Investigación de Operaciones - editorialpatria com mx

herramienta fácil de entender y usar por la mayoría de los estudiantes de las diversas carreras de inge-niería y administración. Su capacidad para comunicar el modelo y su solución a los interesados es otra de sus cualidades. Sin duda, con las bases que ofrece Investigación de operaciones. Serie Universitaria Patria, el


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PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Gastón Vértiz CamarónJesús Fabián López PérezGuillermo Jiménez LozanoInstituto Tecnológico Autónomo de MéxicoMarco Antonio Montufar BenítezEva Selene Hernández Gress
GRUPO EDITORIAL PATRIA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Gastón Vértiz CamarónJesús Fabián López PérezGuillermo Jiménez LozanoInstituto Tecnológico Autónomo de MéxicoMarco Antonio Montufar BenítezEva Selene Hernández Gress
Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Estela Delfín RamírezIlustraciones: Adrian Zamorategui BerberFotografías: © ThinkstockphotoDiagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.Marco Antonio Montufar BenítezEva Selene Hernández GressUniversidad Autónoma del Estado de HidalgoRevisión técnica:Alejandra Gómez PadillaUniversidad de Guadalajara-CUCEIManuel Álvarez MadrigalInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey-CCMInvestigación de OperacionesDerechos reservados:© 2014, Iris Abril Martínez Salazar, Gastón Vértiz Camarón, Jesús Fabián López Pérez, Guillermo Jiménez Lozano, Luis Antonio Moncayo Martínez.© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro Núm. 43en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.Impreso en MéxicoPrinted in Mexico
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A cada una de las personas quienes contribuyeron en el desarrollo de este libro.Una vez concretado el libro, quiero agradecer de todo corazón a Grupo Editorial Patria por haberme permitido participar como autor. Mi mejor deseo es que mi participación en la obra en realidad contribuya a la formación de las futuras generaciones de estudiantes comprensión de los temas de programación lineal que se abordan.Gastón Vértiz CamarónA mi madre y a mi hermano.A mi esposa Albanery, con quien he compartido los mejores momentos, y espero al máximo los que vienen; “TE QUIERO MUCHO”.A mi hija Xiomara Alexandra, quien recién comienza su vida laboral en Bogotá, la cual espero sea demasiado fructífera.Universidad de Guadalajara; aspiro a que construya una magníca profesión.A mis hijas les he permitido hacer todo Todas ellas y ellos son los motores de mi vida.Guillermo Jiménez LozanoA Eleonora y Emilio, quienes son mi amores.Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Toluca, Universidad de Lleida, Secretaría de Educación Pública, Al apoyo editorial encabezado por la Ingeniera Estela Delfín Ramírez.Marco A. Montufar B.A la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH), por permitirme desarrollarme profesionalmente haciendo lo que más me gusta: impartir clases.Al maestro Marco Montufar, por invitarme a participar en este libro.A mis alumnos por dejarme ver con claridad cuáles son los requerimientos para que un libro de texto cumpla su función.A mis padres, por haberme inspirado a ser docente.Eva Hernández
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Investigación de operaciones. Serie Universitaria Patria, destacada obra desarrollada por especialistas e investigadores de importantes universidades de México y Colombia, consta de cinco unidades y un apéndice, cada una de las cuales está estructurada con breves explicaciones teóricas, problemas re-sueltos paso a paso, algunos de estos resueltos con el apoyo de software especializado, alertas (notas de atención para resolver los problemas) y problemas para resolver.La unidad 1 está dedicada a la formulación de modelos matemáticos utilizados en investigación de operaciones. A lo largo de esta se listan los principales elementos de los modelos matemáticos y se describen algunos de los modelos clásicos, a través de la presentación de ejemplos en los que se ex-plica, paso a paso, la construcción de estos. Además, también se analizan diversos tipos de funciones objetivo y de restricciones. Conocer y comprender la forma en que se modelan distintas situaciones facilita al lector la formulación de modelos matemáticos que representen (y apoyen en la solución) del problema bajo estudio.La segunda unidad, Programación lineal, tiene como objetivo presentar la programación lineal continua (PLC) y sus métodos de solución; en esta, se analiza qué es la PLC, además de que también se estudian y describen sus prerrequisitos, las formas de representación de un modelo de PLC, así como los conceptos de variable de holgura, variable de excedencia, variable articial y variable irrestricta. En general, existen varios tipos de modelos de programación lineal que presentan estructuras especiales, las cuales pueden ser aprovechadas y explotadas para la construcción de algoritmos más ecientes, con el n de obtener cotas de búsqueda en el espacio solución y, al mismo tiempo, para obtener soluciones factibles de alta calidad. Inherentemente, la mayor parte de este benecio tiene que ver con tomar ventaja de este tipo de estrategias para atender y resolver problemas de alta di-mensionalidad y escala, y poder lograr soluciones hasta la optimalidad. Lo anterior no es trivial, pues en la práctica habitualmente se tienen limitaciones de tecnología computacional, lo que ha motivado la investigación y el desarrollo para atender problemas de gran escala. Esto, sin duda, es en particu-lar aplicable para los modelos de redes que se exponen en la unidad 3, Aplicación de modelos de redes en la solución de problemas para la toma de decisiones. Pues, para el caso de los modelos de redes es posible referenciar históricamente el problema de transporte. El desarrollo de procedi-mientos de solución ecientes para este tipo de problemas resultó en la primera aplicación de amplia utilización de la programación lineal en el ámbito industrial. En esta unidad se presentan y analizan las diversas propiedades y variantes que habitualmente se utilizan en los modelos de redes. Asimismo, aquí se formulan y plantean diversos ejemplos para estos modelos, al tiempo que también se presenta su enfoque de solución. De manera muy particular, en esta obra se exponen y desarrollan variantes de los modelos de redes, en los cuales se introduce el uso de variables binarias y enteras, dando lugar al desarrollo de modelos de programación mixta entera.La solución de todos los problemas concernientes al problema de transporte de la unidad 3 se resuelven con la aplicación del algoritmo simplex, desarrollado en la unidad 2.La unidad 4, Programación lineal discreta, se divide en seis partes bien identicadas. En la pri-mera se realiza una introducción a la programación lineal entera, algoritmo de Gomory, algoritmo de cación y acotamiento (branch and bound), método de enumeración exhaustiva (enumeración explícita), cada uno acompañado con ejemplos de aplicación. La segunda parte comienza con una introducción a la programación lineal entera binaria y continúa con la explicación de los métodos de enumeración implícita cero-uno y aditivo (enumeración) de Egon Balas, con diversas aplicaciones a través de ejemplos. En la tercera parte se hace una introducción a la programación lineal entera mixta,
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acompañada de ejemplos de aplicación. En la cuarta sección se realiza una introducción al problema del transporte (distribución), se muestran los principales métodos de solución, ejemplos de aplicación, problemas de transporte de maximización, soluciones degeneradas y problemas del transporte gene-ralizado. La quinta parte comienza con una introducción al problema de la asignación, se muestran los principales métodos de solución, ejemplos de aplicación, problemas de asignación de maximización y problemas de la asignación generalizada. En la última parte se plantean problemas de programación lineal entera, programación lineal entera binaria, programación lineal entera mixta, problema del trans-porte y problema de la asignación.Por último, en la unidad 5, Algoritmos especiales: el problema del transporte, se presenta con detalle el problema del transporte, donde cada una de sus variantes es un caso especial en la progra-mación lineal. El problema tiene como objetivo minimizar los costos de distribución de cierto número de unidades de las fuentes u orígenes a los destinos. En el modelo más elemental, las fuentes son entidades que ofertan cierto número de unidades, mientras que los orígenes reciben cierto número de unidades. Esto implica considerar que los orígenes son proveedores de unidades y los destinos las entidades que demandan las primeras. El problema es muy común en la práctica profesional.La presente obra también cuenta con un apéndice, cuyo objetivo principal es introducir al estu-diante en la solución de varios tipos de problemas cotidianos de programación lineal mediante el uso del software Solver de Excel; por ejemplo: problemas de producción, de ruta más corta, de asignación, de transporte y de ujo máximo. La idea principal de usar Excel es que este programa constituye una herramienta fácil de entender y usar por la mayoría de los estudiantes de las diversas carreras de inge-niería y administración. Su capacidad para comunicar el modelo y su solución a los interesados es otra Sin duda, con las bases que ofrece Investigación de operaciones. Serie Universitaria Patria, el alumno será capaz de poner en práctica otras herramientas computacionales, con el n de desarrollar modelos y encontrar su solución, sobre todo en modelos de gran escala.
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oblemas para resolverProblema retoReferencias bibliográcasProgramación linealIntroducción a la programación lineal continuaoblemas para resolverProblemas retoReferencias bibliográcasReferencias electrónicas
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Aplicación de modelos de redes en la solución de problemas para la toma para redesModelo de redes para problemas de asignación Modelo de redes aplicado al problema de Modelo de redes aplicado al problema de asignación Modelos de redes para problemas de transporteModelo de redes para el problema de ujo máximoModelo de redes para el problema de costo mínimo Modelo de redes para el problema de la ruta crítica aplicado en la planicación de proyectosModelo de redes aplicado a problemas de costo jo Modelo de redes para el problema de oblemas para resolverProblema retoReferencias bibliográcasProgramación lineal discretaIntroducciónProgramación lineal entera binariaProgramación lineal entera mixtaProblema del transporte o distribución Problema de asignación o ajación oblemas para resolverProblema retoReferencias bibliográcasReferencias electrónicas
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Introducción al problema de transporte Modelo de programación lineal del problema Tabla simplex del problema de transporte Métodos de aproximación para obtener una Problema de asignación Método húngarooblemas para resolverProblemas retoReferencias bibliográcasReferencias electrónicas IntroducciónSolución de problemas de programación lineal (PL) Modelo en hoja de cálculo para el problema esentación de las restriccionesRepresentación de los límites sobre las variables
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oblema de transbordooblemas para resolver
UNIDAD
Entenderconceptoobjetivo,restricciones,parámetrosvariables.
Reconocerdiferentesvariables.
Entenderconceptomodelado.
Entenderrelaciónentrematemático.
Conocer
Formular
¿QUÉ SABES?
¿Cuáldiferenciaentreparámetro,variable
¿Quéfactible?
¿Quérestricciones
¿Cómoparaexpresar
¿Cómoálgebrapararepresentarrelaciones?
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UNIDAD
1.1 ¿QuéEntre las variadas acepciones que hay de la palabra modelo, citamos la siguiente, de la Real Academia Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su com-prensión y el estudio de su comportamiento.Elaborar un modelo de un sistema o realidad compleja suele ser una tarea ardua y retadora. En la prác-tica, es usual encontrar modelos desarrollados para representar el comportamiento de alguna sección Por ejemplo, supóngase que se desea saber el modo de acomodar un conjunto de productos con formas irregulares dentro de cajas de cartón, con el objetivo de minimizar la cantidad de estas para empaquetar todos los objetos. Una opción para modelar este problema, simplicándolo, es considerar a cada objeto como una gura regular, aunque esto ocasione desperdicio de espacio. Para ello, se
1.2 MetodologíaDada la naturaleza de la investigación de operaciones, la denición del problema a resolver constituye un paso clave para que los resultados obtenidos del análisis sean útiles y efectivos para la empresa. Por tanto, en este paso se deberá denir el alcance del estudio, la información con que se cuenta y las restricciones del sistema, entre otros. Las etapas básicas para aplicar la investigación de operaciones en la práctica, una vez que se ha identicado y denido el alcance y las características del problema a resolver, son las siguientes:Validación del modelo.En esta primera unidad nos centramos en la formulación del modelo matemático, destacando sus ele-Los otros dos pasos antes mencionados son posteriores a la formulación del modelo matemático; por tanto, a lo largo de esta unidad se resaltarán algunas características sobre estos dos pasos.Una vez que se ha validado el modelo, se procede a la implementación de los resultados obteni-dos con el modelo a la práctica, esperando que estos logren resultados favorables en el sistema bajo
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1.3 ModeloUn modelo matemático busca representar una realidad mediante el uso de relaciones matemáticas, a en el proceso de En general, un modelo matemático está compuesto de ecuaciones y/o desigualdades algebraicasUna ecuación establece que dos términos son iguales. Esta igualdad se representa mediante el ) y se interpreta como: término de la izquierda (es igual a) término de la derecha.Variable. Símbolo (letra) que representa un número que desconocemos. Número que no va acompañado de una variable. Número que va acompañado de una variable, multiplicándola.Operador. Corresponde a los símbolos que representan una operación.El coeciente 2 multiplica a la variable ; de igual manera, el coeciente 25 multiplica a la variable El operador es el de resta y la constante es el número 3Una desigualdad algebraica puede tener la estructura de una ecuación, pero representa no igual- entre dos términos.Las relaciones de desigualdad que se pueden tener son:epresenta que ; es decir, puede ser que epresenta que ; es decir, puede ser que Al constituir una herramienta para la toma de decisiones, el modelo matemático debe necesariamente incluir en su totalidad las alternativas entre las cuales se deberá tomar la decisión, las restriccionesque existen y la medida con la que se evaluarán las alternativas, de acuerdo al que se quiere lograr.Para explicar los términos alternativas, las restricciones y los objetivos, primero se analizarán en el contexto de un problema.
AlertaRecuérdese que W es a lo más Z, W es a lo sumo Z y W es no más que Z, signican lo mismo; esto es, que W puede tomar un valor igual que Z o menor a Z.
Problema resueltoProblemaproyectosImaginemos que ocupamos el puesto de coordinador de proyectos dentro de una empresa. El gerente general de dicha empresa ha destinado 100000 pesos para invertir en los proyectos que generen be-necios económicos a esta. Existen tres proyectos en los que se puede invertir. ¿En cuál(es) proyecto(s) debería invertir la empresa para obtener los máximos benecios económicos?mación sobre los proyectos:
NombreCosto de inversiónBenecio económicoProyecto Proyecto Proyecto
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UNIDAD
Las acciones que podemos ejecutar para la resolución de este problema son:No invertir.Invertir en el proyecto Invertir en el proyecto Invertir en el proyecto Invertir en los proyectos Invertir en los proyectos Invertir en los proyectos Invertir en los proyectos Para responder a esta pregunta, primero debemos considerar el objetivo que busca el tomador de nes. En este caso, lo que se pretende es invertir en el (los) proyecto(s) que genere(n) los máximos benecios económicos a la empresa.
AccionesNo invertirInvertir en el proyecto Invertir en el proyecto Invertir en el proyecto Invertir en los proyectos .$170Invertir en los proyectos .$120Invertir en los proyectos .$110Invertir en los proyectos .$200Basados en el benecio descrito en la tabla 1.2, la mejor decisión sería invertir en los tres proyectos con un benecio de $200000. Sin embargo, hay que recordar que existe una restricción en cuanto al monto de inversión, la cual es una limitante en nuestro espacio de alternativas.
AccionesCosto inversiónNo invertirInvertir en el proyecto Invertir en el proyecto Invertir en el proyecto Invertir en los proyectos .$120Invertir en los proyectos .$95Invertir en los proyectos .$75Invertir en los proyectos .$145Por tanto, como se puede comprobar mediante la tabla 1.3, la opción de invertir en los tres proyectos no es posible, pues excede en 45000 pesos el presupuesto de inversión de 100000 pesos. Cuando una acción viola alguna restricción, se dice que es no factible. Las alternativas de solución a este problema , es decir, aquellas que no violan la(s) restricción(es) del problema.este modo, las alternativas factibles del problema son: 1, 2, 3, 4, 6 y 7. Entre las alternativas, observamos que la opción 6, invertir en los proyectos B y C, es la que brinda un mayor benecio eco-nómico. Por lo cual, el coordinador de proyectos debería invertir en los proyectos y , lo que le daría
Solución
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En general, un modelo matemático en investigación de operaciones se representa mediante el si-guiente formato:función objetivo debe expresar la meta que se quiere lograr: maximizar ganancia, minimizar cos-tos, minimizar el número de trabajadores, minimizar el tiempo muerto, minimizar desperdicio, entre otros.restricciones, por su parte, expresan limitaciones en los recursos o características de la natu-raleza del sistema a modelar. La solución obtenida al resolver el modelo debe cumplir con todas las restricciones.La información del sistema se expresa a través de parámetros. Un parámetro es un dato dado con antelación que corresponde a un valor real (o supuesto) presente en el sistema. Típicamente, los cos-tos, las demandas de los clientes, las distancias, las capacidades y el tiempo de procesamiento, entre otros, son vistos como parámetros.Las soluciones al sistema están dadas mediante , usualmente llamadas de decisión. Para solucionar el modelo matemático, siempre es necesario determinar el valor que deberán tomar las va-riables, que representan aspectos que el tomador de decisiones puede controlar. Algunos ejemplos de variables son cantidad de productos a producir, cantidad de productos a enviar a cada cliente, decisión de instalar o no un almacén en cierta ubicación, decisión de invertir o no en cierto proyecto, cantidad de trabajadores a contratar, entre otros.Existen varios tipos de variables, dependiendo del tipo de valor que puedan tomar. Las pueden tomar valores fraccionarios, por ejemplo: litros, kilos, pesos. Por su parte, las bles enteras pueden tomar únicamente valores enteros, por ejemplo: cantidad de trabajadores a con-tratar, camiones a enviar a cierto cliente, máquinas a utilizar, etcétera. Las variables binarias únicamente pueden tomar valor de 0 o 1 y, por lo general, se utilizan para representar decisiones de hacer o no hacer, por ejemplo: la decisión de instalar o no un almacén en cierta ubicación, la decisión de invertir o no en cierto proyecto, etcétera.
objetivo a perseguir,
AlertaLa denición de las uno de los pasos críticos y más complicados en la construcción de un modelo matemático.
Como primer paso, tenemos que establecer los parámetros del problema.
PantalónFaldaDisponibleCantidad de material 2 metros1.5 metros50 metrosTiempo de mano de obra3 horas1 hora8 horas 40 horasGanancia8050
Solución
Problema resueltoUna costurera fabrica y vende faldas y pantalones de mezclilla, para lo cual cada semana compra un rollo de 50 metros de mezclilla. Para hacer un pantalón requiere 2 metros de tela, mientras que para una falda, 1.5 metros.lo general, ella trabaja ocho horas diarias, de lunes a viernes. Para hacer un pantalón requiere tres horas, mientras que hacer una falda le toma una. Un pantalón le genera 80 pesos de ganancia, un modelo matemático que permita maximizar la ganancia semanal de la costurera, considerando que todo producto que fabrique puede venderlo.
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UNIDAD
El siguiente paso es denir las variables, recuérdese que estas deben representar lo que necesitamos determinar. En este caso, la costurera quiere saber la cantidad de pantalones y faldas que debe fabricar. Para construir la función objetivo, debemos tomar en cuenta que la costurera quiere maximizar su ga-nancia semanal. Por tanto, tomando en cuenta que la ganancia por vender un pantalón es de 80 pesos y por una falda es de 50 pesos. Tenemos que: Ahora, utilizaremos para representar la ganancia semanal de la costurera, resultando la función obje-Después, hay que escribir las restricciones. En este problema, la costurera tiene restricciones de mate- Cantidad de mezclilla usada en pantalones cantidad de mezclilla usada en faldas cantidad de Cantidad de mezclilla usada en pantalones 2 metros por cada pantalón que se fabrique (la cantidad de pantalones se representa con la variable Cantidad de mezclilla usada en faldas 1.5 metros por cada falda que se fabrique (la cantidad de pantalones se representa con la variable Por tanto, la restricción de mezclilla resulta:Además de las restricciones de material y mano de obra, también es necesario indicar las restricciones respecto al tipo de variable con el que se está trabajando. En este caso, al tratarse de cantidad de pro-ducción, podemos inferir que estas variables deben ser mayores que cero (no puede haber producción negativa) y entera (asumiendo que se trata de pantalones y faldas completos). Estas restricciones se epresentar el problema de la costurera es:
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Una solución a un modelo matemático debe satisfacer todas las restricciones del modelo. Retomando el problema de la cos-turera, la solución de fabricar 15 pantalones y 10 faldas no es factible, pues aun cuando cumple con la restricción de material 15 1.5 10 45 50) se excede en quince horas del tiem-Para obtener la solución óptima (o cercana a la óptima) de un modelo matemático existen diversos algoritmos y herramien-tas entre los que se encuentran el método gráco, el método simplex, los algoritmos especiales y, de más reciente creación, los algoritmos metaheurísticos, para la resolución de modelos
Como primer paso, debemos denir la información sobre los parámetros que tenemos y las variables que se requieren.Parámetros:Para el problema de proyectos de inversión, los parámetros que tenemos son el presupuesto para los proyectos, los costos de inversión y los benecios económicos de cada proyecto.En este caso, el presupuesto para los proyectos es: $100
NombreCosto de inversiónBenecio económicoProyecto Proyecto Proyecto VariablesLo que queremos saber es en qué proyectos debe invertir el dinero. Es decir, para cada proyecto, la decisión es invertir o no invertir en él. Por tanto, se necesita una variable por cada proyecto, la cual puede tomar únicamente dos valores. Este tipo de variables de decisión se suele representar como
siseinvierteenelproyectoenotrocaaso

siseinvierteenelproyectoenotrocaaso

siseinvierteenelproyectoenotrocaaso
Solución
Problema resueltoPlantear un modelo matemático que represente el problema de proyectos de inversión.Todo modelo matemático debe ser validado, en cuya fase se analizará si
Alerta
Es de suma importancia que el modelo matemático incluya la correcta excluir del conjunto de soluciones factibles la solución óptima o la resolución del modelo podrá dar lugar a una solución que en realidad no es factible.
Alerta
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UNIDAD
1.4 ModelosProblemas de mezcla de productosEn este tipo de problemas se tienen que determinar las cantidades a fabricar de ciertos productos en algún periodo de tiempo. Entre las restricciones que se presentan en este tipo de problemas están la limitación de recursos, de mano de obra, capacidades de plantas, demanda de productos limitada, entre otros. El objetivo más común es el de maximizar la ganancia que genera la venta de productos.
Lo que se busca es obtener los máximos benecios económicos de las inversiones. Por tanto, la función objetivo deberá tener la siguiente forma:Maximizar: Benecio por invertir en proyecto Benecio por invertir en el proyecto Benecio por invertir en el proyecto Tomando la información de los proyectos y las variables de decisión y utilizando para representar el benecio de invertir en los proyectos, la función objetivo resulta: Del presupuesto de inversión. En este caso, la inversión en proyectos no debe superar los $100Costo de invertir en proyecto Costo de invertir en proyecto Costo de invertir en proyecto Presupuesto disponible. De la naturaleza de las variables. Para este problema, las variables son binarias, esto se representa Por tanto, el modelo matemático para el problema de proyectos de inversión resulta:
AlertaNo existe una receta para formular modelos matemáticos. Inclusive, puede existir más de un modelo para representar un sistema. Una buena forma es analizar y comprender modelos matemáticos que se encuentran en la literatura de investigación de operaciones y practicar construyéndolos.
Problema resueltoUna compañía fabrica tres productos: crema corporal, crema facial y crema para bebés. Los tres produc-tos comparten ingredientes en su elaboración: mezcla base, aceite de almendras, vitamina E y manteca de karité. En la tabla 1.6 se presenta información acerca de los porcentajes de composición de cada uno de los tres productos.
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Parámetros:Los parámetros de este problema son los costos de cada ingrediente, los precios de venta, la disponi-bilidad de productos, los porcentajes de composición de cada producto, la demanda de cada producto y el mínimo a producir de crema facial.Variables:Dado que se desea determinar la cantidad diaria de litros a producir de cada uno de los productos, las cantidad de litros diarios de crema corporal cantidad de litros diarios de crema facial cantidad de litros diarios de crema para bebéEn este caso, el objetivo es maximizar la utilidad de la compañía; la utilidad es la diferencia entre los ingresos y los gastos. En este caso, los ingresos provienen de la venta de litros de producto, mientras que los gastos se dan a través de los costos de los ingredientes. ingresos por ventas gastos por ingredientes.Ingresos por ventas ingreso por ventas de crema corporal ingreso por ventas de crema facial ingreso por ventas de crema para bebé Gastos por ingredientes gasto por uso de mezcla base gasto por uso de aceite de almendras gas-to por uso de vitamina E gasto por uso de manteca de karité 20(0.9 0.85 0.8 500(0.04Si representamos la utilidad diaria por
Solución
Tabla 1.
Mezcla Aceite de Vitamina Manteca de karitéCrema corporal90%1%5%Crema facial8%2.5%4.5%Crema para bebé80%10%Cada día, la compañía cuenta con 500 litros de la mezcla base, 50 litros de aceite de almendras, 5 litros de vitamina E y 30 litros de manteca de karité. Adicionalmente, se tiene la siguiente información sobre costos y precios de venta.
IngredienteCosto por litroProductoPrecio de venta ($Mezcla baseCrema corporalAceite de almendras$500Crema facialVitamina ECrema para bebé$100Manteca de karitéLa demanda diaria de la crema corporal es de 200 litros, de la crema facial, 150 litros, y de la crema para bebé, de 250 litros. Por políticas de la empresa, se deben fabricar al menos 50 litros de crema facial. ¿Cuánto de cada producto deberá producir la compañía para maximizar su utilidad?
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UNIDAD
Problemas de planicación de procesos productivosLos problemas de planicación de procesos productivos involucran la determinación de niveles de producción, fuerza de trabajo, inventario, tiempo extra y subcontrataciones, entre otros, con el n de determinar el plan estratégico para los distintos periodos de planeación de la compañía.La información que usualmente se tiene en este tipo de modelos es la demanda de producto o productos (o pronósticos de la demanda), costo de producir en tiempo normal y en tiempo extra, costo por subcontratar, despidos, contrataciones y por mantener inventario, entre otros.Este tipo de problemas suelen llamarse de planeación agregada y son decisiones de tipo estraté-gico dentro de la compañía.
Las restricciones del problema están dadas por disponibilidad limitada de ingredientes, la demanda de La disponibilidad limitada de ingredientes tiene la siguiente estructura: (litros de ingrediente usados en crema corporal) (litros de ingrediente usados en crema facial) (litros de ingrediente usados en crema para bebé) litros disponibles de ingrediente Y. Litros diarios de producto Demanda diaria de producto (en litros).Restricción para la demanda de crema corporal: Restricción para la demanda de crema facial: Restricción para la demanda de crema para bebé: De manera similar, la restricción de fabricar por lo menos 50 litros de crema facial (estrategia de la compañía), se representa: Las restricciones de demanda y política de la empresa presentada en este problema pueden verse Las variables de decisión, por tratarse de litros de producto, son no negativas. Dado que cuen-ta con una cota inferior mayor que cero, faltaría incluir El modelo matemático resulta:
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Planeación de la producción con múltiples periodos
Parámetros:Los parámetros de este problema son los pronósticos de las demandas, costos de inventario y de pro-Variables:Lo que se quiere saber son las cantidades a producir en cada mes; por tanto, las variables son: unidades a producir en el mes de enero. unidades a producir en el mes de febrero. unidades a producir en el mes de marzo. unidades a producir en el mes de abril. unidades a producir en el mes de mayo. unidades a producir en el mes de junio.Dado que los costos de producción cambian mensualmente, puede resultar conveniente producir más de lo demandado algún mes (por lo común los meses con producción más económica) para poder reducir la producción en los meses posteriores (por lo común los meses con un costo de producción mayor). Por tanto, se requieren variables extra que correspondan al exceso de producción que se guar-dará para periodos posteriores, las cuales representan el inventario mensual: unidades en inventario en el mes de enero. unidades en inventario en el mes de febrero. En este caso, unidades en inventario en el mes de junio, no se considera una variable, pues su valor está denido por las políticas de la empresa, El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción, donde se observan dos tipos de costos: costo unitario de producción y costo unitario por mantener en inventario. El objetivo costos por mantener inventario en cada uno de los meses costos de producción de cada
Solución
Problema resueltoUna empresa que produce una línea de componentes para computadoras está planeando los niveles de producción para el periodo de enero a junio.pronósticos de las demandas de componentes para los seis meses son de 980, 640, 700, 1900 y 550 unidades, respectivamente. El inventario al nal de diciembre se espera que sea de 500 unidades y la empresa desea tener 600 unidades al nal de junio. El costo por mantener una unidad en a cuestiones de costos de materia prima y salarios de los trabajadores, el precio por producir un componente varía de un mes a otro. Al analizar datos históricos, la empresa considera que el precio de fabricación de una unidad es de $40, $34, $38, $32, $41 y $38 para enero, febrero, marzo, abril, mayo y junio, respectivamente.un modelo matemático que permita determinar la cantidad de componentes a producir en
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Planeación de la producción con programación de la fuerza de trabajoEn este tipo de problemas también se busca determinar las unidades a producir por la empresa en el periodo de planeación, pero, a diferencia del problema anterior en el que no se tenía control sobre los trabajadores, aquí se puede tomar la decisión de contratar o despedir personal con el n de minimizar los costos de operación de la empresa. No obstante, resulta lógico pensar que contratar o despedir a un empleado genera un costo para la empresa por motivos de capacitación, indemnización, sueldos, entre otros.
Para este problema, se debe determinar la relación que existe entre la producción, el nivel de inventario El inventario lo constituyen aquellas unidades que permanecen uno o varios periodos más en la empresa, por exceso de producción.Por tanto, la relación entre el inventario y las unidades producidas es:Inventario del mes de enero (unidades disponibles en mes de enero) (unidades vendidas en el mes de enero).Inventario del mes de enero (unidades producidas en el mes de enero inventario del mes de diciem-bre) (unidades demandas en enero).Utilizando las variables de decisión y considerando que de acuerdo con el problema en el mes de di-ciembre se tuvo un inventario nal de 500 unidades, tenemos:De manera similar, para los siguientes meses tenemos las siguientes restricciones. dado que se requiere tener 600 unidades en inventario en el mes de junio, esta restricción queda como:
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Parámetros:Los parámetros que se tienen que considerar son los días laborales por bimestre, la demanda bimestral, el número de empleados, el costo de contratación y despido, el sueldo diario, la tasa de producción y el Variables:De manera similar al problema de planeación de la producción con múltiples periodos, en este se re-quieren variables que reejen la cantidad de unidades a producir por periodo, en este caso bimestre. unidades a producir en el bimestre enero-febrero. unidades a producir en el bimestre marzo-abril. unidades a producir en el bimestre mayo-junio. unidades a producir en el bimestre julio-agosto. unidades a producir en el bimestre septiembre-octubre. unidades a producir en el bimestre noviembre-diciembre.Aquí también se denen las variables correspondientes a la cantidad de inventario por bimestre. unidades en inventario en el bimestre enero-febrero. unidades en inventario en el bimestre marzo-abril. unidades en inventario en el bimestre mayo-junio. unidades en inventario en el bimestre julio-agosto. unidades en inventario en el bimestre septiembre-octubre. unidades en inventario en el bimestre noviembre-diciembre.Dado que se debe determinar también la fuerza de trabajo por bimestre, y esta fuerza de trabajo se determina mediante despidos y contrataciones, se requieren variables que representen los valores que cantidad de empleados en el bimestre enero-febrero. cantidad de empleados en el bimestre marzo-abril. cantidad de empleados en el bimestre mayo-junio.
Solución
Problema resueltoEl gerente general de una empresa que produce aparatos electrónicos está interesado en planear su producción para el próximo año. Los pronósticos de ventas para el siguiente año se presentan en la
BimestreDías (en unidades)Enero-febrero4131Marzo-abril4040Mayo-junio4252Julio-agosto4143Septiembre-octubre4331Noviembre-diciembre3921En la actualidad, la empresa cuenta con 100 empleados, pero cada bimestre se pueden contratar o despedir empleados, incurriendo en un costo de $300 por cada empleado contratado y de $200 por cada empleado despedido. El sueldo de un empleado es de $60 por día de trabajo y cada empleado produce 12 unidades diariamente.
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UNIDAD
cantidad de empleados en el bimestre julio-agosto. cantidad de empleados en el bimestre septiembre-octubre. cantidad de empleados en el bimestre noviembre-diciembre. número de contrataciones en el bimestre enero-febrero. número de contrataciones en el bimestre marzo-abril. número de contrataciones en el bimestre mayo-junio. número de contrataciones en el bimestre julio-agosto. número de contrataciones en el bimestre septiembre-octubre. número de contrataciones en el bimestre noviembre-diciembre. número de despidos en el bimestre enero-febrero. número de despidos en el bimestre marzo-abril. número de despidos en el bimestre mayo-junio. número de despidos en el bimestre julio-agosto. número de despidos en el bimestre septiembre-octubre. número de despidos en el bimestre noviembre-diciembre.El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción, donde se observan cinco tipos de costos: costo unitario de producción, costo unitario por mantener en inventario, costo por sueldos de empleados, costo por contratar y costo por despedir.los parámetros para dichos costos y las variables previamente denidas, el objetivo resulta: 5 5 5 5 5 5 ($60/día laboral 41 días laborales) ($60/día laboral 40 días laborales) ($60/día laboral 42 días laborales) ($60/día laboral 41 días laborales) ($60/día laboral 43 días laborales) ($60/día laboral 39 días laborales) 300 300 Además de las restricciones que establecen la relación que existe entre la producción, el nivel de inven-tario y los distintos periodos de planeación, se requieren dos conjuntos más de restricciones: Restricciones que establecen la capacidad de producción de acuerdo con la tasa de producción por Restricciones que establecen la cantidad de empleados por periodo, en relación con las contratacio- Las restricciones de inventario y producción siguen la estructura:Inventario del bimestre (unidades que quedaron en inventario en el bimestre anterior a (unidades producidas en bimestre (unidades vendidas en el bimestre
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Restricciones de capacidad de producción, las cuales siguen la siguiente estructura lógica:Cantidad a producir en bimestre (tasa diaria de producción por empleado (unidades/día laboral (cantidad de días laborales en el bimestre (cantidad de empleados en el bimestre Traducido en variables y parámetros resulta el siguiente conjunto de restricciones. Las que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos, tienen la siguiente Trabajadores en bimestre (trabajadores en bimestre anterior a (contrataciones en bimestre (despidos en bimestre Utilizando las variables correspondientes, tenemos: El modelo resulta: 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 300 300 300 300 300 300 200 200 200 200 200
AlertaAdicionalmente se incluyen las restricciones que determinen la naturaleza de las variables; por ejemplo, las variables fuerza de trabajo puede ser enteras.
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UNIDAD
xpresando los modelos en forma resumidaEn los problemas anteriores ha sido posible expresar explícitamente cada una de las restricciones re-queridas y la función objetivo, desarrollando a detalle cada uno de estos elementos.En la práctica es común encontrar modelos en forma general, de manera que, tomándolo como base, se puedan realizar las sustituciones correspondientes y hacer que represente cada situación particular.planeación de la producción con programación de la fuerza de trabajo Costo por contratar un trabajador. Costo por despedir un trabajador. Costo diario por trabajador. Tasa de producción diaria por un empleado.Además, se puede observar que se requiere una variable de cada tipo para cada uno de los perio-dos de planeación. Consideremos que se tienen periodos de planeación, para el caso en particular 6, donde el bimestre enero-febrero corresponde al periodo 1, marzo-abril al periodo 2, y así suce-sivamente. Por tanto, las variables pueden dejarse expresadas como: unidades a producir en el periodo número de contrataciones en el periodo número de despidos en el periodo t. 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 300 300 300 300 300 300 200 200 200 200 200Al verla en forma resumida como:
De manera similar, cada una de las restricciones resultaría:Las de inventario y producción: Inventario del periodo (unidades que quedaron en inventario en el periodo (unidades producidas en periodoLas restricciones que establecen la capacidad de producción con: Cantidad a producir en periodo (tasa diaria de producción por empleado) (cantidad de días
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3.Las restricciones que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos: Trabajadores en periodo (trabajadores en periodo (contrataciones en periodo Así, el modelo matemático resulta:
Planeación de la producción, características adicionalesHay ciertas prácticas que realizan las empresas que se deben considerar al planear la producción, entre dichas prácticas se encuentra la producción en tiempo extra, subcontratación de servicios o productos, la posibilidad de tener faltantes, entre otros.Al considerar estos aspectos en el modelo matemático para planeación de la producción, nos acercamos más al complejo sistema de producción de una empresa.
AlertaAhora que ya sabemos establecer modelos de manera resumida, usaremos esta notación libremente.
Parámetros:Además de los parámetros antes establecidos, se requieren los siguientes: costo por unidad producida en tiempo extra. costo por unidad no producida debido a tiempo muerto. porcentaje de capacidad de producción que puede usarse para producir en tiempo extra.Variables:En este caso, se requieren variables extra que reejen las unidades producidas en tiempo extra, las unidades subcontratadas y las unidades no producidas debido a tiempo muerto. Así: unidades a producir en tiempo extra en el periodo unidades no producidas por tiempo muerto en el periodo
Solución
Problema resueltoSiguiendo con el problema resuelto de planeación de la producción con programación de la fuerza de trabajo, consideremos que la capacidad de la empresa puede incrementarse 30% mediante tiempo extra. Las unidades producidas en tiempo extra tienen un costo adicional de $3 por unidad y es posi-ble subcontratar a un costo de $9 por unidad. Además, se puede tener tiempo muerto en la línea de producción, aunque esto ocasiona un costo bimestral de $2 por cada unidad no producida debido a
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UNIDAD
El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción; por tanto, debemos agre-gar los costos extra que se expresan en el enunciado del problema. El objetivo resulta:
ciIcdnWccHcfFcpePEcsSctmTtt⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++MM
Sustituyendo los parámetros:
560300200392⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++InWHFPESTMtttt==
En las restricciones que regulan el inventario con la cantidad de unidades disponibles y vendidas, es necesario considerar que es posible adquirir unidades mediante la subcontratación. Por tanto, las restricciones deberán tener la siguiente estructura:Inventario del periodo: (unidades que quedaron en inventario en el periodo 1 (unidades producidas en periodo (unidades subcontratadas en periodo (unidades vendidas en el pe Las restricciones referentes a la producción deben tomar en cuenta, además de la capacidad de producción en tiempo normal, la producción en tiempo extra y las unidades que resulta mejor no producir (unidades en tiempo muerto).Producción en periodo (tasa diaria de producción por empleado) (cantidad de días laborales en (cantidad de empleados en periodo (producción en tiempo extra) (unidades no pro- Si se considera la posibilidad de producir en tiempo extra, se requiere establecer, a través de restricciones, la cantidad máxima de unidades producidas en tiempo extra, que corresponden a 30% de la producción en tiempo normal; por tanto,Producción en tiempo extra en periodo (porcentaje de capacidad de producción que pueden usarse para producir en tiempo extra) (capacidad de producción en tiempo normal).Producción en tiempo extra en periodo (porcentaje de capacidad de producción que pueden usarse para producir en tiempo extra) (tasa diaria de producción por empleado cantidad de días laborales MTe Las restricciones que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos per
560300200392⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++InWHFPESTMtttt==
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Problemas nancierosEl modelado matemático es de gran utilidad en numerosos procesos nancieros. Hemos visto en esta unidad un problema de decisión sobre un conjunto de inversiones. Además del análisis de inversiones, los modelos matemáticos también son útiles para problemas de caja óptima, a través de los cuales se pretende determinar el nivel de efectivo que conviene para no perder liquidez, problemas de asigna-ción de préstamos a un conjunto de clientes, entre otros.

Parámetros:En este caso, tenemos los siguientes parámetros: tasa de interés anual de plan tasa de interés por dos años de plan tasa de interés por tres años de plan 14% por cada tres años cantidad de dinero disponible en el año 0, para invertir $50También, sabemos que el plan es anual ( 1), el plan es a dos años ( 2) y el plan es a tres Variables:¿Qué queremos saber? Las cantidades a invertir (de los $50000 originales, llamémosle dinero de bol-sillo) a lo largo de los cinco años en los tres planes de inversión. Por tanto, se necesitan variables que determinen esto. Entonces, denotemos:ij cantidad de dinero de bolsillo a invertir a inicios de año en plan , para i 1, 2, 3, 4, 5; j , , Otra cosa que interesa es la ganancia que obtendrá Manuel por año, la pista para considerar esta variable está en el hecho de que lo que debemos maximizar es el valor que tome esta variable en el Cantidad de dinero recibido a nal del año debido a inversión en plan 1, 2, 3, 4, 5;
Solución
Problema resueltoManuel desea invertir $50000 y permitir que esa cantidad incremente su valor en un periodo de cinco años. En la actualidad hay tres planes en los que puede invertir. El plan le otorga un interés de 4% anual, pudiendo hacer cualquier movimiento al nalizar cada año. El plan de inversión le ofrece un interés de 9% cada dos años. Mientras que el plan le ofrece un interés de 14% si mantiene su dinero en dicho plan por tres años.debería Manuel invertir su dinero a n de obtener el mayor rendimiento al nalizar el quinto
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UNIDAD
Dado que se puede, y es deseable, reinvertir las ganancias obtenidas por inversiones pasadas, se hace cantidad de dinero recibido a nal del año 1 que se invertirá a inicios de año en el plan , para Dadas las características de este problema, se puede intuir que desde principios del año 1 se busca in-vertir el capital total, a n de hacerlo crecer desde ese momento; sin embargo, esto puede no ser cierto en todo plan de inversión. Puede darse el caso de que un plan de inversión no esté disponible desde el año 1, o que se reciba algún capital extra a lo largo del horizonte de planeación de las inversiones; por tanto, se expresan las siguientes variables. cantidad de dinero total: cantidad de dinero de bolsillo y cantidad de dinero recibido de inversión previa, que se invertirá en el año Denidas dichas variables, estamos listos para diseñar la función objetivo y las restricciones.Lo que buscamos es maximizar el dinero recibido de las inversiones en cinco años, el cual está repre- La primera restricción que nos viene a la mente es la referente a la cantidad de dinero disponible para invertir. Aquí se puede pensar que es suciente indicar:Sin embargo, debemos dejar indicada la posibilidad de que el desembolso de dinero de bolsillo se dé en cualquier año del horizonte de planeación, esto por la misma razón por la que se consideró necesaria En este caso, se requieren restricciones que establezcan la relación entre la cantidad invertida y la cantidad recibida por año; es decir, particularmente: y plan , debido a que su tiempo de inversión es mayor a 1, al nal del año 1, la cantidad reci-bida será cero. Dinero a recibir a nal del año 2 por inversión en plan Es importante considerar aquí que no debe ser mayor al dinero que se tiene para reinvertir. Además, es importante tomar en cuenta que, por año, este dinero debe contemplar la posibilidad de repartirse entre los tres planes., a nales del año 2 por dinero invertido a inicios del año 1 se recibe:
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Dinero a recibir a nal del año 3 por inversión en plan , a nales del año 3 por dinero invertido a inicios del año 2 se recibe: , a nales del año 3 por dinero invertido a inicios del año 1 se recibe:De manera similar, para los años 4 y 5, resultando el modelo matemático: Todas las variables son mayores o iguales a cero.
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UNIDAD
Problemas de transporteEn el problema de transporte se busca la forma en que cualquier bien debe ser distribuido, desde cual-quier grupo de centros de suministro (orígenes) a cualquier grupo de centros de recepción (destinos), Para que un problema pueda ser considerado problema de transporte, se debe cumplir con el supuesto de requerimientosEl supuesto de requerimientos nos dice que cada origen tiene un suministro jo de unidades y el suministro debe transportarse a los destinos. De manera análoga, cada destino tiene una
En la práctica resulta lógico pensar que es raro encontrar que se cumpla este supuesto; pero, cuando esto ocurre, es posible reformular el problema con la introducción de un destino u origen cticios, para que se haga cargo de la holgura, de manera que se ajuste al modelo del transporte.Si la oferta es mayor que la demanda,
entonces se requerirá un punto de demanda
De manera similar, si existe mayor demanda que oferta
se requerirá un punto de suministro articial, de modo que:
Debido a que en realidad los puntos articiales no existen, los costos de transporte entre este y los demás puntos del problemas tendrán valor cero.Dado que se debe priorizar la distribución de producto entre entidades reales y teniendo en men-te que se busca minimizar, el supuesto de costo considera que el costo de transportar unidades de un origen a un destino debe ser directamente proporcional al número de unidades transportadas. Este costo puede ser visto como el costo unitario multiplicado por el número de unidades transportadas.Los parámetros del modelo de transporte son los datos que se tienen desde el inicio, que son: el costo de transporte unitario, la cantidad de producto ofertado por cada nodo origen y la cantidad de productos demandado por cada nodo de destino.costo por transportar una unidad de producto desde el origen hasta el destino , para 1, 2, …, Para poder denir las variables del modelo se debe pensar en lo que se necesita obtener del modelo. En este problema lo que se quiere saber es la cantidad de producto a enviar de cada punto de origen
AlertaEl supuesto de requerimientos es importante para asegurar utilizar algoritmos sencillos para solucionar el problema de transporte.
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Visto a manera de una red, se tiene:
Puntos desuministro(oferta)Puntos dedemanda
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Figura 1.O visto a manera de tabla de transporte: Tabla 1.10
Costo por unidad distribuida Recursos Origen 1 Origen 2 Origen … …. … … …. Origen … c…. dEl objetivo de este problema es determinar la forma de transportar unidades del producto de los pun-tos orígenes a los puntos destino, minimizando los costos de transporte; por tanto, supongamos que tenemos tres puntos de origen y dos puntos de destino, la función objetivo quedaría:De manera resumida:
Y en general:Minimizar
Las restricciones que se tienen son de dos tipos: las relacionadas con los puntos de suministro y las de los puntos de destino, las cuales están totalmente ligadas al supuesto de requerimientos.Las relacionadas con los puntos de suministro indican que la cantidad de producto que se envíe de un punto de suministro debe ser igual a la cantidad de producto que se tenga en el punto de suministro.
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Es decir, para el punto de suministro (origen) 1, se tiene que:(Lo que se envíe del punto origen 1 a punto destino 1) (lo que se envíe de punto origen 1 a punto (cantidad de producto en punto origen 1).Con variables y parámetros se tiene:Para punto de suministro 2:Y para punto de suministro 3:
Las restricciones relacionadas con los puntos de demanda indican que la cantidad de producto que se envíe a un punto de demanda debe ser igual a la cantidad de producto que demanda.Es decir, para el punto de demanda 1, se tiene que:que se envíe del punto origen 1 a punto demanda 1) (lo que se envíe de punto origen 2 a punto demanda 1) (lo que se envíe de punto origen 3 a punto demanda 1) (cantidad de pro-Con variables y parámetros se tiene:
Por último, la cantidad de producto que se envíe debe ser mayor o igual a cero (no tiene sentido Por tanto, el modelo matemático completo resulta.
para todo i 1, …, m
para todo j 1, …, n xij 0 para i 1, …, m; j 1, …, n
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De acuerdo con el planteamiento, en este problema tenemos tres orígenes y dos destinos, el supuesto del costo se cumple al establecerse que el costo es por unidad de producto. Así, al evaluar el supuesto de requerimientos nos damos cuenta que: 55 unidades de producto. 60 unidades de producto.En este caso, el supuesto no se cumple, pues Demandas Ofertas; por tanto, se requiere un punto de oferta cticio con cinco unidades, que en el contexto del problema será producto que los almacenes no podrán cumplir.
SLPGuanajuatoOfertaMonterrey$4.20$5.1020Toluca$4.50$4.8010Guadalajara$4.70$4.5025Articial$0.00$0.005Demanda cantidad de productos a enviar de almacén en Monterrey a cliente en SLP cantidad de productos a enviar de almacén en Monterrey a cliente en Guanajuato cantidad de productos a enviar de almacén en Toluca a cliente en SLP cantidad de productos a enviar de almacén en Toluca a cliente en Guanajuato cantidad de productos a enviar de almacén en Guadalajara a cliente en SLP cantidad de productos a enviar de almacén en Guadalajara a cliente en Guanajuato cantidad de productos a enviar de almacén cticio a cliente en SLP cantidad de productos a enviar de almacén cticio a cliente en GuanajuatoEn este problema se busca minimizar el costo de transporte, dado a que se conoce el costo de trans-portar una unidad de cada almacén a cada cliente, la función objetivo resulta:
Solución
Problema resueltoSe desean enviar productos a dos clientes en San Luis Potosí (SLP) y Guanajuato desde tres almacenes diferentes, ubicados en Monterrey, Toluca y Guadalajara. Los costos de transporte unitarios se muestran en la tabla 1.11, así como las unidades con que cuenta cada almacén y las unidades que necesita cada cliente, estos dos últimos en miles de productos. Determinar el modelo de transporte que represente
SLPGuanajuatoOfertaMonterrey$4.2$5.020Toluca$4.5$4.810Guadalajara$4.7$4.525Demanda
AlertaEl valor de x4j corresponderá a la cantidad de demanda no satisfecha del cliente j.
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1.5 ModelandoLas variables enteras ofrecen características que permiten modelar ciertas situaciones de forma intuiti-, la cual tiene la siguiente forma.
1201008060fW
x
0246810
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Figura 1.
Para los puntos de oferta resultan:Almacén en Monterrey:

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