Unidad III - ITPN

Unidad III Aplicaciones de la integral. 3.1 Áreas. 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. Si f es una funcion que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b], entonces la integral definida : no representa el area bajo la grafica de f sobre el intervalo. El valor de:


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Unidad III

Aplicaciones de la
integral.
3.1 Áreas.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

Si f es una funcion

que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b],
entonces la integral definida :
no representa el area bajo la grafica de f sobre el intervalo.El valor de:

puede interpretarse como el area neta
con signo entre la grafica de f y el eje x
sobre el intervalo [a,b].Suponga que la funcion y = f(x) es continua sobre el intervalo [a,b] y que f (x)
sobre [a,c) y que f (x)� / 0 sobre [c,b].El area total es el area de la region acotada por las gra
ficas

de f, el eje x y las
rectas verticales x=a y x=b.Para encontrar el area se emplea el valor absoluto de la funcion y= | f(x) |, que no
es negativa para toda en x en [a,b].
Ejemplo:

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

El area bajo la grafica de una funcion continua no negativa y = f(x) sobre un
intervalo [a,b] puede interpretarse como el area de la region.Si f y g son funciones continuas sobre un intervalo [a,b], entonces el are A de la
region acotada por sus graficas

sobre el intervalo esta dada por:Ejemplo :
3.2 Longitud de curvas.

La

longitud de arco de una curva, tambié
n llamada

rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o

camino recorrido

a lo largo de una

curva

o dimensión
lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud
en

segmentos

irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del

c
alculo

trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos
.

Formula GeneralLa longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar p
equeños segmentos
de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre
más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

, escogiendo una
familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la
pol
igonal que pasa por dichos puntos.
Cuantos más puntos escojamos en C, mejor
seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.(VER IMAGEN 1.0)

Imagen 1.0Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y
su gráfica es una curva suave.

(VER IMAGEN 2.0)

Imagen 2.0

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se
puede calcular

mediante el

teorema de Pitágoras (dL)
2
=(dx)
2
+(dy)
2
.

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
3.3 Cálculo de v
olúmenes de sólidos de sólidos
de revolución.

MÉTODO

DE LAS REBANADASUn cilindro re
cto se define como un solido acotado por dos regiones planas
congruentes, en planos paralelos y una superficie lateral que es generada por un
segmento de recta perpendicular a ambos planos y cuyos extremos constituyen
los limites de las regiones planas.Su volumen V esta dado por la formula:v= B * hdonde B se denota el area de una base ( el area de las regiones planas) y

h
denota la altura del cilindro ( la distancia perpendicular entre las regiones planas).Una rebanada es la iterseccion de soli
do y un plano.Ejemplo: MÉTODO

DE LAS ARANDELAS
Una rebanada perpendicular al eje x del soli
do de revolucion en xk es una circular
o anillo anular.Cuando el elemento rectangular del ancho Axk gira alrededor del
eje x, genera una arandela.El area del anillo es :a(xk)= area del circulo
-

area del orificio

Ejemplo:
METODO DE LOS CASCARONESSe denotan respectivamente los radios interior y exterior del cascaron, y h es su
altura, entonces su volumen

esta dada por la diferencia.Volumen del cilindro exterior
-

volumen del cilindro inferior

Ejemplo:Encuentre el volumen del solido que se forma al girar en el eje y 3.4 Cálculo de centroides.

Calculo de la Centroides por medio de la integración.1. Preparar un esquema del cuerpo a escala.2. Establecer un sistema de coordenadas, en la mayoría de los cuerpos que sean
superficies planas, se utilizan coordenadas rectangulares, siempre que el c
uerpo
presente un eje o un plano de simetría se tomara uno de los ejes, el centroide se
encontrara siempre sobre tal eje.3. Seleccionar un elemento de volumen , superficie o longitud.. para la
determinación del centro de masa o centro de gravedad determinar la masa o el
peso del elemento utilizando la expresión adecuada de la densidad o del peso
especifico.4. Escribir una

expresión del primer momento del elemento respecto a uno de los
ejes o planos de referencia. Integrar la expresión para determinar el primer
momento.5. Utilizar la ecuación adecuada para obtener las coordenadas del centroide.6. Repetir los pasos del

3 al 5 con las coordenadas obtenidas.Otras integralesA pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más
importantes de integral, hay unas cuantas más, por ejemplo:* La integral de Riemann
-
Stieltjes, una extensión de la i
ntegral de Riemann.* La integral de Lebesgue
-
Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que
generaliza las integrales de Riemann
-
Stieltjes y de Lebesgue.* La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de
Lebesgue
-
Stieltjes
sin tener que depender de ninguna medida.* La integral de Henstock
-
Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy,
Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.* La integral de Darboux, que es equivalente a la integral
de Riemann.* La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.* La integral de McShane.* La integral de BuchnerOtras aplicaciones para las integrales.* Área entre curvas.* Sólidos de revolución.* Longitud de curvas.3.5 Otras aplicaciones.

Aplicaciones de

la Integral

Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa
mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva”
se tienen:

·

Área entre curvas
.

·

Sólidos de revolución
.

·

Longitud de curvas
.

·

Centroides

de figuras planas
.

·

Momentos de Inercia de cuerpos planos
.
El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes
aplicaciones y se comenzará con la aplic
ación más común y que a su vez motivó
los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.
Área entre la curva y el eje x

En efecto, ya lo hemos señalado, integral no es lo mismo que área, ya que el
concepto de integral es realmente un concepto m
ucho más amplio y que se puede
aplicar a infinidad de situaciones novedosas.

Por otro lado, realizando las
correcciones necesarias respecto de los valores negativos que pueda tomar una
función en un intervalo la integral calcula perfectamente el área entr
e el eje x y una
curva dada.

Pero el concepto de área se puede ampliar a espacios delimitados entre diversas
curvas en el plano, estudiemos ahora esa generalización.

Área entre curvas

La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una

situación dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva
¿Cuánto mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese
caso?

Longitud de una curva

La integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que
muchas de las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera
son planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el
contrario! El potenci
al analítico de la integral se logra ante la simplicidad del
concepto ¡no deja de ser una suma!!!!!Pero ahora con las computadoras, esas sumas las podemos hacer de manera
muy eficiente.

Integración numérica

Es verdad que la motivación del la integración lo fue el concepto geométrico de
área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos emplear en cualquier
situación que se pueda representar por el producto de dos cantidades

y el
volumen es uno de esos c
asos, veamos los siguientes cuerpos geométricos y
como la integral nos auxilia a calcular volúmenes.

Superficies y sólidos de Revolución

En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría,
dentro de esos fenómenos se presenta la ocurr
encia de la masa, el peso y por
tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos
físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.

Momentos de Inercia

Las aplicaciones de la integral son muy amplia
s y en este apartado se han
presentado algunas de las más comunes, y con este estudio se amplia el
panorama para que en nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos
rodean todos los días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.

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