Estadística descriptiva: problemas resueltos

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: PROBLEMAS RESUELTOS 1/12 5. Problemas resueltos 5.1. Variables no agrupadas Ejercicio 5.1. En una clínica infantil se ha ido anotando, durante un mes, el número de metros que cada


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6/12B.GONZÁLEZ,D.HERNÁNDEZ,M.JIMÉNEZ,I.MARRERO,A.SANABRIA
Nótesequelamedianacoincideconelsegundocuartil:P1=2=Me=75:9:ElprimercuartilP1=4vienedadoporP1=4=61:2;mientrasqueeltercercuartilesP3=4=82:4:Enefecto,enlacolumnadefrecuenciasrelativasacumuladasdelCuadro5.2vemosqueestosvaloresdelavariablesonlosprimerosquesuperan,respectivamente,al25%yal75%delasobservaciones.c)Lavarianzadelamuestravienedadapors2=1
56(8612+1061:22+2652+570:22+1375:92++377:32+0802+1582:42)�72:12=69:007857'69:0:Luego,ladesviacióntípicaess=p
69:007857'8:3:d)DeacuerdoconelTeoremadeChebyshev,enelintervalo(
x�5s;
x+5s)podemosencontrarunmínimodel1�1
52100%=25�1
25100%=24
25100%=96%delasobservaciones.5.2.Variablesagrupadas
Ejercicio5.3.LosvaloresdelpHsanguíneode32individuossonlossiguientes:7:337:317:267:337:377:277:307:337:337:327:357:397:337:387:337:317:377:357:347:327:297:357:387:327:327:337:327:407:337:327:347:33
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ESTADÍSTICADESCRIPTIVA:PROBLEMASRESUELTOS7/12
a)Agruparlosdatosen5intervalosyconfeccionarlatabladefrecuencias.b)Calcularlamediaaritmética,lamodaylamediana.c)Hallareltercerdecil.d)Determinarelporcentajedeindividuosqueseconcentrafueradelintervalo(
x�4s;
x+4s).RESOLUCIÓN.Enprimerlugar,nótesequelavariableconsideradaenelestudioesunavariablecuantitativacontinua.Porestarazóndistribuimoslosdatosobservadosenvariosintervalosdeclase.a)Paraestablecerlalongituddecadaintervalodeclasehemosdedeterminarelrangodelavariable:R=xmax�xmin=7:40�7:26=0:14:Consecuentemente,`=R
5=0:14
5=0:028:Redondeandoporexcesopodemostomar`=0:03:LatabladefrecuenciasparalavariableenestudioquedarecogidaenelCuadro5.3.
intervalosdeclasexiniNifi(%)Fi(%)
[7:26;7:29)7:275226:2506:250[7:29;7:32)7:3054612:50018:750[7:32;7:35)7:335172353:12571:875[7:35;7:38)7:36552815:62587:500[7:38;7:41)7:39543212:500100:000
Cuadro5.3.TabladefrecuenciasparalavariabledelEjercicio5.3.b)Calculemoslamediaaritmética:
x=1
32(27:275+47:305+177:335+57:365+47:395)=234:87
32'7:34:Lamayorfrecuenciaabsolutaregistradaenlatabladefrecuenciases17,quecorrespondealintervalo[7:32;7:35).Dichointervaloes,portanto,elintervalomodal,ointervalodondeseencuentralamodaMo.Finalmente,paracalcularlamedianatrazamoselpolígonodefrecuenciasabsolutasacumuladas(Figura5.5).
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dondeahoraxsatisfacelarelación0:03
17=x
9:6�6:Seinerequex=0:033:6
17'0:006;yconcluimos:D3=7:32+0:006=7:326'7:33:d)ElTeoremadeChebyshevgarantizaque,comomínimo,el(1�1
k2)100%delasobservacionesseencuentraenelintervalo(
x�ks;
x+ks),mientrasquefueradedichointervaloseencuentraalosumoel1
k2100%deellas.Consiguientemente,unmáximodel1
42100%=1
16100%=6:25%delosdatoscaefueradelintervalo(
x�4s;
x+4s).
Ejercicio5.4.Enpacientescondistroamuscularprogresiva(enfermedaddeDuchenne),laactividaddecreatinquinasaséricaseelevallamativamentesobreelvalornormalde50unidadesporlitro.Lossiguientesdatossonnivelesséricosdecreatinquinasa(enunidadesporlitro)medidosen24jóvenespacientesconlaenfermedadconrmada:372037953340560038003580550020001570236015001840372537903345380555953575199555052055157518351505Sepide:a)Agruparlosdatosen5intervalosdeclase.b)Determinarlamediayladesviacióntípica.Calcularlamodaylamediana.c)Determinareltercercuartil,elséptimodecilyelcentil25.RESOLUCIÓN.Nótesequelavariableconsideradaenelestudioescuantitativacontinua.
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a)Elrangodelavariablees:R=5600�1500=4100:Luego,`=R
5=4100
5=820:Redondeandoporexceso,tomamos`=821:LatabladefrecuenciasparalavariableenestudioquedarecogidaenelCuadro5.4.
intervalosdeclasexiniNi
[1500;2321)1910:599[2321;3142)2731:5110[3142;3963)3552:51020[3963;4784)4373:5020[4784;5605)5194:5424
Cuadro5.4.TabladefrecuenciasparalavariabledelEjercicio5.4.b)Lamediaaritméticavienedadapor:
x=1
24(91910:5+12731:5+103552:5+04373:5+45194:5)=3176:208333'3176:21:Porotrolado,lavarianzavienedadaporlaexpresións2=1
24(1910:5�3176:21)29+(2731:5�3176:21)21+(3552:5�3176:21)210++(4373:5�3176:21)20+(5194:5�3176:21)24)=1346911:79;dedondeladesviacióntípicaess=p
1346911:79'1160:6:Elintervalomodales[3142;3963),puesenélseagrupaelmayornúmerodeobservaciones(esdecir,10).Finalmente,paracalcularlamedianahacemosunarepresentacióngrácadelasfrecuenciasabsolutasacumuladas(Figura5.6).Comoelnúmerototaldeobservacioneses24,lamedianaseráaquelvalorquedividealamuestraendos
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Consecuentemente,x=656:8yP3=4=3142+656:8=3798:8:Losdecilesdividenladistribuciónendiezpartesiguales.Asípues,elséptimodecilD7secorrespondeconunafrecuenciaacumuladade724
10=16:8:DemaneraanálogaD7=3142+x;siendox=6:8821
10=558:28'558:3:Luego,D7=3142+558:3=3700:3:Finalmente,loscentilesPi,dondeitomavaloresdesde1hasta99,dividenladistribuciónencienpartesiguales,deformaqueP25secorresponderáconaquelvalordelavariablequeacumulaunafrecuenciade2524
100=6:Asípues,escribimosP25=1500+xdondex=6821
9'547:3paraconcluir:P25=1500+547:3=2047:3:Nóteseque,alser251
100=1
4;elpercentilP25es,enrealidad,elprimercuartil.
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