Apuntes de Ecuaciones Diferenciales - people Virginia EDU

ecuaciones diferenciales va a tener solución única, pues talunicidadgeneralmentese interpreta como la presencia de causalidad o determinismo enelsistema. La segunda parte del curso sigue dedicado a la resolución de ecuaciones diferenciales, sin embargo, las ecuaciones a las que se dedican, que son las lineales, son tan importantes


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Òfunci—nÓquepuedetomarvaloresinÞnitos,siempreycuandolohagabajoreglasestric-tas.ConlasfuncionesgeneralizadasesposibleextendermuchastŽcnicasdelc‡lculo,porejemplo,hallarlaÒderivadaÓdeunafunci—nenunpuntodediscontinuidadoaplicarunimpulsoinst‡ntaneoaunapart’cula.Elrepresentantem‡simportantedelasfuncionesgeneralizadasesladeltadeDirac,yconellaser‡m‡squesuÞcienteparaloquesevaahacerduranteelcurso.Laotrageneralizaci—ndefunci—neselconceptodetransforma-da,queseinterpretar‡comoenviarunafunci—ndeunespacioaotro.Latransformadaqueseestudiar‡esladeLaplace,quecomosever‡luegotomaunafunci—nose–aldeldominiotemporaleneldominiodefrecuencia.LaTransformadadeLaplaceesunadelastŽcnicasm‡seÞcientespararesolverlosllamadosLTI,lineartimeinvariantsystem,yapartirdelteoremadeconvoluci—ntalessistemasest‡nresueltosenelmomentoquesehallelallamadafunci—ndetransferenciadelsistema.Finalmente,seestudiar‡nlasseriesdeFourier,quedeformasimilaralatransformadadeLaplace,consisteenestudiarunafunci—nentŽrminosm‡ssimples.Enestecasolaideaser‡tomarunafunci—nperi—dicaydescomponerlaentŽrminosdesusarm—nicos,esdecir,descomponercualquierse–alcomounasuperposici—ndesenosycosenosdedistintasfrecuencias.LosmŽtodosdeFouriersonabsolutamenteindispensablesentodoslosfen—menosqueinvolucrenondasuoscilaciones,aunqueenelcursonosever‡suformam‡spoderosa,latransformadadeFourier.Luegoseutilizar‡nlasseriesdeFourieryotrastŽcnicasvistasduranteelcursopararesolverlasecuacionesdiferencialesparciales.Estasecuacionessonlasm‡simportantesdetodasporlagranvariedaddefen—menosque
1513.3.2.ExponencialdeunaMatriz......................1733.3.3.Variaci—ndePar‡metros........................1764.Soluci—ndeEcuacionesDiferencialesporMediodeSeries184
+c1=x2+c2(1.1.6)dondec1,c2sonconstantesdeintegraci—nqueresultandecadaintegraci—nparticular.SepuededeÞnirc!c2"c1comolaconstantegenŽricadelproblemaparaobtenery(
1.1.9quecumplelacondici—nanterioresy0(x)=x2.Talescondicionessellamar‡ncondicionesinicialesyelproblemaseconocer‡comounProblemadeValorInicial(PVI).ElmŽtodogeomŽtricoconsisteeninterpretarlaecuaci—ny!=2x(1.1.10)atravŽsdelsigniÞcadogeomŽtricodeladerivada.Primeroquetodo,comosebuscaunafunci—ny(x)sepuederealizarundibujodelplanoxy:lasoluci—nvaaserunafunci—n,odeformam‡sgeneral,unacurvasobreelplanoxy.Luego,comoladerivadaeslapendientedelarectatangentealafunci—n,
!x
2"du$=sin!x2
(1.1.23)Talesecuacionesaparecenendistintosproblemasmatem‡ticosyf’sicoscomosemuestraacontinuaci—n.1.1.2.1.ProblemasGeomŽtricos1.1.2.1.1.TrayectoriasOrtogonalesSupongaquesetieneunafamiliadecurvasquedependendeunpar‡metroysebuscanhallarlascurvasquesonperpendicualresalafamiliayc.TalescurvasperpendicularessellamanlastrayectoriasortogonalesalafamiliaparamŽtricadecurvas.Ahorabien,ÀquŽsigniÞcaquedoscurvassonortogonales?SigniÞcaqueenlospuntosenqueseintersecan,lasrectastangentescorrespondientessonperpendiculares.Ahorabien,degeometr’aeucl’deasesabequedosrectasconpendientesm1,m2sonperpendicualressiysolosi
(1.1.24)Ahorabien,silacurvaortogonalesy(x),dadoquelaspendientesdelasrectastangentes
x)=y(x)(1.1.27)porloquec=y(x)x5(1.1.28)2
(1.1.30)observequeantesderesolverlaecuaci—nhayquesustituirelvalorde
seinterpretacomolapoblaci—ndeunaespecieenpresenciaderecursosilimitadosysinpredadoresentoncessetomayaqueconformelapoblaci—n
$tsea–adealacuentaunacantidaddedinero$D(t)=kD
+$t)=D(t)+$D(t)=D
expuestoaunmedioambientecontemperaturaTe.SielambienteeslosuÞcientementegrande,sepuedetomarTecontanteyquesoloelobjetovaasufrircambiosdetemperatura.Asuvez,tambiŽnesnaturalsuponerqueelcambioentemperatura,esdecir,dTdt,dependesolamentedeladiferenciasentrelatemperaturadelobjetoyladelambiente,esdecir,
Td÷t"k(T"Te)=
÷t+c
"÷t(1.1.50)enelcasodeque÷�T1sepuedeescribirlasoluci—n÷Tece"÷t
"ece
t"%&latemperaturatiendealatemperaturaambiente,esdecir,paratiemposgrandes,latemperaturaambienteyladelobjetosonindistinguibles.PorlotantosepuedeescribirT(t)=Te+Tt(t)(1.1.55)dondeT
locualsigniÞcaquelapoblaci—ncreceparavalorespeque–osmientrasquesi�NN#entoncesdNdt0locualsigniÞcaquelapoblaci—ncomienzaadisminuir.Porlotanto,N#funcionacomounvalorpoblacionalcr’tico,enelsentidodequeelcomportamientodelapoblaci—ndependedecomosecomparelapoblaci—nactualconrespectoatalvalor.Aligua
(1.1.58)Antesderesolverlaecuaci—nconvienerealizarunpocodean‡lisiscualitativosobrelasoluci—n.Unaopci—nestrazarelcampodedireccionesenelplano,sinembargo,otratŽcnicabastanteœtilesladetrazareldiagramadefase,queconsisteengraÞcard÷Nd÷tcomofunci—nde
=1locualsigniÞcaque÷N=1esunequilibrioestable.Conestadiscusi—npreliminaryasetieneunaideasobrequŽcosasesperarenlasoluci—nporloqueseproceder‡aresolverla.Primerosereescribe1.1.58comod÷N÷N&1"÷N'=N#d÷t(1.1.60)EldenominadorsepuedesepararconlatŽcnicadefraccionesparciales,esdecir,sereescribe1÷N&1"÷N'=A÷N+B1"÷N(1.1.61)dondeA,Bsonconstantespordeterminar.Enestecasoesf‡cilverqueA=B=1funcionaporloquelaecuaci—ndiferencialsereescribecomod÷N÷N+
(N'=N#÷t+c(1.1.63)obien÷N1"÷N=CeN!÷t(1.1.64)Þnalmentelaecuaci—nsepuedeescribircomo÷N(÷t)=CC+e"N!÷t(1.1.65)Luego,lasoluci—nenfunci—ndelasvariablesoriginalesesN(t)=CN#C+e
0,entoncessetienequeN
N0+(N#"N0)e
,esdecir,todaslaspoblacionesseaproximanalvalordeequilibriotalcomosehab’ainferidodeldiagramadefase.Enresumen,Unaecuaci—ndiferencialordinariadevariablesseparablesesunaecuaci—ndiferencialdelaformay!=f(x)g(y)(1.1.70)Lasoluci—nparamŽtricadelproblemaanterioresög(y)dy=öf(x)dx+c(1.1.71)donde
d2ydx2+y=0dydx=xy1/2&d3xdt3'2+x2="1!2y!t2"!
F(x,y,y!)=y!"xy1/2&d3xdt3'2+!dxdt"2="1F(t,x,x!,x!!,x(3))=!x(3)"2+(x
quesatisfaga1.2.3,esdecir,quecumpla
))=0(1.2.5)Laecuaci—ndiferencialest‡enformanormal
t,x)="sint+x2d2ydx2="yf(x,y,y!)="ydydx=xy1/2f(x,y
%dxdt
(0)=0(1.2.9)Esf‡cilverÞcarquey(x)=0yy(x)=116x4sondossolucionesdelPVIanterior,esdecir,nohayunicidadenelPVIanterior.Ahorabien,esimportanteencontrarcondicionesmatem‡ticasquegaranticenlaexis-tenciaylaunicidaddelosPVI.EstoporquelaunicidaddeunPVIest‡int’mamenteconeldeterminismoycausalidadenlanaturaleza,esdecir,laideadequeelestado
x,y
(1.2.10)Enelcasodequef(t,x)seaunafunci—ncontinuay!f!xexisteyescontinuaentoncesexisteunintervalocentradoent0,esdecir,unintervalodelaformaI=(t0"h,t
d2x
x(t),y(t).Engeneral,unadelasven-tajasdelasODEsesqueintroduciendonuevasvariablessiempreesposiblereducirlasasistemasdeprimerorden,esdecir,sistemasdeecuacionesdondelasvariablesaparecenderivadasalosumounavez.Porejemplo,paraesteproblemaparticularseutilizanlasvariablesx1!x
0x1x2x3x41223úx=.//0úx1úx2úx
//0x1x2...xn12223úx=.//
h,t0+h)deformaqueelPVIanteriorposeeunaœnicasoluci—nx(t)=(deÞnidasobre
0paratodot,encuyocasounasoluci—ndelaecuaci—núx=f(t,x
I=()siycomofunci—ndexsobreelintervaloI,paraencontrarelintervaloIbastaporelTeoremadelafunci—nimpl’citaveriÞcarque!g!y#=0enunpunto(x0,y
=y"x2puederesolversedeformaexpl’cita,unaecuaci—ncomoy!=x"y2nopuederesolverseenformaexpl’cita(esdecir,confuncioneselementales)aœncuandosusoluci—nsepuedaaproximartantocomosequiera.1.3.1.EcuacionesHomogŽneasUnafunci—nf(x,y)dedosvariableseshomogŽneadegradonsif(!
)=NkTV(1.3.2)dondeN,ksetomancomoconstantes.Enestecasolapresi—neshomogŽneadegradoceropuesP(!V,!T)=Nk!T!V=NkTV=!0P(V,T)(1.3.3)2.Ladistanciadelpunto(x,y)alorigenesd(x,y)=4x2+y
(0,y
(1.3.8)donde
)y=ux(1.3.11)setienequey!=u!x+u(1.3.12)yporladiscusi—nanteriorlaecuaci—nsepuedeescribircomou!
=ylassolucionesalaecuaci—nsevanabuscarfueradetalrecta.Seutilizaelcambiodevariabley=ux(1.3.18)Luegoy!=u!x+u(1.3.19)Porotroladox+yx"y=x+uxx"ux
u=1+u1"u
(1)=1!2!1.5!1!0.500.511.52!2!1.5!1!0.500.511.52Figura1.3.2:CampodeDireccionesdelProblemaComolacondici—ninicialesenx=1porelteoremadeexistenciayunicidadsepuede
xyx2=
dx+(a2x+b
1,c2sonconstantes.Primeroquetodo,sic1=c2=0sepodr’areescribirlaecuaci—nanteriorcomounaecuaci—nhomogŽneadegradocerolacualseestudi—antes.Encualquiercaso,lasecuacionesa1x+b1y+c1=0a2
(1.3.41)elpunto(h,k)pasaaserelorigen,esdecir,elcambiodevariable1.3.41realizaunatraslaci—ndelosejesdeformaqueelnuevoorigeneselpunto(h,k
døx+(a2(ø
døy(1.3.42)Como(h,k)eraelpuntodeintersecci—ndelarectasa1h+b1k+c1=0a2h+b2k+c2=0(1.3.43)laecuaci—n1.3.42seconvierteen(a1øx+b
(1.3.45)donde
sonconstantesya1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0representanl’neasrectasqueseintersecanenelpunto(h,k)serealizaelcambiodevariable
(1.3.47)Ejemplo7.Resuelvalaecuaci—n(2x"y+1)
x"øy)døx+(øx+ø
døydøx=øy"2øxøx+øy(1.3.51)Ahoraseintroduceelcambiodevariableøy=uøx(1.3.52)porloquedøy
2ln!u2+2
1'2arctan#øy'2øx$="ln|øx|+C(1.3.59)Comoøx=x+13yøy=y"13seobtieneÞnalmenteunaformaimpl’citadelasoluci—n12ln5#3y"13x+1$2+26+1'2#3y"1'x+1)$+ln|3x+1|
(1.3.61)donde
"1)dx+(4x+6y+2)dy=0Serealizalasubstituci—nu=2x+3
+y=Culasoluci—nes2x+3y"1"8ln|2x+3y+7|+y=C(1.3.70)1.3.3.EcuacionesDiferencialesExactasSif(x)
x,y
Ahorabien,comparando1.3.72
"!xsiny"y2"dy=0.TomandoF1=cosyF2="xsiny+y2(1.3.86)severiÞcaquesecumple1.3.81"F
"f"x=F1=cosy"f"y=F2="xsiny+y
(1.3.89)dondelaconstanteenestecasopuedeserunafunci—ndeypuesconrespectoaxesunaconstante.Deestaforma"f"y="xsin
(y)=y33+c(1.3.92)ylafunci—nfesf(x,y)=xcosy+y
,sepuedeescribir1.3.99comodµµ=F(x)dx(1.3.100)eintegrandoestaecuaci—nseencuentraqueelfactorintegrantetienelaformaµ(x)=e«F(x)dx(1.3.101)Sielfactorµsoloesfunci—nde
dµµ=G(y)dy(1.3.104)eintegrandoestaecuaci—nseencuentraqueelfactorintegrantetienelaformaµ(y)=e
PrimeroquetodoF1=ex"sin
siny"dx+e"xcosydy=0(1.3.110)Estaecuaci—nesexactacomosepuedeveriÞcarf‡cilmente.Ahorahayqueresolver"f"x=1"e"xsiny"f"y=e"xcos(1.3.111)Integrandolaprimeracondici—nconrespectoaxsetienef=x+e"xsiny+g(y)(1.3.112)Luego"f"y=e"xcos
(x,y)=x+e"xsiny+c(1.3.116)porloquelasoluci—ndelaODEesx+e"xsiny=C(1.3.117)Ejemplo11.ResuelvalasiguienteODE!y3+xy2+y"dx+!x3+x2y+x"dy=0µ=µ
µ#dµdux$F1+µ"F1"y=#dµduy$F2+µ"F2"x(1.3.119)ComoF1=y3+xy2+yF2=x3+x2y+x(1.3.120)lacondici—nquedebecumplirµsetransformaen#dµdu
2+2xy+1"=#dµduy$!x3+x2y+x"+
(1.3.122)Porlotanto
x2"=3µ!x2"y2"(1.3.123)esdecirdµµ="3udu(1.3.124)Integrandoaambosladoseignorandolaconstantedeintegraci—nlnµ="u(1.3.125)Porloqueµ=u"3=(xy)"3!x"3+x"2y"1+x"3y"2"dx+!y"3+x"1y"2+x"2y"3"dy=0"f"x=x"3+x"
"2"f"y=y"3+x"1y"2+x"2y"3(1.3.128)Integrandolaprimeraecuaci—nconrespectoaxf="12x"2"x"1y"1"12x"2y"2+g(y)(1.3.129)Luego"f"
+g!(y)(1.3.130)yporcomparaci—nseconcluyequeg!(y)=y
yfser’af="
"12y"2+c(1.3.133)Lasoluci—ndelaecuaci—noriginales"12x"2"x"1y"1"12x"2y"2"12y"
)789:(input)(2.1.2)Algunasdelasecuacionesquesehanestudiadoanteseranasuvezecuacionesdiferen-cialeslinealesdeprimerorden.Porejemplo,laLeydeNewtondeenfriamiento1.1.42dTdt
Te)(2.1.3)sepuedereescribircomodTdt
(2.1.4)ElladoizquierdoenestecasosereÞerealcomportamientodelatemperaturadelsistemaquedependedelpropiosistema(porejemplo,laconductividadtŽrmicanovariar’adeexperimentoaexperimento)mientrasqueelladoderechoser’alafuenteatemperatura
x1=0úx2+p(t)
2)+p(t)(x
x3tambiŽnresuelvelaODEhomogŽnea2.1.5.Estaobservaci—neslaesenciadelPrincipiodeSuperposici—n.PrincipiodeSuperposici—n:Six1,x2
c1x1(t)+c2x
(t)dt+c
=0x(t0)=x0(2.1.19)esx(t)=
úx"2tx=0Nadam‡shayobservarqueenestecasop(t)="2tporloquepor2.1.18lasoluci—nesx(t)=Ce"«("2t)dt=Cet
xjuegaelpapeldetmientrasqueyjuegaelpapeldexporloquep(x)=3xypor2.1.18lasoluci—nesy(x)=Ce"«3x
dt'=p(t)e«p
p(t)dtdxdt+p(t)e«p
«p(t)dt'=e«p(t)dtq(t)(2.1.29)Estoconviertelaecuaci—nenunadevariablesseparablesyaqued&xe«p(t)dt'=e«p(t)dtq(t)dt(2.1.30)puedeintegrarsecomoxe«p(t)dt=öe«p(t)dt
(2.1.34)Enestecasop(t)="4tporloquee«p(t)dt=e"4«dtt=e"4lnt=1t4(2.1.35)Ahorasemultiplicapor
t4dxdt"4t
x(t)=t5et"t4et+ct4
aœncuandoduranteelproceso
x+y2
(2.1.43)enestecaso
2!ye"y+
2y"2+cey(2.1.49)2.1.2.ODELinealdeSegundoOrdenUnaODElinealdesegundoordenesunaecuaci—ndelaforma¬x+
x0=0esunpuntodeequilibriodelafuerza,esdecir,F(0)=0.Luegosepuederealizarunaexpansi—ndeTaylorparalafuerzaalrededordeceroyescribirF(x)=F(0)+dFdx
x+12d2Fdx2|x=0x
0porloquesepuededeÞnirk!"dFdx|x=0(2.1.53)deformaque&#x Tj ;T B;&#xT 10;&#x.909; 0 ;� 10;&#x.909; 37;�.92;&#x 591;&#x.099;
Tm;&#x /Tc;.0 ; Tf;&#x 000;k0yusandolaSegundaLeydeNewtonsellegaam¬x="kx(2.1.54)lacualeslaecuaci—nparaelMovimientoArm—nicoSimplem¬x+kx=0(2.1.55)Losc‡lculosanterioresindicanquesiemprequesetengandesplazamientospeque–osconrespectoaunequilibrioestable,lafuerzaqueactœasobreunapart’culapuedeescribirseatravŽsdelaLeydeHooke,F="kx.SisedeÞne%2
x789:sistema=F(t)m789:input(2.1.61)OtroejemploqueesœtiltenerenmenteeseldeuncircuitoRLCenserie.!"#$Figura2.1.1:CirucitoRLCLaleydeKircho!establecequeV=V
sonlasca’dasdepotencialatravŽsdelinductor,laresistenciaylacapacitanciarespectivamente.M‡saœn,VL=LdIdt(2.1.63)dondeIeslacorrientequeatraviesaelcircuitoyLlainductancia.PorlaleydeOhmVR=RI(2.1.64)donde
C(2.1.65)dondeCeslacapacitanciayqlacargaelŽctricaqueßuye.DadoqueI=dqdt
t)789:
|¬x+
sondoselementosdeS,esdecir,sondossolucionesde2.1.68,entoncesx3!c1x1(t)+c2x2(t)tambiŽnesunasoluci—nde2.1.68,esdecir,x3(t))S.PrincipiodeSuperposici—n:Six1(t),x2(t)sondossolucionesde2.1.68,entoncesx3!c1x1(t)+c2x2(t)tambiŽnesunasoluci—nde2.1.68,esdecir,Sesunsubespaciovectorialdelespaciovectorialdefuncionesdevariablereal.Ahorabien,comosesabedeçlgebraLineal,todoespaciovectorial(osubespaciovectorial)poseeunabase.Porlotanto,lapreguntaaqu’es:Àcu‡lesladimensi—ndeesdecircu‡ntasfuncionesformanlabasedeSyquŽsigniÞcatenerunabasedefuncionesparaunconjunto?Primeroquetodo,ençlgebraLinealungrupodevectoresv1,v2,ááá,vnsonlineal-menteindependientessiysolosilaœnicacombinaci—nlinealposibleentreelloseslanula,esdecir,sic1v1+c2v2+ááá+cnvn=0(2.1.70)dondec1,c2,ááá,cnsonnœmerosreales,entoncesnecesariamentec1=c2=ááá=cn=0.Parafuncioneslarelaci—neslamismasoloquedebecumplirseparatodoslospuntos
1f1(t)+c2f2(t)+ááá+cnfn(t)=0(2.1.71)paratodotenIesquec1=
tenI.Ejemplo16.Determinesif1(t)=et,f2(t)=e2
nuncaescero
=0(2.1.79)ysustituyendoestevaloren2.1.77sellegaac2=0ydeformasimilaren2.1.75sellegaac1=0,porlotanto,lasfuncionessonlinealmenteindependientes.48
)=0(2.1.83)luegosuponiendoquef1,f2sonderivablessetienetambiŽnquec1úf1(t)+c2úf2(t)=0(2.1.84)estasdosecuacionespuedenescribirseenformamatricialcomo
f2(t)úf1(t)úf2(t)$#c1c2$=#0
1(t)úf2(t)"f2(t)úf1(t)=0(2.1.86)dondeW(f1,f2)sellamaelWronskianodelasfuncionesf1,f2n
sonnfuncionesderivablesn"1vecessuWronskianosedeÞnecomoeldeterminantedelamatriz
f!n.........f(n"1)1f(n"1)2áááf(n"1)n)))))))))(2.1.87)Sif1,f2,
)=costentoncessuWronskianoes
x2"x2úx1(2.1.90)yladerivadadelWronskianoesúW=úx1úx2+x1¬x2"úx2úx1"x2¬x1=x1¬x2"x2¬x1(2.1.91)comox1,x2sonsolucionesde2.1.89entoncesúW=x1("púx2"qx2)"x2("púx1"qx1)="pW(2.1.92)porlotantoúW="pW(2.1.93)laecuaci—nanterioreslinealdeprimerordenysepuedeintegrarparaobtenerW(t)=Ce"
+p(t)úx+q(t)x=0x(t0)=1úx(t0)=0*+,+-¬x+p(t)úx+q(t)x=0x(t0)=0ú
x(t0)=a
ax1(t0)"bx2(t0)=a"a=0úy(t0)=úx(t0)"aúx1(t0)"búx2(t0)=b"b=0(2.1.101)porlotanto,y(t)satisfaceelPVI*+,+-¬x+p(t)úx+
eraunasoluci—n
)+c2x2(t)(2.1.108)dondec1,c2
t)esunasoluci—nde2.1.109yx(t)esotrasoluci—nde2.1.109entonces¬x+
xp+p(t)úxp+q(t)xp=f(t)(2.1.110)Luegosepuedenrestarlasecuacionesanteriores(¬x"¬xp)+p(t)(úx"úxp)+q(t)(x"xp)=0(2.1.111)esdecir,xh(t)!x(t)"xp(t)(2.1.112)esunasoluci—ndelaecuaci—nlinealhomogŽneaasociada.Porlotantosepuedeescribirlasoluci—nx(t)comox(t)=xh(t)+xp(t)(2.1.113)ylasoluci—nhomogŽneapuedeescribirsecomoxh(t)=c
c2x2(t)+xp(t)(2.1.115)porlotantoSiseconocealgunasoluci—nxp(t)delaecuaci—n¬x+
x2(t)+xp(t)(2.1.117)dondex1(t),x2(t
xp(t)(2.1.118)dondexh(t)=c1x1(t)+c2x2(t)(2.1.119)representalasoluci—ngeneraldelaecuaci—nhomogŽnea.Antesdecomenzararesolverecuacionesdesegundoorden,esimportantetenerpre-sentequevaasermuyœtiltrabajarconnœmeroscomplejosyaquelasexponencialessonm‡sf‡cilesdederivareintegrarquelossenosycosenosylaf—rmuladeEulereit=cost+i
(2.1.121)Luego,siz(t)=x(t)+iy(t)(2.1.122)esunasoluci—ndelaecuaci—nhomogŽneaanteriorentonces
t)úz+q(t)z=0(2.1.126)entoncesRezeImzRezeImzsonlaparterealeimaginariadezrespectivamente.Esdecir,pararesolverunaecuaci—ndiferenciallinealhomogŽneapuedenbuscarsesolucionescomplejasyluegotomarlaparterealeimaginariaparaobtenersolucionesreales.TambiŽn,lasecuacioneslinealespresentanotroprincipiodesuperposici—n.SegundoPrincipiodeSuperposici—n:Supongaquesequiereresolverlaecuaci—n¬x+
g(t)(2.1.127)entoncessepuedenresolverporapartelasecuaciones¬x+
x+p(t)úx+q(t)x=g(t)(2.1.128)ysix
z(t)=emt(2.1.130)dondeseescribezpuescomosever‡mpuedeserunnœmerocomplejo.Luegoúz(t)=me
(2.1.134)comoesdeesperar,lanaturalezadelasoluci—nvaadepender
+'b2"4ac2am2="b"'b2"4ac2a(2.1.135)yesf‡cilveriÞcarquex1(t)=em1t,
em1t+c2e
esunasoluci—nde2.1.129.Comoseocupandossolucioneslinealmenteindependientessevaabuscarunasoluci—ndelaformax2(t)=u(t)x1(t)(2.1.138)dondeu(t)esunafunci—npordeterminar.Luegoúx2=úux1+uúx1¬x2=¬ux1+2ú
¬x1(2.1.139)ysustituyendoen2.1.129sellegaaqueu(t)tendr’aquesatisfacerlaecuaci—na(¬ux1+2úuúx1+u¬x1)+b(úux1+uúx1)+cux1=0(2.1.140)quesepuedeescribircomoa(¬ux1+2úuúx1)+búux1+u(a¬x1+búx1+c)=0(2.1.141)luegocomox1essoluci—nseeliminaelœltimotŽrminoyadem‡sseobtienea!¬uemt+2úumemt"+búuemt=0(2.1.142)luegopuedeeliminarseemtysellegaaa
2aporloqueseobtiene¬u=0(2.1.144)comosolointeresaunafunci—nquecumplalaecuaci—nanteriorpuedetomarseu(t)=tyentoncessetomax2(t)=temt,esf‡cilveriÞcarquex1,x2sonlinealmenteindependientes.Luegolasoluci—ngeneralesdelaformax(t)=c1emt+c2temt(2.1.145)3.Casob2"40:Enestecasolasra’cessonimaginariasm1=
!'4ac"b
em1tyz2(t)=em2t%z1(t)=em
em2t=e#t"it=e#te"it$=e#t(cos(&t)"isin(&t))(2.1.149)Luego,sedeÞnex1(
m="b±'b
"b"i
3=0(2.1.163)quepuedefactorizarsecomo
3=(2m+1)(m"3)=0(2.1.164)luegom1="12m2=3(2.1.165)comolasra’cessonrealesydistintaslasoluci—nesx(t)=c1e"12t+c2e3t(2.1.166)Ejemplo20.Resuelvalaecuaci—ndiferencial¬x"10úx+25x=0Enestecasolaecuaci—ncaracter’sticaes
porlotantolasoluci—nes
12xcos(2x)+c2
c2e"12xsin(2x)+2c2e"12xcos(2x)(2.1.174)porloque2=12+2c2(2.1.175)porlotantoc2=34y(x)="e"12xcos(2x)+34e"12xsin(2x)¬x+%20x=0
x(t)=;c21+c225c14c21+c22cos(%0t)+c24
(c1,c2)%Figura2.1.2:DiagramaLuego,x(t)=;c21+c22(cos)cos(%0t)+sin)sin(%0t;c21+c22cos(%0t"))(2.1.186)queusualmenteseescribecomox(t)=Acos(%0t"*)(2.1.187)dondeA*eslafase.Comosehavisto,ambasmanerassonequivalentesypuedeutilizarsecualquieradelasdos.Figura2.1.3:Gr‡Þcamovimientoarm—nicosimpleconper’odoPyamplitudATambiŽnesœtilgraÞcareldiagramadefase.De2.1.187úx(
#úxA%
=0(2.1.191)ylasra’cessonm="2&±44&2
x(t)=c1e"$tcos(%1t)+
t)!±Ae"$t(2.1.196)yaunqueelmovimientonoesestrictamenteper’odo,escomœnreferirsea%1comolafrecuenciadelmovimiento.Figura2.1.5:Curvamovimientosubamortiguado2.Caso%20=
1e"$t+c2te"$t(2.1.198)delostrescasos,elmovimientocr’ticamenteamortiguadoeselquepermitellegaralequilibriolom‡sr‡pidoposiblesinrealizaroscilaciones.Figura2.1.6:Movimientocr’ticamenteamortiguadoconú
e"$t+&2t+c2e"$t"
dn"1xdtn"1+ááá+a1(t)dxdt+a0(t)x=f(t)(2.1.202)Engeneral,sian(t)#=0,puededividirsepora
an"1(t)dn"1xdtn"1+ááá+÷a1(t)dxdt+÷a0(t)x=÷
i(t)an(t)÷f(t)!f(t)an(
puedeversecomounprocesodelasiguienteforma(laprimeral’neaeselprocesoabstractomientrasquelasegundaeselproceso
Df]%dfdtD+f(t)=sint%[Df]%Df(t)=cost(2.1.206)fDfdfdtDFigura2.1.9:DiagramaOperadorApartirdeDesposibleconstuiroperadoresasociados.Porejemplo,considerelaecuaci—ndiferencial
]%d2xdt2+t
Dn+an"1(t)Dn
Leslineal,esdecir,L(c1x1+c
1x1+c2x2tambiŽnessoluci—n,esdecir,Lx3=0.SegundoPrincipiodeSuperposici—n:Pararesolverlaecuaci—ndifernciallinealdeordennLx=f(t)+g(
2,ááá,xnsonnsolucionesdeLx=0entoncescualquierotrasoluci—nxhpuedeescribirsecomocombinaci—nlinealdetalessoluciones,esdecir,laformageneraldelasoluci—nhomogŽneaesxh=c1x1+c2x2+ááá+c
ááá+a1dxdt+a0x=0(2.1.224)seplantealaecuaci—ncaracter’sticaasociadaanmn
ááá,mssonlassra’cesdistintasyr1,r2,ááá,rssonlasmultiplicidadesres-pectivas,esdecir,anmn
entoncesserealizanlossiguientescasos:!Silara’z
i,porlotanto,semezclanambassolucionesparaescribirlascomoe#itcos(&it),e#itsin(&it),te#itcos(&it),te#itsin(&it),ááátri"1e#it&it),tri"1e#itsin(&
"3m+2=0(2.1.229)quepuedefactorizarsecomom3"3mm"1)2(m+2)(2.1.230)porlotantolasra’cessonm1=1m2="2r1=2r2=1(2.1.231)Luegolasoluci—nseescribecomox(t)=c
+3m2+2=0(2.1.233)quepuedefactorizarsecomom
'2
(2.1.235)Luegolasoluci—nesy(x)=c1cos
lasecuacionesdelaformaLx=f(2.2.1)ParaelmŽtododecoeÞcientesindeterminados,seconsideraelcasoenqueeloperadorLsolotienecoeÞcientesconstantes,deesaformasepuedehallarprimerolaecuaci—nhomogŽneaconlaayudadelaecuaci—ncaracter’stica.Adem‡s,lafunci—nfdebeserun
+4m+4=0(2.2.2)comom2+4m+4=(m+2)2(2.2.3)lasoluci—ndelaecuaci—nhomogŽneaesxh(t)=c1e"2t+c2te"2t(2.2.4)Luego,porelsegundoprincipiodesuperposici—nsebuscanporseparadosolucionesdelasecuaciones¬x+4úx+4x789:=4t2789:input¬x+4úx+4x789:sistema=6et789:input(2.2.5)LaideadelmŽtododecoeÞcientesindeterminadosessuponerquelasoluci—ntieneunaformasimilaralinputquerecibelaecuaci—n.Porejemplo,paralaprimeraecuaci—nen2.2.5seintentaconunasoluci—npolinomialpueselinputesunpolinomio,esdecir,sepruebaconx1=At
)t+(2A+4B+4C)=0(2.2.9)paraquelaigualdadseav‡lidaparatodoslosvaloresdetcadacoeÞcientedebesercero,esdecir,seobtieneelsistema*+,+-4A"4=08A+4B=02A+4B+4
x1esx1(t)=t2"2t+3
¬x=Eet(2.2.14)ysustituyendoseobtieneEe
2(t)=23etx(t)=t2"2t+32+23et+c1e"2t+c2te"2
apareceenlasoluci—ngeneralhomogŽnea:entalcasosepropone
)=2
f(t)porlotanto,seproponeunasoluci—ndelaformaxp(t)=C1te3t+
3t"C4sint=3C1te
t)=3C1e3t+9C1te3t"C4cost+3(C1+3C3)e3t"C2sint=9C1te3t"C2sint+(6C1+9
t+(6C1+9C3"3C1"9C3+2C
,++++-2C1=2C2+3C4=33C1+2
32
sin
2e3t+910cost+c1e2t+c2et(2.2.29)CasoII:AlgœntŽrminodef(t)estk(k,0)vecesuntŽrminou(t
m+4=(m"4)(m
(t)=C1et+C1tet¬
1et+C1tet+C1et=C1tet+2C1et(2.2.33)ysustituyendoenlaecuaci—noriginal(C1"5C1+4C
83x(t)="83tet+c1e4
+x=e
2=0(2.2.37)Porlotantolasoluci—nhomogŽneaesxh(t)=c1et
u(t)=t0+2et=t2e
)(m+i)(2.2.42)porloquelasoluci—nhomogŽneaesyh(x)=c1cosx+c2sinx
ixe"ix+3eixe"2ix"e"3ix"8i="e3ix"e"3ix8i+3(eix"e"ix)8
cos3x.Porotrolado,eltŽrmino
xcosx+C4xsinxyp(x)=C1sin3x+C2cos3x+
C1cos3x"3C2sin3x
xsinx+("C
cos
úx+%20x=
%#=%0!Caso%#=
%20"%2cos(%t)+c1cos(%0t)+c
uenciasdiÞerenmuchoentonceselprimertŽrminonovaacontribuirtanto.Paraanalizarmejorlasitua-ci—n,sevaareescribirlasoluci—nenformaligeramentedistinta.Primeroquetodo,
Ay*=0,demodoquelasoluci—nsereduceax(t)=
(cos(%t)"cos(%0t))(2.2.62)Antesdecontinuar,esœtilrealizaralgunosexperimentosnœmericos.Porejemplo,
)=cos(t)"cos(3t)Aqu’esf‡cilobservarqueelmovimientoesperi—dicopueselcocientedelasfrecuenciasesunnœmeroracional.Sinembargo,sielcocientonoesracio
x(t)=cos!'
comoladiferenciaentrelasfrecuenciassetieneen2.2.62quex(t)=A($%)(2%0"$%)(cos((%0"!%)t)"cos(%0t))(2.2.63)utilizandolaidentidadcos'"cos&=2sin#&"'2$sin
%0"!
(t)!2A!%(2%0"!%)))))sin#t
"g(t)yg(t)r‡pidamente.Porejemplo,tomando%0=(y$%=0,1yA=10seobtienelasiguientegr‡ÞcaFigura2.2.3:Gr‡Þcax(t
=C1t%0t)+C2tsin(%0t)(2.2.67)derivandoúxp=(C1+C2%0t)cos(%0t)+(C2"C1%0t)sin(%0t)¬xp=C2%0cos(%0t)"%0(C1+C2%0t)sin(%0t)"C1%0sin(%0t)+%0(C2"C1%0t)cos(%0t)(2.2.68)sustituyendoen2.2.53setiene(2C2%0)cos(%0t)"(2C1%0%0t)=A
A2
)+c1cos(%0t)+c2sin(%0
I(t)quelacargaq(t)porloquederivandoconrespectoaltiempoen2.2.76yusandoqueI=úqsevaaresolverL¬I+RúI+1CI=i%V0ei&t(2.2.77)obviamentehayquehallarlasoluci—nhomogŽneaIh(t)yunasoluci—nparticularI
ono).Sustituyendo2.2.78
i&tsellegaa#R+i#%L"1%C$$I0=
amortiguamiento(esdecir,eltŽrminoresistivo)seencargadelimitarsucrecimiento.Parainterpretar+secompara
(nlocualsigniÞcaquelacorrientealcanzasum‡ximodespuŽsdelvoltaje2.Caso+
n"1tn"1dn"1xdtn"1+ááá+a1tdxdt+a0
+ááá+a1tdxdt+a
xdt2"2tdxdt"4x=0para�t0Serealizaelcambiodevariablet=euu=lnt(2.2.93)luegoporregladelacadenadxdt=dxdududt=dxdu1t
t2dxdu=1t2#d2xdu2"dx
m2"3m"4=(m"4)(m+1)=0(2.2.97)porloquelasoluci—nesx(u)=c1e4u+c2e"u(2.2.98)comointeresaenfunci—ndelavariableoriginalx(t)=c
(2.2.101)Ejemplo31.ResuelvaelPVI*+,+-4t2d2xdt2+17
xdu2"dx
m
c1t"1/2sin(2lnt)+c22t"
h(u)=c1eu+c2ueu(2.2.114)Paralaparticularsetomayp(u)=C1u+C2(2.2.115)ysustituyendoen2.2.112sellegaa"2C1+C1u
+c2ueu(2.2.118)yentŽrminosdexy(x)=lnx+2+c1x+c2xlnx
(2.2.121)entoncesotrasoluci—ndelahomogŽneax2puedehallarsesuponiendoqueesdelaforma(2.2.122)dondeu(t)esunafunci—npordeterminar.Primeroquetodoúx2=úx1u+x1úu¬x2=¬x1u+2úx1úu+x1¬u(2.2.123)ysustituyendoestasexpresionesen2.2.121seobtieneque¬x1u+2úx1úu+x1¬u+p(úx1u+x1úu)+qx1u=0(2.2.124)seagrupanlostŽrminosdelasiguienteformau#¬x1+púx1+qx1789:$+2úx1úu+x1¬u+px1úu=0(2.2.125)eltŽrminose–aladodaceropuesx1essoluci—ndelaecuaci—nhomogŽneaporloquelaecuaci—nsereduceax1¬u+(2úx1+px1)úu=0(2.2.126)sisehaceelcambiodevariablev!úu(2.2.127)laecuaci—neslinealdeprimerorden,esdecirx1úv+(2úx1+px1)v=0(2.2.128)sedivideprimeroporx1úv+#2úx1x1+p$v=0(2.2.129)yluegocomo
1x1+p"dt=x21e
(2.2.134)essoluci—nlinealmenteindependienteconx1delaecuaci—nhomogŽneaasociada.Denuevorecordarlaformadelasegundasoluci—nnoesnecesario,soloesimportantesaberelcambiodevariable.Supongaqueseconoceunasoluci—n
x2(t)puedehallarsetomandox2(t)=x1(t)u(t)(2.2.136)yresolverlaecuaci—nlinealqueapareceparaúu(t).Ejemplo33.Encuentrelasoluci—ngeneralde!2t2+1"¬x"4túx+4x=0dadoquex1(t)=tesunasoluci—ndelaecuaci—n.Sesuponequelasegundasoluci—nesx2=tu(2.2.137)porloqueúx2=u+túu¬x2=2úu+t¬u(2.2.138)Reemplazandoenlaecuaci—ndiferencialsetiene!2t2+1"(2úu+t¬u)"4t(u+túutu=0(2.2.139)obien!2t2+1"t¬u+!4t2+2"4t2"úu=0(2.2.140)ahorasehaceelcambiodevariablev=úu(2.2.141)pararesolver!2t3+t"úv+2
2t(2
v=e"2c1t"2!2t2+1"(2.2.149)comov=úuhayqueresolverdu=e"2c1!2+t
u=2t"
(2.2.153)2.2.4.Variaci—ndePar‡metrosDetodoslosmŽtodosquesehanvistopararesolverecuacioneslineal,elmŽtodode
(t)x1(t)+c2(t)x2(t)(2.2.156)88
p=úc1x
+2úc1úx1+c1¬x1+¬c2x2+2ú
+2úc1úx1+c1¬x1+¬c2x2+2ú
1úx1+úc2x2+c2úx2)+q(c1x1+c2x2)=f(t)(2.2.158)quesepuedeagruparcomoc1(¬x1+púx1+qx1)+c2(¬x2+púx2+qx2)+¬c1x1+2úc1úx1+¬c2x2+2úc2úx2+p(úc1x1+úc2x2)=f(t)(2.2.159)lasprimeral’neaesceroporquex
c1úx1+¬c2x2+2úc2úx2+p#úc1x1+úc2x2789:$=f
úx1+úc2úx2=f(t)(2.2.164)quepuedeescribirseenformamatricialcomo#x1
(t)$(2.2.165)queporlaregladeCramertienesoluci—núc1="x2f(t)W
(t)x2(t)(2.2.169)yseresuelveelsistema#x1x2úx1úx2$#úc
=x1f(t)W(x1,x
tPrimeroseresuelvelaecuaci—nhomogŽnea.Laecuaci—ncaracter’sticaesm2"4m+4=(m"2)2=0x1(t)=e2tx2(t)=te2t(2.2.173)luegoelWronskianodelassolucionesesW(x1,x2)=))))e2tte2t
(2.2.174)por2.2.171setieneúc1="te2t(t+1)
t+#t22+t$te2t=
2t+c2te2t(2.2.178)Ejemplo35.Encuentrelasoluci—ndey!!"3y+2y=sine"xEnestecasoecuaci—ncaracter’sticaesm2"3m+2=(m"2)(m"1)=0(2.2.179)porloquelassolucionesdelahomogŽneasony1(x)=exy2(x)=e2x(2.2.180)enestecasoelWronskianoesW(y1,y2)=))))exe2x
sin
(2.2.182)Paraintegrarlasecuacionesanterioressehaceelcambiodevariable
=«sinudu="cosu="cose"xc2=«e"2xsine"x
!"cose"x"ex+!e"xcose"x"sine"x"e2x="e2xsine"x(2.2.184)ylasoluci—ngeneralesy(x)="e2xsine"x+c1ex+c2e2x(2.2.185)2.3.Soluci—ndeotrasODEs2.3.1.Ecuaci—ndeBernoulliUnaecuaci—ndeBernoulliesunaecuaci—ndelaformay!+p(x)y=q(x)yn
"n=y4"%du=4
dydududx=14y"3u!(2.3.4)Porlotantolaecuaci—nseconvierteen14y"3u!+xy
!+4xu=4x(2.3.6)comoe«4xdx=e2
(2.3.11)Sip(x)=0laecuaci—neslinealmientrasquesir(x)=0laecuaci—nesdeBernoulli.
xsinxdx=e"2«sinx
x(u)
u2eu
2eu"2öueu=u2eu
xeu="3u2eu+6ueu"6eu
(2.3.36)ylaecuaci—noriginaly=x(1+
+6u"6+ce"u
y=xu+,(u)x+,!(
=y!+xy!!+3(y!)2y!!(2.3.42)luegohaciendoelcambiodevariableu=y!(2.3.43)hayqueresolver0=xdudx+3
es2.3.41,esdecir,y=xu+u3x="3u2u=±="
±x="13x±5="13
esunintervalodetiempomuypeque–o(medidoenminutos)entonceselcambiodesaleneltanquees$m(masaqueentra
V(t)=100,esdecir,t
Fr="kv(�k0).Asuvez,setomaencuentaelpesodelapart’cualdemasam,
+gmk$e"k
"kmt+c1(2.3.73)conlacondici—ninicialsetiene0="kmv0+gm2k2+
0+gm2k2$&1"e"kmt'(2.3.75)Laalturam‡ximasealcanzacuandodydt=v(t)=0,esdecir,usando2.3.71cuando0="mgk+#mkv0+gm
kln#gmkv0+gm$(2.3.78)Luegolaalturam‡ximaocurreeny(tm),esdecir,ym=gm2
k(sA,0"mx)(sB,0"nx)(2.3.80)dondeunaunidaddeC
t
dxdt=k(10"2x)(8"2x)=4k(5"x)(4"x)(2.3.81)Porfraccionesparciales1(5"x)(4"x)=14"x"15"x#14"x
x(0)=0setiene54=ec(2.3.86)porloque5"x4"x=54
x
k2x(3+x)(2.3.96)laecuaci—nesdevariablesseparablesporloquesepuedeescribircomodxx(x+3)=k
e32kt(2.3.100)porlotanto,lacantidadnodisueltaenfunci—ndeltiempoesx(t)=3ec1e32kt1"ec1e32kt(2.3.101)parahallarlosvaloresdelasconstantesseutilizanlascondicionesx(0)=5yx.Laprimeracondici—nimplicaque5=3ec11"ec1(2.3.102)porloqueec1=58x(t)=15e32kt8"5e32kt=158e"32kt"5
32k8
28kg(2.3.108)parab)primerosecalculax(3)=158e"3ln(3235)"5(2,74kg(2.3.109)porlotantolacantidaddisueltaenelaguaesx(0)"x(3)=5kg"2,74kg=2,25kg(2.3.110)ylaconcentraci—nser’a2,252kgL=1,125kgL(2.3.111)parac)silaconcentraci—nesdedoskilogramosporlitroscomohaydoslitrosdeaguaesosigniÞcaquesehandisuelto4kilogramosporloquedar’asolounkilogramosin
1x
u3=0(2.3.123)obienydudy="u2(2.3.124)comoesdevariablesseparablesseescribeenlaforma"duu2=dyy(2.3.125)integrandoaamboslados1u=lny+c1(2.3.126)locualda1y!=lny+c1(2.3.127)sepuederesolverimpl’citamenteyaquelaecuaci—nesseparablecomodx=(lny+c1)dy(2.3.128)comoölnydy=ylny"y(2.3.129)lasoluci—nÞnalesx=y
.Encuentralasoluci—nsingulardelaecuaci—nanterior.Determ’nela.ÀAfectalaexistenciadetalsoluci—nlaunicidadenelpuntoanterior?Elproblemaanteriorsepuedeescribircomoy!=f(x,y
y"2x+3,0obieny,2x"3(2.3.131)Ensegundolugar,como"f"y=12'y"2x+3(2.3.132)elteoremadeexistenciayunicidadpermitegarantizarunasoluci—nœnicacuando2'y"2x+3#=0,esdecir,cuandoy"2x+3#=0(2.3.133)porlotanto,launicidaddelasoluci—ndelPVI%y!'y"2x+3y(x0)=y0est‡garanti-zadacuandoelpunto(x0,y0
conociendoqueexeslasumadedossolucionesdelaecuaci—ndiferencialhomogŽneaPorelprincipiodesuperposici—nlasumadedossolucionesdelaecuaci—nhomogŽneavuelveasersoluci—ndelaecuaci—nhomogŽnealocualsigniÞcaqueexessoluci—ndexy!!"(2x"1)y!"(1"x)y=0(2.3.139)comopuedeveriÞcarsef‡cilmente.Ahorahayquehallarotrasoluci—nlinealmenteinde-pendientepara2.3.139.SeutilizaelmŽtododereducci—ndeorden,esdecir,setoma
x+uex=(u!+u)exy!!2=(u!!+u!)ex+(u!+u)ex=(u!!+2u!+u)ex(2.3.141)ysustituyendoen2.3.139x(u!!+2u!+u)
+u)ex"(1"x)uex=0(2.3.142)sepuedeeliminarexxu!!+(2x"2x+1)u!+(x"2x+1"1+
u!hayqueresolverxv!+v=0
porlotantoy2(x)=(
x+c2)ex(2.3.149)comosoloseocupaunasoluci—nhomogŽneasetomac1=1yc
(2x"1)xy!"(1"x)xy=exx
,y2)(2.3.152)PrimerohayquecalcularelWronskianodelassolucionesW(y1,y2)=))))exe
(2.3.153)Porlotanto
)=x(2.3.158)ylasoluci—nparticularesyp(x)=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)=(x"xlnx)ex+xexlnx
=0y(1)=0Primeroseescribelaecuaci—ncomo2xdx+!y2+2y+x
yF2=y2+2y+x2.Esf‡cilveriÞcarquelaecuaci—nnoesexactaporloquesevaaintentarconunfactorintegranteµ(y).Entalcasopor1.3.1031µdµdy
1µdµdy=1(2.3.163)esdecir,lnµ=
+2yey+x2e
(y)(2.3.168)porloque"f"y=x2ey+g!(y)(2.3.169)ycomparandocon2.3.167g!(y)=2yey+y2e
2y+2"ey=C(2.3.172)comodebecumplirselacondici—ninicialy(1)=0reemplazandoenlaecuaci—nanteriorseobtieneC=1porloquelasoluci—n(impl’cita)esx2ey+2(y"1)ey+!
.Enelinstanteenqueelobjetosesuelta,Žsteseencuentra14mpordebajodesuposici—ndeequilibrio.Determinelaposici—ndelobjetoencualquierinstante.PrimeroconsiderelasiguienteÞgura.Figura2.3.2:ResorteymasasuspendidaSevanamedirlasposicionesconrespectoalalongitudnaturaldelresorte,esdecir,lanoestirada.EnlaprimeraÞguraelresorteest‡ensulongitudnaturalyseacabadesuspenderlamasam.Luego,enlasegundaÞguraelresorteylamasallegaalanuevaposici—ndeequilibrioxeqquesecaracterizaporlacondici—ndequeelpesodelamasasecancela(segundaley)conlafuerzaderestituci—n,esdecir,mg=kxeq(2.3.175)obienxeq=mgk=4,9m(2.3.176)Enlaterceraimagenlamasaocupaunaposici—narbitrariax(t).PorlasegundaleydeNewton(ylaconvenci—ndeque
(2.3.180)obiend2xdt2+3dxdt+2x=2xeq(2.3.181)laecuaci—ncaracter’sticaasociadaesm2+3m+2=(m+2)(m+1)=0(2.3.182)porloquelasoluci—nhomogŽneaesxh(t)=c1e"2t+c2e"t(2.3.183)trivialmenteseobservaquexp(t)=xeq(2.3.184)esunasoluci—nparticulardelaecuaci—n(dehecho,estoesclarodesdeunpuntodevista
t+c2e"t(2.3.185)utilizandolascondicionesinicialesx(0)=xeq+14yúx(0)=0hayqueresolverelsistema%xeq+1
c2(2.3.186)quetieneporsoluci—nc1=
yx"alaecuaci—ndiferencialf!!yx"(y!x"y)=2x2
!x"y)=2x2g!yx"ef(yx)seconvierteenu!=2
porloquelaecuaci—nentŽrminosdex,uesu!=2g!f"1(u)"eu(2.3.190)locualesunaecuaci—nseparable.b)Enestecasosetoma
u"1)e"u=x2+C(2.3.195)obien"&yx+1'e"yx=x2+C(2.3.196)Ejemplo51.Muestrequeelcambiodevariabley=x&1+v1
=1+v1"v+x#v!(1"
y!
(1"v)2=4v(2.3.200)laecuaci—nqueresultaesseparabledvv=2dxx(2.3.201)obienlnv=2lnx+Cv=eCx2=C1x2(2.3.203)comoy=x&1+v1"v'setiene&yx'(1"v)=1+v(2.3.204)esdecir,v=yx"1yx+1(2.3.205)porlotantolasoluci—nesy"xy+x=
dy=0y
nparaqueseaexactaes"F1"v="F2"x(2.3.211)obienx="6nx(2.3.212)esdecirn="16(2.3.213)deestaformalaecuaci—nporresolveresxvdx"16&v
"f"v="16v"23+12x2(2.3.215)integrandolaprimeraecuaci—nf=12vx2+g(v)(2.3.216)porcomparaci—n"f"v=g!(v)="16v"23g(v)="12v13+c(2.3.218)porloquelasoluci—ndelaecuaci—nexactaes12vx2"12v13=Cy=vn=v"16v=y"6porloquelasoluci—ngenerales12y"6x2"12y"2=C(2.3.220)obienx2=
12du=dx
arctanx%1+x2u1/2enunadeBernoulliyresuŽlvaparaencontrarlasolu-ci—ndelaecuaci—noriginal.
yx+1"x21+x2yx=4'xarctanx'1+x2'y'x(2.3.229)simpliÞcandolaecuaci—nsellegaay!"2x1+x2y=4arctanx'1+x2'yn=12v=y12(2.3.231)obieny=v2(2.3.232)deestaformay!=2
v(2.3.234)locualeslinealv!"x1+x2v=2arctanx'1+x2(2.3.235)enestecasoseconsiderae"«x1+x2dx=e
x)2+C(2.3.238)porlotantocomov='ysetiene'y'1+x2=(arctanx)2+C(2.3.239)ycomoy=uxlasoluci—nentŽrminosdelasvariablesoriginaleses'ux'1+x2=(arctanx)2+C(2.3.240)Ejemplo55.Resuelvay!=2tanxsecx"y2sinxsabiendoque+(x)=secxesunasoluci—nDadoquelaecuaci—nesdeRiccatiserealizaelcambiodevariabley=secx+1u(2.3.241)deestaformay!=secxtanx"1u2u!(2.3.242)porloquelaecuaci—ndiferencialseconvierteensecxtanx"1u2u!=2secxtanx"sinx#sec2x
ax2+by2)Lacondici—nparaque-seaunfactorintegranteesenestecasoque""y!!x+x
=""x!yf(ax2+by2)"(2.3.250)aplicandolaregladelacadenaylaregladelproductosetieneque!4x2y+4y3"f!ax2+by2"+!x+x4+2x2y2+y4"f!(ax2+by2)(2by)=yf!(ax2+by2)(2ax)(2.3.251)llamandot!ax2+by2(2.3.252)laecuaci—nanteriorpuedeescribirsecomo4y!x2+y2"f(t)+!x+x4+2x2y2+y
4"dfdt
f=1
+x4+2x2y2+y4(x2+y2)2$dx+y(x2+y2)
g="12(x2+y2)+x+h(y)(2.3.262)porcomparaci—nsetienequeh!(y)=0(2.3.263)esdecir,lasoluci—ndelaecuaci—ndiferenciales"12(x2+y2)+x=C(2.3.264)Ejemplo57.Halleunafunci—nN(y)talqueh(x,y)=3xy2seaunfactorinte-grantedelaecuaci—n&xy2"1xy'dx+N(y)dy=0yresuŽlvalaComo3xy2esunfactorintegrantesetieneque""y#3xy
(2.3.268)multiplicandoporelfactorintegrantehayqueresolver
"dx"3xdy=0(2.3.269)Luegosebuscaunafunci—nquecumpla"f"x=3x2"3y"f"y="3x(2.3.270)Integrandolasegundaecuaci—nconrespectoaysetienef="3xy+g(x)(2.3.271)yporcomparaci—ng!(x)=3x2(2.3.272)porlotantointegrandoconrespectoaxg=x3+c(2.3.273)lasoluci—nes"3xy+x
g(x,y)=1y2cos(xy)+xysin(xy)"1y2(2.3.280)Finalmenteg(x,2011)=120112cos(2011x)+x2011sin(2011x)"120112(2.3.281)Ejemplo59.Determinelasoluci—ndelaecuaci—ndiferencialyy!!=y
|=x+c(2.3.292)laprimeracondici—ninicialdicequey(0)="12,esdecir,1
4"C2(2.3.295)deestaformaC="32(2.3.296)luegoen2.3.293"23ln12+23ln2=c(2.3.297)esdecirc=4ln23
)=x+4ln23(2.3.299)comointeresalasoluci—ndondey(0)="12,y
dx+dydv=dx"
'u
2'v=2'u+C(2.3.311)obien"2'x"y=2
2+2xy!=ex"x2Laecuaci—nanteriorescuadr‡ticaeny!!y!"2+2xy!+x2"ex=0(2.3.313)obieny!="2x±44
±ex2(2.3.314)luegoesseparableporloquey="x±2ex2+c(2.3.315)Ejemplo62.Resuelva2(y!)2(y
!""3y!!(2.3.317)haciendoelcambiodevariableu=y!0=xdudx"1u3dudx(2.3.318)enestecasosetiene#x"1u3$dudx=0(2.3.319)unasoluci—nesx=1u3(2.3.320)ycomoy=xy
32x23(2.3.321)Laotraopci—nesquedudx=0(2.3.322)esdecir,u=c(2.3.323)obieny=cx+
=1(2.3.326)esdecirC=12c2
(2.3.328)Ejemplo63.HalleunafamiliauniparamŽtricadecurvastalque,paracada
x22,y1
yel‡reabajolacurvaes«x0f(t)dt.Luegohayqueresolver
)+xf
"«x0f(t)dt=1n«x0f(t)dty
(2.3.338)donde(a,a)eselcentroyrelradio.Dadoquehaydosconstantesa,rsebuscaunaecuaci—ndiferencialdesegundoorden.Derivandoaambosla
(2.3.343)deestaformalaecuaci—ndiferencialbuscadaes1+!y!"2!1+y!"+y!!(1"x)=0(2.3.344)Ejemplo66.Halleunaecuaci—ndiferencialcuyasoluci—ngeneralcorrespondaalafamiliadetodaslascircunferenciasquepasanporlospuntos(1,0)y(0,1)Laecuaci—ngeneraldeunc’rculocentradoen(a,b)deradiores(x"a)2+(y"b)2=r2(2.3.345)comopasapor(1,0)(1"a)2+b2=r2(2.3.346)comopasapor+(1
2(2.3.347)igualandolasecuacionesanteriores1"2a+a2+b2=a2+1
y2"2ay=1"2a(2.3.352)porloquex2+
=a(2.3.353)deestaformalaecuaci—ndiferenciales#x"x2+y2"12(x+y"1)$+#y"x2+
(2.3.354)Ejemplo67.LaleydeenfriamientodeNewtonaÞrmaquelaraz—nalacuallatemperaturadeunobjetocambiaesproporcionalaladiferenciaentresutemperaturayladelmedioquelorodea.DespuŽsdeestarexpuesto,durante10minutos,enelaireatemperaturade10C,unobjetoseenfr’ode100Ca55C.a)ÀEncu‡ntotiempo,apartirdeestemomento,latemperat
Te=0dTdt="kT="0,069T(2.3.359)quetieneporsoluci—nT(t)=Ce"0,069t(2.3.360)conlacondici—nT(0)=500seobtienequeC=500(2.3.361)yparaobtenereltiemponecesarioparallegara250Cseresuelve250=500e"0,069t(2.3.362)esdecir,t=10,04(2.3.363)Ejemplo68.Uncultivodebacteriasenfermascreceaunatasaqueesinver-samenteproporcionalalara’zcuadradadelnœmeropresente.Siinicialmentehay9individuosydosd’asm‡starde16;Àcu‡ntotiempohabr‡queesperarparatener36individuos?PorlascondicionesdelproblemadNdt
1)x2(1"x)
"(2.3.370)laœnicaformaenqueelvalordeknodependadexesquek2+3kk2+k"2=0(2.3.371)queresultaenk="2(2.3.372)luegounasoluci—ndelahomogŽneaesy1(x)=x"2(2.3.373)AhoraseutilizalatŽcnicadereducci—ndeordenproponiendounasegundasoluci—ncomoy2(x)=u(x)x"2(2.3.374)Deestaformay!2=u!x"2"2ux"3(2.3.375)y!!2=u!!x"2"2u!x"3"2u!x"3+6ux"4
+2x(2"x)!u!x"2"2ux"3"+2(1+x)
(1"x)!u!!x"2"4
!u!x"2"=0(2.3.378)sisedeÞnev!u!entonceshayqueresolverv!+21"x
x"2(x"1)3(2.3.382)Porlotantolasoluci—ngeneraldelaecuaci—nhomogŽneaesy(x)=c
="y2f(x)
2(2.3.386)c!2=x"2(1"x
13x3(2.3.388)paraintegrarlasegundaseutilizauncambiodevariableX=x"1paraobtenerc2="ln(x"1)+2x"1+12(x"1)2(2.3.389)deestaformayp=c1y1+c2y2="x3+#"ln(x"1)+2x"1+12(x"1)
y!!+p(x)y!+q(x)y=ex!x3"x2+x"1"sabiendoquey1(x)=xyy2(x)=ex
3"x2+x"1"1+x2
c2=x22yp(x)=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)=exx+x22exy(x)=c1x+c2ex+exx+x22
.Determinetodaslassolucionesdetalecuaci—nsisesabequeadmitedossolucionesunadelascualeseselcubodelaotra.
+3y21y!!1
cot2x+y1cot
!1"2=0(2.3.403)queesequivalentea!y
sin
x(2.3.408)Luegolaotrasoluci—nesy2(x)=sin3x(2.3.409)Ejemplo72.Uncuerpode18k=16Nm.Elcuerposedesplaza,estirandoelresorte12mapartirdesuposici—ndeequilibrioyseledaunavelocidad'2msenlamismadirecci—n.Suponiendoquenoactœanfuerzasdeamortiguamiento,nifuerzasexternas,determinelaposici—ndedichocuerpoencualquierinstante.Determinelaamplitud(C),el‡ngulodefase(*),lafrecuenciaangular(
m=8'2radsx(0)=0,5yúx(0)='2seobtiene0,5=Ccos(*)'2="C"*
,52&=1
Faltadeterminarcu‡ndo
transformalaecuaci—nenunaecuaci—nhomogŽneaenlasvariablesu,vb)Cuandoac"bd=0lasustituci—n
2Enestecasolasrectas3x"y+1=0y6x"2y=0noseintersecanporloquepuedeutilizarselasustituci—nz=6x"2yz!=6"2y!(2.3.418)luegohayqueresolver6"z!2=#zz2+1$2(2.3.419)laecuaci—nporresolveresz!"6="8z2(z+2)2(2.3.420)queesequivalenteaz!="2z2+24z+24(z+2)2(2.3.421)laecuaci—nanterioresseparable#z2+4z+4
'3"78'361z"6+4'3(2.3.424)deestaformaintegrandoaambosladosz+16557+4'38'36ln)))z"6"4'3)))+54'3"7
="2x+c(2.3.425)sustituyendoz=6x"2yseobtiene8x"2y+16557+4'38'36ln)))6x"2y"6"4'3)))+54'3"7
"6+4'3)))6=
9=0y"x"y+3=0seintersecanenx="3y=6serealizaelcambiodevariable
dvdu(2.3.428)porloquehayqueresolverdvdu=#u"3+2v+12"93"u"v"6+3$2+u"3+2v+12"93"u"v"6+3=#u+2v"u"v$2+u+2v"u"v
dadoqueesseparableseobtiene(t+1)
dt="1udu(2.3.434)porfraccionesparciales(t+1)2t(t2+1)=1t+2t2+1(2.3.435)integrandoaambosladosln|t|+2arctant="ln|u|+c(2.3.436)sustituyendotseobtieneln)))vu)))+2arctanvu="ln|u|+c(2.3.437)Þnalmente,sustituyendou,vlasoluci—nessustituyendot
,unoperadoresb‡sica-menteunobjeto(omecanismo)querecibeunafunci—n(input)ydevuelveotrafunci—n(output).B‡sicamente,loanteriorsigniÞcaqueparadeÞnirunoperad
!antn+an"1tn"1+ááá+a1t+a0(3.1.2)entoncessedeÞneelpolinomiop(D)comop(D)!anDn+an"1Dn
1xdtn"1+ááá+a1dxdt+a0x(3.1.5)esusualnoescribirexpl’citamenteeloperadoridentidadporloque3.1.3sevecomop(D)!anDn+an"1Dn"1+ááá+a1D+
dsintdt+5sint="2sint"3cost+5sint=3sint"3cost(3.1.9)Linealidadydistributividadparalasuma:Sip(D)yq
(t)+c2p(D)
(t)+c1q(D)x1(t)Ejemplo76.Calcule!D2"3D+5"!2t3+e
D+5"!2t3+e2t+sint"=!D2"3D+5"!2t3"+!D2"3D+5"!e2t"+!D2"3D+5"(sint)(3.1.10)yporlasegundapropiedad!D2"3D+5"!2t3"+!D2"3D+5"!
6Dt3+10t3+
q(D)representandosoperadorespolinomialesentoncesp(D)q(D)x(t)signiÞcarealizarprimeroq(D)x(t)yluegoloqueresultemultiplicarloporp(D)esdecirp(D)q(D)x(t
2"3y
"3"!6et
q(D)p(D),setendr’aqueq(D)p(D)x(t)=q(D)!D2"3
)=q(D)p(D).Lapreguntasevuelveensisiempreesposiblegarantizarquep
ixd
,(x)+xd,dx$=""i,(x)+XP,(x)(3.1.21)esdecir,PX,#=,,dehecho,losc‡lculosanterioresindicanque(PX"XP),="!i
p(D)[q
Dn"1+ááá+a1D+a0q
(D"r1)ááá(D"rn)(3.1.27)Porejemplo,comoelpolinomiop(t)=
D+6puedefactorizarsecomop(D)=(D+2)(D+3).AhorasevaautilizarlatŽcnicadeoperadorespararesolverecuacionesdiferencialeslinealesconcoeÞcientesconstantes,porejemplo,unaecuaci—ncomo¬x+5úx+6=t3(3.1.28)Pararesolver3.1.28seresuelveprimerolaecuaci—nhomogŽneaasociadaquetieneporsoluci—nxh(t)=c1e"
(3.1.29)Paraterminardeencontrarlasoluci—nsepuedeutilizarelmŽtododecoeÞcientesinde-terminados.AhorasevaautilizarotromŽtodollamadoelmŽtododelanulador.Primerosecomienzareescribiendo3.1.28como
m+2)(m
)=C0+C1t+C2t2+C3t3+C4e"2t+C5e"3t(3.1.35)Ahorabien,unasoluci—nparticularnopuedetenerconstantesarbitrarias,porloqueparaeliminarlassesustituyexpenlaecuaci—noriginal3.1.28.Comoúxp=C1+2C2t+3C3t2
5e"3t(3.1.36)reemplazandoen3.1.282C2
t+3C3t2"2C4e"2t"3C
C2+6C1)t+(15C3+6C2)t2+6C3t3=t3(3.1.38)quedaelsistemadeecuaciones*++++,++++-2C
C0="29216C1=1936C2="512C3=16(3.1.40)lasconstantesC4,C5quedansindeterminarperonohayproblemaconestopuesco-rrespondenalosmismostŽrminosquelasoluci—nhomogŽnea.Porlotanto,lasoluci—ncompletadelproblemaesx(t)="29216+1936t"512t2+16t3+c1e"2t+c2e"3t
2'D+!'2+&2""n
"2#D+(#2+
2tcostPrimerosehallalasoluci—ndelaecuaci—nhomogŽnea.m2"2m+1=(m"1)
s!m2+4m+5"(m"1)2=(m"("2+i))(m"("2"i))(m"1)(m+i)(3.1.49)porloquexp=C1e"2tcost+C2e"2tsint+C
1e"2tcost"C1e"2tsint"2C2e"2tsint+C2e"2tcost+C3et+C4et+C4tet=(C2"2C1)e"2tcost+("C1"2C2)e"2tsint+(C4+C
2C1)e"2tcost"(C2"2C1)
2)e"2tcost+(C4+C3)et
)e"2tcostC1+3
tsint+(C3+2C4)et+C4tet
cos
2)e"2tsint+(C4+C3)et
=10e"2tcost(3.1.53)porloquesellegaalsistema%8C1"5C2=10
t
x1,x2representaneldesplazamientodelaspart’culasconrespectoasuposici—ndeequilibrio,entonceslasegundaleydeNewtonestablecequeFigura3.1.1:OsciladoresAcoplados%m¬x1="kx1+k12(x2"x1)m¬x2="kx2"k12(x2"
e2tdydt=x2"ytx(t),y(t).Comoenelsistemasoloapareceunaderivadadecadafunci—n,enlasoluci—ndelsiste-manodebenaparecerm‡sdedosconstantesarbitrarias.Comolaprimeraecuaci—nesseparablesepuedeintegraraambosladosyseobtienex=e2t+c1(3.1.58)sustituyendoenlasegundaecuaci—nsetienedydt
c1"2
"1#14e4
Primeroseescribeennotaci—ndeoperadorescomo%(D"1)x+(D+1)
D2"1"x"2!D2+2D+1"y=02(D2"1)x+2!D2"2D+1"y=1"
t"t22+c
e"t="t2e"t+2öte"t="t2e"t"2te"t"2e"t(3.1.75)lasoluci—ndelaecuaci—nesxe"t="116!"t2e"t"2te"t"2e"t""18e"t"18c1e"t+c2(3.1.76)obienx=116t2+18t"18c1+c2et
et+116t2+18t"18c1+c2et
18
(3.1.82)donde
sonoperadorespolinomialesconcoeÞcientesconstantesesigualalordendep1(t)p4(t)"p2(t)p3(t)(3.1.83)siemprequeelÒdeterminanteÓanteriorseadistintodecero.Siescero,elsistemapuedetenerningunasoluci—noinÞnitassoluciones.Comparandoconelejemploanteriorsetieneque
D"1)2"2(D2="8D(3.1.85)queesunoperadordeprimerordenporloquesolodeber’aaparecerunaconstantetalcomosucedi—.Ejemplo80.Resuelvaelsistema%¬x"4x+úy=0"4úx+¬y+2y=0
(3.1.86)quetieneporÒdiscriminanteÓ3.1.83
"2"=(m+2i)(m"2i)&m+'2'&m"'2'(3.1.90)lasoluci—nesy(t)=c1cos2t+c2sin2t+c3e
úx="12c1cos2t"12c2sin2t+c3e"%2t+c4
c1sin2t"c2cos2t"'2c3e"%2t+'2c4e%2t+c1sin2t"c2cos2t+4c3%2e"%2t"4c4%2e%2t"4c5"2c1sin2t+2c2cos2t"'2c3e"%2t+'2c4e%2t=0(3.1.94)quedac5=0porloquex="14c1sin2t+14c2cos2t"c3'2e"%2
"2&$#xv$+#0Acos%t$(3.2.5)ResultamuyconvenientedeÞnirx!#xv$A!#01"%20"2&$f=#0Acos%t$(3.2.6)queconvierte3.2.5enúx=Ax+f(3.2.7)dondeladerivadadeunvectorounamatrizconsisteenderivarindividualmentesusentradas.Demaneraan‡loga,paralosresortesacopladoslasecuacionesporresolverson%m¬x1="kx1+k12(x2"x1)m¬x2="kx2"k
p1!múx1p2!múx2(3.2.9)ambasecuacionessepuedenescribircomo%úp1="kx1+k12(
+,++++-úx1=p1múp1=("k"k12)x1+k12x2úx2=p2múp2=k12x1+("k"k12)x2(3.2.11)quesepuedeescribirennotaci—nmatricialcomo.//0úx1úp1úx2úp21223=.//001m00"k"k120k1200001mk120"k"k1201223.//0x1p1x2p21223(3.2.12)bajolanotaci—nx!.//0x1p1x2p21223A!.//001m00"k"k120k1200001mk120"k"k1201223(3.2.13)elsistema3.2.12seescribecomoúx=Ax(3.2.14)LosejemplosanterioresmotivanlasiguientedeÞnici—n.Laformanormaldeunsistemadeecuacionesn*n
12223A(t)!.///0a11(t)a12(t)áááa1n(t)a21(
A(t)
(t)x(3.2.18)entoncesc1x1h+c2x2htambiŽnessoluci—ndelsistemahomogŽneo.SegundoPrincipiodeSuperposici—n:Pararesolverelsistemaúx=A(t)x+f1(t)+f2(t)(3.2.19)bastaresolverporapartelossistemasúx=A(t)x+f1(t)úx=A(t)x+f2(t)(3.2.20)ysix1,x2sonlassolucionesrespectivasentoncesx3!x1+x2essoluci—ndelsistemaoriginal.OtraformadehallarsolucionesalsistemahomogŽneoestomandolaparterealeimaginariadelasoluci—n.Siz(t)úz=A(t)z(3.2.21)dondez(t)=x
t),x2(t),ááá,xk(t)sonsolucionesdelsistemalinealhomogŽneoúx=A(t)x(3.2.22)entoncessedicenlinealmentedependientessiexistenconstantesc1,c2,
,xn)!)))))))))x11x12áááx1nx21x2n.....
(3.2.25)Entalcasolasnsolucionessonlinealmenteindependientessiysolosielwronskianodelassolucionesesdistintodecero.TambiŽn,enformaparecidaalasecuacioneslinealesunsistemahomogŽneolinealdeordennposeenvectoressoluci—nlinealmenteindependientesylasoluci—ngeneral
+cnxn(3.2.27)Demanerasimilar,sixpesunasoluci—nparticulardelsistemalinealnohomogŽneoúx=A
+c2x2+ááá+cnxn(3.2.30)siserepresentanlosvectorescomovectorescolumnalaecuaci—nanteriorsepuedeescribircomoxh=".///0c1c2...cn12223(3.2.31)donde"eslamatrizcuyascolumnassonx1(t),x2(t),ááá,xn(t),esdecir,"!!x1x2áááxn"(3.2.32)talmatrizseconocecomounamatrizfundamentaldelsistemahomogŽneo.Six1(t),x2(t),ááá,xn(t)sonnúx=
x1(t),x2(
Soluci—ndeSistemasAut—nomos3.3.1.Soluci—ndeSistemasHomogŽneosAhorasevanaestudiarlossistemaslinealeshomogŽneosaut—nomos,esdecir,sistemasdelaformaúx=Ax(3.3.1)donde
v=0(3.3.7)Sivesunvectorpropioconvalorpropio!entoncesx!e)tv(3.3.8)esunasoluci—ndelsistemaúx
Parahallarunvectorpropioasociadoa!1=1seresuelveelsistemahomogŽneo(A"I)v=0(3.3.13)esdecir(comoeshomogŽneonoesnecesarioconsiderarlamat
v1+v2=0(3.3.16)porloque(v1,v2)=(v1,"v1)=v1(1,"1)(3.3.17)Deestaformaunvectorpropioesv1=#1"1$(3.3.18)Parahallarunvectorpropioasociadoa!2=3seresuelveelsistemahomogŽneo(A"3I)v=
xh(t)=c1e)1tv1+c2e)2tv2=c1et#1"1$+c2e3t#11$(3.3.25)TambiŽnsepuedeescribirlasoluci—nconlaayudadelamatrizfundamentalxh(t)=#ete3t"ete3t$#c
v1,v2)!3!2!10123!3!2!10123Figura3.3.1:Solucionesenelplanoxy
+ydydt
xúy$
1e"3t#"11$+c2e"t#11$=#"e"3te"te"3te"t$#c1c2$(3.3.29)Estecasoeselopuestoaldelejemploanterioryaquecuantot"%&todaslassolucionesseacercanalorigenindependientementedelosvaloresiniciales.Dehecho,cuandotodoslosvalorespropiossonnegativossedicequeelorigenesunpuntodeequilibrioestableounsumidero.!3!2!10123!3!2!10123Figura3.3.2:Solucionesenelplanoxy%dxdt
dydt=2x+y
))2"!321"!
1seconsideralamatrizA+I
(3.3.35)luegounvectorpropioesv1=(1
(3.3.37)quealreducirlasellegaa#"2300$(3.3.38)porloque3v2=2v1(3.3.39)luegounvectorpropioes#v1,23v1$=v1#1,23$(3.3.40)comocualquierotromœltiplofuncionasetomav2=(3
2!2!1.5!1!0.500.5
tv1+c2e)2tv2
!"22"21"!"22"21"
22"21"!
!"20"1"!"1
8)="(1+!)!!2"4!"5"="(!+1)
1!2=5(3.3.49)Losvectorespropiosasociadosa!1="1secalculanconA+I=.02"22"22"22"2213(3.3.50)simpliÞcandosellegaa.01"1100000013(3.3.51)quedaelsistemav2=v1+v3(3.3.52)porloque(v1,v2,v3)=(v1,v1+v3,v3)=v1(1,1,0)+v3(0,1,1)(3.3.53)ydosvectorespropiossonv1=(1,1,0)v2=(0,
=.0"4"22"2"4"22"2"413(3.3.55)quesereduceparaobtener.010
.011013+c2e"t.001113+c3e5t.01"11
13.0c1c2c313(3.3.59)Paraelcasodevalorespropioscomplejosseutilizaelhechodequelaparterealeimaginariadeunasoluci—ncomplejavuelveasersoluci—ndelsistemahomogŽneo.Ejemplo85.Resuelvaelsistema%dxdt
"!))
))(3.3.61)Porloquelosvalorespropiosson!1i!2=5"2i(3.3.62)Elvectorpropiodelvalorpropio!1=5+2isehallacon#1"2i
(3.3.66)luegounvectorpropioesv1=(1
1+2i$(3.3.68)reduciŽndolasellegaa
(v1,v2)=v1(1,
2=(1,1+2i)(3.3.72)Luegolasoluci—ncomplejadelprimervalorpropioesz1(t)=e)1tv1=e(5+2i)
0"2$?=e5t#cos2t#11$"sin2t#0"2$$+ie5t#cos2t#0"2$+sin2t#11$$=e5t#cos2tcos2t+2sin2t$+ie5
11+2i$=e5t(cos2t"isin2t)�#11$+i#02$?=e5t#cos2t#11$+sin2t#02$$+ie5t#cos2t#02$"sin2t#11$$=e5t#cos2tcos2t+2sin2t$+ie5
xh(t)=c1e5t#cos2tcos2t+2sin2t$+c2e5t#sin2t"2cos2t+sin2t$(3.3.75)enestecasocuandot"%&lassolucionesnuevamentesealejandelorigen,sinembargo,ahoratienenlaparticularidaddequelohaceenformadeespiraldebidoaloscosenosysenos.!10!8!6!4!202
+bi)tv'(3.3.76)Ejemplo86.Resuelvaelsistema%úx=yúy="4xEnformamatricialelsistemaes#úxúy$=#01"40
!1"4
"4"2
(3.3.80)unvectorpropioesv=(1,2i)(3.3.81)Luegolasoluci—ncomplejaasociadaese2it#12i$=(cos2t+isin2t)##10$+i#02$$=#cos2t"2sin2t$+i#sin2t2cos2t$(3.3.82)Porlotanto,lasoluci—nhomogŽneaesxh=c1#cos2t"2sin2t$+c2#sin2t2cos2t$(3.3.83)enestecasoenelquelosvalorespropiossolotienenparteimaginariaelmovimientodelasoluci—nesdeelipsescomoseobservaenlaÞgura.!5!4!3!2!1012345!5!4!3!2!1012345Figura3.3.5:Solucionesplanoxy,valorespropiosimaginariosConlateor’adesarrolladahastaelmomentopuederesolverseelproblemadelososci-ladoresacoplados3.2.12
1mk120"k"k1201
!k1200
1m))))))"k"k12k1200"!1mk12"k"k12"!))))))(3.3.86)luegosedesarrollanambosdeterminantesalolargodelaprimeracolumna!
k12)$"1m#("k"k12)#!2+1m(k+k12)$+1m
2m(k+k12)±44m2(k+k12)2"4m
(k+k12)±4k2+2kk12+k212"k2"2kk12m="(k+k12)±k12m(3.3.92)esdecir,!=±="k"k12±k12m(3.3.93)porloqueloscuatrovalorespropiosson!1=i=km!2="i=km!3
"i;km1m00"k"k12"i;k
22223(3.3.95)haciendolaoperaci—nf4+f2seobtiene.//////0"i;km1m00"k"i;km"k"i;k
(3.3.96)luegosehacelaoperaci—n
"k12"i;km12222223(3.3.97)luegosehacenlasoperacioneskf1+f2y"k12f1+f4yseobtiene.//////01i;1km0000"
22223(3.3.98)luegoserealizai4mkf3yseobtiene.//////01i;1km0000"k"i;k
+f4seobtiene./////01i;1
222223(3.3.100)laœltimaÞlasepuedereescribircomo.////01i;1km000000001i;1km0"101122223(3.3.101)porloqueesclaroqueelsistemaenformam‡sreducidaes.////0100i;1km0000001i;1km0"101122223(3.3.102)obienv1="i=1kmv4v2=v4v3="i=1
(3.3.104)luegounvectorpropioesv1=&"i,'km,
cos=kmt+isin=kmt6.//0.//00'km0'km1223+i.//0"10"1012231223(3.3.106)obienz1=.//////0sin;kmt'kmcos;kmtsin;kmt'kmcos;kmt12222223+i.//////0"cos
(3.3.108)haciendolaoperaci—nf4+f2seobtiene.//////0"i;k+2k12m1m00"k"i;k+2k12m"k"i;k+2k12m00"i;k+2k12m1mk120"k"k12"i;k+2k12m12222223(3.3.109)luegosehacelaoperaci—n
12m12222223(3.3.110)luegosehacenlasoperacioneskf1+f2y"k12f1+f4yseobtiene.//////01i;1(k+2k12)m000ik
"i;k+2k12m"k"i;k+2k12m00"i;k+2k12m1m0"ik12;1(k+2k12)m"k"k12"i;k+2k12m12222223(3.3.111)luegoserealizai;mk+2k12f3yseobtiene.//////01i;1(k+2k12)m000ik;1(k+2k12)m"i;k+2k12m"k"i;k+2k12m
;1
k12m
+f4seobtiene.//////01i;1(k+2k12)m000ik;1(k+2k12)m"i;k+2k12m0ik;1(k+2k12)m"i;k+2k12mi;1(k+2k12)m0"ik12;1(k+2k12)m0i(k+k12);1(k+2k12)m"i;k+2k12m12222223(3.3.113)lasegundaÞlasepuedesimpliÞcarparaobtener.//
12;1(k+2k12)m0i(k+k12);1(k+2k12)m"i;k+2k12m1222223(3.3.114)haciendoik12;1(k+2k12)mf2+f4y"i;1(
223(3.3.115)obienv1=i1(k+2k12)mv4v2="v4v3="i1(k+2k12)m(3.3.116)porloque(v1,v2,v3,v4)=v45i1(k+2k12)m,"1,"i1(k+2k12)m,16(3.3.117)luegounvectorpropioesv2=
'(3.3.118)ylasoluci—ncorrespondienteseescribecomoz2=5cos=k+2k12mt+isin=k+2k12mt6.//0.//00"4(k+2k12)m
i.//010"101223122
//////0"sin;k+2k12mt"4(k+2k12)mcos;k+2k12mtsin;k+2k12mt4(k+2k12)mcos;k+2k12mt12222223+i.//////0cos;k+2k12mt"4(k+2k12)
k+2k12mt12222223(3.3.120)porlotanto,lasoluci—ngenerales.//0x1(t)p1(t)x2(t)p2(t)1223=c1.//////0sin;km
22223+c2.//////0"cos;kmt'kmsin;kmt"cos;km
12mtsin;k+2k12mt4(k+2k
12mt12222223+c4
k+2k12mt12222223(3.3.121)SisedeÞne%1!=k+2k12m%2!=kmp1=mv
sin%2t%2cos%2tsin%2t%2cos%2t1223+c2.//0"cos
sin%2t1223+c3.//0"sin%1t"%1cos%1tsin%1t%1cos
3+c4.//0cos%1t"%1sin%1t"cos%1t%1sin%1t1223(3.3.123)Delasoluci—ngeneralesposibleextraerdosmovimientosllamadoslosmodosnormales.Primeroquetodo,evaluando3.3.123ent=0setiene.
(3.3.124)Porejemplo,sisequisieraquelaspart’culassolooscilaranconfrecuencia%1habr’aqueencontrarcondicionesinicialesdemodoquec1=c2=0.De3.3.124seobservaquepara
%úx=3x+yúy=3y#úxúy$=#3103
(3.3.131)Asociadoaestevalorpropiosolohayunvectorpropioylasoluci—nx1,1=e3tv1,1(3.3.132)Luegoseintentar‡conunasoluci—ndelaformax1,2!(v1,2+tv1,1)e3t(3.3.133)dondev1,2esunvectordesconocido,ynotienequeserunvectorpropio.Derivando3.3.133seobtieneúx1,2=v1,1e3t+3(
v1,1)e3t(3.3.134)Comosequierequex
A(v1,2+tv1,1)e3t=v1,1e3t+3(v1,2+tv1,1)e3t(3.3.136)comov1,1esunvectorpropiodeAconvalorpropio3setieneenlaecuaci—nanteriorAv1,2+3tv1,1=v1,1+3v1,2+3tv1,1(3.3.137)obienagrupandolostŽrminos(A"3I)v1,2=v1,1(3.3.138)Esdecir,hayqueresolverelsistema#0100))))10$(3.3.139)quetieneporsoluci—n(enrealidadhayinÞnitasperosetomalam‡ssencilla)v1,2=(0,1)(3.3.140)Porlotanto,lasoluci—ngeneralesxh=c1e3
+c2tc2$=#e3t
-úx=2x+
21602500213(3.3.142)Comoestriangularsuperior,losvalorespropiossonlosvaloressobreladiagonal,esdecir,!=2(3.3.143)Luego,paracalcularlosvectorespropiossetieneelsistemahomogŽneoA"2I=.001600500013(3.3.144)queda.001000100013(3.3.145)porlotantoelsistemadeecuacionesesv2=v3=0(3.3.146)ydeestaformaunvectorpropioesv1=(1,0,0)(3.3.147)Ahorabien,pornotaci—nsevaareescribirelvectorpropiocomov1,1!(1,0,0)(3.3.148)Asociadoaestevalorpropiosolohayunvectorpropioylasoluci—nx1,1=e2tv1,1(3.3.149)Luegoseintentar‡conunasoluci—ndelaformax1,2!(v1,2+tv1,1)e2t(3.3.150)dondev1,2esunvectordesconocido,ynotienequeserunvectorpropio.Derivando3.3.150seobtieneúx1,2=v1,1e2t+2(
v1,1)e2t(3.3.151)Comosequierequex1,2seasoluci—n,debecumplirseúx1,2
1)e2t=v1,1e2t+2(v1,2+t
(A"2I)
013(3.3.156)quetieneporsoluci—n(denuevosetomalam‡ssencilla)v1,2=(0,1,0)(3.3.157)Conestolasegundasoluci—nesx1,2=e2t.0.001013+t.01001313(3.3.158)Finalmente,seocupaunatercerasoluci—nqueseproponedelaformax1,3=e2t#v1,3+tv1,2+t22v1,1$(3.3.159)Derivando3.3.159ycomosequierequeseasoluci—n,esdecir,úx1,3=Ax1,3setieneAx1,3=2e2t#v1,3+tv1,2+t22v1,1$+e2t(v1,2+tv1,1)(3.3.160)usando3.3.159nuevamenteenelladoizquierdoA#v1,3+tv1,2+t22v1,1$=2#v1,3+tv1,2+t22v1,1$+(v1,2+tv1,1)(3.3.161)agrupandolostŽrminossepuedeescribircomo(A"2I)v1,3+t(A"2I)v1,2+t22(A"2I)v1,1=v1,2+tv1,1(3.3.162)porlasdeÞnici—ndev1,2ycomov1,
13(3.3.164)queda(denuevo,tomandolasoluci—nm‡ssimple)v1,3=.00"651513(3.3.165)Porlotanto,latercerasoluci—nlinealmenteindependienteesx1,3=e2t.0.00"651513+t.001013+t22.01001313(3.3.166)Deestaforma,lasoluci—ngeneralesxh=c1e2t.010013+c2e2t.0.001013+t.01001313+c3e2t.0.00"651513+t.001013+t22.01001
enelpolinomiocaracter’sticodeA)ysumultiplicidadgeomŽtricaes1,esdecir,ladimensi—n
3,ááá,vi(A"!iI)vi,2=vi,1(A"!iI)vi,3=vi,2...(A"!iI)vi,j=vi,j"1...(A"!iI)vi,ri=vi,ri(3.3.169)Lasoluci—ncorrespondienteescombinaci—nlinealdexi,1=e)itvi,1xi,2=e)it(vi,2+tvi,1)xi,3=e)it&vi,3+tvi,2+t22vi,1'...xi,j=e)
1+ááá+tj"1(j"2)!vi,2+tj"1(j"vi,1'...xi=e)it&vi,ri+tvi,ri"1
etAdeformaquex(t)=etAx0
x0(3.3.176)Lamatrizexponencialesunamatrizfundamentalporloquelasoluci—ndelproblemadx
(3.3.178)Ahoralaœnicapreguntaesc—mocalcular(ydeÞnir)lamatrizexponencial.SiAesunamatrizcuadrada,siempretienesentidomultiplicarlamatrizconsigomisma,esdecir,formarlasmatricesA,A2,A3,...Ahorabien,laexponencialdeunnœmerovienedadaporeldesarrollodeTayloreta=1+(ta)+(ta)22+ááá+='@n=0(ta)nn!(3.3.179)porlotanto,tienesentidodeÞnirlamatrizexponencialcomosuseriedeTayloretA!'@n=0tnAnn!(3.3.180)ElproblemaconladeÞnici—nanteriorconsisteendeÞnirquesigniÞcaunaseriedematri-ces.Sibienesciertoesposibledarsentidoatalconcepto,seevitar‡hacerestoporqueserequerir’am‡steor’adelaquesecuenta.Dehecho,elc‡lculodematricesexponencialesÒafuerzabrutaÓpuedesermuydif’cilporloquesedar‡nalgunaspropiedadasb‡sicasyluegosecomentar‡nalgunasformasexpl’citasparamatricesexponencialesdetama–o
'@n=0Ann!(3.3.181)Algunaspropiedadesdelamatrizexponencialson:!e0n=1ndonde0neslamatriznulae1n
eA=!ed1,ed2,ááá,edn"Nuevamente,solosevanamencionaralgunasmatricesexponencialescuandolamatrizesdeciertaformaparticular.!SiA
ea#cosb"sinbsinbcosb$!SiA=#ab0a$entonceseA=#eabea0ea$Ejemplo89.Resuelvaelsistema%úx=3x+y
2$(3.3.184)porelcuadroanteriore$%3tt03
(3.3.190)dondeahoraelvectorc(t)esvariable.Derivando3.3.190úxp=ú"c+"úc(3.3.191)ysustituyendoen3.3.187
úcdebecumplirúc=""1(t)f(t)(3.3.195)obienc=ö""1(t)f(
A(t)x+f(t)(3.3.198)esxp(t)="(t)ö""1(t)f(
))))"3"!12"4"!))))=!2+7!+12"2=(!+2)(!+5)(3.3.204)porloquelosvalorespropiosasociadosson!1="2!2="5(3.3.205)Losvectorespropioscorrespondientessonv1=#11$v2=#1"2$(3.3.206)Luegolasoluci—nhomogŽneaesxh=c1e"2t#11$+c2e"5t#1"2$=#e"2te"5te"2t"2e"5t$#c1
d"b"ca
(3.3.210)enestecaso
e"5te"2t"2e"5t$«#2te2t+13ette5t"13e4t$dt=#e"2te"5te"2t"2e"5t$#te2t"12e2t+13et15te5t
35t"2150
t#1"2$(3.3.214)Ejemplo91.ConsideredosrecipientesA,BAcontiene50litrosdeaguaenlosquehaydisueltos25kilogramosdesalyqueenelrecipienteBhay50litrosdeaguapura.Alosrecipientesingresanl’quidoscomoseindicalaÞgura,sesuponequelosl’quidosest‡nbienmezclazdosentodoinstante.Determineelnœmerodekilogramosx
minentrada"#4Lmin
min
%úx1="225x1+150x2úx2=225x1"225x2
1(t)=c1e"t25+c2e"3t25x2(t)=2c1e"
(3.3.218)Ejemplo92.Resuelvaelsistema%x!"4x+y!!=t2x!+x+y!!=0Ennotaci—ndeoperadoressetieneelsistema%(D"4)x+D2y=t2(D+1)(3.3.219)semultiplicalaprimeraecuaci—nporD+1ylasegundapor(D"4)paraobtener%(D+1)(D"4)x+(D+1)D2y=(D+1)t2(D"4)(D+1)x+(D"4)Dy=0(3.3.220)luegoserestanlasecuacionesysetiene(D+1)D2y"(D"4)Dy=(D+1)t2(3.3.221)obien!D3+4D"y=2t+t2(3.3.222)laecuaci—ncaracter’sticaes
18y(t)=c
18t(3.3.224)Ahorapodr’asustituirseyenlasegundaecuaci—noriginalpararesolverúx+x="#"2c2sin(2t)+2c3cos(2t)+14t2+t2
4)x+D2y=t2D(D+1)x
x
Cysellegaax(t)=c4cos(2t)+c5sin(2t)"14t2+18x(t),y(t)encualquieradelasecuaciones,porejemplo,lasegundaysellegaaque(c5"2c4"2c2)sin(2t)+(2c5+c4+2c3t)=0(3.3.230)deaqu’sepuedetomarc4="15(4
2+2c3)cos(2t)+15(2c2"4c3)sin(2t)"14t2+18
t)+112t3+14t2"18t(3.3.232)Ejemplo93.ResuelvaelsiguientesistemaderesortesacopladosqueseindicaenlaÞgurabajolassuposicionesdek1=6,k2=4,m1=m2=1yx1(0)=0,úx1(0)=1,x2(0)=0,ú
(3.3.233)Enestecasodeberesolverse%¬x1="6x1+4(x2"x1)¬x2="4(x2"x1)(3.3.234)queennotaci—ndeoperadorespuedeescribirsecomo%(D2+10)x1"4x2=0"4x1+(D2+4)x2=0(3.3.235)multiplicandolaprimeraecuaci—npor4ylasegundaporD2+10setiene%4(D2+10)x1"16x2=0"4(D2+10)x1+(D2+10)(D2+4)x2=0(3.3.236)sumandolasecuacionesseobiene!D2+10"(D2+4)x2"16x2=0(3.3.237)quetieneecuaci—ncaracter’stica!m2+10"!m2+4""16=m4+14
'2
D2+4)x2=0"16x
!D2"(D2+4)x1"16x
cos
cos&2'3t'+c8sin&2'3t'(3.3.243)Comosolopuedenhabercuatroconstantesarbitrarias,sere
cos
'2t'+c3cos&2'3t'+
++++-c5"2c3=0'2c6"
+++-c5=2c3'2c6'3c4
c3=c5=0yc4="310%3="%310porloquec6="%210.Deestaformax1(t)="'
2(t)="'
))ck+1(
=l«õmk"('|x"x0|))))ck+1ck))))(4.1.4)Si�L1laseriediverge,siL1laserieconvergeyelradioesR=1LysiL=1elcriterionoesconcluyente.!UnaseriedepotenciaspuedederivarsetŽrminoatŽrminounnœmeroilimitadodeveces,porejemplo,
(4.1.5)!UnaseriedepotenciaspuedeintegrarsetŽrminoatŽrminounnœmeroilimitadodeveces,porejemplo,
)l='@m=0cm(
x)y(n"1)+ááá+a1(x)y!+a0(x)y=f(x)an"1(x),an"
y(x)='@k=0ckxky!(
(x)='@k=2k(k"1)ckxk
(1)+'@k=0ckxk+1789:(2)
1)ckxk"2789:n=k"2='@n=0(n
'@k=1((k+2)(k+1)ck+2+c
13
x+c2x2+A'k=3ckxk=c0+c1x+A'n=1c3nx3n+A'n=1c3n+1x3n+1=c0B1+A'n=1("1)n1(nj=1(3j"1)(3j)x3nC+c1Bx+A'n=1("1)n1(
)+c1y2(x)(4.1.25)dondey1(x)=1+'@n
n1Dnj=1(3j"1)(3j)x3ny2(x)=x+'@n=1("1)n1Dnj=1(3j)(3jx3n+1(4.1.26)Ejemplo95.Resuelva!x2+1"y!!+xy!"y=0
'@k=1kckxk"1y!!
"1)ckxk"2+x'@k=1kckxk"1"'@k=0ck
(2)+'@k=1kckxk789:(3)
=2k(k"1)ckxk"2789:n)k"2='@n=0(n+2)(n+1)cn+2xn='@k=0
k(4.1.32)sustituyendoen4.1.31setiene'@k=2k(k"1)ckxk+'@k=0(k+2)(k+1)ck+2xk+'@k=1kckxk"'@k=0ckxk=0(4.1.33)obienagrupandosegœnlapotenciadex(2c2"c0)x0+(6c3+c1"c1)x+'@k=2(k(k"1)ck+(k+2)(k+1)ck+2+kck"
"kk+2ckk
k+2=1"kk+2ck.Sinembargo,enestecasohayunaexpresi—nexpl’cita.Porejemplo,c4="14c2="12
1á3233!c0c7="47
1á3á5244!c0...c2n=("1)n+11á3á5ááá(2n"3)2nn!
+c2x2+c3x3+A'k=4ckxk=c0+c1x+12c0x2+A'n=2c2n
2nn!x2nC+c1[x](4.1.38)Porlotantolasoluci—ngeneralpuedeescribirsecomoy(x)=c0y1(x)+c1y2(x)(4.1.39)dondec0,c1sonconstantesarbitrariasyy
ááá(2n"3)2nn!x2ny2(x)=x(x"1)y
1x
!(x"x0)p(x)Q(x)!(
x0esunpuntoregularsingulardelaecuaci—ny!!+p(x)y!+q(
!(x"x0)p(x)Q(x)!(
x2y!!
'@k=0akxkQ(x)!'
y!+'
xm'@k=0ckxk=!c0xm+c
m"1)c0xm"2+(m+1)mc1xm"1+(m+2)(m+1)c2xm+ááá+"+!a0x+a1x2+a2x
+!b0+b1x+b2x2+ááá"!c0xm+c1xm+1+c2xm+2+ááá+"=0xqueaparecealrealizarlosproductosres-pectivosesxm,dehechosiseagrupanlostŽrminossegœnlapotenciadex,elcoeÞcientequemultiplicaaxmesm(m"1)c0+ma0c
m2/)ZentonceselmŽtododeFrobeniusy(x)=xm'@k=0ckxk(4.2.15)generadossolucioneslinealmenteindependientesparalaecuaci—n4.2.4y1(x)=xm1'@k=0akxky2(x)=xm2'@k=0bkx
2xq(x)=12
)=1+x2Q(x)=x2
=0ckxk+m(4.2.20)Derivandodosvecesy!(x)='@k=0(k+m)ckxk+m"1y!!(x)='@k=0(k+m)(k+m"1)ckxk+m"2(4.2.21)Sustituyendoenlaecuaci—noriginal2x'@k=0(k+m)(k+m"1)ckxk+m"2+(1+x)'@k=0(
xk+m+'@k=0ckxk+m=0(4.2.23)Lasprimerasdosseriessereescribencomo'@k=02(k+m)(k+m"1)ckxk+m"1789:n=k"1=A'n="12(n+1+m)(n+
'k="12(k+1+m)(k+m)ck+1xk+m(4.2.24)'@k=0
kxk+m"1789:n=k"
A'k="12(k+1+m)(k+m)ck+1xk+m+A'k="1(k+1+m)ck+1xk
1)c0+mc0)x"1+m+A'k=0(2(k+1+m)(k+m)ck+1+(k+1+m)c
+1+m)(k+m)ck+1+(k+1+m)ck+1+(k+m)ck+ck=0(4.2.28)simpliÞcandolostŽrminoslasecuacionesanterioressevuelvenm(2m"1)=0(k+m+1)(2(k+m)+1)ck+1+(k+m+1)
(4.2.29)Laprimeraecuaci—neslaecuaci—nindicialquedacomovaloresm1=12m2=0(4.2.30)Comoladiferenciaentrelasra’cesnoesunentero,elmŽtododeFrobeniusgarantizadossolucionescomoseries.Lasegundaecuaci—ndalarelaci—nderecurrenciaquepuedeescribirsecomock+1="ck2(k+m)+1k,0(4.2.31)Dependiendodelvalordemlaformaexpl’citadelosckcambia.Paravalorespeque–ossetienelasiguientetabla
á5c4
37
("1)nc02nn!cn=
x1/25c0+'@n=1("1)nc0xn2nn!6=c0x1/251+'@n=1("1)nxn2nn
(x)=1+'@n=1("1)n1á3á5ááá
xm2+Ny1(x)=xm1'@k=0ckxk(4.2.38)ylasegundasoluci—nesdelaformay2="bNy
=0bkxkx2y
'@k=0(k+m)ckxk+m"1y!!(x)='@k=0(k+m)(k+m"1)ck
m)(k+m"1)ckxk+m+A'k=0(k+m)ckxk+m+A'k=0ckxk+m+2"14A'k=0
'@k=0c
(4.2.44)agrupandosegœnlaspotencias!m(m"1)c0+mc0"14c0"xm+!(m+1)
c1"14c1"xm+1+A'k=2!(k+m)(k+m"1)ck+(k+m)ck
"1)ck+(k+m)ck+ck"2"14
(m+1)2"14"=0c
12N=m1"m2=1(4.2.49)segœnloindicadoanteriormente,hayqueconsiderarelcoeÞcientequemultiplicaaxN+m2=x1/2,elcuales(m+1)mc1+(m+1)c1"14c1.Usandom="12esteseanulaautom‡ticamenteindependientementedelvalordec1porloqueseest‡enelprimercaso,locualsigniÞcaquesepuedenencontrardossolucioneslinealmenteindependientesconlara’zm‡speque–a.Sustituyendom="12enlaterceral’neade4.2.47setieneck="ck"2(k"12)2"!12"2="ck"2k(k"1)k,2(4.2.50)Paravalorespeque–oslarelaci—nderecurrenciadac2="c02c3="c13á2c4="c24á3=c04
c0+c
2n+A'n=1("1)
C=c0x"1/2B1+A'n=1("1)n12
A'n=1("1)n12
"x)y!+(2+x
y!(x)='@k=0(k+m)ckxk+m"1y!!(x)='@k=0
m)(k+m"1)ckxk+m"2A'k=0(k+m)ckxk+m+A'k=0(k+m)ckxk+m+1+2A'k=0ckxk+m+A'k=0ckxk+m+2=0(4.2.55)sereindexalaterceraseriecomo'@k=0(
1+m)cn"1xn+m='@k=1(k"1+m)ck"1xk+m(4.2.56)tambiŽnsereindexalaœltimaserie'@k=0ckxk+m+27
A'k=0
"1)ckxk+m"2A'k=0(k+
"1xk+m+2A'k=0ckxk+m+A'k=2c
1)c0"2mc0+2c0)xm+((m+1)mc1"2(mc1+mc0+2c1)xm+1+A'k=2((k+m)(k+m"1)ck"2(k+m)ck+(k
"m"c1="mc0((k+m)(k+m"3)+2)ck=
(4.2.61)laecuaci—nindicialdiceque
+N=x2es(m+1)mc1"2(m+1)c1+mc0+2
c0k(k+1)ck="(k+1)ck"1"ck"2k,2(4.2.64)Larelaci—nderecurrenciada6c2="3c1"c0"%c2=c0312c3="4c2"c1"%c3="c03620c4="5c3"c2"%c4="720á36c0.
y1(x)=x2#1"x+x23"x336+ááá+$=#x2"x3+x43"x536+ááá+$(4.2.66)Lasegundasoluci—nesdelaformay2(x)=Cy1(x
Cy1+A'k=1bk(k+1)kxk+1"x(2"x)Cy!1lnx"(2"x)Cy1"(2"x)A'k=0bk(k+1)xk+1+(2+x2)!Cy1(x)lnx+A'k=0bkxk+1"=0(4.2.69)agrupandolostŽrminosconlogaritmo!Cy!!1x2"x(2"x)Cy!1+(2+x2)Cy1(x)"lnx+2Cy!1x"Cy1
+1)
'k=0bk(k+1)xk+1"A'k=0b
bkxk+1+A'k=0bk
x2"3x3+43x4+ááá""3C&x2"x3+x43+'+!2b1x2+6b2x3+12b3x4+ááá+"+C!x3"x4""2!b0x+2b1x2+3b2x3+4b3x4+ááá+""!b0x2+2b1x3+3b2x4+ááá+"+2
x3+b1x4+ááá+"=0xyusandoelhechodequeC="b1("b1+2b1"4b1"b0+2b1)x2+(8b1+6b2"6b2"2b1+2b2+b0)x3++!"23b1+12b3"8b3"3b2+2b3+b1"x4+ááá+=0(4.2.74)igualandocadacoeÞcienteacerosellegaalsistemab1="b0b2="3b1"b02b3="118b1
(x)=y1(x)lnx+xm1'@k=1bkxk(4.2.76)Ejemplo99.Resuelvax2y
kxk='@k=0ckxk+m(4.2.78)derivandodosvecesy!(x)='@k=0(k+m)ckxk+m"1y!!(x)='@k=0(k+m)(k+
'@k=0(k+m)(k+m"1)ckxk+m+'
xsetiene(m(m"1)c0+mc0)xk+((1+m)mc1m)c1)x1+m+A'k=2((k+m)(k+m"1)ck
"2(k+m
2(4.2.86)AlgunosvaloresdeloscoeÞcientessonc2="122c0c3="c132=0c4="c242=122á42c0c5="c352=0c6="c462="122á42
)=1+'@n=1("1)n22á42á62ááá(2n)2x2n(4.2.88)Por4.2.76
(x)=y!1lnx+y1x+A'k=1bkkxk"1y!!2(x)=y!!1lnx+2y#1x"y1x2+
x2lnx+2xy!1"y1+A'k=2bkk(k"1)xk+y!1xlnx+y1+A'
A'k=2bkk(k"1)xk+y1+A'k=1bkkx
@k=2bkk(k"1)xk789:(1)+'@k=1bkkxk789:(2)+'@k=1bkxk+2789:
(4.2.94)luegoseseparanlasdem‡sseriesenpotenciasimparesypares.Para(1)
k='@n=1k=2nb2
b2n+1(2n+1)(2n)x2n+1(4.2.95)Paralaserie(2)'@k=1bkkxk='@n=1k=2nb2n2nx2n+'@n=0k=2n+1b
'@k=3bk"2xk(4.2.97)luegoseseparalaserieenpareseimpares'@k=3bk"2xk='@n=2
b2n"2x2n+'@n=1
2x2n+A'n=1b2n2n(2n"1)x2n+A'n=1b2n+1(2n+1)(2n)x2n+1+A'n=1b2n2nx2n+A'n=0b2n+1(2n+1)x2n+1+A'n=2b2n"2x2n+A'n=1
"+A'
1)+
1(2n+1)2n
2n"2=("1)n+14n
n)2n,2(4.2.101)Comob1=0todosloscoeÞcientesimparesseanulanysoloquedanloscoeÞcientespares.AlgunosvaloresdeloscoeÞcientesparessonb2=12242b4+122="822á4
6n+b4=1222á42á62"%b6=1+12+1322á42á62...b2n=("1)n+11+12+ááá+1n22á42
)=y1(x)lnx+
+1Anj=11jDnj=1(2j)2x2n(4.2.103)Ejemplo100.Encuentrelasoluci—ndey!!!+1xy!"1x2y=0concondicionesinicialesy(1)=1,y!
.Deformaalternativa,sepuederealizarelcambiodevariableu=x"1porloquesepuederesolverlaecuaci—ndiferenciald3ydu3+1u+1dydu"1(u+1)
(u2+2u+1)d3y
y!(u)='@k=1kbkuk"1y!!(u)='@k=2k(k"1)bkuk"2y!!!(u)='@k=3k(k"1)(k"2)bkuk"3(4.2.107)Sustituyendoenlaecuaci—ndiferencialydistribuyendosetiene'@k=3k(k"1)(k"2)bkuk"1789:(1)+'@k=32k(k"1)(k"2)bkuk"
k(k"1)(k"2)bkuk"3789:(3)+'@k=1kbkuk789:
n"1)bn+1un(4.2.109)(2):'@k=32k(k"1)(k"2)bkuk"2789:n=k"2=12b3u+'@n=22(n+2)(n+1)(n)bn+2un(4.2.110)(3):'@k=3k(k"1)(k"2)bkuk"3789:n=k
'@k=1kbkuk789:n=k=b1+'@n=2nbnun(4.2.112)(5):'@k=1kbkuk"1789:n=k"1=b1+2b2u+'@n=2(n+1)bn+1un
(4.2.114)Agrupandoporpotenciassetienenlasecuaciones6b3+b1+b1"b0=0(4.2.115)12b3+24b4+2b2"b1=0(4.2.116)(n+1)
+3)(n+2)(n+1)bn+3+nbn+(n+1)bn+1"bn=0n,2(4.2.117)Estesistemadeecuacionespuedeescribirsecomob3=b0"2b16(4.2.118)b4=b1"2b2"12b324(4.2.119)bn+3="bn+(n2"n+1)
nbn+2(n+3)(n+2)n,2(4.2.120)Antesdecontinuarsevanaaplicarlascondicionesiniciales.Primeroquetodolaseriepuedeescribirsecomoy='@k=0bkuk='@k=0bk(x"1)kDey(1)=1setieneb0=1.Dey!(1)=0setieneb1=0ydey!!(1)=1setieneb2=12
1)22+(x"1)36"(x"1)48+(x"1)515+ááá+
(5.1.1)Paraserm‡sprecisos,supongaqueantesdet=0elresorteest‡quietoynorealizaningœnmovimiento,entret=0yt=$tseaplicaunafuerzaconstantedemagnitud
t=$t
0x=0$tt(5.1.2)esimportantenotarquenoseintentaindicarcualeslaecuaci—ndiferencialsobret=0yt=$t,dehecho,alolargodetodoeltemadelaTransformadadeLaplacehayqueestardispuestosaquepuedanocurrircomportamientosextra–osconlasecuacionesylasfunciones,aœncuandotalcomportamientoocurrasolosobreunpuntoounnœmeroÞnitodepuntos.0$t
y$tlasoluci—nhomogŽneaesxh(t)=Acos(%0t)+Bsin(%0t)(5.1.4)yluegoesf‡cilverqueunasoluci—nparticularesxp(t)=F%20(5.1.5)porloquex(t)=F%20+Acos(%0t)+B%0
x(t)=Ccos(%0t)+D%0t)�t$t(5.1.7)observequelasoluci—nanteriorposeecuatroconstantesarbitrariasA,B,C,Dquehayqueeliminardealgunaforma.Laprimeracondici—nqueesbastantenaturalespedirquex(t)esunafunci—ncontinua,esdecir,quelapart’culanodasaltosabruptos.Detalforma,porlacontinuidadentre5.1.3y5.1.6setieneque0=F%20+A"%A="F%
%20+Acos(%0$t)+Bsin(%0$t)=Ccos(%0$t)+Dsin(%0$t)(5.1.9)obienF%20"F%
$tsepuedeescribircomox(t)=F%20"F%20cos(%0t)0$t(5.1.12)y5.1.10seconvierteenF%20"F%
)+D
%0$t)$#CD$=5F&20"F&
t)"%0sin(%0$t)%0%0$t)$"
0cos(%0$t)"sin(%0$t)%0sin(%0$t)cos(%0$t)$5F&20"F&20cos(%0$t)F&0sin(%0$t)6=F&20#cos(%0$t)"1sin(%0$t)$(5.1.17)Porlotantox(t)=*++,++-0t0F&20(1"%0t))0$tF&20((cos(%0$t)"1)cos(%0t
F(t)sobrelosintervalos(0,$t
,((n"2)$t,(n"1)$t),((n"1)$
)i=0,1
ááá,n(5.1.21)sepuedetomarF(t)(F(Ti)sobreIi(5.1.22)Porlotanto,envezderesolverlasecuaciones*+,+-¬x+%20x=0
*+,+-¬x+%20x=0t0¬x+%20x=F(Ti)Tii+1i=0,1
%0t01&#x Tj ;� Tc;&#x ET ; T 1;�.90;‘ 0;&#x 0 1;�.90;‘ 3;@.0;ࠃ ;С.;؁&#x Tm
;&#x/Tc5;&#x.0 1;&#x Tf ;t0(5.1.25)nuevamente,noesimportanteelvalordelafunci—nent=0porloquesedejaindeÞnido.!
f(t)H(t"a)=%0taf(
(t"a)"H(t"b))(5.1.29)Ejemplo101.Escribalafunci—nf(t)=*+,+-t3025220e"
3seenciendeent=0yseapagaent=2por5.1.29seconsiderat3(H(t"0)"
f
yseapagaent=(i+1)$t.Graciasa5.1.29loanteriorserepresentacomoF(i$t)(H(t"i$t)"H(t"(i+1)
=0F(i$
,se
"%0paraencontrarlasolu-ci—nenquelafuerzaF(t)esarbitraria.Laestrategiaanteriorsevuelvemuycomplicadapueshabr’aqueaplicarlaregladeCramerparaunamatrizn*nyluegosercuidadososenlaformaenquesetomar’aell’mitecuando$
falrededordelpunto.Conformelamedidaseacadavezm‡sprecisa,losvalorespromediossevuelvenm‡scercanosalvalorpuntaldelafunci—nf(0)ydeestaforma,envezdeconocertodoslosvaloresf(t)deunafunci—n,podr’aintentarconocersetodoslosvalorespromediosdef(t)uyserealizanNmedicionesu1,u2,ááá,uNentonceselpromediodelvalordelacantidadxesø[email protected]=1ui(5.1.37)Ahorabien,losuinotienenquesernecesariamentedistintos.Porejemplo,delasNmedicionespuedeocurrirqueu1semidieradosvecesyaqueu1=u5.Entalcaso,esmejornombrarlosvaloresmedidosdistintoscomou1,u2,ááá,unylafrecuenciaquesemidi—cadavalordistintouicomofi(enelejemploanteriorlafrecuenciadeu1esdos,esdecir,f1=2).Ahoralaf—rmuladelpromediotomalaformaø[email protected][email protected]=1#fiN$u
i.Ahorabien,laf—rmulaø[email protected]=1pi
sondiscretossinoquepuedentomaruncontinuodevalores.Porejemplo,siu=u(x)esunafunci—ndeltiempoolaposici—nySip(x)dxrepresentalaprobabilidaddemedirel
dxseconocecomounadensidaddeprobabilidadytienelapropiedaddequeö'"'p(
#n(t)ysedeÞnencomo#n(t)!n2#H#t+1n$"H#t"1
yseapaganen
nysusintegralesTalesfunciones#nsirvencomodensidadespuessiempresonpositivasysusintegralesdansiempre1öR#n(t)dt=
)f(t)dt=l«õmn('ö'"'#n
f(t)dt=
n(t)f(t)dt=l«õmn('5n2ö1n"1nf(t)dt6(5.1.56)paracalcularell’miteanterior,sifescontinuaentoncesalcanzaunm‡ximofM,nyunm’nimofm,nsobreelintervalo["1n,1n]porloquefm,n.f(t).fM,nt)�"1n
n('ö'"'#n
#(t"t0)f(t)dt=f(t0)(5.1.63)öba#(t"t0)f(t)dt=f(t0)sit0)(a,b)ö
(t)dt=(g(t)f(t))|'"'"ö'"'g(
,g(t)queseanulanenelinÞnito,esdecir,l«õmt
t)dt="ö'"'g(t)f!(t)(5.1.67)loimportantede5.1.67esqueenelladoderechonoapareceg!(t
esunafunci—ngeneralizadasuderivadadistribucionalg!(t)sedeÞneatravŽsdelacondici—n(5.1.68)donde
!(t)f(t)dt="ö'"'H(t)f!(t)dt="ö'0f!(t)dt(5.1.69)porelteoremafundamentaldelc‡lculoycomof(t)seanulaenelinÞnito"ö'0f!(t)dt="f
t)dt=f(0)=ö'"'#(t)f(t)dt(5.1.71)loanteriorsigniÞcaqueH!
.PrimeroquetodohayquerecordarladeÞnici—ndelosl’mitesporlaizquierdayporladerechadeunafunci—nenelpuntoa,quesedenotar‡nrespectivamentecomof(a")!l«õmt(a"f(t)f(a+)!l«õmt(a+f(t)(5.1.73)Porejemplo,unafunci—nescontinuaenasiysolosif(a")=f(a)=f(a+).Ahorabien,sebuscaresolverlaecuaci—n¬x+%20x=f(t)(5.1.74)Elproblemasereduceahallarunasoluci—nparticularpueslahomogŽneaesxh(t)=Acos(%0t)+Bsin(%0t)(5.1.75)porlaspropiedadesdeladeltadeDiraclaecuaci—nanteriorpuedeescribirsecomo¬x+%20x=ö'"'f($)#($"t)d$(5.1.76)dadoquelaintegralesenciertosentidounasumainÞnitayporelsegundoprincipiodesuperposici—npararesolverunaecuaci—ndiferencialenelcasoenqueelinputesla
Blasoluci—nx"(t)alproblema5.1.77debecumplirqued2x"(t)dt2+%20x"
)dt2dt+%20ö"+$t""$
"ö"$t$tdHdudu="
(t)dt))))t="+!tt=""$t+%
dt=1
$+)"úx"($")=1(5.1.84)comoú
xp(t)=ö
sin(%0(t"$))d$(5.1.91)Lasoluci—nparticulartienevariaspropiedadesinteresantesquevalelapenaresaltar.1.Elprocedimientoutilizadoparahallar5.1.90fueelsiguiente.Primerosehall—larespuesta(output)delaecuaci—ncuandolafuerza(inputobiense–al)erauna
sin(%0t)representalarespuestaen$=0elintegrandodelasoluci—nparticularconsisteenelproductodelafuerzaconlastraslacionesdetalrespuesta
",esdecir,f/g(
t)=(g/f)(t)(5.1.95)3.ConvolverconunadeltadeDiractrasladalafunci—n:si#adenotaladeltadeDiractrasladadaa#a(t)!#(t"a)(5.1.96)con�a0entonces(#a/f)(
objetodeÞnidosobreotroespacio.LaTransformadadeLaplace
f(x)='
n"%[A(an)]"%f(x)=A
(5.2.5)entoncesA(an)soloest‡biendeÞnidaparax=0mientrasquesisetomaan=1(5.2.6)entoncesf(x)='@n=0xn=11"x(5.2.7)est‡biendeÞnidaœnicamentepara|x|1.Dehecho,lointeresantedepensarenlaseriecomounatransformadaesqueser’aunatransformadalineal(puedesuponerseporelmomentoquelassucesionesdeÞnenfuncionessobretodalarectareal),esdecir,sicesunaconstanteyan,[email protected]((an)+c(bn))=
(5.2.8)Lom‡sinteresanteesquelatransformadaAesinvertible5enelsentidodequeesposiblerecuperarlasucesi—natravŽsdelafunci—n.Estoocurregraciasalaf—rmuladeTayloran=f(n)(0)
A+an"%[A(an)]"%f(x)=A'n=0an
bn!nan(5.2.11)esdecir,bnconsisteenmultiplicarporn.ÀCu‡leslafunci—ng(x)quelecorrespondeabn?A+bn"%[A(nan)]"%g(x)=A'n=0nanxn(5.2.12)DadoquelasseriesdepotenciaspuedenderivarsetŽrminoatŽrmino,setienequexf!(x)=x5'@n=0
=x'@n=0nanxn"1=g(x)(5.2.13)Esdecir,multiplicarpornenelespaciodenœmerossetraduceenmultiplicarporxladerivadadelafunci—noriginal,oentŽrminosm‡svisuales,setieneelsiguientediagramaconmutativoan)"%f(x)GGGGHGGGGHnan)"%xf!
t)"%[Lf]"%F(s)=Lf=«'0K(s,t)f(t)dtL+dfdt"%BLdfdt
K(s,t)dfdtdt(5.2.19)Paraladerivaci—nquesiguesesupondr‡queelkernelesderivableenambasvariables.Deestaformasepuedeaplicarlaintegraci—nporpartesalladoderechode5.2.19paraobtenersF(s)=ö'0K(s,t)dfdtdt=(K()f(t))|t='t=0"ö'0"K(s,t)"t
(s,t)f(t))|t='t=0"ö
(5.2.27)sifesunafunci—ngeneralizadaentoncessetomaF(s)!ö'0"e"stf(t)dt(5.2.28)Loquehayqueresponderahoraes:1.ÀSobrecu‡lesfuncionesest‡deÞnidalatransformadadeLaplace?2.ÀQuŽpropiedadesposeelatransformadadeLaplace?3.ÀConviertelatransformadadeLaplacederivadasenmultiplicaci—ntalcomoseestababuscando?4.ÀEslatransformadadeLaplaceinvertible?5.ÀPorquŽseinterpretalatransformadacomouncambiodeldominiotemporalaldominodefrecuencia(complejo)?6.ÀC—moayudalatransformadadeLaplaceaencontrarfuncionesdeGreen(funcio-nesrespuestaaimpulso)?5.3.PropiedadesdelaTransformadadeLaplaceGeneralmenteseescribir‡nlasfuncionesenminœsculacuandosonfuncionesdeltiem-
)t='t=0=1s�s
Figura5.3.4:F(s)=1s2Ejemplo104.CalculelatransformadaLf(t)deLaplacede
e("stdt=e(1"s)t1"s
etFigura5.3.6:F(
stscost)))t='t=0"1s«'0sinte"stdt=1s"1s#"e"stssint)))t='t=0+1s«'0e"stcostdt$=1s"1s2F(s)(5.3.7)porlotantoF(s)=
f(t)=sintNuevamenteseintegraporpartesdosveces:F(s)=«
=1s#"e"stst)))t='t=0"1s«'0sinte"stdt$=1s2"1s2F(s)(5.3.10)porlotantoF(s)=1s
s)=1s2+1Ejemplo107.CalculelatransformadadeLaplacedeladeltadeDirac#(t)ComoladeltadeDiracesunafunci—ngeneralizadasetoma5.2.28F(s)=ö'0"e
#(t)Figura5.3.11:f(t)=#(t)123410f(t)tFigura5.3.12:F(s)=1LasiguienteesunatablaconalgunasdelasTransformadasdeLaplacem‡simpor-tantes.f(t)Lf(t)11stnn!sn+1cos%tss2+&2sin%t&s2+&2eat1s"acosh%tss2"&2sinh%t&s2"&
stf(t)dt)
(t)|)«T0e"stdt+M«'Te(c"s)t
T(5.3.15)Porlotanto|F(s)|.#m«ax0*t*T|f(t)|$#1"e"sTs
Sifescontinuaporpartesen(0,&)ydeordenexponencialentoncesl«õms"('F(s)=0(5.3.18)OtrapropiedadquenosehamencionadoperoqueesfundamentaleselhechodequelaTransformadeLaplaceeslineal.Sif(t)yg(t)sondosfuncionescontransformadasdeLaplaceLf(t)yLg(t)entonceslatransformadadeLaplacedef(
i%s2+
F(s),esdecir,F(s)=ö
SiG(s)eslatransformadadeLaplacededfdtG(s)=ö
=e"stf(t)))t='t=0+s«'0e"stf(t)dt=sF
dfdtessF(
s)"sf(0)"f!
s)GGGGHGGGGHdfdt
GHGGGGHd2fdt2L"%s(sF(
(0)"sn"2f!(0)"ááá"sf(n"2)(0)"f(n"1)(0)(5.3.30)Unfen—menoqueocurreconfrecuenciaalutilizartransformadaseselfen—menodedualidad,esdecir,lasimilitudentrelasdistintaspropiedadesdeu
(t)dt$=ö'0""s!e"stf(t)"dt=
(t)dt=L("tf(t))(5.3.32)esdecir,Áderivarconrespectoalafrecuenciacorrespondeamultiplicarlafunci—noriginaleneldominiotemporal!Estoesunamanifestaci—ndelfen—menodedualidadqueacabademencionarse.Dualidaddiferenciaci—n-multiplicaci—n:SiF(s)=L(f(t))eslatransformadadeLaplacedef(t
)L"%F(
GHGGGGH"tf(t)L"%dFds(5.3.35)M‡saœn,setienequed2Fds2=L!t2f(t)"...dnFdsn=L(("1)n
sin%t)="dds#%s2+%2$=2%s(s2+%2)2(5.3.37)Enlasaplicacionesesfrecuenteencontrarquelasse–ales(inputs)est‡ndeÞnidosporpartes,paratalesfuncionesdeÞnidasporpartessepuedeut
))=
(5.3.40)esdecir,L(H(t"a)f(t"a))=
f(t)y�a0entoncestrasladarunase–aleneldominiotemporalequivaleamultiplicarlaporunaexponencialeneldominiodefrecuenciaL
GHGGGGHH(t"a)f(t"a)L"%e"asF(s)(5.3.44)Traslaci—nenelejes:SiF(s)=Lf(t)ya)Rentoncesmultiplicarunase–aleneldominiotemporalporunaexponencialcorrespondeatrasladarlaeneldominiodefrecuencia.L!eatf(t)"=
GGHGGGGHeatf(t)L"%F
(5.3.47)por
L
))=
(t)Lf(t)11stnn!sn+1cos%tss2+&
a)2+&2tcos%ts2"&2(s2+&2)2sin%t&s2+&
)2+&2tsin%t2&t(s2+&2)2eat1s"acosh%tss2"&2sinh%t&s2"&
ss
?Elsiguienteresultadocaracterizalasituaci—nanterior.TransformadaInversadeLaplace:Sif(t)yg(t)sondosfuncionesconlamismatrans-formadadeLaplace,esdecirL(f(t))=
F(s)g(t)=L"1G(s)F(s)=Lf(t)G(s)=Lg
sin
(t"t
B=0C=1(5.3.61)Porlotantos2+s+1s(s2+1)=1s
"1#s2+s+1s(s2+1)$=L"1#1s$+L"
1s
L"10"1s2+22GGGGH
1#1s2+22$=12L"1#2s2+22$=12
+2)
s+8=(si)(s+2"2
+2"2i)+B(s+2+2i)(5.3.72)tomandos="2+2isetiene14i=B(5.3.73)tomandos="2"2isetiene"14i=
2+2
"2"2i)t+14ie
af
GGHG
L"1!""ln&s2s2+1'IGGGGGGGGH"tf(t)L"10"2s"2
L"1#2s
s2s2+1'IGGGGGGGGH2(1"cost)L"10"2s"2ss2+1(5.3.83)deaqu’sededucequeL"1ln#
)(t)=öt0f
)g(t"$)d$'dt=«'0«t0!e"stf($)g(
t=&.Porlotanto,5.3.86seconvierteenö'0öt0!e"stf($)g(t"$)d$"dt=ö'0ö'"!e"stf($)g(t"$)dt
(u)du$d$=#ö'0e"s"f($)d$$#ö'0e"sug(u)du$=F(s)G
(t)=L"1
f($)d$'=F(s)s«t0f($)d$=L
GGGGHGGGGH«t0f($)d$L"%F(s)sL"1&1s2(s"
(5.3.94)Porlotanto,L"1#1s2(s"1)$=et"t"1(5.3.95)Ejemplo113.EncuentreL&«t0$e"cos$d$'Seusaelmismodiagrama
(1)
t0f($)d$L"%F
GGGGHeatf(t)L"%F
2=s2"2s(s2"2s+2)2IG
1ss2"2s(s2"2s+2)2=s"2(s2"2s+2)2(5.3.98)PorlotantoL#ö
f(t+T).Dehecho,comosever‡enelsiguientetema,talesse–alesperi—dicaspuedenestudiarsemediantesudesarrollodeFourier,sinembargo,porelmomentosolointeresalaTransformadadeLaplacedetalesfunciones.Sif(t)esperi—dica,setienequeLf(t)=ö'0e"stf(t)dt=öT0e"stf(
Tparalasegundaintegralseobtieneusandolaperiodicidaddef
)d$=e"sTLf(t)(5.3.101)porlotantoLf(t)=öT0e"stf(t)dt+e"sTLf
ö10e"stdt=1s(1+e"s)F(
stdebeseradimensional,esdecir,sdebetenerunidadesdetiempo"1,esdecir,defrecuencia.Dehecho,comosecoment—alinicio,aunqueseconsideraensumayor’ascomounavariablereal,enlapr‡cticalom‡sœtilestomars=
temente.LasfuncionesF(s)yG(s)tienenunaformaparticularmenteimportanteyseconocencomofuncionesracionales(b‡sicamentesondelamismaformaquelasfuncio-nesparalascualesseusaelmŽtododefraccionesparciales).Siseconsiderarasreallosdenominadoresnuncaseanular’an,perocomoahorasescomplejodehechosevana
'2!.Primeroquetodo,delatabladetransfor-madassetienequeL(tn)=n!sn+1n=0,1,2,3,ááá,Fn(s)!L(tn"1)=ö
s=1Fnö'0e"tt
nnoesentero5.3.113sugieredeÞnirlafunci—n#(x)!Fx(1)=ö'0e"tt
a�x0.Sinembargo,esposibleextenderladeÞnici—nconlaayudadelsiguientetruco.Primeroquetodoseobservausandointegraci—nporpartesque#(x+1)=«'0e"ttxdt="e"ttx))t='t=0+«'0xe"ttx"1dt=x#(x)(5.3.117)esdecir,lafunci—nGammacuentaconlaimportantepropiedaddeque#(x+1)=x#(x)�x0(5.3.118)ParadeÞnirlafunci—ndeGammaparax0seutiliza5.3.118.Porejemplo,parahallar#("12)seusa##"12$=#(12)"12="2##12$(5.3.119)porloqueelvalorde#("12)sesabr‡enelmomentoquesesepaelvalorde#!12
"3,ááá.usando#(x+1)=x#(x).Algunosvaloresimportantesdelafunci—nGammason#(1)=1#!12"='(#!"12
n"1)%'2
�n"1t"12eat%'%s"a
a)"(n+12)n=1,2,3,ááá
5.4.Soluci—ndeODEsLinealesconLaplaceLaTransformadadeLaplaceesunmŽtodomuypoderosopararesolverecuacionesdiferencialeslinealesconcoeÞcientesconstantes(sellamanatalessistemasLTIporsussiglaseninglŽslineartimeinvariantsystems).Antesdedarlateor’ageneralparatalessistemas,seresolver‡unejemploparadarunaideadec—mofuncionaelmŽtodo.Ejemplo115.Resuelvalaecuaci—nd2xdt2+2dxdt+x=1con
(5.4.2)ypor5.3.30setienes2X(s)"sx(0)"úx(0)+2(sX(s)"x(0))+X(s)=1s(5.4.3)utilizandolascondicionesinicialess2X(s)"2s+2+2(sX(s)"2)+X(s)=1s(5.4.4)obiens2X(s)+2sX(s)+X(s)"2s"2=1s(5.4.5)esdecir,ÁlaTransformadadeLaplacehatransformadoelproblemaderesolverunaecuaci—ndiferencialenelproblemaderesolverunaecuaci—nalgebraica!Dehecho,fac-
X(s)=L"1#1s(s+1)2$+2L"1#1s+1$(5.4.8)obienx(t)=L"1#1s(s+1)2$+2e"t(5.4.9)ParahallarL"1&1s(s+1)2'sepuedeutilizarfraccionesparcialesoeldiagramaf(t)L"%F(s)GGGGHGGGGH«t0f($)d$L"%F(
1(s+1)2'=te"tte"t
1s
+y=f(t)cony(0)=5yf(t)=%00.t(3costt,(Primeroquetodohayqueescribirf(t)conlaayudadelafunci—ndeHeaviside.B‡sicamente,f(t)esunase–alqueseenciendeent=(ynuncasevuelveaapagarporloquelaecuaci—nesy!+
()cost
t"()cost)="ss2+1e"'sporlotantolaecuaci—neneldominodefrecuenciaessY(s)"y(0)+Y(s)="3ss2+1e"'
+1)e"'s(5.4.18)tomandolatransformadainversay(t)=5
L"1#s(s+1)(s2+1)e"'s$L"1&s(s+1)(s2+1)e"'s'seutilizaprimerofraccionesparcialess(s+1)(s2+1)=12#"1s+1
(5.4.21)usandolaf—rmulaL(f(t"a)H(t"a))=
'+L"1&e"!ss2+1''=12!"e"(t"')H(
+cost+sint'(5.4.23)LatransformadeLaplacetambiŽnesœtilpararesolver
(5.4.24)sinembargo,sisequiereestudiarlaecuaci—ndiractamente
(0)Ls+R+1Cs(5.4.29)sustituyendolosvaloresen5.4.29setieneI(s)=V(s)110s+2+
.V(s)=120Lt"120L
(s)=1200�1100s"1100(s+10)"110(s+10)2"e
+10)2?(5.4.34)usandolaformainversadeL(f(t"a)H(t"a))=
(s)(5.4.39)porlotantolafunci—neneldominiodefrecuenciaW(s)!outputinput=X(s)F(s)=1as
W(s)+bsW(s)+cW
#(t)(5.4.43)esdecir,Álafunci—ndetransferenciaeneldominiotemporalnoesm‡squelafunci—nrespuestaaimpulso,esdecirlasoluci—nalaecuaci—n5.4.38cuandoelinputesladeltadeDirac!Ahorabien,regresandoalasoluci—ndelproblemade5.4.40sepuedeescribirX(s)=F
Deestaforma,latransformadadeLaplacejustiÞcalaobservaci—ninicialdelcap’tulodequeessuÞcientehallarlafunci—nrespuestaaimpulsoyluegoaplicar5.4.45paraobtenercualquiereloutputalinputquesequiera.Enelcasodequelascondicionesinicialesnoseannulashayqueresolverelproblema
-a¬x
-a¬x+búx
öt0f
)=F(s)W(s)(5.4.49)Pararesolverelsistema(2)setomalatransformadadeLaplaceyhayqueresolvera(s2X
(5.4.54)resuelveelPVIoriginal.Ejemplo118.Considerelasiguientefunci—ndeÞnidaatrozo
t)"tH(t"1)"(t"2)H(t"1)+(t"2)H
))=
1)H(t"1)"LH(t"1)=e
s2"e"s1s2"e"s1s"e"s1s2+e"s1s+e"2s1s2=e"2s"2e"s+1s2=#e"s"1s
(s)GGGGHGGGGH«t0f($)d$L"%F(s)s(5.4.62)enestecasohayqueadaptarunpocolanotaci—n.SedeÞneg(u)!öu0v2f(u"v)dv(5.4.63)porlotantoöt0öu0v2f(u"v)dvdu=
GHGGGGH«t0«u0v
L#öt0v2f(t"v)dv$=H(s)F(s)=2
"s"1s$2(5.4.70)yporeldiagramaL#öt0öu0v2f(u"v)dvdu$=G(s)s=2s4#e"s"1s$2(5.4.71)Ejemplo119.UtilicelatransformadadeLaplacepararesolverelsiguientesistemadeecuacionesdiferenciales*+,+-dxdt+dydt+10x=120"120H(t"2)"2dxdt
)=120s"120e"
yY(s)%!s2+10s"X+s2Y=120"120e"2s"2sX
******120"120e"2ss20s+1******s(3s2+11s+10)=120(1"e"2s)(s+1)s(3s2+11s+10)=120(s+1)s(3s2+11s+10)"e"2s120(s+1)s(3s2+11s+10)Y=******s2+10s120"120e"2s"2s0******s(3s2+11s+10)=240s(1"
3s2+11s+10"e"
(3s+5)(s+120s(3s+5)(s+2)"e"2s120(3s+5)(s+2)"e"2s120s(3s+5)(s+2)Y=
s)yX#1(s+53)"1s+2
53
"2s1s+2$"120#e"2s110s"e"2s35(s
t"2)e"2(t
s)Y=240#1(s+53)"1s+2$"240#e"
)!u2#(u"
u2#(u"()f(t"u)du=öt0g(u)f(t"u)du=(g/f)(t)(5.4.86)porlotanto,Löt0u2#(u"()f(t"u)du=G(s)F(s)
)=ö'0e"stt2#(t"()dt=e"'s(2(5.4.88)AhorahayquehallarLe"2tcos(2t)H(t"()usandolapropiedadLf(t"a
t)H(t"()=e"
Le"
H(z"')%z"'dz.SisedeÞnex(z)!H(z"()'z"((5.4.91)entoncesLöt0H(z"()'z"(dz=Löt0x(z)dz=X
)'
0e"stdt'tu='tu2=tobien2udu=dtporloquesenecesitacalcularö'0e"stdt't=ö'0e"su22uduu=2ö'0e"su2du=ö'"'e"su2du='('s(5.4.96)Parahallarlafunci—nf(t)sepuededeÞnirlafunci—ny(t)!e"2tcos(2t)H
öt0u2#(u"()f(t"u)du=y(t)(5.4.98)tomandolatransformadaaambosladosyporlosresultadosanteriorese"'s(2F(s)=Y(s)(5.4.99)obienF(s)=1(2e'
t+()y(t+()=1'2H(t+()&e"2(t+')cos(2(t+())H(t)+«t+
"2(t+')cos(2(t+())+öt+''1
Hporloqueseusa0,2Henvezde200mH)
di3dt+i2=0(5.4.105)porlotantodeberesolverseelsistema*+,+-i1=i2+i36"2i1"i2"0,2di1dt=0"0,1di3dt+i2
E"Ldi1dt"i2R1=0(5.4.108)aplicandolasreglasdeKirchho!alasegundamallasetieneque"i3R2"1Cöt0i3($)d$+i2R1=0(5.4.109)sustituyendolaprimeraecuaci—nenlasegundayderivandolatercerasellegaalsistema%Ldi2dt+Ldi3dt+R1i2=E
(6.1.1)Elproductopuntoeraimportanteporvariasrazones:primerosepuedeescribirlanormadeunvectoratravŽsdelproductopunto1v12=váv(6.1.2)Segundo,el‡nguloentredosvectoressepod’acalcularconlaayudadelproductopuntocomocos)=váu1v11u1(6.1.3)Finalmente,yestavaaserlapropiedadm‡simportantedelproductopuntoparaloquesigue,elproductopuntopermit’ahallarunvectorcomocombinaci—nlinealdeunabasef‡cilmentesiempreycuandolabasefueraortogonal.Porejemplo,siv1,v2,v3esunabasedevectoresenR3entoncesvpuedeescribirsecomocombinaci—nlinealdelosvectoresbasev=c1v1+c2v2+c3v3(6.1.4)Silosvectoressonortogonalesentres’,esdecir,si
c1=váv11v112(6.1.7)deformaan‡logasehallar’aliscoeÞcientesc2,c3c1=váv11
(6.1.9)paratalesvectoresinÞnitos(dehechosonsucesiones)esnaturaldeÞnirelproductopuntocomováu!x1y1+x2y2+ááá+x100y100+ááá='@i=1xiyi(6.1.10)Claramente,comoenestecasoelproductopuntoesunaserienonecesariamenteconvergeporloquedebenimponerseciertasrestriccionessobrelosv
f(t)ser’aelvectorconentradasf(0),f(1),f&1%
)yg(
t)como|f(t)2dondeloss’mbolosalrededordelafunci—nnosirvenm‡squepararecordarquesetienelaintenci—ndetomarunproductointerior.Porlotanto,sisequiererealizarelproductointeriorentre|f(t)2y|g(t)2seledaÒvueltaÓaunadelosfunciones,porejemplo,secambia|f(t)2por3f(t)|ydeestaforma6.1.11sevecomo3f(t)|g(t)2!öbaf(t)g(t)dtf(t)
,|g(t)2sondosfuncionesdeÞnidassobre[a,b]elproductointeriorde|f(t)2con|g(t)2sedeÞnecomo3f(t)|g
)+ch
sonortogonalessisupro-ductointeriorescero,esdecir,3f(t)|g(t)2=öbaf(t)g(t)dt=0(6.1.18)Enlateor’adefuncioneshaymuchasfamiliasdefuncionesortogonales.Sinembargo,
TsepuededeÞnirg(t)!f#T2(t$(6.1.21)yg(t)esdeper’odo2(porqueg(t+2()=f
Tt2(+T$=f#Tt2($
(6.1.23)esunafunci—ndeper’odoPorlotanto,sepuedeestudiarsinpŽrdidadegeneralidadlasfuncionesdeper’odo
deÞnidasobre["(,(]yluegoseextiendeperi—dicamentetalcomoseindicaen
!10
mbargo,enlosextremos
2'1,2'2,2'3,...,2'n,...porloquetienenfrecuenciasrespectivasde12'Hz,1'Hz,32
111213141500.20.40.60.811.21.41.61.8
nt)2sonortogonalessobreelintervalo["(,(].Primeroquetodo,sevanacalcularlasnormasdecadaunadelasfunciones.1112=31|12=ö'"'12dt=2((6.1.29)ParacalcularlasnormasdelossenosycosenosseusanlasidentidadestrigonomŽtricas.1cos(nt)12=3cos(nt)
=«'"'&1+cos(2nt)2'dt=(
="'=((6.1.30)1sin(nt)12=3sin(nt)|sin(nt)2=«'"'sin2(nt)dt=«'"'!1
nt)dt=
nt)dt="cos(nt)n))))t='t="
((6.1.37)Nuevamente,laideadelasseriesdeFourieresquelasfuncionesanterioresformanunabaseparalasfuncionesperi—dicas,esdecir,sif(t)esunafunci—nperi—dicadeper’odo2(entoncesf(t)sepuedeexpandircomo|f(t)2=a02|12+'@n=1
n|sin(nt)2)(6.1.38)dondea0,an,bnsoncoeÞcientespordeterminar(el12frenteaa0esunaconvenci—nusual).ParahallarloscoeÞcientesseutilizalaortogonalidaddelasfunciones2Porejemplo,parahallara0seaplica31|aambosladosde6.1.38ysetiene31|f(t)2=a0231|12+'@n=1(an31|cos(nt)2+bn31|sin(nt)2)(6.1.39)2
(t)2=(a0(6.1.40)obiena0=1(31|f(t)2=1(ö'"'f(t)dt(6.1.41)Parahallaramseaplica3cos(mt)|aambosladosde6.1.3833cos(mt)|f(t)2=a0231|12+'@n=1(am3cos(mt)|cos(nt)2+bn3cos(mt)|sin(nt)2)(6.1.42)nuevamentepor6.1.36solosobreviveamypor6.1.373cos(mt)|f(t)2=am3mt)|mt)2=(amnan=1(3cos(nt)|f(t)2=1(ö'"
t)esunafunci—ndeÞnidasobre["
t)2=1(ö'"'f(t)dt(6.1.47)an=1(3cos(nt)|f(t)2=1(ö'"'
0seutiliza6.1.47a0=1(31|t2=1(ö'"'tdt=t22())))t='t="'=0(6.1.51)Parahallaranseutiliza6.1.48an=1'3cos(nt)|t2=1'«'"'tcos(nt)dt=1'#t
bn=1'3sin(nt)|t2=1'«'"'tsin(nt)=1'#"tcos(nt)n)))'"'+1n«'"'cos(nt)dt$=
f.Enunpuntodediscontinuidadlaserieconvergealpromedio,esdecir,af(t
0.x(PrimeroquetodohayunadiscontinuidadenelorigenporloqueenesepuntolaseriedeFourierdebeconvergeraf(0+)"f(0")
(x)2=1(ö'"'f(x)dx=1(ö'0(("x)dx=1(�(x"(22?))))'0=(2an=1'3cos(nx)|f(x)2=1'«'"'f(x)cos(nx)dx=1'«'0(("x)cos(nx)dx=1'B(("x)sin(nx)n)))'0+1n«'0sin(nx)dxC=
("1)nn2'(6.1.58)Finalmenteusando6.1.49setieneenformaparecidabn=1(3sin(nx)|f(x)2=1(ö'
f(x)=(4+'@n=1#1"("1)nn
t|((6.1.61)SecalculalaseriedeFouriersobreg(t)a0=1'
t)2=1'2«'"
t)=12+'@n=12n2(2(("1)n"1)cos(nt)(6.1.65)comosobrevivenlostŽrminosimparessetoman=2
+1)
12"'@k=04
k=0,k=3,k=5
)=a02+'@n=1#ancos#n(pt$+bnsin#n
t)dtan=1p«p"pf(t)cos&n'pt'dt=2p«p0f(t)cos&n'pt'dtbn=1p
pf(t)dt=0
(t)sin&n'pt'dt=2p«p0f(t)sin&n'p
f(t)=a02+'
t)dtan=2p«p0f(t)cos&n'p
t)dtan
t)sin#n
bn=2(ö'0f
"(,(](obien["p,p])paraobtenerlaseriedeFourierdelaextensi—n.Obviamente,notodaslasextensionessonigualmenteœtiles,enparticularhaytresextensionesdistintasqueresultanigualmenteœtiles.!Extensi—npardelafunci—n:sereßejaf
02+'@n=1
t)sin#n
t+p)=f(t).Enestecasolafunci—ntienesemiper’odop2
#ancos#2n(pt$+bnsin#
f(t)=t20(enunaseriedecosenos,unaseriedesenosyunaseriedeFourierParalaseriedecosenosserealizalaextensi—npardelafunci—n.Usando6.1.80y6.1.81conp=(setienea0=2(ö'0t2dt=23(2(6.1.86)an=2(ö'0t2cos(nt)dt=4("1)nn2(6.1.87)porlotantolarepresentaci—ncomoseriedecosenosdelafunci—nesf(t)=(23+'@n=1
23+'@n=1
=23(2a
+uxxxx=0TelŽgrafoutt=u
cLu2.Porejemplo,laecuaci—ndeLaplacesepuedeescribircomoLu=0dondeL=!2!x2+!2!y2mientrasque
Parab—lica:B2"4AC=02.Hiperb—lica:B2"4AC�
0)=g1(x)u(x,b
g1(x)u(x,b)=g2(x)(6.2.6)!Ecuaci—ndeOndautt=v
Figura6.2.1:CilindroSevanahacerlassiguientesuposiciones:1.elcilindroest‡hechodeunmaterialhomogŽneo(mismaconductividadtŽrmica)2.elcilindroest‡aisladolateralmente,esdecir,elcalorÒescapaӜnicamenteporlastapas3.latemperaturasobrecadasecci—ntransversalesconstante4.laenerg’atŽrmica(calor)quecontieneuncuerpoconmasamytemperaturauesQ=cmudondeceselcalorespec’Þco.Estrictamente,comolatemperaturanoesconstanteseescribedQ=cu(x,t)dm(6.2.10)donde
0"u"x(6.2.11)dondeK0eslaconductividadtŽrmicayA
esigualalcalorqueentraosaleporlastapasdetalcilindropeque–om‡selcalorqueseaproducidodentrodetalregi—n(sinembargoparaloquesiguesesupondr‡quenohaytalproducci—ndecalor).Primeroquetodo,lacantidadcalor(energ’atŽrmica)dentrodelcilindroentrexyx+$xespor6.2.10Q(x,x+$x)=öx+$xxdq=cA-öx+$xxu(s,t)ds(6.2.12)donde
$xespor6.2.111AdQdt
s,t)"tds='2#"u(x+$x,t)"x""u(x,t)"x$(6.2.18)sobreelintervalo(x,x+$x)!u(s,t)!talcanzaunm‡ximoyunm’nimo,esdecir,m(x,x
$x"%0yusandolacontinuidadde!u(s,t)!t,esdecir,l«õm$x"(0m(x,x+$x)=l«õm$x"(0M(x,x+$x)="u(x,t)"t(6.2.22)sellegaalaecuaci—ndelcalor"u"t='2
úT='2TX!!(6.2.25)obienúT'2T=X!!X(6.2.26)comoelladoizquierdodependeœnicamentedetyelladoderechodependeœnicamentedex,debenestarigualadasaunaconstante,quesedenotaporconvenienciacomo"!,esdecir,úT'2T
t)úT
+!X=0X(x)T(0)=f
bnsin&n(Lx'e"!"2n2!2L2"t(6.2.38)faltagarantizarunacondici—ninicial,aquellaenlacualu(x,0)=f(x
x)sin&n(Lx'dxn=1,2,
x'e"!"2n2!2L2"tL=1,'2=0,003,u(0,t)=u(1,t)=0yu
1(2n+1)3sin((2n+1)(x)e"0,003(2n+1)2'2
!!+!X=0X
2X(x)=c1cos(ax)+c2sin(ax)
!"2n2!2L2"t
'@n=1ancos&n(Lx'(6.2.56)peroestoesequivalenteaencontrareldesarrolloenseriesdecosenosdef(x)quetieneporsoluci—na0=2LöL0f(x)dxan=2LöL0f(x)cos&n(Lx'dxn=1,2,
!2L2"t6(6.2.58)Porejemplo,tomandoL=1,'2=0
Figura6.2.3:Soluci—nEcuaci—ndelCalorCondicionesdeNeumann6.2.2.
52*=0(6.2.68)donde52eselLaplaciano52="2"x2+"2"y2+"2"z
X!!X="Y!!Y="!(6.2.71)obien%
u(x,b)=g(x
,++++-X!!+!X=0Y!!"!Y=0X(0)=0X(a)=0X(x)Y(0)=f(x)X(x)Y(b)=g(x)(6.2.74)Enlaprimeraecuaci—ndespuŽsdeanalizarloscasossetienequelaœnicaopci—nviableesX(x)=c1cos('x)+c2sin('x)!='2(6.2.75)yporlascondicionesdefronterasetienequelasoluci—nesdelaformaX(x)=c2sin&n(a
&Anen!ab+B
nen!ab+Bne"n!ab=2a
x)sin&n
n!baöa0f
)='@n=142
X
)=c3+c4y(6.2.90)Otraopci—nesX(x)=c1cos('x)+c2sin('x)!='2(6.2.91)yporlascondicionesdefronterasetienequelasoluci—nesdelaformaX(x)=c1cos&n(a
&n(ay'(6.2.94)Luegolasoluci—nqueseproponeesu(x,y)=12A0+12B0y+'@n=1&An
&n(ay''cos&n(a
f(x)=12A0+'@n=1
A0=2aöa
x)cos&n(ax'dx
12A0+12B0b+'@n=1
&n(ab''cos&n(a
x,t)sin)(x+$x,t
x,t)sin)(x+$x,t
"x(6.2.103)porlotanto-1+#"u"x$2"2u"t2="T"xsin)+Tcos)")"x(6.2.104)delaÞguraesclaroquetan)=l«õm$x"(0$u$
(6.2.106)asuvezde
x,t
x,t)cos)(x,t))=0(6.2.110)obien"T"xcos)=Tsin)")"x(6.2.111)porlasaproximacionesanteriores"T"x(T"u"x"2u"x2(6.2.112)peroen6.2.108aparecer’aeltŽrmino!!u!x"2queseest‡ignorandoporloqueseobtienelaecuaci—ndeonda-"2u"t2=T"2u"x2(6.2.113)como
u(x,0)=
(x,0)=g(x)u(0,t)=0u(L,t)=0(6.2.118)porelmŽtododeseparaci—ndevariablesseresuelveencambio*++++,++++-X!!+
)T(0)=f(x)X(x)Tt(0)=g(x)X(0)T(t)=0X(L)T(t)=0(6.2.119)paraquelaœltimaecuaci—nseav‡lidasiempresetomaX(0)=0yX
ax)!="a2(6.2.120)delascondicionesXyX(L)=0sellegaaqueX
2n2(2L2T=0(6.2.122)quetienesoluci—nT(t)=c3cos&vn(Lt'+c4sin&vn(Lt'(6.2.123)yseproponecomosoluci—nu(x,t)='@n
&vn(Lt''sin&n(L
f(x),esdecir,An=2L
vn(L'sin&vn(Lt'+Bn&vn(L'cos&vn(Lt''sin&n(Lx'(6.2.127)usandolacondici—ng(x)=ut(x,0)hayqueresolverg(x)='@n=1Bn&vn(L'sin
f(x)sin$n"Lx%dx&cos$vn"Lt%+#2n"vöL0g(x)sin$n"Lx%dx&sin$vn"Lt%&sin$n"Lx%(6.2.130)Porejemplo,siv=1,f(x)=%0
n=1sin&n(2'sin&n(2
u(x,0)=
(x,0)=g(x)ux(0,t)=0ux(L,t)=0(6.2.132)porelmŽtododeseparaci—ndevariablesseresuelveencambio*++++,++++-X!!+!X=0¬T+v2!T=0X(x)T(0)=f(x)X(x)Tt(0)=g(x)X!(0)T(t
)=c1+c2x!=0(6.2.134)peroporlascondicionesdefronterasolosirveX(x)=c1(6.2.135)Luegolaecuaci—nparaTtienesoluci—nT(t)=c3+c4t(6.2.136)ylasoluci—ncorrespondienteaestecasoesu(x,t)=12A0+12B0t(6.2.137)Laotrasoluci—nquepuedefuncionaresX(x)=c1cos(ax)+c2sin(ax)!="a2(6.2.138)delascondicionesX!(0)=0yX!(L)=0sellegaaqueX(x)=c1cos&n(Lx'n=1,2
2A0+12B0t+'@n=1&Ancos&vn(L
f(x)=12A0+'@n=1
x),esdecir,A0=2LöL0f(x)dxAn=2LöL
"An&vn(L'sin&vn(Lt'+Bn&vn(L'cos&vn(Lt''cos&n(Lx'(6.2.145)usandolacondici—ng(
L'cos&n(Lx'(6.2.146)queesunaseriedecosenosparag(x
n=2n(vöL0g(x)cos&n(L
f(x)dx+!1L«L0g(x)dx"t+)$n=1!!2L«L0f(x)cos+n!Lx,dx"cos+vn!Lt,+!2n!v«L0g(x)cos+n!Lx,dx"sin+vn!L
11"4n2a)Esf‡cilobservarquef(x)=f("x)debidoalapresenciadelvalorabsoluto.Enestecasop='
n=1ancos(2nx)(6.2.150)dondea0=2pöp0f(x)dx=4(ö!20|sinxcosx|dx=4(
n=2pöp0f(x)cos#n(px$dx=4(ö!20sin(x)cos(x)cos(2nx)dx=1(ö!202sin(2x)cos(2nx)dx(6.2.152)utilizandolaidentidad2sin(ax)cos(by)=sin(ax"by)+sin(ax+by)seobtiene1(Jö!20sin(2x"2
=!2x=0=0(6.2.154)Sin#=1setiene"1(Jcos(2x(1"n))2(1"
1))2(1"n)"12(1"n)+cos(((n+1))2(n+1)
2(1"n)"("1)n"12(n+1)
(6.2.157)=1(1+("1)n1"n2n,2(6.2.158)Deestaforma|sin(
1(+'@n=21+("1)n(1"n2)(cos(2nx)(6.2.159)b)Primeroquetodolaserieanteriorsobreviveœnicamentecuandonesparesdecir,n=2k,porloque|sin(x)cos(x)|=1(+'@k=12(1"4k2)(cos(4kx)(6.2.160)tomandox=0seobtiene0=1(+2('@k=111"4k2(6.2.161)obien'@k=111"4
0.20.30.40.50.60.7!2!1.5!1!0.500.511.52
sin(x)cos(x)|.Sumasparcialesk=1,2,3,4Ejemplo128.UnavarilladelongitudLsehacecoincidirconelintervalo[0,L].Planteeelproblemadevalordefronteraparalatemperaturau(x,t)sia)elextremoizquierdosemantienealatemperaturaceroyelderechoest‡aislado.Latemperaturainicialdelavariilaenelpuntoxesf(x).b)
++,++++-ut='2uxx0u(x,0)=f
u(x,0)=f(x)u(0,t)=100ux(L,t)="hu(L,t)&#xL ] ;&#xTJ 0;&#x Tc ;T B;&#xT 10;&#x.909; 0 ;� 10;&#x.909; 21; .59;™ 6;˜.3;ࠂ
;&#xTm /;&#xTc4.;� 1 ;&#xTf 0;h0(6.2.164)dondelaœltimacondici—nsetomadelaLeydeEnfriamientodeNewton.Ejemplo129.UnacuerdadelongitudLsehacecoincidirconelintervalo[0,L].Planteeelproblemadevalordefronteraparaeldesplazamientou(x,t)sia)losextremossemantienenÞjosylacuerdapartedelreposodesdeeldesplazamientoinicialx(L"x).b)ElextremoizquierdosemantieneÞjo,peroelextremoderechosemuevedeacuerdoconlafunci—nsin((t).Lacuerdapartedelreposodesdeundesplazamientoinicialf(x).Para&#xL ] ;&#xTJ 0;&#x Tc ;T B;&#xT 10;&#x.909; 0 ;� 10;&#x.909; 21; .59;™ 6;˜.3;ࠂ
;&#xTm /;&#xTc4.;� 1 ;&#xTf 0;t0,lasvibracionesseamortiguanconunafuerzaproporcionalalavelocidad
+++,++++++-uxx+uyy=00.x.40.
F(s)f(t),pruebeapartirdeladeÞnici—nqueLLf!ta"M(s)=aF(as)PordeÞnici—nF(s)=ö'
)=f!ta"entoncesG(s)=ö'0e"stg(t)dt=ö'0e"stf#ta$dt(6.2.169)sehaceelcambiodevariableu
0e"suaf(u)du=aö'0e"(as)tf(t)dt=aF(as)
GHGGGGHsintL"%1s2+1(6.2.173)LuegodFds="1s2+1(6.2.174)obienF="
"4(s"3)2[(s"3)2+4]2+2(s"3)
)GGGGHGGGGHdfdtL"%sF(s)"f(0)(6.2.179)Esdecirf(t)L"%F(s)GGGGHGGGGHdfdtL"%sF(s)"f(0)GGGGHGGGGHeatdfdtL"%(s"a)F(s"a)"f(0)GGGGHGGGGH"teatdfdt
F(s"a)"f(0))=(s"a)F!(s"a)+F(s"a)(6.2.180)b)SetomaF(s)=2s2+22ya=3.Claramente"4(s"3)2[(s"
2+2(s"3)2+4=(s
cos2t(6.2.181)Ejemplo134.Pruebequesia,0entoncesLP«taf(u)duQ=1sL(f)"1s«a0f(u)duPorlaspropiedadesdelaintegral
)du=öt0f(u)du"öa0f(u)du(6.2.182)Aplicandolatransformadaaambosladosyusandoelhechodeque«a0f(u)duesunaconstantesetieneL#ötaf(u)du$=L#öt0f(u)du$
)"1söa
=sdtporloqueö'0e"sttpdt=ö'0e"r&rs'pdrs=1sp+1ö'0e"rrpdr=#(p+1)s
9
2.3.2.Resorteymasasuspendida..........................1092.3.3.Segmentobisecadoporelejex........................1232.3.4.Problemade‡reasde‡reas..........................1243.1.1.OsciladoresAcoplados
2215.3.1.f(t)=1.....................................2275.3.2.F(s)=1s
...................................2295.3.7.f(t)=cost...................................2305.3.8.F(s)=ss2+1...................................2305.3.9.f(t)=sint...................................2315.3.10.F(s)=1s2+1...................................2315.3.11.f(t)=#(t)....................................2325.3.12.F(s)=1.....................................2325.3.13.TransformadeLaplaceylaTransformadaInversadeLaplace.......2405.3.14.Regi—ndeIntegraci—n
.............................2786.1.5.Sumasparcialesk=0,k=3,k=5,k=20.................2796.1.6.Extensi—npardelafunci—n..........................2826.1.7.Extensi—nimpardelafunci—n.........................2836.1.8.Extensi—nperi—dicadelafunci—n.......................2846.1.9.Seriedecosenospara.....................2856.1.10.SeriedesenosparaN=1,10,50,100.....................2866.1.11.Extensi—nperi—dica,N=1,5,15,50.....................2876.2.1.Cilindro.....................................2916.2.2.Soluci—nEcuaci—ndelCalorCondicionesDirichlet.............2956.2.3.Soluci—nEcuaci—ndelCalorCondicionesdeNeumann...........2986.2.4.Ecuaci—ndeLaplaceCondicionesdeDirichlet................3016.2.5.Cuerda......................................3036.2.6.Ecuaci—ndeOndaCondicionesDirichlet...................
x)cos(x)|k=1,2,3,4
ODEhomogŽnea,
135operadorlineal,66orden,21288oscilacionesforzadas,75

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