Tutorial de Matlab - canal etsin upm es

3 Introducci´on al tratamiento de matrices. Haremos una introducci´on a la definici´on y manipulaci´on de matrices. Se supone que has seguido la secci´on anterior y dispones de los conocimientos b´asicos sobre la definici´on y manipulaci´on de vectores usando Matlab. Definir una matriz es muy similar a la definici´on de un vector.


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PresentamosuntutorialdeMatlabporqueenCalculoNumericoesimportantepoderrealizarrapidamenteyconexactitudloscalculoselementalesquesonnecesariosparalosdiferentesejercicios.Matlabesunaherramientapotentsima,casiestandarparacalculosenmuchasramasdelaIngeniera,ydeusorazonablementesimple.HaremosunadescripciondeloselementosbasicosdeMatlabyremitimosalestudianteinteresadoacualquierediciondelmanualdereferenciadelprograma[2]paraunmejorconocimientodelmismo.TambienesinteresanteellibrosobreMatlabdeHighamyHigham[1]yunabuenareferenciaencastellanoconejemplosprocedentesdeproblemasenCalculoNumericoeseldeQuintela[3].1Conceptosbasicos.ParaarrancarMatlab,seprocedecomoconcuaquierprogramaWindows,osea,Inicio,Programas,MatlaboStudentMatlabcasodequeutilicemoslaversioneducacional.Unavezarrancadoapareceelcursorconelsmbolo(��)o(EDU��),indicandoquepuedesintroducirordenes.Dehecho,enestetutorial,cuandoveasestesmbolo,esquetienesqueintroducirportecladolaordenqueapareceescritaaladerechadelmismo.LautilizacionmasbasicadeMatlabescomocalculadora1.Asporejemplo,puedescalcularcos(5)27:3,paralocualdebesintroducir2:��cos(5)*2^7.3ans=44.7013Matlabmantieneenmemoriaelultimoresultado.Casodequeesecalculonoseasigneaningunavariable,lohaceaunavariablepordefectodenombreans.Siquieresreferirteaeseresultado,hazloatravesdelavariableans,ysinoasignasesenuevocalculoaningunavariable,volveraaserasignadoaans.��log(ans)ans=3.8000Enestemomentoospodraispreguntarsiestehasidounlogaritmodecimaloneperiano(natural).Parasaberlo,debeispedirayudasobreelcomandologutilizando:��helplogLOGNaturallogarithm.LOG(X)isthenaturallogarithmoftheelementsofX.ComplexresultsareproducedifXisnotpositive.SeealsoLOG2,LOG10,EXP,LOGM.
1Funcionandodeestemodo,essimilaraunacalculadoraprogramable,aunquebastantemasversatil.2Losargumentosdelasfuncionestrigonometricassiempreestanenradianes.2
0.84886216565827��x=cos(x)x=0.66083755111662��x=cos(x)x=0.78947843776687��x=cos(x)x=0.70421571334199Ejercicio1.5Repetirlaoperacionanteriorhastaqueseestabiliceelcuartodecimaldexdeunpasoalsiguiente.Ejercicio1.6Cambiarelformatoparaqueotravezseveansolocuatrodecimales.Ejercicio1.7Empezandoporx=100repetirlaoperacionx=x�(x2�81)=2=xhastaqueseconverjaenelcuartodecimal.�Querelacionhayentreelultimoxy81?Ejercicio1.8De nirAcomovuestroDNI.Empezandoporx=100repetirlaoperacionx=x�(x2�A)=2=xhastaqueseconverjaenelcuartodecimal.�Aquehaconvergidolasucesion?Avecesesbuenoapagaryencenderla"calculadora"paraborrartodoyempezardenuevo.Estosehaceconlaordenclear.Hayquetenercuidadoalutilizarlapuesnosolicitacon rmacion,ysusresultadossonde nitivos.��clear��x???Undefinedfunctionorvariable'x'.Ejercicio1.9PreguntarelvalordeAigualqueacabamosdepreguntarx.�Tienesen-tidoelresultado?2Manejodevectores.Paracrearyalmacenarenmemoriaunvectorvquetengacomocomponentesv1=0,v2=2,v3=4,v4=6yv5=8podemoshacerlocomponenteacomponente:��v(1)=0v=0��v(2)=2v=02��v(3)=44
Ohaceroperacionesentrecomponentes,v2v35:��v(2)*v(5)^3ans=1024Ejercicio2.1Calcularlasumadeloselementosdev,elementoaelemento.Paratrasponerunvectorunamatrizseusaelapostrofoqueeselacentoqueestaenlamismateclaqueelsignodeinterrogacion"?".��v'ans=-32468Comohemoscomentado,pararecuperarunaordenyejecutarlaotravezomodi carlaseusanla echasarribayabajodelcursor*,+.Presionemos*hastarecuperarlaorden:��v(1)=-3;Modi quemoslaparadejarelvalororiginal��v(1)=0;Alde niresevectorvde5componentes,enrealidadloquede nimosesunamatriz ladecincocolumnas,oseaunmatrizde1x5.Estolopodemoscomprobarsipreguntamoseltama~nodevutilizandolasentenciasize:��size(v)ans=15quenosindicaquevtieneuna lay5columnas.Ejercicio2.2De nirunnuevovectorqueseaeltraspuestodevyaplicaraesevectorelcomandosize.�Escoherenteelresultado?3Introduccionaltratamientodematrices.Haremosunaintroduccionalade nicionymanipulaciondematrices.Sesuponequehasseguidolaseccionanteriorydisponesdelosconocimientosbasicossobrelade nicionymanipulaciondevectoresusandoMatlab.De nirunamatrizesmuysimilaralade niciondeunvector.Parade nirunamatriz,puedeshacerlodandosus lasseparadasporunpuntoycoma(tenercuidadodeponerlosespaciosenblanco!):6
Ejercicio3.2De nirlamatrizD=2B�A.Tambienpodemosmultiplicarlas.��C=A*BC=1431372657694496117Ejercicio3.3De nirlamatrizD=B�AB.Ejercicio3.4De nirlamatrizC=AAt.Podemosde niralgunostiposespecialesdematrices,comoporejemplounamatrizde3x3quetengatodossuselementosnulos.��I=zeros(3)I=000000000Podemosmodi carsuselementosdiagonalesparatenerlamatrizidentidad,paralocualdebesusar*paramodi carlade niciondelprimerelemento,cambiandolosndicesparade nirlosdemas.��I(1,1)=1;��I(2,2)=1;��I(3,3)=1I=100010001Ejercicio3.5De nirlamatrizD=B�ABcomoD=B(I�A).Otraformadede nirlamatrizidentidadesatravesdelafunciondiag,querecibeunvectorqueconvierteendiagonaldeunamatrizcuyosotroselementossonnulos.��J=diag([111])J=100010001Ejercicio3.6De nirunamatrizDdiagonalcuyoselementossean�2,1,0:2y�0:7.Ejercicio3.7Pedirayudadelafuncioneye,yde nirlamatrizdiagonalde10x10.8
��C=B(:,2)C=247OqueDsealasubmatrizcuadradadeordendosinferiorderechadelamatrizA.��D=A(2:3,2:3)D=4578Unavezqueerescapazdecrearymanipularunamatriz,puedesrealizarmuchasopera-cionesestandar.Porejemplo,puedescalcularsuinversa.Tienesquetenercuidado,dadoquelasoperacionessoncalculosnumericosrealizadosporordenador.Enelejemplo,Anoesunamatrizregular,ysinembargoMatlabdevolverasuinversa,puesloserroresderedondeodurantesucalculoconvierteneninvertibleadichamatriz.��inv(A)Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=4.565062e-18ans=1.0e+15*-2.70224.5036-1.80145.4043-9.00723.6029-2.70224.5036-1.8014ConlamatrizBsqueesposiblecalcularsuinversa:��inv(B)ans=-3.00005.0000-2.0000-1.0000-1.00001.00002.0000-1.00000Ejercicio3.9De nirunamatrizdenombreB1comolainversadeB.MultiplicarBporB1yrazonarlacoherenciadelresultado.HayquecomentarqueMatlabdistingueentremayusculasyminusculas.Estepuedeserelorigendealgunasconfusionessimanejasalgoritmoscomplejos.��inv(a)???Undefinedfunctionorvariablea.10
135��B=[[123]'[247]'[358]'];lohareporeliminaciongaussianaconretrosustitucioncomo:��x=B\vx=21-1��B*xans=135Ejercicio5.1De nirunamatrizB2=BBt.Ejercicio5.2CalcularlosautovaloresdeB2.�Quetienendeespecialestosautovalores?Ejercicio5.3EncontrarlasoluciondelsistemalinealBBtx=vasignandoesasolucionalvectorx.Ejercicio5.4ComprobarlasolucionobtenidarealizandoelcalculoBBtx�v.PodemoscrearunamatrizaumentadaapartirdeBydelterminoindependienteyre-ducirlahastaconvertirelsistemaenunoequivalentetriangular:��BA=[Bv]BA=123124533785��BA(2,:)=BA(2,:)-2*BA(1,:)BA=123100-113785��BA(3,:)=BA(3,:)-3*BA(1,:)BA=123100-1101-12Lasegunda latieneelelementodiagonalnulo,asquehayquerealizarunapermutacionde las,premultiplicandoporlaidentidadpermutada:12
69��v-bans=-1-2-3Lamultiplicaciondevectoresymatricessiguereglasestrictas,igualquesusuma.Enelejemploanterior,losvectoressonambosvectorescolumnacontreselementos.Porsupuestoquenosepuedesumarunvector laconunvectorcolumna.Lamultiplicacionpuedeinduciraotroserrores.Elnumerodecolumnasdeloperandodelaizquierdadebeserigualnumerode lasdeldeladerecha(estoesequivalenteaunproductoescalardeestosdosvectoressilamatrizdeGrammeslaidentidad).��v*bErrorusing==*Innermatrixdimensionsmustagree.��v*b'ans=246481261218��v'*bans=28Muchasvecesqueremosrealizarunaoperacionconcadaunodeloselementosdeunvec-toromatriz.Matlabpermiterealizarestasoperacionesanivelelementodemodomuysencillo.Porejemplo,supongamosquequeremosmultiplicarcadaelementodelvectorvconsucorrespondienteelementoenelvectorb.Enotraspalabras,supongamosquequieresconocerv(1)b(1),v(2)b(2),yv(3)b(3).Seraestupendopoderusarelsmbolo""puesenrealidadestamoshaciendounaespeciedemultiplicacion,peroco-moestamultiplicaciontieneunsentidodiferente,tenemosquepensaralgodiferente.LosprogramadoresquecrearonMatlabdecidieronusarelsmbolo""pararealizarestasope-raciones.Dehecho,puedesponerunpuntodelantedecualquiersmboloparasigni carquequeremosquelasoperacionesserealicenelementoaelemento.��v.*bans=2818��v./bans=0.500014
7Creaciondegra cas.Enestaseccionpresentamosloscomandosbasicosparacrearrepresentacionesgra casdefunciones.Paramostrarelusodelcomandoplot,utilizaremoslafuncionsenoysudesarrolloenserieentornoalcero,x�x3=6.Seleccionamoselpasodelvectordemuestreoxparapintarlagra caysusvaloressuperioreseinferiores.��h=0.1��xmin=-2;��xmax=2;��x=xmin:h:xmax;��yseno=sin(x);��ytaylor=x-x.^3/6;Ahora,tenemosenlosvectoresysenoeytaylorlosvaloresrealesylosvaloresaproximadosatravesdeldesarrollo.Paracompararlos,dibujamoslosvaloresexactossuperpuestosconlosaproximadosdadosporpuntosverdes'o'.Elcomandoplotseutilizaparagenerargra casenMatlab.Admiteunagranvariedaddeargumentos.Aqusoloutilizaremoselrangoyelformato,ylaposibilidaddepintardoscurvasenlamismagra ca.��plot(x,yseno,'go',x,ytaylor);Ejercicio7.1Enlaventanaenlaqueaparecela gura,seleccionarEdit,CopyFigure.AbrirunnuevodocumentodeWordypegarla guraenesedocumento.Tambienesbuenaideapintarlafuncionerror:��plot(x,abs(yseno-ytaylor),'mx');Elsiguienteejemplo,tambienmuestralautilizaciondelcomandodepeticiondeayuda,helpqueseaplicaacualquiercomando,enparticularalcomandoplot.Comopodeiscomprobarlaayudaesmuycompleta.��plot(x,y,'rx')��helpplotPLOTPlotvectorsormatrices.PLOT(X,Y)plotsvectorXversusvectorY.IfXorYisamatrix,thenthevectorisplottedversustherowsorcolumnsofthematrix,whicheverlineup.PLOT(Y)plotsthecolumnsofYversustheirindex.IfYiscomplex,PLOT(Y)isequivalenttoPLOT(real(Y),imag(Y)).InallotherusesofPLOT,theimaginarypartisignored.Variouslinetypes,plotsymbolsandcolorsmaybeobtainedwithPLOT(X,Y,S)whereSisa1,2or3characterstringmadefromthefollowingcharacters:16
8Conjuntosdeordenes.Enestaseccionexplicaremoscomoreunirordenesen cherosejecutablesdesdelalneadecomandosdeMatlab.Ellopermiterealizaroperacionesmascomplejas,yesmasfacilrepetirestasoperaciones.Porejemplo,podemostenerunconjuntodesentenciaspararealizarlasaproximacionesygra casanteriores,peropodraserinteresanteusaresasmismasordenespararesolverotrasecuaciones.Loprimeroquehacemosesejecutarclearparaborrarlasvariablesactivas.Comoejemplodamosel cherocorrespondientealdibujodelasgra casanteriores.Paraejecutarloscomandosdel cherosedebeespeci carelintervaloentrelosvaloresdelasabscisasenelmuestreo.Deestemodo,puedesconstruirin nidaddeaproximacionesvariandoesteparametro.Primerohayquecrearel chero.EleditormasconvenienteeselquetraeincorporadoelpropioMatlab.Esteeditoresmuysimpleysu cienteparaestetipodeaplicaciones.Apartirdelaversion5,vieneincorporadoalpropioMatlab.Los cherosejecutablesdeMatlab,losM- les,debentenerlaextension".m".Enesteejemplocreamosun cherodenombretutorm.m.ParaqueMatlabejecuteloscomandosenel cherosolamentehayqueejecutarelcomandotutorm.Este cherolopodeisguardardondequeraisperoteneisquedecirleaMatlabdondeesta.Estosehaceindicandolarutadelarchivoenelpathbrowser.Pordefecto,siloguardaiseneldirectorio..nmatlabnbin,Matlabloencontrara4.Unavezqueeleditorapareceenlapantalla(File,New,M- le)setratadeirescribiendoy/ocopiando-pegandoloscomandosnecesarios.Debeistenerencuentaquecuandounasentenciacomienzapor%,entoncesesqueesuncomentario,ynosevaaejecutar.Portanto,enesteejemplo,noesnecesarioreproduciresaslneas.%file:tutorm.m%Senoydesarrollodelseno.%%Paraejecutarlotienesquefijarelpaso%h:intervaloentrelasx%%Larutinageneratresvectores,xconlasabscisas,ysenocon%elsenoevaluadoenesasabscisas,eytaylorconeldesarrollo%hastaelterminocubicodelsenoentornoalcero.%xmin=-2;xmax=2;x=xmin:h:xmax;yseno=sin(x);ytaylor=x-x.^3/6;
4SiutilizasMatlabenelcentrodecalculoolaboratoriodetufacultad,probablementenotengaspermisodeescriturasobreesedirectorioynopuedasguardarahtus cheros.Enestecasoloquetienesquehaceresguardarlosenlacarpetaquecreasoportunoeincorporaresacarpetaalarutadebusqueda(path),bienconelcomandopathoconeliconocorrespondiente18
Ejercicio8.3CrearyejecutardesdeMatlabun cheroquesellameCURVATY.mconunasecuenciadecomandosquerealicenlasoperacionessiguientes:1.Borrartodaslasvariablesactivasdelamemoria.2.De nirunvectortcuyaprimeracomponenteseala-4,quetengaunincrementoentrecomponentesde0.05ytermineenelpunto1.3.De nirunvectoryapartirdecadacomponentedelvectortreciende nidocomo:y=5e�t2+sin(10t)4.Dibujarlacurvat;yconconequisrojasyconunaretculaincorporada.20

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