Ejercicios resueltos de Integrales

Integrales . Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5. 24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la . superficie. de hierba que puede comer la vaca. 25.- Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura. Sabiendo


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U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia \ Cartografía
Si f:R es continua \ una función derivable en x a,b), entonces la función \ )
Se generali]a de forma que Fes derivable en x
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U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÈLCULO I Soluciones de los ejercicios propuestos:
a) 0 x252dxex b) --0 ax1pdxex
Solución: a) e/4 b)
(p)
1 0 xln .
Solución: -4
0 35dt tcos tsen=(p,q) y calcular
0 35dt tcos tsen.
Solución: 1/24
4.- Lo mismo para
0 dtt cost sen64
5.- Determínese si las integrale
2cosx
Solución: a)
(diverge) b)
(diverge) c)
(converge)
d)
(converge) e)
2cosx
(diverge)
6.- Hallar el área com~n al círculo ρ

-2x gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la
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121.- Las ecuaciones paramétricas
describen la curva denominada
Folium de Descartes, se pide:
a) El intervalo de t para el que las anteriores ecuaciones describen el lazo.
b) La longitud del lazo.
c) La superficie de revolución engendrada al girar el lazo alrededor del eje de
abscisas.
lazo alrededor del eje de abscisas.
El intervalo de t para el el lazo son los valores de t para los que x e y pasan por el origen, luego
t
pues en t=0, x e y valen 0 y
lim0lim0
La longitud del lazo viene dada por [[
()()Lxtytdt
412'()'()
41242
tttLdt
6,55665 u ndrada al girar el lazo alrededor del eje de abscisas viene [[
2()()Syxtytdt
32241242=+|tttSdt
42,88384 u engendrado al girar el lazo alrededor del eje de abscisas viene
0 0412()()==|Vytxtdtdt
18,009185 u
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120.- Hallar el área sombreada de la figura que es simultáneamente exterior a
la curva en polares r2cos(3)=+a e interior a r2cos(3)
.
Resolvemos la intersección de las dos curvas pondiente al primer cuadrante:
114Aff d2cos32cos3 d223=q-qq=+a--aa=
El área toral será 6 veces: 8u
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119.- Dada la función
f(x)2x1x, calcular el volumen engendrado al girar la
curva alrededor del eje de ordenadas.
VxydyConsideramos el arco de curva del primer cuadrante y posteriormente multiplicaremos por 2 el resultado. Hemos de calcular para qué valor de x esta función alcanza el máximo:
2(1x)f(x)2x1xf'(x)0x=-Ÿ==Ÿ=Sustituyendo en la función, se obtiene la imagen:
El volumen será la resta de los vol~menes siguientes: El generado al girar la curva desde x =
hasta x = 1 menos el volumen obtenido cuando la curva gira desde x = 0 hasta x =
. Los valores entre los que varía la “y” son los mismos en amboos de curva.
2222f(x)2x1xy4x(1x)yx11y=-=Ÿ-=Ÿ=êê-
y11y00Vxydy11ydy11ydy884=p+--p--=+p-pp=p-p=“““Como se indicaba más arriba, hemos de multiplicar por 2:

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U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÈLCULO I El área correspondiente al primer cuadrante es suma de dos área
/4/4111Ar dAA5 sen(2) d5 cos(2) d22255552cos(2)sen(2)4424app=a=+=aa+aa==-a+a=-“““Para obtener el área total interior a ambas curvas hemos de multiplicar por 2:
552
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118.- Calcular:
a) La longitud de la curva en polares r5 cos(2)

b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva anterior.
r5 sen(2)
.
Solución:
r5 cos(2)0
a=Ÿa=ê
5sen(2)r5 cos(2)r'5 cos(2)=aŸ=-
/4/4/4/45sen(2)Lrr' d25 cos(2) d2cos(2)5 cos(2)=+a=a+-a=a|
unidades lineales.
El área de la mitad del bucle es:
1155Ar d5 cos(2) dsen(2)2244=a=aa=a=
2A2
c)
r5 sen(2)0=a=Ÿa=

r5 cos(2)5 sen(2)
=a=aŸa=

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117.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
cos t dt
ln x cos x cos x sen t dt
G(x)f(t)dtG'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función continualnxF(x)costdtg(x)f(t)dtG(g(x))
F'(x)G'(g(x))g'(x)f(g(x))g'(x)f(lnx)====
cos(lnx)
G(x) = ln x cos xcos x sen t dtF(x)f(t)dtG'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función con(x)=lnx; g
lnxlnxlnxcosxcosxcosxG(x)cosxsentdtcosxsentdtsentdtcosxsentdtsentdt==+=-=“““““g(x)g1(x)cosxf(t)dtf(t)dtcosxF(g(x))F(g(x))=-=-
2212121G'(x)cosxF'(g(x))g'(x)F'(g(x))senxF(g(x))F(g(x))cosxf(g(x))f(g(x))senxsenxF(g(x))F(g(x))=---==---=
ln x cos xG'(x)cosxsenln xsencosxsenxsenx sen t dt=+-
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116- Determinar la curva que pasa por el punto (e, 2) y cuya pendiente en cada
�punto (x,y), tal que x 0, es
lnx
Solución
ylnxdxln(x)1C==-+Obligamos a que la curva pase por el punto (e, 2):
2ln(e)1CC2=-+Ÿ=Luego, la curva pedida es:
yln(x)12
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115.- Hallar la longitud de la curva
=+-yxx
Solución:
224y(x1)x0x=+-=Ÿ=ê
24242x14x1x2xy(x1)xy'2(x1)x(x1)x=+-Ÿ==ê+-ê+-
1x2xL1fxdx1dx(x1)x=+=+|ê+-Hay que multiplicar por 2 para obtener la longitud total de la curva, pues el resultado anterior se refiere a la parte positiva (y
8.997649000u
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114.- Hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada entre la curva
xcostytg t y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
Buscamos su asíntota
límx(t)límcost0límy(t)límtg toêoêoêoê==êVxty't dt
y(t)tgty'(t)cost=Ÿ=
Vxty't dtcost dtcost dtcost=p=“““
1cos2tsen(2t) dtt222
p=+=
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113.- Dada la curva en coordenadas polares r =
2tg, se pide:
a) Período de la curva.
b) Dominio de r ().
dentro del
dominio de la función).
Solución
p=p22
La curva se dibuja completa para

Ÿpa,02,0
Ha de ser ría
paŸŸÃ­,0,0
rtg00==Ÿa=
rtg1==Ÿa=

Ar dtg d*222=a=a=Con el cambio
2dt2dttgt1tgdtd211tgaaa=Ÿ+=Ÿa==

0t0a=Ÿ=
=Ÿ=ê

12dt1*t1dttarctgt121t1t
==-=-=-=
u2
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112.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva
=+-224x(y)yalrededor del eje de ordenadas.
Solución

224x(y1)y0y=+-=Ÿ=ê
24242y14y1y2yx(y1)yx'2(y1)y(y1)y=+-Ÿ=ê+-ê+-
1y2yS2x1x'dy2(y1)y1dy(y1)y=p+=p+-+|ê+-
27.21509683u

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111.- Hallar el área encerrada entre la curva
tg tysent y su asíntota.
Solución

límtg tlímsent0 es su asíntota;
lím0tg tP0,1límsent1
tg tsenty2sentcostysent
()()
b/2/2at00Afx dxytxt dt2sent dt2dt sent===-==““““

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110.- Dada la curva en coordenadas polares r =
3cos, se pide:
a) Período de la curva.
b) Dominio de r ().
c) Longitud de la curva (para valores de
⁤敮瑲漠摥氠摯浩湩漠摥愠
Solución
p623
La curva se dibuja completa para

Ÿpa2,06,0
Ha de ser ría
339rcos00,,20,,6332222aapppp=ퟏpŸaïƒˆp

rcosr'sen333
a=Ÿa=-
Lrr' d=+a=
3/26cossen dcossen d333333aaaa-a++-a
6.68244661u
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109.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva
=--yx(x)alrededor del eje de abscisas.
Solución

713yx(3x)0x=--=Ÿ=ê
12(3x)(1)72xyx(3x)y'2x(3x)2x(3x)----=ê--Ÿ==----
S2f(x)1fxdx2y1y'dx=p+=p+=
72x2x(3x)1dx2x(3x)=p--+|40.84070174u
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108.- Hallar el área encerrada entre la curva xcostytg t y su asíntota.
Solución
()()xcost0tlímtg t0xcos01(1,0)ytg t0txcos111,0xcos1(1,0)==Ÿ=Ÿ=êŸ==Ÿ==Ÿ=pŸ=p=-=Ÿ-pŸ=-p=ŸObviamente la asíntota es
x'2costsentxcostytg tcost
()()
/2/2t00Aytx't dt2cost dt2dt =cost===“““
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107.- Dada la curva en coordenadas polares r =
3sen, se pide:
a) Período de la curva.
b) Dominio de r ().
c) Longitud de la curva (para valores de
⁤敮瑲漠摥氠摯浩湩漠摥愠
Solución:
p623
La curva se dibuja completa para

Ÿpa2,06,0
Ha de ser ría
[[paŸpŸÃ­3,0,0c) La fórmula a utilizar es:
Lr(r')d
Estableciendo los límites de
rsenr'()cos333rr'sencos333a=Ÿa=Ÿïƒ§ïƒ·ïƒ§ïƒ·ïƒ¨ïƒ¸ïƒ¨ïƒ¸ïƒ¦aaa+a=+
Lr(r')dsencosd333=+a=+a|
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106.- Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros:
x2 + y2 = r2; y2 + z2 = r2
Podemos observar que al hacer cortes perpendiculares a la sección com~n de los dos El volumen pedido viene dado por: V = A(x)dx
A(x)2y2rx==-
2223V4rxdx4rx4r
-=-==
r
222xyr
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engendrado al rotar la curva
x3x
(Trisectriz de Maclaurin) alrededor del eje de abscisas.
Solución
x3x
El volumen pedido viene dado por: V = ydx
x3xVydx=p=p=
8ln23
Calculamos los puntos de intersección con el eje de abscisas.
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longitud de la elipse de ecuación
32cos
.
Solución
La fórmula a utilizar es:
Lr(r')d=+aEstableciendo los límites de integración entre 0 y 2ʌ
32cos32cosrr'32cos32cosa=Ÿa=-a+a=+-
32cos32cos=+a16.53724725
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de la región comprendida entre la curva de
ecuaciones 2(t)y(t)2cos(x(t)tg
y su asíntota es finita o no.
Solución
es el eje de abscisas (y=0) para t=
lim2tgt;lim2cost0=ê=Además, la curva es simétrica respecto del eje de ordenadas pues 2(t)2tg(t)x(t)y(t)2cosx(t(t)2cos(t)y(t))tg-=-=--=-==La fórmula a utilizar será:
Ay(t)x'(t)dt
x'(t)cost
t00Ay(t)x'(t)dt22costdt8dtcost====“““
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engendrado al rotar la curva 224yxx
alrededor del eje de abscisas.
Solución
Es decir, resolvemos xx0x0
-=Ÿ=
El volumen pedido viene dado por: V = ydx
24a10ydxxxdx2xxdxp=p-=p-=“““
u2
Calculamos los puntos de intersección con el eje de abscisas
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área
r2cos2 al girar alrededor del eje polar.
En el polo r=0, obtenemos
r02cos2cos(2)0==aŸa=Ÿa=êY en la intersección con el eje polar
r22cos2cos(2)10,
=aŸa=Ÿa=êp
r2cos2r2cos22sen22sen2r'r'cos2cos2=aŸ=a
=-Ÿ=
2sen2S2 rsenrr'd22 2cos2sen2cos2dcos2=pa+a=paaa+a|
842
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100.-a) Hallar el área interior al círculo r=1 y exterior a la cardioide
r=1-cos.
b) Determinar la longitud de la cardioide r=1-cos
a) La fórmula a utilizar es:
Arrd=-a
cos0r1cos
Ÿa=Ÿa==-ap
A11cosd=--aa=
2Lr(r') d1cossen d=+a=-a+aa=
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99.-Hallar la superficie
de ecuación (x-2)2+ (y-4)2 = 1 cuando gira alrededor del eje OX.
Al ser una circunferencia de centro (2,4) y radio 1 los límites de
y41x2y'1x2
=ê--Ÿ=
S2y1y'dx=p+En este caso, la superficie del tentre la semicircunferencia superior y el eje X, e igual la genentre la semicircunferencia inferior y el eje X.
S22y1y'dx=p+=
441x21dx1x2=p+--+=
821
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del sólido obtenido al hacer girar la región
comprendida entre y=x2 e y=2x alrededor del eje X.
El volumen pedido viene dado por: V =
yydx
b222222435a00yydx2xxdx 4xxdxxxp-=p-=p-=p-=“““
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÈLCULO Y ESTADËSTICA Buscamos los puntos de intersecy la bisectriz del primer cuadrante:
x1costysent
x22costy2sent
Obviamente con el eje de abscisas resulta en los dos casos t=0.
En el caso de la recta los límites son 1 y 2La fórmula a utilizar será:
Ay(t)x'(t)dt
x(t)tx'(t)1It1dty(t)tŸ=Ÿ==
x1costx'(t)sentIsentdtysent
Ÿ=-Ÿ==
x22costx'(t)2sentI4sentdty2sentŸ=-Ÿ==p
123III-+=-+p=
Obsérvese que I son la cuarta parte de círculos de radios 2 y 1 respectivament La recta tg
22Arr d16cos4cos d6cos d=-a=a-aa=aa=“““
3(2)
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97.-
limitada por las regiones
xy2xxy4x
.
limitada por las curvas
x1costysentx22costy2sent
;xtyt
;xty0
limitada por las curvas
r2cosr4cos
;1tg
;
sen0
Buscamos los puntos de intersecy la recta: xy2xA(1,1) xy4xB(2,2)
242242212112Ax2xx dx4xx dxx dx2xx dx4xx dx*=--+-=--+-=“““““Calculamos cada integral por separado:
Ix dx===
2222222110001cos2tI2xx dx1(x1) dx1sent costdt costdt dt=-=--=-===“““““
1sen2t224=-=
2222222220001cos2tI4xx dx4(x2) dx44sent 2costdt4 costdt4 dt=-=--=-===“““““
1sen2t=-=p
123III-+=-+p=
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superficie de revolución engendrada por la rotación alrededor del
xcostysen3t
Solución:
0xcos01(1,0)ysen3t0txcos,03322xcos1(1,0)Ÿ==Ÿïƒ¦ïƒ¶ïƒ¦ïƒ¶==Ÿ=Ÿ==Ÿïƒ§ïƒ·ïƒ§ïƒ·ïƒ¨ïƒ¸ïƒ¨ïƒ¸pŸ=p=-Ÿ-()()xcostx'sentysen3ty'3cos3t
()()()
()()()
222t 0S2 ytx'ty'tdt2 sen3tsent3cos3tdt+=p-+6.825649852u2

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obtenido por la rotación de la curva
233xyx
caso, si la integral que has utilizado
, a qué tipo pertenece y si es
Solución:
y0x3==Ÿ=
Vydxdx
=p=p=
333333kkkk0k0k0límdxlímdxlímdxxxx+++ooo
-p“““
2/35/3k0k0límxlímx=p-p=
2/3
La integral utilizada es una integral impropia de segunda especie
lo de integración finito) conv
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94.- Plantear la integral que da la longitud del primer arco de la espiral
r

coordenadas polares
Para valores de Į entre 0 y 2ꞏ�, se obtiene el primer arco de la espiral:
rr'=aŸ=
()()
222000141Lrr'dddppp=a+aa=a+a=a|“““11.27394126u
Aproximando esta integral con el comando de Derive.
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93.- Las curvas, en polares,
rsen2
y
rcos2
, se cortan dando lugar
a varios recintos interiores comunes a ambas curvas, todos de la misma área.
Calcular el área de uno de estos recintos.
()()
rsen2sen2cos2rcos2
Ÿa=aŸa=
rsen2sen20Ÿa=Ÿa=
0cos2rcos2Ÿ=aŸa=
La fórmula a utilizar es:
/4111Ardsen2dcos2d222app=aa=aa+aa=“““
/41cos41cos4111111222221682168-a+a=+=-+-=
168

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del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas de la curva
41yx1
. Indica, en su caso, si la integral que has
, a qué tipo pertenece y si es
Solución:
Es una integral impropia de primera especie (función continua en intervalo de integración
b a 0 ()2
f
xdxdx
=2lim
cdxx
u
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polares
a) r1cos=+a y rcos
.
b) r1cos=-a y rcos
.
Ambas curvas son periódicas de periodo 2ʌ y simétricas respecto del eje polar por serlo el coseno, en consecuencia, el área es 2 veces la región por encima del eje de abscisas. Los límites de integración se obtienen por intersección para r=r1cos0=+a=Ÿa=p
rcos0
=a=Ÿa=rcos10=a=Ÿa=Y r=2 en la cardioide r1cos20=+a=Ÿa=
Ambas curvas son periódicas de periodo 2ʌ y simétricas respecto del eje polar por serlo el coseno, en consecuencia, el área es 2 veces la región por encima del eje de abscisas
Por lo tanto, A=
rd
0 0 1cos cos
aaaa
Por lo tanto, A=
rd
1cos cos
--=aaaa
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del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
0. Indica, en su caso, si la
que has utilizado es , a qué tipo pertenece y si es
divergente.
Solución:
dxxf0
xe limxe
Es una integral impropia de primera especie (intervalo
de integración infinito y función continua en el intervalo) convergente.
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del sólido generado por la
xcostysent
Por las simetrías de la curva, el volumen obtenido al girar alrobtenido al girar alrededor de OX: xcost1ysent0
xcost0ysent1La curva en el primer cuadrante se obtiene para
,0t, por tanto: ()()()
S2xtx'ty'tdt=p+
()()322424222x'9costsentxcostx'3costsentysenty'3sentcosty'9sentcost x'y'9costsent9sentcost9sentcost==-+=+=()()()
/2/2322S2xtx'ty'tdt22cost9sentcostdt12costsentdt+=p=p“““
cost
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88.- Calcular la longitud de la curva
yx(1x). Indica, en su caso, si la
convergente
divergente.
La curva corresponde a una semicircunferencia. Su dominio es el intervalo [0,1 que son los valores (1)0

Es una integral impropia de segunda especie: función no acotada en intervalo de integración
lim1(1)+= e igual para x
dx)x(' f1 b a
(1)
0.5 0.5 0 c2lim1(1)(1)+=+=dxdxxxxx
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87.- Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el
= 0 y
Solución:
()sen
f
xdxxdx
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del elipsoide de revolución engendrada por la rotación
cuyas ecuaciones
x2costy3sent
La elipse es simétrica respecto de los ejes y periódica de periodo 2ʌ (por serlo e ), en enera rotando la mitad superior (intervalo [0, ʌ.
()()()
dtt'yt'xty2t t ()()
23sen2sen3costttdt=18ꞏʌ -
175125ln89 u
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del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas del arco de la curva = ln
caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es
convergente o divergente.
Solución:
()
f
xdx
ln ()limln===
x
xdx
Es una integral impropia de segunda especie
función no acotada en intervalo de integración finito pues limln
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9yx(3x)
Solución:
dx)x(' f1 b a Puntos de corte con OX (y = 0): 9yx(3x)

x39yx(3x)yx(3x)y'2x(3x)6x(3x)
=-Ÿ=ê-Ÿ=ê=ê

b3 a032x L=1f'(x)dx2 1dx6x(3x)+=+|6.682099172u

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de la región comprendida entre la curva en polares
r7cos6=+a
Solución:
66cos7
ê=aŸ=a+Por las simetrías de las curvas, el área A pedida es 12 veces eárea rayada de la figura. Por tanto,
-aa+d 6 d 6cos7 0 0
p-
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de las siguientes funciones:
ln (t) dt
ln xt dt tg x sen t dt
d) I(x)= sen x sen x cos t dt ln xtg t dt
tg x sen t dt
cost dt cos x sen t dt
tg x sen t dt
Solución:
F‘(x) = ()()6232xn l3x)x(n l3x
dt tln x 5x
5x5xx4ln xdt t)x('G435x
H‘(x) =
sen(tg )0coscos
x
x
x
x
I(x) = tgxsenx sen cos
x
tdt tgxsenx sen cos
x
tdt
I'(x)
tgxsenx cos cos sen cos(tg)coscos(sen)
x
tdtxxxx
tg(n )tg(n )0
x
x
dttxx sen tg
tg sen
x
tdtK'(x)
tg ' sen tg sen '
x
tdtxtdt
sen tg sen2sencostdtxxxx
L‘(x) =
xcos 3x
dt tsen x cos
()()()()232M'(x) senx sen t dtcos x3xsenx2xsenx
=-+-
dttxx sen tg
=tg sen
x
tdtG'()
x
tg ' sen tg sen '
x
tdtxtdt
sen tg sen2sencostdtxxxx
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81.- La elipse de ecuación
49=+
Calcular el superficie del cuerpo de revolución que se obtiene.
Solución:
xy222x2x1y9xy'9433329x9x+=Ÿ=ê-Ÿ=ê=Ÿ=êVolumen de revolución:
b33a33244x4Vfxdx9xdx9xdx9x3639939=p=p-=p-=p-=p=“““16ꞏ�u
b33a3322x4S2y1ydx29x1dx815xdx339=p+=p-+=-=“““
7255arctg8=+p|67.67287265u
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80.- Área interior simultáneamente a las dos curvas siguientes dadas en
coordenadas polares:
r = 2sen y r =
(circunferencia de centro en el polo y radio
12).
Puntos de corte entre ambas curvas:
rsensensen
a=Ÿa=êŸa=
En el primer cuadrante el punto deValores de Ä® para los que la curva alcanza el polo: ()()rsensen0sen0
a=Ÿa=Ÿa=
En el primer cuadrante: Ä® = 0.
Calculamos el área del primer cuadrante y la multiplicamos por
/2/4/222200/4Ar d4r d2sen d2 dapp=a=a=aa+a=““““

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79.- Dada la curva
xtcos2tyttg
encerrada por la curva y el eje OY en el segundo
&#x 0, ;&#x y 0;cuadrante (x )
del apartado anterior gira alrededor del eje OY, calcular el
de revolución obtenido.
Período = m.c.m.(ʌ,2ʌ) = 2ʌ
()()
xtcos2t0t==Ÿ=
ytg21ytg21pp==-

)()
x't2sen2txtcos2tt1t1yttgy't1tg2221cost===+=
()()
Axty'tdtcos2tdt1cost===
Vx(t).y'(t)dtcos2tdt1cost=ʌꞏ(4 - ʌ)

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engendrado por la rotación del área
de ecuación (x-2)
coordenadas polares): rsencos
a+a calcular su
Al ser una circunferencia de centro (2,4) y radio 1 los límites de
y41x2=ê--El volumen engendrado, en general, viene dado por VydxEn este caso, el volumen del toro por el área encerrada entre la semicircunferencia superior y er el área que queda entre la semicircunferencia inferior y el eje X.
V41x2dx41x2dx=p+---p---=
V16x4x3 dx=p-+-=
u Antes de calcular la longitud hay que ver el dominio de la función r. Sólo se tendrán en cuenta primer cuadrante r>0 así como es. Si se hace r=0 se obtiene rsencos=a+aahora queda por comprobar si r>0 se da para los ángulos mayores o menores que los dados en cada cuadrante. En el segundo cuadrante, r>0 para ángulos menores que 3/4ʌ y en el cuarto cuadrante, r>0 para ángulos mayores que 7/4ʌ. El resumen puede verse en la zona sombreada del gráfico ()()
Lr()r'()d=a+aacomo en este caso ()()
r()r'()2a+a=
L2 d2 d=a+a=
O bien, simplemente
L2 d2
a=p
=3/4ʌ
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rcos=a-
rcoscos0arccos(0)k, kZ4442=a-ppppa-=Ÿa=+=+p=p=p
rcos=a- el correspondiente a medio lazo.
/4/4/42224Ar d4r d2cos d2cos d448appp-ppp=a=a=a-a=a-a=““““Èrea dentro del círculo y fuera de los lazos r
p-=
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77.- a) Sea
cos x si x-,0f(x)4sen x si x0,


1a) Hallar I =
f(x) dx
) Hallar el valor de k tal que I = .k
愀⤀뽅硩獴攠慬柺渠灵湴漠挠摥氠楮瑥牶慬漠
tal que f(c) = k?
4a) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral?
de centro el origen y radio1
coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva
rcos=a-
Solución:
dx )x(f
0 0 cos x dx 4sen x dxsenx4xcosx=++=+-=
21k=+p=pŸ
, para cualquier c
pp
0,( xsi x sen40 ,-[ xsi c cos)c(
0,( xsi 5 4,0 ,-[ xsi 1 0,)c(
No contradice esto el Teorema del valor medio integral
se verifican las hipótesis del teorema: 50 sen4)x(flim10 cos)x(flim0x0x
z==Intersección de ambas curvas:
rcoscos1cos1arccos(1)k444=a-a-=ŸpppŸa-=êŸa=+ê=+p
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limitada por las regiones:
x2+y22x; x2+y2
0
x0y0xy2xx1y1=Ÿ==Ÿ=x0y0xy4xx2y2=Ÿ==Ÿ=
xy2xy2xx+=Ÿ=ê-
xy4xy4xx+=Ÿ=ê-
=-=--+--=--+-=““““““b2422422a12112Af(x)g(x)dxx2xxdx4xx0dxxdx2xxdx4xxdx(*)Calculamos cada integral por separado:
Ix dx===
2222222110001cos2tI2xx dx1(x1) dx1sent costdt costdt dt=-=--=-===“““““
1sen2t224=-=
2222222220001cos2tI4xx dx4(x2) dx44sent 2costdt4 costdt4 dt=-=--=-===“““““
1sen2t=-=p
123III-+=-+p=
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0, se pide:
de la región entre la curva y el eje OX.
longitud
Solución:
0002221111Ardededlímed2222aaaa--o-=a=a=a=a=““““
22k111líme1líme224o-o-==-=
()()
Lrr' dee d2e d2líme daaaaa--o-=+a=+a=a=a““““
2líme2elímeo-o-==-=

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rsen(2)Ÿa=
rsen(2)r'2cos(2)a=aŸa=a
()()
/2Lrr' dsen(2)2cos(2) d1cos(2) d=+a=a+aa=+aa|“““
rcos()
Ÿa=
rcos()0r12Ÿa=
rcos()r'sen()a=aŸa=-a
S2rsenrr'd2cossencossend2=pa+a=paaa+-aa=p=
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de un lazo de la curva r(
. Calcular el volumen
obtenido.
c) Determinar la longitud de un lazo de la curva r() = sen(2).
eje polar
engendrada.
Solución:
r2sen(2)Ÿa=
Un pétalo se obtiene entre 0 y el ʌ/2

()()
/2/2/20001cos4sen4Ard2sen(2d2sen2d2d2224appp-aa=a=aa=aa=a=a-=““““
u2
Vrsen d22sen(2)sen d=paa=paaa|
u3
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t(1t)x(t)0y(t)0Ÿ=ê
t4t1x'(t)t(1t)x(t)y'(t)y(t)
42t4t14tt6t1Lx'(t)y'(t)dtdt2dt1t1t+-+-=+=-+-=|
()()
2ytxtytdtObtenemos los puntos de intersecc
t(1t)x(t)0y(t)0Ÿ=ê
t4t1x'(t)t(1t)x(t)y'(t)y(t)
242222222t1t4t14tS2y(t)x'(t)y'(t)dt2dt1t1t-+-=p+=p-+|
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2421tt4t1Ay(t)x'(t)dt2dt-+-==-=
u2
Obviamente el eje de simetría es el eje de abscisas Buscamos los puntos de intersecc
x(t)0t(1t)y(t)0Ÿ=ê
x(t)1t(1t)y(t)0==-
x'(t)x(t)t4t1t(1t)y'(t)y(t)

t(1t)4tVy(t)x'(t)dtdt
2ln2
Buscamos el punto de cruce o punto doble, en este caso el (0,0)

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73.- a) Hallar el área del lazo de la estrofoide
x(t)t(1t)y(t)
b) Calcular el de un lazo de la estrofoide
x(t)t(1t)y(t)
alrededor del eje de simetría.
c) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide
t(1t)x(t)y(t)
generada por el lazo de la estrofoide
t(1t)x(t)y(t)
al girar alrededor del eje de abscisas.
Solución:
Obviamente el eje de simetría es el eje de abscisas. Buscamos lde simetría:
x(t)0t(1t)y(t)0Ÿ=ê
x(t)1t(1t)y(t)0
x'(t)x(t)t4t1t(1t)y'(t)y(t)

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b112x22xa00L1y'dx12xedx14xedx=+=+-=+|“““1.20444107u
2 #1: - x -1 0
()()
S2fx1fxdx2e12xedx=p+=p+-|11.07528523 u

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f(x)e. Se pide:
f(x) y su
b) Calcular el generado por la función f(x)
asíntota.
f(x)
d) La función f(x). Calcular la
obtenida en el intervalo [-1,1].
El eje de abscisas es la asíntota de la función, ya que: líme0
Asíntota horizontal y = 0
a00Afx dxe dx2e dx2e dx====““““ con el cambio de variable x2xdx=dz y con los límites de integración iguales ya que 0=0 y ∞=∞. Por tanto,
-x-x-z-z-z -0000111e dx2e dx2e dz=e dz=e zdz=2x2==G=“““““
b 2-x-2x-z-z-za -00001122Vydxe dx2e dx2e dz=e dz=e zdz=4x22=p=p=p=p““““““
212222Gp=pp=
3/2
f(x)ef'(x)2xe=Ÿ=-
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71.- a) Demostrar la siguiente relación:
chxshxch2x
b) Calcular la de la siguiente función:
sentF(x)dt
c) La integral
? Calcularla.
(4,5)
Solución
xxxx2x2xeeeeee ch(x)sh(x)ch(2x) 222---+-++=+==G(x)f(t)dtG'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función continua en R: f(t)=sent/t salvo en el
xaxxxxxaaasentsentsentsentsentF(x)dtdtdtdtdtttttt==+=-=“““““g(x)h(x)f(t)dtf(t)dtG(g(x))G(h(x))=-=-322F'(x)G'(g(x))g'(x)G'(x)h'(x)f(g(x))g'(x)f(h(x))h'(x)f(x)3xf(x)2=-=-=-=
sen(x)sen(x)=3x-2x
sen(x)sen(x)=3-2
Impropia de 2ž especie puesto que no está acotada en x=2.
4x4x===
lím4x2R=--=. CONVERGENTE
(p)(q)(p,q)(pq)
(4)(5)3!4!1(4,5)(45)8!875
====
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70.- a) Demostrar la siguiente relación: arg sh x = ln
xx1
b) Calcular la de la siguiente función:
sentF(x)dt
c) La curva y2 = e-2x gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del
engendrada entre la curva, el eje de
�(OX) cuando x0.
d) Calcular
72, sabiendo que
12

Solución:
sh(x)y==Ÿ
x2x2xx2ye2yee1e2ye10Ÿ=-Ÿ=-Ÿ--=resolviendo la ecuación de segundo grado
2y4y4eyy10ê+y una ~nica solución factible
eyy1
y seg~n la definición de logaritmos
yargsh(x)lnxx1==++G(x)f(t)dtG'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función c
t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x
xaxxxxxaaasentsentsentsentsentF(x)dtdtdtdtdtttttt==+=-=“““““g(x)h(x)f(t)dtf(t)dtG(g(x))G(h(x))=-=-F'(x)G'(g(x))g'(x)G'(x)h'(x)f(g(x))g'(x)f(h(x))h'(x)f(x)(3x)f(x=-=-=-=
sen(x)sen(x)=3x-Obviamente la asíntota horizontal es el eje de abscisas y la expresión del volumen:
22x2x2k2.0a00Vf(x)dxedxlímedxlímee----=p=p=p=p-+=“““
lím22e=-=
Sabiendo que (p)(p1)(p1)G=-G- para cualquier p>1
777555335311222222222222G=-G-=G=G=G=
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69.- a) Demostrar que si y = arg sh x, entonces
21y'x1

b) Calcular la de la siguiente función:
lntF(x)dt
convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral
f(x)tgx
0,2.
(4)
Solución:
2x1y'argshx'lnxx1 'xx1x1==++==
Otra forma:
derivando respecto xchyshy1111y=argshxx=shy1=chyy'y'shy1x1ŸŸïƒ—Ÿ===
G(x)f(t)dtG'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función continua en R: f(t)=lnt/t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x
lntF(x)dtg(x)f(t)dtG(g(x))
F'(x)G'(g(x))g'(x)f(g(x))g'(x)f(x)3x====
ln(x)ln(x)3x3
Impropia de 2ž especie puesto que no está acotada en x=
222000Itgxdxlímtgxdxlímdxcosx====“““ppp
()()límln(cosx)límln(cosln(cos0)=-=----=--=. DIVERGENTE
(p)(p1)!G=- para cualquier p natural
(4) = 3! = 3.2.1 =
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68.- a) Demostrar que si y = arg th x, entonces
21y'1x
b) Calcular la de la siguiente función: lnxF(x)edt
c) Calcular el
el eje OX, entre x=0 y x=
d) Calcular
11,22
Solución:
1111111y' argthxln1xln1x'2221x21x1x==+--=-=
Otra forma:
derivando respecto x11y=argthxx=thy=1=1-thyy'y'chy1thy1xŸŸïƒ—==
G(x)f(t)dtG'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función continua en R: f(t) =e y g(x)=x22222xaxxltttttlnxlnxF(x)edtedtedtedtedt==+=-=“““““g(x)h(x)f(t)dtf(t)dtG(g(x))G(h(x))=-=-
F'(x)G'(g(x))g'(x)G'(x)h'(x)f(g(x))g'(x)f(h(x))h'(x)f(x)3xflnx=-=-=-=
lnx=3xe-e
b22224a00V=ydx=xdxxdx
p=p=p=
“““
2p12q1p,q2sentcosdt
2121,2sentcosdt2dt2222====

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67.- La tasa de variación en la población de conejos es
dP10025tdtt8t16,1
tiempo en años) Hallar:
a) Al cabo de cuánto tiempo es
b) Si la población inicial de conejos es de 50 unidades, hallar el número
de conejos.
c) ¿Se extinguirán los conejos?
P(t) es el n~mero de cone Buscamos el máximo, es decir, un punto extremo de la función P(t). Para ello resolvemos la ecuación dP/dt=0
dP10025t0t4dtt8t16,1==Ÿ=Confirmamos con la derivada segunda que es un máximo
25t8t16,110025t2t8dPddPd10025t25t200t397,5dtdtdtdtt8t16,1t8t16,1t8t16,1--+-----+====-+-+Para t=4
dP2542004397,5(4)250048416,1-+==--+
P es máxima al cabo de 4 años
P(0) = 50 es el n~mero inicial de conejos.
10025t25ln(161)dtP(4)P(0)P(4)P(0)dt50dt50t8t16,1
=-Ÿ=+=+=+|
Al cabo de 4 años la población será de 113 conejos
c) ¢Existe un valor de t=x para el cuál P(t)=0?
10x80x16125ln10025t33.64675725>050dt500xt8t16,12-25.64675725+=-=Ÿ=
En 33,65 años, no habrá conejos
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coordenadas polares
a) El área del círculo.
longitud
de la esfera.
superficie de la esfera.
ares es: r = R. Èrea del circulo de radio R
Ar dR d=a=a=
Longitud de la circunferencia de radio R
Lrr' d2R d=+a=a=
Volumen de la esfera de radio R
Vrsen dRsen d=paa=paa=
Superficie de la esfera de radio R
222S2rsenrr'd2RsenRd4Rsendapp=pa+a=paa=paa=“““
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e dx
e una función par tenemos que -x-x -0e dx2e dx con el cambio de variable xresulta 2xdx=dz y con los límites =∞. Por tanto,
-x-x-z-z-z -0000111e dx2e dx2e dz=e dz=e zdz=2x2==G=“““““
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

lím

es divergente y por el criterio del cociente:
3200121111dxdxdxdxxx2xx2xx2xx2=++=+-+-+-+-““““
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1 -2 &#x 0 0;&#x 0 0;0 y ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯#1: 3 2 x + x - 2

xx2
lnartgx1x2x2-
1212lnartg21ln2artg15510522(2)2-+-+
11212ln3ln2ln2510521052=-+++=
ln3
1 2 x 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯#2: 3 2 x + x - 2

3232dxlímdxxx2xx2
+-+-lím
lnartgx1x2x2
lím
211212artgk1lnartg215555k2k22222---+--+=++
=
221arctg3ln1052510-++
211arctgln10552310pp-+-+=
121ln10arctg1053
1 1 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯#3: 3 2 x + x - 2
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
64.- Dada la función f(x) =
xx2, cuya gráfica es la de la figura, se pide:
Calcular el
Calcular el
Estudiar la f(x) dx
Estudiar la f(x) dx
Primeramente, calculamos una función primitiva de f(x) por el método de descomposición en fracciones simples, podemos escribir:
3222211AMNAxx2(x1)(x2x2)x1x2x2(x1)(x2x2)
++++-==+=+--++-++-++
AM02AMN0M2AN1-+=Ÿ=-enidos podemos resolver
11/51/5x3/5Idxdxdxxx2x1x2x2
==+=+--++“““
111x31dxdxdx5x15x2x25x2x2=--=-++++“““
11x1131lnx1dxdx55x2x25x2x2
=---=++++
2x111121lnx1dxdx552x2x25x2x2=---=++++
11121lnx1lnx2x2dx5525(x1)1=--++-=
112lnx1lnx2x2artgx1C5105=--++-++=
lnartgx1Cx2x2
-++=
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63.- Calcular:
del arco de la
puntos (1, 4) y
317
b) El área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1 (ecuación en
rcos
.
Solución:
L1y'dxyx2x5y'2x2=-+Ÿ=-
23L1y'dx12x2dx4x8x5dx=+=+-=-+=“““
ln(12)2
u
rf() y rg() dos curvas continuas en
y tal que 0g()f()aa en
, entonces el área comprendida entre ambas curvas es:
A(f()g()) d=a-aaBuscamos los valores de
rcoscos10Ÿa=Ÿa=rcoscos00Ÿa=Ÿa=Aplicando la fórmula anterior y multiplicando por 4 debido a la simetría:
22A(f()g()) d41cosd21cosdapp=a-aa=-aa=-aa=“““

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Se trata de una rosa de 4 hojas. El área encerrada se obtiene integrando y multiplicando por 8 el área encerrada por la curva entre los límites 0 y ʌ/4, es decir,
0001-cos(4)Srd8a sen(2)d4asen(2)d4a=q=qq=qq=q=““““
sen4=q-=
()()
S2fx1fxdx=p+
Para la parte superior de la curva para 0≤x≤3, tenemos
9yx(3x)y(3x)xy'
=-Ÿ=-Ÿ=sustituyendo en la fórmula
()()
S2fx1fxdx2(3x)x1dx=p+=p-+|

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62.- Determinar las áreas siguientes:
a) Encerrada por la función f(x) y el eje OX siendo
si 6x6f(x)en otro casoxx20-
b) Encerrada por la curva
q=q>r()a sen(2) con a0
l eje OX, el lazo de la curva
9 y2 = x (3 - x)2
Solución:
Afx dx

2423x63A dx dx dxxx20x6xx20--=++=--+--“““ 1/4 6·6 + 431 6·6 + 431 24 ·ATAN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ 1/4 1/4 430·(2·54 - 1) 430·(2·54 + 1) = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - 2 1/4 1/4 2·54 - 6· 24 ·LN⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ 1/4 1/4 2·54 + 6· LN(55) 24 ·
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 3 2
SrdObsérvese la simetría de la curva y que el máximo se obtiene para
r()a sen(2)1
q=q=Ÿq=
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obtener los siguientes volúmenes de revolución
engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OY.
El volumen viene dado por
x32Vxdx
=p=p==
El volumen viene dado por el volumen del cilindro exterior menos el volumen que genera el área encerrada entre la curva y el eje OY
El volumen del cilindro exterior es cilindroV2416
p=pEl volumen del área encerrada viene dado por
parábolaVx(y)dyydy
p=p=p=
u
V168
p-p=
u
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'()'()dlxtytdt
2222211211222ttttdldtdtdttttt-+++=+==
LdtComo
dtC=-+
t2e1L1.172t2e=-=|
La superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas vie()'()dAytxtdt
111dAtdt
1111222tdtCttt+=-+.. obsérvese que es la misma integral anterior
t2e1A1.172t2e=-=|
u
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60.- Para la curva dada en forma paramétrica
x(t)lnty(t)t
pide, para el intervalo 0
Longitud de la curva en el intervalo
硛 Ⰰ㄀崀
Área encerrada entre la curva y el eje de abscisas en dicho
intervalo.
Se representa la curva sobre el eje OX. et,1[,[10eteetœ Campo de variación de t, c No tiene sentido estudiar las simetrías pues en el intervalo dado, t es siempre t>0 Puntos críticos
'()'()
'()0 Nunca en el intervalo dado'()01ytt==œ=ambas derivadas existen x(1)ln10y(1)1==En el intervalo dado, la curva tiene una ~nica rama que va de 0,1
54.1,1,1+=eQ
Como la función es continua en el intervalo se puede aplicar la regla de Barrow
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Como ambas curvas son simétricas simultáneamente respecto de los eje X e Y para calcular el área total encerrada se puede calcular el área encerrada en el primer cuadrante y multiplicarla por 4.
-+===+++=““624)()(4414321aaaadrdrAAAAAA
A1.228=p-|
u
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59.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones
cos(2); r2()=1, se pide:
a) Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1�0 ; r2�0)
b) Estudiar las simetrías de r1 y r2
c) Obtener las intersecciones de r
d) Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas
e) Calcular el valor del
Solución
20,0,3535()0cos(2)02,,22442,4,2aaappaappapŸïƒªïƒºïƒªïƒºïƒ«ïƒ»ïƒ«ïƒ»
íœÃ­œŸŸ


Ÿ


3570,,,24444pppp
ïƒˆïƒˆïƒªïƒºïƒªïƒºïƒªïƒºïƒ«ïƒ»ïƒ«ïƒ»ïƒ«ïƒ»
()0
í
0,2
r()2cos(2)r() SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE Xr()2cos(2())r() SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE Yr()2cos(2())r() métrica respecto del origen-a=-a=ap-a=p-a=aa+p=a+p=a
)(
es una circunferencia por lo que presenta todas las simetrías
Las intersecciones se obtiene
63arccos21)2cos(2=Ÿ=œ=œ=Como ambas funciones son simétricas respecto del los ejes X e Ysólo las intersecciones del primer cuadrante y luego calcular el resto por la simetría Por la simetría respecto del eje x
pa=-=Por la simetría respecto del eje Y
31
aapa=Ÿ-=
apa=+=Obviamente, para todos los puntos, r=1
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58.- Dada la función
f(x) siendo p un número real tal que p se
pide:
f(x)dx
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
Solución
11000()lim()limlim1111ppppdddxadafxdxfxdxpppp--ooo===-=-=----
pa
p
Distinguiremos dos casos:
Si 0p1e trata de una integral impropia de segunda especie.
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Dado que ambas curvas son simétricas respecto del origen de coordenadas, el área total se puede calcular como el doble de la encerrada en el primer cuadrante. Por tanto
==+=“““aaaaaadrdrdrAAAA)()()(22131
643643
=-++-Ÿ=-+|
u
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57.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones
sen(2); r2()=1, se pide:
a) Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r10 ; r2
b) Estudiar las simetrías de r1 y r2.
c) Obtener las intersecciones de r
d) Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas.
e) Calcular el valor del
Solución
2[0,()0(2)02[2,3rsen
appíœÃ­œœ
0,,



()0
í
0,2
r()2sen(2)r() no hay simetría respecto del e
j
r()2sen(2())r() no hay simetría respecto del eje yr()2sen(2())r()SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN-a=-a=-ap-a=p-a=-aa+p=a+p=a
)(
es una circunferencia por lo que presenta todas las simetrías
Las intersecciones (del primer cuadrante) se obtienen de resolver la ecuación
2(2)12senarcsen
=œ=œŸ
=-=
Como ambas funciones son simétricas respecto del origen, las ot
+=+=
Obviamente, en los cuatro puntos, r=1
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56.- Dada la función
f(x)�siendo p un número real tal que p 1
se pide
f(x)dx
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
Solución
11()lim()limlim1111ppdddxdaafxdxfxdx
p
ppp--===-=-=----
pap
Se trata de una integral impropia de primera especie
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lemniscata de
(t)y(t)4sen(t)cot)4c
al girar alrededor del eje de abscisas.
Solución
Hallamos los valores de t para los que y=0
0y(t)4sen(t)cos(t)t0
==Ÿ=

ección del primer lazo con OX Para obtener la superficie, tenemos: ()()
S2ytxtytdt=p+x'(t)4senx(t)4(t)(t)y(t)4sen(t)cos(t)y'(t)4cos(t)4sen(t)cos
4sen(t)cos(t)(t)4cos(t)4sen(t)S224sendt=p89.29614921 u

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. [[
'()'()dlxtytdt
2222211211222ttttdldtdtdttttt-+++=+==
LdtComo
dtC=-+
299220=-==4,95
La superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas viAy(t)x'(t)dty(t)x'(t)dt
111dAtdt
1111222tdtCttt+=-+.. obsérvese que es la misma integral anterior
1111222Atdtttt=+=-
299220
-==4,95
'()'()dVytxtdt
dVdtComo
ln1428dtC=-+
ln1ln109999282800Vdtppp
==-=+|
42,88
[[
2()2()'()'()dSytdlytxtytdt==+
1112()2222dSytdltdtdttttppp==+=Como
dttC
19999lnln1024400Sdttppp==+=+|85,77
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54.- Para la curva dada en forma paramétrica
x(t)lnty(t)t
pide, para el intervalo 1
a) Representar la gráfica
b) Longitud del arco
Superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas
Volumen
entre la curva
Superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el área
comprendida entre la curva y el eje de abscisas
Se representa la curva Campo de variación de t, cualquier valor de t del intervalo da No tiene sentido estudiar las simetrías pues en el intervalo dado, t es siempre t>0 Puntos críticos
'()'()
'()0 en el intervalo dado'()01ytt==œ=ambas derivadas existen en el (1)10(1)1xln==En el intervalo dado, la curva tiene una ~nica rama que va de
0,1
ln10,
'()'()'()ytt
x
===función es creciente.
''()'()''()'()1''()'()ytxtxtytt
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Por tanto, el volumen de revolución buscado viene dado por la epropiedad de simetría de la función)
2lim20(00)22(1)2VdVdx===+=+-+=
y=f(x)
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53.- Para la función
f(x)
a) Representar la función
b) Calcular el
c) Calcular el generado al girar el recinto limitado por f(x) y el
eje de abscisas alrededor de dicho eje.
áfica aproximada con Derive
Dominio de f(x) = La función es simétrica respecto del eje OY pues f(-x)=f(x) Corte con los ejes coordenados. Npositiva Asíntotas: Verticales no hay puesto que Dom(f)=
lim0
asíntota horizontal eje OX
lim0o-
asíntota horizontal eje OX Con lo cual ya se tienen todos los datos necesarios para plantear la integral. Se trata de una integral impropia pues el[,
del eje OY)
2()2AdAfxdxdx===“““ se trata de una integral inmediata
2lim2lim()02Aarctgxarctgbarctg
==-==
La expresión general del volumen generado por una función cuando gira alrededor del eje de abscisas es: El volumen del elemento diferenc(x) dx
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encerrada entre las funciones
f(x)
g(x)x3
Solución
El área encerrada viene dada por
()()(()())Afxgxdxfxgxdx=-=-Se trata, por tanto, de una integral impropia. Puesto que se comprueba que la inecuación
()()fxgx
x
>œ> es cierta para Resolviendo
1111limlim0(3)11221xdxaxaxxxxoo=-=-=-=+--|

0.266 u
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51.- Sea la función f(x) = senx – xcosx. Calcular aproximadamente el
valor de:
a) El área encerrada por f(x) y las rectas x = -, x = y el eje OX.
longitud
).
c) La superficie de revolución generada por el arco de curva anterior al
girar alrededor del eje de abscisas.
Solución

a000Afx dx2senx±xcosx dx2senx dx2xcosxdx ====-““““((
vvdu=2cosx2xsenxsenx dx42cosx44---=-=+=

L1f'(x)dxf(x)senxxcosxf'(x)cosxcosxxsenxxsenx=-Ÿ=-+=
L1f'(x)dx21xsenxdx=+=+|9.396791035 u
()()
()()
S2fx1fxdx22senxxcosx1xsenxdx=p+=p-+|
82.20904341u
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50.-Hallar la longitudcardioide) que
está situado en el primer cuadrante, respondiendo a los siguientes
apartados:
da y sobre la gráfica resaltar la
longitud L del arco de la curva que está situado en el primer cuadrante.
b) Indicar y explicar los
c) Escribir la fórmula teórica para calcular la longitud
forma polar.
d) Solución del problema.
Solución
límites de integración.
Primer cuadrante: si si = 90ž Para calcular la longitud del arco de la curva r = 1 + cos situado en el primer
va desde
Fórmula teórica:
drrL+=22
()()
/2Lrr'd1cossend21cosd=+q=+q+-qq=+qq=
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49.- Se consideran las curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares
son
r y
r2(1)
. Calcular:
encerrada entre ambas curvas entre sus puntos de
intersección: el origen de coordenadas y el punto de intersección en el
segundo cuadrante
Perimetro
Denominemos a las curvas
r2(1)
Dominio de r: Į > 0 Dominio de r: (Į-1) > 0 La intersección de ambas cLa representación gráfica de ambas curvas es la siguiente:
Para calcular el área encerrada entre la primera curva y el ori
1111rdd12222a=
=aa=a=e esos mismos valores
1111rd2(1)d2222a=a=a-a=a-a=
El área encerrada entre ambas será, por tanto, A = A
El perímetro viene dado por
Lrr'd
En nuestro caso el perímetro será la suma de las longitudes de encierran el área y se calculan
111Lrr'dd=+a=a+a
222Lrr'd1d4(1)
+a=a-+an valor aproximado, por
ejemplo, con Derive). Así que el perímetro vale P = L  3.877u
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= 4 cos(2
a) Dominio de r
limitada por la curva dada (Explicar los límites de
integración)
: Dominio Resolvemos la inecuación 4cos(2) ≥ 0 r es positivo en
pppp2,
Dominio de r =
pppp2,,0
Cálculo del área: 1 forma: Integrando cada parte del Dominio:
5/4471111Ard4cos(2)d4cos(2)d4cos(2)d2222=a=aa+aa+aa=““““
5/4471112sen(2)2sen(2)2sen(2)121222ppp=a+a+a=++=4 u
2 forma: El área pedida consta
4cos(2)d2sen(2)1
a=a=

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Hallar el área encerrada entre la función
cosxf(x)1senxDERIVE
La función f(x) no es continua en x= ʌ/2, ya que el denominador se hace cero en ʌ/2.
1senx0senx1x0,-=œ=œ=p
a0/cosxcosxAfxdxdxdx1senx1senx==+=“““
21senx21senx22--+--=+=

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
longitud
x = cos t + t sen t
y = sen t – t cost
desde el punto (1, 0) hasta el punto (-1,
b) Realizar una gráfica aproximada de la longitud que se pide.
encerrada entre la función
cosx1senx y el eje x
entre 0 y .
: Se calcula t para el primer puntel sistema de ecuaciones:
2222221 cos t t sen tx1 cos t t sen ty0 sen t ± t cost0sen t ± t cost 1costsenttsentcost1tt0==+=+++=+Ÿ= Se calcula t para el segundo punto (-1, ʌ)
2222222(1) cos t t sen tx1 cos t t sen ty sen t ± t costsen t ± t cost 1costsenttsentcost1tt-=+=-=+=p=+p=+++=+Ÿ=pCálculo de la longitud de la curva desde t=0 a t=ʌ ()()()()
()()x'tcostxcos t t sen tx'sen tsen t+tcost=tcostysen t ± t costy'cost ±cost+tsen t=tsen ty'tsen t x'y'tco=+=-+2222sttsent=t
2222Lx'(t)y'(t)dttdttdtt
=+====
“““

Representación gráfica de la curva desde t=0 a t = ʌ DERIVE #1: [COS(t) + tꞏSIN(t), SIN(t) - tꞏCOS(t)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. Èrea encerrada por la curva:
Es 6 veces el área encerrada por medio lazo (o tres veces el área encerrada por un lazo)
0001c6)Ard63cos(3)d27cos(3)d27pp=a=aa=aa=a=““““
27sen(6)272626=a+==
r = 3
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46.- Dada la curva r = 3cos(3
a) Estudiar el dominio de r.
limitada por los tres lazos de la curva del
enunciado.
: Para pertenecer al dominio de r son todos los n~meros Reales mque hagan a r menor que cero, infinito o no sea un nž real. Resolvemos la ecuación trigonométrica:
r3cos(3)03cos(3)
=aŸa=
-ʌ/6≤ Į ≤ʌ/6):
Dominio de r: Solamente consideramos r=cos(3Į)≥0, luego, 3Į variando en:
2n32n-+pa-+pŸ
n3n6363
-+pa+p
que es el dominio de r(Ä®).

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longitud
co�n a0.
: Tenemos que: r=aθ, luego r’=a, por tanto,
Lrr' d=+q
2222aa da1 d(*)=q+q=q+q=Con el cambio: shtdchtdttargshq=Ÿq=Ÿ=q
argsh(2)argsh(2)argsh(2)argsh(2)2220001ch2t(*)asht1chtdtachtchtdtachtdtatdtppp
====““““
argsh(2)a2shtchtatargsh1222
=+=q+qq+
ln11=q+q++qq+=
ln241241
p+p++pp+
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longitud total de la curva dada por las ecuaciones
paramétricas:
xcostysent
:
Obtenemos la gráfica y observamos que es simétrica respecto el nos limitaremos a calcular la longitud de una rama.
22Lx'(t)y'(t)dt2x'(t)y'(t)dt(*)=+=+=Calculamos las derivadas: x'(t)2cost senty'(t)3sentcost222242x'(t)4cost senty'(t)9sentcost
222(*)2costsent(49sent)dt
2613162727
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) gira alrededor del eje polar. Calcular el
volumen obtenido.
:
El volumen es generado por dos pétalos y por simetría el doble del obtenido con un solo pétalo.
222Vrsen d2rsen d2asen2sen d333=paa=paa=paaa=“““
asen2sen da2sencossen d=paaa=paaaa=
343asencos d(*)paaa=La función beta de Euler permite resolver esta integral.
333(3/2)1(1)32116(5/2)(2)16(*)a(5/2,2)aa5773233222=pb=p=p=G+G
(3/2)1(1)(3/2)1(1)161675575332222222GGGG
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41.- Calcular el volumen del elipsoide.
:
222222xyzabc++=VAxdxEl área de la sección A(x) es el área de la elipse, cuyos semieintersección x
2222222yzxyzbcab1c1+=-œ+=Semiejes:
222222xxxA(x)b1c1bc1aaa=p--=p-uenta los limites sobre el eje X
VAxdxbc1dxbcxa3a==p-=p-=
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40.- Calcular el área delimitada por la curva r=cos
: Calculamos el área del semicírculo y multiplicamos por 2:
Srd2rd=q=q=
cosd
/21cos21ddcos2dq=q+qq=“““
1sen2
=q+
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S2ytxtytdt22sentcostsentdt2222ppp=p+=p=
2242256asentcostdt6asent2252ppp=p=p=

12a

232Vy(t)x'(t)dt2asent3acostsentdt2222pppp=p=p-=
23273acostsentdtpp=p=
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39.- En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada por
las coordenadas:
xacost, ya sent=
Se pide:
Longitud del camino recorrido por el móvil entre los instantes t = 0 y
t = 1.
de la superficie obtenida por la revolución de la curva descrita
por el móvil desde el inicio (t = 0) hasta volver a la posición inicial, al
girar alrededor del eje OX.
del sólido obtenido en el apartado anterior.
:

3242xacostx'3acostsentx'9acostsent2222222yasenty'3asentcosty'9asentcost2222222ppppppp==-=pppp

Sumando
22222424222x'y'9acostsent9asentcost9acost sent222222222ppppppppp
2222Lx'(t)y'(t)dt9acostsent222ppp=+==
acostsentdtasen(t)dtacos(t)222224=pp=p-p=


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38.- a) Estudiar si la integral
1sen y, en su
inuación, calcularla aplicando la
definición.
generada en la rotación de la mitad superior de la
=-qra(1cos)
愀刀Ⱐ慬牥摥摯爠摥⁳甠敪攠灯污爮 
:

lím21sen
es una integral impropia, pues /2)
d21sen1sen
=--a=
b)
()()()
()()()
S2rsenrr'd2a(1cos)sena(1cos)a(sen)=pqqq+qq==p-qq-q+q=
3/25/222a(1cos)send22a(1cos)
=p-qqq=p-q=
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xy2y2x1/2y41xxy2=Ÿ==Ÿ=-
xy6y4x1y63/2xxy6=Ÿ==Ÿ=-y4x1x0y2x0y2y41x=Ÿ==Ÿ=-Obtenemos la parte superior y por simetría multiplicamos por 2:()()
21Afxgxdx24x141xdx63/2x2x1/2dx=-=+--+--+=“““
1068316333-+-

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longitud del arco de curva dada en polares
) en el intervalo [2/3].
marcada en la figura que encierran las
=6(3/2-x); y

:
()()
r42sec()4cos()cos()2sen()2sen()cos()cos()1644sen() rr'16cos()cos()cos()=+a=+
+=+++aaa
4/32/31644sen()Lrr' d16 dcos()cos()cos()=+a=+++a|aaa
DERIVE: 2· 4· #1: POLAR_ARC_LENGTH4 + 2·SEC(), , , 3 3 4·/3 4 3 (4·COS() + 4·COS() + 1) #2: 2· d 2 ) 2·/3
#3: 5.812830804
y2x1/2x1y3y63/2xx1y3=Ÿ==-Ÿ=-
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36.- Estudiar la naturaleza de la siguiente integral en función de los
valores de p
y calcularla cuando sea
:
al impropia de 2 especie)
limxaxasi p=1
DIVERGENTE
1p1p000dx(xa)(ba)mlmlm(1p1pxaxaeo--e====-=---
p11p0IŸ->Ÿ=
(ba)
CONVERGENTE
(ba)p11p0I>Ÿ-Ÿ=+=DIVERGENTE
000limlimLn(xa)limLnbaLnxaxaeoeoeo==-=-
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()(()(
()()x'2cost2cos(2t)x2sentsen(2t)x'2cost2cos(2t)y2costcos(2t)y'2sent2sen(2t)y'2sent2sen(2t) x'y'88costcos(2t)8sentsen(2t)=-=-=-=-+=-++=--
()()
Lx'(t)y'(t)dt88costcos(2t)8sentsen(2t)dt=+=--=16u
()()
Lrr' de e d2e daaaa--=+a=+a=a=“““¥2u
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perímetro del recinto limitado por la curva
2x2x y la recta y=1
de las siguientes curvas:
ñax2sentsen(2t)y2costcos(2t) espiral r = e para dide
:
2x2x2x2x2x2x4x4xxln23eeeeee1y'1y'12242---Ÿ=êŸ--+=Ÿ+=+=+

2x2x4x4xbln23ln23ln23ln23ee1L1f'(x)dx=+=+=+=“““
ln232x2x2x2xln23ln23ln23ee1eedx3222===Y el segmento
ln23ln23ln23+--=--Por consiguiente, el perímetro será.
3ln23
Aproximadamente, 3.049008704 u

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perímetroxa costya sent
:
Obtenemos la gráfica y observamos que es simétrica respecto el eje de abscisas y el eje de ordenadas, luego nos limitaremos a calcular la longitud de una rama.
2222Lx'(t)y'(t)dt4x'(t)y'(t)dt(*)=+=+=
x'9acostsentxacostx'3acostsentyasenty'3asentcosty'9asentcostSumando 22424222x'(t)y'(t)9acost sent9asentcost9acost sent+=+=
222000(*)49acostsentdt12acostsentdt12asen(2t)dt6acos(2t)ppp
====-=
“““
DERIVE:
Unidad Docente de Matemáti
[[
Lx(t)y(t)dt1/t4tdt=+=+=
165 5ꞏ1351ln 65 5 216161616
--+-
2 #2 PARA_ARC_LENGTH(LN(t), t , t, 1, 2) = 65 5·13 5 1
LN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
16 16 16 16 65
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2 2
111 dx dx dxx2x2(x2)2x“““Analizamos cada integral por separado:
0111 dx dx dx2(x2)2(x2)2(x2)---“““es impropia de segunda especie y por ser de la forma
con p1
dxes impropia de segunda especie y por ser de la forma
divergente
3 0111 dx dx dxx2x2(x2)2x=-=“““
Unidad Docente de Matemáti
33.-a) Hallar el área de la porción de esfera generada al girar, en
torno al eje y, la gráfica de la función y =
en 0
b) Hallar la de arco de la curva dada por las
x(t)lnty(t)t en el intervalo 1
c) Estudiar, sin calcular, la convergencia de la integral
x2x
:
222y9xx9yx'1(x')1=-Ÿ=-Ÿ=-Ÿ+=+-=

Èrea de la superficie
2129p+=p-=xx'd
635
DERIVE: 2 #1: AREAY_OF_REVOLUTION((9 - x ), x, 0, 2) = ·(18 - 6·5) o bien, despejando x en la función, puesto que se gira alrededor del eje Y
()()x'(t)1/tx(t)lntx'(t)1/ty'(t)2ty(t)ty'(t)4t x'(t)y'(t)1/t4t+=+

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32.- Dada la curva plana y2=(2-x)3/x (cisoide), se pide:
Longitud
x1,2
de la región comprendida entre la cisoide y su asíntota.
que engendra la región comprendida entre la cisoide y su
asíntota al girar alrededor del eje de abscisas.
de la superficie de revolución obtenida al girar la curva
alrededor del eje de abscisas para
x1,2
:
Lydx
32212212----+--+-=Ÿ===-(x)xx(x)xx(x)xyy'
23433312+-+=+-(x)x(x)x(x)xxxxxxx
23xL1y'dxdx=+=
Af(x)dxdx
Volumen =Vfxdx
Èrea de la superficie =()()
212p+=p=fxfxdxdx
15
32·3··ATAN
#9: 5
6·5· - u
3
Unidad Docente de Matemáti
r 2 sen(3)r'() 6cos(3)ŸŸa=aa=ê
()()
/3Lrr'd2 sen(3)6cos(3)d218cos(3)d=+a=a+aa=+aa
Aproximadamente
integral impropia de 3 especie, se descompone en suma de dos i
0 0 1+++“““111dxdxdxx(1x)x(1x)x(1x)
111 0 0 0+límlím2x2eoeo===“““111dxdxdxx(1x)xx
3/23/2 111límlím2oo==-=“““111dxdxdxx(1x)
Por tanto, la integral pedida es
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31.- a) La base de un sólido es la región comprendida entre las
volumen del sólido sabiendo que
las secciones perpendiculares al eje X son triángulos equiláteros.
del primer lazo (en el primer cuadrante) de la
curva r = 2 sen (3)
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral
x(1x)
:
Resolviendo el sistema obtenemos los puntos de intersección x3y
b1313a0101VA(x)dx3ydx3ydx3xdx3dx
==+=+=“““““
Hallar la longitud del primer lazo (en el primer cuadrante) de la curva: Dibujamos la curva:

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30.- Calcular
1xxdx
: p1q1(p,q)x(1x)dxb=-
1xxdx,-=bComo
(p)(q)(p,q)(pq)
31111222222221!GGGG
b====
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 2tudvIesentdtudvuvvduecostcost2edt(1)===-=---=““““uedu2edtdvcosdtvcostdtsent=Ÿ==Ÿ==2t2t2t2t(1)ecost2costedtecost2ecostdtecost2udv=-+=-+=-+=“““2t2t2tecost2esent2esentecost2esent4esentdt=-+-=-+-=ecost2esent4esentdtecost2esent4II=-+-=-+-=
2t2tecost2esente(2esentcost)==+. Sustituyendo la primitiva:
e2sentcost(*)22esentdt22=p=p=
2.0e2sencose2sen0cos02ee(1)555=-=p=
2e1

xyb1yaxaba+=œ=ê-
Af(x)dx2axdx*==-=Utilizamos el cambio x=asent xasentdxacostdt=Ÿ=
aasent1senttaasent1sentt=Ÿ=Ÿ=
=Ÿ-=Ÿ=-
222(*)2ax dx2aasentacost dt
-=-=
2ab1sentcost dt2abcost dt=-==
1cos2tsen2t2ab dtabt
=+=
ab u
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29.- Hallar:
total de la curva, dada en coordenadas polares
rsen
de la superficie de revolución obtenida al girar, alrededor
del eje de abscisas, la curva de ecuaciones paramétricas:
x(t)ecos ty(t)e sen t
t0,
c)Área limitada por la elipse
2222yx1ab.
:
rsenr'sencos333aaa=Ÿ=

3/23/222322Lrr' d2sensencos d2sen d3333aaa=+a=a=a=
3/23/23/2123233221cos dcos dsen2323223apapa=-a=-a=+=
DERIVE:
3 3·
#1: 2·POLAR_ARC_LENGTHSIN⎜⎯⎟, 0, ⎯⎯⎯⎟⎯⎯⎯
2
()()()()
tttttt22x'(t)ecos t - sen tx(t)ecos tx'(t)ecos t - esen t y(t)e sen ty'(t)e sen t + ecos ty'(t)e sen t + cos t()() x'(t)y'(t)2e [[
t2t2tt00S2yx(t)y(t)dt2esent2edt22esentdt(*)=p+=p=p=“““Resolveremos la integral por partes: Iesentdtuedu2edtdvsentdtvsentdtcost=Ÿ==Ÿ==-
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Para calcular el área se tiene en cuenta que mediante las integrales se obtiene el área hasta el eje de abscisas. Por lo tanto, se suman dos regiones y se resta la tercera:
1/23/23/220Af(x)dx11xdx1xdx11xdx==--+----=““““
563
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28.- Hallar el área común a los círculos r=2 cos(a), r=1, r=2 sen(a)
:
Buscamos los puntos de intersección para determinar los rayos v
r2 sena
r2 cosa
2226361111Ard2senada1da2cosada2222ppp=a=++=““““
2222632626332senada1da2cosada2senada2cosadapppp=++=+-+=“““““
11sas21cos2ada21cos2adaa122122
=+-++==+-++=


51112sensensen1223223ppp=-+p-=
563
O bien, mediante sus ecuaciones cartesianas:
y1xxy1x1y1y1x1xy11y11x-+=Ÿ=--+-==ê-Resolvemos las intersecciones
xy1x1y1Ÿ=Ÿ=ê-+=
xy1xy11Ÿ=êŸ=+-=
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Èrea de la superficie limitada por
r8sen(2)
y los rayos Į=0 y Į=ʌ/12.
/12Ard8sen(2)d2cos2
aa=a= POLAR_AREAr, 0, (8·SIN(2·)),, 0, ⎯⎯⎟ 12 Èrea de la superficie limitada por
5/125/12/12Ard4d2=a=a=a= 5· POLAR_AREAr, 0, 2, ⎯⎯⎯⎯⎯⎟ 12 12 2·⎯⎯⎯ 3
Èrea de la superficie limitada por
r8sen(2)
5/125/12Ard8sen(2)d2cos2=a=aa=a= 5· POLAR_AREAr,0,(8·SIN(2·)),⎯⎯⎯⎯⎟ 12 2
La suma de las tres superficies es:
123AAAA2323=++=-+p+-=
423

Unidad Docente de Matemáti
del sólido de revolución engendrado al girar la región
limitada por las funciones yx2yx4alrededor del eje de abscisas.
b) Sean
r8sen(2) de dos curvas
área
: x1y3yx2x2y6yx4
-Ÿ=

El volumen pedido es igual al obtenido por la rotación de la recta menos el obtenido por la rotación
b22rectaa11Vf(x)dxx4dxx8x4dx4x4x63=p=p+=p++=p++=p“““()()
b22242parábolaa11x8x153Vf(x)dxx2dxx8x4dx4x535=p=p+=p++=p++=p“““
rectaparábolaVVV63=-=p-p=
DERIVE: #1: VOLUME_OF_REVOLUTION(x + 4, x, -1, 2)= 63· 2 153·#2: VOLUME_OF_REVOLUTION(x + 2, x, -1, 2)= ⎯⎯⎯⎯⎯ 5
28sen(2)r8sen(2)
Ÿ=aŸ
en el primer cuadrante.
El área com~n se obtiene como suma de las 3 superficies.
Unidad Docente de Matemáti
21212121HRRHRRRRx2RHHHH2
=p+=p+=
HRR2RHHH2=p+=()()
1221RRHRRup++-
212121111RRRRV(fx)dxxRdxx2xRRdx=p=p+=p+=“““
3232212121211111RRRRRRRRxxHH2RRx2RRHH3H2H3H2--+=p
212111HRRRRRR=p-+-+=
1122RRRRu
Cilindro recto de radio R y de altura H. =R resulta:
S2RHu
VRHu
Cono recto de radio R y de altura H. Al ser R
222SRRHu=p+
VRHu
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26.- Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras
geométricas:
a) Esfera
b) Cilindro recto de radio R y altura H
c) Cono recto de radio R y altura H
y altura H
: La esfera se obtiene al girar el circulo x alrededor del eje OX. Con los límites de integración entre ±r y r.
2222yrxy'y'1y'1rxrx=-Ÿ=Ÿ=Ÿ+=+=
()()
S2fx1fxdx2rxdx2rdx=p+=p-=p=“““
2222V(fx)dxrxdxrx=p=p-=p-=
y altura H: la recta generatriz es:
yxR()()
2121RRRRS2fx1fxdx2xR1dx=p+=p++=
Unidad Docente de Matemáti
co como el de la figura. Sabiendo que
el material reflectante del faro tiene un precio de 10 euros/m, hallar el precio de
dicho material para a=0,15m.

: Hemos de calcular la superficie lateral del espejo obtenido al girar la parábola alrededor del eje OX entre 0 y a:
aaa000S2y1y'dx24ax1dx4aaxdxa221=p+=p+=p+=p-“““
0,15221103,4465 eurosp-|
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24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de
lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la
hierba que puede comer la vaca.
:
a121044211=-==
Por tanto, la superficie buscada será el área del rectángulo de
211 más la integral
211I12xdx36288arctg=-=p-|
Resultando final
S1021128.75861727=+|
95,09111307 m
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limitada por la curva
y sus asíntotas.
generado por la curva cuando gira alrededor del eje x, entre 0
y 1/2.
:
1/2A4ydx4dx41x===--=
1/21/21/2x1x1Vydxdxlnx1x2x1-=p=p=p--=
ln31
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22.- Calcular la longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
: La ecuación de una elipse de semiejes 3 y 4 es:
xy31y16x1694
=Ÿ=-
rrespondiente al primer cuadrante será:
3179L1y'dx1dxdx5,5254x1616x=+=+-=-|“““
La longitud total de la elipse es: 4L=22,1017 u
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21.- Para la función
f(x) 1
encerrada por la función y el eje de abscisas.
generado al girar el recinto limitado por la curva y = f(x) y el eje de
abscisas alrededor de dicho eje.
:
Af(x)dx1dx =--==+
Vf(x)dx1dx =--=p=p+
635
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convergencia el carácter de las integrales
siguientes:
a)
301dxxx, b)
1xx
:
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
Designaremos I
dx
x
x
dx
x
es una integral impropia de segunda especie
x
x
se hace infinita en x = 0 y el intervalo de integración (0,1 es finito. Se verifica que:
000+++ooo
=+=xxxlímlímlímx
dx
x
tiene el mismo carácter que
divergenteLuego podemos afirmar que
dx
x
, sea cual sea el carácter de I es una integral impropia de primera especie
x
x
) que es un intervalo de longitud infinita y tiende a 0 cuando xSe verifica que:
1,xxxx+>ï‚¥
x
x
x1,
dx
x
x
dx
dx
x
x
convergente.
dx . Observemos que:
1 x0xxx+í
x
xx
dx
x
x
convergente.
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19.- Dada la función f(x) =
x3x2xx2, cuya gráfica es la de la figura, se pide:

a)Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el eje Y.
Calcular el área encerrada por f(x)
encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,
:
x3x2
2ln(12)
x3x2Adx
2ln(2)
Se trata de una integral impropia
x3x21dx
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18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -/2.
de la región limitada por dich
corte hallados en el apartado anterior.
:
x y
-=
f(x)g(x)dx2f(x)g(x)dx2sen(2x)tan(x)dx-=-=-=“““
senxcos(2x)2sen(2x)dx2lncosxcosx2-=--=(1 - ln2)u
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17.- Hallar el valor de f(x) dx, siendo
3 si 0x15 si 1x2
¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?
:
212001f(x) dx3dx5 dx35(20)=+=+=m-Ÿâ€œâ€œâ€œ
[0,2 en que f(c) = 4. Esto no contradice el teorema del valor
medio puesto que este teorema se[0,2.
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16.- Determinar la curva que pasa por el punto (42,1) y cuya pendiente, en cada
�punto (x,y), tal que x0, es
cosx
:
cosxf'(x)
cosxf(x)dxC2senxC=+=+y como
f(4)2sen4C1C1p=p+=Ÿ=
f(x)2senx1
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S2rsenrr'd=pa+a()()()()
21cossen1cossend=p+aa+a+-aa=()()
()()
21cossen22cosd221cossen1cosd=p+aa+aa=p+aa+aa=()()
41cossencosd42cossencosd222aaa=p+aaa=paa=
8cossend8cos2cossend16cossend222222aaaaaaa=pa=pa=“““
16cossend16cos2252aaa=pa=p-=
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15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cos. Se pide:
encerrada por la curva y el eje de abscisas.
longitud
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X
alrededor del eje OX.
de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje
X.
:
222000111Ardrd2rd1cosd222appp=a=a=a=+aa=““““(12costcost)dt
dtt==pcostdtsent0
00001cos2t1costdtdtdtcos2tdtpppp==+=““““
1sen2t
(**)=p+=
Lrr'd=+a=()()
21cossend+a+-aa=
0000222cosd221cosd222cosd4cosdpppp=+aa=+aa=a=a=““““
42sena
8u
Vrsen d1cossen d=paa=p+aaa
13cos3coscossen d
p-a+a-aaa=
0000sen d3cossen d3cossen dcossen d(**)pppp=paa-aaa+aaa-aaa=““““sendcos2aa=-a=
cossendcos0aaa=-a=
cossendcosaaa=-a=
cossendcos0aaa=-a=
(**)2030=p-+-=
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x(t)a(tsent)y(t)a(1cost)
encerrada por la curva y el eje de abscisas.
longitud
engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OX.
engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide
respecto del eje X.
: x(t)a(tsent)x'(t)a(1cost)y(t)a(1cost)y'(t)a sent=-=-=-=Ay(t)x'(t)dty(t)x'(t)dt(*)===(*)a(1cost)a(1cost)dt=--=a(1cost)dt
a(12costcost)dt
Calculando las tres integrales por separado. dtt2==pcostdtsent0
222200001cos2t1costdtdtdtcos2tdtpppp==+=““““
1sen2t
(**)a20=p-+p=3a
()()
()()
2222Ly'(t)x'(t)dty'(t)x'(t)dt(*)=+=+=
2222222222(*)asenta(1cost)dtasenta2acostacostdt=+-=+-+=
222000a22costdta21costdt2a2sendtppp=-=-==“““
2asendt4acos==-=
Vy(t)x'(t)dty(t)x'(t)dta(1cost)a(1cost)dt
--=a(1cost)dt=p-=323a(13cost3costcost)dt=p-+-=22223230000adt3costdt3costdtcostdt(**pppp=p-+-=““““dtt2==p
Unidad Docente de Matemáti
12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva:

cos(t)[2cos(2t)]x(t) = sen(t)[2cos(2t)]y(t) =
:
Longitud:
Lx'(t)y'(t)dtDERIVE:
#5: (x'(t) + y'(t) ) dt = 3 u
()()Aytxt dtObsérvese que por simetría es el doble y que los límites son entre ʌ y 0.
#6: 2· y(t)·x'(t) dt =

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del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el
arco de curva y=senx entre x = 0 y x = y cuyas secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
La sección plana es un cuadrado de lado senx, por tanto, A(x)=sx. El volumen por secciones viene dado por la integral
000VA(x)dxsenxdx1cosxdx===-=
1cos2x1dx
1cos2x
1cos2xdxx222
=-=-=
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10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad
¿Cuál es la profundidad del agua?
Consideramos una circunferencia de centro O(0,0) y
222xy50x2500y+=Ÿ=-y como el volumen
44500000Vr 50333=p=p=p resulta el volumen
V0,21636000=pPlanteamos el volumen ocupado por el agua como
5050Vxdy2500ydy=p=p-=
(2500y)dy2500y=p-=p-=

h2500002500h36000h7500h1420000=p-+=pŸ--=
h20h20h20h71000h10602+--=Ÿ
es h=-20 m que da lugar a una profundidad de -20-(-50)=30 m
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una cinta por sus extremos, a la misma
denomina catenaria, y cuya ecuación
es:
yc cosh
Calcular la de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.

Solución
x1xxf(x) c coshf'(x)csenhsenhcccc=Ÿ==
L1fxdx1senhdx(*=+=+=como
1senhcosh
xxxx(*)coshdxcoshdxcsenhcsenhcsenh0cccc====-=
csenh
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x(t)32costy(t)25sent
Usamos la fórmula para el cálcul dada por unas ecuaciones paramétricas:
()()
1cos2ty(t)x'(t)dt25sent2sentdt4sent10sentdt4sent10dt=+-=+=+=““““
4cost5tsen(2t)4104=-+=+p-=
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Para calcular el área podemos usar dos procedimientos: Como los pétalos comienzan y acaban en el origen, resolvemos r = 0 y nos quedamos con las soluciones entre 0 y ʌ/2. La longitud del primer pétalo viene dada por 3)= Luego la longitud de la curva completa es
13.36489321 u.
O bien mediante la fórmula:
()()
()()
22L3r()r'()d32sen(3)6cos(3)d3432cos(3)d=a+aa=a+aa=+aa“““
Que se resuelve por métodos aproximados
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7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
a) r3sen2 b) r2sen3
Solución

r3sen2=0= 6cos23cos2r=3sen2 r'== 23sen23sen2=aŸa()()
/2/23cos2Lr()r'()d23sen2d2dsen23sen2=a+aa=a+a=a“““olver, salvo por métodos aproximados. DERIVE:
#6: 9.081122899
Unidad Docente de Matemáti
6.- Dada la función
f(x)2x1x
encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
Solución

3/2A2f(x)dx22x1xdx21x
==-=--=

DERIVE:
b)
V2f(x)dx24x1xdx8
==-=-=
ppp

DERIVE:
Unidad Docente de MatemátiEstudiemos cada integral por separado:
I= dx=lím dx1xx1xx
1xxx1xxx+íŸï‚£ y sabemos que
dx1 si p1
1/2dxdx
I= dx=lím dx1xx1xx
3/23/21xxx1xx+íŸï‚£ y sabemos que
dx1si p>1
3/2dxdx es CONVERGENTE.
CONVERGENTE.
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5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias:
“““110senxsenxcosxa) dx con p“ 0 b) dx c)1xx
Solución
senxa) dx con p > 0
senxsenxdxlímdx y como
senxsenx1xxx
pppkkpsenx1111dxlímdxlím1pp1xxxoo>==
CONVERGENTE
En este caso, procedemos a resolver la integral por partes:
udupxdxdvsenxdxvcosx=Ÿ=-=Ÿ=-
pppp1p11kkksenxsenxcosxpcosxcosxdxlímdxlímlímdxcos1pdxxxxxxooo==--=-““““0p11p12Ÿï€¼+ y procediendo como antes:
1p1p1cosxcosx1xxx
p1p1pkkp01111dxlímdxlímxxx== convergente y también la integral original es
CONVERGENTE0p1
senxcosx b) dxPor comparación:
333senxcosxsenxcos1xxx
332senxcosx1111dxlímdxlímxxxoo=-= CONVERGENTE.
c) dx1xxIntegral impropia de tercera especie (intervalo
001111 dx= dx+ dx=II1xx1xx1xx
+++“““
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4.- Calcular
111, y 222
Solución
Sabemos que:
2p12q1(p,q)2senxcosxdx
(,)2dx2222
===
, además
(p)(q)(p,q)(pq)
()()22(1)b===pŸ
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de la región contenida entre las curvas
y, yx1xx
a) En el intervalo [2,3]
b) Para x 3
Solución
2211x - x + x + 1 13xdx1xxxꞏ(x + 1)ꞏ(x - 1)24=-==-=
222232211x - x + x + 1 x - x + x + 1 xdmdx1xxxꞏ(x + 1)ꞏ(x - 1)xꞏ(x + 1)ꞏ(x - 1)1x1x1k1klímlnlnlímlnln2x12k1oo=-====-=--“““
123lnln
00lnln210=--+=
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convergencia
integrales:

b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral
encerrada entre la función
f(x) y el eje de abscisas (OX) en
el intervalo [-2,2].
al que se desea calcular es una integral impropia de segunda especie.
12121010122222110100000dxdxdxdxdx1límlímlímlímxxxxx---+oooo=+=+=-+-=“““““eeee
lím1lím1=--+--= La integral pedida es DIVERGENTE
[2,3, se trata de otra integral impropia de
000 =lím =límlím13x3xooo
-=eeeDIVERGENTE
202022222222020xdxxdxxdx4x4x4x4x4x---+==+=+=-----“““““
lím4xlím4x22=--+--=-+= 0 u. CONVERGENTE
dx2224x4x=== 4 u
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de las siguientes funciones:
F(x)e(sentcost)dt b) G(x)senxcostdt
G(x)f(t)dtG'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función continua en R: f(t)=exaxxxtttttxxaaaF(x)e(sentcost)dte(sentcost)dte(sentcost)dte(sentcost)dte(sentcost)dt-----=+=+++=+-+=“““““g(x)f(t)dtf(t)dtG(g(x))G(x)=-=-F'(x)G'(g(x))g'(x)G'(x)f(g(x))g'(x)f(x)f(x)2xf(x)=-=-=-=2-x=esen(x)+cos(x)2x-e(senx+cosx)
2-xF'(x)=2xesen(x)+cos(x)-e(senx+cosx)
F(x)f(t)dtF'(x)f(x)=Ÿ=Consideramos la función con una función derivable. Entonces:xxg000G(x)senxcostdtsenxcostdtsenxf(t)dtsenx.F(g(x))====“““G'(x)(senx)'G(x)senx.G'(g(x)).g'(x)cosx.G(x)senx.f(g(x)).g'(x)=+=+=32323cosx costdtsenx cos(x) 3xcosx (sen(x)sen0)3xsenx cos(x)=+=-+
323G'(x)cosx sen(x)3xsenx cos(x)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. convergentes, las integrales: a) 252xxedx b) p1axxedx
lnx dx
0sent cost dt(p,q) y calcular
0sent cost dt
0sent cost dtP5.- Determínese si las integrales siguientes
xdx
2cosx com~n al círculo ρvolumen del cuerpo intersección de los cilindros x= r-2x . Hallar el volumen del cuerpo limitado

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de las siguientes funciones: cos t dt ln x cos x cos x sen t dt
polaresr5 cos(2)
r5 sen(2)
.
119.- Dada la función
f(x)2x1x, calcular el engendrado al girar la curva alrededor del eje de ordenadas.
120.- Hallar el la curva en polares r2cos(3)=+a e interior a r2cos(3)
.
121.- Las ecuaciones paramétricas
describen la curva denominada a) El intervalo de t para el que las anteriores ecuaciones describen el lazo. longitudrar el lazo alrededor del eje de alrededor del eje de abscisas.

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. encerrada entre la curva xcostytg t
de revolución engendrada al rotar la curva
=--yx(x)alrededor del eje de abscisas.
coordenadas polares
de la curva. de la curva (para valores de
encerrada entre la curva
tg tysent
de revolución engendrada al rotar la curva =+-224x(y)yalrededor del eje de ordenadas.
coordenadas polares
de la curva. dentro del dominio de la función).
xcostytg t alrededor de dicha asíntota.
115.- Hallar la
yxx=+-
pendiente
�punto (x,y), tal que x 0, es
lnx

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99.-Hallar la engendrada por la rotación de la ecuación (x-2)
100.-a) Hallar el área interior al círculo r=1 y exterior a la cardioide r=1-cos. b) Determinar la longitud de la cardioide r=1-cos
área
r2cos2
224yxx alrededor del eje de abscisas.
103.- Estudiar si el 2(t)y(t)2cos(x(t)tg
longitud de la elipse de ecuación
32cos
.
105.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva
x3x (Trisectriz de Maclaurin) alrededor del eje de abscisas.
del cuerpo intersección de los cilindros:
coordenadas polares
de la curva. de la curva (para valores de
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
41yx1
, a qué tipo pertenece y si es
93.- Las curvas, en polares,
rsen2
y
rcos2
, se cortan dando lugar a varios recintos interiores comunes a ambas curvas, todos de la misma
94.- Plantear la integral que da la
r

coordenadas polares
obtenido por la rotación de la curva
caso, si la integral que has utilizado , a qué tipo pertenece y si es
xcostysen3t
limitada por las regiones xy2xxy4x
limitada por las curvas x1costysentx22costy2sent
;xtyt
limitada por las curvas r2cos
r4cos
;1tg
sen
0
del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida
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del elipsoide de revolución engendrada por la rotación cuyas ecuaciones x2costy3sent
= 0 y
88.- Calcular la longitud de la curva
yx(1x)convergente
del sólido generado por la xcostysent
del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje del arco de la curva 0. Indica, en su caso, si la
comprendida entre las curvas en polares: a) r1cos
y rcos
b) r1cos
y rcos
.
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xtcos2tyttg encerrada por la curva y el eje OY en el segundo del apartado anterior gira alrededor del eje OY, calcular el de revolución obtenido.
interior simultáneamente a las dos curvas siguientes dadas en y r =
(circunferencia de centro en el polo y
12).
81.- La elipse de ecuación
49=+superficie del cuerpo de revolución que se obtiene.
de las siguientes funciones: ln (t) dt
ln xt dt tg x sen t dt sen x sen x cos t dt ln xtg t dt
tg x sen t dt cost dt cos x sen t dt
tg x sen t dt
de la región comprendida entre la curva en polaresr7cos6=+a
9yx(3x)
del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje de abscisas del arco de la curva comprendido entre 0 y 1. Indica, en su
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. c) Hallar la
t(1t)1tx(t);y(t)1t1t generada por el lazo de la estrofoide
t(1t)t1x(t);y(t)1t1t
de un lazo de la curva r(. Calcular el volumeneje polar
0, se pide: de la región entre la curva y el eje OX. longitud
limitada por las regiones: x
x; y0
77.- a) Sea
cos x si x-,0f(x)4sen x si x0,
1a) Hallar I =
f(x) dx) Hallar el valor de k tal que I = .k
愀⤀뽅硩獴攠慬柺渠灵湴漠挠摥氠楮瑥牶慬漠
de centro el origen y radio1 coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva
rcos
=a-
engendrado por la rotación del áreacoordenadas polares): rsencos
a+a
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
21y'x1
b) Calcular la
lntF(x)dtconvergencia y, en su caso, calcular el valor de la integralf(x)tgx
(4)
70.- a) Demostrar la siguiente relación: arg sh x = ln
xx1b) Calcular la
sentF(x)dt engendrada entre la curva, el eje de
72, sabiendo que
12

71.- a) Demostrar la siguiente relación:
chxshxch2xb) Calcular la
sentF(x)dt
? Calcularla. (4,5)
f(x)e. Se pide: encerrada por la función f(x) y su b) Calcular el generado por la función f(x)c) Hallar la f(x))d) La función f(x). Calcular la
73.- a) Hallar el área del lazo de la estrofoide
1tt(1t)x(t);y(t)1t1tb) Calcular el de un lazo de la estrofoide
t1t(1t)x(t);y(t)1t1t
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
64.- Dada la función f(x) =
xx2, cuya gráfica es la de la figura, se pide:
e dx
coordenadas polareslongitud de la circunferencia. de la esfera. superficie de la esfera.
67.- La tasa de variación en la población de conejos es
dP10025tdtt8t16,1Al cabo de cuánto tiempo es dicha población. Si la población inicial de conejos
68.- a) Demostrar que si y = arg th x, entonces
b) Calcular la lnxF(x)edtc) Calcular el
11,22
). c) Estudiar la convergencia de f(x) dxconvergencia de f(x) dx
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
59.- Dadas las siguientes curvas por sus de las funciones rEstudiar las simetrías
60.- Para la curva dada en forma paramétrica
x(t)lnty(t)t se pide, para el 1: Longitud de la curva en el intervalo
硛 Ⰰ㄀崀
obtener los siguientes volúmenes de revolución engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX, engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
62.- Determinar las áreas siguientes: a) Encerrada por la función f(x) y el eje OX siendo
si 6x6f(x)en otro casoxx20-
r()a sen(2) con a0q=q>l eje OX, el lazo de la curva
del arco de la
317b) El interior a la de centro el origen rcos
.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
f(x)b) Calcular el c) Calcular el generado al girar el recinto limitado por f(x) y el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
54.- Para la curva dada en forma paramétrica
x(t)lnty(t)t se pide, para el 10: Superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas Volumen de revolución engendrado al girar el área comprendida entre la curva Superficieeje OX el área comprendida entre
superficie de revolución de ecuación y(t)4sen(t)cot)4c
al girar alrededor del eje de abscisas.
56.- Dada la función
f(x)siendo p un núme�ro real tal que p 1 se pide f(x)dx
57.- Dadas las siguientes curvas por sus de las funciones rEstudiar las simetrías
58.- Dada la función
f(x) siendo p un número real tal que p se pide f(x)dx
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. encerrada entre la función
cosx1senx y el eje x entre 0 y
= 4 cos(2 limitada por la curva dada (Explicar los límites de integración)

uaciones en coordenadas polares son
r y
r2(1)=a-. Calcular:
encerrada entre ambas curvas entre sus puntos de intersección: el
intersección en el segundo cuadrante
Perimetro
50.-Hallar la longitudcossituado en el primer cuadrante, respondiendo a los siguientes apartados: del arco de la curva que está situado en el primer cuadrante. b) Indicar y explicar los límites de integración. c) Escribir la fórmula teórica para calcular la longitud
longitud del arco de curva de la función y = f(x) entre los puntos (-
encerrada entre las funciones
f(x)
g(x)x3
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 39.- En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada por las
==xacost , ya sent Longitud de la superficie obtenida por la revolución de la curva descrita por el móvil desde el inicio (t = 0) hasta volver del sólido obtenido en el apartado anterior.
40.- Calcular el área delimitada por la curva r=cos.
41.- Calcular el volumen del elipsoide.
circunferencia
) gira alrededor del eje polar. Calcular el volumen
longitud total de la curva dada por las ecuaciones paramétricasxcostysent
longitud
46.- Dada la curva r = 3cos(3 limitada por los tres lazos de la curva del enunciado.
longitud desde el punto (1, 0) hasta el punto (-1, b) Realizar una gráfica aproximada de la que se pide.
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. perímetroxa costya sent
35.- a) Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva
2x2x y la recta y=1. de las siguientes curvas: ñax2sentsen(2t)y2costcos(2t) espiral car r = e para dide
e integral en función de los valores de p
bpadxxa y calcularla cuando sea convergente.
longitud del arco de curva dada en r=4+2sec((p/3, 4p/3]. b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las =6(3/2-x); y
38.- a) Estudiar si la integral
1sen y, en su caso, decir de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la definición. generada en la rotación de la mitad superior de la =-qra(1cos)aR, alrededor de su eje polar.

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. total de la curva, dada en
rsen obtenida al girar, alrededor del eje de x(t)ecos ty(t)e sen t
t0,
2222yx1ab.
30.- Calcular
1xxdx
volumen del sólido sabiendo que las secciones del primer lazo (en el primer cuadrante) de la curva r = 2 c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral
x(1x)
Longitud
x1,2 de la región comprendida entre la girar alrededor del eje de abscisas. superficie de revolución
x1,2
de la porción de
Hallar la longitud de arco de la curva dada por las x(t)lnty(t)tEstudiar, sin calcular, la convergencia
x2x

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la de hierba que puede comer la vaca.
lico como el de la figura. Sabiendo

recto de radio R y altura H recto de radios R y altura H
del sólido de revolución engendrado al girar la región yx2yx4alrededor del eje de abscisas.
r8sen(2) las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas área
28.- Hallar el área común a los círculos r=2 cos(a), r=1, r=2 sen(a)

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
x3x2xx2, cuya gráfica es la de la figura, se
Calcular el Calcular el c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,
convergencia
301dxxx, b)
1xx
21.- Para la función
f(x) 1de abscisas alrededor de dicho eje.
22.- Calcular la longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
23.- a) Hallar el área limitada por la curva
y sus asíntotas. generado por la curva cuando gira alrededor del eje x, entre

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 14.- Para un arco de x(t)a(tsent)y(t)a(1cost) encerrada por la curva y el eje de abscisas. longitud engendrado por la rotación del área encerrada por la curva engendrado por la rotación del área encerrada por la curva de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide
encerrada por la curva y el eje de abscisas. longitud
16.- Determinar la curva que pasa por el punto (4, en cada punto (x,y), ta�l que x0, es
cosx
17.- Hallar el valor de f(x) dx=23 si 0x15 si 1x2 ¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que
/2. de la región limitada por dich

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. x(t)32costy(t)25sent
una cinta por sus extremos, a la misma denomina catenaria, y cuya ecuación
yc coshCalcular la de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.
10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad ¿Cuál es la profundidad del agua?
11.- Hallar el del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
12.- Calcular la
cos(t)[2cos(2t)]x(t) = sen(t)[2cos(2t)]y(t) =
hipérbolaxy1. Hallar: de abscisa positiva. hipérbolax1. superficie hiperbólico formado al girar la
x1,2.

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de las siguientes funciones: F(x)e(sentcost)dt b) G(x)senxcostdt.
2. a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes integrales:
convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el encerrada entre la función
f(x) y el eje de abscisas (OX) en
de la región contenida entre las curvas:
y, yx1xxEn el intervalo [2,3]
4.- Calcular
111222
5.- Analizar el carácter de las siguientes
“““110senxsenxcosxa) dx con p“ 0 dx c) dx1xx
6.- Dada la función
f(x)2x1xse pide: n y el eje de abscisas alrededor del eje de abscisas
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
a) r3sen2 b) r2sen3

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
engendrado por la rotación de la circunferencia
x2=1 al girar alrededor del eje OX.
Debemos considerar el volumen del cuerpo obtenido al girar la semicircunferencia superior menos el correspondiente a la semicircunferencia infer

\41x=-
1x0x1x11x1-í-
\41x=--
41x41x dx
22221681x1x1681x1x dx=p------=
161x dx p-=Con el cambio xsentdxcostdt==
1sentt1sentt
==
==- ) )
161sentcost dt16cost dt=p-=p=
1cos2tsen2t16dt8t=p=p=
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. costdtsent0
222200001cos2t1costdtdtdtcos2tdtpppp===
1sen2t
222322000costdtcostcostdtcost1sentdtppp==-=
sentcostdtcostsentdt0
-==
)a2030=pp-p-=
Para el volumen alrededor del eMe OY debemos plantear dos inte
2222t202Vx t)\
t)dtx t)\
t)dtx t)\
t)dtx t)\
t)dt )=p=p-p=p=
)a tsent)asentdt=p-=3322
) )
) )
2222S2\ t)\
t)x
t)dt2\ t)\
t)x
t)dt )
22222 )2a 1cost)asenta 1cost)dt2a 1cost)2 1cost)dt=p--=p--=
2222
ttt8asendtcossendt222≈·≈·≈·=p-=¨¸¨¸¨¸©¹©¹©¹
p--=¨¸¨¸…»…»©¹©¹
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
hipérbola-=22xy1. Hallar:
a) El encerrada por la y la recta que pasa por su
positiva.
hipérbolax1.
c) La de revolución del hiperbólico formado al girar la hipérbola
respecto del eje X siendo
x1,2.
: Sabiendo que el foco de abscisa positiva es
2,0, \ por simetría será el doble de la integral entre
A2f x)dx2x1dx ===-
2-ln12 u
Axf x)dxxx1dx ==-=--
c)
222111S2f x)1f
x)dx2x11dx22x1dx=p=p-=p-=
2ln6322261 up--p--

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