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ecuaciones. En los sistemas de inecuaciones vamos a encontrarnos con dos inecuaciones de primer grado. Resolver el sistema consiste en encontrar los valores que verifican a la vez ambas ecuaciones . Por ejemplo en el problema de la mesa , aunque no se dice nada podemos


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ECUACIONES E INECUACIONES 1. INTRODUCCIÓN ¿ Qué son?
representan problemas reales , por ejemplo : me he comprado dos paquetes de ch
No os costara mucho saber cuánto dinero le queda. Efectiviwonder cada paquete le costó 125Ptas. Habéis resuelto una ecuación
La ecuación que representa matemáticamente el problema anterior es: 300502
x

Al valor obtenido ( 125) se le llama solución de la ecuación y es el único valor posible que concuerda con la ecuación de primer grado propuesta. Si la ecuación fuese de segundo grado
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
Pero, ¿y las inecuaciones? .
≥≤uaciones lo que ocurre es que son menos concretas, pues ,en general , las soluci, ni dos , ni tres. Pueden incluso ser infinitas. Por ejemplo: mano y con seis palmos me quedo corto” ¿ que se puede saber de laede saber cuanto mide mi mano .Pero is veces mi mano es mas corto que los 140 cm de la mesa).
la inecuación de primer grado:
23.3xx luego 140;6x<ŸEl significado de las soluciones ahora cambia y se puede interpretar diciendo que la palma de mi mano(que es la incógnita x) puede tener cualquier longitud menor que 23,3cm (puede ser 23,1cm o 22cm o 22,5cm o 17cm o 19,546cm , etc….Vemos 23,3cmx
q
ue ha
y
realmente infinitas
p
osibilidades.
la hora de expresar las ¿Cómo nos lo montamos para indicar que los números que verifican la más? ( todos los números más pequeños que 23,3)
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001

indicaran desde donde hasta donde En el ejemplo anterior las soluciones pueden ser ( en teoría ) cualquier número En la práctica una mano no puede medir 0cm , ni tampoco –2cm , pero esa es otra historia que tiene que ver con el necesita un paso más : Sistemas de inecuaciones poco diferentes a los sistemas de ecuaciones.

En los sistemas de inecuaciones vamos a encontrarnos con dos inecuaciones de primer grado. Resolver el sistema consiste en Por ejemplo en el problema de la mesa , aunque no se dice nada podemos
1407>Ÿ>Ÿ>xxPodemos plantear entonces el siguiente sistema de inecuaciones
14071406
x
Las soluciones de cada inecuación por separado son, como ya sabemos
323
x
x
Las soluciones del sistema serán aquellos números que verifiquen a la vez dos soluciones individuales. A veces no existe solución ;supongamos por ejemplo qu�e nos sale que x 3 y x hay ningún número que sea , a la vez, números comprendidos entre
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
Supongamos la siguiente ecuación de primer grado:
paréntesis o corchetes”existen. Para ello: operamos dentro de
x1x53x−−=incógnitas y al otro los números restando y viceversa).
Cada lado de la igualdad por
separado

543326−−⋅−xxx543626−−xxxx
5467−el 6 y el 7 que dividen pasan al otro lado de la igualdad multiplicando >]>546677−⋅=⋅
1273
obteniéndose
7312x30244249−=



(1)
xx−•−−=15523
5423−=xx
5423−=xxx
(3) buscamos el común
denominador en ambos lados de la
igualdad

30242131442−
xxx302421421442−
xxxx423024211442−=
xxxx
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
Ya sabemos que toda expresión del tipo ado. Resolver esta ecuación consiste en encontrar los valores de x que hacen que la expresión sea cierta . –2x–3=0 las soluciones son los –2x–3 hacen
acbb−±−Mucho cuidado pues al sustituir a, b y c por los valores correspondientes hayque tener en cuanta los signos de estos. En la ecuación : ()()()
1231422
−••−−±−−
1242±
162
42

x;42
x = 3

x;42
x = –1
a =
1
( aunque no haya ningún número que acompañe al x
APÉND
Ciertas ecuaciones de segundo grado se resuelven con otros métodos distintos del anterior , son aquella en las que falta bien o bien de la ecuación + bx + c=0 ( no viene al caso que falte ax pues entonces no es una ecuación de segundo grado) Tendremos entonces que:

Si falta bx es ax
acx
2 ;
±= ; ; 012=−12
212x ;
±= Si falta c es+bx = 0 ( ax + b ) =0 dos posibilidades Por ejemplo 02=−
02
xx Entonces bien x = 0 o bien ( x–2 ) = 0 ; x = 2

© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
Bien x = 0 o
bien es , es decir x= -b/a
Ya sabemos que para resolverlas hay que aplicar los mismos pasos que para resolver ecuaciones . Hagamos alguna
115x2x1351x≤
1154241351
xx46081351≤
xxx4601359≤−xx1346059
≤−xx171
; Aquí está la única diferencia con el modoecuación cambiaríamos sencillamente el signo y ya está. Pero en inecuaciones esto va a implicar algo más.
≤−
. Esta es la solución de la inecuación, escrita en forma de intervalo será [17 , +) , es decir , todos los Un sistema de inecuaciones no es máprimer grado que deben cumplirse a la vez separado, cada inecuación de primer grado y luego comparar las soluciones para buscar sólo aquellas que cumplan las dos inecuaciones ala vez. Si tenemos el sistema las soluciones son
mayores que uno . Las soluciones del sistema serán sólo los números que sean , a la vez , menores que dos y mayores que unolos comprendidos entre uno y dos .
3x 00;x–10
x
la solución del sistema es pues el intervalo (1, 2)
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
conocer los valores que hacen que una El caso más sencillo es el siguiente : “Para que valores es positivo x” Pero se puede hacer la misma pregunta para expresiones del tipo (x–a), por ��respondida si resolvemos la inecuación x–30 cuya solución es x3 , o en Según esto la expresión (x–3) es posiVemos que resolver la inecuación� ( x–3 )0 nos ha dado la información que buscábamos , pero no sólo eso pues nos cuando no sea positivo� luego , como x3 son los valores que hacen positivo (x–3) , entonces para los xá(–) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 El estudio de signos de expresiones del tipo ( x–a) se usa además como
¿Para que valores de x es positiva la expresión ( x–3)?”
Valores de x que hacen que ( x–3 ) sea
positi
vo
Valores de x
q
ue hacen
q
ue
(
x–3
)
sea ne
g
ativo
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
6. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
>≥≤ooPara resolverlas hay que factorizar el ibir el polinomio como producto de factores del tipo (x–a). Factorizar unPor ejemplo , si el polinomio es x–6x+8 , entonces aplicando
acbb−±−2 y x = 4 . Esto quiere decir que : –6x+8 = ( x–2 )086≤−xxEl problema se puede afrontar desde el siguiente punto de vista ¿qué valores
Vemos que el problema se puede plantear de signos .Pero la expresión x–6x+8 ,tal cual , no nos permite hacer nada ; por forma más conveniente para estudiar los ()()042≤−•−xxQue se puede traducir diciendo “ el producto de (x–2) por ( x–4) debe ser un gnos en la multiplicación sabemos que negativo estas dos deben tener signos distintos Bien , pues eso es lo que tenemos que hagrado. Estudiamos los signos de los factores por separado ( como se explicó en signos de los factores son distintos
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
Buscamos los valores que hacen
042
xxx&#x/MCI; 31;&#x 000;&#x/MCI; 31;&#x 000; &#x/MCI; 32;&#x 000;&#x/MCI; 32;&#x 000;Es fácil ver la certeza de este resultado , por ejemplo si tomamos el valor x= 3
Si
g
nos de
(
x

2
)

Si
g
nos de
(
x

4
)

Signos del producto ( x–2 )( x–4 )
Si la inecuación hubiera sido
042
xxla respuesta vendría dada por las zonas donde (x–2) y ( x–4) tienen el mismo signo
,,42
© Juan Ignacio Sierra Sánchez 2001
Podemos representar los números reales cada punto se corresponderá con un número real: +números positivos, es decir , todos los que son mayores que cero. Si miramos la esos números están comprendidos entre el cero y ) que representa al conjunto de números que nos interesabae infinito , es decir ,los positivos. extremos del intervalo y puede que también queramos que formen parte de nca van a poder ser seleccionados )
……………………….-4,3 -3 -2 -1 0 (0.6) 1 2 3………………….
Cuando queremos seleccionar unos determinados valores

intervalos. : Aquellos en los que losEjemplo : El intervalo
3 , 1- todos los números desde
, pero ni
-½ 3
……………………….-4,3 -3 -2 -1 0 (0.6) 1 2 3………………….
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: Aquellos en los que losesto usaremos corchetes en lugar Ejemplo: El intervalo
3 , 21 todos los números desde
21 hasta 3, incluidos
-½ 3
……………………….-4,3 -3 -2 -1 0 (0.6) 1 2 3………………….
Ejemplos: (1) El intervalo
3 , 21 todos los números desde
, incluido
incluir al 3. -½ 3 (2) El intervalo
3 , 21 todos los números desde
, incluido el 3 , incluir al
-½ 3
……………………….-4,3 -3 -2 -1 0 (0.6) 1 2 3………………….
……………………….-4,3 -3 -2 -1 0 (0.6) 1 2 3………………….
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CUESTIONES: de ese intervalo y cuales no: ½ 3 1,3 Representa en un intervalo el rango de las horas que te pasas viendo la tele( algunos días la verás más y otras menos ) EJERCICIOS :Resuelve las siguientes inecuacionexpresa las soluciones también con intervalos Resuelve las siguientes inec032<−xx04≥−
>•−)(xx
213x1b1c 3x
43x1d
74
( aquí no pongo los intervalos , averígualos tú)
el intervalo (0,1) el intervalo
2a ( -3, 1) 2b
,,22
∞−,,
21
22
33
2
x
a.
≥−−4552
xx
3213xx−≤
12−≥−xxxx

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