Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Castellanos 1 1 Conceptos, Ángulos, Teorema de Pitágoras, Semejanza de Triángulos.


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Luis Castellanos

2004

Conceptos básicos de
Geometría y Trigonometría

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

ii

Conceptos básicos de Geometría y
TrigonometríaDr Luis Castellanos,

Maracaibo 20
0
4Versión 1.
11

revisada en
enero

201
4
.

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

iiiÍndice1

CONCEPTOS, ÁNGULOS,
TEOREMA DE PITÁGORAS
, SEMEJANZA DE TRIÁN
GULOS.

................................
...............

1

1.1

C
ONCEPTOS
.

................................
................................
................................
................................
................................
.....................

1

1.2

Á
NGULOS FORMADOS CON
DOS RECTAS PARALELAS

CORTADAS POR UNA SEC
ANTE
.

................................
................................
..

4

1.3

T
RIÁNGULOS Y
T
EOREMA DE
P
ITÁGORAS
.

................................
................................
................................
................................
.....

6

1.4

S
EMEJANZA DE
T
RIÁNGULOS

................................
................................
................................
................................
..........................

8

1.5

E
JERCICIOS

................................
................................
................................
................................
................................
.......................

9

2

ECUACIÓN DE CIRCUNFE
RENCIA, ÁREA Y VOLUM
EN DE FIGURAS Y CUER
POS REGULARES.

............................

17

2.1

S
UPERFICIES
,

Á
REAS Y
V
OLÚMENES
.
................................
................................
................................
................................
..........

17

2.2

P
OLÍGONOS Y
P
ARALELOGRAMOS
.

................................
................................
................................
................................
...............

22

2.3

E
JERCICIOS

................................
................................
................................
................................
................................
....................

25

3

FUNCIONES Y RELACION
ES TRIGONOMÉTRICAS,
IDENTIDADES Y ECUACI
ONES TRIGONOMÉTRICAS
,
TEOREMAS DEL SENO Y
DEL COSENO.

................................
................................
................................
................................
.

30

3.1

F
UNCIONES
T
RIGONOMÉTRICAS
.

................................
................................
................................
................................
.................

30

3.2

R
ELACIONES
F
UNDAMENTALES ENTRE L
AS
F
UNCIONES
T
RIGONOMÉTRICAS E
I
DENTIDADES
T
RIGONOMÉTRICAS
.

............

32

3.3

R
ESOLUCIÓN DE
T
RIÁNGULOS
O
BLICUÁNGULOS

................................
................................
................................
........................

34

3.4

V
ARIACIONES Y
G
RÁFICAS DE
F
UNCIONES
T
RIGONOMÉTRICAS
.

E
CUACIONES
T
RIGONOMÉTRICAS
.

................................
......

36

3.5

E
JERCICIOS

................................
................................
................................
................................
................................
....................

37

4

BIBLIOGRAFÍA
................................
................................
................................
................................
................................
..

42

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

11

Conceptos, Ángulos, Teorema de Pitágoras, Semejanza de Triángulos.1.1

Conceptos.•

Geometría: rama de las Matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las
figuras (las que no se alteran con el movimient
o de las mismas).

•

Axioma: proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración.

•

Postulado: proposición no tan evidente como un axioma pero que también se
admite sin demostración.

•

Teorema: proposición que puede ser demostrada (Hipótesis + Tesi
s).

•

Corolario: proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.

•

Lema: proposición que sirve de base a la demostración de un teorema.

•

Reducción al Absurdo: consiste en suponer lo contrario a lo que se quiere
demostrar, y mediante un razo
namiento, obtener una conclusión que se contradice
con postulados o teoremas ya demostrados.

•

Punto: El punto no se define. Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que
carece de dimensión. Se suelen designar por letras mayúsculas (Punto A).

•

Línea: Conj
unto de Puntos.

o

Línea Recta: Por dos puntos pasa una recta y solamente una. Dos rectas no
pueden tener más que un solo punto común. Se suele designar por dos de sus
puntos con el símbolo
__

encima (
AB
)
.

Una línea tiene una sola dimensió
n:
longitud.

•

Cuerpos Geométricos o Sólidos
: Tienen

tres (3) dimensiones: largo, ancho y alto. 

Superficies: Son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea.
Tienen dos (2) dimensiones: largo y ancho. Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

2

Plano: Es un conjunto parcia
l de infinitos puntos. Se representa por un
paralelogramo y se nombra por tres (3) de sus puntos no alineados o por una letra
griega. (ABC o

)


A

B





C DSi una recta tiene dos (2) puntos comunes con un plano, toda la recta está
contenida en el plano. Por tres (3)
puntos no alineados pasa un plano y solamente
uno.



Poligonales: también se llaman así a las líneas quebradas. Sus segmentos reciben el
nombre de
lados

y los puntos comunes de los lados se llaman
vértices
.



B

D


A

C

E



Ángulo: es la abertura formada por dos semirrectas (
lados
)

con un mismo origen
(llamado
vértice
).
o

OAB



Bisectriz de un Ángulo: semirrecta que tiene como origen el vértice y divide al
ángulo en dos ángulos iguales.



Medida de los Ángulos:

o

Grado Sexagesimal: se considera a la circunferencia dividida en 360
partes iguales. Cada división se l
lama grado. Cada grado se considera
dividido en 60 partes iguales, llamadas minutos. Cada minuto se divide
en 60 partes iguales, llamadas segundos. (G° M’ S”)

o

Radián: es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es
igual al radio de la circun
ferencia.

o

Relación entre Grado Sexagesimal y Radián:


360
S

=

2
R



Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

3

Clasificación de los ángulos:

o

Ángulos Adyace
ntes: son los que están formados de manera que un lado
es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.
C




A O B o

Ángulo R
ecto: Es el que mide 90°

A

O
B

o

Ángulo Llano: Es en el cual un lado es la prolongación del otro. Mide 180°.A

O B

o

Ángulos Complementarios: son dos ángulos que sumados valen un
ángulo recto: 90°.



A B

O C

o

Complemento de un Ángulo: lo que le falta a un ángulo para valer un
ángulo recto.

o

Ángulos Suplementarios: Son los ángulos que sumados valen dos án
gulos
rectos (180°).BA

C


O

o

Suplemento de un Ángulo: lo que le falta a un ángulo para valer dos
ángulos rectos.

o

Ángulos opuestos por el vértice: los lados de uno de ellos son las
prolongaciones de los lados del otro.Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

4
A



D

C
O
B
o

Ángulos Consecutivos: tienen un lado común.

ACF


O
E
DB

1.2

Ángulos formados con dos rectas paralelas cortadas por una secante.

Paralelismo: dos rectas son paralelas cuando al prolon
garlas no tienen ningún
punto común. El paralelismo se expresa con el signo:

||.
AB

||
CD
.

A

B C

D



Perpendicularidad: dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman
cuatro ángulos iguales, y cad
a uno es un ángulo recto. Perpendicularidad se
expresa con el signo:

. (
AB



CD
).


A C

D


B



Rectas cortadas por una secante: al cortar dos rectas
AB

y
CD

p
or una tercera
'
SS

(llamada secante), se forman ocho (8) ángulos (4 en cada punto de
intersección).

A S
1
42
3B

5

6C
D
8


7 S’Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

5o

Ángulos internos:
o
3,
o
4,
o
5,
o
6

o

Ángulos externos:
o
1,
o
2,
o
7,
o
8

o

Ángulos alternos:
o
3 y
o
5,
o
4 y
o
6,
o
1 y
o
7,
o
2 y
o
8

o

Ángulos correspondientes:
o
1 y
o
5,
o
2 y
o
6,
o
3 y
o
7,
o
4 y
o
8



Paralelas cortadas por una secante: toda secante forma, con dos paralelas,
ángulos correspondientes iguales.

S

1

2

A
B

4 3

5 6

C
D
87



o

Si
AB

||
CD
, entonces:



o
1 =
o
5,
o
2 =
o
6,
o
3 =
o
7,
o
4 =
o
8



Posiciones de una recta y un plano

o

Estar la recta
en el plano

o

Cortarse (tienen un punto A común)

o

Paralelos (no tienen ningún punto común)
A

Paralelismo entre rectas y planos (no tienen ningún punto común)



Perpendicularidad entre rectas y planos: una recta es perpendicular a un plano
si es pe
rpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la intersección
(pie).



Ángulo Diedro (o Diedro): porción de espacio comprendido entre dos
semiplanos que tienen un borde común (arista). Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

6

Para medir el ángulo rectilíneo de un Diedro, se mide el ángu
lo formado por dos
rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto, de manera que las rectas
estén en caras distintas del Diedro.

M

Q

A

O


P

B


N

Ángulo rectilíneo de un Diedro

Planos Perpendiculares

Perpendicularidad entre Planos: dos planos son perpendiculares si forman un
ángulo diedro recto.

1.3

Triángulos y Teorema de Pitágoras.

Triángulo: es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a
dos.

o

Los puntos de intersección se llaman
v
értices
. (A, B, C)

o

Los segmentos son los lados del triángulo. (a, b, c).

o

El lado opuesto a un ángulo se nombra con la misma letra, pero
minúscula.

o

Un Triángulo tiene los elementos: 3 ángulos, 3 vértices, 3 lados.

o

El Perímetro de un Triángulo viene dado po
r la suma de sus tres lados.



Clasificación de los Triángulos:

o

Por sus lados:



Isósceles: tiene dos lados iguales (y dos ángulos)



Equilátero: tiene sus tres lados iguales (los tres ángulos también
son iguales).



Escaleno: tiene sus tres lados diferentes. (los

tres ángulos también
son diferentes).
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

7 Isósceles

Equilátero

Escaleno

o

Por sus ángulos (la suma de los tres ángulos = 180°):



Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos ( 90°)



Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (� 90°)



Rectángulo: Tiene un ángulo rec
to (45°). Los catetos son los lados
que forman el ángulo recto, y la hipotenusa es el lado opuesto al
ángulo recto.

Acutángulo

Obtusángulo

Rectángulo



Rectas Notables en el Triángulo:

o

Mediana: segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio d
el
lado opuesto. Un triángulo tiene tres (3) medianas, correspondiendo una
por cada lado. (m)



El punto de intersección de las medianas se llama
baricentro (G)
.

o

Altura:
perpendicular

trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su
prolongación (h).



El punt
o de intersección de las alturas se llama
ortocentro (O)
.

o

Bisectriz: recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo
interior. (

,

,

)



El punto de intersección de las bisectrices se llama
incentro (I)
.

o

Mediatriz: perpendicular en el punto medio

de cada lado. (M).



El punto de intersección de las mediatrices se
llama
circuncentro (K)
.



Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado
de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los catet
os. a
2

= b
2

+ c
2PitágorasConceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

8

Clasificación de un Triángulo conociendo los lados:

o

Si a
2

= b
2

+ c
2



El triángulo es rectángulo

o

Si a
2

b
2

+ c
2


El triángulo es acutángulo

o

Si a
2

� b
2

+ c
2


El triángulo es obtusángulo



Igualdad de Triángulos: dos t
riángulos son iguales si superpuestos coinciden.
Estrictamente hablando, todos los lados y los ángulos deben ser iguales.



Se acepta que dos triángulos son iguales si tienen iguales:

o

Un lado y los dos ángulos adyacentes, o

o

Dos lados y el ángulo comprend
ido entre ellos, o

o

Los tres lados.



Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen iguales:

o

La hipotenusa y un ángulo agudo

o

Un cateto y un ángulo agudo

o

Dos catetos

o

La hipotenusa y un cateto

1.4

Semejanza de Triángulos

Definición: dos triángulos son semejant
es cuando tienen sus ángulos
respectivamente iguales y sus lados proporcionales. (

)



Lados Homólogos: son los lados que se oponen a los ángulos iguales.



Razón de semejanza: razón de dos lados homólogos.



Casos de semejanzas de triángulos:

o

Si tienen dos ángu
los respectivamente iguales.



Si
o
A =
o
A’ y
o
B =
o




ABC



A’B’C’

o

Si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido.



'
'
B
A
AB

=
'
'
C
A
AC

y
o
A =
o




ABC



A’B’C’

o

Si tienen sus tres lados proporcionale
s.



'
'
B
A
AB

=
'
'
C
B
BC

=
'
'
A
C
CA




ABC



A’B’C’
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

9

Casos de semejanzas de triángulos rectángulos (tienen un ángulo igual: el ángulo
recto):

o

Si tienen un ángulo agudo igual



Si
o
B =
o




ABC



A’B’C’

o

Si los c
atetos son proporcionales



'
'
B
A
AB

=
'
'
C
A
AC




ABC



A’B’C’

o

Si la hipotenusa y un cateto son proporcionales



'
'
C
B
BC

=
'
'
C
A
AC




ABC



A’B’C’

1.5

Ejercicios



Demostrar el Teorema “Dos ángulos adyac
entes son suplementarios”.

BA

C


O

Hipótesis:
o
AOB y
o
BOC son ángulos adyacentes.

Tesis:
o
AOB +
o
BOC = 180°

Demostración:
o
AOB +
o
BOC =
o
AOC

o
AOC = 180°



Demostrar el Teorema “Los ángulos opuestos por el vértice son iguales”.



A


D
C
O
BHipótesis:
o
AOC y
o
BOD son ángulos opuestos por el vértice

Tésis:
o
AOC =
o
BOD



Si el
o
AOD es recto, y
o
AOB = 2x,
o
BOC = 3x, y
o
OCD = 4x; ¿cuánto vale cada
ángulo? Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

10
D

C
B


O A



Expresar los siguientes ángulos en Radianes:

o

80° 34’ 21”

21” = 0,35’

34,35’ = 0,5725°

S = 80,5725°


360
S

=
rad
R
_
2




R =


360
5725
,
80
.
1416
,
3
.
2
rad




R = 1,4063 rad


o

65° 17’ 49”

o

45° 29’ 33”

o

30° 48’ 51”



Expresar los s
iguientes ángulos en Grados Sexagesimales (°,’,”):

o

2,35 rad


360
S

=

2
R



S =
rad
rad
1416
,
3
.
2
35
,
2
.
360




S = 134,64°

o

0,785 rad

o

1,963 rad

o

2,208 rad



Expresar en Grados, Minutos y Segundos:

o

134,64°

Minutos (M) = 134,64°
–

1
34,00°


M = 0,64°

M = 0,64°/min x 60 min


M= 38,4’

Segundos (S) = 38,4’
–

38,00’


S = 0,4’

S= 0,4’/seg x 60 seg


S = 24”

134,64° = 134° 38’ 24”

o

135,47°

o

205,23°Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

11o

89,95°



Halle los complementos de los siguientes ángulos:

o

67° 35’ 40”

90° = 89° 59’ 60”

89°

59’ 60”

67° 35’ 40”
–

22° 25’ 20”

o

18° 27’ 31”

o

36° 52’ 5”

o

48° 39’ 15”



Halle los suplementos de los siguientes ángulos:

o

35° 43’ 26”

180° = 179° 59’ 60”

179° 59’ 60”

035° 43’ 26
–

144° 17’ 34”

o

78° 13’ 39”

o

92° 15’ 43”

o

123° 9’ 16”



Demuestre el Teorema “Dos rec
tas de un plano, perpendiculares a una tercera, son
paralelas entre sí.”


A C

D


E

F


B

Hipótesis:
AB



CD
;
AB



EF
.

Tésis:
CD
||
EF
.



Demuestre el Postulado de Euclides “Por un punto exterior a una recta, pasa una
sola paralela a dicha recta”.Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

12Sea
AB

la recta dada, y E el punto exterior. Por E trazamos
AB



EF
, y en E
trazamos también

CD



EF
.

Por el Teorema anterior,
AB

||
CD
.



Demuestre el Corolario “Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.”

Hipótesis:

AB

||
CD
;
AB

||
EF
.

Tésis:
CD
||
EF
.



Demuestre el Corolario “Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas a
ésta.”



Demuestre
el Corolario “Si una recta es perpendicular a otra, es también
perpendicular a toda paralela a esta otra.”



Si
AB

||
CD
, y
'
SS

es una secante y 1 = 120°.

Hallar los otros ángulos.
S

1

2

A
B

4 3

5

6

C
D
87





Dados
AB

||
CD
,
EF
||
GH

y
o
EMN = 60°; hallar
o
HPD.


E

G
A
M
N B
C

D
Q
P
F
H

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

13

Halle los valores que faltan, aplicando Teorema de Pitágoras (a = Hipotenusa):

o

a=6, b=3, c= xa
2

= b
2

+ c
2


c
2
=

a
2

–

b
2



c
2

= 6
2

–

3
2



c
2

= 36
–

9



c
2

= 27


c=
27



c= 5,19

o

b=10, c=6, a=x

o

a=32, c=12, b=x

o

a=32, c=20, b=x



Calcule la altura de la Estación Final de un Teleférico, si hace un recorrido de 8 Kms
hasta la Estación Inicial, y se sabe que dicha Estación Inicial se encu
entra situada a 6
Kms desde la Base de la Estación Final, empleando Teorema de Pitágoras.



Calcule la longitud de una rampa, sabiendo que su altura es de 25 metros y la
distancia en línea recta sobre el pavimento es de 35 mts.



Halle gráficamente el punto G
(Baricentro) del siguiente triángulo:
G


Halle gráficamente el punto O (Ortocentro) del siguiente triángulo:


Halle gráficamente el punto
I

(Incentro) del siguiente triángulo:
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

14

Halle gráficamente el punto K (Circuncentro) del siguiente tri
ángulo:


Demuestre el Teorema “La suma de los ángulos internos de un triángulo vale dos
ángulos rectos”.

Hipótesis: Sean
o
A,
o
B y
o
C los ángulos interiores del


ABC

Tesis:
o
A +
o
B +
o
C = 180°



Sea


ABC un triángulo equilátero. ¿Cuánto valen cada uno
de sus ángulos
interiores?



Si
o
1 =
o
2 y
o
3 =
o
4, demostrar que


ABC =


ABD



Si
AC

=
AD

y
o
1 =
o
2, demostrar que


ABC =


ABD



Si
AC

=
AD

y
BC

=
BD
, demostrar que


ABC =


ABD


C A1


3 B
2


4
D

Si
AB

||
CD
, demostrar que:


ABC =


ACD



Si
AB

=
CD

y
AD

||
BC
, demostrar que:


ABC =


ACD


D C
A


B

Si
BD



AC
,
o
ADB =
o
CDB y
AD

=
CD
; demostrar


ABD =


CBD



Si
BD



AC
,
o
BAD =
o
BCD; demostrar


ABD =


CBD
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

15A
D

B

C

Sean dos triángulos


ABE




CDE; si
CD
= 3 m,
EC
= 4 m y
EB
= 12 m. Calcule
AB
.

A


B


E

C

D Sean dos triángulos


ABC




CDE; si
AC
= 3 m,
AD
= 2 m y
AB
= 4 m. Calcule
DE
.




C


A
B



D



ESean dos triángulos


ACD




ABE; si
BE
= 3 m,
BC
= 18 m y
AB
= 2 m. Calcule
CD
.


D E A
B
C Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

16

Sean dos triángulos


ACD




ABE; si
CD
= 80 m,
BE
= 6 m y
AB
= 9 m. Calcule
BC
.



Sean dos triángulos


ACD




ABE; si
CD
= 120 m,
BE
= 8 m y
AB
= 12 m. Calcule
BC
.
D E A
B
C
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

172

Ecuación de C
ircunferencia, Área y Volumen de figuras y cuerpos regulares.

2.1

Superficies, Áreas y Volúmenes.

Circunferencia
: conjunto

de puntos de un plano que equidistan de otro punto
llamado centro. Se denominan con una letra mayúscula.C
A

O

B

o

Los pu
ntos A, B y C son puntos de la circunferencia, y los segmentos
OA

=
OB

=
OC
= r, se llaman radios.

o

Puntos exteriores: puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio.

o

Puntos interiores: punt
os cuya distancia al centro es menor que el radio.



Círculo: es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los puntos
interiores a la misma. 

Recta Secante a una Circunferencia: recta que tiene dos puntos comunes con la
circunferencia.



Re
cta Tangente a una Circunferencia: recta que tiene un solo punto común con la
circunferencia (Punto de Contacto o Punto de Tangencia).



Recta Exterior a una Circunferencia: recta que no tiene ningún punto común con la
circunferencia.



Recta Normal a una Circ
unferencia: es la recta perpendicular a la tangente en el
punto de contacto.



Arco de Circunferencia: es una porción de la circunferencia. Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

18

Cuerda de la Circunferencia: es el segmento determinado por dos puntos de la
circunferencia.


J

A


B


C


D


E


K


F


G
H

I

o

Secante:
EG

o

Tangente:
AC

o

Normal:
JK

o

Exterior:
HI

o

Arco:

BD

o

Cuerda:
DF



Diámetro de la Circunferencia: toda cuerda que pasa por el centro.

o

Un diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales.



Semicircunferencias: arcos iguales determinados por
el diámetro.



Polígono: porción del plano limitada por una curva cerrada, llamada línea poligonal.



Polígono Regular: es aquel que tiene los lados y ángulos iguales.



Polígono Inscrito: es aquel que tiene todos sus vértices sobre una circunferencia.



Polígono
Circunscrito: es aquel cuyos lados son tangentes a la circunferencia.



Circunferencia Inscrita: cuando el polígono está circunscrito, la circunferencia está
inscrita. Polígono

(Hexágono)

Polígono Inscrito

Polígono Circunscrito

Circunferencia Inscrita

Apotema de un Polígono Regular: segmento de perpendicular trazada desde el
centro del polígono a uno cualquiera de sus lados. Se designa con la letra “a”
minúscula, acompañada de un subíndice que indica el número de lados del polígono.Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

19o

2
2
4
2
1
l
r
a
n
n



o

a
4
: apotema de un cuadrado

o

a
5
: apotema del pentágono, etc.

O


r a
6

B
C
M



El número

: es el valor constante de la razón de la longitud de una circunferencia a
su diámetro. El valor generalmente usado

es: 3,1416.

d
C

=




Longitud de una Circunferencia: C = 2


r



Longitud de una arco de Circunferencia: l =


180
.
.
n
r




Posiciones Relativas de dos Circunferencias:

o

Circunferencias Exteriores: los puntos de cada una son e
xteriores a la otra

o

Circunferencias Tangentes Exteriormente: tienen un punto común y los
demás puntos de cada una son exteriores a la otra.

o

Circunferencias Secantes: tienen dos puntos comunes.

o

Circunferencias Tangentes Interiormente: tienen un punto común
y todos los
puntos de una de ellas son interiores a la otra.

o

Circunferencias Interiores: todos los puntos de una de ella son interiores de
la otra.

o

Circunferencias Concéntricas: tienen el mismo centro. Circunferencias
Exteriores

Circunferencias Tangen
tes
Exteriormente

Circunferencias Secantes
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

20
Circunferencias
Tangentes Interiormente

Circunferencias Interiores

Circunferencias Concéntricas

Superficie: se refiere a la
forma

(rectangular, cuadrada, circular).



Área: es la medida de la superficie, y

se refiere al
tamaño
.

o

de un Cuadrado: A =
l
2
(
l

= lado)

o

de un rectángulo: A = b x h (base por altura)

o

de un paralelograma: A = b x h (base por altura)

o

de un triángulo: A =
2
bh

o

de un triángulo equilátero: A =
4
3
2
l

o

De un triángulo: A =
)
)(
)(
(
c
p
b
p
a
p
p




o

de un trapecio: A =
2
)
'
(
h
b
b


o

de un rombo: A =
2
'
dd

(diagonales)

o

de un polígono regular: A =
2
nl

a
n

o

de un círculo: A =


r
2

o

de un sector circular: A =
2
lr

(l es arco, r es radio) o A =


360
2
n
r




Prisma: poliedro limitado por varios paralelogramos (caras) y dos polígonos iguales
(bases) cuyos planos son paralelos.



Prisma triangular: prisma cuyas bases son triángulos.



Paralelepípedo
: prisma cuyas bases son paralelogramos.



Ortoedro: paralelepípedo cuyas aristas laterales son perpendiculares a sus bases.

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

21

Prisma Triangular

Paralelepípedo

Ortoedro



Pirámide: es el poliedro que tiene una cara llamada base, que es un polígono
cua
lquiera, y las otras, llamadas caras laterales, son triángulos que tienen un vértice
común (cúspide).



Cubo: ortoedro que tiene iguales todas sus aristas. Las seis caras son cuadrados. Pirámide

Cubo



Superficies de Revolución: superficie generada por
una línea que gira alrededor de
una recta llamada eje. (La línea que gira es la generatriz).

o

Esfera: sólido de revolución generado por una semicircunferencia que gira
alrededor de su diámetro.

o

Cono: sólido de revolución generado por una semirrecta cuyo ori
gen está en
el eje y no es perpendicular al eje.

o

Cilindro: sólido de revolución generado por una recta paralela al eje. Esfera

Cono

Cilindro



Áreas de poliedros:

o

De un cubo: A = 6
l
2

o

de un cilindro: A = 2


r (g + r)

o

de un cono: A =


r (g + r)

o

de u
na esfera: A = 4


r
2Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

22 Área Cilindro

Área Cubo



Volumen de un poliedro: medida del espacio limitado por el cuerpo.

o

de un cubo: V =
l
3

(lado)

o

de un paralelepípedo: V = Área Base x h (Altura)

o

de una pirámide: V =
3
_
Base
Área

h

o

de un cilindr
o: V =


r
2
g (
generatriz

o altura)

o

de un cono: V =
3
1



r
2
h

o

de una esfera: V =
3
4



r
3

2.2

Polígonos y Paralelogramos.

Clasificación de Polígonos:

o

Convexo: cuando está formado por una poligonal convexa.

o

Cóncavo: cu
ando está formado por una poligonal cóncava. Polígono Convexo

Polígono Cóncavo

o

Ángulos:



Internos o interiores: son los formados por cada dos lados
consecutivos.



Externos o exteriores: son los ángulos adyacentes a los interiores,
obtenidos prolongand
o los lados en un mismo sentido.Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

23

E
D

F
C
A
B



Ángulos Internos:
o
ABC,
o
BCD,
o
CDE,
o
DEF,
o
EFA,
o
FAB

o

Por su número de lados:



Triángulo: 3



Cuadrado: 4



Pentágono: 5



Hexágono: 6



Eptágono: 7



Octágono: 8



Oneágono: 9



Decágono: 10



Endecágan
o: 11



Dodecágano: 12



Pentadecágono: 15



Diagonal

o

Concepto: segmento determinado por dos vértices no consecutivos.

o

Número de Diagonales que pueden ser trazadas desde un vértice de
cualquier Polígono Regular: d = n
-
3

o

Número total de Diagonales que pueden ser

trazadas en un Polígono
Regular:
2
)
3
(


n
n
D



Valores de ángulos interiores y exteriores de un Polígono:

o

Ángulos Interiores:
n
n
i
)
2
(
180




o

Suma de Ángulos Interiores:
)
2
(
180



n
S
i

o

Ángulos Exteriores:
n
e


360

o

Sum
a de Ángulos Exteriores: S
e

= 360°Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

24

Clasificación de los Cuadriláteros (polígonos de 4 lados):

o

De acuerdo al paralelismo de sus lados opuestos:



Paralelogramo: los lados opuestos son paralelos dos a dos.



Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales y los la
dos
contiguos desiguales.



Cuadrado: tiene los cuatro ángulos iguales y los cuatro lados
iguales.



Romboide: tiene los lados y ángulos contiguos desiguales.



Rombo: tiene los cuatro lados iguales y los ángulos contiguos
desiguales.

Rectángulo

Cuadrado

Rom
boide

Rombo

Trapecio: hay paralelismo en un par de lados opuestos.



Rectángulo: tiene dos ángulos rectos.



Isósceles: los lados paralelos no son iguales.



Escaleno: no son rectángulos ni isósceles.

Rectángulo

Isósceles

Escaleno



Trapezoide: no hay paral
elismo alguno.



Simétricos: tienen dos pares de lados consecutivos iguales,
pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente
del segundo.



Asimétricos: no son simétricos.
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

25 Simétrico

Asimétrico

Polígonos Semejantes:

o

Dos Polígonos
son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente
iguales y sus lados homólogos proporcionales. (Es necesario que se cumplan
ambas condiciones).

2.3

Ejercicios



Halle las siguientes rectas, respecto a una circunferencia:

o

Tangente

o

Normal
Tangente

o

Cuer
da

o

Diámetro

o

Arco



Halle la menor distancia del punto a la circunferencia, si:

o

Dista 2 cm. del centro de una circunferencia de 6 cm. de diámetro

Si trazamos un radio desde el centro, pasando por el punto hasta la
circunferencia, tenemos que r = 3 cm. Como e
l segmento radio
-
punto
mide 2 cm., dista 1 cm. de la Circunferencia.

o

Dista 3 cms del centro de una circunferencia de 4 cm de diámetro



Los radios de 2 circunferencias son 10 y 16 cm. Hallar la distancia entre sus
centros si las circunferencias son:

o

Concént
ricas

o

Tangentes Interiores

o

Tangentes Exteriores



Halle el área de los siguientes Polígonos:

o

Rectángulo con base igual a 15,38 cm. y altura de 3,5 cm.

a = b x h


a = 15,38 cm x 3,5 cm


a= 53,83 mt
2
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

26o

Rectángulo cuya diagonal mide 10 mt. y su altura 6 mt.

o

Cuadrado cuyo lado mide 8,62 mt.

o

Cuadrado cuya diagonal mide
2
4

mt.

o

Paralelogramo cuya base mide 30 cm. y su altura 20 cm.

o

Triángulo equilátero de 8 cm. de lado.

o

Triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 12 cm.



Dado el área de los siguientes
polígonos, halle sus dimensiones:

o

Rectángulo de 288 mt
2
, y su base es el doble de la altura.

a = b x h


288 mt
2
= 2.h x h


144 mt
2
= h
2



h = 12 mt.

b = 2.h


b = 24 mt.

o

Rectángulo de 216 mt
2
, y su base es 6 mt. mayor que su altura.

o

Rectángulo de 96 mt
2
, y 44 mt. de perímetro.

o

Cuadrado con área de 28,09 mt
2



Calcule el área de la parte rayada:

D


C





A


B

a
1
=



r
2



a
1
= 3,1416 x (4 mt)
2



a
1
= 50,2655 mt
2

a
2
= l
2



AC
2

=

AB
2

+
BC
2


(8 mt)
2
= 2. l
2


l
2

= 32
mt
2

a
t
=
a
1
-

a
2



a
t
=
50,2655 mt
2
-

32
mt
2


a
t
= 18,2655
mt
2 C


D


C


A


B


A



B



Halle el área de los siguientes sólidos:

o

Esfera de 10 cm. de diámetro.

o

4 mt

o

10 mt

10 mt

o

10 mt

12 mtConceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

27a = 4


r
2


a = 4 x 3,1416 x (5 cm.)
2



a = 314,16 cm
2

o

Lata de refresco de 11 cm. de alto y 7 cm. de diámetro.

o

Vaso cónico de 8 cm. de diámetro y 10 cm. de altu
ra.

o

Cubo de 12 cm. de lado



Halle el volumen:

o

Esfera de 10 cm. de diámetro.

v =
3
4



r
3


v =
3
4



(5 cm.)
3


v = 523,5988 cm
3

o

Lata de refresco de 11 cm. de alto y 7 cm. de diámetro.

o

Vaso cónico de 8 cm. de diámetr
o y 10 cm. de altura.

o

Cubo de 12 cm. de lado



Halle la suma de los ángulos interiores de:

o

Cuadrado

)
2
(
180



n
S
i



S
i

= 180° (4
-
2)


S
i

= 360°

o

Octágono

o

Pentágono

o

Triángulo



Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale:

o

540°

)
2
(
180



n
S
i


540° = 180° (n
-
2)




180
540

= n
-
2
n = 3 + 2


n = 5


Pentágono

o

1260°

o

1800°



Halle el valor de un ángulo interior de:

o

Hexágono

n
n
i
)
2
(
180






6
)
2
6
(
180



i



6
720


i


i = 120°

o

Dodecágo
no

o

Decágono



Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide:

o

60°Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

28n
n
i
)
2
(
180






n
n
)
2
(
180
60






60° n = 180° n
–

360°


360° =
180° n
–

60° n


360° = 120° n


n= 3


Triángulo

o

90°

o

135°



Halle el valor de un ángulo exterior de un:

o

Octágono

n
e


360



8
360


e



e = 45°

o

Decágono

o

Polígono regular de 20 lados



Cuál es el polígono cuyo ángulo exterior vale:

o

120°

n
e


360



n



360
120






120
360
n



n= 3


Triángulo

o

60
°

o

90°



Calcule el número de diagonales que ser pueden trazar desde cada vértice de
un:

o

Pentágono

d = n
-

3


d = 5
–

3


d = 2

o

Octágono

o

Decágono



Cuál es el polígono en el que se puede trazar el siguiente número de diagonales
desde cada vértice:

o

3

d = n
-
3


3 = n
-
3


n = 6



Hexágono

o

6

o

9



Calcule el número total de diagonales que se pueden trazar en un :

o

OctágonoConceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

292
)
3
(


n
n
D



2
)
3
8
(
8


D


2
40

D



D = 20

o

Decágono

o

Polígono de 20 lados



Cuál es el polígono en el que se pu
ede trazar el siguiente número total de
diagonales:

o

14

2
)
3
(
14


n
n

28 = n (n
-
3)


28= n
2
–
3n


n
2
–
3n
–
28 = 0

Por ecuación de 2do Grado; x
1
= 7 y x
2

=
-
4



n = 7


Eptágono

o

20

o

27

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

303

Funciones y Relaciones Trigonométricas, Identidades y Ecuaciones
Trigonométricas, Teoremas del Seno y del Coseno.

3.1

Funciones Trigonométricas.



Sistema de Eje de Coordenados (Coordenadas) Rectangulares

o

Sobre una Recta
'
XX
(eje de abscisas), se toma un punto O (Origen)
por donde se traza una Recta Perpend
icular
'
YY

(eje de ordenadas).
Se establece una unidad, y se gradúan ambos ejes a partir del O. La
abscisa se gradúa positivamente hacia la derecha, y negativamente
hacia la izquierda. La ordenada se gradúa positivamente hacia arriba
y
negativamente hacia abajo. Los Ejes de Abscisas y de Ordenadas
dividen el Plan en cuatro (4) cuadrantes. Las coordenadas de un
punto se designan: a(x,y).

Y

(+)

II


I



(
-
) X (+)

III


IV Y’ (
-
)



Funcion
es Trigonométricas de un Ángulo Agudo en un Triángulo
Rectángulo
Ca

bB

A


co

Seno: razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa



sen B =
a
b

; sen C =
a
c

o

Cose
no: razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa



cos B =
a
c

; cos C =
a
b

Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

31o

Tangente: razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente



tan B =
c
b

; tan C =
b
c

o

Cotangente:
razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto



cot B =
b
c

; cot C =
c
b

o

Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente



sec B =
c
a

; sec C =
b
a

o

Cosecante: razón en
tre la hipotenusa y el cateto opuesto



csc B =
b
a

; csc C =
c
a



Signos de las Funciones Trigonométricas por Cuadrantes

Función / Cuadrante

I

II

III

IV

Seno

+

+

-

-

Coseno

+

-

-

+

Tangente

+

-

+

-

Cotangente

+

-

+

-

Secante

+

-

-

+

Cosecante

+

+

-

-

Funciones Trigonométricas de Ángulos Notables

Ángulo

Función



30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

Seno

0

1/2


2 /2


3 /2

1

0

-
1

0

Coseno

1


3 /2


2 /2

1 /2

0

-
1

0

1

Tangente

0


3 /3

1


3

No

0

No

0

Cotangente

No


3

1


3 /3

0

No

0

No

Secante

1

2

3 /3


2

2

No

-
1

No

1

Cosecante

No

2


2

2

3 /3

1

No

-
1

No
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

323.2

Relaciones Fundamentales entre las Funciones Trigonométricas e Identidades
Trigonométricas.



Relaciones Fundamentales entre las Funciones Trigonométricas:

sen


=

csc
1

cos


=

sec
1

tan


=

cot
1

csc


=

sen
1

sec


=

cos
1

cot


=

tan
1

sen
2



+ cos
2



= 1tan


=


cos
sen

1 + cot
2



= csc
2



1 + ta
n
2



= sec
2



cot


=


sen
cos

Identidades Trigonométricas: igualdades que se cumplen para cualesquiera
valores del ángulo que aparece en la igualdad.

o

Se recomienda expresar todos los términos en función del seno o del
coseno.

o

Ejemplo:



Dem
ostrar: csc


x sec


= cot


+ tan



sen
1

x

cos
1

=


sen
cos

+


cos
sen



cos
1
sen

=




cos
cos
2
2
sen
sen






cos
1
sen

=


cos
1
sen



Funciones Trigonométri
cas de suma de ángulos:

o

sen (


+

) = sen


x cos


+ cos


x sen


o

cos (


+

) = cos


x cos


-

sen


x sen


o

tan (


+

) =
)
tan
(tan
1
tan
tan







o

cot
(


+

) =




cot
cot
1
)
cot
(cot



o

sec
(


+

) =


cos
cos
1
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

33o

csc (


+

) =


sen
sen

1



Funciones Trigonométricas de Diferencias de Ángulos:

o

sen (


-


) = sen


x cos


-

cos


x sen


o

cos (


-


) = cos


x cos


+ sen


x sen


o

tan (


-


) =
)
tan
(tan
1
tan
tan







o

cot
(


-


) =




cot
cot
1
)
cot
(cot



o

sec
(


-


) =


cos
cos
1


o

csc (


-


) =


sen
sen

1



Ángulos Dobles:

o

sen 2


= 2 sen


x cos
o

cos 2


= 2 cos
2



-

1

o

tan 2


=


2
tan
1
tan
2




Ángulos Mitad:

o

sen
2
1


( o sen
2

)=
2
cos
1



o

cos
2


=
2
cos
1



o

tan
2


=


cos
1
cos
1





Resolución de Triángulos: como quiera que un triángulo está compuesto
por seis (6) elementos (3 ángulos y 3 lados), resolver un triángulo consiste
en calcular 3 de los eleme
ntos, dados los otros 3.



Resolución de Triángulos Rectángulos: como los Triángulos Rectángulos
tienen un ángulo recto, se puede resolver cuando se conocen 2 de sus
elementos (siempre que uno de ellos sea un lado).Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

34

Casos:

o

Dados dos catetos




Ca

bB

A


c

Ejemplo:



Dados b = 50 mts ; c= 64 mts.



Se conoce que A = 90°, entonces:

a
2

= b
2

+ c
2



a =
2
2
c
b



a = 81,21 mts

tan B =
c
b



tan B = 0,78125.arc tan B =

38°


B = 38°

A + B + C = 180°


C = 180°
-

(A + B)


C = 52°

o

Dados un cateto y la hipotenusa

o

Dados un cateto y un ángulo agudo

o

Dados la hipotenusa y un ángulo agudo

3.3

Resolución de Triángulos Oblicuángulos



Para la Resolución de Triángulos Oblicuángulos se
aplican las siguientes
Leyes:

o

Ley de los Senos: los lados de un triángulo son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos.



senA
a

=
senB
b

=
senC
c

o

Ley de los Cosenos: el cuadrado de un lado de un triá
ngulo es igual a
la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el duplo del
producto de dichos lados, por el coseno del ángulo que forman.



a
2

= b
2

+ c
2
–

2 b c cos AConceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

35o

Ley de las Tangentes: en todo triángulo oblicuángulo, la diferencia
de dos de
sus lados es a su suma, como la tangente de la mitad de la
diferencia de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la
mitad de la suma de dichos ángulos.



b
a
b
a



=
)
(
2
1
tan
)
(
2
1
tan
B
A
B
A





Resolver el Triángulo cuyos datos son: a =

34; b = 40; c = 28.

o

Aplicando Ley del Coseno: a
2

= b
2

+ c
2
–

2 b c cos A

c
b
a
c
b
A
.
.
2
cos
2
2
2






2240
1228
cos

A


5482
,
0
cos

A

A = 56,7554°

o

Aplicando Ley del Seno:
senA
a

=
senB
b

=
senC
c

sen A = 0,8363

sen B =
a
b
senA
.



sen B = 0,9839

B = 79,7134°sen C =
b
c
senB
.



sen C = 0,6887

C = 43,5297°


A + B + C = 180°



Área de Triángulos Oblicuángulos

o

1er Caso:

Dados los tres lados


Área =
)
)(
)(
(
c
p
b
p
a
p
p




o

2do Caso:

Dados dos lados y un ángulo comprendido


2
.
.
senC
a
b
Area


ó
2
.
.
senA
c
b
Area


ó
2
.
.
senB
c
a
Area
Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

36o

3er Caso:

Dados un lado y dos ángulos


senC
senB
senA
c
Area
.
2
.
2


3.4

Variaciones y Gráficas de Funciones Trigonomét
ricas. Ecuaciones
Trigonométricas.



Ecuaciones Trigonométricas: son aquellas en las que la incógnita aparece
como ángulo de funciones trigonométricas.

o

Resuelta la ecuación algebraicamente, se resuelve la parte
trigonométrica para conocer el valor del ángulo
.

o

Las Funciones Trigonométricas repiten sus valores en los cuatro
cuadrantes, es decir, hay dos ángulos para los cuales una función
trigonométrica tiene el mismo valor y signo.

o

Se recomienda expresar la ecuación en términos de una sola función
trigonométri
ca.

o

Ejemplo:

Resolver: 3 + 3 cos


= 2 sen
2



3 + 3 cos


= 2 (1
–

cos
2


)


3 + 3 cos


= 2
–

2 cos
2





2 cos
2



+ 3 cos


+ 3
–
2 = 0


2 cos
2



+ 3 cos


+ 1 = 0

Aplicando ecuación de 2do grado:


cos


=
2
2
1
2
4
3
3
2
x
x
x






cos


=
4
1
3



Separando las dos raíces:

cos
1



=
4
1
3





cos
1



=
-

2
1




1
= 120°

cos
2



=
4
1
3





cos
2



=
-

1



2
= 180°




x =
a
ac
b
b
2
4
2


Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

373.5

Ejercicios

Representar, en un sistema de ejes coordenadas, los puntos:

o

A (4, 2)

A

o

B (
-
3 , 3)

x

o

C (
-
7,
-
2)

o

D (5,
-
4) y



En el siguiente triángulo, calcule las funciones trigonométricas de los
ángulos B y C, si b = 2 cm. y c = 4 cm.


Ca

b

B
c A

Primeramente se ca
lcula el valor de a.

a
2

= b
2

+ c
2



a
2

= 2
2

+ 4
2



a
2

= 20


a =
5
2
sen B =
a
b



sen B =
5
2
2


sen B =
5
1








5
5
5
5
5
1

sen C =
a
c



sen C =
5
2
4


sen C =
5
2








5
5
2
5
5
5
2

tan B =
c
b



tan B =
4
2



tan B =
2
1

tan C =
b
c


tan C =
2
4



tan C = 2

sec B =
c
a



sec B =
4
5
2



sec B =
2
5


sec C =
b
a



sec C =
2
5
2



sec C =
5


sen B = cos C =
5
5
;
cos B = sen C =
5
5
2
; tan B = cot C =

2
1
;Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

38cot B = tan C = 2;
sec B = csc C =
2
5
; csc B = sec C

=
5



Dados los Puntos siguientes, calcular las Funciones Trigonométric
as del
o
XOA:

o

A (2, 3)

o

A (
-
1, 4)

o

A (3,
-
4)

o

A (
-
1,
-
3)



Calcule el valor de las siguientes expresiones:

o

5 sen
2

45° + 8 cos
2

30°

sen 45° =

2 /2
; cos 30° =

3 /25 x (

2 /2
)
2

+ 8 x (

3 /2
)

2
= (5 x ½ ) + (8 x ¾) =
2
5

+
2
12

=
2
17

o

3 sen 30° + 6 cos
2

45°

o

5 tan
2

45° + 2 sec
2

45°

o

4 cos 60° + 5 csec 30°



Calcular las otras funciones, sabiendo que:

o

sen x =
2
1

cos
2

x = 1
–

sen
2

x


cos
2

x = 1
–

( ½ )
2


cos
2

x = ¾
cos x =
4
3



cos x =
2
3

tan x =
x
senx
cos



tan x =
2
3
2
1


tan x =
3
1


tan x =
3
3

cot x =
x
tan
1


cot x =
3
3
1
1


cot x =
3
3


cot x =
3Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

39csec x =
senx
1



csec x =
2
1
1



csec x = 2

sec x =
x
cos
1



sec x =
2
3
1



sec x =
3
2



sec x =
3
3
2

o

cos x =
5
1

o

tan x =
4
3

o

cot x =
2
3



Probar las siguientes Identidades Trigonométricas:

o

sen
4

x =
x
x
2
2
csc
cos
1


sen
4

x =
x
sen
x
sen
2
2
1
1



sen
4

x = sen
2

x . sen
2

x


sen
4

x = sen
4

x

o

x
x
sen
x
x
sen
.
tan
1
1
.
cos
.




o

x
sen
x
x
.
.
cot
cos


o

x
x
sen
x
.
sec
.
tan




Calcular las Funciones Trigonométricas de los ángulos (a+b) y (a
-
b)
sabi
endo:

o

sen a =
5
3

; cos b =
13
13
2

o

cos a =
41
41
5
; cos b =
61
61
5

o

sen a =
5
5
2
; cos b =
2
2Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

40o

tan a = ½ ; cot b = ¼



Halle seno, coseno y tangente
de los siguientes ángulos, aplicando suma
y diferencia de ángulos:

o

105°

o

75°

o

15°



Probar las siguientes Identidades:

o

cos (a + 45°) x sen (a + 45°) = ½ x (2cos
2

a
-
1)

o

cos (a + b) x cos b + sen (a + b)x sen b = cos a



Dados los siguientes valores, calcular seno
, coseno y tangente de los
ángulos dobles respectivos:

o

a = 45°

o

b = 60°

o

c = 120°



Probar las siguientes identidades:

o

tan x . sen 2x = 2 sen
2

x

o

cos 2 a = cos
4

a
–

sen
4

a

o




tan
2
cos
1
2


sen

o




2
tan
cot
2
sen





Dados los siguientes valores, calcular
seno, coseno y tangente de los
ángulos mitad respectivos:

o

a= 30°

o

b= 45°



Resolver los siguientes Triángulos Rectángulos:

o

b = 50; c = 40

o

a = 30; b = 25

o

c = 60; C = 28° 30’

o

a = 4 ; B = 62° 30’Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

41

Resolver los siguiente
s Triángulos Oblicuángulos, aplicando las Leyes
del Seno, Coseno y/o Tangente:

o

a = 41; b = 19,5; c = 32,48

o

a = 5,312; b = 10,913; c = 13

o

a = 32,45; b = 27,21; C = 66° 56’

o

b = 50; c = 66,6; A = 83° 26’

o

a = 41; B = 27°50’; C = 51°

o

a= 78,6; A = 83°26’; B = 39
°13’



Halle el área de los Triángulos Oblicuángulos anteriores.



Resuelva las siguientes Ecuaciones Trigonométricas:

o

sen
α + 1 = cos α

sen
α

+ 1 =

2
1
sen


(sen
α

+ 1)
2

= (

2
1
sen

)
2

sen
2

α

+ 2sen
α

+1 = 1
-

sen
2

α2sen
2

α

+ 2sen
α

= 0

sen
2

α

+ sen
α

= 0

sen
α

(sen
α

+ 1) = 0

sen
α

= 0


α

= 90°

sen
α

=
-
1


α

= 270°

o

cos (40°
-

a ) = cos a

o

2 sen x = 1

o

2 cos x . tan x
–

1 = 0

o

4 cos
2

x = 3
–

4 cos x

o

3 cos
2

x + sen
2

x = 3

o

2 sen
2

x + sen x = 0 Conceptos básicos de Geometría y Trigonometría. Dr Luis Cas
tellanos

42
4

Bibliografía


BALDOR, J.A.: “Geometría Plana y del Esp
acio con una
introducción a la Trigonometría”. Publicaciones CULTURAL.
México, 1999.Otras publicaciones para complementa
r:

BARNETT: “Geometría”.
Ed Mc Graw Hill.
México.



GELTNER & PETERSON: “Geometría”. Editorial Thomson.



STUDER: “Precálculo, Álge
bra, Trigonometría y Geometría Analítica”. Editorial
Cultura Moderna. Bogotá.



SWOKOWSKI, Cole: “Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica”.
Editorial Thomson.



SWOKOWSKI, Cole: “Trigonometría”. Editorial Thomson.



WALTER & DALE: “Álgebra y Trigon
ometría con Geometría Analítica”. Editorial
Prentice Hall. Nacido en Caracas, DC, Venezuela. Es Ingeniero de Sistemas
(IUPFAN), Magíster en Ingeniería de Sistemas (USB), M
agíster
en Tecnología Educativa HC (CIHCE), y Doctor HC (CIHCE).

Ha sido docente en el IUPFAN, Academia Militar de Venezuela,
Universidad Rafael Urdaneta y en La Universidad del Zulia.
Actualmente es docente en UNEFA Zulia y en la Universidad Dr.
José

Gregorio Hernández.
Ha escrito los libros de Reflexiones Diarias (I), Reflexiones
Diarias (II), Reflexiones Diarias (III) (Editorial Lulu), Seguridad
en Informática y Metodología de Desarrollo de Sistemas de
Información (Editorial Académica Española).De igual manera, ha escrito Guías de Matemática I, Matemática
II, y Cálculo Numérico.Luis Castellanos

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