Vectores y matrices - Repositori UJI

Vectores y matrices Guillermo Peris Ripoll´es Objetivos Cuando finalice este tema, el alumno debera ser capaz de: Definir vectores y matrices con Octave. Comprender y utilizar la notacion de dos puntos para la creacion de listas. Controlar el acceso y modificaci´on de elementos y conjuntos de elementos de vectores y matrices.


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2.1Introduccion2-3
2.1.IntroduccionHastaahoraunicamentehemostrabajadoconnumerossimples(masformalmente,escalares),peroyahemoscomentadoquelaenormepotenciadecalculodeOctaveseencuentrafundamentalmenteenelcalculovectorialymatricial.Enestaunidadsevanaintroducirestosnuevosconceptosdeformasimple,aplicandolosensuparte nalalaresoluciondeproblemasrelacionadosconlaingeniera.2.2.VectoresEnOctavelosvectoressepuedencrearintroduciendounalistadevaloresseparadosporespaciosocomasyencerradosentrecorchetes.Veamosunejemploacontinuacion:
t=[48-235]t=48-235
Ennumerosasocasiones,nosinteresaranlistasdevaloresenlasquesuselemen-tosguardenunaciertaestructura,relacionuorden.Porejemplo,podramosestarinteresadosenunvectorconlosenteroscomprendidosentre0y10:
t=[012345678910]t=012345678910
Losvaloresdeloselementosdetloshemosintroducidounoaunoporquenosonmuchospero,�ysihubieramosqueridointroducirunalistadevaloresde0a100?.Parafacilitarestatarea,Octaveintroducelanotaciondedospuntos(:).Siescribimosdosnumerosenterosseparadospordospuntos,Octavegeneratodoslosenteroscomprendidosentreellos.As,podramoscrearelvectortcomosigue:
t=[0:10];
Esdecir,laorden[i:j]creaelvector[ii+1i+2...j-2j-1j].Siquisiera-mosqueelintervaloentreloselementosfueradistintode1,utilizaramostresnumerosseparadospor':',siendoelnumerocentralelincremento:
s=[0:2:10]s=0246810
Enesteejemplo,elvectorcreadocontienelosvaloresentre0y10separadospor2unidades.Estevalordeincrementopuedeposeercualquiervalorentero,realeinclusonegativo:
s=[10:-2:0]s=1086420
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2-4Vectoresymatrices
Octavetambientienede nidalafuncionlinspace(inicial,final,elementos)quepermitecrearunnumerodeterminadodevalores(elementos)distribuidoshomo-geneamenteentredoslmites(inicialyfinal).Dichodeotraforma,enlugardeespeci carelintervaloentreelementos(comosehacaconlanotaciondedospuntos)seindicaelnumerodeelementosquequeremos.Porejemplo,
s=linspace(0,10,6)s=0246810
creaunvectorde6elementosequiespaciadosentre0y10.Tambienenestecasosepodracrearunvectordevaloresdecrecientescambiandoelordendelosvaloresinicialy nal:
s=linspace(10,0,6)s=1086420
Ejercicios
I1
b
�Quevectorescreanlassiguientesinstrucciones?PiensaloantesdeobtenerelresultadoconOctave.
a)
[1:9]
b)
[-1:9]
c)
[1:2:9]
d)
[1:0.5:9]
e)
[1:3:9]
f)
[9:-2:1]
g)
[9:-3:1]
h)
[9:-3:-1]
I2
b
Utilizalafuncionlinspaceparacrearlosvectoresdelejercicioanterior.
2.2.1.Accesoymodi caciondeelementosdevectoresEnocasiones,nosinteresaaccederaelementosdeterminadosdeunvectorpreviamentede nido,obienmodi cardichoselementos.Paraello,Octavepermiteelusodendices(expresadosentreparentesis),deformaquet(1)seraelprimerelementodet,t(2)elsegundo,etc.Veamosunejemplo:
t=[61-1124.4-2.3620.874890];t(1)ans=6t(6)ans=-2.36
Tambienpuedeutilizarselanotaciondedospuntosparaaccederaunconjuntodeelementos,encuyocasoelresultadoesunnuevovector.
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2.2Vectores2-5
r=t(1:3)r=61-1s=t(10:-1:7)s=9480.872
Enelejemploanterior,elvectorrincluyeloselementosdelasposiciones1-2-3det,yelvectorsloselementosdelasposiciones10-9-8-7,eneseorden.Dehecho,esposibleaccederaelementoscualesquierayencualquierordendelvectormedianteelusodeunalistadeelementos.Porejemplo,enlassiguienteslneassecreaunnuevovectorueligiendoloselementosdelasposiciones3,8,1y6det,enesteorden:
u=t([3816])u=-10.876-2.36
Medianteestaselecciondeelementosdeunvector,tambienpodemosmodi carvectoresyacreados,medianteordenesdeasignacion.Acontinuacionsemuestraunejemploapartirdelvectort:
t(1)=2t=21-1124.4-2.3620.874890t(4:6)=[543]t=21-154320.874890t([1171089])=[01234]t=21-154313420
Fijemonosenqueenalgunasdelasinstruccionesanterioresserealizanasignacio-nesmultiples.As,enlasegundainstruccionseasignansimultaneamente3valoresa3posicionesdelvectort,mientrasqueenlaterceraserealizan5asignaciones.Obvia-mente,sielnumerodeelementosaambosladosdeloperadordeasignacionesdistinto,Octavenorealizaraningunaasignacion,indicandoloconunerror.
t(4:6)=[5432]error:A(I)=X:XmustbeascalaroravectorwiththesamelengthasI...........
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2-6Vectoresymatrices
Ejercicios
I3
b
Apartirdelvectorv=[135791113151719],ejecutalassiguientesordenesenOctave,pensandopreviamentecualvaaserelresultado.
a)
v(3)
b)
v(3:5)
c)
v(5:-1:3)
d)
v(10:-2:1)
e)
v([13579])
f)
v(v(1:5))
I4
b
Piensacualdelassiguientesasignacionesescorrecta,indicandoenesecasocualseraelresultado.Utilizaelvectorvde nidoenelejercicioanterior.CompruebaloconOctave.
a)
a=v(3)
b)
b=v(3:5)
c)
b(1:2)=v(7:9)
d)
b(1:3)=v(7:9)
2.3.MatricesDenominamosmatrizdedimensionesmnaunconjuntodenumerosordenadosenm lasyncolumnas.A=26664a11a12a1na21a22a2n............am1am2amn37775Unvectornoesmasqueuncasoparticulardematrizenelqueunadesusdimen-sioneses1.Denominaremosvector laaunamatriz1nyvectorcolumnaaunamatrizm1.Vector laa1a2anVectorcolumna26664a1a2...am37775ParaintroducirmatricesenOctaveutilizaremoscorchetes(aligualqueconvecto-res),separandolas lasporpuntosycoma(;)ylascolumnasdecada laconespacios(ocomas).Las lastambienpuedensepararseconcambiosdelnea.Acontinuacionsemuestralade niciondeunamatrizAdedimensiones34dedosformasdistintas1:
A=[1234;5678;9101112]A=123456789101112
1�Seteocurreunaformamasrapidadeintroducirestamatriz?
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2.4Matricesprede nidas2-9
I6
b
�CualseraelresultadodelassiguientesexpresionesenOctave?Compruebatusa r-macionesconelpropioprograma.Utilizalasmatricesde nidasenelejercicioanterior.
a)
a1=A(2,3)
b)
a2=A(3,2)
c)
b1=B(2,3)
d)
b2=B(3,2)
e)
c1=C(2,3)
f)
c2=C(3,2)
g)
a3=A(:,2)
h)
c3=C(4:5,1:3)
i)
c4=C(1:2:5,:)
j)
c5=C([521],3:-1:2)
k)
D=[4:9;1:6]
l)
E=[DA]
m)
A(:,2:3)=B(1:2,:)
n)
A(1,4:6)=C(4,1:3)
~n)
B(4:6,2)=B(4:6,1)
o)
C(1,:)=A(1,1:4)
2.4.Matricesprede nidasLade niciondematricesmediantelaintroduccionelementoaelementoescostosacuandosetratadematricesdegrantama~no.Parafacilitarlalabordecrearmatrices,Octavedisponedeunaseriedefuncionesprede nidas:
Matrizdeceros:Lafuncionzerosgeneraunamatrizquecontiene0'sentodossuselementos.Silafuncionsolorecibeunargumento(zeros(m))segeneraunamatrizcuadradadem las,mientrasquesiselepasandos(zeros(m,n))segeneraunamatrizrectangulardedimensionesmn.Enesteultimocaso,tambienpuedeutilizarselasalidadelafuncionsizeparacrearunamatrizdeceroscuyasdimensionesvendrandadasporotramatriz.Todosestosconceptosseentenderanmejorconlossiguientesejemplos:
A=zeros(3)A=000000000B=zeros(3,2)B=000000C=[123;425]C=123425D=zeros(size(C))D=000000
Matrizdeunos:Exactamenteigualquelafuncionzeros,peroahorasegeneraunamatrizconelementosunidad.Elnombredelafuncionesones.
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2-10Vectoresymatrices
A=ones(3,2)A=111111
Matrizidentidad:Lafuncioneyecreaunamatrizenlaquetodoslosele-mentossoncerosaexcepciondeloselementosdiagonales(aquellosenquelosndicesde lasycolumnassoniguales)quesonunos.AestamatrizseleconocecomomatrizidentidadysedenotamatematicamentecomoI.Losargumentosdeestafuncionsonsimilaresalosdelasfuncionesanteriormentede nidas.Aun-que,formalmente,lasmatricesidentidadsoncuadradas,estafunciondeOctavepermitelacreaciondematricesidentidadrectangulares.
A=eye(3)A=100010001B=eye(3,2)B=100100C=[123;425]C=123425D=eye(size(C))D=100010
Matrizdiagonal:Sedenominaasaaquellamatrizenlaquetodosloselemen-tosextradiagonalessonceros,esdecir,unicamentepresentanvaloresdistintosdeceroloselementosdeladiagonal.Octavenospermitecrearunamatrizdia-gonalapartirdeunvector,quesituaenladiagonaldelamatriz.Paraelloutilizaremoslafunciondiagcomosigue:
X=[4321];Y=diag(X)Y=4000030000200001
Porelcontrario,sielargumentodelafuncionesunamatriz,diagextraeelvectorquecontieneloselementosdiagonales:
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2.5Operacionesconmatrices2-11
A=[123;456;789]A=123456789diag(A)ans=159
Matrizaleatoria:Lafuncionrand(n)creaunamatrizdedimensionnnconelementosaleatoriosdistribuidosuniformementeentre0y1,mientrasquecondosargumentos(rand(m,n))creaunamatrizdedimensionesmn.
A=rand(4,5)A=0.7226840.6781030.2287020.6485770.1243330.3360180.9763990.4584280.5254370.0690600.6511920.4835920.7445260.9527000.2296710.4644370.1668250.1634260.5684590.038776
Ejercicios
I7
Haciendousodelasfuncionesvistashastaahora,de nelassiguientesmatrices:
a)
266410000100001000013775
b)
266410000100001100113775
c)
26647000090000110000133775
d)
266421111211112111123775
I8
b
DadaunamatrizAcualquiera,�aqueesiguallaoperaciondiag(diag(A))?Paracomprobarturespuesta,aplcaloaunamatrizAaleatoriadedimensiones33creadaconlafuncionrand.
2.5.Operacionesconmatrices2.5.1.TransposicionLamatriztranspuestadeunamatrizAdedimensionmnesunamatrizdenmenlaqueelelemento(i;j)hapasadoalaposicion(j;i),odichocoloquialmente,sehanintercambiadolas lasycolumnasdeA.Porejemplo,lamatriztranspuestade12345678es2664152637483775
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2-12Vectoresymatrices
EnOctave,latransposiciondeunamatrizseefectuaa~nadiendoelapostrofe(')alnombredelamatriz2.
A=[1234;5678];B=A'B=15263748
Observamosqueconlatransposicionseconviertenvectores laenvectorescolum-nayviceversa.Estacaractersticapuedesermuyutilparamostrarvectoresenformadetabla.Imaginemos,porejemplo,quedeunexperimentodecineticadereaccionconmedidasdeconductividadobtenemosunvectortdetiempos,concdeconcentracio-nesyrhodeconductividades.Podemosvisualizarunatabladevaloresdelsiguientemodo:
t=[1:5];conc=[0.50.30.050.010.00005];rho=[27.615.42.890.560.026];[t'conc'rho']ans=1.00000.5000027.60002.00000.3000015.40003.00000.050002.89004.00000.010000.56005.00000.000050.0260
2.5.2.AritmeticaescalarEnOctavesedenominanoperacionesescalaresaaquellasqueactuanindividualmentesobrecadaunodeloselementosdeunamatrizovector.Formanpartedeestacategoralasoperacionesmixtasbinariasenlasqueintervienenunamatrizyunescalar.Porejemplo,siqueremosmultiplicarporunmismovalortodosloselementosdeunamatriz,obiensumarlesdichovalor,realizaramoslassiguientesoperaciones:
A=[1234;5678];B=2*AB=246810121416
C=B-2C=02468101214
2Eneltecladoelapostrofesueleestarenlateclaaladerechadel0.
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2.5Operacionesconmatrices2-15
z=abs(y)z=Columns1through5:1.0000e+009.5106e-018.0902e-015.8779e-013.0902e-01Columns6through10:6.1230e-173.0902e-015.8779e-018.0902e-019.5106e-01
As,elelementoidelvectorycontieneelcosenodelelementoidelvectorx,yeldezsuvalorabsoluto.
Ejercicios
I11
Dadoelvectort=[1:0.2:2],calculalassiguientesexpresionesmatematicasconOctave:
a)
ln(2+t+t2)
b)
et(1+cos(3t))
c)
cos2(t)+sin2(t)
d)
arctg(t)
e)
cotg(t)
f)
sec2(t)+cotg(t)�1
Ademas,Octavedisponedeunaseriedefuncionesqueactuandeformaespec casobrevectoresymatrices.Vamosaconsideraraqualgunasdeellas,deinteresencalculosestadsticos.Enparticular,vamosadestacarelusodefuncionesparaelcalculodemaximosymnimos,sumasyproductosdeelementos,mediasyordenaciones.Laactuaciondeestasfuncionesdependedequesusargumentosseanvectoresyfunciones,talycomoseexplicaenlaTabla2.1.
Funcion
Aplicacionsobre
Vectores
Matrices
max(x)
Valormayorenx
Vector laconelementomaximodecadacolumna
min(x)
Valormenorenx
Vector laconelementomnimodecadacolumna
length(x)
Numerodeelementosenx
Dimensionmaximadelamatriz
sum(x)
Sumadeloselementosdex
Vector laconlasumadelosele-mentosdecadacolumna
prod(x)
Productodeloselementosdex
Vector laconelproductodeloselementosdecadacolumna
mean(x)
Mediadeloselementosdex
Vector laconlamediadelosele-mentosdecadacolumna
std(x)
Desviacionestandardelosele-mentosdex
Vector laconladesviaciones-tandardeloselementosdecadacolumna
median(x)
Medianadeloselementosdex
Vector laconlamedianadeloselementosdecadacolumna
sort(x)
Ordenaelvectorxdeformaas-cendente
Devuelvelamatrizconlosele-mentosdecadacolumnaordena-dosdeformaascendente
Tabla2.1:Algunasfuncionesaplicablessobrevectoresymatrices.
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2-18Vectoresymatrices
2.6.Aritmeticamatriz-matrizVamosatratarahoralasoperacionesinternasentrematrices,quesonoperacionesma-tematicasenqueambosoperadoressonmatrices.Aunquelasumayrestadematricessonoperacioneselementoaelemento,lasrepasamosaquporencontrarsedentrodelasoperacionesentrematrices.2.6.1.SumayrestaLasumadedosmatricesunicamenteesposiblesiestastienenlasmismasdimensiones.Esdecir,lafuncionsizeaplicadaaambashadeproporcionarelmismoresultado.Lamatrizsumaesunamatrizdelasmismasdimensionesenlaquecadaunodesuselementosesigualalasumadeloselementosqueocupanlamismaposicionenlasmatricessumando.Porejemplo,2146+4201=6347EnOctave,estasumasellevaraacabocomosigue:
A=[21;46];B=[42;01];C=A+BC=6347
Larestasede neytrataenOctavedeformaequivalente.2.6.2.ProductoescalarPodemosde nirelproductoescalarentreunvector laXyunvectorcolumnaYdelamismalongitudcomosigue:XY=[x1x2x3:::xn]2666664y1y2y3...yn3777775=x1y1+x2y2+:::+xnyn=nXi=1xiyi:Porejemplo,paracalcularelproductoescalarentrelosvectoresA=[25-2]yB=[4-32]ejecutaramoselsiguienteconjuntodeordenes:
A=[25-2];B=[4-32];A*B'ans=-11
Elresultadopuedeobtenersefacilmenteamano(24+5(�3)+(�2)2=�11).FijemonosenqueAesunvector la,yquehemostenidoquetransponerelvector
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2-20Vectoresymatrices
conlasdimensionesexternas.Porejemplo,supongamosquequeremosmultiplicarunamatrizde23porotrade33(eneseorden).z
}|
{23;3|
{z
}3Alserlosdosnumerosinternosiguales,lamultiplicacionesvalida,ylasdimen-sionesdelamatrizresultantesonlosnumerosexternos,esdecir,23.Consideremoslasmatricessiguientes:A=25103�1B=24102�14�252135Elproductodeestasmatricesserealizaracomosigue:C=AB=25103�124102�14�252135=21+5(�1)+1520+54+1222+5(�2)+1101+3(�1)+(�1)500+34+(�1)202+3(�2)+(�1)1=222�5�810�7EnOctave,estaoperacionserealizaradeformasencillaconeloperadordemultipli-cacion:
A=[251;03-1];B=[102;-14-2;521];C=A*BC=222�5�810�7D=B*A???Errorusing==�*Innermatrixdimensionsmustagree.
FijemonosenqueOctavenopermiteelproductoBApornoseradecuadaslasdimensionesdelasmatrices.RecordemosquesiAesunamatriz,A.^2eslaoperacionqueelevaalcuadradocadaelementodelamatriz.Siqueremoscalcularpropiamenteelcuadradodelamatriz,esdecir,A*A,podemosejecutarlaordenA^2.Deestemodo,A^4esequivalenteaA*A*A*A.Sitenemosencuentaqueenelproductodematriceselnumerodecolumnasdelprimeroperandohadeserigualalnumerode lasdelsegundo,deducimosqueunicamentepodemosobtenerpotenciasdematricescuadradas.
B^3ans=272418�8724�6633543
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2.6Aritmeticamatriz-matriz2-21
Fijemonosenqueelresultadoesdistintoalqueseobtieneconeloperadorpuntocorrespondiente:
B:^3ans=108�164�812581
Ejercicios
I16
b
Calculalossiguientesproductosdematrices,pensandopreviamentecualvaaserelresultado.A=24210�13035B=13�15C=2432�1�20235D=12
a)
A*B
b)
A*C
c)
A*C'
d)
D*B
e)
D*B^2
f)
(C*B)*D'
g)
B*C'
h)
A*D
2.6.4.DeterminantesElcalculodeldeterminantedeunamatrizcuadradaserealizaconlafunciondet.Losdeterminantessonnumeroscalculadosapartirdeloselementosdeunamatriz,conampliasaplicacionesencalculosmatematicos,fsicosydeingeniera.Matemati-camente,eldeterminantedeunamatrizAsedenotacomojAj.
A=[102;-14-2;521];det(A)ans=-36
2.6.5.MatrizinversaLainversadeunamatrizcuadradaAesaquellamatrizque,multiplicadaporlamatrizoriginal,proporcionalamatrizidentidad,esdecir,AA�1=A�1A=I.Sepuededemostrarqueunicamentetieneninversaaquellasmatricescuadradascuyodeterminanteesdistintodecero.Porejemplo,consideremoslasiguientede niciondedosmatricesAyB:
A=[21;43]A=2143B=[1.5-0.5;-21]B=
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2-24Vectoresymatrices
2.7.AplicacionApriori,laideapararesolverlaaplicacionplanteadaalprincipiodeltemaconsisteencalcularconlasformulasqueseindicanlosvaloresde[A],[B]y[C]paradistintosvaloresdeltiempo.Ahorabien,�hastaquevalordeltiempodebemoscalcularlasconcentraciones?.Teniendoencuentaque,segunlareaccion,elreactivoAvaadesaparecer,podemospensarquebastaconesperaraque,porejemplo,soloquedeel1%deA.Esmuyfacilcalcularaquetiempocorrespondeestaconcentracion.Apartirdelaecuacionparalaconcentracionde[A],tenemos:[A]=0:01[A]0�!0:01[A]0=[A]0e�k1tmax�!tmax=�ln(0:01)
k1Conestevalordetmax,resultasencillodesarrollarelsiguienteprogramaOctavepararesolverelproblemaplanteado.
%******************************************************************%Programa:cineticaABC.m%Descripcion:Esteprogramacalculayrepresentalavariacionde%lasconcentracionesconeltiempoenunacinetica%deltipoA-�B-�C,conconstantesk1yk2.%******************************************************************%PedimosalusuariolosvaloresdeA0,k1yk2.A0=input('IntroduzcaelvalorinicialdelaespecieA:');k1=input('Introduzcaelvalordelaconstantek1:');k2=input('Introduzcaelvalordelaconstantek2:');%Calculamoseltiempomaximoyelvectordetiempostmax=round(-log(0.01)/k1);t=linspace(0,tmax,100);%CalculamoslosvaloresdelasconcentracionesdeA,ByC.A=A0*exp(-k1*t);B=k1*A0*(exp(-k1*t)-exp(-k2*t))/(k2-k1);C=A0*(1+(k1*exp(-k2*t)-k2*exp(-k1*t))/(k2-k1));%Impresionderesultadosdisp('tABC')disp([t'A'B'C'])
Ejercicios
I19
Escribeesteprogramaenun cherodenombrecineticaABC.myejecutaloconlosvaloresqueseindicanenlaaplicacion.
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2.8Ejerciciospracticos2-25
2.8.EjerciciospracticosEsconvenientequepiensesyrealiceslosejerciciosquehanaparecidoalolargodelaunidadmarcadosconelsmbolobantesdeacudiralasesiondepracticascorrespon-diente.Deberasiniciarlasesionrealizandolosejerciciosmarcadosconelsmbolo
.Acontinuacion,deberashacerelmayornumerodelosejerciciossiguientes.
Ejercicios
I20
Creaunvectorxconloselementosxn=(�1)n
2n�1paran=1;2;3;:::;20ycompruebaquexn!0amedidaquenaumenta.
I21
DadalamatrizA=[241;672;359],escribelasordenesnecesariaspara
a)
asignarlaprimera ladeAaunvectordenombrex1.
b)
asignarlas2ultimas lasdeAaunamatrizdenombrey.
c)
calcularlasumadecadaunadelascolumnasdeA.
d)
calcularlasumadecadaunadelas lasdeA.
I22
Dadoslosvectoresx=[148]ey=[215],ylamatrizA=[316;527],determinacualesdelassiguientesordenesseejecutarancorrectamenteenOctaveydasuresultado.Encasodequelaexpresiondeunerror,indicaporque.
a)
x+y
b)
x+A
c)
x'+y'
d)
[x;y']
e)
[x;y]
f)
A-[x;y]
I23
ApartirdelamatrizA=[2797;3156;8125],explicalosresultadosdelassiguientesexpresiones:
a)
A'
b)
A(:,[14])
c)
A([23],[31])
d)
A(1:3,:)
e)
[A;A(1:2,:)]
f)
sum(A)
g)
sum(A')
h)
prod(A)
i)
prod(A')
j)
sum(sum(A))
k)
mean(A)
l)
mean(A')
m)
mean(mean(A))
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2-26Vectoresymatrices
I24
De nelasvariablesm=10,n=6,r=3ys=6,yconstruyelassiguientesmatrices:
1.
Matrizidentidaddeordenn.
2.
Matrizconelementostodosiguala�1deordensr.
3.
Matrizcuadradaconelementosdeladiagonaliguala0yelresto1deordens.
I25
De nelossiguientesvectores:v1=12310v2=2018162Analizaelcomportamientodelasiguientesoperacionesdiciendodequetipodeoperacionsetrata:vectorial,escalar,matricial,elementoaelemento,...Tambienindicalasqueproducenerrorindicandoporque:
a)
v1+v2
b)
v1v2
c)
v10v2
d)
v1:v2
e)
v1:^v2
f)
v1=v2
g)
v1:=v2
h)
v1^2
i)
v1:^2
j)
2(v1+v2)
k)
sin(v1):v2
l)
(v10):(v20)
m)
(v10v2)^(�1)
n)
((v10):v2):^(�1)
I26
Elfactordecompresibilidadzmideladesviaciondelcomportamientodeungasres-pectoalaecuaciondeestadodelosgasesideales.Sielgasfueseideal,zseraigualalaunidadbajotodaslascondiciones,perolomashabitualesqueestefactorsedesveconsiderablementedeestevalor.Ademaslasdesviacionesdelaconductaidealpuedenhacerquezseamayoromenorquelaunidad.Unaposibleformadecalcularelfactordecompresibilidadesutilizarlaecuaciondeestadodelvirial,segunlacual:z=1+a1
V+a2
V2+a3
V3+:::Lascantidadesa1,a2,etc,sedenominanelsegundo,tercero,etc.,coe cientesdelvirial,ydependensolodelatemperaturaydelaspropiedadesdelasmoleculasdelgas.EscribeunProgramaquepidaalusuarioloscoe cientesdelvirialyelvolumendeungasycalculeelfactordecompresibilidadz.Nota:Puedesescribirelprogramasinutilizarvectoresoconellos.Puedespediralusuariolosdatosqueconsideresoportunos.Tenencuentaquenoasumimosapriorielnumerodecoe cientesdelvirial.
I27
LamediaarmonicaesotraformadecalcularlamediadeunconjuntodeNnumeros.Estamediasecalculaconlasiguienteexpresion:mediaarmonica=N
1
x1+1
x2++1
xNEscribeunprogramaOctavequeleaunnumeroarbitrariodevalorespositivosycalculesumediaarmonica.Encasodequeaparezcaalgunnumeronegativoonulo,elprogramaterminaraconunmensajedeerror.Puedeselegirelmetodoquequierasparapedirlosdatosalusuario.
UniversitatJaumeIGuillermoPerisRipolles