LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN LA

Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería Problema de valor inicial: . Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones


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LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SU APLICACIN LA INGENIERÍA

Pg (1-4) Pg (5)Formulación matemática del problema científico. Solución de las ecuaciones. Interpretación científica de la solución.-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de 1. Aplicaciones a la mecánica: 1.1 Introducción. 2.2 La ley de Kirchhoff. 3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario. 5. El cable colgante. 1.1 El resorte vibrante (movimiento armónico simple). 1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento amortiguado). 1.3 El resorte con fuerzas externas. 1.4 La resonancia mecá
Las Ecuaciones Diferenciales y su
El descubrimiento de Newton y Leibniz en eldel cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el eron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física apEl maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya región limitada de una curva eron la importancia consecuencia para el estudio
)´(xf, en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo IntegralF(x) en el intervalo [a,x] de [a,b],bca
tenemos que dttfxF)()bxa
en cada punto intervalo abierto (a,b) tenemos
)´(xF)()´(xfxF
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-La Derivada de la Integral de )()´(xfxFdxxfxf)´()Con lo antes mencionado, a lo que se une que no es máación del teorema fundamental), es posible conseguir la función primitiva de la
)´(xf mediante la integración de dinecesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales, pero antes debemos Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a o varía dicho elemento en función de una o varias variables. En definitiva, lo que se pretende es determinar una función desconocida mediante datos nan ecuaciones diferenciales y su estudio por parte de Newton, n al conocimiento sobre la resolución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales; se conoce mediante la práctica que es difícil obtener teorías matemáticas de gran genera tipos, como las ecuaciones lineales, muy extendidas para problemas de tipo científico. Definimos: (E.D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable parciales respecto a dos o más variables independientes, se llama
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parcialales ecuαciones diφerenciαles de retrαso (o retαrdo)caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable (x-x-Se llama de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación. orden n) está expresada en forma cuando tiene la forma 0)´,....,,,()(yyyxFRRFo:Se dice que una ecuación diferencial (de orden n) está expresada en forma (n)(n-1) (generalmente abierto) de RRDfo-Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma
)()()(...)()(xgyxaxaydxaydxa=+++ y se llama lineal homogéneaademás g(x) = 0solucióndiferencial en el intervalo si, sustituida reduce a una identidad. Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solucióes exπresαβle μediαnte integrαles. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamétrica de soluciones de una E. D., una sencilla interpretación geométrica nos muestra que también la envolvente de la familia de curvas (si existe) es solución de la E. D. -Se define como πroβleμα de vαlor iniciαlπroβleμαs de vαlor φronterαfunción desconocida debe satisfacer.
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Proβleμα de vαlor iniciαlEs un problema que busca determinar una solu a una ecuación diferencial sujeta . Tales condiciones se llaman condiciones iniciαles.Proβleμαs de vαlor φronterα: Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta μás vαloresles condiciones se llaman -La función primitiva resultante, o función solución de una ecuación diferencial, parámetro, definiéndose esfamilia de (en el caso de existir sólo un parámetro) o familia de (en el caso de existir más de un parámetro)
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ETAPAS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO:1) FORMULACIÓN MATEMÁTICA ΔEL PROBLEMA CIENTÍFICOdas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático. Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problemaSi la intuición o la evidencia del experimentmedio del modelo podremos determinLas ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinLos procedimientos usados pueden producir luciones aproximadas. Frecuentemente para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de la informática. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemática que de las susodichas matemáticas. 3) INTERPRETACIÓN CIENTÍFICA ΔE LA SOLUCIÓN matemático o físico puede ser capaz de interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer as y tablas para poder comparar laexperimentos. Puede, incluso, basar una invesinterpretaciones de experimentos previos. Por supuesto que, si enmentos u observaciones sar el modelo matemático y su formulación matemática hasta que se consiga un resultado cuyo margen de error lo marque la persona o personas encargadas de los experimentos. Cada una de estas etapas es importante en la solución final de un problema aplicado.
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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y Tipos de aplicaciones:
1. Aplicaciones a la mecánica: 1.2 Las leyes del movimiento de Newton. 2. Aplicaciones a los circuitos eléctricos: 3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario. 4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento. 5. El cable cos leyes que gobiernan el comportamiento del universo físico. Por universo físico entendemos no sólo las cosas que observamos sino tambien las que no observamos, tales como los átomos y moléculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada formulada mediante las leyes del movimiento de Newton. Para los objetos que se mueven muy rápodemos usar las leyes de Newton. En su lugar debemos usar una versión revisada de estas mecánica relativista, . Para objetos de dimensiones atómicas las leyes de Newton tampoco son ones precisas del movimiento de objetos de dimensiones atómicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes denominadas mecánica mecánica cuántica y la relativista son muy complicadas, no siendo objeto de
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1.2 Las leyes del movimiento de Newton. Las tres leyes del movimiento prima la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo teniendo la misma dirección de la fuerza, ose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por su portante, conociéndose como la La tasa de cambio o variación en el momentum en el tiempo es así
)( el símbolo que indica proporcionde proporcionalidad k, obtenemos:
)(
es la aceleración. Así vemos que
depende de las unidades que deseemos usar. sistema CGS ( sistema Centímetro, Gramo, Segundo),En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al notar que la aceleración (esto es, dv/dt), o como la segunda derivada de de un desplazamiento (esto es, ).
sdmF==
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Una vez conocido el problema físico podemos aplicar estos conocimientformulaciones matemáticas de varios problemas de la mecánica clásica que involucran los interpretación de tales problemas.
Una masa de gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, das que describen el movimiento y a Diagrama de fuerzas:
A
Tierrat=0Pit
Pmg
xy
Formulación matemática
l tiempo cualquier tiempo posterior . En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignacieste ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje
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La velocidad instantánea en es v = dx/dt.
mgdtdvm o
Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que (0)Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial (t)
)((0)nera de formular el problema es escribir:
xd
xdEn tal caso tenemos una ecuación de. Una de ellas es (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A). La formulación matemática es:
xd
Cuando establezcamos ecuaciones diferencialepañaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de
Empezando con
obtenemos por integración v = gt + c
gtdtdx .
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Otra integración produce de la anterior ecuación
cgtx+= . Puesto que
gtx. Podríamos haber llegado al mismo resultado al empezar con
xd
xdEl signo más indica que el objeto se está moviem(dv/dt) = - mg
−=
xd−=Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma. 2. Aplicaciones a los circuitos eléctricos: Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos . Realmente, la teoría de la electricidad está ía electromagnética como las ecuaciones de . La ley de es adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos. El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie, en el cual tenemos una (fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como resistencia, la cual consume o usa energía, tal como una bombilla eléctrica, tostador, u otro electrodoméstico. En física elemental encontramos que la flujo de corriente en el forma simple, la ley dice que la corriente instantánea resistencia R) es directamente proporcional a la Simbólicamente: o es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente, ecuación anterior es conocida bajo el nombre de la ley de
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Circuitos más complicados, pero para muchos casos más prácticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son Un inductor se opone a cambios en corriente. Tiene un efecto de inercia en electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en mecánica. Un condensador es un elemento que almacena energía. En física hablamos de una caída de voltaje a través de un elemento. En la práctica podemoar esta caída de voltaje, o como se llamúnmente, por medio de un instrumento llamado voltímetro. Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen: es la caída de voltaje a través de una resistencia e es la constante de proporcionalidad llamada el simplemente
o
LElidad llamada el coeficiente de inductancia o simplemente la carga instantánea, entonces Q ó
donde hemos tomado como la constante de proporcionalidad, se conoce como el coeficiente de capacitancia o simplemente
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es anera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado () es igual a la suma de las caídas de voltaje.] Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito com se ilustra:
InterruptorCondensadorInductorResistenciaGenerador o batería
Como un ejemplo, considere un cir eléctrico consistente en una fuente de voltaje (batería o generador), una resistencia conectados en serie como se
LEI
K-
R
Adoptamos la siguiente convención: la corriente
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, la suministrada () es igual a la caída de voltaje a través del inductor (
) más la caída de voltaje a ), tenemos como la ecuación diferencial re
ERI=+Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circen serie con una resistencia de
C
-ER
I
Aquí la caída de voltaje a través de la resistencia es y la caída de vltaje a través del Q/C
=+ tal como aparece esto no es una ecuación diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la variación de la carga con el tiempo, esto es, dQ/dt,
=+
=+cual es una ecuación diferencial para la carga instantánea. Acompañando a las ecuaciones diferenciales obtenidas están las condiciones que se derivan, por supuesto, del problema específico considerado.
interruptor cierra en tiempo , establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo
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Formulación matemática:
Llamando a según el primer circuito
LRIE+=Puesto que el interruptor se cierra en I= 0
La ecuación diferencial anterior
LRIE+=primer orden lineal exacta; buscando un factor integrante obtenemos
et)( . Multiplicado por este factor la ecuación, da
LeRIeEe+=
Ied)(
+= , podemos c
LRIE+= puede también resolverse por separación de variables. Los problemas de este tipo se resuelven todos de la misma forma. r en estado estacionario.Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos terial es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor específico, densidad, etc.
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BA100ºC90ºC75ºC50ºC
se mantienen a 50ºC, respectivamente, todo alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. estarán a 75ºC,y en el plano a 90ºC. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varía con el tiempo decimos que o que tenemos un flujo de calor en Como otro ejemplo se considera un tubo de material uniform
80ºC
40ºC60ºC
mantiene a 80º y la interna a 40ºC.C. Sin embargo, itad entre las superficies interna y externa. (figura de la pared) se llaman líneas
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La curva punteada del tubo es una curva isotérmica. Los planos correspondientes de la pared y los cilindros se llaman superficies isotérmicas. érmicas no pero pueden ser una familia de curvas como se muestra en la siguiente figura (curvas
Las trayectorias ortogonales de la familia se llaman flujo. icas contiguas separadas por una distancia n.
AnS1
S2
Considerando que la temperatura correspondiente a la superfie Llamando a la diferencia de temperatura Experimentalmente se encuentra que aproximadamente proporcional a La aproximación llega a ser más precisa a medida que desde luego ) se hace más pequeño. En el
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caso límite, a medida que lo cual se llama el (variación de en la dirección normal a la superficie o curva isotérmica). Si ea y unidad de tiempo, tomamos como nuestra ley física:
dndTq ó
kqSi deseamos considerar a como una cantidad vectorial (tagnitud), el razonamiento es el siguiente. Considere como positiva la dirección de 2. positiva, entonces aumenta y, por tanto, debemos tener . Así, el calor realmente (de mayor a menor temperatura); esto es, el flujo de calor está en la De modo similar, si disminuye, ; esto es, el flujo de calor está en la dirección positiva. mediante un signo me
kq esto es, cantidad de calor por unidad de tiempo que fluye a través de un área (cantidad vectorial) =
(proviene de la teoría de campos).depende del material usado y se llama
Un tubo largo de acero, de conductividad térmica . La superficie interna se mantiene a y la superficie exterior se mantiene a (a) Definir la temperatura comodel eje común de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura en (c) ¿Cuánto calor se pierde por ulación matemática
Es claro que las superficies isdros concéntricos con los cilindros dados.
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Así, la ecuación puede escribirse
rLkq)2(−=es una constante. Las condiciones iniciales son:
Ecuación diferencial de variables as sobre transmisión de calor: lugares de más baja temperatura. Físicamente, cuando un extremo de una barra aumenta de temperatura, el movimiento aleatorio de las moléculas en este extremo se aumenta con un incremento resultante en velocidad y número de colisiones entre moléculas. Las moléculas con más alta velocidad tienden a moverse hacia el otro extremo de la barra, dando lugar a colisiones adicionales y a un consecuente incremento gradual en temperatura en el resto de Podemos considerar una conducción de calor como una sin embargo, no está limitada a la conducción de calor. 4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
positivo, aumenta. En este caso hablamos de que crece, y el problema es de crecimiento. Por otro lado, si dy/dt es decrece. Aquí el problema es uno que involucra decrecimiento.
identificada como una ecuac , resolviendo mediante integración,
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definiéndose la ecuación diferencial
como la ley ley de decrecimiento exponencial
. El agua se agita y se guarda en un cuarto el cual está a una temperatura constante de la temperatura Encuentre la temperatura del agua después de¿Cuándo la temperatura del agua será de ? Siendo Formulación matemática
La diferencia de temperatura enTomando como base en la experiencia, uno espera que la temperatura cambie más rápidamente cuando ( es grande y más lentamente cuando (Desarrollemos un experimento en el cual tomamos tempertiempo, siendo el cambio en temperatura y el tiempo para producir este cambio. Tomando a pequeño esperamos que será muy cercano a Si hacemos una gráfica representando , podríamos producir un gráfico similar

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Los puntos marcados están determinados por el experimento. Puesto que el gráfico es, aproximadamente, una línea recta, asumimos que
)(TaΔ=dT/dt es negativo T) es positivo, y así escribiremos La ecuación es
)(ThΔ−=. Esta ecuación se conoce en física como la ley de enfriamiento de Newton es de importancia en muchos problemas de temperatura. Realmente, es sólo una aproximación a la situación física. Las condiciones que acompañan esta ecuación se
ración de variables tenemos:
−=T)= -ht + c-htiniciales podemos calcular las constantes ación al problema
Por métodos experimentales similares a los indicados en el problema anterior de temperatura obtenemos la siguiente ley: Antes de formular matemáticamente esta ley, consideremos el fenómioactividad con algún detalle. Cuando un elemento radioactivo como el radio o el uranio se desintegran, emiten partículas de una manera aleatoria. Cada una de estas partículas tiene una masa definida, la cual es pequeña. Si empezamos con una masa de 1 g del material radioactivo y consideramos lo que sucede cuando se emitesimilar a la que muestra en la figura.
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Pérdida de partículas
es la cantidad de sustanciempezamos con significa que se han emitido partículas; cuanto más grande sea la baja, mayor será el número de partículas emitidas. Así, la cantidad de la sustancia radioactiva es, en realidad, una función . Entonces, ¿qué se quiere decir con Para obviar esta dificultad matemática, aproximamos la curva ver una curva Así, no cometemos mucho error, y al mismo tiempo aseguramos tener un gráfico para el cual existirá en todo el dominio. Aquí estamos construyendo una abstracción matemáentemente en física debido al tamaño finito, aun de la partícula más pequeña, en otras palabras, debido a la teoría atómica. Aun en los problemas de circuitos eléctricos ocurre la abstracción matemática. Formulación matemática
la cantidad de elemento radiactivo presente después de dAón matemática anterior) represendesintegración del compuesto.
AdtdA ó
decreciente, entonces vemos que debe ser positiva. Escribiendo
−=la cantidad del compuesto presente inicialmente.
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Solución
Separando las variables, tenemos al integrar:
−= ckteA+−podremos calcular las constantes necesariameismo nivel. Suponiendo que el cable es flexible de modo que debido a su carga (la cual puede ser dezas externas actuantes, o a una combinación de éstas) toma la forma como en la figura. Siendo la posición más baja del como en la figura, donde el eje
P
(x,y)
y

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PH
C
W (x)
Q
(x,y)
Considere aquella parte del cable entre el punto más bajo y cualquier punto te estará en equilibrio debido a la tensión , y la carga vertical total en el segmento CP del cable denotada por W(x), la cual asumimos que actúa en algún punto necesariamente en el centro del arco Para el equilibrio, la suma algebraica de las a cero, y la suma algebraica de fuerzas en el eje gual a cero. Otra forma de indicar lo mismo es que la suma de fuerzas hacia la ma de las fuerzas hacia la izquierda, y la suma de fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma deDescomponemos la tensión en dos componentes (líneas punteadas en la figura), la agnitud la componente vertical con magnitud Las fuerzas en la dirección hacia la izquierdaa, mientras TsenØhaciendo equilibrio de acciones o fuerzas en las direcciones de los ejes tenemos: s
tensión en el punto más bajo, pe. Derivando esta última ecuación con respecto a , tenemos:
Hdxyd
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representa el incremento en por unidad de incremento en ; esto es, la carga por unidad de distancia en la dirección horizontal. La ecuación diferencial anterior es fundamental.
Un cable flexible de poco peso (despreciable) soporta Determine la forma del cable. (Este es el problema de determinar la forma del cable en un el cual es de gran uso en
xy
Formulación matemática
La ecuación
Hdxydse cumple aquí y nos resta determinar la carga por unidad de incremento en la dirección horizontal. En este caso llamada el peso por unidad de longitud del puente. Llamando a esta constante , tenemos
ydla distancia del punto más bajoos
es un punto mínimo.
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Integrando dos veces la ecuación
ydencontramos que
+=, siendo esta la ecusegún la figura. Se supone que la viga es uniforme en su sección transversal y de mterial homogéneo. El eje de simetría se encuentra en el plano medio indica por la zona sombreada.
AB
Cuando está sometida a fuerzas, las cuales suponemos que están en un plano que contiene el eje de simetría, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la siguiente figura.
AB
la viga, a cargas aplicadasuna combinación de ambas. El eje de simetría situado en el plano medio distorsionado de la segunda figura, se llama la . La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad. Hay muchas maneras de apoyar vigas.
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: una viga en la cual el extremo está rígidamente fijo, mientras que el extremo está libre, para moverse. : la viga está apoyada en los dos extremos Hay más formás condicionproblema. Así comovigas, también hay diferentes maplicar fuerzas de carga externa. en una parte de ella. de la figura siguiente. Colocando el eje de simado como positivo a la derecha y con origen en como positivo hacia abajo.
x=0
A0
F1
F2yx=LBF3
M(x)
x=0
F1
x
F2
x=LBF3XXYY
(y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría se distorsiona ástica que se muestra punteada en la figura de abajo donde hemos tomado la viga como fija en . El desplazamiento de la curva elástica desde el eje se llama la determinamos la ecuación de la curva elástica,Para poder formular la ecuación debemos saber:
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M(x) el momento flector en una sección transversal momento flector se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que , los momentos se toman sobre una línea horizontal en la sección . Al calcular los momentos adoptaremos la conveproducen momentos producen momentos asumiendo por supuesto que el eje se toma hacia abajo como se mencionó antes. No importa cuál lado de se tome puesto que los momentos flectores calculados desde El momento flector en está simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elástica en , siendo la relación:
)()'(1''xMes el módulo de elasticidad de Young y depende del marespecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección se llama la rigidez y se considerará como una constante. Si asumimos que la viga se dobla sólo leveme de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es despreciable compplazar por la buena aproximación: )(''xMEIy
Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud la ecuación de su curva elástica. Formulación matemática
En la figura se muestra la curva elástica de la viga (línea pcadas; puesto que la viga está simplemente soportada en lleva la mitad del peso wL/2.
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Las Ecuaciones Diferenciales y
x=0
wL/2
wx
P
w(L-x)
x=LBwL/2
X
El momento flector M(x) es la suma algebraica de los mactuarían dos fu1. La fuerza hacia abajo w (L - x), a una distancia (L -x)/2 de mento wL/2, produciendo un momento negativo. En este caso el momento flector es:
222)())(()(wLxwxwLxLxLxLwxM−=−−−=M(x),
22''wLxwx−=Dos condiciones son necesarias para determinar en x = L, ación en los extremos o apoyos.
Integrando dos veces
22''wLxwx−=
211224cxcwLxwx++−=, tenemos
xcwLxwx1224+−=/24 y tenemos, finalmente:
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)2(33xLLxx+−Como la ecuación requerida de la curva elástica. Es de intefinal
)2(33xLLxx+− para hallar la máxima deflexión. De la simetría o por el cálculo, el máximo ocurre en de donde la flecha máxima será:
EIwLy38454max
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Las Ecuaciones Diferenciales y
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: Tipos de aplicaciones:
1. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos: 1.1 El resorte vibrante (movimiento armónico simple). 1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movim1.3 El resorte con fuerzas externas. 1.4 La resonancia mecánica. de sistemas mecánicos: El sistema más simple disponible para estudiar el movimiento vibrento vibr()suspendido verticalmente de un soporte fijo. cuelga del resorte [figura(b)].
Cuando el peso está en reposo describimos su posición como la posición de equilibrio. Si el tiene una cierta diio, estará bajo un movimiento posición de equilibrio [figura(c)].Queremos averiguar el movimiento que realiza el cuerpo en su desplazamiento respecto de la posición de equilibrio. Para conseguir este propósito, tendremos que conocer las fuerzas que actúan sobre el peso durante su movimiento. Por la experiencia vemos que hay una fuerza que
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hace regresar o restaurar un peso desplazado a su posición de equilibrio. Esta fuerza se llama la al de la ley generalizada de Hooke. Nos referiremoe Hooke, la cual se enuncia como sigue:(“la fuerza es Denotamos la magnitud de la fuerza restauradora por | ilibrio. Se supone la dirección positiva hacia abajo, de modo que por encima de esta posición.
xf o
xkfdureza del resorte y se llama constante del resorte o módulo de elasticidad del resorte. determinar la dirección de la fuerza, observamos que cuando la fuerza está dirigida la fuerza está dirigida hacia abajo y es por tanto positiva. Esto se puede satisfacer, sólo si la fuerza está dada tanto en magnitud como dirección por - de modo que la ley de Hooke es: se coloca en el reso se estira una distancia como se ve en la anterior elongamiento, y así tán en equilibrio se tiene que Cuando el peso se baja más y se suelta, su pospo se muestra en la a la ley de Hooke, Sigue que la fuerza neta en la dirección positiva está dada por:
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ncial que describe el movimi
xd−=Así, la fuerza neta es simplemente la fuerza restauradora y no depende del peso
estira un resorte que describan el movimiento. como una función del tiempo. Formulacióatemática
: Por la ley de Hooke:
xkf
Pf
La ecuación diferencial que describe el movimiento
xd−=Puesto que inicialmente (tenemos También, puesto que el peso se sueltaesto es, tiene
0dtdx t = 0 .
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Las Ecuaciones Diferenciales y
La respuesta a la cuestión (a
xd−=con las condiciones
0dtdx en t = 0 Solución
Por el teorema de existencia y unicidad, para ecuaciones lineales, sacamon auxiliar que nos permite llegar a la general. La ecuación auxiliar sale de
xd−=llamando a
ex
tenemos
=+xdemD22
=+xd de donde sacamos 0)(=+eED0)(=+eEm y tiene raíces ecuación diferencial tiene la solución de la forma: ececx+=De otra forma podemos calcular la solucila ecuacióntendremos que para
=+xd
=+
=+
=+separado variables e integrando tendremos entonces
cExv=+ despejando
Excv−±= como x´= v
³³±=Exc22
cEt+±=senEtccEtsencccEtcx21212)(=+±= que se puede escribir como : siendo
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Las Ecuaciones Diferenciales y
Como la ecuación x = A sen Et + B cos Et, y la ecuación rrelación entre ambas de tal forma que: ececx+=ecec+≡+Et cos B Et sen A si consideramos que en tendremos diferenciando en ambos lados de la ecuación 21 Bcc+=ecec+≡+Et cos B Et sen A
ececEi−≡)Et sen B Et cosE(A
para t = 0 21)E(A ccEi−≡
21cci
,,tendremos:
21 Bcc+=21cci−=ececicic+≡−++ Et)sen (cosEt Et)sen Etsen cosEt+= x = x encontramos así que sustituyendo en
podemos encontrar el valor de y con lo cual la empo, en la ecuación de la posición:
)(tv
)(taxdlores a la posición, se ve que el peso empieza en a la posición x =-A . Este ciclo se repite una y otra vez. Físicamente el gráfico describe el movimiento y abajo del resorte, el cual se llama movimiento armónico simple. En general, cualquier movimien
xd−=
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Las Ecuaciones Diferenciales y

es una constante, será movimita ecuación nos dice que la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento pero en do por el signo menos). Llamamos al desplazamiento máximo del peso de su posición de equilibrio (esto 0) lo completo se llama Del gráfico vemos
T4
; otra forma de ver que el período es
4
,sin el gráfico, es determinando cuándo el peso está en un extremo de suel punto más alto, o más bajo). Cuando tomamos el punto más bajo dado por cos Et = Et , . . .la primera vez que diferencia entre tiempos sucesivos es El número de ciclos por segundos se llama
) = Número unidades de tiempo por ciclo = ) = Número de ciclos por unidad de tiem
441 En general si T es el período, la frecuencia f está dada por
damodiciones iniciales:
0dtdx en t = 0 . 0x
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obtenemos una ecuación de la forma: x = a cos Et + b sen Et llamando a tendremos ecuación la podemos poner de la forma:
)(22φZ+=tsenbatbsentaobtenida de
+=+)coscos()(2222φZφZφZtsenbatsenba
tbsentababatsenbaZZ+=+=)(cos)(222222 a menudo se llam
Si un movimiento se puede describir de la forma: )(
+=tAsenx
entonces
==

2T
El movimiento armónico simple se da en muchos otros casos además iento del péndulo
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Las Ecuaciones Diferenciales y
Los resortes considerados en el apartado ano, se mantenían constantes en el tiempo. En la práctica, es como la resistencia del aire) actúan para decrecer la amplitud de las oscilaciones y finalmente traer el sistema al reposo. Una manera para obtener una mejor aproximación a laley exacta para esta fuerza no se conoce, puesto que depende de muchas variables, pero se ha encontrado mediante la experimentación, queñas, la magnitud de la fuerza amortiguadora es aproximadamente prLa magnitud por tanto está dada por:
oporcionalidad llamada la La fuerza amortiguadora se opone al movimiento, de modo, que cuando el peso va bajando la fuerza amortiguadora actúa haientras que actúa va subiendo. Asumiendo hacia abajo como la dirección positiva, vemos que la fuerza amortiguadora debe ser negativa cuando sea positiva, y debe ser positiva cuando sea negativa. Así, con , es claro que la fuerza amortiguamagnitud como en dirección por Cuando se tienen en cuenta las fuerzas restauradoras ya consideradas, según la ley de Newton, la ecuación diferencial del movimi
xd−−=
=++xd
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Las Ecuaciones Diferenciales y
estira un resorte que describan el movimiento. ión del tiempo. Formulación matemática
Teniendo en cuenta la fuerza amortiguadora La ecuación del movimiento será
=++xd
0dtdx en t = 0 Solución
Por el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales sacamn auxiliar que nos permite llegar a la general. La ecuación auxiliar sale de
=++xdllamando a
y a ex
WkgE
WgF
tenemos
=++xd meDemD22
=++xd la anterior tendremos: y tiene raíces 0)=++eEDFD0)=++eEmFm0)=++EmFm
39
Las Ecuaciones Diferenciales y
EFF−±−la solución de la forma: tmtmececx+=
EFF−+−
EFF−−−De otra forma biam±−=
E
F42

tbitabiatbiatececeececx−−+−+=+=)()(
siendo la expresión
ececx+=
cuya solución general debe ser como la ecuación entre ambas, de tal forma que: bt cos B bt sen A x +=ecec+≡+bt cos B bt sen A si consideramos que en t = 0 tendremos diferenciando en ambos lados de la ecuación 21 Bcc+=ecec+≡+bt cos B bt sen A
ececbi−≡)bt sen B bt cosb(A
para 21)b(A ccbi
con lo que con los valores obtenidos antes de A y B ,
21cci−=21 Bcc
,
21cci
tendremos , con lo cual ececicic−≡−++ bt)sen (cosbt bt)sen btsen cosbt+= x = x encontramos así que sustituyendo en bt cos B bt sen A x +=
ecec+≡+bt cos B bt sen A
tbitaecece+≡+bt cos B bt sen A
tendremos que la segunda ecuación se convierte en
tbitaececex+=
BsenbtbtAex
40
Las Ecuaciones Diferenciales y
Determinando las constantes citadas anteriormente, encontramos la ecuación de la posición en función del tiempo, que determina una gráfica de
Si hacemos uso de la identidad
)(22φZ+=tsenbatbsentaBsenbtbtAex
)(22φZ+=tsendcexa está entre los gráficose líneas representa un mínimo relativo, mientras que el punto sobre la curva punteada. La diferencia constante en tiempos entre máximos (o mínimos) sucesivos se llama cuasi período, aunque se puede referenciar éste como el período. El ncionales no se repiten como lo harían si realmente hubiera periodicidad. El movimiento descrito en este ejemplo se llama
)(22φZ+=tsendcex
tiene la forma )()(
tsentx

41
Las Ecuaciones Diferenciales y
El cuasi período está dado por:
2T
Por analogía con el caso no amortiguado, (t)más exactamente la Se ve que la amplitud decrece con el tiempo, estando así de acuerdo con lo experimentado. Un hecho destacado es que la frecuencia con amortiguamiento es menor que aquella sin amortiguamiento, esto es posible ya que se esperaría oposición al movimiento para incrementar el tiempo para un ciclo completo. La frecuencia sin amortiguamiento, esto es, con , a menudo se llama la frecuencia Esta es de gran importancia en conexión con el fenómeno de resonancia a ser discutido posteriormente. La fuerza amortiguadora puede ser demasiado grande comparada con la fuerza restauradora para permovimiento oscilatorio. 1.3 El resorte con fuerzas externas. En los casos anteriores vimos el problema dese mueve arriba y abajo en una manera especificada tal como en movimiento periódempuje cada vez que alcanza la posición más bala ecuación diferencial para el movimiento es:
)(tFkxxd+−−=
)(tFkxxd=++donde la última ecuación puede escribirse:
)(tFcxxd=++), a menudo llamada la ecuación de
42
Las Ecuaciones Diferenciales y

estira un resorte por debajo de la posición de equilibrio y se suelta actuando sobre él una fuerza BtAtFcos)(
:
que describan el movimiento. como una función del tiempo. Formulación matemática
: La ecuación diferencial es:
BtAcxxd=++las condiciones iniciales son:
t = 0
Estudiando la primera parte
xd++=
se vería como exemD220)=++ecbDaD donde en está ultima ecuación guales a cero de tal forma que usando la definición de 0)=++xcbDaD
43
Las Ecuaciones Diferenciales y
(x),…, y (x) denotadas como dice que linealmente dependientes cero, tales que en el intervalo 2211
nnyyy
en caso contrario se dice que el
averigua mediante el Wronskiano. Teorema: Si son linealmente dependientes en un existen en el intervalo, entonces el Wronskiano de
1221212121´´´,´,,det),(yyyyyyyyyyW−=es idénticamente cero (esto es, W= 0) Este teorema puede enunciarse en términos de independencia lineal como sigue: no es idénticamente cero (esto es, son linealmente independientes en el intervalo. Esto es cierto puesto que si fueran linealmente dependientes en el intervalo su Wronskiano sería idénticamente cero en el intervalo según el teorema anterior. Esta contradicción muestra que las funciones no son linealmente independientes, esto es, son linealmente dependientes en el 0´´1221≠−
yyyyW
tenemos

02
.
Retomando la ecuación y por el teorema de existencia-unicidad para , tomando como soluciones de la ecuación a 0)=++xcbDaD0)´´´(111=++cxbxax0)´´´(222
cxbxax
multiplicando a la primera ecuación por 0´)´(´´)´´(12211221=−+−xxxxbxxxxaPuesto que el Wronskiano está dado por 1221´´xxxxW
y ya que
44
Las Ecuaciones Diferenciales y
12211221´´´´)´´(xxxxxxxx−=−=
=+
integrando
ct

−+−dttctdtceeeeWrelación importante conocida como la ceW
ceW nunca es cero, vemos que el Wronskiano idénticamente c = 0. No puede haber nada intermedio. Con todo lo anteriormente dicho, tendremos el siguiente teorem0)=++xcbDaDen algún intervalo. Entonces el Wronskiano
cexxxxW2121´,´,,det y es ya sea idénticamente cero en el intervalo o nunca cero en el intervalo. Usando este teorema, podemos probar ahora el siguiente teorema para el caso de que sean soluciones de la ecuación 0)=++xcbDaDTeorema: Sean en algún intervalo. Entonces 0)=++xcbDaD son linealmente dependientes si y sólo si son linealmente independientes si y sólo si en el intervalo. De los dos Teoremas anteriores podemos obtener el siguiente teorema útil: Teorema: Sea 0)=++xcbDaD
45
Las Ecuaciones Diferenciales y
una solución linealmente i
cexxxxW2121´,´,,detdividendo en los dos termino por
)(dtt
dtt=+)(integrando y tomando la constante de integración c = 1, k = 0
xxdtt12Otros teoremas importante nos dicen: son soluciones linealmente independientes de la ecuación es una solución de la ecuación para cualesquiera constantes 0)=++xcbDaD2211xcxcx+=21cc son soluciones linealmente independientes de 0)=++xcbDaDsolución particular de )()tFxcbDaD=++xxcxcx
2211
para cualesquiera constantes )()tFxcbDaD=++De estos dos últimos teoremas se puede desprender: como aquella selección de estas constantes se denominan En la mayoría de los problemas de naturaleza práctica la solución iona la solución significativa después de determinar las constantes tas tienen “generalmente” poco De estos teoremas vemos que no hemos encontrado la ias (el mismo número como el orden de la ecuación diferencial), la cual hemos llamado la sino en realidad otras soluciones es, esto es, casos especiales de la la selección apropiada de las constantes. Así, estos Teoremas garantizan que no lineales, aciones diferenciales no lineales
46
Las Ecuaciones Diferenciales y
Como contiene una función de los términos utilizar el método de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular. BtAtFcos)(Ensayando como solución particular BtcsenBtcx
de
)()tFxcbDaD=++BtcsenBtcx+=senBtBcBtBcxcos´
BtcBsenBtcBx−=)(´´´´tFcxxbax
calculamos el valor de las constantes
21ccLa solución complementaria se obtiene de la misma forma que en el apartado anterior 1.2 BtAexcon lo que la solución general será de la forma: BtcsenBtcBsenBtBtAexxxpc+++=+=Usando las condiciones iniciales podríamos determinar el gráfico siguiente:

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Las Ecuaciones Diferenciales y
Cuando la frecuencia de una fuerza externa periódica aplicada a un sistema mecánico está relacionada de una manera sencilla con la frecuencia natural del sistema, puede ocurrir el fenómeno de la resonancia mecánica, la cual eleva las oscilaciones tales que el sistema puede desplomarse o colapsarse. Una compañía de soldados marchando en fila a través de un puente puede de esta manera hacer que el puente colapse. En una manera análoga, puede ser posible que una nota musical de una frecuencia característica propia estalle un cristal. Debido a los grandes daños que mecánica es en geita ser evitado, especialmente por el ingeniero al diseñar estructuras o mecanismos vibrantes. La resonancia mecánica puede también servir para propósitos útiles. Por ejemplo, si un automóvil se quedara atascado en la nieve , al aplicarle una fuerza con esta misma frecuencia, la resonancia mecánica resultanliberarlo.
estira un resorte se suelta aplicándole una fuerza externa BtAtFcos)(Describir el movimiento que resulta si se supone que inicialmente el peso está en la (x = 0) Formulación matemática
el movimiento es por tanto
)(tFkxxd+−=
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Las Ecuaciones Diferenciales y
Puesto que inicialmente (tenemos También, puesto que el peso se sueltaesto es, tiene
0dtdx en t = 0 . Solución
Como contiene una función de los términos cosBt, con lo que podemos utilizar el método de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular. BtAtFcos)(Ensayando como solución particular BtcsenBtcx
de
)()(tFxkD=+BtcsenBtcx+=senBtBcBtBcxcos´
BtcBsenBtcBx−=
)(´´tFKxx=+calculamos el valor de las constantes por tanto la solución particular. 21ccLa solución complementaria de
)(tFkxxd+−=se obtiene de la misma forma que en el BsenBtBtAx
cos
general será de la forma: BtcsenBtcBsenBtBtAxxxpc
++=+=
iales, podemos observar de donde podemos sacar que: BtcsenBtcx+=podríamos determinar el gráfico siguiente:
49
Las Ecuaciones Diferenciales y
BtcsenBtcx
está entre los gráficos de como se muestra en la figura. Se puede ver enilaciones van creciendo sin límite. Naturalmente, el resorte está limitado a romperse dentro de un corto tiempo. En este ejemplo, el amortiguamiento fue iEn el caso donde ocurre amortiguamiento las oscilaciones no crecen sin límite, pero sin uy grandes, la frecuencia de la fuerza externa aplicada es ligeramente menor que la frecuencia natural del sistema.
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