Cálculo diferencial e integral I - adria inaoep mx

conjunto de ejercicios que aparecen en el libro de teoría Cálculo diferencial e integral I. Ambos libros fueron diseñados como una solaobra, en dos tomos,concebida para estudiantes de primer ingreso de escuelas de ingeniería. Tanto los ejemplos de la teoría como el conjunto de los ejercicios fueron elegidos entre aque-


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CálculodiferencialeintegralIProblemasresueltos
Canek:PortaldeMatemáticasCálculodiferencialeintegralIProblemasresueltosErnestoJavierEspinosaHerrera(coordinador)IgnacioCanalsNavarreteManuelMedaVidalRafaelPérezFloresCarlosAntonioUlínJiménezUniversidadAutónomaMetropolitana-UnidadAzcapotzalcoEditorialRevertéBarcelonaBogotáBuenosAiresCaracasMéxico
UniversidadAutónomaMetropolitanaRectorgeneralDr.JoséLemaLabadieSecretariogeneralMtro.LuisJavierMelgozaValdiviaUniversidadAutónomaMetropolitana-AzcapotzalcoRectorDr.AdriándeGaraySánchezSecretariaDra.SylvieTurpinMarionDirectordelaDivisióndeCienciasBásicaseIngenieríaDr.EmilioSordoZabayJefedelDepartamentodeCienciasBásicasDr.LuisEnriqueNoreñaFranco©M.enC.ErnestoJavierEspinosaHerrera(coordinador)Dr.IgnacioCanalsNavarreteM.enC.ManuelMedaVidalDr.RafaelPérezFloresyDr.CarlosAntonioUlínJiménez©DepartamentodeCienciasBásicasDivisióndeCienciasBásicaseIngenieríaUnidadAzcapotzalcoUniversidadAutónomaMetropolitanaAv.SanPablo180,col.ReynosaTamaulipasDeleg.Azcapotzalco,C.P.02200MéxicoD.F.©RevertéEdiciones,S.A.deC.V.RíoPánuco141,col.CuauhtémocDeleg.Cuauhtémoc,C.P.06500MéxicoD.F.ISBNdelacolección978968670873-8ISBNdelvolumen978968670878-3Primeraedición2008ImpresoenMéxico.PrintedinMexicoProgramasEducativos,S.A.deC.V.CalzadaChabacano65,localACol.Asturias,México,D.F.Capturadedatos:TeresaJuradoDorantesPortada:LucilaMontoyaGarcíaCuidadoeditorial:ConcepciónAsuarTodoelmaterialdeCálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltosseencuentraenlíneaenladirección:http:canek.azc.uam.mx
ÍndiceIntroducción..................................................IXCapítulo1Losnúmerosreales.....................................11.1Algunostiposdenúmeros.......................................11.2Representacióngeométricadelosnúmerosreales.........................61.3Propiedadesalgebraicasdelosnúmerosreales...........................91.4Ordendelosnúmerosreales......................................111.5Intervalos.................................................141.6Valorabsoluto..............................................241.7Resolucióndedesigualdades.....................................271.7.2Desigualdadesdeltipo..........................271.7.3Desigualdadesdeltipo.................291.7.5Desigualdadesdeltipocon�M0.....................361.7.7Desigualdadesdeltipo
.............................391.7.8Desigualdadesdeltipocon....................451.8Apéndicedelcapítulo1........................................551.8.1Conjuntos............................................55Capítulo2Funciones..........................................592.2Funciónrealdeunavariablereal...................................592.3Álgebradefunciones..........................................622.4Composicióndefunciones.......................................652.5Grácadeunafunciónrealdevariablereal.............................742.6Tiposdefunciones...........................................792.7Transformacionesdefunciones....................................1032.8Modelandoconfunciones.......................................127Capítulo3Límitedeunafunción...................................1473.1Introducción...............................................147
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
3.2Álgebradelímites............................................1523.3Límiteslaterales.............................................1703.4Límitesinnitos.............................................1753.5Límiteseninnito............................................180Capítulo4Continuidad.........................................2074.1Continuidadenunpunto.......................................2074.2Tiposdediscontinuidades.......................................2234.3Continuidadenintervalos.......................................231Capítulo5Laderivada.........................................2775.1Larectatangente............................................2775.2Laderivadadeunafunción......................................2815.3Velocidadinstantánea.........................................284Capítulo6Reglasdederivación....................................2936.1Reglasbásicasdederivación......................................2936.2Regladelacadena...........................................2966.3Derivadaslaterales...........................................3016.4Derivadasinnitas...........................................3056.5Derivadasdeordensuperior.....................................3076.6Derivaciónimplícita..........................................311Capítulo7Razonesdecambiorelacionadas.............................325Capítulo8Aplicacionesdeladerivada................................3418.1Derivabilidadymonotonía......................................3418.2Máximosymínimoslocales......................................3498.3Concavidadyconvexidad.......................................356Capítulo9Grácadeunafunción...................................3739.1Bosquejodelagrácadeunafunción................................3739.2Interpretacióndegrácasysímbolos.................................414Capítulo10Optimización........................................42510.1Problemasdeoptimización......................................425
IntroducciónNoimportacuántoentregues,nuncaserásucienteDonaldW.WinnicottCálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltoscontieneeldesarrollo,contododetalle,ylasolucióndelconjuntodeejerciciosqueaparecenenellibrodeteoríaCálculodiferencialeintegralI.Amboslibrosfuerondiseñadoscomounasolaobra,endostomos,concebidaparaestudiantesdeprimeringresodeescuelasdeingeniería.Tantolosejemplosdelateoríacomoelconjuntodelosejerciciosfueronelegidosentreaque-llosquelosautoreshemosutilizadoenlasmúltiplesocasionesquehemosimpartidoestematerialenlosprogramasdeingenieríadelaUniversidadAutónomaMetropolitana,unidadAzcapotzalco.Duranteelprocesodeelaboracióndelosdostomos,siempreseprocurópresentarlateoría,losejemplosylosejerciciosdeformaasequibleparacualquierestudiantequeiniciasuformaciónuniversitariaenescuelasyfacultadesdeingeniería.Hemospuestoespecialatenciónenunadidácticaquerefuerceenelestudianteeldesarrollodeprocesosdeabstracciónimplícitosenelcontenidomatemático.Paranosotros,elalumnoeselprotagonistamásimportanteenelprocesodelaenseñanzayelaprendizaje,porloquedeseamosque,conestematerial,adquieralasbasesnecesariasparacontinuaraprendiendoyasimilandolosconocimientosdurantesuformaciónenelcampodelaingeniería.Tantoeltemariocompletodellibrodeteoríacomoeldellibrodeproblemasresueltosseencuentrandisponibleseninternet,enladirecciónhttp://canek.azc.uam.mx.Enlassiguienteslíneassedescribeelcontenidomatemáticodecadaunodeloscapítulosdelaobracompleta.Elprimercapítulo,Losnúmerosreales,tratasobreeluniversodondesedesarrollaestapartedelamatemáticadenominadacálculodiferencial.Sepresentanlosnúmerosrealesdestacandosussubconjuntos:losnúmerosnaturales,losenteros,losracionalesylosirracionales.Sehaceénfasisenlaubicacióndeéstosenunarectahorizontal,ensuspropiedadesalgebraicasyensuorden.Porlagranutilidadquetieneenelestudiodelcálculo,semuestraelprocesodesolucióndediferentestiposdedesigualdades.Elsegundocapítulo,Funciones,centralaatenciónenunodeloselementosfundamentalesdelamatemática:elconceptodefuncióny,comocasoparticular,eldefunciónrealdevariablereal.Deellasdamosunarepre-sentacióngráca,denimosoperacionesincluyendolacomposiciónyseexplicalamaneradetransformarfuncionesobteniendonuevasfuncionesapartirdeunaconocida.Clasicamoslasfuncionescomosigue:funcionesmonótonas,pareseimpares,lineales,cuadráticas,cúbicas,polinomiales,racionalesyalgebraicas.Analizamostambiénlasfuncionesdenidasporpartes.Porúltimosemuestracómoseusanlasfuncionespararepresentaromodelarsituacionesdelavidareal.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Eneltercercapítulo,Límites,presentamosotroconceptofundamentaldelcálculo:ellímitedeunafunción.Enélencuentraellectorelálgebradelímites,límiteslaterales,innitosyeninnito.Enelcuartocapítulo,Continuidad,seutilizaelconceptodelímitedeunafunciónparatipicarlasfuncionescontinuas.Desglosamoslasdiferentesformasenlasqueunafunciónpuedenosercontinua.Enelquintocapítulo,Laderivada,utilizamosnuevamenteelconceptodelímiteparadenirotroconceptofundamentaldelcálculo:laderivadadeunafunción.Sehacehincapiéenladerivadacomorazóndecambioinstantáneadeunafunción.Posteriormentedenimosenparticularlarectatangenteaunacurvaylavelocidadinstantáneadeunmóvil.Puntualizamoslarelaciónentrederivabilidadycontinuidaddeunafunción.Enelsextocapítulo,Reglasdederivación,desarrollamoslosiguiente:puestoqueladerivadaesunlímite,yengeneralesdifíciloporlomenoslaboriosocalcularlímites,sepresentandistintasreglasquenospermitencalcularladerivadamediantelameraaplicacióndefórmulas.Seresaltaenparticularlareglaquenospermitedeterminarladerivadadeunacomposicióndefunciones(regladelacadena)yladerivacióndeunafuncióndenidaimplícitamente.Enelséptimocapítulo,Razonesdecambiorelacionadas,calculamosladerivadaorazóndecambioinstan-táneadeunafunciónapartirdeunaexpresiónquevinculalafunciónquederivamosconotrasfuncionespresentesenelcontextodeunejercicio.Eneloctavocapítulo,Aplicacionesdeladerivada,semuestraelusodeladerivadaparaencontrarcuándounafuncióncreceodecrece(tipodemonotonía),paracalcularyclasicarsuspuntoscríticos(máximosymínimos)yparadescribirlosintervalosdeconcavidaddelafunción.Enelnovenocapítulo,cadeunafunción,searticulaungrannúmerodeconceptospresentadosenloscapítulosanterioresparadeterminarelcomportamientodeunafunciónensudominioyrepresentarlagrácadelafunciónconmayorprecisión.Eneldécimocapítulo,Optimización,culminamosnuestroestudioconelanálisisdeunasituaciónreal,lacualmodelamosmedianteunafunciónrealdevariablereal.Deestafunciónsedeterminadóndealcanzasusvaloresextremos(sumáximoysumínimo).Esdecir,optimizamosunmodeloquerepresentaunprocesoreal.ErnestoJavierEspinosaHerreraCoordinador
CAPÍTULO
Losnúmerosreales1.1AlgunostiposdenúmerosEjercicios1.1.1Expresarelnúmeroracionaldadomedianteunaexpresióndecimalnita
(esdecir,conperiodo0)obienperiódicainnita:
Dividimos3entre8:0:375
8j
3:0
0:3750:375:
Dividimos5entre6:0:8
6j
5:0
0:833:::0:8
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
8
Dividimos8entre125:0:064
8:00
0:0640:064:
Dividimos17entre3:
3j
17:0
5:66:::
Dividimos100entre9:
9j
100:0
11:11:::
Dividimos25entre22:1:1
3622
3080)
1:13636:::1:1
36:
1.1Algunostiposdenúmeros
Dividimos1entre10:0:1
1:0
0:10:1:
1
Dividimos1entre0:01
1:00
0:010:01:
conDividimos1entreceros
.n/ceros
1:0ceros
0:0ceros0:0cerosDéunejemplodenúmeroenterononatural.Déunejemplodenúmeroracionalnoentero.
,estenúmeroseobtienedividiendolaunidadendospartesiguales.¿Cómoharíaparahallarlarepresentacióndecimaldeunnúmeroracionaldelaforma
conenteronatural?Dividiendoentre
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Transformelarepresentacióndecimalperiódica
enracional,delaforma
conenteroynatural.
D1
Enefecto:0:33333:::10r3:3333:::0:33333:::10r
9D1
Transformelarepresentacióndecimalperiódica0:5
enracional,delaforma
conenteroynatural.0:5
D1
Enefecto:0:510r
1
Transformelarepresentacióndecimalperiódica
enracional,delaforma
conenteroynatural.
1428571
Enefecto:
1000000r142857:
142857
1428571000000r142857999999r142857142857
999999
Transformelarepresentacióndecimalperiódica0:1
enracional,delaforma
conenteroynatural.0:1
D2
1.1Algunostiposdenúmeros
Enefecto:0:1
10r
D1C
100r
D
100r10r90r
902
Transformelarepresentacióndecimalperiódica0:2
enracional,delaforma
conenteroynatural.0:2
127
Enefecto:0:2
10r
2C
1000r212:
12
1000r10r990r
9907
Otraformaderesolver:0:2
100r21:2
0:2
100r99r
997
Transformelarepresentacióndecimalperiódica0:3
enracional,delaforma
conenteroynatural.0:3
123
Enefecto:0:3
10r
1233C
10000r3123:
3123
312310000r10r31209990r3120
9990
333
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Otraformaderesolver:0:3
1000r312:3
0:3
1000r999r
999
1.2RepresentacióngeométricadelosnúmerosrealesEjercicios1.2.1¿CuándosedicequepuntossonsimétricosconrespectoaunterceroCuandoeselpuntomediodelsegmentorectilíneoDadosdospuntos¿cómohallaríaelsimétricodeconrespectoaTrazandolarectayllevando,apartirde,unadistanciaiguala
,peroensentidoopuesto:
eselsimétricodeconrespectoaConreglaycompás¿cómodivideunsegmentoenpartesiguales?Trazandolamediatrizdelsegmento.Paraestousamosreglaycompás:Trazamosunacircunferenciaconcentroenunextremodelsegmentoyconunradiomayorquelamitaddeladistanciaentrelosextremos.
Despuéstrazamosotracircunferenciaconcentroenelotroextremoyconelmismoradio.
1.2Representacióngeométricadelosnúmerosreales
B
Lainterseccióndelascircunferenciasdeterminadospuntosqueseencuentransobrelamediatriz,pues,
D
&
D
porconstrucción.Trazamoslarectaqueunedichospuntosyobtenemoslamediatrizdeseada.
OBP1P2
Tenemosentonces:
Conreglaycompás¿cómodivideunsegmentoenpartesiguales?elsegmentoderecta.Setrazaporunasemirectaenlaquesegenerantressegmentosdeigualmagnitudmediantelospuntos.Setrazaelsegmentoyluegosegmentosparalelosdesdelospuntoshastaelsegmento,paraasídeterminarlospuntos
O1O2B
O2
O1
O
D
porconstrucción;
1O2
porconstrucción.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
LostriángulosAOOsonsemejantesporquetienensusángulosiguales:elBAOescomúnalostresylosdemássonigualesporserángulosinternoscorrespondientesentreparalelascortadasporunamismasecante
D
O1O2D
;entoncesdividenelsegmentoentrespartesiguales.¿Cómodividiríaunsegmentoenpartesiguales(dondeesunnúmeronatural)?Haciendolomismoqueenelejercicioanterior,cambiando3por¿Cómohallaríaelpuntoenelejerealquelecorrespondealnúmeroracional
Dividiendoalsegmentounitarioenpartesigualesyllevandounadeéstasalaizquierdade(cero),5veces.¿Cómohallaríaelpuntoenelejerealquelecorrespondealnúmeroracional
dondeydondeDividiendoalsegmentounitarioenpartesigualesyllevandounadeéstasalaizquierdade(cero),vecessip0obienvecesaladerechadeV.7;p0¿Cómohallaríaelpuntoenelejerealquelecorrespondealnúmeroirracional
5?H
02
5
22C12Dp
51
¿Cómohallaríaelpuntoenelejerealquelecorrespondealnúmeroirracional
ConcentroensetrazaunarcodecircunferenciaderadioConcentroensetrazaunasemicircunferenciaderadioLainterseccióndelascircunferenciasdeterminanelpuntoSetrazaeltriángulorectánguloconvérticesen
10
2212Dp
3
Eltriángulo0P2esrectángulopueselánguloensubtiendeeldiámetro
delacircunferenciaconcentroen
1.3Propiedadesalgebraicasdelosnúmerosreales
1.3PropiedadesalgebraicasdelosnúmerosrealesEjercicios1.3.1Simplicarlasexpresionesnuméricassiguientes:
2C4
32
5.H3
2C4
32
.15/.3/.10/.4/.6/.2/
.2/.3/.5/
30
303
8
.H3
8
D3
8
.3/.4/
.8/.15/.3/.4/
.4/.2/.3/.5/
.2/.5/
4
5
1.H4
5
1D4
5
8
.4/.15/
.5/.8/.4/.3/.5/
.5/.4/.2/
2.2
3C3
5
25
3.H2
3C3
5
25
3D9

D
151
6
.15/.6/
903
22
3
2C1
41.H3
22
3
2C1
41D3
22
3
3
2C1
4D94
6
6C1
4D5
6
7
.5/.4/
.6/.7/.5/.2/.2/
.2/.3/.7/.5/.2/
.3/.7/
.16/
.8/
.16/
.8/
5D/4
5/2
5D2
5/22
5/D2
26
5D2
C.6
5/D2
6
5D2
Ejercicios1.3.2¿Cuálessonlassolucionesdea/.xobienobienCalcule1/.x2/.x1/.x2/.x2/.x2/x2/3
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
¿Cuálessonlassolucionesdepuestoquetalecuaciónsepuedeescribircomo1/.x2/.xyestoesciertosiobienobien,estoes,siobienobien¿Puededarunasoluciónoraízdepuestoque2/.x,entonces:2/.xobienEstaúltimaecuacióndesegundogrado()notieneraícesrealespuessudiscriminante4ac160Asílaúnicasoluciónoraízreales¿Puededarunasoluciónoraízde,puestoquea/.xa/.xobienEstaúltimaecuacióndesegundogrado(cuadrática)notieneraícesrealespuessudiscriminantees:;asílaúnicaraízosoluciónreales¿Puededarunaraízde,puestoque2/.xobienEstaúltimaecuacióndesegundogrado(cuadrática)notieneraícesrealespuessudiscriminantees:160eslaúnicaraízde¿Puededarunaraízde,puestoque2/.xobien¿Puededarunaraízde,puestoque2/.xobien
1.4Ordendelosnúmerosreales
¿Puededarunaraízde,puestoque3/.xobienDehechotambiénesraíz,puestoque9/.xobienAhorabien,3/.xobienesdecir,siobienÉstassonlasúnicasraícesreales,puesparatoda1.4OrdendelosnúmerosrealesEjercicios1.4.1Determinarlarelacióndeordenquehayentrelosracionalessiguientes:
y
Setiene9910095

:
3y8
Setiene26�2413�3
3�8
441
1897
Setiene1323132313231323
1897
3:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
Setiene
D
&
10
,entonces:10/.10/.3/.10010/.10/.3/.

10
3152
Setiene
315
3152
5D2
,entonces:126/.5/.315/.126/.5/.315/.
3152
5:
466
Setiene
46
466
6
,entonces:25/.11/.46/.275�25/.11/�.46/.
466
sondosnúmerosrealestalesque,¿quésepuedeinferiracercadeestosdosnúmerosYaqueytambiénsonnúmerosrealestalesque,¿quésepuedeinferiracercade�abobienobienPorlaleydetricotomía:�ababnopuedensucedersimultaneamente,porlotanto:
1.4Ordendelosnúmerosreales
Ejercicios1.4.2Como�85,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:cˆ5,donde�85�c5Como�85,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:8cˆ5c,donde�c0:�85�c08c�5cComo�85,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:8cˆ5c,dondec0:‰.2;85c08c5cComo&#x-276;85,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:8ˆ5&#x-276;85&#x-276;85&#x-276;85Como&#x-276;50,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:0/:&#x-276;50Como&#x-276;50,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:ˆ0:&#x-276;50Como&#x-276;50,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:5ˆ0:&#x-276;501/5.1/050Como50,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:ˆ0:50,yaque
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Como50,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:ˆ0:50,yaqueComo50,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:50,puesytambiénComo50,sustituyaelsigno?porelsignoqueprocedaenlasiguientedesigualdad:50.Enefecto:ytambién¿Cómoeselproductodedosnúmerospositivos?Positivo.¿Cómoeselproductodeunnúmeropositivoporunnegativo?Negativo,puessielproductofuesepositivo,comounodelosfactoresespositivo,elotrotendríaqueserpositivo.¿Cómoeselproductodedosnúmerosnegativos?Positivo.1.5IntervalosEjercicios1.5.1Escribirlassiguientesdesigualdadesconnotacióndeintervaloyrepresentarlasgeométricamente:x3x34;3/
12;
x0x0;0/
1.5Intervalos
xx.;8
8
3.Hxx
3D p
.
p
33
4.H xx3
4 D3
4 .
3
42


3.
2
31
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
2.Hx
2Dp
2
.
p
2p
5x.Hxp
5xD p
.
p
1;5
;23

1.5Intervalos
x.Hx0xD.
Escribirlossiguientesintervaloscomounadesigualdadyrepresentarlosgeométricamente:
9
H–x11.
15
7;.H5
7;D x5
7)
7.
5
7
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
2;162;162x2x
;32/;32/x32x32
1
;15
;15
5
5
1
3
.H
D xx
)x
.
4
3;9
2 .H4
3;9
2 D x4
3x9
2
3x9
2.
1.5Intervalos
4
39
Expresarcomounadesigualdadyconnotacióndeintervalolossiguientessegmentosdelarectanumérica:
13x
1x.1;22:
;6:
3
16x
2 D3
2:
8
3 x0x8
3 D
3 :
1x1xD–
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
x55;5/:
4 x
4 D9
Dadoslosintervalos7;42;6/;1.0;4;2/–2;8determinar::I2.HI1[I2D.7;4–2;6/7;6/
I1I2I1[I274
2
I6.HI1[I6D.7;4–2;87;8
I1I6I1[I674
2
7;42;6/2;4
2;6/–2;8–2;6/
1.5Intervalos
2I6I2\I62
628
7;42;6/
I1I2I1I274
26
2;6/4;2/–2;6/
I2I5I2I52
64
;1.0;.0;1
.0;4;2/.0;2/
I4I5I4\I504
.0;–2;8–2;8
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
4I6I4\I60
I5.HI1[I5D.7;4.4;2/7;4
I1I5I1[I5744
2
;1.1;
.0;;0
2;6/
7;4–2;8–2;4
1.5Intervalos
1I6I1\I67
428
I4.HI3[I4D.1;1.0;
I3I4I3[I41
0
7;4.4;
.0;–2;8.0;2//.8;
I4.H.I5\I6/[I4Df.4;2/–2;8.0;;.0;.0;
I6I5I40
2
8
I6.H.I1\I5/[I6Df.7;44;2//–2;84;2//–2;84;8
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
1I5I642
874
;14;2/;1–2;
I3RI5RI51
42
1.6ValorabsolutoEjercicios1.6.1Resolverlassiguientesecuaciones:
Losnúmerosquecumplenlaecuación
2
2&xDp
obienobienLosnúmerosquecumplenlaecuación
D3.H
D3,
obien
D3,x2
obien
obienLosnúmerosquecumplenlaecuación
D3&xD2.
D1.H
D1
obien
D1,xD4
obien
Losnúmerosquecumplenlaecuación
D1D4
5&x
obienobienLosnúmerosquecumplenlaecuación
1.6Valorabsoluto
obienobienLosnúmerosquecumplenlaecuaciónobienobienobienLosnúmerosquecumplenlaecuaciónobienobien
obienLosnúmerosquecumplenlaecuación
obienLosnúmerosquecumplenlaecuaciónobien1/.xobienobien2/.xobienobienLosnúmerosquecumplenlaecuaciónUtilizandoelconceptodedistanciaentredosnúmerosd.x;a/,obtenerlosnúmerosquesatisfacen:d.x;0/55x5
550
d.x;0/�3obien3x
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
330
d.x;0/
440
d.x;0/obien
220
d.x;0/d.x;0/0,locualnuncasucede,yaquenohaydistanciasnegativas.Entoncesnohaytalesqued.x;3/
153
d.x;1/32x4
241
1.7Resolucióndedesigualdades
d.x;obien
732
d.x;1/�4obien3x
531
d.x;4/�0puesparacualquierd.x;4/d.x;4/
1.7Resolucióndedesigualdades1.7.2DesigualdadesdeltipoEjercicios1.7.2Resolverlassiguientesdesigualdades:2x�
2x�
23x
2�31)x
5x�
5x/
5.)8
5)
Elconjuntosoluciónes:
5:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Elconjuntosoluciónes:–7;
73
4xC5
32
9x1.H3
4xC5
32
9x1)3
4x2
95
31)
3653
3))
368
35x
.36/35x
Elconjuntosoluciónes:
35:

.Siempresecumple.Elconjuntosoluciónes:
�51
2x.H3
�51
2x,3
2x3
�x1�06.Nuncasecumple.Elconjuntosoluciónes:Øelconjuntovacío
1.7Resolucióndedesigualdades
2.x3/�3.x2.x3/�3.x�63x3x�x3:Elconjuntosoluciónes:;3/:
1.7.3DesigualdadesdeltipoEjercicios1.7.3Resolverlassiguientesdesigualdades:13xEstadobledesigualdadsecumplecuando13x43x33x
3x
1xElconjuntosoluciónes:1;4:
Otraforma,13x43x33x
3
1x1;4:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
13x41Estadobledesigualdadsecumplecuando13x4143x3x153x3x
33
3,,5
31,,x25
1/:Elconjuntosoluciónes:
3;\.5
3;1:
15
30
Otraforma,13x4143x4153x

13xLopodemosresolverdirectamente,puessiØ,habríaunelementotalque13x,porloqueportransitividad,locualesimposible;luego,
1.7Resolucióndedesigualdades
2�1
�3
Estadobledesigualdadsecumplecuando
2�1
&1
�3
2,,57
4x�
2,,
4x�
1,,
4x�
2,,2
2�
.,
.
,,x2
;&x2
Elconjuntosoluciónes:
;\
D
;
:


0
Otraforma,
2�1
�3
7.10/
�1
.10/�3.10/
35�28x�1533�8x�13

,,x2
;
:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
54
Estadobledesigualdadsecumplecuando
&4
3x13x2
3x
x&2
3,,x
&
3,,x2
&x22
Elconjuntosoluciónes:
\2
3;D2
3;
:
2
3
0
Otraforma,
5.2/
.2/1.2/3x23x
3
3�2
3,

3,,x22
3;
�1xEstadobledesigualdadsecumplecuando�1x3x�
2&3
3,,x&1,,x2–&x2.
1.7Resolucióndedesigualdades
Elconjuntosoluciónes:
210
2x3x44Estadobledesigualdadsecumplecuando2x3x443x4x45x14x0
5&
4,,1
x0
;0/:Elconjuntosoluciónes:
;0/
5:
1
50
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
3xC583
4x7C4
Estadobledesigualdadsecumplecuando
3xC583
4x&83
4x7C4
5x,,2
3xC3
4x85&3
4x4
5x78,,
123&
20,,
1.20/3.12/
,x
31,x
17x
31,x2
17&x2
Elconjuntosoluciónes:
17\
31D
31
17:
31
3x3xEstadobledesigualdadsecumplecuando3x3x3x901(siempresecumple)
8&x2R,,x27
Elconjuntosoluciónes:
8;\RD7
8;:
1.7Resolucióndedesigualdades
7
80
�46Estadobledesigualdadsecumplecuando�463x�6�02(nuncasecumple)&
,x21
Debidoaqueambasdesigualdadesnosepuedencumpliralavez,podemosarmarqueelconjuntosolucióneselconjuntovacíoØ.Estoes:
49x2xLaprimeradesigualdad49xequivalea29x66x
1xYlasegundadesigualdad2xsecumplesi8x
2,x23
Porloqueelconjuntosoluciónes:
2\.DØ:
3
21
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
1.7.5Desigualdadesdeltipocon�M0Ejercicios1.7.5Resolverlassiguientesdesigualdades:–8;18:Elconjuntosoluciónes:–8;18:32x535.2x5382x
2
2
4x1/:Elconjuntosoluciónes:1/:obienobienobienobien–2;Elconjuntosoluciónes::–2;10;2/:obien�143xobien3x�4
obien
obien
Elconjuntosoluciónes:
3;DR
3 :
1.7Resolucióndedesigualdades
3
43.H3
433
43,333,,
x9
2,,x2
;9
Elconjuntosoluciónes:
;9
2 :3
2x4
3H3
2x4
33
2x4
obien
2x4
3,3
21C4
obien
�x1
3,,
31
obien
37
3,,
obien
,,x22
obien
Elconjuntosoluciónes:
9[
;DR2
9;
:2
2.Hj2
2,2
obien
2,
obien
22,
5x/
59
obien
5x/
5
2,,x9
obien
,x29
obien
Elconjuntosoluciónes:
[9
DR1
9
:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
42
3x6
5.H42
3x6
5
52
3
5,
52
3
54,
2
3
,,3
2
�3
22
3x�3
2
,,
�x�
,,x2
;
Elconjuntosoluciónes:
;
:5
2
Siendo,sesabequeyademásqueEstoimplicaqueLuego:
2
5
2
Pero
2
D0,
D5
5.4/
2.3/
Porlotanto:
2
5
2
¤0,x¤
Elconjuntosoluciónes:
:2
5C
Yaqueparacada,entoncesnopuedeocurrir.Luego,Porlotanto,
5C
0,2
5C
D0,2
5C
D0,,
2.3/
5.4/
Elconjuntosoluciónes:
:
1.7Resolucióndedesigualdades
2
5C
Yaqueparacada,entoncesjnopuedeocurrir.Elconjuntosoluciónde
5C
eselconjuntovacíoØ.
5C
Yaqueparacada,entonces
5C
siempreocurre.Elconjuntosoluciónde
5C
0.2
5C
Yaqueparacada,entonceselconjuntosoluciónes
5C
Yaqueparacada,entoncesnopuedeocurrir.Elconjuntosolucióneselconjuntovacío,Ø.1.7.7Desigualdadesdeltipo
Ejercicios1.7.7Resolverlassiguientesdesigualdades:
5H5C
�101.4x
55C5
5x
�0:Estadesigualdadsecumplecuando�x0�50obienx050x04x†.5;obien†.5;x04xx0
obien�x0
4,,x25
obienElconjuntosoluciónes:
4[ØD5
4:
5
40
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
3
Pensemosprimeroque5x�0�35x
Enestecasoladesigualdadpropuestaequivalea
5x/
5C2C9
59
5,x
3,x
Peronoexistetalque
5&
Ahorabien,siconsideramoselcaso5x035x
ladesigualdadaresolveres:
5x/
5C2C9
59
5x
Luego,elconjuntosoluciónes:
15\3
5;D3
5;
15:
3
5
156x5
:猤&#x.200;20,esdecir,si猤&#x.200;x2,ladesigualdaddadaequivalea57.x57x147x9x.9;puestoque,si&#x-110;x9,entonces&#x-110;x2,yunapartedelconjuntosoluciónes:.2;.9;.9;20x2,ladesigualdaddadaequivalea†.5;57.x†.5;57x14†.5;7x†.5;9x;9/ylaotrapartedelconjuntosoluciónserá:;2/;9/;2/:Porlotantoelconjuntosoluciónserá:;2//.9;–2;9:
1.7Resolucióndedesigualdades
92
:Ladesigualdad
eslamismaque
2
Yaque�x0x4;4/,ladesigualdaddadaesequivalentea27.42287x287x26
,x2
Como
;4/,entoncespartedelconjuntosoluciónes:
enestecaso.Ahora,x0.4;.Ladesigualdaddadaesequivalentea8.3;27.48.3;2287x8.3;287x8.3;26
,x2
Como.4;
,entonces.4;
.4;.4;espartedelconjuntosolucióntambién.Porloqueelconjuntosolucióndeladesigualdad
es:
.4;
:
4
x1�1
Ladesigualdadesequivalentea
x11
4xC1
4.x
4.x�0:Éstasecumplesi�104.x1/�0obien104.x1/03x&#x-251;&#x.900;&#x-251;&#x.900;10obien3x10
�x1obien
x1b.4;x1obien
3:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Luego,elconjuntosoluciónes:
.1;
3:
1
312x3
:Ladesigualdadesequivalentea:
50
C8
:Locualsecumplesi37ć&#x.400;080obien370&#x-251;&#x.900;803xobien3x�
obien
&8,,
obien
obienLuego,elconjuntosolucióndeladesigualdadpropuestaes:
[.DR
;8 :

8x
Estadesigualdadequivalea
140,3x4
10,1
10,1
10,1
10I
1.7Resolucióndedesigualdades
estaúltimasecumplesi10obien.1;104xobien4x�
1
obien
1
Øobien
4;1
Porloqueelconjuntosoluciónesprecisamente:
4;1
:
1
1
42x9
Estadesigualdadesequivalentea
x180,98
x1D1
x11
x10,1
Yestaúltimasecumplesi10obien&#x-110;10x1obien†.5;x1
x1obien
�x1
obienLuego,elconjuntosoluciónes:
6:
1
61C
Transponiendotérminosladesigualdadpropuestaequivalea:
20
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
yobtenemosasí
0,4
Locualocurresi4x0obien4x&#x-251;&#x.900;04xobien4x�
obien
4,,x23
obien
Luego,elconjuntosoluciónes:
[3
4;DR4
3
4 :
4
3
4
x
Transponiendotérminos
x53
20:Efectuandolasoperacionesindicadas
1
x1
�0:Estaúltimadesigualdadsecumplesi�10�x0obien10x07xb.4;b.4;x0obien7xx0
�x0obien
x0
.0;obien
;0/
.0;.0;obien
;0/
Porloqueelconjuntosoluciónes:
.0;
7:
1
70
1.7Resolucióndedesigualdades
1.7.8DesigualdadesdeltipoconEjercicios1.7.8Resolverlassiguientesdesigualdades:�40Factorizando:4/.x1/:Entonces:�404/.x1/�0:Estaúltimadesigualdadsecumplesi�40�10obien4010&#x-110;x4&#x-110;x1obienx4x1.4;obien;1/:Elconjuntosoluciónes:;1//.4;–1;4:
120Como6/.x2/;entonces:1206/.x2/0:Estaúltimadesigualdadsecumplesi607.2;20obien7.2;6020x6obien8.3;x62;6/obienElconjuntosoluciónes:2;6//ØD.2;6/:
26
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Como.3x2/.3x2/;entonces:.3x2/.3xEstaúltimadesigualdadsecumplesiobienobien
3&x2
obien
3&x2
3,,x22
obien
Elconjuntosoluciónes:
3 [2
3;DR2
3;2
3:
2
32
Multiplicandoporambosmiembrosobtenemosunadesigualdadequivalentealapropuesta:1/.xEstaúltimadesigualdadsecumplesiobienobienobien1:Elconjuntosoluciónes::–1;C1/DR.1;1/:
11
1.7Resolucióndedesigualdades
�20Multiplicandopor
ambosmiembrosdeladesigualdad:�20
�10
�0:Estaúltimadesigualdadsecumplesi�20
obien20
2,2&1
obien
2,,x21
obien2/:Elconjuntosoluciónes:
2;DR1
2 :
21
30Multiplicandopor
ambosmiembrosdeladesigualdad:30
2x3
2x1
:Estaúltimadesigualdadsecumplesiɑ&#x.900;30
obien30
2,3&
obien
2,,x2
obienElconjuntosoluciónes:
2[ØD
2:
31
2
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Multiplicandopor
ambosmiembrosdeladesigualdad:
3x2
30,xC2
Estaúltimadesigualdadsecumplesi
obien
30&x10,,x
obien
obien
Elconjuntosoluciónes:
3 [DR2
3:
2
Multiplicandopor
ambosmiembrosdeladesigualdad:
3x20,x2
Estaúltimadesigualdadsecumplesi
obien
30,,x&x2
obien
3,,x2
obienElconjuntosoluciónes:
3 [ØD
3 :
32
3
1.7Resolucióndedesigualdades
Multiplicandopor
ambosmiembrosdelaúltimadesigualdad:
xC3
60,x2C
xC1
Obtenemos
xC1
2D0,xD

362
2)x
12
36
))x
12
36
)x
127
6
2
127
x
obien
Yasí:
xC1
2DxC3
2C1
Estaúltimadesigualdadsecumplesi
20&xC1
obien
20&xC1
30,,x
2&x
obien
2&x
3,,x23
2;1
obienElconjuntosoluciónes:
2;1
3 [ØD3
2;1
3 :
3
21
�24x�24x�10�10Multiplicandopor
ambosmiembrosdelaúltimadesigualdad:�10
6x1
6x3
6C2
6,x1
2C1
�0:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Estaúltimadesigualdadsecumplesi
2xC1
obien
2xC1
3,
2&1
obien
2&1
3,,x21
obien
Elconjuntosoluciónes:
3[1
2;DR1
3;1
2 :
1
31
Multiplicandopor
ambosmiembrosdelaúltimadesigualdad:
6x10,xC3
22
Estaúltimadesigualdadsecumplesi
20&x2
obien
20&x2
30,,x
2&x2
obien
2&x2
3,,x23
2;2
obienElconjuntosoluciónes:
2;2
3 [ØD3
2;2
3 :
3
22
3
1.7Resolucióndedesigualdades
4x4x6020Reescribiendoeltrinomiocuadráticomedianteuntrinomiocuadradoperfecto:202010Nuncasecumplequeunnúmeroalcuadradoseanegativo.Porlotantonoexistesolución.Elconjuntosolucióneselconjuntovacío:Dehechoobienesunaparábolaconvérticeen1;1/,queseabrehaciaarriba,porlocualsiempretomavalorespositivos.Tambiénpodemosobservarqueeldiscriminantedelaecuaciónesnegativo,esdecir,4ac4.1/.2/0;luego,notieneraícesreales.Laparábolanuncacortaalejedelas.Para,porejemplo,vale,conlocualsiempreestáporencimadelejedelasynuncaesnegativa.3xxTenemosqueresolverdosdesigualdades3xxLaprimeraequivalea3x0x.x3/0:Yestoocurresix08.3;30obien8.3;x030x08.3;x3obien8.3;x0x3Øobien.0;3/:Porlotantolaprimeradesigualdadsecumplesi.0;3/:Lasegunda,,equivalea2/.xYsecumplesiobienobienobien–2;Entoncesestadesigualdadsecumplesii–2;Yambassecumplensi.CS.0;3//–2;–2;3/:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
LadesigualdadequivaleaResolvamoslaigualdad
D57
4D1
Yentonces
;elsignodeestetrinomionoslodalatablasiguiente:
Signode
Intervalo
C3
1
2
C3
31
2


C
3x
2
C


2
C
C
Porloqueelconjuntosolucióndeladesigualdadpropuestaes:
2 :
1
233x
Estadesigualdadequivalea
,queseobtienemultiplicandolaanteriorpor
.Laúltima
1.7Resolucióndedesigualdades
desigualdadocurresi3x�0obien3x03x5obien3x&#x-276;5
obien
obien
obien
obien
Luego,elconjuntosoluciónes:
3:
335
Comentario:otramaneraderesolverladesigualdadesmedianteunatabla.Como
3/.x
tambiénpodemosaveriguarcuándoesnonegativa,viendoelsignodecadafactor
Signode
Intervalo
C3

3
29
5
35
3

C

C
3x
.3/
C


3/



C

3x

C

Luego,
50,x2.5
3.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Completandountrinomiocuadradoperfecto
228C3
22,,xC3
228C9
4,xC3
22
,xC3
22p
2,,xC3
2p
Estaúltimadesigualdadsecumplesi
2
obien
2p
,,x
3
obien
3
2,,x
3
obien
3
Elconjuntosolucióndeladesigualdades:
3
2[p
3
2;DRp
3
2;p
3
2:
p
3
2p
3
Comentario:otramaneraderesolverestadesigualdadeslasiguiente:ObservamosqueAdemás
9C
D3p
p
Porloque
C3p
Ydeaquísepodríaresolverdirectamenteladesigualdadpropuestaycomprobarelresultadoqueobtuvimosporelotroprocedimiento.Vemosque.3x1/.2x
1.8Apéndicedelcapítulo1
Estaúltimadesigualdadsecumplesiobienobien
3&x1
obien
3&x1
2,,x
obien
2,,x21
3 [1
Elconjuntosoluciónes:
3 [1
2;DR1
3;1
2:
1
31
1.8Apéndicedelcapítulo11.8.1ConjuntosEjercicios1.8.1Expresarporextensiónlosconjuntossiguientes:Yaque
,entonces
Yaque
3,x
4
3
p
,entonces
p
3;2
p
3 .Dx2Rx31D0.Hx31D0,x3D1,xD3p
,entonces1/.x1/.x1/.x1/.x(yaqueobienobienDf1;1
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
x.xx.xx.x2/.xobienobienobienobien2;25/.xobienobienDf5;3x.xx.x2/.xobienobienobienobien0;2;5Yaquecadanúmeroesigualasímismo,entoncessecumpleparatodonúmeroPorlotantoYaquecadanúmeroesigualasímismo,entoncesnopuedeserdiferentedesímismo.Esdecir,nohaytalesque.Porlotantoelconjuntonotieneelementos.EstoesØ(elconjuntovacío).Yaquenuncaesnegativo,elmenorvalorquepuedetenerescero(precisamenteparaEntonceselmenorvalorquepuedeteneresprecisamente1,porlocualnuncapuedesucederque.Esdecir,notieneelementos:Ø(elconjuntovacío).
1.8Apéndicedelcapítulo1
Considerandoelconjunto1;2;3,indicarsiesfalsa()overdadera()cadaunadelassi-guientesarmaciones.Argumentarcadarespuesta.1;23;1;21;2;3;2;3,yaqueelnúmero2es,enefecto,unelementodelconjunto1;2,yaque1;2esunconjuntocuyoselementos(1y2)sontambiénelementosdelconjunto3;1;2,yaqueloselementosdeunconjuntosepuedenescribirenelordenquesequiera.Entonces3;1;2gDf1;2;31;2;3;2;3,yaque1;2;3;2;3,porlocual1;2;3;2;3yvice-versa.,yaquetieneporelementoalnúmero2quetambiéneselementode1;2;3,yaqueelconjuntovacíoØessubconjuntodecualquierconjunto,enpar-ticulardelconjuntoConsiderandolosconjuntos1;2;3;4;50;2;4;6;81;3;5;7;90;1;2;3;4;5;6;7;8;9,obtenerlosconjuntossiguientes::B.b.A[C.c.A\B.d.A\C.e.BA.f.CA.g.B[C.h.DC.i.DB.j.B\C.k.D[A.l.D\A.m.B[D.n.C\D.o..A[C/.A\C/.Ha.A[BDf1;2;3;4;5g[f0;2;4;6;8gDf1;2;3;4;5;0;2;4;6;8gDf0;1;2;3;4;5;6;88CDf1;2;3;4;5g[f1;3;5;7;9gDf1;2;3;4;5;1;3;5;7;9gDf1;2;3;4;5;7;91;2;3;4;5g\f0;2;4;6;8gDf2;41;2;3;4;5g\f1;3;5;7;9gDf1;3;50;2;4;6;8gf1;2;3;4;5gDf0;6;81;3;5;7;9gf1;2;3;4;5gDf7;99CDf0;2;4;6;8g[f1;3;5;7;9gDf0;2;4;6;8;1;3;5;7;90;1;2;3;4;5;6;7;8;9
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9gf1;3;5;7;9gDf0;2;4;6;80;1;2;3;4;5;6;7;8;9gf0;2;4;6;8gDf1;3;5;7;90;2;4;6;8g\f1;3;5;7;99ADDyaqueyaquequeDDDyaqueyaquequeC/.A\C/.Porelinciso(b)setienequeueCDf1;2;3;4;5;7;9Porelinciso(d)setieneque1;3;5Entonces,,C/.A\C/Df1;2;3;4;5;7;9gf1;3;5gDf2;4;7;9
CAPÍTULO
Funciones2.2FunciónrealdeunavariablerealEjercicios2.2.1Determinareldominiodecadaunadelassiguientesfunciones:f.x/
f.x/
g.x/
g.x/
92RDx2R9¤0DDRx2R9D0DR x2Rx2D9
4 DR x2Rjx
2 DDR x2Rx
2 DR 3
2;3
2 ))DgDR 3
2;3
2 D3
2[3
2;3
2[3
2;:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
h.t/
h.t/
8RDt2R80DDt2RD t2Rt8
3 D8
3 ))DhD8
j.x/
j.x/
4/.xobienobienf2;4f2;44.2;4//.4;.y/
.y/
.x/
.x/
2Cx62RDDx2Rp
3/.x
&x&x¤2 ))DD
f3;2
2.2Funciónrealdeunavariablereal
.u/
.u/
,yaqueunaraízimparnotienerestricciones..x/
x1
p
.x/
x1
p
9RDDx2R3p
x12R&p
9R&p
2x�0�92x
2 )DD9
F.x/
9x2
F.x/
9x2
x.xx.x1/.x3;3f1;0;1G.x/
xC4Cp
G.x/
xC4Cp
5x2RDDx2Rp
xC42R&p
4;54;5:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
2.3ÁlgebradefuncionesEjercicios2.3.1Dadaslasfuncionesf.t/9;g.y/
h.z/
,obtener:g/.5/g/.5/f.5/g.5/.5/
2.5/
.gf/..gf/.–g.3/–f.3/
15–.
9–0
.2/
.2/h.2/
f.2/
3.2/
.2/
4
5D2
5
5:1
2.H1
2Dg1
2f1
2D
21
2C1
229DDp
1
4C9D41
4C9D1
4D1
4D
.gh/.4/.gh/.4/–g.4/–h.4/
2.4/
3.4/
Pero
,porloque
Entonces.gh/.4/noestádenida,esdecir,
g.Hf
g.
829

Pero
,porlocual
Entonces
noestádenida,esdecir,
h/.x/h/.x/g.x/h.x/
p
g
.x/
.x/g.x/
f.x/
29.
2.3Álgebradefunciones
.fh/.x/.fh/.x/f.x/h.x/
f/.x/f/.x/h.x/f.x/
hg
.x/
.x/g/.x/
f.x/h.x/g.x/
f.x/
p
29.
.x/
.x/.fg/.x/
h.x/f.x/g.x/
h.x/
Losdominiosdelasfuncionesf;gEldominiodelafunciónes:f.t/Eldominiodelafunciónes:g.y/
RDy2R0DD y2Ry
D
;)DgD
Eldominiodelafunciónes:h.z/
RDz2R0DD z2Rz
D
)DhD
Eldominiodelafunción:Eldominiodelafunciónes:
;\
D
;
Eldominiodelafunción:
Eldominiodelafunción
es:
f.x/
;\Rx2Rx29D0D
f3;3
.3;3/3/.3;
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Eldominiodelafunción:Eldominiodelafunciónes:
D
Eldominiodelafunción:Eldominiodelafunciónes:
\RD
Eldominiodelafunción:
Eldominiodelafunción
es:
g.x/
\
;x2Rp
0DD
;
x2R0D
;
 
DD
;
Eldominiodelafunción:
Eldominiodelafunción
es:
h.x/
0DDDf\Dg\Dhx2R0DD R\
;\
xD
DD
;\

DD
;

D
;
:
2.4Composicióndefunciones
Eldominiodelafunción:
Eldominiodelafunción
es:
.gh/.x/g.x/h.x/g.x/obienh.x/
;\
x2Rp
obien
0DD
;
obien
;
 
;
DD
;
2.4ComposicióndefuncionesEjercicios2.4.1Dadaslasfuncionesf.x/
g.x/,obtenereldominiodef;.fg/.x/yeldominiodeEldominiodef.x/eselconjuntodelasquesatisfacen;7:Porotrolado:g/.x/f–g.x/
Paracalcular,recordarqueg.x/Primero:sevedeinmediatoqueSegundo:g.x/g.x/;7
x
8)3
2x
4))x21
4;3
Lasdoscondicionesanterioresnosdan
4;3
2 :
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Dadaslasfuncionesf.x/
g.x/h.x/,obtener
.x/g/.x/asícomolosdominiosdelasfunciones
Calculamos
.x/f.x/
h.x/
9
g/.x/f–g.x/
Tenemosasí:
2x D9
luego:
h.x/
2 \Rx25¤0 D x29
2 x2¤5 DD x29
2 jx
5 D x29
2 x
5 DD9
2 p
Porúltimo:g.x/
2 x2Rj4
Pero
equivalea
249
sumando
29
2C9
29C8
2
2
ymultiplicandopor
3:1
6x
)x21
6;
Entonces:
6;
Seanlasfuncionesf.x/
g.x/
Calcular,obtenerodeterminar,segúnproceda:Dominiosdef–g.3/g–f.6/yeldominiodeg–f.x/
2.4Composicióndefunciones
Calculamos
5DRp
5IDfCgDDf\DgD–\Rp
5–p
5DD–p
.p
.p
IDDf\DgDDfCgD–p
.p
.p
Tenemosasí:f–g.3/
.5Df1
95Df1
4DD
1
4C3D
1C
D
Dp
g–f.6/
6C
g.3/
325D1
95D1
f.x/
xC3
3;2/2/.2;f.x/g.x/
EncuentrelosdominiosdeydeDélasreglasdecorrespondenciaasícomolosdominiosdelassiguientesfunciones:
Calculamos:
.x/g.x/
f.x/
x1
x3C2D2
1/.xObservamosque:yquef.x/,esdecir,siobien
2I
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
luego:
fDRp
f/.x/g–f.x/g.x
C1D2
f.x/
fg/.x/f–g.x/
x1D2
2.x
DC6
;ytambiéng.x/
implicaque
f.x/
g.x/
,obtener,reduciendoasumínimaexpresión:g/.x/f/.x/Encadacasoproporcionareldominiodelafunción.Tenemosg/.x/
4x1
x21Dp
4x
f/.x/
41
.p
41D1
4x1D1
Como;4fhallamos:;4fggD;4f.1;1/1/.1;4f.x/
nalmente
;esdecir,siyporlotanto:;4;3//.3;4:Sean:f.x/
g.x/
ObtengalosdominiosdeydeObtengareglasdecorrespondenciaydominiosdelasfuncionesf=g
2.4Composicióndefunciones
Vemosque:(nóteseque�10paracualquierLosdominiosquesepidenson:
g.x/g.x/
,pues
f.x/
xC12RD–2–)x)xC10)p
Lasreglasdecorrespondenciaquesepidensonlasiguientes:g/.x/
xC1C1
x2C1If
.x/
xC1
1
x2C1DC
g/.x/f–g.x/
x2C1D
1
x2C1C1D
1Cx2C1
x2C1D
x2C2
f/.x/g–f.x/
xC1
.p
xCC1D1
xC1C1D1
f.x/
g.x/
h.x/
,encontrar:EldominiodeLosdominiosdeydeg/.x/yeldominiodeLafunciónf.x/estádenidasiempreycuandoelradicandoseanonegativoEstaúltimadesigualdadesequivalentealassiguientes:obienobien
obien
4xIx27
obien
4 :
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Porlotanto:
4 [7
Deigualmanerag.x/estádenidasi
Porlotanto:
Sevequef2;2,yaquesonloscerosoraícesdeCalculamos:g/.x/h–g.x/
3D4
.p
2x/
1
sicumpledoscondicionessimultáneamente:
g.x/
f2;2NospreguntamosparaquévaloresdelaraízcuadradaesigualaNuncaesigualayaqueesnonegativa.
32)341)x
Tenemosentoncesque:
2  1
2 D1
2[1
2;3
Dadaslasfuncionesf.t/
g.z/h.w/
,obtener:
.x/h/.x/g/.x/;asícomolosdominiosdelasrespectivasfunciones.Calculando
.x/tenemos:
.x/h/.x/
g.x/f.x/h.x/
21Dp
xC3Cp
5x
Dominios:;5:
2.4Composicióndefunciones
Luego,
g.x/;5f3;5fh/.x/g–h.x/
5.p
h.x/;5
;5g/.x/f–g.x/f.x
x21C3D
g.x/f.v/g.u/
,determine:Losdominiosdeg/.x/f/.x/,indicandoeldominiodecadaunadelasfunciones.Dominios:f.v/esunafuncióncuyodominioesEldominiodelafuncióng.u/
es:g.u/
;3:Calculamos:g/.x/f–g.x/
3D.p
32p
3x3D3x2p
3x3D2p
g.x/;3
;3f/.x/g–f.x/g.x
3D
3x2C3D
f.x/;3Ahorabiencuando
4C
D2p
D22p
7
2D1p
7I
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
ademáscuando
7/.x
Estaúltimadesigualdadsecumplecuando
70&x1Cp
obien
70&x1Cp
70Ix1Cp
7&x1p
obien
7&x1p
Øobien
7;1
esdecir,cuando
7x1Cp
.Luego,f.x/
7;1
7:f.x/
g.x/,determine:Losdominiosdeg/.x/f/.x/indicandoeldominiodecadafunción.Eldominiodef.x/
es:
Eldominiodeg.x/es:Calculamos:g/.x/f–g.x/
g.x/
g.x/g.x/obienobienobien
3 DD.1
3;DDR1
f/.x/g–f.x/
xp
f.x/
x12RDDx2x10DDx0x1D
2.4Composicióndefunciones
Dadaslasfuncionesf.t/
g.u/,obtengag/.x/f/.x/ylosdominiosdelasfuncionesSetieneg/.x/f–g.x/
ysudominioes:g.x/–11;obienobienobienn–6;C1/DR.5;6/:f/.x/g–f.x/2f.x/
ysudominioes:f.x/–11;
f.x/,encuentredosfuncionesparalascualesg/.x/Tenemosg/.x/f–g.x/ytambiénf–g.x/–g.x/2g.x/luego:–g.x/2g.x/–g.x/2g.x/Usandopararesolverlacuadráticaobtenemos:g.x/
4x2C

1Cx23D
x24
ydeaquíqueencontremosdossoluciones:.x/20x2.x/20x2:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
2.5GrácadeunafunciónrealdevariablerealEjercicios2.5.1Laecuaciónrepresentaaunacircunferenciaderadioycentroenelorigen.¿Puedeconsiderarseaestacurvacomolagrácadeunafunción?Justiquesurespuesta.Lacircunferenciaesunacurvaplana.Nopuedeserconsideradacomolagrádealgunafunción.x/,puestoqueacadanúmero1x1lecorrespondendosvaloresdiferentesdequeson
1x2.
xy

.x;y.x;
.x;y.x;
Esdecir,acada1;1/nolecorrespondeunúnicovalordeLaecuaciónrepresentaaunaparábolaenelplano.¿Puedeserconsideradaestaparábolacomolagrácadeunafunciónf.x/?Justiquesurespuesta.Laparábolaesunacurvaplanaqueseabrehacialaderechaconejehorizontal.Acadanúmero�x0lecorrespondendosvaloresdiferentesdequeson
x.
xy
.x;y.x;
.x;y.x;
Entoncesestacurvanopuedeserconsideradacomolagrácadealgunafunción.x/
2.5Grácadeunafunciónrealdevariablereal
Lascurvasdelostressiguientesapartadossongrácasdefuncionesylospuntosnopertenecenadichasgrácas.Determinardominio,rangoyelnúmeroderaícesdecadafunción.
y

B.7;15/f.x/Eldominiodelafunciónf.x/es:1;7/Elrangodelafunciónf.x/es:7;15/Lafunciónf.x/tienesólounaraíz,queesnegativa.
y

B.7;5/
C.8;15/f.x/Eldominiodelafunciónf.x/es:3;8Elrangodelafunciónf.x/es:5;15Lafunciónf.x/tiene3raíces.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y

„1
P.1;9/B.4;0/Q.5;
R.7;6/f.x/Eldominiodelafunciónf.x/es:
.4;7Elrangodelafunciónf.x/es:1;9Lafunciónf.x/tieneunaraízMedianteunatabladevalores,obtenerunbosquejodelagrácadelasfuncionesdeloscuatrosiguientesapartados.Determinarademás(encadacaso)dominio,rangoyraícesdelafunción.f.x/
f.x/
P.x;y/
1
2
1
B.0;1/
4
C.1;4/
7
D.2;7/
y

B.0;1/
C.1;4/
D.2;7/Eldominiodees:Elrangodees:Lafuncióntieneunaraíz:
3.
2.5Grácadeunafunciónrealdevariablereal
g.x/
g.x/
P.x;y/
2
3
2;3/
1
0
1;0/
1
C.0;
0
D.1;0/
3
E.2;3/
y

2;3/1;0/C.0;D.1;0/
E.2;3/Eldominiodees:Elrangodees:Lafuncióntiene2raíces:h.x/con

3.H
h.x/
P.x;y/
3
2
2
A3
2;2
8
3
2
B8
3;2
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
„3
2;2«yB„8
3;2«
3
2
8
Eldominiodees:
2;8
Elrangodees:DfLafunciónnotieneraíces.f.x/conx4
f.x/
P.x;y/
1
5
1;5/
5
B.4;
y
1;5/
B.4;
53
Eldominiodees:1;4/Elrangodees:5;5Lafuncióntieneunaraíz:
2.
2.6Tiposdefunciones
g.x/con2x
2.H
g.x/
P.x;y/
2
0
2;0/
4
B.0;4/
2
9
4
C5
2;9
4
xy
2;0/B.0;4/
2;9

29
Eldominiodees:
Elrangodees:
Lafuncióntienesólounaraíz:2.6TiposdefuncionesEjercicios2.6.1Dadalafunciónf.x/
,señalesiespar,imparoningunadelasdoscosas.Asimplevistaparecequenoesparniimpar,locualpodemoscomprobar,yaque:,pero;luego,f.x/nosecumpleparaPorloquenoesparniimpar.Dadalafunciónf.x/
,señalesiespar,imparoningunadelasdoscosas.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Asimplevistaparecequenoesparniimpar,locualpodemoscomprobar,yaque:,pero;luego,f.x/nosecumpleparaPorloquenoesparniimpar.Dadalafunciónf.x/
,señalesiespar,imparoningunadelasdoscosas.Esimparpuestoque:
C1Dx3/Cx
x2C1DDCx
x2C1.C
2C1Dx
f.x/:espar¿serág.x/1/f.x/par?Sí,puestoque:1f.1/f.x/g.x/:sonimpares¿seráh.x/g/.x/impar?Sí,puestoque:g/.f.x/g.x/f.x/g.x/–f.x/g.x/–.fg/.x/h.x/:Ydeaquíque:h.x/x/:Lafunciónespar,ypartedesugrácaeslagurasiguiente:
y
2468f.x/
Completelagrácade
2.6Tiposdefunciones
Obtengasudominio,raícesyrango,yademásdetermineapartirdelagrácacompletadalassolucionesdef.x/�0ydef.x/0Lagrácacompletaes:
y
2468f.x/
Sudominio:o:.2;Raíces:Rango:Df–2;4f.x/�00.4;2/[.2;4//.4;8/f.x/00.8;esunafunciónparcuyagrácaparaeslaqueseindicaenlagura,
y
f.x/completarlagráca,indicarsudominio,susraícesysurango.Lagrácacompletaes:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/
Dominio::.1;5Raíces:Rango:3;2/Sealafunciónf.x/2x3x:Obtenersugráca.Determinarsudominioyrango.Calcular:f.0/f.3/f.5/f.1000/Lagrácadees:
y
213f.x/1;10f.0/f.3/f.5/f.1000/Dadalasiguientefuncióng.x/
�x2:Obtengasugrácaydigasiespar,imparoningunadelasdos.Determinarsurango.
2.6Tiposdefunciones
Observemosqueimplicaque20,luegoparaestecaso:)j2/sabemosquelagrácadeeslarectadependienteydeordenadaenelorigenSihacemosg.x/,vemosqueparatenemos
queeslacircunferenciadecentroenelorigenyradio;así
essusemicircunferenciasuperior;eslarectadependienteyordenadaenelorigen;luego,lagrácadees:
y
2234g.x/Noesparniimpar;ademásf.x/
�x5:Esbocesugráca,obtengaelrango,lasraícesydigasiespar,imparoniunacosanilaotra.Graquemosprimerolafunción:Para,lagrácadeeslarectaPara�x5,lagrácadeeslarectaParasihacemosf.x/nosqueda
ElevandoalcuadradoestaigualdadobtenemosquerepresentaalacircunferenciaconcentroenelorigenyradioLuego,
representalasemicircunferenciasuperiorylagrácanosquedadelaformasiguiente:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
7567f.x/Nótesequepara,lagrácaespartedelarecta,dependienteyordenadaenelorigen.Yquepara�x5lagrácaespartedelarecta,dependienteyordenadaenelorigentambiénAhoraobservamosque;5,quelasraícessonyquelafunciónesparpuessugrácaessimétricaconrespectoalejedelasGracarlasiguientefunciónG.z/
�z2:Tabulando:7;G.G.0/G.1/G.2/G.2
Lagrácadelafunciónes:
y
112G.z/
2.6Tiposdefunciones
Considerelafunciónf.x/;0Obtenerdominio,raíces,grácayrangodedichafunción.Primeroeldominio:;0
9C
D3p
0:68614072:1861407pero
;porlotantonoesraízdeadiferenciade
quesíloes.Porotraparte
,pero
,luego,
tampocoesraízporloquelaúnicaraízes
Como
2x3D2x2C3
2xC9
9
3D2x2C3
2xC9
39
8DD2xC3
42
lagrácadeesunaparáboladevérticeen
4;
queseabrehaciaarriba.Ademásotrodesuspuntoses.0;LagrácadeeslarectadependienteyordenadaenelorigenConcretamente,dosdesuspuntosson.3;f.3//.3;.4;f.4//.4;Luego,lagrácadelafunciónes:
y
3
53
2:18f.x/Rango:f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
ProporcionareldominioyraícesdeHacerunbosquejográcoyhallarelrango.Dominio:3;4fParaf.x/Lagrácadef.x/esunaparábolaconejeverticalqueseabrehaciaabajo.Ademástienevérticeenelpunto1;4/yraícesen
4C
2D24
2,,xD2C4
2D6
obien
2D2
PeronoesraízyaquePara1x1setienequef.x/Lagrácaespueselsegmentoderectahorizontalquevadelpunto1;4/alpunto.1;4/sinincluirlos.(Nóteseque1x1Paraf.x/Enestecasosugrácaesunaparábolaconejeverticalqueseabrehaciaarriba.AdemástienevérticeenelpuntoW.1;yraícesen–.x2–.x3/.xporlocualytambiénPeronoesraíz,pues–1;4.Entonceslasraícesson:Tabulamosf.4/Lagrácaquecorrespondeacontodasesascaracterísticases:
2.6Tiposdefunciones
y
f.x/Elrangodelafunciónes:4;5Sealafunciónf.x/x0x2Proporcionareldominiodelafunción,susraícesysuparidad.Hacerunbosquejodelagrácayhallarelrango.Eldominiodelafunciónes:2;0//–0;2//–2;42;4:Raíces:Para2;0/f.x/esunafuncióncuadrática,cuyagrácaesunaparábolaverticalqueseabrehaciaarribaapartirdesuvértice
4;9
ycuyaabscisaseencuentraenelintervalo2;0/.Estoesclaroyaque
2xC1
11
8D2xC1
429
Lasraícesdeestaparábolacumplen
1C8
4D13
,dedonde
4D2
4D1
2&x2D13
4D4
pero
noestáenelintervalo2;0/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Para–0;2/f.x/esunafunciónconstantecuyagrácaesunsegmentodelarectahorizontalPara–2;4f.x/esunafunciónlinealcuyagrácaesunsegmentodelarecta,limitadoporlospuntos.2;.4;Paridad:Lafunciónnoespar,niimpar.Unbosquejodelagrácadelafunciónes:
y
f.x/Elrangodelafunciónes:
Hallareldominio,gracarydeterminarelrangodelasfunciones:f.x/0x1g.x/
Eldominiodelafunciónes:.Ysugráca:
y
f.x/
2.6Tiposdefunciones
Elrangodelafunciónes:;01g[–2;Tenemosx0x0:Luego,únicamentesiporlocualeldominiodelafunciónes:Tambiéng.x/
�x0
x0
�x0x0:Cuyagrácaes:
y
22
g.x/Elrangodelafunciónes:
Determinardominio,raíces,unesbozodelagrácadelasiguientefunciónysurango.f.x/3x1,entonces.1;30,porloque,entonces:f.x/3x1simplicando:f.x/3x1Sudominio:Raíces:comoesunaraízdeycomo
4C4
2D1 2p
2
2D1 p
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
lasraícesde
.Elnúmero
noesraízyaquenoestáenelintervaloPuestoque,esunaparáboladevértice.1;2/queseabrehaciaabajo.Unesbozodelagrácadelafunciónes:
y
112f.x/
Elrangodees:;2Dadalafunciónf.x/�x1:Tracesugráca.Determinesudominio,rangoyraíces.Para,lagrácadeesunapartedelarectahorizontalYpara�x1,lagrácadeespartedelarectadependienteyordenadaenelorigen,quecasillegaalpunto.1;0/.Otropuntodeestarectaes.2;Laparábola
41
42DxC1
229
tienesuvérticeen
2;9
,dirigesuconcavidadhaciaarribaycortaalejedelascuando
1C8
2D13
poreso�20esmenorqueobienmayorqueEntoncesenelintervalo3;1laparábolaespositivaenyesnegativa2;1Siendoasí:f.x/2;1:
2.6Tiposdefunciones
Porloanteriorsugrácaesunsegmentodelaparábola“sobre”yelejoconrespectoalejedetalparábolaenelintervalo2;1Lagrácadees:
y
42321
f.x/Dominio:Rango:;4Yraíces:Dadalasiguientefunciónf.x/0x3obtenerlagrácade,sudominio,surangoysusraíces.Notemosprimeroque
;entonces,
3I11
Siendoasí,lagrácadelafunciónes:
y
23211
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Paraestagrácahemostabuladolosvalores:
f.0/f.1/f.2/f.3Dominio:Rango:Df–0;Ylaúnicaraízes
f.x/3x6
6C7
Determine:Grácayrangode¿Esparoimpar?Justiquesurespuesta.Calculamosf.5f.2/f.3f.3f.6f.6
f.12/
Yobservamosque�x2obienPorlotanto,lagrácadees:
y
125
6712f.x/
Elrangoes:;5.12;
2.6Tiposdefunciones
Enlagrácasevequelafunciónnoesparniimpar,porquenoessimétricaniconrespectoalejedelasniconrespectoalorigen.Porejemplo,vemosquef.6/Gracarlafunciónf.x/
�x1:LagrácadeeslarectadependienteyordenadaenelorigenComo
lospuntosquesatisfacen
estánsobrelacircunferenciaconcentroenelorigenyradioYcomo,setratadelasemicircunferenciasuperior.Lagrácadeseobtieneapartirdeladenicióndevalorabsoluto:30x3:Tabulamos
Enresumenlagrácadees:
y
21
1135f.x/
Realizarunbosquejodelagrácadelafunciónf.x/
x2b.4;x2:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Para,lagrácadeesunsegmentodelarecta.Dospuntosdeellason
Parax0
xDx
,porlocuallagrácadeesunsegmentodelarectaPara0x2
xDx
,porlocuallagrácadeesunsegmentodelarectaPara,lagrácaeselpunto.2;4/Para�x2,lagrácadeesunaporcióndelaparáboladeejeverticalqueseabrehaciaarribaapartirdesuvérticeV.3;.Suraízes
ylaparábolaestálimitadaporelpunto.2;Unbosquejodelagrácadeeselsiguiente:
y

2314Cp
313
f.x/
Obtenerdominioygrácadelafunciónf.x/0xDominio:;1–2;Observamosquef.x/,porloquelagrácaesunsegmentodelarectadependienteyordenadaenelorigenTabulamos:3;f.2;f.0/1;f.1/0;f.2/3;f.3/f.5/12:Lagrácadelafunciónes:
2.6Tiposdefunciones
y
f.x/ConsiderelasfuncionesU.x/x0asícomosgn.x/x08.3;x0:Obtenereldominio,lagrácayelrangodelafuncióndenidaporf.x/sgn.x/xU.x/:Dominio:sgn,porlotantof.x/x08.3;x0:x0b.4;x0:Ylagrácadees:
y
f.x/Elrangodees:Df1;00.1;
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Seanlasfuncionesf.x/10x&#x-276;x6:g.x/&#x-276;x0:ObtengaeldominioylafórmuladelafunciónEldominiodees:Eldominiodees:,puesLafórmuladees:g/.x/10;0.0;6.6;Apartirdelagrácadelafunción
xy
f.x/determine:Losintervalosdondef.x/�0f.x/0,asícomolosvaloresdondef.x/,esdecir,lasraícesdeLosintervalosdemonotoníade,esdecir,dóndeescrecienteydóndeesdecreciente.f.x/&#x-235;&#x.600;03;0/0/.0;3//.5;f.x/00.3;5/f.x/escrecienteen;0/yen.4;6/esdecrecienteen.0;4/yen.6;
2.6Tiposdefunciones
Apartirdelagrácadelafunción
xy
2357
f.x/
Determinar:Losintervalosdondef.x/�0f.x/0;ylosvaloresdondef.x/Losintervalosdemonotoníade;esdecirdóndeescrecienteydóndeesdecreciente.f.x/&#x-91.;က00.2;1/[.2;7/f.x/00.1;2/2/.7;f.x/1;2Lafunciónescrecienteenyen
Lafunciónesdecrecienteen
yen.5;Paralafunción:f.x/3xBosquejesugráca.Determinesudominio,surangoysusraíces.Apartirdelagráca,encuentrelosintervalosdecrecimientoydecrecimiento.Apartirdelagráca,encuentrelosintervalosdondelafunciónespositivaydondeesnegativa.Lagrácadees:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Vemosque:7;66;334g:Lafunciónescerosolamentecuando
quesonsusraíces.7;0lafunciónescrecienteyen–0;3esdecreciente..3;6esnocrecienteynodecreciente(esconstante).Observamosquef.x/�0
.3;6f.x/0
.p
3;3:Sealafunción:f.x/2xBosquejelagrácadelafunción.Determineeldominioyelrangodelafunción;encuentretambiénsusraíces.Apartirdelagráca,encuentrelosintervalosdecrecimientoydedecrecimiento.Apartirdelagráca,encuentrelosintervalosendondelafunciónespositivaynegativa.Lagrácaes:
2.6Tiposdefunciones
y
123f.x/6;5;R3;3Raíces:
Lasdosprimerasraícesseobtienenalresolverylaúltimaseobtienealigualaracerodedonde
.2;5creceen.0;2/ydecreceen2;0/yen.2;5f.x/�0
f.x/01;1/
Sealafunción:f.x/2;2/Bosquejarsugráca.Obtenereldominio,raícesyespecicarlosintervalosdonde:f.x/�0f.x/0f.x/crece;f.x/decrece.Lagrácadees:
y
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Eldominio:Lasraíces:1;1f.x/�00.1;1/1/.1;2/f.x/00–2;f.x/creceen2/;1;0/yen.1;2/f.x/decreceenyen.0;1/Sealafunciónf.x/0x4Graquelafunción.¿Cuálessonelrangoylasraícesde¿Cuálessonlosintervalosdemonotoníade¿Lafunciónesparoimpar?Justiquesurespuesta.Comoresultaqueesunaparábolacuyovérticees1;3/yseabrehaciaabajo,porloquepara,lagrácadeesunsegmentodetalparábola.Entrelagrácadeesigualalade.Aplicandoladenicióndevalorabsoluto:20x2:Porúltimo,si,lagrácaesunarectaparalelaalejedelastrazadaaunaalturadePorlotantolagrácaes:
y
124f.x/
2.6Tiposdefunciones
;3Parahallarlasraícesnopositivasresolvamoslaecuaciónconloqueobtenemos
1C2p
Luego,
eslaúnicaraíznegativaquetienelafunción.Laúnicaraízpositivaes;susraícesson
Lafunciónescrecienteenn.2;4/Lafunciónesdecrecienteen1;2/Lafunciónesnocrecienteynodecrecienteen–4;Lafunciónnoesparpues,porejemplo,f.1/Ytampocoesimparpuesf.1/Eneldibujoapareceunapartedelagrácadelafunción
xy
f.x/Completeestagrácasabiendoquesetratadeunafunciónparytambiéndeterminesudominio,raícesyrango(imagen).Determinelassolucionesdelasdesigualdadesf.x/�0f.x/0Determinelosintervalosdondeestafuncióncreciente;decreciente.Lagrácacompletaes:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
2356f.x/Yasíresultaque7;7Raíces:
2;3
10;10f.x/�0
2[3
f.x/0
2;3
.6;7c.i.Lafunciónescrecienteen4/;.0;3/yen.3;4/Lafunciónesdecrecienteen3/;.3;0/yen.4;7/Lasiguienteguraespartedelagrácadeunafunción
xy
f.x/Completarlagrácasabiendoqueesunafunciónpar.Determinardominio,raícesyrango.Determinarlosintervalosdemonotonía.Lagrácacompletadees:
2.7Transformacionesdefunciones
y
f.x/
Dominiode7;7Raíces:1;1Rangode13;33.5;9Lafuncióndecreceenyen.0;3Lafuncióncreceen3;0/yen–3;72.7TransformacionesdefuncionesEjercicios2.7.1Considerandolasiguienteguracomolagrácadeciertafunción
xy
1;0/C.0;1/D.1;0/f.x/realizarunbosquejodelagrácadelafuncióng.x/2f.xyespecicarlanuevaposicióndelospuntos1;0/C.0;1/D.1;0/Lagrácadeg.x/seobtieneapartirdef.x/,mediantelospasossiguientes:Seobtienef.xtrasladandounidadhacialaderechalacurvaf.x/Seobtiene2f.xmultiplicandoporlasordenadasdelospuntosdef.x
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Seobtiene2f.xejandolacurva2f.xconrespectoalejeSeobtiene2f.xtrasladandounidadeshaciaarribalacurva2f.xObtenemoslagrácadeg.x/2f.x
xy
g.x/1;0/C.0;1/D.1;0/1;5/.0;3/.1;1/.2;3/g.x/
f.x/
Enefectocomo1;f.0;f.0/f.1/encontramos5;g.0/3;g.1/g.2/Veamoslanuevaposicióndelospuntosrespectivamente:1;5/.0;3/.1;1/.2;3/:Considerandoquelagurasiguienteesunbosquejodelagrácadeciertafunción,obtengaeldominio,elrango,lasraícesasícomounbosquejodelagrácadelafuncióng.x/3f.x
xy
13456f.x/
–1;8/;4,raíz
2.7Transformacionesdefunciones
Paragracarg.x/tenemosquetrasladarlagrácadef.x/5unidadesalaizquierda,expandirlaverticalmenteunidades,reejarlaconrespectoalejedelasyporúltimodeslizarlahaciaarribaunidades.Como4;3/e,igualmente,comof.1/f.3f.4/g.0/f.5/g.1/f.6ycomog.3f.8encontramosquelagrácadees:
y
g.x/Considerandolafuncióndenidapor:f.x/x0RealizarunbosquejodelagrácadelafunciónRealizarunbosquejodelagrácadelafuncióng.x/f.xObtenerdominio,rangoyraícesdelafunciónAlaizquierdade,lagrácacoincideconladelarecta;apartirde,conladelaparábolacuyovérticees.1;,quepasaporlospuntos.0;.3;0/Lagrácadees:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Trasladamosprimerolagrácadehorizontalmentehacialaderecha3unidadesydespuésverticalmentehaciaabajo2unidades.Lagrácadees:
y
g.x/
Observación:0;f.01;f.0/3;f.1/f.3/Porloqueg.2/2;g.31;g.3/5;g.4/g.6/Dominio:todoslosnúmerosreales.Rango:todoslosnúmerosreales.Raíces:lafunciónes:g.x/–.xx32.xosea,g.x/x3Lafuncióng.x/notieneraícesparax3
2.7Transformacionesdefunciones
Lafuncióng.x/tieneunaraízpara,quees
Enefectog.4
p
8.4
8p
6C68p
Dadaf.x/Obtengalagrácadeh.x/f.xGraquemosprimero,observandoquef.x/
xy
f.x/Seobtendráh.x/trasladandolagrácadef.x/3unidadesaladerechaydeslizándolaunaunidadhaciaabajo:
y
12345h.x/Observación,como4;f.1;f.0;f.5;f.0/3;f.1/1;f.2/f.3/setienequeh.0/3;h.1/0;h.21;h.26;h.3/4;h.4/2;h.5/h.6/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Dadalafuncióng.t/t11t2:Bosquejarsugrácaydeterminardominio,rangoyraíces.Obtenerlosintervalosenlosqueg.t/asícomoaquellosendondeg.t/0Apartirdelagrácaobtenida,bosquejarlagrácadef.t/2g.tLagrácadelafunciónes:
y
g.t/Dominio:3;2/3;1/1/.1;2/Rango:5;6/g.t/2;2/2;1//.1;2/g.t/0Lagrácaquedeseamosseobtienedelaoriginal.Aldesplazarla2unidadesalaizquierda,tendremos
y
g.t
2.7Transformacionesdefunciones
Siexpandimosverticalmentelagrácaanterior2unidades,obtendremos
y
2g.tAldesplazarla3unidadeshaciaabajo,veremos
y
2g.tConsiderelafunción:f.x/x0
Determinardominio,raícesopuntosendondelafunciónvalecero,grácayrangodeApartirdelagrácade,construirlagrácadeh.x/2f.x8;6Raíces:Lagrácadees:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
5p
f.x/3;5/Paraconstruirlagrácadeh.x/serealizalosiguiente:Lagrácadeladesplazamos3unidadesalaizquierda.
y
5p
313f.xMultiplicamospor-2cadaunadelasordenadasdef.xyobtenemos2f.x
xy
622p
3132f.xDesplazamosunaunidadhaciaarribalagrácade2f.xyobtenemos2f.x
2.7Transformacionesdefunciones
y
71339983212p
2f.xConsiderelafunciónnidaporf.x/x0GraquelafunciónUsandolagrácade,construirlagrácadelafunciónh.x/2f.2xyobtenerunaexpresiónofórmulaparah.x/Lagrácadees:
y
3123f.x/Puestoquef.2x
,hayquetrasladar
unidadhacialaizquierdalagrácade,comprimirlahorizontalmenteporunfactorde,expandirlaverticalmentemulti-plicandoporlasordenadas,reejarlaconrespectoalejeydeslizarlahaciaarribaunidades.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
133
h.x/Enefecto,comof.x/varíadependiendosix0obiensif.2x,cambiarádepen-diendosi10obiensi;estoes,si
obiensiObservemosque:
2x10f.2x2.2xh.x/2f.2x4x/h.x/f.2x.2xh.x/2f.2x2–.2xh.x/Porlotanto:h.x/
f.x/0x4;determine:Unesbozográcodelafunción.Dominio,rango,raíces,paridad,intervalosdemonotoníaeintervalosdondef.x/&#x-110;0ydondef.x/0Unesbozográcoparalafuncióng.x/f.x
2.7Transformacionesdefunciones
Lagrácadelafunciónconstadetrespartes:esunsegmentoderectaparaleloalejedealtura3.4;0esunaparábolaabiertahaciaarriba.Paraobtenermayorinformacióncompleta-moselcuadrado:Deaquívemosqueesunaparábolacuyovérticeesyqueseobtienedelacanónicadesplazándolaalaizquierdaunidadyhaciaabajo4unidades.Otrainformaciónútilsonloscerosdelacuadrática:
4C
D24
Desechamosyaquenoseencuentradentrodelintervaloconsiderado.Vamosaevaluarlafunciónenlosextremosdelintervalo:
2C3
4
83D5
0
.0;4/esunsegmentodelarectadependienteyordenadaenelorigenEstarectatienecomoraíz:
1:5,lacualseencuentradentrodelintervalo.Vamosaevaluarlarectaenlosextremosdelintervalo:
3
0
3
4
Conlainformaciónanteriorhacemoselesbozodelagráca:
y
533464313
f.x/
Dominio:6;4/Rango:4;5
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Raíces:3;x1:5Noesparniimpar.Lafunciónesconstantesi6;4/.Esdecir,lafunciónesnocrecienteynodecrecienteenesteintervalo.LafuncióndecrecesiLafuncióncrecesi1;4/Lafunciónespositivasii.1:5;4/Lafunciónesnegativasi3;1:5/Cadavalordelanuevagrácaseobtienedelaanteriordesplazándolaunidadaladerecha,ejándolaconrespectoalejeysubiéndolaunidades.Vamosaobtenerlosvaloresdelospuntoselegidos:6;3/5;3/4;3/3;3/4;5/3;5/.0;.0;4/.0;6/E.0;.1;.1;3/.1;5/F.4;5/.5;5/.5;.5;3/:Estolopodemoscomprobarconsiderandoeldominiode5;5/yevaluandodirecta-mentelafuncióng.0/f.0g.1/f.1f.0/g.5f.5f.4porloquelospuntos.0;6/.1;5/estánenlagrácadedehechosonrespectivamenteConlainformaciónanterior,hacemoselesbozodelagrá
y
g.x/
2.7Transformacionesdefunciones
g.x/4x1x3Obtengadominio,raícesyunbosquejodelagrácade,asícomosurango.Graquelafunciónh.x/g.x,apartirdelagrácadeDominio::.1;3/3/–3;Raíces:g.x/,perog.x/notieneraíces;g.x/–3;Vemosquesólotieneunaraíz:Calculamoslosvaloresdeg.x/enlosextremosdecadaintervaloparadeterminar:.3;1/ytambién.4;0/Sugrácaes:
y
g.x/
Rango:12;[f–0;Lagrácadelafunciónh.x/g.xseobtienetrasladandoalagrácade,primerounidadeshacialaizquierdayluegounidadeshaciaabajo.Entonces:D.3;.0;.0;E.3;1/.0;1/.0;F.4;0/.1;0/.1;2/:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
112h.x/

lafuncióndadaporf.t/conlafuncióndenidaporg.t/f.t/Hallareldominioyhacerunbosquejodelagrácadeindicandosurangooimagen.h.t/2g.t,hacerunbosquejodelagrácadeestanuevafuncióneindicarsudominioyrango.Eldominioes:1;1Parabosquejarsugrácaesnecesariovercómoexpresarg.t/paraYaque1/.1/t1/0Entonces,g.t/Porlotanto,lafunciónpuedeexpresarsecomog.t/Cuyagrácaes:
2.7Transformacionesdefunciones
y
B.0;0/C.1;1/g.t/
Elrangooimagende1;1Parabosquejarlagrácadelafunciónh.t/2g.t,iremosobteniendolasnuevascoor-denadasdelospuntosB.0;0/C.1;1/delagrácade,amedidaqueseefectúenlasaccionesindicadas.
g.t/
g.t
2g.t
2g.t
.0;
.0;
.0;1/
B.0;0/
.1;0/
.1;0/
.1;3/
C.1;1/
.2;1/
.2;2/
.2;5/
Lagrácadelafunciónh.t/resulta:
y
h.t/.0;1/.1;3/.2;5/
Dominio:–0;2Rango:–1;5f.x/
g.x/3f.xdeterminarlasgrácasdeambasfunciones,eldominioyelrangodelafunción
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Considerandoque.3x40
3I4
reescribimoslafuncióncomof.x/
1x
3I44
Paratenerlagrácadedebemosverque
1.x3/;esdecir,que
esunasemiparábolaconejehorizontallacualseabrehacialaizquierdadesdesuvérticeV.3;0/Unbosquejodelagrácade
xy
f.x/6;3/1;2/1;7/
E.3;5/
Obtenemoslagrácadelafuncióng.x/3f.xmedianteetapasypartiendodelagrácadelafunciónf.xseobtienedesplazandoaf.x/unaunidadhacialaizquierda.3f.xseobtienemultiplicandoporlasordenadasdef.xFinalmente3f.xseobtienede3f.xtrasladándolaunidadeshaciaabajo.Veamoslascoordenadasdelospuntos,despuésdecadaetapa
f.x/
f.x
3f.x
3f.x
6;3/
7;3/
7;9/
7;5/
1;2/
2;2/
2;6/
2;2/
1;7/
2;7/
2;21/
2;17/
4
3
D11
3
D21
3
D31
3;4
E.3;5/
.2;5/
.2;15/
.2;11/
2.7Transformacionesdefunciones
Ahoralagrácadelafunción
xy
g.x/7;5/2;1:6/2;17/
.2;11/
EldominiodeyelrangodeeselintervaloDadalafunciónf.x/3x1x2xObtenerlagráca,elrangoylasraícesdeApartirdelagrácadehacerunbosquejodelagrácadelafuncióng.x/f.xLagrácadelafunciónes:
y
f.x/
211
Rango:3;3:Raíces:
esraízpues
esraízpues11noesraízpues1;2:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Tenemosquedeslizarlagrácadeunaunidadhacialaderechayreejarlaconrespectoalejedelas;porúltimo,deslizarlahaciaarribadosunidades.Dehecholospuntos
1;0/.2;(quenoestánenlagrácade)asícomolospuntos1;3/.0;1/.1;0/.2;.4;setransformaránparaobtenernuevospuntosyconellosconstruirlagrácadeNótesequealgunosdeestosnuevospuntosnopertenecenalagrácade2;1/2;3/
2!3
2!3
2!3
1;3/.0;3/.0;.0;1;0/.0;0/.0;0/.0;2/.0;1/.1;1/.1;.1;1/.1;0/.2;0/.2;0/.2;2/.2;.3;.3;3/.3;5/.2;.3;.3;1/.3;3/.4;.5;.5;1/.5;3/:Porloquelagrácasolicitadadees:
y
g.x/
1235
13.a.Encuentrelaregladecorrespondenciaparalafunciónrepresentadaporlasiguientegráca:
y
f.x/136Elaborelagrácadelafuncióndadapor:g.x/3f.2x
2.7Transformacionesdefunciones
Desdeluegof.x/–1;3Para–3;6,lagrácadef.x/eselsegmentoderectaquepasaporlospuntos.3;1/.6;2/estoes,quetienedependiente
63D1
Suecuaciónentonces,porpasarpor.3;1/,es:
3y1D1
3x1)yD1
(suordenadaenelorigenes)yporlotantof.x/–1;3Observequef.3/
–3;6:Calculemosexplícitamenteg.x/
2x5
g.x/3f.2xPerosi
g.x/3f.2x
.2x;luego,tenemosquegracarg.x/
2;5
Observeque
2D2x25
2:
xy
g.x/
25
24
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Dadalagrácadeunafunción
xy
f.x/asociecadaunadelassiguientesfuncionesf.x2f.x/f.x/consugrácacorres-pondiente.
y
611234
y
1234567
y
Éstaeslafunciónf.x/
xy
Éstaeslafunciónf.x
2.7Transformacionesdefunciones
y
Éstaeslafunción2f.x/
xy
f.x/�x1:Graque:f.x/g.x/f.xh.x/f.x/Unbosquejodelagrácadees:
y
f.x/
112
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Puntosdecontrol:
3;0/1;2/C.0;0/D.1;2/E.2;5/Unbosquejodelagrácadeg.x/f.xseobtienedelasiguientemanera:lagráestrasladadaunidadeshacialaderechaylanuevagrácaasíobtenidaestrasladadaunidadeshaciaarriba.Lospuntosdecontroladoptanlasposicionessiguientes:
3;0/
2;0/
3;5/1;2/.1;2/.1;7/C.0;0/.2;0/.2;5/D.1;2/.3;2/.3;7/E.2;5/.4;5/.4;10/:Elbosquejoresultantees:
y
g.x/
Unbosquejodelagrácadeh.x/f.x/seobtienedelamanerasiguiente:laporcióndelagrácadequeseencuentrepordebajodelejeesreejadaconrespectoadichoeje(poniendounespejoeneleje)ylaporcióndelagrácade,queestáporencimadeleje,sedejaigual.Elbosquejoresultantees:
y
h.x/
112
Considerelafunciónf.x/x1Determinardominio,raíces,grácaeimagenorangodeApartirdesugráca,construirlagrácadeg.x/f.x/Gracarlafunciónh.x/f.x
2.7Transformacionesdefunciones
Dominio:–0;3Raíces:notiene.Lagrácade
xy
f.x/Rango:–1;6f.x/f.x/,puesf.x/;luegof.x/g.x/ytienenlamismagráca.Paraobtenerlagrácadelacurvaf.x/setraslada1unidadaladerecha,luegosereconrespectoalejenalmentesedesplaza1unidadhaciaarriba.Lagrácadees:
y
h.x/Comof.0/1;f.1;f.1;f.1/2;f.2/f.3/entoncesh.1/0;h.2;h.2;h.2/1;h.3/h.4/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lasiguienteeslagrácadeunafunción–0;10
xy
f.x/
Determinesuregladecorrespondencia.Considerelafunciónnidaporg.x/x0f.x/10:Bosquejelagrácade.Determinesudominio,rangoyraíces.h.x/g.x;apartirdelagrácadeobtengalade–0;4lagrácadeeselsegmentodelarecta–4;10lagrácadeeselsegmentodelarectaqueunelospuntos.4;.10;15/,porlotantotienependiente
104D2
6D
Porpasarporelpunto.4;,laecuacióndelarectaes:
4/:Así:
17.2/
2D
x6
3D
x
yentonceslaregladecorrespondenciaparalafunciónserá:f.x/x4
x
Lagrácadees:
2.8Modelandoconfunciones
y
g.x/
Dominio:10;10Rango:15;15Raíces:si
x
D0)
xD
)xD6
3D2
.Porsimetríaotraraízde
Alacurvag.x/seletrasladaunidadhacialaizquierdayluegounidadeshaciaabajo.Lagrácadelafunciónresultaentonces:
y
h.x/2.8ModelandoconfuncionesEjercicios2.8.1Lasdimensionesdeunrectángulopuedenvariar,peronosuáreaquedebeserde.Con-siderandoqueunodesusladosmidecm,expresarelperímetrodelrectánguloenfunciónde¿Quésepideenelproblema?Expresarelperímetrodeunrectánguloenfuncióndelalongituddeunodesusladosasabiendasdequesuáreadebeserexactamente.Nuestroobjetivo
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
eselperímetrodeunrectángulo,peronodecualquierrectángulosinodeaquelcuyaáreaseaprecisamente
Considerandounrectánguloconbasedelongitudcmyalturadelongitudcm,setienequeelperímetroesyeláreaesObservamosentoncesqueelperímetroestáenfuncióndelasdosvariables,lasmismasqueestánrelacionadasenlaecuaciónPoresto,paraexpresarelperímetroenfunción(sólo)de,esnecesariodespejarla(otra)variabledelaecuaciónparaluegosustituirlaenlafunciónperímetroseobtiene
Alsustituirensellegaa2.x
esdecir,P.x/
queeslafunciónrequerida.Elperímetrodeunrectángulodebesercm.Expresareláreadelrectánguloenfuncióndelalongituddeunodesuslados.¿Quésepideenelproblema?Expresareláreadeunrectánguloenfuncióndelalongituddeunodesuslados,asabiendasdequesuperímetrodebesercm.Entoncesnuestroobjetivoestáeneláreadeunrectángulo;peronodecualquierrectángulo,sinodeaquelcuyoperímetroseaprecisamentecm.
x
2.8Modelandoconfunciones
Considerandounrectánguloconbasedelongitudcmyalturadelongitudcm,encontramosqueelperímetroesyeláreaesObservamosentoncesqueeláreaestáenfuncióndedosvariables,lasmismasqueestánrelacionadasenlaecuaciónPoresto,paraexpresareláreaenfunción(sólo)de,esnecesariodespejarla(otra)variabledelaecuaciónparaluegosustituirlaenlafunciónárea2.xllegamosa
Alsustituiren
esdecir,A.y/
queeslafunciónrequerida.Lasdimensionesdeunparalelepípedo(cajaconcaraslateralesrectangulares)puedenvariar,peronosuvolumenquedebeseriguala.Considerandoquelacajatienebasecuadradaconladodelongitudigualam,expresareláreadelasupercietotaldelparalelepípedoenfunciónde¿Quésepideenelproblema?Expresareláreadelasuperciedeunacajadebasecuadrada,enfuncióndelalongituddelladodedichocuadrado,asabiendasdequesuvolumendebeser.Entoncesnuestroobjetivoestáeneláreadeunacaja;peronodecualquiercaja,sinodeaquellacuyovolumenseaprecisamente
Puestoquelacajatienebaseytapacuadradasdeladomyalturadelongitudm,eláreatotales4xyyelvolumenesEntonceseláreaestáenfuncióndelasvariables,lasmismasqueestánrelacionadasenlaecuación
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Poresto,paraexpresareláreaenfunción(sólo)de,esnecesariodespejarla(otra)variabledelaecuación,paraluegosustituirlaenlafunciónárea,llegamosa
Alsustituiren4xy
esdecir,A.x/
queeslafunciónrequerida.Unacajaconbaseytapacuadradastieneunasuperciedeárea.Expresarelvolumenlacajaenfuncióndelalongituddeunodesuslados.
Considerandounacajaconbaseytapacuadradasdeladoyalturadelongitud,observamosqueeláreatotales4whyelvolumenesEntonceselvolumenestáenfuncióndelasvariables,lasmismasqueestánrelacionadasenlaecuación4whPoresto,paraexpresarelvolumenenfuncióndesolamenteunadelasvariables(obien),esnecesariodespejarlaotravariable(obien,respectivamente)delaecuación4wh,paraluegosustituirlaenlafunciónvolumenAquíesimportantepreguntarse¿cuáldelasvariablesdebemosdespejar?Larespuestaes:laqueconvenga.Nótesequeenestecasoconvienedespejarlavariable4whsetieneque
Alsustituiren
;
2.8Modelandoconfunciones
esdecir,V.w/
4w1
queeslafunciónrequerida.5.a.ExpreseeláreadeuncuadradoenfuncióndesuperímetroExpreseelperímetrodeuncuadradoenfuncióndesuárea
Sesabequeeláreadeuncuadradoes:,dondeeslalongituddeunodelosladosiguales.Tambiénsesabequesuperímetroes:4x:Despejandodeestoúltimo:
Sustituyendoenlaecuacióndelárea,tenemos:
42DP2
1
A.P/
Queeslafunciónrequerida.Delaecuacióndelárea,despejamosyobtenemos:
Sustituimosenlafórmuladelperímetroyobtenemos:P.A/
Éstaeslafunciónrequerida.6.a.ExpreseeláreadeuncírculoenfuncióndesuperímetroExpreseelperímetrodeuncírculoenfuncióndesuárea
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Usamoslasiguientegura:

Sesabequeeláreadeuncírculoes:,dondeeslalongituddelradio.Tambiénsesabequelalongituddelacircunferenciaes:2r:Despejandodeestoúltimo:
Sustituyendoenlaecuacióndeláreatenemos:
2D1
C2D1
A.C/
Queeslafunciónsolicitada.Delaecuacióndeláreadespejamosyobtenemos:
)rD
A
Como�r0,desechamoslaraíznegativa
A
Sustituimosenlafórmuladelperímetro2ryobtenemos:C.A/
A
D2p
A:Éstaeslafunciónrequerida.
2.8Modelandoconfunciones
7.a.Expreseeláreadeuntriánguloequiláteroenfuncióndelalongituddeunodesuslados.Expreseeláreadeuntriánguloequiláteroenfuncióndelalongituddelaaltura.Usamoslasiguientegura:
Sesabequeeláreadeuntriánguloes:
,dondeeslabaseylaaltura.Delagura,aplicandoelteoremadePitágoras,obtenemos:
2
2Dh2Cs2
4Dh2C1
4s2))h2D3
4s2)hDp
3
Como�h0desechamoslaraíznegativa
3
Sustituyendoenlaecuacióndeláreatenemos:
2p
3
A.s/
3
Queeslafunciónsolicitada.Delarelación
3
obtenemos:
p
Sustituimosenlafórmuladelárea
yobtenemos:A.h/
2.2
p
3h1
p
Éstaeslafunciónrequerida.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Expreseelvolumendeuncuboenfuncióndeláreadesubase.Usamoslasiguientegura:
Sesabequeelvolumendeuncuboes:,dondeeslalongituddecualquieraristadelcubo.Eláreadelabasees:Deaquí:
ADA1
Sustituyendoenlaecuacióndelvolumen,tenemos:
23DA3
2D2p
V.A/
A3DAp
Queeslafunciónsolicitada.Unacajaconbaseytapacuadradasdeladotieneunasupercietotalde.ExpresarelvolumendelacajacomofuncióndeUtilizamoslasiguientegura:
xyy
2.8Modelandoconfunciones
Lasupercetotaldelacajaes:4xyDespejando
ElvolumendelacajavienedadoporlaexpresiónSustituyendolavariabledespejadaanteriormente:V.x/
D
4Dx3
Queeslafunciónsolicitada.Unapecerade1:5piesdealturatieneunvolumendepiescúbicos.Siesellargodelabase,ysuanchoesDeterminecomofunciónde.Ademásgraqueestafunción.Encuentrelacantidaddematerialnecesario,enpiescuadrados,paraconstruirlapeceraenfuncióndeComoelvolumendeunprismarectorectangulareseláreadelabaseporlaaltura,enelcasodelapeceraobservamosque1:5xy,entonces:
1:5x
Cuyagrácaes:
y
12413Sudominiosonlosrealespositivosysurangoeselintervalo.0;Ahoraeláreatotaldelmaterialqueserequiere;puestoquelapeceranotienetapa,eslasumadelasáreasderectángulos:elfondoquetieneporáreaylas4caraslateralesquesonigualesporparejas,deárea1:5xcon1:5y
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
1:5Entotal2.1:5x/2.1:5y/3.xSustituyendopor
,obtenemos:
xCx4
yahorasimplicandoA.x/
UnenvasecilíndricotieneunaalturaigualaltripledelradioDeterminelasuperciedelenvase,considerandosusdostapas,enfuncióndelradio.Sisedeseanfabricarenvasescuyosradiosestánentredm,¿cuáleslarespectivavariacióndevolumendelosenvases?Usaremoslassiguientesguras:
r
hD
2rLasuperciedelenvaseseráelárealateralqueclaramenteeseláreadeunrectángulodealturaydebaselalongituddeunacircunferenciaderadio2r,estoes,6r,máseláreadelasdostapas,2r;esdecir:S.r/6r2r8r
2.8Modelandoconfunciones
ComoelvolumendelcilindroV.r/,eseláreadelabaseporlaaltura,entoncesV.r/3rycuandodm,tenemosV.3/V.5/,porloqueelvolumendelrecipientevaríade.Enotraspalabras,V.r/–81;375Unterrenotienelaformadeunrectángulocondossemicírculosadosadosadosdesusladosopuestos.Sielperímetrodelterrenoesdem,hallareláreadelterrenoenfuncióndelalongituddeunodelosladosdelrectángulo.Dibujemosprimeroelterreno.
`
Superímetrodemesiguala
suáreaes
Siqueremosexpresarestaáreaenfunciónexclusivamentedetenemosquesustituirelotroladotérminosdeyestolopodemoshacerpuescomo;entonces
Sesustituyeporestevalor:
C
1600`2`
1600`
estoes
D1
1600`
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Unalatatienecapacidaddeyformadeuncilindrocircularrecto.Expreseeláreadelasuperciedelalatacomofuncióndesuradio.Usandolagura
h
consideremosquelalatacilíndricatienedmderadioydmdealtura.Sesabequelacapacidad(volumen)delalataesdeytambiénsesabequeelvolumendeestalataesEntonces,Sedeseaexpresareláreadelasuperciedelalatacomofunciónderadioasabiendasquedichaáreaes2r2rhqueestáenfuncióndeParatenereláreaenfunciónsólode,despejamosdelaecuaciónparaluegosustituirla
2r2rh2r2r
2r
A.r/2r
queeseláreadelasuperciecomofuncióndeUngranjerodisponedemdevallaparacercardoscorralesadyacentes(véasegura).Expresareláreaencerradacomofunciónde
2.8Modelandoconfunciones
Porunladoeltotaldevallaqueseusaes,porloque
Eláreatotales:.Sisustituimospor
tenemosaláreaexpresadacomofunciónde.x/
2x.2004x/
Unacajacerrada,enformadecubo,vaaconstruirsecondosmaterialesdiferentes.Elmaterialdelascaraslateralescuesta2.5pesosporcentímetrocuadradoyelmaterialdelabaseylatapacuesta3pesosporcentímetrocuadrado.Expreseelcostototaldelacajaenfuncióndelalongituddeunodesuslados.Usamoslasiguientegura:
Lascaraslateralesdelacajatienenelárea:,dondecmeslalongituddecualquieraristadelcubo.Latapaylabasetienenelárea:Elcostodelasáreaslateraleses:2:52:5pesos.Elcostodelabaseylatapaespesos.Elcostototalesporlotanto:pesos;C.x/pesos.Queeslafunciónsolicitada.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Unaviónvuelaaunavelocidaddemillas/h,aunaaltituddeunamillaypasadirectamentesobreunaestaciónderadarenelinstanteExpreseladistanciahorizontal(enmillas)queelaviónrecorrecomofuncióndeltiempoExpreseladistanciaentreelaviónylaestaciónderadarcomofuncióndeApliquelacomposicióndefuncionesparaexpresarcomofunciónde350t,conexpresadoenhorasysuponiendoquelaTierraesplana.Usamoslasiguientegráca:
millaEstaciónderadarVemosque
Aplicamoslacomposición,dondef.x/
;así:s.t/d/.t/f–d.t/f.350t/
.350t/Unaventanainglesatienelaformaderectángulocoronadoconuntriánguloequilátero.Sielperímetrodelaventanaesdem,expreseeláreadelaventanaenfuncióndesuancho.Usamoslasiguientegráca:
h
hxx
CalculamoselperímetroeigualamosconlarestriccióndadaEláreatotalconstadedospartes:Eláreadelrectánguloxh:
2.8Modelandoconfunciones
EláreadeltriángulosuperiorParacalcularestaáreausamoselteoremadePitágorasparaconocerlaaltura
:.
Cx
2
2Dx2).
Dx2x2
4D3
4x2)
hDp
3
Eláreadeltriánguloes:
2xp
3
2xDp
3
Eláreatotales:
3
Despejamosde(*)lavariableyobtenemos:
Sustituimosporestevaloren(**):x.15
2p
3
4x2D3
2x2Cp
3
4x2D6Cp
3
Eséstalafunciónsolicitada.Sevaaconstruirunacisternarectangularconbaseytapacuadradasparaalmacenar12000agua.Elconcretoparaconstruirlabaseylascaraslateralestieneuncostode$100:00porpieyelmaterialparaconstruirlatapacuesta$200:00porpieObtengaelcostodelaconstruccióndelacisternaenfuncióndelalongituddelladodelabase.Veamoslacorrespondientegura:
Eláreadelatapaes:enpiesysucostoesentoncespesos.Elcostodelabaseespesos.Eláreadelascuatrocaraslateraleses4xhyelcostoes400xhpesos;perolasvariablesestánrelacionadaspueselvolumendelacisterna,12000,esigualaláreadelabaseporlaaltura12000
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
ydeaquíque12000
PorúltimoelcostodelaconstruccióncomofuncióndeC.x/12000
4800000
Unalambredecmdelongitudsecortaendospartes.Unadeellassedoblaparaformaruncuadradoyconlaotraseformauntriánguloequilátero.Obtenereláreadeambasgurascomofuncióndelladodelcuadrado.Usamoslassiguientesguras:
4x100
x
h
Llamemosalladodelcuadrado(porloquesuáreaes);entoncesunapartedelalambremide;laotra,laparteconlaquevamosaformaruntriánguloequilátero,mide.Cadaladodedichotriángulomediráporlotanto
.Sualtura,porelteoremadePitágoras,es:
.1004x/
.502x/
9Dp
100002500
3DDp
7500
D
12.x
DD
3.x
3D2p
3jx
3D2jx
p
Ysuárea:
2
2jx
p
.1004x/.25
p
(Observeque
,pues
2.8Modelandoconfunciones
Deunapiezarectangulardecartónquemidecmdelargoycmdeanchosevaaconstruirunacajasintapa.Secortarán4cuadradosdecmdelado,comosemuestraenlagura,yluegosedoblarásobrelaslíneaspunteadasparaformarlacaja.Expreseelvolumendeestacajacomofunción
Lacajaseveasí:
Sialoscmdelargolequitamoscmdecadaladoentoncesquedaunalongitudigualacm.Sialoscmdeancholequitamoscmdecadaladoentoncesquedaunalongitudigualacm.Alcortarloscuadraditosydoblarelcartónseobtieneunacajadealtura,anchuraylargocm.Porlotantoelvolumendelacajaes:x.192x/.442x/Esdecir,V.x/ConsiderandolasescalasCelsiusyFahrenheitparamedirtemperaturas,sesabequeCcorrespondeFyqueF.Deducirlafórmuladetransicióndeunaescalaalaotra,esdecirexpresarCenfuncióndeF,asícomoFenfunciónde¿Quésepideenelproblema?Primerodeducirunafórmulaorelaciónentrelasdosescalasdemedición,CelsiusyFahrenheit,paraluegoobtenerunpardefunciones:unaqueexpreseCenfuncióndeFyotraqueexpreseFenfuncióndeConsiderandolatemperaturaquetieneciertoobjetoalmedirlaconuntermómetroCelsiusseleeyconuntermómetroFahrenheitseleeunatemperaturaEncadaunadelasescalasvemoslarazónqueexisteentreladiferenciadetemperaturasleídaeinicialylalongituddedichaescala.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
EnlaescalaCelsiuslarazónes:
yenlaFahrenheitdicharazónes:
Debidoaquesonlecturasdelamismatemperaturaentonceslasrazonesanterioresdebenseriguales;esdecir
TF
Deaquíobtenemosenfuncióndemediante
1805
32/:Asítambiénobtenemosenfuncióndemediante
100C)TFD9
32:Unviajesubsidiadoporunaescuelacostaráacadaestudiantepesossiviajannomásdeestudiantes;sinembargoelcostoapagarporestudiantesereduciríapesosporcadaunomásqueseinscribaalgrupodelos.Expreselosingresosbrutosrecibidosporlaescuelaenfuncióndelnúmerodeinscritosadichoviaje.eselingresobrutoyelnúmerodeestudiantesquevanaviajartenemos:I.n/150n5.n150/nn�150150n.150750/nn�150I.n/150n.9005n/nn�150150n.180n/5nn�150:Comosevenosedeberíanaceptarmásde180estudiantespuessin�180n0,losingresosseríannegativos.Elcostodeunviajeentaxiesde4:80pesosporelprimerkilómetro(opartedelprimerkilómetro)ycentavosporcadametrossubsiguientes.Expreseelcostodeunviajecomofuncióndeladistanciarecorrida(enkilómetros)para0x2;ademásgraqueesafunción.Considerandoque0:1kmyquecentavos0:30,seconstruyelatablasiguiente:
Recorridoenkm
Costoenpesos
0x1:1
4:80
1:1x1:2
4:800:305:10
1:2x1:3
5:100:305:40
1:3x1:4
5:400:305:70
1:4x1:5
5:700:306:00
1:5x1:6
6:000:306:30
1:6x1:7
6:300:306:60
1:7x1:8
6:600:306:90
1:8x1:9
6:900:307:20
1:9x2
7:200:307:50
2.8Modelandoconfunciones
Latablaanteriorlapodemosescribirdelasiguienteforma:
Recorridoenkm
Costoenpesos
0x1:1
4:80
1.0:1/x12.0:1/
4:801.0:30/
2.0:1/x13.0:1/
4:802.0:30/
3.0:1/x14.0:1/
4:803.0:30/
4.0:1/x15.0:1/
4:804.0:30/
5.0:1/x16.0:1/
4:805.0:30/
6.0:1/x17.0:1/
4:806.0:30/
7.0:1/x18.0:1/
4:807.0:30/
8.0:1/x19.0:1/
4:808.0:30/
9.0:1/x110.0:1/
4:809.0:30/
Unaformasimplicadadelastablasanterioreses:
Recorridoenkm
Costoenpesos
n.0:1/x11/.0:1/
4:80n.0:30/
donde
Delatablaanteriorvemosque,elcostoenpesoscomofuncióndelrecorridoenkilómetroses:C.x/4:80n.0:30/n.0:1/x11/.0:1/:Lagrácadeestafuncióneslasiguiente:
y
4:87:5
1:12
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
CAPÍTULO
Límitedeunafunción3.1IntroducciónEjercicios3.1.1f.x/
asícomo¿Quésepuededeciracercadelímf.x/Primeronotamosquef.x/
esunafunciónquenoestádenidaparaLuegoobservamosquepara,osea,paraf.x/
3/.x
Ahoradamosavalorescadavezmáscercanosayobtenemoslasimágenesf.x/respectivas.
f.x/
2:9
3:9
2:99
3:99
2:999
3:999
2:9999
3:9999
2:99999
3:99999
#
3
4x
f.x/
3:1
4:1
3:01
4:01
3:001
4:001
3:0001
4:0001
3:00001
4:00001
#
3C
4
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Notamosquesiestácercade,entoncesf.x/estácercade,porloquelímf.x/.Estoes,
Lagrácacorrespondientees:
y
f.x/Dadaf.x/¿Existelímf.x/,entoncesf.x/,porloquelímf.x/,puesparacualquiercercadediferentedef.x/estácerquísimade,dehechof.x/,estoes,sudistanciaa.Porlotantolímf.x/síexiste.Geométricamentesetiene
y
1
f.x/g.x/
asícomo¿Quépuededeciracercadelímg.x/Yaque,40x4
3.1Introducción
entonces,x4g.x/
jx4jDx4
�x4g.x/
jx4jDx4
Porlotantog.x/x48.3;x4:Esclaroentoncesquenoexistelímg.x/,puessiestácercadeg.x/puedeestarcercadeobiendependiendosi8.3;x4obiensix4respectivamente,porloqueg.x/noestácercadeunúniconúmero.Geométricamentesetiene
y
g.x/.x/
ytambién¿Existelím.x/Notemosque.x/
esunafunciónquenoestadenidaen.Notemostambiénquepara,osea,para.x/
1/.x
Asignamosavalorescadavezmáscercanosayobtenemoslasimágenes.x/respectivas
.x/
1:1
2:1
1:01
2:01
1:001
2:001
1:0001
2:0001
1:00001
2:00001
#
1
2x
.x/
0:9
1:9
0:99
1:99
0:999
1:999
0:9999
1:9999
0:99999
1:99999
#
1C
2
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Esclaroentoncesquelím.x/,puesparavaloresdecadavezmáspróximosa.x/estácadavezmáspróximoa.Porlotantolím.x/síexiste.Geométricamentetenemos
y
1
.x/Dadah.x/2x00x1:¿Existelímh.x/Notemosqueh.x/estádenidadediferentemaneraparax0ypara8.3;x0Damosavalorescadavezmáscercanosalcero,poramboslados,yobtenemoslasimágenesh.x/correspondientes.
.x/Dx2
0:1
0:01
0:01
0:0001
0:001
0:000001
0:0001
0:00000001
0:00001
0:0000000001
#
0
0x
.x/D
0:1
0:3
0:01
0:03
0:001
0:003
0:0001
0:0003
0:00001
0:00003
#
0C
Podemosdecirentoncesquelímh.x/,puessiestácadavezmáscercadeh.x/estácadavezmáscercadeGeométricamentetenemos
3.1Introducción
y
h.x/
1
¿Quésepuededeciracercadelím
Notemosquelafunciónf.x/
noestádenidaenDamosavalorescadavezmáscercanosaceroyobtenemoslasimágenesf.x/correspondientes.
.x/D1
x
0:1
0:01
0:001
1000
0:0001
10000
0:00001
100000
#
0
Númerosnegativosconvalor
absolutocadavezmayor
.x/D1
x
0:1
10
0:01
100
0:001
1000
0:0001
10000
0:00001
100000
#
0C
Númeroscadavezmásgrandes
Cuandoestácercadef.x/noestácercadenúmeroalguno,porlotantodecimosquelímf.x/existe.Grácamentesetiene
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/3.2ÁlgebradelímitesEjercicios3.2.1Considerandoquelímf.x/g.x/h.x/yquelím.x/noexiste,calcularlossiguienteslímites:–g.x/f.x/–g.x/f.x/g.x/f.x/–f.x/g.x/–f.x/g.x/f.x/g.x/8/.4/–f.x/.x/–f.x/.x/noexiste,puessiexistieraentoncestambiénexistiríalím.x/ydehecho.x/–f.x/.x/f.x/–f.x/.x/f.x/–f.x/.x/g.x/
f.x/g.x/
f.x/g.x/
f.x/
8
.x/.x/.x/.x/–f.x/–g.x/f.x/g.x/.4/f.x/h.x/
g.x/f.x/h.x/
g.x/–f.x/h.x/
g.x/f.x/h.x/
g.x/8/.0/
D0
4D0.
3.2Álgebradelímites
g.x/
h.x/Yaquelímh.x/,entonceslímg.x/
h.x/g.x/
h.x/ysearmaquelímg.x/
h.x/noexiste.
g.x/
f.x/
g.x/
f.x/
g.x/
f.x/
g.x/
f.x/
4C3p
f.x/
g.x/f.x/
g.x/f.x/
g.x/f.x/
g.x/
h.x/
f.x/Yaquelímf.x/
noesunnúmeroreal,entonceslím
f.x/noexiste.Porloque,límh.x/
f.x/noexiste.Calcularloslímitessiguientes:.4/9.4/
x41.H
x41D"
"
x41DD"
.1D
.1DDp
4C1Dp
21:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
!1
2x21
x2C3.H!1
2x21
x2C3D!1
2
!1
2.x2C1
2231
2C1
1
22C81
23D1
43
2C1
1
4C8
23DD16C4
4
1C
D1
3
3:!1p
xC1
p
x5.H!1p
xC1
p
x5D!1p
xC!11
p
x5D#$"
!1xC1
"
!1x%&5DDp
1C1
p
32:1000:.4x.4x
2x2xCH!1
2x2xC1
231
221
2C1D1
81
41
2C1DD124C8
8D3
8:
3.2Álgebradelímites
!2
3/.H!2
3/D342
3C52
32D38
3C
DD
D
.3x.3x–3.0/
8.H!05
3.0/4.0/
6.0/7.0/
8.2
x2C4.H2
x2C4D2
.C4D6C2
4C4D4
8
2.x3C1
x2C1.Hx3C1
x2C1D.C1
.C1D1C1
1C1D0
2D0.
.2x
.4x
.2x
.4x
21 3
41
22C15D.1
DD.
.2/
25
22
Calcularloslímitessiguientes:
x2C2.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
x21
1/.x
1/.x
xC2DD11
1C2D2
1!2x24
x2H!2x24
x2!2
x.x
xDD22
2D0
2D!5x2
2H!5x2
5/.x
5/.x
xC5DD52
5C5D3
!2x38
.H!2x38
2/.x
!2x2C4
.2/2.2/
3.2/
1/x
1/x
a/.x
a/.x
x2Ca2DDa1
a.a/
,para
x4C3.
3.2Álgebradelímites
!1x4C2
1/.x
1/.x
.1/
.1/
4
4:!1x41
x31.H!1x41
1/.x
1/.x1/.x1/.x
1/.x1/.x
1/.1
2.2/
D4
3:!2p
xp
2
x2.H!2p
xp
2
x2D!2p
xp
2
x2p
xCp
2
p
xCp
2DD!2.p
.p
2/.
xCp
!2x2
2/.
xCp
D!21
p
xCp
2D1
p
2Cp
2D1
2p
Tambiénsepuedecalcularobservandoque
.p
D.p
xCp
2/.
xp
2/;porloque
xp
2
x2D.p
xp
2/1
p
xp
2/.
xCp
1
p
xCp
ydeaquíque
xp
2
x2D!21
p
xCp
2D1
p
2Cp
2D1
2p
2:!0p
1Cxp
1x
x.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
!0p
1Cxp
1x
xD!0p
1Cxp
1x
xp
1CxCp
1x
p
1CxCp
1xDD!0
1CxCp
1!01Cx1Cx
1CxCp
1D!0
1CxCp
1!02
p
1CxCp
1xDD2
p
1Cp
1D2
2D!72p
x3
x2H!72p
x3
x2!72p
x3
x22Cp
x3
2Cp
x3DD!722
49/.2
x!74xC3
7/.x7/.2
xD!77x
7/.x7/.2
x!7
7/.x7/.2
xD!71
7/.2
x1
.14/.2
!43p
5Cx
1p
5x.H!43p
5Cx
1p
5xD!43p
5Cx
1p
5x1Cp
5x
1Cp
5xDD!4p
x/.1
5
2!4p
x/.1
5
5CxDD!4p
x/.3
5C
43Cp
5Cx
3Cp
5CxDD!4p
x/–3x/
4/.3
5C!4p
x/.4
4/.3
5CD!4p
5
p
5CCp
54
3Cp
5C4C1
3C3
6
3:!03p
xCh3p
x
h.
3.2Álgebradelímites
!03p
xCh3p
x
hD!03p
xCh3p
x
h.3p
xCC3p
xCh3p
xC.3p
.3p
xCC3p
xCh3p
xC.3p
DD!0.3p
xC.3p
h–.
xCC3p
xCh3p
xC.3p
DD!0xChx
h–.
xCC3p
xCh3p
xC.3p
DD!0h
h–.
xCC3p
xCh3p
xC.3p
DD!01
.3p
xCC3p
xCh3p
xC.3p
DD1
.3p
C3p
x3p
xC.3p
D1
33p
,para
x26p
x2C6
x23.H!3p
x26p
x2C6
x23DD!3p
x26p
x2C6
x23p
x26Cp
x2C6
p
x26Cp
x2C6DD!3C
3/.
x26Cp
x2CD!3x26x26
3/.
x26Cp
x2CD!3
3/.
x26Cp
4.x
3/.x1/.
x26Cp
x2CD!34
1/.
x26Cp
x2CD4
96C6Cp
9C62
3C3D2
6
3:!8x8
3p
Pararesolverestelímitesepuedeconsiderarque
,entonces;ademáscuando,sucedeque
Luego,
3p
x2D!2y38
2/.y
2.2/12:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Ohaciéndolodirectamente
3p
x2D!8.3p
23
3p
x2D!8.3p
2/–.
C23p
xC
p
x2DD!8p
C23p
xC.3p
C23p
2.2/12:
x1
x1.H
,entonces;ademáscuando,sucedeque
Luego,
x1
x1D!1y1
y21D!1
1/.y
yC1D1
1C1D1
Ohaciéndolodirectamente:
x1
x1D!1p
x1
.p
12D!1p
x1
.p
1/.
xC!11
p
xC1D1
1C1D1
2:!
x8
3p
Paraeliminartantoalaraízcuadradacomoalacúbica,obtenemoselmínimocomúnmúltiplodelosíndices,quees,yproponemosquesea,entonces
;ademáscuando,sucedeque
6p
Luego,
x8
3p
x4D!2
y68
3
y64D!2y323
2/.y
2/.y
yC2D4C4C4
2C2D
D!13p
x1
4p
Paraeliminaralasdosraíces,obtenemoselmínimocomúnmúltiplodelosíndices,queesyproponemosque,entonces
xD3
yy4&4p
xD4
;además
cuandoLuego,
x1
4p
x1D!1y41
1/.y
1/.y1/.y1/.y
1/.y1/.y
1/.1
2C1C1D4
3:
3.2Álgebradelímites
!1p
1
Racionalicemoselnumeradoryfactoricemoseldenominador
1
2C3D.p
2x/.
2x/
3/.x1/.
2x/
3/.x1/.
2x/Yaqueesraízde,entoncesesundivisordeestetrinomio
C1C
xC1Cx1
Luego,1/.,porlocual
1
2C3D!11
3/.x1/.
2x/1/.
3/.x1/.
2x/
3/.
2x/
3/.
3C1C5
4.2
!0x3
Observamosque
x.x
x.xy,si,entonces,
2x25
porloque
2!0x25
x7D5
7D5
7:!2p
xC2p
6x
Observamos
xC2p
6x
x2Dp
xC2p
6x
x2p
xC2Cp
6x
p
xC2Cp
6xDD
2/.
xC2Cp
64
2/.
xC2Cp
2.x
2/.
xC2Cp
62
p
xC2Cp
,si,osea,
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Porlotanto
xC2p
6x
x2D!22
p
xC2Cp
6xD2
p
4Cp
4D2
4D1
2:!11
x13
Unpocodeálgebra
x13
x31Dx2CxC13
x31Dx2Cx2
1/.x
1/.x
Luego
x13
x31D!1xC2
x2CxC1D3
3D!2p

Aquíusamosque
1C
D1Cp
D1
,,xD2
Porloque
3x
D3xC7
.3x7/.x2/:Racionalizandoelnumeradortenemos:

3xCx.
.3x14/.2x
DC
.3x7/.x2/.2x
4.x
.3x7/.x2/.2x
40/4.x5/.x
.3x7/.x2/.2x
4.x
.3x7/.2x
40/Como,entoncesPorúltimo

4.x
.3x7/.2x
D47
8D7

3.2Álgebradelímites
!0p
hC11
Vemosque,alracionalizar:
hC11
hD!0hC11
hC1C!01
p
hC1C1D1
2:!3p
xC12
Racionalizandoelnumerador
xC12
x3DxC14
3/.
xC1Cx3
3/.
xC1CD1
p
,estoessiPorloque
xC12
x3D!31
p
xC1C2D1
4:!21
x2
Efectuemoslaoperación,recordandoque2/.x
x2
38DC
2/.x
2/.x4/.x
2/.xEntonces,
x2
38DxC4
,estoessiporloque
x2
38D!2xC4
x2C4D6
1
2:!2
Como
6D4
3 2
3D2
tenemosque
.3x2/.xyque2.x2.x2.x2/.x4/:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Siendoasí,
2.x2/.x
.3x2/.x2.x
.3x,estoes,siyentonces,
2.x
.3x
–.32.4
2
4!0p
2Cxp
2
Racionalicemoselnumeradormultiplicandoaélyaldenominadorporelbinomioconjugado
2Cxp
quees
2CxCp
2:p
2Cxp
2
xD.p
2CxCp
2/.
2Cxp
p
2CxCp
2/x
2CxCp
Dx
2CxCp
1
p
2CxCp
Entonces,
2Cxp
2
xD!01
p
2CxCp
2D1
p
2C0Cp
2D1
2p
2:!2
3p
1
Racionalicemoselnumerador
1/.
.6x10/.
.p
.6x
.6x10/.
D1
.6x10/.
D
.6x10/.
Observemosque3.12x
1C
241p
241
24  2
3I3
porlocual
3C3
43x2
.4x3/:
3.2Álgebradelímites
Además
12p
12
12  5
2I2
Porloque
22
.Deaquíque:
.6x10/.
9x2
.4x
x2
35
2.p
9.4x
x5
2.p
3.4x
x5
2.p
¤2
yentonces,
3p
1
!2
3.4x
x5
2.p
D38
3C3
22
35
2.p
6C4C3

2

.5/
110!14p
xC
Tenemos
xC
21D!14p
xC
214Cp
xC
Cp
xCDD!1
1/.4
15/
1/.x1/.4
xCD!1
1/.x1/.4
como,entoncescancelamosyobtenemos
xC
21D!11
1/.4
xC1
1/.4
1C1
2.4
x3C8
Puestoque
x2C6Dx3C23
2/.x2/.x
2/.x
,esdecir,si
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Entonces,
x2C6Dx24
xC3D4C4C4
2C3D
12:
Observamosque
D57
4D1
Porloque
.2x1/.x3/:Luego,
3/.2x
3/.x
x5D1
35D7
8D7
8:!0p
xChp
x
Encontramosque
xChp
x
hD!0p
xChp
x
hp
xChCp
x
p
xChCp
xDD!0.p
xC.p
xChCp
!0xChx
xChCp
D!0h
xChCp
!01
p
xChCp
xDD1
p
xCp
xD1
2p
,para�x0
Sitratamosdecalcularellímiteporevaluaciónobtenemos:.1/
.1/
,unaindeterminación
Estonosdicequelospolinomiosdelnumeradorydeldenominador,ambos,tienenlaraízcomún.Enestecasoesfácilencontrarlafactorizacióndelfactorcomún
x.x
1/.x
Laigualdadanteriorsecumplepara.Porlotantopodemosusarestehechoparacalcularellímite.
x21D!1x
xC1D1
1C1D1
2:
3.2Álgebradelímites
!1C7
Sitratamosdecalcularellímiteevaluandolaexpresiónobtenemos:3.1/4.1/
.1/
,unaindeterminación
Portratarsedeunafunciónracionalesteresultadonosinvitaafactorizarelnumeradoryeldenomi-nador,sabiendoqueambospolinomiostienenelfactorParaeldenominadorelresultadoes:1/.xParaelnumeradorefectuamosladivisión
C7C
7x77
Oseaquelafactorizacióndelnumeradores1/.3xConestosresultadosobtenemos:
1/.3x
1/.x
Ahorasípodemoscalcularellímiteusandoestaúltimaexpresiónequivalentealaprimera,para
x21D!17
3.1/
1C1D
D!0p
xC11
p
Sitratamosdecalcularellímiteporevaluación,resultapara
0C11
p
0C4C2D11
2C2D“0
,unaindeterminacióndelaforma
Racionalizamoselnumerador:
xC11
p
xC4C2Dp
xC11
p
xC4C2p
xC1C1
p
xC1C1DD1
.p
1/.2
xCx
.p
1/.2
Sitratamosdeevaluarobtenemosdenuevounaindeterminacióndelaforma
0”.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Ahoraracionalizamoseldenominador:
.p
1/.2
xC2Cp
xC4
2Cp
x.2
xC
p
1/–44/x.2
xC
p
1/.
xC4
p
Podemosyacalcularellímiteusandoestaexpresiónequivalente,para
xC11
p
xC4C2D!02Cp
xC4
p
xC1C1C2
1C1
2!1x3C1
Observamosqueesunaraízde,luegoesteúltimopolinomioesdivisibleentreyefectuandoesadivisión
x3C1x3Cx2
x2C1x2x
x1xC1
llegamosalresultado:
Entonces,
x1D!1xC!04
Vemosque
3x/
p
Racionalizandoeldenominador
p
x2C5Dx3.p
x2C
p
5/.
x2Cx3.p
x2C
2CDx3.p
x2C
2D
,para
3.2Álgebradelímites
Porloquehallamos:
p
–x.
5/Considerelafunciónf.x/
x2x1
Viendolatabladeimágenesde,calculelímf.x/condoscifrasdecimalesexactas:
f.x/
1:997
1:66096
1:998
1:66286
1:999
1:66476
Indeterminado
2:001
1:66858
2:002
1:67049
2:003
1:67241
Calculeexactamentelímf.x/usandolaexpresiónalgebraicadelafunción.¿Cuáleslaterceracifradecimalexactadelvalordellímite?Sepuedearmarquelímf.x/1:66:Vemosque
x2x1
x26Dp
x2
26p
x2C
.13
x261
p
x2CDx2C
261
p
x2CD
261
p
x2Cx2Cx6
x261
p
2/.x
2/.x
p
x2CxC3
x31
p
(si,osea,Entonces,f.x/
x31
p
x2C5
11
p
4C
1:6667:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
¿Cuáleslaterceracifradecimalexactadelvalordellímite?Conloanteriorcalculadopodemosresponderqueeslaterceracifradecimaldellímite.3.3LímiteslateralesEjercicios3.3.1Dadaf.x/
,calcular:f.x/f.x/f.x/Yaque,conx08.3;x0;entonces:f.x/
xD!0x
f.x/
xD!0x
f.x/noexistedebidoaque:límf.x/f.x/Dadaf.x/
,calcular:f.x/f.x/f.x/Yaqueconxa†.5;xa;entonces:f.x/
jxajD!axa
f.x/
jxajD!axa
f.x/noexistedebidoaque:límf.x/f.x/
3.3Límiteslaterales
Dadag.x/,calcular:g.x/g.x/g.x/Yaquecon20&#x-110;20x28.3;x2;entonces:g.x/2.2/g.x/–.xYaquelímg.x/g.x/,entonceslímg.x/Dadaf.x/1x2&#x-110;x2:Calcular:f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/Encontramosque:f.x/f.x/f.x/yaquelímf.x/f.x/f.x/f.x/f.x/noexisteyaque:límf.x/f.x/Dadalafuncióng.x/x38.3;x3:Determinarelvalordelaconstantequeaseguralaexistenciadelímg.x/Calculamosg.x/.axa.3/g.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Luego:g.x/existeg.x/g.x/
Laexpresión
1v2
indicalalongituddeunobjetoenfuncióndesuvelocidad,dondeeslalongituddelobjetoenreposoyeslavelocidaddelaluz.¿Quépasaconlalongituddelobjetocuandoseaproximaalavelocidaddelaluz?Enprimerlugarobservemosque
tienequeserEntonces:
yextrayendoraízcuadradaaambosmiembros,obtenemos
v2p
jjConlocuallavelocidaddelobjetonopuedesermayorqueladelaluz:
1v2
c2DLo!c
1v2
c2DLo
1!cv2
c2DLop
Calcular:lím
Yaque,entoncespara�x0ytambiénqueparax0,entonces:
xD!0Cxx
xD!0C0
yademás
xD!0xx
xD!0
Noexistelím
puesloslímiteslateralessondistintos.Calcular:lím
Sabemosque1/.xyque;entonces:�1010&#x-110;x1x1luego,
1/.x
ytambién
1/.x
!1xC1
1D2
1
3.3Límiteslaterales
Porloquenoexistelím
,yaque
jx1j¤!1Cx21
Sealafuncióndenidaporf.x/paracada–n;n1/;donde:::;1;0;1;2;3;:::GraqueesafunciónCalcularpara1;0;1;2;3;:::f.x/;límf.x/;límf.x/&límf.x/,dondeLagrácadelafunciónes:
y
12123321
f.x/Tenemosf.x/f.x/Puestoquef.x/f.x/,noexistelímf.x/:Porúltimof.x/.n;n1/:Considerarf.x/�x1yconsiderarg.x/�x1:Calcular:f.x/g.x/f.x/g.x/f.x/g.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Tenemos:–f.x/g.x/f.x/g.x/,yaqueamboslímitesexisten;–f.x/g.x/f.x/g.x/.2/–f.x/g.x/,pueslím–f.x/g.x/–f.x/g.x/Calcular:lím
1p
3
Racionalicemoselnumeradormultiplicandoalnumeradoryaldenominadorporlaexpresiónconjugada
1Cp
3:p
1p
3
x1D.p
1p
3/.
1Cp
1/.
1Cp
13
1/.
1Cp
D2
1/.
1Cp
2.x
1/.
1Cp
2
p
1Cp
Obtenemos
1p
3
x1D!1C2
p
1Cp
3D2
p
3Cp
3D1
p
Calcular:lím
Comocambiadesignoen,entoncescambiatambiéndesignoenCalculamosporseparado
x!0Cx3xC12
asícomo
x!0.xC12
Entonces,
Calcular:límf.x/,dondef.x/
x4C31Ix3C1
Debidoaquef.x/estádenidadeunamaneracuandoydeformadiferentecuando,paracalcularlímf.x/procederemosadeterminarloslímiteslaterales.f.x/
x4C3DC1
.C3D2C1
1C3D3
4:
3.4Límitesinnitos
f.x/
1/.x
1/.x
xC5D..1
1C5D1C1C1
4D3
Yaquelímf.x/
&límf.x/
,entoncesloslímiteslateralessonigualesporlocualf.x/
Calcular:lím
,entonces�x2;además�x2�20
jx2jD
2))!2C2x
Calcular:lím
10(elsímbolosignica“aproximadamenteigual”),entonces:Como20;entoncesY,porúltimo,.Porloque
x29DxC3
3/.x
Deaquíque
x29D1
x3D1
33
3.4LímitesinnitosEjercicios3.4.1Paraf.x/
,calcular:f.x/f.x/f.x/Cuando,sabemosquelím
xD“1
indeterminado.Debemostrabajarconlímiteslateralesparadeterminarelcomportamiento.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
,entoncesx0
;porloquelím
xD“1
D1,entonces�x0
;porloquelím
xD“1
DC1Podemosdecirquelím
noexiste.Además,sepuedearmarquelarectaeslaasíntotaverticaldelacurva
Paraf.x/
,calcular:f.x/f.x/f.x/Cuandosucedequeysabemosque
(sinsigno).Precisemoselsigno.,entonces20;porloque
xC23
!C1Luego,lím
DC1,entonces�20;porloque
xC23
!1Luego,lím
D1Podemosdecirquelímf.x/noexiste.Ademássepuedearmarquelarectaeslaasíntotaverticaldelacurva
Paraf.x/
,calcular:f.x/f.x/f.x/Cuando,sucedequeporlocualsabemosque:
x2!“1
(sinsigno).Paraprecisarelsigno,notemosqueyque�10,entoncesx220;porloque
x2x1
x2!“1
Luego,lím
D1,entonces�x2�20;porloque
x2x1
x2!“1
Luego,lím
DC1
3.4Límitesinnitos
Podemosdecirquelímf.x/noexiste.Ademássepuedearmarquelarectaeslaasíntotaverticaldelacurva
Paraf.x/
,calcular:f.x/f.x/f.x/f.x/Cuando,sucedequePorlocualsabemosque
21!“3
(sinsigno)Paraprecisarelsignodebemosnotarque:f.x/
21D
1/.xdonde3020cuando,entonces10;porloque
1/.x
1/.x!1,esdecir,lím
D1,entonces�10;porloque
1/.x
1/.x!C1,esdecir,lím
DC1Cuando,sucedequePorlocualsabemosque
21!“3
(sinsigno)Paraprecisarelsignodebemosnotarquef.x/
1/.xDonde�30�20cuando,entoncesx110.Porloque
1/.x
1/.x!1Luego:
1/.xD1
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
,entonces�x1�10.Porloque:
1/.x
1/.x!C1Luego:
1/.xDC1Además,podemosarmarquelasrectassonlasasíntotasverticalesdelacurva
yquenoexistelím
nilím
Paraf.x/
xC1
,calcular:f.x/f.x/f.x/,entoncesx0jD;porloquef.x/
xC1
jxjD!01
xC1
xD!01
x1
Luego,límf.x/,entonces�x0;porloquef.x/
xC1
jxjD!0C1
xC1
xD!0C2
DC1Luego,límf.x/DC1Sepuededecirquelímf.x/noexiste.Ademássepuedearmarquelarectaeslaasíntotaverticaldelacurva
xC1
Paraf.x/
,calcular:f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/Esimportantenotarquenuncaesnegativo;esdecir,paracadaAdemáscuandoobiensucedequePorlocual,convalorespositivos.,entonces5x/10�0Porloque
!C1Luego,límf.x/DC1
3.4Límitesinnitos
,entonces5x/10�0Porloque
!C1Luego,límf.x/DC1Podemosdecirquelímf.x/DC1.Obsérvesequelímf.x/noexiste.,entonces5x/100Porloque
!1Luego,límf.x/D1,entonces5x/100Porloque
!1Luego,límf.x/D1Sepuededecirquelímf.x/D1.Obsérvesequelímf.x/noexiste.Además,sepuedearmarquelasrectassonasíntotasverticalesdelacurva
Deacuerdoconlateoríadelarelatividad,lamasadeunobjetoqueviajaaunavelocidad,estádadapor

1v2
dondeeslamasadelobjetoenreposoyeslavelocidaddelaluz.Explicarquéocurrecuandoseacercaalavelocidaddelaluz.ExplicarporquésólotienesentidocalcularlímCalculamos:

1v2
c2D!c
p
DC1PuestoquelafórmulaparatienesentidosivcCalcular:lím
s23
Efectuamosprimerolaoperación:
s23
s24DsC23
2/.s
2/.s
s23
s24D!2Cs1
2/.sDC1Puestoque�10�40,cuando,entonces:2/.s,cuando
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Otramaneradecalcularestelímiteeslasiguiente:Yaque:
x23
x24D!2C1
x23
2/.x
x213
yademáslím
DC1&lím
xC2D13
4D1
entonceslím
x213
DC1Calcular:lím
Tenemos
x21D!1
1/.xD1pueslím;lím&lím–.x1/.x1/Calcular:lím
CuandosucedequeAdemás:�x2porlocual
;entonces
!C1Esdecirlím
DC13.5LímiteseninnitoEjercicios3.5.1Calcular:lím
H3
2
43
D2
43
4
xD1
23
40D1
Larecta
esasíntotahorizontaldelacurva
Calcular:lím!1
!1
!1
x2C6
x3
x323
xC8
!1
x2C6
x3
23
xC8
x3D4
2D
3.5Límiteseninnito
Larectaesasíntotahorizontaldelacurva
Calcular:lím!1
!1
!1
x27
x3
x532
x4C1
!1
x27
x3
x232
x4C1
x5D“5
Calcular:lím!1
!1
!1
x4C1
x5
x35C6
x27
!1
x4C1
x5
5C6
x27
x3D“
DC1Calcular:lím
x2C1
x.H
x2C1
xD
x21C1
x2
xD
x2
1C1
x2
xDxj
1C1
x2
xDD
1C1
x2
xD
1C1
x2Dp
Larectaesunaasíntotahorizontaldelacurva
x2C1
Calcular:lím!1
p
!1
p
!1

x21C1
!1
p
x2
1C1
!1
jxj
1C1
!1
x
1C1
!1

1C1
x2D1
p
Larectaesunaasíntotahorizontaldelacurva
p
x2C1.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calcular:lím!1
x2
Como!1,podemospensarquex0porloquejD!1
x2
!1
x211
x1C1
!1
x2
11
1C1
!1
11
1C1
!1
11
1C1
!1
11
C1
4
1
Otroprocedimiento:
p
x2D1
jxjD1
obien
x
p
ymultiplicandoalnumeradorydenominadorde
x2
por
obienpor
p
,obtenemosf.x/
x2
C4Dp
x2
x2
xC4
x
x2
2
1C4
x
1
2
1C4
Porloque!1
x2
!1
1
2
1C4
!1
1
2
!1
xD
!1
2
1C0
10
Calcular:lím
p
Como!C1,podemospensarque�x0porloque
p
C6D3
x

x23C2
xC6
x2D3
x
p
x2
3C2
xC6
x2DD3
x
jxj
3C2
xC6
x2D3
x
x
3C2
xC6
x2DD3
x

3C2
xC6
x2D5
p
3:
3.5Límiteseninnito
Otroprocedimiento:
p
C6D3
x
p
C6
xDD3
x

C6
x2D3
x

3C2
xC6
x2D5
p
Calcular:lím

.3xComo!C1,podemospensarque�x0porloque

.3x
p
54x
x

x3
C
28
x3DD2C3
x
p
x3
C
28
x3D2C3
x
p
x2p
x
C
28
x3DDC3
x
p
x
C
28
Otroprocedimiento:Multipliquemosnumeradorydenominadorpor
ycomo!C1podemossuponerque
xD1
yporendeque
xD1
p
;entonces,

.3x
x

.3x
p
x2D2C3
x

54x
x2D2C3
x

8
ytambién,

.3x
x

8
Calcular:lím
x41
x21.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calculamos:
x41
x21D
x41
x41
x4
x211
x2DD
x4
13
x21
x4
x211
x2D2
13
x21
x4
x211
x2DD
13
x21
x4
11
x2Dp
1
Calcular:lím!1
p
Tenemosque,para
C5D
x23C2
xC5
x2j
3C2
xC5
Yque
p
C5Dx5C2
x
jxj
3C2
xC5
Luego:!1
p
!1
x
x
3C2
xC5
!1
x

3C2
xC5
x2DD5C0
p
3C0C0
p
Calcular:lím!1
p
Como!1,podemospensarquex0porloquejD
p
C5Dx4C1
x

x29C5
x2Dx4C1
x
jxj
9C5
Entonces,!1
p
!1
x
x
9C5
!1
x

9C5
x2
3:
3.5Límiteseninnito
Calcular:lím!1
p
Como!1,podemospensarquex0porloquejD
p
C8Dx8C6
x

x25C6
x8
x2Dx8C6
x
p
x2
5C6
x8
x2Dx8C6
x
jxj
5C6
x8
x2DDx8C6
x
x
5C6
x8
x2D8C6
x

5C6
x8
Yentonces:!1
p
!1
x

5C6
x8
x2
p
5
p
Calcular:lím!1
p
Observamosque
p
C5Dx3C4
x

x22C5
x2Dx3C4
x
jxj
2C5
x2Dx3C4
x
x
2C5
parax0,comoseráelcasopuesvamosahacerquetiendaa.Entonces:!1
p
!1
x

2C5
x2C0
p
2C0
p
Calcular:lím!1
9C
Observamos
9CD
x29
x2C4j
9
x2C4
9
x0;queeselcaso,puestiendea.Además
,porloque
9C
Cx
9
x2C4
x3
xC2
9
x2C4
3
x0
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
yasí!1
9C
!1
9
x2C4
3
xC2
0C4
0C2
Calcular:lím
x2C5C
Tanto
comotiendenacuando!C1,perovemosque
x2C5C
23x4D
x21C5
x2C
4
xDjxj
1C5
x2C
4
Como�x0,queeselcasopueshacemostenderaentonces:
x2C5C
23x4Dx
1C5
x2C
4
xDx
1C5
x2C5
x4
xD
1C5
x2C5
4
yporúltimo:
x2C5C
23x4D
1C5
x2C5
4
xDp
1C0C5
0Dp
1C5
1C5
6
Calcular:lím!1
9C
Tenemos!1
9C
!1
C9
!1
x24C9
x2
x1C3
!1
x2
4C9
x2
x1C3
!1
4C9
x2
x1C3
!1
4C9
x2
x1C3
!1
4C9
x2
1C3
xDp
4C0
1C0D2
VemosquejD,pues!1)x0Calcular:lím!1
x2C4.
3.5Límiteseninnito
Vemosque!1
!1
x21C4
!1
x2
1C4
!1
xj
1C4
!1
x
1C4
!1

1C4
x2D5
p
ObservequejD,pues!1)x0Calcular:lím
x31
p
x2C1.Hp
x31
p
x2C1D
x311
x3

x21C1
x2Dp
x33
11
x3
p
x2
1C1
x2D3
11
x3
jxj
1C1
x2DD3
11
x3
x
1C1
x2D
11
x3

1C1
x2D3p
1
p
Larectaesunaasíntotahorizontaldelacurva
x31
p
Calcular:lím!1
x2C1
3p
!1
x2C1
3p
!1
x21C1
x2
3
x311
!1
x2
1C1
x2
3p
x33
11
!1
1C1
x2
x3
11
!1
1C1
x2
x3
11
!1
1C1
x2
3
11
x3Dp
1
3p
Larectaesunaasíntotahorizontaldelacurva
x2C1
3p
Calcular:lím
x2C1
p
C1.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Tenemos
x2C1
p
C1DxC5
x21C1
x2

x22C1
x2DxC5jxj
1C1
x2
jxj
2C1
x2DDxC
1C1
x2
x
2C1
x2Dx1C5
1C1
x2
x
2C1
x2D1C5
1C1
x2

2C1
Porlotanto
x2C1
p
C1DC5
1C1
x2

2C1
x2D1C5p
1
p
2D6
p
2D3p
Calcular:lím
1x2
Tenemos
1x2
.2x.2x
.2x1/.2x
C1DDx3Cx2
C1Dx31C1
x
x34C2
x2
x21
x3DD1C1
x
4C2
x2
x21
Porloque
1x2
1DC1
x
4C2
x2
x21
x3D1C0
4C0D1
Calcular:lím
x2C5H
x2C5p
x/.
x2C5C
p
x2C5C2C5x2
p
x2C5CxDD
p
Larecta(elejedelas)esasíntotahorizontaldelacurva
x2C5x.
3.5Límiteseninnito
Calcular:lím
x23H
x23p
x/.
x23C
p
x23CD23x2
p
x23CxD3
p
x23CxD4C3
x

x214
xC3
x2CxDD4C3
x
jxj
14
xC3
x2CxD4C3
x
x
14
xC3
x2CxDD4C3
x
x
14
xC3
x2C1D4C3
x

14
xC3
x2C1D4
p
1C1D4
Larectaesasíntotahorizontaldelacurva
Calcular:lím!1
!1
!1
x21C5
!1
1C5
!1
1C5
!1
1C5
DC1Calcular:lím!1
!1
!1
x214
xC3
!1
14
xC3
!1
14
xC3
!1
14
xC3
DC1
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calcular:lím!1
!1
!1
x/.
x23
p
!1
p
!1

x214
xC3
!1
p
x2
14
xC3
!1
jxj
14
xC3
!1
x
14
xC3
!1
x
x
14
xC3
!1
x

14
xC3
x2C1D4
p
1C1D4
Larectaesasíntotahorizontaldelacurva
Calcular:lím!1
Como!1,entonces:!C1!C1
x2C
x21C5
!C1Porlotanto
x2CxD
!C1Calcular:lím
Cxp
Notemosque,cuando!C1,sucedeque
!C1
!C1
Cxp
C11Porestoprocedemosdelasiguientemanera:
Cxp
2Dp
Cxp
2
1p
CxCp
2
p
CxCp
2DD.p
C.p

p
CxCp
.4x.4x
CxCp
2DDCxC2
p
CxCp
2DxC2
p
CxCp
2))
Cxp
C2
p
CxCp
2D
3.5Límiteseninnito
1C2
x

x24C1
xC
x242
x2DD1C2
x
p
x2
4C1
xCp
x2
42
x2DD1C2
x
jxj
4C1
xj
42
x2D1C2
x
x
4C1
xC
42
x2DDC2
x

4C1
xC
42
x2D1
p
4Cp
4D1
2C2D1
Calcular:lím!1
Tenemos!1
!1–.x
!1–.x
x–.x
3CC/1
3xCx2
C/2
3CC/1
!1
C/2
x.x
!1
2
x
x–x
x
!1
x22
x/2
3Cx22
x/1
!1
–.1
x/2
3C2
x/1
!1
2
x/2
3C2
x/1
3C1D2
1C1C1D2
Calcular:lím
Transformamoslaexpresión
x2CxxD.
x2Cx
x2CxCx
p
x2CxCxDDCx2
p
x2CxCxDx
p
x2CxCx
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
ydividiendoentre�x0numeradorydenominador:
p
x2CxCxD1

1C1
podemoscalcularellímite:
x2Cx

1C1
xC1D1
Calcular:lím!1
Racionalizando,
x2C6CxDx2C6x2
p
x2C6xD6

x21C2
xC6
x2xDD6
jxj
1C2
xC6
x2xD6
x
1C2
xC6
x0,comovaaserelcaso,entoncesjD
x
1C2
xC6
x2C1D26
x

1C2
xC6
porloque!1
!1
x

1C2
xC6
x2C1D20
1C1
Calcular:lím!1
x3Cxp
Notienesentido,pues
ytambiénx.xLuego,nopodemostomarvaloresdenegativoscomoeselcasosi!1Ocurrealgoanálogoconlafunción
,puessudominiosonlosrealestalesque,esdecir,aquellosque;luego,,porloquenopuedetomarvaloresmenoresque
3.5Límiteseninnito
Calcular:lím
Racionalizando:
x25xDx25x2
p
x25CxD5
p
Multiplicandonumeradorydenominadorpor
xD1
jxjD1
p
,si�x0,obtenemos
x25xD2C5
x

12
xC5
,porloque
x252C5
x

12
xC5
x2C1D2
1C1D2
Calcular:lím.2x
Vemosque.2x
.2x
Cp
C3
p
.2x/
C
p
.4x
2xp
C3D3
p
C3DD3
p
C3D3

x24C5
x3
x2DD3
p
x2
4C5
x3
x2D3
j
4C5
x3
x2DD3
x
4C5
x3
x2D5C3
x
x2C
4C5
x3
x2DD5C3
x
2C
4C5
x3
x2D5
2Cp
4D5
2C2
4:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Ejercicios3.5.2Misceláneadeproblemassobrelímites.Unlímitemuyespecialparaunafuncióneslímf.xf.x/
.Calcularestelímitepara:f.x/conconstante.f.xf.x/
D!0cc
hD!00
f.x/conconstantes.f.xf.x/
–a.x–ax
!0bb
hDD!0
f.x/conconstantes.f.xf.x/
–a.xb.x.ax
a.x2xh
2axh
h.2ax
.2ax2axf.x/conconstante.f.xf.x/
a.x
a.x3xh
3ax3axh
h.3ax3axh
.3ax3axh3axf.x/
conconstantes.
3.5Límiteseninnito
f.xf.x/
D!01
hc
a.x
b DD!01
c.axc.ax
.axb/.axc.ax
h.axb/.axcah
h.axb/.ax
.axb/.ax
.axb/.ax
.axf.x/
f.xf.x/
D!0p
xChp
x
hDD!0p
xChp
x
hp
xChCp
x
p
xChCp
xDD!0.p
xC.p
xChCp
!0xChx
xChCp
D!0h
xChCp
!01
p
xChCp
xDD1
p
xC0Cp
xD1
2p
�x0:Paranotienesentidocalcularlímf.xf.x/
D!0p
h
,puesesteúltimococientesóloestádenidopara�h0Lafuncióntienelagrácasiguiente:
y
11
23
112f.x/Determine:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.x/f.x/f.x/iv.f.x/f.x/vi.f.x/vii.!1f.x/viii.f.x/Calculef.1/f.2/ytambién¿Existenloslímiteslímf.x/;límf.x/;límf.x/a.i.f.x/f.x/D1f.x/iv.f.x/f.x/
vi.f.x/
vii.!1f.x/D1viii.f.x/
f.1/0;f.2/
;f.
f.x/noexistepuesnoexistelímf.x/f.x/pueslímf.x/f.x/;ellímiteexiste.f.x/
pueslímf.x/f.x/
,ellímiteexiste.Considerelafunción:h.x/
p
x2xIp
xC52
Calculeellím!1h.x/¿Existelímh.x/?Justiquesurespuesta.Cuando!1,podemospensarquex0;entonces:h.x/
p
También
xD1
;enestecasoymultiplicandoelnumeradorpor
yeldenominadorpor
jxjD1
p
,tenemosh.x/
x
.p
x2
x2D11
x

x2
2Cx
jxjD11
x

12
xCx
xD11
x

12
x1
3.5Límiteseninnito
porloque!1h.x/!1
x

12
x1D1
2
Calculemosloslímiteslateralesdeh.x/Racionalizandoelnumerador(multiplicandoporelbinomioconjugadodelnumeradorambaspartesdelafracción),tenemospara
xC52
xC1D.p
2/.
xC5C
1/.
xC5CDxC54
1/.
xC5CxC1
1/.
xC5C1
p
Entonces,
xC52
xC1D1
p
xC5C2D1
p
1C5C2D1
p
4C2D1
2C2D1
ytambiénh.x/
p
x2xD11

..2
p
1C2C1D2
p
porloquenoexistelímh.x/pueslímh.x/h.x/Graqueunafunciónquecumplaconlossiguientesrequisitos:f.0/f.5/f.x/f.x/DC1If.x/!1f.x/f.x/Unagrácadelafunciónpodríaser
y
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Tracelagrácadeunafunciónquesatisfagalassiguientescondiciones:f.x/f.x/DC1If.x/f.x/f.x/D1If.x/f.x/f.x/f.x/!1f.x/f.x/Unagrácaposibledelafunciónconestascondiciones,es:
y
135f.x/Lafuncióntienelagrácasiguiente:
y
1
213
f.x/Delagrácadetermine:f.x/f.x/f.x/iv.f.x/f.x/vi.f.x/vii.f.x/viii.f.x/ix.!1f.x/f.x/
3.5Límiteseninnito
Calculef.1/f.2/¿Existenonolossiguienteslímites?:límf.x/;límf.x/;límf.x/;límf.x/f.x/f.x/D1f.x/iv.f.x/f.x/
vi.f.x/
vii.f.x/viii.f.x/ix.!1f.x/
f.x/noexiste;f.1/noexisteyf.2/Hallamosquef.x/noexiste;límf.x/
;ellímiteexiste;límf.x/noexiste;límf.x/noexiste.Considerelafuncióng.x/
x21p
x2IxC2j
8x
Calculelím!1g.x/¿Existeellímg.x/?Justiquesurespuesta.Tenemos!1g.x/!1
x21p
3x/!1
x21p
x2
p
x21Cp
x2
x21Cp
!13x/
x21Cp
!1
p
x21Cp
!1
x

x211
x2C
x213
!1
x
p
x2
11
x2Cp
x2
13
xD
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
!1
x
jxj
11
x2j
13
!1
x
jxj
11
x2C
13
!1
x
x
11
x2C
13
!1
x

11
x2C
13
xD
1C1
Veamosloslímiteslateraleslímg.x/&límg.x/Cuando20jD
xC2D
g.x/
3/Cuandog.x/
g.x/
9x2D
9.Dp
94Dp
Entonces,g.x/g.x/;porlocualpodemosarmarquelímg.x/noexiste.Delafunciónf.x/
C1
p
3Ix2
5p
4x1;determinarloslímiteslateralesenyellímiteenTenemosparaf.x/
C1
p
3D
x23
xC1
x2/

x23
x2/Djxj
5C3
xC1
x2
jxj
23
x2DD
5C3
xC1
x2

23
x2:
3.5Límiteseninnito
Porlotanto!1f.x/!1
5C3
xC1
x2

23
x2Dp
5
p
2D
5
1:581:Cuando,ellímitelocalculamosporevaluación:f.x/
C1

3Dp

1:5425:Cuando,lacumple4x1.Setieneahora:f.x/
5p
x2C9Dx2
5p
x2C95Cp
x2C9
5Cp
.16
x2C
.16
x2C
16x2D5C
Porlotantof.x/
x2C5Cp
10:Paralafunciónnidaporf.x/
p
,determine:Dominioyraíces.Asíntotasverticalesyhorizontales.Bosquejográco.Dominio:�400.2;�40�x2obienOtraformadeencontrareldominioes:2/.x2/�0�20�20obien2020.1;x2obienx28.3;x2obien.2;obien2/:Laraízsería,pero,como,entoncesnotieneraíces.
p
DC1)esunaasíntotavertical.Comoespar,entoncestambiénesasíntotavertical&límf.x/DC1
p
x24D
1
x2p
x24DD
p
x24
p
x4D
"
1
x24
DC1porlotantonotieneasíntotashorizontales.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/Darunbosquejodelagrácadeunafunciónquecumplalosrequisitossiguientes:Escontinuaenlosintervalos2;1/–1;3yen.3;;yademás:!1f.x/f.x/f.x/DC1f.x/f.x/f.x/D1f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/Unbosquejodeunagrácadelafunciónf.x/quecumpleconlosrequisitospedidos,es:
y
421342
f.x/
3.5Límiteseninnito
Dibujeunagrácadeunafunciónquesatisfagatodaslascondicionessiguientes:f.x/f.x/f.0/f.x/f.x/D1f.x/!1f.x/Unaposiblegrácaes:
y
f.x/Bosquejarlagrácadeunafunciónquecumplalascondicionessiguientes:
f.0/
f.x/f.x/DC1f.x/f.x/f.x/f.x/!1f.x/D1Unaposiblegrácadelafunciónconesascondicioneses:
y
21123213
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Bosquejelagrácadeunafunciónquecumplalassiguientecondiciones:!1f.x/f.x/f.x/f.0/f.x/f.x/DC1f.x/D1f.x/Unaposiblegrácadeunafunciónconlascondicionesenunciadases:
y
f.x/Considerelasfuncionesf.x/
g.x/
consusdominiosnaturales.GraquelasfuncionesCalculelímf/.x/Calculelímg/.x/Paratenerlagrácadeefectuamosladivisiónf.x/
x1Dx12
x1Dx1
x12
x1D12
Estonospermiteconstruirlacurvaf.x/poretapas(mediantealargamientos,traslacionesyexiones),partiendodelacurva
x.AyD1
selemultiplicaporyseobtiene
xD2
seletrasladaunaunidadaladerechayseobtiene
;estaúltimafunciónsereejaenelejeparaobtener
nalmentetrasladamosunaunidadhaciaarribaa
paraobtener
que
f.x/Lafuncióntienelagráca:
3.5Límiteseninnito
y
f.x/Paraobtenerlagrácadedebemosrealizarunanálisisdelafunción.Eldominio:comog.x/
3/.x
1/.x,vemosque1/.xf1;2Raíces:g.x/3/.xobien,entoncesconvaloresnegativosyaque10Ademáscuando&#x-110;20;.x4030:Entonces3/.x
1/.x,porlocual3/.x
1/.x!1;estoes,límg.x/D1Perosi,entoncesconvalorespositivosyaque�10Esdecir,3/.x
1/.xg.x/DC1Demaneraanálogaseobtienequeg.x/DC1&límg.x/D1DeloanteriorsepuedeasegurarquelasrectassonasíntotasverticalesdeEncuantoalasasíntotashorizontalessetieneque:g.x/
x2x2D219
x2
x211
x2
x2DD9
x2
11
x2
x2D1
ydelamismamaneraencontramosque!1g.x/PorlotantolarectaeslaúnicaasíntotahorizontaldeUnposiblebosquejodelagrácade
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
9
g.x/Paracalcularlímf/.x/,observamosf/.x/g–f.x/
x1D
9
x3
9.x
3/.x2.x
Dx29C9
x29x2C3C2DDC
Entonces:g–f.x/
Paracalcularlímg/.x/,observamosg/.x/f–g.x/
x2x2Dx29
x2x23
x29
x2x21Dx29C6
x2x2
x29x2CxC2
x2x2DDC3
1;2:Entonces:
x7D22C3
x3
x2
x17
xD2C3
x3
x2
17
D1
CAPÍTULO
Continuidad4.1ContinuidadenunpuntoEjercicios4.1.1Considerelafuncióng.x/x1
xC32
�x1:DeterminarlosvaloresdeparaquelafunciónseacontinuaenParaqueg.x/seacontinuaenelpunto,setienequecumplirqueg.x/g.1/:Esdecir,queg.x/Yporlotanto,queg.x/yquelímg.x/Calculamos:g.x/.3xCalculamostambiéng.x/
xC32
x21D!1C.p
2/.
xC3C
1/.
xC3C
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Observequeaquíhemosracionalizadoelnumeradormultiplicándolo,aligualqueeldenominador,porsubinomioconjugado
;entonces:g.x/
1/.x1/.
xC3C!1C1
1/.x1/.
xC3CD!1C1
1/.
xC3C1
1/.
1C3C1
4C1
2.4/
Así,g.x/
También,g.x/
8D
unafuncióncontinuaenelpunto.Sedeporg.x/f.2x
.¿Escontinuaen?Digaporqué.Comog.3/f.6
3C3D7
yademáscomog.x/f.2x
f.2x
f.6
3C3D7
g.3/;efectivamente,escontinuaenSinnecesidaddecálculoalgunoobservamosquelafunción
escontinuaensudominio,queeselconjuntodetodoslosrealesmenos,porloqueescontinuaenLafunciónescontinuaensudominio,quesontodoslosrealesyenvale2.3/precisamentedondelafunciónescontinua;porlotantolacomposicióndefuncionesf.2xescontinuaenComoconclusióng.x/escontinuaenporsersumadefuncionescontinuasenDadalasiguientefunciónf.x/x22x:DeterminarlosvaloresdelasconstantesquehacendeunafuncióncontinuaenReescribalafunciónconlosvalorescalculadosde.Estudielacontinuidadodiscon-tinuidadde
4.1Continuidadenunpunto
Primeroaseguramoslaexistenciadelímf.x/f.x/.axa.2/f.x/Entonceslímf.x/existesif.x/f.x/DedondeConelvalordeseaseguraqueellímf.x/Ahorabiencomof.2/y,comosequierelacontinuidadde,deberácumplirsequef.x/f.2/:Estoes,queLafunciónresultóserf.x/x22x:Veamosahorasiescontinuaenf.x/Ademáslímf.x/.2xnoescontinuaenYaquelímf.x/yquelímf.x/,entonceslímf.x/f.x/,locualimplicaquelímf.x/noexiste.,lafuncióntieneunadiscontinuidad(esencialdesalto).Considerelafuncióng.x/
x0
4D0Ip
4Cx2
�x0;yestudiesucontinuidadenParax0setienequejD,porloqueg.x/
4jxjDx
queesunafunciónconstante.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Entonces,g.x/
4
Lafunciónesdiscontinuaen.Bastaverqueg.0/
yqueg.x/
4¤1
esdecir,g.x/g.0/:Aúnmásg.x/
4Cx2
xD!0C4Cx4
4CxC!0C1
p
4CxC2D1
Porloque,límg.x/g.x/g.x/noexiste.Determinarlosvaloresdeparaquelasiguientefunciónseacontinuaenyenf.x/x0
4
Paraquelafunciónseacontinuaen,sedebecumplirlímf.x/f.0/.Porlotantotambiénsedebecumplirlímf.x/f.x/.Calculamosamboslímiteslaterales:f.x/.2xf.x/
4
x23D4p
4
3
f.0/:Igualandoamboslímites:
Ahoraensedebecumplirquelímf.x/f.3/f.x/
4
x23D4p
63D“0
Tenemosunaindeterminación:f.x/
4
x23D4p
4
x234Cp
4
4Cp
.4x
3/.4
3/.4
4.x
3/.x1/.4
4
1/.4
¤3.
4.1Continuidadenunpunto
Porlocualf.x/
1/.4
4
48
Igualando,f.3/
Porlotanto:
3&b
Calculelosvaloresdedemodoquelafunciónf.x/x1x2seacontinuaenyenParaqueseacontinuaenyensetienequecumplirquef.x/f.1/a.1/yquef.x/f.2/.ax3.2/a.2/Deaquítenemosque,delaprimeracondición,yque,delasegundacondiciónEstoes,tenemosqueresolverelsistemadedosecuacionescondosincógnitasparahallarRestandolaprimeraalasegundatenemosque,esdecirque,
.Delaprimeraecuación,,porloque
3D64
3D2
Calculelosvaloresdequehacencontinuaalasiguientefunciónenf.x/1x2:Paraquelafunciónseacontinuaen,sedebecumplir:f.x/1/:Ydeaquíque:f.x/f.x/1/:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Perocomof.x/f.x/paraqueexistalímiteenyparaquelafunciónseacontinuaenf.x/Porlotanto,Considerelafuncióng.x/1/f.x/con,dondeeslafunciónmáximoentero.Decida,señalandoclaramentesusargumentos,siescontinuaonoenPorunladotenemosg.1/1/f.1/ytambiéng.x/–.x1/f.x/f.x/yademásg.x/f.x/Luego,límg.x/g.1/porloqueg.x/escontinuaenDeterminarlosvaloresdelasconstantesquehacencontinuaentodosudominiolafunciónf.x/x18.3;x1:Lafunciónescontinuaen2;1/.1;,puesespolinomialentalesintervalos,perotenemosquehacerlacontinuaen.Sabemosquef.x/f.x/:Porlocual,paraqueseacontinuaen,setienequecumplirqueAsímismof.x/f.1/&límf.x/Porloque;entonces,paraqueseacontinuaen,setienenquecumplirambasecuacionesPararesolverestesistemarestemosdelaprimeraecuaciónlasegunda;tendremossustituyendoporestevalorenlasegundaresultaqueDadalafunciónf.x/14x
,encuentreelpuntodondeesafunciónnoescontinua.¿Cómodeniríalafunciónenesepuntoparaqueéstaresultasecontinua?Comolafunciónesracional,escontinuaentodoslosrealesmenosenlasraícesdeldenomi-nador;yescontinuaenconexcepcióndecuando
Notamosluegoque
estambiénraízdelnumeradoryporlotantoelnumeradortienequeserdivisibleentre
4.1Continuidadenunpunto
2C14j
14x
24x
4C4
porloque,14x.3x4/.xf.x/.3x4/.x
3x4Dx2C164
Entonceslafunciónresultaríacontinuaen
,deniendo
def
f.x/
3C4
32C64
31D
C81D
D
Determinelosvaloresdelasconstantesquehacencontinualafunciónenyenf.x/1x4Darunbosquejodelagrácadeesafunciónconlosvaloresencontrados.Tenemoslímf.x/f.1/&límf.x/;luego,siqueremosqueseacontinuaenAnálogamentelímf.x/f.4/f.x/,porloqueparaqueseacontinuaenParaqueseacontinuaenyen,necesitamosqueResolvamosestesistemadedosecuacionescondosincógnitas,restándolealasegundalaprimera:
ysustituyendoporestevalorenlaprimera:Lafunciónresultantees;f.x/1x4Sugráca:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Grácamenteloquehicimosfuetrazarlarectaquepasaporlospuntos.1;1/.4;comocalcularf.0/f.5/Sealafunción:f.x/2ax1x2x:EncontrarlosvaloresdeparaquelafunciónseacontinuaenyenGracarlafunciónconlosvaloresencontrados.Yaquetenemosquehacercontinuaayen,observemosquef.x/ytambiénquef.x/.2axPorloqueparaqueseacontinuaenAnálogamente:límf.x/f.2/&límf.x/EntoncesparaqueseacontinuaenParaqueseacontinuaendichospuntos,setienenquecumplirsimultáneamenteResolvamoselsistemadedosecuacioneslinealescondosincógnitasrestándolealasegundalaprimera:
Sustituyendoporestevalorenlaprimera:
6CbD1)bD11
3D2
3:
4.1Continuidadenunpunto
TenemosenelintervaloTenemostambiénenelintervalo–2;Enelintervalo1;2,larecta
3xC2
Tabulamos:f.3/Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/Comentario.Grácamentedeterminamoslarecta2axqueunelospuntos1;1/.2;0/enefectodicharectatieneporpendiente:
12
ysuecuaciónes:
3
3xC2
Determinelosvaloresdeparaquelasiguientefunciónseacontinuaenyenf.x/DebemosanalizarlacontinuidaddelafunciónsóloenlosnúmerosLafunciónescontinuaenf.x/Lafunciónescontinuaenf.x/f.3/.3/Luegolafunciónescontinuaen,cuandoDeterminelosvaloresparaquelafunciónf.x/seacontinuaenyenf.x/2x&#x-110;x3:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Paraasegurarlacontinuidaddeyenveamosquef.x/f.x/.axEsdecir,sif.x/escontinuaen.EstaigualdadsecumpleparaAdemásf.x/f.x/f.3/.3/Esdecir,sif.x/escontinuaen.EstaigualdadsecumpleparaPorlotanto,f.x/2x&#x-110;x3:Unalegislaciónestatalsobreimpuestosestableceunimpuestoexigiblede%sobrelosprimeros20000degananciasgravablesyde%sobreelrestodelasganancias.CalcularlosvaloresdelasconstantesparaquelafuncióndeimpuestosT.x/seacontinuaparatodaT.x/0:12x0x200000:16.x20000/x&#x-110;20000:Paralacontinuidaddeenlospuntos20000veamosqueT.x/0:12x/T.x/T.0/Ahra,si,lafunciónescontinuaenAnálogamente20000T.x/200000:16.x20000/0:16.2000020000/20000T.x/200000:12x/T.20000/0:12.20000/24002400:Entonces,si2400,lafunciónescontinuaen20000PorloqueT.x/0:120x200000:16.x20000/x.1;20000:
4.1Continuidadenunpunto
Calculelosvaloresdequehacenquelasiguientefunciónseacontinuaenf.x/
1x2:Paralacontinuidadde,debemosexigirquelímf.x/;límf.x/existesiysólosif.x/f.x/
DC,a
.C1,a
Luego,consucedequelímf.x/Tambiéndebeocurrirquef.x/.Estoselogracuandof.x/,esdecir,siEncontramosquelafunciónesunafuncióncontinuaencuandoycuandoEstoes,cuandof.x/
1x2:17.a.Hallarlosvaloresdelasconstantesdemodoquelasiguientefunciónseacontinuaenyenf.x/1x3Dibujarlagrácadeconlosvaloresobtenidos.Enlospuntosdondepodríanosercontinuaesenyen,queesdondelastresrectasquecomponenanocoinciden:entoncestenemosqueobligaraqueésenoseaelcaso,estoes,quef.x/seacontinuaenellos;paraellotenemosquehacerqueseaniguales:&límf.x/.axf.x/.axf.3/Comosetienenquecumplirsimultáneamenteambascondiciones,setienequecumplirelsistemaRestandoalasegundaecuaciónlaprimera:;ysustituyendoporestevalorenlaprimera
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/Comentario.Observemosquelarectatienequepasarporlospuntos1;2/.3;supendientedebeser
3C1D4
ysuecuaciónentonceses:,esdecir,Sealafunciónf.x/
�x2:EncuentrevaloresdeparaqueesafunciónseacontinuaenyenDéunbosquejodelagrácaconestosvalores.Paraqueseacontinuaenyen,setienequecumplir:f.x/f.2/&límf.x/yparaellodebenserigualesf.x/
xC1D1
2C1D1
f.x/f.x/f.2/f.x/:Luego,setienenquecumplirlasdosecuacionesResolvamospuestalsistemasumándolas:
;sustituyendoporestevalorenlaprimeraecuación,tenemos:
4.1Continuidadenunpunto
Lafunciónconestosvaloreses:f.x/
�x2:Sugráca:
y
f.x/Considerelafunciónf.x/
3;x2;x
¿ParaquévaloresdelafunciónescontinuaenParaquelafunciónseacontinuaensedebecumplirf.x/f.2/Sitratamosdecalcularellímiteporevaluaciónobtenemos:
22C2“0
,esdecir,unaindeterminación
Primerovamosatrabajareldenominadordef.x/.Puestoqueesunpolinomiodesegundogradoquetienecomocerooraíza,sabemosqueesundivisordelpolinomio.Parahallarlafactorizacióncorrespondienteefectuamoslasiguientedivisión:
CxC
7x
Tenemosentoncesque2/.3x
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Unpocodeálgebra:
3xCxp
2/.3x
2xp
.4012x/
2/.3x7/.2x
12x/
2/.3x7/.2x
12x/
2/.3x7/.2x
12x/5/.x
2/.3x7/.2x
12x/
.3x7/.2x
12x/Ahorapodemoscalcularellímitef.x/
.3x7/.2x
12x/
8D7
Entonces,si
,lafunciónescontinuaenSealafunciónf.x/x12mx†.5;x1:EncontrarlosvaloresdeydedemodoquelafunciónseacontinuaenGracarlafuncióncontinuaobtenida.Paraquelafunciónseacontinuaensedebecumplir:f.x/f.1/f.x/:Laigualdaddelaizquierdanosproporciona:.mxf.1/Laigualdaddeladerechanosproporciona:f.1/.2mxEstoes,obtenemos:unsistemadedosecuacionescondosincógnitascuyasoluciónes:
&n
3:
4.1Continuidadenunpunto
Lafunciónconestosvaloresesf.x/
xC5
x1
x5
�x1:Lafunciónconesosvalorestienelasiguientegráca:
y
55
311
23
f.x/
Sealafuncióng.x/1;1�x1:EncontrarlosvaloresdequehacenquelafunciónseacontinuaenlospuntosdondeDarunbosquejodelagrácadeconlosvaloresencontrados.Paralacontinuidadensedebecumplir:g.x/g.x/&límg.x/g.x/g.1/:Estosetraduceenrespectivamente;resolviendoseencuentraConestosvaloreslafunciónes:g.x/1;1�x1:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lagrácadelafunciónes:
y
g.x/Sealafuncióng.t/1t2
EncontrarlasvaloresdeparaquelafunciónseacontinuaenyenConlosvaloresencontrados,grácarlafunción.Paralacontinuidadentodoslosrealessedebecumplir:g.t/g.t/&límg.t/g.t/g.2/:EstosetraduceenEsdecir,elsistemaResolviendoestesistemadedosecuacionesycondosincógnitasseobtiene:Conestosvaloreslafunciónes:g.t/1t2
ylagrácadelafunciónes:
4.2Tiposdediscontinuidades
y
g.t/4.2TiposdediscontinuidadesEjercicios4.2.1Bosquejelagrácadeunafunciónquecumplalassiguientescondiciones:!1f.x/f.x/DC1f.1/f.x/DC1f.x/DC1f.x/tienediscontinuidadremovibleenf.x/D1f.x/Unagrácaquecumplelasanteriorescondicioneses:
y
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Considerelagrácadelafuncióndadaenlagura
y
f.x/Delagrácadeterminelossiguienteslímites:!1f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/f.x/Clasiquelasdiscontinuidades.!1f.x/f.x/D1f.x/f.1/f.x/DC1f.x/D1f.x/D1f.x/Lafuncióntienedosdiscontinuidadesesencialesinnitas,enyenLafuncióntienelagrácasiguiente:
y
213f.x/Delagrácaobtener
4.2Tiposdediscontinuidades
f.x/f.x/f.x/iv.f.x/f.x/vi.f.x/vii.f.x/viii.f.x/ix.!1f.x/f.x/:Delincisoanteriorclasiquelasdiscontinuidadesdelafunciónyescribalasecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontales.a.i.f.x/f.x/f.x/DC1Iiv.f.x/DC1If.x/vi.f.x/vii.f.x/D1Iviii.f.x/ix.!1f.x/D1If.x/yenhaydiscontinuidadesencialdesalto;yenhaydiscontinuidadesesencialesinnitas;esasíntotahorizontal;esasíntotavertical;esasíntotavertical.Dadalafuncióng.x/x11x2x:AnalizarlostiposdediscontinuidadesenyenCalculamosg.x/.2xg.x/Comog.x/g.1/entoncesenlafuncióntieneunadiscontinuidadremovibley,siredenimosg.1/entonceslafunciónsehacecontinuaenTambiéng.x/g.x/Comog.x/g.x/;entoncesenlafuncióntieneunadiscontinuidadesencialdesalto.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Tracelagrácadeunafunciónquetengaunadiscontinuidadremovibleenyqueademássatisfagalascondicionessiguientes:f.0/f.4/f.6/f.x/f.x/DC1I!1f.x/f.x/Unaposiblegrácadelafunciónquesatisfagatodasesascondicioneses:
y
f.x/Ennuestragrácavemosque,perolímf.x/f.x/,porloqueentieneunadiscontinuidadremovible.Apartirdelagrácade,determine:Lospuntosdediscontinuidadysuclasicación.Lasecuacionesdelasasíntotasverticalesylasecuacionesdelasasíntotashorizontales.
y
234
f.x/tieneunadiscontinuidadremovibleenesdiscontinuaendondetieneunadiscontinuidadinnita.eslaúnicaasíntotavertical&laúnicaasíntotahorizontal.
4.2Tiposdediscontinuidades
Bosquejeunaposiblegrácadeunafunciónquecumplaconlassiguientescondiciones:f.x/4x6!1f.x/ylímf.x/f.x/D1ylímf.x/D1f.x/Señalelospuntosdediscontinuidadesencial.Unbosquejodelagrácadelafunciónes:
y
f.x/
hayunadiscontinuidadesencialinnita.f.x/
p
,¿quétipodediscontinuidadhayen?;¿esencial?;¿removible?Justiquesurespuesta.Calculemoslím
p
racionalizandoeldenominador,esdecir,multiplicandoarribayabajoporelbinomioconjugadodeldenominador,quees
xC1C1:x
p
xC11Dx
p
xC11p
xC1C1
p
xC1C1D
xC1C
C11DD
xC1C
Dp
,siTenemosentoncesque:
p
xC11D!0.p
xC1Cp
0C1C1Dp
Sideniésemosf.0/,lafunciónresultaríacontinuaen,porloqueladiscontinuidadesremovible.;4/feldominiodeunafunción.Traceunaposiblegrácadeesafunciónquecumplaconlascondicionessiguientes:Lospuntos3;2/5;0/.1;0/.3;0/estánensugráca.!1f.x/,límf.x/f.x/D1,límf.x/DC1
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.x/,límf.x/,límf.x/Apartirdelagráca,determineyclasiquelospuntosdediscontinuidaddelafunciónUnagrácaposibleeslasiguiente:
y
f.x/
Lafuncióntienediscontinuidadesen:queesesencialinnita;queesesencialdesalto;queesremovible.Apartirdelagrácadelafunciónqueobservamosacontinuación
y
23223
g.x/determine:g.x/g.x/g.x/g.x/!1g.x/g.x/:Puntosdediscontinuidadysuclasicación.Ecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticales.Vemosque:g.x/DC1Ig.x/D1Ig.x/noexisteg.x/!1g.x/g.x/
4.2Tiposdediscontinuidades
Puntosdediscontinuidad:esencialesinnitasenyremovibleenAsíntotasverticales:lasrectasAsíntotashorizontales:lasrectasSealafunciónf.x/
Encontraryclasicarlasdiscontinuidades.Determinarlasasíntotasverticalesyhorizontales.Continuidad:Porserunafunciónracionalsudominioes:4/.xobienf4;2EntonceslafunciónesdiscontinuaenyenComof.x/
4/.x
4/.x
x2D43
42D7
6D7
estafuncióntieneenunadiscontinuidadremovibleoevitable.Ycomof.x/
entoncestieneenunadiscontinuidadesencialinnita.Asíntotas:Precisemosloslímiteslateralesentornoaf.x/
x2202030
x2x3
!C1)f.x/DC1If.x/
�x2�2030yaque
x2x3
!1)f.x/D1Podemosarmarquelarectaesunaasíntotaverticaldeyademáseslaúnica.Ahorabiencomof.x/
x2D13
x
x12
xD3
x
12
xD1
1D
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
entonceslarectaesunaasíntotahorizontalyademáseslaúnicayaquetambién!1f.x/Dadaf.x/
,obtener:Puntosdediscontinuidadysuclasicación.Asíntotasverticalesyhorizontales.Esbozodelagráca.Como5/.xobienobienresultaqueeldominioes:f5;1Calculemoslímf.x/&límf.x/Setienef.x/x.x
1/.x
Porloquef.x/
x1D5
51D5
6D5
yladiscontinuidadenesremovible.Encambiof.x/
D1yladiscontinuidadenesesencialinnita.Acabamosdeencontrarquelarectaesasíntotavertical.Parahallarlasasíntotashorizon-talescalculamosf.x/
x1D
11
xD1
10D1
Porloquelarectaesasíntotahorizontal.Tabulamosf.0/Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/
4.3Continuidadenintervalos
Dibujarlagrácaposibledelafunciónquecumplalascondicionessiguientes:f.x/DC1If.x/D1If.x/tieneunadiscontinuidadremovibleen!1f.x/f.x/Unagrácaposibledelafunción,conesascondicioneses:
y
f.x/4.3ContinuidadenintervalosEjercicios4.3.1f.x/;demuestrequehay,almenos,unnúmeroentretalquef.a/Calculamosf.0/f.10/1000Puestoquef.x/esunafunciónpolinomial,entoncesescontinuay,porelteoremadeValorInter-medio,sesabequetomatodoslosvaloresdelintervalo9;561cuandolavariablerecorreelintervalo–0;10Enparticular9;561/,entoncesexiste.0;10/talquef.a/Elcostodefabricacióndeautomóvileseléctricos,enmilesdepesos,esdeC.q/13qmientrasqueelingreso,tambiénenmilesdepesos,esdeI.q/5q:Demostrarqueexisteunvalorentre,delavariable,dondelafábricanigananipierde.LagananciadelafábricaG.q/cuandosefabricanautomóvilesvienedadaporG.q/I.q/C.q/5q/.5q13q13q14:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
CalculamosG.2/G.10/1000050001300500013643636:PuestoqueG.q/esunafuncióncontinua,porelteoremadelValorIntermedio,lafuncióntomatodoslosvaloresdelintervalo100;3636cuandorecorreelintervalo–2;10Enparticular100;3636:Porlotanto,existe–2;10talqueG.q/Esdecir,I.q/C.q/I.q/C.q/:Sielingresoesigualalcostodeproducción,lafábricanigananipierde.–1;3lafuncióndenidaporf.x/10x:¿Existeunpunto–1;3talquef.a/?Justiquesurespuesta.f.1/f.3/21:Comoycomolafunciónescontinuaen–1;3,porelteoremadelValorIntermedio,existealmenosunpunto.1;3/talquef.a/LatemperaturaC)alaqueelaguahierveestádadaporlafórmulaT.h/100:8620:0415
431:03;dondeeslaalturasobreelniveldelmar(medidaenmetros).UseelteoremadelValorIntermedioydigasientrelos40004500metrossobreelniveldelmarhayunaaltitudalacualhierveaC.Justiquesurespuesta.Porunladosabemosquelafunciónescontinuaensudominio,elcualeselconjuntodelosquecumplen431:03431:03porotroladoT.4000/100:8620:0415
4000431:0398:099512tambiénT.4500/100:8620:0415
4500431:0397:977517Como.97:9;98:1/C,entonces,efectivamente,existeuna.4000;4500/talqueT.h/
4.3Continuidadenintervalos
Veriquequelaecuacióntieneunaraízentre.Déunintervalodelongitud
quecontengaadicharaíz.f.x/Notamosquelafunciónescontinuaen,enparticularen–0;1yquef.0/10ytambiénquef.1/&#x-110;10;luego,porelteoremadelValorIntermedio,en.0;1/habráunpuntotalquef.x/Vemosque
2D1
8C1
10Porloqueunaraízdebeestaren
Tambiénvemosque
4D
643
�10Porloque,porúltimo,talraízdebedeestaren
2;3
Esteúltimointervalotienelongitud
41
2D32
4D1
Determinarunintervalodelongitud0:5quecontengaaunaraízdelaecuaciónf.x/,lacualporserpolinomialesunafuncióncontinuaentodo.Vemosahoraquef.0/Yaque80yque&#x-350;10,porelteoremadelValorIntermedio,existealmenosunaraízenelintervaloElpuntomediodelintervalo
ycomo
2
3C4D1
entoncesexistealmenosunaraízenelintervalo
Yaquelalongituddelintervalo
2;1
,sepuedearmarque
esunintervalodelongitud0:5quecontienealmenosunaraízdelaecuaciónDadalafunciónf.x/x0Calcularf.2/¿Existe2;2/talquef.c/f.2/Considerandounbosquejodelagrácaquesemuestraacontinuación,sepuedeobservarquenoexisteunvalorde2;2/talquef.c/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Observequelafunciónnoescontinuaen2;2puesesdiscontinuaen,porloquenocumpleconlashipótesisdelteoremadelValorIntermedio.Seaelpolinomiop.x/Aproximeenelintervalo–1;2unaraízdelpolinomioconerrormenorque
Calculamoselvalordelpolinomioenlosextremosdelintervalop.1/p.2/Yaqueelpolinomioesunafuncióncontinua,porelteoremadelValorIntermedio,tomatodoslosvaloresentre1;2cuandorecorreelintervalo–1;2Enparticular1;2Entoncesexiste.1;2/talquep.c/(unaraízdelpolinomio).Elintervalo–1;2tienelongitudSedeseaunintervalodelongitudmenorque
0:25dondesegaranticelaexistenciadeunaraíz.Paraesto,tomamosarbitrariamenteunnúmeroaladerechadeyotronúmeroquecumplalascondiciones1c;comprobamossicontinúaexistiendouncambiodesignoalevaluarelpolinomioenestospuntos.Tomemos1:31:6p.1:3/.1:3/4.1:3/2:1975:21:003p.1:6/.1:6/4.1:6/4:0966:40:304:Ambosvaloresnegativos.Paraintentaralcanzarunvalorpositivodelpolinomio,loscalculosanterioressugierentomar,porejemplo,1:8p.1:8/.1:8/4.1:8/5:8327:20:632:Esdecir,lafuncióncambiadesignoenlosextremosdelintervalo–1:6;1:8Estogarantizaqueexisteunaraízdentrodeesteintervalo.Lolongitudde–1:6;1:81:81:60:2
0:25Sitomamosunpuntoarbitrariodentrodeesteintervalocomounaaproximaciónalaraíz,podemosasegurarqueladiferenciaentredichopuntoylaraízexistenteesmenorqueuncuarto.
4.3Continuidadenintervalos
unafuncióncontinuatalquef.1/f.2/yquef.4/Determineelnúmeroderaícesque,almenos,tienelafunciónyenquéintervalosseencuentran.Yaqueyque,entonces10/03/&#x-396;&#x.400;0;porlotanto,porelteoremadelValorIntermedio,existealmenosunaraízenelintervaloAnálogamentef.2/f.4/implicanquef.2/&#x-396;&#x.400;0yquef.4/0;denuevo,porelteoremadelValorIntermedio,existealmenosunaraízenelintervalo.2;4/Luego,lafuncióntienealmenostresraícesenelintervalo10;4/tambiénesraíz.Veriquequelaecuacióntieneunaraízrealenelintervalo–2;3ydetermineunintervalodelongitudquecontengaadicharaíz.Lafunciónpolinomialf.x/escontinuaentodoyenparticularescontinuaenelintervalocerrado–2;3.Ademásf.2/4.2/20f.3/4.3/13&#x-110;0:Porsercontinuaenelintervalo–2;3f.2/0f.3/&#x-163;&#x.400;0,sepuedeasegurar(porelteoremadelValorIntermedio)laexistenciadealmenosun.2;3/talquef.c/Notamosquelalongituddelintervalo.2;3/Elpuntomediodelintervalo.2;3/
yademás
2D5
2345
22D
2D
D
�0:Porsercontinuaenelintervalo
f.2/0
,sepuedeasegurar,porelteoremadelValorIntermedio,laexistenciadealmenosun
talquef.c/Notemosquelalongituddelintervalo
2
Elpuntomediodelintervalo
2
yademás
4D9
4349
42D
6492D
64
�0:Porsercontinuaenelintervalocerrado
f.2/0
,sepuedeasegurar,porelteoremadelValorIntermedio,laexistenciadealmenosun
talquef.c/Ademáslalongituddelintervalo
4
Porlotanto,enelintervalo
,delongitud
existealmenosunnúmerorealtalque
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Determineunintervalodelongitud
enelquelaecuacióntengaunaraíz.Consideramoslafunciónpolinomialf.x/queescontinuaentodalarectareal.f.0/.0/3.0/f.1/3.1/Yaquef.0/�10f.1/10escontinuaenelintervalo–0;1,porelteoremadelValorIntermedio,sepuedeasegurarlaexistenciadealmenosunreal.0;1/talquef.c/.Notemosademásquelalongituddelintervalo.0;1/Elpuntomediodelintervalo.0;1/
2,f1
2D1
2331
2C1D1
83
2C1D18
8
Yaquef.0/�10
2
,yyaquelafunciónescontinuaenelintervalo
,sepuedeasegurarlaexistenciadealmenosunreal
talquef.c/.Notemosademásquelalongituddelintervalo
22D1
Elpuntomediodelintervalo
2
4f1
4D1
4331
4C1D1
3
4C1D1
64
Yaque
4D
64f1
2
yqueescontinuaenelintervalo
4;1
,sepuedeasegurar(porelteoremadelValorIntermedio)laexistenciadealmenosunreal
4;1
talquef.c/.Notemostambiénquelalongituddelintervalo
4;1
23D1
Luego,paralafunciónf.x/,existealmenosunaraíztalquef.c/enelintervalo
4;1
quetieneunalongitud
Considerelafunciónnidaporf.x/
6Cx4
Pruebequeesafuncióntienealmenosunaraízpositivayotranegativa.Vemosque:f.0/10f.2/
C
41D
C441D3
�0:Luego,entre0y2existeunaraízpositiva,puesf.x/espolinomial,porloqueescontinuaentodointervaloenparticularen–0;2Comotambiénespositiva(espar),porelteoremadelValorIntermedio,entrehayotraraízquetienequesernegativa.Encuentreunintervaloendondelafunciónh.x/tieneunaraíz.Siendounafunciónpolinomial,cumpleconlahipótesisdecontinuidaddelteoremadelValorIntermedioentodalarecta;ademásh.0/�10h.1/10
4.3Continuidadenintervalos
entoncesentreexistealmenosunaraízdelafunción,esdecir,unpuntotalqueUnpolinomiopasaporlospuntos5;10/.2;3/.17;¿Cuántasraícestienecomomínimo?Justiquesurespuesta.Una,yaquesiendocontinuaentodalarecta,lafunciónpolinomialp.x/espositivaen,puestoquep.2/,yesnegativaenyaquep.17/;porloqueentrelafuncióntienealmenosunaraíz,porelteoremadelValorIntermedio.Muestrequelafunciónh.x/tienealmenosunaraízenlosnúmerosreales.Valuandoendospuntospertinentes:h.0/50h.2/297.2;0:Tenemosunafunciónh.x/queporserpolinomialescontinuaeny,enparticular,enelintervalo–0;2encuyosextremoslafuncióntienevaloresconsignodistinto.UsandoelteoremadelValorIntermediosesabequeexistealmenosunvalor.0;2/talqueh.c/,queesloquesequeríamostrar.Halleunintervalodelongitudnomayorque0.1dondeseencuentreunaraízdelpolinomio:.x/Porserunpolinomio.x/,esunafuncióncontinuaentodoAhorabien.0/7.2;10.1/440;entonces,porelteoremadelValorIntermedio,podemosasegurarlaexistenciadealmenosun0c1talque.c/Elpuntomediodelintervalo.0;1/
2&1
2
120,porlocualsepuedeasegurarque0c
Elpuntomediodelintervalo
2D1
4&1
4
445
,porlocualsepuedeasegurarque0c
Elpuntomediodelintervalo
4D1
8&1
8
84C3
,loquepermiteasegurarque

Elpuntomediodelintervalo
8;1
4D3
3
16
,porlocualpodemosasegurarque

.Ademáslalongituddelintervalo
8;3
D1
queesmenorque0:1
.Porlotantoelintervalobuscadoes
8;3
Dadalafunciónf.x/,veriquequeexisteunnúmerotalquef.c/.Esdecir,justiquequelafuncióntieneunaraíz.Evaluamoslafunciónenalgunospuntos:
f.x/
11
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Vemosqueesunafuncióncontinuaenelintervalo–0;1convaloresdesignodistintoenlosex-tremos;aplicandoelteoremadelValorIntermedio,seaseguralaexistenciade.0;1/talquef.c/Veámoslagrácadeeneseintervalo:
f.x/
111c
Dadalafunciónf.x/obtenerunintervaloendondelafuncióntengaalmenosunaraíz.Justiquesurespuesta.Evaluamosenalgunosnúmeros
f.x/
1
1
0
conloquecomprobamosquesiendocontinuacambiadesignoenelintervalo1;0.UsandoelteoremadelValorIntermediosegarantizaqueexisteunaraízdeeneseintervalo.Veamoslagrácadelafunción
f.x/
311
Elresultadogarantizalaexistenciadelaraíz,nolacalcula.Segarantizaelcortedelagrácaconel.Nosesabedónde.
4.3Continuidadenintervalos
Considerelafuncióng.x/
determine:Dominioyraíces.Intervalosdecontinuidadyclasicacióndediscontinuidades.Ecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontales.Bosquejográco.Dominio:Raíces:nosdamoscuentadequeparag.x/
x28Dx2
2/.x
g.2/conlocualconcluimosquelafunciónnotieneraíces.Lafunciónnoescontinuaenyaqueg.2/yqueg.x/
x4
Comog.2/g.x/,en2g.x/tieneunadiscontinuidadremovible.Lafuncióntampocoescontinuaen,yaqueg.4/noexistepuesAúnmás:estáaladerechade�x4�40g.x/
DC1estáalaizquierdadex440g.x/
D1PorloquetieneunadiscontinuidadesencialinnitaenEntoncesestafunciónescontinuaen2;4;2//.2;4//.4;Porloanteriorsevequeesunaasíntotavertical.Sicalculamosg.x/
vemosqueesunaasíntotahorizontal.Sugrácaes:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
11
g.x/Considerelafunción:g.x/
determine:Dominioyraíces.Intervalosdecontinuidadyclasicacióndesusdiscontinuidades.Ecuacionesdesusasíntotasverticalesyhorizontales.Bosquejográco.Dominio:Raíces:vemosquenotieneraíces,puestoque
2.2
g.2/Lafuncióntieneunadiscontinuidadremovibleen,yaqueg.x/perog.2/EntonceslafunciónescontinuaenLafunciónnotieneasíntotasverticales&esasíntotahorizontal,yaqueg.x/Sugrácaes:
4.3Continuidadenintervalos
y
g.x/Paralafunciónf.x/
,determine:Lospuntosdediscontinuidadysuclasicación.Losintervalosdecontinuidad.Lasasíntotasverticalesyhorizontales.Porúltimoesbocesugráca.Sabemosque
1C8
2D13
Entonceshayunadiscontinuidadesencial,yaquelímf.x/noexiste,dehechoen(c)veremosquelímf.x/D 1,entoncesladiscontinuidadesesencialinnita.hayunadiscontinuidadremovible,pues
3.x2/.x
1/.x3.x
Encontramosquelímf.x/existe:f.x/3.x
1D
Sideniésemosf.x/resultaríacontinuaenDeloanteriorf.x/escontinuaenen.2;1//.1;Calculamos
2Cx2D
2
1C1
x2
x2D3
2
1C1
x2
x2DD
2
C
x
x2D30
1C00D3
1D
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Entoncesesasíntotahorizontal.Como
3.x
1/.x3.x2/.x
1/.x3.x
DC1yaque10;x20;&lím3.xytambiénque
1/.xD1entoncesesunaasíntotavertical.(Comprobamosqueen,ladiscontinuidadesesencialinnita).Observemosquef.2/.Lagrácaes:
y
f.x/
Considerelafuncióng.x/
ObtenerlasecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticalesdeestafunciónEncontrareldominio,lasraícesylosintervalosdecontinuidaddelafunción.Bosquejarsugráca.Paraaveriguarlasposiblesasíntotashorizontales,calculamos
x24DC1
x2
14
x2D2C1
x2
14
x2DC
x2

x2D2C0
10D2
Entonceslarectaesasíntotahorizontal.Como2/.x�10paracadacalculamos
x24D!2C1
2/.xD1Entoncesesasíntotavertical,ycomolafunciónespar,tambiénloes.
4.3Continuidadenintervalos
Dominio:fNotieneraíces,pueselnumerador�10paracualquiervalordeeneldominiodeestafunciónescontinuaenn.2;2//.2;Adicionalmenteg.0/
4
Sugrácaes:
y
g.x/Sealafunciónf.x/
Determinardominioyraíces.Hallarintervalosdecontinuidadyclasicarlasdiscontinuidades.Encontrarlasecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticales.Enbasealoanterior,hacerelesbozográcodePorserunafunciónracional,sudominioes:2/.xf2;1Raíces:para;f.x/1/.xobienPero,porlocualtienesólounaraízqueesPorserunafunciónracional,escontinuaentodosudominio;esdecir,escontinuaenelcon-juntoo.2;1//.1;Lasdiscontinuidadesdeestánenyenf.x/
1/.x
2/.x
xC2DD14
1C2D3
3
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Entoncestieneenunadiscontinuidadevitableoremovible.f.x/
xC2D“6
yaquecuandoPorestopodemosdecirquelafuncióntieneenunadiscontinuidadesencialinnita.Asíntotasverticales:precisamoslímf.x/víasuslímiteslaterales.,entonces,porloque20;ycomo40[yaque],entonces
.Porlotanto
DC1,entonces,porloque�20;ycomo40,entonces
Luego,
D1Podemosarmarquelarectaesunaasíntotaverticalde,yqueademáseslaúnica.Asíntotashorizontales:f.x/
xC2D4
x
1C2
xD1
Entonceslarectaesunaasíntotahorizontalde.Ademáseslaúnicayaquetambién!1f.x/Lagrácadelafunciónesdelaforma
y
f.x/
Sealafuncióng.x/
Encuentre:raíces,discontinuidadesysuclasicación,asíntotaseintervalosdecontinuidad.Bosquejesugráca.Lasraícesdelafunciónsonlospuntosdesudominiotalesqueg.x/
4.3Continuidadenintervalos
Sabemosque3/.x3;5Paraqueg.x/,senecesitaque4/.xesdecir,queobienquePero,como,entonceslaúnicaraízdeg.x/Discontinuidades:Lafunciónesdiscontinuaenyen,porloqueescontinuaensudominio;3//.3;5//.5;quesonlostresintervalosdecontinuidad.Ladiscontinuidadenesremovible,yaqueg.x/3/.x
3/.x
x5D3C4
35
sidenimosg.3/
,lafunciónresultacontinuatambiénenEncambioen,ladiscontinuidadesesencialinnita,puesg.x/
x5D“9
D1Asíntotas:Porlomismovemosqueesasíntotavertical.Parahallarlasasíntotashorizontalescalculemosg.x/
2C1
x
2
18
xC
conloquecomprobamosquelarectaeslaasíntotahorizontal.Lagrácadelafunciónes:
y
17
435g.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Considerelafunciónf.x/
Proporcionedominio,raíceseintervalosdecontinuidad.Determinelasecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticales.HagaunesbozográcodelafunciónSimplicamos:f.x/
4/.x
4/.x
Entonces:Dominio:fLafunciónescontinuaentodosudominio.Comolímf.x/
xC3D41
4C3D5
&límf.x/
podemosarmarqueexisteunadiscontinuidadremovibleenyunadiscontinuidadesencialinnitaenCalculamosellímite:f.x/
xC3D1
x
1C3
xD10
Yencontramosqueesasíntotahorizontal.Laecuacióndelaasíntotaverticales.ParaestocalculamosloslímiteslateralesenPorladerecha,esdecir,si�30
xC3DCC1
xC3D.“1
D1Porlaizquierda,esdecir,si30
xC3D1
xC3D.“1
DC1Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/
4.3Continuidadenintervalos
Considerelafunciónf.x/
Proporcionedominio,raíceseintervalosdecontinuidaddelafunciónObtengalasecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontalesdelafunciónDibujelagrácayhalleelrangodelafunciónDominio:f.x/
f1;1Raíces:paraf.x/
2/.xobienobienComonoestáeneldominiode,lafuncióntienesólounaraíz:Intervalosdecontinuidad:porserunafunciónracional,escontinuaentodosudominio;luegoescontinuaenen.1;1/1/.1;Asíntotasverticales:analicemoslospuntosdediscontinuidadf.x/
2/.x
1/.x
xC1D1C2
2C1D3
lafuncióntieneenunadiscontinuidadremovible;porlocual,larectanoesunaasíntotavertical.Ahoravemosquef.x/
x21DxC2
yaque&límAúnmás:f.x/
D1,yaque�2010,cuandoTambién:f.x/
DC1,yaque�20�10,cuandoLuego,larectaeslaúnicaasíntotavertical.Asíntotashorizontales:analicemoselcomportamientodeenelinnito:f.x/
xC1DC2
x
1C1
xD1
Deigualmaneraseobtienequelím!1f.x/Luego,larectaeslaúnicaasíntotahorizontal.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Unbosquejodelagrácadelafunción
y
f.x/
2«
Rango:
f.x/
,hallar:Dominioyraíces.Intervalosdecontinuidad,clasicandolasdiscontinuidades.Ecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticales.EsbozográcodeDominio:Calculemosloscerosdeldenominadorx.2x
9C
D35
4D1
luego:x.2x2x.x
2;0;
entonces:2;0;
Ahoraparahallarlasraícesobservemosanálogamenteque3x.2xyque
1C8
4D13
4D1
21I
4.3Continuidadenintervalos
porlotanto,3x.2x6x.x
obien
Yaqueni
nopertenecenaldominiode,suúnicaraízesIntervalosdecontinuidad:2;0/
2&1
Paraclasicarlasdiscontinuidadescalculemosf.x/
6x.x
2
2x.x
3.x
D1porlotantoladiscontinuidadenesesencialinnitaylarectaesasíntotavertical;f.x/3.x
C2D31
0C2D3
porloqueladiscontinuidadenesremovible;
f.x/
3.x
C2D33
2
1
2C2D9
2
5
2D9
porlocualladiscontinuidaden
tambiénesremovible.YavimosquelaúnicaasíntotaverticaleslarectaParahallarlasasíntotashorizontalescalculemosf.x/
2xCC3
x3
x2
2C3
x2
x2D6
Inferimosdeaquíqueeslaúnicaasíntotahorizontal.Lagrácadelafunciónes:
y

f.x/
2;9
5«
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Considerelafunciónf.x/
Proporcionedominio,raíceseintervalosdecontinuidaddelafunciónObtengalasecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontalesdelafunciónDibujelagrácayhallelaimagendelafunciónPorserunafunciónracional,sudominioes:f3;3Raíces:paraf.x/1/.xobienobienPero,porlocualsólohayunaraízqueesIntervalosdecontinuidad:Porserunafunciónracional,escontinuaentodosudominioo.3;3/3/.3;Estafuncióntienedosdiscontinuidades:enyenf.x/
1/.x
x/.3
3C1

6
Entonceslafunciónf.x/tieneenunadiscontinuidadremovible.Porotrolado:f.x/

CxD“2
YaqueyquecuandoAúnmás,Cuandopróximoaf.x/
D1Yaque�10yquex0Cuandopróximoaf.x/
DC1Yaque�10yque�x0Larectaesunaasíntotavertical.Ahorabien,f.x/
xC3D11
x
1C3
xD1
Asítambién,!1f.x/Entonceslarectaeslaasíntotahorizontal.
4.3Continuidadenintervalos
Unbosquejodelagrácadelafunciónes:
y
f.x/Rango:
(Esprecisoobservarque
,puesperoSealafunciónh.x/
Obtenereldominio,raíceseintervalosdecontinuidad.Hallarlasecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticales.BosquejarlagrácadelafunciónPorserunafunciónracional,sudominioesf5;5Raíces:parah.x/,quesonsusdosraíces.Porserunafunciónracionalescontinuaentodosudominio;esdecir,enen.5;5/5/.5;Lafunciónesdiscontinuaenyenh.x/
2
5/.xDC1yaqueconvalorespositivosyyaque.2x,queespositivo,cuandoAnálogamente:h.x/
2C
5/.xD1yaqueconvaloresnegativosyyaque.2x,queespositivo,cuando
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Deloanteriorpodemosarmarquelarectaesunaasíntotavertical.Demanerasemejanteseobtienequelarectaesunaasíntotaverticalyademásqueh.x/D1&límh.x/DC1Tambiénsepuedenobtenerestosresultadosconsiderandoquelafunciónespar.Encuantoalasasíntotashorizontalesvemosque!1h.x/!1
!1
2
1
2D2
yqueh.x/
locualnospermitearmarquelarectaeslaúnicaasíntotahorizontaldelafunción.Unbosquejodelagrácadepuedeserasí:
y
535h.x/Delafunciónf.x/
,encontrar:Dominio,raíces,puntosdediscontinuidadysuclasicación.Lasecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontales.Elbosquejodesugráca.Dominio:vemosquef.x/
6/.x
5/.x
Así:5;2Laraízes:Discontinuidades:setieneunadiscontinuidadremovible,&límf.x/
setieneunadiscontinuidadesencialinnita,yaquelímf.x/
4.3Continuidadenintervalos
Puestoquef.x/
x
15
entoncesesasíntotahorizontal.Setienequeesunaasíntotavertical.Paraestovamosaexaminarloslímiteslaterales:x550,entonces:f.x/
x5D“
D1�x5�50,entonces:f.x/
x5D“
DC1Unesbozodelagrácadelafuncióneselsiguiente:
y
625f.x/
Delafunciónf.x/
,encontrar:Dominio,raíces,puntosdediscontinuidadysuclasicación.Lasecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontales.Elbosquejodesugráca.Tenemosf.x/
3/.x
1/.x
,siPorlotantopodemosindicarahora:Dominio:fDiscontinuidades:enexisteunadiscontinuidadremovible,yaquef.x/
xC1D5
existeunadiscontinuidadesencialinnita,yaquelímf.x/
0”
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Comof.x/
x
1C1
,paraentonces,f.x/
x
1C1
xD1
Encontramosqueesasíntotahorizontal.Calculamosloslímiteslateralesen10,obtenemosf.x/
xC1D“4
DC1�10,obtenemosf.x/
xC1D“4
D1Lagrácadelafunciónf.x/es:
y
f.x/Paralafunciónf.x/
,determinar:Dominio,raíceseintervalosdecontinuidad.Discontinuidadesysuclasicación.Asíntotasverticalesyhorizontales.Unesbozodelagráca.Dominio:pero2/.xobien
4.3Continuidadenintervalos
luego:f1;2Paracalcularlasraíces,vemosque:3/.xobienperocomo,entonceseslaúnicaraízdef.x/Lafunciónescontinuaensudominio::.1;2/2/.2;Ahora:f.x/1/.x
1/.x
,ensudominio;f.x/
x2D2
3
luego,enlafuncióntieneunadiscontinuidadremovible,yaquesideniésemos
,lafunciónresultaríacontinuaenVemostambiénque:f.x/
D1&límf.x/
DC1porloqueenlafuncióntieneunadiscontinuidadinnita.Porloanteriorinferimosqueeslaúnicaasíntotaverticaldelafunción.Paraobtenerlashorizontalescalculemosf.x/
x2DC3
x
12
xD1C0
10D1
obtenemosqueesasíntotahorizontal.Éstaeslagrácadelafunción
xy
2
f.x/
Paralafunciónf.x/
determine:Dominio,raícesyparidad.Ecuacionesdelasasíntotasverticalesydelasasíntotashorizontales.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Discontinuidadesysuclasicación.Esbozográcoyrango.Dominio:Raíces:,quesonlasraícesdeEsimparpues
.Dx21
x321
f.x/:esasíntotaverticalpuesf.x/D 1Iesasíntotahorizontalpuesf.x/
x1
Setratadeunafunciónracionalyporlotantoescontinuaensudominio.Endiscontinuidadesinnitaporlovistoenloanterior.Éstaeslagrácadelafunción
xy
f.x/
SurangoestodoParalafunciónf.x/
,determine:Lospuntosdediscontinuidadysuclasicación.Lasecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontales.Unesbozodelagráca.Comoesunafunciónracional,lospuntosdediscontinuidadsonlasraícesdeldenominadorx.xComo2/.x
4.3Continuidadenintervalos
esunpuntodediscontinuidadremovible;lovemosen:f.x/
2/.x
2/x
yen:f.x/
Porloquesideniésemosf.2/
,lafunciónresultaríacontinuaenhayunadiscontinuidadesencialinnita,pueslímf.x/D1Segúnloqueacabamosdecalcular,esasíntotavertical.Parahallarlasasíntotashorizontales,calculamosf.x/
;porloqueeslaasíntotahorizontal.Vemosqueeslaúnicaraízdef.x/,estoes,que.Lagrácadelafunciónes:
y
3
f.x/Dadaf.x/
Determinarsudominioysusraíces.Clasiquesuspuntosdediscontinuidad.Encuentrelasecuacionesdesusasíntotashorizontalesyverticales.Hagaunbosquejodesugráca.Dominio:2/.xf2;1Raíces:
1C
D1p
D15
4D1I3
Luego,laúnicaraízes
,puesenlafunciónnoestádenida.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
hayunadiscontinuidadesencialinnita,puesf.x/
2
2/.x
xC2D“1
DC1Tambiénf.x/
xC2D“1
D1Encambioenladiscontinuidadesremovibleyaquesideniésemosf.1/comof.x/
xC2D5
lafunciónresultaríacontinuaenDelovistoen(b)sedesprendequelarectaeslaasíntotaverticalycomof.x/
xC2DC3
x
1C2
xD2C0
1C0D2
obtenemosqueeslaasíntotahorizontal.Podemostabularf.0/
02C02D203
02D03
02D3
2D3
Lagrácadelafunciónes:
y
3
f.x/

Paralafunciónf.x/
,obtener:DominioypuntosdeintersecciónconelejeIntervalosdecontinuidad.Ecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontales.Bosquejográco.Comosetratadeunafunciónracional,sudominioestodoexceptolasraícesdeldenominador,esdecir,lostalesque
4.3Continuidadenintervalos
Porloqueeldominiodees:fLagrácadelafunciónintersecaalejecuandof.x/,estoes,cuandoo.2;2//.2;lafunciónescontinuadebidoaqueesunafunciónracional.Observamosquef.x/
x/.2D 1Porloquelarectaesunaasíntotavertical;pero,comolafunciónespar,larectatambiénesasíntotavertical.Ahoravemosquef.x/
x2
4
x21D10
01D1
Porloquelarectaesasíntotahorizontal.Tabulamosf.0/
Lagrácadelafunciónes:
y
112f.x/Sealafunciónf.x/
Hallareldominioylasraíces,clasicarsusdiscontinuidades,encontrarsusasíntotasverticalesyhorizontalesyhacerunbosquejodelagráca.Dominio:Raíces:3x.x3x.x1/.x0;xÉsassonlasraícesdelnumerador,perocomo,laúnicaraízdeDiscontinuidades:Lafunciónescontinuaensudominio,puesesunafunciónracional.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
ladiscontinuidadesremovible,pues:f.x/3x.x1/.x
3.x
2D
porloque,sideniésemos,entoncesresultaríacontinuaenladiscontinuidadesesencialinnita,pues:f.x/3x.x1/.x
3.x
D1IAsíntotas:Sevequeesunaasíntotaverticalyademásf.x/
4Cx3D
x3
x3
1C1
xD00
1C0D0
porloqueesasíntotahorizontal.Unbosquejodelagrácadees:
y
f.x/Paralafunciónf.x/
,determine:Dominioyraíces.Intervalosdecontinuidad.Puntosdediscontinuidadysuclasicación.Asíntotasverticalesyhorizontales.Esbozográcoyrango.Porserunafunciónracionalsudominioes3/.xfParaquef.x/,esnecesarioque3/.xobienqueEsdecir,f.x/seríayen,peronoestáeneldominiode;porlotantotienesolamenteunaraízquees
4.3Continuidadenintervalos
Discontinuidad:Porserunafunciónracionalescontinuaentodosudominio:fEsdecir,escontinuaenlosintervalosEstafuncióntienediscontinuidadesenyenf.x/3/.x
3/.x
xC1DD32
3C1D5
2D5
tieneenunadiscontinuidadremovible;f.x/3/.x
3/.x
xC1D“3
Porlocuallímf.x/noexiste.Estoes,tieneenunadiscontinuidadesencialinnita.Asíntotasverticales:Cuandof.x/
DC1Iyaque30con10Cuandof.x/
D1Iyaque30con&#x-110;10Luego,larectaesunaasíntotaverticalyademáseslaúnica.Asíntotashorizontales:f.x/
xC1D12
x
x1C1
xD2
x
1C1
xD1
Tambiénlím!1f.x/PorlotantolarectaeslaúnicaasíntotahorizontaldeLagrácadees:
y
5
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Elrangodelafunciónes:;1/
2[5
2;IRfDR
Observeque
,puesf.x/
2,x2Cx6
x2C3D5
peroAnálogamente,puesf.x/
3.x,peroParalafunciónf.x/
,determine:Dominioyraíces.Puntosdediscontinuidadysuclasicación.Asíntotasverticalesyhorizontales.EsbozográcodeDominio:f.x/
f2;2Lasraícesdef.x/2.x2.x2/.xobienpero,porloquecualtienesólounaraízqueesPorserunafunciónracional,escontinuaentodosudominiof2;2Tienediscontinuidadesenyenf.x/
2.x2/.x
2/.x2.x
2
22D
4D6
4D3
entoncestieneenunadiscontinuidadremovibleoevitable.f.x/2.x
noexiste,
4.3Continuidadenintervalos
yaquelím–2.x1/&lím,entonces2.x
2!“2
,porloquef.x/DC1obienTieneenunadiscontinuidadesencialinnita.Paralasasíntotasverticalespensamosenlarecta.Paracorroborarlocalculamosloslímiteslateraleslímf.x/&límf.x/,entoncesx220Comolím2.x&#x-110;20&lím2.x
D1,entonces�x2�20Comolím2.x�20&lím2.x
DC1Porlotantolarectaesunaasíntotaverticaldeyademáseslaúnica.Paralasasíntotashorizontalescalculamosloslímitesenelinnito.!1f.x/!1
!1
x
x12
!1
x
12
xD2
Tambiénlímf.x/Larectaesunaasíntotahorizontaldeyademáseslaúnica.Unbosquejodelagrácaes
y
f.x/

CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Paralafunciónf.x/
,determinar:Dominioyraíces;intervalosdecontinuidadytipodediscontinuidades;asíntotasverticalesyhori-zontales;dibujarlagráca.Dominio:f.x/
Perocomo3/.xobienobienentoncesfRaíces:Paraquef.x/,esnecesario2x.xobienobienAparentementesonraícesde,perodebidoaque,entoncestienesólounaraízqueesIntervalosdecontinuidadytipodediscontinuidades.Porserunafunciónracional,escontinuaentodosudominiofEsdecir,escontinuaenelconjuntoo.3;2/[.2;C1/.EntoncestienediscontinuidadesenyenVeamosquétipodediscontinuidadesson:f.x/
2x.x
3/.x
C2D
3C2D6
Entonceslímf.x/,porlocualladiscontinuidadquetieneenesremovibleoevitable.f.x/
C2D“4
Entonceslímf.x/noexisteporloqueladiscontinuidadesesencialyademásinnita.Asíntotasverticalesyhorizontales.Unaposibleasíntotaverticaleslarecta,porlocualprecisaremosloslímiteslateraleslímf.x/&límf.x/f.x/
C2D“4
,entonces202x0
4.3Continuidadenintervalos
porloque
y,porlomismo,
!C1;luego:f.x/DC1If.x/
C2D“4
,entonces�202x0:Porloque
y,porlomismo,
!1,entonces,límf.x/D1Conlocualpodemosarmarquelarectaeslaúnivaasíntotavertical.Paradeterminarlasasíntotashorizontales,calculamoslím!1f.x/&límf.x/!1f.x/!1
!1x.2/
1C2
!1
1C2
xD2
Porlotantolarectaeslaúnicaasíntotahorizontal,yaquedeigualmanerasepuedevericarquelímf.x/Unesbozodelagrácade
xy
f.x/Paralafunciónf.x/
x2C1
,determine:Dominio,raícesyparidad.Clasicacióndediscontinuidades.Ecuacionesdelasasíntotasverticalesyhorizontales.Esbozográcoyrangode
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Dominio.Porserunafunciónracional,sudominioesRaíces:f.x/
Paridad:f.x/
x2C1
x3)1
.C1
.D1
x21
f.x/
x2C1
x3
x21
Luego,f.x/,puessiigualamos
x21
x3
x21
ymultiplicamosporlocualesabsurdo.Tambiéndirectamentepues,porejemplo,f.1/Porlotantonoesparnitampocoesimpar.Porserunafunciónracionalescontinuaentodosudominio.Estoes,continuaenelconjunto;0//.0;EntoncestieneunadiscontinuidadenComolím&lím,entonceslím
.Esdecirladiscontinuidadesesencial;puededecirsetambiénqueladiscontinuidadesinnita.Precisamoslímf.x/determinandoloslímiteslaterales:f.x/
x3D“1
D1Puestoque,entoncesx0†.5;10Como1/†.5;0,entonces
,porloque
!1Porotrolado:f.x/
x3D“1
DC1Puestoque,entonces�x0�10Como1/�0,entonces
,porloque
!C1Deloanteriorsedesprendequelarectaesunaasíntotaverticalyqueademáseslaúnica.Ahorabien,f.x/
x2C1
Larectaesunaasíntotahorizontalyademáseslaúnicapues!1f.x/!1
!1
x
!1
x
x2D“1
”D
4.3Continuidadenintervalos
Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/
ElrangodeestodoParalafunciónf.x/
,determinar:dominioyraíces;intervalosdecontinuidadytipodediscontinuidades;asíntotasverticalesyhorizontales;esbozarsugráca.Dominio:2/.xfRaíces:Parahallarlasraícesseresuelve;como4/.x,seveque;perocomo,laúnicaraízdeContinuidad:Lafunciónporserracionalescontinuaensudominio,esdecir,enn.2;2//.2;Calculamosf.x/4/.x
2/.x
D 1Pueslím�20&límAsíntotas:Analizandoellímiteanterior,ladiscontinuidadenesesencialinnita,yentonceslarectaesasíntotavertical.Análogamentef.x/
xC2D6
4D3
porloqueladiscontinuidadenesremovible,pues,sisedeniesef.2/
,entoncesf.x/resultaríacontinuaenYahora:
x24D21C2
x8
x2
x214
x2DC2
x8
x2
14
x2D1
Porlotantolarectaesasíntotahorizontal.Lagrácadelafunciónes:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/

Sealafunciónf.x/
Encontrareldominioylasraíces;clasicarsusdiscontinuidades,encontrarsusasíntotasverticalesyhorizontales;ademáshacerunbosquejodelagráca.Dominio:porserunafunciónracionalsudominioes:0;1Raíces:f.x/asícomotambiénPerocomo,entoncessóloesraíz.Discontinuidades:Porserunafunciónracionalescontinuaentodosudominio0;1,porloquediscontinuaenyenParaaveriguarlostiposdediscontinuidadescalculamosf.x/
x3x2D!0x2
2!0xC3
x1D3
Porlocualtieneenunadiscontinuidadremovibleoevitable.f.x/
x1D“4
noexiste.Cuando,sucedeque�40yqueconvaloresnegativos;porlotanto
x1D“4
D1;entonceslímf.x/D1Cuando,sucedequeyqueconvalorespositivos;porlotanto
x1D“4
DC1;entonceslímf.x/DC1Porlocualtieneenunadiscontinuidadesencial,másaún,unadiscontinuidadinnita.Asíntotas:AsíntotasverticalesDebidoaquelímf.x/D1yaquelímf.x/DC1,sepuedearmarquelarectaesunaasíntotaverticaldelafunción.Ademáseslaúnica.Asíntotashorizontales
4.3Continuidadenintervalos
Vemosquelímf.x/
x3x2D33
x/
x31
x/DC3
x
11
xD1
Entonceslarectaesunaasíntotahorizontalyeslaúnica,yaquelím!1f.x/Elbosquejodelagrácadelafuncióneselsiguiente:
y
f.x/Paralafunciónf.x/
,realicelosiguiente:Determinesudominioyraíces.Mencionesustiposdediscontinuidad.Encuentrelasecuacionesdelasasíntotashorizontalesyverticales.HagaunesbozodelagrácadeDominio:PeroPorloquefRaíces:Parahallarlasraícesseconsideracuandof.x/,estoes,cuando4x.xycuandoPerocomo,entonceslaúnicaraízesSesabequef.x/
4x.x
2/.xSecalculaf.x/
4x.x
2/.x
C2D8
Porloqueen,lafuncióntieneunadiscontinuidadremovible,yaque,sisedeniesef.2/,lafunciónresultaríacontinua.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Porelcontrariocomof.x/
4x.x
2/.xD 1–4x.x2/ylím–.x2/.x2/yaqueylímLadiscontinuidadenesesencialinnita.Porlosresultadosobtenidosenelincisoanteriorf.x/D 1seconcluyequelarectaesasíntotavertical.Parahallarlasasíntotashorizontalessedeterminaf.x/
24D248
x
x214
x2DD8
x
14
x2D40
10D4
Entonceslarectaesasíntotahorizontal(laúnica).Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/Paralacurva
,obtener:dominio,raícesyparidad;intervalosdecontinuidad,discon-tinuidadesysuclasicación;asíntotasverticalesyhorizontales.Dominio:Porserf.x/
unafunciónracional,sudominioesf1;1Raíces:f.x/
x21D0,D0,x2D0,xD
4.3Continuidadenintervalos
Paridad:
.1D
f.x/esunafunciónpar.Intervalosdecontinuidad,discontinuidadesysuclasicación:Porserunafunciónracional,escontinuaentodosudominiof1;1.Esdecir,continuaenelconjuntoo.1;1/1/.1;EstafuncióntienedosdiscontinuidadesenyenParadecidirquétipodediscontinuidadessonvemossiexistenonolímf.x/&límf.x/Enamboscasosnotamosqueeldenominadoryqueelnumerador,porlocual
x21!“2
Esdecir,límf.x/&límf.x/noexisten,entonceslasdiscontinuidadessonesenciales,másaún,nitas.Asíntotasverticales:Deloanteriorpodemosdecirquelasrectassonasíntotasverticales.Determinaremosloslímiteslaterales:,entonces0x110
,porlocual
!1;esdecir,límf.x/D1,entonces�x1�10
,porlocual
!C1;esdecir,límf.x/DC1Aúnmás,porlasimetríadelagrácadeconrespectoalejedelasordenadas(espar),sepuedeasegurarquef.x/f.x/DC1If.x/f.x/D1Asíntotashorizontales:f.x/
x21D
x211
x2DD
11
x2D2
Estoimplicaquelarectaesunaasíntotahorizontal.Ademáseslaúnica,yaqueporlaparidadsetienequelím!1f.x/Lagrácadelafunciónes:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Dadalafunciónf.x/
obtenga:Dominioyraíces;intervalosdecontinuidadypuntosdediscontinuidad(clasicados);asíntotasver-ticalesyhorizontales.Dominio:Pero,
1C
D1p
D15
4D13
entonces
Parahallarlasraícesresolvamos:
D7p
1
4D71
4D3
Lasraícesserían
ytambién;perocomo
,entonceslaúnicaraízesLafunciónescontinuaensudominio:
2[3
.1;;esdiscontinuaen
.Ahoracomo
f.x/
22xC3
2
xC3
2
2xC2
x1D3
2C2
3
21D3C4
2
32
2D1
5
5;
ladiscontinuidadnoesesencial,esremovible,adiferenciadeloqueocurreen,puesahí:f.x/
D1IPorloqueladiscontinuidadenesesencialinnita,ylarectaesasíntotavertical.Paradeterminarlasasíntotashorizontalescalculamos:f.x/
x1D1C2
x
x11
xDC2
x
11
xD1
1D
4.3Continuidadenintervalos
Entonceslarectaesasíntotahorizontal.Lagrácadelafunciónes:
y
f.x/
2;1
Hallardóndeescontinualafunciónh.x/
xC
x3
1;xEnelúnicopuntodondehaydudaesen;luego,calculamoslímh.x/yobservamosqueh.x/
xC
x3
x1D
x.x3.x
1/.2x
xC
,entoncesporloanteriorh.x/
Porloqueh.x/.2x
xC21p
Comprobamosquelafunciónresultacontinuaen,pueslímh.x/h.1/Tambiéncomprobamosqueresultacontinuaentodosudominioqueeselintervalo–0;Silarepresentacióngrácadeunafunciónes:
y
f.x/Hallarsudominio.Encontrarademáslossiguienteslímites:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.x/!1f.x/f.x/iv.f.x/f.x/ParaObtenerlasasíntotashorizontalesyverticales,losintervalosdecontinuidadylaclasicacióndelasdiscontinuidadesDominio:0;4Límites:f.x/!1f.x/D1If.x/iv.f.x/f.x/,noexiste,puesloslímiteslateralessondiferentes;vi.f.x/vii.f.x/viii.f.x/queesellímitelateraldetantoporlaizquierdacomoporladerecha;ix.f.x/DC1f.x/D1xi.f.x/noexiste;Deaquísesiguequelarecta(elejedelas)eslaúnicaasíntotahorizontalyquelaúnicaasíntotavertical.Lafunciónf.x/escontinuaen2;0/.0;4/yen.4;hayunadiscontinuidad(esencial)desalto,enladiscontinuidadesremovibleyenladiscontinuidadtambiénesesencialpuesesinnita.49.a.Darunaposiblegrácaparaunafunciónqueseacontinuaensudominiof2;0;2yquesatisfagalascondiciones:!1f.x/f.x/DC1If.x/iv.f.x/f.x/DC1Ivi.f.x/D1Ivii.f.x/viii.f.x/ix.f.1/Clasiquesusdiscontinuidades.Unaposiblegrácadelafuncióneslasiguiente:
y
212
4.3Continuidadenintervalos
Discontinuidades:setieneunadiscontinuidadesencialdesalto.setieneunadiscontinuidadesencialinnita.setieneunadiscontinuidadevitableoremovible.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
CAPÍTULO
Laderivada5.1LarectatangenteEjercicios5.1.1Lafuncióntienelasiguientetabladevalores:
h.x/
2:99
769:605
2:995
795:755
2:999
816:801
822:08
3:001
827:366
3:005
848:58
3:009
869:907
CalculelapendientededosrectassecantesalagrácadequepasenporelpuntoP–3;h.3/SeaSunarectasecantequepaseporunpunto;h.xconTomamoslaotrasecanteSquepaseporunpunto;h.xconConsideramosqueSpasaporlospuntos.2:999;816:801/.3;822:08/.Lapendientedees:822:08816:801
2:9995:279
0:0015279:ConsideramosqueSpasaporlospuntos.3:001;827:366/.3;822:08/.Lapendientedees:827:366822:08
3:0015:286
0:0015286:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lafuncióntienelasiguientetabladevalores:
h.x/
1:9
20:9701
1:99
26:3638
1:999
26:936
2
2:001
27:064
2:01
27:6438
2:1
33:7901
Calculelapendientededosrectassecantesalagrácadequepasenporelpunto2;h.2/ConsideramosunarectasecanteSquepaseporlospuntos2;h.2//;h.x,yotrasecantequepaseporlospuntos2;h.2//;h.x,donde2:011:99Lapendientedelarectasecanteh.x
27:6438
2:010:6438
0:0164:38:LapendientedelarectasecanteSh.x
26:3638
1:990:6362
0:0163:62:Lagrácadelafunciónf.t/pasaporlospuntos–1:999;f.1:999/–2:001;f.2:001/Obtengaelvalordelapendientedelasdosrectassecantesalagrácadequepasanporelpunto.2;3/yporlospuntosdados.Efectivamente,.2;3/,puesf.2/2.2/f.1:999/
1:9993:9960013:998
0:001.3:001999/
0:0010:001999
0:0011:999f.2:001/
2:0014:0040014:002
0:001.2:997999/
0:0010:002001
0:0012:001:Larectatangentealacurvaenelpunto1;1/tienependiente3.ObtenerlasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurvaenelpuntoLafunciónesf.x/P.x;f.x1;1/f.xLapendientedelarectatangenteLapendientedelarectanormal
mt
3.
5.1Larectatangente
Laecuacióndelarectatangentees:f.x3.xobienLaecuacióndelarectanormales:f.x
3)y
3x1
3C1)y
3xC2
obienLarectanormalalacurva
enelpuntoQ.1;2/tienependiente
.DeterminarlasecuacionesdelasrectasnormalytangentealacurvaenelpuntoLafunciónesg.x/
;g.xQ.1;2/g.xLapendientedelarectanormal
Lapendientedelarectatangente
Laecuacióndelarectanormales:g.x
2)yD1
2x1
2C2)yD1
2xC3
obienLaecuacióndelarectatangentees:g.x2.xobienLarectatangentealacurvaenelpuntoR.1;tienependientecero.ObtenerlasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurvadadaenelpuntoPortenerpendiente,larectatangenteesunarectahorizontal;yporpasarporelpuntoR.1;,suecuaciónesPorserhorizontallarectatangente,larectanormalesvertical;yporpasarporelpuntoR.1;suecuaciónesLarectanormalalacurvaenelpuntodeabscisa2esvertical.Determinarlasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurvadadaenelpuntof.x/ysi,entonceslaordenadadelpuntof.x.2/4.2/porlocualP.x;f.xP.2;0/PorserverticallarectanormalyporpasarporelpuntoP.2;0/,suecuaciónesPorserverticallarectanormal,larectatangenteeshorizontal(conpendiente0);yporpasarporelpuntoP.2;0/,suecuaciónes
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Obtenerlasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurvaenelpunto1;2/Lafunciónesf.x/1;2/P.x;f.xf.xLapendientedelarectatangentealacurvaenes:f.xf.x
hD!01C
DD!032
hD!032
hDD!03h2C12
hD!0h2
h.2
Laecuacióndelarectatangentees:f.x2.xobienLapendientedelarectanormal
mt
Laecuacióndelarectanormales:f.x
2)y
2x1
2C2)y
2xC3
obienDeterminarlasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurvaenelpuntoabscisa1.Lafunciónesf.x/LaabscisadelpuntoLaordenadadef.x3.1/6.1/Lapendientedelarectatangentealacurvaenes:f.xf.x
f.1f.1/
3.16.1
DD!03C63
hD!0
.3h/Larectatangenteesunarectahorizontal;ydebidoaquepasaporelpuntoQ.1;,suecuaciónesAdemás,larectanormalalacurvaenQ.1;esunarectaverticalcuyaecuaciónes
5.2Laderivadadeunafunción
5.2LaderivadadeunafunciónEjercicios5.2.1h.x/
p
.Usandoladenicióndeladerivada,calcular.a/Calculartambién,usandoloanterior,.0/asícomo.8/Calculamoselcocientediferencial:h.x/h.a/
aD3
p
23
p
2
xaDD3p
2p
2
p
2p
2
xaDp
2p
2
p
2p
2.x
2p
2
p
2p
2.x
2Cp
2
p
2Cp
.3x.3a
2p
2.xa/.
2Cp
xa
p
2p
2.xa/.
2Cp
1
p
2p
2Cp
Porloque:.a/h.x/h.a/
aDD!a91
.p
2/.
2/.
2Cp
1
.p
.2/
2D
21
.3a
Hemosobtenido,porlotanto,queentodopunto:–a;h.a/
p
,con
,pues
,delagrácadelafunción,lapendientedelarectatangentevale.a/
21
.3a
Concluimosconestoque.x/
21
.3x
22
Usandoesteresultado:.0/
21
23
2
4p
.8/
21
3
2

CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Utilizandolaregladeloscuatropasos,calcularladerivadadelafunciónf.x/
Da.D2.
Obtenerademás:LaecuacióndelarectatangentealagrácadeenelpuntodeabscisaLaecuacióndelarectanormalalagrácadeenelpuntodeabscisa
f.x/
f.a/
f.x/f.a/
4
3xa4.a
3ax
1
.y/
4.a
3ax4.a
a/3ax
4.a
3ax.x4.x
3ax.x
3ax
3aa
Porlotanto:.a/
.2/
3.2/
.2/
3.02
3D4
32
32
39
4)f02
LaabscisadelpuntoLaordenadadelpuntof.2/
3.2/
Lapendientedelarectatangenteen.2/
Laecuacióndelarectatangenteenes:f.2/
3
3y
3xC2
3C2
3))y
3xC4
obienLaabscisadelpunto
Laordenadadelpunto
3D4
32
Lapendientedelarectatangenteen
Lapendientedelarectanormalen
mtD1
3D1
3.
5.2Laderivadadeunafunción
Laecuacióndelarectanormalenes:
3DmnxC2
3)yC2D1
3xC2
3)yD1
3xC2
92))yD1
3x
obienParalafuncióng.x/
,ymediantelaregladeloscuatropasos,determinar:.a/
.3/Obtenerademás:Laecuacióndelarectatangentealacurva
enelpuntodeabscisa
Laecuacióndelarectanormalalacurva
enelpuntodeabscisag.x/
g.a/
yademásg.x/g.a/
1p
1;
p
1p
1
xa.0
D!ap
1p
1
xaD!a.p
1p
1/.
1Cp
a/.
1Cp
.2x.2a
a/.
1Cp
2.x
a/.
1Cp
D!a2
p
1Cp
1D2
p
1Cp
1D2
2p
1D1
p
Porlotanto:.a/
p
,para
2.05
2D1

25
2/1D1
p
4D1
2)g05
2D1
.3/

2.3/
p
.3/
p
Laabscisadelpunto
Laordenadadelpunto
2D
25
21Dp
Lapendientedelarectatangenteen
2D1
Laecuacióndelarectatangenteenes:
2Dmtx5
2)y2D1
2x5
2)yD1
2x5
4C2))yD1
2xC3
obien
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
LaabscisadelpuntoLaordenadadelpuntog.3/
2.3/
Lapendientedelarectanormalen
mtD1
.3/
1
p
5
Laecuacióndelarectanormalenes:g.3/
5
5.x
3p
5Cp
5))y
4p
obien
y4p
5.3VelocidadinstantáneaEjercicios5.3.1Siselanzaverticalmenteunobjetohaciaarribadesdeelniveldelsueloconunavelocidadinicialdepies/s,entoncessudistanciaarribadelsueloestádadaporh.t/16t320t:Encuentrelasvelocidadespromediodurantelosintervalos–3;4;–3:5;4;–4;5;–4;4:5Calculev.4/,usandoladenicióndeladerivada.Lafunciónposiciónesh.t/16t320t,conLavelocidadpromedioenelintervalo–3;4es:
h.4/h.3/
1024
D
pies/s.Lavelocidadpromedioenelintervalo–3:5;4es:
h.4/h.3:5/
3:51024
0:5
pies/s.Lavelocidadpromedioenelintervalo–4;5es:
h.5/h.4/
12001024
D
pies/s.Lavelocidadpromedioenelintervalo–4;4:5es:
h.4:5/h.4/
4:511161024
0:5
pies/s.Siendoasí,v.4/h.t/h.4/
16t320t/1024
16.t20t
16.t4/.t
16.t16/16.4192:Entonces:v.4/pies/s.
5.3Velocidadinstantánea
Enunmovimientorectilíneo,laposicióndeunapartículaalossegundosess.t/EncontrarlavelocidadpromedioenelrecorridoefectuadoentrelosylosEncontrarlavelocidadinstantáneaaloss.Obtenerlamedianteladenicióndeladerivada.Vemosque
s.5/s.3/
3D5235C3233C
D
unidades/s.Calculamoselcocientediferencialens.t/s.3/
3D1
3D9
(*)Sitratamosdecalcularellímiteporevaluación,obtenemosunaindeterminacióndeltipo
locualnosdicequeesundivisordelpolinomiodelnumerador.Hagamosladivisión
9C
9
Sustituyendoens.t/s.3/
3/.2t
,si,esdecir,siEntonces:v.3/.3/s.t/s.3/
.2tunidades/s.Enunmovimientorectilíneo,laposicióndeunautomóvilalashorases:s.t/50t
km.¿Cuáleslavelocidadpromediodurantelas2primerashoras?¿Cuáleslavelocidadinstantáneaalas2horas?Obtenerlamedianteladenicióndeladerivada.Lavelocidadpromediosecalculacomo
s.2/s.0/
0D7
3.
D7
3C7
2DD7
3
2D
52:
km/h.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calculamoselcocientediferencials.t/s.2/
50t
tC1
150t.t293.t
3.t
150t150t
3.t1/.t150t
3.t1/.t(*)Sitratamosdecalcularellímiteporevaluacióncuando,obtenemosunaindeterminación
.Estosignicaqueesundivisordelpolinomio150tHagamosladivisión:150t
150t150t300t
157t157t
Sustituyendoens.t/s.2/
.150t157/.t
3.t1/.t150t
3.t,si,esdecir,siCalculandoellímitev.2/.2/s.t/s.2/
150t
3.t
D
D
km/h.Uncaracolbajaporunapared.Suposiciónalashorasestádadapors.t/0:2
m.Usandolanicióndeladerivada,calcularsuvelocidadinstantáneaparaLavelocidadmediadelcaracolenlascercaníasdevienedadaporelcocientediferencialdelafuncións.t/s.t/s.4/
0:2
0:2
0:2
0:2.2/
0:2.
t
0:2
t2
t4
tC2
p
0:2
4/.
0:2
p
0:2
,paraTenemosentoncesquelavelocidadinstantáneaenelmomentovienedadapor:s.t/s.4/
0:2
0:2
0:2
0:2
0:05:Locualnosdicequeelcaracolenelinstanteseestámoviendohaciaabajo(enladirecciónnegativadeleje)conunavelocidadde0:05m/h.Sedejacaerunapelotadesdeloaltodeunedicio;laposicióndelapelotaeneltiempoes:s.t/78:44:9t
5.3Velocidadinstantánea
Calculelavelocidadinstantáneaeneltiempo,usandoladenicióndeladerivada.CalculelaposicióndelapelotaenDéunainterpretacióndesuresultado.Tenemoss.478:44:9.478:44:9.1678:478:439:2h4:9h39:2h4:9hs.4/78:44:9.478:44:9.16/78:478:4s.4s.4/39:2h4:9h39:24:9h/s.4s.4/
39:24:9h/
39:24:9hs.4s.4/
39:24:9h/39:24:9.0/39:239:2:Quenosindicalavelocidaddelapelotaenelinstantes.4/,yacalculadoenelinciso(a),eneseinstantellegaalsuelo.Alllegaralsuelolapelotatieneunavelocidadde39:2Unhelicópteroseestáelevandoverticalmentedesdeelsuelo.Ladistanciadelhelicópteroalsuelosegundosdespuésdeldespegueess.t/metros,dondes.t/¿EnquéinstanteseencuentraelhelicópteroaUseladenicióndeladerivadaparadeterminarlavelocidadinstantáneadelhelicópterocuandoésteseencuentraas.t/5/.tobienLuego,s.t/metroscuandosegundos,yaquesedesechaporsernegativo.Lavelocidadinstantáneaenes:v.4/s.4s.4/
–.4h/
DD!0h2C4Ch
D!0h2
h.9
Esdecir,v.4/m/s.Unobjetoselanzahaciaarribasegúnlaleydemovimiento:s.t/4:9tdondes.t/denotalaposiciónenmetrosdelobjetoalossegundos.Calcularlavelocidadinstantáneadelobjetoalos
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calculamoselcocientediferencialdelafuncións.t/eneltiempos.t/s.2/
.15t4:9t.154:9
15.t4:9.t
15.t4:9.t2/.t
2/–154:9.t2/
4:9.tparaEstaexpresiónrepresentalavelocidadmediaparavaloresdecercanosaLavelocidadinstantáneadelobjetoalos2segundossecalculamediante.2/s.t/s.2/
4:9.t2/4:9.4/4:6m/s.Selanzaunapelotaalairedesdeunpuente.Laposicióndelapelotaeneltiempoestádadapory.t/16t50t36:¿Cuáleslaalturadelpuente?¿Cuáleslavelocidadinstantáneadelapelotacuandoseencuentraapiessobreelsuelo?Yaquey.t/eslaposición,medidaenpies,delapelota(conrespectoalsuelo)enelsegundo,entonceslaalturadelpuentees,precisamente,y.tpies.Lavelocidadinstantáneaenes:v.t/
y.t/
16t50ts.ts.t/
16.t50.t16t50t
32th
32t
32t32tpies/s.Lapelotaestáapiessobreelsuelocuandoy.t/y.t/16t50t16t50t
.25/8/.
p
9
)t1D9

1&t2D9

2:125esdecir,lapelotaestáapiessobreelsueloenlosinstantes2:125Lasvelocidadesenesosinstantesson:v.t32t32.1/pies/s.v.t2:125/32t32.2:125/pies/s.Estoes,pies/s(desubida)&pies/s(debajada).
5.3Velocidadinstantánea
Eldesplazamientoenmetrosdeunapartículaquesemueveenlínearectaestádadopors.t/10;dondeeltiemposemideensegundos.Calculelavelocidadinstantáneaeneltiempousandoladenicióndeladerivada.DeterminelavelocidadinstantáneacuandolaposicióndelapartículaesLavelocidadinstantáneaes:v.t/s.ts.t/
s.t/s.t6.t2ths.ts.t/2ths.ts.t/2thh.2tv.t/s.ts.t/
h.2t
.2t.2tm/s,queeslavelocidadinstantáneaencualquierinstantePrimerodeterminamoselinstanteenques.t/s.t/t.tobienobienLuegocalculamoslasvelocidadesenestosinstantes2.0/.0/m/s;2.6/.6/m/s.Selanzaunapelotahaciaarriba.Lafuncióndeposicióndelapelotaeneltiempoes:s.t/10tCalculelavelocidadinstantánea.v/eneltiempousandoladenicióndeladerivada.CalculelaposicióndelapelotaenelinstanteDéunainterpretacióndesusresultados.Vemosques.t/10t
4D51
41
42D5
41
D5
45
8D5
8Is1
4ChD51
4Ch1
4Ch2D5
4C1
2
4hCh2DD5
4C5
8D5
8Is1
4Chs1
4D5
85
s.1=4s.1=4/
D!0
10h/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lavelocidadinstantáneaen
Laposiciónen
41
4D5
Seinerequelaposiciónen
eslaalturamáximadelapelota,yaquesuvelocidadinstan-táneaen
LaleydeNewtondelagravitaciónarmaquelamagnituddelafuerzaejercidaporuncuerpodesobreotrodemasaes:GmM
dondeeslaconstantegravitacionalydondeesladistanciaentreloscuerpos.Siloscuerposseestánmoviendo,encuentre
yexpliquesusignicado.SupongaquesesabequelaTierraatraeunobjetoconunafuerzaquedisminuyearazóndeN/km,cuando20000km.¿Conquérapidezcambiaesafuerzacuando10000km?Calculamos:
GmM
GmM
2
GmM
GmM2rh
GmM
GmM
2GmM
Porunladotenemos
20000yporotro
200002GmM
.20000/luego,2GmM
.20000/GmM.20000/porloque
10000.20000/
.10000/N/km
5.3Velocidadinstantánea
Siselanzaverticalmenteunobjetohaciaarribadesdeelniveldelsuelo,conunavelocidadinicialdepies/s,entoncessudistanciaarribadelsuelodespuésdesegundosestádadaporh.t/16t320t:¿Paraquévaloresdeelobjetoestaráamásde1536piessobreelsuelo?Calculev.4/usandoladenicióndevelocidadinstantánea.¿Aquévelocidadimpactarácontraelsueloyenquémomento?Secumplelacondiciónsi:h.t/�153616t320t�153616t320t1536�016.t20t96/�020t960:Primeroresolvemoslaigualdad20t
4.96/
Dp
Dp
D4
2))t1D4
2D
Dt2D4
2D
Debidoaquelavariablerepresentaeltiempo,debemosconsiderarque.Estonosllevaagenerarlosintervalos–0;8/.8;12/.12;,enloscualesveremoselsignode20t
Valordeprueba
20t
t8
D5
21�0
8t12
D
40
12t
tD
96�0
Ladesigualdad20t960secumplepara8t12Luego,elobjetoestaráporencimadelos1536pies,cuando8t12Suvelocidadenelinstantesegundoses:v.a/h.t/h.a/
16t320t/320a/
16t320t320a
16.t320.t
16.ta/.t320.t
16.ta/–.t
16.t20/16.a16.2a32av.a/32apies/sPorlotanto,parav.4/32.4/pies/sElimpactocontraelsuelo:h.t/16t320t16t.t16tobienobienv.a/32av.0/pies/shaciaarriba.v.20/32.20/v.20/pies/shaciaabajo=velocidadconlaqueelobjetochocacontraelsuelo
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Siselanzaunapelotaverticalmentehaciaarribaconunavelocidaddem/s,entoncessualturadespuésdesegundoses:s.t/25t:Determineeldominiodelafunción.¿Paraquévaloresdelapelotaseencuentraamásdemdelsuelo?¿CuáleslavelocidaddelapelotacuandoestáaLafunciónalturaodeposiciónconrespectoalsueloes:s.t/Eldominiodeestafunciónes:s.t/5t.–0;5:Secumplesi:s.t/�3025t�3030�05.t6/�0602/.t3/0:Desigualdadquesecumplecuando20&#x-110;30obien&#x-110;2030t2w.5;t3obienw.5;t2t3t2w.5;t3obien2t3:Yaquenohaytalesquet2ā.;pt3,entoncesladesigualdadsecumplesólocuando2t3Porlotanto,ladesigualdads.t/&#x-110;30secumplecuando,ysólocuando,2t3Primerodeterminamoslosinstantesenquelapelotaestámetrosarribadelsuelo.s.t/5.t1/.tobienLuegocalculamoslavelocidadintantáneadelapelotaencualquierinstantev.t/
s.t/
25t/s.ts.t/
5.t25.t25t/
5.t2th
10th
10t10tFinalmente,obtenemosv.1/v.tv.4/v.tv.1/10.1/v.1/m/sv.4/10.4/v.4/m/sElsignopositivodev.1/m/snosindicaquelapelotavahaciaarribayelsignonegativov.4/m/snosdicequelapelotasedirigehaciaabajo.
CAPÍTULO
Reglasdederivación6.1ReglasbásicasdederivaciónEjercicios6.1.1Utilizandoreglasdederivación,calcularladerivadadelasfuncionessiguientes:f.x/.x/
2.1/3.2x/4.3x.x/g.x/

3C
69
.x/

3C
69
2DD3
.10x
.6x
.3x
h.t/
3
C4
5
.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
.t/
2
3
C4
5
DDd
2
3t13
4t2C4
5t35
6t4DD2
3.t2/3
4.3/C4
5.4/5
6.5/D
C3

5tC
3t:D4p
x363p
x4C84p
x5.H
d
4p
x363p
x4C84p
x5
D4d
3=2
4=3
5=4
1=2
1=3
1=4
x83p
xCp
D1
p
y1
3p
y1
4p
y.H
d
1
p
y1
3p
y1
4p
yDd
1=21=31=4
3=2
4=3
5=4
3=2
4=3
5=4
2
y3C1
33
y4C1
44
y5:D5
6p
y.H
d
5
6p
yDd
3
6y21
24
6y11
2C5
1=2
1
3=2
1=2
1=2
23
1=2
31
1=2
61
3=2
1=2
1=2
3=2
4p
y1
3p
y5
y3:
6.1Reglasbásicasdederivación
Odirectamente:
5
6p
.6y4/6y
21
.3y
36y36y
24y
2
2C
15y
2
36y27y
2
15y
2
36y
21
23
2
D3
4p
y1
3p
y5
y3:Dx1
xC1
x2
x1
p
x.Hy0Dd
1
xC1
x2
x1
p
xDx1
xC1
x2d
1=21=2
x1
p
xd
xx1Cx2DDx1
xC1
x2
1=2
3=2
x1
p
x1Cx23DDx1
xC1
x2
2p
xC1
2p
x3Cp
x1
p
xC1
x22
Oefectuandoelproductoprimero:
2x1
2/DDx3
2x1
2x1
2Cx3
2Cx3
2x5
2DDx3
2x1
2x1
2C3
2x5
Yderivamosdespués:
3
2x1
21
2x1
2C1
2x3
25
2C5
2x7
2DD3
2p
x1
2p
xC1
2p
x33
p
x5C5
2p
x7:DC.Hz0Dd
CDDCd
Cd
CDDCd
Cd
.6x.6x.6x6x/.6x
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
D1Ct3
1t3.H
d
1Ct3
1t3Dt3/d
t3/t3/d
t3/
/.3t
t3/2DDt3C1Ct3/
t3/2D
t3/2:D
2C4.H
d
4/.2/.2x/.2x/
.xCDDC8
CDC8
2.4
C:D2
9.H
d
2
.4u9/.3/.3u2/.8u/
.4u12u24u16u
.4u12u16u
.4u12u16u
.4u
w2wC1.H
dwd
1
1/.0/1.2w
wCDD1
wCD1
6.2RegladelacadenaEjercicios6.2.1Utilizandoreglasdederivación,calcularladerivadadelasfuncionessiguientes:.3x
d
.3x5.3x
.3x5.3x.3/.4x.3x
6.2Regladelacadena
DtC1
tH
dtd
tC1
ttC1
t9d
t1/DDtC1
t9t2/DtC1
t911
t2:D4
1y2.H
d

1y2D4d
1=2
1=2
y2/DD2
1=22y/
1y2:D5
.3u
d
5
.3u
5.3u
.3u2/.3u
.3u
.3u.6u/60u
.3u
3
y52.H
d
6
3
y52Dd
6.y1=3
1=3
4=3
2
4=3.5y10y
3
:D
xC
1
x.H
d
xCx1
21
2D1
2
xC1
p
xd
xCx1
2DD1
2
xC1
p
x11
2p
x3D1
2
xC1
p
x2p
x31
2p
x3:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.x/
1
Escribimosf.x/
x1
ydeaquí.x/
2
1
xx/
x2D1
2
x
11C
x2DD1

x
1C1

x
f.z/
Cp
Tenemos.z/
2
Cp
1
2p
DD1
2
Cp
1
p
:D3
1
2H
d

1
2d
1
21
3D1
31
21
31d
1
2DD1
31
22
5t/
.4t.4t
5t/
5t/
.4t
3
5t/
5t/4.4t1/.
5t/.4t
–4.25t/5.4t1/
3.25t/
.4t
20t20t
3.25t/
.4t
.13/
3.25t/
3D
3.25t/
.4t
Luego
3
5t/.4t
6.2Regladelacadena
Dx
xCp
xC1.H
d
x"
xCp
xC1DDxd
xCp
xC1
1
2C"
xCp
xC1d
.x/
2xCp
xC1
1
21d
p
xC"
xCp
1.1/
2xCp
xC1
1
2d
.x/
2 C"
xCp
xC1DD1
2x
xCp
xC11
21C1
2
21d
C"
xCp
xC1DDx
2
xCp
xC11C1
21
2C"
xCp
xC1DDx
2
xCp
xC1')1C1
2.x
2*,C"
xCp
xC1DDx
2
xCp
xC12p
xC1C1
2p
xC1C"
xCp
x.2
xC1C
p
xC1
xCp
xC1C"
xCp
x.2
xC1C4p
1.x
xC
p
xC1
xCp
xC1DD
xC1CxC
4.x
p
xC1
xCp
xC1DD
xC1C4
4p
xC1
xCp
Luego,
xC1C4
4p
xC1
xCp
xC1:D

y2C1.H
d

y2C1DD
y2C1d
.3y
C
2
.
y2CDD
1.6y/
2C
21d
C
2C1D
1.6y/
2C1
.2y/
2C1DD
y2C1C1
2
y2C1:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Multiplicandoydividiendopor
2:
C
–6y.y
2C1
2
C
6y.y
2C
C
6y.y
C
2DC
C
2DC
3y.y
Entonces,
3y.y
C:D1
xp
Observamosque
x21))y0D1
p
x21

p
x2D.p
x21
1.x
x2Dxp
x21
p
1.x
x2DD1
p
1.x
x21
xp
f.z/
zC1
.p
Derivamos.z/
zC1
2p
z.p
1/2.
zC1
2p
z
.p
zC2DD.p
zC.p
zC
2p
z.p
zC
p
z
.p
zCDDp
zC3
2p
zp
zC1
p
z
.p
zCDDp
zC3
zC
p
z
.p
zCDp
zC1
2p
zC:
6.3Derivadaslaterales
f.w/
wC1C3
calcular.1/Derivamos.w/
2p
wC1C0p
3.w
–.w
2p
wC1.p
3/6w
CDDw2C1
2p
6w.
wC1C
yentonces,.1/
2p
6.1/.
1C1C
CD2
2p
2
2C
4DD1
p
26p
2
0:70718:4853
1:6111:.s/
.s/,calculeObservamosque.s/ .s/
Luego,porlareglaparaderivarunafunciónpotenciaylaregladelacadena:.s/
.s/
2D1
.s/
2d
.s/.s/
2–1 .s/
Porloque
2–12/
2D3
2
1.D3
2p
4D3
22
6.3DerivadaslateralesEjercicios6.3.1Determinarcuálesdelasderivadaslateralesexistenydecidirladerivabilidaddelafuncióndadaenelpuntomencionado.f.x/�x0:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.xf.0/f.xf.0f.h/h0&#x-17.;耀h0f.xf.x
hD!0h20
f.xf.x
hD!0h20
Entonces.Porlotanto,esderivableen.0/
xy
Ambasderivadaslateralesvalencero
f.x/f.xf.xh0.30;h0f.xf.x
hD!0h20
f.xf.x
hD!0h20
Entonces.Porlotanto,noexiste.Estoes,noesderivableen
6.3Derivadaslaterales
y
Derivadaslateralesdistintas
0D3
f.x/.2x3=2.x/
.2x1=2.2/3.2x1=2
.x/
existecuando,esdecir,para
Estoes,.x/existecuando
.Entonces,
noexiste,
2C/D3"
3.0/Porlotanto,
noexiste.Estoes,noesderivableen
2.
xy
3
f.x/Sóloexisteladerivadaporladerecha
f.x/x1
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.xf.1/5.1/f.xf.1h15.1&#x-17.;耀h1h00.4;h0h0.30;h0:f.xf.x
hD!0Ch3
f.xf.x
hD!0Ch2
Porlotanto,esderivableen;además.1/
xy
f.x/Lasderivadaslateralessoniguales
f.x/
�x3:f.xf.3/f.xf.3–.3h3
2.3�h3–.3h0
2.3�h0h0
�h0h0
�h0f.xf.x
hD!01Ch21
hD!0C2I
6.4Derivadasinnitas
f.xf.x
hD!0Cp
1C1
hDD!0C.
1/.
1CD!0C1C1
1C!0C2
p
1C1DD2

2.0/
p
1C1D2
Concluimosquenoesderivableen
f.x/
Lasderivadaslateralessondiferentes
Lafunciónescontinuaen,peronoesderivableesesepunto.6.4DerivadasinnitasEjercicios6.4.1Paralassiguientesfunciones,encontrardóndeladerivadasehaceinnitaydeterminarsiesobienf.x/
f.x/
1=2.x/
1=2
2p
Entonces,.x/paracada�x4.x/noexistecuandoLaúnicaposibilidadparaunaderivadainnitaesf.4f.4/
D!0C
4p
44
hD!0Cp
h
Puestoque�h0
,entonces:
h
p
h2D!0C
h
h2D!0C
1
DC1Porlotanto,DC1
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
g.t/3=5g.t/3=5.t/
2=5
2=5
55p
Observamosque.t/paracada,porlocuallaúnicaposibilidadparaunaderivadainnitaestáenTambién
,cuandoycuando.0/g.t/g.0/
3=5
tD!01
2=5DC1Porlotanto,DC1DC1.y/2=5.y/2=5.y/
3=5
5.y3=5Encontramosque.y/paracada,porloquelaúnicaposibilidadparaderivadasinnitasestáeny220
5
!0))2
5.y3=5!1)D1I�y2�20
5
!0C))2
5.y3=5!C1)DC1Porlotanto,D1DC12=32=3f.u/.u/
1=3
33p
Vemosque.u/paracada,porlocuallaúnicaposibilidadparaderivadasinnitasestá
13p
1u!0C)2
33p
1u)2
33p
!1)D1
13p
1u!0)2
33p
1u)2
33p
!C1)DC1
3HyD1Cp
g.x/.x/
2x/1=2.x/
2x/1=2
p
.x/paracada
.x/noexistecuando
2:
6.5Derivadasdeordensuperior
Laúnicaposibilidadparaunaderivadainnitaes
2.g03
2D!0g3
2Chg3
2
hD!01C
323
2Ch
Yaqueh0
h2)h
h2))g03
2D!0p

D!0p

p
h2D!0p

h2!0

2!0
2
hD!0
2
D1Porlotanto,
D16.5DerivadasdeordensuperiorEjercicios6.5.1Calcularlasegundaderivadadecadaunadelassiguientesfunciones:f.x/f.x/.x/.x/.x/3/:g.x/.3xg.x/.3x.x/5.3x.6x/30x.3x.x/.x/4.3x.6x/.3x.1/30.3x24x.3x30.3x.x/30.3x.27x1/:
2.HyD1
2)
.3u2/.2/.2u1/3
.3u
.3u
7
.3u7.3u
2/.3u.3/42.3u
.3u
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Dt2
t24.HwDt2
t24)
4/2t.2t/
.tD
))d2w
8t/2.t4/2t
8.t32t
Id2w
8.t4/–
Dt2C4C
Id2w
8.3t
:D
2C1.HuD
2C1)
1/33y.2y/
CD3
C))d2u
6y/3.1/2.y1/2y
6y.y1/–y
6y.3
CId2u
6y.y
6y.y
3/.y
C:Dx2C8
x.HyDx2C8
xDx2C1)y0D2))y2C3D2C
3)y2C
3=23=2
3
1=22t/3t.31=2
3t/
1=22t/1=21=23.31=2
1=23.31=23.3
1=2
p
3t2D9
p
3t2Id2z
3.2t
3t2:
6.5Derivadasdeordensuperior
Du
uC14.HwDu
uC14Du4
4D
u4DuC1
u4D1C1
u4IwDu1/4)
4.1
/3.14/.12u12.1
8.1
12.18u.1
4.1
2u.14.1
2u/
u41C1
.2u
D4
u4uC1
.2u
.2u5/:
y2yC1.HxD1
y2yC1)
1/01.2y
yCD1
yC)d2x
2y/2.y1/.2y
2/.y1/–.y2y/.2y1/
yCDDyC1C
3y/
6.y
yCId2x
6y.y
Otambién
d.y
.2y
2.y.2y2.2y
yC2
2.2y2.y
yCD
6y.y
yC:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Dxp
1x2.HyDxp
x.11=2
1=22x/1=2.1/1=21=2
3=22x/1=22x/
1=22x/
3=2
1=23x.1
3=2
3=2
3=2x.2x
x2/p
,si1;1/:Determinarla-ésimaderivadadecadaunadelassiguientesfunciones,paraelnúmerodado:f.x/
f.x/
.2x.x/1.2x.2/2.2x.x/2/.2x.2/.2x.x/3/.2x.2/3.2/.2x.x/3.2/4/.2x.2/3.2/.2/.2x.2/.x/3.2/.2x3.2/
.2x
g.t/
g.t/
.t/.t/.t/12t.t/48t.t/.48/.240t
6:D4&wDb
(conconstantes).
b)
.aub/a.aub/a
.au2ab
.au2ab.au
2ab.2/.aub.au
3/.au3.2b.au
6.6Derivaciónimplícita
d4w
3.24/.au3.2/.au
3.2b.au3.2/
.au
5.y10y.y
10–.y/4.y.1/
10.y–8y1/10.y.9y
10–.y.18y/.9y1/3.y2y10.y.6y/–3.y.9y1/
60y.y.12y240y.y.3y1/:
x21.HyDx2
1/2x.2x/
.xD
.x/2x/2.x1/2x
2.x
.x/2.x1/–
2.3x
2.6x/2.3x1/3.x.2x/
12x.x12x.3x1/.x
12x.x
12x.
24x.x
6.6DerivaciónimplícitaEjercicios6.6.1DadalacurvadenidaporObtenerlaecuacióndesurectatangenteenelpunto2;1/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calcularlasabscisasdelospuntossobrelacurvaconrectastangenteshorizontales.Efectivamenteelpunto2;1/pertenecealacurva,puessuscoordenadassatisfacenalaecuación:3.4/12:Suponemosque.x/ycalculamos
derivandoimplícitamenteconrespectoa
C/Dd
/Id
/C3d
/Dd
/3d
Aplicandolaregladelapotenciaylaregladelacadena:
3
3.2x/
.3y6y/


Calculamoslapendientedelarectatangenteevaluando
enelpunto2;1/
3.1/6.1/
C6D
D
)m
Usandom.x,laecuacióndelarectatangentees:
2/
y
x
C1Iy
x
EnlospuntosQ.x;y/,dondelacurvatienerectastangenteshorizontales,secumplequeoseaque,
0.

2x.2x
2,xD0x
3
2)) xD0IxD
3
2Ix
3
2:
6.6Derivaciónimplícita
Hallamosquesonpuntosdondeestacurvatienerectastangenteshorizontalesyquelasab-scisasdedichospuntosson:
3
2,x2D0&x3D
3
Dadalacurva2.x25.xObtener
ObtenerlaecuacióndelarectatangentealacurvaenelpuntoP.3;1/Suponemosque.x/ycalculamos
derivandoimplícitamenteconrespectoa
–2.x
–25.x
Cy2/2D
2.2/.x
Cy2/D
4.x
2Cd
2Dd
2d
4.x
D
8x.x8y.x
50y
8y.x
50y
8x.x8y.x50y
8x.x
8x.x
8y.x50y4.x
2y–4.x4.x
y–4.xEfectivamenteelpuntoP.3;1/estásobrelacurva2.x25.x,puessuscoorde-nadaslasatisfacen:2.325.32.925.9Valuamos
enelpuntoP.3;1/paratenerlapendientedelarectatangente:4.3
1–4.33–254.91/
4.93.25
364CD
65
13
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Usandom.x,laecuacióndelarectatangentees:
y1
C
13y
C
131Iy
C
Determinarlaecuacióndelarectatangentealacurva
enelpunto1;1/Observamosprimeroqueelpunto1;1/sípertenecealacurva,puessuscoordenadassatisfacenlaecuación
3D41311
341D43
34D1
Parahallarlapendientedelarectatangente,sederivaimplícitamenteconrespectoa(pensandoqueesfunciónde
,(si,osea,
3
obtenemos
.4y
8x:ydeaquídespejamos.8y
Enelpunto1;1/,lapendientees:1;1/
81D86
83D
Laecuacióndelarectatangentepedidaes
y
x
C1))y
x5
5)y
x9
Determinelaecuacióndelarectatangentealacurva3.yenelpunto.1;1/Elpuntoestarásobrelacurvasisuscoordenadassatisfacenalaecuacióndelacurva.Veámoslo;ponemosenlugarde,conlocualtenemos:5.1/8.1/.1/3–.1/.1/
6.6Derivaciónimplícita
yvericamosqueelpuntoefectivamenteestásobrelacurva.Hallemosahoralapendientedelatangentederivandoimplícitamenteconrespectoa6.y/.5yTrasponiendotérminosyfactorizando.5x30ydespejando
30yyahoraenelpunto.1;1/.1;1/
C6
2
eslapendientedelarectatangente;suecuaciónentonceses:
yD2
2
1)yD2
C
Obtengalasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurvadenidaimplícitamentepor.xy4=3enelpunto.0;25/Efectivamenteelpunto.0;25/pertenecealacurva,puessuscoordenadassatisfacenalaecuación.254=3,pues
27/Calculamoslapendientedelatangentealacurvaderivandoconrespectoa2.xy9/.y2xyy
1=3Trasponiendotérminos,2.xy9/2xyy
1=318yFactorizando4xy.xy
1=32.xy9/yluego,porúltimo,despejando2.xy9/y
4xy.xy
1=3yenelpunto.0;25/,lapendientedelatangentees.0;25/
4
.251=3
5625
ylapendientedelanormales
5625,porloquelasrespectivasecuacionesson:5625
5625
eslaecuacióndelatangente;
5625
5625eslaecuacióndelanormal.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
EncuentrelapendientedelarectatangenteenelpuntoP.1;1/delaLemniscatadeBernoulli4xy:EfectivamenteelpuntoP.1;1/estásobrelaLemniscata,puessuscoordenadaslasatisfacen:Calculemoslapendientedelarectatangentederivandoimplícitamenteconrespectoa2.x/.2x2yy4xyTrasponiendotérminos,paradespejar4y.x4xy4x.xDividiendotodalaecuaciónentreyfactorizando–y.xxyx.xPorloque:x.x
y.xYenelpuntoP.1;1/,lapendientees:.1;1/1.1
1.11.1
1.1
121D12
21D1
Encuentretodoslospuntosdelacurva,dondelarectatangenteeshorizontal.Suponiendoquelacurvaeslagrácadeunafunciónderivablef.x/,lacualestádeimplícitamente,suderivadaestádadapor.2xx/y.2xy.2xy1/y
.2xy1/y
.2xy1/xobien
Ahorabien,nocortaalacurvadada,puesnoexistetalqueVeamosahorasihaypuntosdelacurvatalesque
;resolviendoelsistema:
sustituyendoelvalorde
enlaprimeraecuación(laquedeterminaalacurva):
Cx1
D2)1
41
2D
6.6Derivaciónimplícita
Porloquetalcurvanotienetangentehorizontal.Esteresultadolopodemoscomprobarpuespodemoshallarexplícitamentelafunciónf.x/Despejandodelaecuación:
x2C
Dx
2xD  1
xDx12
Entonceslasderivadasdecadaunadelasfunciones,respectivamente,son:
x2&y02D2
nuncasoniguala,porloquenotienetangenteshorizontales.Encuentre
enlaecuación3.2yDerivemosimplícitamenteconrespectoa2yy1/2x6.2y–2y.x36y.2y1/y4xy4xy
2y.x36y.2y2xy.1
18y.2yVemosque18y.2ytienequeserDeterminelaecuacióndelarectatangentealagrácadelafuncióndenidaimplícitamentepor
enelpunto.1;1/Enefecto,elpunto.1;1/pertenecealagrácadelafunción,puessuscoordenadassatisfacenlaecuaciónyaque.1/.1/
.1/Lapendientedecualquiertangenteestádadapor
yx2
2p
yy0Cy0D0,y0x2
2p
yD
y,y0D
y
x2
2p
Enelpunto.1;1/lapendientees.1;1/
6.1/
3.1/
2p
1D26
31
2D4
5
2
Porloquelaecuacióndelarectatangentees
5y
5xC8
5C1)y
5xC
Obtenerlaecuacióndelarectanormalalacurva
enelpunto1;1/Vemosque:
2x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Vericamosque,enefecto,elpunto1;1/pertenecealacurva.1/1/Suponemosqueg.x/yderivamosimplícitamenterespectoatodalaecuación:
y3/C2d
2d
Dd
2x/
2.2x/
2.42x/2
C
.9x
))
Valuandoenelpunto1;1/seobtienelapendientedelarectatangentealacurvaenelpunto1;1/1/.1/
.1/
91D
D9
Lapendientedelarectanormales
Laecuacióndelarectanormales
9y
9x4
9C1)y
9xC5
Obtenerlaecuacióndelarectatangentealacurvaenelpunto.1;1/Vericamosque,enefecto,elpunto.1;1/pertenecealacurva2.1/.1/3.1/.1/Suponemosqueenlaecuaciónsetieneimplícitamentedenidalafunción.x/queesunafunciónderivable.Derivandoimplícitamenterespectoaseobtiene
3d
.xy
))2x3
y.3x
.1/y
yC
.2x
y))
Cy
Valuamosenelpunto.1;1/yhallamosquelapendientedelarectatangentees:3.1/6.1/.1/
2.1/9.1/.1/
2C9
6.6Derivaciónimplícita
Porlotanto,laecuacióndelarectatangentealacurvaenelpunto.1;1/es:
y
C9
1)y
C
Obtenerlaecuacióndelarectatangentealacurvaenelpunto.0;Vericamosque,enefecto,elpunto.0;pertenecealacurvaSuponemosqueenlaecuacióndadasetieneimplícitamentedenidalafunción.x/Derivandoimplícitamenteconrespectoaseobtiene:
y2/Dd
–.y
2Cy2d
2Dd
y2/Cy2/d
))x2
2y/
/2.y
)y
2y.y
2.4
)y
2y.y
2.4
))
2y.y2.41/y.y.4y
))yCy3CCy4Cy3Cy2
))yCC
))

2.x

Valuamosenelpunto.0;;estoes,hacemos
.0;
3.4/
Encontramosquelapendientedelarectatangentealacurvaenelpunto.0;Porlotanto,laecuacióndelarectatangentees:m.x0.xMuestrequelasrectastangentesalaelipseenlospuntos.1;1;1/paralelas.Vericamosque,enefecto,lospuntos.1;1;1/pertenecenalascurvas.Para.1;
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Para1;1/1/.1/SuponemosqueenlaecuaciónsetieneimplícitamentedenidaalavariablecomofuncióndelavariableDerivamosimplícitamenteconrespectoatodalaecuación:
2d
.xy/
2Dd
))x
yC
0))x
yC
0))
.2y
y
Valuandoladerivada
enelpuntoA.1;seobtiene,
2.1/
2.1D12
21D3
queeslapendientedelarectatangentealacurvaenelpuntoValuandoladerivada
enelpunto1;1/,seobtiene,
BD1
2.1/
2C1D3
queeslapendientedelarectatangentealacurvaenelpuntoYaque,entonceslasrectastangentessonparalelas.Encontrarlaecuacióndelarectatangentealacurvadenidaporenelpunto.1;2/Elpuntosípertenecealagrácadelafunción,puessuscoordenadassatisfacenalaecuaciónyaque3.1/5.2/3.1/.2/Lapendientedelarectatangenteesladerivada,porloquederivamosimplícitamenteconrespectoa,obteniendo:10yy.10yy/y
10y
Enparticular,enelpunto.1;2/laderivadavale.1;2/1.2/
3.1/
6D3
4D9
ylaecuacióndelarectatangentees
4yD9
4x9
4C2)yD9
4x98
4)yD9
4x1
4:
6.6Derivaciónimplícita
Determinelasecuacionesdelasrectastangenteynormalalacurvadenidaporlaecuación
C1C
enelpunto.1;0/Vericamosque,enefecto,elpunto.1;0/pertenecealacurva3.1/
2.0/
1.0/Derivandoimplícitamenteconrespectoalavariable.2y4yy
.2y
2
.2y4yy
.2x/.2y.2y24yx
.2y1/2
.2x/.2y.2y
.2x/.2y
.2y24x
yvaluándolaenelpunto.1;0/.1;0/
12C1051C0502C
510402C150p
12C105D“2
Porloquelarectatangenteenelpunto.1;0/esparalelaalejedelas,encuyocasosuecuaciónesyladelanormales(elejedelasEncontrarlaecuacióndelarectatangentea
enelpunto.0;1/Lascoordenadasdelpunto.0;1/satisfacenalaecuación
Suponemosqueexisteunafunciónderivable.x/nidaimplícitamente.Vamosaderivarlaecuaciónconrespectoalavariableparaobtener:.xy1/yy.y
.xyxyyxyy
.xy
.xy
.xy
.xy
.xy
.xy
.xy
2
.xy
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Valuamos.0;1/.0;1/
1
92
1D2
yporlotanto,laecuacióndelarectatangentequepasaporelpunto.0;1/conpendiente
es:
x0
y
Encontrarenelpunto2;2/laecuacióndelarectatangentealacurvaVamosacomprobarqueelpuntodado2;2/estáenlagrácadelafuncióndenidaimplícita-mente:24:Derivamoslaexpresiónimplícitamente
3x3
Paracalcularlapendientedelarectatangente,valuamosladerivadaen2;2/2;2/
3.
22
38
4D8
Laecuacióndelarectatangentees:
x.8
3)y2D8
3xC
)yD8
3xC
Elejercicionopidehacerloscálculosdemaneraimplícitayenestecasopodemosdespejar
.24
Derivamos:
.24
Paracalcularlapendientedelarectatangente,valuamosladerivadaen
3.2
3D1
.8/
.32/
1
82
3D
1
4D8
ylaecuacióndelarectatangentesecalculacomoantes.f.x/nidaimplícitamentepor.Obtenerlaecuacióndelarectatangentealagrácadeesafunciónenelpunto1;1/Vericamosque,enefecto,elpunto1;1/pertenecealacurva.1/
6.6Derivaciónimplícita
Derivando3.2xy3.x
3.xyvaluandoenelpunto1;1/1;1/1/.1/
3–..1/
3.2/
D5
calculamoslaecuacióndelarectatangente
x.5
3)y1D5
35
3xC5
3)yD5
3xC8
3:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
CAPÍTULO
RazonesdecambiorelacionadasSupongaqueunincendioforestalsepropagaenlaformadeuncírculocuyoradiocambiaarazón1:8m/min.¿AquérazónestácreciendoeláreadelaregiónincendiadacuandoelradioalcanzaParaunradioarbitrario,eláreadelcírculoesConsiderandoquevaríaeneltiempo,yqueesfuncióndeltiempo,esdecir,quer.t/,entoncesA.t/Luego,A.t/.t/:Derivandorespectoaobtenemos
A.t/
.t/
2r
donde
eslarazóndecambiodeláreay
eslarazóndecambiodelradio,ambasderivadasconrespectoaPara
1:8m/mintenemos
2.60/.1:8m/min/minPorlotanto,larazónorapidezdecambiodeláreaes:
/minlalongituddeladiagonaldeunrectángulocuyosladostienenlongitudesrespectivamente.aumentaconunarapidezde
m/sysidisminuyeconunarapidezde
m/s:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
¿Aquérazónestácambiandolalongituddeladiagonalcuando¿Ladiagonalestáaumentandoodisminuyendoeneseinstante?Usamoslagura
`.t/y.t/x.t/Delagura,tenemos.t/.t/.t/derivandoconrespectoa
.t/
.t/.t/2`.t/`.t/2x.t/x.t/2y.t/y.t/.t/2x.t/x.t/2y.t/y.t/
2`.t/x.t/x.t/y.t/y.t/
`.t/Porlotantoenunmomento,digamos,enelquex.ty.t,setiene
32C42Dp
Sabemosque
2&y0/
Sustituyendoestosobtenemos
241
4
5D3
21
5D1
2
5D1
�0:Lalongituddeladiagonalcreceenesemomento,pues
7.0Razonesdecambiorelacionadas
Unanunciopublicitariotieneformadeuncilindrocircularrecto.Determinarlavariacióndesuvolu-menenelprocesodeinado,sabiendoquelaalturapermanececonstante.Sabemosquecilindroyqueesconstante,porloquelaúnicavariableesr.t/Entonces:cilindro
2rh
Conociendor.t/enunciertoinstanteylarazóndecambiodelradio
endichoinstante,sepuedecalcularlarazóndecambiodelvolumendelcilindro.Dosautomóvilesempiezanamoverseapartirdelmismopuntoconvelocidadconstante.Unoviajahaciaelsurakm/hyelotrohaciaaloesteakm/h¿Conquérazónaumentaladistanciaentrelosdosautomóviles2hmástarde?Usamoslasiguientegrácapararepresentarlaposicióndelosautomóviles:
PorelteoremadePitágoras:Obsérvesequetantocomovaríanconrespectoaltiempo.Derivamosconrepectoaltiempoestarelaciónentrelasposiciones:
/Dd
Cy2/Id
/Dd
/Cd
2``2xx2yyDespejamosladerivadaquedeseamosevaluar:2xx2yy
`0DC
Porúltimosustituimosporlascondicionesproporcionadas:x.2/.t/y.2/.t/Entonceshallamos:.50/.25/.120/.60/
km/h
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
km/heslarazónconqueaumentaladistanciaentrelosdosautomóviles2hmástardedehaberseiniciadolosdesplazamientos.Podemosresolverelproblemadeotraformausandolasiguientegráca:
km/hkm/h`.t/Elespacioquerecorreelautómovilquevahaciaelsur(enkm)es60t,conenhoras;yeldelotroautomóviles25t,porloque,porelteoremadePitágoras,ladistanciaentreambosautomóvileses:`.t/
.60t/.25t/
3600t
4225tkm.Entonces:
`.t/.t/km/h,yenparticular
`.t/.t/km/h.Dostrenespartendeunaestaciónconhdediferencia.Elqueparteprimerosedirigehaciaelnorteconunarapidezdekm/h.Elotrotrensedirigehaciaelesteconunarapidezdekm/h.¿Aquérazónestácambiandoladistanciaentrelostreneshdespuésdequepartióelsegundotren?
L.t/y.t/x.t/
NE
7.0Razonesdecambiorelacionadas
Digamosqueparatodovalorde,laposicióndelprimertrenesy.t/,laposicióndelsegundotrenesx.t/yladistanciaentrelostrenesesL.t/Secumpleentoncesque:Derivandoimplícitamenteconrespectoa
Dd
2LL2xx2yy
Sidenotamosconelmomentoenelcualhantranscurrido2hdespuésdequepartióelsegundotren,tenemos
.x.t//.y.t//
CDp
14400250000
264400514:19841:Sustituyendo,tenemos
514:19841111:2411:Ladistanciaentrelostrenesestácambiandoarazónde111:2411km/h,2hdespuésdequepartióelsegundotren.Uncontroladoraéreositúa2avionesalamismaaltitud,convergiendoensuvuelohaciaunmismopuntodeencuentro(vergura).Unodeellos(avión1)estáa150millasdeesepuntoyvuelaa450millasporhora.Elotro(avión2)estáa200millasdelpuntoyvuelaa600millasporhora.
d.t/y.t/x.t/Avión2Avión1¿Aquévelocidaddecreceladistanciaentrelosaviones?¿Decuántotiempodisponeelcontroladorparasituarlosentrayectoriasdiferentes?Entodomomento,arbitrario,setienelarelación:.t/.t/.t/derivandoconrespectoa2d.t/d.t/2x.t/x.t/2y.t/y.t/ydespejando.t/.t/x.t/x.t/y.t/y.t/
.t/.t/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Sidenotamosconelinstantealquesereereelenunciado:x.ty.t

x2/Cy2/DD..
.200/.150/187500
millas/h.Eltiempoquetienenlosavionesparallegaralpuntodeencuentro.0;0/
6001
hora,avión1
4501
hora,avión2Esdecir,losavioneschocaríanen20minutossinosecambialatrayectoria.Cuandountanqueesféricoderadiocontienelíquidoconunaprofundidad,elvolumendeestelíquidoestádadopor
.3ah/:Supongaahoraqueuntanqueesféricodemderadioseestállenandodeaguaarazónde
/s.Calculelarazóndecambiodelniveldeaguacuando1:25Consideramosqueenlafórmula
.3a
tantolaprofundidadcomoelvolumenestánenfuncióndeltiempoCuandodm:50h
Derivandoconrespectoaseobtiene:
Dd
–50h
3h3
100h
h.100
donde
eslarapidezdecambiodelvolumeny
eslarapidezdecambiodelaprofundidad.Cuando
`
/s&1:2512:5dm:
.12:5/.10012:5/
.12:5/.87:5/
1093:75
)
3.1093:75/0:00194017dm/s.Porlotanto,larapidezdecambiodelaprofundidades
0:00194017dm/s.Unaviónvuelahorizontalmenteaunaaltituddemillaaunavelocidaddemillas/hypasasobreunaestaciónderadar.Encuentrelarazónalaqueaumentaladistanciadelaviónalaestacióncuandoelaviónestáamillasdelaestación.Usamoslagurasiguiente:
7.0Razonesdecambiorelacionadas
(Estaciónderadar)millasmillasmillaPorelteorémadePitágoras,,dondedependendeltiempo.Derivandoimplícita-menteconrespectoa
2Dd
C
y
x
Donde
millas/h.Considerandoquecuando
,entonces:
x
2
p
3.500/
3
2D
3

millas/heslarazónalaqueaumentaladistanciadelaviónalaestacióncuandomillas.Unaplacaenformadetriánguloequiláteroseexpandeconeltiempo.Cadaladoaumentaarazónconstantedecm/h.¿Conquérapidezcreceeláreacuandocadaladomidecm?Veamosesosdatosconlasiguientegura
x=2Deellatenemos
4D3
4x2)hDp
3
Eláreadeltriánguloesunmediodelabaseporlaaltura:
2xp
3
2xDp
3
4x2:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Suponemosquelosladosdependendeltiempox.t/,dehechocrecen.Porlotanto,eláreatambiéndependedeltiempo:A.t/
3
.t/:Derivandoconrespectoatenemos
–A.t/
p
3
.t/.t/
3
2x.t/x.t/
3
x.t/.t/:Sisuponemosqueenuntiempo,noconocido,setienequex.t,enesetiemposetienetambién.Porlotanto:
3
x.t
3
282D8p
13:856406/horaUnaplacaenformadetriánguloequiláteroseexpandeconeltiempo.Cadaladoaumentaarazónconstantedecm/h.¿Cuáleslarazóndecrecimientodeláreaenelinstanteenqueelvalordeésta
Llevemosestosdatosalasiguientegura
x=2Eláreadeltriánguloesunmediodelabaseporlaaltura:
xh:(A)Deseamosquelafunciónanteriordependasólode.Paraesto,usandoelteóremadePitágoras,vemosenlaguraque:
2
2Dx2)h2Dx2x2
4D3
4x2)hDp
3
sustituimosporestevaloren.A/
2xp
3
2xDp
3
ypuestoqueesunafuncióndeA.t/
3
.t/(B)
7.0Razonesdecambiorelacionadas
derivamosconrespectoa
–A.t/
p
3
.t/.t/
3
x.t/.t/
3
x.t/.t/:(C)Sabemoslosiguiente:.t/siempreesigualacm/h.Enunciertomomento,digamos,elvalordeláreaes
5p
Usamos.B/paraencontrarelvalordelladodeltriánguloenesemomento:A.t
3Dp
3
x.t
Utilizandoestosvaloresen.C/,obtenemoslavariacióndeseadadelárea:
3
22p
52D2p
Laleyadiabática(sinpérdidanigananciadecalor)paralaexpansióndeungases1:4(dondeeslapresión,elvolumenyunaconstante).Enciertoinstante,elvolumenesdelapresiónesdelibras/pieyéstaestácreciendoarazóndelibras/pieencadasegundo.Calcularlarazóndevariacióndelvolumenendichoinstante.Derivandoimplícitamente1:4
–PV1:4
–Cd.PV1:4
1:4
P.1:4/V0:4
0))
1:4
.1:4/V0:4
.1:4/PYsustituyendoporlosvalores
obtenemos:
.1:4/40
.1:4/5
/s.Otraformaderesolveresteproblema:1:4setieneque1:4
P)V
10C
P)V7
5DC
Despejamoselevandoambosmiembrosdelaigualdadalapotencia
7:VDC
P5
7DC5
7P5
7:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Derivandoconrespectoaltiempo,tenemos
C5
7
5
7
7C5
7P

Cuandoycomo1:4,entonces:Además,
Utilizandoporúltimoestosvalorestenemos
5
.40/
.40
/.8/
5
.8/

s))
7
Cuandoseexpandeaireatemperaturaconstante,supresiónysuvolumen,satisfacen1:4dondeesunaconstante.SienunmomentodeterminadoelvolumenesdeylapresiónesKPa,disminuyendoéstaarazóndeKPa/min,¿conquérazónaumentaelvolumeneneseinstante?Enlaecuación1:4setienequesonfuncionesde.Derivamosentoncesimplícita-menterespectoa
.PV1:4
)Pd
1:41:4
P.1:4/V0:4
1:4
despejamos
1:4PV0:4
1:4
1:4
1:4PV0:4
1:4PsustituimosporlosvaloresKPay
KPa/minyobtenemos
.400KPa/min
1:4.8035:7/min.Entonces(yaque
),elvolumenaumentaarazónde35:7/min.Unalámparaseencuentrasuspendidaapiessobreunacallehorizontalyrecta.Siunhombredepiesdeestaturacaminaalejándosedelalámparaenlínearectaconunavelocidaddepies/s,¿conquérapidezsealargasusombra?Usamoslagura
7.0Razonesdecambiorelacionadas
5t
x.t/

HombreLámparaPorlasemejanzadelostriángulosrectángulosconunánguloagudocomún,tenemos,considerandoqueelespaciorecorridoporelhombredespuésdesegundosespiesyquelalongituddelasombrax.t/
x.t/
x.t/30tx.t/x.t/x.t/
.t/
Lasombraestácreciendoaunavelocidadde
pie/s.Unalámparaproyectorasituadasobreelpisoiluminaunaparedqueestáamdedistancia.Siunhombredemdealtocaminadesdelalámparahacialaparedaunavelocidadde1:6m/s¿conquérapidezdecrecesusombraproyectadasobrelaparedcuandoseencuentraamdeésta?VeamoslaguraA,enelmomentoqueelhombreseencuentraamdelapared:
8
4
2
HombreLámparaFiguraAYlaguraB,enunmomentocualquiera:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
y
2
HombreLámparaFiguraBDeestaúltimagura,porlasemejanzadelostriángulosrectángulos,setienelarelación:
2
24:(Observación.Tenemosx.t/y.t/,funcionesquedependendeltiempo).Derivandoestaigualdadconrespectoaltiempo
–xy
x0yCD0)x0D
EnelmomentodelaguraAtenemoslosvalores:1:6m/s,
Porlotanto,enesemomento,susombradecrececonunarapideziguala1:6
m/s.Elradiodeunaesferaseincrementaarazóndecm/s.¿Cuáleslarazóndecambiodelvolumencuandoelradiomidecm?¿Cuáleslamedidadelradiocuandolarazóndecambiodelvolumenes/s?Sabemosque
Luego,V.t/
.t/
.t/4r.t/.t/:Comor.tycomocm/s:dV.t
dV.t/
4r.t/.t/
8
r.t/
p
cm.
7.0Razonesdecambiorelacionadas
Seinaungloboesféricointroduciendoairearazónde/s.Calcularlavelocidaddecambiodelradiodelglobocuandosudiámetroesdecm.Dibujamoslacorrespondientegura

Sesabequeelvolumendeunaesferaes
Considerandoqueelvolumenyelradiocambianconeltiempo,tenemosentonces:V.t/
.t/:Derivandoconrespectoa
–V.t/
4
.t/.t/
3r.t/r.t/4r.t/r.t/:Despejando.t/.t/.t/
4r.t/Segúnlosdatosproporcionados:.t//s,entodomomento;entoncesexisteunmomento,digamos,cuandoeldiámetro2r.tr.t.Paraesemomentocalculamoslavariacióndelradio:
4r
4.13/0:0235cm/s.Underramedepetróleoadoptaunaformacircularytieneunespesorde
pie.Sielpetróleoseestáescapandoarazónde/min,¿aquérazónestáaumentandoelradiodelamanchadepetróleocuandoelradioesdepies?Sealagura:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
hD1
Notamosqueelderrametienelaformadeuncilindrorectocircular,conunaalturaoespesorconstante
pieyunradiovariableenfuncióndeltiempoConsiderandoquer.t/estáenpies,elvolumendelderrame,medidoenpies,es
D
esdecir,V.t/
–r.t/Derivandoimplícitamente:
Dd

2!D
2rd
estoes,


Comoelpetróleoseestáescapandoarazónde/min,entonces
Porlotanto

Enelinstanteenqueelradioespies,sucedeque
.50/
,dedonde
.40/25
50
queeslarapidezdecambiodelradio.Estoes,elradioestáaumentandoarazónde
pies/min.Uncoheteeslanzadoendirecciónverticalyrastreadoporunaestaciónderadarsituadaenelsuelomillasdelarampadelanzamiento.¿Cuáleslavelocidaddelcohetecuandoestáa5millasdelaestaciónderadarysudistanciaaumentaarazónde3600millas/h?Usamoslagurasiguiente:
7.0Razonesdecambiorelacionadas
L.t/H.t/
CoheteRadarDondeH.t/eslaalturadelcohete,L.t/esladistanciadelcohetealaestaciónderadar.Delagura,porelteoremadePitágoras:.t/.t/:Derivandoimplícitamenteconrespectoa
.t/
.t/2L.t/L.t/2H.t/H.t/.t/L.t/L.t/
Usandolascondicionesproporcionadas,paraelcohetecuandoestáa5millasdelaestaciónderadaryllamandoaesemomento3600:Sabemosque
Sustituyendoahoraporestosvalores3600
6000millas/h.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
CAPÍTULO
Aplicacionesdeladerivada8.1DerivabilidadymonotoníaEjercicios8.1.1Determinarlosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodelassiguientesfunciones:f.x/f.x/.x/.x/�0�402x�4�x2.2;.x/0402x4x2;2/:Porlotanto,escrecienteenelintervalo.2;esdecrecienteenelintervalo;2/
xy
0.x/0
.x/
.x/
y
ecreciente
Creciente
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
g.x/g.x/.x/.x/3.x3.x1/.x.x/cuandoycuandoEnbaseenloanteriorgeneramoslosintervalos;1/;.1;3/.3;,dondesedeterminaelsigno.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signo.x/
Lafunción
1
D0
C
creciente
1x3
D2

decreciente
3x
D4
C
creciente
y
.x/�0.x/0.x/&#x-276;&#x.300;0
.x/
y
CrecienteDecrecienteCreciente
g.x/h.x/h.x/.x/.x/.x/cuandoycuandoConlainformaciónanteriorsegeneranlosintervalos1/;.1;1/.1;,dondesedeter-minaelsignode.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción

x

decreciente
1x1
D0
C
creciente
1x
D2

decreciente
8.1Derivabilidadymonotonía
y
.x/0.x/&#x-276;&#x.300;0.x/0.x/
y
DecrecienteCrecienteDecrecienteh.x/f.x/f.x/.x/.x/.x/cuandoycuandoGeneramoslosintervalos;0/;.0;3/.3;,dondesedeterminaelsignode.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción
0

decreciente
0x3
D1

decreciente
3x
D4
C
creciente
Dehechocomof.x/4/�0;0/;f.x/f.x/0.0;3/entoncesf.x/resultaserdecrecienteen;3/
xy
.x/0f.x/0.x/&#x-276;&#x.300;0.x/
y
ecreciente
Decreciente
Creciente
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
g.x/g.x/.x/2.x1/.2x/4x.x.x/4x.x4x.x1/.x.x/cuando,cuandoycuandoEnfuncióndeloanteriorsegeneranlosintervalos1/;.1;0/;.0;1/.1;,dondesede-terminaelsignode.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción

x

decreciente
1x0
2
C
creciente
0x1
D1
2

decreciente
1x
D2
C
creciente
Todoconcuerdaconelhechodequeg.x/espar.
.x/0.x/&#x-276;&#x.300;0.x/0.x/&#x-276;&#x.300;0
.x/
y
ecreciente
Decreciente
reciente
101g.x/h.x/
h.x/
.x/
.x/
2D0,
Además.x/noexistecuandoConestainformaciónsegeneranlosintervalos;0/;.0;2/.2;,dondesedeterminaelsigno.x/
8.1Derivabilidadymonotonía
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción
0

decreciente
0x2
D1

decreciente
2x
D3
C
creciente
y
0.x/0
h0.x/0
h0.x/�0
.x/
DecrecienteDecreciente
reciente
h.x/f.x/
f.x/
.x/4/2x.2x/
.xD
.x/
.x/cuandoAdemás.x/noexistecuando,estoes,cuandoSegeneranlosintervalos2/;.2;0/;.0;2/.2;,dondesedeterminaelsignode.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción

x
C
creciente
2x0
C
creciente
0x2
D1

decreciente
2x
D3

decreciente
Otraformadeanalizarelejercicio:Comoenelf,elsignode.x/loda;luego:.x/�08x�0x0.Entoncesf.x/escrecienteenyen2;0/.x/08x0&#x-276;x0.Entoncesf.x/esdecrecienteen.0;2/yen.2;
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
.x/�0.x/0
.x/
y
recien
reciente
Decreciente
Dte
f.x/Lainformacióndelanálisisanteriorconcuerdaconquef.x/espar.g.x/
g.x/
1=2.x/
1=22x/
1=2
p
.x/
p
.x/cuandoAdemás.x/existesólocuando
x2p
:Esdecir,.x/existecuando3x3Conestainformaciónsegeneranlosintervalos3;0/.0;3/,dondesedeterminaelsignode.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción
3x0
C
creciente
0x3
D2

decreciente
Otraformaderesolverelejercicio:Elsignode.x/loda,luego:.x/�0�x0x03;3/,esdecir,3;0/dondeg.x/escreciente;.x/0x08.3;x03;3/,estoes,queg.x/esdecrecienteen.0;3/
8.1Derivabilidadymonotonía
y
0.x/�0
g0.x/0
.x/
y
reciente
Decreciente
g.x/Todoconcuerdaconelhechodelafunciónespar,dehechosugrácaeslasemicircunferenciasuperiordecentroenelorigenyradio(incluyendosusextremos).h.x/
x443p
h.x/
x443p
4=31=3.x/
1=3
2=3
1=3
2=3
3x1
2=3.x/4.x
3p
Además.x/noexistecuandoEnfuncióndeestosegeneranlosintervalos;0/;.0;1/.1;,dondesedeterminaelsigno.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción
0

decreciente
0x1
D1
2

decreciente
1x
D2
C
creciente
Otraformadeanalizarelproblema:Dehechoelsignode.x/loda,porloqueh.x/escreciente.x/�0�10�x1.1;h.x/esdecreciente.x/010;xx1;x;0/obien.0;1/:Enrealidadh.x/esdecrecienteen;1/,puesen;0/;h.x/1=3espositiva,h.0/yen.0;1/esnegativa.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
0.x/0
h0.x/0
h0.x/�0
.x/
DecrecienteDecreciente
reciente
h.x/f.x/
f.x/
.x/
2D
3.x
.x/3.x
4/.xAdemás.x/noexistecuandoConestainformaciónsegeneranlosintervalos2/;.2;0/;.0;2/.2;,dondesedeter-minaelsignode.x/
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
Lafunción

x
C
creciente
2x0

decreciente
0x2
D1

decreciente
2x
D4
C
creciente
Otraformaderesolverelejercicio:Elsignode.x/ensudominioloda4/.xComo�40f.x/escrecientesi�40�x2obienx2f.x/esdecrecientesi402;0/obien.0;2/:
8.2Máximosymínimoslocales
Todoconcuerdaconqueh.x/esunafunciónimpar.
y
0.x/�0
h0.x/0
h0.x/0
h0.x/�0
.x/
y
reciente
Decreciente
reciente
f.x/8.2MáximosymínimoslocalesEjercicios8.2.1Utilizandoelcriteriodelaprimeraderivada,determinarlosmáximosymínimoslocalesorelativosdelassiguientesfunciones:f.x/Porelejercicio1delapágina341,sesabeque:f.x/.x/escrecienteenelintervalo.2;ydecrecienteenelintervalo;2/Ahorabien,.x/EntoncestieneunsólopuntocríticoenPorserdecrecienteparax2&crecienteparab.4;x2,sepuedearmarquetieneenmínimolocalestricto.Laordenadadeestepuntomínimoesf.2/4.2/Porlotanto,lafuncióntieneunmínimolocalestrictoenelpuntoA.2;
xy
Mínimolocal
f.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Elmínimolocalestrictoresultasermínimoabsolutoyeselvérticedelaparábolag.x/Porelejercicio2delapágina342,sesabeque:g.x/.x/escrecienteenlosintervalos;1/.3;,ydecrecienteenelintervalo.1;3/Además.x/obienEntoncestienedospuntoscríticos:enyenPorsercrecienteparax1cercadeydecrecienteparab.4;x1cercade,sepuedeasegurarquetieneenunmáximolocalestricto.Laordenadadeestepuntoes:g.1/.1/6.1/9.1/Porserdecrecienteparax3cercadeycrecientepara†.5;x3cercade,sepuedearmarquetieneenunmínimolocalestricto.Laordenadadeestepuntoes:g.3/.3/6.3/9.3/Porlotanto:LafuncióntieneunmáximolocalestrictoenelpuntoA.1;2/LafuncióntieneunmínimolocalestrictoenelpuntoB.3;
Máximolocal
g.x/Mínimolocalh.x/Porelejercicio3delapágina342,sesabeque:h.x/.x/esdecrecienteenlosintervalos1/y.1;,yescrecienteenelintervalo1;1/Además.x/Entoncestienedospuntoscríticos:enyen
8.2Máximosymínimoslocales
Comocercadeesdecrecienteparaycrecientepara,sepuedeasegurarquetieneenunmínimolocalestricto.LaordenadadeestepuntoesComocercadeescrecienteparax1ydecrecientepara8.3;x1,sepuedearmarquetieneenunmáximolocalestricto.Laordenadadeestepuntoesh.1/2.1/6.1/Resumiendo:lafuncióntieneunmínimolocalestrictoenelpuntoytieneunmáximolocalestrictoenelpuntoB.1;3/
xy
Mínimolocal
Máximolocal
h.x/f.x/Porelejercicio4delapágina343,sesabeque:f.x/.x/esdecrecienteenelintervalo;3/yescrecienteenelintervalo.3;Además.x/Entoncestienedospuntoscríticos:enyenPorserdecrecienteparax0ydecrecientepara8.3;x0cercade,sepuedearmarqueenfunciónnotieneunmínimolocalniunmáximolocal.Porserdecrecienteparax3ycrecientepara8.3;x3cercade3,sepuedeasegurarquelafuncióntieneenunmínimolocalestricto.Laordenadadeestepuntomínimoesf.3/.3/4.3/27:Porlotanto,lafuncióntieneunmínimolocalestrictoenelpuntoP.3;ynotienemáximoslocales.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
Mínimolocal
Puntocrítico.Noesmínimolocal
PuntocríticoNoesmáximolocal
h.x/g.x/Porelejercicio5delapágina344,sesabeque:g.x/.x/4x.xesdecrecienteenlosintervalos.0;1/,ycrecienteenlosintervalos1;0/.1;Además.x/cuandoobien,obienEntoncestienetrespuntoscríticos:en,enyenConsiderandoelcrecimientoyeldecrecimientodelafunciónenelsiguienteesquema
101podemosarmarquelafuncióntieneunmínimolocalestricto;unmáximolocalestricto;unmínimolocalestricto.Lascoordenadasdeestospuntoscríticosson:1;f.1/1;0/mínimolocalestrictoB–0;f.0/B.0;1/máximolocalestrictoC–1;f.1/C.1;0/mínimolocalestrictoLocualconcuerdaconqueseapar.
8.2Máximosymínimoslocales
y
101Mínimolocal
Máximolocal
Mínimolocal
g.x/h.x/
Porelejercicio6delapágina344,sesabeque:h.x/
.x/
esdecrecienteenlosintervalos;0/.0;2/,yescrecienteenelintervalo.2;Además.x/EntoncestieneunpuntocríticoenPorserdecrecienteparax2ycrecienteparab.4;x2cercade,sepuedeasegurarqueenfuncióntieneunmínimolocalestricto.Laordenadadeestepuntoesh.2/
12:Además,.x/noexistepara.Perodebidoaquenoestáeneldominiodelafunciónsucedequeennosetieneunpuntocrítico.Porlotanto,lafuncióntienesolamenteunpuntocríticoqueesunmínimolocalestrictoyseen-cuentraenelpuntoP.2;12/
xy
Mínimolocal
h.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.x/
Porelejercicio7delapágina345,sesabeque:f.x/
.x/
escrecienteenlosintervalos2;0/,yesdecrecienteenlosintervalos.0;2/.2;Además.x/EntoncestieneunpuntocríticoenPorsercrecienteparax0ydecrecienteparab.4;x0cercadecero,sepuedearmarqueenlafuncióntieneunmáximolocalestricto.Laordenadadeestepuntoesf.0/
Además,.x/noexisteparanipara.Perodebidoaquenoestáneneldominiodelafunción,sucedequenotienepuntoscríticosendichosnúmeros.Porlotanto,lafuncióntienesólounpuntocríticoenP.0;0/yesunmáximolocalestricto.Lainformaciónanteriorconcuerdaconquef.x/espar.
y
Máximolocalestricto
f.x/g.x/
Porelejercicio8delapágina346,sesabeque:g.x/
.x/
p
escrecienteenelintervalo3;0/ydecrecienteenelintervalo.0;3/Además.x/EntoncestieneunpuntocríticoenPorsercrecienteparax0ydecrecienteparab.4;x0,sepuedeasegurarqueenlafuncióntieneunmáximolocalestricto.Laordenadadeestepuntoesg.0/
902Dp
9D
8.2Máximosymínimoslocales
Además,.x/noexisteparanipara.Entoncesenyenlafuncióntienepuntoscríticos.Porlotanto,lafuncióntienepuntoscríticosenA.0;3/queesunmáximolocalestricto,en3;0/yenC.3;0/dondetienemínimoslocalesestrictos.Elmáximolocalresultasermáximoabsolutoylosmínimoslocalesresultansertambiénabsolutos.
y
Máximolocal
g.x/h.x/
x443p
Porelejercicio9delapágina347,sesabeque:h.x/
x443p
.x/
3x1
3p
esdecrecienteenelintervalo;1/yescrecienteenelintervalo.1;Además.x/.x/noexisteen,queesunnúmerodeldominiodelafunciónEntonceslafuncióntienedospuntoscríticos:enyenPorserdecrecienteparax0ytambiéndecrecientepara8.3;x0(cercadecero),sepuedeasegurarqueen,lafunciónnotieneunmínimolocalniunmáximolocalestricto.Porserdecrecienteparax1ycrecientepara8.3;x1(cercadeuno),sepuedearmarqueenlafuncióntieneunmínimolocalestricto.Laordenadadeestepuntoesh.1/
1443p
Porlotanto,lafuncióntienesólounpuntocríticoenQ.1;yesunmínimolocalestricto.
y
Mínimolocal
PuntocríticoNoesmáximolocalNoesmínimolocal
h.x/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
f.x/
Porelejercicio10delapágina348,sesabeque:f.x/
.x/
escrecienteenlosintervalos.2;,yesdecrecienteenlosintervalos2;0/.0;2/Además.x/Lafunciónnoestádenidaen,queesunnúmeroquetampocoestáeneldominiodelafunciónEntonceslafuncióntienedospuntoscríticos:enyenPorsercrecienteparaydecrecientepara(cercade),sepuedearmarqueenlafuncióntieneunmáximolocalestricto.Porserdecrecienteparax2ycrecienteparab.5;x2(cercade),seaseguraqueenfuncióntieneunmínimolocalestricto.Porlotanto,lafuncióntieneunmáximolocalestrictoenelpunto2;f.2/mínimolocalestrictoenelpuntoQ–2;f.2/Q.2;32/
xy
Mínimolocal
Máximolocal
f.x/Loanteriorconcuerdaconquelafunciónesimpar.8.3ConcavidadyconvexidadEjercicios8.3.1Determinarlosintervalosdeconcavidadyconvexidad,asícomolospuntosdeinexióndelassi-guientesfunciones:g.x/g.x/.x/.x/Como.x/paracadareal,entonces.x/0paracadaPorlotanto,lafunciónesconvexa,esdecir,cóncavahaciaabajoentodosudominio.
8.3Concavidadyconvexidad
y
.x/0.x/
y
onvexa
g.x/f.x/f.x/.x/3.x.x/6.xConcavidad(concavidadhaciaarriba).x/�06.x1/�0�10�x1:Convexidad(concavidadhaciaabajo).x/06.x1/010x1:Lafunciónescóncava(haciaarriba)enelintervalo.1;yesconvexa(cóncavahaciaabajo)enelintervalo;1/Lafuncióntieneenuncambiodeconcavidadyademásescontinuaahí,porlotantotieneenunpuntodeinexión.Lascoordenadasdelpuntodeinexiónson:I–1;f.1/I.1;0/:
y
.x/0.x/&#x-276;&#x.300;0.x/
y
ConvexaCóncavaf.x/h.x/h.x/.x/.x/12.xConcavidad(concavidadhaciaarriba).x/�012�0.x/�0obien�x1:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Convexidad(concavidadhaciaabajo).x/01201x1:Lafunciónescóncava(haciaarriba)enelconjuntoo.1;yesconvexaocóncavahaciaabajoenelintervalo1;1/Lafuncióntienecambiosdeconcavidadenyendondeademásescontinua.Porlotantotienepuntosdeinexiónenyen.Lascoordenadasdelospuntosdeinexiónson:1;h.1/1;4/–1;h.1/.1;4/:Loanterioresnatural,puesesunafunciónpar.
y
.x/�0.x/0.x/&#x-276;&#x.300;0.x/
y
CóncavaConvexaCóncava
h.x/.x/.x/.x/.x/Paradeterminardonde.x/�0ydonde.x/0,primerovemosdonde.x/yluegoconstruimosunatablaconlosintervalosobtenidosaleliminarlospuntosdonde.x/.x/.5xobienobien
1:2obien
1:2.x/cuando
1:2,cuandoycuando
1:2Conestainformaciónsegeneranlosintervalos
1:2
1:2;0
1:2
1:2;
Intervalo
Númerodeprueba
Signode.x/
Concavidaddelafunción

1:2
C
haciaarriba
p
1:2x0

haciaabajo
0x
1:2
D1

haciaabajo
1:2x
D2
C
haciaarriba
8.3Concavidadyconvexidad
Porlotanto,lafunciónescóncava(haciaarriba)enlosintervalos
1:2
1:2;esconvexa(cóncavahaciaabajo)enelintervalo
1:2;
1:2Lafuncióntienepuntosdeinexiónen
1:2yen
1:2.Lascoordenadasdeestospuntosson:
1:2;.
1:2/
1:2;2:6/
1:2;.
1:2/
1:2;2:6/:
y
.x/�0.x/0.x/&#x-517;&#x.100;0
1:2
1:2.x/
y
CóncavaConvexaCóncava
1:2
1:2.x/f.x/
f.x/
.x/1/.2x/.2x/
.xCD2C
CD2
2.x
.x/.4x/2.x1/2.x1/2x
4x.x1/–x
.x/4x.3
Obtenemosprimerodonde.x/paraluegoversihayvaloresdedonde.x/noexista..x/4x.3
4x.3obien.x/obien
Además.x/existeparacadaConestainformaciónsegeneranlosintervalos
3
;p
3;0
3
yp
.
Intervalo
Númerodeprueba
Signode.x/
Concavidaddelafunción

3
x
C
haciaarriba
p
3x0

haciaabajo
0x
3
xD1
C
haciaarriba
3x
D2

haciaabajo
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Porlotanto,lafunciónescóncava(haciaarriba)enlosintervalos
3
y
yesconvexa(cóncavahaciaabajo)enlosintervalos
3;0
Lafuncióntienepuntosdeinexiónen
3;xyen
.Lascoordenadasdeestospuntosson:
3;f.
3/
3
–0;f.0/.0;0/
3;f.
3/
p
3
Todoconcuerdaconquelafunciónesimpar.
y
00.x/�0
f00.x/0
f00.x/�0
f00.x/0
p
3p
.x/
y
óncava
Convexa
Cóncava
Convexa
p
3p
f.x/g.x/
g.x/
.x/4/2x.2x/
.xD
D
.x/8x/2.x4/2x
8.x4/–.x
.x/
8.3x
Vemosprimerodonde.x/paraluegodeterminarlosvaloresdedonde.x/noexiste..x/8.3x
,loquenuncasucede.Lafunciónnoexistecuando,estoes,cuandoConestogeneramoslosintervalos2/;.2;2/.2;Obtenemoselsignode.x/encadaintervalo.
8.3Concavidadyconvexidad
Intervalo
Númerodeprueba
Signode.x/
Concavidaddelafunción

x
C
haciaarriba
2x2
D0

haciaabajo
2x
D3
C
haciaarriba
Lafunciónescóncava(haciaarriba)enlosintervalos.2;,yesconvexa(cóncavahaciaabajo)enelintervalo2;2/Lafuncióntienecambiosdeconcavidadenyen,peroenellosnoestádenida.Porlotanto,lafunciónnotienepuntosdeinexión.Locualconcuerdaconqueg.x/esunafunciónpar.
y
00.x/�0
g00.x/0
g00.x/�0
1
.x/
y
óncava
Convexa
Convexa
Cóncava
g.x/h.x/
h.x/
.x/.x/
3DC
2.x
.x/2.x
3D0,x3C8D0,xD3p
LafunciónnoestádenidacuandoConsiderandoloanteriorgeneramoslosintervalos2/;.2;0/.0;Obtenemoselsignode.x/encadaintervalo.
Intervalo
Númerodeprueba
Signode.x/
Concavidaddelafunción

x
C
haciaarriba
2x0

haciaabajo
0x
D1
C
haciaarriba
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lafunciónescóncava(haciaarriba)enlosintervalos.0;,yconvexa(cóncavahaciaabajo)enelintervalo2;0/Lafuncióntienecambiosdeconcavidadenyen,perosóloescontinuaenyaqueh.x/noexistepara.Porlotantotieneunsólopuntodeinexiónen.Lascoordenadasdeestepuntoson:2;h.2/2;0/:
y
00.x/�0
h00.x/0
h00.x/�0
.x/
y
óncava
Convexa
Cóncava
f.x/.x/5=32=3.x/5=32=3.x/
2=3
1=3.x/
1=3
4=3
95
1=3
4=3
91
4=3.x/2.5x
4=3
LafunciónnoestádenidaenConlainformaciónanteriorgeneramoslosintervalos
5;1
.0;Obtenemoselsignode.x/encadaintervalo.
Intervalo
Númerodeprueba
Signode.x/
Concavidaddelafunción

5
x

haciaabajo
1

haciaarriba
0x
D1
C
haciaarriba
Lafunciónesconvexa(cóncavahaciaabajo)enelintervalo
yescóncava(haciaarriba)enlosintervalos
.0;
8.3Concavidadyconvexidad
Lafunciónsólotieneuncambiodeconcavidaden
,dondeademásescontinua.Porlotantotieneunsólopuntodeinexión:
51
5I1
5;6
53p
[observamosque.x/2=3
xy
00.x/0
00.x/�0
00.x/�0
1
.x/
y
onvexa
Cóncava
onvexa
1
.x/f.x/f.x/.x/.x/12x.xConcavidad(concavidadhaciaarriba).x/�012x�012x.x1/�012x010obien12x&#x-110;0&#x-110;10x0x1obien8.3;x08.3;x1;0/;1/obien.0;.1;;0/obien.1;x0obien8.3;x1:.x/8.3;0enlosintervalos;0/.1;Convexidad(concavidadhaciaabajo)Porloanteriorsetieneque.x/0enelintervalo.0;1/Resumiendo:lafunciónescóncava(haciaarriba)enlosintervalos;0/.1;,yesconvexaenelintervalo.0;1/Lafuncióntienepuntosdeinexiónenyen.Lascoordenadasdeestospuntosson:–0;f.0/.0;0/–1;f.1/.1;1/:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
.x/�0
.x/0
.x/�0
.x/
y
óncava
Convexa
óncava
g.x/g.x/
g.x/
.x/
2x2/1
2x/x.4
.x/
2x2/3
2x/
2Dx2
x2/3
2C1
x2/1
.x/
x2/3
2D4

.x/�4x
2x2:Enesteintervalo.x/.1;0Porotraparte:g.x/
Entonceseldominiode2;2.x/�0entodoexceptoenlosextremos,porlocualsepuedearmarquelafunciónescóncavahaciaarribaentodosudominio.Lafuncióntienepuntosdeinexión.
y
00.x/�0
g00.x/�0
.x/
y
óncava
g.x/Ejercicios8.3.2Utilizandoelcriteriodelasegundaderivada,determinarlosmáximosymínimoslocalesdelasanterioresfunciones,esdecir,de:
8.3Concavidadyconvexidad
g.x/g.x/.x/.x/Puntoscríticos:.x/Lafuncióntienesólounpuntocrítico:enTipodepuntocrítico:.x/paracada.0/.0/0:Entoncestieneenunmáximolocalestricto.LascoordenadasdelpuntomáximosonA–0;g.0/A.0;4/,elcualresultasermáximoabsoluto.Loanteriorconcuerdaconquelafunciónespar.
y
Máximolocal
g.x/f.x/f.x/.x/3.x.x/6.xPuntoscríticos:.x/3.xLafuncióntienesólounpuntocríticoenTipodepuntocrítico:.x/6.x.1/Entonces,porelcriteriodelasegundaderivada,nopodemosasegurarlaexistenciadeunmáximonideunmínimoen,puestoque.1/Veamosahoraelcriteriodelaprimeraderivada..x/3.x.x/�0paracada.x/�0parax1.x/8.3;0para8.3;x1:Locualimplicaqueescrecienteparax1asícomoparab.4;x1.Porlotantoelpuntocríticoquetienenoesunmáximolocalnitampocounmínimolocal.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
PuntocríticoNoesmínimolocalNoesmáximolocal
f.x/h.x/h.x/.x/.x/Puntoscríticos:.x/4x.xobien.x/cuandoobiencuando
Lafuncióntienetrespuntoscríticos.Tiposdepuntoscríticos:.x/12.x
12.324�0,mínimo..0/12.0120,máximo.
12.31/24�0,mínimo.Lascoordenadasdeestospuntoscríticosson:
3;h.
3/
3;0/mínimolocalestricto;B–0;h.0/B.0;9/máximolocalestricto;
3;h.
3/
3;0/mínimolocalestricto.
y
p
30p
Máximolocal
Mínimolocal
Mínimolocal
h.x/Loanteriorconcuerdaconelhechodequelafunciónespar.Losmínimoslocalesresultanserabsolutos.
8.3Concavidadyconvexidad
.x/.x/.x/.x/Puntoscríticos:.x/obien.x/cuandoobiencuando
Lafuncióntienetrespuntoscríticos.Tiposdepuntoscríticos:.x/.5x
12.1048�0mínimo..0/nosesabe.
12.1048�0mínimo.Laincertidumbrequesetieneenseresuelveviendoqueelsignode.x/.5xlodaelfactor.Entonces:60
5j
6
1:11:1x1:1:Esdecir,lafunciónescóncavahaciaabajoenelintervalo1:1;1:1/quecontienea.Entoncestieneenunmáximolocalestricto.Lascoordenadasdeestospuntoscríticosson:
2;.
2/
mínimolocalestricto;Q–0;.0/Q.0;0/máximolocalestricto;
2;.
2/
mínimolocalestricto.
y
p
20p
Máximolocal
Mínimolocal
Mínimolocal
.x/Locualconcuerdaconelhechodeserlafunciónpar.Losmínimoslocalestambiénsonabsolutos.f.x/
Porelejercicio5delapágina359sesabeque:f.x/
.x/2.x
.x/4x.3
C:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Puntoscríticos..x/2.x
Lafuncióntienedospuntoscríticos.Tiposdepuntoscríticos:.x/4x.3
4.2/
10máximolocal..1/4.2/
�10mínimolocal.Lascoordenadasdeestospuntoscríticosson:1;f.1/1;1/máximolocalestricto;N–1;f.1/N.1;mínimolocalestricto.Locualconcuerdaconqueesimpar.Ambosvaloresextremosresultanserabsolutos.
y
Máximolocal
Mínimolocal
f.x/g.x/
Porelejercicio6delapágina360sesabeque:g.x/
.x/
.x/8.3x
Puntoscríticos:.x/
.x/noexistecuando,estoescuando.Perog.x/tampocoexistecuando(noestáneneldominiode).EntoncestieneunsólopuntocríticoenTipodepuntocrítico:.0/8.4/

máximolocal.Lascoordenadasdeestepuntocríticoson:M–0;g.0/M.0;0/máximolocalestricto.
8.3Concavidadyconvexidad
y
Máximolocal
g.x/h.x/
h.x/
.x/
.x/
Puntoscríticos:.x/
x2D0,8
x2,x3D4,xD3p
.x/noexistecuando.Peroh.x/tampocoexistecuando.Entoncestieneunsólopuntocríticoen
Tipodepuntocrítico:
2C
�60mínimolocal.Lascoordenadasdeestepuntocríticoson:
4;g.
4/
p
mínimolocalestricto.
y
3p
4N
p
Mínimolocal
h.x/.x/
3x2
.x/
3x2
.x/
3x2
32
3x1
.x/
91
x4
3.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Puntoscríticos:.x/
3x2
32
3x1
3D0,1
3
32
x1
3D0,1
32
x1
3D0,2D0,xD2
.x/noexistecuando,pero.x/síestádenidaen.Entoncestienedospuntoscríticos
Tiposdepuntoscríticos:
2.3/
2
54
mínimolocal;.0/noexiste,nadasepuedeasegurar.Paradecidireltipodepuntocríticoquetiene,recurrimosalcriteriodelaprimeraderivada.Elsignode.x/
32
x1
lodan
Puestoquelím.5x,entonces20paravalorescercadeAhorabien,alrededordehallamos:x0
x0
x1
.x/�0�x0
�x0
x1
.x/0:Sucedeentoncesqueescrecienteparax0yesdecrecientepara8.3;x0(cercadecero).Porlotantolafuncióntieneenunmáximolocal.Lascoordenadasdeestospuntoscríticosson:
52
5A2
5;3
53
4
[seobservaque.x/2=3]mínimolocalestrictoB–0;.o/B.0;0/máximolocalestricto.
y
2
Máximolocal
Mínimolocal
.x/
8.3Concavidadyconvexidad
f.x/f.x/.x/.x/Puntoscríticos:.x/.2xobien
Lafuncióntienedospuntoscríticos.Tiposdepuntoscríticos:.x/12x.x.0/nadasepuedeasegurar;
2D1
mínimolocal.Paradecidirsobreelpuntocríticoen,utilizamoselcriteriodelaprimeraderivada.Como.x/.2x,yademáspara,entonceselsignode.x/estadadoporelfactorAhora:302x3
.Entonces.x/0para
ypara.Porlotantoesdecrecientealrededorde.Conestopodemosarmarqueenlafunciónnotienemínimolocalnimáximolocal.Lascoordenadasdelpuntocríticoson:
23
2B3
2;
[observequef.x/]mínimolocalestricto.
y
3
PuntocríticoNoesmáximolocalNoesmínimolocal
Mínimolocal
f.x/Elmínimolocalresultaserabsoluto.g.x/
Porelejercicio10delapágina364sesabeque:g.x/
.x/
1=2.x/

Puntoscríticos..x/
Además.x/noexisteendondeg.x/síestádenida,porloquelafuncióntienepuntoscríticos.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Tipodepuntoscríticos:.x/

.0/
p
mínimolocal.Lascoordenadasdelospuntoscríticosson:P–0;g.0/P.0;0/mínimolocalestricto;2;g.2/2;2/máximolocalestricto;R–2;g.2/R.2;2/máximolocalestricto.
y
Mínimolocal
g.x/Elmínimolocalresultaserabsolutoylosotrosdospuntoscríticosresultansermáximosabsolutos.
CAPÍTULO
Grácadeunafunción9.1BosquejodelagrácadeunafunciónEjercicios9.1.1cadeunafunciónpolinomial.Sealafunciónf.x/Encuentrelosextremosrelativosyabsolutos(sitiene),losintervalosdondeseacrecienteydondeseadecreciente,tambiéncalculedóndeescóncavahaciaarribaydóndeescóncavahaciaabajo.Final-mentehagalagráca.Lafunciónesunpolinomiof.x/Calculamossuspuntoscríticos.x/3.xqueeselúnicopuntocrítico.Como.x/3.x,lafunciónesdecrecienteenynotienevaloresextremos.Analicemossuconcavidad.x/6.x�0;;x38.3;x3:Luego,escóncavahaciaarribaen;3/ycóncavahaciaabajoen.3;hayunpuntodeinexiónquees.3;1/Notemosquef.0/f.4/Lagrácadees:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Puntodeinexión
Dadalafunciónf.x/,determinar:Puntoscríticosyclasicación.Intervalosdondecreceobiendecrece.Puntosdeinexión.Losintervalosdeconcavidad.GrácadeLospuntoscríticosseránlasraícesdeladerivada,estoes:.x/.2x
Veamoscómoeslasegundaderivadaenellos:.x/12x.x1/;.0/porloquenopodemosdecidirsiesmáximoomínimorelativoconelcriteriodelasegundaderivada;analicemoslaprimeraderivada:.x/�0�30
.x/0
Porloqueennohayvalorextremoyaqueen
lafunciónesdecreciente.Encambio
2D3
23
�0:Porloqueen
lafuncióntieneunmínimolocallocualcoincideconquelafuncióndecreceen
ycreceen
Acabamosdeverquelafunciónesdecrecienteen
yescrecienteen
2;.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
yenhaypuntosdeinexión,puesahílasegundaderivadavaleceroycambiadesignocomosepuedeverenlatabla:
Signode
Intervalo
1
.x/12x.x
escóncavahacia
x0.1/

C
arriba
0x1


.01x
C
C
arriba
Comoacabamosdever,lafunciónescóncavahaciaarribaen;0/yen.1;,yescóncavahaciaabajoen.0;1/Tabulamosf.x/enalgunosvalores
2D3
233
22D
1
2
1:6875f.0/f.1/f.2/Lagrácadelafunciónes:
y
13
2201
16
f.x/PuntocríticoEsunpuntodeinexiónNoesmáximolocalNoesmínimolocal
Elmínimolocal
2;
resultasermínimoabsoluto.Paralafunciónh.x/,encuentre:Losintervalosenloscualesescrecienteobiendecreciente.LosvaloresmáximosymínimoslocalesdeLosintervalosdeconcavidadhaciaarribayhaciaabajo.Lospuntosdeinexión.Bosquejelagrácadeesafunción.Calculamossuderivada.x/4x.x4x.x2/.x
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
yaveriguamossusignomediantelatablasiguiente:
Signode
Intervalo
C2
2
.x/
2./



decreciente
2x0.2/


C
creciente
2/0
C


decreciente
20/2x
C
C
C
creciente
Lospuntoscríticosdelafunciónsonlafuncióntieneunmínimolocal,pueslafunciónahípasadeserdecrecienteasercreciente.Esomismoocurreen,comprobandoquelafunciónespar;elvalormínimoeslafunciónvaleh.0/ysetratadeunmáximo,puesahílafunciónpasadesercrecienteaserdecreciente.Calculamoslasegundaderivadadelafunción.x/.x/.4x16x/
3DxC2
p
32
p
Susignonoslodalatablasiguiente:
Signode
Intervalo
C2
p
3
2
p
3
.x/
escóncavahacia
2
p
32
p
3


C
arriba
2
p

p
3
C


2
p
32
p
3
C
C
arriba
p
yen
p
lafuncióntienesendospuntosdeinexión,pueslacurvacambiaelsentidodesuconcavidadyescontinua:
p
3D2
p
3482
p
32C

C
D


Dado
p
1:1547005.Lagrácadelafunciónes:
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
y
22
p
32
p
322
h.x/Losmínimoslocalesresultanserabsolutos.Sealafunciónf.x/Encontrarlosintervalosdemonotoníadelafunción.Esdecir,aquellosintervalosdondelafun-ciónescrecienteyaquellosdondeesdecreciente.Encontrarlosintervalosdeconcavidaddelafunción.Esdecir,aquellosintervalosdondelafunciónescóncavahaciaabajoyaquellosdondeescóncavahaciaarriba.Hacerunbosquejodelagrácadelafunción.Derivamos.x/3.x1/:Paracalcularlospuntoscríticoscalculamosloscerosoraícesdeladerivada,usandolafórmuladelacuadrática:
4
2D42p
3
2p
0:2683:732:Conestasraíceslafactorizacióndeladerivadaquedacomosigue:.x/3.x
.2Cp
3.x
3/.x
3/:Paraconocerlosintervalosdemonotonía,usamoslasiguientetabla:
Signode
Intervalo
.2p
.2Cp
.x/3.x
2p
3.

C
2p
3x
3
C


2Cp
3.�
C
C
Porlotanto,lafuncióncrecepara
ypara
ydecrecepara
2Cp
3
.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calculamoslasegundaderivada.x/6.x2/:Laúnicaraízesdondehayunpuntodeinexión.Seveclaroque.x/0paraoseaescóncavahaciaabajoahí;.x/&#x-269;&#x.400;0paraoseaescóncavahaciaarribaahí.Valuamoslafunciónenalgunospuntos
f.x/
2p
3
21:39
2
2Cp
3
0:6
ydamosunbosquejodelagrácadelafunción
xy
2p
322Cp
f.x/Paralafunciónf.x/,determine:Losintervalosdecrecimientoylosdedecrecimiento.Losextremosrelativos.Losintervalosdeconcavidadhaciaarribaylosdeconcavidadhaciaabajo.Lospuntosdein-exión.Lagráca.Calculemos:.x/3.x6x.xLospuntoscríticosestánenyen.x/�0�x0;luego,f.x/escrecienteen.0;2/,en.2;ytambiénen.x/0x0;luego,f.x/esdecrecienteen,en2;0/ytambiénen;0/Entonceselúnicoextremorelativoes.0;,dondelafunciónpasadeserdecrecienteasercreciente;porlotantoesunmínimo.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Calculemosladerivadade.x/6x.x.x/6.x2.x6.x4/.x6.x4/.5x6.x2/.x2/.
2/.
2/:Lasegundaderivadaesyen
p
0:89,ysusignoestádadoenlatablasiguiente:
Signode
Intervalo
C2
2
2
2
.x/
escóncavahacia
22
p
52
p
5




C
arriba
2x
p
52
p
5
C




2/
p

p
.2/
C


C
arriba
2
p
52
p

C
C


2
p
52
p
2x
C
C
C
C
arriba
Vemosentoncesqueen
p
yen
p
lafunciónescóncavahaciaabajo.Vemostambiénqueen,en
p
5;2
p
yen.2;loeshaciaarriba.Lospuntos2;0/
p
5;
0:89;32:77/sondeinexión.Tenemosademásquef.0/2:8/56:62Lagrácadelafunción
y
Cóncava
Convexa
Cóncava
Convexa
Cóncava
2
p
52
p
f.x/PuntocríticoEsunpuntodeinexiónNoesmáximolocalNoesmínimolocal
Todoconcuerdaconqueespar;.0;resultasermínimoabsolutoynotienemáximoabsoluto.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Considerelafunciónnidaporf.x/
6Cx4
Determinardominio,intervalosdecontinuidadylím!1f.x/,límf.x/.(NodeterminelasraícesdeDeterminelospuntoscríticosylosintervalosdemonotonía.Clasiquelospuntoscríticos(extremos)ydeterminelosintervalosdeconcavidad.Obtengalospuntosdeinexión,lagrácadeyelnúmeroderaícesde.(NointentecalcularlasraícesdeDominio:dondeescontinua.f.x/
6C1
1
x4C3
DC1.x/x.xResolviendoestaúltimaecuaciónpara
4C8
2p
Comoestamosentrenúmerosreales,desechamoslosvaloresdetalesque
,porser
30
1Cp
3
1:7320508
0:73205080:8555997Estosdosvalores,juntoconconstituyenlospuntoscríticos;además.x/
3!2 1Cp
3!DDxx2C1Cp
3x"
1Cp
3C"
1Cp
Como
�30siempre,elsignode.x/nosloda
1Cp
3C"
1Cp
Veámoslo:
Signode
Intervalo
C
1Cp
3

1Cp
3
.x/

1Cp
3.0
1Cp




1Cp
3x0.
1Cp


C
.
1Cp
3/0x
1Cp
3
C
C


.
1Cp
30/
1Cp
3x
C
C
C
Lafunciónescrecienteen
1Cp
3;0yen
1Cp
Lafunciónesdecrecienteen
1Cp
yen
1Cp
3
.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
1Cp
tenemosmínimosrelativosyenmáximorelativopueslafunciónpasadesercrecienteadecreciente,adiferenciadelosotrosdosanterioresenqueesafunciónpasadeserdecrecienteasercreciente.Paradeterminarlosintervalosdeconcavidadcalculemoslasegundaderivada.x/Veamosahoradóndeespositivaydóndeesnegativa.
10p
Nuevamentedesechamoslostalesque
5p
puesnosonreales,ytenemossólodospuntostalesqueanulanlaecuacióndecuartogrado:
3Cp
0:521325yademás.x/
5x22
5DD5x2C3Cp
#$xC
3Cp
%&#$x
3Cp
Como
siempre,elsignode.x/nosloda
3Cp
%&#$x
3Cp
Veámoslo:
Signode
Intervalo
C
3Cp

3Cp
.x/

3Cp
#$
3Cp
%&


C

3Cp

3Cp
C


#$
3Cp
%&
3Cp
C
C
Lafunciónescóncavahaciaarribaen
3Cp
%&[#$
3Cp
;&.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lafunciónescóncavahaciaabajoen
3Cp
;
3Cp
Lospuntosdeinexiónsetienenpara
3Cp
,puesenelloslasegundaderivadavaleceroycambiadesigno.Ahorabiencomof.x/
2Cx6
6,f"
1Cp
3D3C1p
3C32p
3C1
2C3p
333C3p
31
6DD4p
3C2p
3Cp
35
3D
p
2:6012825:Hallamosque
1Cp
3;2:6012825/sonpuntosdelagrácadedondehaymínimosrela-tivos..0;3/hayunmáximorelativo.Lagrácadees:
y
q
1Cp
3q
1Cp
f.x/Resultaquelosmínimosrelativossontambiénmínimosabsolutos.Lospuntosdeinexiónson
3Cp
$
3Cp
0:521325;3
3
5C6p
9
–p
6p
19
0:521325;3
0:521325;3
0:521325;2:7684981/:Lafunciónnotieneraíces.Todoconcuerdaconquelafunciónespar.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Ejercicios9.1.2cadeunafunciónracional.Paralafunciónf.x/
,determinarlosintervalosdecrecimientoydedecrecimiento,lospuntoscríticosysuclasicación,asícomolosintervalosdeconcavidadhaciaabajoyhaciaarriba.Finalmente,conestoselementoshagaunbosquejodelagrácadelafunción.Vamosaderivardosveceslafunción.x//2x2x/
x2/2D2C
.x/
(*)Deaquícalculamoslasegundaderivada.x/2.12x/
x2/4D4x2/x2/C
.x/
(**)LafunciónestádenidaentodoslosrealesexceptoenlaraícesdeldenominadorobienDeaquíconcluimosque:Dominiodelafunción=f1;1Lasraícesdesonlasraícesdesunumerador(siempreycuandoesténeneldominiodelafunción)LaraízdeLasasíntotasverticalesdevienendadasporloscerosoraícesdeldenominadorquenosoncerosdelnumerador,enestecaso:LasasíntotasverticalesdeParalasasíntotashorizontalescalculamosf.x/
1x2D
1
Así:eslaasíntotahorizontaldelafunciónLasraícesdesonlasraícesdesunumerador,querepresentaunpuntocríticodeDelaexpresiónvemosqueelsignodeladerivadanosloproporcionaelnumerador.Porloqueconcluimosque:Lafuncióncreceen.0;1/yen.1;Lafuncióndecreceenyen1;0/:Tambiénobtenemosdeaquíquef.0/esunmínimorelativo.Elsignodelasegundaderivadanosloproporcionaeldenominador,peroestaexpresióntieneelmismosignoqueg.x/.Usamosportantoestaexpresión.Lasraícessonytambién.Sievaluamosenpuntosintermediosapropiadosobtenemos2/0.0/&#x-276;0.2/0.x/0.x/&#x-293;&#x.500;01;1/.x/0.1;
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Estonosdiceque:Lafunciónescóncavahaciaabajoenn.1;Lafunciónescóncavahaciaarribaen1;1/Laconcavidadcambiaen,perocomonoestádenidaenesosvalores,lafunciónnotienepuntosdeinexión.Contodalainformaciónanteriorestamoslistosparadarunbosquejodelagráca.Paraprecisarla,vamosaevaluarlafunciónendospuntos,notandoqueespar:f.2/
1.D8
14
Tambiénnotamosque:f.x/
x/.1D1Df.x/f.x/
x/.1DC1Df.x/:Lagrácadelafunciónes:
y
2128
3
f.x/Paralafunciónf.x/
,determinarlosintervalosdecrecimientoydedecrecimiento,lospuntoscríticosysuclasicación,asícomolosintervalosdeconcavidadhaciaarribayhaciaabajo.Finalmente,conestoselementoshagaunbosquejodelagrácadelafunción.VemosqueeldominiodeIntervalosdemonotonía:calculemosladerivadadelafunción.x/2.x1/x2x.x
Simplicandoyfactorizando2.x.x/2.x1/.x
2.x
,(con0/:Dedondevemosqueelpuntocríticoes1(ahíladerivadavale0).
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Veamosahoraelsignodeladerivadaydeaquíinferiremosdóndelafunciónescrecienteydóndedecreciente.
Signode
Intervalo
3
1
.x/
x0.1/

C
creciente
0x1


decreciente
.0x
C
C
creciente
Vemosquepara,esdecir,enelpunto.1;0/delagrácadelafunciónhayunmínimolocalpueslafunciónahípasadeserdecrecienteasercreciente;ademásresultasermínimoabsoluto,puesf.x/paraIntervalosdeconcavidad:calculemoslasegundaderivadadelafunción.x/2.x
simplicando.x/6.x
4D6
x4D6
2.32x/
.x/�02x�0;esdecir,si2x3osea
porloquelafunciónescóncavahaciaarribaen;0/
.x/02x0;estoes,cuando2x&#x-276;3obiencuando
Dedondeinferimosqueestafunciónescóncavahaciaabajoen
yqueen
23
hayunpuntodeinexión;ycomo
2D3
212
3
22D1
22
9
4D1
4
9
4D1
elpuntoes
2;1
Parabosquejarlagrácadelafunción,enfaticemosqueescontinuaensudominioyob-servemosquelarectaesasíntotahorizontalyaquef.x/
x2D21
x2D2
xC1
yqueesasíntotaverticalpuesf.x/
DC1Conjuntandotodosestoselementos,lagrácadelafunciónes:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
13
f.x/Sealafunciónf.x/
.Proporcione:Eldominiodelafunción.Lasraícesdelafunción.Losintervalosdemonotonía.Losintervalosdeconcavidad.Lagrácadelafunción.Dominio:Lasraíces:2;2Vamosaderivarlafunción(
d
24
Dd

.2x/4/2.x
1/–.x1/.2x/4/2
1/.2x/2.x
DC8
DD8
x4
Laraízdeladerivadaes.LaderivadanoestádenidaenElsignodelaprimeraderivadavienedadoporlaexpresión
Losintervalosdemonotoníaloscalculamosconlatablasiguiente:
Intervalo
Valordeprueba
x4
x1
Signode.x/
x1
4
1

1x4
24
21
C
4x
4
1

9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Lafunciónesdecrecienteen;1yen.4;Lafunciónescrecienteen.1;4/–4;f.4/
hayunmáximolocalestricto.Calculamoslasegundaderivada
Dd
2x4
d
–.x.1/4/3.x
3.x4/.x
–.x3.x4/
3.x
Dx1

DD2
Laraízdelasegundaderivadaes
ElsignodelasegundaderivadavienedadoporlaexpresiónLosintervalosdeconcavidadloscalculamosconlatablasiguiente:
Intervalo
Valordeprueba
Signode.x/
x1

1x
2
7

20
Lafunciónescóncavahaciaabajoen;1/
Lafunciónescóncavahaciaarribaen
Paracalcularlasasíntotashorizontalesobtenemosf.x/
D24
x21D4
x2
12
xC1
Tenemosunaúnicaasíntotahorizontal:Tenemosigualmenteunaúnicaasíntotavertical:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Vamosaevaluarlafunciónenalgunospuntos
f.x/
4
4
1:3333
11
1:296
Usandotodalainformaciónanteriorydadoquelímf.x/
D1,lagrácadelafunciónes:
y
41
f.x/Elmáximolocalestricto.4;1:
resultaserabsoluto.Sealafunciónf.x/
.Proporcione:Eldominiodelafunción.Losintervalosdemonotonía.Losintervalosdeconcavidad.Lospuntosdeinexión.Lagrácadelafunción.Dominio:notieneraíces.Vamosaderivarlafunción
d
1
1Cx2
x2/
x2/2
LaraízdeladerivadaesElsignodelaprimeraderivadavienedadoporlaexpresión
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Losintervalosdemonotoníaloscalculamosconlatablasiguiente:
Intervalo
Valordeprueba
x
Signode.x/
x0
1
1
C
�x0
1

Lafunciónescrecienteen;0/Lafunciónesdecrecienteen.0;–0;f.0/.0;1/hayunmáximolocalestricto.Calculamoslasegundaderivada
Dd

x2/2 Dd
2x
x2/2 Dx2/2d
.x/
x2/2
–.1/.2x/
.1x2/4Dx2/2x2/
/–.1
x2/4Dx2/
x2/31
x2/3DD21
Laraícesdelasegundaderivadalasobtenemosalresolverlaecuación
p
3)x
3
0:577:ElsignodelasegundaderivadavienedadoporlaexpresiónLosintervalosdeconcavidadloscalculamosconlatablasiguiente:
Intervalo
Valordeprueba
1
Signode.x/
p
3
3

3.1
C
p
3

3
3
0
1

p
3
3
3.10/
C
Lafunciónescóncavahaciaarribaen
3
3[p
3
Lafunciónescóncavahaciaabajoen
3
3;p
3
3.Enp
3
3;p
3
haypuntosdeinexiónqueson:
3
3p
3
3p
3
3;3
4.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Notemosademásqueesunafunciónparyquelaasíntotahorizontales,pues
Ahora,lagrácadelafunción
xy
13
41
p
31
p
f.x/Elmáximolocal.0;1/resultaserunmáximoabsoluto.Considerelafunciónnidaporh.x/
Halleeldominioylasraícesdelafunción.Lasasíntotasverticalesylashorizontales.Lospuntoscríticos.Losintervalosdeconcavidad.Hagaunbosquejodeesafunción.Eldominiodelafunción:Lafunciónesimpar.Lasraícesdelafunciónsonaquellosvaloresquehacenceroelnumerador(ynohacenceroeldenom-inador),entonces:
3,x
obien
Asíntotasverticales:cerosdeldenominadorquenosoncerosdelnumerador.Enestecasoseveclaramentequelaúnicaasíntotaverticalesyquelímf.x/D 1Asíntotashorizontales.Paraestocalculamosh.x/
x3D1
x3
EntonceslaúnicaasíntotahorizontalesCalculamosladerivadadelafunción.x/.2x/3/.3x
–x.2x/3/.3/
6DDC9
.x/
(*)Lafunciónespar.Paraencontrarlospuntoscríticos,igualamosacerolaprimeraderivada:.x/obien
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Puestoqueenhayunaasíntotavertical,consideramoscomointervalosparaelanálisisdelsignodelaprimeraderivadaa3;0/.0;3/.3;Sóloconsideramoselnumerador,pueseldenominadordelaprimeraderivadasiempreespositivo.Asítomandocomovaloresdepruebaenesosintervalosatenemos:904/0.x/00.3;&#x-293;&#x.500;902/&#x-293;&#x.500;0.x/&#x-293;&#x.500;0para3;0/0/.0;3/:Entonceslafunciónescontinuaentalesintervalos.Concluimosque:Lafunciónescrecienteen3;0/yen.0;3/Lafunciónesdecrecienteenyen.3;Parahayunmínimolocal,
9
,puesahílafunciónpasadeserdecrecienteasercrecienteyparahayunmáximolocal,h.3/
,puesahí,porlocontrario,pasadesercrecienteaserdecreciente.Calculamosahoralasegundaderivadadelafunción,apartirde.x/
x40Dx2/
x8DDC
x8D
x8D
2.x
�x0,elsignodeladerivadanosloda,entonces:Para�x0.x/�0
2/.x
2/�0
�20
�20obien
20
20
�x3
obien
x3
2,,x23p
obien
Entonces,si�x0escóncavahaciaarribapara
escóncavahaciaabajopara0;3
porserelcomplemento.Comoesimparconcluimosque:escóncavahaciaarribasi
2;0
escóncavahaciaabajosi
0;3
Luego,lospuntos
5
p
4:243;0:1964/
p
sondeinexión.Contodosestosdatos,podemoshacerelbosquejodelagrácadelafunción
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
p
3p
31

133
3p
23p
h.x/Sealafunciónf.x/
Digaenquéintervalosescóncavahaciaarriba,cóncavahaciaabajo,determinelospuntosdeinexiónygraque.Calculemosprimerolaprimeraylasegundaderivada.x/
CD1x2
.x/2x.x2.x1/2x.1
2x.x4x.1
CDD
CD
Luego,lospuntosdeinexiónseencuentrancuando2x.x2x.x
3/.x
0,xD0&x
Elsignodelasegundaderivadanoslodaestamismaexpresión,pueseldenominadorsiempreespositivo.Determinemoselsignodelasegundaderivada:
Signode
Intervalo
Cp
3
p
3
.x/
escóncavahacia
p
3.0



p
3x0.


C
arriba
p
3/0x
3
C
C


p
30/
3x
C
C
C
arriba
Como2x.x2x.x
3/.x
,susignonoslodax.x
3/.x
Además:;laúnicaraízdeylafunciónesimpar.Dadoquelímf.x/
x
1C1
,entoncesesasíntotahorizontal.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Lospuntoscríticosdecuando.x/Elsignode.x/noslodax/.1,luego:
Signode
Intervalo
Cx
x
.x/
1.1/
C

decreciente
1x1
C
C
creciente
1/1x


decreciente
,hayunmáximorelativopuespasadesercrecienteaserdecrecienteytambiénf.1/
,hayunmínimorelativopuespasadeserdecrecienteasercrecienteytambién
Lasordenadasdelospuntosdeinexiónson
p
3
0:4330127asícomof.0/Ycontodaestainformaciónlagrácadees:
y
p
3p
0:4330:433
21
f.x/Dadalasiguientefunción:f.x/
determinesusintervalosdemonotonía,lospuntosextremosygraqueesafunción.Comof.x/,entonces:.x/
1
�21obien�x3,obienx1:Luego,escrecienteen;1/yen.3;ydecrecienteen.1;2/yen.2;3/:Observeque
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lospuntoscríticosaparecencuando.x/
D0,1
obienComoenlafunciónpasadesercrecienteaserdecreciente,enelpunto–1;f.1/1;1
.1;1/,lafuncióntieneunmáximorelativo.Yen,unmínimorelativopueslafunciónpasadeserdecrecienteasercreciente;Elmínimoesf.3/
Tambiénvemosquelímf.x/D1yquelímf.x/D1,límf.x/DC1Ademásf.x/
x2Dx2x2C1
x2Dx2x1
x2D0,,x2x1D0,xD1p
1C4
1:60:6sonlasraíces.Lagrácaes:
y
f.x/Gracarlafunciónf.x/
,determinando:Dominio,raícesysimetría.Asíntotas.Intervalosdemonotonía.Intervalosdeconcavidad.Puntoscríticosysuclasicación.Puntosdeinexión.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Comosetratadeunafunciónracional,sudominiosonlosrealesmenoslasraícesdeldenomi-nador,estoes,lastalesqueDominio:fPorlotantolafuncióntieneunaraízen,yaquef.x/
Yesimpar,pues
1.
f.x/:Calculamosf.x/
x/.1DC1If.x/
x/.1D1Porloquelarectaesunaasíntotaverticaly,porparidad,larectatambiénesasíntotavertical:f.x/
x/.1DC1If.x/
x/.1D1Porotrolado:f.x/
x
1
x21D0
01D0
Porloquelarectaesasíntotahorizontal.Calculemosladerivada.x//.1/2x/
x2/2D1x2C
x2/2D1Cx2
Lafunciónescrecienteen1;1/yen.1;yaque.x/�0paracadaCalculemoslasegundaderivadadelafunción.x/.x/.2x/2.12x/
2x.14x.1
x2/3DDC
x2/3D
2x.3
Elsignodelasegundaderivadalodanx/.11/.x.Usamoslatablaquesigueparadeterminarlosintervalosdeconcavidad:
Signode
Intervalo
C1
.x/
1./

C
C
1x0.1/

C

1/0
C
C
C
�x1.�0�
C


CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Porlotanto:Lafunciónescóncavahaciaarribaenen.0;1/Lafunciónescóncavahaciaabajoen1;0/0/.1;Lafunciónnotienepuntoscríticos;en.0;0/tieneunpuntodeinexiónyaqueahísugrácambiaelsentidodesuconcavidad(pasadeserhaciaabajoaserhaciaarriba)yademásescontinua.Yahoraveamossugráca:
y
f.x/Sealafunciónf.x/
Encuentrelospuntoscríticosylosintervalosdecrecimientoydecrecimiento.Encuentrelospuntosdeinexiónylosintervalosdeconcavidad.Encuentrelasasíntotasverticalesyhorizontales.Hagaunbosquejodelagráca.Puntoscríticos:Primeronecesitamoscalcularladerivadadelafunción.x/2x.x
2x.x
D
Elúnicopuntocríticoesyobservamosque,entonceslosintervalosdemonotoníason:x05.x/b.4;0;puestoquetantocomosonnegativos,escreciente.0x5.x/0,puestoque10x&#x-293;&#x.500;0ytantocomosonnegativos,decreciente.&#x-293;&#x.500;x5.&#x-293;&#x.500;0/.x/&#x-293;&#x.500;0,puestoquetantocomoytambiénsonpositivos,f.x/escreciente.Sumáximolocalestricto:–0;f.0/.0;0/Puntosdeinexión:Calculemoslasegundaderivadadelafunción.x/10.x3.x
10.x
DD
D5
:
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Elsignodeestaderivadasegundalodaelnumerador,yaquepara�502x�5
2:5
,lagrácadelafunciónescóncavahaciaarriba:502x
2:5
yen.5;,lagrácaescóncavahaciaabajo;ypara
,hayunpuntodeexión,puesahílagrácacambiaelsentidodelaconcavidadylafunciónescontinua.Talpuntodeinexiónes:
25
2'(()5
2;
5
252*++,D'(()5
2;

2*++,D5
2;1
f.x/
D1,porloquelarectaesasíntotavertical.f.x/
x21
1
C
2D1
10C0D1
Larectaesasíntotahorizontal.Lagrácadees:
y
515
f.x/Paralafunciónf.x/
x2C1
,determine:Dominio,raícesyparidad.Intervalosdecrecimientoydedecrecimiento.Intervalosdeconcavidadhaciaarribaydeconcavidadhaciaabajoypuntosdeinexión.Intervalosdecontinuidadylaclasicacióndediscontinuidades.Ecuacionesdelasasíntotasverticalesydelasasíntotashorizontales.Máximosymínimosrelativosyabsolutos.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Esbozográcoyrango.Sudominioes:Raíces:comof.x/
f.x/
Paridad:f.x/
x2C1
x3)1
.C1
.D1
x21
f.x/
x2C1
x3
x21
Luego,f.x/f.x/Porlotanto,lafunciónnoesparytampocoesimpar.Derivamos:f.x/.x/
x3C3
x43
Aquíesimportanteobservarque,paracada,setieneque.Poresto:.x/�0
x43
30
.x/0
x43
�30
Porlotanto,escrecienteenelintervalo
;esdecrecienteenlosintervalos
.0;Segundaderivada:.x/.x/
x4C
5D
Primerovemosque.x/
Considerandoestenúmeroyexcluyendoa,generamoslosintervalos2;0/.0;,enloscualesveremoselsignode.x/
Intervalo
Valordeprueba
.x/
escóncavahacia

x
2
arriba
2x0
60
0x
D2
3
4
arriba
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Luego,escóncavahaciaarribaenlosintervalosyen.0;Yescóncavahaciaabajoenelintervalo2;0/Existencambiosdeconcavidadenyen,perolafunciónnoescontinuaendehecho.EntonceshayunpuntodeinexiónenPorserunafunciónracional,escontinuaentodosudominio.Estoes,continuaenelconjunto;0//.0;LafuncióntieneunadiscontinuidadenComolím&lím,entonceslímf.x/
x3D“1
.Esdecir,ladiscontinuidadesesencial;sedicetambiénqueladiscontinuidadesinnita.Precisamoslímf.x/determinandoloslímiteslaterales:f.x/
x3D“1
Puestoque,entoncesx0†.5;10Como1/†.5;0,entonces
,porloque
!1Porlotantof.x/D1Porotrolado,f.x/
x3D“1
Puestoque,entonces�x0�10Como1/�0,entonces
,porloque
!C1Porlotanto:f.x/DC1Deloanteriorsedesprendequelarectaesunaasíntotaverticalyqueademáseslaúnica.Ahorabien,f.x/
x2C1
&lím!1f.x/Luego,larectaesunaasíntotahorizontalyademáseslaúnica.Vemosque:.x/
x4D0,3D0,x
locualimplicaquetieneunúnicopuntocríticoen
Porelinciso(b)sesabequeescrecientepara
ydecrecientepara
Entonces,porelcriteriodelaprimeraderivada,tieneen
unpuntomáximolocalestricto.Lafunciónnotienemáximonimínimoabsoluto,yaquef.x/D1&límf.x/DC1
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Precisamoslascoordenadasdelpuntodeinexiónydelmáximolocalestricto.Puntodeinexión2;f.2/
Máximolocal
23
2M3
2;4
Lagrácadees:
y
13
2
f.x/Elrangodef.x/estodoParalafunciónf.x/
,determine:Eldominioylasraícesdelafunción.Losintervalosenloscualesescrecienteobiendecreciente.LosvaloresmáximosymínimoslocalesdeLosintervalosdeconcavidadhaciaarribayhaciaabajo.Lasasíntotasverticalesyhorizontales.Lagrácadeesafunción.Vemosque2/.xff.x/
Calculemosladerivadadelafunción.x/4x.x
D
D
Observamosque.x/�0x0f.x/escrecienteenyen2;0/yque.x/0&#x-293;&#x.500;x0f.x/esdecrecienteen.0;2/yen.2;.x/.Entonceslafuncióntieneenunmáximolocal,puesestafunciónahípasadesercrecienteaserdecreciente.Elmáximolocalesf.0/
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Calculamoslasegundaderivada.x/16.x2.x4/2x
16.x64x
64x
DC
16.3x
Elsignodelasegundaderivadanosloda2/.x.Luego:
Signode
Intervalo
C2
2
24
.x/
escóncavahacia
2.2/

C
C
arriba
2x2



2/2x
C
C
C
arriba
Lasasíntotasverticalessonf.x/
2/.xDC1If.x/
2/.xD1If.x/
2/.xD1If.x/
2/.xDC1Paraloscálculosanterioresseusa:Porloquelafunciónnotienevaloresextremosabsolutos.
x24D
x214
x2D
14
x2D2
10D2
Luego,esasíntotavertical.Lagrácadees:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Todoconcuerdaconquelafunciónespar.Considerelafunciónf.x/
.2xydetermine:Eldominio,raíceseintervalosdecontinuidad.Asíntotasverticalesyhorizontales.Losintervalosdemonotonía,lospuntosmáximosymínimos(absolutosyrelativos).Losintervalosdeconcavidadypuntosdeinexión.Bosquejográcoyrango.Sudominio:SuraízesLafunciónescontinuaensudominio.Siescribimos:f.x/
4.x
2.x
2.x
paravemosque:!1f.x/f.x/porlotanto,esunaasíntotahorizontal.Vemostambiénqueesunaasíntotavertical.Encontramos:f.x/DC1Partiendodef.x/
2x
calculamosladerivada.x/
2.x
D1
2
DD1
22x
2xC2
:
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
ElsignodeestaderivadavienedadoporyporConstruimoslatabla:
Signode
Intervalo
C2
.x/
2.2/
C

2x2
C
C
�x2.�


yconcluimosqueestafunciónescrecientepara2;2/yqueesdecrecienteparayen.2;Conlainformaciónobtenidasevequelafunciónnotienemáximorelativoniabsolutoyquef.x/tieneunmínimolocal,enelpunto2;f.2/
D1
Partiendode:.x/
2xC2
calculamoslasegundaderivada.x/
3.x
.3x
D
2x26
28
DxC4
Elsignodelasegundaderivadaloproduce,así:Lafunciónescóncavahaciaabajoen.x/0ahí;Lafunciónescóncavahaciaarribaen4;2/yen.2;yaque.x/&#x-293;&#x.500;0entalesintervalos;hayunpuntodeinexiónquees4;f.4/
Lagrácadelafunciónes:
f.x/
Rango:
:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Paralafunciónf.x/
,determine:Dominio,raíces,paridad.Intervalosdecrecimientoydedecrecimiento.Intervalosdeconcavidadhaciaarribaydeconcavidadhaciaabajo;puntosdeinexión.Intervalosdecontinuidadylaclasicacióndediscontinuidades.Ecuacionesdelasasíntotasverticalesydelasasíntotashorizontales.Máximosymínimosrelativosyabsolutos.Esbozográcoyrango.Dominio:Raíces:f.x/
.2/
3p
1:26:Paridad:puestoquef.1/
1D3&1C2
,entoncesnosecumplenif.1/.Conlocualquedaprobadoquelafunciónnoesparniimpar.Podemosescribirf.x/
xDx2C2
derivamosestaúltimaexpresión.x/
x2D2
2.x
eldiscriminantedelacuadráticaes:10lacuadráticanotieneraícesrealesysevequesiempreespositiva.Porejemplo,envale&#x-110;10PorlotantoelsignodeladerivadavienedadosóloporelfactorConcluimosentoncesque:.x/0;1/esdecrecientesi;0/obien.0;1/.x/&#x-293;&#x.500;0.1;escrecientesi.1;Calculamoslasegundaderivadaapartirde.x/
.x/
x3DC4
x3D2
x2x3C2
xD2
x221
321
3xC22
3/
Lacuadrática
3xC22
tienediscriminante:
3422
notieneraícesrealesyademássiempreespositiva.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Porejemplo,envale
Así,elsignodelasegundaderivadavienedadopor
Usamoslatablasiguienteparaverelsignodelasegundaderivada:
Signode
Intervalo
C3p
2
.x/
3p
2.0/

C
3p
2x0/


�x0.�
C
C
Hallamos:.x/�0
.0;escócavahaciaarribaahí;.x/0
2;0escócavahaciaabajoahí;
hayunpuntodeinexiónquees
2;f.
D3p
2;0Lafunciónescontinuaentodosudominioyentieneunadiscontinuidadesencialinnita.Vemosquef.x/
D1If.x/
DC1If.x/
DC1Larectaesunaasíntotaverticalynotieneasíntotashorizontales.Analizandoelcambiodesignodelaprimeraderivada,vemosqueenhayunmínimolocalquetieneporcoordenadas.1;3/.Noexistenmáximosnimínimosabsolutos.Lagrácadelafunciónes:
y
13p
f.x/Elrango:Paralafunciónf.x/
,determine:Dominio,raíces,paridad.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Intervalosdecrecimientoydedecrecimiento.Intervalosdeconcavidadhaciaarribaydeconcavidadhaciaabajo;puntosdeinexión.Intervalosdecontinuidadylaclasicacióndediscontinuidades.Ecuacionesdelasasíntotasverticalesydelasasíntotashorizontales.Máximosymínimosrelativosyabsolutos.Esbozográcoyrango.Dominio:Raíces:Paridad:puestoquef.2/
yque
.
,entoncesnosecumplequef.2/niquef.2/.Esdecir,lafunciónnoesparniesimpar.Esclaroquenopuedeserparniimparpueseldominionoessimétricoconrespectoalorigen.Derivamos.x/.1/x–2.x1/
1/–.x2x
Dx1
C1
DC1
x11
vemosqueelsignodeladerivadaloproporcionayelsignoexterior.Usamoslatablasiguiente:
Signode
Intervalo
C1
1
1
.x/
1.1/



1x1


C
�x1.�
C


Concluimosentoncesque:Lafunciónesdecrecienteparaypara.1;Lafunciónescrecientepara1;1/Calculamoslasegundaderivada.x/.1/3.x
–.x3.x1/
4
DD2xC2
D
vemosqueelsignodelasegundaderivadaloproporcionaelfactor20&#x-110;20
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Porlotanto:LafunciónescóncavahaciaabajoparaLafunciónescóncavahaciaarribapara2;1//.1;hayunpuntodeinexión2;f.2/
Lafunciónescontinuaensudominioencontramosunadiscontinuidadesencialinnita,pueslímf.x/DC1Siescribimosf.x/
x21D1
x2C1
para,vemosque:!1f.x/f.x/Porlotanto,larectaesasíntotahorizontaldef.x/Tambiénsecompruebaquelarectaesasíntotaverticaldef.x/,pueslímf.x/DC1Puntocrítico:,yaqueeselúnicoparaelque.x/Delatablaanterior[inciso(b)]sedesprendequelaprimeraderivadacambiadesignoenestepuntodenegativoapositivo.Conestopodemosdecirqueenhayunmínimolocal.Dehecho,conjuntandoinformaciónqueobtendremosinmediatamente,esunmínimoabsoluto.Lafunciónnotienemáximoabsoluto.Evaluamoslafunciónyseobtiene
Lagrácadees:
y
f.x/Rango:
Ejercicios9.1.3cadeunafunciónconradicales.f.x/
3
,determinar;intervalosdemonotoníaydeconcavidad;máximosymí-nimoslocales,ypuntosdeinexión.Usandoestainformación,dibujarunesbozodelagrácadelafunciónEscribamosf.x/
x.x–x.x
3:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Vemosqueycalculamoslaprimeraderivada:.x/2x.x
3
3/–.x2x
3x
3
3.x3/.x
3x
3
3DxC1
x2
3
3DxC1
3/
,elsignode.x/nosloda
32
3D
espositivoparaAverigüemospueselsignode1/.x
queeselde.x/,teniendoencuentaqueyque.x/
Signode
Intervalo
1
3
C1
.x/
3.10/

C
creciente
3x1.0/


decreciente
3/1x0
C
C
creciente
1/0x
C
C
creciente
Parahablardeconcavidad,tenemosquecalcular.x/
3
31
3x4
32
–2x.x
3
1/.3x6x/
4
3
3
3
3DC
3x
3
3DD
3x
3
3D2
x5
3
3D2
3
Determinamossusigno.x/�0x0.x/b.4;00.3;0/.x/0&#x-293;&#x.500;x0::.3;0/escóncavahaciaarribaysi&#x-293;&#x.500;x0escóncavahaciaabajo.Lospuntoscríticosde,yaque.x/,yademás.x/noexisteendondelafunciónescontinua.Máximosymínimos:Tantoalaizquierdacomoaladerechadeescreciente;luego,ennohayvalorextremo.Como1/&#x-293;&#x.500;0hayunmínimolocalquevale
3D3p
1:587401
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Lagrácadecontienealpunto
haymáximolocal,puesestafunciónpasadesercrecienteadecrecienteyvale.PorserDC1,ensetieneunpico.Puntosdeinexión:Dadoqueenlasegundaderivadacambiadesignoylafunciónescontinua,ahítenemosunpuntodeinexiónelcual,comof.0/,eselorigen.Lagrácadelafunción
313p
4
f.x/f.x/
x23p
,determinarlosintervalosdemonotoníaydeconcavidadde;máximosymínimoslocales,ypuntosdeinexión.Usandoestainformación,esbozarlagrácadeCalculemosladerivadadef.x/
5x5
.x/
5x3
55
3x2
3D6
5C2
3
5D6
15
Para�x0f.x/escrecientesi
15x
156
6
0:324Lafunciónescrecienteen
Ydecrecienteen
Análogamenteparax0esdecrecientesi
15x
156
6
Perocomo
nuncaescrecienteparax0,ysíesdecrecienteen;0/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Calculemosahoralasegundaderivadadef.x/.x/
154
5
5x2
56
15
5D
54x
5C
15
5DD
15
15
5D
15
225x
Como
,siempreque,elnumerador250x
nodaelsignodelasegundaderivada.Lafunciónescóncavahaciaarribasi250x
54�0250x
15x
15
250
250
19
125
Esdecir,si
125
Yesconvexasi
125
obien.0;Calculemoslospuntoscríticos,ademásde,dondelafuncióntieneunmínimorelativo,elorigen.0;0/,puesahípasadeserdecrecienteasercreciente:.x/
150,6D
15x
156
xD6
dondelafuncióntieneunmáximorelativo,puesahílafunciónpasadesercrecienteaserdecre-cienteenelpunto
196
6
6
.0:324;0:484/:Lospuntosdeinexiónseobtienendondelasegundaderivadacambiadesigno;esdecir,calculemoscuando.x/
150,
15x
15
250x
250
19
125
ydondelafuncióntieneunpuntodeinexión,puesenelpunto
125
19
1256

125
0:298;0:749/lacurvagrácadef.x/pasadesercóncavahaciaarribaasercóncavahaciaabajooconvexa.Encontramosque:Lafunciónescrecienteen.0;0:32411/Estafunciónesdecrecienteen;0/yen.0:32411;Escóncavahaciaarribaen0:298242/Escóncavahaciaabajoen0:298242;0//.0;.0;0/esunmínimolocal;enlatangenteesvertical.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Lagrácatieneunpico,yaqueD1.0:324;0:484/esunmáximolocal;0:298242;0:7494817/espuntodeinexión;f.x/
5Dx5
lasraícesdeDibujamosahoralagrácadelafunción
0:290:320:749
f.x/Considerelafunciónf.x/
.Determinar:Dominio,raíces,intervalosdecontinuidad.Intervalosdemonotoníaypuntosextremos.Intervalosdeconcavidad.Bosquejográco.Proporcioneelrango.Dominio:
2,DfD1
Raíces:
1D0,p
1,D1,,1D0,xD2p
4
Quenosonreales,pues640:lafunciónnotieneraícesreales.Dehechof.x/&#x-276;0siempre.Continuidad:Lafunciónescontinuaentodosudominio.Primeraderivada:.x/
p
11
p
1p
4,,
2x�
16
f.x/escrecienteen
32
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
asícomo.x/
p
11

f.x/esdecrecienteen
2;
Luego,.x/
p
1D0,4D1
p
1,4p
1D1,1,xD
asícomo.x/.2x1=2
2.2x3=2
.2x
2))f
32D1


�0:Existeunúnicopuntocríticoysuscoordenadasson:
32yD

161D
1
4D
;setratadeunmínimolocalabsolutoSegundaderivada:.x/
.2x
para
Luego,lafunciónescóncavahaciaarriba.Lagrácadelafunción
xy
1
f.x/Rango:
Paralafunciónf.x/
determine:Dominioyraíces.Intervalosdecrecimientoydecrecimiento.Máximosymínimosrelativos.Intervalosdeconcavidadhaciaarribaydeconcavidadhaciaabajo.
9.1Bosquejodelagrácadeunafunción
Puntosdeinexión.Máximosymínimosabsolutos(siloshubiese).Grácadelafunción.Dominio:Raíces:Derivamosparaconocerlosintervalosdemonotonía:.x/
5x4
5x1
5DxC3C
5x
5DD3
5D3
51
x4
Elsignodelaprimeraderivadaloda.Vemosque
ytambiénsonpuntoscríticos;Lafunciónesdecrecientesi
lafunciónescrecientesi
Porloanterior
esunmínimolocal,basándonosenelcriteriodelaprimeraderivada.Ennohayvalorextremo,yaqueen
yen.0;lafunciónescreciente.Calculamoslasegundaderivada:.x/
5'()x4
.2x
5x1
5
x8
5*+,D6
5x4
52
5
x8
5DD6
52
5
x8
5D6
x2
x9
5DD6
1
x4
5x2
vemosentoncesquesonlosquedanelsignodelasegundaderivada.Puestoqueseanulanenyen,nosayudamosdelatablasiguienteparaconocerlosintervalosdeconcavidaddelafunciónf.x/
Signode
Intervalo
2
.x/
x0.2/

C
0x2


�x2.�0/
C
C
Lafunciónescóncavahaciaarribaen;0//.2;Lafunciónescóncavahaciaabajoen.0;2/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Porloanterior,enyencambialaconcavidad,yporlotanto.0;0/.2;5
.2;5:74/sonpuntosdeinexión.
tieneunmínimoabsoluto.Estafunciónnotienemáximoabsolutopueslímf.x/DC1Lagrácadelafunciónes:
y
31
2255p
f.x/
9.2InterpretacióndegrácasysímbolosEjercicios9.2.1cadeunafunciónsujetaaciertascondiciones.Bosquejarlagrácadeunafuncióncontinuaquesatisfagatodaslascondicionessiguientes:f.2/.2/f.0/.0/noexiste;.x/DC1.x/0.x/&#x-293;&#x.500;0.x/&#x-293;&#x.500;0;0/.x/0.0;Ungrácaposibledelafunciónes:
y
41352
f.x/
9.2Interpretacióndegrácasysímbolos
Darunbosquejodelagrácadeunafunciónquecumplelosrequisitossiguientes:!1f.x/f.x/f.x/DC1.x/�0para.x/�0paraf.x/f.0/f.x/D1.x/0para2x1.x/0para2x1f.x/f.3/.3/.x/0para1x3.x/&#x-110;0para&#x-110;x3.x/&#x-110;0para1x5f.5/.x/0para&#x-293;&#x.500;x5f.x/Unbosquejoposibledelagrácadeeselsiguiente:
y
f.x/Dibujeunagrácadeunafunciónquesatisfagalascondicionessiguientes:f.x/f.x/f.0/f.x/DC1f.x/D1f.x/!1f.x/noexiste;.1/.x/0para0x1
Porlascondicionesdadas:larectaesunaasíntotavertical,lasrectasasícomosonasíntotashorizontales,lagrácatieneunpicoennalmentepodemosconsiderarqueexisteunpuntodeinexiónenUnaposiblegrácadees:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
112
f.x/Traceunaposiblegrácaparaunafuncióncontinuaensudominio:;5f2;3yquesatisfaga:f.5/f.1/
f.x/DC1f.x/!1f.x/.1/.2/.4/.x/�0.x/�0.1;4/.x/02;1/.x/0.4;5/Especiquelosintervalosdeconcavidaddesugráca,losmáximosymínimoslocales,yabsolutos.Unagrácaposibledelafunciónes:
y
212345
2234
f.x/Lafunciónescóncavahaciaarribaen
.2;3/Lafunciónescóncavahaciaabajoen
.3;5/hayunmínimolocal.Estambiénunmínimoabsoluto.hayunmáximolocal.Lafunciónnotienemáximosabsolutos.
9.2Interpretacióndegrácasysímbolos
Traceunaposiblegrácaparaunafuncióncontinuaensudominio:f3;2yquesatisfaga:f.1/f.x/f.x/DC1f.x/.1/.x/�0f.x/02;1/f.x/&#x-293;&#x.500;0.1;2/.x/0.2;Especiquelosintervalosdeconcavidaddesugráca,losmáximosymínimoslocales,yabsolutos.Unagrácaposibledelafunciónes:
y
4321121123
f.x/Lafunciónescóncavahaciaarribaen
.0;2/.2;Escóncavahaciaabajoen
yen1;0/Hayunmáximolocalenyunmínimolocalenqueademásesmínimoabsoluto.Darunbosquejodelagrácadeunafunciónquecumplalassiguientescondiciones:.x/�0paraa.2;4/.x/0para.4;tieneasíntotaverticalenesasíntotahorizontaldeBosquejolagrácadelafunciónf.x/,conlascondicionesdadas:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
y
f.x/Ejercicios9.2.2Interpretarlagrácadeunafunción.Considerelasiguientegrácadelafunción
xy
f.x/236
ydetermine:Lospuntosdondeladerivadanoexiste.Lospuntosdonde.x/Losintervalosdonde.x/�0Losintervalosdonde.x/0Losintervalosdonde.x/&#x-293;&#x.500;0Losintervalosdonde.x/0noexisteen.x/.0;2/.2;3/3;0/.3;3;2/.2;
9.2Interpretacióndegrácasysímbolos
Silagrácade
f.x/
halle:Dominio,raíces,paridadyrango.Monotonía,máximosymínimoslocalesyabsolutos.Concavidadypuntosdeinexión.Intervalosdonde.x/�0,donde.x/0,donde.x/&#x-293;&#x.500;0ydonde.x/0Puntosdonde.x/eintervalosdondef.x/&#x-293;&#x.500;0ydondef.x/0Dominio:;5Raíces:Noesparniimpar.Rango:;3Escrecienteenyen
Ydecrecienteen
Tieneunmáximolocalen3;3/yunmínimolocalen
3;3/esmáximoabsolutoynotienemínimoabsoluto.Escóncavahaciaarribaen2;0/yen.2;5/ycóncavahaciaabajoenyen.0;2/;lospuntosdeinexiónson2;2/.0;0/.2;.x/�0yen
.x/03;0/yen
.x/�02;0/yen.2;5/.x/0yen.0;2/.x/3;3/,en.0;0/yen
f.x/�07;0/f.x/0yen.0;5/
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Apartirdelagrácadadade,cuyodominioes0:5;
xy
1123456
f.x/determine:Losintervalosdecrecimientoylosdedecrecimiento.Losintervalosdeconcavidadhaciaarribaylosdeconcavidadhaciaabajo.Losmáximosymínimosrelativos,losmáximosymínimosabsolutos,ylospuntosdeinexión.Lafunciónescrecienteen0:5;0;–1;3;–4;5yen–6;lafunciónesdecrecienteen–0;1;–3;4yen–5;6Lafunciónescóncavahaciaarribaen–0:5;2yen–3:5;4:5lafunciónescóncavahaciaabajoen0:5;0:5;–2;3:5–4:5;Losmáximosrelativosson.0;2/;.3;4/.5;3/Losmínimosrelativosson.1;0/.4;2/.6;1/Notienemáximoabsolutoyelmínimoabsolutoes.1;0/Lospuntosdeinexiónson.0:5;1/;.2;2/;.3:5;3/.4:5;2:5/Apartirdelagrácade
xy
f.x/
determineelconjuntodepuntosdeldominiodequesatisfacen:
9.2Interpretacióndegrácasysímbolos
.x/�0.x/0.x/.x/0.x/.x/noexiste..x/&#x-293;&#x.500;0paraa.1;2/.x/.x/00.4;2/[.1;1/1/.2;;.4;3/[.0;2//.2;;.2;0/:4;xnoexisteladerivada.gurasiguientemuestralagrácadeladerivadadeunafunciónlacualescontinuaentodoslosreales.
y
.x/.3;5/
Apartirdeella,determine:Intervalosdondeescrecienteodecreciente.PuntoscríticosdeExtremosrelativosdeConcavidaddeAbscisasdelospuntosdeinexióndeLafunciónescrecientedonde,locualsucedeenlosintervalos.0;1/.1:2;3/Lafunciónesdecrecientedonde,locualsucedeenlosintervalos1;0/.1;1:2/.3;Lafuncióntienepuntoscríticosdonde,loquesucedeenyen1:2,oenpuntosdeldominiodedondenoexiste,locualsucedeen
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Debidoaque.x/0esdecrecienteenelintervalo1;0/.0/escrecienteenelintervalo.0;1/,yaque.x/&#x-438;0;entoncessepuedearmar(porelcriteriodelaprimeraderivada)quelafuncióntieneenunmínimolocalestricto.Análogamenteporserdecrecienteenelintervalo.1;1:2/.1:2/y,puestoquecrecienteenelintervalo.1:2;3/,sepuedearmar(porelcriteriodelaprimeraderivada)quelafuncióntienetambiénen1:2unmínimolocalestricto.EnpodríahaberunmáximolocalestrictoenelcasoenqueestuvieseeneldominiodeLafunciónescóncavahaciaarribadonde,esdecir,dondeescreciente.Enestecaso,escrecienteentodosudominio,porlocualescóncavahaciaarribaenlosintervalos1;1/.1;3/.3;Pornoexistircambiosdeconcavidad,notienepuntosdeinexión.lafunciónquetienelasiguientegrá
y
f.x/11245
determine:Losintervalosdecontinuidadylossiguientesvaloresf.x/,límf.x/,límf.x/f.a/paraLaclasicacióndediscontinuidades.¿Encuálespuntosyconquévaloressepuederedeparaconvertirlaenunafuncióncontinuaenesospuntos?Losintervalosdonde.x/�0.x/0ylospuntosdonde.x/,odondenoexisteladerivada.Lafunciónescontinuaenn–2;2//.2;5//.5;Tenemosf.x/;límf.x/;límf.x/noexiste;
9.2Interpretacióndegrácasysímbolos
f.x/D1;límf.x/;límf.x/noexiste;f.2/noestádenido;f.x/;límf.x/;límf.x/f.5/setieneunadiscontinuidaddesalto.setieneunadiscontinuidadesencialinnita.setieneunadiscontinuidadremovible.Siredenimoslafuncióncomof.5/,lafunciónsehacecontinuapara.x/01;2/yen.2;4/.x/&#x-293;&#x.500;0yen.4;.x/.x/noexisteennienunafuncióncontinuaencuyaprimeraderivadatienelasiguientegráca:
y
.x/
Determinardóndelafunciónescrecienteydóndeesdecreciente.Explicarademás,cómoeslatangentealagrácadeLafunciónescrecientecuandoladerivadaespositiva,estoes,parara.2;1/[.2;Lafunciónesdecrecientecuandoladerivadaesnegativa,esdecir,para1;2/latangenteesvertical.latangenteeshorizontal,paralelaaleje,conpendientecero.Dehechotieneaquíunmáximolocalporqueladerivadacambiadesignodepositivoanegativo.latangenteeshorizontal,paralelaaleje,conpendientecero.Dehechotieneaquíunmínimolocalporqueladerivadacambiadesignodenegativoapositivo.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
CAPÍTULO
OptimizaciónProblemasdeoptimizaciónProblemasdeoptimizaciónEjercicios10.1.1Hallardosnúmerospositivoscuyasumaseaycuyoproductoseamáximo.losnúmerospositivosquecumplenlarestriccióndada,donde(lasuma)esunaconstante.Yseaelproductodeambosnúmeros.Deseamosencontrarlosnúmerosquehacenmáximoesteproductoconlarestricciónanterior.Despejandodelarestricción:Sustituyendoporloanteriorenelproductoobtenemosunafuncióndeunasolavariable.x.SDerivandoseobtiene:Lasegundaderivadaessiemprenegativaparatoda
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Paraencontrarlospuntoscríticos:
Yaque
max
tenemosunmáximo.Ademásmax
2DS
Observación.Ambosnúmerosmaxmaxsoniguales.Hallardosnúmerospositivoscuyoproductoseaycuyasumaseamínima.dichosnúmerospositivosquecumplenlarestriccióndadadonde(elproducto)esunaconstante.Ysealasumadeambosnúmeros.Deseamosencontrarlosnúmerosquehacenmínimaestasumaconlarestricciónanterior.Despejandodelarestricción:
Sustituyendoporloanteriorenlasumaobtenemosunafuncióndeunasolavariable.
Derivandoseobtiene:
x2IS
Lasegundaderivadasiempreespositiva,puestoqueespositivo.Paraencontrarlospuntoscríticos:.
x2D0)x2P
x2D0)x2PD0)x2DP)xDp
Yaque
p
,enmin
tenemosunmínimo.Además,min
p
PDp
Observación.Ambosnúmerosminminsoniguales.
10.1Problemasdeoptimización
Hallardosnúmerospositivoscuyoproductoseaylasumadelprimeromástresveceselsegundoseamínima.elprimero&elsegundodedichosnúmerospositivosquecumplenconlarestriccióndadadonde(elproducto)esunaconstante.Ysealasumadelprimeromaseltripledelsegundo.Deseamosencontrarlosnúmerosquehacenmínimaestasumaconlarestricciónanterior.Despejandodelarestricción:
Sustituyendoestoenlasumaobtenemosunafuncióndeunasolavariable.
Derivando:
x2IS6P
Lasegundaderivadasiempreespositiva,puestoqueespositivo.Paraencontrarlospuntoscríticos:
x2D0)x2
2D0)x20)x2DxDp
3P:Yaque
3P/
p
3P/hayunmínimoenmin
min
p
1
3
1
3p
1
minHallardosnúmerospositivostalesqueelsegundonúmeroseaelinversomultiplicativodelprimeroylasumaseamínima.dichosnúmerospositivosquecumplenconlarestriccióndada
Lasumadeambosnúmeroses
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Deseamosencontrarlosnúmerosquehacenmínimaestasumaconlarestricciónanterior.Sustituyendo
enlasumaobtenemosunafuncióndeunasolavariable:
Derivandoseobtiene:
x2IS2
Lasegundaderivadasiempreespositiva,puestoqueespositivo.Paraencontrarlospuntoscríticos:
x2D0)x21
Yaque.1/
.1/�20hayunmínimoenminademásmin
Observación.Ambosnúmerosminminsoniguales.Hallardosnúmerospositivostalesqueelprimeromásveceselsegundosumenyelproductoseamáximo.dichosnúmerospositivosquecumplenconlarestriccióndadadondeesunaconstante.Seatambiénelproductodeambosnúmeros.Deseamosencontrarlosnúmerosquehacenmáximoesteproductoconlarestricciónanterior.Despejandodelarestricciónny:Sustituyendoenelproductoobtenemosunafuncióndeunasolavariable,enestecasony/y
10.1Problemasdeoptimización
Derivando:2ny2n:Lasegundaderivadaessiemprenegativa,puesParaencontrarlospuntoscríticos:2ny2ny
Yaque
2n0hayunmáximoenmax
max
SS
2DS
maxLasumadetresnúmerospositivoses30.Elprimeromáseldobledelsegundo,máseltripledeltercerosuman60.Elegirlosnúmerosdemodoqueelproductodelostresseaelmayorposible.lostresnúmeros,entoncesclaramenteloquetenemosquemaximizareselproductoxyz.Comoaparecentresvariables,vamosatratardeexpresarloentérminosdeunaúnicavariable,porejemplo.Paraellotenemosunpardecondicionesadicionales:(E1)(E2)(*)Sustituimosen(E2)2x:SustituyendoestaexpresiónenquedaPorúltimo,lafunciónamaximizaresxyz.302x/,estoesf.x/Yaexpresadoenfuncióndeunasolavariable,sepuedebuscarunmáximohallandolospuntoscríticosdedelafunción.x/.x/6x.xobienCalculandolasegundaderivada,.x/.10/0:Porloqueensetieneunmáximo.Entonces,esdecir:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Ungranjeroquetienemdecercadeseaencerrarunárearectangularydividirlaentrescorrales,colocandocercasparalelasaunodelosladosdelrectángulo.¿Cuáleseláreatotalmáximaposibledelostrescorrales?
Eltotaldelacercaquesetiene,segúnlagura,es:4x:Eláreadeloscorraleses:xy:Deseamosencontrarlasdimensionesdelacercaquehacenestaáreamáxima.Despejamosdelarestricciónanterior
2x:Sustituyendoenobtenemosunafuncióndeunavariable.x.122x/Derivamos:Observación.Lsegundaderivadasiempreesnegativa.Paraobtenerlospuntoscríticos:Además.3/40maxhayunmáximo;maxmaxEláreatotalmáximadelostrescorraleses:
10.1Problemasdeoptimización
Ungranjeroquetienemdecercadeseaencerrarunárearectangularydividirlaencuatrocorrales,colocandocercasparalelasaunodelosladosdelrectángulo.¿Cuáleseláreatotalmáximaposibledeloscuatrocorrales?
Eltotaldelacercaquesetiene,segúnlaguraes:5x:Deseamosencontrarlasdimensionesdelacercaquehacenmáximaelárea.ElárearectangulartotalesA=xy.Despejamosdelarestricciónanterior:
DC
25
Sustituyendoenobtenemosunafuncióndeunavariable.
25
2xDC
2x5
Derivamos:
Observación.Lasegundaderivadasiempreesnegativa.Paraobtenerlospuntoscríticos:
20)C
2)xDC
Además
50
hayunmáximo;max
25
2C
C
2C
4DC
4D5
2C
5
maxEláreamáximaparaloscuatrocorraleses:
4DC2

CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Ungranjeroquetienemdecercadeseaencerrarunárearectangularydividirlaencorrales,colocandocercasparalelasaunodelosladosdelrectángulo.¿Cuáleseláreatotalmáximaposibledeloscorrales?
:::corralesEltotaldelacercaquesetiene,segúnlaguraes:1/x:Deseamosencontrarlasdimensionesdelacercaquehacenmáximaelárea.Eláreaes:xy:Despejamosdelarestricciónanterior1/x
DC
2nC1
Sustituyendoenobtenemosunafuncióndeunavariable.
2nC1
2xDC
2xnC1
Derivamos:
1/x1/:Observación.Lasegundaderivadasiempreesnegativa.Paraobtenerlospuntoscríticos:
1/x1/x
2)xDC
2.nAdemás,como,entoncesen
2.nsetieneunmáximo.Ytambién,max
2nC1
2C
2.n
2C
4DC
4DnC1
2C
2.n
max
10.1Problemasdeoptimización
Eláreatotalmáximadeloscorraleses:
2.n
4DC2
8.nUnrancheroquierebardeardoscorralesrectangularesadyacentesidénticos,cadaunodeáreacomosemuestraenlagura.
¿Cuántodebenmedirparaqueseutilicelamínimacantidaddebarda?Labardaquesequiereconstruirtieneunalongitudquedependedelasvariables,lasqueasuvezestánrelacionadasporelárea;dedonde
AlsustituirenseobtieneP.s/
1200squeahoradependedelaúnicavariable.Además.s/1200s1200
asícomo
Observación..s/2400spara�s0,luegoenhayunmínimodeP.s/Unganaderodeseacercarunpradorectangularjuntoaunrío.Elpradohadetener180000paraproporcionarsucientepasto.¿Quédimensionesdebetenerelpradoparaquerequieralamenorcantidaddecercaposible,teniendoencuentaquenohayquecercarenelladoquedaalrío?Dibujamoselprado:
y
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Eláreadelpradoes:180000Elperímetroquequeremosminimizares:Despejandodelaexpresióndelárea:180000
ysustituyendoenlaexpresióndelperímetro,tenemosunafuncióndeunasolavariable:P.x/180000
Suspuntoscríticossehallancuando.x/,esdecir,cuando180000
180000
90000DesechamosComo.x/180000
360000
vemosque.300/�0:Luego,paramtenemoslamenorcantidaddecercaposible.Unterrenorectangularestádelimitadoporunríoenunladoyporunacercaeléctricadeunsolocableenlosotrostreslados.¿Cuálessonlasdimensionesdelterrenoquenosdaneláreamáxima?¿CuáleslamayoráreaquepuedacercarseconuncabledeVeamoslagurasiguiente
Eláreadelterrenoes:xy:Elperímetrodelterrenoes:m,segúnlosdatosproporcionados.
10.1Problemasdeoptimización
Deaquíobtenemos:2y:SustituyendoenlafórmuladeláreaseobtieneunafuncióndeunavariableA.y/.8002y/y800yqueeslafuncióncuyomáximodeseamoscalcular..y/.y/40:Lasegundaderivadaesnegativa,porloqueelpuntocríticoseráunmáximo.y/
200:Paracalcularlalongituddelotroladodeterreno(la),sustituimos:2.200/Porlotanto,lasdimensionesdelterrenoquenosdaneláreamáximasonLamayoráreaquesepuedecercarconestascondicionesesde80000Sedeseahacerunacajaabiertaconunapiezacuadradadematerialdecmdelado,cortandocuadri-tosigualesdecadaesquina.Hallarelmáximovolumenquepuedelograrseconunacajaasí.guraposiblees
xxxxxxx
Elvolumen,quenospidenes:V.x/.122x/x.4x144x:Suspuntoscríticosson:.x/12.x12.x2/.x
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Podemosdesechar,puesfísicamentenotienesentido.Paracmelvolumenes:V.2/4.2/48.2/144.2/Como:.x/24x.2/960;setratadeunmáximo.Sevaaconstruirunacajaconlapartesuperiorabiertaapartirdeuntrozocuadradodecartónquetienemetrosdelado,recortandouncuadradoencadaunadelascuatroesquinasydoblandolosladoshaciaarriba.Encuentreelvolumenmásgrandequepuedetenerlacaja.
xxxxxxxL
Segúnlagura,2x/Eldominiodeestafunciónes
2x/2.L2x/.2/x2x/4x.L2x/2x/.L4x/2x/.L6x/8Lx24x:Lospuntoscríticossonlosnúmerosquesatisfacen2x/.L6x/Esdecir,
2&x2DL
.Desechamos
,puesfísicamentenotienesentido.Para
6VL
4L0:
10.1Problemasdeoptimización
Locualnosdicequeen
existeunmáximorelativodelvolumen.Tenemosqueevaluarlafunciónvolumenenlosextremosdesudominioyenelpuntocríticoanterior.V.0/
2D0IVL
6DL2L
62L
6DLL
32L
6D2
3L2L
6D4
91
6L3D2
Elvalor
esdondeelvolumenesmáximo.Hallelasdimensionesdelrectángulodeáreamáximaquesepuedeinscribirenuncírculoderadio
rxyDp
r2x2
Setrabajaconlacuartapartedelrectángulo.Segúnlagura,lafunciónquedeseamosoptimizareselárea:
Eldominiodeestafunciónes–0;rParafacilitarlasoperacionesvamosatrabajarconelcuadradodeestaexpresión,elcualtienelosmismospuntoscríticos.UsaremoslanotaciónAsíhallamosqueParacalcularlospuntoscríticos:2x.rEstosecumplesiobiensi,esdecir,si
p
.Desechamos,puesnosetendríaunrectángulo.Evaluandolasegundaderivadaenelúltimopuntocrítico:
p
2D2
2DxDr
p
encontramosunmáximo.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Elvalorcorrespondientedees:
r2x2D
r2r2
2D
r2
2Dr
p
Enlosextremosdeldominiosevequelafunciónseanula.Regresamosalafunción
p
2Dr
p
2
r2r
p
22Dr
p
2r
p
2Dr2
Lasdimensionesdelrectánguloconáreamáximasonmax
p
max
p
Esdecir,esuncuadrado.Unacajaconbasecuadradaypartesuperiorabiertadebetenerunvolumende.Encuentrelasdimensionesdelacajaqueminimicenlacantidaddematerialusado.
Elvolumendelacaja,segúnlaguraes:Eláreadelacajasintapaes:4xy:Despejamosdelarestriccióndada,estoes,delafórmuladelvolumenysustituimosen
x2IADx2CV
x2Dx2C
:
10.1Problemasdeoptimización
Derivando:
2D
2IA2C
Calculamospuntoscríticos:min
2V:Hayunmínimo,yaque
2V/�60:Luego:min
min
.2V/
3D1
2
.2V/
3D1
.2V/
3D1
23p
1
minUnacajaconbaseytapacuadradasdebetenerunvolumende.Encuentrelasdimensionesdelacajaqueminimicenlacantidaddematerialusado.
Elvolumendelacaja,segúnlaguraes:Eláreadelacajacontapaes:4xy:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Despejamosdelarestriccióndada,estoes,delafórmuladelvolumenysustituimosen
2IADC
2DC
Derivando:
2D
2IA4C
Calculamospuntoscríticos:
50:Hayunmínimo,yaque
12�0:Luego:min
min
.50/
3D3p
minUnacajaconbaseytapacuadradasdebetenerunvolumende.Encuentrelasdimensionesdelacajaqueminimicenlacantidaddematerialusado.
xxyy
10.1Problemasdeoptimización
Elvolumendelacaja,segúnlaguraes:Eláreadelacajacontapaes:4xy:Despejamosdelarestriccióndada,estoes,delafórmuladelvolumenysustituimosen
x2IADCV
x2DC
Derivando:
2D
2IA4C
Calculamospuntoscríticos:
Hayunmínimo,yaque
12�0:Luego:min
min
.V/
3D3p
minSequiereconstruirunacisternaconbaserectangularysintapa,demaneratalqueelanchodelabaseseaeldobledelaalturadelacisterna.Calcularlasdimensionesquedebetenerlacisternaparaqueelvolumenseadeyserequieralamínimacantidaddematerialensuconstrucción.
Elvolumendelacisternaesáreadelabase()porlaaltura()yesiguala(datoqueseproporciona)..2xy/x(A)
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Eláreatotal(cantidadmínimadematerialdeseada):2.2x2.x4xy(B)Despejamos.A/
(C)Sustituyendoen.B/obtenemos:
2CD
Derivandoestaútimafunción:
8x:Calculamoslasegundaderivada:
�80,pues�x0:Tenemosentoncesquelagrácadeescóncavahaciaarribapara�x0,locualnosdicequeelpuntocríticoquecalculemosseráunmínimoabsoluto.Paracalcularlospuntoscríticosigualamoslaprimeraderivadaacero:
2C0)
x2D0)D0)x3D
D5)xD3p
5D51
Sustituimosen.C/parahallarladimensiondelotroladodelabasedelacaja:
3/2D25
52
3D251
2x:Concluimosentoncesquelasdimensionesdelacisternaconlamínimacantidaddematerialensuconstrucciónson:basecuadradadelado
ydealto
Unrecipienterectangularparaalmacenamiento,conlapartesuperiorabierta,debetenerunvolumen.Ellargodesubaseeseldobledelancho.Elmaterialparalabasecuestapesoselmetrocuadrado.Elmaterialparaloscostadoscuestapesoselmetrocuadrado.Encuentrelasdimensionesparatenerelmásbaratodeesosrecipientes.
xy
10.1Problemasdeoptimización
Elvolumen(V)delrecipiente,delagura,esunaconstante:Elcostototaldelosmaterialeseslafunciónquedeseamosoptimizar:2xyL4xyL6xyL:(*)Despejamosdelarestriccióndada,estoes,delafórmuladelvolumen
Sustituimosen;enlafuncióncostoparaobtenerunafunciónconunavariable:
3LV
4xB3LV
4Bx3LV
6LV
Lasegundaderivadaespositivapara�x04Bx3LV3LV
4BxD3
3LV
Hayunmínimoabsolutoparamin
3LV
min
3LV
4B2
3D1
2
3LV
4B
3LV
4B2
3D2
3B
3LV
4B1
3D2
3B
minSisecuentacon1000dematerialparahacerunacajaconbasecuadradaylapartesuperiorabierta,encuentreelvolumenmáximoposibledelacaja.
xxyy
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Eltotaldematerialusadoenlacajasintapa,segúnlagura,es:4xy1000:Elvolumendelacajaeslafunciónquesedeseaoptimizar:Despejandodelarestricción,estoes,delafórmuladeláreaysustituyendoen1000
1
1000
Sustituyendoenseobtieneunafuncióndeunasolavariable:
1000
xD1
.1000x
.1000
6x/0,para&#x-276;x0:Paracalcularlospuntoscríticos,igualamoslaprimeraderivadaacero:10001000
1000
Hayunmáximoabsolutoparamax
1000
max
1000
1000

1000
%..&D3
1000

1000
1
3
1000
%..&D3
4
1000
1
3
1000
DD3
42
3
1000
D1
2
1000
D1
maxLuego,max1000
1
2
1000
D1
1000
3
2:
10.1Problemasdeoptimización
Sisecuentacondematerialparahacerunacajaconbasecuadradaylapartesuperiorabierta,encuentreelvolumenmáximoposibledelacaja.
Eltotaldematerialusadoenlacajasintapa,segúnlagura,es:4xyElvolumendelacaja,lafunciónquesedeseaoptimizar,es:Despejandodelarestricción,estoes,delafórmuladeláreaysustituyendoen
1
4M
xxIVD1
4x2M
xxD1
Elvolumenseencuentraahoraconunasolavariable.
4/IV1
6x/0,para&#x-276;x0:Paracalcularlospuntoscríticos,igualamoslaprimeraderivadaacero:
M
3:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Hayunmáximoparamax
M
max
4#--$M

M
3
M
3%..&D3
4#--$M
3

M
31
3
M
3%..&D3
4
M
31
3
M
3DD3
42
3
M
3D1
2
M
3D1
maxAdemás,max
31
2
M
3D1
2M
33
Sisecuentacon1000dematerialparahacerunacajaconbasecuadrada,encuentreelvolumenmáximoposibledelacaja.
Eltotaldematerialusadoenlacajacontapa,segúnlagura,es:4xy1000:Elvolumendelacaja,lafunciónquesedeseaoptimizar,es:Despejandodelarestricción,estoes,delafórmuladeláreaysustituyendoen1000
1
1000
IVD1
1000
D1
1000x
10.1Problemasdeoptimización
Elvolumenseencuentraahoraconunasolavariable:
.1000
12x/0,para&#x-251;&#x.900;x0:Paracalcularlospuntoscríticos,igualamoslaprimeraderivadaacero:10001000
1000
D
Hayunmáximoparamax
max
1000
2
%..&D6
1000

1
3
%..&D6
4
1
3
DD6
42
3
D
maxLuego:max

Sisecuentacondematerialparahacerunacajaconbasecuadrada,encuentreelvolumenmáximoposibledelacaja.
Eltotaldematerialusadoenlacajacontapa,segúnlagura,es:4xy
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Elvolumendelacaja,lafunciónquesedeseaoptimizar,es:Despejandodelarestricción,estoes,delafórmuladeláreaysustituyendoen
1
4M
xIVD1
4x2M
xD1
Elvolumenseencuentraahoraconunasolavariable
4/IV1
12x/0,para&#x-276;x0:Paracalcularlospuntoscríticos,igualamoslaprimeraderivadaacero:
M
Hayunmáximoparamax
M
max
4#--$M

M
62
M
6%..&D6
4#--$M
6

M
61
3
M
6%..&D6
4
M
61
3
M
6DD6
42
3
M
6D
M
maxLuego:max
6
M
Demuestreque,detodoslosrectángulosconunáreadada,elquetieneelmenorperímetroesuncuadrado.
x
10.1Problemasdeoptimización
Delagurasetienequeeláreaconstantees:xy:Elperímetroeslafunciónquedeseamosoptimizar:2y:(*)Despejamosdelarestriccióndada,estoes,delafórmuladelárea:
Sustituimosenqueahoraquedaconunasolavariable:
Derivando,obtenemos:
x2D2x2A
x2IP
Observequelasegundaderivadasiempreespositiva,para�x0
Hayunmínimoparamin
min
A1
2Dp
minDemuestrequedetodoslosrectángulosconunperímetrodadoelquetieneeláreamáximaesuncuadrado.
x
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Delaguradadasetienequeelperímetroconstantees:2y:Eláreaeslafunciónquedeseamosoptimizar:xy:(*)Despejamosdelarestriccióndada,estoes,delafórmuladelperímetro:
Sustituimosenqueahoraquedaconunasolavariable:
D1
Derivando,obtenemos:
4x/
20:Observación.Lasegundaderivadasiempreesnegativa.
Haymáximoparamax
max
2
2DP
2
2DP
maxUnrecipienterectangularparaalmacenamiento,conlapartesuperiorabierta,debetenerunvolumen.Ellargodesubaseeseldobledelancho.Elmaterialparalabasecuestapesoselmetrocuadrado.Elmaterialparaloscostadoscuestapesoselmetrocuadrado.Encuentrelasdimensionesparatenerelmásbaratodeesosrecipientes.
xy
10.1Problemasdeoptimización
Delagura,elvolumendelrecipientees:Considerandoquesetratadeunacajasintapa,elcostodelosmaterialeses:4xy,éstaeslafunciónquedeseamosoptimizar.Despejamosdelarestriccióndada,estoes,delafórmuladelvolumen:
2xD5
Sustituimosen(lafuncióncostoqueahoraquedaconunasolavariable:)
x2DC
Derivando,seobtiene:
x2D
2IC
�0:Observación.Lasegundaderivadasiempreespositivapara�x0
12xD3p
Hayunmínimoparamin
min
.5/
3D5
.5/
3D3p
minHalleelpuntodelarectamáscercanoalorigen.
xy
y3
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Unpuntoarbitrariosobrelarectatienelascoordenadas.x;y/.x;Ladistanciadeunpuntoarbitrariodelarectaalorigenes:
x2Cy2D
Vamosatrabajarconelcuadradodelafunciónanteriorpuestienelosmismospuntoscríticos.Usaremoslanotación3/.10�0:Lasegundaderivadasiempreespositiva
106
Hayunmínimoparamin
min
5C3D
C3D3
Así,observamosque:minminElpuntosobrelarectamáscercanoalorigenes:minmin
5;3
Halleelpuntodelarectamáscercanoalorigen.
xy
Unpuntoarbitrariosobrelarectatienelascoor-denadas.x;mxDistanciadeunpuntodelarectaalorigen.
x2Cy2D
.mx
10.1Problemasdeoptimización
Vamosatrabajarconelcuadradodelafunciónanterior,puestienelosmismospuntoscríticos.Usaremoslanotación.mxDerivando,seobtiene:2.mxb/m�0:Lasegundaderivadasiempreespositiva2.mbm/x.1
Hayunmínimoparamin
min
Cm2/CbD
1Cm2CbDCbC
1Cm2Db
Así,observamosque:minminElpuntomáscercanoalorigensobrelarectaes:minmin
Cm2;b
Unaventananormandatieneformadeunrectángulorematadoporunsemicírculo.Sielperímetrodelaventanaesdem,encuentrelasdimensionesdelaventanademodoqueseadmitalacantidadmásgrandeposibledeluz.
xyx
Considerandolagura,elperímetrodelaventanaqueescons-tantedebeser:
Dx1C
2
Cx2C
2y:Eláreadelaventana,lafunciónquedeseamosoptimizares:
2
2
2D
8x2:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Despejamosdelarestricción,estoes,de
2P2C
2xDP
22C
Sustituimosenyquedaenfuncióndeunasolavariable:
22C
4xC
8x2DP
2x2C
4x2C
8x2DDP
2xC4
8x2DP
2x4C
Derivando,seobtiene:
24C
4xIAC
:Lasegundaderivadasiempreesnegativa.
24C
4xD0)xDP
2
4C
4D
Hayunmáximoparamax
max
22C
4
CD1
2P2C
4CPD1
2
CD1
maxUnapistadeentrenamientoconstadedossemicírculosadosadosenlosladosopuestosdeunrec-tángulo.Sisuperímetroesdem,hallarlasdimensionesquehacenmáximaeláreadelaregiónrectangular.
Considerandolagura,elperímetroconstantees:y:Lafunciónquesedeseaoptimizareseláreadelrectángulo:xy:
10.1Problemasdeoptimización
Despejamosdelarestricción,estoes,de
y/:Sustituyendoeneláreaseobtieneunafuncióndeunasolavariable:
y/y
21
Derivando,seobtiene:
0:Lasegundaderivadaessiempreesnegativa.Puntoscríticos:
2P0)yDP
Hayunmáximoparamax
max
2PP
DP
4D
2P

maxUntriágulorectánguloestáformadoporlossemiejespositivosyunarectaquepasaporelpunto.a;b/.Hallarlosvérticesdemodoquesuáreaseamínima.
xy
.0;y/.a;b/.x;0/Segúnlagura,eláreadeltriánguloes:
xy:Éstaeslafunciónquedeseamosminimizar.Larelaciónqueguardanlasvariableses:
xaDy
x)yDx
Sustituyendoenseobtiene:
2xx
xa
bD1
2bx2
xa:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Derivando,seobtiene:
a/2x
D1
2ax
D1
2ax
IA1
.2x2a/2ax/2.x
D1
a/.2x2a/2.x2ax/
2ax2ax
Dba2
2axx.x2a/obienmin2a:Considerandoqueconnosetieneuntriángulo,evaluamoslasegundaderivadaen.2a/
a3Db
hayunmínimo.Eláreaesmínimaparaminmin
2b:Sequiereconstruirunrecipientecilíndricodebasecircularcontapayunacapacidadpara600`Calcularlasdimensionesquedebetenerparaqueserequieralamínimacantidaddematerialensuconstrucción.(Considerarque1=1dmUsamoslagura
h
Eláreatotalquedeseamosqueseamínimaeselárealateral2rhmáseláreadelasdosbases2r2rh2rdondeestánendecímetros,perocomoycomo,tenemosluego,despejando
Sustituyendoporestevaloren,lapodemosexpresarcomofuncióndeunaúnicavariableA.r/2r
2r
10.1Problemasdeoptimización
Simplicando,A.r/1200
2r1200r2rBusquemoselvalordequehacequeseamínima.DerivandoA.r/dA.r/
1200
4r:Igualandoacero:1200
4r4r1200
1200
4rD3
Sustituyendoestevalorde
,seobtiene:

2
.2/.300/
2=3
2=3.2/.300/1=3
1=3
2r;apartirdedA.r/
1200
4r1200r4r,calculamoslasegundaderivada:A.r/
2400
4;lacualespositivapara�r0,porloquepara
,tenemosefectivamenteunáreamínima.Uncilindrocircularrectohadecontenerderefrescoyusarlamínimacantidadposibledematerialparasuconstrucción.¿Cuálesdebensersusdimensiones?
h
Delagura,setienequeelvolumendelcilindroes:Eláreatotaldelcilindro,queeslafunciónquesedeseaoptimizar,es:2rh2r
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Despejamosdelarestricción(estoes,de)ysustituimosen
2r
2r
2rAlsustituirnosquedaunafuncióndeunasolavariablealacualderivamos:
4r
4�0,yaque�r0:
4r4r
4r
1
Hayunmínimoparamin
1
min
V
2
3D2V
V
2
3D2V
1
2r:Determineelvolumenmáximoposibledeuncilindrocircularrectosieláreatotaldesusupercie,incluyendolasdosbasescirculares,esdeUsamoslagura
h
elradiodelabasedelcilindroysualtura,luego:2rh2r150:Despejandodelarestriccióndadaporelárea2r
2r
Sisustituimosestevalorenlafórmuladelvolumen,lotendremosexpresadocomofuncióndeunavariable:V.r/.75
75r
10.1Problemasdeoptimización
ydeaquí.r/3rytambién:
D
Notamosque.r/6r0;para&#x-276;r0;porloqueparaelvalordemsetieneunvolumenmáximo.Dospuntosseencuentranenlaorilladeunaplayarecta,separadoskmentresí.Unpuntoestafrenteakmenelmar.Cuesta$400:00tenderkmdetuberíaenlaplayay$500:00enelmar.Determinelaformamáseconómicadetrazarlatuberíadesdehasta.(NonecesariamentedebepasarporHagamosuncroquis
Pensemosquevamosallevarlatuberíadesdehasta,unpuntosobrelaplayaakmde,ydeahíaporelmar;ladistancia,comohipotenusadeuntriángulorectánguloconvérticeenes:
C32D
2D
QueremospuesminimizarlafuncióncostoC.x/500.x
Derivamos.x/250.2x
x2
500.x
x2
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Puntoscríticos:.x/
500.x
500.6
x25
4)x2
.36
161x2
161C
160))9
29
xC
0))9
2
xC
D0))0))x20))xDp
Dp
D8
entoncesydesechamos,porserilógico.Porotrolado,C.x/esderivableentodalarecta,yaquenotieneraícesreales,pues4ac450.Dehecho45&#x-300;&#x.100;0.Porejemplo,enlafuncióncontinuavaleCalculemoslasegundaderivadadeC.x/,derivandode.x/500.x
.x/
500.x6/.2x
p
x2
p
45/500–.x

500.x

2DD9

�0:Luego,efectivamenteparahayunmínimo.EnestecasoelcostoesC.2/
25003300pesos.Sisehubieratendidolatuberíaporelmar,desdehasta,elcostohubiesesido:C.0/
6:70820393354:102�C.2/:Ysisehubiesetendidodesdehastaporlaplayaydesdehastaporelmar,ambosenlínearecta,elcostohubiesesido:C.6/
2400
240015003900pesos�C.2/también.
10.1Problemasdeoptimización
Dosbarcossalenalmismotiempo;unodeunmuelle,condirecciónsuryconvelocidaddekm/h.Elotropartehaciaelmuelledesdeunpuntoqueseencuentraakmaloeste,akm/h.¿Enquémomentoseencuentranmáspróximosestosdosnavíos?Usamoslasiguientegura,dondeeltiempoestáenhoras:
d.t/Ladistanciaentreambosbarcosesd.t/
10t/20t/
500t300t225;delacualqueremoshallarsumínimo,porloquebuscamossuspuntoscríticos.t/1000t
p
500t300t
endonded.t/pasadeserdecrecienteasercreciente;entonceselmínimoes:
Dp
p
13:416408km.Alas13:00horasunbarcoseencuentramillasalsurdelbarcoyviajahaciaelnorteamillas/h.Elbarconavegahaciaeloesteamillas/h.¿Aquéhorasealcanzaladistanciamínimaentrelasdosembarcaciones?Usamoslagurasiguiente,dondesonlashorastranscurridasapartirdelashoras:
10t15td.t/15t
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Elespacioquerecorreelbarcomillasyelrecorridoporelbarco10t,porloqueladistanciaentreambosbarcos,cuyomínimoeselquebuscamos,segúnelteoremadePitágorases:d.t/
.10t/.2015t/
100t600t
600t400:Elmínimodeestafuncióncoincideconelmínimodelafunción–d.t/600t25.13t24t16/:Porloquebastaconqueencontremoselmínimodelafuncióng.t/24t,queporotraparteeselvérticedelaparábolag.t/.t/26t
26
Ycomo.t/26�0,setratadeunmínimoylamínimadistanciasealcanzaalas
horas.Sevaaconstruiruntanquemetálicodealmacenamientoconvolumende10`enformadeuncilindrocircularrectorematadopordoshemisferios(mediasesferas).Tomandoencuentaqueelvolumendelaesferaes
yquelasuperciees4r,encontrarlasdimensionesdeltanquequeminimicenlacantidaddemetal.Usamoslagurasiguientequeesladeunasecciónverticaldeltanque:
`
Considerandouncilindrocircularrectoderadioylargo,medidosambosendecímetros(dm),elvolumendeestetanquees
ydebeser10`;porlocualsedebecumplirque
Minimizarlacantidaddemetalesequivalenteaminimizareláreadelasuperciedeltanque.Eláreadeltanquees:2r`4rSetieneentonces:
10.1Problemasdeoptimización
Unaecuación,
Unafunción,2r`4rDelaecuaciónsedespejaunadelasvariables(laqueconvenga)paraluegosustituirlaenlafunción.Convienedespejar
3D`D4
3
Sustituyendoenseobtiene:2r`4r2r
3
4r
r4
4r
8
4rA.r/
C4
queeslafunciónaminimizar:.r/
2C8
.r/
2C8
30,8
3
2,,r3D
8
2rD3
1:3365:EntonceslafunciónA.r/tieneunpuntocríticoen1:3365.r/
3C8
�0:Setieneunmínimolocalestricto.Porlotanto,lasdimensionesdeltanquequeminimizaneláreason:1:3365
3
D

2
.1:3365/
.1:3365/Esdecir,eltanquedebeserunaesferaderadio1:3365dm.Unalatadeaceitetienelaformadeuncilindroconfondoplanoenlabaseyunasemiesferaenlapartesuperior.Siestalatadebecontenerunvolumende1000pulgadascúbicasysedespreciaelespesordelmaterial,determinelasdimensionesqueminimizanlacantidaddematerialnecesarioparafabricarla.
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Usamoslagurasiguiente:
r
h
r
Elvolumentotalconstadedospartes:elvolumendelcilindromáselvolumendelasemiesfera:
24
1000:(A)Elmaterialusadocoincideconeláreatotaldelasuperceexteriorqueconstadeláreadelabase,máselárealateraldelcilindroyeláreadelasemiesfera:2rh
4r(B)Éstaeslafunciónquedeseamosminimizaryconstadedosvariables.Delarelación.A/despejamos1000
1000
2
(C)Sustituimosestevaloren.B/yobtenemos:M.r/2r1000
2
2r3r2000
4
3D5
2000
Calculamosprimeraysegundaderivada:.r/
2r2000
10r6000
.r/
4000
,para�x0:Calculamospuntoscríticosigualandoacerolaprimeraderivada:.r/10r6000
)rD3
D
1
5:75882:Sustituyendoestevaloren.C/1000

2
32
3
1
1000
600

2
32
3
1
3DD5
3


2
32
3
1
3D5
3
1
32
3
1
3D
1
3D
10.1Problemasdeoptimización
Como.r/�0,entonceshayunmínimoparaM.r/,esdecir,hallamosquelalataconlascondi-cionesdadasdebetenerlaalturadelcilindroigualqueelradiodelabase.Sedeseaconstruiruntanquedeaceroconlaformadeuncilindrocircularrectoysemiesferasenlosextremosparaalmacenargaspropano.Elcostoporpiecuadradodelosextremoseseldobledelapartecilíndrica.¿Quédimensionesminimizanelcostosilacapacidaddeseadaesde

h
Elvolumendeltanqueeselvolumendelcilindro,máselvolumendelaesfera:
10:(A)Eláreatotaldeltanqueeselárealateraldelcilindro,máseláreadelaesfera:2rh4rporpieeselcostodelmaterialdelapartecilíndrica,setienequeelcostototales:2rh4r.2/2.rh(B)Éstaeslafunciónquedeseamosminimizar.Tienedosvariables.Usamos.A/paraencontrarunarelaciónentreestasvariables.
3r3Dr2hD4
3r3)hD
24
(C)Sustituimosestevaloren.B/
24
3rC D
r4
3r2CD
rC8
Calculamoslaprimeraysegundaderivadas
r2C
16r
IC
r3C
�0:Calculamospuntoscríticos:16r
16
)rD3
1:23311:
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Usando.C/
.1:23311/
.1:23311/4:93238:LosvaloresdeencontradossonlasdimensionesqueminimizanelcostodeltanquedeaceroconcapacidadUnapáginahadecontenerdetexto.Losmárgenessuperioreinferiordebenserdecmyloslateralesdecm.Hallarlasdimensionesdelapáginaquepermitenahorrarmáspapel.Hagamosuncroquisconeltamañodelapáginaylosdatos
detextoSesabequeSequiereminimizareláreadelapáginadepapel,estoes:2/.yEntonceseláreaesunafuncióndedosvariables:Perocomo
,sustituyendoestevalorenlaexpresiónparaeláreadelapágina(quedacomofuncióndelaúnicavariable,asaber:A.x/
C4D
Parahallarlospuntoscríticossederiva.x/
2D0,4D
2,x2D
15:Porloque
yD
152p
2x:Como.x/
,setrata,enefecto,deunmínimo.LoscostosdelaempresaAlfaestándadosporlafunciónf.x/
3p
,donderepresentamilesdeartículosvendidos.Sepronosticaqueloscostosseránmínimossisevendenentre17001800artículos.¿Esverdaderoelpronóstico?Justiquesurespuesta.
10.1Problemasdeoptimización
Eldominiodelafunciónesf,pues
.x/
x21
3.x
3

3.x
3.x
3Dx23
3.x
.x/
1:7320508:Setomaelvalorpositivoportratarsedecostosenunaempresa.Parasabersisonextremoscalculamoslasegundaderivada:.x/6x.x
4.x
2x.x
9.x
6x.x8x.x
9.x
24x
9.x
3DC
9.x
Como
233
2Cp
3
9.3
3D6p
3Cp
3
927
�0;setratadeunmínimo,luego,efectivamente,estemínimoseproducecuandosevenden1732:0508artículos.Unhombreseencuentraenunpuntodelaorilladeunríorectilíneode2kmdeancho.Seapuntoenfrentedeenlaotraorilla.ElhombredeseallegaraunpuntosituadoakmaladerechayenlamismaorilladeElhombrepuederemarensubotecruzandoelríohastaelpuntoentre.Siremaakm/hycorreakm/h¿aquédistanciadebeestardelpunto,parallegaralpuntolomásprontoposible?Hagamosunbosquejoguradodelasituación:
CDBQueremoshallardemaneraqueeltiempoparairdeporelrío,ydeporlaorilla,seamínimo.PorelteoremadePitágoras
,eltiempoempleadopararecorrerestadistancia
4Cx2
horas,yaquetiempoempleado=espaciorecorrido
velocidadEltiempopararecorrer
8
CálculodiferencialeintegralI.Problemasresueltos
Lafuncióndelaquevamosabuscarsumínimoes:T.x/
4Cx2
6C8x
Puntoscríticos,.x/
6p
4Cx21
8D0,x
6p
4Cx2D1
8,6
36.464x
28
)xD
D6
p
2:26km,ésteeselúnicopuntocrítico.Calculamoslasegundaderivada:.x/
6x2x
p
4Cx2
6.4
36.4
4Cx2D
36.4
4Cx2DD
36.4
4Cx2D2
3.4
Observemosquesiemprey,enparticular.2:26/�0,porlocualexisteunmínimolocal2:26km;podemosconsiderarqueeldominiodelafunción–0;8,puesnotendríasentidodesembarcaralaizquierdadenimásalláde;luego,elmínimoeselmenordelostresnúmeros:T.0/
6C80
8D1
3C1D4
3hD
T.2:26/
.2:26/
2:26

p
9:1076
5:74
1:22048T.8/
4C82
6C88
8Dp
4C
C0
1:374368542Efectivamenteeltiempomínimoselograsidesembarcaa2:26kmdeLasumadelperímetrodeuncírculoyuncuadradoesdecm.Hallarlasdimensionesdelasdosgurasquehacenmínimaeláreatotalencerradaporambasguras.Eldibujodeambasgurases:
x
r
Deambastenemos:Elperímetrodelcírculo:2r
10.1Problemasdeoptimización
Elperímetrodelcuadrado:Elperímetrodeambasguras(usamoslarestriccióndada):2r.(*)Eláreadelcírculo:Eláreadelcuadrado:Eláreadeambasguras:Éstaeslafuncióndelaquedeseamoscalcularelmínimoconlarestriccióndada:.(**)Estafuncióndependededosvariables.Larelaciónentreestasvariablesvienedadaporlacondición.Deaquídespejamosunavariable.Elegimosarbitrariamente
8
.(***)SustituimosenA.x/
A.x/
2x/derivando,conrespectoa.x/
2x/.
2x/calculamoslasegundaderivada:.x/
.2D8
�20:Estonosindicaquelafunciónsiempreescóncavahaciaarriba,esdecir,vamosaencontrarunmínimo.Igualamosacerolaprimeraderivada,paraencontrarlospuntoscríticos:
2x/
2x/
2x))8D
2xC
2C2
xDC4
2x)xD
ÉsteeselvalordequehacemínimaeláreaA.x/Paraencontrarelvalordecorrespondiente,sustituimosen
82
C4D1

C4D1

C4))rD8
C4D1
Osea,elladodelcuadradoeseldobledelradiodelcírculo.Estosvalores,desonlasdimensionesdelasgurasquehacenmínimaeláreatotalencerradaporambasguras.

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