de 40
cm y la altura máxima alcanzada de 30 cm. Determina una ecuación para el salto de la rana.

Solución

La gráfica del salto de la
rana se puede representar como:

Gráfica

9
. Salto de la ranaObserva que la ordenada del vértice representa la máxima altura del salto y las coordenadas de
éste son
⥃
(
╿╽
⏬
▀╽
)

entonces en la ecuación de la parábola de forma:
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
⥏
)
ⵁ
⽐
⥒

podemos sustituir el valor de
⥏

y
⥒

por
╿╽

y
▀╽

respectivamente.

⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
╿╽
)
ⵁ
⽐
▀╽

Para encontrar el valor de
⥈

podemos sustituir los valores de
⥟

y
⥍
(
⥟
)

por el p
unto que tiene
coordenadas

esto lo podemos hacer porque es un punto de la parábola, entonces:

╽
⽗
⥈
(
╽
⽑
╿╽
)
ⵁ
⽐
▀╽

╽
⽗
⥈
(
▁╽╽
)
⽐
▀╽

⽑
▀╽
⽗
⥈
▁╽╽

⽑
▀╽
▁╽╽
⽗
⥈⠀

⥈
⽗
⽑
ⵂ
ⵃⴿ

Entonces la ecuación requerida es:
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
ⵂ
ⵃⴿ
(
⥟
⽑
╿╽
)
ⵁ
⽐
▀╽

for
ma estándar.La cual se puede expresar como:
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
ⵂ
ⵃⴿ
⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟

forma general.

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones513.

Se desea cercar un espacio rectangular de jardín con 200 m de alambre. ¿Cuáles serán
las dimensiones del sitio para que éste ocupe la máxima área del jardín?

Solución

L
o primero que vamos a determinar es la función que representa esta situación. Esta función
será de la forma:
⥍
(
⥟
)
⽗
⥈
(
⥟
⽑
⥏
)
ⵁ
⽐
⥒

donde
⥟

representará el ancho del rectángulo. Ahora,
recordemos cómo calcular el perímetro y el área de un rectángulo.
Á
rea = (largo)(ancho)

Perímetro = 2(largo)+2(ancho)
Como solo tenemos 200 m para cercar este terreno y si llamamos

al ancho, entonces el
Perímetro de este rectángulo debería medir 200 m y el largo lo podemos determinar como sigue:

╿
╽╽

⽗

╿
(
⥓⥈⥙⥎⥖
)

⽐

╿

Si despejamos largo tenemos:

⥓⥈⥙⥎⥖
⽗
╿╽╽
⽑
╿
⥟
╿

⠀
⥓⥈⥙⥎⥖
⽗
╾╽╽
⽑
⥟

Si sustituimos el largo,
╾╽╽
⽑
⥟
, y el ancho,
⥟
, en la fórmula para calcular el área de un
rectángulo tenemos:

⤮
⽗
⥟
(
╾╽╽
⽑
⥟
)

Simplificando:

⤮
⽗
╾╽╽
⥟
⽑
⥟
ⵁ

Por lo que la función cuadrática que representa este problema es:

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
⥟
ⵁ
⽐
╾╽╽
⥟

la cual se puede expresar
en forma estándar
como:

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
(
⥟
⽑
▂╽
)
ⵁ
⽐
╿▂╽╽

La gráfica de esta función es:

largo

ancho

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones52
Gráfica

10
. Problema
“Á
rea del jardín
”Lo qu
e indica que el máximo de esta parábola se alcanza para
, como

representa el
ancho del rectángulo, entonces el ancho debe ser 50 m y el largo 50 m, estas dimensiones nos
darán el espacio rectangular máximo, recu
erda que un cuadrado es un caso particular de un
rectángulo.Ejercicio 2.

Resuelve los siguientes problemas.1.

Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la fórmula

nos da la altura en metros de la p
iedra después de

segundos.

a)

Grafica la trayectoria de la piedra.

b)

Determina en cuantos segundos, la piedra alcanza su máxima altura.

c)

¿Qué altura alcanza la piedra a los 3 segundos?2.

Se dispone de 60 m de alambre para cercar

un jardín en forma rectangular, pero uno de
los lados corresponderá a la pared de la casa. ¿Qué dimensiones del jardín nos darán el área
máxima?3.

Determina la ecuación que representa la trayectoria del salto parabólico, de un atleta que
alcanza una alt
ura máxima de 2 m y una longitud de 3.40 m.

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones53Respuestas

a los ejerciciosEjercicio 11)

⥍
(
⥟
)
⽗
╿
⥟
ⵁ
⽐
▅
⥟
⽑
▂ 2)

⥍
(
⥟
)
⽗
▁
⥟
ⵁ
⽐
▅
⥟
⽐
▀
3)

⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
▁ 4)

⥍
(
⥟
)
⽗
╿
⥟
ⵁ
⽑
▅
⥟
Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones545)

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
⥟
ⵁ
⽑
▃
⥟

6)

⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
▂
⥟
ⵁ
⽐
╿
7)

⥍
(
⥟
)
⽗
▀
⥟
ⵁ
⽐
╾ 8)

⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽑
▀
9)

⥍
(
⥟
)
⽗
▀
⥟
ⵁ
⽐
▆
⥟
⽐
╾

10)

⥍
(
⥟
)
⽗
ⵀ
ⵁ
⥟
ⵁ
⽑
▃
⥟
Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones55Ejercicio 2

1.

a)

b)

Primero, pasemos la función
⥀
⽗
⽑
▅
⥛
ⵁ
⽐
▀╿
⥛

a su forma estándar

⥀
⽗
⽑
▅
(
⥛
ⵁ
⽑
▁
⥛
⽐
▁
)
⽐
▀╿

⥀
⽗
⽑
▅
(
⥛
⽑
╿
)
ⵁ
⽐
▀╿

De donde podemo
s ver que el vértice es
⥃
(
╿
⏬
▀╿
)
; por lo tanto, a los 2 segundos la piedra alcanza
su máxima altura de 32 metros.

c)


La altura que alcanza la piedra a los 3 segundos es en
⥀
(
▀
)
, esto es,

⥀
(
▀
)
⽗
⽑
▅
(
▀
)
ⵁ
⽐
▀╿
(
▀
)
⽗
⽑
▄╿
⽐
▆▃
⽗
╿▁

metros.2.

Las dimensiones del jardín

que dan el área máxima son 15 m de ancho y 30 m de largo. 3.

La ecuación de la trayectoria del salto del atleta es:
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
╽
⏯
▃▆
(
⥟
⽑
╾
⏯
▄
)
ⵁ
⽐
╿
Autoevaluación tipo examen extraordinario•

En una hoja aparte

(hoja de operaciones)
escribe el desarrollo de tus respuestas.

•

Para cada ejercicio elige la opción que corresponde a tu resultado y escríbela en la casilla
correspondiente en la tabla de respuestas.

•

Compara tus respuestas con las que vienen el final y dec
ide si ya estás listo(a) para presentar
tu examen extraordinario.

Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones56

1.

La gráfica de la función cuadrática
⥠
⽗
⽑
(
⥟
⽐
ⵀ
ⵁ
)
ⵁ
⽐
▀

tiene su vértice en las coordenadas

A)
(
⽑
ⵀ
ⵁ
⏬
⽑
▀
)


B)
(
⽑
ⵀ
ⵁ
⏬
▀
)


C)
(
ⵀ
ⵁ
⏬
⽑
▀
)D)
(
╽
⏬
▀
)2.

La función que se representa en la gráfica de la derecha, está
dada por:

A)
⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
╿
⥟
⽐
▀

B)
⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽑
▀

C)
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽑
▀

D)
⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽑
╿
⥟
⽑
▀3.

Un granjero tiene 600 metros de malla de alambre, para construir un corral con forma de
rectángulo. El corral tendrá como uno de sus lados a una pared, por lo que no requiere malla
en esa parte.
Si el granjero desea que el área que encierre el corral sea la máxima posible,
¿de qué dimensiones debe ser?
Identifica la expresión que modela el área del corral

en
función del lado más corto.

A)
⤮

⽗

⥟

(
▃╽╽

␍

⥟
)


B)

⤮

⽗

⥟

(
▃╽╽

␍

╿
⥟
)


C)
⤮

⽗

╿
⥟

(
▃╽╽

␍

⥟
)


D)
⤮

⽗

╿
⥟

(
▃╽╽

␍

╿
⥟
)

4.

Al transformar la función cuadrática, de su forma general
⥠
⽗
╿
⥟
ⵁ
⽐
╾╿
⥟
⽐
╾▃

a su forma
estándar, queda como:

A)
⥠
⽗
╿
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
⽑
╿

B)
⥠
⽗
╿
(
⥟
⽐
▀
)
ⵁ
⽐
╿


C)

⥠
⽗
╿
(
⥟
⽐
▀
)
ⵁ
⽑
╿



D)
⥠
⽗
╿
(
⥟
⽑
▀
)
ⵁ
⽐
╿RESPUESTAS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Unidad 2. Funciones cuadráticas y aplicaciones575.

El vértice de la función cuadrática
⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
▃
⥟
⽐
▁

tiene coordenadas
V (
-
3,
-
5),
por lo tanto, en ese punto la función

A) tiene un máximo. B) tiene un mínimo.

C) tiene una raíz real. D) tiene una raíz imaginaria6.

Las raíces de la función cuadrática
⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
⥟
⽑
╾╿

son:

A)
⥟
ⵀ

⽗

⽑
▀ ⥟
ⵁ

⽗

▁ B)
⥟
ⵀ

⽗

⽑
╿ ⥟
ⵁ

⽗

▃

C)

⥟
ⵀ

⽗

▀ ⥟
ⵁ

⽗

⽑
▁

D)
⥟
ⵀ

⽗

⽑
╾╿ ⥟
ⵁ

⽗

╾7.

Considera la función cuadrática
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
⥟
ⵁ
⽐
▀
⥟
⽑
╿
. El v
alor de
⥍
(
⽑
╾
)

es:

A)
╽
B)
⽑
▁
C)
⽑
▃D)
▁8.

La concavidad de la gráfica de la función
⥍
(
⥟
)
⽗
⽑
▀
⥟
ⵁ
⽐
▆
⥟
⽐
╾

es hacia

A)

abajo B) la derecha C) arriba D) la izquierda9.

Determina las intersecc
iones con el eje X de la gráfica de la función
⥠

⽗

⥟
ⵁ␍

▀
⥟

␍

╾╽

A)
⥟
ⵀ

⽗

▀
⏬
⥟
ⵁ

⽗

⽑
╾╽

B)

⥟
ⵀ

⽗

▂
⏬
⥟
ⵁ

⽗

⽑
╿


C)
⥟
ⵀ

⽗

╾╽
⏬
⥟
ⵁ

⽗

▀

D)
⥟
ⵀ

⽗

⽑
▂
⏬
⥟
ⵁ

⽗

⽑
╿10.

Determina el
valor de la siguiente función
⥍
(
⥟
)
⽗
⥟
ⵁ
⽐
▃
⥟
⽐
▁

en su punto mínimo

A)
-
3 B) 3 C)
-
5

D) 5 RESPUESTAS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

D

B

C

B

C

C

A

B

C

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana58UNIDAD 3.
EL
EMENT
OS BÁSICOS DE GEOMETRÍA P
LANA
Presentación

La necesidad del ser humano de describir la naturaleza lo llevó a estudiar las propiedades de las
figuras que observaba, naciendo

de ésta manera la geometría plana. La cual estudia las
propiedades de las superficies y figuras planas como los triángulos, las rectas, los polígonos, los
cuadriláteros y la circunferencia. Esta geometría también recibe el nombre de geometría
euclidiana,
en honor del matemático griego Euclides
quien,

por encargo de Ptolomeo Rey de
Egipto, reunió y ordenó los teoremas y demás proporciones geométricas en una obra llamada
⊾E≚≓≛≓≜≢≝≡⊿ ≑≝≜≡≢≗≢≣≗≒≏ ≞≝≠ 1S ≚≗≐≠≝≡, ≞≝≠ ≚≝ ≑≣≏≚ ≡≓ ≚≓ ≑≝≜≡≗≒≓≠≏ ≓≚ ≞≏≒≠≓ ≒≓ ≚≏ ≕≓
omet
ría
(
Amazonaw
s, 2010)
.

En esta unidad se estudiarán algunos conceptos y relaciones geométricas a través de
construcciones con

regla y compás, realizando diversos ejercicios de problemas geométricos
.Conceptos claves

Ángulos:
Se ll
ama ángulo a la región comprendida entre dos segmentos unidos en un solo punto
llamado vértice.

Círculo:
superficie plana limitada por una línea curva llamada circunferencia.

Recta:

Es una sucesión continua de puntos alineados en una misma dirección.
Si pr
olongamos
el segmento indefinidamente por ambos extremos, obtenemos una recta.
Perímetro:
Se llama perímetro a la distancia alrededor de cualquier figura en dos dimensiones.

Área:
Se considera área de una figura a la superficie que es rodeada por el perí
metro

Polígono:
Es una figura geométrica cerrada que está compuesta por muchos lados. Dichos lados
pueden ser todos iguales o desiguales.Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana59Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana60Ejercicio 1

1.

En el siguiente recuadro se muestra un pentágono formado por diversos elementos
básicos de la geometr
ía. Escribe cada número en los espacios correspondientes al
elemento geométrico.
Construcción con regla y compás2.

Construye la bisectriz del ángulo
⤮⤯⤰
, así como la mediatriz de cada segmento que
forman al ángulo
⤽⤾⤿

.
3. Traza un ángulo congruente al ángulo ABC del ejercicio anterior.

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común, conocido como el quinto
postulado de Euclides,

del cual se estudiará más adelante. ___Punto

___

Recta

___

Segmento

___

Plano

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana61Por otro lado, dos rectas que se cortan en un punto y dividen al plano en cuatro regiones. Si
estas cuatro regiones tienen la misma amplitud, decimos que las dos rectas son
perpendiculares. 4. Usando regla y compás,
traza una perpendicular y otra que sea paralela al segmento AB.
La perpendicular que pase por el punto P, en cada inciso.a)
b)

Ángulos5.

Llena la Tabla 3

con la información necesaria, guíate de la terminología, definición o
e
jemplos dados.Terminología

Definición

Ejemplos

Ángulo agudo
ⳋ

╽
⽚
⧫
⽚
▆╽◄Ángulo _
_________
ⳋ



95°; 157°

Ángulo recto
ⳋ

ⳋ
=Ángulos _
≍≍≍≍≍≍≍≍≍≍≍≍≍≍ ⌹, ␠

⌹␠ 90⊎⋓≜≕≣≚≝≡ ≡≣≞≚≓≛≓≜≢≏≠≝≡ ⌹, ␠
Tabla 3. Ángulos

Ejemplo

a)

Halla el comple
mento

del ángulo de 80°.

Justificación
:


La condición i) se puede simbolizar como:

A

B

A

B

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana62i)

⟬
⧤
⽐

⟬
⧥
⽗
▆╽


[
por ser complementarios]
La condición ii) nos indica que uno de ellos, por
ejemplo,

el
⟬
⧤

mide 80°, por lo
tanto,

tenemos



ii)
▅╽◄
⽐

⟬
⧥
⽗
▆╽◄
Despejamos
⟬
⧥

obteniendo:



⟬
⧥
⽗
▆╽◄
-

▅╽◄


⟬
⧥
⽗
╾╽◄El resultado que se obtuvo, es el complemen
to del ángulo de 80°Ejercicio
2.

Resuelve los siguientes ejercicios siguiendo la solución del inciso a)
.

1)

Halla el suplemento de un ángulo de 123°.

2)

Si el complemento de un ángulo b es 3b, encuentra el valor del ángulo b.

3)

Halla el ángulo que sea 16° menos
que su suplemento.Como se ha mencionado, dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no
tienen ningún punto en común. Tal definición fue dada por Euclides de Alejandría,
matemático griego que vivió alrededor de los 300 a.C. Dentro de los

5 postulados que
escribió Euclides, el quinto es uno de los más importantes en la historia de la geometría, en
≓≚ ≑≣≏≚ ≡≓ ≗≜≒≗≑≏ ≟≣≓ ⊾≞≝≠ ≣≜ ≞≣≜≢≝ ≓≦≢≓≠≗≝≠ ≏ ≣≜≏ ≠≓≑≢≏ ≒≏≒≏ ≞≣≓≒≓ ≢≠≏≨≏≠≡≓ ≣≜≏, ≧ ≡≝≚≝ ≣≜≏
≞≏≠≏≚≓≚≏ ≏ ≚≏ ≠≓≑≢≏ ≒≏≒≏⊿
.

Con lo anterior podemos
concluir
que,

si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces las
tres rectas son paralelas
entre sí (Jiménez Douglas, 2005)
.Ejercicio
3

1)

En las siguientes rectas paralelas cortadas por una transversal se forman 8 ángulos.

Identifica las dos rectas pa
ralelas como l
1
y l
2
, mientras que a la

transversal llámala m

2

8

3

4

5

6

7

1

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana63a)Indica qué nombre se les da a las siguientes parejas de ángulos y cuáles son las
propiedades de dichos ángulos. Nombre

Propiedad

1 y 4opuestos por el vérticecongruentes_________

5 y 3_________________ __________________

3 y 6_________________
__________________

5 y 8_________________
__________________

1 y 8_________________
__________________

6 y 7_________________
___________
_______
Ejemplo

Determina
r

el valor de
.Justificación
Ejercicio

4
.
Resuelve los siguientes problemas sabiendo que las rectas

y
son paralelas,
guíate por el eje
mplo resuelto.

i)

╿
⥟
⽗
▀
⥟
⽑
╿╽◄

por ser ángulos alternos


internos son iguales

Despejando x

╿
⥟

⽑
▀
⥟
⽗
⽑
╿╽◄

⽑
⥟
⽗
⽑
╿╽◄

multiplicamos por
-
1

⥟

⽗

╿╽◄ii)

╿
⥟
⽗
⥠
⽐
╾╽◄

por ser ángulos



correspondientes son igualesiii)

Sustituimos el valor de x en ii)

╿
(
╿╽◄
)
⽗

⥠

⽐

╾╽◄

Despejando
y,
tenemos:

▁╽◄
⽗
⥠
⽐
╾╽◄

▁╽◄
⽑
╾╽◄
⽗
⥠

⥠
⽗
▀╽◄

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana641)Determina el valor de

Justificación






2)Determina el valor de

Justificación



Geometría del triángulo

En la Tabla 4

se muestra la clasificación de los triángulos

según la medida de sus lados y
ángulos, así como la relación que hay entre ellas. Dibuja los triángulos que falten en los
es
pacios en blanco.

▀
⥟

⥟l
1

L
2

╿
⥟Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana65
Tabla
4
. Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos.De acuerdo a la clasificación anterior de lo
s triángulos, llena la Tabla 5
.Según la medida de sus ángulos

Según la medida de sus lados

Acutángulo Equilátero

Tabla
5.

Clasificación de triángulos

Ejercicio

51. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta.A)

Algunos triángulos acutángulos son isósceles.
V F

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana66B)

Todos los triángulos acutángulos tienen

un ángulo obtuso.
V F

C)

Algunos triángulos rectángulos son equiláteros.
V F

D)

Algunos triángulos obtusángulos son equiláteros.
V F

2. Analiza y reflexiona las siguientes preguntas

A) ¿Existen triángulos
que sean al mismo tiempo equiláteros y rectángulos? ___¿Por
qué?

_
________________________________________________________________

B) ¿
Existen triángulos que sean rectángulos e isósceles a la vez? ___¿Por qué? ____________________________
_____________________________________

C) ¿Todo triángulo rectángulo es isósceles? ___¿Por qué? _________________________________________________________________

D) ¿Algunos triángulos obtusángulos son escále
nos? ___¿Por qué? _________________________________________________________________

E) ¿Todos los triángulos equiláteros son isósceles? ___¿Por qué? ____________________________________
_____________________________

F) ¿Todos los triángulos isósceles son acutángulos? ___¿Por qué? _________________________________________________________________

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana673.

María debe construir un triángulo escaleno como parte de
la tarea escolar de
matemáticas II. En la papelería hay una oferta en que se venden tres palillos a un precio muy
económico, pero ya están cortados. Las medidas de los tres palillos son 4.5cm, 3.6 cm y 8.5
cm respectivamente.a)

¿Es posible formar un triángu
lo? ______¿Por qué?
_______________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Existe alguna regla establecida para la construcción de triángulos? _____

Explica:
______________
_______________________________________________Ejemploa)

Determina
r

en la siguiente figura el valor de los ángulos exteriores que se marcan
≑≝≛≝ ⌹⊘, ␠⊘ ≧ ␡⊘Justificación

i)

µ≚≏≛≏ ≏ ≚≝≡ ≴≜≕≣≚≝≡ ≓≦≢≓≠≗≝≠≓≡ ⌹⊘, ␠⊘ ≧
␡⊘ ≠≓≡≞≓≑≢≗≤≏≛≓≜≢≓.ii)

La suma de los ángulo
s exteriores del
triángulo es igual a 360°, por lo tanto,
⌹⊘␠⊘␡⊘S60⊎iii)

Dos ángulos suplementarios suman 180°,


por lo
≢≏≜≢≝, ⌹
 ⌹⊘180⊎
❧

⌹⊘180⊎
-

⌹
❧

⌹⊘180
⊼

70
= 110
°


␠␠⊘180⊎
❧

␠⊘180⊎
-

␠

❧

␠⊘180
⊼

45
= 135
°


␡␡⊘180⊎
❧

␡⊘180 ⊎
-

␡
❧

␡⊘180
-

65
= 115
°Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana68Ejercicio

6
.
Resuelve los ejercicios que a continuación se presentan sobre ángulos internos
y externos
, guíate del ejercicio resuelto.1)

En l
≏ ≡≗≕≣≗≓≜≢≓ ≔≗≕≣≠≏ AB≪≪CD, ≡≗ ⌹S0⊎
y
ⳋ
=100
°, determina la medida de los ángulos
que faltan.


Justificación:2)

Halla la medida de los ángulos exteri
ores del siguiente polígono irregular
.


Justificación:
3)

Con los datos que se proporcionan en la figura calcula el valor de
x e y.


Justificación
Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana69Ejercicio 7



1)

Relacionas las sig
uientes columnas de la Tabla 6

colocando el incis
o correspondiente.

__ Mediatriz

a)

Segmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo
al punto medio de su lado opuesto.

__ Bisectriz

b)

Es e
l punto donde se intersectan la
s

medianas de un triángulo

__ Mediana

c)

Se le denomina al punto donde concu
rren las alturas de un
triángulo.

__ Altura

d)

Conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos
extremos de un segmento

__ Circuncentro

e)

Es el punto en el que se cortan las

mediatrices de un triángulo

__ Incentro

f)

Segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo
al lado opuesto.

__ Baricentro

g)

Las bisectrices de l
os ángulos interiores de un triángulo
concurren en un punto que equidista de los lados del triángulo

__ Ortocentro

e)

Es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.

Tabla
6
. Los centros del triángulo.2)

Construye la bisectriz del siguiente
ángulo y justifica cómo son los ángulos
formados entre ella.

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana703)

En la siguiente figura dibuja el incentro y circuncentro.

a)

Describe las similitudes o diferencias que observas entre ambos trazos:
____________________________________________________________
_______

___________________________________________________________________

b)

Dibuja de nuevo el incentro y el circuncentro en el siguiente triángulo. Observa los
resultados obtenidos y compáralos con el inciso anterior, ¿existe alguna similitud
con t
us nuevos resultados? ¿por qué?
_____________________________________
___________________________________________________________________
______________________________

c)

Dibuja en los triángulos del inciso a) y b) un círculo que toque los 3 vértices
(círculo
circunscrito) y un círculo que toque los tres lados del triángulo (círculo inscrito). ¿Es
posible realizar los trazos solicitados? ¿por qué?

_______________________________________________________________________________________________________
_
______________________________

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana714)

En el siguiente triángulo dibuja.

-

Con color

azul las medianas.

-

Con color anaranjado
las mediatrices
.

-

Con color verde las bisectrices.

-

Con color café
las alturas
. -

Une el baricentro, el circuncentro y el ortoc
entro.

¿Qué observas? _____________________________________________

≏ ≓≡≢≏ ≠≓≑≢≏ ≡≓ ≚≓ ≚≚≏≛≏ ⊾»≓≑≢≏ ≒≓ E≣≚≓≠⊿.

5)

Escribe cuáles son las propiedades de los triángulos isósceles.

______________________________________________________________________
__________
____________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_Ejempl
o

a)

Halla
r

los ángulos x, y, z,
w, tomando

en cuenta que los triángulos AOB, BOC, COD
y DOA son isósceles.Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana72Justificació
n

Ejercicio

8

1)

Empleando las propiedades de los triángulos isósceles, determina el valor de x si
⤯⤮
⼯
⼯
⼯
⼯
=
⤰⤮
⼯
⼯
⼯
⼯

y
⤱⤲
⼯
⼯
⼯
⼯
=
⤯⤲
⼯
⼯
⼯
⼯
.


Justificación:i)

╿
⥞
⽐
▃╽◄
⽗
╾▅╽◄

Por propiedades de los


triángulos isósceles

despejamos w:

⥞
⽗

ⵀ
ⵇⴿ◄
ⵊ
ⵅⴿ◄
ⵁ

;
⥞
⽗
▃╽◄

ii)

╿
⥡
⽐
▅╽◄
⽗
╾▅╽◄

Por propiedades de los


triángulos isósceles

despejamos z:

⥡
⽗

ⵀⵇⴿ◄
ⵊ
ⵇⴿ◄
ⵁ
;
⥡
⽗
▂╽◄

iii)

╿
⥠
⽐
╾╽╽◄
⽗
╾▅╽◄

Por propiedades d
e los


triángulos isósceles

despejamos y:

⥠
⽗

ⵀⵇⴿ◄
ⵊ
ⵀⴿⴿ◄
ⵁ
;
⥠
⽗
▁╽◄

iv)

▃╽◄
⽐
▅╽◄
⽐
╾╽╽◄
⽐
⤼
⽗
▀▃╽◄Por formar
un ángulo perigonal.

despejamos O:

⤼
⽗
▀▃╽◄
⽑
╿▁╽◄⤼
⽗
╾╿╽◄

v)

╿
⥟
⽐
╾╿╽◄
⽗
╾▅╽◄

Por propiedades de los


triángulos isósceles

despejamos x:

⥟
⽗

ⵀⵇⴿ◄
ⵊ
ⵀⵁⴿ◄
ⵁ
;
⥟
⽗
▀╽◄

Por lo tanto
⥟
⽗
▀╽◄
,

⥠
⽗
▁╽◄
,
⥡
⽗
▂╽◄
,
⥞
⽗
▃╽◄ Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana732)

Si

⤮⤯
⼯
⼯
⼯
⼯
=
⤮⤰
⼯
⼯
⼯
⼯
, ≒≓≢≓≠≛≗≜≏ ≓≚ ≤≏≚≝≠ ≒≓ ≦, ⌹ ≧ ␠
Justificación: Polígonos

Podemos definir a un polígono
(del griego poli y gonos)

como una figura plana delimitada
por segmentos de recta y tiene muchos ángulos.

L
os polígonos se denotan mediante letras mayúsculas ubicadas en los vértices del mismo y
se clasifican en
regulares e irregulares.Fig 4. Polígonos

En un Polígono es necesario considerar los siguientes elementos característicos.

a.

Lado:

cada uno de los seg
mentos de la línea poligonal cerrada.

b.

Vértice
: Son las intersecciones de dos lados consecutivos del polígono.

c.

Diagona
l: Son aquellas rectas que unen dos vértices no consecutivos.

d.

Ángulos Internos:

Son los que están formados por dos lados consecutivos

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana74e.

Áng
ulos externos
Son los formados por un ángulo y la prolongación del lado
contiguo y adyacente

f.

Perímetro (p):
Es la suma de todos los segmentos de recta del polígono.Además de las características anteriores, en un polígono regular se pueden distinguir:g.

Ce
ntro
: punto que equidista de todos los vértices.

h.

Ángulo central
: Es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los
extremos de un lado.

i.

Apotema (a)
: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada
lado.Se clasifican

de acuerdo al número de lados, por ejemplo, un polígono de tres lados es un
triángulo, uno de 6 lados es un hexágono, etc. Te invito a investigar al respecto para que
puedas conocer más acerca de los polígonos y su clasificación.Ejercicio 9

1)Dibuja las
diagonales de la siguiente figura
5. Fig

5. Hexá
gono

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana752)

¿Existe alguna forma de conocer las diagonales sin dibujarlas?

3)

¿Cuántas diagonales tiene un
tetra decágono

(14)? ___________________________

4)

¿Y

un Triacontágono (30)?
______________________________________
________Án
gulos interiores de un polígono

Para conocer el valor total de los ángulos interiores de un polígono, basta con saber que en
un triángulo la suma de sus ángulos internos es de 180º. Por lo tanto, si en
un cuadrado se
forma dos triángulos como se muestra en la figura 3.2, la sumatoria de sus ángulos internos
es de 360°
Fig
6
. Ángulos interiores de un polígono regular De tal manera
que,

para conocer la suma de los ángulos internos de un polígono, es n
ecesario
saber cuántos triángulos se forman en la figura y realizar la sumatoria de los ángulos.Ejemplo

¿Cuántos triángulos se forman en el siguiente dodecágono al trazar todas las diagonales desde
un solo vértice? Indica la sumatoria de ángulos interio
res del dodecágono.i)

Tomamos el vértice A de referencia en el
dodecágono y comenzamos a trazar las diagonales
desde ese punto.Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana76ii)

Trazamos todas las diagonales desde el punto A,
como se observa en la Figura 7
.iii)

En un dodecágono se forman
10 triángulos
, ya
que la
sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es
de 180°, multiplicamos los 10 triángulos por 180°.

Por lo tanto, la suma de los ángulos internos de un
dodecágono
mide 180
°.

Fig
7
.
Ejercicio 10

1)

Las siguientes figuras s
on polígonos regulares:

Indica 1
) ¿Cuántos triángulos se forman
en cada una?
2
) ¿
Cuál es la suma de los ángulos inte
riores de cada figura regular? 3
)
¿
Cuánto suma
⥟
⽐
⥠
⋁?
Área de un polígono Regular:

El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema
dividido entre dos
(
⤮
⽗
ⵀ
ⵁ
⥈
⟦
⥗
)
Área de un polígono irregular:Para calcular el área de un polígono irregular cualquiera debemo
s basarnos en métodos
indirectos.
Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana77Para conocer el área de triángulos irregulares, basta con aplicar
la fórmula de Herón.

Herón de Alejandría, quien vivió hacia el siglo III a. de C. Son
conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por
l
a llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de
un triángulo conocidos los tres lados. No es necesario por tanto conocer la altura ni ninguno
de los ángulos. Si llamamos

s

al semiperímetro y

a,

b,

c

a los tres lados [recursostic, 2016]:⪊
⽗
⪒
⽐
⪓
⽐
⪔
⳦
⏯

⩸
⽗

â¾°
⪊
(
⪊
⽑
⪒
)
(
⪊
⽑
⪓
)
(
⪊
⽑
⪔
)

De tal manera que el área de un polígono irregular será la suma de las áreas de sus
componentes.Ejemplo.

Fórmula de Herón.

Determina
r

el área del triángulo
de lados
⥈
⽗
▂
,
⥉
⽗
▀

y
⥊
⽗
▃
Justificacióni) Aplicando la fórmula de Herón determinamos el área del triángulo ya que es un
triángulo irregular:

⪊
⽗
⊎
⽐
⊏
⽐
⊐
╿
⏯ A
⽗

â¾°
S
(
S
⽑
⊎
)
(
S
⽑
⊏
)
(
S
⽑
⊐
)
ii) donde
S

es llamado semiperímetro

⪊
⽗
ⵄ
ⵉ
ⵂ
ⵉ
ⵅ
ⵁ
= 7Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana78iii) Ya teniendo el s
emiperímetro, calculamos el área

A
⽗

â¾°
▄
(
▄
⽑
▂
)
(
▄
⽑
▀
)
(
▄
⽑
▃
)


A=
╿
◉
╾▁Ejemplo
.

Á
rea de polígonos regulares
.

La longitud de un lado de un hexágono regular es 4 cm. Calcular su apotema y su área.

Justificacióni)

Dibujamos el hexágono con cent
ro
O,
trazamos

la apotema y dos diagonales
como se observa en la Figura
8 A
.
Fig
8 A.

ii)

Por ser un polígono regular, las
diagonales miden lo mismo, formándose
así dos triángulos equiláteros con lado
4cm y ángulos internos de 60° co
mo se
muestra en la Fig
ura 8 B.
Fig
8

B
.

iii)

Por lo que el triángulo AOB tiene ángulos internos de 30°, 60° y 90° como se
muestra en la figura. Por lo tanto, AB=2, OA=4 y aplicando el teorema de
Pitágoras determinamos el valor de la apotema

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana79



Fig 8

C
.

iv)

Como es un polígono regular, calculamos el área sabiendo que es igual al perímetro
(p) por apotema (
⥈
) entre dos.
Ejercicio 111)

Si un edificio cuadrado y un edificio con forma de hexágono regular tienen el mismo
perím
etro (p), ¿Cuál de los dos edificios tiene mayor área?

Nota: Toma como perímetro de ambas figuras el de un cuadrado.
2)

Si el área de un cuadrado es de 81, calcula:

a)

su
lado, b
) su
perímetro, c
) su diagonal. Calculamos
la apotema

⥈
⽗
â¾°
⤼⤮
ⵁ
⽑
⤮⤯
ⵁ

⥈
⽗
â¾°
▁
ⵁ
⽑
╿
ⵁ

⥈
⽗
◉
╾╿

⥈
⽗
╿
◉
▀

Calculamos el perímetro

⥗
⽗
⥕⥟⥓

⥗
⽗
▃
⥟
▁

⥗
⽗
╿▁

Calculamos el área:

⤮
⽗
╾
╿
⥈
⟦
⥗

⤮
⽗
ⵀ
ⵁ
(
╿
◉
▀
)
(
╿▁
)⤮
⽗
╿▁
◉
▀

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana803)

Determina el área de la parte gris de
l
a
siguiente
figura
.

4)

Calcula el área de una banqueta de 1.20 m de ancho y que rodea una plaza rectangular
de 90 m de largo y 65 m de ancho.

Ejemplo
.

Áreas

de

polígonos irregulares

Obtén el área de la siguiente figura:Debido a que no es una figura
regular, dividiremos la figura
en figuras conocidas.He
mos

dividido la figura en un rectángulo de lado 3 y 2, un
triángulo rectángulo y un rectángulo de lado 2 y 7.

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana81Obtenemos el área de cada figura, comenzando por el
rectángulo de base 2 y altura 3Área del rectángulo 1:

A= b
a

A= 2.3 = 6 u
2

Área rectángulo 2:

⤮
⽗

⥉⥈

⤮
⽗

╿
⏯
▄

⽗

╾▁

⥜
ⵁ
Área del triángulo


A=

â· 
â·¦
ⵁ


A=

ⵃ
ⵁ

= 2u
2

Sumamos las áreas para determinar el

área total

Área del rectángulo 1 + área del rectángulo 2 + área del
triángulo

A
total
= 6u
2

+ 14 u
2
+ 2 u
2

A
total
= 22u
2

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana82Ejercicio 12

1)

Determina el área de las siguientes figuras:

Justificacióna) b)



Justificación
Círculo y Circunferencia

Ejercicio 13

1)En la siguiente figura escribe en el recuadro el nombre de

cada una de las rectas y
segmentos señalados.Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana83 2)

Construye la recta tangente a la circunferencia en el punto B.

3)

Construye las rectas tangentes a la circunferencia desde el punto C.
4)

Traza las mediatrices de las cuerdas que se señalan y localiza el

centro de la
circunferencia.

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana84 5)

Para confirmar

lo mencionado en el recuadro, dibuja dichos resultados en las
siguientes circunferencias. Ejemplo

Halla el diámetro de un círculo de 78.5 cm
2

de área.

Resultados importantes:

a.

La perpendicular en el punto medio de una cuerda pasa por
el centro de la circunferencia.

b.

La perpendicular en el punto de tangencia pasa por el centro
de la circunferencia.

Punto de tangencia

cuerda

Justificación:

⤮
⽗

⧳
⥙
ⵁ



Área de una circunferencia

Despejando r:

⥙

⽗

√
ⷅ
⸢


Sustituyendo valores obtenemos:⥙

⽗

√
ⵆⵇ
⏯
ⵄ

ⵂ
⏯
ⵀⵃⵀⵅ⥙
⽗
▂

⥋

⽗
╿
⥙

el diámetro es dos veces el radio

⥋

⽗
╿
(
▂
)⥋

⽙
╾╽

⥊⥔Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana85Ejercicio

1
4

1)

En la clase de física se han realizado diferentes mediciones de objetos den
tro de los
cuales estaba un balón. He rodeado con una cuerda la circunferencia del balón, el cual
mide 93.5 cm de longitud. ¿Cuál es el radio del balón?

2)

Halla el diámetro de una circunferencia cuya longitud es 12.5 cm Ejemplo

Calcula el área de un
cuadrado inscrito en una circunferencia de radio

r = 10 u.


Solución:

Ejercicio

1
51)

Se inscribe un semicírculo en un rectángulo
de base 14 cm. Encuentra el área sombreada.

d = 2r = 2 (10) = 20 u Por ser e
l diámetro el doble del


radio

d
2

=
l
2

+
l
2


Por el teorema de Pitágoras

d
2

=
2 l
2

2
l
2

= (20)
2

= 400


l
2

=
ⵃⴿⴿ
ⵁ

= 200


A = l
2

= 200 u
2Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana862)

En la figura se muestra un semicírculo con centro en el punto O, cuyo diámetro es 20
cm y un sector circular con centro en el punto P. Encuentra el área sombreada. Respuestas
a los ejercicios

Ejercicio 1

1.


2

Punto



4

Recta




5

Segmento



6

PlanoEjercicio 2

1.╾
)

⧤
⽗
▂▄◄
,
╿
)⥉
⽗
╿╿
⏯
▂
, 3
)
⧥
⽗
▅╿◄Ejercicio 3Nombre
Propiedad

1 y 4opuestos por el vérticecong
ruentes

5 y 3conjugados inte
rnos
suplementarios

3 y 6Alternos internos
congruentes

5 y 8Opuestos por el vérticecongruentes

1 y 8Alternos externos
congruentes

6 y 7Opuestos por el vérticecongruentesEje
rcicio 41
)
⥟

⽗
▃╽◄
,
⥠

⽗

▃╽◄

2
)
⥟

⽗

▀▃◄

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana87Ejercicio 6


1
)
⧥
⽗
▅╽◄
⏬ ⧴
⽗
▄╽◄
⏬
⧼
⽗
▀╽◄


2
)
⥟
⽗
▀▂
⏬ ⤮
⽗
╾▀╽◄
⏬ ⤯
⽗
╾╿▂◄
⏬
⤰
⽗
╾╾╽◄
⏬

⤱
⽗

╾╽▂◄
⏬

⤲
⽗
▄╽◄

3)
⧤
⽗

▁▂◄
⏬

⥟
⽗

╾▀▂◄
⏬

⥠
⽗
╾▀▂◄

Ejercicio 7

1)d,

e, a, f, e, g, b, cEjercicio 8

1)



⥟
⽗
╿╽◄

2)
⥟
⽗

▂▄
⏯
▂◄
⏬
⧤
⽗
╾╿╿
⏯
▂◄
⏬

⧥
⽗
╾▄
⏯
▂◄
Ejercicio 10

1)

hexágono 4 triángulos, octágono 6 triángulos

2)

hexágono 720
°,

octágono 1080°

3)

⥟
⽐
⥠
⽗

╾▂╽◄
Ejercicio 11

1
.
Á
rea cuadrado
=
ⵀ
ⵀⵅ
⥗
ⵁ

Á
rea hexágono
=

◉
ⵂ
ⵁⵃ
⥗
ⵁ

2.
l = 9u P = 36u d = 12.73u

3
. A=34 u
2

4
. A = 377.76u
2
Ejercicios 12

1)


a) A = 21.65 u
2


b)
A=
6.20 u
2

Ejercicios 1
4

1
. r = 14.88 cm

2
. d = 4 cm

Ejercicio
s 15

1
. A= 21 cm
2

2
. A= 257cm
2

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana88Autoevaluación tipo examen extraordinario

Instrucciones:

1. Lee con atención cada pregunta o problema.

2. Escribe tus procedimientos, de forma clara y ordenada, en las hojas

blancas.

4. Identifica el inciso de la respuesta correcta y escríbelo en la tabla siguiente.RESPUESTAS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
1.

Dado los valores de la terna de los
segmentos, determina

con cuáles se puede construir
un
triángulo
.A) 4, 4 y 9

B) 3, 4, 6 C) 5, 6, 12 D) 6, 7, 14 2.

Se tienen los ángulos A = 3x + 15 y B = 2x
⊼

10. ¿Cuánto miden A y B, si son
suplementarios?A) 125° y 45° B) 35° y 145 C) 120° y 60°

D) 65° y 135°3.

Determina el nombre del punto D de la siguiente figura.A
) Circuncentro
B
) Baricentro

C
) Ortocentro


D
) Incentro

4.

Una altura y una mediana coinciden en todo triánguloA
) isósceles
B
) rect
ángulo
C
) escaleno
D
) acutángulo

Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana895.

E≜ ≚≏ ≡≗≕≣≗≓≜≢≓ ≔≗≕≣≠≏ ≚≏≡ ≠≓≑≢≏≡ AB ≧ CD ≡≝≜ ≞≏≠≏≚≓≚≏≡, ≓≜≑≣≓≜≢≠≏ ≓≚ ≤≏≚≝≠ ≒≓ ⊾≧⊿.

A)
-
8 B)
-
12 C) 30 D) 32 6.

Calcula el períme
tro de un cuadrado si su diagonal mide
◉
▆▅A
) 19.79
B
) 28
C
) 39.59
D
) 49 7.

Calcula el área de una banqueta de 1.20 de ancho que rodea a una plaza rectangular de
90 m de largo y 65

de ancho.A) 187.44 m
2

B) 377.76 m
2

C) 5850 m
2

D) 6037.40 m
2

8.

¿Cuál es área de un tapete en forma de hexágono regular de 40 cm de lado? A) 240.0 cm
2

B) 2,078.5 cm
2


C) 4,156.9 cm
2

D) 4,800.0 cm
29.

Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y
29.6 cm respectivamente. ¿Cuánto mide el diámetro circunferencia?A) 58 cm B) 51 cm

C) 44 cm D) 37 10.

En un cuadrado de lado 12 cm, se trazan 4 arcos de circunferencia como

muestra la figura. Calcula el área sombreadaA) 30.9 cm
2


B) 113 cm
2


C) 144 cm
2


D) 452.3 cm
2Unidad 3. Elementos básicos de geometría plana90RESPUESTAS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

B

C

A

C

B

B

C

D

A

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras91UNIDAD

4.
CONGRUENCIA
,
SEMEJANZA

Y TEOREMA DE
PITÁGORAS.
Presentación

En esta

≣≜≗≒≏≒ ≒≓ ⊾C≝≜≕≠≣≓≜≑≗≏, ≡≓≛≓≘≏≜≨≏ ≧ ≢≓≝≠≓≛≏ ≒≓ ¹≗≢≴≕≝≠≏≡⊿, ≡≓ ≞≠≓≢≓≜≒≓ ≟≣≓, ≏ ≞≏≠≢≗≠
del conocimiento básico de conceptos de la Geometría, introducir al alumno al razonamiento
deductivo y a la comprensión del porqué de las demostraciones. El Propósito es
Aplicar los
conceptos de congruencia y semejanza y usar el Teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas que involucren triángulos. Argumentando deductivamente sobre la validez de
algunas afirmaciones geométricas y procesos en la resolución de problem
as

El objetivo es que el alumno valore la importancia de proporcionar una argumentación como
la vía que otorga validez al conocimiento geométrico. Aplique conceptos, procedimientos y
resultados de la Geometría Euclidiana para resolver problemas de congruen
cia, semejanza y
del teorema de Pitágoras.

El mayor mérito de los sabios griegos fue el transformar la
geometría al cambiar el enfoque de la misma de empírico a
deductivo. Se menciona que uno de los protagonistas de esta
transformación fue también Tales d
e Mileto, filósofo, astrónomo y
matemático griego nació en Mileto en el año 624 a. de C. y murió
a la edad de 78 años (548
-
545 a. de C). Entre los resultados más
conocidos de Tales se encuentra el teorema que lleva su nombre,
relativo a la proporcionalidad

de segmentos determinados en dos
rectas cortadas por un sistema de paralelas.Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras92Tales de Mileto fue el primer geómetra griego uno de los siete sabios de
Grecia

y tuvo como
discípulo y protegido a
Pitágoras

posteriormente Platón en su academia lugar donde i
mpartió
sus enseñanzas se podía leer la siguiente inscripción: NADIE ENTRE QUE NO SEPA
GEOMETRÍA. Platón sostiene en el
T
imeo que dios
dio a

todas las cosas la mayor perfección
posible componiendo sus elementos (fuego, tierra, aire y agua) por medio de los

cuerpos
geométricos más perfectos. Platón contempló la geometría más con ojos de poeta que con
mirada científica.La figura de Pitágoras, nacido en la isla griega de Samos, está
envuelta en un halo de leyenda y misterio casi de tipo religioso.
Viajó por

Egipto y Babilonia (y se dice que llegó a la India),
impregnándose

de conocimientos matemáticos, astronómicos y
filosóficos. Tras ese viaje retornó al mundo griego, instalándose en
Crotona, ciudad de la región de Magna Grecia, al sur de Italia.

Allí fund
ó la sociedad secreta de los Pitagóricos que alcanzó más de
600 adeptos. Pitágoras es universalmente conocido por el famoso
Teorema (En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos) que, sin
embar
go,

ya era conocido varios siglos antes en China y
aplicado tanto en Egipto (para medir campos) como en Babilonia (se conservan tablillas con
⊾≢≓≠≜≏≡ ≞≗≢≏≕⊄≠≗≑≏≡⊿).Conceptos claves

Congruencia
:
En matemáticas, dos figuras geométr
icas son
congruentes

si tienen los lados
iguales y el mismo tamaño
.

Congruencia de triángulos:
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes
tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida
.

Criterios de Congrue
ncia:
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para
que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de congruencia

los
cuales son:

⎟



Caso LAL
: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados
respectiv
os y el ángulo comprendido entre ellos.

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras93⎟



Caso ALA
: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos
respectivos y el lado entre ellos.

⎟



Caso LLL
: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.Lados homólogos.

Se d
icen ángulos homólogos aquellos que son iguales y Lados
Homólogos los opuestos a los ángulos homólogos.

Razón.

Se llama razón de semejanza (escala) al cociente entre dos longitudes
correspondientes.r = a' / a

Proporción.

Se llama proporción a la igualda
d de dos razones.

Cateto.

Un cateto, en geometría, es cualquiera de los dos lados menores de un triángulo
rectángulo, los que conforman el ángulo recto.

Hipotenusa.
La hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo y además
es el lado

opuesto al ángulo recto.Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras94

Congruencia
La congruencia de triángulos se basa en el estudio de la igualdad entre triángulos, es decir,
gracias a esto podemos saber si esos dos triángulos o más son congruentes (iguales) entre sí.
Dich
o de modo sencillo, nos permite comparar varios triángulos y saber si son iguales (si
tienen los mismos ángulos en sus vértices y si sus lados miden lo mismo).

Entonces, sabemos que, si dos triángulos tienen tres ángulos y tres lados iguales entre sí, son
iguales (o congruentes), ahora bien, es necesario en todos los casos verificar uno a uno todos
esos elementos, para ello vamos a utilizar los llamados criterios de congruencia, viendo cada
una de las posibilidades por separado:
Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras951º
LLL

(lado, lado, lado)Considerando dos triángulos de lados a, b y c y a
⋁
, b
⋁

y c
⋁
, se dice que son congruentes, si
sus lados son iguales entre sí, es decir:

LA
L

(lado, ángulo, lado)Considerando los mismos
≢≠≗≴≜≕≣≚≝≡ ≒≓ ≚≏≒≝≡ ≏, ≐ ≧ ≑ ≧ ≏⋁
, b
⋁

y
c
⋁

respectivamente, se d
ice
que son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo que se forma con la unión de estos
(en el vértice).

E≜ ≓≡≢≓ ≑≏≡≝ ≖≓≛≝≡ ≡≣≐≠≏≧≏≒≝ ≓≜ ≜≓≕≠≗≢≏ ≚≝≡ ≚≏≒≝≡ ≑≝≜≕≠≣≓≜≢≓≡ ≟≣≓ ≔≝≠≛≏≜ ≚≝≡ ≴≜≕≣≚≝≡ ⌹ ≧
⌹
⋁
, también congruentes entre ellos, es decir, que
tienen la misma amplitud.

A
LA (
ángulo
, lado, á
ngulo)Teniendo un lado igual (que mida lo mismo, es decir, que sea congruente), y con los
ángulos que se forman en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos
se les denomina adyacen
≢≓≡ ≏≚ ≚≏≒≝ ≧ ≚≝≡ ≒≓≜≝≛≗≜≏≠≓≛≝≡ ⌹ ≧ ␠ ≧ ⌹⊘ ≧ ␠⊘ ≞≏≠≏ ≚≝≡ ≒≓≚ ≝≢≠≝
triángulo.

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras96

Ejercicio 1

Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o ángulos
respectivamente congruentes. ¿En qué casos se puede asegurar la congruencia d
el par de
triángulos? Indica el criterio utilizado en cada caso:

1
)2
) Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras973
)
4
)
Eje
mplo
.
En los siguientes c
asos demostraremos la congruencia entre triángulos
.1
)Solución

El
⤿⥇
⼯
⼯
⼯
⼯

es una altura al
⥁⥀
⼯
⼯
⼯
⼯

por lo cual se forman 2 triángulos
rectángulos por consiguiente el
segmento
⤿⥁
⼯
⼯
⼯
⼯

â «

⤿⥀
⼯
⼯
⼯
⼯

y el
⥁
â¿«

es congruente al
⥀
㐣
,
por lo
tanto,

el
␆
RST es un triángulo isósceles

y

entonces el
⥁⥇
⼯
⼯
⼯
⼯

â «

⥇⥀
⼯
⼯
⼯
⼯
.

Aplicando el criterio de LLL de congruencia finalizamos
demostrando que el triángulo
␆
R
ZS es congruente con el
␆
RZT. Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras982
) Solución

El
␆
RST es
i
sósceles por consiguiente el
⥀
㐣

es igual al
⥁
â¿«
,

entonces el
⤿⥇
⼯
⼯
⼯
⼯

es una perpendicular
al
⥁⥀
⼯
⼯
⼯
⼯

por lo cual se forman 2 triángulos rectángulos
,

por
consiguiente,

el
⤿⥁
⼯
⼯
⼯
⼯

â «

⤿⥀
⼯
⼯
⼯
⼯

y el
⥁
â¿«

es
congruente
con el

⥀
㐣
⏯

Aplicando el criterio de LLL de congruencia finalizamos demostrando que el triángulo
␆
RST
e
s un triángulo
i
sósceles y que el
◊
⤿⥇⥀

â «
◊

⤿⥇⥁
.3
)Solución

El ángulo con vértice en E es congruente con el ángulo con vértice en
X por lo que es igual
de
▆╽
â´¿
. E
l
⤱
⿬

es congruente con el
⥆
â¿«

el
⤱⥇
⼯
⼯
⼯
⼯

es congruente
con
⤳⥆
⼯
⼯
⼯
⼯

por lo tanto
,

aplicando el
criterio de ALA podemos concluir que
⧍⤱⤲⤳
â «

⧍⥅⥆⥇
⏯
Ejercicio
2

1)

En el siguiente ejercicio establece la definición de con
gruencia entre dos triángulos.

Explica con tus propias palabras lo que significan los criterios de congruencia LAL, ALA y
LLL.

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras99LAL
ALA

LLL2)En los ejercicios siguientes Analiza la situación e indique cuál de los 3 postulados
sobre la congruencia (LL
L, LAL o ALA) podrían usarse para probar que los triángulos
son congruentesI.

II. III.

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras100

3)Construye un triángulo congruente al siguiente, explicando la forma en que lo
construiste 4)Con el criterio de congruencia LLL, construye un trián
gulo congruente al siguiente.
Ejercicio
3

En los siguientes ejercicios analiza la situación e indica cuál de los tres criterios (LLL,
ALA y LAL) se puede utilizar para demostrar que los triángulos son congruentes, como en
el ejemplo
.Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras101a
) En la figura
⤮⤱
⼯
⼯
⼯
⼯

biseca a
⤯⤰
⼯
⼯
⼯
⼯
.

⤮⤯
⼯
⼯
⼯
⼯
⠑
⤮⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

Justifica

que
◊
⤮⤯⤱
⠑
⤮⤰⤱

Justificación:

Con los datos que se proporcionan tenemos que:

⟦
⤮⤱
⼯
⼯
⼯
⼯

divide en 2 partes iguales (biseca) al segmento
⤯⤰
⼯
⼯
⼯
⼯
, por
lo que
⤯⤱
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
⤱⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

⟦
⤮⤯
⼯
⼯
⼯
⼯

es congruente a
⤮⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

por lo

que
⤮⤯
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
⤮⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

⟦
⤮⤱
⼯
⼯
⼯
⼯

es lado común de los dos triángulos que se forman, por
lo que
⤮⤱
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
⤮⤱
⼯
⼯
⼯
⼯

Por lo anterior, el criterio mediante el cual se puede justificar que

◊
⤮⤯⤱
â «
◊
⤮⤰⤱

es

el

LLL1)

En la figura
,

⤿⥁
⼯
⼯
⼯
⼯

biseca al ángulo
⤾⤿⥀
â¿®

y

⤿⥁
⼯
⼯
⼯
⼯

biseca al ángulo
⤾⥁⥀
â¿­
.Justifica que

◊
⤿⥁⤾
⠑
◊
⤿⥁⥀2)

En la figura
⤻⤽
⼯
⼯
⼯
⼯
â¡®

⤺⤼
⼯
⼯
⼯
⼯
⼯

y

⤻⤽
⼯
⼯
⼯
⼯

biseca al ángulo
⤺⤽⤼
â¿®

y, por lo tanto,

es isósceles
.

Justifica que
◊
⤺⤽⤻
⠑
◊
⤻⤽⤼


3)

En
la
figura
⤮⤲
⼯
⼯
⼯
⼯

⥠

⤯⤱
⼯
⼯
⼯
⼯

se bisecan
.

Justifica q
ue
◊
⤮⤯⤰
⠑
◊
⤲⤱⤰

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras102Ejemplo

Justificación

x + 8 = 3x
E
c. 1


Por ser lados iguales



3y
⊼

6 = 2x + 7
E
c. 2


De la ecuación 1 se tiene que:


3x
⊼

x = 8, de donde
Ejercicio
4
.
En cada una de las siguientes figuras los triángulos son congruentes. Halla el
valor de
⥟
⏬
⥠
. 1
) Justificación2
) Justificación

x = 4

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras103SemejanzaE≜ ≕≓≝≛≓≢≠≿≏, ≓≚ ≢≻≠≛≗≜≝ ⊾≡≓≛≓≘≏≜≢≓⊿ ≡≓ ≣≡≏ ≓≜ ≓≚ ≡≓≜≢≗
do de que al comparar dos o más
figuras se dice que tienen la misma forma. Entenderemos como figuras semejantes aquellas
que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Así, los círculos que
se muestran enseguida son claramente semejante
s. Lo mismo sucede con los triángulos
equiláteros. ¿Dos triángulos congruentes
como
el

◊
⤮⤯⤰

⥠

⥌⥓

◊
⤽⤾⤿

son

semejantes
? Explica tu
respuesta.
Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras104Ejemplo

Dadas las figuras siguientes, indica si son semejantes, y explica por qué.


Las cruces son figuras semejantes pues tienen la misma forma, aunque diferente tamaño.
A
B



P


Q



C

D
R

S El trapecio ABCD es semejante al trapecio PQRS, pues tienen la misma forma, aunque
diferente tamaño.

Nótese que los ángulos correspondientes del trapecio ABCD son iguales

a los ángulos
correspondientes del trapecio PQRS, es decir,

⤮
㐣
⽗
⤽
â¿«
⏬
⤯
â¿«
⽗
⤾
â¿«
⏬
⤰
㐣
⽗
⤿
â¿«
⏬
⤱
⿬
⽗
⥀
㐣

Y que los lados
correspondientes del trapecio ABCD son más pequeños que los lados correspondientes del
trapecio PQRS.Ejercicio

5




1)

Explica cuando dos figuras son semejantes.

______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_________________________________________________________
_____________
_____________________________________________

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras1052)

Figuras semejantes
:
En las siguientes figuras indica cuales son semejantes y cuales no
lo son y explica
por qué
.
Semejanza de triángulosLa semejanz
a está identificada a la proporcionalidad, dado que los lados correspondientes
de polígonos semejantes son proporcionales y sus ángulos, iguales.Por ejemplo, consideremos los
◊
⤮⤱⤲

⥠

◊
⤳⤯⤰

de la siguiente figura. Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras106 Observa que sus áng
ulos respectivos son iguales y que cada lado del triángulo FBC mide el
doble que el respectivo
del
◊
⤮⤱⤲
. Los triángulos anteriores son semejantes, lo que se denota
como
◊
⤳⤯⤰
⽙
◊
⤮⤱⤲
. A los pares de lados, uno de cada triángulo que se oponen a los
áng
ulos congruentes (también uno en cada triángulo) se les llama lados homólogos o
correspondientes; así,
⤳⤯
⼯
⼯
⼯
⼯

es el lado homólogo de
⤮⤱
⼯
⼯
⼯
⼯
,
⤯⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

es el lado homólogo de
⤱⤲
⼯
⼯
⼯
⼯
, y
⤳⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

es el lado homólogo de
⤮⤲
⼯
⼯
⼯
⼯
.

Asimismo, observa que sus lados son p
roporcionales esto es, ;

; la razón de semejanza es 2

O bien si comparamos los lados del triángulo ADE con los lados homólogos del triángulo
FBC obtenemos;;

;

la razón de semejanza es
ⵀ
ⵁ

La razón de semejanza de los lados homólogos o correspondientes se llama también razón o
constante de proporcionalidad.

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras107
Ejercicio

6.

1)

Dos triángulos son semeja
ntes cuando __________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________2)

Justifique la semejanza de los siguientes triángulos haciendo uso de la defi
nición Criterios de semejanza de triángulos

Ejercicio

71)

Explica lo que significan los criterios de semejanza LAL, AA y LLL.

LAL ___________________________
___________________________

___________________________________________________________AA _______________________________________________________


____________________________________________________________LLL ____________________________________
____________________


_____________________________________________________________

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras1082)

Los siguientes triángulos son semejantes. Encuentra la razón de semejanza al comparar
el triángulo pequeño con el grande.

3)Indica porqué criterio los siguient
es triángulos son semejantes. Justifica tu respuesta.

a)

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras109b) c) Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras110Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes

Ejercicio

81)

Explica cómo es la razón entre los perímetros de triángulos semejantes

y la razón de
semejanza.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_______________________________________________________ 2)

Los triángulos ABC y DEF
son semejantes encuentra el perímetro de cada triángulo y la
razón entre sus perímetros. Explica cómo es la razón entre los perímetros y la razón entre
los lados de los triángulos.



3)

Explica c
ómo es la razón entre las áreas de triángulos semejantes.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____________________________________________________
___4)

Los triángulos MNL y PQR son semejantes encuentra el área de cada triángulo y la razón
entre sus áreas. Explica cómo es la razón entre las áreas y la razón entre los lados de los
triángulos.

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras111





5)

Encuentra el valor de x. ¿Son semejantes las figuras que se forman con la sombra del
árbol y la vara? Razona la respuesta. En caso afirmativo, halla la razón de semejanza.
¿Cuál sería la escala entre ambas?

Halla sus áreas y perímetros. Halla la
razón de sus áreas. Halla la razón de sus perímetros.
6)

Dado que los siguientes triángulos son semejantes encuentra el valor de x. Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras112En la siguiente figura,


. Halla el valor de x.7)

Calcula

la altura de un

árbol que proyecta una sombra de 7 metros y, en el mismo plano,
una barra vertical que mide 2 metros de altura proyecta una sombra de 1.5 metros.

Teorema de Tales
Teorema de Tales

S
i en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus
lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras113 En
el
◊
⤲⤳⤰

como
⤱⤴
⼯
⼯
⼯
⼯

//
⤳⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

entonces
◊
⤲⤳⤰
┼
◊
⤲⤱⤴

de donde
:
Ejercicio

9

En los siguientes ejercicios determina el valor de x.

1)


2)
Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras1143)

4
)
5
) Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras1156)
En el siguiente triángulo,
⤱⤲
⼯
⼯
⼯
⼯

//

⤯⤰
⼯
⼯
⼯
⼯

hallar

el valor de x.

Teorema de PitágorasConsideremos un triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades.
Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras116Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se
llama hipotenusa, la cual mide 5 unidades en este caso.

El área del cuadrado mayor

es igual a la suma de las áreas de los cuadrados menores, es decir:
Esta relación se cumple en todo triángulo rectángulo y recibe el nombre de Teorema de
Pitágoras.

Ejercicio

10

Enuncia el teorema de Pitágoras con los datos de las siguientes fi
guras

1
)




z




x

Teorema: _______________________


y2
) m


n o


Teorema:
_____________________________Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo la suma de las áreas de
los cuadrados construidos sobre los catetos es ig
ual al
área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras117Ejemplo.

Contesta de acuerdo a los datos que se proporcionan, acerca de un triángulo rectángulo.

¿Cuánto mide un cateto si la hipotenusa y el otro cateto miden 20 y 12 respectivamente?

Solución



Hipotenusa = 20, cateto = 12. Teorema de Pitágoras


Sustituyendo se tiene
















Ejercicio

11
.
Contesta cada pregunta, de acuerdo a los datos que se proporcionan, acerca
de un triángulo rectángulo.

1.

¿Cuál es el valor de la hipotenusa si los catetos miden 6 y 8?

2.

¿Cuál es el valor de la hipotenusa si los catetos miden 5 y 7?

3.

¿Cuánto mide la hipotenusa si los
catetos
miden
◉
▂

y 3?

4.

¿Cuánto mide un cateto si el otro cateto y la hipo
tenusa
miden
◉
▀

y
▀
◉
▀

respectivamente?

5.

¿Cuánto mide un cateto si el otro
cateto
mide
◉
▂

y la hipotenusa

◉
╾▄

?Ejemplo.

Indica si en la siguiente tercia sus medidas corresponden a los lados de un
triángulo rectá
ngulo. Justifica tu respuesta.

2, 6,
╿
◉
╾╽

Justificación
:

(
╿
◉
╾╽
)
ⵁ
⽗
(
╿
)
ⵁ
⽐
(
▃
)
ⵁ

▁
(
╾╽
)
⽗
▁
⽐
▀▃

▁╽
⽗
▁╽


⠀

es un triángulo rectángulo

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras118Ejercicio 12
.
Indica cuáles de las siguientes ter
nas

son medidas
posibles
de los lados de un
triángulo rectángulo y cuáles no. Justifica tus respue
stas
. 1
) 4, 2, 20



2
) 12, 5 y 13
3
) 36, 64, 110



4
) 1, 1, 2



5
) 5, 6, 8

Ejemplo

a) Para darle mayor estabilidad a una antena de 72m de altura, en una estación radiofónica
se desea colocar tirantes de
120 m. Si se proyecta tender los tirantes desde la parte más alta
de la torre ¿A qué distancia del pie de ésta deben construirse las bases de concreto para fijar
dichos tirantes?
Justificación
Ejercicio 13
.
Resuelve los siguientes pro
blemas, como en el siguiente ejemplo.1
) Un terreno mide 2 000 m de largo por 1 500 m de ancho, pero se localiza en medio una
colina que impide una medición directa ¿cuánto mide la diagonal de este terreno?
Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras1192
) Un salón mide 3 m de altura, 6 m de ancho y

10m de largo (
⤰⤱
⼯
⼯
⼯
⼯
). Si un insecto debe
caminar desde A (una esquina) hasta B (el punto medio del lado
⤰⤱
⼯
⼯
⼯
⼯
). ¿Cuál es la distancia
mínima que deberá caminar el insecto para ir de A a B?

3
) Se tiene una pirámide de base cuadrada. Si los triángulos

son equiláteros y sus lados
miden 2 m. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

4
) Para determinar el ancho AC de un río, un hombre tomó las medidas indicadas en la
figura siguiente en metros. El
⤮⤰
⼯
⼯
⼯
⼯
⥌⥚

⥗⥌⥙⥗⥌⥕⥋⥐⥊⥜⥓⥈⥙

⤮⤱
⼯
⼯
⼯
⼯
⥠
⤯⤱
⼯
⼯
⼯
⼯

perpendic
ular a
⤱⤲
⼯
⼯
⼯
⼯
, ¿cuáles
la anchura del río?

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras1205
) En una urbanización se han protegido 310 ventanas cuadradas de 126 cm de lado

con una cinta adhesiva especial, como se ve en la figura. ¿Cuántos metros de cinta

se han empleado? Respuestas a los ejerc
icios

Ejercicio
1

1)

Criterio de LLL.

2)

Criterio de LLA.

3)

Criterio de LLA

4)

Criterio de ALA

Ejercicio
4

1) x = 6

y = 48

2) x = 22 y = 11

Ejercicio 5

1. Dos figuras son semejantes si sus segmentos correspondientes, u homólogos, son
proporcio
nales y sus ángulos iguales.

2
. Las mesas son semejantes porque tienen la misma forma y diferente tamaño. Los caballos
son
también

semejantes pues tienen la misma forma y su razón de semejanza es uno pues
tienen el mismo tamaño.
El paralelogramo

y el rombo

no son
semejantes

pues no tienen la
misma forma.
Así

como el triángulo rectángulo y el isósceles.

Ejercicio

6

1. Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los
lados correspondientes son proporcionales.

2
. El
◊
⤮
⤱
⤲
┼
◊
⤳⤯⤰

porque sus ángulos homólogos respectivos son iguales; 35°, 70° y 75° y
sus lados correspondientes son proporcionales, esto es:

ⷅⷈ
⼯
⼯
⼯
⼯
ⷊⷆ
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
ⷈⷉ
⼯
⼯
⼯
⼯
ⷆ⷇
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
ⷅⷉ
⼯
⼯
⼯
⼯
ⷊ⷇
⼯
⼯
⼯
⼯

es
decir,

ⵆ
ⵁⵀ
⽗
ⵃ
ⵀⵁ
⽗
ⵀⴿ
ⵂⴿUnidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras121Ejercicio

7

1. Los criterios de seme
janza de triángulos sonLAL: dos triángulos son semejantes si un ángulo de un triángulo es congruente con un
ángulo del otro, y los lados que forman estos ángulos son proporcionales.

AA: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos respectivos son
congruentes.

LLL: Dos triángulos son semejantes si sus lados respectivos son proporcionales.2
. Al comparar el triángulo pequeño entre el grande se obtien
en las siguientes proporciones:

ⵀ
⏯
ⵇ
ⵁ
⏯
ⵃ
⽗
ⵁ
⏯
ⵆ
ⵂ
⏯
ⵅ
⽗
ⵂ
ⵃ

de donde la razón de semejanza es
:
⥙
⽗
ⵂ
ⵃ
⽗
╽
⏯
▄▂3
. a) El criterio de semejanza de los triángulos es LLL, porque sus lados homólogos son
proporcionales, esto es:

ⵀⵁ
ⵂ
⽗
ⵀⵅ
ⵃ
⽗
ⵁⴿ
ⵄ

o bienⵂ
ⵀⵁ
⽗
ⵃ
ⵀⵅ
⽗
ⵄ
ⵁⴿ


b) El criterio de semejanza que cumplen los triángulos es LAL, porque tienen
un lado
homólogo congruente, 90° y los lados que lo forman son proporcionales, esto es:

▂
╾╽
⽗
▆
╾▅

c)El criterio de semejanza que cumplen los triángulos es AA, porque tienen dos ángulos
congruentes, 28° y 124°.

Ejercicio

8

1. La razón entre los perímetr
os de dos triángulos semejantes y la
razón

de su semejanza es
la misma; esto es tienen la misma
razón
.

2
. Como los triángulos son semejantes, la razón de
semejanza
r

del
◊
⤮⤯⤰

con respecto
a

◊
⤱⤲⤳

esta

dada por

⥙
⽗
▁
▅
⽗
▁
▅
⽗
╿
▁
⽗
╽
⏯
▂


Por otra pa
rte, el
perímetro
del
◊
⤮⤯⤰

es P
1
= 10 y el perímetro del
◊
⤱⤲⤳

es

P
2

= 20.

La razón entre los perímetros de los triángulos
␆
ABC y
␆
DEF es
:⥙
⽗
⤽
╾
⤽
╿
⽗
╾╽
╿╽
⽗
╽
⏯
▂

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras122Por lo
tanto,

las razones entre los perímetros de los triángulos y la razón de su semej
anza es
la misma.

3
. La razón entre las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de
semejanza.

4
. Sea A
1

la
razón
del
◊
⤺⤹⤻

y A
2

el área del
◊
⤾⤽⤿
, ≒≓≜≝≢≓≛≝≡ ≏ ≠⋁ ≚≏ ≠≏≨⊄≜ ≓≜≢≠≓ ≡≣≡
áreas por lo cual
⥙

✭
⽗
ⵅ
ⵄⵃ
⽗
ⵀ
ⵈ

. Por otra
parte, la razón de
semejanza
del
◊
⤺⤹⤻y el
◊
⤾⤽⤿

es:

⥙
⽗
⤺⤹
⼯
⼯
⼯
⼯
⤾⤽
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
⤹⤻
⼯
⼯
⼯
⼯
⤽⤿
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
⤺⤻
⼯
⼯
⼯
⼯
⼯
⤾⤿
⼯
⼯
⼯
⼯
⽗
╾
▀≞≝≠ ≚≝ ≟≣≓ ≚≏ ≠≏≨⊄≜ ≓≜≢≠≓ ≚≏≡ ≴≠≓≏≡ ≠⋁ ≓≡ ≗≕≣≏≚ ≏≚ ≑≣≏≒≠≏≒≝ ≒≓ ≚≏
razón

de semejanza, esto es:

⥙

✭
⽗
⥙
ⵁ
⽗
(
ⵀ
ⵂ
)
ⵁ
⽗
ⵀ
ⵈ
.

5.

Las figura
s que se forman son semejantes, el valor de x = 8, la razón de semejanza esr= 5.333. La escala del árbol a la vara es 8:1.5. Las áreas de la figura del árbol es A
1
=48 y
la de la vara es A
2

= 1.6875. La razón
del

área

es

⥙

✭
⽗
ⷅ
⸸
ⷅ
⸹
⽗
ⵃⵇ
ⵀ
⏯
ⵅⵇⵆⵄ
⽗
╿▅
⏯
▁▁▁

. Los
perímetros de la figura del árbol es P
1
=34.42 y la de la vara P
2
= 6.454. La razón de los
perímetros es
⥙

✭✭
⽗
ⷔ
⸸
ⷔ
⸹
⽗
ⵂⵃ
⏯
ⵃⵁ
ⵅ
⏯
ⵃⵄⵃ
⽗
▂
⏯
▀▀▀
. De donde concluimos que la razón de
semejanza es

igual a la razón entre sus perímetros, esto es,

r = 5.333 = r´´. y la razón de
semejanza es igual al cuadrado de la razón entre las áreas, es decir, r´= r
2

=
.

6
. Como los triángulos son
semejantes se

tiene
ⵃ
⏯
ⵄ
ⵂ
⽗
ⷜ
ⵄ

de donde x = 7.5

7
. Como se forman los triángulos semejantes ABC y ECD se tien
e

ⵁⵀ
ⷜ
⽗
ⵀⵇ
ⵅ

de
donde x=7

8
. Como se forman triángulos semejantes con las sombras que se proyectan se tiene la
proporción

de donde la altura del árbol h = 9.33

Ejercicio

9

1
) x = 2.666
2
) x = 2.4
3
) x = 10.5
4
) x = 10
5
) x = 5.333

6
)

El

valor de x = 12Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras123Ejercicio

10

1
) z
2

= x
2

+ y
2

2
) o
2

= m
2

+ n
2Ejercicio

11

1
)

2
)

⥊
⽗
◉
▄▁


3
)

⥊
⽗
◉
╾▁


4
)

⥉
⽗
◉
╿▁


5
)

⥉
⽗
◉
╾╿Ejercicio 12

1
) no

es un triángulo rectángulo 2
)

es un triángulo rectángulo 3) no es triángulo rect
ángulo
4
)
no es triángulo rectángulo 5
) no es triángulo rectángulo

Ejercicio 13

1
) La diagonal d
el terreno mide 2,500 metros 2
) La distancia mínima que deberá caminar el
insecto para ir de A a B es de
◉
▄╽
⽗
▅
⏯
▀▃▃

3
) La altura de la pirámide e
s de
◉
╿
⽗
╾
⏯
▁╾▁╿

4
)

La anchura del río es de 16 5
) Se han empleado 552.39 metros de cinta.Autoevaluación tipo examen extraordinario
1.

En una hoja aparte (hoja de operaciones) e
scribe el desarrollo de tus respuestas.

2.

Para cada ejercicio elige la opción que corresponde a tu resultado y escríbela en la
casilla correspondiente en la tabla de respuestas.

3.

Compara tus respuestas con las que vienen el final y decide si ya estás listo(a)

para
presentar tu examen extraordinario.
RESPUESTAS

1

2

3

4

5

RESPUESTAS

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1.
-

¿Cuál criterio de congruencia de triángulos permite deducir en la figura que y
⊼

8 =
25º
y

que x + 7 = 35º?

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras124







A) LLL
B) LAL


C) ALA
D
) AAA


2.
-
Si se unen

los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cómo son, entre sí, los
triángulos que se forman?A) semejantes B) congruentes C) recíprocos D) proporcionales3.
-
Si los triángulos de la figura son semejantes
, ¿cuánto vale la constante de
proporcionalidad?

A)
⥒
⽗
▁

B)
⥒
⽗
▀C)
⥒
⽗
⽑
╿
D)
⥒
⽗
╾ 4.
-

En la siguiente figura, la recta AD es la bisectriz de C y que
⤮⤯
⠑
⤮⤰
. El criterio
con el que se puede justificar que

◊
⤯⤮⤱
⠑
◊
⤰⤮⤱

es

A
) Áng
ulo
-
Ángulo
-
Ángulo.B
) Ángulo
-
Lado
-
Ángulo.

C
) Lado
-

Ángulo
-
Lado.

D
) Lado
-
Lado
-
Lado.
P

y
-

8 35
0

Q

25
0

x + 7 RUnidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras125

5.
-

Identifica el par de triángulos congruentes.
I
II
III
IVa) I
-

II
b) I
-IIIc) II
-

IIId) II
-

IV6.

D≓≢≓≠≛≗≜≏ ≓≚ ≤≏≚≝≠ ≒≓ ⊾≦⊿ ≡≗ ≚≝≡ ≒≝≡ ≢≠≗≴≜≕≣≚≝≡ ≡≝≜ ≡≓≛≓≘≏≜≢≓≡
A) x = 6
B) x = 5
C) x = 4
D) x = 3

= 64
o

Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras1267. En el siguiente triangulo, AB // DE. Calcula el valor de x.


A) x
= 4
B) x = 6


C) x = 12
D) x = 1



8. ¿Cuál es el área de la figura que se muestra a continuación?
A) 252 m
2

B) 225 m
2

C) 144 m
2

D) 126 m
2
9. En un triángulo rectángu
lo la hipotenusa y un cateto miden 29 y 20 cm respectivamente.
¿Cuánto mide el otro cateto?A) 21 cm B) 35 cm C) 49 cm D) 81 cm
10. En una fotografía, dos triángulos se ven de al
tura 4.2 y 3.8 cm respectivamente. Si la
altura real del mayor es de 1.68 m, ¿cuál es la altura real del menor?A) 0.84 m B) 1.25 m C) 1.52 m D) 1.85 m Unidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras12711. La ciudad A se encuentra 1
7 km al oeste y 8 km al norte de la ciudad B. ¿Cuál es la
distancia lineal entre las dos ciudades?A) 9.30 km

B) 10.17 km

C) 18.78 km

D) 22.41 km 12. Para que el siguiente triángulo sea rectángulo,
¿cuál debe ser el valor de x?A) 4
B) 6

C) 16 D) 18

13. Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y
29.6 cm respectivamente. ¿Cu
ánto mide el diámetro circunferencia?

A) 58 cm B) 51 cm C) 44 cm D) 37 cm 14. D≏≒≝ ≓≚ ≡≗≕≣≗≓≜≢≓ ≓≡≟≣≓≛≏, ≑≏≚≑≣≚≏ ≚≏ ≒≗≡≢≏≜≑≗≏ ⊾≦⊿ ≏ ≚≏ ≟≣≓ ≡≓ ≓≜≑≣≓≜≢≠≏ ≓≚ ≐≝≢≓ ≒≓ ≚≏
playaA) 114.8 m


B) 173.0 m

C) 259.8 m

D) 300.0 mUnidad 4. Congruencia, semejanza
y teorema de Pitágoras12815.

Calcula el perímetro de un cuadrado si su diagonal mide
◉
▆▅
.A) 19.79 B) 28 C) 39.59 D) 49

RESPUESTAS

1

2

3

4

5

C

A

A

C

ARESPUESTAS

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

B

D

D

A

C

C

B

D

C

B
129Bibliografía básica

Aguilar, M. A., et al (2009).
Álgebra
. México, Pearson.

Swokowski, E. y Cole, J. (2011).
Álgebra y trigonometría con geometr
ía analítica.
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Cengage.

Smith, S., et al (2001).
Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica
. México: Addison
Wesley.

Bibliografía

complementaria

Amazonaws (8/05/2017
). Introducción a la geometría Euclid
iana
. Recuperado de:

https://s3.amazonaws.com/engrademyfiles/4026492941280
272/1antecedentes_histricos.pdf

Burrill Gail F., Cummins Jerry J., Kanold Timothy D., Boyd Cindy J., Malloy Carol, (2004)
Geometría Integración aplicaciones y conexiones
. México: McG
raw
-
Hill Interamericana.

Cidead. (25/05/2017).
Matemáticas 1° ESO.
Recuperado de:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_poligonos
_perimetros_areas/1quincena9.pdf

C≚≓≛≓≜≡ ¼≢≏≜≚≓≧ »., ¸⋁D≏≔≔≓≠ ¹≖≏≠≓≡ G., C≝≝≜≓≧ ½≖≝≛≏≡
J., (1998).
Geometría
. México:
Pearson Educación.

Cuellar J. Antonio, (2016)
Matemáticas II
. México: McGraw
-
Hill Int
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Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. (2009
-
04
-
03
). Función
. Recuperado de http:/
/www.allmathwords.org/es/f/function.html.

Jiménez Douglas (2005),
Geometría el encanto de la Forma
.
Venezuela: CEC,

SA.

Nichols Eugene D., Palmer William F., Schacht Jhon F., (1971).
Geometría Moderna
.
México:
Compañía Editorial Continental.

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
5. Nutrición - Universidad Autónoma Metropolitana
Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Universidad Autónoma del Estado - eprints.ucm.es
Universidad Autónoma del Estado de México
UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA DE LOS ANDES
Termoquímica - Universidad Autónoma de Madrid
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT - declarauan.oic.uan.edu.mx
Universidad Autónoma de Sinaloa Código ... - web.uas.edu.mx
2.2 Los Mayas - Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
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Literatura hebrea - Universidad Autónoma del Estado de ...
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