CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

con el c´alculo integral en varias variables. Se supone que el estudiante ya ha visto un curso riguroso de c´alculo en una variable, que domina la topolog´ıa b´asica de Rn, que ha visto un curso introductorio de c´alculo en varias variables y que ya ha estudiado la Gu´ıa de Calculo Diferencial en Varias Variables o un texto equivalente.


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106IndicealfabeticoStokes,teoremade,
93
sumainferior,
1
superior,
1
sumasdeRiemann,
2
super cielisa,
85
noorientable,
89
orientable,
88
teoremafundamentaldelcalculo,
3
trayectoria,
55
lisa,
59
lisaatrozos,
68
poligonal,
69
trayectoriasequivalentes,
56
velocidad,
57
volumen,
19
volumenn-dimensional,
26
Indicealfabeticoarea,
14
deunasuper cie,
86
cambiodevariables,
32
,
42
cicloide,
58
cintadeMobius,
89
condiciondeRiemann,
23
conjuntoliso,
23
contenidon-dimensional,
19
,
26
n-dimensionalnulo,
22
bidimensional,
14
bidimensionalnulo,
10
coordenadascilndricas,
37
esfericas,
38
polares,
33
curva,
55
cerrada,
70
lisa,
62
lisaatrozos,
68
opuesta,
56
orientada,
55
recti cable,
59
elementodesuper cieregular,
85
\rujo,
90
Fubini,teoremade,
8
,
20
funcioncaracterstica,
14
funcionescalonada,
3
,
4
,
19
Green,teoremade,
72
helice,
56
integrable,
2
,
7
,
20
integral,
2
,
7
,
20
,
63
dearea,
14
delnea,
64
desuper cie,
89
deunafuncionescalonada,
3
doble,
5
,
14
impropia,
43
inferior,
4
,
7
,
20
multiple,
19
,
25
superior,
3
,
7
,
20
longituddeunacurva,
62
deunatrayectoria,
59
medida0,
54
parametrizaciondeunacurva,
55
particion,
1
,
4
,
18
poligonalmenteconexo,
70
productovectorialfundamental,
86
rapidez,
57
recti cable,
59
region,
85
simple,
71
tipoI,
15
tipoII,
16
105
104
Bibliografa[1]Apostol,T.MathematicalAnalysis.[2]Cohen,L.andEhrlich,G.Thestructureoftherealnumbersystem.VanNostrand1963.[3]Edwards,C.H.AdvancedCalculusofSeveralVariables.[4]Goldberg.MethodsofRealAnalysis.[5]Halmos,P.Teoraintuitivadelosconjuntos.CECSA1971.[6]O.E.A.IntroduccionalaTopologaGeneral,No9delaSeriedeMatematicadelaO.E.A.[7]Protter,M.H.andMorrey,C.B.AFirstCourseinRealAnalysis.[8]Rudin,W.PrinciplesofMathematicalAnalysis.SecondEdition.McGraw-Hill1964.[9]Simmons.IntroductiontoTopologyandModernAnalysis.[10]Spivak.CalculoenVariedades.[11]Stromberg,H.AnIntroductiontoClassicalRealAnalysis.[12]White,A.RealAnalysis:AnIntroduction.[13]Williamson,Crowell,Trotter.CalculodeFuncionesVectoriales.103
EJERCICIOS3.101(13)Seaf:[a;b!RunafunciondeclaseC1ynonegativa.Elgra codefrotadoalrededordelejexgeneraunasuper ciederevolucionSenR3(a)EncontrarunaparametrizaciondeSenterminosdef(b)Demostrarquearea(S)=2Zbaf(x)p
1+(f0(x))2dx:(14)Veri quequesiF(x;y;z)nodependedezylaterceracoordenadadeFesceroentonceslaformuladeStokes,aplicadaaunasuper cieenelplanoxy,sereducealaformuladeGreen.(15)DemuestrequesiResunaregionenlaquesepuedeaplicarelteoremadeGauss,entoncesVol(R)=1
[email protected]^dz+ydz^dx+zdx^dy:
100EJERCICIOS3.(6)Encuentrelamasatotaldeunapelculaesfericacuyadensidadencadapuntoesigualaladistanciadelpuntoaunpunto jodelaesfera.(7)SeaGR3!RunafunciondeclaseC1.SupongamosqueGdeterminaimplci-tamenteunpedazodesuper [email protected][email protected]=0,queyacesobreunaregiondelplanoxytalquehayunsolopuntodeSsobrecadapuntodeDemostrarquearea(S)=ZZDs
@G
@x2+@G
@y2+@G
@z2 @G
@z 1dxdy:(8)Encuentreunaparametrizacioncomosuper cielisaporpedazos,orientable,connormalapuntandohaciaafuera,paracadaunodelossiguientesconjuntos:(a)Elcilindroconunatapadadoporx2+y2=10z1yx2+y21;z=0.(b)Elembudodadoporx2+y2z2=01z4yx2+y2=10z1.(9)SeaFelcampovectorialenR3dadoporF(x;y;z)=(x;y;2zxy)CalcularlaintegraldeFsobrelassuper ciesorientadasdelEjercicio
8
(10)HallarZLx2y3dx+dy+dz,dondeLeslaintersecciondelassuper ciesx2+y2=r2;z=0(11)UsandoelteoremadeStokes,calcularlaintegraldesuper cieZZSrotFdspara:(a)F(x;y;z)=(y2;xy;xz)ySeselhemisferiox2+y2+z2=1,z0.(b)F(x;y;z)=(yz;yz;xz)ySconstadelascincocarasdelcubo0x2,0y2,0z2nosituadasenelplanoxy(12)Transformarlaintegraldesuper cieusandoelteoremadeladivergenciaenlossiguientescasos:(a)F(x;y;z)=(x;y;z)ySeslasuper ciedadaporx2+y2+z2=1.(b)F(x;y;z)=(x2;y2;z2)ySestalimitadaporlassuper ciesdadasporx2+y2=4,z=0,z+x=2.
Ejercicios3.(1)SeaFuncampovectorialderivabledadoporF=(P;Q;R).HalleunaformulapararotF=@R
@y@Q
@z@P
@z@R
@x@Q
@x@P
@yenlossiguientescasos:(a)F(x;y;z)=(y2;xy;xz),(b)F(x;y;z)=(yz;yz;xz).(2)SeaFuncampovectorialderivabledadoporF=(P;Q;R).Enlossiguientescasoshalleunaf[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@z(a)F(x;y;z)=(x;y;z),(b)F(x;y;z)=(x2;y2;z2).(3)Encuentreelareadelarampaespiralrepresentadapor:g(u;v)=(ucosv;usenv;v),con0u1,0v3(4)CalcularZSFds,dondeF(x;y;z)=x+y+zySestadadoporg(u;v)=(uv;u+v;uv),para0u1,0v1.(5)AplicandoelteoremadeStokeshallarZL(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dzdondeLeslaintersecciondelassuper ciesdadasporx+y+z=0;x2+y2+z2=a2yaesunnumeropositivo.99
983.AN[email protected] 2
@u(u;v)@ 2
@v(u;v)[email protected]@h2
@[email protected]
@v1CCCCCA=@h2
@u@h2
@v1UsandoelteoremafundamentaldelcalculoyelteoremadeFubiniobtenemos,[email protected]=ZZS1F3n3d+ZZS2F3n3d+ZZSoF3n3d=ZZAF3(u;v; 1(u;v))dudv+ZZAF3(u;v; 2(u;v))dudv+0=ZZA(F3(x;y;h2(x;y))F3(x;y;h1(x;y)))dxdy+0=ZZA Zh2(x;y)h1(x;y)@F3
@z(x;y;z)[email protected]
@zdxdydz
5.ELTEOREMADELADIVERGENCIAOTEOREMADEGAUSS97yZZZWdivFdxdydz=ZZZW@F1
@[email protected]
@[email protected]
@zdxdydz:[email protected]
@[email protected];(3.4)[email protected]
@[email protected];(3.5)[email protected]
@[email protected]:(3.6)Solamenteprobaremos(
3.6
),lasotrassonanalogas.SeaW=f(x;y;z)2R3:(x;y)2A;h1(x;y)zh2(x;y)[email protected]=So[S1[S2dondeSoS1yS2sonsuper ciesquecumplenlascondicionesquedescribiremosaconti-nuacion.Lasuper cieS1sepuedeparametrizarmediantelafuncion 1(u;v)=(u;v;h1(u;v))yladirecciondelanormaleslaopuesta.Lasuper cieS2sepuedeparametrizarmediantelafuncion 2(u;v)=(u;v;h2(u;v))yladirecciondelanormaleslamisma.ClaramentelanormalaSoencualquierpuntoesperpendicularalejez.Porlotanto,n3(g(u;v))=0sig(u;v)2SoAdem[email protected] 1
@u(u;v)@ 1
@v(u;v)[email protected]@h1
@[email protected]
@v1CCCCCA=@h1
@u@h1
@v1
963.ANALISISVECTORIAL.
n
[email protected](Gauss).SeaWunsolidoenR3limitadoporunasuper cielisaatrozos,@W,cerradayorientadapositivamente.SiF=(F1;F2;F3)esuncampovectorialdeclaseC1de nidoenW[@W,[email protected]dsdondedivF=hr;[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@zNotequelaigualdaddelteoremaesZZZWhr;[email protected];~nidDemostracion.HaremoslademostracioncuandoWesunaregiondelsiguientetipof(x;y;z)2R3:(x;y)2A;h1(x;y)zh2(x;y)gdondeAR2Pararegionesproyectablesenotrosplanoscoordenadosdistintosdelxylademostracionesanaloga.ParaelcasogenerallademostracionsehacepicandoaWendistintasregionesproyectablesysumandodespues.SeanF=(F1;F2;F3)y~n=(n1;n2;n3)[email protected][email protected];~nidmail protected](F1n1+F2n2+F3n3)d
[email protected]
@u[email protected]
@v@
@v[email protected]
@u[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]@h
@[email protected]
@u[email protected]
@[email protected][email protected]
@[email protected]
@v@h
@[email protected]
@[email protected](F1g)
@[email protected]
@v@(F1g)
@[email protected]
@u=@F1
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@u@g1
@v@F1
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@v@g1
@u=@F1
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@u@g1
@v@F1
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@v@g1
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@v@F1
@[email protected]
@[email protected]
@v@F1
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@z@g3
@[email protected]
@v@g3
@[email protected]
@u@F1
@y@g1
@[email protected]
@v@g1
@[email protected]
@u[email protected]
@[email protected](g3;g1)
@(u;v)@F1
@[email protected](g1;g2)
@(u;v)[email protected]=ZZD@F1
@[email protected](g3;g1)
@(u;v)@F1
@[email protected](g1;g2)
@(u;v)[email protected]
@zdz^dx@F1
@ydx^dy:5.ElteoremadeladivergenciaoteoremadeGaussDefinicion3.21.SeaWR3unsolidocuyafronteraesunasuper [email protected]ondeR2enR3talqueelvectornormalest[email protected],[email protected]onpositivaLasiguiente guranosmuestraunsolidoconfronteraorientadapositivamente.
943.ANALISISVECTORIAL.Porlotantoparaprobaresteteoremabastaprobarlassiguientestresigualdades:[email protected][email protected]
@zdz^dx@F1
@ydx^dy;(3.1)[email protected]=ZZS@F2
@zdy^[email protected]
@xdx^dy;(3.2)[email protected][email protected]
@ydy^dz@F3
@xdz^dx:(3.3)CadaunadeestasigualdadesseobtendraaplicandoelteoremadeGreen.Probaremossolamentelaigualdad(
3.1
),lasotrassonanalogas.Seag!R3unaparametrizaci[email protected]
@zdz^dx@F1
@ydx^dy=ZZD@F1
@z(g(u;v))@(g3;g1)
@(u;v)@F1
@y(g(u;v))@(g1;g2)
@(u;v)dudv:Sea :[a;b!R2unaparametrizaci[email protected] esunaparametrizaci[email protected]!Rdadaporh=F1gentonces,[email protected]=ZbaF1((g )(t))(g1 )0(t)dt=Zbah( (t))@g1
@u( (t)) 01(t)[email protected]
@v( (t)) 02(t)[email protected]@g1
@[email protected]
@vdv=ZZD@
@u[email protected]
@v@
@v[email protected]
@ududv
4.ELTEOREMADESTOKES93Definicion3.19.Unasuper cielisaatrozosesunion nitadepedazosdesuper cieslisas.Estasuper cieesorientablesisepuedenorientarcadaunadelassuper ciesdemaneraquelascurvasquesonfronterascomunestenganorientacionesopuestas.Teorema3.20(Stokes).SeaSunasuper cieregularenR3parametrizadaporunafunci[email protected]aorientadapositivamenterespectoaS.SeaFR3!R3uncampovectorialdeclaseC1de nidoenunconjuntoabiertoquecontieneaS[@S.EntoncesZZSrotF[email protected]d~xdonderotF=r[email protected]@
@[email protected]
@[email protected]
@zF1F2F31CCCCCA=@F3
@y@F2
@[email protected]
@z@F3
@[email protected]
@x@F1
@yOtrasmanerasdeexpresarlaigualdaddelteoremasonZZSrF[email protected]d~xZZShrotF;~nidmail protected]d~xDemostraci[email protected][email protected][email protected][email protected][email protected]:AdemasZZSrotFds=ZZS@F3
@y@F2
@zdy^dz+@F1
@z@F3
@xdz^dx+@F2
@x@F1
@ydx^dy:
923.ANALISISVECTORIAL.ZZSFds=ZZSF1dy^dz+F2dz^dx+F3dx^dy:Definicion3.16.Seang!R3yhB!R3dosparametrizacionesdelamismasuper cieS.SedicequegyhsonequivalentescuandoexisteunatransformacionT!BbiyectivatalqueTyT1sondeclaseC1,condeterminantejacobianopositivoytalqueg=hTEjercicio3.17.Demostrarquedosparametrizacionesequivalentesasocianlamismaintegraldesuper cieauncampovectorial.4.ElteoremadeStokesSea[email protected]onpositivasial\caminar"[email protected]on,laregi[email protected] cieregularenR3parametrizadaporunafunciong
!R3donde[email protected]nteradeD,esdecir,@S=g(@D).Definicion3.18.SeaSunelementodesuper [email protected][email protected]onpositiva.Enestecaso,[email protected]onpositivadelanormalentoncesSquedaalaizquierda.
n
[email protected]
3.INTEGRALESDESUPERFICIE91
Figura3.2.FlujodeuncampovectorialOtrasnotacionesparalasintegralesdesuper cie.Supongamosg(u;v)=(g1(u;v);g2(u;v);g3(u;v)).Parai;j=12,de [email protected](gi;gj)
@(u;v)[email protected]@gi
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@v@gi
@[email protected]
@uConestanotaci[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)[email protected]@g1
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@[email protected]
@v1CCCCCCA=@(g2;g3)
@(u;v)@(g3;g1)
@(u;v)@(g1;g2)
@(u;v)SiF(x;y;z)=(F1(x;y;z);F2(x;y;z);F3(x;y;z)),entoncesZZSFds=ZZDF(g(u;v))@(g2;g3)
@(u;v)@(g3;g1)
@(u;v)@(g1;g2)
@(u;v)dudv=ZZDF1(g(u;v))@(g2;g3)
@(u;v)+F2(g(u;v))@(g3;g1)
@(u;v)+F3(g(u;v))@(g1;g2)
@(u;v)dudv:Estoseabreviadelasiguientemanera
903.ANALISISVECTORIAL.Ejercicio3.13.Demostrarquesilasuper cieSestadadaporz=h(x;y)con(x;y)2entoncesZZSfd=ZZDf(x;y;h(x;y))s
1+@h
@x2+@h
@y2dxdy:Sif0laintegraldefsobrelasuper cieSrepresentalamasadeunalaminacuyaformaesSycuyadensidadesfDefinicion3.14.SeaSunpedazodesuper cielisaconparametrizaciongyseaFR3!R3uncampovectorialcontinuosobreS.De nimoslaintegraldeFsobreScomoZZSFds=ZZDF(g(u;v))@g
@u(u;v)@g
@v(u;v)dudv:Observacion3.15.NotarqueZZSFds=ZZDhF(g(u;v))~n(u;v)i\r\r\r\[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)\r\r\r\rdudv=ZZShF;~nid:InterpretacionFsicadelaintegraldesuper cie.SielcampovectorialFdescribeelmovimientodeun\ruido,entoncesel\rujodeFatravesdelasuper cieSesZZSFds:Comoejercicio,justi carlade nicionanteriorde\rujo.Indicacion:Deacuerdoala gura,el\rujoaproximadodeFatravesdelparalelelogramogeneradoporlosvectores[email protected]
@uy[email protected]
@veshF;~niuv=F(g(u;v))@g
@u(u;v)@g
@v(u;v)uv
3.INTEGRALESDESUPERFICIE89Observacion3.10.Elqueunasuper cieseaorientableequivaleaquelasuper cietengadoscaras,unaesfera,unplanoyuncilindrosonejemplosdesuper ciesorientables.LacintadeMobiusesunejemplodeunasuper cienoorientable.
Figura3.1.HormigascaminandosobreunacintadeMobius,porM.C.Escher,19633.Integralesdesuper cieDefinicion3.11.SeaSunpedazodesuper cielisaconparametrizaciongyseafR3!RuncampoescalarcontinuosobreS.De nimoslaintegraldefsobreSco-moZZSfd=ZZDf(g(u;v))\r\r\r\[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)\r\r\r\rdudv:Ejemplo3.12.SeaSparametrizadaporg(u;v)=(u;v;u2+v2),con(u;v)2donde=f(u;v)2R2:1u2+v24gyseaf(x;y;z)=p
x2+y2,entoncesZZSfd=ZZDp
u2+v2p
4u2+4v2+1dudv=Z20d2Z1r2p
4r2+1dr:
883.ANALISISVECTORIAL.\r\r\r\[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)\r\r\r\r=p
4u2+4v2+1Sea=f(u;v)2R2:1u2+v24gentoncesA(S)=ZZDp
4u2+4v2+1dudv=Z20dZ21rp
4r2+1dr=(173=253=2)
62.Super ciesorientables.Definicion3.8.SeaSunasuper cieenR3.SedicequeSesorientablesiexisteunafuncioncontinua~nS!R3talque(a)~n(~x)esortogonalaSentodopunto~x2S(b)k~n(~x)k=1paratodo~x2SEnestecaso~nsellamalanormalunitariaalasuper cieSObservacion3.9.Si~neslanormalunitariaaunasuper cieentonces~nesunanor-malunitariaqueapuntaenladireccionopuesta.Luegocadasuper cieorientabletienedosposiblesorientaciones.SiSesunpedazodesuper cielisaparametrizadaporg!R3entoncesSesorientable,lanormalunitariaenelpuntog(u;v)eselvector~n(u;v)[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)
\r\r\r\[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)\r\r\r\rpara(u;v)2Sitomamosa~ncomoarribadiremosquelaorientacionespositiva,enlaotradireccionlaorientacionesnegativa.
1.INTEGRALESDESUPERFICIE.87Observacion3.6.Existenanalogasentrelaformulaanteriorylaformuladelalongituddeunacurval(g)=bZakg0(t)kdt:Esfacilprobar(hacerlocomoejercicio)quesif:[a;b!R2esunafunciondiferenciabletalquef(x)=(f1(x);f2(x))paratodox22a;b],ysiGeselgra codefentoncesl(G)=bZap
1+(f01(x))2+(f02(x))2dx:Parasuper ciestenemosunresultadoanalogo.SupongamosqueSestadadaexplcitamenteporunaecuaciondelaformaz=f(x;y),esdecirSeselgra codeunafuncionfR2!R.Entoncesg(x;y)=(x;y;f(x;y))esunarepresentacionparametricadeSyelproductovectorialfundamentales:@g
@x@g
@[email protected]=@f
@x@f
@y1Dedonde,A(S)=ZZDs
1+@f
@x2+@f
@y2dxdy:Ejemplo3.7.Calcularelareadelasuper cieSparametrizadaporg(u;v)=(u;v;u2+v2)donde1u2+v2[email protected]
@u(u;v)[email protected]@g
@v(u;v)[email protected]@g
@u(u;v)@g
@v(u;v)[email protected]=(2u;2v;1)
863.AN[email protected]
@u(u;vo)estangenteaestacurva.Analogamente,simantenemosauconstante,u=uo,[email protected]
@v(uo;v)eselvectortangentealacurvaenSdeterminadaporv7!g(uo;v)=(x(uo;v);y(uo;v);z(uo;v))[email protected]
@u(uo;vo)[email protected]
@v(uo;vo)estanenelplanotangentealasuper cieenelpuntog(uo;vo).Definicion3.3.SeaSunpedazodesuper cielisa,conparametrizaci[email protected]
@u(uo;vo)@g
@v(uo;vo)Observacion3.4.Elproductovectorialfundamentalesnormalalasuper cieeng(uo;vo).Elnumero\r\r\r\[email protected]
@u(uo;vo)@g
@v(uo;vo)\r\r\r\resel[email protected]
@u(uo;vo)[email protected]
@v(uo;vo).Parade nirelareadeunasuper cie,cuandoestaestadadaenformaparametrica,seconsideranlasnormasdeestosvectores,seaproximaelareatrabajandolocalmenteenelplanotangenteyluegosetomalmite.Enformaprecisa,tenemoslasiguientede nicion.Definicion3.5.SiSesunpedazodesuper cielisaentonceselareadeSesA(S)=ZZD\r\r\r\[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)\r\r\r\rdudvdondeg!R3esunaparametrizaciondeSSepuedeprobarqueestaintegralesindependientedelaparametrizacion,porloqueelareaestabiende nida.Cuandolasuper cieeslaunion nitadepedazosdesuper cieslisassecalculaelareacomolasumadelasareasestassuper cieslisas.
Captulo3Analisisvectorial.1.Integralesdesuper cie.Yalade niciondesuper cieovariedaddiferenciablek-dimensionalenRnhasidopre-sentada.Enestecaptuloestudiaremosresultadosrelacionadosconsuper ciesdedimension2,contenidasenR3.Seraconvenientehacerciertasprecisionesyarreglosenalgunasdelasde niciones.Diremosqueunsubconjuntodelplanoesunaregioncuandoesabiertoypoligonal-menteconexo.Definicion3.1.SeaSunsubconjuntodeR3.DiremosqueSesunpedazodesuper cielisaounelementodesuper cieregularsiexisteunaregionR2yunafunciong
!R3talque(a)gesinyectivayS=g().(b)gesdeclaseC1(c)Si(u;v)2,[email protected]
@u(u;v)[email protected]
@v(u;v)sonlinealmenteindependientes.EnestecasodecimosquelafunciongesunaparametrizaciondeSEsimportanterecordarquegdeclaseC1en,queesunconjuntocerrado,quieredecirquegsepuedeextenderaunafunciondeclaseC1enunabiertoquecontienea
Observacion3.2.Denotemospor[email protected]
@u(u;v)[email protected]
@v(u;v)sonlinealmenteindependientessiys[email protected]
@u(u;v)@g
@v(u;v)=~0SeaSunpedazodesuper cielisa,conparametrizaciongSimantenemosavconstante,v=vo,entoncesobtenemosunacurvaregularsobrelasuper cie,dadaporu7!g(u;vo)=(x(u;vo);y(u;vo);z(u;vo))85
EJERCICIOS2.83(g)Interpretargeometricamenteelsigni cadodelafuncion.Enbaseaestain-terpretacionjusti car(
20e
).Notarqueesteejerciciomuestraqueelconjuntodondeestade nidouncampovectorialin\ruyedemaneradeterminantesobrelaposibilidaddequeestecampovectorialseaungradiente.(21)Hallarunafamiliadesolucionesparacadaunadelassiguientesecuacionesdiferen-ciales.(a)(x+2y)dx+(2x+y)dy=0.(b)2xydx+x2dy=0(c)(x2y)dx(x+sen2y)dy=0
82EJERCICIOS2.(20)Consideremoselcampovectorialf!R2de nidoporf(x;y)=y
x2+y2x
x2+y2donde=f(x;y)2R2:(x;y)=(00)g.Esdecir,f=(f1;f2),dondef1(x;y)=y
x2+y2f2(x;y)=x
x2+y2(a)[email protected]
@y(x;y)[email protected]
@x(x;y)paratodo(x;y)2(b)SeaCunacircunferenciaconcentroenelorigen,recorridaensentidoantiho-rario.DemostrarqueZCf1dx+f2dy=2:(c)Demostrarquenoexisteninguncampoescalar'!Rtalquef=r':(d)DemostrarquesiSesunsubconjuntoabiertoyconexodeentoncesexisteuncampoescalar'S!RtalquefjS=r':(e)Explicaryjusti carlasiguientea rmacion:\SiCesunacurvacerradaysimplequenopasaporelorigen,entonces1
2ZCf1dx+f2dyeselnumerodevueltasquelacurvaCdaalrededordelorigen".(f)SeaT=R2nf(x;y)2R2y=0;x0gy,para(x;y)2T,sea(x;y)=8����&#x-5.3;㠔&#x-5.3;㠔&#x-5.3;㠔&#x-5.3;㠔:arctany
xsix�0
2six=0arctany
x+six0Demostrarquer=fjT
EJERCICIOS2.81(13)UsarelteoremadeGreenparacalcularelvalordelaintegraldelneaZGydx+x2dyparaloscasosenqueGescadaunodelossiguientescaminoscerrados.(a)Lacircunferenciade nidaporg(t)=(cost;sent)con0t2(b)Elcuadradoconverticesen(11)(11)(11)y(11)recorridoensen-tidocontrarioalasagujasdelreloj.(14)SeaGlacurvaparametrizadaporg(t)=(2cost;3sent)con0t2.CalculeZG(2x+y)dx+(3x+y)dy:(15)SeaunaregionsimplecuyafronteraesunacurvaGlisaporpedazos.DemuestrequesiGserecorreensentidopositivoentonceselareadeesA()=1
2ZGydx+xdy:(16)SeaGeltrianguloconvertices(00)(10)y(1
2)recorridoensentidopositivo.Evaluarlasiguienteintegraldelnea.ZGexcosydx+exsenydy:(17)ValiendosedelaformuladeGreen,transformarlaintegralcurvilneaI=ZCp
x2+y2dx+y(xy+ln(x+p
x2+y2))dydondeCeselcontorno,recorridoensentidopositivo,quelimitaunrecintoS(18)CalcularZCxdyydx
x2+y2enlossiguientesdoscasos:(a)ElorigendecoordenadasestafueradelcontornoC(b)ElorigendecoordenadasestadentroyCesunaelipse.(19)Calcularelarealimitadaporlassiguientescurvas:(a)Laelipsex=acosty=bsent(b)x=acos3ty=bsen3t(c)x=a(2costcos2t),y=a(2sentsen2t)
80EJERCICIOS2.(7)Demuestrequelacurva(x;y)=(cos;sen),para0
2,estaparametrizadaporlalongituddearco.Representegra camentelosvectoresvelocidadyaceleracioncuando=
2(8)Encontrarunaparametrizacionporlalongituddearcodelacurvaespiral(x;y;z)=(acos!t;asen!t;bt)con0t(9)Seaf:[a;b!R2unafunciondeclaseC1.DemostrarquesiGeselgra codefentoncesl(G)=Zbaq
1+(f01(x))2+(f02(x))2dxdondef(x)=(f1(x);f2(x))paratodox22a;b(10)Calcularlassiguientesintegralesdelnea:(a)RLxdx+xdy+ydz,dondeLestadadaporg(t)=(t;t;t)para1t2.(b)RP(x+y)dx+dy,dondePestadadapotg(t)=(t;t2)para1t3.(c)RGexdx+zdy+senzdz,dondeGestade nidapor(x;y;z)=(t;t2;t6)para0t1.(d)RG1xdy+RG2xdy,dondeG1estade nidaporg1(t)=(cost;sent),0t9yG2estade nidaporg2(t)=(cost;sent),2t4(11)Calculareltrabajorealizadoalmoverunapartculaalolargodelacurva(x;y;z)=(t;t;t2)0t2bajolain\ruenciadelcampodefuerzasF(x;y;z)=(x+y;y;y)(12)Hallelamasatotaldelaespiralde nidaporg(t)=(acost;bsent;bt)con0t2,sisudensidadenelpunto(x;y;z)esx2+y2+z2
Ejercicios2.(1)SeagR!R2latrayectoriade nidaporg(t)=(et;t).(a)Representargra camentelacurvag(b)Representargra camentelosvectorestangentesg0(0)yg0(1).(2)Representargra camentelacurvaasociadaalatrayectoria(x;y)=(t3;t5).Veri carqueestaparametrizacionnode neunvectortangenteenelorigen.�Seraposibleencontrarotraparametrizacionquesde naunvectortangenteenelorigen?(3)Seag(t)=(sen2t;2sen2t;2cost).Demostrarquelacurvagestacontenidaenunaesferaconcentroenelorigen.(4)DemuestrequesigR!R3esdiferenciableyg0(t)=0paratodot2Rentoncesg(t)esunvectorconstante.Interpretefsicamente.(5)SeagR!R3unatrayectoriadiferenciabletalqueg0(t)=0paratodot2R.Seapunpuntoquenopertenecealacurvag.Supongasequeq=g(t0)eselpuntodelacurvagmascercanoap,esdecir,kpqkkpg(t)kparatodot2RDemostrarqueelvectorpqesortogonalalacurvagenqIndicacion:Derivarlafuncionq(t)=kpg(t)k2Interpretargra camenteelresultadoanterior.(6)Encontrarlalongituddelassiguientescurvas:(a)(x;y)=(t;ln(cost))para0t1.(b)(x;y)=t22
3t31
2tpara0t2.(c)y=x3=2para0x5.(d)g(t)=(3t24p
2t33t4)para1t2.79
8.ECUACIONESDIFERENCIALESEXACTASDEPRIMERORDEN.77Loanteriornosproporcionaunmetodopararesolverciertasecuacionesdiferenciales.Veamosunejemplo.Ejemplo2.47.Resolverlaecuaciondiferencialydx+2xdy=0EnesteejemploP(x;y)=yyQ(x;y)=2x.Porlotantonoesexacta.Sinembargo,simultiplicamosambosmiembrosdelaecuacionporyobtenemoslasiguienteecuaciony2dx+2xydy=0quesesexacta.Siconsideramos'(x;y)=xy2entoncesr'=(P;Q)Porlotantotodasoluciondelaecuacionesdelaformaxy2=C:Observacion2.48.Notarqueporelejercicio
2.45
,paraveri carquelaecuacionP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0esexactabastaveri [email protected]
@[email protected]
@xsiemprequeestemosenundominioconexo.
762.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.LuegoArea()=1
[email protected]ydx+xdy=1
2Z20(bsent(asent)+acostbcost)dt=1
2Z20abdt=ab:Ejercicio2.45.UtilizarelteoremadeGreenylaideadelapruebadelTeorema
2.36
paraestablecerelsiguienteresultado.SeaR2unconjuntoabiertoyconexo.SeafR2!R2uncampovectorialdeclaseC1.Supongamosf=(f1;f2)[email protected]
@[email protected]
@xentoncesfeselgradientedeuncampoescalar.Observacion2.46.Notarqueenelresultadoanteriortenemosquesuponerqueelconjuntoesconexo.Nobastasuponerqueespoligonalmenteconexo,talcomolomuestraelEjercicio
20
.Elresultadosepuedeextenderalosllamadosconjuntossimplementeconexos.Muyinformalmente,sedicequeunconjuntoessimplementeconexositodacurvacerradacontenidaenelconjuntopuedeserdeformadademaneracontinuaaunpunto.8.Ecuacionesdiferencialesexactasdeprimerorden.SeaunsubconjuntoabiertodeR2yseanPyQfuncionesde nidasenRecordemosquesedicequelaecuaciondiferencialP(x;y)dx+Q(x;y)dy=0(2.3)esexactasiexisteunafuncion'R2!RtalqueP(x;y)[email protected]'
@xQ(x;y)[email protected]'
@yEnestecaso,porlaregladelacadena,sifessoluciondelaecuacion(
2.3
)entonces'(x;f(x))=C;dondeCesunaconstante.
7.ELTEOREMADEGREEN.75AplicamoselteoremadeGreenconP(x;y)=y+1,Q(x;y)[email protected]
@y=[email protected]
@x=1LuegoZG(y+1)dx+xdy=ZZ(1+1)dxdy=2Area()=1(c)Calcular1
2ZGydx+xdydondeGeslacircunferenciadecentroelorigenyradio1recorridaensentidoantihorario.Sea=f(x;y):x2+y21gentonces1
2ZGydx+xdy=1
2ZZD(1(1))dxdy=ZZD1dxdy=Area()=:Proposicion2.43.Seaunaregi[email protected]@Destapositivamenteorientadaconrespectoa,entonceselareadeesArea()=1
[email protected]ydx+xdy:LademostraciondeestaProposicionquedacomoejercicio.Sugerencia:UtilizarelteoremadeGreen.Ejemplo2.44.Calcularelareadelaregionlimitadaporlaelipsex2
a2+y2
b2=1Seag:[02!R2dadaporg(t)=(acost;bsent)Entoncesg0(t)=(asent;bcost)
742.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.
xy
Figura2.8.CasogeneraldelteoremadeGreenObservacion2.41.Talcomoesnatural,laintegralsobredoscurvasdisjuntassede necomolasumadelasintegralessobrecadaunadelascurvas.Ejemplo2.42.(a)SeaGlacircunferenciadecentroenelorigenyradio1,recorridaensentidoanti-horario.CalcularZGycos(xy)dx+xcos(xy)dy:Sea=f(x;y):x2+y21g,porelteoremadeGreen,tenemosqueestaintegraldelneaesigualaZZD(cos(xy)xysen(xy)cos(xy)xysen(xy))dxdy=0(b)CalcularZG(y+1)dx+xdydondeGeslacurvaorientadapositivamentequelimitaeltriangulodevertices(00),(01)y(10).
7.ELTEOREMADEGREEN.73Como(P;Q)=(P;0)+(0;Q)[email protected][email protected][email protected]:Porlota[email protected]DPdx=[email protected]
@ydxdy(2.1)[email protected][email protected]
@xdxdy(2.2)Solamenteprobaremos(
2.1
).Lapruebade(
2.2
)esanaloga.TenemosqueesunaregiondeltipoIyporlotantoexisten ; [email protected]aformadapor:(1)Unacurvaparametrizadapor(t;v(t))cont22 ; (2)Unacurvaparametrizadapor(s;u(s))cons22 ; (3)Alosumopordossegmentosdelasrectasverticalesx= yx= Seag:[a;[email protected](t)=0yenlosotrosdossegmentosdelacurvag01(t)[email protected][email protected]+0dy=bZaP(g(t))g01(t)dt= Z P(s;u(s))dt+ Z P(t;v(t))dt= Z (P(x;u(x))P(x;v(x)))dx= Z [email protected](x)Zv(x)@P
@y(x;y)dy1CAdx=[email protected]
@ydxdyCaso2:Casogeneral,eslaunion nitaderegionessimples.Aplicamoselresultadoanteriorencadaunadelasregionessimples.Alsumarobtenemoselteoremageneral,porlacancelaciondeintegralessobrelamismacurva,recorridaensentidosdiferentes(ver gura).
722.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.
xy
Figura2.6.RegionsimpleDefinicion2.39.Sea[email protected]apositivamenteorientadaconres-pectoasial\caminar"[email protected]on,laregi[email protected]
xy
[email protected](Green).SeaR2unconjuntoacotadoquesepuededescomponercomounaunion nitaderegionessimples.SeanPyQcamposescalaresdeclaseC1enunabiertoquecontienea.EntoncesZZD@Q
@x@P
@y[email protected][email protected]aorientadapositivamenteconrespectoa.Demostracion.Caso1:esunaregionsimple.
[email protected]'
@xi(~x)=lmh!0'(~x+hek)'(~x)
h=lmh!01
hZ~x+hek~xf(~u)d~u=lmh!01
hZh0fk(~x+tek)dt=fk(~x)Corolario2.37.SeaRnunconjuntoabiertoypoligonalmenteconexoyseaf!Rnuncampovectorialcontinuo.Entonceslassiguientescondicionessonequi-valentes:(a)feselgradientedeuncampoescalar.(b)Laintegraldelneadefsobreunacurvalisaatrozoscontenidaenesindepen-dientedelacurva(solodependedelosextremos).(c)Laintegraldelneadefsobreunacualquiercurvacerradalisaatrozoscontenidaenesnula.7.ElteoremadeGreen.AcontinuaciondaremoselteoremadeGreen,esteteoremaesenalgunsentidosimilaralteoremafundamentaldelcalculo.Comenzaremosde niendoloquellamaremosregionsimple.Recordemos(verDe niciones
1.34
y
1.35
)queunaregiondeltipoIesunaregiondelaformaR1=f(x;y)2R2axb;'1(x)y'2(x)gdonde'1y'2sonfuncionescontinuasen[a;b],talesque'1'2yqueunaregiondeltipoIIesunaregiondelaformaR2=f(x;y)2R2cyd; 1(y)x 2(y)gdonde 1y 2sonfuncionescontinuasen[c;d]talesque 1 2Definicion2.38.SeaR2decimosqueesunaregionsimplesiesunaregiontantodetipoIcomodetipoIIyadem[email protected]
702.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.SiesunsubconjuntodeRn,sedicequeespoligonalmenteconexocuandoparatodopardepuntos~a~b2existeunatrayectoriapoligonaldesde~ahasta~b,cuyaimagenestacontenidaenElresultadoanteriorsesueleenunciardelasiguientemanera:SeanRnunconjuntoabiertoypoligonalmenteconexo,y'!RdeclaseC1Sean~xo;~x12,entoncesZ~x1~xor'd~x='(~x1)'(~xo)dondelaintegralanteriorsecalculasobrecualquiercurvalisaatrozos,contenidaen,deextremoinicial~xoyextremo nal~x1SedicequeunacurvaGescerradacuandosuextremo nalcoincideconsuextremoinicial.Corolario2.35.SeaRnunconjuntoabiertoysea'!RdeclaseC1.Laintegraldelneader'sobrecualquiercurvacerradaes0.Teorema2.36.SeaRnunconjuntoabiertoypoligonalmenteconexoyseaf!Rnuncampovectorialcontinuo.Supongamosquelaintegraldelneadefalolargodecualquiercurvalisaatrozoscontenidaensolamentedependedelosextremosdelacurva.Sea~xounpuntodeyde namos'(~x)=Z~x~xof(~u)d~u;dondelaintegralanteriordenotalaintegralsobrecualquiercurvalisaatrozosdeextremoinicial~xoyextremo nal~x.Entonces'esdiferenciableyr'=f:Ideadelademostracion.(Completarlosdetalles)Bastademostrarque,parak=1;:::;[email protected]'
@xk(~x)=fk(~x)
6.TEOREMAFUNDAMENTALDELCALCULOPARAINTEGRALESDELINEA.69EnestecasoG=G1[[GNdondecadaGiesunacurvalisaylaintegraldelneadeFsobreGsede nedelasiguientemaneraZGFd~x=ZG1Fd~x++ZGNFd~x:6.Teoremafundamentaldelcalculoparaintegralesdelnea.Teorema2.33.SeaRnunconjuntoabiertoysea'!RdeclaseC1.Sean~xoy~x1dospuntosdeyseaGunacurvalisaatrozosconextremoinicial~xoyextremo nal~x1.EntoncesZGr'd~x='(~x1)'(~xo)Demostracion.SupongamosprimeroquelacurvaGeslisa.Seag:[a;b!RnunaparametrizaciondeclaseC1deG.EntoncesZGr'd~x=Zbahr'(g(t));g0(t)idt=Zbad
dt('(g(t)))dt='(g(b))'(g(a))SupongamosahoraqueGeslisaatrozos,entoncesG=G1[[GNdondecadaunadelascurvasGieslisayelextremoinicialdeGieselextremo naldeGi1.Sipor~yidenotamoselextremo naldeGitenemosqueZGr'd~x=ZG1r'd~x++ZGNr'd~x='(~y1)'(~xo)+'(~y2)'(~y1)++'(~yN)'(~xN1)='(~x1)'(~xo)Observacion2.34.Recordarquesi~a~b2Rn,unatrayectoriapoligonaldesde~ahasta~besunafuncioncontinua':[01]!Rntalque'(0)=~a'(1)=~by'[01]eslauniondeunnumero nitodesegmentosderecta.
682.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.Ademash0(t)=g0(t)DedondeZGFd~x=ZabhF(h(t));h0(t)idt=ZabhF(g(t))g0(t)idt=ZabhF(g(t));g0(t)i(1)dt=ZabhF(g(s));g0(s)ids=ZbahF(g(s));g0(s)ids=ZGFd~x:Integralesdelneasobrecurvaslisasatrozos.Definicion2.32.Seag:[a;b!Rnunatrayectoria.DiremosquegeslisaatrozossigescontinuaysiexisteunaparticionP=fto;:::;tNgde[a;b]talque,parai=1;:::;Ngj[ti1;ti]esunatrayectorialisa.SedicequeunacurvaGeslisaatrozossipuedeserparametrizadaporunatrayectorialisaatrozos.
Figura2.5.Curvalisaatrozos
5.INTEGRALESDELINEA.67LuegoZGx2dx+y2dy+z2dz=Z10(t2+t42t+t63t2)dt=1Z0(t2+2t5+3t8)dt=1Enlapracticaesusualprocederusandoel\calculosimbolico",esdecir,delasiguientemanera:x=t;dx=dt;y=t2;dy=2tdt;z=t3;dz=3t2dt:Substituyendoenlaintegraldelneallegamosalresultado.Ejemplo2.30.SeaGlacurvadadaporg(t)=(t;t;t2t2)para0t1.CalcularZG(xy)dx+(yz)dy+(zw)dz+(wx)dw:TenemosqueZG(xy)dx+(yz)dy+(zw)dz+(wx)dw==Z10[2t(tt2)+2t22t(t2t)2tdt==4Lema2.31.SeaGunacurvalisaentoncesZGFd~x=ZGFd~x:Demostracion.Seag:[a;b!RnunaparametrizacionlisadeG,entoncesunapara-metrizaciondeGestadadaporh:[b;a!Rndondeh(t)=g(t)
662.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.Otranotacionparaintegralesdelnea.SeaFRn!RnuncampovectorialcontinuoyGunacurvalisaorientada.Seag:[a;b!RnunaparametrizacionlisadeGLaintegraldelneadeFalolargodeGesZGFd~x=Zbah(F1(g(t));:::;Fn(g(t)))(g01(t);:::;g0n(t))idt=bZa(F1(g(t))g01(t)++Fn(g(t))g0n(t))dt:Estaexpresionseabreviamediante:ZGF1(~x)dx1++Fn(~x)dxnAsquelanotacionmasusualesZGFd~x=ZGF1dx1++FndxnEjemplo2.29.SeaGlacurvadadaporg(t)=(t;t2;t3)para0t1.CalcularZGx2dx+y2dy+z2dz:LoquedebemoscalculareslaintegraldelneadelcampovectorialF(x;y;z)=(x2;y2;z2)sobrelatrayectoriagTenemosqueF1(g(t))=t2;F2(g(t))=t4;F3(g(t))=t6g01(t)=1;g02(t)=2t;g03(t)=3t2
5.INTEGRALESDELINEA.65Ejemplo2.28.SeaF(x;y)=(x;y)yGelsegmentodelacircunferenciadecentro~0yradio1queestaenelprimercuadrante,orientadoensentidoantihorario.CalcularZGF:d~x:Seag(t)=(cost;sent)para0t=2,asG=g[0;=2].LuegoZGFd~x=Z=20hF(g(t));g0(t)idt=Z=20h(cost;sent)(sent;cost)idt=Z=20(sentcostsentcost)dt=Z=2asen(2t)dt=cos(2t)
2 =20=1Interpretacionfsicadelaintegraldelnea.ZGF:d~x=ZbahF(g(t));g0(t)idt=ZbahF(g(t))g0(t)
kg0(t)kikg0(t)kdthF(g(t))g0(t)
kg0(t)kieslaproyecciondelvectorF(g(t)),enladirecciondeg0(t)kg0(t)kdteselelementodelongituddearco.Asquelaintegraldelneaeseltrabajorealizadoalmoverunapartculaalolargodelatrayectoriag,queestasometidaalcampodefuerzasF
642.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.Interpretacionfsica:Sif0entoncesfsepuedeinterpretarcomoladensidaddeunalambrecuyaformaeslacurvaGylaintegralZbaf(g(t))kg0(t)kdteslamasadelalambre(justi car).5.Integralesdelnea.Definicion2.25.SeaFRn!RnuncampovectorialcontinuoyGunacurvalisaorientada.LaintegraldelneadeFalolargodeGesZGFd~x=ZbahF(g(t));g0(t)idtdondeg:[a;b!RnesunaparametrizaciondeGLaintegraldelneamideelcomportamientodeFalolargodeGEjemplo2.26.SeaF(x;y;z)=(x+y;y2;z2)yg(t)=(t;t2;t3)para0t1conG=g[01]entoncesZGFd~x=Z10h(t+t2;t4;t6)(12t;3t2)idt=Z10(t+t2+2t5+3t8)dt=3=2Teorema2.27(Independenciadelatrayectoria).SeaFRn!Rnuncampovectorial.Seang:[a;b!R3,h:[c;d!R3.SigyhsondostrayectoriasequivalentesentoncesZbahF(g(t));g0(t)idt=ZdchF(h(u));h0(u)iduDemostracion.Sea :[a;b!!c;d]talqueg=h entonces,haciendoelcambiodevariableu= (t),ZbahF(g(t));g0(t)idt=ZbahF(h( (t)));h0( (t)) 0(t)idt=ZbahF(h( (t)));h0( (t))i 0(t)dt=ZdchF(h(u));h0(u)idu:
4.INTEGRALDEUNCAMPOESCALARALOLARGODEUNACURVA.633.Parametrizacionporlalongituddearco.SeaGunacurvalisa.Supongamosqueexisteunatrayectorialisag:[a;b!Rntalqueg0(t)=~0paratodot22a;bSeaS:[a;b!Rde nidamedianteS(t)=Ztakg0(u)kdu:Entonces(i)S(a)=0,S(b)=l(G).(ii)SesderivableyS0(t)=kg0(t)k�0(asqueSesestrictamentecrecienteen[a;b]y,porlotanto,Sesinyectiva).TenemosqueS:[a;b![0;l(G)]esbiyectivaydeclaseC1.SeaTsuinversa,entoncestambienTesdeclaseC1(justi que).De namosh:[0;l(G)]!Rnporh=gT;entoncesg=hS:Porlotanto,gyhsondostrayectoriasequivalentes.Ejercicio2.22.Demostrarque,paratodos2[0;l(G)]kh0(s)k=1Estaparametrizacionesespecialporquelavariablesrepresentaellargodelcaminodesdeh(0)hastah(s),yesllamadalaparametrizacionporlongituddearco4.Integraldeuncampoescalaralolargodeunacurva.Definicion2.23.SeanGunacurvalisaorientadayfRn!Runcampoescalar.LaintegraldefalolargodeGsede neporZbaf(g(t))kg0(t)kdtdondeg:[a;b!RnesunaparametrizaciondeGObservacion2.24.ElresultadodelaintegralanteriornodependedelaparametrizaciondeG.(justi car).
622.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.Porlotanto,kg0(t)k2=[g01(t)]2++[g0n(t)]2=[h01( (t)) 0(t)]2++[h0n( (t)) 0(t)]2=[[h01( (t))]2++[h0n( (t))]2 0(t)2=kh0( (t))k2 0(t)2luego,l(g)=Zbakg0(t)kdt=Zbakh0( (t))k 0(t)dt=Z (b) (a)kh0(u)kdu=Zdckh0(u)kdu=l(h)Definicion2.18.DiremosqueunacurvaGeslisasipuedeserparametrizadaporunatrayectorialisa.Enestecasode nimoslalongituddeGcomol(G)=l(g)dondegesunaparametrizacionlisadeGObservacion2.19.Porlaproposicionanteriorlalongituddeunacurvaesindependientedesuparametrizacion.Ejemplo2.20.Lafunciong:[02!R2de nidaporg(t)=(Rcost;Rsent)esunaparametrizaciondelacircunferenciaderadioRysulongitudes:Z20kg0(t)kdt=Z20Rdt=2R:Ejercicio2.21.Seaf:[a;b!RunafunciondeclaseC1.Demostrarquelalongituddelgra codefesZbap
1+(f0(t))2dt:Indicacion:considerarlaparametrizaciong:[a;b!R2de nidaporg(t)=(t;f(t)).
2.LONGITUDDEARCOYREPARAMETRIZACION.61kg0(tk)k(tktk1)=k(tktk1)g0(tk)k=\r\r\r\r\rZtktk1g0(tk)dt\r\r\r\r\r=\r\r\r\r\rZtktk1(g0(t)+g0(tk)g0(t))dt\r\r\r\r\r\r\r\r\r\rZtktk1g0(t)dt\r\r\r\r\r+\r\r\r\r\rZtktk1(g0(tk)g0(t))dt\r\r\r\r\r\r\r\r\r\rZtktk1g0(t)dt\r\r\r\r\r+Ztktk1kg0(tk)g0(t)kdt\r\r\r\r\rZtktk1g0(t)dt\r\r\r\r\r+Ztktk1"dt=kg(tk)g(tk1)k+"(tktk1)Porlotanto,Ztktk1kg0(t)kdtkg(tk)g(tk1)k+2"(tktk1)Sumandoenk,setienequeZbakg0(t)kdtNXk=1kg(tk)g(tk1)k+2"(ba)dedonde,Zbakg0(t)kdtl(g)Proposicion2.17.Seang:[a;b!Rnyh:[c;d!Rndostrayectoriaslisas.Sigyhsonequivalentesentoncesl(g)=l(h).Demostracion.Sea :[a;b!!c;d]comoenlaDe nicion
2.4
talqueg=h Entoncesg0k(t)=h0k( (t)) 0(t)parak=1;:::;n
602.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.Teorema2.16.Seag:[a;b!Rnunatrayectorialisa.Entoncesgesrecti cableyl(g)=bZakg0(t)kdt:Demostracion.()Seaa=tot1:::tN=bentoncesNXk=1kg(tk)g(tk1)k=NXk=1\r\r\r\r\r\rtkZtk1g0(t)dt\r\r\r\r\r\rNXk=1Ztktk1kg0(t)kdt=Zbakg0(t)kdt:Esdecir,laintegralesunacotasuperiordelaprimerasuma.Dedondel(g)bZakg0(t)kdt:()Comog0esuniformementecontinuaen[a;b],dado"&#x-282;&#x.907;0existe&#x-282;&#x.907;0talquekg0(t)g0(u)k"sijtujSeaP=fto;t1;:::;tNgunaparticionde[a;b]talquejtktk1jparak=1;:::;N:Sit22tk1;tk]entonceskg0(t)kkg0(tk)kkg0(t)g0(tk)k":LuegoZtktk1kg0(t)kdtZtktk1(kg0(tk)k+")dt=kg0(tk)k(tktk1)+"(tktk1)Acotaremoselprimersumandodelterminodeladerecha
2.LONGITUDDEARCOYREPARAMETRIZACION.59
Figura2.4.PoligonalDefinicion2.13.SedicequeunatrayectoriagI!Rnesrecti cablesisupPparticiondeINXk=1kg(tk)g(tk1)kexisteyes nito,dondeseentiendequeP=fto;t1;:::;tNgDiremosquelacurvaGesrecti cablesiexisteunaparametrizaciondeGqueesrecti -cable.Definicion2.14.Sigesunatrayectoriarecti cable,sede nesulongitudporl(g)=supPparticiondeINXk=1kg(tk)g(tk1)kdondeseentiendequeP=fto;t1;:::;tNgDefinicion2.15.Seag:[a;b!Rnunatrayectoria.DecimosquegeslisasigesdeclaseC1.Esdecir,cuandoexisteunintervaloabiertoV,quecontienea[a;b]yunaextensiondegaVquetienederivadacontinua.
582.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.Observacion2.11.Talcomomuestraelejemploanterior,puedeocurrirqueunatra-yectoriagseadiferenciableysinembargolacurvaG=g(I)tengapicos.Enesecasonoestade nidaunadirecciontangenteenelpuntodondehayunpico.Interpretacionfsica:Unapartculasemuevesobrelacurvaendireccionalorigen,vadisminuyendosuvelocidad,sedetieneenelorigen,cambiadedireccionycomienzaamoversenuevamente.Ejemplo2.12.Otroejemplodetrayectoriadiferenciabletalquelacurvacorrespon-dientetienepicoseslacicloide.Lacicloideeslatrayectoriadescritaporunpuntodeunacircunferenciaquecomienzaarodar,convelocidadconstante.Consideremoselpunto(00),enlacircunferenciaderadio1,concentroen(01),queco-mienzaarodarhacialaderechaconvelocidad1.Enelinstantetelcentrodelacircunferenciaestaenelpunto(t;1).Sig(t)describeelmovimientodelpunto,tenemosqueg(t)=(tsent;1cost)=(t;1)(sent;cost)
Figura2.3.CicloideLacicloidetienepicosenlospuntos(00)(2;0);:::,sinembargoesderivableenestospuntos.Parapodergarantizarquelacurvacorrespondienteaunatrayectoriadiferenciablegnotenga\picos",esnecesariopedirleg0(t)=0paratodot2Dom(g).2.Longituddearcoyreparametrizacion.SeaI=[a;b]unintervaloacotadoyseagI!Rnunatrayectoria.SiP=fto;t1;:::;tNgesunaparticiondeIentoncesPdaorigenaunapoligonal,queseobtieneuniendolospuntosg(to),g(t1),...,g(tN)eneseorden.LalongituddeestapoligonalesNXk=1kg(tk)g(tk1)k
1.CURVASYTRAYECTORIAS.57LastrayectoriascorrespondenconuncasoparticulardefuncionesdeRkenRn,porlotantotienesentidohablardelmites,continuidad,derivabilidadyfuncionescoordenadasdelastrayectorias.Enelcasodelastrayectorias,suderivadatieneunsigni cadogeometricomuyimportante.Sigesunatrayectoria,elvectorg0(to)esparaleloalarectatangentealacurvaG=g(I)enelpuntog(to)(justi car).
Figura2.2.Signi cadogeometricodeladerivadaDefinicion2.9.SeagI!Rnunatrayectoriadiferenciable.Elvectorvelocidadeng(t)esg0(t)=(g01(t);:::;g0n(t)).Larapidezeng(t)eskg0(t)k=p
(g01(t))2+:::+(g0n(t))2Ejemplo2.10.Seag(t)=8:(t2;t2)sit0(t2;t2)sit0Entoncesg0(t)=8:(2t;2t)sit0(2t;2t)sit0Ademaskg0(t)k=p
4t2+4t2=2p
2t:Notemosquegesdiferenciableen0yg0(0)=(00).Lacurvaquecorrespondeaestatrayectoriaeselgra codevalorabsoluto,quetieneunpicoen(00).
562.INTEGRALESDELINEAYTEOREMADEGREEN.Ejemplo2.3.(1)Sean~p~v2RngR!Rnde nidaporg(t)=~p+t~v.Entoncesgesunatrayectoria,lacurvacorrespondienteeslarectaquepasapor~penladireccionde~v(2)SeahR!R3dadaporh(t)=(cos2t;sen2t;t).Entonceshesunatrayectoria,lacurvacorrespondienteesunahelice
Figura2.1.HeliceDefinicion2.4.Seang:[a;b!Rnyh:[c;d!Rndostrayectorias.Diremosquegyhsonequivalentessiexisteunafuncion :[a;b!!c;d]talque(i) (a)=c (b)=d(ii) esderivabley 0(t)�0paratodot22a;b(iii)g=h ,estoesg(t)=h( (t))paratodot22a;bEjemplo2.5.Seang:[02!R2de nidaporg(t)=(cost;sent)yh:[;!R2de nidaporh(t)=(cost;sent).Entonceshygsonequivalentes,yaqueside nimos :[02!!;]por (t)=ttenemosg=h Observacion2.6.DostrayectoriasequivalentesdanorigenalamismacurvaorientadaDefinicion2.7.SeaG=(gga;b;g(a);g(b))unacurvaorientada,lacurvaopuestaaGeslacurvacurvaG=(gga;b;g(b);g(a)),esdecir,eselmismoconjuntodepuntos,perorecorridoensentidocontrario.Observacion2.8.Dadag:[a;b!RnunatrayectoriadeG,seah:[b;a!Rnde nidaporh(t)=g(t),entoncesgga;b]=hhb;ag(a)=h(a),g(b)=h(b).PorlotantohesunaparametrizaciondeG
Captulo2IntegralesdelneayteoremadeGreen.1.Curvasytrayectorias.SeaI=[a;bRunintervalo.Definicion2.1.UnatrayectoriaesunafunciongI!RnElconceptodetrayectoriatieneunainterpretacionmuynatural:Siqueremosdescribirelmovimientodeunapartculaenelplanooenelespacio,debemosindicarenqueposicionseencuentralapartculaencadainstante.Enotraspalabras,acadainstantet,debemosasignarleunpuntog(t)enelplanooenelespacio.Porlotanto,podemospensarenunatrayectoriacomounafuncionquenospermitedescribirelmovimientodeunapartculaenelespacion-dimensional.Elmismorecorridopuedeserhechoporunapartculadediferentesmaneras.Esimpor-tantehacerunadistincionentrelatrayectoriadeunapartculaylaformadeestatrayectoria.Definicion2.2.Unacurvaeslaimagendeunatrayectoria.Esdecir,GRnesunacurvasiexisteunatrayectoriag:[a;b!RntalqueG=g([a;b])Lospuntosg(a)yg(b)sellamanlosextremosdelatrayectoria,g(a)eselextremoinicialyg(b)elextremo nal.SiindicamoscualeslacurvaG,cualessuextremoinicialycualessuextremo nal,estamosindicandoladireccionenquefuerecorridaG.Porestoalaterna(g([a;b]);g(a);g(b))selesuelellamarcurvaorientada.AlatrayectoriagselesuelellamarparametrizaciondelacurvaGEsimportantenotarquedostrayectoriasdiferentespuedendarorigenalamismacurva.TambienesusualconsiderartrayectoriascuyodominioestodalarectaR.Enestecasonotenemospuntoinicial,nipunto nal,perosiunsentidoderecorrido.55
54EJERCICIOS1.(e)DemostrarporinduccionqueI2n+1=2
34
56
72n
2n+1yI2n=
21
23
45
62n1
2nUsarestasdosformulasparaprobarqueInIn1=
2nConcluirque n=2
n n2(f)Demostrarque 2m=m
my 2m+1=2m+1m
135(2m+1)(40)*SeaAunsubconjuntodeRn.SedicequeAtienemedidan-dimensionalnulaosimplementemedida0siparacada"�0existeunconjuntonumerabledeparale-leppedosrectangularesfQ1;;Q2;:::gtalesque1Xi=1Vn(Qi)"yA1[i=1interior(Qi)(a)Demostrarqueenlade niciondemedida0podemoscambiarlacondicionASNi=1interior(Qi)porASNi=1Qi(b)Demostrarquetodoconjuntodecontenidonulotienemedida0.(c)DemostrarquetodosubconjuntonumerabledeRntienemedida0,enparticularQntienemedida0(d)DemostrarqueQn\[01]nnotienecontenidonulo.(e)Darunejemplodeunsubconjuntoin nitodeRdecontenidonulo.
EJERCICIOS1.53(38)CalcularZZZBxyzdxdydzdondeSeselconjuntodelospuntos(x;y;z)talesquex2+y2+z21,x0,y0,z0.(39)Elpropositodelsiguienteejercicioesdeducirlaformulaparaelcontenidon-dimensionaldelaboladeradioRenRn(a)Sea nelcontenidon-dimensionaldelabolaconcentro~0yradioRenRnDemostrarqueelcontenidon-dimensionaldeunaboladeradioRenRnesiguala nRnPorlotanto,bastaquehallemosunaformulapara n(b)Demostrarque n=Z11Vn1(Bn1(~0p
1t2))dt;dondeVn1eselcontenidon1dimensionalyBn1(~0p
1t2)eslabolaconcentro~0yradiop
1t2enRn1(c)Deducirque n=2 n1Z10(1t2)(n1)=2dt=2 n1Z=20senn()d;Luego,siIn=Z=20senn()d;entonces n=2 n1Iny,porlotanto, n=4 n2InIn1(d)UtilizarintegracionporpartesparademostrarqueIn=n1
nIn1
52EJERCICIOS1.(29)Representargra camentelaregioncuyaareaseexpresaporlasiguienteintegral:Z
2
2dZa(1+cos)ardr:(30)Seaa�0,hallarelarealimitadaporlascurvas:r=a(1+cos)yr=acos,para
2
2(31)Usandocoordenadaspolareshallarelareadelaregioninterioralacurva(x2+y2)3=16x2(32)Calcularelareadelaregioninterioralacircunferenciax2+y28y=0yexterioralacircunferenciax2+y2=9.(33)ElpropositodelsiguienteejercicioescalcularelvalordeZ+10et2dt(a)DemostrarqueZ+10Z+10e(x2+y2)dydx=
4(b)DeducirqueZ+10et2dt=p

2(34)Seaf(x)=1
p
22exp(xm)2
22.Demostrarque:(a)Z+11f(x)dx=1(b)Z+11xf(x)dx=m(c)Z+11x2f(x)dx=m2+2(d)Z+11x2f(x)dxZ+11xf(x)dx2=2(35)HallarelvolumendeunconocircularrectoderadioRyalturah(36)CalcularZZZBe(x2+y2+z2)3
2dxdydz,dondeB=f(x;y;z)2R3x2+y2+z21g(37)CalcularZZZBx2
a2+y2
b2+z2
c2dxdydz,dondeBeselsolidolimitadoporelelip-soidex2
a2+y2
b2+z2
c2=1
EJERCICIOS1.51(25)Pasaracoordenadaspolaresry,ycolocarloslmitesdeintegracionparalassiguientesintegrales:(a)Z10dxZ10f(x;y)dy(b)Z20dxZx0fp
x2+y2dy(c)ZZSf(x;y)dxdydondeSeseltriangulolimitadoporlasrectasy=xy=xy=1.(d)Z11dxZ1x2fy
xdy(e)ZZSf(x;y)dxdydondeSeslaregionlimitadaporlalemniscata(x2+y2)2=a2(x2y2).(26)Calcularlasiguienteintegraldoblepasandopreviamenteacoordenadaspolares:ZZSydxdydondeSeselsemicrculodediametroaconcentroena
20(27)Sea(x;y)=T(u;v)=(u2v22uv).(a)DibujarlaregionqueseobtienecomoimagenporTdelcuadradodevertices:(11)13
23
21y3
23
2(b)Encuentreelareadelaregiondibujadaen(a).(28)CalcularlaintegraldobleZZSr
1x2
a2y2
b2dxdydondeSeslaregionlimitadaporlaelipsex2
a2+y2
b2=1,pasandoacoordenadaspolaresgeneralizadasx
a=rcosy
b=rsen
50EJERCICIOS1.(22)Sean1;2;3numerospositivos.Demostrarque(a)Z+10Z+10123e1x2y3zdxdy=3e3z(b)Z+10Z+10Z+10xyz123e1x2y3zdxdydz=1
123(23)Seanfygdosfuncionesacotadas,integrablesydevalorabsolutointegrableenRlaconvoluciondefygeslafunciondadapor:fg(x)=Z+11f(xy)g(y)dySeanf;g;hfuncionesintegrablesydevalorabsolutointegrableenR.Demostrarque:(a)Laintegralquede nefgconvergeparatodox2R(b)fg=gf(c)(fg)h=f(gh)(24)ElpropositodelsiguienteejercicioescalcularelvalordeZ+10senx
xdx(a)ProbarqueZ+10exydy=1
xsix�0.(b)UsarintegracionporpartesparaprobarqueZ+10exysenxdx=1
1+y2siy�0(c)Justi carlassiguientesigualdadesZ+10senx
xdx=Z+10dxZ+10exysenxdy=Z+10dyZ+10exysenxdx=Z+101
1+y2dy:(d)DeducirqueZ+10senx
xdx=
2
EJERCICIOS1.49(14)Evaluarlasiguienteintegraliteradaydibujarlaregiondeterminadaporloslmitesdeintegracion(algunasdelasintegralessonimpropias).(a)Z11Zjxj2jxjex+ydydx(b)Z
20Zcos0cosdrd(c)Z10Z101
p
xdxdy(d)Z
20Z+10rer2drd(15)CambiarelordendeintegracionenZ10Zx0f(x;y)dydx:(16)Usandointegrales,veri car:(a)Elareadeunaelipseconsemiejesdelongitudaybesab(b)Elvolumendeunelipsoideconsemiejesabyces4
3abc(c)Elareadeunaregionsemicircularderadioaes1
2a2(d)Elvolumendelaesferaunitariaes4
3(17)CambiarelordendeintegracionenZ10Zx0Zy0f(x;y;z)dzdydxparaobtenerlasotrascincoformasposibles.Esbozarlaregion.(18)Utilizarintegralestriplesparajusti carlaformulaparaelvolumendeunsolidoderevolucionestudiadaencursospreviosdecalculo.(19)EvaluarZZZWyexydV,dondeW=[01][01][01].(20)EvaluarZZZWx2coszdV,dondeWeslaregionacotadaporlosplanosz=0,z=y=0,y=x=0,x+y=1(21)CalcularZ10Z2x0Zx+yx2+y2dzdydx:
48EJERCICIOS1.(7)Dibujarlasregionesdeintegracionycalcularlaintegraldoble.(a)ZZSxcos(x+y)dxdydondeSeseltriangulodevertices(00),(;0)y(;).(b)ZZSex+ydxdydondeS=f(x;y):jxj+jyj1g(8)Seaf:[01][01]!Rde nidaporf(x;y)=8:1sixesracional;2ysixesirracionalDemuestrequeZ10dxZ10f(x;y)dy=1yquefnoesintegrableRiemannenelrectangulo[01][01].(9)&#x-5.3;㠔Esposibledarunejemplodeunafuncionf:[01][01]!Rqueesintegrableysinembargonoestande nidasningunadelasintegralesiteradasdef?(10)DemuestrequeZ10dyZ11(exy2e2xy)dx=Z11dxZ10(exy2e2xy)dy:(11)SeaRnyf!Rnunafuncioncontinua.Demostrarquesi~x0esunpuntointeriordeentoncesf(~x0)=lmr!01
Vn(B(x0;r))ZB(x0;r)fdV:(12)DemostrarlaregladeLeibnitz:Sig:[a;bc;[email protected]
@yescontinuaentoncesd
dyZbag(t;y)[email protected]
@y(t;y)dt:(Indicacion:Cambiarelordendeintegraci[email protected]
@y(t;x)dt.)(13)Demostrarquesig(x;y)[email protected]
@y(x;y)soncontinuasyh1yh2sondiferenciables,entoncesd
dyZh2(y)h1(y)g(t;y)dt=Zh2(y)h1(y)@g
@y(t;y)dt+h02(y)g(h2(y);y)h01(y)g(h1(y);y)
Ejercicios1.(1)Calcularlassiguientesintegralesiteradas.(a)Z20dyZ10(x2+2y)dx(b)Z10dxZ10x2
1+y2dy(c)Z43dxZ211
(x+y)2dy(d)Z20dZaasenrdr(2)Construirlasregionescuyasareasseexpresanporlassiguientesintegrales,decirquetipoderegiones,ycalcularlaintegral.(a)Z10 Zx20dy!dx(b)Z21Z3x+12xdydx(3)Hallaryrepresentargra camentelasregionesdeintegracionquecorrespondanconcadaunadelassiguientesintegralesiteradas.(a)Z26dyZ2yy2
41f(x;y)dx(b)Z30dxZp
25x20f(x;y)dy(c)Z31dxZx+9x2f(x;y)dy(d)Z21dxZx+2x2f(x;y)dy(4)Calcularlasiguienteintegraldobleporintegracionsucesiva.ZZQxy(x+y)dxdy;dondeQ=[01][01](5)Demostrarqueelareadelapartedeldiscodecentro(00)yradio1queestacomprendidaentrelarectax=1=2ylarectax=1=2esiguala=3+p
3=2.(6)Sea0t1.CalcularelareadeS=f(x;y)2[01][01]:yt=xg47
8.INTEGRALESIMPROPIAS.45Ejemplo1.87.Seaf(x;y)=1=x2y2de nidaenB=f(x;y)2R2x1;y1gSeaBN=f(x;y)2R2:1xN;1yNgSiN�1entoncesZBNfdA=ZN1ZN11
x2y2dxdy=ZN11
x2dx2=11
N2CuandoNtiendeain nito,losrectangulosBNcubrentodoB.EntoncesZBfdA=lmNZBNfdA=lmN11
N2=1
441.INTEGRALESMULTIPLES.Teorema1.86.SeafnonegativaenBysupongamosquelmNZBNfdVes nitoparaunafamiliacrecientedeconjuntosfBNgNqueconvergeaB.EntoncesZBfdVestade nidayZBfdV=lmNZCNfdVparatodafamiliadeconjuntosfCNgNqueconvergeaB.Demostracion.ParacadaNexisteunKtalqueBNCK.DelamismamaneraexisteunndiceMquedependedeKtalqueCKBM.ComofesnonegativaZBNfdVZCKfdVZBMfdV:Ademas,paratodoNZCNfdVlmNZBNfdV:Como RCNfdV!Nesunasucesioncrecienteyacotadasuperiormentedenumerosreales,entoncesconverge.DeladobledesigualdadsesiguequelmNZBNfdVlmNZCNfdVlmNZBNfdV:LuegoZBfdV=lmNZCNfdV:
8.INTEGRALESIMPROPIAS.43ZT(B)f(~x)d~xNXi=1f(T(~xi))Vn(T(Qi))NXi=1f(T(~xi))jdetT0(~xi)jVn(Qi)ZBf(T(~u))jdetT0(~u)jd~u:Justi candoadecuadamentetodasestasigualdadesaproximadasseobtieneunademos-tracionformaldelteoremadecambiodevariables.8.Integralesimpropias.Lade niciondeintegralpuedeserextendidaafuncionesnoacotadasyquenosonnecesariamentecerofueradeunconjuntoacotado.SupongamosquetenemosBRnyfB!Rtalesque:(1)Sieselconjuntodelospuntosdondefnoescontinua,entonceslaintersecciondeconcualquierrectanguloacotado,estacontenidaenunnumero nitodeconjuntoslisos.(2)LafronteradelaintersecciondeBconcualquierrectanguloacotado,estacontenidaenunnumero nitodeconjuntoslisos.Definicion1.84.SeanBRnyfBNgNunafamiliacrecientedesubconjuntosdeBdiremosquefBNgNconvergeaBsitodosubconjuntoacotadodeBenelcualfestaacotadaestacontenidoenalgunBNElndiceNsepuedeescogerdemaneraconveniente,discretoocontinuo,tendiendoain nitooaunnumerodado.Definicion1.85.LaintegraldefenBesZBfdV=lmNZBNfdVsiemprequeellmitesea nitoynodependadelafamiliadeconjuntosacotadosfBNgNqueconvergeaB.(SesuponequelosconjuntosBNseescogendemaneraqueexistanlasintegralesordinariasdeRiemann)
421.INTEGRALESMULTIPLES.Vol(R)=ZZZSdxdydz=Z=40Z20Z2acos'02sen'ddd'=Z=40Z20Z2acos'02ddsen'd'=Z=40Z208a3
3cos3'dsen'd'=8a3
3Z=40cos3'Z20dsen'd'=16a3
3Z=40cos3'sen'd':elrestodeloscalculosselosdejamosallector.Justi cacionintuitivadelteoremadecambiodevariables.Enloscursosdealgebralinealodegeometrasedemuestraquesi:Rn!RnesunatransformacionlinealyQRnesunrectangulo,entoncesVn((Q))=jdetjVn(Q)(Vneselcontenidon-dimensional).Comolastraslacionesdejaninvarianteelcontenidon-dimensional,tenemosquesiAesdelaforma~Yo+,donde~Yoesunvector joyeslineal,entoncestambienvaleVn(A(Q))=jdetjVn(Q)SupongamosqueTRn!RnesunafunciondeclaseC1.EntoncesTesdiferenciableyT(~x)T(~xo)+dT~xo(~x~xo)si~x~xoLuegosiQesunparaleleppedo\peque~no"y~xo2Q,entoncesVn(T(Q))Vn(dT~xo(Q))=jdetT0(~xo)jVn(Q)ConsideremosahoraunaregionacotadaBenRnyfT(B)!Rncontinuayacotada.SidividimosaBenparaleleppedos\peque~nos"Q1;:::;QNy~xi2Qitenemos
7.CAMBIODEVARIABLESENINTEGRALESMULTIPLES.41Sea(x;y;z)unpuntodelaesfera,entoncesa2=x2+y2+(za)2=x2+y2+z22az+a2=2sen2'cos2+2sen2'sen2+2cos2'2acos'+a2=2sen2'(cos2+sen2)+2cos2'2acos'+a2=2sen2'+2cos2'2acos'+a2=2(sen2'+cos2')2acos'+a2=22acos'+a2Luego2=2acos'y,porlotanto,=2acos':ComolospuntosdeSestanporencimadelconotenemosque0'=4ycomoestandentrodelaesferatenemosque02acos'
conoesfera
r
j
Figura1.16.Cortedelassuper ciesquelimitanaSPorlotantoSestadadopor02acos',02,0'=4.Utilizandoelcambioacoordenadasesfericasobtenemos
401.INTEGRALESMULTIPLES.LuegodetT0E(;;')=2sen'.YasjdetT0E(;;')j=2sen':Teorema1.81(CambiodevariablesaCoordenadasEsfericas).SeanBf(;;')2R3002;0'gacotado,TE(;;')=(sen'cos;sen'sen;cos')yfTE(B)!Rcontinua,enton-cesZZZTE(B)f(x;y;z)dxdydz=ZZZBf(sen'cos;sen'sen;cos)2sen'ddd'Ejemplo1.82.Sealaesferaderadioaycentro(000),queremoshallarelvolumendeVol()=ZD1dxdydz=Z0Z20Za02sen'ddd'==a3
3Z0Z20sen'dd'=2a3
3Z0sen'd'=2a3
3(cos+cos0)=4a3
3Ejemplo1.83.CalcularelvolumendelsolidoSqueestaencimadelconoz2=x2+y2ydentrodelaesferax2+y2+z2=2azEsteconoestadadopor'==4ylaecuaciondelaesferadadaesx2+y2+(za)2=a2esdecirtienecentro(00;a)yradioa
7.CAMBIODEVARIABLESENINTEGRALESMULTIPLES.39Ademas,2=x2+y2+z2tan=y
xcos'=z
p
x2+y2+z2
xzy
jqr senjr
(x,y,z)Figura1.15.CoordenadasesfericasObservacion1.79.Sea0 jo.Lagra cade=0esunaesferaconcentroenelorigenyradio0Sea0 jo.Lagra cade=0esunsemiplanoquecontienealejezSea'0 jo.Lagra cade'='0esunconoconverticeenelorigenyunaaberturaangular2'0Observacion1.80.(1)Siesconstante,lascantidades(;;')formanunsistemadecoordenadasenlasuper ciedeunaesfera.(2)Lalatitudylalongitudenlasuper ciedelaTierratambienformanunsistemadecoordenadas.(3)Sirestringimosdemodoque,entoncessellamalalongituddelpuntoencoordenadasesfericas.(4)'sellamacolatituddelpuntoylalatituddelpuntoes=2'SeaTE(;;')=(sen'cos;sen'sen;cos')Eljacobianoparaelcambioacoordenadasesfericases:T0E(;;')[email protected]'cossen'sencos'cossen'sensen'coscos'sencos'0sen'1CA
381.INTEGRALESMULTIPLES.SeaTC(r;;z)=(rcos;rsen;z)latransformaciondecoordenadascilndricas,entoncessujacobianoes:T0C(r;;z)[email protected]rsen0senrcos00011CALuegodetT0c(r;;z)=r:Delteoremageneraldecambiodevariablesobtenemos.Teorema1.77(CambiodevariablesaCoordenadasCilndricas).SeanBf(r;;z)2R3r002gacotado,TC(r;;z)=(rcos;rsen;z)yfTC(B)!Rcontinuayacotada.EntoncesZZZTC(B)f(x;y;z)dxdydz=ZZZBf(rcos;rsen;z)rdrddz:Ejemplo1.78.SeaSelsolidodadoporx2+y21,0zp
x2+y2.HallarZZZSzdxdydz:CambiandoacoordenadascilndricasobtenemosZZZSdxdydz=Z20Z10Zr0rzdzdrd=Z20Z10rz2
2 z=rz=0drd==Z20Z10r3
2drd=1
2Z20r4
4d=1
8Z20d=
4CoordenadasEsfericas.Recordemosqueelpunto(x;y;z)2R3tienecoordenadasesfericas(;;')six=sen'cos;y=sen'sen;z=cos':Engeneralsetoma002;0':
7.CAMBIODEVARIABLESENINTEGRALESMULTIPLES.37ZZTP(B)f(x;y)dxdy=lm(kP1k;kP2k)!(0;0)n1Xi=1n2Xj=1f(TP(dij))Area(Tp(Bij))=lm(kP1k;kP2k)!(0;0)n1Xi=1n2Xj=1f(TP(dij))ri+ri1
2(riri1)(jj1)=ZZBf(Tp(r;))rdrd=ZZBf(rcos;rsen)rdrd:7.1.CoordenadasCilndricas.Recordemosqueelpunto(x;y;z)2R3tienecoordenadascilndricas(r;;z)six=rcos;y=rsen;esdecir,representamoslaprimeraylasegundacoordenadaenterminosdecoordenadaspolaresynoalteramoslatercera.Engeneralsetomar0,02z2RAdemasr2=x2+y2tan=y
x;z=z:Ejemplo1.75.Siunpuntotienecoordenadascilndricas(82=33),�Cualessonsuscoordenadascartesianas?Tenemosquex=rcos=8cos2=3=8=2=4y=rsen=8sen2=3=8p
3=2=4p
3z=3Observacion1.76.Seazo jo.Elconjuntoz=zoestaformadaportodoslospuntosdeunplanoparaleloalplanoxySeao jo.Elconjunto=oestaformadaportodoslospuntosdeunsemiplanoquecontienealejezyqueformaunangulooconelplanoy=0.Enparticular=0correspondealplanoxzSearo jo.Elconjuntor=roestaformadaportodoslospuntosdeuncilindrocircularrectocuyoejecentraleselejezyquetieneradior0
361.INTEGRALESMULTIPLES.Proposicion1.74.SiB1=[q1;q2 1; 2donde0 1 22y0q1q2,entoncesArea(TP(B1))=( 2 1)(q2q1)(q2+q1)
2Demostracion.DelcomentarioprevioaestaProposicionpodemosconcluirque(ver gura)Area(TP(B1))=q22 2
2q22 1
2(q21 2
2+q21 1
2)=( 2 1)(q2q1)(q2+q1)
2
r
TP
Figura1.14.TP(B1)ConsideremosahoraunaregionBenelplanor.SupongamosBa;b\r;]yseaTP(B)laimagendeBporTPSeanP1=fro;r1;:::;rn1gunaparticionde[a;b]yP2=fo;1;:::;n2gunaparticionde[\r;].SeanBij=[ri1;rij1;j]ydij2BijSeafR2!Runafuncioncontinua,entoncesbasandonosenelTeorema
1.54
podemosjusti car,demanerainformal,laformulaparaelcambiodevariablesacoordenadaspolaresdelasiguientemanera:
7.CAMBIODEVARIABLESENINTEGRALESMULTIPLES.35LuegoZZQp
x2+y2dxdy=ZZBp
(rcos)2+(rsen)2rdrd=ZZBr2drd=Z20Z21r2drd=Z20dZ21r2dr=2Z21r2dr=2r3
3 r=2r=1=2
3(81)=14
3Justi caciondelaformuladelcambiodevariablesparacoordenadaspolares.Acontinuacionvamosajusti car,demaneraintuitivayusandoargumentosgeometricossencillos,laformulaparaelcambiodevariablesacoordenadaspolares.TalcomoantesseaTP(r;)=(rcos;rsen)Esunhechobasicodegeometra(ver gura)quesiBo=[0;q[0; donde 2[0;=2]yq0,entoncesArea(TP(Bo))=q2
2
yx
a
Figura1.13.TP(Bo)
341.INTEGRALESMULTIPLES.(b)Siunpuntotienecoordenadaspolares(82=3),�Cualessonsuscoordenadascar-tesianas?Tenemosquex=rcos=8cos(2=3)=8=2=4y=rsen=8sen(2=3)=8p
3=2=4p
3Observacion1.71.Seao jo.Lagra cade=oestaformadaporlospuntosdeunasemirrectaqueformaunangulooconlarectay=0.Searo jo.Lagra cader=roesunacircunferenciaconcentroenelorigenyradioroTeorema1.72(CambiodevariablesaCoordenadasPolares).SeaBf(r;)2R2r002gacotadoyseaTP(r;)=(rcos;rsen)latransformaciondecoordenadaspolares.SeaTP(B)laimagendeBporTPyseafTP(B)!Rcontinuayacotada.EntoncesZZTP(B)f(x;y)dxdy=ZZBf(rcos;rsen)rdrd:Demostracion.Lamatrizjacobianaparaelcambioacoordenadaspolareses:T0P(r;)= cosrsensenrcos!LuegodetT0P(r;)=rEjemplo1.73.CalcularZZQp
x2+y2dxdydondeQ=f(x;y)2R2:1x2+y24gSeanTP(r;)=(rcos;rsen)yB=[12][02],entoncesTP(B)=Q:
7.CAMBIODEVARIABLESENINTEGRALESMULTIPLES.33Eljacobianoparaelcambiodevariableses:T0(u;v)= 1121!LuegodetT0(u;v)=1+2=1Porlotanto,ZZPxydxdy=ZZB(uv)(2uv)dudv=Z02Z10(2u23vu+v2)dudv=Z022
3u33
2vu2+v2 u=1u=0dv=Z022
33
2v+v2dv==2
3v3
4v2+v3
3 v=0v=2=2
3(2)38
3=12
33=7CoordenadasPolares.Recordemosqueelpunto(x;y)2R2tienecoordenadaspolares(r;)six=rcos;y=rsen:Enestecaso,r=p
x2+y2tan=y=x:Esusualsuponerr0,02.Masgeneralmente,serestringeaunintervalosemiabiertodelongitud2Explcitamente=8&#x-1.8;倗&#x-5.3;㠔:arctany
xx�0;y0+arctany
xx02+arctany
xx�0;y0dondearctany
xestaentre=2y=2.Ejemplo1.70.(a)Hallarlascoordenadaspolaresdelpunto(66).Tenemosquer=p
x2+y2=p
62+62=6p
2=arctan(6=6)=arctan1==4
321.INTEGRALESMULTIPLES.Teorema1.67(Teoremadecambiodevariables).Supongamosque(i)RnesunabiertoyT!RnesunafunciondeclaseC1,(ii)BRnesacotado,@Bestaformadaporunnumero nitodeconjuntoslisosyB,(iii)TesinyectivaenB,(iv)detT0(u1;:::;un)=0paratodo(u1;:::;un)2Bconlaposibleexcepciondeunnumero nitodeconjuntoslisos,(v)fT(B)!Resunafuncionacotadaycontinua.EntoncesfesintegrablesobreT(B)yZT(B)f(x1;:::;xn)dx1:::dxn=ZBf(T(u1;:::;un))jdetT0(u1;:::;un)jdu1:::dunParalademostracionremitimosallectoralasreferencias,verporejemploellibrodeWilliamson,CrowellyTrotter[
13
]oellibrodeEdwards[
3
].Veremosalgunosejemplosendetalleyjusti caremoselresultadodemaneraintuitiva.Ejercicio1.68.Veri carqueenelcason=1elteoremasereducealaconocidaformula:Zg(b)g(a)f(x)dx=Zbaf(g(u))g0(u)du:(Notarquedebeaclararqueocurreconelvalorabsolutoqueapareceenelteorema).Ejemplo1.69.SeaPelparalelogramoacotadopory=2x;y=2x2;y=x+1;y=x:UtilizaremoselteoremadecambiodevariablesparacalcularZPxydxdy:Haremoselcambiodevariablesx=uvy=2uv.MasprecisamenteseaT(u;v)=(uv;2uv)SeaBelrectanguloacotadoporv=0,v=2,u=0,u=1entoncesT(B)=PAdemasT(00)=(00),T(10)=(12),T(02)=(22)yT(12)=(34)
7.CAMBIODEVARIABLESENINTEGRALESMULTIPLES.31Porlotanto,Vol(R)=40p
2
3p
3x
2p
5x2+5
2arcsenx
p
5 x=p
5x=p
58p
2
3p
3x
8(2x25)p
5x2+25
8arcsenx
p
5 x=p
5x=p
5=25p
2
p
37.Cambiodevariablesenintegralesmultiples.Recordemosque,bajociertascondiciones,parafuncionesdeunavariablesecumpleZg(b)g(a)f(x)dx=Zbaf(g(u))g0(u)du:Enestaseccionvamosaestudiarlaextensiondeesteresultadoafuncionesdevariasvariableseintegralesmultiples.Observacion1.66.Esimportanteaclararque,paraelcasodefuncionesdeRenRcalcularRIf(x)dxeslomismoquecalcularRIf(t)dtLoanteriornoesuncambiodevariable,simplementeesuncambiodenotacion.TambienlopodramoshaberescritocomoZIf()d;laregiondeintegracionessiemprelamisma.DelamismamanerasiAR2setienequecalcularZZAf(x;y)dxdyeslomismoquecalcularestaintegralZZAf(u;v)dudvoestaotraZAf(r;)drd;laregiondeintegracionsiempreeslamisma.Elteoremadecambiodevariablesparaintegralesmultipleseselsiguiente.
301.INTEGRALESMULTIPLES.
Figura1.12.Cortedelassuper ciesquelimitanaRTenemosqueVol(R)=Zp
5p
5Zp
102x2
3p
102x2
3Z10x22y2x2+y2dzdydx=Zp
5p
5Zp
102x2
3p
102x2
3(10x22y2x2y2)dydx=Zp
5p
5Zp
102x2
3p
102x2
3(102x23y2)dydx=Zp
5p
510y2x2yy3 y=(1=3)(102x2)1=2y=(1=3)(102x2)1=2dx=4
3p
3Zp
5p
510p
2p
5x22p
2x2p
5x2dx:Porotraparte,Zp
5x2dx=x
2p
5x2+5
2arcsenx
p
5+c;Zx2p
5x2dx=x
8(2x25)p
5x2+25
8arcsenx
p
5+c:
6.INTEGRALESMULTIPLESSOBREREGIONESGENERALES29Sirotamoslaregionparapoderverladesdeatrasobtenemos
Figura1.11.RegionSEnconclusion,laregionestadadaporlassiguientesdesigualdades:1x13x2z4x20y6z;porlotanto,Vol(S)=Z11dxZ4x23x2dzZ6z0dy==304
15Ejemplo1.65.EncontrarelvolumendelaregionRacotadaporlassuper ciesz=x2+y2yz=10x22y2Lasuper ciez=x2+y2esunparaboloidequeseabrehaciaarribaylasuper ciez=10x22y2esunparaboloidequeseabrehaciaabajo.Igualandolasdosecuacionestenemosqueseintersectandondex2+y2=10x22y2obien2x2+3y2=10queesunconjuntocuyaproyeccionsobreelplanoxyesunaelipse.Estaelipsesepuededescribircomop
5xp
5p
102x2
3yp
102x2
3Enlasiguiente guraseobservaunasecciondelsolido,vistodesdelapartedeatras.
281.INTEGRALESMULTIPLES.Ejemplo1.64.CalcularelvolumendelsolidoSacotadoporlassuper ciedez=3x2z=4x2y=0,z+y=6.Elprimerpasoesidenti carlaregiondeintegracion.Veamosprimerolosgra cosdez=3x2ydez=4x2
xyz
Figura1.9.Gra cosdez=3x2ydez=4x2Lasuper ciey=0eselplanoxzylasuper ciez+y=6esunplano.Acontinuacionilustramoselplanoz+y=6ylaregionS
xyz
Figura1.10.Planoz+y=6yregionS
6.INTEGRALESMULTIPLESSOBREREGIONESGENERALES27Ejercicio1.62.DemostrarquesiAR2esacotado,fA![01)esintegrableyR=f(x;y;z)2R3:(x;y)2A;0zf(x;y)gentoncesVol(R)=ZZAf(x;y)dxdy:Ejemplo1.63.CalcularelvolumendelsolidoRlimitadoporlosplanoscoordenadosyelplanox+y+z=1.
xzy
Figura1.8.SolidoRTenemosqueR=f(x;y;z)2R3:0x10y1x;0z1xygPorlotanto,aplicandoelteoremadeFubinitenemosqueVol(R)=ZR1dV=Z10Z1x0Z1xy01dzdydx=Z10Z1x0(1xy)dydx;porotraparteZ1x0(1xy)dy=(1x)yy2
2 y=1xy=o=(1x)2(1x)2
2=(1x)2
2dedondeVol(R)=Z10(1x)2
2dx=1
2(1x)3
3 x=1x=0=1
6
261.INTEGRALESMULTIPLES.Definicion1.60.SeaRunsubconjuntoacotadodeRncuyafronteratienecontenidonulo.Elvolumenn-dimensionalocontenidon-dimensionaldeRes:Vn(R)=ZR1dV:Talcomoesnatural,alcontenido2-dimensionalselellamaareayal3-dimensionalselellamavolumen.Demaneraanalogaalcasobi-dimensional,podemoscalcularintegralesmultiplessobreregionesgenerales.Porejemplo,siR=f(x;y;z)2R3axb;'1(x)y'2(x); 1(x;y)z 2(x;y)gdonde'1y'2sonfuncionescontinuasen[a;b]siendo'1'2 1y 2sonfuncionescontinuascon 1 2SifesintegrableenRentoncesZZZRf(x;y;z)dxdydz=Zba Z'2(x)'1(x) Z 2(x;y) 1(x;y)f(x;y;z)dz!dy!dx:Otroejemplo,siR=f(x;y;z)2R3cyd;h1(y)zh2(y); 1(y;z)x 2(y;z)gentoncesZZZRf(x;y;z)dxdydz=ZdcdyZh2(y)h1(y)dzZ 2(y;z) 1(y;z)f(x;y;z)dx:Unaregionarbitrariadebedescomponerseenlaunionderegionesanalogasalasanterioresparapoderascolocarloslmitesdeintegracion.Observacion1.61.SeafR3!Rf0.EntoncesZZZQf(x;y;z)dxdydzrepresentalamasadeunsolidoqueocupalaregionQycuyadensidadencadapuntoesf
6.INTEGRALESMULTIPLESSOBREREGIONESGENERALES25SeaKRkuncubo.SeallalongituddelaaristadeK.SidividimoscadaaristadeKenNpartesigualesdelongitudl=NentoncesKquedadivididoenNksubcubos.Sea\r=nmax~z2Kkg0(~z)kM.PorelLema
1.57
laimagendecadaunodeestossubcubosestacontenidoenuncubocuyaaristatienelongitud\rl
Nporlotanto,elcontenidon-dimensionaldesuimagendecadasubcuboestaacotadopor\rnl
NnComoKconstadeNksubcubostenemosqueelcontenidon-dimensionaldeg(K)estaacotadoporNk\rnl
NnComoknyNesarbitrarioelcontenidon-dimensionaldeg(K)tienequesernulo.6.IntegralesmultiplessobreregionesgeneralesSeanSunsubconjuntoacotadodeRnyfS!Runafuncionacotada.SeaQunparaleleppedorectangularacotadotalqueSQ.Sea~fQ!Rlafuncionde nidapor~f(~x)=8:f(~x)si~x2S;0si~x2QnS:(1.4)Elconjuntodelospuntosdediscontinuidadde~festacontenidoenelconjuntodelospuntosdediscontinuidaddefunidoconlafronteradeS.Porlotanto,silafronteradeSyelconjuntodelospuntosdediscontinuidaddeftienencontenidon-dimensionalnulo,entonces~fesintegrablesobreQDefinicion1.59.SeaSunsubconjuntoacotadodeRntalquesufronteratienecontenidonulo.SeafS!Runafuncionacotada,talqueelconjuntodelospuntosdediscontinuidaddeftienecontenidonulo.SeanQy~fcomoen(
1.4
),sede neZSf(~x)dV=ZQ~f(~x)dV:
241.INTEGRALESMULTIPLES.Recordemos(verGuadeCalculoDiferencialenvariasvariables)quesigRk!RnesdeclaseC1entonceskg(~y)g(~x)kp
nk~y~xkmax~z2Lkg0(~z)kMdondeLeselsegmentoderectaqueunelospuntos~xy~yPorlotanto,siRkescompactoyconvexo,tenemosquekg(~y)g(~x)kp
nk~y~xkmax~z2Dkg0(~z)kMparatodopardepuntos~x;~y2UncuboenRkesunconjuntodelaforma[a1;b1ak;bk],dondebiai=bjajparai;j=1;:::;kSiKesuncuboenRk~xoeselcentrodeKyleslalongituddelaaristadeK,entoncesK=~x2Rkk~x~xok1l
2dondek~xk1=maxfjx1j;:::;jxkjgLema1.57.SeagRk!RnunafunciondeclaseC1yseaKuncuboenRkdecentro~xoyaristadelongitudl.Entoncesg(K)estacontenidoenuncubodearistadelongitudnlmax~z2Kkg0(~z)kMDemostracion.Sea~x2K.Entonceskg(~x)g(~xo)k1kg(~x)g(~xo)kp
nmax~z2Kkg0(~z)kMk~x~xokp
nmax~z2Kkg0(~z)kMp
nk~x~xok1nl
2max~z2Kkg0(~z)kMTeorema1.58.TodosubconjuntolisodeRntienecontenidon-dimensionalnulo.Demostracion.ComotodosubconjuntocompactodeRkestacontenidoenuncubo,bastaprobarquesikngRk!RnesunafunciondeclaseC1yKRkesuncuboentoncesg(K)tienecontenidon-dimensionalnulo.
5.CONDICIONESDEINTEGRABILIDAD23Teorema1.50.SeanQRnunparaleleppedorectangularacotadoy'Q!Runafuncioncontinua.Entonceselgra code'tienecontenidonuloenRn+1.Teorema1.51.SeaQRnunparaleleppedorectangularacotadoyseafQ!Runafuncionacotada.Sielconjuntodelasdiscontinuidadesdeftienecontenidon-dimensionalnuloenRnentoncesfesintegrableenQ.Ejercicio1.52.SeaQRnunparaleleppedorectangularyseafQ!Runafuncionacotada.SeaPunaparticiondeQ.De nirU(f;P),lasumasuperiorparafconrespectoalaparticionPyde nirL(f;P),lasumainferiorparafconrespectoalaparticionPDemostrarlossiguientesresultados(aclararbienelsigni cadodelanotacionenelse-gundo).Teorema1.53(CondiciondeRiemann).SeaQRnunparaleleppedorectangularyfQ!Runafuncionacotada.EntoncesfesintegrablesobreQsiysolosiparacada"�0existeunaparticionPdeQtalqueU(f;P)L(f;P)".Teorema1.54.SeaQRnunparaleleppedorectangularcerradoyacotado,seafQ!Runafuncioncontinuaentonces(a)fesintegrable.(b)Si~ci1:::in2Qi1:::in,laintegraldefenQes:ZQfdV=lmkP1k!0;:::;kPnk!0N1Xi1=1:::NnXin=1f(~ci1:::in)Vol(Qi1:::in)Conjuntoslisos.Definicion1.55.SeaARn.SedicequeAesunconjuntolisosiexisteunenterononegativokn,unafunciongRk!RndeclaseC1yunconjuntoRkcompactotalqueA=g()Ejemplo1.56.LossubconjuntoslisosdeRsonlospuntos.UnacurvasuaveesunsubconjuntolisodeR3VamosaprobarquetodosubconjuntolisodeRntienecontenidon-dimensionalnulo.Primeronecesitamosrecordaryestablecerciertosresultados.
221.INTEGRALESMULTIPLES.5.CondicionesdeintegrabilidadAligualqueenelcasobidimensional,siunafuncionacotadaescontinua,salvoenunconjunto\peque~no",entoncesesintegrable.Paramedireltama~nodeunconjuntoenRngeneralizaremos,demaneranatural,elconceptodecontenidonulo.CuandohablemosdeparaleleppedorectangularenRnsupondremosquesetratadeunconjuntodelaforma[a1;b1an;bn],esdecir,supondremosquesuscarassonparalelasalosespacioscoordenados.Definicion1.48.SeaAunsubconjuntoacotadodeRn.SedicequeAtienecontenidon-dimensionalnulosiparacada"�0existeunconjunto nitodeparaleleppedosrectangu-laresfQ1;:::;QNgtalesquelasumadeloscontenidosn-dimensionalesdelosQiesmenorque"yademasAN[i=1interior(Qi)Ejercicio1.49.Demostrarlassiguientesa rmaciones.(1)Cualquiersubconjunto nitodeRntienecontenidon-dimensionalnulo.(2)Launiondeunafamilia nitadeconjuntosdecontenidon-dimensionalnulotienecontenidon-dimensionalnulo.(3)Todosubconjuntodeunconjuntodecontenidon-dimensionalnulotienecontenidon-dimensionalnulo.(4)TodosubconjuntoacotadodeRncontenidoenunsubespacioafndedimensionmenorquentienecontenidon-dimensionalnulo.(5)SeaARn,demostrarquesiparacada"�0existeunconjunto nitodepa-raleleppedosrectangularesfQ1;:::;QNgtalesquelasumadelascontenidosn-dimensionalesdelosQiesmenorque"yAN[i=1QientoncesAtienecontenidon-dimensionalnulo(esdecir,podemoscolocarQienvezdeinterior(Qi)enlade niciondecontenidonulo).DemaneracompletamenteanalogaacomosedemostraronlosTeoremas
1.26
y
1.28
sepruebanlossiguientesresultados.Losdetallesselosdejamosallector.
4.CALCULODEUNAINTEGRALMULTIPLEMEDIANTEINTEGRACIONITERADA.21LademostraciondeesteresultadoescompletamenteanalogaaladelTeorema
1.21
yladejaremoscomoejercicio.Aplicandosucesivamenteelresultadoanteriorobtenemos.Corolario1.46.SeaQ=I1:::InRnunparaleleppedorectangular,dondeIk=[ak;bkesunintervaloacotadoyseafQ!RunafuncionintegrableenQ.Sea(j1;j2;jn)unapermutacionde(1;:::;n).Supongamosquelassiguientesintegralesiteradasestande nidasZbj1aj1f(x1;:::;xn)dxj1Zbj2aj2 Zbj1aj1f(x1;:::;xn)dxj1!dxj2...Zbjnajn :::Zbj2aj2 Zbj1aj1f(x1;:::;xn)dxj1!dxj2:::!dxjnEntoncesZQfdV=Zbjnajn :::Zbj2aj2 Zbj1aj1f(x1;:::;xn)dxj1!dxj2:::!dxjnObservacion1.47.Sitenemosunafuncionintegrablecomoenelcorolarioanteriorylasintegralesiteradasdefexistenendosordenesdiferentes,entoncesestasdosintegralesiteradassonigualesalaintegraldefsobreQEnparticular,cuandofesintegrableylasintegralesiteradasexistenentodoslosordenesposibles,todasestasintegralesnosdanelmismovalor.Otranotacioncomunparalasintegralesiteradaseslasiguiente:EnvezdeescribirZbjnajn :::Zbj2aj2 Zbj1aj1f(x1;:::;xn)dxj1!dxj2:::!dxjnsesueleescribirZbjnajndxjn :::Zbj2aj2dxj2 Zbj1aj1dxj1f(x1;:::;xn)!:::!
201.INTEGRALESMULTIPLES.Definicion1.43.LaintegralsuperiordefsobreQes
I(f)=nf8:ZQtdVtesunafuncionescalonadayft9=;LaintegralinferiordefsobreQesI
(f)=sup8:ZQsdVsesunafuncionescalonadaysf9=;Definicion1.44.SeafQ!RunafuncionacotadasedicequefesintegrablesobreQsi
I(f)=I
(f)Estevalorcomunsedenominalaintegralmultiple,osimplemente,laintegraldefsobreQysedenotaporZQf(x1;:::;xn)dx1:::dxnosimplementeporZQfdV:LasiguientenotacionZQf(~x)d~x;paralaintegralmultipletambienescomunyconvenienteenalgunoscasos.LaspropiedadesestablecidasenelEjercicio
1.20
tambienvalenparaintegralesmultiples.4.Calculodeunaintegralmultiplemedianteintegracioniterada.Teorema1.45(Fubini).SeaQ=I1:::InRnunparaleleppedorectangular,dondeIk=[ak;bkesunintervaloacotadoyseafQ!RunafuncionintegrablesobreQ.Seanpyqenterospositivostalesquep+q=n.SeanQ1=I1:::IpyQ2=Ip+1:::In.Supongamosque:(a)Paracada~u2Q1lafuncion~v7!f(~u;~v)deQ2enResintegrable.(b)Lafuncion~u7!RQ2f(~u;~v)d~vdeQ1enResintegrablesobreQ1.EntoncesZQf(~x)[email protected](~u;~v)d~v1Ad~u:
3.INTEGRALESMULTIPLES19Por(P1;:::;Pn)sedenotaralaparticionPNotarquesiPkconstadeNkpuntosentoncesPcontieneN1Nnsubparaleleppedos.3.1.Integralmultipledeunafuncionescalonada.Definicion1.40.SeaQ=[a1;b1:::an;bnRnunparaleleppedorectangularyseasQ!Runafuncion.SedicequesesunafuncionescalonadasiexisteunaparticionPdeQtalquesesconstanteencadaunodelossubparaleleppedosabiertosdePDefinicion1.41.SeaQ=[a1;b1:::an;bnRnunparaleleppedorectangular.Elvolumenn-dimensionalocontenidon-dimensionaldeQesVol(Q)=(b1a1)(bnan)SupongamosqueQ=[a1;b1:::an;bnRnesunparaleleppedorectangularyquesQ!Runafuncionescalonada.SeaP=fQi1:::in;i1=1;:::;N1;:::;in=1;:::;NngunaparticiondeQtalques(x1;:::;xn)=ci1:::inenint(Qi1:::in)Definicion1.42(Integralmultipledeunafuncionescalonada).Laintegralmultiple,osimplemente,laintegraldessobreQesZQsdV=ZQs(x1;:::;xn)dx1:::dxn=N1Xi1=1NnXin=1ci1:::inVol(Qi1:::in)Aligualqueenelcasobidimensionaltenemosque,sisesunafuncionescalonada,entoncesZQsdV=Zbj1aj1 :::Zbjnajns(x1;:::;xn)dxjn:::!dxj1(1.3)donde(j1;:::;jn)esunapermutacionde(1;:::;n).TambiensecumplenlosanalogosdelaspropiedadesestablecidasenelEjercicio
1.17
3.2.Integralmultipledeunafuncionacotadaenunparaleleppedo.SeaQ=[a1;b1:::an;bnRnunparaleleppedon-dimensionalrectangularyseafQ!Runafuncionacotada.
181.INTEGRALESMULTIPLES.Ejemplo1.38.Calcularelvolumendelsolidolimitadoporelelipsoidex2
a2+y2
b2+z2
c2=1Elelipsoideeslaregioncomprendidaentrelosgra cosdelasfuncionesf1(x;y)=cr
1x2
a2y2
b2yf2(x;y)=cr
1x2
a2y2
b2para(x;y)2S,dondeS=(x;y)2R2x2
a2+y2
b21Porlotanto,denotandoporValvolumendelsolido,tenemosqueV=ZZS(f1(x;y)f2(x;y))dxdy:TomadoencuentalassimetrasdelsolidotenemosqueV=8cZZS1r
1x2
a2y2
b2dxdy;dondeS1=(x;y)2R2x0;y0x2
a2+y2
b21mail protected]
1x2
a20r
1x2
a2y2
b2dy1Adx:Comoejercicio,veri carquelaintegralanterioresiguala4
3abc:3.IntegralesmultiplesElconceptodeintegralpuedeextendersedelespaciobidimensionalR2alespacion-dimensionalRn.Lasde niciones,eltratamientoylosresultadossoncompletamenteanalo-gos.Desarrollaremoselconceptodeintegralmultipleparan3.Dadalaanalogamencio-nadaomitiremosalgunaspruebasydetalles.Definicion1.39.SeaQ=[a1;b1:::an;bnRnunparaleleppedorectangular.SeaPunacolecciondeparaleleppedoscontenidosenQ.SedicequePesunaparticiondeQsiexistenparticionesPk=fxk0;xk1;:::;xkNkgde[ak;bk]talesqueP=ffx1i11;x1i1xnin1;xnin]:1i1N1;:::;1inNng
2.INTEGRALESDOBLES.17
xy
24y=x2\r
Figura1.6.Ejemplo1.37.SeaRlaregionf(x;y)2R2:1x2+y24g.EscribiremosZZRfdAenterminosdeintegralesiteradas.
xy
12-1-2
Figura1.7.ZZRf(x;y)dxdy=Z12 Zp
4x2p
4x2f(x;y)dy!dx+Z11 Zp
4x2p
1x2f(x;y)dy!dx+Z11 Zp
1x2p
4x2f(x;y)dy!dx+Z21 Zp
4x2p
4x2f(x;y)dy!dx
161.INTEGRALESMULTIPLES.PorelTeoremadeFubiniZZR1f(x;y)dxdy=Zba Z'2(x)'1(x)f(x;y)dy!dx:Definicion1.35.UnaregiondeltipoIIesunaregiondelaformaR2=f(x;y)2R2cyd; 1(y)x 2(y)gdonde 1y 2sonfuncionescontinuasen[c;d]talesque 1 2
xy
x = y2(y)x = y1(y)cd
Figura1.5.RegiontipoIIAligualqueantessepuedemostrarquesifescontinuaenunaregiondeltipoIIR2=f(x;y)2R2cyd; 1(y)x 2(y)gentoncesZR2f(x;y)dxdy=Zdc Z 2(y) 1(y)f(x;y)dx!dy:Finalmente,paracalcularunaintegralsobreunaregionarbitraria,ladescomponemoscomounaunionderegionestipoIytipoII.Ejemplo1.36.CambiarelordendeintegracionenlasiguienteintegralZ20Z4x2f(x;y)dydx:Tenemosquelaregiondeintegracionestadadapor0x2,x2y4.Otramaneradedescribirlaregiones0y4,0xp
y,porlotanto,alcambiarelordendeintegracionobtenemosZ40Zp
y0f(x;y)dxdy:
2.INTEGRALESDOBLES.15Acontinuacionvamosavercomocalcularlaintegraldobledeunafuncion,usandointegracioniterada,sobreregionesbastantesgenerales.Definicion1.34.UnaregiondeltipoIesunaregiondelaformaR1=f(x;y)2R2axb;'1(x)y'2(x)gdonde'1y'2sonfuncionescontinuasen[a;b],talesque'1'2
xy
y = j2(x)y = j1(x)
Figura1.4.RegiontipoIDelTeorema
1.28
siguequelafronteradetodaregiondeltipoItienecontenidonulo.SupongamosquefescontinuaenlaregiondeltipoIR1=f(x;y)2R2axb;'1(x)y'2(x)gSic=nff'1(x):axbgyd=supf'2(x):axbgentoncesR1a;bc;dLuegoZZR1f(x;y)dxdy=ZZ[a;b][c;d]~f(x;y)dxdy;donde~f(x;y)=8:f(x;y)si(x;y)2R10si(x;y)22a;bc;dnR1Porserfcontinuatenemosque,paracadax22a;b],lafunciony7!~f(x;y)esintegrablesobre[c;d]ydelade nicionde~fsiguequeZdc~f(x;y)dy=Z'2(x)'1(x)f(x;y)dy:
141.INTEGRALESMULTIPLES.SeanSunsubconjuntoacotadodeR2yfS!Runafuncionacotada.SeaQunrectangulodeladosparalelosalosejesyacotadotalqueSQ.Sea~fQ!Rlafuncionde nidapor~f(x;y)=8:f(x;y)si(x;y)2S;0si(x;y)2QnS:(1.2)Elconjuntodelospuntosdediscontinuidadde~festacontenidoenelconjuntodelospuntosdediscontinuidaddefunidoconlafronteradeS.Porlotanto,silafronteradeSyelconjuntodelospuntosdediscontinuidaddeftienencontenidonulo,entonces~fesintegrablesobreQDefinicion1.29.SeaSunsubconjuntoacotadodeR2talquesufronteratienecontenidonulo.SeafS!Runafuncionacotada,talqueelconjuntodelospuntosdediscontinuidaddeftienecontenidonulo.SeanQy~fcomoen(
1.2
),laintegraldobleointegraldeareadefsobreSesZZSf(x;y)dxdy=ZZQ~f(x;y)dxdy:Ejercicio1.30.DemostrarqueRRSf(x;y)dxdyestabiende nida,esdecirprobarquenodependedelrectanguloQquecontieneaSEjercicio1.31.SupongamosqueSesunsubconjuntodeR2.SeaSlafuncioncarac-tersticadeS,esdecir,S(x)=8:1six2S;0six=2S:DemostrarqueelconjuntodelospuntosdediscontinuidaddeSeslafronteradeSTomandoencuentaloanteriorresultamuynaturallasiguientede nicion.Definicion1.32.SeaSesunsubconjuntoacotadodeR2talquesufronteratienecontenidobidimensionalnulo.ElareaocontenidobidimensionaldeSeslaintegraldobledeS,esdecir,area(S)=ZZSdxdy:Observacion1.33.NotarqueelareadeSeslaintegraldoblesobreSdelafuncionconstanteiguala1.
2.INTEGRALESDOBLES.13luegoZ10Z10(x2+y)dxdy=Z10Z10(x2+y)dxdy=Z101
3+ydy=1
3y+y2
2 y=1y=0=1
3+1
2=5
62.5.Integralesdoblessobreconjuntosmasgenerales.Teorema1.28.Sea':[a;b!Runafuncioncontinua.Entonceselgra code'tienecontenidobidimensionalnulo.Demostracion.SeaAelgra code',esdecir,A=f(x;y)2R2axb;y='(x)gSea"�0.Porser[a;b]compacto,'esuniformementecontinua,luegoexisteunaparticionP=fxo;:::;xkgdelintervalo[a;b],talquelaoscilacionde'encadaunodelosintervalosIi=[xi1;xi]dePesmenorque"=(ba),esdecirj'(x)'(x0)j"=(ba)sixyx0estanenunmismoIiParai=1;:::;kseanMi=supf'(x):x22xi1;xigymi=nff'(x):x22xi1;xigEstosvaloresson nitosporque'escontinuaenloscompactos[xi1;xi].AdemasAk[i=11xi1;ximi;MiyMimi"
baFinalmentearea k[i=11xi1;ximi;Mi!=kXi=1(xixi1)(Mimi)"
bakXi=1(xixi1)=":
121.INTEGRALESMULTIPLES.SeaP=fQ1;:::QNgunaparticiondeQtalquecualquierrectanguloRi,1iN1,oR0i,1iN2esunionderectangulospertenecientesaPSea(x;y)2Q.De nimoslasfuncionesescalonadassytenelpunto(x;y)delasiguientemanera:Si(x;y)pertenecealrectanguloR0iparaalguni,entoncess(x;y)=mi=mnff(x;y):(x;y)2R0igyt(x;y)=Mi=maxff(x;y):(x;y)2R0igenotrocasos(x;y)=Myt(x;y)=M:Delade niciondesytsigueques(x;y)f(x;y)t(x;y)paratodo(x;y)2QZZQ(t(x;y)s(x;y))dxdy=NXi=1(siti)area(Qi)dondesiytisonlosvaloresrespectivosdesytenQiSiQiesunodelosrectanguloscontenidoenalgunR01;:::;R0N2tenemosquesiti"
2area(Q)Enotrocasositi=2M:PorconstruccionlasumadelasareasdelosrectangulosdePquenoestancontenidosenR01;:::;R0N2esmenorque"
4M,porlotantotenemosqueZZQ(t(x;y)s(x;y))dxdy(area(Q))"
2area(Q)+2M"
4M=":LuegofesintegrablesobreQEjemplo1.27.Veri carlaexistenciaycalcularlasiguienteintegraldobleZ[0;1][0;1](x2+y)dxdy:Comoelintegrandoesunafuncioncontinua,resultaserintegrable.AdemascomosecumplenlashipotesisdelteoremadeFubinitenemosque:Z10(x2+y)dx=x3
3+yx x=1x=0=1
3+y;
2.INTEGRALESDOBLES.11Ejercicio1.25.Demostrarlassiguientesa rmaciones.(1)Cualquiersubconjunto nitodelplanotienecontenidobidimensionalnulo.(2)Launiondeunafamilia nitadeconjuntosdecontenidobidimensionalnulotienecontenidobidimensionalnulo.(3)Todosubconjuntodeunconjuntodecontenidobidimensionalnulotienecontenidobidimensionalnulo.(4)Todosegmentoderectatienecontenidonulo.(5)SeaAR2,demostrarquesiparacada"�0setienequeexisteunconjunto nitoderectangulosacotadosfQ1;:::;QNgtalesquelasumadelasareasdelosQiesmenorque"yAN[i=1QientoncesAtienecontenidobidimensionalnulo(esdecir,noesnecesariosuponerquelosladosdeQisonparalelosalosejesypodemoscolocarQienvezdeinterior(Qi)enlade niciondecontenidonulo).Teorema1.26.SeaQ=[a;bc;dunrectanguloyseafQ!Runafuncionacotada.SielconjuntodelasdiscontinuidadesdeftienecontenidobidimensionalnuloentoncesfesintegrablesobreQ.Demostracion.SeaM�0talquejf(x)jMparatodox2Q.SeaelconjuntodelasdiscontinuidadesdefSea"�0.Comotienecontenidobidimensionalnuloexisteunacoleccion nitaderectangulosdeladosparalelosalosejes,R1;:::;RN1talesquelasumadesusareasesmenorque"
4MyN1[i=1interior(Ri)ElconjuntoC=QnN1[i=1interior(Ri)escompactoyfescontinuaenC,luegofesuniformementecontinuaenC.Porlotanto,podemosdividirCenrectangulosR01;:::;R0N2,talesquemaxff(x;y):(x;y)2R0igmnff(x;y):(x;y)2R0ig"
2area(Q)parai=1;:::;N2
101.INTEGRALESMULTIPLES.ElTeoremadeFubinitieneunainterpretaciongeometricaquedamosacontinuacion.Sif0entoncesZZQfeselvolumendelaregionlimitadaporelgra codefyelplanoxy.Estevolumentambienlopodemosobtenerporintegracionunidimensionaldelareadesusecciontransversal.Enla guraA(xo)=Zdcf(xo;y)dy:
xzy
Area = A(x
Figura1.3.Observacion1.23.Laexistenciadelaintegraldoblenogarantizalaexistenciadelasiteradasyviceversa,verejercicios
8
y
9
2.4.Condicionsu cientedeintegrabilidad.Enestaseccionvamosaverquesiunafuncionacotadaescontinua,salvoenunconjunto\peque~no",entoncesesintegrable.Paramedireltama~nodeunconjuntointroducimoselsiguienteconcepto.Definicion1.24.SeaAunsubconjuntoacotadodelplano.SedicequeAtienecontenidobidimensionalnulosiparacada"�0existeunconjunto nitoderectangulosfQ1;:::;QNgdeladosparalelosalosejestalesquelasumadelasareasdelosQiesmenorque"yAN[i=1interior(Qi)
2.INTEGRALESDOBLES.9EntoncesZZQf(x;y)dxdy=ZdcZbaf(x;y)dxdy:Demostracion.Seansytdosfuncionesescalonadasde nidasenQtalesquesft:Entonces,paray22c;dZbas(x;y)dxZbaf(x;y)dxZbat(x;y)dx:LuegoZdcZbas(x;y)dxdyZdcZbaf(x;y)dxdyZdcZbat(x;y)dxdy:UsandoelresultadodeFubiniparaintegralesdefuncionesescalonadas(verlaecuacion(
1.1
))tenemosqueZZQs(x;y)dxdyZdcZbaf(x;y)dxdyZZQt(x;y)dxdy:Haciendovariarlasfuncionesescalonadas,tenemosqueelnumeroqueestaenelcentrodeestadesigualdadesunacotasuperiorparalasintegralesqueestanalaizquierdayesunacotainferiorparalasintegralesqueestanaladerecha.LuegoI
(f)ZdcZbaf(x;y)dxdy
I(f)Porserfintegrabletenemosque
I(f)=I
(f).Usandolade niciondeintegraltenemosqueZZQf(x;y)dxdy=ZdcZbaf(x;y)dxdy:Observacion1.22.SienelTeoremaanteriorsuponemosque(a)Paracadax22a;b]lafunciony7!f(x;y)de[c;d]enResintegrablesobre[c;d(b)Lafuncionx7!Rdcf(x;y)dyde[a;b]enResintegrablesobre[a;bEntonces,conunargumentocompletamenteanalogo,obtenemosZZQf(x;y)dxdy=ZbaZdcf(x;y)dydx:
81.INTEGRALESMULTIPLES.EstevalorcomunsedenominalaintegraldobledefsobreQysedenotaporZZQf(x;y)dxdy;osimplementeporZZQf:Ejercicio1.20.SeaQ=[a;bc;d]unrectangulocontenidoenR2Demostrarlassiguientespropiedadesdelaintegral.(1)Linealidad:SifygsondosfuncionesintegrablessobreQyc1yc2sondosconstantesreales,entoncesc1f+c2gesintegrablesobreQyZZQ(c1f(x;y)+c2g(x;y))dxdy=c1ZZQf(x;y)dxdy+c2ZZQg(x;y)dxdy:(2)SifesunafuncionintegrablesobreQysetienequeQ=Q1[Q2,dondeQ1yQ2sonrectangulosdeladosparalelosalosejesdecoordenadas,talesqueinterior(Q1)\interior(Q2)=;,entoncesfesintegrablesobrecadaQii=12yZZQ1[Q2f(x;y)dxdy=ZZQ1f(x;y)dxdy+ZZQ2f(x;y)dxdy:(3)Monotona:SifygsonfuncionesintegrablessobreQyg(x;y)f(x;y)paratodo(x;y)2Q,entoncesZZQg(x;y)dxdyZZQf(x;y)dxdy:Enparticular,sif(x;y)0paratodo(x;y)2Q,entoncesZZQf(x;y)dxdy02.3.Calculodeunaintegraldoblemedianteintegracioniterada.Teorema1.21(Fubini).SeaQ=[a;bc;dunrectanguloyseafQ!Runafuncionacotada,integrablesobreQ.Supongamosque:(a)Paracaday22c;dlafuncionx7!f(x;y)deea;benResintegrablesobreea;b.(b)Lafunciony7!Rbaf(x;y)dxdeec;denResintegrablesobreec;d.
2.INTEGRALESDOBLES.7(3)DemostrarquesisytsonfuncionesescalonadasenQys(x;y)t(x;y)paratodo(x;y)2Q,entoncesZZQs(x;y)dxdyZZQt(x;y)dxdy:Enparticular,sit(x;y)0paratodo(x;y)2Q,entoncesZZQt(x;y)dxdy02.2.Integraldobledeunafuncionacotadaenunrectangulo.SeaQ=[a;bc;d]unrectangulocontenidoenR2yseafQ!Runafuncionacotada.SeaM�0talquejf(x;y)jMsi(x;y)2Q:Seanso;toQ!Rde nidasporso(x;y)=Myto(x;y)=M;tenemosquesoytosonfuncionesescalonadasyso(x;y)f(x;y)to(x;y)paratodo(x;y)2Q:Definicion1.18.LaintegralsuperiordefsobreQes
I(f)=nf8:ZZQt(x;y)dxdytesunafuncionescalonadayft9=;LaintegralinferiordefsobreQesI
(f)=sup8:ZZQs(x;y)dxdysesunafuncionescalonadaysf9=;Esimportantedestacarque,porserfacotada,ningunodelosconjuntosqueapareceenlade nicionanterioresvaco,ytantoelsupremocomoeln moson nitos.Definicion1.19.SeaQ=[a;bc;d]unrectangulocontenidoenR2yseafQ!Runafuncionacotada.SedicequefesintegrablesobreQsi
I(f)=I
(f)
61.INTEGRALESMULTIPLES.OtranotacionmuycomunparaRRQsesZZQs(x;y)dxdy;otambienZZQsdA:SeascomoenlaDe nicion
1.14
unafuncionescalonadayseaQij=[xi1;xiyj1;yjentoncesZZQijs(x;y)dxdy=cij(xixi1)(yjyj1)UncalculodirectomuestraqueZZQijs(x;y)dxdy=Zxixi1 Zyjyj1s(x;y)dy!dx=Zyjyj1Zxixi1s(x;y)dxdy;porlalinealidaddelaintegralunidimensional,obtenemoselresultadodeFubiniparainte-gralesdefuncionesescalonadasZZQs(x;y)dxdy=ZbaZdcs(x;y)dydx=ZdcZbas(x;y)dxdy:(1.1)Ejercicio1.17.SeaQ=[a;bc;d]unrectangulocontenidoenR2(1)Demostrarquesis1ys2sondosfuncionesescalonadasenQyc1yc2sondosconstantesreales,entoncesZZQ(c1s1(x;y)+c2s2(x;y))dxdy=c1ZZQs1(x;y)dxdy+c2ZZQs2(x;y)dxdy:(2)DemostrarquesisesunafuncionescalonadaenQysetienequeQ=Q1[Q2dondeQ1yQ2sonrectangulosdeladosparalelosalosejesdecoordenadas,talesqueinterior(Q1)\interior(Q2)=;,entoncesZZQ1[Q2s(x;y)dxdy=ZZQ1s(x;y)dxdy+ZZQ2s(x;y)dxdy:
2.INTEGRALESDOBLES.5
xzy
Figura1.2.Gra codeunafuncionescalonada.SeaQ=[a;bc;d]unrectangulocontenidoenR2yseaP=(P1;P2)unaparticiondeQ.SeasQ!Runafuncionescalonada,queesconstanteencadaunodelossubrectangulosabiertosdeQesdecir,siP1=fx0;:::;xN1gyP2=fy0;:::;yN2gentoncess(x;y)=cijsi(x;y)2(xi1;xi)(yj1;yj)parai=1;:::;N1j=1;:::;N2Definicion1.14(Integraldobledeunafuncionescalonada).Seascomoantes,laintegraldobledessobreQesZZQs=N1Xi=1N2Xj=1cij(xixi1)(yjyj1)Ejercicio1.15.Demostrarquelaintegraldobledeunafuncionescalonadaestabiende nida.Observacion1.16.Notarquesis0entonceslaintegraldobledessobreQeselvolumendelsolidolimitadoporQyelgra codes
41.INTEGRALESMULTIPLES.Laintegralinferiordefsede neporI
(f)=supZbas(x)dxsesunafuncionescalonadaysfSepuedeprobarquefesintegrableRiemannen[a;b]siysolosi
I(f)=I
(f)yenestecasoZbaf(x)dx=
I(f)=I
(f)2.Integralesdobles.Definicion1.12.SeaQ=[a;bc;d]unrectangulocontenidoenR2.SeaPunacolecciondesubrectangulosdeQ.SedicequePesunaparticiondeQsiexistenunaparticionP1=fx0;:::;xN1gde[a;b]yunaparticionP2=fy0;:::;yN2gde[c;d]talesqueP=ffxi1;xiyj1;yj]:1iN11jN2gElpar(P1;P2)lousaremosparadenotaraPNotarquesiP1originaN1intervalosyP2originaN2intervalosentoncesPcontieneN1N2subrectangulos.
xy\r
xo=ax3=byo=cy2=d
Figura1.1.Particionde[a;bc;d2.1.Integraldobledeunafuncionescalonada.Definicion1.13.SeaQ=[a;bc;d]unrectangulocontenidoenR2yseasQ!Runafuncion.SedicequesesunafuncionescalonadasiexisteunaparticionPdeQtalquesesconstanteencadaunodelossubrectangulosabiertosdeP
1.ELCASODEUNADIMENSION.3Esmuyimportanterecordarelsiguienteresultado,elcualestableceunaconexionentreelcalculodiferencialyelcalculointegral,yqueessumamenteutilenelmomentodecalcularintegrales.Teorema1.8(Teoremafundamentaldelcalculo).Sifesintegrablesobreea;byf=g0paraalgunafunciong,entoncesZbaf=g(b)g(a)ExisteotraformaequivalentedeabordarlaintegraldeRiemann,atravesdelconceptodefuncionescalonada.Esteeselenfoquequeutilizaremosparaabordarlasintegralesmultiples.ParafacilitarlacomprensiondelasintegralesmultiplesvamosadarunabrevedescripciondecomosepuedellegaralaintegraldeRiemannunidimensional,atravesdelasfuncionesescalonadas.Definicion1.9(Funcionescalonada).Seana;b2Rabys:[a;b!Runafuncion.SedicequesesunafuncionescalonadasiexisteunaparticionP=fxo;x1;:::;xkgdelintervalo[a;b]talquesesconstanteencadaunodelosintervalosabiertosquedeterminaP,esdecir,paracadai=1;:::;kexisteunnumerorealsitalques(x)=sisixi1xxiDefinicion1.10(Integraldeunafuncionescalonada).Sis:[a;b!ResunafuncionescalonadayP=fxo;x1;:::;xkgesunaparticiondelintervalo[a;b]talques(x)=sisixi1xxi,sede nelaintegraldessobreelintervalo[a;b]porZbas(x)dx=kXi=1si(xixi1)Esclaroqueaunafuncionescalonadasselepuedenasociardiferentesparticiones,talesquesesconstanteencadaunodelosintervalosabiertosqueestadetermina.Comoejercicio,demostrarquelaintegraldeunafuncionescalonadaestabiende nida,esdecir,demostrarqueelvalordelasumaqueapareceenlade nicionanterioresindependientedelaparticionescogidaP,talquesesconstanteencadaunodelosintervalosabiertosquedeterminaPDefinicion1.11.Seaf:[a;b!Runafuncionacotada.Laintegralsuperiordefsede nepor
I(f)=nfZbas(x)dxsesunafuncionescalonadaysf
21.INTEGRALESMULTIPLES.EsimportantenotarquelahipotesisfacotadaesesencialparapodergarantizarquetantoMicomomiestande nidos.Tambienesnecesariode nirloscomosupremoen moynocomomaximosymnimos,yaquefnosesuponecontinua.Definicion1.3.Unafuncionacotadafde nidaen[a;b]esintegrableRiemannointe-grablesobre[a;b]sisupfL(f;P):Pesunaparticionde[a;bg=nffU(f;P):Pesunaparticionde[a;bgDefinicion1.4.Encasodequefseaintegrableelnumerocomundelade nicionanteriorrecibeelnombredeintegraldefsobre[a;b]ysedenotaporZbaf:Silafuncionfesnonegativa,laintegraldefsobre[a;b]representaelareadelaregionplanalimitadaporelgra codef,elejexylasverticalesx=ayx=bTenemosquesifescontinuaen[a;b],salvoenunacantidad nitadepuntos,entoncesfesintegrablesobre[a;bAdemas,parafuncionescontinuastenemoslosiguiente.Definicion1.5.SiP=fx0;x1;:::;xkgesunaparticiondelintervalo[a;b],lanormadePsede neporjPj=maxfxixi1i=1;:::;kgTeorema1.6.Seaf:[a;b!Runafuncioncontinua.Entoncesparacada"�0existe�0talque kXi=1f(ci)(xixi1)Zbaf "paratodaparticionP=fx0;x1;:::xkgdeea;btalquejPjyparacualquierconjuntodepuntosfcigtalesqueci22xi1;xi.Observacion1.7.Elresultadoanteriorsesueleexpresardelasiguientemanera:Sifescontinuaen[a;b]entoncesZbaf=lmjPj!0kXi=1f(ci)(xixi1)ci22xi1;xiLassumasqueaparecenenlaformulaanteriorseconocenconelnombredesumasdeRiemanndef
Captulo1Integralesmultiples.1.Elcasodeunadimension.Enestaseccionrecordaremosalgunosresultadosyde nicionesrelacionadosconlaintegraldeRiemannenunadimension.ElenfoqueusualdelaintegraldeRiemann,atravesdesumasuperioreseinferiores,eselsiguiente.Definicion1.1.Seana;b2Rab.Unaparticiondelintervalo[a;b]esunacoleccion nitadepuntosde[a;b],deloscualesunoesayotroesbLospuntosdeunaparticionpuedensernumeradoscomox0;x1;:::;xk,deformatalqueelconjuntoquedeordenadodelasiguientemaneraa=xox1:::xk1xk=b:Alhablardeunaparticionsiempresupondremosqueestaordenadadelaformaanterior.Definicion1.2.Seana;b2Rabyf:[a;b!Runafuncionacotada.SeaP=fxo;x1;:::;xkgunaparticiondelintervalo[a;bPara1in,seanmi=nfff(x):xi1xxigMi=supff(x):xi1xxigLasumainferiordefcorrespondienteaP,sedenotaraporL(f;P)yesL(f;P)=nXi=1mi(xixi1)LasumasuperiordefcorrespondienteaP,sedenotaraporU(f;P)yesU(f;P)=nXi=1Mi(xixi1)1
viIndicegeneral
Ejercicios3.
99
Bibliografa
103
Indicealfabetico
105
Indicegeneral
Captulo1.Integralesmultiples.
1
1.Elcasodeunadimension.
1
2.Integralesdobles.
4
3.Integralesmultiples
18
4.Calculodeunaintegralmultiplemedianteintegracioniterada.
20
5.Condicionesdeintegrabilidad
22
6.Integralesmultiplessobreregionesgenerales
25
7.Cambiodevariablesenintegralesmultiples.
31
8.Integralesimpropias.
43
Ejercicios1.
47
Captulo2.IntegralesdelneayteoremadeGreen.
55
1.Curvasytrayectorias.
55
2.Longituddearcoyreparametrizacion.
58
3.Parametrizacionporlalongituddearco.
63
4.Integraldeuncampoescalaralolargodeunacurva.
63
5.Integralesdelnea.
64
6.Teoremafundamentaldelcalculoparaintegralesdelnea.
69
7.ElteoremadeGreen.
71
8.Ecuacionesdiferencialesexactasdeprimerorden.
76
Ejercicios2.
79
Captulo3.Analisisvectorial.
85
1.Integralesdesuper cie.
85
2.Super ciesorientables.
88
3.Integralesdesuper cie
89
4.ElteoremadeStokes
92
5.ElteoremadeladivergenciaoteoremadeGauss
95v
ivTantoeltrabajodemecanografacomolaelaboraciondelosgra cosestuvoacargodelosautores.AgradecemoslacolaboraciondelSelloEditorialdelaFacultaddeCienciasdelaUniversidadCentraldeVenezuelaenlarevisiondela~no2016.Cualquierobservacionocomentarioquedeseenhacernosllegarserabienvenido.RamonBruzual.MariselaDomnguez.Abril2016.
PrologoEstasnotashansidoconcebidasparaserutilizadasenlasegundapartedelcursodeAnalisisIIdelaLicenciaturaenMatematicadelaUniversidadCentraldeVenezuelaysonelresultadodelaexperienciadelosautoreseneldictadodedichocurso.EslacontinuacionnaturaldelaGuadeCalculoDiferencialenVariasVariables,elaboradaporlosautoresparalaprimerapartedelcurso.Enestecursosedebedarunavisionrigurosadelcalculoenvariasvariables.Laprimerapartedeestecursocorrespondeconelcalculodiferencialenvariasvariablesylasegundaconelcalculointegralenvariasvariables.Sesuponequeelestudianteyahavistouncursorigurosodecalculoenunavariable,quedominalatopologabasicadeRn,quehavistouncursointroductoriodecalculoenvariasvariablesyqueyahaestudiadolaGuadeCalculoDiferencialenVariasVariablesountextoequivalente.Lossiguientestemassontratadosenformaexhaustiva:(1)Integralesmultiples.IntegraldeRiemann,condicionesdeintegrabilidad.TeoremadeFubini.Cambiodevariable.Integralesimpropias.(2)Integralesdelnea.Curvas,curvasrecti cables,parametrizacion.Independenciadelcamino,potenciales.TeoremadeGreen.(3)Funcionesdevaloresvectoriales.Gradiente,rotor,divergenciayLaplaciano.Super cies,representacionesparametricaseimplcitas.Integralesdesuper cie.TeoremasdeGaussyStokes.iii
ISBN:978-980-00-2850-6NoDepositoLegal:DC2017000404A~nodelaprimerapublicaciondeestetexto:1998.Primerarevision:a~no2005.Segundarevision:a~no2016.RamonBruzualCorreo-E:
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MariselaDomnguezCorreo-E:
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LaboratoriodeFormasenGruposCentrodeAnalisisEscueladeMatematicaFacultaddeCienciasUniversidadCentraldeVenezuela
http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/
UNIVERSIDADCENTRALDEVENEZUELAFACULTADDECIENCIASESCUELADEMATEMATICALABORATORIODEFORMASENGRUPOSCALCULOINTEGRALENVARIASVARIABLESRamonBruzualMariselaDomnguezCaracas,VenezuelaAbril2016
Editor -efe Héctor Finol Editores deO Área José Rafael León; Carenne Ludeña Coordinación EditoriaO Carmen Marrero; Arcángel Sánchez Editado por Fundación Amigos de la Facultad de Ciencias Fondo Editorial de la Facultad de Ciencias Diseño iOustración edición eOectrónica \ diaJramación Ramón Bruzual, Marisela Domínguez Diseño portada: Carlos Raúl Pérez 2016 Ramón BruzuaO MariseOa DomínJuez CáOcuOo ,nteJraO en Varias VariabOes Depósito /eJaO DC201000404 ,SBN -0-00-250-6
SeOOo EditoriaO Ediciencias-UCV Universidad CentraO de VenezueOa
FacuOtad de Ciencias
Coordinación Académica
CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLESGUÍA DE ESTUDIO
CARACAS, 2016
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICACÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES N

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